ORSAY
nO d'ordre:
UNIVERSITÉ ])E PARIS-SlJD
CENTRE D'ORSAY
"
THESE
présentée
pour obtenir
Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES
DE L'UNIVERSITÉ PARIS XI ORSAY
Spécialité: Mathématiques.
PAR
AKMEL Dé Godefroy
Sujet:. Etudes sur les Equations de Boussineq
Soutenue le: 26 Septembre 1996 Devant la Commission d'examen
M.
SAUT
Président
M
FABRIE
Rapporteur
M.
RAKOTOSON
Rapporteur
M.
ABERGEL

---

A mon oncle LATH Jacques,
à ma mère AKMEL Cécile,
i1 .'

---

Remerciements
Je remercie Jean Claude Saut qui m'a proposé le sujet de cette thèse, suivi et
dirigé tout au long de ce travail. Je tiens à lui exprimer ma profonde gratitude
pour m'avoir fait bénéficier de son expérience.
J'adresse également mes remerciement à Pierre Fabrie d'avoir accepté de rap-
porter cette thèse, ainsi que pour sa grande générosité, son écoute et ses remarques
enrichissantes pour ce travail. Je le remercie d'avoir bien voulu être parmi les
membres du jury.
Je tiens aussi à remercier Jean Michel Rakotoson pour la grande gentillesse
qu'il a manifesté en acceptant avec diligence de rapporter cette thèse et de parti-
.
.
czper au Jury.
C'est avec un réel plaisir que je voudrais exprimer toute ma reconnaissance
envers Frédéric Abergel qui m'a initié dans la recherche avec une gentillesse et
une patience sans limite. Il a toujours cru en moi, même dans les moments diffi-
ciles. Son experience, sa disponibilité et surtout ses encouragements m'ont permis
de mener à bien ce travail. Il m~ fait l'honneur d'être parmi les membres du jury.
Je remercie toute l'équipe du laboratoire d'Analyse Numérique et E.D.P. d'Or-
say, notamment Danielle Le Meur pour sa disponibilité, son efficacité et sa grande
patience. Je remercie Caterina Calgaro, Pascal Poullet, Catherine, sans oublier
Olivier Goyon, Hervé Le Meur, Luc, Hamidouche, Ezzdine, Farid, et tous les
camarades de la salle 308 pour le temps qu'ils m'ont consacré afin que je me
familiarise avec l'environnement Latex et l'éditeur Emacs.
Enfin, je ne pourrais oublier mon oncle Jacques qui m'a soutenu sur tous les
plans pendant toutes mes études en France. A travers lui je remercie toute ma
famille. Je lui dédie ainsi qu'à ma mère cette thèse.

---

Studies on Boussinesq Equations
Abstract
In this thesis, sorne properties of the solutions to generalized Boussinesq equa-
tions are presented. The first part deals with the asyrnptotic behavior in tirne of
the solution (n, v) of the equations
withp 2:: 1 integer, (J'I,é > 0 reals. In particular, we show that when p > 6,
and for sufficiently srnal1 initial data, the suprernurn norrn of n decays to zero like
l
"
C'3, and thesuprernurn norrn of v is bounded. The proof of this result is based
on the analysis of the linear part of the system of equations above. For lack of
regularizing terrn in X2 for n in the equations, we can't use the classical rnethod of
energy estirnates. This leads us to rnake our studies of local existence in using the
Fourier transforrns and Oscil1atory IntegraIs. Likewise, because of the particular
forrn of these equations, the study of the asyrnptotic behavior has been done in
the weighted Sobolev spaces.
In the second part of this thesis, we study the blow up in finite tirne of sorne
solutions of a generalized Boussineq equations. After treatrnent of the local exis-
tence problern, we show the blow up in finite tirne of the solutions under sorne
,
1
apropriate assurnptions.
Key words: Boussinesq equations, Asyrnptotic behavior, Blow up in fini te
.• ' tirne, Oscil1atory IntegraIs, Stationary Phase Method, Weighted Sobolev spaces.

---

3
Table des matières
Introduction générale
7
1
Comportement Asymptotique des solutions de quelques
équations de Boussinesq
I l
Introduction
13
1
Notations et calculs préliminaires
19
1.1
Notations
. . . . . .
19
1.2
Calculs préliminaires
20
2
Etude locale en temps
.
31
2.1
Existence locale dans iJs(m?)
31
2.2
Existence locale dans F"(O"dx)
40
3 . Estimations pour le système linéaire
57
3.1
Quelques inégalités utiles se rapportant à la norme 11·lka
58
3.2
Estimation de la solution dans la base des vecteurs propres
62
3.3
Fin de la preuve du théorème 3 . . . . . . . . . . . . . . .
. 86
4
Décroissance en temps des solutions
91
Conclusion
103
II
Explosion en temps fini pour certaines solutions d'une
équation de Boussinesq généralisée
109
1
Blow up of solutions of a generalized Boussinesq equation
111
1.1
I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
1.2
Local existence and uniqueness for the solution of the scalar equation113
1.3
Blow up in finite time for the scalar equation. . . . . . . . . . . . 117

---

1.4
Perturbation of the scalar equation
.
120
1.5
Blow up in finite time for the vectorial equations .
122
1.6
Perturbation of the vectorial system.
127
1.7
Examples
.
128
-
,..'
~
4

---

7
Introduction générale
L'objet de cette thèse est de présenter quelques propriétés des solutions d'équa-
tions de type Boussinesq généralisées. Elle se compose en deux parties:
Première partie.
Dans cette partie, nous nous intéressons à l'étude du comportement asymp-
totique de la solution du problème de Cauchy associé au système d'équations de
Boussinesq suivant:
o
nt + n X! + ~nPnX! -
ij3n x !x!t + ~,VX2 -
~éV
(E)
{
,Vt + én + ,nX2
0,
2
'
avec (Xl,X2) E IR ,p > 0 entier.
n représente la composante longitudinale et v représente la composante transver-
sale du vecteur vitesse du fluide, avec n, v tendant vers zéro quand Jxi + x~ ~
00.
j3 > 0
représente l'effet dispersif, é > 0 et, > 0 représentent respectivement
l'effet rotationnel et l'effet des forces transversales.
Ces équations de Boussinesq (pour p = 1,) modélisent la propagation d'ondes
hydrodynamiques de surface et internes.
L'équation de Type Korteweg-de-Vries (KdV) généralisée
Ut + U
+
+
x
uPu x
U xxx = 0,
x E IR, t 2: 0,
tout comme son équivalent, l'équation de type Benjamin-Bona-Mahony (BBM)
Ut + U
+
x
uPu x -
Uxxt = 0,
x E IR, t 2: 0,
(p > 0 entier,) sont bien connues, et ont été beaucoup étudiées. En particulier, il
a été montré dans [18], [19], la décroissance en temps de la solution de l'équation
de (KdV) généralisée pour p > 4, et dans [2], la décroissance en temps de la
solution de l'équation de (BBM) généralisée pour p > 4. Pour les deux équations

---

(KdV) et (BBM) généralisées, l'estimation de la solution de la partie linéaire du
problème de Cauchy associé à ces équations, joue un rôle important. Dans le cas
de (KdV) généralisée, la décroissance en temps de la solution est obtenue grâce à
l'étude de la fonction d'Airy ik3 /3, et dans le cas de (BBM) généralisée, elle est
obtenue grâce à l'étude de la fonction ik/(l + IkI2).
D'autre part, le système d'équations de de type Kadomtsev-Peviashvili (K.P.)
modifié suivant,
nt + ~nPnxl + inX;X1Xl + HVX2 - Fv)
o
{ VX1 - nX2 - Fn
= 0,
(où F représente l'effet des forces rotationnelles,) et qui est proche du système
d'équations de Boussinesq (E), est bien connu pour p = 1. Il est considéré comme
étant l'analogue en dimension deux d'espace, de l'équation de (KdV) générali-
sée. (cf. [13].) (Pour le système d'équations de (K.P.) modifié, la propagation de
l'onde est observée dans deux directions, alors que pour l'équation de (KdV),
on l'observe dans une seule direction). Bien que nous n'ayons pas connaissance
d'étude théorique portant sur la décroissance en temps de la solution de ce sys-
tème d'équations de (K.P.), nous savons qu'il existe quelques travaux portant sur
ce système d'équations de (K.P.) avec F = 0; (existence locale de la solution,
existence globale, explosion en temps fini, etc .. )
Par contre, pour le système d'équations de Boussinesq (E) plus haut, obtenu de
la même manière que (K.P.) modifié, à partir d'équations de Boussinesq géné-
ralisées, (cf. [6]), il y a eu très peu d'investigations théoriques. En particulier,
nous n'avons pas connaissance d'études théoriques portant sur le comportement
asymptotique de la solution du sYstème d'équations de Boussinesq (E).
Dans cette partie de notre travail, nous faisons d'abord l'étude locale de notre
problème. Puis nous montrons que pour p > 6 et pour de petites données ini-
tiales, la norme L 00 de n décroit Vers zéro comme r t , alors que celle de v reste
bornée. L'absence de terme régularisant en X2 pour n dans ces équations, nous
empêche de faire l'étude de l'existence locale via les méthodes classiques d'esti-
mations d'énergie. C'est pour contourner cette difficulté que nous travaillons avec
des transformées de Fourier et des Intégrales Oscillantes. De même, la structure
spécifique de l'opérateur matriciel associé à la partie linéaire de (E), rend diffi-
cile l'étude de la décroissance en temps de la norme L 00 de la solution de (E)
dans l'espace F(IR2 ). Ceci nous conduit à faire notre étude dans l'espace à poids
Jr(udx), m> 1, entier, avec u(x) = (1 + x~)~.
Deuxième partie.
Dans cette partie, nous nous intéressons au comportement de la solution du
8

---

problème de Cauchy associé à l'équation de Boussinesq généralisée
U tt = (J(U))xx + Uxxtt,
x E m, t 2 0,
où f est une fonction Coo non linéaire, avec f(O) = O.
Cette équation est une généralisation de l'équation classique de Boussinesq avec
f(U) = U2 , qui décrit entre autres, la propagation d'ondes dispersives en eau peu
profonde (cf [20]), la propagation d'ondes magnetoacoustiques dans les plasmas
(cf [21]), et la propagation de certaines ondes magnetoelastiques (cf [22]). Nous
montrons que la solution de cette équation explose en temps fini pour une large
classe de valeurs initiales.
Des problèmes similaires ont été étudiés. Ainsi, R. Sachs [4] a étudié l'explosion
en temps fini de la solution de l'équation Utt - U
+
+
xx
U xxxx
(u 2 )xx = 0, tandis
que S.K.Turitsyn [9] a fait la même étude pour la solution de l'équation Utt -
U xx -
Uxxtt + (u 2 )xx = O.
Nous adoptons ici les idées de [4] en tenant compte du caractère général du terme
non linéaire dans notre équation.
9

---

11
Première partie
Comportement Asymptotique
des solutions de quelques
équations de Boussinesq
i
j
,
1

---

13
Introduction
Pour des valeurs initiales assez petites, J.Albert [1],[2] a étudié la décroissance
en temps de la solution de l'équation génerale de Benjamin-Bona-Mahony en
dimension un d'espace
p > 4.
(eql)
De même P.Biler [3] a étudié le comportement asymptotique des solutions de
l'équation génerale de BBM en dimension deux d'espace
Ut -
6.U t = {3. \\lu + uP(a· \\lu),
p 2: 3,a,{3 E m?,{3 =1- o.
(eq2)
Ils ont montré que la norme L,oo des solutions des équations (eql) et (eq2)
décroit vers zéro en t-& et t-~, respectivement, quand t -----+ 00. Leur preuve est
basée sur l'analyse des équations linéaires
Ut -
Uxxt + U x = 0,
-00 < x < 00, t > 0
Plus précisement, ces auteurs utilisent la méthode de la phase stationnaire pour
l'étude des estimations sur le problème linéaire, dont découlent les estimations
sur le problème non linéaire. Notons que J. Albert avait d'abord montré dans [1]
la décroissance en temps de la solution de (eql) pour p > 6, en travaillant dans
les espaces de Sobolev à poids. Puis, dans [2], en travaillant dans les espaces de
Sobolev HS(m), il a affaibli la condition p > 6 en la remplaçant par p > 4.
Nous nous inspirerons essentiellement de l'article de J .Albert dans notre étude
du comportement asymptotique des solutions pour de petites données initiales,
d'un système d'équations de Boussineq généralisées.

---

Considérons le sytème d'équations
(0.1)
avec (Xl, X2) E m?,p ~ 1.
n représente la composante longitudinale et v représente la composante transver-
sale du vecteur vitesse du fluide, avec n, v tendant vers zéro quand Jx? + x~ --+
00.
13 > 0 représente l'effet dispersif, é > 0 et , > 0 représentent respectivement
l'effet rotationnel et l'effet des forces transversales.
Le sytème d'équations de Boussinesq (0.1) dans le cas où p = 1 est obtenu à par-
tir d'équations de Boussinesq généralisées décrites par G.G. Tomasson et W.K.
Melville [6], qui simulent la propagation d'ondes dans un canal d'une profondeur
constante h et d'une largeur W, avec une surface libre ayant pour position d'équi-
libre X3 = O. Ces équations de Boussinesq généralisées sont présentées comme
suit:
U
+
a
XI
,VX2 + W X3
(0.2)
Ut + aUU
+
+
a
XI
a'VUX2
aWUX3 -
éV + PXI
(0.3)
,Vt + a'UV
+
a
XI
a,2 vvX2 + a,WVxj + éU + ,PX2
(004)
f3 W t + PX3
O( af3),
(0.5)
avec la condition au bord sur le fond
w = 0
pour
X3 = -1,
(0.6)
les conditions au bord sur la surface
W = nt + aun
+
xi
a,vnX2
pour
X3 = an,
(0.7)
P = n
pour
X3 = an,
(0.8)
et les conditions au bord sur les côtés du canal
v = a pour
X2 = 0, W.
(0.9)
U, v, W représentent respectivement la composante longitudinale (dans la direction
de X d, la composante transversale (dans la direction de X2), et la composante
14

---

verticale (dans la direction de X3), du vecteur vitesse du fluide. P est la pression
du fluide.
a = a/h représente l'effet de la faible non linéarité, {J = (kh)2 représente l'ef-
fet dispersif, e = (l/kR)(l/k) représente l'effet rotationel, tandis que, = (l/k)
représente l'effet des forces transversales. Ici, a est l'amplitude de l'onde, k- 1 et
l-1 sont respectivement les échelles de longueur dans la direction x 1 et dans la
direction X2, R est le rayon de déformation de Rossby.
Tomasson et Melville ont indiqué que les équations du système (0.1) étaient ob-
tenues à partir des équations généralisées de Boussinesq (0.2) - (0.5), en suivant
la methode présentée dans l'article de R.Grimshaw et al. [13], (dont nous par-
lerons ci-dessous). En effet, en reécrivant les équations (0.2) - (0.5) à l'ordre 0
en a et (J, ces auteurs se sont aperçus que u, v, et P pouvaient être considé-
rés comme indépendants de X3; ils ont alors posé u = U(Xl' X2, t) + O(a,{J) et
v = V(Xl,x2,t)+O(a,{J); puis, en intégrant (0.2) par rapport à X3 et en utilisant
les conditions au bord (0.6) et (0.8), ils ont écrit
(0.10)
Enfin, en substituant tout cela dans les équations (0.2) - (004), ils ont pu en tirer
les équations suivantes:
UX1 + ,VX2 + nt + a[nU]Xl + a,[nV]X2
O({J2) (0.11)
" 1
Ut + aUUXl + a,VUX2 - eV - 3{J(UXlxlt + ,UX2x2t) + nXl
O({J2) (0.12)
,~ + a,UVX1 + a,2VVX2 + eU - ~(J,(VXlxlt +,VX2X2d + ,nX2
O({J2), (0.13)
avec les conditions au bord sur les côtés du canal
V = 0
pour
X2 = 0, W.
(0.14)
Si on multiplie léquation (0.13) par l, alors (0.13) devient
'Y
11/ + aUVX1 + a,VVX2 + FU - ~(J(VXlxlt + ,VX2X2 d + nX2 = O({J2),
(0.13)'
où F = ~ = 1/ k R.
De ces dernières équations (0.11), (0.12), (0.13)', G.G.Tomasson et al. ont tiré
les équations du système (0.1); cela se fait en posant d'abord U = n(xl' X2, t) +
O(a, (J, ,), (ce qui peut se justifier quand on considère les équations (0.11), (0.12), (0.13)'
à l'ordre 0 en a"
et (J, et qu'on tient compte des conditions au bord. cf [13]);
a,
ensuite on reécrit les équations (0.11), (0.12), (0.13)' à l'ordre 0 en
et {J, pour
arriver au resultat.
15

---

Ces équations de Boussinesq généralisées, basées sur des hypothèses d'effets faible-
ment non linéaires, dispersifs et rotationnels, modélisent la propagation d'ondes
de surface dans un fluide homogène, ou la propagation d'ondes internes dans un
fluide composé d'un système de deux couches. Par ailleurs Armi Farmer [9] et
aussi La Violette P.E., Arnone R.A. [12], ont observé que l'apparition d'ondes de
surface dans le détroit de Gibraltar est générée par des ondes internes, lesquelles
sont dues aux frictions causées par la marée. De même, des ondes internes non
linéaires ont été observées dans des lacs par Farmer [10] et Hunkins K., Fliege1 M.
[Il] elles sont générées par une turbulence locale, causée par les eaux chaudes qui
sont entraînées vers la berge par la force des vents. Ainsi, toutes ces propagations
d'ondes citées ci-dessus peuvent être modélisées par les équations de Boussinesq
présentées dans [6], et par les équations du système (0.1) lorsqu'on fait le choix
d'observer la propagation de ces ondes en privilégiant une direction. De plus,
dans [7], il a été fait une étude numérique des équations de Boussinesq du sys-
tème (0.1) quand p = l, montrant que la solution de ces équations se disperse
pour les valeurs initiales
n(Xl' X2, 0) = asech2[( sa) !)(Xl - xo)]e- X2
18
V(Xl,X2'0) = 0,
où a est l'amplitude de l'onde et s = e::-=-ee~2;. Xo est une constante arbitraire.
On rappelle que dans le cas non rotationnel, la propagation de ces ondes est mo-
délisée par les équations de K.D.V. ou de B.B.M. (eq1), en dimension l.
D'autre part, R.Grimshaw et W.K. Melville [13] ont montré que, à partir des
équations de Boussinesq assez generales présentées dans [6], on peut tirer le sys-
tème d'équations de type Kadomtsev - Peviashvili (K.P.) modifié
nt + ~nn.. + kn...... + HV., - Fv) :
a
(0.15)
{
VXI
-
n X2 - Fn
-
0,
qui est proche du système (0.1). Pour cela, après avoir multuplié l'équation (0.4)
par ~, - nous noterons (0.4)' la nouvelle équation obtenue, - ces auteurs ont
reécrit les équations (0.2), (0.3), (0.4)', (0.5) à l'ordre 0 en a, (3 et ,. Ainsi, ils se
sont aperçus que u, v, et P pouvaient être considérés comme indépendants de X3;
ils ont alors posé u = U(Xl' X2, t) + O(a", (3) et v = V(Xl' X2, t) + O(a", (3).
Puis, avec (0.2) et (0.6), ils ont écrit
w = -U (1 + X3) + O(a",(3).
(0.16)
x1
Alors, de (0.5) et (0.2), ils ont tiré
P(Xl,X2,X3,t) = n(xl,x2,t) + (3Uxlt(~X~ + X3) + 0((32,,).
(0.17)
16

---

Enfin, en substituant (0.16), (0.17) dans (0.2), (0.3), (0.4)'), ils ont pu obtenir les
équations
1
-nXI + UXI + I{ nt + [nU]XI + 3"UXIXIXI + \\lx2 }
o
(0.18)
-UX1 + nX +
!
I(Ut + UUX! - F\\I)
o
(0.19)
- \\Ix +
1
FU + nX2 + I('it + U\\lxl)
O.
(0.20)
Puis, en considérant ces équations à l'ordre 0 en l, ils ont posé n = U + Oh);
ce qui leur a permis d'aboutir aux équations de (0.15). (Notons que toutes ces
dérivations restent valables lorsqu'on remplace la condition au bord (0.14) par la
condition \\1 --+ 0 quand IX21 --+ 00, X2 E m.) Il existe un bon nombre de tra-
vaux théoriques sur ces équations de K.P., bien que pour le moment, nous n'ayons
pas connaissance d'étude théorique portant sur la décroissance en temps de la so-
lution du problème de Cauchy associé à ces équations. Citons par exemple les
articles de Saut J .C. [14], [15] dans lesquels il a été fait une étude sur l'explosion
en temps fini de la solution du problème de Cauchy associé aux équations de K.P.
(quand F = 0 et que le terme ~nnXI est remplacé par ~nPnXI avec P :2: 4). Citons
aussi l'article de Seiji Ukai [16] sur l'étude de l'existence locale de la solution du
problème de Cauchy associé aux équations de K.P., et l'article de J .Bourgain [17]
pour l'existence globale de cette solution (quand F = 0).
Par contre, jusqu'à ce jour, il y a eu peu d'investigations sur l'étude théorique
des équations de Boussinesq du système (0.1). En particulier, nous n'avons pas
connaissance d'étude théorique po~·tant sur le comportement asymptotique de la
solution de (0.1).
Le système d'équations (0.1) est donc un système d'équations de Boussinesq en
deux dimensions d'espace, qui modélise la propagation d'ondes de gravité. Dans
nos équations du système (0.1), l'absence de terme régularisant en X2 pour n
( qui nous permette par exemple d'avoir la forme -.6.), nous a empêché de faire
l'étude locale de la solution de (0.1) via les méthodes classiques d'estimations
d'énergie. C'est ce qui nous a poussé à faire cette étude en passant par la trans-
formation de Fourier. De plus, nous remarquons que contrairement à (eq1) ou
(eq2), le système (0.1), ne contient pas le terme (I - .6.) Ut qui permette de le
ramener à une equation non locale d'ordre 0, et qui nous fasse bénéficier de la
propriété d'intégrabilité dans mou m2 de la fonction 8'-1(1/(1 + IkI2)). (Alors
que, comme l'a fait remarquer P. Biler dans [3], l'intégrabilité de la fonction
8'-l(ikj /(1 + IkI 2)), J = 1 ou 2 est cruciale pour l'étude dans l'espace HS, de
la décroissance en temps des solutions de (eq1) ou (eq2), telle qu'elle a été faite
dans [2] et dans [3].) C'est pourquoi nous faisons l'étude de la décroissance en
temps dans les espaces à poids. Nous expliquerons cela de façon plus détaillée au
chapitre 3.
17

