MEMOiRE DE THE5E
1
présenté pour, l'obtention du diplome,de
)...
.
/0
Doc:t~ur ·de 1. ',Universi té. Paris 6
f
~ •• (
' /
Etude asymptotique d~s jQrictions
'élas'tiques
d'un ~assif.et d'un
corps, é:lancé
soutenue le 3,nqvembre 1992 '
dévant Le Jury composê de
M. H:' tE DRET
, RAPPORTEUR
M..
P. GRISVARD
RAPPORTEUR
!'1J'.1E •R.
GATIGNOL
EXANINATEUR
i,
M.
D.
LEGUILLON' / :
EXMlINATEUR
~1. R. cOHAYON
EXANINATEUR.
i
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M, ,E. SANCHEZ PALENCIA
EXMlINATEUR
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Ji' ~'0~7§:~2R~ b\\~t~2J~A~~.[*-~ !~ Lt~~A~~v/A~ht·~lQ!r.
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1 ·
' .

---

Asymptotic study of elastic
junctions of a bulk and a
slender body.
Abstract
We
are
interested
with
asymptotic
problems
in
the
theory of
elasticity,
i.e.
bounàary
value
problems
for the systems of elasticity
involving
small
parameters
in
the
description
of the domain where the
solution is searched.
The correspo~èi~g asyrnptOtlC expansions have different forms in the
various
between them. More precisely, our work is concerned with a precise
description
of the
deformation and
stress fields
at the
junction of an
elastic
plate
and
a
three-dimensional
boày.
The
corresponding
small
parameter is the thickness of the plate.
\\ve use an analogous technique to that of multiple-scall which bring
us
to
a
study
of
the
existence
and
the uniqueness of boundary value
problems in unbounded domains.
This
kind of problem is of great interest in aeoro-space industry,
for-
instance for
tile study
and contr-ol
of vibrations of solar panels of
satellites.
•

---

2
REMERCIEMENTS
-- Je
Tiens particulièrement à exprimer toute ma gratitude à Monsieur
Evariste
SANCHEZ
PALENCIA,
Directeur
de
recherche
au
C.N.R.S,
pour
L'intérêt
constant qu'iL
n'a cessé
de porter à ce travaiL. Sa compétence
scientifique et ces conseiLs écLairés m'ont permis de Le mener à bien.
J'adresse
mes
sincères
remerciements
à
Monsieur
H.
LE
DRET,
professeur à L'université Paris 6 et à Monsieur Pierre GRISVARD, Professeur
à
L'institut
Henri
Poincarè, pour
L'intérêt
qu'iLs
m'ont
témoigné
en
acceptant d'être rapporteurs de cette thèse.
J'exprime
égaLement
mes
remertiements
d
Madame
R.
GA TIGNOL ,
Professeur
à
L'Université
Paris 6,
Mon$ieur Roger
ORAYON, Professeur au
C.N.A.M
et
Ingénieur
à
L'Office
NationaL
d'Etude
et
de
Recherches
AéorospatiaLes,
Monsieur
Dominique
LEGUILLON,
Ingénieur
de recherche à
L'Université Paris 6. Leur présence dans Le jury m'honore.
Jè
rêmèrcie Xadame
n. GATIGNOL pour L'accueiL très sympathique au
sein du Laboratoire de modéLisation en Mécanique.
Je
tiens aussi
à remercier
mes proches
amis et parents : Justin
N.4MPASSI
(mon père), Bernard MOUNTOU, MaiJ~ent LANDOU, ELodie LANDOU, Serge
SANBA,
Luc
PITETE,
Martine
COINTREL
LAFONT,
VitaL FOUEMINA, pour Leur
soutien moraL si déterminant à L'accompLis~ement de ce travail.
J'adresse
une pensée particuLière à Edwige SAMBA, une amie dont la
présence
moraLe
et
permanente
me
fut
si
précieuse
dans
les moments
irrrportants.
Enfin,
Je dédie
ce travai[
j
La mémoire de Justine KISSOUAKI, ma
mère,
en hommage
à une
maman qui
f4t pour
moi une source de motivation
constante et qui dispa~~t prématurement avant que je n'ai pu terminer cette
oeuvre.
B. ilf.4MPASSI

---

,
" l ~'. "
3
~ :;..
T A BLE
0 E S
MAT l E RES
INTRODUCTION - NOTATIONS
6
Chapitre l
THEORIE DE DEVELOPPEMENT EN SERIE DANS UN CONE ET DANS UN
CYLINDRE POUR UN PROBLEME D'ELASTICITE DU TYPE NEUMANN
10
1. DEVELOPPEMENT DANS LE SECTEUR
1
11
1
l . 1. Séparation de variables
11
1.2. Développement des solutions en série de valeur propres de fL .. 14
1.3. Propriété des solutions (1.14) à l'infini et à l'origine~.~
15
r.4. Solutions exactes de forces et de moment
16
n. DEVELOPPEMENT DANS UN CYLINDRE (UNE BANDE &~ BIDIMENSIONNEL)
19
n.1. Séparation de variables
19
n.2. Développement des solutions en série de vecteurs propres de A.21
n.3. Propriété des solutions (2.12) à l'infini
22
n.4. Solutions exactes de traction, flexion et force tranchante
22
n.5. Cas d'une tige çriàimensionnelle
25
li. DEVELOPPEMENT DANS UN CONE TRIDIMS~SIONNEL
27
Chapitre
II
EXISTENCE,
UNICITE
ET
PROPRIETES
DE
LA
SOLUTION
D'UN
PROBLEME D'ELASTCITE DANS UN DOMAINE NON BORNE
29
1. ETUDE DE L'ESPACE '\\f .............••... ~ •••.......••••.•...•...•••• 31
n. EXISTENCE ET UNICITE DE LA SOLUTION DU PROEL&~E (0.3)
34
n.1. Formulation variationnelle
34
li. ETUDE DU COMPORTEMENT DE LA SOLUTION DU PROELE.r.tE (0.3) AU VOISINAGE
DE L'INFINI
36
Chapitre
m
ETUDE
DE
LA
JONCTION
D'UN
MASSIF
ET
D'UNE
TIGE
EN
BIDIMENSIONNEL
\\
39
i
1. PRESENTATION DU PROBLEME
39
\\
.'
.
1
1

---

4
rr. ETUDE DU PROBLEME PARTIEL DE JONCTION DU TYPE FLEXION PURE
43
rr.l. Développement extérieur dans le massif
'" .. 43
rr.2. Développement intérieur dans la jonction
46
rr. 3. Raccordement__à gauche (Massif - Jonction)
50
rr.4. Développement asymptotique dans la tige
51
m.ETUDE DU PROBLEME PARTIEL DE JONCTION DU TYPE FORCE
53
m.l. Développement extérieur dans le massif
53
m.2. Développement intérieur dans la jonction
54
m.3. Raccordement a gauche
55
rrr.4. Développement dans la tige
56
TIl. CARACTERISATION DE LA RIGIDITE DE LA JONCTION POUR LEPROBLEME DE
FLEXION - TRACTION - FORCE TRANCHANTE
58
Chapitre
N
JONCTION
D'UN
MASSIF
ET
D'UNE
TIGE
CYLINDRIQUE
EN
TRIDIMENSIONNEL. CAS DE FLEXION
61
1. PRELIMINAIRE
61
rr. SOLUTIONS EXACTES DU TYPE FLEXION DANS LE CyLINDRE
65
rr.l. Etat des contraintes
65
rr.2. Construction des solutios exactes du type flexion
66
TI. 3. Effet d'échelle
71
rrr.
DESCRIPTION
ASYMPTOTIQUE
DE
LA
JONCTION
POUR
LE
PROBLEME
DE
fLEXION
"
73
m.l. Développement extérieur dans le massif
'"
73
m. 2. Développemen t intérieur
75
.
,
rrr.3. Raccordement à gauche (Massif - Jonction)
/" .. 79
N. DESCRIPTION ASYMPTOTIQUE DE LA SOUPLESSE DE LA JONCTION
82
Chapitre II
: ETAT LOCAL DE CONTRAINTES A UNE JONCTION DE PLAQUE AVEC CORPS
TRIDIMENSIONNEL
82
1. INTRODUCTION
78
rr. PROBLEME D'ELASTICITE DANS UN DIEDRE
80
m.
STRUCTURE ASYMPTOTIQUE
DES CONTRAINTES ET DES DEFORMATIONS DANS LA
PLAQUE
~
84
"
"

---

5
N. PROBLEME LOCAL
87
ITZ.1. Formulation exacte du probleme de jonction
87
ITZ.2. Existence et unicité de la solution du problème aux limites de
jonc tion
89
~. APPROXIMATION PAR DES FONCTIONS DEFINIES DANS DES DOMAINES BORNES.91
.~PPENDICE I.
94
o
• • • • • • • • •
0
• •
0
•
0
• •
0
0
• •
0
0
• •
0
• • • • • • •
0
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
.~PPENDICE no
.101
0
0
•
0
0
• •
0
•
0
0
0
0
•
0
0
0
0
• • •
0
0
0
0
• •
0
• • • • • • • • •
0
• • • • • • • • • •
0
• • • • • • • •
0
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
..
110
0
• •
0 0 0 0
• •
0
• • • • •
0
• •
0
o
• • • • •
o
• • • • • • • • • • • • • • •
i\\
\\
i
,
,

---

6
Introduction
Les problèmes pratiques d'élasticité font intervenir un grand nombre de
situations
où
les
solutions
doivent
être
cherchées
dans des domaines
géométriques
qui sont
décrits à
l'aide de petits paramètres, par exemple
l'épaisseur des plaques, coques, poutres,
tiges, etc.
Ces solutions possèdent une struture spéciale qui échapperait au calcul
numérique
par éléments
fin~s des
domaines tridimensionnels.
Il convient
donc
de
les
traiter
par
des
méthodes
numerlques
plus
ou moins bien
développées
qui constituent
les "théories"
de plaques,
coques,
poutres,
tiges, etc.
On
se
reférera
à
Ciarlet
[4J
pour
un traitement rigoureux de ces
théories. Ces techniques donnent en général de bonnes descriptions globales
du comportement des solutions dans un tel type de pièces élastiques.
L'ingénieur ~eut se baser sur de telles descriptions asymptotiques pour
dimensionner les pièces correspondantes.
Néanmoins,
dans la
pratique, nombre
de ces
pleces sont assemblées à
d'autres
pièces géométriques
très caractéristiques
et assez différentes,
notamment
à des
pleces plus massives ne faisant pas intervenir des petits
paramètres.
L'étude
correspondante
relève
donc
de
l'élasticité
tridimensionnelle.
Un
problème
se
pose
alors:
l'étude
des reglons de jonction de ces
pièces de propriétés géonétriques très différentes. Il convient de signaler
que
ces
régions
sont
souvent
le
siège
de
phénomènes locaux (couches
limites)
qui peuvent
présenter des
singularités lorsque les contours ont
des points anguleux où èes concentrations de contraintes conduisent parfois
à l'endommagement et à la fracture déS structures.
Les
techniques actuelles,
dans l'aréospatiale en particulier, exigent
une
connaissance
fidè~e
des
solutions
dans
ces
reglons,
car i l faut
empêcher
la fracture
tout en utilisant de petits coefficients de sécurité
1
1
.~

---

7
sinon la structure serait sur-dimensionnée et donc inadaptée aux conditions
rigoureuses d'utilisation.
Le
travail que
nous présentons ici est consacré à l'étude de certains
de
ces
problèmes
de
jonction,
en
particulier
dans
le
cas
où
les
-- coefficient:s
d'élasticité des
différents corps en présence sont égaux (ou
du méme ordre de grandeur au sens asymptotique du terme).
La technique principale que nous utilisons est celle des développements
asymptotiques
raccordés,
technique
classique
pour
l'étude
des couches
limites
en mécanique
des fluides
et qui
a été utilisée dans un contexte
proche
du
nôtre
dans
Leguillon-Sanchez
(Chap.Qffi [17J) pour l'étude des
petits arrondis d'angle dans les pièces élastiques.
Cette
technique
s'apparente
à
celle
des échelles multiples et fait
intervenir
en général des dilatations asymptotiquement grandes
(lorsque le
paramètre
c du problème tend vers zéro), ce qui nous conduit (pour €
~ 0)
à
des
domaines
non
bornés.
Les
différents termes du développement des
solutions
sont des fonctions satisfaisant au système de l'élasticité et à
des
conditions aux
limtes mais
qui doivent
aussi avoir, au voisinage de
l'infini,
des comportements
spéciaux donnés à l'avance. Ces derniers sont
les
"::cnè~::ions de
~·accordement". qui
expriment qu'en
s'éloignant de la
ëégion
de
jonction
les
solutions
correspondantes deviennent en quelque
sorte les solutions asymptotiques des régions correspondantes.
L'existence
et
l'unicité
de
ces
problèmes
constitue
la
partie
principale
de notre
étude mathématique qui est par la suite appliquée aux
problèmes spécifiques de mécanique.
Ce
t~avail a
donné lieu
à deux
notes publiées aux comptes rendus de
l'acaàérnie des sciences de Paris sous les références suivantes: C.R.Acad.-
Sei.
pqris.
t.315,
série il, p.129-135.
1992 et t.315,
série il, p.261-266.
1992: et que nous reproduirons en appendice.
Ce travail est divisé er. cinq chapitres.
1-) THEORIE DE DEVELOPPEXENT EN SERIE DANS UN CONE ET DANS UN CYLINDRE POUR
UN PROBLENE D'ELASTICITE DU TYPE NEUNANN.
Nous donnons un développement en série de vecteurs propres d'un certain
opérateur
en
utilisant
la
méthode
de
séparation
de
variables.
Nous
étudions
les propriétés
de ces
solutions au
voisinage de l'infini et de
l'origine.
En
particulier,
on
précise 1 le
développement
de
solutions
d'énergie finie et leur comportement à l'ihfini.
1

---

8
2-)
EXISTENCE,
UNICITE
ET
PROPRIETES
DE
LA
SOLUTION
D'UN
PROBLEME
D'ELASTICITE DANS UN DOMAINE NON BORNE.
On
étudie un
problème d'élasticité
non homogène
dans un domaine non
borné.
Le domaine considéré ici comporte deux régions très différentes qui
se
raccordent
au
voisinage
de
l'origine
et
s'étendent
toutes deux à
l'infini.
Il
s'agit
ici
du
domaine
constitué
d'un cône et d'une tige
cylindrique ( secteur et bande rectangulaire en dimension 2).
Nous
définissons V un espace de hilbert en complétant par la norme "de
l'énergie"
un espace
abstrait de classes d'équivalence dont les fonctions
possèdent
des propriétés remarquables à l'infini. L'existence et l'unicité
sont
alors obtenus
dans V.
On déterminera
aussi les propriétés de cette
solution au voisinage de l'infini.
3-)
Les chapitres met El traitent des problèmes de jonction en dimension 2
et
3. On
considère la
jonction d'un massif encastré sur une partie de sa
surface
et d'une
tige. La
formel de
la géométrique
de la jonction étant
supposée
quelconque.
Nous
donnons
une
description
approfondie
de
la
1
souplesse
ou de
la rigidité
de la jonction en utilisant la technique des
développements asymptotiques raccordés.
4-)
ETAT
LOCAL
DE
CONTRAINTES
A
UNE
JONCTION
DE
PLAQUE
AVEC CORPS
TRIDIMENSIONNEL.
Nous
donnons
une
description
asymptotique
des
contraintes dans la
région
de
jonction
entre
une
plaque
élastique
mince
et
un
corps
Itridimensionnel.
Nous donnons aussi une méthode d'approximation permettant
[e calcul numérique des contraintes.

---

9
Notations
(Xi)
Coordonnées cartésiennes.
(y, )
Variables locales.
e
Vecteurs unitaires des axes cartésiens.
- l
(r. e)
: Coordonnées polaires associées aux coordonnées cartésiennes.
( L',
e, ,.p)
Coordonnées sphériques .
( L',
e. z) : Coordonnées cylindriques.
11 = U '~l : Champ de vecteur ( U
:
composantes cartésiennes du champ 11)·
i
i
é .. (U)
= ~ [aUi + aUj) : Composantes du tenseur de déformation.
1 J
-
2
Ox.
ax.
J
1
1
[éU.
au. )
1
[au.
au. )
On posera quelquefois: é ..
(U)
=
'
+ _J_
et é ..
(U)
= _
_ 1_ + __
J
.
'JX
-
2
ox
ax.
lJY
-
2
ay.
ay.
J
l
J
1
a .. ,
: Coefficient d'élasticité .
• J Km
a . . (U) = a. "
.é .. (U)
: Composantes du tenseur des contraintes.
I J
-
1JKffi
1 J -
G..
: S,J"œ:;ole de K~':'~~ec!':e:'.
1 J
an : Frontière de n.
Hl,
H~ et Hn désignent des espaces de sobolev.
C~(n) : Espace de fonc:~ons indéfinimenc continues sur 0..
0(n) = C~ : Espaces de fonccions indéfiniment concinues à support compact.
L2 (n)
: Espace de fonctions mesurables à carré sommable.
Hl
= (H l )2
(ou (H l )3 en dim 3)
ç:C(n)
= (C'""\\n))2
(ou (c:e(n))3
en àirn 3)
;Il (n) ==
( 0( n) ) 2
( 0 u
( ;2)( n) ) 3 )
!/(n) == (L2 (n))2 (ou (L 2 (n))3
en dim 3)
Z(E. ?) : Espace des opér~teurs linéaires continus de E dans F.
E'
: Espace dual de E.
< • >ë'. E : Produit sCéllai~e dans la dualité

---

10
CHAPITRE 1
Théorie de développement en serie
dans un cône et dans un cylindre
pour un problème d'élasticité
type Neumann
On
considère
le
problème
d'élasticité
avec
conditions aux limites
homogènes de Neuman suivant :
oa (V)
l
J
-
-
= 0
dans 0
i = 1,2,3
(0.1)
ox.
{a. (v/.n. = 0 sur 00 i = 1,2,3
l
J
-
J
avec
(0.2)
a . . (V) == a .. k
.f.,
(V).
l.J
-
lJ
m
rem-
o~
les
coefficients
d'élasticité
a. 'k
satisfont
aux
conditions
de
l
J
m
d'ellipticité et de symétrie suivantes:
V
aijkm·f.km·é.lj
L 2
~ c.
f. ..
f."
symétrique, c > 0
(0.3)
1
l
J
l
J
i, jl
1
ai j k m
= a k m i j
ai k j ml
i
Nous
considérons le
cas o~
n est un secteur d'ouverture w, une bande
infinie
(en bidimensionnel),
un cône et un cylindre (en tridimensionnel).
On s'intéresse précisement au développement en série des solutions de (0.1)

