UNIVERSITE DE OUAGADOUGOU
Faeu lté des Sciences et Techniques
1 CaNSER AFRICAIN Ef""==-'---
! POUR l'ENS
MALGACHE
;' C. A
EIGNEMENT SUPERieUR:
,
... M. E. s. -
OUAG
, .
THESE
, Arnvée ·0 8 JAN 20ôZOUGOU
J. Enregistré SOUs
0
. , /
• • • • • • •
'
Kun.
'n --~tt2 ... i
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présentée à la Faculté des Sciences et Techniques
pour obtenir le diplôme de Doctorat 3e Cycle.
Spécialié : Mathématiques Pures
(Option: ALGEBRE )
Sur la Lie-adillissibilité de la Dupliquée non cOl1unutative
d'une Algèbre.
par
Nakelgbamba Boukary PILABRE .
Souténue le Il Mars 1995 devant le Jury composé de :
Président :
Anibano Micali ,
Professeur, Université de Montpellier II
Membres:
Daouda San garé
....
Professeur, Université d'Abidjan
Albert Ouédraogo Professeur, Université de Ouagadougou
Akry Koulibaly
Professeur, Unuversité de Ouagadougou
tvloussa Ouatlara
Maitre de Conférences 1 Université de Ouagadougou
Gerard Kientcga
Maitre-Assistant, Université de Ouagadougou

TABLE DES MATIERES.
REMERCIEMENTS
1
INTRODUcrION
2
CHAPITRE 1
4
G ' ,
l't'
enera 1 es sur 1a D!-IP1"Iquee non commutat'IVe
4
.
1.1 Rappe Is
4
1.2 De la Dupliquée non commutative
5
1.3. Propriétés de la dupliquée non commutative
8
CHAPITRE II
12
Dupliquée Lie-admissible .
.
12
2.1 Généralités
12-
2.2 Lie- admissibilité de la dupliquée d'une algèbre
19
CHAPITRE III
30
Autour d'un théorème de TITS
30
3.1 Quelques propriétés de la dupliquée non commutative
31
3.2 Du théorème fondamental
36
CHAPITRE IV
........................................................................................... 44
De la Décomposition de Peirce au sens de Micali-Ferreira
44
4.1 Rappels: Décomposition de Peirce
.44
4.2 Décomposition de Peirce et Dupliquée non commutative
47
CHAPITRE V
60
Sur la décomposition de Peirce et la dupliquée commutative
d'une algèbre de Bernstein
,
'"
60
BIBLIOG RAPHIE
67

1
REMERCIEMENTS
Je remercie le Professeur A. Micali de l'Université de Montpellier II qui
a accepté de présider le jury et rapporter sur mon travail.
Je remercie les Professeurs Roberto Costa de l'Université de Sao Paulo
et Philippe Revoy de l'Université de Montpellier II d'avoir accepté de
rapporter sur mon travail
Mes remerciements vont également aux Professeurs D . Sangaré de
l'Université d'Abidjan, A . Ouédraogo et G . Kientega de l'Université de
Ouagadougou qui ont accepté d'être membres du jury .
Au Professeur M . Ouattara de l'Université de Ouagadougou je dis
merci, pour avoir accepté d'être membre du jury et surtout pour sa
participation dans l'élaboration des résultats du chapitre V de mon travail.
Ce travail a été fait sous la direction du Professeur A . Koulibaly de
l'Université de Ouagadougou; ceci malgré ses nombreuses occupations.
Je le remercie vivement pour sa grande disponibilité. Ses conseils et ses
encouragements m'ont été d'une aide précieuse.
Je remercie tous ceux qui, d'une manière ou d'une autre, m'ont
supporté dans mon travail.

2
INTRODUCTION
Jusqu'aux années trente. la théorie des anneaux s'est développé surtout
en tant que théorie des anneaux associatifs. Cependant. dès la deuxième moitié
du siècle dernier. il existait des systèmes algébriques répondant à tous les
axiomes d'un anneau à l'exception de l'associativité: par exemple l'algèbre des
nombres de Cayley. construite en 1845 par le mathématicien anglais Arthur
Cayley (1821-1895). Dans l'étude des structures non associatives. signalons
les rôles proéminents des mathématiciens Marius Sophus Lie (1842-1899 ,
créateur des algèbres de Lie) • Joseph Henry Maclagan Wedderburn (1882-
1948) et Emil Artin ( 1898-1962) . Les algèbres de Lie sont un important
système algébrique non associatif qui embrassent des domaines variés:
Géomètrie différentielle. Physique.
Dans un article publié en 1881 , après sa mort. portant sur la structure
générale des algèbres associatives de dimension finie. Benjamin Peirce (1809-
1850) introduit les notions d'éléments idempotents et nilpotents. Il démontre
que dans une algèbre associative possédant au moins un élément non nilpotent,
il existe un idempotent non nul et en déduit l'identité
x =exe + (ex - exe) + (xe - exe) + (x - ex - xe + exe) • identité valable dans toute
algèbre associative et pour tout idempotent e de cette algèbre.
La notion de dupliquée d'une algèbre apparait pour la première fois en
1939 dans un article ([3]) d'Etherington à propos du symbolisme de la
génétique. Gonshor (1973) ([4]) et Boers (1982) ([ 1]) ont repris l'étude de la
dupliquée d'un point de vue essentiellement mathématique en étudiant des
propriétés de transfert. Dans ce contexte. Schafer fut le premier à donner un
exemple d'une algèbre de Bernstein (copular algebra) dont la dupliquée n'est pas
de Bernstein. Par ailleurs Costa fut le premier à donner un exemple d'une

3
algèbre de Bernstein dont la dupliquée est de Bernstein.
Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de deux.
A étant une algèbre de dimension finie sur K et D(A) sa dupliquée non
commutative, nous savons que si dimKA2 = 1 ou A2 est urye zéro-algèbre,
D(A) est alors associative et , par suite Lie-admissible. Par conséquent, la
question de caractériser A2 lorsque D(A) est Lie-admissible se pose. L'étude de
ce problème constitue l'objet de ce travail.
Dans le premier chapitre, nous présentons certaines notions
fondamentales sur lesquelles repose cette recherche.
Dans le deuxième chapitre , nous caractérisons les algèbres de Lie A2
lorsque D(A) est Lie-admissible et établissons des propriétés relatives à la
Lie-admissibilité de D(A) .
Le troisième chapitre est consacré à l'étude de DCA) lorsque A2 est
isomorphe à une algèbre de Lie simple de dimension trois. Nous y démontrons
que D(A)- est isomorphe à une sous-algèbre d'une algèbre de Lie construite à
partir d'un procédé de Tits ([15]) .
L'objet du quatrième chapitre est l'étude des algèbres admettant une
décomposition de Peirce au sens de Micali-Ferreira ([7]) et dont la dupliquée
non commutative est Lie-admissible. Nous y caractérisons la dupliquée non
commutative .
Enfin, dans le cinquième chapitre nous démontrons essentiellement que
si une algèbre de Bernstein sur un corps commutatif de caractéristique différente
de deux est d'ordre n , sa dupliquée commutative est de Bernstein d'ordre
au plus n +1 .

4
CHAPITREI
Généralités sur la Dupliquée non commutative
1.1 Rappels
Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre dont la multiplication
est donnée par (x , y) ~ xy . Le commutateur du couple (x , y) d'éléments de
A est xy-yx noté [x , y] et l'associateur du triplet (x , y , z) d'éléments de A est
(xy)z - x(yz) noté (x , y , z) . A est une K-algèbre commutative si [x , y]=O pour
tous x , y dans A; A est une K-algèbre associative (respectivement alternative)·
si (x , y , z) = 0 (respectivement (x , x , y) = 0 et (x , y , y) = 0) pour tous x , y , z
dans A . Une K- algèbre A est dite flexible si (x , y , x) = 0 pour tous x , y
dans A . On note immédiatement que toute K-algèbre associative est alternative
et que toute K-algèbre alternative est flexible.
Soit A une K-algèbre. Le jacobien dans A du triplet (x , y , z) est
JA(x , y , z) = (xy)z + (yz)x + (zx)y .
2
A est une K-algèbre de Lie si x = 0 et JA(x , y , z) = 0 pour tous x , y , z
dans A. On désigne par A-le K-espace vectoriel A muni de la multiplication
donnée par: [x , y] = xy - yx ; A est dite Lie-admissible si A-est une K-
algèbre de Lie.
Exemple: toute K-algèbre associative est Lie-admissible.
On dira qu'une K-algèbre A est de Jordan si A est flexible et
2
2
(x
, y , x) = 0 pour tous x , y dans A. Si A est commutative et (x , y , x) = 0
pour tous x , y dans A , on dit que A est de Jordan commutative. On notera
que toute K-algèbre alternative est de Jordan.
Une K-algèbre A est dite à puissances associatives si pour tout x dans A
m- n
m+n
, 1
i+ 1
i
.
x x = x
m , n = 1 , 2 ,... ou x = x et x
= x x, 1=1, 2, .....
\\.f.. '

5
On montre que toute K-algèbre de Jordan est à puissances associatives([14]).
1
n+1
n
.
A étant une K-algèbre , posons A = A et A
= A A, n=1 ,2, ... pUIS
AlI] = A et A[n+l] = A[n]A[n] ,n= 1 ,2, ....
On dira que A est nilpotente (respectivement résoluble) d'indice k SI
k
k-l
[k]
[k-l]··
A = 0 et A
~ 0 (respectivement A
= 0 et A
~ 0) .
1.2 De la Dupliquée non commutative.
Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre non nécessairement
commutative de dimension finie.
La dupliquée non commutative de A est le K-espace vectoriel A®KA
muni de la multiplication donnée par: (x®y)(x'®y') = xy® x'y' , quels que
soient x , y , x ' , y' dans A . On la notera D(A).
Si la dimension de A est n alors la dimension de D(A) est n2.
Si { ei} , i = 0 , 1 , 2 , ... , n-1 est une base de A alors les aij = ei® ej ,
i ,j = 0, 1 ,..... , n-l constituent une base de D(A) .
Théorème d'Etherington 1.2.1 ([8])
Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre non nécessairement
commutative et D(A) sa dupliquée non commutative.
(i) L'application J!: D(A) ~ A2, x ® y ~ xy est un morphisme de
K-algèbres appelé morphisme d'Etherington et si ND(A) est son noyau alors
ND(A)D(A) = 0 et D(A)ND(A) = 0 ,
2
D(A)!ND(A) == A
(isomorphisme de K-algèbres) .
2
(ii) D(A) est isomorphe à A x ND(A) (produit semi-direct) et la
sd
2
multiplication de A x ND(A) est donnée par: (x , m)(y , n) = (xy , <p(x , y)) ,
sd
2
2
2
x, y dans A et m ,n dans ND(A) où <p: A x A ~ ND(A) est une application

6
2
K-bi linéaire convenable; on nole alors O(A) = A
x NO(A)
<p
..
Exemple 1.2.2
Soit C la IR-algèbre des nombres complexes où IR e~t le corps des
nombres réels.
(l,i} étantunebasedeC, (aOO= l®l ,aol =l®i ,aIO=i®1 ,ail =i®i}
est une base de O(C) et la multiplication de O(C) est donnée par le tableau
suivant:
aao
aOl
alO
ail
a
aao
aOI
aOI
-aGa
00
aOI
alO
aIl
a II
-a l 0
alO
alO
aIl
aIl
-a lO
aIl
-aoo
-aOI
-aD l
aoo
Posonsa'lO=alO-aOl eta'll =aoo+all'
2
On obtient NO(A) = < a'IO' a'il > et C = C . Identifions aoo et l ,aOI et i .
2
La multiplication de DCC) = C ~ NOCC) est donnée par le tableau suivant.
,
,
aoo = 1
aOI = 1
alO
a II
0
0
aoo = 1
aOO = 1
aO I = 1
0
0
aO
a 10 = aO 1 + a' 10
Li II :::: - aOO + a' Il
I = 1
= i + a' 10
= -1 + a' Il
0
0
0
0
a'lO
0
0
0
0
a' 11

7
Il en résulte que <pel , 1) =0, <p (1 ,i) =0, <p (i, 1) = a'10' <p (i, i) =a'll .
Du produit semi-dircct 1.2.3 ([ 10])
Soient A une K-algèbre et D(A) sa dupliquée non commutative. Soit
ND(l\\) le noyau de jl : D(A) ~A2 , x ® y ~ xy.
On dira que deux applications K-bilinéaires <p, <p' : A2xA2 ~ ND(A) sont
2
équivalentcs s'il existe une application K-linéaire h : A ~N DCA) telle que
2
2
<p' = ND(A) , il vient que (oh)(x, y) =- h(xy) pour tous
')
x , y dans A~. Ainsi <p et <p' sont équivalentes si et seulement si
2
2
A x ND(A) :::: A x ND(A) (isomorphisme de K-algèbrcs).
<p
<p'
L'isomorphisme mentionné est:
2
2
A
x ND(A) ~ A x ND(A), (x ,m) ~ (x , m - h(x)).
<p
<p'
Comme A est une K-algèbre de dimension finie, il existe une application
2
K-linéaire Tl : A
~ D(A) tellc que jloTl = idA2 . Considérons J'application
2
A
2
N (A)
,- .
<p: . xA
~
0
dct1l11C par <p(x , y) = Tl(x)Tl(Y) -Tl(xy) .
2
Si Tl': A ~ D(A) est unc application K-linéaire vérifï~U1t jlOTl' = id 2,
A
posons h = Tl' -Tl . Alors h : A2 ~ NO(A) est une application K-linéaire
vérifiant
,
~h"
d'
,
, .
1
2
2
<p = <p + u C est-a- Irc <p ct <p sont equlva cnts ct A x NO(A) :::: A x ND(A) .
<p
<p'

8
1.3. Propriétés de la dupliquée non commutative.
,
Soient K un c,orps commutatif, A une K-algèbre de Qimension finie et
2
O(A) sa dupliquée ,),on commutative. Nous utiliserons O(A) = A ~ NO(A) pour
.' '~
rappeler quelques propriétés de la dupliquée non commutative
.
.
Proposition1.3.l ([10])
2
D(A) est associative si et seulement si A est associative et
2
q>(xy , z) = q>(x , yz) pour tous x , y , z dans A .
2
En effet, pour tout x , y , z dans A et tous 01 , n , p dans ND(A) on a
«x, 01) , (y , n) , (z , p)) =
=«x ,01) (y ,n)) (z ,p) - (x ,01) «y, n) (z ,p))
= (xy , q>(x , y)) (z , p) - (x , 01) (yz , q>(y , z))
= «xy)z , q>(xy , z)) - (x(yz) , <p(x , yz))
=«x, y , z) , q>(xy , z) - q>(x , yz)) .
2
Ainsi «x, 01) , (y , n) , (z , p)) =(0 , 0) pour tous x , Y , z dans A
et tous 01 , n ,
p dans ND(A) équivaut à (x , y , z) = 0 et q> (xy , z) = q>(x , yz) pour tous x , Y ,
d
A 2 D' ' 1
..
z ans
.
ou a propositIOn.
Proposition 1.3.2 ([11])
2
D(A) est altemative si et seulement si A est altemative et
2
2
2
q>(x , xy) = q>(x ,y), q>(xy , y) = q>(x ,y ) pour tous x, y dans A .
2
En effet ,pour tous x , y dans A et tous 01 , n dans ND(A) ,
2
«x, 01) , (x , 01) , (y , n)) = «x, x , y) ,q>(x ,y) - q>(x , xy)) et