---

Nous nous intéresserons dans un premier temps, à la partie linéaire du système
(0.1). On note A l'opérateur matriciel associé à la partie linéaire de (0.1). Nous
ferons une estimation linéaire en norme Loo, de la solution du problème linéaire
associé à (0.1); puis nous utiliserons cette estimation pour l'étude des estimations
sur le système non linéaire. Il est important de prendre é =1- 0 dans (0.1), car,
comme nous le verrons, le choix contraire cau~erait des complications dans nos
calculs pour diagonaliser le symbole matriciel A de A.
Le plan de notre travail est comme suit:
Au chapitre 1 nous donnons quelques notations et nous faisons quelques cal-
culs préliminaires portant sur le symbole de l'opérateur matriciel A.
Au chapitre 2, nous montrons l'existence locale et l'unicité de la solution
du système (0.1) dans l'espace F(m?), s > l, réel, avec pour valeur initiale
(no,vo) E (F+1(m?))2, et dans l'espace à poids If"(O"dx), m > l, entier, pour
(no,vo) E (If"+l(O"dx)?, avec O"(x) = (1 + x~)t. Pour cela, nous écrivons la so-
-lution de (0.1) sous forme intégrale, puis nous utilisons le principe de contraction.
Au chapitre 3 nous étudions le comportement asymptotique de la solution
(n, v) de la partie linéaire du système (0.1). Nous faisons une estimation en norme
Loo de la solution du problème linéaire associé à (0.1). Nous aurons à faire dans
ce chapitre, des estimations d'intégrales, en utilisant principalement la méthode
de la phase staionnaire (cf. /[5]). Pour ces estimations, nous aurons à faire la
décomposition suivante:
.
.
Au chapitre 4 nous déduisons de ce qui a été fait au chapitre 3, le comportement
asymptotique de la solution du système non linéaire (0.1). Nous montrons que,
pour p> 6, et pour de petites valeurs initiales, la solution (n, v) de (0.1) vérifie:
et
où c est une constante.
Enfin, nous donnons une brève conclusion de notre travail.
18

---

..
~
19
Chapitre 1
Notations et calculs préliminaires
Dans ce chapitre, nous donnons quelques notations, puis nous nous intéressons
à l'opérateur matriciel noté A, associé à la partie linéaire du système (0.1). Enfin,
nous faisons quelques calculs liés à cet opérateur matriciel A.
1.1
Notations
Pour 1 ::; p < 00, on note
,
,
,
!
i
L P(IR?) = {f :IR?'---+ IR,! mesurable et IfIP E L 1(IR2 )},
et
. L CO(IR2 ) ~ {f: IR2 ---+ IR,f mesurable et :3 c tel que If(x)1 ::; c p.p sur IR2 },
c étant une constante.
IL
1 .
p
denote la norme standard de L P(IR?), 1 ::; p ::; 00. La transformée de
Fourier de la fonction f, est notée
C:S(f)(k) = Î(k) = !IR eik,xf(x)dx,
2
avec x = (Xl,X2) E IR2 et k = (k1,k2 ) E IR2 •
Pour tout s E IR, la norme de l'espace de Sobolev H! est
not~:
.
Ilflls = (!IR (1 + Ik I2 )SIÎ(k)12dk)t.
2
Pour s entier cette norme est équivalente aussi à:

---

III'!J
,
ou
âOI +02
DO -
0'=(0'1,0'2)
- âxrlâx~2'
avec 10'1 = al + 0'2, a! = al!a2 L
Soit CI(X) = (1 + X~)1/2, x = (Xl,X2) E m? Pour m entier on note Ir (Cldx)
"l'espace de Sobolev à poids" de norme
IIJllm,O' = ( L IClDo JI L2(Dt))~ = ( L fDt(l + x~)IDOJI2dx)~.
lol$m
lol$m
Dans toute la suite on notera
1.2
Calculs préliminaires
Nous nous intéressons maintenant à l'opérateur matriciel A associé à la partie
linéaire du système (0.1). Plus précisement nous nous intéressons à son symbole
noté Â. Nous diagonalisons Â, puis nous calculons la matrice de passage notée P,
de la base canonique à la base des vecteurs propres de Â, et nous calculons son
inverse (P2- 1 • E~nfin nous donnons quelques inégalités vérifiées par les compo-
santes de P et (Pt l . Ces inégalités nous seront utiles pour l'étude de l'existence
locale de la solution du système (0.1).
Considerons la partie linéaire du système (0.1).
On obtient:
. (1 - ~{3k )nt = -nx1 - ~/VX2 + ~êV,
(2)
{ IVt = -ên - InX2 .
On applique la transformation de Fourier au système (2) et il vient:
~ = I+,t~kl ('k': + hik,v + ~E:v),
{ Vt = --n + zk2n.
'Y
C'est à dire
Û; = ÂÛ avec
Â~( ik,
e+ik2 î'
l+k13ki
2(l+k13 ki)
-~ + ik2
0
),
'Y
20

---

et
 est le symbole de A. Diagonalisons Â. On a:
det(Â - X 1)
-~+ik2
-X
"f
Les valeurs propres de  sont les solutions de l'équation de second degré en
X:
2
2
X2 _
ikl
X +
é
+ ki/
= O.
1 + ~{3kr
21 (1 + ~{3kn
Le discriminant de cette équation est:
.-ki
2(é2 + ki/2 )
(1 + ~{3kn2
1(1 + ~{3kn
-kr - 2(~ + kil)(1 + ~{3kn
(1 + k{3kr)2
Les valeurs propres Xl et X 2 sont alors données par:
ik - i /p + 2(1 + !{3p)(e2 + p-v)
X
1
V 1
6
l
"f
21
.,\\ (k)
2 =
2(1 + i{3kf)
= Z 2 ••
On a donc deux valeurs propres imaginaires pures distinctes; il existe alors une
base formée de vecteurs propres associés aux :-aleurs propres Xl, X 2 de Â. Dans
cette base la matrice semblable à Â et notée Ji s'écrit:
21

---

Soit P la matrice de passage de la base canonique à la base des vecteurs
propres. calculons P et (Pt l :
Soit
le vecteur propre associé à Xl = i>"l(k).
On a
ÂWi = i>"l(k)Wi, ce qui équivaut à (Â - i>"l(k)I)Wi = o.
C'est à dire
~ _ ik1±i/E
e+ik2 "Y
(1+ k2 2(1+l!.k2)
6
1
6
1
2(1+~k~)
)(: )= 0,
(1.1 )
-~ + ik2
- ik! ±iVE
"Y
2(1+*k~)
avec
2
E = ki + 2(1 + fi ki)(é + k~1').
6
l'
De (1.1) on a:
On obtient donc
é + ik21' ~
x
- ·k
. fT:1EY
z 1 - zy L
Le vecteur propre associé à Xl est alors donné par:
2(1+i~~~~:kh)
WI=
l
[
k 1 +
k~+2(1~~k~)(~+kh)
Soit W2 le vecteur propre associé à X 2 = i>"2(k); alors en faisant les mêmes
calculs que précedemment, on obtient:
22

---

Donc
2(1+ ~kr)( ~+kh)
l
-~+~~
1
•
kr+ 2(l+ ~kr)( ~+k~~)
Calculons
(Pt l .
On pose toujours
On a alors
-ie + kn
1
1
detP·
2(1 + ~kn(~ + kil) {k
+ VE}
l -
VE - kl
(-ie + kn).JE
Et comme
2(l+~ki)( <~ +kh)
(Comp)t = (~
-if:+k2 :r
-if:+kn
k1+VE
2(l+~kr)('~+kh) l
avec
1
k +
l
VE
k - VE -
ki - E -
l
2(1 + ~kn(~ + kil)'
1
k
-VE
l -.JE
kl
k + VE -
ki - E -
l
23

---

où (Comp)t
est la transposée de la comatrice de
'P,'
alors en remarquant que (é2+ ki'/2) = (kn + ié)(kn - ié), on a:
1
~
--~(Com?)t
dei?
( l+~k2)(~+k2')')
6
1
J
2
1
=
[~(1 + ~ki)(k2' + ié)(~ + 1)
.jE
-~(1 + ~ki)(kn + ié)(~ -
_ (1+~kî)(1+kh)
1)
.jE
Soit maintenant ]{ tel que ]{(k) = ( i~ .2 • Posons Ii = (Pt l K.
1+ 6 k l )
On a alors
_ (!f(kn +ié)(n+ 1)
H=
-if(kn + ié)(7t - 1)
Posons
On a la proposition suivante:
Proposition 1 Les inégalités suivantes sont vérifiées:
c
Ip2l(k)1 + Ip22(k)1 <
,
(1.2)
(1 + Alkl!)(é + ,lk21)
la~2Pll(k)1 + la~2P2l(k)1 + la~2P22(k)1
c
<
(1.3)
(1 + Alkll)(é + ,lk21)'
a ~
a ~
lak hll (k)1 + \\ak h2l (k)1
< clkll,
(1.4)
2
2
Ip2Jll\\ + Ip221211 < c(l + Ikll),
(1.5)
Ipllllli + Ipll l2l1 + !Pllld + Ip2tld + Ip22 lnl < c,
(1.6)
24

---

et
IP1l8~2hll(k)I+18~2Pllhlll+18~2P2ihlll+lfi2i8~2hlll S c,
(1.7)
~
~
~
8
~
8~
IPll hlll + jP2i hlll + Ip22h2i1 + 18k2P22h2i1 + 1P22 8k h2i1 S c,
(1.8)
2
8~
8
~
8
~
8~
lP2i
I ll(k)1 + '8k2P2illll + 18k2P2212i1 + Ip228k212i1 < c(l + Ikil),
(1.9)
8k2
8~
8
~
8
~
8~
lP2i
1i2(k)1 + 18k2P2ild + \\8k2P221221 + Ip228k2ld < c(1 + Ikil), (1.10)
8k2
8~
8~
8
~
~
Iplll(1
llll +
1
Pll\\(lllll +
8k2
1
d) +
Ild)
s c.
(1.11)
8k2
1 8k2
Preuve.
Nous posons E = k~ + 2(1 + ~kn(~ + kh) dans toute la suite. On a:
~
-it: + k2/
Pll = 2(1 + ~kn(~ + ki,)'
~
1
ki - -JE
P2i = k + -JE = - 2(1 + ~kn(~ + ki,)'
i
~
1
ki + -JE
P22= k - -JE = - 2(1 + ~kn(~ + ki,)'
i
~
i
(J 2 ~
lm,n = -k (1 + 5ki)hm,n,
m,n = 1,2.
i
Montrons d'abord les inégalités (1.2) et (1.3). On a:
25

---

Or, puisque
on a alors
D'autre part on a:
k2/
,k1k2
(~~ + ki,hlE + (1 + ~kî)(; +ki,)2'
où par notation E = kî + 2(1 + ~kî)(~ + ki,).
Alors, avec l'inégalité (1.12), on montre que:
i
De la même manière on obtient:
De plus on a:
,
8
-ié + k2 ,
-
2(1 + ~kn 8k2{ é 2 + ki,2 }
,2(é2 - ki,2 + 2iék2,)
-
2(1 + ~kî)(é2 + ki,2)2'
et alors
26

---

Nous obtenons ainsi les inégalités (1.2), (1.3).
Pour l'inégalité (1.4) on a:
et alors
< clk11·
On fait de même pour h21 et on a l'inégalité (1.4).
Pour les inégalités (1.7) et (1.8), on a:
I~ ~h 1 1 -ié + k21
{ik 1 (k
. )( k1
)}I
P11 11
2(1 + ~kn(t:~ + ki,) 1
~2/ + té .JE + 1
< c(
1k 1 1
( 1kIl + 1) < c.
(1 + ~kn.JE
-
De la même manière, on montre que
,
,
IP11h21 ~
1
c,
et aussi, avec (1.2) on montre que:
Ip21h111 + \\p22h21 1~ c.
De plus, grâce aux inégalités (1.2), (1.3), (1.4), on montre que:
éJ~
éJ
~
éJ~
IP11 éJk2h111 + 1éJk P11h111
2
+ Ip21 éJk2h111 ~ c,
éJ
~
éJ
~
éJ~
+
1 éJk2P21 hlll + 1éJk2P22 h21 1
Ip22 éJk2h21 1 ~ c.
On obtient ainsi les inégalités (1.7), (1.8). Il reste à montrer les inégalités
(1.5), (1.6). On a avec l'inégalité (1.2):
c
1
(3 2
/k 1
Ip2JllI + Ip22Î21
<
1
{-(1 + -k1)(lk21, + é)(_1 + 1)}
(1 + ~lkll)(é + Ilk2 1) 1
6
ft
< c(1 + Ik1 1),
27

---

et on a (1.5). Pour (1.6) on a:
De même on montre facilement que
IpllLlll + Ipl1L2t! + IPllLd :s c,
et on obtient (1.6). Pour les inégalités (1.9), (1.10), on a avec (1.2), (1.3), (1.4):
< c(1 + Ik1 1).
De même
a ~
a ~
1 ak2ld =
1 ak2l221 :s c(1 + IkIl),
et alors, de ce qui précède, on a:
Ip2ia~2Td + Ip2Jak/d + la~2P2Jd + la~2P22T221:S c,
a
~
a
~
···l
P21 l 111 +
:s c(l + Ik11).
ak2
1 ak2P22l21 1
De même
I~ I(I~L 1+ I~L 1+ I~L 1) < c(é +Ilk21)(1 + ~k~ + 1+IkIl) < c
Pl1
ak 11
ak 12
ak 21
-
(1
f!.k2)(~2
k2)
- ,
2
2
2
+ 6 1 -y + 21
a
~
~
~
lak2Plll(lll1l + Il121 + Il211):S c.
Donc (1.9), (1.10) sont vérifiées, et ainsi les inégalités voulues sont obtenues.
o
Les estimations sur les Pi,j, li,j, hi,j pour i,j = 1,2, de la proposition 1 nous
seront utiles pour les calculs sur l'existence locale de la solution du système (0.1),
car, comme nous le verrons plus bas, l'expression de cette solution mise sous forme
28

---

intégrale fait apparaître les Pi,j, li,j, hi,j' Or, vu que nous utilisons la méthode de
contraction pour notre étude locale, ceci nous donne une idée de l'intérêt des
inégalités de la proposition 1 dans les calculs sur l'existence locale. D'autre part,
on remarque que si l'on prenait é = 0 dans (0.1), alors le symbole matriciel fi
aurait un point singulier (k1 , k2 ) = (0,0) et n'aurait pas ses composantes bornées
dans L 2(IR?), alors que cela nous est utile dans notre travail, notamment à la fin
du chapitre 3.
29

---

30

---

31
Chapitre 2
Etude locale en temps
Dans ce chapitre nous étudions l'existence locale de la solution du système
(0.1) dans F(ill?),s > 1 réel, puis dans Ir(adx),m > 1 entier. Comme nous
l'avons fait remarquer en introduction, l'absence de terme régularisant en X2
pour n, nous empêche de faire l'étude locale de façon classique. (par exemple, es-
timations d'énergie et méthode de compacité.) C'est pourquoi nous utilisons les
transformées de Fourier dans notre étude. Nous exprimerons le système d'équa-
tions (0.1) sous la forme d'un système d'équations intégrales. Puis nous utilise-
rons la méthode de contraction pour montrer l'existence locale de la solution de
ce système d'équations intégrales; cette solution est la solution du problème (0.1).
2 ..1:
Existence locale dans H(ffi2)
On a le théorème suivant:
Théorème 1 On suppose no, Va E F+1 (m2 ), s> 1 réel.
Alors il existe To > 0 tel que le système (0.1) admette une unique solution (n, v) E
(C(O, To; F(m2)))2.
Preuve.
On considère le système d'équations suivant:
(2.1 )
(2.2)
En appliquant la transformation de Fourier au système (2.1), (2.2) il vient:

---

-
_
1
(Ok ~
l
'k ~
l~)
3
i~
0:( p+l)
nt -
I+~l1kî z ln + 2'Z V
2
+ 2E:V + 2(p+l) (I+~kî):;S n
,
{
Vi = - f. n+ ik n.
2
-y
On pose
vecteur dans la base canonique
Alors l'expression en Fourier du système (2.1), (2.2) devient:
-
~~
3-~
Ut = AU + 2(p + 1) J( F(U),
(2.3)
ou
nP+l )
K(k) =
ik1
F(U) =
l+f!.P'
0
.
(
6
1
En appliquant (P)-l
à l'expression en Fourier (2.3) avec P la matrice de
passage de la base canonique à la base des vecteurs propres, on obtient:
-
--
3-~
Ut = AU + 2(p + 1) H F(U),
(2.4)
avec
.Alors, par la formule de la variation des constantes on obtient:
(2.5)
On pose
le vecteur représentant Û dans la base des vecteurs propres associés aux valeurs
propres de Â.
On note S(t) le semi-groupe engendré par Ji et on écrit:
32

---

Comme
Ât(- -)
e
<Pl, <P2 =
alors on a:
1
~
(271-)2 fIJf e-ik,x(eAt(<Pl,<P2))dk
1
(Jm,2 e-ik.xé>'dk)t<Pl(k) dk )
(271-)2
Jm,2 e-ik,xei),2(k)tëp;(k) dk
(51 (t)<Pl' 52(t)<P2),
avec
5· (t)l/l' = _1_ r .' e-ik.x+i),j(k)tlll .(k) dk
J' = 1 2
)
r J
(27f)2Jm,2
T ) "
.
Maintenant, en appliquant SS-l aux deux membres de l'inégalité (2.5) on ob-
tient:
C'est à dire:
U = 5(t)Uo + (3
) rt 5(t - T)(H * F(U))dT,
(2.6)
2 p + 1 Jo
où "*" représente la convolution par rapport à x.
On pose
nP+l )
F(U) =
0
.
(
H est donné plus haut.
33

---

et
U
nv-_oo )
,
o =
(
representent respectivement U et U à l'instant t = O.
(2.6) fournit alors le système intégral
Ti(x, t)
Sl(t)nO(x)+
(3
) (tSl(t-T)(hu*nP+l(x,T))dT,
(2.7)
2 P + 1 Jo
v(x, t) =
S2(t)VO(x)+
(3
) rS2(t-T)(h21*nP+l(x,T))dT.
(2.8)
2 P + 1 Jo
Ceci représente l'expression sous forme intégrale de la solution du système
d'équations (2.1), (2.2) dans la base des vecteurs propres. Ecrivons maintenant la
solution sous form~ intégrale dans la base canonique.
La relation Û = PU, nous donne
n=pu(~+~),
{ v= P21~ +P22~'
Ce qui implique
n
Pu * (Ti + v),
v
P21 * Ti + P22 * V.
Ceci donne alors avec (2.7), (2.8):
n(x,t)
v(x, t)
P 1
2(p ~ 1) lt {P21 * (Sl(t - T)(h u * n + )) +
Pn * (S2(t - T)(h 21 * nP+1))}dT.
34

---

Posons maintenant
avec
(3
)
1
r{P21*(Sl(t-T)(h u *nP+ ))+
2 P + 1 Jo
P22 * (S2(t - T)(h
*
21
nP+1))}dT.
Soit
. . .
F = {(n, v) E (C(O, T; F(IR?)))2, s > 1, sup lin Ils + sup Ilvll s ::; a}.
.
[O,T]
[O,T]
F est un fermé dans l'espace de Banach (C(O, T;F(IR?)))2 pour la norme
sup[o,T]li n lls + sup[O,T] Ilvlis.
Montrons que <p(n, v) est une contraction de F dans F pour un certain T.
On rappelle que, par notation, pour i,j = 1,2, les pij,lij,hij sont telles que
Pij, 0j, hij soient respectivement les composantes de P, (P)-l, H. Les no, va, no, va
sont définis plus haut. Nous aurons besoin du lemme suivant:
Lemme 1 Soient '1/; E Ir, et no, va E F+ 1 . On a les inégalités suivantes:
IIpu * (Sl(r)(h u * '1/;)) Ils + Ilp21 * (Sl(r)(h u * '1/;)) Ils
< cll'l/;lls,
(2.10)
35

