UNIVERSITE DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNE
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présent~e à l'U.F.R. de Sciences Exactes et Naturelles
pour l'obtention du grade de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITE DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNE
EN SCIENCES : SPECIALITE ENERGETIQUE
par
Dorothé AZILINON
Ingénieur en Génie Mécanique
Sujet:
ETUDE DE LA REPONSE D'UN ECHANGEUR AUX VARIATIONS
DE TEMPERATURE OU DE DEBIT DES FLUIDES CALOPORTEURS
Soutenue le 20 SeptelBbre 1989 devant le jury:
MM. M. LEBOUCHE
Professeur, I.N.P.L., NANCY
Président
M. EGEE
Professeur, Université de REIMS
M. FEIDT
Professeur, Uni versi té NANCY 1
Rapporteur
P. PIERSON
Maitre de Conférences, Il U. T. de GRENOBLE
M.L. RIMLINGER
Professeur, Université de REIMS
Rapporteur
J. PADET
Professeur, Université de REIMS
Directeur de thèse
lf:Yt-

---

,
B8U1
s~u8~pd
,
18HPrnS
prnB~n
~8
UOUDP~,a

---

3
Nes remerciements vont
tout d'abord au Professeur J. PADET Direc-
teur
du Laboratoire
de
TheraoB~canique
qui
m'a permis, au sein de son
~quipe, de mener ci terme les travaux sur un sujet de recherche qu'il a bien
voulu me confier.
Le Professeur N. LEBOUCHE Directeur du L.E.N.T.A. (Nancy) m'a fait
part de ses observations pour la mise au point final de ce rapport et a
accept~ malgr~ ses multiples occupations, de pr~sider le jury de th~se.
Qu'il trouve ici l'expresion de ma profonde reconnaissance.
Je
remercie les Professeurs N. FEIDT, L. RINLINGER et N. EGEE pour
l'int~rét qu'ils ont manifest~ pour ce travail.
Le fonctionnement des syst~mes thermiques en r~gime variable est un
sujet
bien connu
de Nonsieur P. PIERSON. J'ai pu de ce fait b~n~ficier de
sa
part de nombreux conseils
et suggestions.
Qu'il en soit sinc~rement
remerci~.
Nes remerciements
vont
~galement
ci
mes
col ièçues
N. ABGRALL,
A. BAUDOIN et D. CROrTHER
pour la
sollicitude dont ils ont fait preuve ci
mon
~gard durant
toutes ces
ann~es. Je
n'oublie pas
non plus Nessieurs
A. NACADRE,
G. HIVIN et
G. PERRENOT du D~partement de G~nie Civil (I.U.T.
de Reims).
Nessieurs
J. PONCELET (Atelier
(Mn~ra1J, L. COURTOT (I.U.T. Labo-
ratoire
de N~canique
des
fluides)
et
D. NONOT
(I.U.T. Laboratoire de
R~sistance des mat~riaux) ont toujours accept~ de m'apporter leur aide dans
la
mise au point des
bancs exp~rimentaux.
Je leur en suis profondemment
reconnaissant.

---

4
TABLE DES MATIERES
PAGES
INTRODUCTION
8
CHAPITRE 1 : Etude bibliographique
1.1 Introduction
12
1.2 Echangeurs de chaleur soumis à une température
d'entrée variable
12
1.3 Echangeurs de chaleur soumis à un débit
d'entrée variable
13
1.4 Installations de chauffage fonctionnant
en régime variable
15
1.5 Conclusion
16
CHAPITRE 2 : Echangeurs bitubes eau-eau et air-eau en régime
de relaxation (réponse sur le fluide froid)
2.1 Introduction
19
2.2 Rappels
2.2.1 Observations expérimentales
19
2.2.2 Calculs théoriques
20
2.2.3 Simulation du fonctionnement d'un échangeur pour une
variation quelconque de la température d'entrée de
l'un des fluides
28
2.2.4 Conclusion
29
2.3 Banc expérimental
29
2.4 Procédure de dépouillement des mesures expérimentales
30
2.5 Echelon de température sur le fluide extérieur
d'un échangeur bitube eau-eau
2.5.1 Constante de temps théorique
32
2.5.2 Procédure expérimentale
33
2.5.3 Résultats
33
2.6 Echangeur bitube air-eau soumis à une variation
sur la température d'entrée de l'eau
2.6.1 Introduction - Observations théoriques
35
2.6.2 Procédure expérimentale
35
2.6.3 Résultats expérimentaux
35
2.6.4 Conclusion
40
2.7 Conclusion du chapitre 2
41

---

5
CHAPITRE 3
Echangeur bitube eau-eau soumis à un échelon
de débit sur l'un des fluides
3.1 Introduction
44
3.2 Observation expérimentale
44
3.3 Approche théorique
45
3.4 Caractéristiques des états permanents initial et final
3.4.1 Ecoulement co-courant
47
3.4.2 Ecoulement contre-courant
53
3.4.3 Cas où l'écoulement est laminaire d'un côté
et turbulent de l'autre
58
3.5 Vérification expérimentale
59
3.6 Etude de la variation de la constante de temps T
suivant les conditions d~ fonctionnement
60
3.7 Comparaison de nos ré811 I Ydts avec ceux d'autres auteurs
66
3.8 Cas des faibles variations de débit: étude du paramètre 6
70
3.9 Elaboration de formules simplifiées
70
3.10 Conclusion
71
CHAPITRE 4 : Echangeur à faisceau de tubes
4.1 Introduction
76
4.2 Observation expérimentale
76
4.3 Hypothèses d'équivalence
77
4.4 Calcul des dimensions de l'échangeur bitube équivalent
78
4.5 Calcul de la constante de temps T en régime de
en régime de relaxation
81
4.6 Calcul des coefficients d'échange pour
l'échangeur bitdbe équivalent
4.6.1 Coefficient d'échange dans le tube intérieur
82
4.6.2 Coefficient d'échange dans la zone annulaire
82
4.7 Vérification expérimentale
4.7.1 Echelon de température
85
4.7.2 Echelon de débit
88
4.7.3 Observations
88
4.8 Influence des paramètres de l'échangeur pour un
échelon de température
4.8.1 Influence du nombre de chicanes
90
4.8.2 Influence du nombre de tubes
90
4.8.3 Influence de la disposition du faisceau
91
,
4.9 Bilan d'énergie sur un intervalle de temps donné
pendant la phase de relaxation
4.9.1 Energie totale échangée (~)
94
4.9.2 Analyse de l'expression de (~)
95
4.9.3 Exemples numériques
96

---

6
4.10 Simulation: fonctionnement d'un échangeur à faisceau
pour un régime varié quelconque
4.10.1 Introduction
97
4.10.2 Méthode de simulation: décomposition du signal
en somme de créneaux
97
4.10.3 EXemple de simulation
100
4.11 Conclusion
103
CHAPITRE 5 : Etude des temps de retard
5.1 Introduction
106
5.2 Echangeur bitube
5.2.1 Ecoulement co-courant
106
5.2.2 Ecoulement contre-courant
108
5.3 Echangeur à faisceau de tubes
5.3.1 Introduction
110
5.3.2 Unicité de la constante de temps (approche
expérimentale)
111
5.3.3 Détermination des temps de retard t
et t f
111
r c
r
5.4 Conclusion
114
CHAPITRE 6 : Assemblage d'échangeurs
6.1 Introduction
118
6.2 Les différents types d'assemblages
6.2.1 Montage en paralléle
118
6.2.2 Montage en série
119
6.2.3 Nontage en série-paralléle
120
6.3 Assemblage en parallèle de deux échangeurs dont
les paramètres ~ et t
sont connus
121
r
6.4 Etude expérimentale
6.4.1 Banc d'essai
123
6.4.2 Observation expérimentale
123
6.5 Détermination des paramètres ~
et t
d'un assemblage
•
r.
d'échangeurs en parallèle
6.5.1 Introduction
127
6.5.2 Principe de la méthode: calcul de T
et t
127
•
r .
6.6 Validation de la méthode
131
6.1 Régime variable quelconque
133
6.8 Conclusion
133

---

7
CHAPITRE 7 : Systèmes de chauffage
radiateurs-convecteurs
7.1 Introduction
138
7.2 Procédure
138
7.3 Résultats expérimentaux
7.3.1 Evolution de la température de sortie T
(t)
139
c.
7.3.2 Unicité de la constante de temps sur l'enseable
du système
140
7.3.3 Influence de la géOllètrie du système et du débit
de fluide sur la constante de temps T
142
7.3.4 Influence de la qualité de l'échange entre le fluide
et le milieu allbiant sur la constante de temps T
145
7.4 Conclusion
147
CHAPITRE 8 : Etude des contraintes thermiques dans un échangeur
pendant une phase de mise en régime
8.1 Introduction
150
8.2 Approche du phénomène
150
8.3 Dispositif expérimental
151
8.4 Résultats expérimentaux
8.4.1 Evolution des déformations axiale ~ (t) et
Je
tangentielle ~. (t)
152
8.4.2 EXpression des contraintes thermiques
sur les tubes
153
8.4.3 Evolution des courbes de contrainte
158
8.4.4 Définitions: Durée de dépassement
Taux de dépassement
159
8.4.5 Contraintes sur le tube extérieur
160
8.4.6 Contraintes sur le tube intérieur
165
8.5 Conclusion
167
CONCLUSION GENERALE
169
BIBLIOGRAPHIE
172
ANNEXE: Calcul des coefficients d'échange entre fluides
et parois d'un échangeur bitube
178

---

8
INTRODUCTION GENERALE
Les
phénomènes
instationnaires
tiennent
sans
qu'on
y
prenne
forcément
garde
une
place
très
importante
dans
notre
environnement
quotidien.
Que
ce
soit
dans
les
industries
de
production d'énergie, de
matières
premières ou
de biens
de consommation courants, un très grand
nombre
de systèmes thermiques fonctionnent en réalité avec des conditions
aux
limites variables.
Ce problème concerne en particulier les phases de
mise
en route,
de mise
en veille
ou même tout simplement de changement
d'allure dans la production (modification du rythme des machines), etc ..
Pendant
de nombreuses
années ce
problème a
été tout simplement
ignoré
ou tout
au moins considéré comme secondaire par les chercheurs et
par
les industriels
qui trouvaient
de toute évidence plus commode de se
référer
aux notions connues et bien éprouvées du fonctionnement en régime
permanent.
Il
se trouve
que depuis peu, les utilisateurs d'échangeurs ther-
miques
sont demandeurs
de données sur le fonctionnement de ces appareils
en
régime variable, c'est-à-dire lorsque les puissances, les températures
ou les débits à l'entrée varient.
Ceci est compréhensible car il est aujourd'hui indispensable, dans
l'industrie,
de prendre en compte certaines exigences liées à la compéti-
tivité et qui se résument ainsi:
- parvenir
à
une
meilleure
maîtrise
des températures et des flux
thermiques dans tous les cas de fonctionnement
- mieux évaluer les
bilans thermiques pendant les périodes de fonc-
tionnement en régime variable
- mieux maîtriser la qualité des produits
- assurer
une meilleure fiabilité des appareils en limitant les con-
traintes thermiques
Les problèmes évoqués ici s'étendent aussi à l'habitat pour lequel
la
maltrise du confort passe par une bonne connaissance de la réponse des
radiateurs
ou des convecteurs à toute sollicitation de type "variation de

---

9
température ou de débit" du fluide caloporteur.
Le
capteur solaire
est un
très bel exemple de système thermique
fonctionnant presque toujours en régime instationnaire. En effet, les con-
ditions de fonctionnement de ce système sont continuellement modifiées par
les facteurs incontrôlables tels que le vent, l'ensoleillement, l'humidité
et la température extérieure.
Le
problème
du
régime
variable
s'étend aussi bien entendu aux
assemblages
d'échangeurs
(montage
de
deux
ou
plusieurs échangeurs en
série,
en parallèle
ou en série-parallèle). Les performances de ces sys-
tèmes
en régime
permanent sont
bien connues, ce qui n'est pas le cas du
régime
de
fonctionnement
non
stationnaire.
Seule une étude appropriée
pourrait
donc permettre
de comprendre leur comportement dans ce cas pré-
cis
et d'être
ainsi en
mesure de
prévoir les résultats à la sortie des
chaines de production concernées par ce type de dispositif.
Par
ailleurs, les contraintes thermiques constituent actuellement
l'une
des
préoccupations
majeures
pour
l'amélioration des échangeurs.
Elles sont à l'origine de différents problèmes dont:
- le flambement des tubes
- la déformation des plaques
- la rupture des tubes ou des soudures
A ce
titre,
les
échangeurs
en céramique, qui font aujourd'hui
l'objet
d'un effort
particulier de
développement, manifestent une assez
grande fragilité et sont donc spécialement concernés.
Les
risques de
déformation et
de rupture
peuvent être aggravés
dans
les phases de fonctionnement en régime transitoire compte tenu de la
cinétique
des contraintes.
Il est
donc essentiel d'avoir une idée assez
précise
des
extréma
des
contraintes
et
de
savoir s'ils apparaîtront
lorsque
le
régime
permanent
sera
atteint
ou
bien
pendant une phase
transitoire (phase de mise en régime par exemple).
Les
différents problèmes
liés au
régime transitoire et énumérés
ci-dessus
sont abordés
dans le présent document. Ainsi, aprés avoir fait
un
bref rappel des principaux résultats déja obtenus et publiés par notre
Laboratoire
sur l'échangeur bitube eau-eau soumis à une température d'en-
trée variable (chapitre 2), nous étudierons le problème de la variation du
débit
de l'un quelconque des fluides (chapitre 3) avant d'étendre dans le
chapitre
4 notre
approche au
cas plus
pratique d'un
échangeur de type
industriel (échangeur à faisceau de tubes).

---

10
L'étude
du
temps
de
retard
qui
constitue l'un des paramètres
caractéristiques
du régime de relaxation sera développée au chapitre 5 et
des résultats expérimentaux seront analysés.
Nous
étudierons
ensuite
un
modèle
d'assemblage
d'échangeurs
(assemblage
de deux
échangeurs en parallèle) et nous proposerons dans ce
cas
un modèle
théorique simple permettant de simuler assez facilement le
fonctionnement d'un tel système en régime variable (chapitre 6).
Les
travaux sur les radiateurs et convecteurs présentés au chapi-
tre
7 nous
permettent de comparer les performances de différents modèles
de corps de chauffe dans diverses conditions de fonctionnement.
Enfin,
l'étude des contraintes thermiques sur un échangeur bitube
eau-eau en régime de relaxation fera l'objet du chapitre 8.

---

11
CHAPITRE 1:
ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

---

12
1.1 1
INTRODUCTION
L'étude
des
transferts
thermiques
(conduction,
convection
et
rayonnement}
en régime
variable est
abordée depuis
bien des
années par
différents
auteurs dans
des livres,
des travaux
de thèse
ou des publi-
cations scientifiques.
Le
problème spécifique
du fonctionnement
des systèmes thermiques
(échangeurs
de chaleur,
radiateurs etc.) soumis à des conditions d'entrée
variables n'a pourtant pas toujours bénéficié d'un grand intérêt de la part
des
chercheurs malgré
la présence
quasi permanente
de ces systèmes dans
notre
environnement quotidien
et bien qu'ils soient très souvent soumis à
des régimes de fonctionnement variables.
Les
travaux
les
plus
importants
sur
ce
sujet se répartissent
globalement en deux sous-thèmes à savoir:
- variation de température à l'entrée de l'un des fluides
- variation du débit d'entrée de l'un des fluides
Les
paragraphes qui vont suivre nous permettront de faire le point
sur
l'état actuel
des travaux
se rapportant
à différents systèmes ther-
miques fonctionnant en régime variable.
1.2 1 ECHANGEURS DE CHALEUR SOUMIS A UNE TEMPERATURE D'ENTREE VARIABLE
Différents
modèles (analytiques ou numériques) ont été proposés par
un
certain nombre d'auteurs, avec des hypothèses simplificatrices plus ou
moins importantes selon le cas.
GILLES
{11] propose une méthode de simulation, par calculateur ana-
logique,
du fonctionnement
en régime
de relaxation d'un échangeur bitube
liquide-liquide
soumis à
un échelon de température avec un régime d'écou-
lement turbulent pour les deux fluides.
Le
système étudié
est découpé
en n
tronçons de
longueur ôx sur
chacun desquels le profil des températures est considéré comme constant. Le
coefficient
d'échange par
convection h
est d'autre part supposé constant
sur l'ensemble de l'échangeur pendant la phase de relaxation.
HADDAD
{12]{lJ] et quelques autres auteurs utilisent une méthode de
résolution
numérique à
partir d'une
approche identique à celle de GILLES
(découpage
en tronçons
d'un échangeur
à deux tubes concentriques). Cette
méthode,
bien
que
donnant
des
résultats
très
intéressants comparés à
l'expérience,
possède néanmoins
un inconvénient majeur qui est en l'occu-
rence la lourdeur du matériel requis pour sa mise en oeuvre.
Il
est à
noter par
ailleurs que
pour l'une ou l'autre de ces mé-

---

13
thodes,
les auteurs font inévitablement appel au coefficient d'échange par
convection
h qui,
en régime transitoire, peut connaître de grandes varia-
tions
dans le
temps comme
l'ont montré
différents travaux
dont ceux de
ABBOUDI,
ROKPE et
PAPANI [1], PIERSON et PADET [26]. SPARROIf et DE FARIAS
[30]
ont d'ailleurs
montré que le coefficient h, peut sous certaines con-
ditions, tendre localement vers une valeur infinie.
Le
coefficient de
convection h
étant un paramètre caractéristique
des
fonctionnements
en
régime
permanent,
il
serait
de toute évidence
logique d'essayer de s'en affranchir lors de l'étude des régimes variés.
La
méthode analytique
la plus élaborée tenant compte de l'observa-
tion
ci-dessus est due à PIERSON [21] qui propose, sur la base de quelques
hypothèses simplificatrices, la résolution des équations de bilan d'énergie
pour
chacun des éléments d'un échangeur bitube eau-eau soumis à un échelon
sur la température d'entrée du fluide chaud.
L'auteur
a observé à partir d'essais expérimentaux, que l'évolution
de
la
température
de
sortie
d'un
échangeur bitube eau-eau soumis à un
échelon
de température
à l'entrée du fluide chaud (circulant dans le tube
intérieur),
peut être
approximée par
une loi
exponentielle à
une seule
constante de temps ~. Il suffit pour cela de définir un "temps de retard" t r
du
phénomène,
correspondant
au
temps
pendant
lequel la température de
sortie
T (t) du
système reste pratiquement constante et égale à la valeur
•
initiale
T (0).
La
résolution
analytique
des équations de bilan permet
•
d'obtenir
une expression
relativement simple pour la constante de temps ~
du système (voir
résumé 52.2).
Cette approche possède, entre autres avan-
tages, celui de
ne faire appel dans le calcul de ~ qu'aux valeurs du coef-
ficient d'échange h calculées aux états permanents initial et final. Elle a
été
aussi appliquée
avec succès
par de OLIVEIRA, LEBOUCHE, BUFFENOIRE et
BERT [19] pour
l'étude du
comportement en régime variable d'un échangeur
céramique gaz-gaz.
Le régime variable d'un système thermique n'est pas uniquement lié
à
la variation
de la
température d'entrée de l'un des fluides. Nous nous
intéresserons
dans le paragraphe qui va suivre à un autre paramètre impor-
tant qui est le débit des fluides circulant dans le système.
1.3 1 ECHANGEURS DE CHALEUR SOUMIS A UN DEBIT D'ENTREE VARIABLE
La
variation du
débit de
l'un des fluides à l'entrée d'un échan-
geur thermique entraine elle aussi, pendant la phase de mise en régime, une
modification complète des lois d'échange.
GILLES
[Il] utilise
encore dans
ce cas un calculateur analogique
pour
simuler le
fonctionnement d'un
échangeur pilote soumis à des varia-
tions de débit sur l'un des fluides.
La
variation de
vitesse 6V
(entrainée par la variation de débit)
est
prise
en
compte
dans
la
détermination
de la matrice de transfert

---

14
permettant
de relier
la transformée
de Laplace du vecteur-température de
fr::]
sortie
aux transformées de Laplace des vecteurs-te.pérature d'entrée
~c.] et de débit (q.c]. Le système étudié ici étant non linéaire, l'auteur
lTt •
q.t
propose
une linéarisation autour d'un point de repos; d'où l'importance de
la condition de faibles fluctuations de débit.
HOLNES [14] propose des formules empiriques permettant une approche
théorique
du phéno.ène
observé. La variation du débit est prise en compte
dans
la détermination du coefficient de convection h et de certains autres
paramètres empiriques introduits par l'auteur.
Des
fonctions de transfert reliant les variations de température à
la
sortie primaire
ou secondaire
d'une part avec les variations de débit
primaire
ou secondaire
d'autre part
(transformation de LAPLACE appliquée
aux
équations différentielles
établies pour
un échangeur
tubulaire) ont
permis à LAr [15] de proposer une méthode d'approche théorique pour l'étude
du
même phénomène.
Cette théorie
développée elle
aussi pour
de faibles
variations
de débit,
permet de
linéariser le coefficient de convection h
qui
est supposé
ici fonction
de la vitesse V du fluide élevée à la puis-
sance
k:
h N V k
a~ec k réel. La validité de cette théorie a été testée
par l'auteur sur des essais expérimentaux effectués par HOLNES [14].
Dans
la pratique, les échangeurs thermiques les plus utilisés sont
ceux
dits "industriels"
(échangeurs à
plaques, échangeurs
à faisceau de
tubes à une ou plusieurs passes, éventuellement avec chicanes, etc .. ). Très
peu
de travaux
ont été
néanmoins réalisés
sur ces
types d'échangeur en
régime variable.
Pour
un échangeur
à faisceau
de tubes avec chicanes soumis à des
conditions
d'entrée (température
ou débit) variables, CORREA et KARCHETTI
[9] proposent un
modèle théorique basé sur une décomposition du système en
plusieurs cellules; chaque cellule étant considérée comme un élément spéci-
fique
de l'échangeur.
Le développement
théorique est fait en considérant
que
le coefficient
de convection moyen h est constant, et la variation du
débit
d'entrée (q
~ q ) de l'un quelconque des fluides est pris en compte
.0
•
à partir de l'expression:
Les
différents travaux
mentionnés ICI
ont la particularité de ne
s'appliquer
qu'aux
faibles
variations
de débit, condition indispensable
pour
la linéarisation
des équations dans lesquelles intervient le coeffi-
cient
d'échange par
convection h
qui est
considéré soit comme une cons-
tante
soit encore
comme une
fonction évoluant
suivant une loi approchée
définie par chaque auteur.

---

15
1.4 1
INSTALLATIONS DE CHAUFFAGE FONCTIONNANT EN REGIME VARIABLE
Les
radiateurs et
convecteurs dans
les immeubles
d'habitation A
système
de chauffage
centralisé constituent
des cas intéressants de sys-
tèmes
thermiques
fonctionnant
le
plus
souvent en régime variable. Pour
garantir
le confort des usagers, on désire généralement que la température
T
d'une enceinte
donnée suive
un programme prédéterminé; et celA malgré
•
les perturbations extérieures auxquelles elle peut être soumise. SUBRA [Jl]
fait
un très bon exposé des conditions A réunir pour être assuré d'attein-
dre le but recherché.
Différents
facteurs doivent
être pris en compte dans la recherche
du confort:
- les variables indépendantes (vent, humidité, soleil etc.)
- les facteurs A rpqler (température T de l'enceinte)
•
les
facteurs
Uë
réglage
(lLmpérature
ou
débit
de l'eau
chaude A l'entrée du radiateur)
Pour
maîtriser avec une bonne précision l'évolution de la tempéra-
ture
T d'une
enceinte (facteur
A régler),
il est indispensable de bien
•
connaître
la réponse
des différents
éléments du réseau aux perturbations
engendrées
par exemple
par une
variation de
la température
d'entrée du
fluide chaud (facteur de réglage).
Des
logiciels de
thermique du
bâtiment sont
actuellement dispo-
nibles
pour
un
fonctionnement
en
régime
variable (cf. GERY et BRAU de
l'INSA
de Lyon). Ces logiciels prennent effectivement en compte la réponse
dynamique
de
l'enveloppe
en
régime
instationnaire,
mais
les corps de
chauffe
sont quant
A eux
tout simplement caractérisés par un coefficient
d'émission
qui ne
peut être
défini que
pour un fonctionnement en régime
permanent. D'où l'intérêt de l'étude que nous proposons ici et qui s'appli-
que de façon spécifique aux corps de chauffe.
Pour l'étude d'une installation de chauffage fonctionnant en régime
variable, CADIERGUES [7][8] approxime le signal d'entrée x(t) par une ligne
polygonale.
NESSI et
NISOLLE [18] proposent quant A eux une décomposition
de x(t) en une somme de créneaux (superposition de deux fonctions échelons)
de
largeur
6t
infiniment
petite.
si
la
réponse à un échelon est bien
connue,
il sera
alors possible
d'en déduire
la réponse
globale y(t) du
système au signal d'entrée x(t).
Nous nous attacherons beaucoup dans les chapitres qui vont suivre à
l'étude
du comportement
en régime de relaxation (passage de l'état perma-
nent initial (0) A l'état permanent final (00»
de différents systèmes ther-
miques
soumis A un échelon sur la température ou le débit d'entrée de l'un
des
fluides. La maîtrise de cette loi de réponse est l'une des conditions
indispensables
pour une bonne connaissance de la réponse de ces systèmes A
une sollicitation quelconque.

---

16
1.5 1 CONCLUSION
Différents
auteurs ont
donc essayé,
à travers
leurs travaux, de
proposer
des solutions pour une meilleure connaissance des régimes variés.
La
complexité du
phénomène fait
que les
moyens requis
pour les calculs
peuvent
devenir très
rapidement prohibitifs dans la recherche d'une bonne
précision.
On
comprend alors mieux quelle peut être l'utilité des méthodes de
calcul
approché permettant
de bien
cerner le
problème à
"prix réduit".
L'approche
théorique simplifiée qui fait appel à une constante de temps et
un
temps de
retard pour
une perturbation
équivalente à
un échelon [21]
constitue à cet égard un exemple intéressant.

---

17
CHAPITRE 2:
ECHANGEURS BITUBES EAU-EAU ET AIR-EAU EN REGIME DE
RELAXATION (réponse sur le fluide froid)

---

18
NOKENCLATURE DU CHAPITRE 2
C : capacité calorifique (= p.C .V) (J.K- 1 )
P
C : chaleur massique (J.K- 1.kg- 1 )
P
E
efficacité thermique de l'échangeur
h : coefficient moyen d'échange par convection
1 : longueur de l'échangeur bitube (m)
NUT: nombre d'unités de transfert
q : débit massique (kg.s- 1 )
•
q\\: débit thermique unitaire (W."K- 1 )
r : rayon de l'échangeur bitube (m)
R nombre de REYNOLDS
S
section de l'échangeur (m2 )
T
température (OC)
t
temps (s)
t
temps de retard (s)
r
U : vitesse débitante de fluide (m.s- 1 )
: } : volume (a')
x : abscisse le long de l'échangeur
Lettres grecques
,
densité surfacique de flux de chaleur (W.m- z)
t
énergie calorifique massique (J.kg- 1 )
p
masse volumique (kg.m- 3 )
~
constante de temps (s)
Indices:
o
régime permanent initial
m
régime permanent final
a
paroi extérieure
c
fluide chaud
e
entrée de l'échangeur
f
fluide froid
i
paroi intérieure
max: débit maximum
min: débit minimum
s
sortie de l'échangeur
1
rayon intérieur du tube intérieur
2
rayon extérieur du tube intérieur
3
rayon intérieur du tube extérieur
4
rayon extérieur du tube extérieur
- : indique une quantité moyenne sur l'ensemble de l'échangeur

---

19
2.1 1 INTRODUCTION
Le but de
ce chapitre est de compléter les travaux déjà entrepris
sur
le fonctionnement en régime de relaxation d'un échangeur bitube soumis
à une variation de température à l'entrée de l'un des fluides.
Après
un bref
rappel de
quelques résultats importants obtenus et
publiés
par notre Laboratoire [4,5,21,27], nous présenterons un complément
d'étude portant sur:
- la
méthode de
dépouillement des mesures expérimentales utilisée
au cours de nos tavaux
- l'extension
de l'approche
théorique (~,t )
au cas d'un échelon
r
sur
la température
d'entrée du
fluide extérieur d'un échangeur
bitube eau-eau
- le
comportement
d'un
échangeur
bitube
air-eau
soumis
à une
variation
de température
à l'entrée
de l'eau chaude (circulant
dans le tube intérieur).
2.2 1 RAPPELS
2.2.1 1 OBSERVATIONS EXPERIMENTALES
Des
essais expérimentaux effectués sur un échangeur bitube eau-eau
souœis
à un échelon sur la température d'entrée du fluide chaud (circulant
dans
le tube
intérieur) ont
permis à
PIERSON [21] d'observer qu'il est
possible
de définir
un temps moyen t
tel que l'on puisse approximer sans
r
grande
erreur l'évolution
de la
température de sortie T (t), par une loi
s
loi exponentielle à une seule constante de temps ~ de la forme:
t , t
T (t) = T
= este
(a)
r
8
80
(2.1)
t - t
t ~ t
T (t) = T
- (T
- T
). exp (-
r )
(b)
r
8
sOO
800
80
~
où ~ est la constante de tellps du système et t
le temps de retard.
r
~
n'est pas
la constante de temps fondamentale telle que définie en ther-
mocinétique. Elle dérive essentiellement d'une observation expérimentale et
permet
de caractériser
le fonctionnement
du système
en régime
de rela-
xation.
t
correspond
quant à
lui au temps qu'il faut pour que les fonc-
r
tions
(a) et (b) soient vérifiées avec une précision suffisante (cf.§2.4).

---

20
/T
-Tf
(t)/
f seo
s
12
Echangeur bitube N°l
(cf.§2.3)
Ecoulement co-courant
Débit du
fluide
chaud:
q
= 0,053 kg/s
mc
Débit du fluide
froid:
qmf= 0,058 kg/s
Constante de
temps expérimentale:
1::= 44 s
8
Temps de
retard expérimental:
t
= 8 s
r
6
exponentielle du type
(2.1)
4
2
o
t (s)
20
40
60
80
100
120
FIG.2.1: Exemple d'évolution de la température de sortie T,a (t) du fluide
froid (fluide extérieur) pour un échelon sur la température
d'entrée du fluide chaud (fluide intérieur)
2.2.2 1 CALCULS THEORIQUES
a)
Hypothèses
Les
hypothèses
simplificatrices
retenues
pour
les calculs
théoriques sont les suivantes:
- l'échangeur est parfaitement isolé
- les
fluides
chaud
(c)
et
froid
(f)
sont des liquides et
circulent parallèlement (co-courant ou contre-courant)
- les débits des fluides sont supposés constants
- les termes de frottement sont négligés
- les
caractéristiques thermophysiques
des fluides sont suppo-
sées constantes pendant la phase de relaxation.
- la
conduction suivant l'axe x dans les liquides et les parois
n'est pas prise en compte.

