!,
THESE de DOCTORAT de l'UNIVERSITË PARIS 6
Spécialité:
."
?.T:~.T:~.~.TXQ.~.~?
..
présentée
pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L'UNIVERSITË PARIS 6
Sujet de la thèse:
.$.V.~ Q.VI~.Q~l.~;; ç:.~nMAIPm?..p'~ ..I".~.lN.I!fX .. ;Q.'.j.JN~ ..kQA..RÇ; ..P.!W~T.9.; ~.0InWIJ~R ..R~
.
/1
.~.~.~.~.: ..~.~.:~.:.~~~.~~~~~~~~~Y.~~?-=-::1:~.?9.~.! ...I?~..P!:.~:~:~~!~~?~~.G~.~.T ..~.QI~..r,.PJJn~.p'1=;.~.9~1:- ....
l'lES DE VALEURS EXTREHES POUR UNE VARIABLE ALEATOIRE DANS LE DOf1AINE
D'ATTRACTION DE GU}IDEL.
soutenue le
.
devant Je jury composé de :
M 9.l}.~.t.E?yX.. J~.. fr.RK ~ ~~~E r..}: Ç.?ff~.Q.Y.I
p.l:~~ j ~ ~!!~:-:R? P.p.9.;-.r.~.Yx.:
.
M ~!1.~ ~.~.'.J.!,.. J~ ~X.9.t~.~.~.~.L}.r: ..R: ~Q?g J
~.'?.I?.I?.9r..~~.l!r.:
.
M ç'.I).~.~.~.YX.. J~.. ?',r:R.~~ ~~~!-!r. ..P.: P'ç;J:l.?V.y.ç:.I".~.\\
;Q5. ;r:~!=;.\\ ~J.! r. ..9.~ ..r.~.ç.b.~x.ç.I:J.~
.
M ~~ ~~.~':l.!'..).~ ~.~.'?t~.?~.~!-!.r:. J~: ~ ~ R~Ç; J
~.~.'?f!l.~n~.~.~.l!r.:
.
M ~!1.~ ~.~.':l.!' ~.~ ~.~.'?~.E7.~.~!:!-!! ..~: ~~~~~~~~.~.!
~.~.':l~.~.~~~~~ !".:
.
M
..
~~:~~::~~~~y;~~;1
l~. A. MES i• .:i\\JT SUPER/rUa 1
Arriv~e ",iJ.5 fEV~19980UG.
i
Ou
l EnregIstre SOLIs W.f) ~ 3 '9!J'-'
, .!
"- "-
,
n
a
" ' 1 : ,
5
-~.
.
'
..
-----~'""---~
THESE de DOCTORAT de l'UNIYERSITË PARIS 6
Spécialité:
.........................~T.~.T.~.$.T.~.Q.V.~.S
,
.
présentée
par M 9.I}.~J~.\\IX G.~.~.I;: ~Mm.. ~Q
~
.
pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L'UNIYERSITË PARIS 6
Sujet de la thèse:
.$.V.~ QV.I;:.J.,.QV,I;:!?.~!?I);l'!:~J:~\\.!R~..P.f:..J.,.:J.@,J;:X..P.'.~Nr; ..Lm; ..Rf:..fA~J~T.Q.; J;:.$In1hIF;~R..R~
.
"
.~.~.~.~.~..~.~..~.:. ~~~~~~:: p.~~~~Y.~~?-=-.~~~.??~.! ...r?~..~~. ~A:~~!~~~~~.ç~ .~T. .J".91$..I:J~JXI~~.p.~.?9.t1::...
~lES DE VALEURS EXTREMES POUR UNE VARIABLE ALEATOIRE DANS LE DOMAINE
D'ATTRACTION DE GUMBEL.
soutenue le
.
devant le jury c~mposé de :
M9.'!.?t.~.YX.. J~.. ?X.C?~ ~2 2~!! r..} : çf:f.n.9II
R;r: ~2 ~~~ !1~::F.?P.P.9XXg.YX.:
.
M ~ ~~.~.~.'.).~.. }.~.. X~.9.f.~.~.~.~.':l.r: ..P.: ~9.?'Q J................ •Ké}-.P.P.9.r:.~ ~!-!;r::
,
M <?':l.?~.~.YX.. J~.. ?X.C?~ ~ 22~!-! r. ..P.: p.f:l:œ.v.Y.I;:.r.,.~.\\
R.ü:~ Ç;);~!-! L.çl.~ r.~.ç.J:!.~X.ç.!)g
.
M ~.~. ~.~.~.~~ ~.~.. Xr:.9.(~.~.~~!-!.r: ..r-:: ~~RÇ ~ 1
J;:.:-:.é?-.~Jn~.1;~!-!;r:.'
.
M ~~~t~.':IL }.~ ~.r:.9r~.~.~~~.r:..~: ~~~~~~~~.$. ~
~.~.C:!:1.~.r:~.~:::~ ~:
.
M
:
.
1. -I\\TRODUCTIO:~
a- ~ote histori~ue:
b- Obiet de la thèse
II.-PRI~CIPAUXRESULTATS:
0- ~otations et hypothèses
8
1- Estimateur de Hill
14
2- Estimateur oe De Haan/Resnick
14
]- Brève cOi'iparaison entu? les estülateurs de Hill et de De HaaidResnick
16
17
20
II 1. -RESULTATS TECH~!IOJL!::§.
22
20
V.-APPLICAIIONS ET SI~ruLATIO\\S
FI\\.-BIBLIOGRAPHIE
91
REJ'lERCInlENTS
Je voudrais remercier très vivement le Pro Paul Deheuvels pour m'avoir posé
le problème qui a été le point de départ de ce travail. Il a été pour moi une
source continue d'inspiration et à chacune de nos rencontres, il n'a manqué de
me prodiguer des conseils judicieux et des encouragements sur le plan moral.
Qu'il trouve ici l'expression de ma grande reconnaissance.
Je remercie le Pro J. Geffroy (Rapporteur) d'avoir spontanément accepté de
présider le jury, les Prs. D. Bosq (Rapporteur), L.Birgé et G. Kreweras d'avoir
non moins spontanément accepté de faire partie du jury.
Je profite de l'occasion pour remercier Pro D. M. Mason et Dr. E. Haeusler
pour leur intérêt pour mes travaux et aussi pour leur assistance dans la rédaction
de l'un de mes articles, Pro Saxiir Thiam pour s'être personnellement occupé de
ma bourse après ma maîtrise.
Je remercie M. G. Mergréditchian pour
m'avoir
autorisé à utiliser les
ordinateurs de l'EE~1, M. P. Pilibossian pour s'être intéressé à
mon
travail,
mes ainés (M. G. Dia et I. Assani) pour leurs conseils judicieux, M&}~e Moradk-
hane, M. Nader pour leur aide dans la rédaction de mes textes en Anglais, M. A.K.
Sonko pour son aide relative aux simulations et enfin mes amis du Laboratoire
dont certains se sont occupés de la relecture du manuscrit.
Enfin, j'exprime ma gratitude aux responsables et au Personnel du Laboratoi-
re de Statistique Théorique et Appliquée (L.S.T.A.) de Paris VI pour l'aide ma-
térielle et gratuite dont j'ai pu bénéficier dans la préparation de ce travail.
~é:t?~,~:,
-1-
.
..~. :
J- INTRODUCTION
Le tra~2il expos~ dans cette th~se est, en grande partie, une contribution
â l'~tude rle quelques estimateurs de l'exposant d'une l6i de Par~to ainsi
d~finie:
Définition: Une variable aléatoire réelle (y.a.r.) y suit une loi de Par~to ou
de ZipE
d'exposant lic, c>O, s'il existe C >0 et C >0 tels que
1
2
-l/c
( 1. 1)
J.f- x>C l , P( y > x ) = 1 - G(x) = C
x
2
Afin èe mieux préciser l'objet de notre travail, nous ferons une br~ve note
historique sur ce type de loi.
a- Note historique:
La loi de Zipf est apparue pour la l'renli,ère fois lors de l'étude par Yule
(1924) d'un tableau de données concernal1tle nombre d'esp~ces de lézards d'un
musée de Londres établi par Boulenger(I~85).
Elle a été, selon Hill(1970), l'objct Ile multiples investigations sur le
triple plan empirique, philosophique et \\)i \\'l1-SÛr mathématique. Cet intêret
toujours croissant tient à ce qu'elle d~cl'it relativement bien une multitude
de phénorr:ènes biologiques, économiques.
1 i I1guistiques, etc .. Comme le soulignent
Hill et ~oodroofe(1974), il apparait tl'~S ~ouvent que, lors de la distribution
de N espèces biologiques en H genres,
1:1 l'l'oportion de genres recevant exacte-
ment s esp~ces est approximativement <",~;ll,· ~\\ c:
- (l-t-a )
C> 0
s
,
, (;(>0,
pour de
grandes valeurs de s. Â titre d' exemp \\ \\'8 '\\e telles fréquences, citons les pro-
-2-
;>ortions de villes ayant une population donnée,
d'usage d'un mot donné dans
'.ne série d'articles, de revenus estimés à une valeur donnée, etc ... Nous pour-
:-ions en citer bien d'avantage à la suite de Zipf(l949).
Tous ces travaux traitaient uniquement du fondement et de l'application de
la forme de Zipf. Ce n'est que récemment que Hill(1975) posa et résolut en par-
tie le problème de l'estimation de l'exposant llc d'une loi de Paréto. Précisé-
ment, il montra que si
( 1. 2)
, Xn
est une suite de v.a.r. indépendantes et identiquement distribuées (iid) de
fonction de répartition (f.r.) F(x)=P(X
~ x) vérifiant
I
-l/c
(1.3)
l - F(Log x) =
C . x
2
alors, pour tout k fixé, l<k<n, la statistique
\\,i=k
(1. 4)
A = A
= k- l
n
n,k
L.i=l
(X
- X
)
n-i+l,n
n-k,n
est, asymptotiquement, un estimateur du maximum de vraisemblance de c, où
(1. 5)
Xl n ~
< X
,
--
n,n
sont les statistiques d'ordre ( s.a ) associées à la suite
.