---

IIp21 * Sl(r)noll s+ IIPn * S2(r)voll s < c(llnolls+l + Ilvolls+l)'
(2.13)
Preuve.
Nous avons vu que pour j = 1,2 on a:
Sj(t)7/J = (2~)2 JJJf e-ikox+iÀj(k)t;j;(k)dk = ';S-l(eiÀJ (k)t;j;(k)).
Alors avec les inégalités (1.2), (1.3), ... ,(1.8), on a:
[lPll * Sl(r)7/JII; -
JJJf(1 + 2
2
IkI )SI';S(Pl1 * Sl(r)7/J)1 dk
- JJJf(1 + 2
2
I k I npl1';S(Sl(r)7/J)1 dk
- JIR (1 + IkI2)Slpl1eiÀdk)r;j;12dk
2
< cJIR (1 + IkI2)SI;j;12dk = cll7/JII;.
2
De la même manière on montre que
et on obtient (2.9). Pour les inégalités (2.10), (2.11) on a:
I!Pll *
2
(Sl(r)(h l1 * 7/J))[I; -
JJJf(l + IkI2)SP(Pl1 * Sl(r)(hll * 7/J))1 dk
- JIR (1 + Ikj2ll
2
pl1 eiÀ1(k)rh ll ;j;1 2dk
2
< cJJJf (1 + Ik12ll;j;1 dk = cll7/J Il;·
De la même manière on montre que
IIp21 * (Sl(r)(h l1 * 7/J))lIs :::; cll7/Jlls,
36

---

et
Ilpll * (S2(r)(h2l * 1jJ))lls + IIp22 * (S2(r)(h2l * 1jJ))lls :::; cll1jJlls,
et on obtient les inégalités (2.10), (2.11).
Enfin pour les inégalités (2.12), (2.13), la relation
Ü = (Ptlû
nous donne
-::::-
~ -1-
Uo = (P)
Uo,
avec
_ (no)
o
et
U =
Vo
'
~
~
représentant respectivement [; et Û à l'instant t = O. (Û et Ü ont déjà été
définis plus haut.)
De là, on tire:
et alors avec (1.6) on a:
Ilpll * (Sl(r)no + S2(r)vo)\\I; = Jut(l + IkI2)SI8'(Pll * (Sl(r)nO + S2(r)vo)Wdk
<
2
c JJR2(1 + IkI )S(lpll8'(Sl(r)noW + IPll8'(S2(r)voW)dk
< cJm:(1 + IkI2)S(lpllei>'1(k)rnoI2 + IPllé\\2(k)rvo I2)dk
< c
2
JJR2 (1 + IkI2)S(lpllnoI2+ Ipll vol )dk
2
< cJJR2(1 + IkI2)S{lpll lllnoI 2+ IPlll12VOl + 1Plll21 n° 12+
2
+IPll l22VOI }dk
< c
2
JJR2(1 + IkI2)S(lno\\2 + Ivol )dk
< c(\\lnoll; + Ilvoll;)·
37

---

De même avec (1.5) on montre de la même manière que
IIp21 * Sl(r)noll s+ lIP22 * S2(r)iioll s::; c(ll noll s+l + Ilvoll s+l),
et les inégalités (2.12), (2.13) sont obtenues.
o
Montrons maintenant que <I> est une contraction de F dans F. Nous montre-
rons d'abord que <I> envoie F dans F.
On a:
11<I>(n,v)lls = II<pl(n,v)lls + 11<p2(n,v)lls.
Et avec le lemme 1, comme F (IR?) , s > 1, est une algèbre, on a pour tout
(n,v)EF:
+
1
2(p ~ 1) l t Ilpu * (Sl(t - T)(h u * nP+ (x, T)))llsdT
+
1
2(p ~ 1) l t Ilpu * (S2(t - T)(h21 * nP+ (x, T)))llsdT
i
< c{llno(x)I'ls + Ilvo(x)lls + l t IlnP+11IsdT}
" < c{llno(x)lls+l + Il vo(x)lls+l + l t Ilnll~+ldT}.
De la même manière on montre que pour tou t (n, v) E F:
11<p2(n,v)lls::; c{llnolls+l + Ilvolls+l + lt Ilnll~+ldT}.
On a alors: V(n,v)EF,
11<I>(n,v)lls::; 2c{llnolls+l +llvolls+l + lt Ilnll~+ldT}.
On rappelle que
F = {(n, v) E (C(ü, T;F(m?)))2,s > 1, sup Ilnlls + sup Ilvll s::; a}.
[O,T]
[O,T]
Soit 0 une constante positive. On suppose que Ilnolls+l + Ilvolls+! ::; 0:
On a alors V(n,v)EF,
38

---

sup 11<I>(n,v)lls < 2C{llnolls+l + Ilvolls+l + lT sup Ilnll~+ldT}
[o,T]
a [O,T]
Et en prenant a = 4co, il vient:
sup 11<I>(n, v)lls :::; 2c5(1 + 22p+2eP+IOPT).
[O,T]
Puis en fixant T tel que
(2.14)
il vient
sup 11<I>(n,v)lls :::; 4c5 = a.
[O,T]
Donc <I> envoie F dans F.
D'autre part, soient (n,v),(u,w) E F, ayant la même valeur initiale (no,vo).
Alors, avec le lemme 1 on a:
II<pl(n,v) - <Pl(u,w)lls < clt IlnP+1 - uP+11lsdT
< Clt lin - ulls(llnll~ + ...
...+ IlnIIJlul\\~-l + Ilull~)dT
< csup lin - ullsaP fT dT
[O,T]
Jo
< caP sup lin - ullsT.
[O,T]
De même on montre que
sup 11<p2(n,v) - <P2(u,w)lls :::; caPTsup lin - ulis.
[O,T]
[O,T]
On a alors:
sup 11<I>(n,v) - <I>(u,w)lls:::; 2caPTsup lin - ulis.
[O,T]
[O,T]
D'où, en prenant a = 4c5 comme plus haut, on obtient
39

---

sup IlcP(n, v) - cP(u, w)lls ~ 22p+leP+18PT sup lin - ulis.
~~
~~
Or quand T vérifie (2.14) on a:
22p+ICp+18PT < 1. Il s'ensuit que cP est une
contraction de F dans F. Ainsi nous avons établi l'existence locale et l'unicité
dans F. Le théorème 1 est alors démontré.
o
2.2
Existence locale dans ~(adx)
On a le théorème suivant:
Théorème 2 On suppose no, va E Jr+l (O"dx), m > 1 entier.
Alors il existe Ta> 0 tel que le système (0.1) admette une unique solution (n,v) E
(C(O, Toi Jr(O"dX)))2.
Preuve.
Montrons d'abord quelques inégalités qui nous seront utiles.
Pour
k = (kl , k2 ) E IR?, on n?te Ikl = Jkr + ki. On a le lemme suivant:
1
Lemme 2 Soit'lj; E IF(O"dx), m > 1. Alors on a:
2
m
~
a ~
< 1(1 + Ikl )T(I'Ij;1 + \\ak 'lj;1)I
(2.15)
L 2(IFf) ~ c211'1j;llm,<7'
2
p ~ 1
entier,
(2.16)
avec les constantes c, Cl, C2 ne dependant pas de 'Ij; .
Preuve.
Pour montrer l'inégalité (2.15) nous travaillons d'abord dans l'espace S(IR?),
puis nous déduisons l'inégalité dans l'espace IF(O"dx) par densité.
Considérons la suite 'Ij;/l- telle que 'Ij;/l- E S(IR2). Alors (f;/l- E S(IR2).
DO (X2'1j;/l-)
= L C~D{3(X2)Do-{3'1j;/l- = X2D°'lj;/l- + ciO,I) Do-(O,l)'Ij;/l-,
(2.17)
{3So
40

---

et alors avec (2.17) on a:
L JIR2 IDC>(X2v"ttWdx
1c>I~m
2
-
Jg IX2v"tt1 + . L
Jg 1DC> (x2v"ttWdX +
L
~ 21DC>(x2v"ttWdX
l~Ic>I~m, C>2=0
l~Ic>I~m, C>2i=0 IR
-
lIR21X2v"tt12 +
L
19 Ix 2Dc>v"ttI 2dx +
L
19IDC>(X2v"ttWdX
l~Ic>I~m, C>2=0
l~Ic>I~m, C>2i=0
2
< Jg IX2v"tt1 +
L
lIR2IX2Dc>v"ttI2dX +
.
l~Ic>I~m, C>2=0
+C
L
19(IX2D(C>I,C>2)v"ttI2 + ID(C>I'C>2-1)v"ttI 2)dx
l~Ic>I~m, C>2i=0
<
2
1g x~lv"ttI2 + C L
1g IDc>v"ttI (1 + x~)dx
l~Ic>I~m
2
< CL lIR2IDc>v"ttI (1 + x~)~~ = cllv"ttll~,a·
1c>I~m
" 1
D'où
(2.18)
Et alors avec (2.18) on obtient facilement
1(1 +
2
2
Ik I )T(IV;:' + la~2 V;:1)li 2 - 1(1 + IkI )m(IV;:1 + Ix-;V;ttl)2dk
<
2
21(1 +
2
IkI2)m(IV;:1 + Ix-;V;ttI )dk
-
2(IIv"ttll~ + 21Ix2v"ttll~)
Pour l'inégalité de gauche dans (2.15) on a avec (2.17):
41

---

l17PtLll~,u
L
2
JIJf(I D07PtL I + \\X2 Do7PtL \\2)dx
101:Sm
2
2
=
L Jnl1D07PtL12dX + JIJf IX27PtLI dX +
L
JIJf IX2Do7PtLl dx +
101:Sm
1:Slol:Sm, 02=0
+
L
JIJf IX2D07PtLI2dX
1:Slol:Sm, 02#0
<
L
D
2
L
2
C
JIJf I 07PtL 1 dx + C
JIJf IDO(x27PtL)1 dx
101:Sm
101:Sm
2
2
CJ(1 + IkI )m(l7PtLI + la~2 ~12)dk
a -
m
-
< Cl (1 + 1k12)T ( 17PtL 1+ 1ak 7PtL1Hi 2·
2
Ainsi, on a montré que l'inégalité (2.15) est vérifiée pour 7PtL E S(D1?). Pour
montrer que (2.15) est vérifiée pour
7P E Ir'(adx), nous allons raisonner par
densité et passer à la limite dans (2.15) quand J-L ---+ O.
Comme S(D1?) est dense dans Ir'(adx) , (cf. H. Triebel [8]), alors on peut
. choisir 7PtLE S(m2) telle que 7PtL ---+ 7P dans lI"'(adx) quand J-L ---+ O.
Montrons maintenant que
(1 + IkI2)T(I~1 + laî ~I) ---+ (1 + IkI2)T(IV;1 +
2
2
1a~2 V;I) dans L 2(m ).
Faisons d'abord un rappel. On rappelle l'inégalité suivante: Soit m > 0 entier.
Alors on a:
. Cl (1 +
2
2
Ik l )m ~
L IkO 1 ~ c2(1 + IkI2)m,
101:Sm
pour tout k E m2 avec Cl, C2, des constantes positives.
Cette inégalité entraîne donc par Plancherel:
pour tout f E Ir'(adx).
Maintenant, puisque 7PtL E S(m2) ---+ 7P dans lI"'(adx) , alors, avec l'inégalité
rappelée ci-dessus, on a:
42

---

De même
Et alors, par Plancherel on a:
De même on a:
On a alors:
On peut donc passer à la limite dans (2.15) et on obtient l'inégalité (2.15)
pour 'lj; E Ir(a-dx), m> 1.
Montrons maintenant l'inégalit~ (2.16).
Nous avons vu avec l'inégalité (2.15) que pour tout u E Ir(a-dx),
On a alors, pour tout u, v E Ir( a-dx),
IluVllm,<T :::; c(lluvll m+ Il x2uv llm).
et comme pour m > 1, Ir (IR?) est une algèbre et que pour u E Ir (a-dx) on
a X2U E Ir (IR?) , on a alors:
Vu, v E Il"'(a-dx).
Or encore avec l'inégalité (2.15), on a Ilx2Ullm:::; cIIUllm,<T' On a alors:
Vu, v E Ir(a-dx).
De là on déduit que:
43

---

Le lemme 2 est alors démontré.
o
Avant de continuer, donnons comme pour le lemme 1, le lemme suivant:
Lemme 3 Soient'l/J E Ir(O"dx), et no,vo E Ir+I(O"dx). On a les inégalités sui-
vantes:
Ilpll * SI(r)'l/Jllm,O" < c(l + r) Il'l/J/lm,O",
(2.19)
IIp21 * S2(r)'l/Jllm,a + IIp22 * S2(r)'l/Jllm,0" < c(l + r)II'l/Jllm,a,
(2.20)
IIPu * (Sl(r)(h u * 'l/J))llm,O" < c(l + r)II'l/Jllm,a,
(2.21)
/IP21 * (Sl(r)(h u * 'l/J))llm,a < c(l + r)II'l/J/lm,a,
(2.22)
IIPu * (S2(r)(h21 * 'l/J))llm,O" < c(1 + r)II'l/Jllm,a,
(2.23)
Ilpn * (S2(r)(h 21 * 'l/J))llm,O" < c(1 + r)/I'l/Jllm,a,
(2.24)
IIp21 * SI(r)iiollm,O" + IIp22 * S2(r)voll m,0" < c(l + r)(/Inoll m+l,O" + Ilvo/lm+l,O"). (2.26)
Preuve.
Donnons d'abord une inégalité liée aux valeurs propres X =
j
iÀ j , j = 1,2. On
a:
k1 + Jkl + 2(1 + ~/3kn(~ + kh')
2(1 + ~/3kn
,k2
et on montre facilement que, Vkl , k2 E IR on a:
44

---

I~), (k)1 <
fi
- a < fi < c
akz 1
-
(2(1 + ij3kf))t -
0 -
2 -
.
On a le même résultat pour ),z.
On rappelle que pour j = 1,2:
Sj(r)'IjJ(x) = (2~)2 fut e-ik,xei),j(k)r;j;(k)dk = S'-I(ei),j(k)r~(k)).
Alors avec l'inégalité (2.15) du lemme 2 et les inégalités (1.2), (1.3),···, (1.11)
de la proposition 1, on a:
Z
a
m
Z m
c{1(1 + Ikl )TIS'(Pll * SI (r)'IjJ)IIL 2+ 1(1 + Ikl )Tl
(S'(Pll * SI (r)'IjJ)) 1IL 2}
ak2
< c{I(1 + IkIZ)TIpllei),l(k)r;j;1 IL 2+ 1(1 + \\kI2)TI~(Pllei),1(k)r;j;)IIL 2}
akz
< c{I(1 + IkI2)Tlpll;j;IIL 2 + 1(1,+ IkIZ)Tla~ Pll(ei),dk)r~(k))"L 2
, ,
z
+1(1,+ IklZ)Tlpllir a~z ),l(k)~(k))IIL 2-t 1(1 + Ik/Z)T\\Pll(ei),l(k)r a~z ~(k))IIL 2}
< c{(1 + r)\\(1 +lkIZ)TI~IIL 2+ 1(1 + IkIZ)TI a~z ;j;IIL 2}
< c(1 + r)II'ljJllm,u'
De la même manière on montre que
IIPzl * Sz(r)'ljJllm,u + IIp22 * Sz(r)'ljJllm,u ::; c(1 + r)II'ljJllm,u.
D'autre part avec le lemme 2, on montre comme précédemment que:
45

---

2
m
Ô
~~
'2~
~
Ô~
+1(1 + Ikl )'2IPllir ôk )'1 (k)h ll 7PII
7P(k)II
2
L 2+ /(1 + Ikl )'2 IPllh ll ôk2
L 2
2!!!.~ ~Ô~
+1(1 + Ikl ) 21Pll7P ôk hllll
2
L 2}
m
~
m
Ô ~
2
2
< c{ (1 + r) 1(1 + 1k1 )T 17P IlL 2+ 1(1 + 1k1 )T 1Ôk 7P IlL 2}
2
< c(l + r)II7Pllm,a.
On montre les inégalités (2.22), (2.23), (2.24) de la même manière.
Enfin pour les inégalités (2.25), (2.26), en utilisant la relation suivante obtenue
plus haut
et les inégalités (1.5), (1.6), (1.9), (1.10), (1.11) de la proposition 1, on obtient
par le même procédé:
.
'. < c fIR/1 + Iknm{lpllÎllno l2 + IpllÎt2VOl 2+ IPll~lnol2 + IPll~2VOI2}dk +
+ fIR2(1
2
2
2
+ IkI )m{lplI Ô~ Îtlnol + IPlI Ô~ Ît2vol + IPlI Ô~ ~lnol2 +
. 2 2
2
2
2
2
+
)m{lplIÎtl a~2 nol + IPlIÎt2 a~2 vol +
1PlI Ô~2 ~2voI2}dk + f~(1 + IkI
2
2
2
2
+ IPlI~l a~2 nol + IPlI~2 a~2 vol }dk + fIR2 (1 + IkI )m{1 Ô~2 PlIÎtlnol
1 a ~ ~l -1 2 1 a ~ ~l -1 2 1 a ~ ~l -1 2}dk
+ ôk Pll 12V
2
O
+ ak2Pll 21 n O + Ôk2PlI nVo
• +
+r fIR2
2
(1 + IkI 2)m(lpll(Îtlno + Ît2vo)1 2+ IPlI(~lno + Î22VO)1 )dk
<
2
c(l + r) fnt(l + IkI 2)m+l(lnoI 2+ Ivol )dk +
46

---

+(1 + r) J
JR2 (1 + IkI2 )m+l (1 a~2 nol2 + 1a~2 vol 2)dk
~ c(l + r)(llnoll~+l,a + Ilvoll~+1.a)·
L'inégalité (2.26) s'obtient de la même manière.
D
Nous avons vu plus haut que l'expression sous forme intégrale de la solution
du système (0.1) s'écrit (dans la base canonique):
n(x, t)
= PlI * (Sl(t)nO(x) + S2(t)VO(x)) +
v(x,t)
P21 * Sl(t)nO(x) + P22 * S2(t)VO(x)) +
p
1
.2(p ~ 1) l t {P21 * (Sl(t - r)(h lI * n + )) +
P22* (S2(t - r)(h 21 * nP+1))}dr.
Posons comme plus haut
cP1 (n, v) )
cI> (n, v) =
.
( cP2(n, v)
avec
cP2(n,v)
47

---

Et soit
F = {(n, v) E (C (ü, T; Ir (0"dx )))2,m > 1, sup Il n Il m,cr + sup Il v Il m,cr ::; a}.
[O,T]
[O,T]
F est un fermé dans l'espace de Banach (C(ü, T;lF(O"dx)))2 pour la norme
sup[o,T] Ilnllm,cr + sup[O,T] Ilvllm,cr. Montrons que <I>(n, v) est une contraction de F
dans F pour un certain T.
Nous montrons d'abord que <I> envoie F dans F.
On a:
11<I>(n,v)llm,cr = II4>l(n,v)llm,cr + 114>2(n,v)llm,cr,
et avec le lemme 3 et l'inégalité (2.16) du lemme 2, on a pour tout (n,v) E F:
+2(p ~ 1) 1t Ilpu * (Sl(t - T)(h u * nP+1(x, T)))lIm,crdT
+2(p ~ 1) 1t Ilpu * (S2(t - T)(h21 *nP+1(x, T)))llm,crdT
< c{(l + t)(II;<o(x)llm,cr + Ilvo(x)llm,cr) + 1\\1 + t - T)llnP+lllm,crdT}
,
,
< c{(l + T)(llno(x)llm+l,cr + Ilvo(x)llm+l,cr)+ 1T(1 + T - T)llnl\\~~;dT}.
De la même manière on montre que pour tout (n, v) E F:
On a alors V(n,v) E F,
On rappelle que:
F = {(n, v) E (C(ü, T; lF(O"dx )))2, m > 1, sup Ilnllm,cr + sup Ilvllm,cr :::; a}.
[O,T]
[O,T]
Soit <5 une constante positive. On suppose que Ilnollm+l,cr + Ilvollm+l,cr :::; <5.
48

---

On a alors \\f(n,v)EF,
sup 11<I>(n,v)llm,u < 2c{(1 + T)(llnollm+l,u + II vollm+l,u) + sup \\lnll~~;(T + ~2)}
[O,T]
[O,T]
T2
T 2
< 2c{ 0 + 0 max(T, 2) + 2aP+1 max(T, 2)}'
Posons a = 4co. Il vient:
T2
sup 11<I>(n, v)llm,u :::; 2co{1 + max(T, -)(1 + 22p+3cP+lOP)}.
~~
2
Puis en fixant T de telle sorte que
(2.27)
il vient
sup II<I>(n, v) Ilm,u :::; 4cO = a.
[O,T].
."
Donc <I> envoie F dans F.
D'autre part, soient (n,v),(u,w) E F, ayant la même valeur initiale (no,vo).
Alors avec le lemme 3 et l'inégalité (2.16) du lemme 2, on a:
II<pl(n,v) - <Pl(u,w)llm,u <
1t
C
(1 + t - T)llnP+1 - uP+lllm,udT
<
1T
C
(1 + T - T)lIn - ullm,u(llnll~,u + ...
.,. + Ilnllm,ullull~~; + Ilull~,u)dT
T 2
< csup lin - ullm,uaP(T + -)dT
[O,T]
2
T 2
< c2aPmax(T, -) sup lin - ullm,u'
2
[O,T]
De même on montre que
T 2
sup 11<p2(n, v) - <P2(u, w) Ilm,u :::; 2caPmax(T, - ) sup lin - ullm,u'
[O,T]
2
[O,T]
49