9
«x , 01) , (y , n) , (y ! n» = «x , y , y) , <p(xy , y) - <p(x , y2») . D'où le résultat.
Proposition 1.3.3 ( 110])
;
2
D(A) est une K-algèbre de Jordan si et seulement ~i A est de Jordan et
<.'
2
2
;
2
<p(x , yx) = <p(xy , x) , <p(x y , x) = <p(x , yx) pour tous x , y dans A .
2
En effet, pour tous x , y dans A et tous m , fi dans l':J D(A)
«x , 01) , (y , n) , (x , m» = «x , y , x) , <p(xy , x) - <p(x , yx»
2
2
2
et «x, m?, (y, n), (x, m» = «x , y, x), <p(x y, x) - <p(x
, yx). D'où la
conclusion.
Remarque 1.3.4
Les résultats précédents montrent qu'une algèbre A peut être dans une
classe de K-algèbres (associatives, alternatives, de Jordan etc) sans que sa
dupliquée non commutative D(A) ne soit pas dans cette classe et invérsement
D(A) peut être dans une classe donnée et A n'est pas dans cette classe.
Exemples 1.3.5
Exemple 1
Considérons la IR-algèbre C des nombres complexes qui est alternative
(cf1.2.2) . On a <p(?,l) = <p(-l,l) =0 et <pei , il) =<pei , i) ~ 0 et donc D(C) n'est
pas alternative.
Exemple 2
Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre de dimension trois dont
la table de multiplication relativemcnt à une basc 1Co ' cl ' ~} cst donnéc par:
cOc l = c2 ' Cl Co = Co ' c 12 = c2 ' tous lcs autrcs produits étant nuls.
2
On a A = < Co ' c2 > ct (A2)2 = 10} .

la
, ·d
A2
l
.
Il est alors eVI ept 4ùe
est a ternatlve et
2
;:;
2
<p(x , y) =<p(x , xy) , <p(xy , y) =<p(x , y2) pour tous x , y d~ns A et O(A) est
alternative . Mai~ (~l ' el' eO) =e 12eO- el (e 1eO) =
:
,.C
.:.
e2eO- el eO = - ra F' aet donc A n'est pas alternative.
,
~.-' :
;~..h·
Proposition 1.3.6 ([ Il])
2
O(A) est nilpotente si et seulement si A est nilpotente.
En effet, comme (A2 ~ ND (A))2 =
= ((x,m)(y,n),x,YEA2,m,nE NO(A») = ((xy,q>(x,y»,x,YEA2),
en notant que (A2 ~ ND (A»2 =((A2)2, <p(A2, A2» , on montre par
récurrence sur k que(A2 ~ NO(A))k = ((A2)k, <p((A2)k-1 , (A2)k-1) , k >2 .
La proposition résulte de cette égalité.
Proposition 1.3.7 ([lI])
O(A) est résoluble si et seulement si A2 est résoluble.
En effet, on montre par récurrence sur n que (A2 x NO(A»[n] =
2) et la proposition s'en suit.
Proposition 1.3.8
2
Si A est nilpotente (resp resoluble) d'indice k alors O(A) est nilpotente
(resp résoluble) d'indice au plus k+ 1.
En effet, on montre par récurrence sur n que

Il
(A2 ~ NO(A))O =; ((\\2)0 • <p((A2)0-1 , (A2)0-1 » ct
(A2~ND(A))lnJ= HA2)ln1 ,lp((A2)[n-1], (A2)[n- l l)) ~n {2) et la
proposition s'en ~ui~,;
Proposition 1.3.9
2
D(A) est à'puissances associatives si et seulement si A est à puissances
"
associatives et lp(xP, xq) = lp(x , xp+q-l) , p , q = l , 2 ,....
En effet, (x ,m)2 =(x 2 , lp(x , x)) , (x , m)3 =(x , Olt2(X , m) =
(x 2x , <p(x 2, x)) et plus généralement (x , m)Tl =(xn , <p(x n:;;l , x)) , n = 2 , 3,....
Par suite (x , m)P (x , m)q = (xP , <p(xp-l , x)) (xq ,<p(xq-l , x)) =
(xPxq ,<p(xP, xC)) , P , q = 2 , 3 ,..... , et (x , m) parcourant D(A).
Ainsi D(A) est à puissantes associatives si et seulement si A2 est à puissances
associatives et <p(xP , xq) = <p(xp+q-l ,x) pour tous x dans A2.
1
1
Enfin dans ([ lûJ) , il est démontré le résultat suivant:
Théorème 1.3.10
Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux, A
une K-algèbre et D(A) sa dupliquée non commutative.
(i) D(A) est altemative si et seulement si (A2)2 = a ou dim A2= l.
K
(ii) D(A) est à puissanccs associatives si et seulement si (A2)+ est une
K-algèbrc possédant la propriété suivante: tout sous-espace vectoriel de A2 est
une sous-algèbre de (A2)+ où (A2)+ =( A2 , 0) avec x 0 y =t(xy + yx).
A étant unc K-algèbre , nous désignons par D(A) sa dupliquée non
commutative sauf mention expresse du contraire.
Un icJempotcnt cJ'une K-algèbre A est un élement e de A
véritïalH e2 =e . Dans la suite nous considérerons des idempotents non nuls.

~'. .f
12
CHAPITRE Il
Dupliquée I.ie·~drnissible([12])
Soient K ~n S'prps commutatif et A une K-algèbre de dimension finie non
nécessairement commutative.
Pou r Llne raison de commodité, nous adoptons ici, la notation additive
,~
2
des élémel1ls de P(;~) =A s~ N D(A) .
..>'
2.1 Généralités.
Théorème 2.1.1
D(A)- est isomorphe à (A2)- <Î> ND(A) où
<1> (x, y) = (p(x, y) - <p(y, x) pour tous x, y dans A2, <p étant défini dans(l.2.3)
En l' Ilct , l'application ~ : D(A) ~ A2, x ® y ~ xy qui est un
morphisme de K-espaces vectoriels est un morphisme de K-algèbres de D(A)-
dans (A2)- l':lr , pour tous x ® y , x' ® y' dans D(A) ,
~ (lx ® y , x' ® y' J) = ~ «x ® y) (x' ® y') - (x' ® y') (x ® y))
=~ (xy ® \\'y' - x'y' ® xy) = (xy) (x'y') - (x'y') (xy)
=[xy , x'y' j = [~(x ® y), ~ (x' ® y')J . ND(A) étant le noyau de ~. on a d'une
part D(A)-/ND(A) ::: (A2)- (isomorphisme de K-alg~bres)
et d'autre pa ri ; pour tout x ®y dans N D(A) et tout x' ®y' dans D(A) ,
lx ®y ,x'(3) y' ] =xy®x'y' - x'y'®xy = o® x'y' - x'y'®O =o.
Par suite [Nn(A) , D(A)]= 0 . Comme la suite exacte
o ~ ND(A) --.-, D(A) ~ A2 ~ 0 est scindée, il existe une application K-linéaire
T} : A2 ~ D(A) vérifiant )..lûT} = idA 2. L'application K-bilinéaire

13
: A2 xA2---7 NO(A) : (x . y)~ [Tl(x) , Tl(Y)]- Tl([x ,yl) et la relation
[NO(A) , O(A)l = 0 pennettent de définir sur (A2)- x ND(A) une structure de
K-algèbre donnée par: [x + m , y + nl = [x , yI + (x ,y) pour tous x ,y dans
2
A et pour tous m , n dans NO(A) .
Enfin, O(A) = A2 if, ND(A) où <p(x , y) = Tl (x)Tl(Y) - Tl(xy) pour tous x . y dans
A2 [cf 1.2.3 ] et par suite (x , y) = [Tl(x) , Tl(y)l - Tl([ x ,y]) =
Tl(x)Tl(Y) - Tl (Y)Tl(x) - Tl(xy - yx) = (11 (x)Tl (y) - Tl(xy) ) - (Tl(Y)Tl(x) - Tl(Yx)) =
=<p(x , y) - <pey , x) .
Théorème 2.1. 2
D(A) est Lie-admissible si et seulement si A2 est Lie-admissible et
rx ,y ,z] =: 0 pour tous x ,y ,z dans A2 où [x ,y, zl =:
(fx , yl, z) + (fy ,zl . x) + ([z, x] ,y).
En effet, le Jacobien dans D(A)- de tout triplet (x+m . y+n . l'+p)
d'éléments de D(A) est JO(A)-(x+m ,y+n ,z+p) =:
=: [[x+m, y+nl ,z+pl + [[y+n, z+p) ,x+m] + [[z+p, x+ml ,y+nl
= [[x, yl + (x, y), z+p] + [[y, zl + (y, z), x+ml + [[z, xl + (J)(z. x), y+n]
=[Ix, y] , z] + ([x, y] ,z) + r[y ,z] , x] + (Iy , z] , x) +
r[z, xl ,y]+ ([z, xl ,y) =
= \\A2)- (x ,y, z) + ([x . y] ,z) + ([y ,z] , x) + ([z ,xl, y) où
J(A2r(x ,y, z) est le Jacobien dans (A2)- du triplet (x ,y . z) . Comme est
antisymétrique, polIr tbut x+m dans O(A) , [x+m , x+m] = rx , xl + <1)(x , x)=:O.
Ainsi O(A)- est de Lie équivaut à JO(Ar (x+m , y+n , Z+~! = 0 pOUf tous x, y,
z dans A2 et tous ni ,n, p dans ND(A) c'est-à-dire J(A 2r (* ,y, z) =: 0 et
([x ,yl , z) + ([y ,z] , x) + ([z , x] ,y) = 0 pour tous x; y ,z dans A2 . D'où

14
le résultat.
Exemple 2.1.3
Soit Y une K-3lgèbre de Lie simple de dimension 3. TI existe une b3se
{eO ,el ,~} de Y pour laquelle 13 multiplication de Y est donnée par:
eOel = e2 = - el eO' eOe2 = a el = - e2eO' el e2 = peO = - e2e l ' les autres
produits ét3nt nuls; où a et psont d3ns K et a p:f- O( [51). Pour la suite nous
prenons a = p = 1 pour simplifier. Les 3 ij , i ,j = 0 , l , 2 où 3 ij =Ci® ej
constituent une b3se de O(Y) et 13 multiplic3tion de Dey) rel3tivcmcnt à cette
b3se est donnée p3r :
(301)2 = 322,301 302 = 321' a01 310 =. a22'
an 1312 = 320 ' 301 a20 = - 321 ' 301 321 = - 320 ;
302301 =3]2,(an2)2=311 ,302310=-312'
302312 = 310,302320 = - al l ,302321 = -al0;
310301 = - 322' 310a02 = - a21 ,(310)2 = 322'
. 310312 = - a20 ' 31 Oa20 = 321 ' 31 Oa21 = 320 ;
312301 = 302,312302 = a0 1 ,312310 =·302'
(312)2 = aoo, 312320 = - an! ,312321 = - aOO ~
320 301 = - 312,320302 = - 311 ,320310= 312'
320312 = - 3]0' (320)2 = 311,320321 = 310;
321 301 = - 302 ' 321 302 = -aO 1 ,321 310 = 302 '
321 312 = - 300' 321 a20 = aOl ,(321)2 = 300;
tous les 3utres produits ét3nt nuls.
Posons 3'10 = 3
+
01
3
+
+ ~~21
10 ,3'20 = 302
3
,3'21 = 3
puis identifions
20
12
eOet 312 , el et 302 ; e2 et CUI . {'Ua' 311 ,322 , 3't0' ~120' a'21} est alors

15
unc basc dc N o(Y) ct Y = y2 , O(Y) = y ~ No(Y) où la multiplication
relativcmcnt à la basc
lB = {cO, Cl' c2' aoo' ail' a22' a'IO ,a'20' a'21} cst donnéc par:
c02 :=aoo,cOcI =c2,cOc2=cI ,clcO=-c2+ a'10,cI 2 :=all ,c l c2=cO'
c2cO= - CI + a'20' c2c l = - Co + a'21 ,c22 := ~2 ,tous lcs autres produits
étant nuls.
On obticnt alors <P(ci ,ci) = a ii ,i = 0, 1,2; <P(cl ,CO) = a'IO'
<p(c2 ,cO) = a'20 ,<P(C2' Cl) =a'21 ,<p(cO' Cl) = <p(cO ,C2) = <P(cl . c2) =O.
Notons quc O(Y) n'cst pas unc K-algèbre dc Lic car cOcO = a
"* O.
OO
D'après cc qui précède, la multiplication dc D(A)- relativcmcnt à la basc lB cst
donnéc par:
[cO, CI] = 2c2 - a'IO = - rCl ,cOl; rcO' c2l = 2c I - a'20 = - rC2' col,
[Cl' c2] = 2eO - a'21 = - rc2 , cIl, tous les autres produits étant nuls. On obticnt
ainsi <1>(ci ,ci)=O,i=O, l ,2;<1>(cO,cI)=-a'10 =-<1>(cl ,cO)
<1>(cO ' c2) = - a'20 = - <fJ(c2 . cO) , <fJ(c l '12) = - a'21 = - <1> (c2 ,c l ). Montrons
maintcnant quc <1>[x , y ,z] = 0 pour tous x , y , z dans A2 (cf2.1.2) . Pour cela,
il suffit dc vérificr quc <1>[
] = 0 pour tous i, j , k dans
{O, l , 2} .
Ci ' Cj , ck
:= ([ci
,cjl, Ci) - ([ci' Cj] ,ci) = 0 pour tous i, j dans{O, 1,2} .
[c
c c l = <J'crcO,cIl, c2) + ([cl ,c2] , cO) + (j~ ,cOl. Cl)
0' l ' 2
.
.
= (2cO' cO) + (::2c 1 ,c 1) = O. étant antisymétriquc ct
K-bilinéairc, on a <f>rc. C' ck] = a pour tous i ,j , k dans t0, l, 2}. Dc plus on
l '
J'

16
a Y = y2 et D(Y) est Lie-admissible.
Lemme 2.1.4
L'application K-linéaire injective TJ : A2 ~ D(A) vérifiant pOTJ = idA2
telle que D(A)::::: A2 ~ ND(A) où <p(x, y) = TJ(x) TJ (y) - TJ(xy) vérifie
TJ (x) TJ (y) = x ® y pour tous x , y dans A2.
En effet, soit {eO ' el' ... , en} une base de A2. Bien que tout élément de
A2 soit une somme finie de produit d'éléments de A , pour des raisons de
linéairité nous pouvons sans pcrdre la généralité du raisonncment , considérer
que chaquc ci s'écrit:
ei = eJ' . e . ,j i ' k
k
i E {a, 1, ... , n}.
1
1
I=n
i=n
Soit TJ : A2 ~ D(A) ,x = LX. e· ~ LXI' e. ® e. . On vérifie
i=O
1 1
i=O
J i
k i
I=n
2
facilement que TJ est K-linéaire. Pour tout x = L xiei dans A ,
i=O
i=n
i=n
i=n
JloTJ (x) =Jl( L xi e. ® ~ ) = L
xi e.
e
= L x· e· =x .
k
i=O
J i
i
i=O
J i
i
i=O
1 1
Par suite JloTJ =idA2 et TJ injective. Ainsi D(A) :::: A2 ~ ND(A) avec
.
.
I=n
I=n
<p(x ,y) =11 (x)TJ(Y) - TJ(xy) . Pour tous x = L x· e· , x' = L x' . C'
. 0
1
1
. 0
1
l '
1=
1=
i=n
l=n
on a TJ(X)TJ(X') =(i~ xi ej i® ~ i) (i~ x' i ej i® ~ i) =
I=n
I=n
=( L x· e. e
) (L
x' l' e.
e
) = x ® x'.
k
k
i=O
1 J i
i
i=O
J i
i
Si TJ' : A2 ~ D(A) est une autre application K-linéaire vénfiant ~ 01'1' = idA2 '
alors TJ' s'écrit TJ' = '1 - h où h : A2 ~ ND(A) est une application K-linéaire

