~...
UNIVERSITE DE SAINT-LOUIS
U.E.R DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES ET D'INFORMATQUE
Thèse
présentée par
Kalita BODIAN
OBSERVABILITE SPECTRALE APPROCHEE
DE L'EQUATION DES ONDES
Soutenue le 1er Juin 1994 devant la commission composée de :
Président
: Doudou Sakhir THIAM
Professeur U.C.A.D
Ra[Jporteur:
Mohand
MOUSSAOUI
Professeur E.C.L LYON
Membres
Odinette ABIB
Maitre de Conférences U.C.A.D
Galaye
DIA
Professeur U.S.L
Directeur de thèse:
Mary Teuw NIANE
Maitre de Conférences U.S.L
GLOIRE ET PURETE A ALLAH
ALLAH EST LE PLUS GRAND
LOUANGE A ALLAH
A ma mére
A mon père
A ma fellll1l9 Dièynèba $AME
A mon fils Ibrahima
à
tous mes parents
à
tous mes amis
je dédie ce modeste travail.
1
__ .IL
,
..
(0,
-'-%'- •
J
REMERCIEMENTS
Les mots me manquent pour exprimer toute ma reconnaissance et tous
mes
sincères remerciements à
Monsieur
Mary
Teuw
NIANE, Maître de
conférences à l'université de saint-Louis. Le passage des méthodes
numériques au contrôle des systèmes distribués, pas évident, a
été possible grâce à votre encadrement de qualité, à votre
disponibilité et à votre patience. Vous avez su concilier encadrement
et amitié. A vous, toute ma reconnaissance et toutes mes prIères.
Je
tIens
à
remercier
le
professeur
Doudou
sakhir
THIAM
pour
l'intérêt qu'il a porté à ce travail et pour m'avoir fait l'honneur
d'accepter de présider ce jury.
Mes remerciements et ma reconnaissance s'adressent au professeur
Galaye DIA pour l'intérêt qu'il a porté à ce travail et pour avoir
accepté de faire partie de ce Jury.
me
.
M
Odlnette ABIB, Maître de conférences, m'a fait l'honneur d'accepter
de faire partie de ce jury. Qu'elle trouve ici l'expression de ma
gratitude.
Je tiens à remercier tout particulièrement le professeur Mohand
MOUSSAOUI. Malgré votre charge de travail imposée par le court séjour,
vous avez accepté de consacrer une partie de votre temps à ce travail.
Vos conseils, vos remarques et votre attachement à la perfection m'ont
beaucoup apporté. PUIsse ce modeste travaIL vous témOIgner de ma
2
.
..
•
1
1
reconnaIssance et de mes sIncères remerCIements.
1
c'est avec émotIon que J'évoque Ici la mémoire de Feu Ousmane SECK,
mémoire qui est celle d'un frère en islam. Votre soutien moral, vos
1
conseils, votre disponibilité, votre amitié et vos travaux m'ont
beaucoup apporté. La volonté d'ALLAH s'est exprimée ainsi. Qu'Allah
1
Tout Puissant vous accorde sa miséricorde infinie et que la terre vous
1
soit légère, Amine.
1
Aux collègues,
j'adresse ma sincère gratitude pour les encouragements,
la disponibilité et le soutien moral.
1
Mes remerciements s'adressent aussi aux membres de l'équipe d'analyse
1
numérique. c'est avec émotion que j'évoque votre disponibilité, votre
1
soutien, vos encouragements et l'atmosphère dans laquelle baignent nos
séminaires. Respectueuse gratitude.
1
J'adresse mes remerciements ~ tous ceux qui de près ou de loin, en
1
partIculier les secrétaires de l'U.E.R, m'ont aidé à prodUIre ce
1
document.
1
1
1
1
1
1
3
1
'" 1
SOMMAIRE
Résumé
2
Introduction générale
3
<:=h~pitre 1
Rappels d'optimisation et de
des solutions des équations aux dérivées
partielles linéaires
a coefficients constants
5
I.
Quelques résulr-ats d'optimIsatIon
5
II.
Lemme de Von Neumann
11
III.
Version de Hormander du théorème de Holmgren
11
Chapitre 2
Observabilité spectrale approchée de l'équation
des ondes par des
mesures sur une petite partie
ouverte non vide de w
13
I.
Observabll1té spectrale approchée de l'equatlon nes
ondes par des mesures sur tout Cl
13
II.
ObservabIlité spectrale approchée de l'équatIon des
ondes par des mesures sur une partie ouverte non
vIde w de Cl
19
4
1
1
1
RESUME
1
Pour l'équation des ondes, on montre qU'en mesurant l'état du système
1
sur une part le ouverte w aussi petite que l'on veut, on peut approcher
les projectlons
1
0 'thogonales des données
initiales sur tout espace
*
vectoriel engendré par les M (Me ~ ) fonctions propres correspondant
1
aux M plus petltes valeurs propres , avec une préclslon inversement
proportionnelle à la durée des mesures.
1
Mots clés
Observabilité exacte, observabilité spectrale,
1
observablllté spectrale approchée, contrôlabillté exacte,
1
contrôlabillté spectrale.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
p."_lIIiGitiE .
..
INTRODUCTION
Ce ~ravall por~e sur une méthode
d'iden~lfica~lon approchée d'un
nombre finl fixé de
modes
des
données
inlclales
d'un
système
gouverné par une équation des ondes homogène.
soit 0 un domaine borné, non vide,
régulier
de
!Rn.,
soient
w
une
partie ouverte non vide de 0 et
T
un
réel
strictement
positif.
on
considère l'équation des ondes homogène suivance:
2
r
iJ Y
-
::'y = 0
dans Q = 0 x (O,T)
iJt2
Y(X,O)
= y(O)
= volx)
sur 0
( 1 )
iJy!X,O)
_. - . = y'(O) = Yl(x)
sur 0
c't
Yy = 0
sur
I: = an)(
10,
T[.
z
L
(0)
constltuée
des
fonct~ons
propres
de
l'opérateur
de
Laplace
avec
condltlons
de
DHichlet
(respectlvement
l.f!S
valeurs
propres
correspondances rangées en ordre crolssant!.
L'observablllté du système
(1)
par
des
mesures
sur
w
)(
la, T [
consiste à pOUVOir ldentif~er (YO'Yl) grâce à la connalssance de
YI
.
w x jO,Tf
Lorsque
"-l
est
"
suffisamment
grand",
ceCI est poss~ble grâce
aux résultats de Bardos-Lebeau-Rauch Il], et on s~it d'ailleurs que si
z
YI
appartient à
L
(W
)(
jO,Tf)
alors
les
données
in~tlales
""xIO,Tr
Z
-1
(YO'Y1)
correspondantes appartiennent à L (Q) M H
(0).
~n pratlque W ne peut pas être Ch01Sl grand.
AUSSl
jO,Tf
ne
vérifie pas en général les hypo~hèses -:ie Bardos-LebeaU-Rauch Il j ",r "!..l
b
1
1
n'y a aucun résultat à notre connalssance qUl permette de détermlner
ceci est dû au falt que Sl T
Y I '
1
WX]O,T[
1/2
2
est assez grand
(x,t)
d.x dt
[~ J y
est
une
norme
sur
1
]
o
w
1
l'espace
des
données initiales grâce au théorème de Holmgren.