---

21
- la
phase de relaxation de l'échangeur sera étudiée lors d'une
variation
du type
échelon de
la température d'entrée T
du
ce
fluide chaud (circulant dans le tube intérieur).
b ) Application de l'équation de l'énergie au fluide chaud
L'équation
de l'énergie appliquée à l'ensemble du fluide chaud (c)
contenu dans l'échangeur (volume V sans source de chaleur) s'écrit:
c
a(pc .t )
e
~
~
(2.2)
- - - - . d v
at
+ J p.t.U .n.dS =
S
c c c
l ~ ~4f.n.dS
S
où t
représente
l'énergie calorifique massique du fluide au point consi-
e
~
~
déré,
p
sa
masse volumique,
U sa
vitesse et
4f la
densité de flux de
c
c
chaleur échangée à travers dS.
r
x
f1Uj~ p::I----r=-=-------....p
Se
Sc
S5
. l
,(
FIG. 2. 2: Systè.e constitué par le fluide chaud (c) et le tube intérieur
* Le développement de la première intégrale Il de l'équation (2.2)
conduit à écrire:
a(pc .t )
e
(2.3)
- - - - . d v
= C .
e
at
avec:
c = p.C
.V
: capacité calorifique du fluide chaud dans l'échangeur
e
c
pe
e
T
température moyenne du fluide chaud le long de l'échangeur
e

---

22
On a:
~
(2.4)
1
= ~·I T .dx ·1
c
L
L
c
où T est la température moyenne géomètrique sur une section droite de
c
l'échangeur:
1
t c
1
(2.5)
T =
-.dS
=
T (r) .es
c
S
C
S
c
c
pc
c
* Si on désigne par S et S respectivement les sections d'entrée et
•
8
de
sortie de
l'échangeur, le développement de la deuxième intégrale 1
de
2
...
(2.2) donne (sachant que U n'a pas de composante suivant r):
c
(2.6)
1 = lSCCC
C J
p .t .u .~.dS = p .{
t.U .dS -
s
c c
J t.U .dS }
2
S
c c
8
•
En suivant le même raisonnement que pour l'intégrale Il' on peut définir la
........
quantité moyenne t .U à partir de (2.6):
c
c
........
(2.7)
t .U
= :-.I
t.U .dS
c
c
S
S
c
c
• •
où S. représente la section droite d'entrée ou de sortie du fluide chaud.
on pourra alors définir la température de mélange en régime permanent sous
la forme:
........
t .U
c
c
(2.8)
T.c =
1
.J T (r).U .dS =
Udc.S
S.
c
c
c
avec:
U
= -------- = vitesse de débit du fluide chaud
dc
p • c
.S
c
pc
c
•
Pour
conserver la même notion de température que dans l'équation (2.5), il
faudrait pouvoir écrire les égalités:

---

23
=
T (r) .dS
Tel
= ~ ·Is C
•
1
(2.9)
T
= T
= ~'I
.ca
ca
T (r).dS
S
S
c
a
a
T
et T
étant les
températures moyennes géométriques sur les sections
ca
CI
droites
de l'échangeur
respectivement à l'entrée et à la sortie du fluide
chaud.
(2.9) n'est vérifiée en première approximation que si le profil des
vitesses est suffisamment plat à l'entrée et à la sortie de l'échangeur; ce
qui
est envisageable à condition d'imposer une turbulence locale au niveau
de ces deux sections. Un rétrécissement brusque des sections d'entrée et de
sortie
de
l'échangeur
a
été
réalisé
pour les essais expérimentaux. On
considèrera
bien
sûr
que
ces
modifications
très
locales
du
régime
d'écoulement
ne perturbent
pas (ou très peu) les échanges thermiques dans
l'échangeur supposé suffisamment long.
Sous cette condition, 1
peut alors s'écrire:
2
(2.10)
avec:
T
= ~ l T (r).dS et T
~ T (r).dS
CI
S· S
C
ca
=
c
a ·Js
1
C
a
* L'intégrale 1 = Is ;.~.dS représente le flux total échangé entre
3
le fluide chaud (c) et la paroi du tube intérieur (i) que nous noterons ~ .
c
* A l'aide des résultats précédents, (2.2) s'écrit:
(2.11)
c .
c
at
•
b ) Calcul de la constante de te.ps théorique ~ du systè.e
En
appliquant le même raisonnement que précédemment au fluide froid
(f)
et aux parois intérieure (i) et extérieure (a) (pour lesquels le terme
de
transport disparalt), on obtient le système d'équations différentielles
suivant:

---

24
arrc
C -
+
q'c·(Tca - T ) = - f
c
ce
al
c
aï,
(2.12)
C . -
+
q" •(Th - Th)
= - f
- f
, al
e
•
aï1
C . -
= fc + f
1
at
f
-
aï•
c .
= f.
• at
L'addition membre à membre de ces équations donne:
(2.13)
avec:
c = C + C + C + C
e
,
1
c
Si l'on prend en compte l'observation expérimentale définie par (2.1) et en
faisant
l'bypotbèse d'une constante de temps et d'un temps de retard moyen
uniques
le long
de l'écbangeur,
on pourra
écrire après
combinaison des
expressions de T,
T
et T
ca
'a
T
(t) = T CD + B • (T(t ) - TCD]
ca
ca
e
(2.14)
T
(t) = Tta CD + B,. (T (t ) - TCD]
'a
avec:
T
- TcaCD
T
- TfaCD
cao
190
(2.15)
B
=
H, =
c
T - T
T - T
0
CD
0
CD
..
En combinant (2.13) et (2.14) on obtient:
aï
(2.16)
c.-
+ C'. T = C"
at
avec:

---

25
C' =
{ Cil =
Pour
exprimer
T
sous
la
forme
(2.1),
T
doit
être aussi solution de
l'équation différentielle:
(2.17)
En identifiant les équations (2.16) et (2.17), on obtient l'expression de .:
C + C + C + C
C
e
f l a
(2.18)
• = -
=
Les
quantités He et Hf
sont données par (2.15) et sont uniquement
fonction
des températures
T, T
et
Tf
e.
. aux états permanents initial et
final
(caractérisant
le
fonctionnement
de
l'échangeur
pour
ces
deux
régimes).
c ) Caractéristiques des états permanents initial et final
Le
calcul de
la constante
de temps
T nécessite la détermination
préalable
des paramètres H et H ; c'est-à-dire la formulation précise des
e
f
températures
T, T
et
T
Ces paramètres
dépendent essentiellement du
e.
f.
type
d'écoulement (co-courant ou contre-courant) et du régime d'écoulement
(laminaire ou turbulent). Les développements théoriques proposés par PIERSON
permettent d'aboutir aux résultats suivants:
i ) Ecoulement co-courant
qtt
(2.19)
Tf. =
•
- . T
- (T
-
q
f e
ce
te
où
E représente
l'efficacité
thermique
de l'échangeur calculée pour un
régime permanent de référence.

---

26
Qtt
(2.20 )
T
=
.{T
- . T
+ (T
-
ca
+ q
fe
ce
qtf+ qte
ce
te
q
et
Q
représentent
respectivement
les
débits thermiques uni-
t.ln
t.ex
taires minimum et maximum de l'échangeur.
11
Régi/lle turbulent pour les deux fluides
qtf
E
(2.21)
T =
- . T
.Te e
+
-
Tf e .lqtf. C -CC + C )+
q
te
NUT
C
q
e
f
e
te
te
11
RégilIIe lalllinaire pour les deux fluides
ce
te
T =
. T + - . T
+
r
Qte
E
tf
{
q"
T
- T
- C - C + r.c.]
qtf + q
ce
q
fe
NUT
C
• q
• c
f
te
te
te
(2.22)
. r
-
- (
E . T,. - Tfo
1
NUT
C
G3
~Jrl·c.}
h
coefficient d'échange par convection entre
cl
le fluide chaud et la paroi intérieure
h
: coefficient d'échange par convection entre
1 t
la paroi intérieure et le fluide froid
i i ) Ecoulement contre-courant
(2.23)
(~ 1].-1_1-.T 1
q
exp(-T')
fe
te

---

27
(2.24)
qtalll
= - . E . 1
T
+ [
qte]
exp(-T')
J
T
1 - -
.-----.T
e8
qte
te
qtf
1 - exp(-T')
ce
11
RHiae turbulent pour les deux fluides
qtalll
)
E
qt t
T'
T = - - - - .
E . - - - 1.T
+ - -
.T
qtt- qte {(
qte
ce
NUT qte 1 - exp(-T')
fe
(2.25)
E
Iqt t
+ - . -.c
+ (c
+ C ) +
f
B
NUT
qte
e
11
R~giae luinaire pour les deux fluides
qte
{( q,.,.
]
E
qtt
T'
T =
.
E . - - - 1 .Tee + - -
.T
qtt- qte
qte
NUT qte 1 - exp(-T')
te
(2.26)
E Tce
+ - .
. rit
-T..
- . c + C + f'.C +
NUT
e
f
C
1
((1
qte
aro ~Jc·l}
+
avec:
qtf
hl f
- +
(-!- -
s.,
hcl
T' = q
•
~) .NUT
et
f' =
tata
q
q
te
tt
hu
1 +
he1
Les expressions de h
, hl
et G sont données en annexe.
cl
f
3.
La détermination des
expressions de
ces différentes températures
aux
états permanents
initial (0)
et final
(00) permettent
le calcul des
paramètres
He et Hf '
donc
aussi
celui
de
la
constante de temps , du
système.
Les
travaux effectués
par l'auteur essentiellement pour des écou-
lements
laminaires
ont
permis
d'observer
une
bonne
concordance entre
résultats
théoriques et
expérimentaux (l'écart observé sur la valeur de ,
est généralement inférieur à 6%). Des essais complémentaires effectués plus
tard
dans
le
Laboratoire
ont
permis
de
vérifier la validité de cette

---

28
approche théorique pour les régimes d'écoulement turbulents.
L'étude des formules théoriques proposées a montré que:
- la
nature de
l'écoulement (co-courant ou contre-courant) n'a
pratiquement
pas d'influence
sur la
constante de temps, du
système (écart généralement inférieur à 3%).
lorsqu'on
fait varier
le débit
q.t du fluide froid, T varie
très
fortement
en
régime
laminaire
et très peu lorsque le
régime
reste turbulent:
,tend
alors dans
ce cas
vers une
valeur asymptotique '1.
- lorsqu'on
remplace
dans
l'échangeur
l'eau
par
l'huile, T
diminue. Pour un écoulement laminaire sur le fluide froid, cet
écart peut dépasser 20%; tandis qu'en écoulement turbulent, il
reste inférieur à 3%.
2.2.3 1 SIMULATION DU FONCTIONNEMENT D'UN ECHANGEUR POUR UNE VARIATION
QUELCONQUE DE LA TEMPERATURE D'ENTREE DE L'UN DES FLUIDES
Connaissant
la réponse de l'échangeur à un échelon de température,
il
est possible de simuler sa réponse à un signal d'entrée x(t) quelconque
appliqué
à
l'un
des
fluides,
en
admettant que le système est linéaire
( hypothèse vérifiée
pour les fluides
newtoniens
usuels, l'eau en parti-
culier).
Deux méthodes ont été proposées [21] pour une telle simulation:
- décomposition du signal en une somme de créneaux
- approximation du signal par une ligne polygonale
Ces
deux méthodes permettent de simuler avec une très bonne préci-
sion la réponse y(t) du système (réponse en puissance ~(t) par exemple) au
signal d'entrée x(t). Le choix de l'une ou l'autre de ces deux méthodes est
essentiellement
dicté
par
la
p~écision souhaitée
dans
les résultats.
La décomposition en créneaux donne des expressions plus simples et
plus
faciles d'emploi
(voir exemple
de simulation
au chapitre
4). Elle
permet
aussi d'aboutir
dans certains
cas à des résultats très proches de
ceux
obtenus avec la décomposition en polygones [21]. Néanmoins, lorsqu'on
désire
suivre un
phénomène fluctuant avec de grandes amplitudes alors que
le
pas de
temps àt ne doit pas descendre en dessous d'une certaine limite
(afin
d'éviter un
temps de
calcul prohibitif), on choisi~a.la décomposi-
tion en polygones.

---

29
2.2.4 1 CONCLUSION
L'approche théorique due à PIERSON et rappelée dans ce paragraphe a
été testée à différentes occasions par plusieurs équipes de recherche et sa
validité
confirmée. Pour un régime variable quelconque, il est possible de
simuler
avec une
très grande précision le fonctionnement réel du système,
ce
qui n'est
évidemment pas
le cas
lorsqu'on utilise
pour ce faire les
formules
issues
de
l'analyse
en
régime permanent. L'utilisation de ces
formules
non adaptées
au fonctionnement en régime variable peut entrainer
dans
l'évaluation de
l'énergie mise en jeu durant cette phase des erreurs
pouvant atteindre dans certains cas 100% [3][4].
L'approche
développée
dans
ce
paragraphe
constitue la première
source
de référence
pour nos
travaux qui
se présentent
comme une suite
logique de ceux qui ont été engagés dans le cadre notre Laboratoire.
2.3 1 BANC EXPERIMENTAL
Le banc
expérimental
utilisé
pour
les essais présentés dans ce
chapitre est constitué des éléments suivants :
- trois
ballons
d'eau
chaude
à
résistances
électriques
d'une
capacité totale d'environ 900 litres.
- une
alimentation
en
eau
froide
directement
tirée du circuit
de la ville; débit maximum: 0,555 l/s
- un
circuit
hydraulique
conçu
de
façon à assurer les arrivées
d'eaux
chaude
et
froide,
avec
la possibilité de faire varier
à
l'aide de
différentes vannes,
la température de l'eau chaude
ou le débit de l'un quelconque des deux fluides.
- un réservoir d'air comprimé alimenté par un compresseur.
- deux
échangeurs bitubes
permettant d'effectuer
des essais pour
différents nombres de REYNOLDS.
.
* Echangeur N'l
•
Tube intérieur en laiton
rayon intérieur
r = 15 mm
1
rayon extérieur : r = 16 mm
2
Tube extérieur en acier
rayon intérieur
r = 25 mm
3
rayon extérieur : r = 30 mm
4
Longueur de l'échangeur : 1 = 2 m

---

30
* Echangeur N·2 :
Tube intérieur en acier inox
rayon intérieur
r = 4 mm
l
rayon extérieur : r = 5 mm
2
Tube extérieur en acier inox
rayon intérieur
r = 7 mm
3
rayon extérieur
r = 8 mm
4
Longueur de l'échangeur : 1 ;:: 2 m
- des
débitmètres électromagnétiques
PICOMAG (DMl 6530) program-
mables, à affichage digital, pour les mesures de débit d'eau.
- un
tube de PITOT "MICROMANOMETER PPFA FC060" à traitement élec-
tronique pour la mesure de la vitesse d'écoulement de l'air
des
thermocouples
de
type
K provenant
du
même
rouleau et
qui,
lorsqu'ils
sont
placés
dans
le
même
bain thermostaté
pour étalonnage, présentent un écart maximum de 0,1·C entre
les
différentes mesures affichées.
Une
centrale de
mesure AOIP
100 de
type SN
5520 à
20 voies
permettant
d'enregistrer
les
débits
des
fluides
et
les
différentes
températures
suivant
des
intervalles
de
temps
programmés par l'opérateur.
2.4 1 PROCEDURE DE DEPOUILLEMENT DES MESURES EXPERIMENTALES
Nous
avons tout
d'abord été amené à mettre au point une procédure
de
dépouillement améliorée pour l'exploitation des résultats expérimentaux
du
type
(2.1).
Cette
méthode
basée
sur la notion de "conservation des
énergies"
permet de
comparer l'énergie
effectivement échangée pendant la
phase
de
relaxation
(calculée
à
partir
des
points expérimentaux) aux
"
valeurs
correspondant à
différentes courbes approchées, obtenues par lis-
sage
des points à partir d'une méthode de regression multiple. Elle nous a
permis de réduire la dispersion des résultats expérimentaux par rapport aux
valeurs
théoriques
de
T,
que
nous
observions dans certains cas parti-
culiers.

---

31
Les principales étapes du procédé adopté sont les suivantes :
- les
n points
expérimentaux (températures de sortie du fluide froid
par
exemple)
étant
représentés
dans
un
système d'axes linéaire
IT,.~- T,. (t) 1 = f(t) ,
déterminer
l'aire
A
sous-tendue
par la
o
courbe
qui relie
ces points (A
est équivalente A l'énergie effec-
o
tivement échangée pendant la phase de relaxation).
- déterminer
A partir de la méthode de regression multiple ci-dessous
une famille de courbes (el )1-
, obtenues par lissage, telles que:
-1 • •
* les i premiers points sont considérés comme figurant sur la
portion
horizontale de
la courbe
approchée. L'équation de
cette portion est:
Y
-
IT
- T
1
1
'sOO
'so
Les
(n-
i) derniers points constituent la partie exponen-
tielle de cette même courbe. L'équation correspondante est:
yz = a.exp(- b.t)
(oà
a et
b sont
des constantes positives et i = 1, 2, .. ,m
(m < nï )
- comparer
l'aire A aux aires Al définies par les courbes (el )1=1 •• '
o
La courbe expérimentale approchée qui sera retenue sera celle pour laquelle
l'expression
lA
- A 1 est la plus faible; c'est-A-dire celle qui rend le
o
1
mieux
compte de
l'énergie échangée
durant la
phase de
relaxation (voir
fig.2.3) .
La "meilleure courbe"
étant ainsi
précisée, i l est alors possible
de
déterminer les valeurs correspondantes de la constante de temps ~ et du
temps de retard t r
I T
- T
1
'sOO
r s e
(2.19)
1
t
= - -.Log ------1
r
b
a
Cette
nouvelle méthode de dépouillement a été utilisée au cours de
nos
travaux pour la détermination et le tracé des courbes approchées de la
forme (2.1).

---

32
IT
-T
(t)1
Seo
S
10
t
-1:..,
8
Meilleure courbe
( r 1 t r)
6
t-t
IT
-T (t)1
=
IT
-T
I.exp(-
~r)
StO
s
seo
s 0
~
4
Cou r b e s
(~.). - 1
~
1.-
, • • ,m
2
o
t (s)
25
50
75
100
125
150
175
200
FIGURE 2.3: Lissage des points expérimentaux
Méthode de
regression multiple
2.5 / ECHELON DE TEMPERATURE SUR LE FLUIDE EXTERIEUR D'UN ECHANGEUR BITUBE
EAU-EAU
2.5.1 / CONSTANTE DE TEMPS THEORIQUE
Les
formules théoriques
pour le
calcul de
la constante
temps ~
présentées
au paragraphe
2.2.2 ont
été développées
en supposant
que le
fluide chaud sur lequel l'échelon est réalisé circule dans le tube inté-
rieur.
Dans
ce paragraphe, nous examinons le cas où l'échelon de tempéra-
rature
est réalisé sur le fluide chaud circulant dans la zone annulaire de
l'échangeur.
Les calculs montrent que les formules donnant la constante de temps
théorique
~ s'appliquent
encore parfaitement dans ce cas. L'écart observé
entre valeurs théoriques et expérimentales est faible (cf. tableau 2.1).

---

33
2.5.2 1 PROCEDURE EXPERIMENTALE
La procédure adoptée se résume de la manière suivante:
à
partir
d'un
état
permanent
initial
(indice 0), imposer à
l'instant
t
= 0 un échelon sur la température d'entrée du
fluide
chaud
(fluide
extérieur),
la
faisant
passer de Tceo
à
T <D;
la température
d'entrée du fluide intérieur ainsi que
ce
les débits des deux fluides étant maintenus constants.
- enregistrer
l'évolution
de
la
température
de
sortie T,s du
fluide froid en fonction du temps.
2.5.3 1 RESULTATS
Les
essais
ont
été
effectués
sur
l'échangeur
bitube N·l. Les
figures
(2.4) et
(2.5) montrent
des exemples de courbes obtenues lors de
ces essais.
/T
-Tf
f
(t)/
sro
s
10
Echangeur bitube N°l
(cf.§2.3)
B
Ecoulement co-courant
Débit du
fluide chaud: q
= 0,029 kg/s
mc
Débit du fluide froid:
qmf= 0,036 kg/s
B
Constante de
temps:
~
= 62
s
exp
Temps
de
retard:
t
=
47 s
r
4
2
o
t (s)
25
50
75
100
125
150
175
200
FIG.2. 4: Evolution de la teapérature de sortie Tf. ft) du fluide froid
l'échelon est réalisé sur le fluide chaud (tube extérieur)

---

34
/T
-Tf
( t ) /
f seo
s
10
B
Echangeur bitube N°l
(cf.§2.3)
Ecoulement contre-courant
Débit du fluide chaud:
q
=
0.064 kg/s
mc
6
Débit du fluide froid:
qmf~ 0.097 kg/s
Constante de temps: -c
=
39
s
exp
Temps de retard:
t
= 13 s
4
r
2
o
+
t (6)
25
50
75
100
125
150
175
200
FIG.2. 5: Evolution de la te.pérature de sortie Tf. (t) du fluide froid
l'échelon est réalisé sur le fluide chaud (tube extérieur)
Le
tableau 2.1 ci-dessous présente les valeurs tbéoriques et expé-
l"tex p- "ttbtor 1
rimentales
de la
constante de
temps "t
ainsi que l'écart -------------
"t 81lP
pour cbacun des essais effectués.
N' essai Ecoulement q.F (kg/s) q
(kg/s) "t
(s) "t
(s) Ecart(%)
.c
81lP
tbtor
1
0,087
0,060
27
28
4%
co-
2
courant
0,036
0,029
62
61
2%
3
0,075
0,072
25
26
4%
-------- ---------- --------- --------- ------- --------- --------
4
contre-
0,097
0,064
40
38
5%
courant
5
0,071
0,104
25
24
4%
TAB~U 2.1: échelon de température sur le fluide extérieur (cf.§2.5.1J
valeurs expérimentales et théoriques de la constante de
temps 'f

---

35
On
observe que, dans la plupart des cas, l'écart entre les valeurs
théorique
et expérimentale de ~ ne dépasse pas 5%. Cela prouve l'existence
d'un bon accord entre la théorie proposée et l'expérience.
2.6 1 ECHANGEUR BITUBE AIR-EAU SOUMIS A UNE VARIATION SUR LA TEMPERATURE
D'ENTREE DE L'EAU
Pour
élargir notre champ d'investigation, il nous a paru intéressant
de
reprendre les expériences précédentes avec un échangeur gaz-liquide, en
l'occurence air-eau.
2.6.1 1 INTRODUCTION - OBSERVATIONS THEORIQUES
Dans
le cas
de l'échangeur
bitube air-eau,
certaines hypothèses
simplificatrices
(cf.2.2.2.a) permettant
de résoudre
l'équation de bilan
d'énergie
sont mises
en défaut.
Il ne
sera plus par exemple possible de
prendre
en compte
l'hypothèse de l'incompressibilité du fluide (l'air est
très
compressible), ni
même celle relative à la constance des caractéris-
tiques
thermophysiques
pendant
la
phase
de
relaxation.
Ces premières
observations
laissent prévoir certaines irrégularités dans le comportement
réel du système pour ùn fonctionnement en régime instationnaire.
2.6.2 1 PROCEDURE EXPERIMENTALE
La procédure expérimentale adoptée est identique à celle décrite au
paragraphe
2.5.2
L'eau
chaude
sur
laquelle est réalisé l'échelon de
température circule dans le tube intérieur.
2.6.3 1 RESULTATS EXPERIMENTAUX
Les
essais ont
été réalisés
sur les échangeurs N·l et 2 pour des
écoulements
co-courant et contre-courant et pour des régimes laminaires et
turbulents.
Compte
tenu
du
fait
que
les deux fluides utilisés ont des
caractéristiques
thermophysiques très différentes, l'hypothèse d'une cons-
tante
de temps
unique le
long de
l'échangeur ne peut plus être retenue.
Ceci est d'ailleurs confirmé par l'expérience (cf. tableau 2.3).
Pour
les résultats
obtenus, nous pouvons distinguer d'une part le
cas
où le
régime d'écoulement
est laminaire
du côté de l'eau et d'autre
part le cas où ce régime est turbulent.
/

---

36
1· cas: écoulement laminaire du côté de l'eau
Lorsque le régime d'écoulement de l'eau est laminaire, l'évolution
de
la température
de sortie
T
(t) de l'air peut être approchée
f.
par
un modèle
simplifié
du
type
(2.1)
(fig.2.6
et
2.7) et
cela,
quelque soit le régime d'écoulement du côté de l'air (lami-
naire ou turbulent)
2· cas: écoulement turbulent du côté de l'eau
Lorsque
le
régime
d'écoulement
de
l'eau est turbulent, il est
encore
possible
d'appliquer
le
modèle simplifié (~,t ) lorsque
r
le
régime
de
l'air
est
lui
aussi
turbulent
(fig.2.8); mais
l'erreur
commise
dans
ce
cas
sur
les
deux ou trois premiers
points
est relativement
élevée: elle peut dépasser dans certains
cas 20'. Quant au temps de retard t , il est toujours nul.
r
Par contre, lorsque le régime d'écoulement de l'air est laminaire,
il
n'est plus
possible d'appliquer
ce modèle
simplifié pour le
lissage
des points
expérimentaux (fig.2.9).
Le seul
modèle qui
puisse
permettre dans
ce cas d'approcher convenablement l'évolu-
tion
des points
est un
modèle mathématique à plusieurs exponen-
tielles.
Echangeur bitube N°l
(cf.§2.3)
1 2
Ecoulement co-courant
Débit du fluide chaud (eau):
q
= 0, 025 kgf s
;
CR. = 2 150
mc
c
Débit du
fluide
froid (air):
9
3
qmf= O,68xIO-
kg/s ; ~f= 524
Constante de temps:
1: = 97 s
6
Temps de reta rd:
t = 31 s
r
3
o
t (s)
o
50
100
150
200
250
300
350
400
FIG.2. 6: Ecoulements laminaires des deux côtés de l'échangeur: exemple
d'évolution de la température de sortie Tf. de l'air pour
pour un échelon sur la température d'entrée de l'eau

---

37
/T
-Tf
( t ) /
f ste
s
25
Echangeur bitube N°l
(cf.§Z.3)
Ecoulement co-courant
Débit du f 1 u ide cha u d (e au) :
20
q
= 0, 0 16 kgf s
R = 1358
mc
c
Débit du fluide froid
(air):
. 3
qmf= 8,78xl0-
kg/s
~f= 6735
15
Constante de temps: "C = 71 s
Temps de reta rd:
t
= ZO s
r
10
5
o
t (a)
o
50
100
150
200
250
FIG.2. 7: Ecoulements laminaire côté eau et turbulent côté air: exemple
d'évolution de la température de sortie Tf. de l'air pour
pour un échelon sur la température d'entrée de l'eau
/T
-Tf
f
( t ) /
SQ)
s
40
Echangeur bitube N°Z (cf.§Z.3)
Ecoulement co-courant
Débit du fluide chaud
(eau) :
q
= 0
044 kg/ s •
'R = 14000
m c '
,
c
30
Débit du fluide
froid
(air):
-3
0
qmf= 8,78xl0
kg/s
A
Z3000
f=
Constante de temps: 1;= 25 s
Temps de retard:
t
= 0 s
20
r
10
o
t (s)
o
25
50
75
100
125
150
FIG.2. 8: Régimes turbulents du côté de l'eau et
du côté de j'air:
exemple d'évolution de la température de sortie T
de l'air
f .
pour un échelon sur la température d'entrée de l'eau

---

38
/T
-
Tfs(t)/
f sm
20
Echangeur bitube N°l
(cf.§2.3)
Ecoulement co-courant
Débit du fluide chaud
(eau):
16
q
= 0, 189 kgf s
R = 16000
mc
c
+
Débit du fluide
froid
(air):
-3
.(j)
qmf= 2,93x10
kg/s; Jtf~ 2245
12
+
B
+
+
+
4
++++++ + + + + + + + ++ ++ +
a
t (s)
a
20
40
60
Ba
100
120
FIG. 2. 9: Régi.es d'écoulements turbulent ~td "a. v at la Tn;nQ;ro ~t:. a;r :
exemple d'évolution de la température de sortie T
de l'air
fB
pour un échelon sur la température d'entrée de l'eau
Le
tableau 2.2
donnent les résultats des essais effectués sur les
échangeurs 1 et 2 pour différents régimes d'écoulement.
On observe que:
- pour
des conditions
de débit
fixées, la
constante de
temps ~
varie
très peu
lorsqu'on passe
d'un écoulement co-courant à un
écoulement contre-courant (écart inférieur à 4%).
- dans
le cas oà le modèle simplifié (~, t ) s'applique, la compa-
r
raison
des constantes
de temps
~
(du côté de l'air) et ~
air
eau
(du
côté de
l'eau) fait
apparaitre un
écart appréciable entre
ces
deux
valeurs.
Cet
écart
peut atteindre dans certains cas
50' (tableau 2.3).

---

NUMERO
1
2
J
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
DE L'ESSAI
NUMERO
1
1
1
1
1
1.
1
1
1
1
2
2
' )
..
ECHANGEUR
TYPE
co-
co-
co-
co-
co-
co-
contre- contre- contre- contre-
co-
co-
co-
D'ECOULEMENT
courant courant courant courant courant courant courant courant courant courant courant courant courant
EAU (kg/s)
0,025
0,015
0,025
0,016
0,031
0,189
0,025
0,180
0,016
0,030
0,044
0,044
0,044
'\\...
2150
1270
2150
1360
2630
16000
2150 .
15260
1360
2550
14000
14000
14000
3
0,68
U,6~
0,91
8, 78
8, 78
2,93
0,91
2,93
8, 78
8, 78
4,38
7,31
8, 78
-AIR (xlO kg/s)
R...
525
525
700
6740
6740
2250
700
2250
6740
6740
11500
19200
23000
MODELE (-r,t )
Oui
Oui
Oui
Oui
Oui
tlOIl
Oui
Non
Oui
Oui
Oui
Oui
Oui
r
(Oui/Non)
(,N
\\,Q
CONSTANTE DE
97
105
80
71
36
-
83
-
69
39
37
32
25
TEMPS: -r (8)
TEMPS DE
J1
50
JO
20
10
-
16
-
8
7
0
0
0
RETARD: t (8)
r
TABLEAU 2.2:
Constante
de
temps
(~) et temps de retard (t
d'un
échangeur
bitube
air-eau
soumis
r)
à
un échelon
de
température
sur
le
fluide
chRud
(eau)
-
Réponse
sur
le
fluide
froid
(a i r )

---

40
N° ECHANGEUR
1
1
1
1
ECOULEMENT
co-courant co-courant co-courant contre-courant
DEBIT FLUIDE
0,017
0,025
0,015
0,016
CHAUD (kg/s)
(R = 1220) CR = 2150) (R = 520)
CR = 1360)
c
c
c
c
DEBIT FLUIDE
2,93xl0- 3
0,68xl0- 3
0,68xl0- 3
8,78xl0- 3
FROID (kg/s)
CR =
=
f
2240)
(Rf 524) CRf= 524)
CRf = 6740)
't
(s)
74
97
105
69
air
't
(s)
45
48
62
44
.a.
ECART (') :
39'
50'
41'
36'
('t
-'t
) /'t
air
.a. air
TABLEAU 2.3: Comparaison entre les constantes de temps 'f l
du côté de
8
r
l'air et 'f
du côté de l'eau pour un échelon échelon sur
88U
la température d'entrée de l'eau
2.6.4 / Conclusion
Les
essais présentés dans ce paragraphe nous ont permis d'observer
que l'évolution de la température de sortie d'un échangeur air-eau soumis à
un
échelon
sur
la
température
d'entrée
de
l'eau
peut
être toujours
approximée, dans le cas où l'écoulement est laminaire du côté de l'eau, par
une loi exponentielle du type (2.1).
Lorsque le régime d'écoulement de l'eau est turbulent:
* cette approche peut être encore considérée comme acceptable
si
on a
aussi un
écoulement turbulent
du côté de l'air. On
note
néanmoins un
écart relativement
élevé pour les deux ou
trois premiers points expérimentaux.
* si
le régime
d'écoulement est laminaire du côté de l'air, le
modèle
('t,
t ) n'est
plus valable.
Ceci est essentiellement
r
dû
à
l'écart
considérable
observé
dans
ce
cas entre les
débits
thermiques des
deux fluides ( qtc/ qtf> 300) ; ce qui
crée
des modifications
importantes dans les caractéristiques
thermophysiques de l'air qui est un fluide très compressible.

---

41
2.7 1 CONCLUSION DU CHAPITRE 2
Ce
chapitre nous a permis de faire le point sur une méthode analy-
tique
performante permettant de simuler le fonctionnement en régime insta-
tionnaire
d'un échangeur bitube eau-eau soumis à une variation de tempéra-
ture à l'entrée de l'un des fluides (intérieur ou extérieur).
La méthode proposée permet de caractériser, pour des conditions de
débit données, l'évolution de la température de sortie T (t) de l'échangeur
s
à partir de deux paramètres à savoir la constante de temps ~ et le temps de
retard t .
r
Les
essais
effectués
sur
l'échangeur
air-eau
nous
ont permis
d'observer que le modèle simplifié (~,t ) s'applique pour l'évolution de la
r
température
de sortie de l'air, sauf dans le cas où l'écoulement est lami-
naire du côté de l'air et turbulent du côté de l'eau.
Les
deux fluides utilisés dans ce système ont des caractéristiques
thermophysiques
totalement
différentes.
Toutes
les hypothèses simplifi-
catrices
énumérées au paragraphe 2.2.2.a et permettant de résoudre l'équa-
tion de l'énergie ne sont donc plus vérifiées; ce qui fait que le calcul de
la
constante
de
temps
théorique
~th
du
système ne donne pas dans ces
conditions des résultats satisfaisants.