17
2
(cf] .2.3) . De la multiplication de D(A) :::: A
x N D(A) , il vient que
sd
rl'(x)rl'(x') = l1(x)l1(x') = x ® x'
Conséquence 2.1.5
Si e est un idempotent de A2 et s'il existe x dans A2 tel que x ~ Ke et
ex =xe =x alors <pee , x) -j:; <p(x, e).
En effet, <pee , x) = l1(e)l1(x) -l1(ex) = e®x -l1(x ) et
<p(x , e) = 11(x)11(e) - l1(x e) = x® e - l1(x).
Ainsi <pee , x) - <p(x . e) = e®x - x ®e -j:; a car x ~ Ke ([61).
2
En particulier si e est l'unité de A et x ~ Ke • on a :
<pee , x) -j:; a ou <p(x , e) -j:; O.
Conséquence 2.1.6
Pour tous x , y dans A2 , si xy =0 alors <p(x , y) = x ® y.
En vue de caraclériser les K-algèbres de Lie dont la dupliquée est
Lie-admissible, rappelons la classification des algèbres de Lie de dimension
inférieure ou égale à trois ( [51) .
Classification 2.1.7
Soit A une K-al~èbre de Lie de dimension inférieure ou égale à 3.
u
u
Si dim
A = 1 alors A = Ke avec e2 =a. Notons par A . ccilc algèbre.
K
O
Si dimKA = 2 ; écrivons A = Kea + Ke . On a alors: A est
l
Ulle
zéro-algèbre (c'est-à-dire tout produit est nul) ou est la K-~Igèbre non abélienne
dont la structure est donnée par: eOe 1 =eO =- el eO' e 2 ~ ei 2 = O. Notons les
0
respectivement A(2,O) et A(2, 1)
Si dimKA = 3 , on distingue quatre cas: A2 = a : dirll
A2 = l ;
K

18
dim
A2 = 2 ; dim
A2 = 3 . Désignons par A(3,O) la zéro algèbre dc
K
K
dimension trois.
Si dim
A2 = 1 et A2 c Z(A) (centre de A) alors A possède une base
K
eO ,e l ,e2 telle que el e2 =e =- e2e l ' tous les autres produits étant nuls
O
(notons cette algèbreA(3,1 )). Si dim
A2 = 1 et A2 r:z. Z(A) alors À possède
K
une base e
' el' e2 telle que eOe =e =- el e ' tous les autres produits étant
O
l
O
O
nuls (A(3.2) désigne cette algèbre).
Si dimK A2 = 2 alors A possède une base e
' el' e
telle que la structure
O
2
de A soit donnée par: (a) e e = e = - e e
' e e
= a el = - e c
(a E K),
O 2
O
2 O
l 2
2 t
tous les autres produits étant nuls (notons A3a cette algèbre) ou
(b) eOe2 = eO + pel = - e2eO ( PE K) ,ele2 = el = - e2el ' les aulres produits
étant nuls (cette algèbre est notée A
) .
3p
Si dimKA2 = 3 alors A possède une base e
' el ,e2 et la multiplication
O
de A est donnée par: eOe} = e2 = - el eO ' eOe2 = a el = - e2eO '
el e2= p eO = - e2e l ' les autres produits étant nuls avec ap "# 0
(Notons Y une telle algèbre) .
Remarque 2.1.8
Comme poui la dupliquée non commutative de Y et celle des
zéro-algèbres, on vérifie que la dupliquée non commutative des K-algèbres de
Lie A(2,1), A(3.1) , A 3(-1) est Lie-admissible. Par contre ta dupliquée non
commutative de A(3,2) , A
(avec a "# - 1 ) ou A
(P E k ) n'est pas
3a
3p
Lie-admissible.
Nous aurons également besoin du résultat suivant:

19
Lemme 2.1.9 ([5] P 53)
Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique zéro.
Si B est une sous-algèbre résoluble de dimension m d'une K-algèbre de
Lie Let B ~ L , alors B est contenu dans une sous-algèbre de dimension m + 1
de L.
2.2 Lie- admissibitité de la dupliquée d'une algèbre .
Nous savons que pour toute algèbre A , si la dimension de A2 est un ou
A2 est une zéro-algèbre alors la dupliquée non commutative D(A) Je A est
associative et par suite Lie-admissible. La question est de savoir: étant donné
une algèbre A telle que D(A) soit Lie-admissible, peut-on détenniner la
structure de A2 ? Ici nous traitons la question dans le cas où A2 est de Lie .
Lemme 2.2.1
Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux, A
une K-algèbre telle que A2 soit Lie-admissible et D(A) = A2 ~ ND(A) la
dupliquée non commutative de A. Alors l'application
A2 x A2 x A2 ~ ND(A) , (x ,y, z) ~ [
] =
x,y,z
([x , y] , z) + ([y , z] , x) + ([ z , x] , y) est K-trilinéaire antisymétrique et
pour tous x, y, z dans A2, on a

-
[x , y , z] -
= [x ,y]@ z - z@ [x ,y] + [y, z]@ x - x@ [y ,z] + [z ,x]@ y - y@ [z . x]
où (x , y) =<p(x , y) - <pey , x).
En effet , l'a~plication (x , y , z) ~ [x , y ,z] étaht définie par:
[x ,y, z] = ([x, y] ,z) + ([y ,z] ,x) + ([z, x] ,y) ,eIIè est trivialement
K-trilinéraire antisymétrique. Soient x , y , z dans A2 ,
[x, y, z] =<p([x ,y] ,z) - <p(z, [x, yD + <p([y, z] ,x) - q;(x, [y. z]) +

20
<p([z, x] , y) - <pey , [z ,xl) =
=Tl([x ,yl)Tl(z) -Tl([x ,yI z) -11(z)Tl([x ,y]) + Tl(z [x ,y]) +
" ([ y , ZnTl (x) - Tl (ry , z] x) - 11 (x)11cr Y, Z1) + Tl (x [y , Z1) +
Tl([Z, x1)Tl(y) -Tl«(fz , x] y) -11(y) Tl([z, x]) + Tl(y [z , xl) =
=[x ,y]® z -Tl([x , y] z) - z ® [x ,y] + Tl(z [x ,yl) + [y , z]® x - lHly ,z] x) -
x® [y ,z] + ,,(x [y, zl + [z , x]® y -Tl([z, x] y) - y ® [z , x] + Tl(Y [l" xl)
=[x , yl® Z- z® [x , y] - Tl([ x , y] z - Z[x , y]) + [y , z]® x - x ® [y . zl -
,,([y, zl x - x [y ,zl) + [z, x]® y - y® [z, x]-Tl([z, x] Y- Y[z, xl) =
=[x , y]® Z- Z® [x , yI + [y . z]® x - x ® [y , z] + [z , x]® y - y ® [1, , x]-
ll([[x , y] , zl + I[y ,z] , xl + rIz , x] ,yl).
Comme A2 est Lie-admissible, [[x, y] ,z] + [[y, z] , x] + [lz, xl, yI =0
pour tous x , Y, z dans A2. D'où le lemme.
Notons que si A2 est de Lie alors A2 est Lie-admissible et
[x , y] =2xy pour tous x, y dans A2 .
Par suite <f>[x , y , z] = 2(xy® z - z® xy + yz ® x - x ® yz + zx ® y - y ® zx)
Lemme 2.2.2
Soit A une algèbre sur un corps commutatif K de caractéristique
différente de 2 telle que A2 soit de Lie . Si dimKA2 =3 et (A2)2 est un idéal
propre non nul de A2 alors les conditions suivantes sont équivalentes.
(l) D(A) n'est pas Lie-admissible.
(2) Il existe une base {e ,el ,e } de A2 telle que l'une des assertions
O
2
suivantes soit satisfaite:
(a) e c =Co =- e cO. el e2 =a el =-e c (a
O 2
2
2 I
:1:- - 1) , les autres proùuits
étant nuls.
(b) e
=Co
c
=
Oe2
+ ~ el =- e2 O(~EK), e le2 el =-c2e ' les autres
l
produits étant nuls.
(c) cOc =Co =-
l
ele
. les autres produits étant nuls;
O

21
En effet, la remarque 2.1.8 dit que les algèbres de Lie dont les structures
sont données en (a) , Cb) et (c) ont leurs dupliquées non commutative qui ne sont
pas Lie-admissible c'est-à-dire (2) implique (l). Pour montrer que (1) implique
(2) , montrons que non (2) implique non (1) .
Si une K-algèbre de Lie de dimension 3 n'a pas sa structure donnée par (a) , (b)
ou (c) alors d'après la remarque 2.1.8 et la classification.2.1.7 , D( A) est
Lie-admissible.
Lemme 2.2.3
Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux et A
une K-algèbre telle que A2 soil de Lie . Si dimK(A2)2 >4 alors O(A) n'est pas
Lie-admissible.
En effet, si dim
(A2)2 > 4, il existe au moins 4 vecteurs linéairement
K
indépendants ei ,ej ,ek ,e
dans A2 tels que 4 au moins des produits eiej ,eje
p
k
, eiep , e/k ,.... soient non nuls et distincts. Notons B le sous-esp;lcc vectoriel
de A2 engendré par ei ' ej . ek' ep et soit ei ' ej , ek ' ep , fI'"'' fn une base de
A2.
Si B est une sous-algèbre non abélienne de A2, fixons (sans perdre
1
" 1 "
d ' )
1
a genera Ite
u raisonnement
e·e· = e
, on a 2 <1>[
'J" =
p
1 J
ei ' ej \\.ek
= eiej® ek - ek® eiej + e/k® ei - ei® ej ek + ~ei® ej - e/~) ~ei
= e ® e, - e ® e + e.c ® e· - e.® e·e, + eke.® e· - e.® il e·
k
=t:- 0 el
D(A)
p
.K
P,
Jk'
1
1
J .K
1
J
J
K I '
n'est pas Lie-admissible. " ,
Si B n'est pas U1ie sous-algèbre de A2, supposons què eie = a x + ~ y
j
avec x E B , Y dans le supplémentaire de B dans A2 et ~ §=t:- O.

22
Pour x : e·, et y : f , c'est-à-dire e·e· : a e·, + ~ f , , avec ~ ~ a ,
1
q '
lJ
1
q
1
on a TI'
:
[ei ,ej ,ek]
: e ·e· ® e. - e ® e·e· + e·e, ® e· - e.® e.ek + eke.® e· - e· ® e. e· =
1 J
K
k
1 J
J K I l
J
l
J
J
-K 1
=(0. ei' + ~ fq,)® ~ - ~®(o. ei' + ~ fq,)
+ e·e, ® e· - e· ® e· e, + e. e· ® e· - e·® e. e· :
J K I l
J
K
KI
J
J K 1
=o.(ei'® ~ - ek® ei,) + ~(fq'® ~ - ~® fq,) + ej~® ei - ei® ej~ +
eke. ® e· - e· ® e. e· :1= 0 et donc D(A) n'est pas Lie-admissible.
1
J
J
K
1
Lemme 2.2.4
Soient K un corps commutatif algébriquement clos de caracl~ristique
zéro et A une K-algèbre telle que A2 soit de Lie. Si D(A) est Lie-admissible et
dim
(A2)2: 1 alors A2 est :
K
soit la K-algèbre de Lie de dimension deux dont la structure est donnée par:
eOe 1 : el: - el e
2
O ' eO : el 2 : a ,
soit la K-algèbre de Lie de dimension 3 dont la structure est donnée par:
e e = e
= - e e , les autres produits étant nuls.
l 2
O
2 l
En effet, notons B = (A2)2 et supposons que B = Kea et que D(A) est
Lie-admissible. B étant résoluble, il est contenu dans une sous-algèbre 1 de
dimension 2 de A2 rcf 2.1.9 1. Soit {e ' el } une base de 1 . 1 est abé 1icn ou la
O
structure de lest donnéepar:eOe
2
2
t =e t =-eIe ' e
: e
:'::O.
O
0
1
Supposons que la structure de 1 est donnée par:
eae } = el= - e}e
2 = 2
O ' e
e
= a. Soit Y' un supplément~ife non nul de 1
a
I
I=n
dans A2 et {e
, .... en} une base de Y' . Soit x =.I xic, dans Y' .
2
1=2

23
On a cOx E A2A2 = (A2)2 = Kc ct cl x E A2A2 = (A2)2 = Kt{) .
O
Ecrivons cOx = a x Co ct cl x = ~lxcO
1
0="2<1>
=
[cO, cl' x]
=cOcI@ x - x @cOc + cl x @Co - c @cl x + x c @cl - e
I
O
O
l @ x Co
=el@x-x@el + ~lxeO®cO-cO@~lxcO-OxcO@el + cl ®axcO=
l=n
i~ xi (c 1® ei - ci® cl) - ax(cO® cl - cl ® cO) et xi = 0 pour tout
i =2, ... , n c'est-à-dire x = 0 pour tout x E V' . Ce qui cst absurde. Cette
absurdité vicnt d'avoir posé V' -:1:- {O} . Ainsi V' = {O} ct A2 =1.
Supposons maintenant 1 abélicnnc et désignons toujours par V' un
supplémcntairc non nul dc 1 dans A2 . Soit {c2'"'' cn} unc base de V'.
Pour tout x E V', cOx E A2A2 = (A2)2 =B , cl x E A2A2 = (A2)2 = B ct
V' 2 c (A2)2 =B. Ecrivons cOx = a
Co ' Cl x = a
Co .
Ox
lx
1
0= 2
= Cl x® Co - cO® Cl x + XCO@Cl - Cl ® XCO
[cO,cI'x]
=alxcO@cO-cO@alxcO -aOxcO@cI +cI @aOxcO
= a
(-c ® Cl + Cl @ cO) par suitc a
= 0 pour tout XE V' .
Ox
O
Ox
D'où CoV' = (O) . Posons clci = aicO pour i = 2,
, n .La structure dc A2 cst
alors définic par Co A2 = {O} , cle = aicO' i = 2,
, n , (V')2 c KeO
i
Si (V')2 -:1:- {O} , il cxistc k, k' dans {2, ... , n} avcc k -:1:- k' tcls que
ck ck' = a Co -:1:- 0 . Il cn résultc alors quc
l <1>
.
.
O="2
[
; j=clck®~' -ck,@clck+ckck,&JCt- c1®ckck' +
Cl' ck ' ck'
ck' Cl @ ck- ck ® ck' Cl =
~ (cO ® ck' - ck'&" cO) + a(cO ® Cl - Cl ® ea) -ak' (cO ® ek - ck ® cO), Ccci

24
est absurde. L'absurdité vicnt d'avoir supposé(V')2 ~ {a) . Ainsi (V')2 = {O).
Si elei = a pour i = 2 ,... , n c'cst-à-dire el V' = {a} alors A2 =l Et) V' (SOTllIllC
dirccte d'idéaux abéliens) et , par suite B = (A2)2 = {a) . Ce qui est absurdc
car dim
B= 1. Ainsi il existe au moins un k dans {2 ,... , n} tel quc
K
1
ele. = a.. e avec a.. ~ O. Soit j dans {2 ,... , n}; 0=-2 <1>
=
K · K
O
·K
fel,ej.ck1
=elej@ek-ek@elej+ejek@el-el @ej ek+ ek e l@ej-ej@ek c l =
=aj eO@ ek - ek@aj eO - <1c eO@ ej + ej @~ eO
= a/e @ ~ - e
O
k@ eO) - ~(eO@ ej - ej @ eO) .
Cette relation n'a de sens que si j = k .
Ainsi dim V' = 1 . Notons V' = Ke
' on a alors A2 = K'iJ
avec
K
2
Et) Ke 1EB Ke 2
el c = a e = - e e (a ~ 0) , les autres produits étant nuls. D'où le lemme.
2
O
2 O
Lemme 2.2.5
Soit K un corps commutatif algébriquement clos de caractérisl ique zéro ct
A une K-algèbre telle que A2 soit de Lie.
Si D(A) est Lie-admissible et dimK(A2)2 = 2 alors A2 est la K-algèbre de
Lie de dimension trois dont la structure est donnée par:
e e = e = - e e ' el e = - el = - e e , les autres produits étant nu Is.
O 2
O
2 O
2
2 l
En effet, notons 'B = (A2)2 et supposons que soit D(A) Lie-admissible.
Désignons par {e ' el} une base de B. D'après la classification 2.1.7, B est
O
abélien ou bien la structure de B est donnée par:
e
2
Oe 1 = eO = - el eO ' c0 = e 12 = a .
Etant résoluble, B est contenu dans une sous-algèbre l de dimension trois de
A2 (cf2.1.9) . Ecrivons 1= B EB Ke
et soit V' un supplémentaire de [ dans A2 .
2

25
Pour tous x . y dans V' , cox E A2A2::: B , i = 0, 1,2 et x y E A2A2 = B.
1
Ecrivonseox=a.
eO+p· el ,i=O, 1 ,2etxy=a
eO+p
cI et
1
IX
IX
xy
xy
considérons (e
,... , en} une base de V', Si la structure de B est donnée par:
3
eOel ::: eO = - eleO' e02 = el 2 = 0, en posant
e2eO::: a eO + pel' e2e 1 = a' eO + P' el ' on a :
o ::: J(eO ' el' e2) = (cOc 1)e2 + (e 1e2)eO + (e2eO)c 1 =
::: eOe2 + (- a' eO - B' cI )cO + (a eO + pel)e 1::: - a Co - pel + p' cn + a eo
::: P' Co - pel ' D'où p = p' = 0 .
On obticnt alors ~
:::
[cO, el' e2]
= eOcl ® e2 - c2® eOel + Cl e2® eO - eO® el e2 + c2eO® el - Cl ® c~cO =
::: eO® ~ - e2® eO - a'eO® eO + eO®a' eO + a eO® el - el ®a eO=
:::(eO® e2 - e2® eo) + a(cO® el - el ® eO):t= 0 pour tout a E K .
Ce qui est absurde car D(A) est Lie-admissible.
Il en résulte que B cst un idéal abélien de A2.
Î=n
Supposons 1 abélien. Soit x::: L x,e · dans V', on a :
l
3
1
o
1=
=(~xeo + P2xe l) ® eO - eO® (a2xeO+ 13 e
2x l) +
(-aOxeO - POxe 1) ® e2 - e2 ® (-OoxeO - POxel)=
::: P2x(el ® eO - eO<&> el) - aOx(eO® e2 - e2® eo) - pox(e l ® e2 - c2® cI) ,
D' , A
A·
0 D
l"
l"
0
ou ..... 2x ::: ao
~
d . ,
A
x ::: ""'0:'::::
.
e meme, ega He
::: 2'1" r·.
.
1 con
u It a
el' e2 ' X
a2x ::: al x ::: Plx ::: O. Ainsi eOx ::: el x::: e2x ::: 0 pour tout XE V' cl
par suite 1 V'::: {O}.

