UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
mrnm
FACULTE DES SCIENCES EIIECHNIQIJ,~S
000
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMAT~QUE
1" -..... ---- . . . .~
( THESE)
Présentée pour obtenir le Grade de Docteur de 3' Cycle
Spécialité
: Mathématiques Pures
Option
: Algèbre
Présenté par:
Mamadou BARRY
Soutenue le 20 Mars 1998 devant la commission d'Examen
Président: Hamet SEYDI : Professeur à l'U.C.A.D.
Membres: ChérifBADll: Professeur à l'U.C.A.D.
Mamadou Makhtar DIOP: Maître-Assistant à l'U.C.A.D.
Mamadou SANGHARE
: Chargé d'Enseignement à l'U.C.A.D.

DEDICACES
Je dédie ce travail
A Allah, le Clément, le Miséricordieux
Que Ton amour, Ta paix, Ta sagesse, Ta force affluent en nous à chaque
instant pour que je puisse Te manifester ma reconnaissance partout où je
serai et en toute circonstance.
A la mémoire de mon père
A ma mère
A mes grands parents
A mes parents
A mes amis
A tous ceux qui ont contribué de près ou de loin à la réalisation de ce
travail
A toute l'équipe d'algèbre.
A tous les enseignants et membres du département de Mathématiques et
Informatique de la Faculté des Sciences et Techniques
A tous les étudiants

REMERCIEMENTS
A nos maîtres,
Je prie Monsieur Mamadou SANGHARE qui est à l'origine de cette thèse, d'accepter
mon entière reconnaissance , mes remerciements et ma profonde gratitude pour la
bienveillance avec laquelle il m'a guidé et pour les conseils et les encouragements qu'il
m'a prodigués tout le long de ce travail.
J'ai apprécié tout particulièrement sa patience, sa rigueur scientifique, sa sympathie et
sa grande disponibilité à mon égard.
Je voudrais remercier, Monsieur le Professeur Hamet SEYDI qui m'a encouragé dans
la voie de la recherche, et pour le grand honneur qu'il me fait en présidant le jury de
cette thèse.
J'exprime ma profonde gratitude à Monsieur le Professeur Chérif BADJI et à
Monsieur Mamadou Makhtar DIOP, à qui je dois une partie de ma formation et pour
l'honneur qu'ils me font en acceptant de faire partie du jury.
J'associe à ces remerciements Madame Mbaye Seynabou NDIAYE, Madame Ndiaye
Marième
Soda
DIOUF et Mademoiselle
Adji
Yacine
CISSE,
secrétaires
au
département de Mathématiques et Informatique pour le soin qu'elles ont apporté à la
dactylographie de cette thèse.
A tous les membres du département de Mathématiques et Informatique de la ~Faculté des
Sciences et Techniques.

SOMMAIRE
Pages
INTRODUCTION
1
CHAPITRE 1 : Préliminaires
3
Introduction
3
§1 : Notions de Générateurs - Cogénérateurs
;~'", .. 3
§2 : Modules noethériens, modules artiniens et module de longueur finie
9
§3 : Modules injectifs - Enveloppes injectives
17
§4 : Modules indécomposables - Sous-modules irréductibles
27
CHAPITRE II
:
32
Introduction
32
§1 : Quelques caractérisations des anneaux artiniens et des anneaux noethériens
33
§2 : Anneaux pour lesquels tout module de type fini vérifie la propriété (1)
41
§3 : Notions d'anneaux locaux
51
§4 : Notions de I-anneau
,
55
CHAPITRE 111
,
,
,
57
§1 : Les FGI - anneaux
60
§2 : Caractérisation des FGI - anneaux
64
BIBLIOGRAPHIE
,.. ,
71

INTRODUCTION
Cette thèse est un ensemble de travaux consacrés à l'étude des FGI-anneaux et leur
caractérisation dans le cas dénombrable.
Soit A un anneau associatif (non nécessairement) commutatif possédant un élément
unité. On dit qu'un A-module à gauche M vérifie la propriété (1) si tout A-
endomorphisme injectif de M est un automorphisme.
On dira que tout A est un FGI-anneau si tout A-module vérifiant la propriété (1) est
de type fini.
L'objet de ce travail est l'étude des anneaux A pour lesquels tout A-module vérifiant
la propriété (1) est de type fini. Ainsi soit g;J la classe des A-modules de type fini,
'J
la classe des A-modules vérifiant la propriété (1) 'et si A
est un anneau
commutatif; un résultat de W, Vasconcelos (47] dit que
gJ c 'J si et seulement si
tout idéal premier de A est maximal. En général cette inclusion est stricte.
Notre travail consiste à caractériser les anneaux commutatifs dénombrables pour
lesquels 'J
et gJ sont égales.
Pour aborder cette étude nous avons divisé cette thèse en trois chapitres.
Le Chapitre 1
est un rappel de résultats classiques. Il contient en outre des
définitions que nous utiliserons tout le long de ce travail et aussi des résultats
préliminaires simples que nous avons parfois établis pour faciliter l'exposé des deux
chapitres qui vont suivre.

2
Dans le Chapitre II, nous faisons une synthèse de différents résultats que nous
avons pu recueillir d'articles étudiant quelques anneaux pour lesquels les modules de
type fini vérifient la propriété (1). De plus dans cette partie nous nous intéressons à
quelques cas de caractérisations d'anneaux noethériens et artiniens, et enfin, nous
énonçons quelques principaux résultats sur les anneau locaux et sur les anneaux pour
lesquels tout A-module vérifiant la propriété (1) est artinien.
Dans le Chapitre III, nous étudions les FGI-anneaux et nous y démontrons plusieurs
propriétés de ces anneaux.

3
CHAPITRE 1
PRELIMINAIRES
INTRODUCTION
Ce chapitre contient essentiellement des rappels de résultats, dont nous nous serv~ons
dans toute cette thèse et des notations dont nous ferons usage constamment. Il
contient également des résultats classiques sur la théorie des anneaux et modules.
Dans cette première partie, et sauf mention expresse du contraire
le mot anneau
désignera un anneau associatif non (nécessairement) commutatif possédant un
élément unité 1 ;j:. 0 ; le mot module, un module à gauche unitaire.
Soit A un mmeau. Quand nous parlerons de radical de A il s'agira de radical de
Jacobson de A. On désignera par Mod A la catégorie des A-modules. Si M est un
A-module, X une partie de M et Y une partie de A, on notera:
.e (X) ={ a EA / aX= O} et rM(Y) = {mE M / Y.m=O} respectivement l'annulateur de
X dans A et l'annulateur de Y dans M.
§1- NOTIONS DE GENERATEURS - COGENERATEURS
Soit A un ensemble et soit
(Ma) aEA une famille de A-modules à gauche.
Notations:
•
Si cxEA, M =M
onpose
f1 M = MA
a
a
aEJ\\
•
MA est appelé produit de card(J\\) copies de M.
•
SiA=1j> alors f1 Ma = {O}.
aEA

4
•
Si UEÂ, on pose !ra: TI M fJ ~ Ma
fJEÂ
Proposition 1.1 : ([ 2J, proposition 6-1, p. 79)
Soit (Ma)
une famille de A-modules et soient N un A-module el
aEÂ
(fa: N -------+ Ma)
une
famille
d 'homomorphismes.
Alors
il
existe
un
homomorphisme unique: f: N -------+ TI Ma tel que le diagramme:
aEÂ
Soit commutatif.
f est appelé le produit direct des applications fa noté: f =
TI fa
aEÂ
Corollaire 1.2. :
Soit fa : N -------+ Ma (UEÂ) une famille d'homomorphismes de A-modules. Alors
Ker( TIfa ] =
nKerfa.
aEÂ
aEÂ
Remarque 1.1. :
Soit B ç Â, soit XE TI M fJ'
fJEB
X possède un unique prolongement x E TI Ma·
aEÂ
xa =x(a)=O,VaEÂ-B.
On obtient donc une application:

5
Il est clair que t8 est un homomorphisme injectif et que
D'autre part pour tout x E
ITMa' sa restriction nB (x) à B est un élément de
aE/\\
n B
On a ainsi une application: nM a --=~) n M fJ
aE/\\
fJEB
xl--> n B(x).
Cette application est un homomorphisme de A-modules.
Proposition 1.3. : [44J
Soit (Ma )aE/\\ une famille de A-modules. On suppose que A est une réunion
di5jointe de B et C. Alors:
t
n
B
ii) la suite 0 - - > IT M f3 --'='----~) IT Ma
C ) ITM
B
/\\
C
r
est une suite exacte.

6
Définition 1.1.
Soit (Ma )aEA une famille de A-modules.
Une somme directe (ou coproduit) de (Ma )aEA est un couple (M, û"aJ aJ où pour
tout a; j a : Ma - - > M est un homomorphisme de A-modules tel que pour tout A-
module N et pour toute famille d'homomorphismes (fa: Ma - - > N)aE/i il existe
un unique homomorphisme f: M - - > N tel que le diagramme suivant :
soit commutatif, c'est à dire
tfa EA fa = foja.
Notation:
•
Si (fa: Ma - - > N)aEi\\ est une famille d'homomorphismes, l'unique
homorphisme f: M - - >N vérifiant fa = foja. est noté :f=
EB fa.
aEA
Définition 1.2. :
On rappelle qu'une famille (Ma )aEA de sous-modules de M est une somme directe
deM, siM=
I M a etqueM)",n [IMaJ = {o}.
aEA
a*)",
Remarque 1.2.
Si Card(A) est fini alors
TI Ma et EB Ma coïncident.
aEA
aEA

7
Définition 1.3
Soit li une classe A-modules. Le A-module M est dit généré (resp. jiniment généré)
par li ; s'il existe un ensemble (resp. ensemble jini) d'indices J1 et une famille
(UcJaEA d'éléments de li et un épimorphisme
EB Ua f) M --~ O.
aE/\\
Si li - rU} on dit alors U génère (resp. génère jiniment) M s'il existe un ensemble
(resp. un ensemble jinV J1 et un épimorphisme riA)
f ) M - - > O.
Définition lA :
Le
A-module
M
est cogénéré (resp. finiment cogénéré) par li;
s'il existe un
ensemble (resp. un ensemble fini) A, une famille
(Ua )aE/\\ d'éléments de li et un
monomorphisme 0 - - > M
f ) Il Ua.
aE/\\
Proposition lA :
Soient U et M deux A-modules. Alors
i)
U génère M si et seulement si pour tout A-module N, pour toutf
o:;é f E HomA(M, N), il existe h E HomA(U,M) tel que foh = O.
ii)
U cogénère M si et seulement si pour tout A -module N, pour toutf,
o:;éf E HomA(N,M), il existe h E HomA(M, U) tel que hof:;é 0
Démonstration:
(i)
=» Il existe /\\ un ensemble; cp : U(A) -->M un épimorphisme pour tout
a.E/\\. Soit CPa = cpota : U-->M , cp =
EB CPa.
aE/\\
Soit 0 =t:- fE HomA(N,M) alors il existe y E M tel que f(y) =t:- O.
Il existe (xa)a E U(A) tel que: y = cp((xa)a) = l rpa (xa ) .
a

8
donc il existe aoEA tel qne [fa\\l'aaJlxao ) '" 0 on prendra h ~ \\l'a E Hom(U,M).
o
<=) Posons H = Hom(U,M) et M' = l lm h .
hEH
Supposons M' *- M alors la surjection p : M--> MIM' est non nulle, mais si
X EU, on a: \\fh E Hom(U,M).
(poh)(x) = p(h(x)) = 0 car h(x) E M' ~ poh = 0 contrairement à l'hypothèse. En
prenant N = MIM' donc M = M' ~ u génère M.
ii)
~) Il existe A un ensemble, il existe U" un monomorphisme.
Soit 0 *- f E Hom(N,M).
Soit x E N tel quej{x) *- 0 alors M est
hEH
non nulle. Soit h E H et x E M' on a: (hoi)(x) = h (i(x)) = h(x) = 0 ,
Car x E nKerh = M' . Donc hoi = 0 \\fh E Hom(M,U).
hEH
Ce qui est une contradiction avec l'hypothèse. Donc {O} = M'.
0