Xl'
, X défi-
n
nie par 0.2) ,
En fait, (1.3) donne un cas particulier de distributions vérifiant la condi-
tion suivante
-3-
1 - F(Log(tx)) =
-lie
( Ac)
t
1 - F(Log x)
qui est une condition nécessaire et suffisante pour que exp( X
), le maxi-
n,n
mum des observations
exp(X ) ,
, exp(X ), soit attirée par
1
n
une loi de Fréchet de f.r.
<l'ex)
exp( -l/x ),
Jf x>O
..
Rappelons pour mémoire que le maximum d'une suite iid de v.a.r. de f.r. commune
G(.) est attiré par une loi non dégénérée de f.r. H(.), et nous noterons
G Ë
D(H),
si et seulement si ( ssi ) il existe deux suites réelles (bn)n>O et (an)n>O tel-
les que b >0, Jf n~l et que
n
H(x),
Jfx
ou H(.) est nécessairement l'un des types suivants ( voir Galambos, 1978):
-l/x
<l'ex)
e
x>O
type de Fréchet
1/x
lJ'(x)= e
x<O
, type de Weibull
x
A(x) = exp(-e- ), xE.lR,
,type de Gumbel
Et c'est pour cet ensemble plus vaste de distributions satisfaisant
(Ac)
que Hall(1982) montra la consistence faible et étudia la normalité asymptotique
de A k avec la condition suivante sur k:
n,
(KO) ~~n ,
k = k
++ co
et
kl n + 0
quand n + +co
n
-4-
~son(1982) montra que la convergence presque-sure (p.s.) ou en probabilité (
.,... ) de A <5 - où <5 est un nombre quelconque tel que 0 <<5<1 et (.) désigne
n, (n )
:a partie entière - vers un nombre positif non nul c est une condition néces-
~dire et suffisante que (Ac) soit vérifiée.
Parallèlement, De Haan et Resnick(1980) proposèrent et étudièrent un autre
estimateur de c sous la forme
1
B
( X
n
n,n
Xn-k,n )
Log k
où k=k(n) vérifie (KO)
dont ils démontrèrent la consistence faible et le caractère extrémal de la loi
limite.
Puis, S. Csorgo, Deheuvels et Mason ( C-D-M, 1985) introduisèrent une clas-
se d'estimateurs à noyau englobant les précédents et s'exprimant comme une con-
volution
- d'une part, de la fonction empirique des quantiles associée à la suite iid
.... , X définie par
n
0.6)
Q (s) = X.
ssi
i::l < s < i
n
J, n
n
n
- et d'autre part, d'un noyau K(.) vérifiant les propriétés suivantes
(Cl)
K(u) ~O, Jf u~O
(C2) K(u) est continu à droite et non-décroissant sur (0, +00)
(C3)
J-f-OO
K (u) du
o
+ l
(C4)
-5-
~(lUS la forme
1 À
( 1. 7)
C
( fl/À Q (l-Àv) d{vK(v)} ) / ( J /
K(v)
)
n
o
n
0
~\\'ec
À= À(n) -+()
et
nÀ +
0
•
Enfin, M. Csorgo et Révész(1984) ont trés récemment proposé un autre estima-
teur.
Avant de passer à l'objet de la thèse, signalons qu'il existe de nombreux
travaux traitant de problèmes intimement liés à l'estimation de l'index d'une loi
stable. Pour illustrer l'actualité de ce thème, S. Csorgo(1984) a recensé plus
de soixante (60) articles qui lui sont consacrés.
-6-
~. Objet de la thèse:
Les consistences faibles et fortes des estimateurs décrits plus hauts étant
;rouvées et leurs normalités asymptotiques établies, il est naturel de se tour-
~~r vers la détermination de leurs comportements asymptotiques et lois limites
lorsque l'hypothèse générale (Ac) n'est pas vérifiée. De cette détermination dé-
~~nd la construction de procédures statistiques ( méthodes de comparaison, tests
9t û tistiques,
etc ... ) ~
Dans ce cadre, notre travail consiste à étudier ces estimateurs quand l'hy-
rothèse (Ac) est remplacée par
(i1l)
F(Log(.)) r=:.. D(A).
?récisément, nous déterminerons
~)- le comportement asymptotique ( faible et fort) et la loi limite de l'esti-
:-.ateur de Hill.
;)- le comportement asymptotique faible et la loi limite de l'estimateur de
De Haan/Resnick.
y)- des bornes pour les eitimateurs de C-D-M.
S)- quelques lois limites de sommes de valeurs extrêmes.
sous l'hypothèse générale (Hl) et de quelques autres conditions variant selon
les résultats. En passant, nous ferons une brève comparaison entre A et B .
n
n
Les résultats sont exposés dans la section II, précédés de quelques notations
ct hypothèses utilisées dans ce travail. Dans la section III, nous donnerons quel-
'lues rappels et quelques resultats concernant les f.r. attirées par la loi de
-7-
Gumbel qui seront d'une grande utilité pour prouver les résultats dans la sec-
tion IV. Dans la même section III, nous rappelerons les nouvelles approxima-
tions des processus empiriques uniformes par une suite de Ponts Browniens.
:'nfin dans la section IV, nous esquisserons quelques applications et donnerons
quelques résultats de simulations.
r-
l'
-8-
11- PRINCIPAUX RESULTATS
0- NOTATIONS ET HYPOTHESES:
Dans toute la suite, X
<
<
X
désigneront les S.O de
l, n
n,n
Il' X , ..... , 'X
' une suite de n copies indépendantes et identiques d'une
2
n
d'une v.a. X dont
- la f.r. est
( 2.1)
F(x) = P( X ~ x),
_oo<x< +00 J
- la fonction des quanti les est
(2.2)
-1
{
F (s) = Q(s) = Inf
u,
F( u)~ s1 , O,;s~l
- et dont le support est (B,A), i.e.
(2.3)
A=Sup{x,
F(x)<l}
et
B
Inf
{ x,
F(x»
0 }
On associera à F la fonction
A'
1 - F(v)
(2.4)
R(t)
f
1 _ F(t) dv ,
B<t<A ,
t
qui, d'ailleurs, joue un rôle de discriminant dans la détermination du comporte-
ment du maximum des observations.
Les hypothèses suivantes seront requises quand il le faudra:
a- Hypothèses sur F:
(Hl)
F(Log(.))E.D(i\\)
(H2)
F~ D(i\\)
De Haan(1970) a montré que si (H2) est vraie et si, en plus, F(x) est stricte-
ment croissante quand xtA, Q(.) admet cette représentation:
-9-
set)
(2.;5)
Q( l-u)
c
+
s(u)
t
dt,
O:Cu<1
o
où
c
est une constante réelle
o
s(.) est une fonction à Variation Lente au voisinage de Zéro (V.L.Z)
seau) _ l
•
i. e.,
Jf a>O,
Lim '0
uy
s(u) -
Tout récemment, Deheuvels, Haeusler et Hason ont montré que la représentation
(2.5) ( qui sera donc dite'de Deheuvels-De Haan-Haeusler-~1ason ( D-D-H-M ) )
est équivalente à (H2). De plus, le lemme 9 assurera que (Hl) implique (H2) et
donc (2.5). Désormais, la représentation (2.5) de D-D-H-M sera implicitement
supposée avec les mêmes caractéristiques c
et s(.) dès que (Hl) ou (HZ) est
o
vérifiée
et nous pourrons alors considérer l'hypothèse
(H3)
s(.) est non-croissante dans un voisinage à droite de zéro.
b- Hvpothèses sur la suite k=k(n):
Pour toute fonction rC.) réelle définie sur (O,l),pour tout À, O;;;~-t=
et
pour toute suite (kn)n>O d'entiers naturels, nous désignerons par (KI' r, À)
la condition suivante
k -+ + "",
k ln -+0
et
r(l/n)/r(k In)-+À , quand
nt-t=
n
n
n
et par (K , 0) la condition suivante
,Çon\\'ention: Par abus de
notation, nous écrirons k =k, s'il n' y a pas de risques
n
de confusion.
-10-
~intenant, nous pouvons exposer nos résultats pour chaque estimateur.
1- ESTIMATEUR DE
*
HILL:
?~OPOSITION 1: Supposons que (Hl) soit satisfaite, alors pour toute suite k sa-
t1sfaisant (KO), on a
A
~ 0
quand nt+ oo
"
n
Afin de déterminer la vitesse de convergence de A vers zéro, nous intro-
n
~uisons et étudions une forme pondérée de A .
n
THEOREME 1: Si F admet la forme réduite de la représentation de D-D-H-M
(~.6)
Q(l-u) =
c
3.tl dt
O<u<l
,
o
t
'
;11ors, pour toute suite k satisfaisant (KO), on a
,,'
-1
L i=k
P
(2.7)
k
i. C.
(X
. 1
X
.
)
-+
l, quand nt+ex>
i=l
1,n
n-1+ ,n
n-1,n
-1
où
C.
s(i/n)
, i=I,2, .... ,k
1,n
De là, on obtient
COROLLAIRE 1: Si F admet la représentation réduite de
est sa-
tisfaite, alors pour toute suite k satisfaisant (KI' s, 1), on a
•
Une version légèrement différente des résultats exposés dans cette sous-
~cction paraîtra bientôt dans le Journal of Applied Probability dans sa livrai-
30n
de Décembre 1986. Voir aussi Rapport technique n028, L.S.T.A. (1985)
-11-
(i)
-1
P
(2.8)
C
Ii=k
k
(X
° 1
- X
)
-+
l,
k,n
i=l
n-l+ ,n
n-k,n
(ii )
l
(2.9)
k2 { C
A
- 1 + a }
N(O,l)
k,n
n
n
où a
g 0
n
et
N(O,l) désigne la convergence en distribution vers la loi
normale centrée réduite.
