Année 1992
THESE
Présentée au
Laboratoire d'Automatique et d'Analyse des Systèmes du CNRS
en vue de l'obtention du
GRADE de DOCTEUR
de L'UNIVERSITE PAUL SABATIER de TOULOUSE (SCIENCES)
Spécialité: Automatique
par
Salam SAW ADOGO
Maître es-Sciences
MODELISATION, COMMANDE PREDICTIVE
ET SUPERVISION
D'UN SYSTEME D'IRRIGATION
Soutenue le 06 - Avril - 1992 ,devant le jury:
MM.
J.L. ABATUT
Président
M.AMOUROUX
Rapporteur
B. DAUUOU
Rapporteur
J.QUEVEDO
Rapporteur
A.K. ACUAIBOU
Examinateur
P. KOSUTU
Examinateur
F. MORA-CAMINO
Examinateur
J. AGUILAR-MARTIN
Directeur de thèse
RapportL.A.A.S. N" 92141
Thèse préparée au Laboratoire d'Automatique et d'Analyse des Systèmes du C.N.R.S.
7 Avenue du CololJel Roche, 31077 TOULOUSE Cedex

---

A vaut-Propos
Cemémoire présente l'essentiel des travaux que j'aimenés ail sein du groupe "Décentra-
lisation, Hiérarchisation et Parallélisme en Commande et Optimisation" du Labora-
toire d'A utomatique et d'A nalyse des Systèmes du CNRS. CfS tral'au.r ont été effectué
en collaboration aVfC la division Irrigation du Cfntre National dll Machinisme Agricole, du
(;énic Huml, du, Eau.T ri', Forêt (CEMA (; HEF) dc MontpFiliFr.
En p7'Cmicr lieu, je tiens à remfrcifr Monsieur Alain COSTES, Direcifur du L.A.A.S.,
pour m 'y avoir acceuilli, et d'avoir contribué à faciliter mon séjour au sein de ce laboratoire.
Je tiens également à remercier Monsieur Jacques BERNUSSOU, Directeur de Recherche
au LAAS-CNRS et responsable du groupe "Décentralisation, Hiérarchisation et Parallélisme
en Commande ct Optimisation ", pour m'avoir reçu dans son groupe.
Je voudrais aussi adresser mes remerriements à Monsieur Jean Louis ABATUT, Pro-
fesseur des Universit!s et Chef du /)épartement Avionique et Systèmes à l'E.N.S.I.G.A. de
Toulouse, qui m'a fait l'honneur d 'acccpter la présidence du Jury de crttc thèSf.
Mes remerricTnfnts vont égalfTnent à:
•
Monsicur Marrd A MOl/HOUX, Professeur ri l'Unive7'.'iité de Perpignan ..
•
Monsl:ellr Boutaib DA lfNOU, Maître de conférence à 1'1. U. T-U.P.S. de Toulouse,.
•
Monsieur Joseba Q{J1~'VHDO, PmfcssFur à l'Université Polytechnique de Catalogne,
.. ~"
E;5fJagne ,.
pour l'Iwnl/lur qu'ils 7lI 'ont fait en a('('(ptallt la ('harge d'an Irs mpJiol'teu/','i de ('{,'; tl'a-
l'a Il.r a llJin\\" Ih la ('01/1111 i,';sùm d(','; th l.'u's, ri /rur,'; ('011 t ributions ri l'amdioration du m!moire
par leurs critiques constructives.
Mes remerriemenls iront ensuite à Monsieur Pascal I....OSUTlf, Ingénieur du CREF et
"animateur" de l'équipe régulation des transferts d'eau à surface libre au CEMA CREF de
Montpellier, pour les nombreuses explications et éclaircissements qu'il m'a apportés (dans
le domaine de l 'hydraulique à surface libre), ainsi que d'avoir accepté de participer au jury
dr ('()fr th(sl. J'a,'iS()('ù: /.qa[,'71ul/t ri. ('{s n7Jun'ù7lI( nts l'(TlH('IIIh!c rlrH Jill'sonnrs de la
division Irrigation du CEMA CRr,'!", cn particulier Pierre-Olivier Malaterre, Jean-Pierre
Baume, Jarques RfY pour l'amitié et l'enthousiasme qu'iL" m'ont témoignés durant mes
sfjours au CEMAGREF.