9
§2 - MODULES NOETHERIENS, MODULES ARTINIENS
ET MODULES DE LONGUEUR FINIE.
On rappelle qu'un A-module M est dit de type fini s'il peut être engendré partie finie
et que un A-module M est monogène ou cyclique s'il peut être engendré par un de
ses éléments.
Proposition 1-5 :
Un A-module M est de type fini si et seulement si M est isomorphe au quotient
de An pour n > O.
Démonstration:
:::»
Soit X',X2, .... ,Xn un système de générateurs de M. On définit cp : An-->M par
cp(aj,a2, ... , an) = a\\xl +...... + anx n. Alors cp est un homomorphisme surjectif et par
conséquent M est isomorphe à An /K
.
/ f<.ercp
<:=)
Nous avons un homomorphisme surjectif de An sur M.
Si ej = (0,0, ... .1,0, ... 0) (le 1 étant à la iième place), alors ej (l~ i~ n) engendre An,
donc cp(ei) engendre M.
D
Proposition 1.6. :
Soient A un anneau, M un A-module de type fini,. B = EndA(M) et f E B. Soient
x j, ... ,xn un système de générateurs de M et ai} j ::;isn, j sjsn. Les éléments de A tels
n
.
quef(xJ = ~ai}xj (J::;isn) alors si P(I) = det(S{ T - aij)E A[T] on a.' P(f) = O.
J=l

JO
Démonstration:
Soit A' = A [j] ç B. Ainsi A' est un sous-anneau de B. Et de plus A' est un anneau
commutatif unitaire.
Considérons l'application: A' x M - - > M
(u, x) 1--> U.X = u(x)
on définit une structure de A'-module sur M si l'on prend
n
n
n
x = "" Â-x· = "" Â-!d
(x.)
""u.x.
L . . . l l
L...l
1
L... 1 1
i=l
i=l
M
i=l
avec Uj
Ai ! d
E
A'
c'est à dire {XI, X2, ..... , xn } devient un système de
M
générateurs du A'-module M.
n
Posons L' = A'
et L'~M ,
ej f----->Xj
n est A' -linéaire et surjective.
el = (Id
,0, .....,0) ..... ei = (0, ...., ! d
,... 0) (Id
étant à la ièmeplace).
M
M
M
n
.f{x) = ~ Qi.J'xj
1::; i ::; n.
J=l
Soit cp : L' - - > LI une application A'-linéaire définie par:
nocp : L' --> M est une application A'-linéaire car on a
(nocp)(ei) == n(cp(ej)) = n [J.e - tQljej] car n est A'-linéaire.
i
J=l

Il
n
n A'-linéaire ~ (nocp)(ej) = fXj - Iai;X j = 0 ~ nocp = OB·
j=l
On a cp: L' --~) L', il existe cp': L' ~ L' qui est A'-linéaire telle que
cpocp' = cp'ocp = det (cp).! d
.
L'
n
On a cp(ei) = f ej - Laij.e j c'est à dire la matrice de cp dans la base canonique
J=l
{et, el, .... , en} est 5~.j - ai;' 1d
. En posant det cp = P(/).
M
Soit XE M, il existe y E L' tel que n (y) = x , on a:
P(f) (x) = det(cp) . n(y) = n(det(cp) . y) = n(cpo cp'(y))
= (no cp)(cp'(y)) = 0
~ P(/) = OB.
0
Définition 1 - 5
Soient A un anneau et M un A -module. On rappelle que M est dit artinien (resp.
noethérien) si toute suite décroissante (resp. croissante) de sous-modules de M est
stationnaire. M est dit de longueur finie s'il est à la fois artinien et noethérien.
L'anneau A lui-même est dit artinien (resp. noethérien) à gauche ou tout simplement
artinien (resp.noethérien) Si A, considéré comme A-module (à gauche), est artinien
(resp.noethérien). A muni de sa structure de A-module (à gauche) sera noté As.
Remarque 1 - 3
Soit (Mi) iE! une famille infinie de modules non réduits à (0). Le -module somme
directe des Mi n'est ni artinien ni noethérien.

12
Preuve
A toute suite infinie (111) n strictement décroissante Cresp. croissante) de parties de 1,
correspond la suite infinie strictement décroissante (resp. croissante) de sous-
modules Pn = L Mi de M.
iEJn
Définition 1. 6
Soient A un anneau, M un A-module.
· On rappelle qu'une suite de composition de M est une suite décroissante
M = Mo ~ Ml ~ ... ~ Mn = (0) de sous-modules de M
L'entier 11 est appelé la longueur de la suite de composition
· Un élément maximal de l'ensemble des suites décomposition de M est appelé une
suite de Jordan-Holder de M
· On définit la longueur du A-module M comme étant infinie si M n'admet pas de
suite de Jordan-Holder et comme la borne inférieure des longueurs des suites de
Jordan-Holder de M si M admet de telles suites.
On note longueur de M par Long(M).
Proposition /-7 :
Soit A un anneau, M un A-module. Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i)
Long(M) < CXJ
(ii)
M est noethérien et artinien.
Démonstration:
Ci)
=> (ii) ; c'est clair
Cii)
=> Ci) : c'est clair si M = {O}.
.- ....
Si M *- {O} ; l'ensemble des sous-modules de M distincts de M est non'vide.

13
Comme M est noethérien, il a un élément maximal Ml, Ml est noethérien comme
M. Si Ml = {O}, long(M) = O.
Si MI ;;t. {O}, Ml admet un sous-module maximal M 2.
On construit aussi une suite strictement décroissante M ;
Mo = M ::> MI::> M2 ::> ... ,puisque M est artinien, ne peut être infinie. Il existe
donc nEtN tel que M n= {O} et on a obtenu une suite de Jordan-Holder de M. 0
Proposition /-8 : ( [8 J)
Soit M un A-module, f un endomorphisme, Lp = lm (jp), Np = Ker(jP) (p>O).
(i)
Si L]=L2 alors L]+N]=M
Si NI = N2 alors N]n LI = (O).
(iO
Si M est artinien (resp. noethérien) on a, pour r assez grand
Nr + Lr = M (resp. Nr n Lr = (O})
Proposition /-9 :
Un idéal premier d'un anneau artinien est maximal.
Démonstration:
Il suffit, par passage au quotient, de démontrer qu'un anneau artinien intègre est un
corps. Soit donc A un anneau artinien intègre.
Si a est un élément non nul de A, il en résulte de ce que la suite {(an)}n:?:ü d'idéaux
r
r+ 1
est stationnaire qu'il existe r E tN tel que (a ) = (a
). Il existe donc un b E A tel que
r
r+ 1
a = ba
et donc 1 = ba, puisque A est intègre; l'élément a est donc inversible. 0

14
Proposition 110
Le Spec(A) d'un anneau artinien est fini.
Démonstration
Soit 9î : l'ensemble, non vide des idéaux de l'anneau A qui sont l'intersection
d'un nombre fini d'idéaux premiers de A.
Si A est artinien, 9î admet W1 élément minimal a qui s'écrit ml n m2 n ... n mn où
ml, m2, ... , mn sont des idéaux premiers distincts.
On va montrer que Spec(A) = { ml, m2 , ... , mn} soit, en effet, m E Spec(A). L'idéal
m n a est un élément de 9î. Puisque il est contenu dans a. Il doit être égal à a.
Par conséquent, ml n m2 n ... n mn c m. Il existe i E {l, 2, ... , n} tel que mi cm,
,. ,.
puisque mi est maximal. Et comme mi est maximal d'après (proposition 1.8), donc
m=mi.
0
On rappelle que le nilradical d'un anneau A est l'intersection des idéaux premiers de
A et que le radical de Jacobson de A est l'intersection des idéaux maximaux de A.
Proposition 111
Soit A un anneau artinien. Alors le radical de Jacobson de A est égal au ni/radical
de A et que le radical de Jacobson de A est ni/potent.
Démonstra tion
- La première partie de cette proposition découle de la proposition 1.8.
- Soit J le radical de Jacobson de A, la suite Un)
N d'idéaux de A est ·stationnaire.
nE
.
n
n+1 .
n
SOIt n tel que J = J
. On va mamtenant montrer que J
= {O}.
On pose a = l et on pose a =;é (0). On remarque a = a2 .

15
L'ensemble 9t des idéaux 1 de A tels que la ;;t. (0) est alors non vide.
Il admet un élément minimal C. Il existe x EC tel que xa ;;t. (0). Par minihialité de C,
on a : C = (x) or, (xa)a = x} = xa ;;t. {O}. Par suite, (x) = xa et il existe Z E a tel que
x =xz. On en déduit que x = xzn Vn ErN. Comme z E J, c'est-à-dire z appartient au
nilradical, il existe n ErN tel que zn = O. Donc x = 0 et ceci contredit le fait que xa est
supposé non nul. Par conséquent Jn = (0).
0
On rappelle qu'un anneau est dit local s'i! admet un unique idéal maximal m. Et
dans ce cas A/m est appelé corps résiduel.
Théorème 1.12
Soit A un anneau artinien. Alors A est un produit fini d'anneâux artiniens
locaux.
Démonstration
Soit mi Cl:s; i :s;n) des idéaux maximaux distincts de A. D'après la proposition 1.11
n
k
n
k
n
n
k
k
o = nmi = I1 mi car nmi = I1 mi et que les mi et mi pour i ;;t. j sont deux à
i=l
i=l
i=l
i=l
n
deux étrangers. Par conséquent l'application naturelle cp : A ~ Il ( AI k) est un
i=l 1 mi
isomorphisme d'après le théorème Chinois. ([28], proposition III.12, p.77).
/n
/n
On voit aisément
k est un anneau local car le seul idéal maximal de
k
m·
m·
1
1
(Vi, 1 :s; i :s; n) est milk . Et il est clair que AI k est artinien ViE {l ,2, ... ,n}. 0
1 mi
1 mi

16
Théorème 1.13 ([30], théorème 4.4., p.68)
Soit A un anneau. Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i)
A est noethérien et tout idéal premier de A est maximal.
(ii)
A est artinien.
(iii)
Le A-module A est de longueur finie.
Proposition 1.14 ([4J. Prop.88, p.91)
Soit A un anneau artinien local, d'idéal maximal m. Alors les conditions suivantes
sont équivalentes:
(i)
Tout idéal de A est principal
(ii)
L'idéal maximal m est principal
(iii)
dim AI lml 2)~ 1.
lm lm

17
§3 : MODULES INJECTIFS - ENVELOPPES INJECTIVES
Définition J.7
- Un A-module M est dit injectifsi tout diagramme de A-modules
M
y
Q
~N
f ~L
oùfest injectif, se plonge dans un diagramme commutatif de laforme :
M
;I~\\\\
Q
~ N
f
~L
- On dit qu'un groupe commutatif G est divisible si G (considéré comme Z!-module)
est injectif.
Le résultat suivant est bien connu:
Théorème 1.15 ([36], p.21 -23]
Soit M un A-module. Les conditions suivantes sont équivalentes: .
(i)
M est injectif.
(ii)
M est facteur direct de tout module le contenant
(iii)
Pour tout idéal à gauche 1 de A et pour tout homomorphisme g de 1 dans M, il
existe x E M tel que g(a) = ax, pour tout a E 1 (condition de Baer).
Proposition 1.16
Soit {Ma }aEA une famille de A-modules. Alors rI Ma est injectif si et seulement
aEA
si chaque Ma est injectif.

