1
1
UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP
1
Faculté des Sciences
1
1
Thèse de Doctorat d'Etat
1
ès Sciences Mathématiques
Mathématiques
Mention: Equations aux dérivées partielles
1
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CONSEil AFRICA!N :::T MAf.GACl-lE
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CONSEil AFRICA!N :::T MAf.GACI-:E
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c. A. Nt
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présentée par
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presen ee par
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1
Soutenue le 2 Juillet 1990 devant la Commission d'examen
Il
~ Doudou Sakhir THIAM
Professeur Dakar
1
Membres Claude BARDOS
Professeur Paris VII
Edmond FEDIDA
Professeur Dakar
Pierre GRISVARD
GRISV
Professeur Nice
1
Ahmet SEYDI
Professeur Dakar
1
IiI
1
- j

---

1
- 2 -
1
1
1
1
1
Je dédie ce travail à
1
1
1
BIGUE SOW
FATOUMATA NDIAYE
1
et à
1
NGOLO KODE NIANE
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
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1
1
r
i
1
1
C'est le professeur Pierre Grisvard de
l'Université de
it
1
t1
Nice
qui
m'a
proposé
ces
thèmes
de
recherche
dans
un
1
domaine stimulé par le développement de la robotique et de
1
la conquête spatiale. Dès que Je l'ai rencontré en septembre
II
1986 à l'Université de
Nice,
il
a accepté de diriger
mes
l
1
travaux.
Il
m'a
fait
bénéficier
de
son
immense
culture
1
scientifique, sa disponibilité permanente et de son amitié. J'ai
1.
pu ainsi entrer aisément dans le domaine si difficile et si
hermétique de la recherche et du monde des chercheurs. Que
1
1
monsieur Pierre Grisvard trouve ici l'expression de toute ma
gratitude et de tout mon respect.
il
Monsieur Ousseynou Nakoulima a guidé mes premiers
1
f
l
pas dans le domaine des équations aux dérivées partielles et
II
1
du contrôle optimal de systèmes gouvernés par les E.D.P., il l'a
f
1
1
fait
avec
compétence,
disponibilité
et
une
fraternelle
~
fraternelle
i',
stimulation.
Qu'il
trouve
ici
l'expression
de
mes
sincères
i
1
remerc iemen ts.
Monsieur Doudou Sakhir Thiam a guidé mes premiers
1
pas dans la recherche mathématique, depuis il n'a pas cessé
1
de s intéresser à mes travaux et de m'apporter son soutien
fraternel. Je le remercie de tout mon cœur.
1
1
1
~I

---

1
- 4 -
1
1
Je remercie le professeur Claude Bardos de l'Université
de Paris
VII,
pour
l'intérêt qu'il
porte
à mes
travaux
et
1
d'avoir accepté de faire partie du jury d'examen.
Je
remercie
monsieur
le
Recteur
Souleymane
Niang
1
Je
remercie
monsIeur
le
Recteur
Souleymane
Niang
d'avoir accepté de présider le jury et d'avoir toujours fait
1
preuve
à
mon
égard
de
sa
disponibilité
et
de
sa
compréhension.
1
Je
remercie
monsieur
le
Doyen
Ahmet
Seydi d'avoir
accepté
de
faire
partie
du
jury
et
de
m'avoir
toujours
1
encouragé dans mes recherches.
1
Je
remercie
monsieur
Edmond
Fédida
pour
l'intérêt
porté à mes travaux et d'avoir accepté de faire partie du jury.
1
Je remercie monsieur Galaye Dia Chef du département
de
mathématiques
pour
son
soutien
constant
et
ses
1
encouragements de même que monsieur Maguette Thiam et
qu'à
travers
eux
tous
mes
collègues
du
département
de
1
qu'à
travers
eux
tous
mes
collègues
du
département
de
mathéma tiq ues
trou ven t
ICI
ICI
l'ex pres si on
de
ma
1
reconnaissance pour les efforts qu'ils ont eu à consentir pour
combler mon absence et pour leurs encouragements.
1
Je remercie monsieur le Doyen Djibril Fall, pour son
soutien.
1
soutien.
Je
remercie
le
professeur
Iba
Der
Thiam,
dont
la
1
décision, d'attribuer les bourses UNESCO aux
universitaires
m'a permis d'entamer ces recherches.
1
Je
remercie
tout
le
personnel
du
département
de
mathématiques et du L.A.N.S. de l'LN.S.A. de Rennes pour
1
mathématiques et du L.A.N.S. de l'LN.S.A. de Rennes pour
1
1
1

---

1
r!f
1
- 5 -
1
l'ambiance
chaleureuse
et
stimulante
dans
laquelle j'ai
pu
il
achever ce travail.
1
1
Je remercie mes camarades du SUDES pour leur soutien
et leurs encouragements et mes collègues du SAES pour leur
1
action salutaire.
Enfin je remercie mes parents, amIS et camarades pour
1
leurs
encouragements.
jl
1
·'1
1
Il
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
il

---

1
- 6 -
1
SQMMAIRE
..~n\\'
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1
â~<;».::.!
,~/ . 1 P,P1J~ ('U,,·,A
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C ' ..
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Ion
Introduction
Kénérale
zénérale
10
1
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~~'
)~~..\\
' : ' / '
"f,
Chapitre 1
InterpolatiOn
Interpolation
du
domaine
domajne
du
bilaplaciep
bilaplacjen
1
dans up
un pol nOne
none ; Le çaS
cas LP
IS
1S
1
1.
Introduction
15
II.
Il.
Rappel de quelques résultats de la théorie
1
de
l'interpolation
réelle
16
III.
II 1.
Rappel sur les solutions singulières du bilaplacien
au
voisinage d'un sommet dans un domaine polygonal
19
1
voisinage d'un sommet dans un
domaine polygonal
IV.
Résultat
principal
24
1
V.
Estimation
a
priori
de
type
Agmon-Dovglis-Nire
Agmon-Do\\Jglis-Nire n.berg
r\\.berg
pour le bilaplacien dans
un domaine polygonal
25
1
VI.
Estimation de la résolvante du bilaplacien dans
un
O;Jven
polygonal
borné
38
VII.
VI I.
Preuve
du
théorème
principal
55
1
VII
V 1 I.
II.
Domaine
des
puissances
fnctionnaires
du
bilaplacien
dans
un
domaine polygonal
borné
58
1
Bibliographie
59
1
Chapitre
2
RéKularité
Rézularité
maximale
maxjmale
du
bilaplacien
bilaplacjen
danS
dans
up
un
polyzQne
et
rél:ularité
d'atète
d'arète
61
1
1.
Introducti on
61
1
Il.
II.
Régularité
maximale du
bilaplacien
dans
un
polygone
III.
Décomposition
d'arête
pour le
bilaplacien
66
1
Bibliographie
75
1
1
1
1

---

11
- 7 -
11
11
Chapitre
3
ContrÔlabilité
CQntrÔlabilité
exacte
de
l'équation
l'éQuatiQn
des
plaques
plaQues
vibrantes
dans
un
ouvert
Quvert
polyeona!
QQly2Qnai
Don
nQn
fissuré
76
11
A.
Introduction
76
11
B.
Contrôlabilité exacte de l'équation
l'éQuation des plaques
plaQues vibrantes
par une action de type Yy ..
,. 0 et 'Y~ ..
'Y~,. v
78
11
1.
Quelques
résultats
préliminaires
78
11
II.
Formule
d'intégration
par
parties
et
équivalence
de
normes
84
II
1 1.
II.
Solutions
faibles de l'équation des plaques vibraPles
vibrantes
93
IlJ
IV.
Application de la méthode
mélhode H.U.M. de l.L.
J.L. Lions
101
11
C.
Contrôlabilité exacte de l'équation des plaques vibrantes
dans un poly~one
polY2one par une action de type position
104
11
1.
Condition géométrique sur 0
pour une régularité
H7/2+c
H7/2+~ (0) des fonctions de D(A)
104
11
II.
Formule
d'intégration
par
parties
106
II 1.
Equivalence
de
normes
107
i
1
11
1
IV.
Mise en œuvre de la méthode H.U.M.
113
1
113
,~
!
1
Bibl iographie
115
1
11
l
Chapitre
4: ContrÔlabilité
CQntrÔlabilité
exacte
de
l'équation
l'éQuatiQn
des
1
,
11
plaques
vibrantes
Yibrantes
dans
un
polyeoue
polY2one
fissuré
117
1[
1.
Introduction
117
l
I.
Introduction
117
II.
Equivalence
des
normes
118
i
II.
Equivalence
des
normes
1 18
1
1
1
1II.
III.
Contrôlabilité exacte de l'équation des plaques
!
vibrantes
dans
un
pc
p< lygone
fissuré
127
1l
Bibl iographie
i agraphie
128
11
1[
1
1
-- "1-'

---

1
- 8 -
1
1
Chapitre
5: ContrÔlabiljté
exacte
de
l'éQuation
l'équation
des
ondes
avec
ayec
une
vitesse
yitesse
dépendant
du
temps
129
1
1.
Introduction
129
1
II.
Réduction
du
problème
129
1.
III.
Etude du problème (P')
132
Bibliographie
141
1
Chapitre
..6.: Contrôlabilité
exacte
spectrale
élan:ie
é1ar2ie
1
des
systèmes
distribués
par
action
sur
une
partie
analytiQue
analytique
arbitraire
de
la
froutière
frontière
143
1
A.
introduction
143
1
B.
Position du
problème
144
1.
Notations et
hypothèses
144
1
II.
Position du
problème
146
C.
CoptrÔlabiHté exacte spectrale
élar~ie de l'équation
1
C.
ContrÔlabiljté exacte spectrale
élanie de
l'éQuation
des ondes
147
1.
Contrôlabilité exacte spectrale élargie de
l'équation
1
1.
Contrôlabilité exacte spectrale élargie de
l'équation
des ondes par un contrÔle de type Dirichlet
147
II.
Contrôlabilité exacte spectrale élargie de
l'équation
1
des ondes avec conditions mêlées
157
D.
o. ContrÔlabilité exacte spectrale élargie
élargje de l'éQyatjon
l'éQuatjon des
1
plaQyes
plaques
yi brantes
159
1.
ContrÔlabilité exacte spectrale
élargie de
l'équation
des plaques
'/ibrantes avec deux
;;ontrôle;
';0
1
des plaques
'/ibrantes avec deux
;;ontrÔle;
II.
Contrôlabilité
ContrÔlabilité exacte spectrale élargie de
l'équationdes
plaques
vibrantes
par une
action
1
l'équationdes
plaques
vibrantes
par une
action
de type 'Y~ = vIl
162
1
1
1
1

---

1
1
- 9 -
1
1
III.
II I.
Contrôlabilité exacte
spectrale élargie de
l'équation
des plaques vibrantes par un contrôle de type yy = u
163
11
E.
Application de la contrôlabilité exacte spectrale élargie à
la détermination des espaces des conditions
conditioQs initjales
initiales pour
1
la contrôlabilité exacte des plaques posées.
166
1
1.
Exemple d'ouvert vérifiant (H4)
166
1
II.
1I.
Espaces des conditions initiales pour la contrôlabilité
1
exacte de l'équation des plaques posées.
167
1
,
f.
QuelQues
remarQues
171
1
Bibliographie
172
11
11
11
1
11
!
1
1
l
t
1
f
1
~
1
!
1r
1
1
1
1
1
1
,1

---

1
- 10 -
1
1
1
Dans ce travail, on établit des résultats de type régularité pour le
1
Dans ce travail, on établit des résultats de type régularité pour le
bilaplacien
bilap1acien dans un domaine polygonal 0 ou cylindrique à
il base polygonale lQ,
lit des
résultats de contrôlabilité exacte et de contrôlabilité exacte spectrale élargie de
l'équation des plaques vibrantes et de l'équation des ondes dans un domaine
1
l'équation des plaques vibrantes et de l'équation des ondes dans un domaine
polygo
po1ygo nal.
Les
les résultats généraux de régularité du bilaplacien
bi1ap1acien .6,2
.6. 2 de domai ne
D( .6. 2) = {u E H~ (0) 1 .6. 2 u E lP (0) } sont très perturbés, lorsque l'ouvert
1
D(.6,2) = {u E H~ (0) /.6,2 u E LP (0) } sont très perturbés, lorsque l'ouvert
o est un polygone du fait que D( .6,2)
.6. 2) • W4.P (0) ()
('l Wo
W 2,P (0) alors qu'on a une
o2,P (0) alors qu'on a
égalité lorsque 0 est régulier. En fait, le domaine de .6. 2 est l'espace vectoriel
1.
égalité lorsque 0 est régulier. En fait, le domaine de .6,2 est l'espace vectoriel
engendré par l'espace w4,P (0) ()
('l Wo
W 2,P (0)
o2,P
et un nombre fi ni de fonctions
(sol utions si ngulières
ngu1ières du bilaplacien)
bilap1acien) n'appartenant pas à
il cet espace
(Grjsyard
(Grjsvard [1]) et qui dépendent de la mesure des angles aux sommets de O.
1
(1]) et qui dépendent de la mesure des angles aux sommets de O.
On détermine
détermi ne les espaces intermédiaires
i ntermédiai res entre le domaine
domai ne du bilaplacien
bilap1acien
et l'espace LP
lP (0) pour 0 polygonal (chapitre l,
1, Th IV.3).
Ce résultat repose sur une estimation de la résolvante du bilaplacien
bilap1acien
1
dans un polygone, une représentation spéciale des solutions singulières, une
esti mation
matfon des coefficients des sol utions si ngulières et enfi n sur le résult.:.t
ré,ult.:,t de
Zolezjo [1] donnant les espaces intermédiaires entre W4,P (0) ('l Wo2,P (0)
1
[1] donnant les espaces intermédiaires entre W4,P (0) () Wo2,P (0)
et LP
lP (0) lorsque 0 est un polygone.
Une des étapes cruciales de la preuve est l'établissement d'une
esti mation de type Agmon- Douqlis-
Douq1is- Ni re tl.berg,
t'lberg, pour le bilaplacien
bilap1acien dans un
1
secteur. Ce résultat ne semble pas être une conséquence des méthodes
traditionnelles
tradHionnelles pour son obtention que sont la méthode d'Agmon qui consiste en
l'adjonction d'une variable supplémentai re car la régularité dans les domai nes
1
à
il coins est héréditaire, elle procède des dimensions inférieures vers les
dimensions supérieures, contrairement au cas régulier qui est indépendant de
la dimension et la méthode des multiplicateurs (utilisée par J, Adeyeye
J.Adeyeye [1]) pour
1
les espaces intermédiaires entre le domaine du laplacien et LP)
lP) du fait qu'il
n'existe pas de multiplicateur de type dualité connu pour le bilaplacien.
bilap1acien.
L'ét ude
l'étude des coeffi ci ents
coefficients des sol uti 0 ns
utions si ng ul ières
ngu1ières est fai te
faite grêce
grâce à
il
1
l'établissement d'une représentation explicite des sol utions si ngulières duales
du bilaplacien
bi1ap1acien dans LP,
lP, solutions qui sont fort utiles dans les résolutions
numériques dans les domai nes polygonaux.
1
Co mme
m
co nséq ue nce, 0 n déte r mi ne le do mai ne des pui 3sa nces
fractionnaires du bilaplacien
bilap1acien dans le cas hilbertien L2
l2 (0) (chapitre ~,
"
Th. VIII. 13)
1
.
1
On établit aussi
aU3si un résultat de régularité maxi male de type:
1
1
1
1

---

1
1
- 11 -
il
l
est un isomorphisme lorsque s est voisi n de 2 (chapitre 2, Th. 11.1), en
donnant les bornes explicites sur s de validité de cette assertion. Des résultats
1
généraux de ce type, moi ns explicites, ont été établis dans ~ [1].
On établit une décomposition des solutions de l'équation du bilap1acien
pour un second membre dans H- 1 (0), lorsque le domai ne est un cyli ndre
1
droit, a base polygonale (chapitre 2, Th. III. 2). Dans ce cas, on a établi les
esti mati 0 ns a pri
p 0 ri, grace
g
a des i ntég rati 0 ns pa r pa rti es et quel ques
q
inégal ités
d'i nterpolation.
1
La contrôlabilité exacte des systèmes d'évolutions linéaires gouvernés
par des équations aux dérivées partielles, qui consiste a amener le système d'un
,1
état initial connu a un état fi na1 vou1 u, par une action sur ses conditions au
bord (on peut considérer d'autres types d'actions) a connu un net regai n par la
i
mise au point de la méthode H.U.M. (Hilbert Uniqueness Method) de
il
J L. Lions [1] qui est beaucoup pl us systématique que la méthode harmonique ou
la méthode de contrôlabilité exacte viala stabilisation de Russell [1].
'1
On con3idère, lorsque le domaine 0 est polygonal, le problème de
1
contrôlabilité xacte de l'équation des plaques vi brantes suivant:
Soit T > a fixé, pour tout (Yo, y1) appartenant il un espace F' (dual de F)
a déterminer, pour tout (zo, ZI) E F', a trouver u, v E L2 (~O x 1O,T [) il
.1
support aussi petit que possi b1e telles que si y est la sol ution fai b1e de :
i
y ..
A 2y • a da ns 0 x 1
T [
li
+ A 2y • a da ns 0 x 1 0,T
Y (0) ,. Yo
dens 0
y'(o) ,.
dans
J
(P)
y'(o) ,. YI
0
1
)4J ,. u
da ns ~ 0 x 1 0,T [
1
da ns ~ 0 x 10,
1 T [
1
alors
y (T) ,. Zo et y' (T) ,. z 1.
1
On établit la contrôlabilité exacte de l'équation des plaques vibrantes
.~)
1
dans le cas u ,. 0 (P 1 ) (c'est-a-di re avec un seul contrôle sur
dans un
,1
polygone non fissuré, pour des données (Yo, YI) dans F' = L2 (0) x W 2
W (0)
(chapitre 3, Th.B.IV.6) avec T >To
T où T
o où o
T dépend de la géométrie de O.
o dépend de la géométrie de
1
Lorsque 0 est régulier, ce résultat a été établi dans J l Lions [1].
1
On démontre aussi la contrôlabilité exacte de l'équation des plaques
vibr~ntes dans le cas v = 0 (c'est-a-dire un seul contrôle sur la position)4J) (1)>.&)
pour tout T > 0, pour toute donnée initiale (Yo, YI) appartenant il
1
F' = H-l (0) x [H3 (0) () H~ (0)1',
,1
en imposant une conditjon géométrjgue a savoi r que la mesure de chaque angle
eu sommet de n est pl us petite que Wo (# 151°) (chapitre 'l, Th. C.IV,2).
C.IV.2).
lorsque n est r§guljer, un tel résultat a été établi dans Lssjecka-Triggianj
Lssjecka-Iriggianj [1],
,1
sous la condition 0 est strictement étoilé.
1
l
:1
t,1~

---

1
- 12 -
1
1
La mise en oeuvre de la méthode H.U.M. repose, pour (cIl"
(~1, 410) E F et cilla
~ la
sol ution de
41"
Ill" + .6. 2
b,2 cil~ = 0
1
cil (0) =410
~(0)=410
"
~' (0)
(0) .... '1
~l
~ .. y~; = 0
1
= 0
è
8 prouver l'équivalence de la norme de (,"
(~l, '0)
~o) dans F,
pou r
pour le cas (p
(P l)
1) , avec PO (cIlo,
(~, cIl,)
~l) .... {f (JO x JO,rlly.6.cIll2
Jo,rllyb,~ 1 der dt} 112
1
(resp, pour le cas (P 2) avec Pl (4lo,
(410, cIl,)
~l) .... {{ f
h~~~~2
(JO x 10,Tl
lo,TC 1i~~~2 der dt }112
}
}).
Lorsque le domai ne Q est polygonal, l'établissement de ces équivalences
1
de normes n'est pas immédiate, d'autant plus d'ailleurs que Po et P, ne sont pas
toujours défi nies.
On résout (Pl)
(p1) grâce è
8 un résultat de régularité de typé
type H5/2 + eC (Q)
1
pour les éléments du domai ne du bilaplacien dans un polygone non fissuré et un
résultat établissant la densité de H4 (Q) () H~ (Q) dans
1
H5/2 + e
C (Q) () H~ (Q).
Le problème (P2) est plus
pl us restrictif; pour pouvoir
pouvoi r définir
défi ni r P, (410, "L
~lL
1
on impose une condition géométrique sur Q pour avoi r
avoir une régularité
H7/2 + e
C (Q) pour les éléments du dO~j)aine du bilaplacien dans un polygone.
C'est cette condition qui est traduite par (,Jo, En pl us, l'absence d'une énergie
1
C'est cette condition qui est traduite par <.Jo. En pl us, l'absence d'une énergie
si mple correspondante è
8 F, obtenue è
8 parti r des formules d'i ntégration par
parties impose l'utilisation des puissances fractionnaires du bi1aplacien
bilaplacien et la
détermi nation des domai nes des opérateurs correspondant dans le cas polygonal.
1
détermi nation des domai nes des opérateurs correspondant dans le cas polygonal.
Lorsque le domai ne est fissuré, on établit la contrôlabilité exacte de
l'équation des plaques vibrantes en imposant la condition géométrique que les
1
l'équation des plaques vibrantes en imposant la condition géométrique que les
lignes de fissure sont coucourantes en un poi nt Xo et qu'en pl us tous les
sommets de fond de fissure sont d'un seul côté par rapport è8 xo.
xo,
On étudie un problème de contrôlabilité exacte de l'équation des ondes
1
On étudie un problème de contrôlabilité exacte de l'équation des ondes
avec un contrôle frontière de type Di richlet. On considère une équation des
ondes à
è vitesse dépendant du temps. On montre qu'elle est équivalente à une
équation des ondes, de vitesse unité avec une perturbation li néai re d'ordre zéro
1
équation des ondes, de vitesse unité avec une perturbation li néei re d'ordre zéro
ce qui permet d'établi r sa contrôlabilité exacte par des techniques de compacité
et d'unicité introduites dans Bardos- Lebeau- Rauch [1]. Ce problème a été posé
dans J,L Lions [ll où il a été réso1 u lorsque la vitesse est une fonction
1
J,L Lions [11 où il a été réso1 u lorsque la vitesse est une fonction
croissante
croi ssa nte du temps.
te mps.
On définit
défi nit la contrôlabilité exacte spectrale élargie qui consiste d
contrôler une bande fi nie de fréquences, en un temps fi ni. On prouve la
1
contrôlabilité exacte spectrale élargie par une action sur une partie analytique
du bord, pour des problèmes mixtes hyperboliques généraux.
Dans
Da ns le cas particulier
pa rtic ul ier des plaques vibrantes,
vi brantes, on
0 n montre,
mo nt re, sous
so us certai
ce rtai nes
1
conditions géométriques sur le domai ne, la contrôlabilité exacte spectrale
élargie par une seule actjon sur une partie analytique de la frontière.
1
1
il

---

1
1
- 13 -
1
Enfin, pour les plaques appuyées)pour une condition d'espacement des
valeurs propres, on détermine par passage à la limite dans la contrôlabilité
1
exacte spectrale élargie, les espaces des conditions initiales pour leur
contrôlabilité
co nt rôla bil ité exacte.
On expose les résultats dans l'ordre suivant : au chapitre L on
1
détermine les espaces intermédiaires entre le domaine du bilaplacien et
l'espace LP (Q) et on donne le domai ne des puissances fractionnai res du
bi1aplacien
bilaplacien dans le cas L2 (Q) ; au chapitre 2, on établit les résultats de
1
régularité maximale dans un polygone et on donne une décomposition d'arète des
sol utions du bilaplacien,
au chapitre 3, on démontre la contrôlabilité
exacte de l'équation des plaques vi brantes pour un contrôle de position et pour
1
un contrôle de type "N = 0a et 'Y~ '",. v ; on démontre au Chapitre 4, la
contrôlabilité exacte de l'équation des plaques vi brantes dans un domai ne
1
polygonal fissuré; au chopitre
chapitre 5, on établit la contrôlabilité exacte de
l'équation des ondes avec une vitesse dépendant du temps et enfin au chapitre 6,
on définit la contrôlabilité exacte spectrale élargie et on l'établit pour un grand
1
nombre de systèmes distri bués gouvernés par des équations aux dérivées
partielles hyperboliques ou bien posées au sens de Petro'w'skL
Petro'w'slci.
1
- - - * - - -
BIBUOGRépHU
BI8 LIOG RA PHU
1
JJ, Adeyeye
Adeueue : [1] Real interpolation and the laplace operator in polygon. C.R. Acad.
1
ScL,
SCi., Paris, t. 299, Série l, nO 19, 1984, p. 978- 982 .
.
Agmoo-Pougl\\3-Nire~:
Ag mo 0 - Po ugl \\3 - Ni re 'ti.hW.: [1] Estimates
Esti mates near
nea r the boundary
bo unda ry for
fo r solutions
sol uti 0ns of
1
elli
e11i ptic partial differential equations satisfayi ng gene ral
boundary conditions. I. Comm. Pure App1. Math. 17 (1964).
(1964), p.
35- 92.
1
Bardos- Lebeau- Rouch : [1] Sharp sufficient conditions for the observation,
control and stabilizat10n of 'w'aves from the boundary. Aparaitre.
1
M Payge: [1] Régularités et singularités
si ngularités des solutions
sol utions de problèmes aux
limites elliptiques sur des domaines singuliers de type à coins.
1
Thèse d'Etat, Nantes, 1986.
p, Grjsvard : [1] Elliptic
E11iptic problems in non smooth domains. Monographs
Monogrophs and
1
studies in mathematics, 24, Pitman, 1985.
P Grjsyard: [2] Contrôlabilité exacte des sol utions de l'équation des ondes en
1
présence de singUlarités.
singularités. J. Maths. Pures et App1., 68,1989, p.
215-259.
1
1
il

---

1
- 14 -
1
:... Lasjecka- R, Trjggjanj : [1] Exact controllabnHy of the Euler- Bernouilli
1
:... Lasjecka-R. Trjggjanj : [1] Exact controllability of the Euler-Bernouilli
equation 'w'ith controls in the Dirichlet and Neuman boundary
conditions: a non conservative case.
case, Aparaitre.
paraHre.
1
J L Lions: [1] Exact controllability.
controllabnHy, stabili
stabni zation and perturbations for
distri buted systems. J. Von Neuman Lecture.
Lecture, Boston.
Boston, 1986. SIAM
Revie'w', 30, 1988, p. 1- 68.
1
Revi e'W. 30. 1988. p. 1- 68.
J L Lions: [2] Contrôlabilité exacte.
exacte, perturbations et stabilisation de systèmes
distribués.
distribués, tome 1.
l, Masson.
Masson, 1988.
1
M.T Niane: [1] Interpolation du domai ne du bilap1acien
bilaplacien dans un polygone: le
cas LP.C.R.Acad .•
LP.C.R,Acad., Paris.t.
Paris,t. 307.
307, série 1.
l, 1988.
1988, p. 517-521.
p.517-521.
1
M.T.
M.T Ni§ne :
Njane: [2] Contrôlabilité exacte de l'équation des plaques vibrantes dans un
polygone.
polygone, C. R.
R, Acad. SCi.,
ScL, Paris, t. 307, série 1.1988.
1,1988, p. 517-
1
521.
MT Njane:
Niane: [3] Contrô1abllité
Contrôlabilité exacte spectrale élargie des systèmes distri bués
1
par action sur une partie analytique arbitrai re de la frontière .
.C.R. Acad. Sci. Paris.
Paris, t. 309.
309, série l, p. 335- 340.
340, 1989.
1
MT Njane:
Niane: [4] Contrôlabilité exacte de l'équation des ondes avec une vitesse
dépendant du temps. Actes Congrès Analyse Numérique de France.
france,
Loctudy.
Loctudy, 1990.
1
D L Russell:
Russe]]: [U
[1] Controllability
ControllabilHy and stabili zation theory for li near partial
differentia1
differential equations. Recent progress and open questions. SIAM
1
Revie'w' 20,1978, p. 639-739.
Zolézjo : [1] Interpolation d'espaces de Sobolev avec conditions aux li mites de
1
type mêlé. Thèse, Nice, 1977.
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
- 15 -
1
CHAPITREI
CHAPITREl
;1
INTERPOLATION DU DOMAINE DU
1
BILAPLACIEN DANS UN POLYGONE:
LE CAS LP.
1
1
I. INTRODUCTION:
1
On détermine les espaces intermédiaires entre le domaine du
bilaplacien et les espaces LP dans un ouvert polygonal.
1
Ces espaces interviennent de manière naturelle dans l'étude de la
1
régularité des équations de type chaleur ayant comme opérateur elliptique
~lliptiQue
associé le bi1ap1acien et aussi pl us récemment, dans la contrôlabilité exacte
1
de l'équation des plaques vibrantes pour un contrôle frontière de position .Ce
problème sera d'ailleurs abordé au chapitre 3.
1
Lorsque le domaine n est régulier, ces espaces sont les interpolés de
1
W4 ,
4, P(
P n ) I"l
() W0
W 2, p( n) avec LP
L ( n) .Pa
. r co nt re ,da ns 1e
1 cas 0 ù n est
polygonal, il appara1t
apparait dans le domai ne du bi1ap1acien des sol utions
1
si ngu1ières
ngulières qui abaissent la régularité usuelle ce qui complique
considérablement l'établissement des esti mations a priori.
1
Les méthodes
mét hodes utilisées
uti 1isées pour le laplacien
la p1aci en (voir
(voi r Adeueue[
Adeueye[ 1])
1]) sont
so nt inopérantes,
i no péra ntes,
1
car on ne conna1t
connaît pas pour le bi1ap1acien
bilap1acien de multi p1icateur
plicateur du type de
l'application de dualité dans LP.
1
Il en est d'ailleurs de même de la méthode de Agmon qui
Qui consiste en
l'adjonction d'une variable supplémentaire car l'étude de la régularité dans
1
1es
1 do mai nes à coi ns est hé réditai
héréditai re)
re, elle
e11 e procède des di me nsi 0
nsio ns i nfé ri e
rie ures
1
1
1

---

1
- 16 -
1
- 16 -
1
vers les dimensions supérieures, contrairement aux domaines réguliers
po url esque1 s, e11 e est i ndépe nda nte de 1a di me nsio n.
1:
po url esque1 s, ell e est i ndépe nda nte de 1a di me nsio n.
Les pri nci pales étapes de notre démonstration seront:
1
-l'esti mation a priori dans un secteur
-la représentation des coefficients des sol utions si ngu1ières
1
-l'esti mati 0 n de ces coeffi ci ents.
1
II.
RAPPEL
DE
QUELQUES
RESULTATS
DE
LA
THEORIE
PE
DE
L '1 NT ERPO LArro N RE ELLE!
1
L'INTERPOLATION
REELLE.
On rap pell e
rappelle succi nte me nt
succintement quelques défi nitio ns
définitions et rés!, ~ tats
rés:.~tats de la t héori e
théorie
1
de l'i nterpo1ation réelle. Pour de pl us amples détails et en particulier pour
les preuves, on se réfère à Lions-peetre[ 1].
1
II,l,DEFINUIONS
ET
PROPRIETES.
1
II.l.pEflNITIONS ET PROPRIETES.
Soient Eet F deux espaces de Banach munis respectivement des normes
1
Il liE
ilE (resp III1F ). On suppose que E est contenu dans F avec injection
conti nue (ce qu'on note par EC-+F).
1
Soient pEl1, +00[. Ço et çt deux réels tels que ÇOÇ1<O,
ÇOçt<O, on note
W(p,ço,E;p,çt,F) l'ensemble des fonctions u de IR à valeurs dans F telles
1
que:
1
<II.
(II. 1)
eÇotu ( t)
(t) EL P(
P E)
et
eÇ,
e~ t tu
t u(t) E LP(
P E) .
L'espace W( P,ço,E;P,Çl,F)
p,ço,E;p,çt ,F) muni de la norme
1
(II.Z)
(II.2) lIull W(p,ço,E;P,Çl,F)
W(p,ço,E;p,çt,F) =max{ lIeÇotu(t)IILP(E) , Il eç,t u(t)IILP(F)
e~ttu(t)IILP(F) }}
est un espace de Banach.
1
Si
uE W(p,ço,E;P,Çl.F)
W(p,ço,E;p,çt,F)
alors S[R
SIR u(t) dt existe dans f; on note
S(p,ço,E;çt ,p,F) l'ensemble des valeurs de SIR u(t) dt pour
1
S(p,ÇO,E;Çl,P,F) l'ensemble des valeurs de S[R u(t) dt pour
1
1
1

---

1
1·
- 17 -
:1
uE W( p);0, E; p,l; l ,F) .
1
L'espace S(p,ÇO,E;Çl,P,F)
S(p,~o,E;~"p,F) muni de la norme
,
,
(11.3) lIall S( P'~O,E;~l ,p,F)
S(p,~o,E;~"p,F) = i nf{
inf{ lIull W( P,~o,E;P,~l,F) /
W(p,~o,E;p,~"F)/ uE W( P,~o,E;P'~l,F)
W(p,~o,E;p,~"F)
:1
et
f lRu(t)dt=a}
J
jj
il
est un espace de Banach.
On a:
1
li
(11.4)
EC-+ S( p,~o, E;~ b p, F) C-+f;
1
Ce qui justifie que S( P'~O,E;~l ,p,F)
p,~o,E;~"p,F) est un espace intermédiaire entre
:1
Eet f.
F.
1
:1
Ensuite, comme pour tout À;eo, on a :
1
(11.5)
(II. 5)
S( p,À~O,E;À~l ,p ,F) .. S( P,~o,E ;~l ,p ,F).
1
:1
on pose 8"'~0/(~0-~1) ,alors 8E l 0,1 [ et
(11.6)
S( P'~O,E;Çl ,P.F)" S( P,8,E;8-1 ,p,F).
1
On appelle espace d'interpolation d'ordre 8,8El
S,SE] 0,1 L de E par rapport ilà fF
dans LP, l'espace de Banach noté [E,fl8,p
[E,F]s,p défini par
1
(11.7)
(I1.7)
[E,f l8 ,p ,. S( P,ÇO,E;~l ,p ,F)
11
et muni de la norme (11.3).
1
On pose que:
1
(11.8)
(I1.8)
[E,flo,p=E et [E,fll,p=f.
1
II,2. THEOREME
D'INTERPOLATION:
1
Soient U et V deux espaces de Banach, on note :f(U,V) l'ensemble des
applications linéaires continues de Uà valeurs dans V muni de la norme de la
1
convergence uniforme sur les bornés de U.
Soient El
E, et f l
FI deux espaces de Banach tels que El
E, est contenu dans f l
F, avec
1
injection conti nue;
continue; soit n E :f( f ,f 1)
:fU,F,) telle que S8
sa restriction à E est li néai re
linéaire
1
1
.1

---

1
- 18 -
1
1
continue à valeurs dans E1
E .On énonce le théorème très important suivant
appelé théorème d'i
d'; nterpolation.
1
Théorème]
Théorème 1
Soit 8E]O,][
8E]0, 1[ , l'spplicstion
l'application li nés;
néa;re TI
TT sdmet
admet un prolongement li
1;nés;
néa;re et
1
continun de[E,F]8,p 8vsleursdsns[E
8valeursdans[E 1 ,Fd8,p
,F 1 ]8,p etenplus,ons:
etenplus,ona:
1
8
(II. 9)
9 ) IITiII:e( [E, F]8, P , [E l ,F d8
1
,p
]8, P ) ~ Il Tf Il :e ( E, El) ]l- 8
-
Il n Il :e(F,F
F 1 ) .
1
II.3.THEOREME DE REITERATION:
II.:3.1.Espoce de clUU
E,F).
l,
II.3.1.Espoce do clUU L<
LC E,F).
Sl)it G un 30US espace de Banach contenu dans F avec injection continue, on
1
dit que Gest de classe Xs( E,F), s'il existe c>o tel que: on a
(II. ]0.)
la'>
1
On a pour tout 8E[ D, 1L
IL
(II.l])
(II. l 1)
[E,F]8,p EXs(E,F).
EXs(El).
1
Une condition nécessai re et suffisante pour que GEXs( E,F), est que [E,F]8 1
, l
,
1
30it contenu dans Gavec injection continue.
On a:
1
G E Xo( E,F) si EC-+G
FE
F E Kl(E,F)
K1 (E,F) si G-F.
1
II.3,2,Théorème
II,:3, Z.T héo rè me de réitératl..Q.D.;,
réité rotl..Q..D.;,
ThéorèmeZ
1
Soient 80
8
tels que
soient
0 ,9 1 ,9E]O,l[
,9E]0,t[
tels que 9 <8<8
GoEK..eo(E,F)
et
0 <8<8 1 ;
1
soient GoEK.ao(E,F>
1
G1 E!a1
1
(E,F
(El ,slors on a:
')
[E,Flv,p
(E,Flv,p C-+ [G
avec v=(
O ,G 1 ]8,p
avec v =( 1-8)8 +8 8
0 +
0
980
1
2)
[ E,F lv ,p c-+
C-+ [E ,G 1 ]8, p
avec v=88
8vecv=88 1
3)
[E,F]v,p C-+[Go,F]9,p
,F]8,p
avec
svec v=( 1-8)8 +8
0 +9
0
1
1
1
1

---

1
1
- 19 -
.'
.'
1
-!-~
1
III.RAPnLS.Sll.R
III.RAPPeQ ..SlI.R tES
LES SOLUTIONS SINGULIERES PU
BILAPLACIEN
AU
VOISINAGE D'UN SOMMET DANS UN DOMAINE POLYGONAL.
1
1
Pans
Pan~ ce paraQraphe, on fixe les
le~ notations et on rappelle quelques
quelque~ propriétés
des
de~ sol
~ol utions
ution~ si
~i nQulières
nQulière~ du bilaplacien
bi1aplacien qu'on utilise
uti1i~e par la suite.
~uite.
1
IlL], NOTATIO NS;
IIIel,NOTATIONS:
On désigne
dé~iQne par n un domai ne polYQonal borné de lR 2
lR de sommets (Sj) O~j~N ;
1
lorsque jE{O, ...
jE{O,. .. ,N-l L rj est le côté de n entre Sj et Sj+ 1 tandis que rN est
le côté entre SN et So ; le couple
(rj, Sj)
Qj) représente les coordonnées
coordonnée~
1
polai res
re~ locales
locale~ au sommet
~ommet Sj avec l'anQle
l'snQle aj mesuré
me~uré à parti r du côté r j ;
1
l'anQle
l'snQle interne de n au sommet Sj mesuré
me~uré à partir de rj est
e~t noté Wj ; Yj
Vj est
e~t
le vecteur unitai re
unitaire normal è
à Q
n en rj di riQé
diriQé vers
ver~ l'extérieur de Q
n ;; tj est
e~t le
1
vecteur unitaire tanQent à n en rj diriQé dans
dan~ le sens
~en~ de Sj+ 1 pour
jE{O,ro.,N-l
jE{O,... ,N-l } et dans
dan~ le sens de So pour j.. N.
1
On note Pioci pour oci ElN, l'opérateur dérivée d'ordre oci par rapport à la
1
iième
coordonnée (i .. l ou 2) (lorsque
(lor~que oci = l,
1, on note Di au lieu de Di 1);
pour OC"( OC
oc
b OC 2),
OC"(OCi,OC2), avec OCElN 2
ocElN ,on note DOC l'opérateur D1oc
D
1D
1oc
2
2; 'll'j est
2oc2; ~j e~t
1
l'opérateur trace sur
~ur rj et Vij
Yij l'opérateur Vjdi/dyji
Yjdi/dVji pour iElN et
jE{O,... ,N} avec Voj=Vj .1
Yoj=Yj.1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
- 20 -
1
1
Espaces de Sobolev.
,.1
Soit p>l et kEIN, on note Wk,p(n)
Wk,p(n> l'espace de Sob
Sobmo&~ém~
1
rA
•
des fonctions UELP( 0)
n) telles que
pour tout (OCl ,OC2)
,OC2> EIN2 avec oc
OC l +oc2~k,
1
D 0C
D
l D
1
10C l 2OC2UELP( 0); on munit W k,p( 0) de la norme
2OC2UELP( n); on munit W k,p( n) de la
(III. 1)
OII.1)
lIulh:, p,O
lIulh:,p,n ={ I
l
OCl +
OCl
oc2~1c
+oc2~k IIDl OC
l oc 1 D2°C2uIlLP (
D2°C2uIlLP( 0)
n) p } 11 p
l/p
1
avec une telle notation lI ullo,p
lIullo ,p ,0=lI
,n=lI uIlL
u
P( n).
On note Wok,p(n) l'ensemble des éléments UEWk,P(O)
UEWk,p(n) vérifiant ~ijU = 0
1
pour tout jE{O,...
jE{O" .. ,N} et iE{O,.
iE{O"..,k-l }.
Lorsque p=2, on pose Hk(n> ~ W k,2(n) et Hok(n) = Wok,2(n>.
1
Lorsque p=2, on pose Hk(O) =W k,2(n) et Hok(n) = Wok,2(0).
Les espaces Hk(O)
Hk(n) et Hok(O)
Hok(n) sont des espaces de Hilbert.
1
Les espaces Wk,P(O)
wk,p(n) et Wok,p(n)
wok,p(n) munis de la norme IIl1k,p,o
IIl1k,p,n sont des
espaces de Banach réflexifs.
1
Soit sEIR+ avec s-k+O", où : est égal il la
18 partie entière de s, l'espace de
Sobolev WS,p(n) est l'ensemble des fonctions UEWk,p(n) telles Que pour
1
Sobolev WS,p(n) est l'ensemble des fonctions UEWk,P(O) telles que pour
tout couple (OCl ,oc2) EIN2
(OC1,OC2)EIN2 avec oc l + OC2 =k alors:
OII.2)
f nfn (1 D OC1D OC2 u(x)- D ocl D OC2U(y)IP/lx-yI2+O"p) dxdy<+oo
1
OII.2)
f of 0 (1 D1OC
1 1D OC
OC
2 2 u(x)-
2
Dl oc l D2 2U(y)IP/lx-yI2+O"p) dxdy<+oo
2
On munit WS,P(O)
WS,P(n) de la norme IIl1s,p,n définie par
s,p,n définie
1
OII.3)lI ulls,p,0
OII.3)lIulls ,P ,n =Ululls,p,o
={II ulis ,P ,n pP +
~OCl +oc2=kf 0n f 0n (ID
OC
(ID 1OC 1
1OC D2 2(u(x) - u(y) )IP /lx-yI2+O"P)dxdy} l/p
1
2
2 (u(x) - u(y) )IP Ilx-yI2+O"P)dxdy} IIp
On note WoS,P(O)
WoS,p(n) l'ensemble des fonctions UE WS,P(O)telles
WS,P(n)telles que ~iju=o
pour jE{O,... ,N} et i entier tel que i<s-l/p
1
pour jE{O,... ,N} et i entier tel que i<s-l/p
Les espaces WS,P(O)
WS,P(n) et WoS,P(O)
WoS,p(n> munis de la norme IIl1s,p,n
IIl1s,p,Q sont des
1
espace~ de Banach réflexifs.
Soitq>l tel que IIp+llq
l/p+l/q =1;3oitsEIJL*,
=1;3oitsElIL*, l'espaceWs,q(Q"
]'espaceWs,q(Q" (resp HS(O)
HS(n)
1
pour p=q=2) désigne le dual topologique de Wo-S,P( Q) (resp Ho -S( 0) ).
o-S,P( Q) (resp Ho -S( n)
1
1
1
1

