1
ACADEMIE DE MONTPELLIER
UNIVERSITÉ DE PERPIGNAN
1
1
~
~
THE SE
présentée à l'Université de Perpignan
1
pour obtenir le grade de Docteur d'Etat - Mention Sciences
1
CONVECTION NATURELLE A L'INTERIEUR D'UN DIEDRE
1
ETUDE EXPÉRIMENTALE ET ANALYSE PAR ÉLÉMENTS FINIS
1
PAR
1
Banda N'DOYE
Maître ès Sciences Physiques
1
Docteur de spécialité Thermodynamique Energétique
1
Soutenue le 8 février 1983
sous la préseidence d'honneur de M. Amadou Macktar M' Bow
1
Directeur Général de l'UNESCO
devant la commission d'examen
1
1
1
JURY
J CHANU, Professeur Université Paris VII - Président
D. BELLET, Professeur - Institut Mecan, Fluides Toulouse
M. DAGUENET, Professeur - Université Perpignan
1
P. DUMARGUE, Professeur - Université Poitiers
A. FOUGERES, Professeur - Université Perpignan
1
1

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A toute la famille de Me GUIGUES à Béziers,
A mes frères et soeur Voudou,
Moustapha et .:.c.la ~ ,:,
1
A mes amis Paul Etienne, Sylvie et Grégoire
Jean Luc, Catherine et Jonathan,
1
A Lina,
A tous ceux que j'aime,
1
1
je leur dois la joie et peut-être le privilège àe croire
ou à raison qu'il s'agit de comprendre et d'aimer.
1
1
1
1
[

---

AVANT
PROPOS
i
=================
r
C'est au laboratoire de Thermodynamique et Ener-
gétique que le travail présenté ici a été effectué. Tout au
1
long des 7 années que j 'y ai passé, M. DAGUENET,
le direc-
teur, m'a témoigné constamment une confiance totale, condi-
tion nécessaire à l'éclosion de toute initiative scien-
1
tifique, sans laquelle, formuler une hypothèse, encore plus
chercher à en vérifier la probabilité s'avèrent difficile.
1
Au cours d'excursions fréquentes sur des rivages autres que
la thermodynamique, nous avons eu l'occasion de nous rappro-
1
cher; aussi je lui témoigne mon amitié et ma gratitude.
1
Les travaux que nous avons effectués n'auraient
probablement pas pu être menés à leur terme sans le soutien
1
financier de l'UNESCO. Monsieur Amadou Macktar MI
BOW,
le directeur général de cette organisation est très attentif
1
aux problèmes de développement des sciences et techniques.
Il a accepté d'être le président d1honneur du jury de sou-
1
tenance de thèse et a chargé Monsieur Kouzminov, directeur
à la division des
sciences et techniques de l'UNESCO, de le
représenter. L'intérêt particulier qu'il nous porte ainsi
1
vient confirmer toute la bienveillance qu'il n'a pas man-
qué de nous témoigner tout au long de mes travaux. Je vou-
1
drais, en lui
rendant hommage, lui exprimer à nouveau, ma
sympathie respectueuse et ma reconnaissance.
1
Je voudrais exprimer à Monsieur CHANU, professeur
à
1
1
1 Uni ''; ers i té
de Par i s VI, qui me fa i t
1 1 ho nneu r de pré s i -
der le jury, toute 11 importance que revêt pour moi sa pré-
sence ; sa connaissance reconnue de la thermodynamique,
1
et nctamment de la convection, me rend particulièrement
1
E

---

1
1
1
sensible à l'appréciation qu'i 1 pourra porter sur ce trava~l.
1
Le montage électrochimique de mesure du transfert de
masse a été réalisé au laboratoire de physique et de mécani-
que des fluides de l'Université de Poitiers dirigé par Mon-
1
sieur le Professeur DUMARGUE que je remercie infiniment pour
le temps qu'il a bien voulu consacrer à ce mémoire en accep-
1
tant d'en être rapporteur.
1
Je suis touché par l'attention et II intérêt que
Monsieur BELLET, professeur à 1 'Institut de Mécanique des
1
Fluides de Toulouse a manifestés pour ce travail; ses sug-
gestions m'ont été précieuses et je lui en suis reconnais-
sant.
1
Monsieur GLOWINSKI, professeur à l'Université
1
de Paris VI et directeur à l'INRIA a contribué à la diffu-
sion des méthodes d'éléments finis en France.
Il m'a con-
1
sei lié et encouragé aux débuts de la mise au point du pro-
gramme informatique par éléments finis. Qu'il trouve, en ces
lignes, le témoignage de ma reconnaissance.
1
Je remercie Monsieur FOUGERES, professeur à l'Uni-
1
versité de Perpignan, d'avoir bien voulu examiner, sous un
angle mathématique, le problème que nous avons traité. Sa
1
participation au jury viendra sans aucun doute enrichir
l'approche des physiciens.
1
Mes camarades de laboratoire pourront trouver dans
ce cadre le témoignage de ma sympathie. Celle-ci va notamment
1
à André CHAMMA dont
les qualités humaines m'ont ému.
1
Madame DAGUENET a corrigé avec une patience et un
souci de concision propres aux grammairiens,
la syntaxe du
1
texte.
J'apprécie particulièrement sa disponibilité et je
1
1

---

voudrais associer ma joie à toute sa famille.
,
Il ya 11 ans, alors étudiant, mon frère Dou::ou
siest privé pour me permettre de venir apprendre ; so~ sou-
ci précoce de l'efficience au service de la promotion de
r
l'homme est remarquable; mes pensées et mon ôttachem2nt
vont à lui.
1
1
1
l
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U N l V E H s r r t : :
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1
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1
LIS T E
DES
PROFESSEURS
1
1
Président : L. THALER
Vices-Présidents : MM. CORRIU, PIETRASANTA et NOUAZE.
1
Doyens honoraires A l'Université des Sciences . t Techniques ~ Lanquedoc
P. MATHIAS
1
B. CHARLES
A.
CASADEVALL
1
Présidents honoraires
P. DUM:>NTET
J.
ROUZAUD
1
Professeurs Honoraires de l'Université des Scienc. . et T.chniqua. du Lanqu.doc
1
R. JACQUES
J. SALVINIEN
J •M. IIJRIT'rI
M. CASTERAS
M. KXJSSEIlON
G, a:xJCBB'1'
1
E. TURRIERE
P. CBATELAI.N
P~D~
C. CAUQUIL
A.K. VERGNOUX
J.P. aotG
G.
DENIzar
E. KAH»Œ
1
J. GIUl.NIER
1
Secrétaire G4néral
E. SIAD
~
Professeurs titulaires :
Î
M.J. AVIAS
.•.••••..•.••..••...•••••.•.••..•..••••,••••••••.•
(;601991•
M. JJ. HOREAU
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
",caniqu. rationnelle
1
M. B. CiARI.E5
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Nathéatiqu•• Pur••
M.
R. JOUTY
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Physique
M.
ft.
LEGENDRE
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Zooloqie
1
li.
1. ASSENMAaŒR
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Physio1oqi. Animale
M.
Ch.
ROUMIEU
••••••••••••••••••••••••••.•••••••••••••••••
AnAlyse Su~ieur.
1
M.
J.
ROB IN
• • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Physique
1

---

1
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B.
l' .. :~'l'ÜU ['1:.'1'
Physiqu€:
H. A. l'v'r Œrt
Chimie Minérale
1
M. R. L.;l-',Jr<T
Physique
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R.
JACQUIER
Olialie
1
M. J. FALGUEI RLTI'l::S
Minéralogie
M. J. REGNIER
Chimie
Mathéma tique.
1
Mme J. CHARLES
M. J. ROUZAUD
O11JD1e·
M. P. CAl LLON
Phydque
1
M.H. CHRISTOL
(E.N.S.C.H.)
............................ O1iJ1l1.
M. H. ANDRILLAT
As uOIlQllli.
Mme G.
VERNET
........................................................ B10l09ie Animale 1
M. L. CECCHI
Physique
M. L. EUZET
ZOOloqi.
1
M. C~ DELOUPY
Phy.1que
M. M. MATTAUER
G601OCJi.
1
M. M. SAVELLI
Phyaique
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M. R. MAR1'Y
................
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P.YChoPhY.ioloqieli
M. A. BONNET
Botanique
M. G. LAMAT"l
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. O1J.ai.
MI!le
S.
ROBIN
.......................................................................... Phy.iqu.
1
M.
R. CORRIU
0WDi.
MIlle N. PARlS
Phy.ioloqie Vêq6t~
M.
J.
ZARZYCKI
Science. de. Ma~ria~
M. M. MAURIN
Qliaie Minéral.
M. L. THALER
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. Pal6cnto1Q9i.
1
M. S. G~MB ..
. 0WDi. Physiq\\MI
M. J.V. ZANCHETTA •••••••••••••
O1iaie G4n'ral.
1
M. P. SABATIER ••
Ma thtllatique.
M. F. SCHUE
............................................................................... Ch.1m1e Orqaniqu.
M.
E.
GROUBERT
................................................................................ Phy.ique
1
M.
Ch. CASTAING .......................... -
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Math....tlqu••
M. M.
RCUZEYRE
..
. Phyaiqu.
1
M. F. P~ST
............................................. G601091.
M. J. PARIS
............................................... 8101091• Ania&l. i
M. A.
G~ENDIECX. •• ,. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Math6aatlqu••
loi • C.
DUFlAN'I'E
........................................... 8hy.lque
Physique
1
M. G. BOUGNOT
M.
G.
LECOY
E.E.A
M.
R.
GAUFRES
Oli.mie
1
1
1

---

1
M.
L.
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':.U.T.)
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E. LA.
1
M.
J.
Lf\\P~~:ET (1. \\.1. T . )
. . . • • • . . • • . . . . . • • . • • . . . . • • . . • • . • • • . . • .
Physlque ~cs~re Phys
M.
11.
A'If. ROUS (1. U . T . )
. . . • . • • . . . . • • • • • • . • . . • . . . • • • . • • • • • • • • . .
Physique GJnle Elect.
1
M.
G.
MAU RY
. • . . . . . - . . . . - . . . . . . • . . • • • • . • . . . • • • • • • . • • • • • . • . . • •.
Chimie
M.
G.
LOUPIAS
. . . . . . • . • • • . • . • • . . . . • • . . • . • . . . • • • • • . • . • • . • • . . • . .
Mathémclo.:iques
1
M.
R.
BEN Al M ( l • 5 . l .)
. . • . • • . . • • • . • • • • . • . • . • . • • • • • • • • • . • • • • . • .
Génie chimique et Tr
ment des eaux
M.
J.
CROUZET
(1.5.1.)
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Biochimie Appliquée
1
M. L. CDT (EN5CM)
...•....•.....••..•...•.••.•...•.•.•...•..•..
Ch1mie
M.
JC CHEFTEL (1.5.1.)
••••••••.•••••••••••••••••••••••••••••••
Biochimie Appliquée
l'Alime:"ltation
1
M. P.
JOUANNA (I.U.T.)
Génie Civil
M.
B. MATHIEU
(1.5.1.)
E.E.A.
1
Professeurs Associés
1
M. M. MICALI
Mathéma tiques
M.
B. BILGER
Physique
1
M.
G. AUBERSON
Mathématiques
1
Professeurs associés d'Université
M.
L.
DAUZIER
.
Physiologie Animale
1
M.
GAI,.ZY
.
Biochimie
M. C. MAURIN
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Biologie Animale
1
M.
R.
5ENOUILLET
..•.....•....••.•••••••••••.•••••.•.......•..
Economie et Gestion
M.
E.
SERVAT
Géologie
1
M.
C. VAOO
•••••.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Biologie Animale
HlDe M• V;>,N CAMPO •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••
Biologie végétale
M.
E.
VERDIER
••.••. , •••••..•••••••••• , •••••••.••••••••.•••.•
Ch1.lIlie
M. F. WINTERNITZ
.............................................................
1
Chimie
Maitre de Conférences
f
M. R. HAKIM
..•....•.•....••••.•.•••.•••...•..••.•.•.•.•......
Mathéma tiques
1
M.
F. IAPSCHER
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.•
Math~atiques
Mlle M.
LEVY (I.U.T.)
.
Chi.lIlie
1
H. J.
LAGARR.IGUE
(I.U.T.)
•••••••••••••••••• '"
••••••••.•••••.•
Biologie Appliquée
M.
CL DROGUE
(1. S. l • )
.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Hydrogéologie
1
M.
P.
GENESTE
(E.N.S.C.M.)
.....•...•...•..•...•.•••..•........
Chimie Physique Ap~
1

---

1
Phy~iol()rJ11! ;~llrn.Jlc
'1.
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Li·mACl
Chimie
1
.~. J. P. FI LLA RD
• . • • . . . . . • . . • • • • • . • • • • • • • • • • . • • • • . • • . • . . ••••
E.E.A.
1
M.' N.
ROBY
.•••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••.•••••••
HathémA tiques
M.
Ph.
JEANTEUR
.••••..•.•.••••••.••.•••••••••••••••••••••••
Biochimie
M.
H. AMAN lE U ( l . S . I • )
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Hydrologie et Maricuitui
M.
A. COMMEYRAS
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Olimie Orqanique
Professeurs sans Chaire
J
H.. G.
'l'OU~
..
Olimie
GéolO9ie
1
M.
J.
REMY
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
MIlle B.
GUASTALLA
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
8iolO9ie PhY8iCO-ch1JlliQI
M..
R..
LEtŒL
..
81010;ie Animale
H. A.
BASS()tŒtIERRE
..
Physique
M..
R.
JONA.RD
..
Botanique
1
H.
R.
CANO (I.U.T.)
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Mesures Physiques
M.. P.. ~LINO
..
Ma thêma tiques
Physlo109ie Animale
1
M.. J.. LEG'RAND
..
M. J.
D' AUZAC
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Phys101oqie Vég'tale
M.
G.
BOUIX
..
ZOoloqie
1
M. M.
DENI ZOT
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
8101og1e Végétale
M.
B. BRtJN
..
Ch1Ja1. Physique
1
M..
L.. GI RAL
..
Ch1m1. Organique
M.
JP QUI GNARD
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Z00loql.
Chi.lllle
1
M..
Ph ..
VI AU...Erotl'I'
..
M. A.
AA.IBAtJ'I'
~
..
Z00loqle
M.. P.. VITSE
.
Ch1D:de' Minér&1e
1
M. J..
GRIMAUD (E .. N .. S .. C .. M)
.
Ch.1Il1e
M.
J. GARCIA
(I.U.T. NlKES)
••••••••••••••••••••••••••••••••
~n1e M'canique
1
M.. P.. Lours
,
.
GêophyaLque Appliquée
H.
Cl.
BOCQUILWN
..
aydroloqle
M.
A. OON'NADIEU
..
Physlque
M.
M.
LEFRNoIC
..
Mathaatiques
M..
G,"
.M.ASC:lERPA
t
..
Oliml.
M..
C..
GOUT
..
Physique
M.
JP.
TRI LLES
(1 . U . T • )
•••••••••••••••••••••••• • • • • • • • • • • • •
Bl01091e App11qu'e
Bio1091e Vfq'ta1e
1
M..
F..
~I..E
.
M . G.
BORDURE
(I.U.T.)
~nie Electrique
M.
JP NOUGIER
Eleçtronique
1
M. M. GODRON
............................................... Ecologie Végétale
1
1

---

1
1
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Y.
l'l:....I'A...::·:.Jt,
(E.N.:;.t'.M.)
. • • . . . . . • . • • . • • . • • . • • . • • • • • • • • .
Cr.;:.J~ r,::: :'j"'C
1
Mi.at.hém.)t~::..JèS ;\\ppll~U'~'~~
Ir,format~~je
M.
M.
VAL,UIER
1
M. JL ROBERT
(IUT NIMES)
•.••••••.•••••••••••..••••.••••••••••
Génie Ele:tr~~ue
M.
'J.
MAISONNEUVE
Mécanique
1
M.
R.
BRUNEL
Physique
M.
M.
CADENE
Physique
1
M. P.
DELORD
Physique
M. A. PAV!A
Chimie
M.
JM BESSIERE
Chimie
M. .JP BARD •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Géoloqie
1
M. P.
BESANCON
( l .5 . l .)
. • . . . . . . . . . • . • . . . . • • . • • . . • . . • . . • . . . . . .
Physiolog:e ~e la. nutri-
tion a.ppl~quée A l'alimen-
tation
1
H. 'l.
NOUAZE
Mathématiq'.Jes
M. J. PETRISSANS
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Chimie
1
M.
:J'l. GAL •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Chimie Ana~y~~que AppliqUE
M. C. BENOIT
Physique
M. B. GIBER!' (1.5.1.)
••••••••••••••••••••••••• , •••••••••••••
Génie Ali~n~aire
1
M. A.
LIEGEOIS
(1. S. l • )
•••••••••••••••••••.••••••.••••••••••
Automa.tiq1.:e
M. B. TJUlOOO DE LA FUENTE
(1. S.!.)
~
Biochimie A?p~iquée et
i
Techniques des Matières
Alimentai:-es.
M. 'l.
ESCOUF.IER
Informatiq'~e
1
H. A.
SANS
•••.••••••••••••••••••••••••••.•••••.••••.•••••••••
Psychophys:ol~gie
H. G.
DURAND
Chimie
1
H.B. FILLIATRE
(1.5.1.)
Informa.ti~~e ~t Gestion
H.
JJ. MACHEIX
Physioloq:e V~gétale
H. P. I:iINZELIN
Génie Civ:":'
1
H. Cl. BOKSENBAlJM
Informatiq.;e
H. G. C~'mON (1.5.1.)
E.E.A
1
H. J. FERRlE (J.S.I.)
Informa ticr~e
M. E. Al<UTOWICZ
Mathématiq,;es
H. Of I:iEBANT
Paléobotan~que
1
M.
J.
LANCEUlT
Géophysique
M.
D. AWERGNE
(1.5.1.)
•••••••••••••••••••••••••••••••••••• ,.
E.E.A
1
H.
B.
LEBLEU
Biochimie
M. C. JOUANIN
Physique
1
M. H.
RIBES
................................................. Olimie
H. JP RCQUE
Olimie
1
11.
JL AUBAQlAC
Chilllie
M.
CL J\\LIBERT
E.E.A
1

---

1
~njll.l
Phys101o']1e
Géologie
.
M.
G .
~YO
••••••••••••••••••.•••••••••••••••••••••••••••••••••
Chimie Org~nique JI
Mesures Physiques.
M.
PH.FOUCOU
(I.U.T.)
• . • • • • • . • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Sciences Economi~s
1
1
1
1
1
1
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
~orn et Prénom
Grade
1
Laboratoire
Disci~line
(S~c:ion 6~ c.s.c.e.)
~. A..'10t.:ROL:X ~larce 1
Professeur
Physique a?pliquée
Eiectro~iqLe,
1
ê:ectrctechniqu~
Mlle BAILLETTE Aimée
Mathématiques
Mathématiqt.:es l
~. BERÇOT Pierre
Synthèse organique
1
Chimie 0rganiq~e, ~inérale et
analytiqc;e
M. BODIOT Daniel
Chimie min0ralé et
Chimie organiq'j-':,
1
:Jin~ralé et
The rmoch i mi e
analvticue
. ~L
Bm''J~RE François
. 0
a
Physique du Solide
PhysiquE at:~i~~~ ~t physique (
1
Solide
:~ . BOt\\NARD 1'11 che 1
Mathématiques
Mathémat:'ques T
1 ~l. BOURGAT Robert
Biologie génêrale
Biologie
M. BRUNET Sylvain
Physique appliquée
Electronique autc:Jatique
1 M. BRUSLE Jacques
Biologie manne
Biologie
M. CHOU Chin Cheng
Mathématiques
1
Mathématiques 1
M. CODOMIER Louis
Botanique
Biologie
M. COMBES Cl
1
;iIId~
f)ioJogi(· ;mim.1l('
Hiulngie:
M. iJAGl![':NEl Mi chcl
d"
Thermodynamique et
Thermodynami"ue d
Snerg~tique
l:.nergét ique
1 Mille DUBOUL-RAZA\\1::T
dO.
Centre Ge Recherche de
Christiane
Géologie Généra~2 et Paléontolu
Sédimentologie Marine
c
1 M. DUPOUY Jacques
dO
Biologie animale
Biologie
M.
FABRE Bernard
dO
Thermodynamique
1
et
Thermody~ami~ue et Energétique
Energétique
r--1.
FOUGERES
1
Alain
dO
Mathématiques
Mathématic;ues 1
M. GIRESSE
Pierre
dO
Cen tre de Recherche de 1
Géologie Générale et Paléontolo~
Sédimentologie
1
Marine
M. GONZALEZ Errananuel
dO
Chimie àes substances
Chimie organ:que, minérale et
naturelles marines
analytique
M. HENRI-ROl!SSEAU
1
dO
Chimie organique
Olivier
Chimie organique, minérale et
analytique
M. HUYNH Van Cong
Prof.associé
Physique appliquée
Electronique,
1
Electrotechnique
alJtomatique.
M. JUPIN Henri
Professeur
Botanique
Biologie
1 M. MARTY Robert
dO
Mathématiques
Mathr:;matiques 1
l

---

1
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fhe rJT;od:~'!~ti!1lj que et
!
Eni!.q:6tique
!'L
PE~Oi\\ Pau 1
Physiologie végétale
Biologie
1
M. SOULIER Jacques
Chimie organique
1
Chimie organique, mi~érale et
analytique
M. SPI~NER Bernard
Chimie minérale et
Chimie minérale
Thermochimie
roI. TESTE Jean
Chimie des substances
!I
Chimie organique, minérale et
naturelles marines
analytique
M. VIALLET Pierre
Professeur
Chimie physique
Chimie physique
1
1
1
1
i
M. AICARDI J.Pierre
Maî tre-
1
Physique du Solide
1
•
Physique atomique et Physique
IAsslstant
Solide
t
i
M. ALCARAZ Claude
1
Physiologie végétale
Biologie
Mme ALQUIER Anne-Marie
Informatique
Mathématiques II
1
1'1. ARNAL Ro 1and
Mathématiques
Mathématiques
Xme ASPART Lorette
Physiologie végétale
M. BARCELO Jean
Physique du Solide
M. BARRIL Christian
Mathématiques
M. BE~ECH Christian
Mathématiques
Mme .BERÇOT Marcelle
Synthèse organique
:-~. BOlRET Michel
Chimie physique
~e BO~NARD Geneviève
l'la th éma t i q ue s
Mme BRUS LE Solange
Biologie marine
M. BUTTI Claude
Physique du Solide
Mme CAG~T Anne-Marie
Botanique
M. CHANMA André
d"
Thermodynamique et
Chimie physique
Energétiq'ue
M. CHAUVET Claude
Biologie marine
Zoologie et Ecologie
1
1

---

1 lo}Ol. COMBAt:T Georges Maître-
Chimie
1
Chimie 0rganiqu~, min~ralp ~t
assistant
analytique
M. CONTOD-CARRERE
Maître-Assist
Mathématiques
Mathématiques 1
1
Carlos
associé
, M. CROZAT Georges Maître~assist Chimie minfrale et Chimie minérale
Thcrmoch imi e
M. DEBlAIS G~or~eS
dO
Physique arpliqu~e
Physique atomique et physiqu~ du
Solide
1 Mme DELSENY Colette
dO
Physique appliquée
Physique atomique e: physique du
Solide
1 M. DEill'fIE
Chimi e physique
Chimie physique
M. EL GHA~DOUR ~agui
Chimie minérale et
Chimie minérale
1
Thermochimie
Mlle FARINES Marie-
Chimie organique
Chimie organique. mi~érale et
Anne
1
analytique
M. FRANCISCO Christian
dO
Chimie des substances
Chimie organique
naturelles marlnes
1 Mme FOU~~IER Annie
Biologi0 animale
Biologie
1 M. FOURNIER Michel
Physique appliquée
Electronique, Electr2technique
automatique
1 M. GONZAl.EZ Al fred
Physique du Solide
Physique du Solide
M. GOT Henri
Sédiment.~t Céoch.Mari Géoiogie générale
Physique du Solide
Physique atomique et physique du
1 M. LEYRIS Jean-Pierre
Solide
1 M. MARRONY Régis
Physique appliquée
Electron. ,Electrotech~ique Automa.
1
M. MARTI
1
Jean
Mathématiques
Mathématiques 1
M. MASSE Georges
Physique du Solide
Physique atomique et ?hysique du
1
Solide
M. NASSI Henri
Biologi~ animale
Biologie
'1 M. OLIVER Guy
B~ologie générale
Biologie
M. PERALBA Jean-Claude
Mathématiques
athématiques 1
1Mme MEYRIERE Michèle
Botanique
iologie
M. PIOVETTI Louis
Chimie des substances
himie organique
1
naturelles marines
M. SERVE Léon
Botanique
iologie
1·
t

---

1
1
~~e SOULIER Renée
Maître-assista t Chimie organique
Chimie organique, minérale et
Il
analytique
:'1.
TESSON Mi chel
dO
Pal éont() 1
Cl'Ill rI·
d<> IÜ'cllt't"che d,:
S~djmeotologie Marinp
M. VAILLANT J.Cla~de 1
dO
Hatht:matiques
Mathématiques l
1
1
M. VIGO Jean
Maî tre-assist.
Chimie physique
Chimie physique
1
1
paléontll~
M. ALOrSI Jean-Claud~
Assistant
Séd1mentologie et Géo-
Géologie Générale et
chimiE' }larines
M. AN '.J;HE LME Bernard
1
dO
Chimie des ~ubstances
1
Biochimie structurale. cellUli
1
naturelles marines
ct métabolique
M. BAPST André
dO
Centre de Recherche
Géologie Gêné,al, et Pa 1êon"lI'
de Sédimpntologie
Marine
M. BALAT Michel
Mathématiques
Mathématiques 1
M. BENET Sauveur
Physique appliquée
Physique atomique et
Solide
1
Mme BERNARD Marie-
Mathématiques
Mathématiques l
Laurence
1
M. CAMPERGUE Daniel
1
1
Thermodynamique et
Thermodynamique et EnergétiqJl
1
Energétique
1
H.. CHARAR Salam
Assistant
Physique appliquée
Physique
1
1
associé
1
1
1
Mme ESTABLET Danièle 1
Assistant
Biologie animale
Biologie
1
1
1
M. GENSOUS Be rnard
Sédi'mentologie
Géologie générale e: paléontollt
i
1
i
N. GIRY Michel
Mathématiques
Mathématiques
1
,
M. MARQUES Aàam
Biologie générale
Biologie
1
1
M. MARTY Alain
Chimie physique
Chimie générale
M. MOLLET Louis
Thermodynamique et
Chimie organique, minérale
Energétique
analytique
M. NGUYEN Duy Thong
Mathématiques
théma tiques r
M. RABINOVrTCH André
Physique appliquée
atomique et Physi~ue 1
M: RASSAT Robert
Assis tant
Math{.matiques
Mathématiques l
1

---

1
UNIVERSITE DE
Pl:. RI' 1Ct\\A.t\\
1
U.E.R. DES SCIENCES HL~INES ET SOCIALES
LISTE DU PERSONNEL ENSEIGNANT
1
(Année Universitaire 1981-1982)
1
LETTRES
1
Nom et Prénom
Grade
Discipline
Observati.
(Section du C.S.C.U.)
1 M. A.."lDIOC René
Professeur
Langues et littératures romanes
~:. AUBAILLY Jean-Claude
Langues et littératures frança:ses
1 M. BROC Numa
dO
Géographie
M. DAUGE Yves
Philologie et littérature anClen~2S
1 M. DELEDALLE G~rard
Philosophie
M. DENJEAN Albert
Langues et litté~atures anglaises
1 M. HUGUET Louis
Langues et littératures allema~jes
et germaniques
1 M. MEYER Jean
ProfesSeur
Sciences historiques
M. ROELENS ,Maurice
Chargé
Langues et littératures frança:ses
1
d'enseignement
M. BER.'JADACH ~loïse
Maître-assistant
Langues et littératures romanes
1 M. BECAT Jean
Maître-assistant
Géographie
M.' BERTRAND Marc
1
Langues et li t'tératures frança:ses
M.
BRE TE L Pau 1
Langues pt littériltures frança:ses
1 M. CARMIG~J\\NI Paul
Langues et 1 i ttér.1Lures ang:aises
M. CHASTANIER Francis
Langues et littératures fra:-,çé:ses
1 M. DARMAU~ Jacques
Langues et littératures alle:né::d<::s
M. DESCAHPS Cyr
Sciences historiques
1 M. DOUESSIN René
Géographie
M. DUSSOL Etienne
Langues et littératures françé:ses
M. ESSON Jt'an
1
Langues et littératures anglaises
Mm~ FABRE Cl:wdine
Géographie
1
l,
1

---

1
1
M. FERRIECX Robert
Mai tre-assistant
Linguistique et phon~tique
M.
FOSSE Jean
Linguistique et phonétique
1
M. GEGOT Jean
dO
Sciences historiques
M. HOLZ Jean-Marc
Géographie
1
M.
ISSOREL Jacques
Langues et littératures romanes
M. JAPPY Anthony
1
Langues et littératures anRlaises
M. KAMINKER Jean-Pierre
Linguistique et phonétique
1
M. LADIE~ Michel
Langues et littératures anglaises
M. LASPERAS Jean-Michel
Langues et iittératures roma~es
1
M. LA1~ERJAT Roger
Langues et littératures françaises
M. LEBLO~ Bernard
Langues et littératures romanes
1
M. LEYGLt: Jean
Philologie et littérature anciennes
Mlle Alice HARCET-JU~COSA,
1
Sciences historiques
M.
PPJI;ABIERi: Loui s
Langues et littératures romane~
1
M.
MEY~\\S Daniel
Langues et littératures roma:1es
M. PEEL Colin
dO
Langues et littératures anglaises
1
M. PRADALIE F. Hem i
Sciences historiques
1
Mme RE THORE Joëlle
Langues et littératures anglaises
1
Mrrie ROUSSELLE Aline
Sciences historiques
1
M. SAGNES Jean
Sciences historiques
x. SEBERAC Jean
Langues et littératures françaises
1
~. THOMAS Joël
Philologie et littératures ancienne
M. TIBl Pierre
d'
Langues et littératures anglaises
1
1
1
M. BERNARDO Dominique
Assistant
Langues et littératures anglaises
~l. BURZLAFF I-Jerner
Langues et littératures allemandes
et germaniques
1
1
1

---

1M, CALVET r.arc
Géog::aph:e
1M. PAVAGEAtl Jean
Sociologie
1
1Mlle ANDERSON Pauline
Lecteur
Langues et littératures ar.glaises
1Mme BERCHENKO Adriana
dO
Langues et littératures romanes
M. BERCHENKO Pablo
dO
Langues et littératures ro:nanes
1M. CHAFFIE Mark
dO
Langues et littératures ar.slaises
M. QUE SADA Eduardo
dO
l
Langues et littératures rC::lanes
Mlle ROSS Antonia
Lecteur
Langues et littératures ar.glaises
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1·
1

---

1
l '\\ 1\\'[;{S 1';1, Dt:
PF RP l G:-....;\\
l'.L!e
urs SCIENCES Hl'~.Al~F:S ET SOCIAi.r..S
1
LISTE DU PERSONNEL ENSEIG~ANT
1
(Année universitaire 1982-1983)
DROIT ET SCIENCES ECONOMIQUES
1
Discipline
!"om et Prénoin
Grade
observal·-
(Section du C.S.C.U.)
M. CONSTA.~S Louis
Prof esseur
Droit public
1
....
CARBASSE JE:an-Marie
dO
.,.
Histoire du Droit
~L CE~TI Jear.-Pierre
dO
Sciences économiques
1
"
..... LOPEZ Jean-Rodolphe
dO
~; . RUDLOFF Marcel
dO
Sciences économiques
1
:-L SERRA Yves
Professeur
Droit privé
1
1
,~
HENRY Jean-Pierre
Maître-assistant
Droit public
M. ARTZ Jean-Fr ançoi s
dO
Droit privé
1
!-1. BARATE Cl aude
dO
Droit public
"\\
... BOlJGES Philippe
Maître-assistant
Droit romain et Histoire des
1
Institutions
1
t-:: BOURRA Marcel
Charg{> de conférences
Sciences économiques
1
RIERA Georges
Chargé de conférences
Droit public
1
l'ille DUPUY Joë lle
t-Iaî t re-ass i stan t
Droit privé
1
~L'Tle Gl UtAN M. Hélène
dO
Sciences économiques
1
P..
PRALUS Michel
dO
Droit privé
M. SOLANS Henri
dO
Sciences économiques
1
r-:. VILAR Charles
dO
Droit privé
M. VLACHOS Georges
,1 t1aî tre-assistant
Droit public
1
1
M,. MOL-To. G Pt KC.I~
t\\o.::tt ~ l\\-\\.l..i!o\\. ~ l:/
1

---

1
Assistant
inllit
prlVt-
1 M. CA~ILLERI Gérard
Assistant
Droit public
1 M. DEGAGE Alain
Droit romain et Histoire des
Institutions
1 ~~e DONAT Jacqueline
Assistant
Droit privé
1 M. GALlAY Claude
Droit public
1 Mlle GINESTE Hélêne
Droit public
1 Mme HENRY née GOL~EY-GELLY Hélène
Droit privé
M. MALAFOSSE Roger
Sciences éconorr~ques
1 M. l'lAURY Jean-l'i(;rre
dO
nroit public
1 M. PHILIPPE Bernard
Sciences économiques
1 M. ROUYER-HAMERAY Bernard
Assistant
Droit public
1
1
1
1
1
1
1
1
1
[

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
1
TABLE
DES
MATIERES
1
1
INTRODUCTION
1
1
1 0
PAR':'IE
Théorie générale de la convection thermique.
5
1
Chapitre l
.
Les principes fondamentaux de la convectio~ t~ermique
1
I. Méthodologie fondamentale
6
II.Définition mécanique du problème
7
IIIHypothèses fondamentales implicites
8
1
IV.Principes générateurs des équations différentie~les
9
1
IV .a.
Invariabilité de la masse
9
IV .b. Le principe des puissances virtuel~es
10
1
IV .c. Le 1er principe de la Thermodynami~ue
12
V. Lois de comportement ou équations d'état consti~ut~ves.
12
1
V .a.
Le comportement rhéologique
13
V .a.l. Le comportement newtonien
13
1
V .a.2.
Le comportement non· newtonien ost·....al'3.ien
14
V.b.
Le comportement thermodynamique C'j équation
1
d'état
15
V.b.l.
Variation de la masse volumique.
16
1
V.b.2.
Loi de Fourier
17
VI. Hypothèses simplificatrices.
18
1
VI. a.
La liaison incompressibilité
VT. b.
La liaison viscosité
19
1
VI. c.
L'hypothèse de Boussinesq
19
VI. d.
Dissipation visqueuse négligeable
19
1
VI.
e.
Inexistence de source de chaleur
19
1..
I,~c....,

---

1
1
J
1
CHAPITRE II
Formulation différentielle des équations de la convection
~e~ique.
1
I. Les équations modr'lisant la conver.tion thermique 1.:Jminaire
1
IT.Les conditions limites associées.
1
CHAPITRE II
Les hypothèses de la couche.limite et leur invalidité à
l'intérieur du diëdre.
1
1
r
PARTIE
Application de la méthode des éléments finis à l'étude de la
convection thermique.
1
1
CHAPITRE l
Théorie générale des éléments finis
1
28
l
. Historique de la méthode
II. Méthodologie générale
1
31
III.La méthode des résidus pondérés.
IV. Choix de la fonction de pondération
1
IV.a. La méthode par collocation
1
IV.b. La méthode des moments
IV.c. La méthode de Galerta,in
IV.d. La méthode "upwinding"
1
IV.e. La méthode des moindres carrés avec contrôle
optimal
1
V. Les fonctions de forme
des éléments
1
V;a. Cas où le nombre de Prandtl est faible
1
V.b. Cas où le nombre de Prandtl est élevé
T../ • :::: •
Utilisation d'éléments
"prïsmes- tria:lgulaires"
57
1

---

1
1
1
CHAPITRE II
Mise en oeuvre de la méthode de Galerkin pour
1
l'ana lyse de la convection thermique "ewtonie:-.ne.
60
1
1. Maillage du domaine fluide
60
II.La méthode de pénalisation
64
1
III.Transformation des équations différent:elles en
équations alg~briques.
64
1
IV. Introduction des conditions-limites de
t:~e
70
Dirichlet.
1
V. Résolution du système d'équations
72
VI.Cas du di~dre non rectangulaire.
74
1
1
3° PARTIE
Etude expérimentale et analyse de l'ensemble des résulta~s.
79
1
CHAPITRE 1. Etude expérimentale
80
80
1. Principe
1
I.a. Similitude entre convections naturel~es thermique
1
et massique.
80
I.b. Principe de la méthode
83
1
II. La méthode
85
1
II.a.
La technique électrochimi~Je
85
II.b. Le dispositif expérimental
35
1
CHAPITRE II. Analyse des résultats.
90
1
1. Résultats des mesures électrochimiques
91
1
I.a. Présentation
91
Lb. Analyse
91
1·
1

---

1
1
1
II Sur le contrôle optimal de l'incompressibilité et de la
1
convergence dans la méthode de Galerkin
1
II.a. ContrOle de la continuit~
II.a.l. Faibles valeurs du ~ombre de ~raJl~
II.a;2. Grandes valeurs ju ~o~bre de ~ranot
1
II.b. Satisfaction des conditions limites
II.b.l. Faibles valeurs du nombre de prallt
II.b.2. Grandes valeurs du nomore de Prandt
1
II.C. Vitesse de convergence en fonctio~ èe U
1
II.d. Influence de la taille des éléments.
1
III- Sur l'effet de cheminée à l'intérieur du dièdre.
l
III.a. Cas de la convection naturelle pure
III.b. Cas de la convection mixte
l
IV. Comparaison des résultats obtenus par la méthode de Galer1lt
avec ceux établis expérimentalement.
l
CONCLUSION
CONCLUSION GENERALE
POSTFACE
Ce que je crois.
1
1
1
1

---

1
1
1
1
ANNEXES .
Page
1
Annexe
143
I.
Opérateur auto-adjoint
1
Annexe 2
Les principes directeurs de la loi fondarr.entale de
144
la dynamique
1
Annexe 3
Calcul des dérivées des fonctions je ponè~ra~ion en
variables globales.
145
1
Annexe 4
Calculs liés à l'usage des éléments semi-:nfinis et
1
infinis.
149
1
Annexe 5
Calcul des composantes adimensionnelles c~nt~ava-
153
riantes du vecteur ..
g
suivant les axes liés au dièdre.
1
Annexe 6
Intégration numérique des matrices éléme~~aires
158
1
Annexe 7
Calcul de l'échange de chaleur
159
1
Annexe 8
Autre méthode de calcul du gradier.~ de te~pérature
à
la paroi.
164
1
Annexe 9
Indications sur la structure du progra~~e élaboré.
166
1
Annexe 10
Tableau des résultats obtenus par la rr.ét~ode électro-
chimique.
19l
1
INDEX BIBLIOGRAPHIQUE.
217
1
1
1
1

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
-1-
1
1
INTRODUCTION
Dans un milieu fluide F occupant le volumen de frontière r,
1
des molècules peuvent transporter de la chaleur en se déplaçant d'~n
point à un autre. Avec le rayonnement et la conduction,
la convect:on
thermique, qui désigne un tel phénomène quand les effets mécaniques
1
et thermiques sont
intimement
li~s, constitue l'un des modes fondé~e~êaux
1
du
transfert
de
l a
chaleur
son
étude
requiert
la
connaissance,
à
la fois des lois de la dynamique des fluides et de la transmission
de la chaleur. C'est ainsi que née au cours du XIXe siècle,
de cet~e
exigence,
la
thermodynamique
transcende
parfaitement
la
mécanique
1
des milieux continus et la thermocinétique en conjuguant leurs lois
respectives. On peut remarquer, cependant,
que ce qui était alors
1
un champ nouveau pour la science n'a pas bénéficié véritablement
des progrès enregistrés par exemple, en physique atomique et moléculaire
1
au début du XXe siècle; en témoignent la survivance du concept subjectif
de
la chaleur
(môme si
l'on connait l'équivalent mécanique de la colorie),
l0
r:aractèrc
r:ontiOlI (:ncor!,
attribu( au fluide qui équivaut implicit':!ment
1
:1 une considération :;t:ltistique préalable, ou encore la thermodynamique
statistique.
1
1
Comme il est difficile et dans la plupart des cas sans intérêt pratique
d'indexer les molécules
tout en mesurant leur énergie cinétique,
l'usage
du formalisme lagrangien pour étudier la convection thermique est
1
exclue. Celle-ci est dite forcée lorsque le mouvement est dû à des
efforts
appliqués
sur
la
périphérie r du domaine,
naturelle
si
les
1
efforts
p,éné ra teurs
nu
mouvement
sont
volumiques,
gravitationnels
en l'occurcnr.e
; elJ(~ (~S~. dit .. mixte lorsque les efforts périphériques
1
c' L vn l Ulll iques ,;on t
imp()s(~s si mu l tantmen t.
La
cons idératjon
de
toute
énergie
thermique,
depuis
la
source
1
jusqu'au système d'utilisation en passant par le circuit véhiculaire
de
la
chaleur
recueillie,
pose,
en
général,
le
problème
fondamental
1
du fluide caloporteur et de l'échangeur thermique.
1