---

Qu'il me soit permis li 'adresscr "Ill plus villc "(('o///l.lli,';,';I1//('( fi 1\\10//,,;' III' F/li,r f\\;loJ'(L-
Camino, Professeur à l'Ecole Nationale de l'A vialion Cil'iir dc 'j'ou/ousc, qui fi assul'(: /e
suivi sàentifique de cetie thèse .. ses conseils, ses compétrnces cf sa constal/fr dispol/ibilité,
m'ont été précieux pour la concrétisation de ce travail.
Merci aussi à Monsieur Abdelkrim ACHA/BOU, MaÎlrf dc confùrl/cf ri 1'I..\\'.P-1.J>.s. 'l'.
de TouLouse, pour sa contribution à l'amélioration du mémoil'e d( thisC', cf POl/I' av011'
accepté de participer au jury de thèse.
Je voudrais également témoigner ma reconnaissance à Alonsieur Joseph AGl'ILAR-
MARTIN, Directeur de Recherche au LAAS-CNRS à Toulouse, pOUl' ar'oir a88un: /a res-
ponsabilité de mes travaux de thèse. Ses qualités humaines, la confiaI/Cf ft La libuti fju'/1
m'a accordées ont apporté beaucoup à l'aboutissement de ce travail.
Je n'oublierais pas le Service de Documentation et d'Edition du LAAS qui a assuré Ir
tirage de cette thèse. "
Pour finir, un gros merci aux membres de l'équipe DHP, et particulièrement mes ca-
marades thésards: Louay, Antoine, Ghislaine, Kouamana, Fnd, Drnis. Na.ly, Dominique,
Patrick, François, Pilar, pour l'amitié et l'enthousiasme qu'ils m'ont apportés tout au long
de ces années de thèse,
A Djenaba, Aissatou, Bako, Wivine et "Maz" , Mariama, qui ont toujours su être Là
dans les moments diffi~iles et qui m'ont supporté dans tous les sens du terme, je dois bien
plus que des remerciements.

---

1
1
r
1
Table des Matières
1
Liste des Figures
5
Introduction générale
7
Première Partie
Etude bibliographique
I l
Liste des notations principales
13
1
Généralités sur la commande des systèmes à retard
17
1.1
Introduction........
17
1.2
Commande par prédiction
17
1.2.1
Régulateur de Smith
17
1.2.2
Régulateurs à minimum de variance
20
1.2.3
Commande prédictive à horizon étendue
21
1.3
La commande Adaptative
26
1.3.1
Introduction . . . .
26
1.3.2
Différentes techniques de commande adaptative
1.4
Conclusion
.
30
II Synthèse des lois de commande prédictive
31
11.1
Introd uction . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
11.2 Modélisation du processus et de son environnement
31
11.3 Objectif de commande
.
33
IIA Commande prédictive généralisée (GPC)
34
11.4.1
Prédicteur optimal à j-pas
36
11.4.2
Minimisation du critère.
38
11.5 Analyse de stabilité . . . . . . .
40
Il.5.1
Influence des paramètres de synthèse sur la stabilité
43
1

