RÉPUBLIQUE DE COTE D'IVOIRE
UNION· DISCIPLINE· TRAVAIL
MThTJSTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
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~
ilE COTE-D'IVOIRE
~
N° d'Ordre
224
THE8E
Présentée à la Faculté des Sciences et Techniques
de l'Université Nationale de Côte d'Ivoire
pour obtenir le grade de
DOCTEUR D'ETAT ES~SCIENCES
MATHEMATIQUES PURES
ANALYSE HARMONIQUE
Par Ibrahim FüFANA
Soutenu le
devant la Commission d'examen
COMPOSITION DU JURY:
Président: Monsieur SANGARE Daouda
Professeur à l'Université d'Abidjan
Examinateurs: Monsieur TOURE Saliou
Professeur à l'Université d'Abidjan
Monsieur GAUDOT Réné
Professeur à l'Université d'Abidjan
Monsieur KOULIBALy Akry
Professeur à l'Université de Ouaga-
dougou.
Monsieur KOUA Konin
Maître de Conférences à l'Univer-
sité d'Abidjan.

1
SOMMAIRE
Pages
INTRODUCTION :.....................................................................................................
2
BillLIOGRAPfIIE :....................................................................................................
4
NOTATIONS-RAPPELS :....................................................................................
6
1.1.:....................................................................................................................
6
1.2 Espaces de Lebesgue et de Lorentz :......
7
1.3 Transformation de Fourier sur IR d :..............................................
1 1
lA Produit de convolution sur IR d :......................................................
1 4
2. CONDITION D'AGUILERA-HARBOURE :...................................................... 1 8
3. ESPACES (Lq, ,e p)cx (lRd , n) :.........................................................................
27
3.1. Epaces (Lq,,eP) (IRd, n) :.................................................................
27
3.2. Epaces (Lq,,e p)cx (IRd , n) :...............................................................
30
3.3. Translation dans (Lq, ,e p)cx (IR d , n) :
49
4. INTEGRALE FRACTIONNAIRE DANS LES ESPACES
(Lq,,e p)cx (IRd, n) : :
55
4.1. Opérateur maximal fractionnaire :.
5 5
4.2. Intégrale fractionnaire :
65
5. TRANSFORMATION DE FOURIER DANS LES ESPACES
(Lq, ,ep)cx (IRd, n) :
71
5.1. Transformée de Fourier d'une mesure non bornée :
7 1
5.2.
Représentation d'une fonction
comme transformée
de Fourier:
8 2

2
INTRODUCTION
Soient
(p, q) un élément
de [1, 2] x [l, +00 [
et u une fonction
positive
Lebesgue-mesurable
sur
IR ct.
Nous dirons que
u vérifie la
condition
Ap,q si :
.. il existe une constante réelle K telle que pour toute fonction com-
plexe f de puissance p-ième Lebesgue-intégrable sur IR ct.
+00
~
+00
( J 1t (x)lq u(x) dx)1/q ~ K (J 1 f(x)IPdx)1/P
-00
-00
où ~ est la transformée de Fourier de f"
Aguilera et Harboure ont démontré dans [A-H] que SI
u vérifie la
condition
Ap,p
avec
1 O
+00
(r(k+ 1)
)b ] lib
[
L
f
u(x) dx
~
k=-oo
rk
où
b = 2/2-p
Le présent travail découle de notre
tentative de mIeux comprendre la
condition
Bp'
Dans
le
chapitre 2 nous
généralisons
le résultat de
Aguilera et
Harboure en établissant une condition nécessaire pour que u vérifie Ap,q
lorsque
1 ~ q ~ p'
(Proposition 2.7).
Au
chapitre
3
nous
utilisons
la
condition
établie
dans
la
Proposition 2.7 pour définir une classe d'espaces vectoriels de Banach
(L q,.e P)Œ
pour
1 ~ q ~ Œ ~ P ~ + 00, dont nous présentons un certain
nombre de propriétés. Il se trouve que (Lq, .e P)Œ
contient l'espace de

3
Lebesgue L<X
[et l'espace de Lorentz
L<X'+oo
si q < <X < pl
et est
inclus dans l'espace amalgame (Lq, ~ p) de Holland.
Les espaces (L q, ~ p)<x se prêtent bien à l'étude de l'opérateur
maximal fractionnaire de Hardy-Littlewood. Nous en profitons, au
chapitre 4, pour dé mon trer des propriétés de con tin uité de cet
opérateur entre espaces (L q,~ p)<x à poids. Nous en déduisons des
propriétés similaires pour l'intégrale fractionnaire.
Au chapitre 5 nous examinons la transfor ma tion de Fou rier
dans les espaces
(L q, ~ p)<x pour 1::5 q::5 <x::5 p::5 2 et dans certains
espaces de mesures non bornées. Celà nous per met d'obtenir une
caractérisation des transformées de Fourier des éléments de
LP (l < P ::5 2)
du type de celle donnée par Schoenberg et Eberlein
pour les mesures bornées.
Le Professeur Saliou TOURE, malgré ses charges aussi
importantes que multiples, a fait preuve de toute la disponibilité
nécessaire pour diriger nos travaux. Nous lui en sommes très
reconnaissants.
Le Profeseur Daouda SANGARE nous a fait l'honneur d'accepter
de présider le Jury de la soutenance de nos travaux en thèse. Nous
lui exprimons notre profonde gratitude.
Que:
- le Professeur Akry KOULIBALY de l'Université de
Ouagadougou
- le Professeur Réné GAUDOT
- le Docteur Konin KOUA Maître de Conférences
acceptent l'expression de notre sincère reconnaissance, pour nous
avoir fait l'amitié de participer au mê me Jury.

4
BIBLIOGRAPHIE
[A-H]
N .E. Aguilera and E.O. Harboure On the search of weighted norm
inequalities for the Fourier transform, Pacifie J. Math.
Vol. 104, N°l (1983) 1-14.
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Inst. Fourier, 28, 2 (1978), 53-84.
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[F. 2]
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Holland, Amsterdam, (1985).
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Matem. (75), North-Holland, Amsterdam, (1981).
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5
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B.
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Proc. Symp. in Pure Math., 34, part 1 (1979) 69-83.
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E. M. Stein and G. Weiss
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[St.]
J. Stewart
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J. Math., 31 (1979) 1281-2192.
[T.]
H. Triebel Interpolation the ory , Function Spaces, DifferentiaI
Operators,
North-Holland,
Amsterdam (1978).

6
1 - NOTATIONS - RAPPELS
1.1
d est un nombre entier strictement positif,lR et lR d sont mUnIS de
leurs structures usuelles d'espaces de Hilbert réels. Pour tous éléments
x = (xi)l~i~d et y = (Yi)l~i~dde lRdet tout nombre réel r >0 on note:
d
- x.y = L xi Yi
le produit scalaire de x et y,
i=l
- Il x Il = (Î xi2) 1/2
la norme de x
i=l
B(x, r) = {YE lR d/llx-yll < r}
et B(x, r) = {YE lR d/llx-yll ~ r}
les boules
ouverte et fermée de lR d de centre x et de rayon r.
r
ct..
r
r
- lx = H: 1] xi - 2 ' xi + "2 [
r
ct
- Ix = 11l[xi r, (xi +1) r[
Pour tout sous-ensemble
E de lR d, ::t E est la fonction
caractéristique de E.
Pour tout nombre complexe z, Z désigne son conjugué et Izl son
module.
On note
r
- ~ = { lx : (x, r) E lR ct x ]0, +00 [ }
- e(lR d) l'espace vectoriel complexe des fonctions complexes continues
surlR d.
- eo( lR d) l'espace vectoriel complexe des fonctions complexes continues
°
sur lR d et tendant vers
à l'infini.
- eoo( lR d) l'espace vectoriel complexe des fonctions complexes continues
sur lR d et à support compact.

7
1
1
Par convention
= 0 et - = +00.
+00
0
1.2 Espaces
de
Lebesgue
et
de
Lorentz
Soit ~ une mesure positive sur IR d.
La(IR d ;~) désigne l'espace vectoriel complexe des classes d'équiva-
lence modulo l'égalité ~-presque partout des fonctions complexes
~-mesurables sur IR d.
Soit q un élément de [l, +00].
Pour tout élément f de La(IR d ; ~) on note:
(S IR dlf(x)lqd~(x») l/q
SI
1~q<+00
{ inf{À>O 1~({ XE IR d/lf(x)1 >À} )=O} SI q=+oo
On a les résultats suivants
1.2.1. Proposition
Soit q un élément de [1, +00]
i)
L'ensemble L q(IR d;ll) = {fE La(IR d ; Il)1 IIfll
< +oo}
est un sous-espace
q,~
vectoriel de La(IR d ; ~).
ii) L'application
Lq(IR d ; ~) -----
IR
est une norme
f 1----
Iifiiq,~
pour laquelle
L q( IR d;~)
est complet.
iii) Si p est un élément de [1, +00] et
alors pour tout
élément (f, g)
de Lq(IR d ; ~) x LP(IR d ; ~)
Il fg Il
~ Il f i l . " g Il
r;~
q,~
P,~
(Inégalité de Holder).
./.

8
1.2.2 Notation
Pour tout élément q de [1, +00] on note
+00
SI
q = 1
,
---.9..- SI
q
l<q<+oo
=
q - 1
SI
q= + 00
q
est appelé l'exposant conjugué de q.
1.2.3 Définition La mesure Il positive sur IR ct est dite (J'-finie s'il existe
une suite (En)n~ 1 de sous-ensembles Il-mesurables de IR ct telle que:
pour tout entier
n~ 1
Il(E n) < +00.
1.2.4 Proposition
Pour tous éléments f et g de La(IR ct ; Il) posons
T(g)(f) = l IR ct f(x)g(x) dll(x)
SI
cette intégrale est définie
T est un isomorphisme isométrique de Lq'(IR ct ; Il) sur le dual de
L q(IR ct ; Il) dans les cas suivants :
a)
1 < q < +00
b)
q = ] et ).l
est (J'-finie
./.
1.2.5
Définition
Soit f une fonction complexe Il-mesurable sur IR ct.
On pose:
i)
pour tout nombre réel
s > 0,
Àf(s) = Il( {x E IR ct/lf(x)1 > s})
ii)
pour tout nombre réel
t >0,
f*(t) = inf {s > 0 1 Àf(s) ~ t}

9
L'application f* : ]0, +00 [---+ [0, + 00 ]
est appelée la fonction de réar-
rangement décroissant de f.
1.2.6
Remarque Soient f et g deux fonctions complexes r-t-mesurables
sur lR d.
i) f* est décroissante et continue à droite sur ]0, +00 [
ii)
f* = g*
si et seulement si
f = g
r-t-presque
partout.
1.2.7
Définition
i)
Soit f un élément de Lo(lR d ; r-t)
•
La fonction de réarrangement décroissant f* de f est celle d'un
représentant quelconque
de f.
*
• Il f Il
=
q,p,J.l
+00 1/
d r
e~'f
p
[r
Qf*(r)]p-)l/ si l~q,p<+oo
q
r
o
suprllqf*(r)
si l~q<p=+oo
r>o
su p f * (r)
s 1
q = + 00
= p
r>o
ii) Si
1 ~ q, p ~ +00 alors l'espace de Lorentz
L q,p(lR d ; r-t) est l'ensemble
*
{f E Lo(lR d , J.l) / Il f Il
< +00 }
q,p,r-t
1.2.8
Proposition
i) Si 1 ~ q ~ +00
et 1 ~ Pl < P2 ~ +00
alors pour tout élément f de Lo(lR d, r-t)
on a :
*
*
Il f Il
~ Il f Il
q,P2,r-t
q,p 1,r-t
et par suite
Lq,P1(lR d ; r-t)
est inclus dans Lq,P2(lR d ; r-t)
ii) Si
1 ~ q <_ + 00
1
d
a ors pour tout élément f de
Lo(lR
,J.l)
*
I\\fl\\
= Il fil
q,q,J.l
q,r-t

1 0
iii)
Si
1 ~ q ~ +00
alors pour tout élément f de
La(IR d ; ~)
q
\\Ifll*
-
SUPS(Àf(S))lI
q,+oo,~
s>o
iv)
Si
1 < q ~ +00 et 1 ~ P ~ +00
alors il existe sur L q,p(IR d ; ~) une
norme
f 1----+ Il f Il
lui donnant une structure d'espace de Banach
q,p,~
complexe et vérifiant :
*
Il
*
f Il
~ Il f Il
~ ~ Il f Il
q,p,~
q,p,~
q -
q,p,~
v)
Si 1 ~q<a~+oo
alors pour tout élément f de La,+OO (IR d ; ~) et tout
sous-ensemble mesurable E de IR d
Il f):
Il
~ ( ~) l/q Il f Il*
~(E) l/q-l la
E q,~
a-q
a,+oo,~
.1.
1.2.9
Proposition Pour tous élélents f et g de La(IR d ;~) posons
T(g)(f) = JIR d f(x)g(x) d~(x)
SI cette intégrale est définie.
T est un isomorphisme bicontinu de L q',p'(IR d, ~) sur le dual de
L q,p(IR d ; ~) dans les cas suivants
a)
1 < q < +00
et 1 ~ p < +00
b) q = 1 = p
et ~ est cr-finie.
J.
Considérons un entier m ~ 1, v une mesure positive sur IR fi , Tune
application d'un sous-espace vectoriel D de La(IR d ; ~) dans La(IR fi ; v).
1.2.10 Définition
T est dite quasi-linéaire SI :
a) V (À, f) E cr: x D
1 T(À f) 1 =1 À 1 1Tf 1
b):J K E IR+ V f, g E D
1T(f + g) 1~ K(I Tf 1+ 1Tg 1)

1 1
1.2.11 Propos ition
(Marcinkiewicz-Stein).
Supposons que
a)
0 contient l'ensemble S des fonctions étagées IJ.-intégrables sur IR d et
est stable par troncation.
b) T est quasi-linéaire
c) Il existe deux éléments
(qi' ri) (i = 1,2) de [1, +00]2
tels que ql < q2
et rI ;j:. r2 et deux nombres réels positifs
Ml et M2 tels que :
Alors pour tout élément
(S, p) de ]0, 1[ x [1, +00]
il existe un
nombre réel
M = M(M I , M2 ,ql ,q2 ,rI ,r2 ,S,p) tel que
Il Tf Il *
*
~ Mllfll
r,p,v
q,p,1J.
1
I-S
S
1
l-S
S
où
- =-- + -
et - =-
+ -
q
q 1
q2
r
rI
r 2
.J.
1.3 - TRANSFORMATION DE FOURIER SUR IR d
i
désigne la mesure de Lebesgue sur IR d et n = (2n) -d/2 i .
Remarquons que pour tout élément
q de [l, +00], Lq(IR d ; n) = Lq(IR d, i ) :
en fait, pour tout élément f de
La(IR d , n)
d/2q
Il f IIq,n = (2n)-
ll f Ilq, i
1.3.1 Définition Soit f un élément de L \\IR d; n). La transformée de
Fourier de f est la fonction ? définie sur IR d par :
?(x) = JIR d f(y)e- ix y
.
dn(y).
Rappelons les résultats suivants :

1 2
1.3.2 Proposition
i)
La transformation de Fourier
f 1---+ ~ est une application linéaire de
LI (IR d ; n) dans eo(IR d) telle que:
1
V f E L (IRd; n)
Il ~ lI+ oo ,n ~ Il f 11 1;n
1
1
ii)
Si
f est un élément de L (IRd; n)
tel que ~ appartienne à L (IRd; n)
alors:
v
y
X E
IR d
f(x) =JIR d ~ (x)e ix .
dn(y).
iii)
1
Si f est un élément de
L (IR d ; n) Il L 2(IR d ; n)
alors
Il ~ 112;n = Il f 112 ;n
(Egalité de Plancherel)
iv)
Si f est un élément de
L 1(IR d ; n) Il L q(IR d ; n)
avec
1 < q < 2 alors:
Il ~ Il,
~ Il f Il
q ;n
q;n
.;.
1
Soit q un élément de [1, 2]. On sait que l'ensemble L (IRd; n) Il Lq(IRd; n)
est partout dense dans L q( IR d ; n). La proposition précédente permet de
prolonger de façon unique la transformation de Fourier
L 1(IR d ; n) Il L q(IR d ; n) - - - - + L q'(IR d ; n)
f 1---------+
~
en une application linéaire continue
Lq(IR d ; n) --+
L q'(IR d ; n)
f 1---+
~
encore appelée transformation de Fourier.