---

42
CHAPITRE 3:
ECHANGEUR BITUBE EAU-EAU SOUMIS A UN ECHELON
DE DEBIT SUR L'UN DES FLUIDES

---

43
NOMENCLATURE DU CHAPITRE 3
C : capacité calorifique (= p.C .V) (J.K- l)
p
C : chaleur massique (J.K-l.kg- l)
p
E
efficacité thermique de l'échangeur
h : coefficient moyen d'échange par convection
1 : longueur de l'échangeur bitube (m)
NUT: nombre d'unités de transfert
q : débit massique (kg.s- l)
•
qt: débit thermique unitaire (W.oK- l)
r : rayon de l'échangeur (m)
R
rapport des débits thermiques unitaires
R nombre de REYNOLDS
S
section de l'échangeur (ma)
T
température (OC)
t
temps (s)
t
temps de retard (s)
r
U : vitesse de fluide (m.s- l)
: } : volume (.')
x : abscisse le long de l'échangeur
Lettres grecques
f
densité de flux de chaleur (V.m- a)
p
masse volumique (kg.m- 3 )
~
constante de temps (s)
Indices:
o
régime permanent initial
~
régime permanent final
a
paroi extérieure
c
fluide chaud
e
entrée de l'échangeur
f
fluide froid
i
paroi intérieure
max: débit maximum
min: débit minimum
s
sortie de l'échangeur
1
rayon intérieur du tube intérieur
2
rayon extérieur du tube intérieur
3
rayon intérieur du tube extérieur
4
rayon extérieur du tube extérieur
indique une quantité moyenne sur l'ensemble de l'échangeur

---

44
3.1 / INTRODUCTION
Un
système thermique dont l'un des débits fluctue dans le temps ne
peut être raisonnablement considéré comme fonctionnant en régime permanent;
une telle variation de débit impliquant forcément une variation de la puis-
sance
mise en
jeu dans
le système. Lorsque les fluctuations sont faibles
comparées
aux valeurs
des débits,
l'erreur commise
peut être considérée
comme
négligeable; cette simplification peut néanmoins s'avérer dramatique
lorsque
les
fluctuations
modifient
la
valeur
des
débits
de quelques
dizaines pour cent.
Le
but de ce chapitre est d'étudier le comportement thermique d'un
échangeur
bitube eau-eau soumis à un échelon sur le débit d'entrée de l'un
des
fluides.
Dans
cet
échangeur,
le
fluide chaud circule dans le tube
intérieur et le fluide froid dans la zone annulaire.
Après
avoir présenté
dans une première partie l'observation expé-
rimentale
faite à
ce sujet sur un échangeur bitube, nous proposerons dans
une
seconde partie
une approche
théorique du phénomène et pour finir une
vérification expérimentale de nos résultats.
3.2 / OBSERVATION EXPERIMENTALE
Sur un échangeur bitube eau-eau (échangeur N·1 §2.3) fonctionnant à
un régime permanent initial connu (indice 0), on effectue un échelon sur le
débit
d'entrée de
l'un des fluides (fluide 1). Le débit de l'autre fluide
(fluide
2) ainsi
que les
températures d'entrée T
et Tf
sont maintenus
ce
e
constants.
On enregistre
la température
de sortie T
(t) du fluide froid
fa
(réponse du système à la perturbation provoquée).
La
figure
3.1
montre
un
exemple, d'évolution
de
l'expression
IT
(t) - T
(~) 1 pour un
échelon sur
le débit
d'entrée du fluide chaud
fa
fa
(q.co ... q.c~)·
Le
lissage des
points expérimentaux
par la méthode de régression
multiple
décrite
au
paragraphe
2.4
permet
d'observer qu'il est encore
possible
(comme dans
le cas
de l'échelon
de température)
de définir un
temps
de retard t
et une constante de temps ~ tels que l'évolution de ces
r
points
puisse être approximée par une loi du type (2.1). L'écart entre les
valeurs
expérimentales des
températures et
celles qui correspondent à la
courbe approchée est généralement inférieur à 5%.

---

45
8
-2
û)
qmf=
8,33xlO
kf!./s
( " f = 1170)
-2
-2
6
+
q
= 2,66xlO
_
17,22xlO
kg/s
me
( fJ<.c = 2 26 0 ------.. 14 6 2 0 )
4
Constante
de
temns
exoérimentale:
'T'
= 13 s
vexo
2
o
+
+
+
t (5)
10
20
30
40
50
FIGURE ].1: ExellJple â'ëvolution de la qusnti té 1T
(t)-T
(ro)1 pour un
.
fB
fB
~cbelon sur le d~bit du fluide chaud (fluide int~rieur) de
l'~cbangeur bitube N°l (cf.12.]) - Ecoulement co-courant
3.3 1 APPROCHE THEORIQUE
Comme pour le cas de l'échelon de température, l'approche théorique
envisagée
pour l'échelon
de débit consiste en la résolution des équations
de
bilan thermique
sur chacun
des éléments du système. Cette approche du
phénomène a été faite sur la base des hypothèses suivantes:
- l'échangeur est parfaitement isolé
les
fluides
chaud
(c)
et
froid
(f)
sont
des
liquides
qui se
déplacent parallèlement dans l'échangeur.
- on
suppose
que
l'approximation
(2.1)
est
vérifiée
avec la même
constante de temps en tout point de l'échangeur.
- les
températures d'entrée Tf. du fluide froid et Tc. du fluide chaud
ainsi que le débit q
du fluide 1 sont maintenus constants. La phase
. 1
de
relaxation est
étudiée lors
d'une variation de type échelon sur
le débit d'entrée q
du fluide 2.
• 2
- les termes de frottement sont négligés.

---

46
- les
caractéristiques
thermophysiques
des
fluides
sont
supposées
constantes pendant la phase de relaxation.
- la
conduction suivant
x (axe
de l'échangeur)
dans les liquides et
les parois n'est pas prise en compte.
- on
considère que
durant la phase de relaxation, le régime d'écoule-
ment des fluides est établi, laminaire ou turbulent.
Compte
tenu du
fait que ce type d'essai implique la variation de l'un des
deux débits entre les états permanents initial et final, on est en droit de
se
demander
dans
quelle
mesure
la dernière hypothèse (régime dynamique
établi) peut être considérée comme acceptable.
Nous
considérerons ici
que le
temps d'établissement t
du régime
d
dynamique
après l'échelon
de débit est assez faible (t
«t ) pour ne pas
d
r
perturber
de façon
excessive la solution de l'équation de bilan thermique
du système.
Si
l'on fait
par ailleurs l'hypothèse d'une constante de temps et
d'un
temps de
retard moyen
uniques sur
l'ensemble de l'échangeur, et en
exprimant
les températures
T, T
et T
sous
la forme (2.1), on aboutit
f s
cs
comme au paragraphe 2.2.2 à l'équation différentielle:
in'
' t . - + T = Ta>
at
La résolution de cette équation nous permet de déterminer l'expres-
sion de la constante de temps 't du système:
C + C + C + C
c
f l a
't =
qtca>·Hc + qtfa>·Hf
qui peut encore s'écrire:
C.6
ra .1)
't =
qtca>+ qtfa>
avec:
qtca> + qtfa>
(3.2)
6 = q .H +
t ca>
c
qtf a>' Hf
C représente la somme des capacités calorifiques du système et qtca> et qtfa>
les débits thermiques unitaires des fluides chaud 'et froid après l'échelon.
Les
paramètres H , H
et donc
aussi 6
dépendent des caractéristiques du
c
f
système aux états permanents initial et final.

---

47
3.4 1 CARACTERISTIQUES DES ETATS PERMANENTS INITIAL ET FINAL
Dans
les expressions
de Hc et Hf rappelées en (3.3) interviennent
les
températures T
, T,a
et T calculées aux états permanents initial et
ca
final:
T
T
T
-
cao
caO)
ThO)
'ao
(3.3)
H
=
et
e
Hf =
T - T
T
- TO)
0
0)
0
Dans le cas de l'échelon de débit, un certain nombre de caractéristiques de
fonctionnement
du système
(comme R, E, NUT
et R par exemple) sont tota-
lement
modifiées entre
les deux
états permanents,
puisque dépendant des
débits
des deux
fluides. Ceci impose par
conséquent des
limites dans la
simplification
des formules
théoriques (contrairement au cas de l'échelon
de
température). Ainsi,
mainlenant, les
paramètres H , H et A dépendent
c
f
non
seulement
du
type
d'écoulement
(co-courant
ou contre-courant), du
régime
d'écoulement (laminaire ou turbulent) mais aussi du côté où l'éche-
lon
a été
réalisé (soit sur le fluide chaud (tube intérieur), soit sur le
fluide froid (zone annulaire».
NOTE: Dans
les paragraphes qui vont suivre, seul le débit thermique
unitaire du fluide ayant subi l'échelon (fluide 1) portera les
indices
(0) ou
(~) selon le cas. Le débit thermique unitaire
du
fluide non
perturbé (fluide
2) sera tout simplement noté
q,c ou s, f·
3.4.1 1 ECOULEMENT CO-COURANT
a) Echelon sur le fluide froid
Calcul de l'expression: T
- T
cao
caO)
La
température
moyenne
géomètrique
sur
la section de sortie de
l'échangeur bitube co-courant est donnée par (cf. (2.20»:
qu
T
~.(T
q
C8 -
ca
- . T
+
q
te
tc
tc
avec:
R =
d'où:

---

48
qtfo
:::·l.-
T
-
T
= --------. T
+ ----.T
+
cso
caCO
q
+ q
ce
q
fe
T..)[l E. ° (l+R.)I}
tfo
tc
{
tc
CO•
qtf
+ qtfCO.(T
_
T
T..)[l Emo (1+Rm)]}
q
te
q
ce
te
tc
Afin
de faire
apparaître en
facteur l'expression
( T
- T
)
posons en
ce
f e
'
regroupant les termes:
T
- T
= X + y
cao
caCO
avec:
qtc
X =
.T
------.T
+
T
----.T
q
+ q
ce
q
+ q
ce
te
q
+ q
fe
tto
tc
ttCO
tc
ttCO
te
=
y = (Tc. - T
..l{~.~::·q.: [1 E. ° (l+R.)1 q.~::mq.: [l-Em(1+Rm)]}
O
+..
= (q".+::: ~(:::m+ q.c )
(q"m+ q. c)[l - E. (1 +R.)
°
°
1
- q"m+,. +q.c)[l - Emo (1 +Rm)I}
Il vient enfin:
(3.4)
T
- T
=
q.c) [l-E. (l+R.)1
cao
csCO
°
q.c)[l - Emo (1 +Rm)1+s.. + ,m- q".)}
Calcul de l'expression: T
-
T
t s o
f s CO
La
température de
sortie T
du fluide
froid est
donnée par la
t s
formule (2.19) sous la forme:

---

49
qu
Tts
- . T
-
q
te
te
d'où:
Ttso -Ttsa> ::-'{T
q +q
c+~.T
e q
t. - (Te. -Tt. ].11 E0.(l+R]]}
0
tto te
te
-.{T +_qUa>.T - (T - T ].11
q +q
- Eoo' (1 +Roo]])
c e q
te
e. t.
ua> te
te
Pour
la mise
en facteur de l'expression (T - Tt ), on pourra poser comme
ce
•
ci-dessous:
avec:
qte
quo
X ::
.T
----.T
+
.T
----.T
q
+ q
e e
tt
te
q
+ q
e.
ua> te
q
+ q
t .
tto te
q
+ q
te
tta> te
0
::
y::
(Tc. - Tte] { -
q:e .11-Eo. (l+Ro]1+ q:e .11-Ea>' (l+Ra>ll}
qt to qte
qt ta> qte
= (q...+:::~(:::oo+ q.c)+.c+
...+s.,]11-Eoo'(1 +Roo)1
- q.c+.oo+ q.c)11 - E.. (l +R.)I}
On en déduit alors:
(3.5)
T
- T
::
tso tsa>
:::~(:::oo+ q.J{q.c + ..+q.cJl1-Eoo, (l+Roo) j
- E.. (l+Roo)1+q.c+.oo- q".J)

---

50
Calcul de l'expression: T - Ta>
o
On a (cf. (2.21> et (2.22)):
+~.
T = - .{T
Tf + (T
- T l.8}
q
+ q
ce
q
e
ce
fe
tf
te
te
oà 8 est donné par (3.12) ou (3.14)
d'oà:
- - - - . T + - - . T
+
T
- T
qte
ce
qte
fe
ce
fe l}
T
- T =
q u o
(
.8
o
a>
{
0
qt fa>
- - . T
+
q
te
te
Si l'on pose:
T - T = X + y
o
a>
avec:
s.,
quo
X =
.T
----.T
+
.T
----.T
q
+ q
ce
q
+ q
ce
q
+ q
fe
q
+ q
te
tfo
te
tfa>
te
t fo
te
tta>
te
=
y = - . (T - T
+ q
ce
fe l.8 0
- qte • (T - T
q
+ q
ce
te l.8
q
00
tfo
te
ttoo
te
=
on obtient:
(J .6)
T
- T =
s.,
(T - T 1{(q
- q
q
)( q
+ q
) •
e e t e ·
U 00
U 0 1
o
00
te
tfa>
te

---

51
Cal cul de: tJ
Posons:
A
~ = -
avec
A = q
+ q
et
te
tfOO
B = q
.H
+ q
.H
B
te
e
r r œ
f
on alors:
=
T
-
Too
o
E
)(qtc + qtfoo)(qtfOO- qtfo)
o ' (1
+ Oto
(qt fOO- qtfo)+ (qtfOO+ qt e ).8
-
(qt fo + qt e ).8
0
00
d'où:
(q\\tOO- qtto)+ (qtfOO+ qte ).8
-
(qtfO + qte ).8
0
00
Eo .(1 + Oto )(qtfOO- qtfO)
c'est-à-dire:
1
(J.7)
E .(1 +
o
b) Echelon sur le fluide chaud: qtf= cste
Si
l'on reprend les mêmes calculs qu'au sous-paragraphe a) en con-
sidérant que qtt est constant tandis que le débit du fluide chaud passe de
q
à
q
~, on obtient:
teo
te-
(3.8)
T.. ){(q.. + q.om)[l-E•. (l+R. ) 1
- (q..+ q." ).11 - Em
·(1 + Rm
)1+ (q".- q.om)}
(J.9)
T
- T·
=
fa 0
fa a>-

---

52
(3.10)
~(q
To- Ta> = (q
+q
+q
). (Tee - T,.]{qtt' (qteo -qtea»
tf
teo
tf
tea>
d'oà:
t:!J=--------=-----------------
q.c.,·Bc+ q...Bf q.c"· (Tc••- TU.,] + q... (T...- Th.,]
qu·(qteo- qtea»
+ qteo·(qtf+ qtea»·8
-
qtca>·(qtt+ qteo)·8a>
=
0
q f .E .(1 + ~ ).(q
- q
)
t
0
0
teo
tea>
ou encore:
(3.11)
t:!J =
1 .{1 +
- - - - . S
E .(1 +R )
o
o
qteo - qtc(X)
0
avec
R =
o
qt •• llo
E
et Ea>
sont les
valeurs de l'efficacité thermique du système aux états
o
permanents initial et final •
... R~gill8 laaiDaire pour les deux fluides:
So et
8a> sont
les valeurs calculées respectivement aux états perma-
nents initial et final de l'expression:
(3.12)
8 =
C + r.c. -
f
avec:

---

53
hcl
(3.13)
r =
1 +
hcl
Quant
au coefficient
Ga'
il ne dépend que des rayons de l'échangeur
et son expression est donnée en annexe.
* R~gille turbulent pour les deux fluides:
8
et
8~ sont
calculées dans ce cas aux états permanents initial et
0
final à partir de l'expression:
(3.14)
3.4.2 1 ECOULEMENT CONTRE-COURANT
Les
températures T
et T
sont calculées dans ce cas à partir de
fa
ca
(2.23) et (2.24) et T à partir de (2.25) ou (2.26).
a) Ecbe10n sur le fluide froid: q,c = cste
Calcul de l'expression: T
- T
cao
ca~
On a:
q.•,. {
T
= --.E. T + (1
q.,) exp(-l" )
- -
.T
} (ct.2.22)
ca
q
te
qif
1 - exp(-l")
ce
te
avec:
T' = q
.NUT.
t_lll
(~ -
q
te
q~,),
on en déduit:

---

54
qtalDO
qtc)
exp (-T~ )
T
- T
= -----.E
cao
caCD
T +
1 - - - . - - - - - - - - . T
0
f.
(
quo
1 - exp (-T~)
e e
ou encore:
(3.15)
avec:
qtalDO
qta1DCD
(3.16)
X = -----.E
-----.E
o
CD
qtc
qtalDO
( q t c )
eXP(-T~) qtalDCD ( qtc 1 exp(-Too)
n .11) Y = q"
.E•• 1- q...
• L-exp (-7;) - q"
.E",. 1- q.. ", ·l-exp (-7';')
sachant que l'efficacité E en écoulement contre-courant s'écrit:
qtf
1 - exp(-T')
E =
.-------
exp(-T')
qtc
si
l'on remplace
E par son expression dans (3.16) et (3.17), on aboutit à
la relation:
y = - X
(3.15) s'écrit alors:
qt a l DCD
qtalDo
)
<3.18)
T
-----.E
cao
T
= X.T
- X.T
= (T - T
.E
-
caCD
f.
c.
ce
fe 1(q
CD
o
tc
qtc
Calcul de l'expression: Tfao- TfaCD
On a:
qta1D
{
T
(cf.
(2.21»
fa = ---.E. T
+ (:::
1) ·-1--e~-p-(--T-'-)
q
c.
•Th }
u

---

55
d'où:
1
T
- T
= qtalDo
{
(quo
]
fao
faIX)
- - - . E . T
+
- -
1 . - - - - - . T
quo
0
ce
qtc
1-exp(r~) le
qtalDIX)
{
---.E"". T
+
_
qu IX) - 1]
..,.,
ce
qt f IX)
(qt c
·1 -
qui peut donc s'écrire sous la forme:
().19)
avec:
qtalDO
qtal DIX)
().20)
x = ---.E
---.EIX)
o
qt f IX)
qtalDO
(quo]
1
qtalDIX)
(qtflX)]
1
(3.21)
y = q.t • • E•• ~ -1 'l-eXP(-T;) - q.tm .Em• ~ -1 '-l--e-x--(---T- )-
p
oo
En remplaçant E par son expression dans (3.20) et (3.21), on aboutit encore
ici à la relation: Y = - X
(3.19) peut donc s'écrire:
qt a l DO
qtalDIX)
J
().22)
T
- T
= X.T
fao
faIX)
e. - X. Tle = T
- T
• E
- - - - . E""
( e.
f . )
q
(
0
...,
t fo
qt f IX)
Calcul de l'expression: To- TIX)
On a:
qtal D ]
E qt f
T'
E
(
] }
T = - - - .
E.---- -1 .T
+---.---.
.T
+---. T
-T
.8
q
_q
{(
q
c e
NUT q
1-exp(-T')
fe NUT
e.
le
tf
te
te
te
S étant donné par les formules (3.27) ou (3.28)
d'où:

---

56
t.1DO
l
0
tfo
0
0
E .
-1 .T
+----.----.
.T
+----. T
-T
l}
T -T
=
q
E
q
l"
E
(
&
o
00
{ o
q
ee NUT
q
( )
f e NUT
ee
f e
0
te
0
te
1-exp -l"
0
o
l
qt
l'~
.1 D 00
Eoo
qt f 00
Eoo
(
) }
Eoo· q
-1 .Tee+NUT .q--.
( ) . Tte+
Tee-Tf e &00
(
NUT·
te
00
te
1-exp -l'~
00
qui peut encore s'écrire:
(3.23)
avec:
x =
l"
l"
o
00
y =
-
. - -
. -
-
. - -
. -
qt 10 -qte NUT
qte
Il
1-exp (-l'~ )
qt foo-qt e NUToo qt e
1- exp (-l'~)
qte
s.,
Z =
.S
. Soo
0
quo - qte
quoo- qte
Si l'on remplace E et l"
par leurs expressions dans X et Y, on aboutit à la
relation: Y = - X
On peut donc écrire (3.23) sous la forme:
T
- T
ee
fe 1
(X + Z)
(
ou encore:
(3.24)
T - T =
o
00

---

51
d'où:
6=----------------
c'est-à-dire:
(J.25)
b) Echelon sur le fluide chaud: qtt= cste
Lorsqu'on
effectue les
mêmes calculs
que précédemment
en consi-
dérant que l'échelon est réalisé sur le fluide chaud (q
~ q
~), le débit
tco
tc .....
qtf du fluide froid restant donc constant, on obtient:
T
- T
=
cao
caIX)
et
d'où on tire:

---

58
l:1! =
(3.26)
* R~gi.e la.inaire pour les deux fluides:
8
et
8
sont
les valeurs calculées respectivement aux états perma-
0
œ
nents initial et final de l'expression:
(3.27)
1
E
8 = -. ---. {qtt .
---.C + C + C .r' + [(1
C NUT
q
c
,
1
tc
* R~gillle turbulent pour les deux fluides:
8
et
8
sont
~alculées dans ce cas aux états permanents initial et
0
œ
final à partir de l'expression:
1
(3.28)
8 = -. --- ru
E
--- C + (C
+ C ) + cl.r.}
C NUT· q
. c
,
a
tc
avec:
qt'
hl'
--- +
s.,
hc1
(3.29)
f' =
hlf
1 +
hcl
3.4.3 1 CAS OU L'ECOULEMENT EST LAMINAIRE D'UN COTE ET TURBULENT DE L'AUTRE
Dans le cas oà l'écoulement est laminaire d'un côté et turbulent de
l'autre,
on calculera
8 à
partir de
(3.14) en
co-courant et
(3.28) en
contre-courant;
mais les coefficients d'échange seront déterminés en fonc-
tion du régime d'écoulement de chaque côté de l'échangeur.

---

59
3.5 1 VERIFICATION EXPERIMENTALE
Sur les figures 3.2, 3.3 et 3.4 apparaissent les résultats de trois
essais expérimentaux (points expérimentaux et courbes expérimentales appro-
chées)
effectués sur
l'échangeur N·1
(cf. 52.3);
ainsi que
les courbes
théoriques tracées en calculant ~ à partir de (3.1).
-2
rD
ITfs(t)-Tfs(OO)/
qmc= 9,33x10
kg/s
(ne. = 7920)
4
-2
-2
qmf=
10,83x10
- - - 27,25x10
kg/s
+
(<RF- =
1530 ---+- 3850)
3
- - - - Courbe
expérimenta le:
T
=8
s
exp
2
_ _ _ _ _ Courbe
théorique:
L
h = 7} 4
s
t
1
o
+
+
+
10
t (5)
20
30
40
50
60
FIGURE 3.2: EXemple d'évolution de la quantité IT
(t)-T
(ro)1 pour un
f .
f .
échelon sur le débit du fluide froid (fluide extérieur)
de
l'échangeur bitube N°l (cf.62.3) - Ecoulement co-courant
ITfs(t)-Tfs(CO)/
-2
([)
8 , 3 3 x 10
k g / ,s
("f = 1 1 70 )
2 , 6 7 x 10 - 2 _
1- 7 , 2 2 x 10 - 2 k g / s
+
6
( ~c = 2 260 ---. 14620 )
- - - - - - C o u r b e
expérimentale Ir
=12
s
4
exp
--Courbe
théorique lG
= 1 3 s
t h
2
o
+
+
+
t (5)
10
20
30
40
50
FIGURE 3.3: Exemple d'évolution de la quanti té 1T
(t) -T
(ro) 1 pour un
f .
f .
échelon sur le débit du fluide chaud (fluide intérieur)
de
l'échangeur bitube N°l (cf.62.3) - Ecoulement co-courant

---

60
/Tfs(t)-Tfs(CO)/
8
-2
G)
q
= 5,56x10
kg/s
(ne= 4720)
me
6
-2
-2
qmf
=
5,56x10
~ 13,50xl0
k'ids
( Y<f = 780 ~ 1~ 0 0)
\\.,;~,
Courbe
expérimentale:
1;exn=
14,5
s
4
'~'" -,
C
b
h ~.
'Y
1 5
5
~"
our
e
t
eor~que:
~th=
,
s
~,
+
'0.."::--",_
2
~--:--...
--- ---..
o
t (5)
10
20
30
40
50
FIGURE 3.4: Exemple d'évolution de la quantité IT
(t)-T
(ro)1
pour un
t s
fs
échelon sur le débit du fluide froid (fluide extérieur)
de
l'échangeur bitube N'l (cf.§2.J) - Ecoulement contre-courant
Le
tableau 3.1 donne les valeurs expérimentales 't"
et théoriques
exp
't"tb
de la
constante de temps pour différents essais effectués sur le même
échangeur.
On
constate sur
ce tableau
que l'écart
enregistré n'est généra-
lement
pas supérieur
à 8%, ce qui peut être considéré comme acceptable vu
les différentes approximations faites pour l'approche théorique.
3.6 / ETUDE DE LA VARIATION DE LA CONSTANTE DE TEMPS 't" SUIVANT LES
CONDITIONS DE FONCTIONNEMENT
Les
figures 3.5
et 3.6
montrent la
variation de la constante de
temps
't" en
fonction du
débit final du fluide 2 (échelon sur le fluide 2)
pour
les
écoulements
co-courant
et
contre-courant
et
pour deux types
d'échangeurs différents. On observe dans tous les cas que:
- la
constante
de
temps
't"
décroît
lorsque le débit final q
~
1D2 .......
augmente.
Cette décroissance est très rapide en régime laminaire
tandis
qu'en régime
turbulent, elle
est plus
lente et
't" tend
alors vers une valeur asymptotique 't"/'
- le
sens relatif
des écoulements
(co-courant ou contre-courant)
n'a pratiquement pas d'influence sur 't".

---

NUMERO DE L'ESSAI
1
2
3
4
5
6
7
TYPE D'ECOULEMENT
contre-courant co-courant contre-courant contre-courant contre-courant co-courant co-courant
FLUIDE CHAUD
Débit initial q
(kg/s)
0,056
0,056
0,037
0,150
0,150
0,027
0,093
.c
Reynolds initial ~
4720
4720
3180
12730
12730
2260
7920
••
FLUIDE FROID
Débit initial q.,(kg/s)
0,056
0,056
0,097
0,100
0,056
0,083
0,108
Reynolds initial ~
780
780
1370
1410
780
1170
1530
••
COTE DE L'ECHELON
froid
froid
froid
froid
chaud
chaud
froid
Débit final (kg/s)
0,135
0,161
0,044
0,067
0,028
0,172
0,272
Reynolds final ~
1900
2270
630
940
2360
14620
3850
••
0\\
....
'f
(s)
14,5
13,5
42
27
13
12
8
•••
'f\\ll (e)
15,5
13
45
28
14
13
7,4
ECART (\\)
l't
-
'f
I/'f
7\\
4\\
7\\
4\\
7\\
8\\
7\\
... ,.. ...
TABLEAU 3.1:
Comparaison entre
les constantes
de
temps
théorique
et expérimentale
pour
l'échelon de
débit
sur
l'échan~eur bitube N°l (cf.§2.3)

---

L (S)
100
80
r échangeur 2
échangeur 1
60
2 500
5 000
7 500
10 pOO
Rfa>
1
40
1
1
1
Co-courant
1
0\\
N
1
Contre-courant
- - ----
20
1
.._~~..:=--.;;;:.;;...---= ..---~--~--=_ ..-""""";."'-
1
_ - - -
---..
------..
1
.......,.......
----~~
L
1
w w__ --
- 1
- - . -
t
Dl
1
1
,0,.2
0;4
0,.6
1
0,.8
1,.0
qmfCD(kg/s)
•
,
i
,
i
i
i
..
a
2 500
5 000
7 500
10 000
12 500
15 000 Rf00
Figure 3.5 : Variation de la constante de temps
~
en fonction du
débit final
q f
du fluide froid.
Influence de
la taille de l'échangeur
m
qmfo=5,55 x 10-2
2
kg/s
;
-qm~=2, 78x10- kg/s
Echangeur
1:
r l=15mm. r
16mm,
r
25mm.
r
30mm,
1=2m
2=
3=
4=
Echangeur
2:
r l=23mm. r = 24mm, r = 33mm. r =
2
38mm.
1=3m
(t
b
.
~.
.
3
4
u
e
lnterleur en CUlvre et
tube
extérieur en acier)

---

r (s)
200
150
échangeur 2
échangeur 1
,
1
1
100
5000
7500
ReOD
'1 000
__________ Co-courant
____ Contre-courant
1
~
50
w
_ _ _ _ _ 1
---
-----.J
01
T
- - - 1
1
1
0.05
0.101
0.15
0.20
qmcm(kg/s)
•
4 i
•
1
l '
i
i
'
1
i
..
ft
o
2 500
5 000
7 500
10 000
12 500
15 000
17 500
Rcoo
FIGURE 3.6:
Variation de
la constante de
temps ~ en fonction du débit final
q
du fluide
chaud -
Influence de la
taille de l'échangeur.
mcco
-2
-2
q f=8,33x10
kg/s;
q
=I,39xIO
kg/s
m
mco
Echangeur
1:
r
r
r
r
1=2m
I=15mm,
2=I6mm,
3=25mm,
4=30mm,
Echangeur 2:
r
r
r
r
1=3m
l=23mm,
2=24mm,
3=33mm,
4=38mm,
(tube intérieur en cuivre et
tube extérieur en acier)

---

l: (s)
100
-2
2
q
= 4
x 10
kg/s;
J 1 7
qmfo= 2,78 x 10-
kg/s
mc
(R
= 2300)
(R
c
f o = 280)
\\1
-2
2
1
qmc = 4,17 x 10
kg/s
qmfo= 8,33 x
10-
kg/s
80
\\1
(R
= 2300)
(R
= 850)
1
c
f o
\\1
_
_
-2
-2
q
= 0,69 x 10
kg/s
qmfo = 2,78 x 10
kg/s
mc
\\1
(R
= 380)
(Rf = 280',
1
.
0
1
60
c
\\,
\\,
O'l
40
\\ 1
•
1\\,
"
"
20
'------------------------
---------------------------------------------------------------.
-
!~.=--!=--!~._._._!_.-
- - . - . -
qmf(kg/s)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figure 3.7
Influence des débits
initiaux sur la constante de t emp s tr pou r un échelon
sur le débit du fluide froid
Echangeur: tube intérieur en cuivre: r
= 23 mm, r
= 24 mm
1
2
tube extérieur en acier: r
= 33 mm, r
= 38 mm
3
4
longueur: l = 3 m

---

q
=0,014 kg/s;
qmf=0,OS6~ 0,139 kg/s
---.---
mc
y (s)
(Re.;. = 1 180)
(~= 780_1960)
q
=0,028 kg/s;
qmf=0,OS6_0,139 kg/s
80
mc
('Re. =
2 3 6 °)
('Rf =
7 8°__ 19 6°)
q
=0,028 kg/s;
qmf=0,111~0,139 kg/s
70
mc
(Re:=
2360)
('RE~ IS70~1960)
q
=0,028 kg/s;
qmf=0,OS6--0,083
60
mc
('Re:= 2360)
(~= 780 ~ 1180)
·/""./"".....
50
./""
~-:::::-~~
/ " " . / " "
,&:; ~ ~.::;::-~
40
./"'"
~~o;::::::-~~~
............. ~,~~~~
O"l
(JI
30
.~~,~~'
~.."......-:~,~
~.~~~",,-
20
~;.;:::::::.."....~~
.
-&'.;~;~~
~?"
10
~"",.
L
2
(rn
)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
FIGURE
3.8:
Influence
de
la
surface
d'échange E sur la constante de temps
pour un
échelon de
débit
sur
le
fluide
froid.
Echangeur:
tube
intérieur en cuivre
rl=ISmm,
r 2=16mm
tube
extérieur en acier
r
r
3=2Smm,
4=30mm

---

66
- la taille de l'échangeur a une grande influence sur ~
La figure 3.7 permet de voir l'influence des débits initiaux q
et
.c
q f
sur la
constante de
temps ~
pour un
échelon sur le débit du fluide
•
0
froid. On note que:
- le débit du fluide chaud a une grande influence sur ~.
- le
débit initial du fluide froid influe très peu sur ~ en régime
laminaire et de façon plus apparente en régime turbulent.
Par
ailleurs, ~ évolue de façon presque linéaire en fonction de la
surface d'échange Z entre les deux fluides (fig.3.B).
3.7 1 COMPARAISON DE NOS RESULTATS AVEC CEUX D'AUTRES AUTEURS
Les
figures 3.9
et 3.10
montrent les
courbes expérimentales des
essais
réalisés
par
GILLES
[11] et
par
HDLMES [14], ainsi que celles
déduites
de nos
formules théoriques.
On note dans les deux cas une bonne
concordance entre théorie et expérience.
r----- Courbe théorique (formules: (3.1),
(3.26) et
(3.28»
""C
=
1 4 , 7 s
t h
24
~
- - - - - - -
23,5
expérimentale
de
GILLES
15
s
23
Ecoulement contre-courant
22,5
22, 1 L.-
- ' -
---.
~
__L.
.........
__l..
t
(s)
o
20
40
60
80
100
120
FIGURE 3.9: Courbe expérimentale de GILLES {lI]: échelon sur le débit du
fluide chaud - Echangeur bitube en acier inox: r , = 7,95 mm,
r = 10,65 mm, r = 13,65 mm, r = 16,75 mm, 1 = 6 m
z
3
4
q
= 0,167 kg/s, q = 0,061 ~ 0,083 kg/s
. f
.c

---

67
/T
(t)-T
(cp)/
cs
cs
12
\\
9
~\\
Ecoule~ent contre-courant
\\\\
\\.,
'\\\\-,.
,...-
Cou r b e t h é or i que
(f 0 r mu 1 es:
(3.1),
(3.26)
6
'\\. .1
et
(3.28))
-,
L
h = 14 , 7 s
t
'-,',-
Courbe expérimentale de HOLMES
'<, .r:
3
'1"''-
" .........
"<,---.....~4..---..'-----------------------
o
t
(s)
10
20
30
40
50
FIGURE 3.10: Courbe expérimentale de HOUlES [14}: Echelon de débit sur le
fluide chaud - Echangeur bitube en cuivre: r = 6,35 mm,
J
r = 7,93 mm, r = 12,70 mm, r = 14,29 mm, 1 = 11,28 m
2 3 4
q
= 0,249 kg/s, q = 0,181 ~ 0,091 kg/s
. f
.c
La
figure
3.11
permet
de
comparer
la courbe de variation de ~
obtenue par GILLES avec celle donnée par notre méthode.
GILLES
propose pour
le phénomène étudié une approximation par une
K
fonction
de transfert du premier ordre: F(p) =
. La prise en compte
1 + -r.p
d'une
seule constante
de temps
pour la
description du phénomène rejoint
bien l'approche que nous proposons ici; néanmoins, la théorie de GILLES n'a
été
développée que pour le cas d'un écoulement turbulent des deux côtés de
l'échangeur.
L'extrapolation
de
sa
courbe
au
régime
laminaire
en
particulier
pour
les
faibles
débits)
(GILLES
limite
sa
courbe
à
q.fœ> 0,073 kg/s;
R,œ> 1800) peut par conséquent poser quelques problèmes
de
cohérence,
étant
donné
que
les
coefficients d'échange utilisés par
l'auteur ont été calculés à partir des corrélations de COLBURN.
Dans
la partie non extrapolée des deux courbes, on relève un écart
maximum
de 12\\;
et leur allure respective laisse prévoir un écart relati-
vement faible dans la zone d'écoulement turbulent.