---

1
1
-2-
1
1
C'est
ainsi
que,
depuis
la découverte
des
propr~~tés dyn~mlques
de
la vapeur d'eau constituant l'un des fé.tits annoncia-:eurs de l'itJdustrir:'1
nécessité a
été admise de bien comprendre, puis d'opti~iser le fonction-
nement
des
échangeurs
de
chaleur
dont
le
mur
d'une
habi tatior,
ou
encore
la
peau
humaine
constituent
des
exemples
t:"iviaux.
Il
s'agit
1
alors d'un problème de convection thermique dit exte:"ne car la surface
d'échange est plongée dans un fluide
(ici l'air) qu~ s'étend à l'i~fini.
Les
premières
études
réalisées
dans
le
cadre
simple
ct' un écl-.angeur
1
1
plan
permirent
de
dégager
qualitativement
des
ncticns
importantes
la
laminarité ou la turbulence de l'écoulemen-:.
:ssu généralement de
l'observation directe,
le concept fructueux de la ccuc~e-limite :n-:ro-
duit
par
Prandtl
en
1904
autorisa
la
simplifica::ior.
des
éqL:aLêlnS
1
modélisant la convection forcée dans le cas de frontières
et de cOi,traintes
périphériques
simples,
les
résultats
obtenus
éta~t
Jalables
assez
1
loin du "bord-d'attaque".
Sc~midt
En
convection naturelle,
depuis
les travaux de
et 3ec%man [2J11
effect~és
le
long d'une plaque plane,
il est apparu que pour des nc~bres
de Grashoff élevés,
l'écoulement est de "type couche-lir:ite" et .'..es
1
équa'::ions simplifiables comme dans
le cas de la "cO\\..:che-limi te f'Jrcée" 1
leurs
solutions
asymptOtiques étant du type
"perturtat:.on singui iÈre" [3] 1
des
équations
de
Navier-Stokes.
Pour
les
problèmes
ç'~ la fro:-.tlÈre r
est
compatible
avec
la
théorie
de
la
couche-limite.
:es
méthodes de
préà iction
courante par
le
calcul
sont
la transfor-ma-:ion
affi r.e:;ui
1
requiert d'une part pourr, une géométrie et des con-:ralotes pér~phériques
limitées
• d'autre part.
des
propriétés physiques d'..:
f:.:Jide
égaler.:'2nt
1
limi":ées
les
méthodes
de
perturbation
[5]
pour
:es
écouleme:-.ts
,amlnaires
et
la
méthode
intégrale
valable
en
régime
laminaire
et en
régi~e turbulent dans certaines conditions [2~
1
1
Il existe des cas où la frontière r a une courbure ne variant pas ré-
gulièrement ; c'est ainsi qu'à l'intérieur d'un dièdre au voisinage de l'arê-1
te centrale,
les couches limites qui se développent le long de chaque plan
ne peuvent être indépendantes en raison de la continuité du fluide.
1
Dans une telle région que Kemp [7] a suggéré d'appeler "région-limite"
par
rapport à la"couche-limite",
les hypothèses de la "couche-limite" ne sont
1

---

1
-3-
1
1
plus valables et il est alors nécessaire
d'utiliser ~ne techni~~e
numéri-
1
que pour analyser la convection thermique.
La difficulté d'étuè:e~ théorique-
ment cette région explique sans doute le très petit nombre de t~a~aux
1
relatifs à ce sujet. Seule l'étude expérimentale de Looman et S:henk [27]
permet de noter la présence d'un effet dit "de cheminée" qui se '11ê.;üfeste
1
par l'existence,
le long de la diagonale principale,
j'~~ poin~
~~.~ ~li0'
la variation de la composante horizontale de la vitesse y mê.~q~~ ~~e inflexion
et la composante ascensionnelle y prend une valeur maxi~ale. Cc~ment prend
1
naissance cet effet? Accélère-t-il l'apparition de la ~urbule~:e ?
Dans quelle mesure affecte-t-il le champ de température, donc ~~ ~ransfert
1
de chaleur à la paroi? Comment est-il modifié en présence à'U~~ ,'itesse
imposée en amont du plan d'attaque ?
Telles sont les questions ~rincipales
1
auxquelles nous tentons de répondre.
A cette fin,
nous entrepre~ons :
· dans la première partie, de rappeler les principes fonèamentaux de
1
la convection thermique. Constitués d'un ensemble de lois phys~~ues éprouvées
et de quelques hypothèses issues en général de l'observation d~~ecte, ils
1
permettent d'établir un système d'équations différencielles où :hamp de
vitesse et champ de température sont couplés et pour lesquelles les simpli-
1
fications classiques de la couche-limite ne sont pas applicabl~s.
· dans la deuxième partie d'établir le formalisme mathém~ti~ue relatif
1
à l'application de la méthode des élé'11ents finis à l'étude èe ~a :onvection
thermique newtonienne
après un exposé de la "théorie général~ èes éléments
finis",
nous mettons en oeuvre la méthode classique de ~alerki~ en l'adap-
1
tant à ce problème. Devant l'inexistence, à notre co~naissar,ce. è'un logiciel
permettant de résoudre les équations différentielles tridimens:o~nelles cou-
plées établies dans la première partie, nous avons traèuit :e :or~alisme ma-
1
thématique en construisant un programme informatique de portée générale.
1
· dans la troisième partie, d'analyser nos résultats thé~rlques et de
les vérifier expérimentalement dans le cas particulier de la c~nvection mas-
1
sique naturelle, à l'aide d'une méthode électrochimique.
1
1·
1

---

1
-4-
1
1
1
Nous rejetons, dans les annexes 1 à la, des compléments de mat~ér.~tique
et les tableaux reproduisant les résultats expérimentaux afin je ~e pas
1
alourdir le texte.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
-5-
1
1
1
1
1
1
1
1
PREMIERE PARTIE
1
RAPPEL DE LA THEORIE GENERALE DE LA CONVECTION THERMIQù~
1
1
1
1
1
1
1
1
1·
1

---

1
1
-6-
1
1
CHAPITRE I.
1
LES PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
1
I- METHODOLOGIE FONDAMENTALE.
1
En physique, mod~liser un phénomène
revient à établir des é~~ations
Il
différentielles traduisant, en général, une loi physique éprouvée ou u~ principe
variationnel naturel par lequel on minimise une fonctionnelle.
1
Lorsqu'il existe un principe variationnel, on peut retrouver ?ar le
théorème d'Euler - Lagrange les équations différentielles et observer ainsi
1
l'équivalence des deux formulations~e processus inverse n'est possible}quant
à lui,que dans le cas où l'opérateur associé à l'équation différentie::e est
adjoint (anr.exe 1).
En convection thermique, il n'existe pas de principe variatic~nel na-
1
turel général, mais les équations différentielles traduisant les échar.ges de
chaleur et d'impulsion peuvent toujours être établies en formulant localement
1
certaines lois physiques valables dans tout l'espace occupé par le :l~ide comme
le principe d'invariabilité de la masse
1
1
le cinquième des principes directeurs de la loi fondamentale
de la dynamique (annexe 2) ou le principe des puissances virtuelles.
. le premier principe de la thermodynamique associé ~ la loi
de Four~r,aux relations décrivant l'état rhéologique et thermodynami~~e du
1
fluide.
1
Ces trois principes engendrent trois équations appelées respectivement
équation de continuité, de Navier-Stokes
et de conservation de l'énergie (ou
1
de diffusion de la chaleur). Ce système global d'équations doit être résolu pour
~
déterminer les champs vectoriel
1
V (M , t) et scalaire T (M, t)
i l convient
donc de l'établir avec clarté en mettant bien en évidence les hypothèses impli-
cites qui le conditionnent.
1

---

1
-7-
1
1
II- DEFINITION MECANIQUE DU PROBLEME.
1
Soit le milieu fluide matériel
occupant à l'instant t
le ~ùmaine
~
de frontière
r
dont une partie
r-r est constituée de la surface
1
de l'échangeur, et tel que par définition
Si. = -n ur.
1
Ce milieu subit des efforts
extérieurs
de type volumique notamment et de densité vector~elle f
1
définie et continue sur
fi.
1
...
-+
-
f
f
~
}
...
E
-
R3
3
1
f
....
m
E: ~
)
f
(m)
-+
1
f est égal à
1
p =p( T (m), P (m)
1
-'t
. sur faciques
définis sur
r
de densité superficielle F telle
que
-+
- t
r
F
3
F
E
R
1
.....
3
M'
E:
r
F
F(M')
1
..
En convection naturelle thermique, F équivaut à la pression exercée Far le fluide
1
sur la paroi
r
en vertu de la loi de l'action et de la réactio~.
p
1
. întérieurs
définis en tout point M de
et permettant de prendre
en compte l'action mécanique de contact d'un élément fluide a sur son voisin b.
....
Ces efforts
or 1 de type surfac ique, te 1 s que :
1
~
~
T
M
E:C(.C~
T(M)
dépendent uniquement de M et de la normale ~
extérieure à a en M; ils traduisent
1
1·
t

---

1
-8-
1
1
au niveau microscopique les interactions atomiques ou la contrainte inté~ieure
explicitée par des fonctions à valeur tensorielle.
1
1
111- HYPOTHESES FONDAMENTALES IMPLICITES
1
La représentation eulérienne (choisie à cause de la vitesse de dé-
formation élevée du fluide) du mouvement du fluide considéré comme cc~t~nu re-
1
pose sUr les hypothèses fondamentales suivantes :
1
1- Il existe une fonction P "placement" ou "position" définie sur fi.
et tel que
1
P
P
E
A
P
(À.)
M
(x &J
1.
1
La fonction P associé ainsi,
lors du mouvement du milieu fluide
A
à chaque particule
À~ et à chaque instant l , une position M apoar-
1
3
tenant à l'espace de configuration R
et repérée par ses coordonnées x~, i=1,2,3'
11
2- L,a fonction P doit être c'l (A) (une fonction f f.,A.) est
cn
A)
si elle est continue et dérivable jusqu'à l'ordre n dans
:.)
1
.
~n outre}on doit avoir
en effetJsi le volume
~
oc =upé par le
)
milieu fluide est tel que
1
Sl =JJId"& d X2 d X } =fffd-=dÀ':"=~:'--""~=-"~---~~dXl. d>.".d ÀJ
=fJJ
)
1
1;~ 1 J)" d XL d À"
le jacobien de la transformation doit être non nul: deux particules fluides ne
1
3
peuvent occuper la même position dans l'espace R .
1
1
1

---

1
-9-
1
1
1
3- On se limite à la continuité au 1er ordre du milieu fluide
le
-
1
champ de vitesse
V
(m)
est C
( TI")
" C
ri ).
1
1
IV- PRINCIPES GENERATEURS DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
1
IV-a- Invariabilité de la masse
c'est le premier des principes directeurs constituant les lois fonda~er.~ales de
1
la dynamique
(annexe 2).
1
1
Si
tJ
est la masse du fluide
A occupant r1 et
~1
(
) 1)) L )
~ 3) )
l
d
"
d
1«
,..
,
l
d \\
d
\\
d
\\
du mil ;eu
a
ens~te
e
a mesure-masse par rapport a a mesure
A
1
A 2
A
~
3
1
fluide(dont la masse spécifique
r (T (m), P (m)) est appelée abusive::Je:-.~ masse
volumique),alors on peut écrire
1
D(>'-1'\\2 À~) d",l. J)l,l.Jj.~
D( )(1.. )(2 X. '»
1
1
1
ce qui entraine
1
OX "
avec J =
--'-~
1 0;1, j
1
et en exprimant l'invariabilité de la masse quel que soit le temps
( df'l =O):il
dt
vient
1
d)(~
d J
J
~
~---fo
- t
~ r-. + li
d
dt
dt
J
(p div V + V gradp ) =
1
En effet
dJ
-4
1·
J
div V
dt
1

---

1
-10-
1
1
1
Il en résulte l'équation de conservation de la masse appelée souvent
équation de continuité
1
-.
(Llo)
div
(p V )
o
1
IV- b- Le principe des puissances virtuelles
1
Souvent considéré par certains mécaniciens comme plus fond~e~tal que
la loi fondamentale de la dynamique attachée au nom de Newton,
i l cc~s~itue un
moyen d'établir les équations de la dynamique des milieux continus. Avec les
1
définitions adoptées au paragraphe précédent,
i l s'énonce ainsi
:
1
La puissance galiléenne P
de tous les efforts
(extérieurs et intérieurs)
g
appliqués à J l est égale à la puissance des quanti tés d' accélératio:-. PCL pour
~
1
un champ de vitesse virtuelle V admissible - ce qui se traduit par la ~elation
(L2.)
avec
1
Pext et Pint étant les puissances extérieure et intérieure.
1
et =Il(M). V(t'i) dn + jFCM') •V(11')dr
1
r ·
~ =Lr (rl) ~( M) • V(1) dn
-.n.
1
e.~ J;:j \\11) "j,l'M) dn =f1j ll1) e;j ,M) dn.
1
Exprimer une puissance revient ainsi à mettre en dualité l'espace
vectoriel des efforts et celui des vitesses. Par rapport au système ~'axes choisill
les E>ij représentent les
composantes
du tenseur de Cauchy
et sont liés au
vecteur contrainte -
T
défini au paragraphe II de ce même chapitre pa= la relationll
6ij "j = Ti
dans un repère orthonormé
6"j j doit être cl (fi")
1
1
1

---

1
-11-
1
1
-?
'6 et
sont respectivement l'accélération et une compcsa~te du
eij
tenseur des vitesses de déformation.
1
1
En appliquant la relation de Green et la relation
div
(m A ) = m div '--
-.
A + A grad m
1
à l'expression de la puissance des efforts intérieurs, celle-ci dev:e~~
1
1
En ade~ettant la frontière r
régulière,
la relation 1.2. donne :i~~lement
1
1
..
1
En prenant successivement un vecteur V nul partout sauf da;.s ~n élément
d
~
qui ne touche pas r
,puis situé contre
r
et d'épaisseur négligeable
par rapport à d r
on observe que dans le premier cas,
l'intégrale je volume du
premier membre se réduit à la contribution du seul élément d!l
. Elle est nulle
1
car le deuxième terme dispara1t ; dans le deuxième cas, elle est né=ligeable et
nulle à la limite
par rapport à l'intéqrale sur
r
qui se réduit 3. :a contri-
1
bution de l'élément d r .
1
On obtient ainsi les équations
(1.3.)
et
(1.4.)
qui const:~u~nt ensemble
les équations de la dynamique des milieux continus du 1er ordre, va:ab:es loca-
1
lement, l'équation
(1.4.)
exprimant les conditions aux limites dyna~:q~es.
1
(1.3.)
f (r1) ~ i. (M) = 6'jj,j (M) -t f; ( M )
(1.4.)
ÔiJCM)Oj(M')= FjC,.,')
1
En appliquant l'égalité des moments dans la relation
(A.2.-~)}on démon-
1
tre la symétr ie du tenseur
"f}.
( cr i j =' cr j i ).
1·
1

---

1
-12-
1
1
1
IV -c- Le 1er principe de la thermodynamique
1
Etabli par JOULE, il exprime sous forme globale
que la varia~ion de
l'énergie totale (énergie cinétique Ec + énergie interne U) du milieu :luide
1
est égale à la somme des travaux de tous les efforts extérieurs (R) et de
l'énergie calorifique (Q) échangée. Il se traduit par la relation :
1
(1:,15)
~ (t,- + U) = VI+ Q
Ec
1/2!rV(r1).VCM) dn
1
U
=
Irt. dSL
1
rc...
-.
!r
T
)
FCM
Fcn'). '1<.",1)
R
).V(I1)dil
dr
=
1
Q
Jf
=
C cl I l
+ f9 ri'(11') d r
1
é
, c,
1
q correspondent respectivement à l'énergie interne massique, la
production de la chaleur massique et le flux de chaleur traversant la frontière.
Compte tenu de (I.3.), l'égalité (I.S.)
implique la relation:
1
(I.6.)
1
qui constitue l'équation de conservation de l'énergie quelques fois appelée
équation de diffusion de la chaleur.
1
1
1
V. LOIS DE COMPORTEMENT OU EQUATIONS 0 'ETAT CONSTITUTIVES
1
Les relations (r.1.),
(I.3.)
(I.4.) et (I.6.) constituent ensemble les
équations fondamentales de la thermodynamique des milieux continus, mais dans
1
1

---

1
-13-
1
1
le traitement des problèmes de génie thermique comme en convection the~ique en
l'occurence, il convient d'expliciter ces équations en foncti~n des var~ables
1
~
principales de champ que sont les vitesses V (m)
, la température T (m)
et
accessoirement la pression P (m)
. Les lois de comportementlrhéologique, thermo-
1
dynamique et la loi de Fourie~ permettent d' opérer les transformations néces-
saires
qui sont d'autant plus impérieuses qu'il nous est difficile de saisir
directement les contraintes internes, l'énergie interne ou encore le fl~x de
1
chaleur .
1
V-a- Loi de comportement rhéologique
Il s'agit de traduire en une relation quantitative la résistance du
1
fluide au glissement et à la déformation engendrés par une sollicitation dans
des conditions précises. Ce comportement dépend de la nature ?hysico.c~imique
1
du fluide mais également de la température et des efforts appliqués (8]. Cela
équivaut donc à établir l'expression du tenseur des contraintes
-
-
-cr t~éorique-
ment à partir de la théorie cinétique de la viscosité comme Eyring l'a =ait
1
(9J ou à la suite de corrélations expérimentales. Le comportement peut aller
de l'élasticité parfaite à la viscosité pure. La loi de comportement rhéologique
1
~ une forme générale tensorielle reliant le tenseur des contraintes ~ au
tenseur
~ vitesse de déformation et à leurs dérivées successives, car son
1
expression doit être indépendante des axes orthonormés choisis, dans l'~ypo­
thèse du fluide homogène et isotrope. La forme générale est :
1
....
-+
-=t
= -P
l
+ V
avec
1
p = pression hydrostatique
::;
l = tenseur de
Kronecker
::t
1
V = tenseur des efforts de viscosité à valeurs nulles dans un ~ouvement
sans déformation.
1
V-a-l. Le comportement newtonien
1
::t
Il est caractérisé par une variation linéaire du tenseur
V en fonction
1
de la vitesse de déformation :
1·
1

---

1
-14-
1
1
-
~
.
(1.7.)
V
+ 2 ~
Q,
1
Il
On donne couramment une autre définition du comportement newtonien d'un
fluide en se plaçant dans l'hypothèse de l'écoulement en cisaillement simple, la-1
minaire et incompressible; en réalité, c'est une conséquence de la définition
(1.7.)
; en effet, dans ce cas les Tenseurs
--cr et --..e n'ont chacun que 2
composantes non nulles symétriques telles que le module de la contrainte de
cisaillement
t;
soit donné par l'égalité:
42.
1
(1.8.)
1:.-12. =
t V~,l
1
considérée abusivement comme une définition du comportement newtonien
•
1
la
invariant du tenseur
Il
jtet >. - la et 20 coefficients de viscosité, le 2 0 n'ayant pas de si-
1
gnification dans le cas du fluide incompressible. La viscosité
dynamique ~
ne dépend que de la température T.
1
Beaucoup de fluides véri fie nt les lois linéaires (1.7.) et (I. 8. ). Ce
sont tous les gaz et certains liquides de masse moléculaire faible (eau, gly-
cér ine etc •... )
1
1
Va - 2- Le comportement non-newtonien Ostwaldien
1
1
Tous les liquides qui ne satisfo~t pas à la relation (1.7) sont dits
non-newtoniens et sont, en général, divisés en deux groupes: les "visco~lasti­
ques" et les "viscoinélastiques".
1
1
1
1

---

1
-15-
1
1
Parmi les diverses expressions proposées pour la fonction f da~s la
relation
1
-~
v =
+
e
) e
III
1
-
.-
.
ellet el II étant les 2 0
et 3 0
invariants du tenseur e
1
celle d'Ostwald -
de Waele1empirique, présente l'avantage de la simplic~té
1
et de l'adéquation aux études théoriques;
elle a également une portée géné-
rale et ne fait intervenir que les deux paramètres rhéologiques Ket n :
la
1
consistance et l'indice de comportement 9 La fonction f,
quant à elle,a pour
expression :
1
n-1-
f
2K
{
2 trace
2
En cisaillement pur et incompressible, la contrainte a une fo~e en
loi de puissance
n
(
)
l,u.= K
V1 ,2
Cette loi a
l'inconvénient d'être inapplicable dans les domaines où
les fluidespseudo~lastiquesont des comportements newtoniens limités [s.1. Il
existe beaucoup de fluides couramment employés dans les processus de co~version
thermique
obéissant à ce type de comportement; ce sont, en général, des solutions
aqueuses de hauts polymères
organiques.
il
Vb- Loi de comportement thermodynamique ou équation d'état
\\1
i,
Elle permet d'exprimer l'énergie interne massique du fluide
(E )
en fonction des variables intensives thermodynamiques comme la température,
la
i,
pression et les chaleurs spécifiques à volume ou à pression constante.
La
dérivée particulaire de l'énergie interne dans l'équation
(1.6)
donne ainsi
!I
!I.
l,
1

---

1
-16-
1
1
~
~
1
[ - P + T (li )
] div V + Cv DT
Dt
1
D t
f'
~T
A
1
pression constante, cette relation devient
(1.9)
DE
P
div
+ C
DT
1
p Dt
Dt
f'
1
Dans les cas de convection thermique où les gradients thermi~~es sont
1
élevés, la variation de la masse volumique peut être importante et non linéaire.
Celle-ci est une variable dépendante au même titre que la vitesse, la pression,
la température et il s'avère alors nécessaire de considérer une autre équation
dite d'état, liant les variables intensives P,T,p
et caractérisant l'état PhYSi~
co-chimique d'une phase pure à l'équilibre.
V-b.l. Variation de la masse volumique
1
Si le fluide est assimilable à un gaz parfait, on utilise la relation
de BOYLE MARIOTTE :
1
R = constante des gaz
(1.10)
k T
avec
k = RMo
parfaits
Mo
1
= masse moléculaire
Il
qui est une limite vers laquelle tend, aux faibles pressions, l'équation d'état
des gaz réels. Ceux-ci, aux pressions moyennes peuvent être représentés par les
équations :
Il
.du Viriel -
(1.11)
PIf'
AT + BP + CP 2+
1
avec
A
R
=
Mo .
1
B et C _ 2° et 3° coefficients du Viriel dépendant uniquement de la température.
1
De Van Der W~s -(1.12)
(P ... Oor 2 ) t Molr- b) :RT
1
1
1

---

1
-17-
1
;Jue de consfdérations théoriques, elle représente assez bien l'ensemble du
1
réseau d'isothermes d'un fluide.
1
a f 2
~"pression interne": c'est la pression qui rêgne loin
des parois limitant le fluide.
1
b
:
"
le
.
covolume
i l représente le volume limite occupé par
les molécules dans l'hypothèse d'une compression qui les
1
amênerait en contact.
1
• De Daniel Berthelot -
(T.13)
(p + a ~
(!:h- b')
R T
T
P
~~ améliore l'équation de Van Der Waals dans la mesure où la température inter-
1
~nt dans l'expression de la pression interne. a' et b' sont des fonctions de
:a température, de la pression et du volume molaires critiques.
1
1
Une considération à la fois mathématique et thermodynamique amène à dé-
velopper
f
en série de Taylor autour de la température T C'O
et de la pression
1
?oo du fluide non pertubé
: il en résulte la relation générale
1
1
1
',,-;ore
(I.14)
"r
L )
.......
1
JT n
T:Too
('> et ~ étant les coefficients de compressibilité isobare et isotherme.
1
v.B-2- Loi de Fourier
1
Dans un milieu fluide,
les couches possêdent chacune une énergie interne
proportionnelle à l'énergie cinétique des molécules les composant:
le gradient
1
I~
1

---

1
-18-
1
~e température observable entre deux couches fluides centrées en deux points M et M' Il
,:.~vient de l'écart d'énergie cinétique moyenne entre les molécules accumulées
;r de ces deux points. Cela engendre alors un transfertdénergie cinétique
1
>3.':-
collision entre molécules, que nous appelons flux de chaleur, au profit de
-,lles à plus basse énergie cinétique. Ce processus d'échange dit conduction
thermique est à la base de tous les échanges de chaleur. c'est la relation fon-
1
damentale de Fourier qui le régit
celle-ci s'écrit de manière générale :
1
_
=t ~
. ',5)
9 = k grad T
1
~
q étant le vecteur-densité de flux de chaleur et k le tenseur de conductivité
1
d'anisotropie thermique de 20 ordre. La plupart des fluides présentant des
::t
~aractéri~tiques~d'homogénértéet d'isotropie, le tenseur k devient alors sphé-
'~e (k =ko 1)
et se réduit au coefficient scalaire de conductivité ther-
1
,\\'2
k égal
à k
•
o
1
- HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES
1
Parmi elles, un certain nombre provient des liaisons: intrinsèques
ii
la nature nu fluide.
1
VI a- La liaison "incompressibilité"
1
Les gaz se distinquent radicalement des liquides par une plus ?ra~de
~ressib~lité mesurée par le coefficient de compressibilité isotherme )C
1
-4
-1
Pour les liquides J A varie peu avec la pression
10
at m
) alors
1
')our un gaz considéré cotnme parfait, y. =_,_1_
Dans tous les cas, 1'hypoth~se
p.
"i~compre~~ibilité
implique
1
-t
(1.-16)
div y = 0
: 1.14)
se
réduit
éqalement en première approximation linéaire à
1
(LI7)
1
1
1

---

1
-19-
1
VI. b. La liaison "viscosité"
1
SUr la partie
r de r constituée par la paroi solide, la visco-
p
1
sité du fluide se traduit par l'adhérence des particules à celle-ci
et entraîne}
au plan mathématique, une réduction du nombre de degré de liberté du pr2blème;
cette dernière est liée à la nullité de la vitesse V tout le long de
r p , dans
1
un repère fixe lié à celui-ci.
1
VI-c- L'hypothèse de Boussinesq
Elle revient à
supposer
les grandeurs physiques
)4, k , C~ cons-
1
tantes, leurs valeurs étant celles prises à la température de référe~ce T~ •
Parmi les propriétés physiques, seule la masse volumique varie alors sü~vant la
1
relation (I.17).
1
~, k , C représentent respectivement la viscosité dynamique, la
p
conductivité thermique et la chaleur massique à pression constante.
1
VI- d- La dissipation visqueuse est négligeable
1
Cette hypothèse est admissible lorsque, comme l'a montré Gebbhart
dans [10] et (11), le rapport gB Z
est très petit devant 1 ; Z étant 2.a
C
1
p
coordonnée d'espace tangentielle à la paroi
rp et relative à la èirection
principale de l'écoulement.
1
VI-e- Absence de source de chaleur
1
Dans l'équation (I. 6), la production de chaleur massique c est :-mlle
et l'apport calorifique dans S2. est réalisé uniquement sur la périphéri= rr
1
coïncidant avec la partie de la plaque ou du dièdre soumise à un flux d~nné
ou à une température constante.
1
1
1
1·
1

---

1
-20-
1
1
CHAPITRE II
1
FORMULATION DIFFERENTIELLE DES EQUATIONS DE LA CONVECTION THERMIQUE.
1
1
I- LES EQUATIONS MODELISANT LA CONVECTION THERMIQUE LAMINAIRE
Compte tenu des hypothèses précédemment observées, les équations
1
(Ll.) 1
(L3.),
(L4.) et les lois de comportement (L7.)
(L1S.) et (1.17)
engendrent le système d'équations suivant pour un comportement newtonien du
fluide
,
dans un référentiel cartésien orthonormé,
_... "
. ~ .'",,,
1
(( .'.
p,:"..- ': ,_ .. i J,'
1
(L1S)
1
(Ll9)
V j Vi' .+ 1
Pd 'i +
Sg i
(T-T GO ) -
\\)
Vi' .. - 0
J - -
JJ
P'ClO
k
1
(L 20)
VjT,
T'jj = 0
j - ~Cp
1
avec i,j
1,2,3 dans le cas tridimensionnel du diêdre et i,j = 1,2 dan1l
le cas de la plaque plane, Yétant la viscosité cinématique égale à
ulpoo'
et1
P dIa pression cinématique calculable à partir des pressions statiques et hydro-
statique.
1
Les équations (I.lS),
(I.l9) et (I.20) sont appelées respectivement:
équations de continuité, de Navier-Stokes et de l'énergie (ou de la chaleur).
On peut réduire les paramètres etlës variables thermophysiques impliqués dans
1
le processus de convection thermique en rendant adimensionnel
le système d'é-
quations précédent.
1
1
1
1

---

1
-21-
1
1
Appliqué pour la première fois par Nusselt (18) en convectio~ natu-
relle, ce principe fait apparaltre les groupes de paramètres adimensicnnels que
1
sont,en convection mixte, les nombres de Grashoff
(Gr), de Prandtl (Pr) et de
Reynolds (Re)
, en posant :
1
..
(1. 21.a)
x t =x \\.
IL
(T - T 00) 1 T
- T
1
P
CIO
:t
~
où Vo est pris
égal
à
en convection naturelle ; Vi
et
x i sont
les vitesses et coordonnée
dimensionnelles; L une longueur de référer.ce égale
1
à celle de l'arête du dièdre.
1
On obtient le système d'équations suivant
1
o
1
1
o
1
avec
Pl" _A Cp
1
Re='k L
y
- k
1
Tp est la température fixée sur la frontièref p' Si sur
rp le flux de chaleur
est imposé à q 1 ' alors la température adimensionnelle
e et par suite, le nombre
1
de Grashoff peuvent être définis comme suit:
(T.24.)
k {T - T oc
g6
q1
1
8
et
Gr = -------.,0----
ql
L
k Y~
1
1

---

1
-22-
1
1
II- LES CONDITIONS AUX LIMITES ASSOCIEES
1
a- Les
conditions aux limites cinématiques
1
Lors de la mise en oeuvre des méthodes analytiques, l'équation (I.4.)
n'est pas utilisée comme condition
aux limites car elle permet d'imposer la
1
charge appliquée sur une partie de la frontière r et cette force est ~ulle, en
général, ou inconnue en convection thermique .
1
Par contre, les vitesses du fluide sont fixées:
1
• à l'infini loin de
f p
..
1
Avec W composante ascensionnelle du vecteur vitesse V égale à 0 et
à 1 en convection mixte.
1
· Le long de
rp et sur toute la surface de l'échangeur, en raison
1
de la viscosité, la vitesse ~ est nulle (si la paroi rp est immobile) .
-9
1
· à l'infini, en amont de l'écoulement, la vitesse V peut être imposée
à 0
;
en convection mixte, celle-ci, réduite à sa composante ascensio~nelle
vaut 1.
1
b- Les conditions aux limites thermiques
1
• à l'infini loin de
f p, la température e est nulle.
· Le long de fp,
e (ou le flux de chaleur adimensionnel) es~ ~ixé à
1
• à l'infini, en amont de l'écoulement,e
(ou le flux de chaleur) peut
être fixé à O.
1
1
1
1

---

1
-23-
1
1
CHAPITRE III
1
1
LES HYPOTHESES DE LA COUCHE-LIMITE ET LEUR INVALIDITE A L'INTERIEUR JU ~IEDRE
1
Issues de considérations physiques et introduites en 1904 ~~ ?randtl )
les hypothèses de la couche-limite
(C.L.) ont permis de simplifier, =a~s le cas
1
de la convection forcée pure
newtonienne, l'équation de Navier-Stokes,
aux
grandes valeurs du nombre de Reynolds. L'épaisseur de la couche-limi~e ~ynamique
1
ad doit être très petite par rapport à toute longueur caractérist:q~e (L)
de la frontière
r du domaine fluide. L'équation approchée de la C.L. constitue
1
alors une approximation d'ordre 0 dans une série d'approximations
dont les solutions sont de type "perturbation singulière d'ordre sUFér::..eur".
1
En convection naturelle le long d'une plaque plane, Schmid~ e~ Beck-
mann [2] ont également observé que l'écoulement se produit dans une ~é~ion ad-
1
jacente à la plaque dont l'épaisseur e& d est très petite par rappor"': à
la lon-
gueur de la plaque. A l'intérieur de cette C.L.,les valeurs des composantes des
~
1
gradients des champs
vectoriel
(V)
et scalaires
(T et P)
dans la èirection
tangentielle à la plaque sont faibles. L'omission des termes corresp::mdants
dans les sytêmes d'équations
(1.2 2
11.23)
revient ainsi à observer les
hypothèses de la C.L.
en convection naturelle. Plusieurs études théc~i~ùes
1
[12]
[13], [14], [15] ont été menées pour des frontières
r
dif:érerltes,
sur la base de ces hypothèses, valables uniquement aux grandes valet:~s ~u
1
nombre de Grashoff.
1
Les solutions obtenues représentent là aussi des approxima~::"o~s d'ordre
o des solutions asymptotiques des équations de Navier-Stokes, de co~~i~uité et
1
de l'énergie. Dans le cadre de ces approximations, le système d'équa~i~ns (1.21.)
(1.22.)
et
(1.23.) pourra toujours être résolu numériquement ou quel~es fois
1
analytiquement:
1
1-
1

---

1
-24-
1
1
1
• En recherchant une solution affine ou un développement en série de
solutions affines ou en séparant les variables lorsqu'il existe une similarité
1
dont l'existence dépend des propriétés physiques du fluide, de la forme de r
et des conditions qui y sont imposées. C'est une méthode "locale" car la so-
lution en un point
M(
x,y~z) ne nécessite pas la connaissance de la solution
1
en un autre point (4]
(19).
1
• Par la méthode d'intégration de Karman - Pohlausen. Il est alors né-
cessaire, dans ce cas, de supposer que les épaisseurs des couches-limites dy-
1
namique et thermique sont égales (4).
1
Cependant
, même si
dd est très petit par rapport à L, l'approxi-
mation de la C.L. n'est pas valable n'importe où dans le domaine fluide. Il en
1
est ainsi: d'une part, au bord d'attaque de l'écoulement où l'épaisseur de
la C.L. croit très rapidement; d'autre part, au point de décollement qui cor-
respond aux décélération et augmentation de pression simultanées ; il en est
1
1
de même à l'intérieur d'un dièdre près de l'arête principale où la courbure est
infinie, les C.L. se développant sur chaque plan sont nécessairement interactives,
tendant ainsi à accroître leurs épaisseurs.
1
De manière générale, les parties de n où, d'une part, la courbure
de la frontière r est très élevée et
où,d'autre part, elle varie irrégu-
lièrement, sont appelées "régions-limites" par opposition
1
à la couche-limite
conventionnelle [6J.
1
L'étude de la convection forcée turbulente a été menée par Eichel-
Brenner (21), t22J, selon une méthode de calcul globale de la couche-limite
1
basée sur une équation de quantité de mouvement du type Von-Karman ; elle a
conduit à une expression explicite de l'épaisseur de la couche-limite.
1
L'étude théorique de la convection forcée pure à l'intérieur d'un
1
dièdre rectangulaire a été réalisée pour la première fois par Carrier [24).
1
1

---

1
1
-25-
1
Celui-ci a recherché analytiquement les solutions des champs de vitesse et de pressic
1
en forme de séries de coordonnées adimensionnalisées obtenues en transformant
les coordonnées de Prandtl ; cependant, la solution qu'il a ottenue e~ ~tilisant
1
une fonction pour définir 3 vitesses ne satisfait pas l'enserr~le des é~ations
de Navier-Stokes: les résultats bien qu'incomplets permetten~ d'observer des
1
iso-vitesses principales à allure hyperbolique. Dans une étude approc~ée de la
convection forcée laminaire à l'intérieur d'un dièdre d'ouver~ure ~ =
~
n
Sowerby et Cooke (20) [26} , en utilisant l'hypothèse de Rayleigh [2~
1
dans un système de coordonnées cylindriques, ont déterminé le coeffic~e~t de
frottement à la paroi et l'épaisseur de la région-limite où l'effet d~ coin est
1
significatif; cette épaisseur est la distance comptée à partir de l'arête du
~
dièdre au point où le coefficient
de frottement est égal à
1% près ~ celui
1
calculé dans le cas de la plaque plane. Elle croît lorsque la valeur de
~
diminue par rapport à la valeur 2 n .
1
A notre connaissanceJaucune analyse de la convection mixte n'a encore
été réalisée
et l~ seule étude traitant de la convection thermique naturelle
1
est expérimentale ; elle a été effectuée par Lewen, Looman et Schenk C27} qui
ont obtenu des résultats épars . Le champ de vitesses mesurées à deux hauteurs
1
permet cependant de conclure à l'existence d'un effet de cheminée qui appara!t
déjà en-dessous du bord d'attaque:
il existe près de l'arête du dièdre droit
une zone de vitesse verticale maximum située dans le plan diaGonal du dièdre
1
où les vitesses horizontales de tous les points sont dirigées vers le point à
vitesse verticale la plus élevée; par ailleurs, les mesures montrent que le
1
coefficient d'échange de chaleur
(loin de l'arête du dièdre)
égal à cel~i de
la plaque plane, décroît lorsqu'on s'approche de l'arête du dièdre.; coutes
1
les mesures ayant été effectuées pour un nombre de Grashoff éGal env~ron à
8
10
et à deux côtés , dès lors appara1t le caractère limité de ces résultats.
Qualitativement, ils sont semblables à ceux obtenus plus tard par Mallison et
1
Davis (28} en convection thermique naturelle à l'intérieur d'~ne bo1ce.
1
Ainsi, à l'intérêt de principe qui a suscité notre é~ude
s'ajoutent
des motivations d'ordre pratique:
1
. répondre à la question suivante: comment l'effet de cheminée va-t-il
modifier les conditions dans lesquelles la turbulence apparatt par rapport au cas
1-
de la plaque plane ?
1

---

1
-26-
1
1
. établir des corrélations donnant l'intensité de l'échange moyen
global (nombre de Musselt moyen global) en fonction des grandeurs thermo-
1
physiques (nombre de Rayleigh).
1
A cette fin, une analyse de la convection thermique newtonienne par
la méthode des éléments finis est développée sur le plan théorique dans la
1
partie qui suit .
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
-27-
1
1
1
1
1
1
l,
DEUXIEME
PARTIE
1
APPLICATION DE LA METHODE DES ELEMENTS FINIS A L'ETUDE DE LA
1
CONVECTION THERMIQUE.
1
1
1
1
1
1
1
1
1·
1

---

1
-28-
1
1
1
CHAPITRE
l
1
THEORIE GENERALE DES ELEMENTS FINIS
1
I- HISTORIQUE DE LA METHODE
1
1
Sous la forme mathématique unitaire et élaborée qu'elle revêt actuel-
lement, la méthode est, en réalité, l'aboutissement de deux approches voisines
qui se sont conjuguées: celle de l'ingénieur et celle du mathématicien. En
1
effet, pour analyser le comportement des structures élastiques, les ingénieurs
ont été amenés très tôt à décomposer le système structural complexe en un nombre 1
fini de parties ; l'étude simplifiée de chacune de celles-ci, puis la reconsti-
tution de l'ensemble à partir du comport~ent de ses éléments définissent le
1
processus de discrétisation couramment employé dans d'autres domaines{ 29).
De leur côté, dans l'étude des milieux continus, les mathématiciens ont été a-
menés à chercfter des méthodes de résolution approchée des équations différen-
1
tielles modélisant localement le comportement thermodynamique du milieu continu. 1
Cette démarche a donné naissance à des procédés par discrétisation
maintenant
parfaitement connus comme les différences finies et les résidus pondérés ou encore
la minimisation d'une fonctionnelle.
1
Il semble que le concept d'''élément fini" fut introduit pour la pre-
1
mière fois par Clough [23} en établissant une analogie directe entre les parties
ou éléments d'un milieu continu, d'une part)et les parties ou éléme~ts de la
Il
structure discrétisée, d'autre part. Par la suite, les approches analogique et
mathématique se sont fécondées pour générer la méthode des éléments finis qu'on
peut considérer sous sa forme actuelle comme une technique générale pour dis-
1
crétiser les problèmes de milieux continus traduits suivant un formalisme ma-
thématique. Que l'on ait à résoudre un système d'équations différer.tielles ou
à chercher
le minimum d' une fonctionnelle, l'idée de base
revient à trouver
,...
1
la solution approchée
Vi (M)
,9 (M)
et P (M»)SOUS la forme des combinaisons
linéaires suivantes :
1
1

