UNIVERSITE DE SAINT-LOUIS
V.E.R DE MATHEMATIQt;ES APPLIQUEES ET D'INFORMATIQUE
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SOlItenu.le 17 Janvi.r 1996 dtNant la commission composée de:
Président
: Doudou Sakhir TIllAM
Professeur V.C.A.D
Rapporteur: Serge NICAlSE
Professeur Université de Valenciennes
et du Hainaut Cambresis
Membres
: Chérif BADJI
Professeur V.C.A.D
Galaye DIA
Professeur V.S.L
Gane SambLü
Chargé d'Enseignement V.S.L
Ahmet SEYDI
Professeur U.C.AD
Mary Teuw NIANE
Maître de Conférences U.S.L. Directeur
de thèse

---

l,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

MAJESTE
t=>+-
_....
PUISSAJ.'JC~
sont à DIEU, ~cn bouc~~er, ~on libera~eur
mon berger, qui me conduit dans les verts pâturages.Amen.
A la mémoire de
ma mère
:non père
ma soeur ~oséphine
l'un de ceux qui ont guidé mes premiers pas
dans la recherche
OUSMANE SECX.

---

17
ter
~EMERCIEMENTS
1
1
Je
ne saurals trouver les mots qu'il faut pour remercier mon Directeur
de recherche, Monsieur MARY TEUW NIANE. Maitre de conferences à
1
l'université de SAINT-LOUIS.Vous m'avez
mis dans de meilleures
conditions de travail.
1
J'ai eu le privilège de bénéficier,
dès ma première année de D.E.A
de votre encadrement de qualité et de vos qualités scientifiques qui
1
qui ne sont plus à démontrer.Le soutien de votre famille , plus
particulièment de votre femme,
a suppléé mes parents que j ' a i quitté
1
depuis six années.
votre souci, d'offrir la meilleure formation et de partager tout ce
qu'il y a de meilleur, m'a permis de participer aux séminaires
de
1
Yaoundé
CAMEROUN) sur le calcul parallèle et d'Edinburgh
( GRANDE-BRETAGNE ) sur la mécanique des fluides.
1
A vous, toute ma gratitude infinie.
1
Je tiens à remercier le Professeur DOUDOU SAKHIR THIAH pour l'intérêt
qu'il a porté à ce travail et pour m'avoir fait l'honneur d'accepter de
1
présider ce jury.
1
Je remercie très vivement le Professeur CHERIF BADJI qui m'a fait
l'honneur de faire partie de ce jury.
1
Mes sincères remerciements au Professeur GALAYE DIA qui m'a fait
l'honneur de faire partie de ce jury.
1
Monsieur GANE SAMB LO, chargé d'enseignement à l'université de
1
SAINT-LOUIS,m'a fait l'honneur d1accepter de faire partie du jury.
QU'il trouve ici l'expression de ma gratitude.
1
l
Je' remercie tout particulièrement le Professeur SERGE NICAISE de
l'université de valenciennes et de Hainaut pour m1avoir fait l'honneur
1
d'accepter de juger ce travail.
1
Je remercie très sincèrement le Professeur AHMET SEYDI qui m'a falt
l'honneur d'accepter de faire partie de ce iury.
1
2
1
1...
-----_.~.~"--~

---

Toute ma reconnaissance à Monsieur MAGUETTE THIAM.
chargé de cours de
1
t.
D.E.A de mathématiqyes appliquées à l'université de Dakar,
sans qui je
n'aurais pas fait le troisième cycle de mathématiques.
Mes remerciements s'adressent aussi à tous les membres du Laboratoire
.d 1Analyse Numerique et d'InformatiquE. ( L. A. N. l
)
de 11 université de
SAINT-LOUIS pour leur soutien,plus particulièrement à Monsieur OUMAR SY
pour son aide à la confection de ce document.
Jladresse mes remerciements à tout le personnel de l'université de
SAINT-LOUIS et à tous ceux qui, de près ou de loin , m'ont aidé à la
production de ce travail.
Je ne saurais terminer sans remercier les étudiants de Maitrise de
Mathématiques appliquées option Analyse Numérique,
Promotion 94-95, de
l'université de SAINT-LOUIS pour avoir accepté de vérifier avec moi
sous forme de travaux diriqés les résultats de la partie II , chapitreI
de ce travail.
3

---

;~. ------·-~------~r
J
SCMMA':~E
=:-IT~ODUC':'::::ON
5
1
7
1
des ondes dans RN
8
1
RESUME
8
A.Rappels,résul~ats préliminaires et hypothèses
8
1
B.principaux résultats
13
chapitre II :Identification de coefficients de l'équation
1
des ondes dans ~
21
1
RESUME
21
A.~otations
21
1
3.?osition du problème
]
C.Résultat principal
22
1
D.Preuve du résultat principal
22
1
References bibliographiques de la partie l
30
PARTIE II :RECONNAISSANCE
31
1
Chapit~e l
:Quelques propr~étés spectrales de l'équation de
]
LAP~CE perturbée en dimension l
32
1
RESUME
32
]
~otations
1
32
Chap1tre II:Reconnaissance de domaine par
1
un bord accessible
39
RESUME
39
1
A.~osl~ion du probl~me
39
B.~otations
40
1
l
C.~econnaissance du doma~ne dans le cas statique
41
1
.---..,
~.Reconnaissance
de domalne dans le cas dynamlque
47
1
J
-~
::,
1
. L -
1
... ~ ..--
1
·A"1M.ua;::'.;·k~ JM_i.!t_':_"''''~'''''''_C_ŒJ!._·i!29
1&i&1&~.&!!i_
.....
••'''li_Ili{_....i@''''''''-,."",,"'i!5I'iJi!i'..
..5!itbi!iZ;:;;a;;mV==:Zb==i._",L

---

r1-....
l,
P' -.,.
1:
/1
...
~
'1
INTRODUCTION
rr-U
lil!,
Ce travail se compose de deux parties.
,J11
11!J
La première partie porte sur l'identification des
:IJ
!
coefficients de l'équation des ondes.
:'IJ
) '
plus précisement, soient ~ un domaine borné, non vide,
de
classe c2 de Rn et T un réel strictement positif. On
considère
lJ
r
l'équation
perturbée des ondes, de coefficient de
perturbation a qui
est une fonction positive dans C(O),
,~IJ
iJ2 y
iJ2
2(x,t) -
'1)
~(X,t)+ a(x) y(x,t) = 0 sur 0 x ]O,T[.
~,
iJt
ax
Le problème abordé dans ce travail est de savoir si on peut
:11 ident~fier le coefficient de perturbation a grâce à des
ooservat~ons soit de la valeur y(x,T)
sur ~ tout entier,
so~t àe la
~IJ
:
dérivée no~ale de y sur le bord de ~. On montre dans le cnap~t=e ~ de
~j Il
cette partie, théorèmeI.4, que l'observation,
à l'instant T de
(Y(X,T)
, y'(x,T)
) sur ~, lorsque la valeur de y au bord àe ~ est
~'IJ nulle, pe~et de déte~i~er a. Les théorèmes l.S et l.5 du chapitre l
,; Il donnent des procedés d'identification de a , basés sur l'oDservation de
la dér~vée normale de y sur le bord de ~. Les résultats des
'r théorèmes I.S et l.6 sont obtenus grâce au résultat de la
r ., 1
,
cc~t=ôlabil~té exacte front~ère, théorème I.3 (voir
v. KCMOR..~I:{ l ... _~ ,.
1 La théorème :.7 donne un au~re procédé de détermi~ation de a, par des
ac::ions au ~ord de c: at desooser"dtions 3. l' ~~s~ant '!' de y( x,'!')
sur :":.
1.
:1
1
5
i
~I
1
- - - - - - - - _ . '

---

,- -
r
Au chapi~=e : : de la pa=tie :, on donne ~n procedé
( +-'"' ...
...
-"'T'
~
1
d
d'identification de
\\~Ueoreme
~~ ....
) dans le cas monodi~ensionnel,
par des ac~ions su= l'une seulement des extrémi~és du domaine
et
des
1
observations :rontières.
1
La deuxième partie de ce travail porte sur la ~~connai;;anc~
d'un domaine de
1
~ noté ]O,~ [ dont l'extrémité
0
est
connue
et
l'autre extrémité ~ est inconnue ou
inaccessible.
on
étudie
1
s'il est possible de déterminer ~ ( c'est ce que nous appelIons
~~connai;_anc~ de ]0, ~[) en envoyant des ondes à partir de l'extrémité
1
accessible 0 et en mesurant à la même extrémité a la réponse de la
dérivée normale de celles-ci.
1
Au chapitre II
de cette partie, on répond affirmativement
1
à cette question en examinant d'abord au paragraphe C le cas de
l'équation de Laplace (théorème II.1) et ensuite au paragraphe D le
1
cas de l'équation des ondes (théorème II.2 et théorème II.3).
Les résultats obtenus au chapitre II dans le cas dynamique
1
ont été possibles grâce aux résultats de l'étude spectrale du
1
chapitre l
consignés dans les théorèmes I.1, I.2, 1.3
et
les
corollai=es du théorème l.: et
du théorème 1.3.
1
Au début de chaque chapitre, on donne un résumé de celui-ci,
1
les principales notations ainsi que la
position
du
problème
qu'on
1
étudie.
1
1
1
1
6
1
1.