18
Démonstration
Posons M =
TIMa, et notons les injections et surjections canoniques associées au
aEA
produit respectivement par: cra : Ma ~ M, 1ra : M ~ Ma
~) Supposons d'abord que chaque Ma est injectif, et considérons le diagramme
suivant 0 -->E
I f ) B
où \\j.I est un homomorphisme injectif:
M
Ainsi on obtient du diagramme ci-dessus:
If
)
B:
Donc il existe ga E HomA (B, Ma) tel que ce grand diagramme soit commutatif
c'est-à-dire (ga 0 \\j.I) = 1ra of
Maintenant définissons g : B ~ M par g = cra 0 g tel que \\j bEB :

19
On a g est bien un A-homomorphisme et Va E E,
(g \\jf)(a) = (cra 0 go \\jf)(a) = cra(gaO\\jf)(a) = cra(Jraj)(a)=(craoJra ).j(a)=j(a)
ce qui implique que M est injectif.
<=) Réciproquement:
On suppose que M est injectif.
Soit a EÂ et considérons le diagramme suivant:
Construisons le diagramme suivant
D'après l'hypothèse il existe h EHom(B, M) tel que h 0 \\jf = cra 0 Il.
Maintenant définissons h' : B -----) Ma par h' = Ttaoh
et h'(b) = (Ttaoh)(b) = Tta(h(b)) (VbEB).
Ainsi h' est un A-homomorphisme et soit a EM.
(h'o\\jf)(a) = (Ttaoh \\jf)(a) = (Tta 0 <Pa) 0 Il(a) =
1d
0 ~t(a) = ~t(a) .
Ea
Ce qui implique que Ma est injectif. 0

20
Corollaire 1-17 :
Soit (Ma)aEÀ une famille de A-modules
(i)
Si
EB Ma est injectif, alors Ma est injectif
aEA
(ii)
Si A est fini et si Ma injectif 'v'uEA alors
EB Ma est injectif.
aEA
Preuve:
Elles découlent de la proposition 1.16.
Théorème 1-18 : ([36], théorème 4, p. 91)
Pour un anneau A, les conditions suivantes sont équivalentes:
(i)
A est un anneau noethérien à gauche.
(ii)
Toute somme directe de A-modules injectifs est un A-module injeètif.
Définition 1.8 :
On dit qu/une extension E d'un module M est une extension essentielle de M si, pour
tout sous-module N de E, la relation Nf) M = {O} implique N = (O).
Autrement dit pour tout élément non nul e de E, il existe r EA tel que re soit un
élément non nul de M
Proposition 1.19 :
Soit {Ma }aEA une famille de A-modules et on suppose que pour tout aEA,
Ea est une extension essentielle de EB Ma·
aEA
Démonstration
Posons M = EB Ma; E = EB Ea , considérons e un élément non nul de E,
aEA
aEA
alors e a un nombre fini de composantes non nulles; soit ei E EÀ. pour 1= 1,2, ... ,no
i

21
Comme E A_ est une extension essentielle de MA' il existe fI E A.'tel que fI e 1 soit
'1
1 ·
un élément non nul de MA. Considérons fI e EMet la preuve est finie.
1
Sinon, soit fI ep le premier élément non nul de la suite fI e2, fI e3,···, fI en ; comme
E~ est une extension essentielle de MA p , il existe rpE A tel qu~ rpfJ ep soit un
élément non nul de MA' Remarquons aussi que rp fI eE MA' Il est clair que
p
1
qu'à l'étape finale il va exister r EA tel que re EMet re =1:- O. Donc E devient une
extension essentielle de M.
0
Définition 1. 9
Soit E une extension de M Alors E est une extension maximale essentielle de M si :
(i)
E est une extension essentielle de M
(ii)
Si E' est une extension propre de E, alors E' n'est pas une extension
essentielle de M
Soit N une extension de M Alors N est dite extension minimale injective de M si :
(i)
N est injective.
(ii)
Dès que N' est un sous-module de N contenant M alors N' n'est pas injectif.
Théorème 1.20 ([45], théorème 2.21 pA3)
Soit M un A-module. Alors il existe un A-module E satisfaisant aux conditions
équivalentes suivantes:
(1)
E est une extension essentielle injective de M.
(2)
E est une extension essentielle maximale de M.
(3)
E est une extension minimale injective de M.

22
Définition 1.10
Soit M un A-module. Un A-module E satisfaisant aux conditions du théorème 1.20 est
appelé une enveloppe injective de M
On sait que tout module admet une enveloppe injective unique à un isomorphisme
près. Si M est un A-module nous noterons E(M) où M l'enveloppe injective de M.
Remarque 1.4
1) Un A-module M est injectif si et seulement si E(M) = M
2) Si M est un A-module et M' un sous-module de E(M) qui contient M, alors E(M)
est aussi une enveloppe injective de M'.
Proposition 1.21
n
Soit Ml,' ... , Mn des A-modules. Alors EB E(M ) est une enveloppe injective
i
i::::l
Démonstration
n
On a EB E(M i) est injectif d'après le corollaire L16. Et en r~lson de la
i=l
n
n
proposition L19 EB E(Mi) est une extension essentielle de EB Mi' Par conséquent
~
i~
o
Définition 1.11
Un A-module E est dit cogénérateur injectif si E est injectif et pour tout A-
module N et tout élément non nul a de N il existe un A -homomorphisme cp : N ~ E
tel que cp(a) -:j:. O.

23
Proposition 1.11
Soit E un cogénérateur injectifde A.
Alors tout A-module peut-être plongé dans un produit direct de copies de E.
Démonstration
Il suffit de considérer un A-module non nul E'. Soit a un élément non nul de A'.
Il existe un A-homomorphisme <Pa : E' ~E tel que <Pa(a) *" 0 avec <P défini
<p: E' ~ TI E par <p(x) == {<Pa(x)} \\lXE E'.
aEE'
On voit alors que <P est un monomorphisme.
0
Soient X ç M et B ç A. On appelle mmulateur à gauche de X dans A l'ensemble noté
RA (X) = {a E A / ax = 0, \\Ix E X}.
Et on appelle l'annulateur à droite de B dans M, l'ensemble noté
rM(B) = {mEM/am=ü \\laE B}.
On note parfois Ann(X) = RA (X) et rM(B) = Ann(B).
Il s'ensuit les propositions suivantes:
Proposition 1.22
Soient X, y deux sous-ensembles de Met B, B' deux sous-ensembles de A. Alors
(i)
si X ç Yalors RA (X) ~ RA (f) si A ç B alors rAlA) ~ rM(B).
(ii)
X çrM RA (X) et B ç RA rM(B).
(iii)
RA (X) == RA rM RA (X) et rM(B) = rM RA rM(B).

24
Démonstration
(i)
et (ii) sont évidents.
(iii)
En appliquant (ii) à f. A (X) on a f. A (X) ç f. A rM f. A (X)
Et en appliquant (i) à la 1ère assertion de (ii) on a f. A (X) ;;;2 f. A rM f. A (X).
Par conséquent f. A (X) = f. A rM f. A (X).
De manière analogue on obtient rM(B) = rM f. A rM(B).
0
Proposition 1.23
Soit (Ka)
A et (!a)
A des sous-groupes additifs respectifs de MetA. Alors
aE
aE
.•
(i)
f. A ( l Ka) = n f. A (Ka) et rM ( l Ja) = n rM (!a).
aEA
aEA
aEA
aEA
Démonstration
D'après la proposition précédente, c'est clair.
0
Proposition 1.24
Un idéal à gauche J d'un anneau A est l'annulateur d'un sous-ensemble de M si et
seulement si M est un cogénérateur de AlI.
Démonstration
<=:) Supposons que M soit un cogénérateur de AIL Alors il existe un ensemble A;t~ et
un monomorphisme MA.
Posons <pel) = (Xa )
A et X =
U{xa }· On a Xc M.
aE
A
aE
Montrons que 1 = f. A (X) .

25
. Soit a E € A(X), Alors aX = 0
=> a xa = 0 '\\faEA
-
-
=> a cp( 1) = 0 => cp(a. 1) = 0
donc cp( a) = O. Comme est injectif, donc
Ci = 0 . Par conséquent a El.,
. Inversement soit aE 1. Alors cp (Ci)= 0
=> a cp( 1 ) = 0
donc a( xa )aEA = (0).
=> aX = {O}, d'où a E € A (X) .
Par conséquent l = € A (X) .
=» Réciproquement
Supposons que l = € A (X) où X ç: M où X = {xa / a EL} avec Card(X) = L.
Soit x EX; et considérons:
fPx : Ail - - > Mx avec Mx = M
Ci\\---> a.x
on a fPx est un homomorphisme de A-modules.
Donc cp: A/I-->M L
Ci \\---> (a xa )aEL .
cp ainsi défini est le produit direct des homomorphismes
fPx, donc cp =
IlfPx
XEX
Il est clair que cp est un homomorphisme injectif de A-modules; en effet si cp( Ci )=0
alors (ax)
X = 0
XE

26
<=> ax = 0 \\/x EX
<=> aX = 0
donc a E 1. D'où (j= 0
Par conséquent <p est injectif. D'où M est un cogénérateur de AlI. 0

27
§4 - MODULES I~DECOMPOSABLES- SOUS-MODULES IRREDUCTIBLES
Définition 1.12
. Un A-module M est dit simple si les seuls sous-modules de M sont Met {O} et
l'anneau A est dit simple si le A-module As est simple.
. Un A-module M est dit semi-simple s'il existe un ensemble {Sel aE/l} de sous-
modules de M tels que M = EB Sa et l'anneau A est dit semi-simple si le A-module
aEÂ.
As est se mi-simple.
Proposition 1.25
Un A-module M est cyclique si et seulement si il existe un idéal à gauche l tel que Ail
soit isomorphe à M
Démonstration
=» Soit m un générateur de M alors l'application
cp:A~M
a ~ cp(a) = a.m
est un homomorphisme de A-modules surjectif, car M = Am.
Posons 1 = Kercp, 1 est un idéal à gauche de A, cp induit un isomorphisme de
A-modules cp: Ail sur M.
<:=) Cette implication résulte du fait que le A-module Ail qui est engendré par 1+1= T
est cyclique; donc M est cyc1ique.D
Proposition 1.26
Un A-module M est simple si et seulement si il existe un idéal à gauche maximall tel
que Ail soit isomorphe à M

28
Remarque 1.5
Soit A un anneau, 3' la classe des A-modules simples, comme tout élément de 3' est
isomorphe à Ail où 1 est un idéal à gauche maximal de A.
Donc 3' est un ensemble complet de représentants.
Proposition 1.27
Soit E un A-module injectif Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
(a)
E est un cogénérateur.
(b)
HomA(T, E) *" 0 pour tout A-module simple T
(c)
E cogénère tout A-module simple.
Démonstration
Les implications a) ~ c) et c) ~ b) découlent de la proposition lA.
Maintenant montrons que b) ~ a).
Soit M un A-module à gauche et soit x un élément non nul de M. Comme A.x est
cyclique, donc il contient un sous-module maximal, ainsi d'après b) il existe un
homomorphisme h : A.x - - > E qui est non nul.
Mais comme E est injectif, donc h peut-être prolongé en un homomorphisme
h : M - - > E avec h (x) = h(x) *" O.
0
Définition /.13
. Un A-module M est indécomposable si M *" {O} et si les seuls facteurs directs de M
sont {O} et M lui-même.
. Soit N un sous-module A-module M Alors N est un sous-module irréductible
de M si N n'est pas l'intersection de deux sous-modules de M le contenant.
. ,
'
Et un idéal 1 de A est dit irréductible s'il est irréductible en tant que so'îls-module du
A -module As.