---

1
-29-
i
n
[C~C1ofat(M)
(11.1)
V;(M)
CIl=:1.
,....
n
(II.2)
e (M)= [ qd, te( (M)
«:1.
(II.3)
P (M)
...
ou I, .1!.
appelés fonctions de forme, d'interpolation o~ :~nctions-
,...
J,
J
,...
tests sont choisis de telle sorte que V ,
9
p
et
soient bie~ :es solutions
l
approchées des équations différentielles ou celles minimisant la fc~c~ionnelle.
Les coefficients
C j j'
9j et P j' sont, en réalité, comme 0:1 le ver-ra par la
suite,
identifiables aux valeurs des inconnues aux noeuds de jonct:~~s des élé-
1
ments. Ce pas décisif fut franchi grâce aux contributions d'Argyris,
~artin et
Clough (3j) , [45}. Si
('3t)
désigne le vecteur des solutions approcné-:!s, les
relations
(II .1.)
(II. 2.)
et
(II. 3.) donnent :
1
~
...TH
Il
r-
V,CM)= L Yci.i ~Q(.( r1)
Vi lM)
Q=j.
,..
x
ê CM)
8(M)=[ eo(i~(r'\\)
(II. 4)
pen)
"'=<1.
1.
r-
P( M)= l: Pal 't'~ (M)
~1.
i.
01. désigne le numéro d'un noeud dans
r2
et
NTN le nombre total de noeuds dans
1
Il
La relation
(11.4.)
définit la valeur des inconnues â
l'i~téYieur du
domaine global
52.
1
\\,
II- METHODOLOGIE GENERALE
1.
Soit un fluide
fi. évoluant en convection mixte ou naturelle dans un
domaine
r2
de frontière
r
; les équations différentielles (1.21.) (1.22.) et
0.23.) qui régissent cet écoulement peuvent, en général, être mises ssus la forme
matricielle suivante
•1
(ILS.)
L (X)
X + F
o
dans r2
1
(11.6.)
B
(X)
+ T
o
le long
de
r
1I~
III

---

1
i
1
En convection thermique
X est en
1
réalité, dans un système de coordonnées cartésiennes, le vecteur des variables
U,V, W,
e auxquelles on joint éventuellement la pression P. Les opérateurs L
(non linéaire) ~t B engendrent donc un ensemble d'équations différentielles
1
simul tanées
de
la forme :
1
dans
i,= 1,5
1
et le long de
r, l'équation (11.6.) pourra, elle aussi, éclater en u~ nombre
égal à celui des variables imposées.
1
La première étape pour mettre en oeuvre la méthode consiste à formuler
l'approximation cherchée comme il l'a été établi en (11.4.)
, les fonctions de
1
forme ~
étant définies localement pour chacun des éléments
Sle en lesquels
Q doit être subdivisé. Dans le cas de la convection le long d'une plaque Planlll
verticale, le domaine
Q
peut être subdivisé comme l'indique la figure 2.1.
Il
Ensuite,on substitue, dans les équations différentielles initiales,aux
inconnues
X
les valeurs approchées
X (définies précédemment par l'inter-
médiaire des fonctions de forme), pour obtenir des équations différentielles
approchées. Grâce à la méthode des résidus pondérés que l'on examinera au cha-
1
pitre suivant, les équations différentielles approchées deviennent des formes
intégrales du type
1
'1
k = 1
avec
m = 11
l k et b m
sont des opéra~eurs dérivant des opérateurl L et B et de la substit·1
tion de la forme approchée X
à
l'inconnue X ; ils peuvent être considérés comme
des fonctions et doivent alors être intégrables.
1
Il est fondamental d'utiliser la forme intégrale dans la L~éorie des
1
éléments finis parce que l'on peut naturellement considérer l'approximation dans
le domaine fluide Q entier comme la résultante des approximations réalisées
1
dans tous les éléments de volume dne . Cette phase
d' assemblage élément par
1
1

---

1
-31-
1
1
élément est importante et elle se traduit par l'égalité suivante
1
1
J
(rU.)
1.(;') XdSl. + fPrmex) d r =I (Ji.a.) dSl.. +Jfrm li) dre)
e:=:~
1
qui engendre alors toujours un système d'équations algébriques de la :c=me
1
(11.8. )
s X + F
o
1
où la matrice globale S
des coefficients est obtenue en sommant les contri-
butions SC.>
de tous les éléments de la manière suivante
1
NTE
HTE
ce)
(e)
L
S ..
F~ -=- [
F:
~J
e =1
e:-1..
1
NTE étant le nombre total d'éléments contenus dans
~
Comme l'cpé=~teur
L
du système
(11.5.)
est non-linéaire, l'équation algébrique
(11.8)
se=~)elle aussi,
1
non-linéaire et non-symétrique.
«
..
La troisième étape consiste à introduire les conditions-limites de
1
Dirichlet et à résoudre l'équation
(11.8.) par une des nombreuses mé':hcdes exis-
tantes dont l'une des plus utilisées pour le traitement des équations ~on-linéaires
1
est celle de Newton-Raphson.
1
1
111- LA METHODE DES RESIDUS PONDERES
Les deux principales méthodes pouvant conduire à la formula~iç~ inté-
1
grale approchée
(11.7.)
sont l'approche variationnelle qui y rn~ne direc~ernent [30J
et la méthode des résidus pondérés (38). En mécanique des structures, il existe
1
différents principes variationnels comme ceux du minimum de l'énergie ~otentielle
totale ou de l'énergie complémentaire [34) qui sont, en réalité, des cas parti-
1
culiers du principe
des puissances virtuelles.
Il correspond alors,en ?énéral,
à la fonctionnelle à minimiser un sens physique qui
justifie le nom de "principe
variationnel naturel" qu'on attribue à ces ~inimisations. Les travaux èe Mikhlin,
1

---

1
-32-
1
1
Oden et Finalyson [35J
,
[36],
(37) ont montré pour la convection thermique
en général, l'inexistence de "principes variationnels naturels".
1
La méthode des résidus pondérés regroupe plusieurs méthodes courantes
1
approchées de résolution des équations différentielles dont celles qui ne sont
ni linéaires, ni auto-adjointes, ces caractéristiques faisant la supériorité de
cette ~éthode par rapport à la méthode variationnelle.
1
Si l'on considére le problème tel qu'il est formulé par l'équation
~
1
(11.7.), en substituant le vecteur
(X)
(contenant les solutions approcr.ées)
à
l'inconuue (X) du 1er membre, on n'obtient pas 0 au 2° membre, mais une va-
1
leur c qui sera d'autant plus faible que l'approximation (II.4.) sera bonne.
On a ainsi
1
(II.9)
L -
oJ
...,
(a)
E: (b)
E:
(X) + F + B (X) + T =
(X)
E:
(X)
+
1
E:
(a)et
E:
(b) représentant respectivement les résidus de l'équation
différentielle dans
fl et de celle relative à la frontièrer.
J
Dans l'approximation (II.7.)
, plus grand sera NTE, plus
E:
sera proche
de 0 et la solution
exacte Sera obtenue lorsque
E:
sera nul. En vue de dé-
1
terminer de meilleures solutionsJon s'impose de minimiser l'intégrale des ré-
sidus
portant. entièrement sur le domaine
f i
ce qui se traduit par la re-
1
lation :
1
minimum.
1
Il est possible, en outre, de se rapprocher davantage de la solution
exacte en associant une fonction dite de pondération W ( x,y,z) à la fonction
-
résidu
é(X), et en minimisant leur produit de la manière suivante, en nota-
1
tian matricielle :
1
1
1
1

---

1
-33-
1
1
(IL10.)
1 l; b --
E: a
(}()
dn + W E. (X) d r = 0
1
r
En fait, cela revient à imposer à la moyenne de l'erreur
é
commise
1
dans le domaine global
!l, la valeur zéro. L'expression (II.l0) rep~ésente ainsi
l'intégrale pondérée de ces résidus, d'où le nom consacré de méthode des rési-
dus pondérés ; elle peut être également considérée comme une ?rojectic~ ortho-
1
gonale des espaces
!k)
k = 1,2,3 dont les éléments sont :es résijus sur
l'espace E engendré par les fonctions de pondération W adéquates, ou e~core
1
comme un produit scalaire des
ECk)
avec les W.
-
1
Dans la relation (II.l0.), W représente la fonction de pon~ération
définie sur la frontière
rdu domaine.
1
Si; l'on reconsidère les équations différentielles de la conveçtion mixte
(I.21.)
(1.22.)
et I.23) du fluide newtonien on a, dans une f~rmulaLon expri-
1
mée en termes de la vitesse, de la pression et de la températ~re :
1
CA)
,.-
(II.l1)
t
:: Yj.j
1
(I1.12)
l~) = V 'ft
j
j + ~ i. - (i.j ~e ) Y~)jj
(I1.13)
l~> =: ~ e,j - -1.!( Re ft.) e, jj
1
1
On verra,au chapitre II, l'intérêt que présente l'usage d'u~e formulation
exprimée uniquement en termes de la vitesse et de la températ~re aveç élimination
de la pression. Pour déterminer l'espace vectoriel auquel appa~tient la fonction
1
de pondération W, on construit la projection orthogonale
l K = <t'A» ~) :t. de
chacun des 3 espaces résiduels sur le sous-espace des fonctio~s F encendré par
1
les fonctions de pondération W. Le produit scalaire obtenu doit donner un in-
variant spatial. Ainsi, pour l'équation résiduelle de continuité,
la fonction
1
adéquate F est-elle nécessairement la pression , car on a bien :
1
~ La notation < f,g >équivaut à intégrer da~s !l le produit fg.
1

---

1
-34-
1
1
loS.
<
~1) )P> qui est invariant.
1
1
Pour l'équation de Navier-Stokes, la fonction F sera la cc=?csante Vi
de la vitesse car :
1
< é~2.) y.
12 -
L )
t.)
est invariant spatialement, alors ~~e pour
l'équation de conservation de l'énergie,la fonction sera la tempéra~~re.
1
1
IV - CHOIX
DE LA FONCTION DE PONDERATION
1
En réalité,
les équations différentielles
(II.ll) , (II.12)
et
(II.13)
1
sont satisfaites en tout point de
S1, dès que les intégrales
l k
sont iden-
tiquement nulles. Les fonctions W doivent être telles que les intéç~ales I
soient
k
calculanles
c'est à dire à valeur finie et unique.
1
Le choix de la fonction W conduit à quatre méthodes courar.~es. Ce sont 1
autant de formes.que prend la méthode des éléments finis par pondération du ré-
sidu (38]. Grandall [39J
les a unifiées ~o'~s la terminologie de métr.::de des ré-
sidus pondérés, bien antérieure à la méthode des éléments finis.
Or. distingue
1
fréquemment :
1
IV-a- La méthode par collocation
1
Dans la collocation par points, Méthode due à Frazer, Johr.es et Skan
(40), les fonctions de pondération W sont les fonctions
ê de Dirac définies
1
aux points j
(choisis dans le domaine S1
) tels que :
,
(
l.
1.
W·(x.·) = ôCx.· -x.)
1
J
J
J
1
1
1

---

1
-35-
1
1
avec les propriétés suivantes
1
...
..
Wj = 0
x.
ll. •
J
1
JWj dSl = 1.
t
\\.
Jé'R) (xj )
tek) (
W· ()(.) d fl..
i. )
)(.
J
J
1
J
1-
2
)( =~
'IC.
='1
1
1
Celles-ci équivalent à l'annulation du résidu aux N ?oints :hoisis, et
il apparatt que la dernière intégration n'est pas effectiv~, autorisan~ ainsi,
1
l'usage d'une fonction W non.définie à valeur unique. Lors~ue la val~u~ de N
croit, le résidu
E.(~J
s'annule en des points de plus e:-; plus nor.':::r~ux et
tend vers 0 à travers tout le domaine
Q
1
Il
existe également la collocation dite par sc~s·domaines, introduite
par Biezeno et Koch [41]
et qui revient à choisir W tel ~e :
1
si x
x,y,z,
)
n·
1
W·
J
J
si x
12·J
Dans ce cas,
le résidu
1
est annulé en rr.~yenne êa~s chacun des
sous-domaines
n j' L'augmentation de leur nombre N entra1ne la sa~~s~action des
(k)
équations différentielles correspondant "lU résidu
E
er. chaC::'J"= ?cint du
1
domaine global
n . Dans la méthode par collocation, le ;~~clème c~::~~ue est
le choix des points de la collocation. Collatz (44)
a prc;osé un~ \\':':,~.:.ante de
1
cette méthode en prenant comme équation différentielle celle obte~u,,= p~r diffé-
rentiation de l'équation différentielle initiale.
1
1
IV-b- La méthode des moments
Elle revient à choisir la fonction de pondératior ians u~
ensemble de
1
2
n
fonctions linéairement indépendantes comme la base
, x
, ••••.•• , x
} ,
I~
1

---

1
-36-
1
1
dans le cas monodimensionnel. Lo~squ'on réalise l'approximation d'ordre 1, la
11
fonction de pondération est égale à 1; on retrouve alors la forme caractéristique
de la collocation par sous-domaine, et la méthode est appelée méthode i~tégrale
1
ou méthode de Karman - Pohlausen ; le résidu
E(k)est alors minimisé à
l'inté-
rieur du domaine choisi.
1
Dans les applications directes de la méthode des éléments finis,
les méthodes par collocation et celle des moments ont été jusqu'à maintenant
i
peu utilisées alors que les àeux voies suivantes
(la méthode de Galerki~ et
celle des moindres carrés)
l'ont été plus souvent, notamment pour résoudre les
1
équations de Navier-Stokes (42]
,
(45,],
C46J, [47J, (48).
1
IV- c -
La méthode de Galerkin
1
Introduite en 1915 (381
ùans l'étude des équilibres des corps solides
élastiques, elle s'est généralisée puis, elle est devenue la forme la plus
1
utilisée de la méthode des éléments finis, dans l'analyse des problèmes de con-
vection.
Il s'agit ici de choisir comme fonction de pondération W, les fonctions
d'approximation ~
qui constituent un ensemble fini et sont linéairement in-
1
àépendantes. Pour que la solution approchée
-
(X)
se rapproche de la solution exac-
te (X)
, il est nécessaire que les
t Cl )
tendent vers 0 et soient même iden-
Il
tiquement nuls ; comme ils doivent ëtre continus, cela revient à exiger que cha-
1
C'..lD
des
/k) soit orthogonal à toutes les fonctions; j, j = l •••• l'tTN j HTI'1
é~ant le nombre total de points de connexion des éléments dont le domaine
fi
est
composé. Ainsi,à partir de
(II.I0),
l'équation intégrale pondérée devient-elle
1
ch.>
J
J
(11.14.)
(lt)
.t
(II)
. - -
l j:;'
f
~ j d Q:: E
lX)! j ( lC I,/,l.) d n=:O
1
ou encore
1
111.15)
1
1
1

---

1
-37-
1
1
A ce stade, on peut noter que seule a été mise e~ oeuvre la procédure
des résidus pondérés
la technique des éléments finis,
qu~ :~i est ~c3térieure,
1
consiste véritablement à utiliser à la place des fonctions-tests ~ j
(X'l'Z)
définies globalement sur l'ensemble du domaine ~
,des fc~c:ion ~
~
r N
n,;
(
1
1
définies localement à l'intérieur de chaque élément
(ou par ~orceaux ou e~core
par sous domaine
~e), et prenant la valeur 6
au noeud N je l'élément;
les
N
variables
E;,) n J ~
étant les coordonnées locales normées.
1
En développant
(11.15)
, on aboutit à
1 système è'é~uations algébriques
1
où les Xi.
sont les valeurs approchées des inconnues aux r.::e·~js Q,. E:1 çuise
( le)
d'exemple,
si l'on prend pour résidu €
J celui
défini par
II.13.)
, on ob-
1
tient en explicitant l'équation
(11.15.)
par substitution aux champs de vitesse
~
V et de température61es formes approchées définies par
(I=.~.), mais :oca-
lement cette fois-ci
:
1
1
l'iTE
ce)
( ""/
,(~)
(11.16)
Vi
L Vi
-
[Yrl~
1
e=1.
l'4TE
!fiS
1
(11.17)
9
' [
S(Il)
[ eH ~~e)
1l=-1
~;;1
1
Avec N = 1, .... r et r
étant le nombre total de nce~js d'ur. é:ément.
inconnus peuvent ainsi être:clr:sidérés cemme la
1
Les champs Vi (M)
résultante des contribu:ions de chacun des NTE éléments cc~pcsant
la dé-
fillitio~ des inconnues localement à l' in<:érieur èe l'éléme:-.:
1
r
noeuds de jonction engendre évidemment l'équa<:ion éléme~:a~re :
1
= 0
'1
1
1-
1

---

1
1
-38-
1
et l'équation globale
(II.14.)devient
1
wrC
fl"")le) _ 0
1
Q. =-i.
avec:
1
r""" =flVj B.j - 1 j(R. P,) a'Jj) t. dn. o
i
o
1
Pour que l'intégrale l
(3) (e)soit calculable, on a vu que ~a :onction
1
de pondération doit être finie;
il appara1t maintenant au regard d~ 2= terme de
(3)(e)
l
l
que
a fonction
e (M) doit présenter des dérivées secondes continues. 1
Cette condition très contraignante peut être évitée en intégrant pa~ parties,
à
l'aide de la formule de Green,
le terme en question; on obtient ai~s~ :
1
{fe.
1 I( R. p, )Je,Ji i. dQ.. = 1./<11.. p.
j 'f.):,j dU e -fa'j t ..,j dn ..]
1
=
tfe.j
f.,j
1/lR. P,
i= nj dre
e.. ~"'J d.Q..] 1
%t'
~N
étant la fonction définie le long de la frontière
fe.
1
L'intégrale l
(]) (e)
équivaut finalement à
(II.18)
Cette équation (II.18), dite forme faible de l'équation de :c~servation Il
de l'énergie, présente des conditions moins strictes, car elle exige ~~e ~ soit
simplement Co
remarquer que, grâce au terme
8 ,j nj et compte tenu de
(1.24), on pe~t écrire
l'pqrtlité
1

---

1
-39-
1
1
1
qui tient précisément compte des conditions aux limites thermiques de Neuman •
1
Pour cette raison, on l'appelle condition aux limites naturelles.L'é~Ja~ion
élémentaire
(II.1B) peut alors s'écrire sous la forme algébrique sui~ante :
1
1
U l (e.)
e
F
ou encore
"rolM
M -
N
1
avec
1
1
1
K'i!;
NM
,
Toutes les dérivations qui apparaissent dans l'expression intégrale ëes matrices
élémentaires se rapportent aux variables 010bales adimensionnelles x, "
, Z,. Com-
1
me les fonctions
i sont exprimées localement, il importe d'effectuer la trans-
1
formation nécessaire i
le résultat de l'opération figure en annexe 3.
Il reste cependant que pour ;:',(::ler 1.' étude complète de la cO~.\\'E=tion
1
thermique,
i l faut tenir compte des résidus
e(1)et /,.z.) . C'ést pc·":r~.Joi au
chapitre II, la procédure qui vient d'être décrite sera appliquée aux é~uations
1
résiduelles correspondantes
(II.l1)
et
(11.12).
1
Plusieurs auteurs [30] [50J ont signalé, néanmoins, la divergence des
calculs effectués, à cause de l'importance relative des termes convectifs
et àe la condition d'incompressibilité,difficilement satisfaite
dans certaines
1
conditions cinématiques.
1

---

1
-40-
1
1
IV-d- La méthode par schéma décentré ou "upwinding"
1
1
Pour éviter les instabilités numériques
(dues à l'importance èes ter-
mes convectifs)
rencontrées lors de la résolution de l'équation de d:ff~sion
1
convective, on peut, à la place de la fonction test 1
,choisir DOur ~ une
fonction dite "dissymétrique". En effet, pour résoudre le même problème dans le
cadre des différences finies, on a utilisé [51J un schéma de différence central
1
pour discrétiser les termes de diffusion et un schéma arrière pour le ~erme con- 1
vectif. Dans le cadre de la méthodë des éléments finis
[s2J,
(1)3), cel=. revient
à prendre
:
1
. pour les problèmes unidimensionnels,
"
wi
Wi
( x
)(j·-4
\\
,CI.
)
1
)(;"1. )
pour l
1
r élément
(
i-1, i)
wi
wi
(
x,
a)
~ i (x) - a g (x - X")
)(i"1':1-)(i
1
pour l'élément
(
i,
i + 1)
1.
1
avec
1 ~(~)d's ~
g
(0)
g
( 1 )
a
Z
et
0
1
3
E,;
(
1-
1
la valeur optimale de a
étant
1
avec
et ~
désignant le nombre de Peclet et la coordonnée nor::ée.
1
1
1
1

---

1
-41-
1
1
En généralisant ce processus au cas où les éléments sont de ~ailles
différentes, on obtient les relations suivantes exprimées en variables locales
1
ou normées :
1
W t
a "
)
IJ
1
ou
,1 - 2. / "6,)
s:.
(S.j ~ 2.
1
""i
v.. I ..
avec
Uij -
'J r'J
kij
1
v,, Vi -r Vj
'J = 2.
1
l'll1diciation
(~j)
fait correspondre les grandeurs sur lesquelles e:1E ~crte à
l'élément
(i"j).
1
si oI.ij = 0, pas de décentrage ;
si 0(, ij = 1, décentrage complet.
1
pour les problèmes bidimensionnels, on peut trouver,
avec tous
1
les détails,
la forme que prend la fonction de pondération Wi dans la référence
C53]. Nous développons par la suite la méthode pour les problèmes tri~inen­
sionnels.
1
. cas tridimensionnel
1
En fonction des variables locales normées,
1
finition dppara~tra dans le paragraphe suivant et qui varient chac'jne er.tre
-1 et + 1, la fonction-test s'écrit:
1
(
C'
n
'f')
=:!..(1 +C' E,l')
1.
(1
+Tini
s ) ) . : J
2.
s
T
1
et par suite
w·
W; ( ~) W, ( '7.) W; ( 'S )
1
1
1-
1

---

1
-42-
1
1
dans les 3 directions
~,
"l. ;
on aura
1
~ )
-3 [( 1 -
~
1.
(1 + ç: )
1. -,
g
- 1
2
2. 1
j
1
~ (~')
=
-~[(1.-'1'[) .1, (-1.+ 'fl) A
2
"2 ]
1
~ ( ~) = -3[ (-1 - ~ ) .A
(-1T~) .i-
2:
2. ]
1
Dans l'intervalle de définition
(-1,+1)
des variables locales,.~
,n
,~
les fonctions g ainsi définies sont bien normées et l'on a : 1 1
wi
~
=1J i
(~
CL ij
9
~)
1
wi
Il )
=4> i
(n
6 ij
9
n)
wi
~ )
=c!> i
(~ )
e ij
~
~)
1
CL ij,
8 ij,
e ij, prennent des valeurs identiques à celles défi~ies dans le
cas monodimensionnel et sont tels que :
1
Io(ij 1=1 o(j:'j
Les signes de
CL,
8
1~lj 1= 1(3ji 1
19ijl::lej~ 1
et e sont les mêmes que ceux de la vitesse moyenne Vij
entre deux noeuds i
et
Tout le formalisme précédemment décrit relatif au décentrage est
général, mais les fonctions de forme utilisées sont choisies de mar.ière à va-
1
rier linéairement à l'intérieur de l'élément. Dans la référence [54), on traite
le problème bidimensionnel où les fonctions ~ varient de manière ~adratique; II
il faut alors retenir deux paramètres le long de chaque direction de l'élément.
~ 1
Cette technique qui consiste, pour choisir la fonction :le por.dération
à ajouter à la fonction-test i
une fonction dont l'ordre est plus ~le~6 (g) per-Il
met, par le décentrage amont, de stabiliser le champ de température en con-
)
vection forcée;
ce résultat intéressant est acquis cependant au prix d'une preci-
sion moindre [S3J.
La possibilité d'appliquer cette méthode à l'équation de
1
Navier - Stokes n'a pas encore été étudiée.
1
1
1

---

1
-43-
1
1
IV-e- La méthode des moindres carrés avec contrôle optimal
1
Au départ, l'idée équivaut à minimiser le carré du résidu S
(x)
au
1
lieu du résidu lui-même;
cela revient donc à écrire l'équation ir.téçrale ma-
tricielle suivante
:
ét(X)
-'
f
1
U)
(,\\)
t (2) ta>
éCl)e.~)
(II.19.)
J
tCX) dU =
Ct é
T
i
i
+
~drr.
1
qui peut se décomposer en un système de
3 équations intéorales.
1
2
f( E
{X) )
d SI
0
2
f( E:
{X} )2
d SI
0
1
3
2
f( E:
{X} )
d SI
0
Les solutions approchées
X sont déterminées en considérant ~Je la s~lution
1
est obtenue lorsqu'une petite variation de
X
J)( , entratne m'.e ':ariation
nulle de l'intégrale de l'équation
(II.19.). On peut alors la considé~er comme une
1
fonctionnelle qui doit être minimisée; autrement dit, on doit avoir
:
1
ou encore
1
JéC'J..) dE:(X)cü'l::0
() X~
1
Dès lors,
i l apparatt que la '":;ét:~ode équivaut à ce'..le de Ga'-,=:::-kin
1
( II. l ~.)
avec
, en p~enant soin
de noter que
1
(II. 20)
2l
l
Ù 8.J
Comme avec la méthode de Galerkin, on aboutit àJn système 3'équations
1
algébriques de la forme
(K)
(X)
=
(F), :nais présent2.n~ l'avantage je ,:ontenir
1
I~
1

---

1
-44-
1
1
ici une matrice
(K)
mieux conditionnée i
l'inconvénient réside dans le fait
que les fonctions-test
utilisées devront être continues et dérivables
jus-
1
qu'à un
ordre plus élevé que celui rencontré dans la méthode de Galerkin clas-
sique. On peut cependant introduire des coefficients de pondération é~~ivalents Il
à des multiplicateurs de Lagrange permettant de contrôler la vitesse ëe con-
vergence vers la solution et d'accroître la précision.
l'
Nous allons développer la méthode en l'appliquant à l'étude ëe la
1
( 1 )
(2)
(~)
convection mixte
à
laquelle correspondent les résidus
E
, E:
, e t
E
abstraction faite des conditions aux limites.
'1
On doit avoir
1
f
CA)
2-
À~ U:)
dit
J (.a) 2-
+
).z.(ê~)
J
(~)
~
dQ +
~~ (c ) dfL =0
1
En minimisant
le carré du résidu, on obtient :
J ~) ~)
Gl
>.!~ E
d n
,
+ JÀ2
(2)
(2'
aE;
E·
E
d r.:
0
1
d n {À'
dE (1)
d x~
aXj
aX j
,)
1
Et compte tenu de
(rr.20)
,
i l vient
1
tt1
(rI.21.)
j l E
aE(l)
+
a v .
BJ
1
1
fOl
(rI.22.)
EfJ.> a f!1'+ À2
aps
1
+
+
1
1
1
1

---

1
-45-
1
1
Il convient alors de substituer les formes approchées
(II. 1 .)
(11.2.)
1
et
(11.3.)
aux inconnues. les résidus
[(R) deviennent par suite:
1
1
1
1
1
_ . .
d
(2)
-
-
-
Seu l e la der~vat~on
e
EQ,
par rapport a V ~j
pose une legere
difficulté qui sera levée au chapitre II à l'occasion de la résolution par la
1
méthode de Newton.Raphson du système d'équations alqébriques que la méthcde
de Galerkin a permis d'obtenir. On aboutit aux dérivations suivantes:
1
?J1~)
1
fa .
-
,~
~ {fij
1
fol)
~f
0
-
~ p)
1
1
1
1
1
I~
1

---

1
-46-
1
1
1
1
o
1
1
1
En introduisant ces résultats dans les équations intégrales
(II.21.)
(II.22.)
et
(II.23.)
, on obtient le système d'équations suivant:
1
1
1
(CA.J =J["2." À1 p~'J ... ( f. f ',l Je", Y,", ... 'L" f. Jc~Y~", - ~e f~,mm ,sc.
),4o( Tf> V'6J f~JJ S~j Re f 0 ,mmStj)+ (~o, ~IlJi. 8;s)}j (!f.> î~iJ 8~)] dfll
8:" J['i'"t \\, (T, t,Jo 'v',,,, - Re <Ed,",m <S;t i] dQ
1
C.:
v r[
R:
~ ~
v~"
Re .<>I,"'tr:
,t
1
(0
=
G- r /
S{" L~ A::. ( ±-, f1{ 0 1fT) rn - _1..;p
S) -+-
(f}jiJ;8~ )À1 (11: î''<'J Y!lJ )]dQ
iJ,1.
1
1
' •• 1',)
r
1 t'
\\
'1'
, .,
F''l
1
.J ...
),
~I
:;, l). J... ), ,f '.1 l L
1
1
1

---

1
-47-
1
1
A:&j =[ [ftrlR.." St fol >'. (il' t.~ blj Vl'j - 1./ R~ il'. MM .l'cJ) .,.
! .. i lStjVltj ~~ (!~ t~Jj e'ZS) JJ-n.
1
s;). =f Gt-IRe2. St te( ~2. 'i'~t e J rr
1
C:t> ~r [r;,r/R~~ 5~ !" '>...c;... JR~" 5 t f ~ +(!" t•.j Y'tj '>.-sIR..P.)!I"jjJdS
1
Le système
(II. 24)
peut évidemment se mettre sous la forme mat:ricielle et
algébrique suivante
1
0
Bfloi~ C:."l
0
A..i~j
V~j
Feti
1
(II.25)
A'1t1, f.Ij
B~~ C:G
~ -
F:~
-
CIl
2-
2-
A"'~j
B.c.\\
c~~
el'
El
1
cl
Le 2° membre contient les conditions aux limites imposées
dont il n'a
1
pas été tenu compte dans le développement précédent. S'il existe des conditions
II.
»
du type-Dirichlet, il suffira en employant l'une des techniques existantes dont
1
il sera question au chapitre II, de modifier la matrice des cc~fficients
et
le 2° membre
(F)
. S'il existe des
conditions à la frontière r du type
Neumann, on pourra aux résidus
E(1)
l~2) et
E(]), ajouter
un 4e
1
..
- " d
(4)
reS1 u t
qui correspond à la satisfaction des dites conditions.
1
La situation type correspondant à ce cas est celle où le flux de cha-
leur sur
r p est fixé à qo. En tenant compte de l'adimensio~:.alisation (1.24.)
1
et de la relation de définition du flux de chaleur q à travers une surface ré-
gullère, en obtient:
1
é (4)
9'(\\·-1- =
ou encore
'J
:.J
(4 )
1
é
1
1
1·
1

---

1
-48-
1
1
(2)
Par suite, un calcul simple montre que la composante F~
contient
le terme frontière :
1
1
f:
La fonction
est définie le long de rp.
1
,
Cette technique présente l'inconvénient de requerir pour les fonc-
Il
tions-tests utilisées une continuité cl ( rf )
: en effet, des dérivées se-
1
condes existent dans quelques unes des intégrales définissant les coefficients
de la matrice. Pour contourner cette difficulté, il suffit d'abaisser l'ordre
des équations résiduelles initiales en introduisant de nouvelles variables dites 1
auxiliaires (56)
tS9)
, définies de la manière suivante :
1
(l"I:1.}2,~,4
1
':'=1..,2,3
1
1
1
1
1
1
(2)
c'\\)
G-l, ~ 8,'2.
CT~ = e,~
1
1
1

---

1
-49-
1
1
Ce sont des inconnues au même titre que les inconnues initiales X
1
(V, P ,e)
; elles sont interpolées par conséquent comme en (II.4.) par la
relation :
1
1
(i)
et les résidus R
auxiliaires correspondants s'en déduisent suiva~~
m
1
1
On obtient donc la fonctionnelle J
telle que
1
J J< C.-4) "..)
( l )
(2.)
C\\)
t:»
R(~) ot~))
"""
=
E
t.
+ é ~
E~
T
é
é.
+ Cf. (m )
m ! " ".,
d ~L
1
La dérivation de celle-ci par rapport aux variables nodales co~duit,
à la suite d'un calcul fastidieux,
au système d'équations algébriques que
voici, décrit sous forme matricielle;
1
1
~
0
0
Ad.j~j
C~i~
0
q..iftjt
0
v~·
1-
0
1
0
Bd.iÀ
1
fali.
1
~ 1
.:l,
-1
1
1-
~
Acl()j
B~À Cd.~ Dd.~je 0
P"
fi.
1
al
1
1
2
l-
lA .
1
Bd.À
~6J
e
2
d,l(')
Dett'je
,
E:~.I
!f2
e~
1
J
0(
1 A:~je '} ,>
')
"\\
1
B«;h Vci i.~ e
Dal~~j 0
Cr~~
ç;~
1
l
C~i(~
...
.
0
C<~I
4-
0
0
Edil3j
F;,~
1
1
1-
1

---

1
-50-
1
1
Il
La matrice des coefficients n'est pas sysmétrique à cause ie la pré-
sence des termes convectifs dans l'équation initiale de Navier-Stokes; en outre 1
l'accroissement du nombre des inconnues présente l'inconvénient d'a~gœenter la
complexité du problème.
Alors que le deuxième membre contient les conditions aux :~mites, le
1
calcul donne pour les coefficients de la matrice,
les valeurs suiv~~tes :
1
{t. f~ G
1
t ". '!",r
dSl.
Je !c( ~~ Gt~1S St ~~Gr1ReJ.+i~ V~j !~,j td. ~2S)i. e~ ) dû
1
{C- 1. IR. t. t. Gt~t".j - •(1) fI' f •.
1
t ".j) d.Q.
t-1/(R. Pr ) t. 'F.,. SI1 f",j dSJ.
1
{t.,! 't"1 dSl.
1
~ Grl R.' Se fI' 't'.,f dQ
1
,}'_1.1 R. fp,j 'f.;,e d.sL
1
{~Gr IR.')' st' f. ~,,-
1
0< (.)1!P'j t •.jj dil.
=J1./R. f("jGr/R.' S-e 1'. d.Q
1
'!I
D·.. f [- ct.
1
d.1~J
y.. t. -1./ R. 1•.<) fp.j IR.. .. 0< Ce) ~J .fij ifl'J dQ
1
1

---

1
-51-
1
1
-~
r
..
-
=f [-t ~,~ /(
,.:(() :"
Re?' /
1",j + ,,( 4) 1"
J
1
f-
=I-l î" t '6, R Y7i A. ~(\\.j 1( R<:. p~
....
1
1
1
S'en trouvent ainsi justifiées l'appellation (:~ ~o~~:?'~e j~ ~é~a-
1
lisation
attribuée à ces coefficients et celle de méthode de~ ~léme~:s :inis
par moindre carré avec contrôle optimal désignant la procédur~ décri~e ci-
1
dessus. Celle-ci a déjà été mise en oeuvre en élasticité
(S~ • en d~~f~sion
de chaleur (56],
[57] et en dynamique des fluides
['iEU.
Dans la. référence
1
(')9)
, une étude comparative entre la techni.qne classiqup. de Galerl<ir: e-: celle
du contrôle optimal établit l'intér~t. particulier de la seconèe.
1
v- LES FONCTIONS DE FORME DES ELEMENTS
1
De manière générale, le choix de celles-ci constitue une éta;e im-
1
portante dans l'analyse par éléments finis d'un problème physique dor:~é, dans
la mesure où elles conditionnent la convergence vers la solution ex~~:e. Définies
localement à l'intérieur de l'élément, elles sont caractérisées princ.palement
1
par la forme de celui-ci
(elles dépendent donc rte la qéom~trie du doca.ir:e global)
et du degré d'approximation désiré
(elles eJépendent donc égalemen~ Je la pré-
1
cis10n voulue)
1
Dans l'étude de la plaque plane comme dans celle du di~dre, :e 10-
maine 52 étant rectangulaire, notre choix s'est porté sur des élér.-':-::s de cett.> forme
appartenant à la famille de Serendip (30J.
1
1
I~
1

---

1
-52-
1
1
On utilise à la place des coordonnées x, y,
z,
les coordonnées nor-
1
malisées intrinsèques
(coordonnées locales) pour exprimer les fonctions de
forme et leurs dérivées intervenant dans les différentes matrices élémentaires.
Ces fonctions doivent prendre la valeur 1 aux noeuds de l'élément cc~e l'exi-
1
qent les relations d'approximation
(11.26)
des champs de vitesse, de tempé-
rature et de pression à l'intérieur de l'élément e:
1
~)
v~«)
1
(II.26 a)
=
PH v·
l
H'-
p(Q)
~CQ) PH
(II. ~6 b)
1
(e)
(11.26 c)
e =- ~:' e,..1
1
V-a- Fluide à nombre de Prandtl faible
1
En raison de l'importance prévisible de la variation des g~aèients
~
1
des grandeurs V et e dans tout le domaine
~ , celles-ci sont interpolées
par des fonctions ~ quadratiques . Dans les relations (II.26)} N prenë alors
les valeurs 1 . . . . 8 dans le
cas plan et l, . . . . .
20 dans l'étude du dièdre.
1
1
C:' est i1in~c 1 '.tue ;:uur- l'él·ërr:(:r.l- plan-rec:.anqulaire à 8 noeu::s ·.Jtilisé
(figure 2.1.a)1 elles ont :_es formes .3uivar:tec;
n::.:":7)
compatibles a-:ec
le :::ri-
1
1
-_1 '
1
1
-.
1
1
1
1

---

.. - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
y
y
,
~.-
•
.-
~
..
·
1
8
4
1
4
".-,
·
,
5
e
7
.
,
(e)
•
~
·
x
,
)(
r
2
6
3
2
3
1
" , ' /
partie active ne la plaque
Ul
-
e
W
Fil! ~
= 1. ou
1
Y
flux q fixé = Ci
Y+
IB
4
4
1
l
~,
l
'7 ...
B
51
B
1
.....
x.
c
.~
• 7 • X
c
~
2
tt
-
3
L
3
•
•
A
A
lél)
f'10mpnt
l '
"hiqucl\\lLÜi'l\\l!,n
I l l i l i s { ' pOlir PT=
0.11.
(h)
Pl('OIl'llt.
e
"hilin"dip}'utilisé pour p,.='1190
Figure 2.1.
éléments utilisés dans l'étude
de la plaque plane

---

1
-54-
1
1
-
N
6 , 8
.5N=O
1
f
~
N
"2
10
2
(
1 +
)
(l
~)
1
avec les coordonnées normales
~, '1 définies comme suit
1
(II.28)
~= )(. - )(. C
!>
! ~N
0
=
A
et
1
( I I . 29)
1= y - 'te
B
10
1.1"
1
D'après
(11.26)
les champs de vitesse et de température sont i;;terpolés
1
par la même fonction ~ . Si l'on garde à côté de ces variables dépeniantes la
pression P, celle-ci doit être interpolée par la fonction ~ suivant un ordre
différent de celui de
~.
1
C'est ainsi que si
t e s t biquadratique, '.t' pourra être bilinéaire
1
parce que l'ordre de différenciation de l'équation de continuité est inférieur
de 1 à celui des équations de Navier.Stokes et de l'énergie
(46).
1
Pour l'élément tridimensionnel quadratique à
20 noeuds utilisé
(figure 2.2) pour mailler le domaine à l'intérieur du dièdre, les fonctions
ont les formes suivantes
(11.30).
1
1
-
noeuds-sommets
N
1,
2,
3,4,5,6,7,8
~N =~
1
( 1
+ ,30)
-
noeuds intermédiaires types
1
m
. ~ = 1:?,lS,17,19
(
= ! 1
~J
1
1
1
1

---

.. - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
'Z
.J
ty
."..~
y
- pj':";.-';;/~
;. ~.,~~
.... L-
-"
....-
x
x
.......
,..
1
U1
U1
1
. .
Partie active du dièdre
e Fi)l.é = 1.
Ol.l
z
flux q fixé à q
z
5
5
1
20
B
B
...At
•
:A
~7
12
b
6
1R
If[
y
.."
4
4
---- -14-- ----
x
l
)(
( h)
élément -linéaire" utilisé pour
(a)
élément "quadratique" utilisé pour
Pr = 0.12
Pt =1190
Fiqure 2.2.
: éléments utilisés dans l'étude du dièdre.