---

1
1
- 21 -
,1
Soit u une fonction définie sur Q, on note U le prolongement de u sur lR 2
1R
1
par zéro hors de Q;·on définit WS,P(Q) (resp HS(Q) Lcomme l'ensemble
1
des fonctions uEWS,p(n)
ueWS,P(Q) (respHS(n)
(respHS(O) )telles que UEWS,P(lR
UEWS,P(1R 2 ) (resp
UEHS( lR 2
1R ) ).1
,1
.ces de Besoy
1
On note BS,p(n)
BS,P(O) l'espace de Besov usuel qui est donné par
1
(III.4)
(IlIA)
[ Wle + 1,p ( n) , LP( n) ]9, p
1
où lek est la partie entière de s et où S
s :la=a (( 1-9)( Ie+
Ic+ 1).
1
On rappelle que lorsque s n'est pas un entier naturel ou si p=2 ,on a
.~
OII.5)
(III.5)
BS,p(n) :la WS,p(n).1
,1
,1
Soit F un espace de Banach, on note F* le dual topologique de F; soit A une
!
partie de F, on désigne par Vect(A) le sous espace vectoriel engendré par A.
,1
Si 1EF*
1eF* et UEF,
uEF, on al(u)=<I,U>F*F
al(u)=<l,U>f*F où <, >F*F est le crochet de dualité
~j
usuel entre F
f et F* .1
';
il
,
j
III.2.S0LUTIONS
SINGULIERES
DU
BILAPLACIEN
DANS
UN
,1
DOMAINE POLYGONAL.
l
1
Soient p>l etq>l des réels tels que l/p
IIp + l/q = 1 ;soitfE LP(n),
LP(O), on
considère le problème suivant:
11
j
1
1
1
1
i
1
},
~
1
!
~I
1

---

1
- 22 -
1
1
Trouver u E Ho
H 2( n) telle que
(III.6)
(III. 6)
Ô. 2 u = f
da ns Q
n
1
'iOjU
'tOjU = 'iljU
'tljU = 0
O~ j ~N, sur rj
Comme LP( Q)
n) est contenu dans H- 1(Q), (111.6.) est équivalent à la
1
formulation variationnelle suivante:
1
Trouver UEHo2( Q) telle que
o2( Q) telle
{
(IIL7.)
(III.7.)
f Q ô.u ô.v dx ~ <f , u>H-l (QLH
(nLHo 1(Q) pour tout v E Ho2( Q).
o 1(Q) pour tout v E Ho2(
1
La fo r me bil i néai re
a(
a( u,v)
u,v) = f QAU
Q â u ô.v
Ô.v dx
1
est conti nue et coercitive sur Ho
H 2( Q), aussi (IIL7,) admet-elle une unique
o2( Q), aussi (111.7,) admet-elle une
solution UEH
1
o2(Q).
o
Si nQ était régulier alors UEW 4
UEW
,P(Q)nH
,P(Q)()Ho2(Q); dans notre cas il existe
o2(Q); dans notre cas il
1
une décomposition de u en une partie régulière et une partie si ngu1ière Que
nous allons expliciter.
exp1 iciter.
1
Soit jE{O, ... ,N}.
,NL soit CCij (resp ~ij) les racines simples (resp doubles) de
l'équation:
1
(III.S.)
(II1.a.)
sin 2
sin (zwj) = z2 sin 2
sin wj
1
telles que
(III. 9.)
(II1.9.)
o < Rez < 1 + 2/q
pour j=O à N
1
On pose:
(III. 10.)
1
4>(Ôj ,aj) =
1
[si n(ôj+ 1) Wj- «
« 1+
1 ôj) /(
I( ôr 1»si
1) )si n(ôr
n
1) Wj ]x[cos(Ôj+ 1)arcos(ôr
1)aj-cos(ôr 1)aj] -
1
[cos(Ôj+ 1)Wj - cos(Ôj+ 1)Wj]x [sin(ôj+ 1)ar«Ôj+
1)Sr«Ôj+ 1)/(ôr l»sin(ôr
1)sin(ôr 1)aj 1
(III. 1U
(II1.1U
'It(Ôj
'lt(Ôj , aj)
Sj) = (Cl/Clôj)4>(ôj ,Sj)
,aj)
1
(III.12)
(II1.12)
0-
cr- 1ij
1 ( r j ,Sj) = r j 1+O'ij <I>(O'ij, Sj)
ij ( r j ,Sj) = r j 1+O'ij cp(O'ij,
(III13)
0-2
cr-2ij (
ij( rj ,Sj) = rj 1+
1 r.ij [( Logrj) <1>(
cp( r.ij ,Sj) + 'It(
'lt( r.ij ,Sj) 1
1
1
1
;1

---

1
- 23 -
1
1
Soit T'lj une fonction de troncature au voisi nage
voisinage du sommet Sj c'est à di re
dire que
T'lj
nj aPparti ent
appartient à 7) ( IR 2)( espace
~(1R2)(espace des fo ncti
2
0 ns
fonctions i ndéfi ni me nt
indéfiniment dé riva bles
dérivables de IR
1R 2
1
il
à support compact) ,que T'lj est égale à 1 au voisinage de Sj et supp(T'lj)
Supp(T'lj) () n
1
ne rencontre pas de sommet de n autre que Sj . On peut d'ailleurs prendre Tlj
nj
indépendante
i ndé pe nda nte de Bj
ej .
1
Si on fait l'hypothèse classique suivante:
(Hl) L'équation (III.a.) n'adm~t
n'admet pas de racine sur la droit~
droite Rez = 1+2/q,
1
1
dans le plan complex~;
complexe;
alors, d'après Grisyard[ 1L toute solution u de (111.6.)
(III.6.) s'écrit de manière
1
unique:
1
(II
14) U·
u .. UR
uR +
i:
!;
{
i:
!;
Ci j
Cij cr- 1
cr- li
lij Tlj
nj
+
i:
!;
dij cr- 2
cr- ij T'lj }}
O~j~N
O~ j~N
0< Reocij <1
< +
1 2/q
O<Re~ij <1+2/q
1
1
On a aussi une
une autre écriture
éc riture de u qui peut, dans
da ns certains
ce rtai ns cas être
êt re plus
pl us utile:
1
util e:
(111.15.)
(III.15.) u = ÜR +
i:
!;
{
i:
!;
Cij cr- 1
cr- ij
1
+
i:
!;
dij cr-2
cr- ij}
O~ j~N
0< Reocij <1
< +
1 2/q
O<Re~ij <1
< +
1 2/q
li
où Cij et dij sont des constantes (d'ailleurs identiques à celles de la formule
1
(111.14.»
(III.14.» et où ÜRE W 4
W ,P( n); on perd ainsi
ai nsi les conditions au bord simples
pour UR
uR tout en récupérant une partie si ngulière
singulière pl us
plus explicite que
1
précédemment et qui vérifie l'équation:
(111.16.)
1
(III.16.) t:. 2
6 'W
0w = 0 dans n.
1
1
1
1
1

---

1
- 24 -
1
1
RemorQue3:
Re ma ra ue3;
1. Les fonctions (J"lij (resp ~lij = (J"lij l'lj ) sont appelées les solutions
1
singulières du bi1oplocien
bi1aplacien au sommet Sj- Ce qui tient ou fait que si
O<ReOCij <1
< +
1 2/q et O<Re~;j<
O<Re~ij< 1+
1 2/q alors (J"l;j
(J"lij et :flijSont
:flij sont dons H2( n)
0) mois
1
n'appartiennent pas à
il W4 ,P( n).
0).
1
2. On a
2.0na
:flij E H
:flijEHo2( n) .1
o 2(O) .•
1
IV.RE5ULTAT
PRINCIPAL:
On fait les hypothèses suivantes:
1
(Hl)
(HO pour tout jE{O
Nl
N} l'éQuation
l'équation (III 8 ) n'a pas de racine sur la droite
Rez= 1+
1 ZIQ
Zia dons
dans le plon complexe
complexe.
1
(h::) L'éQuation
L'éQyation (III 8 ) n'a pas de racine doyble vérifiant (III 9)
1
L'hypothèse (H2) exclut un nombre fini d'angles exceptionnels.
On omet donc don3
dan3 10
la 3uite l'exposant 1 de (J"lij-
1
On note A l'opérateur non borné fermé de LP( n),
0), de domai ne D(A) donné
par:
1
(IV. 1.)
1
et qui à
il tout uED(A) associe
(IV.2.)
AU"6 2 u.
1
AUS3i
Aus3i tout élément UED(A)
uED(A) admet-il une représentation de la forme
(III.14.) ou (III.15.).
1
On pose
(IV.3.)
1
Cet espace a été étudié dans Zolézio[ 1].
1
Si on pose a/x) la di2tance de x à
il rj et v=4( 1-9) 31or~
310r~ Zolézjo a pr-ouvé
que:
1
1
1
1

---

1
,1
- 25 -
1
(IVA.)
(IV.4.)
Xe,p={ UEBY,P(O) 1 ~ijU=O
i < '11- IIp O~j~N}
1
si Y-l/p
v-l/p n'est pas un entiernaturel et dans le cas contraire, on a:
(IV.5.)
Xe,p={ UEBY,P(Q)
UEBV,P(Q) l/ 'v'jE{O, ... ,N} , ~ijU=O
~iju=O si i<Y-l/p,
i<v-l/p,
1
Sf l(X)~ijU(X)ELP(Q) pour i=Y-l/p}
i=v-l/p}
,I
On peut mai ntenant énoncer le résultat pri nci pal de ce chapitre.
Tbéorème3:
·1
Soit eE]O, 1[
eE]O,l[ tel que 4e;t '3
telque4e~'3 - Reoci j
Reocij - 21 p,
-2/p, 8lors on 8:
81orson8:
•
(IV.6.)
[D(A) ;LP(O) ]e,p = Vect[ Xe,p; O"ijl4e<
C"ij/ 4e< '3 - ReOCij -2/p].
-2/p] •
1
1
La formule (IV.6.) signifie Que l'espace [D(A) ; LP(Q) ]e,p est égal à
l'espace vectoriel engendré par Xe,p et l'ensemble des solutions singulières
1
O"ij
(Ti j n'appartenant
n'a ppa rtena nt pas à Xe,p.
Xe, p.
La preuve de ce théorème occupe les paragraphes V,VI,et
V
VII. Au paragraphe
1
V, on établit une estimation de type Agmon-Douglis-Nirenberg pour le
bilaplacien dans un ouvert polygonal et au paragraphe VI, on donne une
1
esti mation de la résolvante du bilaplacien
bi1aplacien dans un ouvert polygonal,
1
esti mati 0 n
estimation Qui re pose
repose sur le choi x
choix de lare
la
prése ntati 0 n
représentation des coeffi ci ents
coefficients des
solutions
sol utions singulières
si ngulières et de leurs estimations
esti mations .•
1
V.ESTIMATION A PRIORI DE TYPE
AGMON-DOUGLIS-NIRENBERG
1
POUR LE BILAPLACIEN DANS UN DOMAINE POLYGONAL.
1
On note lR 2
lR + l'ensemble { (x, ,
(Xl, X2)
X
1
2) / x,
Xl E IR et X2
X2 E IR* + }; soit f une
1
fonction défi nie sur lR 2
lR , on note NÇ)
f(Ç) ou (Ft) (ç), avec ç = (Ç,
(Çl , ç2L la
valeur de la transformée de Fourier de f(x) dans IR2 c'est à dire
di re
1
il
1
1

---

1
- 26 -
1
1
(V.l.)
f(~) = (1/211) f 1R2 f(x) exp(iç.x) dx
où ç.x=I 1~i
1 ~2 Çi xi .
1
On utilise aussi lorsque f est définie sur 1R2+ sa transformée de Fourier
partielle par rapport à la première variable qu'on note encore {et qui est
1
partielle par rapport à la première variable qu'on note encore {et qui est
donnée par:
l,
(V.2.)
{(n, y) ::r ( 1/-/211) f IR f(x ,y) exp(inx) dx
où n€lR.
1·
La convoI ution dans 1R2 entre deux fonctions f et 9 est notée f*g.
Les esti mati 0 ns a pri 0 ri da ns 1e de mi - es pace so nt 0 bte nues par la mét hode
1
Les esti mati 0 ns a pri 0 ri da ns 1e de mi - es pace so nt 0 bte nues par la mét hode
de Grisvord( 11. L'outil de base est le théorème des multi plicateurs de
1
Mf kbli n[ 1] dont nous donnons l'énoncé pour la commodité de la lecture de ce
travail.
1
Théorème4:
Soit a€C n
a€C
(
n IRn\\{O}) telle qu';] exi,te une con,tante C avec
1
(Va€lN n
(Va€lN
Ilal~n ) (Ve€lRn\\{O})
lçI1aIIDaa(e)1 ~ C
1
alor, l'opérateur
gl
.F-1 a Fg
1
e,t linéaire continu dan, LP( IRn) et j1 existe K( n,p) €IR*+ telle que:
(V.3.)
IIF-l e F gllo,p,lRn ~K(n,p) CIIgllo,p,lRn
1
pour toute fon... tion g€LP( IRn) et tout p> 1. •
1
1
1
1
1
1
1

---

1
- 27 -
1
1
V
V, LESTIMATION DANS UN DEMI- ESPACE:
ThéorèmeS:
1
Il
11 existe C > 0 telle que pour tout u E W4 ,P( 1R2+) () Wo 2 ,P( 1R2+) ,
o 2 ,P( 1R2+)
on a:
1
( V.4 .)
(VA.)
Ilul14 ,p,IR
IIuI14,p,1R 2 ~ C Il à 2
à
u + U
u Il 0,p , IR
1I0,p,lR 2
+
+
1
preuve:
1
Soient u EW4,p(1R2+) ()Wo 2,p(1R2+) et fE LP(IR2+) tels que
o 2,p(1R2+)
et fE LP(lR 2 +) tels
(V.5.)
1
On note E l'origi nale pour la transformée de Fourier sur IR2
1R 2 de [1 +lçI4]- 1
C'est
1
à
8 di re
(V.6.)
1
(V,6,)
et Eest une sol ution
solution fondementale de (6 2
(à
+ I).
1),
Lemmel~
1
Lemmel:
L'application
(LP( 1R2)
) W4 ,P( IR2»)
1
lR 2 »)
"\\
g
gl-,--~) E*g
1 1 - - - - - + ) E*g
1
est linéaire et continue.
continue,
preuve du Jemme
lemme 1:
1
l:
On vérifie Que:
que: pour tout c(EIN2,
aE1N2, il existe CC(>O
Ca>O tel que
(V.7.)
1
(V.7,)
Il suffit de passer en coordonnées polai res.
res,
1
Il en résulte que pour tout C(E1N2
aEIN2 tel que 1C(1~4,
lal~4, çC(Ê(ç)
çaÊ(ç) vérifie les
hypothèses du théorème de Mi khli n donc l'application
1
(LP( 1R 2)
)W 4 ,p(IR2)\\
(V.8.)
\\
g r -
) pcxE*g
)
1
1
1
1

---

1
- 28 -
1
1
est bien défi nie et est li néai re et conti nue; or
OOCE*g =OOC(E*g)
1
donc pour tout ocEIN2 tel que locl~4
OOC( E*g ) ELP( 1R2)
1
d'où
1
E*g
E
E W4 ,p ( IR 2)
et dépend conti nûment de g dans LP( 1R2).1
1
Comme fE LP( 1R2+), alors fELP( 1R2), donc d'après le lemme l, on a
1
1
(V.9.)
Il E*f1l4,p,1R2
E*f1l4,p,1R
~ C 11~IO,p,1R2
+
1
On pose
('1.10.)
1
alors vE W4 ,P ( IR 2 +) et v est sol uti 0 n de :
6 2
6 v
2
+ V ~ 0
1
(V.l1.)
dans IR
"V ="E*f
"OyV = -"OyE*f
dans IR
1
On pose
1
(V.12,)
ko
k ="E*f
=
et
k1 =-"OyE*f
alors ko
k E W4-1 /P,P( IR) et k E W3- 1/p,P(
1
IR).
o E W4-1 /P,P( IR) et k1
1
On appliquant à (V .11.) la transformée de Fourier partielle et on obtient:
~ D~4v - 2~2 ~~2v + : 1+~4) V=
V D
1
(V.13.)
1
l'ij'y(~,0) =ko
'ij'Oyv(~ , 0) = k1
l'ij'y(~,0) =ko
'ij'Oyv(~ , 0) =
1
1
1
1

---

1
- 29 -
1
1
L'équation (V.13.) est pour tout ç donné une équation différentielle
ordinaire linéaire à coefficients constants du quatrième degré; elle a pour
1
équation caractéristique:
1
(V.14.)
(V.14J
On pose:
1
(V.1S.)
(V.IS,) { a:or
a,.. «~2 + (1+~4) 1/2)/2) 1/2
b:or
b,.. (2(~2+( 1+~4) 1/2) 1/2
,1
(V.16.)
(V. 16,)
Xo=a+ib
Xo = a + i b
alors (V.14.)
(V.14J a pour raci nes
racines X
1
o
X
-X
X , -X où X est le complexe
J
o , -X o , X
o ,
o , - Xo où X est le
conjugué de X .
1
Il en résulte que
Que
(V.l?)
(V. 17,)
v(~,y):or
v(~,y),.. A(~) exp( -Xo y) + B(~) exp( - Xo
X y) +C(~)
+ C(~) exp(XoY)
1
+ D(ç)
D(~) exp(Xol})
exp(XoIJ)
Comme vE W4 ,P( lR 2
lR +) alor~ v(~,.) EH 1(lR+),
1
aussi tous les termes de
1
(V.l?)
(V.17.) à croissance rapide doivent s'annuler; donc C(ç)
C(~) :or,.. D(ç)
D(~) "",.. O.
1
On a alors:
(V.18.)
1
avec
(V.19.)
1
(V. 19,)
l A+ B= k
=_ o
k
.-
l X
L oX A + XoX B==-- kle1
1
d'où on ti re:
<V.20.)
r
<V.20.)
f A =j(Xok~
=j(X.k~.+ i k~)/2b
k~/2b
+ .
1
lB
tB=-l(X
-i o
(X" k·,
k-, + 1i kd/2b
k1) 12 b
Les formules (V.18.)
(V.1S.) et (V.20.)
(V.20J permettent de calculer ~Dy2v(çJO)
~Dy2v(ç,0) et
1
~Dy3v(çJO)
~Dy3v(~,0) en fonction de ko
k et
o
t 1 ; on a :
1 ; on a
1
1
1
,1

---

1
- 30 -
1
1
(V. 21.)
(V.2 1.)
~Dy2Ç2y(~,
(ç, 0) =- ( 1+
1 ~ç4 ) - 1/2 ko
k +
o
~
ç2 ( 1+
1 ~ç4 ) - 1/2 Qko
-i~b1Çk1
- içb'fÇkl -(I+ç4)- 1/2
-( l+ç4)-1/2 bk
b 1
k1
1
-i~3
-i ç3 (1+~4)-1/2
(l+ç4)-1/2 b ~1
(V.22.)
'dDy3Ç(~,O)
-..D
= -2(2kt + (1+ç4)-1/2~t
y3Y(ç,O) = -2(2kt + (1+~4)-1/2tt _ç2( 1+ç4)-1/2I(2kt
1
+ (.[2)
(..f2) b [~2
(ç2 (1+ç4)-1/2
( 1+ç4) -1/2 ko -i
o
ç3
ç (1+ç4)-1/2
( 1+ç4) -1/2 ~o
ï(3ko
1
+ k
~o
o
k -iç
]
Le théorème de3
des multi plicateur3
plicateurs de Mi khli n appliqué à ko
k et kt donne:
1
IIkoll4- IIp,p,lR
1/p,p,lR ~ C 1I1110,p,1R
1If110,p,lR :-
(V.23.)
1
{
Ilk1113- 11 p, p, IR
IIk1113-1/p,p,lR ~ C 111110,p,IR
1If110,p,1R 2
+
1
De même en appliquant à nouveau le théorème de Mikhlin à (V.21.) et à
(V.22.),
1
on obtient:
Il'dDy2vIl2-1Ip,p)R
II-..Dy2vIl2-1/p,p,1R ~ C 1I~lo,p,1R :
1
(V.24.)
{
Il'dDy3vll1-1IP,P,1R
II-..Dy3vll1-1/P,P,1R ~ C 11~lo,p,1R
11~IO,p,lR 2
1
+
On pose:
1
(V.25.)
~a V+
V E * f
(V.26.)
et
1
On a:
(V .27.)
(V.27.)
2
1
62~+ ~= f - ko
k 6:lô"'y
o
- kt 6:lô"y - k2
k 6:lô'y - k3
k 6:lôy - Dx
D
k
x
o
k 6:lô'y
6:lÔ'y
- D 2
X
D
kt 6:lô'J
1
Comme .!.L et le second membre de cette égalité sont des :jistri butions
tempérées, en appliquant
appliquent la transformée de Fourier sur 1R2 , on obtient:
1
(V.28.)
.!J.= E * [ f - ko
k 6:lô"'
2
o6:lô"'y - kt 6:lô"y - k
y - k16:lô"y -
6:lô" - k 6:lô
D'(2k ϙ'y
2 6:lô'IJ - k3 6:lôy - D
y - x koeô'y
J
- D 2
D
k
1
X
x
t 6:lÔ
1
y 1
y ]
1
1
1

---

1
1
- _l
-
:1
Une analyse systfmatique
systématique de chaque terme par le théorème des multiplicateurs
1
de Mikhlin et le Jemme2.3.2.2. de Grisyard[ 1L
1 en tenant compte du fait que E
est la solution élémentaire de ll.2
êl,2 + 1 dansIR 2
dans 1R donne:
1
(V.29.)
J.l. E W4 ,PC
,P( 1R 2 )
1\\
Il J.l.1I4,p,1R 2 ~ C1I~lo,p,1R 2
1
+
d'où UEW4,p(IR+ 2 )
et
1
(V. 30)
(V.30)
Il
1/ u 1\\4, p.lR 2
114,p,~2 ~ C II~I 0, p)IR
1I~lo,p)~ 2
+
+
1
ce qui achève la preuve du théorème .•
1
Y,2,ESTIMATION DANS UN SECTEUR:
L'estimation dans un secteur qui est l'étape principale pour l'obtention de
1
l'estimation a priori dans un polygone, est obtenue par une partHion
parUtion
1
spéciale du secteur et par l'utilisation d'arguments de compacité et d'unicité.
Soit w E ]0
10 , 211 1,
1 on note G .. {{ (r ,8) / nO et 0<8<w } le secteur plan
1
de lR 2
lR
d'angle w, dont le côté 8:1
8'"' 0 est la demie-droite OX.
Pour R>O,donné,on poseG(R)={(r,8)EG / r<R}.
1
Tbéorème6.
Ibéqrème6.
,1
On suppose
9UPP09(J que w vérifie l'hypothèse (H 1) alors
81or9 il exhtte
existe C>O tel que pour
tout UEW4,p(G) ("l Wo
W 2,p(G) ,ona:
1
o2,p(G) 1 ona:
(V.31.)
Il
1/ u 1l4,p,G ~ C 116 2
116 u + u l!o,p,G
E.rituye
e,r"uye du théQrèm,~~
1
.. !'l
'1 a besoin d'un certain nombre de lemme3.
1
1
'1
1
1

---

1
1
1.
1
1
1
1.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
l'
1
1

---

11
1r
- 32 -
1r
Lemme2:
1
On suppose que w vérifie l'hypothèse (H 1) 1 8lors
alors il existe C>O tel que
r
1
pour tout
l
UEW 4
UEW ,P(G) () Wo
W 2,p(G) , on li:
a:
0
1
(V.32,)
(V.32.)
Il uIl4,p,G
lIuIl4,p,G ~ C{ IIâ 2 u +ullo,p,G +!lal.s3 Il (oa u)/(1+r 4 - laI)1I0,p,G}
C{lIâ2u+ullo,p,G+Llocl.s311(DOCu)/(1+r4-locI)IIO,p,G}
1
1
preuve du lemme2:
1
Soit aoE
ocoE 2)(IR+)
2)(lR+) telle que
Que ao
OCo vaut 1 au voisinage
vOlslnage de 0
a dans IR+
lR+ ; on pose
11
al
oc 1 = 1- ao
OCo .
1
Soient
SOlent ~o, ~1 E eOO([O
eoo ([ a ,, w]) ,8
, 0
90 ,8
, 91 E]O ,w[
avec 8
9 1 < 8
90
0 ,, telles que
Que
l
Supp( ~o) c[ 0,8
O,90[ , Supp(
0 [
,
~1) C ]8
]9 1 ,
1
w] et ~o + ~1 :z
:z 1.
1
Soit u EW4,p(G) () W02~p(G),
W 2,p(G), on pose
0
1
(V.33,)
(V.33.)
uo- ao u
,Ul-al ~o u
et
U2:zal ~1 U
11
alors
(V.34,)
(V.34.)
11
avec Uo 8 support borné et U1
Ul et U2 à supports contenus dans un demi -espace
1
limité
llmité par a =0
= pour u 1et ae ===w pour uz.
U2.
l
On a
1
(V.35,)
(V.35.)
lIuIl4,p,G .s !0.si.s2 IIuill4,p,G.
1
1
Il suffit d'esti mer chacun des trois termes du second membre de cette
1
inégalité.
1
1°
10 cas,
cas. Je
1e terme
te r me Uo=l)(oU;
Uo =140 u;
1
La fonction Uo
Uo a son support dans un borné G( Ro
R ) pour un ")0 assez grand;
o ) pour un ')0 assez
1
aussi
aU3sl peut-on lui
1ui appliqUé'
applique' l'estimation
l'esti mation de Grjsyard [1] :
1
(V.36,)
(V.36J
Ila ouIl4,p,G ~ CR
1
o IIâ2(aou)II0,p,G
1
11
11
11

---

1
1
1
1
1
1
l,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
- 33 -
1
or
1
donc
1
(V.37)
·1
d'où
(V.38.)
lIocoull4,p,G ~ CRo {
o
1I~2u + u 1I0,p,G
1
+ !O~locl~3 II(DOC u)/( 1+r 4
1+r - locI)1I0,p,G}
On obtient cette inégalité en remarquant que, comme G(Ro) est borné, la
1
norme lIullo,p,G(Ro) est équivalente il lIu/( l+r k
l+r )IIo,p,G(R
)/Io,p,G(Ro) pour tout k€lN.
o) pour tout
1
20
2 cas; le terme ui pour i = 1
;=1 ou i =2.
;=2
la fonction U1
U1
a son support dans un demi -espace , on peut donc 1ui
1
1
appliquer l'esti mationdu théorèmeS; on a
(V.39.)
lIu1114,p,G ~ C II~2(ocd~oU) + ocd~ou 1I0,p,G
1
Il existe R1
R >Ro tel Que
que pour r>R 1,
1 OC1~O ne dépend Que
que de 8,aussi
8, aussi on a:
(V A 0.)
(VAO.)
1DOC (oc 1~o) 1 ~ C
1
oc 1( 1+ rlocl) .
On développe le second membre de (V.39.), en tenant compte de (VAO,)
(VAO.) et
1
on obtient l'i négalité cherchée. On obtient l'esti mation pour U2
U2 de la même
manière.•
1
On défi nit l'espace
l'es pace F(G)
F( G) par
pa r
1
F(G) = {
={u € 7)'(G) 1 (1+r 4
(1 + r
-10:1)-1
-Iocl) - 1 Doc u € lP(G) ; locl~3 };
} ;
1
on munit F(G) de la norme
(VA 1,)
(VAl.)
IluIIF(G)= r lo:l~311( 1+r 4 -10:/)-1 DO:u lIo,p,G .
1
Il est immédiat que F(G) est un espace de Banach.)n a
Lemme 3:
1
L'injection de W4
W ,P(G) dan, F(G) e,t compacte.
1
1
1

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

11
1
- 34 -
1
11
preuve
Preuve du lemme 3:
'1
L'espace W 4
W ,P(G) est inclu dans F(G) avec injection continue.
1
Soit (un)n E lN
une suite de W4,p(G) faiblement convergente vers u dans
11
W4 ,P(G); on a uE W4 ,P(G). Soit M un majorant de
1
{lIunll4,p,G
{lIunIl4,p,G ; n E lN}U{lIuIl4 ,p,G}' On a :
1
(V.42.)
Ilun
lIun - uIlF(G) ~ !lal~3 II( 1+r 4
1+r -la
-l l)-1 Da(un - u) 1I0,p,G(R)
1
+ 2M/R
1
Soit e>O et R tel Que
11
(V43.)
2M/R ~ el2.
1
L'espace F(G(R»
s'identifie à W3,p(G(R»
avec équivalence des normes.
1
Or, comme l'injection de W4,p(G(R»
dans W3,p(G(R»
est compacte, il en
1
résulte Que un converge fortement vers u dans F(G( R»
donc il existe NElN
1
tel Que:
1
(V.44.)
pour tout
1
n~N,
lIu
lI n - ullF( G(R»
G( R»
~ e/2
d'où un converge fortement dans F(G) .•
11
1
Lemme 4:
1
L'opé rate ur à 2
ël,2 + 1
e$t injectif$urw4,P(G) ('\\ W o2,p(G).
o
1
preuve du lemme4 :
1
Soit uE W4,p(G) ('\\ W
1
o2,P(G) vérifiant:
o2,p(G)
1
(V.4S.)
à 2
ël,2 u + u =0
dans G.
1
Soit eE JO, 1[ ,on pose
1
(V.4 6.)
Ee
E ( r) = ex p( - ~ ( 1+ r 2) ; 12) .
e( r) = ex p( - ~ ( 1+ r 2) ; 12)
1
Pour tout C(ElN 2
C(ElN , il existe CC(>O, indépendant Je c, tel QLe
1
(V.47.)
/DC(Ec/ ~ cCcx Ec
E
11
11
11
11

---

1
1
1
I-
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
- 35 -
il
On a :
(V.48.)
1
(V.4S.)
soit
1
or
1
I
fG(
G V Ec
E ·Vu) Â u dx
c·Vu) Â u
~ f
:Il -
l
:Il -
! 1~i
1 ,j ~ 2 I G Di D
0j Ec
E Di u D
0j u dx
-(
- ( 1/2)IG
112) f G VEc.VIVuI2 dx
1
c·VIVuI 2
soit
1
h
(VEc·Vu)
(VE
ÂU dx
c·Vu) ÂU
=-
=:-
Z
2: 1~i ,j~2h Di DjEce Diu
Di u Dju dx
+ ( 1/2)
(1/2) If G ~ Ec
E 1V ul 2 dx
1
c 1V ul 2
on a
Il aussi:
1
soit
I G Â E
1
c  u u dx :Il - I G  Ec 1V ul 2 dx + ( 1/2) I G  2 Ec u2 dx.
En regroupant ces égalités et en tenant compte de (V .45.), on obtient:
1
(V.49.)
(V.49,) IG
fG [Ec 1Âu12
c 1Âu1
-Il~i,j~2DiDjEc
-!1~i,j~2DiDjEc Diu Dju +(Ec + (1/2)Â2E
c +
c) u2 ]dx=O
c) u2
On applique aux dérivées partielles de Ec
E , l'i négalité (V.47.); on obtient:
1
e, J'i négalité (V.47.); on
(V.50.)
IG
fG [Ec IÂul2 - 2 c C E
c IÂul 2 - 2 c C c
E IVul 2 + (l-c C) E
c IVul 2 + ( 1-c C)
c
E u2 ] dx
c u2 ]
~ a
où C est une constante positive indépendante de u et de c.
1
On a
1
(V.51.)
(V.S1.)
fG Ec ÂU u dx =fG [-Ec IVul 2 + (1/2) ÂEc u2 ] dx
de cette égalité on tire
1
(V.52.)
h
Ec IVul 2 dx ~ (112) I G [ Ec IÂul2 + (Ec + ÂEc) u2 ] dx
J'où
1
(V.53.)
(V.53,)
1
On reporte cette inégalité dans (V.SO.)
(V.50.) et on a:
1
1
1

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
- 36 -
1
1
(V.54.)
h
IG E
2
2
e
E& [( 1- eC)
l-&C) 16 ul 2
lôul
+ (1 - 2eC
(1-2cC - e
-c 2C 2)
C2) u
u2 1dx
1
~ 0
En prenant e
c assez petit, on a : u=O dans G.•
1
G
1
preuve du tb6or!me
th6or6me 6 ....A-
Les lemmes 2 et 3 montrent Que l'opérateur 0 2 +
ll.2+ 1 est linéaire continu il
'1
à
image fermée de W 4
W
,P(G) () Wo2,p(G) dans LP(G) grâce au lemme de
o2,p(G) dans LP(G) grâce au lemme
Peetre; du lemme 4, on déduit Que 0 2
ô
+ 1 est un isomorphisme de
1
W4,p(G) () Wo2,p(G) sur un sous-espace fermé de LP(G), ce Qui donne
o2,p(G) sur un sous-espace fermé de LP(G), ce Qui
1
l'esti mation (V .31.) .•
1
Théorème 7:
On suppose que Co)
CI)
vérifie l'hypothèse (H 1),
1) 1 alors il existe une constante
1
C>O telle que,
que 1 pour tout UEW4,p(G) () Wo2,p(G) et pour tout t>O on a:
(V .55,)
(V.55,)
~ O~k~4
~O~Ie~4 {t- k
{t-Ie :Zoc, +ocz-k
+ocz-Ie 1I0,oc,
IID,oc, Déxzu 110 ,p ,G}
1
1I0,p,G}
~ Ct - 4 1102
Il ô 2u +t 4
t 4 u Il0,
0 P
,p ,G
1
Preuve.
prouy§ ....A-
1
Soit uE W4,p(G)
W4,P(G) () Wo2,p(G) , on pose ,pour tout t>O , v(x) = u(x/t);
o2,p(G) , on pose ,pour tout t>O , v(x) =
comme G est invariant par homothétie, on a
8 vE W4,p(G) () Wo2,p(G) et
'1
o2,p(G)
(V. 56,)
(V.56.)
DOCv(x) - t-locl(Oocu)(x/t).
t-/ocl( DOCu) (x/t).
1
Il en résulte Que si on applique (V.31) il v, on a l'estimation recherchée .•
1
1
1
,1
1
1

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

11
11
- 37 -
11
V,3,ESTIMATION
A
PRIORI
DE
OE
TVP[
rYPL
AGMON-OOUGLIS-
AGMON-OQUGLIS-
11
NIRENBERG
DANS UN POLYGONE,
11
Théorème8.
ThéorèmeS.
1
Soit Q un ouvert borné polygonal tel que
Que en chaque sommet l'hypothèse
1
(HO
(H 1) est vérifiée,alors fi
il existe C>O
C>Q et to>O tels que
Que pour tous t>to et
11
pour tout
1
U€W 4
U€W
,P( Q)
n) flW
()Wo2,P( n) , on a:
o2 ,P( n) , on
1
(V.57,)
(V.57.)
rO~k~4
LO~k~4 {t- k
{t-k rL CXl+CX2=k
(;(1+(;(2=k \\I01cxl02cx2ullo,p,n}
\\I01(;(1 02(;(2ullO,p,Q}
1
~ C t- 4
t-
IIÀ2
116 2 u + t4ullO,p,Q
t4ullo,p,n
1
1
preuve;
1
preuve:
Soit ('+'i)O~i~M une partition de l'unité de n
Q telle que chaque fonction '+'i
11
'oit
,oit une fonction de troncature au voisi nage d'un seul sommet de Q
n ou bien
1
que ,uPP('+'i) soit contenu daM Q,
n.
1
Soient t>O et u€ W4,p(Q)flW
W4,p(n)()Wo2,p(Q), on a
o2,p(n), on
1
°
(V.58.)
r
L O~k~4 {t- k r cx 1
L(;(l +cx2
+(;(2 =k 1/0 1cx
1(;( 102CX2U
1
li
02(;(2UII 0,p,Q}
,P ,n} ~ rL 1~i
1 ~M Ii (t ,u)
1
où
11
(V.59.)
Ii (t,u) = rL O~k~4 {t- k r CX1
L(;(1 +cx2=k
+(;(2=k 1I01cx1
110 1(;(1 02cx2'+'i
02(;(2'+'i ullo,p
ullo ,P JQ}
,n}
1
Pour chaque i, on applique à Ii l'esti mation du théorème7; daM le cas où
1
su pp ('+'i ) c Q, cette esti mation est cl assi
classi que,O
que.O n 0 bti ent do ne
nc
1
(V.60,)
(V.60.)
rl~i~M
Ll~i~M Ii(t,u) ~ rO~i~M
LO~i~M Ci t-4I1À2('+'iU)
t- 4 /I62('+'iU) + t 4
t
('+'i u)1I0,p,n
1
u)II0,p,Q
soit
1
(V.6l.)
1
1
d'où on ti re:
1
11
11
11

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
- 38 -
1
(V.62.)
(V .62.)
LO~k~3 t- k (1-
( 1- C' t- 4+ k) L OC1
Loc, +oc2=k IID
oc2=k
1°C1
1I0,oc, D2°C2ullo,p,o
02°C2ullo,p,Q
1
+ t- 4 L OC1
Loc, +oc2=41ID1°C1D2°C2ullo,p,n
+oc2=4110,oc, 02°C2ullo,p,n ~ C'
c' t- 411.a,2
411.èl,2 u + t 4
t
ullo,p,n
1
on pose to= 2C'; alors pour tout t>to ,on a l'estimation (V.57.) .•
o ,on a l'estimation (V.57.)
1
VI. ESTIMATION DE
PE LA RESOLVANTE
RESQLVANTE DU
PU BILAPLACIEN DANS UN
OUVERT
POLYGONAL BORNE.
il
1t
Soit fElP(
fELP( 0),
n), soit t>Q
t>O , on considère le problème suivant:
(VI. 1.)
(VI.1.)
Trouver UEHo2( n) telle Que
1~
{
o2( n) telle
{ .a,2.èl,2u+ t4tu:='"f
Ce problème admet une unique sol ution variationnelle.
11
11
VI.LENONCE
YI.LENONCE PU RESULTAT.
Théorème 9:
11
Soit oc=mi
oc,. mi nReocij
nReoci j 1 alors on a:
(i) 3i s<3+oc-
3<3+oc- 2/Q
11
(VI.2.)
Il (A + t 4
t
I) - lll:e
111:e ( L
l p(
p n ), X
)
= Q
0 (( t - 4 + s)
S )
l-s/4;"
1
1-s/4;1'
1
(ii) si s>3+oc- 2/q
(VI.3.)
(VI.3,)
Il (A + t 4
t
I) -111:e(
I)- l
LP( n),
l1:e(lP(n), Vect[ X
; 0- 1)
0-])
= O(t- 4+3)..
1
00-4+s) .•
1
l-s/~f ij
1
La
la preuve de ce théorème occupera les paragraphes VI.2,VI.3 et VIA.
1
VI,2,REPRESENTATION
VI.2.REpRESENTATION DES ELEMENTS DU DOMAINE D~
1
On donne d'abord pour plus de facilité dans la recherche des estimations, une
nouvelle représentation de u E ù(A).
1
1
1

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

11
11
- 39 -
1r
Lemme 5:
11
Soit u€O(A)
u€D(A) 1 solution de (VI. 1.) 8lors u s'écrit de msnière
manière unique:
11
(VIA.)
2:
21q<ReC<ij<
2/q<ReCCij< 1+
1 2/q
11
+2:
C·· e-rJ·t( l+r·t) cr··
CT"
1)
1J
)J
1)
1J
- 1+
1 2/q<ReC<ij'~2/q
2/q<ReCCij~2/q
+ 2:
Cij e- rjt(
e-rjt( 1+ r jt+ r /
1+rjt+rj t
2 2
t /2)
12) O"ij}.
1
(Tij}·
1
O<ReC<ij.$
O<ReCCij~ -1 + 2/q
1r
preuve du lemme 5:
SoU
Soit u la sol ution de (VI.1.) alors on a
11
(VI.5.)
(VI.S.)
or f-t 4
f-t
u€LP(n)
u€LP( n) donc u€O(A),
u€D (AL d'où, d'après (111.15.)
11
11
(VI.6.)
2;
:z
Cij O"ij
(Tij
0< ReC<ij
Reccij <1+2/q
11
donc
11
(V1.?,)
(VI.7.)
u = ÜR
Ü +
2:
{
2:
Ci j O"i
(Ti j
+
2:
c.. cr· .
2:
1)
Cij
1J
(Tij
0.$
O~ j~N
2/q< ReC<ij
Reccij <1
< +
1 2/q
-1 + 2/q<ReC<ij~2/q
1
2/q<Reccij~2/q
1
+ 2:
Cij O"ij
(Tij }
O<ReC<ij~-l
O<ReCCij~-l + 2/q
11
On étudie chaque groupe de termes.
11
1~~:
Comme l-e- r
1-e- j t
r/ équivaut ilà rjt ,lorsque rj tend vers zéro, on a
11
(l-e- r})(J'ijE
r/)O"ijE W4 ,P( n) si et seulement 3i
si 2+ ReC<ij>4-
Reccij>4- 2+ 21q=2+
2/q=2+ 2/q
11
donc pour ReC<ij>2/q,
Reccij>2/q, on peut écri re
Cij (J'ij
O"ij = URij
UR
+cij e-rjt (J'ij
O"ij où URij
UR
€ W4,p(n).
11
1r
11