---

11
puis
à
l'étude
de
leurs
propriétés
au
voisinage
de
l'origine et de
l'infini.
i
méthode de séparation de varia-
Ces solutions nous sont fournies par la
présentation très succinte. On
bles
mais
nous
n'en
donnons
ici
qu'une
à
ce
sujet par exemple dans
trouvera
une
présentation
plus
détaillée
Leguillon-Sanchez [17].
Ces
solutions sont
en général
singulières au sens où les. contraintes
tendent
vers
l'infini
au
voisinage
de
l'origine. Elles sont calculées
numériquement dans [17J.
1. DEVELOPPEMENT DA~S UN SECTEUR
r .1. SEPARATION DE VARIABLES
Soit
0 = { (r. el, r > 0, 0 < 8 < w }
Fig.l.l
Sî
plus des
hypothèses classiques
de positivité
et de
symétrie. on
suppose
que les
a,jkm sont régulières par morceau et dépendent uniquement
ce
l'angle
polaire
e.
Après
avoir
effectué
le passage de coordonnées
cartésiennes
en coordonnées
polaires, nous
cherchons U(r,8)
solution de
(0.1) en tant que fonction de la seule variable r à valeur dans ~l (O,w).
Utilisant les fonccions test de la forme
\\p(r) .~(e)
avec \\p E ~(O. 00) et
(1. 1)
v E li l (O. W),

---

12
chercher les solutions de (0.1) à valeur dans ~1 (O. w) revient à
chercher U E ~l (O. w) telle que
(1. 2)
t [~ aijkm(8)·dUm...oVi -d8J-rd-r·=0
o Jo
dX k aX j
V ~ définie en (1.1).
L'tquivalence
se
démontre
de
manière
classique
en
utilisant
des
intégrations par partie.
Considérant les formules
a.
a.
sin a a.
cos 8
-
aX
ar
r
ao
t
(1. 3)
a.
a.
cos 8
a.
= sin a -
+
aX 2
or
r
a8
et utilj.sant une intégration par partie, le prob~è'!'.e (l.2) devient.:
(chercher ~ E ~1 (O. w) telle que
(1. 4)
0=
(r :J:btl(~':::) + (r :J(b12(~'~) - b21(~' :::))
+ b 22 (!l. :::) .
où
b
(!l· :::) - t Cti k (a) . Uk . vi' da
11
b 12 (!l. :::) - t
av.1
(3ik (8) .U
.d8
k ·
a8
(1. 5)
aU
J:
k
b 21 (!l. :::) -
(3il,(8).
-- .v, .dO
ae
t
aUk av,
b 22 (!d:. ~) -
'Y., (8) . - -
- ' de
1 ~
ao
ae
Les
fonctions
Ct ik (8) . (3ik(8) et 'Yik (8)
découlent
de
l'intégration
de
(1.2) .
Soit
B..
les
formes
linéaires
associées
en
dualité
aux
formes
1 J
bilinéaires b ..
1 J
(·B .. (U). v>
l '
t
= b .. (U. v).
1 )
-
-
l i . f I
l J
-
-

---

13
le
problème (1.2) ese alors ramené à déeerminer U (en tane que fonction de
la variable 8) dans ~l (0, w) telle que
(1. 6)
Proposition 1.1.
8 ..
E Z( !:il ,
(!:i l ) , )
'd i,j
l
J
plus précisement on a
(1. 7)
8
E
.
1 1
Z( L2 , L2 ) ,
8
E
:t:( L2
12
•
C!:i1 ) , )
8
E :t:(
Hl , L2 ) et
.
21
8
E
Z( Hl
Œ1 )' ) .
-
22
DEMONSTRATION. cf [17J . •
Proposi tion 1.2.
(2)
La forme bilinéaire b
(~. ~) es" coercive sur 12 (0. w) c.a.d. on a
1l
c constante pcsiti~e.
De plus,
8"
est un opérateur autoadjoint et défini un isomorphisme sur L2.
(2)
la forme biLinéaire b
est coercive sur ~1(0,
22
w)
/1[2.
DE~ONSTRATION : cf [17J . •
Posons maintenant:
( 1. .8)
, r
a~ .
~
J
or
l'équation (1.4) s'écrit alors
sous la forme matricielle suivante
o
( 1. 9)
r -
(Ü)
or-
0
l
avec
Jt=
où l désigne la matrice identité.
[8- , 8
8- l
8
1 1
22
l i
12
J
...... ,1

---

14
Il
apparaît
clairement
que
~
est
un opérateur non symétrique. Par
ailleurs,
grâce
â
la
proposition
1.2,
B~ i E ;el L2 , 1/)
par
suite
l'opérateur matriciel ~ est bien défini sur
( 1. 10)
q)(~) = <(~1 , ~2 ) E !il x 1/, ~2 E !il ,
Théoreme 1.3.
1
1
(1) L'opérateur
matricieL ~
est lermé dans H1 x L2 et admet une résoLvante
1
compacte.
'
(2) Si a est une vaLeur propre de ~, -a, a, -a Le sont aussi.
DEMONSTRATION. cf [17J. •
Remarque 1.1. - Il en résulte du théorème 1.3 que le spectre de A est formé
de valeurs propres isolées de multiplicité finie et de point d'accumulation
l'infini.
D'autre part,
A étant
non symétrique, certaines de. ses valeurs
propres
sont défectives
c.a.d. qu'elles
sont associées au bloc de jordan
(voir par exemple Kato [13J ) .•
1.2. DEVELOPPEMENT DES SOLUTIONS EN SERIE DE VECTEURS PROPRES DE ~
Soit
a
une
valeur
propre
de
l'opérateur
~atriciel A. Nous savons
d'aprè~
la
remarque
1.1
que
a
est
de
multiplicité
finie
mais
les
multiplicités algébrique et géométrique ne coïncident pas forcement.
Supposons
un
instant
que
a
est
une
valeur propre'je multiplicité
géométrique
1 et algébrique 2.
Il existe alors ü(8) et ~(8) respectivement
-,.:ecteur propre et vecteur associé au bloc de Jordan. Plus précisement
Ct. u
(1.11)
{~ ü =
dt v = a.v + U
En
cherchant les solutions dans l'espace invariant engendré par (~, ;), il
vient
que les
solutions de (1.10) s'écrivent comme combinaisons linéaires
de
(1. 12)
u = rC<..~(8) ; Ü = rC<..O.og r .ü(8) + ;;(8)).
En considérant la premlere composante de U qui par construction, correspond
au déplacement ~. on obtient des solutions de (1.6) ou (0.1) :

---

15
(1.13)
Plus généralement, si u est un vecteur propre associé au bloc de Jordan
- j
d'odre fi + 1, il existe m vecteurs v
tels que:
_1
-1
-rn
-m
-m - 1
Au =
A
CLU,
Av
:: Ct.v
+
U.
v
= Ct. v
+ v
Nous
cherchons alors
les solutions
de (l.g)
dans l'espace invariant
-
-1
-m
engendré par le système (u,
v ,
" ' , v ). Soit
_m
-
-1
Û(r, e)
fa (r).u + f] (r).v (8)
+
• . •
+
f
(r)-.v
m
d'où en substituant dans (1.6), on obtient explicitement
où les
C
sont
des cons cantes indéterminées.
-oc
Finalement,
en
considérlli~t
po~~
chaque
vecteur
propre
u
le bloc
-oc
_1C<.
correspondant
(u, v
. . . . )
d'ordre
m(Ct).
nous
déduisons en termes de
champ
de
déplacement
le
développement
des
so~~t~ûns
du
problème
~'&:oscicité (0.1) suivw~t
m(Ct)
( C
î
~
7
r
. l
(r.
e)
' " '
C<.
;n
(1
-m-;5
C j
.:.» (8)
og r)
+ . •.
+
13
• ~
•
13=0
(m-13)!
Remarque
1.2. -
A étant non symétrique il ~ésulte de la-théorie classique
des
opérateurs linéaires ( cf [13J par exemple) que ~l x ~2 n'admet pas d~
base
hilbertienne
formée
de
vecteurs
propres
de
A.
Cependant.
nous
admettrons
dans
toute
la
suite
que
les
vecteurs
propres et vecteurs
associés
dans
le
bloc
de
Jordan
forment
une
base
de
Hl
x L2
.
En
conséquence.
nous
pouvons
supposer
que
les
solutions
du
problème
d'élasticité (0.1) sont données par le développement (1.14).-
1
1.3. PROPRIETE DES SOLUTIONS (1.14) A L'INFINI ET A L'ORIGINE.
Utilisant les formules de dérivation (1.3). il vient que
(1.15)
a .. (U) '"
oc
r
- t
. (log
r)m(Ot)
l J
-
pour les solutions de la forme (1.14).

---

16
Nous en déduisons que
alors ces solutions sont singulières
au voisinage de l'origine;
(1. 16)
jSi Re '" <1
-
sr Re 0: > 1
alors elles sont singulières au voisi
nage de l'infini.
Bien
entendu. la singularité est considérée au sens où les contraintes
tendent vers l'infini.
D'autre part, nous avons aussi pour ces solutions
au. J2
(1.17)
[
~. ax~
l.J
J
où ~ = Il
{ (r, El) 0 < r ~ R, 0 < El < w}.
Ainsi
les
solutions
de
classe
tl1
au vorsrnage de l'origine ont un
développement
de la forme (1.14) où seulement apparaissent les termes avec
Re <X > 0 ,
les coefficier-ts des autres sont nuls.
1.4. SOLUTIONS EXACTES DE FORCES ET DE MOMENT.
Soit U solution du système d'élasticité (0.1). La résultante des forces
et le moment résultant par rapport: à l'origine à travers r=cte agissant sur
la partie r > c s'écrivent respectivement
(1. 18)
(J,
. (U) . n. . rd8
,
i=1,2
l
J
-
J
(1.19)
OÙ les n. sont les composantes de la normale extérieure à la surface r > c.
J
Proposition 1.4.
Pour
les solutions
du système
d'élastcité (0.1), Pi' et M définis en
(1.18) et (1.19) sont indépendants de la constante r.
En
effet pour
montrer que Pi ne dépend pas de r, il suffit d'intégrer
(0.1)
sur
le
domaine
D
=
{R
< r < R~} n n et pour montrer que M est
l
on
on
-
ÔO"l j
00"2 j
indépendant de r on intègre sur D l'équation x
:: O.-
2
.:lx.
dX
J
j
1

---

17
Il
en résulte
de la proposition 1.4 qu'en faisant tendre r vers 0, la
résulatante
de
force
et
le
moment
résultant
restent
inchangés.
Les
solutions corresoondant à F.~ 0
et M ~ 0 sont appelées solutions de forces
...~ _
l
et
moment
ponçtuels.
Proposition 1. 5.
Les
solutions du
type forces
et momen~ sont respectivement associées
a
= 0 et ~ = - 1.
En
effet, compte tenu de la proposition 1.4, la résultante de forces Fi
et
le moment
résultant ~1 existent si Œ.
r- 1 respectivement
°
,...,
Œ. .
,...,
r- 2 •
l
J
l
J
Cela est satisfait pour a = 0 respectivement a = -1. •
L'existence de solutions de moments et de forces découle du théorème
suivant.
Théorème 1.6.
a
= -1 est une valeur propre de l'opérateur A. De plus 0 est aussi une
valeur
propre
de
A
de
multiplicité
géométrique
2
et de multiplicité
algébrique au moins égale d
4.
DEMONSTRATION.
Considérons
a une valeur propre quelconque de A et u un vecteur propre
associé
au bloc de Jordan d'ordre 2 par exemple. Il existe donc un vecteur
v
tel que
a.u
( i )
{A.~ =
11:. v = ~.v + U
?osons
u = (~1' ~2)
et·, - (v
v)
(lO) devient
-
"
-
- 1 '
-2
.
~
( i i )
et

---

18
a'~l + ~1
( iii)
a. B l l (~2) + Bl l (~2 )
Considérons la rotation ~l _= xL. . ~2__- )(2'-~1' On vérifie que
d'où
,(li) est satisfait en considérant ~2 = ~1 et a = 1. Ce qui prouve que
~
= 1 est une valeur propre de~.
Et par
suite grâce au théorème 1.3,
a = -1 l'est aussi.
Pour
œ =
0, si u ( ~1' ~2) est un vecteur propre correspondant alors
compte tenu de (ii) et (iii). on aura
D'où
l'on déduit en vertu de la proposition 1.2 que ~1 = ete. 0 est donc un
vecteur
propre de
multiplicitété géométrique 2. Les deux vecteurs propres
indépendants sont précisement
[~~] et
En commençant par chacun de ces vecteurs propres on cherche l'existence des
vecteurs associés d'odre 2. Soit (~1' Q), de (ii) et (iii) on est conduit à
chercher (v, , 0)
telle que
- 1
-
~lais B
est auto-adjoint. la condition de compatibilité est alors:
22
i= 1.2.
qui
est
trivialement
satisfaite.
Nous
faisons
de
même pour le second
vecteur
propre. D'où 0 est un vecteur propre de multiplicité algébrique au
moins égale à 4. •
Finalement les solutions de moment et de forces s'écrivent respectivement
( 1. 20)
Remarque 1.3.
- Il
apparaît clairement, que les solutions de forces et de
1

---

...
19
moment
sont singulières nu VOlSlnag0 de l'origine ElU sens où elles ne sont;
i
pus
de classe
!il et
que les
contraintes tendent
vers l'infini .. D'autre
part,
il est
facile de
voir que les solutions d'énergie finie convergent
algébriquement à l'infini à un déplacement rigide près vers le champ nul.-
rr. DEVELOPPEMENT DANS UN CYLINDRE (UNE BANDE EN BIDIMENSIONNEL )
li.l. SEPARATION DE VARIABLES
On
se place
en dimension
2. Soit
le système (0.1)
où l'on considère
Ç1 :::
{
x;
1 x
1
< 1 } une bande bidimensionnelle.
2
X2
1
1
1
1
12
:»
1
x.
J-
1
e' !
i
,>1
Fig.1.2
Nous faisons l'hypothèse
On considère les fonctions test de forme semblable à
(1.1)
Y... ::: ~(x2) .<P(x 1 )
(2.1)
{
~ E !il ( -1, 1). <P E ~(LR),
et on cherche ~(Xl' x 2 ) solution de (0.1) qui soit fonction de Xl à va~eurs
dans
!il (-1;1).
Ainsi le
problème (0.1) est équivalent à chercher Utelle
que

---

20
aU
aV
k
m
(2.2)
- - - - = o.
OX.
aX.
l
J
Utilisant les formules
aU
aU
k
k
aU k
- -
&li'
+ &Z i .
aX.
aX
l
l
aXZ
(2.3)
av
av
m
m
ax.J
on
est conduit
à chercher U
n de la variable xz ) dans
~l (-1;1) telle que
(2.4)
o
où
b ll (1!,~)
{ l
l
,
-
- 1
al k1 mP'z ) . Uk·vm·dx Z
-
rd
avm
blZ(~'~)
a z k 1 m(xz ) . Uk ·
.dx z
ax:
~ - 1
(2.5)
aU k
f l
bZl(1!,~) -
a 2 k lm (X: ) •
V
aX
m. dx:
- 1
Z
aU k
avm
b
-
f i
z z (~,~)
a k
.dx
2
1 m(X 2 ) • aX
2
- 1
2
aX 2
(2.4) s'écrit aussi
a z
0
= - -
8
(U)
+
BI z (ll)
+
8zz(ll)
Z
1 1
-
(2.6)
aX l
8
-
8
12
12
8 2 1
,
où les B
sont les formes linéaires associées avec les formes b
•
i j
i j
Les propriétés des formes B..
sont analogues à celles énoncées dans la
l J
cas
du
secteur.
On
procède
de
la
même
façon que dans le problème du
secteur.

---

21
Ainsi, en posant
..
U
(2.7)
U
oU
- -
êJx.e
(2.6) àevient
à
-_-
U
;ftU , avec
ox,
(2.8)
0
l
1t
-
[B- , 8
B- l
B
l l
22
l l
12
0(;ft)
est identique à (1.10)
(on remplace simplement(O,w) par (-1,1)) et le
théorème 1.3 est exactement le même.
11.:2. DE\\iELOPPE:'lENT DES SOLUTIONS
EN SERIE DE VECTEURS PROPRES DE d't. -
Soit
a une
valeur propre
de;ft
de multiplicité
géométrique 1
et de
multiplicité algébrique 2. Il existe
~(X2)
et ~(X2) telles que
(2.9)
{n.~ : CL.~
Jt. v - CL. V + U
D'où l'on déduit des solutions de (2.6) sous la forme
cc. x 1
(.2.10)
U
= e
~(X., )
et
u
1:):..
xl
( -
- )
e
Xl' U (x
)
+ V (x
)
•
2
2
soit en termes de déplacement on aura:
( 2.11)
0<.. " l
U
= e
et
U
- j
De
manière pLus
général:
soit li
un vecteur propre associé à a. et v
fi
vecteurs
propres
associés
dans
le
bloc
de
Jordan
d'ordre m + 1. Les
solutions
de (2.6)
dans le
sous espace invariant engendré par le système
-~
-1
-m
(u , v , .... v ) s'écrivent

---

22
Ct.. xl
(2.12)
U = e
où les fk(x l ) sont des polynômes en Xl de dégré m - k. Plus précisement, on
obtient_par calcul
m
-
l
-
k
Xl
(2.13)
- - - - C
(m - k)!
m
-1-
(m _ 1 _ k)! Cm - l
-1-
• • •
-1-
Ck
où les Ci sont des constantes indéterminées.
n·3. PROPRIETES DES SOLUTIONS (2.12) A L'INFINI.
Considérons les solutions de 1~ forme (2.12), il vient:
1
1
1
Ct.. xl
(2.14)
a . . (U)
e
P (xl)
l
J
-
où
P(x l ) désigne
un polynôme
en Xl
Il
apparaît alors que la condition
nécessaire pour obtenir des solutio~s de classe ~l au voisinage de l'infini
est
Re ~ ~ 0 et chaque f k définie en (2.13) constant. Nous en déduisons le
résultat suivant:
Proposition 1.7.
Les
soLutions
de
cLasse
Hl
au
voisinage
de
L'infini
ont
un
déveLoppement
de La
forme (2.12) avec Re a ~ O. correspondent à Re ~ ~ O.
D'autre part,
Les soLutionsd'énergie finie convergent exponentieLLement
à
un
dépLacement
rigide
vers
Le
champ
O.
La
convergence
étant
en
exp ( -cx l ).
n.4. SOLUTIONS EXACTES DE TRACTION , FLEXION ET FORCE TRANCHANTE.
Comme
dans le cas du secteur. on démontre de façon identique que 0 est
une
valeur
propre
de
multiplicité
géométrique
2
et
de
multiplicité
algébrique
au
moins
égale
à
3.
Ce
résultat
nous permet en effet (en
utilisant
le même
raisonnement que
dans le
cas du secteur) de mettre en
évidence
l'existence
des
solutions
du
type
flexion,
traction et force
tranchante (sous certaines conditions bien sûr). Il suffit en fait d'aller
plus loin dans le calcul des vecteurs propres généralisés.
Nous
ne
considérons
ici
que
le
cas
~simple~
où les coefficients
d' élas ticité
sont
constants
Nous allons utiliser une technique