---

1
-56-
1
.N
14 , 16 , 18 , 20
~N = + 1 1
(1
+
~ 0)
(1
+
;
0)
1
.N
9,10,11,12
5N= 0
~ri= ±1.
1
(1
+ ~ 0)
1.
(1+
0)
1
avec en outre, ~, '2 ' ~Cl'
nzo définis comme auparavant dar.s le domaine
plan;
;
e t ; 0 sont définis de la manière suivante, compte te:"'.u de la
1
direction Oz supplémentaire
(I1.30 b)
5_,--z__z_c__
1
c
1
L'annexe 3 reproduit le calcul des dérivées de ces fonctions ainsi que
celui du Jacobien de la transformation qui fait passer des coordonnée5 globales Il
adimensionnelles aux coordonnées locales.
1
V-b- Fluide à nombre de Prandtl élevé
1
En convection thermique naturelle, le terme
-iFP.. &'jj de l'équation
d'énergie devient négligeable il'ordre de cette équatIon baisse et on peut
~
logiquement envisager d'interpoler la température
et même la vitesse V par
une fonction bilinéaire dans le cas plan et trilinéaire
dans le cas ~ridimen­ 1
sionnel. Nous avons vérifié cette hypothèse [68] dans le cas-plan où .:..a conver-I
gence est atteinte très rapidement, alors qu'avec des éléments "biqua::::'ratiques",
il Y a divergence qu'elle que soit la finesse du maillage.
1
Les fonctions utilisées sont
1
. dans le cas-plan
.!
rz
1
N
(1
+
~ 0)
(1
+
0)
4
avec
N
1,2,3,4
et
1
1
1

---

1
-57-
. dans le cas tridimensionnel
1
1
N =
1;
(1
+ ~ 0) (1 + rrz 0)
(1
+
0)
1
avec
N
1,2,3,4,5,6,7,8
Les éléments représentés par ces fonctions sont reproduits dar.s la fiTJre
1
2.2.
1
V-c- Utilisation d'éléments'prismatiques triangulaires
Dans l'etude du di~dre, atir. ùe modéliser plus parfaitement ~a =ous-
1
région fine située au voisinaae de
l'arête, nous avons
introduit des~é:é~en~s­
»)
prismes à base trianaulaire
fiqure(2.3~ Compte tenu du peu d'importa~~e je
1
la direction
Oz,
les champs de vitesse et de température y so~t inter?o~és
linéairement, alors que dans le plan z = 0
,
on conserve une approximaticn
1
de type quadraticp2e .-'1
]'intprit""r 'JP 1;, hase.· triangul"lir<: pOIJr 1", vites<;e f~t la
temoérature.
Il
Les
fonct~ons de torme correspondant à ces éléments so~t
pour les noeuds-sommets 1,2,3,4,5,6
\\.
( 2 L
-
1)
1 +
P N (L 1 ' L 2 ' L 3 '
k
~ 0)
\\.
. Pour les noeuds intermé~iaires N, N
7.8,3,10,11,12
\\.
'P
(L 1 '
L
~) L
L
(1+
"0)
2 '
L 3' ~ )
NA
'lB
; ;
N
1.
avec
1.
LK
LI
pour les noeuds
et 4
l,
L
LL
pour les noeuds 2 et ~
k.
L
L
pour les noeuds
e t_ 6
k
3
1
L 1'/11 = L , L
L
pour les noeuds 7 et 10
1
NB
2
~
L"'A
T
=
L
L
pour les noeuds 8 et 11
~2'
NB
3
LM"" = L , L
L
pour les noeuds 9 et 12
3
NB
1
~
~O~ ~N ~ , ; étant définie comme dans (II.::O b).
I-
I.
1

---

-58-
1
1
1
1
1
y 1
1
1
1
1
1
1
1
5 "....-----.+--+--.... ,
1
1
1
1
1
1
la base
1

---

1
1
Li L
L
sont les coordonné~s oc sur~ace triangulaire.
Leur
i~tro­
1
2
1
ductiun
change évid~nunent la valeur du Jacobien dl:: la transformation cocrdon-
nées alobales - coordonnées locales.
1
Dans l'analyse des résultats obtenus, nous examinons dans la tr~isiême
,
~ .. -
1
partie,
la precision que peuvent apporter ces éléments par rapport aux e_ements-
~risme5aà base rectangulaire. Nous examinons également l'influence d'~~e ~ppro-
xim~ti0n liné~ire du champ de tempéra~Jrer le rhamp d~ vitesse resta~~ a~proché
1
de manière quadratiaue.
Les fonctions-tests P interpolant la températ"..:.re sont
alo~s Dour les 6 noeuds N, ~ = 1 1~.1,1.S,G :
1
;t;
.
1
1
( \\
'!" N - T
"k
1
nan~ l'annexe ] ~ont reDroduirs lps c~lcl!ls liés à l'usaae de tpls él~~e~ts â
base trianaulaire.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
E

---

1
-60-
1
1
CHAPITRE II
1
MISE EN OEUVRE DE LA METHODE DE GALERKIN POUR L'ANALYSE m: :.A CO~CTION
THERMIQUE NEWTONIENNE.
1
1
1- MAILLAGE DU DOMAINE FLUIDE
1
La qéométrie du domaine
(ici à
frontière rectilinéaire)
E~ surtout
son caractère infini
(dû aux conditions fixées t.rès loir. je la ola:::ue ~u dll
dipdre,
c'est à dire à l'infin~)
n~cessitenL un maillage nc~ unifc~e ; c'est
1
une caractér~stique des problèmes de convection externe.
1
Tout près de la zone dotive de la plaaue ou du diè~re (c'est la ~arrie
rc r1e la paroi
r de la p1aq'.le planp ou ,"lu dièdre q":" e<>t c:-.auffëe à terr.r
p
ture O~ à flux constants)
, on doit avoir des gradients de température et de
1
vitesse élevés;
les éléments qui s'y trouvent doivent être très fins.
Plus on
s'éloigne perpendiculairement de cette zone, plus ils sont ~rossiers.
Les techniques utilisées avant la publication des travaux de Gartlinq Il
et Becker
[61]
(69)
revenaient, pour approcher la zone inf:":1ie,
à augmenter
Il
notablement le nombre d'éléments et à transformer ainsi la zone i~:ir.~e en un
nombre, certes,
trës grand, mais fini d'éléments.
1
Malheureusement, cette mét:-.ode exiqe beaucoup '::e -::emps pC..lr calculer
la sol~~ior., notamment dans une zone inintéressante (où _es qradi~~ts sont rp- Il
ellemE!".': c:uasi-nuls)
c'est pourquoi, on utilise des élérnE:lt.s se"'.i-infinis et
infinis
(61)
le lona des frontières
r:2 et r 3 situées loin de la paroi
chaude
(fioures 2.4. et 2.S.).
1
1
semJ..-i:-.finis ou inflni3 ::' introGui t
pas de
:l f-"'icll tés considérac:'es supplé-
1
1
1

---

y
- 61
1
-
Al
2Al
..... f----to
f - - 00
---+
,
1
3
30
,
1
~
, x
1
2
4
43
(a) paroi chaude
1
r2
précédée d'une
partie inférieure
+J
froide
1::
r;.
III
1
20
42
40
'0
1::
0
0,
(J)
UJ
1::
(J)
III
).;
1
r-l
).;
0..
...,
0
u
0
Q)
~
y
&
UJ
r:l
'Q)
0..
....
III
rl
1
r-l
'0
tlj
0.
::l
......
+J
III
'Ill
,r'j
r-l
~~
UJ
lJl
T
(J)
Q)
llJ
1
'0
0'
'C!
~ 2c
42
40
,
III
lJl
3
r-l
Q
,....,
Q)
....
~
:>
.... E
,
....
....
III
l
+J
5
u
1
lJl
,
1
3
30
:Ill
Ul
C
+J
Q
,
1~N
1::
...,
::l
III
....
0
).;
,
'Ill
'0
1
Q)
l+-l
C
(bl cas (al avec en
~
'0
l+-l
0
....
)(
::l
U
r
III
'0
outre nullité des
.c
gradients à l'infini
2
4
43
u
UJ
x
Q)
::l
,....,
1
Q)
l'tl
en aval de l'écoule-
.....j.l
ment
~
I~
III
Il.
"'"
1
N
T
~
Q)
).;
!;l0
42
40
8
~
::l
0'
....
1
""
l
1
y
1
;. 1
3
30
~
1
,
,
~
,
1
~ 2
4
43
(cl toute la paroi
.J
~
est chaude
~
1
x
~
~ 70
42
40
~
I~
~~
1

---

-62-
11111 rs
: paroi active
.1
z
1
1
1
1
~I
~
'0
,~
~I
'0
~
~I
r-4
~I
~
'0
~I
l
al
l::
2c2
11
'0
::l
~IIII
r-4
r i
~I
~I
al
\\.<
::l
El
l
1
8
l
1
1
1
1

---

1
-63-
1
1
1
dérivéespar rapport aux coordonnées qlobales et par suite, le jacobie~ de
la transformation coordonnées globales -
coordonnées locales
(annexe 4)
La
1
grandeur U qui contrôle le rapprochement de la variable x vers l'infi~i permet
également d'accélérer la convergence vers la solution. L'effet de sa variation
1
sur le résultat est étudié di'ins la t-r-oic;iè'!!e p'O\\rtie.
Les fi~'rec; 2.4. et 2.S.
traduisent bien la subdivision mise en oeuvre.
1
Le domaine fluide est divisé en sous-domaines contenant chacun des élé~e~ts i-
den tiques géométriquement et générant donc des matrices ~lément~ires ije~tiques.
1
A chaque sous-domaine est associé un numéro de référence porté par tous :es
éléments du sous-domaine. A cette numérotation par sous domaine se super?Qse
1
évidemment celle qui
,
(en usage avec la technique des éléments finis)
a~tri­
bue à chaque élément, un numéro allant de 1 au nombre total d'éléments.
1
Pour la plaque plane, les sous-doma~nes frontaliers 20, 42, 20, 43,
sont composés d'éléments semi-infinis mais la zone 40 est à un seul é~érr.ent
1
infini
(fiaure 2.4.)
1
Pour le dièdre, on retro"ve les mêmes ?:ones sur la partie supérieure
(où les éléments ont une hauteur Al f~ne) mais également sur les parties ~éd~a­
ne
(où ils
ont une hauteur double 2Al.
) et inférieure
(où ils
ont tous
une
1
hauteur infinie) avec évidemment des numéros de référence différents
(:i~re 2.S).
1
Sur la frontière inf~rieure r
du domaine, l'imposition d'une v~tesse
3
et d'une températureJd'une part, l'existence
(prouvée expérimentalerne~t (2U
1
(62 J) d'un écoulement en amont du bord d'attaque, d'autre part, exige:-.:. :. 1 in-
corporation d'éléments semi-infinis.
1
Trois types de maillage ont eté réaLisés dans le cas de la plaq'..:;e
plane afin d'étudier l'influence sur les résultats, de la présence ou ~On d'une
1
zane inférieure pariétal~ in~ctive r
(fiqure 2 4.)
La fiaure 2.4.= i:lustre
,.
.
le cas où le long de La frontière supérieure r , on incorpore des élém~nts semi-
1
1
in finis afin d' Y imposer les condi tians de nullité des qradients à
l ' i~finL
1·

---

1
-64-
1
1
11- LA METHODF. DE PENALI~ATTON
1
Une des d1fficultés que pose la résolution numer1~~e du système
d'équations
(1.21)
,
(1.22)
et
(1.23)
réside dans le traite~ent de la contraint~
d'incompressibilité
Yj) li = 0 (59J. La méthode de pénalisat:":m permet de lever 1
l'obstacle.
Introdui te initialement par Zienkiewicz ('30]
et :ampbell [63) en
élasticité incompressiblp. linéaire, elle équivaut. dans le cas où le coefficier.t
de Poisson
atteint- une valeur proche de O,S,
à introduire '.,;n terme de Pénali-I
sation qui permet d'éviter toute compressibilité. Elle pe~t être appliquee en
convéction thermique
[59) en posant sous forme dimensionnel~~:
1
(11.31.)
Cela évite ladiscrétis~tion de la nression P
(ara~~eur qui n'est pas
1
1
toujours utileen convection naturelle)
tout en rendant poss:~le l'introduction
de l'incompressibilité dans l'équation
(1.22.) de Navier-Stokes.
Comme 'ij.j doi
tendre vers 0 à cause de la liaison "incompressibilité", À ~ui)est appelé
Il
constante de pénalisation doit 9rendre une valeur très granèe pour que la pres-
sion soit finie
; sa dimension est la même que celle de la v:"scosité dynamique.
L'influence de la valeur de À dans la précision des résultats sera étudiée
Il
dans la 3e partie.
1
1II- TRANSFORt-1ATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES EN EQUATIC);S ALGE3RIQUES
1
Reconsidérons le système
(1.21),
(1.22),
(1.23)
y..
= 0
J'J
1
Yj Y;)j 't" ~ .. -
1... V;, i i
e
t- Gr
5 l.
o
Re
~w
Ri.
Vje. j - 'i / ( Ra Fr- ) e) j j = 0
1
Valable
en convection mixte et en convection naturelle où Re prend la valeur 1. 1
Notons que,
le !:"pp-=-nc>
Lié "tu dièdre n'éta.nt pas toujours droit, on
décrit dans l'annexé' ::J,
le ca~:.l1 des ,~:omposante~~ 3i ~u vecteur S (§/l~t)suivant
1
les axes liés au repère orthonormé R.
1
1

---

1
-65-
1
1
Compte tenu de
(11.31.),
le système d'équations précéde~t s~ ré~uit à
1
(11.32)
1
(II.33)
1
et en substituant dans ces L équations les formes approchées
(11.26 =)
e~
1
t- (3)
(II.
26 c)
aux inconnues Vi et
e , on obtient les résidus fi(2)
qui doivent être projetés orthogonalement aux fonctions de pondératicn.
Il en
1
résulte les équations élémentaires intégrales suivantes
1
1
(II. 35)
dQ. e = Ù
1
. Développement de
(11.34)
1
4 termes doivent être calculés
;
1
1° terme
j 'l> 1/. ~ dS2.
>
J '1J
N
e
1
avec
1
1
1
1
1·
1

---

1
-66-
1
1
1
qu'on Dose égal
à
1
1
1
1
DIaprés Green, on ob~ient :
1
1
et
1
1
3.vec
:
f-
\\.J
• •_
4 /
R·~ ....1•• 4 4 n' d r
'nNl.-
...
l:;
l l l j
..... ,
.
J
'2-
1
=C
~omptc r:l:~il~! <ies condit.ic::.s lim~ r:es et
1
Àe:~~=f tIRe ~M,j f ...,j dil e
1
1
_
[
!Gri Re~ s: 8 ~., dUe = Gr/Re1. S, 9,.... ~11 ~N dQ.e. = &l'iiM SM
(
1
.'1.vec
IJ"-.
/'! !/"
-- J' r:~ 1R} S·..t
d)
v..
... _."I M ~N d f1
~L. e
1
1
1

---

1
1
L'équation
(11.34)
donne finalement, compte tenu des dévelo;pe~e~ts
1
précédents, l'équation algébrique élémentaire relative à l'élément
(e
1
(11.36)
1
. Développement de
(11.35)
deux termes doivent être calculés
1
1~ terme
1
=H HMRi IfR; eM
J
.)
1
avec
1
2° terme
1
1
1
aveê:
1
1
1
S~sur une partie de la frontière r du domaine global, la dérivée rcrmale
1
de la température
e'j nj est fixée:
• Sous la forme générale de Cauchy, à savoir
1
1
I-
I

---

1
-68-
1
1
( le coefficient d'échangE
al) le flux de chaleur
q appliqué ainsi
que l'écart de température(T
- Tao} entre paroi chaude et fluide à l'infini
p
1
étant supposés connus).
1
• ou encore sous la forme restrictive de Neumann
1
alors le terme
ZN contient ces tv~es de conditions à la frontière
1
1
Si sur une partie de la frontière,
la condition de Neuman~ est fixée 1
la température adimensionnelle
8 doit être redéfinie de la manièr~ suivante:
e (T - T00 )
1
(q
é~ant la valeur absolue du flux de chaleur appliqué
~
1
On en déduit une nouvelle valeur du nor.bre de Gras~off
et le coefficient
ZN devient égal à
1
Si èans le cas du dièdre, q 1.
est le flux appliqué sur un des plans
q2 celui appliqué sur l'autre plan
(l'arête étant libre), alors on a
:
9/'='1 ér)al '; 1 3'lr le 81dn aaucn>:: et ~ 9~/~ sur le plan ::::-oit.
1
Oar.s t~us les cas 1 l'équatio'l i'ltégrale (II. 35) après les :iéo:eloppemenl
précéde~ts se ~~ansforme en une équation algébri1ue élémentaire q~:, jointe à
:II.37)
1
1
1
1

---

1
-69-
1
1
Où N,R,M représentent lP.5 numéros locaux des noeuds de l'élé~ent (e).
1
Compte tenu du choix des fonctions de forme traité ~u chapitre I, IIo partie,
ils prennent, pour des éléments rectangulaires
:
1
.lorsque le nombre de Prandtl est faible, des valeurs de 1 à 8 dans le
cas de la plaque plane et de 1 à 20 dans le cas tridimensionnel du dièdre.
1
.lorsque le nombre de Prandtl est élevé, des valeurs de l
à 4 dans le
1
cas de la plaque plane et de 1 à 8 dans le cas du dièdre.
Ce système d'équations élémentaires une fois assemblé produit un nouvpau
1
système aloébr.ique globéll
: la strurture d"mellre la même mais les coe:!:ficients
différent . On obtient
:
1
1
(II.38a)
(II.38b)
1
avec :
liTE
ce)
~eJ
( e)
1
Bd.~ll'j = [B NRMj 11 ''lOf. 6. nr li M é
t:1
O~ ~ ~j
La .' rie) !J. UI)
H MlJ
Hol
M0
1
e~1.
Ag.(? = L~~,., !J. Na. b. M (3
etc . . . .
1
QI..) 0 ) ~
sont les numéros ':lAS noeuds des éléments dans la nu-
mérotation globale du domaine i l ; ils p!:"pnnen t des valeurs de 1 a i".'H
1
(nombre total de noeuds dans f1 ). Tout~s les matrices élémentaires figurant
dans l'équation
(I I. 37)
sont intéqré,cs nurnér iquement suivant la procédure décri te
1
dans l'annexe 6;
1
f1 N cJ. est une matrice booJ.éene à valeur unité si le noet1d 10c-a1 N coincide
avec le noeud global
c(
et égale à 0 dans le cas contraire. Cette caractéristique
1
E

---

1
-70-
1
préfigure évidemment la manière de former les matrices globales à pa~tir des
1
matrices élémentaires de d.i.mension
beaucoup plus réduite.
1
D'autre pa~t, le caractère alaébrique du système
(11.38)
a;?a~a~t
davantage s'il est écrit sous la forme matricielle suivante:
1
B~f3lJJ ha V~Q. Oo.p.b~J
GcA i'>'
Vr; j
0
1
(II.38)
1
1
0
Hà.>.~jVf>j +
8,\\
lcl.!
Jol,l<
1
Les conditions aux limites du~ type-Neumann ~ Derrr.e~tant de fixer le flux 1
de chaleur sont naturellement prises en compte
et sont conte~ues dans le
coefflcie~t
Z«
'
tandls que celles du type-Dirichlet cor~espondant a~x Vitesses 1
<4::
JI>
et Températjres nulles ou égales â 1 doivent y être intro~ui~es
1
1'1-
I:-fT'RO'""lL'CTIU"J DES CuNDl 'T'IUNS AUX LIMI TES DE TYPE DJRH-:i-"
F.:.
1
Les vitesses et températures nulles sont prises en compte en supprimant
simplemen.t les lignes et: colonnes corresDondant au noeud et à la di~ec~ion fixés l
Quant aux températures le long de
r et aux vitesses fixées à
en c8r.vection
1
mixte, elles sont introduites en modifiant le système d'équations
(:1,38).
a- Dans le premier r.as,
le conditionnement ~écessaire est ~éalisé
1
en écrivant les conditions
aux li-ites sous la f'orr:-t::;
:
(11.39)
1
avec
r
=
1, .••.•
UP
1
ci.
1, •..••• NT
1
NP «st le nombre total de noeuds dont la t.empèrature
e est fixée.§. : alors
la ma:'ric:e re:::tangUlaire
.. ,..,
l
9
~.~
~.~
rOI. ,
des condicions aux limites.
.,.~ -- _~c
1
1

---

1
1
-71-
1
L'équation
(11.39)
traduisant la condition aux limites est u~e
1
liaison appliquée au problème de convection thermique, et i l est possijle de
lui associer la fonctionnelle "liée" I i en introduisant des multiplica-:e"..:rs
1
de Lagrange
>'r tels que:
1
11.
De la même manii'>re, on peut faire correspondre à
l'éqt:atio:1 ::: 1 é:1ercrie
1
(11.38 b)
sur laquelle la liaison externe doit être appliquée la fO:1c-:io:1nelle
1
sui vante
:
2
1
1
En se plaçant alors dans un cadre variationnel, mi~imiser la ~c:1ction­
1
nelle 1, somme de I1et 1
par rapport à
l'inconnue
Sol. et au multi:;li:ateur Àr,
2
revient à satisfaire simultanément l'équation d'énergie
(II.38b)
et les con-
1
ditions de Dirichlet tradultes par l'~quation (Il.3~).
l =Àr ( Cj rel 6
eQ( -
0l -
br-) + ~ ( Hel), ~j V(?j + Jd." ) 6
l
À
a. 60(
1
JI
_ 0
;) ).,. -
=0 ~
1
.) l
_ 0
;'9
-
~
Il en résulte,
sous forme matricielle
1
1
HolÀAj"f'Jj +
6)1.
l.lI(
Je(},
9rOI
=
9r~
0
~r
br
1
qrA étant la trftnSDos{'è de
q rat.
1
En convection naturelle,
le système d'équations à résot:jr~ finalement
est obtenu en adjoignant à
(11.38)
celui qu'on vient d'établir.
Il v~=nt alors
1
le système algébrique global
non linéaire suivant (11.40)
:
I~
1

---

1
-72-
V"j
o
1
(.rr.t.. o )
1
1
o
o
1
qui peut être encore écrit sous la forme condensée
l
....,
1
ëlVC.'C
/x 1 = ( y Je) >-)
1
b. Dans le cas de la convection ~ixt~ oü les vitesses pri~~ipales
le long des frontières
r sont fixées à l, le système (11.40) a été ~o~ifié
1
suivant une procldure classique décrite dans la référence (38.
1
En fixant à 1, dans la matrice globale,
le terme diagona~ i
corres-
pondant au noeud pacé dans la direction adéquate.
1
· En fixant à 0, tous les autres termes de la i
éme ligne et ~a
i
eme
colonne.
1
· En modifiant le deuxième membre par soustraction des ter~es situés
1
sur la i
eme colonne de la matrice qlobale avant élimination.
1
v- RESOLUTION DU SYSTEME D'EQUATIONS
1
La caractéristique principale du système
(11.40)
est sa nc~-:inéarité.
Peur le résoudre,
jeux méthodes sont mises en oeuvre
: celle de Ne....-co:-.-Raphson 1
celle de Picard.
1
· La méthode de Ne'..;ton-Raphson
Une des difficultés que comporte cette méthode réside dans l~ calcul
1
à partir du système
111.40) de la matrice jacoDlenne tangente
(TJC)
ëéfinie
1
1
1

---

-73-
1
1
conune égale à
~ (RO(X) - f)
è))(.
1
En fait,seule la première équation est en cause et plus particu~ièrement}
le terme non-linéaire d'accélération:
1
1
sa dérivée par rapport à
la variable
v . donne
BJ
1
(II.40b)
la matrice jacobienne tangente finale
(TJO)
est donc
:
1
1
0".....
o
" " , \\
1
o
1
L'algorithme de Newton-Raphson non modifié revient par la suite
à
1
effectuer jusqu'à la convergence l'opération suivante:
x (r+ 1 )
( r)
(r)
_1.
R 0 v
X
(TJO
)
A
ou encore
1
(II. 42 a)
(TJO ) D. X = ROX
avec
(r+l )
Cr)
1
(II.42 b)
LiX
X
-
X
(r)
(II.42 c)
ROX
(RO)
X -
F
1
L'algorithme de Newton- Raphson modifié traduit par la relatior.
1
x (r+ 1 )
(
)
(.1)
-1.
X
r
_
(TJ'O)
p-OX
1
conduit à une convergence plus lente mais il présente l'avantage de conserver la
même matrice jacobienne tangente.
1-
1

---

1
-74-
1
1
L'inconvénient majeur de cette méthode réside en la nécessité de
(0)
commencer l' algori thme avec un vecteur initial X
assez proche
du ':ecteur
1
représentant la solution réelle, sinon,
il n'y a pas convergence vers la bonne
solution.
1
. La ~éthode de Picard
1
Dans ce cas,
l'algorithme, plus simple, équivaut à une SUBst~~ution
1
Droqr~ssi~e. Il revient form~llement à résoudre l'équation
(' r'
(r+l )
(11.41)
(Ra
(x -1))
:<
P'
1
Il es~ évident que cette 2e procédure présente le double ava~tage,
Il
intéressant au plan informatique, de requérir moins de "place mémoi~e" et moins
de temps d'exécution;
en outre,
les résultats obtenus sont indéper-ja~~s de la
1
valeur du vecteur initial X (0).
Il
Dans les deux cas,
il s'agit en fin de compte de résoudre les systèmes
d'équation
(11.42.)
et
(11.41)
dont les matrl.ces
(TJO)
et
(Ra)
sont
";iss~Jn\\~:~ri(1"ue::
1
Pour ce taire, on utllise la méthode de décomposition triangulaire de Crout
compact suivie des phases "d 1 élimination frontale" et de "substi tutio:,. arrière".
Etant donné le volume considérable du logiclel mis au point
: e n v i r o n l l
la 000 ins~ructions), le "listing" des instructions du programme n'es~ pas re-
Il
produit lei :
(il reste disponible au Labora~::Jire de Thermodynamiq~e 2t Energé-
liquE: de l'U'niversité de Perpignan). fJn peut cepenaant tr::Juver en ann2xe ~ un
::Jrqar.lqrarune aénéral, quelques i,ndicacions cc)ncernant
la
structure et llutilisatl'l:
GU programme,
notamment l~ tableau alpr'abéti~ue des 116 modules qui le composent
1
'11- CAS
D:J D!?SPJ': NON RECTAl'JGULA IRE
1
Ti
LorsCYJ'? l 'O\\lVerture ar,qul..~ir2 '6
du :Eèjrl': n'est olus éga:"e
-
2.
l~
Il
reoére Ri
(figure 2.6.~ lié à celui-ci n'e3t plus orthonormé; il s'avère
alors intéressant de tradulre les lois physIques adéquates dans le re:::ère Ro
1
1

---

1
-75-
1
1
orthonormé (ce qui présente l'avantage de maintenir la validité des équations
1
(II.32) et (II.33.), mais aussi d'introduire les variables indépendantes x,y.z,
associées au repère RI' Cette démarche permet, notamment, de conserver la :ormu-
1
lation élémentaire déjà adoptée dans le cas rectanqulaire
1
1
1
1
1
R (t 1)k)
J
R;I (1 t
al
K,)
1
1
....,
-')
k = k~
1
....,
~
j ~ J
.,
1
--~---~-_._--")
- .1
'6
1
1
1
x
XI
1
figure 2.6.
1
I~
1

---

1
-76-
1
1
et de traiter les vecteurs en fonction de leurs composantes contr~variantes
dans le repère R ,
sans avoir à utiliser des coordonnées cylindriques) par exem- ~
1
ple. La transformation simple q11i s'impose alors Post la suivante:
1
x = x
si" '6
(TI.43)
y
)(., cos "6 ... 'f,
1
1
Par suite/les dérivations par rapport aux coordonnées cartés~ennes
orthonor.nées x,y,z,
s'en déduisent et on peut également fa~~e intervenir les
composantes
de la vitesse dans R
. On obtient:
V"I' Vy , ,
Vz.,
1
1
1
(II. 44)
d
cos lS Q...+ L
Vy = V
coS~
1
X1
-t V'II
(:1.45.)
c>y
c) X,
V f,
V
.)
"l. =VZ1
oz.
1
VL,
1
Dans le cadre d'une méthode analytique classique,
i l
falld~ait J à ce
st~de,
recalculpr tous les ter~es figurant dans les équ~tions (II.3~) et (IL33)!
Ainsi le terme Vj Vid
donnerait
. pour i. = 1
1
(V.ViJ')5irdS
-t-
J
)
si"(215)/2 (V, V; Il)
.
1 •
avec
i
et ]
1
t
1 , '.!. •
et pour i
2
1
1
1
1

---

1
-77-
1
1
Ces deux exemples mettent en lumi~re la lourdeur de la procédu~e
1
qui reviendrai~ à substituer les nouvelles valeurs aux anciennes et l'ir.op-
portunité de calculer informatiquement les matrices élémentaires.
1
Par suite, ils font valoir la supériorité indéniable que prése~te la
technique des éléments finis
1
Il suffit d'1ntroduire les trdnsforu~tlons (11.43)
e~ (11.44) dans la for-
1
mulation de l'élément tout en conservant les équations différentielles =lobales
(11.32)
et
(11.33). Pratiquement, ce changement intervient dans le ca:c'~l des
1
dérivées
par rapport aux variables x,y,z, des fonctions de pondèrat:~r. (an-
nexe 3), le jacobien de la transformation coordonnées globales
(x;y;z)
-
coordonnées locales ne changeant pas. Par contre, celles-ci sont défi~ies
1
comme dans
(11.28)
et
(11.29) mais aux coordonnées x et y sont substi~uées les
coordonnées x,et ~ (fiqure 2.7.).
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1·
fioure 2.7.
1

---

1
-78-
1
1
Dans le calcul des matricf's élément.aires,
le!:> ctéLivéttions ~
3 de
N,.
la fonction de pond€ratior.
ne changent pas~ par contre, celles relatives aux
1
d1rections x et y sont modifiées
(annexe 5). Par ailleurs,
la relation
(II.45) Il
permettant de calculer le champ de vitesse
(Vx, Vy, Vz) dans le ~epére Re. on
en déduit pour chaque noeud les vitesses dans le repère lié au dièdre.
1
V'/I =Vy - Vx COS 1)
1
Yz-, : \\/z..
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
1
-79-
1
1
1
1
1
1
1
IIIO
PARTIE
1
ETUDE EXPERIMENTALE ET ANALYSE DE L'ENSEMBLE DES RESULTAT~
1
a
1
1
1
1
1
1
1·
1

---

1
-80-
1
1
CHAPITRE 1
1
ETUDE EXPERlMENfALE
1
Si l'appllcation de la m~thode au cas de la plaque plane c~~stitue
Il
déjà un test très valable pour vérifier la validité de la méthode,
~l n'en reste
pas moins que l'étude expérimentale bien menée est un outil de véri:ication
complémentaire et nécessaire,d'auLanL plus que le coût élevé àes ca~c~ls en
1
1
analyse trldimensionnelle en limite le nombre et donc la précision. Ce coût
élevé est dû essentiellement au grand nombre de variables par noeuds et à l'al-
gorithme qu'impose la non-linéarité des équations
(11.32.)
et
(11.33).
1
1- PRINCIPE
1
JI
Il s'agit d'étudier expérimentalement la convection naturelle nassique
à l'intérieur du dièdre, ce phÂnomèœ
étanr se~blable à la convection naturelle
thermique. En effet, les équations aiftérentlelies qui les modèlise~t (et les coti
di tions aux limites associées)
sont similaires [64].
1
I-a- Similitude entre convections naturelles thermique et massique
1
Si l'on considère un aomaine fluide 51 de frontière r
compor-:.ar.t par
exemple deux espèces chimiques ioniques, l'une d'elles peut se mettre er. mouve-
ment sous l'effet d'une force électrique ou électromagnétique produ~te par
l'existence d'une différence de potentiel imposée entre deux points de
et entre lesquels s'installe ainsi 1 gradient de concentratio~. ~ésoudre
thermodynamiquement le problème revient à déterœiner les champs de vitesse et
de concentration puis les coefficients d'échange massique moyen glcba~ et
(ou)
lac
entre Lout ou partie de r et lp sein du fluidp.
Il
Il
Les lois physiques fondamentales évoquées dans la le partie
'chapitre
parag IV)
constituent dans c-e ca s également,
le ?oint de départ de -'.a :crmulatio..
1
1

---

1
1
-81-
1
mathématl.que : invariabilité de la masse totale de substance contenue dans n)
1
principe des puissances virtuelles auxquels,en l'occurence
, il faut adjoindre
les lois de comportement et l'invariabilité de la masse particuliere de la
1
substance diffusante.
Les hypothèses simplificatrices exposées sont toujours
admises, notamment celle ne Boussines9
en notant cette fois-ci que le gradient
de concentration et par suite la relation
(1.17) doit être remplacée ?ar la
1
suivante :
1
(II. 46)
f =foo (l - f3 m (C-C co
&
1
,
Il en est de même de la loi de Fourier
(1.15) qui fait place à
la
loi dite de Fick qui donne égdlement sous une forme linéaire 1 en supposant le
milieu homooène, le flux œassique
dLe
la substance
ditfusante
k à travers
une surface élémentaire
de
normale extérieure
"l, en fonction d'.l :::radient
de concentration et du coefficient
rJe diffusion D,
suivant la relati::r,
:
1
1
le vecteur_ flux de masse ët étant égal à D
gra~ cie
j
L'élément nouvea~ est la loi régissant la diffusion de l'espèce k en
question, appelée loi de diffusion. Celle-ci résulte de l'applicatioh d'une part,
1
de l ' invariabili té de la masse de l'espèce
k
et de la loi de Fick) d' a'.ltre part.
Si /J.
désigne l'ensemble des particules k de masse)J.
, occu;::a:1t le
1
volume 52
de frontière r
, on peut alors écrire, en l'absence de qé~é~ation
de la substance
k
1
d ~ (L\\) _ 0
d }Jo (n)
dt
1
dt
-fL (p dû
dt) ,,,,
1
Il en résulte en appliquant la relation de Green
1
1

---

1
-82-
1
g~ f) d n. + (L?, div ~.. dA= 0
1 It
)
fI'-
'"
1
ou encore
(11.47)
1
....
1
Si f
et
V sont la masse volumique et la vitesse barycentrique d'un
élément fluide
tels que l'on ait
1
1
alors
(II. 47)
entra1ne
1
;
ou encore
~ ~
le.
1
V 'jrad c
=.
et en notation indicielle , cela donne
1
Si l'on adimensionnalise le champ scalaire de concentration c k en la
nouvelle variable e telle que
9 _ C k - c~
-
J
~
on obtient alors le SysJll.
C p - C~
qui réryit la convection naturelle massique :
1
Vj,j = 0
1
(II. 48)
Vj Vi,j
+ ~ i - Vi} jj T Gr Si e :. 0
Vj 91j - 1. / Sc e1j j =0
i
Sc
)UI D équivalent à Pr en transfer~ de chaleur
Gr
A
3
k
le
1" 2=
3
( P
P )
/' Poo \\1 2
1
9
,- m L
(C P
C oo
)
,
C1
f 00 - , p
, c
'
compte tenu de la relation définissant Î' m:
1
= 1/f ~p
Je
1
1

---

1
-83-
1
1
1
Les grandeurs portant l'indice p sont relatives à la paroi du dièdre.
1
Les conditions aux limites suivantes (figure 2.5.)
sont associées
au système (II.48).
1
sur
f2
e 0
w
0
f5
9
~
- sur
V
()
1
r
e
~
sur
= 0
V
0
Lt
-1
Convections naturelles thermique et massique sont donc bien sicilaires,
puisque avec des hypothèses identiques, elles sont modélisées par le mêoe ensemble
d'équations différentielles et de conditions limites. Dans la pratique,
il est
i
difficile de maintenir la température constante sur une partie de la frontière
alors qu'il est plus aisé par voie électrochimique
de fixer la conce~tration
1
adimensionnelle à 1. C'est pourquoi nous avons choisi le transfert de masse comme
champ d'étude expérimentale.
1
I-b- Principe de la méthode (65),
(66]
Il s'agit d'effectuer sur la surface d'échange (ici les parois métal-
1
lisées du dièdre correspondant à
rS sur la figure 2.5), une réaction électro-
chimique Q'oxydo-réduction dont la vitesse globale est limitée par la vitesse de
1
diffusion d'une des espèces actives et observables en mesurant l'intensité du
courant
de diffusion; lorsque le courant d'électrolyse limite l appelé courant
limite de diffusion est atteint, la loi de Faraday donne formellement le flux de
1
diffusion
!
à
travers la surface d'échange active; son expression est
1
(II. 49)
n: nombre d'électrons ~is en
~
jeu lors de l'éc~ange oxydo-
= I/nF
Q.vec
réducteur.
1
F: Nombre de Faraday
1
I~

---

1
-84-
1
De même que la relation
(A7-1) de Newton définit le coefficient d'échaJi
ge de chaleur:~la relation (11.50)
:
1
(n.50)
~=H S ( Cao - Cp ).
1
définit le coefficient global moyen de transfert massique HIs étant la surface
d'échange; la grandeur adimensionnelle d'échange massique équivalente au nombre
de Nusselt est alors le nombre de Sherwood
(Sh)
. Sa valeur moyenne globale
1
Sh est telle que :
(11.51)
sh = H L ID
Î
(11.49)
,
(11.50)
et
(11.51) entratnent
1
(II. 52)
Sh
IL 1
n FDS (C 00 - CP
i
1
On obtient ainsi, grâce à cette relation et ~n mesurant COQ ainsi que
le courant limite de diffusion qui,
lorsqu'il est atteint)implique la nullité
de Cp,
la grandeur d'échange global Sh . Les autres grandeurs sont na~urellement
supposées connues.
Il
1
r
1
En théorie,
i l est possible d'acceder
aux grandeurs d'échange local
en réduisant la longueur de la surface active par vernissage, la différence
.
J
des courants enregistrés pour deux longueurs successives très proches L 1 et L 2
devant donner le Sherwood local Sh
, relatif au point x égal à
(L..,.l..Z)/2.
x
En effet, à la réduction de longueur de Li à L
correspond la réduction de surface
2
I1S:: 5 ... -52 et le flux local foi~crit :
1
~ x. :: (1.., - I2.) / n F:: h)( C51 - S2. ) (c.QQ - c. p )
1
Le Nombre de Sherwood local Shx est alors égal à
1
1
En réalité, les arandeurs locales obtenues de cette manière ne sont
justes que lorsque les réductions de longueurs sont très petites, de l'ordre
millimètre notamment, ce qui n'est pas réalisable dans la pratique.
1
1

---

1
1
-85-
1
1
11- LA METHODE
1
11-a- La technique électrochimique
Avec de l'eau distillée pour solvant, on réalise une solution èont l~
1
soluté électrolyte est l'hexacyano-ferrate de Potassium
K~ Fe. (C"'l)6 et qui
3-
contient donc des ions Fe
(CN)
6. Dans celle-ci sont plongées une élect~ode
1
appelée contre-électrode et l'électrode dite de travail constituée de ~a partie
du dièdre recouverte de platine.
Une tension électrique imposée à cet~e dernière
1
et supérieure à la tension d'équilibre provoque la réaction d'oxydo-réduction
suivante :
1
3-
4-
Fe
(CN ) 6
i" è. f--. Fe (CrJ)
o
où l'échange électronique à très grande vitesse sur la surface de l'é~ectrode de
1
3-
travail est limité par la vitesse de diffusion du complexe ionique réactif Fe
(CN)
6
entièrement consommé au niveau de l'échangeur,
lorsque la surtension atteint une
1
valeur élevée. A la solution est ajouté un électrolyte-support
(KCLÎ
en grande
1
concentration afin de minimiser la migration des ions réactifs. L'enreoistrement
du courant d'électrolyse fait apparaître un palier, à tension imposée croissante
lorsque Cp = O.
1
11-0- Le dispositif expérimental
1
Conçu pour créer une surtension à l'électrode de travail et en~earistrer
1
le courant d'électrolyse produit,
i l comporte:
un potentiostat de marque TACUSS.SL de type PRT 20 -
2x inè:'qlJant les
1
valeurs de la surtension imposée et celles de l'intensité èu courant ~a~ affi-
chage électronique direct.
1
.
Une cellule électrolytique constituée d'une cuve en PVr ?lacRe dans
1
un volume important d'eau immobile dont la température est maintenJe ~o~stante à
l'aide d'un thermostat; y sont plongées:
1

---

1
-86-
1
1
- une électrode de référence au calomel saturé dont le potentiel cons-
tant est indépendant du réactif
1
- une contre-électrode permettant de boucler le circuit coura~t, elle
est constituée d'une feuille de platine.
1
-
l'électrode de travail limitée à la partie du dièdre sur laauelle
1
est plaquée une feuille de platine de 0,5 mm i sa surface est beaucoup plus
faible que celle de la contre-électrode.
1
Afin d'étudier l'influence de l'ouverture angulaire ~ du dièdre ainsi
que l'effet de sa position par rapport au repère orthonormé Ro
(annexe 5)
fixe
j
~
dont l'axe OZD
est constitué de la verticale du lieu, nous avons adopté le dis-
positif décrit dans la figure 3.ai
Il a été réalisé au laboratoire de physique
1
et de mécanique des fluides
de l'Université de Poitiers, sur les conseils fruc-
tueux de Pierre HUMEAU.
Immergé dans la cellule galvanique, ce dispositif est
entièrement en PVC à l'excQption de la partie active du dièdre i
i l permet de
1
faire varier de manière abscrètela valeur des angles
et
e i il est peu
encombrant et simple.
1
Le dièdre est fixé par sa partie inférieure grâce
Il
à des vis en P.v.c.
à des rainures qui correspondent aux valeurs choisies de ~ (figure 3·b)
elles
~
sont situées sur un disque tournant autour de l'axe OZ, confondu avec l'arête
1
du dièdre. La rotation de ce disque correspond à la variation entre ° et 90° de
~
dont on maintient la valeur choisie, en fixant le disque sur la plate-for-
li
me par l'intermédiaire d'une vis ~e blocage. Cette plate-forme peut tourner au-
tour de l'axe horizontal Oyo.; cette rotation, mesurée à l'aide d'une équerre
fixée sur l'un des deux piliers de support de la plate-forme, détersi~e
Il
la
valeur de l'ange e qui, une fois choisie, est maintenue fixe grâce à des ergots.
~
L'angle
arbitraire, a été choisi égal à ° pour l'ensemble des mesureJi
effect~ées.
1
Les valeurs discrétes de ~ déterminées par l'usinage des rai~ures sont,
en degrés i
1
30, 60, 90 et 135.
1
1