---

1
- 40 -
1
1
z.ièmeterme:
On a ( 1- ( 1+
1 rjt)e-
rjOe- r /) équivaut il8 r/t 2
t
,lorsque rj tend vers zéro, donc
1
(1-( l+rjt)e- r
l+rjOe- /)Cf;jE
/)O'ijE W 4
W ,P(O)
,p(n) si et seulement si
3+ ReocU>4- 2+ 2/q=2+ 2/q
1
aussi pour Reoc;j>2/q-
ReOCij>2/q- l,
1, on peut écri re
1
cij
C·· Cfij""
0'.. "" uRij +c;j
+c .. e-rjt(
e- rJ·t( 1+rjt)
1+ r'O Cfij
0'"
où uRii E W4,p(Q).
W4 ,P( Q).
1)
1J
1J
J
1J
3.ième
3,
terme:
1
On a (1-( 1+rjt+rj2t 2 /2)e- r jt)
1+rjt+rlt2/2)e-rjt) équivaut ilà -rj 3
-rj t 3
t /6, lorsque rj tend vers
zéro,
zé ro, donc
do nc ( 1-
1- ( 1+
1 rjt+
r jt + rj 2
r j 2t 2
t /2)e-
2/2) e- r })CfijEW4
r}) O'i jE W 4 ,P(
,p ( 0)
n) si et seulement
se u1eme nt si
1
4+ ReOCij>4- 2+ 2/q=2+ 2/q soU
soit ReOCij>2/q-
Reocij>2/q- 2 . Comme q> 1, on a 2/q- 2<0 ;
1
aussi si ReOCij>O, on a:
Cij Cfij""
O'ij"" URij
UR
+cU e-rjt( 1+rjt+rj 2
l+rjt+rj t2
t /2) CfU
O'ij où URij
UR
E W4,p(Q).
1
Il suffit de regrouper ces expressions pour obteni r (VIA.) .•
1
On va d'a bo rd
d'abord rest rei nd re
restreindre 1'ét ude
l'étude au voi si nage
voisinage d' un
d'un so m met.
sommet. ...."
,,"
,~
t ·
t S
onct10n de tronca ure au v01sinage du somme
j, on a:
~
011>\\<).8
1
fonction
f
·
de troncature au voisinage du sommet Sj, on a:
~ .,',,' "'~,)~
\\'>t")~ Oll>\\~:j
(VI.8.)
,6,2(11J' u) + t 4
t
(11J' u) =11J·f + L '( u)
. (\\\\ ','n\\
"0\\ "0(\\
J
, j ,
,je cl.lt"C"
1
où
(VI. 9.)
1
Comme Lj(u) est nulle au voisinage des sommets de Q, on peut appliquer
1
les résultats généraux de régularité dans les ouverts réguliers donc
(VI. 1
(VI.I 0.)
Lj( u) ELP( Q)
1
(VI. 11.)
Il Lj
L (1) 110 ,;; , n
Q ~ c 111110, p, Q.
On est donc ramené il8 l'étude de u au voisi nage d'un seul sommee.
1
On considère pour la suite:
1
1
1
1

---

1
1
- 41
-
1
(VI.12.)
J
,1
(VI.12.)
j UEHo2(G), àsupport
Sup po rt borné
L
tl,2 u + t 4
t
U
u = f
dans G
1
où fELP(G).
On réécrit l'expression (VIA.) en omettant l'indice j.1
1
On donne mai ntenant une représentation des coefficients des sol utions
1
si ngulières
singulières et qui sera le pivot des esti mations
estimations a priori sur la partie
si ngu1ière
ngulière de la représentation de u.
1
Solt R telle que supp( u) cG( R).
supp(u)cG(R). On a:
1
Lemme, ?......,;,
Pour chsQue
chaque ci ~
ci, il
jJ existe une fonction "'i ELq(G( R»
telle Que:
que:
1
(1)
(i)
ci (f). f G(
G R) f \\Ii dx
(li)
(ii)
tl,2~~ t 4 -..J\\-- 0
dsns
dans G( R)
1
(lii)
Y"'i • Y~:Yll • 0
sur les psrties
parties régulières de ~G( R)
Y"'i • Y~~i • a
~y
1
(iv)
fG(R) (tl,2 + t 4
t
)(~j)
)Cfj) "i
\\Ii dx '" Sij .
1
preuve du lemme
1
(i) L'application
il
1
est li néaire
linéaire du fait de l'unicité de la représentation de u par (1I1.14.L
(III. 14.).
1
O'après Grjsyard[ 1L
1
O(A)=[ W4
W ,P(G(R»()W 2
,P(G(R»()Wo ,P(G(R»
] + Vect{o-jll}
o
Vect{o-Pl}
avec équivalence des normes.Aussi l'application
1
Pi
(O(A)I
O(A)'
~[:)
~[)
(
U
u 1.....- - - 4 )
) ci
Ci
1
1
1
,
1
1
j

---

1
- 42 -
1
- 42 -
1.
est 1i
1 néai re et co nti nue;
nue; 0 r ci (f) = Pi (A - 1f)
1
et A-
A 1 est 1i
li néai re et co nti
nh nue
de LP(G(R»
LP(G(R»
dans D(A) donc ci est une forme linéaire continue sur
1
LP(G(R». Il existe donc 'w'iELq(G(R»
'w'iELq(G(R»
telle que, pour tout fELP(G(R»
fELP(G(R»
1
(VI.13.)
ci(f)::1
ci(f)::l IG(R)
fG(R) f"'i dx
(ii) Soit cpE 7)(G(
1)(G( R»
R» , alors cpE W4 ,P(G( R»
R» ('IWo 2,p(G( R»
R» ,aussi ,on a:
1
IG(R) ( 6 2
6 cp + t 4
t cp ) "'i dx = ci( 6 2
6 cp
2 + t 4
t cp ) =
=0
soit
1
I~
donc
(VI. 14.)
(VI.14.)
dans G( R).
1
(iii) Soient h,gE 7)(
1)( ClG(
dG( R»
R»
telles que leurs supports ne rencontre pas 0;
il existe VEW4,p(G( R» ('IW
VEW4,p(G(R»('IWo2,p(G( R» telle que:
o2,p(G(R»
telle
1
'd6v •
'd6v. 9
g
et V'dCl6v/Clv.
V'dd6v/dV a h
sur ClG(R)
dG(R) .
En appliquant les méthodes de Uons-
Lions- Magenes
Magenn [ 1L on vérifie que
1
'd \\/i
"'1 EW-c-1/p, P(ClG(R»
P(dG(R»
et'd(Cl/ClV)"'i
et'd(dldV)"'i E W-c-1-1/p, P(ClG(R»
P(dG(R»
1
pour tout c>O. De l'expression:
h(R)
IG(R) ( 6 2
6 v + t 4
t v) \\/i
\\Ii dx = ci( 6 2
6 v + t 4
t v)=
v) .. 0
1
on ti re que
<'d "'i ,g>
"'1, g> 7)( ClG( R»', 7)( ClG( R»
1)(dG(R»',1)(dG(R»
1
- <'d(Cl/ClV)"'i
<'d(dldV)"'i ,h> 7)(ClG(R»', 7)(ClG(R»
1)(dG(R»',1)(dG(R»
= 0
\\li='d(dldV)"'i=O
1
donc 'd "'i='d(Cl/ClV)"'i=O au sens de 7)(ClG(R»';
1)(dG(R»'; mais par les résultats
classiques de régularité, 'w'iEC2(G\\{0}) d'où (iii).
(lii).
1
(iv) Comme 'ij = 0+ 1. 'i ,on a
ci ( 6 2
6
'i j + t4
t 4 'i j ) = Si
ôi j
1
du fait de l'unicité de la décomposition (III.14,).
(III.14.).
1
1
1
1

---

1
1
- 43 -
1
YI.3,ESTIMéTION
VI. 3 ESTI MéTIO N
DES
COEFFICIENTS
DES
SOLUTIONS
SO L UTIO NS
·1
SINGlILIERES
SINGLILIERES DES
ELEMENTS DE D{A+t 4
D{A+t
ll...
1
Pour le sommet de G( R). on note 0Cl,
oq, .... ,a\\(,
,oc", les raci nes de l'équation
transcendante (111.8.)
(I1I.8.) qui vérifient (111.9.).
(III. 9.).
,1
Soit B l'opérateur non borné et fermé de Lq(G(R», de domaine O(B)
D(B) défini
par
1
(VI.15.)
O(B)={vELq(G(R»
D(B)={v€Lq(G(R»
16,2v + t 4
t
v ELq(G(R»
€Lq(G(R»
et"v=(,,~/~v)v
et'J'v=('J'd/dV)v =0
sur ~G(
dG( R)}
.1
et tel que pour tout vEO(
v€D( B), on a:
1
(VI.16.)
Bv=6,2v +t 4 v.
On pose pour t>o:
t>O:
1
(V J. 17.)
(VI.17.)
Nt"
Nt ,. {v E0
{v€D( ( B) 1Bv
IBv ,.
.. 0 }
Lemme 7:
JI
L"
L6 nOIJ8U Nt d"
d6 B est d"
d6 dimension k.
k.
~.A
1
preuve du lemme 7:
L'opérateur 6,2 + t 4
t I est un isomorphisme de W 4
W ,P(G(R» n Ho
H 2(G(R»
o
1
sur un sous espace fermé F de LP(G(R»; comme c'est un isomorphisme de
O(A)
D(A) sur LP(G(R», la codimension de F dans LP(G(R» est égale à la
.1
codimension de W4,P(G(R»nH o 2(G(R» dans D(A) donc codim(F)=k.
o 2(G(R» dans D(A) donc
,1
1
1
L'opérateur B est l'adjoint de 6,2+t 4
6,2+t I,
1. donc dim.Nt
dim Nt = dim FT =codim(F)=k .•
1
On va dans la suite construi re une base explicite de .Nt
Nt , pour pouvoi r en
dédui re
déduire pl us
plus facilement les esti mations
estimations en fonction de t de la norme de \\>Ii
"'i
1
dans Lq(G( R» et de ICil.
ICil.
1
1
1
1

---

1
- 44 -
1
1
On définit la partition de {l,
{1 ...
.... ,Ie}
,k} 3uivante:
suivante:
I t = {i 1 O<Reoci<-1+2/q
}
1
t = { i /
O<Reoci<-l+2/q
}
Iz
h = { i /
{il - 1+ 2/q~Reoci <2/q
-1+2/q~Reoci<2/q }
13 = {i 1 2/q~ Reoci<1+2/q }
1
13 = {i / 2/q.$ Reoci<l+2/q }
On défi nit a ussi
aussi la suite fi nie de fonctions '1' t,
'1ft ,.... "
..... ,'l'"
i'k pa r:
par:
1
si i€l
iEl
i'i(t,r,a)=exp(-rt)
i'i(t,r,9)=exp(-rt) (l+rt) rl-oci
r 1- oci 4>(oc;,a)
t
4>(OC;,9)
t
i€I
iEIz
i';(t,r,a)=exp(-rt) (l+rt +r 2t 2 /2) rl-oc; 4>(oc;,a)
z
i'i(t,r,9)=exp(-rt) (1+rt +r 2t 2 /2) r 1- oc; 4>(oci,9)
1
i €I
iEI3
i'i (t,r ,a) =exp( - rt) ( 1+ rt + r 2t 2 /2+ r 3t 3 /6) r l-oci 4>(oci ,a)
3
i'i(t,r,9)=exp(-rt) (1+rt +r 2t 2 /2+r 3t 3 /6) r 1- oci 4>(oci,9)
lemme
Lemme 8 :
1
On 8a pour tout i €{E{ 1,..,,"}
1.... ,k} :
(i)
i'i ELq(G( R»
1
(i)
i'i €Lq(G( R»
(il)
(ii)
6 2
6
'1'; + t 4
t i'i €Lq(G(R»
ELq(G(R»
1
(ili)
(iii)
~i'; :a,. (~èl/èlv)
(~è)/è)v) 'l'; :a,. 0 sur les côtés de G( R) aboutiss8nt
aboutissant 8 O.
0,
(iv)
~i';
~i'i et (~èl/èlv)i';
(~è)/è)v)i'; sontdec/8sseC oo
sontdec/asseC
I~orsde ïJrigine.
;'Jrigine.
1
preuve du lemme 8:
8;
(i) on a i'i ELq(G( R» si et seulement si 1- Reoc; > - 2 + 2/p soit
1
(i) ona i';€Lq(G(R»
s; et seulement si l-Reoc; > -2 + 2/p soit
Reoc;
Reoci < 3- 2/p
21p or 3- 2/p = 1+
1 2/q d'où le résultat.
1
(il)
(ii) Calcul de 6 2
6
i'i + t 4
t i'; : on pose
(VLl8.)
(VL18.)
vi(r,a)
Vi (r ,9) = rl-oc;
r 1- oci 4>{oc;,a)
4>(oci ,9) ,
1
on écrit v; =v;
=vi 1 + v; 2 , avec
,avec
(VL19.)
Vi 1 = r 1- OCi[ 8i cos( 1+oc;) 9 + b; sin( 1+OCi)
1
(VLl9,)
Vi 1 = rl-oci[ a; cos( l+oc;) a + b; s;n( l+oc;) 1
Vi 2
Vi
::
== rl-oci[
r 1- oci[ d; cos( l-oc;)
1-OCi) a9 + e;
ei sin( l-oci)
1-OCi) 1
]
1
grâce il l'expression (IILl
(IlL 0,)
10.) donnant 4>(oc,a).
4>(oc,S).
On remarque que v;
Vi lest
1 est biharmonique
bi harmonique ,c'est il di re que 6 2
6
Vi 1 =0 tandis que
1
Vi 2 est harmonique ce qui facilite le calcul. En défi nitive ,après un calcul
fastidieux,mais sans difficulté, on obtient:
1
fastidieux,mais sans difficulté, on obtient:
1
1
1

---

1
;1
- 45 -
1
~I
(VI.20.)
6 2 i'i + t 4 i'i =exp( - rt) 1: 1.$j.$2( 1: 1+1.$h.$4+ 1 Ai hi th r h- 4 )Vi j
pour iEI1;
pour; E11; où Ai hi
Ajh; sont des constantes indépendantes
constantes; ndépendantes de r et t et qui
QU; ne
1
dépendent que
Que de oci'
oc;.
Montrons que
Que 6 2
A i'i
'i"; + t 4
t
i'i
'i"; Elq(G(R»
ElQ(G(R» dans le cas iEIl
;E11 avec 1=1; n suffit
1
de prouver que:
Que: - 1- Reoci
Reoc; >- 2+ 2/q
2/Q soit Reoci
Reoc; <- 1+
1 2/q
2/Q ce qui
QU; correspond à
i
; El 1.Pour 1"2,3;on
1.. 2,3;on opère de la même façon.
1
·~e8388ertio-A8
·~e8388ert;O-A8 (Hi)
(Hn et (iv)
(;'1) sont triviales .•
tr;v;a1eS.1
'1
On construit <Pi
4>; EH2(G( R» telle que:
Que:
1
(VI.21.)
On note (p, 9) les coordonnées polaires
po1a;res dans le secteur G.
:1
Théorèmo
Théorème 10:
la:
1
Soi~ntiEI1,
Soi~nt;El1, h~1+1
h~l+l slor, pour toutgECOO([O,w]) il exi,t~ IcEH21oc(G) ,ur
1oc (G)
tout born~ d~ G ~t t~ll~ que:
(VI.22)
1
j 6 2
A 1c +Ic =exp(-p) ph-3- OCi
ph-3-oc; 9(8)
g(8)
dan'
dsn' G
\\
~1c=~dlc/dY =0
dsn, dG.
1
preuve du théorème:
Soit c>O, on note V
1
c le complété de Zl(G) pour la norme.dérivée du produit
c le complété de Zl(G) pour la norme.dér;vée du
préhilbertien
préhil bert;e n
1
(VI.23.)
<u,v>vc=fG exp(2cp) [6uÂv
[AuAv + uv] dx
lemme 9:
1
Ona:
Ons:
VcC{
V
uEZl'(G); ex p( cp) u EL 2(G) , exp(cp) 6
A UEl2(G) avec 'l{U=~dU/dY=O}
~U=~dU/dY=O}
1
1
1
1
1

---

1
- 46 -
1
1
preuve dy
du lemme:
Soit uEVe,alors il existe (un) nEIN suite d'éléments de 7)(G)
Zl(G) telle que:
1
exp(ep) un tend vers exp(ep) u dans L2(G) et exp(ep) .a. un
tl.un tend vers
exp(ep)tl.u dans L2(G); par suite exp(ep)u et exp(ep)tl.u appartiennent à
1
exp(ep).a.u dans L2(G); par suite exp(ep) u et exp(ep).a.u appartiennent à
L2(G) .
1
On remarque que u et.a.u
ettl.u appartiennent à L2(G) car par exemple on a :
fGlul2
Glul
p dp da "" fGexp(ep) lul 2
lul
exp( -ep) pdp da
1
or exp( - 2ep) ~ 1 donc
f Glul2
u
p dp da ~ f Gexp(ep) lul2
lul pdp da ~ lI ullV 2
ullVe .
e
1
On peut donc d'aprés Uons-
Lions- Magenes[ ll,défi
1l,défi ni r 'lI'u
'l(u et 'lI'du/dY
'l(du/dY sur èlG\\{O}
dG\\{O} et
on a: 'l(UEH-1/2
1
on a: 'lI'UEH-1/2loc( dG\\{O}) et 'lI'dU\\dY EH-3/2
loc ( dG\\{O}) et 'l(dU\\dY EH- 3/2loc( dG\\{O}).
loc (
Soit qE
9E 7)(dG\\{O}).
Zl(dG\\{O}>' il existe VEH2(G) telle que 'lI'v""q
'l(V""9 et 'lI'dv/dY""O
'l(dv/dY""O sur
1
G.Soit n
Tl une fonction de troncature de Gtelle que supp(q)
SUPP(9) C{XEG 1 n(x)
Tl(x) ""l}.
""1}.
On pose 'w' ""nv
""T)v alors 'w' EH2
H2 (G)
(G ,
>. su pp('w') est bor
bor né da ns
dans G en plus
pl us 'lI''w'
'l('w' -q
-9 et
1
'lI'd'w'
'l(d'w' Idy""O.
Comme un (resp tl.un) tend vers u (resp tl.u) dans L2(G), on a:
1
Comme un (resp .a.un) tend vers u (resp.a.u) dans L2(G), on a:
fG.a.tl.u 'w' dx ""oz 1i1 mn-+ 00 fG.a.
Gtl. un 'w' dx et f G u .a.
tl.'w' dx = 1i
1 mn-+ 00 fGU n.a.
ntl.'w' dx
1
or
1
donc en passant à la limite, on obtient:
;,
fG .a.u
tl.u 'w' dx =f G U tl.'w' dx
1
=f G u .a.'w' dx
"
;.-, '
Comme"
1
fG.a.u
tl.u 'w' dx = fG u.a.'w'
utl.'w' dx + <'lI'du/dY
<'l(du/dY , g >H- 3/2(G) H3/2(G)
on a donc pour tout gE 7)
Zl (dG\\{O})
1
<'lI'du/dY
<'l(du/dY , g >H- 3/2(G) H3/2(G) =0
donc 'l(du/dV=O sur dG.
1
donc 'lI'du/dV=O sur dG.
1
1
1

---

1
1
- 47 -
1
On prouve de la même façon que 'ij'u =0 sur dG .•
.1
-1
Lemme
10:
1
Soit
SoH UEVel
UEV
alors UEH
el 8lors
o2(G)
o
,1
preyye
preuve du lemme:
D'après
D'eprès le lemme 9, il suffit de prouver que UEH2(G).
1
;1
Soit UEVe et (un) nElNc 2)(G), suite convergente dans V
e et (Un)nEINC Zl(G), suite convergente dens e
V vers u. Or:
e vers u.
fG
h exp( 2ep) 6un ün dx = - fG
h exp( 2ep) IVu nl2
IVun/2 dx
1
- 2e fG
-2eh exp( 2ep) I 1~i ~ 2(xi 1p) Di un
exp(2ep)Il~i~2(Xi/p)DiUn Ün
ün dx
d'0 ù
d'où il existe Cc >0
Ce>O i ndé pe nda nte
indépendante de n telle que
1
(VI.24.)
I Gexp( 2ep) IVu
2
nl2 dx
n/2
~ Cc IlIl Un/IVe
unllve
;1
Aussi, exp(ep)
ex p(e p) Vu E
VuE [L2(G)]2
[L 2( G) ]2 d'où
d'0 ù uEH
uEH1(G).
1(G) .
,
!
On a:
e:
il
IGexp( 2cp)
2ep) 16u
16 unl2 dX:a-
nl2 dX"- I Gexp(
hexp( 2ep) lI 1~i
1 ~2Di 6un DiÜn dx
l
J
-2cIGexp( 2cp)
-2eIGexp(2ep) l 1~i ~2(Xi Ip)
Il~i~2(Xi/P) Diun 6ün dx
1
:al
.. G
IG exp( 2cp) l 1~i ,j~2IDjDi unl2
eXP(2ep)Il~i,j~2IDjDiUnI2 dx
2eh
~i ,j~2(Xj/P)
1
+ 2cfG exp( 2cp)
2ep) lI 1~i ,j~2(x j/p) DjDi UnDiÜn dx
- 2cIG
-2eh exp( 2cp)
exp(2ep) l 1~i ~2(Xi Ip)
Il~i~2(Xi/P) Di un
Diun 6ün dx
1
Aussi pour e>O assez petit il existe Cc>O
Ce>O telle que
(VI.25.)
IG
IGexp(2cp)
exp( 2ep) Il~i,j~2IDiDjunI2
I 1~i ,j ~21DiDjUnl2 dx ~ Cc II u
2
nllvc
Ilunllve
1
Il en résulte par linéarité que pour tout (i,j)E{1,2}2,
(i,j)E{ 1,2}2,
exp(cp)
exp(ep) Di DjUEL2(G)
DiDjUEL2(G) donc Di DjUEL2(G);
DiDjUEL2(G); ce qui achève la pr~.uve
pr~.Uve du
1
lemme .•
lemme.1
1
1
1
1
1

---

1
- 48 -
1
1
Soit toE la,
10, 1[
1 tel que pour tout cE
tE lO,co[,
]O,to[, le lemme 1a
10 est vérifié; on pose
pour tous U,VEVc:
c
1·
(VI. 2 6.)
(VI.26.)
ac (
ac( u,v)
u,v) = l G[ ~ u
h[L:~u ~ (ex p(
6(exp( 2t P
2cp ) v)
)v) + u ex p(
exp( 2c p)
2tp) v
V l] dx
(VI.27.)
1c(v) '" IG ph-3- a i exp(-p) g(9) exp(2cp) vdx.
1
(VI.27.)
lc(v) '" IG ph-3- oci exp(-p) g(9) exp(2cp) vdx.
Lemme 11:
1
Le problème
f trouver IcEV
le EV cC telle que
(VI.28.)
1
(VI.28.)
lac(lc,v)=lc(V)
l a
pour toutvEV
c(le,v)=lc(V) pour toutVEVc
admet une sol ution unique.
1
admet une sol ution unique.
Preuve du lemme:
1
On a:
ac(u,v).<u,v>V + IG[~u
IG[6U (~exp(2cp»
(6exp(2cp» v +2 ~u
6u V(exp(2cp».Vv] dx
c
1
d'où la continuité
conti nuité de ac sur Vc
V et le fait qu'il existe coE]O.H tel que pour
c et le fait qu'il existe coE ]0. 1[ tel que
to ut
tout cE
CE JO ,cO L
JO,coL il exi ste
existe St
8 >0 avec
c>0
1
(VI.29.)
ac( u,uh Sc
8
2
c IlullvcC .•
1
Mai nte na nt
ntenant il reste à pro uve r
prouver la co nti
conti nuité
nuité de 1c
1 sur Vc.
c sur Vc.
Grâce àl'i négalité
néga1ité de Hardy, il suffit de vérifier que:
1
(VI. 3 O.)
(VI.30.)
ex p(
p - ( 1-
1- c) p) ph
P -
h 2 - oci
ai g(9)
( 9) E L2
L (G)
( G) .
Comme cE
CE ]O.H.
]0. 1[. n
il suffit de verifier (VI.30.) au voisi nage du sommet de G .
1
On a exp( - (l-c) p) ph- 2- oc
2- a i g(e) €E L2(G) si et seulement si
Re( h- 2-oci)
2-ai) >0- 2+ 2/2
soit
h> 1+
1 Reoci
Reai ; cette re1etion
reletion est toujours
1
vérlfiée,en effet si iE!1,on
iEl 1 ,on a h~2 et Reoci<-1+2/q
Reai<-1+2/q ~l;si i€!2;
iEI 2 ,on a h~3 et
1
Reoci
Reai <2/q ~2 et enfi n si i E!3'
EI
à
~3.
3 , h est supérieur à 4 et Reoci
Reai <2/q + 1
On peut donc appliquer le théorème de Lax-Milgram,
Lax-Mi1gram, aussi le problème
1
(VI.28.) admet-il une unique solution le .•
1
1
1
1