1 3
v
1.3.3.
Notation
Soit f un élément de LI (IR d ; n). f
est la fonction
définie sur IR d par:
v
.
f (x) = J d f(y)e 1X Y
·
dn(y).
IR
Remarquons que pour tout élément f de LI (IR d ; n) :
v
li
1\\
V X E IRd, f(x) = te-x) = [(x).
v
Donc la fonctionnelle
f t--~ f
se prolonge par continuité à chaque
espace Lq(IRn ; d)
où 1 ~ q ~ 2.
Rappelons les propriétés importantes suivantes de la
transformation
de
Fourier.
1.3.4
Proposition
Soit q un élément de [1, 2].
Il ~ II~
~ Il f Il
q ,q,n
q;n
(Inégalité de Hausdorff-Young)
ii)
Si f est un élément de Lq( IR d ; n)
tel que ~ appartienne à LP (IR d ; n)
avec
1 ~ P ~ 2
alors pour n-presque tout élément x de IR d
f(x) = â) v (x)
(Formule d'inversion)
iii) Pour tous éléments f et g de Lq(IR d ; n)
JIR d f(x) ~(x)dn(x) =JIR d ~ (x) g(x)dn(x)
(Identité de Parseval)
iv)
L'image de Lq( IR d ; n)
par la transformation de Fourier est partout
dense dans Lq'(IR d ; n).
v)
Pour tout sous-ensemble compact C de IR d
et tout nombre réel
r>O, il
existe un élément f de
L I(IR d ; n) n L 2(IR d ; n) tel que:

14
fa un représentant continu à support compact
::tC~~ ~ 1
{
Ilflll,n <
1 + r
./.
1.3.5
Notation
Soit f un élément de La(IR ct ; n)
i)
Pour tout y de IR ct, on note ty(f) la translatée de vecteur y de f
ly(f)(x) = f(x-y)
pour n-presque tout élement x de IR ct.
ii) Pour tout nombre réel r > 0, on note 8r<O l'élément de La(IR ct ; n)
défini par :
8 (f)(x) = f(rx)
pour n-presque tout élément x de IR ct.
r
Les résultats suivants sont valables.
1.3.6
Proposition
Soit f un élément de Lq( IR ct, n) avec 1 ~ q S; 2 alors
i)
pour tout élément x de IR ct
(tx(f))" (y) = eÎx .y ~(y)
n-presque partout sur IR.
ii) Pour tout nombre réel
r>O.
(8/)" (x) = r- ct ~(~)
n-presque partout sur IR ct
.;.
1.4 - PRODUIT DE CONVOLUTION SUR IR d
1.4.1 Définition
Le produit de convolution de deux fonctions
complexes f et g Lebesgue-mesurables sur IR ct est la fonction
f* g définie
par:
f*g(x) = f IR ct f(x-y) g(y)dn(y)
en tout point x de IR ct où celà a un sens.
Le produit de convolution a les propriétés suivantes

1 5
1.4.2 Pro p 0 s i t ion
i)
Supposons que :
I I I
1 :::; g :::; +00, 1 :::; p :::; g' et - = - + - - 1.
r
g
P
Si f appartient à Lg( IR d, n) et g à LP( IR d, n)
alors
f* g appartient à
L f (IR d, n) et:
En outre hg appartient à
• eo(IR d) si 1 < g < +00 et P = g'
• e(IR d )
si
1 =g et
P = +00
1
1
1
ii) Supposons que
1:::; g < +00, 1 0
tel que si f appartient à Lg(IR d, n)
et g à
LP,S(IR d, n) alors
f*g appartient à Lf,S(IR d, n) et
*
*
Il f*g Il
:::; C Il f Il
Il g Il
f,S,n
g,n
p,s,n
1
1
1
iii) Supposons que
1 < g < +00, 1 0
tel que si f appartient à
L g,s(IR d, n) et g à LP,+oo (IR d, n) alors hg appartient à Lf,S( IR d, n) et
Il hg Il *
:::; Cil fil *
Il g Il *
f,S,n
g,s,n
p,+oo,n
En particulier si
s = r
alors
Il
*
*
f* g Il
:::; Cil f Il
Il g Il
:::; Cil f Il
Il g Il *
f,n
g,f,n
p,+oo ,n
g,n
p,+oo,n
.;.
1.4.3 Proposition
Considérons une fonction réelle positive
<p n-intégrable
sur IR d telle que la fonction 'If définie par
\\jf(x) = sup
<pey)
soit n-intégrable sur IR d avec
Ilyll~llxll

l 6
I ct <p(x)dn(x) =a et I ct \\jf(x)dn(x) = A.
IR
IR
Pour tout nombre réel
r>O
posons
1)
Si f est un élément de Lq(IRct, n) avec
1 ~ q ~ +00
alors
a)
sup If * <Pr' ~ Am!,! f
r>o
où
ml,l f(x) = sup n (B(x,r)r! I
f(y)dn(y)
r>o
B(x,r)
b)
lim f * <p = a f
n-presque partout sur IR ct.
r-+ 0
r
2) Si f est un élément de Lq(IR ct, n) avec
1 ~ q < +00
alors
lim IIf * <p - a fil
= 0
r-+ 0
r
q,n
En particulier si f est un élément de Lq(IR ct, n)
alors
1
1
a)
hm
(B(
» I
f(y)dn(y) = f(x) = lim - r - I
f(y)dn(y)
r-+ 0 n
x,r
B(x,r)
r-+ 0 nO)
J r
x
x
sur un sous-ensemble de lR ct appelé ensemble de Lebesgue de f et de
complémentaire n-négligeable SI
1 ~ q ~ +00
b)
hm I
1
1
I
f(y)dn(y) - f(x) 1 q dn(x) = 0
SI
1 ~ q < +00
r-+o
lR ct
n(B(x,r»
B(x,r)
1.4.4. Remarq ues
La proposition précédente montre que :
l) L'espace de Banach
L I (IR ct, n)
mUnI du produit de convolution
est une algèbre de Banach.

1 7
2)
si <p est une fonction pOSItIve, continue, à support compact dans
IR
°
d et vérifiant Il <p III
= 1 alors
{<p
: x 1---+ [-d <p(r- 1x)/
< r < + oo}
est
,n
r
une unité approchée minimale dans
Ll(IR d, n) :
• '<;j r E ]0, +00 [
Il <p III
= 1
r
,n
r--+ 0
r
,n
°
lim 1I<p *f-fI1 1 =
1.4.5. Proposition
Soient q et p deux éléments de [l, 2]
tels que
3
1
1
2:; q-+p . Pour tous éléments f de Lq(IRd, n) et f de LP(IRd, n) ;
.;.

1 8
2 - CONDITION D'AGUILERA-HARBOlJRE
Soit p un élément de [l, 2]. L'inégalité de Hausdorff-Young
Il ~ Il, ~ Il ~ II~
~ Il f Il
p,n
p ,p,n
p:n
expnme que la transformation de Fourier est continue de
LP(IR d
n)
Considérons un élément
(p, q) de [l, 2] x [1, +00] et deux mesures
positives Il et v sur IR d. La continuité de la transformation de Fourier de
LP(IRd,ll) dans Lq(IRd,v)
serait
une
généralisation
de
l'inégalité de
Hausdorff- Young. Si les mesures Il et v sont définies par
dll = vPdn
et
d v = uqdn
où
v
et
u
sont
des
fonctions
positives
localement
n-
intégrables sur IR d alors cette continuité se traduit par la condition C'p,q :
"Il existe un nombre réel positif K tel que :
Dans [M] B. Muckenhoupt pose le problème suivant : trouver une
condition nécessaire et suffisante pour que le couple (u,
v) vérifie la
condition C'p,p où p est un élément donné de [1, 2].
N.E. Aguilera et E.O. Harboure, se restreingnant au cas où
d = 1 et
v = l, donnent dans [A-M] des résultats partiels SI
1 < p = q < 2 : une
condition nécessaire et une condition suffisante.
Dans ce qUI suit, nous reprenons les idées de N.E. Aguilera et E.O.
Harboure avec d quelconque et q non forcément égal à p.

1 9
2.1 Définition
Soient u une fonction
réelle positive
n-mesurable sur
IR d et (p, q) un élément de [1, 2] x [l, +00]. u vérifie la condition Cp,q s'il
existe un nombre réel positif K tel que :
2.2 Remarque
Soient u une fonction réelle positive n-mesurable sur
IR d et (p, q) un élément de [l, 2] x [l, +00] tels que u vérifie la condition
Cp,q.
Si q > p' alors u est nulle n-presque partout.
Preuve
Soit r un nombre réel strictement positif. Pour tout élément a de
IR d considérons la fonction fa définie sur IR d par:
f (x)
fi :t
(x·) eiajXj
a
= J= 1
1 -1 Ir, 1Ir[
J
Alors pour tout élément x de IR d tel que
Xj:f; aj
(1 $ j $ d)
a·-x·
sin ~
~a
Jzr/
(x) = ( .
III
r
r
2n
J-
arxj
r
S i 0 < 1xj- aj 1 $ r (1 $ j $ d)
alors
(
1
)d <_
~
_ ~
1 t a(x)1.
r" 2n
[J ( 1 )dq
q
] l/q
/)..
(
2
)d/ P
_~
u(x) dn(x)
$ Il ta ull q·n $ K Iifailp n= K
_1
J/ \\J 2 n r
"
-\\J 2 n r
r
d
Mais
B( a, r) C J
et
n( B(a, r)) = Cd r
où
Cd est un nombre réel
a
strictement positif dépendant uniquement de d.
_ _1__
J
q
]lI q
Donc
[ n(B(a,r)) B(a,r)u(x) dn(x)
-l/q
d/p_~d(l-lIp) d(l-I/p
-l/q)
$
K Cd
2
-\\J 2 n
r

20
1
1
Supposons que
q > p'
c'est-à-dire
1- p - q > O.
Nous obtenons alors
1
hm
J
u(x)qdn(x) = 0
r-+ 0 n ( B ( a, r) )
B ( a ,r )
Comme u q est localement n-intégrable, nous obtenons, d'après
lA.3
2) a), u = 0 n-presque partout.
C.QFD.
2.3 Proposition
Soient u une fonction positive n-mesurable sur IR ct
et
q un élément de [l, +00 [. Les conditions suivantes sont équivalentes.
a)
u vérifie la condition Cl ,q
b)
u appartient à
Lq( IR ct , n)
Preuve
]) Supposons que a) est vraIe : il existe un nombre réel positif K tel que:
Considérons un sous-ensemble compact C de IR ct. D'après 1.3 A v),
I
pour tout nombre réel
r>O,
il existe un élément
f de L (IR ct, n)
tel que:
r
Donc:
[J u(x)qdn(x)] l/q ~ Il 1r ullq n ~ K Il f III
r
n ~ K(1 +r)
C
"
IR ct
étant
la
réunion
d'une
suite
croissante
de
sous-ensembles
compacts, le théorème de la convergence monotone montre que u appar-
tient à Lq(IR ct, n) avec
Il u IIq,n ~ K.

2 1
2)
Supposons que b) est vraIe.
I
Considérons un élément f de L (IR d, n)
Puisque
Il ~ Il
, nous avons
+00 ,n
[J
1~(x) u(x)lq] l/q:s; Il ~II
[J
u(x)q dn(x)] l/q :s; Ilullq,n Ilflll,n
!Rd
+OO,n
IRd
Donc u vérifie la condition Cl ,q avec
K = lIull q,n
C.QFD.
2.4 Proposition
Soit u une fonction positive n-mesurable sur IR d. Les
conditions
suivantes
sont équivalentes.
a)
u
vérifie la conditions
C2,2
b)
u appartient à L + 00 (IR d, n)
1)
Supposons que a) est vraIe
il existe un nombre réel positif K tel que:
Supposons que u n'appartient pas à L+oo(IRd, n). Alors
A = { X E IR d : u(x) > K + I}
est n-mesurable et n(A) > O. Puisque n est
a-finie et donc semi-finie, il existe un sous-ensemble n-mesurable B de
A tel que:
0 < n(B) < +00. La fonction caractéristique :t B de B appartient
2
à
2
L (IRd, n).
Notons f l'élément de L (IRd, n) vérifiant ~ = :tB- En
applicant a) à f nous obtenons.
J
2
2
2
u(x)2 dn(x) :s; K
J If(x)1 dn(x) = K n(B).
B
IRd
1
Puisque
K+I u ~ 1 sur
B, nous avons aussi
1
n(B) :s; - - 2 J u(x)2 dn(x).
(K+I)
B

22
Nous aboutissons à la contradiction
0 < n(B) ::::; (K~l? n(B) < +00.
Donc u appartient à L + 00 (IR d, n).
2)
Supposons que b)
est vraie.
Considérons un élément f de L 2(IR d, n). Nous avons:
(f
2
) 1/2
= lIull+ 00 n
If(x)1
dn(x)
,
IRd
Donc a) est vraIe
C.Q.F.D.
2.5 Proposition
Soient u une fonction
positive n-mesurable sur IR d et
p et q
deux
nombres
réels
tels
que
1 < p::::; 2
et
1::::; q::::; p. Si u
appartient à
L q(p'/q)' , q(p/q)'(IR d, n) alors u vérifie la condition
C . .
p q
Preuve
Supposons que u appartient à Lq(p'/q)' , q(P/q)'(IR d, n).
.
P
(uq )* _- u*q, u q
. ,
L(P'/q)', (p/q)'(IR d
)
Ulsque
appartIent a
, n
et
q
*
Il u Il
(II u Il * "
, ) q
l '
1
=
(p /q) ,(p/q) ,n
q(p /q) ,q(p/q) ,n
Remarquons que
1::::; ~ < +00 et 1 ::::; Q < +00. Donc, d'après 1.2.9, il
q
q
existe un nombre réel positif K tel que :
~
~
V gEL q
q (IR
Kil
*
d ,n)
f IR d Ig(x)1 u(x)q dn(x) ::::;
g Il,
p /q,p/q,n
Considérons un élément f de LP(IR d ; n).
D'après 1.3.4
~ appartient à LP',P(IR d, n) et Il ~ II~
::::; Il f IIp,n'
p ,p,n
~
~
q
Donc 1 ~ I
appartient à
L q
q (IR d ,n)
et