---

1
-87-
1
1
1
1
t
1
1
1
1
1
1
1
'. '.. ."......'........'..
1
1
1
1
1
1
I~
1

---

<;6200
l .
1
B
-+----
o
0
~~'E~+ orI<,;ri-s_J<..è\\l
(J
~
III
~
1
c~
1
/
/
/
S U-f,.
lB
A 'I~"1-C\\J
1
~~
1
1
1
1
~
~
t
1 .360
-- 8'
COUPE
8.B'
VUE Of: OE55US
-ft> •
.,()
H,4TlfR~:
,Pvc-
1
en
co
1
- - - .. - -
EclJelle ..· ~ '0/..,
_1 ~1Jr-~A" - -
- - - -- -

---

1
1
-89-
1
1
Celles de
e sont en degrés également
-
45 1 -
30 ,
0
l
+ 30,
+ 45.
1
Celles de ~ également discrétes sont
1
o , 30 , 45 ,
60
1
90.
J
L'objectif étant d'établir des correlations générales entre ~o~~re de
Sherwood moyen
(Sh ) et nombre de Rayleigh
(Ra = Sc G ra cos
e ):t sous ;':0 forme
1
généralê
1
A2
(II. 53)
sh
Al Ra
1
Pour obtenir les nombreuses valeurs nécessaires du no~bre de Rayleigh J
on fait varier :
1
- la longueur L prise dans la direction de l'arête du dièdre et
1
figurant dans le nombre de Grashoff :t.
1
-
l'angle e
1
Bien que les angles ~ et ~ n'interviennent pas dans l'espre5s~8n choisie
du nombre de Rayleigh, l'influence de leurs variations est étudiée. :es mesures
2
0 -1
- 2 ,
sont effectuées à deux concentrations
(C
1
oo = 5 10 -
moles
l
et ?6.
10
moles/l/
1
1
1
3
:t
Gro
g L
(Pao - f p) / f 00 V 2
Gr
Gro
cos 8
1
fp et foo étant les masses volumiques calculées respectivement à !..a s'..Ir:ace
0P la paroi active et loin de celle-ci à l'infini.
I~
1

---

1
-92-
1
1- Aux inclinaisons négatives du dièdre
(valeurs négatives de
e
1
tendant à favoriser le décollement de l'écoulement)
et pour t
= 0, la transi-
, -
tian assez nette entre le régime laminaire et le régime turbulent se fait autour
8 7 8 8 9
'
de Ra égal à
10
(entre 10
et 10
pour
e =-45° et entre 10 et 10 :Jour e ~ -30')
quelle que soit l'ouverture angulaire ~ du dièdre qui, en régime lami~aire, n'al
3
pas d'influence sur le transfert, alors qu'en régime turbulent
(Ra)
10
), autant
pour e = -45° que pour e = - 30°, on observe une gradation du nombre de Sherwoodl
moyen en fonction de
~
. Si les valeurs obtenues pour la plaque plane
(~= 180 .
et pour ~
1~So sont pratiquement identiques, elles sont en revanche assez su-
~ ~
Il
périeures à celles qui correspondant aux valeurs de
90°
; ainsi dans ce cas,
l'augmentation de ~ tend à accroître l'échange global.
1
2- A la position verticale du dièdre (figure 3.3.) il n'appara~t
pas de régime turbulent dans l'intervalle de variation étudié du nombre de Ray-
Il
leigh ; en outre,toutes les ouvertures ~
sont équivalentes du point de vue de
l'échange global.
1
3- Aux inclinaisons positives
( e
30° et
e
45°,
figures
3.4. et 3.5.)
remarquons :
1
que les grandes ouvertures
(2S = 180° , lS = 135° et lS = 90") sont
1
équivalentes et ne mettent pas en évidence de régime turbulent
(1 seule droite
de pente 0.24)
1
- qu'aux faibles ouvertures
(2S = 30°
et ~ = 60°),
le régime est d'abord laminaire puis turbulent; dans la zone laminaire,
les deuil
valeurs d'ouverture étudiée n'entra1nent aucune différence alors que dans la zone
turbulente,
la plus petite ouverture favorise davantage le transfert;
en outre Il
la transition entre les 2 réqimes intervient plus t6t pour la plus petite ouver-
ture et la plus CJrande inclinaison
(figure 3.5.):
pour
e
8
=
45°, aut:our
de Ra
:0
lorsque ~
JOo
1
'~
lo:::::que
a
6~o
autour
de Ra
::J
v
•
1
1
1
1

---

1
1
-93-
1
1
pour e
30 °
vers Ra
lorsque ~ = 30°
10
'V.
entre
Ra
et Ra = 10
pour u
1
Par rapport aux inclinaisons négatives, la transition entre les =
régimes, si elle existe,
intervient plus tard et les petites ouvertures semblent
1
plus performantes que les grandes dans la phase turbulente ; cette consta~ation
tend donc à confirmer l'hypothèse qui a motivé en partie l'étude entre~r~se ici.
1
4- Les effets de la variation de l'angle ~ , étudiée notammen: ?our ~
1
égal à 30°
(figures 3.6.- 3.8.)
n'apparaissent pas de manière évidente: on
observe c~pendant la tendance suivante: lorsque l'inclinaison 8 prend ses valeurs
1
positives (figures 3.6.b et 3.8.a;), dims le régime turbulent,
la vale'..lr -je
Cf'
égalf' '1 ()O correspond fi un meillAur é(~hange d'autant pl11S marqué que e c,,"Ji':.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1·
1

---

.
IOj(~)
.-
log
(Sh)
,
-2
'-2
(a)
Cm
=
S la
mil
(b)
CQO
= 9.6 10
mil
-
/
- ':f
-)tA
~aA~
a
1
~~
•
..
,
•
..
2
",
A
•
•
)t
•D
•
X
D
~
1
./
~
ID
.t:>
1, 5
-
1
••
a
/'
•
1
"
1
6
7
8
9
lo~ (Ra.)
6
7
8
9
log (Ra)
IHO"
• '~ 3bO
Figure 3.1. Variation du nombre de Sherwood moyen
(Sh)
JI
'90°
en fonction du nombre de Rayleigh
(Ra)
A
60°
(e =- 4r; 0 l 'f = 0 c)
D
",'36°
- .. 61uvf!t~llr""""I:,~) dRdt"e- - - - - - - - .. - .. - - -

---

- -r - - - - - - - - --
log
(Sh)
log
-
(Sh)
- - - - .. - - -
-2
-2
(al
Cm
= 5
10
mie
(b ) Ccg = 9. 6 10
ml l
•
J\\ -
a
•
•
1 •
116
•
.t.~
/~
2. L
•
1.
a
"6
a
•
.a
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•"6
a
1
(!)
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1.5
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1
1
1
1
. -
6 .
7
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9
10
6
7
9
10
log
(Ra Cos e )
100
(Ra cos e )
g
180
0
Figure 3.2: variation du nombre de Sherwood moyen
(Sh)
135
en fonction du nombre de Rayleigh
(Ra cos e
~
90 0
(Eh-30° f=O")
60
A
a
a
30°
O... "e 1" l:ur8 ''''jUIO;r8 ( lS) du di ~ dre

---

-
log
(Sh)
10CT
(Sh)
- '/
-2
(al
Cao
:;
10 -
m/ l
(b)
Ccc
9.6
10
mil
,.,
;J.f'
"':
6\\
/1f
2.
,IJ
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...
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,.
1
(!)
1.S
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1
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•
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6
7
8
9
10
lo~(R~)
I09(Rq,)
0
1.80
Figure 3.3. Variation du nombre de Sherwood moyen
(Sh)
°
•
135
en fonction du nombre de Rayleigh
(Ra cos e )
..
1-
90 "
( 9: 0°)
A
60°
•
?JOo
- - O....tl.lr~u'.....)dIll!laJ..8- - - - .. - - - - - .. - - -

---

-• -.
18g
( Sh)
- - - - - - - - -log(Sh)- - - - - .. - - -
-2
-2
mil
(b)
CCl)=
9.6.
la
mil
(a)
CCXI
=
')
la
•
,
a
.
Y•• 2 l
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6
•
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1.0
t
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1
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1
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1-
1
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1-
~
___-1.._______
1
1
~ 1 1
1
.J..
1
1
. .
f,
7
H
'J]oq(Hacos9)
()
7
fl
<)
10q(Ri\\Cos,9)
0
160
F'i'llln'
1.11.
Variation du nombre de Sherwooci moyen
(Sh)
0
• 1 35
en fonction du nombre dt' Rayleiqh
( Ra c0gel
IC
90 0
(9::1'30")
A
60°
0
a
30
Ouvertllre Qn~lj'Qire (1S) du dièdre.

---

log
( Sh)
loq
lSh)
_ ri
-2
(a)
C c;o
~j.l0~m/l
(b)
Cao
=
9.6 10
mil
a
. ,
a
a
4
JI
6
Jt
:;~
~ "•
a
2..0
a
2.0
·
./~
~
••
~
a/
•
D
9M
a
A
".
.,
1
1.5
<.0
1.5
(Xl
1
)
6f
•
6
7
8
9
10, ( RA. c;o&8)
6
7
8
9
log (Ra ces 9 )
1~o
135 ,.
Il
90"
Figure 3.5.
Variation du nombre de Sherwood moyen
(Sh)
0"
en fonction du nombre de Rayleigh
(Ra C.Q3& )
4
6
0
a
30 0
(9 = + 45
)
_
lIJIIJIfu~""'e ,,"ai,.,,) dlillÏi clr . .
_
_
_
. . .
_
_
_
_
_
. .
_
_
_

---

..
log
(Sh)
log -
Sh)
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
.lC
....
JI
•
or
...
.'
Il
0
2..0
r. :'
,A
,.
2.0
0
Ft
le
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.,
...
Al
~
6~~
Ala
1
U)
~.:.
~
U)
1
1.5
1.S
,1'
ai"
D
(b)
lS = 30°
(a)
~ = 30°
e
e = 30°
=-30°
~,
~
' t '
1
1
(,
, .. 1. L
:-
ol.J~--------.JIL---------..L.---------L.- ......
1
7
f1
!
1
•
q
G
7
u
,
h1Ll
(Ra
cbs e )
0°
.,. ~Oo
Piqure 3.6 .
Variation cil! nombre de Sherwood n1UYt'll
(5h)
•
Q
4S
~'n fOIlCtil'11 d'I flolllDre Je H<.ly.lcilJIl ( 1'.1
cc.m e )
et pOlir ,li ff{"-"lll ,'s
v.ll"lIr,; ,i,'
'f
&
60°
, .900
Vailluts de ~

---

log
(Sh)
log
( Sh)
1
• f ~
t.
, t
il'"
'"
.
~
2,0
1
..
'!
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.,
•a
•
t,
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•
1
t-'
o
.Il
o1
5
.~
1 ,5
",.
,.
A
,..
(b)
1S = 90°
fil
(a)
~ = 30°
'ft
9 ""-45°
(3 =-45°
loCj (Ra cooS9)
6
7
8
9
'o~ (Rac..os9) (;
7
8
9
0°
Il
30°
Variation du nombre de Sherwood moyen
(Sh)
• 45"
Figure 3.7.
en fonction du nombre de Rayleigh
(Ra oos 9
6
6 0 "
-g.
et pour différentes valeurs de ~
-
- - - - - - - - - - - - - - - - -

---

- -- - - -- - ---------- - -
1~(Sh)
log
( Sh)
1.0 1
1
1
1
'
~
G
7
8
9
'o~ (Ra. cose) 6
7
u
'J
log
(Ra ces
•
0°
IC
30°
• ,. 5e
ri, 1'11-"
J.n:V."lri<ltion dl1
nornhn"' (ip Sherwoon tTloyen
(Sh)
en
fonct ion du nomhrp de RayleiCjh
( Ra cos a
6
, 60°
90°
et pour différentes valeurs de f
•
'Valeurs de li

---

1
-102-
1
1
II- SUR LE CONTROLE OPTIMAL DE LA CONVERGENCE
1
II-a- Contrôle de la continuité
1
La suppresion de la pression (II.31) comme variablE dépenèa~te dans
1
l'équation (II.32) et la satisfaction de la continuité en i~~roduisa~t dans
l'équation de Navier-Stokes
la constante de pénalisation
~/~ fai~ :ouer
1
à la ~aleur de cette dernière un rôle important dans la rec~~rche de ~'incom­
pressibilité totale et par suite, de la convergence vers la 30111tio~ exacte.
1
Le point de départ de cette étude est la définition que nous donnons è-e l'''in-
compressibilité élémentaire "(ie) à partir de la relation (11.26 a) i~ter­
polant le champ de vitesse à l'intérieur de l'élément:
1
(IIL1.)
ie
1
C'est le résidu relatif à l'élément e obtenu P~t dérivation des
1
X
~
fonctions-tesa LN et par sommation suivant (III.!.).
VHj
représente, pour
cet élément, le champ de vitesse nodale établi par le calcul. La cc~tinuité à
l'intérieur de l'élément est ainsi d'autant mieux satisfaite que la valeur de
est proche de 0, ce qui évidemment dépend de la valeur prise par la constante
À /~
. L'incompressibilité moyenne globale (im) est la moyenne arithmétique
des incompressibilités élémentaires déterminées dans la sous-régio~ fine en re- 1
gard de la paroi "active".
Les résultats obtenus dépendent de la valeur du noë.!Jre de ?randtl. Nout
en avens choisi deux
0,72 qûi cerrespord ù l'air pris à 30°C 0.nv:~or et
11':Jü correspondant à
la solut~::Hl. "'lèctrolytiqll'~ cp1e nous avons uti::s"'e dans
1
11~xpéri~entation.
1
:1-a-!. Fa~bles valeurs du :10r:ü:;r", j", Pr-anèt.l (Pr: O.:J 2. )
1
Nous avons mis en oeuvre à la fois l'algorithme de Newton-Raphson et
1
1

---

1
1
-103-
1
celui de Picard, afin de les comparer. Bien que l'allure des courbes loç (im) =
1
f
(log (). / )Jo»
soit très différente dans les deux cas, les résultats sont con-
vergents ; on note :
1
. Si on emploie la méthode de Newton-Raphson, une inflexion ~ette de
8
a
la courbe (figure 3.9) pour une valeur de
Âlj4située entre la
et la" à laquelle
1
correspond la plus grande incompressibilité.
1
. Si on emploie la méthode de Picard, l'apparition d'un pal:~r à partir
8
de
)./}4
égal à 10
(figure 3.10 a). On peut encore considérer que c~t':e valeur
assure l'incompressibilité et la continuité maximales.
1
La figure 3.11.b reproduit la variation du nombre de Nussel': moyen
1
en fonction de
~ / }Jt
La courbe confirme le résultat précédent
c~:"\\"': les causes
apparaissent, si l'on examine les figures 3.12. a et 3.12.b où l'on a représenté
1
pour chaque valeur de
À / ~
, les incompressibilités élémentaires : e;-. effet
8
c'est pour
À /p = 5.8.10
que l'on observe à la fois la valeur la pl~s faible
de lm et la plus grande "continuité" d'un élément à l'autre
entre les incom-
1
pressibilités élémentaires. S'établit ainsi le critère devant permet':re de choi-
sir la valeur de la constante de pén alisation )/~ en convection therffiique
1
externe naturelle.
1
II-a; 2. Grandesvaleurs du nombre de Prandtl (Pr = 1190)
Pour des raisons d'économie, nous n'avons utilisé que l'alç~ri~hrne de
1
Picard. Si l'incompressibilité moyenne est une fonction croissante èe
~ /~
(figure 3.10.b), le nombre de Nusselt moyen, en revanche, atteint rê~i~ement un
1
3
palier, à partir de À /)4 égal à 10
C'est la valeur à partir de la~~E:le le
critère que nous avons établi précédemment est vérifié. Co~me le déc~~t~e la
1
figure 3.12.c, où l'on peut en outre, noter par rapport au cas où le nc~re de
Prandtl est faible, des incompressibili tés
plus élevées. Celles-ci a°..;gr::entent
quand
À / ~
croît, alors que les températures trouvées aux faibles valeurs
1
6
de À //4. sont incorrectes ; .À / tt = 10
nous apparatt satisfaisant è. teus les
égards.
1
1-
1

---

1
-104-
1
1
II-b Satisfaction des conditions limites à l'infini
C'est la constante
1
U (A4- 1) qui contrOle la satisfaction des condi- 1
tions fixées à l'infini, en amont de la paroi chaude et en regard de celle-ci.
Comme elle permet d'imposer ces conditions à une distance plus ou moins grande
de la paroi rp , sa valeur a nécessairement une incidence sur la continuité des
champs de vitesse et de température; c'est ce qui appara1t nettement sur la
1
figure 3.13
où l'on compare, pour Pr = 0,72, le champ de températ~re obtenu
pour différentes valeurs de U avec la solution exacte tirée de la référence [70]1(
II-b.l. Faibles valeurs du nombre de Prandtl (Pr = 0,72)
1
On observe quelle que soit la méthode employée (méthode de Newton-RaPh~
(figure 3.14) et méthode de Picard
(figure 3.15»que la valeur optimale du nombre
13
l'in-I
de ~usselt moyen est obtenue pour U égal à 10
: c'est à cette valeur que
compressibilité moyenne globale est la plus élevée (figure 3.16):l'inflexion de
la courbe est bien nette.
1
II-b. 2. Grandes valeurs du nombre de Prandtl (Pr. =1190) .
1
La résolution effectuée via l'algorithme de Picard fait apparattre
sur la figure 3.17 représentant la variation du nombre de Nusselt moyen en fonc-II
7
tion de U un palier très marqué. Celui-ci commence à U égal à 10
environ. A
ce stade,il est permis de penser que toutes les valeurs de U prises au delà de
sont équivalentes, mais l'examen du comportement du nombre de Nusselt local
21
(figure 3.18) établit que les résultats sont meilleurs pour U = 10
1
II-c. Vitesse de convergence en fonction de U
1
Nous avons représenté, sur la figure 3.19, la variation AX/X en fonctior.
de U, X étant le vecteur contenant l'ensemble des
.
solutl.ons
~
(V, 9 1 ~r)
:
1
vitesse
température, multiplicateurs de Lagrange. Pour les deux valeurs du nombre de
Prandtl, on observe une accélération de la convergence (plus forte pour Pr =119011
1
1

---

--- ---- - -------- - - - --
log 1lml
2
5
10
15
o
log
( À / ~
)
-1
1
t-'
o
-2
Cf
-3
-..1
-')
Pr = O.'1~
H
Figure 3.9
U
= 10
Incompressibilité moyenne globale
(lm)
en fonction 'de
la constante lie pénalisation
( À / f! )
(méthode de Newton-Raphson)

---

o
5
10
15
log
figure 3.10
Variation de l'incompressibilité moyenne globale
f
(lm) en fonction de la constante de pénalisation ( À 1)4 )
(méthode de Picard)
1
1

---

1
log (Nù)
-107-
Valeur exacte l
1 1,3 - - -- - - - - - - - ~- - - - - - - - ---. - - - -
1
•
•
•
•
•
•
•
1 ,2
1
1 1,1
(a)
Fr = 11 S a
1
u : -:o·n
1 0
2
4
6
8
10
12
14
>s
log ('AI;;.
1
Figure 3.11
Nombr.. de. tluS'.>elt II'l0Yl!.n (N:;) en fon<.t;ol1 de./ct col't{Q"te
1
de pénalisation À 1f'
(Méthode de Picard)
1
1
1
Laa
(Nu)
1
1),4
1
0,3
- - - - - - - - - -"
1
1
i
valeur exacte .l
0,2
1
(b)
Pr:O. 1 .2
- iOn
u
1 0,1
I~
()
or
2
4
6
8
10
12
14
.C
1
( À 1ft)

---

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0.12
0.19
7.5.10
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1
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0.10
0.15
6.1 10
1
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4.1.10
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1
1

---

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
l''iqure 3.13
Température
(9)
en fonction de 1
pour différentes valeurs de la
constante U et â
2 cOtes X == x/L
~
-1/4
. ~
==
(y/L)
(Gr ll 4 X)
(b)
X
2/3
(a)
X
1/3
e
B
1,0
01'3
.. \\
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0,8
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.
2
3
4
5
6
.'1
1
2
3
4

---

Fi9';1,re 3. 14 : Variation du nombre d. NIhS.Jt ""oyen(/'I~:> en Fon,tion
Nu
de la constante U modélisant la zone infinie
( méthode de Newton-Raphson)
3
exacte
2
____rvaleur
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- -
..
-- - --
1
1
~
~
1\\)
, \\ ,
Il
1
:> 1
~
~1
1 5
\\
20
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t
2
:3
Pr : 0.1-1
(À/f')
9
= 0.58 10
4.
--------------------

---

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..
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'
Nu
l
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2
1
1-'
1-'
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1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
log U
Pr:
o,;~
F igun~ j, 15 :
Nort) b,.e de tiu5Gelt moyen (N~) en fonct,on de la. COflfi tan te
"If' -
Il
.1 •. lI\\utl.;j i~>.l! jlln .1.' 1,1
U,',:::' 1u'
',':(1I1'-
i l'lfiTli.,.
(mpthodf' nf' PiCdr<1)

---

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' ...
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6
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5
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8
= 5.8 10
4
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1
5
10
15
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1
log U
-{
1
1-'
1-'
-2-
f'
-3
-4
-s
-6
1
Figure 3.16 . Incompressibilité moyenne globale (lm)
en fonction de la constante U modélisant la
zone infinie (Méthode de Newton-Raphson)
" '~;
--------------------~

---

----------- - - -------
Nu
~o
~
Valeur exacte
15
1
t-'
t-'
(Jl
1
10
Figure 3. 17
: Nombre de NuSlOe/t moyet> (Nij) en
fonction de la constante U de modélisatiol
de la zone infinie
(Méthode de Picard)
1J
5
Pr ;: 1190
>'/p =0.5 B 10
5
la
15
20
r031,.;

---

Figure 3.18
Nombre de Nusselt local
(Nux)
en
fonction du nombre de Rayleigh la>cal. (Rax) 6
(méthode de Picard)
Fr: 1190
)..//"0 = 5.8 1.0
',.
log
(Nux )
log
(Nux)
5
1.5
.,t
-0,}
a
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;J-
1.0
1
l.
t-'
t-'
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...
0.5
'1 .
Valeursde U
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•
10
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•
10
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A
10
A
10
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10
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10
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5
5
b
6
À/fi = 5.81.0
>'/)-'0 = 5.8 10
(b)
Pr = o'+G-
Pr = 1190
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t
_ _
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Vlll'~;~;" .It' ('()flVI'rq"IH""
(tJ. x/x)
"fi
fonction de 1.-, constante <1" mo,h'lisi1tion de la zont"
infinie
(li)
m~ thod.e de Po"c.<.JI"d..

---

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Il
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0
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~
Figure 3.20
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::\\:tl tJ. ~
taille des éléments finis
(Al)
I~ ç-
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.....
::.
...
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1/
Il
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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - J

---

1
1
-119-
1
1
suivant une loi quasi linéaire. La pente est égale environ à 0,95 pour Pr= 1190.
Bien que
A x/x tende vers 0 très vite, au bout de 3 itératioEs, les
solutions obtenues deviennent mauvaises au delà d'une
valeur :imite de u qui
1
se situe:
1
1'1
~our Pr
0,72 vers 10 -
2'. .
.
pour Pr
1190 vers 10 -
1
1
II-d.
Influence de la taille de3 éléments
La décroissance de la taille Al des éléments situés ë~~s la zone :ine
1
en regard de la paroi chaude, entratne évidemment, outre l'au~entation du
nombre de points où vitesse et température sont calculées, :'a-;l~JraciG~ :e
1
la précision du calcul
(figure 3.20).
1
III - SUR L'EFFET DE CHEMINEE A L'INTERIEUR DU DIEDRE
1
L' intéraction des couches-l imi tes engendrées par chacun ~~'" plÔl:1s ·L dièdre
1
produit,
au voisinage de l'arête principale,
un effet particu:~er qUI se ~3nifes-
~(. le ~ong de la diagonale principale par l'existence d'un 001~r j'ir:lex~èn
1
ians la variation de la composante horizontale du champ de vi~~?sc. ~ nor~~ con-
~aissar~ce, il n'existe pas de traValJX expliquant rie façon S~~_~f3~3a~:e l~ nais-
sance G~ ce phénomêne. Seul l'examen, que nous effec~uons ~a~
_~ 3~1~e, des champs
de vitess':" et de tempér:lture dans toute
la "région-limite";Je
:, nC':re 'O':i3
1
,"clai1'er l'origine du fait: trirlimensionnel appelé "effet de
.
-
:~~~l;)ee.
L'é,"=';de
faite
Lei est relative exclusiv~ment aux grandes valeurs d~ n~~bre de Pra~jtl
1
1
:nterpcler champ de vi~esce et champ de temp6rature est avant~~eu~~ doubl=~ent
j'lJrle pélr~, elle correspond aux conditirms réalisf':es au co'-,rs ~e 1.a 'Jérif~:at:i0n
pxp~rimen~ale, d'alJtre part, elle permet de réduire substanti~:lement le ·.Jlume
1
n{'Ct~ssair'e au stockage en mémoire des matrices de grande tail&"è' BM,-..,j et ;.cM~",j
Cependant.
il nous semble évirlent que les résultats qualita~1~s que nous ~§gagerons
I~
sont él'Jssi valables ;;lUX faibles valeurs du nombre de Prandtl.
1

---

1
-120-
1
1
111.1. Cas de la convection naturelle pure
1
Sur les figures 3.21 b et 3.21 c, nous avons représenté le profil
des vitesses horizontales pour Al (distance entre deux noeuds les plus pro- Il
ches) égal à 1.6 10-3m et pour deux valeurs de l'ouverture angulaire
du dièdre: 30° et 170°. On observe
Il
. tout d'abord, que les particules ont, tout le long de la diagonale
1
principale, une vitesse horizontale parallèle à celle-ci: les effets ciné-
matiques des deux parois sur ces particules sont équivalents. Cette symé-
trie constitue un élément validant la qualité des résultats.
1
contrairement à la convection naturelle le long de la plaque plane,
les vitesses horizontales des particules situées très près d'une paroi
1
ne sont pas toutes dirigées vers celle-ci.
Pour affiner l'observation de ces phénomènes, nous avons réduit
1
la taille des éléments en augmentant leur nombre. Les résultats obtenus et
Il
rapportés sur les figures 3.21 a et 3.22 permettent de constater que :
1
. le long de la diagonale principale il existe bien une inflexion de
la vitesse horizontale près de l'arête du dièdre. Très loin de celle-ci, à
l'infini, on note la présence d'une autre inflexion (figure 3.21 a).
1
La position du premier point d'inflexion de la vitesse horizontale
1
dépend de la côte (Z/L) à laquelle on se place: elle est d'autant plus
proche de l'arête que Z/L est élevé (figure 3.22) ; il s'agit d'une réduc-
tion de l'épaisseur de la "région-limite". Ce rapprochement a une conséquenl
importante qui met en évidence (figure 3.22 b)
: d'une part, sur la par- ... 1
tie de la frontière
située à l'infini, loin des deux parois, la vitesse V
s'annule puisque l'effet d'aspiration n'atteint plus cette zone; d'autre
part, les particules situées très loin du plan 1 par exemple subissent
1
moins 50 n "influence. Leurs vitesses horizontales sont dirigées presque droit
vers le plan 2.
1
1
1

---

1
-121-
1
1
1
Que l'on seit- pr';'O rj:J "ccl'1:l-rJ'at.taqu'O" ou non, on ,c;r;-,e.rquc; c.;", si
l'on s'approch~ de l'arête du dièdre en longeant l'un des ç:ans, les vi-
tesses horizontales des partic\\Jl~s s'orientent progressi~e~ent ~ers la
1
direction de la diagonale princIpale. Cette tendance rlOYS apparai~ ainsi
1
comme la cause de
:3
vitesse horizontale. do~c
1
Pour ~aractéri3er rt3vant~2e calui-Cl e~ étudier co~~ent i: ~~
man i [es te lorsque l' 0uver bJY'e 'In€U 1'3 i re 1S va rie, neL: S ave. ~-_ s !,pprc,j;~ ~ t:
1
sur les figures 3.23 et 3.24 respectivement,
les champs je ~itess~
ascensionnelle et de températur~ ~ la côte Z/L = 1. Nous re~arquons que
1
. quelle que SOIt la val~ur de ~, LI existe le lar~ ~e ]a d13~anale
1
principale très près de l'ar§te, un point Mo oG la vites3e asce~s:n~elle
West plus élevée qu'aux autres noeuds situés à la même
valeur maximun de West pratiquement constante lorsque~ osr inf~r:~u~ ou
1
égal à 90°
; elle décroît ensui te lorsque 1$ croît.
Le rar;;r-;chemen': d'?s
deux plans du dièdre engendre ainsi un effet d'accéléra,:ior. en t~o.
1
la valeur la plus ~levée de lu température corr~spDnd 3U ;oi~t
1
Mo.
Par rapport à l"Juverture "n'Tilairp-lS. elle varie de 1& [TIê...,,,, :'"ar.~ere
que la vitesse ascensionnelle fTlaxj~~m.
1
1
1
le nombre Je Prandtl vaut 0,72 ~st bien ~Dnn'l. Nous COm[3r~nS, sur _es
figures 3.25 " e~ 3.:'5 b, les r[3'.1;'~i1ts que nous avons:~t,:"i.JS pour di:férentE"
valeurs de la e::mstar.-:'e U et pm:r Grxi Fex 2= 1, avec COJX établis dans la
1
réf~rence
Gue la conrordancD ~~~ bonne.
1
1

---

1
-122-
1
1
Les figures 3.25 cet 3.25 d reproduisent nos résultats, relatifs
cette fois -ci au cas où Pr = 1190. Comme on pouvait le prévoir, on cons-
1
tate que les couches-limites dynamique et thermique sont plus faibles.
1
En convection mixte à l'intérieur du dièdre, comme en convection
naturelle pure, on relève l'existence sur la diagonale principale d'un
1
point Mo où la vitesse ascensionnelle et la température atteignent si-
multanément des valeurs maxima (figures 3.26 et 3.27). Par contre;
1
lorsque ~ croit entre 30° et 90°, la décroissance de la valeur
maximun de West plus marquée.,
1
1
l'écart entre la valeur de W en Mo et celle prise aux autres noeuds
situés à la même côte que Mo est moins grande .
1
. le champ de température dans la "région limite" est assez différent,
pour~ <90°, du champ de température obtenu en convection naturelle, alors
li
que dans le cas de la plaque plane les profils de vitesse et de température
2
sont nettement modifiés par la variation du paramètre GRx/ Rex
[71])
on note que, dans le cas du dièdre (figures 3.28 et 3.29), l'intéraction
des couches-limites atténue considérablement l'influence d'une telle
1
variation.
1
IV- COMPARAISON DES RESULTATS OBTENUS PAR LA METHODE DE GALERKIN AVEC CEUX
ETABLIS EXPERIMENTALEMENT
1
Nous avons étudié le transfert moyen de chaleur à l'intérieur du dièdl
à partir du champ de température obtenu par la méthode de Galerkin. Dans cha
que direction la température adimensionnelle
a été approchée selon une formeIl
polynomiale. pour donner par dérivation et puis par intégration (annexe 7)
le nombre de Nusselt moyen dont les valeurs sont reproduites dans le tableau Il
C3. Les calculs ont été effectués avec des éléments prismatiques à base
quadrangulaire pour 3 valeurs de l'ouverture angulaire~(300, 90°, 13!0 dans
les conditions suivantes:
Il
Il
1

---

1
1
-123-
1
3
nombre total d'éléments finis: 8
; leur taille h : 1.66 lJ-
1
nombre total d'éléments semi-infinis ou infinis: 19
longueur de l'arête principale:
1 cm
1
3
U •
10+
>'/1-':
8
5.8 10
Fr = 1200
.f:!: 0
2
3
· 510
<Gro <7 10
1
Sur les courbes 3.29 - 3.33,
nous avons fait figurer,
à des fins de compa-
raison,
les nombres de Nusselt ainsi obtenus théoriquement et ceux établis
1
expérimentalement. On peut constater que
:
1
· étant donné la grossièreté du maillage utilisé,
la conver;ence
7
du calcul n'est pas obtenue au-delà de Ra égal à 10
la prise en considératio
1
des grandes valeurs du nombre de Rayleigh(Ra) requiert un maillage plus fin
;
ce qui éléverait considérablement le coût du calcul.
1
contrairement;3 la tcchniqu p
électrochimique utilis<§c,
la méthode de
Galerkin permet d'étudier le transfert de chaleur aux faibles vale"Jrs du nOffibre
1
de Rayleigh.
1
• dans la zone de variation de Ra où les deux méthodes s'appliquent, on
observe une identité totale pour le coefficient A2 de la relation
'II.53) et un
léger écart
) quant à la valeur du coefficient Al.
Nous pensons
~ue cette
différence provient d'une part, de la taille des éléments utilisés:
avec une
1
valeur plus faible de h
• on obtiendrait des résultats plus proches de la solu-
tion exacte; d'autre part du choix de la valeur du coefficient jE diffusion
1
D qui a été considér~ constant.
1
1
1
1·
1

---

'-'Ir "';''\\-.'
... :: ,
'F",
-."t,-t.'
.~ •.;
•. ,0·
-124- ( ..,
1
1
1
maillage fin mettan
bien en évidence
l'inflexion de la
1
vitesse horizontale
le long de la dia-
gonale
1
1
1
-1,
• 1
1
-
1
1
1
1
Î
o
1
,
•
4900
C'-)
c· )
1
Figure 3.21 -
Profil des vitesses horizontales à l'intérieur de
la "région-limite" à la
côte
Z 2 L
Pr. 1190
.
-4
•
(a)
le long de la diagonale principale (lz9Qo
) A1~34JO
m
1
(b) et (c) dans toute la "région limite" Al: 1.610
m
Convection naturelle pure
1
1

---

(al ZIL = 1\\6
1
-125-
1
1
1
1
1
1
1
1
Figure 3.22 -
Profil des vitesses horizontales 3 l'intér:~~r
de la "région-limite", obtenu avec des élé~ents
1 Pr =1190
_LI
Gr =. 256
"prismes-quadrangulaires"
(Ai. = 4J.0
ml
0:90°
15
1 U =10 7
>./~ =5.8 10
1
1
1
t
1
1
1
Iw
(h)
Z \\ L = l
E

---

-126-
1
-1
1
1
..0
•••
1
1
•
.Jt-'-';"~"""';~;";'-'--4------""'''' 1
,
1 - - - -....- - -.....- - - - -...........
1
1
•.0
...
1(.
41.·
1
Figure 3.23~
1
_':1
Vitesse verticale W 10 ~ ad:~ensionnel~~
à l'intérieur de la ltr~g:on-limitelt pol
différentes valeurs de l' ouverture angl
laire ~ , à la cote zlL: l
5
PI' : 1190
U:10
Gr::.
256
>.j,h5.8 10
1
-2
+--....-...Jto---t-~~------f O, 0
L ::. 10
rn
- 3
A1:1. 6 10
9:!:'t'=o
1
1
0.0
'.0
•.0
o
1
li a 90
convection nature11e pure
1

---

1
-127-
1
G.
e.
1
o.
1
1
1
o.
o.
o.
P.
o.
o.
1.~·
•
1f = 1'0
1
1
o.
1
1
o.
• 06
1
1
',L.
--lL-
......
---oI o.
o.
o
1
2S = 1.~5
1
•
l :~
Figure 3.24
TempératureB.(T_Too)
l "T -Too) à l'intér:.
de la~région-limite·pour d~fférentes ouver~
- o.•,
du dièdre; à la
côte
Z 1 L • 1
Pr =1190
o.
o.
7
Gr.
256
~/,. =5.8 l,,)
-2
-3
L
= 10 m
Al: 1.6 10
m
9::'1:1'zo
'}--...--411"--~-"--------1 -.
o •• ,
convection naturelle pure
1
I-
o.
o.
-.
I

---

---

1
_L
~t
-129-
1
r -
..... 0
-1.0
I
O."
..,.~.
,,4.0
1.0
1
/ '
1
,
'"
,
.
1
s
.
1
1
l -~
~ ,
:a
1
1
l ---1
1
ot.o
.A .0
CID
....0
A.O
-4·6
..c.o
CID
lS
}o·
:
l' =1"10·
1
~~
Ji
1
...,
o.~
1
-1.0
1.0
o.,,~
1
O•• ,
.0
.... 0
-l.~"
Î
,l'
8
Il
1
e
1
~
/l
•
1
1 --J
/
A.O
....0
... .0
CO
....0
.... 0
--J
ClO
.....0
1
~ =60°
~ = ~'!>~o
1
~LI.
1
Figure 3.26 :
Vi tesse verticale W/Uoo à l' ::.ntérieur
".0
1
de la région limite pour différentes
ouvertures ~ du dièdre.
2
Grx/Rex
l .
=
1
.0
Pr
1190
-2
L = la
m
1
/,
8
6='f=1'= 0°
1.
l
5
7
~
l
--J
U = 10
'A /
5.810
~ =
1-
.
-3
Al = 1. 6 la
i.o
1.0
(JO
"'0
1
~ = 90°

---

..
' .
.~.
~ ......... ": .. ,,..-~_.... ~; . /~ .. ""-":\\ __~: -~..~.,)j,;.'tf'.
LI-
/-
-130-
1
O.
o. 1
6.~'
1
o.
o.
1
1.
•
1
:8
,
.
:a
~ 1
1 1 l _.~..
j
L-~ 1
o.
o.
CI)
0-
O.
00
o.
0
1
30
·noo
~ =
1S &
1
"
. 0.f4.
.~s
1
o.
6.
O.
0.
o.~
o..a~
1
...6~
o.
• .o~
D. 1
1
."
1
/1.
1
8
/.
:8
~
1
l --~
~
j
1 -.--1 1
o.
o.
o.
o.
o.
co
o.
CID
'lS. 60·
l f : 1~5·
1
_~.L
1
o."
Figure 3.27
Température e: (T-Tao) !(Tp- Tao) à
1
o.
o.
l'intérieur de la région limite pour
différentes ouvertures ~ du dièdre.
o.~
2
Grx 1 Rex
:
l
1
• .0(;
Pr = 1190
D.
-2
L :
10
m
1
ê='f. ='t = 0°
~
u
5
7
=
>../jJ. =
8
10
5.8 10
3
1
Al: 1.6
"'
1
l
O.
o.
---1
10-
Q)
o.
1
0
l$
90
=
1

---

1
-1~1-
1
o.
Jk--__- - . : -....-~~-----
.• O.
/ k - - - - - + - - - + - - - - -.. O.
1
•
15:.A~
'1-----+-....---..............- - - - -.....
1
0.
; t - - - - - ' t - - - -.....- - - - -...... O.
1
1
o.
o.
o.
O,
o.
o.
(b)
1
(Co)
(d)
1
1
.....- - -.......r----...;..-...-------t 0.
'Jr----~---.......-----...... O.
1
+ __-~------....------..o,
1----+----..-------..... 0.
1
1
O.
o.
O.
o.
o.
O,
1
2
Figure 3.28 a,b,c,d,
: température
pour différentes valeurs de~ et de Grx.'Rex
1
1
- ...;
1
.wAtt'+'
/)po------4r_----;lIf--=-----..... .A .0
Â-_ _-~~---+-------.04.0
--4.0
1
I J - -__--+-_-~...------
.....J.0
A--_-~r-----~-------tA.O
- ~·l>1
1
1-
1
Figurp 3.29

---

Sh
200
100
b
•
50
1
1-'
W
N
1
• • dro1te théor1qu8
b • droi te .rpPd"'~ntAle
10
J
Ji
1d
J
J
Sc."
Figure :\\.?9
Nomhrp ,If' Shl'rwoon moyen
(Sh)
en fone Lion du nombre de
Rayleigh (Sc.Gr)
• (lS;; 30°
,e~ 0°)
- -'- -- _.... --- - - - - .. - .. - - ",,-.
_
.. s.'"