---

2
Table des J1atières
11.5.2
Résumé de l'analyse
.j 1
11.6 Commande prédictive généralisée incorporant une action "feedforward"
52
11.6.1
Calcul du prédicteur à j-pas
11.6.2
Minimisation du critère . . .
11.6.3
Comportement en boucle fermée.
."j.)
II. ï
Conclusion.
Bibliographie
57
Deuxième Partie :
Modélisation, Commande et Supervi-
sion d'un système d'irrigation
61
IIIIntroduction à la gestion automatisée des systèmes d'irrigation
63
111.1 Introduction
.
111.2 Présentation d'un système d'irrigation
111.3 Rappels sur les méthodes classiques de régulation des canaux
111.3.1 Objectifs de la gestion des systèmes de transport d'eau d'irrigation
(,r)
111.3.2 Méthodes de distribution d'eau
t,,)
III.3.3 Régulation par l'amont
6-;-
III.3.4 Régulation par l'aval .
fiS
IliA Introduction de l'automatique dans la régulation des canaux
111.4.1 L'automatique en hydraulique à surface libre: considérations générales ~:
IV Modélisation mathématique des écoulements hydrauliques à surface
libre
73
IV.l Introduction
.
IV.2 Modèle de Saint-Venant
IV.2.1 Les équations de l'écoulement unidimensionnel transitoire à surface
libre . . . . . . . . . . . .
-,
IV.3 Simulation numérique du modèle
.
, )
IV A Modèles simplifiés de transport d'eau à surface libre
IVA.l Simulation numérique du modèle d'hayami ..
Si
IV.4.2 Comparaison des résultats de simulation Saint-Venant et Hayami :
nécessité d'une modification de Hayami pour la prise en compte des
non-linéarités . . .
~~
IV.5 tvlodèle d'Hayami modifié
'. . . . . ..
q

---

1
Table des Matières
3
- IV.6 Conclusion.
88
V Commande d'un système de transport et de distribution d"eau
89
V.1
Caractéristiques et spécification de la commande
89
V.2 Commande prédictive d'un bief simple
90
V.2.1
~ature des perturbations
90
V.2.2
Modèle de commande. .
90
V.2.3
Représentation d'un bief simple
90
V.2A
Aperçus des non-linéarités.
91
V.3
Problématique des biefs en cascade
97
VA
Commande basée sur l'inversion de modèle
9S
VA.1
Inversion du modèle de Hayami . .
99
VA.2
Détermination de la commande en boucle ouverte
102
VA.3
Nécessité d'une boucle fermée
103
V 0404
Résultats de simulation.
104
V.5 Conclusion. . . . . . . . . . . .
lOS
VI Supervision d'un système d'irrigation
109
VL1 Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . .
109
VL2 Fonctions du Superviseur et difficultés de résolution
110
VI.3 Description de l'approche retenue . .
110
VIA Reconnaissance en ligne de situation
112
VL5 Attribution de priorités. . . . . . . .
114
VI.6 Allocation des quantités d'eau hebdomadaires
116
VI.7 Allocation des quantités d'eau au niveau tactique
118
VL8 Détermination des coefficients d'importance de satisfaction deo besoins
120
Conclusion générale
127
Bibliographie
128
Annexes
132
A Estimation paramétrique
133
A.1
Propriétés de l'estimateur
1:33
:\\.2 Structure du modèle
. . .
133

---

1
4
Table des Matières
1
A.3 Estimateur paramétrique . . . . . . . .
134
1
A.3.l
Estimateur des moindres carrés
134
A.3.2
Estimateur des moindres carrés pondéré
13.5
j
A.4
Aspects pratiques de l'identification ..
1:36
A.5 Algorithme d'adaptation paramétrique
1:38
1
B Analyse de stabilité
l·n
B.1
Démonstration du théorème 2.1
l-il
B.2
Démonstration du corollaire 2.1
lH
. C Modélisation des phénomènes de transfert d'eau
147
C.l
Fonction de transfert. d'un bief. -. . . . . . .
1-1 ï
C.2
Solution de l'équation de transport-diffusion
1-19
D Méthode de calcul des besoins en eau des plantes
153
D.l
Prédiction des pompages . . . . . . . . . . .
15:3
D.1.l
Principe de calcul du bilan hydrique
15:3
D.1.2
Quel enseignement tirer de l'établissement d'un bilan hydrique
1·)-i