Remarque 1: La loi limite (ii) dans le corollaire 1 n'est pas complète. Elle
est donnée par le théorème 9 qui, d'ailleurs, englobe une loi faible ~es grands
nombres différente de (2.8) par la condition sur k et sur la monotonie de s(.) .
.....
Le comportement presque-sur de A est le suivant
n
THEOREME 2: Supposons que (Hl) soit satisfaite. Si de plus, k satisfait (K , 6),
2
0<6<1, alors
(2.10)
C
k- 1 \\ i=k (X
- X
k,n
LOI
°1
k
)-+l,p.s.
1=
n-l+ ,n
n- ,n
Enfin, grâce à la dualité de (Hl) et (H2) - dans un sens que précisent les
lemmes 9 et 10 - nous obtenons les extensions suivantes,
COROLLAIRE 2: Soit A>O. Alors si (2.6) (resp. (Hl) ) est vérifiée, (2.7) (resp.
2.10 ) reste vraie après remplacement de
-12-
X
par
Log X
, i=1,2, ..... , k.-.i
n-i+l ,n
n-i+l,n
R(Q(l-u))
s(.)
par
rl(u) =
Q(l-u)
C.
par
rl(i/n)
l,n
avec k satisfaisant (KO)
( resp. (K ,6), 0<6<1). Par ailleurs, nous pouvons remplacer
2
les logarithmes simples par des logarithmes itérés si Log A> 0 en nous assurant
que les conditions exigées suivent. Ce processus peut continuer tant que Log A>O.
p
Inversement, on a
COROLLAIRE 3: Soit R(t)+O quand tfA. Alors si (Hl) (resp. (2.6) ) est satisfai-
te, (2.10) (resp. (2.7) ) reste vraie après remplacement de
X
par
exp( X
. 1
), i=1,2, .... ,k+-l
n-l+l, n
n-l+ ,n
s(u)
par
tl(u) = exp( Q(l-u) ) R(Q(l-u))
C.
par
l,n
avec k satisfaisant (K ,0) ( resp. (KO) ) ,0<0<1.
2
Finalement, nous illustrons ces résultats par des cas particuliers usuels.
COROLLAIRE 4:
Dans chacun des cas suivants, (i) (resp. (ii) ) correspondra au choix de
6
k=(Log n) (resp.
k =(n ), 0<0<1 ) 0
a- Loi Normale Standard:
X'\\,N(O.l)
J
l
(i)
(2Log n)2 A +
l, en probabilité
n
l
(ii) (2{1-6) Log n)2
A
+
l,
p. s.
n
-13-
... Loi Log-Exponentielle: exp( X ) '" E(1 )
.
(i) (Log n)
A
~
1
n
(ii ) ((1-0 ) Log n)
A -+
l, p.s.
n
; . Loi Log -Normale:
X = Log
Sup(b, Z)
P
p
"ee
Log (.) ( resp. e (.) ) est la fonction obtenue après p itérations de
p
p
la fonction Log(.) ( resp. exp(.) ) avec la convention que Logox =1, ~ x.
- Log
b =0
p
- et Z "'N(O, 1)
rosons
D
2 Log(n/k)
ni:g-1 Log (2LOg(n/k))t . Alors
n
j
D A -+
1, en probabilité.
n
n
D
A -+
l, p.s.
n
n
~- Désignons parA
(resp. A
) l'estimateur de Hill associé à X= LogSup(O,Z)
nl
n2
';'4
Z"'N(O, 1) (resp. Z"'E(1) ). Alors,
(i)
2,
en probabilité.
2, p.s.
-14-
ESTIMATEUR DE DE HAAN/RESNICK: *
~~tORS\\lE 3 : Supposons que (H2) soit satisfaite. Alors,
•
(i) pour toute suite k satisfaisant (Ka), on a
; . 11 )
(X
- X
)/ Log k +
0, en probabilité •
n,n
n-k,n
(ii) pour tout À, O~À< +00 , pour toute suite k satisfaisant (KI' s, À),
Ho s(.) provient soit de (2.5) soit de (2.6),
on a
x
- X
Log k
{
n,n
n-k,n
b
À .f\\
a
Log k
n
n
-
f\\ est la loi de Gumbe1
,
a
s(k/n) l
n
Q(l-l/n) - Q(l-k/n )
bn
s(k/n)
i~~rque 2: On peut étendre très facilement les formules (2.11) et (2.12) en
;rocédant par remplacement de X.
soit par Log X.
soit par exp(X.
) comme
l,n
l,n
l,n
:ans les corollaires 3 et 4.
Maintenant, comme pour l'estimateur de Hill, donnons quelques exemples .
.:OROLLAIRE 5:
Dans tous les cas suivants, nous supposons que k = ((Log n).Q,)
, .Q,>O.
~- Loi Normale Standard:
1
:) Z(LogLog n) (2Log n)2 B
-.Q, (LogLog n)(l+o(l))
f\\
.
n
.1
1 li)
(2Log n)2 B
+
l, en probabilité
n
• - Voir Rapport technique n049, L.S.T.A., Université Paris VI (1986).
-15-
}- Loi Log-Exponentielle:
( 1 )
~(Log n) (LogLog n) B
- ~(LogLog n) (1+0(1))
fI..
n
( 11)
(Log n) B + l, en probabilité.
n
- Loi Log -Normale: X
Log
Sup( e (1), Z ), Z~N(O,l)
p ~1
p
p
p
(i)
~(LogLog n) D B - ~(LogLog n) (1+0(1))
fi.
n
n
(ii )
D B +
l, en probabilité,
où la suite D est définie dans le corol-
n
n
n
:aire 4.
icmarque 3: Il est très remarquable que les vitesses de convergence
soient les
~~mes pour A et B
dans de nombreux cas comme le montrent les corollaires 4
n
n
~t 5. Mais, l'estimateur de Hill est supérieur a celui de De Haan/Resnick
~dns un sens que précise le paragraphe suivant.
- l b -
3- Brève Comparaison entre A et B :
n
n
Mason(1982) a prouvé que l'estimateur de Hill caractérise les distributions
attirées par la loi de Fréchet. Précisément, on a
THEOREME 5: (Masan, 1982).
Pour tout c>O, les propositions suivantes sont equivalentes
(i)
F(Log(.))
satisfait (Ac)
(ii) Pour toute suite k satisfaisant (KO), on a
A
g. 0 •
n
(iii)
Il existe 0, 0<0< l, tel que
A = A
(0) +
c, en probabilité ou presque-sûrement.
n
n, n
A la question de savoir si cette propriété caractéristique peut être éten-
due à l'estimateur de De Haan/Resnick, nous répondons par la négative àl'aide
d'un contre-exemple. En effet:
PROPOSITION 2: Soit F définie par
(2.13)
= m,
m=l, 2, ....
On a
(i) ( Masan, 1982): il n'existe pas de réel c>O tel que F(Log(.)) satisfasse
(Ac)
(ii) Pourtant, pour toute suite k satisfaisant (KO), on a
P
-1
B
+
(Log 2)
n
-17-
,\\
"
*
4- ESTIMATEUR DE S. CSORGO-DEHEUVELS-MASON.
Afin b'obtenir des bornes pour les estimateurs de C-D-M, nous introduisons
et étudions T
et Z , deux formes pondérées de C :
n
n
n
J1/À Q (l-Àv) d{
vK(v)
° n
ÀvQ'(l- v)
Pour cela, nous avons besoin d'hypothèses supplémentaires aussi bien sur F
que sur K(.).
a- sur F:
(H4) F(.) admet une dérivée seconde continue F"(.) et F' (x)?O, Jfx ~(B,A).
(HS) F satisfait le critère de Von Mises(1936).
Lim
F"(x)
_ - - - - " - . - L -
(1-F( x ) )
xtA
-1
"
(F'(x»2
Convention: Dans toute la suite,
t
( resp. + ) désignera
la limite par
valeurs inférieures ( resp. supérieures. )
(H6) R(t) +()
quand xtA
'
(H7) \\Q(O)\\<ro
\\Q"(o)l<ro et
Q'(s)# 0,
Jf s, O~s~l
(H8) Jf s, s>O,
Lim +
u o
Q'(l-us)/Q'(l-u)
existe.
(H9) la fonction
sQ' (1-s)
est non-croissante dans un voisinage de zéro.
* - Voir Rapport technique N°29, L.S.T.A., Université Paris VI.
-18-
b- sur K(.):
Nàus exigerons une hypothèse plus forte que (C4):
+oo
2+6
(CS) Il existe 6>0, tel que
f 0
K
(v) dv < + 00
Et pour les cas particuliers, nous avons besoin de la condition suivante:
(C6)
Il existe y, Y>O tel que
K(u) = 0,
~ u>Y.
Remarquons que (HS) implique (Hl). Dès lors le lemme 10 ( voir plus bas)
permet de voir que (H2) est vraie dès que (H6) est vraie. Notre étude de Cn
se fera
donc sous les mêmes conditions de base que pour les autres estimateurs.
THEOREME 6: Si les hypothèses (H4-S-6-7-8) et (Cl-2-3-S) sont satisfaites,
alors, on a
(i)
o (l) J
P
1
(ii)
(nÀ)2 (T
- 1
o (l) "
n
p
quand nÀ+ 0,
et
1,+0 et où
fl!À
K(v) dv
+ l, quand
o
1,+0
)
1,+ 0 •
De là, on tire une Bbrne de C :
n
COROLLAIRE 6: Si (H4-S-6-7-8-9) et (Cl-2-3-S) sont satisfaites, alors on a
*
C / C
= 0 (1)
quand
nI, + +00 et 1,+0
n
n
p
où
*
C
1 Q'(l- 1)
n
n
n
-19-
COROLLAIRE 7: Si (H4-S-6-7-8-9) et (Cl-2-3-S-6) sont satisfaites, alors pour
toute suite À satisfaisant
Q'(l-YÀ)
(0)
(nYÀ)
+
1
quand
nÀ+ +00 et À+O •
Q'(1-l/n)
on a
*
C 1 C
1+ 0 (1)
n
n
p
~
~
Comme dans les cas précedents, nous pouvons donner les cas particuliers
cités dans les corollaires 4 et S.