23
Par conséquent nous avons
C.Q.F.D.
2.6. Lemme Soient K un sous-ensemble fini de ~ d.
{ak: k E K} un
sous-ensemble de [
et f la fonction définie sur
(IR \\{ O})d
par
Alors :
i)
Pour tout élément p de ] 1, 2] f appartient à
LP (IR d. n) et il existe un
nombre réel
Mp tel que:
\\1 f IIp,n ~ M p Il f;t J 2IT IIp
o
ii)
~ = I, ak;t lIn-presque partout
kEK
k
Preuve
e lXj - 1
i)
f peut être prolongée par continuité à IR d car
lim.
= 1. Donc f
x j-+ 0 1 X j
est mesurable.
2IT
d
Pour tout élément (~ , x) de ~ d x (J 0 n (IR \\{ O}) )
nous avons:
d
x·
f(x + 2n ~ ) =f(x) III (
2 J ~ )
J-
Xj+ rI
j
d
x·
et
1 JlI ( x+2~ ~ ) 1 ~
J
J
Posons
Alors Mp est un nombre positif et

24
J
P
P
P
If(x)I
dn(x) =
L
f
If(x +2IT ~ )I dn(x) ~ Mg f
If(x)I dn(x)
IRd
~E~d
12IT
12IT
o
0
C'est-à-dire :
Il f IIp,n ~ M p Il f::t 1 2IT IIp,n < +00
o
2IT
(car f est égale
n-presque
partout à
une fonction
continue et 1
est
o
relativement compact dans IR d)
ii) Il suffit de remarquer que (
L ak::t 1 1) v = f et d'appliquer la
kEK
k
formule d'inversion 1.2.4. ii).
C.Q.FD.
2.7. Proposition
Soient p et q deux nombres réels que
1 0 :
d,
Il u::t 1 f Ilq,n ~ M r P , V k E ~d.
k
ii)
Si u vérifie la condition Cp,q et si q < 2 alors il existe un nombre réel
positif M tel que pour tout nombre réel r > O.
d
[
" ( I I
Il
)2 q /(2- q ) ] (2-q)/2q
L..
u):: Ikf
q,n
kE ~d
Preuve
Supposons que u vérifie la condition Cp,q : il existe un nombre réel
positif K
tel que pour tout élément f de LP (IR d, n),
Considérons un nombre réel r > 0

25
i) Soient k un élément de ~ d et g la fonction définie sur (lR \\{ O})d par:
g( x) = eik .x A
.1= 1
1 x·.1
D'après le lemme 2.6
1\\
g appartien t à
g = l:
1
et
Ik
Il
Il
< M
Il
"'V
Il
< M (20)d/2 P = M/K
g
p,n -
p
gA.. J 2n
p,n-
p
o
Posons pour tout
x de (lR \\{ O})d
f(x) = g(rx)
Alors :
d
d
P
M
p
et
Il f IIp,n = r
Il g IIp,n ~ K r
En appliquant (*) à f nous obtenons
d
d
r-
Il ul: Ikr Ii q,n ~ M r p
d
P
Il Ul:Ikrliq,n ~ M r '
2)
Supposons que
1 ~ q < 2.
Soient L un sous-ensemble fini de ~ d, {ak : kE L} un sous-ensemble
de ([ et g la fonction définie sur
(lR \\ {O})d
par:
.
e1Xj_l
g(x) = ( L a
e1k .x )
~
.
.
,
k
J=I
1 x·
kE L
J
1\\
D'après le lemme 2.6
g appartient à LP(lR d, n) ,
g =
L
akl: 1 1
kEL
k
et
Il g IIp,n ~
M p Il gl:J 2n IIp,n
o

26
~ M[(2n)d/2]lIp-1I2[J
1
l
akeikxI2dn(x)]1/2
p
J 2n
kE L
o
- M (2n)d/2(lIP-1/2)[
l
lak I2 (2n)d/2]1/2
p
kEL
= M (2n)d/2P[
l
lakl2] 112 = ~ [
l
lak l2 ] 1/2
p
kE L
kE L
Posons pour tout x de (lR \\{ O})d
f(x) = g(rx). Alors
et
Il f Il
= r -d1p Il g Il
~ M [ Lia 12 ] l12 r-d 1p
p,n
p,n
k
kEL
En appliquant (*) à f nous obtenons
q
r- d [
l
lakl
J fU(X)q dn(x)] 112 ~ M [ l lak l2 ] 112 r- d/p
kE L
I k
kE L
[
l
lak1q
J fU(X)q dn(x)] 112 ~ M [ L la l2 ] 112 r d/p '
k
kE L
I k
kE L
En choisissant pour tout élément k de L
ak = (J
u(x)qdn(x») 1I(2-q)
nous arnvons a
l f
k
[ l (J
u(x)qdn(x))2/(2- q
q
)]1I
~ M[ l (J
u(x)q dn(x))2/(2-q)]1I2rd/p'
kEL
1/
kEL
Jkf
il
c'est-à-dire:
[L (II UX
f "q,n)2q/(2-q)r2-q)/2q ~ M r P '
1
kE L
k
Celà étant vrai pour tout sous-ensemble fini L de ~ d, nous avons
d
[
L
(II uX
Il
)2q/(2-q)r2-q)/2q ~ M r p'
Ikf
q,n
d
kE ~
C.QFD.

27
Soit u une fonction positive n-mesurable sur IR d.
Considérons deux
nombres
réels
p et q
tels que 1 < p ~ 2
et
1 ~ q ~ p
et
les
deux
conditions suivantes :
Cp,q : il exite un nombre réel positif K tel que pour tout élément f de
LP(IR d, n)
Il
Il fu Ilq,n ~ K Il f II p,n.
B p,q
il exite un nombre réel positif M tel que pour tout nombre réel r>O
d
sup d Il u)::I r l'q;n ~ M r p'
SI
2 ~ q ~ p'
kE :z:
k
d
[ L
(II u)::I r Ilq;n)2q/(2-q)J(2-q)l2q ~ M r P'
SI
1 ~ q < 2.
kE :z:d
k
D'après la proposition 2.7 la condition Cp,q implique la condition
B p,q.
Afin de
mieux
comprendre cette dernière
nous
l'utiliserons pour
définir un espace de Banach dont nous étudierons un certain nombre de
propriétés. Mais avant celà nous ferons quelques rappels sur les espaces
d'amalgames de LP et .i q introduits par F. Holland dans [Hl] et étudiés
depuis par de nombreux auteurs.
3.1.1 Notation
Pour tout élément
(f, r, q, p) de
Lo(IRd, n) x ]0, +00 [ x [1, +00] x [1, +00]
on pose:

28
[ l (lIf:t rllq,n)P]l/P si
r
p<+oo
kE ~d
k
SI
p=+oo
• (Lq, i p) (lR d , n) = {f E La(lR d, n) /111 f II q,p,n < +oo}
U ne
étude
systématique des
espaces
(L q, i p) lR d, n) a été faite
dans [Hl], [BDD], [BD] et [BuS] où les résultats suivants, entre autres, ont
été exposés.
3.1.2 Proposition
Soit (q, p) un élément de [1,+00]2
i)
(Lq, i p) (lR d, n) est un espace vectoriel complexe
ii) Pour tout élément r de ]0, +00 [
f 1---+ rll f Ilq,p,n
est une norme sur
(L q, i p)( lR d, n) pour laquelle cet espace vectoriel est complet.
En outre si r et r' sont deux éléments de ]0, +00 [ alors les normes
rll . Ilq,p,n et r'il . Ilq,p,n
sont équivalentes sur (Lq, l p) (lR d, n).
iii) Pour tout élément f de La(IR d, n) et tout élément
r de ]0, +00 [
rll f Ilq,q,n = Il f IIq ,n
Par suite
(Lq, l q) (IR d, n) = Lq(lR d, n).
iv)
Si
(s, t) est un élément de
[1,+00] 2 tel que q $ s et t $ p
alors pour
tout élément (f, r) de La(lR d, n) x ] 1,+00 [
Il f i l : : ; (2nf d/2 (lI q -l/s) Il fil
rd ( 1/q - Ils)
r
q,p,n
r
s,t,n
,
Par suite (Ls, l t) (lR d, n)
est inclus dans
(Lq, l p)(IR d, n).
En particulier :
• SI
p::; q alors
(Lq, l p)(lR d , n) est inclus dans Lq(lR d , n) n LP(lR d , n)
• SI
q::; P alors
Lq(lR d , n) v LP(IRd, n) est inclus dans (Lq, l p)(lR d , n)
.f.

29
3.1.3
Proposition
i)
Soient
(gl' PI)
et (q2 ' P2)
deux éléments de [1,+00]2
tels que
1
1
1
1
1
1
-+--= -:::; 1 et -+-= -:::; 1. Pour tous éléments f et g de La(IRd, n)
q 1
q2
q
PI
P2
P
et tout nombre réel
r>O
ii)
Pour tous éléments f et g de La(IR d, n)
posons
T(g)(f) = J d f(x) g(x) dn(x)
IR
S1
cette intégrale est définie.
Si (q, p) est un élément de
[1,+00 [2
alors T est un isomorphisme
bi-continu de (Lq', ~ P')(IRd, n) sur le dual de (Lq, ~ P)(IRd, n) .
.;.
3.1,4 Lemme
Soit un nombre réel r>O. Pour tous éléments k l et k2 de
r
r
r
~ d le nombre d'éléments de
S(k l , k2 ) = {k E ~ d : I n (lk
k
1 - I k2 ) "# <t>} est
inférieur ou égal à 2d .
Preuve
r
r
Considérons un élément (x, y) de I 1 x I
k
k2 .
Pour tout élément j de {l, 2, .. , d} nous avons
1
2
1
2
(k j - k j) r < Xj -Yj < (kj - k j + 1) r
Si k appartient à
S( k l , k2 )
alors pour tout élément j de {l, 2, ... ,d}
1
2
1
2
k j appartient à (kj - k -1 , k - k
j
j
j }.
Par suite S( k l , k2 ) a au plus 2d
é lérnen ts
C.Q.F.D.

30
Le lemme montre que la constante
r(n) du lemme 4.1 de [BuS]
peut être choisie égale à 2d dans notre cas. Par suite nous avons
3.1.5 Proposition Soient (q l ' Pl) et q2 ' P2)
deux éléments de [1,+00]2
tels que
q
Si
(f, g)
appartient à (Lql, i Pl)(IRd, n) x (L 2, i P2)(IRd, n)
alors
f*g est un élément de (Lq, i p)(IR d, n) tel que pour tout nombre réel
r>O.
3.2.1 Définition Soit (q, P, u) un élément de [1, +00 ]3. Nous posons
• pour tout élément
f de Lo(IR d, n)
Ilfll
=supn(rr)lIU-l/q
Ilfll
q,p,U,n
r>o
0
r
q,p;n
3.2.2 Remarques
Soit (q, P, u) un élément de [1, +00]3.
1) Si
U < q alors il est évident que pour tout élément non nul f de
Lo(IR d,n)
SUPn(rr)lIU-I/q
Ilfll
n=+oo,
r>o
0
r
q,p,
et par suite (Lq, i p)u (IR d, n) = {O}.
2)
Il est clair que (Lq, i p)u (IR d, n)
est un sous-espace vectoriel de

3 1
(Lq, ~ p) (IR d, n) et que f I-~ Il f Ilq,p,a,n est une norme sur lui.
3.2.3 Proposition
Pour tout élément (q, p, a) de [l, +00]3 tel que
q:::; a
(L q, i p)a (IR d, n)) Il IIq,p,a,n) est un espace de Banach.
Preuve:
Soit
(fm)m~l une suite de Cauchy dans (Lq, i p)a (IR d, n).
a)
Puisque
111 IIq,p;n:::; Il Ilq,p,a,n' (fm)m~1 est de Cauchy dans
(L q, i p) (IR d, n) et par conséquent y converge vers un élément f.
La suite (II fmllq,p,a,n)m~l est de Cauchy dans IR et par suite y
converge vers un élément
M ~ O.
Pour tout nombre réel r>O et tout nombre entier m~ 1
r
n({)lIa-lIq
Ilfll
:::; n(l )1/a-l/q
Il f
Il
o
r
q,p,n
o
r
m
q,p,n
r)lIa-l/q
+ n ( 1
rll f
0
m - f II q ,p,n
( Ir) lIa-lIq
Il f Il
Il f
Il
n({) l/a-lIq
Il f
-f Il
n
0
r
q,p,n:::;
m
q,p,a,n +
0
r
m
q,p,n
Donc pour tout nombre réel
r>O:
n({)l/a-l/q
Il f Il
:::; M.
o r
qpn
, ,
Celà signifie que f appartient à (Lq, i p)a (IR d, n) et que
Il f IIq pan:::; M = hm
Il fm Ilq pan
, , ,
m-+ + 00
'
,
,
b) Soit un nombre réel E >0. Il existe un nombre entier mû ~ 1 tel que
pour tous nombres entiers m' ~ mû et m" ~ mû

32
Soit un nombre entier m ~ mo ' La suite ( fm - fm+k)k~1 est de
Cauchy dans (Lq, ~ p)a (IR ct, n). Le raisonnement du
a)
montre que
Donc
lim
Il fm - f IIq,p,a,n = O.
m--++oo
C.QFD.
3.2.4. Proposi tion
Soient (q l ' Pl' al) et (q2 ' P2 ,a 2)
des éléments
de [1,+00]3 tels que:
1 1 1
1 1 1
1 1 1
ql sa l,q2 sa 2' QI+q2=qs1, Pl+ P2=;s1, -+-=-.
al
a 2
a
Pour tous éléments f et g de Lo( IR ct, n)
Il fg Ilq pan s r ll f Ilq pan' Il g IIq pan
, , ,
l' l'
l'
2' 2'
2'
Preuve
Découle immédiatement de 3.1.3
C.Q.F.D.
3.2.5.
Proposition
Soient (q l ' Pl' al) et q2 ' q2 ,a 2)
des éléments
de [1,+00]3 tels que:
1
1
1
1
= q ~ 0, p;- + P2 - 1 =p ~ 0 et
1
1
1
- + - -1 =
~ O.
Si (f, g)
appartient à
al
a 2
a