---

On a alors:
T2
sup 11<P(n, v) - <p(u, W)llm,u :::; 4caPmax(T, 2) sup lin - ullm,u'
[O,T]
[O,T]
Et en prenant a = 4cO comme plus haut, on obtient
2
2 +2
+1
T
sup 11<P(n, v) - <p(U, W)llm,u :::; 2 P
c?
oP max(T, -) sup lin - ullm,u'
[O,T]
2
[O,T]
Or quand T vérifie (2.27) on a:
22p+2Cp+l0p max(T, ;2) < 1. Il s'ensuit que
<P est une contraction de F dans F. Ainsi nous avons établi l'existence locale et
l'unicité dans F. Le théorème 2 est alors démontré.
o
Donnons ici quelques lemmes et remarques dont nous aurons besoin pour la
suite.
On rappelle que par notations,
U= ( :) est le vecteur représentant U =
nv~__ dans la base des v~ct~urs propres de Â.
(
)
On a le lemme suivant:
Lemme 4 On a: 'in, v, 71, il E IF(O"dx),
OÙ h ll et h 21 sont tels que, hll et h21 sont des composantes de la matrice Ji
donnée plus haut.
Preuve.
On a vu dans les inégalités du chapitre 1 que
50

---

et que
On a alors:
Ilhu:l: nll~,q < c
2
fIIf(1 + IkI2)m{lhllnI2 + a~2
1
(h ll n)(k)1 }dk
2
2
2
2
< C fIIf(l + IkI )m{lhllnI + la~2 hll (k)n(k)1 + Ihlla~2 nl }dk
<
2
C fIIf(l + IkI 2)m{2(1 + Ikl2)kilnl 2+ (1 + IkI2)kila~2 nl }dk
< C fIIf(l + IkI2)m+l(I7Ç;12+ la~2 7Ç;12)dk
D'autre part, au chapitre 1, nous avons trouvé la relation
avec
et
On a alors:
et
51

---

On obtient donc avec ces inégalités:
IlnX111~+I,(7
2
2
=
J (1 + IkI2)m+l (I~ + a~2 ~
1
1
1 )dk
< c
2
J(1 + IkI2)m+l(k~lrW + k~la~2 nl )dk
< cJ(1 + IkI2)m{(1 + k~ + k~)k~lpllI2(1~12 + 1~12 + la~2 ~12
+la~2~12) + k~(1 + k~ + k~)la~2Pll(k)12(1~12 + 1~12)}dk
< cJ(1 + Ikl2)m (1~12 + a~2 ~12)dk
1
+c J (1 + Iknm(I~12 + a~2 ~12)dk
1
< c(llnll~,(7 + IIVIl~,(7)'
De la même manière, on montre la deuxième inégalité du lemme 4. Le lemme 4
est alors prouvé.
o
Donnons maintenant un résultat pour la solution du système (0.1) dans la base
des vecteurs propres de Â. Dans èette base, la solution du système d'équations
(0.1), exprimée sous sa forme intégrale s'écrit:
n(x, t)
Sl(t)no(x) + 2(p ~ 1) lt SJ(t - T)(h ll * nP+1(x, T))dT,
(2.28)
1
v(x, t)
=
S2(t)VO(x) + 2(p ~ 1) lt S2(t - T)(h21 * nP+ (x, T))dT.
(2.29)
On a alors le lemme suivant:
Lemme 5 Si l'on suppose no,vo E Ir(O"dx), m> 1 entier, alors il existe To > 0
tel que le système d'équations (2.28), (2.29) admet une unique solution (n, v) E
(C(O,To; Ir(O"dX)))2.
Preuve
52

---

En effet, on procède par la methode de contraction comme dans la démons-
tration du théorème 2. D'abord on montre facilement comme dans le lemme 3
que:
IISj(r)1P(x)llm,a :::; c(l + r)II1Pllm,a,
j = 1,2.
Puis on pose
avec
(2.30)
(2.31)
On définit
F = {(n, v) E (C(O, Tj un (O"dx ))?, m > 1, sup Ilnllm,a + sup Ilvllm,a :::; a}.
[O,T]
[O,T]
Et avec le lemme 4, on montre que:
11<I>t(n, v)llm,a < IISl(t)no(x)llm,a +
:,1)
2(p
lt IISl(t - r)(hll *nP+1(x, r))llm,adr
t
< c{(l + t)llno(x)lIm,a +l (1 +t - r)llhll * nP+1(x,r)lIm,adr}
< c{(l + t)llno(x)lIm,a + l t(1 + t - r)llnxinPllm+l,adr}
< c{(l + T)llno(x)llm,a + l T (1 + T - r)llnXillm+l,allnll~+l,adr}
< c{(l + T)llno(x)llm,a + l t(1 + T - r)llnll~~;dr}.
On obtient de la même manière la même estimation pour 114>2(n,v)llm,a et on
conclut comme dans la démonstration du théorème 2 que <I> est une contraction
de F dans F pour un certain To, avec no, Vo E Ir (O"dx ). On obtient ainsi le ré-
sultat du lemme 5.
53

---

o
Donnons une remarque sur l'intérêt de l'espace Ir'(adx) dans notre travail.
Remarque 1 L'intérêt de l'espace à poids Il"' (adx) par rapport à l'espace F( IR?)
réside dans la recherche d'une propriété de décroissance en temps pour la solution
(n,v) du système d'équations (0.1). Car, dans l'espace F(IR?), nous ne pouvons
pas avoir par exemple, l'estimation de la forme In(x, t)1 ::; ct-Q, q > 0, quand
t -----+ 00, où c est une constante indépendante de t et de x. En effet, l'expression
sous forme intégrale de la solution (n, v) de (0.1) telle qu'elle est présentée plus
haut, fait apparaître par exemple le terme PlI * Sl(t)(h lI * f(n)), où les Pu et hlI
donnés plus haut, sont issus des calculs de changement de base. D'où l'estimation
de In(x,t)l, nécessite l'estimation de IPlI*Sl(t)(hlI*f(n))IL ""; et puisque, comme
nous le verrons dans la suite, on peut montrer que PlI E L I(IR?), il suffit avec
l'inégalité de Young, d'estimer seulement ISl(t)(hlI*f(n))IL "". Or, comme nous
le verrons plus bas, ce terme ne peut être estimé dans l'espace lf'(IR?), s > 1,
(par rapport à t- Q, q > 0, quand t -----+ 00,) que si hlI appartient à L l(IR?);
ce qui n'est pas le cas. Par contre, pour estimer ce terme dans l'espace à poids
Il"'( adx), cette condition n'est pas nécessaire. (Dans nos estimations, il n'y a pas
de soucis à se faire pour estimer f(n) en norme L l, ou F, ou Il"'(adx); une
méthode classique que nous verrons dans la suite, permet de contrôler f( n) par
rapport à une fonction de t, et d'arriver à nos fins).
D'autre part, le choix du poids!a(x) dans une seule direction, a été fait dans le
but d'avoir à n'utiliser que des dérivées partielles par rapport à une seule variable.
Cela simplifie les calculs .
..... Expliquons ici le fait que le terme /Sl(t)(h lI * f(n))IL "" ne puisse pas être
•estimé de façon intéressante dans l'espace lf'(IR?).
On rappelle que
S (t)'P(x) = _'_1_ r
e-ik.x+i>'l(k)trp(k) dk
1
(27r)2 JIFf
.
Posons
Alors
_1_\\ r 2 e-ik,xTV(k,t)rp(k)dk + r r
e-ik,x+i>'l(k)trp(k)dkl
(27r)2 JIR
JIRJ1k11?-tt
< CIS'-I(W)(X, t) * 'PI + \\j
r
e-ik'x+i>'l(k)trp(k) dkl.
IR J1ktl?-tt
54

---

On a tout de suite pour t ~ 1,
< Ck(fIIf(1 + IkI2)2ktlr?\\2dk)!(fIIf (1 +d~12)2)!
1
< C311'Plk
Il reste à estimer IS:-1(W)(x, t) * 'PIL 00. En general, on arrive à contrôler
IS:-1(W)(x, t)IL 00 par la méthode de la phase stationnaire, de manière à avoir
IS:-1(W)(x, t)IL 00 S; et-q, q > 0, quand t ----7 00. D'où, pour estimer avec
l'inégalité de Young P-1(IV)(x, t) * 'PIL 00, il faut pouvoir contrôler l'PIL I(IIf)'
C'est ainsi que par exemple, pour l'équation (eq 1), (où nous sommes en dimension
1), J. Albert [2], a écrit comme suit l'équation intégrale vérifiée par la solution
de (eql),
u(t) = S(t)uo(x) + (p ~ 1) 1/ S(t - T)(I{ * up+1(x, T))dT
avec K tel que K(l) = (I;~\\)' l E IR.
Puis, en vérifiant que K(x) E L 1(IR), (ici x E IR), il a montré par l'inégalité de
Young que
IS:-1(IV)(x,t) * (K:+: up+1)IL oo(IR) . < P-1(IV)(x, t)IL oo(IR)IK * uP+1IL 1(IR)
<
1
P-l(W)(x,t)IL OO(IR)IKIL 1(IR)luP+ IL l(IR)"
1
2
~
Mais dans notre cas, on n'a pas hll(x) E L (IR). (On rappelle que h ll =
~(k2/+ié)(~+I), avec E donné plus haut au chapitre 1.) On ne peut donc pas
estimer IS:-1(IV)(x, t) * (h
*
l l
f(n))I L oo(IIf) par la méthode ci-dessus, puisqu'on
n'arrive pas à contrôler Ihll(x)I L 1(IR2)" C'est pourquoi nous utilisons l'espace à
poids Ir'(adx) dans lequel il n'est pas nécessaire d'avoir hll(x) EL 1(IR2) pour
estimer IS:-1(IV)(x, t) * (hl! * f(n))I L 00(IR2)"
D
55

---

57
Chapitre 3
Estimations pour le système
linéaire
Dans ce chapitre, nous faisons des estimations linéaires en norme L 00 de la
solution du problème linéaire associé à (0.1). Pour cela, nous donnons quelques
inégalités utiles se rapportant à la norme Il . Ika, puis nous faisons des estima-
tions de la solution dans la base des vecteurs propres de Â, via des estimations
des intégrales oscillantes Sl(t), S2(t) définies au chapitre 2. Enfin, nous arrivons
au résultat en utilisant les relations liant les solutions dans la base canonique et
celles dans la base des vecteurs propres. La méthode de la phase stationnaire sera
un outil de base dans ce travail.
. Considérons le problème de Cauchy (problème linéaire associé à (0.1)),
o
o
(PL)
On a le théorème suivant:
Théorème 3 pour no, Vo E 1f(C5dx), la solution ((n(x, t), v(x, t)) du problème
linéaire (PL) satisfait:
et

---

pour tout t ~ 0, x E m?, où c ne dépend pas de x et de t-. .
Preuve.
3.1
Quelques inégalités utiles se rapportant à la
norme Il'114,a
Nous aurons besoin des inégalités suivantes:
Lemme 6 Soit 'l/J E It (adx). Alors on a:
2
~
a ~
1(1 + 1k1)(l'l/J 1+ lak 'l/J 1)IL 1(IJf ) < cil 'l/J 1k<7,
(3.2)
2
lm 1(1 +k~)V;IL oo(mk2)dk1 < cll'l/Jlk<7'
(3.3)
où les constantes c, Cl, C2 ne dépendent pas de 'l/J.
Preuve.
. . L'inégalité (3.1) est le cas particulier "m = 4" de l'inégalité (2.15) déjà dé-
montrée.
.
Pour l'inégalité (3.2), nous allons rai~oriner par densité. Considérons la suite 'l/JI"
2
~
2
.
telle que 'l/JI" E S(m )j alors 'l/JI" E S(m ) et on a avec (3.1):
et puisque
58

---

JIJf (1 +~kI2)2 dk < 00,
on en déduit que (3.2) est vérifiée pour 'l/J~ E S(m?). Pour montrer que (3.2)
est vérifiée pour
'l/J E If (O"dx), nous allons raisonner par densité et injection
continue, et passer à la limite dans (3.2) quand f-L --+ O.
Comme S(m?) est dense dans F(O"dx), alors on peut choisir 'l/J~ E S(IR?) telle
que
'l/J~ --+ 'l/J dans Ir (O"dx) quand f-L --+ O. De là, nous disons que puisque
'l/J~ est de Cauchy dans F(O"dx), alors il existe tl,1] > 0 tels que l'inégalité (3.2)
appliquée à 'l/Jp - 'l/Jq, p, q < 1], nous donne:
C'est à dire:
Il en résulte que les suites 8'((1-6)'l/J~) et 8'((1-6)(X2'l/J~)) sont de Cauchy
dans· L I(JR2). Il existe donc une fonction 'Pl EL 1(JR2) telle que
De même il existe une fonction 'P2 EL I(JR2) telle que
De plus, comme l'injection de L 1(JR2) dans S'(JR2) est continue, alors
et de même
8'((1 - 6)(X2'l/J~)) --+ 'P2 dans S'(JR2).
D'autre part, puisque 'l/J~ --+ 'l/J dans Ir( O"dx), alors
(1 - 6)'l/J~ --+ (1 - 6)'l/J dans L 2(JR2).
De même
59

---

D'où, par Plancherel, on a:
Or, l'injection de L 2(m?) dans s/(m?) étant continue, on a:
Et alors avec l'unicité de la limite dans s/(m2) on en déduit que
<Pl = S'((1- /::.)1/J).
Donc
De la même manière on montre que <P2 = S'((l - /::.)(X21/J)), ce qui veut dire
que
S'((l - /::.)(X21/JtL )) ---+ S'((l - /::.)(X21/J)) dans L l(m2).
,
On a alors:
On peut donc passer à la limite dans (3.2) et on obtient l'inégalité (3.2) pour
1/J E F(O"dx).
Pour l'inégalité (3.3), on procède de la même manière:
Considérons la suite 1/JtL telle que 1/JtL E S(m2); alors ;r: E S(m2) et on a:
et alors, on a avec (3.2):
60

---

r
-
r
-
2
a-
lm 1(1 + k~)1f'Il IL (m
1f'
00
k2 )dk l
< 2 1g (1 k21f'Il (kl , k2)1+ (1 + k2)1ak
Il (k l , k2)1) dk l dk2
2
2
-
a-
< cl (1 + Ikl )(I1f'1l1 + 1ak 1f'1l1)IL 1(g)
2
< all1f'lllka.
L'inégalité (3.3) est alors vérifiée par 1f'i" E 5(m2). Pour montrer que (3.3) est
vérifiée pour 1f' E It(O"dx), nous allons tout comme dans la démonstration de
(3.2), raisonner par densité et injection continue, et passer à la limite dans (3.3)
quand J.L ---+ O.
Comme 5(m2) est dense dans It( O"dx), alors on peut choisir 1f'i" E 5(m2) telle
que 1f'i" ---+ 1f' dans F(O"dx)
quand J.L ---+ O. De là, nous disons que puisque
1f'i" est de Cauchy dans F(O"dx), alors il existe T], El > 0 tels que l'inégalité (3.3)
appliquée à 1f'p - 1f'q, p, q < T], nous donne:
c'est à dire:
... r·
a2
a
·
'
2
lm \\8'((1- ax2)1f'p) - S'((1- ox2)1f'q)IL 00(IRk2 )dkl ~ El,
.
2
2
D'où la suite S'((1 - tld1f'i") est de.Cauchy dans L I(IR, L OO(IRkJ). Il existe
2
.
.
.
donc urie fonction 'P3 E L 1 (IR, L 00 (IRk2 )) telle que
En d'autres termes,
De plus, comme l'injection de L 1 (IR) dans 5'(IR) est continue,
D'autre part, puisque 1f'i" ---+ 1f' dans Jt( O"dx), alors
61

---

82
82
(1 - -82)'l/J/J ---+ (1- 8 2)'l/J dans L 2(m?).
X 2
X 2
Et alors par Plancherel on a:
D'où
Or, l'injection de L 2(ffl) dans S'(ffl) est continue. On a alors:
et alors avec l'unicité de la limite dans S'(ffl) on en déduit que
Donc
C'est à dire:
lim r lU + k~)~IL oo(ffl )dk1 = r lU + k~)~IL oo(ffl )dk1•
/J~O } ffl
k2
} ffl
k2
.
On peut donc passer à la limite dans (3.3) et on obtient l'inégalité (3.3) pour
'l/J E F((J'dx). Le lemme 6 est alors prouvé.
o
3.2
Estimation de la solution dans la base des
vecteurs propres
Avant de continuer, donnons quelques inégalités vérifiées par quelques unes
des dérivées des valeurs propres X j = iÀj(k), j = 1,2 de Â. On a:
62

---

kl +)ki + 2(1 + ~j3kn(~ + ki,)
2(1 + ~j3kn
,k2
)ki + 2(1 + ~j3kn(~ + kil)
,(k: + 2~ (1 + ~j3kn)
(k? + 2(1 + ~j3kn(~ + ki,))~'
-6,2((k: + 2~(1 + ~j3kn)(l + ~j3knk2
(k? + 2(1 + ~j3kn(~~ + ki,))~
On montre que, Vkl , k2 E m,
82
18kr~l(k)1 < c,
82
k~
~ c,
1
8kr~ l ( k)1
où c est une constante indépendante de kl et k2 •
D'autre part on a pour tout k2 2: 1/2, Ikll ~ li, t 2: l,
)(1 + ~kn(~ + 2~~ + 2,ki)
>
'
(1 + ~knt(~ + 8~~ + 2,)t
1
> aC6.
où a est une constante indépendante de t de k l et de k2 •
De même on a pour tout k 2 2: 1/2, Ikll ~ li, t 2: l,
63

---

>
3
2
Il
2
3
2
2
3
(J )ï(k; + 2~ (1 + ~kl ))2(~ + k2,)2
,
>
avec a indépendante de t de ki et de k 2 •
Donc d'après ce qui précède, on a pour tout k ~
2
1/2, Ikii ~ tt, t ~ Iles inégalités
suivantes:
1
â
aC"6
<
)'1
(3.4)
1 âk
(k) 1 ~ c,
2
1
aC"6
~ ki ::r)'1
(3.5)
1
(k :11 ~ c,
où a et c sont indépendantes de t de ki et de k 2 •
D
; i
.
,
On rappelle que l 'expressi6~ des composantes SI (t) et S2 (t) du semi-groupe
S( t) a été donnée plus haut au chapitre 2 et s'écrit:
_1_ r e-ik.x+i>'l (k)t{n(k) dk
(3.6)
(2-71-)2 Jm2
T '
_1_ r e-ik,x+i>'2(k)t;j(k)dk
(3.7)
(211-)2 JIFf
.
Pour simplifier les notations, définissons:
où " . " représente le produit scalaire dans IR?
Alors SI(t)tp(X) et S2(t)'ljJ(X) peuvent s'écrire:
64

---

On sait d'après ce qui a été fait au chapitre 2, que la solution de (PL) dans la
base des vecteurs propres s'écrit: n = Sl(t)nO'
v = S2(t)VO' avec n,v,no,vo,
définis au chapitre 2. Donc, les estimations de n et de v sont données par les
estimations de Sl(t) et S2(t).
Nous allons donner des estimations Loo sur les intégrales oscillantes Sl(t) et S2(t).
On a le lemme suivant:
Lemme 7 Soit cp E Jt (O"dx) et supposons que 8~2 ho, (k) est non nulle sur un
rectangle [al, a2] x [bl, b2] tel que sur ce rectangle
c( t) > 0,
une constante ne dépendant que de t > O.
Alors on a:
(3.8)
Preuve.
Considérons la suite <pJ.l telle que <PJ.l E S(Hl?). Alors <pJ.l E S(IR?).
D'où cp;. est continue bornée et on a
Comme <pJ.l E L 1(Hl?), on applique le théorème de Fubini et on intègre par parties.
Il vient:
65

---

et on a:
Maintenant, pour montrer que l'inégalité (3.8) est vérifiée pour cp E F(crdx),
nous allons passer à la limite dans (3.8) quand /-1 -----+ O.
Notons Il (/-1) le membre à gauche de l'inégalité (3.8) et 12 (/-1) le membre à droite
de cette inégalité quand elle est vérifiée par CPI-'" On notera Il à la place de 11 (/-1)
et 12 à la place de 12 (/-1) si l'on remplace cPJ-L par cp dans cette inégalité.
Nous avons vu au lemme 6 que tout cp E F(crdx) vérifie les inégalités (3.2), (3.3).
D'autre part, comme S(m2 ) est dense dans F(crdx), on peut choisir cPJ-L E S(m?)
telle que CPJ-L -----+ cp dans F(crdx) quand /-1 -----+ O.
Alors, en appliquant cPJ-L - cp E F(crdx) aux inégalités (3.2), (3.3), on montre que:
lim J 21cP: - 01dk + lim J 21 88 cp: - 88 01dk = 0,
(3.9)
J-L-tO
m
J-L-tO
m k~2
k~2
et
(3.10)
66

---

D'où pour la limite de Il (J.l), on a avec (3.9):
Donc
De même pour la limite de 12 (J.l), comme l~hO'[(k)1 = 1~).I(k)1 ~ C, on a:
2
2
o
De la même manière, on a le lemme suivant:
Lemme 8 Si on considère un rectangle [al, a2] X [b3, b4] avec 0 < b3 ~ b4 < 00,
tel que sur ce rectangle on ait:
ce qui donne
ou encore
8 h (k' 1 >
c( t) .
18k
k5b~-3'
2
0'[
)
-
67