Dans
1
le cas où W ~
)O,T! vérifie les conditions de Bardos-Lebeau-Rauch [1)
Z
-1
cet espace est égal à L (0)
~ H
(0),
sinon il n'est pas connu.
1
pour contourner cette difficulté on cherche à identifier la
projectio1
Z
_1
orthogonale (P
(Yo),
P
(YI))
de (Y ,Y )
L (O)~H
(0),
F
F
O
1
M
M
où
FM = vect { W ,
I S k SM }.
1
k
Pour cela on considère le problème d'optimisation en dlmenslon finie:
1
(2 )
1
où
1
1
dx dt -
Y(X,t)
dx dt,
2
~ J q,(x,t)
o w
1
et q, la solution de
(1) de données initiales (q,O,q,l) e FM~FM.
1
Comme Y est mesuré sur w
)O,T[, pour tout (~O,q,l) appartenant à
1
On démontre que le problème (2)
admet une et une seule solution
1
1
1
1
1
1
<lio - 0 ("/
1
• F
- ()
11
il
esc Inversement proporr.lonnelle a T.
<li
-
1
P
(YI)
F
Il r~
'" F
M
M
M
Ainsi lorsque T est suffisamment grand la solutIon de
(2)
esc une
très
bonne approximatIon de la projection orthogonale des données initiales
(YO'Yl) sur FM '" FM'
La connaissance de cette projection orthogonale
'ermet d'appliquer au système (1)
un algorithme de contrôle modal
approché du type de ceux utilisés dans A.
El JAl - A.
J.
PRITCHARD [3J,
M.T. NIANE (6] et M.T.
NIANE - O.
SECK (7].
Ce travaIl comporte d'abord un chapItre 1 qUI présente des rappels
de résultats d'opcImIsatI0n dIfférentIable, ec quelques résultats
d'unicIté des solutIons des équations aux dérIvées partIelles linéaires
à coeffICIents constants et enfin ,le chapitre 2 qUI en est
la
partie prIncIpale. On y présente le résultat prIncIpal
(Théorème
2.1)
et sa preuve de même que l'étude du cas particulIer w ~ 0
, -
CHAPITRE 1: RAPPELS D'OPTIMISATION ET DE RESULTATS D'UNICITE DES
SOLUTIONS DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
LINEAIRES A
COEFFICIENTS CONSTANTS.
1.
Quelques résultats d"optimisation
soient x, y deux espaces de Hilbert munis des normes respectives il U
ej
x
il Uy ; on considère un opérateur F défini sur son domaine de définition 1
D(F) contenu dans l'espace de Hilbert x, à valeurs dans l'espace de
HIlbert Y. SOIt XoG D(F), on suppose que D(F) contient
un voisInage v 1
du pOlOt x '
O
1
Dëfini tian 1.1:
on dIt que l'opérateur F est différentiable au point Xo au sens de
1
Fréchet s'il existe un opérateur Ilnéaire continll A 6 L(X,y) tel que:
1
pour tout x .. v,
F(X)
-
F(X
) = A (x - X
O
o) + T(X - Xo),
- Xollx) lorsque
x tend vers xo.
1
L'opérateur lInéaIre
contInu
A
s'~ppelle
dérIvée
de
Fréchet
(0111
différentIelle) de F en Xo et est noté f' (xol .•
soit H un espace de Hilbert et soit f
: H ----+1 IR une fonction
convexe et différentiable au sens de fréchet.
Proposition 1.1
:
Pour
tout
X e
H gt
tout
y e
H,
on a:
f
(YI
~ f(x)
+
fi (x)· (y-x).
Preuve:
y
-
-"'-,,,.
..•
SOient x E H.
Y E H et tEll),
11,
comme f est convexe an a:
f(ty + (1-t)
X
...- t
f(y!
+ (l-t)
f(x)
sOlt f[X+ t(y-X)) S t
f(y)
+ f(x)
-
t
f(x)
donc f [x + t (y-x) ) - f (x) S t [ f (y) - f (x) )
f(x + t(y-x)) - f(x)
d'où
s f(y) - f (x)
t
En posant g(t)
= t[x + t (y-X)], on obtient:
g(t)
-
g(O)
:s: f(y)
-
f(x)
pour tout t e
JO, 1[;
t
on a: q' (t)
= f' [x + tly-x l ]. (y-x)
d'où
q' (0)
= t' (x) . ( y-x 1 ;
g(t)
- g(O)
or
g' (0)
= lim
:s f (y) - t(x)
t - 0+
t
donc
f'(x).(y-x)
:s f(y) - f (x)
soit
,-
f' (x) .
(y-x)
+ f(xl
..:.
f (YI,.
Coroll~irg
1.1:
St.
f:x
soit (x ) _~, une SU1~e d'éléments de X convergente falblement vers x.
n n'='''
D'après l'inégalité 1e la proposition 1.1, on a:
f ( x)
:$
f ( x~.
+ f' lx) . (x - x
),
..
n
En prenant la limite
lnférleure dans les
obtient:
f(x)
:s lim f: /. ) ' .
- -
n
1
( )
.'
1
Proposition 1.2 :
St
f
1
Preuve:
1
Condition nécessaire
supposons que f a un minimun au point x alors pour tout y -
H on a:
1
f(x)
:5
f(y).
SOIt Y - H, on pose
1
-----4. IR
1
t
-----+. tp( t) = f (x -+- ty).
~'appllcation tp est dérlvable en 0 et tp' (O)
= f ' ( x ) . y .
1
or
tp ( t)
0
- tp ( 0 )
<P(t) - tp(O)
~
lim
tp' (0)
!lm
~
0
=
=
1
t
+
t
t -- 0
t----4 0
d'où
<P' ( 0) = f' (x) . y = 0
donc f' (xl = o.
1
ConditIon suffIsante
En effet, d'après la proposition l,l, comme f est convexe et
1
dIfférentiable sur H on a :
f ( y) ~ f ( x) + f' (x) . (y- x)
V Y -
H;
or
f'(x)
= 0
donc
E(y)
~ f(x)
d'où f
admet un minimun au pOInt x 6 H.-
Proposition 1.3:
St
t
: H
l::.m
f(x)
= -+-.~, aLors tL eXLste X E H cu f admet un mtntmun.
'/XI/-- +CD
H
I I
Preuve:
On pose m = ln! flx).
XEH
Il eXlste alors une sUlte (xn)nEa1 d'éléments de H telle que
llm
f (x ) = m.
n--+CXl
n
Supposons que m= - CXl
Considérons les deux cas SUlvants :
1er cas: si (Xn)neN est bornée alors il existe (Xnk)k~ une sous-suit.
de (xn)nEm
qui converge faiblement vers un élément x de Hi
comme f est seml-continl1/è inférieurement alors Ilm f(X
) = -CXl
n
2:
i(x),
k
ce qUl est absurde.