---

I~
l--r--..
\\r-IJ
"IJ
'1
!r~
~
~t:.
'.11
..
i: Il
PARTIE I
;1
IDENTIFICATION
~: 1
~,1il
1
1
1
1
1
1
1
"1

---

fi
.-.
CHA?!':'RE
-.
ICE~7=F:CA7:CN CE CCE;:-~IC:E:NIS SE L'=:'::UA ~ICN DES CNDES
1
DANS RN
.--
1
-
~--
1
RESUME
on montre, pour l'équation des ondes y"_~y + a y .:: a définie dans
1
o X ]0 , T(, que l'observation à l'instant T de y(x,T),obtenue
par
une action sur le
bord
ao
X
]0
T(,détermine
de
manière
1
unique
le coefficient a(x).
1
1
A.RAPPELS .RESULTATS ?~EL:~!NA:RSS E~ HYPOTHESES
1
Dans tout le chapitre, on utilise les notations suivantes:
o est un domaine borné de ~N de classe c2 de frontière :;
1
u(x) est le vecteur normal unitaire exterieur à 0 au point Xeli
artJ
au = (?~,~) est la dérivée no~ale de la fonction ~;
1
~N
~N
soit ;<o~ ~ , on pose,pour tout ;< e ~,
m(x).:: x-xo'
1
R.:: R(:{O)
= sup Im(:{)I; r+:={:CE ~ \\Jl.:.;>o}; i- = ~ \\
:<€(:
-+
-+
.
.
-
1
30~t T un réel str~ct2menc pos~t~:;
.::
;<
jO,'fl;
:<
j a , '!' l ;
=
....
on note a , b deux éléments de C(~l posisi=s et w un élément de L~(~)
1
non nul.
Soient A ,3 les operateurs ~on bo~és de doma~nes =espec~~:~
1
J(~) .:: 0(3) .:: H2(~) ~ H~(n)
1
de:~nis par
~ ~ - D(A), Au .:: au-~u et 3u .:: bu-~u
.•
1
1
1
3
1
I~

---

1 1) Le spec~~e de A ( =esp.de 3 ) est déncmbrable et peut êt~e rangé
-
en une suite (~n}nEiN~
(=esP ·(:.J
de
n )neù'I 1L')
st::-:'ctement croissante
1
- nombres réels strictements positi~s tenè~~t vers + ~.
1 Le sous-espace propre associé à chaque valeur propre est de dimension
...
, finie; on note r ( resp. P ) la multiplicité de À resp. de v )i
n
n
n
n
on note vn,k pour k=l à r n ( resp. wn,k pour k=l à Po ), une base
--
2
, orthonormée dans L (Q) du sous-espace propre associé à À (resp. v
n
n
alors U
.{v k \\ lS k sr
n-'N
n,
n }
(resp. ~~.{Wn,k \\ lS k SPn}) est une
2
base Hilbertienne de L (O) .
~~
1
2
1
2
f)
os HO(O)
xL (Q)x L (JO,1'[;L (0»,
la solution
2)
Soit (~o ' ~l '
2
4J Ei C ( 10, T ( ; H~ (0) ) o c l ( jO,1'[; L (O»
du problème:
~
4J"-AttJ+ a t1J=f dans Ox]O,T[
1
...
r4J =0
sur :::
Po(tPO,tP1,f,a)
,
4'(0)=
4J o dans Q
4J1 (0)= ,p
dans n
1
1 existe et est unique.
-
1- 3) Théorème r.l
, po~ to~t (Po ' ~l)-H;(~)xL2(n), La »oL~tion4Jde PO(t:P ,P1,o,a)
O
'-1 ~~r~j~w :':~w~aL:~~:
d::: ~ c {
l
'1 Preuve:voir Komornik[21 page 20.-
1
'(
9
1
11
_ J

---

I-
4)
Théorème I.2
I
1
1
Preuve:voir Komornik[2] page 77.-
1
1
2
5) S ' t (
v)
e L (O)
x H-l(O) x L2(~),le problème
o~
YO' Y1 ,
1
yn_~y+ a y=O dans a x
10,T(
-~ ]
1
y(O)=y dans ::
o
]
yI (O)=yldans a
1
y
=v
sur I:
]
2
1
admet une solution et une seule y e C([O,T];L (O)), yle C«(O,Tl;H-1(O))
et telle que
~J
1
lIyllC( [O,Tl;L2 (O) )+lIyIIIC( [O,Tl;H-l(O) )SC{IIYO"L2(O)+IIYIIIH-1(O) )+IIVIIL2(O)}
--1
où C>O est indépendante des données.
1
]
1
6) Définition 1:
On dit que 11
équation des ondes y" -
~y + a(x)
y = 0
est
exactement
1
contrôlable par une action frontière v
à
l'instant
T
si
pour
tout
V
Ei
1
la
solution
y
de
1
"
1
1
1
1
:0
1
__ If
_~_~ ,~_;~.''''''-
"'''!!R'l'P.lII':''''~_R
_'EW'!@(:<~,-,~.w
..I.J
.........
Et.EL"
,.1'"
. _•• 5i' .. _....
...

---

..,
.
T<-'-)
U-.l.,,,,)
,:
•
_
.,..,x'
-:;r,
•
- 1
.:>. e
•
T
',JE.... Z (-:-
_ \\,
-'
\\ ~.
: ( . .
\\ a"
•
50l..""n..~ T > ZR
que v
= 0 5ur ; X JO,T[ et
Y ~e O'y
V'
v a)
-c:'.-~~i·
~.
'-
.. \\
0'-1"
:;:)
...... .:>j-..,..,
........
y(T)= 'l' (T)
= o.
Preuve:
1
2
Soit (~O'~l) E HO(O) x L (O).On note ~ la solution de PO(~O'~l,o,a).
.
a~
2
2
D'après le theorèmeI.2,
av e L (]O,T(;L (r»
et l'application
lineaire
a~
1
2
2
2
(~O'~1) ~I----~. av est continue de HO(O) x L (0) dans L (]O,T(;L (r»;
la solution y du problème
y"_t::.y+ a y
= a dans GxjO,T(
( 1 )
Y (T) =y' (T) = a dans (')
( 2 )
drtJ
-+
( 3 )
Y
= av sur .!-
y =0
sur i:
(4 )
(~O ~.)
l-
I
Jo.
2
-1
L
(G)
x H
(0.) •
.\\
:H~ (a) :< L (:-:;)-----
( yi ( 0) , -y ( a ) )
x
D(G)
où
0(0)
est
l'ensemble
des
dérivable
à
support
compact contenu dans ~.

---

lJIS----------------------r
~
.
,~""
'"
\\ ' -
-
-
- '
> ="
.?
= .J _ + 1 a-~ ; - a.:: .
~J
. _ <. '-;)'-l':';"O'-:.Î
1
'~
Du theoreme r.l, on t~re:
<A(·-;JO-;J1),C-;JO~·) >v'
1
l;'.5C{'laoI2HlfC)+dO.'122
}.
]
,
, . ,
l.
- , -
'0 '
'''
L
(G)
.
Le théorème l.2 donne:
1
.,J
(\\(....
) ((j)
)
{II
>
1
;1 2 •
Il
1,2
}
!
<.
""'O,1P 1 ,
O,IP 1
>F',F- c
,.po
H~(r.l)+ t;)1
L 2 (O)
.
~J
D'où, en utilisant le théorème de Lax-milqraa, on deduit que h est un
1
~::::~::~::o~eeFF~~rilF~~iste
(~O'~l)
1 ]
un unique
e
F
tel
que
1
~-J
si y est la solution de (1)
,(2)
,(3),
(4) correspondant à (!PO,!P1)
1
alors y' (0)
= Y1 et y(O) = YO'
]
D'où le résultat du théorème -
1
Remarque:Le théorème l.3 est démontré dans Komornikf2j
page 54.
1
,]
1
.. ]
8)
HYPOTHESE
2
Soit w un élément non nul de L (r).
]
On fait l'hypothèse (H) suivante sur T:
1
(H) T est tel que la solution y de l'équation P(O,O,w,a) vérifie
]
y'(T).i!O.
1
]
1
]
1
- ]
1
]
1
1
-
1
1
1
. -
1
J
_-_ _L

---

:1
t'_·~
1
._-
B.
?R~~C~PA~A RESUL~ATS
1- Soit v E L2(=+), on d~t que y ~ P(a,v) si y est la solution de
,1 l'équation des ondes:
!---.l
yn-~y+ay=O
dans Q
1
r-WI
j
y( 0) =y' (0) =0 dans 0
yy =v sur !:+
~I
;
yy =0 sur >
~I)
j
1 si ;J vér:'fie :
1
rp" -
t..tIJ
+ a tIJ = 0 dans Q
cp(n) = tlJ
dans 0
o
-1
rp' (n) = tlJ
dans Cl
1
ytIJ
= 0
sur !:
1
On a le
1
Théorème I.4
1
1
SL
pC'U:"
~c'Ut.
;J
-=
H·(G).
'il
=p,cc:...- ~:;?ncn t.
o
0
:-es pee t. ::. 'Uem.en t
'..)é:-1.!1.ent
Po(b,·Po'O)
1 (cp(T) ,1" (T) 1 = (-p(T) ,'JI' (T) ) aLors a =b .
1
?reuve
1
"Il
On considère les opérateurs non bornés A et Bi soient i~J
et
l
e{l ... r
}
alors i l ex~ste ~e suite de réels
1
i
1 telle que
1
13
1
1