29
Proposition 1.28
Soit M un A-module injectif. Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
(a) M est indécomposable.
(b) M::;: (0) et M est une enveloppe injective de tout sous-module non nul de M.
(G) Le sous-module nul de M est irréductible.
Démonstration
a) => b) Supposons d'abord que M soit indécomposable.
Alors M ::;: (0). Soit N un sous-module non nul de M ; d'après ([45] prop 2.19 ; p.42) ;
M admet un sous-module N' qui est une enveloppe injective de N.
Et en raison de proposition 1.14. N'est un facteur direct de N.
Or N' ::;: (0), il s'ensuit) que N' == M.
a)=> c) Supposons MI, M2 sont des sous-modules de M tels que Ml !l M2 == O.
Supposons que Ml ::;: (0), alors M = E(M l ).
Donc, en particulier M est une extension essentielle de Ml,
Par conséquent M2 = (0).
c)=> a) Supposons ( c ). Alors M ::;: (0).
Supposons qu'il existe deux sous-modules non nuls Ml, M 2 tels que M = M 1E8M2 ;
donc MI!l M 2 = (0), ce qui contredit l'hypothèse (c )
Par conséquent M est indécomposable.
D
Corollaire 1.29
Soit M un A-module. Alors
(a) E(M) est indécomposable si et seulement si le sous-module non nul de M est
irréductible.

30
(b) Un sous-module K de M est irréductible SI et seulement
E(M;i) est
indécomposable.
Démonstration
a)
=» Supposons que E(M) soit indécomposable d'après la proposition 1.26, le sous
module nul de M est irréductible.
<=:) Réciproquement:
Supposons que le sous-module nul soit irréductible et MI, M2 deux sous-module de
E(M) tels que MI n M2 = {O}.
Ainsi E(M) est une extension essentielle de M, si MI*- {O} alors Min M *- {O}. De
même si M2 *- {O} alors M2n M *- {O}. Mais (Ml n M) n (M2n M) = {O} et que
Ml n M, M2 n M sont des sous-modules de M. Il en résulte que soit MI est nul soit
M2 est nul.
Donc le sous-module nul de E(M) est irréductible. Ce qui implique que E(M) est
indécomposable.
b) Soit KI, K2 deux sous-modules de M contenant K.
Alors KI n K, ~ K si et seulement si [K~)n[ K>{) ~ {O}.
D'où le sous-module K de M est irréductible si et seulement si le sous-module nul de
M/K est irréductible. De cette remarque (b) découle (a).
0
Corollaire 1.30
Si S est un A-module simple alors E(S) est indécomposable.

31
-'\\'
Démonstration
Elle découle du corollaire 1.27 et du fait que le sous-module nul d'un module simple
est irréductible.
0
Proposition 1.31
Soit M un A-module indécomposable et injectif et soit f E EndA(M). Alors f est
inversible si et seulement si Ker(f) = {O}.
Démonstration
=» la condition est nécessaire.
Les éléments inversibles de EndA(M) sont les A-isomorphismes de M dans M.
Il est clair que, si f est inversible, alors Ker(/) = {O}.
<:=) Réciproquement:
Supposons Kerf= {O}. Alorsfest un monomorphisme etAM) est un module injectif.
D'après la proposition 1.15 AM) est un facteur direct de M etAM) * (0). Donc
AM) = M, d'où f est un épimorphisme. Par conséquentfest inversible. 0
Théorème 1.32 ([45], prop. 3.7 p.61)
Soit A un anneau. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.
(a) A est semi-simple.
(b) Tout A-module est semi-simple.
(c) Tout A-module est injectif.
(d) Tout idéal à gauche est injectif.

32
CHAPITRE II
ANNEAUX POUR LESQUELS TOUT MODULE DE
TYPE FINI VERIFIE LA PROPRIETE (1)
INTRODUCTION
Soient A un anneau et M un A-module. Nous dirons que M vérifie la propriété (I)
(resp. (S)) si tout endomorphisme injectif (resp. surjectif) de M est bijectif. On dira
que M vérifie la propriété (F) si pour tout endomorphisme f de M il existe un entier
n 21 tel que M = lmfll EB Kerfll.
L'étude des modules vérifiant la propriété (1) a fait l'objet de plusieurs publications.
Ainsi en 1945, R.A. Beaumont [6] a prouvé que tout groupe commutatif de torsion,
de type fini vérifie (1) ; 1. Kaplansky [26], en 1945 a donné une condition suffisante
pour qu'un module de rang fini sur un anneau commutatif principal vérifie (1). En
1970, Vasconcelos [48] donne une caractérisation des anneaux commutatifs pour
lesquels tout module de type fini vérifie (1). en 1978, Armendariz et Fischer- Snider
étudient les anneaux pour lesquels tout module de type fini vérifie (1). Dans ce
chapitre nous faisons une synthèse de quelques uns des résultats ci-dessus. De plus
dans cette partie nous énonçons quelques caractérisations des anneaux artiniens et
noethériens. Et enfin nous terminons cette partie en récapitulant quelques principaux
résultats sur les anneaux pour lesquels tout A-module vérifiant la propriété (1) est
artinien.

33
§l - QUELQUES CARACTERISATIONS DES ANNEAUX NOETHERIENS
ET DES ANNEAUX ARTINIENS.
Soit X un sous-ensemble d'un A-module à gauche M
et l un sous-ensemble de
l'anneau A. On définit:
f A(X)= {aEA/a.x=O,\\fxEX}
rM (1) = {m E M / a.m = 0, \\fa E I}
On peut vérifier facilement que f A (X) est un idéal à gauche de A, on l'appelle
l'annulateur à gauche de X dans A.
De même rM(l) est appelé l'annulateur à droite de l dans M.
Définition I/-I :
Un module est dit de type dénombrable s'il peut être engendré par un sous-
ensemble dénombrable.
Définition I/-2 :
Un A-module injectif M est dit L -injectif. Si toute somme directe de copies
de M
est injective ,. ou équivalemment si la condition de chaîne ascendante est
vérifiée pour tous les annulateurs à gauche f A (X) où X ç M
Théorème ILl :
Si M est un A-module dénombrable et injectif. Alors M est L -injectif.
Démonstration:
Soit
YI, Y2,···'Yn.... l'ensemble des éléments du
A-module injectif et
dénombrable M.

34
Supposons par l'absurde qu'il existe une suite strictement croissante·,.'.,
Il C hc. ..c In .... , d'idéaux annulateurs à gauche de parties de M.
Posons Xn= rM (In), alors In = RA (X) d'après la proposition 1-22.
Comme l, c Il c. .. c In .... , est une suite strictement croissante; on a d'après la
proposition 1-22 une suite strictement décroissante
X,:::> X2 :::> .:...:::> Xn :::> ... de
parties de M.
00
00
De plus si X = nX n ,alors X = rM(I) où 1= UIn d'après proposition 1-23.
n=!
n=!
Maintenant on va construire par induction une suite (bn)n:<:' d'éléments de 1 et une
suite (fn)n:<:' d'homomorphismes de A-modules;
n
ln : L Abi --> M tel que In(bn) *" bnYn \\fn et que ln est la restriction de ln+!-
i= !
• Pour n = 1
Montrons qu'il existe z E Xl tel que z, - y, ilX.
Supposons le contraire: \\fz, EX" Z, - y, EX. Si \\fz EX" z - y, E X.
En particulier 0 - YI E X car 0 EX,.
Ce qui implique \\fa E h ay, = 0 car X c Xl,
ona a(z-y,)=ü \\faEh,doncaz=ay,=O \\faEb,
D'où z E Xl, ainsi on a X, c Xl ce qui est une contradiction.
Par conséquent il existe z, EX, tel que z, - y, il X.
Ainsi il existe bl E 1 tel que b1(z, -y,) *" O.
Soit jj l'application définie de Ab] dans M par jj (ab,) = a b1z,.

35
OC!
Il est clair que jj est un homomorphisme de A-modules. Comme bl El = UIn' il
n=\\
existe, m E rN* tel que b l E lm.
Montrons qu'il existe Z2 E Xm tel que Z2 + ZI - Y2 ~ X.
Par l'absurde: si Vz E Xm tel que Z+ Zl - Y2 E X.
Alors ZI-Y2 = 0 + Zl - Y2 E Xc Xm+1 car 0 E Xm.
Soit Z E Xm.
Comme Z+ZI-Y2 E XcXm+l,ona
a(z + ZI - Y2) = 0 Va E Im+1
az=a(ZI-Y2)=O Va E Im+1
donc Z E Xm+1 ; d'où XmC Xm+1 ; ce qui est une contradiction.
Ainsi il existe Z2 E Xm tel que Z2 + ZI - Y2 ~ X.
Donc il existe b2 E l tel que b2 (Z2 + Zl - Y2) ;t. O.
Considérons Ab l + Ab2
/,
>M
Il est clair que 12 est un homomorphisme de A-modules.
Et de plus on a : 12 ( a br) = a b l (Z2 + zr) où a E A
donc fi est la restriction de h sur Ab l.

36
Par conséquent la propriété est vraie pour n = 1.
• Supposons que la propriété est vraie jusqu'à l'ordre n. C'est-à-dire qu'il existe
b l, bl ,.... , bn éléments de l, et une suite (fn)n2! d'homomorphismes de A-modules
n
fn: 2. Ab; --> M tel que fn(b n) ::F- bnYn et fn-l soit la restriction de fn·
i = 1
• Montrons que la propriété reste vraie à l'ordre n + 1.
Comme M est un A-module injectif, d'après le critère de Baer, il existe Zn E M tel
n
que, f" (r) = rZn \\fr E L Abi .
i= 1
Soit p un entier assez grand tel que b], ....,bn soit dans Ip.
Montrons qu'il existe Zn+! E Xp tel que Zn+1 + Zn - Yn+l ~ X.
Supposons le contraire c'est à dire, \\fz EXp, Z + Zn - Yn+l EX.
Soit Z E Xp et comme Z + Zn - Yn+1 EX C Xp+J donc a(zn - Yn+J) = 0 \\fa E Ip+].
Mais Z+ Zn - Yn+! EX C Xp+1
donc a(z + Zn - Yn+l) = 0 \\fa E Ip+1 => az = a(zn - Yn+l) = 0 \\fa E Ip+1•
Ce qui implique az = 0 \\fa E Ip+l, donc Z E Xp+J ; d'où Xp C Xp+1. Ce qui est une
contradiction.
Donc il existe Zn+1 E Xp tel que Zn+! + Zn - Yn+! ~ X.
Ainsi il existe bn+1E l tel que bn+! (Zn+l + Zn - Yn+l) ::F- 0
n+l
et l'application
L Ab,
In+1
) M
;=1
y - - > Y(Zn+l + zn)
f,,+!
est aussi un homomorphisme de A-modules et

37
n
/n+l (a)
OÙ a E L Abi
i=l
n
a.Zn+l + a,zn , malS a =
" rb.
~ I l
j= 1
n
/n+l (a)
L ri (bi Zn+l) + a,zn
i=l
Or Zn+l E rM (Ip) ~ bi .Zn+l = 0
Vi = 1, 2, .... n ; donc fn+l(a) =inCa). D'oùfn est la
restriction de /n"+l' Donc la propriété reste vraie à l'ordre n + 1.
Finalement pour obtenir la contradiction, il suffit de prendre /
comme le
prolongement de tous les A-homomorphismes in pour tout n ;::: 1.
t
Soit f: ~ Ab
J
i --> M définie par: f (~ a ,bi
Iaih(bj ) •
j =1
00
Donc/ est un homomorphisme de l
Abj dans M.
i =1
00
Il est clair que J = l
Abi est un idéal de A.
i = 1
Comme M est injectif, il existe y E M tel que f("À ) = À.y pour tout À appartenant
à J (D'après le critère de Baer).
Ainsi on a: bny =fCb n) = ,h(bn) *- bnYn Vn ;:::1. Or il existe n E rN* tel que y = Yn ;
donc bnYn *- bny ; ce qui est une contradiction.
Par conséquent, la suite (In)n~l est stationnaire et M est L -injectif.
0
Proposition II-2 :
Si la catégorie des A -modules à gauche admet un cogénérateur dénombrable
et injectif. Alors A est un anneau noethérien.