---

--~~-~~~---~~~-~----
Sh
200
100
b
•
50
1
......
w
W
1
&. -
drol te th~or i Ol/e
b - droitfll exp'; ri II'pntale
10
1
_ 1_ _
_
~_
1
. .
J
KI
1(1
8
10
te!
-
Sc.Gr
Figure 3.30 : Nombrp de Sherwood moyen (Sh) en fonction du nombre de
H....ylel~~n ("c. Gr).
(lL. 90°
,e = on)

---

Sh
200
100
b
a
50
1
....
W
Â
1
10
a - oourbe th~or1qup.
b - oourbe .%~rlmpntAle
1
-----L__
1
1
_ _
~
.r
-
J
J
te!
,eP
Sc.lr
Figure 3.31
Nombre de Sherwood moyen (Sh) en fonction du nombre de
Rayleigh (Sc. Gr). (~= 135°, e = 00)
,
>?~ç
- - ... -' - .... - - _. - "~,,, .. - .. - - - -".;,

---

-------~-----~-~~---
Sh
200
100
b
•
eo
1
~
w
V'
10
• - oourbp théori~ue
b - oourbe exp~riment~le
1
1
1
1
1
. .
KI
101
ld
J
.!
Sc.Or
Figure 3.32 : Nombre de Sherwood moyen (Sh) en fonction du nombre de
HrI'y lei g Il
(S c.
CI')
•
(lS = 90 o. e c= 115 0 )
J

---

Ih
aga
b
1
.....
W
a.
01
1
a .. courUt:: trl~orique
b • courbt! tixp<.!rllü6lnt4ile
1)
J
J
YJ7
J
1<1
Sc.&r
Figure 3.33 : Nombre de Sherwood moyen ($h) en fonction du nombre de
Rayle igh (Sc. Gr) ;
(~=90 0 , 9:=- 45°)
1
--------------~-----

---

1
1
-137-
1
CONCLUSION
1
1
L'ouverture angulaire~ et les trois an~les d'Euler définissent la
cOnfiguration du dièdre dans lequel ils déterminent ainsi l'intensité
1
de la convection naturelle massique.
1
L'étude expérimentale a permis d'établir pour différentes valeurS
de ces angles: d'une part, les relations corrélées donnant le no~bre
de Sherwood moyen en fonction du nombre de Rayleigh
d'autre par~, la
transition éventuelle entre le régime laminaire et le régime turbulent.
1
Ces résultats non seulement apportent une réponse à l'une des questions
ayant inspiré le travail accompli - le rapprochement de deux plans
1
du dièdre accélère l'apparition de la turbulence, mais encore ils préci-
sent les modalités de ce processus: par rapport au cas de la plaque plane,
1
la précocité de la turbulence n'intervient qu'aux inclinaisons positives;
aux inclinaisons négatives, l'ouverture angulaire~ n'affecte pas, en régi-
me laminaire, l'échange naturel massique global, alors qu'en régime tur-
1
bulent, les grandes ouvertures favorisent davantage le transfert. Celui-ci
à la position verticale du dièdre, ne dépend pas de ~ .
1
1
En utilisant la méthode classique de Galerkin, nous avons, en suppri-
mant la pression via une constante de pénalisation (~/jU), introduit la
possibilité de satisfaire plus ou moins la continuité du fluide. Une deu-
1
xième constante
(U) permet également de respecter plus ou moins par-
faitement les conditions imposées à l'infini, loin des parois chaudes ou
1
actives, en utilisant des éléments semi-infinis et infinis. En prenant
comme exemple le cas bien connu de la plaque plane, nous avons étudié
1
l'influence importante de ces paramètres dans les résultats. Leurs valeurs
optimales doivent assurer la "continuité des incompressibilités élémen-
taires". Selon que le nombre de Prandtl est faible ou élevé, les champs de
1
vitesse et de température peuvent être approchés linéairement ou quadra-
tiquement par des fonctions de forme de la famille de Serendip.
1
Avec le logiciel dont la validité a été ainsi prouvée, nous avons
I~
examiné, en convection naturelle, comme en convection mixte, les champs de
vitesse et de température à l'intérieur du dièdre. Cette étude a permis
d'établir:
1

---

~~:~~
1
-138-
1
1
• qu'il existe bien le long de la diagonale principale un point où
1
le champ de vitesse horizontale subit une inflexion correspondant à une
vitesse verticale maximum; il est d'autant plus proche de l'arête que
1
l'on s'éloigne du "plan-d'attaque".
1
. que cette inversion du sens de la vitesse horizontale (W) provient
de l'orientation progressive de celle-ci vers la direction de la diagonale
principale, quand en longeant un plan on s'approche de l'arête. Très
1
~rès de celle-ci, cette tendance provoquée par les deux plans à la fois
atteint-une intensité maximulI!,qui se traduit alors par l'éloignement des
1
particules de la paroi.
1
Telles nous apparaissent les causes cinématiques du phénomè~e ainsi
dénommé "effet de cheminée" ; il est d'autant plus fort que l'ouverture
angulaire ~ décroît, et il est plus faible en convection mixte qu'en con-
1
vection naturelle.
1
Enfin, nous constatons du point de vue du transfert de chaleur que
1
• localement, quelle que soit l'ouverture angulaire~, il Y a une
décroissance du coefficient d'échange de chaleur lorsqu'on s'approche
de l'arête, en régime
laminaire, le dièdre étant vertical.
1
. la concordance entre les résultats théoriques et les résultats
1
expérimentaux est assez bonne, compte tenu de la taille des éléments
utilisés.
1
1
1
,1
1
1

---

1
-139-
1
1
1
1
CONCLUSION GENERALE
1
En entreprenant l'étude de la convection thermique à l'intérieur d'un
dièdre, nous avons voulu comprendre comment les transferts de chaleur et d'im_
1
pulsion caractéristiques de la plaque plane et bien connus, sont modifiés au
voisinage de l'arête, par l'intéraction des couches limites se développant
le long de chaque plan. Etant donné la rareté des travaux relatifs à ce su-
1
jet, imputable sans doute à la difficulté d'étudier théoriquement une telle
région, nous avons jugé utile de conjuguer la méthode expérimentale en l'occu-
1
rence électrochimique et l'analyse théorique par éléments finis.
1
Outre qu'elle a permis de vérifier chacune de ces deux techniques, "étu-
de de la plaque plane a débouché sur des résultats originaux dont certains
obtenus parCsérendipité~notamment en analyse par éléments finis. Ainsi:
1
1. La méthode classique de Galerkin utilisée:
1
d'une part, en supprimant la pression via une fonction de pénalisation et
d'autre part, en incorporant des éléments semi-infinis et infinis le long de
1
la frontière située loin des parois chaudes ou actives s'applique bien à l'é-
tude de la convection thermique externe. Nous avons, en définissant une in-
compressibilité élémentaire, établi des valeurs optimales des constantes
1
de pénalisation de l'incompressibilité et des constantes permettant de satis-
faire les conditions imposées à l'infini: elles doivent assurer à la fois
1
la continuité des incompressibilités élémentaires et une incompressibilité
maximum.
1
2. L'odre d'approximation des champs de vitesse et de température
rtevant garantir la convergence en convection naturelle comme en convection
1
mixte dépend de la valeur du nombre de Prandtl : aux grandes valeurs de
celui-ci, l'approximation linéaire est requise, alors qu'aux petites, des
1
fonctions-tests quadratiques assurent la convergence.
1

---

1
-140-
1
1
1
3. Pour résoudre le système global
d'équations algébriques et non
linéaires obtenu, la méthode de Picard s'est avérée plus intéressante que
l' algori thme de Newton-Raphson i elle requiert un "volume-mémoire" informa-
1
tique moins important et la convergence, rapide dans ce cas là ~e dépend pas
du choix du vecteur initial contenant les inconnues.
11
1
4. Il est possible d'obtenir des résultats significatifs très près
du "bord d'attaque" i ce que n'autorisent pas les méthodes classiques d'ana-
.
lyse en particulier celles reposant sur les hypothèses de la couche-limite.
1
Une fois sa fiabilité ainsi prouvée, le logiciel utilisé dans le cas
du dièdre, nous a permis de répondre à la question principale que nous nous
1
sommes posée, à savoir la cause de la naissance de "l'effet de cheminée":
si l'examen des champs de vitesse le long de la diagonale principale con-
1
firme l'existence signalée par Leween, Looman et Schenk, d'un point où la
vitesse verticale est maximum, notre apport, original à ce sujet provient
de la prise en considération des champs de vitesse et de température à l'in- Il
térieur du dièdre, dans tout le domaine fluide i en effet nous avons observé
que lorsqu'on longe chaque paroi du dièdre en s'approchant de l'arête, les
Il
vitesses horizontales des particules s'orientent progressivement vers la direc-
1
tion de la diagonale principale, et, très près de l'arête, cette tendance
induite conjointement par les deux plans aboutit à une inversion de la vitess
horizontale: les particules quittent alors la paroi, allant à la rencontre
de celles qui viennent de l'infini. Telles nous
apparaissent les ~auses cinll
tiques du phénomène ainsi dénommé "effet de cheminée"et qui concerne toute
une partie du domaine fluide appelée "région-limite". Nous avons trouvé
1
qu'il est d'autant plus intense que l'ouverture angulaire du dièdre décro~
et plus faible en convection mixte qu'en convection naturelle.
1
La technique électrochimique utilisée, déjà largement éprouvée au
laboratoire, établit pour le transfert moyen de chaleur des résultats qui
1
concordent bien avec ceux obtenus théoriquement par la méthode de Galerkin.
1
1
1

---

1
1
-141-
1
1
Outre la valeur vérificative qu'elle possède dans notre étude, l'ex_
périmentation s'est avérée un complément adéquat, presque indispensable:
grâce à elle, l'intensité du transfert de chaleur moyen a été obtenue autant
1
en régime laminaire qu'en régime turbulent; ce que n'autorise la technique
des éléments finis qu'au prix d'un coût informatique extrêmement élevé.
1
Il ressort également de ces résultats, l'intérêt que peut présenter l'échan-
geur diédrique dans des conditions particulières de configuration de sorte
que des applications en architecture comme en génie thermique nous semblent
1
possibles.
1
Le logiciel .que nous avons entièrement conçu et mis au çoint peut
traiter dans un domaine à frontière rectangulaire, des problèmes variés de
1
convection thermique newtonienne, de la convection forcée à la cor.vection
naturelle en passant par la convection mixte, ou simplement peut servir à
résoudre les équations de Navier-Stokes en "tridimensionnel", la condition
1
générale de Cauchy ou les formes restrictives de celle-ci étant imposées
sur l'échangeur. Son champ d'application pourra être étendu
1
. aux fluides non-newtoniens, "ostwaldiens" par exemple, en modifiant
1
les matrices élémentaires et l'algorithme de résolution du système global
d'équations.
1
• aux domaines à frontière curvilinéaire, en incorporanc le long de
celles-ci des éléments isoparamétriques.
1
1
1
1
1
I-
I

---

1
-I42-a
1
POST-FACE: Ve que je crois.
1
1
J
1
Considerer que la nature exis~e e~ qu'elle est un ensem-
1
1
l
,
,
~
ble de determinismes coordonnes et autoregules est une hypothe~~
qui nous paraît fructueuse et hau"tement pl:O oaole; une d~firiit i f
"
,
,."
qui postule et qui,
par consequent, cree un systeme necessaire
J
. . ,
ment reducteur de la realite correspondante; mais tou~ en por-
tant, sans doute~ les marques de la biologie moderne, ce postul
~at cependant presente au moins deux avantages que nous allons
essayer d'exploiter:
1
1
D'·abord celui de faire apparaître immediatement, dans l'e-
..
volution de notre espece, la fonct.ion des sciences ae la Ha iiu.rl
(dont la physique): decouvrir ces determinismes-là et par le
biais d'une repr~sentat~on qui obèit à des régles spècifiques'I
en donner une image coherente assez belle pour être vraie, mai
,
aussi suffisamment vraie pour être belle et operationnelle.
1
Les axiomes structuralistes ou syst;miques semblent ê~re à la
1
1
Co
oase aes regles de
~ representation scientifique
du monde ex-
t~rieur. A l'instant où il semble que notre évolution, naguèrel
biologique incontestablement, se réalise aujourd'hui sur le
terrain de la 6ulture, la question fondamentale doit être po-
sée: que pouvons-nous et que devons-nous attendre de la scien-I
ce, capitalisée sous la forme discursive qu'elle revêt actuelle-
ment en Occident~ Dans une culture donnée, nécessairement op- 1
tionnelle, discriminante même, comment la mettre en oeuvre
J
"con-sciemment" dans le sens de l'Evolution et par conséquent
pour la libération du plus grand nombreY ~anB prétendre un se
instant, en quelques l i 5 nes, aller au fond de cette importante
réponse qu'est l'évolutionnisme à la question fondamentale du 1
sens de la vie,
il nous paraît u1ile, avan~ a'aller plus loin,
d'allumer une "avant-dernière" lampe sémantique,
celle qui é- 1
claire l'indivIduation:
en effet, ne s'agit-il pas de transfor-
mer notre indépendance génétique quasi-ess~ntiel~e ~n une ori-I
ginalité consciente, acquise, comme l'expllque Sl bIen, dans
1
1

---

1
1
-142-b
une langue plus poétique la génese:
"Dieu attira l'hom::le hors
1
du paradis de l'instinct devenu trop petit pour un organisme
doté d'un cerveau aux potentialités plus vastes,
en lu~ don-
1
nant la liberté de se construire un palais psychologiC1.ue"
•
Nous vivons encore, sans aucun doute, ces moments o~ les saVOlrs
1
contraignants, engendrés par la capltalisation se suos:ituent
aux idées, quant à elles thésaurisées, souvent fausses
et qui
constituent le gros régiment de nos trésors culturels. Les i-
1
dées sont donc des succedanés du savoir qui les remplace quand
elles y ont condult et la Science (au langage à la fois dis-
1
cursif et visuel) est pour ~'lnstant, l'instrument de ~ette
transformation capitale. Notre attention s'est portee èans
1
deux directions qui nous semalent également exigentes
Dien que
differentes ~n ~ubstance. La premlere est celle o~, ~ l'lmage
d1eplnal qUl rédult les sciences pnysiques e~ la ~cience en
1
général à la rechercne scientifique institutionnalisée (des la-
boratoires avec des machines dcuées de pUlssances mystérieuses
1
et autour desquelles s'affairent des "savants" tout aussi inac-
cessibles), pourrait se substituer progressivement, grâce à
1
un effort considérable de vulgarisation scientifique, une réa-
lité: celle d'une science de l'homme de la rue, simple et faci-
le, et qui ne serait pas moins scientifique qu'un abrégé de
1
thermodynamique statistique. La deuxième nous a été s~surrée
à l'occasion d'une réflexion sur la spécialisation et sur les
1
mathématiques en particulier. Ce:les-ci ne pensent pas,
elles
opèrent. A partir des données qu'elles ne choisissent pas, elles
1
poursuivent des nécessités logiques qui excluent le c~oix par
définition; elles sont à la pensée humaine ce qu'un ihstrument
de musique est à l'orchestre. Ce petit détour du cê:é des moeurs
1
intimes des "matheux" dont on a soulevé légèrement le voile,
et qui serait excessivement mal placé ici, si l'on ne prenait
1
garde de noter l'immensité des bienfaits que les mathématiques
nous ont apportp.s, aboutit à la biologie moderne;plAs exacte-
ment à l'épistémologie. Se trouve ainsi mise en relief, la
1
deuxième exigence qui marque l'opportunité que peut constituer
l'étude et l'enseignement des mécanismes "biochimiques" d'acqui-
1
sition ou d'enrichissement. A ce stade, il peut ~tre utile de
1
.
faire appel aux successeurs de Mendeleev pour éclairer le pro-
I~
1

---

1
-142-c
cessus mental qui transforme l'information culturelle en for- 1
mation-intérieuBe. Cette élaboration relève d'une fonction i n ]
tellectuelle consciente qui nous enrichit d'une tournure séman
PI
tique désignée par l'intellection; bien qu'on- ne l'aperçoive
toujours, celle-ci, aussi différente de l'intellectualisme que
la mise en oeuvre
de formes d'énergie renouvelable peut dépas-
ser l'utilisation inconsidérée d'énergies fossiles limitées enl
quantité,
est visible à travers les deux propositions suivantes
que nous vous soumettons; elles sont abstraites mais considérai
blement suggestives par la justesse de leus arrangement: l'in-
formation intellectuelle est une construction physiologique ré-
sultant de l'assimilation des connaissances; seules sont assi-I
milables les connaissances digérables,
c'est à dire c:assifia-
bles. -
L'autre avantage visible de la formule condensée que
1
nous avons adoptée au tout début, réside dans la finesse de 1'('
clairage qu'elle permet et qui découple judicieusement science
et technique:
si la première ne fait que découvrir ces détermi-
nismes-là et ne peut en aucun cas inventer, la foncti~n de la 1
technique est de les exploiter; l'une et l'autre sont en réalité
intimement liées, à tel point qu'est devenue solidement ancrée,
la réalité d'une collusion étroite entre les sciences physique
mathématisées et une technologie souvent destructrice et alié-
nante.La seule véritable question qui se pose alors n'est pas I
de débattre de la neutralité de la science ou des techniques
d~ns les cultures humaines; ne faudrait-il pas élargir le cont~
nu du moteur social qui associe, dans u~e dynamique vertigineu-
se de course aux armements,
l'une et l'autre? On ne pourra pasl
indéfiniment restreindre abusivement la notion de profit à sa
Pl
composante financière,
non plus rester pularisés uniquem~nt
les désirs et insoucieux des besoins réels,
dont le èesOln de
savoir qui est quasi-insatiable. ~'est-ilpas impensable de croi-
re encore aujourd'hui que l'abondance des richesses réelles e91
gendre la pauvreté? Notre objet n'est pas le moins du monde de
nier l'existence de l'intérêt particulier; mais il es~ peut-êtlt
arrivé le moment où devient une nécessité vitale, l'extirpatio',
de la "science économique" à bâtir, toutes ces ratiorU'1alisatior
alchimiques par lesquelles la volonté de dominer et d'avoir
plus que les autres est astucieusement et inconsciemment enve-I
lo~pée de "lois" économiques d~sormais révolues.
1

---

1
-I42-d
1
Pour conclure notre promenade du côté de la nature, qui ne tar-
1
dera pas à devenir sous peu la nature authentiquement humaine,
nous formulons une dernière hypothèse qui a le mérite d'apporter
1
un début d'explication du fait central: l'homme est devenu ca-
pable de recevoir dans sa conscience les messages de l'instinct
et dès lors de comprendre ce que la nature lui veut et de le
1
vouloir lui-mIme. A cette hypothèse, nous ajoutons deux très
belles pensées, dites dans des langues voisines, mais parfaite-
1
ment semblables:"~oici", dit Jean-~aul ~artre, "une table, un
dieu, une cuvette. Ce sont des objets en marbre. Mais, différen-
1
ces essentielles, quelqu'un a voulu que ce marbre devint table,
dieu ou cuvette. Le marbre a été enrichi d'une destination, d'un
destin ... Mais mon cas est tout autre: ... Non destin, s'il doit
1
être le mien, c'est moi qui dois le faire ... " et Jacques uartan
écrlval"t jus"te avan"t a.e s'e"telna.re: " La liberté est le frui't
1
de noe victoire. sur l'ignGrance,et cee victoires nous condui-
sent ~oujours à l'acqu1si~ion de dé~ermini8mes conscien'ts."
1
1
BIBLIOGRA PHIE
SQ:-1MA IRE
C. LEVI-STRAUSS
-"Race et his"toire"-
IJallimara.
1
H. LABORIT et F. ROULEAU -"L'alchimie de la decouver"te"- Urasset
A. TO~'.FLER - "La t.ruisième vague" - Denoel
1
J.M. LEVY LE BLOND -".t'esprit de sel" - fayard
J. RUFFIE- "Le traité du vivant" - Fayard
1
:?
'fBILHARD DE CHARDIN -
"Le phénomène humain" - Seuil
G. TORRIS -
"Essai sur l'hominisation" - Seuil
1
L.S.
S.ENGHUH. -
"Vesprit de la civilisation üu les lois:~ la
culture négra-africaine" - Premiers ~alcns pour
une politique de la Culture. Présence
africaine
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B. ~îALINOWS.i(Y - " Une théorie scientifique de la Culture" - Seuiï
P. DIEL - " Psychologie de la motivation" - Payot
1
J.P. SARTRE
- " Les mots" -
J. DARTAN
"Franchir le Rubicon" -
collection Survivre
1
Institut Français d'Crthologi
que
1·
1

---

-143-
ANNEXE 1.
Opérateur auto- adjoint.
Tout système d'équations différentielles peut être formulé matriciellement de
la manière suivante
L étant l'opérateur associé à l'équation différentielle. Si cet:e dernière
est linéaire, l'opérateur l'est également.
Dans ce cas, si X
et X 2 sont deux fonctions et que l'égalité
f X,' LX> dQ. =f X~t LX, dQ
soit vérifiée, alors l'opérateur L est dit auto .. adjoint ou symétrique, contrai-
rement à l'opérateur associé à l'équation différentielle de Navier_Stov.es
!
non-
linéaire et non-symétrique.

---

1
-144-
1
1
1
ANNEXE 2
1
Les principes directeurs de la loi fondamentale de la dynamique
1
Si l'on considére le système fluide ~ composé des particules
les principes suivants permettent de décrire son mouvement (67).
1
1. Invariabilité de la masse
J
2. Toute information à prendre en compte pour décrire le ~ouvement
de Jl
est formulée en invoquant un dyname (généralisation de la notion de forc
dont toute partie de Jt est le siège et auquel il correspond un torseur caractë-
risé par une résultante et un moment.
I
3. A tout dyname T
s'exerçant sur1\\- est associé un ensemble
de particules dont T provient •
1
4. Le dyname intérieur total de A réalise 1 torseur nul.
1
,
5. Il existe au moins un repère dit galiJee.n Re et une ma:üère de
mesurer le temps diœchronologie absolue 1 tels que pour tout système matériel
11
A
et à tout instantJle torseur dynamique]) 0 (A) soit égal au torseur réalisé
par le dyname total subi par A
1';
1
1
(A. 2.1. )
1
1
1
1
1