---

23
différente que celle employée dans l'étude du bloc de Jordan.
Soit bij~m les composantes de la matrice de souplesse définie par
(2.13)
qui
satisfait
aussi
aux
propriétés
de symétrie et d'ellipticité (0.3).
Lorsque
les c .. sont connues, la condition de compatibilité d'existence de
l J
U solution de (0.1) s'écrit:
(2.14)
2
+
On
se
donne
alors
Fl ' F2 ,M respectivement forces de traction,
tranchante
et moment,
et l'on
recherche des
solutions exactes
de (0.1)
telles que la résultante et le moment résultant par rapport à l'origine des
efforts
sur
la, section
x
=
t
0
soient
Ft'
F2 , M
Naturellement,
ces
solutions sont définies à un mouvement rigide près.
Solution de traction pure
On cherche la solution de trB.ctic~
telles que
(2.15)
autres
Œ. .
_
O.
l
J
Par
ailleurs, G ]
b
1 \\
a I l
sont constantes, si bien que la condition de
L
ej
compatibilité (2.14) est trivialement satisfaite. On a donc:
F l
G11
b l1 11
2
F l
(2.16)
G12
b t 2 11 2
F l
c 22
b22l1 2
d'où l'on déduit après calcul que
t ~
U
(b
t 1
l = Fl
xl
+ b12111
X2)
(2.17)
Ft
b2211 X2
U2
2

---

24
Cette! solution
correspond
évidemment
à
la
résultante de forces sur la
sectïon xl = 0 égale à F1~1 et au moment résultant nul.
Solution de flexion pure
(2.18)
autres
o
3
on a donc é iJ = - 2" M bi j 1 1 x
. Plus explicitement on a
2
3
aU 1
é 11
= - -
M b
x
=
1 1 l l
2
2
aX l
--
3
au 2
aU 1
(2.19)
2é 11 = - - M b
x
= - - +
1211
2
2
aX
aX
l
2
3
aU 2
é
= - -
M b
x
=
22
2211
2
2
aX 2
La condition de compatibilité (2.14) set bien satisfaite, nous en déduisons
donc après intégration de (2.19) à un déplacement rigide près
(b ,j. 'lX~X. +
.1.
.:.
~
b.~ ..
j .
.:.
.I...J..
x~)
l
.::
(2.20)
1
2
( 2" b
+
l111
X
1
(2.20) correspond au moment de flexion M'~3 et de force nulle.
Solution de force tranchante
Elle
est
un
peu
plus
difficile
à trouver que les précédentes.
Naturellement,
à la
section Xl = cte, elle ressemble un peu à une flexion
pure
de moment
proportionnel à
x.. C'est pourquoi nous cherchons cette
solution
telle que
a
= A
En remplaçant dans les équations (0.1) ,
11
Xl
x2
on a
al 2 = i- (x; + 1)
a
= O.
22
Cn détermine la constante A pour que

---

)..-
-J
2
= J" 1
= - A
- 1
3
D'où
.,)
= -
Xl x
al 1
F::
2
2
(2.21)
3
a
F::
(1 - x;)
12
4
Œ
= O.
22
la condition de compatibilité se vérifie aisément. Nous faisons l'hypothèse
que
(2.22)
b
= o.
1112
qui
nous
assure
par
la
suite
l'obtention
de solution exacte de force
t~anchante simple. Nous avons
3
E
= -
l 1
r2 bl l 1 1 Xl X.,
2
3
(2.23)
é:
F:
(b-,-,«
x.
-
2
x::
+
b:::::: l
(1
x;))
2
..;
. . . . .
.1.
lé
3 F:: (1 - x;)
1 2
2
Après intégration, on en déduit à un déplacement rigide plan près que
3
U
=
F
-
x
+
-
+
1
b
2
(- l--(
i
.,
3
4
b 1 122
2
b l 1 1 1 X"j X 2
221 1
x 2 )
2
12
2
(2.24)
3
U
- ~. ~
(- 1
1
.,
3
-
b l 1 l l
Xl
+
- b22 1 1 X;
2
Xl)
2
12
2
rr.5. CAS D'UNE TIGE TRIDlr~~SIONNELLE
Le cas de la tige t~idimensionnelle est étudié de façon analogue au cas
de la bande en bidimensionnel. Ici, on singularise Xl et on pose x~ (~=2.3)
les coordonnées d'un point de la section w (Fig.l.3).

---

26
n
Fig.1. 3
On
fait l'hypothèse
a ijkm - aijkm(x~), Les fonctions test ont la forme
(2.25)
On cherche
ü - ~(Xl' x~).
(2.3) devient donc
<3U
<3U
k
- - =
k
<3x.
+-
5 i ~ <3xe
(2.26)
l
<3
<3v
m
- - =
m
+-
5
- -
J"
<3x,.
Les calculs de la page 8 sont analogues en remplaçant x
par la variable x~
2
et dX
par dw = dX .dx . Ce qui donne:
2
2
J
o
(2.27)
les
formes Bij sont les formes associées aux formes bij qui sont les mêmes
que dans (2.5) en remplaçant x
par x~ et dX
par dw.
2
2
Les propriétés des Bij sont les mêmes que dans le cas de la bande. Nous
obtenons
le même
dêveloppement des
solutions (2.12).
Les propriétés des
solutions à l'infini sont. identiques à celles énoncées dans la section n. 3·

---

27
Pour
déterminer les
solutions exactes
de flexion,
traction et force
tranchante
on peut
procéder comme
dans le cas d'un secteur. En effet, on
montre
que
0
est
une
valeur
propre
de
l'opérateur A de multiplicité
géométrique
2. Les vecteurs propres correspondants sont ·(~1' Q) et- (~2 ,Q)-.
La recherche de vecteurs associés nous conduit comme dans le cas du secteur
aux
solutions du
type type
flexion,
traction
et force
tranchante (sous
certaines hypothèses sur les coefficients a
).
Ljkm
Nous
étudierons en détail aux chapitre 4 les solutions du type flexion
lorsque
la
tige
est
cylindrique
et
que
les
coefficients
a ..
sont
l
J k m
constants
partout. Les
cas de
traction et
force tranchante sont étudiés
àans Dorin-Lesan [6J.
m. DEVELOPPS\\ŒNT DANS UN CONE TRIDIMENSIONNEL
Le
développement des solutions du problème d'élasticité dans le cas du
cône
tridimensionnel ressemble à celui du secteur. Soit ~ un cône tel que
sa
section avec la boule {r = cte} soit w où r 2 = xî
+
x~ + x~. On désigne
~ar
e un point courant de la spnère unité.
Fig .1.4
Ainsi
l'élément de
volume est
r 2 drd8.
Ce qui implique de modifications
dans
les
intégrations
en
r
par
rapport
au
problème du secteur. Nous
considérons de nouveau ~ (r,e) solution du problème d'élasticité (0.1).

---

28
En effectuant des calculs comparables à ceux du secteur nous obtenons
(3.1 )
o = - (r aarf B C!:!)
) (B
11
+
(r aa
-
B
-
B
) C!:!)
+
r
21
12
11
(B
-
-
B
) (g)
-
22
12
en définissant le vecteur U de la même manière que (1.8).
(3.1) s'écrit
aI_
(3.2)
r
;--j U
;ftÛ
url
1
mais avec
o
l
(3.3)
;ft -
[
B- 1
1 1
La
proposition 1.1
reste valable.
La relation de coercivité pour b 22
dans la proposition 1.2 est remplacée par: Il existe ~, ~ tels que
Jb'2(~'~) - b'2(~'~)
lV v E li1 (w) .
Le
théorème 1.3
reste vraie
avec une définition appropr~~e de ~(;ft). mais
les propriétés des valeurs propres deviennent :
Si a est une valeur propre alors a,
(-a-l), (-a-l) le sont aussi.
La
singularité au sens de solution n'appartenant pas à li1 au voisinage
de
l'origine mais
avec gradient
(ou contrainte et déformation) tendant à
l'infini correspondent à
1 < Re Ct < 1
2
La solution de force ponctuelle (respectivement moment) sont celles qui
correspondent àa = - 1 ( respectivement - 2). Ces valeurs propres existent
bien en vertu du théorème 1.3 modifié.
D'autre
part on vérifie que les solutions de classe Hl au voisinage de
l'infini convergent algébriquement vers le champ nul.

---

J
29
CHAPITRE 2
Existence, unicité et propriétés de la
solution d'un problème d'élasticité
dans un domaine non borné.
Nous
étudions dans
cette partie
une classe de problèmes d'élasticité
qui
sera utilisée ulterieurement pour décrire le comportement asymp t·',) tique
de la jonction d'une tige élastique et d'un massif.
On
considère
dans
le
plan
(O. y l' Y2 )
le
domaine 1) (Fig. 2.1). Ce
domaine
est
constitué
à
gauche
(dans
la
région Yl
< 0 ) d'un secteur
d'ouverture w et à droite (dans la région Y
)
0) d'une bande rectangulaire
1
~'épai3seur
2 de longueur infinie. La jonction entre ces deux corps est de
forme géométrique quelconque.
Dans
le
plan
du
domaine
TI
on
considère
le
repère
orthonormal
( 0, ~ l' .§.2)
, l'origine du repère étant l'intersection des cotés du secteur
de gauche.

---

30
)",-----+--~y1
:D
Fig.2.1
Dans
le but de résoudre le probléme d'élasticité défini en (0.3), nous
définissons d'abord l'espace
(0.1)
v = { ~ E ÇX'( n ) / ~
u _ 0
au voisinage de l'infini}
muni de la norme d'énergie
(0.2)
f
Il U 11 2
i : :
f. i j (u) f. . . (u) dy
-
energ
e
n
-
lJ
-
où
~ est
l'espace de
dimension 3 formé de champs de déplacements rigides
plans
(rotations et
translationsl planes),
c.a.d. des
champs de la"forme
(Cl
+ C Y2)§.1
+
(c
Yl)§2
où Iles Ci sont des constantes réelles.
(0.1)
3
2
-
C3
sera
explicité dans la section su~vante. Notons cependant que V muni de la
1
norme (0.2) n'est pas complet.
Nous
considérons donc
V le
complété de V pour la norme d'énergie. On
s'intéresse
alors à
l'existence
l'unicité et à l'étude au voisinage de
l'infini de la solution du problème d'élasticité suivant:
Chercher u E V tel que
- oai j (~)
dans 1)
i=l ,2
oYj
ai j (~) • n j
= q:>i

---

,.\\.
1
;
31
où
les
fonctions
fi
et
~i
sont
des données suffisamment régulières à
supports bornés satisfaisant à la condition de compatibilité
(0.4)
\\J w €:R.-.
_
Les coefficients élastiques a. 'k
sont supposés anisotropes, en général
l
J
m
fonctions
de Y , Y
et constants
dans des voisinages de l'infini. Notons
1
2
aussi
que
dans
le
cas
plus
général,
où
l'on suppose par exemple ces
coefficients
dé~~ndants de
l'angle polaire
à gauche
dans le
secteur et
uniquement de Y
dans la bande, les résultats obtenus sont identiques.
2
J. ETUDE DE L'ESPACE V
Notons que les éléments de l'espace V définie en (0.1) sont des classes
d'équivalence.
Chaque élément de la classe est défini à un élément additif
près
de l'espace
~. Ces éléments sont nuls dans un voisinage de l'infini.
Ce qui revient à dire que chaque représentant d'une classe donnée est égale
à
un déplacement
rigide au voisinage de l'infini qui est le même à gauche
(YI
~ -~) et à droite (Y1 ~ +~).
D'autre
part, V étant le complété de V, ces éléments ne convergent pas
nécessairement,
au sens
des fonctions,
vers un même déplacement rigide à
gauche
et à droite. Nous allons montrer qu'il existe d'autres éléments qui
i
tendent par exemple vers deux déplacements rigides différents à droite et à
1
gauche.
Pour cela définissons un nouvel espace
(1.1 )
v = fil E ç O'tO) /~, supp €, ,(u) borné \\.
\\
l
J
-
f
On
vérifie aisément
que (0.2
) est
aussi une
norme dans Vmais que cet
espace n'est pas complet pour cette norme.
Proposition 2.1.
Vest un sous espace de Voù chaque élément (en tan~ que représentant
d'une
classe
donnée)
est
égal
à
deux
déplacements rigides en général
différents dans des voisinages de + 00 et - 00.
D~~ONSTRATION. - Soit Il E V alors par définition on a u = a au voisinage de
l'infini. Par sui te. € .. (li) = a au voisinage de l'infini, d'où Il
l J
-
EV.
D'autre
part,
si
u €
V alors
supp € .. (u) borné et par co~séquent
l
J
-

---

32
é . . (u)
= 0
au V01s1nage de l'infini. Il en résulte alors que _u est égal à
l
J
-
un déplacement rigide au voisinage de l'infini qui n'est'pas nécessairement
le même suivant que Y ~ + ~
et YI ~ - ~ . •
l
Théorème 2.2. - V dense dans
Vpour Za norme d'énergie.
DEMONSTRATION. -
Soit
~ E V. Il vient de la proposition 2.1 qu'il existe v une fonction
de la classe d'équivalence ~, telle que
v =0
au voisinage de - ~
et
v - v au voisinage de + ~
avec v
déplacement rigide non nul en général. Il existe alors un entier No
suffisamment grand tel que : ~
v
v
-~-
--
o
V
L
On fixe une fonction plateau ~ E COO(~) telle que
z:,
(y 1 )
si YI ::; 1
si YI ~ 2
o
1
2
puis,
on construit
une suite
(vL)
IN d'éléments
de V
telles que les
-
L
€
é
(~ L) soient asymptotiquement petits. En effet, nous utiliserons dans la
iJ
région
L::; YI ::; 2L
un
champ
de
déplacements
du
type
Love-Kirc~~off
classique
en théorie
des plaques ou des tiges qui est celui adopté par la
statique des plaques et conduit à des énergies minimales. Plus exactement:
Pour L suffisammant grand , par exemple L > No' on pose
(i)
VL coïncide avec
v
dans la région Y 1 < L
et dans- la région Y
> L
1

---

•
33
(ii )
Pour la commodité de la démonstration, on peut toujours supposer que
On obtient alors
1
{ , l J (v'
-
)
= O( -
dans la région L < Yi < 2L
(iii)
L
i
1
é . . (VL )
= a
dans
Yi ~ 2L
l
J
-
1
En effet.
1
Yi
[
2
(Y~) :~
0~
é: 1 1 (y:L
)
=
c,' (-) - Y
C,
+
•
c,
J]
L
L
2
L
1
Il
Finalement dans la région considérée
ly 1 < 1
et.
L < Yi < 2L,
2
on a bien
1
= 0
(-)
L
De mème on obtient aussi
=
Il s'en suit alors de (i), (ii) et (iii) que
1
II vL- vII.
.
= Q(-) - 0 lorsque L -
-
energle
00
L
Par suite V dense dans
V.-
Corollaire 2.3.
- Le compLété, pour La norme d'énergie, de Vcofncide avec
ce lui âe L'espace ii.
/
'.
.•....~~..;: \\.:
-"'~
......

---

34
Remarque 2.1.
- Le
corollaire 2.3
montre bien
que l'espace V qui est le
complété,
pour la
norme de
l'énergie, des espaces Vet
Vcontient aussi
des éléments (en tant que répresentants des classes données) qui sont égaux
à des déplacements rigides-- distincts au voisinage de--l'ififini-à- gauche et à
droite. •
IT. EXISTENCE ET UNICITE DE LA SOLUTION DU PROBLEME (0.3).
IT.l. FORMULATION VARIATIONNELLE
Soï't
U E
V (en
tant que
fonction définie
à un élément rigide près)
solution
de (0.3).
En 'mul tipliant 'par v EV, on obtient aprés intégration
par partie
{a(~.y)
oU
ov.
k
1
- In a
- -
:=
f.v.
+
ijkm
OY
In
('
1
1
J on <Pi Vi - ct>(~)
(2.1)
OYm
j
\\f
v E V
On aura besoin du résultat suivant
Lenune 2.4. -
Soit ct> la fonctionnelLe définie en (2.1), on a
1ct>(~)J ~ c II~II
\\f v E V, avec c constante reelLe positive.
énergie
/
DEMONSTRATION
Cette démonstration se fait en deux étapes.
premiere
étape. Démontrons
que si w E V alors ~In E ~l (B)/ ~ pour tout B
borné de n.
Vétant dense dans V, il existe donc une suite
approche ~ par la norme d'énergie. On a donc
IIwn - wll.
-+ 0
•
-
-
energie
Or
wn E goo(D)/ ffi., i l
en résulte
que ~n lB E !:!lTB)/~.
B étant borné. les
.-' <::,.~: ..,
\\ .

---

35
inégalités de Korn s'appliquent et l'on peut déduire
2
-
~
~ é ~ . (wn - ~) ~ c. 1\\ wn - wIl
-----0
Il ~n 1
~
B
-
1B Il!!l (B) / ~ ~
L
IJ
-
-
é n e r g i e
i,j
Par suite. ~n III --.
~IIl fortement dans !il (B)/~,
d'où ~I[l E !il (B)/ %
Deuxième étape .
Les fonctions fi' ~i sont à supports bornés. On fixe B et B deux bornés
de
TI tels que supp f. c 8 et supp ~. c Ë . Pour tout _w E V, on peut écrire
l
l
en
vertu de
la première
étape ~ = ~ + ~
avec w
localement Hl et wE ~.
Gràce
à la
condition de compatibilité (0.4) nous avons ~(~) = ~(~). Cette
condition montre en effet que~ est bien une fonctionnelle sur V qui est un
espace de classes d'équivalence; tous les éléments de la classe ont la même
valeur par ~.
Utilisant l'inégalité de cauchy, il s'en suit
I~(~) 1 ~ Il fil 2
• II~II
2
+ 1I~1I 2
- . II~II 2
-
!:. (8)
!:. (8)
L
(OB)
!:. (OB)
utilisant ~es inégalités relevant de la théorie de traces. il vient
I<t>(~) 1 ~ c .II~II l
+
c' .II~II 1 -
li (8)
li (B)
par suite,
1<P( w) 1 ~ c. Il wIl
l
+
-
- !:!
c' .lIwll l
-
(B)/ ~
- !:! (8)/3t
et,
toujours grâce
aux inégalités
de Korn.
vu que 8 c TI et B c TI. on en
déduit
~ c.llwll.
.
-
e n e r g l e
Le
lemme 2.4
montre que la fonctionnelle <P est continue dans l'espace
V. Si bien que. puisque V dense dans V, (2.1) est vérifié pour tout ~ E V.