---

1
- 49 -
1
1
Remorque:
D'après le lemme 10,
1
kEH
1
o2(G) .•
1
D'après le théorèmel0, il existe kiEVe
kiEVc telles que
(VI.31.)
62ki + ki =-exp(-p) :L 1'j'2
:Ll~j~2 (:L 1+1'h'4+1
(:Ll+1~h~4+1Ajhi ph-4) Vij
Vi (p,9)
1
On pose
(VI.32.)
1
ana
Ona
1
62~ti+t4~ti
624>li+t44>li =-[ 6 2
6
i'i
ifi + t 4
t i'i
ifi 1 dans G
(VI.33.)
{
~~ti"
~4>li" ~~~ti/~V
~~4>li/~V =0 sur ÔG.
,1
aG.
En pl us, d'après 10
la remarque précédente, ~ fi
4>1 E H
i E o
H 2(G).
Soit ~2i
4>2 l'unique sol uÙon dans H
i l'unique sol utton dans
o
H 2(G( R»
R»
de l'équotton :
1
l'équation:
,1
624>2i + t 4 4>2i =0 dans G( R)
(VI.34.)
~4>2i .. -~ifi -~4>li sur ~G(R)
1
On pose:
~ 62~2i+t4~2i=0dansG(
(VI.34.)
~~2i "" -~i'i -~~ti sur
~~~2i/~v
~~4>2i/~v "-~~i'i/~V
.. -~~ifi/~v -~~~fi/~V
-~~4>1i/~V sur ~G(R)
\\
On pose:
(VI.35.)
1
Lemme 12:
;1
L'ensemble
L 'en~emble {'w'i 1 1~i
1 ~K } est
e~t une base
b8~e de Nt.
i
preuve du Jemme:
.1
lemme:
Les relations (VI.20.) ,(VI.31.)
,(VI.3l.) et (VI.32.) montrent que
r6 2
6
'w'i +t 4
+t
'w'i = a
0 dans G(R)
1
G( R)
t ~'w'i =~~'w'i I~v = 0 dans ~G( R) .
Ensuite comme i'i
ifi ELq(G( R»
R»
et que
1
~ti
4>l et ~2i appartiennent à H2(G( R»,
i et 4>2i appartiennent à H2(G(
on a bien 'w'iELq(G(R»
'w'iELq(G(R»
donc 'w'i E
'w'iE Nt.
1
1
li
1
1

---

1
- 50 -
1
- 50 -
1
On remarque d'abord que 'l'i ElH2(G( R» car cela équivaudrait il
1- Reoci >2- 2+ 2/2 soit Reoci <0 ce qui est i mpossi ble.
1
1- Reoci >2- 2+ 2/2 soit Reoci <0 ce qui est i mpossi ble.
Soient 1.l1 ,... ,I.lKElt tels que
1
alors
1
I1~i~K I.li 'l'i =- I1~i~K I.li [ ~ti +4>2jl
or 4>= I1~i~K
I.li [ ~ti +~2i] appartient il H2(G(R» et vérifie
1
V~=Vd4>/dY=O
'i~='id4>/dY=Osur les arètes de dG(R) menant il l'origine; il résulte donc
1
de l'i négalité de Hardy que:
(VI.36.)
~/r2 E L2(G( R»
1
soit
1
On a:
1
'l'=r- 1- OC K* i: 1 . Kil' r- 1+oc K* 'l''
~H
t"'1
1
où K* E { 1,
1 ... ,K} est tel que: ReocK*~Reoci pour tout i E{ 1,... ,K}.
1
Comme i: l~i~K I.li r- 1
r- +
1 oc
+ K* 'l'i ECOO(G(R», on a 'l'EL2(G(R)) si et
se ul eme nt si
1
i:1~i~K I.li r- 1
r- +
1 oc
+ K* 'l'i=O au voisinage de 0 ou bien
Re ( - 1 + oc K* ) >0 - 2+ 2/2;
1
Re ( - 1 + oc K* ) >0 - 2+ 2/2;
or cette seco nde co nditi 0 n ent rai ne que Reoc K*
K <0 ce qui est i mpossi ble.
b
La
1
première condition donne I.li =0 pour i = 1 il K ; ce qui achève la preuve du
lemme12 .•
1
1
1
1
1
1

---

1
1
- 51
5 l -
1
Lemme 13:
Pour tout i E{ 1,
1 ...
,. .. ,K}.i
,K}.11existe une famille de scalaires '-'i h indépendants de t
1
tels que
1
(VI.37.)
preuve:
II
i!
On a d'après le lemme 6,
(VI.38.)
:L 1
,1
~h~K
Il~h~K '-'i h
'-'ih I G( R)
fG(R) (â 2
(L~2 + t 4
t
) Cf j)
)(~j) 'w'h
...... h dx = Sij-
Sij·
On pose
;.
(VI.39.)
En tenant compte de (VI.31.) et (VI.32.), on obtient
r\\
1
(VI.40)
Ihj(t) •a IG(R)
fG(R) [ â 2
â
(~j)
( ~j) ith
i'h - â 2
â ith
2i'h ~j] dx
Par exemple si hEI 1 ,
1
on a
1
j
~
..;oh
"i'h ::1
.. exp( - rt) (1 + rt) r l- lX
l- oc h 4l(lXh,8)
4>(och,e)
1
d'où
~i'h/~t
èli'h/èlt _-t 3
a-t
r 3
r - lX
- oc h 4l(
4>( lX
oc h,8)
1
h,e)
donc
~i'h/~tEW4,q(G(R»
èli'h/èltEW4,q(G(R» car 3-RelXh
3-Reoch >4-2+2/p soit
soU RelXh
Reoch <-1+2/q
qui correspond à hEI 1 •
.1
1
l
On peut dériver (VI.40,)
(VI.40.) et on a
(VI,4l.)
(VIAL)
dIhjldt(t)::I
dIhj/dt(t) .. IG(R)
fG(R) [ â 2
â
(~j)
( ~j ) (dith/dt)
(di'h/dt) - â2(dith/dt)
â2(di'h/dt) ~j] dx
il
,t
Il est désormais licite
hcite d'i ntégrer par parties dans (VI.37,)
(VI.37.) ce qui donne
;1
dIhj/dt =0
donc Ihj est indépendant de t d'où '-'i h est aussi indépendant de t.1
1
On peut maintenant énoncer le théorème donnant l'estimation des
1
coefficients des solutions
sol utions singulières
si ngu1ières pour le problème (VI.12.).
1
1
1
1

---

1
- 52 -
1
1
On pose:
(VI.42.)
1
alors on a
(VI.43.)
1
Théorème 11:
1
Soit u solution de (VI. 1.2;)
(VI.l.t) 810rs il
fi existe C>O tel que:
(VI.44.)
ICi (t)1 ~ C t- 1+ Reai
Reoci - 2/Q
21Q IIflIO,p,G( R)
1
preuve du théorème:
On a
1
grâce il l'inégalité de Holder.
1
Holder.
Pour avoi r l'esti mation de "'h, il suffit d'esti mer chacun des termes i'h,4>l
i'h,cI>1 h
1
et 4>2
cl>2 h d.~ t'Il. '\\5")
h d~ t'II.
lIi'hllQ
lIi'hIl o
Q ,Q,G(
o,Q,G( R) ~ JG
J 1exp( - rt) Vh(
vh( rt) r 1- CX h
l-C(h 4>(ah,e)\\Q
cI>(och,e)IQ rdr de
1
où vh est un polynôme;on fait le changement de variable p=rt, ce Qui donne
Il i' hllQo ,Q ,G ( R)
1
~ tQ(-1+.Rea
tQ( - 1
h)-2
+.ReOCh) - 2 JG
JG1exp(-p)
exp( - p) vh(P)
vh( p) pl-ah
P l- oc h 4>(ah,e)IQ
cI>(och,e)IQ p dp de
1
et l'i ntégrale du second mem bre converge; d'où
(VIAS.)
lIi'hllo,Q,G(R) ~ C t- 1+ Reah- 2/Q
1
On a
.114>
II~t hllQo,Q,G( R) ~ h It- 1+
1 aoc h le ( tx) IQ dx
1
~
j
t( - 1+
1 Reah)Q-
Reoch)Q- 211lehllQo
G(
2I1lehIlQo,Q,G( R)
,Q,
." '\\ '.'
1
'-'d'ou
(VI.46.)
1
Enfin
Enfi n comme
(VI.47.)
1I~i'hIl3/2,2,dG( R) + lI~di'h/dvIl1l2,2 ;dG( R) =O(exp( -dt»
1
1
1
1

---

1
-1
- 53 -
j 1
l
et
1
1
(VI.48.)
(VI.48J
1I~4>1 h 113/2,2,aG( R)
+ lI~a4>1 h/ avll1 /2,2,aG( R) =O(exp( -dt»
il en résulte que
1
(VI.49.)
(VI.49J
114>2
114> 110,p,G( R) '" O(exp( -dt»
d'où
1
(VI.50 .)
(VI.50J
soit
1
(VI.51)
1
SoU c>O
e>O assez petU et soit
soU GC(
Ge( R) l'ensemble G( R) auquel on a ôté le disque
de centre 0 et de rayon c;
e; on a
,1
(VI.52.)
(VI.52J
Ihj:ll Hmc-+O
Hme-+O f GC(R)[.â,2(:fj)
Ge(R)[~2(:fj) 'V'h
'Yh - .â,2(w):fj
~2('I'):fj 1 dx
1
f
:li Hme-+O e(araj)
e(ocr ii)
[O,W 19hj(a)
19hj(B) da
;1
dB
t
j
où 9hjEC OO
9hjEC
([0,w]).
1
Si aj
OCj est réel alors IhjllIhhÔhj
Ihj-IhhÔhj ; si non Ihj =0 sauf si ah"'aj
OCh"'CXj aussi de (VI.34)
ri
1
1
"
et (VI.39.).
(VI.39.), on tire
ti re si ai
oci e;;.,
e::., réel on
1
,
,1
-j
ci(t) :li ~ii êi(t)
1
1
,
!
1
et si non
1
,
Ci(t) = ~ij ëj<t)
ëj(t)
avec ai
oci =aj
=CXj .Ces relations donnent l'esti mation du théorème 11.1
,1
1
,1
,. ,
. 1 -
.
!
~
1
1
1
1
1
,1

---

1
- 54 -
1
I~,
YI.4,ESTIMATION
YI.4,ESTIMATIOH DE LA PARTIE REGULIERE DES ELEMENTS DE
D{A+t 4
D{A+t u...
1
On considère la solution u du problème (VI.1:1J.),
(VI.1~.), on a:
u = UR + uS
1
u = UR + Us
où UR est la partie régulière de u c'est à dire que UR EW 4
EW ,P(Q) et Us est la
1
partie singulière de u , donnée par la formule (VIA,)
(VIA.) du lemme S, dan3
laq uelle, on a 3Ub3tit
3ub3tit ué ~i à cri,
cr'i. On a do nc:
1
UR EW4,p(
EW4 ,P( Q) ()H 2( Q)
0
et
1
,6.2 UR + t 4 UR = f - (,6.2 + t 4 I ) Us
On a l'esti mation :
1
On a l'esti mation :
Théorème 12:
1
Il exi3te to>O et C>O te13
tel3 que pour tout t>to et pour tout u vérifiant (VI.1 1.) 1
(VI.11.),
on a
1
(VI.S3.)
Preyye:
1
Preuve:
On applique à UR le théorèmeV.8, ce qui donne
1
(VI.S4,)
IluRII4,p,Q + t4I1uRII0,p,Q $ C 1I~IO,p,Q+C 1I(,6.2+t4I)usIl0,p,Q
pour t>to . On obtient par un calcul di rect que
1
(VI.SS.)
Il,6.2~j + t 4 ~jIlO,p,Q '"' O(t 1- Reaj+ 2/q)
Cette e3timation et celle de Cj donnent:
1
(VI.S6.)
(VI.S6.)
116 2uS + t 4 Us 1I0,p,Q $ C 1I~IO,p,Q
1
ce qui achève la preuve du théorème .•
1
YI.S,PEMONSTRATION
YI.S,DEMONSIRATION DE L'ESTIMATION DE LA RESOLVéNTE
RESOLYéNTE ;
i)Soit
i )Soit sE lO,3+oc-
lO,3+0(- 2/q[
2/Q[ ; soit 8E lOI l[
1[ tel que s=4( 1-8), on a grâce à
1
l'inégalité d'interpolation que
1
1
1

---

:1
- 55 -
1
Il
(VI.57,)
(VI.57.)
d'où en tenant compte de (VI.53,),
(VI.53.), on 8a :
1
:
i
(VI.58.)
1
On a USEBS,p(n) et par un calcul direct ou en utilisant la méthode précédente,
!I
on a:
8:
1
i
d'où
,,1
-4+s
1
(VI.60,)
(VI.60.)
lIullx l-S/~p~ Ct
~I
ce qui donne (VI.Z,)
(VI.2.)
ii) Soit s>3+oc- 2/q , soit (i ,j) tel que s>3+ Reocir Z/q,
2/q, on a
1
(VI.61.)
Ic·(t)1 ~CII1\\lo
~CII1110 nt-l+ReocirZ/q
nt-l+Reocir2/q ~C,t-4+s 111\\10
111110
n
1
1
,p,
,PI
,p,
car ReOCij
Reocij - 21q
2/q <s- 3.
;,.1
1
Les esti mations
estimations (VI.55) et (VI.53,)
(VI.53.) donnent (VI.3,)
(VI.3.) pour les couples (i ,h)
il
(i,h)
tels que s<3+ Reoci h- Z/q
2/q .•
l
1
VII.PREUVE
VII,PREUVE DU THEOREME PRINCIPAL.
YII,],
VII.], UN RESULTAT ABSTRAIT EN INTERPOLATION DE
1
DOMAINE
P'OPERATEUR.
1
proposition]
proposition (Grisyard)
1
Soit E un espace de Banach, soit A un opérateur fermé de domaine D(A)
1
dans E. Supposons qu'il existe un espace de Banach F tel que:
(i)
(1)
D(A) C4FC4E
1
(ii) ilexiste~E]O,1[ tel que
1
II(A+t I)- l
I)- ll:f(E,F) =O(t-~)
=
alors FEX~( D(A) ,E).
'1
1
1
1

---

1
- 56 -
1
1
p reuy~
Soit xeD(A) , on a :
1
Soit XED(A) ,on a :
X=
x= t( A+ t
t(A+t I) - 1x
-lx + (A + t
(A+t I) - 1Ax
-lAx
1
d'où
IIx
II ll f ~ C { t 1- ~ IlxllE + t- ~ IIAxIlE}
1
En prenant t=IIAxIIE/llxIlE ,on
, on obtient
IIxllf ~ IIxIlE~ IIAxllE 1- ~
1
donc d'après (11.3.1.), on a:
Fe1{~( D(A),E).
1
FE2{~( D(A).E).
Coro]]oirel:
Corona; re 1:
1
Avec le~ hIJPothè~e~ de 18 propo~ition
propo~ftfon précédente, on 8
( i)
(1)
[ D(A)
D
, E1
E] ( 1- 9) ~ +9, P c
C [F , E19,
E]9, P
1
(i
( i)
ii)
[ D(A) , E1
E] ~9 ,p
, pC
c [[D(A)
D
, f 19,
f]9, P
Preuve:
1
Preuve:
C'est une si mple application du théorème de réitération de Uons-
Lions- Peetre
1
(théorème II.2.)
11.2.)
YII 2,DEMONSTRATION
YII,2,DEMONSTRATION DU THEOREME PRINCIPAL.
1
lerkn;.supposons
lerkll.;,supposons que s<3+oc-2/q.
L'estimation (;) du théorème VI.9. et la relation (;) du corollaire 1,
1
L'estimation (0 du théorème VI.9. et la relation (0 du corollaire l,
donnent:
(VII. 1.)
1
(VII. 1.)
[D(A).
[D(A), LP(Q)l
LP(Q)] (1-9)(1-s/4)+9,p c[
cl BS,P(Q), LP(Q)19,p
LP(Q)]9,p
Comme
1
BS ,P ( Q) = [W 4 ,P ( Q). LP( Q) 1 1- 3/.:1.; fJ
le théorème de réitération donne
1
[D(A) , LP( 0) ]8/f
]8 f [W4,p(
[W4 ,P( 0), LP( Q) 18)
]8) r
1
où 8= 1-s/4+39/4 donc pour tout 8 tel que 1- (oc+ 1+ 2/p) /4<8< 1.
1
où 8= 1-s/4+39/4 donc pour tout 8 tel que 1- (oc+ 1+ 2/p) /4<8< 1.
1
1
1

---

1
1
- 57 -
1
Comme
1
(VII.2.)
(VII.2,)
W4 ,P(O)nW 2
o
,p(O) c D(A)
donc
1
(VII.3.)
(VII.3,)
XS,pc(2)(A) , LP( 0) ]S,p
1
et l'i nc1 usion
l'fnclusfon inverse
fnverse découle immédiatement
fmmédfatement de (VII. 1.) .
(VII.1.).
z.ième
z.fème ~ s>3+oc- 2/q.
1
L'estimation
L'estfmatfon (li)
(ff) du théorème VI.9. et la relation
relatfon (ii)
(ff) du corollaire1,
corollafre1,
donnent:
1
(VIlA.) [D(A) LP(O)](1-s/4)a,pC
LP(n)1(1-s/4)9,pC [D(A) , vect[Bs,P(O);CTij]
Vect[BS,P(n);CTijl ]a,p
19,p
,1
On a
(VII.S.)
(VII. 5,)
D(A) • Vect [W 4 ,P( 0) nW o 2,p( n) ; CTij ]
1
d'où
[D(A), vect[Bs,P(n);CTij] ]a,pcVect [[w4,p(n), BS,p(n)]a,p;CTij]
,1
or
[w4,p(n),BS,p(n) ]8,p:Il [W 4 ,p(n) ,LP(n) )8( 1-s/4),p
:1
grâce au théorème de réitération.
réftératfon.
1
On pose S=(
S.. ( 1-s/4)8,
1-s/4)9, on a alors
(VII.6.)
(VII.6,)
[D(A) ,LP(n) ]S,p
lS,p cC Vect [ [W4,p(n)
[W 4 ,p(n) ; LP(n) ]S,p;
ls,p; CTij
CTfj ]1
1
et cette relation est vraie
relatfonestvrafe pour tout Ste1
pourtoutStel que O<S <1-(oc+1+2/p)/4.
On termi
termf ne la preuve comme au premier
premfer cas .•
1
1
1
1
1
1
1

---

1
- 58 -
1
- 58 -
1
VIILDOMAINE
DES
PUISSANCES
FRACTIONNAIRES
DU
BILAPLACIEN DANS UN DOMAINE POLYGONAL BORNE.
1
Lorsque p=2. l'opérateur Aest auto-adjoi nt positif il inverse compact. Soit
1
(Wi)i €IN (resp ().,i)i €IN)
une base hil bertienne de fonctions propres (resp
de valeurs propres correspondantes) de A telle que la suite des valeurs
1
pro pres soit croi ssa nte; soit 9€ ]0. 1[. 0 n défi nit la pui
p ssa nce fracti 0 nnai
n
re
d'ordre 9 de Aque l'on note A9. par l'opérateur de domaine
1
(VIII. 0
1
avec ~O~i~+oo ).,i291xi12 <+ oo}
et tel que si xE D( A9) avec X= 2:0~i ~ + 00 Xi Wi alors
1
(VIII.2.)
A9x '"' ~O~j ~+ 00 ).,j9 Xj Wj
On munit D(A9) de sa norme naturelle Il IID(A9) défi nie par
1
(VIII.3.)
"x 1I0(A9) 2 '"' ~O~i ~+ 00 ).,i 291xil2
où XED(A9) avec X"~O~i ~+ 00 Xi Wj .
1
Jn vérifie facilement que:
1
(VIIIA.)
D'après J L Lions[ 1L on a
1
(VIII. 5.)
d'où on déduit
1
d'où on déduit
(VIII.6.)
1
poU~ 9Elo. 1/2[.
1
,
Enap~,jc~,"t le
i';
"".,
, 1 / ' -
t~éor,~me pri nci pal au cas particulier p=2 • on obtient le
i';
"".,
, 1 / ' -
: . ,.
"
1
dOrn~jri~' de~ PUissanée$i,fractionnai res du bilaplacien pour 8E ]1/2.
1
li
: . '
" ' . ' - ,
: , ' "
,"
1 . '
ex2ept~es ~p~lQ~~àv81el,Jr'sfinies
~p~lQ~~àv81el,Jr's
de 8.
1
, ".' .-
. ':'
: ~t': ~ '. ...
.,'
" , .
,~ '.' 1
•
',"
1
1
1
1

---

1
1
- 59 -
1
Tbéorème13:
ThéQrème13:
1
Soit 9€
ge ] 1/2
1
,1[ tel que pour tous i et j 49 ~ 2+ ReOCij
Reocij , alors
8lors
(VIII.7 .. )
D(A9)=Vect
D(A8)=Vect [H49(O)
[H48(O) ; O"ij
(Tij / 49)
48) 2+ ReOCij ] () Ho
H 2(O)
1
Remorque:
RemorQue:
1
Ce rés u1tet
u1tat pe ut êt re éte
éta bli
b
se
sa ns usege
usage di recte de l'i mpo rte
rta nte esti mati 0 n e
a
1
priori dens
dans un secteur, en utilisent
utilisant une méthode pl us élémentei
élémentai re besée
basée sur
des i ntég rati 0 ns pa r pa rti es.
1
1
BIBLIOGRAPHIE:
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Real interpolation end
and the leplace
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mates near the boundery
boundary for sol uUons
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1
0096,1986,Nice.
n0 96,1986,Nice.
1
1
1

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1
- 60 -
1
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1
C.R.A.S. Paris, t307 , série l, p447- 451, 1988.
lo]ézjo:[
Zolézio:[ 1]
11 Interpolation d'espaces de Sobolev avec conditions aux li mites de type
1
mêlé.Thèse Nice 1977.
1977 .
1
1
1
1
•
1
1
1
1
1
1

---

·1
1
- 61 -
,1
CHAPITRE 2
1
REGULARITE MAXIMALE DU
1
BILAPLACIEN DANS UN POLYGONE
1
ET REGULARITE D'ARETE
1
1
1. INTRODUCTION
1
Dans ce chapitre, on étudie les problèmes de régularité
régulerité des sol utions de
1
l'équation du biplacien dans le cas p • 2. Ceci est essentiellement motivé par la
1
justification de formules d'i ntégration par
per parties qui interviennent dans la
méthode H.U.M. de J L Lions [1].
1
On montre que tout élément du domai ne du bi placien dans un ouvert
polygonal non fissuré n à la régularité HSI2
H512 +C(Q) pour C > 0 assez petit.
1
On montre, pour s assez voisin de 2 que
6 2
6 : HS (Q)
(n) () H~ (Q)
(n) - > HS - 4 (Q)
(n) est un isomorphisme.
1
Enfi n, lorsque le domai ne est de la forme Q
n x IR, on donne une
1
représentation de la partie singulière
si n9ulière des éléments du domaine
domai ne de 6 2
6 .
2
Des résultats de régularité, pour les éléments du domai ne du
,1
bi1aplacien, de la forme u E H2 + cr' (Q) avec 0" > 0, non détUm~né,
dét~rm~né, ont été
1
.1
établis dans ~ [1]. Dans ce chapitre, on précise ces résultats .
résultats.
1
1
1
1

---

I-
- 62 -
I
1
II. REGULARITE MAXIMALE DU BILAPLACIEN DANS UN pOLYGONE
POLYGONE
1
On conserve les notations du chapitre 1.
Théorème 1:
1
SoH
Soit 0 ~ 0" ~ 2 tel que 0" > 2 - a alors
810rs pour tout
f E H-O" (n), alors
810rs la
18
sol ution
uUon du problème
1
2
uEHO(n)
1
et
t:. 2
f:.2 U '"
U::ll fdans n
1
vérifie
1
preuve :
1
On a
A-I: L2
l2 (n) - > D (A) est un isomorphisme;
1
de même Que
A-I: H-2(n)->
W 2(n)-> H~ (n).
1
Comme
1
wO"(n)::Il [l2 (n), H -2 (n)]0-/2, 2.
Par interpolation
1
A-l
A-I est un isomorphisme de WO"
H-O" (n) sur [D(A), D(A 112)] 0"/2 2
,
Orcet es pace est ége1 Èl
1
Orcet es pace est ége1 Èl
D(A 1 - 0'/4).
0-/4).
.. .,
1
D'après le théorème
O'aprèslethéorème ( l,VIII, .13)
1
1
1
1
1

---

1
- 63 -
1
1
il en résulte que Aest un isomorphisme de
2
H4
H - .,. ( Q)
n) fi HO (n) sur W .,. ( n) po ur 2 - a < cr
1
~ 2.•
proposition 1:
1
On suppose que n t
on
:n ouvert polygonal non fissu)
fissui
>.$
>., il existe
c
& €€] 1 o,~ [tel que pour tout f € W 1 (n), l'unique Solullon
solu(Jon u € H~ (n) du
1
problème:
1
u €
H~ (n) et
{
(11.1)
(II. 1)
/).2
A 2 U :: ç
1
vérifie u €E HS/2
H5/2 ~•
1
preuve :
preuve:
Soi ent
Soient aij
alj 1esraci
les
nes
racines de l'éq uatio n
l'équation t ra nsce nda nte
1
transcendante
CII.2)
(11.2)
si n2
sin zwj :::1
zwj:::l Z2
z2 sin2
sin wj
1
telles que
(II.3)
(11.3)
0 < Rez< 1
1
alors d'après Grjsyard [1 ], on a
1
(11.4) U:::I UR + ~O~j~N {~O<Reaij< 1
1
où
;t
:;t Cij sort les constantes.
1
Il suffit donc de vérifier que
(ILS)
1
'~e qui éq uiva ut
équivaut à
(II.6)
(11.6)
Re ai
1
,." '1~'!~':};iij"~,;".,
".1r·,{~·:F:{'}":"" .'
Il suffit d'étudier les raci nes de (I1.2)
(11.2) et (11.3) en posent.(.)'\\'·;:",
POs8~t.(.)";;,;~~;~J;: .
' .. ":'\\";~l;t~'}/
1
'. ,.'~, .,:. ",,:,~::Y''''t..·,:;·><
D'après Grjsyard [1], les racines de (I1.2)
(II.2) et (11.3) sont
sonf réell~r~';'~r'nples.
réell~~~~;·&fr'nples.
i~f"
i~~"
1
"
"
1
1

---

1
- 64 ..
1
1
L'équation (11.2) est équivalente àil
si n 2w
Zw
si nw
(1I.7.a)
(II.7.a)
2w
Zw
w
1
ou
si n2w
nzw
si nw
sinw
(1I.7.b)
(II.7.b)
= - - -
1
2w
Zw
w
On note Wo 1 IJnique angle de ] n,
TI, 2n
2TI [tel que
1
tgwo =
= Wo ; eo ""ait
"'ait Wo E ] n,
TI, 3TI
IT [.
2
1
1er cos 0 ~ w ( II
TI : il n'exjste
n'existe pas de réel 2
z E 1!W.
1
[sol utjon
utiQn de {II21
1
.
(
si nx
nx
.
.
, .
t
0
°n
En effet le fonctlon 9 x .. = - - est stnctement decrolssante sur [, TI
En effet le fonctlon 9 x, = -x- est stnctement decrolssan e sur [,
] donc
.
x
sin2w
sinzw
sinw
pour tout Z
z E )J 0,1 L on a
)
> - -
1
Zw
w
W
1
De me
mé ,.;.
,~. (L
CL
.b i étlt
é~t impossible c·!r ;·,rM
;·.r(~ 'l'! !."
'." E)
EJ 0, n
TI [.[.
'.1112w
~i nw
0
1
- )
Ona
>0
e:'
~)
Zw
w
1
26me
2ime eos ;
cos; II ( W
Ce) (< WU :
Ce)!J.: l'équation (II.7.b) admet une unique sol ution
soluHon
Zz (w) et l'équation 01.7.a)
(II.7.a) n'admet pas de sol ution.
1
L'éguation (II 7 0)
70) : h
la fonction
fonctiQn g(x) = si nx est strictement décroi~3ante sur
x
1
si n2z w
si nw
"
[O,wo1. aussi si Z E] 0 lL
1L on
Qn a
) -donc (1I.7.a)
(II.7.a) est lmposslble,
1mpQSSlble.
2w
Zw
w
1
L'éQuatioD
L'éQuatiQD (II.rJü,:
(Ii :JU.:
l:ri nw 0 1
TI
.
.
1
CQmme 1 (
-
IS'; n w 0 1
n
.
.
omme gw-o>1
1 (
-
gw-o>1 '::.:.
( l,
1, 810r3 pour 'out w E]
,Wo [11 eXlste Wz E ] 0, if r[
.
.
.. Wo
* .,:
Wo
.
-,'
tel que g( t.,>z) = - 91);
gl); donc
dQnc il existe un unique 2z
Zz (w) E ] 0,1 [ tel que
1
(Il.7.b) sottvraieavec Wz =22(W)W.
zz(w)w.
1
1
1
1

---

1
- 65 -
1
1
1
3è me css
cas
w~
<NIL < W < Z II
TI
Chacune des équations admet une unique sol ution.
1
l'éQuation
L'éQuation {II 7 a) :
Comme W
w €
1 wo,
Wo. ZII
zn L alors g( w) < a et les variations de g montrent qu'il
1
existe un unique WI,
w 1. avec WI
wi € 1II,
n. Wo L tel que g (WI) =g
= (W).
(w). donc il existe
un unique
1
ZI (w) solution de (II.7.a).
(I1.7.a), WI = ZI (w)w et II
n < ZI (w) W
w < wo.
1
L'éQuation (II7,b)
(II 7 bl
le
Le même raisonnement qu'su second cas
ca3 montre qu'il
qu'i] existe un unique Zz (w)
1
solution
sol ution de (II,7.b) avec Zz (w)w
(w) w €
1 0, II
n [.[.
Maintenant il reste il prouver (II.6).
(11.6).
1
poyr ZI W: On a vu que dans tous les cas ZI
z, (w) W >
(w)W) II,
n, or w < Z II
n
1
donCZI(w»z'
do nc Z 1 (w) ) 2'
1
poyr
po yr zz-f.w.l:
zzl..w.l :
1
L'équation (II.7.b) s'écrit aussi pour w €
[Il,ZIl]
m,Zn]
1
On a:
df (
)
.
~ w ,z
= w cos aw + Sl
31 n w,
1
Comme W
w € 1II,
n, ZII
zn L
1
sin w < 0, g (w) € [g(wo). a [
or
1
- 1
- 1
g(wo) >->
) - )
TI
WO
wo
TI
1
1
1
1
1

---

1
- 66 -
1
1
et comme
Z2(W)W e] O,TI[
1
Z2(W)W e] 0,11[
et que
1
or g décroissante sur] 0,11
0, TI [donc
n
1
n
Z2
22 (w) w e ]2' 11
TI [
d'où
1
COSZ2(W)W<0
COS22(W)W<0
donc
1
donc
1
Il résulte du théorème des fonctions implicites
i mp1icHes que Z2
22 (w) est dérivable sur
m, 211[avec
m,2TI[avec
1
1
Z 2
22 (11)
(TI)
'2.
:II
1et 22 (2 TI) :II '2"
:II
1et Z2 (211) :II
On vérifie immédiatement que 22 (w) ne prend pas la valeur ~ sur m, 2TI[ car
l,
On vérifie immédiatement que Z2 (w) ne prend pas la valeur ~ sur m, 211[ car
.
1
1 . , .
t '
w.
1· .. t W
11
TI d
211
Sln zw =- '2 s1n wequ1\\lau a cos 2:11- SOl 2=
onc
2TI
Sln ~ ::a - -Sln wequ1Vau a cos -:11- SOl -::a
onc W
w =
::a
.
2
2
2
2
.
1
Par le théorème des valeurs intermédiaires, on déduit que:
1
Z2
22 (w) ) '2 pour tout w e m,211[
m
.•
,2TI[.1
1
III, PECOMPOSITION O'ARETE POUR LE BILèPLèCIEN
1
III. PECOMPOSITION p'ARETE POUR LE BILèPLACIEN
1
On suppose dans toute cette partie pour pl us de si mp1icité
mplicité que n a un seul
sommet qui est à 1'0rigi
l'origi ne et d'angle w. En fait on se ramène à ce cas par
1
troncature au voiesinage
voi.sinage de chaque sommet.
..
sommet .
..
On note Q = n x IR de variables génériques (x,Y,z) avec (x,Y) E net 2 E IR.
1
On note Q = n x IR de variables génériques (x,Y,z) avec (x,Y) E net 2 E IR.
On note 6Xl,1(
.Q.X1,I( resp V"xy)
Vxy ) le laplacien (resp le gradient) par rapport aux
1
variables x et y.
1
1
1

---

'1
- 67 -
1
1
IlL],
III.], ESTIMATIONS A PRIORI DANS UN POLYGONE.
1
Soit f € H-l (Q),
(n), on considère le problème modèle suivant:
2
Trouver u € H~
Ho (Q)
(n) tel Que
1
que
{
(I1I.l)
(111.1 )
11 2
b,2 U + t 4
t U = f dans Q.
1
n.
Ce problème admet une unique sol ution variationnelle u dans H~ (Q)
(n) et on 8a
1
(111.2 )
1
où Cti est sol uti 0 n de (II. 2) et (II. 3) et uR € H3
H:3 (Q)
(n) ('l
() H~
H
(Q).
(n).
ana:
Ona: pour CA) € cOlm
1
[O,n]
et po ur CA) € ] ] n, CA) 0 [ C2 := O.
1
IlL],],
111.1.1. Est1 moU 0 ns
os des coef!1
coo!!' Cl
cj e
0 nh
oh dU
des sol utl
ut1 0 ns s1 ng ull
u1 j è ret
1
proposUlon
proposit1on 2.:
1
Soit u la sol ution de (III. 1)
(111.1) alors on a :
1
(111.3)
(III.3)
ICi (f)I~ K t- 1
t- +a;
"0; II~I-l, 2, Q
1
où k est UM
unt1 constante
constantt1 j ndépendante de f et t.
1
On démontre cette proposition en suivant la même méthode Que
que pour la preuve
du théorème VI.ll
Vl.ll du chapitre 1 avec cependant deux différences: la première
1
est Que
que la fonction Wi intervenant dans la représentation de Ci appartient à
..
1
H~ (Q)
(n) et Que
que le théorème (l,VI, la)
10) n'est plus n~cessaire .•
1
1
1
1

---

1
- 68 -
1
1
IIL1.2. f~tj
Esti motjon
motion de la port
part je régulière
1
des sol
soJ uti
ut1 0 OS de (1I!.1.)
(II!.l.)
1
proposition 3:
1
Soit U 18 solution de (III. 1)
(111.1) 810rs on 8
(I1I.4)
(IIIA)
IIU RII3
R
,2,Q
I13,2,Q + t IIURIIz,2,Q
IIURlIz,2,Q + t 2
t 11URll1 ,2,Q
11URI11,2,Q + f 5
t 3 11URilo,2,Q
11URllo,2,Q ~ K 1I~1-12
, , Q
1I~I-l.2,Q
1
où k est une constante
const8nte indépendante de f et t.
1
On donne directement la preuve de cette proposition car on peut ici se passer
d'une esti mation du type (l,V
( l,V ,56).
1
preuve de la
Ja proposition:
1
On a
(111.5)
1
avec
1
on a
g € H-l (n) et UR € H3 (n) () H~ (n).
1
Par un calcul di rect, on vérifie que
1
(III.6)
IIgll-1,2,Q
IIgll-I,2,Q ~ 1I~I-l,2,Q
1I~1-1.2,Q
Multiplions (111.5) par ÜR, on a
1
Jn
J 16URF
16URI2 + t 4
t Jn
J IURI2 = <g, ÜR >Wl (n) ,H1o(n)
,Hlo(n)
1
soit
(III.7)
(ilL? )
1
1
1
1
1

---

1
- 68 -
1
1
III. 1. 2. Esti m8ti 0 n de 18 parti e
partie rég uli ère
1
des sol uti 0 ns de (III
(III. 1.)
1
proposition 3:
1
Soit u la solution de (111.1) alors on a
(IlIA)
(111.4)
IIURlI3.z.Q
IIURlb.2.Q + t I!URllz.z,Q
IIU~1I2.2.Q + tZIIURlkz,Q
t2I1U~1I1.2.Q + t3
t I1URllo.z.Q
I1URllo.2.Q ~ K1I~I-l,z.Q
1
K1I~I-l.2.Q
où 1< est une constante i ndépend8nte
indépendante de f et 1.
1
On donne directement la preuve de cette proposition car on peut ici se passer
d'une esti mation du type ( l,V ,56).
1
preuve de la proposition:
1
On a
(IILS)
1
(III.S)
avec
1
on a
1
9 € H-l (0) et UR € H3 (0) n H~ (0).
Par un calcul di rect, on vérifie que
1
(III.6)
(111.6)
IIgll-1
IIgll-1.2.Q ~ 1I~1.'.2.Q
J Z
J Q ~
II~I-l 1 Z1Q
1
Multiplions (IILS)
(111.5) par ÜR,
rr~, on a
JQ
J 1.6.URIZ
URI2 + t 4 JQ
J lU1 RI2
U
= < g, Ü
rrR >H-
>
1 (Q), H10
H ( Q)
i
f
1
1
1
soit
1
soit
!
J
1
1
1
1
1

---

I-
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

'1
- 69 -
1
1
Comme
1
1
On a
1
<III.a)
où le est une constante indépendante de UR et de t ; donc
1
(III. 9)
D'où (IIL7) devient
1
(IIL1 0)
D'après Grisyard [11. on a :
1
(IIL1l)
1
avec Kconstante indépendante de UR.
1
On a
soit
1
(IIL12 )
1
Il suffit d'établi r le
Lemme 1 :
1
Il existe une constante K indépendante de 9g et t telle que:
(III.13)
t 4
t l1URII-l,2,o
I1URII_l.2,Q ~ K IIgll-1,2,o,.
1
IIgll-1.2,Q.I
1
On déduit de (IIL13) et (III. 11) que
(III.14)
1
En regroupant 011.14), (IILl 0) et (III.5) on obtient l'esti mation de la
1
proposition 2.
1
1
1

---

1
- 70 -
1
1
Mai ntenant démontrons le lemme:
1
S1
Si g E L2 (0). on obtient en multipliant (1II.S)
(III.S) par ÜR et en intégrant que:
(1II.1 S)
(III.1S)
1
Par contre si g E H-2 (0) ,on a
1
(111.16 )
(111.16)
1
or
1
1
Comme
2
1:J.2:
6 2 : HO (0) - ) H-2 (0)
1
1
est un isomorphisme.
Il existe une constante Ki ndépendante de UR telle que:
1
1
soit en tenant compte
co mpte de (III.16)
(111.16) que
1
1
donc que
1
(III.17)
1
On déduit donc (111.13) de (111.1 S)
(III.1S) et 011.17)
(III. 17) par interpolation .•
1
1
1
1

---

1
- 71 -
1
1
III.2. REGULARITE
D'ARETE
O'ARETE
1
On rappelle Que
1
0"; (r ,9) =ri +0; 41 (<Xi ,9)
Théorème 2 :
1
Soit fE H-I (III) et u E H~ (III) l'un;quesolutiondans H~ (lII)del'équation:
1
(ULla)
(III, la)
6 2 U =f dans III
1
8lors
alors
U
u = UR
uR + Us
1
avec
(1)
(i)
UR
uR E H3 (III) () H~(III)
1
( i 1)
Us .. [ (À
()., 1
K0
Ka (r,.)
(r ,.) + (Il
(I! 1 * k1 (r,.»]
(r "»] 0-,
(.1, n
1
il
+ [(À 2
().,2 * ko
ka (r,.» + (1l2
(1!2 * k , (r"»]0'"2l1
(r,.»] 0"211
avec
ÀL
).,L III
I!; E H'-a; (IR) pour;
pour i = 1,2.
1
--J2r
--r-2r
r 3
1
r
ko
ka (r, z) = TT(r 2+z 2);
) ; k 1
k, (r,z) =TT
(r2+z 2)2
1
preuve
preuve
1
- f
df!
df,
dfz
df,
df:'l
df;,
On a
f - 0 +
0+ dX + dY + dZ
1
avec
fa, f 1, f2, f3 appartenant à L2 (III).
1
1
1
1
1

---

1
- 72 -
1
1
On note u,l'unique
ull'uniQue solution dans H~ (ID)
(III) de
dt
dt
1
(III.19)
LVU,=g=fo+~+~
LVU1=g=fo+~+~
et U2
U2 l'unique sol ution dans H~( ID)
III) de
1
( )
Mz.
111.20
(111.2 0)
ô,2
ô,2 U2
U2 = d2'
~f;.
1
On remarque que
Que
1
On applique à ces deux équations la transformée de Fourier partielle en 2,
ZI on
obtient:
1
(111.21)
1
et
(111.22)
1
On a besoi n,
nI pour nous ramener à la situation 011.1)
(III. 1) (resp VI. 1 du chapitre 1)
pour l'équation (111.21) (resp 011.22»
(I1I.22» d'avoi rune esti mation de ç2ô,XIJÛ
ç2ô,~Û 1
1
(resp ç
ç Ô,XlJÛ2). On utilise alors le
1
Lemme 2 :
Il existe une constante kle > 0 indépendante
ai ndépendante de g,
g 1 ç
1
13 et
3
telle que:
Que:
1
III.23)
ç211ô'XlJû 111-,,2,Q ~ k Il ~1-l,2,Q
et
1
(111.24)
1
preuve du lemme:
On multi plie (111.21) par Û1 et on obtient
1
lIô'xyû,1I 2
lIô,xyû 2
2
2
111 o,2,Q
o,2,Q + 2ç21IVxyûl112o,2,Q
2ç2 1IVxyû lil o,2,Q + ç4
ç 11û,1I2
11û ,1I o,2,Q
o,2,Q ~ K
K 1I~I-l.2,Q
1I~I-l,2,Q IIVxyû,IIo,2,Q
i1 V xyÛ 1I1o,2,Q
donc
1
ç2 11'Yxy ÛI11o,2,Q ~ Kil g1I-,,2,Q
1
1
1
1

---

1
- 73 -
1
1
Comme
- 6
.6.xy est un isomorphisme de
xy est un isomorphisme
H~ (n) sur H-l (n)
1
On a
1
donc
1
~211_ .6.xyû 111-1.2.Q ~ K Il ~1-'.2.Q .
Mai ntenant multi plions (111.22) par Û2, on a
8
1
011.25)
~6X1JÛ2Fo.2.n
~.6.XlJÛ2~20.2.Q + 2~21IVxyû2112o.2.n
2~21IVxyû2112o.2.Q + ~4I1û~12o.2.n
~4I1û~120.2.Q
A
~ I~I Il f~lo.2.n
f~IO.2.Q Ilû2I1o.2.n
1
û2I1o.2.Q
donc
011.26)
"
1 ~ I3l1û~lo.2.n
I3l1û~lo.2.Q ~ IIf3I1o.2.n
1
3I1o.2.Q
comme
1
On 8a enfi n
1
A
....
U6xyU2112o.2.n
H6xyu2IFO.2.Q ~ 1~1-2I1f~L2o.2.n
1~1-2I1f~L2o.2.Q
Qui
qui est équivalent il8 (11.24) .•
1
1
Ft
ft n de 18 Dre
pre vve dy
d t béo rè me :
Les fonctions Ûl
Û, et Û2 vérifient les équations suivantes:
1
(
)
2
)
~4
A
A
"
111.27
6)J,1 Ul + ~ Ul =gl·
"
111.27
6)J,1 u, + ~ U, =g,.
2
1
(III.28)
6
.6.
Û2 + ~4 Û2 = ~g2
)J,I
avec
Ilglll.1.2.n
Ilg,II-,.2.Q ~ k IlglI.1.2.n
1
IlglI-,.2.Q
et
IIg21Io.2.n
IIg21Io.2.Q ~ k Ilf3I1o.2.n
3I1o.2.Q
1
1
1
1
1

---

1
- 74 -
1
1
Les propositions 2 et 3 précédentes entraînent que:
'C'1 =~1R + C11 (1;) 0"1Tl e-r 1ç1+ C12 (1;) 0"2Tl e-r 1ç1
1
'C'1=~1R+ C11 (1;) 0"1Tl e-r 1ç1 + C12 (1;) 0"2Tl e-r 1ç1
avec
1
et
1
donc
1
donc
(1 + 1~ 12
1 )«
2
1-0;)12)
l-a;)I2) 1C1i
1 (1;)
(~) 1~ ki 11911.1,2,0.
IIgll-1,2,0.
Aussi existe-t-il Ài E Hl-a; (IR) telle que Cli (1;) =Ài (1;).
1
Aussi existe-t-il Ài E Hl -0; (IR) telle que Cli (1;) = Ài (1;).
Posons
1
r
1
ko(r,z) an r 2+z2
d'où
1
d'où
Ul
Ul a ulR
UIR + (À 1* ko
k (r,.) (Z) 0"1 y + (À 2 * ko (r,.» (Z) 0"2Tl.
1
Maintenant on applique les théorèmes (l,VI, 11) et (1, VI.12)
VI,12) 81'équation
(III.28) :
1
on obtient
Û2=Û2R+C 21 (Ç) (1 + rl~l>e-rIÇICT1Tl+C22(1;) (1 + rl~l>e-rIÇIO"lTl
1
On a
1
donc
1
Ensuite on a :
1
IC 2i (Ç)I ~ k 1~ 1- 2+ 0; 1çi 119110,2,0
d'où
1
d'où
(1 + 1 2
1 ~ 1
1 )« 1 - 0;)12)
a;)I2) IC
IC2i (1;) 1
2i (1;) 1 ~ K Ilgllo,2,0
1
1
1
1

---

1
1
- 75 -
1
Il existe
exi ste donc
do nc
~; €E HI- a; (IR) telle que