---

-145-
ANNEXE 3
Calcul des dérivées des fonctions de pondération en variables globales
Seuls sont rapportés ici les calculs effectués dans le cas ju dièdre et
dans le cas où les éléments sont "tri-quadratiques" (11.30""
:'n obtient,
en tenant compte de l'adimensionnalisation (1.21. a;).:
pour le noeud de numéro local N :
#;" ~ d~o ~~ ~" ~,., L cl tH
J.
~ ~o ~!>
c) X c))(t.
p..
cl ~o
~f/'l
Q~tf
~~~ - ~ c)PN
(A3-1 )
-
J ..,* è) '70 c)1 ?J'I Q'I~
B
cl 'to
dfrt
VfH
~ ~o ~~ ~z.
~ r) tH
è) z"
JYo ù; c) z àz~-
C
d bo
~Pour les noeuds.sommets tels que N=1,2,3,4,5,6,7,8;
~~o=1./8 (-~+2 ~o+ ~o 2
'70+
t ~OT ~~ + n( T t ~o '70 T 2. "io~~o +trt: ~o+~: tr[o
1
~~:=1./8 (--1.,. 2."lo + ~o ;01" 2. r;ol7[o + 2 ~o~o ~:
~o~; +
T
.. 502 +~: ~o 1"
2~o "lo ~
[
~;:= i./9 (-1 +2 ~o T J""la + ffl.: + 5~ + 2.;0'70 T 2. ~o ;0+~:1c> 1"~o'l. ~ .,. Z ~o'0 ;0
~
® Pour les noeuds intermédiaires tels que N
9,10, Il
~o-~/4(1.
1
+ ~o-lYl7. - ~o '7.~)
~=-i/4 (1.+;0 _;l _~o ;2)
'0
1
è)
%t- = ;n.(--i - ~o - "10 - ~olf1o)
[
€> Pour les noeuds intermédiaires tels que N
13,15,17, 19
&. - 5/2 (--1 -lTlo - ~o - nzo 1',0)
1
è) 5 -
~~o :. 1./ 4 ( 1. - ; 1. + S
~c ~
0
-
l )
1~
,;)t
''i
d :: 1./4
+ '11 0 - ~1. - ~':'10 )
J ?o
1

---

1
-146-
1
1
GD Noeuds intermédiaires tels que N= 14,16,18,20
1
1
1
Par ailleurs, comme les intégrations élémentaires portent sur le vOlumell
(!!)del
.e)
dil. e = dx4 . '" d z..
et que les fonctions à intégrer sont exprimées en variable
locales, l~ transformation suivante est nécessaire :
II
(e'
d12 e =/JI
sinlSd~diY{d~
1
o
o
~~
~'f'"
c)z ...
~
â5
1
'Jfe~
c)x*
f;)'1#
oz*
avec
o
-
o
è)"7
à"1
07{
-
1
c;) x*
d '1'#
oz--
o
o
~/L
.~
0;
c) ~ ...
1
On obtient finalement
1
1
1
Pour les éléments de taille très fine situés près de l'arête du dièdre
(e)(e1 (e)
(figure 2.!JJ ABC
prennent les valeurs Al,
alors que pour ceux.
de taille moyenne, les valeurs sont A2 = 2Al , B2 = 2A1 et C2= 2A1 ; sin 2S
in-
tervient dans le calcul du produit mixte (d~, ~, di) pour tenir compte des valel
de lS qui peuvent être différentes de
TT
T . ,"
1
1
1
1

---

-147-
Cas où le dièdre n'est pas rectangulaire
Comme nous avons choisi (2e partie, chapitre II, paragraphe IV) d'in-
troduire les modifications nécessaires localement, c'est à dire au niveau de la
formulation de l'élément, il faut calculer les dérivées par rapport à la direc-
tion y principalement (en raison de la tr~nsformation (II.43». La relation
A3-1 devient :
="oS '6 1A ~H
et finalement, il vient:
La dérivée par rapport à la direction
)( donne :
J ~11 _ L '!>,.,
J )(,-- -A-
alors que la dérivation par rapport à la direction
z ne change pas.

---

".~". '~'l'~"
"~O.
",.
1
-148-
1
1
Calculs liés à l'élément. prisme à
base triangulaire
1
Les coordonnées de surface L
L
L
sont exprimée? linéairement en
l
2
3
1
fonction des coordonnées globales x,y,z, par les relations suivantes:
(~I ~ h,
Li
'1.
"1- C, y ) / l fJ.
-1
,c,
1,
1
_ 1-
L2 -= (Uz. + hl.)( ;- "1. '1 ) 1 ~ ô
avec
Ô.
1-
)(.2-
'Il.
-T
1
L
= , ( Q~ + 6~)l l' C,. y) 12. Cl
1
)(3
~
3
1
et
b, ::
1
'f1 - '1..,
c, ::. )(~-'ll.l
a·1
h2 :. Y3 - 'fi
c.l. ::. ')C., -
"3
b -" :. ,/.-'11.
c~ :
"l- ,..,
1
i,j,k = 1,2,3.
Les dérivées sont
1
dL, c)}l.
~x
ch.'
c;)+ _ dt#-
c)L}
~y
1
dot'#.- C>L,
dt
è)..,*
d+" _ c>+
() 'Z ... -
.>~o
1
Le calcul des intégrales élémentaires nécessite celui de l'élément des volumes
1
dv = dx" dy~ dz"': • En coordonnées élémentaires) on obtient :
d" =: IJI dL, dl, d;
1
avec:
l:rl =IJ.llhll J~ 1
et
1
-..
(l<. .., Z)
J ,
~ (x,y,z)
J~) (x,y,z,)
J3
J
(L,
L
~
Z ., )
J.,J 1 J, sont les jacobiens liés à ces transformations; le calcul établit
1
1
1
1

---

-149-
ANNEXE 4
Calculs liés à l'usage des éléments semi-infinis et infinis
Les éléments situés dans les zones 20,30,42,43 sont semi-infinis,
alors que celui de la zone 40 est infini (figures 2.4. et 2.5.). La transformati~n
de Gartling et Becker
(61) ~
(M-1 )
que nous introduisons pour modéliser la zone infinie impose de calculer les
e
dérivées des fonctions de pondération et du Jacobien IJl
(défini dans l'annexe 3)
relatifs aux éléments semi-infinis. Seul le cas de la plaque plane est analysé.
Les résultats correspondant
au dièdre seront obtenus par extension.
r-
30
{
~
4
?>o
51 ~~~ Il r--~~
2
6
3
x
20 l 20 1
42
40
Dans la relation A4 -1
, U) 0
(nombre très grand)
contrôle le rapprochement
de x vers l'infini.
a- calcul des éléments de la zone 30
On doit avoir
:
Comme les fonctions de forme sont exprimées en variables locales, il est plus
commode de faire intervenir ces coordonnées
1·

---

1
-150-
1
1
A cette finJon réalise la transformation
Xc. = . A + )(.2.
1
e. _X - Xc
avec
::> -
A
1
1
On constate que
~ , comme dans (11.28) , varie entre -1 et +1 en effet
- pour x
x~
X: X2. et
~ =- 1
1
- et pour -x---.oo
X :; X'3 et
5= .1
1
Les dérivées des fonctions de pondération par rapport à la direction
1
y ou ! restent inchangées ; contrairement à celles relatives ! la direction
infinie !. ou x.
1
a-1 Noeuds sommets N= 1,2,3,4
1
On obtient finalement
1
a-2
Noeuds-intermédiaires N
5,7
1
1
1
a-] Noeuds intermédiair~N = 6,8
2.
U/2(-1- ~)
1
En résumé, après développement, on aboutit aux relations suivantes
1
1
1
1

---

-151-
• Noeuds
sommets 1,2,3,4.
· noeuds intermédiaires5,7
liH=( U/.2.. (~- ~)2.) 0.5 L -5~ (A - JYl) '-
d )(.
· noeuds intermédiaires6,8
Le calcul du Jacobien de la transformation donne
~*
i>'t~
A
0
;);
51
(y (J - ~t) L
IJlce
t
)
-
è)~*
6 'ft
«.)
0
"B
~"l.
~1Yl..
-L
et finalement
Ces résultats montrent en fin de compte que les dérivées et le jacobien
correspondants aux éléments semi-infinis de la zone 30 sont les mêmes que ceux jes
éléments finis. Notons que la demi-longueur de l'élément prise dans la direction
infinie
(ici la direction x) doit avoir la valeur ~e) telle que
t
~ -

---

1
-152-
1
1
b- Calcul des éléments de la zone 20
1
La transformation à prendre en compte est la suivante
y ----) y et on doit avoir :
1
-00('1<'1.
1
avec
'12. "Y 1... '1,
(M-2)
y-+Y= "fa - ( '12. -'1.) 1(-t T U C'y - 'f,))
1
Comme dans
a-, la coordo~née locale ~ est introduite telle que
1
"[ _ y- Yc
1
-
B{e)
1
Un calcul similaire à celui effectué dans
a- permet d'obtenir des
résultats identiques à ceux obtenus avec des éléments finis mais en prenant pour
1
B la valeur a
1
ce qui donne, pour IJfeJpar exemple, le résultat
1
1
c- élément infini de la zone 40
1
Les deux transformations A4-1 et A4-2 doivent être prises en compte.
Ce qui aboutit pour A et B aux valeurs respectives
1
A (e) =
(2/U (1-
~i)
1
B
B(e)=
(2/U (1- "t)2)
1
1
1

---

r
-153-
ANNEXE 5
...,.
Calcul des composantes adimensionne11es contravariantes du vecteur g
suivant les axes liés au dièdre.
Dans les équations de Navier-Stokes (II.32), S~
(i=l,2,3)
représente
la composante adimensionnelle de l'accélération de la pesanteur ..
g
suivant l'un
des 3 axes 01 , ~, ct, orthonormés (figure 5.1) constituant le repére R, celui-
ci ne, se confond pas toujours avec le repère R
(~, O~ ~)lié au dièdre où
1
~ ~ ~
.....
~ ~
'Ji
Oy,
OY
,OZ, = OZ
et (OX, )OY
) = u
z '\\
, ,
l'
'/
/
i
,
1
\\
\\
f
\\
1.... "6
,
1 l.- ~
\\ ...
o
'/0
)(
figure 5.1.
Le calcul des composantes est effectué dans le cas général c'est à dire
suivant les axes liés au dièdre (dans le référentiel RI l. Il s'agit a1crs des
composantes contravariantes. La valeur des composantes Si dans le repère Rest
obtenu en faisant
~;:.; dans les résultats généraux qui seront établis,
puisque, dans ce cas, les composantes covariantes
sont égales aux cooposantes
contr~ariantes.

---

i;~R?,hA:. ..1.
\\ ,.
;
."" .~
1
-154-
1
1
1
Les référentiels R et R
sont repérés dans l'espace par rapport au
1
--+
~
- 4
trièdre de référence Ro (OXo
, OYo , OZo,) orthonormé direct, par l'intermé-
diaire des 3 angles ~,
9 , 't' dits d'Euler i si en plus on se donne une va- 1
leur pour lS' égal à.. {Ox". Oy.J, le référentiel R., en particulier, est déterminé
de maniè re
univoque dans l'espace ainsi que le référentiel R.
...
Si l'on pose dans R
S ( So- l 5 0 ,/ ) So%. )
1
o
...
et dans R.
5 ( S'
1
JI
5'.,
) s~ )
1
,
on peut écrire alors
1
~
(AS -1)
S
s:: ~o SOll + 1e SO'/ .... lo SOI.
...
-+
~ . •
(AS-2)
S
5 :: ". S.
1
1-
Y. 5J
T
Y
li 5'1.
(to. )t, :z
, (;-, ::J.
0
)
l i )
constituent les bases respectives choisies
1
dans Ra et R. i et (Sl x ~ sl y , sl't)
représentent
Ip.s
composantes
-+
contrqvariantes du vecteur S dans R
su:pé-
1 '
justifiant ainsi leur indiciation
rieure.
1
On peut alors écrire dans R
1
1
-+
.....
~
+ x..o~ -
Xo
"o.· X, ~ )(02. '/.
2,
~
~
~
1
Yo
= 'tOI )( 1 . 1- '/01..
(AS-3 )
Y. -t .., o!> 2.,
-.
..
-t
~
zo
::
zo, ", 1- l. 02. Y, l' I.o!» 'l.,
1
En introduisant le système (AS-J) dans {AS-1),on obtient en identifiant
le résultat avec (AS-2) , sous forme matricielle :
1
S.•
)C. CI 1
"10.
z.o.
1
S'Y
-
)(Oz.
Yoz.
Z.o~
-
Soy
S'Z
'Xo.,.
Yo~
'Z.o3
1
(AS-4)
1
Le problème revient ainsi à calculer la matrice R des cosinus (plus
1
exactement sa transposée)
; pour la déterminer, on effectue les opérations
1

---

-155-
suivantes qui permettent Je passer du trièdre Ox, y,z, non orthonormé au trièdre de
référence Ro
-
~
~
1- Rotation de .( T - lS) autour de OZ II laissant fixes X, et Z,; on
obtient une nouvelle base Oc l, 1 t 1 %,) orthonormée directe telle que :
-+
~
~,
= "j....
....
-+
•
'6
r
= 'l,Sin
~
~
Z,
-- '.
A partir des composantes covariantes ainsi définies, on peut calculer
les composantes contravariantes de chacun des 3 vecteurs de la nouvelle base
~
-+
...
(
)( l I t "
,
Zo, )
à partir de la relation générale
cont
CCV
('\\5-5)
X.,
xie.
-t
-+
-+
e·
et
"iltl.
sont les vecteurs de base et
Fil( = 6il(
si la base ( e~ , el() est
1
orthonormée.
Dans le cas présent
1
o
IFI =
~ ~
o
o
o
En appliq'1an t la relation
(A5-5), on obtient les composantes contrQv3.-
-t
-t
...
riantes des vecteurs
X,
, r
et z,
qui sont :
1
...
cotg ~
o
x,
~
0
Y,
1/5in ZS
o
1
0
o
double opération se traduit finalement par la matrice de passage
1
Cette
M, égale à :
I-
I

---

1
-156-
1
o
-f/sln~
1
o
o
1
2- Rotation de 'of autour de Z;,
1
La rotation autour de Z
définit la matrice M~ de passage
1
cos ï
- sin ~
o
1
sin f
cos 'f
o
o
o
1
1
...
....
-+
3- -Rotation de e autour
d e ; qui transforme
...
u, w, z,
) en la base
(u , v , -
~
Zo) et qui définit la matrice M~:
1
cosS
- sin 9
o
1
sin9
cosS
o
o
o
1
1
4. rotation de !
autour de 2:0 qui fait passer de la base ( ~,~,~)
à la base ( xo, yo,zo ) j ce qui définit la matrice M4:
1
..,.
- - +
cos 'i!
- si" '1'
o
1
sin 't
o
o
o
-------1
L'opération globale faisant passer de la base
-
~
..,.
)(." '1
-Zo
correspond à la matrice R telle que :
0
1
(~ ) =R (~ )
1
1
et
R
M 1
2<
M2
M3
M4
:t
( le signe :t représentant la multiplication matricielle) .
1
Le calcul donne
1
R"
= cos 'f cos'f - sin 'f sin 'f
cos e
+ cotg ~
(-sin 'f cos ~
- GOS 'f' 5~n t' cos e)
1
R 3.,
sin 't'
cos 'f
+ cos 't'
cos e
sin ~
cosS Goslf)

---

1
-157-
1
1
1
R3• =
sin e
sin 'f + cotg ~ cos If sin 9
R'2 =
(-sin ~
cos"f - cos 'of sin ~ cose)/sin ~
R2.~ =
(-sin If
sin'!:' + cos 'Y cos e cos If. / sin ~
1
R~~=
cos 'f sin 9 / sin '6
R ,,=
sin 'fi
sin e
1
R1.;=
-cos 't sin e
R'H=
cos e
1
On détermine ainsi à partir de la relation
(A5-4)
les composantes con-
tr~ariantes et adimensionne1les Sl dans le repère Rte
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I~
1

---

,. -*'~~.-
1
-158-
1
1
ANNEXE 6
1
Intégration numérique des matrices élémentaires
1
Toutes les matrices élémentaires sont intégrées suivant la quadrature
1
de Gau.s- Legendre, proc~dure dans laquelle
les positions des points d'échan-
1
tillonnage sont déterminées de manière à fournir la précision maximale . Pour
les domaines parallélépipèdiques que nous étudions, on utilise ainsi la relation
n
n
n
1
A6-1 ]Jfn~.;,Y:;5 d't;, d"[ d;
~ ILHi Hj Hm f (~i ,"1.j' t,fft)
-1 -1 -1
1ft:' j:' ~:,
1
En réalité,toutes les matrices élémentaires ont été intégrées avec
1
3 points (n-3) et l'usage de l'intégration réduite (n=2 pour la matrice de
(e)
pénalisation O:N~'j)
n'a pas démontré de variation significative dans les
résultats.
1
Les valeurs de H (coefficients de pondération) et les positions
1
des points d'échantillonnage figurent dans la plupart des manuels de calcul
numérique ou d'éléments finis [30],
[31].
1
1
1
1
1
1
1
1

---

1
-159-
1
1
ANNEXE 7
1
Calcul de l'échange de chaleur
1
1
La solution mathématique qu'apporte la technique des éléments finis
1
appliquée à l'étude de la convection thermique fournit directement les champs
de vitesse et de température. Il est donc nécessaire pour
obtenir les gran-
1
deurs thermiques adimensionnelles lQcales et globales de procèder à un calcul
supplémentaire.
1
Deux méthodes sont utilisées à cette fin: l'une exposée dans l'an-
nexe 8 où le gradient de température à la paroi et en un noeud est calculé à
1
partir du champ de température à l'intérieur de l'élément et donné par la re-
lation
e = eN ~N
et l'autre relevant d'une approximation polynomiale
1
de la température dans la direction adéquate; c'est celle-ci qui est décrite
ici.
1
Trois relations constituent le point de départ du calcul des nombres
de Nusselt locaux et globaux ; ce sont : la loi de Fourier (I.i5)la relation
,
de Newton définissant le coefficient d'échange de chaleur h à partir du flux
1
de chaleur;
1
(A7-1)
f
h
(Tp -
TClO
)
1
et la relation définissant le nombre de Nusselt local Nux
1
Nux
1
a- Cas de la plaque plane
1
A partir de la valeur calculée du champ de tempéraw.re e , l'approximation
suivante est adoptée dans la direction y normale à la paroi
1~
1

---

1
-160-
1
1
(A7-2)
j = 0, .... N
1
Selon la nature des conditions limites thermiques, on peut déterminer
l'un des coeffic~ents aj
1
a-l
Température 9,.(T-Teq)!C'Tr-'-)fixée à 1 pour y =0
1
Cette condition implique
e (y=O) = ao = 1 et (A7.2) devient
1
-6 = 1 + aj yj
j.=: l, .... N
1
= À grad T)
y=o
1
On obtient finalement :
1
(A7.3)
1
(A7.4)
L'ensemble des coefficient Qj doit être déterminé par la méthode des
1
moindres carrés et il
appara1t alors que la valeur algébriqUe de C\\. doit être
négative; c'est ce qu'établissent les résultats.
1
Flux de chaleur supposé uniformé fix~
Q.
9't.
1
1
1
Cela équivaut à la contrainte
1
~ et compte tenu dè (A7. 2)
1
1
1

---

-161-
On obtient
a.. ::: - -1./ L . L' approximation de e devient alors
J
2, •..... N
Le calcul du coefficient d'échange local et du Nusselt local donne
1
1
1
1
Tous les coefficients qj et notamment
Q.o qui est positif sont :jéter-
minés par la méthode des moindres carrés.
1
a-3- Calcul des grandeurs thermiques moyennes globales
1
Le coefficient d'échange moyen global
Hc et le nombre de Nusselt moyen
global Nu sont très utiles dans les calculs d'engineering. Pour les obte~ir à
1
partir des grandeurs locales, les coefficients ~oet ~ dans chacun
des deux
cas précédemment envisagés, sont approchés sous forme polynomiale dans :a direc-
tion x, suivant :
1
b
(A7-5)
1
- dans la situation a -
1 on aura
1
w
1'" l 'oiI -_ CL X b ...1
'lU,,::'
....
".
et dans la situation a - ,
1
Comme par définition :
1
-
lL.
He. = l.jL 0 h.. d"
1
1

---

...,..~;.-
.
"'?~:; _'c,
.',
1
-162-
1
1
L'intégration donne pour les cas
0.- -i ci 0_2
respectivement
1
(A7-6)
(A7-7)
1
1
b- cas du dièdre
1
Lorsque celui ci est soumis à des conditions thermiques identiques
sur toutes ~es faces, l'échange de chaleur n'est pas toujours le même en deux
'
points symétriques par-rapport à l'arête, à cause de la dissymétrie géométrique Il
que peut introduire la configuration du di~dre par rapport au trièdre de ré-
férence Ro.
1
Sur chacun des plans y =0 et x = 0, l'application de la relation (r.151
définissant le flux doit tenir compte du fait que le repère R~ lié au dièdre
n'est pas orthonormé; on a ainsi:
1
--."
~
~,.qCl T • n
sIT
(T. 1Î.) (n' ë J )
-
=)"
• J
dn
1
- . '
- t '
avec
e.~. e. J
cos 1S'
pour i ou j
1,2
1
Le calcul montre que, quelle que soit la valeur de ~
1
. sur le plan y
0
1
dT __ SIn 1S dT
d 1'1
è) ~
1
. et sur le plan x = 0
1
1
1
1

---

1
-163-
1
1
1
Comme cela a été fait dans le cas de la plaque plane, les va~eurs
locales du Nombre de Nusselt sont calculées en tous les noeuds représentés sur
la figure3.F sauf aux noeuds situés: d'une part, sur le bord d'attaque z=O
1
et d'autre part,
le long de l'arête du dièdre. Pour avoir les grandeurs globales
moyennes suivant un plan (le plan y = 0 par exemple) une double intégration est
1
effectuée, d'abord suivant l'axe Oz puis suivant l'axe Ox . Comme l'arête
du dièdre n'est pas analysable, il faut omettre les noeuds qui s'y trouvent pour
1
calculer l'échange de chaleur~ seule l'augmentation du nombre d'éléme~ts dans
cette zone
diagonale permettrait (au prix d'un coût informatique excessivement
élevé)
de réduire l'erreur due à notre impuissance à prendre en compte ces
1
noeuds.
1
1
1
1
1
1
1
1
Figure 3 F.
1
Noeuds pariétaux où l'échange de chaleur est calculé
Les éléments étant prismatiques triangulaires.
1
1~
1

---

.-,-" ',~'
- .,
1
-164-
1
1
ANNEXE 8
1
Autre méthode de calcul
du gradient de température à la paroi
1
1
La technique est décrite pour le cas de la plaque plane, son extension
au dièdre ne pose aucune difficulté.
A l'intérieur d'un élément, la température est approchée comme dans
1
(rr.2~c) .Le principe revient à calculer par cette relation la température au
1
noeud pariétal en l'appliquant à tous les éléments comprenant le noeud en ques-
tion e~ en prenant -ensuite la moy~~ne des gradients obtenus avec la contribution
de chaque élément ; il vient :
e (~,'rn =- J..8..
eJ~
~ ëFfe~+~~
1" it. St. 1"
S, T ~~ 84+ 'f5 es 1" 686 +
1
En développant, compte tenu de (rr.27) il vient :
e(~,_~) _=-_e.Jj/~ (-.-i - ~"J., (--1- ~ + trL) ... '1.1."1" 5'l.)t g2., Il, (-~ +~"l. (.-i- ~"J1l)f't.
-r
. .
. . .
.
- _ _
.
_ _ . .
, . _
t 9~ lit (-A-tti 5'" '"'L1.... ~'l._ !/.'1. T !, trL'l.)+ 9't I~ t~'" ttl ~+ "l,:" ~~ §~tI
... es/~(.A ... ~-trt1.+ ~"L'1.)-t S6/2. (.;i-trt. - ~'Z.-t !,'l."l.)
1
of' 9,/2. (..-4 t ~-1:Z.- 5 tt1.) ... e~/2. (.A -+ trz. - 51.- ~~ Ill)
et :
1
de _ ;)9
1
~-~
àe _ Li ej
1
. : Â , . . . . 9
~-
LA ( ~) trl, ') = .-i / ~ (2. !, - trt -t -t ; NL _ ~t )
1
L2.( ~,"l.) ==A/4 (l;'" "L -.(, ~"l-t ",1.)
1
L~ (!» "l) :..-il L, (0<. ~- nt -~ ~ trt -t 1Yl'L)
1
1

---

-165-
LIt ( 5,rtt) =4ILt(~ ~'t"Lot.2. 3"l + ~'L)
Lli ( ;) dl) = -'i 1~ (- -1 + "t2.)
L 6 ( ~ ') "t') =5(- A + trt)
L,.(~, "l) = A/~ (A - J1L"-)
Le (~} 1J1,) =~ (:.A - "l)
Notons que les Li fonctions des variables locales peuvent et joivent
être exprimés en fonction des variables globales x,y. Comme le gradien~ doit
être calculé à la paroi où l'on a y = o,on utilise à cette fin les relations
1
(II. 28)
et (II. 29) .
,
~
Pour un élément e, les Li sont alors fonctions des coordonnées globale~
(XC, YC) du centre C de l'élément, et de l'abscisse X du noeud pariétal où l'on
1
calcule le gradient de température. On obtient ainsi
1
L-1 ::. -i/&e (X~(_cl.. ) + )(. fol ~ _ ~ Ye. _~) _ ~ 'le ... xc. ... .: xc. yc. _ ~e. 2.)
e:a.
\\. BA B
B
A
8
A 8
B ~
1
L2=~/4()(a(_ ... )t X(.t.xk t J.'te T i.)- J. 'le. _ xe. _ ~ 'f-C "fC _ xe.1.)
~
\\. 'St.
A'8
e
A
B
A '8
B~
1
L3="'/~(x2.( -4 lt X (-.2.~ ... .2.i!:., -:1...) _J..'fC -r xc. _.:l,)(C 'le + )<c.2. \\
~
'82.
AB
B
A
e
Pt "B
,,2. )
1
L4=--i/~(~2.(~ ) .... x(_:2. xc. _ ..t YC -t'" \\_~!5:.. _ )(C +.:l. )(C "fe ... xct.,
al
~
ft "6
B)
A
'B
A"'B
~ /
1
Ls= ~ /.2. ( x2.(~ ) of" X (_.2., 'Xc ) + ')( G2. _ 1. )
et.
82.".82.
1
L6= X (- '{C;(A B)) + Yc xc / ( AB) + YC / A)
1
1()('(-~) + X (~~)-
1
x ( 'te ) _ xc. YG
T
'le
AB
A 13
A
1
I~
1

---

1
-166-
1
1
ANNEXE 9
1
Indications sur la structure du programme
1
II
Compte tenu des développements annoncés dans la 2e partie (chapitre II
paragraphe V), il apparatt que l'unique finalité du proqramme construit est
Il
la résolution du système non-linéaire (11.40)
, encore équivalent à la forme
condensée
1
(RO) . (X) ~. (F)-
1
dans laquelle la matrice des coefficients (RO) comporte une partie (50) demeu-
.
rant constante tout au long des itérations correspondant à l'algorithme choisi. 1
Pour atteindre cet objectif, il faut nécessairement commencer par assembler les
matrices (RO) et (F) à partir des contributions élémentaires; procéder à l'as- 1
semblage de la matrice (SO) qui sera stockée en mémoire centrale (dans le cas
bidimensionnel) ou sur disque (en tridimensionnel), enfin avant chaque itération
assembler les termes non linéaires
80( f\\"j ~r e y '1~
)
Bo(p. ~.e- dij Y"'6J.,
Il
(ce dernier n'étant assemblé que dans le cas où l'algoritnmede Newton-Raphson·
est utilisé) et les termes Hœ~~j "~j dont l'actualisation est nécessaire, avant1
la résolution des systèmes (t1. 42a) ou (II. 41). La préparation de l'assemblage,
la phase d'assemblage (effectué suivant le profil des colonnes [30]»)puis la
.1
résolution des équations algébriques assemblées constituant ainsi les 3 parties
principales du programme comme il ressort de l'organigramme (A9-1) dont chacune
des parties est développée par la suite .
1
Il
1
Il
1
1

---

1
-167-
1
,
1
Préparation de l'assemblage
des équations
1
1
Assemblage de la matrice
(SO)
e(J"s+Qnf~
J&lilfqnf le.. 1'r.·fd dt? e;,o/Of'l""s
1
1
seule fois
puis sauvegarde des matrices
élémentaires de
1
,
Résolution itérative du
1
système d'équations (II.40)
assemblé
1
1
A9-1.
1
1
1
1
1
l

---

,r
1
......
-168-
1
1
Préparation de l'assemblage
des équations.
1
1
Avant de calculer les matrices élémentaires qui sont assemblées par la suite,
on doit effectuer un certain nombre d'opérations, celles-ci sont.enchatnées
1
suivant la séquence suivante
fi
Lecture des options principales
1
des données relatives au maillage
et des données physico-mathématiques
-
1
1
Génération du maillage
le!
et des
1
conditions. aUX limites
1
Calcul des grandeurs thermophysiques~
1
dans le cas de l'air ou de l'eau
1
'f!I.
1
Calcul des composantes de
l'accélération ~ dans le repêre
R par rapport au repère orthonormé
1
~
d'axe Oz égale à la verticale du lieu
1
1
Numérotation des équations globales .~
1
1
Calcul du profil des colonnes des
J!
matrices globales (RO) et TJO)
1
1
Vérification du maillage généré)des'~
conditions
aux limites nodales et des
1
autres données •
1
1
Initialisation des matrices globalesll!
et des autres inconnues.
1
1
1

---

-169-
p.l. LES OPTIONS PRINCIPALES ET LES DONNEES PHYSICO-MATHEMATIQUES
}
Le module charge
de collecter ces données est DIMMA.
Les options prin-
cipales sont traduites par les variables logiques suivantes
:
1
PLAQ
etude de la plaque plane ou du dièdre
MIXT
Convection thermique mixte ou naturelle
AIR EAU
Le fluide est l'air,
ou l'eau
FLUX
. La source de chaleur périphérique est à flux :ixé ou à
température fixée
LIN
Les éléments 'sont "linéaires"
TRI
Les éléments sont 'les prismes à base triangulaire
POLA
La température est interpolée linéairement al~rs que la
vitesse est approchée par une fonction quadra~i~Je
PICA
Le système d'équations est résolu par la méthcde de PICARD
i
ou celle de Newton-Raphson
INFINI
On utilise des éléments semi-infinis et infin:s ou rien
1
que des éléments finis
SOIN
On commence la lere itération avec 1 vecteur~)nul
1
Certaines données mathématiques sont également nécessaires
ce SC:1t
1
NC
le nombre d'itérations
LAMDA
la constante de pénalisation À dans le cas o'';. 1,:, fluide
1
est l'air ou l'eau.
CLAMU
La constante adimensionnelle )../jA pour l' é:..~de ::' autres
1
fluides.
IORDRO
Ordre d'intégration de la matrice de pénalisa~:c~ IOHM~j]
1
qu'on introduit afin de voir l'effet de l'usa~e d'une in-
tégration réduite.
1
laRDER
Ordre d'intégration des autres matrices pris é~a~ à 3 pour
les éléments "quadratiques"
TOLER
seuil de tolérance marquant la convergence lorsq~e l'on
1
obtient lJ. X/X
~ TOLER = 166
XINIT1.
Valeur initiale du vecteur vitesse
1-
XINIT2
Valeur initiale du vecteur des températureset ies multiplica-
teurs de Laorange.
1

---

.~-.- .'
-170-
1
1
MI
Ordre de l'approximation polynomiale des températures adimenSiOnnelr~
dans les directions à 3 noeuds par côté d'un élément.
MIl
Oràre de l'approximation polynomiale des températures adimensionnelilo
dans les directions à deux noeuds par côté d'un élément.
1
le :icTfilire de noeuds par élè:-;ent
1
Les données physiques optionnelles sont
1
.
Cel ~":'S qui fixent ~:J. confi,,;'.:ration dans l'espace du dièdre ou de
1
Angle
't'
àe rotation d'Euler
1
...,'"""':
Ar.gl"~ f
de procession d'Euler
Angle
e
de nutalion d'Euler qui est aussi l'inclinaison de la
1
plaque par rapport au vertical du lieu.
I,'0U'l'?rture 3.r.gul3.ire 15
dl,.;. dièdre.
1
. Celles classiques, qui groupent les propriétés physiques ce sont
1
c;RASH
le nombre de Grashoff
Le nombre de Prandt
1
le nombre de Reynolds pour la convection mixte.
1
1
_.c',
ncmü::re d' élérnec,t.3 ri:-,s CE:.3 _23 direction x et y
'.1'
... J.
c'irsction ascensionnel1e z.
1
è;.
l'absence d'éléments semi·infinis
J:::L.~
es direçtiv:1S x ec y ?t.:.i::: z.
1
1
1
1

---

-171-
P.2. GENERATION AUTOMATIQUE DU MAILLAGE ET DES CONDITIONS AUX LIMITES
Afin d'éviter le travail fastidieux qui reviendrait pour chaque maillage
à introduire en lecture
la numérotation des éléments, les numéros globaux de
chaque élément et les conditions aux limites, les modules suivants ont été
conçus.
Rôle
Numérotation
calcul dans
Génération
Recherche
la numérota-
des noeuds
des
des éléments
Numérotation
des candi-
frontaliers
des
tian globale
tians aux
modul~s et calcul des éléments par
des noeuds
limites
des élé-
nombres de
sQus~domainè
de chaque
-_ .. -.. -
nodales
ments
. e--
n~dti(HTH)
élément
et d'éléments
(NTE)
1
Plaque
GEN1P
GENlPP
GEN2P
GEN3P
mt?RP
-
plane
1
1
Dièdre
GENERl
GENR 11
GENER2
GENER3
NODEFR
1
La numérotation des éléments est effectuée en affectant à cha~Jn d'eux
des coordonnées élémentaires ICX , ICY, ICZ et un numéro caractérisant le sous~
1
domaine auquel ils appartiennent et qui est contenu dans le tableau ~T. Dans
le cas où il existe des éléments semi-infinis et infinis, ce sont GEN1fP
et
1
GENR11
qui réalisent ce travail en attribuant au le élément de la sous-région
na J le numéro lTAB (I,J).
1
Le na global K dun~~~ de n° local k de l'élément lE est la valeur
IN (lE, ~) du tableau IN fourni par les modules GEN 2P et GENER2
alors que
1
GEN3P
et GENER3
construisent les vecteurs LD1 (NTN,3 ), LD2 (NTI'i) avec pour
le nceud K
1
1

---

1
-172-
1
LD i ( I() j) = 0
1
f
VJ = 0
LD of ( It- j) ::: .2-
f
Vj = 1 à l'infini ou sur le plan d'attaque en
I
convection mixte.
1
LD1. (K1j) =1.
~
1
Pour les températures
L!)~ 1I<) =0
1
)
9=0
LD~LK) =.of
)
9=1-
L.D.2.(K) : . t
c
Et I:b,e..
1
Les modules NODFRP et NOpE FR sont des auxiliaires pour génére~ les
conditions aux limites ; ils permettent, pour un élément se trouvant le long
1
d'une frontière où des conditions doivent être imposées
d'inventorier les ~DeU~I~
qui doivent être fixés.
1
P.3. - CALCUL DES GRANDEURS THERMOPHYSIQUES
Il est effectué par le module PHYSIC qui, pour l'air et pour l'eau dé- Il
termine par interpolation linéaire, à partir des valeurs fi~~rant dans les tablel
(1) la masse volumique (RRO)
, la viscosité dynamique
(MU), la conductivité ther
mique
(CONDUC))les nombres de Prandtlet de Grashoff.
~
1
P.4.- CALCUL DES COMPOSANTES DE g
Sur la base des calculs développés dans l'annéxe 5, le module GRAVI~
1
~
1
détennine les composantes adimensionne':'les de:J
jans le repère R (annexe S)
à
partir de la valeur prise par les 3 angles d'Euler,
f
, If ,9 el: de l' angle ~
( si l'on veut lez ccmposan~es contravarL.int.es dan3 le C'"père Ri
lié ~u dièdre)
1
p . 5. NUMEROTATION DES EQUATIONS
1
Le module NUMER remplit ce rôle
• I l
numérGte et dénornbre les équar.ions de i", -
S : NEQI
numérote et dénomb~e les équal:ions de l'énergie
~ŒQ2
1
Calcule
io'O n','mbre de noeLds à températ:uce fixée
à 1: NEQ3
1
1

---

-173-
Les vecteurs LD l
et LD 2
calculés par GEN3P
et GENER3
son': sauve-
gardés respectivement dans LDV et LOT, puis ils
rontiennent les numér~s des
r
équations dans la matrice globale
de chaque noeud et chaque degré de liberté
(LD1 pour les équations de N-S et LD2 pour les équations de l'énergie;.
1
Les nouvelles valeurs de LD1 et LD2 seront nécessaires pour calculer les profils
des colonnes des matrices globales et pour l'assemblage de celles-ci. Le nombre
1
total d_'équa~ions est NEQ
NEQI + NEQ 2 + NEQ 3,
N-i (1) et
N 2 (r) donnent le numéro global du nœud correspondant à :'a Iere
équation
1
""11"( l:) donne le degré de liberté qui correspond à la Iere équation.
1
P. 6- PROFIL DES COLONNES DES MATRICES GLOBALES
1
Trois modules sont construits à cette fin
1
. PROFIL détermine le profil de la matrice globale réduite
1e N-S (AO)
qui est symétrique et qui ne comprend que les matrices (A) et (0):
1
1
C'est à dire calcule le vecteur JDIAGV (NEQ1) qui détermine la position
1
des termes diagonaux dans la matrice(AO)JDIAHV (NEQ1) contenant la r~uteur de
chacune des MEQI colonnes et NADV qui est le nombre de termes à l'intérieur du
profil.
1
. PROFID
dé~rmine le début de chaque colonne de la matrice globale
1
Go:i>.
(II.40) comprenant les termes d'Archimède. JDIAGG (NEQZ) en sortie
contient}pour chaque colonne, le numéro de la lere ligne non nulle.
1
PROFIX calcule le profil général des matrices globales as~étriques
(50),
(RO) et (TJO)
(qui seront stockées sous forme vectorielle et suivant le
1
profil des colonnes). En sortie, JDIAGX (NEQ)
(équivalent pour les NEQI
1er
termes à(JDIAGV)
contient la position des termes diagonaux dans (50). Pour les
1
I~
1

---

1
-174-
1
éléments de(JDIAGx)supérieurs à NEQ 1, les valeurs sont obtenues à partir de
1
(JDIAGG); NADX est le nombre total de termes à l'intérieur du profil et JDIAHX
(NEQ) contient la hauteur de chacune des NEQ colonnes, il est mis en équi-
1
valence avec JDIAHV (NEQI).
1
P.7- VERIFICATION DU MAILLAGE ET DES CONDITIONS AUX LIMITES GENEREES
1
A défaut de pouvoir visualiser le maillage généré, le sous-progra~E.e
\\~RIF imprime
1
.
La valeur d'un certain nombre de grandeurs relatives au ~illage
comme le nombre total de noeuds (NTN)
, le nombre total d'éléments (~rrE), le
1
tableau IN (NTE, LO) des numéros globaux de noeuds de chaque élément, les vec-
Il
terus LDi
(NTN, NOL), LD2 (NTN), LVD (NTN, NDL), LDT (NTN) où NDL désigne
la dimension du problème.
1
. La valeur de quelques grandeurs physico- mathématiques co~~e le
1
seuil de tolérance (TOLER), le nombre de termes à l'intérieur du profil (NADX),
les nombres de Grashoff et de Prandtl etc ....
1
P.8.- INITIALISATION DES MATRICES GLOBALES ET DES INCONNUES
1
Une bonne initialisation des inconnues est d'autant plus nécessaire
~~e l'o~ utilise l'algorithme de Newton-Raphson. Les composantes tra~sversales Il
des vitesses sont initialisées à - XINITl et les composantes asce~sicnnelles à
XINIT~
alors que les matrices globales (SO),
(RO),
(TJO)
le sont à O. Pour la
méthode de Picard)on commence avec un vecteur(x)nul ; l'initialisa~içn est effetl
tuétpar INIPR alors que CO~~IT (dans le cas où la température est :ixée et non
le flux:
introduit les matrices des conditions aux limites(qr~) et (qrX) (11.401
dans la matrice (SO) ~(SOA, SOC). Lorsque le flux est fixé, CONLIF initialise le
2e membre de l'équation d'énergie en calculant les matrices élémer.taires Z"
Il
(11.36 b) puis par asserrilllage de celles-ci dans le vecteur CLF(NEG2) qui sera
1
1
1

---

1
1
-175-
1
stocké, à son tour, par STOX dans le vecteur (CLT) contenant, en définitive,
1
les conditions aux limites thermiques.
1
En convection mixte, c'est le module CONLIV qui initialise le vecteur
(CLV)contenant les modifications à apporter au 2e nombre de l'équation de Navier·S~ok~
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1~
1

---

-176-
1
1
1
ASSEMBLAGE DE LA
MATRICE
(SO)
CONSTANTE
1
La matrice
(SO)
est assemblée suivant le profil des colonnes en deux vecteurs
(SOA) et (SOC) limités par la diagonale principale. La dissymétrie de
(SO)
est due
1
aux termes
G~;~. Les opérations suivantes sont conduites à cette fin:
1
Organisation de l'assemolage
par sous-domaines
1
Calcul successif des matrices
élémentaires
(0), (G) , (A) , (J)
1
Assemblage par sous-domaine
suivant le profil des colonnes, de
1
SOA et SOC par addition des
matrices élémentaires
1
1
AS-l. ORGANISATION DE L'ASSEMBLAGE
Selon qu'il existe dans le domaine ~ des éléments semi-inrinis cu
1
non, l'organisation est réalisée par ASINFP ou ASSEMP. Une le boucle sur le nom-
bre de matrices
(4)
suivie d'une boucle sur le nombre de sous-domaines permet
1
pour un type de matrice élémentaire don~ée
d'effectuer le calcul de celle-ci
1
u~e seule fois pour tous les éléments ~e la sous-récion. En o~tre, la même
"place mémoire" est utilisée pour la matric~ ~elative à la sous-région suivante.
Les éléments apparLenanL a~ même sous-domâl~e
por~ent la même valeur contenue
dar,s le vecteur NF (NTE)) qui sert aini à les iC:entlfier.
1
AS-2. CALCUL DES MATRICES ELE:1ENTAlRE2
1
1
A l'exception de la ma':rice rG>i;/"!) .125 3 autres matrices possèdent une
symétrie interne dont la prise en compLe autorise
un calcul effectif partiel
des coefficients; sont déduits alors par s)~êtrie les autres coefficients.
1
1
1

---

-177-
Les matrices sont calculées par SUO, SUG, SUA et SUJJ.
Chaque coefficient calculé est intégré numériquement par INTEG suivant
1
la relation A6-1 et LIMITS fournit les fonctions f
(~i, 1. j, ; m), ; i , '7j , ~m
étant les valeurs des positions des points d'échantillonnage de Gauss (301.
1
1
AS-3. ASSEMBLAGE SUIVANT LE PROFIL DES COLONNES DE (SO)
Grâce au vecteur JDIAGX (NEQ) qui contient la position des termes dia-
1
gonaux
dans le'profi~AbDP assemble les coefficients de chaque matrice élé-
mentaire dans les vecteurs SOA et SOC. Les vecteurs LD1 , LD2 et JDIAGX per-
1
mettent de pointer la position dans le profil, de chaque coefficient ~de matrice
élémentaire. ADDP tient compte également des modifications de (SO)
et du 2°
1
nombre (F) rendues nécessaires par les composantes de vitesse fixées à 1, en
convection mixte.
1
RESOLUTION ITERATIVE
DU SYSTEME D'EQUATIONS
1
La résolution des systèmes (11.41) ou (11.42) requiert d'abord l'.as-
1
semblage des matrices globales (RO) et (TJO) par addition à
(SO) des termes
de non-linéarité
Bcl·~Jj ~i.e V~l ) 'Hc(,,~j V~j' et .Ba:.,,~.t j:j·Y~t
Dans le cas bidimensionnel où le domaine comporte 4 sous domaines (1 avec des
1
éléments finis, 2 avec des éléments semi-infinis et 1 à 1 seul élément infini) ,
les matrices élémentaires correspondantes BI'1Rl'1j
et
HHFV1j) de taille 1::>24
1
chacune (à cause du choix fait d'éléments quadratiques) sont calculées une
seule fois, puis conservées en mémoire centrale jusqu'à la convergence des
1
calculs; dans l'étude du dièdre où à chaque sous-domaine (8 au minimum)
sont
associées 2 matrices (B"AMj) et H'HtlMj) de taille 24 000, il est apparu nécessaire
de calculer ces matrices 1 seule fois pour une taille d'éléments et pour une
1
valeur de U ( A4-1) données, puis de les sauvegarder sur disque et d'en faire
usage au moment de l'actualisation des matrices (RO) et (TJO) pour différentes
1
valeurs du nombre de Rayleigh. Les opérations principales se succèdent selon la
séquence suivante
I~
1

---

1
-178-
1
t l
Calcul des matrices élémentaires
(8)
et(H) relatives à chaque sous-
domaine 1 seule fois et sauvegarde
1
en mémoire centrale ou sur disque
1
~
1
Organisation de la résolution des
systèmes II-41 et II-42
1
Boucle sur le nombre d'itérations
1
1
~
Initialisation du 2° membre aux con-
1
ditions 3UX limites selon que la convection
est mixte ou naturelle, à température ou
à
flux imposé.
!
1
1
,
Actualisation des matrices glbbalès
~
(RO) et (TJO) oàr assemblage des termes
ftHrUt.j
1
V~j ) -B"Il.""j bi~VMt. et B;"R"'t~U V"'t
:
Newton-Raphson
Picard
1
Il
Calcul du vecteur ROX delB:5.
1
la relation(II.42.c)
1
1
,
Résolution du système al
gébrique (I!.41)
-
Résolution du système
~
1
algébrique(II.42 a)
J
1
1
Calcul du vecteur solution
(X)par la relation(II.42.b)
1
Précision, actualisation et im-
1
pression des résultats.
1
1
1

---

-179-
R-l. CALCUL DES MATRICES ELEMENTAIRES (BMll",jJ et
(HI111Aj]
Dans le cas de la plaque plane, PREABH calcule pour chacun des 3 sous-
-domaines en lesquels le domaine
~
peut être subdivisé, les 2 types de matrice.
Du fait de la similitude des matrices (B) et (H) le module HINTOB, à par~ir de
la matrice (H), détermine la matrice (B) correspondant au même s~~s-domaine
avec la même finalité d'économie, H2030 produit la matrice (H) du
sous-jomaine
30 (figures 2.4. et 2.5.) à partir de celle du sous-domaine 20, alors que H2340
déduit des matrices (H) relatives aux sous-domaines 20 et 30 celle correspondant
à la zo~e 40 à élément infini. SUH peut calculer la matrice
(H) de n'importe
quel sous-domaine.
Les modules HINTOB , H2030 et H2340 ont donc été conçus pour réduire
le temps considérable consacré au calcul de ces 2 types de matrice surtout dans
le cas tridimensionnel où PREBHO, PREBHl et PREBH2 ont la même fonction que
PREABH, tout en ayant la particularité de sauvegarder sur disque les matrices
calculées. PREBH 2
n'est appelé
que si M'3G
est supérieur à 1.
R-2. ORGANISATION DE LA RESOLUTION
SOLVNP est le module chargé de cette tâche; c'est lui qui organise
toute les opérations allant de la boucle sur les itérations jusqu'à l'im?ression
des résultats, en passant par l'actualisation des matrices globales (RD)
et (TJO).
R-3. INITIALISATION DU 2° MEMBRE AUX CONDITIONS LIMITES
1
Avant chaque itération, le 2° membre est d'abord initialisé à zéro, puis
1
il est modifié en prenant les valeurs contenues ~ans le vecteur CLV en convec-
tion mixte, celles contenues dans le vecteur CLT en convection naturelle avec
,
le flux fixé; sinon)il est modifié directement par le module CONDL en con-
1
vection naturelle avec la température fixée,en introduisant les coefficients br
de l'équation (II.40).
1
1-
1

---

1
-180-
1
1
R-4. ACTUALISATION DES MATRICES GLOBALES
(RD et (TJO)
1
Elle se fait au cours de chaque itération d'abord par additio~ aux
,
vecteurs SOA et SOC des termes HI1~"'j V"'j •
1
Cette addition est organisée par JACIN1 ou par JACOPl en l'absence
Il
d'éléments semi-infinis ou infinis, l'assemblage effectif suivant le profil des
colonnes grâce au vecteur JDIAGX est effectué par ADDBEP ; c'est le jé~ut de
la constitution des vecteurs ROA et ROC. EnsuiteJon procède à l'addi~i~n des
1
termes 8"'''rlj 6t-2, V,., l
à ROA et ROC
grâce à JACIN2
ou JACO?2
selo:1:ru' i l
existe ou non des éiéments semi-infinis ou infinis dans le domaine, l'assem-
blage effectif est réalisé par ADDBBP qui achève aussi de fo~er la ~~rice
1
jacobienne tangente
(TJOA, TJOC) dans le cas de la plaque pla:1e. Pour :'étude
du dièdre, l'assemblage de
(TJO)
est fait séparément
par JACID2
q,ü l ' orga-
1
nise et par DISBBP qui ajoute effectivement les termes B~It~~ ~i:j
VM r..
à (ROA)
et(ROC) •
1
Dans ce cas; à c~~se de la taille considérable requise pour la mémoire,
les
matrices globales sont sauvegardées,
jusqu'à la fin du ~alcul sur disque.
1
1
R-S. RESOLUTION DES SYTEMES ALGEBRIQUES
(II.42 al
et (II.41)
1
Elle est effectuée par UACTCL qui décompose triangu:aireme:1t
00) les
matrices dissymétriques
(TJO) et (RO)
s~ockées suivant le pr~fil des calonnes
en vecte'.lrs, par la rnéU:ode de Ccrcut-c.:J:;lpact~
1
pt:1S
efffectue la phase je
substitution arrière.
1
Un test
effecL:ué sur le calcu:~n simple précisior. a donr.éJcomme on
pouvait s'y attendre, des résulta~s mauvais. La dcuble précision es~ ~onc
1
nécessaire.
1
1
1
1

---

-181-
TABLE ALPHABETIQUE DES MODULE5
CONSTITUANT LE LOGICIEL
NOM
TYPE
BUT
ADDBBP
S
Assemblage effectif des termes Bnr.m'j Vi'J
(II. 37) dans
la matrice (RO)
et des termes 8"~MLdU V"t
(II.40b)
dans la matrice jacobienne tangente (TJO) Cans le cas
bidimensionnel seulement).
ADDHliP
5
Assemblage effectif des termes H"RMj V~j
(:r.J7) dans
la matrice (RD)
suivant le profil des colo~~es.
1
ADDP
5
Assemblage eff~ctif des matrices élémentaires lAnm'
(Onmij)
; (JnrnD et (Gni...)
dans la matrice ç-lobale (50)
suivant le profil des colonnes.
ASINFP
5
Organise l'assemblage dans (50) des matrices
(ANm),
(ONm),
(Jnm) et (Gnim) élément par élément. Cas où
le domaine comprend des éléments semi·infi~is et infinis.
1
ASIHT
S
même finalité que AsiHFPmais i l n'est appelé que pour
des éléments prismatiques triangulaires.
1
A55EMP
5
même finalité que A5INFP, mais il est utilisé dans le
1
cas où le domaine ne comprend que des éléments finis.
BLKDl
s
Dans le cas où près de l'arê~du dièdre, le domaine est
1
maillé avec des éléments prismatiques tria~gulaires,
calcule les coordonnées des 3 sommets de cta~~e triangle
et l'aire de la base triangulaire correspor.dante (Ann.....e 3)·
1
BLOCK DATA
Contient en vue des intégrations numériques, les coor-
données des points de Gauss et les coefficien~s de pon-
1
dération correspondants. Contient égalemen: les coor-
données élémentaires des noeuds de lréléme~t.
1
CENTP
s
Calcule les coordonnées globales des centres des éléments
situés le long des parois actives (annexe 5).
1
COEFTl
s
Calcule les coefficients A et B de l'approximation A7-4
lorsque le gradient de température à la pa~oi est calcu-
lé à partir du champ de température élémentaire (annexe 8)
1
1-
1

---

1
-182-
NOMS
TYPE
BUT
1
COEFTE
S
1
même finalité que COEFTl mais i l est utilisé lorsque
l'approximation A7-l est adoptée pour approchér le
champ de température.
COM
s
détermine pour chaque élément fini,
semi-infini ou in
les dime~sions A,B,C, de la relatio~ A3-1, en vue du
1
calcul de l'incompressibilité élé~entaire
(cas de la
plaque plane) .
CONDL
s
Introduit dans le 2° membre de l'équation (II.40)
les 1·
coefficients br
(ca,;; oJ la température est ::ixée à la
paroi) .
CONLIF
s
Assemblaae dans le vecteur
(CLF) des mat~ices élémen-l
tai~es (Za) (!I.36 b) è~es a~ ::lux imposé s~r une par ~
de la fron t ière.
- - - - - - - , - - - - - - - - t
CONLIT
s
Introdui t
les matrices .(qP'l)
et
(qr ~ ) dans la matrice
globale
(RO)
de la relation
(II.4~) - cas où la temPé-
ture 9 est fixée à 1 .
1
CONLIV
s
Sn convection mixte, introduit da~9 le 2e membre de
l'équation
(11.40) par l'intermédiaire du vecteur CLvl
les modifications dues aux composa~tes des vitesses f'
,
à
1.
t
CONSTE
s
Organise la génération du maillage
b
1
CORRNU
s
Organise la corrélation entre y et x du type y = ax ,
par moindres carrés.
COTEP
s
1
Détermine les numéros globaux des noeuds pariétaux où
l'échange de chaleur est calculé, détermine également
les coordonnées des noe~ds en regard du noeud pariétal.
- - - - - - - - - - t
DFG
F
Détermine la dérivation suiva~t x, y, et z,
selon
la1-
relation (Ir. 4,1) en tenant co~pte oe "in;l"ence de 1$
DFI
F
Pour l'élémen~ trLiimensionnel "quadratique", calcule
les dérivées des 4 fonc~ions de pondération
(11.30)
suivant x,y et z. Orga~ise ce calcul suivant la place 1
:,oeud.
DFIl
F
Peur les noeuds-s0mnlE:C,; de l'élément "qUadlratfique'.'
dre
tridimensionnel, calcule les dérivées de
a
onct10n
pondération
(II. 30) •
- - - - - - - - - - 1 -
DFI2
F
même finalité que DFll mais valable pour les noeuds
~~terT.édia~res 9-10-11-12 111.30).
1
1

---

-183-
NOM
TYPE
BUT
DFI3
F
même finalité que DFI1. mais valable pour les noeuds
intermédiaires 13-15-17-19 (11.30).
DF14
F
même finalité que DFr1 _ mais valable pour les noeuds
intermédiaires 14-16-18-20
(II. 30) •
DFIP
F
Pour l'élément plan "quadratique ';calcule les dérivées
des 3 fonctions de pondération (11.27) suivar.t x et y.
Organisation du calcul suivant la place du nceud.
J
DFIP1
F
Pour les noeuds sommets 1-2-3-4 , calcule les dérivées
de la fonction de pondération •
DFIP'Z,
F
même finalité que DFIP1
mais valable pour les noeuds
intermédiaires 5-7.
DFIP3
F
même finalité que DFIP1 mais valable pour les noeuds
intermédiaires 6-8 •
DFIL
F
calcule les dérivées de la fonction
de pondération
pour la plaque plane, les éléments étant "bilinéaires".
DFIPOG
F
détermine la dérivation suivant x,y et z d'après la re-
lation (11.44), l'élément étant un prisme triangulaire
et "linéaire" ; tient compte de l'influence de ~ •
DFITRI
F
organise la dérivation des fo~ctions de pondération de
l'élément~prisme triangulaire à base "quadra~ique"
et â hauteur "linéaire".
DFITR1
F
pour l'élément prismatique triangulaire calc·-lle les
dérivées des fonctions de pondération relatives aux 6
noeuds-sommets 1-2-3-4-5-6 •
DFITR2.
F
même finalité que DFITPl
mais il correspond au cas où
les noeuds sont au milieu des côtés du triar.gle
7-8-9-10-11-12 •
DIMEN~
s
calcule dans la direction ascensionnelle le ~ombre de
noeuds où l'échange thermique local doit être calculé.
1
1
w
1

---

-184-
1
I-
_N.=..O""M
...;;T...;;Y.=..P..::.E
-=B:....:UT:...::....
DlMENS
S
Détermine les dimensions des matrices ~~!,~!",j) et
~H"~~} des 9 sous-domaines en lesquels le domaine
planrt peut être subdivisé (figure 24) •
1
DIMMA
s
Saisit}par lecture, les données relatives au maillageJI
aux options principales et cel:es définissaDt les calc
,
algébriques commes les intégraticr.s numériq~es •
Assemblage effectif des termes B"~l\\ehij
vmj
dans
r
DISBBP
5
la
matrice jacobienne tangente (T:~) rendu nécessaire par
la mise e~ é~iv~lenc~ jes 2 ma~r~ces (Re) e~ (~JO). Il
DOT
F
calcule le produit scalaire des 2 vecteurs À
DTETP.
s
calcule lt-3 gr3.ji,:::rl·~ 2~ t,:=;rnpér3.::.lre à ia ;;aroi
la proc~dure ind~quée en annexe 6.
- - - - - - - - - - 1 -
FI
F
Pour l'élément "quadratique"tridi::lensionnel , calcule
les fonctions de pondération des 4 types de noeuds (lI
C
FIF
F
calcule les fonctior.3 de pondé~at~on des noeuds fror.~a­
liers des éléments situés sur :a :ron~ière du domainel
fluide où le flux est imposé
S'.li'lant la relation (II
é
1
FIP
F
calcule les fonctions de pondé~ation des noeuds des
éléments plans "quadratiques" sui'lant (II. 27) •
1
FIPOL
F
calcule les fonctions de pondé~ation des 6 noeuds de
l'élément "prisme triangulaire trilinéaire»
•
FITRI
F
calcule les fonctions de pondé~a~~on des 12 noeuds dell
l'élément "prisme triangulair"2" 2. base ~adratique"
et à ha.uteur"linéè.i::--'"-----1-
FVCLV
s
Initia.li3i? :;'e ve':::>'é:.:r . J mer.l::r~ '::"2 la relation (II. 40)
-------------,1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _a_'_(_C_~_v_)_e_t( CLF) (s i .!. e '::. ux_e_s_-_~_f_'-_X_ê_·_'
GEN1P
S
Numéroc.a':i-);-, <1<::"'::;1 ë1':':l"':S du
:::':::Tlè.~ne plan ~ar affeco:ati
de coordc~nJes é~éménr-~ires (I~X, ICY) et d 1 un numé :-01'
30us-domai~e con~enu dans le vec~eur ~F
•
,:.:sul pp
S
Dans l'ét'..'.de d"" ;.,., i,1.-~~·je ;;lar.e, dét"2r:nine le table:;.,)
1MOH qûl
.:cr-lt.ie:"'lt
1.t7
:-,'(,:·wre ci 1élé:nents oar
sous-dorr.ai
et le tableau ITAB ~aractérisant
le sous-doma~ne au~ -
appartient l'~lémen~ : ~as oa ~l existe des éléments
semi-lnfini;;: .
1
1
1

---

-185-
NOM
TYPE
BUT
GEN2P
s
Détermine les numéros globaux des S noeuds de chaque
élément plan "quadratique"
ces numéros sont contenus
dans le tableau IN (NTE,S) •
GEN2PL
s
Détermine les numéros globaux des 4 noeuds èe chaque
élément plan "linéaire" , utilisé quand le ncmbre de
Prandtl est élevé.
GEN3P
s
Initialise les vecteurs LD1 et LD2 qui contie~nent les
conditions limites de Dirichlet respectivement pour les
vitesses et les températures.
GENER1
s
Même finalité que GEN1P mais valable dans le ~as tri-
dimensionnel du diedre •
GENER~
s
Même finalité que GEN2P mais valable dans le cas tridi-
mensionnel du dièdre •
GENER3
s
même finalité que GEN3P, mais valable dans le cas tridi-
mensionnel du dièdre •
GENR~1
s
Même finalité que GEN1PP, mais valable dans cas du dièdre.
GENR~L
s
Détermine les numéros globaux des S noeuds de chaque
élément parallélépipèdique "trilinéaire" utilisé quand
le nombre de Prandtl est élevé •
GRAVIT
s
Calcule les composantes adimensionnelles du vecteur 1
dans le repère R (annexe 5) orthonormé lié partiellement
au dièdre à partir des angles d'Euler fixa~t =e trièdre.
H2030
s
Permet également un gain de temps importar.t e~ calculant
les matrices
(Hnrmj) de la sous-région 30 (figure 2.4 )
à partir de celles de la sous-région 20 •
H2340
s
Calcule la matrice (Hnrmj) de la sous-région 40
(figure 2.4 )
à partir de celles des régions 20 et 30.
Autorise également un gain de temps important.
HINTOB
s
Calcul de la matrice élémentaire (8 I1ft ,.,j) à partir de
la matrice
(Hl\\nnJ);
permet de gagner un temps considé-
rable par rapport au calcul direct.
1
1

---

-186-
1
NOM
TYPE
BUT
1
IMPP
s
Imprime les résultats relatifs au transfert
Chf
de
(nombresde ~lsselt locaux et globaux) e~ au calcul d
1
l'incompressibilité (pour la plaque pla~e)
- - - - - - - - - -
I~.PRES
s
Imprime les solutions du système (II. 40)
pour char
noeud libre, la températGr~ et (ou) :es composant
la vitesse.
Imprime également la précis~on obtenue.
_______________________________p
__
e_u_t__e_-t
__r_e__a_p_p__
elé toutes les K itératio~s (x arbitjIL
INCOMP
s
Calcule l'incompressibilité à l'incé~ie~r de chaque
l
élément selon la relation
~Jn.~ ).
- - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - 1
INIPR
s
Initialise les matrices alobales
\\SC~,
,RO), (TJO) et
l
les inconnues
(X)= (Vô,XT) •
- - - - - - - - - - -
INTEDl
s
Transforme les coefficients ql des rela~ions A7-2 et
dl
A7-3 et les côtes Z en leurs logarit~~es en vue
la corrélation A7-4.Cas du dièdre.
i
INTED2
s
Transforme la valeur logarithmique t'cl coefficient
la relation A7-4 en sa vale~r réelle.
!NTEG
s
Réalise l' intégratior: numer~que des ir,-::éc::rales
mentaires suivant la relation A6-1. Cas où les
ont une base rectangulaire.
INTEGR
s
Calcule le nombre de Nusselt global ~ ~artir
nombres de Xusse1t locaux
INTERl
s
a un rôle similaire à celui de INTE~ ~is il estl
valable en "bidimensionnel".
1
INTER 2.
s
Même fi~alit2 que INTED
:, il est va:able dans
cas plan bidimensionnel •
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Effect.lt:.·
C)nL"'.'_~. !N-=':::G, l , .l.:-.-:.égrati:::m ~u::-_érique desl
.
-
,
,
-, -
. «
-
-
~ ... -
t '
.
~ncegra-,-e3
--,e3
e~e82'"'-t:3 F;':-lsmat~que;; a
::Jase
r~an __
JACID.2.
s
Organise l'asê..eml:,1J.':;'2 e:.;-.:::'usif d~;; :.er::es 8"''''IHt <-1\\
~_~n~
l~ in~~~-~C5
J3c~~ie~n~
~angsnte
--------
t
1
1
1

---

-187-
NOM
TYPE
BUT
JACINl
5
Organise l'assemblage des termes H"~~j VAj , dans la
matrice globale
(RO) , lorsqu'il existe des éléments
semi-infinis et 'infinis - appelle ADDHt4.P
JACIN2.
s
Organise l'assemblage des termes convec~ifs non~liriêiir
Bnrmj
JœVNt dans la matriëe globale (RO) et dans le
cas plan; assemble également la matrice jacobienne tan-
gente
(TJO); s'emploie avec des éléments semi-infinis
et infinis - Appelle ADDBB~
JACOPi
s
Même finalité que JACIN~
i l est valable uniquement
lorsqu'il n'existe que des éléments fi~is
JACOP~
5
Même finalité que JACIN~;
i l est valable en absence
d'éléments semi-infinis et infinis.
JJR
F
auxiliaire du module H2030
LIMIT5
5
Calcule les intégrandes des différentes matrices élé-
mentaires et les dimensions A,B,C de ctaque élément.
MINV
5
Issu de la bibliothéque 55P/ permet d'i~verser une
matrice non-singulière ; i l est utilisé dans la réso-
lution du système d'équations résultant de la corréla-
tion polYnomiale A7-1 par moindres carrés.
MPRD
5
Issu de la bibliothèque 55P, i l calcule le produit
de
2 matrices
NETFl
s
Dans le cas où les éléments dans la zone fine sont des
prismes triangulaires à base "quadrati~e" et où la
température est interpolée linéairement, i l indexe
les noeuds où la température est définie
NODEFR
5
Détermine pour un élément tridimension:-,el
"quadra-
tique" frontalier,
la valeur des numércs -:;lobaux des
8 noeuds qui doivent être imposés.
NODFRP
5
M~me finalité que NODEFR - il correspc~d à l'élément
plan "quadratique".
NOP
5
Détermine dans le cas plan,
les numércs globaux des
3 noeuds pariétaux de l'élément.

---

1
-188-
1
NOM
TYPE
BUT
NUMER
S
Numérotation des équations de Navier-Stokes, de
l'énergie et des conditions de Dirichlet.
1
NURA
s
Détermine les nombres de Rayleigh et de ~J'..:.sselt loci
ainsi que le norrillre de Nusselt moyen par la relatio
A?-4 •
- - - - - - - - - - (
NURAD
s
Calcule pour le dièdre les nombres de ?..ayleigh et de
Nusselt locaux, ainsi que le nombre de ~'..:.sselt moye~1
relatif à chaqu~ plan
PHYSIC
s
Dans le cas où le fluide est l'eau ou l'air, il ca1ll
la valeur des grandeurs thermophysique3 ~~ises à la
température
(1'p + ~ <>0 ) /2
•
1
PONDER
S
Détermine une corrélation polynomiale je jegr~ ar-
bitraire entre deux grandeurs.
PREABH
s
Dans le cas plan,
il calcule les matr::::es
(e"R~ el
(HHR ...j) de chacun des 9 sous-domaines, p~éservés pa
la suite en mémoire centrale.
PREBHO
s
Dans le cas du dièdre,
il calcule puis sauvegarde elr
mémoire centrale ou sur disque
(selon l'crdre d'in-
terpolation retenu)
les matri:::es (B.II~"'j) et ( H,..ct,.,j4
des éléments situés en regard de la zone active et Il
dont la hauteur suivant z est fine.
relatif~
PREBHl
s
Même finalité que PREBHO -
i l est cependant
aux matrices des éléments situés en ~ont et en aval
l
du dièdre et à hau~eur infinie.
----------~
PREBH2
s
Même finalité ~le PREBHO -
il corres?cnd aux éléments
si~ués en amont eL e. n ~val du.di~dre avec ~n~ hautl.
moyenne - ilrt!:;st apoele que 'Ol. M3G es: s·.lperl.eur
1
PRECI2
S
Calcule la précisio;: ~ X/x à partir èes solutions
ac~uelle et p~écédente •
PRENPL
s
Déte~mine les coorjGn~ées jes noeuds sit~és à la
côte,
les températurps de ces noeuds! partir du
vecteur X~ contenant les températures nojales,et
c5te de chaque niv2èu •
1
1
1

---

-189-
NOM
TYPE
BUT
PRENUP
s
Même finalité que PRENPL - Alors que ce dernier traite
le cas où les éléments sont "bilinéaires" ou "trili-
néaires", PRENUP correspond au cas où les éléments sont
"quadratiques".
PROD
S
Lors de la mise en oeuvre de l'algorithme de Newton-
Raphson, permet d'effectuer le produit de fRO)
(stocké
suivant le profil des colonnes en une partie supérieure
ROA et une partie inférieure<RO~ par le vecteur (X)
pour obtenir le vecteur ROX dans la relation (II.42c).
PROF ID
s
Détermine le début de chaque colonne de la matrice
globale G qui contient les termes générateurs du
mouvement en convection naturelle.
PROFIL
S
Détermine le profil de la matrice de Navier-stokes
PROFIX
s
Détermine le profil général des matrices globales asyrn~
triques
(SO): (SOA, SOC),
(RO): (ROA,ROC) et (TJO):
(TJOA, TJOC)
stockées sou~&forme-vecteu?)etsuivant le
profil des colonnes
STOX
S
Stocke un vecteur dans un autre
SUA
s
Calcule la matrice élémentaire (A HM)
(11.37)
SUB
S
Calcule la matrice élémentaire (BH~Mj) (II.37)
SUBX
S
A partir du vecteur X des solutions,
il actualise les
vecteurs des vitesses
(VO,(NTN,3)
et des températures
(XT)
en vue de l'itération suivante et de l'impression
des résultats - Actualisation des vitesses suivant
(IL45).
SUG
S
Calcule la matrice élémentaire (C7H i,.,)
(IL37) •
SUH
S
Calcule la matrice élémentaire ( HHRl"lj) (IL37) •
SUJJ
S
Calcule la matrice élémentaire (J rtM) (II.37) .
SUM
S
Effectue la somme ou la différence de deux vecteurs.
sua
S
Calcule la matrice de pénalisation
(Onmij) (IL37) •

---

1
-190-
1
NOM
TYPE
BUT
SUQ
S
Calcule la matrice 2" de la relation (II. 36b) •
TEMPEP
S
Calcule pour un élément IE, les tempér:tures des
noeuds de connexion à partir du vecteur ~~ (NTM)
contenant les températures de l'ensemt:e ~es noeudS
du domaine.
I
TRASFP
S
Organise le calcul de l'échange thermi~e pariétal,
UACTCL
S
Résout les systèmes (11.4') ou fII.42) dans lesgue,lI-
les matrices des coefficients (TJO)
e~ (RO) sont
1
dissymétriques et stockées suivant le ~rcfil des
colonnes - il procède par décompcsitic~ ~riangulair
puis par substitution arrière suivant ~a ~éthode èe 1
Crout.
- - - - ' - - - - - - - - - - - - - i
VERIF
9
Après la salSle des données et la générati)n automal-
que du maillage, il vérifie les données lues et le
maillage généré par impression.
xxx
S
Calcule les coordonnées élémentaires, des noeuds èell
l'élément plan "quadratique"- auxilia:"re à INCOMP.
1-
«
~
~ S Désigne la nature-subroutine du module
«
;e..
1
• •
Désigne la nature-sous-programme-fonction du module.
1
1
1
1
Il
Il
1
1

---

-191-
ANNEXE
10
Tableau des résultats obtenus par la méthode électrochimique.

---

1
-192-
1
1
2
1
Cao
= 5 10- mIl
1
1
.
L
(cm)
e 1: -4511
e = -3011
e 1: Dg
{} '"'
3011
: e =
45;
1
. :------~---:------------:------------:-------------:------------:-----------1
46.0
43.2 ..
36.1
42.9
:-----------:------------:------------:-------------:------------:-----------: 1
3.5
40.1
38.4
32.4
40.0
:-----------:------------:----------~:-------------:------------:--------
---:
3.0
34.7
32.7
28.4
30.7
32.5
1
:-----------:------------:------------:-------------:------------:-----------;
2.5
27.7
24.6
26.2
27.5
:-----------:------------:------------:-------------1------------:-----------; 1
2.0
24.8
21.9
20.9
20.2
22.7
:-----------:------------:------------:-------------:------------:-----------:
1.5
18.7
17.0
17.0
16.6
18.2
1
z-----------:------------:------------:-------------:------------:-----------:
1.0
13.1
13.&
13.&
13.1
12.2
:-----------:------------:------------:-------------:------------:-----------: 1
0.7
9.4
9.8
10.1
9.2
:-----------:------------:------------:-------------:-----------:-----------:
0.5
7.7
8.0
7.6
7.4
1
:-----------:------------:------------:-------------1------------1-----------:
0.3
5.0
5.2
5.4
5.2
4.9
1
1
TABLEAU
1 - 1 -
Valeurs d. -1 (mA)
-1
1
1
1
1

---

-:
L (cm}
e • -4511
e. -30li
e = 011
e • 3011
:------------:------------:------------:------------:------------:------------:
- 47.2
44.7
36.8
37.8
40.1
:------------1------------:------------:-----------:------------:------------:
3.5
42.0
40.6
33.1
34.1
:------------1------------:------------:------------1------------1------------:
3.0
36.1
34.4
29.0
29.1
29.4
1------------:------------:------------:------------:------------:------------:
:
2.5
30.8
28.8
24.9
24.2
z---------- :---------:-----------:--------- :------------ :--------,~.
2.0
25.6
24.3
21.1
20.5
20.2
1-----------:------------:------------:------------:------------:-----------:
1.5
19.9
18.1
17.4
17.1
16.4
1------------:------------:------------:------------1------------:------------:
1.0
13.7
13.6
13.5
12.8
12.3
:------------:------------1------------:------------:------------:------------:
0.7
9.6
9.7 .
10.2
9.5
9.1
:------------:------------:-----------:------------:------------:------------:
0.5
7.1
7.S
7.9
7.4
7.1
1------------1------------:------------:------------:------------:------------:
0.3
4.8
5.1
5.3
S.1
TABLEAU
1 - 2
Valeurs de - 1 (mA)

---

-194-
1
1
1
~ oz 9011
eGO.
2
5 10-
ml e..
1
et.
og
\\f"•
011
1
1
L (cm)
9 . -4511
B. -3011
e. o~
e. 3011
1
:-----------:------------:------------:------------:------------:-----------:
4.0
47.2
36.8
34.0
32.2
I-----------:------------·Z--------~~--:------------:----------- -:-----------:
3.5
42.1
40.8
32.9
31.0
29.0
1
1-----------1------------:------------:------------:------------:-----------1
3.0
36.5
34.6
28.7
28.0
25.4
1
:-----------:------------1------------:------------1------------:-----------:
2.5
31.2
24.4
23.0
:-----------1------------1------------:------------1------------:-----------1
1
2.0
25.4
24.1
21.3
20.5
19.6
:-----------:------------:------------:------------:------------:-----------:
1.5
18.5
17.4
17.6
16.7
15.0
1
:-----------:------------:------------:------------:------------:-----------:
1.0
13.1
13.5
13.4
12.8
12.3
:-----------:------------:------------:------------:------------:-----------:
1
0.7
9.2
9.8
10.2
9.6
9.1
:-----------:------------:------------:------------:------------s-----------:
0.5
7.2
7.6
7.9
7.6
7.1
1
:-----------:------------:------------:------------:------------:-----------:
5.1
5.3
5.4
5.2
5.0
1
TABLEAU
1 - 3
1
Valeurs de - l (mA)
1
1
1
1
1

---

-195-
-2
13511
Cao
..
5 10
rat t
011
011
L (CIII)
e. -4551
e. -3011
e.. 051
e .. 3011
e .. 4511
·I-------~---:------------:------------I------------:------------:------
------:
4.0
56.4
52.9 ..
33.5
:-----------:------------:------------:------------:------------:-
-----------~
3.5
49.3
45.4
33.0
31.5
30.8
:-----------:------------1------------:------------:------------:------------:
3.0
3?4
29.0
28.2
26.8
:-----------1------------:------------:------------:------------1------------:
2.5
31.3
25.0
24.8
23.3
:-----------1------------:------------:------------:------------1------------1
2.0
29.0
25.2
21.1
21.1
19.8
1-----------1------------1------------1------------:------------:------------1
1.5
20.5
1?5
1?1
16.9
16.2
:-----------1------------:------------1------------:------------:------------1
1.0
14.?
13.6
13.5
13.2
12.3
1-----------1------------:------------1------------:------------:------------1
9.8
9.6
10.0
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5.3
5.2
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1 - 4
Valeurs de - l
(mA)
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---

1
-196-
1
1
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1
011
1
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e = 3011
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1
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41.4
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1
T A BLE A U
1 - 5
Valeurs de - l (mA)
1
1
1
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1

---

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2
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36.6
40.5
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40.6
38.7
35 .0
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34.5
27.4
27.5
29.4
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2.0
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25.3
21.6
21.4
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19.9
18.1
17.3
16.5
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1.0
1
13.1
13.2
12.8
12.1
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0.7
10.7
10.2
10.2
9.3
9.2
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0.5
8.2
8.3
8.5
7.2
:-----------I------------:------------:------------:--~-------
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0.3
5.3
5.8
5.2
5.2
5.2
T A 8 L EAU
1 - 6
Valeurs de - 1 (mA)
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---

1
-198-
1
1
1
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1
L (cm)
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9 ... 30!îl
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1
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48.0
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36.4
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3.0
39.6
38.1
30.?
29.?
29.2
1
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2.5
33.1
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26.4
1
:-----------:------------:------------:------------:------------1-----------:
2.0
26.9
25.8
22.8
2I.6
20.8
:-----------:------------:------------:------------:------------:-----------:
1
1.5
21.8
20.2
18.8
16.2
I-----------:------------:------------:------------:------------~-----------:
1.0
14.5
12.8
13.3
12.1
11.8
1
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10.6
10.9
9.9
9.?
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5.8
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1
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1 - 7
Valeurs de - l
(mA)
1
1
1
1
1

---

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OQ
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e = 3011
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39.6
38.8
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51.4
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32.4
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3.0
32
29.6
25.8
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2.5
36.4
27.5
24.8
22.8
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2.0
29.2
23.1
22.0
20.9
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1.5
25.0
21.5
18.9
17.6
15.9
1-----------1------------:------------:------------:------------:-----------1
1.0
15.5
13.8
12.9
12.4
11.4
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0.7
11.4
10.5
9.9
9.8
9.3
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0.5
8.6
8.5
7.5
6.6
:-----------:------------:------------1------------:------------:-----------:
0.3
5.6
5.1
4.5
5.0
4.7
T A 8 L EAU
1 - B
V.leurs de - l (mA)

---

1
-200-
1
1
1
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: 3.42 ID
:
141.35
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135.36
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114.21
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135.00
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141.00
:
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1
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71.20
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7
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0.7
: 2.74 10
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33.13
:
34.54
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35.60
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34.19
:
32.43
:
:--------:--------s-:---------:----------:----------:--------:--------1 Il
:
0.5
: 9.99 ID
:
26.08
:
27.14
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28.20
:
26.79
J
26.08
J
:---------:--------6-:----------:----------:----------:----------:-----------:
:
O.:J
: 2.16 ID
:
17.62
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18.33
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19.03
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18.3.3
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1
1
1
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•
1·191
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: 5.11 10
:
166.38
:
157.57
:
129.72
:
133.24
:
141.35
:
:---------1--------9-1----------:----------1----------1----------:----------1
1
3.5
: 3.42 10
1 148.06
1 143.11
1 116.68
:
120.20
t
121.26
:
I---------I--------g-I----------:----------:----------:----------:----------:
:
3.0
1 2.16 10
:
127.25
:
121.26
:
102.22
:
102.58
1
le3.63
1
:---------:-------~-:----------:----------:----------:----------:----------1
1
2.5
1 1.25 10
108.57
1
101.52
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87.??
:
86.01
:
85.30
:
I---------I--------ë-I----------I----------I----------:----------:----------1
1
2.0
1 6.39 10
1
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1
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1
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72.26
:
71.20
1
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1
1.5
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1
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1
63.80
1
61.33
1
60.28
:
57.81
:
1---------1----------1----------1----------1----------:----------:----------:
7
1
1.0
t
7.99 10
:
48.29
1
47.94:
47.58
:
45.12
:
43.36
:
:---------J-------~-I----------:----------:----------:----------:----------:
:
0.7
12.74 ID
1
33.84
1
34.19
:
35.95
:
33.49
1
32.08
:
:---------:--------6-:----------:----------:----------:----------:----------:
:
0.5
: 9.99 ID
:
25.03
1
26.43
:
27.85
:
26.08
:
25.03
:
:---------1--------6-1----------:----------:----------:----------:----------:
:
0.3
: 2.16 ID
:
16.92
:
17.98
:
18.68
:
17.98
:
16.57
:
T A BLE A U
s - 2
Valeurs du nombre de Sherwood moyen Sh
ca1cu16es a. partir de la relfttien{:II:. ':l<,)

---

1
-202-
1
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1
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113.50
1
- :---------:----~--9-1----------:-~--------:----------:----------:----------1 1
:
3.5
: 3.42 10
:
148.40
:
143.82
:
115.S?
:
109.2?
:
1[2.22
1
:---------:--------g-:----------:----------:----------:----------:----------:
:
3.0
1 2.16 ID
:
128.68
:
121.96
:
101.1?
:
98.70
1
93.06
1
1
:---------:--------9-:----------:----------%----------:----------:----------J
:
2.5
: 1.25 ID
:
109.98
:
106.81
:
8?7?
:
86.01
:
61.0?
:
:---------:--------9-:----------:----------:----------:---------- :---------:
1
2.0
: 6.39 10
89.53
84.95
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69.09
:---------:--------8-:----------:----------:----------:----------:----------:
1.5
: 2.69 ID
1
65.56
61.33
62.04
58.86
56.40
1
:---------:--------7-:----------:----------:----------:----------:----------:
:
1.0
: ?99 ID
:
46.18
:
4?59
:
4?23
1
45.1!
:
43.36
1
:---------:--------?':----------:----------:----------:----------:----------f
1
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: 2.?4 ID
:
32.43
:
34.54
:
35.95
1
33.84
:
32.08
1
:---------:--------6-:---------- 1----------:----------:
-----1----------1
:
0.5
: 9.99 la
:
25.38
:
26.?9
:
2?85
:
26.?9
25.03
1
:---------:--------s-:----------:----------:----------:----------:----------:
0.3
2.16 ID
1?9B
18.68
19.03
18.33
1?62
1
T A BLE A U
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3
1
Valeurs du nombre de Sherwood moysn Sh
calcul~es ~ partir de la relati~nOI.5~)
1
1
1
1
1

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: 5.11 ID
:
198.81
:
186.47
:
129.37
:
120.91
:
118.09
:
:---------:--------9-:----------:----------:----------:----------:----------:
3.5
: 3.42 ID
173.78
160.03
116~32
111.04
IOS.57
:---------I--------g-:----------:----------:----------:----------:----------:
:
3.0
: 2.16 ID
:
148.75
:
131.83
:
102.22
:
99.40
:
94.47
:
1---------:--------9-:----------:----------:----------:----------1----------1
:
2.5
: 1.25 ID
:
124.78
:
110.33
:
88.12
:
87.42
:
82.13:
1---------1----------:----------:----------:----------:----------:----------:
8
:
2.0
: 6.39 ID
:
102.22
:
88.83
:
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:
?4.3?
:
69.?9
:
:---------:--------e-:----------:---------- z----------:----------:----------:
:
1.5
1 2.69 ID
:
?2.26
:
61.69
:
60.28
:
59.5?
:
5?ID
:
:---------:----------1----------:----------1----------:----------1----------1
?
:
1.0
1 ?99 ID
:
51.82
:
4?94
:
4?58
:
46.53
:
43.36
:
1---------1----------:----------:----------:----------:----------:----------t
?
:
O.?
: 2.74 ID
:
34.54:
33.84:
35.25
:
33.84
:
32.08:
1---------1--------6-1----------:----------:----------:----------:----------:
:
0.5
: 9.99 10
:
25.?3
:
26.79
:
27.85
:
26.43
:
25.03
:
:---------:----------1----------:----------:----------:----------%----------:
6
:
0.3
: 2.16 ID
:
I?2?
:
18.33
:
18.68
:
18.33
:
17.27
:
T A BLE A U
S -
4
Valeurs du n.œbre de Sherwoad moyen Sh
cs.lcu16es •
partir de la relatien(IJ:.~~)
l
1~
1

---

1
-204-
1
1
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1
1
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l
(cm)
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1
4.0
: 1.0
ID
:
191.49
176.14:
142.53
159.27 s
18S.59
1
:---;~~---~-~~~--;~g--:--15~--:--;~~~~;-:--;;~~;--:-~;~~-;--;-58~~--;
:---------:------------:----------:---------:----------:---------:----------:
9
3.0
: 4.23
ID
142.35
134.95:
112.90
131.33 1
136.93
1
1---------:---------9--:----------:---------:----------:---------: ----------:
:
2.5
: 2.44
ID
:
117.78
:
112.91:
98.27
:
110.92:
rOS.39
s
:---------:---------g--:----------:---------r----------:---------:----------:
:
2.0
: 1.24
ID
:
84.00
:
78.22:
78.04:
75.15:
12.80
:
1
I---------:---------a--:----------:---------:----------:---------:----------1
:
1.5
: 5.28
10
:
73.89
:
67.92:
65.40
:
66.66:
71.18
1
1
:---------:------------:----------:---------:----------Z---------I----------:
8
:
1.0
: 1.56
10
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48.42
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45.70:
46.97
:
44.98:
47.51
:
:---------:---------7--:----------:---------:----------:---------:----------1
:
0.7
: 5.37
10
:
37.03
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36.49 f
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34.14
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1
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:
0.5
: 1.95
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28.27
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29.35
:
28.14:
25.96
:
1
:---------:---------6--:----------:---------:----------1---------:----------}
:
G.]
: 4.22
10
:
18.91
:
19.58:
19.00
:
18.0A:
15.62
:
1
TA9t..EAU
s - 5
1
Valeurs du nombre de 5herwaeQ m~yen Sh
,
l~
"
.,
d
J
" ,
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1
1
1
1
1

---

1
-205-
1
1
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2
60
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Il
Cao
9.6 10-
mIe
3
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Sc
.. 1.165 ID
"t ..
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1
L (cm). 1 Sc Gr/case: 9,",
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-30 Q : 9",
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l---------I---------IO-:----------:~~--------I---------:--------
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- 1
4.0
1 1.0
. ID . II9?09
:
186.0?
1
146.51:
159.34 1
166.93:
1--------1------------1----------:----------:---------:---------1---------:
9
:
3.5
1 6.?I
ID
:
I?4.8?
:
I66.?4
:
132.42 1
139.65:
146.33:
:---------1------------:----------:----------:---------1---------:---------:
9
:
3.0
: 4.23
10
:
146.69
:
140.01
:
111.83:
122.6?:
126.46 1
:---------:---------g--s----------:----------:---------:---------:---------:
1
2.5
1
2.44
10
1
124.83
:
120.32
:
99.00:
99.54 1
106.23 1
I---------I---------g--:----------:----------:---------:---------1---------:
1
2.0
: 1.24
10
1
94.30
:
91.41
:
80.94:
78.22:
7?50:
:--------- :----------- :--------- :---------- :--------- :-------- :---------1
1.5
?6.23
72 .08
65.58 1
62.50 :
59.62 :
:---------1------------:----------:----------:---------:---------:---------:
8
:
1.0
: 1.56
10
:
51.12
:
4?51
:
4?69 1
46.05:
43.72:
1---------:------------1----------:----------:---------1---------:---------:
1
o.?
1 5.37
ID?
:
38.84
:
36.85
:
36.86:
33.60:
33.24:
l---------I-------~--I----------:----------:---------:---------:---------:
:
0.5
: 1.95
10
:
29.5?
:
29.94
:
30.?1:
26.54 1
26.16 1
1---------1---------6--1----------:----------:---------:---------:---------:
:
0.3
: 4.22
10
:
19.06
1
20.90
:
18.62:
18.99 1
18.90 1
TABLEAU
5 - 6
Valeurs du noœbre de Sherwmgœ mayen Sh
calcu1l!e9 ~ partir de lB relatilll1çn:.SJ.)

---

1
-206-
1
1
2
1
'a'
..
c:
9011
Coa
9.6 10-
M
J t,
3
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0 11
Sc
•
1.165
10
1
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011
1
.
L (csn)
Sc Gr/cosS: S=
-45 11 : 6=
-30\\1;
e = DII :B"" 30Ç :8= 4511
1
:-----~---:---------10-:----------:----------:----------:---------:---------1
:
4.0
: 1.0
ID
1
196.73
1
185.72
:
145.25
:
I51.75:
150.85 1
:---------:---------9--:---------- 1----------:----------:---------:---------: 1
:
3.5
1
6.71
10
:
173.61
1
165.12
:
131.52
1
I29.17:
123.93 1
:---------:---------g--:----------:----------:----------:---------:---------:
3.0
: 4.23
ID
t
143.26
137.66
110.92
lQ7.49 1
105.93 1 1
:---------:---------9--:----------:----------:----------:---------:---------1
;
2.5
: 2.44
ID
1
124.29
:
119.68
1
98.22
;
95.57;
88.34:
:---------:------------1----------:----------:----------:---------:---------1 1
9
:
2.0
1 1.24
ID
1
97.19
:
93.40
:
82.38
:
78.05:
75.34 1
:---------:---------8--:----------:----------:----------:---------:---------1 1
:
1.5
: 5.28
ID
:
78.77
:
72.99
:
68.II
:
59.44 1
58.13 1
:---------:---------7--:----------:----------:----------:---------:---------1 1
:
0.7
: 5.37
la
:
39.57
:
38.48
:
39.57
:
35./7:
35.05:
1---------:------------1----------1----------:----------:-
--------:---------~.
7
"
:
0.5
: 1.95
la
1
28.58
1
31.00
1
31.99
1
JO.AS:
27.55 1 1
:---------:---------6--:----------:----------:----------:---------1---------:
~
L.3
1
4.22
ID
;
18.07
i
23.78
:
2I.G8
:
22.51 1
19.3'7: 1
T A 8 L EAU
s - 7
1
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1
1
1
1
1

---

-207-
lf..
2
13511
Cao
9.6 10- ""} e
if.
011
3
Sc
l .165
10
't'::
011
1
L (cm)': Sc Gr/eRSe: e ..
-45 11 : e ..
-30 11 :
S .
0 11 : Ba:
3011 : e.
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1---------:------------:----------:----------:---------:---------:---------1
_:
4.0
1 1.0
"lOlO 1
235.11
:
213.35
:
144.81:
143.08:
140.19 1
1---------:---------9~:----------:----------:---------:---------:---------:
:
3.5
: 6.71
ID
:
202.87
:
185.89
:
132.24:
117.24:
118.69:
z---------:---------g--:----------:----------:---------:---------:---------1
:
3.0
: 4.23
ID
1
176.31
:
162.04
:
115.80:
107.13 1
93.22:
1---------1---------91- 1----------:----------:---------:---------:---------:
:
2.5
1 2.44
ID
1
146.69
1
131.70
:
99.54:
89.78 1
82.38:
1---------1------------:----------:----------:---------:---------:---------1
9
:
2.0
: 1.24
ID
1
118.15
:
105.69
1
83.64 1
79.49 r
75.51 r
1---------1------------1----------:----------:---------:---------:---------:
8
:
1.5
: 5.26
10
:
90.32
r
??68
:
68.47:
63.59:
57.44:
:---------:---------8--:----------:----------:---------:---------:--------:
:
1.0
1 1.56
ID
:
56.00
1
50.04
1
46.61:
44.80:
41.21 1
1---------1------------1----------:----------:---------:---------:---------:
7
:
0.7
1 5.37
ID
:
41.19
1
39.56
1
35.76:
35.58:
33.64:
~
l--------t-------~--I----------:----------:---------:---------:---------:
:
0.5
: 1.95
ID
1
31.16
:
31.01
:
26.66:
27.02:
24.06:
Z---------z---------S--:----------:----------t---------:---------:--------:
l
:
0.3
1
4.22
ID
:
20.51
1
18.53:
16.09:
18.06 1
17.00:
:
1
TA8LEAU
S - 8
Valeur. du nOM.re de Sherwood mByen Sh
1
calculAes • partir de la relatian(JI. '5 ~ )
1
1
I~
1

---

1
-208-
1
1
1
180 11
Sc '"'
1.191 103
1
-2
c
'"
5 ID
mil
CIO
1
L (cm)
Sc Gr/cosS: e = -45 11 :
-30!ïl : e z:
30!ïl
1
:------~--:---------g_J---------:----------:---------:----------:----------1
:
4.0
: S.11
ID
:
208.65
:
189.29
:
129.02:
122.67
:
118.79
:
:---------:--------~-:-~--------:----------:---------:----------:----------a
9
1
:
3.5
: 3.42
ID
:
lel.89
:
164.26
:
117.38:
111.74
:
108.92
:
1---------:-----------:----------:----------:---------:----------:----------:
9
:
3.0
: 2.16
ID
:
156.16
:
135.71
:
104.34:
100.46
:
96.58
:
1
:---------1---------9-:----------:----------:---------:----------1----------:
:
2.5
: 1.25
ID
:
130.77
:
113.15
:
88.83:
87.06
:
83.19
:
Z---------:-----------:----------:----------I---------:----------1----------1 1
8
:
2.0
: 6.39
ID
:
10?51
:
90.24
:
74.73:
75.08
:
70.85
:
:---------I---------a-:----------a----------:---------I----------z----------:
:
1.5
: 2.69
ID
:
74.73
:
63.45
:
60.98 1
60.63
:
58.16
:
1
:---------:-----------:----------:----------:---------:----------1----------1
7
:__-=.
1
0__ ~ ~==__~~?_ :__..::~~ __ ~
48~==-_:
48~~_ :
~~~:=__: ~~_1_:
:
0.7
: 2.74
ID
:
33.84:
34.89:
36.31:
34.89
1
32.78
:
1---------:---------6-:----------:----------:---------:----------:----------:
:
0.5
: 9.99
ID
:
26.43:
27.14:
28.55:
26.79
:
25.38
1
1
:---------:-----------:----------:----------:---------:----------:----------1
6
:
0.3
: 2.16
ID
:
17.27
:
18.68
1
19.03:
18.33
:
17.27
: 1
TABLEAU
1
S -
9
Valeurs du nambre de Snerwouo moyen Sn
1
calculées ~ partir de la. relatiaanQr. ~ <.)
1
1
1
1