---

Méthode
de
GILLES
[II)
1:""(5)
50
Extra p o I a tion
de
la
courbe
de
GILLES
\\
Courbe
déduite
des
formules
(3.1),
(3.26)
et
(3.28)
40
\\\\\\
ExtrapolatLon
de
la
courbe
précédente
\\. , -.
-2
0
q
=
6,94x10
kg/s
(~= 11130)
30
mc
'-,
-2
0
qmfo=
16,67x10
kg/s
(flfo=
3970)
<,
0"1
20
_.~
00
........
""""-
--.~
-- .
-- ::::--.--.~- -
1
. - - : : . :
-
- -
10 L<r- Ecoulement laminaire
'7j4 _ _ Ecou lemen t
de
t ra ns i t i o n ' - -
1
\\10
'0
f
1
0
q
x 1 0 2 (k
/
o
45
:R mfco
g
s )
1000
2000
3000
4 0
0 0
fao
FIGURE
3.11:
Variation
de
la
constante
de
temps
en
fonction
du
débit
fi na l
q mfood u
f I u ide
f roi d
( é cha n g eu r:
cf.
fig. 3 . 9 )

---

2k9/S
qmc= 1,39 x 10- 2 kg/s
qmf
X 10-
O=6,94
,6.
-2
- - - - - . - - - - qmc= 5,55 x 10-2 kg/s
qmfo=6 ,94 X 10
kg/s
2.0
-2
-- ---- qmc= 2,22 x 10-1 kg/s qmfo= 6,94 X 10 kg/s
-2
qmc= 1,39 x 10-2 kg/s
qmfo= 7,78 X 10
kg/s
------------------------------
-- .
----------------------------------------- -
1.5
1.0
0'\\
\\D
-....-.---._._-_.--._._-_._._-_._._-_.--._._-_._-_._._-_._._-_.-._-
0.5
o
2
qmta* 10
(kg/ s )
5,5
6
7
8
FIGURE 3.12:
Courbe de variation de A en fonction du débit final
q f
ID
du fluide
froid:
cas
des
faibles
variations de débit.
~
Echangeur bitube N°l
(cf.§2.3)

---

70
3.8 1 CAS DES FAIBLES VARIATIONS DE DEBIT: étude du paramètre 6
La
figure 3.12
montre la
variation du paramètre 6 en fonction de
q.fCD pour de faibles variations du débit du fluide froid (fluctuation maxi-
male de 20% autour de la valeur initiale q
) .
• fo
L'équation
de 6 peut dans ce cas être assimiler sans grande erreur
à celle d'une droite: y = k.q
~+ k où k
et k
sont des constantes.
l
mf~
2
l
2
Comme on peut le constater sur cette figure, une modification de la
valeur
du
débit
initial
q
du
fluide
froid n'a dans ces conditions
.fo
pratiquement pas d'influence sur l'évolution de 6.
Le
calcul de
6 pour
les deux valeurs extrêmes de débit du fluide
froid permet de déterminer les constantes k
et k .
l
2
En
introduisant les
débits thermiques
unitaires, on
pourra donc
écrire la constante de temps ~ sous la forme:
C
~ =
.(k.q
CD + k
si l'échelon est réalisé sur
2 )
l
t f
qtfCD+ qte
le fluide froid
(3.30)
C
~ =
.(k.. q
CD+ k')
si l'échelon est réalisé sur
qtf + q
l
te
2
te CD
le fluide chaud
Cette
formulation permet,
dans le
cas des
faibles variations de
débit,
de simuler
de façon
relativement simple la réponse du système (on
suppose que les valeurs extrêmes du débit fluctuant sont connues ou tout au
moins
peuvent être
estimées). L'approximation
peut être considérée comme
acceptable
pour une
fluctuation inférieure
à 25% du débit initial q
du
.0
fluide considéré.
Nous
verrons dans
les paragraphes
qui vont suivre que la théorie
proposée
pour
l'étude
de
la
réponse
d'un échangeur bitube soumis à un
échelon
de température ou de débit peut être étendue sous certaines condi-
tions
à d'autres
types d'échangeurs
(échangeurs industriels
en particu-
lier) .
3.9 1 ELABORATION DE FORMULES SIMPLIFIEES
Les
formules développées
dans les
paragraphes précédents pour le
calcul
théorique de
la constante
de temps ~ sont, dans leurs formes com-
plètes,
relativement
compliquées.
Il
est néanmoins possible d'envisager
quelques
simplifications tenant
compte de certaines observations mention-
nées
dans
les
paragraphes
précédents
et
qui
se
résument de la façon
suivante:
- le
type d'écoulement
(co-courant ou
contre-courant) n'a pratique-
ment pas d'influence sur la constante de temps ~ du système

---

11
- le
paramètre G
est proche
de la valeur 0.75 pour une très grande
3
gamme de valeurs des rayons r
et r
(conf. note Annexe 1).
2
3
qtt
Si
l'on fait
par ailleurs
l'hypothèse que
le rapport --- est de
qt c
l'ordre
de
ou que
la capacité
calorifique Ci
du tube intérieur est
he i
négligeable,
on pourra
alors considérer tout simplement pour le calcul de
~, les formules (3.7) ou (3.11) donnant 6; avec:
0.31)
1
E
{qt f
}
8 = -. ---. ---.C
- (C
+ E.C )
C
NUT
q
e
f
a
te
E = 1,33 si l'ècoulement est laminaire des deux côtés de l'échangeur
E = 1 si l'écoulement est turbulent d'un côté au moins de l'échangeur
3.10 1 CONCLUSION
Le
modèle à
une constante
de temps et un temps de retard proposé
dans
ce chapitre
pour la
simulation de
la réponse d'un échangeur bitube
soumis
à un
échelon de débit, présente l'avantage d'être particulièrement
simple tout en étant relativement précis.
Les
formules proposées pour le calcul théorique de la constante de
temps ~ du système donnent des écarts généralement inférieurs à 10' ce qui,
compte tenu des approximations faites pour le développement théorique, peut
être considéré comme acceptable.
Les courbes donnant l'évolution de la constante de temps ~ en fonc-
tion
du débit
final q
~ du fluide 2 (échelon sur le fluide 2) ont montré
.2 ......
que
~
varie
très
peu
avec
le type d'écoulement (co-courant ou contre-
courant),
et que
l'influence du
débit initial
q
n'apparait réellement
.20
qu'en régime d'écoulement turbulent.
Par
ailleurs, ~ évolue de façon presque linéaire en fonction de la
surface d'échange l entre les deux fluides.
Une
étude limitée
au cas des faibles variations de débit a montré
que
la constante
de temps
~ du système peut s'écrire sous la forme d'une
fonction homographique:
ax + b
~ =
avec:
x = qt2CD (= variable)
et
c = qt1 (= cste)
x + c
et oà a et b sont des constantes.

---

72
~
prend donc
dans ce cas une forme beaucoup plus simple et ne dépend plus
du
tout du débit initial du fluide 2. Cela permet d'envisager son utilisa-
tion
pour la
simulation de la réponse d'un système thermique soumis à une
variation quelconque de l'un des fluides.
Nous
verrons dans le prochain chapitre que cette approche théorique
s'applique
aussi assez bien au cas plus pratique d'un échangeur à faisceau
tubulaire fonctionnant en régime variable.

---

73
CHAPITRE 4:
ECHANGEURS A FAISCEAU UE TUBES
1

---

74
NOMENCLATURE DU CHAPITRE 4
C : capacité calorifique (= p.C .V) (J.K- 1 )
P
(J . K- l • kg- 1 )
C : chaleur massique
p
D
diamètre (m)
e
écartement entre deux chicanes consécutives (m)
E
efficacité thermique de l'échangeur
h
coefficient d'échange par convection
l
longueur de l'échangeur bitube (m)
L
longueur de l'échangeur à faisceau de tubes (m)
n
nombre de chicanes
n': nombre d'espaces entre tubes
N : nombre de tubes du faisceau
Nu: nombre de NUSSELT
NUT: nombre d'unités de transfert
P
: nombre de PRANDTL
r
q : débit massique (kg.s- 1 )
m
q : débit thermique unitaire (W. ·K- 1 )
t
r
rayon de l'échangeur bitube (m)
R : rayon de l'échangeur à faisceau de tubes (m)
R : nombre de REYNOLDS
St: nombre de STANTON
T
température (·C)
t : temps (s)
t : temps de retard (s)
r
U
vitesse de fluide (m.s- 1 )
V
volume (m3 )
W
énergie (J)
x
abscisse le long de l'échangeur
Lettres grecques
~
puissance (W)
v
viscosité cinématique (m2.s- 1 )
p
masse volumique (kg.m- 3 )
~
constante de temps (s)
Indices:
o
régime permanent initial
00
régime permanent final
a
paroi extérieure
c
fluide chaud
e
entrée de l'échangeur
f
fluide froid
i
paroi intérieure

---

75
max: débit maximum
min: débit minimum
s
sortie de l'échangeur
1
rayon intérieur du tube intérieur
2
rayon extérieur du tube intérieur
3
rayon intérieur du tube extérieur
4
rayon extérieur du tube extérieur
indique une valeur moyenne

---

76
4.1 / INTRODUCTION
L'échangeur
à faisceau de tubes avec chicanes est un modèle parti-
culier
d'échangeur industriel qui obéit (côté calandre) à des lois qui lui
sont
propres. Des
méthodes sont
proposées dans différents ouvrages [J7],
[J8,40]
pour un
calcul en régime permanent. Ce type d'échangeur est assez
répandu et se rencontre sous différentes formes à savoir:
- à une passe côté tubes et côté calandre
- à une passe côté tubes et plusieurs passes côté calandre
- à plusieurs passes côté tubes (tubes en épingles par exemple)
Le
but de
ce chapitre
est d'étudier
la réponse d'un échangeur à
faisceau
de
tubes
à
une
passe
avec chicanes pour un fonctionnement en
régime variable.
Après
avoir
observé
expérimentalement
la
réponse
de
ce
type
d'échangeur
à un
échelon de température ou de débit sur l'un des fluides,
nous
proposons une méthode de calcul théorique de la constante de temps "
dont les résultats sont en très bon accord avec l'expérience.
4.2 / OBSERVATION EXPERIMENTALE
L'échangeur
à faisceau
de tubes
à une
passe utilisé lors de nos
travaux
est
un
modèle
industriel
réduit, à géomètrie entièrement modi-
fiable dont les caractéristiques principales sont les suivantes:
- Tubes intérieurs en cuivre
* rayon intérieur: R = 6 mm
1
* rayon extérieur: R = 7 mm
2
- Calandre en acier galvanisé
* rayon intérieur
R = 106.25 mm
3
* rayon extérieur
R = 107.80 mm
4
- Longueur du faisceau: L = 0.95 m
Les
nombres de
chicanes et
de tubes
ainsi que la disposition du
faisceau (pas carré ou triangulaire) peuvent être modifiés pour les besoins
de chaque essai.
Des
essais effectués sur cet échangeur ont montré, aussi bien pour
un
échelon
de
température
que
de
débit,
que les points expérimentaux
correspondant
à l'évolution de la température de sortie du système peuvent

---

77
être
approchés par
un modèle simplifié de type ("t ) (cf. 2.2.1), et que
r
le
sens relatif
des écoulements
n'a pratiquement
pas d'influence
sur.
(cL§4.7) .
On
peut alors
se demander s'il ne serait pas possible d'envisager
l'extension
de la
théorie développée
dans les
chapitres 2
et 3 pour un
échangeur
bitube (échelon
de température
ou de débit) au cas de l'échan-
geur à faisceau de tubes. Cette théorie ne peut pas être directement trans-
posée
à
une
géomètrie
complexe,
mais
il est possible de contourner la
difficulté
en définissant
un échangeur bitube équivalent à un échangeur à
faisceau de tubes, c'est-à-dire ayant la même réponse en température.
Il
s'agit alors,
à partir des caractéristiques géomètriques et de
fonctionnement
de
l'échangeur
à
faisceau
de
tubes, de fixer les hypo-
thèses
d'équivalence permettant de déterminer les dimensions de cet échan-
geur bitube.
4.3 1 HYPOTHESES D'EQUIVALENCE
Il
existe un
très grand nombre d'hypothèses liées cl l'échanqeur à
faisceau
tubulaire et
qui peuvent
être regroupées
en deux grandes caté-
gories à savoir:
- les hypothèses liées à la qéomè tri e et aux mat r iaux :
é
* surface totale d'échange
* sections d'écoulement
~ distdncede parcours des fluides
* capacités calorifiques des tubes et de la calandre
* capacités calorifiques des fluides chaud et froid
* etc ..
- les hypothèses liées au fonctionnement:
* vitesse d'écoulement des fluiùes
* coefficients d'échange des deux côtés de l'échangeur
., etc ..
La
détermination de "l'échanqeur bitube équivalent ll faisant iuter
venir cinq inconnues (r , r , r , r
et 1), il s'agit de s01ectionner parmi
l
2
3
4
.
toutes les hypothèses citées, les cinq qui !lermellent de cerner de la façon
la plus précise, le fonctionnement ell régime de relaxation de ] 'échanqcur à
faisceau de tubes.
Les
hypothèses que
nous avons
retenues pour la rtétermination deu
dimensions de "l'échangeur bitube équivalent" sont les suivantes:

---

78
-
al le
coefficient d'échange
moyen par
convection h
entre le fluide
l t
froid
et la
paroi du tube intérieur de "l'échangeur bitube équiva-
lent"
(pour un
écoulement supposé turbulent) est calculé en appli-
quant
à l'échangeur
à faisceau de tubes les corrélations relatives
aux
écoulements perpendiculaires à des rangées de tubes développées
au paragraphe 4.6.
b) les
capacités calorifiques
du tube extérieur de l'échangeur bitube
et de la calandre de l'échangeur à faisceau de tubes sont égales.
c) la
capacité calorifique du tube intérieur de l'échangeur bitube est
égale à celle de tous les tubes du faisceau.
d) la
capacité calorifique totale du fluide froid est la même dans les
deux échangeurs.
el la
capacité calorifique totale du fluide chaud est la même dans les
deux échangeurs.
On
considèrera pour
simplifier que le tube extérieur du bitube et
la
calandre de
l'échangeur à
faisceau de tubes ont les mêmes caractéris-
tiques
thermophysiques. La
même hypothèse
est faite pour les tubes inté-
rieurs.
4.4 1 CALCUL DES DIMENSIONS DE L'ECHANGEUR BITUBE EQUIVALENT
L'application des cinq hypothèses précédentes se fait de la façon
suivante:
HyPothèse a)
L'hypothèse
a) impose pour les deux échangeurs l'égalité des coef-
ficients
d'échange par convection entre les parois des tubes intérieurs et
le
fluide froid.
Afin de
se rapprocher
le mieux possible des conditions
d'écoulement dans la calandre de l'échangeur à faisceau de tubes, on suppo-
sera
que le
régime d'écoulement
dans la
zone annulaire
de "l'échangeur
bitube équivalent 1\\ est turbulent.
En
prenant
comme
corrélation
la
formule
de
COLBURN, on obtient alors
l'équation:
Xf
-----.O.023.(P f )1/3.(R )0.8
f
2.(r - r
)
r
3
2
que l'on peut encore écrire sous la forme:

---

79
1
'\\
-.-.O.O:U.(P
)l.a. ( ~ . qm f ]0 . Il
(4.U
(r - r ). (r + r
.
' )
)0. Il
3
2
3
2
--
r f
h
2
~.p .V
1 f
f
f
Hypothèse b)
L'application de l'hypothèse b) (égalité des capacités calorifiques
des tubes extérieurs) donne l'équatiun:
C
= 1t. L. (R2
n,
r2
-
R2 ) . f' . C
0:
1. (r 2 ..
) . p
• C
8
4
3
a
pa
4
J
a
pa
d'où on tire:
(4.2)
Hypothèse c)
Le
même raisonnement
que ci-dessus
mdis appliqué aux tubes inté-
rieurs donne:
C
1t. L. N. (R2
(r2 r2
.
R2 ) . P . C
-
11:.].
·
) . p
. C
1
2
1
t
pi
2
1
1
p 1
ou encore:
(4.3)
Hypothèse d)
si
la capacité
totale du
fluide troid
est la même dans les deux
échangeurs, on a alors l'équation:
1t.L. R - N.R 2)
.
C
:1
.p.C
f
(
3
2
f
p f
d'où:
(4.4)

---

80
!f.l'pothèse e)
L'application de l'hypothèse e)
(éo a i i t
des c apari t
é
è s
ca.l o r i ri que s
totales des fluides cllauds dans les deux (changeurs) conduit ~ la relation:
c
2
N.1t.L.R .17'
.C
n . l . 1'2 ,~, • C
1
t
pc
\\
t
pc
D'où:
un
obtient donc
ainsi un
svs t cme de cinq (>qualiolt:i dont
les cinq
inconnues
sont les
dimeris i ons de "L' ch ancetu b i t.ubc equ i va l ent ":
r
r ,
è
l '
2
r
r
el
l:
a '
4
( r
..
r
). (r .. r
y). U
3
2
3
z
i . (1':
rn
( 1. 6)
J.(1'~ r~)
1 • (1'~
r~)
l.r 2
N.L.k2
1
1
;\\f
c
.0,023.(1'1', )1
0
')
..[.""'
1t. ~'l • ~..i
h l t
r
C
\\{~ .L.N
1
1
(.1. 7)
C .,
(R~
,N. 2)
RI.' L
C
(\\{~
2)
R
. L
3
3
c
(R~ k:l.)
1
. .
\\
N
.1
·1
En i n t rodu i s an t ce s paramètres dans I cs (quatJons du sy~;tèrrlt' (1.6),
il vient:

---

81
l,B
c .(c
r
c i e )
o
1
:l
"
r :l
C
!
('
1
z
(<1.8)
1 '.
..
r<:
J
[~
r
•.
t 4
4.5 1 CALCUL DE LA CONSTANTE DE TEMPS < EN REGIME DE RELAXATION
Les
dimensions
déterminéed
c i vdcs sus
sont celles d i un \\'?t'hallqeur
bitube
qui, en r é.rime de re l axa t i ou , dura un comport emcnt t h-rm i qu. prut'\\le
de celui de l'échangeur à faisceau de tubes ayant servi pour son calcul. La
notion
d'''hypothèses d'équivalence"
ne doit
être considérée que comme un
artifice
de
calcul
permettant
d'approcher
le
comportemellt
en
rég i Ille
variable
d'un échangeur
à faisceau
tubulaire qui
requiert, comme
on le
sait, des modèles t'elativement complexes de calcul.
La
méthode
de
"l'échanqeur
bitube
équivalent" proposée dans le
par aq r a phe
précédent ne
s' aj.p l i que qu'à
la constante de temps <. Elle Ile
doit
pas être extrapolée à d'autres paramètres comme par exempl e I c-s eI I i
cacités des deux échangeurs qui ne sont pas les mêmes.
La
cons t ante de temps '{ pour lin échelon de t empé r a t ur e ou de débll
peut
donc à
présent être calculée sur la base des caractéristiques géom~­
triques (4.8) et t he rtnophys i ques de J "échanq cu r b i t ube déterminé ci des:.>us,
à partir de la formule:
C.6
q t (' -+ q t t

---

8~
Pdl' a i l l eu r s , ') étant
p r a t i quetnen t
indépendante du ~;PIJ~l ro I a t i I dl':>
écou l emen t s
(co-cuurant
ou
con tr e-xoiuau t ) •
e l l e
pourr.i
t re t ou t s i ru
è
p l emeu t
calculée ct
partir des f o rmu l e s d ve l oppèe s
é
POUl
1111
I-'('olllelllellt
l'a
COllrant.
Pour 1111 échelon de t empé r a t.u re [:)lj,
url aura:
~.N~T
(L 1))
t..
c
• [".c
-r-
l '
. {: "
C,
t
\\
1 c
La
I ormu l e de F est
donnée en
(3.13)
(' t
ce 1 1 p de r,
l'Il
anncxo .
J
Dans I e l'Cl s deI 1 É' che 1011 cl e cl ,:>1, i t . () Il ut i I i ~> e r il l f.'~; f 0 l'mu] e~; (1. 7)
ou
(3.lll
pourcalculer::~.
4.6 / CALCUL DES COEFFICIENTS D'ECHANGE POUR L'ECHANGEUR BITUBE EQUIVALENT
4.6.1 / COEFFICIENT D'ECHANGE DANS LE TUBE INTERIEUR
Le
coefficient dé chanue
par l'onvpction h
en t r e Te Ll ui d« chaud
c \\
et
le
tube
intérieur
de
"Lt é chanqeur
bitube
équ i va l eu t " est cale'tllt',,~
partir
des formules
données en Annexe pour les régimes d'{~I'()njement J an.i
na i r e et turbulent.
4.6.2 / COEFFICIENT D'ECHANGE DANS LA ZONE ANNULAIRE
Pour
la
vérificatioll
expérimentale
de nos résultats thforiqucs,
nous
avons utilisé
pour le
calcul
du
norab re 1\\P NUSSELT \\lu
les t o rnru l e s
f
propuséps
pal une équipe de
r e cher che d'E1ectricit? de Fr ance {6] pour des
écoulements perpendiculaires à des l'cl u9 é l' S de tub es ]1a r a l I (' l e s .
Dans
] "app li cat ion
de
l t h ypo t hè s e
.i l ,
tout ,,(~ passe en réal dé
comme
n
le cupfficient e t f e c t i t d'échanqe par conve c t ion il'
dans la zone
1 t
annulaire de "l'échangeur bitube équivalent" était mu l t i p l i
par un
é
cue f l j
c i en t de corre c t i on k :
h
Lll'
1 f
\\ t
Les
t r a vaux cités
ci -de ssus ont
porté sur l'étude des t r ans t e r t s
therllliqlles
et des
pertes de charge
(côté calandre) dans des échanyeurs de
chaleur
gaz-eau à
c i r cu l a t i ons o r t hoqon a l es ,
J t ubes
Li snvs (l'edu cil'
cule dans l ('~; tubes), avec un nombre de nappes supé r i «ur ,\\ 10.
Les
Lo rmu l e s proposées dans ce paraq r a pho s ' a pp l i qucn t donc e s s e n
tiellement
lorsque l c
fluide qui
circule dans la ca l andr e pst du q az . Le
coefficient
Il
a i ns i
calculé
est
environ
cinq lois supé r i eu r ,'1 ('(.'lui
1 f
ob t en u
e x pé r i men t a 1f' ru f' Il t
(ou
l ' ,J l c Il J é
;1 Pil r tir
dl' :J 10 rtuu 1f~ s de KER N l·JO j) .
Les
rés u l t at s
e"p{'rinHIlLlUx
011\\
né anmo i us
montré'
(ct.§4.7)
que ce t t c

---

83
correction
sur le
coefficient d'échanqe
permet d'affiner de taçon satis-
faisante l'équivalence recherchée entre les deux échall<jl!urs.
-
Tubes en quinconce
FIG.4.1: Schéma de disposition des t ube s du faisceau
Pour
le~ tubes
en ligne,
deux paramètres onl 6t6 introduits pOUl'
fixer la géomètrie en similitude (figure 4.1):
S
S
T
L
(4.10)
X
X
avec: D -0 :~.R
T
J)
L
D
2
Pour les tubes en quinconce, un autre paramètre est introduit:
X - 1
S
T
0
(.1. III
avec
X
~.(X - 1)
o
D
o
~
représente le
rapport des vitesses entre tubes dans une section oblique
et dans une section frontale.
Nous
proposons dans
les formules qui vont suivre, Id <:onstruction
du
nombre de REYNOLDS Rf à partir de la vitesse U dilns la uection minimale
d'écoulement (A
) au niveau du diamètre, entre deux chicanes.
min
Dans la suite, e désiqnera l'écartement entre deux chicanes consé-
cutives et n' le nombre d'espaces entre tubes au niveau du dIamètre de la
calandre.
a ) Tubes en ligne
(4.12.)
A
n' .0;
- D).e
.in
T
Pour JI! c.is des tubes non jointifs (X
/
l),
on a:
L

---

84
\\
St . (P
):l /3
O,O~l. ] -t- 6,2. X~ T 0,90) 0.6
}
0,98
.\\0,<' .1ÇO.32
f
r' f
{
[
d'où on tire:
X
+ 0,90) 0, 6
(4.13)
St
0,023. 1 + 6,2.
T
.X - 0, 2}. R- O. 32 . (P
r 2! 3
f
l
f
r f
{
[ X
- 0,98
T
Rappelons ici que St
s'écrit en fonction de Rf et NU
sous la forme:
f
f
NU f
(4.10
() .P
A f
r f
b ) Tubes en quinconce
S
(ou T
:1<
Si '1' > 1
> s
;), on a:
2
0
(.t, 15)
A
.. n' .(S
-
D).e
mi 0
T
0 , 6 6
}
_ 1
. R~ o. 346
)
d'où:
29 . 'l'1 . 2 . \\
0 , 6 6
}
(4.16)
1
. R- °. 3 4 6 • (P
r 2 1 3
f
r' f
[
X - 1
]
T
ST
:1<
Si '1' ~ 1
- , S
on a:
')
0
~
(4.1'7)
A
n' .(2.S
- 2.D).e
min
o
et St
sera calculé à part i r de (4. Hi) .
f
Le coefficient d'échange h
s'écrit sous la forme:
1 t
À • St f . Rf • Pr f
.J". .
Il

---

85
NOTE: Pour les
faibles nombres de nappes ( <10 ), on pourra multiplier Nu
par le facteur de correction Œ donné dans le tableau ci dessous:
Nombre de nappes
l
2
3
5
6
7
8
9
10
œ: ligne
0,64 0,80 0,87 0,90 0,9~ 0,94 0,96 0,98 0,99
1
oc.: quinconce
0,68 0,75 0,83 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
1
TABLEAU 4.1: coefficient de correction du nombre de NUSSELT pour
i t t
â
é
rents nombres de nappes
4.7 / VERIFICATION EXPERIMENTALE
Des
essais expérimentaux
(échelon de température ou de débit) ont
été
réalisés sur l'échangeur à faisceau de tubes décrit au paragraphe 4.~,
pour
différentes configurations
du faisceau et pour différents nombres de
tubes et de chicanes.
Les pas du faisceau sont les suivants:
* disposition carrée:
38 tubes:
pas
27 mm
76 tubes:
pas
19,5 mm
* disposition en quinconce:
38 tubes:
pas - 19mm
76 tubes:
pas
13,5 mm
La vérification sur la constante de temps, est faite sur le fluide
froid.
Quant à
la réponse
de l'autre
fluide (fluide
chaud), elle donne
comme
indiqué au chapitre 5, des résultats confirmant la justesse de l'hy-
pothèse d'une constante de temps unique pour l'ensemble du système.
4.7.1 / ECHELON DE TEMPERATURE
Les
figures
4.2
et
4.3
montrent
les points expérimentaux, les
courbes
expérimentales
et
théoriques
approchées
ainsi
que les valeurs
correspondantes
des constantes
de temps
pour deux
essais relatifs
à un
échelon de température sur le fluide chaud (circulant dans les tubes).
. :'.'-
Le
tableau
4.2
donne
un
récapitulatif
des
différents
essa+~
effectués
ainsi que
les écarts
observés entre théorie et expérience. Ce~
écarts
sont compatibles
avec les incertitudes liées aux essais expérimen-
taux et à la méthode théorique proposée ( < 11% ).

---

86
/l'f-
(t)-1'f-
(co)/
s
s
12
Echangeur
il
f a i s c e a u
de
t u b e s
+ +
(pas
t r i a n g u l a Lr c ,
76
t u b e s ,
4
chicanes)
9
+
Cou r b e c x il é r i m C n t cl le:
y
=
54
s
Cc xp
6
_ _ _ _ _ _ Co u r b c
théorique:
c
= 58 s
th
3
+
o
t (s)
50
100
150
200
250
300
FIGURE 4.2: Ecbe l ou de température: courbes
IhéorlCfU2 et
exp~rimtiJtJl~
q
O,~)08 J...<J.~; -1
(éf)
1)80); Cf
0, J3 J 1..(1.:; - 1
(:YI' .3 10)
me
v~
ml
c
12
Echangeur
à
faisceau
tubulaire
(pas
carré,
76
tubes,
4
chicanes)
9
Courbe
expérimentale:
rr:
==
90
s
Le x p
Courbe
théorique:
c
==
93
s
th
6
3
o
t (8)
50
100
150
200
250
300
350
400
FIGURE 4.3: Echelon de temp~rature: courbes théorique
el
expérimentale
q
.. 0, l6! kq .» -1
(:YI
.J65); q
'0,161 ka .» -1
(jl~ 15·1)
me
t '
ml
.
c:

---

---
NUMERO DE L'ESSAI
1
2
)
4
5
6
7
- -
SENS RELATIF DES
contre-courant co-courant contre-courant contre-courant
co-courant
contre-courant co-courant
ECOULEMENTS
--
FLUIDE CHAUD
Débit q
(kg/s)
0,167
0,250
0,161
0,161
0,208
0,161
0,161
.c
Reynolds R.
460
100
460
460
580
930
930
ax
FLUIDE FROID
Débit q
(kg/s)
0,161
0,333
0,161
0,250
0,333
0,250
0,555
. f
Reynolds R.
140
490
140
210
310
280
620
BX
DISPOSITION DU
carrée
carrée
carrée
carrée
triangulaire
carrée
carrée
FAISCEAU
0::>
--
--'
NOMBRE DE TUBES
16
16
16
16
76
38
38
NOMBRE DE CHICANES
8
8
4
4
4
4
<1
•
(s)
91
62
90
74
54
50
37
exp
-
"(
(s)
96
55
93
16
58
54
tb
38
ECART (\\)
1·
- .
Il.
05%
11%
03%
03%
07%
08%
03%
exp
tb
exp
TABLEA[
4.2:
Comparaison
entre
les
constantes
de
temps
thêorique
et
expêrimentale
pour
l'échelon
de
température
sur
l'êchan~eur A faisceau de
tubes.