COROLLAIRE 8:
Q,
Ici, nous choisissons
À~(Log n) ln , Q,>O. Dans la suite
(i) ( resp. (ii))
correspond au cas où (Cl-2-3-S) ( resp. (Cl-2-3-S-6) ) sont satisfaites.
a- Loi Normale: X
Sup(m, Z), m>l, Z~N(O,l)·
l
(i)
{(2Log n)~ C }-1
o (1) .
n
p
l
(ii)
(2Log n)~ C
1+0 (1)
quand
nÀ++OO et À+O •
n
p
b- Loi Log-Exponentielle:
X= Log Sup(m,Z),
m>l, Z~E(1) .
=
0 (1)
•
(i) (Log ~) C
p
n
(ii )
( Lo g n) C
= 1+0 (1) .
n
p
c- Loi Log -Normale: X= Loo
Sup(e (m), Z), Z-N(O,l), p_~l, m>l.
_ _ _ _----"-p
op
p
1
(i)
De
o (1)
p
n
n
(ii )
D
C
1+0 (1)
n
n
p
-20-
~-
5- QUELQUES TCL POUR SOr~ES DE VALEURS EXTREMES ( TCL,SVE):A
Enfin, nous exposons quelques TCL dûs à S. CSorgo et rlason(1985) démon-
trés sous l'hypothèse (Ac). Nous étendons ces TCL pour l'hypothèse (H2).
Nous devons signaler que la méthode de S. Csorgo et Mason contient tous les
éléments de cette extension exceptés quelques résultats ( lemme 8 par exemple)
qui existaient déjà dans De Haan(1970).
THEOREME 7: Soit (H2) satisfaite, alors pour toute suite k satisfaisant (KO),
on a
-1
l
{ -1 Ii=k
(2.14)
c
k2
-
d
1
k
. 1
X
N(O,2)
n
1=
n-i+1,n
n
ou
n
c
R(Q(l-k/n) ) ,
d
fI
Q(s) ds .
n
n
k
1-k/n
THEORErŒ 8: Avec les hypothèses du théorème 7, on a
-1
1-
d
(2.15)
c
k 2
I i=k
- X
- M } -+
N(O,l)
n
i=l
X . 1
n-1+ ,n
n-k,n
n
où
n
(2.16)
fA
1"1
(l-f(x)) dx
n
k
Xn-k,n
Le théorème suivant donne la loi limite de A comme annoncé dans la remarque
n
1.
* - Voir Rapport technique n030, L.S.T.A., Université Paris VI.
-2]
THEüRENE 9: Loi limite de A .
n
Supposons que (H2) soit vraie et qu'elle admette la représentation réduite de
D-D-H-M, alors pour toute suite k satisfaisant (KO) , on a
-1
d
(2.17)
c
{ k-1
\\" i=k
X
_ X
- c }
+
N(O, 1) •
n
L i=l
n-i+1,n
n-k,n
n
Remarque 4:
Dans les théorèmes 7,8 et 9, on peut passer aux logarithmes et ex-
ponentielles supérieurs comme indiqué dans les corollaires 2 et 3. Les constan-
tes c
sont evidemment les mêmes que les C
définies dans le théorème 1.
n
k,n
Pour prouver tous ces résultats dans la section IV, nous avons besoin
d'un ensemble
de résultats techniques et de rappels.
1
-22-
1
1
111- RESULTATS TECHNIQUES ET RAPPELS:
Lemoes techni ues concernant les distributions attirées
ar la loi de
1Gumbel.
1 D'abord, nous donnons quelques propriétés des fonctions à V.L.Z.
Lemme 1:
Soit r: (0,1) + R, une fonction à V.L.Z. Alors,
1 (i) pour tout couple (a,S) tel que
, on a
~
1
Lim
sup
=
1
r(u)
u+O
au ~ s~Bu
It
Lim
~
inf
1
r(u)
u+J
au~s~u
1
(ii) Soit (u ) et (v ) deux suites de v.a. telles que
n
n
1
-1
u .f 0
u .v
o (1)
et (u . v )
o (1)
quand
n
n
n
p
n
n
p
1Alors
r(s)
Sup
1+0 (1) quand nt+oo
1
r(u )
p
n
s E- J n
tt
--.r.W-
inf
1 + 0 (1), quand
r( u )
p
1
n
s ,,-- J
c::.
n
loù
l
l
J
= (min(u ,
) ,
max(u ,
) )
n
n
v
n
v
n
n
1
1est 'un intervalle aléatoire.
1
-23-
1
F: (i)
Puisque
r(.) est a V.L.Z., elle admet la représentation de Karamata
r(u)
z(u) exp( fI
~ds ) . avec
u
s
1
z(s) + Z,
O<z< +00
et
",,'(s)+0
quand
s+O.
ln en déduit que
~
~
exp( fU
~dv )
r(u)
z(u)
s
v
Et donc pour tout s, O<au~s~u< +00 , on a
1(3.3)
w~v) dv[~ ILog ~I
sup
iw(v)i
au~s~u
1avec
Sup
1 w( v) 1+
o quand u+O puisque w(v)+ 0 quand v+O.
1
au~s~u
Irone, en combinant (3.2) et (3.3), on obtient
1
r(s)
3
(1+0(1) }
<
. 4 )
sup
~
<
inf
z(u)
r(u)
au~s~u
au~s~u
1
<
sup
~
<
{ 1+0(1)}
sup
~
au~s~u r(u)
z(u)
au~s~u
INOUS pouvons alors conclure à part ir de (3.4) en remarquant facilement que
1
z(s)
inf
~
ZTUT
et
sup
convergent vers 1
z(u)
au;;,s,93u
au~s,93u
IdèS lors que z(s)+z, O<z<+eJquand s+O.
1
1
1
1
r
-24-
(ii )
Cette partie est une version en probabilité de (i). En effet, il n'est diffici-
le de voir que
z(s)
g
z(s)
g
(3.5)
ïnf
1
et
sup
1
z(u )
z(u )
n
n
sE:.J
sE.J
n
n
1
puisque
J
C
JO,
max(u , -;;»),
max (u ,
l ) g 0 et z(u)-"z, O<z<+oo
n
n
n
v
n
n
quand u+O.
D'autre part les hypothèses du lemme impliquent que pour tout E>O, on peut
trouver ~>l et N
tels que
o
(3.6)
J.f n>N ,
v.u
<~
avec probabilité plus grande gue E(a.p.E) •
o
n
n =
En combinant (3.3) et (3.6), on obtient
(3.7)
J.f n>N ,
(
~) dvl~ Log ~2. sup Iw(v)l) a.p.E.
o
v
vEJ n
Comme précédemment, on remarquera que
(3.8)
sup
iw(v)1
<
sup
o
1 w( v) 1
O
(
l )
vE: J
<v~max un' v
n
n
Enfin, en combinant convenablement (3.5), (3.7) et (3.8) et en procédant comme
dans (3.4), on obtient le résultat cherché.
Haintenant, nous pouvons donner les propriétés des éléments
de la classe
D(I\\) .
-25-
Lemme 2:
Une condition nécessaire et suffisante que FE 0(1\\) est que
t'-t
(A)
(k(t')-k(t)~ a) <==> ( R(t) ~ a) quand t' ,ttA
ou
k(t):= - LogO - F(t)) ,
B:;;t<A
Preuve: (1) Suffisance:
Elle est i~T.édiate. Pour cela, posons
t'
:=
t + xR(t), pour x quelconque et B<t<A.
On obtient
et
(A) implique que
1 - F(t+xR(t))
-x
(B)
Jf x,
exp( k(t)-k(t') ) ~
e
quand ttA
1 - F(t)
Hais i l est bien connu ( voir Galambos, 1978) que (B) est une condition néces-
saire et suffisante que FE:D(!\\).
(2) Nécessité:
Cette partie est plus longue à démontrer. Tout d'obord, écrivons (B) sous
la forme
(B)
:v- -x,
k(t+xR(t))-k(t)
x,
quand ttA
et établissons la proposition suivante:
PROPOSITION 3:
Pour toute f. r .
FE D( 1\\) et pour a, -oo:;;a:;; -ro , on a
t'-t
(i)
{Lim Sup
R(t) ~a} =>
Lim Sup
k(t')-k(t)
< a } J
t' ,dA
t " dA
.,.,,-
-26-
1
t'-t
{Lim inf
>
a} => f Lim inf
k(t')-k(t)
~ a } .
R(t)
t' ,ttA
t "
ttA
IPreuve de la proposition 3:
Si a = +00 : la proposition est toujours vraie indépendemment des hypothèses.
Si a est fini, pour tout s>O, il existe T, B<T<A, tel que:
~ t' ,t,
T<t' ,t<A, on a
t '~t + (a-S) R(t) ~
Donc,
(3.9)
Jf t' ,t>T,
k(t')-k(t) ~
k(t+(a-E) R(t) ) - k(t)
En appliquant (B) à (3.9), on obtient
Lim sup
k(t')-k(t) <
L~m
k(t+(a-s)R(t»-k(t)
a-E
.
t! ,dA
dA
D'où l' assert ion (i) pour a fini.
Si finalement a= _00: on a
t'-t
J,f- T<O,
Lim sup
R(t) < T et
t' ,t A
et l'assertion (i) dans le cas fini implique que
(3.10)
Lim sup
k(t')-k(t)
<
T,
Jf T<O
t' ,ttA
et donc
0.11)
Lim
k(t')-k(t)
t' , ttA
L'assertion (i) est entièrement prouvée. La partie (ii) se prouve analoguement
en passant par les mêmes étapes.
•
-2ï-
1
,euve- du lemme 2 ( continuation):
.
t'-t
Supposons que:
Llm
~ ~ a,
t' ,ttA
t
proposition 3 entraîne que
Lim sup
k(t')-k(t)~a ~Lin\\ inf
k(t')-k(t)
t' ,ttA
- t' ,tt,\\.