---

36
Réciproguement,
si u €
V vérifie (2.1) alors en choisissant des fonctions
test appropriées,
(0.3) s'établit aisément.
Finalement le problème (2.3) est équivalent à
Chercher u E V telle que
(2.2)
{
a(~, ~)
= .p(~)
\\:j v E V
où
a(~,~)
et.p
sont respectivement
les formes bilinéaires et linéaires
définies en (2.6) ••
Théorème 2.5. - Le problème (0.3) admet une solution unique.
DEMONSTRATION
Il
suffit d'appliquer le théorème de Lax-Milgran à l'espace de hilbert
V avec
la
forme
bilinéaire
a(~,
~)
et
la
forme
linéaire.p. Noter
que
a(~.~)
est
coercive.
Cela
vient de l'éllipticité des coefficients
d'élasticité a ijkm .•
m. ETUDE DU COMPORTEMENT DE LA SOLUTION DU PROBLEME (0.3)
AU VOISINANGE DE L'INFINI
Considérons ~ €
V (en tant que fonction définie à un déplacement rigide
près)
la
solution
du
problème
(0.3).
Puisque
fi' ~i sont à supports
bornés, alors au voisinage de l'infini ~ satisfait aux équations
o. . (u)
lJ
-
(3.1 )
= 0 dans j)
et
a .. (u).n.
=0
sur aj).
aY
l
J
-
J
J
Utilisant
la propriété
des fonctions
d'énergie finie vérifiant (3.1)
(voir
"chapI)
dans
le
secteur
et.
dans
la
bande,
on
en
déduit
les
développements suivants
d droite (Y
~ 0) :
l
u ~ ~d + ~d.(y e
- Yl~2) + termes exponen-
(3.2)
{ -
~iellement2~~tits lorsque Yl - +00,
d gauche (Y
~ 0)
l

---

. 4:· ...:"F-
.' :
37
~g + ~g '(Y2~1 - Yi~2) + termes algébri-
quement petits lorsque Yi - -00.
Proposition 2.6.
- Les
différences ~d - ~g
et
~d - ~g
sont définies de
façon unique par la solution ~ du problème (2.3).
DE.!'10NSTRATION
Considérons ~l, v2 les fonctions appartenant à la classe u. On a donc
(3.4)
où
a et b sont définis par V2
Vi.
D'où on en déduit de (3.2) et de (3.3)
que
à droite
~ ~d + ~d. (Y2~1 - Yi~2) + termes exponen-
(3.5)
tiellement petits lorsque Yi - +00,
(~d+ ~) + (~d + b). (Y2~1 - Yi~2) + termes exponen-
tiellement petits lorsque Yi - +00,
à gauche
~g + ~g. (Y2~1 - Yi~2) + termes algébri-
quement petits lorsque Yi - -00,
(~g+~)
+
(~g + b). (Y2~1 - Yi~2) + termes algébri-
(3.8)
quement petits lorsque Yi - -00.
Il en résulte que
(~l ) d - (~1 ) g :::
~d
-
~g)
+
(~d - ~g ) • (Y2~1 - Yl~2) + termes petits,
et
1
(~2 )d - (~2 ) g =
~d - ~g) + (~d -
L~,
'!') .

---

38
La relation (3.4) implique
et
'par
suite
ad - a g ) + (13d - ~g) • (Y2~1 - Yl~2)
est
indépendant
de l'élément choisi dans la classe u-.--
Remarque 2.2.
Naturellement
u dépend
de
la
géométrie
locale et des
données [ et ~. si bien que ~d - ~ g
et
13d - 13g sont bien définis par la
solution du problème (0.3) et par la géométrie locale du domaine D.-
o
•
''!.
,.
. ., ....,.
;;:

---

..
39
CHAPITRE 3
Etude de la jonction d'un massif
et d'une tige en bidimensionnel
r. PRESENTATION DU PROBLEME
Dans
le
cadre
de
l'élasticité
bidimensionnelle
(les
déplacements
plans),
et
anisotrope
en
général,
nous
considérons un corps élastique
O~ C ~
constitué
d'un
massif
0
encastré
en
r
0
o
et
relié
par
l'intermédiaire
d'une
cégion
de
géométrie
quelconque
à
une
tige
cectangulaire d'épaisseur 2E et de longueur L (Fig.3.1.a).
y=x/é
:
~---+----~Y,
r-------~Xl
1:"
-'",.
1
. :tg. j.
. a
Fig.3.1.b
On suppose que L» E. Ainsi E apparait comme un paramètre petit t~ndant·
vers
0 et
la tige
de longueur
semi-infinie. Dans la région proche de la

---

40
jonction. le massif coïncide avec un secteur d'ouverture w (Fig.3.la).
Nous
utiliserons
les
notations
suivantes:
(r.e)
représente
les
coordonnées polaires correspondant aux coordonnées cartésiennes ( Xl
'X
);
2
~l
( i
= 1.2 J les vecteurs unitaires des ax_es __et__ ~) le vecteur unitaire
normal au plan ( Ox • Ox, ).
1
Les
coefficients d'élasticité
vérifient les
conditions classiques de
positivité
et de
symétrie. On
suppose en plus qu'ils sont anisotropes et
"-
réguliers par morceau. Plus précisement
{ai
-
aL J
~) dans la jonction
(1.1 )
J "
km
ai j km - constant
ailleurs.
Notons
que dans
le cas
plus général
où par exemple les coefficients
dépendent
de e
dans la
région du
massif proche
de la
jonction (région
confondue
avec le
secteur) et
dépendent de ( x
/ E) dans la tige,
nous
2
obtiendrions
des résultats
analogues à
ceux qui
seront énoncés
dans ce
chapi tr~.
~"\\ chePOfJ.r
'l,'
/~
.~
~~
0"
<1'
1;.>
('Il]
t'l
~
. P,~
\\ ,
La tige
~.. SE?, ~U:r;;fs<5hI/A;E&Xt, '~J té x) = L à l'action àe forces dont
le
moment résul t
~ p~t'LJIf,appott ' 2'~. origine et la résul taIl':e de forces à
o
'71 ' )
l
travers
xl =0
sont)", spect~ve~~,
1::. F3~3'
EFl~l et F2~2 ;
où
es
Fi
( i =1 ,2.3)
son t des
i'iio
~s·tan tes indépendantes de ê. Les bords de Os
sont
supposés libres
de· f~.flces
sauf sur ra où il y' a encastrement et sur
Nous
considérons
dans
tout
ce
qui
suit
le
problème "partiel" de
jonction.
C'est
à
dire
on
suppose
que
Lest infine. Cependant les
propriétés
de jonctions
que nous
obtenons dans ce cas s'appliquent aussi
pour le problème complet (lorsque L < 00) voir remarque 3·9.
Notre
travail
consiste
alors
à
dégager
une structure asymptûtique
permettant de décrire la rigidité ou la souplesse de la jonction.
Les équations d'équilibre sont alors

---

41
oa. . (Ue.)
l
j
-
0
dans n~ .
i=l,2
=
ôx.J
Ue.
= 0
sur 10
(1. 2)
a . . (U<').n. = 0
sur an~ / 1
i==l,2
0
l
J
-
J
ôU<',Tl
Œ. . (U<')
l
j
-
- ai j km OX..<
Les
conditions relatives
à la
résultante de forces respectivement au
:nomenc
résultant
par
rapporc
à
l'origine
à
travers
la
section xl=O
s'écrivent:
J Œ q/ )dx = éF
(traction)
l I
2
l
x , = 0
( 1. 3)
J
a
(!:!c' )dx
::
F
(Force tranchante)
l2
2
2
x. = 0
l
J
x~ a. , (Ue.) dx~ == éJC'
(moment résultant) ,
• J
xl = 0
.;:,
J.
...
-
....
En
appliquant
des
forces
à
la
tige,
sa
rigidité
globale
étant
asympcotiquemenc
pecite par
rapporc à celle du massif lorsque é
~ 0, il
est facile de voir, en utilisant les méthodes de [.4J
(Ciarlet) par exemple.
que le comportemenc asympcotique converge vers celui de la tige encastrée à
l'origine dans un corps rigide.
'j
En
considérant les
solutions exacces classiques de force de traction,
de ~oment de f~exion et de force tranchante (réduites toujours à l'origine)
dans
la
tige,
nous
étudions,
pour
é
~ 0 • des solutions du problème
d'élasticité
dans n~ qui convergent. lorsque Xl ~ + 00, vers ces solutions
exactes.
Il
s'agit
là.
du
phénomene
de
diffusion
des
contraintes
I~
correspondantes
dans
le
massif.
On
obtient
aussi
une
description
asymptotique
pour
€
petit
de
l'état
des contrain:es dans la région de
jonction.
permettant
par
exemple.
d'étudier
les
singularités
(et les
facteurs
d'intensité
correspondants)
!afin
de
prévénir
d'éventuelles
1
fractures dans la jonction (voir Leguillon-Sanchez [17J).
;
Nous
allons
établir,
en
ce
qui
concerne
les termes principaux du
développement
asymptotique
des
déplacements.
que
la
solution converge
exponentiellement
(en exp ( -cx
/
é
) ) dans la tige vers un certain champ
l
de
déplacements
dont
la
différence
avec
la
solution
exacte
pour un

---

42
encastrement à l'origine est un déplacement de corps solide (translation et
rotation).
Cette
différence
peut
être
interprétée
comme
le mouvement
apparent
de la
tige à
méme l'origine.
et constitue
la souplesse
de la
jonction.
Notre
ètude
s'apparente
à
celles
faites
en
[29] et [18]. mais le
problème
dans la
région de
jonction est
ici bien
plus complexe. car i l
comporte deux régions très différentes s'étendant jusqu'à l'infini.
1
Nous utiliserons la méthode deb développements asymptotiques raccordés
1
pour
mettre en
évidence les
diftérentes régions
du développement. Ainsi
nous avons :
1· - Le développement asymptotique "extérieur" valide dans la région du
massif qui est cherché sous la forme :
~O(ê)·!t(x) + •••
(1. 4)
x fixé
où
les points
de suspension
désignent des termes asymptotiquement petits
lorsque
ê
- -
O.
et UÜ
est une fonction à déterminer. satisfaisant à un
problème
d'élasticité dans le domaine no : ~O(é) est un paramètre que l'on
choisira
de telle sorte que le moment résultant et la résultante de forces
correspondant
à!J.°
soient de
l'ordre de l'urü'cé. Notcns cependant que le
domaine' 0
est le domaine O~ pour ê= O.
0
2· - Le développement "intérieur" valide dans la régior.<de jonction qui
sera déterminé sous la forme :
l) 0 (c ) • Y..0 (y)
+ T. A . P .
(1. 5)
xlé
fixé
0
où
vO(ê) est
un paramètre
déterminé de
la même man1ere que ~o et Y..
une
fonction
satisfaisant à
un problème d'élasticité avec seulement condition
aux
limites de
Neumann dans
le domaine TI (Fig.3.l.b). Plus précisement TI
est le domaine formé à gauche par le secteur d'ouverture w. à droite par la
tige
d'épaisseur
2
et.
tel
qu'au
voisinage
de
l'origine. O~ est son
homothétique en faisant x = cy.
3~
- Le développement dans la tige est approché par la solution exacte
dans
la bande
{ lx! ( ê} et à laquelle on ajoute un déplacement dépendant
de
ê.
C'est
précisement l'étude
du raccordement
des solutions
dans ces
différentes
régions qui
déterminera ce
déplacement qui
est le mouvement
apparent.
...
\\

---

TI. ETUDE D~ PROBLEME PARTIEL DE JONCTION DU TYPE FLEXION PURE
Considérons
le
problème
partiel
(L=co) d' élas ticité (1. 2) - (1. J) pour
F~ = F
= a
et FJ~ O. Ce qui correspond au problème où la tige est soumise
2
à
l'infini au moment de flexion dont la résultante par rapport à l'origine
J
sur
la section
Xl
= a est
précisement é
.FJ'~J' On note U~·J la solution
correspondante.
TI.l. DEVELOPPEMENT EXTERIEUR DANS LE MASSIF.
On cherche le développement valide dans le massif sous la forme
!:!<: . J (x) 2:: é J .!:!u . J (x)
(2.1 )
+
•••
{ x fi:::é
En substituant (2.1) dans (1.2)-(1.3) . ori est ramené à chercher UO. 3 telle
que
1
oa, . (UO . 3 )
• J
-
= a dans 'rl
Ôx.
o
i=l,2
J
(2.2)
a sur
ôn] / ra
i=l,2
= 0 sur
ra
avec les condi~ions relatives au moment resultant et aux forces suivantes
a:.i (!lu, 3 ) . n; . r:' • de
= a
i=1.2
(2·3)
Etant donné que le massif est confondu avec le secteur d'ouverture w au
voisinage
de
l'origine,
nous
cherchons
alors
la
solution du problème
(2.2)-(2.3)
de telle
sorte qu'elle
raccorde, dans
cette région, avec la
solution exacte de moment dans le secteur.
Pour
cela, on
fixe tout
d'abord une fonction plateau ~ E COO(~) telle
que

---

44
~
1
{: - 1 au voinage de l'origine
(2.4)
- a
sur r > R,
0
R
r
où
R est
une constante positive assez proche de zéro. Ensuite, on cherche
la solution de (2.2)-(2.3) sous la forme
(2.5)
If .3 (x) = ~ (r) . [F3 . 1x 1- l .l!- l (e) J + Q3 (x)
avec
F3 . Ixl- l 'l!-l (e) la solution exacte du type flexion dans le secteur
(voir chap 1 ). Le problème (2.2) revient à chercher Q3 (x) telle
-3
oO'i J (!:! )
OO'i J [~. F3 . 1x 1- l .l!- l (8 ) ]
=
dans rlo
i=1,2
oX
ox.
J
J
(2.6)
-3
aiJOl. ).n
= - aiJ (~.F3·lxl-l'l!-1(8)).n
sur orl
J
j
o / r o i=1,2
-3
u
= - ~.F3 .Ixl- l .l!-l (e)
sur r o
Théorème 3.1. - Le problème (2.6) admet une solution uni~~e dans gl (no)' De
plus,
cette
solution
admet
au
voisinage
de l'origine le développement
suivant
1
(2.7)
g3(x) = g3(O) + termes alJébriquement petits ( lorsque Ixl -- a ).
1
DS~ONSTRATION. 1. - Unicité et existence
Posons
~ = -~.FJ' Ixl- i .l!-1 (e).
On vérifie aisément que
~ E ~1/2(ro)'
Il résulte donc de la théorie des traces qu'il existe un relèvement continu
~ dans ~l (rla) tel que
(i)
où c est une constante positive dépendant du domaine rlo ' Effectuons le chan-
gement de variables suivant:
-3
( H)
U
= 4> + w.
Le
problème
(2.6)
est
alors
équivalent
à chercher ~ dans l'espace
V = {~"E lil (rl
~Iro ~ Q}
o ) ,
muni de la norme induite dans lil telle que
'\\
"
..,
.....

---

ôa. . (w)
l J
-
= gt
i=1,2
- tHi)
w1r
= 0
-
• 0
a . . (w) . n. 1 ( ~"
\\:: r ) = 4ti i= 1. 2
l J
-
J
0) '0
où
da .. (~ + p)
l J
{g, -
ÔX
(iv)
J
\\)Ji
- - a . . (<fi + p) . n
l J
-
J
Par ailleurs il est facile de vérifier que gr E L2 (00) et
~ E !il (°0), Uti-
lisant
les
intégrations
par
partie.
nous
obtenons
la
formulation
variationnelle suivante de (iii): chercher ~ dans V telle que
(v)
J~ tlt.•v..ds ... Jn gl" Vl .d.x
r
'II ~ E V
1
l
0
l'
ôw
ôv
,"
.àx
I l
vient
donc.
en utilisant les
- J
a iJkm -
-
nO
OX
OX
k
j
propriétés d'éllipticité des coefficients d'élasticité et en appliquant les
inégalités de Poincaré. que
(vi)
'II ~ E V.
d'où la coercivité de la forme bilinéaire a(~,~). D'autre part. le deuxième
~embre de l'inégalité (v) satisfait à :
.às
(inégalité de cauchy)
$
c. li pli!:!. _1 / 2 • Il ~ Il!!. l / 2 + c'. Iig Il L ::2 • Il ~ Il !:. ::2
(inégalité des t~aces)
~ c.II~1I l'
H
Le de~xième membre de l'inégalité (v) est donc continu dans V. Nous pouvons
alors
appliquer à
(iii) le
théorème de
Lax-Milgran. D'où l'existence et
l'unicité de la solution de (iii) et donc du problème (2.6).-

---

46
2. - démonstration de (2.7).
-3
Il vient de (2.4) et de (2.5) qu'au voisinage de l'origine U
satisfait
aux équations
-3
da . . (U )
l J
-
:::
0 dans
S
i=l,2
(vii )
dX.j
-3
a . . (U ). n.
:::
0 sur as
i=l,2.
l
J
-
J
où S désigne le secteur d'ouverture w.
Il
résulte de
la théorie des développements dans le secteur (chap.l),
-3
l
-3
puisque U E ~ (no)' que g admet le développement suivant
-3
~
(viii )
g (x) =
L.
ReÀ>O
où
À
est valeur propre d'un opérateur bien connu et u\\ une fonction de Hl
associée à À (confère chap.l ) et Co .~o est un vecteur constant. On voit
8ier. que
Q3{O)
= Co .~o d'où l'on écrit finalement
(iv)
Q3 (x) =
Q3 (0)'"
2: CÀ' 1x 1À.~À(8 )
ReÀ)O
Par
ailleurs
l'expression
2: CÀ' IxIÀ.~\\(8)
ReÀ)O
représente bien la somme de termes algébriquement petits lorsque Ixl -- O.-
Remarque
3.1. -
On vérifie
a~sement que
la solution
Uo.] est
bien une
solution
du ty~e
flexion pure.
correspondant au moment F '~J
.
Il suffit
J
~'utiliser
la
même
technique
que
dans
la
démonstration
de
la
proposition 1.4 (chap.1).-
rr.2. DEVELOPPEMENT. INTERIEUR DANS LA JONCTION
On cherche le développement intérieur de Ue .3 sous la forme
f."2 • '1..0 . ] (y)
... ..,
(2.8)
\\ \\

---

47
s~ substituanc (2.8) dans (1.2)-(1.3). on est conduit à chercher Vo.) telle
que
00"
(Vo . ) )
i j
-
::
a
dans
:D
i=1.2
ôYj
(2.9)
0". . (Vo. ) ) . n J
::
a
sur
ô:D
i=1.2
l
J
-
avü .3
K
0"
. (Vü . ) )
i
- ai
J
-
j km
ôy'"
avec
a ijkm - aijkm (y)
dans
la
jonction
et constants ailleurs. D'autre
part, on a
J
0"
(VO. 3 )dy
= a
i=1,2
y
i l
-
2
1 =0
(2.10)
J
y2 0"1 1 ('i0 . 3 ) • dy2 = FJ
y 1 =°
qui sont
respectivement les conàitions de forces et de mome~t.
Nous
cherchons les solutions de (2.9) telles que dans la région où lyl
est grand, ces solutions puissent raccorder avec les solutions exactes dans
la
tige
et
dans
le
secceur.
Pour
cela. fixons les fonctions plateaux
C,l
et 1:, 2 E c=o(~)
telles que
1:;: ~
1
!.."
- a
au voisinage de a
,L
(2.11)
{
et sur y
< a
1
)
,..
- l
sur "
)
ri
."
: 1
0
R
1
C,2
-
a au voisinage de a
(2.12)
et sur y 1 ) a
{ C,2 - 1 sur y 1 <- R
a
- R
où
R est
une constance positive arbitraire choisie de telle sorte que sur
la région -R < Yl < R le domaine TI coïncide avec la région de jonction.