---

1
1
r
Liste des Figures
0.1
Organigramme de la thèse . . .
1.1
Schéma de régulation classique. . . . . . . . .
1.2
Schéma de régulation par predicteur de Smith
1.3
Schéma de régulation par predicteur de Smith
1.4
Schéma de régulation par predicteur à minimun de variance
::1
.,-
1.5
Principe général d'un système de commande adaptative
_1
1.6
Commande adaptative à modèle de référence .
1.7
Commande auto-ajustable . . . . . . . . . . .
2.1
Représentation du procédé
. . . . .
2.2
Principe de la commande prédictive
2.3
Forme canonique régulateur . . . . .
2.4
Lieu des racines en fonction de À, avec N p=2
2.5
Lieu des racines en fonction de
, -
À, avec Np=5
-r.)
2.6
Lieu des racines en fonction de À, avec Np=lO
2.7
Lieu des racines en fonction de Nu . . . . . . .
2.8
Lieu des racines en fonction de Nu, avec Np = Nu, et ,\\ #- 0
2.9
Lieu des racines en fonction de Hi, avec Hi = 1, ... ,2.) et He = :2
50
3.1
Différentes configurations d'un systeme d'irrigation
65
3.2
Régulation par l'amont
69
3.3
Régulation par l'aval .
69
4.1
Représentation schématique d'un tronçon de canal
ï4
4.2
ï5
4.3
Schéma de discrétisation de Preissmann .
ï9
4.4
Réponses de St. Venant et de Hayami
83
4.5
Caractéristique expérimentale de e· .
85
.5

---

6
Liste des Figures
4.6
Définition de l'erreur de sortie
56
4.7
Critère VN(,B) normalisé
. . .
Si
4.8
Réponses de St. Venant, de Hayami et de Hayami modifié.
S5
.5.1
Schéma d'un bief simple . . . . . .
91
5.2
réponse indicielle (échelons positifs)
5.3
réponse indicielle (échelons négatifs) .
5.4
Evolution sortie/consigne . . . .
·5.5
Evolution de la commande GPC
5.6
Evolution du paramètre estimé a2(t)
5.7
Evolution des paramètres estimés bi(t)
'1.)
5.8
Evolution des prélèvements.
')6
5.9
Sortie régulée
.
'16
5.10 Evolution de la commande GPC
',16
5.11 Découpage de la rivière en biefs
'17
5.12 Régulateurs en cascade
·)s
5.13 Biefs en cascade . . . .
5.14 Transfert d'hydrogramme par le modèle d'Hayami
99
5.15 principe de commande par inversion.
6.1
Courbes d'équi-criticité
.
6.2
Fonctions d'appartenance des si t uations .
~14
6.3
Fonction d'appartenance des usagers
~16
6.4
Evolution de l'intervalle de quantité allouable
~19
]
6.5
Périodes sensibles et périodes d'irrigation des principales cultures en :\\Iidi-
Pyrénées
.
6.6
Sensibilité à la séchéresse de quelques plantes. Rendement exprimé en ~:
J
du rendement d'un témoin bien irrigué pour des phases de sécheresse in-
tervenant à différents moments du cycle végétatif
1
6.7
Réponse à l'eau de quelques végétaux . . .
~24
6.8
Organigramme de la fonction Supervision.
125
j
1.1
Environnement de l'estimateur de paramètres
137
3.1
Hydrograrnme d'entrée décomposé en somme d'échelons.
1·51
1
1
1