33
Preuve
Découle immédiatement de 3.1.5
C.QFD.
3.2.6 Proposition Soit (q, p, a) un élément de [l, +00]3
tel que q ~ a ~
p.
Pour tout élément
f de La(IR d, n)
Il f Ilq,p,a,n ~ Il fila, n
Preuve
Soit f un élément de La(lR d, n).
Pour tout élément (x, r) de
JR d x ]0, +00 [
r)lIq-lIa
(
Il f::t 1 r Ilq,n ~ Il f::t 1 r Ila,n n 10
x
x
Donc pour tout nombre réel
r>O:
n(lo
r) lIa-lIq
Il f 1
Il fil
r ll f Ilq,p,n ~ r
la,p,n ~
a, n
Par suite
Il f lIa ,q,p,a,n ~ Il fila, n
C.QFD.
3.2.7 Proposition Soit (q, p) un élément de [1, +00]2
tel que q ~ p.
Pour tout élément
f de La(JR d, n)
Il f Ilq,p,q,n = !~~ 00 r ll f IIq,p,n
[
L (1If::t lcrllq,n)P] Up si p<+ 00
crE (_,+}d
=
Il fil q, n
S1 P =
+ 00
d
où
lcr = P= 1 Dcr(i) , D+ =[0, +00 [et
D- =]-00, O[

34
Par suite (Lq, R. p)q (IR d, n) = L q(IR d, n).
Preuve:
n est clair que pour tout f de L o(IR d, n)
Il f Il q +00 q
= lim
rll f Ilq,+oo ,n = Il f IIq,n
,
" n
r-+ + 00
Supposons donc que
p < + 00 .
a)
Soit f un élément de Lo(IR d, n)
• D'après la proposition 3.2.6
Il f Ilq,p,q,n ~ Il f Ilq,n
• Pour tout nombre réel
r > 0
d
Il fx [-r,r[dllq,n ~
L
Il fx 1 r Il q ~ 2 Il f II q,p,q,n
kE {-1 ,o}d
k
d
Donc
Il f Ilq,n ~ 2 Il f lIq,p,q,n
Par conséquent f appartient à (Lq, R. p) q (IR d, n) SI et seulement s'il
appartient à
L q( IR d, n).
D'où
(Lq, R. p)q (IR d,n) = (L q(IR d,n)
b)
Soit f un élément de
L q(IR d,n).
Soit un nombre réel
E >0. Il existe un nombre réel R>O tel que
(J
If(x)lq dn(x)) lIq < E.
IIxll>R
Posons
fR = fx [-R,R[d et
fR = f - fR
Alors :
A(R) ~ Il f Ilq,p;q,n ~ Il fR Ilq,p,q,n + Il fR IIq,p,q,n ~ Il fR Ilq,p,q,n + E

35
Remarquons que :
rll fR Ilq,p;n = A(R)
SI
r 2 R
et
rll fR Ilq,p;n ~ A(R)
°
SI
< r < R
Donc
A(R) ~ Il f IIq,p;q,n ~ A(R) + ê
D'où
Il f Ilq,p,q,n = lim
A(R) = A.
R~+oo
C.QFD.
3.2.8 Proposition
Soit (q, p) un élément de [1, +00]2
tel que q ~ p.
Pour tout élément
f de La(lR d, n)
Il f Ilq,p, p,n = Il f IIp, n
et par suite (Lq,.i p)p (IRd, n) = LP(IRd, n).
En outre si
P < +00 alors pour tout élément f de LP (IR d, n)
Il f Il
lim n(lr) l/q-l/p
Il f Il
n
q ,p ,p ,n
=
r~ 0
0
r
q , P ,
Preuve
a) Soit f un élément de La(IR d, n).
D'après la proposition 3.2.6
Il f II q,p,p,n ~ Il f IIp,n
Si Il f II q,p,p,n = +00
alors l'égalité est immédiate.
Supposons donc que f appartient à (L q,.i p)p (IR d,n)
1 er cas: q = p.
Alors:
Il f II p,p,p,n = Il f IIp,n
(voir Proposition 3.2.7)
2è fi e cas: q < p = +00 .
Pour tout élément (x, r) de IR d x ]0, +00 [

36
r)-l/q
(
n lo
IIf:t
[llq,n::::;
Ilfllq,+oo,+oo,n
Jx
q
Donc si E désigne l'ensemble de Lebesgue de 1 f I
alors:
IIfll+ oon = Ilf:tEII+ oo
::::;
Ilfli +00+00
,
,n
q"
,n
3 ème cas: q < p < +00 .
,
Considérons un élément g de LP (IR d, n) de la forme g =
L.
ak:t [ [
kE ~d
k
où les ak non nuls sont en nombre fini
::::;
Il g IIp',n Il f Ilq,p,p,n
,
Les éléments de LP (IR d, n) de la forme
L.
a : t
formant
un
k
I [
k
kE~d
sous-ensemble partout dense de LP'(IR d, n), pour tout élément g de
LP'(lR d, n) nous avons :
Il fg 11 1,n ::::; Il g IIp',n Il f IIq,p,p,n
Donc f appartient à:
LP (IR d, n)
et
Il f Il
::::; Il f Il P P n
p,n
q, , ,
En conclusion, pour tout élément f de
Lo(IR d, n) nous avons
Il f Il
=
Il f IIp,n
q,p,p,n
b)
Supposons que
1::::; q ::::; p < +00
et considérons un élément f de
Soit un norme réel
c > O.

37
Il existe une fonction continue à support compact g telle que
Il f-g II p ;n < E
Pour tout élément (k, r) de ~ ct x ]0, +00 [ il existe un point xk,r de
r
l'adhérance de 1 k
tel que
n( Ir r lIq Il g::t r II q n = 1 g(x
,
k r)1.
Donc
o
I
,
k
r
lim n(lr)l/p-l/qrll gllqpn = lime
L
n(l ) 1 g(Xkr)IPJlIp= Il gllpn
k
r-+ 0
0
, ,
r-+ 0 k E ~ ct
'
,
Mais pour tout nombre réel r>O, nous avons
n( {) l/p-l/q Il f-g Il
~
o
r
q,p,n
Il f-g II q,p,p,n = Il f-g IIp,n ~ E.
r)l/p-l/q
n ( 1
rll g Ilq,p,n -
<
(rr)l/p-lIq Il fil
E
- n
0
0
r
q,p,n
r)l/p-l/q
(
~ no 1
r" g II
0
q,p,n + E
Par suite
.
(r)lIp-lIq
-.-
(r)lI p-lIq
Il g II
~
p,n - E
llm n r
rll f IIq p n ~ 11 m n 1
rll f Il q p n
r-+ 0
0
, ,
r-+ 0
0
'
,
~ Il g IIp,n + E
Il f IIp,n -2 E
Il'm n(lr)lIp-lIq
1
-
(1 )l/p-l/q
Il fil
~ r-+ 0
0
ri f Ilq,p,n ~ 1r~mo n 0
r
q,p,n
~ Il f II p,n + 2 E
Par conséquent :
C.QFD.
Remarquons que la proposition 2.7 peut être réécrite sous la
forme suivante :

38
3.2.9
Proposition Soient p et q
deux nombres réels tels que
 0 tel que pour tout élément f de
LP(lR d, n) on ait:
A
Il f
u Ilq,n ~ K 1\\ f IIp,n
q
+00 a
d
1
1
1
alors u appartient à (L ,,t
)
(lR ,n) avec - = -q -----;-
a
p
Si en plus
q < 2
alors u appartient à
(Lq, ,t
q
q
2 /(2- »a (lR d, n).
La proposition 3.2.8. nous permet d'obtenir le résultat suivant
3.2.10
Proposition Soient
q un élément de [1, 2] et u une fonction
positive n-mesurable sur lR d.
Les conditions suivantes sont équivalen-
tes:
2
a)
il existe un nombre réel K tel que pour tout élément f de L (lR d, n)
on ait:
A
Il f u IIq,n ~ K Il f 112 ,n
2q/
b)
u
appartient à L
(2-q)(lR d, n)
Preuve
1)
Supposons que a) est vraIe
Alors b) découle immédiatement des propositions 3.2.8 et 3.2.9.
2) Supposons que b) est vraie.
Alors a) découle immédiatement de la proposition 2.5 ou plus
simplement de l'inégalité de Holder.
C.QFD.
3.2.11 Proposition
Soit (q, p, a) un élément de [1, +00]3 tel que q ~ a.
Si q >pou p<a
alors (Lq,,t p)a (lRd, n) = {O}.

39
Preuve
Soit f un élément de (Lq, ~ p) a (IR d, n).
a) Supposons que
q > p .
Il existe un nombre réel 8 tel que
q' < 8 < p'.
Considérons un nombre réel a et g = )::] a.
o
g appartient à L 8(IR d, n) et donc à (Lq', ~ p')8(IR d, n) avec
Il g Il , '8
$ Il g 11
n
(voir la proposition 3.2.6).
q ,p, ,n
8 ,
D'après la proposition 3.1.3, pour tout nombre réel r>O,
r) lIq-lIa
+lIq',-l/8
(
Il fg Ill,n = rll fg Ill, l ,n $
Il f II q,p,a,n Il g " 8 ,n n 10
1
1
1
1
°
Comme
- - - + -; - -
> 0,
SI r tend vers
alors l'inégalite
q
a
q
8
précédente
donne
Ilf)::] alll,n= O.
o
Celà étant vraI pour tout nombre réel a > 0, f = O.
b) Supposons que
q $ p < a.
1 e r cas : p = 1.
°
Pour tout nombre réel
r >
r)I-l/a
Il fil
Il fil
Il fil
n(l
l,n = r
l,l,n $
l,l,a,n
0
1
Puisque
1 - - > 0,
Il f III
= 0,
c'est-à-dire que
f = O.
a
,n
2 ème cas:
1 < p < + 00 .
Considérons un nombre réel 8 tel que
p < 8 < a et la fonction g
d/8
définie sur
IR d par g(x) = (2d + d IIxllr
'
Pour tout élément r de ]0, 1[
et tout élément k de ~ d

40
1
) dIe'
[r(l + Î
Ikjl)]
d
~
-dIe'
rI(lkjl-l)
j= 1
j= 1
Donc pour tout élément r de ]0, 1[
r ll g Ilq',p',n ~ n(r:) l/q' r- d/e ' [
I
(l + Î
Ikjl)rdP'/e'] l/p
kE ~d
j=1
Puisque
~: > 1, il existe un nombre réel C tel que pour tout
élément r de ]0, 1[ :
r ) 11q,- 11et
r ll g Il
C n (ro
q ' ,p',n ~
et par suite (voir 3.1.3)
Il f Il
Iif
Il
Ilfll
Il Il
<_ Cil fil
n(rr) lie-lia
g
l,n = r
g
1,I,n ~ r
q,p,n r g q',p',n
q,p,a
0
1
1
Comme
8 - a > 0, nous avons Il fg 111,n =O.
Puisque, pour tout élément x de
IR d
g(x):t. 0, f = O.
C.Q.F.D.
3.2.12
Remarques
1 )
Soit (q, p, a) un élément de [l, +00] 3. La remarque
3.2.2 1) et les
propositions 3.2.6 et 3.2.9 montrent que (L q, i p)a (IR d, n) est non trivial
si et seulement si
q ~ a ~ p.
2)
Soit (q, a) un élément de
[1, +00]2 tel que q ~ a.
Pour tout élément f
de
(Lo(IR d, n)
Il fil
= sup sup d n({)lIa-lIq llf A:':
Il
q,+oo ,a,n
r>o
XElR
0
J [
q,n
x
= :~g ~~1JRd [n(r:)q/a-II [1 f(y)lq dn(y)]l/q
Jx

4 1
Donc l'espace
(Lg,,e +oo)u (IRd, n)
coïncide avec l'espace de Morrey
Mg,gd/U(IR d, n).
3.2.13 Lemme
Soit (g, p) un élément de [1, +00 [2. Pour tout élément
(f, r) de (Lg,,e p) (IR d, n) x ]0, +00 [,
r
2 -d(1+lIp) rllfllg,p,n
~ n(I )-l/P(II Iflg *
Il
) l/g
d/g
Il fil
o
~ 1 r p/g,n
~ 3
r
g,p,n
°
Preuve:
Soit (f, r) un élément (Lg,,e p) (IR d, n) x ]0, +00 [
a)
Considérons un élément k de ~ d.
r
r
r
Pour tout élément x de I
,lx
est inclus dans la réunion des Ik+,e
k
tels que ,e appartienne à {-1, 0, l} d. Donc
Par
sui te
JIR d (J J ri f(y) Ig dn(y))P/g dn(x)
x
~ n({) L [
L
J
1 f(y) Ig
dn(y)]P/g
o
kE;z:d
~ E {-l,o,l}d Ik+ ~ r
~ 3d
r
(P/g-l) n(I )
L
L
(J
1 f(y) Ig dn(y))P/g
o
kE;z:d~E{-l,o,l}d Ik+~r
Donc

42
r
b)
Posons
t = 2
d
r
t
• Pour tout élément k de ~
,I
est la réunion des 1
+ i
pour lesquels
k
2k
i
appartient à {a, 1}d. Donc
P] l/p
[
(
)
ri' f Ilq,p,n ~
l
l
Il fx 1
t Il q n
kE~d
lE{O,l}d
2 k + l '
, t
t
• Pour tout élément k de ~ d SI X appartient a I
alors I
est inclus
k
k
r
dans
j x
. Donc
n(It) (II fX
tllqn )P~ J
(J 1 f(y)lq dn(y))p/qdn(x)
I
o k '
IL
J f
k
X
n(I~) (tll fllq,p,n)P ~ JIR d (J J fi f(y) Iq dn(y))P/q dn(x)
x
Par
conséquent
2 -d(l+1/p)
Il fil
~ n(Iorrl/p (1Ilflq * X r Ilp/q,n)l/q
r
q,p;n
Jo
C.QFD.
3,2.14 Proposition Soit (q,p,a) un élément de [1, +00] 3 tel que q ~a~ p
avec
q < +00. Il existe deux nombres réels strictement positifs
Cl = C1(d,q,p) et C =
2
C 2 (d,q,p) tels que pour tout élément f de Lo(IRd,n)
lIq
C
p
1 Il f Il
n(l)lIa-l/q-l/p (II Ifl q *
q p rv n ~ S u
X J r
)
Il
"u..,
r> o
o
pi
o
q,n
~ C 2 Il f "q,p,a,n