---

48
Ensuite,
on
cherche
la
solution
du
problème
(2.9)-(2.10) sous la
forme :
(2.13)
;.;0. 3
où
V
est
la
solution
exacte
du
type
flexion
pure
dans la bande
wO.3
{ Iyl < 1}
et
~
, l a
solution
exacte
du type flexion pure dans le
-3
secteur toutes deux correspondant au moment résultant F3'~3; V est donc la
nouvelle inconnue. Nous avons précisement (voir chap.1)
AO • 3
3
V1
==
- -
F
(b1111Y1Y2 + b22 11 y;)
2
3
(2.14)
'J
i/'
Yi
J
== ~F
2
2
3
(bu" - b2211 Y; J
2
avec (b
)
la matrice inverse de (a
) ,
et
ijkm
ljkm
(2.15)
où ~-1 (8) est une fonction bien déterminée de ~1 (O,w)
Remarque 3.2. - La sol~~icn exacte dans la bande donnée ci dessus satisfait
bien
aux conditions
d'encastrement parfait
à l'origine, c'est à dire que
l'on a
aÎ/ ' 3
==
== 0
•
oy-:!
-3
Substituant (2.13) dans (2.9), il s'en suit que la nouvelle inconnue V
doit satisfaire aux équations
.t· 3
Ԍ
(c.
+
c. 2·yO.3)
l j
1
dans:D
i==l,2
(2.16)
OY j
sur an i==l,2

---

Théorème 3.2. -
Le
probLème (2.16)
admet une
soLution unique
dans L'espace V défini
dans §. l chap.-2~- De pLus, on a LesdéveLoppeiTtents-suivants.
- Dans La région YI> 0,
Iyl grand
(2.17)
V 3 ~ a3 ,d + b3 . d '(Y §l - Y §,) + termes exponentieLLement petits,
2
1
( Lorsque YI -- +00 )
- dans La région Y
< O. Iyl grand
l
(2.18)
V 3 ~ a3 . g
g
+
b J ·
(Y2§1 - Y §,) + termes aLgébriquement petits
i
( Lorsque Yi -- -00 )
où
a o . 3 = a3 . d
3
_
aJ,g
et
bO •
= b3 ,d
-
b3 . g
sont
des
constantes bien
-J
déterminées, dépendant de La géométrie du domaine TI et de La soLution. V .
. ",-
oE:\\lONSTRATI ON . - On vérifie aisément que
( i)
fi' ~i
sont à supports bornés.
( ii)
\\j
v E :R.
Puis.
appliquant le
théorème 2.5 (chap.2), on a immédiatement l'existence
et l'unicité de (2.16).
D'autre
part.
(2.17)
et (2.18)
découlent immédiatement
de l'étude à
l'infini de la solution du probléme (2.16) faite en §.II. chap 2. •
Remaraue 3.3. - La fonction 2J étant déterminée. il est facile de vérifier.
en
utilisant la même technique que pour la démonstration de la proposition
1.4
du chapitre
1. que
la fonction ~O,3 satisfait bien aux conditions de
moments
et forces
définies en
(2.10).-
Remarque 3.4.
- (2.17)
et (2.18) nous pe~met de connaitre le comportement
de
Va • J à l'infini qui est nécessaire à ~'étude des raccordements à gauche
et à-droite ( cf section suivante)..
1
Compte tenu de la structure de la fonction Va .3 en (2.13) et des
définitions de ~I
•
~2 (2.11)-(2.12). nous énonçons en conséquence du
théoère 3.2 :

---

50
Corollaire 3.3.
La solution VO. J de (2.9) admet des déveLoppements suivants.
- Dans la région
Y1
) 0,
Iyl grand
AO. J
- ° J
V·
~ V
) ...
(2.19 )
-
... aJ ... aO. J
...
(
b J ... b 0, J
).
(
y e
... y e
-
-
2-1
1-2
{
termes exponentiellement petits (YI ~ ...~)
;
- dans la région YI
< O. Iyl grand:
vO. J
~ V
... aJ ...
b J
•
(
Y !1 ... Y !2 ) ...
termes
(2.20)
2
1
aLgébrique~ent petits (Y
~ -~).
1
rr.3. RACCORDEMENT A GAUCHE (MASSIF-JONCTION)
~ous
étudions
ici
le
raccordement
des
solutions
(2.1)
et
(2.8)
respectivement valides dans le massif et dans la région de jonction. Notons
que
no coincide avec le secteur d'ouverture w au voisinage de l'origine.
-J
donc la
solution
~
de
(2.6)
peut
être
singulière au sens où
a, , (UO . J) ~ 00
Cela
dépend en
fait des coefficients d'élasticité et de
> J
-
l'angle w. D'où nous distinguons deux cas :
(i) Cas de non singularité
On suppose que dans (2.7). il n'y a pas de valeurs propres À telles que
o < Re À < 1. Nous savons (voir[17J) que ce cas correspond à w < w· où w·
dépend 'du matériau
(des coefficients d'élasticité). Lorsque a
~ cte,
ljkm
il esc prouvé que w· = n~ Sous cette'hypothèse (2.7) s'écrit
....
(2.21)
Ü3 = Q3(0) ... CI' Ixl .~1 (8) ... termes algébriquement
petits ( Ixl ~ a );
Il
est aussi
démontré que le vecteur propre ~1 (8) associé à la valeur
propre À = 1 est une rotation. D'où au voisinage de l'origine on a
( 2 . 22) ~o. 3 (x)
= F).lxl- 1 .!::-1(e) ... Q(O)'" C .(x
!1)
...
termes algébri
1
1!2 -
X2
quement petits.
D'aprés la théorie des développements asymptotique raccordés [5], il existe
une
région (
lxl petit.
XI < 0 respectivement Iyl grand. Yl < 0 ) où les
,

---

51
développements (2.1) et (2.8) coïncident asymptotiquement.
Ainsi, utllisant (2.1) et (2.8), le développement extérieur(2.1)
devient dans la région de raccordement
.... EJ.[ FJ.lxl-l.~-l(e) + QJ(O) + Cl.(xr~2 - x2~l)+
(2.23)
termes algébriquement petits (Ixl~ O)J + •••
Le
théorème 3.2
permet d'écrire
le développement intérieur (2.8) dans la
région de raccordement comme suit
~
2
é
.[ FJ.IYI-l.~-l(e) +~J.g + b)·g'(Yl~2 - Y2~1)+
(2.24)
termes algébriquement petits (lxJ~ O)J + •••
J
En
écrivant (2.23)
et (2.24) dans les memes variables, on voit clairement
i
que le raccordement à l'ordre principal donne
1
1
(2.25)
aJ :: 0
et
b3 :: o.
(ii) Cas singulier
Il existe À; 0 < Re À < 1 tel que
-3
(2.26)
U
QJ (0)
+
C~. IxIÀ.~À(8) ~ termes algébriquement
peti ts ( 1x 1 ~ 0 ).
On vérifie sans difficulté que le raccorèement des solutions (2.1) et (2.8)
donne exaccement le même résultat (2.25).
II.4. DEVELOPPE!>lENT ASTI1PTOTIQUE Dfu'lS L\\ TIGE
v
<. • J
Nous
désignons ici
par ~
la solution
exacte du type flexion pure
ct
t
t
·
1"
cJ
t:'
l
.
- 0
d
l
corespon an
au momen
resu want ~
.") '~3
sur
a
sectlon Xl -
ans
a
bande
Se = { lx: 1 < é }, véiifiant les conditions d'encastrement parfait à
ai:/· 3
l'origine
~-(O) :: 0 ) .
Nous
avons
précisement
(voir
aX2
chap.l)

---

54
(3·3)
avec
la même
définition pour
~(r); les Fœ.~~.log r • ~~(e) (~=1,2) étant
- ~
_oc.
les
sclutions
exactes
du
type
force
dans le secteur et!:I
E!il (~) la
solution
d'un problème
bien posé
du type (2.6) admettant au voisinage de
l'origine un développement analogue à
(3.6):
-~
_.:l<.
~
À
À
(3.4)
U
~ U (0).
L
c~. 1xl' .!:! (8)
Re À >0
rr.2. DEVELOPPEMENT INTERIEUR DANS LA JONCTION
Nous cherchons le développement intérieur sous la forme
(F l • ~l • é . log é + é. y"'0 . l (y) + ...) •
(3.5)
(F2 • ~2 • log é. • y"'0 ' 2 (y) + .., )
On
verra lors
de l'étude
du raccordement à gauche que ~l et
K2 sont
les mèmes vecteurs constants définis dans l'expression (3.3).
D'autre
part,
les
fonctions
vo.~
(~=1,2)
doivent
satisfaire
aux
équations
d'équilibre du type
(2.9)
et
vérifier
en plus les conditions
correspondant
au
moment
résultant
et
résultante
de forces à l'origine
suivantes :
~=1,2
o
~=1. 2
_0.0<.
vo. a.
En
désignant par
Y...
et V
les
solutions exactes
du type forces
respectivement
dans la
bande et
dans le
secteur, en écrit comme dans la
section précédente
(3· il
~. a.(y)
_oc.
où
~l et ~2
sont
définies
dans
(2.11)-(2.12)
et
chaque
fonction
V
(considérée
comme
fonction
définie
à
un
mouvement
rigide prés)est la
solution
dans l'espace
V défini
en §1. chap.2 du problème du type (2.16)
avec les données
\\
'- ·A,
....

---

55
- ad j ((~ .t,Ct. :;-t.--;-.t' Ct.)
l
fCt. _
(3.8 )
l
aY j
De plus. dans la région correspondant à y! > 0,
1y 1 grand , on a
~o, Ct.
Ct.
° Ct.
Ct.
V
+ a
+ a '
+
b . (y2 • ~l - Yl . ~2) + Termes
(3.9)
exponentiellement petits lorsque
Y
~ +00
1
~o, Ct.
Ct.
avec
~
: F Ct.'~ .log lyl + ~Ct.(e)
et.
dans
la
région correspondant à
YI
< O. Iy 1 grand
Y..0 'Ct. s:: QO,Ct.
bO<.'(YZ'~l
+
a'J.
+
- Yl'~2) + Termes
(3. la)
{
algébriquement
petits lorsque
Iyl ~ +00
vO . Ct.
L'expression
de V
est donnée
explicitement. dans
le cas où les a ijkm
sont
constants partout
dans la bande (voir chap.l). A noter cependant que
àans
le
cas
de
forces
tranchante
(a
= 2) on avait fait une hypothèse
supplémentaire
à
savoir
a,Zll
: O.
Ce
qui nous permettait d'avoir une
expression simple de la solution exacte.
Il
résulte de
~:étude faite
dans §ill.cnap.2
que les
~o.Ct.. bO'Ct. sont des
-~
constantes bien déterminées dépendant des solutions V
mais que ~Ct.. bCt. sont
indéterminées.
ill.3. RACCORD~ITNT A GAUCHE
le
raccordement
massif-jonction
s'effectue
de
façon
identique
au
problème
de flexion. En tenant compte de l'étude faite en §ill.l et en §m.2,
les
développements dans le massif et d~,s la jonction s'écrivent en termes
de variables x dans la zone de raccordement comme suit

---

56
Pour Le déveLoppement extérieur :
- [e_[F,
~'(9) -1
.1>' .1ogJ •
+ !:[ (0) +
~ C~IXJ~.!:[~(e)]+ ...
Re >20
(3.11)
. [[F, .1>' .log ~ · ~'(BI -2
+ Q (0)
+
~ C~IXI~.!:[~(e)]+...
Re >20
Pour Le déveLoppement intérieur
ue .• - [é(F1K1lOg r + ~l(e) + a l + ~l (X2~1 - x1~2)+ T.E,P)+ ... ]
(3.12)
+ [(F2~2l0g
2
r + ~2(e)
2
b
+ a
+ -(x~e - X1
é
,-1
~2 ) + T. E.PJ+. . .]
où
T.E.P.
désigne
des
termes
exponentiellement
petits.
Finalement le
raccorèement à l'ordre principal donne
(3.13)
et par suite
(3.14 )
{:: :-"-Q(0)
o
m.4. DEVELOPPEMENT DANS L~ TIGE.
Tout
d'abord
on
établit
le
résultat
nécessaire
au
raccordement
tige-jonction suivant
Proposition 3.5.
~e.Ot
)
Considérons
Les soLutions
exactes du type forces U
(~=1,2
dans La
f

---

57
bande { lx: 1 < c} correspondan~ à La résuLan~e de forces c .F '~l + F '~2 et
l
2
au momen~ résuLtan~ nuL sur Xl =0. ALors
~O . 1
C.
Y..
(x/c)
(3.15 )
~f.'1!lJxJ =
~ ê. . 2
~O.2
U
(x)
= Y..
(x/c )
-o. oc.
où Les V
(a:l,2) son~ Les soLutions exactes du type forces dans La bande
{ Iyl < 1 } correspondan~ à La résuLtan~e de forces F~-sur Yi =0.
Ensuite, nous cherchons la solution dans la tige sous la forme
..""
Uf.' F "'" [Qf..l(X)
+ ~l(c) + bl(c).(Xl~2 - X2~I) + Fl.~l.c.log c]
(3.16)
{
+
[Qe.2(x) + ~2(c) + b2(c).(XI~2 - X2~l) + F2.~2.1og C ].,
où a::x.(c)
+
boc.(c). (x e
- x"e.) est indétermineé.
-
1 -2
. - 1
Le raccordement de (3.16) et (3.5) donne
(3.17)
et
(3.18)
{~
~O.2
cy..
(y)
+ C._Ü'I(O)
+caO. 2 +c.bO. 2 (ye -y"e.)
1
-
1-2
_ - 1
.. 62 (E). (X:~2 - YX2~l)
1
On en déduit alors
_1
_0 • 1
~1 (c ) =
C . a O . 1
c.~ (0) +
- C .F .~
I
(3.19 )
5 °. l
bi (c ) = bO. l
- cF . -
1
c
et
{~:
_2
le)
a O • 2
..... 0. :2
= ~ (0) +
-
F2 .~
(3.20)
c - 1 • b O. 2
1
-o. 2
b- (c )
=
- F2C
.b

---

58
Procosition 3.6. -
La
solution
du
type
force
admet
dans la tige un développement qui
s'écrit
" f
~é:.F
f
(3.21 )
U<- ,
~ ~
(x, €)
+ l
(€)
+
où
(3.22 )
et
AO. 1
~O . 1
b
(3.23)
If (€ )
, . F, .
=
[lOg E. + a
+ - - . (X '~l
+
2
€
~2 l
-
Xl
)
AO.2
AO.2
b
F2 • [log E. + a
+ - - . (X2 • ~l
é
~2 l·
-
Xl
)
~O. ce.
vO. ce.
où
V
et V
sont
les solutions
exactes du type forces respectivement
1
dans la bande et dans le secteur corespondant à la résultante de forces sur
AO • ce.
~O • ce.
la
section F~. Les constantes ~i
et b
sont des constantes dépendant
vce.
de la géométrie du domaine et des ~olutions
Notons
que IF(é) constitue ici le mouvement apparent de l'origine pour
le problème de jonction du type force.
TIl. CARCTERISATION
DE
LA
SOUPLESSE
DE
LA
JONCTION POUR LE PROBLEME DE
FLEXION - TRACTION - FORCE TRANCHfu~TE
Nous
considérons
le
cas
où
la
tige
est
soumise à l'action de la
traction,
force tranchante
et au
moment résultant (référés à l'origine).
Nous
supposons donc que sur la section Xl
= 0, le moment résultant est
égal
à'éJF3~3 et la résultante des forces égale à éFl~l + F2~2' Les ordres
de grandeurs choisies (é 3F , E.F , F ) n'ont aucune importance. puisque par
J
1
2
linéarisation on peut multiplier par n'importe quelle fact~~r f(E.).
De l'étude faite dans les sections rr et ill nous en déduisons le
développement dans la tige suivante
(4. 1 )
.Qé:(X)
.....
\\

---

59
avec
(4.2)
~ 0
~
~ 0 . ]
~ 0 • l
'i~0 • 2 (xiE)
!d (X.E) = E-.y"
(xiE)" E.y"
(xiE)
+
~O . Cl.
où les V
(çx= 1 ,2.3) son t les sol u tiens exac tes de f_orce .. et de moment dans-
la
bande
{ Iyl < l}
~(E)
est
précisement
le
mouvement
apparent de
l'origine qui s'écrit
~O . l
l
~O . l
b
(4.3
c. F
l'W
1.
~ . log é + a
+ - -
[
E
f2.[~2.10g
~O.2
~O.2
b
i
E + a
T-- . (x
-
z .5:,
x, ~2 ) ] +
E Il
1
[,O'
~O . ]
J
]
~
b
é . F ] · - E -
+
. (x '~l -
2
E
~2
Xl
) ] •
finalement, on obtient le mouvement apparent de l'origine sous la forme
(4.4)
où à l'ordre principal
al (E )
Cll log E Ci ~ log E Cl] Cl
EF l
(4.:5 )
a., (E )
=
C
f'"
-
1..
F
z 1 log E
Cz
log
2
E C
G
2
Z]
a., (è )
E - l
~ - l
c] l
C22
c] ] C 2
E].F]
.J
G
~O.J.
~o. i
avec c
= K~ pour i=1,2; Ci] = ai
pour ~=1,2; c:
l j
i = b
pour i=l,2.3.
Le
~ouvement apparent peut alors s'écrire sous la forme matricielle (à
l'ordre principal bien sùr!)
(4.6)
.!:(E) ~ :5(E).?
où :5(E) est la matrice définie en (4.5) et F le vecteur force.
Cette
matrice
est
analogue
à
celle
de
[29]
(E.Sanchez);
les
coefficients
Cij
avec
i.j=1.2. sont
en fait
les mêmes
que dans [29] et
dépendent
seulement
de
l'amplitude
w
du
secteur
et
des coefficients
d'élasticité.
Les coefficients C]i et-cl] dépendent aussi de la forme de D
(fig
3.1.b) j
ils
se
calculent
en
utilisant
les fonctions 'ii (y). Elle
caracter~se la jonction
(sa souplesse)
et permet
de calculer
à l'ordre
principal les déformations dues à n'importe quelle sollicitation. •
"