1
~; (ç) = Cz; (0
Comme
1
(1 + rlçl)e-rf~l=kl(r,.) (ç)
1
avec
1
d'où
uz"
U2" U2R + (Ut * kt (r,.)
(z) 0",1'1 + (~2 * k , (r,.) (z) 0"21'1 .•
1
UZR + (Ul * k1 (r,.» (z) 0','1 + (~z * k, (r,.) (z) O"z1'\\
1
BIBLIOGRApHIE:
M,
M
pauge
Pauge [1] : Régularités et singularités des solutions de problèmes aux
1
li mites
limites eHi ptiques
elliptiques sur des domai nes
domaines si nguliers
singuliers de type à coi ns.
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Thèse d'Etat, Nantes 1986.
1
p GrjsY8Cd
Grjsyord [1]:
Elliptic
EllipUc problems
prob1ems in non smooth domains. Monographs and
1
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[2] : Edge behavior of the sol ution of an elli ptic
pUc prob1em.
1
Préprint nO 96, Nice 1986.
[3] : Si ngu1arités en élasticité. Arch for Rat Mech and Anal
1
107,2, 1989, p. 157-180.
J L Lions [1] : Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisations de
1
systèmes distri bués. Tome 1. Masson, Paris 1988.
1
J L Lions - E Magenes [11 : Problèmes aux li mites non homogènes. Tome 1.
Dunod, Paris 1968.
1
M,T Njane [1]: Interpolation du domaine du bi1ap1acien dans un polygone: le cas
LP. C.R. Acad. Sci. Pari~. t. 309, Série 1, 1988, p. 335-340.
1
1
1
1

---

1
- 76 -
1
1
CHAPITRE 3
1
CONTROLABILITE EXACTE DE L'EQUATION DES
1
PLAQUES VIBRANTES DANS UN OUVERT
POLYGONAL NON FISSURE
1
1
A, INTRODUCTION
1
1
On considère
con~idère Q un domaine polygonal borné non fissuré
fi~~uré de frontière r
1
et soit
~oit T un réel strictement
~trictement positif.
po~itif.
La contrallbi11té
contralfbi11té exacte de l'équation des
de~ plaques
plaque~ vibrantes
vibrante~ consiste
con~i3te
1
pour tous couples
couple~ (1,10, Yt)
(1,10,1,11) et (zo,
(Zo, Zt)
Z1) appartenant 8
il un espace
e~pace 8
il détermi ner, 8
il
trouver u, v E L2 (] 0, T [ x r) telle~ que si y est sol ution du problème
1
trouver u, v € L2 (] 0, T [ x r) telles que si y est sol ution du problème
y" + ~21,1 ~ 0 da ns 10, T [ XQ
X
1
Y
y (0) = 1,10 da ns Q
( P)
y' (0) = Yt
1,11 dans
dan~ Q
1
"N"
"N = usur JO,T[ X r
'Y ~- v E JO,T[ x r
1
€ ] O,T[ x r
alors, il l'intant
rintant T, on a:
1
( E)
f y(Tl =2,
='0
1
~y\\.Y (T) = 21
Etant donné la linéarité des problèmes (P) et (0, i1suffit de prendre
1
Etant donné la linéarité des problèmes (P) et (E), i1suffit de prendre
20 = 21 = O.
1
1
1

---

1
1
- 77 -
1
En fait, on considère ici un problème de contrôlabilité exacte il contrôle
1
frontière, d'autres types de contrôles existent mais il semble bien être celui
Qui présente le pl us de difficultés lorsque l'ouvert 0 n'est pas régulier.
1
Dans ce travail, on considère deux variantes du problème (P) :
1
le problème (P l)
1) pour u ,. 0 et le problème (P2) pour v ,. O.
o.
1
Le problème (Pl) a été étudié lorsque 0 est régulier dans J L Lions [1] ,ainsi
cet auteur prouve Que si Yo €e L2 (0) et Y,
Yt €e H-2 (0) et si T est supérieur il
1
une valeur To
T ,
o
le problème (Pl) admet une solution et on peut choisir le
1
contrôle v nul sur une certaine partie de la frontière dépendant de To
T .
o
Le
le problème (P2) a été résolu lorsque 0 est régulier et strictement
1
convexe par Lasiecka-
Losiecka- Triggjani
Triggjaoj [1] pour
1
2
Yo €e H-I (0) et YI E
e [H3 (0) ('l H~
Ho (O»'et pour tout T> O.
1
Lorsque l'ouvert 0 est il frontière
frontjère analytiQue
analytiQue. Lebeau [1] a donné des conditions
nécessai res et "presque" suffisantes sur la partie ]0, T[
T[ x r 0 (roc r)
r>
1
où le contrôle est non nul pour résoudre les problèmes (P 1) (resp (P2» dans
1
1es
1
es paces L2
L (0) x H-
H 2 (0) (res
( res p W 1 (0) x [ H3 (0) ('l H~
H (0)]') ; ce
travail étant dans la ligne des travaux de 8ardos- Lebeau - Rauch. m.
[l).
1
1
1
1
1
1
1

---

1
- 78 -
1
1
Dans tous ces travaux, les hypothèses de régularités sur 0,
n, donnent
D(~2) = H4 (0)
(n) () H~ (0)
(n)
1
où
1
or lorsque n est polY90na1, on n' a pas cette é9a1ité, ce qui évidemment
1
or lorsque 0 est polygonal, on n' a pas cette égalité, ce qui évidemment
introduit des difficultés supplémentai res dans l'établissement des formules
1
d'i ntégrahon
nté9ration par parties qui sont essentielles dans la preuve des équivalences
de normes qui sont â la base de la méthode H.U.M. de J L Lions.
1
On résout le problème (P 1) grâce à un résultat de régularité
(proposition 2, II, 1) et un autre de densité. La solution du problème (P2)
1
1) et un autre de densité. La solution du problème (P2)
s'appuie essentiellement sur le résultat sur le domaine des puissances
1
fractionnaires du bi1aplacien
bi1ap1acien obtenu au chapitre 1 (thèorème l,VIII, 13) et qui
conduit à une restrictiQn
restriction supplémentai re su résultat de Losiecka-
Losiecko- IriggjonL à
1
sovoi
savoi r que les
1es mesures
mes ures des ongles
an91 es ou sommet
so mmet de 0
n doivent
doi ve nt être
êt re pl us
plus petites
qu'un ongle
angle Wo
<3'0 (# 151°).
1
B,
CONTROLABILITE
EXACTE
EXèCTE
DE
L'EQUATION
DES
PES
PLAQUES
1
VIBRANTES PAR UNE ACTION DE TYPE 'YY • 0 l i "y~Y
't~y • v.
.
cV
1
On conserve les notations de la première partie, chapitre 1.
1,
1
L
1. QUELQUES
RESULTATS PRELIMINAIRES
1
1.1,
1.1. REGULARITE H5/2
H5/2 + C (0)
(n)
1
On
rappelle le
résultat déjà démontré au
chapitre
2, II,
(proposition 2,II, 1).
1
1
1
1

---

1
- 79 -
1
1
propo,jtjQn
prQDQ~jtjQn
1:
Si 0 est un ouvert polygonal non fissuré alors
810rs n existe ce]
cel 0, ~ [tel que
1
pour tout f e w 1 (0), l'unique solution u du problème:
2
1
u e Ho (0)
(Q)
{
(1.1)
6,2
6 2u ...
.. f dans 0
1
Q
vérine
u e
E H5/2 + C (0)
1
1
L2. UN RESULTAT DE DENSITE
1
propo'1tjon
prQpQ~1t1Qn
2
L'espace H4 (0)
(Q) () H~ (0)
(Q) est dense dans H5/2 + C (0)
(Q) () H~ (0)
(Q) pour la
1
norme de H5/2 + c
C (0) avec 0 < C < ~.
1
preuve:
1
On utilisera le lemme suivant que l'on va démontrer à
il la fi n de la preuve de
cette proposition.
1
Lemme 1:
1
Soit s· t
Soit , . f + C avec ce]
cE] 0,! L alors l'application
l'appHcaUon
2~
~
HS (0)
(Q) () Ho
H~ (0)
(Q)
> TT a
0 ~j~N
~j~N Hs-512 (rj)
1
...12
1
1
est Hnéaire
Hné8ire continue et surjective.
1
1
1
1

---

1
- 80 -
1
1
Comme CE]
c € ] O,~
o,~ L on a, d'après Grjsvard (IL
( 1.2.)
.)
HS - 5/2 (rj) =H~ - 5/2 (rj)
1
L'espace HS (Q) ()
f'l H~ (Q) étant un espace de Hilbert.
Hilbert, commeyz
1
est surjective.
surjective, aussi admet-il un inverse il droite R conti nu.
1
On a pour tout
: =(~j) O~j~N E
(~j) O~j~N € TT0 ~j ~N
TTo~j~N HS - 512
5/2 (r j )
j)
~
...
-+-+
1
y z R«Il~ = ~
et
R ;+
R;+ E€ HS (Q) ()f'l H~
H~ (Q).
On considère l'application suivante:
1
HS
H' (0) fl H~
"H~ (0) ~>
(O)~' H~
H: (0) x nO~jm
TTO<j'N HS-SI2 (rj ) )
1
(
4>
~
u,1
>
) (u - R Yzu •
, Yzu)
Y
1
On a: 4>
~ est un isomorphisme.
~!) effet:
1
- 4>
~ est linéaire et continue.
- 4>
~ est injective car si 4>( u)
~(u) :a 0
a alors
1
...
...
~
~
y z U :a 0 et u - R Yz u :a 0
a
d'où u :a~ O.
1
- 4>
~ est surjective:
...~
1
soit ('f.
('f, ~) E H:(Q) x TT o~j~N H s-5/2
H
(rj)
On pose
1
On a
1
U E
€
HS ',Q) ()
f'l H~
H (Q)
et
1
et
1
1
1
1

---

1
- 81 -
1
1
donc
...
..
U-RY2 U =u-R<Il
='+'
1
d'où
1
~(u)=(,+"i)
donc ~ est surjective.
1
Il en résulte que ~* (l'application li néei re conjuguée de ~) est un
isomorphisme, donc que l'espace [HS (0) n H~ (0) l' est iso morp he il
1
H-S(o)xTTO~j~N
H-S(o)xTTO~j~N W S
W
+ 512
+
(rj)
Il reste il prouver que toute forme linéaire continue sur HS (0) n
1
H~ (0) qui
s'ennule sur H4 (0) n H~ (O)est identiquement nulle.
1
Soit L une telle forme linéaire, alors il existe
1
(ito,~) E WS(O)XTTO~j~N
H-S+512(rj)
2
telle que pour tout u E HS (0) n HO (0)' on a:
1
1
où les crochets correspondent il des dua1ités évidentes.
Comme
1
7) (0) c H4 (0) n H~ (0)'
1
on a pour tout <Il E 7) (0)
L (<Il) = (ito, <Il> 7)'(0), 7) (0) = 0
1
d'où
1
ito = O.
Soient
V 1j
1 = V0j = V3j = 0
po ur
j = 0 il N
1
1
1
1
1

---

1
-- 82
82 --
1
1
alors
alors
n
{
O~j~N {V··}O' 3
1J
E n
n
H4-i-1/2(r ')
1
V, }
n
n
H4-;-1/2(rJ')
O~j~N
lj O~i
~1 ~3
~
E
o~j~N
o~j~N
O~;
O~i ~3
~3
J
et
et vérifie
vérifie les
les conditions
conditions de
de compati
compati bilité
bilité du
du thèorème
thèorème (
( 1.5.2.8.)
1.5.2.8.) de
de
1
Grjsya
Grjsya rd
rd [1],
[l]. do
do nc
nc il
il existe
exi ste
v
v E
E H4
H4 (n)
(Q) ()
fi H~ (n)
(Q)
1
telle
telle que
1
On a
1
On a
N
L (v) =!
< «POj. V2j >7)'( rj)7) (rj) = a
1
L (v) =!
< «POj, V2j >1)'(rj)1) (rj) = 0
j-O
donc
1
«POj =0 pour 0 ,<j~N
~j~N
d'où
L =O. ce qui achève la preuve de la proposition 2·
1
d'où
L =0, ce qui achève la preuve de la proposition 2·
1
Preuve du Jemme 1 :
Par cartes locales,
locales. on se ramène à trouver
1
2
u E€ HS (IR + X IR +) ()fi Ho (IR + X IR + )
+
pour tout couple (f. g) E HS- 5/2 (IR+) X HS- 5/2 (IR+)
1
pour tout couple (f, g) E HS- 5/2 (IR+) x HS- 512 (IR+)
avec
2
1
d 2
èl Uu
Yl
Yl - 2
-
(x,o)
2 (x,o) =f(x)
=f(x)
dY
èly
1
1
où
oùYIYl (resp.
(resp.Y2)
"(2) est
estlala trace
trace sur
sur OX
Ox (resp.
(resp.sur
surOy).
Oy).
Le problème posé sur le complémentaire du premier quadrant se traite de la
1
Le problème posé sur le complémentaire du premier quadrant se traite de la
même
mêmemanière.
manière.
1
1
1

---

1
- 83 -
1
1
On a
...,
1
-.;
H s- 5/2 (IR+ y) = H s- 5/2 (IR +'.1)
aUSS1 ,
aussi, d'après Grj sya rd
Grisyard [l],
m, exi ste - t - il
1
existe-t-il
G E HS (IR 2) ('l
() H~ (IR x IR +x)
telle que
1
2
Y2 0x G (0,1')
(O,y) .. 9
g (y)
1
où
et
1
On cherche V E HS (IR2) telle que:
1
V ..
:II
u
U - GIIR+ x IR+
1
alors V vérifie
1
YI Dy
Oy V .. - Yl0y (x,o) ..
:II
$1
4/ (x)
1
1
2
YI 0
V ..
::1 f(x)
- Y1
YI 02G (x,o) ..
::1
$2
4/ (x)
y
1
2
y
2
1
Y2V .. Y20xV = Y20x V ::1 O.
Les conditions de compati bilités
compatibilités vérifiées par les traces de Gsur ox et oy à
1
l'orig1
l'origi ne avec le fait que s- 5/2 E ] 0
a,~ [,
[, entrafnent
entralnent que
1
$i
4/ E
Hs-i-1/2 (IR+x) (théorème 1.4.5.2. Grjsyard [1]).
i E
HS-i-l/2 (IR+x) (théorème 1.4.5.2. Grjsyerd
1
1
1
1
1

---

1
- 84 -
1
1
Il existe donc W €E HS (IR x IR) telle que
Y1 W = cIl o
1
1
2
et
YI D W = cIlz
cIl2
y
Y
1
2
Soient Aj tels que I
(- j) l Aj = 1
o ~ l ~ 2.
j=O
1
On pose
2
1
V =W (x/y) - I
'AjW (- jX y).
I
j=O
1
On 8a
1
YI Dl,!
DlJ V (x/o)
(x 10 ) ,.
•
YI D~
D W (x/o) ,.
~ W (x10) • 9411 (x)
1
2
1 1
~
Y2 D V (O/Y) =YzD/O/l,!)
Y2 D/ O/lJ) - ~ oAj(-Ol ~xl (O/l,!)
(O/lJ) = 0
x
1
J=
0
donc
1
u = V + G IIR+ x IR+ est une sol ution.
1
II. FORMULE D'INTEGRATION
PAR
PARTIES ET
EQUIVALENCE
DE
1
NO RMES
1
On rappelle que A est l'opérateur non borné de LZ
L2 (Q)I
(Q) 1 défini
défi ni par
(11.0
(IL 0
D(A) ={u E H~ (Q) 1 ô 2
ô u €E LZ
L2 (Q)}
1
2
(11.2.)
(IL 2.)
Au=ô 2
Au=ô upourtoutu EHo<Q).
EHo(Q).
1
1
1
1

---

li
1
- 85 -
1
1
On adopte le prlnclpe
principe de sommatlon
sommation des indlces
indices répétés.
:1
11.1. fORMULE
FORMULE D'INTEGRATION
p'INTEGRATION PAR PARTIES
1
Soit m une application de 1R 2
1R
â
à valeurs dans 1R 2
1R
de classe C2
C , avec
m(x) = (ml(x). m2 (x».
1
1
Théorème 1 ;
Pour toute fonction cil
~ E D (A), on 8 :;
,1
1
1
1
1
1
où<, > désigne ladu81ité
1adu81ité W 3/2
W 3/ 2 +C(O), H3/2 - C(O) 8vecc E ]o.~
]0'2 [.[.
1
preuye:
preuve :
1
D'après la proposition l,
1, il existe C >0, CE] o,~ [
1
tel que si cil~ E D (A), cil~ E HS/2
H512 +C( 0). On fixe un tel c et on pose s = 5/2 + c.
C.
Soit~E
H~
1
SoitcllE HS (0) ()
(O),ona
1
b,2
6 2
î
<Il E W 3/2 +C( 0) =(H~/2 - C( 0)
1
1
1
1

---

1
- 86 -
1
1
On a
m. V4>
Vell E H3/2 + C(O)() H~ (0)
1
donc
1
m. VcI» E Ho3/2 - C( 0).
1
Il en résulte qu'on peut défi nir < .a,
.o.22 ~. m.V ~ > pour la
18 dualité
dU8lité
12 C
(Ho3/2-C (0»' avec H: - (0).
o3/2-C (0»' avec H:
1
Soit ~ E D(A), d'après
d'8près la
18 proposition 2, il existe (~n) n~ suite d'éléments de
1
H4 (0) () H~ (0) convergentes vers 4>cl> pour la topologie de HS(O) () H~ (0).
1
On a8
1
(lIA)
(1104)
fl Q .a,2
.0. 2 4>n
elln m.V
m.V 4>n
elln dx
l
::1
f
::1
Q .a,
.0. ~n
cl>n .a,
.0. (m.v 4>n)
cl>n) d x +
1
1
2
Comme
4>n
cl>n E Ho (0), on a
8 'Yj (m.V4>n)
(m.Velln) ::1 0
1
et
1
1
donc
1
1
1
1
1
1

---

1
1
- 87 -
1
On a :
1
(11.6)
X
x = JOb.
Job. <Pn
cIln b. (m.Y'<pn)
(m.VcIln) dx
1
=
= Job. <Pn
cIln b.mk
b. m" Ok
D" <Pn
cIln dx + Job. <Pn
cIln mk
m" Ok
D" b. <Pn
cIln dx
or
1
soit
!
1
~.
(11.7.)
Job.
f ob. <Pn
cIln mk
mIe Ok
D" b. <Pn
cIln dx '"
,. - 1/2
Jo
f 0 div (m) lb. <pn12
cIlnl
dx
1
dx
t
+ 1/2 LO~j~N Jrj
Jrj (m.vj) (Yjb.<pn)2dcr-j
(Yjb. cIln)2 dO"j
1
\\t~
En regroupant ces égalités on obtient la formule (11.3) pour tout
1
<Pn
cIln €
H4 (Q) () H~ (Q). Comme tous les termes de (11.3) sont définis et
1
conti nus par rapport il HS (Q) () H~ (Q)
il
J
par passage
la li mite on obtient le
1
théorème 1.
Remorgue :
1
Remorgue
L'argument de densité est essentiel dans la preuve; en effet, on ne peut pas
1
utiliser la méthode de Grjsyard [2], pour le laplacien, car si <Pn
cIln € H4 (Q) J il
f
db.cIln
A
J
db.<pn
A
1
apparalt des termes de la forme
rj Yj'""'d'V'i
Yj'""'d"V'i
Yj (m.V'<pn)
(m.VcIln) dcr-j
dO"j et ces termes
J
s
ne peuvent être défi nis
définis pour <Pcil € Ho (Q).
1
IL2
11,2 SOLUTION DE L'EQUATION DES PLAQUES VIBRANTES
1
1
L'opérateur A est auto-adjoint positifs
positif à inverse compact dans L2(Q). Il admet
donc une base hil hertienne de fonctions propres (Wk)
(W,,) I:~
k~ 1 dans L2 (0)
(Q) et ces
1
fonctions constituent une base orthogonale de H;
H~ (Q). Soient O'k)
(>..,,) I:~
k~ 1 la suite
1
1
1

---

1
- 88 -
1
1
des valeurs propres rangées dans un ordre croissant et telles que Àk est la
valeur propre associée à Wk.
1
valeur propre associée à Wk.
Soient % E H~ (0),
(Q), ~l E L2 (0) et f E LI (o,T ; L2 (0», on dit que ~ est
1
solution de l'équation des plaques vibrantes associée aux données ~o, ~1 et f si
1
on a:
8 :
(II. 8)
~ Ee (0, T ; H~ (0»
(Q» ('l e1 (0, T ; L2 (0»
1
avec
~.. + 6 2 ~ os f dans 0 x ] 0, T [
1
~.. + 6 2 ~ os f dans 0 x ] O. T [
(II.
( II. 9)
9 )
~ ( 0)
(0) ,. «ro da ns 0
1
~. (0) ,. ~l dans O.
on1.Ar~un
On1.Ar~un résultat de régularité classique:
1
ilL~orème
lh~orème 2:
1
Soit
s ~ ~ ,«ro
, «ro E D(AS ),
D(As), ~1 E D(AS
D(AS -- 112) et
f EL 1 (0, T ; D(AS -ll2»
D(AS-1/2»
1
alors la sol ution ~ de l'équation des plaques vi brantes associée aux données
«ro, ~l et f vérifie:
1
(II.l0)
~ E e
C (0,T ; D (AS»
('l e1
C (0,T ; D(AS
D
- 1/2)
et H
il existe K constante indépendante de ~O, ~l et f telle que:
1
( II.
(II. 11) Il ~ Ile (0,T ; 0(AS» () C1 (O,T
(0, T ; 0 (AS - 1/2»
1
~ K {
K{ Il ~
II~ Il 0 (AS) + Il ~IIID(AS-
1I~1110(A$- 1/2) + IIfllL1
IIfllLl (O,T;
(O,T
D(As
;O(A - 1/2
-
» }
»}
1
1
1
1
1
1

---

1
1
- 89 -
1
Preuve:
1
preuve:
,1
La
Lo sol ution ~<Il s'écrit:
(11.12)
1
1
1
On obtient ensuite (11.10
(11.11) par
por un calcul
colcul di rect à parti
porti r de (11.12).
RemarQue:
RemorQue: On utilise dans
dons la
10 suite ce résultat
résultot sous la
10 forme suivante:
suivonte :
1
soit
(~o, ~L f) EX
1
avec
ovec
1
X..
x- H~ (0)
H~(O) x L2 (0) x (L'
(LI (O,T ;
(O,T; L2 (0» ;
(0»;
1
soit
2
2
(~o m, ~ 1m, f m) E D(A) x HO (0) xL' (0,T ; HO (0),
1
convergeant
convergeont dans
dons X vers (~O,
(<Ilo, ~1,
<Ill, f).
O.
:1
Si ~est
<Il est la
10 solution de l'équation
l'équotion des plaques
ploques vibrantes
vibrontes associée
ossociée à (~Ol
(<Ilo, ~l,
<Ill, f) et
!
~m
<Ilm celle associée
ossociée à (~Om,
(<Ilom, ~lm,
<Ill m, fm),
m
alors
olors ~m
<Ilm converge vers~,
vers <Il, d'après
d'oprès (11.11)
1
dans
dons
C (a, T, H~ (0» () Cl (O,T, L2 (0».
1
C (0, T, H~ (0» () C' (O,T, L2
En pl us,
1
~m
<Ilm E C (0,T ; D
0 (A» () C1 (0, T, H; (n».
(0».
1
On utilise donc ~m
<Ilm plus régUlière
régulière pour approcher~.
approcher <Il.
1
1
1

---

1
- 90 -
1
1
II.3. EOUIVALENCE
EQUIVALENCE
DES
NORMES
1
Soit Xo E 1R 2
1R , on pose R (xo) = max xE
XE Q Il x
X - Xo Il où
Il. Il est la norme
1
euclidienne
euclid;enne dans 1R 2
1R .
Soit ).,~ la première
prem;ère valeur propre de A par rapport à H~
H (Q)
6
1
2
2
1
(L~2 u = -).,0 ~u
6u pour u E Ho (Q) \\{O}).
1
2
On remarque que ).,~
).,0 est la plus grande constante
C telle que l'inégalité
l';négalité de
1
Poi
Po; ncaré
(II.13)
1
1
soi t
so;t vé ri fi ée.
vér;f;ée.
On pose
1
_ R(xo)
(II.14)
T (
)
Xo
---x;-.
1
Soi
So; t T )> 0, 0 n pose Q = 10, T [x Q,
1
N
I (j) = 1 0, T [x rj,
I = U
I(j);
1
j=o
J (xo) = {j E {O,- ,N}/(x - xo). Yj (x) )> 0 V
":/ x E rj } et
1
I* =UjEJ (xo) I(j).
1
On énonce maintenant
ma; ntenant le résultat de base pour la méthode H.U.M. de J L Ljons:
1
1
1
1

---

1
- 91 -
,1
1
Théorème :3:
Soient (4)0,
So;ent(</>o, 4>1,
</>1. f) E H~ (0) x L2 (0) xLI
x LI (0, T ;
T; L2 (0»
1
et 4> la
</>la solution de l'équation des plaques vibrantes associée à ces
1
données, alors on a :
j)
;) (II.15)
:L
l; 1~j~N f I(j) IYj
1Yj 6.
 4> 12
</>1 dO"j dt ~
1
C
2
2
(T + 1) { Il 4>011 2
</>011 2,2,0 + Il 4>11120,2,0
</>11120,2,0 + Il f 11 Ll(O,T
I(O,T ; L2 (0»)
(0»)
où c'est une constante indépendante
constante; ndépendante de tPo, tP 1 et f.
1
ij)
;;)
Lorsque f =
= D, on a :
(II.16)
1
01.16)
f I* ly6.
1 y 4> 1
2
</>1
dO" dt ~ 4/R(xo) (T - T(xo»
T(xo»
Eo
avec
1
1
(II. 17)
Eo • '2 [Il </>011 22,2,0
2
+ Il </>1 11 0,2,01
1
preuve:
preuye :
1
On applique la remarque du paragraphe précédent. Ai nS1, on choisit des données
régulières, 4>0
</>0 E O(A),
D(A). 4>1
</>1 E H~ (0) et f E LI (O,T ; H~ (Q»
(0»
et on note 4> la
</>la
1
solution de l'équation des plaques vi brantes correspondante à ces données. On a8
1
1
1
On a:
8 :
1
où
1
1
1
1
1

---

1
- 92 -
1
1
soit
1 = (<II', m.
m . V <II) ITo0 -- (1/2)J
( 1/2) JIl)
III m. Vi
V <IIF
1<11'12 dxdt + Il
1,
1 = (<II', m. V <II) ITa + (1/2)
o +
JIl)
JIII (div m) 1<11'/2
1<11'1 2 dx dt + 1,.
l,.
1
car
<II' E C (O,T, H~ (0» donc Y<II' = a sur I.
1
On applique à
è 1,1a formule d'intégration par parties du théorème 1 et comme
1 =J~ f m. V <II dx dt
1
On a:
(11.18) (1 /2)
(1/2) IO~j~N JI(j) (m.vj )
(m.vj) 1 Yj
1
b.
6 ~2 do)
dO"j dt =
1
JIQ b.6 <II b.
<116 mk Ok
Dk cjl<II dx dt + 2 J1Qb.<II
1Q6<11 Ohmk
Dhmk 0hOkcjldx
DhDk4>dx dt
1
+ 1/2 JIQ (div m) [lcjl,\\2
[14>'1 2 -lb.
-16 «lFldx dt
~21dxdt
+ JQ cjl'
4>' m. Vcjldx
V4>dx IT
J
Q -
o -
IQ f m.'Vcjldx
m.V4>dx dt
1
Soit mE C2 (1R 2,
«(R2, 1R 2)
(R2) telle que, pour tout j E {a, ... , N} et tout XE
xE rj, on ait
(II.19)
(11.19)
m (x) .Vj(x)
,Vj(x) > O.
1
Une telle fonction existe d'après le lemme 1.5.1.9. de Grisyard
Grjsyard [1].
1
l'esti
L'esti mati on (II. 11) du théorème 2 et l'identi té (II. 18) don ne nt
l 'i
l'i négal ité
négelité (II. 15).
(11.15>'
1
Maintenant posons m(x) ,. x - Xo et prenons f = a
On a:
e :
1
divm
di v m =
=2, b.mk
6 mk = a , Ohmk
Dhm k = s~
=S~
la
Le formule (II.18) s'écrit alors
1
(II.20)
1/2 JI*
J
(x - xo).
xo>' v lyb.~2dcr-dt
1y6~2 dO" dt =
=JQ cjl'4>' (x - xo).
xo) . Vcjldx
V4>dx ITao
1
+ JIQ
J [lcjlF
[14>'12 + 1b.~21dx
16~21dx dt - 1/2 JI\\I*
J
(x - XO).v 1b.~2
16~2 dcr-dt
dO" dt
On pose:
1
(II.21)
(11.21)
E(t) = 1/2 [lIcjl'(t)1I 2
[1I4>'(t)1I a,2,n
2o,2,n + 11b.<II(t)1I2
116<11(t)1I a,2,n]
o,2,n]
1
Eo=E(O).
1
1
1
1

---

1
- 93 -
1
1
On vérifie que pour tout tE [ 0, T]
(11.22)
E(t) = Ea.
1
EO.
De (11.20) et (II.22),
(11.22), on déduit que
1
(II.23)
(11.23)
(R (xo)/2
(xo)12 f I* 1Yll.~2
l 'YÔ~2 dO" dt
da-dt ~ 2 T Ea
EO - f Q cj)'
cf m.Vcj)dx
m.Vcjldx ITao
On a:
1
1 f Q cj)'
cjl' (t) m. Vcj)(t)
V4>(t) dx 1 ~ R (xa)1I
(xo)1I cj)'lIo.2.Q
cjl'lIo.2.Q 1Ill.~lo.2.Q
lIô~lo.2.Q
soit
1
(11.24)
IfQ cj)'(t)
cjl'(t) m. Vcj)(t)
Vcjl(t) dx 1~
1 (R(xo)1
(R(x
>-'a) Ea
o)/ >"0) Eo
1
On a donc:
1
d'où
f I* l 'Y~~2 dO"
da- dt ~ (4/R(xa»
(4/R(xO»
[T - (R(xa)
(R(xO) 1>-' a)
/).,0) ] Ea,
1
EO.
III. SOLUTIONS FAIBLES DE L'EQUATION DES PLAQUES VIBRANTES
,1
1
Dans ce paragraphe, on veut donner un sens ilà une équation de la forme:
y" + ll.2
ô 2 y :r
'" 0 dans III
1
y(O) .. yO, y'(O) :r
'" yI dans 0
n
(III.l)
(111.1)
1\\J
1Y oz 0 sur l
1
'Y~=vsurI
dV
1
où
ya
y0 E L2 ( 0)
n) , Y
y 1 E W 2 (0)
(n) et v E L2 (I).
C'est un problème aux 1i mites
limites avec conditions au bord non homogènes. On le
1
résout dsns
dans un sens fai ble
faible d'sprès
d'après J,L, Ljons [2].
On note D( L) l'ensemble suivant:
1
(III.2)
D(L) ={ct>
{cjl E Co (O,T, H~ (O)()
(n)n Cl (O,T, L2 (0»1
(n»/
1
1
-1
1

---

1
- 94 -
1
1
Soit
(IIL3 )
(1II.3)
x =H~ (Q)
(0) X L2 (Q)
(0) X L'
LI (0,T,L2
(O,T,L2 (Q»
(0»
1
et L l'opérateur de domaine
domai ne O(L),
D( L), à valeurs dans X et tel que:
1
1
III.l sa LunD NS
SOLUTIONS
FAX BLES
FAIBLES
1
Th6or6mo
Th6Qr6me 4:
4 :
1
Pour tous ua
Uo E L2 (Q),
(0), u,
U, E H-2 (Q)
(0) et gE L2 (!)
0:) il existe un unique triplet
('f,'fo,'f,)
(If, Ifo, If,) EL OO
EL
(0,T,L2(n»xL2(n)xH-2(Q)
(O,T,L2(n»xL2(0)xH-2(0) tel que:
1
pour tout '1>
~ E O(
D( L) tel que
(IILS)
(III. 5)
L('1»
L( ~) s ('1>0,
(~o, '1>"
~" f),
f) on
,on 1) ; <
( f,'f
f, If > + < 'fa,
(If 0, '1>,>
~, > - <'\\-
('\\- '1>0
~o > s
1
< ul,
(Ul, '1>(0)
~(O) > - < uQ, '1>'
(Ua,~' (0» - !Q~j~N
!a~j~N f I(j) 'Yj A '1>g
~g dO"j dt
1
preuve:
preuve :
1
O'après
D'après le théorème II.2,
11.2, L est un isomorphisme de O(
D( L) sur X ; donc L* est un
iso mo rphis me de X* s H- 2 (Q)
(0) x L2 (Q)
(0) x LOO ( O,T,
0,T, L2( Q»
0» sur 0 *(
D
L) .
1
L'application 1 définie par:
(111.6)
011.6) D( L) -> IR
1
'1>1->
~ 1-> 1('1»
l(~) s < ul,
(Ul, '1>(0)
~(O) > - < uQ,
ua, '1>'(0)
~·(O) > - !Q~j~N
!a~j~N f I(j) 'Yj A'1>g
A~g dO"j dt
1
est li néai re et conti nue grâce aux théorèmes (11.2) et (11.3.;) donc il existe un
unique triplet ('fI,
(lfl, - 'fa,
Ifo, 't')
,-+,) E X* tel Que:
1
(111.7)
OII.7)
L*
L [('fI,
[(lfl, - 'fa,
Ifo, 'f)]
If)] =1
=l
Soit cilcl> E O(L)
D(L) avec L(4)) = ('1>0,4>1,
(~o, 4>1, f)
1
On a :
1
< L'" ('t'l, - 'fa, 'f), '1> >O*(L), O(L) = < 1, ~ >O*(L) , O(L)
1
1
1

---

1
- 95 -
1
1
soit
soH
1
< (,+,1. - '+'o.'+'L Lcj»X*.X = < 1. cj»O*(L). O(L)
,1
d'où
1
1
Définition:
1
oéft n1110 n :
Pour Uo
ua E L2 (0). U, E H-2 (0) et g
9 E L2 (I)
(!) la fonction,+, définie par le
1
théorème 4 est aopelée sol ution fai ble de l'équation
1
1
'+' (0) :li.. Ua
Uo
(III.a)
,+,'(0) =
"" u,
1
Ul
y,+,
'Y'+' .. a
:li
1
y~; = g
1
'Y~; = 9
Remarque:
1
Remorque:
On justifiera dans le paragraphe suivant cette notation et on montrera que
1
,+,(T) = '+'0.
'+'0, ,+,'(T) ='t' 11
1
où 't'o
't'a et '+'1 sont données par le théorème 4.
1
1
1
1

---

1
- 96 -
1
1
III.2
III,2 REGULéRITE
REGULARITE DES SOLUTIONS féIBLES
fAIBLES
1
Théorème 5
Soient ua E L2 (n),
(0), u,
UI E H-2 (n),
(0), gE L2 (I) et u E LOO ([0, Tl,
TL L2 (n»
(0»
1
la solution faible de
(III.a)
(III.8) alors
u E C (0,T,L2 (0» () Cl (O,T, H-2 (0»
1
avec
8vec dépendance continue des données; c'est-a-dire
c'est-e-dire qu'il existe C>O telle que
1
lIull
Ilull C(O,T,L2
c(0,T, L2 (0» () ct
Cl (O,T,H-2(0»
(0,T, H- 2( 0»
~ C {lIuoIIL2(0)
u
+ lIull1H-2 (0) + IlgIIL2(I)}
IIgIIL2(I)}
1
Preyye
1
preuve
D'après les théorèmes (II.3.0 et (IlIA),
(IIIA), on a :
1
(III. 9)
Grâce à cette estimation, on peut prendre (ua, u"g)
ul,g) plus régulier, dans un
1
espace dense dans L2 (n)
(0) x H-2 (n)
(0) xX L2 (IL
Lemme 2 :
1
-
2 (t""o)
(Q)
-
-
2
Soient ua E Ho
~C:, u, E L2(n) et 9 E H512(I)
Soient ua E Ho
' UI E L2(0) et 9 E
("1
() Ho (I) si u est l'unique
solution de
(III.8) alors on a,"
1
solution de
(III.a) 810rs on a:
1
Preuve du Lemme:
1
Comme 9
g E H512 (I) () H~ (I), il existe 'YI E H4 (Ill) telle que:
d'YI
-
1
d'YI
-
'Y.
- 9
"'J' 'YI
J'd'Yi- , 1
=o.
1
=
J
On pose
1
On pose
f ='YI" + 6. 2
6. 'YI
1
alorsfE L2 (iD)
(Ill) doncfE LI (Ü,T,L2
(O,T,L2 «(l)),
«(l».
1
1
1

---

1
- 97 -
'1
1
Les traces de 'vi
"" en t = 0 ('vI(0»
(""(0»
et de 'vi'
",,' en t = 0 ('vI'(0»
(",,'(0»
sont bien définies et
appartiennent respectivem-ent à
1
H~ (0) et L2(0).
LZ(O).
D'après le théorème (11.2), il existe une unique fonction
1
1
sol ution de
ç"
~.. + 6 2
ÂZ ç
~ = - f
1
(III. 10)
(III.10)
ç( 0)
~(O) = u~ - 'vI(0)
""(0)
1
\\
Ç'(O)
1;'(0) = Ul
u, -- 'vI(0)
",,(0)
\\
On a par suite
1
u=ç+'w'
et
1
1
ce qui termi ne
termine la preuve du lemme 2.
Soit (Uom,Ul m,
(Uom,Ulm, gm) € H~ (0) Xx L2
LZ (0) x (H512(I)
(H51Z(I) () H~ (I» convergente
1
ver~
vers
(ua,
(uo, Ul,
Ul, g) dans L2(0)
LZ( 0) xx H-2(Q)
H-Z(Q) xx L2(I)
LZ (I) ;
1
d'après le lemme 2 et l'estimation
l'esti mation (III.9), on a
(III. 11)
1
11)
et
(III.12)
lIullc (O.T,L2 (Q» ~ c {Il uoIIL2(Q)+ Il ull1w 2(Q) + IlgIIL2(I)}.
1
Il reste à montrer:
1
(III.13)
On a besoin d'un résultat de régularité supplémentaire.
1
1
1
1
1

---

1
- 98 -
1
1
Lemme 3 :
,3,:
SoH f E L2 (O,T,H~ (n», 4>0
(0»,4>0 E H~ (n)
(0) et 4>, L2 (n)
(0) alors l'uniquesoluHon
81orsl'un;que solution
1
4>E C(O,T,H~ (n»
(0» f'lC'(0,T,L2(n»
(lC'(O,T,L2(0» duproblème:
1
df
dt
4>" + t:. 2
t:. 4> = ~
4> (0) ..
:II 4>0
1
4>'(0)"4>1
4>'(0)=4>1
1
~ = y~ .. 0
)4Il=Y~:IIO
vérifie:
vér;fje:
1
~ C {II~IL 1 (o,r ,H
(O,T,H 20(
2 Q»
0(Q» + 114>~12,2,o
114>~12.2.Q + IIc1>,1I0.2.o}2
1I~1"0.2.QF
1
preuve:
preuve :
1
1
On pre nd
prend f E 1J (0, T, Ho (n».
(0».
1
D'abord, on écrit 4> .. '+'
'f' + Tl avec,+,
avec 'f' sol
'01 ution du problème:
1
,+,(
'f'( 0) =410
=4>0
1
'+"(
'f"( 0) ..
=cI>o
4>0
"fi'
"ft' .. y~; ..=0
1
Aussi
Au,si on peut appliquer à '+'
'f' l'esti mation (ILl 5).
(11.15).
1
La fonction Tl est sol
'01 ution de
y" + t:. 2 y = :t
de
d
(
y .. + t:. 2 y = - f
,
dt
1
(IIL1S)
(III. 15)
\\' y( 0) =ay' ( 0) =0
Yy = 'fd~ = 0
1
1
1
1
1

---

1
- 99 -
1
1
Soit ç
~ la solution du problème
1
ç"
~ .. + 1J.2
6 2 ~ =
=f
(III. 1
(111.1 6 )
~ (0) =
~ ~' (0) =0
1
t =~=O
~ "t~=
~v
0
Alors ~ E C (O,T, O(A»
O(A»
() Cl (O,T ,H~ (n)
(0) () C2 (O.r,
(O,T, L2 (n»
(0» et par suite
1
~
(111.16)
Tl • -e
-~
~t
il
2
avec en plus TI E C (0,T, Ho
(O,T,H~ (n»
(0» () Cl (0,T, L2
(O,T,L2 ( n» .
(0».
Soit m E COO (1R 2
(1R ,
2 1R 2
1R )
2 telle Que: pour tout x E ~n
~O
m(x).v
m (x):v (x) ) O.
1
Multi plions (111.15) par m,V~,
m.V~, on obtient
il
(III. 17)
(111.17)
(~', m. V~)
m.v~) Q (T) - (1/2) l IllQ m. VI~ 12
m.VI~F dx dt + l IllQ IJ.6 ç~ IJ.6 (m.V
(m.V ç) dx dt
- II m.v
m.Y 1ylJ.eF
1"t6~j2 der dt =
~ -- III
l lQ f m.~'dx
m.~' dx dt
1
d'où
(111.18)
(e',
(~', m.~)Q (T) + ·1/2) III
l lQ (divm) le'l2
I~F dx dt
1
- (1/2) III
l lQ (d1vm) 11J.~12
16~12 dx dt
1
+ III
l lQ Ohml: IJ.~
6~ OhOI:~
OhOl:~ dx dt - ( 1/2) II m.Y lyIJ.çl2
1"t6~j2 der dt
= l Il
lQ m. Vf ç'
m.Vf~· + l tQlQ (di vm)
(divm) f ~'
1
f~'
On applique le théorème (11.3) à e,
~, on obtient en tenant compte de la relation
(III.16)
(111.16) Que
1
(III.19)
1
En reportant cette relation dans (111.17), on a l'esti metion
mation (III.14) du 1emme3.
1
1
1
1
1
1

---

1
- 100 -
1
1
fj
fi 0
n de ]0 preuve du théorème 5 :
Il résulte du lemme 3 que l'application 1 qui a tout cp sol ution de
1
Il résulte du lemme 3 que l'application 1 qui a tout cp sol ution de
1
cp ( 0) = cp,
cp' (0) = cp,
d
1
Cl
y cp = ClY
dY cp = 0
où
f E 'w'-'"
",-',' (O,T, H~ (0», CPo E H~ (0) et cp, E L2 (0), associe
1
l(cp)
Hcp) = < u" CPo >
CPo) - < ua,
uo, cp, >
CP,) - !(O~j~N)
I(O~j~N) l I(j) Yj Acpg
6cpg dcrjdt
dcr-jdt
1
est li néai re et co nti
conti nue aussi 0 n
on a l 'esti
l'esti mati 0 n
mation (III. 13) .
(III.13).
1
Remarque:
RemorQue:
D'après le
D'après]e théorème 5, u(T) et u'(T) sont bien définis. Lorsque ua,
uo, u, et 9
g sont
1
réguliers alors
2
u(T) = '+'0 dans
dons Ho (0)
1
u'(T) = ,+" dans L2 (0)
1
d'où on déduit que
u(T) = '+'0 dans L2(0)
1
u'(T) = ,+" dans H-2 (0).
Pour les troces, on remarque que:
1
Pour les traces, on remarque que:
u" = - A2
6 2 U,
u,
1
donc
u E 'w'-2,
vr 2, +00
+00 (O,T, 0(8»
O(B»
avec 0(8)
O(B) = {u E L2 (0) 1 A2
16 2 u E L2 (C:)}
(O)}
1
d'où on tire, en tenant compte de3 formules de trace dans les polygones que:
Yj u E 'yI- 2, + 00 (0,T, H- 112 + C ( ri) )
1
Yj u E I,y' - 2, + 00 (0,T, H- 112 + C (r j) )
Yj
Y·J ~~j
dU
EI,y'-2,+00
E'yI-2, +00 (O,T,H-312+C(r
(0 T H-312+C
»
(r.»
j
cWj
, ,
J
1
pour tout cC > O.
1
1
1

---

'1
- 101 -
,1
1
1
IV.
IY, APPLICATION DE LA METHODE H,U.M.
HeU,Ne DE J,L.
JeL. LIONS
1
Théorème 6:
R(xo)
Soit xOElR 2,
xOEIR2, si T )>T(xO) =
>-'0
).,0
,81ors
,alors pour tous Yo E L2 (0), Y, E H-2 (0),
1
il existe
1
v E L2 (I) 8 support contenu d8ns
dans I*
telle que 18
la solution faible Y de
l'équation
1
y" + l:l.2
y"+tl,2 y = 0
=0
y(O)=Yo
1
y'(O)
Y'(O) "YI
Yj Y .. 0
1
Yj ;;.
:;. :a
,. V
v
J
1
vérifie
y (T) :1
'" y' (T) :a
,. 0
1