---

t..~~~. ' - - - - - - - - - - - - - - -
-
+a::
- ;'l
1
_\\
~
::..
l
v.
\\
-,
W
~
-
~
:-L
L
n
k
n
k
n=l
k=l
1
, .-
Dans le théorèmeI.4
si ~o = vi l alors (~(T),~I(T))=(:p(T),:pI(T)).
1
or pour tout t
-
[O,T],
1
,,----
~(t)=cos(~ ~i t) vi l
1
et
1
1
-
..J
+00
pn
:pet) = L L CoS(~~
W n k
]
1
n=l k=l
ce qui pe~et d'avoi=:
1
.J
"Ir
pour tout neN
et k = 1 à
1
P
,J
n
j ]
Oli 1
1 1
,
1
C O S ( Ç T )
01
cos ( .;-:--T)
n k
= n k
n
,
.J
et
l
1
,,----
,,----
,,----
.-
,
ai l
i
l
r - -
-IX. .
sine fl.... .
T)
= .;::(
-1 :,..>
sin (-1:,..>
T).
n k
l
l
n k
n
n
1
.
11'
,
Comme v.
,
~ 0, i l existe n.~ ~
et j
~
{l ... p
} tels que ~~ -
~ o.
~
~
~
ni
ni J
Il
D'où
l'
r - -
-,,
cos (-1 \\..
T)
~
1
J
et
1
r - -
r - -
-I~. s~n(-I À. T)
~
~
1
,
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i
1
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_'T
1
1

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~
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...:I ..... >...J_J
7
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-
-
"T'
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= -J_+
.-l.(,"",)
2(_1
a
.• ,L
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Or
V t e l O,T[
, e(t)= COS(~(T-t)) vi l
et
T
Sin(~ Tl
~
J COS(~(T-t)) dt =
, - -
.y \\..
a
~
d'où
Sin(~
J
T)
avi l
=
av
w dr.
~ ~
r
~
Ainsi utilisant l'hypothèse ( H )
,on arrive à
1t
i l ex~ste un j
e
tN
tel que
Sin(~ T) j! O.
)
Comme
, - -
, - -
cos(-I \\..
T)
= cos(-I:.;
T'
n.
/
J
J
, - -
, - -
~~. sin('l~. T} =
J
]
15
~-------~_.
- - - - - - - - - - - - - - -

---

.-- --------------r
-J
1
O ~
~-"uve ~
= ~
.•
~-~
j
n..;
>"1I-J
j
1:...')
"1r
A cause àe la stricte croissance de la suite
s ' i l existe :n
\\ n ...
1
.... .::'""1
_LoI
'
,
j
-J
.J-;lI!
*
Ct
a
appartenant à ~
tel que
un
iD
k
certain k -
{l . . . P
1
d'où m = n.
m} alors
_J
J
Ainsi
1
.J
P n j
1
~-J
v. 1 =
J ,
~ Cl~ 1k
k=l
j
1
~] D'où
1
]
1
J
ce qu:l. entraine que
1
1
v x
-
0,
(a(x)-b(x))
v
l(X)
= 0 .
j
1
Supposons qu'il existe X
-
~ tel que
o
1
Comme a-b.;; Cro),
i: existe une boule B(xO,r} de cent::::-e
;'0
et:
de
1
rayon r>O telle que
~ x .;; B(Xo,r)
, b(x)- a(x)
~ 0
.
1
D'où
1
1
1
Comme v
l
est une :onction ~ropre de l'opé=~teur A, d'après :e
j
1
1
1

---

~héorème ô.l. page 75 de Xomc~~~~::; O~ a
IrIx,:.·
. il
, (x)
= 0 .
J
..1.
Ce qui est aDsurde;
on a donc
a = b
.•
Théorème I.S
2
Si pour to~t (~o'~~) E H~(Q) X L (Q), ~ et W soL~tions respectives de
PT(a'~o'~l) et PT(b'~o'~l) on a:
aLors
a :: b
.
Preuve:
solution
de
P(a,v)
(resp .. P(b,v))
alors:
<z' (T) '<Po>
-<z(T) "~\\>
-J_+ :' v d::
2
1..
2
H -1 (n) , H~ (n)
L
( 0) , L
( n)
adJ 1
::
Par hypothèse
av
_+
1..
d'où
(
y(T)
,yI (T)
)
= ( z(T) ,z' (T) )
On remarque que l'hypothèse du théoreme I.5 entraine que si ~
(resp .. ~)
es~ 50l~t~on de po(a'~o'~l) (resp .. de p (b,~
~1))
o
O,.L.

---

u
r
1
or. a aussi
1
,
-
n1aprês le ~ésultat sur la ~ont~61abi:i~é
exacte
f~cntière
1 ....... -
-
\\ •..eoreme
::: . 3 )
,pou~
appar".:.enan~ à
1
~el que :a solut:or. y de
et y' (':')=y .
1
1
soit z la solution de P(b,v),d'àprès ce qu'on vient èe mon~rer z(T)=yo
et z' (T)=y .Donc si P et ~
designer.t
les
solutions
respectives
de
-
o
1
1
<Y1,P(T»
-<y,-v':Tl>
= -f
o
_+
-1, ~ \\ • 2 ,
2 ( f'"\\)
H
r \\
• 2 , f'"\\)
?
\\·''l'~
••
......
, • •
,~
....
i
1
, - J
]
1
]
Comme
àans
1
]
a1JJ
ÙJ...I +
...
1
J
1
or. a:
\\
= ( ~(T) ,'-JI' (T) , ,
J
1
donc le théorème !.4
donne:
a = b . •
1
Théorème I.6
1
et
soient
P,
~
,
X et
y
Les
soLu.t ions
r-espec t i ues
cie
1
P
{a,O,lI).
P
(b,O,o?),
P
(a,.tJ ,0)
et
P
{b,-P ,0)
o
1
0
1
0
1
o
1
I l
J
>
dd;;
=
1
1
~I =
av
_+
dl-'
_+
1
Preuve::l su:::t de remarquer que t=~' et ~Je
l
1
L_
18
I
1
1
~ 1
1

---

i
'l.--.
CONSEQUENCE DU THEORE~E
I.6
On garde les mêmes nctat~ons du Théorème I.6.
si pour tout
on a:
alors pour tout (41 ,41 ) appartenant à Hal (0) X L 2 (0)
et
41
, "#
o
1
on a
dep
1
=
~
-+
on cons~dère le problème suivant :
Pour
tout V 6 L2(~+), Sl y & P(a,v) . t z 6
P(b,v) aLors y(T)=Z(T)
a = b ?
Le théorème suivant répond à cette question .
Théorème I.7
:es soLut~ons y appartenant
à
P(a,v) et Z accartenant ~
P(b,vl
~értf~9nt
y(T)
= z(T) aLors a = b •
Preuve :
2
Soit ~le L (O) et soient 41 ,~ les solutions res?ectives de PT(a'O'~l)
2
et P (b,O,p ).Soient v 6
L (z+), Y et z solutions respectives de
P(a,v)
T
1
et P{b,v);
alors
dô
a~
<y ( T) ,:tJ > 2
2
=<z (T) , 1J > 2
-
- f _ + cr_' v d:':: = - f"::" + d'_'
v d~
2
1
L
(O),L
(0)
1
L
(a) ,L
(0)
...
~
D'où
~I ,
v;..
_ T
L'~quation àes onèes étant révers~ble
on
a:
si
0
et
~
sont
50 ! ....'~_.; ons -.. eS;Jec~'; ',es a"e 1:)
1 a
0 ~ , et- P (l... 0 ..... ) alors a~
+ -
t7Pp 1 +
-
-
- .....
• Cl \\
,
, - ~ !
v
Cl
~,
, '- 1
cr_' 1 ::
-
dl-'
:::
19
J

---

-
1:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

11-------------------------
D'a'Pr-ès la c(mséquer.ce du '!'~éor-è!Ile I .. 5,
si
~
et
"" sent sclu:::.or.s
respec-:::ives de ?o(a,;JO'~1) et ? (b,;> ,;», on a:
a
a
1
a~
cr.p
cr..; 1:::+ = cr..; 1::: + .
D'où en appliqua.'1t le théorème I. 5, on prouve que a = b
•
20

---

-- -----~~------------r
f'IIf,- - ,
C-lAP:':'::l.E : : : lCE~nIFIC~lIeN :E CCE?;=-=CIE~ïS CE l..:EC.UA ïION DES
ONCES
1
DANS R
-J
1
RESUME:
~
1
On montre pour l'équation des ondes définie sur un segment, par une
1
méthode directe, que l'observation de la réponse de la dérivée normale
~
1
à des actions de type Dirichlet sur l'une des extrêmités du segment
1
-1 J
détermine de manière unique toute perturbation lineaire.
1
~
1
A. NOTATIONS
1
soit T un réel strictement positif, on pose:
~ ]
2
Q = JO,ll x JO,T(
et ~ = { ( x , s ) ~ R
\\
a ~ s S X < 1 }.
1
1
]
1
On note a et b
des fonctions positives de C (
rO,l], ~ ) .
1
1
2
Soit h @ L (
(0,
r]
Tl ), on dit que y est solution
du
problème
p(a,h)
j
où y ~ P(a,h) si on a:
1
- ]
}
dans Q
-]
1
Y(O,t}=O
sur
10,Tf
1 ]
y(l,t}=h(t)
su=
10,'1'[
1
av
y(x,O)=a-t (::<,0)=0
dans
JO,l(
11
1
L B. POSITION DU PROBLEME
l
1
Soit '1'>2, on considère le problème suivant:
2
51..
pC1..l.I"
~o'Ut
1]
h €
L (O,T),
:a SCLutèÇ~ y ie P(a,h)
~t
~a saLut ton. z
de
1
P ( b , h)
".Jè r ,-/ t en. t
Il
iJy(
\\
1
"1
t
e
10,'1'[,
ay(O,t)
az (1 t \\
ax l,t,
aX
=
ax -, ,
J
1
- -J
1
I"l
1
~1
1
- - _..._----_.--...~,-~"--~---