---

60
Remarque 3.7.
- On
généralise sans dificulté ce qui précede au cas où les
coefficients sont variables, pourvu qu'ils soient du méme ordre de grandeur
en €
et dépendent seulement de lt~~lepolaire dans le secteyr.-
!
~
Remarque 3.8.
La
matrice
définie
dans
(4.5) n'est pas la matrice de
souplesse
d'un système élastique, comme s'était dans le cas dans E.Sanchez
[29J , ce qui conduisait à une matrice symétrique définie positive. On peut
se convaincre facilement que dans certàins cas on a c
< O. C'est le cas si
JJ
la
forme?e
la jonction
est telle
que son effet est de déplacer vers la
droite (fig.3.1.b) le point d'encastrement apparent.-
Remarque 3.9.
La
convergence
vers
la
solution
exacte
est
en
exp(- cx
/
€),
si bien que l'étude reste valable à l'ordre principal pour
1
une
tige non nécessairement infinie en sollicitation arbitraire. Ft' F • }1
2
sont
alors
les
éléments
de
réduction
à l'origine du système de forces
appliquées à la tige.-
.•
,
,
\\

---

61
CHAPITRE 4
Jonction d'un massif et d'une tige
cylindrique en tridimensionnel.
Cas de flexion.
I. PRELIMINAIRE
On
étudie dans ce chapitre le comportement asymptotique de la jonction
en~re
un massif tridimensionnel no encastré sur une surface 1
et une tige
0
cylindrique
de diamètre 2ê
(ê paramètre petit) et de longueur semi-infinie
(Fig.4.l.a). Soit K un cône de révolution autour de l'axe OX
de démi angle
3
au
somme~ w (Fig.4.1.b). Nous supposons que le massif est confondu au cône
X au voisi~age de la région de jonc~ion.
/
Xl
Fig.4.1. a
Fig.4.l.b

---

62
an
note ~l
(i=1,2.3) les
vecteurs unitaires des axes du repère. Nous
utiliserons dans toute la suite la notation indicée classique : les indices
grecques
prennent
des
valeurs
dans
{1.2}
et
les
indices latins dans
{1.2,3}.
De plus
nous ferons
la convention
de sommation sur les indices
répétés.
SOi,t Il~ le domaine de la figure 4.1. a. Nous faisons une étude partielle
du
problème de
jonction. C'est
à dire que l'on suppose la longueur de la
tige
infinie.
On
applique
à
l'infini,
des forces telles que le moment
résultant
par rapport à l'origine et la résultante des forê2s à travers la
section x
= a soient respectivement
J
et
F = Q.
Nous
verrons
plus
loin,
comme
pour
le
probléme
de
jonction
bidimensionnelle,
que les résultats obtenus s'appliquent aussi dans le cas
où
la tige
est de
longueur finie
L et qu'elle est soumise à l'action de
forces
qui sont
appliquées à
son extrémité x
= L donnant le même moment
J
résultant et résultante de forces que pour le problème partiel à l'origine.
Les
coefficients
d'élasticité
sont
supposés
réguliers par morceau,
anisotropes
et
satisfont
aux
conditions
classiques d'ellipticité et de
symétrie. Nous faisons e~ plus l'hypothèse
XJ \\
e-j dans la région de jonction
(1.1 )
constant
ailleurs
Le
cas plus
général est
celui où
l'on considère
dans la
région du
:nassif
proche
de
la
jonction
(celle
qui
coîncide
avec
le
cène
K)
(Xl
l<m(8)
et
dans
la
tige
a,jl<m== a1jl<m
::)
résultats
ai J l< m - a 1J
lE'
les
obtenus sont analogues à ceux énoncés dans ce chapitre.
Soit
~é
le
champ
de
déplacements
dans
n é '
alors
les équations
d'équilibre sont
,

---

63
(JO' . . (U~)
l
J
-
= 0
dans 0<.,
i=1,2,3
ÔX.J
_ai (g~) .n
0
sur ao<. /
j
ra·
i=1.2.3
-
(1. 2)
V'" = 0
sur la
OVE.,TI
0' . . (vE. ) - ai
l
J
-
j km
ÔX.K
Les conditions
relatives au
moment résultant
et à
la résultante des
forces sur la section x " a dans la tige s'écrivent:
J
(1. 3)
et
(1.4)
avec
Les coefficients ~ikm sont les composantes du
-
tenseur alternant définis dans (2.3)
Noter
que. comme il avait été démontré dans le probléme de jonction en
bidimensionnel
(chap.3), pour
toute solution
1[E. du problème (1.2)-,(1.4),
les conditions de moment et des forces dans le massif s'écriront:
(1. 5)
J'
0' . . (U'" ) . n .. r 2 • de
= 0 (résultante des forces)
r=cte
LJ
-
J
et
(1. 6)
X.
• Y.
. u
(ü'" ) . n
. r~ . èS :: 1\\1.
(Moment résultant)
:(
l..;cn
:ilJ
-
J
L
.,
où
2
r-
::
x"'
Xl
+
+
x~ et e un point de la surface r = ete; r 2 .de
l'élément
2
de
surface,
de
désignant
l'élément
de
surface
sur
la
sphère unité.
.'1
=
.'1
, .'1 •
représente le vecteur normal extérieur à la surface r "
1
2
.'1]
ete.
Justification de (1.5) et (1.6).
Supposons
que ~è.
satisfait à
(1.2).
(1.3)
et (1.4).
Considérons le
domaine contenu dans o~ suivant:

---

64
o ;: { X S O} ri { " x 1 Sa}
J
où a est considéré comme une constante positive.
Intégrons (1.2) sur D. On a:
-ocr. . (uE.)
l J
-
----cix
Ox.J
;: faD O'lJ (!:i.E.) .n .ds
j
;: J'
0' . . (UE. ) •n .. r 2 • de
+ J'
a .. (U<') .n .. dx.. dx
~2a
iJ
-
J
xJ~o
i
J
-
J
•
2
d'où (1.5).
d'autre part de (1.2) on a :
00' . (U é )
m J
-
o
==
d'où
aam j Ol)
o ==
x
i==1.2.3
r k •"Yi km'
cix
li 0
OX j
. ,
== SaD
'~nj'dx
X
i==1.2.3
k ·'Yi"m .amj .n j .ds
- Jo "YiklD ,SkJ
on vérifie aisément en développant complètement les calculs que
"Y.
.S. . . a(u~).dx
=
0
l k m
t<J
m J -
d'où l'on déduit finalement
i=1.2.3· -
Remarque 4.-1.
En procédant de façon identique. on voit aussi que le moment
r-ésultant 1 et la
résultante de forces sur chaque section x
==
cte
dans le
J
cy lindre 'sOn t les mêmes.-
_ ......
......."....""=-_..._~.il:"".-
• .,v~···" _. __._~•••• -

---

65
IT. SOLUTIONS S~~CTES DU TYPE FLEXION Dfu~S LE CYLINDRE
II.l. ETAT DES CONTRAINTES
Soit
L c ~ un disque de diamètre 2À. On pose r = ôr. On considère le
c:;lindre
de longueur ;infinie: B = r x IR (figure 2), dont la surface laté-
r-ale est notée 11 ( 11 = r x IR ).
1
1
\\
/
v
"'3
Y,
Fig.4.2
Jo
Nous
considérons ici un corps élastique occupant le domaine B dont les
coefficients
d'élasticité
a
sont constants partout.
ijkm
Considérons le probème d'élasticité suivant.
dans B
i=1,2,3
(2. 1)
sur TI
i=1,2,3
(avec sommation sur a de 1 à 2).
On pose
1
1

---

66
1\\ (!:I.) = J~ 'Yl k III • Yk • Œ;n 3 (!:I.) .dy 1
(2.2)
{~ (!:I.) = Ir. al 3 (!:I.) .dy'
le
moment résultant
par rapport à l'origine. respectivement la résultante
des forces dans les directions ~l à travers la section :. où l'on a posé
On
note
aussi
ds
l'élement
de
longueur
dans l
et on a en coordonnées
polaires
ds = p.dp
où
p2 = y2 ~ y22'
D'autre part. les coefficients 'Y.,
1
l i< m
sont donnés par
= 'Y
= 'Y
= 1
231
312
{
Y,,]
(2.3)
'Y
= 'Y
132
21 3
= 'Y J21 = - 1
autres
'Yi
=
km
0
Nous
nous
proposons
de
déterminer
les
solutions
exactes de (2.1)
correspondant à
r(lD = 0 i=1.2.3
(2.4)
1'b.(!:I.) = MC<.
~=1.2
1'\\ (!:I.) = 0
où M~ (~=1.2)
sont des données constantes non nulles.
rr.2 CO~STRUCTION DES SOLUTIONS S~\\CTES DU TYPE FL~~ION
S'inspirant de la méthode de construction des solutions de Saine-Venant
dans Dorin Lesan [6J. on cherche v solution de (2.1) et (2.4) telle que
(2.5)
[:J.
où b est un vecteur constant de la forme b =
En intégrant (2.5) on obtient

---

67
l
')
2' b Y
2
3 ... Wl (yl' Y2 )
(2.6)
1
')
)
- 2' blY3~_+ w2 (Y1 • Y2
b1Y2Y3 - b2Y Y
1
3 + w3 (yl·y 2)
On
est donc
On
pose ~ = Wl~l + W2~2 + W3~3
.
ramené à déterminer les
1
champs
W et 2 tels que les équations
(2.1~ et (2.4) soient satisfaites. Le
calcul de tenseurs de déformations et de c~ntraintes donne
1
l,
é Ct.k C~)
= é Ct.k (~)
é 33 (~)
= b Y
1
2 - b 2 Y1
(2,7)
av.
av.
1
l
J
é .. (v)
- -
- - +
l
J
-
2
aY
oY
j
j
et
aij(~) + bl·aij33·Y2 - b2,aiJ33'Yl
(2.8)
a"
é,
(v)
'..j k m
Km
-
Ici,
.
W
ne
dépend
que
des
variables
y l . Y
si
bien
que
l'on
a
2
a . . (w) = al . Ct. é Ct. (w). En remplaçant ::: dans (2. 1) on est ramené à chercher w
' J
-
J
m
m -
(y l • Y2) telle que
ro-,".(~) ... f. = 0 dans L i=l,2.3
(2.9)
ôY,,-
l
aiCt.(~)·nCt.
= 0-
sur r
i=l,2.3
"'i
avec
ai233·bl
- ai133·b2
(2.10)
[-b 1 ,a i Ct.33· Y2 + b2·aiCt.33·Y1J·nCt.'
Les
constantes b • b
seront déterminées en utilisant (2.4), On voit bien
1
2
que
(2.9) est
un probléme
d'élasticité plan généralisé dans le cylindre.
1
Les conditions d'existence de solutions intervenant dans ce type de p~oblè-
mes (voir par exemple G.Fichera [8J) sont

---

68
JZf.dY' -+- Jîg · dS
= a
(2.11)
JZÎ"]O<.p.yO<..fC·dyl -+- J î Î"]O<.13, y<:,<.gp.dS = a
JZy~-.f] ~dy'
-
-+-
JîyO<.-.g] .ds
= J;~] CI.-(~): ds
On cherche w sous la forme w = b .~2
.~l où ~l, w2 sont solutions de
l
-+-
b2
dans ~
i=1,2.3
(2.12)
i=1.2.3
et
oa 0<. (~l )
1
= a ll ]]
dans 2:
i=1.2.3
(2.13 )
OYO<.
al 0<. (~l ) • nO<. = al 0<.]] • y l • nO.
sur r
i=1.2.3
La
structure des systèmes (2.12) et (2.13) nous conduit à chercher les
solutions W2 et wl telles que
(2.14)
r =Aij·Y2
j (w' )
et
cri j (Wl ) = Bij 'Yl
où
les A
et 8
sont des
constantes déterminées de telle sorte que les
i j
i j
équations et conditions de compatibilité soient vérifiées.
En
effet. substituant
(2.14) dans
les équations (2.12) et (2.~3). il
vient
(2.15)
D'autre
part
utilisant
les
conditions
de
compatibilité.
nous
en
déduisons
\\
f

---

69
k=1.2.3
(2.16)
k=1.2.3
OÙ
(b<m i j) est la matrice inverse de (al j km):
Gui
satisfait
aussi
a~x
conditions
d'ellipticité
et
de symétrie. Les
Aè~
et
B~~
étant
déterminés.
les
autres coefficients Ai] et B
sont
è3
alors solutions de
(2.17)
et
(2.18)
On
vérifie
a~sement
que
(b
<)
est
inversible
• d'où nous déduisons
è33
immédiatement l'existence et l'unicité des A
•
i3
Remaroue 4.2.
- Les
solutions de (2.14) sont déterminées explicitement en
consièérant
la
relation
c,
(w(3)
= b .. , (J.. (w~).
Et.
par intégration de
~m-
ll~mlJ-
cette
relation on
en déduit
w(3 à un déplacement rigide prés dans le plan
Lorsque les fonctions w~ (~=1.2) sont déterminées. on peut écrire grâce
à
(2.6) que
avec
(2.20)
v1.
::
et

---

ïO
(2.21)
1
~
2
- -
Y-
+ W
2
3
'2
CALCUL DE ~ (v13 ) :
l
-
De (2.8),
(2.19),
(2.20) et (2.21) nous en déduisons
{"il I~') = a. . (w2 ) + aij33 Y2
(2.22)
l J
-
a . . (VI)
l
J
-
= a . . (Wl )
l
J
-
- aij33 Yt
d'où en considérant (2.14), on obtient
t· =A + a
l
J Iv')
-
i j
Y2
ij33
y::.
(2.23) ,
a . . (VI) = B
l
J
-
1j
YI
- a ij33 Yt
tenant compte de (2.15) et (2.16) on a finalement
a
(:::::13)
= 0
13=1,2
iCL
(2.24)
a 3 (~I ) = B.y[
3
a
(~2 ) =
33
A'Y2
où
A et
B
sont
des
constantes
non
nulles
bien
déterminées par les
coefficients a
et b
•
Et l'on déduit immédiatement
ljkm
kmij
(2.25)
D'aut~e part, sachant que
YI
p.cos 8,
dy' = p.dp.ct8, on a
~ (~1 ) = fza
(:::::1 ) dy 1
33
(2.26)
tc
=
.p2 ctpt'ltsin e d8
= 0
Par un calcul analogue , on a aussi
(2.2ïJ
,
'-

---

71
CALCUL DE J\\ ('!..fJ )
On a
= J'zY 0";3 (~l )dy'
2
J~ ., )'211: . .,
=
oC.pJ .dp 0
sJ.n~ 8 d8
C.1T.À~
=
4
Utilisant un calcul identique on obtient finalement
(2.28)
et
Finalement, les constantes b
et b
1
2 seront déterminées telles que
.,
=
et
=
On
a
donc
là
des
solutions
exactes
du
type flexion pure dans le
cy2.indre; b.:...'!..i3 correspond au moment résultant M = M:3'~:3 et à la résultante
des forces nulle.
Remaraue 4.3.
- D'après la remarque 4.1. les solutions b .'!..2 et b2'~" sont
t
déterminées
à un
dèplacement rigide
près dans
le plan
(Yl' Y2 ) si bien
qu'en
imposant les
conditions d'encastrement
parfait à l'origine, elles
sont dèterminèes de façon unique . •
rr.3. EFFET D'ECHELLE
Dans
la section
suivante. on
sera amené
à considérer
les solutions
exactes
dans un
cylindre st de diamètre 2e (on notera ~t sa section droi--
te) ,
il convient alors d'établir entre lalsolution exacte dans Btrelative-
ment aux coordonnèes (x,, x z ' X.,) et la 50' ution exacte dans B (cylindre de
diamèt:-e 2) "elativement aux co~rdonnèes y~. Yz' Y où y = xie (Fig.4~3;)
J

---

72
Y=X/E
<
>
,-
,
,2
,
B
X3--~r-------~~--
Fig.4.3
oUk
On
pose aijX(~) =a
Aussi bien dans B
ijkm •
OX
rD
que
dans B~
les coefficients
d'élasticité a
sont constants partout.
ijkm
Soit
maintenant
~~(x) la solution du type flexion dans le cylindre B~
-
'
correspondant
au moment
résultant M = M~.~~ et à la résultante des forces
nulle 'et
soit
y~(y) la solution du type flexion dans le cylindre B
correspondant au moment résultant M= M~.~~ et résultante des forces nulle.
On cherche alors à déterminer les coefficients ~~(é) (~=l,?J tels que
(2.30)
~~(x) = ~~(é).'l(x/é).
On a donc
13
= ~13 (é )
13
(2.31)
a 'J
( U
)
• a..
(v )
l
X
-
é
l J Y
-
et, utilisant (2.24). il en résulte que
~2 (é )
a 3 x (~2 )
.C.x
(2.32')
=
3
2
é
1J.1 (é )
a3Jx(~1) =
.B.xl
é
où 3 et C sont des constantes bien déterminées. On déduit par suite que
(2.33)

---

/
73
en choisissant ~~(ê) = é- 2 , on obtient ~(~~) = M~. D'où en conclusion on
a la relation
(2.34 )
m. DESCRIPTION ASYMPTOTIQUE DE L~ JONCTION POUR LE PROBLEME DE FLEXION
On
désigne
par
U~·~ (œ=l,2)
la
solution
(inconnue!)
de
(1.2)
correspondant
au moment
résultant M = M~.~
et à la résultante de forces
F = 6 à travers la section x = O.
3
m.l. DEVELOPPEMENT EXTERIEUR DANS LE MASSIF
On cherche le développement extérieur dans le massif sous la forme
{~'"(X)
!:!O'~(x)
(3.1)
+
."
x fixé.
Il
vient,
en
remplaçant
(3.1)
datis
(1.2),
que les fonctions Uo.~
i
(œ=1,2) satisfont aux équations suivantes.:
êlŒ
. (UO. CL)
: J
-
0 dans 11
i=1,2,3
0
ôx.J
(3.2)
Œ. ; (Uo . CL) • n
= 0 sur ôl1a / ra i=1,2,3
1 J
-
!:Lü ..è(. (x)
= 1) sur
ra
Les
conditions relatives
au moment
et aux
forces déduites des relations
( 1. 5) et (1. 6) sont
j~
. Œ.. (UO . CL) •n .. r 2 . de = 0
i:::l,2,3
et
r:::c,.e
lJ
-
J