---

Introduction Générale
L'agriculture irriguée représente un facteur important dans l'économie de beaucoup de
pays dans le monde. En 1989, on dénombrait plus de 300 millions d'hectares de lerre
irriguée dans le monde entier, dont les 3/4 sont situés dans 22 pays en développement.
D'autre part, les moyens d'existence de 800 millions à un milliard de personnes dépendent
de l·'agriculture irriguéel .
- La gestion de périmètres irrigués a pour objectif de tirer le meilleur profit d'une res-
source naturelle, l'eau, dans son usage agricole. Parmi les differents aspects de cette gestion
sociaux, économiques et techniques, nous nous interessons aux derniers.
La gestion technique de la distribution de l'eau repose dans la plupart des cas sur des
règles empiriques issues de l'expérience des gestionnaires. Le problème est de maîtriser
finement le transport de l'eau sur des distances importantes, dans des canaux ou des cours
d'eau.
Bien que ces règles empiriques soient parfois bien adaptées, leur application ne permet
pas d'optimiser l'utilisation des réserves. Ceci se constate dans la majorité des périmètres
irrigués, en exploitation, où le rendement d'utilisation de l'eau est de l'ordre de .j09é,
Ceci entraine que la moitié de l'eau stockée dans les réserves n'est pas utilisée pour les
irrigations [M OJ86].
Dans les systèmes d'irrigation, les problèmes majeurs sont doubles: d'une part fournir
l'eau en lieu et temps opportun, de préférence au moment où l'irrigant en a besoin. tout
en économisant au maximum la réserve disponible, d'autre part, en cas de pénurie d'eau.
veiller à une distribution équitable aux usagers avec comme objectif la minimisation des
conséquences de cette pénurie. Par conséquent, la flexibilité dans le transport et la
distribution de l'eau d'irrigation constitue un atout capital pour une bonne gestion.
Dans de nombreux pays, depuis plusieurs années, la recherche de l'amélioratior.. des
performances des périmètres irrigués a fait l'objet d'efforts intenses qui ont porté, d'ULe
part sur l'organisation de la distribution de l'eau, avec le souci de la rendre plus équitable,
et d'autre part sur l'organisation des agriculteurs.
Des résultats sensibles ont parfois été obtenus. Cependant, les carences enregistrées au ni-
veau du contrôle des ouvrages principaux (canaux primaires, canaux secondaires. vannes,
etc ... ) et de la gestion du transport d'eau en général. n'ont pas permis de tirer tout le
parti possible des efforts dans ces pays.
1 Publication de l'HMI - International Irrigation Managemant Institute - sur la gestion des périmètres
irrigués
7

---

8
Introduction générale
La maîtrise technique d'un système d'irrigation repose donc sur
• sa conception (dimensionnement, construction d'ouvrage ... ). En effet. les prGblèmes
de pénurie d'eau sont liés au fait que la quantité d'eau transitant nature:ler:1ent
dans le cours n'est pas suffisante à certains moments de l'année. Cne des solutions
consiste à construire des retenues d'eau permettant de stocker pendant la saison
humide les apports naturels (pluies, fonte des neiges, .. ) et restituer l'eau nécessaire
pendant la saison sèche. Ce type de solution est très couteux et long à mettre en
place,(prix moyen d'investissement indicatif: 6F F1m3 de stockage dans le s1.ld ouest
de la France),
• la technique de régulation utilisée dans le transport et la distribution de l'eau.
L'objectif de notre travail rentre dans le cadre de ce dernier point. ~OU5 nous son~mes
préoccupés des problèmes de gestion du transport et de distribution dans le système. Le
- but de la gestion est d'utiliser de façon optimale l'eau disponible dans la réser':e pour
l'ensemble de la saison sèche. Pour cela, deux niveaux de gestion sont à distinguer:
* gestion à court terme: l'objectif est de commander les débits lâchés aux barrages
pour satisfaire, à la fois un débit de consigne spécifié à l'aval du système et, la èemande
des utilisateurs en differents points du système.
Le problème de commande posé se singularise par la présence de retards importants induits
par les temps de transfert de l'eau le long du cours d'eau. Etant donné cette part>ularité.
nous avons adopté un schéma de commande basé sur une approche prédictiw.
'" gestion à long terme: en effet dans le premier niveau, l'état des réserves amonts
n'est pas pris en compte dans la gestion du système. Aussi, la définition d'un deuxième
niveau s'est avèrée nécessaire.
Ce mémoire est articulé en deux parties, comme suit:
La première partie, divisée en deux chapitres, trace un panorama général des tra\\'aux
engagés ces dernières années sur la commande prédictive. Plusieurs méthodes. toutes
basées sur le principe de prédicteur de l'état (sortie) du système, sont décrites dans le
chapitre 1. Ensuite, un bref exposé sur la commande adaptative est mené.
Le chapitre II traite de la synthèse des lois de commande prédictive. Le probl~me est ini-
tialement présenté sous forme de la minimisation d'un critère quadratique général. Par la
l
suite, la commande prédictive généralisée (GPC) a été développée. A partir de l'expression
de l'équation caractéristique en boucle fermée, une analyse théorique de l'influence des
paramètres intervenant dans la synthèse de la loi de commande, sur la stabilité de la
J
boucle fermée est effectuée.
La deuxième partie, divisée en quatre chapitres, traite du problème de la gestion des
systèmes de transport d'eau en canaux.
1
Dans le chapitre III, après une présentation des différentes configurations d'un système
•
d'irrigation, nous rappelons succinctement les principales méthodes classiques de régu-
lation de canaux d'irrigation. Ensuite, les considérations générales de l'introduction de
t
l'automatique dans l'hydraulique à surface libre sont analysées.
La modélisation est une étape importante pour la maîtrise d'un système; dans cet op-
tique, le chapitre IV est consacré à la modélisation des phénomènes de transfert d'eau à
J
surface libre.
1