---

Or. dor.::e
de
A_
qu.':'
:'-:den~':':':ca::':'or: de
d'action au bo~è, pa~ une obse~va::':'on =~ontière et
l'obse~va::ion
de
l'état
du système à l':r:star:t ~.
Dans notre cas l'observation est entièrement frontière de même que
le mode d'action.
~a preuve repose
sur
une
méthode
de
résolution
des
équations
hyperboliques introduite par E.
Picard [Si et sü~ la
contrôlabilité
exacte de l'équation des onàes avec une perturbation linéaire [21.
C.RESULTAT PRINCIPAL
Théorème : I . :
,-1
Soit
~>2. st pOl.tr
~es solutions
y
de
?(a,h)
et
z
de P(b,h)
uér~jient:
-1
iJy'O .. ,
az(O +-,
pour
~ou~ t e : 0, ':'f ,
aY(l t'
aZ'l ... \\ \\
dx \\
, ~,
=
1 ,
ax
'
1
ax
' ~ 1
ax \\ , ~ 1
aLors a = b
1
Remarque:
On aç:'-:: s~~ une set:.':"e ext~éI::ité du segment ,~ "v
,
: i . •
1
~.PREUVE ~U RESULTAT PRINC:PA~
1
Elle se fait en plusieurs étapes:
1
Lemme rI.l
1
2
Sotent
~l et P2 deux jonettons de
C
([O,l],R)
,~e l l es
que
<P l ( O)
= <P 2 ( O) 6' t C une (one t t on de Cl { [0,: 1 X [0,1], ~ }, alors le
1
proè~ème
1
1
ï
22
.....
-_._._.._~----------_

---

1
-J
.,
Z
a- il 1.
~ \\
a :l 1 _ ,
, •
_ ' . , .
_ \\ _
- - \\.{ , ~ J ---., \\ .{ , 5 1 ...C \\ .C, '" J ~ \\ .c, ~ J - 0
( I )
r
1
_J
axZ
as-
-",,-
(0'
•
J
~-
[a , 1. 1 ( 2 )
i
U ( :< , a ) ='ii 1 (x)
U(X,X)=~Z(X)
[a , 1 l ( 3 )
1
~-J
admet
une soLuc~on unLque deux JOLS conttnùment
dér~vabLe sur ~.
1
-J
preuve
1
J
On construit, comme dans B. Picard [5], une suite
de
fonctions de CZ(A , ~l telle que la série
U ::
1
converqe
vers
~j
la solution du problème ( P ).
-"]
1
Soit u
la solution de:
1
1
~: ]
a2 u
a2 U
--, ]
sur [0, l J
1
J
.1
F(x,s)-~(x,s)=o sur ~
ax Z
as Z
U
(x, °)=~ (x)
1
1
Ul(X,X)::~z(X)
sur [0, l J
1
..,-
alors pour tout (x , y) Q A ,
J ]
1
Pour n~2, on note Un la solution du problème:
]J
1
a2 U
a2 u
sur .l
1
1 ]
sur [ 0 , 1 1
.J ]
1
rn(:e,s)-- n(x,s)+c(:<,S)U l(X'S)=o
axZ
asz
n-
u(x,O)=O
u(x,x)=O
sur (0,1]
alors pour (x,y) €
~
,
1
~
x-y x-y
Un{X,Y)=-~f f
c(
(u+v}/2,(u-v)/2 )U -
(
(u+v)/2,
(u-v)/2)
) du dv
n 1
o
J
0
1
I
j Î
x+y x-y
1
+~
~
J J c( (u+v)/2,(u-v)/2 )u _ ((u+v)/2, (u-v)/2) àu dv
1
n 1
o
o
-L-,
!
1
,.J
On Pose M = 2 sup 1~., ( t) 1 +
.1-__
SUpl~l(t) 1 et Ka
= SUp 1C ( x, y) 1•
'-
1
te[O,lj
te[O,ll
(x,y)e~
1
-
"j ... . -
23
1
1
1
'~,
.1
1_
..~__.~.=J

---

On
a
donc
x-y
:<-y
"fi
(x,y)
; S
X
+
l
S
a M(X-Y) du
4
o
a
or
x-y
x-y
LI( Mo (x-y)
~ S
Ka M (x-y)
du +~ S
KaM(X- Y) du =
2
~ Ka M (x+y) (x-y) .
a
a
D'où
~ (x,y) ~ 4
, lu
(x,y) 1 S Ka M (x+y)
(x-y).
2
On mont=e par récurence sur n que :
_~-1
n-1
n-1
K_
(x-y)
(x+y)
o
..
..l, 1 Un ( x, y) 1 $
M
(n-1)! (n-1)!
D'où la série un est normalement convergente sur 4;
ainsi u est continue sur 4.
~ (x,y)~ 4,
au
x-y
ax~(x.y) = _lS
C( (u+x-y)/2,(u-x+Y)/2)u
1((u+x-y )/2,(u-x+y )/2»)du
4 0
n-
C«(V+x-yl/2,(v-x+y)/2)u
1((v+x-y)/2,(v-x+y)/2»dv
n-
x-y
1
C((U+x+Y)/2,(u-x-Y)/2)u
1((U+x+y )/2,(u-x-Y)/2»du
f
4
n-
0
x+y
1
C((V+x-Y)/2,(-v+x-Y)/2)U
((v+x-Y)/2,(-v+x-Y)/2»)dv
4
4 f
n-.1.
0
D'où on mont=e par récurrence sur n que :
.... -2
2K aM ( 21<.1 ) ••
(n-2) !
24
.....
'Lu
aMa:
szg
&2
LA ua
iZUL<
J