Lim
k(t')-k(t)
~ a .
1
t' ,ttA
1 Supposons que: Lim
k(t')-k(t)
a. Posons
t' ,ttA
t'-t
t'-t
((3.12)
a
Lim
sup
R( t)
>
B~ Lim fnf
R(t)
t' ,ttA
t' ,ttA
'Nous pouvons extraire deux suites de couples (t ln , t ) et (v', v ) de (t', t)
~
n
n
n
telles que
(3.13)
v tA, v'tA
t' t A et t
t A
quand nt-t<o
n
n '
n
n
et
t'-t
y'-y
(3.14 )
n
n
n
n
Lim
B •
R(t )
~ a
et
Lim
R(y )
nt-t<o
n
nt-t<o
n
En utilisant la proposition 3, (3.12) et (3.13), on a
- d'une part, que
t'-t
n
n
Lim
R(
=>
Li.m
inf
k(t' )-k(t ) _~ a.
t
) ~ a
n
n
nt -t<o
n
nt-t<o
et donc (puisque
Lim
k(t')-k(t)
existe)
t " ttA
<3.15)
Lim
k(t')-k(t)
t' ,ttA
-28-
- et d'autre part, que
v'-v
n
n
(3.16 )
Lim
=>
R( v )
~ S
Lim
k(v')-k(v ) < 13
n
n
n+t=
n
n++oo
et donc
Lim
k(t')-k(t)
<
S
t' ,ttA
De (3.12), (3. 15) et (3. 16), on ti r e
Cl = B
Lim
k(t')-k(t)
t' ,ttA
i.e. ,
t'-t
(3.17)
Lim
Lim
k(t')-k(t)·
R(t)
t' ,ttA
t' ,dA
t'-t
Nous venons de prouver Que si l'une des limites {Lim
R(t) ,Lim
k(t')-k(t)}
t' ,dA
t' ,dA
existe, alors l'autre existe aussi et les deux sont égales; ce qui prouve la né-
céssité de (A).
Lemma 3 ( De Haan, 1970):
Soit
FED(A). Alors,
(i)
Rill + 0 quand tH
t
(ii) Si de plus A est fini, on a
R(t) + 0 quand
ttA
t-A
.
Ereuve: Voir corollaire 2.4.2 dans De Haan(1970) •
~~e 4: Si F admet la représentation de D-D-H-M, alors on a
>~- 0;:':'
.,:~~'~'~~
-29-
R(Q(l-u))
Lim
1 ,
s(u)
u+O
Preuve: Supposons que (2.5) ( ou (2.6), ce qui revient au même ici ). Alors
pour tout t>O,
Q(l-u) - Q(l-tu)
(3.18)
0 __ s(tu)}
1
Jtu
~dv
s(u)
s(u)
+ s(u)
u
v
1
0(1)
+ - -
~ dv , quand u+O /
s(u)
v
puisque s(.) est à V.L.Z. On a aussi ( par exemple si Log 't>0 )
(3.19)
(Log t)
~ < _1_ J t u ~ dv < (Log t) Sup
~
s(u) = s(u)
u
v
s(u)
u~v~tu
En rappelant que s(.) est à V.L.Z. et en utilisant le lemme l, on tire de
(3.18) et (3.19) que
Q(l-u) - Q(l-tu)
+
(3.20)
J,f- t> 0,
Log t
quand u+O
•
s(u)
-1
1
D'un autre côt~, posons v=F
(l-u) et V'= F- (l-tu). Suivant notre d~finition
de F(x) = P( X~x),
F(.) est continue à droite. Comme cons~quence,
nous obte-
nons que:
Ce fait qui sera utilis~ plusieurs fois dans la suite sans être rappel~ entraîne
qUe
k(v)
-Log u
et
k(v') = -Log tu
et donc
1 .. ,
k(v) - k(V') = Log t
du
lemme 2 à cette dernière formule donne
v-v
Lim
Log t, i.e.,
R(v)
v' ,vtA
-30-
Q(l-u) - Q(l-tu)
(3.21)
J.!- t>O
-+ Log t
quand
u+O
R(Q(l-u) )
On achève la démonstration en divisant les formules (3.20) et (3.21)
Lemme 4 ( De Haan, 1970, Théorème 2.4.1)
Les propositions suivantes sont équivalentes
Q(l-xu) - Q(l-u)
Log x
(i) J.!- x>O, J.!- y>O, y~l,
Lim
Q(l-yu) - Q(l-u)
Log y
u+O
(ii) FE.D(J\\).
Lemme 5 ( De Haan, 1970;
Deheuvels, Haeusler et Masoh(1985)
)
Les propositions suivantes sont équivalentes
(i)
FE:D(J\\)
(ii) Il existe une constante c etunefonctions(.)àV.L.Ztelles que
(2.5) soit
o
vraie.
Lemme 6:
Si FED(J\\), alors on a
Q(l-u) - Q(l-tu) -+
J.!- t>O,
Log t,
quand u+O
R(Q(l-u) )
Preuve: Ce lemme est le résumé des calculs ayant donné la formule (3.21)
Lemme 7: Si Ft=-D(J\\), alors
Q(l-.) ,est à V.L.Z.
Preuve: Posons t = Q(l-u)
et t' = Q(l-uv), avec O<v<~ .
•
-31-
1
On obtient
1u =: 1 - F(t !) = exp( -k(t') ), uv = 1 - F(t) exp( -k(t) ) •
t'où
k(t' )-k(t) = - Log v
•
En combinant cela et le lemme 2, on obtient
1
t ' - t
+
-
Log v quand u+O, i. e. ,
R(t)
1
Q(l-u)
R(Q(l-u))
(3.22)
1 + {-Log v
+ o(l)}
quand u+O
Q(l-u v )
Q(l-u)
1l'lais le lemme J dit que Bifl+0 quand ttA dès lors que FE.. 0(11). En appliquant
1ce fait à (3.22), on trouve
Q(l-u)
1(3.23) ~ v>O,
Lim
= 1.
CQFD
Q(l-u v )
u+O
r
1\\1
Les deux lemmes suivants sont déterminants pour étendre les TCL de S.CsorgO,
r
et Mason(1984) à la classe D(II). Pour cela, définissons
- t
t
-1
c(t,u)=
u
(l-s)
dF
(s) ,
t>O avec c(l,u)
c(u)
et
1
1
1
1 -1
J(u) = u-
J l-u J s (l-v) dF- (s) dF (\\:t-) .
Lemme 8( De Haan, 1970, formules 2.5.1, 2.R.l.)
Si (H2) est vraie, alors
(i)
c(t,u)
-1
+
t
quand
u+O
c(u)
( ii)
J(u)
+
1
quand
u+O.
c(u)2
f
,>if
Enfin, nous donnons nos deux principaux résultats concernant
les pro prié-
de F(.) quand celle-ci est attirée par la loi de Gumbel.
1
j
~t
1
1
,
•_ _
_ _ • • _ _ "
_ .
_ . _
• •
-
•• _
• • • _ _
_ _ ___'_
w
_ _
• • • • •
,
• • . • • • •
-......
__
_ _
._.<
._._' . .
~
_-_._~
" . , ~
~ _ ~ . ~ .
_ ~
_ ~
_._~~
c ,
--.
-32-
Lemme 9: Soit A>8> O. Alors, si X a une f,r.
F~D(f\\), Log Sup(8, X) a une f.r.
G telle que
(i)
GE.D(f\\»)
(ii)
1-G(v) dv
Set)
-+
o quand t t Log A )
1-G(t)
1
R(F-l(l-u)) -
( iii)
S(G- (l-u»)
"u
-
- -
quand
u+O·
-1
F
(l-u)
D'ailleurs, cei r~sultats peuvent ~tre ~tendus a LogLog SUp(K, X) si on a
O<K < Log A.
Ce lemme admet une r~ciproque comme suit:
Lemme 10: Soit
R(t)-+O quand dA. Alors, si X a une f,r.,
FED(f\\), exp(X) a
une f.r. H telle que
(i) Hf:D(f\\) ,
A
(ii)
T(t)
J~ i=~~~~ dv, satisfait
T(H-l(l-u)
"u
exp ( F-l(l_u) ) R(F-l(l-u»
. quand u~O •
A
Si T(t)+O quand tte , nous pouvons r~péter l'application du lemme.
-33-
"
U\\"e
du lemme 9:
~ - -
Nous avons
-1
-1
G
(l-u)
Log F
(l-as), ou
a
P( X > 8) > ° .
D'oÙ pour tout x>O, tout y>O, y~l, on a
-1
-1
-1
-1
G
(l-xu)-G
(l-u)
Log F
(l-axu)/F
(l-au)
(3.24)
-1
-1
G
(l-yu)-G
(l-y)
Log F-l(l-ayu)/F-l(l-au)
:!ais le lemme 7 assure q'.le F-l(l_.) est à V.L.Z. Alors,
quand
u+O
-1
-1
F
(l-ayu)/F
(l-au) ~
1
Cela nous permet d'utiliser le développement limité des logarithmes dans (3.24)
au voisinage
de 1 et d'obtenir
-1
-1
-1
-1
G
(l-xu)-G
(l-u)
(3.25)
(1+0(1»
F
(l-axu)-F
(l-au)
-1
-1
quand u + ° ·
G
(l-yu)-G
(l-u)
F-l(l-ayu)-F-l(l-u)
Et puisque FE:D(i\\), le lemme 5 et (3.25) entraînent que
-1
-1
G
(l-xu)-G
(l-u)
Log x
(3.36) T- x> 0, T y>O, y;fl,
Lim
-1
-1
Log y
u+O
G
(l-yu)-G
(l-u)
Et donc Gê..D(i\\). D'où le point (i) du lemme 9.