---

88
4.7.2 / ECHELON DE DEBIT
Les
figures 4.4
et 4.5 ainsi que le tableau 1.3 se rapportent dUX
essais
effectués pour
un échelon
de débit
sur l'un
ou l'autre des deux
fluides de l'échangeur à faisceau de tubes.
4.7.3 / OBSERVATIONS
L'écart observé entre les valeurs expérimentales de la constante de
temps
, e t les valeurs théoriques calculées à partir des formules déduites
de
la
notion
d"'échangeur
bitube
équivalent"
est d'une façon qénérale
relativement
faible
(intérieur
à
10%),
ce
qui
valide
notre
concept
d'échangeur bitube équivalent.
Ces
essais ont montré' d'autre part que le sens relatif des écoule-
ments n'influe pratiquement pas sur la valeur de la constante de temps, du
système.
Ceci se
conçoit d'ailleurs
aisément lorsqu'on
sait que la pré"
sence
des chicanes
dans l'échangeur
impose un écou l emeut croisé, que l l es
que soient les positions relatives des entrées des deux fluides.
ITfs(t)-Tfs(OO )1
10
8
Echangeur
à
faisceau
tubulaire
(pas
carré,
76
tubes,
4 chicanes)
6
- - - - - - - C o u r b e
expérimentale:
C
=
68
s
exp
- - - - - - - C o u r b e
théorique:
G
=
64
s
t h
4
2
- - -
'...::'?-::::;r;:-
_
o
t (5)
25
50
75
100
125
150
175
200
FIGURE 4.4: Eclie Ion sur le
âébi t du fluide froid: courbe théorique et expé-
rimentale.
q". 0,167 kq .» -1
(:Jf..'
460)
iDe
C
q ." 0,167 -f 0,J50 ka ,«:'
(4~, 140 -f J10)
ID t
"'1

---

NUMERO DE L'ESSAI
1
2
J
4
5
6
SENS RELATIF DES
co-courant co-courant contre-courant
co-courant
contre-courant co-courant
ECOULEMENTS
FLUIDE CHAUD
Débit initial q
(kg/s)
0,167
0,167
0,167
0,250
0,208
0,167
.c
Reynolds initial R.
460
460
460
700
580
930
ax
FLUIDE FROID
Débit initial q
(kg/s)
0,167
0,167
0,167
0,333
0,500
0,167
. f
Reynolds initial R.
140
250
140
370
560
190
ax
COTE DE L'ECHELON
froid
froid
froid
chaud
froid
froid
Débit final (kg/s)
0,250
0,555
0,333
0,167
0,250
0,333
Reynolds final R.
210
820
280
460
280
370
00
ax
'-0
DISPOSITION DU
carrée
carrée
carrée
triangulaire
triangulaire
carrée
FAISCEAU
NOMBRE DE TUBES
76
76
76
76
76
38
NOMBRE DE CHICANES
4
8
4
4
4
4
•
(s)
68
36
58
44
48
38
exp
•
(s)
64
40
53
41
52
36
th
ECART (\\)
1.
- .
1"
6%
11%
8%
7\\
8\\
5\\
exp
tb
eKp
TABLEA~~_~:
Comparaison
entre
les
constantes
de
temps
théorique
et
expérimentale
pour
l'~chelon de débit sur l'échangeur a faisceau de
tubes.

---

90
/Tfs(t)-Tfs(OO )/
6
Echangeur
à
faisceau
de
tubes
5
(pas
triangulaire,
76
tubes,
4 chicanes)
4
t
Courbe
e x o
r i me n t a le:
'""r'
=
44
5
é
.
v e x D
3
,+ ------ Courbe théorique: T = 41 s
th
, +
',-,
2
"'-..;
'f.
1
.
o
~_~~7.-~----,,+~
•._~:;~~...;k._~_ _~
t (s )
25
50
75
100
125
150
175
200
FIGURE 4.5: Echelon sur le débit du i l ui de chaud: courbe théorique et e.\\jJt'·
r iment.e l o.
7 ' 0, nJ ka . s - 1
(~c J 10)
l
l1J f
-
c
q
c
0,:150"" 0,16/ kg.s- 1
(.~, 700 ..., 460)
ID t
,
4.8 / INFLUENCE DES PARAMETRES DE L'ECHANGEUR POUR UN ECHELON DE TEMPERATURE
4.8.1 / INFLUENCE DU NOMBRE DE CHICANES
La
figure 4.6
montre la
courbe de
variatiun de
la constante de
temps
~ de
l'échangeur à faisceau tubulaire du paragraphe ~.2 pour difl~­
rents nombres (n) de chicanes. On observe que l'écart engendré sur 1 pd.' ce
pdramètre est très faible (l'écart maximum relevé Ile dépasse pas 1~%).
4.8.2 / INFLUENCE DU NOMBRE DE TUBES
Lorsqll'on fait varier le nombre (N) de tubes du faisceau de 76 ~ 18
(réduction
de moitié),
la constante
de temps ~ est réduite d'environ 30%
pour
les faibles
valeurs de
q
(
0,2 kg/s). Cet écart diminue ensui le
ml
progressivement;
les deux courbes tendent alors vers une asyruptote commune
~
(voir fig.4.7)~
1

---

G (~)
+
Echangeur
à
faisceau
de
tubes
r~
180
(pas
carré,
76
tubes,
q
=
0,167
kg/s
mc
4 chicanes
i \\\\
-
-
1,\\\\
8 chicanes
140 f
\\ \\
. ---
12 chicanes
-
-_.-
-
16 chicanes
j
~\\.
1
-,
100 L
\\.D
i
.....
"'~
60 p
~. ---:..~
_
_
_ _ • •
. •
-
- -
0
--4-._.
_
_
__ - - t __
20
_ ~
~
- - -
--- ".---
_ _ _
~ L -
-
---~
---"-;.0 qmf(kg/s)
0.2
0.4
0.6
0.8
FlI;['lW {'.h:
\\'arl.1.til'll de' LI c or s t an t e de t ernp s
t.h ê o r i que 1;' en fonction du d êb i t
qmf
du fluide
Froid -
I n f l u enc e du n omb r e de c h i ci n e s

---

r (s)
f\\
180
Echangeur
\\
à faisceau de tubes
\\ '
Pas carré, 8 chicanes, q
= 0,167 kg/s
mc
140 r\\ \\
76 tubes
38 tubes
1 \\
\\
100
~
1
\\
r \\
'
<.0
tv
<,
<,
60 r
<,
20L
-- -- -- --
-
~
._-----_._--_.------
qmf(kg/s)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FlcrRF 4.7:
\\ ' : l r l : J t i l ) n
de la constante de t crnn s
t h
o r i q uu <:' o n
ô
I onc t i on
du déhit qmf
du
[ lu i d c
froid -
influence du n omh r e dl'
tubes.

---

c (s )
Echangeur à faisceau de tubes
140
8 chicanes, 76 tubes; q
= 0,167 kgjs
mc
pas carré
pas triangulaire
100
\\.0
(...J
1
60 ~
i
i
1
1
~--~--=:-------------------------------------
!
20 l
~.2
~. 0 qmf(kg/S)
o
0.4
0.6
0.8
'-lCl"HE
4.8: Variation de la constante de t e mps théorique ' t en fonction du débit qr~f
du fluide froid -
Influence de la disposition du faisceau

---

94
4.8.3 / INFLUENCE DE LA DISPOSITION DU FAISCEAU
La
figure 4.8
montre l'évolution de ~ pour les faisceaux carré et
triangulaire avec 76 tubes et 8 chicanes.
Nous
observons sur
cette figure
l'existence d'un
point d'inter-
section
(pour q
~ 0,4 kg/s ) entre
les deux
courbes. On note que Test
mf
légèrement plus faible pour le pas triangulaire lorsque q
est inférieur à
mf
0,4
kg/s et
plus élevée
dans l'autre
cas. Bien que cet écart soit géné-
ralement
faible, on peut néanmoins dire que si l'on désire par exemple une
réponse rapide de l'échangeur à faible débit, c'est la disposition en quin-
conce
qui sera la plus favorable, et la disposition en ligne sera la meil
leure à grand débit.
4.9 / BILAN D'ENERGIE SUR UN INTERVALLE DE TEMPS DONNE PENDANT LA PHASE DE
RELAXATION
4.9.1 / ENERGIE TOTALE ECHANGEE (W)
Pour un échelon de température sur le fluide chaud (instant t = 0),
l'énergie
Weffectivement
échangée avec le fluide froid sur un intervalle
de temps [t
, t ]
durant la phase de relaxation a pour expression:
1
2
Jt
(4.18)
W - q
.
2
( T
( t ) - T
)d t
t f
t
fs
te
1
l ' CAS
t
~ t
< t
1
r
2
Posons
t
x:
t
- t
d
2
r
Le calcul de Wdonne:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ---------------- --------------- --- --------- -----
w
q tf {(T fso -T
)(t -t
)+(1
-1
).t +T.(T
fe
r
1
fsOO
fe
ct
",,-T
fs""
f50 )(exp(--~1-1]}
(4.19)
T
- - - - - - - - - - - - .._--------------------------------------
S.i t
= 0:
..
1

---

95
Si t
= t :
l
r
W-
~.(T
q
{(T
- T
).t
+
-
-
t f '
fso
fe
ct
fsoo
(4.21)
2· CAS:
t
~ t
et t
> t
l
r
2
r
On obtient pour W:
)+~.(T
t2·~·trl~~~-:-(_1-~-l-]}l
(4.22)
W= q
{(T
-T
)(t -t
oo- T
)(ex p(-
t
t f
fso
fe
2
1
fs
fso
1
'.~
-_.-
.._~---
4.9.2 / ANALYSE DE L'EXPRESSION DE (W)
L'énergie
W effectivement
reçue
par
le
fluide froid entre les
instants
t
et t
se
présente sous
la forme d'une somme de deux termes:
l
2
W= W + W . Par exemple, dans la formule (4.20) on a:
l
2
(4.23)
W = q
.
2
t f
~.(T '"- T ). [exp(- t 2
fs.....
fso
~ t r1 1j
On remarque que W correspond à l'énergie calculée sur la base du
l
régime
permanent (W
> 0). Quant à W , elle correspond à l'énergie liée au
1
2
temps de réaction du système à l'échelon.
La
quantité [exp (~ t,: t,)
1J
étant toujours
néqati ve • le
signe de W
sera déterminé à partir de celui de (T
00-
T
)
2
fa
fso
a ) Cas d'un échelon positif
Si
l'on effectue un échelon positif sur la température d'entrée du
fluide
chaud, alors
T ",- T
est positive. W
prend alors dans ce cas
r s œ
fso
2
une
valeur négative;
et donc l'énergie réellement échangée West toujours
inférieure
à l'énergie
Woo~ W calculée
sur la
base du
régime permanent
1
final.

---

96
b ) Cas d'un échelon négatif
L'expression
(T
",,- T
) est
dans ce
cas négative. West a l or s
t s »
f 5 0
2
positive
(énergie stockée
dans le
système); et donc West toujours supé-
rieure à l'énergie W = W
oo
calculée sur la base du régime permanent final.
1
Note: Dans les deux cas,
/(- /(a> tend '(ers 0 lorsque t tend vers l'infini
(candi tians du régime permanent final).
4.9.3 / EXEMPLES NUMERIQUES
Le tableau 4.4 illustre ce qui précède pour des durées de fonction-
nement t
- t
= ~
2~ ou 3T.
2
l
'
Les
valeurs réelles
de W sont obtenues à partir d'essais experl
mentaux
ayant permis
d'obtenir t
et T
sur l'échangeur
à faisceau tubu-
r
laire
décrit au paragraphe 4.2, pour un faisceau à pas carré avec 76 tubes
et
8 chicanes.
Les calculs
sont faits
ici à partir de la formule (4.20)
(cas t = 0 ).
1
-
type
co-
co-
co-
contre-courant
d'éc oulement
courant courant courant
chelon
E
>0
>0
<0
>0
<0
- - -1------
-
-
---
----_._-~
kg. 5- 1 )
0,139
0,203
0,161
0,175
0,168
- - f----- --- '------1---------
- - - -
---_....- --
kg. 5- 1 )
0,283
0,347
0,417
0,282
0,283
- - - - --
------_."-
- - - -
- - - - - "
786
27
W (kJ
1592
55
r" T 580 720 9
)
t: = 2.T
1160
1404
17
t = 3.T
1740
2106
26
2386
82
t
- - - - - - - - - - - -
310
no
926
967
r" T 225 280 835
)
t: = 2.T
672
882
994
1655
1057
t = 3.T
1203
1465
1056
t
-- - - - - - - - - - -
-----
- - - - --,- -------
t
157%
95%
= T
158%
151%
98%
t
72%
93%
Ecart(%l{ t = 2.T 73%
71%
97%
t
t
72%
93%
= 3.T
73%
71%
97%
t
L - _ _ _ _ _ _ _ _ L-_ _ _ _ _ _ _ _ _
---
------_.
TABLEAU 4.4: Comparaison entre les valeurs de W et W':.\\.l pour des
durées de fonctionnement ~gales j
T,
1T et lT.
W = énergie calculée à partir des formules du régime transitoire
W = énergie calculée à partir des données du régime permanent lnitiJl
OC)

---

97
Les
résultats du tableau 4.1 montrent bien qu'en régime de relaxa
tion,
même
pour
des
périodes
de
fonctionnement égales à trois fois la
constante
de temps ~ du système, l'erreur commise dans l'estimation de W à
partit
des formules du régime permanent peut dépasser 50%. Un tel pourcen-
tage
d'erreur peut engendrer de graves problèmes dans nombre de process et
affecter de façon irrémédiable la qualité des produits à la sortie.
De
même, il
devient pratiquement
impossible avec
un tel
degré d'erreur
d'assurer
dans les
immeubles d'habitation par exemple, le maintien du ni-
veau de température désiré.
4.10 / SIMULATION: FONCTIONNEMENT D'UN ECHANGEUR A FAISCEAU DE TUBES POUR
UN REGIME VARIE QUELCONQUE
4.10.1 / INTRODUCTION
Il
apparait nécessaire
(compte tenu des résultats du tableau 4.4)
de
pouvoir simuler
de la façon la plus précise, la réponse d'un échangeur
thermique
soumis
à
un
régime
variable quelconque. Une telle simulation
théorique
permet de
suivre l'évolution
réelle de l'énergie effectivement
mise en jeu au cours d'un procédé et d'apporter au moment où il le faut les
ajustements nécessaires.
Pour
la simulation
théorique du fonctionnement d'un système ther-
mique
en régime
variable, il
est indispensable de connaître la réponse à
chaque signal unitaire.
Pour
un
système
linéaire
(par
rapport
aux actions subies), il
suffit
de connaître
la réponse indicielle fIt) à une action unitaire u(t)
(cf.
formule (4.25));
la réponse
y(t) à
un signal
quelconque x(t) peut
alors s'écrire de façon relativement simple en tonction de f(t).
Différentes
méthodes peuvent
être envisagées pour l'approximation
d'un
signal d'entrée
quelconque x ï t ) [7,8,18,21J. Nous ne retiendrons ici
que celle consistant ,1 le décomposer en une somme de créneaux.
4.10.2 / METHODE DE SIMULATION: Décomposition du signal en somme
de créneaux
Il est toujours possible de décomposer une fonction quelconque X(l)
en
somme de
créneaux de largeur at - Ct
- t
), chaque créneau êtant la
1
1 - 1
somme de deux échelons d'amplitude a et (~a) (cf. Fig.4.9).

---

98
x (t)
a «. )
1
1
1
1
~.6t
t. 1
t.
1-
1
FIGURE 4.9: Décomposition d'un signal quelconque en une somme de créneaux
En
appliquant le théorème de superposition des systèmes linéaires,
la réponse y(t ) à l'instant t
s'écrit:
n
n
n
i=l
où
f(t) représente la fonction d'influence du système (réponse à l'échelon
unitaire) et où t
et t
délimitent dans le temps le créneau.
1 - 1
1
D'après les résultats du paragraphe '1.2, on sait que f(t) peut être
approchée par une loi du type (2.1) :
t ~ t
f(t)
0
r
(4.25)
t ~ t r
fIt)
t
t,) }
0
1(.,) .{l . exp (
,
avec
f (00)
H
fonction
de transfert (ou transmittance) statique du
0
système
On pourra donc dans ces conditions écrire (4.24) et (4.25) sous la forme:

---

99
y( t
)
n
(4.26)
.. t
- t
si
t
~ t
- t
l'
1
1
n
l'
si
t
~ t
- t
1
n
r
(4.26)
peut être
développée suivant
les composantes de SI à condition de
distinguer deux cas: t
< Ot
et t
~ Ot.
r
r
Dans
le cas
particulier des
échangeurs thermiques, la réponse du
système
à laquelle
nous nous intéressons est le plus suuvent la puissance
échangée ~(t): y(t) = 4l(t) - 4l(O).
Après
développement des calculs et en remplaçant y(t), a et H par
a
leurs
expressions respectives,
il est possible de déterminer la puissance
mise
en jeu
dans le système entre deux instants t
et t
pendaltl la phase
1
z
transitoire.
L'énergie réellement échangée entre t
et t e s t :
1
:l
m
m
a
a
(4.27)
w
~ [I: 1l(t)dt.
l'
1 + 1
.Ot
1
1=1
1
-
l'int.ervalle
[ t.
, t
est décomposé
en
un nombre m d' intervalles
1
:l
a
t.
..
t
:l
1
[ t.
, t.
de largeur Ot
t
-
t
1 + 1 ]
1
m
1 + 1
1
a
41
est la puissance sur l'int.ervalle de temps r t
,
L
1
t
1
1 +1 ]
* Pour Ot. ~ t.
, on a:
r
_ _ _ _ 0
• • • _
• •
0 0 .
0
• • • 0
• • _ .
0
0 .
• • _ . 0 . _
• •
0 _ " ' _ .
~, "~,_,.e'{ ~tl E.q,.,,,lr,,(t,) -rfol.{l expl 6t" t, l}
+
- E.Q,.,.r- (t,_. )-r•• }.ex{ ~tl +-expl:'l}

---

100
Pour t
) 6t
et en choisissant 6t de telle ~orte que t
: m.6t,
l~
1-
(avec m entier < i-l), on obtient:
(4.29)
r:~~:1 -.ex 6~l-~-E.-q---{T- (-t ---) - -; -}{-1----~xp-(~~;l~
p(-
-1
T
llllin
ce
1-m
fe
1:
-
-----
------- ---- - --
-----~-----_.-._--_._-
~
4.10.3 / EXEMPLE DE SIMULATION
La
figure 4.10
montre la
courbe de
variation de
la température
d'entrée
T
(t) du
fluide (c)
ainsi que l'évolution de la température de
ce
sortie
T,& (t)
du
fluide
(f)
pour
un
essai en régime varié quelconque
effectué
sur l'échangeur
à faisceau
tubu1aire du paragraphe 4.2 avec les
conditions de f onc t Lonnemen t suivantes:
- faisceau à pas triangulaire avec 76 tubes et 1 chicanes
- débits des fluides: q
~ 0.167 kg/s
q
cc
0.333 kg/s
Ille
DI f
.
Sur la figure 4.11, on a représenté:
- la
réponse en
puissance \\'Il
(t )
tirée des
températures expéri·
exp
mentales relevés toutes les 5 secondes.
la
puissance \\'Il
(t )
calculée à
partir des
formules du régime
perm
permanent:
\\'Il
(t)
= E.q
. (T
(t )
-
T]
\\'Il
étant
pel"1II
lDlln
ce
fe
p o r a
supposée constante pendant le pas de temps 6t
15 s.
- la
puissance \\'Il
(t)
déterminée à partir d'une méthode de décorn
v a J~
position
du signal
d'entrée T
(t)
en une
somme de créneaux de
ce
de
largeur 6t = t - t _
= 15 9 • Ces calculs ont été faits avec:
l
l
1
62 s
(valeurs
déternainées
expérimentalement)
t
." JO s
}
'"
E = 0,45 (efficacité moyenne en régime permanent).
On
observe à
partir de ces courbes que l'approche théorique à une
constante
de temps
T
et
un temps de retard t
permet de simuler de façon
r
assez
précise le
foncti"onnement en régime varié quelconque de l'échangeut
expérimental,
contrairement aux
tormules du
régime permanent qui peuvent
introduire dans certains cas des erreurs dépassant 100%.

---

T (0 C)
70 r
60
,..
nnnn
i l ; ;
1
1
\\1
nnn.
;
1
1
,
l
:
,
' :
!
\\
'!
" : '
(l
1 i
!:
i : : ;
\\ 1 1
:
i
1
!
l
'
1
•
' '1 , i'
1 1
l ,
r
1
;
!
'
.
l,: 1
1:
" i "
i
'
l
l
'
50 - . \\. !,
1
Il
•
1 l
,
~.) , ! i : 1
n
T (t)
ce
1
!
~ n
n r
~,
1
l
,
1
1
n
I!
1 \\
1 1 1
\\
i
i
1 \\
:
1
\\
1
'
l ,
l
'l "
"
.
1
1
1
:
1
40
\\ i
~) J
i
1 i l .
~; ! l 1
UWIU ÛU
: i
li
V
......
V
30
~\\
WU UU y
o
,-.
il
!,-,
,
Tfs(t)
20 ~~!,
~.~
10
t (mn)
L
'.'
24
28
4
8
12
16
20
fluide
FIGURE 4.10:
Variation
quelconque
de
la
température
d'entrée
T
(t)
du
chaud
et
réponse
Tf
(t)
du
fluide
froid
pour
un é~fiangeur à fais-
ceau de
tubes
(pas
triangulaire,
76
tubes,
4 chicanes).
q
= 0,167 kg/s;
q f=
0,333
kg/s
mc
.
m

---

cp (k W)
/ \\ J Puissance réellement échangée :;h't'exp
<>. J Puissance cp
calculée par simulation de la
'---
,
d
var
t'
, .
. bl
reponse
u
sys eme en reglme varla
e.
18
11- Puissance cp calculée sur la base des
perm
formules du régime permanent
12
.......
o
t,J
6
a
t (mn)
4
8
12
16
20
24
28
FIGURE
4.11:
Variation de
la
puissance
échangée en
fonction
du
temps
pour T
variant suivant
la
figure
4. la
ce

---

103
4.11 1 CONCLUSION
L'étude
proposée dans ce chapitre permet de simuler de façon rela-
tivement simple le fonctionnement en régime variable d'un échangeur à fais-
ceau de tubes (variation de la température ou du débit d'entrée de l'un des
fluides) .
On
observe que l'évolution de la température de sortie d'un échan-
geur
à faisceau
tubulaire soumis
à un échelon de température ou de débit
peut
être approchée
par une
loi exponentielle
à une
seule constante de
temps ~ et un temps de retard t
(formule (2.1».
r
Les
formules développées à partir de la notion d'''échangeur bitube
équivalent"
permettent un calcul théorique relativement précis de la cons-
tante
de temps
~ du
système. L'écart
généralement observé entre valeurs
théoriques et expérimentales de ~ est faible (au plus 10%)
L'étude de l'influence des paramètres de l'échangeur sur ~ a montré
que
la position
relative des entrées des deux fluides ainsi que le nombre
de
chicanes n'ont qu'une faible influence sur la constante de temps et que
la
réduction du
nombre de
tubes du faisceau de moitié entraine aussi une
réduction
de ~
de près
de 30%
pour les
faibles valeurs du débit qmf du
fluide froid.
Par
ailleurs, les
courbes donnant
l'évolution des
constantes de
temps en fonction du débit q.f du fluide froid pour les pas carré et trian-
gulaire montrent l'existence d'un point d'intersection (au point d'abscisse
q
= X ). On
note que
pour le pas triangulaire, ~ est plus faible lorsque
mf
q
est inférieur
à X et plus
élevée dans
l'autre cas; même si l'écart
. f
reste globalement faible (inférieur à 10 %).
La
théorie
de
"l'échangeur
bitube
équivalent"
exposée dans ce
chapitre
permet
d'envisager
l'extension
de
la méthode à d'autres types
d'échangeurs
industriels (échangeurs
à plaques par exemple); il suffirait
pour cela de définir les conditions d'équivalence appropriées.
La
réponse à un échelon étant caractérisée par ~ et t , la simula-
r
tian
du fonctionnement d'un système thermique soumis à une variation quel-
conque
de la température ou du débit de l'un des fluides nécessite donc la
connaissance (tout au moins approximative) du temps de retard t • Le but du
r
prochain
chapitre sera
l'étude de ce second paramètre important du régime
de relaxation.

---

104
CHAPITRE 5:
ETUDE DES TEMPS DE RETARD

---

105
NOMENCLATURE DU CHAPITRE 5
l
longueur de l'échangeur bitube (m)
L
longueur de l'échangeur à faisceau de tubes (m)
n
nombre de chicanes
N
nombre de tubes du faisceau
q : débit massique (kg.s- 1 )
m
r
rayon de l'échangeur bitube (m)
R
rayon de l'échangeur à faisceau de tubes (m)
S
section droite de l'échangeur (m2 )
T
température (OC)
t
temps (s)
t
temps de retard (s)
r
U
vitesse débitante de fluide (m.s- 1 )
x : abscisse le long de l'échangeur
Lettres grecques
p
masse volumique de l'eau (kg.m- 3 )
,
constante de temps (8)
Indices:
o
régime permanent initial
00
régime permanent final
c
fluide chaud
e
entrée de l'échangeur
f
fluide froid
s
sortie de l'échangeur
1
rayon intérieur du tube intérieur
2
rayon extérieur du tube intérieur
)
rayon intérieur du tube extérieur
4
rayon extérieur du tube extérieur

---

106
5.1 / INTRODUCTION
Les
développements théoriques donnant la constante de ternps( tOllt
intervenir
un temps
de retard moyen t . Ce paramètre n'est qu'un i n t e rmè
r
diaire de calcul; il ne peut pas faire l'objet d'une expression dndl~tique.
Par
cont re, d'après
les hypothèses,
T
a
une valeur
unique pour
l'ensemble de l'échangeur; ce n'est pas une valeur moyenne.
En
pratique, l'expérience montre que t
dépend du point considéré.
"
Pour
exprimer correctement
la réponse
côté fluide
froid ou
côté il ui dc
chaud,
on doit
donc distinguer un temps de retard t
sur le fluide chaud
r r
et Uli temps de retard t
sur le fluide froid.
r f
Dans
ce r t.a i ns cas,
t
est
proche de
t
(écou Icmcnt cocourdnt
r c
r t
dans
un échangeur
bitube). Parfois au contraire, t
et 1
sont nolable-
l' c
r t
ment différents.
Une
simulation complète
né ce s s i t e Id
connaissance dl' t
et
t
r C
1· t
Il faut
donc élaborer une procédure
rigoureuse pOUL dé t e rtn i nc r e xpè r i mcn
talement ces deux temps de retard.
5.2 / ECHANGEUR BITUBE
5.2.1 / ECOULEMENT CO-COURANT
La
figure 5.1 montre la disposition des t he rmocoup l e s s ur l t chau
é
geur bitube N'l (cf.§2.3) en écoulement co-courant.
L'échelon
étant réalisé
sur la température d'entrée T
du tluide
ce
chaud à l instant t
1
0, le temps t
que met t ra le f l'on t chaud dans le
'.-0
t ubc
c
intérieur pour aller d'un bout à l'autre de l'échangeur est:
p.S
l
c
t
- - . 1
c
uc
qmc
o~ s c n.r 2 avec l'
15 mm et p ~ 1000 kg.m- J •
c i l
On a donc:
. 1113.10- 3
(5.2)
t c
qlQc
Si
l'on suppose d'autre part que le tube intérieur est bon condue
teur
et de
faible épaisseur
(1 mm
dans notre cas), on pourra considérer
qu'un
autre -tront
chaud est
créé de façon il\\stantanée dans la zone Junu
laire
de l'échangeur. Le temps t
mis par ce front pour traverser }'échan
f
geur est:

---

107
l
p,St
(5.3)
t
==
- - . 1
t
U
qmt
f
avec S
2
où r
16 mm et r
=.
Tt. (r 2
r )
==
25 mm.
t
3
2
'
2
3
On a donc:
2317,32.10- 3
(5.4)
Tf}~I
qm:
I~Tf
•
•
s
)
~
1
1
...
;>-
~.,'\\.
}/l
T
T
cs
ce
1
qmc
1
1
1
r
~I
FIG.5.l: Echangeur bitube co-courant
Le
tableau 5.1
donne les
temps de
parcours théoriques
t
et t
c
f
ainsi
que les
temps de
retard expérimentaux
t
et
t
re l evé s sur les
r e l ' f
fluides chaud et froid.
Observa ti ons:
Les
résultats présentés
dans le
tableau 5.1 montrent que pour un
écoulement
co-courant, on
peut considérer
les temps de retard t
et t
l'e
l'J
comme égaux; on peut alors parler de temps de retard du systeme. On obserre
par
dil1eurs qu'il n'existe qu'un écart relativement faible entre le temps
de
parcours te
du fluide
chaud et les temps de retard t
et t
;
ce qui
r c
r f
prouve
bien que
pour ce type d'écoulement, c'est la vi tesse. du fluide sur
lequel
l'échelon est
réalisé (ici le fluide chaud) qui détermine le temps
de retard t
du système.
r

---

108
._--- - _ .._._--,.~--_._------
. _ . _ - - -
----~-~--
DEBITS DES
FLUIDES
TEMPS DE PARCOURS TEMPS DE RETARD EXPERIMENTAUX
q
(kg/s)
q
(kg/s)
t (s)
t t (s )
t
(s)
t
(s)
IDe
lit
e
rc
rt
"-_."---
- - I-----~-~-_.
__. - - - - - - _ . _... __ .
2,92.10- 2
3,00.10- 2
48
77
45
50
6,92.10- 2
7,47.10- 2
20
31
18
16
8,33.10- 2
6,94.10- 2
17
33
15
17
6,33.10- 2 23,89.10- 2
22
10
20
19
6,33.10- 2 32,44.10- 2
22
7
21
18
22,36.10- 2
8,33.10- 2
6
28
B
11
L..-.~.
--~-- - - - - - - _ . _ . _ -
_._-_.. _------
TABLEAU 5.l:Temps de parcours et temps de retard des fluides chaud et
froid pour l'~changeur bitube N°l en co·courant (cf.§2.3)
5.2.2 / ECOULEMENT CONTRE-COURANT
Dans
le cas
de l'écoulement contre-courant, les thermocouples Tce
et
T
d'une
part, T
et T
d'autre part sont situés sur les mêmes sec·
t5
t e e 5
tians droites de l'échangeur (voir fig.5.2).
Tfe}l<...J
T
: / f s
~
qmf
J
)
•
of!
0(
j~r
/1
(
.
ce
Tes
1
1
qmc
,
l
1
I_
~ 1
FIG.5.2: Echangeur bitube contre-courant

---

109
Le
tableau
5.::l
donne
les
temps
de
parcours t
et t
des dPIL\\
c
f
fluides
ainsi que les temps de retard t
et t
pour des essais effectués
rc
rI
sur l'échangeur bitube N'l décrit au paragraphe 2.3.
, - - - - - - - - - - - - - . - - - - . _ - _ . - _ . - - - -
.. -
_---- -_._._..
- - --_.
_._-_
_..
DEBITS DES
FLUIDES
TEMPS DE PARCOURS TEMPS DE RETARD EXPERIMENTAUX
q
(kg/s)
qlllf (kg/s)
t (s)
t 1 (s )
t
(s)
t
(s )
IDe
e
r c
r- f
- - - -
._--- - - - - - - _ .. _- .-- ------- _.. - - -._..._. _.
.. r - ' - - ' - - ' -
....-
._.
5,28.10- 2
5,83.10- 2
27
40
24
12
6,39.10- 2 12,36.10- 2
22
19
21
16
9,44.10- 2
4,50.10- 2
15
51
12
18
8,61.10- 2
8,33.10- 2
16
28
16
') ')
5,61.10- 2
5,94.10- 2
25
39
21
14
5,75.10- 2 12,22.10- 2
24
19
21
10
L....--.
._---... _-_._--~._--_.. _---- .-
-_ ... .-._.._..• - -_.__..._--
TABLEAU 5.2: Temps de parcours et temps de retard des fluides chaud
et froid pour l'échangeur bitube N '1 en con t re-couten t
Observations:
Le
temps de
retard t
du côté du fl uide chaud est encore dans ce
re
cas
à peu
près égal
au temps de parcours de ce fluide dans le tube inté-
rieur. Quant au temps de retard t
sur le fluide froid, il n'apparait plus
rf
ici
aucune relation
évidente entre
ce paramètre et les temps de parcours
des deux fluides.
La
figure 5.]
montre l'évolution
du temps de retard expérimental
t
en f oncti Oll
du débi t q
du fluide froid pour l'échangeur bi t ube .V·l,
r f
. f
le débit q
du t Iuide chaud étant fixé (q
6,75.10- 2 kg.s- 1 ) .
Ille
me

---

110
trf
(s)
16
1 2
8
+
4
0,1
0,2
QP1f
(kg/s)
0, 3
0,4
0,5
FIGURE 5.3: Ecoulement contre-courant: variation du temps de ratard t
en
r I
fonction du débit q
du fluide froid (q
~ 6, 75. 10- Z kg . s - 1 )
ml
œC
On observe sur la figure 5.3 qu'il est possible de définir un débit
limite
q
tel
que les
points expérimentaux puissent être approchés par
l1JIl
deux fonctions linéaires simples sous la forme:
q
< q
. t
= k.q
-t-
k
IIf
I I t l ·
r f
1
III t
2
(5.5)
{ q ) q
· t = O
lit
I B t l ·
r f
où k
et k
sont des constantes (q
= 0,4 kg.s- 1 dans le cas de la ligure
1
Z
œIl
5. J).
Ainsi donc pour un échangeur contre-courant avec un débit q
de
Ille
fluide
chaud
connu,
la
détermination
expérimentale de deux valeurs non
nulles
de t
(pour deux
valeurs de
débit du
fluide froid
) permet de
r I
calculer
les trois
inconnues
k, Ji.
et q
Pour un débit supérieur il
l
2
11I11 •
q
, le temps de retard est nul.
III Il
.'
5.3 1 ECHANGEUR A FAISCEAU DE TUBES
5.3.1 / INTRODUCTION
Les résultats obtenus lors de nos premiers essais sur l'échangeur à
faisceau
de tubes
soumis à
un échelon de température ont montré une cer-
taine
dispersion
des
valeurs
des
temps
de retard relevés sur les deux
fluides.