---

alors pour cp E F(adx), on a:
De même, si
ce qui implique
lâ~2hQt(k)1 ~ c(t)b~,
sur ce même rectangle, alors on a:
(3.12)
Par ailleurs, si pour p ~ 2, on a
â h (k)1
c(t)
1 âk
~ kib~-2'
2 Qt
alors on peut avoir une version semblable à l'inégalité (3.11) et qui est la suivante:
(3.11)'
68

---

Preuve.
En effet, considérons e.p1J. E S(m2 ). Alors rplJ. E S(m2 ). D'où, kirplJ. est continue
bornée et on a
Ikie.plJ.(k1 , k2 )IL oo(m ) = sup Ik~e.pIJ.(kl, k2 )1,
Vk1 E IR.
k2
k2 Em
Alors, en procédant comme dans la démonstration du lemme 7 on obtient:
(Pour les deux premières intégrales à droite de la dernière inégalité, on a utilisé
l'hypothèse â~2 hOt (k) ~
1
1
k3c;;L3 , et pour la troisième intégrale à droi te de l'inéga-
2 4
lité, on a utilisé l'hypothèse â~
1
hot(k)! ~ k2Cb(;L2 .)
2 2 4
D'où rplJ. E S(IR2 ) vérifie l'inégalité (3.11) du lemme 8. On vérifie alors cette in-
égalité pour rp E F(a-dx)en passant à la limite tout comme cela a été fait dans
la démonstration du lemme 7. Les inégalités (3.12) et (3.11)' se démontrent de la
même manière.
o
Remarque 2 On s'aperçoit ainsi que l'expression à droite de l'inégalité (3.8)
peut être estimée quand on a des estimations de â~2 hOt (k) et de !qhot (k). Comme
par définition de hOt on a, ~hot(k) = ~)\\1(k), alors, nous connaissons déjà
:2
2
des estimations de ~hot(k) d'après les inégatlités (3.5) et autres données plus
2
haut. Nous verrons plus loin des estimations de â~2 hOt (k) quand k = (k1, k2) ap-
proche un zéro de â~2 hOt (k). Les zéros de â~2 hOt (k) sont les solutions de l'équation
âthot(k1,k2) = O. Comme
69

---

alors pour la2tl <
Vi
les solutions de l'équation a~2hCXt(k) = 0 sont
V2{l+1/6,Bki) ,
données par:
a 2 (P + 2,;2 (1 + 1/6f3k2 ))
k2
= 2t l
"(
1 . •
CX2t
'Yh - 2a~t(1 + 1/6f3kf))
On a donc comme solutions, deux racines opposées. Posons
a
-
.JY
o -
)2(1 + 1/6f3kf) .
La condition
la2tl < ao
pour l'existence de points stationnaires de hcxt(k)
a motivé les définitions de
/\\'0 données dans la démonstration des lemmes 9 et
10, dans lesquels on a recours à la méthode de la phase stationnaire,. l'intérêt de
cette méthode est de pouvoir estimer 51 (t)<p asymptotiquement (quand t tend vers
l'infini), au voisinage des points critiques de hcxt (k) en utilisant le fait que par
exemple -!&hcxt(k) =1- 0 en ces poi~-ds.
2
D
Dans la suite, comme rp E L l(m?), alors, grâce au théorème de Fubini, on
écrira sans distinguer, J: J:
J:
2
4 e ihol (k)trp( k) dk 2 dk l
à la place de J:4 2 eihot (k)trp( k) dkl dk2
1
3
3
1
Les inégalités du lemme 6 nous seront utiles pour la suite.
On a le lemme suivant:
Lemme 9 Il existe une constante a > 0 telle que
1
1J~tt;tAd eihcxt(kl>k2)t<;3(kll k2) dk2 dk11 < all<plko"t-~,
pour tout at E m? et t 2: 1,. a ne dépend que des constantes b et d.
Preuve.
70

---

Définissons
et pour tout a2t E IR, définissons /\\'0 E lb, ci] par:
/\\'0 = b
SI
a2t < ab,
a~2 hOt (kl , /\\'0) = 0 SI
ab :S a2t :S ad,
/\\'0 = d
SI
ad < a2t·
On vérifie facilement comme pour l'inégalité (3.5) que:
[j2
[j2
1
1
ôkiho,(k) = ôki)lJ(k) ~ a1C 6 , Vk2 E [b,d], Ikll :S t6'
où al est une constante ne dépendant que de b et de d.
Alors par le théorème de Taylor, il existe des constantes positives a, 0, () telles que
pour tout a2t E [ab - ()t-t,ad + ()t-t] et (k l ,k2) E [-tt,tt] x [b,ci],t ~ 1, on a:
(3.13)
et
IÔ~2ho,(kl ,k2)1 ~ aCt SI Ik2 - /\\'01 ~ O.
(3.14)
En effet, il suffit de voir que:
Considérons maintenant le cas
Si a2t < ab - ()t-t,
Ô
ôk ÀI(kl,b) - a2t
2
Ô
1
> ôk ÀI(kl,b) - ab + ()cr;
2
> ()C t .
Et alors par Taylor on a pour a2t < ab - ()t- t
71

---

8
82
8k hOt (kl , 6) + (k2 - 6) ak~ hOt (k l , z),
2
> oct ,
Si
a2t 2: ad + Ot- t on a par Taylor:
Et alors
82
-
la2t-ad+(d-k2)8k~hot(kl,Z)1
82
a2t - ad + (d - k2) 8k~hot(kl' z)
> Ot-t.
car
d - k2 2: 0 et
-ff&hot(k) 2: O.
2
18~2 hot (k1,k2)12: a2t- t , a2 > 0, t 2: 1,
pour tout
k2 E [6, d] , Ikii ~ tt, où a2 est une constante indépendante de k1 et
de k 2 .
Alors en utilisant le lemme 7 et les inégalités sur les dérivées de
>'1 (k), on a
pour
a2t rt [abt - Ot-t, adt + Bt-il,
Maintenant pour
a2t E [ab - Ot-t, ad + Ot-tl,
on obtient en appliquant
comme précédemment le lemme 7 et l'inégalité (3.14),:
72

---

jtt~ r
eihOt(kl,k2)tcp(kll k ) dk dk10
2
2
- t ~ Jlk2 -KO 15:0
1
1
Pour cela considerons séparement les cas
C"3 2: 0 et C"3 ~ o.
1
Pour
C"3 2: 0 on a:
Pour C ~ ~ 0 on a:
On a
D'autre part
73

---

Le lemme 8 (inégalité (3.12)), l'inégalité (3.13) et celles sur les dérivées de
À1(k) nous donnent en posant s = k2 - ~o,:
On a la même estimation sur [-d,dl x[~o - 8,~o - rt] en procédant de la
même manière; et le lemme 9 est prouvé.
o
On a le lemme suivant:
Lemme 10 Il existe une constante C2 > 0, indépendante de t , telle que
et
jtt j-2
1 -t t
1
2
- 0 0 eihol (k ,k )tÇ3(k1, k2 ) dk 2 dk11 ::; C2 ct Ileplku,
VO:tEIR?,
t~1.
74

---

Preuve.
On rappelle que par notation
et que
donne
fJ
fJ
fJk hoJk l ,k2) = fJk )'1(kl ,k2) - a21·
2
2
Par symetrie, il suffit de prouver le résultat pour
Jlt 100
l
eiha , (kt ,k2)\\?(kl , k2) dk2 dkl .
-16
2
( En effet, pour le cas (kl , k2 ) E [-d", à] x] - 00, -2], on fait un changement
de variable k ---+
2
-k2 et on procède comme dans le cas [-Û, Û] X [2, oo[ tout
en remarquant que a~2)'1 (kl , -k2) = - a~2 Àl (k l , k2) entraîne a~2 ho, (k l , -k2) =
-a~2ÀI(kl,k2) + a21 = -at ho,(kl ,k2).
Et alors
la~2hoJkl,-k2)1 = la~2hoJkl,k2)1. Or comme le principal travail est
basé sur l'estimation de
1a~ ho, (k l , k2 ) l, on aura donc le même résultat pour
2
.
(k l , k2 ) E [- Û , Û] x] - 00, - 2]).
;
On considère d'abord le cas t 2: 1.
Posons
V1
ao = ---r=======::;====
)2(1 + ~kn'
(On rappelle que, d'après la remarque 2, si la211 < ao, alors hot(k) admet des
points stationnaires).
Si a21 > 0 définissons 1\\;0 E [2,00[ par
1\\;0 = 2
{
a~2ho,(kl,1\\;0) = 0,
SI
0< a21 < ao.
Soit r tel que 0 < r < 1. Nous disons alors que pour tout a21 E]O, ao[ et
(k l , k2 ) E [-à, Û] x [2, +00[, t 2: 1, on a les estimations suivantes:
(3.15)
75

---

(3.16)
Pour prouver (3.15) on suppose
Ik2 - 11:01 ~ rll:o. Il suffit alors de voir par
Taylor que:
8
8 2
8k hOI (kl ,k2) = (k2 - 11:0) 8ki)'1(kl ,z),
2
où
Iz - 11:01 ~ Ik2 - 11:01 ~ rll:o, et d'utiliser l'inégalité (3.5).
On rappelle que pour tout
(k l ,k2) E Hi x [2,00[,
k2 f----7 ô~2)'l(kl,k2) est
croissante et positive et que k2 f----7 ~ÀI(kl' k2 ) décroissante et positive.
2
Le cas Ik2 - 11:01 2:: rll:o, G2t E]O, Go[ se sépare en deux cas suivants:
- Cas 2 ~ k2 ~ (1 - r)II:O, G2t E]O, GO[:
Comme pour G2t E]O, Go[,
(kl,lI:o) est point critique de hOI(kl , k2), et alors
on a:
8
G2t = 8k À1(kl , 11:0)'
2
D'où, par Taylor, comme k2 f----7 Ô~2ÀI(kl,k2) est croissante et positive, on a:
8
"
1
À1(kl ,k2) - G2tl
8k2
8
8
'8k À1(kl ,k2) - 8k À1(kl,lI:o)1
2
2
8 .
8
8
> 8k À1(k1,lI:o) - 8k À1(k1,k2),
car 8k À1(k) 2:: °
2
2
2
8
k2
8
> 8k À1(kl , 1 _ r) - 8k À1(kl , k2),
à cause de la croissance.
2
2
k2
82
k2
> (---k2)8k2ÀI(kl,Z),
zE]k2, - - [
1-r
~
1-r
r
82
k2
82
> 1- rk28kiÀI(kl, 1- r)'
car 8ki À1 (k l ,·) 2:: 0, et décroit.
t-~
> ak2 k3
par (3.5).
2
c~
> a k3
avec a ne dépendant que de r.
2
76

---

82
-
(k2 - KO) 8kr~ l ( kl, Z),
z E ]KO, k2[
82
82
> rK08kiÀI(kl,k2),
car 8kiÀ1(kl,·) 2: 0, et est décroissante.
C~
> rKoa p
par
(3.5).
2
car
K 0 >
_ 2',
a ne dépend que de r.
On conclut alors (3.16).
Nous allons maintenant estimer pour 0:2t E ]0, 0:0 [ l'intégrale
ftt 100
~
eihOt(kl,k2)t<p(kl' k2) dk2 dki .
-t6
2
Posons s = k2 - KO et définissons XOt(k l , k2) comme la fonction caractéris-
tique de l'ensemble {(k l , k2) E IR2, Isl 2: rKo}. Alors
Si
0:2t E ]0,0:0['
alors
(3.16)
est vérifiée quand
Xat(k) =f. O.
Donc de
(3.16), (3.5) et le lemme 8 (inégalité (3.11)), on a:
77

---

D'autre part on a:
Pour l'intégrale
t t
"
r
eiha,{kl,k2}tcj3(kl,k2)dk2dkl'
j -t t 1lsl:SrKo
on considère séparement les ca~ /\\'0 2: rd; et /\\'0::; rt t .
(on pose touj ours s = k2 - /\\'0 ) •
. - Pour le cas /\\'0 2: dt, on a (avec· (1 - r)/\\'o ::; k2 ::; (1 + r)/\\'o):
Ijtt r
eihat{kl,k2}tcj3(kl,k2)dk2dkll::;
-à 1lsl:SrKo
j tt r
Iki0(kl,k2)ldk dk
- t t 1lsl :S rKo
'"'5 (1 - r)2
2
1
1
- Pour le cas /\\'0::; rH, on écrit:
78

---

1
car
f-l = T'KOC 3
1
< cC"3II<Plka, où cne dépend que de T'.
D'autre part, en remarquant quépour f-l :::; Ik2 - Koi :::; T'Ka, l'inégalité (3.15)
nous donne aussi
I~h (k)l> (actlk2-KOI)(1-T')2 > (actf-l)(1-T')2
( )
Bk
Cl!
-
k2
-
_
P '
3.17
2
Ka
2
Ka
2
on a alors, de (3.5), (3.15), (3.17) et le lemme 8 (inégalité (3.11)), ((3.15) est
utilisée pour les deux premières intégrales à droite de l'inégalité (3.11), et (3.17)
est utilisée pour la dernière intégrales à droite de l'inégalité (3.11).)
79

---

1
Jtt
a
< et-l{t3~OfL-l(3 _ttlk~<pIL oo(IRk2)dkl +lk~ak2<PIL I(Œ))}
< cri ~OfL-lll<plkq
Le lemme la est alors prouvé pour le cas Q'2t E)O, Q'o[.
Quand Q'2t::; 0, on a avec (3.4):
On écri t alors:
tt {OO
Jtt ft!
Jtt 100
J-ttJ2 = -ttJ2 + -tg. t! '
et alors avec les inégalités sur les dérivées de À1 (k) et le lemme 7 on obtient
facilement comme plus haut:
80

---

1
Enfin si 0:21 ~ 0:0, alors pour tout k2 E [2,00[, Ikd ::; f6, t ~ 1, on a:
Ô
act
lôk2hat(kl,k2)1 ~ ki'
où a est une constante indépendante de t. En effet on rappelle que
IÔ~2ÀI(kl,k2)1::;
fi
= 0:0, "V'k l ,k2 E IR.
-/2(1 + ~kn
D'où pour 0:2t ~ 0:0, on a en appliquant Taylor sur ]k2,2k2[,
ô
1ôk ÀI(kl , k2 ) - 0:2tl
2
Ô
Ô
> 10:2tl- Ôk2ÀI(kl,k2),
car Ôk2ÀI(k)~O
Ô
ô2
> 0:0 - (ôk ÀI(kl ,2k2) - k2ÔkiÀI(kl'Z))
Z E]k2,2k2[
2
ô2
Ô
> 0:0-0:0+k2ÔkiÀI(kl,Z),
car l
ÀI(k)1 ::;0:0
ôk2
ô2
ô2
> k2ÔkiÀI(kl,2k2),
car ôkiÀI(kl,·)
est décroissante.
art
at-t
> k2);3 = - k
2 '
par (3.5); a est indépendante de i, kl , k2.
2
2
On écrit donc
(CO = (t! + 1CO ,
J2
J2
tt
et en utilisant le lemme 8 (inégalité (3.11)'), et les inégalités sur les dérivées
de ÀI(k), on a:
81

---

D'autre part:
et donc
jà (OO
,
1 -ttJ
eihot(k"k2)tÇ5(kl,k2) dk2dk1 1 ::; cC 3 11<plkO"·
2
De plus en appliquant le lemme 9, on obtient le même resultat d'estimation
pour
On a donc
D
On a le lemme suivant:
Lemme I l
pOUT' tout
t > 0, x E IR?, k = (k 1 ,k2) E IR?,
où c est independante de <P,
x, et t.
Preuve.
On a:
82

---

On a eu avec le lemme 9 et le lemme 10, l'estimation pour t ~ 1, de la première
intégrale à droite de l'inégalité ci-dessus. Pour la deuxième on a (toujours pour
t ~ 1 ):
car
1
1
1
t ~ 1 :::} 2t ~ 1 + t :::} t- 3 S; 23(1 + t) - 30
Le cas t S; 1 est évident. En effet on a:
1 fIEf eihat(kl.k2)tep(kl' k
dk
< fIEf lep(k
2 ) dk 2
1 1
1 , k 2 )! dk 2 dk 1
(1 + t)t
< (1 + t)t IIeplka
1
1
< 23 (1 + t)-31Ieplkao
et le lemme Il est démontré.
o
On a la même version du lemme 11 pour 52(t)7./; qui donne:
83

---

avec
,
ou
k1 -
/k 2 + 2(1 + !J.p)(e2 + k2'V)
.À (k) -
V 1
6
l
'Y
2 1
2
-
2(1 + ~kn
Quelques éléments de preuves des lemme 9 et 10 pour le cas 52 (t)'ljJ.
En effet comme pour le cas SI (t)c.p on aboutit facilement a la version du lemme
11 pour le cas S2(t)'ljJ dès qu'on a la version des lemmes 9 et 10 pour le cas S2(t)'ljJ.
Les lemmes 9 et 10 pour le cas S2(t)'ljJ se démontrent de la même manière que
pour le cas SI (t)c.p. Donnons ici quelques élements de la preuve des lemmes 9 et
10 pour le cas S2(t)'ljJ.
On definit
8
8
ab = 8k .À2(k1, b),
ad = 8k .À2(k1, d),
2
2
et pour tout a2t E IR, on définit l'l:o E lb, d] par
l'l:o = b,
l'l:o = d,
(cette definition tient compte de la décroissance de k2 I------t a~2.À2(k1,k2)).
Puisque
82
82
1
1
1
l!-'lk290t (k)! = 18p .À2(k)1 ~ a1ce; V(k1,k2) E [-t6,t6] x [b,d],
u 2
2
avec al indépendante de k1 et de k2 • Alors par le théorème de Taylor, il existe des
1
1
constantes positives al, 0, e telles que pour tout a2t E [ad - et-e;, ab +ece;], et
(k ,k
1
2 ) E [-tt,tt]
x [b,d],t ~ 1, on ait:
8
1
(3.18)
18k290t(k1,k2)1 ~ ace;lk2 - l'l:ol,
SI
> o.
(3.19)
1 k2 -
~o 1
84

---

Ceci s'obtient facilement comme dans le cas SI (t)'P, ho: (k).
1
1
Considérons maintenant le cas a2t ~ [ad - Be s , ab + Bt- s ].
Si a2t 2: ab + Bt-t, on a par Taylor
Et alors comme
k2 >
_
b
et
on a:
.
82
1- {a2t - ab + (b - k2)8k2g0t(kl, z)}1
2
82
a2t - ab + (b - k2) 8k'j gCXt (k l , z)
> Bt-t.
Si
a2t ~ ad - Bt-t, on a (avec d 2: k2),
8 2
Cark2-d~0 et "'[jk'1"goJkl'Z)~O.
2
Pour la preuve du lemme la, on pose:
a -
ft
o -
)2(1 + ~kn .
Si
a2t < 0,
on definit
KO E [2,oo[
par
- ao < a2t < O.
85

---

On remarque simplement que
a
a
ak À2(k1 , k2) = - ak À1(k1 , k2);
2
2
et alors dans le cas -0'0 < 0'2t < 0, la démonstration se fait comme pour le cas
Sl(t)<P.
Si 0'2t < -0'0, alors 10'2tl 2:: 0'0 et on a:
a
a
a
lak2go,(kl,k2)12:: 10'2tl-lak2 À2(k1,k2)12:: 0'0 - ak À1(k1,k2),
2
et on conclut comme pour le cas Sl(t), ho,(k).
Si 0'2t > 0, on a:
a
a
lak2go,(kl,k2)1
1- ak À1(k1,k2 ) - 0'2tl
2
a
ak À1(k1, k2) + 0'2t
2
a
1
> ak À1(k1, k2) 2:: arr; par (3.4).
2
Et on conclut comme dans le cas Sl(t)<P.
o
3.3 . Fin de la preuve du théorème 3
On rappelle que fi, v sont tels que U= ( : ) , représente le vecteur
U =
nv~__ ) dans la base des vecteurs propres de A. Pour la preuve du théorème 3,
(
nous aurons aussi besoin de la proposition suivante:
Proposition 2 On a les inégalités suivantes:
86

---

Preuve.
Nous avons obtenu au chapitre 2 la relation
n
Pli * (Ti + v),
(3.22)
v
P21 * Ti + P22 * v,
(3.23)
avec Pli, P21, P22 définis au chapi tre 1.
D'où pour prouver la proposition 2, il suffit de montrer que Pli EL I(IR?) et que
P21,P22 EL 2(IR?), et d'appliquer l'inégalité de Young.
Montrons que
Pli EL 1(IR?). On rappelle que pour tous
a > 0, Xl, kt E m,
20.<
(~-alxll)(k) _ -2ikl
a :..smil e
1
-
k2 ,
Xl
1 +:..:..L
a 2
On a alors:
Pu (X)
On en déduit que
Pli E L l(m2). D'autre part on a:
1
P21
87

---

k1 - Jk? + 2(1 + ~k?)(~ + ki,)
-2(1 + ~kn(e~ + ki,)
et alors,
~ 12
<
P21 L 2(Dt)
1 4P +4(1 +fik2)(e2 +k2'Y)
1
6
1
-y
2 1
dk dk
1
IFf
4(1 + ~k?)2(~ + ki,)2
1
2
r
dk1dk2
< CJIFf(l+~k?)(~+ki,)
<00.
Et on en déduit par Plancherel que P21 EL 2(m?).
On fait de même pour P22.
Alors, en utilisant l'inégalité de Young et les inégalités (3.22), (3.23), on ob-
tient:
In(x, t)I L =(IFf) < IPll(X)IL I(IFf)(ln(x, t)IL =(m2) + Iv(x, t)IL =(IFf))
<. c(ln(x',t)IL =(IFf) + Iv(x,t)IL =(m2))
D
Si (n, v) est solution du problème linéaire (P L), alors on obtient formellement
(cf. chap.2),
n(x, t) = Sl(t)nO(x),
v(x, t) = S2(t)VO(x)
où no(x),vo(x) représentent respectivement n(x,t),iI(x,t) à l'instant t = O. net
il sont définis plus haut.
D'où avec le lemme 11, on a:
88