Maintenant, appliquons le lemme 6 à F et à G. On obtient
-34-
-1
-1
F
(l-au)-F
(l-tau)
(3. 27) Jf t>O,
Log t, quand
u+O
-1
1
R(F
(1-au»
-1
-1
C
(l-u)-C
(l-tu)
(3.28) Jf t>O,
+
Log t, quand
u+O·
-1
S(C
(l-u»
En noUS inspirant des développements faits dans (3.26), on obtient
-1
-1
-1
-1
C
(l-u)-C
(l-tu)
_F---;--,,-,(1:....--=a-=u.....)_-----.::F'-----:---'-(-=-l-_t=..:a:....:u,-,,-)
(3.29)
= (1+0(1»
+
Log t,
-1
S(C
(1-u»
F-l(l-au) S(C-l(l-u»
quand u'rO •
En divisant (3.26) par (3.28) pour un t différent de l, on a
-1
-1
S(C
(l-u»
F
(l-au)
(3.30)
+
l,
quand
u+O.
-1
R(F
(1-au»
Le point (iii) du lemme s'obtient alors de (3.30) en remarquant que F-l(l_.)
et R(F-l(l-.»
sont à V.L.Z. ( voir lemmes 4 et 7 ). Quand au point (ii), il
découle d'une combinaison du lemme 3 et du point (iii).
Preuve du lemme 10:
Nous avons
-1
-1
(3.31)
F
(l-u) = Log H (l-u),
Et comme FED(i\\), (2.5) a lieu. Il s'en suit que:
-1
H
(l-u)
exp( c
) exp ( s(u»
exp( fI ~ dv
o
u
v
:-laiS R(t)+Q quant ttA. Alors le lemme 4 permet de voir que s(u)+ 0 quand uiO.
-1
Donc, la formule ci-dessus et le lemme 1 entraînent que H
(1-.) est à V.L.Z.
1
1
A partir de ce moment, on peut faire jouer le rôle de F- (.) ( resp. C- (.) )
1
8
H- 1(.) ( resp. F- (.) ) dans (3.24), (3.25) et (3.26) et la démonstration de-
vient identique a celle du lemme 8.
Pour terminer, énonçons trois dernières propriéte~ des fonctions a V.L.Z.
Lemme Il: Si r(.) est une fonction à V.L.Z., alors,
Lim
=
O.
s+O
À++=
Às+ 0
Preuve: Considérons la représentation de Karamata de r(.) donnée par (3.1).
On peut aisémént vérifier qu'il existe s
et À
tel que
o
0
O<s<s
et À>À
-:>
O<Z(S)
<1
=
0
0
z(Às)
et
Sup
Iw(v)1
< 1/4
s<v<Às
=
=
-36-
z(s) + z,
O<z<+oo
quand s+O
w(s) + 0
quand
s+O.
SOUS
obtenons finalement que
- >
r(s)
OI(S<S
et
À>À
<
= a
o
o < r(Às)/À
D'où le lemme.
Lemme 12: Soit r(.) une fonction à V.L.Z.nonidentiquementnulledansunvoisina-
ge de zéro. Alors il existe U
tel que:
~ O<u~u~l,
rcu) .; o.
o
Preuve: Il existe u
tel que
o
~ O<u<u <1
Ir(u/2)/r(u)l~ 1
=et='
puisque r(.) est à V.L.Z. rlaintenant, supposons qu'il existe u ' 0<u1~uo tel
1
que r(u )=0.
Puisque IrCu/2)!r(u1)1 est fini, on a nécessairement que r(u/2)=0
1
-n
On obtient ainsi une suite u = u .2
tel que,
~ n~l,
r(u )
O.
n
1
n
-37-
~ous allons montrer que dans ce cas r(u)= 0 pour tout O<u~u1' En
effet, soit
III tel que
u
~u~ u
l' Si
r(u)~O, on aurait
m
m+
s(u )
z(u )
u
o
m
m
m
exp ( f
~) dv ) •
s(u)
z(u)
u
v
Cela impliquerait que
u
+
If m ~)
00
dvl <
Sup
Iw(v)
Log 2.
u
v
1
O<v<u
=
0
ce qui est impossible si u
est choisi suffisamment petit. Donc,
o
V-O<u~u1,r(u)
O.
Et donc, r(.) serait identiquement nulle dans un voisinage de zéro. Cela
suffit pour démontrer le lemme.
Lemme 12': Soit r(.) uns fonction à V.L.Z. Alors, pour tout d>O, on a
Lim
= + 00
s-+O
a++co
as-+O
Preuve
Ce lemme se démontre comme les précédents.
Il est temps d'introduire les nouvelles approximations des processus
uniformes empiriques par une suite de processus Gaussiens.
-38-
~,:.,:'
~A-'"·
?~!~~
G\\:-~~ apDroximations du processus uniforme empirique et du processus
."-:
,"
Ul1iflll"l1l~ des quantiles.
-
~. Cs~rg~, S. Cs~rg~, Horv~th et Mason(1983) ont construit un espace de
!t' prob::lbi.lité (0, L,
P) portant une suite de v.a. indépendantes et uniformé-
~.:nt réparties sur (0,1) Ul ,U2,···, et une suite de Ponts Browniens W (s),
n
O::,5~1, n= 1,2, ... ,
telles que pour le processus empirique
l
S (s) =n2 ( G (s) - s ), O~s~l 1
n
n
avec
G (s)
n
et pour le processus des quantiles
l
a (s) = n:5: ( s - U (s) ) , O~s~l
n
n
avec
U (s)
n
r si H~s<i
n
n
uJ,n
si s=O
1,n
7
où U
<... <U
sont les S.O de Ul' ... ,
U
l ,n
n, n
n
les approximations suivantes soient vraies:
-39-
s (s) - W (s)
n
n
(3.32)
Sup
O<s;;;)-l/n
et
Ct
(s) - W (s)
(3.33)
Sup
n
n
1
1
O<s.:sJ-l/n
(1_s)2- V 2
ou V., i=1,2 sont des constantes arbitraires telles que
l
Les approximations (3.32) et (3.33) sont les outils fandamentaux des preuves
des TeL de es~rg~ et Mason. Elles le resteront dans leurs extensions.
Dans toute la suite, nous supposerons que nos v.a. sont définies dans
cet espace de Probabilité.
-40-
IV- PREUVES DES RESULTATS
D'abord, nous démontrerons les résultats generaux étape par étape. Nous
noUs occuperons ensuite des exemples dans un paragraphe spécial .
.9.-- ESTIHATEUR DE HILL:
Preuve de la Proposition 1:
Si (Hl) est vraie, le lemme 7 entraine que la fonction des quantiles H-l(l_.)
associée à F(Log(.)) est à V.L.Z. et on a
-1
(4.1)
Q(l-u)
Log H
(l-u), O~u~l •
Rappelons les représentations bien connues
d
X.
,
{Q(U.
),
l,n
l,n
d
U.
{
l-U
l~i~n} •
l,n
n-i+l,n '
Enfin, rappelons que H-l(l-u) admet la représentation de Karamata puisqu'elle
est à.V.L.Z.:
-1
(4.3)
H
(l-u)
c(u) exp( fI
.!~i~) ds ) avec
u
s
c(u) + c, O<c<~
et r(s) +0
quand
s+O.
)
-41-
( 4. 1) ,
(4.2) et (4.3), on obtient la représentation suivante
tout
c( u.
)
U
x .
d
1
X
Log
l,n
+J k+1 ,n
~ ds
n-l+ ,n
n-k,n
c(U
U.
s
k +1 ,n)
l,n
-. A.l,n
::Jppelons que
O<U.
< U
! 0, quand O<i/n,;; (k+1 )/n +0.
l,n= k+1,n
Il s'en suit que pour tout E,
O<E<C, on a pour n suffisamment grand que
p
{(Jf i, l,'Si,;;k,
C-E < C(U .
),;;C+E
)} >
l-E
,
=
l,n
ce qu'on écrira par
(4.5)
a.p.1-E.
ou
a.p.e.
avec probabilité plus grande que e.
Ainsi, pour de grandes valeurs de n, on a donc
Uk+l,n
(4.6)
A.
< Log C+E
+sup
Ir(u)j
Log U
::: B.
a. p .1-E .
l , n =
c-E
.
l , n
O<s,'SU
l,n
k +1 n
,
Des formules (5), (6) et (7) de Mason(1982), on déduit que
U
-1 Ei:::k:::1
k+1
(4.7)
k
. 1
Lo~
l:::
l,n
où ~1' ~2" ... , ~n est une suite de V.a. indépendantes et exponentielles avec
-42-
~ 1. D'où avec a.p.1-€.,
~
-l'i'i=k
d
c+€ .
(:..8)
T - k
L·
1 A.
n
l=
l,n
Log c-€
+
s:up
O<s<U *
= k+1, n
*
~ U
n=l, 2, ....
OÙ Uk+1 ,n
k+1,n'
En appliquant la loi faible des grands nombres à la moyenne des ~., i=1,2, .. ,k+1,
l
et en tenant compte du fait que r(u)+O quand u+O et en choisissant €
résolûment
petit, on obtient la proposition, i.e.,
T
o •
n
Preuve du théorème 1:
En utilisant la représentation réduite de D-D-H-~l et les représentations (4.2),
on ontient:
d
U. 1
l
(4.9)
x
- X .
Q(l-U.
)-Q(l-U.
)
l+ ,n
~ du
n-i+1,rt
n-l, n
l,n
l+l,n
U.
u
l,n
Rappelons au départ que ( voir Malmquist(19S0), David(1980), p. 21)
U.l,-n
d
(4.10) {-Log
{~./i,
U.
1
l
l+ ,n
cr
..
-43-
~Iaintenant, utilisons la représentation de Karamata de s(.)
(4.11)
s(u)
z(u)
exp( JI
~ dv ), z(u)+ z, O<z<+oo et w(u)+Q quand u+O.
u
v
pour tout i, l~i~k, pour tout a.
U.
<a.
< Ui+l,n' on a
1,n
1,n = 1,n=
s(a.
)
z(a.
)
a.