---

Introduction générale
9
A partir des équations physiques du phénomène des écoulements (équations de Saint-
Venant), un modèle (non-linéaire) est décrit. Ce modèle discrétisé est utilisé comrr:e mo-
déle de simulation numérique du phénomène de transfert de débit dans les om'rages de
transport, il s'agit du modèle SIC (Simulation of Irrigation Canal) réalisé par le CE:\\1:\\-
GREF. Ce modèle nous a permis de mettre en évidence les caractéristiques dynar..iques
et statiques des systèmes hydrauliques à surface libre qui sont principalement:
• dynamiques lentes,
• système à grands retards (retard variable),
• système naturellement amorti.
Se basant sur des hypothèses simplificatrices, un second modèle (modèle d'Bayé.mi l a
été considéré. Ce modèle simplifié n'est cependant valide que dans une certaine plage
d'évolution du point de fonctionnement. Enfin, nous avons proposé une améliorat:on du
modèle simplifié en introduisant une adaptation en ligne du modèle simplifié en fO:1ction
du régime d'écoulement.
Dans le chapitre V la gestion tactique du système est présentée. Il s'agit de déte~miner
le débit à lâcher à l'amont du système pour satisfaire au mieux les demandes en eê.U des
irrigants le long de l'organe de transport et maintenir un débit de consigne à l'é.':al du
système.
Le problème de gestion stratégique est abordé dans le chapitre YI.
La figure (0.1) présente l'organisation globale du mémoire.

---

10
Introduction générale
PARTIE
1
PARTIE
II
Chap. 1
Chap. II
Chap. III
Chap. IV
Chap. V
Chap. VI
INTRODUCf. "-
SYSTEMES
C. PREDICfNE
-
~
MODEliSAI..
COMMANDE
SUPERVISIOf,'
Bibliographie
Bibliographie
Partie 1
Partie II
Figure 0.1 : Organigramme de la thèse

---

Première Partie
Etude bibliographique

---

---

Liste des notations prillcipales
Un caractère majuscule gras dénote une matrice.
Exemple: H, L sont des matrices.
Un caractère majuscule normal dénote un polynôme en q-l.
Exemple: A, B sont des polynômes en q-l.
Un caractère minuscule gras dénote un vecteur.
Exemple li, fi sont des vecteurs.
Un vecteur ligne est noté par un vecteur transposé, uT, roT sont des vecteurs ::gLes.
q-l
désigne l'opérateur de décalage arrière: q-ly(k) = y(k - 1 J.
q
désigne l'opérateur de décalage avant: qy(k) = y(k + 1).
(A)ij
désigne l'élément ij de la matrice A.
On utilisera aussi souvent la notation aij.
Xi
le i me élément d'un polynome X.
nx
le degré d'un polynome X.
Xi
désigne un polynome X qui est fonction de i.
Son degré est nx"
et son jme élément est noté Xi,j'
X(1)
"gain" d'un polynôme X : X(l) = Lj~IXj.
x
n
Variables estimées.
(.)T
opérateur de transposition.
[.]
dimension d'une matrice.
6
opérateur différentiateur: 6 = 1 _ q-l.
E {.}
opérateur espérance mathématique.
13