43
Preuve
Celà découle
immédiatement
• de la définition de Il
IIq,p,a,n si p = +00
• du lemme 3.2.11 et de la définition de
Il Il
SI P < +00
q,p,a,n
C.QFD.
3.2.15
Proposition
Soit (q,p,a) un élément de [l, +00]3
avec q<a<p.
Il existe un nombre réel
C = C (d, q, p, a)
tel que pour tout élément f de
*
Il f IIq,p,a,n ~ C Il lIa ,+oo ,n
Preuve
Soit f un élément de LoOR ct, n).
a)
Supposons que
p = +00.
D'après la proposition 1.2.3 iv)
il existe un nombre réel C
= C(q,a) >0
tel que pour tout élément
(x, r) de lR d x ]0, +00 [
r
q
Iflq * ::t
r(x) = (II f::t
r Ilqn)q ~ (C' Il fil *+
n(J )l/ -lIa)q
Jo
J
o
x
'
a, 00 ,n
Donc
q
n(/)l/a-lI
(1I1f1 q
Il
)lIq~C'lIfll*
o
~
* X J r +oo,n
a,+OO,n
o
b)
Supposons que
p < +00 .
+: -
Posons
~ =(1
~r1
Alors
1 < ~ < +00 , 1 < qa < +00 et.9- = l +.9... - 1.
p
~
a

44
D'après la proposition 1.4.2 iii) il existe un nombre réel
C' = C'(q, p, ex) > 0
tel que pour tout nombre réel
r > 0 :
Il 1fi q *::t
Il
~ C' n( / ) 1+(q/p)-(q/ex) (II f Il *
) q
J r
p/q,n
0
ex,+OO ,n
o
Donc pour toute valeur de r
Donc, d'après la proposition 3.2.12, il existe un nombre réel
C = C(d, q, p, ex) > 0 tel que:
*
Il fllq,p,ex,n ~ C Il filex,+oo,n
C.QFD,
3.2.16. Remarque:
Si
1 ~ q < ex < p ~ +00
alors l'inclusion de
En effet supposons que
1 < ex < +00
D'après le corollaire 1 et le théorème 3 de [A-HL f appartient à

45
Or pour tout élément À de ]0, 1[,
{XE lR
: f(x) > À} = u En
n~l
esl de mesure de Lebesgue infinie. Par suite f n'appartient pas à
La,+oo(lR d , n)
3.2.17. Proposition:
Soient
(q,p, a)
un élément de [l, +00]3
tel que
q .:; a .:; p
et
f un élément de l'adhérence de La(lR d, n) dans
(L q,..e p)a (lR d, n).
Nous avons:
i)
SI
a ° tel que
IIf Il
= n({o)l/a-l/ q
\\l1l11
q,p,a,n
0
ro
q,p;n
Preuve
a) Considérons une fonction complexe g continue à support
compact
dans IR d.
i)
1er cas : p < +00.
Pour tout élément
(k, l') de ~ d x ]0, +00 [ il existe un élément
xk,r de
Donc
n(rr)l/a-l/q
Il
Il
o
l'
g q,p,n
Or

46
[
( r)
PJlIp
hm
L
n Ik
g(xk,r)
= Il g IIp,n < +00
r-+ 0
kE ~d
Donc si a °
n({) lIa-l/q
Il
Il
<
(Ir) l/a-l/q Il
Il
o
r
g q,p,n - n
0
g q, n
Donc si q < a
alors
li m
n ( 1r ) 1/a -l/q r Il g Il
= °
r-+ + 00
0
q,p, n
ii) 2ème cas: p = +00.
Pour tout élément
(x, r) de IR d x ]0, +00 [
( r) l/q
Il g::t J r Ilq,n ~ Il g 11+ 00 ,n n 10
x
Donc si a < +00
alors
r)l/a-l/q
(r)l/a
lim n ( 1
rll gll +00 n ~ hm Il gll+oo n n 1
= O.
0
r-+ 0
0
q,
,
r-+ 0
'
Nous avons aussi, pour tout élément (x, r) de de IR d x ]0, +00 [
Il g::t J r Ilq,n ~ Il g Ilq,n
x
Donc si q < a
alors
lim
n({) l/a-l/q rll g Il
00
~ hm
n({) lIa-l/q Il g Il
= O.
r-+ + 00
0
q,+
,n
r-+ + 00
0
q,n
b)
Considérons un élément f de l'adhérance de La (IR d, n) dans
(Lq , i p)a (IR d, n)

47
i) Soit f > 0 donné.
Il existe une fonction complexe g continue à support compact dans
IR ct
telle que Il f-g Il
a n < f.
q,p,
,
Pour tout nombre réel r > 0, nous avons
n({)lIa-lIq
Il
Il
_f<n(Ir)lIa-lIq
Il fil
o
r
g q,p,n
0
r
q,p,n
r)lIa-l/q
(
< n 1
r ll g "q,p,n + f
0
D'après le a) nous avons donc :
•
SI
a 0
donné.
D'après
i)
il existe une suite
(r)
strictement croissante de
n n;::: 1
nombres réels positifs telle que :
.
.
( r n) lia -l/q
hm
r n =ro et hm
n 1
r ll f "q,p,n = Il fllq,p,a,n
n-++oo
n-++oo
0
n
Il existe un nombre entier m>0
tel que
Il f-h "q,p;a,n < E
où
h - f :t
ct
[ il suffit de choisir un g comme
-
{x E lR
: V jE {l, 2, ... ,d} Ixjl:s; m}
au i) et m tel que g=O en dehors du compact {XE lR d:v jE {1,2, ... ,d} Ixjl:S;m}
et remarquer que 1 f-hl :s; If-gl].
Puisque h appartient à Lq( lR d, n), il existe un nombre réel 8 > 0
tel
que si E est un sous-ensemble mesurable de lR d vérifiant n(E) < 8
alors

48
Il f::tE " ,n <
q
E n(I:O) lIq-l/a .
On peut
choisir, et nous le faisons, 8 < r o'
Considérons un entier n ~ 1
tel que (2m)d (2fl)-d/2 (ro-rn)d md < 8.
Si p < +00
alors:
rn
n(
n
{f ) lIa-lIq
Il h Il
~ n(I ) lIa-lIq [
L
(II h::t 1 rnllq,n)P] IIp
o
r n
q,p,n
o
k
-mS j<m
k
{ [
L
(II h::t 1 r01Iq,n)P] IIp
-m~kj<m
k
p
+ [
L
(II h::t 1 r n\\! r01Iq,n)P] II }
-m~kj<m
k
k
Si p = +00
alors pour tout élément x de IR d
et par suite
n ( Ir n) lia -liq
Il hIl
~ (~)d(l/a-lIq) {n(IrO)l/a-lIq 11h11
}
o
r n
q,+OO ,n
r
0
r o
q,+OO ,n
°
+
n(I rn) lIa-l/q E
o
s (!n)d(lIa-lIq) {n(I rO)lIa-lIq
Il fil
+ E} +
n(I rn) lIa-lIq E
'r
0
fo
q,+oo ,n
0
o
Par conséquent, pour toutes les valeurs de p ,
rO
rO
Il fil
.
~ n(I ) l/a-lIq
Il fil
+
(1 + n(I
) lIa-lIq )E
q,p,a,n
0
ro
q,p,n
0

49
Celà étant vraI pour tout nombre réel E > 0, nous obtenons
rO
Il fil
= nU ) l/a-lIq
Il f Il
q,p,a,n
0
ro
q ,p,n
C.QFD.
3.3 TRANSLATION
DANS (LQ,.t p)a (m. d, n)
(q, p, a) est un élément de [l, +00]3
tel que q ~ a ~ p.
3.3.1
Proposition Pour tout élément y de IR d
la
translation
ty de
vecteur y est un automorphisme de (Lq, ..e p)a (IR ct, n). De plus il existe un
nombre réel strictement positif
C = C(q, p, d) tel que:
v y E IR ct Il ty Il ~ C
Preuve
Soit y un élément de IR ct .
Il est clair ty est un endomorphisme de (Lq, ..e p)a (IR ct, n) d'inverse
Pour tout élément f de (Lq, ..e p) a (IR ct, n) et tout nombre réel
r >0
Donc d'après la proposition 3.2.14 :
où
Cl et C
sont
des
nombres
réels
strictement
positifs
dépendant
2
uniquement de
d, q et p.
C.QFD.
a
3.3.2 Définition (Lq,..e p)c(IRct, n) est le sous-espace vectoriel normé de
(Lq,..e p)a (IR d, n)
formé des éléments f vérifiant

50
lim
Il f -t (011
= 0
y-+ 0
y
q,p,a ,fi
contient La (IR d, n) si
a < +00 .
Preuve
a
a)
Considérons une suite (fm)m~1 d'éléments de (Lq, i p) c (IR d, n) conver-
geant vers f dans (Lq, i p)a (IR d, n).
Pour tout entier m ~ 1 et tout élément y de IR d
Il f - ty (0 Il q rv
~ (l + C) Il f- fm Il
rv
fi + Il f m - ty ( f m )Il
rv
,p,U.,n
q,p,u.,
q,p,u.,n
où C est la constante de la proposition 3.3.1.
Soit un nombre réel
E > O. Il existe un nombre entier
ma ~ 1 tel que
Il f - f m Il
a
< 2(1 C)
a q,p"n
+
et un nombre réel r > 0 tel que pour tout élément y de IR d vérifiant
Ilyll < r
E
1\\ f
<-
m - ty(fm )11
P a
a
a
q"
,n
2
Donc pour
lIyll < r
Il f - ty (f)lI q,p,a,n < E.
a
Par suite f appartient à (Lq,iP)c (IRd, n)
b)
Supposons
a < +00.
Pour tout élément f de L a(IR d, n) et tout élément y de lR d.
Donc ~i~o Il f -ty(Ollq,p,a,n = 0 et f appartient à (Lq, i p) ~(IR d, n).
C.QFD.

5 1
3.3.4
Proposition
i)
Pour tout (f,g)de Ll(IRct,n)x (Lq,.eP)a(IRct,n) f*g
appartientà
a
(Lq,iP)c(IRct, n)
a
ii) Les éléments de (Lq,.e p) c (IR ct,
n) uniformément continus sur IR ct
q
P a
ct
forment un sous-espace vectoriel
partout dense de
(L,.e
) c(IR , n).
Plus précisément il existe une suite
(<Pm)m~l d'éléments de Ll(IR ct, n)
telle que pour tout élément f de (Lq,.e p)~ (IR ct, n) :
f
= ln * f est uniformément continu
m
't'm
. (f
converge vers f dans
(Lq, .e p)a (IR ct, n)
m)m~1
Preuve
a)
i)
est une conséquence immédiate de la propositlün 3.2.5 et du fait
que pour tout élément (f, g, y) de
LI(IR ct, n) x (Lq,.e p)a (IR ct, n) x IR ct,
ty(f * g) - f* g = (ty(f) - f) *g
a
b) Considérons un élément f de
(Lq,.e p) c(IR ct, n).
Soit <P une fonction positive, continue, à support contenu dans
1
[1 l]ct
Jo = -2' 2
et telle que Il <P II I,n = 1.
Pour tout entier m ~ 1 définissons <Pm et fm sur IR ct par:
<Pm (x) = mct <p(rnx) et
a)
Pour tous éléments x et y de IR ct et tout nombre entier m ~ 1
1
1
d
où
K =[- 2 m - IIx-yll , 2 m + !lx-yll]
:J (suPP<Pm) U
(x-y + sUPP<Pm)'

52
1f ()
f
( )1 <_ Il t
(
) _
Il,
Il fil
2 d n(1 0/2 m)+Il x - yIl) 11q-lia
m X
-
m y
'X-y <Pm
<Pm q,n
q,p,a,n
0
Pour tout m ~ l, <Pm étant uniformément continue à support
l
compact inclus dans l'adhérance de
Jo' fm
est uniformément continue
surIRd.
~) 1el" cas q < +00
Pour tout sous-ensemble Lebesgue mesurable et borné E de IR d et
tout nombre entier m ~ 1.
Il (fm-f) ::tE Ilq,n = (JE 1 JIR d[f(x- ~ ) - f(x)] <p(y)dn(y) 1 q dn(x)) lIq
• Supposons que
p < + 00
Pour tout nombre réel r > 0 et tout nombre entier fi ~ 1
r ll fm-f Il q p n :::; J d r ll t 1 (0- f Il q n <p(y)dn(y)
. ,
IR
y m
,p,
Donc
Il fm-f Ilq,p,a,n :::; JIR d Ilty/m(0- f IIq,p,a,n <p(y)dn(y)
• Supposons que
p = +00.
L'inégalité (*) donne encore, pour tous nombres réel r>O et entier
m ~ 1.
Il fm-fil
+
rv
:::;JIRdllt/m(0-fll
rv
<p(y)dn(y).
q.
00 ,U.,n
y
q, + 00 ,U.,n
Posons, pour tout entier m ~ 1 et tout élément y de IR d :
Fm(y) = Il t 1
(f)- fil
<pey)
y m
q,p,a,n

53
et
F(y) = (l + C) lifii
<p(y)
q,p,Œ,n
où
C est la constante de la proposition 3.3.1.
Remarquons que:
Fest n-intégrale sur IR d, (Fm)mZI converge
simplement vers 0 sur IR ct et pour tout nombre entier m Z 1
0 ~ F ~ F
n
(d'après la proposition 3.3.1).
Le théorème de la convergence dominée donne alors
lim
Il f -f 1\\
= 0
m~+oo
m
q,+p,Œ,n
2 ème cas q = +00
Pour tout nombre entier m et tout élément x de IR ct
1 fm(x) - f(x)1 = 1 SIR d[f(x- -; ) - f(x)] <p(y)dn(y) 1
Il fm- f(x)ll+
~ S ct Il t Im(f) - f 11+
<pey) dy.
00 ,n
IR
y
00 ,n
Le théorème de la convergence dominée donne encore
C.QFD.
3.3.5.
Remarques
1)
La proposition 3.2.5
montre que
(Lq, 1 P)Œ (IR ct, n)
est un
LI (IR d, n)-module de Banach.
2) Les propositions 3.3.3 et 3.3.4
i) montrent que (Lq, 1 p) Œ (IR ct, n)
c
est un
LI(lR ct, n)-sous-module de Banach de (Lq,.t P)Œ (lR ct, n).
Rappelons le théorème de factorisation de E. Hewitt suivant

54
3.3.6. Proposition
Soient A une algèbre de Banach ayant une unité
approchée minimale. Si M est un A-module de Banach alors
A*M est un
sous-espace vectoriel fermé de M.
Nous en déduisons le résultat suivant
3.3.7.
Proposition
Preuve
La proposition 3.3.4
i), la remarque 3.3.5.
2) et la proposition 3.3.6
donnent :
L1(]Rd, n) * (Lq,.e P)Œ(]Rd, n) C (Lq,.e p)Œ (]Rd, n)
c
C
L l(]Rd, n) * (Lq,.e p)Œ (]Rd, n) C L1(]Rd, n) * (Lq,.e P)Œ(]Rd, n).
c
C.QFD.