1,n
1,n
~)
(4.12)
exp( J 1,n
dv )
s(i/n)
z(i/n)
i/n
v
et
a.
n
(4.13 )
~
1 f
~,n
l/n
d v 1~ Su p
Hv)1
Hax( ILog.!!-D.
l, (Log
. 1
I)=:R l· R 2
v
-7{Jt
1 1,n
1+ ,n
n
n
vE:I n
où
l
( 0 ,
Na x ( k / n ,
U
1
) J •
n
k+ , n
Il n'est pas difficile devoir que la suite R
est bornée en probabilité
n2
(voir formule 4.52.plus bas ). De plus w(v)+Q quand u+O. Il s'en suit que Rn1
f 0 puisqueMax(k/n , U 1 ) f O. Sur un autre plan, il n'est pas non
k+ ,n
p
plus difficile de voir que
z(a.
)/z(i/n)
+
l, uniformément en i, l~i~k,
1,n
( voir par exemple (4.5). ).
Nous concluons alors que les égalités suivantes sont indépendentes de i, l~i~k:
a.
z(a.
)
l,n
(4.14)
J l,n
\\.;(v)
dv
o (1)
= 1 + 0 (1) •
i/n
v
p
z(i/n)
p
1
EUes sont aussi indépendantes du choix de a.
à l'intérieur de J =(U.
, U. 1
)
1,n
n
l,n
1+ ,n
-44-
si bien que:
sCy)
SCY)
(4.15)
= inf
< sup
1 + S2
s(i/n)
sCi/n)
ni
v~J
_ n
VE. J n
oU
o (1), j=1,2, indépendemment de i, l~i~k, quand nt+ et k/n-+O.
p
Finalement, en combinant (4.9) et (4.15), on obtient
(4.16)
i C.
(X
. 1
X
.
)
l,n
n-1+,n
n-1,n
OU
(4.17)
y
.
o (1), uniformémemt en i, l~i~k.
n1
P
A partir de (4.16), nous appliquons (4.10) et obtenons
V
k-1 L~=k1 i C.
(X
. 1
- X .
) d
-1 Li=k
k
. 1 E;,. + a
n
1=
l,n
n-1+ ,n
n-1,n
1=
1
n
P
Il est clair que a
-+
0 a cause de (4.17). Dès lors, la loi faible des grands
n
P
nombres entraîne que
V
-+ l.
Mieux, on obtient
n
d
-+
N(O,l).
D'où le théorème.
Preuve du corollaire 1:
Si (H3) est satisfaite, alors on a pour n suffisamment grand
1
< C.
IC
<
C
IC
l , n
1 ,n
k,n
1,n
: "
Donc, si (K , s, 1) est satisfaite aussi, on a
1
-45-
(4.18)
C.
/C
1 + S . ou
1,11
1 ,11
ni
S.
0
(l) indépendemment de i,
J.~i~k.
n i
p
De (4.16) et (4.18), on tire que
d
U.
1
'
(4.19)
C
i.
(X
'1
- X
,
Log (
1 + ,n) 1
(1
'
)
+y
,
k,n
n-1+ ,n
n-l,11
U,
ni
1,11
ou
y' ,
o (1) uniformément en i,
l~i~k.
ni
p
Alors, la conclusion découle de l'identité suivante
-1
-l, i=k
(4.20)
k
i
(X
. 1
- X
,
) = k
L 1'--1 (X
. 1
-x k ).
11-1+ ,n
11-1,n
n-l+ ,n
n- ,n
Preuve du corollaire 2:
La proposition 1 entraîne que A
est borné en probabilité. En combinant alors
n
les propositions 3 et 4 et la formule (20), toutes dans 1'lason(1982), on obtient
-v
Of 6, 0<6<1,
O( n
), a.s.
avec O<v<6/2
où
d
n~J}
En tenant compte de (4.2), on a
(4.21)
- \\ }
O( n
), a.s .
.. .
1~i~:..
-46-
~lais
(4. 22a)
.!:!.u
-+
l, p.s. quand nt+ro
k
k+1,n
et
(4.22b)
R(Q(l-u))/s(u) -+1
quand nt+ro "
On voit alors que
(4.23)
C
A (0)-1+ 0(1)
O(
1
), a.s.
k,n
n
V
n
s(k/n)
puisque s(.) est à V.L.Z.
La conclusion a partir de (4.23) et du lemme 12' est immédiate.
Preuve du corollaire 3:
Supposons d'une part que (2.6) soit vraie:
Alors F est continue et admet une dérivée et
u Q' (l-u)
s(u) -T u, O<u<l •
Soit G la f.r. de Log Sup(8, X), ou 0<8< A. On a
-1
(4.24a)
G
(l-u)
Log Q(l-au), où a= P(X> 8).
et donc (G- 1)'(1-u)
existe pour tout O<u<l. Et puisque s(u)= uQ'(l-u) et Q(l-.)
-47-
sont à V.L.Z., on voit que la fonction
(2.24b)
r(u)
u 1G- l )'(1-u) = au Q'(l-au)
Q(l-au)
est aussi à V.L.Z. Mais on a pour tout O<:u <1:
o
-1
-1
(2.24c)
G
(l-u) = - G
(l-u)
..d.tl dt
Jf u,
0<: u <u .
o
t
'
= 0
En d'autres termes, G admet la représentation réduite de D-D-H-M. On peut donc
appliquer le théorème 1 pour écrire (2.9) avec G, r(.) et les Log Sup(8, X.
).
1,n
Pour compléter la preuve, il faut signaler que les lemmes 4 et 9 entraînent
que
s(u) '\\,R(Q(l-u))/Q(l-u)= rI (u)'\\, rcu)
quand u+O.
et de remarquer que pour de grandes valeurs de n , on aura presque-sûrement
Sup( X
. l
'
8)
n-1+ ,n
X
. 1
n-1+ ,n
Supposons maintenant q ue F~ D(A ) :
Soit
8 la f.r. définie par
1 -8(Log x)
a-1 (l - F(x) ),
a= P( X>8).
Il est clair par le lemme 9 que FE.. D(A) si F(Log(.) )E. D(A). Comme conséquence
nous avons que 8 E. D(A). rIais i l est évident que 8
est la f. r. associée a la
v.a. Log Sup(8, X). Il est alors possible d'appliquer le corollaire 2 a la v.a.
-48-
Log Sup(8, X) et sa fonction de répartition. Le lemme 9 fait le reste.
Eseuve du corollaire 4:
Elle est presque identique a celle du corollaire 3. Nous indiquerons sim-
plement que si (2.6) est vraie, H la f.r. de exp(X) satisfait
u (H-l)'(l-u) = {uQ'(l-u)} exp( Q(l-u) ) •
En nous inspirant de la preuve du corollaire 3, on voit qu'il suffit de prou-
ver que exp( Q(l-u) ) est à V.L.Z. Hais si R(t)+ a quand ttA, on aura, grâce
au lerrune la, que HE:D(i\\) et que H(.) est à V.L.Z grâce au lerrune 7. CQFD.
-49-
b- ESTIMATEUR DE DE HAAN/RESNICK:
.::----
)ous n'aurons qu'à prouver le théorème 3.
Preuve de la partie (i) du théorème 3:
-
Supposons que (H2) soit vraie. Les mêmes considérations déjà faites pour la preu-
ve la proposition
1 ( voir (4.1) et (4.4) ) nous permettent d'écrire que
U
d
_ cC U1 ,n)
+ f k+1,n
riU
(4.25) {Log k}
B
Q(l-U
)-Q(l-U
)
n
Log cCU
)
U
t
1,n
k+1,n
k+1, n
1,n
= (Log k)
*
Bn
On a alors
c(U
)
Log nU
1
1
1
k
(4.26)
o <B* < (Log k)- ILog
,n,
1+ 1
+ ,ni SUPO<s<U
Ir(s)1
=n=
c(U k+1 ,n)
Log k
= k+1,n
Il est évident que
p
(4.27)
-+
o
quand n-+ + 00
P
p
puisque
c(U
) -+ c, et
-+
c, o<c<+:o et k -++:0 ( voir (4.3) )
l ,n
et il est aussi facile de voir que
1
q
t
(4.28)
quand n -+ +00
~
SUPO<t<U
1
= k+1, n
!j
1
1
puisque
rCt)-+ 0
quand
ttO ( voir (4.3»
et
U
~
O.
k+1, n
1i
1
1
1
-50-
li reste alors à prouver que
Log nUk 1
+ ,n
'. ')9)
1 + 0 (1) ,
\\,.-
Log k
p
cela, rappelons le théorème limite de U
quand
:)u r
k+1 ,n
k++OO et k/ n+ 0 ( voir
~lkema et De Haan(1974) )
N(O,l) •
1 l,
30)
\\ -.
~ U
-
1}
k
k+1,n
n Uk+1,n
On tire de (4.29) que
1 +
k+1
0
(1) . De là un développement limité
p
d'un terme de la fonction Log(.) au voisinage de 1 donne (4.29).
\\0" conclut alors en combinant (4.25), (4.27), (4.28) et (4.29).
1
,Preuve de la partie (ii) du théorème 3:
i Soit (Hl). Alors (H2) est vraie à cause du' lemme 9. Et donc la représenta...:
1
1tion (2.5) de D-D-H-H est admise par F. Nous allons utiliser cette décomposition:
Q(1-U
1
d
1 ,n) - Q(1-Uk+1 ,n)
(4.31)
B
*
B
+
1
n
Log k
n
Log k
ii1j
i
Q(l-k/n)-Q(l-U
1
)
i
-
k+, n
+
+ a
b / Log k
Log k
n
n
+
a.b / Log k ~
n
n
-51-
!)':lbord, prouvons que
p.J~)
o
~ous avons
U
J k+1 n
s(k/n)-s(U + ,n) +
k 1
~ft) dt
'-
k/n
Le fait que s(.) soit à V.L.Z. et le fait Qu,-'
p
.!2 U
+
k
k+l,n
l, à cause de (4.30),
entraînent d'une part Que
s(k/n)-s(U + ,n)
k 1
s(k/n)- S(U + . )
k 1 n
a n
~ 0
s(k/n)
et d'autre part, que
U
-1 J k+1,n
U
a
2i..ù dt
J k+1,n
set)
dt
t
n
k/n
k/n
s~k/n)
t
n
(1+0(1) )
La,' (- U
)
o (1)
,"" k
k+l,n
1
p
1 grâce au lemme puis à (4.30). Ainsi, (4.32) est prouvée.