2ème cas: si (x ) eN est non bornée alors il existe (x
)k~ une
n n
nk
sous-suite de (X )n
= + CXl,
n
eN
telle que lim
llx
II H
k--+CXl
nk
d'où
_CXl = lim
f (X
) = + CXl, ce qui est absurde.
n
k-- + ::0
k
De ces deux cas on dédult que m e ~
Considérons malntenant les deux cas SUlvants:
1er cas: Si la suite (Xn)ne~ n'est pas bornée, alors 11 existe
(Xn lkelN une sous-suite de IXn)nElN telle que lim
Ilxn " = +
H
CD,
k
k--+CXl
k
d'où
m =
lim
f ( x )
= + CD, ce qui est absurde.
k - +::0
n k
2ème cas :Si la suite (xn)nE[N est bornée, on peut extraire une
sous-suite (x
)ke!N convergente faiblement vers un élément x de H.
nk
Comme f est semi-contlnue lnférieurement, on a:
or
llm
f{x
1
= m
k--+IX:
nk
12
"
1
1
ionc
m ~ ~(XJ ~ m
fjlOU
1
Proposition 1.4 :
- - -
SOL t a : H
"
H ----------~. ~ Un9
forme
blLinéatre symétrlque
teLLe que
1
~ )
3 M E ~
1 V(X,y)
- ri X H
+
1
3
~*
li)
etE,,".
1 v X E H, a ( X , x) ~ et II x Il ~
(a H-e L L i. P t l que)
+
et
soit
f
un9
forme
Lin9atre contlnue sur H.
1
Si
J(X)
=
1
a(x,x)
- < f, X >H* H' aLors lL
exi.ste un et
un s9uL
2
XE H où J
admet
un mtnlmum;
de
pLus
x est
L'unlque soLution de
L' équat ion
o(:<,h}
-
<
Ch )."
= 0
v h -= H.
H
H
Preuve:
La
fonctIon quadrat1que .J est str1ctAment convexe et di.fférAnt.iable:
en effet d'une part x ---~. a(x,x) est une forme quadratique déf1n1e
poslt.lve donc strIctement. convexe pt plIe pst d1fférentielle car a
étanc cont~nlle est d1fférentlable;
d'allcre part
f
etant
llnéaIre
pt
contInue
est convexe et differentlable.
et
Comme
J (x)
~
Ilm
J(x)
= + 00
donc
2
Il X Il ----+ +00
H
il eX1ste x E H où J admet un minimun; J ";tant strictement convexe alan
x est unIque.
On a:
J' (x) .h
= a(x,h)
-
< Lh > ."
v h E H.
H
H
J
aCteinc son m1nimlln en x, ct' après :_a propOSl tlon 1.2, Sl et seulempnT"
., J.
J ' ( X ) . h = ï
ou -?ncore
3. (:<
..... \\
f·' :
-
<
.=
h
.. ,.1
II.
Lemme de Von Neumann
SOI t. L (H 1 l' ~nsemble
rjes
»ndomorphlsmes
contlnl:S
sur
Hilbert H; SOIt l
l'Identité de H,
aLor»
L'opérateur
(1
-
Al
~st
:D
II - A)-l
= E An,
n=o
Preuve:
Comme H est un espace ~e HIlbert alors L{Hl est un espace ~e Banach.
La sérle b.An est normalemenr. ~onvergente d,ms L (H) ptllSqllP
1"_0
Soit S la somme de la s~rle IA~ pt S
sa somme partielle rt'orrire n.
~:::.o
n
nfl .
Comme
K
AS = S A
n
n
= !... A
K=!
a:J
on a
AS = SA = ~ A
!"'\\=1
donc
S
'"
(
I-A
1 = 1 I-A l '" S = l
d'où S est l'Inverse de [-~ '.
III.
Version de Hormander du theoremg de Holmgren
on énonce
une
verSlon
de
Hormander
du
théorème
de
Holmgren
J"
comblnée ,3vec le r.hèorèmf=.> ClP r:ôlwnY-Kowalewska
permet
d'obtenir
j",C'
r.~ésultats dt~lnlr:lre des solutlO:-:.~ des ~qllat:ons .,.ux de:.-.:·,/p.::." pr3l~;:.:c2.~~,-
PLan caractéri~tique
Défini tion 1. 2
:
On appelle opérateur dlffé~O!:tlel d'ordre m
à coeffICIents constants,
un opérateur P de la forme:
la 1
=~
a
P
aa
a
a N
a
e
[NN
ax 1 " ,dX
1
N
laiS
m
o li a
E
[R
et] l
px 1 st. e é't
'E
[l-j N t: e l
qu e
1C! l '" m et aa ;>! (J.
Ct
0
0
o
Définition 1.3 :
On appelle plan caractérlsclque ~ de P l'ensemble:
~
.:l
a
= {~
~
l
~ N
e
~
(RN
/
'. 1
., N
Ct
e !NN
1Ct 1=m
Théorème 1. 1
(L.
Hbrmander)
:
Scient
Q
et 9
deux ~~ue~ts de ~n tels que ~
= g
et
SCL~ Pt,D)" ~~
1
.2
1
2
cpérateur diffêre~t~eL ~ ccej/LcLents cc~stcnts tel
que
to~t pLc~
~
caractéristtQue par ,appert
è
p(O)
et
vértfiant
~ ne;>! 0 sattSfatê
2
elUS5l
n n 9
;>! 0·, clers toute S'cLutlcn U E D' (e ) de ~. éQuc ê t en
1
2
prO)
li
= 0 teLLe ::;'..1.e li = f) ccns
II
= 0 dans
,'-.
CHAPITRE 2: OBSERVABILITE SPECTRALE APPROCHEE DE L'EQUATION DES
ONDES PAR DES MESURES SUR UNE PETITE PARTIE OUVERTE DE
1.
OBSERVABILITE SPECTRALE APPROCHEE DE L'EQUATION DES ONDES PAR
DES MESURES SUR TOUT 0 :
MINIMISATION DE L'ENERGIE:
Soit T>O, on considère l'équation des ondes homogène:
a 2 y
-
tJ.y ::: 0
dans Q ::: 0 X (O,T)
at 2
y(x,O)
::: y(O)
:::
VolX)
sur C1
( 2.1)
ay(x,O)
sur
at
:::y'(O)
:::Yl(X)
0
ry ::: 0
sur
1:::: an:<
10,
Tf.
SOIt Y la solution de l'équation des ondes (2.1) pour les données
z
lnHiales
y(O)
::: yO'
y' (0)
::: YI telles que y e L (Q).
on a la :
Proposition 2.1:
Z
-1
Sur
L (0)
:<
H
( 0),
La f one t Lonne L Le J
dé f Ln Le par:
::: -t- .rr J ~Z(x,t) dx dt - ~ J ~(x,t) y(x,t) dx dt,
o 0
o
0
où ~(x,t) 9st
La soLution de
(2.1) de données initLaLes ~(O) ::: ~
et
o
il' (0) ::: ~
ad~Et un mLnLmU~ unLque czt t eL nt au pOL"n.t
't' 1 '
Z
- 1
" ' L ( O ) " H
(0).
Preuve:
1
l
'
~
..:.c;
.3011i7:1.ons
de
,_
•
Jo.