26
Pour tous x , y dans V', 0 =~ <1>r
] = xy ® eO - eO® xy =
eO ' x , y
(uxyeO + pxye 1) ® eO - eO® (uxyeO + pxye l) = Pxy (el ® eO - e00 el) .
D'où P
=
xy
O. De même l'égalité 0 =~[
] nous dit que u xy =O.
el'x,y
Ainsi xy::: 0 pour tous x ,y dans A2. Comme e2 V' = {O} et (V')2 = {O} alors
2
V = Ke2 EB V' est un idéal abélien de A
B étant abélien ct BV = {O} on a A2 ::: BEBV(somme directe d'idéaux abéliens) .
Par suite, B ::: (A2)2 = {O} . Ceci est absurde car dimK B = 2.
Ainsi 1n'est pas abélien.
Supposons que dimK 1 2 ::: 1. Comme B::: Kea œKel est abélien, la
structure de 1est donnée par:
ele2::: eO::: - e2e l ,les autres produits étant nuls (cf 2.1.7).
l=n
Soit x::: l
xiei dans V' , comme 0 ::: ~ <1>[,
] :::
i=3
el' e2 ' x
:::ele2®x-x®el e2+e2x®el-el®e2x+xel®~-e2®xel=
::: eO® x - x ® eO + (~x eO + P2x el)® el - el ® (u2x eO + P2x cI) +
(- u lx eO - Plx el) ® e2 - e2®(-ulx eO - Plx el):::
l=n
::: l
Xi (eO® ei - ei® eO) + ~x (eO® el - el ® eO) -
i=3
ulx(eO® e2 - e2® eO) - Plx (el® e2 - e2® el)' alors xi::: 0 pour i::: 3,... ,n;
u2x::: u lx ::: Plx ::: O. En particulier V'::: {O} . Ceci conduit à A2 = 1et. par
suite B ::: (A2)2::: 1 2 . Ccci est absurde car dimKB ::: 2 et din:K 1 2 = 1 . Ainsi
dimK 1 2 ::: 2 et dOlic 1 2::: B . Du lemme 2.2.2 , de la classification 2.1.7 et de
ce qui précède, la st,ructure de 1est donnée par:
eOe2::: eO::: - e2eO; ei e2::: - el::: - e2e l ,les autres produits étant nuls.

27
l=n
Soit x = l
xi ei dans V' . Puisque 0 =~ <1>[
] =
i=3
eO ' e2 ' x
= eOe2® x - x ® eOe2 + e2x® eO - eO® ~ x + x eO® ~ - e2® xeO ::::
= eO® x - x ® eO + (~x eO+ ~2xel) ® eO - eO®(~xeO + ~2x el) +
(- aOx eO - ~Ox el) ® e2 - e2 ® (- Oox eO - ~Ox el) =
i=n
=.I
xi (eO® ei - ei® eO) + ~2x (el ® eO - eO® el) - Oox (eO® c2 - e2® eO) -
1=3
~Ox (el ® e2 - e2® el) alors xi = 0 pour i = 3 ~ "" n ~ ~2x = aOx = BOx = 0,
En particulier V' = {O} . Ainsi A2 =1 et le lemme est prouvé.
Lemme 2.2.6
Soient K un corps commutatif algébriquement clos de caractéristique zéro
et A une K-algèbre telle que A2 soit de Lie.
Si D(A) est Lie-admissible et dimK(A2)2 =3 alors A2 est une K-algèbre
de dimension trois dont la structure est donnée par:
eOe 1 = e2 = - el eO ' eOe2 =a e] = - e2eO ' C ] c2 = ~ Co = - c2e l '
c02 = c]2 = c22 = 0 avec a ~ ~ O.
En effet, soit {eO' e] , e2} une base de B =(A2)2.
Comme dimK B2 ~ dimK B =3 , supposons que B2 soit url idéal propre non
nul de A2. D'après le lemme 2.2.2 , la structure de B est donnée par:
0) el e2 = eO = - e2 el ' les autres produits étant nuls ou
(ii) Co e2= Co = - e2cO' e] e2 = - el = - e2 e] ,les autres produits étant nuls.
Dans chacun de ce~ càs , B est résoluble et est par conséqùdnt conrenu dans une
sous-algèbre 1 dc dimension quatre de A2, Posons 1 = B œk c3 el écrivons
eiej = aij eO + ~ ij el + y ij e2 ,i = 0 , l , 2 ,3 (car B est idéal de A2) .

28
1
Dans le cas (i) , on a
<f> [
] =
el' e 2 ' e3
=el e2® e3 - e3® el e2 + e2 e3® el - el ® e2 e3 + e3e l ® e2 - ci~~ e3e l =
= eO® e3 - e3® eO + (~3eO + ~23el + 'Y 23 e2)® el -
el®(~3eO+ ~23el +Y23~)+ (a3l eO+ ~3lel +'Y3le2)®~
e2®(a31eO+~3lel+'Y3l e2)=
=(eO®e3- e 3®eO)+a23(eO®el- el®eO) + 'Y 23(e2® el - eI0~) +
a3l (eO® e2 - e2® eo) + ~3l ( el ® e2 - ~® el) 1:- O. Ce qui est absurde car
D(A) est Lie-admissible.
De même, dans le cas (ii) , on obtient ~[
11:- O. Ce qui est absurde.
eO ' el' e3
Par suite B2 =0 ou B2 =A2.
Si B2 = 0 , on montre comme dans le lemme 2.2.4 que A2 = il EB V
(somme directe d'idéaux abéliens) . Ce qui conduit à B = (A2)2 = (O} qui est
absurde. D'où B2 =A2 et ,d'après la classification 2.1.7 , A2 est une K-algèbre
de Lie de dimension trois possédant la structure indiquée.
Théorème 2.2.7
Soient K un corps commutatif algébriquement clos de caracttristique
zéro, A une K-algèbre telle que A2 soit de Lie et B = (A2)2 l'idéal dérivé
de A2 . Les propositions suivantes sont équivalentes:
(1) D(A) est Lie-admissible.
(2) L'une des assertions suivantes est satisfaite:
(al) B = {O}
(a2) Si dirh
B = 1 alors A2 est une K-algèbre 'de Lie de dimension
K
deux dont la structure dst donnée par: eO el = el= - eleO.ei 2 = 0, i = 0 ,1 ou
A2 est une K-algèb~e de Lie de dimension trois dont la stru~ture esl donnée par:

29
el e2 = Co = - c2c 1 ' tous les autres produits étant nuls.
(a3) Si dimK B = 2 alors A2 cst unc K-algèbre dc dimension trois
dont la structure est donnée par eO e2 = eO= - e2cO . el e2 = - cl = - c2e 1 . tous
les autres produits étant nuls.
(a4) Si dimK B = 3 alors A2 est une K-algèbre dc Lie de dimension
trois dont la structure est donnée par:
eo el = e2 = - el cO, Co e2 = a el = - e2eO '
el c2 = ~ Co = - c2c I . a~:t:- O. tous les autrcs produits étant nuls.
En cffet , si D(A) cst Lie-admissible alors d'après le lemme 2.2.3 .
dimK B est inféricure ou égal à trois. Ainsi d'après les lemmes 2.2.4, 2.2.5. ct
2.2.6, on a (a2), (a3) ou (a4); sinon B = {a} c'est-à-dire (1) implique (2).
Réciproquement si B abélien alors D(A) est trivialement Lie-admissible.
Si (a2) , (a3) ou (a4) est vraie alors d'après la remarque 2.1.8 , 0(/\\) est
Lie-admissible et le théorème est démontré.

CHAPITRE III
Autour d'un théorème de TITS cr 13])
Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux,
A une K-algèbre de dimension finie et D(A) sa dupliquée non commutative.
L'objectif de chapitre est de montrer que si A2 est isomorphe à la K-algèbrc de
Lie simple de dimension trois (noté Y) alors D(A) est Lie-admissible et D(A)-
est une sous-algèbre d'une K-algèbre de Lie construite suivant un procédé de
Tits donné par le théorème suivant:
Théorème 3.0 ([ 15])
Soient B une K-algèbre de Jordan commutative, ID une K-algèbre de
J
Lie opérant sur B
par: IDx B ~ B ,(d, b) ~ d(b).
J
J
J
Soit < ,>: BJX BJ ~ ID une application K-bilinéaire antisymétrique vérifant
(1.1) < bb' ,b" > + < b'b", b> + <b"b, b'> = 0
(1.2) (b") = b(b'b") - b'(bb")
(1.3) [d, < b, b' >1 =< d(b) ,b" > + < b, d(b') >.
Alors la structure de K-algèbre de Lie de ID et les relations
(lA) [y ® b, y' ® b'l = (y ,y') + yy' ® bb'
(1.5) [d,y®b]=y®d(b)
1
où (y ,y') = 2trace(ady)trace(ady') est la demi-fonne de Killing. clélïnissent sur
le K- espace vectoriel ID EB (Y® BJ) une structure de K-algèbre de Lie sur
laquelle opère Y pd'r :
(1.6) [y, cl + y' ® hl ::: yy' ® b.

3.1 Quclques propriétés dc la dupliquéc non commutativc.
Soient A et M deux K-algèbres , D(A) et D(M) leurs dupliqUt:cs non
commutatives respectives.
Lemme3.1.1
Si M2 = M et s'il existe un morphisme injectif de K-algèbrcs f de M dans
A2 , alors il existe un morphisme injectif de K-algèbres g de D(M') clans
D(A) rendant commutatif le diagramme suivant:
D(M)
..
M = ~ 2
~M
g
f
*
D(A)
où ~(x ® y) = xY , X= M ou X= A
En effet, considérons l'application K-linéaire
g : D(M) ~ D(A) , x(8) y ~ f(x)® f(y) c'est-à-dire que g =f ® r . Comme le
noyau de g est Ker(f) ® M + M®Ker(f) où Ker(f) est le noyau de rd f est
injective alors g est injective. Soient xI ® YI ' x2® Y2 dans DUv1) :
(IlAog)(xl® YI) = IlA(g(xI® YI)) =
IlA(f(xI) (8) f(YI)) = f(xI)f(YI) = f(xIYI) = f(IlM(xI(8) YI)) = (foPrv1)(xl@ YI)'
Comme les xl ® Y1 (x 1 ' Y1 parcourant M) engendrent D(M) , on a :
fOIlM = IlA og ; d'où la commutativité du diagramme.
De plus g«x 1 ® YI )(x2@ Y2)) = g(x 1Y1® x2Y2) = f(x 1Y1)(8) f(x2 Y2') =
=f(x 1)f(y 1)® f(x2)f(Y2) = (f(x 1) @ f(y 1)(f(x2) ® f(Y2» ==
= g(xI® YI)g(x2 ® Y2)
.
. .
Par suite g est un morphisme de K-algèbres et le lemme e~1 démon! ré.

32
Lemme 3.1.2
Sail i\\ Llne K-algèbre. Le diagramme ci-dessous e~t commutatif.
D(A)
. - . .
AZ
'
DA
*
lm l1A
où
l1A: A2 -t D(A) vérifie ~A011 A = idA2
~ A : A2 -) J111 l1A ' x ~ 11 A(x) et jA est l'injection canonique et
ll11l1A = ( Tl A (x) , X E A2} . De plus ~ A est bijective.
En l'fkl, des définitions de ~A etjA' on a llA=jAo~ A'
Comme (PA oj A)(lnH1A) c A2 , il existe une et une seule application
K-linéaire jl A : ImllA -t A2 telle que jl. A = ~AojA'
11 en résulte que jl.Ao~A = ~AojAo~A = J.lAollA = id A2·
Soit x dans 11l111A; il existe t dans A2 tel que x = llA Ct) = ~ ACt) .
Par suite 1'1 A( Ç! A (x)) = ~ A ( Ç! A(fiA(t))) =
= ~ A( Çt A(f) A(t)) = ~ A(t) = x . D'où ~ A0 Çt A = id
.
ImllA
Il s'en su il ~dors que Çt A et ~ A sont des bijections réciproques l'une de l'autre.
Le lemme est ainsi démontré.
Lemme 3.1.3
Soienl A et M , deux algèbres telles que M = M2 et f : M -t A2 un
morphisme injectif de K-algèbres.
Soit g : D(ivl) -t D(A) , x ® y ~ f(x) ® fCy).

33
Si g(ImTl M) c lm TlA alors le diagramme ci-dessous est commutatif.
D(M) CIl
llM
M = ~.i
9
*
f
D(A) ..........I - - - - - - A2
Les notations utilisées sont celles des lemmes précédents.
En effet, comme g (lm Tl M) c lm TlA ' il existe une et une seu le
application K-linéaire g : lm Tl M ~ lm l'lA telle que j A 0 g =gojM .
Par suite goj MO~ M = jAog 0 ~ M . Ceci nous dit que
gol1 M =jAog o~ M' D'où IlAogoTl M =IlAojAo g o~ M'
Puisque IlAog = fOIl Met Jl A = IlAoj A '
on obtient fOIl MOTl M = Il A0 g 0 ~ M
et par suite f = Jl A0 g 0 ~ M . Il en résulte que
~ Aof = ~ A0 Jl A0 g 0 ~ M = g 0 ~ M car ~ A0 Jl A = idA2 .
Il s'en suitquejAo~Aof=jAog o~ M c'est-à-direjAo~Aof= goj MO~
D'où Tl Aof =goTl M et le lemme est démontré.
Proposition 3.1.4
Soient A et ~1 deux K-algèbres. DCA) = A2 X ND(A),
cp"
~
d
D(M) = M2 X NO(M) leurs dupliquées non commutative~ respeclives . Dans
CPM
.
•
les conditions du lelnrrie 3.1.3, on a: <PA(f(x), f(y)) = g (~M (x. y))
pour tous x , y dans M.