1
tEnsuite, montrons
qUe
~
\\(4.33)
Ella
!
n
n
quand
(~l' s, À) est satisfaite.
1
Nous
,
avons
!
-52-
lin
set)
Q(l-U
) - Q(l-l/n)
J
dt •
l
seul
)-s( 1/n) +
,n
,n
t
Ul, n
Rappelons la loi limite de nUl,n:
-x
(4.34)
P(
nU
>
x)
>~
e
1 ,n
=
n
IL s'en suit que
(4.35)
(nUl,n )
o 0)
et
o 0)
p
p
Grâce à (4.35), nous pouvons appliquer le lemme 2 et obtenir
seul
) - s( 1/n)
seul
)-s( 1/n)
,n
P
( À+o 0 )) {
,n
}
~
o
a
sOin) .
n
ou nous avons tenu compte de (KI' s , À).
Maintenant, soit
lin
.§iù
(4.36)
J
dt "
t
li
1
l, n
lr-I On a
f
lin
l-
( s(k/n)}
set)
dt
i
,
E 4/a
J
n
n
sOin)
sOin)
t
1
U
l
l, n
Puisque s(.) est à V.L.Z., (4.35) et le lemme l impliquent que
(4.57)
(À+oO) )
(Log nUl
)
0+00))
,n
x
(.'1.38)
Lim
P(
Lâg nUl
<
x)
exp( - e-
)
A(x),
Jf x.
,n
n++OJ
De (4.37) et (4.38), on tire que
(3.39 )
À (Log nUl
) + 0(1)
À .A
,n
ce qui prouve (3.37)
On obtient la partie (ii) du théorème en combinant (4.31), (4.32) et (4.33).
-54-
c- COMPARAISON ENTRE LES ESTI~~TEURS DE DE HAAN/RESNICK ET DE HILL:
Preuve de la proposition 2:
Nous n'avons qu'à prouver le point (ii): le point (i) étant un résultat
déjà établi par ~lason ( voir la phrase suivant la formule 22 de Mason(1982) ).
Etablissons d'abord la formule suivante
-1
-1
F
(l-s) - F
(l- Às)
-1
(4.40)
+
(Log 2)
quand À++oo, s+O et Às+ 0 •
Log À
Nous avons
n+1
m+1
(4.41)
~ (n-m) + (2
. s ) - (2
.Às)
avec
(4.42)
< Log(l/s) < n+1
et donc
n =
Log 2
et
.(4.43)
< Log(1/À s)
<m+1
m =
Log 2
et donc
De (4.42) et (4~43), on tire que
Log À <
(4.44)
n-m-1 <
n-m
Log 2 =
et
n 1
m
(4.47)
1;:;'2 + . s;:;,2
et
1 ;:;, 2 +1 . À s;:;,
2
•
-55-
(4. 46) implique
que
n-m
-1
(4.47)
(Log
Log
2)
puisque n-m + +00 •
À
Alors (4.41), (4.45) et (4.47) ensemble entraînent (4.40).
pour avoir notre point (ii), posons dans (4.40):
Uk+l,n
s= U
, on obtient
l, n
U1,n
-1
- 1 ·
F
(1- U1 ! n) - F
(1- Uk+ 1 , n)
-1
(Log 2)
Uk+l,n
Log U
l, n
g
puisque À ~
+ 00 ,
~
S
0
et
À
0
quand k satisfait (KO).
Hais
Uk+l,n
1
Log
Logf(
) x( nU
)}
n U
k+l, n
U
l, n
1,n
o (1) + (Log k) (1+0(1»
p
à cause de (4.29) et de (4.35). On obtient finalement que
-1
f
B
(Log 2)
n
J.
pour toute suite k satisfaisant (KO).
1
1•tl~
1
1
1
-56-
d - ESTH1ATEURS DE C-D-H.
Preuve du th~orème 6:
De même que dans les preuves de C-D-rl pour leurs r~sultats, l'outil fondamen-
tal est l'approximation du processus des quantiles
a (.) par les ponts Browniens
n
W (.), d~finis par (3.33).
n
Tout d'abord, nous supposerons sans perte de g~n~ralit~ que
(4.49)
{Q (s),
O~s~l} == { Q( U (s», O~s~l} •
n
n
En utilisant (4.49) et le th~orème des accroissements finis, on peut écrire*
l/>c
(4.50)
Z
J
n
l/>c( n+1)
sous la forme
où
1/\\
\\-1
{Ke v)
}
(4.50a)
F
J
n1
Q(l-\\v)d Q'(l-Àv)
1/\\(n+1)
1/>'
Iv (l-\\v)
\\-1
n
,
{
K(v)
F
J
n2
ln
Q (l-\\w
1/À(n+1)
n) d Q'(l-\\v)
1/\\
a (l-\\v)-W (l-\\v)
n
n
::: \\-1 J
ln
1/\\(n+1)
.1/\\
+ J l/>'(n+1)
j 1/\\(n+1)
o
est de C-D-I-1.
-57-
~
w(v) est une fonction de v satisfaisant
J\\'e c
n==
n
Hin(1-Àv, U (1-Àv) )
< 1-ÀW
<
Hax( 1-Àv,
U (1- Àv) ) u
n
n
n
Le théorème 6 découlera de l'étude des F ., i=1,2,3 et de Z -Z , ce que nous
-
n1
n
n
faisons à travers les lemmes suivants:
Lemme 13: Sous les hypothèses du théorème 6, on a
o (1)
p
avec
Q(1- _1_) Q' (1- _1_) -1 "
n+1
n+1
Preuve du lemme 13:
En intégrant par parties, on obtient
l/À
1
1
Q(1-Àv)
f
K(v) dv + l K(I)
Lim
- 6
Q' (1-Àv)
n
1/À(n+1)
Àv+1
et do'1C
l
1/À(n+1)
(4.51')
(nÀ) (F
-R -D -6 )
-(nÀ)2 J
K(v) dv
n1
À À n
'c
o
A cette étape, nous rappelons que
Lemma 14: ( C-D-H, 1983) Si (Cl), (C2), (C3) et (C4) sont satisfaites, alors
-58-
1
1
-1
.
1
(i)
K(u)
o(u- 2 ) quand u+O
et
(ii) K(u)== o(u
) quand
u+t oo ,
ILes conditions du théorème impliquent naturellement (Cl), (C2), (C3) et (C4)
puisque
(C5)==>(C4). On peut donc appliquer la partie (i) du lemme 14 et la
règle de L'Hospital au second membre de (4.51') pour conclure.
Pour étudier F ., i==2,3, nous avons besoin de deux le~mes supplémentaires
nl
concernant F.
Lemme 15: Soit Ff:.D(A). Supposons que F' (x) existe de sorte que (H8) soit satis-
faite. Alors,
u Q'(l-u)
est à V.L.Z. et de plus
k'(t)R(t)+l
quand dA, ou
k(t)
-Log(l-F(t)) •
Preuve du lemme 15: Le lemme 7 entraîne que Q(l-.) est V.L.Z. Donc la règle
de L'Hospital montre que
Q'(l-us) ==
-1
Jf u>O, Lim
u
Q' (1-s)
s+O
si la limite du membre de gauche existe, ce qui est l'hypothèse (H8) elle-même.
Donc, uQ'(l-u) est V.L.Z. et le reste est immédiat
voir formules (24) )
~mme 16: Si on suppose que (H4-5-6-7-8) sont vraies, alors les fonctions
(Àv) Q"(l-Àv)
Q'(l-Àv)
Q' (l-h)
ï '
N EXE
- 165 -
ANNEXE 1
-
aB
aD
rot E
:::
rot H
0)
:: at
dt
div D .. 0
div B :: 0
avec
D ::: E: E: [
et
H = BI
~r
!ïi
.. !"
r 0
IJ o
aB
. a2D
alors
-rot Tot E
d ( -
= - rot
B): =
31= - -
rot
- \\-Ir p
dt
0
a t
J:""
mais
\\72(
rot rot E ::: \\7 (div E)
et div .E ::: div(D/e: E: ) ::: 0
r 0
On obtienr également par le même procédé:
,
a2H
17 2 H - E: e:
0
~r~o
(3)
atT :::
r 0
Soi-t tlJ représentant soit E ou H, l'on a:
.,
(4)
L'équation
(4)
a
la
forme
d'une
équation d'onde, qUI
en dehors
des conditions aux limites donne· Jes solutions. en ondes planes.
v ::: ------;>;;;:;==;:==;;;=
(5)
p
.,1 E: e:
" "
r 0 "'r"'o
Dans un milieu isouope, l'indice de réfraction n est défini par V
= ~
p
ce qui implique que n ::: 1 E:
~r
r
...;"'-.;.".
'---"
~. r,I
- 167 -
En coordonnées! cylindriques, l'équation (5) devient:
~ .;-
~
1
oz\\(!
~
-
~n
n 2
n
0
o
(l0)
4J
' Cl Z 2
-CT
=
or 2
r
or
' r 2
2
ot 2
..:-.......
En remplaçant \\(! par sa valeur, on obtient:
(ll)
dw
,
l
'r
. ; - -
(11' )
r
dr
S est la constante de propagation, qUI caractérise la périodicité
jBz
des champs dans la direction axiale, à travers le terme e
;
k est un entier qUI caractérise la périodi,:ité azimutale des champs
'k~
a travers le terme e J lt-;,
La méthode \\V .K.B. (Wentzel, Krdrners et BrilJouin) permet d'ob-'
tenir des solutions approchées de (l1') pour quelques cas particuliers.
d\\jJ
+
En posant u = r
\\(!r' le terme
est éliminé 'et (J l') devient:
(l2)
(l3)