55
4. INTEGRALE FRACTIONNAIRE SUR LES ESPACES
(L q, l p)a (IR d, n)
4.1 Opérateur
maximal
fractionnaire
4.1.1
Définition
Soit (q, ~) un élément de [l, +00]2
tel que q ~ ~.
L'opérateur maximal fractionnaire mq, ~ est défini sur La(IR d, n) par :
V XE }Rd, mq R f(x) = sup n(/)l/~ -l/q Il f::t r Ilq il
,fJ
r>o
0
1x
'
Remarquons que
ml ,+00 est l'opérateur maximal de Hardy-Little-
wood classique.
Rappelons le lemme de recouvrement suivant (voir [GD.
4.1.2 Lem m e
Soient S un sous-ensemble borné de }R d et
r(x)
1(S) = {lx : XE S} un sous-ensemble de ~. Il existe une suite (J i)i~ 1 d'élé-
ments de 1(S)
telle que :
a) S C I;-J
1i où 1i est l'adhérence de 1i
l~ l
b) V XE }Rd .L ::t . (x) ~ Cd
1
l~l
1
où
Cd est un nombre réel positif dépendant uniquement de d.
Nous
allons
démontrer
des
propriétés
de
l'opérateur
maximal
fractionaire
généralisant
des
résultats
exposés
par
Muckenhoupt
et
Wheeden dans [M-W].
4.1.3 Proposition
Soient q, a, P, gl' al' Pl et ~ des éléments de [1,+00]
tels que :
1
1
1
~ q
avec
0<-
=
a
~
s
et

56
Supposons que v est un élément positif de La (IR d, n) pour lequel il
existe une constance réelle A telle que pour tout cube 1 appartenant à ~
nous ayons :
Alors il existe une constante réelle B telle que pour tout élément f
de Lo(lR d, n) appartenant localement à
Lq(lR d, n) et tout nombre réel
À > 0 nous ayons :
(2)
où
DÀ=
{xElRd:mq,~f(x»À}
Preuve:
Considérons un élément f de L a( lR d, n) appartenant localement à
L q(IR ct, n), un nombre réel
À > 0 et S un sous-ensemble borné de
n À'
Pour tout élément x de S il existe un nombre réel r(x) > 0 tel que
r(x,) l/~ -l/q
(
n lx }
Il fÂ:: 1 r(x) Ilq,n
> À.
x
D'après le lemme 4.1.2
il existe une suite (J.t ) .t EL
d'éléments de
r(x)
leS) = {lx
: x ES}
telle que :
a) S C
u
J.t
.tEL
b) 'II XE S
L Xl (x) $ Cd
.tEL
.t
Puisque
Pl $ t
nous avons

En utilisant l'inégalité de Hblder et l'inégalité (l) nous obtenons
(i)
Remarquons que si
su P n(J ~ ) = +00
alors il existe un élément ~ 0
~EL
de L tel que S C J ~ a et L peut être remplacé par {~ o}.
Nous
pouvons
donc
supposer,
et
nous
le
ferons,
que su P n(J ~ ) < +00. Notons r le
~EL
r
nombre réel strictement positif tel que
su P nU ~ ) = n(I ).
~ EL
0
Pour tout élément k de ~ ct, en notant
Lk = {~E L : n( ( (l J ~ ) > 0 }
nous avons :
L (II fV)::J
Il
)PI = L (
I
J
If(x)v(x)IQ1dn(x))PI/ql
Q 1 n
J
(lI r
~ E L
~'
~ EL {k: ~ E L } ~
k
k
I
(1Ifv)::
Il
)PI/Q]
ct
[k[ Q l ,n
kE ~

58
Par conséquent, d'après (i) nous avons
Supposons que f appartient à (Lq, i p)a (lR d, n). Alors pour tout
élément J de j tel que
nO) l/~ -l/q Il fx Jllq,n > À, nous avons
et par suite :
Nous avons donc :
(iii)
En combinant (ii) et (iii) nous obtenons :
Cel à étant vraI pour tout sous-ensemble borné S de MÀ' l'inégalité
(2) est démontrée.
Remarquons que si q 1 = a] , alors l'inégalité (2) se déduit
directement de (ii) sans avoir besoin de supposer que f appartient à
(Lq, i p)a (lR d , n).
Si q] < al et que f n'appartient pas à
(Lq, i p)a (lR d , n) alors l'iné-
galité (2) est trivialement vraie.
C.QFD.

59
Dans le cas où SI al = q 1 alors la proposition précédente devient :
4.1.4 Proposition
Soient q, ql et ~ des éléments de [l, +00] tels que
1
1
1
l S; q S; q 1
et
0 < -
- - = -
q 1
~
t
Supposons que v est un élément positif de Lü (IR ct, n) pour lequel il
existe une constance réelle A telle que pour tout cube J appartenant à a
nous ayons :
1
1
(1)
(n(Jr 11t Ilv::t J II ,n) (n(1) q 1
qllv- 1::t
II
1
)S;A
t
J
1/(
1 ) , n
q
ql
Alors il existe une constante réelle B telle que pour tout élément f de
L o(lR ct ,n) appartenant localement à Lq (IR ct ,n) et tout nombre réel À>O
nous ayons
où
0À = {XE IR ct : mq,~ f(x) > À}
Preuve
Il suffit de remarquer que si al = q 1 alors pour tous nombres réels
q, a, p et PI
tels que
1 S; q S; a S; p
et
q:S; q 1 S; PIS; t
• Il fv Il
(d'après la proposition 3.2.6)
q l ,p l,a l ,n
S;
Il fv IIq l ,n
•
(2) devient (2 bis)
C.Q.F.D.
Remarquons qu'en prenant
q = 1 dans la proposition 4.1.4 nous
retrouvons le théorème 2 de [M- W).

60
4.1.5 Proposition
Soient q, a, p et ~ des éléments de [l, +00]
tels que:
1
1
1
1
1
1
q s a s p et 0 < -
- A = - s - - AS - . Il existe une constante réelle C
a
1-'
s
q
1-'
P
telle que pour tout élément f de Lü (IR ct,
n)
appartenant
localement à
L q( IR ct, n) nous ayons
*
(2 ter)
Il mq,p flls,+oo,n s C Il f "q,p,a,n
Preuve
Considérons des nombres réels al) q l' PI tels que
q 1 =q , al = a
et
PI = P .
Alors v == 1 vérifie (l) de la prOpoSitIOn 4.1.3.
Par suite pour tout élément f de L ( IR ct, n) appartenant localement
ü
.à Lq( IR ct, n) et tout nombre réel À > 0 nous avons :
L
l+s(l _ -1)
s(l_ L)
P s B ( À-1 Ilfil
)
q
a = B( À -1 1\\ f I l )
q
P
q,p,a,n
q,p,a,n
1
\\1 f IIq,p,a, n
1
1
s(- -
*
B
q
Donc
\\1 mq, p f "
Il f Il
s ,+oo,n S
q,p,a,n
C.QFD.
4.1.6 Proposition
Soient q , a
et p des éléments de [1, +00]
avec
q s a s p.
Pour tout élément f de L ( IR ct, n) appartenant localement à
ü
Lq(IRd, n)
Il mg,a fil + 00 ,n S Il f "q,p,a, n

6 1
Preuve
Découle immédiatement des
définitions.
C.QFD.
4.1.7. Remarque
Soient q, a, p et p
des éléments de [l, +00] avec
1
1
1
q $ a $ p < +00 et - = -
- ; . Les propositions 4.1.5 et 4.1.6 montrent
s a I - '
que
m
un opérateur continu de (Lq , i p)a (IR d ,n)
dans
q ,p est
I I I
1
L S,+OO (IR d, n)
lorsque - - -
$
fl.
S -
.
q
P
1-'
a
1
l
l
• Le cas où
fl.
= -
-
a été exposé dans [FIl et [F2]·
1-'
q
p
1
l
l
• Le cas où
= 0 et q = 1 donne la propriété bien
p
P
q
connue
de
continuité
de
l'opérateur maximal
de
Hardy-Littlewood de
LI(IRd, n) dans L1,+00 (IRd, n).
4.1.8. Corollaire: Soient q ,a et p des éléments de [l, +00]
avec:
I I I
I I
I I I
- < - < - < -
+ -
et
- = - - -
. Il existe une constante réelle C telle
p a
q
p a s
a
p
que pour tout élément f de
La,s( IR d, n)
nous ayons :
*
(2 quarto)
Il mq,p flls,n S
Il f~,s,n
Preuve
1
1
l
1
1
Puisque
-<-<-<
+-
P
il existe des nombres réels al' a2
a
q
P
a '
1
1
1
1
et p tels que : - < - < - < -
P a2
a
al
1
1
1
Posons
- =
pour i appartenant à {l, 2}.
s·1
ai
p
est un
opérateur quasi-linéaire
(en
fait
sous-linéaire) et
d'après la proposition 4.1.5, il existe deux constantes réelles
Cl et C2
telles que pour tout élément f de La(IR d,
n)
appartenant localement à
Lq(IR d, n) nous ayons:

62
*
*
Il mq,~ f II si ,+oo,n ~ Ci Il f Ilq,p,ai,n ~ Ci Il f lIai,n ~ Ci Il f lIai,l,n
pour i appartenant à {l, 2}.
Il existe un élément 8 de ]0, 1[ tel que
1
1-8
8
1
1-8
8
=
+ -
et
= - - +
a
al
a2
s
sI
s2
Donc d'après la proposition 1.2.11, il existe une constante réelle C
telle que pour tout élément
f de La,s(IR d, n) nous ayons :
*
*
Il mq,~ f IIs,n = Il mq,~ f II s,s,n ~ C Il f lIa ,s,n
C.QFD.
4.1.9. Proposition
Soient
q, a, u et v des éléments de [1, +00]
tels
1
1
1
que:
q ~ a
,0 ~ - - ; =- et u ~ s ~ v. Il existe une constante réelle D
a
1-'
s
telle que pour tout élément de Lo(IR d, n) nous ayons :
(3)
Il f Il
~ D Il m r:l. f Il
q,v,a,n
q,1-'
u,v,s,n
Preuve
Soit f un élément de
Lo(IR d, n).
Si f n'appartient pas localement à L q(IR d, n) ou si mq,~ f
n'appartient pas à (Lu,.i v)s (IR d, n) alors l'inégalité (3) est trivialement
vérifiée.
Supposons donc que f appartient localement à
L q(IR d, n) et que
mq,~ f appartient à (Lu,.i v)s (IR d, n).
1er cas : q = +00 .
Alors +00 = a = ~ = s = v.
D'après la proposition 3.2.8
Il f Ilq,v,a,n = Il f 11+ 00 ,n et
Il mq,~ f Ilu,v,s,n = Il mq,~ fll+ oo ,n

63
En outre pour tout élément x de IR ct,
mq A f(x) = sup Ilf~ J r 11+
= Il f 11+
00
00
,~J
r>o
,n
,n
x
Donc
Il f Il
rv
=
Il f 11+ 00 ,n =
Il ID A f Il
q,v,v-,n
q,~
u,v,s,n
2ercas : q < +00.
i) Supposons
u = +00.
Alors s = v = +00
et
a = ~. Donc
1
1
q
Il f Il q van = sup sup
n(Jor)a
Ilf~J ri' n
, "
r>o
q,
XE IR ct
x
1
1
n(J r)a
= sup
sup
0
q Ilf~ J r Ilq,n = Il mq,a f 1'+00 ,n
XE IR ct r>o
x
il) Supposons u < +00.
Considérons deux éléments r et p de ]0, +00 [.
Pour tout élément x de IR ct nous avons
L
l
1
q
q (~J r *Iflq) l/ (x) = n(J:)~
q (f J rlf(y)lqdn(x)) lIq ~ mq,~ f(x)
o
x
D'après la proposition 3.2.14 il existe une constante réelle
C 2 = C2(d, u, v) telle que:
1
1
1
n(l) s
u
v (
*
U ) l/u
o
Il ~ J P Imq,~ fi !I v/u
~ C2 Il mq,~ f Il u,v,s,n
o

64
Donc:
1
1
1
l
1
n(/) s
u
v (IIX
P *[ n(J~) ~
q ( X
* 1fi q) 11q] U Il
) 11u
o
J
J r
v/u,n
o
o
1
1
1
n(/) s
u
q
(IIX
*(x
* Iflq)u/qll
)1Iu
o
J P
J r
v/u,n
o
0
Pour tout élément x de lR d nous avons
X
P *(X
r * Iflq)u/q(x) = JJ p(J rlf(z)lqdn(z))u/qdn(y).
J
J
o
0
x
y
r
Choisissons
P = 2 .
P
/1/
d
lR d '
. ,
P
1
P
our tous e ements x et y
e
, SI Y appartIent a J
a ors J
est
x
x
r
inclus dans J
et par suite
y
~ X P * (X r * Iflq)u/q(x).
J
J
o
0
Donc (*) donne
1
v
(" X
1fi q ) u / q Il
) 1/u < C
Il
f Il
J P *
v/u,n
-
2
mq,~
u,v,s,n
o

65
c'est-à-dire
1
1
q
v (IIX J P *Iflqll v/ , n) l/q ~ C
q
2 Il mq,~ fllu,v,s,n
o
Celà étant vrai pour tout nombre réel p >0, il existe, d'après la pro-
position 3.2.14, une constante
réelle Cl = Cl (d, u, v) telle que:
c'est-à-dire
C.QFD.
4.2 Intégrale
fractionnaire
4.2.1 Définition
Soit r
un élément de ]0, d[. L'intégrale fractionnaire
1r f de f est la fonction de IR d vers IR définie par
r-d
Ir f(x) = f IRdf(x-y)lyl
dn(x)
pour tout élément f de Lo(IR d, n) et tout élément x de IR d pour lesquels
cette expression a un sens.
4.2.2
Définition a) Soit r un élément de [l, +00 [. La classe Ar de
Muckenhoupt est formée des éléments positifs
w de L o( IR d. n) pour
lesquels il existe une constante réelle M = M(w, r) telle que pour tout
élément J de ~.
b)
A+ oo = u Ar
rE[l,+oo[

66
B.
Muckenhoupt
et
R.L.
Wheeden
ont
prouvé
dans
[M-W]
le
résultat suivant :
4.2.3
Proposition
Soit (a' ,u)
un
élément de
]0,
d[x ]0,+00 [. Si w
appartient à la classe A+ 00
alors il existe un nombre réel
N>O
tel que
pour tout élément f de La (IR d, n).
su pl.. u f
w(x)dn(x)
~ N sup À f
U
w(x)dn(x)
1..>0
El..
1..>0
FI..
où El.. = {x E ]Rd: IIa'f(x) 1> À} et FI.. = {x E ]Rd: ml ,dia' f(x) > À}
.f.
Il
découle
de
cette
proposition
et des
propriétés
de
l'opérateur
maximal
fractionnaire
un
certain
nombre
de
réultats
sur
l'intégrale
fractionnaire.
4.2.4. Proposition Soient q, a, p, q 1 ' a l ' Pl et a'
des éléments de
[0, +00] tels que:
1
a'
1
l~q~a~p
avec
0<
--
a
d - s
et
1
a'
1
1
q~ql~al~PI <+00
avec
0< -
-
~ -
ql
d - t
Pl
Supposons que v est un élément positif de Lo(]R d, n) pour lequel il
existe une constante réelle A telle que pour tout cube J appartenant à ~
nous ayons :
(1)
Alors il existe une constante réelle K telle que pour tout élément f
de La(IR d, n) appartenant localement à Lq(]R d, n) et tout nombre réel
1..>0 nous ayons :