---

ï4
Existence et unicite de QO.~ solution de (3.2).
Fixons
~ €
COOOR) telle que
~
1
: =1 au voisinage de 0
{~ =0
sur r > R
o
R
r
R cte arbitraire
Considérons
Uo.~ (~=1.2) la solution exacte du type flexion pure
correspondant au moment résultant M~.~ et à la résultante des forces nulle
sur la surface r=cte dans le cane X . Nous avons précisement (voir chap 1):
vO . ~
_ 2
~
)1
(x)
= M~. r
. !:! (8).
où
chaque
!:!~(e)
(~=1.2) est une fonction bien déterminée. On cherche par
la suite UO.~ sous la forme:
o ~
vO.~
-o.~
(3.7)
)1'
(x)
= c,(r).)1
(x).)1
(x),
1
d'où en remplaçant (3.7) dans (3.j). on est ramené au système suivant.
1
- 0 , ~
vO. ~
OO'iJ (!:[
)
00'1 J {c, ( r) .)1
)
=
dans 00
i=1.2.3
aX
ax
j
J
(3.8)
_0, ~
~ù . 0<.
0' . . (U
) .n.
= - O'ij(c,(r).)1
).n
sur
J
ôOo / i o i=l,2.3
l J
-
J
ft· ~
vO. ~
=
c,(r) .)1
sur i o '
Théorème 4.1. - Le probLème (J.8) admet une soLution unique dans ~1 (°0 ), De
pLus au voisinage de L'origine on a Le déveLoppement suivant:
_0 , ex.
_0 ,ex.
(
0)
!:[
~ g
(a) + termes algébriquement petits
r --
.
DEHONSTRATION. - Identique à la démonstration du théorème 3.1 chap.3··
_0, ~
Thêo:z::ème 4.2 - Soit !d
€
li1 (Oo)la soLution de (J.8) alors l~ soLution de
(3.2)
définie
en
(J.6)
satisfait
aux
conditions de mobent et de force
(3.3)-(3.4).
\\

---

;
75
DEMONSTRATION. - Il résulte de la définition de la fonction ~ (3.5) qu'au
° 0<.
~ ° , 0<.
_ù , ex.
v
l
vo~s~nage
de l'origine: Q'
= Q
+
Q
. Or le Cô?~,~ coïncide avec
e
domaine
0
au voisinage de l'origine et, sachant que g
est la solution
0
exacte du type flexion correspondant au moment résultant Mo<"~' on a pour
-
c -suffisament peti t
( i)
J ai J (UO , 0<.) •n. . r 2 •da
r" C
-
J
et
l
i
(H)
J'll""
. x. . a
J (UO , 0<.) • n, . r 2 • da
r:c
l:(m
1(
m.
-
J
J I - O " 0<.
. . , .
=
:"Y. k
• X
• a
. (U
) . n
• r- . aS
r = Ci
l m k
, , , J
-
J
1
+
MO<..6 O<.·
i
_0,0<.
D'autre
part, toujours
au vo~s~nage
de l'origine,
U
est
solution du
problème aux limites de Neumann dans le cône :
_0,0<.
oa; . (U
)
.J
-
= 0 dans K
(iii)
_0,0<.
a, . (U
)
= 0 sur ôK
• J
-
\\
Comme ÜÙ.O<. E )il (00 ), il vient d'après la théorie des développements dans le
cône
(voir chap.l)
que:
'
{J
a .. (Uo . 0<.) • n .. r 2 • èe
= 0
i=l,2,3
r=cce
IJ
-
J
f
_ 0 , 0 < . . . ,
1".,
. x. . a
. (U
) . n. . r- . de
= 0
i=l,2,3
r=cce
li<m
."'\\
I11J
-
J
Par suite, en vertu de () nous avons
•
fi.2 DEVELLOPPEMENT INTERIEUR
Posons
y =
x / E. Dans l'espace des variables "y" nous considérons le
domaine n·(Fig.4.4) formé à gauche par le cône K (Fig.4.3b) et à droite par
un
cylindre de diamètre 2. D est tel que au voisinage de l'origine, O~,est
son transformè dans l'homothétie de centre 0 et de rapport E.·
/

---

76
Fig.4.4
Le développement intérieur est cherché sous la forme
!le. ,
(3.10 )
Cl. (ey )
~
e- 2 •y"0 , Cl. (Y) + .,.
{
y fixé.
En substituant (3.10) dans (1.2) on en déduit
aa
(VO, Cl.)
i j
-
=
0
dans n i=l,2.3
aY j
(3.11)
a .. (VO,Cl.) .n
=
0
sur an i=l,2.3
l J
-
j
ôVO.Cl.
a
ilI
(VO,Cl.)
- a
i j
-
ijkm
ôY k
::ù
les coefficients
d'élasticité a"
dépendent de
y dans la région de
l
J k m
jonction et sont constants ailleurs.
D'autre part de (1.3) et (1.4) on en déduit
(3.12) ..
i=1.2.3
(3.13)
i=1.2.3

---

ï7
~ous
fixons
comme
au
chap.3
deux
fonctions <::'1 ' <::'2 de classe ~([R)
telles que
~1 (Y )
J
1
-(3.1~) r(y]: - 0 au voisinage de
l'origine et sur Y3 < 0
c,t(Y )
> R
0
3
-
1
sur Y3
Y3
R
C,2 (y 3J
{"(y] )
0
au voisinage de
1
-
(3.15)
l'origine et sur Y
> 0
3
<::'2 (Y
< - R
3 ) -
1
sur Y3
- R
0
Y 3
où R est une constante arbitraire positive fixée.
Cherchons ensuite la solution de (3.11) sous la forme
où
chaque fc~ct~~~ Qo.œ (~=1,2)
est solution exacte du type flexion pure
correspondant
au moment
résultant M~ et à la résultante de forces nulle
dans le cylindre B (Fig.4.3). Ces fonctions sont données explicitement 'dans
la section 2.
Le problème (3.11.) devient
_œ
cherc::er \\j (a=l,2)
telle que
-
r
-~
ôa. . (V )
(3.li)
i
' J
-
= f.
dans
TI
i=l,2.3
êy.
l
l J_0<.
0', , (Y..
) . n j
= <Pi sur (1) i=l,2.3
•
J
avec
.'IJ.:.._
_0.0<.
ôa~ J ( C,1 (y 3 ) • Y..
( y )
f.
_
(3.18 )
l

---

78
On
vérifie aisément que fi et ~L sont à supports bornés.
Soit maintenant ~ l'espace de champs de déplacements rigides ( l'espace
de
dimension
6
constitué
de
rotations
autour
des
axes
{Oy }
et de
i
translations dans les directions e. }. On vérifie que les fonctions définies
- l
en (3.18) satisfont à la condition de compatibilité suivante
(3.19)
On définit l'espace
ij :: { Y... E ~(:D) / ft
v == a au voisinage de l'infini }
-"
muni de la norme d'énergie:
IIvll 2
_
==
r<T'l € .. (v}.c. .. {v} .dy.
-
ener-gle
J~ lJ -
l J -
Noter
que cet
espace n'est pas complet. Nous introduisons alors V son
complété pour cette norme, alors
Théorème 4.3
Le
problème (J.17) admet une solution unique dans l'espace V. De
plus, dans la région [yI très grand. on
a Les déveLoppements suivants.
- dans la région
)
a
YJ
_CL
aOL, d
QCL,d;\\
(3.20)
V
~
-+-
l
+
termes exponentiellement petits (Y
~+ 00).
J
- 'dans La région Y
< 0
J
_CL
(3·21)
Y ~ ~CL.g + b~·g;\\ l -+- termes algébriquement petits (lyl -- 00)
où les différences
(3.22)
son~ définies de façon unique par La soLution de (J.l?) et par La géométrie
du domaine n.
DEMONSTRATION. voir démonstration du théorème 2.5 chap.2. •
Noter que pour une utilisation ultérieure il convient de poser
(3.23)
:
{::

---

79
m.3. RACCORD~~ A GAUCHE (MASSIF -JONCTION)
Les
règles classiques
de raccordement
montrent que les développements
extérreur(3.1)
et
intérieur
(3.10)
coïncident asymptotiquement dans une
regl0n
Ixl petit,
x
<
J
0 ( Iyl
grand. YJ < 0
).
Ecrivons ces développements dans la région de raccordement.
DéveLoppement extérieur: Tenant compte de (3.5).
(3.7) et (3.9). le
développement extérieur (3.1) s'écrit
(3.24 )
DéveLoppement
intérieur: De
(3.14).
(3.15).
(3.16) et
(3.20). on en
déduit le développement intérieur
Le raccordement à l'ordre principal donne finalement
d'où
(3. 2i)
et par suite
(2.28)
aC<.·~ = 0
et
b'''''· ~ = 0
-
a=l,2 .
-
Snsuite. la solution du problème de jonction (théoréme4.3). nous donne
de façon unique (bien définie. voir (3.22)) aCt ct
d
•
et bCt •
qui sont à présent
connues.
TIl. DESCRIPTION ASYMPTOTIQUE DE L~ SOUPLESSE DE LA JONCTION
_~.~
1
Soit
~
(x)
(a=l.2)
les
solution~ exactes
(connue! )
de
moment
résultant M~ et
de
résultante
de
fo~ces nulle dans le cylindre B€.
(Fig.4. 3)
satisfaisant aux
conditions d'kncastrement
parfait à l'origine
(voir section 2).

---

80
Naturellement.
il existe alors des déplacements r~(é) (~=1.2) dus à la
-~e..~
souplesse de la jonction. tels que l'on puisse écrire g
sous la forme
(4.1 )
+
......
et l'on écrit
(4.2)
De l'étude faite dans la section 2 nous avons
(4.3)
~~
où ~ (y) est la solution du type flexion pure dans le cylindre B (Fig.4.3)
de moment M~.~. définie précisement en (2.19).
Dans la région
Y3
> 0 et Y3
suffisamment grand. compte tenu de
(3.14).
(3.15).
(3.16) et (3.19), le développement intérieur (3.10)
sr écri t:
(4.4)
T.E.P.
désigne des
termes exponentiellement petits. Les a~·d et b~·d sont
précisement définies en (3.22)
(Théorème 4.3).
~
En vertu de (4.3), le développement dans la tige (4.1) devient (dans la
région de raccordement)
(4.5)
U€'.Cl<
~
-2
vAO.Cl«)
O<.()
= é._
Y
+!:
é
+
. . .
Utilisant le raccordement à l'ordre principal nous obtenons
(4.6)
D'où. avec
x = é.y • on a :
(4.ï)
et compte tenu de (3.23) on écrit finalement
r

---

J
81
2
ACl:
= ~l.:...é-
.a
(4.8)
bi:.. (
)
= M
3 AC<.
___ . __ é
1 CL' é -
. 9.
Ai:..
AC<.
avec a
et b
bien déterminées.
Sous la forme matricielle (4.8) s'écrit:
_ 2
..... l
_ 2
A2
é
.a
é
.a
(4.9)
3 At
A2
r'M2
C
.b
C3.b
La matrice
_ 2
At
_ 2
A2
é
.a
é
.a
(4.10)
S( é ) =
3
At
A2
é -
. b
c 3 .b
1
est l'analogue de celle rencontrée dans le p~oblè~e plan. SIle constitue la
matrice de souplesse de la jonction pour ~e problème de flexion.
Remarque 4.4.
On a. naturellement. la mème propriété que dans le cas plan:
la
rotation et
la translation
intervenant dans
le mouvement apparent de
l'origine
ne sont
pas du même ordre.
à cause de x = éy qui change l'ordre
de la rotation mais pas celui de la translation.
•

---

82
CHAPITRE 5
Etat local de contraintes a une
jonction de plaque avec corps
tridimensionnel
J. INTRODUCTION
Dans
le
cadre
de
l'élasticité
linéaire
en petits déplacements, on
cor.sidère
une
jonction
de
plaque
mince
d'épaisseur
2E.- avec un solide
tridimensionnel (Fig.5.1.a).
Nous
nous
intéressons
ici
à
l'étude
des
contraintes
locales
au
1
voisinage
de l'encastrement,
et plus particulièrement, le long des arêtes
AB
et CD. En effet, ces arêtes sobt, en général, siège de singularités des
1
contraintes
qu'il
convient
drétudier
pour
prévenir
des
fractures
éventuelles.
Nous considérons
de même
le cas où les arêtes sont arondies
(voi~
fig.5.1.b),
ce
qui
permett~a
de
comparer
les
contraintes
correspondantes.
Nous
étudierons les
états de cont~ainte le long de AB et CD, mais pas
au
voisinage
des
extrémités
A
B,
C
et D. Ces points sont siège de
phénomènes
strictement
tridimensionnels.
tandis
que
loin de ces points
l'état
de contraintes et déformations est quasi bidimensionnel, en ce sens
que les variations le long de l'arête sont bien plus lentes que par rapport
aux
variables dans
le plan normal. Les méthodes d'échelles multiples dans
les
différentes régions permettent d'écrire un problème local d'élasticité
à caractère bidimensionnel.
L'étude
des
singularités
et
le
calcul
des
facteurs
d'intensité
correspondants
ne présentent
pas de
difficulté (voir Leguillon - Sanchez
"'--

---

83
[17J
sect. ~.8
et ~.9) alors que l'étude directe en tridimensionnel est
pratiquement
impossible
étant
donné
la
complexité
géométrique
et
la
1
présence
du petit
paramètre E
d'épaisseur de
la plaque qui obligerait à
utiliser des maillages d'une finesse irréklisable.
-
1
aD
.. ~1"""""",···1"'"'"
.' ~.' D
1~:;::"""""'·····'·····..4J.--'"
~
~
~)
o"i
)'1
T
(
a-n
Fig.5.1. a
?ig.5.1.o
Nous
considérons le cas où la plaque est sollicitée en flexion, et les
matériaux constituant la plaque et le corps tridimensionnel ont des coeffi-
cients
d'élasticité de
valeurs comparables, en ce sens que leurs rapports
restent bornés pour e petit.
Il
est connu ( Ciarlet [4J)
que le
couplage de
plaque en flexion et
corps
tridimensionnel
se
produit
lorsque
le
rapport
des coefficients
d'élasticité
de la
plaque et
du corps est de l'ordre E- 3 . Les hypothèses
adoptées
ici conduisent
à la limite à une plaque encastrée dans un solide
rigide
(cf [4J ou [23J , où l'on considère un problème analogue à celui ci
dans le cas bidimensionnel).
Une
étude
asymptotique
complète,
analogue
à
celle de [23J, ferait
intervenir
les problèmes et singularités tridimensionnels déjà mentionnés.
Nous
nous limiterons
ici à
l'étude du terme principal des contraintes au
voisinage de la jonction.
De
façon plus
prec~se, pour
étudier le
voisinage d'un
point 0 nous
prendrons
un repère orthogonal local (0, xl' x ' x ) de vecteurs unitaires
2
3
e.
(i=1,2,3). Nous effectuons une dilatation des coordonnées:
- 1
~ .
...

---

84
Ceci
nous
conduit
à
la
structure
géométrique de la f~g.5.1.b dans les
variables
y. où
la plaque
a une
épaisseur égale
à 2.
On a pris sur la
figure
l'arête
super1eure
nette,
tandis
que
l'arête
inférieure
est
arrondie.
Ceci n'est
pas essentiel, et d'autres variantes sont possibles.
D'autres
part, on
a c~:ms_idé~$ le ça!LQù le corps tridimensionnel forme le
long de l'arête OX
un dièdre d'angle w.
2
Dans
toute la
suite de
ce chapitre les indices grecques prennent les
valeurs dans {1,2}.
TI. PROBLEME D'ELASTICITE DANS UN DIEDRE.
Considérons
un probléme
d'élasticité tridimensionnel dans un dièdre n
d'ouverture
w ayant la forme décrite sur la figure 5.1.a. Nous utiliserons
parallèlement
au
système
de
coordonnées
cartésiennes
un
système
de
coordonnées cylindriques (r,a,z) où l'on définit
Xl:: r.cos a ;
X :: r.sin a
et
3
X 3
o
z
Fig.5.2
Nous
considérons
ici
le
cas
où
les
coefficients
d'élasticité ne
dépendent
que
de
la
variable
a.
Le
cas
plus
général.
lorsque
les
coefficients d'élasticité dépendent des variables a-et z-d'une part, et que
d'autre
part,
les
surfaces
inférieure
et
super1eure du domaine n sont
variables , est étudié dans E.Sanchez [17] chap ~.

---

•
85
Les
formules de dérivation des coordonnées cartésiennes en coordonnées
cylindriques sont
o.
(2.1 )
avec
: i (8)
: ~li 'CO~ 8 + 02i .sin 8
°
(2.2)
O '
(8) -
°1 , .Sln 8 + 2 , .cos 8
l
l
l
{ hi (8) = 0J i
et
dx=r.dr.de.dz l'élément de volume.
Soit le système d'élasticité suivant.
{ aal .J (U)
-
= 0 dans 0
i=l,2,3
(2.3)
oX.
(U~
Œ. J
.n. = 0 sur 00
i=l,2,3
1
-
J
Nous
utilisons ici la méthode de séparation de variables. Pour cela on
singularise
les
variables
r
et
z
et
on
cherche
des
fonctions
U _ ~(r,z) E ~1 (O,w)
solutions du problème (2.3).
Une formulation variationnelle de (2.3) est
(2.4)
~
~ = ~(r,z) .~(8)
telles que ~(r.z) E ~JO,+oc{ x IR) et ~(8) E ~1 (O,w).
Utilisant
1"1:.1 tégration par
partie suivant
les variables
r et z, le
problème d'élasticité (2.3) revient à chercher
U E ~l (O,w) telle que
(2.5)
-(r:J2 al1(~'~) + r
02
oroz a
+ r
?
- r-
- - - a
(~,~)
1J (~,~)
3J
(oZ)2
o

---

86
où les formes a~~ sont dé fines par
al 1 (1l,~) - ~ aiJkm f j . f m. Uk . Vl . d8
t
oUk
- -
_~__ O;:i ] .d8
(2.6)
a12(1l,~) -
ai j km- [fJ. gm
vi - gJ . f m. Uk
Ôe
l
2 m,~) - t
oUk
OV.
a
a
2
ijkm gj . gm . --
.d8
08
08
et les formes a jJ (j=l,2,3) définies par
al J (1l.~) - ~ a
[fj . hm + f m. h j ] Uk . Vi' de
i j km
1
(2.71
a 2J C~,~) - t
av.
aUk
ai J km
[gJhmU
-- - gm h
k
j - - v
- hj f mUkVi] de
ae
ae
a J J 02,~) - ~ aijkm hJ . hm . Uk • Vi' de
"
Finalement le problème (2.4) revient à chercher U E ~1 (O,w) solution de
(2.8)
2
B
(r <5~) _ B [r2 a ~) = °
23
OZ
J3
(az)2
-
où
les BiJ sont des formes linéaires associées aux formes bilinéaires a ij .
On
démontre
sans
difficulté
que
les
B..
appartiennent
à
1 J
;C( ~1 (O,w),
0i1 (O,w)) ').
Remarque 5.1.
La
technique
qui
nous
permettait,
dans
le
cadre
du
chapitre 1,
de
transformer
le
problème
d'élasticité en un problème aux
valeurs
propres
présente
ici
de
grandes
difficulés.
Notre but est de
déterminer des solutions dans le dièdre valides dans la région proche de la
jonction
avec la
plaque en
vue d'éffectuer
le raccordement. Ce qui nous
conduit
à
chercher
plutôt
des
développements
asymptotiques
de
ces
solutions."
Dans
le but
de déterminer
les solutions
de (2.8)
, on considère le
problème suivant
(2.9)