---

et
1
Iv(t)IL co(1Jf) = IS2(t)voIL co(IFt) ::; c(l + t)-3"ll volkO"·
Alors, en combinant cela avec les inégalités de la proposition 2, et en se rappelant
avec le lemme 1 que ISj(t)noI L 2(1Jf) ::; clnolL 2(1Jf)' j = 1,2, on obtient:
In(x, t)I L co(1Jf) < c(ln(x, t)IL co(1Jf) + Iv(x, t)IL co(1Jf))'
1
< c(l + tr3"(llnolkO" + IlvolkO"),
(3.24)
Iv(x, t)I L co(1Jf) < c(ln(x, t)IL 2(1Jf) + Iv(x, t)IL 2(1Jf))
< c(lnolL 2(JR2) + IvolL 2(1Jf))
(3.25)
Maintenant, en utilisant la relation suivante obtenue au chapitre 2
~": +~12~
:
=
{
Vo = l21nO + l22VO
où lu, 112 , 121 , 122sont les composantes de la matrice (P)-1, on montre avec les
inégalités de la proposition 1 (chapitre 1), que:
IlnolkO" < c(IInolls,O" + Ilvolls,O")
(3.26)
IlvolkO"· < c(llnolls,O" + Ilvolls,O")
(3.27) ...
D'où, en combinant (3.26), (3.27) et (3.24), (3.25), on obtient les inégalités du
théorème 3.
o
89

---

90

---

91
Chapitre 4
Décroissance -en temps des
solutions
On a le théorème suivant:
Théorème 4 Supposons p > 6 dans le système (0.1).
Si no,vo E H13 (adx), alors, il existe 0> 0 tel que si
\\Inolls,a + Ilvolls,a + L (1IDVnolls,a + IIDvvolls,a) < 0,
Ivl~5
alors la solution ((n(x, t), v(x, t)) de (0.1) est globale et satisfait:
et
pour tout t ~ 0, x E IR?, où c ne dépend pas de x et de t.
Preuve.
On rappelle que par notations,
U = (:)
est le vecteur représentant
dans la base des vecteurs propres de Â, et que d'autre part,
dans cette base, la solution du système d'équations (0.1), exprimée sous sa forme
intégrale s'écrit:

---

t
n(x,t)
Sl(t)nO(x) + 2(p ~ 1) l Sl(t - T)(h ll * nP+1(x,T))dT,
(4.1)
iJ(x,t)
=
S2(t)iJO(X)+2(P~1)lts2(t-T)(h21*np+l(X,T))dT.
(4.2)
Dans la suite on notera pour j = 1,2,3,4,5,
{Jj = L DV(v),
Wj = L DV(n),
Ivl=j
Ivl=j
et
rjJj = L DVno(x),
{Jj = L DViJo(x).
Ivl=j
Ivl=j
En appliquant DV aux inégalités (3.22), (3.23), on obtient:
Wj
Pu * (w)o + JJ,
{Jj
P21 * Wj + P22 * {Jj,
avec Wj = Llvl=j DV(n) et Jj = Llvl=j DV(iJ).
Maintenant, on applique DV aux équations du système (0.1) et on obtient:
Wjt + Wjxl + ~(J;-(n))Xl - ~{3Wjxlxlt + h'{J jx2 - ~é{Jj = 0,
{ ,{Jjt +éW)o +,W)oX2 = O.
Puis avec la même méthode que celle utilisée pour obtenir les équations inté-
grales (4.1), (4.2), on obtient:
Sl(t)rjJj(X) + (3
) rSl(t - T)(h u * J;-(n))dT,
(4.3)
2 P + 1 Jo
-
3
i t
S2(t)'ljJj(x) + 2(
)
S2(t - T)(h 21 * J;-(n))dT.
(4.4)
. p+1
0
Avant de continuer donnons pour j = 1,2,3,4,5, des estimations de 11(J;-(n))X11Is,u.
Pour cela, nous aurons besoin des inégalités suivantes:
Proposition 3 Ona Vu,v EJf(o"dx):
Iluvlls,u ~ c( L IDvulL =(.llt))llvlls,u,
(4.5)
Ivl~s
92

---

IluvIIS,(7 < c( I: {IDVuIL oo(IR:) + IDvvlL oo(IR:)})(llulls,(7 + Ilvlls,(7)'
(4.6)
IvI9
Ilup+11Is,e7 < c( I: IDvulL oo(IR:)YlIulls,(7'
(4.7)
IvI9
Iluvlls,(7 < c( I: IDvulL oo(IR:))llvIls,(7 + IvlL oo(Dt)llvlls,(7'
(4.8)
IvlS;4
où p > 0 entier.
Preuve
L'inégalité (4.5) est évidente; l'inégalité (4.6) se démontre en tenant compte
de la symétrie dans la formule de Leibniz; l'inégalité (4.7) découle de l'inégalité
(4.6). L'inégalité (4.8) est évidente; elle s'obtient à peu près de la même manière
que l'inégalité (4.6).
o
Estimons maintenant pour j = 1,2,3,4,5, Il (fj( n) )Xl Ils,(7'
Avec les notations
1Jj = L DV(v),
Wj =
L DV(n),
Ivl=j
Ivl=j
on a:
I: DV(nx1 nP) = (nx1 nP)xI + (nx1 nP)X2
1vI=1
De même on montre que
(h(n))xI
=
L DV(nx1nP)
Ivl=2
93

---

L DI/(nx1nP)
11/1=3
L DI/(nx1nP)
11/1=4
(4.9)
94

---

On rappelle que
Wj = LII/I=j DI/(n),j = 1,2,3,4,5.
Ainsi avec les inégalités (4.5), (4.6), (4.7), (4.8), on a:
II wsx\\ n P IIS,(7
< c( L 1DI/(nP) IL 00(Œ)) IIwsx1 Ils,(7
11/19
< clnIL-~(llt)( L IDl/nlL oo(llt))Sllwsxl lls,(7'
II/I~s
c( L IDI/(nP-1)IL )ll wIW4xIlls,(7
00
II/I~s
< c( L IDI/(nP-1)IL oo){( L IDI/WIIL 00))lIw4xJs,(7 + !w4x lL oollwIlls,(7}
l
11/19
11/1~4
< c(L IDI/(nP-1)ILoo){(L IDl/nIL oo )ll w4xIlls,(7+(L IDl/nILoo )ll wdls,(7}
II/I~s
11/19
II/I~s
< clnlr~( L IDl/nlL )6(ll w4xIlls,(7 + Il wIlls,(7)'
00
11/19
Ilnp 2w
-
I2w3XIIIS,(7
< c(L IDI/(nP-2)ILoo)llwI2w3XIlls,(7
II/I~s
< clnlr:( L IDl/nlL 00 )S{( L IDI/(w/)IL 00 )llw3xIlls,(7
11/19
11/1~4
< clnlr:( L IDl/nlL 00 )S{( L IDI/WIIL 00 )21Iw3xllls,(7
II/I~s
11/1~4
+c( L IDl/nlL 00)( L IDI/WIIL 00 )II WIIIS,(7}
11/1=4
11/1~2
< clnlr:( L IDl/nlL f(ll w3XIIIS,(7 + II WIIIS,(7),
00
II/I~s
95

---

V
c( L ID (n P- 3 )IL 00 )ll w22wl nXllls,CT
IvI:SS
< clnlr~( L IDvnlL 00 )S( L {IDV(wl)IL 00 + IDV(Wlnxl)IL oo})
IvI9
Ivl$2
< clnlr~( L IDvnlL 00)8(llnxJS,CT + Il x2W Ills.CT + II X2W 21Is.CT),
IvI9
IlnP-SWISnxJs,CT
< c(L IDV(nP-S)ILoo)llwISnxll/S.CT
Ivl$S
< clnlr~( L IDvnlL 00 )S{( L IDvnxIIL 00 )llwISlls.CT
Ivl$S
Ivl$4
< clnlr~( L IDvnlL 00 )S{( L IDvnlL 00)( L IDvwdL 00 )41Iwd/s.CT
Ivl$S
Ivl$S
Ivl$2
+ L IDVnl} 00 IlnxJs,CT}
Ivi=l
'
< clnlr~O( L IDvnlL 00 )lO(llwIlls,CT + IlnxJs,CT);
Ivl$S
et ainsi de suite on obtient de la même manière des majorations semblables
pour les autres termes à droite de l'inégalité (4.9). On fait de même pour les
(Jj(n))Xilj = 1,2,3,4,. On a alors, pour j = 1,2,3,4,5,
II(Jj(n))xIlls.CT :S clnlr~( L IDvnlL 00 )IO(llnlls.CT + Ilnxllls.CT
Ivl$S
J
+L {llwdls,CT + Ilwlxllls.CT})'
(4.10)
1= 1
De plus, puisque Wj, 'l9j, Wj et Jj, vérifient les inégalités (3.22), (3.23), on peut
montrer que Wj, 'l9 j, Wj et Jj , vérifient les inégalités (3.20), (3.21), de la proposition
2 . On a ainsi:
96

---

L
IDI/n(x, t)IL OO(Dt2) :::; C( L IDI/ii(x, t)IL OO(Dt2) + L IDI/v(x, t)IL OO(Dt2)).
II/I=j
II/I=j
II/I=j
Finalement, en appliquant le lemme 4 au niveau de l'inégalité (4.10), on ob-
tient: YI :::; j :::; 5,
5
(Il ii1ku + Il v1ku + L (IlWLi ku + Il JLi ku )).
(4.11)
1=1
Bien entendu, on a le même resultat pour Uo(n))xl = nxln P•
Définissons maintenant
5
+IIV«IIIL 2(W) + (1 + T)-1(llii(T)lku + Ilv(T)lku + L(!\\Wj(T)lku + IIJj(T)lku))}
,
;=1
avec ii, v, iio, Vo définis plus haut.
On a la proposition suivante:
Proposition 4 On a:
q(t) :::; c{lliiolk<1 + Ilvolk<1 + L (IIDI/iiolku + IIDI/volku) + q(t)P+l},
(4.12)
11/1 S;5
et q(t) est continue.
Preuve
On peut tout de suite dire que q(t) est continue. En effet, d'après le lemme
5, (ii, v) solution du système d'équations intégrales (4.1), (4.2) vérifie (ii, v) E
(C(O,To; Irn(<rdX)))2, pour iio,vo E Irn(<rdx), m > 1. Et alors, en remarquant
que
5
L
IDl/ii(T)\\L oo(Ilt)+LI/Wj(T)114,u:S c L IIDl/ii(T)112+ L
IIDl/ii(T)lku:::; cllii(T)llg",u,
11/1S;5
j=1
11/1S;5
11/19
97

---

on déduit de la propriété de (n, ii) qu'on vient de citer que q(t) est continue.
Montrons maintenant l'inégalité (4.12). On rappelle que par notation, (Ji(n))xI =
LIIII=j DII(nx,nP). Alors, avec le lemme 11 et les inégalités (4.1), (4.11), on a:
/n(x, t)IL
< ISI(t)nO(x)IL oo + (3
) rt/SI(t-T)(hll*nP+I(x,T))ILoodT
00
2 p + 1 Jo
< c{(1 + tttilnolka + lt Ilhll * np+l lka(1 + (t - T)ttdT}
< c{(1 + tttilnolka + lt Iln nPI15,a(1 + (t - T))-tdT}
X1
< c{(1 + t)-tllnolka + lt(ln(T)IL
+ lii(T)IL y-IO
00
00
(L: {IDlIn(T)IL + IDlIii(T)/L oo} )IO(lln(T)lka + Ilv(T)lka
00
11l1~5
5
+ L:{IIWj(T) Ika + IIJj(T) Ika})(1 + (t - T))-t dT}
j=l
et alors pour p > 6 on a:
En effet on a:
,
< c(1 + t)-"3
pour
p > 6.
98

---

De même, en utilisant le lemme 11 et les inégalités (4.3), (4.11) on obtient
comme dans le cas précédant, pour p > 6:
II
(1 + t) t IWj(X, t)IL ""'(1lf) :::; c{ L Il D nolku + q(ty+l},
11I1=j
avec Wj = LIIII=j Dll n,
j = 1,2,3,4,5.
Maintenant nous utiliserons les inégalités suivantes obtenues dans les lemmes
1 et 3 du chapitre 2.
(4.13)
(4.14)
Alors, avec le lemme 11 et les inégalités (4.1), (4.11), (4.13), on obtient facilement
comme dans le cas précédent:
1
IIn(x, t)lku
< IIS1(t)no(x)lku + 2(p ~ 1) l t IIS1(t - T)(hu * nP+ (x, T))lkudT
<
1
c{(1 + t)llnolku + l t 11h11 * nP+ Iku(1 + (t - T))dT}
< c{(1 + t)llnolku +q(ty+l l t(1 + T)-r+1(1 + (t - T))dT}
D'où pour p > 6 on a:
De même, en utilisant (4.3), et en procédant de la même manière, on obtient
pour p> 6:
(1 + t)-lllwj(x, t)lku :::; c{ L IIDllnolku + q(ty+l},
11I1=j
avec Wj = LIIII=j DII n,
j = 1,2,3,4,5.
Pour V, on utilise (4.2), (4.4) et on obtient en appliquant le même procédé:
99

---

c{ I: IIDvvolku + q(t)p+l}
Ivl=j
(1 + t)- l llt9j (x, t)lku < c{ I: IIDvvolku + q(t)p+l}
Ivl=j
avec {Jj = Llvl=j DV v,
j = 1,2,3,4,5.
Maintenant, avec le lemme 4,1 'inégalité (3.20) de la proposition 2, et l'inégalité
(4.14), on a:
lii(x, t)IL 2 < ISl(t)iio(x)IL 2 + 2(p ~ 1) lt ISl(t - T)(h ll * nP+1(x, T))IL 2dT
< c{liiol
+ lt Ih *
L 2
l l
nP+lIL 2dT}
< c{liiolL
)llnxII11dT}
2 + .r/ InIF;,( L
IDVnlL 00
Jo
/vl~l
.
< c{liiol
+
L 2 + lt (liilL
IvlL
y-l( L {IDViiILOO
00
00
o
Iv/9
et alors pour p > 6 on a:
1
lii(x, t)IL
~ c{liiol
2
L 2 + q(tt+ }.
De même on montre que:
1
Iv(x, t)I L 2 ~ c{lvolL 2 + q(tt+ }.
On conclut donc (4.12).
100

---

o
Choisissons maintenant un nombre f-l > 0 tel que f-l > Cf-lp+l, où C est la
constante apparaissant dans l'inégalité (4.12); et choisissons 0 tel que, si
II71olkO" + IlvolkO" + L (1IDV71olkO" + II DvvolkO") < 0,
Ivl~5
alors.
q(O) < f-l et
f-l > c{II71olkO"+ IIVolkO"+ L(I/ Dv71olkO"+ I/ DvvolkO")+f-lP+l}.
(4.15)
Ivl~5
Alors on dit que:
lI71olkO" + IlvolkO" + L (1IDV71olkO" + IIDvvolkO") < 0,
IvI9
doit impliquer q(t) < f-l pour tout t 2: O. Car autrement, par continuité de q(t)
comme fonction de t et le fait que q(O) < f-l, on aurait q(t) = f-l pour un certain
t. Mais alors (4.15) contredirait (4.12).
Maintenant, comme q(t) < f-l, on a alors:
Alors les inégalités (3.20), (3.21) de la proposition 2 donnent:
et
Iv(t)IL =(IR2) ~ c(II71(t)I/L 2(I!f) + Ilv(t)IIL 2(IFf)) ~ c.
D'où, avec les inégalités (3.26), (3.27), on peut choisir un 01 > 0 tel que pour
IlnolIB,O" + IlvolIB,O" + L (1IDVnoIIB,O" + I/ DvvoIIB,O") < 01,
Ivl~5
on ait:
II71olkO" + IlvolkO" + L (I/ Dv71olkO" + IIDvvo lkO") < 0,
Ivl~5
où 0 est la même constante donnée plus haut.
Or, cette dernière inégalité nous permet de retrouver la conclusion q(t) < f-l et
le resultat final. Le théorème 4 est alors démontré.
101

---

o
Remarque 3 Dans la preuve du théorème 4, il était indispensable à un certain
moment dans les inégalités, de contrôler Inxt (t)I L oo(m2) par rapport à q(t). (Ceci
parceque n Xt apparaît dans le terme non linéaire de nos équations.) C'est ce qui
nous a conduit de dérivée en dérivée, à traiter avec des dérivées d'ordres élevés
de n dans nos calculs. Cela, avec l'utilisation de la matrice de passage dans nos
calculs, nous a poussé à faire l 'hypothèse de forte régularité de no et de Vo dans
le théorème 4. Or, dans l'espace Jr(IR?), m entier, nous n'aurions pas besoin
de contrôler InX1(t)I L oo(IFt) et les dérivées de n. Il suffirait d'écrire IInPnxtllm ~
In(t)I Loo(IFt)llnxtllm, en utilisant l'inégalité Ilnp+11lm ~ In(t)ILoo(IFt)llnllm,p 2::
1.
,
;
102

---

103
Conclusion
Nous avons donc montré pour des valeurs initiales assez petites, la décroissance
en temps de la normeL OO(Dl?) de la solution du problème de Cauchy associé aux'
équations de Boussinesq du système (0.1), quand p> 6.
Lorsque p = 1 dans (0.1), nous sommes confrontés à une difficulté pour montrer
l'existence globale de la solution de (0.1); cette difficulté est due au fait que les
inégalités classiques d'énergie pour les équations linéaires dans (0.1), fourni sent
les estimations en norme L 2(JR2) de v, n, n Xl ' mais non de n X2 ' Ainsi, le manque
de terme régularisant en "X2" pour n (par exemple le fait de ne pas avoir le
terme" - n
t" ,) dans notre système d'équations, nous empêche d'avoir une
X2X2
bonne conservation d'énergie afin d'obtenir l'existence globale de la solution via
des estimations classiques d'énergie.
Enfin, on s'aperçoit que le résultat final de notre travail dépend essentiellement de
la forme de l'estimation sur le problème linéaire. Ainsi, en particulier, la condition
p > 6 dans l'hypothèse du théorème 4, pour la décroissance en temps de la solution
de (0.1), est étroitement liée aux estimations suivantes (obtenues dans le lemme
11 et l'inégalité (4.13)),
ISj(t)'PI L oo(IIf) ::; c(l + t)-tll'Plku,
j = 1,2
Par contre, si l'on arrivait à trouver un bon espace X muni d'une norme Il . Ilx
pour laquelle on puisse avoir les estimations suivantes
j = 1,2
IISj(t)'Pllx ::; cll'Pllx,
j = 1,2,
alors, la condition p > 6 dans l'hypothèse du théorème 4, pourrait être affaiblie
par p > 3. C'est ainsi que, en travaillant dans les espaces de Sobolev Hs, J .Albert
[2] et P.Biler [3] ont pu étudier le comportement asymptotique des solutions de
(eq1) ou (eq2), respectivement pour p > 4 et p 2: 3. Mais comme nous l'avons dit
dans la remarque 1, nous ne pouvons pas ici, travailler dans les espaces HS.

---

104

---

105
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107

---

108

---

109
Deuxième partie
Explosion en temps fini pour
certaines solutions d'une
équation de Boussinesq
géI?-éralisée

---

---

111
Chapitre 1
Blow up of solutions of a
generalized Boussinesq equation
Abstract
Consider the Cauchy problern
Utt = (J(u))xx + Uxxtt x E m, t ~ 0
U(x, 0) = Uo (x )
(1.1 )
{ Ut(x,O) = Ul(X)
'. where f: m -+ m cco, f(O) = O.
After treatrnent of the local existence problern, we show the blow up of the solu-
tion of the equation (1.1) under the fol1owing assurn ptions :
Let Q' > 0 . be real, and such that :
2(1 + 2Q')F(u) ~ uf(u)
(1.2)
+co
1j2(Vo, PVo)v + J-coF(uo)dx < 0,
(1.3)
where P = 1- ::21 F'(s) = f(s), and Vo is given by Ut(x,O) = (vo(x))x.
Then we focus on various perturbations of the equation. We also study the
veetorial case in the sarne way, and finally we give sorne examples.