1
dl" donnéps
Inlt:ales
respectIves
1
I~
~ ) et l·~
~ 1
on consldère les
fonctIonnelles Sl.llvantes:
"+'0''+'1'
~
0'
l"
1
1
((1>0,4>1)'("'0''''1))
1-1------_. f I4>(X,t) "'(X,C) dx dt,
o 0
1
et
- - - - - - - -.....
[R
1
rJ
(4)0'
4>1)
- - - - - - - - +•.
4>(x,t)
1 - 1
Y(X,t)
dx dt.
o
0
1
on montre d'abord que ~ est bien défInIe:
en effet
la sollition i>
1
1
00
1
2 [(q,~
SIn (-r:;::- t.)]
( 2 . 2 ) 4> (x,t)
=
cos
(~t) +
4>1
1
w (X)
J
J
~
]
J=1
J
1
donc
1
=
w (x)
J
J
r
2
Sln(~ Cl] .
114>11
dx
2
L
(0)
tU [(4)~ cos (~t) + 4>1 -rT' J
J
1
d'où
1
00
2
=
[(
2
2 i>~
Sin(~t)r
114>11
cos
(~t) +
4>1
1
.
J
L
(0)
J
~
1
J =1
]
SOIt
1
00
...
2
= > {t'1 2
')
1~
SIn ;~ :.Y\\. J ' t )}
:14>11
COS:2I.~ t
+
.:li ,,
L G (0)
~
1
J = 1
1
1
l Î
1
1
..
XI
Sln( fl~' C)
2 tU t~
I~t:)
J
+ 2
cos
,
~
J ="
d'où
2
XI
1
2
t,
114>11 2
J
2
:S
L
(0)
L 2 [4>~ + ~.
J
J
J ="
Aussi
2
CD
2
<t>"
2
1/4>11
J
2
=
~<t>1122 dt :S 2T
L
(Q)
L
(0)
L [<t>~ + À
J
J
0
J=l
donc
114>11 22
:S
2T
[114>0 112 2
+ 114>1" 2
]
_1
< + CD
L
(Q)
L
(0)
H
(0)
2
2
-1
d'où 4> e L (Q), donc a est bien défin1e sur L (0) " H (0).
La fonctionnelle a est bilinéaire, symétrique; elle est continue car
2
pour tout ((<t>o,4> J,
(';'JU,',I'l))
E
[L (0)
" H-"(O)f,
on a
l
f J4> (x,t) VJ (x, t) dx dt 1
o
w
:S
Il <t> Il 2
I/VJ Il
2
L (Q)
L (Q)
soit
·
~.
1
La
foncClonnelle a esc coerC1Clve
1
2
1
SOlt:
(<1>0,1>1)
E L (O)
l<
H- (C)
1
rJ
a ( (<1>0' <1>1)
,
( <1>0 ' <1> 1 ))
:=
1>2 ( X , t:)
ctx ct t
o
0
1
2
:=
f [t 1 + cos(2~ t) <1>C
o
c := 1 - - : : : - 2_ c _
c
1
1
+ <1>0
sin
c
(2~ t)
c
1
1 -
COS(2~t)
c
+
2
1
1
5 ln ( 2-1""T11')
~ [ Sln(2~T)
c
L
4-1 À
1
l.. =1
L.
1
1
donc
1
a( (<1>0,<1>1)
, (<1>0,<1>1) )
2:
T
-,
Il (<1>u ,<1>1 ) Il \\
~
-1
L
(0)
1
x H
(0)
2
!XI
z
<1>1
1
-I C~+ -I~J ( <1>~ + T)c
c :=1
c
c
1
soit
1
1
L
1
1
1
1
..
5
2~
1
Donc S1 T > Ta ' en posant a = -t-(T - Ta)' on a a > a et
d'où a est coercive.
La fonctionnelle f
est linéaire, elle est continue
en effet si
y
-f.
(4)0,4>1)
e
L:Z(O)
"
H
(0),
on a
1f y (( 4>0,4>1)) 1
, avec C = -I"2T""1 Ilyll 2
L (Q)
On remarque que
1/2
dx dt ]
2
- l
définlt une norme sur L (0) "H
(0) équ1valente à la norme produit
Z
-l
Il
de
Z
- l
L
(0)
"
H
( 0) .
L (0)
x H
(0)
Z
Z - l
AUSS1 comme ye L (Q) alors (Ya'Y1) e L (0) l( H
(0),
donc d'après la
propoSItion 1.4, la fonctlonnelle J admet un mInImum unlque atteint
el
2
- l
'8
L
(0)
"
H
(0).
Soit ~ la solution de (2.1) pour les données Initiales (~0'~1); on a
alors
pour tout ~ solution de (2.1) de données 1nitlales
Z
- l
( 'JI 0 ' 'JI 1 )
E
L
(0)
'"
H
( 0).
on a
(,.~.o;):;;;;''o._>,
,.
---..//;':''''/';"."~.~~~
, " . 'I.
,"
,
:-J
1
1
.'
1 -_
'
""" / '
2U
l~ l ' .'-'
,
1
1
1
donc
1
fI qi(x,t) ~(x,t)
fI
dx dt -
~(x,t) y(x,t) dx dt ~ 0,
o 0
o 0
1
d'où
1
fI [qi(X,t) - y(X,t)J~(X,t) dx dt = 0,
o 0
1
en particulier pour
~ = ~ - y, on a
1
u;r
Il
-
0
'1+ - Yu z
-
,
L
(Q)
donc y ~ ~ sur Q.
1
Il en résulte que
(qiO,qil)
~ (YO,Y1) '.
1
REMARQUE:
1
Cette étude sur ce cas partIculIer est facilitée par le fait que
z
.
Z
ro.
-~
1
YI
e
L (Q)
entraIne
(YO,Y ) E
L ( .. )
"H
(0).
1
o,.]O,T[
Cette propriété est essentIelle pUIsque SIon réduIt trop
la
partIP 1
spatiale w sur laquelle on
observe,
on
n'a
plus
d'informatIon
sur 1
l'espace Fw caractérisé par:
z
e
L (w "
JO,T()
alors
(YO,Y )
e
F
YL...,,, JO,T[
1
w ;
ceci
est nécessaIre pour détermIner complètement
(Yo,y;
.
la connaIssance de YI
' .
w"JO,T[
~1
l
..
II.
OBSERvABILITE SPECTRALE APPROCHEE DE L'EQUATION DES ONDES PAR DES
MESURES SUR UNE PARTIE w dg O.
11.1 RESULTAT PRINCIPAL :
La proposition 2.1 montre que
la connaissance de YI
permet
de
OIc]O,T(
reconstituer (Y ,Y ) lorsque Y est solution
de
l'équation
des
ondes
O
1
homogène.
cette propriété repose sur le fait que la norme
[( I
2
4>'IX,tl dl< dt ]'/
n
est équivalente à celle de
Z
Z
II<P
[
oIl Z
+ Il <Pl Il _~
L (0)
H
(0)
pour toute solution <P de l'équation des ondes homogène.
cette équivalence reste encore valable si on choisit w
et
T
de
la
façon suivante :
soit Xo 6 œn , on pose
m(x) = x-xo'
r(xo) = {x 6 r / m(x). VIx) = 2mk(x) Vk(X) > 0 },
k=l
où VIx) est la normale unitaire extérieure à 0 au point x Q an et
soit V un voisinage ouvert de r(X );
O
on prend alors w = 0 n V et T > 2 max Ilx - xoll n"
xen
œ
Ce résultat est établi par E. Zuazua [8] .
cependant d'après un résultat de Bardos-Lebeau-Rauch [lJ, si west
trop pet~t cette équivalence est fausse; aussi l'espace parcouru par
,
1
1
22
IL
..