---

111
Il
nous
a
donc
paru
nécessaire
d'envisager une procédure plus
rationnelle
permettant de
déterminer les valeurs expérimentales des temps
de
retard t
et t
des deux
côtés de cet échangeur avec une meilleure
rc
rf
précision.
5.3.2 / UNICITE DE LA CONSTANTE DE TEMPS (approche expérimentale)
Une des hypothèses importantes pour le calcul théorique de la cons-
tante
de temps
~ est
celle de son unicité sur l'ensemble de l'échangeur.
Des
thermocouples
installés
en
différents points d'un échangeur
bitube
eau-eau (sur
les parois
et dans les deux fluides) [26] ont permis
sur le plan expérimental, de vérifier la cohérence de cette hypothèse. Il a
été alors observé sur les constantes de temps déterminées en ces points des
écarts inférieurs à 5%.
Pour
des
raisons
pratiques,
nous
n'avons
pas pu installer des
thermocouples
tout le
long de
l'échangeur à faisceau de tubes, mais nous
avons
tout
simplement
comparé
pour
différents
essais
les valeurs des
constantes
de temps
~c et
~f déterminées
respectivement à la sortie des
fluides
chaud et
froid. L'écart
observé ne
dépasse pas
6%, ce qui nous
permet comme dans le cas de l'échangeur bitube, de confirmer l'hypothèse de
l'unicité
de~.
La constante
de temps
théorique déterminée à partir des
formules
du chapitre
4 peut donc être considérée comme étant la constante
de temps du système.
5.3.3 / DETERMINATION DES TEMPS DE RETARD t
ET t
li.
tl..
La
détermination des
temps de
retard t
et t
sur les fluides
r c
r f
chaud
et froid
se fera
essentiellement à partir de l'observation expéri-
mentale du paragraphe 5.3.2 et de la notion de conservation de l'énergie.
La méthode préconisée est la suivante:
* 1-- Calculer
par les formules développées au chapitre 4 la valeur de
la
constante de temps théorique ~ unique le long de l'échangeur.
Cette
théorie
est
basée
sur
l'hypothèse d'un temps de retard
moyen tunique.
r
:*:
2- Enregistrer
l'évolution des
températures à
la sortie
des deux
fluides
pour
un
échelon
sur
la
température d'entrée de l'un
d'eux.
* )- Calculer les aires Ac et A définies par les points expérimentaux
f
relevés
à
la
sortie
des
deux
fluid~s de l'échangeur (calcul
numérique). Ces aires représentent les quantités d'énergie effec-

---

112
tivement
mises en
jeu au
niveau de
chaque fluide
au cours du
régime instationnaire.
~ 4- A partir
des
couples
(t
,T)
et
(t
,T),
calculer les aires
rc
rf
expérimentales approchées A' et A' :
c
f
tco~trcJ
A'
t
.IT
(co) -T
(0) 1 + T .IT
(::0) -T
(0) 1. exp ( -
-
1
c
rc
cs
cs
cs
cs
(5.6)
A'
t
.IT
(oo)--T
(0) 1 + '.IT
(oo)-T
(0) 1. ex p(- tco~trfl_ l
f
rf
fs
fs
fs
t s
où t oo représente le temps correspondant au dernier point expérimental.
* 5- Comparer
les aires
calculées en
3 et
4 en
écrivant A c A' et
c
c
A = A'
(conservation
de l'énergie
mise en
jeu durant la phase
f
f
transitoire).
On obtient
deux équations dont les deux inconnues
sont
t
et
t
La résolution
par itération de ces équations
r c
r f
permet de déterminer les deux temps de retard.
IT (t)-T (00)1
s
s
10
8
~:: t f)7r
6
1
trc. -,
t
)
7
rc
4
/.,
2
a
t (s )
25
50
75
100
125
150
175
200
F 'lq . 5 . 4 : Dét
.
ernn ne t ilon
es temps de ret.urd
_.
t rc et t rf sur 1es [1 uides chaud
â
et froid d'un échangeur J faisceau de tubes.

---

113
Le
tableau 5.3
donne les
valeurs de
"
t
et t
obtenues sur
re
rf
l'échangeur
à faisceau
tubulaire du chapitre 4 ,avec 76 tubes, 8 chicanes
et pas carré.
DEBITS DES
FLUIDES
CONSTANTE DE
SENS
DES
ECOULEMENTS
Chaud
Froid
TEMPS THEO-
M~me sens
Sens contraire
q
(kg/s)
qm f (kg/ s) RIQUE: • (s) t
(s)
t
(s)
t
(s)
t
(s)
me
rf
re
rf
rc
1 - - - - - - -
0,167
0,167
96
65
10
9
13
0,167
0,250
79
54
12
8
12
0,167
0,333
67
36
11
8
12
0,167
0,41 '1
58
30
11
7
12
0,167
0,500
52
28
10
7
11
0,167
0,555
48
27
10
6
10
---------- --------- ------------ --- ---- --------- ------- ---- - ------
0,167
0,333
67
36
11
8
12
0,208
0,333
61
31
8
6
8
0,250
0,333
55
27
7
5
8
- -
TABLEAU 5.3 :Exemples de temps de retard t
et t
déterminés sur les
re
rf
fluides chaud et froid d'un échangeur à faisceau de tubes.
Cette
méthode permet d'obtenir une évolution plus régulière de t re
et
t
La figure
5.5 qui
reprend les
résultats du
tableau 5.3
rf
montre
l'évolution de t
et t
en fonction du débit q
du fluide froid.
rc
rf
mf
OBSERVATIONS:
Pour
l'écoulement co-courant,
t
diminue
lorsque le débit q
du
rf
mf
fluide
froid diminue.
Cette décroissance est dans un premier temps
très rapide (pour q
(0,417 kg.s- 1 ) et beaucoup plus lente ensuite;
. f
~
t
garde pendant ce temps une valeur presque constante (z 11 s).
re
En
contre-courant, les temps de retard t
et t
sont faibles tous
re
rf
les
deux et varient assez peu en valeur absolue, puisque nous obte-
nons: 10 ~ t
~ 13 et 6 ~ t
~ 9.
re
rf

---

114
t
(s )
r
100
+ - - - - -
co-courant
0 -
_
v _ _ • _ _
80
x -
_
contre-courant
60
40
20
=~-: --_:-JI:--=--:'O--~~-= __
• - - .
+-. - " < r - -
v-""\\îlr--
·-·:--,v--
o
o, 1
0, 2
0,3
0,4
0,5
0,6
FIGURE 5.5: Echangeur
à faisceau de
tubes (N = 76 tubes; n = 8 chicanes):
évolution
de t
et t
en fonction
du débit
q
du fluide
re
r f
. f
froid
pour un
échelon sur
la température
d'entrée du fluide
chaud (q
= 0,167 kg.s- l ; T ~ SO·C; T ~ lS·C)
Be
ce
fe
5.4 / CONCLUSION
Ce chapitre nous a permis de mettre en évidence l'existence de deux
temps
de retard
pour un échangeur thermique donné: un temps de retard t 1" C
sur le fluide chaud et un autre t
sur le fluide froid.
rt
Pour
un échangeur bitube en écoulement co-courant, t
et t
sont
rc
rt
pratiquement
égaux au
temps de
parcours t
du fluide chaud dans le tube
c
intérieur.
Pour un
écoulement contre-courant,
t
est
encore égal à t ;
rc
c
tandis
que pour
t
,
la détermination
expérimentale de deux valeurs non
rt
nulles
de
ce
paramètre
permet
de
décrire
son
évolution (d'une façon
approchée) à partir de deux fonctions linéaires simples (cf. formule 5.5).
Pour
l'échangeur à
faisceau de
tubes, seul t
en écoulement co-
rt
courant
peut connaître une grande variation lorsque le débit q
du fluide
DIt
froid
varie. Dans
tous les
autres cas, t
et t
varient de façon assez
rc
rf
lente
et on
peut, pour de faibles gammes du débit q
, les approximer par
DIt
une
valeur constante.
Une telle
approximation n'introduit
qu'une faible
erreur dans la simulation de la réponse du système en régime variable.

---

115
Exception
faite
de
l'échangeur
bitube
en écoulement co-courant
(pour lequel on pourra se limiter à un calcul théorique simple), on observe
que
dans la
plupart des
cas, quelques
essais expérimentaux
suffisent à
définir
de façon
approchée les temps de retard t
et t
sur les fluides
rc
rf
chaud et froid.
La méthode proposée pour l'échangeur à faisceau de tubes s'applique
aussi
à l'échangeur bitube mais n'apporte pas d'amélioration significative
dans les résultats qui étaient déjà assez bons.

---

116
CHAPITRE 6:
ASSEMBLAGE D'ECHANGEURS

---

117
NOMENCLATURE DU CHAPITRE 6
C : chaleur massique (J.K-1.kg- 1)
P
H
débit d'enthalpie (J/s)
l
longueur de l'échangeur (m)
n
nombre de chicanes de l'échangeur à faisceau de tubes
N
nombre de tubes de l'échangeur à faisceau de tubes
q : débit massique (kg.s- 1)
m
q : débit thermique unitaire (W. °K- 1)
t
r
rayon de l'échangeur (m)
T
température (OC)
t
temps (s)
t
temps de retard (s)
r
x : abscisse le long de l'échangeur
Lettres grecques
~
puissance (W)
,
constante de temps (s)
Indices:
a
paroi extérieure
c
fluide chaud
e
entrée de l'échangeur
f
fluide froid
i
paroi intérieure
m
mélange
s
sortie de l'échangeur
1
premier échangeur
2
deuxième échangeur
3
troisième échangeur
indique une quantité moyenne sur l'ensemble de l'échangeur

---

118
6.1 1 INTRODUCTION
La
question
du
régime
variable
se
pose non seulement pour les
échangeurs seuls, mais aussi pour les assemblages; en effet, on est parfois
amené
à grouper
deux ou
plusieurs échangeurs en série ou en parallèle en
remplacement
d'un
appareil
unique,
pour
des raisons d'encombrement, de
coût,
ou
pour
atteindre
des
performances
inaccessibles
avec
un seul
appareil.
Pour
un fonctionnement
en régime
permanent, PIERRE [20) a montré
les avantages que peuvent présenter de tels systèmes et proposé une méthode
de calcul pour différents assemblages (montage en série, en parallèle ou en
série-parallèle) .
Le
fonctionnement de
ce type
de système en régime variable étant
jusqu'ici
assez
mal
connu,
nous
proposons
dans ce chapitre l'étude de
l'assemblage
le plus
simple à
analyser sur le plan théorique: montage de
deux
échangeurs en
parallèle. Après
avoir exposé dans une première phase
les
observations expérimentales
faites à
ce sujet, nous proposerons dans
une
seconde partie
une méthode simplifiée pour l'approche du phénomène et
nous
donnerons pour
finir les
différents résultats
obtenus lors
de nos
essais.
6.2 1 LES DIFFERENTS TYPES D'ASSEMBLAGES
Les
échangeurs thermiques
peuvent être
assemblés de trois façons
différentes qui se caractérisent essentiellement par le mode de circulation
des fluides dans les échangeurs.
6.2.1 1 MONTAGE EN PARALLELE
Dans ce type d'assemblage, les fluides chaud et froid à l'entrée du
système
se répartissent
dans les différents échangeurs comme le montre la
figure
6.1. Les températures d'entrée des fluides dans les échangeurs sont
donc identiques.

---

119
échangeur
1 ~
/
T
T
fsrn
c s 1
-
T f e
~
/
Tcsrn
T
T
ce
cs2
-,
T fs2
FIGURE 6.1: Assemblage de deux échangeurs bitubes montés en parallèle
6.2.2 1 MONTAGE EN SERIE
Les
deux
fluides
traversent
successivement
tous les échangeurs
constituant
l'assemblage.
Les
températures
des
fluides
à
l'entrée de
l'échangeur
j correspondent alors à celles à la sortie de l'échangeur j-l.
A l'intérieur des
échangeurs, les
deux fluides
peuvent circuler dans le
même sens (circulation antiméthodique) ou en sens contraire l'un de l'autre
(circulation méthodique).
ê
c ha n g e u r
1 ~
\\
T f e 1
Tcs 1
- * T
Tc e 1
')T f s l
1 T fe 2
*+-
-
T
T
c s2
ce 2
FIGURE 6.2: Montage en série de deux échangeurs bitubes

---

120
6.2.3 / MONTAGE EN SERIE-PARALLELE
Dans
ce
cas,
l'un
des
fluides
traverse les appareils en série
tandis
que l'autre
se répartit entre chacun d'eux par une alimentation en
parallèle (fig.6.3)
Tcsl
T
Tcsrn
ce
FIGURE 6.3: Montage en série-parallèle de deux échangeurs bitubes
Un
problème
spécifique
aux
assemblages
et bien connu en régime
permanent
est
celui
des
croisements
de
température susceptibles de se
produire
dans
certains
échangeurs
du
système. En effet, dans certaines
conditions
de fonctionnement,
la température
du fluide
chaud peut loca-
lement
se trouver
inférieure à
la température du fluide froid. Ce phéno-
mène
est évidemment
à éviter
puisqu'il a
pour conséquence d'inverser le
sens
du transfert
thermique. En
régime transitoire, un tel problème peut
survenir (en particulier dans un montage série-parallèle) même si le régime
permanent de fonctionnement en est exempt.
Nous
nous limiterons
dans ce
chapitre au
cas d'un assemblage en
parallèle
de deux
échangeurs. Pour
ce type
de montage,
il n'y a pas de
variation simultanée des températures T
et T
des fluides chaud et froid
ce
te
à
l'entrée des échangeurs. Les échangeurs fonctionnent donc de façon indé-
pendante,
ce qui
nous permet
d'avoir recours
pour chaque échangeur à un
modèle théorique connu (modèle développé au paragraphe 2.2).

---

121
G.3 / ASSEMBLAGE EN PARALLELE DE DEUX ECHANGEURS DONT LES PARAMETRES
T et t
SONT CONNUS
L
Si l'on impose un échelon sur la température d'entrée T
du fluide
ce
chaud
circulant dans
un assemblage
de deux échangeurs (1 et 2) montés en
parallèle (fig.G.1), les températures de sortie T
(t) et T
(t )
évoluent
fSl
fS2
suivant des lois exponentielles de la forme:
t , t
: T
(t )
= T
(0) = cste
ri
f81
f 81
(G .1)
H)ri
t > t
T
(t) = T
(1»)
-
(T
(1») -T
(al ).exp (-
ri
fs1
fs1
fs1
fSl
•1
et
t , t
T
(t)
T
(O)
cste
r2
fs2
f52
(G.2)
r.2)
t > t
: T
(t) = T
(co) -
(T
(co) -T
(0) ).exp(- t-t
r2
fs2
fs2
f82
f52
T
2
Les
couples (T,t
) et (T,t
) caractérisent le fonctionnement en régime
1
ri
2
r2
de
relaxation des
échangeurs 1
et 2. Des méthodes ont été proposées dans
les chapitres précédents pour le calcul théorique ou la détermination expé-
rimentale de ces paramètres.
Pour
l'étude de l'évolution de la température Tf
(t) du mélange à
Sil
la
sortie du système, nous formulerons les hypothèses suivantes en plus de
celles énumérées au paragraphe 2.2:
- l'élément
hydraulique dans lequel se fait le mélange est assimilé à
un point M de faible masse (capacité calorifique négligeable)
- le point M est parfaitement isolé du milieu extérieur (pas de pertes
thermiques)
- les températures T , T
et T
sont des températures de mélange et
1
2
Il
sont supposées uniformes sur les sections respectives de sortie A ,
1
A et A
(création de turbulence locale au niveau des sections).
2
a
Compte
tenu des hypothèses précédentes, nous pouvons estimer ~u'il
y a conservation de l'enthalpie à chaque instant au point M:
(G. 3)
H (t) + H (t) = H (t )
1 2 .
ce qui donne en considérant les températures de sortie du fluide froid:
q
.C.T
(t)+q
.C.T
(t)=q
.C.T
(t)
.f1
p
fs1
.f2
p
f82
af
P
fsa

---

122
d'où:
qlltl
qllt2
(6.4)
T
(t)
----.T
(t) + ----.T
(t)
t 5 Il
q
tsl
q
ts2
. t
lit
si
l'on suppose que t
< t
, la température de mélange T
(t) du
ri
r z
tsm
fluide froid peut s'écrire à partir de (6.1), (6.2) et (6.4) sous la forme:
(6.5)
t
' t ' t
: T
(t )
= k.T
(t )
+ k.T
(0)
(b)
r1
r2
tsm
1
ts1
2
ts2
t
) t
k.T
(t)+k.T
(t)
(c)
r2
1
tsl
2
t52
avec:
k 1
REMARQUE 1:
L'expression
(a) montre que la réponse de l'assemblage comporte inévi-
tablement
un
temps
de
retard
t
~ t
. D'autre part, l'étude des
rlll
r 1
expressions (b) et (c) nous permet d'observer que T
(t) varie dès que
t s III
l'une ou l'autre des températures T
(t )
ou T
(t)
commence à veri er,
(51
( 5 2
Le
mélange ne
peut donc atteindre son régime permanent final tant que
les deux fluides froids (1 et 2) n'ont pas atteint les leurs.
/ T
(t) - T
(co) /
s
s
.
/T
(O)-T
(co)/
" ...
sm
sm
_ _ échangeur
2
/
._\\ ..
..
'"
\\ ~
mélange
(m)
li
li
\\.
"
\\
"
x
\\
Il
·~échangeur
x
li
J(
.-.
( s )
FIGURE 6.4:
Echelon de
température
à
l'entrée d'un assemblage
de
deux échangeurs
montés
en parallèle.
Evolution
prévisionnelle de
la
température
de
sortie Tf
(t)
sm
du mélange
à
partir de
celles
des
températures
T
(t )
et
T
f s 1
f s 2(t).

---

123
A
titre
d'exemple,
la
figure
6.4
illustre
l'évolution
de
IT
(t)-T
(~) 1 en fonction du temps pour les échangeurs 1 et 2 (évolution
f8
f8
étudiée dans le paragraphe 2 du chapitre 2) ainsi que la réponse prévision-
nelle
à la sortie du mélange, dans le cas où on a un écart important entre
les constantes de temps ~
et ~
(voir essai expérimental fig.6.7).
1
:1
6.4 1 ETUDE EXPERIMENTALE
6.4.1 1 BANC D'ESSAI
En
plus
des
débitmètres,
thermocouples
et
autres
accessoires
décrits
au paragraphe
2.3, nous
avons disposé
au cours de nos essais de
trois
échangeurs thermiques dont les caractéristiques sont données dans le
tableau 6.1.
N° ECHANGEUR:
Echangeur 1 Echangeur 2
Echangeur 3
Type
bitube
bitube
faisceau
tubulaire
Tube(s) intérieur (s)
Laiton
Laiton
Cuivre
Rayon intérieur
15 mm
15 mm
6 mm
Rayon extérieur
16 mm
16 mm
7 mm
Tube extérieur
Acier
Laiton
Acier galvanisé
Rayon intérieur
25 mm
25 mm
106,25 mm
Rayon extérieur
30 mm
26 mm
107,80 mm
Longueur d'échange
2 m
3 m
0,95 m
Autres
N = 38 tubes
caractéristiques
n = 4 chicanes
TABLEAU 6.1: Caractéristiques des échangeurs thermiques expérimentaux
6.4.2 1 OBSERVATION EXPERIMENTALE
Les
figures 6.5, 6.6, 6.7 et 6.8 montrent l'évolution de l'expres-
sion IT (t) - T (~) 1 pour les températures de sortie mesurées au niveau des
s
8
sections A , A et A . On observe que les points expérimentaux relevés à la
1 : 1
•
section
A
(température de sortie du mélange) peuvent aussi être approchés
Il
par
un modèle à une seule constante de temps ~
et un temps de retard t
,
Il
rm
à
partir
de
la
méthode
de
lissage développée au paragraphe 2.4. Cette
approximation
s'est avérée
suffisante pour tous les essais que nous ,avons
effectués,
même
dans
le
cas
où
il
existe
un
grand
écart entre les
constantes
de temps
des deux échangeurs
étudiés, comme sur la figure 6.8
(~ = 47 s, ~ = 109 s). L'évolution
prévisible de
T
Ct) évoquée au para--
1
:1
fSIl
graphe
6.3 apparaît
très nettement sur la figure 6.7; et même dans ce cas

---

124
les
températures expérimentales
s'écartent très
peu des valeurs relevées
sur
la courbe approchée (rappelons que la quantité représentée en ordonnée
sur la figure 6.7 est IT
(t)-T
(co) 1 et non pas la température T
(t».
t s
t s
f s
Les
conditions expérimentales
et les résultats de ces essais sont
donnés dans le tableau 6.2.
~----
- - - -
N° FIGURE Types d'échangeurs q
(kg/s) q.t (kg/s) Constante Temps de
ac
de temps: retard: t (s)
r
't"
(s)
- - -
--
1 : bitube N"1
0,066
0,239
21
4
- - -
Fig.6.5
2: bitube N"2
0,062
0,110
30
8
---
Assemblage: l
0,128
0,349
27
6
1----
- , - - - - - -
- - - - - - - - ~---~----
1 : bitube N°l
0,064
0,324
9
18
----
--
.
Fig.6.6
')
..... bitube N°2
0,060
0,111
15
26
- - - - - - -
Assemblage: f
0,123
0,434
16
20
f - - - -
- - - -
1 : bitube N"1
0,188
0,364
7
7
Fig.6.7
2: bitube N°2
0,055
0,102
19
31
--
Assemblage: f
0,243
0,466
22
7
- - -
- - ' -
1 : bitube N"1
0,056
0,059
47
13
- -
Fig.6.8
.
')
..... faisc.tub.:N"3
0,118
0,172
109
17
Assemblage: f
0,174
0,231
100
9
- -
TABLEAU
6.2: Conditions
expérimentales et valeurs des parametres T et t rOI
pour les figures (6.5) à (6.8)
Des
observations expérimentales
présentées dans ce paragraphe, on
retiendra
essentiellement que
la réponse
d'un assemblage
de deux échan-
geurs
(1 et 2) en parallèle à un échelon de température à l'entrée de l'un
des
fluides peut,
dans le cas où le rapport des constantes de temps 't" 1.
, _
1
2
est
inférieur à
2, être approximée avec une bonne précision par une fonc-
tion
exponentielle à
une constante de temps 't"
et un temps de retard t
.
m
rm
Lorsque
les deux échangeurs de l'assemblage ont des caractéristiques iden-
tiques et sont soumis aux mêmes conditions de débit, la précision du modèle
est
encore meilleure.
Le fonctionnement de ce système peut donc être rap-
prochée
de celui d'un échangeur unique; et l'on se doit, afin de complèter
cette
étude, de proposer une méthode de détermination des paramètres,
et
m
t
c'est l'objet du paragraphe suivant.
r l l

---

125
8
6
,------Echangeur 2
1
r-r-r-r-r-r--rr-
~1 é la n g e
( ID)
1
4~,,-
1
•
r----EchangeuI' 1
2 ,-.."" ".. "~".
t
"("
',,- .
r
.., .....-.......:...
-0-
,
-..'--
~.
"-.
~._----
.
.
..-....-.--&..
_
------
•
o l
.. " -- --
...-
v
-
•• -.~.~.~-=::J;--=z--~-- ••
t (s)
30
60
90
120
150
FIGURE 6.5: Réponse sur le fluide froid pour un échelon de température sur
le fluide chaud - Ecoulement contre-courent dans les deux
échangeurs bitubes
IT
(t)-T
(co) 1
cs
cs
\\.
25
\\
\\
Vr-----EChang~Ur 2
20
\\
• \\
~1 é la n g e ( ID)
15
"\\\\V-
~ \\.\\
, r - - - -
Echangeur
1
10
\\ \\ \\
5
\\
~".'-
\\.
<:
..
.~"
<,
..••:::::>_.
'l...
..
, ·--";:'Ir~r_
o
- - - . . .
- K -
"'-'1-"
•
. •
1
t (s)
•
•
30
60
90
120
150
FIGURE 6.6: Réponse sur le fluide chaud pour un échelon de température sur
le même fluide - Ecoulement co-courant dans les deux échan-
geurs bitubes

---

126
.
..L".-'- .
__
.....,
;....r._-- .
\\,,\\,.
B
\\
Echangeur
2
;------
6
V
\\
Mélange
(m )
'\\
/
,
1\\
-,
r";\\
4
\\.'\\~\\
Echangeur 1
.'\\,
2
..~ ..
' .......
"
..
'''',.
\\
." "
\\.
.......~
. '-....-
y "'y~Y
'-.__
--...._-1-.
o
- - - - " - ' - "
- - - - .·
-"--~=-- -:-~:-._.--.;--~-__~
t (s)
30
60
90
120
150
FIGURE 6.7: Réponse sur le fluide froid pour un échelon de température sur
le fluide chaud - Ecoulement co-courant dans les deux échan-
geurs bitubes
IT
(t)-T
(Cf)) 1
f s
fs
20
15
3
(m)
10
Echangeur 1
5
o
100
FIGURE 6.8: Réponse sur le fluide froid pour un échelon de température sur
le fluide chaud - Ecoulement contre-courant dans les deux
échangeurs (bitube N·l + échangeur J faisceau de tubes)

---

127
6.5 / DETERMINATION DES PARAMETRES T
et t
D'UN ASSEMBLAGE D'ECHANGEURS
!!.
,a
EN PARALLELE
6.5.1 / INTRODUCTION
Il
serait possible de simuler très simplement le fonctionnement en
régime
variable d'un
assemblage d'échangeurs
si les paramètres T
et t
a
ra
caractéristiques de la phase de relaxation du système étaient connus.
La
théorie
sur
la
réponse
d'un
échangeur
unique
à un signal
d'entrée
de type
échelon a
été développée
dans les chapitres 2, 4 et 5.
Cette
théorie d'utilisation
facile donne
de bons
résultats et permet de
simuler
de façon
assez précise un fonctionnement en régime variable quel-
conque.
Dans le même esprit, nous proposons dans ce paragraphe une méthode
relativement simple pour l'évaluation de T
et t
.
Il
r Il
La
méthode proposée
prend essentiellement en compte deux observa-
tions tirées de la formule (6.5) et qui se résument comme suit:
a ) une
variation ne peut être enregistrée sur T
(t) que si l'une
Sil
ou l'autre des températures T
(t) ou T
(t) varie.
Si
s2
b ) l'assemblage
ne peut
atteindre son régime permanent final que
si les deux échangeurs ont atteint les leurs.
6.5.2 / PRINCIPE DE LA METHODE: calcul de T
et t
@.
~
Comme
conséquence
des
observations
mentionnées
ci-dessus, nous
retiendrons
que l'assemblage
d'échangeurs atteint son régime permanent en
même temps que l'échangeur ayant la constante de temps la plus élevée
Nous formulerons par ailleurs l'hypothèse suivante:
hypothése: "le
temps
de
retard
t
de
l'assemblage
est déterminé par
r.
l'échangeur ayant le temps de retard le plus faible":
(6.6)
t
= Inf(t
, t
)
r .
ri
r2
Cette
hypothèse est
parfaitement acceptable
puisque l'apparition
des
premières variations de température à la sortie de l'un ou l'autre des
deux
échangeurs
entraine
forcément
une
variation
de la température de
sortie du mélange.
Dans
le développement
qui va
suivre, nous considèrerons pour les
échangeurs 1 et 2 que l'on a t
< t
et T
T
ri
r2
1
2

---

128
a ) Application de la loi de conservation de l'énergie
Sur la figure 6.9 sont représentées les variations des températures
de sortie T
(t), T
(t) et T
(t) du fluide froid.
fS1
fs2
fsm
On
peut
admettre
que
l'énergie
W
effectivement
échangée par
ID
l'assemblage
entre l'instant
t = 0 et
un instant
t
(proche
du régime
oo
permanent) est égale à la somme des énergies W et W mises en jeu dans les
1
z
échangeurs 1 et 2.
Tf s 2 (CO)lTnTTITITIlITTITTTTliïTTTTTT7mmTIIDo:r:o::r:cc-
T
(co)
fsm
T
( t )
f s 2
Ivl/g t f l
., , .: H /q
. '.
I!1
tfI!1
... .
Tf s (0) ~..!.....:I~'-l-..u....
t
(s)
FIGURE
6.9: Représentation
de l'évolution des températures de sortie d'un
assemblage d'échangeurs en parallèle.
Sur
le
plan
graphique,
la
loi
de conservation de l'énergie se
traduit
par le
fait que
la surface
A délimitée
par des pointillés est
ID
égale à la somme des surfaces Al (hachures obliques) et Az (hachures verti-
cales)
On sait que (cf. §4.8):
W= q, ... {(T,u(O) -
1
TfS1 (0»).' +
r l
(Tfsl (0»- Tfel).'00
t
-
00
+ • • (T
(00)-
1
f s 1
T (0) ).
f 51
[ex{
'n] 1]}
•1

---

129
W2 = qt f2 '{(T
(0)-
fa2
Tf a2 (OO)l·tr2 + (Tf
(00)--
a2
Tf.2 l·t""~
oo-
r 2
+
(T
T
I)}
"r
•
(00) -
(0) ). (exp (_ t
t
)
"
2
fa2
fa2
"r
2
La
détermination de
la valeur
exacte de la constante de temps "r•
nécessite
donc la
résolution de
l'équation W= W+ W . Cette résolution
•
1
2
peut
se faire
de façon
numérique. L'inconvénient majeur de cette méthode
est
qu'elle nécessite
des essais
expérimentaux pour la détermination des
températures
d'entrée et
de sortie aux états permanents initial et final.
Ceci nous amène à proposer dans le paragraphe suivant une méthode approchée
pour
le calcul
de "r
qui ne fasse appel qu'aux seuls paramètres connus ou
•
calculables des échangeurs de l'assemblage.
b ) Méthode approchée
La
méthode proposée
ici permet
de calculer de façon approchée la
valeur
de la constante de temps "r
à partir des constantes de temps et des
•
temps de retard des deux échangeurs montés en parallèle.
Conformément
aux observations
expérimentales et
à l'hypothèse du
paragraphe
6.5.2
( t
= t
),
l'évolution
de
la température de sortie
r .
r l
T
(t) du mélange peut être approchée par la loi:
f a .
t , t
T
(t ) = T
(0) = cste
r r
fall
f a .
t
) t
Tf (t )
a.
= T
(00) -
(T
(00) -
r l
f a .
falD
On en déduit donc l'expression de "r :
•

---

130
t - t
..
r i
(6.7)
ID
T
(t ) -
T
(00)
fam
fsa
Ln 1 - - - - - - - -
T
(0)- T
(00)
fa.
f s .
La
constante de
temps "expérimentale"..
peut donc être obtenue à
ID
partir
de trois
mesures de
la température de mélange à la sortie, effec-
tuées
en régime
permanent initial, en régime permanent final et à un ins-
tant intermédiaire quelconque t.
Choisissons pour t la valeur t oo telle que:
T
(t)- T
(0)
fSID
00
fs ..
k = 99%
T
(00) -
T
(0)
f S m
f S.
alors on a:
T
(t)- T
(00)
fsm
00
fSIl
(6.8)
= 1 - k = 0,01
T
(0)- T
(00)
falD
f s .
La
valeur arbitraire
retenue pour
k a été choisie de telle sorte
que
le temps t oo correspondant soit suffisamment grand pour que l'on puisse
admettre l'approximation:
Tf
(t_)- Tf
(0)
Tf
(t",,)- T
(0)
a 2
""
S 2
alD
o,w
fam
- - - - - - - - ~ - - - - - - - -
T
(00)-
T
(0)
T
(00)- T
(0)
fs2
fs2
fSID
fsm
d'où par conséquent:
T
(t_) -
T
(00)
T
(t_) -
T
(00)
fs2
""
fs2
fSID
""
fsm
(6.9)
--~-----~
T
(0) -
T
(00)
T
(0) -
T
(00)
t s z
fS2
t s e
fSID
D'autre part la loi (6.2) donne:
T
(t N .) -
T
(00)
fs2
o,w
fs2
(t_-t]
""
r2
(6.10)
- - - - - - - - = exp -
T
(0) - T
(00)
1:
fs2
fs2
2
A partir de (6.8), (6.9) et (6.10) on tire la valeur de t oo:

---

131
(6.11)
t~ = t
- , .Ln(l-k)
' N
r 2
2
Par ailleurs (6.8) donne:
(6.12)
Ln(l-k)
En remplaçant (6.11) et (6.12) dans (6.?) à l'instant t ro, on obtient:
t
- t
t
- t
r i
Q)
,
r i
r2
,
=
=
+
avec k = 0,99
ra
Ln(l-k)
2
Ln(l-k)
d'où:
(6.13)
Les
paramètres,
et t
caractéristiques du régime de relaxation
r.
la
de
l'assemblage de
deux échangeurs montés en parallèle peuvent être faci-
lement déterminés à partir des formules (6.6) et (6.13).
Avec
cette méthode empirique, la constante de temps,
de l'assem-
ID
blage peut donc être exprimée uniquement en fonction des temps de retard t ri
et
t
des
deux
échangeurs
ainsi
que
de
la constante de temps,
de
r2
2
l'échangeur
dont la
réponse est
la moins rapide (constante de temps plus
élevée).
La formule
(6.13) montre
que la valeur théorique de,
est tou-
•
jours
plus élevée
que"
ce qui se justifie parfaitement étant donné que
2
la phase exponentielle de l'assemblage démarre à partir de l'instant t
et
r i
finit
en
même
temps
que
celle
de
l'échangeur 2 (l'échangeur le moins
rapide) .
Notons enfin que lorsque les deux temps de retard t
et t
sont
r i
r a
égaux, on a , = , .
..
2
6.6 / VALIDATION DE LA METHODE
Le
tableau 6.3 donne les valeurs expérimentales,
et théoriques
exp
'th
de
la
constante
de
temps
d'un
assemblage pour différents essais.
L'écart
observé ne
dépasse généralement
pas 10% sauf pour l'essai 1 pour
lequel il atteind 15%.