En effet, cp A(f(x) , Fey»~ = 11A(f(x»11A(f(y» - 11A(f(x) Fey»~ =
= 11A(f(x) 11A(f(y» -11A(f(xy» =(11Ao f) (x) (11A0f) (y) - (11Ao n(xy).
Comme 11A of = g 0 11 M et g est un morphisme de K-algèbres , on a :
cp(f(x) , Fey»~ = (g 0 11 M) (x) (g 011 M) (y) - (g 0 11 M) (xy) =
= g(11 M (x) 11 M (y) -11 M (xy» .
Par suite cpA (f(x) , Fey»~ = g (cp M(x , y» pour tous x , y dans M .
Cl désignant une variété de K-algèbres(associatives , alternatives, de
Jordan etc) on a le résultat suivant:
Corollaire 3.1.5
Soient A et M deux K-algèbres telles que M2 = M et f un isomorphisme
de K-algèbres de M dans A2. Si g (lm11 M) c lm 11 A
où g : x ® y~ f(x) ® Fey) de D(M) dans D(A) , alors les conditions suivantes
sont équivalentes.
(i) D(A) est une K-algèbre dans la variété Cl.
(ii) D(M) est une K-algèbre dans la variété Cl.
En effet, f étant un isomorphisme de M sur A2 ,
g : D(M) --) D(A) , X ® Y~ f(x) @ Fey) est un morphismé injectif de
r
-~
K-algèbres de D(M) détns D(A) . Il en résulte que D(M) esnsohlOrpllC à une
sous-algèbre de D(~) . Ceci nous dit que si D(A) est dans t~ vrlriété Cl , il en est
de même de D(M) " D'où (i) implique (ii).
Réciproquement si D(M) est dans la variété Cl , nous savons que M2 = M est
aussi dans la variété Cl. Comme A2 est isomorphe à M , i2 est dans la variété
~
',:.
Cl. La relation cpA([(x) , Fey»~ = g(cp M(x , y» quels que soient x , y dans M
\\
;
nous dit alors que D(A) est aussi dans la variété Cl .

35
Proposition 3.1.6
Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux et Y
une K-algèbre de Lie simple de dimension trois.
Si A est une K-algèbre telle que Y soit isomorphe à A2
alors O(Y) est isomorphe à une sous-algèbre de O(A) =A2 X ND(A) et
CPA
<PA (f(x) , f(y» = g (q>y(x , y)) pour tous x , y dans Y où f est l'isomorphisme de
K-algèbres Y ~ A2 et g : O(Y) ~ O(A) , x ® y ~ f(x) ® f(y) .
Pour prouver ce résultat, il suffit de montrer que g(Jm lly) c Iml1 A et
utiliser le lemme 3.1.3 et la proposition 3.1.4 . Soit donc {eO ' el' c2} une base
de Y pour laquelle la table de multiplication de Y est donnée par:
eOel = e2 = - eleO' eOe2 = el= - e2eO' ele2 = eO = - ~el les autres produits
étant nuls (cf 2.1.3).
Soit lly: y ~ O(Y) définie pout tout x = xOeO + xlel + x2e2 dans Ypar:
lly(x) = xOe l ® ~ + x 1 Co ® e2 + x2 eO® el . II est immédiat que lly est
K-linéaire et J.lyOllV = id A2 . De plus on a O(y) = y X NO(Y) olt
CPy
<py(x , y) = lly (x)~y(y) - lly(xy) pour tous x, y dans Y .
,
Comme {f(eO)' f(b l ), f(e2)} est une base de A2, considérons
llA : A2 ~ O(A) ~éfihie pour tout x = Xo f(eO) + xl f(e 1) +x2f(~ 2) dans A2
par llA(x) = Xo f(ei)® f(~) + xl f(eO) ® f(e2) + x2 f(eO) ® f(el) .
On a alors D(A) =A2 X NO(A) où <PA(x, y) = llA(x)l1AY) -llA(xy)
..
.• cp A
pour tous x , y dans A2 .
lm llA est engend~é par f(eO)® f(el) = g(eO ® el) , f(eO) ~ f(e2) = g(eO® e2) et
f(e 1) ® f(e2) = g(e
®e2)' Comme eO ® el' eO®e2 et el ®c2

36
engendrent lm T\\y , on a g(lm 'ly) c ImT\\ A .
Corollaire 3.1.7
Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux et Y
une K-algèbre de Lie simple de dimension trois.
Si A est une K-algèbre teIle que A2 soit isomorphe à Y
(en tant que K-algèbres) alors D(A) est Lie-admissible.
En effet, les conditions de la proposition 3.1.6 sont vérifiées et comme
D(Y) est Lie-admissible (cf 2.1.3) , d'après le corollaire 3.1.5 , D(A) est Lie-
admissible.
3.2 Du théorème fondamental.
Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux et Y
une K-algèbre de Lie simple de dimension trois.
Soit BJune K-algèbre de dimension finie p ;!; adont la table de
multiplication relative à une base { b i } , i = a , 1 ,... , p-l est donnée par:
bO2 = bOet tous les autres produits nuls. Désignons par S le sous-espace
vectoriel de BJ engendré par b
,... , b _ ' On note que BJ est ulle algèbre
l
p 1
commutative et que B S = ( X)< XE 8 ' Y ES} = {a} .
J
J
De plus KbOest un idéal de B et B est une
J
J
K-algèbre associative et donc de Jordan.
Pour tous x , y dan_:s !3J' la dérivation intérieure de BJ définie par le couple
(x , y) est < x , y > : Z ~ x(yz) - y(xz) ([ 15]) .
.
.
Comme BJ est c6mmutative et associative, l'ensemble des dérivat ions
intérieures de B est lM B
= {a}.
J
J

37
Soit rD le sous-espace vectoriel de End 8
K J dont les éléments d vérifient:
.
.
d(bO) = 0 et pour tout i = l, ... , p-l, d(b i) = a~bi ' a~E K . Montrons d'abord
que ID est un ensemble de dérivations de 8 J . Soient d dans ID , x , y dans 8J ;
comme xy E Kb et d(x) ES, on a d(xy) =0 , d(x) y = 0 et xd(y) =0 .
O
Par suite x dey) + d(x)y = 0 + 0 =d(xy). Si d et d' sont dans ID ,
.
.
. .
d(d'(b )) = d(O) = 0 et d(d'(b i)) = d (a~, b i) = a~, d(b i) = a~, a~b i =d' (d(b i))
O
pour tout i = l ,... , p-l. Ainsi dod' =d'odE ID . Par suite ID est une K-algèbre
commutative de dérivations de 8 J .
Proposition 3.2.1
Le K-espace vectoriel E = IDEB (Y ® 8 )
J muni de la multiplication:
[d + y ® b, d' + y' ® b'] = y' ® d(b') - y ® d'(b) + yy' ® bb' est une K-algèbre de
Lie. Les notations utilisées étant celles qui précèdent.
En effet, soient d + y ® b , d' + y'® b', d" + y"® b" dans E
[d + y ® b , d + y ® b] = Y® d(b) - y ® d(b) + yy ® b2 = 0 + o® b2 = 0 .
On a donc
(i)
[d + y ® b , d + y ® b] = 0 pour tout d + y® b dans E.
[[ d + y ® b , d' + y' ® b'] , d" + y"® b"] =
[y' ® d(b') - Y® d'Ch) + yy' ® bb', d"+y"® b"] =
= -y' ® d"(d(b')) + y ® d"(d'(b)) - yy'® d"(bb') + y'y"® d(b')b" - yy"® d'(b)b"
+ (yy')y"® (bb') bIt =
=-y' ® d"(d(b')) + y ® d"(d'(b)) - yy' ® d"(bb') +(yy')y"® (bb')b".
De même [[d' + y'®, b\\ d" + y"® bIt] ,d + y ® b]
=- y"® d(d'(b")) +y'~ d(d"(b')) - y'y"® d(b' b") + (y'y")y ~ (b' b") b et
;-
,
[[d" + y"® b", d + y @ b] , d'+ y' ® b']=
= - y ® d'(d"(b)) + Y"® d'(d(b")) - y"y® d'(b"b) + (y"y)y'® (b"b)b'.
. "

38
Ainsi JE (d + y® b , d' + y'® b', d" + y® b") =
=-y' ® d"(d(b')) + y ® d"(d'(b)) - yy' ® d"(bb') + (yy')y"® (bb')b"
- y"® d(d'(b")) + y'® d(d"(b')) - y' y"® d(b' b") + (y' y")y® (b' b") b
- y® d'(d"(b)) +y"® d'(d(b")) - y"y® d'(b"b) + (y"y)y'®(b"b)b'.
Comme les dE D commutent, B
=
1 BJ
KbOet BJ est associative ct
commutative, on a : JE (d + y® b, d' + y'® b', d" + y"® b") =
Jy (y , y' , y")® bb'b" = o® bbb". On a ainsi:
(ii) JE (Xl' X2 , X3) =0 pour tous Xl' X2 , X3 dans E.
De (i) et (ii) , il vient que E est une K-algèbre de Lie.
Proposition 3.2.2
Y opère sur la K-algèbre de Lie E =ID œ(Y ® B )
J
par: [y , d' + y' ® b' ] = yy' ® b'.
En effet, soit p :y-~ End
(E)
K
y~ Py : E~ E
d' + y' ® b' ~ yy' ® b' = [y , d' + y' 0 b' 1.
Soient YI' Y2 dans Y et a dans K. Pour tout d' + y' ® b' dans E
[a YI ' d' + y' ® b' J =(a YI ) y' ® b' =a (YI y') ® b'
= a [ YI' d' + y' ® b' ] el p
=a p
a YI
YI
[YI + Y2 ,d' + y' ® b' ] =(YI + Y2 )y' ® b' = YI y' ® b' + Y2 y '(8) b'
= [YI' d' + y' ® b' ]+ [Y2 ' d' + y' ® b' ] et donc p
=p
+ P
.
•
YI+Y2
. YI
Y2
Par suite pest K-liriéaire .
De plus [YI Y2' d' + y' ® b'] = (YI Y2)y'® b' =(- (Y2y')YI - (y' YI)Y2) ® b' car Y

39
est de Lie. D'où [ YI Y2 ,d' + y'® b'] =YI ( Y2y')®b' + Y2(Y'Y 1)® b' =
= YI (Y2 y') ® b' - Y2( YI Y') ® b' =
par suite p
=[p
,p
]. On a ainsi montré que p est un morphisme de Lie
YI Y2
YI
Y2
et c'est ce qu'il fallait.
Théorème 3.2.3
Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de deux
Soient A une K-algèbre de dimension non nulle n et Y une K-algèbre de
Lie simple de dimension trois.
Si A2 est isomorphe à Y (en tant que K-algèbres) alors il existe une
K-algèbre de Jordan 8
non nulle de dimension p telle que
J
ID œ(Y ® 8 )
J soit une K-algèbre de Lie sur laquelle opère Y par:
Py(d' + y' ® b') =yy' ® b' où ID est une K-algèbre de dérivations de BJ
contenant les dérivations intérieures. De plus D(A)- est isomorphe à une
sous-algèbre de ID œ(Y ® 8 ) .
J
En effet, soit f: Y ~ A2 un isomorphisme de K-algèbres. D'après 3.1 ,
g : D(Y) ~ D(A) , x ® y ~ f(x) ® Fey) est un morphisme injecl if de
K-algèbres et <PA (f(x) , f(y)) =g (<py(x , y)) pour tous x , y dans Y. De plus
D(Y) et D(A) sont Lie- admissibles. D'après 3.1 ,3.2.1 et 3.2.2 il reste à définir
;
.~
un morphisme injectif de K-algèbres de D(A)- dans ID œ(! ® 8 ) .
J
Soit { eO ' el' e2 } une base de Y. Comme c!>y (CO ,C 1) , <Dy (cO, e2 ) et
C!>y (el' e2) sont linéairement indépendants dans D(Y) (cf2.1J). il existe une
base 80 u 81 de D(A) où Ba = {f(eO) , f(eO) , f(e2)} est une base de A2 et

40
B} = {A(f(eO ) , f(e} )) , A (f(eO) ,f(e2)) ,A(f(e}) , f(e2 )) , 1117 ' ... ,
mn21
est une base de ND(A) . Soit Fa uF2 ,une base de ID EB (Y ® BJ) où
FO= { e· ® b· } , i = a , l , 2 ; j = a , l , ... , p-1 et F2 est une base dc 1D.
1
J
Comme la dimension n2 de D(A) s'écrit n2 =3q , n2 = 3q + 1 ou 112 =3q + 2
pour un enticr q , discutons suivant les cas.
Cas où n2 =3q .
Posons dimK 8
=
J
q. Soit F: D(A) ~ ID EB (Y ® 8 ) ,
J
f(X) + m ~ 2X® bO- 2 (X - 2 (012 eO + 002 cl + 001 c2)) ® bl où
m =00} A(f(cO) , f(e 1)) + 002 A(f(cO) , f( e2 )) + 012 A(f(c 1) . f( c2))
+.
l
~3i+k m3i+k . On vérific facilcmcnt quc F cst K-linéairc .
l=~...~-l
k-I,L,3
Soit f(X') dans A2 où X' = x'o eO + x'} e} + x'2 c2 et
m' = a'Ol A (f(eO)' f(c i )) + a'02 A (f(eO)' f( e2)) + a'12 A(I'Cc I), f(e2))
+.
l
P'3i+k fi3i+k dans ND(A) . Alors
l=~"'J.,q-1
k-I,L,3
[f(X) + m , f(X') + m' ] = [f(X) , f(X')] + A(f(X) , f(X')) ==':_,
f([X , X']) + (xO x' l - xI x'O)A(f(eO ' f(e l )) + (xOx'2 - x2x''o)A(((cO) , f(c2)) +
(Xl x'2 - x2 x'I)A(f(e l). f( e2))' Ainsi F([f(X) + m, feX') + in']) =
=2[X • X' l®bO- 2 ([X, X' ] - 2 «xOx'l - xI x'O) e2 +
(xO x'2 - x2 x'O)e 1 + (x 1 x'2 - x2 x' l )e0))® b l . Comme [X , X' 1= 2XX' =
. ,
2 «xO x' 1- Xl x'o ) ('2 + ( xOx'2 - x2 x'O) CI + (x 1 x'2 - x2 )(' 1) cO) ,
on a F([f(X) + fi , f(X') + m' ]) = 2[X , X' ]® b =4XX'
O
(8l bO'
Des multiplications dc B , Y et IDEB (Y® B ) , il vient que,
J

41
[F(f(X) + m) , F(f(X') + m') 1=
=2[X , X' ]® b 2 =4XX' ® b =F([f(X) + m , f(X') + m' ]) c'est-ü··dire Fest
O
O
un morphisme de K-algèbres de D(A)- dans ID œ(Y ® BJ) .
Enfin, si F(f(X)+m) =0 , comme b ' b l' ... , b _
O
p 1 constituent unc base de B,
on a ( [4]) , X =0 , X - 2(a12 eO + a02 el + aO 1 e2 ) =0 et
~3i+l eO + ~3i+2 el + ~3i+3 e2 = 0, i= 2, ... , q-l.
Par suite X =0, al2 =a02 =a0 1 =0; f3:3i+l = ~3i+2 = ~3i+3 =0,
i =2, ... , q-l . Ainsi F(f(X) + m) =0 implique f(X) + m =0 . Par su ite Fest
injective. F étant un morphisme injectif de K-algèbres de D(A)- dans
ID œ(Y ® B ) , D(A)- est isomorphe à F(D(A)-) .
J
Dans le cas où n2 = 3q + l, posons dimK BJ =q+ 1 et pour r(X) + m =
f(X) + Ual <IlA (f( eO ) , f(el )) + a02 <IlA (f( eO ) , f( e2 )) +
a12 <IlA (f(el ), f( e2)) +._ L
~3i+k m3i+k + ~3q+l m3q+l ' on pose
l-~"'S-l
k-l.L,3
F(f(X) + m) =2X ® bO - 2 (X - 2(Ual e2 + a02 el + a l 2 eO)) ® b l +
._ L _ ~3i+k ek-l ® b i + ~ 3q+l Co ® bq .
1-2....S 1
k=l,L,3
Dans le cas où n 2 =3q+2, posons dim
B
=q+l et pour tout
K
J
f(X) + m = f(X) + aO 1 <IlA(f(eO ' f(e 1)) + a02 <IlA (f( eO) , f(e2))
+ Cl12<IlA (f(el) , f( e2 ))
+ ._ L _ ~3i + k m3i + k + ~3q+1 m3q+1 + ~3q+2 m3q+2'
l-~..."q 1
k-l.L,3
on pose F(f(X) + 01) == 2X®bO - 2(X - 2(aOle2 + Ua2 el + a l 2 C'O))® b l +
._ l
~3i+k ek_l®b i + ~3q+1 eO ® bq + ~3q+2 è'}® bq'
l-~..."q-l
k-l.L.3
Comme dans le ca n2 = 3q , on montre que F est un morphisme injectif de