38
Démonstration:
Soit (In)n~l une suite croissante d'idéaux à gauche de A.
Et soit M
un cogénérateur dénombrable et injectif de la catégorie des
A-
modules à gauche. Alors comme M est cogénérateur des A-modules à gauche
-:l1n VnE tN. Ainsi d'après la proposition 1-24, il existe Xn ç M tel que
.e A (Xn) = ln , Vn EtN* .La suite (In)n~l devient donc une suite d'annulateurs à
gauche de sous-ensembles de M.
Et comme M est un A-module dénombrable et injectif, il résulte du
Théorème II-l,
que M est L -injectif.
D'où la suite (In)n~1 : Il ç h ç
ç
ln ç
est stationnaire.
Par conséquent A est un anneau noethérien.
0
Soit J le radical de Jacobson del'anneau A.
On rappelle que
A
est un anneau semi-local si A
admet un nombre fini
d'idéaux maximaux. De manière équivalente A
est un anneau semi-local si
1) est semi-simple.
Proposition II-3 :
'.
c
Si A est un anneau semi-Iocal et si l'enveloppe injective de chaque A-module
simple est dénombrable. Alors A est noethérien.
Démonstration:
Comme A est semi-local ; si J représente le radical de Jacobson de A, alors
1) est semi-simple et 1) = SI EB S2 EB ...... EB Sn où Si représente un A-
module simple (Vi = 1,2,.... ,n).

39
Soit E(Si) l'enveloppe injective de Si (l~ i ~n). On a par hypothèse E(Sj) est
dénombrable Vi, 1~ i ~n donc E(SI) œ E(S2) œ.... œE(Sn) ~~t dénombrable
n
Donc EB E(Sj) est injective d'après Corollaire 1-17.
i=l
D'où il résulte de la proposition 1-21, que E[ EB SIJ =
EB E(Sj).
l~i~n
l~i~n
n
De plus h: Si
f
) EB Sj
g
)
EB E(Sj)
i= 1
l~i~n
On a h = go! qui est un homomorphisme injectif de A-modules donc h =1:- O.
Il résulte de la proposition 1-27, que
EB E(Sj) est un cogénérateur de la
I~i~n
catégorie des A-modules.
D'où la catégorie des
A-modules admet un cogénérateur injectif et
dénombrable; Par conséquent d'après la proposition II-2, A
est un anneau
noethérien.
0
Théorème 11-4 : ([2] , p. 172) (Théorème de Hopkins)
Soit A un anneau de radical de Jacobson J. Alors A est artinien si et seulement
si A est noethérien, J est nilpotent et YI semi-simple.
Théorème 11-5 : ([2], Théroème de Levitzki, p. 173)
Si A est un anneau noethérien, alors tout nilidéal de A est nilpotent.
Proposition //-6 :
Soit A un anneau semi-local, si le radical de Jacobson J de A est un nilidéal
et si de plus l'enveloppe injective de chaque A -module simple est dénombrable.
Alors A est un anneau artinien.

40
Démonstration:
Comme A est semi-local, donc 1(; est semi-simple. Or l'enveloppe injective
de chaque module simple est dénombrable. Alors d'après la proposition 11-3, A
est noethérien. Ainsi on a le résultat suivant, comme A est noethérien,] est un
nilidéal ; donc] est nilpotent d'après théorème II-S. Il résulte du théorème IlA,
que A est artinien.
0
Théorème 11-7. [19]
Soit A un anneau, si tout A-module est contenu dans une somme directe de
modules de type fini, alors A est artinien.
Théorème 11-8 : ([45] , théorème 4.4, p. 85)
Les conditions suivantes sont équivalentes.
(i)
A est un anneau noethérien
(ii)
Tout
A-module
injectif
est
une
somme
directe
de
modules
indécomposables.
Théorème 11-9 : ([45], Théorème 4-5, p. 87).
Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) A est un anneau artinien
(ii) Tout A-module injectif est une somme directe d'une famille
d'enveloppes injectives de modules simples.

41
§2 - ANNEAUX POUR LESQUELS TOUT MODULE DE TYPE FINI
VERIFIE LA PROPRIETE (1).
Définition II-3 :
Soit A un anneau. On dit qu'un A-module vérifie la propriété (1) (resp. (s)) si
tout endomorphisme injectif (resp. surjectif) est un automorphisme de Iv!, on dit
que M vérifie la propriété (F) si pour tout endomorphisme f de M il existe un
entier n 21
tel que M = Im.r EB Kerfn.
Définition II-4 :
Un anneau A est dit
n-régulier à gauche (resp. à droite) si et seulement si
pour
tout élément a de A il existe un élément b de A et un entier n 21 tels
,
.
n
b
n+/
1
n
n+/b')
que l on art a =
a
Iresp. a = a
J.
Remarque 11-1 :
Soit cp : A - - > B un homomorphisme d'anneaux et M un B-module.
On peut munir M d'une structure de A-module par le produit-suivant :
'"
.~
Si a E A, m E M am = cp(a).m.
Pour cette structure de A-modules de M
on a: 'J'CBM) ç; 'J'CAM)
où : 'J'CsM) est l'ensemble des B-modules à gauche.
'J'CAM) est l'ensemble des A-modules à gauche.
Théorème 11-10 : CF. Dischinger)
Soit A un anneau. Les assertions suivantes sont équivalentes:
Ca) Pour tout entier n ;::: 1, l'anneau MnCA) des matrices n x n à coefficients
dans A est n-régulier à gauche.
(b) Tout A-module de type fini vérifie (1).

42
Démonstration:
b) => a) :
Identifions Mn(A) à EndA(An) = B, muni du produit (j,g) -->fg = gof
Soit jE B,f"* 0 et T = UKerF . On a jeT) ç T, donc j induit un élément
'?:J
JE EndA(Ajj:)
défini par: j (x+T) =j(x) + T pour tout x E Ail.
Ah
Soit (x + T) un élément de
tel que J (x+T) = T. Alors j(x) E T,
il existe donc un entier t?: 1 tel quej'(f(x» = O. D'où x E Kerjl+i ç T.
J
Ah
est donc injectif. Comme
est un A-module de type fini.
d'éléments du A-module A'\\ tels que pour tout i ( 1:S i:S n), ej + T = f (Uj+ T).
Il en résulte qu'il existe k E tN* tel que (ej - j(Ui» E Kerjk pour tout i (1:Si:S n).
Donc gfk+! = jk
a) => b)
Soit M un A-module de type fini,f un endomorphisme injectif de M.
On suppose d'abord, M monogène et on suppose M = ~ où D est
un idéal à gauche de A.

43
Posons fil + D) = x + D. Alors pour tout entier k ~ l on a :
fk (l + D) = xk + D. A étant n-régulier à gauche il existe y E A, et t E tN*
1
[
[+1
1
fI
D)
1
D
1+1
D
f'+' 1 D)
te s que x = yx
on a a ors:
(1 +
= x +
= yx
+
= y
( + .
Il en résulte que fl(M) = f'+ /(M).
Soit u + D un élément quelconque de M, il existe alors (v + D) E M tel que
fI (u + D) = fl+/ (v + D).
D'où, en vertu de l'injectivité def, u + D = fiv + D).
n
On suppose maintenant que M =
L AUi (n ~ 2).
i= 1
Le produit cartésient Mn = M X Mx
X M
(n facteurs) a une structure
de Mn(A)-module monogène défini par le produit:
Xl
aIl'"
al)" .
a'n
x·
ail' ..
a··· ..
a
l
1)
in
a
...
a· .. ·
a
ni
n;
nn
Xn
n
Yn = La ·X·
. l nJ J
J=
dont un générateur est l'élément
Soit f* l'élément de End M n(A) (Mn) défini par:

44
Xl
f(x )
1
x·
f(x )
f*
1
i
. Il est clair que f* est injectif d'après 1°), f* est surjectif.
Xn
f(x n )
Ce qui implique la surjectivité de f
0
Soit B un anneau, A un sous-anneau de B.
. On rappelle qu'un élément x E B est dit entier sur A, s'il est racine d'un polynôme
unitaire à coefficients dans A.
On dit que B est entier sur A si tout élément de B est entier sur A.
Un homomorphisme d'anneaux f de A dans B est dit entier si B est entier sur A.
On appelle chaîne d'idéaux premiers d'un anneau A, toute suite finie qoÇqIÇ·· .çqn
d'idéaux premiers de A où n est la longueur de la chaîne.
. Et on rappelle que la dimension de A, est la borne supérieure des longueurs des
chaînes d'idéaux premiers de A et on la note dim(A).

45
Lemme 11-11 :
Soit f: A - - > B un homomorphisme d'anneaux entier, 1 un idéal de A et J un
idéal de B contenant fil). Alors f: 11--> B;j est un homomorphisme entier.
Lemme 11-12 :
Soit A
f ) B un homomorphisme entier et injectif. Alors dim(A) = dim(B).
On rappelle que si 1 est l'annulateur d'un A-module M dans A. Alors 1 est le plus
petit idéal de A pour lequel M est 11-fidèle, Et le A-module M est dit fidèle si
l'annulateur de M dans A est nul.
Théorème 11-13 : (W. Vasconcelos)
Soit A un alU1eau commutatif. Alors tout A-module de type fini vérifie (1) si et
seulement si tout idéal premier de A est maximal.
Démonstration:
=» la condition est nécessaire.
Supposons le contraire c'est-à-dire si P et Q sont deux idéaux premiers distincts de
A tels que Pc Q. Donc tout élément aE Q-P induit une application cp définie de
~--> ~ par cp( x) = a X pour tout X E ~.
Il est clair que cp est un endomorphisme injectif.
Mais cp n'est pas surjectif car l'élément Ci n'a pas d'antécédents dans ~.
Ce qui est une contradiction.
<=) La condition est suffisante.
Supposons que tout idéal premier de A est maximal, donc la dimensiàrî de Krull de
A est nulle.

46
Soit M un A-module de type fini, et soit f: M - - > M un endomorphisme
injectifde M. On peut munir (M,+) d'une structure de A[x]-module défini par
h(x).m = h(t).m.
En particulier x.m = fim)
\\im EM.
II résulte du théorème de Cayley Hamilton que 1 = Alm(M) existe et est non nul,
avec Ann(M) = {h(x) E A[x] / h(x).m = 0, \\im E M}
. Montrons d'abord que S =
A[ x){ est de dimension de Krull nulle.
Soit {ml, m2, .... ,mn} un système de générateurs finis de M. On a:
donc rliml +.... + (rii-x)mi + ... + rlnmn = 0,
\\ii E {I ,.... ,n}
[i~::rii
Ce qui implique
-x- rn~'~JUJ ~0
Posons a = (r -8x)I<·< .
IJ
Ij
_f_n
l''J''''
On a donc
det(a):M
°
=
où det(a) est un polynôme unitaire de degré n en x à
coefficients dans A.
Posons p(x) = det(a)E Ann(M) et Sa = ( A[~(x))) où (P(x)) est un idéal de
A[x] engendré par p(x).
A[x]/
On a
Sa
est entier sur
A
car
n
/(P(x))
est isomorphe à ~[1 ,x, ... ,x ] et
chaque Xl (0 ~i ~n) est entier sur A. D'où d'après un théorème de
Cohen-Seidenberg (Lemme 11-12) Sa est de dimension de Krull nulle.
Soit A[x] est un homomorphisme entier d'anneaux défini par