1
1
rs 2<tJ(X,t) dx dt
1
o
Co)
est finl n'est pas déterminé.
1
Soit
1
= _1_
2
~ f ~2(X,t) dx dt - ~ f ~(x,t) Y(X,t) dx dt,
o ~
0
~
1
on considère le problème d'optimisation
1
(2.3)
1
Ce problème ne permet pas de reconstltuer (YO,Y ) mais il suggère de
1
1
comparer sa Solutlon avec la projection orthogonale de (Yo'Y ) sur
I
1
Le résultat principal de ce travail est de montrer que si
1
1
alors (~O'~I) est une approximation de la proJection orthogonale de
1
(YO,Y I ) sur FHxF et que l'erreur commise est inversement
H
proportionnelle à la durée de la mesure sur w pour un choix de (Yo'Y )
1
l
dans des espaces que nous déterminons explicitement.
1
Ce résultat permet d'évaluer la durée minimale de la prise de
mesures pour pouvoir obtenir avec une précision suffisance les H
1
1
Cecte évaluation est un préalable à toute stratégie de contrôle du
s;'stème
l
( 2 .1) .
1
23
. . .
:l;l
...,'" . " •.._
.'
. ' . -
Ce résultat est aUSSl d'lntérèt pratlque pU1SqU'11
est
en
général
lmpossible de prendre des mesures en tout pOlnt de o.
Pour contourner cette difficulté, on restreint la fonctionnelle J
à
l'espace FH~FH .Sur cet espace de dimension finie,
le problème
min
J((~O'~I))
admet
une
unique
solution
On
(~O'~I)eFH"FH
compare
cette
solution
avec la projection sur FH"F
de (Y ,Y ),
M
O
1
on obtient ainsi une estimation très précise de l'erreur.
z
Soit A l'opérateur non borné de L
(0)
défini par
o
2
(A)
= { ue
L
(0)
};
Vue D(A), Au = -~u,
on pose G = D(A- 1 / 2 ) ~ D(A -1).
On peut énoncer le résul tat princ;.pal de ce travail
Théoréme 2. 1 :
Soit H e ~*
il existe deux constantes T >' 0 et K
telles que pour tau!
O
T> T ' si yest
la SolutLon de
(2.1) de données i~itiaLes (Y ,Y ) e G ,
O
O
1
L'unique soLutLon
(~O'~l) de
min
J( (~O '~1) )
(~O'~I)eFH"FM
vérifie
K
T
F "F
M
M
où
ne dépendent que de M et de w
24
l
'
.Qtz; .#
REMARQUES:
1
1) En lalssant y en évolutlon llbre pendant un intervalle de temps
1
durant lequel on effectue des mesures sur w, on peut reconstituer une
approximation (~O'~l) de la projection orthogonale sur FMxF
de
M
1
l'état initial (YO'Y1) du système avec
la précision désirée.
1
2) L'intérêt d'un tel résultat réside dans le fait que pour
beaucoup de systèmes physiques ce sont les ondes courtes qui recèlent
1
l'essentiel de l'énergie. pouvoir donc les identifier est un atout pour
demarrer tout algorithme de contrôle approché du système.
1
1
3) Ce résultat va dans la direction de la réduction du volume énorme
de calcul nécessaire à l'évaluation des données initiales.
1
II.2 Preuve du résultat principal
1
Cette preuve est faite en plusieurs étapes
1
II.2.1
Kinimisation de l'énergie
1
soit y une solution de l'équation des ondes (2.1) pour les données
1
z
initiales
y{O)
= YO' y' (0) = Y1 telle que ye L (Q).
1
On a la :
Proposition 2.2:
Sur
F
x F
La jonct ionneL Le
J
déjl..nie
par'
M
M'
J((~O'~l)) =-t- ~ J~z(x,t) dx dt - ~ J~(X,t) Y{X,t) dx dt,
o
w
0
w
ou ~(x,t) est
La soLutton de
(2.1) de données tnittaLes ~(O) = ~O 9t
25
d
carac tQr:'~Q par:
~ est la soLutton de (2.1) de données tntttaLes (~0'~1) St et seuLemen:
si
pour
tout
~(x,t) soLutton de
(2.1)
de données
inittaLes
f
( 2 .4)
~ l ~(X,t) ~(x,t) dx dt -
l Y(X,t) ~(x,t) dx dt = 0,
o w
o w
PreU"V8:
soient ~ et ~ les solutions de (2.1) de données initiales respectives
(~0'~1) et (~0'~1)' on considère les fonctionnelles suivantes:
«~0'~1)'(~0'~1))
rl~(x,t) ~(x,t)
1 - 1 - - - - - -....,
dx dt,
o w
et
- - - - - - - -.., !R
(~O' ~1)
rl ~(x,t) y(x,t) dx dt.
1 - 1-
-
-
-
-
-. . . .
, .
o w
•
soit (~0'~1) - FMX FM alors ~ la solution de
(2.1) de données
initiales (~0'~1) est dans C~( [O,T] ~ B ) du fait que n est de
frontière régulière donc ~ e LZ(W ~ ]O,T[) donc a est bien définie.
•
a
est bilinéaire, symétrique sur FM " FM qui est de dimension finie
donc a
est continue; aussi existe-t-il une constante MO >0 telle que:
26
est çoerc~ve
en effet on <3:
•
a
fI
2
11q,11
o
2
2
w
L
(O,T
iL
(W))
Sin(~t)]
y
(J.U [(q,~ cos (-r>::! t) + q,l
dt
=
Wj(X)
dx
~
)
.J
f T !
)
2
5in2(~t)}
J
= l f
0
{q, 2 cos 2 pl'"T't)
+
1
q,j
dt J
W~(X) dx
)
À.
w
j=l
0
)
)
f
5in(~t)
+ 2
q,~ q,~ cos (~t)
dt
-rTI
l~j,k~H
0
k
(~t)
+ 2
cos
( - r y t ) cos
dt J
Wk(X) Wj(x) dx:
w
sin(~t) sin
+ 2
-rD f T '
k
)
5in(~t)
2 l
~ q,0 q,l cos (-I"TI t)
l~j
J
,k:SH
O k )
~
j"'k
1q,0 Il q,~
1
sin (~t) dtllJ Wj(X) Wk(x:)dx:1
J
l:Sj,k:SH
~
w
j;o!k
j;o!k
27
•...
-~
-
1!