---

~
1
,,J
Ainsi la sér:.e
es~ ~o~aleme~~ convergente su= ~.
1
\\
D'aut=e part,on a:
J
1
T
~ 2, ~(x,y) - ~,
1
,-J auayn(X,y) =
C((U+x-Y)/2,(u-x+Y)/2)u
1((u+x-y)/2,(u-x+Y)/2))du
n-
1
~
c((v+x-y)/2,(-v+x-y)/2)u _ ((v+x-y)/2,(-v+x-Y)/2))dv 1
n 1
rD
C((U+x+Y)/2,(u-x-Y)/2)u
1((u+x+Y)/2,(U-X-Y)/2))du
1
n-
x+y
1
; f
C((V+x- Y)/2,(-V+X- Y)/2)u _ ((V+X-Y)/2,(-V+X-Y)/2))dv
n 1
a
D'où on montre par récurrence sur n que :
l
1
~
2K M(2K )n-2
aun
o
0
1
\\ri n~2,
\\ri
(x,y) 48 t..,
Idy (x,y) 1 ~
(n-2) 1
~
atln
1
Ainsi la série ay
est normalement convergente sur t...
De la même manière, on
montre
que
1
~
n - 1
( "K
\\ .
-'Ur
~
0 1
J
.'"1
n~2,"1 (x,y)
1
Ei
(n-1)!
'
)J
dC
dc
avec
1
Cl
= max
1ax ( x, y) 1+max
~
1ay ( x, y) 1 •
(X,Y)6 ~
(x,y)e ~
~
2
1
d Un.
1
D'où la sèrie
---
est normalement convergente sur ~.
ax 2
J
1
Et comme
2
1]
d
Un
\\ri n~2,
\\ri
A,
- 2 - (x,
y)
=
1
d'y
1], la sèrie
est elle aussi normalement convergente sur ~.
1
-L
En conclu5J..on,
J
1
l~_
25
-
,
1
'~.
. -
~~~~~'!!'\\!!'lI!lI!I"""'!l!I!lIIIIII
§@lM""- .i4'",,!,M ..... "FeAl;: $4. .• #(4 ;u,.u4J lia .
"IJII!I!.~----.
a[J._....... ~
lI!lI
<••
----.~-_._, ','" ....~~.......•

---

..
r-
-1
1
Î
+::0
-J
a 2 u
a'-u
a 2U
a 2
n
u
\\'
'f
(x,y)
E
~
_ _ I , {
7) - - - ( ' { 'r)
=
-
L {
n
( :{ , "1)
{ :{ ,
Y
- ,
2
',"
2
.,~
)}
ay2
ax 2
ay
ax
1
n=l
-J
+co
a2
a2u n
=
~
L { Un (x, y ) -
(
x, y)}
ày2
ax 2
n=2
j
= c(x,y) ~:2 u _ (x,y)
n 1
-1
= c(x,y)
~oo un(x,y)
ho=l
j
= c(x,y)
u(.:«:,y).
Et comme
1
u(x,x)
= u (x,x) = ,~ (xl
1
z
1-1
et
,
~ u est solution de (P).•
;1 Lemme II.2 A.EL BADIA[11
f
Soit
T>2
,
~i Y est ~oLut~on du probL~ms
;--1
,
z
z
!
Z
Z
ax
av
il (P' )
y(O,t)=aX (O,t)
=0
sur
lO,Tf
!
F
a v ( x, t ) -~ ( x, t) + a (:< ) y ( x, ~} = 0
àt
av
y(x,O)=at (x,O)=o
sur
)0
l(
[1
i
aLors y est
ident~quemsnt nuLLe.
J Preuve
On prolonge l'équation sur ]0 ,
2[ en x et on écrit la décomposition
1 spectrale de la solution,.
On note K la solution de (P)
cor=espondant à c(x,s)
= -(b(x)
-a(s}),
J
,
x
fi
= 0
= -t-J (b(~) - a(~)) dt,
1 1
o
-1
26
1'1
",1

---

..
..
1
On di~ que y est so:u~~on de ?(a)
GU
y
- ?(a)
S~ y vér~:~e:
1
dans Q
1
Y(O,t)=O
sur
lO,'I'(
av
1
y(x,O)=at (x,O)=O dans
]O,lf
1
~ J
1
Lemme II.3
~
1
Soit T>2, si
y e
P(a) a~ors ~a fonction
.J
x
1
z(x,t)
= y(x,t)+I K(x,s) y(s,t) dt(4)
a
.J
1
9St
~'uniQu. so~ution de P(b)
Qui satisfait:
~(O,t) = ~(O,t).
1
..
1
Preuve
'.
on vérifie que
1
1
et de (4), on tire
1
dZ (
... \\
ax 0,:-, = ~(O,t)
1
et
1
Z(O,t) = Y(O,t) = 0;
,
J
on achève la preuve du lemme II.3 en appl~quant le lemme II.2 •
1
1
1
27
1
1

---

.-.
:---.
Ler:une ::.4
!J
=
Si.
po-u.r
s -::
[0,11
:{(1,s)
a~{ 1 ~ ~ \\ = a
dX'~'~1
a = b
.
î--I
~
~
Preuve
soit u la solution du problème (P)
cor~espondant à
J,'.
x
c(x,s)=-(b(x)-a(s»,
~ (x) =0
et
t
(x)
J
=I K(t,t) dt sur [0,1],
1
2
o
~I en multipliant (1) par K(X,s) et en intégrant par parties sur ~ , on
.i
obtient:
J
:1
1
dK( 1
x)
)
dx = 0
l
thl
-
(K(l,x) ax(l,X)- ull,x)
dx
'
1
,!
a
1
,) D'où en tenant compte des conditions aux limites , on a
l."I··
.ff--
:1 Ainsi K(x,x) = 0, ce qui entraine que a =b .-
i
ri Preuve du théorème
Pour achever la preuve du théorème, on considère:
2
h -:: L ([0,Tl)
,
y e P(a,h)
et
Z e
?(b,h)
alors
LI
dZ
av
ax(O,t)
= ai(O,t),
1 _
,1
dZ (1
.. \\
av
dx
.l.,w,= dx(l,t)
-
et
1
1
28
1
1
1

---

J
1
;
1 <; ,
"
- J
1
1
D'après le lemme II.3,
rJ
:<
z(x,t)
= y(x,t)
+ f :<:(:<:,s) y(s,t)dt
1
rJ
o
1
Cette relation donne en tenant compte de
(5) que
r
1
"'tI t e ] 0 , T [
, J K( 1 , s) y ( s , t) ds = 0
(6 )
1
~
a
rD
1
et
1
1
f!
K(l,l)
y(l,t)
+ J ~(l,s) y(s,t} ds = 0
( 7 )
a
r~
1
De (6) on ti~e:
il
1
JK(l,s)
y(s,T)
ds = o.
(a)
1
a
1
~ Lacontrôlabilité exacte frontièreentraineque
D
2
2
1
{ y( .,T) /
h -
L ([0,T)
}
L
([0,11),
=
S donc
1
I J
"t
S -,:
[O,l1,
:«1,5)
= O .
1
.1
De :Dème ,en tenant compte de (7) , on a:
1
"t s -e ~O,:1,
dK 1 •
l
dx \\ .:.,;3
= a
1
l)'après le lemme II.~, on a donc a = b .-
1
.1 ]
1 --
1
1
J __,
1
1
1
29
1
i~
•
et C "J.; 4U $ C
4 il
:
- :;;.$__ ;.cC,).
5C; 4&_
&
. 3&U1
.L
"-_ai..;-';':"-- - - - -...........---_...,.,....,""""""'
!

---

rr-"'
:1
- '
,1
~;..-.-..
-~
[lJ A.Zr.
RADIA: Appl~ca~~on de ~~éorèmes d'un~cité à un problème
inverse pour l'équation des onàes.C.R.Acad.Sci.?aris,
t326,
seriel,
?I
1
[1
pp895-900,
1.993.
J
,1;'1
[2] V.KOMORNIX: Exact controllability and stabilization:the multiplier
J method,Masson/John Wiley R M A n036, 1994.
;~
:1 (3] J.-L.Lions: contrôlabilité exacte et stabilisation des systèmes
1
distribués, voll, Masson, Paris, 1988.
~I
~
[4J S.GOYA.M.T NI~~E:SU~ l'identi=ication en dimension un
d'une
1
perturbation lineaire de l'équation des ondes par une observation
1 frontière.C.R acad.sci.CANADA,vol XVI,n03,pp93-98,1995.
J1;1 [5] S.PleARD: Leçons sur quelques types simples d'équations aux
dérivées partielles avec des applications à la physique Mathematique,
cIl
!~
Gauthier-Villars, 1950.
-1
[6 J W.
RUNDEL:~he use of integral operators
in
undete~ined
1 coef=icient problems for par~ial di==erential equations, Applicable
Analysis, vol 18, pp 304-324, 1984, Gordon and 3reach science
1
publishers.inc.and 0 ? A Ltd.
-)
1
--1
-1
--1
JO
l
J~.,--
- -__1

---

• ....
,
1
-
1
~--
-,
"1
...J
1
~J
1
J
1
jJ
,
1
j
1
~J
1
;J
1
,
PARTIE II
I -
r-
RECONNAI SSANCE
1
r"" ...
1
!
J1
_
1
. J
1
c ,
1
~
1
J
1
-~
1
--1
,
1
--'
: ,
1
...
31
,.
1
:.J,
I~
....i.

---

1
CHAPITRE
l
QUELQUES PROPRIETES SPECTRALES DE L'EQUATION DE LAPLACE
-
PERTURBEE EN DfMENSION 1
1-1
1
RESUME
-i
on étudie certaine~ propriétés des fonctions propres de l'opérateur
i
iJ2
- --2 + q(x) avec conditions de Dirichlet sur un seqment.
iJx
~-,
NOTATIONS
-1
Soit a un réel strictement positif; on pose l=IO,al; ~i q est une
1
1 -
fonction de C (l,~), on pose
r-
~I
IIq Il
1 = ma!' q (x) ,+ a
ma! 'q' (x) , _
C
XEl
x€I
~­
l
:,1
soit (wi)iE~* une ~uite d'élements de HO(I) telle qu'il existe une