---

-209-
~.
-2
3011
Coo
,.
5 10
raIl
9.
3
011
Sc
_
1.191
10
't.
011
.
.
L (cm)
Sc Gr/ces&:
'f. 011 1 î . 30g
'f..
4511 1 If.
60g
: ~..
90g
1---------1---------9--:----------:----------1----------:---------:---------:
r
4.0
1 5.11
10 . 1
~27.25
:
125.84
r
126.90
:
127.25:
125.49 1
: - - - - - - 1 - - - - - -- J - - - - - - : - - - - - - :--------- : - - - - - - :--------:
9
:
3.5
1
3.42
10
1
114.21
1
113.86
:
114.56
:
113.86 1
113.15:
Z---------I---------g--Z----------:----------:----------:---------:---------:
:
3.0
: 2.16
ID
:
100.11
1
100.46
r
100.46
:
101.17 1
100.11 1
1---------1---------9--1----------=----------:----------:---------:---------:
:
2.5
1 1.25
ID
:
86.71
1
85.66
:
86.36
:
85.56 1
87.07 1
'---------z---------ë--:----------:----------:----------:--------.--:---------:
r
2.0
1 6.39
10
:
73.67
1
72.97
1
73.32
:
73.32:
72.61 1
1---------1------------:----------:----------:----------:---------1---------:
8
:
1.5
1 2.69
ID
:
59.92
1
61.69
1
60.26
:
60.98 1
59.92:
1---------1------------1----------:----------:----------1---------1---------:
7
:
1.0
1 7.99
ID
1
47.58
:
46.53
1
45.82
:
47.23 1
46.18:
1---------1------------:----------:---------:----------:---------:---------1
7
1
0.7
1 2.?4
10
:
35.60
:
36.3I
:
35.60
:
37.01:
36.3I:
I---------t---------s--:----------:----------:----------:---------:--------- 1
:
0.5
: 9.99
10
1
28.20
1
29.26
:
28.55
:
28.20:
27.49:
1---------:------------1----------:----------:----------:---------:---------:
6
:
0.3
: 2.16
10
:
19.03
1
19.03
:
18.68
r
19.39 1
19.03:
t
l
TABLEAU
5 -
ID
Valeurs du n~bre de Sherwo.d mayen Sh
1
calcul~.s • partir GI. la relation (lI.rs~)
1
1
1~
1

---

1
-210-
1
1
1
g
-2
; :
30 g
Cao
=
5 10
mil
e
3
= 30g
Sc
1·191
10
1
'1'=
Dg
1
\\... (cm)
9Dîi
1
:----~---:----------§- ;-----_.-:--------- ;-------- :--------- : - - - - - - - ;
4.0
5.11
10
:
151.22:
131.13
131.48:
130.78:
131.83
:---------:----~-----9-:---------:----------;---------:--------- :----------:
1
:
3.5
:
3.42
ID
:
135.00 1
114.91
:
114.56:
114.91:
114.21
:
:---;:~---:--2.16 ~~§-:--108.;;-;---;7.99--:~--~;~~--~---;;~~-;-- 5~~~--: 1
1---------:------------:---------:----------:---------:---------:----------z
9
:
2.5
:
1.25
ID
:
92.35:
85.30
:
84.60:
84.60 1
84.25
:
:--------1----------
1
8-:---------:----------:---------:---------:----------:
:
2.0
:
6.39
10
:
71.20:
70.50
1
70.85:
71.20:
71.56
1
:---------1------------:---------:----------:---------:--------:---------- :
8
:
1.5
:
2.69
ID
:
58.51:
57.46
:
57.10:
57.46:
56.75
:
1
:---------:------------:---------:----------:---------:---------1----------1
7
:
1.0
:
7.99
10
:
46.18:
44.77
1
45.47:
45.82 1
C6.53
1
:---------:------------:---------:----------:---------:---------:----------:
1
7
0.7
2.74
ID
:
34.19:
34.19
33.84:
34.54:
33.84
:---------:----------s-:---------:----------:---------:---------:----------:
:
0.5
:
9.99
ID
:
26.79:
26.08
:
26.08:
26.44:
25.73
1
:---------~----------6-:---------:----------:---------:---- -----:----------:
U.J
2.16
la
18.33
17.62
I7.98
17.98
:8.33
1
T .... i3l!::f'.iJ
~:; - I I
1
VelP-urs du nombre d~ ShBrW(:lO~ moyen Sh
1
1
1
1
1

---

-211-
1$
2
•
3011
Cao
•
5 10-
rail
3
9 • 45"
Sc
•
l .191
ID
'i', •
011
L (cm): Sc Gr/cese:
~'. 011: f • 3011: t. 45"
1---------1------------:---------:----------:----------:----------1---------:
-
~
.
1
4.0
1
5.11
10
1
157.57:
132.54
:
131.48
1
130.42
1
131.13:
Z---------I----------g-:---------:----------:----------:----------:--------- 1
:
3.5
1
3.42
10
1
141.00 1
116.68
1
115.97
1
116.68
1
116.32 1
1-
--1--- -g-I---------:----------l----------:----------I---------I
3.0
2.16
10
1
114.56 1
99.40
:
98.35
1
99.76
1
99.05:
1---------I----------9-:---------:----------:----------:----------Z---------:
1
2.5
1
1.25
10
1
96.94 1
82.83
:
83.54
:
82.84
:
82.84:
I---------I------------J---------I----------I----------:----------:---------:
8
:
2.0
:
6.39
10
1
80.01 1
68.03
1
68.03
:
68.38
:
67.33:
Z---------I----------e-:---------Z----------:----------:----------:---------1
:
1.5
1
2.69
10
1
64.15 1
54.28
1
53.93:
53.93
:
53.58:
I---------:----------~:---------:----------I----------:----------:---
------:
1
1.0
1
7.99
10
:
43.00:
43.00
1
43.00
1
43.36
1
~3.00 1
:---------:----------,-1---------:----------:----------:----------:---------1
1
0.7
1
2.74
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1
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5 - 12
VŒleurs du nombre de Sherwead moyen Sh
calcul~es • partir de la relatien (II .'5.2.)

---

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14
Valeurs du nœmbre de Sherwœ.d mayen Sh
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---

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