---

---

Chapitre 1
Généralités sur la commande des systèmes
à retard
1.1
Introduction
l'n système à retard est un système dans lequel il y'a un délai entre le sipal de
commande et son effet sur l'état et la sortie du système. Ce délai est généraleme:lt Llne
caractéristique du système et correspond au temps nécessaire à un transfert de l.'.atière
ou d'énergie. On rencontre de tels systèmes dans divers domaines: mécanique, élecl'ique,
hydraulique, biologique, chimique, métallurgique, etc ...
La régulation de système à retard a été étudié depuis les années 30, et jusqu'aux années
60. Les procédés étaient représentés par des modèles fréquentiels et la régulation réaiisée
par des méthodes classiques. Une des méthode de régulation la plus connue est sam doute
la méthode du prédicteur de Smith.
La présence d'un retard dans une boucle de régulation est très sou \\'ent source de
problème :soit il y a détérioration des performances de régulation, soit il y a instabilité de
la boucle de régulation. Par conséquent, pour réguler un système à retard. on fait SOU\\'ent
appel à une méthode de compensation, (l'influence du délai dans la boucle de rég'.tlation
sera partiellement ou complètement compensée.
Dans ce chapitre, nous présentons des méthodes de régulation de systèmes à ~etard,
basées sur des techniques prédictives. Ensuite, seront présentés, les principes géné~i\\l:x et
les différentes techniques de commande adaptative,
1.2
Commande par prédiction
1.2.1
Régulateur de Smith
Le principe de commande par prédiction a été introduit pour la première fois par Smith
à la fin des années 50 [SMI59]. Cette méthode connue sous le nom de prédicteur dt Smith
dans la littérature a pour objectif primaire, la compensation de l'effet du retard dans la
boucle de commande. Rappelons brièvement l'idée de base du principe: considérons le
schéma de régulation classique représenté par la figure (1.1).
17

---

18
Généralités sur la commande des systèmes à retard
e(k)
R
u(k)
B
y(k+d+l)
-d-l
q
1\\""
Figure 1.1 : Schéma de régulation classique
Dans ce schéma de régulation classique l'équation du système bouc lée est
-d-l BR
A
(k) -
q
-(k) +
e(k)
y
-
A+q-d-IBR Y
A+q-d-lBR
où R représente la fonction de transfert du régulateur.
L'équation (1.1) montre que le retard d du procédé apparaît dans l'équation caract~­
ristique, cela constitut un inconvénient, car le système bouclé peut de\\'enir facileme:lt
instable (large décalage de la marge de phase causé par le retard d),
Dans les années 60, Smith [SMI59] a proposé le schéma de régulation de la figure 1.1. '!).
L'idée de base de son approche était de transformer le problème classique de commande
de la sortie à l'instant présent, par la commande d'une prédiction de la sortie à l'instant
futur k+d+1.
1
1
R·
u(k)
B
y(k+d+l)
-d-l
q
1\\""
]
J
Figure 1.2 : Schéma de régulation par predicteur de Smith
J
L'équation du système en boucle fermée devient:
J
( 1.2)
1
il