---

132
N" ESSAI
DEBITS (kg/a) CONSTANTE DE TEMPS ECART (llI)
q.c
q.t
-r
(a)
-r
(9)
.lEP
tb
1
0,128
0,349
27
31
15\\
(fig.6.6)
2
0,123
0,434
16
17
6\\
(fig.6.7)
3
0,243
0,466
22
24
9\\
(fig.6.8)
4
0,174
0,231
100
110
10\\
(fig.6.9)
- -
5
0,123
0,349
19
20
5\\
(*)
TABLEAU 6. J: Comparaison entre valeurs théoriques et expérimentales de
la constante de temps T d'un assemblage d'échangeurs
(*): échangeurs bitubes 1 et 2 montés en parallèle
T (OC)
70
60
50
40
30
T
(t)
20
ce
Tfs(r)
10
_ _ _ _~_ _ ~
t (mn)
5
10
15
20
25
30
35
40
FIGURE 6.10: Assemblage des échangeurs 1 et 2 en parallèle: Variation quel-
conque
de
la
température
d'entrée
T
du fluide chaud et
ce
réponse sur le fluide froid.

---

133
6.7 / REGIME VARIABLE QUELCONQUE: simulation
Le fonctionnement d'un assemblage d'échangeurs soumis à une tempé
rature
d'entrée variable
sur l'un des deux fluides peut être simulé lors-
qu'on connait les paramètres ~
et t
du système (cf. § 4.9).
• r.
La figure 6.11 montre les courbes de variation de la puissance ~(t)
mise
en jeu
dans un
assemblage constitué des échangeurs 1 et 2 montés en
parallèle et soumis à une variation quelconque de la température d'entrée Tce
du fluide chaud (fig.6.10).
Les conditions de fonctionnement sont les suivantes:
Assemblage:
q.c= 0,122 k9.S-li
q.t= 0,434 kg.s- 1
Echangeur 1: q.c = 0,066 kg.S-li
qDl f = 0,323 kg.s- l
Echangeur 2: q.c= 0,056 k9.S- 1 i
q.f= 0,111 kg. S-l
Les
paramètres caractéristiques
du régime
de relaxation
ont été
calculés à partir de (6.7) et (6.13): ~
= 21 s
et t
= 15 s. L'efficacité
•
r.
du système est E = 0,32 (valeur déterminée expérimentalement).
On
observe que le calcul de la puissance ~
(t) à partir des for-
var
mules
proposées au paragraphe 4.9, donne de bons résultats pour la simula-
tion
d'un régime
varié quelconque. La courbe de variation de t
(t) suit
var
assez
bien celle
de la
puissance ~
(t) déterminée à partir des valeurs
exp
expérimentales
des températures;
l'écart maximum
observé dans
ce cas ne
dépasse
pas 12%
alors qu'il
peut atteindre
100% lorsqu'on
considère la
courbe
de
variation
de
~
(t).
Les
puissances
t
(t), ~
(t)
et
per.
var
exp
~
(t) sont calculées comme indiqué au sous-paragraphe 4.9.3.
per.
6.8 / CONCLUSION
L'assemblage
de deux
échangeurs montés
en parallèle est, de tous
les
types
d'assemblages,
celui
que
l'on
peut considérer comme le plus
simple
et donc le plus facile à étudier. Les échangeurs sont, dans ce type
de
montage, tout
à fait
indépendants; la réponse d'un échangeur n'a donc
aucune
influence sur
celle de l'autre. Il nous a pourtant paru nécessaire
de faire cette première étude, afin de disposer d'une base pour les travaux
sur des cas plus complexes.
Les
résultats présentés
dans ce chapitre ont montré que le modèle
théorique à une constante de temps (~ ) et un temps de retard (t
) propo~é
•
r.
au
paragraphe 2.2
s'applique assez bien à ce système même dans les condi-
tions les plus défavorables (lorsque ~ « ~
par exemple). Le paramètre t
1
2
r Dl

---

~puissance réellement échangée: ~ exp
4> (kW)
10
Puissance ~
calculée
par
/">
/
simulation
var
'~de la réponse du système en régime
variable
8
--1sJL Puissace et
calculée
sur
la
base
perm
des
formules
du
régime
permanent
t
. .-........
,......
... .- ....... .-....._.
..!
6
r.. ..
1
1
• • 11
1
1
1111
1
IL
.1
1
1(
1(
I l '
1 tri
1 • •
1
r.
1
1
Il
~\\
, IIIlI 1f\\ 11111111 IIJU 'lB" ,
~E
4
L III m~ IW~lll 1I1~~~
. [ ~;Il If " 111\\11/\\"
\\\\~\\l
....
c...>
~
~~Il~ ~ Il' 1ij/l ~I \\Ir
2
'<t
1
t (mn)
5
10
15
20
25
30
35
40
FIGURE 6.11:
Variation
de
la
puissance
échan~ée en fonction du temps
pour
T
variant
suivant
la
figure
6.10
-
Assemblage
en
ce
parallèle
des
échangeurs
bitubes
1 et
2.

---

135
est fixé par l'échangeur qui a le temps de retard le plus faible tandis que
~
dépend des
temps de
retard des
deux échangeurs et de la constante de
m
temps de l'échangeur le moins rapide.
Des
formules ont
été proposées
pour le calcul approché de ~
et
m
t
Pour
des échangeurs
dont les
caractéristiques et les conditions de
rm
fonctionnement sont connues, les paramètres ~ , ~ , t
et t
peuvent être
1
2
r l
r2
calculés
comme indiqué
dans les
chapitres 2,
4 et
5. Il
devient alors
possible
de déterminer
~
et
t
et
par conséquent
d'être en mesure de
m
rm
simuler
assez facilement le fonctionnement du système pour un régime varié
quelconque.
L'exemple de simulation donné à la figure 6.12 montre bien que
l'on
obtient des
résultats plus
précis avec
cette approche. Des travaux
similaires sont prévus sur d'autres types d'assemblages, ce qui permettrait
de disposer d'un catalogue complet sur ces types de systèmes.
,.

---

136
CHAPITRE 7:
SYSTEMES DE CHAUFFAGE: RADIATEURS - CONVECTEURS

---

137
NOMENCLATURE DU CHAPITRE 7
C : chaleur massique (J.K- 1 .kg- 1 )
P
h : coefficient de convection [W.m-Z.K- 1 ]
q : débit massique (kg.s- 1 )
•
M
masse (kg)
T
température (OC)
t
temps (s)
t
temps de retard (s)
r
~
constante de temps (s)
R : nombre de REYNOLDS
Indices:
a
milieu ambiant
c
fluide chaud
e
entrée du système
s
sortie du système
.
:') ~
0
état permanent initial
00
état permanent final
'.

---

138
7.1 1 INTRODUCTION
L'amélioration
du confort
dans l'habitat passe nécessairement par
une
bonne
optimisation
des
systèmes
de régulation des installations de
chauffage;
et ceci exige une bonne connaissance de la réponse des corps de
chauffe à n'importe quelle sollicitation extérieure.
NESSI
et NISOLLE
[18] ainsi
que CADIERGUES [7,8] ont proposé des
méthodes
analytiques
permettant
de
simuler
le
fonctionnement
de
ces
systèmes
en régime
non stationnaire.
Il s'agit
de décomposer
un signal
d'entrée
quelconque x(t) en une somme de créneaux (fonctions échelons), ou
encore de l'approximer par un contour polygonal.
Pour
la décomposition
en somme
de créneaux,
si la
réponse à un
échelon
est bien
connue, il
sera alors
possible d'en déduire la réponse
globale
y(t) du
système au
signal d'entrée x(t) par un produit de convo-
lution (cf.S4.10).
Pour
que cette
réponse y(t) puisse être déterminée par le système
de
régulation
lui-même,
il
est
indispensable
que
la simulation de la
réponse à un échelon soit le plus simple possible à utiliser.
Les
radiateurs (ou
convecteurs) sont des échangeurs thermiques où
le
transfert thermique
se fait en convection forcée entre le fluide inté-
rieur
et les éléments du système et en convection naturelle entre ces élé-
ments
et l'air ambiant. L'étude du capteur solaire à eau qui est un modèle
VOISIn
d'échangeur a permis d'observer [21] que son comportement en régime
de relaxation peut être approché par un modèle théorique à une constante de
temps
et un
temps de
retard. L'utilisation d'un modèle aussi simple pour
caractériser
la réponse
des radiateurs
à un échelon de température ou de
débit
permettrait de
suivre assez
facilement la
réponse de ces systèmes
lorsqu'ils sont soumis à des variations quelconques.
Le
but de ce chapitre est de proposer une telle simulation pour un
corps
de chauffe
soumis à
un échelon de température à l'entrée du fluide
chaud,
ainsi qu'une
méthode de comparaison des performances de différents
radiateurs (ou convecteurs) .
7.2 1 PROCEDURE
La méthode expérimentale utilisée pour les essais effectués sur les
radiateurs est la suivante:
~ - faire
circuler dans le système à l'état permanent initial un débit
q
de fluide à la température T
ac
ceo

---

139
- à
partir de
l'instant t
= 0,
faire un échelon sur la température
d'entrée du fluide (T
~ T
~).
ceo
ce .....
L'évolution
de la
température de
sortie T
du fluide est enregistrée en
CB
fonction
du temps
à partir de t = O. Cet essai est réalisé sur différents
types de radiateurs pour différentes conditions de fonctionnement.
7.3 / RESULTATS EXPERIMENTAUX
7.3.1 / EVOLUTION DE LA TEMPERATURE DE SORTIE T 111
CB
La figure 7.1 montre l'évolution de la température de sortie T
(t)
cs
du
fluide chaud
(eau) après un échelon de température à l'entrée, pour un
modèle classique (TAIGA) (cf.S7. 1.3) ..
IT
(t)-T
(co) 1
cs
cs
50
40
30
t - t
( T
-
T
) .exp(- _ _r)
csoo
cso
~
20
10
t
(mn )
2
4
6
B
10
12
14
16
FIGURE 7.1: Reponse d'un radiateur (modèle TAIGA) à un échelon de tempé-
rature à l'entrée du fluide chaud (q
= 2, 78xl0- z kg.s- l )
.c
Convection naturelle de l'air.

---

140
On
observe
qu'il
est
possible
d'approcher l'évolution avec une
bonne précision par une loi de la forme:
t ,
t
T
(t )
T
r
cs
cao
(7.1)
t ~ t r
où t
représente le temps de retard du système et T sa constante de temps.
r
Tous
les essais effectués sur différents modèles de radiateurs ont
montré le même type d'évolution pour T
(t) et cela, quelles que soient les
cs
conditions
de fonctionnement
imposées au système. On retiendra donc comme
conclusion
que
la
convection
libre
n'oblige
pas
à adopter une loi de
réponse plus complexe.
7.3.2 /
UNICITE DE LA CONSTANTE DE TEMPS T SUR L'ENSEMBLE DU SYSTEME
La
figure 7.2
montre l'évolution
de la température en différents
points
de la surface du radiateur MECTHERM (voir description § 7.3.3) pour
un échelon sur la température d'entrée T
du fluide chaud.
ce
Le
tableau 7.1
donne les valeurs de la constante de temps T et du
temps
de
retard
t
en
chacun
des points considérés. L'écart entre les
r
valeurs de T obtenues en ces points et celles données par l'évolution de la
température
de sortie
T
(t) est généralement inférieur à 5% sauf pour le
cs
point
4 où
il atteint 11%. Au vu de ces résultats, on peut estimer négli-
geable
l'erreur commise
en considérant une constante de temps unique pour
l'ensemble du système, lorsqu'il est soumis à un échelon de température.
~--
~ - - -
Temps de
Constante de
Ecart (%)
POINTS retard t (s) temps T (s)
IT
- TIlT
r
s
s
._--
S
196
T = 158
0%
s
Radiateur MECTHERM
(cf.§7.3.3)
1
310
155
2%
q
= 2,78x10- 2 kg/s
2
153
154
2,5%
mc
3
170
150
5%
4
110
140
11%
-
TABLEAU 7.1: Constante de temps et temps de retard en
différents points de la surface du système

---

e
)(
4
/ T
( t ) - T
(co) /
cs
cs
30
2
3
}(
X
1
*
s
24
*
)C.
Radiateur MECTHERM
18 th n C ~ ).. ..._
)- ~
\\
X
point
( s )
0
point
( 1 )
1-'
.. point (2)
"'"
1-'
:!.2 1
\\r
\\ \\
\\1- '"\\
• point (3)
+ point (4 )
6
l
,
t
(mn)
--t--
,
i a 8 , •
2
4
6
8
10
12
~4
16
18
FIGURE
7.2:
Evolution
de
la
température
de
surface
en
différents
points
-2
du
radiateur
MECTHERM
-
q
=
2,78x10
kg/s
me

---

142
Conclusion: Comme pour le cas de l'échangeur, la réponse d'un radiateur
soumis
~ un
échelon de
température ~
l'entrée du fluide
chaud
peut être
caractérisée par une constante de temps T
unique.
Cette approximation
ne peut néanmoins s'appliquée
qu'~
un
radiateur
(ou
convecteur)
à l'intérieur duquel
l'écoulement
est convenablement
réparti (cf.note §7.J.J);
ce qui est le cas du radiateur MECTHERH.
7.3.3 , INFLUENCE DE LA GEOMETRIE DU SYSTEME ET DU DEBIT DE FLUIDE
SUR LA CONSTANTE DE TEMPS ~
Nous
nous
proposons
maintenant
dans
ce
paragraphe de comparer
l'évolution de la constante de temps ~ en fonction du débit du fluide chaud
pour les trois types de radiateurs suivants:
a}
Modèle TAIGA (De Dietrich - Niederbronn-les bains - FRANCE)
Ce
radiateur en acier est fait d'un seul bloc. Le fluide circule
entre
deux
parois
verticales
munies
de chicanes. La capacité
thermique du système est H.C
~ 14350 J/"K.
p
b)
Modèle RHOSS (RHOSS s.p.a. - Carmignano di Brenta - ITALIE)
Sa
construction est
identique à
celle du modèle TAIGA, mais sa
capacité thermique est plus élevée: M.C
~ 25000 J,oK.
p
c}
modèle MECTHERM (LE CHAUFFAGE FRANCAIS - Verneuil-l'Etang - FRANCE)
Ce
modèle en alliage d'aluminium est constitué de plusieurs élé-
ments
séparables (12
pour notre radiateur) reliés entre eux par
des collecteurs haut et bas. Chaque élément est équipé d'ailettes,
ce
Qui augmente
considérablement la surface d'échange du radia-
teur. La capacité thermique de ce système est M.C
~ 18500 J/·K.
p
L'amplitude
de l'échelon
pour ces différents essais est d'environ
45°C
(~T = T
- T
~ 45°C ), ceci afin d'augmenter au maximum les varia-
csOO
cso
tions enregistrées par les thermocouples.

---

143
'C(s)
250
+ MECTHERM
200
0
RHOSS
• TAIGA
150
+
100
50
1
I+-Gamme usuelle
de
débits ~I
1
pour les
radiateurs
1
4
6
8
10
FIGURE 1.3: Evolution de la constante de temps T en fonction du débit q.c
du fluide'chaud pour différents modèles de radiateurs.
On observe sur la figure 7.3 que:
- quelque
soit
le
type
de
radiateur considéré, la constante de
temps
T décroît
lorsque le
débit q
du fluide chaud augmente
.c
(amélioration
de
la
qualité
de
l'échange
thermique entre le
fluide et le milieu ambiant).
- la
constante de
temps TM
du modèle
MECTHERM est toujours plus
élevée que celles des deux autres, bien que sa capacité thermique
ne soit pas la plus grande (Voir NOTE ci-dessous).
- pour
les modèles TAIGA et RHOSS, les deux courbes se rapprochent
très
rapidement l'une de l'autre et présentent un point d'inter-
section pour un débit de l'ordre de 0,08 kg/s.
- pour
les débits élevés, les constantes de temps ~ des différents
systèmes
tendent vers
des valeurs
asymptotiques ~l' On observe
que
l'asymptote est
pratiquement la même pour les modèles TAIGA
et RHOSS. On a:

---

144
Type RHOSS: '(
::: 50 s
1
{Type TAIGA: '( ::: 50 s
J
Type MECTHERM: '(
::: 65 s
J
NOTE:
Le fait que la constante de temps '(
du modèle HECTHERH (déterminée
fol
à partir de la température de sortie du fluide chaud) soit toujours
plus élevée que
celles des
modèles RHOSS
et TAIGA est essentiel-
lement lié aux caractéristiques internes de ces radiateurs.
En
effet, la qéomèt ri e des modèles RHOSS et TAIGA entraine l'appa-
rition
de zones
mortes dans
l'écoulement en
haut et
en bas des
radiateurs.
Le fluide
chaud arrive
très difficilement
à évacuer
l'eau
froide stockée
dans ces zones, ce qui entraine une réparti
tion
de température
très peu homogène dans le système. A cause de
l'existence
de ces zones mortes, il est évident que la masse ther-
mique
concernée par l'évolution en régime variable est plus faible
pour
ces deux
modèles. L'unicité
de la
constante de temps n'est
plus vérifiée dans ce cas.
Le
modèle HECTHERH
étant, quant à lui, constitué d'éléments sépe-
l'ables,
on obtient une répartition plus homogène de l'écoulement à
l'intérieur
du
système,
ce
qui
a
pour conséquence d'améliorer
l'échange thermique entre le fluide chaud et le milieu ambiant.
T ce
T çe
...
,.
~
}
l-
l'
1
~
l
l,
r
j
1
1
1
1
i
,
1
1
1
;
\\
1
\\
\\
\\'
1
{
1
1
\\,
1
t
,
i
1
~
1
1
!
1
~
1
1
,
1
1
"
,
<,
'"
~
1
1
1
,
1
1
~
"
1
1
1
,
-----.. '-....
1
...
i
l...
\\.
...
-'
L
T
T
cs
cs
(a) Modèles RHOSS et TAIGA
(b) Modèle MECTHERM
FIGURE 7.4: Schéma d'écoulement du fluide à l'intérieur des radiateurs
RHOSS, TAIGA et HECTHERH

---

145
7.3.4 /
INFLUENCE DE LA QUALITE DE L'ECHANGE ENTRE LE FLUIDE ET LE
MILIEU AMBIANT SUR LA CONSTANTE DE TEMPS ~
Nous avons observé à travers les paragraphes précedents que pour un
radiateur
fonctionnant dans une ambiance de convection libre, le régime de
relaxation
lorsqu'il
est
soumis
à
un
échelon de température peut être
caractérisé
par une constante de temps unique ~. Il serait à présent inté-
ressant
d'étudier
l'influence
du
mode
d'écoulement du fluide extérieur
(écoulement forcé par exemple) sur ~.
La qualité de l'échange thermique entre le fluide circulant dans le
corps de chauffe et le milieu ambiant est meilleur pour un écoulement forcé
d'air
autour du système que pour une convection naturelle. On imagine donc
aisément
que la constante de temps ~ qui caractérise la rapidité du sytème
sera plus faible dans le premier cas que dans le second.
Le
tableau
7.2
résume
les
résultats
obtenus
sur le modèle de
radiateur MECTHERM fonctionnant dans les conditions suivantes:
- échelon de température positif ou négatif à l'entrée du fluide chaud
- convection
naturelle entre
l'air ambiant et la surface d'échange du
système (symbole: -).
- jet
d'air perpendiculaire
à la surface du radiateur: V
~ 1,70 mis
air
(symbole: .d.
- jet
d'air parallèle
à la surface du radiateur, en contre-courant de
l'écoulement du fluide: V
~ 1,70 mis (symbole: Il).
air
DEBIT DU
Signe de
Ecoulement
Constante
FLUIDE CHAUD l'échelon
d'air
de temps
q
(kg/s)
T
- T
V
= 1, 70m/s
~ (s)
ac
ce CD
ceo
air
2,78x10- a
> 0
-
158
< 0
-
198
> 0
.L
121
> 0
Il
148
6,80x10- a
> 0
-
103
> 0
.L
83
> 0
/1
104
TABLEAU 7.2: Influence de l'écoulement d'air sur la cons-
tante de temps T du radiateur MECTHERH

---

146
Les résultats du tableau 7.2 appellent les observations suivantes:
Observation 1:
Pour
un écoulement naturel de l'air ambiant, la constante de temps
~
pour un
échelon de
température positif
est plus
faible que celle ~
l
2
relative à un échelon négatif. L'écart entre les deux valeurs est d'environ
20%.
Ceci est
dû au fait que pour un échelon positif (20 ~ 65·C), l'écou-
lement
autour du
radiateur passe du laminaire au turbulent, ce qui a pour
effet
d'accélérer
le
transfert
thermique;
le système atteind donc très
rapidement
le régime permanent final. Pour un échelon négatif (65 ~ 20·C),
c'est
le phénomène
inverse que
l'on observe. L'écoulement passe en lami-
naire et le régime permanent final est atteint de façon plus lente.
Des
essais
ont
été
effectués
à débit constant pour différentes
valeurs
d'échelons positifs
(~T = 45, 35
et 20·C).
Ces essais ont fait
apparaître
des
écarts
relativement
faibles
sur les constantes de temps
expérimentales (inférieurs à 6%). Nous en déduisons donc que le système est
linéaire pour les échelons positifs.
Observation 2:
Pour
un jet
d'air perpendiculaire
au radiateur,
la constante de
temps est plus faible que celle obtenue avec la convection naturelle (écart
d'environ
20%). L'air projeté perpendiculairement au radiateur passe faci-
lement
à
travers
les
espaces
laissés
entre les différents éléments du
radiateur.
La convection
forcée ainsi
créée autour des aillettes du sys-
tème
a pour effet d'améliorer le transfert thermique entre le fluide chaud
et le milieu ambiant.
Observation J:
L'écart
entre
la
constante
de
temps
obtenue pour un jet d'air
parallèle
au radiateur
(écoulement contre-courant)
et celle obtenue pour
une
convection naturelle est relativement faible (généralement inférieur à
6%).
L'écoulement forcé créé dans ce cas n'influe donc pas beaucoup sur la
constante
de
temps
~.
En
effet,
cet
air n'atteint réellement que les
premières
aillettes du radiateur puisqu'il n'arrive pas, comme dans le cas
du jet perpendiculaire, à passer à travers les espaces entre les éléments.

---

147
7.4 /
CONCLUSION
Les
résultats
présentés
dans
ce
chapitre
montrent
qu'il
est
possible
de simuler la réponse d'un corps de chauffe (radiateur ou convec-
teur) soumis à un échelon de température à l'entrée du fluide chaud par une
loi
exponentielle caractérisée par une constante de temps ~ et un temps de
retard t .
r
Les principaux résultats sont les suivants:
- pour un système à l'intérieur duquel l'écoulement est convenablement
réparti (sans zones mortes), la constante de temps ~ est unique pour
des conditions de fonctionnement données. Sa valeur peut être déter-
minée à partir de l'évolution de la température de sortie
T
(t) du
es
fluide circulant dans le radiateur.
- un
jet
d'air
dirigé
parallèlement
à
la surface du radiateur n'a
presque pas d'influence sur la valeur de ~.
- le
signe de
l'échelon (positif
ou négatif)
a une grande influence
.sur
la constante· de temps
~. L'écart
noté pour
les deux cas peut
atteindre
20%. Pour
la simulation
du fonctionnement d'un radiateur
en
régime variable
quelconque (en
régulation par
exemple), il est
donc
important de
tenir compte du signe des échelons constituant le
le
signal d'entrée
x(t) si l'on désire une bonne précision dans les
résultats.
- ~
décroît lorsque
le débit
q
du
fluide chaud
augmente. Pour de
me
grandes
valeurs de
débit, ~
tend vers
une valeur
asymptotique ~l
caractéristique de chaque modèle de radiateur.

---

148
CHAPITRE 8:
ETUDE DES CONTRAINTES THERMIQUES DANS UN ECHANGEUR
PENDANT UNE PHASE DE MISE EN REGIME

---

149
NOMENCLATURE DU CHAPITRE 8
A
section (mm2 )
d
distance (m)
E
module d'élasticité (daN.mm- 2 )
F
force (N)
L
longueur de l'échangeur (m)
q : débit massique (kg.s- 1 )
..
q : débit thermique unitaire (W.OK- 1)
t
r
rayon de l'échangeur (m)
R
nombre de REYNOLDS
T
température (OC)
t
temps (s)
t
temps de dépassement (s)
d
Lettres grecques
œ
coefficient de dilatation linéaire (OK- 1)
~
pente (daN.mm- 2.s- 1 )
E
déformation
~
contrainte (daN.mm- 2 )
~
coefficient de Poisson
Indices:
0
régime permanent initial
00
régime permanent final
a
paroi extérieure
c
fluide chaud
f
fluide froid
i
paroi intérieure
m
maximum (valeur de crête)
r
coordonnée radiale
x
coordonnée axiale (le long de l'échangeur)
a
coordonnée tangentielle

---

150
8.1 / INTRODUCTION
Nous
avons étudié
dans les chapitres précédents la réponse sur le
plan
thermique
de
différents
systèmes
soumis à des conditions d'entrée
variables
sur l'un
des fluides
(variation du
débit ou de la température
d'entrée) .
Il
serait de
toute évidence
intéressant, en
complément à ce qui
précède, de pouvoir étudier
l'évolution des contraintes thermiques sur les
différents
éléments
de
ces
systèmes
lors d'un fonctionnement en régime
variable;
ce qui
permettrait de
prévoir les risques de rupture mécanique
spécifique à ce type de fonctionnement.
Le
but de
ce chapitre
est d'opérer une première approche expéri-
mentale
de ce
problème pour
le cas
simple d'un échangeur bitube eau-eau
soumis à une température d'entrée variable sur le fluide chaud.
8.2 / APPROCHE DU PHENOMENE
Une
variation
brutale
de
la
température
d'entrée
de l'un des
fluides
d'un échangeur
bitube entraine tout naturellement un phénomène de
variation
différentielle de
volume (dilatation ou rétrécissement selon le
sens
de variation de la température) sur les deux tubes, dû à la variation
de
la température
T(x,t) le long de l'échangeur. Les tubes d'un échangeur
étant
généralement solidaires
(par soudage
ou collage
par exemple), les
contraintes
qui apparaissent
dans le
système du
fait de la variation de
température (contraintes thermiques) pourraient bien, si elles dépassaient
certaines limites, entrainer la rupture des liaisons mécaniques existantes.
Le
problème qui
se pose
dans le
cas du
régime variable
e$t de
.~
savoir
s'il y a aggravation des risques de rupture et si oui, en quoi "elle
consiste.
Sur
un tube donné de l'échangeur, la contrainte ~ sera fonction de
différents paramètres à savoir:
- la
position du
tube considéré
(tube intérieur ou tube exté-
rieur)
- l'abscisse x du point considéré
- les dimensions de l'échangeur (longueur, diamètres)
- les caractéristiques thermophysiques des tubes.

---

151
la
variation par
rapport au temps de la température de paroi
au point x:
a
- T (x,t)
at P ...
Si
nous désignons
par ~(t)
la contrainte en un point de l'un des
...
tubes de l'échangeur, les composantes de ~(t) dans un système d'axes cylin-
drique (r,9,x) seront de la forme:
r
...
(8.1)
c'(t)
= (::1
....
Chacune des composantes de c'(t) peut s'écrire sous la forme:
~
-
f,
r
(x.
a
t , -T (t ) , r , L,
·..
at P
l
(8.2)
~e = f, (x.
a
t, -T (t ) , r , L, · ..
cft P
l
~
= f. (x.
a
t, -T (t ) , r , L, ·..
x
at P
l
8.3 / DISPOSITIF EXPERIMENTAL
Un
échangeur bitube
de 3m
de long,
entièrement démontable a été
réalisé
pour cet
essai. Les
deux tubes, en laiton sont conçus de façon à
être solidaires l'un de l'autre par blocage réciproque.

---

152
Les
jauges utilisées
pour ces
essais sont
de type "CEA" à auto
compensation,
ayant des caractéristiques thermophysiques proches de celles
des
tubes de
l'échangeur, donc
réagissant de
la même
façon sur le plan
thermique.
Deux
jauges
sont
collées
en
chacun
des points indiqués ~ur Id
figure 8.1:
- une dans le sens de la longueur pour la mesure de la déformation
longitudinale des tubes en fonction du temps ~ (t).
x
- une
autre dans
le sens
de la
courbure pour
la mesure
de la
déformation tangentielle ~e(t).
L'acquisition
des
valeurs
mesurées
par
les
jauges est faite à
l'aide
d'une
chaîne
automatisée
permettant
de
suivre
en chaque point
l'évolution de ces deux déformations (en ~m/m).
Des
thermocouples
et
des
débitmètres
permettent
par
ailleurs
d'enregistrer les températures et les débits des deux fluides.
8.4 / RESULTATS EXPERIMENTAUX
Des
essais réalisés
à différents
débits pour des écoulements co-
courant
et contre-courant
ont permis
d'obtenir en
différents points des
tubes
de l'échangeur,
l'évolution des déformations axiale (~ ) et tangen
x
tielle
(~e) en
fonction du
temps. Mentionnons
que pour tous nos essais,
l'entrée
du
fluide
froid
est
toujours
maintenue,
pour
des
raisons
pratiques,
du côté
de la
jauge N°6 (voir fig.8.1). C'est donc uniquement
l'entrée
du fluide
chaud que
l'on change
selon que l'écoulement est en-
courant ou contre-courant.
8.4.1 / EVOLUTION DES DEFORMATIONS AXIALE ~~(t) ET TANGENTIELLE ~~11l
La
figure 8.2
montre un
exemple de
courbe expérimentale donnant
l'évolution
des déformations
axiale(~x) et tangentielle (~e) au point N°4
du
tube extérieur
pour des conditions de fonctionnement données ainsi que
les courbes lissées qui en sont déduites.
La
méthode utilisée pour le lissage de ces courbes est la suivante:
1·)
définir
une fenêtre
comportant un
nombre n
impair ( n > 1 ) de
points
expérimentaux (nous
avons choisi n
3 pour une meilleure
précision) .