67
(4)
où
EÀ = {x E IR d : 1Ir f(x) 1> À}
Preuve
1
1
1
r
q
~
Posons
w = y t, ~ =d et
r =-1------'1'----
q 1
~
Les hypothèses sur y montrent que w appartient à la classe
Arc A+ oo ' D'one, d'après la proposition 4.2.3, il existe une constante réel-
le
N>O telle que pour tout élément f de Lo(IR d, n)
où pour tout nombre réel À > 0
EÀ = [x E IRd : IIrf(x) 1> À} et FÀ, = {x E IRd : ml,d/a' f(x) > À}.
Puisque ml, ~ :s; fiq, ~ , la proposition 4.1.3 montre qu'il existe une cons-
tante réelle B telle que pour tout élément f de Lo(IR d, n) nous ayons :
sup À'+S(l/ql-lIal) CJ
vt(x)dn(x»)lit
À~>o
EÀ
:s; NB Il fv Il
(II fil
)S(lIql-lIal)
q l ,Pl ,a l ,n
q,a,p,n
C.QFD.
Dans le cas où al = q 1 alors la proposition précédente devient
4.2.5 Proposition Soient
q, ql et r des éléments de ]0, +00] tels que
1
r
1
1 <
<
et
0 < -
- - - -
- q - q l
ql
d - t '

68
Supposons que v et un élément positif de L o (IR ct, n) pour lequel il
existe une constante réelle A telle que pour tout cube J appartenant à ~,
nous ayons :
(1)
(nUrl/t IIvx Jllt,n)
(n(J)(1/q IHl/q) Il v-l X Il
) ~ A.
J l/(l/q-l/Ql),n
Alors il existe une constante réelle K telle qne pour tout élément f
de L o (IR ct, n) appartenant localement à Lq( IR ct, n) et tout nombre réel
À>O nous ayons :
(4 bis)
où
Preuve
Similaire à celle de 4.1.4
C.Q.F.D.
Remarquons qu'en prenant Q = 1 dans la proposition 4.2.5 nous
retrouvons le théorème 5 de [M -W].
La proposition 4.2.4 permet également de retrouver la généralisa-
tion suivante du théorème classique de Hardy-Littlewood - Sobolev.
4.2.6 Proposition
Soient
q, a, p et r des éléments de ]0, +00 l
tels que
1
r
1
1
r
1
1 ~ q ~ a ~ p et
0 < a - d =~ ~ q - d ~ P'
Il existe une constante réelle
L > 0 telle que pour tout élément f de L o (IR ct, n) appartenant localement
à Lq(IR ct, n)
nous ayons
*
(4 ter)
Il Ir f IIs ,+oo ,n ~ L Il f IIq,p,a,n
Preuve
Similaire à celle de 4.1.5
C.Q.F.D.

69
4.2.7 Proposition:
Soient
a
et r des éléments de ]0, +00 [
tels que:
d
1
r i .
,
1 < a < r
et
a - d = ~ . Il eXIste une constante reelle L > ° telle que
pour tout élément f de La,s( IR d, n) appartenant localement à L q(m d ,n)
et tout nombre réel À>O nous ayons
*
(4 quarto)
Il Ir f II s,n ~ L Il f lIa ,s,n
Preuve
d
Puisque 1 < a < r < +00
il existe deux nombres réels q et p tels que
d
1
1
r
1 ~ q < a < p ~ r et q - p < d
Choisissons deux nombres réels al etaI telsqueq<al<a<a l <p
1
1
r
et posons pour i appartenant à
{1, 2}
= -
- -d .
Si
ai
D'après la proposition 4.2.6, il existe deux constantes réelles LI et
L 2 telles que pour tout élément f de Lo (IR d, n) appartenant localement à
L q(lR d, n)
nous ayons:
pour i appartenant à {l, 2}.
Il existe un élément 8 de ]0, ] [
tel que
1
1-8
8
=
+ ---
et
a
al
a2
Donc d'après la proposition 1.2.11, il existe une constante réelle L
telle que pour tout élément
f de L a,s( IR d, n) nous ayons :
*
*
Il Ir f II s,n = Il Ir IIs,s,n ~ L Il f lIa ,s,n
C.QFD.

70
4.2.8 Rem a rq ue: Pour démontrer le corollaire 4.2.7 nous avons inter-
polé l'inégalité (4ter) après
avoir remplacé (Lq , .e p) a (IR d, n) par son
sous-espace
La, 1 (IR d, n).
La connaissance des espaces d'interpolation
entre
(Lq,.e p)a 1 (IRd, n) et (Lq,.e p)a 2 (IRd, n)
pour al-:t:- a2
nous aurait
probablement permis
d'améliorer
le
résultat.

7 1
5. TRANSFORMATION DE FOURIER DANS LES ESPACES
(L q,.t p) a (R d, n)
5.1 Transformée
de
Fourier
d'une
mesure
non
bornée
La transformation de Fourier définie sur
L 1(IR d, n)
par
1
Â.
•
(1)
\\:1 f
y
E L (IR d, n),
\\:Ix E IR d f (x) = S
f(y) e- 1X.
dn(y)
IRd
est
l'une
des
notions
fondamentales
en
Analyse
Harmonique.
Le
problème de
son
prolongement à divers
espaces
de
fonctions
et de
mesures s'est donc vite posé et a déjà reçu des réponses dans plusieurs
directions. C'est ainsi que [un élément de L I(IR d, n) pouvant être consi-
déré comme la fonction de densité d'une mesure borelienne bornée sur
IR d], la transformation de Fourier a été définie sur l'espace M 1(lR d) des
mesures boreliennes bornées sur IR d, par analogie avec la formule (1),
de la façon suivante
5.1.1
Défi nition
La transformée de Fourier d'une mesure ~ bore-
lienne bornée sur IR d est la fonction ~ définie sur IR d par
(1 bis)
~ (x) = S
f(y) e-ix.y d~(y)
IRd
Nous avons déjà rappelé au paragraphe 1.3 comment, en utilisant
l'égalité de Plancherel, la transformation de Fourier est prolongée aux
espaces
L q(IR d, n)
pour
1 < q ~ 2.
F. Holland, allant plus loin, l'étend
aux espaces (Lq, .l p) (IR d, n)
pour 1 ~ q ~ p ~ 2
et ensuite, par analogie,
à certains espaces de mesures non bornées.
Nous basant sur ses résultats, nous mettons en évidence quelques
propriétés de la transformation de Fourier sur les espaces

72
5.1.2.
Proposition
([Hl])
supposons que 1 ::::; q,p::::; 2.
1)
Si f est un élément de (Lq, ..e p) (IR d, n) alors il existe un élément
A
"
unique
f de (LP , ..e q ) (IR d, n)
tel que :
i)
pour toute suite (p m )m~ 1
réelle, croissant
vers + 00, la suite
,
,
A
( 6'J Pm )m~l converge dans (LP ,..e q) (IR d, n) vers f .
o
où M' q,p est un nombre réel dépendant uniquement de
d, q et p.
2)
Pour tous éléments
f de (Lq,..e p) (IRd, n) et g de (LP,..e q) (IRd, n)
f
g(x) f (x)dn(x) = f
f(x) g (x)dn(x)
.1.
IRd
IRd
Cette proposition nous permet d'obtenir :
5.1.3 Proposition
Soient q, a, P des nombres réels tels que
1 ::::; q ::::; a ::::; p::::; 2. Il existe un nombre réel
M q,p > 0
tel que
i)
V f E (Lq, ..e p) (IR d, n), V r > 0
1lr
Ilfllp'q'n
::::;
Mq,p
Ilfll
n(r
)l/p -l/q
r
"
l/r
q,p,n
0
Preuve
a) Supposons que f est un élément à support compact de (Lq, ..e p) (IR d ,n).
Considérons un nombre réel
r>O et posons
g = () 11/.
Alors pour n-presque tout élément x de IR d,
g(x) = f(~)
et
f (x) = r-d g(x)
r
r

73
Donc pour tout élément k de ~ d :
A-
d/p
A-
Il f::t 1 r II p',n = r-
Il g::t
Illp' n
l
'
k
k
et
d/q
Il g::t 1 l ll q,n = r
Il f::t 1 llr Ilq,n
k
k
Par conséquent, d'après la proposition 5.1.2,
A-
d/p
A-
d/p
rll f IIp',q',n
= r-
l"g IIp',q',n
$
M'q,p
Illgllq,p,n
r-
= M'q,p
IIfll
rd (l/q-lIp)
lIr
q,p,n
Celà étant vrai pour tout élément f de l'ensemble I..o~(IR d, n) qui
est partout dense dans
(Lq, l p) (IR d, n), nous avons
$
M'
IIfll
r d (l/q-lIP)
q,p
1Ir
q,p,n
Donc
i) est vraie.
b)
(Lq, l p)a (IR d, n)
étant un sous ensemble de (Lq, l p) (IR d, n),
ii)
découle immédiatement de
i).
C.QFD.
5.1.4
Re fi a r que
Supposons
que
1 $ q $ a
$ p $
2.
D'après
la
proposition précédente il existe un nombre réel
Mq,p
tel que pour tout
élément f de (Lq, l p) (IR d, n)
nous ayons
( r) 11a' 1/p'
A-
(
r) 11a 1/
i)
sup n 1
-
rllfllp',q',n
$
M
0
qp
sup nI
- q rll fll qpn
r~ l
'o<r$1
0
,
,
r
r
ii)
lim sup n(I ) lIa'-1/p' rllf II
) lIa-1/q rllfllq p fi
o
p' q' n $M qp lim sup n(l
"
'r-+o
0
"
r-+ + 00
Il en découle

74
5.1.5. Proposition
Supposons que
1 ~ q ~ a ~ p ~ 2.
Pour tout
élément f
de l'adhérence de
La(IR d, n) dans
(Lq, ~ p)a (IR d, n) nous
avons :
i) SI
a < p
alors
lim
n({)lIa'-l/p'
~
a
rll f IIp',q',n = 0
r-+ + 00
ii) SI q < a
alors
lim
n( Ir) lia '-lIp'
~
a
rll f IIp',q',n = 0
r-+ a
Preuve
Conséquence immédiate de la remarque précédente et de la pro-
position 3.217.
C.QFD.
Lorsque
q =l,
la proposition précédente prend la forme suivante
qui généralise le fait que les transformées de Fourier des éléments de
L1(IRd, n)
sont des éléments de ea(IRd)
5.1.6. Proposition
Supposons que
1 ~ a < p ~ 2.
Pour tout élément f
de l'adhérence de
La(IR d, n) dans (LI, ~ p)a (IR d, n) nous avons
p
lim
sup
rd(l/a'-lIp')
(fJr
1 f'(y)IP'dy)lI ' = 0
r-+ + 00
XE IR d
X
5.1.7. Définition Soit p un élément de [l, +00]. MP(IR d, n) est l'espace
des fonctions d'ensemble ).1 sur IR d, à valeurs dans ([ ou IR
et telles que:

75
i)
pour tout sous-ensemble relativement compact C de
IR d, la
fonction d'ensemble
,E 1--+ IlC (E) = Il(En C) est une mesure borelienne
bornée sur IR d,
[
1:. (11l1(I~»)PJlIp SI p < +00
kE ~d
SI
P
= +00
où 1111
désigne la variation totale de Il.
On a les résultats suivants
5.1.8, Proposition
([Hl], [ST])
Soit p un élément de [l, +00 [.
1)
Si T est une forme linéaire continue sur le sous-espace vectoriel
normé (e
,i p) (IR d,n) = (L+00, l p) (IR d,n) n e (IR d) de (L+00, i p) (IR d,n)
o
o
alors il existe un élément Il de MP'(lR d)
tel que
et
où
A
est un nombre réel dépendant uniquement de d et p.
p
2)
SI'
1 S; p S; 2 alors pour tout '1;
e ement Il de MP(lR d) 1'1
.
eXIste un
unique élément fi de (LP', l + 00) (lR d, n) tel que
i)
pour toute suite (p m) m~ 1 réelle, positive et croissant vers +00, la suite
( A )
p'
+ 00
d
A
Il
P
>1
converge dans
(L ,l
) (lR ,n) vers Il .
t-" J
f i
m_
t-"
o
où
M 1,p est un nombre réel dépendant uniquement de d et p.

76
iii)
Pour tout élément
g de (LP, il) (IR d, n)
J
g(x) ~(x)dn(x) = J
g(x)d!i(x)
IRd
IRd
./.
5.1.9.
Définition
Soient p et a deux nombres réels tels que 1 ~ a ~ p.
MP,a(IR d, n)
est l'ensemble des éléments !i de MP(IR d)
tels que
où pour tout nombre réel r>O
[
L (1!i1(I~»)PJ IIp SI P < +00
kE ~d
SI
P
= +00
5.1.10. Exemples
Soient p et a deux nombres réels tels que 1 ~ a ~ p.
1)
Considérons
un
élément
f
de
(L l ,i p) a (IR d, n)
et la fonction
d'ensemble
!if sur IR d
telle
que
pour
tout
sous-ensemble
Lebesgue-
mesurable et borné E de IR d nous ayons:
!if(E) = JE f(x) dn(x).
Il est clair que !if
appartient à MP,a(IR d)
et que:
i) Il !if II p,a,n = Il flI1,p,a,n
Â
Â
ii)
si p ~ 2 alors
!i f = f
En particulier si
a = p
alors
i bis)
Il !if IIp,p,n = Il fllp,n
(voir 3.2.8)
2)
Considérons la mesure de Cantor !i sur [0, 1]
=
Il
Pour tout entier
n~O posons
r
3- n .
n
Alors pour tout entier
n~O

77
r lla - 1 rn"~"p= (~2n3-n)1/a-l [2 n 2-npJI/P = 3n/a'2-n/p'
n
• Pour tout nombre réel
r~ 1
lIa-1
Il Il
_
l/a-l
r
r~p-r
$ 1
• Soit r un élément de ]0, 1[
Il existe un entier n~O tel que
3-n-1
3-n
< r $
n
i -1
i
Pour tout élément de {l, 2,
, 3 n } posons
E i =[3fi 3fi[
r
n
n
Chaque Ik rencontre au plus deux
Et et chaque
Et
rencontre au
plus trois ( . Donc
1
$
r lla - 1 [3
2P-
L
I~I (E~ /] 1/p
l$i$3 n
=
3 1+ 1/P- lia
2 1- 1Ip
3 nia ' 2-n1p,
Donc, finalement, ~ appartient à
MP,a(IR d)
si et seulement si
311a'2-1/p' $
1
,~,
c'est-à-dire
a ~
Log2 p
et dans ce cas