---

1.1
Introduction
P. L. Christiansen, P.S.Lombdahl and V.Muto [3] have studied numerically
the nonlinear dynamics of unstable solitons of some scalar and veetorial nonlinear
dispersive equations, and those studies demonstrate the possibility of blow up of
the solution of the corresponding Cauchy problems. We treat theoretically those
equations in examples 1,4, and 5. F.Linares [5], after having established the local
existence of the solution of the Cauchy problem associated to the equation
Utt -
U xx + U xxxx + ('ljJ(u))xx = 0,
where 'ljJ(u) = lulO'u,a > 0 real, has shown that it could be globally extended for
small initial values.
On the other hand, Howard A.Levine [l] or Ladyzhenskaya and Kalantarov [7],
and also L.E Payne and D.H.Sattinger [2] have shown that for a bounded domain,
the solution u of the Cauchy problem associated to the equation
PUtt = -Au + F(u)
where P and A are positive semi definite operators (with P strictly positive) and
where F is a
C= nonlinear fonction, blows up in a finite time for appropriate
initial values. In particular, S.K.Turitsyn [9] has recently made a study of the
Cauchy problems associated to the equations
(l.4)
and
(1.5)
where he shows the blow up for the case where the solution u is a space periodic
funetion. He has also studied in [8] the case of the system of vectorial equations
given in [3]. Moreover, Robert L.Sachs [4] in a recent article, has theoretically
shown for an unbounded domain that the Cauchy problem associated to the
equation
(1.6)
admits for appropriate initial values, a solution that blows up in a fini te time.
He had noted a gap in the proof of Ladyzhenskaya and Kalantarov's result, when
applied to the Boussinesq equation (6). Recall that, Ladyzhenskaya and Kalanta-
rov have treated the blow up of the general form of the Boussinesq equation (6).
R.L.Sachs had resolved the gap in the proof of Ladyzhenskaya and Kalantarov's
result by adding a condition which ensures that the techniques of Levine may be
applied. This condi tion is gi ven in the lemma 1 of his paper, and in the lem ma 4
of our paper.
112

---

In the present article, a generalisation of the Boussinesq-type equation (1.5) is
considered, namely
PUtt = (J(U))xx,
::2,
where P = 1 -
and 1 is a C= nonlinear function with 1(0) = O. In this
work, we will take essentially our inspiration from the article of R.Sachs. The
plan of this paper is as follows :
In section 2 a local well-posedness for the initial value problem (1.1) is establi-
shed.
In section 3 we show the blow up of the solution of problem (1.1) under sorne as-
::2'
sumptions. Indeed for equations of the form PUtt = (J(U) )xx, where P = 1-
one consider the quantity (U, PU) as a function of t; (".) represents the scalar
product in L2. With suitable hypotheseses on the nonlinearity, one may derive
conditions under which this quantity must become infinite in a fini te time, the-
reby, contradicting the assumption that a global solution exists.
In section 4 we study a perturbed equation and we show the same result of blow
up as for the equation (1.1).
In section 5 we investigate a system of vectorial equations and we show the blow
up of its solution in the same way as for the equation (1.1).
In section 6 we obtain the same result for the system of vectorial equations when
it is perturbed by a linear or nonlinear function.
In section 7 we give sorne examples .
. We note LP(m), 1 ::; p ::; 00 the space of measurable fonctions 1 : m t----+ m
with the norm
(l:Sp<oo)
or
111= = esssupxEmI1(x)1
and for any sEm the Sobolev space HS(m) with norm
Iluils = (jm(1 + k2YIÎ(k)12dk)~.
1.2
Local existence and uniqueness for the so-
lution of the scalar equation
Utt = (J( u))xx + Uxxtt
x E m, t ~ 0
u(x,O) = uo(x)
(1. 7)
{ Ut(x,O) = Ul (x),
u( +00, t) = u( -00, t) = 0,
113

---

where f : m-----1 m coo, f(O) = O.
We have the following result:
Theorem 1 FOT Uo, UI E HS(m), s > ~ Tcal, tI~eTe exists T > a such that the
Cauchy pToblem (1.7) has a unique solution u E C 1(0, Tj HS(m)).
Proof. For the proof, we need the fo11owing lemma:
::2t
Lemma 1 L = (1-
1 ::2 is bounded in HS(m).
Proof. Indeed let v E HS(m);
we have:
IILvll~(m)
Jm(1 + e)SIL;12dç
Jm(1 + e)S (1 J~2)2lvI2dç
< Jm(l + etlvl2dç
Ilvll~(m).
::2t
Therefore L = (1 -
l ::2 is bounded in HS(m).
D
We also need the foHowing proposition:
Proposition 1 Let f : m f--------t m be a funetion Coo, with f(O) = O.
Ifu,v E HS(m) n Loo,s > 0, then we have Ilf(u) - f(v)lls ~ cllu- vils, wheTe c
depends on lIuli s and Ilvllso
Proof. We proceed as in S.Alinhac and P.Gerard's [la] work, in which they
showed that Ilf(u)lls ~ cllull s. They have used the Littlewood-Paley's decompo-
sition which is presented as fo11ows:
Let 7/J E C[;(mn ), 7/J(Ç) = 1 for lçl ~ 1/2, 7/J(ç) = 0 for lçl ~ l.
Set tp(ç) = 7/J(~) -7/J(Ç); tp is supported by the crown 1/2 ~ lç\\ ~ 2, and, for aH
ç
1 = 7/J(ç) + L tp(2- PÇ).
p~O
For u E S'(mn ), we set
114

---

such that
U = sou + Lu p.
p~o
This is the Littlewood-Paley's decomposition of u. We set Sp(u) = L~:~l uq. We
need the following lemmas in [10].
Lemma 2 We have:
(i) For al! 0: E !N", p 2: -1
I~:uplux> ::; c2P1e>llulux>, 1~:Spulux> ::; c2P1e>'1ulux>
(ii) for al! s E IR and p 2: D}
~2psluplp ::; Iluils ::; c2ps luplL2
c
(iii) for al! k E IN and p 2: D}
where c is independent of p and u.
Lemma 3 ("Meyer's Multiplier"). Let m p E COOl be a sequel} with for aIl k E IN
for some 0 E IR. The application M : u -----+ L m pu p = Mu applieds HS in Hs- 8
for al! s > o} with a norm of operator depending only of Ck for k ::; E( s - 0) + 1.
In their work, S.Alinhac and P.Gerard [10], have used the trick called "of the
telescopic serie" which consists in writing
F(u) = F(Sou) + 2:)F(Sp+lU) - F(Spu)),
p>o
and by Taylor's formula
115

---

Using the inequality ~:SpulL'X> ~ c2p1a1 IulL'X>
1
of lemma 2,' and the fact that F E
Ccc and u E Hs () Loo, s > 0, they show that mp is a " Meyer's Multiplier" of
order O. Then, by Lemma 3, they obtained
IIF(u) - F(Sou)lls = Il Lmpupll s ~ cllull s .
p~o
Likewise, in our case, writing
F(u)-F(v) = F(Sou)-F(Sov)+ L(F(SP+IU)-F(SP+lV))- L(F(Spu)-F(Spv)),
p~O
p~O
we have by Taylor's formula
M p has the same form as the "mp " in [10]. Then, in the same manner, we obtain
that M p is a "Meyer's Multiplier" of order O. On the other hand, as in addition
Sp(u - v) = L~;;;=-l(U - v)q, we obtain by lemma 3,
IIF(u) - F(v)lls ~ cil L MpSp(u - v)lls ~ cllu - vils, s > 1/2,
p>O
and the proposition 1 is proved.
D
Let us show now the local existence and uniqueness of u solution of the equa-
tion (1. 7). (1.7) can be written as
a2
a2
utt=L(J(u)),
L=(l- ax2t1 ax2'
By Lemma 1, L is bounded in HS(m). Set G(u) = L(J(u)) and let Ul,U2 E
Br(HS), where Br(HS) = {v E HS(m), s > ~,llvlls ~ r}. We have:
IIG(ud - G(u2)lls ~ IILllsllf(ud - f(U2)lls
because HS(m) s > 1/2 is an algebra. Then, by the proposition 1 and the lemma
1, we obtain
IIG(ud - G(u2)lls ~ cllul - u211s.
Therefore G is locally Lipschitzian from a closed set of the Banach HS(m) within
itself. Then, writing the equation (1.7) in the form
Ut = n
nt = Lf(u)
(1.8)
{ u(x,O) = Uo, nt(x, 0) = Ul,
116

---

2
2
.
(
)
tx
where L = (1 -
2 t 1 tx2' and f E Coo ,/(0) = 0, and setting U =
~ ,
we conclude by the Cauchy-Lipschitz-Picard's theorem in H. Brezis [11], that
there exists a T
>
max
0, such that the equation (1.7) has a unique solution
u E C1(0, Tmax ; IlS(IR)), with
lui ----7 +00 as t ----7 Tma.x,
{ or Tma.x = +00.
o
1.3
Blow up in finite time for the scalar equa-
tion
We have first the following lemma:
Lemma 4 If there exist funetions Vo (x), wo( x) E Ils+ 1 such that the initial values
u(x,O) and Ut(x, 0) satisfy the relations
u(x,O) = (wo(x))x,
Ut(x,O) = (vo(x))x,
then for ail t E [0, TL the solutionu of the Cauchy problem (1.7) verifies u(x, t) =
(w( x, t))x, with a corresponding evolution of w( x, t), v( x, t) satisfying the system
Wt ( x, t) = v (x, t)
t:2t
(1.9)
1
{
Vt(x, t) = (1 -
-§xU(wx)).
The couple offunciions (w,v) belongs to {C 1([0,T];Ils+ 1 )}2.
Proof. We write (1. 7) in the form
(1.10)
and using the first inequality of this system, we obtain
u(x, t) = u(x, 0) + f~ zx(x, s)ds
The term u(x,O) is an x-derivative by hypothesis and
f~ zx(x, s)ds is an x-
derivative. Therefore there exists a w(x, t) such that u(x, t) = (w(x, t))x, which
gives from (1.7),
(1.11)
117

---

Bence we easily obtain the system (1.9) and the resùlt of existence (by the
Cauchy-Lipschitz-Picard's theorem as above), noticing that
For the result of blow up, we will use the following lemma mentioned in [1].
Lemma 5 Suppose 'ljJ( t) is a positive, twice-differentiable function satisfying for
t 2: 0 the incquality: 'ljJ"'ljJ - (1 + a)('ljJ')2 2: 0 where a > O.
If 'ljJ(0) > 0 and 'ljJ'(O) > 0, then 'ljJ(t) ---+ 00 as t ---+ t l :::; a~(,n).
(t l is a positive constant).
Let us give now the following result of blow up:
Theorem 2 (Blow up). Suppose that there exists a real a > 0 such that :
2(1 + 2a)F(u) 2: uf(u)
(1.12)
where F'(s) = f(s).
Suppose the initial values u(x, 0) and Ut(x, 0) are chosen such that they verify the
following asumptions
(i) u(x,O) = (wo(x))x,
Ut(x,O) = (vo(x))x for some Wo,Vo E Hs+l,s > 1/2
2
(ii) J!"C: Pv(x, O)w(x, O)dx > 0 where P = 1 - 88 2
.
x
(iii) 1/2(vo, Pvo) + J!"C: F(uo) < O.
Then the solution u of theequation·(1.1) blows up in a finite time. In other words,
the maximal time of existence is finite.' In fact this time is less than or equal to
T* = a~(/n) J where 'ljJ(0).= (wo, PWo) and 'ljJ'(O) = 2(va, PWo).
Proof of Theorem 2. Let us first show that the set of initial values verifying
(i), (ii), (iii)
x2
is not empty; take for example F(u) = ~u3. Let Wo = _xe-t
and
2
2
2
_lx
d
(1
2
2)
_lx
d
(1
2)
_lx
W
t
Vo = -xe 2
;
an
Uo = -
- 3x
e 3
an
UOt = -
- x
e 2
•
e see a
once that ua, UOt E HS(m) and va, Wo E Hs+ l . For (ii), we have by integration by
parts,
118

---

For (iii) we have first, by integrations by parts,
On the other hand we have
1
2" J
2
2
2
1
vodx + 2" J a
2
1
1
1
ax Vo dx = 2" J(
2
4)
_x
5
1 - x + x e
dx = 8" J _x
e
dx.
We have finally
j +OO
Il J 2
1j2(vo, Pvo) + -00 F(uo) = -8
e- X dx < O.
Rence the set of initial values verifying (i),(ii),(iii) is not empty.
(From lemma 4, u = Wx,Wt = v, and the fol1owing computations are all
j ustified for t < T.). Define 'ljJ (t) as follows:
j +OO
'ljJ(t) = -00 Pw(x, t)w(x, t)dx.
We have 'ljJ(0) > a and it is fini te; (since (w, Pw) = Iptwli2)' Moreover 'ljJ'(t) =
2J~:Pv(x, t)w(x, t)dx is strictly positive at t = a by the hypothesis (ii). Sup-
. pose that the maximal time of existence is greater than T* = Ot~('~b ' 0: > o. A
contradiction will be obtained by lemma 5, once the hypotheses veriB.ed, because
it will imply that 'ljJ(t) becomes infinite at a time at most equal to T*, violating
. the results of local existence theory on (0, T). The condition necessary to apply
lemma 5 is: 'ljJ"'ljJ - (1 + 0:)('ljJ')2 ~ 0;
.
. .
. .
from the equation:
Utt = (J( u) )xx +Uxxtt,
we obtain the system:
(1.13)
(., .) is the scalar product in L2 ; We set
'ljJ(t) = (w, Pw).
This gives
t
'ljJ'(t) = 2(wt, Pw) = 2(v, Pw),
and
'ljJ"(t) = 2[(vt, Pw) +(v, PWt)] = 2[(v, Pv) +((J(u))x, w)] = 2[(v, Pv) - (J(u), u)].
119

---

We have by Schwarz's inequality:
'l/J"'l/J - (1 + 0:)('l/J')2 > 2(w, Pw)[(v, Pv) - (J(u), u)] - 4(1 + o:)(v, Pv)(w, Pw)
> -2(w,Pw)[(1 + 20:)(v,Pv) + (J(u),u)].
Set
H = 1/2(v, Pv) + IIR F(u)dx. We have then
d:: = (vt, Pv) + 1utf(u)dx = l(J(u))xvdx + 1vxf(u)dx = O.
Since by the hypotheses of theorem 2 :
uf(u) S; 2(1 + 20:)F(u), 0: > 0,
then we have
(u,f(u)) S; 2(1 + 20:) lIRF(u)dx,
and therefore
'l/J"'l/J - (1 + 0:) ('l/J') 2 2: -2(w, Pw)[(l + 20:)(v, Pv) + 2(1 + 20:) lIR F(u)dx].
That means
'l/J"'l/J - (1 + 0: )('l/J')2,'2: -2(w, Pw JI [2(1 + 20: )H],
0: > 0,
and therefore
'l/J"'l/J - (1 + 0:)('l/J')2 2: 0,'· if H < 0,
with H = 1/2(vo,Pvo) + IIRF(uo)dx.
Rence by lemma 5, 'l/J(t) is infini te at a time Tl at most equal to T*, and the-
refore we have a contradiction with the fad that the maximal time of existence
is greater than T*. Rence there is blow up in finite time, and the maximal time
of existence is fini te.
o
1.4
Perturbation of the scalar equation
We consider the equation
Utt = (J(u) + tg(u))xx + Uxxtt t 2: 0, t 2: 0
u(x, 0) = Uo (x ),
x E IR,
(1.14)
{ Ut(x,O) = Ul(X),
120

---

where f is the same as in the equation (1.1), and where g E" C 1(IR), is homoge-
neous of order 1 2: 0, with 1 + 1 :S 2(1 + 2a), and ug(u) 2: O. a is the same as
in theorem 2. We have then the fol1owing theorem :
Theorem 3 Let f be as in equation (1.1), 50 that f verifies the hypotheses of
theorem 2, suppose the initial values u(x,O) and Ut(x, 0) are chosen such that they
verify the following assumptions
(i) u(x,O) = (wo(x))x,
Ut(x,O) = (vo(x))x forsome wo,Vo E H3+1,S > 1/2
(ii) J!: Pv(x, O)w(x, O)dx >
::2
0 where P = 1 -
(iii) 1/2( va, Pvo) + J!: F( uo)dx + é JIR G( uo)dx < 0,
where F'(s) = f(s),G'(s) = g(s),G(O) = O. Then the solution u of the equation
J
(1.14) blows up in finite time. In other words the maximal time of existence is
J
finite. In faet this time is less than or equal to T* = Cl'~(f~b) ) where 7jJ(0) = (wo, Pwo)
and 7jJ'(O) = 2(vo,Pwo).
Proof of the theorem 3. The set of initial values verifying (i), (ii), (iii), is
not empty. Indeed, taking the same initial values as in the proof of theorem 2, and
the same F, and taking G(u) = ~u\\ and é < 1, we show easily that (i), (ii), (iii)
are verified.
Now, let F and G such that F'(s) = f(s),G'(s) = g(s),G(O) = 0, and set
7jJ(t) = (w, Pw). After computations similar to those in section 3, we have:
.7jJ"7jJ - (1 + a)(7jJ')2 2: -2(w, Pw)[(1 + 2a)(v, Pv) + (J(u), u) + é(g(U), u)]. (1.15)
Set:
H= 1/2(v,Pv) + lIRF(u)dx+t:lmG(u)dx ..
With the same method as previously we have:
dd~ = (Vt, Pv) + lm utf(u)dx +é lmUtg(u)dx = O.
Therefore H is independent of t. Let us show now that for H < 0, there is blow
up in finite time. We give first the following lemma.
Lemma 6 If 9 verifies ug(u) 2: 0 and 9 is homogeneous of oder 1 2: 0 such that
1 + 1 :S 2(1 + 2a), then 2(1 + 2a)G(u) 2: ug(u).
Proof. Taylor's formula at order 0 gives
G(u) - G(O) = 11 ug(Tu)dT.
121

---

We have G(O) = O. Then
G(u)
=
11ug(Tu)dT and as 9 is homogeneous of order , 2:: 0 ,
ug(u) 11T'dT
1
(-)ug(u)
,+1
Hence, since ,+ 1 ::; 2(1 + 20:) and ug(u) 2:: 0, we have
2(1+20:)
2(1 + 20:)G(u) =
,+ 1
ug(u) 2:: ug(u).
o
Now set
D = (1 + 20:)(v, Pv) + (J(u), u) + é(g(U), u).
On the other hand we have
2(1 + 20:)H
=
(1 + 20:)(v, Pv) + 2(1 + 20:) lm F(u)dx + 2(1 + 20:)é lm G(u)dx
and then with the inequality (1.12) in the assumptions of theorem 2, and the
lemma 6, we have:
2(1 + 20:)H 2:: (1 + 20:)(v, Pv) + lm uf(u)dx + élm ug(u)dx.
Hence we have: 2(1+20:)H 2:: D
'tIé 2:: 0, and then by (1.15), 'ljJ"'ljJ-(1+0:)('lj/)2 ;:::
-2(w, Pw)[2(1 + 20:)H], which yields 'ljJJJ'ljJ - (1 + 0:) ('ljJJ) 2 2:: 0 for H < O. There-
fore by lemma 5, there is blow up in fini te time of the solution of the perturbed
equation, for H < 0 and aH é 2:: O.
o
1.5
Blow up in finite tÎlne for the vectorial equa-
tions
We consider the system
x E m, t 2:: 0
(1.16)
122

---

where h, f2 : m? ----t IR are COQ, fI (0) = f2(0) = O. We have first the following
vectoriai version of Iemma 4. Its proof follows the same Iines.
Lemma 7 Ifthere existfunetions vo(x),wo(x),7]o(x),ro(x) E Hs+ l such that the
initial values u(x, 0), Ut(x, 0), lI(x, 0), lIt(x, 0) satisfy the relations:
u(x,O) = (wo(x))x,
lI(X, 0) = (ro(x))x
(1.17)
Ut(x,O) = (vo(x))x,
lIt(x, O) = (7]o(x))x,
then for al! t E [0, Tl, the solution (u, LI) of the Cauchy problem (16), veri-
fies u(x, t) = (w(x, t))x, lI(x, t) = (r(x, t))XJ with a corresponding evolution of
w(x, t), v(x, t), r(x, t), 7](x, t) satisfying the system:
Wt = v(x, t)
82 -1 8
Vt=(1- 8x 2)
âX(Jl(wX,r X))
(1.18)
rt = 7](x, t)
7]t = (1- ::2)-1-§x(J2(wX,rX))'
The funetions w, r, v, 7] satisfy w, r E Cl([O, T]; Hs+ l ) and v, 7] E Cl([O, T]; Hs+ l ).
We aiso have the following theorem:
Theorem 4 (Blow ilp). Suppose that there exists a real 0: > 0 so that:
Ufl (u, LI) + LIJz( U, LI) ::s 2(1 + 20: )F(U, LI)
(1.19)
with F such that
8
8 ·
..
8u F (u,lI) = fl(U,lI) and 8l1F(u,lI) = Jz(u,lI).
Suppose moreover that the initial values u(x, 0), Ut(x, 0), lI(x, 0), lIt(x, 0) are cho-
sen so that the following conditions hold:
(i) u(x,O) = (Wo(x))x, lI(x, 0) = (ro(x))x
Ut(x,O) = (vo(x))x, lIt(x, 0) = (7]o(x))XJ for some Vo,wo,7]o,ro E Hs+l
(ii) J~:Pv(x,O)w(x, O)dx + J~:P7](x, O)r(x, O)dx > 0 where P = (1 - ::2)J
(iii) 1/2(vo, Pvo) + 1/2(7]0, P7]o) + J~:F(uo, lIo)dx < O.
Then the solution (u, LI) of the system (16) blows up in finite time. In others
wordsJ the maximal time of existence is finite.
123