42
K-algèbres de D(A)- dans IDEB (Y ® BJ). Le théorèr:ne est ainsi démontré
Exemple 3.2.4
Soit A la K-algèbre de dimension 4 dont la table de multiplication
relativement à la base {eO • el • e2 • e3} est donnée par:
el e3 =el ' e2 e3 =e2 ' tous les autres produits sont nuls. A n'est pas une
K-algèbre de Lie. Mais A2 qui est engendré par: Co ' el ' e2 est isomorphe à Y
(K-algèbre de Lie simple de dimension trois) et D(A) est Lie-admissible.
Soit B} une K-algèbre de dimension 6 dont la table de multiplication
relativement à une base { bO•b 1 ' b2 • b3 • b4 ' bS} est donnée par 1\\) 2 = bOet
tous les autres produits sont nuls. B
est alors une K-algèbre commutative et
J
associative. Considérons le K-espace vectoriel Y ® B
muni de la slructure de
J
K-algèbre définie par: [y ® b • y' ® b'] = yy' ® bb' . Y ® B} est alors une
K-algèbre de Lie sur laquelle Y opère par: Py(y' ® b') = yy' @ b'.
Soit B= {eO ' el' e2 • cI> (cO, el) ,cI> ( eO ' e2 ) , cI> (el' e2) • m7 ..... m16 }
une base de D(A) et Fa ={ei® bj } , i =a, 1 • 2 et j =a,1,,' 2 , 3 , 4 ,Sune
base de Y ® BJ . Soit F =D(A) ~ Y® B} définie pour tour
"
X + m =X + aO 1cI> (eO • el ) + a02 cI> (cO, e2 ) + a 12 cI>(ë 1 ~ e2 )
+ i=h 4 ~3i+k m3i+k + ~ 16m16 par:
'.
k=l:2',3
F(X + m) =2X® b() - 2 (X - 2( a 12 Co + a 02 el + nal e)))® b +
1
i=h4 133i+k ek-l ~ bi + 1316 eO ® b 5"
k=1)',3

43
F est un morphisme injectif de K-algèbres de D(A)- dans Y ® B .
J
Il vient que D(A)- est isomorphe à une sous-algèbre de Y ® B .
J

44
CHAPITRE IV
De la Décomposition de Peirce au sens de Micali-Ferreira .
Dans ce chapitre, nous donnons une caractérisation des algèbres de
dimension finie dont la dupliquée non commutative admet une décomposition
de Peirce au sens de Micali - Ferreira . Nous caractérisons également les
algèbres de dimension finie qui admettent une décomposition de Peirce au sens
de Micali-Ferreira , dont la dupliquée non commutative est Lie-admissible.
4.1 Rappels: Décomposition de Peirce.
Définition 4.1.1([7])
Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre . Le noyau N(A) de A
est l'ensemble des éléments r de A tels que (r , x , y) =(x , r , y) =(x , y , r) =0
pour tous x ,y dans A . Le noyau alternatif Nal(A) de A est J'ensemhle des
éléments r de A tels que (x , r , x) =0 et (r, x , y) = (x , r , y) = (x , y , r) pour
tous x , y dans A .
Lemme 4.1.2 ([7])
Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre . Les propositions
suivantes sont équivalentes.
(1) e est un idempotent de A et e E N(A)
(2) A = A Il EB Al 0 Œ AO1 EB Ano (somme directe de K-csp~\\ces
vectoriels) où
Aij = {XE A , ex =IX , xe =jx} , i ,j =0 ,let les relations suivantes sont
satisfaites:
Aij Akl C Ùjk Ail . i ,j , k , l =0 , 1 où Ùjk = 1 si j =k . Ù =0
jk
si j ;t k.

45
Lemme 4.1.3 (l7D
Soient K un corps commutatif et A une K-algèbre. Les propo:-\\itions
suivantes sont équivalentes:
(1) e est un idempotent de A et e E Nal(A)
(2) A = AlI EE> AIOœ A 01 œ AOO (somme directe de K-espaces
vectoriels) où A =
ij
{x E A ,ex =ix ,xe =jx} , i ,j =0, l et les relations
suivantes sont satisfaites:
Aij Aij C Aji ' i ,j = 0 , 1 : AijAjl C Ail ' i, j , 1= 0, l:
AijA kl = 0 ,j * k , (i ,j) * (k , 1) .
Soit e un idempotent d'une K-algèbre A. Si e E N(A) alors e E Nal (A) .
Si le lemme 4.1.3 est vérifié, nous disons que A = A II EBA 1OEBAO1EBAOO est la
décomposition de Peirce de A au sens de Micali-Ferreira relativement à
l'idempotent e.
Décomposition de Peirce au sens usuel
1
Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de deux,
contenant au moins quatre éléments distincts. Soit A une K-algèbre à
1
puissances associatives et e un idempotent. Alors
1
(R) : A = AI EB Al EB A (somme directe de K-espaces vectoriels) où
O
2
1
A i = [x E A , ex = ix =xe} , i =0 ,let Al = {x E A , e~ + xe = x J.
2
1
Les Ai' i = 0 , l, 1 vérifient les relations suivantes CI 14D.
1
l'
1
AlAoC AI EB Al
2
2
J
~

46
(4) A1Al cAl G1 AO
2 2
(5)A·A·cA·tf)A·
i,j=O,l
1
1 -
1
J
(6) si Xi Yi == zi + Zj et Yi Xi == z'i + Z'j alors Zj == - Z'j , i , j = 0,1.
De plus si (e , e , x) == (e , x , e) = (x , e , e) == 0 alors
(Re) : A == A Il E9 A IO E9 AOI tf) AOO (somme directe de K-espaces vectoriels)
où Aij == {xij E A , eXij == ix , Xij e =jx } , i, j =0,1 et les Aij , i , j =0 , l
vérifiant des relations plus fines que celles ci-dessus citées ([2]) . Notons que si
(R) et (Rc) sont deux décompositions d'une K-algèbre A relativement à un
idempotent e, on a Al = AlI' Al == A 1oEt> 1\\01 et A =
O
AOO ' Nous dirons que
2
la relation (R) ou (Rc) est une décomposition de Peirce de A au sens usuel.
Exemple 4.1.4
Soit A une K-algèbre de dimension quatre dont la table de multiplication
"
,
" 4-
relativement à une base {eO ' el' e2 ' e3} est donnée par:
..
e02 =eO' eO el= el' e l e2 == e3 == - e2 el' e2eO== e2' les autres produits sont
nuls. On vérifie que A est à puissances associatives; eO est un idempotent de A
vérifiant (eO' eO ' x) == (eO ' x , eO) == (x , eO ' eO) == a pour t~us x , y dans A .
Par suite, A possède uMe décomposition de Peirce au sens rlsUêl (R c)
relativement à eO donnée par:
A == AlI tf) A IO E9 AOI G1 AOO où
AlI == Kea, A la == Kel ' AOl =Ke2 ' AOO == Ke3' fvlais comme
(eo ' el ' e2) == e3 ét (e 1 ' eO ' e2) == 0 , A n'a pas de décomtositioll cie Peirce au
sens de Micali-Ferréird relativement à eO .

47
4.2 Décomposition dc Peircc et Dupliquéc non commutativc .
Dans ([ 10 ]) , il est donné une caractérisation des algèbres dOllt la
dupliquée non commutative est à puissances associatives. Par suite si A est ulle
telle algèbre, les décompositions de Peirce de A2 et celles de D(A) sont
connues. Nous donnons ici d'une part une caractérisation des algèbres dont la
dupl iquée non commutative admet une décomposition de Peirce au sens de
Micali-Ferreira ct d'autre, part une caractérisation des algèbres admettant une
décomposition de Peirce au sens de Micali-Ferreira dont la dupliquée non
commutative est Lie-admissible.
Soient K un corps commutatif de caractéristique différentc de cieux. A
une K-algèbre ct D(A) = A2~ ND(A) sa dupliquée non commutati\\'c . Tl est
alors immédiat que les assenions tic est un idempotent de A2" et "(c. 0) est un
idempotent de D(A)" sont équivalentes. Pour une raison de cOlllnlCldité . nous
considérons ici les éléments de D(A) camille des couples.
Lcmme 4.2.1
Soit e un idempotent de A2. Alors les assertions suivantes sUllt
équivalentes .
(1) (e, 0) E Nat D(A)
(2) D(A) = 0 11 EB 010 EB 001 EB 0
(somme directe de K-cspaccs
00
vectoriels) où D =
ij
{(x..
m .. ) E D(A)/ (e O)(x..
m··) = i(x··
m.. )
IJ'
IJ
' I J '
IJ
IJ'
IJ'
(xij' m ij)(e, 0) =j(xij ,Ill ij)} pour i ,j = 0.1 . Les Dij , i ,j = 0.1 vérifient:
Dij Dij c Dji ' i ,j = 0 ,1 ; Dij Dj1 c Dil ' i ,j , 1= 0 , 1
Dij Dkl = { 0 } ,j / k ; (i ,j) :t:- (k , 1) .
(3) e E Nal (A2) ct pour tous x , y dans A2,
<p(ex ,y) = <p(e , xy) ; <p(xe ,y) = <p(x ,ey) ; <p(xy ,e) = <pU . ye)

4R
La démonstration dc cc théorème résulte dc la muitiplicatiull de
O(A) = A2 ~ NO(A) et du Lemme 4.1.3 .
Soit A une K-algèbre telle que O(A) possède une décompo~ition dc Peirce
au sens de Micali-Ferreira O(A) = °11 EB 010 EB 001 EB 0 00 relativemcnt à un
idempotcnt (e, 0) et soit A2 = (A2)11 EB (A2)10 EB (A2\\)IEB (A2)OO la
décomposition de Peircc de A2 au sens de Micali-Ferreira relativcmcnt à
l'idempotent e.
Nous poserons (A2) ij = Bij , i ,j = 0 , 1.
Lemme 4.2.2
0
= {(x, <p(e, x)), XE B
ct <p(e, x) = <p(x, e)}.
11
ll
Eneffet,si(xII,mll) E 0 11 ,(e,O)(xII ,mll)=
(e x Il' <pee , x )) = (xII' mIl) et (xII' XIl) (e , 0) = (x Il e ,<p (x 11 ' e)) =
(x Il ' mIl)' D'où xII E BII et <P(xII ' c) = <pCc , XII) = mIl et p;tr suite
0 11 C {(xI1,<p(e,xll)),xll E Bll et<p(e,xl1)=<p(x11,e)}.
Soitxll E B ll telque<p(e,xll)=cp(xll,e).
Alors (xII' <pee, XII)) (e, 0) = (XII e ,<p(x Il ,e)) =
= (xII' <P(xil ,e)) = (cx ll ' <p(e, XII)) = (e, O)(xI I ,<P(x 1I ,e)).
Par suite Dl 1 = {(xll,<p(e,xll)),xlIE B ll et<p(e,xll)=<p(xll,e)}.
Lemme 4.2.3
DIO = {(x, tp(e, x)), XE BIO et <pC x, e) = O} .
001 ={(x,~(x,e)),xE BOl et<p(e,x)=O}

49
En effet, si (xIO' mlO) E DIO' on a
(e, O)(xIO' mIO) = (exIO' <p(e. xIO)) = (xIO' <p(e, xIO)) et
(x 10' mIO)(e, 0) = (xIOe . <P(xIO' e)) = (0,0);
anisi xI0 E DIO et <P(xIO' e) = O.
Réciproquement si xIO E BIO et <P«xIO' e) =0 alors
(e , O)(x 10 ' <pee , xIO)) = (ex 10 ' <pee , Xl 0)) =(xl 0 ' <pee . Xl 0)) ct
(xIO' <p(e, xIO)) (e, 0) = (xIOe , <P(xIO' e)) = (0,0).
D'où (xIO' <p(e, xIO)) E DIO'
On montre de même que
001 = {(xOl ,<P(xOl ,e)),xOIE BOl et<p(e,x01)=0}.
Lemme 4.2.4
0
= BOO XNO(A) (produit d'espaces vectoriels) .
00
En effet ,si (xOO . mOO) est dans 0 00 ' (e ,0) (Xoo ' mOO) =
(exOO ' <pee , x)) = (0 ,0) ct (xoo • moo)(e ,0) = (xOO e , <p(XOo . e) = (0 , 0) .
Par suite Xoo E BOO et <p (xOO ' e) = <p(e , xoo) = 0 . Ainsi 0 00 c BOO x ND(A) .
Montrons maintenant que BOO x NO(A) c 0 00,
Soit (x ,m) E (BOO x NO(A)) n (0 11 EB 001 EB DIO) . Il existe y Il E BII ,
zIO E BIO' ZOI E BOl tels que
(x. m) = (YI l' <p(c. XII)) + (1.01' <P(1.OI' e)) + (1.10' <p(e. 1.10))'
Alors, d'une part (e , O)(x , 01) = (0 , <pee , x)) =
(YII ' <pee 'YII)) i. (zIO' <pee ,zIO)) =
= (YII + zIO' <p(e, YII) + <p(e. zI0)) et ceci nous dit que Yll + 1 10 = 0;

50
par suite YII = - zlO E 8 11 n 8 10 = (O} ; d'autre parl (x ,m)(e, cn =
(0, <p(x ,e)) = (YII ' <P(YII ,e)) + (zOI ' <P(zOI ,e» =
= (y Il + Zo l' <pCe , y II ) + <p(ZO l ,e)).
D'où Y Il +zOI =0 et,parsuiteYll =-zOl E B11 nB01 = fOl.
On obtient ainsi x = Yll + zOl + zlO = 0 et
m = <p(e, YII) + <pee ,zlO) + <P(zOI ,e) = O. On a alors
(BOO x NO(A»n(011 EBOOI EBOIO)={(O,O)} . Il vient alors que
BOO x NO(A) = (BOO x NO(A» n O(A) c
(BOO x NO(A)) n (0 11 EB 001 EB DIO) + (BOO x NO(A) n 0 00 c 0 00
Remarque 4.2.5
Nous avons les égalités suivantes:
<pee , x) = <p(x , e)
pour tout x E B11 ;
<p(x , e) = 0
pour tout x E BIO;
<pee , x) = 0
pour tout x E BOl;
<pee , x) =<p(x , e) =0 pour tout x E BOO'
Lemme 4 . 2 . 6 , ..
Si e est un idempotent de A2 tel que (e ,0) E NaICb(À)) ,
on a : B Il = Ke .
.
.
En effet, cdmme B II est une sous-algèbre de A2 «(fone de A) et
2 '
B11 = B 1l ,on (1 O( B11) = B11~ ND(B 11) c A2 ~ Nri(A) (en. 1. 1).
.
,
De plus No(S II) est engendré par les <p(x , y) , x . y E B11 ([ 10 /) .
-, .~

51
Soicnt (x . <pCc . x» ct (y , <pCc . y)) dcux élémcnts dc 0 Il
on a (x , <pee , x)) (y . <pcc .y)) = (xy , <p(x , y)) est dans 0 11 car D Il est unc
sous-algèbre dc O(A) . D'où (c , O)(xy , <p(x ,y)) = (xy , <p(x , y» =
(e(xy) , <p(c , xy» ct (xy , <p(x , y))(e ,0) =(xy , <p(x , y)) = «xy) c . cr(xy . c)).
Par suite <p(x , y) =<pee . xy) = <p(xy ,e) pour tous x ,y dans B l1 .
Soit {eO' el ' ... , ek-l } une base de B l1 où Co =e.
Comme Ics <p(x , y) =<p(cO . xy) , x , YE B Il engendrent NO(B Il) .
les <p(cO . CiCj) , i ,j =0 . l , ... ,k-I engendrent NO(B 11) .
r=k-)
Puisque eicJ' = l
a~J' cr . ND(A) est donc cngendré par les
r=()
r=k-)
r=k-)
<p (cO, l
ur· e
J r) = l
urJ·<p(eO' e r) . Par suitc dimK NO(B 11 ) :; k .
r=O
r=O
Il cn résulte que k2 - k ~k . D'où k = 1 ou k = 2 .
Si k =2 . alors e 12 =a Co + ~ el' a , ~ E K et ND(B 11) est cngeIl Li ré par
<p(cO' cI) = <p(el ,eO)) et <p(el ,el) = <p(eO' c1 2) = ~<p(eO' el)'
Par suite dimKNO(Bll) = 1.
Ce qui est absurdc car dimK NO(B II) =2 . On conclut donc que k = ]
c'est-à-dire B Il =Ke.
Théorème 4.2.7
Soient K un corps cornmutatifct A une K-algèbrc . Les asscl1ions
suivantes sont équivalentcs .
(l) O(A) admet une décomposition dc Pcirce au sen'; dc rvlicali-Pcrrcira
relativement à un i~erhpoteint (e ,0).
(2) dimK A~ = 1
De plus O(Â) = K(e ,0) œNO(A) .