47
cp(h(x)) ==h(x). Comme Ann(M) == l est un idéal de A[x] contenant (P(x)) donc
l'application cp: A[%nn( M)--> Ann(J(p(x)) est un homomorphisme
entier d'après le lemme II-Il.
Mais qJ est aussi injectif; donc il résulte du lemme II-12 que
d·
(A[x]/
) ==d'
(A[x]/î
lm
/(p(x))
lm
71) et comme
A[x]/
) _.
_
dim (
/(p(x))
- dlm (Sa) - 0
D'où dim(S) == dim ( A[ xX) == o.
Soit maintenant \\If l'application de A[x] - - > S tel que
\\If (x) == u.
V érifions que u est inversible. Supposons le contraire.
Il est clair que u E P, où P est un idéal premier de S.
Sinon si u ~ P ,u serait inversible, car tout idéal premier de S est maximal aussi.
Dans ce cas posons T == S - P. On a Tl S == Sp est un anneau local, d'idéal maximal
Tlp car tout idéal premier de S est maximal.
Ainsi Tlp est le nilradical de TIS.
Donc si u E P, l'image de u dans le localisé Sp, est dans le nilradical de Tl S.
Par conséquent u est nilpotent; ce qui implique que, 1 == Ann(u) -j:. {o}.
On a uJM == (0) => lM == (0).
Comme M est S-fidèle donc J == (0). Ce qui est une contradiction.
D'où u est inversible, donc il existe u' E S tel que u'u == 1
Or u' == y et u == X ,donc y X == T

48
=> yx - 1 E Ann(M)
°
Ainsi (yx - 1)01 =
\\fOl E M
D'où y j(m) = m, mais 01 = j(ym). Par conséquentfest surjectif.
0
Remarque 11-2 :
Les anneaux artiniens constituent un exemple d'anneau satisfaisant aux conditions du
théorème II -13.
Proposition 11-14 :
Soit A un anneau.
(a): Tout A-module artinien vérifie
(1)
(b): Tout A-module noethérien vérifie (S)
(c):
Tout A-module de longueur finie vérifie (F).
Démonstration:
a)
Soit M un A-module artinien, etf E EndA(M) injectif. La suite
M ~ f2(M) d f3(M) d
d fn(M) d
étant décroissante, il existe n E l'N* tel
que l'on ait fn(M) = f2n (M). Soit y E M, il existe x E M tel que fn(y) = f2n(x)
Il en résulte P\\y - fn(x)) = 0, d'où y = fn(x) E lmf etfest surjectif. Donc M vérifie
la propriété (1).
b)
Soit M un A-module noethérien, et f EEndA(M) surjectif de M. La suite
Kerf ç Kerf2 ç .....ç Ke~r ç ...... étant croissante, il existe n E [}Jo tel que
Ke~r
n
= Ker/ .
..
Soit x E M tel que j(x) = O. Comme fn est surjectif, il existe y E M tel que
fn(y) = x, on a alorsf2n(y) =;(x) ; or Kerf2n = Ker; ,donc x =;(y) = o.
Doncf est injectif, d'où M vérifie (S).

49
c)
Soit M
un A-module de longueur finie, et f
un endomorphisme de M. Les deux
suites:
M;2 Imf;2 In~f2 ;2
;2 lmr ;2
.
et Kerf ç Keif2 ç
ç Kerr ç
.
étant stationnaire, il existe n E~.( tel que Ker fil = Keif21l et lmfll = lmfll.
Soit x EM, il existe y E M tel que f21l(y) =fll(x), il en résulte que fll(X-J(Y» =0,
d'où XE Keifll + lmfn. Soit Z E Kerfll fi lmfll, on a alors fll(Z) = 0, et il existe
21l
tE M tel que z = fll(t), doncf (t) = fll(Z) = 0, d'où z =fll(t) = O.
0
Remarque 11-3 :
Les réciproques des résultats de la proposition précédente, ne sont pas en général,
vraies, par exemple si A est un anneau commutatif, intègre, qui n'est pas un corps,
alors le corps des fractions K de A est un A-module qui vérifie à la fois.(I), (S) et
(F). Cependant qu'il n'est ni artinien ni noethérien.
Définition 11-5 :
Un sous-module H d'un A-module Al est dit complètement invariant, si pour tout
A -endomorphisme f de M. on a f(H) ç H.
Proposition II-15 :
Soit M un A-module somme directe de sous-modules H.J (j E J).
a) Si M vérifie la propriété (1), alors, pour tout j EJ, H.J vérifie la propriété (1).
b) Si, pour tout j E J, H.J est complètement invariant dans M alors M vérifie la
propriété (1) si et seulement si chaque H.J (j E J) vérifie la propriété (1).

50
Démonstration:
a)
Soit jo E J et soit fi
un endomorphisme injectif de I-I
• Soit f
un .:,
j
o
n
endomorphisme injectif de M prolongeant fi
à M tel l'image réciproque de H j
o
parfsoit incluse dans H
•
j
n
Si M vérifie la propriété (I), alors f est un automorphisme de M et, par conséquent,
fi est nécessairement un automorphisme de H j •
o
n
b)
<:=) Supposons que chaque Hj Ci E J) est complètement invariant dans M et vérifie la
propriété (1). Soitf un endomorphisme injectif de M. Pour tout j E J, la restrictionjj à
Hj est un automorphisme de Hj. Il en résulte quef est bijectif.
=» Elle résulte de la première partie (a).

51
§3 - NOTIONS D'ANNEAUX LOCAUX
Dans ce paragraphe tous les anneaux sont supposés commutatifs.
Proposition 11-16 :
Soit A un anneau artinien possédant au moins un idéal non principal. Alors A admet
un anneau-quotient B qui est local d'idéal maximal J tel que J 2={O} et tel que ~2
soit un 0/.; -espace vectoriel de dimension deux.
Démonstration:
Comme A est un produit fini d'anneaux artiniens locaux d'après Théorème 1-12, on
peut supposer A lui-même local, d'idéal maximal N. Posons alors D = ~r2 et
%2
l'idéal maximal de D.
N n'étant pas principal dans A, S est non principal dans D.
Donc, d'après la proposition 1-14, la dimension de Ys 2 considéré comme
o/s -espace vectoriel est au moins égale à deux.
Ecrivons S = Da EB Db EB K. On a B = % répond à la question:
Car B est local d'idéal maximal J = ~.
J2 = (~r = S%or
De plus
2
8
=(%S =~l =>]2 = {O}.
Mais ~ est isomorphe à Da EB Db et ~2 = J.
Ainsi] est isomorphe à Da EB Db. Par conséquent ~ 2 est de dimension deux. 0

52
Proposition 11-17 :
Soit A un anneau artinien possédant au moins un idéal non principal. Alors A admet
un anneau-quotient B = C tB bC où C est un sous-anneau de B, local d'idéal
maximal
2
2
aC *- {O} et où b *- 0 avec b = a = ab = O.
Démonstration:
Soit A
un anneau artinien possédant au moins un idéal non principal. D'après la
proposition II-16, A admet un anneau-quotient B local d'idéal maximal J = xBE9bB.
x;zOO et b;zOO avec ;2 = {O}.
Comme B est artinien et local d'après les deux théorèmes de Cohen [10·, Chapitre 9],
il existe un sous-anneau C de B, local d'idéal maximal aC;zO 0 tel que
B = C + (xB E8 bB). On peut prendre x = a.
En remarquant, alors que C = C + aB, bC = bB et que Cn b C = {O}. On obtient
B = C E8 bC. D'où le résultat.
0
Proposition II-18 :
Soit C un anneau local d'idéal maximal aC, avec a2 = O. Posons M l'anneau total
de fractions de l'anneau des polynômes C[X]. Alors pour tout g(X)
de M, les
h(X)
condtions suivantes sont équivalentes:
(i)
g(X) est inversible dans M
h(X)
(ii)
g(X) ~ aC[X]
(iii) l (X) ;zO O.

53
Preuve:
( i ) ~ (ii) : résulte du fait que a2 = 0
(ii) <=> (iii) : résulte de l'isomorphisme d'anneaux entre C[X}:C[X] e~ K[X] où
K = %C est le corps résiduel de l'anneau local C.
(ii) ~ (i) résulte du fait que tout élément de C[X] n'appartenant pas à
aC[X]
est régulier.
o
Proposition II-19 :
Soit C un anneau local d'idéal maximal aC;r 0 avec a2 = O. Posons M l'anneau
total des fractions de l'anneau des polynômes C[X], et soit a le C-endomorphisme
de M défini pour tout m de M par a (m) = aXm. Alors .-
(i)
aa= cl = 0
(ii)
Si F est un C-endomorphisme de M commutant avec a, alors pour tout
mE M,
F(am) = am F(l)
(1)
(iii)
Tout C-endomorphisme injectif (ou surjectif) de M commutant avec aest un
automorphisme de M
Démonstration:
On remarque d'abord qu'un élément m de l'anneau M est inversible" dans M si et
seulement si m li" aM ..
(i)
Les égalités aa = cl = 0 résultent du fait que a2 = O.
(ii)
Soit m un élément quelconque de M. Comme a commute avec F, on a
aXF(m) = a [F(m)] = F[ a(m)] == F(aXm).
C'est-à-dire F(aXm) = aXF(m).
(2)
Soit n un entier ~ 1. Si l'on admet l'égalité aXn-1F(m) = F(aXn-1m), pour tout

54
m E M, on obtient alors, compte tenu de l'égalité (2) et du fait que Fest C-linéaire.
aXIlF(n) = X(aXIl-1F(m)) = XF(aXIl-'m) = aXF(XIl-1m)
= F(aXllm).
On en déduit l'égalité F(aXllm) = aXIlF(m) pour tout entier naturel n ~ 0 et pour tout
mEM. Il en résulte, compte tenu de l'additivité de F, que pour tout m' E C[X] et pour
tout mEM, F(am'm) = am'F(m). Soit maintenant mEM et soit m' E C[J~J On a alors,
d'une part F(am'm.l) = am'm F(l), car m'm E C[X].
D'autre part F(am'm) = am'F(m), car m' E C[X].
Donc
am'F(m) = am' amF(l). Ce qui implique
aF(m)
amF(l), car m'est
inversible dans M. D'où l'égalité F(am) = amF(l).
(iii)
Soit F un C-endomorphisme injectif (ou surjectif) de M, commu.tant avec cr.
Alors d'après (1), F(l) est nécessairement inversible dans M. Par conséquent, pour
tout élément mEM, on a F(amF(lr') = amF(lr l . F(l) = am.
D'où
F(aM) = aM.
(3)
- Supposons F injectif, et soit mEM. Il existe d'après (3), un élément m'EM tel que
F(am') = am. Ce qui implique a(F(m') -m) = O. Il en résulte que (F(m') - m) EaM.
Comme aM ç
ImF, d'après (3), on en déduit que m E ImF. Il en résulte que Fest
un automorphisme de M.
- Supposons F surjectif, et soit m un élément non nul de M .
. Si m E aM, alors, d'après (1), on a F(m) = mF(l). Ce qui implique F(m) *0, car
F(l) est inversible dans M .
• Si maintenant m ~ aM, alors am E aM - {O}, d'où F(am) * O.
Donc F est un automorphisme.
o

55
§4 : NOTION DE I-ANNEAU
Définition /I-6 :
Un anneau A est dit /-anneau (resp. S-anneau) à gauche si tout A-module vérifiant
la propriété (/) (resp. (S)) est artinien (resp. noethérien) ; A
est dit
F-anneau à
gauche si tout A-module vérifiant (F) est de longueur finie.
Proposition /I-20 :
Soit A un /-anneau à gauche. Alors A possède un nombre fini de A -modules simples
non isomorphes. En particulier A possède un nombre fini d'idéaux primitifs deux à
deux distincts.
Démonstration:
Soit {Sj}iEJ un système complet de représentants des classes d'isomorphie des A-
modules simples. Posons S == EB Si. Il est clair que S vérifie CF).
ÎEJ
Donc si A est un 1-anneau à gauche, alors S est artinien. Ce qui implique] est
fini. 0
Proposition //-21 :
L'image homomorphe d'un /-anneau à gauche est un /-anneau à gauche.
Démonstration:
Cette proposition résulte du fait que tout module M
sur l'image homomorphe A'
d'un anneau A est naturellement munie d'une structure de A-module de sorte que les
A-homomorphismes de M et les A' -homomorphismes de M coïnciden~ et que les
A-sous-modules de M coïncident avec les A' -sous-modules de M. 0
Proposition //-22 :
Soit A un /-anneau. Alors A est artinien.