---

Proof of the theorem
4. Let us first show that the set of initial va-
lues verifying (i), (ii), (iii) is not empty; take for ex ample F(u, v) = -2(u4 +
3
)
L
2 _lx2
_lx 2
_lx 2
-
L x 2
d
1
uv.
et Wo = e 4
,
ro = e 4
,
vo = e 2
,
1]0 = e 2
;
an
a so Uo =
_l.x 2
1
_lx 2
_l.x 2
_lx2
Th
E
-xe 4
,Va = -"2xe 4
,UOt = -xe 2
,VOt = -xe 2.
en ua, Va, UOt, VOt
HS and Wo, ro, Vo, 1]0 E Hs+l.
For (ii), we have
JPvo~odx +JP1]orodx =
For (iii) 'we have first, by integrations by parts,
On the other hand we have by integrations by parts,
J
x2
x2
F(uo, vo)dx
-!
= -2 J(u
J
ci :- ugvo)dx = -3 Jx 4 e- dx =
e- dx.
Finally, we have
.
J+oo
3 J
x2
1/2(va, Pvo) + 1/2(1]0' P1]o) +
- 0 0 F( ua, vo)dx =
-4"
e- dx < O.
(By lemma 7 the following computations are justified for t < T). We remind
that Wt = v, Wx = u, rt = 1], rx = v.
Define 'Ij;(t) as follows
+OO
J+oo
'Ij;(t) = J-00 Pw(x, t)w(x, t)dx + -00 Pr(x, t)r(x, t)dx
'Ij;(O) is fini te and strictly greater than zero;
moreover
+OO
J+oo
'Ij;'(t) = 2J-00 Pv(x, t)w(x, t)dx + 2 -00 P1](x, t)r(x, t)dx
and then by the hypothesis (ii) of theorem 2, we have: VJ'(O) > O.
Suppose that the maxinal time of existence is greater than T* = cr~f~b)'
A contradiction will be obtained by lemma 5 once the hypotheses are verified,
124

---

since this will imply that 'Ij;(t) becomes infini te in a time at most equal to T*,
violating the results of local existence. The condition necessary to apply lemma
2 is :
'Ij;"'1j; - (1 + ex)('Ij;')2 2: 0, ex> o.
Consider the system:
Utt = (f1(U, v))xx + Uxxtt
{
(1.20)
Vtt = (h(u, v))xx + Vxxtt
equivalent to
(1.21)
one obtains the system:
(1.22)
(1.23)
We set
'Ij;(t) = (w, Pw) + (r, Pr)
which implies
'Ij;'(t)
2[(wt, Pw) + (rt, Pr)]
2[(v, Pw) + (7], Pr)]
and
'Ij;"(t)
2[(P- I (fI(U,V))x,Pw) + (v,Pv) + (P-I(h(u,v))x,Pr) + (7],P7])]
2[(-fl(U,V),u) + (v,Pv) + (-h(u,v),v) + (7],P7])].
We have therefore
'Ij;"'1j; - (1 + ex)('Ij;')2
2[(w, Pw) + (r, Pr)][(v, Pv) + (7], P7]) - (f1(U, v), u)
- (f2(U, v), v)] - 4(1 + ex)[(v, Pw) + (7], PrW.
Now we have:
(v, Pw) + (7], Pr) < IPI 2
2
2
2
/ vlpIP I / wlp + IP I / 7]\\plp l / rlp
< (v, PV)I/2(W, PW)I/2 + (7], p7])1/2(r, Pr)I/2
< [(v, Pv) + (7], P77W/2[(W, Pw) + (r, Pr)]1/2
125

---

this because of Schwarz inequality. Then we have:
?j;"?j; - (1 + 0)(?j;')2 2: -2[(w, Pw) + (1', Pr)][(1 + 20)(v, Pv) + (1 + 20)(1], P1])
+ (!1(U,V),u) + (f2(u, v), v)].
Set now:
H= 1/2(v,Pv)+1/2(1],P1]) + JmF(u,v)dx.
Then we have
and then, by integration by parts,
On the other hand the inequality (1.19), in the assumptions of theorem 4, yields:
Ufl(U,V) + vf2(u,v) ~ 2(1 + 20)F(u,v).
Then we have
?j;"?j; - (1 + 0)(?j;')2 > -2[(w, Pw) + (1', P1')][(1 + 20)(v, Pv) + (1 + 20)(1], P1])
+ 2(1 + 20) JF(u,v)dx]
which implies:
?j;"?j; - (1 + 0)(?j;')22: -2[(w, Pw) + (1', P1')J[2(1 + 20)H]
and therefore
?j;"?j; - (1 + 0)(?j;')2 2: 0 if H < 0
with
H = 1/2(vo, Pvo) + 1/2(1]o,P1]o) + JF(uo,vo)dx.
Renee by Iemma 5, ?j; (t) is infini te in a time T at most eg ual to T*, and then we
have a contradiction with the fact that, the maximal time of existence is greater
than T*. Therefore there is blow up in finite time, and then the maximal time of
existence is fini te.
o
126

---

1.6
Perturbation of the vectorial system
We consider the system:
Utt = (fl(U, v) + E19l(U, v))xx + Uxxtt
xE m,t ~ a
Vtt == (h(u, v) + E292(U, v))xx + Vxxtt
(1.24)
{ u(x,O) = uo(x),Ut(x,O) = Ul(X)
v(x,O) = vo(x),Vt(x,O) == Vl(X)
where fl,h : m2 ---7 m
coo, fl(O) = h(O) == 0, and 91,92 : m2 ---7
m Cl, 91(0) == 92(0) = 0, such that Ugl(U,V) + V92(U, v) ~ a and 9l(U,V)
is homogeneous of order Il ~ a with respect to u, and is homogeneous of order
12 ~ a with respect to v, with Il + 12 + 1 ::; 2(1 + 20),
0 > 0; and likewise
g2( u, v) is homogeneous of order 13 ~ a with respect to u, and is homogeneous of
order 14 2: a with respect to v, with 13 + 14 + 1 ::; 2(1 + 20). We have then the
following theorem :
Theorem 5 (Blow up). Let f be the same as in Theorem 4. Suppose the initial
values u(x, 0), Ut(x, 0), v(x, 0), Vt(x, 0) are chosen so that the following conditions
hold:
(i) u(x,O) == (wo(x))x,v(x,O) = (ro(x))x
Ut(x, 0) = (vo(x))x, Vt(x, 0) = (7]o(x))x, for some Vo, Wo, 7]0, ro E Hs+ 1
(ii) J~:Pv(x,O)w(x, O)dx + J~:P7](x, O)r(x, O)dx > a where P = (1 - ::2)
Where F and Gare such that
o
o
ou F (U, v) = fI (u, v),
ovF(u,wa ) = h(u,v),
and
o
o
ou G(u, v) = gl (u, v),
o v G(u, v) = g2 (u, v),
G(0, 0) = o.
Then the solution (u, v) of the system (24) blows up in finite time. In other words,
the maximal time of existence is finite.
Sketch of proof. The set of initial values verifying (i), (ii), (iii), is not empty.
Indeed, taking the same initial values as those of the theorem 4, and the same F,
and taking G(u, v) = ~U4, and E < l, then (i), (ii), (iii) are verified.
127

---

We proceed as in the proof of theorem 3 (for the perttirbed equation), applying
the following Taylor's formula at order a
to proove the following lem ma used for the proof here.
Lemma 8 If 91,92 verify U91(U,V) + V92(U,v) 2: 0, so that 91(U,V) is homoge-
neous of order Il 2: a with respect to u, and is homogeneous of order 12 2: a
with respect to v, where Il + 12 + 1 :S 2(1 + 20),
0 > 0; and likewise 92(U, v)
is homogeneous of order ,3 2: a with respect to u, and is homogeneous of order
14 2: a with respect to v, where 13 + 14 + 1 :S 2(1 + 20), then
2(1 + 20)G(u, v) 2: U91(U, v) + V92(U, v).
o
1.7
Examples
In ail the following examples, the equations can be written in the form :
Utt = (J(u))xx + Uxxtt
in the scalar case, or
Utt = .(J1(U, v))xx + Uxxtt
{ Vtt = (h(u, v))xx + Vxxtt
in the veetorial case.
We will often use and consider the inequalities (1.12) and (1.19) from assumptions
of respeetively theorem 2 and theorem 4, as the main inequalities. This is so,
because they lead to the inequality
'ljJ"'ljJ - (1 + 0) ('ljJ')2 2: -2(w, Pw)[2(1 + 20)H],
0 > a
thanks to the inequality (1.12), or
'ljJ"'ljJ - (1 + 0)('ljJ')2 2: -2[(w, Pw) + (r, Pr)][2(1 + 20)H]
thanks to the inequality (1.19), where H, 'ljJ, w, rare given as in the proofs of
theorem 2 and theorem 4.
128

---

We remind also that, by lemma4 and lem ma 7 we have with suitable initial condi-
tions, Wt = v, Wx = u for the scalar equation, and Wt = v, Wx = u, rt = Tl, rx = v
for the vectorial equations.
Example 1
Let the equation
(1.25)
with initial values u(x, 0) = uo(x) and Ut(x, 0) = Ul(X).
As we said in the introduction, S.Ie Turitsyn [9] has studied the case Utt =
(u - u2)xx + Uxxtt. This represents the case C2 = -1 in our example. We have
f(u) = U + C2U2 and then F(u) = 1/2u2 + 1/3c2u3. Renee, we obtain the main
inequality (1.12):
uf(u):::; 2(1 + 2Cl')F(u)
with
Cl' =
1/4, and then with
suitable initial conditions, we have by theorem 2, a blow up in finite time of the
solution of equation (1.25). By suitable initial conditions, we mean that there
exist initial values for which the conditions (i), (ii), (iii) of theorem 2 are verified.
For example, for IC2\\ < 1, the initial values Wo = _.!!..xe- tx2 , Vo = _xe-~x2, and
C2
also Uo = - ~ (1 - ~x2)e-tx2 and UOt = -(1 - x2)e-~X2, where "a" is a given
constant, verify the conditions (i), (ii), (iii). C2 is the same constant appearing in
the equation (1.25). (If IC21 ~ 1, we take Wo = axe- tx2 and Vo = xe-~x2 with the
same constant" a" as in the case above.)
Example 2
Consider the equation
Utt = C2(U 2P )xx + Uxxtt
x E IR, t ~ 0
(1.26)
{ u(x,O) = uo(x),Ut(x,O) = Ul(X) P ~ 1 integer, C2 real
Rere we have f(u) = C2U2p and then
F(u) = 2;~lU2P+l.
Renee, the main
inequality (1.12) : uf(u) :::; 2(1+2Cl')F(u)
is verified (for p ~ 1), with
P
Cl' = 2 ;1 .
So that, by theorem 2, we obtain for suitable initial conditions, the blow up in
finite time of the solution of the equation (1.26). By suitable initial conditions,
we mean that there exist initial values for which the conditions (i), (ii), (iii) of
:<2
theorem 2 are verified. For example, the initial values Wo = .!!..xe- 2p+1 , Vo =
C2
x2
bxe-t
, Uo = c~ (1- 2P:l x2)e- 2;:1 and UOt = b(l- x2)e-~X2, for a suitable choiee
of the constants "a" and "b", verify the conditions (i), (ii), (iii).
129

---

Example 3
Consider the equation
Utt = (CIU + C2Um)xx + Uxxtt,
x E m, t 2: 0, m> 1, integer
{
(1.27)
u(x, 0) = uo(x), Ut(x, 0) = UI(X),
Cl 2: 0, C2 reals
in which, if m is odd, C2 is chosen such that C2 < O.
The case Utt = Uxx - Uxxxx + C2(Um)xx in which C2 < 0 for m odd and C2 2: 0 for
m even, has been treated by Ladyzhenskaya and al. [7].
We see at onee with the theorem 3 (on the perturbed equation), that for suitable
initial conditions, the solution of the equation (1.27) blows up in time for m even.
Indeed, for m even, this equation is the one of example 2 to which one has added
the term (g( u) )xx where g( u) = Cl U so that ug( u) 2: 0, and 9 is homogeneous of
order 1.
By suitable initial conditions, we mean that there exist initial values for which
the conditions (i), (ii), (iii) of theorem 2 are verified. For example, the initial
,,2
1
2
,,2
values Wo = ~xe- m+l, Vo = bxe-'ix , Uo = ~(1 - _2_ x 2)e- m+l and UOt =
C2
C2
m+l
b(1 - x 2)e- ~x2, for a suitable choiee of the constants "a" and "b", verify the
conditions (i), (ii), (iii).
Rere we have f(u) = CIU + C2Um and then F(u) = îU2 + ':il um +l so that the
main inequality (1.12) : uf(u) ~ 2(1 + 2a)F(u)
is verified ( for m > 1), with
.a =m;l.~ Renee by theorem2.we have a blow up in finite time of the solution
of the equation (1.27).
Example 4
Consider the system
f!..
-(J()
(32(
2)
" fi( 2)
f!..L 2
IaUtt- Uxx- ""2U xx+2 V xx+a12Uxxtt, XEm,t2:0
2
f!..
-
(J()
P L
a(3 > 0
a Vtt -
UV xx + ;12Vxxtt
P
-
(1.28)
U(X, 0) = Uo (X), Ut (X, 0) = U1 ( X)
v(X,O) = VO(X),Vt(X,O) = VI(X)
This veetorial system of equations has been treated theoretically by S.K.Turitsyn
[8], and numerically by P. L. Christiansen and al. [3].
We take
F(u, v) = ;p({Ju2 - 1/3{J2 u3 + (Jv2u). Then we have
fJ
a
-;;-F(u, v) = -({Ju - 1/2{J2 u2 + 1/2{Jv2 = fl(U, v))
uU
p
fJ
a
-;;-F(u,v) = -(Juv = h(u,v),
uv
p
130

---

and the main inequality (1.19) from assumptions of theore'm 4 (for the vectorial
system) is verified for
a = 1/4. Then, by the theorem 4, we have a blow up
of the solution of the equation (1.28), for suitable initial conditions. By suitable
initial conditions, we mean that there exist initial values for which the condi-
x2
tions (i), (ii), (iii) of theorem 2 are verified. For example, Wo = cxe-k
, TO =
1 2
~
1 2
~12
2 2 1 2
X
e-3 x , Vo = dy poxe-'ïx , 770 = Y poe-'ï ; and also Uo = c(1 - 3X )e- 3X , Vo =
_~xe-tx2, UUt = dj1i(l - x2)e-tx2 , VOt = _j1ixe-tx2 , verify for a suitable
choice of the constants "c" and "d" the conditions (i), (ii), (iii).
Example 5
Consider the system
~Utt = {3uxx + 1/2{3(V2)xx + ~~~ Uxxtt
(1.29)
{ ~Vtt = -1/2{3(v3)xx + *vxxtt
where {3, p, a > O.
This system of equations has been studied numerically by P. L. Christiansen et
al. [3]. We note at once that the solution of the equation
p
3
pU
-Vtt = -1/2{3(v )xx + -Vxxtt
a
a12
.; , l'blows up. Indeed it: is a' particular case of the example 3 with Cl = 0 and
C2 . ~- ~~
< O. Therefore there is blow up for the solution of this equation
,and consequently for the solution of the system (1.29).
Example 6
Consider the system
Utt =
m
(ClU
+l + C2UmV )xx + Uxxtt
(1.30)
{
_ (---.fL m+l)
+
Vtt -
m+l U
xx
Vxxtt
m > a integer, Cl, C2 reals.
We take
:UF(U,v) =
m
ClU
+l + C2 UmV = fl(U,V)
f)
(
C2
m+ 1
(
)
-;::;- F u, v) =
U
= f2 U, V .
uV
m+ 1
Let us choose a = !:ft. Then we have
m+2
2(1 + 2a)F(u, v) = (m + 2)F(u, v) =
m
ClU
+2 + C2
um+lv
m+ 1
131

---

Hence
and then the main inequality (1.19) from assumptions of theorem 4 is verified
for a = "; . Hence, by the theorem 4, we obtain the blow up of the solution of
the system of equations (1.30), for suitable initial conditions. Indeed, the initial
,,2
1
2
,,2
1
2
.
values Wo = .!!...xe- m+2, Vo = bxe-'ï x , TO = e- m+2, 7]0 = e-'ï x , and also Uo =
C2
a
2
2
- L
( 2
- !x2
2
- L
_!x2
-(1 - - x )e m+2
UOt = b 1 - x )e
2
Vo = - - e
m+2
VOt = -xe
2
ve-
C2
m + 2 '
' m + 2 '
,
rify for a sui table choice of the constants" a" and" b" , the con di tions (i), (ii), (i ii).
Example 7
Consider the system
(1.31)
Likewise, as for the example 6 we obtain the blow up in finite time of the solution.
Indeed taking
F(u v) = ---E.Lum +2 + ...E.Luvm +l and choosing a = ~ we obtain
,
m+2
m+l
4 '
so that the main inequality (1.19) from assumptions of theorem 4 is verified with
a = ";. Therefore we obtain the blow up in finite time for suitable initial values.
Example 8
Consider the system
_
(
2p+l +
m+l +
m )
+
Utt -
CoU
Cl U
C2 U
V xx
Uxxtt
m > 0 integer,
(1.32)
{
_ (...E.L m+l)
+
Vtt -
m+l U
xx
Vxxtt
Co ~ 0, Cl, C2 reals.
In which, p ~ 0 is an integer such that 2p :S m.
We see at once with the theorem 5 (on the perturbed system), that the solution of
the system (1.32) blows up in finite time for suitable initial conditions, since it is
the system of the example 6 to which it has been added to the first equation, the
term
2p
l
(9l(U, v))xx, with 9l(U, v) = COU
+
so that U9l(U, v) ~ 0 and 91 is homo-
geneous of order (2p+1) with respect to u, where (2p+1)+1 :S m+2 = 2(1+20'),
for a = r:;.
132

---

Example 9
Consider the system
m > 0 integer,
(1.33)
Co 2: 0, Cl, C2 reals.
In which, p 2: 0 is an integer such that 2p ::; m.
This system is the more general case of that of the example 4, in which we had
p = 0, m = l, Co = a: 2: 0, Cl negati ve, and C2 posi ti ve.
Here also, we see at once by the theorem 5 (on the perturbed system), that the
solution of the system (1.33) blows up in finite time for suitable initial condi-
tions. Indeed it is the system of example 7 to which it has been added to the first
equation, the term (gl (u, v) )xx, with gl (u, v) = CoU 2p+l
so that
Ugl (u, v) 2: 0
and gl is homogeneous of order (2p + 1) with respect to u.
133

---

134

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135
Bibliographie
[1] Howard A.Levine "Instability and nonexistence of global solutions to non-
linear wave equations of the form
PUtt =
-Au + F( u) " Transaction of
American Math. Society vol 192, (1974), 1-21.
[2] L.E.Payne, D.H.Sattinger "Nonlinear Hyperbolic Equations" Israel Journal
Math. vol 22, (1975), 273-303.
[3] P.L.Christiansen, P.S.Lombdal, V.Muto "On a Toda lattice model with a
tranversal degree of freedom " Nonlinearity vol 4 (1990), 477-501.
[4] R.L.Sachs "On the blow-up of certain solutions of the good Boussinesq equa-
tion "Applicable Analysis, 34 (1990), 145-152.
[5] F.Linares" Global Existence of small solutions for a generalized Boussinesq
Equation" J. Diff. Eqns. 106, (1993), 257 - 293.
[6] S.Klainerman" Global Existence for Nonlinear wave Equations" Comm.on
Pure and Appl. Math. vol 33 (1980), 43 - 101.
[7] V.Kalantarov, O.A.Ladyzhenskaya, " The Occurence of Collapse for Qua-
silinear Equations of Parabolic and Hyperbolic Types" J .Soviet Math, 10
(1978), 53-70.
[8] S.K.Turitsyn " On a Toda lattice model with a transversal degree of free-
dom. Sufficient criterion of blow-up in the continium limit " Physics Letters
A 173 (1993), 267-269 North-Rolland.

---

[9] S.K.Turitsyn "B1ow-up in the Boussinesq Equation "Physical Review E vol.
47 number 2 (1993), 796-795.
[10] S.Alinhac, P.Gerard " Opérateurs Pseudo-Différentiels et Théorème de Nash-
Moser" Intersciences Editi.ons (1991).
[11] H. Brezis " Analyse Fonctionnelle. Theorie et Applications. " Collection
Mathematiques Appliquées pour la Maîtrise; Masson.
136

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nO d'impression 1818
troisième trimestre 1996

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Etudes sur les Equations Boussinesq
RESUME
Dans ce travail, nous présentons quelques propriétés de certaines équations de
Boussinésq généralisées. Dans la prenlÎère partie, nous étudions le comporternent en
grand temps de la solution (n, v) des équations
avec p 2 1 entier, {3,é"
> 0 réels. En particulier, nous montrons que pour p > 6;
et pour de petites données initiales, la norme infinie de n décroit vers zéro comme
1
.
.
r 3 , alors que celle de v reste bornée. La preuve est bas(2e sur l'analyse du problème
linéaire associé aux équations ci-dessus. L'absence de terme régularisant en X2, pour '11,
dans ces équations, nous empêche de faire l'étude de l'existence locale via les méthodes'
classiques d'estimations d'énergie. C'est pour contourner cette difficulté que nous tra-
vaillons avec des transformées de Fourier et des Intégrales Osciilantes. De même, à
cause la forme particulière de ces équations, l'étude du comportement asymptotique a
été faite dans les espaces de Sobolev à poids.
Da.ns la seconde partie de cette thèse, nous étudions l'explosion en temps fini des so-
lutions d'équations de Boussinesq. Après avoir traité le problème d'existence locale,
nous montrons que sous certaines conditions, ces solutions explosent en temps fini.
Nlots clés: Equations de Boussinesq, Comportement Asymptotique, Explosion
en temps fini, Intégrales Oscillantes, Méthode de la phase stationnaire, Espaces de
Sobolev à poids.
"1

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