---

153
2·)
effectuer une régression linéaire sur les n points ainsi définis.
3")
remplacer
le point
médian M
par le point correspondant M'
sur
01
01
la
droite déterminée en 2·. La courbe lissée passera par le point
M'01
4· )
déplacer
la
fenêtre
en
considérant
M'
comme étant le premier
01
point
et refaire les étapes 2· et 3·. On détermine ainsi le point
M'
• etc ..
02
La
courbe lissée est obtenue en joignant les différents points M' .
o
8.4.2 / EXPRESSION DES CONTRAINTES THERMIQUES SUR LES TUBES
Sur un tube dont les rayons intérieur et extérieur sont respective-
ment r
et r , considérons en un point M donné un élément (a,b,c,d) tel que
1
2
représenté sur la figure 8.3.a.
Conformément
au
schéma
des
forces
agissant
sur
cet
élément
(fig.8.3.c)
nous
pouvons
écrire
à
chaque instant t, l'équation d'équi-
libre des forces suivant la direction On
(L F
= 0 )
sous la forme:
1
(00 1)
e)
(8.3) ~ ", .r.de + (", + dr)(r + dr)de ~ 2. ('" .dr.Sin:
0
En posan t sin (:e) ~ :e. on a:
d(Jr
(8.4)
r.--- + (J - (Je = 0
dr
r
Désignons
par u le déplacement radial d'une surface cylindrique de
rayon
r
(fig.8.3.d).
Le
déplacement
d'une surface cylindrique de rayon
r + dr sera alors u + du.
Les
allongements relatifs
dans les
directions radiale et tangen-
tielle s'écriront:
du
e
=
r
dr
(8.5)
(r + u)d9 - rd9
u
rd9
r

---

154
-- -r~
L
0 -
'J
E
111
CD
E
o
o
\\0
o
N
'J
l
! "0....
"0
0
:l
I-l
~
C1l
.c
Cl)
()
"0
Il)
....
"0
:l
....
M
:l
~
-J
M
.,
~
:l
"0
<Il
~
Cl)
o
1 ir:
I~

---

155
e:()Jm/m)
100
-"""
e: x
80
Courbe
expérimentale
60
Courbe
lissée
40
20
o
"
t
( mn)
2
3
4
5
. «'.,. ....
1r
e ft,
\\ .. 0
» ,
-20
FIGURE 8.2: Evolution des déformations axiale ~x et tangentielle ~8 en
fonction du temps pour la jauge N·4 (tube extérieur)
(q
8,33xl0- z kg.s- J ; q
= 5,55xl0- z kg.s- J • Co-courant)
Ille
IIIt
-- ->
"1
(a)
(c )
U-tdl.l./"-
,
,
" ,
J.J-I' ", ,
\\
r J:~ "\\
\\
6~:
\\
1
1
,
:, ,
,
1
1
...
1
,
1
1
,
,
1
,
d~ 1
(d)
FIGURE 8.3:
Diagramme
des
forces agissant
sur
l'élément
(a,b,c,d)

---

156
En
état de
non fonctionnement (température de repos), l'échangeur
expérimental
utilisé sera
supposé dénué de toute contrainte. Les déforma-
tions
enregistrées au cours du fonctionnement du système sont donc unique-
ment dues à la variation de la température de paroi.
Nous
considérerons d'autre part que les matériaux ayant servi à la
réalisation
de l'échangeur
sont de
bons conducteurs thermiques, avec des
parois
de faible épaisseur. On en déduit alors que la température de paroi
ar
ar
p
p
ne varie ni suivant le rayon (r) ni suivant l'angle (8):
::=
=
o.
èr
è8
En tout point M(x) du tube et à un instant t donné, la loi de HOOKE
généralisée en coordonnées cylindriques (r,8,x) s'écrit:
1
e
= -. (cr
-
~.cr
-
~cre )
x
r
E
"
1
(8.6)
e
= -. (0' - ~.cr - ~cre )
r
E
r
x
1
€e
= -·(O'e - ~.cr - ~cr )
E
x
r
è(T (x)-T
)
p
po
Dans cette équation, €
,
e
et
dépendent de l'expression
x
r
èt
On
peut aussi
écrire les contraintes en fonction des déformations
sous la forme:
E
cr
=
«l-~).e + ~.er+~·ee)
(a)
x
(1+~)(1-2~)
x
E
(8.'7)
cr
=
«l-~).€ + ~.E6+ ~·€x)
(b)
r
(1 +~ )( 1- 2~ )
r
E
cre =
«l-~). €e + ~.E + ~.€ )
(c)
(1 +~ )(l-2~)
x
r
En
introduisant
(8.'7.b)
et
(8.'7.c)
dans
(8.4),
on
obtient
l'équation différentielle en u:
d2u
1 du
u
(8.8)
--- + - -- -
= 0
r dr
r:l

---

157
ou encore:
~ (:.d(u.r») 0
dr
r
dr
La solution de cette équation se présente sous la forme:
k2
(8.9)
u = k .r +
1
r
k
et k
sont des constantes d'intégration.
1
2
A partir de (8.5) et (8.9), on tire:
k
u
2
(8.10)
=
k
+ -
1
La
valeur de
ee est
connue en
différents points de l'échangeur (relevés
expérimentaux) .
Les conditions aux limites sur ee s'écrivent:
(8.1U
=
On
obtient
alors
le
système
d'équations
permettant
de déterminer les
constantes k
et k
1
2
k2
k
+ - - = ee
1
r 2
1
k2
k
+ - = ee
1
r 2
2
D'où:
{ k = ee
1
(8.12)
k
= a
2
on tire:
[
du
(8.13)
e
=
= ee
r
dr

---

158
L'expression (8.7) peut donc s'écrire:
(8.14)
Les
contraintes axiale (~ ) radiale (~ ) et tangentielle (~6) sont
x
r
Q
donc
parfaitement déterminées par la connaissance des deux déformations ex
et €e'
8.4,3 1 EVOLUTION DES COURBES DE CONTRAINTE
La
figure (8.4)
montre l'évolution
des contraintes axiale ~
et
ax
tangentielle
~ae pour
les jauges
placées au point N'4 du tube extérieur
lorsque l'échangeur est soumis à un échelon sur la température d'entrée du
fluide chaud.
Les valeurs du module d'Young (E) et du coefficient de Poisson (~)
considérées pour le laiton sont: E := 9200 daN/mm2
et
~:= 0,33.
2)
cr(daN/mm
0,2
cr
( t )
ax
0, 1
o
t
(rn n )
1
2
3
4
FIGURE 8.4: Evolution en fonction du temps des contraintes axiale ~
et
al'
et tangentielle ~8e au point N'4 (tube extérieur).
q
= 8,JJx10-:Z kg.s- J ; q := 5,55x10- 2 kg.s- J (~:= 5900;
.c
. t
~~
~ := 1100) - (Ecoulement co-courant)

---

159
D'une
façon générale,
et en particulier pour la contrainte axiale
~
, on observe le type de comportement suivant en fonction du temps:
ax
* Pour t , t
~
= cste ~ 0
1
B X
t
représente le temps de retard local du phénomène
1
* A partir de t:
une évolution
monotone presque linéaire, avec
1
une pente ~.
* Pour
t ~
00,
~
tend vers
une valeur limite ~
~ (contrainte
ax
ax-
nominale) qui peut être précédée ou non d'un extrémum ~
selon
aXII
les points considérés et selon les valeurs de débit.
8.4.4 1 DEFINITIONS: DUREr _TlE DEPASSEMENT - TAUX DE DEPASSEMENT
a ) Durée de dépassement
Les essais expérimentaux ont montré pour les deux tubes de l'échan-
geur
que, lorsqu'un
extrémum est
observé, la
contrainte nominale ~oo est
dépassée pendant une certaine durée t •
d
Cette durée t
dépend de différents paramètres parmi lesquels on
d
peut citer la position x du point considéré et les débits des fluides. Nous
proposons
dans ce
paragraphe une définition permettant de caractériser ce
paramètre.
Sur
une courbe
~ = f(t) présentant
un dépassement,
traçons une
B
droite
horizontale
passant
par
l'ordonnée
~ (contrainte de référence)
a
~BOO
telle
que o" = - -
Cette droite coupe la courbe en deux points M et M
a
0,95
a
b
d'abscisses respectives t
et t
La durée de dépassement t
sera définie
a
b
d
comme étant la différence entre t
et t :
b
a
(8.16)
t
= t
-
t
d
b
a
La
contrainte de
référence ~
est calculée en considérant qu'une
li
augmentation
de
plus
de
5%
de
la contrainte nominale ~aOO (utilisée en
régime permanent) peut avoir des conséquences néfastes.

---

160
(f
( c )
ax
Ioo:::::------------------------_t (rnn )
t.a
FIGURE 8.5: Durée de dépassement: schéma explicatif
b ) Taux de dépassement
Le taux de dépassement permet de comparer la contrainte maximale ~ID
~ -
~
ID
(0
et la contrainte limite ~ro' Il est défini par le rapport:
8.4.5 1 CONTRAINTES SUR LE TUBE EXTERIEUR
Les
figures 8.6 à 8.9 montrent l'évolution de la contrainte axiale
(f
en
divers
points
du
tube
extérieur pour différentes conditions de
ax
débit .
Sur
la figure
8.6, nous
observons qu'en
chaque point du système
(ici
la jauge
N"4), la
pente ~
et la contrainte ~
~ à l'état permanent
ex ......
final (contrainte nominale) augmentent lorsque le débit q
du fluide chaud
IDe
croit .
Le
tableau 8.1
donne les
valeurs des différents paramètres de la
jauge N'4, pour différents débits du fluide chaud, le débit du fluide froid
étant fixé.
Cin
observe, comme
on pouvait s'y attendre, que la valeur de crête
est plus élevée lorsque le débit q
du fluide chaud augmente.
me

---

161
- - - - - -
FLUIDE CHAUD
cr
-cr
aXIl
a x 0Cl
t (s)
13
cr
cr
t d (S)
1
aXIl
a xOCl
cr
Débit
Reynolds
B xOCl
2
2
2)
<dalil/II11
I s )
(daN/1l1i
)
<daN/mm
q
(kg/s)
Re
me
5,55x10- 2
3900
10
0,005
0,220
0,200
10%
49
8,33x10- 2
5900
9
0,007
0,240
0,214
12%
66
11,1lx10- 2
7860
7
0,009
0,260
0,222
17%
103
L.. ___
_._---"
TABLEAU 8.1: Variation des parametres t , e, ~
~ et t
pour la
1
BX"'"
d
jauge N"4 (tube extérieur) - Ecoulement co-courant
q
= 5,55x10- z kg.s- 1 ;
jl=o 1100)
œf
f
La
figure 8.7
montre
que,
pour
des
conditions
de
débit bien
définies (q
= q
= 5,55 X 10- 2 kg/s), la pente 13 et les valeurs cr ~ et
DIe
mt
ax""
cr
augmentent lorsqu'on
se rapproche
de l'entrée du fluide chaud. Ceci
BXII
reste vrai, que l'on soit en écoulement co-courant ou contre-courant.
L'apparition
de la
valeur de
crête cr
sur la courbe est due au
XII
fait
que, lorsque
l'échelon est
réalisé sur
le fluide
chaud, la tempé-
rature
du tube
intérieur augmente
très rapidement
tandis que du côté du
tube
extérieur, la
montée en température est beaucoup plus lente. Le tube
intérieur
cherchant à
se dilater, se trouve bloqué par le tube extérieur.
La contrainte cr
augmente alors très rapidement jusqu'à atteindre la valeur
X
cr
en compression pour le tube intérieur et Œ
en tension pour le tube
l x .
dxm
extérieur. La montée en température du tube extérieur s'effectuant progres-
sivement, on assiste à
une diminution des contraintes dans les deux tubes.
cr (t )
dans chaque
tube tend alors vers la valeur asymptotique cr
corres-
x
x OCl
pondant au régime permanent final.

---

162
2)
I r
(daN/mm
vax
.-.-.-
/
1
'-
/-----
•
1
-'-e_._e_._
1 /
--
. -.-.
•
1
- - - - - - - - - - - - -
0,2
1 /
1 1
•
1
! 1
-2
1 1
- - . - - . - - q
= 11,llx10
k'F./s
•
1
me
1 1
-2
• 1
-
-
- -
-
qme= 8,33x10
kg/s
11
-2
• 1
5,55x10
qmc=
kgf s
0, 1
! ,
1 1
• 1
t
(mu)
o
2
3
4
5
FIGURE 8.6: Jauge N'4 (tube extérieur): Evolution de la contrainte axiale
q
(t) pour différentes valeurs du débit q
du fluide chaud
BX
.c
(q
= s.sssur» kg/s; r1I = 1100) - Ecoulement co-courant
. f
...."
2
,-;-
(daN/mm)
\\J a x
1
Jauge
»:>
~
1
0,2
1
1
,
1
,,,
1
1
1
02
: /---,
r Jauge N
, /~.-. -,
" ,
' ( . r
" "
It
'
.......... ~-;::.
_
0, 1
Iii
'-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
:'i
\\_- Jauge NGIO
r:,1
./.i
:~/
(1;1
7,·
t
(mu)
o
2
3
4
5
FIGURE 8.7: Evolution de la contrainte axiale ~
ft) en différents points
BX
du tube extérieur.
(q
= q
= 5,55xl0- 2 kg.s- J ) - Co-courant
.c .f

---

163
2
(f
(daN / mm
)
ax
0,2
Jauge
N°4
Jauge
N°O
a , 1
- - - - - - c o - c o u r a n t
-
- - -
- - -contre-courant
. .,
a
2
3
4
FIGURE 8.8: Evolution de la contrainte axiale if
(t) pour le tube extérieur.
ax
Comparaison entre les écoulements co-courant et contre-courant
(q
= q
= 5,55xl0- z kg.s- 1 )
.c
. f
(f
(daN/mm2)
ax
0, 15
-2
~ q
= 5,55x10
kg/s
1
mc
0, la
, .
/
0,05
· . - : : . - - - - - - - - L - - - - - - - _ - - ' - -
. l - -_ _+~
t
( mn)
a
1
2
3
FIGURE 8.9: Jauge N"2 (tube extérieur): Evolution de la contrainte axiale
if
(t) pour deux valeurs différentes du débit q
du fluide
e x
.c
chaud (q
= 5,55xl0- z kg.s-')
- Ecoulement Co-courant
. f

---

164
Dans
le tableau 8.2 sont regroupés les résultats relatifs à diffé-
rentes
jauges du
tube extérieur
et pour des conditions de fonctionnement
données: q
= q = 5,55x10- 2 kg/s. On y retrouve notamment:
IDe
. f
la distance d séparant chaque jauge de l'entrée du fluide chaud
- les
valeurs du
temps de
retard t , de la pente ~ et de la con-
1
trainte maximale ~axa
- la durée de dépassement t •
d
- le taux de dépassement
La
valeur de
la pente
~ caractérise
la vitesse
de montée de la
contrainte dans les tubes entre les valeurs maxi et mini. Plus cette valeur
est élevée et plus la montée en contrainte est rapide, ce qui peut conduire
au phénomène dynamique de choc thermique.
Lorsqu'il y a dépassement de la contrainte nominale ~
~, l'évalua-
a x .....
tion
des risques
de rupture
mécanique peut
se faire à partir du taux de
dépassement
(~
- ~
~)/~
~ qui
dans certains cas peut être supérieur à
aXID
a x.....
BX"'"
25%.
, - - -
~
-
~
Bxm
a x CD
Jauges
t (s)
13
~
a
t d (s)
1
ax.
a x CD
~a x CD
2
2
(daN/a.
/ s )
(d B NI •• 2 )
(daN/ID.
)
N"
d (m)
0
2,85
15
0,003
0,123
0,102
20%
55
2
2
13
0,004
0,136
0,108
26%
52
4
1
10
0,005
0,220
0,200
10%
49
6
0,15
9
0,007
0,240
0,208
15%
52
TABLEAU 8.2: Variation des paramètres t , (3, t , if
et
if
,.,.. pour
i t t
â
é -
l
d
axa
a x .....
rentes jauges collées sur le tube extérieur - Ecoulement
,
co-courant -
(q
= q
= 5,55xl0- 2 kg.s- 1 ;
41 = ]900; jt. = 1100)
af
ac
~~
f
Note: d = distance entre les jauges et l'entrée du fluide chaud.
Les
résultats de
la figure 8.8 confirment les observations faites
sur la figure 8.7. On constate en effet que la jauge N°O est plus proche de
l'entrée
du fluide chaud en contre-courant qu'elle ne l'est en co-courant;
et
par conséquent,
13 et
~
sont
plus élevées dans le premier cas que
,
axCD
dans le second. On a le phénomène inverse pour la jauge N·4.

---

165
Les
essais effectués ont montré que le phénomène de dépassement ne
se
produit pas toujours en tout point de l'échangeur. En effet, lorsque le
débit
q.f du
fluide froid
est largement supérieur à q
(q
) 2.q
), ce
. c . f
.c
phénomène
ne se
produit que
sur une
partie de
l'échangeur à
partir de
l'entrée du fluide chaud (voir fig.8.9).
8.4.6 1 CONTRAINTES SUR LE TUBE INTERIEUR
La
figure 8.10
amène les mêmes observations que celles faites sur
la figure 8.6.
On
note d'autre
part que
le tube
intérieur est
en compression,
contrairement au tube extérieur qui lui est en tension.
La
figure 8.11
montre l'évolution de la contrainte axiale pour la
jauge
N°?, pour différentes conditions de débit. On y observe que, lorsque
le débit q
du fluide chaud augmente, la pente ~ et la contrainte nominale
IBC
Œ
aussi augmentent.
1 x OO
o
t
(mn)
2
3
4
-0,2
\\\\\\
1
Jau g e
N° 3
.\\',
- ----~.-.-:-:-.-.-.-._.-.-.-.-.
_
.
' - - -
» > :
, - - - - - Jauge
N°S
'-.
....,.
-0,4
- - - - - - - - - - - - ; ; : = - - - - Jau g e N° 7
,
-----------~---- JaugeN°Il
',,-
-
------
FIGURE 8.10: Evolution de la contrainte ax i e Ie a'
(t)
en différents points
J.x
du tube intérieur (q
=:
q
= 5, 55xl0- 2 kg/s)
- co-courant
.c .f

---

166
2
Cf. (da N / mm )
~x
t
(mn)
\\,
°
2
3
.'
4
\\'"\\,
1\\
. \\
-2
\\ 1
S,SSxIO
kg/s
-0,2
. \\t1
2
\\
1
8,33x10-
kg/s
•
1
-
-
-
-
- - qme=
\\ '
. ,
\\
1
-2
- - . - - . - - q
=
11,llxlO
•
1
kg/s
me
\\
1
. ,
-0,4
\\. ',
- - - - - - - - - - - - - - - - ---
\\
'
---
,
\\
- - - ' - - - ' - ' - . - ' - ' - ' - ' - ' "
\\
'
_.-.-'
\\
/ "
",'---' -'
\\
\\" ..... - /"
/ '
/ .
,
/
' , , - , / '
-0,6
FIGURE 8.11: Jauge N°] (tube intérieur): Evolution de la contrainte axiale
if
(t) pour différentes valeurs du débit chaud.
lx
(q.f= 5, ssao:»kg.s- 1 , ~= 1100) - Ecoulement co-courant
Le
résumé
des
différents
résultats
obtenus
est donné dans les
tableaux 8.3 et 8.4.
FLUIDE CHAUD
0"
-0"
lxlB
1 li 00
t Cs)
e
0"
0"1 x 00
t d (9)
l
lxlI
0"
Débit
Reynolds
lx ([1
2/S)
2)
2)
q
(kgf s)
(daN/IB1I
(daN/IIIB
(daM/1I11
Re
IBe
5,55x10- 2
3900
6
0,012
0,457
0,407
12%
48
,
8,33x10- 2
5900
5
0,016
0,545
0,425
26%
84
1l,llxl0- 2
7860
3
0,020
0,610
0,460
32%
103 --
TABLEAU 8.3: Variation des paramètres t , {3, O"IXa> et t
pour la
1
d
jauge N°l (tube intérieur) - Ecoulement co--courant
z
Q.f= 5,55xl0-
kg.s- 1 ; -'J= 1100}

---

161
ff
-
ff
IXII
1 x 00
Jauges
t (s)
~
ff
ff
t d (s)
1
IXII
1 x 00
ff
N·
d{m)
1 x 00
2
2)
2)
(daN/1I1I
/8)
(daN/mm
(dBN/1811
3
2,40
12
0,008
0,360
0,322
12%
48
5
1,80
8
0,008
0,390
0,340
15%
51
1
1,20
6
0,012
0,451
0,401
12%
48
11
0,10
3
0,013
0,530
0,445
19%
49
TABLEAU 8.4: Variation des paramètres t , {3, t , cr
et
cr
pour diffé-
1
d
l Ul
lK iV
rentes jauges collées sur le tube intérieur - Ecoulement
co-courant -
(q
= q
= 5,55x10- z ka.e>": t,f)= 3900; t,f)= 1100)
. f
. c
....ct
....,.
Note: d = distance entre les jauges et l'entrée du fluide chaud.
Les
observations sur ces résultats sont identiques à celles faites
au paragraphe 8.4.5.
Par
ailleurs, les
contraintes enregistrées
sur le tube intérieur
sont
d'une
façon
générale
environ
deux
fois
plus
élevées que celles
relevées
sur le tube extérieur. Ainsi donc, sur l'ensemble de l'échangeur,
l'élément le plus sollicité est le tube intérieur.
8.5 1 CONCLUSION
Les
essais
réalisés
au
cours
de
ces
travaux
nous ont permis
d'observer l'évolution des contraintes thermiques en différents points d'un
échangeur
bitube
eau-eau
pour
un
échelon
de
température sur l'un des
fluides (la valeur de nos échelons était de l'ordre de 40·C).
Pour
des conditions
de fonctionnement fixées, les points les plus
sollicités
sont ceux
situés sur
le tube
intérieur, près
de l'entrée du
fluide chaud (cf. fig.8.9, jauge 11: ~ et ff
maximums).
lxm
Dans
certains
cas
on
observe
un
dépassement
de la contrainte
nominale; dépassement pouvant atteindre 25% de ff
'
xoo
Avec
l'échangeur de la figure 8.1, la valeur de crête ff
est bien
X.
en
deçà de la limite élastique en traction (ff ~ 20 daN/mm2 ) ou en compres-
e
sion (ff'~ 28 daN/mm2 ) des tubes de l'échangeur qui sont en laiton. Il n'y a
e
donc pas de risque de rupture dû à la contrainte thermique.
Par
contre, pour des variations de température importantes et pour
de
grands débits
de fluide chaud, des risques de rupture existent surtout
au niveau des soudures si celles-ci ne sont pas convenablement calculées et
en particulier si elles le sont en fonction de ff ~ au lieu de ff
x~
XII
Par ailleurs, la durée t
pendant laquelle il y a dépassement de la
d

---

168
contrainte
nominale if ~ , augmente
avec le débit q
du fluide chaud (cf.
x-
.c
fig.a.10),
alors qu'elle
reste presque
constante le
long de l'échangeur
pour des conditions de fonctionnement fixées (cf. Tableaux 8.2 et 8.4).
Les
différents résultats
présentés dan a
ce chapitre nous permet-
tent
de conclure
que, pour
un système
thermique à grand débit de fluide
chaud
devant subir des variations de température, cette variation devra se
faire
de façon
assez lente.
Nous avons
montré en outre l'existence d'un
risque
spécifique au
régime variable
(dépassement de la contrainte nomi-
nale)
qui ne
doit pas
être ignoré lors du dimensionnement d'un échangeur
devant subir des chocs thermiques.

---

169
CONCLUSION GENERALE

---

170
Les
travaux présentés
dans le
présent document
nous ont permis
d'aborder
quelques aspects
du régime
de fonctionnement non stationnaire
pour
différents systèmes
thermiques et
pour des conditions de fonction-
nement variées.
Les
essais expérimentaux
effectués ont fait apparaître que, dans
tous
les cas
de fonctionnement, la réponse (température de sortie T (t»)
s
d'un échangeur thermique (échangeur bitube, échangeur à faisceau de tubes,
radiateur
etc .. ) soumis
à un échelon de température ou de débit sur l'un
des
fluides à l'entrée peut être approchée par une loi exponentielle sim-
ple à une constante de temps ~ et un temps de retard t , de la forme:
r
t ~ t
T (t)
T (0) = este
r
s
s
t
~ t r
Des
formules ont
été proposées pour le calcul de la constante de
temps
~ d'un échangeur bitube, d'un échangeur à faisceau de tubes et d'un
assemblage en parallèle de deux échangeurs.
Nous
avons pu observer que
le sens
relatif des écoulements (co-
courant
ou contre-courant) n'a pratiquement pas d'influence sur ~. Diffé-
rentes
courbes ont été tracées qui montrent que pour un échangeur à fais--
ce au
de tubes,
le nombre de tubes et la surface d'échange ont une grande
influence
sur la
constante de temps ~ du système. Quant à la disposition
du faisceau (pas carré ou pas triangulaire) et au nombre de chicanes, leur
influence sur ~ est d'une façon générale assez faible.
Pour
l'échelon de
débit, nous
avons établi
que dans le cas des
faibles variations, la constante de temps ~ ne dépend pas du débit initial
du fluide sur lequel l'échelon a été réalisé, mais peut être exprimée uni-
quement en fonction des débits des deux fluides à l'état permanent final.
L'étude
du temps
de retard
nous a
permis de mettre en évidence
l'existence d'un temps de retard t
sur le fluide chaud et d'un autre t t
rc
,-
sur
le fluide
froid. Pour un échangeur bitube co-courant, les deux temps
de retard sont égaux au temps de parcours du fluide chaud. Dans les autres

---

171
cas,
nous avons
mis en
évidence expérimentalement
des lois d'évolution
simple de t
et t
en fonction des débits des fluides.
rc
rf
L'approximation
(~, t ) s'applique aussi de façon satisfaisante à
r
un
assemblage de
deux échangeurs
en parallèle,
même dans le cas où ces
échangeurs
sont
totalement
différents
(échangeur
bitube + échangeur à
faisceau
de tubes
par exemple). On observe que le temps de retard t
du
rm
système
est conditionné
par l'échangeur
dont la réponse est la plus ra-
pide.
Quant à
la constante de temps ~ , une formule empirique a été pro-
m
posée qui permet de la déterminer avec une assez bonne précision.
Les
radiateurs et
convecteurs sont des échangeurs avec un fluide
intérieur
en écoulement
forcé (généralement de l'eau) et un fluide exté-
rieur
en circulation
naturelle (l'air). On observe qu'il est encore pos-
sible
dans ce
cas d'approximer
la réponse
du système
à un
échelon de
température
par une
loi de
type (~, t ). L'influence de la géomètrie du
r
corps de chauffe et de la qualité de l'échange entre le fluide chaud et le
milieu ambiant a été étudiée.
1
\\
1
L'étude
des contraintes
thermiques dans
un échangeur
bitube en
,
[
régime
de relaxation
nous a
permis d'observer qu'en certains points des
tubes et dans certaines conditions de fonctionnement, la contrainte limite
~ro
obtenue pour un régime permanent peut être dépassée pendant un certain
temps
t . On peut atteindre dans certains cas une valeur ~
supérieure de
d
m
plus
de 25%
à ~ro . L'existence de cette valeur de crête ~. spécifique au
régime
variable peut
entrainer la rupture des tubes ou des soudures dans
des échangeurs calculés pour un fonctionnement en régime permanent.
La
poursuite des
travaux sur ce sujet est actuellement envisagée, ce qui
devra
permettre de mieux caractériser la contrainte de crête ~
et d'être
•
ainsi
en mesure
de proposer des méthodes de calcul d'échangeurs adaptées
au fonctionnement en régime variable.
·1!
\\

---

172
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Air-Conditioning - August 27-September 1, 1989 - SARAJEVO - YUGOSLAVIA
[26]
P. PIERSON - J. PADET
L'évaluation des transferts thermoconvectifs en régime
instationnaire, approche théorique et expérimentale.
Revue Générale de Thermique N·287 (1985) P.781-788
[27]
P. PIERSON - J. PADET
Etude théorique et expérimentale des échangeurs,en régime thermique
instationnaire. Simulation d'une phase de relaxation
Int. J. Heat Mass Transfer
vol.31
N·8 (1988) P:i577-1586
[28]
L.A. PORTELLA IIENESES
Programme de calcul systématique d'échangeurs de chaleur à faisceau
tubulaire normalisés
Thèse de Doctorat - I.N.P. de Toulouse (Oct.1977)

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[29]
P.N. ROOKE - F.J. STERMOLE
Study of steady state and unsteady state heat transfer to viscous
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AIChe Journal vol.17 N'4 (1971) P.850-853
[30]
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Unsteady heat transfer inducts with time-varying inlet temperature
and participatinq valls
Int. J. Heat Mass Transfer
Vol.11 (1968) P.837-853
[31]
F. SUBRA
Philosophie de la régulation - Quelques notions fondamentales en
matière de "réqularologie".
Cahiers Techniques du Moniteur 1976,1
P.115-119
[32]
P. V. TSOI
A method for calculating direct and inverse problems of unsteady-
state heat transfer
Int. J. Heat Mass Transfer
vol.31 N'3 (1988) P.491-504
Autres ouvrages:
[33]
P. GERltAIN
Cours de Mécanique des Milieux Continus (Tome 1)
MASSON et Cie, EDITEURS (PARIS 1973)
[34]
J. GOSSE
Guide Technique de Thermique
Editions Dunod
Paris 1981
[35]
s.«. HAINES
Techniques de régulation en Génie Climatique (Chauffage, Ventila-
tion, Conditionnement d'air)
PYC EDITION
Paris 1981
[36]
J.P. HENRY - F. PARSY
Cours d'élasticité
DUNOD UNIVERSITE 1983
[37]
D. KERN
Process Heat Transfer
Mc Graw-Hill, New York 1950
[38]
S. V. PATANKAR - D.B. SPALDING
Heat exchangers
Edited by AFGAN and SCHLINDER - McGraw-Hill - NEW-YORK (1974)

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177
[39]
G. PISSARENKO - A. YAKOVLEV - V. MATVEEV
Aide-mémoire de Résistance des Matériaux
Editions de MOSCOU (Traduction française Editions MIR 1979)
[40]
J.F. SACADURA
Initiation aux transferts thermiques
Technique et Documentation 1982

---

178
ANNEXE:
CALCUL DES COEFFICIENTS D'ECHANGE ENTRE
FLUIDES ET PAROIS DE L'ECHANGEUR BITUBE

---

179
NOMENCLATURE DE L'ANNEXE
A
section droite de l'échangeur
h
coefficient moyen d'échange par convection
l
longueur de l'échangeur bitube (m)
r
abscisse dans le sens radial
r
rayon intérieur du tube intérieur
1
r : rayon extérieur du tube intérieur
2
r : rayon intérieur du tube extérieur
3
r : rayon extérieur du tube extérieur
4
T : température (OC)
U
vitesse de fluide (m.s- 1 )
v
: volume (m3 )
V }
x
abscisse le long de l'échangeur
Lettres grecques
h
conductivité thermique (W.m-1.K- 1)
~
densité de flux de chaleur (W.m- 2 )
Indices:
a
paroi extérieure
f
fluide froid
i
paroi intérieure
indique une quantité moyenne sur l'ensemble de l'échangeur

---

180
Lorsque le régime d'écoulement est laminaire pour les deux fluides,
le calcul de la température moyenne de la paroi extérieure T nécessite la
a
prise en compte du profil des températures Tt(r); celui-ci pouvant être
déterminé à partir du profil des vitesses Ut (r) .
x
~ - -
• ...Iof-- •• -I-".,
- - - - - _ . U (r)
paroi i
T (ri xl
FIG.l: Profil des vitesses et des températures sur une section
de l'échangeur (21]
L'étude proposée dans
forme:
2. U f
d
(Al)
En intégrant par rapport à r le bilan d'énergie du fluide (f),
on obtient:
G (r l
l
(A2)
Tf(x,r) = Tl (x) t -G--·(Ta(X} - Tl (xr )
2
avec:
2
r: . r
r4
2
(A3)
G
4.1n(r Ir )
.ln(::"'-lt(r~-r2)+b.ln(::"'-l}
(r) =
- - t - -
r: - r:
.{r
l
16
4
16
r ; ' :
r
3 2 3
2
2-
(r 2 -
r 2 )
3
l'3
2
(4
4)
(M)
+ 4.1n(r Ir ) - 16' ra - r 2
3
2
(A5)
b = 4

---

181
1
Le calcul de T
=
tUAd,T,lr'XI.dAd,!.dX nous donne:
, v,
(A6)
t
3
f
Tf =
T
+ G • a
Tt )
OÙ Ad' est une section droite du volume délimitant la zone annulaire;
avec:
(A?)
G
=
3
Le coefficient moyen d'échange par convection entre la paroi (i)
et le fluide (f) s'écrit:
.p
xt
(A8)
h
=
=
t t
G .G .G
T
- Tf
2
3
4
t
avec:
4.r2
(A9)
(r: - r:)2
(r:
r:)
ln(r Ir )
3
2
En faisant une étude similaire sur le système constitué par le
fluide (c) et la paroi (i), on obtient:
.p
3.;\\.c
(AlO)
h
=
=
ct
r
T
- Ti
1
c
,1
1
NOTE: Les calculs numériques effectués sur G ont montré que pour une
3
1
grande gamme de valeurs des rayons r
et r , G
fluctue autour de la
2
3
3
valeur 0,75. On peut donc considérer cette valeur de G
dans l'éla-
3
boration des formules simplifiées pour le calcul de la constante de
temps 1".
Dans le cas où l'écoulement est turbulent des deux côtés de
l'échangeur, on pourra utiliser les formules usuelles de corrélation [40}
(COLBURN par exemple)

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