52
En cffet , si O(A) admct unc décomposition dc Peirce au Sl'rl~ cie Micali-
Ferreira relativement à un idcmpotent (e , 0) , alors de ce qui précl~d(' .011 a
O(A) =K(e, 0) EB {(x, <p(e, x)), X EBla} EB {(x, <p(x, e)), x E Bol}ED
œ( BOO x NO(A)) où A2 = Ke EB BIO EB Bal EB BOO est la décomposition de
Peirce de A2 au sens de Micali-Ferreira relativement à e. Si x est un élément
non nul dans BOO alors <p (e , x) = e ® x =1:- a . Ceci contredit le fait que:
<p (e , x) = a pour tout x dans BOO donc BOO = {a}.
Si x est un élément non nul dans 8 01 alors <pee , x) =e®x =1:- O. Ceci conlrcdit le
fait que <pee , x) = a pour tout x dans Bal ~ donc Bal = (a) .
On montre de même que BIO = {O} Ainsi A2 = Ke.
Par suite O(A) = K(e , O)EB NO(A) . La réciproque est évidente.
Lemmes 4.2.8
Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de deux et A
une K-algèbre telle que A2 soit Lie-admissible. Si A2 est non abélien et
dim
(A2)2>4 alors O(A) n'est pas Lie-admissible.
K
En effet, comme dimK(A2)2 >4 , il existe dans A2, au moins qualre
vecteurs ei ' ej , ek ' ep linéairement indépendants tels que quatre au moins des
produits eiej , eiek ' eiep , ejek ' e/p ,..... soient non nuls et distincts.
Soit alors ei ' ej , ek ' ep , fI ' ... , fn une base de A2 . Désignons par 8 le
sous-espace vectoriel de A2 engendré par ei . ej , ek . ep ef par V le sous-espace
vectoriel de A2 engendré par fI ' ... , fn .
Si B est un~: so~s-algèbre non abélienne de A2, on mOI~tre comme dans
(2.2.3) que O(A) ~'est pas Lie-admissible.
Si B est uné sous-algèbre abélienne de A2, il existe l' dans (i , j , k , p)

53
et r >1 tcls que [ci' , fr 1"# a ou bicn
il existe r' ,s' dans {1, ... , n} tcls quc [Fr' , fs'] "# a .
Si [ci' , fr 1"# a, écrivons [ei' , fr ] = x + y"# 0 , x = Xiej + x/j + xkck + xpcp
s=n
dans B et y =
L Y/s dans V . Alors <1>[
f
l =
s=1
"
ei"
r' ek
= [e i" fr]® ek - ek® [ci" fr] + [fr , ek]® ei' - ei' ® [fr , ek1 =
= (x + y)® ek - ek® (x + y) + [fr , ek1® ei' - ei'® [fr , ek1 =
= x·(e·® ek - ek® e·) + x·(e·® ck - ck® c·) + x (c ® ek' - ck' ® c ) +
"
. ,
JJ
. .
J
P P '
.
P
s=n
s~l ys(fs ®ek - ek®fs) + [fr , ek1® ei' - ei' ® [fr , ek1 . Comme x et y ne sont
pas tous nuls, il existe iO E {i, j , k , p} ou So > 1 tels que \\0 "# a ou y "# a .
sa
Si Y= 0 , pour k "# iO' iO"# i' ct k "# i' on a <1>[ ., f
l "# 0 .
e, ' r' ek
Si Y"# 0 , pour k "# i' on a <1>[
f
·1 "# O. Ainsi D(A) n'est pas
ei"
r' ek
Lie-admissible.
Si [Fr' , fs'] "# 0, écrivons [fr, , fs' 1= x + y"# 0 x = x·e· + x·e· + xkck + x C
,
11
JJ
. ,
pp
s=n
dans B et y = L Ysfs dans V .
s=1
Siy=a,<1>[f
f
]"#acarxestnonnul.
r"
"
s
ek
Si Y"# 0 , il existe au moins todans { l , .... , n } tcl que y "# a .
to
Pour ta "# r' et ta "# s'on a <1>[ f, f,
1 "# a. Par suitc DU\\.) n'est pas
r . s . ck
Lie-admissible.
.
..
Supposons r11alt1tenant que B n'cst pas une sous-algèbre de A2.
Considérons alors rB lB] .

54
Si [B. Bl cr.. B. soicnt i' .j' dans {i ,j. k, p} tcls quc [ci" cj'l = x + y i= O.
s=n
x = xici + XjCj + xkck + xpcp E B ,0 i= Y= s~l y/s EV.
Alors <1>1.
.
] = [Ci"
C.,] ® cp - c
' , Cp
J
p® ICi' ,cJ.'l +
Cl' , cJ
[c·, C ]® C·, - c·,® [c·,
c] + [c
c·,]® C·, - C·, ® [c
c·,l
J'
p l i
J'
P
P'
1
J
J
P' 1
= (x + y)® Cp - Cp ®(x + y) + ICj' ,cp1 ® Ci' - Ci' ® [cj' ,cpl +
[c
c·,l® C·, - C·, ® [c
c·,] =
p' 1
J
J
p' 1
xi(Ci® Cp - cp® Ci) + x/Cj® cp - cp® Cj) + xk(ck® cp - cp® ck)
s=n
+ s~l ys(fs ® cp - cp® fs) + [Cj' . cp1 ® Ci' - Ci' ® [Cj' ,cpl +
[c
c·,l® C·, - C·, ®[c
c·,]
P' 1
J
J
'P' 1 .
Commc y i= a , pour p i= i' ct P i= j' ; on a <1>1
l i= O.
C·, C·, C
l
'
J ' P
Si [B, Bl c B, distinguons lcs cas [B, BI = a cl [B, BI i= O.
Si [B, Bl i= 0, il cxistc i',j' dans {i ,j, k, p} tcls quc
[c·, c·,] = x = x,c, + x,c, + xkck + x C dans B ct x i= a
l ' J
11
JJ
. .
pp
.
Alors <1>
=
[ci' ,Cj' ,Cp]
= Ic·, c·,]® C - C ® [c·, c·,] + le·,
C l® C ., - C·, ® [c·, C 1+
l ' J
p p
l ' J
J ' P
I l
J ' P
[c
c·,l® C·, - C·,® [c
C·,] =
P' 1
J
J
P' 1
=(x ® Cp - Cp® x) + [Cj' ,cpl® Ci' - Ci' ® ICj' ,cp] +
[c
c·,]® C·, - C·,® [c
c·,]=
P' 1
J
J
P' 1
xi(ei® Cp - cp® Ci) + x/Cj® cp - cp® Cj) + xk(ck® cp - cr~ ck) +
,
,
[c·, C ]® C·, - C·, 0 [C·, C ] + Ic
C·,]® C·, - C·, ® [c
c··l"
J ' p
1
l"
J' P P ' 1
J
J
P' 1 •
Commc x i= a, il ciiste iO E (i. j , k , p) tcl quc x. i= O. '
la

55
Pour i' . j' . p . iO dcux à deux distincts. on obticnt $[ .
:;t 0
ci' . Cj' • cpl
Si [B . B 1 =O. il cxistc au moins un i'E {i , j . k , p} et r >1 tels que [ci' , frl :;t 0
ou bicn il existe r' . s' dans {l, ... , nI tels que [f , , fs,l :;t 0 . Dans le premicr cas,
r
on montre alors commc ci-dessus, quc $[ "
f
CI '
r
Si pour tout i' E {i. j , k , p} ct pour tout r > 1 [ci"
f 1=0 , il cxiste r' , s' clans
r
{1, ...• n} tels quc [fr" fs,]:;t O. Alors pour Cj el [fr' , fs,l indépcndants. on a
<1>
= [f , , f ,1 ® C' - e· ® 1f , , fs'
r
1 :;t 0 . Par sui te D(A) n'e st pas
[e '
f,
f,]
r
s
J
J
.
J' r ' s
Lie-admissiblc. Lc Icmme est ainsi prouvé.
1
Remarque 4.2.9
1
Dans le lemme précédent. la condition dimK(A2)2>4 est impOl1antc .
1
En effct , soit A une K-algèbre tclle que la multiplication de /\\2 relativcmcnt
à unc base { el . e2' cJ . c 4' fI"
... f
1
n } cst donnée par: fI f2 = Cl ' tous Ics
autrcs produits étant nuls. On vérific facilement quc A2 cst non abélicnnc et
1
Lie-admissible.
1
Mais <1>1 fI . f • cd. = [fI' f21® Ci - ci® [fI' f21 =Cl ® ei - ci® Cl :;t 0
2
J
pour i = 2 . J .4 . lJ'oli D(A) n'est pas Lic-admissible .
Considérons mainicnant unc K-algèbrc A' dont la multiplication de
1
A' 2 rclativcmcnt à unc base { c . el } cst donnéc par:
~
2
e = e. CCI = el .e l e =O. e 2 =O. On vérifie aiscmcntquc A' 2 cst
l
Lie-admissible. n(\\n ,ibélicllllc et D(A') est Lie-ad11lissibl(~ .
Il
~
Exemple 4.2.10
Soit A une k-algèbre dont la multiplication de A2 t-elativcmcnt a unc
~
~

56
base {el' c2' c3' e4' fI"'"
fn } cst donnée par:
el e2 = e3 ' el e3 = e2 = e3 el'
ele4 =e3=e4e l ,elf l =e2' e2 e3= el ,e2e4=e4,touslesautrcsproduits
étant nuls. A2 est non abélienne et la multiplication de (A2)- est donnée par:
[ el' e21 = e3 = - [ e2 ' el] , [ el' fI] = e2 = - [f1 ' e 11 ,
[e2,e31=el =-[e3' e2],[e2,e41= e4=-[e4' e21 ,touslesautres
produits étant nuls. On vérifie que A2 est Lic-admissible

=[el ,fl]@ei-ei@[el,fll+
[el ,fI ,ei]
1
[fI ,ei ]@el-el@[f l ,ei ]+[ei, e l1@fl -f1 @rei ,el1. i =I.2,3,4.
1
Pouri=2ona r } ,fI ,e2]=el@~- e2@el-e3@f
e
1 + f l @e3"i:- O.
1
Par suite D(A) n'est pas Lie-admissible.
1
Théorème 4.2.11
1
Soient K un corps commutatif dc caractéristique différcnte de dcux et A
(
une K-algèbre . Si A2 admet une décomposition de Peircc au sens dc Micali-
Ferreira relativement à un idempotent e , alors les propositions suivantes sont
1
équivalentes:
(1) D(A) est Lie-admissible
1
(2) L'une des assertions suivantes est satisfaite.
~
(a 1) A2 = (A2)11 EB (A2\\)() (somme directe d'idéaux abéliens).
(a2) A2 est une K-algèbre de dimension 3 dont la structure est
~
donnée par:
2
c
~
e = e , ee 1 = el =.e 1e , ee2 = e2 = e2e ,
el e2 = a e + p e I~'" y e2' c2e 1 = a' e + pel + ye2 '
~
2
'
el
=a 1e+Ple 1 ~'YI e2'
~
~

57
2
c2 =a2 e + ~2 el + y 2 e2
avec a ,a' , ~ , Y. 0'1 ' ~1 ' YI' ~ , ~2 ' Y2 dans K.
(a3) A2 est une K-algèbre de dimension 2 possédant l'une des structures
suivantes:
2
(i) e = e , ee 1 =el' e 1 e =0 , el 2 =0
2
(ii) e = e , el e = 0, ee 1 = el' el 2 = 0
(a4) A2 est une K-algèbre de dimension 3 dont la structure est donnée
2 2 2
par : e =e, ee 1 =el' e2e = e2 ' el e2 = a e , el
=~ ~ ,e2 = (5 el' a ,~ ,(5
sont dans K , tous les autres produits étant nuls,
décomposition de Peirce de A2 au sens de Micali-Ferreira relativement à
l'idempotent e.
Posons B" = (A2) .. ,i ,j = 0, 1 et supposons D(A) Lie-admissible. Alors A2
.
•
IJ
1.1
est Lie-admissible et on peut utiliser le lemme 2.2.1 . Ainsi on distingue les cas
1
suivants: (*) dimK (A2)2 ~ 4 et A2 abélien ~ (**)dimK(A2)2~3 et A2 abelien;
1
(***)dimK(A2)2~3et A2 non abelien .
1
Notons que A2 = B Il EB BI OEB BO1 EB BOO est abélien conduit immédiatement
à A2 = Bll EB BOO' Il nous reste donc à examiner le cas où dimKeA2? ~3
1
et A2 non abélien. Comme B Il c (A2? et dimK BIl > 1 raisonnons par
~
rapport à la dimension de B Il'
~
Si dim
~
K B11 = 3 alors d'après le lemme 4.2.8 ,
B01 EBB 10 = {O} . Soite,e l ,e2unebasedeBll'
~
~
1

non abélienne.
Si O":f. x E BOO alors 0 = <1>[
= [el , e2] ® x - x ® [ e ,e21=
e] ,e2,xl
=8(e ® x - x ® e) avec 8 cl:. O. Ceci est absurde. D'où B = {O}. Ainsi A2 = B]]
OO
est la K-algèbre non abélienne dc dimension 3 dont ]a structure cst donnéc par:
e2 = e , ec] = e] = e] e , ee2 = e2 = e2e ,
t
clc2 = a c + ~ e] + YC2' e2cI = a e + ~ c] + y~ ,
2
2
cI
=a l c+~] Cl +Yle2' e2 =a2e+~e] +Y2c2aveca ,a',~,a] ,~]
, YI ' ~ , ~2 ' Y2 dans K . C'est le cas (a2) .
Si dimK B II = 2 , écrivons BI] = Ke EB Ke].
Si 0 ":f. e 10 E BIO alors cie 10 = e' ]0 E B] 0 ' e ]0 e 1 =0 ;
par suite 0 = <1>[
=
e,el,e]OI
= [e , e]l ® e] 0 - e 1d~ 1e , e II + 1el' e ]01 ® e - c® [e] ,e] 0l + le] 0 ' e]0 cI -
e]0[elO,el=e']00c-e@e']0-e]00e]+e] 0e IO'
Ceci est absurde. D'où BIO = {O} .
De façon analogue on montre quc B ] = {O}.
O
Par conséquent A2 = BIl EB BOO ct on vérific alors quc A2 cst néccssaircment
abélicn. Ce qui contrcdit l'hypothèsc : A2 est non abélicnnc.
Ainsi si A2 est non aocl ien et dim K BII cl:. 3 alors dimK B]] = 1.
Si dimKBll = l, alors d'après le lemme 2.2.3, din'K (BOl EB BIO) ~ 2.
Comme A2 est noh abélien, on a BIO EB BO] ":f. {Olt
Si 0 cl:. eoo E BOO considérons 0 cl:. e] 0 E BIO'

S9
Alors 0 = <1>
=
[c , cIO' coo 1
1e , el 0l® coo - cOO@ [c , el 01 +
[clO' eo01® c - e ® [eIO' COol = e 10® cOO - eOO® elO + e'lO® c - c® c'lO où
c'IO = [cIO' COOl E BIO' Ccci cst absurdc. Par suite BOO = [0) .
Si dimKB 10 = 2, écrivons BIO = KCl EB KC2'
Alors 0 = <1>[
1 =
e, cI' c2
=[c,cI]®c2-c2®[c.cjl+[el·c21®e-[cl,e21+
[e2,e]®cl-cl ®[c2'c]
= cI ® c2 - cl8> cI' Ccci cst absurdc . D'où dim KBij ~ 1.
Par suitc dimK BO1 = dill1K BI 0= 1 , c'est Ic cas (a4) ou bicn
dil1lKBij=dimKBji = 1 ,i:;tj ct i,j=O, 1 c'cstlccas(a3).
Nous avons ainsi démontré que (1) impliquc (2). La réciproquc sc
démontrc par applicat ion du théorèmc 2.1.2 aux algèbrcs citécs .
Remarques 4.2.12
Cl) Si A2 est la K-algèbrc dont la multiplication est définie par:
2
e = c , cc 1 = cI' e2c = c2 ' tous Ics autrcs produits étant nuls. alors 1\\2 cst ~l
puissanccs associatives ct sa décomposition de Pci rce au schs ùsue 1coïncidc
avec celle de Micali-Fcrrcira .
(2) Si a:;t 0 dans lc cas (a2) du théorèmc 4.2.9 alors ;\\2 n'cst pas ~l
puissanccs associativcs.