,1
preuye:
Soient
q>o
~o E H~
H~ (0), q>,~I E L2
L2 (0)
1
et
~ E C(o,T,H~
C( 0,T, H~ (0»
(0» ('l C'(O,T,L2(0»
C' ( O,T ,L 2( 0»
1
l'unique sol ution du problème:
1
q>
~ ( 0)
(0) = q>o
~o
<1>'( 0) = <1>1
'1
alors d'après le thèorème (8.11.3) la fonction v défi nie par:
,1
V = Yj
Yj êJ.
I:J. q>
~ sur l *
{
et
v = 0 sur I\\ l *
1
I\\I*
1
1

---

1
- 102 -
1
1
appartient à LZ (I).
1
Soit '+' l'unique sol ution fai ble de
1
'+' (T) =0
'+" (T) = 0
1
'Yj '+' = 0
'Y. k= v
1
J ë:t""j
Ce problème est le même que celui résolu dans le paragraphe III, à condition
1
d'inverser le sens du temps, ce qui ne modifie pas la forme des équations, aussi
1
L'op6roteur
L
A:
1
1
1
-
A est li nési re
1
-
A est conti nue car
2
1110.(410,411) II wz(Q)xLZ(Q) = Illf'(O)IIZo,z,Q + Il,+,'(O)1I2-z,z,Q
wz(Q)xLZ(Q) = Illf'(O)IIZo,z,Q + Il,+,'(O)1I2
1
soit
1
d'où
1
1
On vérifie que A est coercitive en calculant <A (<1>0, <1>1), (<1>0. <1>1) > pour des
données régulières.
1
1
1
1

---

1
1
- 103 -
1
On prend ~Om E D(A)
et
~lm E D(A 112)
alors
1
~m E C(O,T, D(A» () Cl (o,T,H~
(O,T,H~ (0» () C2(0,T, L2(0» ;
1
de même, on prend 't'm E C (O,T,H~(O» () Cl(O,T,L2(0»
avec J't'M
1't'N + 6 2
6 't'm = a
1
l't'm (T) ='t"m (T) = O.
,1
On a:
1
< 1\\
A (~Om, ~lm) > = < 't"m (a).
(0), lPom
%m > - < 't'm(O), ~lm >
,1
ou
1
donc
,
T
.
T
f
J
d't'm
0= <~m,'t'm>lo- <~m,'t'm>lo- IjEJ<xO)
I(j) Yj6~mdVid(Tdt
1
0'" < ~ m, 't'm > 1 - < ~m, 't'm > 1
0
0 - Ij eJ (xO)
I(j) Yj 6~m dVidO"dt
J '
1
soit
1
1
En passant àla1imite,
è la limite, on en déduit Que
< 1\\
A (~o, ~1) ,(~o,
,(~O, ~1) > '" f I*
J
(y6~)2 dO" dt
dcrdt
1
donc
;1
d'après le théorème (B.II.3).
1
1
On note
F '" H~ (0) X L2 (0)
1
1
Il résulte de (IV.1)
(IV. 1) Que l'opérateur 1\\
A est li néai re conti nu et coercitif sur F
1
pour tout T > T(xo) donc 1\\
A est un isomorphisme de F sur F' pour tout T> T(xo).
;1
1
1

---

1
- 104 -
1
1
Vérifions que cette propriété donne la contrôlabilité exacte. En effet soit
T > T(xo),
1
> T(xo),
soit (Yo, YI) € L2 (Q) X H-2 (Q) alors il existe (~. ~1) € f tel que
1
1\\ (~. ~1) ,. (y,. - Yo) ; soit ~ et,+, les fonctions défi nies précédemment avec
'+'0 = Yo. '+'1 = YI
1
V
v ,.,. Yj A lp
Alp
j € J (xo)
et
v,. 0
j EJ
E J (xo)
1
alors grâce à l'unicité des sol utions sol utions de l'équation des plaques
vi brantes,
1
vi brantes,
on a Y,.
Y '+' donc
1
Y(T) ,. y' (T) ,. O.
Ce qui prouve la contrôlabilité exacte de l'équation des plaques vi brantes pour
1
des données dans f' .•
1
C.
CONTROLABILITE
EXACTE
PE
L'EQUATION
PES
PLAQUES
1
VIBRANTES
PANS
UN
POLYGONE
PAR
UNE
ACTION
PE
TYPE
POSITIO N
1
I. CONPITION GEOMETRIQUE SUR Q
POUR UNE REGULARITE
1
H7/2 +e PES fONCTIONS PE O(é)
1
Comme on le verra dans la suite, on utilise des contrôles de la forme ydd~~ où
1
Q)
Q> est la sol ution du problème:
1
Q)U + 62 ~ = 0
(1.1)
~(O) =Q)o,~' (0) =Q)!
1
[
dcb
~ = Y~= 0
1
1
1

---

1
1
- 105
lOS -
1
avec
1
(1.2)
4>0
410 E D(A3/4) et 411 E D(A 1/4)
1
Aussi a-t-on besoi n d'un résultat de régularité donnant
1
(1.3)
(1.3)
y ~E
~~! E l2 (I)
y ~v
~v
1
proposition 1:
Il
11 existe wo E
E ] 0, n [tel que les propositions suivantes sont équivalentes:
1
2
1
(1)
D(A) c H7I2
H7/2 + C(O)
&(0) () Ho (0) pourc
pour & E] O'Z[
O'z[
,1
(il)
"ri
'V i E {O,... ,N} 4)1
Wi < wo.
1
preuve
1
Soit u E D(A), on a d'après le paragraphe III, du chapitre 1
:1
(lA)
(l.4)
u =UR + :i:O~i~N
:LO~i~N :i:O<Re
:LO<Re aij< 2
Cij C"ij
O'ij
,
où
1
(1.5)
UR E H4 (0)
et
aij est solution pour chaque i E {O,
{a,... , N} de l'équation transcendante:
,1
(1.6)
si n2
sin ZWi • ZZ sinzwi
zZsinzwi
i
i
~
1
On rappelle que
C"ij
O'ij (rj, ~) = r 1 + aij 41~ (aij, aj)
9j)
Il résulte de la formule (04)
(l.4) qu'une condition nécessai re
nécessaire et suffisante pour
que
u E H7/2
H7I2 + C
& (0) est que:
0.7)
(l.7)
"ri
'V i E {O,
{a, ... ,N}
C"ij
O'ij E H7/2 + C& (0)
•
ce qui équivaut à
7
Re(l + Uij)
aij) >'2+c-
>'2+&-
î
11
0-j
1
1

---

1
- 106 -
1
1
soit
3
(1.8)
Re (l" > -+ C
1)
2
1
Il suffit d'étudier par des méthodes élémentaires, comme au paragraphe II du
1
chapitre 2, l'équation
si n (l (0) .. :t (l si n (0)
1
pour obtenir que (1.8) est équivalent 8
(0); < wo
Wo pour tout i € {O" .. , N-1}
1
-
TT
où
(.)0
Wo € ] ] 2' TT [.
1
On obtient numériquement que
wo·151°.1
1
On suppose dans toute la suite que:
(H3) Q vérifie :
yérifie: 'y' ji € {O
N}
<Ni ~ •
wi~.
1
1
Il. FORMULE
fORMULE p'INTEGRATION PAR PARTIES
1
proposition 2:
Soit m €E Coo (1R 2,
([R2, 1R 2),
[R2), 810rs pour tout /ft
q. €
D(A) on a:
8 :
1
(II.1) < ô,2 /ft,
q., m.~b~)""
m.~~~)"" - JQ
J DnmIcDIcÔ,/ft
DnmIcDIcÔ,q. Dnô,/ft
Dnô,q. dx
+ (1/2) JQ
J div(m) IVô,~2 dx
1
- (1/2) J~Q
J
(m:loI)
(m.v) IVô,~2 da + JoQ
JoQ (y o~p)
èl~p) m.Vô,/ft
ô,q. da
1
où <, > désigne le crochet de dualité
dU8lité entre W 1/2
112 +C (0)
(Q) et H1/2
H112 - C (0).
preuye:
1
Soit 41cjl €E D(A), alors d'après la proposition 1, /ft
q. €
H7/2
H712 + C.
1
On a
1::. 2
Ô.
$ €
cjlE Wl/2tc (0) et m.V'I::.q> €
m.V'ô.<l>E Hll2+ C
Hll2+C (0),
1
1
1
1

---

1
- 107 -
,1
,1
or
1
d'où < .a. 2
<.0 2 41, m.V.a.4IHI
m.V.o41 > a unsenset
un sens et est continu
conti nu par rapporta
rapport à H712+t
H712 + e (n).
(0).
1
On a:
1
In
f Q .a. 2
.0 2 4In m. v.a.
m.V.o 4In dx =- In
f Q Dhmlc
Ohmk Dh.a.4I
Oh.o41 DIc.a.4I
Ok.o41 dx
l
f
l
~ .a.4In
+(1/2)
~n(m.v)IV.a.4Inl2da+f
~.o4lD
+(1/2)
~Q(m.v)IV.o4lnl2da+ ~n
~Q ~v
m.V.a.4In
m.V.o4ln da
1
po ur
u to ut 4In E H4
H
(n).
(0).
!
Comme le second membre est conti nu par rapport aà H7/2
H712 +
+ te et que
1
In
f Q .a.2
.0 2 41n
4In m.V.a.4In
m.V.oq,n dx = < .a. 2
.0 2 41n,
q,n, m.V.a.4In
m.V.oq,n >
1
On peut passer aà la li mite et on obtient (ILl).
(IL 1) •
1
III. EQUIVALENCE DE NORMES:
1
On donne d'abord une identité fonctionnelle
1
proposition 3
Si n
0 Yérifi~ l'htjpothès~
l'htjpothè'~ ( H3
H L alors
alor, on a
1
(HI.1)
(HLl)
D(A3/4)
O(A3/4) .. H3 (n)
(0) ()
(l H~ (n).
(0).
preuve :
preuye:
1
.~
C'est une si mple
mp1e application du théorème ( l.III,3)
UII,3) sous la condition (H3) sur
II
n
o et po url e cas p =2.•
1
On peut maintenant énoncer le théorème d'équivalence des normes:
1
1
1
1
,1

---

1
- 108 -
1
1
Théorème
1 héorème 1 :
1:
On suppose que n
0 vérifie (H3L
(H3). alors il
j1 existe T
100 > 0, Co > 0 et CI>
Cl> 0 tels
1
2
1
que pour tout T>
1> 0, pour tous $0
% € H3 (n)
(0) () Ho (n)
(0) et 411
4»1 €
Ho (n),
(0),
1
si
4» € C( 0,1 ,H3 (0) () H~( 0» () Cl (0,1, H~ (0» et est l'unique
sol ution
uUon de l'équation
l'équaUon
1
(III. 2 )
41
4» ( 0) = 410,
=4»0, 41'
4»' (0) =411
4» 1
1
'Y 41
4» = 'Y~ =
'Y~= 0
1
alors on a
(III.3 )
1
avec
1
1
Preuyo:
Preuye:
1
Lemme 1 :
2
Il existe une constante
c > 0 telle que pour tout u € H3 (n)
(0) () Ho (n),
(0») on a
1
(IILS)
(III.S)
C IVA UlO,2,Q ~ \\1\\3/4
IA3/4 UlO,2,Q
1
preuve du lemme 1 :
1
1ère étape: On montre l'esti mation suivante: il existe c >0 telle que
Que pour tout
2
u € H3 (n)
(0) () Ho (n)
(0) on a :
1
(III.6)
clIulb,,2,1Q ~ {IiVAullo
{IlVAullo, 2
. ,1Q + IIAullo,,2,,Q}
1
Cette relation découle des esti mations sur la régularité des sol utions du
Laplacien avec condition de Di rich1et
richlet dans un polygone établies dans
1
Grjsvard [1].
1
1
1

---

1
- 109 -
1
1
2ème étape:
Supposons que la relation (III.5) n'a pas lieu, alors pour tout n EN,
1
il existe un E H :3 (0) () H~ (0) telle que
1
(111.7)
1
et
(111.8)
nllV6unllo.2.0
6unllo.2.Q ~ 1.
1
La relation (III.7)
011.7) entrafne que (un) admet une suite extraite, encore notée
.
2
(unL
(un), convergente fai blement vers u dans H:3 (0) () Ho (0).
1
De (III. 8 Lon
8), 0 n déd uit que
1
V6u=O dansQ
dans 0
d'où
1
6u :a
a
Ir:
k dans 0
avec Ir:k une
une constante.
1
co nsta nte.
On a donc
1
Ir:
k mes (0)
:a
a f Q 6 u dx
1
2
où
u E Ho
H~ (0)
1
donc
1
Ir:k mes (0) = 0
soit
Ir: =0 ; donc u =O.
1
k=O;doncu=O.
Comme H:3 (0) () H~ (0) est i ncl us dans H2 (0) avec injection compacte, on a
1
6 un converge fortement dans L2 (0) vers 6u = O.
La relation (111.6) appliquée à
è Un donne par passage àè la li mite que c < 0
1
ce qui est i mpossi ble .•
1
1
1

---

1
- 110 -
1
1
RemarQue:
L'i négalité
néga1ité :
1
(111.9)
"ri u E H3 (0) () H~ (0) Ilvôullo,z,Q.$
IIv~ullo,2,Q ~ ClIulb,z,Q
lIulb,2,Q est immédiate.
1
Aussi le lemme l, entralne que l'application u ..-> IIvôullo,z,Q
IIV ~ullo,2,Q définit
défi nit une
norme équivalente à la norme de D(A3/4).1
D(A3/4) .•
1
preuve du tb6or6me 1 :
1
Soient 410 E D(A), CPI
11>, E D(A 112)
1/2) et soit
1
cpEC(O,T,D(A»
II>EC(O,T,D(A» ()CI(O,T,D(AII2»
()C'(O,T,D(A"2» ()CZ(O,T,LZ(O)
()C2(O,T,L2(0)
l'unique sol ution de (111.2).
1
Soit Xo E 0, l'hypothèse (H3) entralne que 0 est strictement étoilé par
rapport xo, aussi existe-t-il a>otel
a>Otel que
1
(III. 10)
1
"ri j E {O, ... , N} "ri x E rj (x - x 0)''1' ( x) ~ a
1
On a
JlQ (II>" + ~211» (x- xo). V~4Idx dt = 0
1
soit
1
(III.l1)
(cp',
(11)', (x-xo). VÔ4l)Q
V~4I)Q I~ - JlQ
J cp'(x-xo).VÔCP'
1I>'(x-xo).V~II>' dx dt
1
+ JIl
J ÔZcp
~211> (x-xo)·
(x-xo). Vôcpdx
V~lI>dx dt ~= 0
On applique à (III. 11)
(111.11) la formule d'i ntégration par parties (11.1),
(ILl), on obtient:
1
1
(III.12) (cp',
(11)', (x-xo).
(x-xo)· vôcp)QI~
V~II»QI~ + 2 JlQ
J Ô
~ cp' cp'
11>'11>' dx dt
+ (1/2) JlQ
J (x-xo).VIVcp'!2
(x-xo).VIVII>'!2 dx dt- JlQ
J IVô~z
IV~~2 dx dt + (1/2) JlQ
J 21Vô<lF
2IV~<lF dx dt
1
J
J dD.d>
- (1/2)
lQ (x-xo).v(x) IVDo~z do-dt +
za:;-(x-xo). VDocpdo-dt
J dll<b
- (1/2)
lQ (x-xo).v(x) IV~<lF der dt +
za;-(x-xo). V~lI>derdt =0
1
1
1
1

---

1
- 111 -
1
1
On remarque que:
lyV.â.<IJI2 = IVo-.â.<IJI2
lVo-.â.<IJI2 +
1
Idd~~2
Idd~epl2 sur dn au sens de la norme euclidienne de 1R2
1R ;
2
.2M
(x-xo).V.â.cp ,. (x-xo)
(x-xo).V.â.cIl=
.v(x)
(x-xo).y(x) ~ + (x-xo) .Vo-.â.CP
(x-xo).Vo-.â.cIl
sur dn.
'1
L'identité 011.12) devient:
1
011.13) (cp',
(cil', (x-xo).V.â.CP)
(x-xo>.V.â.cIl) nI6
nI
-
6 3 SlllVcp'!2dxdt
SlllVcIlFdxdt
1
+ SlQ
S IV.â.<IJI2 dx dt + (1/2) SI (x-xo).v(x)
(X-Xo).Y(X) 1~~'2
1~~~2 dO'dt
der dt
- (1/2) SlQ
SlQ (x-xo).v(x)
(x-xo) .y(x) IV
I o-.â.<IJI
V
2
o-.â.<IJI2 dO'dt
der dt + SI ~~t\\!(x-xo).
~~<l>(X-Xo>' Vo-.â.cpdO'dt,.
Vo-.â.cIl der dt = 0
1
En multipliant (111.2) par A1/2cp',
A'/2c1l', on obtient
011.14)
E3/4 (t) ,.
= E
1
o
E ,
o 3/4 (CPo,
(cIlo, CP1)
cil,) pour tout t > O.
Pour tout t, on 8 :
1
où Cest indépendant de t ; d'où
1
(111.15)
I(cp',
l(cIl', (x-xo).V.â.cp)n
(X-Xo).V.â.cIl)n 16 ~ C' EO
E •
O 3/4
.3/4 (CPo,
(cIlo, cp,)
cil,)
1
On réécrit (111.13), sous le
la forme
T
(111.16)
(cp',
(cil', (x-xo)·V.â.cp)n
(x-xo)·V6c1l)n 16
1
- SlQljvcp'!2+IV.â.<IJI2jdxdt
1
0
- SlQ IjVcIlF + IV6<1J12] dx dt
- 2 SlQ
S (IVCP'l2
[/VcIl'l2 + IV .â.~21
IV.â.<IJI2] dx dt - (1/2) SI (x-xo)
(X-Xo) .v(x)
.y(x) lVo-.â.~2
lVo-6<1J12 dO'
der dt
1
+ SI ~~t\\!
~~<l> (x-xo).
(x-xo>' Vo-.â.CP
Vo-6c1l do-dt
der dt + SI (x-xo)1 ~'2
~~2 dO'
der dt = a
Le lemme 1 et le
la relation (111.14) donnent
1
(111.17)
011.17)
1
On multi plie (111.2) par .â.CP
6c1l et on intègre sur iD,
Ill. d'où
(III. la)
1
On vérifie que
1
(111.19)
1
1
1

---

1
- 112 -
1
1
On reporte (III. 17). (III.18) et (III.19)
(111.19) dans 011.16)
(lII.16) et on obtient:
1
(III.20)
( 1/2) h:
h: (X-xo)
(X-xa) . v(x) 1 ~~2 da-
dcr- dt ~ C (T - T0)
Ta) E
(~a,~l)
O
E ,3/4
a.3/4 (~0'~1)
+ (aJ2) JI IVa-64F dcr- dt - JI
1
+ (aJ2)h:IVo"~~2da-dt - Lt ~~g.(X-xo):Vo"~~da-dt
~~c!l (X-Xa):Va-6~ dcr- dt
1
- 2 h;y~~c!lY~~da-dt
on a
1
(111.20) 1 h: ~~c!l (x-xo) ,Vo"~~ da- dt 1.$ (al2) I I IVo"~~2 da- dt
1
+ (R 212 a) fIl ~~2 da- dt
1
On a aussi
(111.21)
II I Y~~c!l y ~~ da- dtl
1
~ ( 1/2e) III ~~2 da- dt + (el 2)fIIY ~~ 12 da- dt
1
pour tout ec > O.
Comme le théorème (B.1I.3)
(8.11.3) donne
1
(111.22)
(II1.22)
fl Ily
IIr ~~
6~ 121 da-
dcr- dt ~ C(T + 1) Eo
Ea
avec
Ea ~ (1 12) O~'12a,2,Q + 164Fa,2,Q]
1
avec
Eo ~ (1 12) O~'l2o,2,Q + 1~~20,2,Q]
on en déduit que
1
011.23)
(111.23)
f Ily ~~ 12 da- dt ~ C'( T + 1) EO,3/4 (~Ol ~1)
où C' est une constante indépendante de T et de ~o et ~1'
1
On reporte les relations (111.20),
011.20), (111.21) et (111.23)
011.23) dans (111.20)
(III.20) et on
obtient
1
011.24)
(111.24) (1/2) [R(xo)
[R (xa) + (R(xo)/a)
(R(xa) la) + (lIt)]
( 1le)] IIly~~2dcrdt~
JI l 'Y ~~~2 dcr- dt ~
1
[C(T-T
[C (T-To) -cC'(T+ 1)lE
a) - e C' (T + 1)] 03/4
E
(00, <1>,)
a,3/4 (00, $1)
d'où pour ce > 0 assez petit, il existe Co > 0 et T0>
Ta> 0 tels que:
1
1
1
1

---

1
- 113 -
1
1
011.25)
(I11.25)
1
La seconde inégalité de (III.3)
(111.3) découle de la régularité de Q>4> et de l'esti mation
(II.16)
(11.16) du théorème (II.3).
1
(11.3).
Remarque:
.1
On peut montrer comme dans Lasiecka-
Lasjecka- Trjggjani [1] que, en fait pour tout
T >
T> 0, il
0,11 exi ste
existe c > 0
a tel que :
1
que:
(III.26)
1
Lorsque 0 vérifie (H3) le passage de (III.25)
(111.25) à (III.26)
(111.26) ne présente pas de
difficulté supplémentai re,
1
IY.
IV. MISE EN OEUVRE PE
DE LA METHOPE
METHODE H.U.M.
1
1
Th6Qr6me
Tb6Qr6mo 2:
On suppose
3uppo3e que 0 vérifie (H3).
1
(H3),
Soit T >0, soient
30ient Yo € w' (0) et y, € [H3 (0) () H~(O)J',
H~(O)r, il existe
exi3te
1
u € L2 (I) te11e que si
3i y est
e3t l'unique solution
301ution de
y" + ô 2
~2 y .. 0
a dans III
1
y(O) .. Yo, y'(O) .. YI dans 0
1\\1 =
= u sur I
1
y~=osurI
1
alors
(jlor3 y
Y(T) = y' (T) = 0
a
1
1
1
1
1

---

1
- 114
114 -
1
1
Preuve:
1
Soient <Ile
<Ilo E H~
H~ et <Il,<Ill E H3 (n) () H~ (n) ; soit <Il l'unique sol ution
solution de (111.2)
associ ée aux do nnées
n
410
<Ilo et <Il,.
<Ill. Soi t
Soit Ye
Yo E H-,
H- 1(n) et y,
YI E [H 3
[H 3 (n) () H~
H ( n) r.
1
on vérifie comme au paragraphe S.III que l'équation
1
y" + Â2
6 2 y ~
"" 0
a
dans lI!
1
y(T) =0
a ,y'(T) =0
a
dans n
~.oih
~.o'"
(IV. 1)
Yy = y~sur!
1
y~a
y~,. Osur!
1
admet une unique sol ution fai ble
1
1
On pose
F a
F,. [H 3
[H3 (n) () H~ ( n) ]
H~(n)] Xx H~
H~ (n)
1
Soit A l'opérateur linéaire de F dans F' défini par
1
A (<Ilo, <Il,) = (y'(O), - y (0»
où y est la sol ution fai ble de l'équation
l'éq uati 0 n
1
y" + Â2
6 2 y = o
a dans lI!
1
y(T) =0
a ,y'(T) =0
a
dans n
1
(IV.2)
1
y ~= 0 sur!
Cl))
avec (jlla
<Il la solution
sol uti 0n de (111.2)
(III. 2) pour
po
les
url es données
do nnées initiales
i niti ales <Ile
<Ilo et <Il,.
<Ill.
1
1
1
1

---

1
1
- 115 -
1
On a :
1
< A (4lo,
<410, 4l,),
4I,L «4lo, 4l,)
«410,41,) > f, r' =
I:t 1y a~~2 da-dt
1
d'où la contrôlabilité exacte de l'équation des plaques vi brantes par un contrôle
de position
posHion .•
1
BIBLIOGRAPHIE
1
1
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Bordos-lebeoy- Rouch [1] : Sharp sufficient conditions for the observation,
control and stabili zation of 'w'aves from the boundary. A paraître.
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1
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1
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Bernoui11i equation 'w'ith contro1s
controls in the Dirichlet and Neuman
boundary conditions: a non conservative case. A paraître.
1
G. Lebeau [1] : Contrôle de l'équation de Schrodinger. A paraître.
1
J,-
J.- L. Lions [1]
: Exact controllability, stabilization and perturbations for
1
distributed systems. J. Von Neuman Lecture, Boston 1986. SIAM
Revi
Rev; e'w', 30,
30, 1988,
1
p. 1-
1 68.
1
1
,1

---

1
- 116 -
1
1
J.-
J,- L. Lions [2]
: Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de
systèmes distri bués ; tome 1. Masson 1988.
1
systèmes distri bués ; tome 1. Masson 1988.
J,-L. Lions - E. Magenes
Mogenes [1]
: Problèmes aux limites non homogènes et
1
applications; tome 1.
,. Dunod 1968.
1
M.T. Nfane
Nfone [1] : Contrôlabilité exacte de l'équation des plaques vibrantes
vi brantes dans
un polygone. C.R. Acad. Sci. Paris, t. 307, série l, p. 517-521,
1
1988.
1
D,L.
D L. Russell [1] : Controllability and stabilization theory for 1inear
linear partial
differential equations. Recent progress and open questions. SIAM
1
Rev. 20, 1978, p. 639-739.
1
E,
E. Zuuua
Zuuuo [1] : Contrôlabilité exacte en un temps arbitrairement petit de
quelques modèles de plaques. Appendice 1, J.L. Lions [1] ,
1
quelques modèles de plaques. Appendice 1, J.L. Lions [1] ,
p.463-491.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
- 117 -
1
1
CHAPITRE 4
1
CONTROLABILITÉ EXACTE DE
L'ÉQUATION DES PLAQUES VIBRANTES
DANS UN POLYGONE FISSURÉ .
1
1
1. INTRODUCTION
1
1
La mise en oeuvre de la méthode H.U.M. pour la contro1abi1ité
controlabi1ité exacte de
l'équation des plaques vi brantes dans un domai ne polygonal fissuré présente des
1
difficultés supplémentai res dues au fait
falt Que si 4to
410 € D(A), q», € D(A 112)
et si q» € C(O,T, D(A» () C' (D,
(0, T, D(A'I2» est l'unique solution de:
1
q» (0) os 4to
410
dans n
1
q»' (0) os q»,
dans n
1
alors on n'a
0'0 Pas
pas au voisinage d'un
d'uo sommet oÙ aboutit une fissure gue y~q»est de
carré intégrable sur le bord
1
On surmonte cette difficulté en considérant Qu'il
Qu'i] existe Xo € lR 2
lR tel Que
(x - xo) y (x) (y~q») 2
(y~q»)2 est intégrable sur le bord au voisi nage
voisinage de chaque fond
1
de fissure. Ceci évidemment impose une condition
condltion à la géométrie des fissures de
1
il,
n. à savoir
savoi r QUe toutes les
1es lignes de fissures
fiss ures sont
so ot concourantes
eooeo urantes en
eo xQ;et
xQ; et à urL
un.
sommet Si oÙ aboutit une fissure on a ; {XQ."'=""s'il..1j.LO.
(X.Q."'="'s'il.1jÛ
1
1
1
1
1

---

1
- 118 -
1
1
II. Eguivslence
Eguivalence des normes
Dormes
1
On suit les notstions
notations des chspitres
chapitres 1 et 3. Pour réduire lslourdeur
la lourdeur de ls
la
1
présentstion,
présentation, on suppose que 0 sa une seule fissure sboutisssnt
aboutissant à So
50 et en pl us
que So
50 est confondu svec
avec l'origine. On suppose sussi
aussi que les côtés rr o et
o
rN
rN sont
1
portés psr
par ls
la demi -droite a x.
On note, su
au voisi nsge
nage de l'origi ne (r, 8), les coordonnées polsi
polai res
1
local es (r0, ( 0 ).
0
Soit 8S > a tel que 18
la boule ouverte B( 0,8)
O,S) de centre l'origi ne et de rayon
1
8
S véri fie:
1
On note
1
(11.2)
0 (8) :II 0 \\ B( O,S)
0,8)
(11.3)
r(S)
r(8) :II'" r \\ [r () B (O,S)I
(0,8)1
1
(II .4 )
'Y (S)
Y(8) ""'" d B(
B a ,S)
,8) \\ {( a ,S)
,8) }
1
II. 1.
ILL Sol uti 0 ns
Solutions si Dg uU ères
singuJ1èru
1
Soit f E L2 (0) et soit u E H~ (0) 18
la solution de
1
(I1.5)
~2 u = f dans Q
1
alors d'après Grjsvard [1] et 18
la proposition II.1 du chapitre 2, on a :
(11.6)
u = UR + a r 3
r / 2
3/2 4>1 (8)TJ
(8)11 + b r 3
r / 2
3/2 4>2 (8)TJ
(8)11
1
où
2
(I1.7)
(II.?)
UR E H512
H5/2 + C (Q) () H
H~ (Q)
o
1
~ ()
.
38
3
.
8
(II. 8)
"2 -
2"
' l '
'S' 1
8
= Sl
31 n "2 -
Sl n
1
38
8
(II. 9)
4>2 (8) = cos
C03 "2- cos 2"
1
1
1

---

1
- 119 -
1
1
enfin Tl11 est une fonction de troncature au voisinage de l'or;gine
l'origine et a, b sont des
co nsta ntes.
1
La formule d'i ntégration par parties B.II.3 du chapitre 3, a été établies
1
so us l' hy pot hèse
(IL
(II. 10)
10)
u €E HSI2
H512 + C (n) () H~
H~ (n)
1
Ce qui n'est pa3
pas le CIlI3
cas 10r3que
lorsque n IIIa une fi33ure
fissure car:
Us ~
uS" r 312
r
[a 4>, (9) + b 4>2 (9») Tl
11 €E HSI2
H512 - C
c (n).
1
(n)1
1
11.2. Inégolité
Inégalité de b03e
base pour 10
la méthode H,U,M.
H.U.M.
1
Soit Xo €E 1R 2
1R , tel que
(II. 11)
(11.11)
(x-xo) . Vj (x) •.. 0
\\ri
'fi x €
xE rj
pour j •.. 0
0 et j •.. N
1
Ce qui revient 8 3upp03er
supposer que Xo appsrtient
appartient il l'sxe
81'axe x'Ox.
1
Théorème 1 :
Soit n un ouvert polygonal tel que toutes les lignes de fissures
1
aboutissent 8 Xo et tel que pour tout sommet
,ommet Sj où aboutit une fissure on a:
(H)
(xo - Sj)."Cj
Sj):~j ~ 0
1
alors pour tous clio €E H~ (n>.
(n>. lI>,
1111 L2 (n),
(n>. s;
,;
1
li>
III €E C (O,T,H~ (n»
(n» () Cl (O.I, L2 (n»
(n» est l'unique solution de:
lI>"
lll" + 6 2
6
li>
111 = 0 dans
dan, III
1
trl
lI>(
lll( 0) = 410
clio lI>'(o)
, lll'(o) =lI>,
lll, dans n
1
(II.12)
(11.12)
Yj dl
Il> = 0
3 ur)
,ur] 0,T
O.I [x r j
rj
po ur
pour
1~
1~ j ~
j~ N
jn.
jl!l
Y" ~= a
0
3
, ur) 0,T [ x r j po ur 1
url ~ j ~ N
J dVj
1
1
1
1
1

---

1
- 170 -
1
1
Preuye:
preuye:
Soit U E D (A), on a
1
U
U =uR + r 3
r / 2
/
(a 4'1
~1 (9) + b 4'2
~2 (9»11
avec
1
UR E H512 + C (Q) () H~ (Q)
1
Soit (~n) n ElN une suite de H4 (Q) () H~ (Q) convergente vers uR.
Une telle suite existe grâce il la proposition B.I.2. du chapitre 3.
1
Une telle suite existe grâce il la proposition B.1.2. du chapitre 3.
On pose:
1
01.14)
(II. 14)
un
Un = ~n + r 312
r
(a 4'1
~, (9) + b 4'2
~2 (9»
(9»
On a :
1
Lemme 1 :
(11.15)
(II.15) f
6 2
a
U
(X - XO).VU dx
(x-xo)·Vudx~lim
f
la Hm
(X
(x - xo).Vu
xo).VU n dx
n
1
Q
n-)+
n->+ 00 Q
Preuve
preuve du lemme 1 :
1
On 8 :
(II.16)
(II. 16)
f Q 6 2
a 2 un (X-Xo).
(x-xo). VUn dn = f
~n
.V~n
::0
f Q 6 2
a
~n (X-Xo)
(x-xo)
dx
1
+ f Q 6 2
a
uS
Us (X
(x - Xo)
xo) .V~ n dx ~ f
~
V~s
la
Q 6 2
a
~ n (X
(x - Xo) .V~S dx
1
+ f Q 6 2
a
US
Us (X-Xo).VUS
(X-Xo).Vus dx.
D'après le théorème B.11.1
B.1I.1 du chapitre 3, on a
1
lim
f 62~n
a2~n (x-xo).V~ndx =
= < 6 2
a
UR, (x-Xo).VUR)
n->+oo
Q
H- 312
H-
+C
+ (Q)Ho312-C(Q)
o
1
or
1
1
1
1
1
1

---

1
- 121 -
1
1
f ~2 UR
uR (x-Xo).VUR dx
o
1
d'où
(II.17)
Hm
1
lim
f ~2'+'n (x-xo).V'+'ndx = f ~2 uR (x-Xo).VURdx
(X-Xo)·VURdx
n-)+oo
0
0
Comme
1
Us E H5/2 -& (0) () H~ (0)
1
on a
1
or
~2:
~2 : H5/2 + & (0) () H~ (0) - - ) W 3/2+&
+ c (0)
1
est linéaire et continue, aussi
1
(II. 18)
(II.la)
li 00
f ~2 '+'n (x-xo).
(X-Xo). V'+'s dx .. f ~2
:II
uR (x-xo).
(X-Xo). Vus dx
n-)+oo 0
0
1
enfin,ona:
(II.19)
(11.19)
Hm
lim
f ~2 Us (x-xo).V'+'ndx
(X-Xo).V'+'ndx .. f ~2 Us (x-Xo).VURdx
1
(X-Xo).VURdx
n-)+oo
0
0
On regroupe ces relations et on obtient (I1.15)
(11.15) .•
1
Lemme 2 :
1
On 8:
1
(II.20)
f Q ~2 U (x-xo)
(X-Xo) .Vu dx =f Q l~ul2 dx
- 1/2 ! 1~j~N-
1
1 f rj (x-xo)
(X-Xo) .Yj IYj~u12 dcrj
1
dO"j
TIL
+ -
r99 a2
a + b2
b ]
2
4
.
4
1
1
1
1
1

---

1
- 122 -
1
1
preuve du Lemme 2 :
On applique è
il un la formule d'intégration par partie du théorème B.II.1
1
du chapitre 3 sur n
n (s)
(ô) 1 en remarquant qu'au voisi nage
1
On a alors:
1
(11.21)
f Q(S) à 2
6
un (x-xo).
(x-xo), VUn dx ,. f Q(S) làunF
16unJ2 dx
~~
-~
+ f -y(S)
)'(S) ~(X-Xo).
~(x-xo).VUn dO"
1
d
-
- f-Y(S)
f )'(S) yàun
y6u n dV «x-xo».Vun)dO"
«x-xo» .Vun)dO"
+ 1/2
1/2 f y(S) (x-xo) .v(x) lyàunl2
ly6unl2 dO"
1
-1/2 f r(S)
r(ô) (x-xo) .v(x) lyL\\unl 2
lyl,unl dO"
1
comme à 2
6
un (x-xo). VUn €
LI (n) Ion 8a
(11.22)
li m
f
à 2
6
un (x-xo).Vundx:ll
(x-xo).Vundx '" f à 2
6
un (x-xo).Vun
(x-xo)·Vun dx
1
S->o+
ô->o+
n(S)
n(ô)
n
de même on 8a
1
li m
f
là
16 unl 2
unl
dx ,. f
là
16 unl 2
unl
dx
S->O+
ô->O+
n(S)
n(ô)
n
1
(II.23)
1/2 f r<S)
r<ô) (x-xo)
(X-Xo) .v(x) lyàunl2
ly6unl2 dO" :II
'"
1/2
1/2 I l~j~N-1 f rj (x-xo)
o .Vj IYjàu
IYj6u nl2
nl dO"
1
Sur
y (S)
(ô) Ion 8a ::
d
d
(11.24)
y - :II - -
(11.24)
YdV
~
:II -
1
dV
dr
On choisit S
ô assez petit tel que y (S)
(ô) c SUpp (Tl) ; au voisi nage de y(S)
y(ô) Ion 8a
1
(II.25)
àUn
6un = à't'n
6't'n + Vs
avec
1
(II.26)
Vs = - 2r- I
2r- / 2
1/2 [3a si n ~ + b co~
C03 ~ ].].
On obtient (11.26) en remarquant que les fonctions r 3
r / 2
3/2 cos ~e et r3/2 sin ~e
1
sont harmoniques et que; 'on a :
1
à
6 (r Y
(r"v cos (v - 1) e) = (2v- 1)rY- 2
1)r>,-2 cos (v-1) e
1
1
1

---

1
- 123 -
1
1
tJ. (rVsin (v - 1) 9)
El) = (2'10'-
=(2v- t)rv
1)r -
v 2
-
sin ('10'-1)
(v-1) 9.
El.
Mai ntenant
nte nant étudions
étudi ons les
1es termes
te r mes de (II.21)
(II .21) défi nis sur y(5).
1
-y( 8).
On a
(1I.27)
1
(11.27)
f-y(5)
"t<8) (x-xo) v(x) 1'YtJ.
lytJ.unI 2
unl da- = f -y(S)
"t<S) (x-xo) .v(x) 1Y6lfnl2
1'YtJ.lf'n1 da-
+ 2 f -y(S)
"t<S) (x-xo) .v(x) 'Y6Un
ytJ.un 'Y6Us
ytJ.us da-
1
+ f -y(S)
"t<S) (x-xo) .v(x) 1'Y6Us12
lytJ.usJ2 da-
Comme
Ifn
If'n €E H4 (n)
(0) n H~ (nL
(0), alors 6lfn
tJ.lf'n €E C (n)
(0) n Loo (0)
1
d'où
lim
f
(x-xo).v (x) 1'Y61fn12
lytJ.lf'nl 2 da- .. a
0
5->0+
8->0+
n(5)
1
0(8)
et
1
lim
f
(x-xo).n (x) 'Y61fn
ytJ.lf'n 'Y6Us
ytJ.us da- .. 0
5->0+
8->0+
n(5)
0(8)
on pose
xo"
Xo .. (L,a)
(L ,0) ; on
0n a
v(x)
v (x) ..
:li
-
-
(cos 9, si n 9) pour
po ur x €E 'Y
y (5).
1
(8) .
On a
1
f-y(S)
"t<S) (x-xo)·
(x-xo). v (x) 1Y6usl2
l'YtJ.us/2 da- .. - f (O,2TI] [- cos 9 (5
(8 cos 9
El - L) - 5
8 si n2
n 9]
[- 25
28 1/2 (3a si n .i
.! + b cos .i)]2
.!)]2 5d9
1
8d9
2
2
d'où
1
lim
f
(x-xo).v(x)1Y
(x-xo).v (x)
6usI 2 da-
lytJ.usI2da- ..
5->0+
8->0+
Q(5)
1
0(8)
on 8
1
a
(II.28)
(11.28)
lim
f
(x-xo).v (x) !y6Us
/ytJ.us 12
1 da- = [18 a2
[188
n
TI - 2 nb 2
TIb ] L
5->0
8->0
y(5)
1
-y( 8)
On 8a ::
d6US
CltJ.US
9
El
9
El
(II. 29)
(11.29)
- - = - r- 3/2
r-
(38
(3 a sin -
+ b cos-)
1
dV
Clv
2
2
d'où
1
1
1
1

---

1
- 124 -
1
1
1
où (t = (sin a. - cos a)
1
On pose:
1
soit
1
2n
I(5)
.. - f
~
~)
::1
-
0
[- 5 + Lcos a] [- 3/2 (38 si n ~ + b cos
1
1
[3/25 1
[3/25 / 2
1/2 (-38sin~- bcos~15da
..
..
bcos~15da
~
d'où
1
li m
I(5)::I
I(5) .. 3/4 L [9n8 2
[9n8 - nb 2
nb ]
5->0+
1
on pose
f
d.â.us
dUs
J (5) ::1 - f
di:l.us
J (5) .. -
'«8)
-y(S) y~
'Y~ (x-xo) . (t y'Y dl.' der
da
1
soit
1
2n
J(5)
Jo
::1
..
-
-
fo
[sina(5cosa- L) -5cosasina]
1
[- 5- 3
5- / 2
3/2 (38 sin ~- b CoS~]
COs~]
2
2
[-5 1/ 2
1/2 (8 (~eos li_leos~) - b (~sin
(~3in ~a -lsin !»]5da
1
2
2 2
2
2
2 2 2 2
d'où
1
1
done
(11.30)
li m
1
1
1
1
1

---

1
- 125 -
1
1
On a enfin:
Cl
(11.31)
1im
Jy<S) ytloun ClV «x-xo)·Vun) do-=
1
8->0+
Cl
1im
J"(S)ytlous
J
y ClV «x-xo).
o
Vus) do-
1
8->0+
d'où de la même façon que précédemment, on obtient
1
Cl
3LIT
lim
J"(sntlous
J
y èw «x-xo). Vus) do- '" - -2-(9a2
-2-(9a + b2)
8->0+
1
donc
(11.32)
1
J
Cltloun
Cl
3LIT
1im
"(sn
J
Cltloun
Cl
1im
"(sn ClV
ClV «X-Xo). VUn) do- = - -2-(9a 2
-2-(9a + b2)
8->0+
1
On déduit donc de ces relations que:
(11.33)
JQ
J tlo2
tlo un (x-xo) .Vun dn '" JQ
J Itloun 12
1
dx
1
- 1/2 i; 1~j~N-l
1
Jrj
J (x-xo)
o .Vj IYjtloU nl2
n do-j
ITL
+ 7(99a 2
7(99a + b2
b ).
1
2
On applique le lemme 1 au premier membre et on remarque que la convergence
1
du second membre est évidente du fait qu'il n'y a pl us de termes de bord au
voisi nage de la fissure.
1
Maintenant on peut donner la formule correspondante lorsqu'il ya plusieurs
fissures .•
1
Soit F les indices des sommets auxquels aboutissent les fissures; soit r(F) la
1
partie de la frontière de Gobtenue en enlevant les côtés correspondant à des
fissures on a :
1
01.34)
JQ
J tlo 2
tlo
u (x-xo). Vu dx = JQ
J Itlou 12
1
dx
- 1/2 Jr(
J F) (x-xo).v IYtloul2
IYtloul
do-
1
IT~
.
+ '4 ~j Ef (xo -Sj). tj [99 a/ + b/J
1
1
1
1

---

1
- 126 -
1
1
où aj et bj représentent les coefficients des sol utions si ngulières au voisi nage
du sommet de fissure Sj .•
1
fi n de 10 preuve du théorème 1 :
1
Fi n de ]0 preuve du théorème 1 :
On raisonne comme au 8
B du chapitre 3, on a
1
f ~Il (~"
(~N + ~2~)
à2~) (x - xo) . V ~ dx dt = a
On développe cette expression, ce Qui
qui donne:
1
(11.35)
(~', (x-xo). V~) I~ + flll
fID [I~12
r1~'F +1~~12]dxdt
+là~12]dxdt
~ 1/2 flo,Tl x f( F) (x-xo)·Y l'Y~~ do- dt
1
il condition de supposer Que
que
1
(11.36)
"ri jE F.
f.
On termi ne la preuve comme pour le théorème 8.3
B.3 du chapHre
chapitre 3 .•
1
proposition
propositiQn
1:
1
SoH (410,
(~, ~I, f) E H~ (Q)
(n) X
x L2 (Q)
(n) X
x L' (0,T,L2 (Q»
(n»
1
~ E C (o,T,H~ (Q)
(n) ('l Cl (0,T,L2 (Q»
(n» l'unique soluUon
30luUon de
~.. + ~2~:I
à 2 ~
III
:1 f
dans 1II
1
~ ( 0) =410
~
da ns Q
n
1
~. (0) ..
n
:li
~1
dons Q
'Y~ = a
1
Y~~-
y~~- a
alors
alor3 il existe
exi3te c > a tel que
1
(11.37)
1
1
1
1
1

---

1
1
- 127 -
1
preuve :
1
On considère Tl une fonction de troncature égale il 1 au voisi nage de
r( F),
r(F), positive, nulle au voisi nage
voisinage de chaque sommet de fissure.
1
Soit m E COQ
Coo (1R 2
(1R , 1R 2
1R ) telle Que m (x). v (x) ) 0 sur rr (F).
On obtient (11.37) en développant
1
01.38)
1
III. CONTROLABIlITE
CONTROLABILITE
EXACTE
DE
L'EQUATION
DES
PLAQUES
1
VIBRANTES PANS
DANS UN POLYGONE fISSURE
Le théorème 1 et la proposition 1 du paragraphe précédent permettent
1
de mettre en oeuvre là
la méthode H.U.M. de J.-L. Lions. On a :
1
Tbéor6me
Tb6or6me 2:
1
SoH Q
0 'ln
:ln dom~in~
dom~;n~ poll)gon~l
poll)gon~l (;33uré
(;ssuré t~l
tel QU~ 1~3
les r;gn~s
Hgnes d~ (;s3ures
(jssures
concour~nt
concourent en un mêm~ point
po;nt Xo et tel QU~ pour tout 30mmet
sommet Sj d'une fissure,
Ossure,
1
on a:
( H)
(H)
(xo - Sj)
-Sj) .t j