Buite numérique (Ài)i~* croissante tendant vers +00, vérifiant:
1
sur l.
(1)
-1
',1
Théorème 1.1
Pour
tout
i
e
~ *
on a
l'ine8alité suiuant~
1
{~'i-ma~ {q(X)+SX,q,(S) 1 dS}} mA~ Wf(X) ~ Wj(O)7. (2)
xel
0
x~I
,1
-1
'1
12
-1
I1...-
tu
~!!!!111!!1!1!1!--~.x,.-.
4&_
----~
l

---

.... } -
'-,
1
-.J
11
Preuve
...J
En multipliant (lI
par w
1
1' on obtient:
2
v X
J
1
E
I,
q' (x)
w. (x)
( 3 )
l
-J
1
"Ix E I,
-
Wl(X)2+(q(X)-À )Wf(X)+Wl(0)2= JXq'(~) Wi(~) ds (4)
i
J
o
Il
La fonction gi definie sur l
par
.]
Il
g.i(x)
= W (X)2
i
J
1]
étant continue sur I, dérivable sur I,
atteint son mnximun
en
un
point
1
X
.]
o de I.
cas 1: Xo~ {o,a }; dans ce cas, w e~t idpntiquement nulle ~ur l et on
i
~
a évidemment le résultat du théorème .
1.,
cas 2 :XOE I,
alorc g'(Xo) = 0; c'est-à-dire que. wi(xo) wi(xO)=O.
J
si wi(x ) = 0 alors w
est identiquement nulle sur 1;
1
O
i
~.)
d'où (2) est vérifiée.
•
si wi(Xo) = 0 alors d'après (4) on a:
l
]
Xo
1:
f q'(~) W21(~) ds
( 5 )
r
o
]
-',
d'où
~ i,'
]
Xo
(Jrq'(s)1
o
1
Or
]
:Ko
Ài-q(xO)-J Iq'(s) Ids ~
o
'J
d'où le résultat du théorème
._
1
"J
33
"J
''','.ScaW.Wi #; _$J., e.&.üWWi4Ai!Jk-.Al;;;'XAi.fC! .JliiiWdO,k"·'ftf..*,'t~ ...·~",!,""r: ......~ '--:l"!lIlJ!II!'!t'!._.-liiiïïii-
~"....._,

---

1
REMARQUE:
1
De l'égalité (5),
on tire que:
si
q
S"UT
~st cToissante
(en particulier const~nt~
1,
alors
1
..
2
V ie IN
,
m~x q(x)) max_"'i(x) ~
( 6 )
x~I
xeI
.1
corollaire
J
I l exist.e i
e
IN * ne d~pendant. que de a ~t.
q
tel
que:
o
J
"'1 (0) 2
Max "'1(X)2 ::s
À
xeI
î -
IIq"c l
J
Si q est.
posit.ive,
croissant.e sur I
et.
2
rr
max q(x) <
2'
-1
xeI
a
alors:
.1
i
..
V i e IN
Max '"i ( x) 2 ::s
( 7 )
À
- ma~ q( x)
xEI
î
xeI
rl
~ Si q est. posit.ive sur I et.
1
2
TT
< - 2 '
l
a
1_
aLors
;~I
l
"'1(0)2
..
2
V i e
IN
Hax "'l(x)
<
( R )
~ï- IIqllc1
xeI
~~L PREUVE
Le premier point découle du théorème P.t du f;üt qne lim
:\\1= +00.
ri
i
+00
l-
L'inégalité (7) découle du théorème et du fait quP. si q est positive
il
L
alors
;-1
.2 2
..
1.
TT
V i e IN
( 9 )
i
2
a
,.1
l
34
LI
ii
Ll
J

---

WPEi _
1
-...
1
L' inéqrtl i t".P.
(8)
d~;(:()u le
du
théorpme.
,if'
( '1 )
<> t:
(hl
~ ~ t t
'1110 1
1
J
1
Théorème I.2
J
1ft
Si
pour
t.ou t.
1 "3 [lI
1
)
( 10)
J WfCX) dx = 1
l
Il
ators,
Lt qXlst.e une constante C > 0
tettq
que
J
11'
V
1 4 (JI
,
V
X
~ Ï, 1w1 ( x) 1~ c '
( 1 1 )
1
_1
-B
1
,
On a le
1\\
Lemme l.I
J
Sou. t'hypoth••• (10) on a:
Il,
]
1
v 1 • ~1It, ~i = f WiCX)2 dx + J q(x) W (X)2 dx
( 12)
i
l
l
]
1
11'
v i . ; ; ! l l
•
21~11+ 2 m~x Iq(x) 1+ a max Iq'(x) 1
( 13 )
x-=I
xC:I
]
1
]
1il
Preuve du lemme l.1
L'égalité (12)
s'obtient en multipliant
(1)
par w. et en intéqrant
1
J
l.
sur I.
1
En intégrant (4)
sur l, on obtient
-
2
2
7.
x
/
a wi'(O)
=f WI(x)
dx-J (q(x)-~.) Wi"(x} dx ~ J _f q' (R}W'JS)
-
l
l
1
l
-
o
1
-
D'où en tenant de
(12)
~t en majorant.
on obtient:
1
35
1
1

---

1
a W~(O)2:<; 21'.1+ 2 max Iq(x)l+ il max 1 q' (x) 1 •
..
1.
.1
x"=I
xc:: r
1
Preuve du théorème 1.2
1
.,.
D'après le corollaire du théorème I. 1,
il existe i o E fN , tel que
1
w~ (0)2
Max W (X)2 ~
1.
i
xeI
i
D'où en utilisant
(13)
et en majorant son second membre
par
1
2\\À.
\\+2I1qll
,
i
cl
on obtient:
1
,
V i> i
M'lX W (X)2 ~
( 15 )
-
0 '
i
x.-;I
On Pose
1
{1= IIqll l '
.~
C
La fonction q définie sur rl1+1
,
+00 f par
il
q(x)
= ~ ~ ~
est décroissante,
d'où
1.
...1
v X E 111+1 ,
+00 1,
q(x) S 2/1+1
( 16)
Si i
est choisie de sorte que ~i > /1+1,
alor~ d'aprp.~ (15) et (16),
O
1
o
on a:
JI
.....
~ ( 2{1+1 )
( 17)
a
.al
En posant
~I
} et
-1
on obtient le résultat du théorème . •
'1
'1
36
1

---

.,
1
_ . Î
, . , , ' 0 ' ;
"
_ _ . ,
~neo:-eme
':'.-..J
1
: :. 0) .
-".
. .-
.
~
__
"=" ...... l...=_="'
t:=:
:'J "
: "=' L ::.; ',-~ :
1
1
'"\\
'1
X
_
= w~(x}(.. - 2
q ,:
.
( : 8 )
C'
J
1
P:r-euve
j
D'après (4), on a:
1
x
'Ix e:, W~(O}2
+f<i'(S)
...
1
l,~
o
d'où
Ij
.,
'Ix E
_,
w ~ (0) 2-w ~ ( x} 2 1 ::;
P,-. 1+ :1 q ,1 ~) :nax w:- (x)
1
...
1.
C~
xEI
..L
1_1
1
et (: 9), O~ a
1
À.
+:lqIIC:
i
'Ix E
I,
2
2
w ~ {O)
-w ~ (x}
1 ~
( 20)
J
l.
l
:\\.,
- l q i l
:
C
1
1
Ainsi:
\\"]~\\
( 2 l )
J
1
On obt:ent le :-ésul.tat du t~éorème en :-ema:-qua~t que:
1
À..
+llq!1
1
l
C
.
.
~
2
( ;Iq Il
\\
+ ...
• +
.
:\\..
.-
~,
- :Iqil 1
C'"
l
C
1
1
Coroll.aire:
Si
2Di est une séTLe ~uméTtque ~bSO~~~2~t ecnueT~ente teLLe que
1
:>0
série \\' b
w! (0)
l.a
/0 ne t ion h
L
i
~
i>O
1
dé/int€'
~ur ~
par
1
h (X)
=
b.w.(x)
1.
~
1
37
1
1
na.9A.
2L&t OWl • • . . • • .

---

rr
l
'.
<
•
~.
-=n
,. ct
( 22)
JI
1
Il
l
~.~. Preuve:
ni
La continuité de h découle du théorème I.2;
soit X
i
o - {o,a} .D'après le
i
Î ,
r
théorème des accroissements finis,
i: existe Yi dans l'1ntervalle
~.
i;
1 min{x o ' x} , max{xo ' x} [ tel que
il,
~.
, '
h ( x)
:: ~CD
b
w' (y. ) •
(24)
x-xo
f=l i i 1
Il
l:1
D'où en utilisant le t~éorème I.3, on prouve qU'on peut intervertir le
1
signe somme et la limite quand x tend vers xo; d'où le corollaire .-
1
1
1
1
J
1
1
33
1
1

---

.....
1'1
C:1AP!~RS I:; RE':CNNArSS~NC::: CE SCMAI~~E ?~R L:NE ,AC-;:CN S~R
'..1N
seRe 1
-J
ACC:::SS.lBLS
]
1
J
1
jD
l,
t-I
RESUME
i)
On considère un segment de ~, sur lequel es~ définie une équation
des
t
1
!
ondes avec une perturbation linéaire; on Montre qu'on peut reconnaitre
l'une des extrêmités du segment, par une action sur l'extrêmité
~
1
accessible, grâce à la réponse à cette même extrémité, de la
tE
1
dérivée normale.
11
1
-t
A.POSITION DU PROBLBMB
Soit A un réel strictement positif connu. On cherche à identifier
il
l,
';
;
1.
a e ]0 , A[, en sachant que sur le segment [0
al
est
définie
une
II.
r!
équation des ondes avec une perturbation linéaire,
1
y" - ~y + q(x) y = 0
dans
]O,a[ X ]O,T[
]
1
yy(a,t)
= a .
On agit sur :'extrèmita ~ccasstb[a a par un contrôle du type
J
1
yy ( 0 , t )
= g ( t )
]
1
et on évalue
y
Z(O,t).
]
1
On montre qu'on détermine ainsi de ~anière unique a.
]
1
Dans le cas d'une é~~ation de
Laplace
avec
une
perturbation
]
linéaire qui est définie sur [0