1
56
Démonstration:
Soit A' l'anneau total des fractions de A. Il est clair que A', considéré comme
A-module vérifie la propriété (1), car tout
A-endomorphisme de
A'
est une
multiplication par un élément de A'. Donc si A est un l-anneau, alors A' est un A-
module artinien, et, par conséquent, A est artinien.
0
Proposition ]]-23 : ( [42J, Corollaire 1]]-29)
Soit A un anneau commutatif Les conditions suivantes sont équivalentes.
(a) A est un f-anneau
(b) A est anneau artinien et tout idéal de A est principal
(c) Tout A-module est somme directe de modules cycliques.

57
CHAPITRE III
FGI-ANNEAUX
INTRODUCTION:
Plusieurs
chercheurs
s'intéressent
à
l'étude
de
certaines
classes
d'anneaux
caractérisés soit par la décomposition de leurs modules en somme directe de modules
particuliers soit par une propriété d'une certaine catégorie de leurs modules. Par
exemple:
Dans [13], 1. Cohen et Kaplansky étudient les anneaux commutatifs sur lesquels tout
module est somme directe de modules cycliques et montrent que ces ~~eaux sont
des anneaux sont commutatifs dont tout idéal est principal.
Dans [Il], Chase montre que si A est un anneau tel que tout A-module soit somme
directe de A-module de type fini, alors A est artinien à gauche.
Dans [51], Zimmermann - Huisgen étudie les anneaux dont les modules sont somme
directe de modules indécomposables et montre que ces anneaux sont identiques aux
anneaux dont les modules sont somme directe de modules de type fini.
Et dans [3], Armendariz, Fischer et Snider étudient les anneaux A qui sont tels que
tout A-module de type fini vérifie la propriété (I). On rappelle qu'un module M sur
un anneau A est dit vérifier la propriétté (I), si tout A-endomorphisme injectif de M
est un automorphisme de M. Dans le même ordre d'idées, partant du résultat bien
connu "tout module artinien, sur un anneau quelconque vérifie la propriété (I)" ; nous
étudierons dans ce chapitre les anneaux commutatifs dénombrables pour lesquels
tout module vérifiant la propriété (I) est de type fini.
Ainsi nous montrons les résultats suivants:

58
1° - Proposition II1.1.
Soit A un anneau commutatiftel que tout A-module vérifiant la propriété (1) est de
type fini. Si A est intègre alors A est un corps.
2°) - Proposition II1.2.
Soit A un anneau commutatiftel que tout A-module vérifiant la propriété (1) est de
type fini. Alors l'image homomorphe de A est aussi un anneau dont tout module
vérifiant la propriété (1) est de type fini.
3°) - Proposition III.3.
Soit A un anneau commutatiftel que tout A-module vérifiant la propriété (1) est de
type fini. Alors tout idéal premier de A est maximal et les idéaux premiers de A sont
en nombre fini.
4°) - Corollaire IlIA.
Soit A un anneau commutatif tel que tout A-module vérifiant la propriété (I) est de
type fini. Alors:
(i)
le radical de Jacobson de A est un nilidéal
(ii)
A est un anneau semi-local.
5°) -Corollaire 111.5.
Soit A un anneau commutatif tel que tout A-module vérifiant la propriété (I) est de
type fini. Alors Mod-A possède un nombre fini de modules simples.
6°) - Théorème 111.6.
Soit A un anneau commutatif dénombrable tel que tout A-module vérifiant la
propriété (I) est de type fini. Alors A est un anneau artinien.

1
1
59
1
7°) - Théorème 111.7.
1
Soit A un anneau commutatif artinien admettant un idéal non principal. Alors il
existe un A-module qui n'est pas de type fini et qui possède la propriété (1).
1
8°) - Théorème 111.8.
Soit A un anneau commutatif dénombrable.
1
Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
1
(i)
A est un anneau tel que tout A-module vérifiant la propriété (1) est de type fini.
(ii)
A est un anneau artinien dont tout idéal est principal.
1

60
§1 - LES FGI-ANNEAUX :
Définition II!.l.
Soit A un anneau commutatif Un A-module M est dit vérifier la propriété (1) si {out
A-endomorphisme injectif de M est un automorphisme de M
Un anneau A est dit FGI-anneau si tout A-module vérifiant la propriété (1) est de
type fini.
Exemple:
Un anneau semi-simple est un FGI-anneau.
Proposition II!.l.
Soit A un FGI-anneau commutatif, et intègre. Alors A est un corps.
Démonstration:
Soit K le corps des fractions de A, donc K = sol A où S = A - {O}, est muni d'une
structure de A-module.
Montrons que K vérifie la propriété (1). Soitf EEndA(K) tel quefsoit injectif.
Commefest injectif, donc.! =f. O.
Ce qui implique f est un isomorphisme d'après le lemme de Schur. D'où K vérifie la
propriété (1).
Par conséquent K est un A-module de type fini. Maintenant montrons que A = K.
Comme i : A -> K = sol A est une injection, donc A c K. Or K est un A-module
de type fini, il résulte de ([31], prop.6.9 p. 134) que K est un idéal fractionnaire de A.
D'où K Cd-lA, avec d E A.
Ce qui implique d KeA or dK = K donc KeA. Par conséquent K = A.
Par conséquent A est un corps.
IJ

61
Proposition JII.2.
Soit A un FGI-anneau commutatif. Alors l'image homomorphe de A est aussi un
FGI-anneau.
Démonstration
Soit B un anneau et soit B un homomorphisme d'anneaux.
Soit M un B-module alors M
(a, m) H <p(a).m
Ainsi (M, +) muni de ce produit est un A-module.
Donc si M est un B-module alors M est un A-module.
Et tout B-endomorphisme de M est un A-endomorphisme de M. Donc si A est un
FOI-anneau alors B l'est aussi.
0
Proposition JII.3.
Soit A un FGI-anneau commutatif. Alors tout idéal premier de
A est un idéal
maximal et les idéaux premiers sont en nombre fini.
Démonstration
.
Montrons d'abord que tout idéal premier de
A est maximal. Soit P un idéal
premier de A. Alors d'après la proposition III.2. 'lj est un FOI-anneau. Soit B le
corps des fractions de l'anneau intègre 'lj. Ainsi B considéré comme 'lj -module
vérifie la propriété (1), d'après la proposition IlL!. on a B = 'lj. Do~~. 'lj est un
corps, d'où P est un idéal maximal de A.

62
. Enfin montrons que le nombre d'idéaux premiers de A est fini. Il résulte de la 1ère
partie que ~ est un corps, donc ~ est un anneau simple. D'où d'après le Lemme
de Schur tout endomorphisme de ~ est un isomorphisme.
De plus pour tout h E HomA (~, ~I) où P et P' sont deux idéaux premiers de A
distincts, on a alors h = O.
Sinon h serait un isomorphisme et Kerh = {a}. Soit par exemple x E P' - P alors on a
-
-
h (xP ) = x h (1P ) = OP' =:) XP'
= aP donc x E P.
Ce qui est une contradiction.
D'où h = a v hE HomA (~'~I)' pour P '" P' sont des idéaux premiers de A.
Posons L = {ensemble des idéaux premiers de A}.
Soit M =
EB .(~)
PEL
Donc ~ est complètement invariant dans M, pour tout PEL.
Et comme ~ vérifie la propriété (1) donc d'après prop.II-15 M = EB ~ vérifie
PEL
la propriété (1).
D'où M est de type fini. Par conséquent L est fini. 0

63
Corollaire IlIA.
Soit A un FGI-anneau commutatif. Alors les assertions suivantes sont vérifiées:
(i)
Le radical de Jacobson de A est un nilidéal.
(ii)
A est un anneau semi-Iocal.
Démonstration
(i)
Soit A un FGI-anneau commutatif et soit J(A) : le radical de Jacobson de A.
On sait que A admet un nombre fini d'idéaux premiers et qui sont tous des
idéaux maximaux.
Donc on voit aisément que le radical de Jacobson J(A) est confondu au
nilradical.
(ii)
Elle résulte de la proposition précédente. IJ
Corollaire 111.5.
Soit A un FGI~anneau commutatif. Alors Mod-A possède un nombre fini de modules
simples.
Démonstration
Comme A admet un nombre fini d'idéaux maximaux.
Il résulte de la proposition 1.25, que Mod-A admet un nombre fini de modules
simples. 0

64
§2 - CARACTERISATION DES FGI-ANNEAUX
Théorème 111.6.
Soit A un FOI-anneau commutatif et dénombrable. Alors A est un anneau artinien.
Démonstration
D'après la proposition II.3 et le corollaire IIIA, il suffit de montrer que l'enveloppe
injective de chaque module simple est dénombrable.
Soit E l'enveloppe injective d'un module simple. Il résulte du corollaire 1.30 que E
est un A-module indécomposable. Ainsi E est injectif et indécomposable d'après la
proposition 1.31 , E vérifie la propriété (1).
Comme A est un FOI-anneau alors E est un A-module de type fini.
Donc A est dénombrable et E de type fini, d'où E est dénombrable.
Par conséquent, il résulte de la proposition II.3 et du corollaire IlIA que A est un
anneau artinien.
o
Dans toute la suite, C désigne un anneau artinien local de radical de Jacobson
J(C) = aC où a*"O et a2 = 0 et M = .œ C.ei désigne un C-module libre dont
1=0
{e/ i E rN} est une base infinie dénombrable, cr est l'endomorphisme du C-module
M, défini par
cr(eo) = 0
et
cr(ej) = aei_l pour tout i~ 1; et enfin f désigne un
endomorphisme injectif du C-module M, commutant avec cr.
Etant données les considérations ci-dessus, nous avons les lemmes suivants:
Lemme 111.7.
(ii)
Pour tout i E flo..(, a(f(ej)) = afCei-j).

65
Démonstration
C'est évident.
Lemme 111.8.
Pour tout i E rN on a :
avec ai un élément inversible de A.
Démonstration
•
Nous avons cr(j (eo)) = j(cr(eo)) = j(a) = a et aj(a eo) = j(a eo)-:t- a car f est
injective.
m
m-l
soitj(eo) = LÀiei , ainsi de l'égalité cr(j(eo) = a nous obtenons L
aÀi+1e i = a
i=a
i~a
donc aÀ
= a pour k=l ,... ,m.
k
Ce qui implique que À
E J(C) = aC pour k=l, ... , m.
k
D'autre part la relation aj(eo) -:t- a implique que aÀo -:t- a et ,.1,0 est inversible.
•
Supposons maintenant que:
avec al est inversible.