78
1
3)
Supposons que
1 $ a < +00,
S = d(l - -
) et ms est la mesure de
a
Hausdorff
s-dimensionnelle sur IR ct. Considérons un sous-ensemble
compact K de IR ct tel que
i) 0 < ms( K)
De tels sous-ensembles de IR ct existent en grand nombres (voir [Fa]).
Pour tout sous-ensemble mçmesurable E de IR ct
posons:
~(E) = ms(K nE)
Puisque K est borné, (*) montre que ~ appartient à M+ 00 ,a( IR ct ,n)
4)
Supposons que
1 $ s,q $ +00,
m
est un élément de M S ( IR ct ,n) et f
une fonction complexe Lebesgue-mesurable de puissance q-ième
lJ"'intégrable.
Pour tout sous-ensemble E Lebesgue-mesurable et borné de IR ct
posons
*
Remarquons que pour tout élément (x, r) de IR ct x IR +
1 fd~ 1(/x) $ Il f:t Jr Il
[I~I (/ )] l/q'
x
q,p
x
En utilisant l'inégalité de Hûlder pour les séries, il est aisé de vOir
que fd~ appartient à
MP(IR ct, n)
avec
1
1
1
= - +
P
q
s q

79
Par suite, si
1 ~ 8 ~ s ~ +00 et si Il appartient à
M s ,8(IR d, n)
alors
fdll
appartient à
MP ,a( IR d, n)
avec
1
1
1
1
1
1
= - +
= - +
p
q
s q' ,
a
q
8 q'
Remarquons que
i)
1 ~ P ~ s
, 1 ~ a ~ 8
et
1 ~ P
2
ii) p ~ 2
SI
S ~ 2
ou SI
2 < S
et
q ~ - 21
-s
Comme conséquence de la proposition 5.1.8, nous avons
5.1.11 Proposition
Supposons que
1 ~ a ~ p ~ 2. Alors
*
i) pour tout élément
(Il, g, r) de MP (IR d) x e oo (IR d) x IR +
1J
il (rx) g(x)dn(x)1 ~ II 1111 11
111g11
p' n
IR d
r
P
+00,
,
*
ii)
pour tout élément (Il, g, r) de MP,a (IR d,n) x e oo (IR d) x IR +
r
1
1JIR d il (rx) g(x)dn(x)1
~ 1IIlIlp,a,n
II AII
n(l )-l/a
1 g
p' n
0
+00,
,
Preuve
a)
Supposons que Il appartient à
MP(IR d).
Considérons un élément g de eoo(IR d) et un nombre réel r>O.
Nous avons:
J
il(rx) g(x)dn(x) = J
il(x) g(r-1x)cd dn(x) = J
g(rx)dll(x)
IRd
IRd
IRd
d'après la proposition 5.1.8
2) iii). Donc :

80
l
Â ) d
\\ Â
Il
1111 (lUr)
~ (rx) g(x n(x) ~
L
1 g XII
~
'k
IR d
kE ~d
k
+ 00 ,n
~ Il1g Il
11 II~II
1
+oo,p,n
r
p
b)
ii)
découle immédiatement de i)
C.QFD.
5.1.12 Proposition
Supposons que
1 ~ ex ~ p ~2.
i)
Il existe un nombre réel
0 = D(p, d)
tel que si :
*
. E
est un sous-ensemble de IR +
, u: E -~ IR+
, F
est une fonction complexe localement Lebesgue intégrable sur
IR d el pour laquelle il existe un nombre réel K tel que
1J
F(rx) g(x)dn(x)1 ~ K lilg Il
p' n u(r),
IRd
+00,
,
alors
"d r E E
IIFII
~ 0 K u(r) n(lf ) l/p'
1
r
p ,+OO,n
0
ii)
Il existe un nombre réel
0 = D(p, d)
tel que:
*
r
lf 1
• "d(~,r) MP(IR d) x IR +
Ilil Il
~ 0
)
1
1/ II~II n(l
p
r
p,+oo,n
r
p
o
Preuve:
*
a)
Considérons un sous-ensemble E de IR + ' une application li de E
dans IR + ' un nombre réel K et une fonction complexe F localement
Lebesgue intégrable telle que :
1 J
F(rx) g(x)dn(x)1 ~ K I llg 1\\
p' n u(r)
IRd
+00,
,

8 1
Considérons un nombre réel
r>O, un élément k de ~d et une
r
fonction g continue à support inclus dans I .
Nous avons
k
1 J
F(x) g(x)dn(x) 1 == 1 J
F(rx) rd g(rx)dn(x) 1 $ K IIh Il 00
'
uer)
IRd
IRd
+
,p,n
où
h
est la fonction définie sur
IR d
par
h(x) == rd g(rx).
h étant continue à support compact, appartient à (LP,.e 1) (IR d) et par
conséquent, d'après la proposition 5.1.2
ii)
A
Ihll
, $
M'
1
Illhll
1
+oo,p,n
p,
p, ,n
Or
llhll
1
==
rd/p ' IIgli
Donc
I
p, ,n
p,n
f
d/2 '
r
l/p'
1
F(x) g(x)dn(x) 1 $
K
M'
(2f1)
p IIgli
n(l )
uer)
IRd
p,1
p,n
o
Cette inégalité étant vraIe pour tout élément r de E , tout élément
r
k de ~d et toute fonction g continue, à support inclus dans I ,
k
nous
avons :
V rE E IIFII ,
$
2 d/p' M'
K(2f1 )dl2p'
uer)
n( lor ) l/p'
r
p,+oo,n
p,1
Il suffit de prendre
D == 2d/p ' (2f1 )dl2p' M'p,1
b) Soit Il un élément de MP(IR d).
*
D'après la proposition 5.1.11
i)
E == IR + ' uer) == l1r1l1l11p' F == 11
et
K = 1 vérifient les hypothèses de
i). Donc nous avons
1111 Il ,
$
D II III.J.II
n(lr) IIp'
r
p ,+00 ,n
r
p
0
. Si Il
appartient à MP,a(IR d ,n)
alors l'inégalité précédente donne:
1111 Il ,
< D 1I~t11
n(lr ) IIp'-lIa'
r
p ,+OO,n
p,a,n
0

82
et par suite
11011 ,
,~ 0 111111
p ,+00 ,a ,n
p,a,n
C.QFD.
5.1.13
Remarques
Supposons que
~ a ~ P ~ 2, 0 est la constante
de la proposition précédente.
1)
Pour tout élément Il de
MP(IR d),
nous avons:
sup n({) lia '-lIp' 11011 ,
~ 0 sup
n(I~) lia -1 rllllilp
r~l
0
r
p ,+oo,n
o<r~l
r
hm sup n({) lia '-l/p' 11"11 ,
~ 0 lim sup n(I )lia -1 rllllilp
r-++oo
0
r
Il P ,+00 ,n
r-+o
o
2)
Reprenons les hypothèses et notations de 5.1.10
4)
avec, dans
2
le cas où
s >2
la
condition
supplémentaire
q ~ -2'
afin d'avoir
- s
toujours
P ~ 2. Si Il appartient à
M s ,8(IR d, n)
alors:
II(fd ll)"1I ,
,
P ,+00 ,a ,n
5.2. Re pré s entation
d'une
fonction
comme
trans formée
de
Fourier
Un des problèmes classiques en Analyse Harmonique est le
suivant :
"Etant donné un ensemble X de fonctions
ou mesures sur IR d,
caractériser les transformées de Fourier de ses éléments".
Le problème a reçu, entre autres, la réponse suivante donnée par
J. Schoenberg et W. F. Eberlein.
5.2.1 Proposition
([Sc.], [EJ)
Soit F un élément de Lo(IR d, n).
Les conditions suivantes sont équivalentes :

83
i) il existe un nombre réel
M>O
tel que:
If
F(x) g(x) dn(x)1 ~ M IIgl1
lRd
+OO,n
ii)
il existe un élément ~ de MI(lR d) tel que îl =F.
.j.
Ce résultat a été généralisé par F. Holland et 1. Stewart de la façon
suivan te
5.2.2 Proposition
([H2.] , [St.]) Supposons que l ~ P ~ 2 et F est un
élément de Lo(lR d, n). Les conditions suivantes sont équivalentes
i)
il existe un nombre réel
M>O
tel que:
v g E eoo(lR d)
If
F(x) g(x) dn(x)1 ~ M I\\lg Il
,
lRd
+oo,p,n
ii)
il existe un élément ~ de MP(lR d) tel que îl =F.
·f·
En continuant dans cette direction nous obtenons
5.2.3 Proposition Supposons que 1 O
tel que:
d
f
Â
(
r)-lIp '
V gE eoo(lR ) V rE ]0,+00 [ 1
F(rx)g(x)dn(x)1 ~ M liig 1\\
•
n l
lR d
+ 00 ,p ,n
0
Â
ii)
il existe un élément f de
LP(lR d,n)
tel que f = F.
Preuve:
a)
Supposons qu'il existe un élément f de LP(lR d, n) = (LI,,e p)p(lR d,n) tel
Â
que
f = F. Dans l'exemple 5.1.10
1)
nous avons remarqué que !lf
appartient à MP,P(lR d)
et que
~ = f = F.
Par conséquent, d'après la proposition 5.1.11,
F vérifie la condition i)

84
b)
Supposons qu'il existe un nombre réel
M>O
tel que
A
(
r)-lIp'
(3) \\;j gE eoo(lR d) \\;j rE ]0,+00 [ If
F(rx)g(x)dn(x)1 ~ M111g Il
, n 1
IR d
+00 ,p ,n
a
(a)
En prenant
r = 1
dans (3) nous obtenons
Donc, d'après la proposition 5.2.2, il existe un élément !l de MP(IR d)
tel que
rt =F.
(p) Soient g
un élément de (LP, i 1) (IR d, n) et r un nombre réel
strictement
positif.
D'après la proposition 5.1.8
2)
F = U appartient à (LP',.e +oo)(IRd,n).
Par suite la fonction or F appartient aussi à
(LP',i +oo)(IRd,n).
Puisque e oo( IR d) est dense dans (LP, i 1)(IR d, n), il existe une suite
(g
)
>1
d'éléments de eoo(IRd) convergeant dans (LP,.e 1)(IRd, n) vers g.
m m_
D'après la proposition 5.1.2
1)
ii), la suite (gm)m~1
converge
+ 00
p'
d
A
dans (L
, i
)(IR , n) vers g.
P'
+ 00
1
d
Puisque (L,.e
)(IRd, n)
est le dual de (LP,i
)(IR ,n)
[voir proposition 3.1.3
ii)], nous avons donc:
If
F(rx) g(x)dn(x)1 =
lim
If
F(rx) gm (x)dn(x)1
IRd
m~+oo
IRd
•
A
(
f)-l/P'
hm
Mill gm Il
,
n 1
m~+oo
+OO,p,n
0
A
(
f)-l/P'
= M 111g11
1
n 1
+00 ,p ,n
0
Nous avons donc
(3 bis)

85
uP
If
F(rx) g(x)dn(x)1
$
M
Illgll
n({r
'
1
IR d
+00 ,p ,n
0
(r) Soit g un élément de (LP,ll)(IRd, n)
tel que g appartient
à eO(/IRd).
Considérons un nombre réel
r>O et posons
h = bllr g. h
appartient à
(LP, l 1)( IR d, n) et h = rd br g . Donc
[11h11
, = [
L
(II h:t
III
)P'J IIp'
+OO,p ,n
d
1
+00 ,n
kE ~
k
=rd [ L (II g:t
Il
)P'] l/p'
d
Ikf
+00 ,n
kE ~
D'après la proposition 5.1.2
2)
et l'inégalité
(3 bis) nous avons
II
g(x) dll(x)1 = 1f
F(x)g(x)dn(x)1 = If
F(x) h(rx)dn(x)1
IRd
IRd
IRd
= cd If
F(e lx) h(x)dn(x)1
IRd
llr
<
-d M 11h11
)-lIp'
1
n(I
-
r
1
+00 ,p ,n
0
=M [ ""
(II "'g :t
Il
)P'J Up'
(llr) -l/p'
L. d
Ikf
+ 00 ,n
n 10
kE~
Puisque g appartient à eoo(lR d), nous avons
l'
[
""
su P I ' " ()l P'
(r) Jl/p'
Il Ag Il
lm
L.
g X
n I
=
k
P,, n
r~o kE ~d XE Ik r
Par
conséquent

86
If
g(x) dll(x)1 ~ M (2f1)d/p' Il g II p' n
(*)
Rd
.
d
(8) Soient un intervalle l =.f1 [aj ,b j[ non vide de Rd et un nombre réel
J= 1
1
t >0 tel que
t < 2
inf {bj - aj : 1 ~ j ~ d }.
Considérons la fonction g définie sur Rd par
i(b+a·)x.
1
J
J
2
Il est clair que
g appartient à (LP, ~ 1)(R d, n) et de plus, pour tout
x de IR d nous avons :
d
d
g(x) =
(2tr
f1
~[. b.[ * ~]-tt[(xJ')
j=l
aJ, J
'
d
=
d
(2tr
f1
longueur
(]a . ,bJ'[
J
'1 ]xJ.-t, xJ+tO
j= 1
Donc g appartient à eoo(IR d) et vérifie ~ A ~ g ~ ~B où
d
d
A =f1
] a· +t
b· -t [
et
B=f1
[ a· -t
b· +t ]
j= 1
J
' J
j= 1
J
' J
Les combinaisons linéaires des fonctions du type g
forment un
,
sous-ensemble dense de
LP (IR d, n). Donc
est un sous-ensemble dense de LP'(IR d, n).
Considérons la fonctionnelle
T définie sur L par

87
1
L'inégalité (*) et la densité de L dans LP (lR d,
n) permettent de
prolonger T en un élément du dual de LP' (lR d, n).
Par conséquent il
existe un élément f de LP(lR d ,n) tel que pour tout élément g de
e oo(lR d).
l
g(x) f(x) dn(x) = T(g) = l
g(x) d~(x) = l
F(x) g(x)dn(x)
lRd
lRd
lRd
A
Par conséquent
f =F.
C.QFD.
5.2.4 Corollaire
1
Supposons que
1 1 une
m m_
suite
d'éléments de LP(lR d, n) et F un élément de Lo(lR d, n)
tels que:
i)
Sil P IIf
Il
= M < +00 .
m~l
m p,n
ii) V g E eoo(lR d) lim
l
fm (x) g(x) dn(x) = l
F(x) g(x) dn(x)
m-Hoo
lRd
lRd
A
Alors il existe un élément
f de
LP(lR d)
tel que f =F.
Preuve
Posons
pour tout entier m~ 1 et tout borelien relativement
compact E de lR d
~m(E) = l fm(x)dn(x)
E
Alors pour tout entier ~ l, ~m appartient à MP,P( lR d)
D'après la proposition 5.1.11
nous avons
l
A
, A
(
r) -Up 1
1
fm (rx) g(x) dn(x)1 ~ MIll g Il
, n 1
lRd
+oo,p,n
0

88
r)-l/p'
Â.
(
If
F(rx) g(x) dn(x)1 5 M
liig Il
, n 1
IR ct
+00 ,p ,n
0
Donc d'après la proposition 5.2.3 il existe un élément f de MP(IR ct ,n)
Â.
tel que f =F.
C.QFD.