,
a],
on
démontre
le
:nême
type
de
1
...
résultats.
J
1
J
1
39
'J
1
1,

---

r
-,
-1
a ~ A et ~ > 2a
on note par ( ,
le proèui~ scalaire de r. 2 ( lO,a[) .
J
2
soit q un élément de Cl([O,Al;~) positif ou nul; soit q _ L «(O,T]).
J
On dit que u - P(a) si u vérifie
2
:1
~u(x) + q(x) u(x)
( 1)
=
2
° dans ]O,aï
dx
u(O)
= l
u(a)
~
= °
:1
On dit que u ~ ?(a,T,q)
si u vérifie
~I
+ q(x) u(x,t) = 0
dans
jO,a( X ]O,T(
u(x,O)
= 0
dans
]O,a[
au
at
(x,O)= 0
dans
jO,a(
U(O,t)
= g(t)
sur ]O,T[
u(a,t)
= °
sur ]O,T(
Ir
1:
Soit Q l'operateur non borné de r. 2 ( ;O,a[) défini par:
f')
f~
2
1
::J (Q)
= { u ... 3; ( 10, a [) \\ -~u ..;;; r. ( ] 0, a [) }
et
li1;
~ u ~ ::J(Q), QU = -~U + q u.
il
\\
Comme Q est auto-aèjoin~ positif à inverse compact,
il est
diagonalisable.
'1
On note (w.)
~ une base hilbertie~~e de ~2( ]O,af)
de
fonC'~ions
l
iEiN
l
propres de Q (resp.(~.)
~ les valeurs propres correspondantes de
1.
;_-=~J
_ L;
l
Q rangées en ord=a croissant].
l
l
1
J

---

t4~ ..
1
0::
a
1
: ... :,·w
1
.]
e::'
1
.~,.."z·
,
1 :.: .1
:2{·c .. a~:
1
Comme
....
. '"
c. ~
,
v ~_ J(Q~,
(-
_.
....
1
ë.x'"
..,
. "-
c.
et q-..:e ~es va~e~~s p:::op:::es de
c.e cio::a:'ne
1
~
~. _
-
...
t..
-
(
D (Q) ,
err
c:::oissant son~ \\
.,
"',
0:: a:
..- "=.. ,
'-
2.
1
, ... \\
.'" /
1
l
1
C. RECONA:SSANCE JE JOMArNE ~ANS ~E CAS S7'A~:Q~S
•
-,
.,
+-'
Or..
~,
• app~~ca~~or..
pa::::
1
V a oS
'O,A~,
=~,
(0),
a
où.
-e P~a1.
1
Théo:-ème
1
L'appLication ï
~st
strictement
croissant~ 5ur
iO,A 1.
1
REMARQ~E l
dé-=e=:r.i~e a de :nani.è:::e uniqt:.e 1
= "-'(
a 0',.
1
PREtJVE
1
Or. a :Oeso:'r: è..es
:"en:;:es
s~':'vants:
1
1
1
1

---

..
r
~emme : : . :
!
-,
! 3:
1
.-,
··1 v
,
.=
' J
s~iL ex:s:~ x~ -
.... '.<>.0
v
'
J
Preuve du :~mme
~
J
2 ,=,
On sait Cit:.e ''': ~ C ,_/
)
vo:'::- ,.:~
paçe
1
est:
convexe
S~pposo~s
c~':'~
exis-:.e
J
··/v.-
~
_~A,-
Posons V = {x ~ :,
c·} a
Soit x e V; ~'après la :ormu~e de Mac-Lau=ir.
-
2
~ vX e I, 3 e € O~- / ••1", - ,.1/;;)
; , . . .
'.. ' A I
-
~
, A
+ {x-x}
~:"!Sx+::-8)x~
{ 5 ~
'x-x)
2
Comme -
x es~ ~4 ~:'~i~t:.~ de u.
~ on a
r.-I
( 6 ~
Les relations !3),
,S},
{6} et la convexité de u dor.~ent:
~
e (x_X)2 q{8x+(1-8)x) u(x) ~ (x-x;Z =:ax
u:x;.
..:.
- -~
--
~
il
Ainsi:
2
u(x}
{:-~~~ Ci{tl{X-il } S 0
( 6:
l
.
......"::::..;..
,
> 0
~l
}.
1 De {~: e:: è.e .(', ')c:::':'':'-'~:
l,
"1
1

---

Il
."", 1 . , '
_
"""
__ \\
... ,
-
.J
1
D'où V es":: ur: ouve::-":: de :; u éta..."lt conve:<:e e'!: ?Os::':::"'/e 'Ô!r..t::-a.::':le ~e ~l
est convexe.
1
On pose
xl = in~ V et x
= sup v.
2
Alors X = a car sinon x serait dans V et O(X ) ~v ce qui contredit
1
l
l
le fait que xl = inf V.
1
De même ,on prouve que ~=a.ainsi V = I.
D'où le lemme II.l •
1
REMARQUE 2:
1
u
est st~ictement déc~oissante sur l
car ~in
Ua(X)= a, Ua convexe,
a
xe l
~
1
u
(a) = a et d'après le :emme r:.l précédent U > a sur I.
r
a
a
1
rj)
Lemme II.2
11
-1
1
Soi9nt a 6 ~
9t
u . P(a) aLors utta) < 0 .
+
a
a
l
1
Preuve
l
Soient b =éel tel que a< b ~ A et ~ ~
P(b).
1
Sn
multipliant (3) ?ar ~
et intégrant sur 10,a(,on obtier..t
1
( 7 )
.R
1
Comme
l
1
~(O) = 1
-1
1
et
1
~(b.! = 0,
l
1
-j
d'après le ?rinc:"~e du ~axi~ur..
1
·u
1
1

---

. .
-.",,\\
-
:'J,.J"
:~~
"'
/
-, ..
......:J ..... J •
des rela:::'ons
( 7 )
et
( a )
on tire
Ua' (0)
:S
Ub(O).
( 9 )
supposoras que
u'(a)
= 0,
a
alors
u
" 0)
= Ub(O}.
( :0 )
a
\\
On pose
' 1 = ' . . l . - : . 1 .
o
a
Alors v vé:!:"ifie
-v"(x)+q(:<)v(:<)
= 0 ~ur l
v(O)
~ 0
~t v(a)
~ 0
D'où
v ~ 0 sur I.
Comme
~, ( a ) = '..l. : a )
> '/ ( 0)
= 0,
o
en appl~quarat le :emme
'1>0 sur :.
1 ~ ... ,
D'autre part v convexe,
, .- .. 1
entrai:le que
,,'> 0 sur _.
f ,
\\
~ultipliant \\ .,J J
...
... "
-u 1 ( 0)
U f (:c) ~
, ,
.;.. q ( :c ) u
(:c)"'"
~
( ~.oJJ
a
a
a
)
De même, on a:
J

---

i
l'
~l
1
:J
(
...,
...,
1
("
::
-
-Ub\\O)
àx
j
;J \\ .
,
+
.:J ,. 1
( :.! )
}
0
l :.l,' 1 O{ \\ "'-
q ( :{;
:.l,
1 ' { '
1
,..J
1
1
1
D'où en util~sant (11}
,(13)
et (14)
,on a:
1
J
r
J
1
-u~(o)
~
f: {
<
Ub(X)2 + q(x) ~(X)2 } dx < -Ub(O). -
~
Ce qui contredit
(10); d'où
u'(a)<O .-
1
1
preuve du théorème I.1
Soit a ,b e
]0, A [ tels que a < b.
1
J~
D'après (7) et le lemme II.2 , on a:
~ JJ
Ua ' ( 0)
< Ub (0) .
1
- Ainsi l'application r est st=ictemement croissante.-
"il
1
REHARQUZ 3
1
~ 1) DarL3 z'9 cas o'Ù q 9St. con.st.ant.9 sur I, z'a connaissanc9 de l.a cl9ri'U69
normal.e de u •
p(a) au point. 0 permgt. dB dét.erminer expl.icit.ement. a.
1
1
En effet dans le cas par~iculier où q est une
constante
on
détermine
explicitement a en fonc~ion de u' (0):
a
Il
1
cas 1:0n suppose que q est identiquement nulle sur 10,af.
Alors si u e ?(a), on a:
1
1
1
v X e [O,a], u(x)= -- x +1 ..
a
D'où
l
1
u' (0)=- 1.
a'
l
1
ce qui donne :
-]
1
1
a= --u...,-,-:-(-o-,-).
l
cas 2 :On Suppose que q est une constante st=~ctement positive et on
1
pose w = -~ .
1
45
1
1

---

, an 3.:
_ [0, a j,
li ( :c )
= ch:...;x - thwa·
D'où
w
u' (a) = - thwa"
Ainsi
a = ~ Argth {- u~(a)}
•
2)L9
théorèms II.l permst de r9connattr9 'Un domaLn9
.
Bn effet soit à reconnaitre un domaine l =]O,a[jle théorème II.l
a
suggère de comparer u~(a) et ub(a} où b est connu.
Si u~(a) < u'b(a)
alors a<b
sinon b S a.
D'où par dichotomie on parvient à déte~iner a.
li
ll
l,11
l
1
46
l_~j!ll..
j
'l'I(44!11!ip;s...,,""".\\2a
....JII!!II.#!"'l.,:...""'"..
-

---

W~'-h----
1
1
~J
So:"erlt
M = s::p
1
-il
1
~ ê
P{a:
e~ y ~ P{a,~,ç~.
a
1
~
Théorème ::.2
~.
1
T > 2a, ::L~ors
.~
1
'TI
: f~ ay { 0 ... ,
ë.~
-
,.,
a
,~I
..
0
X
:i
1
"..----
C
::"·U
=.y~+ .:;,.3_-/---:;a=----::---=c;.::a:.::.x:...:('-~.:;,..!_'.:;,.:-,-~
a
a
~
2
1
;. ?~euve àu ~~éorè~e
1
Soient u .. P(a)
e~ ~ ~a so~~~:"or. du prob:ème suivant
a
~
1
dans
]O,a~X
)
·iJ {x, O} = 0
è.ans 10, a i
1
adJ
-
lX
O'-"{x)
dans
)O,ar
at '
, 1 - ....a
=t
dl{O,t)=O
sur lO,'!'r
1
dl(a,~)= 0
sur ] 0, Tl
:-
1
Iï-.
..
LEMME II.3
~.;.,
1
l
:I~{O,. ~.: "
1
VA
... "-1
-"
~.
.;.,
. -
\\...)
l