66
Comme cr(f(ei+!)) = aj(ej), nous avons donc
Donc pour k ~ i+ 1 aÀ.~+l = 0, ce qui implique que À.~+I E aC.
O
i+l -
i
0 d
i+l
.
'bl
r aa
"*
+
o
i+1 - aa i
onc a i 1 est lnVerSI e.
Lemme 111.9.
Pour tout i E rN ,a ej E Imf
Démonstration
D'après le lemme III.8, nous avons
•
j(eo) = ag eo + a Iaf ei où ag est inversible dans C.
i~l
D'où aeo Imf
•
Supposons maintenant que aek E lm! pour tout k ~ i.
D'après le lemme III.8, nous pouvons écrire:
j(
) - "
i+l
i+l
"1i+l
i+l .
'bl
ei+l - ~.aj
ej +ai+1ei+1 + L. /l.k ek avec a i+1 lnverSI e.
}~l
k>i+l
j(
/,(
" i + 1
i+l
Donc nous avons
a ei+l) = al' ei+l) = 4<..aa j
ej +aa
e +
i+1 i 1
}_l
O
.
i + l . ·
'bl
r consequent a i+1 etant lnVerSI
e, nous avons
o
Ce qui implique que aej+! Elmf

67
Lemme III. 10 :
Pour tout i E IN, ei E lm!
Démonstration:
. D'après le lemme III-8, nous pouvons écrire, f(e o) sous la forme
f(e o) = ag eo + a l
a% ek où ag est inversible. Mais d'après le lemme III-9
k>o
a ( l
a%e k ) E lmf; donc eoE lm!
k>o
. Maintenant supposons que ekE InV: pour tout k::; i.
et ecnvons
ei+l = [I a· e· + a. 1e. 1+ a
" 1 } }
1+1+
[I
, .
f i )
i+1
]
i+1
i+1
a·
e· J
" 1 } }
}>I+
}>I+
i+1·
'bl
avec a. 1 mverSl
e.
1+
[.~ at1e
Il résulte du lemme III-9 que a
j] E lm!
}>1+1
(i+1)-1 [f(
) ~ i+1
~ i+l
Donc ei+l = ,a '+1
e '+1 - L..... a }.
- a
L..... a}.
el'
1
1
j::;;
i>j+1
Par conséquent ei+l E lm!
o
Théorème 111-11 :
Soit A un anneau commutatif et artinien. Si A admet un idéal non principal, alors il
existe un A -module qui n'est pas de type fini et qui possède la propriété (1).
Démonstration:
Comme A est un produit fini d'anneaux artiniens locaux, on peut supposer que A est
un anneau local de radical de Jacobson J(A) = aA + bA, avec a:j:. 0, b:j:. °et

68
a2 = ab = b2=O. Donc d'après [12], il existe un sous-anneau C de A qui est artinien
et local, dont tout idéal est principal et de radical de Jacobson J(C) = aC, tel que
A = C EB bC (qui peut-être considéré comme un C-module).
Considérons, maintenant l'homomorphisme d'anneaux suivant:
 Endc(M)
a + bAf----> aldM + Acr
co
où IdM est l'homomorphisme identité du C-module M = EB c.ej.
i=O
Donc M a une structure naturelle de A-module défini par :
Lm = <p(r) m . \\ir E A, \\im E M.
D'où les endomorphismes du A-module M, sont les éléments ! de Endc(M) qui
commutent avec cr ; c'est-à-dire cr f = f cr.
Soit f
un endomorphisme injectif du A-module M, alors f E Endc(M) et crf = fcr.
Mais nous savons que {el / i E IN} est une base du C-module M.
Donc il résulte des lemmes III.7, lemme IIL8, lemme IIL9 et lemme III.lO, que
D'où Imf= M, par conséquent M satisfait à la propriété (1).
Or M considéré comme A-module, M n'est pas de type fini.
IJ
Théorème 1II-12 :
Soit A
un anneau commutatif dénombrable. Alors les conditions suivantes sont
équivalentes:
i)
A est un FOI-anneau
ii) A est un anneau artinien dont tout idéal est principal.

69
Démonstration:
(i) =:> (ii)
Soit A un FOI-anneau commutatif dénombrable donc d'après le théorème III-lO, A
est un anneau artinien.
Comme A est artinien, supposons que A admet un idéal non principal, d'où d'après
le théorème III-Il, il existe un A-module qui possède la propriété (1) et qui n'est pas
de type fini.
Ce qui contredit l'hypothèse.
Par conséquent A est un anneau artinien à idéaux principaux.
(ii) =:>(i)
Elle résulte du fait que si A est un anneau artinien dont tout idéal est principal, alors,
d'après le théorème de Cohen-Kaplansky [37] ; tout A-module est somme directe de
modules cycliques.
Maintenant supposons le contraire.
Soit M un A-module M qui vérifie (1) et qui n'est pas de type fini, alors comme il
existe seulement un nombre fini de A-modules indécomposables cycliques non
isomorphes, M
possède un facteur direct N
qui est somme directe d'un nombre
infini dénombrable de modules cycliques Li (i = 1,2 ....) deux à deux isomorphes.
CfJ
Ecrivons N = EB Li.
i=l
Pour tout i = 1, 2,.... Soit <Pi un isomorphisme de Li sur L i+ 1.
CfJ
Considérons l'application
<p: N = EB Li - - > N
i=l
n= /!,. +/!,.
+ ... +/!,. 1--> <p(n) = ((Jl' (/!,. )+ ... +((J. (/!,. )
II
l2
1s
1
II
1s
1S

70
Il est clair que M
x = n +t l---> q; (n) = <pen) + t
est un A-endomorphisme injectif non surjectif de M.
Il en résulte que M ne possède pas la propriété (1). Ce qui est une contracliction.
Par conséquent A est un FGI-anneau.
0

71
BIBLIOGRAPHIE
[1]
ANDERSON, F.W and FULLER, K.R : Modules with decompositions that
complement direct summands.1.
Algebra. 22 (1972), 242 - 253.
[2]
ANDERSON, F. W and FULLER, K.R : Rings and categories of modules. New-
York Springer Verlag (1973)
[3]
ARMENDARIZ, E.P, FISHER, J. W and SNIDER, R.L : On injective and
surjective endomorphisms of finitely generated modules. Comm. In Algebra 6 (7),
(1978) 659 - 672.
[4]
ATIYAH, M. F and MACDONALD, LG : Introduction to commutative Algebra.
Addison-Wesley (1969).
[5]
BARRY, M, GUEYE, CT. and SANGHARE, M : On FGI-rings à paraître dans
Extracta Mathematicae.
[6]
BEAUMONT, R.A : Groups with isomorphic proper subgroups. Bull. Amer. Math.
Soc 50 (1945).381 - 387.
[7]
BJORK, J. E : Rings satisfying a minimum condition on principal ideals. J. Reine An
Math (1969) 112 - 119.
[8]
BOURBAKI, N : Algèbre II, Chap. 8. Hermann (1973).

72
[9]
BOURBAKI, N : Algèbre commutative. Ch 3 et 4 Hermann
[10]
BOURBAKI, N : Algèbre commutative. Ch 8 et 9 Masson (1983)
[11]
CHASE, S. U : Direct products of modules. Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960)
457-473.
[12]
COHEN, I. S : On the structure and Ideal theory of complete local rings. Trans. Am.
Math- Soc. 59 (1946) 54 - 106.
[13]
COHEN, I.S and KAPLANSKY, 1 : Rings for which every module is a direct sum of
cyclic modules. Math. Z, 54, (1951) 97 - 101.
[14]
DISCHINGER, M. F : Sur les anneaux fortement 'Tt-réguliers C.R. Acad. Sc. Paris. t
283 (1976) 571 - 573
[15]
DJOKOVIC', D. Z : Epimorphisms of modules which must be isomorphisms. Cano
Math. Bull, 16(4),(1973)
513-515.
[16]
EISENBUD, D and GRIFFITH, P : The structure of seriai rings Paci - J. of Math . 63
(1), (1971)109-121
[171
FAITH, C : On Kôthe rings. Math. Ann, 164 (1966) 207 - 212.

73
[18]
FAITH, C : Ring theory II. Springer - Verlag (1976).
[19]
FAITH, C and WALKER, E. A : Direct - Sum representation of injective modules. J.
of Algebra 5 (1967) 203 - 221.
[20]
FULLER, K. R : On rings whose left modules are direct sums of finitely generated
modules. Proc. Amer. Math. Soc. 54 (1976), 39 - 44.
[21]
FULLER, K.R and DEITEN, 1. Note on rings offinite representation type and
decomposition of modules. Proc. Amer. Math. Soc, 50 (1975), 92 - 94 .
[221
GRIFFITH, P : The decompositions of modules and generalized left uniserial rings.
Math
Ann. 184 (1970) 300 - 308.
[23]
HlRANO, Y: On Fitting's Lemma. Hiroshima. Math. J, 9 (1979) 623 - 626.
[24]
HULLINGER , HL: Stable equivalence and rings whose modules are direct sum of
finitely generated modules. J. of pure and applied Algebra 16 (1980) 265 :273.
[25]
KAIDI, A. M et SANGHARE, M : Une caractérisation des anneaux artiniens à
idéaux principaux Lect. Notes in Math. Springer Verlag (1988) p. 245 - 254.
[26]
KAPLANSKY, 1 : A note on groups without isomorphic subgroups. Bull. Amer.
Math. Soc. 51 (1945) 529 - 530.

74
[27]
KRAUSE, G : On rings whose injective indecomposable modules are finitely
generated. Tôhoku. Math. Journal. 22 (1970) 333 - 346.
[28]
LAFON, J.P : Les formalismes fondamentaux de l'algèbre commutative. Hermann
(1974)
[291
LAFON, J. P : Langages géometriques et algébriques Hermann (1977)
[30]
LAFON, J.P : Anneaux locaux commutatifs sur lesquels tout module de type fini est
somme directe de modules monogènes. 1. of Algebra 17, (1971) 575 - 591.
[31]
MALLIAVIN, M. P : Algèbre commutative: Applications en géométrie et théorie
des
nombres. Masson (1985).
[32]
MEGIBBEN, C: Countable injective modules are sigma injective. Proc. Amer. Soc.
84 (1) (1982) 8 - 10.
[33]
MICHLER, Gand VILLAMAYOR , 0 : On rings whose simple
modules are
injective J. of Algebra. Vol 25 (1973) 185 - 201.
[34]
ORZECH, M : Onto endomorphisms are isomorphisms. Amer. Math. Monthly 78
(1971) 357 - 362.
[35]
PSONER, E. C : Prime rings satisfying a polynomial identity. Proc. Am. Math. Soc.
Il (1960) 180 - 183

75
[36]
RENAULT, G : Algèbre non commutative. Gauthier Villars (1975).
137]
ROBERT,
Band
WARFIELD,
J.R
:
Rings
whose
modules
have
111 ce
decompositions Math. Z. 125 (1972) 187 - 192.
[38]
ROSENBERG, A and ZELINSKY, D : Finitness of injective Hull. Math. Z.
70 (1959) 372 - 380.
[39]
SABBAGH, G : Endomorphisms of finitely presented modules. Proc. f.-mer. Math.
Soc. 30 (1) (1971) 75 - 78.
[40]
SANGHARE, M : On S - Duo - rings. Comm in Algebra 20 ( 8) (1992) 2183 - 2189.
[41]
SANGHARE, M : Sur quelques classes d'anneaux liés au lemme de Fitting, Rend.
Sem. Mat. Univer. Padova 87 (1992) p. 29 - 37.
[42]
SANGHARE, M : Sur une classe de modules et d'anneaux liés aux conditions de
chaines. Thèse de 3ème cycle. Faculté des Sciences. Rabat (1985).
[43]
SANGHARE, M : Sur les 1 - anneaux. Les S - anneaux et les F - anneaux. Thèse
d'état. Faculté des Sciences et Techniques de Dakar (1993).
[44]
SANGHARE, M : Anneaux et catégorie des modules. Cours de 3ème cycle. Faculté
des Sciences et Techniques de Dakar (1997).

76
[45]
SHARPE, D. W. and VAMOS, P : Injective modules. Cambridge University.
Press (1972).
[46]
SUZIKI, y : On automorphisms of an injective module. Proc. Japan Acad.
(1968)
120 - 124.
[47]
VAMOS, P : Finitely generated artinian and distributive module are cyclic. Bull.
London Math. Soc. 10 (1978) 287 - 288.
[48]
VASCONCELOS, W. V : On endomorphisms of finitety generated modules. Proc.
Am Math. Soc. 25 (1970) 900 - 901.
[49]
VASCONCELOS, W. V : On finitely generated nat modules. Trans. Amer. Math.
Soc. 138 (1969) 505 - 512
[50]
WARFIELD, R. B. Jr : A Krull Schmidt theorem for infinite sums of modules. Proe.
Amer. Math. Soc. 22 (1969) 460 - 465.
[51]
ZIMMERMANN - HUISGEN, B : Rings whose right modules are sums of
indeeomposable modules. Proe. Am. Math. Soc. 77 - (1979) 191 - 197.