---

87
En
considérant la
variable z comme paramètre, (2.8) apparaît comme un
problème
à caractère
bidimensionnel dans le secteur w. Ce problème est le
mème
que celui
rencon té dans
E. sanchez [17'J
où les formes linéaires' BC'<.~
(a,
~ E { 1,2}) sont exactement définies de la même manière sur les 'mèmes
espaces.
Nous en déduisons donc (voir [17J ) qu'il existe des solutions de
(2.9) de la forme
(2.10)
où les uC'<.(8)
et
~C'<.(8) sont de~_fonctjo~s bien déterminées de ~l (O,w) et a
valeur
propre d'un
opérateur aussi détérminées dans [17J. Les CC'<. sont des
constantes pouvant dépendre de la variable z.
Le
problème (2.9)
a toujours
des solutions
Q(r,8) 'correspondant aux
trois translation",s_ et à une rotation autour de l'axe de x , les deux autres
2
rotations donnent en effet des solutions qui dépendent de z = x •
2
Les
translations correspondent à la valeur propre a = 0, la rotation à
a
= l.
Utilisant la
propriété que
si a
est une valeur propre, alors -a
l'est
aussi, on voit que a = -1 est une valeur propre et on a une solution
de moment associée à la rotation autour de x2 •
Par ailleurs, on démontre que a = 0 est une valeur propre défective qui
donne des solutions du type logarithme.
pour une utilisation ultérieure nous écrirons les solutions de forces
et moment sous la forme:
F1
U
= Fi.(log r .!:!i(8) + ~i(8))
i=1,2,3
(2.11)
et
On
vérifie
que
les
solutions
(2.10)
sont les solutions exactes du
problème
d'élasticité
(2.3)
mais
indépendantes
de
x
= Z. Nous allons
2
démonter que ces solutions approchent la solution exacte qui dépend de z.
-~
Considérant
U
solution
de la forme (2.10) avec c~ dépendant de z.
~ous avons, dans la région r = 0(1)
:

---

88
(2.12)
2-()(.
a Uk "" r'X'2 .log r
(oz)2
-()(.
D'où
en remplaçant
U
- c()(.(z).r()(..[log r .Q()(.(8) + .:::()(.(8)J dans (2.8), i l en
résulte
que dans
un voisinage
de r
= 0(1) le membre gauche de l'égalité
(2.8)
est de
l'ordre de r()('+l .log r. On a donc (2.8) presque vérifiée pour
-()(.
les
U
correspondant
à
Re
~
)
0
qui est la condition qui assure que
-()(.
U
€
Hl.
Ce
qui nous
permet d'établir de manière purement formelle le résultat
suivant.
Proposition
5.1.
La
solution
du
problème
d'élastcité
(2.3)
admet un
développement de la forme :
-()(.
(2.14)
U = U
+ O( 1) ,
-()(.
avce U solution de (2.9) définie en (2.10).
Remarque 5.2.
Nous insistons sur le fait que (2.14) n'est pas une solution
exacte
du problème
cherché. Contrairement
aux méthodes
de séparation de
variables
classiques qui nous permettait d'exhiber des solutions exactes.
ici
nous
obtenons
une
solution
asymptotique
où
le
premier
terme du
développement
se
trouve
être
la
solution
exacte
d'un
problème
tridimensionnel dépendant de deux variables, z étant bien entendu considéré
comme un paramètre. La description asymptotique donnée sous la forme (2.14)
est
cependant nécessaire
comme on le verra plus loin lors~du raccordement
des sol~tions. •
ill.STRUCTURE ASYMPTOTIQUE DES CONTRAINTES ET DES DEFORMATIONS
DANS LA PLAQUE
Dans cette section nous rappelons la structure asymptotique des plaques
telle qu'elle est développée dans E.Sanchez [17J.

---

89
Considérons
une
plaque
(en
général
anisotrope,
les
coefficients
d'élasticité
pouvant dépendre
de la coordonnée normalex
/
E). sollcitée
3
en
flexion et
traction couplées, telles que les contraintes a~~ (œ,~=1,2)
soient
d'ordre
é
(ceci
n'a
rien
de restrictif puisque ce problème est
linéaire) .
On
considère les échelles multiples sous la forme standart utilisée en
homogéneisation :
z = x
(3.1 )
{y == x / E
La structure asymptotique des déplacements et contraintes est:
(3.2)
Q(.(x)
= U~(Xl' x2)'~3
2
+ E.Ql(X,
y)
+ é
.Q2(X, y)
+
•• ,
1
où
naturellement, y
= x
/ E,
et les
f[onctions Ui
ne dépendent
pas de
x3 ' Yl' Y2' On a donc
1
E?
+ E.E~.
+
l
J
l
J
et
a . . (U e ) = aD.
+ é.. al . +
•••
(3.4)
l J -
lJ
l J
{
~j
=aijkm·E~m
en substituant (3.3) et (3.4) dans les équations d'équilibre, nous obtenons
à l'ordre principal
ra~J
- - - = 0 dans
J-1; l [
i=l. 2.3
(3.5)
1:13~0: = 0 pour Y3 = ±1 i=1,2.3.
En
considérant
les
é..
(UO)
cons tants comme
il
es t
classique en
l
J x
-
homogéneisation.
nous obtenons
un problème
aux limites
bien posé
en Ul
relativement
à la
variable y.
On déduit (voir H.Sanchez - E.Sanchez pour
plus de détail) que Ul
est de la forme (structure de Kirchhoff-Love):

---

90
au~(x)
.1
(3.6) "
gl (x, y) =
• Y3'~ + !l (X)
.1
OÙ U
ne dépénd que de Xl' X .
On vérifie aisément que
2
(3.7 )
On définit maintenant les fonctions de xl' X :
2
~r~ ·aû~];
a2uO
E~(3
]
::
E~(3 =
2 axOt.
aX(3
aXOt.ax(3
(3.8)
.1
1
au]
E~] :: -
- - '•
E~] :: E~ ] :: E~] :: 0
2
oXOt.
en
fonction
desquelles,
les
termes
d'ordre
principal (ordre é puisque
é?
_ 0 ) de tenseur de déformations sont
1 J
(3.9)
On vérifie alors immédiatement que ces é~. sont ceux qui correspondent à un
l
J
certain champ de vecteurs g(y l , Y , Y]l. Pour cela nous éliminons Xl' X
2
z en
introduisant
localement Yl , Y
de façon à considérer un champ de vecteurs
2
dépendant des trois coordonnées à la même échelle. Il suffit de prendre
et
l'on vérifie
immédiatement que
(3.l1)
é ..
(U)
:: é~.
1 J Y ! -
1J
~n particulier, comme le comportem~nt limite de la plaque est encastrée sur
xl :: 0:
(3.12)
:: 0
U 1 (0, x )
:: Q;
2
l'expression (3.9) devient
(3.13)
u

---

91
qui
est
indépendant
de
Y2'
Notons
que~ compte
tenu de
ce qui
précède ,
les équations pour afj
s'écrivent:
ad.
l J
= 0 dans J-1;1[
i=1,2,3
(3.14 )
aY
;:
3
~3 = 0 pour
±1 i=l,2,3
Y3 .
D'où nous en déduisons que
(3.15)
ŒÎ
-
0
V i
3
ru: PROBLEME LOCAL
Ill.l. FORMULATION EXACTE DU PROBLEME DE JONCTION
Nous
allons écrire
le problème aux limites pour le terme principal du
développement
des
contraintes
Œ
au
VOlslnage
de
la
jonct~Qn. Noùs~
i j
considérons
Œ
fonction de (Y , x , Y ), ce qui exprime que la coordonnée
i j
1
2
3
tangentielle
~'apparait qu'au niveau macroscopique. Nous verrons que x
ne
2
joue que le rale d'un paramètre, et que l'on pourra definir un problème aux
limites
bien
posé
dans
le
domaine
D
du
plan (Y , Y ), limité par aD
1
2
(fig.5.1.b).
Il sera
commode de considérer les indices i,j variant de 1 à
3,
tout en
tenant compte
que la
variable Y
n'existe pas (ou que toute
2
dérivée par rapport à Y
est nulle).
2
Nous
cherchons le développement valide dans la région de jonction sous
la forme
(4.1)
On
peut prendre ~l (x , y) avec une dépendance en y qui soit un déplacement
2
rigide
mais cela
n'a pas
d'importance car on va raccorder à un mouvement
rigide près.
On à donc
(4.2)
é . . (U~) ~ 10 • (10..
(V 1 )
+ 10..
(V2 ») + •••
1 J -
1 J X -
l J Y -
donnant le développement des contraintes suivant:
''"'

---

, 92
"
(4.3)
+ é
(V2 )) •
kmy
-
,
Nous
noterons simplement
a
au
lieu de ~ .. Ainsi substituant dans les
i j
l
J
équations d'équilibre on obtient
00' ..
(4.4)
l
J
:: a
dans n.
oy.J
Quand
Y ~ +~,
les règles classiques de raccordement montrent que le
l
champ
de contraintes doit converger vers celui de la plaque pour Xl =0, que
nous désignerons par a t OO( x2 ' y3 ) .
A ,l'ordre principal,
et pour des sollicitations du type flexion de la
plaque,
ce champ
est "plan",
(au sens
: 0'31= 0, i=1,2,3). D'autre part,
lorsque
I~I ~ 00 à gauche (dans le secteur d'angle wde la fig.2), où r et
8
sont des
coordonnées polaires du plan (Yl ' y3 ), le champ de contraintes
doit
tendre vers
zéro, car i l doit diffuser en garda.;1t la. même résultante
de
forces et
le même moment résultant (voir Ciarlet [4J). En ajoutant les
conditions aux limites sur on, on aura:
(4.5)
O'iJ (Y l ' x2 ' Y3 ) ~ 0'~~(x2'Y3)
pour Yl -4 +00
(4.6)
a i j (Y l , X ' Y
2
3 ) ~ 0
pour r ~ ~ dans le secteur w
(4.7)
O'ij .n
= a
sur on
j
(4.8)
a i j
== aijkmékm~~)'
De
l'étude des
contraintes et
des déformations
dans la plaque (voir
section
3)
on
déduit
facilement
qu'il
existe
un
champ
de
vecteurs
~tOO(Yl ,x ,Y ) (où x
2
3
2 est un paramètre) tel que
(4.9)
(4.10)
Les
équations et
conditions aux
limites et à l'infini (4.4) à (4.10)
ont
alors un
caractére bidimensionnel
(en Yl ,Y
avec paramètre x
3 ,
2 ), et
nous
chercherons
les
s'olutions
de
ce
problème
telles que le champ de
déplacements
correspondant U soit
aussi dépendant
de Yl , Y3 (et de x en
2
tant que paramètre!.
\\ ..".
\\
f
'''-"

---

'n
Î
ITI.2.-
EXISTENCE
ET
UNICITE
DE
LA
SOLUTION DU PROBLEME AUX LIMITES DE
JONCTION
Nous
allons donner une formulation précise du problème (4.4)-(4.10) et
nous
démontrerons alors l'existence et l'unicité du champ de contraintes a
correspondant. Ici et dans la suite, x
n'intervient que comme un paramètre
2
et
ne sera
plus écrit. Nous désignerons pur ~ l'ensemble des déplacements
rigides
dépend an t
de
YI'
YJ ;
il
s'agit
des
trois translations et des
l'otations
autour' de
l'axe Y • Le chllmp de contraintes a(!d) sera défini de
2
façon unique. mais U le sera seulement â un élément de ~ additif près.
Soit
ri' i=1.2.3 et
M les
trois composantes
de la résultante et la
2
composante 2 du moment résultant classique de la théorie des plaques
'"J 1
Fi
=
_ 1 al l (y 3 ) dy J ;
On
remarque que
d'après les
propriétés classiques des plaques, p]=ü;
d'autre
part, les
moments Ml et M
ne sont pas nécessairement nuls, mais
3
ils
n' int~rviennent pas dans l'étude qui sui t. En effet. on verra que les
conditions'
de compatibilité
(4.17), (4.18) ci-dessous ne font pas intervenir
ces
moments; ces
conditions de
compatibilité sont
associées aux clnsses
d'équivale~ce de ~. qui ne contient que la rotation autour de l'axe Y2'
Considérons
alors
les
solutions
du
problème
d'élasticité
dans le
secteur
w correspondnnt
à force
unité dans la direction ~1' ~2 et moment
unité dans la direction ~3 que nous noter<)ns
UF 1 (1',0), .\\l.F 2 ( L' ,8) et l~M 2 ( r, 0 ) ;
les
deux premieres
sont logarithmiques 0n r nvec contraintes ell 1'-1 et ln
derniere est en 1'-1
avec contraintes en 1'-2
(voir section 2). On fait alors
lin changement d'inconnue de U à '{. d6f'inie pm'
(/1 . 12)
où
1.:,2
et ("
sont
des "fonctions
plateau" définies sur ~O. égales à 1 dans
des
voisinages de
1'=+00 dans le secteul' et dans la région YI
> a respecti-
vement, et nulle dans des voisinages opposés.
le problème (4.4)-(4.10) prend alors la forme:

---

oai j (~)
(4.13)
'f
= (', dans :0
oY
1
j
(4.14)
u'J .nJI
= ~)I sur an
(l1.15)
al j (~) --+ 0
pour y; -. + 00
(lI. 16)
ai j (~) --+ 0
pour r
--+
Ci)
dans le secteur w.
où les fonctions f et p ont des supports bornés et satisfont aux conditions
suivantes.
Jn f1dy + JoD ~,ds
1
= 0
i=1.2.3
fn (YI f 3 - Y3 fI )dy + Jan (YI ~J - YJ~I )ds = O.
Considérons l'espace V des fonctions ~ définies sur TI â un élément de ~
additif
près (les
éléments de
V sont
en fait
des classes d'équivalence
obtenues
en prenant
le quotient par m,) qui sont localemen t de clasS0 Il 1
et ont une norme hilbertienne finie. définie par:
(l1.19)
V
est alors un espace de hilb~rt. et: une formulntion variationnelle du
problème (11.13)-(4.16) est : Trouv~r v E 11 tel que. \\j W E 11 on nj,t
(4.20)
'S'TIJJ aljkm·fkm(_V).tlj(_w)dy = Sn. fi' W1 dy + r
• an
~I' W i ds .
On
remarque que
(4.17) et (4.18) sont les conditions de compatibilité
qui
assurent que
le second
membl'e de
(11.12) est
une fonctionnelle bien
définie
sur l'espace
des classes
d'êquivalence 11.
Des
inégalités
du
type
Korn
on
déduit
facilement
que
cette
fonct~onnelle est continue et coercive sur 11 et. Le th6or~me de Lax-MiLgram
assure L'existence et L'unicité de La soLution V de (4.20).
L'équivalence formelle entre la formulation classique (4.13)-(4.16) et
la
formulation variationnelle
(4.20) s'établit
par des
intégrations par
partie, à l'aide d'un théorème de densité analogue au théorème 2.2 chap.2.

---

95
Q- APPROXIMATION
PAR DES FONCTIONS DEFINIES DANS DES DOMAINES BORNES.
Le
problème (4.20)
es t un
problème d' élas tici té
dans un domaine non
borné.
Nous
montrons
comment
peut
on
approcher
la solution ~ par des
fonctions
vm définies
dans des
domaines bornés rJ". accessibles au calcul
numérique effectif, par des éléments finis, par exemple.
Soi t
D",
pour
m entier
suffisament
grand,
une
suite de domaines
convergent vers 2, par exemple on peut prendre TJ" égale à l'intersection de
D
et d'un
disque Iyl
< m. On définit l'espace fonctionnel vm. exactement
comme
V;
étai t
défini
à
partir
de
:O.
On observe que 'li'" coïncid~ avec
l'espace!
HI (D") /:Tt.
Soi ti
aussi VmE 'li'"
la solution
du "problème approché dans 1J"", qui se
définit. exactement comme
(I~.20) mais avec ~m, 11" et 'lf'" à la place de 'i, :T)
et
V. Pour m suffisamment grwld, Dn contient les supports de [ et p et les
conditions
de compatibilité analogues à (II. 17)_(LI. 18) sont satisfail:es. si
bien
que ~m
est bien défini. Par ailleurs, le problème approché revient à
l'emplncer
:0 par
11" dW1S
le problème exae t en imposan t des condi tians aux
limi tes de Neumann homogènes sur les nouvelles l'roll tières in trodui te~;. On a
alors:
Théoreme 5.1
- La suite vm converge vers v sur l'intersection de :0 avec
-
tout
domaine borné
dans
la
topologie faible
de Hl
/~. La convergence a
Lieu
aussi
dans
COO / ~ sur
tout
compact
de
:0
si
les coefficie~lts
d'élasticité ai J
sont de classe ~.
km
l '
INDICA TIONS SUR LA DENONSTRATION - So i t (1)( \\v)
ln fane tinnelle cléfillj(~ pm' Je
second membre de (4.18). En désignan t par ,1 le dual d'un espace, on 8
:
1'1:>( t.') 1
sup
sup
II~IIV
VO'
V
et
l'on déduit
alors de
la forniulation
du problème
dans'lf'"
(analogue à
(4.20)) qu'il existe C indépendant de m:iel que
(5.1)
Ilv'" Il
sc.
-
'\\J'Tl
Cette
estimation nous
permet d'extraire
ulle suite de vrn qui converge
fHiblement
dans
U' (D~) / ~ pour
tout
~,
en
utilisant
la
procédure
d'extraction
de sous-suites
et en
prenwlt la suite diagonale. On vérifie
immédiatement
que la
limite appartient
il V et est 1.a solution de (2.12).

---

prou,vant
ainsi la
première partie du théorème.
,
La de~xième partie découle alors classiquement par application réitérée
des
inég~lités de
régularité à
l'intérieur pour les systèmes elliptiques
( voir Agmon, S.Douglis et Niremberg [lJ).
Remarque S.lL-
L'inconnue
étant
U,
V
n'ayant
été
introduit que pour
démontrer
l'existence, l'unicité et l'npproximation, il sera utile dans la
pratique
de calculer
par éléments
finis!::1.m
ail lieu de '!..m. leur relation
étant donnée par (4.12) avec ~m et '!..m a la place de ~ et ~, respectivement.
Il
apparaît que
um est
la solution du problème d'élasticité dans JY' avec
des
efforts u1J .nJ données, égaux à u;~.nJ sur l'intersection de rr' avec
Iyl = m,
FI
F2
M2
YI
> 0, et
à ceux de F U
+
F U
+
M U
sur l'intersection de
1 -
2-
2-
JY' avec 1y 1 = m dans le sec teur w. •
~'...

---