"..----
1
-/
:::
c =
:::ax:
a
1
1
'1
1
1
1

---

p'!:"€!uve:
rI su==i~ d'ut~l~ser la ~ét~ode des ~ul~~?licateurs (voir [3]).
on Pose:
Z(X,t)
= y(x,t)
- u&x)
q(t).
~(x,t) - ]O,a( x lO,T(,
Alors Z vérifie:
a2 z
a2 z
(x,t) ----2(X't)+q(X)Z(X,t)
=-ua(x)q"(t) dans
lO,a(xl0,T[=Q
at 2
ax
Z(x,O)= °
dans
]O,a[
az
at
dans
]O,a(
(x,O)=-~a(x)
z(O,t)=O
sur ]O,T(
z(a,t)= °
sur ]O,T(
D10ù
z =-(?4> + Z ,
1
avec
'ri
(x,t)
et
1
'rI(x,t) e Q,
~(x,t)
( 16) .
!,J:) (u ,w.)
a
~
=
s in ( CI . t)
w. ( x )
1
1
.... =1
Cl.
~
l
Ainsi
y(x,t)
= ua(x)
g(t)
- ~ ~(x,t)
+ zl(x,~).
l
S~ on ~uti?lie (3) par w~ et on i~tègre sur lO,aî
,on obtient:
....
w~ (0)
l
= (u ,w.)
( 17 )
À..
a
1
1
~I
48
l
j
1

---

....'
l,
~J
D'où
1
.;l
comme
1
r-]
1
1
et
~
1
on a
1
(19)
D'autre part ,on a:
1
t
sina. (t-s)
sint1t
1.
sinfJs ds =
+
(20)
J
cc
.,
1
o
1.
\\..-0-
1.
Ainsi V (x,t) e Q ,
1
(21)
1
avec
(1 S1n( Cl t)
i
1
ai ((12_"'1)
1
On Pose
/1
sin (Cl. t)
sint1t
1r
1.
1
":1
t -s JO,T[,V i
-siN
b .. (t)
=
+ - - - - ) ('..1
,w.) (22)
2
a
1.
2
Cl.
((1 -\\..)
\\'1-(1
1.
1.
1
En tenant compte de (17)
et de (19),on a:
1
1r
,
1
}IW~(Oll
V t e
)O,T(,
"f
i
.:J}l
,
.?-
.. -
lb. (~} 1 :::
+~
--:::-
..._ -
,., .., ,
\\
I...-l
J
, Cl .•'\\.
,\\'.
,,\\ ,
~
1.
1.
1.
~
1.
1
:~.~
1r
V t
e
1
10,T[,
V
1.
eN
,
Ib~ (t} Ilw; (0) 1
..
1
1
La relation (23) en~=ai~e ~~e la série b.(t) est nor~alement
].
'1
1
-19
L
1
~.L
1

---

convergente.
du
En
cboapitre :,
i l eXlste une
u~ilisant le lemme
cons~~nte d>O
telle que :
(25)
D'où de (24) et (25)
, on tire
Ainsi la série
bi(t) wi(O) est normalement convergente.
D'où en appliquant le corollaire du théorème I.3, on a:
existe et
aZ 1
V t
•
lO,T['ai
(O,t)
=
+
D'où:
t3tiJ
2
V t
e
JO,T[,
~(O,t) = u~(O) q(t) - (1 ax(O,t) - 0 q(t}
1
W ' (0)2 Sin(~~ t)
i
(26)
3
1
À. ~
(02_À. . )
l
l
1 Or
1
1
50
L,

---

li
~
o3:"~ i -1
':..
':'
r - - '
,.J
1
r ~..; - ( -1 \\..
~ \\, C; '\\ ~ i
d ~ =
j
..::»..- •• ~
.1
.,
.\\.
-,?"-
a
1
~
et
'li
1
S·q(t)2
ri
dt = ~
(28)
o
1
D'où
1
1
n
~_
.
n
= 2 u'(O) - --2 S ~--(O,t)s~n(~t) dt
a
T
0"'""-
•
1
+00
r
'fi. ' ( 0
1
f=
~
l
\\.
Ur: -À, )
1
W ' (0)2S1n(~ T)
t
(29)
3
À. 2
1
((~2_À.) 2
1
1
2
1
•
2
Tf
n
Comme v i
E
O'-l
, À.~
et la fonction f définie sur r -2,+00 [ à valeuri
l
2
a
a
x:
dans :R par f ( :<)
est s~=ictement dec=oissan~e
=
..,
,on a
:< - .,"-
1 -
..,
..,
'-
.,
_
'"'
"'
1
.;;;
i -
'
+00
f ( x:)
(30)
2
a
1
Comme T > Za. on a
..,
....
..,
<-
<-
7T
,1"
1
=
"' .., $ --..,
m""
-la ~
.
D'oÙ
1
v i
(31)
1
Zt on a les ~a=or3t~ons s~~vantes :
1
1
5:
1
+
1

---

...
....
.'1: 1 : J 1 ~ s :.:: ( -/ ----
,
.,., ,
....
';
:.5
3 -
~-I r 1 j " '-
r:"';
I - - = - ~
f
..,..,
,
'.
_<c..
J
~
,2
(._2,
\\ :
..'- .
.1
-1\\..
1
~
1.
2
·,.,.'(0)
l
1
~
(33)
À. «(12 -À. . )
~
~
D'autre part ua étant convexe et positive sur [O,a] et ua(O)
= 1,
u (a) =0, on a:
a
~ x -
[O,a], 0 ~ Ua(x) ~ 1 ,
d'où
IIU
11 2
~a) {
~ a
.
( 34)
a
= f=l
D'où en utilisant le lemme r:.: et les relations
(29),(32),(33)
et
(34), on obtient:
1
T ~
u~(O)
T J
ax(O,t)
(35)
Sin(~t) dt -
2
o
D'où le résultat du théorème
-
~1
l •
1
1

---

...
1
q.-"Ue
~ 0 ,~-
.1.
1
::i.e
:.:'(O~
a
de .7Le5u!""e rn
:crsque
1
JI
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c c·rrw7~
, , 1 '0'
~a \\
1
1
1
1
.. , l n '
indépendemment de q alors que ~a~s :e théorème ::.2 ,:'erreur
""a,uI
1
1
Soit
1
et
1
1
1
1
soient u - P{a} et y ~ P{a,T,ç)
a:ors o~ a
a
1
1
T~éo:::-è:ne ::.3
1
Si T>2a ,on a :a majoration
....
J
:r
•
1 -- .... ,
••
1
f ~ 1
1
...,
J~ ~{O t} s:.n \\ i 1 v, è.::- ... '. v,
.....
{ 36 }
c.
2 , :7- ~ ~ 7':'
"
"
1
-,
P:-e~ve:o::: ?ose:
!
1
;:)0-"::'-
::ou t
1
On a:
1
1
1
1.

---

c;" 1 •
-=
-s:..~-:.
, . 1
,
"
\\
"":"1
, u ,
D'ot
~
si~l;s ë.s w ; X:
J ;,- w
C' ~a'
i
S •.-
·..,
,~.......
=u (X)
{
w. (x~
a
_...,2
...
'.
;"".: -, ~
i=l
en appliq~an~ le coro:lai=e àu ~~éo~è~e :,3,comme àans la
p~e~ve
du théorème ::.2, on a:
iJy/O
.. ,
= :.:.' {O)
ùx'
, .. ,
a
2
-/3
W
'/O,2
e~
~
"
-
(3
}
(37:
/ ~
,,2)
,,'"-/)
J,.
Or
T
f
2
Sin ,Otldt= ;
o
fT sin (,1À
~) sin{Otl dt =
i
o
et
T
,
..:.,.,
,.")~,
J g(~) s _.... \\' J "'" 1
o
'").1-
\\
DloÙ en ~~:~ip:iant (36)
,
,
~
". /.
,i,

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1.-

---

.\\.
T
.;
5:':1 (,?t)
d~ =
ur '(J'
+
.,
a \\
1
f a~!( 0 ... \\
a
' ~ /
:.... '-
o
X
;...
(38)
Tt'2
La
fonction
notée L definie sur [-2'+~
[
par
a
x
L( x)
=
x - (12
étant strictement décroissante on a:
2
7T
Y X E
[-?,+oo r,
L(X)
~ L(a)
=
(39 )
2
..,..,
a"
Tt'
-
a'" ("1"-
on a:
(40)
car T>2a.
D'autre part:
't X e
( 41 )
D'où
?
rr"
16
V X 'S
[
-2' +00 Î,
o < L (:C) < 15
( 42)
a
;-r
De ~ême on montre que la fonction D definie sur [a' +00 [ par
x
D ( x '/ =-~-~­
2
:
x -,1
est telle:
16 a
o < D (:C) <
(43)
15Tt'
1
Ainsi de (38) et en tenant compte de (2),(:7) ,(42),(43) on obtient:
11

---

11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1

---

',..
,
.....~
,
r c · ·
~
.,.,
,.,-
~
..
~ -
ây '0 .... ,
-- \\
,
, 6
,.:;-
~
.'
-
. - 1 1
s::':: :
a \\ j
-
~{
.-
.
~
1
-
~
. -::_0
IJ àx \\
~
1
~ 1
a
.
a
. J
2
..J
'A
o
Ji
"
',iv
de
,0::
()b~':"e::~:
3
... ~ " ( .., , ê.~_,~lfO\\1
;:) -.,6. .. '.• .)
,
1
rr
3
~
-a"
•
225(4-:-::)
2(11'-4)T
5
=:=;=--"-";;..;...-
3
Le thaorèrne ::.3
"'
5
vaLeur approçh~~
..
-.~
~
''''
,.,
-a \\ '.J,
.
av
En jouant sur
ai( 0 1 • ) ,.;;n ,cetU
aussi
petite qu~
~a~
consequent
a.

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

'~
'
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES:
!.."'.- ..
[.llH.BREZIS:Analyse fonctionnelle:~héorieet applications.MASSON,1983
~
'."
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!
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Spectre des opérateurs.MASSON,1988.
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methoâ.MASSON/Jonn WILEY co-publication, 1994.
tl
~
~
57
1
Il

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

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