.tj ~ 0
1
.
R(xo)
alors sr
810rss; T)
T>
>"0'
À
pour tout
,pourtout (Yo, YI)
(Yo,Yt) E L2 (Q) X H-2 (0)
EL2(O)xH-2(n)
°
.
1
;r
il existe v E L2 (] O,T
OIT [x dQ)
dO) 8 support dans 1
dans] O,T [x Uj EJ(xo) rj
tel qu~
que si
s; Y
y est l 'uniqu~
l'unique sol ution
uUon f8i
(8; bT~
bT.e de :
1
y" + ll.2y
tJ.2y =
=0 dans lQ
y( 0) = Yo
dansQ
dans 0
1
y'(O) = YI
'. dans 0n
1
'N
)4J = 0
sur "i
yd Y_ v
sur "i
dV
1
810rs
alors
Y (T)
(1) = y' (T)
(1) =0
da
d8 ns O.
n.
1
,.
1
1

---

1
- 128 -
1
1
BIBLIOGRAPHIE:
BIBLIOGRApHIE:
1
;,)
;.) Grjsyard
[1]
[1] :: "El1i
"Elli ptic problems in non smooth domai ns".
Monograph and studies in mathematics 24, Pitman ... ,
1
Monograph and studies in mathematics 24, Pitman ... ,
1985.
1
[2] : "Contrôlabilité en acte des sol utions de l'équation des
1
ondes en présence des si ngularités". J. Math. pures et appl.
app1.
68,1989, p. 215-259.
1
J.L. Lions
[1] : "Exact controllability, stabilization and perturbations
1
J.L. Lions
[1] : "Exact controllability, stabilization and perturbations
for distributed systems. J. Von Neuman Lecture, Boston
1
1986".
1
SIA M Revi ew,
e'w', 30, 1988, p. 1-
1 68.
1
[2] : Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation
de systèmes distri bués ; tome l, Masson 1988.
1
de systèmes distri bués ; tome l, Masson 1988.
1
M.T. Niane
[lI
[1] :
"Contrôlabilité exacte oe
de l'équation des plaques
vi brantes dans
dsns un polygone", C.R. Acad. ScL, Paris, t. 307,
1
sériel,
sé ri el, p. 517-521,1988.
5 17 - 52 l, 19 88.
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
- 129 -
1
1
CHAPITRE 5
1
CONTROLABILITÉ EXACTE DE
L'ÉQUATION DES ONDES AVEC UNE VITESSE
1
DÉPENDANT DU TEMPS
1
1
1
1.
I. INTRODUCTION:
1
On étud;e
étudie la contrôlabHUé
contrôlabilité exacte de l'équat;on
l'équation des ondes avec une vUesse
'vitesse
a(t) dépendant du temps, par un contrôle de type O;r;chlet.
Dirichlet.
1
Ce problème a été posé dans J L Lions
LioM [1] (1.10.4, p. 105) où il a
ila été
1
résol u dans le cas part;cul;er
particulier a'(O
a'(t) ~ o.
1
On montre en faU
fait que ce problème se ramène à la contrôlabHUé
contrôlabilité exacte
del'équat;on
del'équation des ondes avec une perturbat;on
perturbation Hnéa;re,
linéaire, par un contrôle de type
1
0;
Di richlet.
1
II. REDUCTION DU PROBLEME:
1
Soit Q un ouvert connexe borné et régulier de IRN ; soit a E Coo
COQ (IR.) avec:
1
(II.n
(II.l) a(t) ~ ao > 0
'V
"t t E
tE IR.
1
1
1
1

---

1
- 130 -
1
1
On considère le problème:
Soit T>O fixé, soit (YO,YI) E L2 (0) x W 1 (0) eXiste-t-il, v E L2 CL),
1
Soit T>O fixé, 30it(YO,Yl) E L2 (0) x W 1 (0) eXi3te-t-il, Il E L2 (~),
8 support aussi petit que possible, telle que 3i
si y est la solution faible du
1
problème:
y" - a(t)
a(O Ây = 0 dans d:l
([l
1
(P)
(II.2) y(o) :r
,. Yo
yo dans 0
y'(o) ,. YI dans 0
1
:r YI dans 0
"N = v sur ~
:L
. 810rs
1
. 810rs
y(T) =y'(T)
=
=0a dans O.
1
On montrt: que le problème (p) est équivalent au problème:
1
Soit T >0 fixé, soit (zo,
(zo. ZI) E L2 (0) x Wl (0) existe-t-il 'YI E L2(I),
L2(!).
8 support aussi petit que possible. telle que si Z est la solution faible du
1
8 support aussi petit que possible, telle que si z est la solution faible du
problème:
1
z" - Â
À z + b( t) z :1
,. 0 da ns d:l
([l
(P')
(I1.3)
(11.3) z(o) =za dans 0
1
z' ( 0)
z'(o) = z 1
ZI da nsO
dans{~
yz
rz ,. 'YI sur!
1
:r 'YI sur l
alors:
1
z (T) = z'(T) = o.
D'abord dans (lI.2) , on fait le changement de temps donné par:
1
D'abord dans (IL2), on fait le changement de temps donné par:
(HA)
t = Iro,t
fro,t j..r-a(s) ds
1
On pose:
(ILS)
(II. 5) u(t)
u(t) = y(t)
Y( 0
1
1
1
1

---

1
-- 131
131 -
1
-
.1
On
On aa ::
1
~=~~a(t)
dt
dt
d'où
1
d'où
~
d 2
d u
2u
a'(t)
dU
(11.6)
(II.6) dt 2
dt '" a (t) dt2
d'C2 + 2~ a(t)
2~
dt
d'C
1
On pose:
(11.7)
(II.7) c(t)
c('C) ...
8'(+)
8'0)
2(a(t»3/2
;1
2(a(t»312
,
La fonction c est de classeC oo
classe C
sur IR+.
~
L'équation (11.2)
(II.2) devient:
1
d2
d u
2
dU
dt
d'C2 + c(t)
c('C) dt
d'C - tJ,u
6u '"= 0
1
(II.8)
(IL8) u(o) ...:II Uo.
,u'(o)
,U'(o) ~:II Ul
,1
U,
'"
'YU ... v
'YU ...
où
.1
(II. 9
u.(
U.( 0)
Yo.
:II
:II
1
u'(o)
u'(o) '"... _~
G ( O ) Yo
Yo
"V
8(0)
v(t) = v(t)
1
On pose
,
,
. ~
~
.
On pose
c(s)
(II.l0)
z(t) '" exp ( f
(II.l0) z('C)'" exp ( [O,t]-2-dS:>
[O,t]-2-dS) u{t)
1
u{'C)
On a:
8 :
d2
d 2u
U
f
t(s)
'C(s) ...
~
àL.
1
àL.,
1
1
,
1
(II. 11) dt
d'C 2 '" exp (- [O,t]-'-2-dS) [ àt
2 = exp (-
[O,t]-.-2-dS) [
2 - c(t) àt +(4' c2 (t) - ZOc (t»z]
2 - c('C) d'G +(4" c2 ('C) - ZOc ('C»z]
soit
1
1
01.12)
(11.12)
2(0)
z(o) =
= 2o.
zo.
2'(0)
z'(o) =
= 21
1
z,
c(s)
z '" exp ( f
c(s)
z = exp (
[O,t]
[O,t] -Z-dS)
-Z-dS)
V
v (t)
('C)
1
1
1

---

1
- 132 -
1
1
avec
c(o)
(11.13) Zo
20 =Yo,
=
Zl
21 =YI + -2- Yo .
-2-Yo,
1
Il rés ulte
résulte de (II. 12)
(11.12) que si 0 n
on pose
1
(11.14) b«()
b(l:) = ~ c2
c (l:)
Cc) - ~ c'(l:)
c'«()
l
c(s)
'w'(l:) = exp ( [O,t]
l
'w'«() = exp (
-2-dS)
1
On a
0 l'équivalence des problèmes (P) et (P') et si Tl
T, est le temps de
contrôlabilité exacte de (p')
(P') alors le temps T de contrôlabilité exacte de (P)
1
est l'unique instant
i nstont T sol ution de :
1
(11.15)
T1 =I[o,n..r--a(S)dS
=I[O,Tl ~(s)ds
1
III.
III, fI UPf
ETUPE PU
PU PRD BLf Mf
PROBLEME (P ,)
(P')
1
III.
111. 1. fg
Eg u1
ui yal
vol e nco
nce de
no r mes
mu
1
1
sol ution de :
~.. - 6 ~ + b (t) ~ = 0 dans lI}
lI)
1
(III. 1)
(UI.l)
~ (0) =~
= ,
1
~'(o) = ~1
'Y~ = 0
1
On pose
E
2
o (~o, <1>1) = ~
"~1
1:
11 0.2,Q + IIv~01l2 ~ ,2,Q ]
1
E( t) =~ [IW(t> 11Z0.2,Q +IIV~(t) 2
11 o,2,Q ]
Eo ,-1 (4)>0, ~1) = ~ [1I~1112_1.2,Q + 11~01l2o,2,Q]
1
Soit,+, E C (O,T, Hb (0» () Cl (0,T,L2 (O»la solution de:
1
1
1
1

---

,1
- 133 -
1
1
(III.2)
(111.2 )
0/"
If''' - .â.o/
l:l.1f' =0
= dans lDŒI
1
10/(0)If'(o) ==~410 dansnQ
0/'(0)
/ If"(o) = q>t dans n.
1
Q.
Soient ro une partie de r et T >0, on dit que I o " J
=] O,T [X ro
contrôle
contrÔle géométriquement
géométriguement n
Q
s'i]
s'i) existe c
C > 0 tel que:
1
pour tout (C\\lo,
(cIlo, q>,) E H~ (n)
(Q) x
X L2 (0)
(Q) et si q>est la solution correspondante de
1
(III.2), on a :
(III.3)
JIcI 1~12 dO" dt
JIoI~12dc"dt ~ c
~C Eo (cIlo, q>t).
Eo(cIlo,q>t).
1
Dans J L Lions [1 L sont données des parties I o de la forme
I(xo) ..= ]O,2R(xo) [X r (x
C(xo)
o où R(xo)
o ..
= maxx E?rll x- xolllRn
1
et r (xo) .. {x E r I(x-xo) . y(x) > 0 }.
1
Dans
Dons 8ordos-
BoCdQs- Lebeoy- Roych [2].
[2], sont
SQnt établies des conditions
conditiQns nécessai res et
"presque" suffisantes sur I o pour avoir la propriété
prQpriété (111.3).
1
(III.3).
Dans toyte
tQute la syite:
syite; ~~ ..
kil" ]J 0 T [x
[X r~
Cg. contrÔle
cQntrôle géométriquement
géométrigyement 0 et gye ra.
Co.
1
contient une
yne partie ouverte analytjQue
analytiQye non
nQn yjde.
vide,
proposition
propositiQn
1:
1
Il existe Co > 0 et cl> 0 tels que:
-1
Pour tout (q>o,q>,)
(q>o,q>t) EH~ (0)XL2(Q),$f
(Q)XL2(Q),$f 4>~stl'uniquesolutionde(III.1)
(I1I.n
1
8lors:
1
1
1
1
1
1

---

1
- 134 -
1
1
Preuye:
1
1
Soit
Solt (<\\10,11>,)
(<\\lo, cll,) e
E HO
H~ (n> x L2 (0) et Q>4> eE C (0, T, Ho
H~ (0) () C' (O,T, L2 (0»
(0»
1
la
18 solution de (III. 1) ; soit 't' e
E C (O,T,H~ (0) () C' (O,T,L2
(0,T,L2 (0»
(0»
la
18 solution
1
de (III.2) pour les données initiales (<\\10,
(<\\lo, Q>,).
cil,).
1
On peut écri re :
(III.S) Q>
cil = 't' + Tl
n
1
avec Tl
8vecn eC(O,T,H~(n)
EC(O,T,H~(n) ()C' (O,T,L2
(0,T,L2 (0»
(0»
l'unique solution de :
1
Tl"
n" - 6Tl
6n + b(t)Tl
b(t)n = b (t) 't'
(III,6)
(III.6)
Tl(o)
n(o) ,.
2
Tl'(o)
n'(o) ,. 0
1
1'\\"
1,\\2 00
1
Ona:
On 8 :
(III.7)
(III.?)
1
Pour le théorème 4.1 de J L Lions [11,
[lI. on a
8 :
~2
2
1
(III,8)
(III.8)
Il
Il ~v
~)I TlIIL2(Io>
nIlL2(Io> ~ C IlIl 't' II L2(1II>
L
1
On 8 :
Lemme 1 :
1
Il
11 existe c > 0, indépendante
i ndépendsnte de 4Îo
4Îo. et Q>,
cil 1 telle que:
2
1
(III.9)
IlIl 't' II
't'IIL2(1II> ~ C Eo,_' (<\\10,11>,).
L2(1II> ~ C EO,-I (<\\lo,cll,).
preuve du lemme 1 :
1
On écrit 't' suivant les fonctions propres de - 6, on a :
'"
_~
sin~~t
1
't' = ..::,.O~~~+ oo[(<\\lo,'w'~)cos'J
).,~t + (cIll,'w'~)
_~
]'w'~
'J
).,~
1
1
1
1

---

1
1
- 135 -
1
1
1
d'où
1
ce qui donne la relati 0 n
relation (III. 6).1
(III.6) .•
1
De (111.7).
(111.7>' (I1I.9)
(III. 9) et (111.3).
(1I1.3) , on tire
ti re l'iné9a1ité
l'i négal ité (I1I.4).1
(III.4 L.
On a:
a :
1
Théorème 1:
1 :
1
Il ex;ste
existe c > o.
0, tel que pour tout (4lo.
(~, <Pl)
<P,) € H~ (0) X L2 (0)
(O)
s;
si <P est 18 soluUon
solution de (III. 1)
1
correspond8nte, 810rs :
alors:
1
(111.1 a} f Io 1~12 da dt ~ c Ea (~, <P,)
1
Preuve:
1
On raisonne par l'absurde; supposons qu'il existe
1
($on.
(4Ion, <PIn)
<P'n) E
€
HO (0)
(O) X L2 (0)
(O) telles que:
1
(III. 11)
(III.ll)
Eo
E (4lon.
(~n, <PIn)
<P'n) ~ 1
11~nI2dadt~
1
(III.12)
n f Io
nfIo l "I~n 12 da dt ~ l'
.
où
<Pn €E C (O.T.H~
(O,T,H~ (0)
(O) ('l
() Cl
C' (0.1;12 (0»
(O,T;12(O)} est le
estle solution de (111.1)
(II1.l)
1
correspondante aux conditionsi nitiales (4lon.
(~n, <PIn).
<P'n)'
1
De 011.11).
(III.ll), on ti re qu'il existe une suite extraite que l'on note encore
.
.
1
($on.
«(jlon, <Pln)nEIN
<P1n}nEIN
convergente faiblement dans Ho (0)
(O) x L2 (0)
(O) vers
1
1
(410.
(<Po, <Pl)
<P,) €E Ho (0)
(O) X L2
L2 (0).
(O).
1
Donc «Illon.
«<Pon, <1> ln»
<P'n)} n EIN converge fortement vers (4lo.
«(jlo, <1>1)
<P,)
dans L2 (0) x H-1 (0).
1
1
1

---

1
- 136 -
1
1
Lorsqu'on applique (111.4) à Q>n et on passe à la limite, en tenant compte de
(111.11) et (111.12), on obtient:
1
(111.13 )
Eo
E - 1 (11)0. Q> 1) ~ C > O.
,
1
Soit ~ la sol ution de (111.1) pour les données initiales (11)0. Q>1). on a :
~H
~~ + b(t) ~
dans 1D
_
~~ + b(t) ~
_
:0 0 dans
1
(111.14)
îE =osur I
"'I~~ ~ 0 sur I o
1
Soit
x {~
~
/~
:0 {~
:0
E C( 0 ,T ,H ~ (n) ('l Cl (0 ,T, L2
L (n»
est sol uti 0 n de (III. 14) }
1
muni de la norme:
1
1
Il ~ \\Ix ~ Il ~ Ile(0,T,Ha
H (Q) fi e1
e (0,T, L2
L (Q»
Lemme 2 :
1
Lemme 2 :
L'esp8ce X est dB dimension finie.
1
preuye:
1
Soit (Q>n) nE N une suite de X bornée:
(III. 15)
1IQ>~lx ~ M
1
où M ne dépend pas de n.
Soit Q>n (0) ~ <\\lon et Q>'(o) :0 Q>ln
1
On a d'après (111.15) :
1
(111.16)
Eo
E (<\\lon. Q>ln)
o (<\\lon.
~ 2M
Donc «<\\lon. Q>ln»n EN
E admet une suite extraite que l'on note
1
encore «<\\lon. Q>ln» ~E"
,
.
. .
.
1
qui converge faiblement vers (<\\lo, Q>1) dans Ho (0) x L2 (0).
1
Com~~ H~ (0) x L2 (0) C-+ L2 (0) X H-l (0) avec injection compacte, alors
1
«<\\lon, Q>ln» nE N converge fortement dans L2 (0) X H-l (0) vers (<\\lo, Q>1).
1
1
1

---

1
- 137 -
1
:1
On applique l'i néga1ité (111.4) à CPn - CPm, on obtient
1
(I1I.17) Cl Eo
E ,-1
o
(4)on - 4>om, CPln - CPlm) ~ Co Eo
E (4)on - 4>om, CPln - CPlm) donc
«4>on, CPln»nEN est une suite de Cauchy dans H~ (0) x L2 (0) donc elle
1
1
converge fortement vers (4)0, CPI) dans Ho (0) x L2 (0).
1
Aussi si cp est la sol ution de (111.1) pour les données initiales (410, CPI) alors cp
vérifie (III. 14) et CPn converge vers cp da ns X.•
X
,1
Lemme 3 :
1
L'opérateur - 6, applique X dans X.
1
preuve :
Soit cp E X, (410, CP1) E H~ (0) x L2
L (0) les val eu rs i niti al es de cp et cp'. On pose
1
1
Ôh cp (0 :a h [cp (t + h) - cp (Oj
1
On a
1
(III. 18) (ô h cp) (0)
~
:::1
1
(III. 18) (ô h cp) (0)
[cp( h) - CPo j
(Ôh cp) '(0)
~
:::1
[cp' (h) - CPI j
1
Comme b(t) est continûment dérivable,.on a: Ôh b(t) est uniformément borné
..
1
lorsque h tend vers 0, pour t E [0, T j.
On applique le théorème de régu1aritê, théorème 4.1 de J LLions [1], à Ôh cp,
1
.-'-.,:.. -
on a :
1
.-
(I1I.19)
Ilôh<l> 112
11 C(
2
O,T, HO (Q» () C1{
C
O,T,L 2
O,T,L ( Q»
~ c II<I>h1l2
II<I>h1l L2( III)
1
donc
( III .2 0 )
2
)
Il ô h
~
<1>
h 11 c(
c 0 ,T , H~
H (Q» () C1 (0,T, L2
L (Q»
K
1
.:'.
où Kest une constantei ndépendante de h.
1
1
,1

---

1
- 138 -
1
1
Donc (Oh4>(O), (Oh4» '(0»
converge fai b1ement
1
(on considère avoi r extrait une sous-suite) lorsque h tend vers o. Il en résulte
1
que «Oh4>(O),(Oh4»'(0»
tend fortement vers (zo. ZI) dans L2(0) x H-I (0),
où cette li mite est (4)'(0) ,4>"(0»
(4)'(0),4>''(0)) ; donc:
1
(III.20
4>'(0) '"' Zo et 4>"(0) Z 1
1
d'où
(III.22)
4>'(0) E H~ (0) et 4>" (0) E L2 (0)
1
comme 4>' vérifie
(III.23)
(4)')'' - 6, (4)') + b (t) (4)') + b' (t) 4> =0
1
"«4>)' :Il 0 sur I
(Hell')
,
1
Y~:Ilo sur I o
alors
1
( III. 2 4 )
4>' € C(
C 0 •T
• ,H
T
ci
ci (0»
f'I C1
C (0,T, L2
L (0»
-1
et
(III.25)
1
~ C {Eo (4)'(0) ,4>"(0» +
o (4)'(0) ,4>"(0»
Eo
E (4)o,4>1)}
o
On applique le procédé précédentà 4>", ce qui donne 4>"(0) E Hci (Q).
1
4>"'(0) E L2( 0) et 4>" est sol ution de :
1
(III.26)
.( 4>")" - 6,( 4>") + b(t)(4>") + 2 b'(t) 4>' + b" (t) 4> = 0
Y4>"
14>" =0
= sur r
1
..<1(4)")
..
,,'
~=o3ur r o
1
d'où
(Ill. 27)
1
1
1
1

---

1
- 139 -
1
1
donc
(III.28)
1
et
1
(111.29)
(-6')' ... - ,M' - b(t) ,'- b'(t) ,E C(0,T,L2 (Q»
on a aussi
1
(111.30)
(-6,)" -6(-6,) + b(t) (-6,) -odans lQ
y( -6,) ... 0
1
Comme
1
on a
1
donc d'après (111.26)
1
yë:l( - Acll)
(111.31)
dV
... 0 sur !o
,1
De (111.28), (111.29), (111.30) et (111.31), on tire Que
1
- 641 E Xce Qui achève la preuve du lemme 3.•
f1 n de ]8 preuve du théorème 1 :
1
L'opérateur (- 6) étant un endomorphisme de X,on suppose Que X ;t {O} alors
1
d'après le lemme 3 et comme Xest un ~sp8ce de di mension fi nie d'après le
1
lemme 2, l'opérateur (-6) admet une valeur propre À EC. Soit, une fonction
propre de Xassociée à la valeur propre À,on a:
1
- 6 41 =À41 da ns lQ
(III.32)
Y41 =0 sur!
1
d<l>
~.
~ = 0 sur '<:'0
(II1.33)
41 E C(O,T,H~ (Q» ('l Cl (O,T,L2 (Q»
1
1
1
1

---

1
- 140 -
1
1
Pour chaque t E [ O,T L on applique dans n, le théorème de Cauchy - KO'w'a1evsky
et celui de Ho1mgren dans sa version de Hormander [1] ce qui donne:
1
~(t) = 0 da ns n po ur
u to ut t E [0, T ]J
d'où
=0
dans ID
donc X ,. {o}.
1
d'où ~ =0
dans III
donc X• {o}.
Comme d'après (111.14), ~ E X, on a
~ =
"" 0
1
donc
~
410 =
"" ~1 •,. 0 d'où la relation (111.13)
011.13) devient:
0< C $ 0 ce qui est impossible. Par conséquant la relation (111.10) est vraie .•
1
Remorque:
1
Remorgue :
1) La relation inverse de 011.10) :
1
1) La relation inverse de (111.10):
(111.34)
OII.34)
f Io 1~12
1
da
dO" dt ~ C Eo
E (410,
(4\\0, ~1)
1
ne présente' aucune difficulté par rapport 8
à celle obtenue pour l'équation des
ondes non perturbées.
1
2) La méthode de démonstration s'inspire d'une technique introduite
1
dans Bardos- Lebeoy- Roych [1 J.
1
III.2 Contrâlobllftéexocte
Contrâlob11ftéexocte
1
Les relations (111.10) et (111.34) permettent de mettre en oeuvre sans
sons
1
difficulté 1améthode
lométhode H.U.M. de J L LÜ5ns
Lidns [1 L pour l'équation des ondes 8
il
perturbation linéaire (11.4) et d'obtenir sa contrôlabilité exacte pour un
1
instant
inst.ant T donné, avec un contrôle d~ns L2 0:)
(!) àil support dans !o = JO, T [X ro
lorsque !o contrôle géométriquement n.
1
lorsque !o contrôle géométriquement n.
Onen déduit, d'après le II, le théorème suivant:
1
1
1
1

---

1
1
- 141 -
1
1
Théorème 2:
Soient r
r et TI> 0 tels que !o = r x ] O,T 1 [contrôle
1
o inclus dans
o inclus
r et T,> 0 tels que I o = r x ] O,T 1
géométriquement 0, alors si T est l'unique solution de:
1
hO,T] ~(s) ds '" TI.
alors pour tout (1,10, YI) E LZ (0) x H-l (0)
1
il existe v E LZ (I)
(!) à support dans I o,
!o, telle que si
Y
y E C( a,
a,T,L Z (0» (tC 1 (0,T,H-'
,H-l (0» est 18 sol ution faible de :
1
Y
y .. - a (t) tJ. Y '" 0 dans III
1
Y
y (0) '" 1,10 dans 0
Q
1,1'(0) ,.
.. YI dans 0
1
)'J
î'J ,.
.. v sur l
sur!
alors Y
y (T),
(Tl ,.
.. y' (T)
(1) ,.
.. 0
1
Remorque:
Remorqye :
1
Une inspection de la preuve du théorème l,
" montre Qu'elle
qu'elle est valable lorsque
o est un polygone non fissuré d'où la validité du théorème 2 lorsque 0 est un
1
domai ne polygonal non fissuré.
1
BIBLIOGRApHIE:
1
C Bardos - G Lebeau - J. Raych [1]:
[I}: Contrôle et stabilisation dans les
problèmes hyperboliques. Appendice 2. J.L. Lions [1],
[Il, 1988,
1
p.492- 537.
1
ç
C Bardos - G Lebeay
Lebeau - J.
J, Rauch [1] : Sharp sufficientconditions
Sharpsufficientconditions for the
1
observations, control
contro] and stabili zation of'w'avesfrom the
boundary. A paraître.
1
1
1

---

1
- 142 -
1
1
p
P Gr;syard
Grjsyard
[1]:
[l]: Contrôlabilité exacte des solutions de l'équation des ondes en
présence
prés-ence de si ngularités. J. Math. pures et app1., 68, 1983,
1
p.215-259.
1
L Hormander [1] : Li near partial differential operators, Spri nger-Verlag,
1976.
1
J L. Lions
[1] : Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de
1
systèmes distri bués ;
distribués; tome l, Masson, 1988.
1
1
1
1
1
1
1
1
'.<
1
'.'
1
1
1
1
1

---

1
1
- 143 -
1
CHAPITRE 6
1
CONTROLABILITÉ EXACTE SPECTRALE ÉLARGIE
1
DES SYSTEMES DISTRIBUÉS
1
PAR ACTION SUR UNE PARTIE ANALYTIQUE
ARBITRAIRE DE LA FRONTIERE'
1
1
1
A. INTRODUCTION
1
Dans ce chapitre, on définit la notion de contrôlabilité exacte spectrale
1
élargie <C.E.S.E.), en affai blissant la notion de contrôlabilité exacte.
1
Elle consiste pour un système d'évolution gouverné par un opérateur
el 11 ptique auto-adjoi nt positif il inverse comptact, pour un hori zon fixé, à
1
trouver un contrôle qui amène le système il un état dont la projection sur une
partie fi nie de ses fonctions propres est fixée.
1
On démontre pour un grand nombre de systèmes. leur contrôlabilité
1
exacte spectrale élargie sous des conditions très souples sur les domaines dans
lesquels 11s évol uent.
1
La méthode se base essentiellement sur: l'évanescence de toute fonction
... ' ..
d'un espace propre de l'opérateur du système. ojès lors qu'un certai n nombre de
1
traces de ses dérivées normales sont nulles sur la frontière ; teci est une
.'
conséquence des théorèmes de Cauchy- KO'w'alevska et de Holmg:ren;
1
1
,.,'
)
1

---

1
- 144 -
1
1
Da ns
Dans le cas de systè mes
systèmes go uve r nés
gouvernés pa r
par des 0 pé rate urs
opérateurs du quat ri ème
quatrième
1
ordre, on montre leur contrôlabilité exacte spectrale élargie par une seule
action sur une partie du bord.
1
On montre aussi que, sous certaines conditions géométriques sur le
domaine, on obtient la contrôlabilité exacte de l'équation des plaques appuyées
1
domaine, on obtient la contrôlabilité exacte de l'équation des plaques appuyées
en faisant tendre vers l'infini la dimension des espaces propres dans le
1
problème de contrôlabilité exacte spectrale élargie .•
1
B. POSITION DU PROBLEME
1
I. Notot1 0 ns
os et bU
hU pot bhU
hhu :
1
On note n un ouvert connexe borné de 1R2
1R de frontière r li pscbitzienne.
pschitzienne.
On suppose que
Que
r .. UOH~
UO H ~ K rr où l'ensemble des rr représente les
1
K rr où l'ensemble des rr
représente les
composantes connexes de r ; on suppose aussi que
Que rr '"' Uo~j~jr r{ où chaque r{
1
est connexe et analytique; pour chaque rr, on note (S{)O~j~jr les sommets de
la composante connexe rr ; on note w~
wj la mesure de l'angle interne de n au
1
r
sommet Si'
1
Soit T >
) 0 ; on posel[J .. n x ] 0, T LI'"' r x ] 0, T [.
On désigne par r 0 une partie ouverte non vide anal ytique de r, telle que:
1
oune partie ouverte non vide analytique de r, telle que:
f o CUO~j~rint (r{) où int (r{) désigne l'intérieur de r{.
Cette condition revient en fait à dire que Y ne rencontre par les sommets
1
Cette condition revient en fait à dire que T ne rencontre par les sommets
r'
Sj de n .
n.
1
. Soit A un opérateur
0 pé rateu r auto-adjoint
auto - adjoi nt positif
positi f d'inverse
d'i nve rse compact
co mpact défini
défi ni dans
da ns L2
L2 (0)
(n)
et de domaine D(A) ;:on désigne par (Wj)j EIN* la suite des fonctions propres de
1
et dedoMai ne D(A) ;:00 désigne par (W j) j EIN* la suite des fonctions propres de
J
Aet on note (>'j) J€fN*
jEfN* la suite des valeurs propres associées, rangées en ordre
1
~1

---

1
1
- 145 -
1
croissant; on désigne par (!lj)
(aj) jEN* la suite des valeurs propres non répétées
1
rangées aussi en ordre croissant; (Wjh)l
(Wjh) 1 ~ h
h ~r(j) sont les fonctions propres
1
Wk
W~ correspondantes àil !lj.
aj.
Soit M e N*, on définit FM par:
1
(1.1)
FM"
FM '"' Vect {Wjh ;
{Wjh; l~h~ rU)' l~j~M} c'e$t-à-dire que rM.
querM est l'espace
engendré par les fonctions propres correspondantes aux valeurs
va1eur's propr,es
propr.es !lj
aj
1
pour 1 ~j~M.
Soit (~, ~1) e FM x FM ; soit ~ la solution
sol ution de :
1
~" + A~ = 0
1·
(1.2)
~ (0) ='"' ~o
~' (0) ..• ~1
1
alors on a :
1
On écri ra,
écrira, dans certai ns
certains cas, cette relation sous 18
la forme:
1
1
avec
(1.5)
~j"
~j '"' - ~_j ..'"' ~!lj
aj pour tout j e N*.
1
~o"
~o '"' O.
1
o 1
~. ,
(1.6.) Af
A =
j
~ :Il~h~r(j)
2Il~h~r(j) [(~o,
[(~o, Wjh) + i~j
i~j (~1,
(~1, Wjh)]Wjh
Wjh)] WJh
pour j
0 et
1
pour j ~ 0
1
pour j < O.
1
... - '.
L'écriture (1.4)
(lA) correspond il un regroupement déStermes
dest~rmes de même fréquence.
1
I-
I

---

1
- 146 -
1
1
On note.(
note,( FM x FM)O l'orthogonal de FM x FM dans le dual de
L2 (O)x D(AI/2».
1
On pose
(1.8) 'YH = mi n {~i'ti. - ~j ; 0 ~j~M-1}
1
et
(1.9)
1
(1.9)
1
II. POSITION DU PROBLEME:
1
L'opérateur A sera un opérateur aux dérivées partielles elliptiques d'ordre
2m, avec des condUions au bord données par m opérateurs aux dérivées
1
partielles Bj d'ordre inférieur ou é9al è
à 2 m-1.
m-l.
1
La co nt
Dt rÔla bil Hé exacte s poct
pect ral 0e éla rgi
rgj e co nsi
Dsi ste en
e ceci
D
: po ur
u to ut T)
T 0
> fi xé,
pour tout (YO,YI) donné
dODDé dans
daDs un
UD espace F à déterminer,
détermiDer, trouver VI, .. "
VI,.'" Vm
1
appartenant
apparteDaDt à
â L2( I) èâ support dans
daDs Io.
Io, telles que si y est sol ution
UtiOD de :
1
y" + Ay .. 0
do
da ns
DS al
ID
(P)
y( 0) = YodaDs n.
1
(P)
y( 0) = yodans n.
y'(O)
y'( 0) =YI
= dansn.
daDsn.
1
Bj Y..
Y" Vj pour j E {1
{l ,...,m}dans
,m}daDs l
alors
1
(y(T), y'(T»
E (FM x FM)o ..
Autrement
AutremeDt dlt, èà l'ins,tant
l'iDs,taDt T, on
OD a éliminé
élimiDé les modes propres du système
1
correspondant
correspoDdaDt aux M pl us grandes
graDdes fréquences,
fréqueDces, en
eD agissant
agissaDt seulement sur une
1
petite partie La de la frontière
froDtière latérale L.
L.
1
.-
. ".
-
1
1
1

---

1
1
- 147 -
1
C.
CONTROLABILITE EXACTE SPECTRALE ELARGIE
D~ L'EQUATION
L'EQUATION
1
DES ONDES
1
I.
1.
Contrôlabil1té
ContrÔlabilité exacte uectrale
spectrale élargie de )'éguat1ondes
l'équation des
1
ondes par un contrÔle de tupe Dfrfchlet
pirichlet ;
;1
I. 1.
1.1. Déff
péfi nf 11 0 ns
nUions et rés ultat
résultat prf
pri ncf
nci pol
1
!
1
Dans ce paragraphe l'opérateur A sera défini par A = Al
AI avec
1 ..
.
.
1
(1. 1)
D
0 (A 1) = {u E
€
Ho
H~ (Q)
( Q) 1
/ - .ô,
./1 u €E L2
L (Q) }
et tel Que pour tout u €E D(A,)
1
(1.2)
A, u ,.
a
-
-
ô,
/1 u.
1
Le principal
pri nei pal résultat
rés u1tat de ce paragraphe
pa rog ra phe sera
se
le
ral e théorème
t héo rè me suivant:
s ulVa nt :
Th60rime
Th6orimo 1 :
1:
1
Pour tout T> TM.
TM, pour tout (Yo.
(Yo, YI)
y,) E
€
L2 (Q) X H-t
H-' (Q)
1
Il existe v E
€
L2 (!) 8
àsupport dans !o.
!o, tele que si Y
y est l'unique solution de:
y" - ô,y
/1y .. 0 dans lQ
dan3lQ
1
(1.3)
y( 0) = Yo dans
dan3 Q
y'( 0)
Y'(O) .. Y,
y, dans Q
1
"N
)4J = v
1
alors
-.
(lA)
(y (T), y' (T»
€
(FM x FM)o.
1
La preuve de ce résultat occupera ·1es
-les paragraphes 1.2, ~.3.I.4
l.3,I.4 ..
1
1
.....
......
1
0'
1

---

1
- 148 -
1
1.3. EQuivalence de norme 3ur Ft1tlH
1
Soit (4)0,4>,) E FM x FM et 4> E Coo (O,T, FM) l'unique solution de:
1
4>" - 64> = 0
(1.4)
4>( 0) :II 4>0, 4>'( 0) ::& 4>,
1
)'lll. =0
1
On p03e:
1
On écrit
(A.I.3) 30U3la forme:
1
1
où
1
avec
a :II 0 0u 1 et j E { 1,.'" M}.
M
1
On p03e
dVa .
(1.8)
n(4)o,4>,)'' {IO~a~1 l'~j~M f ra 1~ der} 1/2
1
proposition 1 :
1
n définit une norme sur FM x FM.
1
preuve :
Il 3uffit de montrer que pour tout (4)0,4>1) tel que n (4)0,4>,) = 0
1
alOl"3 (4)0, 4> t l
(4)o,4>t) = O.
~va.
Soit (4)o,4>I)E FM x FM, n(4)o, 4>1) = 0 équivaut à ~= 0 sur ra pour tout
1
a E {0,
{
1} et po ur
u to ut j E { 1,.
1 .. , M}.
1
Cl
La fonctionV appartient au sous-espace propre associé à la valeur propre aj.
. ..
)
. . .
1
1
1
1

---

1
1
- 149 -
1
On ale lemme suivant:
1
l~mme
lemme 1 :
1
Soit W une fonction d'un espace propre de A1
A alors West nulle si et seulement
1
si
1
Preuve
Preyye dy
dy Jemme :
1
Soit À la valeur propre associée à
il W,
W. On a donc
1
- 6 W
t:.W - ).,W
).,w ~ 0
da ns
dans n
yW ~ 0
dans r
l'
yW ~ 0
dans
'dw
"dw
y 'dv
y - . • 0
O
dans rQ.
ra ,
..
"dv
,1
D'après le théorème de Cauthy-
Cauêh~- Kova1evslcy.
Kov81evslc~. il existe un 0 uvert 0 non vide de
1
n tel que:
ntelque:
WIO ~
WIO" O.
1
On applique alors la
18 version du théorème de Ho1mgren
Holmgren de Hormender
Hormander [1], d'où
'vi =0 dans n .•
1
On termine
termi ne la
18 preuve de la
18 proposition,
proposition en
eil remerquentque
remarquant que
1
{Wjh;
{W jh ; 1 ~hH(j) } est libre
li bre donc
(epa.
<'a. Wjh) = 0a pour tout Il'€
aE {O, 1} et j E {1 ",..
", ,M}.
1
PrQposition
Proposition 2 :
1
11 existe T~ ) a tel que si T ) T~ alors p définit une normeéquiv8lente à n.
1
1
",'
1
1

---

1
- 150 -
1
1
preuy, :
preuve:
1
On a
1
1
1
On note respectivement A, B, C les termes de cette somme.
1
On a
1
1
On a
1
I
2 .r-
T
si n 2 ~ai T
f
2 . r-
T si n2 ..raiT
[0 Tl
T] cos '" aj
aJ' t dt :a,.. 2"
-2 +
_r-
_
'
,
4",
aj
1
.
1 sin(·r-
1
aJ,+·r-a1')T
sin(·r-aJ·+·r-a1')T
<>1'n(·r-a
sin(-r- , ·r-a·)T
I[O,Tl
f [O,T] cos~aj
cos..raj t cos ~aj
cos..rai t dt:a
dt,.. - [
"'+_"'--,.
"'.,.:.._"'_,.......
.
_ _ +"
+
'"
"', 1- '"
1
2
:.j
~ aj+:.j
~+~ a;~
r ar ~a;
~~-..r~
1
d'où
1
où RM
R
est une
u
co nsta nte i ndé pe nda nte de T ;
1
d'où
T l " '
.•
èlVoi
1
(1.'10) . A~ (-2 -
:7--- MRM) !, l~J'~M Iro 1 ~12do"dt
"
4v
al
0 ....
Parun calcul si milai re au précédent on a
1
a
1
1
1
1

---

1
- 151 -
1
1
1
On a
1
1
On a:
1
Po uri ) j,on
j. 0 n a
1
IIrQ,T]
IIrQ,Tl Sin"';-a;
'i n"';a; t Cos"';-aj
cos"';aj t dt 1
1 ~r:j-'J
:j_:.j a; ~ 2 RM
1
1
.
1
soit
SM .. max { -r---,
r--"., 2 RM} , on a
2'1
a,
1
al
(1.12)
1·
En regroupant (1.10), 0.11) et 0.12), on obtient:
1
(1.13)
1
aussi si on pose
1
1
0.14)
(1.14)
TM .. 4 MSM
1
alors si T)
T ) T~, p définit une norme sur FM x FM d'8prèsla
d'après la proposition 1 et
comme FM x FM est de di mension
dimension finïe, alors.'p
alor;p ,~t
et n sont ~qUiv8]entes
équivalentes .•
1
. '
. ,
..
1
1
1
\\ '
1
1

---

1
- 152 -
1
1
Remorgue :
1
Les constantes obtenues, dans la proposition 2, ne sont pas optimales; mais la
1
pre'uve e11e- même
elle-même est très si mp1e.
simple. Pour obteni r
obtenir de meilleures constantes et
pouvoir ,par exemple, passer de la
18 contrôlabilité exacte spectrale élargie il la
i '
'
.
1
,.'
'
.
contrôlabilité exacte, on utilise le théorème de Boll-S1emrod
Ball-S1emrod [1].
Une preuve constructive du résultat de Ball-S1emrod est donnée dans
1
Une preuve constructive du résultat de Ball-S1emrod est donnée dans
Haraux [1]. On utilise ce résultat dans la suite.
1
1.4. Rholutjon
Rho1ution
du
problème
non
homogène
oyec
ayec
1
condition ou bord sur I o
Io
1
On peut donner un sens au pro blème
problème
1
1
Trouver y E C (O,T, LZ(Q) () Cl (O,T,H-l (Q»
(Q»
1
avec
1
(P)
y" -,6,Y"
- Ay '" Daur fIl
lI)
1
y(O) = Yo, y'(D) = YI sur Q
1
0.15) î4J
')4J =v sur!o
l"N =:=Osur!\\!o
1
·lî4J=:' Osur!\\ ! 0
D'après Grj'syard [2], il suffit de prouver l'esti mation di recte suivante:
1
1
1
1

---

1
- 153 -
1
1
Pra
pro pasitj
positj a
0 n 3:
1
Pour tout T >) 0, il existe C >
) 0 tel que:
1
pour tout (~o,~,) E Ho (Q) X L2 (Q), f E L'(0,T,L2
L'(O,T,L2 (Q», et pour tout
1
~E C(O,T,H~ (Q» rtC'
nc' (0,T,L2
(O,T,L2 (Q» solutionde
1
..-6~"f
1
(1. 16)
8lors
l~~(0)..~o
1
~·(O) =~,
8lors
\\~..-6~"
(1. 16)
~( 0) ..
~'(O) = ~I
1
8\\'eC
1
. , .
~
~ .
". /"
1
SoU
SoH m E COO (Q;
(Q ; 1R 2
1R )
2 telle que m ex)
(x) V(X)
v(x) >
) o"ri
O"t xE
x E r
1
SoU
SoH T'l E 7) (1R 2L
([R2), telle que y est nulle au voisinage
vohinage de chaque sommet de Q, T'l~0
T'l~O
et T'lira"
T'llro .. 1
1
On a :
(1.18)
l IIIIQ (~.. - 6~) T'lm. V~dx dt =l IIlfTln'l~V~où ~est
IQfTln'l~V~où~est solution de (1.16).
1
On développe (1.18), comme dans J Ll,.jOns Oret on,obtient
ol\\,obtient
(1.19)
JI
JI T'lm.v
1
1~12 dO" dt ~ C(T +' 1) {E n~12L ~2(Q);}
o +
o
n~12LiCO,T,
i(O,T,
d'où, on déduH (1.19) .•
1
J n
Jn déd uit