1
1
avec CI
=
+
+ - - - - -
Jk
d'où
2
2
1<t>~ 12 Il Wj Il \\ 2 (tA»
<t>~ w
1
1
11
k 11
L 2 (tA»
Il S
2
]
CX
+
jk [
2
2À
l S j , kSH
k
j;ll!k
donc
CX
k
[
2j
Il S
2
l S j , kSH
J;lI!k
De même :
1
=
W. (x)
dx 1
2
1 2
f 2 <t>~ <t>~ cos (q t) cos (~t) dt J Wk(X)
J
l~k<j~H
0
w
~jk
2
1
1
où ~jk = ----=--- +
,pour k ;li! j.
-f"Tlk+fXj
Il en est de même pour
=
2
1
l S k< jSM f
Sin(r>::lk t)
sin(-fD
t l
J
1
2<t>~ <t>~
]
dt
3
0
~ ~.
w
k
J
2
<
2
28
1
~ a
1
1
où
Y
=
+
, pour k
jk
;li!
j .
ln:: - rD. 1
q
+ rD.
k
]
]
Enfin on a aussi
Sin(~ t)
,1
=
cos
t)
(x)dx
4
1 l
f 2 4>~ 4>~
(rD.
J
dt
W~
1
]
]
]
rD.
]
l:Sj:SM
0
J
W
:S
l
: (14)~
j
12 +
l:Sj:SM
1
où P j = fT!
j
De ces majorations, on tire
~ 2
j=l
+
14>~12
2
-l
-t- [14>~12 + À] ] Ilw Ilj 2
j
. L
(W)
l:Sj:SM
29
,
J
4G!I!Il:WC,_
i&
$uza
1<t>~12
2
- 2:
~
J
IIW ,11
] •
2
À.
2
]
]
L
(W)
La première somme est obtenue en calculant les intégrales
et
On a encore
~ [1 - c) 2
1~~.12)
2
ro.
Il w . 11
2
]
]
L
(w)
j=l
- 2:
~ [I<t>~ 2
1
+
l~j~H 2
- 2:
1:S; j , ){:S;M
ji"!){
30
1
1
où C = max
=
l:Sj:SM
4~
J
On pose
T
= C + P + P.M.~ + l.M.Y + m.M.a ,
O
où
a
= max
a
.
jk'
l:Sk, j:SM
j;Jl!k
y
=
max
P
= max P.
l:Sj:SM
J
et
p, l, et m sont des constantes entières;
on a alors:
(2.5)
114>11 2
2
L (O,T
soit N l'application définie par:
(4)0' 4>1)
---+. N[(4)o, 4>l)J = {2 [14>~12+
1 - 1
i=l
N définlt une norme sur FM x FM . En effet
31
Ton a
1
alors
ilwl112
= 0
2
L (W)
t1
pour tout i - { 1, ... ,M}
1
"1i,
I~~I = 0 et I~~I = 0
donc
pour tout i e { 1, ... ,M}.
{
ou
Ilw.1
= 0
1
2
L (w)
supposons que ~wi~ 2
= 0; comme west un ouvert non vide de 0
L
(w)
alors d'après la version de Hormander du théorème de Holmgren, w
= 0
i
dans 0 ce qUI est absurde car (w.»
1 est une base Hilbertienne de
1
1-
L2 (0), aussi ~o = 0 et ~~ = 0, pour tout 1 e {l, ... ,M},
1
1
donc ~o = 0 et ~1 = O.
Les autres propriétés étant triviales.
N définit d9nc une norme sur FM x FM'.
FM X FM étant un espace normé de dimension finie alors N est
équivalente à la norme sur FM x FM' donc Il existe une constante k > 0
telle que :
kll(~o' ~1)IIF x F S N[(~O' ~l))'
M
M
2
k
Donc si T > T ' en posant a = --2-(T-T )' on a: a > 0 et
O
O
d'où a coercitive.
AUSSl d'après la proposItion 1.4, la fonct:lonnelle J admet un minimum
32
.r$-. -.-
'.~'"
.-.,'
SOIt ~ la solutIon de (2.1) pour les données initiales (~O'~l); on a
alors
:
pour tout ~ solution de (2.1) de données Initiales
donc
fI
(2.6)
~(x,t) ~(x,t) dx dt - ~I ~(x,t) y(x,t) dx dt = O.
o w
° w
II.2.2
Preuve du résul~a~ principal
1
On pose
2 ~1
1
w. (x) alors on a:
j=l
]
]
1
Sin(r>::'
t)}
~(x, t) = 2 {~o cos (-{"Tl. t) + q>1 ----{--À-,L.--
Wj ( x) .
1
j=l
]
]
j
1
j
1
Une base de FMXF
est donnée par l'ensemble des vecteurs de la forme
M
(Wi,O) pour i e
{l,
,M}
1
et (O,W ) pour i e
{ 1, ... ,M }.
i
Il suffit donc d'appliquer à
(2.6)
les solutions de
(2.1)
1
correspondantes à ces données initIales pour détermIner (~O'~l) du faIr
1
de la lInéarIté de la relation (2.6).
1
33
1
1
1
On a alors ;
a)
lp(x,t:)
:: cos (-fX""! t) w. (x),
l
l
(2.7)
2 J J [~~ cos (-f"Tl. t) cos (~ t)
]
l
j::1
0
w
sin (-f"Tl.
t)
]
+ ~1 ____..&.1__ cos (-{"Tl. t) w. (x) wi(x)dx dt
-("'XI
j
1 ]
j
::
~ JJ [y~ CoS(~ t) COS(-!Tl t)
j::1
0
w
Sin(-f"Tl
t)
cos(~ t)
+ yH----..J..J--I-À-.-,----=-I-]
wj (x) w (x) dx dt.
i
]
b)
lJI(x,t) ::
cos (-f"Tl. t) sin (-f"1.:l
t)
J
l
(2.8)
2J J[~~
-f"1.:l
j::1
0
w
l
sin(-f"Tl
t)
Sin(-f"1.:l
]
l
t)
] Wj(x)wi(x)dx dt
cos (-f"Tl.
t) sin (-f"1.:l t)
o
J
l
::
~ JJ[Yj
-f"1.:l
j=1
0
w
l
sin(-f"Tl. t)
sin(~ t)]
1
J
l
+ y.
w(x) W ' (x) dx dt
I
]
-IÀÀI
J
j
i
Pour le cas a)
les relatIons s'écrivent: aussi:
34
·..~
J
_S_i_n_(_-I_·'_-I=-i-~-)_1C_O_S_(_-I_\\.-,,~=---t_) ] ctt
i
w
+2 r [q>o cos(~ t) cos(..,r>:::l t)
)=1
)
-
1
jôO!i
0
1 sin(~. t) COs(~. t)]
J
+q>.
J
1
dt
w.(x)w.(x)dx
)
-{"TI
)
1
j
w
=
r[ 0 2
1 Sin(~ t). cos(..,r>:::l
y. cos
(~ t) + y
1
.
1
)
i
~
U
l
~
COS(~
+
J-T [YOcos(-{"TI t)
t)
1
j~1
) )
1
j;oli
0
1
sin(~. t) cos(~
yI
J
1
t) ]
+
dt
j
-{"TI
)
1
1
ou encore
sin ( 2~ T) J
[1_ 1J [ 1 - cos (2..,ry T)J]I w2
+
q>.
y.