60
CHAPITRE V
Sur la décomposition dc Peircc ct la dupliquéc commutativc d'unc algl'hre
de I3ernstei n .
L'objet de ce chapitre est de montrer que l'ordre de la dupliquée
commutative d'une algèbre de Bemstein d'ordre n est au plus n+ 1 et établir la
décomposition de Peirce de la dupliquée commutative d'une algèbre de
Bemstein d'ordre n relativement à un idempotent non nul. Nous généraliserons
ainsi un résultat obtenu danser 10]).
Soient K un corps commutatif de caractéristique différente de cieux et ;\\
une K-algèbre commutative. Une pondération sur A est un morphisme surjectif
de K-algèbres (ù de A sur K.
Une K-algèbre pondérée (A, (1) est une K-algèbre cie Bemstein c1'ordre n
n
(n >0) si pour tout x dans A . x [n+2] = ((I)(x»2
x [n+11
où x [1 ] = x et x rn+ 1] = x [n 1x [n] , n = l , 2 , ...
Soit (A , (1) une K-algèbre de l3emstein d'ordre n . Comme (t) est
surjective, il existe x dans A tel que x ~ 0 et (ù (x) = 1 ;
n
par suite (x [n+ 11)2 = xln +2 ] = ((I)(x» 2 x [n+] ] = x 1n+ Il c'est-~l-dire x [11+ Il
est un idempotent de A .
Soit alors e un idelilpotent de A .
On a A = Ke EB N,OÙ N est le noyau cie (ù . En posant Co = id
' c + 1 = Lcock
N
k
où Le(x) = ex pouf~tout x dans N et Vk = {x EN, ek (x) = O} . k > O.
i,
'
onaunesuite{O}=VocVlc ... cV
1 cV
.Ona :N=UEBV où
-
-
-
n-
-
n
n
.
1
U = [x EN, ex = -) x) . Soit III le plus grand entier tel que V
1 ~ V
Alors
.-
111-
m"
.
Vm= Vn . Si k E [1. 1~11 • il existe un sous-espace vectoriel t
de N tel que
k
i=k
Vk = Vk-I EB Ck . lors V k=
(f) CI' et finalement
A .
i=\\
A = Ke (f) U(f) CI CB ... (f) Cn ([ 10]). Ceci est la décompos tion cie Peirce de

61
l'algèbre de Bernstein d'ordre n A relativement à l'idempotent e.
Désignons par O(A) la sec oncle puissance symétrique de /\\. Ce K- espace
vectoriel est linéairement engendré par les vecteurs x . y (produit symétrique de
x par y) pour x , y parcourant A . On définit sur O(A) une structure de K-algèbre
commutative par:
(x . y) (x'. y') = xy. x'y' . pour tous x ,y ,x' ,y' dans A.
O(A) est appelée la dupliquée commutative de A.
Comme pour le cas non commutatif. il est démontré ([9]) :
Théorème d'Etherington 5.0
0(/\\) == /\\2$N O(A) où NO(A) est le noyau de
Jl : 0(/\\) -) A2, x . y I~ xy ,
cp: A2 x A2 -) ND(A) , (x . y) ~ Tl(x)Tl(y) - Tl(xy) où Tl : A2 -) D(A) est
une application linéaire vérifiant JloTl = id A2'
On notera que cp est K-bilinéaire symétrique. La multiplication de
O(A) == A2 $ NO( A) est alors donnée par: (x , m)(y , n) = (xy , cp(x . y)).
Lemme.5.1
L'application K-linéaire Tl : A2 -) O(A) vérifiant Jlo Tf:::: idA2
est telle que l1(x)l1 (y) = x . y pour tous x. y dans A2 où
Jl : O(A) -) A2 , x . y ~ xy.
De plus cp(x ,y) = Tl(x) Tl(y) - Tl(xy) = x . y - Tl(xy) pour t~Ls x . y dans A2.
La clémonstrùtilin de la première partie de ce résu1ta~ est analogue à celle
du lemme 2.104. L" seconde partie résulte clu théorème d'Fiherington 5.0
Conséquences 5.2
(a) Pour tou~ x ,y clans A2, si xy =0 alors cp(x , y) = x . y.

62
(b) Si e est une unité de A2 alors <p(e . x) = 0 pour tout x dans A2.
-
La démonstration est analoque à celle des conséquences 2.1,5. et 2.1.6.
Lemme 5.3
Si W : A2 ~ K est une pondération,
alors W d : D(A)::::: A2~ND(A) ~ K , (x , m) ~ W d(x , m) = (w oJl) (x . m)
. est une pondération et W cl(x , m) = W (x) .
En effet, (t) et J.l étant des morphismes surjectifs de K-algèbres .
wd = (ù OJ.l est un morphisme surjectif de K-a1gèbres. Comme pour tout (x . Ill)
dans D(A) , J.l (x , m) = x , on a (ù d(x , m) = (ù (x) .
Lemme 5.4
Soit W : A2 ~ K une pondération.
(D(A) . (ù d) est une K-algèbre de Bernstein d'ordre n (n > 0) si et
seulement si
n
(l) pour tout x dans A2. x In+21 = «(ù(x»2
x [n+ Il (c'est-à-dire A2 est une
K-algèbre de Bernstein d'ordre au plus n) et
n .
(2) pour tout x dans A2. <p (x [n+ll , x [n+l]) = (w(x»2 <r (x [nl . x [nl).
.
'."
:-.
En effet. pour tous (x . m) dans D(A) . (x . m) III =(·x . m) .
(x , m)[21= (x 2. <p(x , x» = (x [2] , <p(x [11 , x rIl)) et plus généralement
(x, m) [n+ll = (x In+l] , <p(x [Il] , x [nI». Ainsi (x . m) [n+21 =
n
..' .
,
(w d(x, m»2 (x, rh) tn+1] équivaut à (x [n+2], <p(x [11+] l, x [n+11» =
,
n :
(w(x»2 (x [n+IJ, (p(x [nl, x [n]» et part suite
1·
1

(iJ
n
n
x [n+21 = (w(x))2
x [n+l] et <p(x [n+I], x [n+I]) = ((I)(x))2
<p(x [n], x [n]).
Le lemme est ainsi prouvé.
Exemple 5.5
Soit A la K-algèbre cOllllllutaive cie dimension quatre dont la tablc de
multiplication rclativcmcnt ü unc base { eO ' el' e2 ,e3 lest donnéc par:
e02 = Co ' coe 1 = ic 1 = cI Co ' cOe3 = c2 = c3cO ' tous lcs produits étant nuls.
L'élcmcnt eO cst un idempotcnt dc A . Soit (ù l'application sur A dans K défïnic
par Cù (cO) = 1ct Cù (ci) = 0 ,i = 1 ,2, 3. (ù cst alors une pondérat ion dc A .
i=3
Soit x=i~)xici; ana x2=x!2]=x02eO+xOxlel + 2xOx3c2'
x [2]x 121 = x 131 = xa4co + x03xlcI '
x 131 x [31 =x [4] = xa4(x04cO+ x03 xlel)=x04x [31.
2
Ainsi pour tout x dans A ,x 141 = (w(x))2 x [3] ct , par suite A cst unc K-
algèbre de Bcmstcin d'ordrc 2 . A2 cst engcndré par Co . cI' c2 .
Pour tout x = xoco + xI c 1 + x2c2 dans A2 on a
x2 = x02 eO + xOx 1e 1 = x 121 , x [31 = Xo4eO + x03xl el = ((ù( x))2 x [2] .
D'où A2 est dc Bcmstcin c1'ordre 1.
Les a ij = ei' Cj , i , j = 0 , 1 • 2 , 3 , j ~ i constituent unc basc de la dupl iquéc
commutativc D(A) cie A . Soit 11 l'application dc A2 dans D(A) définie par:
l1(eO) = eo' eo = aoo ' 11(c 1) = 2co . CI = 2aOl ' 11(c2) = cO' c3 = a03'
On a D(A) ::::: A2 ~ ND(A) (cf 5.0) . Pour tout x dans A2,
<p(x [21, x [2]) = <pr xa2eo + xOxlcl ' x02cQ + xOxlc )
1 =t:- <p(x, x)
et <p(x [31 , x [31) =<p«((ù(x))2 x [21 , (Cù(x))2 x [21) = (((1)('<))2)2 <p(x [21 . x [2]) .
Par suite, d'après le Ichll11C 5.4, D(A) cst une K-algèbre cie lkmstcin d'ordrc 2.

64
Remarque 5.6
e est un idempotent de A2 équivaut à ed = (e .0) est un idempotent de
D(A). Posons (Le)O= id A2 . (Le) 1 = Le : A2 ~ A2. x ~ ex et
n
n-l
(Le) = Leo(Le)
, n = 2 , 3, ....
Posons (Led)O= idD(A) et (Led) 1 = Led : D(A) ~ D(A) .
n
n-l
( x , m) ~ ed(x , m) et (Led) = Ledo(Led)
, n = 2,3 ....
On a Led(x , Ill) =ed (x , m) =(e , O)(x . m) =(ex, <pee . x) .
(Led)2(x . Ill) = LciLed(x . m» = ed(ex , <p(e . x)) = (e . O)(ex . <p(e . x» =
(e(ex) , <p(e . ex» = «Le)2(x) . <pee , (Le) 1(x») et plus généralement
k
k
k-l
(Led) (x, m) = (Le) (x). <p(e , ( Le)
(x») . k = 1. 2.....
Théorème 5.7
Si A est une K-algèbre de Bemstein d'ordre n > 1 , alors la dupliquée
commutative D(A) de A est une K-algèbre de Bemstein d'ordre au plus n + 1.
De plus, la décomposition de Peirce de D(A) relativement à un idempotent
ed = (e ,0) où e est un idempotent de A2 est donnée par:
D(A) = Ked E9 Ud E9 Cdl E9 .. ·E9 Cdn E9 Cd n+l avec
Ud = {(x, 2<p(c , x) , X EU} ;
Cdl = {O} xND(A);Cdk=Ck_l x {O} ,k=2, .... n+l où
A2 = Ke E9 U + Cl E9 ... E9 Cn décomposition de Peirce de A2 relativemcnt à c.
En effet, siA est K-algèbre de Bcmstein d'orclre Tl ,i\\orsil résulte du
lemme 5.4 ci-dess\\ls que D(A) est une K-algèbre cie Bemsicill d'ordre
au plus n + 1 . COIhn~e A2 est cie Bemstein d'ordre au plu~n
(car A est d'ordre il) ~ écrivons A2 = Ke E9 UE9 Cl E9 ... (.Yi C . décomposition
n
de Peirce de A2 relativement ~l J'idempotent e ct

65
D(A) = Ked EB U
+
d Et> Cd 1 Et>
... Et> Cdn l décomposition de Peirce D(A)
relativement à l'idempotent cd = (e ,0) .
Si (x , m) E U alors ed (x ,m) = (ex, <pee , x)) = ~(x . m) ct,
d
par suite U c {(x, 2<p (e, x)), XE U}.
d
Pour tout x EU. on a ed(x . 2<p(e . x)) = (ex ,<p (e , x)) =
= (1 x. <pee. x)) = 1(x, 2<p(e. x)). Par suite Ud = {(x. 2<p (e. x)). X EU}.
Si (x , m) E Cd 1 alors ed(x . m) = (ex. <pee . x)) = (0 , 0).
AinsiC
c {(x.m)E D(A)/xE Cl et<p(e,x)=O}.
d1
PosonsCIO={xE A2, XE Cl et<p(e.x)=O} .OnaCdl cC1oxNO(J\\).
Soit (x , m) dans CIo x NO(A) ; ed(x , m) = (ex, <pee , x)) = (0,0).
Par suite Cd 1 = CIo x ND (A) . Soit x E CIo alors ex = 0 et par suite. d'après lc
lemmeS.1 ,0 = <pcc . x) = e. x ; ce qui conduit à x = O( [l 01).
Ainsi Cl ° = {O} et Cd1 = {O} x ND(A).
Soit (x , m) E C
(k ~ 2) .
dk
k
k
k-l
(Led)
(x. m) = ((Led) (x), <pee , (Le)
(x))) = (0.0) .
2
k-l
O'OlI x E C ° = {x E A ,x E C ct <p (e ,(Le)
(x)) = 0) .
k
k
Ainsi Cdk c ~o ND(A).
.
°
k
k
k-l
_
SI XE C
alors (L
k
cd) (x. O)=((Le) (x) , <p (e ,(Led)
(x 1) = (0.0) .
D'où C °x {O} c C
.
k
dk
Soit (x , m) dans CUk . Alors x est clans C ° et (x , 0) E Crll .
k

Ainsi (x. m) - (x. 0) = (0 .m) est dans Cclk ' Comme {O} x N (!\\) = CclI'
O
on a alors (0 . m) E C
n Ccli = {(O. O)} (k > 2) . D'où m = O.
dk
ParsuiteCdk = C o x [O} .Si(x.O)E C
k
dk =Ckox {O}
k
k-I
k-l
alors (Le) (x) = 0 = e. (Le)
(x) et <pee , (Le)
(x)) = 0 .
k
Comme e(Le) (x) = 0 ,
k-I
k-l
k-l
k-l
on a 0 = <p(e , (Le)
(x)) = e . (Le)
(x) et <p(e . (Le)
(x)) = e . (Le)
(x) .
D'où (Le)k-I (x) = O. Ainsi C
c C _ x {O}.
dk
k 1
Réciproquement si (x .0) E C - x {O} . alors (Le)k(x) = e(L
k 1
e)k-I (x) =0 et
<p (e. (Lc)k-l(x)) = <p(e. 0): ainsi C - x {O} c C
' D'où C
= C _] x {O}
k 1
clk
dk
k
pour k = 2 ..... n . De ce fait C
+
cln 1 = Cn x {O}. Le théorème est ainsi
démontré.
Corollaire 5.8
Soient A une K-algèbre de Bernstein d'ordre n (n > 1) et D(A) sa
dupl iquée commutative.
D(A) est une K-algèbre de Bernstein d'orclre n si et seulement si ;\\2 est
une K-algèbre de Bernstein d'ordre n-l, n = 1 , 2 , 3.....
C'est une conséquence immédiate du théorème ci-dessus.
Remarque 5.9
Ainsi le corc\\llaire généralise le résultat suivant obtc(;u dans
Cl lOI théorème32 rage 6R) :
.
i
D(A) est une' K-algèbre de Bernstein(d'orclrc 1) si ct ~culcment si
A2 = Ke EB U.

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