déduit la sol uti 0 n
solution fai b1e
faible de (P) ,
(P), co ri ,',ne
cOi;;'rne ,ja ns
,jans J.. L.
J..L. Lj(l ns
Lions [1]
1
et Grjsyard [2] (53).
Dans Grjsyard [2].
[21, on prouve y
yE C (0,T,L2
(O,T,L2 (0»
0 Cl(O,T~H-l-C
Cl(O,T~K-l-C (Q»
(n» pour
1
". J..
J
tout t >0;
) 0;
.. ~. ,.
1
,.
,
....,
1
1

---

1
- 154 -
1
1
on peut .prendre c = 0, en transcrivant la preuve faite pour le bilaplacien au
chapitre 3.
1
chapitre 3.
1.5. L'opérateur"
1
1
(L16) correspondante .
correspondante.
1
. -------..---"._-- - ...-
" "
--"-"--'--"
._- _.__ ... --._- _.._,
Soit (g0, g1) E L2 (0) x H- 1 (0) et y E C (0,T, L2 (0» () C1 (0,T,H - 1 (0»
sol ution de :
1
y" - .6.y = a dans lI)
y(T) :li go, y'(T) :li gl dans 0
1
y(T) :li go, y'(T) :li gl dans 0
(L20) ~:lI ~sur I o
1
~ = a sur I\\Io
On a :
1
proposition 4
1
Soit (00,01) E L2 (0) X H-I
H-l (0), tel que (go - go, gl - gl) E (FM x Fm)O et
soit yla solution d~ (L20) a$$OCi8~ aux condition$ finale$ (go, 01), 8lor$ on a:
1
(1.21) (y(O) -y (0), Y'(O) - Y'(O»E (FM x FM)o.
.
.
1
preuve:
Soit ('t' 0, If' 1) E (F M x FM) ° et soi t't' E. C (0,T, H~
H (0» () CI (0,T, L2
L ( 0 »
1
la solution correspondante de (1.16). On a pour tout t,
1
Il sufflt d'écrire la décomposition de 't' suivant les fonctions propres de AI.
Al.
1
ana:
JIIl.[(y - y)" ., .6. (y - y)] '-1' dx dt = a
1
JIIl.[(y - y)" ., .6. (y - y)] '-1' dx dt = a
.' '.~._,
1
.' '.~._,
1
1

---

1
- 155 -
1
1
d'où
T
T
A
T
A
A
1
< (y - y)' ,'fi> 10
1
- «y - yL 'fI')l
0 - «y - y),
o = 0
o =
1
donc:
(
< (y'(o) - y' (0) ,'fla >w '(Q)H'(Q)
(o),'fIO>W'(Q)H'(Q) +
+ « y(o)
«y(o) - y'(o», (-'fil»
(-'fi,» =
1
< (g',
(cf, - g',) ,'fI(T) > W 1(Q)H
1
10(Q)
1
- «gô- go)
gO) ,'fI'(T»
d'où
1
«y'(o) - y'(o»
y'(o» ,'fIo)'+
,'fIo) '+ « y(o) - y' ('0) ,( -'fi,» .. 0
pour tout ('fIO,'fII)
('fIo,'fI,) E (FM x FM)O, ce qui achève la preuve de la
1
pro posi ti 0 n.
1
L'op6roteur Jo.
" ::
1
Soit (~,epl)
(~A)l) E FM x FM, soit Yla
Y
solution
sol ution de (1.20) pour des conditions finales
fi nales
quelconques (go ,/J,)
,g,) E (FM x fM)o
~M)o.. '
.,
1
On pose A
1\\ (epo,
(.po, 0,) .. cl (y'(o). - y(o»o'ù cl (y'(o),-y(o) i est la classe
d'équivalence
d'éq uival ence
1
de (y'(oL
(y'(o), - y(o» dans H-' (0) x L2 (0) pour la relation d'équivalence R,
défi nie par:
(x,y) R (x, y) si et seulement si
1
(x - x, y - y) E (FM x FM)o ..
1
",
proposition 5:
1
L'opérateur linéaire
1
preuye:
.
.~:
1
L'0
L pé rate ur Aest bi en
bien défi ni grâce â:' lap
â:'lap ro positio n
position 4. Il est évi de ntq ve
l,Ie A
1\\. est
.
.
li nérai re. La continuité deA découle dela propositiôn. 3,
propositiôn.~, Il suffit donc de
,
.
~
'.
1
prouver que Aest coercitive:
1
.,.'
....
1
1

---

1
- 156 -
1
1
Soit (~, <Il,) € FM xFM et salt
solt <Il la sol ution de (1.16) correspondante;
"
" ,
soit (go,g ,l € (FM X FM)O et y la sol ution
uUon de (1.20),
(1.20). on a
1
f Il
III (y" .. âY)<II
-âY)<II dx dt .. fil
III Y(<II" .. â<ll) dx dt = 0
1
On développe cette égalité en prenant des données régulières, comme au
chapitre 3et on
chapitre3eton obtient:
1
(1.22)
1
d'où
d41
à41
(1.22) < 11.(<110,<11,), (<IloA,) >[L2(Q) x H-'(Q)]/(FH
w-'(Q)]/(FM xFH)O,
xFM)O, FH
FM X FH
FM ,.
:s f
l Io 1~12 da dt
1
donc d'après la proposition
proposltion 2, A est un isomorphisme .•
Mai ntenant, on peut prouver le théorème 1.
1
Soit (Yo, y,) € L2 (Q) X
x H-' (Q). et soient (<110,<11,) € FM xFM tel Que:
1
A (<110,<11,) :II
a cl (y"
..
(y"" yo) ,
Yo).
Soit <II la solution de (1.16)
0.16) correspondantee (<110, <II,) ; soit (zo, z ,)
z,) tel Que
1
A (<110,<11,):11
(<IIoA),) a (z"
(Z" -zo)
alors si z est la sol uUon fai ble de
1
z" -.. â z ::1 0
ZaO dans III
«1
0,23)
z(o) ::1a zo, z'(o) ,.'
:s' 2:, dans Q
1
yz = ~
::1
surl:o
1
1
..
Solt
Soit y la sol ution
solution d~
de, 0.16)
(1.16) pour les conditions initiales
.-
Tl(o)
TI(O) =Yo
= ..
Yq- 20 et Tl'(o)
TI'(o) =y,
= -.. z,;
ZI ;
1
.
ona
onà (Tl (t).Tl'(t» € (FM x FM)O pour tout t>o.
1
· ·
· ;
· l
; ·
l ·
1
.J
1
1
1

---

1
- 157 -
1
1
Soit y la solution fai ble de
yU _ l:l.y
.a.y = 0 dans ID
1
III
(1.24)
y(o) = Yo, y'(o) = YI dans Q
'W
î\\I =~~
..~ sur!o
1
sur I o
î\\l
14 '"'
= 0 sur!
sur l \\!o
\\I
1
o
alors
Y = Z + II donc (y (T),y' (T»
E (FM x fM)o.
Ce qui achève la preuve du th~,orème
thé,orème 1. •
1
II.
Co nt rÔ] a bl11t6
exacte
s pect
poct ra] e 6] a rg1 e de l'ég
del'ég uati
uat1 0 n
1
des ondes ayec
avec conditions mêlées
1
Soit (rN, rD) une partition de r, avec i nt (TN) et i nt (rD) non vi,des.
1
vides.
Soit V l'ensemble défini par
.-,"
:.~:..
(ILl) V:a{UEH1(Q)
v,.. {u E HI (Q) lyu~OsurrD}
1
/yu~ 0 sur rD}
"
On déffnitA par l'opérateur Aztel
A
que:
2tel
,
.
(II.2) D(A
1
z) ,. {u EV 13 f.E'Lz (Q) ; 'V v EV
z)
f
=f
:0 {u EV 13 (E'LZ (Q); "ri v EV f Q Y'u.V'V dx '"'
Q fvdX}
avec
1
Azu ,.
:a -- l:l.u
.a.u pour tout u E D(AzJ.
On considère le problème suivant:
1
.
,
.
Soit T > O. Pour tout (Yo, YI) E [V IIR x:LZ,
X:LZ, <.All'
<.Alf ' existent-ils v et 'vi E L2
LZ (!)
(I)
", .. .:..
". ~. ~ ,
'.
àsupport dans !o
I o tel Que
que si
1
yesfsolution
esfsolutfon de :
.,.
.,
"
yU
y" _
- l:l.y
.a.y = 0
dans ID
1
III
(II.3) y(o) =Yo,
=
y'(o) =YI dBOs
dans Q
ci
i ..
.
,
"
sur (] O~T
O,T [X rD)'
rD) ()
() Lo .
1
o '
sur (lO,T [x r.. )
r~) ()() Lo
1
1-,.,
1
1
1

---

1
- 158 -
1
1
Soit (4):9,
(~, cIll)
411) E FM x FM et cilla
4Ila solution
sol ution de
'.'.
4I"-l:l.4I = 0
dans III
1
cIl"-l:l.cIl = 0 dans III
(11.4) cIl(o)
.(0) =~o,'cIl'(o)
=~o".·(o) ""== cIll
.1 dans n
1
,~ ..
,~= 0
sur] O,T[x rD
~.
~ .. 0 sur] O.T[X rN-
rN.
1
On défi nit lés
nitl~8 semi
se",i - normes ,suivantes:
Po (410, 411) == f Io 1'Y<lF der dt .
1
Po (cIlo, cIll) "" h:o \\'YclF da- dt
Pl
PI (cIlo, cIll)
(410,411) = h:o
f Io 1~'12 da-
der dt
Pz (410, 411) = f Io I~z der dt
1
Pz (410, cIll) = f Io I~z da- dt
Evidemment pour Po et Pl,
PI, on suppose Que
que ~o
I
est contenu dans] OIT [x rN
o est contenu dans] OIT [x
1
tandis que pour Pz, ~o
I o est contenu dans l
dans] OIT[ x rD-
rD.
Pour POUVOl
pouvoi r développer le méthode décrite eu l, il suffit d'avoi r la
1
10 méthode décrite ou l, il suffit d'ovoi r 10
proposition suivénte :
1
propos111on'6 :
Soit r o une partie de rD (respde rN).
1
Soit r o une partie de rD(resp de rN).
Soit u une fonction d'un espace propre,de
proprede Az
A , 8lors u est identiquement nul1e
z, alors u est identiquement
1
dans n si et seulement si :
~ r
=
0 = 0 (res p "fUir0
0 = 0 (res p "fUir
0) ,
1
':/
preuve:
1
On suppose rr
rD ..
o c rD.
Soit u une fonction d'un'espace pr'Opre de Az et oit À la valeur propre associée.
1
z et oit À la valeur propre associée.
"
'Ooa
Ona
1
l"
J. -,- Au-
A.U- À~u=
À~u== Ddans
Odans n
.. t"fU'Jfo
\\."fUlfo = ~lro =0
','.
......;.
'
1
','.
......;.
'
1
1
1

---

1
1
159 -
1
Donc d'après le théorème de Cauchy- Kovalesvky, il existe un ouv~rt w dans Ç'2
1
tel que
1
ulw =" O.
D'où,
D'où. en appHquant
appliquant le théorème de Hol mgren dans la version de Hormandet,
Hormandet.
1
on a :
u ..
U
n.
:II
0 dans O.
1
L'a ut re cas se t raite de la mê me faço n:
n_.
1
On dédUit de cette proposition que Po. PI. P2 défi nissent des normes sU,r
FM x FM, d'où la contrôlabilité
cQntrôlabilité exacte spectrale élargie associée au problème
1
mêlé pour l'équation des ondes en suivant la méthodeduL
1
D.
O.
CONTROLABILITE EXACTE SPECTRALE ,ELARGIE D'E
O;E L'EQUATION
1
DES PLAQUES YIBQANTES
VIBRANTES:
.,
~
.,'.,).
1
On pose A ..
,. A3
A défi ni par 'o'
par"
D(A
o (A 3)
3) .. {u €
H~
H~ (0)/6 2
(n) /6 U
2U €
L2
L2 (O)}
(n)}
1
et
1
,
.,
A3
A3 U=6 2
=6 u pour tout u
toutu € D(A
O(A 3).
.
' . 3).
On résout d'abord le problème de'
de co~t.rô1~bfrft~
contrôfabU:ft~ exac'te
exac-te spectrale élargie avec
1
"
-
(
~.
".,:
' . "
··.
..;Y,;
..;.',';,
..
.. '!
-
deux contrôles.
contrôles, ensuite on prouve qu'il est possi ble d'u~ilfser seulement un
"'J " .
,
,
"
"
,
,
1
contrôle en imposant lorsque p n'est p.~s
P:~S régulier;,dès'conditions
régulier;,dès'conditiOcns géométriques.
1
'.
. .~.-
1
.-~' . ..:
.,,-.
,';....
1
1
1

---

1
- 160 -
1
1
1.
Contrôlabilité
Cootrô18bilité exacte spectrale é18rgje
é18rgie de
l'éQuatjon
l'éQuatioo
dU plaQuu
plOQUes vibrantes
yibraotes avec
ayec deux contrÔles.
cootrÔles.
"'.{
1
1
la sol ution
utioo de
l{:::l
(I.nt:::> ~:~.~(::n:
1
~:~.~(::n: :.dan.dan'
(1.1
Q.
1
'On
'00 pose:
.
_.~ÂQ>
(1.2).
(1.2)
qo (cIlo,
(Q>o, 411)
Q>1) '" (f
{f Io [ty6~2
[IYO~2 + li~cj) 12]
1ra;-12] da- dt}112
dt}1/2
O
1
O
.(1.3)
,(1.3)
no (<Po,
(4lo, 411)'"
Q>1) '" {k-M~Ic~M
{I-H~"~M f foro [ty6AoJ2
[lYoAoJ2 + l''r~ A J2] da-} 1/2
00 a:
1
On a:
proposition 7 ;
1
Les sem;;' normes qo et no
00 sont des noremes équ;o.,'81entes
équ;Y81entes sur f M
FM x f M'
FH'
preUY,l:
pre U.:tl :
1
On
00 a:
o
°
. 0.4)
(04)
f Io 116~2
lyo~2 da- dt '" f fo
ro (JIo
<f Io Ik-M~"~M
II-M~"~M 16A"
yOA" exp (i ~Ic
r>1c t)12 dt) da-
1
On
00 applique le théorème de Ball-Slemrod, aussi si T>TM, il existe CM, CM
1
tels que:
o
•.
°
..
(1.5) . CM f fo
ro k-M~"~M
I-M~"~H 116A"
lyoA 12da- ~ f Iolyo~2
k 12da- ~ f Io 116~2 da- dt
da-dt
1
o
~
°
~ CH
CM f fok-
roI- M~"~M 116A
lyoA ~2 da-
d'où
1
d'où
(1.6)
0.6)
CMk-
CMI- M$k~M'f
M$k~M' ro~ 116A
lyoA ~12 da- ~ J ~o
Io 1164F
lyo<lF da- dt
. ,,:. t
o
1
o
~ CM k-M~"~M
I-M~k~M f fo
2
ro
2
l'(bo
l
A"
A 1 da-
00 fai t de mê me avec f Io ·1'Y~~<l> 12]da- dt et 0 n a
1
On fai t de mê me avec f ~o ·1'Y~~<l> 12]da- dt et 0 n a
:.
. . 2
0
. ,
0
0.7,>:
(1.7,)
CM DO («1>0,<<1>1)
CM'n;(4)o, 4>1) ~q2
~ q~ (410,«1>1)
(Q>o,
~CM
«l>1)~ CM n~(Q>O,Q>l)'
2(<<I>o,411)'
1
Il suffit
SUffit ensuite
ensUite de vérifier que no est une norme sur fM
FM x FM, ce qui revient à
il
1
1
1

---

1
- 161 -
1
1
vérifier la proposition suivante:
1
proposition 8:
Soit u une fonction d'un espace propre de A3
A
alorsu est nulle si et seulement
1
si :
1
.:',
1
preuve :
01,','"
.,'
On a:
1
6 2
A2 U - ).,u = 0 dans n
èlu
ClU
1
"(lI
"(IJ .. ~ =0 sur r
1
On peut appliquer le théorème de Cauehy-
C8uchy- Kova1evsky sur rOI
ro, aussi il existe 9
:l,>
1
ouvert non vide de Q
n tel que.,
que,
ula" 0 ;
1
Ensuite.
Ensuite, on utilise le théorème
théor'èrri'e de Ho1 mgren de Hohmander
1
po ur
pour co ne1
conc1 ure à u =o
= .•
o
Il suffit de mettre en oeuvre la méthode du (C~ 1), pour obtenir le :
1
Théorème 2:
.
'..
' .
'. .
'.~.-, .(.-.
;
>-..(.~.
..-,-
.
Soit T >TM.
TM, pour tout (Yo.
(Yo, YI) E
e L2 CQ)
(Q) x Wf~'-Q).
Wf~,-n), il existe
1
,-
' r '
~~-~~'
"'.
• ~
' J "
"'.-;: ._,~'
. ' .
( u,v)
(u,v) E
e [L 2 (I)]2 8 support dans Iotel
I o tel que si y est la
~a solution de :
.
:',.
. '
,"
.
1
y" + 6
A 2y
2y = 0 dans
dans lI)
1
"N
'N = u sur l
~= v surI
1
alors
810rs (y(T), y'(T) E (FM x FM)o.
FM)O,
1
1
1

---

1
- 162 -
1
1
II.
Co nt rô18 bil Hé exacte s3 pect rol
ral e é1a
él a rgi
rgj e de l'éQ
1'éQ uati 0 n
,'\\";
des plaQues Yi brantes
vibrantes par
por une action du tupe
type Y~.
y~. v.v.
1
~ ~, ,,' .
. ,
On fait l'hypothèse
J'hypothèse supplémentaire:
r
rr pour r € {O,...,R}.
1
o rencontre chaque
o rencontre
rr pour r € {O,...,R}.
Q est non fissuré .
• ,
. ..
, ....
'
'
'l::,-
~,
1
Soit"{4»O,4»l)
Soit"{~O'~I) € FM x FM et 4»~ € C (O,T,H~ (0)
(Q) () Cl (O,T,L2(0»
(O,T,L2(Q))
..
.,sol ution de (.1.1)
0.1) ; on pose
1
(IL2) ql'(4lQ,
ql'(~, 4»1)
~I) .. {J1:0
Io 1'Y~qF
1'Y~4F dO"
dcr- dt }1/2
1
proposition 9:
1
Sur Ft1 x FM, les semi - normes q1
q1 et n, défi nissent des normes équivalentes .
. ",".,
","',
1
Preuve :
prouve:
En se référant è 18
8la preuve de la proposition 7, il suffit de vérifier 18
le :
1
, ;
pro positi 0 n
position 10 :
H
10
H
1
Soit u une fonction d'un espace propre de A3
A , alors u est nulle si et seulement
3 , alors u est nulle si et
si :
1
preuve:
1
" ,.
: ,
,/ .'.:>.'
".:>.'
..
. ...
-.."
La fonction u est 8ria1ytiquè
analytiquè jusqu'â"l'intérieur
jusqu's'l'intérieur de chaque composante analytique
:Jo-..
:.r.. -:,:
1
du bord de Q
a ;.8US$jon~·:
;.8US$;On~·:
'Y~ uli nt
'Y~Ulint (rr>
<rr> . anal ytiq ue
analytique
1
.,
.. \\
y~ul;nt <rr> () ro =·0
'd'oùd'apr~sle principe de l'unité du prolongement analytique, on a:
1
'.
,'<'yb.
,"<'yb. u =Os ur r;
-
.
.
. ..:. .' .~. < . ',"
."
,.;
1
Soit,àj.l,a,v.8)eUrproprea"ssociée
Soit'àj.l"a:v.~Je·orpropre·à·ssociée ilà IJ. On a aj >) O.O.
.
.
.'
" .
" !
. .
! f
' .
f . . .
.
1
1
1

---

1
- 163 -
1
1
On a grâce ilà la formule d';
d'i ntégrat;on
ntégration par parties (3. )
JQ
J ô,2
ô, u X.
x. VU
Vu dx = aj JQ
J u X.
x. VU
Vu dx
1
d'où
1
d'où
.~ .. '.
1
f
:~
Q lô,ut 2
1ô,u12 dx .. - aj f Q ~U12 dx
d'où
JQ
J lul2
lul dx ~ 0
-I-
donc
I
u ..
,. O.•
0.1
On peut donc énoncer le résultat de C.E.S:E. correspondant.
1
1
1
~'.
;:.
'
y" + ô,2y ..
,. 0 dan$
dan3 III '-v,.
1
..v,.
1,1(0)
y(o) ..
,. Yo. 1,1'(0)
y'(o) ..
,. Yl dan$
Y1dan3 Q
1
')4.J
)4.J = 0 $ur
3ur lI
~= v $urI
3urI
1
s10r3
(y(T) .y'(T) E (FM xFM)o.
1
.
.,. ' .
. -
- .
.
.
III. ContrÔlabilité.
exacte spectra)e.é]orgie
spectra)e.é]argie de ]'éQ\\l8tjon
]'éQ\\lotjon
.. '
,
1
.
des ploQues
plOQues yj~ronteS:P8r
yj~rontefpor un contrÔle de. type W
"W ..
,. u
. ,-
'"
..
".-
'"
.
-
-...
En pl us des hypothèses (Hl)
(H 1) et H2)du
H2)dU pafagraphé ·précédent,.
1
pafagraphèprécédent,.
on fait l'hypothèse suivante:
1
.,
"
,."!
, " !
. , .: ~
.- ~.
1
1
1

---

1
- 164 -
1
1
(H3',)
(H3") ;;
Si r est analytique alors Q
n est strictement étoilé.
1·
.
,
'.
"
-( H3")
Sinon, pour tout r E { 1,
1 ... ,R} et pour tout j E{ 1,
1 ... ,jrL
,jr},
1
r
-
on a
on
CA).
< W o
(.)0
•
J
où Go est déterminé
détermi né au chapitre 3.
1
Soit (4lOj'cPt>EFM
(~j.!llJ>EFM x FM et soit cp<p la sol ution de (1.1), on pose:
1
(IIL:l(
(IIL'l(
f,Q2(41tl,
f
q2(41tl, CPI)
<P,) • JIo l't~~!
l''t~~!121der dt
,
"
0
~6ÂK
~6AIc
1
. ÇII1.2)
0. 2
n (410, CPI) '"
2 (4)0, <P,) = I-M~.K~M
I-M~,Ic~M Jrol~12
J
der
On 8
On8 :;
1
:··eropositfon
:',eroposiUon 1 0
10:
: "
On suppose que Q vérifie les hypothèses (H 1), (H2) et (H3') ou (H3").
1
'Soif
,Soif u
Ù fonction d'un espace propre de A31
A
alors u est identiquement nulle si et
1
:'seulement
seulement si :
'2':)
~6u' .,',,'
(III
( II1 )
.07
.3
Y-~;1ro '"' O.
1
Preuve:
preuve:
!L·"'
Comme.U
Comme ,U est analytique jusqu'à 1'i
1 nté~leur:de
ntérieur'de chaque composante connexe de r,
1
on a
8 ::
y~~Ulint (rr) est 8nal~tiqUe
anal~tiqUe pourtout r E{1,u.,R}
{l .... ,R}
1
~.ou
~.6u
.' .,
.
.
.
.
y~n.t(rr) rrfll=
(rfv= a
0 pour tout r E { 1, ... ,R}
1
..•..
8lors
alors d'après le prin~i;pe de'i:unitédu:prolongementanalytique, on a;
j
d'après le prin~i;pe de'i:unitêduprolongement8nalytique, on 8 :
j
.
.'
' . ' . .....
~
'~6u
'~6u'" . . . .':", .'.:,' ,,: .
1
y ~h
;,yh =0 sur r.:·
r~;
~.
'<"'
.:-
; -
:'.l.: .
:-.l.'·
.'
,'.'
Soit ~j
Uj 18
la valeur
valeur propre
propr'e associée àu etsoit
etsoît Xo E n, les hypothèses (H3') et
.
:
.
. .
1
':"'OÙ",j'entraînent-que
':"'OÙ",j'entraînent,que :
.
, (IIt4)
(x - x 0).
(x-Xo), v (x) > 0 y. XE r.
r.
1
ooa<'
1
(IH.S"),;'L ':;1'~ ~2u(x-xo).V~udx = Uj Ja IJ (x - xo).V~U dx.
~,~.'
,
, """
\\
"
\\
'.
"
1
.'"
1
1

---

1
- 165 -
1
1
On peut appliquer, grâce à l'hypothèse (H3")~ la formule d'int~ration
d'i nt~ration par
t""
t,"
'",
parties du chapitre 3. On a :
1
(I1L6
(1II.6 )
-fnlV6ul2
-fnlV6ulZdX +(- 1/2) fn (x-xo),VIV6uI2
(x-xo).VIV6ulz dx
1
=
- - 2aj fn U6U
u6u dx - aj In 6U
6u (x - xo>'Vu
xo).vu dx
soit:
,' .....
,
"
soit :
.
"I~,('
=.:.....
~'.,-'
:,-,'
.
,
.-:
'.
1
1
~\\..
•
~
1
~'"
•
""
(- 1/2) f r (x -xo) .y(x)
-xo).Y (x) 1V~
1v
Jnl~JJ
CT 6ul z
6ul da =
da- +3 aj fnl~.\\J 12
IZ dx
-1..
(+ aj72) f n (x - xo).V
xo).v lVulz
lVul dx
1
.....
;
d'où:
.,
".,~' ..
1
(IIL7)
(III.7)
(-1/2) f
Jr (x-xo),.Y(x)
(~-xoLv(x) IV~
IV 6'u12 da = 2 aj f nJV~IZ
CT 6'u1 Zda = 2 aj f n IV~IZ dx '
..
"Jo
J•
."
• "
d'après (IlIA) et comme aj )'0 ,
>"0, on a
8 :
1
:
f nn IvulZ'dx
Ivul2dx • 0
• 0
d'où
1
• • <0,
u. 0 dans n .•
..-c
On déduit de cette proposition'les résultats suivants :
1
suivants:
.
..
"
.~',
proposition 11:
. ,
-
1
,
Le,
Les ,emi
semi -norme"
- normes' qz
Qz et nz
n2 définissent de'
de, norme,éqU'ivalente$,s.ur
normes équiyalente$,s.ur FM x FM.
.
, .,
...
,
1
Théorème 4:
.
. :
: .
.
On suppose qUB n vérifiBle$'bIJP~thèses
\\lérifiBle$'byp~thèses. .( til)',
Hl)', (1.i2) et (H3" ou (H3")
(H3'"
;
1
;
soitT>TM'
soit!>TM' alor, pourtout (YO'Y'}~~h~(~f*[H~<:9)ri
(YO'~1).€,~.,,~(Q~~~[Hr<:9)('l H~
HG ("t.!)L
('n)L
.
..-;,::.'
- .
.
,
•
;.
:.
~Y' : .
i
1
il existe u E LZ(!) 8 support dan; 'i~ t~lj~ qUeSi-~1~st,lasoJution de:
,'.
y' + 6 z
6
y = 0 dans III ',:'
1
W',::
y(o) =
= Yo, y'(o) =
= y1daQs
YldaQS X2
,",-;
g2
,v·t
'.'. .)
.'.'
"N =
= u sur!
1
sur l
i ~ ",
"
",
,L; ••
~= 0 sur!
sur l
1
..,: ;;....
w'
alors (y(T), y'(T»
y'(T)
E (FM X FM)o.
·;:~:tt
.
.'.\\:'
....\\'1., ..
• , <
1
.',\\ ..,.".." <,
1
1

---

1
- 166 -
1
1
LAe
Lee PLICATION
LI CATI 0 N
DE-
LA
CQ NT
CON T RQ
R0 LA SILI!
BIL II E
EXACT
EX e
E
eTE
S P ECT RA LE
SPECTRALE
ElARGIE A LA DETERMINATION DES ESPACES DES CONDITIONS
.~/ ;
1
~/ '
INITIALES
PQUR
POUR
LA
CONTRQLASILITE
CONTROLABILITE
EXACTE
DES
PLAQUES
-_PQSEES
'_POSEES
1
1
QI)
-01) considère l'opérateur A = A4, défini
défi ni par:
.
,
1
D(A4) = {u e H3 (n)/)'U ="(b.u = °et b.Z u e Ho (Q)}
1
0(A4) ,. {u E H3 (n)/yu ="(b.u = 0 et b. 2 u E Ho (Q)}
<>
et
A..t ..u = b.zu pour tout u, e D(A4).
1
A4 ..U = b. 2u pour tout u, E 0(A4).
Les·
Lé~' fonctions propres de
cÏe A4 sont
,ont les.
les,_ mêmes que celles de Al et les valeurs
1
propres de A4
A ,les carrés des valeurs propres de AI,
Al-
Qn
On f~it l'hypothèse
f~itThypothèse suivante sur n :,;-'
>-
1
(H4);-i1
(H4):-n existe "()
1) 0, tel que
telque pour to.u't
to,u·t j E'~
e'Z
~j. 1 - ~j ~ 1
1
~j + 1 - ~j ~ "(
1
1.
J.
•
- Exemple d'ouvert yérifiant (H4)
Je
le recUngl'
rechngle dont 10
le
rapport dOl
des côthut
côthest rationnel
1
.
,-,'
"
'-,'
-' - "-',.,'
-
* -
a
1
-.
.
. '
-.
.
*
a
•
•
. • - . . . . .
oC
Qnconsidère
m,considère ~ =] Q~~[X
O~~[x ~,b [a~c~,
[à~c~, bE
b e lR+
IR. et tels que:
que
b"E
:b"e Œl*.
1Il*.
," ~,'
,
~~..'.. ,:'.."
1
LesJonctlons
lesJonctlons pr~p:re'~œ'
pr~pre,~œ" A4
Â4 S~rit
'ont d6~nê~s
donnêe, par
..
"
', ..
. , .
' ,;
-"',' ." '
Tl
'--'
TT,:
-
Tl
TT
(1. n
(I.1 )
Wp,q
Wp,q (x~yJ_~'2~.in
(x,yJ_~' 2~:i n p-;-x'~in
p-;-x -~i n q"b
q"b Y
....
...
",".
1
"," .
. ....
.
, ".-et
;',',et les valeurs propres correspondante~
correspondantes p-ar
; -
par
(~(12 .)~ . -
.
; -
' (
It. -~ )~
,
- (1.2)
(LZ) Àp,q=.
Àp,q =, rg[s2 +o°bZ'1'
rr~[s2· 'bz1·
-
.
1
aVe~p,q
aVe~ p,q e'lN*o
e'IN*-
" ,
";
........
1
....
.",
. {~{
'J,~{
1
J-
1
1

---

1
- 167 -
1
1
Soit (Pl, ql) et (P2' q2) E N* tels qe:
qe :
--J
>"Pl,ql
Àpl,ql >
) ~P2.Q2
1
On a:
2
2
2
2
Pl
q1
P2
P
q2
1
- + -
+ >
- ) - + -
82
a
b2
b
a2
a
b2
2
2
2
2 (a"2
a
2
2
2(8"2
2 a
d'où
Pl
P +
+ qq l 'bl
(-) 2 >) P2
P +q
+ q 2 'bl
(-)2
:l<.1";";,
1
1
' b
2
2 b
, " f
" "
Comme ~E /Q*,
IQ*, il existe (nj1Tl)
(n ..",") E N* prernie.rs
premie.rs entre eux telsqlJe
tels ,qUe : ~~;-'
1
2
2
2
2
-,
2
P1 m22
2 2
2
2
2 2
Pl m
,0 )
+ q1 n2 > P2
P m2
m + q2 n2
n ..
1
Comme dans chaque membre,
chaquemembre, on a
8 des entier~,
entiers, on a ::
ona::
2
2
2
2 22 1"2:~2
1
2:~ 2
2 22
"
Pl m + q1n
1
~
:+
+ P
p2 m,+ q 1 n
1
'
':'....
2
a
2
~..J...2.
2-!. ~2 , 2'~
soit
P1
P + q 1 b
1
2
b2 ~ m2
m2 + P.2 +.q
+,q 1 ~
...~.. ".
..
2
2
2
2
1
Pl
ql
P2
q2
1
d'où
-
+.~ 2 +
a2 +
a2
b2
~ mZa2
.-
"'8
b;
',~.
1
,
donc
>..
ÀPl.q
P
1 - --J
1
!;.~.. #
1
II.
Espaces des conditfogs
CODditfogs 1n.U1a1U
lnH'a1u D'our'le
p'our'la c.ontrôlabHHé
contrôlabpUé
.}~',;,-""._,
'~i
" ,
-
'(0,
,
1
exacte de ] 'équatIon des" p,1ag,ue~,~"'PU,t~
~~.
.l.~,·
•
,
_
'< _'c-
On suppose que Q est un ouv'êrt' polyÇJ.ôMlborn-é:non fiSs:u\\é ou,un ouvert'
;
,
-~ '; t '
1. '
régulier et que Q vérifie l'hYP(lthès,e-
l'hyp~thès,e'(H4)..
1
(H4). ,
,.
;,
Soit (ÇO,Çl)
(ÇO,ÇI) E D(A) x D(AI/2) et
D(AI/2)et soit ç
ç E C (O,l~D(A)'n
C(O,T~D(A)'n c'l
C'l (O,J,.P(A·~I'f»~,
(O,,T,,P(A'~I'f»~,
;.:
~.
.
.
' . '
.
. '"
. , ; ;,
,
. ..
' .
'.
1
la solution de ç" +
. ' "
' , '
+ ~2ç
ô 2 ç = 0~âris
6~àrîs ID,::: ,-:'
;,
(ILl) ç(o) = 1;0,
Ço, 1;'(0)
ç'(o) = Çl dans Q
"
1
Q
- ...
.li,
- ...
li·
~,
"
yI;
yç = y~
yô 1;ç =0
0 sur I,
r.
.
:. .
"
" .P"i'
,:f;J',,-,
1
.i ,;;'
.~
. (
\\"
.
.
...
-
1
....... '::"-,
1

---

1
- 168 -
1
1
1
D'après
'D'après al
J l Lions Il], q définit une norme sur D(A) x D(A 1/2).
.
ODappelle F le complété de D(A) x D(A
,"
112) pour la norme q.
,"
On appelle F le complété de D(A) x D(A 112) pour la norme q
1
.
, ~prsque.
~prsque, n
0 =]
= ] D,TT [X] D,
0, TT L un résultat de a
J Ball
8all rapporté dans
aJ L Lions
Lions [1]
[t] donne,
donne
1
,
,
1
.,,1
'"
(1I~3)
(1I~3.) F.'
F~' Ho (n)x
(O)x H-I (n>.
(0).
r
.
'"
, ,~..
'~' . Iln
Q.n généralise ce' résultat eux ouverts éto;]és
étoilés vérWant
vérifiant l'hypothèse (H4).
1
,
,
On pose :.. .. ' 2TT
(11.4 )
(IIA) ,
T..
T =.-"-.
.=.-"-.
1
'
' 1
' ' (
Ibéorème
Ibéorèmo 5:
5":
..'
1
,'§on r >
,'$oHr) T'"
T., $oÙ
,o'it n
0 un ouvtrt
ouv~rt étoHé vérifiant
vérifisnt ( H4),
(H4), alor$
s1or, q défi nit
définit une normt
norm~
,
..
2
.
2 " ,
1
éqUi~fltnte 8 {II
équiYf1~n.t~8{11 IIII H6 .+ Il II~-I(n)} 112 ef"par con$équent
H6 + Il II WI (O)}112 et psrcon'équent
.~.: .
.~~:
',!:"
1
1
F. Ho (n) x H-I (n).
.,'\\
.,"-\\
;.::.
preuye:
prouye:
:.~.'
1
4
Soit (ço'~lj
(ÇO/~I) E D(A) x
D(A)x D(AI/2) et ç'la
~'la4 solution de (I1.l)~
SoH
Soit (ÇOM,~IM)
(ÇON/~IN) la projectü)n
projection orthogonale
orthogon$le sur FM x FM dans L2 (n)
(0) et soH
soit
1
~M la sol UUj:ln
Uti9n de (II.'l
(I1.'1 )"pourl~s
)"pourl~s 'donné~s
donné~s inWales
niti81es (~OM,~
(~ON/~ lM).
IN).
,
.
'
'
,
,
,~,_:-. ":.
1
On 8 :
; ,.
o
0
' i
"fi
'(11.5)
''(ILS) ~ =!;;"M·~i~M
~.= !;;"M..~ i~M A;L~~P~t~jtX
A ~)lp:~l~jtJ'
j
il '
.y!.~.,,-::.I-
;..
1
, ave~" <~, '..
'
,
,
,
, 0
1 " ,
.'
1
:(II.6) Aj =2 I.'~fi~r(j.}}~OIWjh)i~j~~I'Wjh)]Wjh
1
't. .:.:
pOUf
pour J ~ 0
J>.-o et
1
t
:".:' ,
,.
"
1
','
1
1
1

---

1
- 169 -
1
1
Soit Xo
Xo EE 0 tel que
:.'-
(I1.8) (x - xo) .v(x) ~ S pour tout x E dO
~. '. .
1
"/-,"
avec S un réel strictem~nt positif.
' j - ' "
..-~ .
1
On pose:
.
dEM.
.
.",,:,,'
(II.9)
(11.9) q(~OM.
q(~OM. ~~ lM) = {f X~ (x-xo
(x-X )
o .v(x) l"l!vMI2
1~2 dG"
da dt ~~1/2
.~.
1
1/2
On a:
(I1.10)
(II. 10)
q(~OM.
q
~ IM)2. '.
..
''''.
".
. ....
v
.
o
....
.: , .,.,
1
... ,.,
'.
aA
iAj
, . '
"
j
. . . ·
'.'
f ,..
ft (x·~xo).v(x)
(X·~Xo).v(x) f [O,T] II_ M~j~
Jro,T]II_M~j~MY ~ !3Xp{i~jÜI2 dO" df~
1
MY~!3XP{i~jÜI2do"df:
On applique le théorème de8Jll-
..de~l1- Slemrod. aussi i.1.·e~is{èCMe'ttM strictement
n:exi~.tèCMe't}M.~~rictement
. '
1.,
. '
.,'. '"
.'"
, • _.:;,.'
•
•
. ' '.
~. l'., '-',.
.
1
positifs tels que:
(II.ll)
1
(11.11)
1
.~ .
On a besoin du lemme suivant':'
suivant:'
"
....:..
;."' .
"
"":
;."' .
..
:.'".
1
Lemme 2 :
On 8:
àWhj
1
àW~/' ..•,
f r
~:,~/
(x-xo)
(x-Xo) .v(x) (hl
9:hi
~!: dG"
da ~2
= 2 aiShk
afShk
.- ..';'"
.;",
.
, . .
-
.," ; ..
.
"
pour tou, j. h E
hE {l •...• rU)}
r(j)} '~"
.. ..
1
~
..>
.~
preuve du lemme 2:
Jernrne2:
(~.
"
1
{
.~.....~.,~."::.....;
On a :
.,
:.:;',
..
..~.; .
...~,~/ ..
:'......;
..
1
'.~
.
.
:.1
~.
-~
~:- ~
'. '-',
,',!
.
".
'. '-',
..:
.::'
. .
.~
. '.'. "
donc
".
.
" ..
;.~'"
.•.~.. ,'.::~~::."
, .:!Ô.
.
,', ::~~':.'
~
........ ~:.
(11.11)
(11.11)
-- f Q
Q ÀWjh
AWjh (x:o:,xo)·V
(x:"xo)·V W:ilc
W:ik dlt~aJJ~.~jh (x~xo)· ~Wjk d~
dX'
'."
,'..
~aJJ'fl.~jh (x~xo)· V'Wjkd),C .
1
'.,-..
. ~',:;
"-; .
.
..
.,
'.:
'.:
:,
:-,..
,..'.,
".
".
.-. ~.~
1
'!'_:,~ :':.{
"
;
; ·.··~fi,,···.·
·.··~fi,····.·
.,:..
1
,\\\\~
;~"'"
":'~ . ~~
1
1

---

1
- 170 -
1
1
soit
1
(ft
(II. 12)
On ajoute à
8 cette relation, celle obtenue en échangeant h et Ic, ce qui donne
1
d
2 Jo V'Wjh
VWjh V'V'I'jk
V'V'I'jlc dx SQ
Io (Xl - XOI) ~ [V'Wjh
[VWjh ,V'Wjk)dx
.VWjlc)dx
eX)
oXl
~Wh; ~W
d
1
- f
~WM ~W
S
d
- 2
25r (X-Xo).v(x)
(x-xo).v(x) ~ ~d(T
~do" .. aj 0
Io (X)
(Xl - XOI) ~ [Wjh .Wjk)dx
.Wjlc)dx
ovy
~
e~
o~
d'où:
1
~Wht
aWht ~Wkj
- J
aWki
- r
J (X-Xo).v(x)
(x-xo).y(x) ~
(ni
~ dc;r:ll
dc;r "" - 2 aj Io LWjh .Wjk dx
.Wjl(dx
1
. " ' a
'~Wh'~Wkj
W h ' a W k o
.
°
d'où
Sr
'Sr (x-xo) .v(x).~
. y ( x ) . T
(ni
d(T=
~do"= 2 ajÔhk.•
ajÔhl(.1
1
Ft
Fi n d. ]0 pro'uyo
pre'uy. du théorème
théorèmo 5 :
On apour j ~ a
0
...','~
1
dAO ","
",
.
j
J
(II.12}
0[1.2)' Jr
J (x-xo) .v(x)
.y(x) l'Y (ni
~ 12
1 d(T
dO" ..
1
t aj ! 1~h~r(j).[I~o,,:Wjh)12
l~h~r(j), [I~O, Wjh)12 +
1
d'après la propriété d'orthogonalité du lemme 2.
o
1
,
dA j ", ".'
(II.13)
,I-M~j~ HJr (x-xo)·v(x)
(x-xo)·Y(x) l'Y .(nI
.~ li'da-
It'da- =
··t:,
t:,
1
I-M~j~:~, {!t~h~r(ljl> ajll~~,Wjh)12 + ! 1~h$r(UI) a~lll~ 1, Wjh)12 }
•
0
1
On 88- :
1
'>"pour
c,C,>od'après'ÜLS);
c, C.>o d'après'ÜI.-S) ; d'où
'(II.,l.4)·
'(II ..1.4)·
" c'M<lIçoMlI2
c',M<lIçoM1I 2Hl
H o
10 (Q)
(0) + U~lMII2wl(Q)}
U~lM1I2wl(0)} ~q (ÇoM,Ç1M)
1
1
1
1
1

---

1
- 171 -
1
\\-.
1
.
Comme d'après J L
L. Lions [2]
[2] (4.148) l'apPlicatio~(~o,~;)
l'application(~ol~l)-.-> ~~t~
y~t~ ,
1
continue
conti nue de H~ (0)
(Q) x H-l (0),
(Q) ~n
lalimitelor~que
1
~n peut passer à
.
Mtend vers + 00, dans (11.14) et onobtient
C·
Mtend vers + co,dans (11.14)etonobtient :
1
2
'.1"
(11.15)
C'HII(~o'~1)IIH6(Q)xH-1(Q)
C'N 1I(~0, ~ 1) 1IH6(Q) x H-l(Q) ~~ (~O,~1)2
(~o, ~ 1) 2
2
1
q <eo,
(eo, el) 2
e,)2 ~ C'H
N lI<eo'~l)IIH ~(Q)XH~ 1(0)
lI(eo,~,>nH~(Q)xtt~'(Q)
1
ce qui achève la preuve du théorème .•
,
.
'
.
1
Il résulte de ceci que pour tou! (~O,Yl)
(1:10,1,11) E HO
Ho <
1
..
0)
(Q) x W 1
1 (0),
(Q);
•
il existe v E L2 (~)
(I) tel que si y est 18 sol ution du problème:
,
.,#.,
1
.
•
".
#,
y" + ô 2
â
y
1,1 -0 dans III
(11.16)
y(o)
1,1(0) .. Yo,
1,10, y'(o) "YI
1
1,1'(0)" 1,11
.#,'
~
')4J - 0 sur l
yôy
yây - v
V. sur I,
1
alors Y
1,1 (T) •- y'(T) •- 0,
O.
Ce qui po urdes
pour des 0 uvert;étoilésvé ri f1a nt
ouverhétoilésvéfif1ant (H 4)
(H4) Préci se
préciSe 1e,rés u1tat
le,résultat de
1
J L Lions [1] (théorème 4,~>~.
4.~)~.
1
f-I!
f. OUEL011ES-
au ELOU ES: REMAR~
RE MARjiufs
r
1
"
.(
.
1
"
, '.
"'-4
\\r
.
~
1
.
, ' , , "
. "
La
la méthode i ntrodu'it,
introdu'it, au
au A.I.
A.I: perWle~' d~,\\~.~soudré·'l~~, problèmes
perWle~'d~résoudré"1~~Fprob1èmes de
i
1
1
!\\
contrôlabilité exacte .pectrale
hectrale élarglè ppur'd~s,6~êr~teurse1li
ppur'd~s,6pér~t'eurse1liptiq,ues 8
1
8
;
1
"
t
,..,0· .
coefficients constants ou cons1antspar morce'8üx,:,'.
morce'aux,:,'
,..,0·
On peut aussi considérer des problèmes decontrôJ~ i
~econtrôl~i nterne,.~
nterne .• >
. '-4
..
....'
. Jf".'
"
' , '
.
~"
1
.
' . ,:'
.
l
~.,
~ ..'
: :;,,~~:
.
1
-~...
....;
.......
-~"
,'';''
1
t::.
',,'1,.
..
1
1
1

---

1
- 172 -
1
1
BI BLIOGBA
B
PHI E
,,' ,
1
J.Ball
J Ball - M.
M Slemrod {lJ : Non harmonic Fourier series and stabilization of
1
distri buted
distributed semilinear control systems. CPAM. XXXII, 1979,
•
p,555-587.
1
P Grjsyard
[l]: Elliptic problems in non smooth domain~. Pitman, 1985.
1
[2J': Contrôlabilité exacte d~ sol utions de l'équation des ondes en
-
1
présence de
,de singularités.
si ngularités. J. math.
m~th. pures et appl. 68, 1989,
~.
.
'. p. 215-
2 15- 259.
1
J.H8ray~
J.Harau~
[1] : Quelques propriétés des séries lacunaires utiles dans l'étude
1
des vibrations élastiques. Publications du L.A.N. Paris VI,
1
L
L. Horooander
Hormander [lJ : Linear partial ~ifferential
~ifferenUal operators. Springer-Verlag,
1976.
1976.
.
Af'~'"
~f~'" I·En'.PJ~/)
l'En'.P/.(>1), ~
.
~
1
J L Lions
[1] .:
,: Contrôlabilité exacte, perturbations et~{b~~~Br
et it~' bi~~Br de
- ".
\\
l..... ~ fi
,
1
systèmes distri bués. TOrf\\e
Tortle 1. Masson Paris 198
198'
Ol c~{f'
OLl:~{0 (\\0'
....~
....
,
1'''9
•
0{
•
~~
~~
_______
1
MT. Njane
Njone
[1 J :ÇQntrôlabilité
:ÇontrôlabilUi exacte speç~rale élargi.e de 0 it~
.
.
~,., .
' . '
. '
. ' ...
.
'
~ ..;,
. distrib~s par ac~~nsur une p8~tfè
pa~tfè analytique arbitrai re de la
.
\\
1
fro.rilieré.
fro.ritièré. C.R. Acod. Sci. Paris, t~ 309, série l, p. 335-340,
,
.
,
. '
........
"'\\..
1
> ..
:- .. ,
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1
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1
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1
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---