1
[ [q>~- y~J [ ~ +
4 ..,r>:::l
1
1
4À.
l(X) dx
1
l
w
1
s i n « - t y + ~ )TJ+
s i n « - t y - ~ )TJ}
2 ~
+
-y"""\\,I
-
-y"""\\,I
~ +fT1
j=1
)
l
j
i
1
j"'i
1
cos[(~+ ~)TJ
+
+
1
2~
-{"TI
+
-1\\:1
]
]
l
1
1
1
35
1
1
1
+
-fTI+ ~
~
J
j~j o{Sin[l""] , Y'IlT] Sin[(T""Tj -"'1lT)}
=
y.
+
J
-('"XI
+
-fT':'
-('"XI
- -('"XI
J
1.
J
1.
1
+
y~ {- cos[(~ + ~)TJ
COS((~ - ~)T]
+
2 ~
J
-rD. + -,"""'D.
-rD.
-rD.
J
J
1.
1.
J
1
1
+
}]lWj(X)Wi(X) dx.
~ + -rD.
-(Tl
- -rD.
l
J
l
J
w
De même, pour b) on obtient
cos (-rD.
t)
sin(~t)
~
([~:
1.
+
t)
]
dt l W~(X)dX
-{'Tli
w
cos (-rD.
t) sin (-(Tl
t)
,
~
t,( Ij ~j
+
-(Tl
~
j;o! i
S1.n(~ t) sin(~~
À.
1.
co S (-(Tl
t )
sin (-{"Tl
t )
O
t)
]
=
f[
~
1.
dt l w~ (x) dx
o
À
l
w
t( Jj cos(-(""Xl t) sin(-(""Xl t)
J
l
+
vj
j;o!l
36
, . r - - - -
S ln (..".----;;;:J . t)
S ln (..,r>:::l
t)
]
1
J
l
+ y.
W·lX)
w.(x) dx dt;
J
-lÀ.
À.
1
J
l
J
i
on peut mettre cette formule sous la forme suivante
1
cos(2~ Tl "'
(~~- y~) ( --
[
- 4 - À . - ._l=----- J
l
1
sin (2-("Tl. Tl]]I
+~
----4--Y--À~j~
wwf(Xl dx
1
[(~~ y~) cos((-rTj
cos((~
{-
+
+~
-("Tl.
~
l
J
l
1
l
+
----=l=____ }
]
W
(X)W
(x)
dx
~.+~.
~ - -("Tl
j
i
1
J
i
j
w
H
+
2 -1 À. À. 1
{sin((-rTj -~ilT)
~ 1
(q>~ - yD
-("Tl.
~.
j=l
J
1
J
l
j;ll! i
sin[(~ + rD1 lT]} JI w.(x)w. (x) dx
~.
-("Tl
J
+
1
J
i
w
l~.J,
cos[(~ - -("TlilT]
1
0
=
Yj
~.
{- cos[("~ + -fTllT] +
~.
+
-("Tl
-rD.
-("Tl
l
J
i
J
i
1
1
+ ~. +~
~. _ ..,r>:::l
l
}
J
l
j
37
Sln[(~ - -I-~\\:-1)TJ
1
+
2 -{ .'.
•' .
1
-1""0.
-1""0.
J
i
J
1
I
_Si........:>n[~(rD_~'....4..j_... _-I""0_À.=-.i)-,,-TJ} ]
w. ( x) w . ( x) dx.
-(Tl.
+
-1""0
J
1
J
i
W
Des cas a) et b) on tire
pour tout i e
{ 1,o .• ,M }
T
0_
0J
sin( 2~ T)
( 2 .9)
[~~- y~J I w~ (x)
~.
y.
2
dx +
[[ 1
1
4 ~
W
1
JI
1 - coS(2"'f'Xl T)
+ [~~ -
D
y
---4-")..,-i-----=1'---
w~
W
( x ) dx
+~ [+ [~~- Y~]
sin[(~
{ sin((fXj + "'f'D )TJ
i
- -f'iITJ}
+
-{""Xl.
+
"'f'Xl
-{""Xl.
-l'""X1
J=l
J
1
J
i
j;lli
cos [(-{""Xli
1
- ~)TJ
+
2 rD
[~;- YD{- cos((fXj + -{""Xli)TJ +
-{""Xl.
+
~
~
-{""Xl.
j
J
1
1
J
1
1
+ -{""Xl + -{""Xl.
-{""Xl.
- -{""Xl }]tWj Ixlwi Ixl rlx.
J
1
1
J
]~J
) T]
sin[(~
1
0 {sin[(~ + -I""0i
- -f'i IT]}
=
Yj
+
2
-1""0
~
-(Tl
'J"À'
+
J
1
J
i
38
IgUtt MM!
-,.~_.
..'
cos [pr0 1
+
+
~
~
i
j
+ _ _----:1'--_ _
1
~+~.
~
_ -r ,,1
1
J
i
j
d'où
1 -
cos ( 2 f T ' T)
l
4 À.1
51n(2~T) ] Jw~ (X) dx
4 - { T I
1
w
H
cos [(~
+ \\ " ----=--1_
y~J
L2~
{- cos [(fTj
+
~.
+
-,/""Tl.
j=1
1
J
J
j;o!i
1
+
-,/""Tl
+~.
i
J
1
2-{ À.À.'
J
1
JW.(X)W.(X) dx
-,/""Tl
+
J
1
j
w
39
1
1,[, 1 0 {- cos((~ + r;;:~)T] COS[(~ - ~)TJ
=
Y
+
..,.r>;:l
J
~
+
~
~
~
i
j
i
j
l
1
1
+ ~ +~.
-rXl -~.
i
}
J
1.
J
1
+
Y~ { sin((-YXj - ~)TJ
2-1 À..À.. 1
J
-{'"Xl.
-(Tl
J
1.
J
1.
sin((~
~ IT)} ] J
+
"1
.
<
1.
w.(x)w.(x) dx,
i, 1 s 1. -
M.
~
+
-;"""XI
J
1.
j
i
w
soit Z le vecteur colonne d'ordre 2M constitué par les seconds membres
des relations précédentes. on donne maintenant une notation plus
condensée et plus utilisable de ces formules:
L e _ 2.1
:
qui
.'Qcrit .ou. La for~ :
[~ -
~
A
0
. ' , /
~..,
'-'. ,.
~1
, ~\\
0' •
\\ ';;,
r
1
- - :
.
, ) )
,-. ;
\\
où
A
= T2
où
40
·'
gt
8
(T)
~ng matrtcg carrée d'ordre
2M de
norma eucltdtenne majorée
M
par
~ne constante C
tndépendante de
T.
M
Preuve :
Des relations (2.7) et (2.8) on déduit l'expression suivante
de la matrice A, pour tous i,
j e {1,2,
. . . . . , H}
= Fos (""Y t) cos (~t) dt Jwi(X)
°
w
ai,j+H = _..:.1_ fcos (..,r>::IJ' t) Sin(ry t) dt J w
~
i (x)
1
0
w
= a i +H , j
1
sin(~T)
ai+H,j+H =
dt Jwi(X) Wj(X) dx ,
J
.
-(
À.. À. .
1
J
w
et les expressions suivantes des composantes du vecteur Z :
(J)
.
{sin[(~ + ""Y )TJ sin[(~ - "YIT)}
= L _1_ yO
Zi
;=H.J 2
+
J
~
+
f T '
~
..,r>::I
J
1
J
i
cos[(~
1
+
2~
-{""Xl.
+
rD.
-{""Xl.
J
J
1
J
1
1
+
...
:;,
.1.
:s; M.
-{"Tl
+ -{""Xl.
rD.
- rD
1
J
1
J
41
Zi+M
1,[,
cos [ ( --rT.j - -rD1)T]
1
0
=
YJ
fTl.
{- cos [(--rT.j + -!TilT] +
-rD
+
-rD
fT1
-rD
1
J
l
J
1
,Î
f
1
1
}
Î
+ -{""Xl + -rD,
-{""Xl
- -fTl.
1
]
1
]
t1
t
+
J
1
J} ] f
Sln [(-iD + -rT')T
w.(x)w.(x)
dx, V i,
1 S i S M.
-iD +
-,I"""XJ
J
1
J
1
W
Des relations (2.9)
et (2.10)
on tire l'expression suivante de la
matrice DM
pour tout i
e
{1,2,
,M} :
(x) dx,
1
et di+M,i+M
f w~ (x) dx,
=
À i
W
1
i
et celle de B
( T)
M
= (bij(T) J
,
f,
1Si ,j S 2M'
où
= [ sin( 2~
1 -
T)
+
COS(2~T) ] fw~
4 >...
(x) dx
4 - r T '
l
1
W
pour tout i
tel que 1 S l
S M,
1
1
1
!
!
42
f
1
,
__1
Sln(2~T) ] IW~(X)dX' 1 ~ l S M
4-(>::1
l
w
b
= b
= a
, pour tous m et n tels que
1 S m < n S 2 M.
mn
nm
mn
De l'expression de BM(T) on déduit qu'il existe
e
[R*
Co
+
tel que
Ib
(T) 1 S
ij
Co'
1 S
i
, j S 2 H , donc il existe
CH e [R*
+
tel que
IIB
(T) Il <
M
CM , CM indépendant de T; ceci termine la
preuve du lemme 2.1 .•
Suite de
La preuve du résuLat
princtpaL
Comme d'après le théorème de Holmgren, chaque coefficient de DM est
non nul alors DM est lnversible. Comme
A =
T
2
donc
___2___
-1
2___
-1
T\\ DM
A = l
+
T
DM
BM (T).
En vertu du lemme de Von Neumann, il suffit que
2
-1.
Il
_2_
-1.
DM
B
(T)
< 1 pour que l
+
T
DM
B
(T)
soit inVersible.
T
M
M
On a
2
2
T
T
I l suffit donc d'avoir:
_2_ CM IID~lll < 1 ,
T
donc si
T
> Ta
2
Il
-1'1 + 1 .
=
C'1,D
,
M 1
43
· . ~"~,,.I
l
2
-1
l
+
- T - DM
BM(T) est inversible et en plus
CD
-1
2
-1
DM
BM(T)
B
(T))-1
+ [
(_1)k [ 2
(r
DM
= r
+
T
M
T
k=1
r
De l'égalité:
p1>o
l~l
on tire
(r
2
2
-1
+
T
TOM
Z,
d'où
r~o
l~1
=
CIl
2
2
=
(I
OH
BM(T)
+ [
-1
(_1)k [
-1
nOH Z.
T
T
k=l
donc
!<1> - P (Y
CD
-1
0
F
o)
M
+
(Y )
T
1
T
M
L _2_ 1[r
(_1)k[ 2
[
DM
BH(T)
<1>1 -
PF
rD~l Z1
XF x
k=l
M
M
44
salt
2
T
où
est la norme matricielle euclidienne et
k
< + CI)
Maintenant, on
détermine
les
espaces
auxquels
appartiennent
les
données initiales.
Des inégalités suivantes:
sin [(-rx;'
2
+
-{'"TI
+
-{'"TI
-{'"TI
-.,.'"""D
]
]
]
i
cos ( (YXj
+
-rD
+
-{'T1
-{'T1,
~
j
i
]
1
1
l
+
S
4
.
~ + -{'T1,
-(Tl
-
-{'T1
-{'"TI
- ~'
1
]
1
j
]
1
on déduit les majorations obtenues dans les cas cl et dl ci -dessous
cl soit i lOi { 1, ... ,M}
t [ 21Y~1
1zils +j
~-"---{--À-I-I-
=M+ 1
--{-À-]-'-1
45
1
1
41Y~1
J
+
W (X)W
(X)
dx
1
-fT! (-;'"TI
J
1
)
)
w
1
donc
1
+
r
If
où
v ij =
Wj{X)Wi{X) dx 1
w
si a est un réel, on a :
V . .
1]
soit
CD
v ..
1J
Izil sI: .(À.; IY~I
)=H+1
d'où par application de l'inégalité de schwarz, on t1re
46
........._-
"
on a.
lor~que j
tend vers + iD:
a
>.2
À
j
J
2
1.1
_ _ _ ,...'~'J,--_
À2a + 1
j
Or
donc si a = - _1_
2
al
la série
I
< + al
j=M+1
dl
soit i e
{ 1, ... ,M }, on a aussi
al
1 11
I [_4_Y
1
-.Li_ _
!.J
+
ij
1
2~.
1
fT! - fT!
-01(~
~ J =H+
J
~
]
J
1
soit
al
1
!.J ij .
S~j~J
1
Des calculs analogues à ceux du aOl nous donnent
:
1
2
+
1'/2
Izi+HI ~
1
-r>:' [t
+;0 lyOl 2 À~a-1 1yl l )
j
J
l
j=H+1
]
1
1.'2
1'/2
i l
1
[jt À2a[~
]
J
~)2
1
D'après cl et dl
si a
= - 1/2, il existe une constante K > 0
1
indépendante de YO et YI telle que
1
47
1
1
1
:1
z :1 2H :S KI
CR
d'où
1/2
Il
2
z Il 2H
:S
K
{IIY
f
1
oI1
-1/2
+ IIY1
-1
}
(R
D ( A )
D(A)
on a d'après J.-L. LIONS
S. HAGBNBS [5],
1
0(11.- 1 / 2 ) = H- 1 (0)
et
0(11.- ) est le dual topoloqique de D(A);
ce qui achève la preuve .•
CorolLairg 2.1
:
*
SOLt HeIN
LL existe deux constantes T > 0 et K >0
o
teL L es que pour
~o - P (Y
r
o )
K
M
:S
Il (Yo - Pr (Yo) , y - P
1
r (Y )
1
)" z
$1
T
-1
- P
(Y
r
)
M
Jo!
L (0)
"H
(0)'
1
FM"F
M
M
où T
et K
TW
~PQT\\l::Wnt q~ dg M .. t de w
O
Preuvg :
Z
-1
rI suffit de remarquer que L (0) "H
(0) est
contenu
avec
injection
48
\\
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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BARDOS-G.
LEBEAU-J.
RAUCH,
Ap~ndicQ
Il
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