---

Commande par prédiction
19
dans laquelle R- est une fonction de transfert différente de R. L'expression (1.2) montre
que le retard est éliminé de l'expression de l'équation caractéristique en boucle fermée. Le
signal de sortie utilisé dans la boucle de retour est maintenant y( k -;- d + 1) au lieu de
y( k). Ce signal est non mesurable. Aussi, y( k + d + 1) doit être prédit.
Ainsi, l'introduction de la notion de sortie prédite permet la prise en compte de l'effet
du retard, bien entendu, à condition que la prédiction soit faite à un instant au moins
égal à l'instant présent augmenté du retard.
En égalant les relations (1.1) et (1.2) l'expression de R s'obtient aisément:
R*
R=-------",-----
(1.3)
1 + R*l!(l _ q-d-l)
A
En utilisant' l'expression (1.3) de R, le schéma de la figure (1.1) prend la forme de la
~gure (1.3). La notation Â, Ê signifie que la prédiction iJ(k + d -+- l'est generee en
utilisant le modèle du procédé. Le signal utilisé dans la boucle de retour est maintenant
une prédiction de y( k + d + 1).
Si le procédé est correctement estimé (.4.= A, Ê=B) et si la perturbation est nulle
(e(k)=O), alors le terme de correction c(k) est nul. Dans cette situation y(k) et [;(k) sont
identiques. Dans le cas contraire, c'est-à-dire, si la perturbation est eon nulle ou si le
procédé n'est pas correctement estimé, c(k) #0.
De la figure (1.3) l'expression de y(k + d + 1) s'obtient aisément:
(1.4)
Le prédicteur (1.4) est appelé prédicteur de Smith.
R*
u(k)
-d-l
q
...B
-d-l
y(k)
q
Â
y(k+d+l)
+
c(k)
Prédicteur de SmiÙl
Figure 1.3 : Schéma de régulation par predicteur de Smith
Les principaux inconvénients de la méthode du prédicteur de Smith sont d'une part,
l'incapacité de stabiliser des procédés instables en boucle ouverte, et d'autre part sa
sensibilité vis à vis des erreurs sur le modèle du processus [WAT81], [HOR83].

---

20
Généralités sur la commande des systèmes à retard
1.2.2
Régulateurs à minimum de variance
Dans la stratégie de commande par prédiction, le plus célèbre des algorithmes est
certainement celui de la commande à minimum de variance, proposée par A5trÜ:l1 et
Wittenmark [AST73], [AST83]. La synthèse de la commande est basée sur le lllc.,dèle
entrée sortie:
q-dB
1
y(k) = ~u(k - 1) + Aç(k)
, 1..))
où ç( k) est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance finie.
L'objectif de commande consiste à la minimisation d'un critère quadratique cOD:,riLé de
l'erreur de prédiction de la sortie par rapport à la référence à l'instant t+d+ 1.
J = E {[Y (k + d +1) - y. (k + d + 1W/k}
Le calcul de la prédiction y(k + d + l/k) fait appel à l'équation diophantine:
1
E
+ -d-l Rd+!
.. =
d+l
q
- . -
(1.6 )
A
A
où Ed+1 et Rd+1 sont des polynômes de degré respectifs d et max(nA' d - 1).
L'utilisation de l'équation (1.6) et celle du modèle (1.5) permet d'exprimer y(k + t1' + l ).
(1. 7)
J
En multipliant l'équation Diophantine (1.6) par B nous obtenons la relation:
]
(1. 3)
J
En utilisant la relation précédente (1.8), l'expression de la prédiction (l.i) s'écrit :î.nale-
ment:
1
(1.9)
J
Le prédicteur (1.9) est le prédicteur à minimum de variance à d + 1 pas en ayant. l'ne
comparaison des expressions (1.4) et (1.9) amène les remarques suivantes: les deux rela-
1
tions diffèrent par le terme Rd+!. Ce filtre agi t sur le terme de correction c(k) dans le cas
du prédicteur à minimum de variance.
1
1

---

Commande par prédiction
21
*
u(k)
B
y(k+d+l)
-d-l
R
q
~
B
-d-l
y(k)
q
Â
y(k+d+l)
c(k)
Prédicteur
Figure 1.4 : Schéma de régulation par predicteur à minimun de variance
Les principaux inconvénients de la commande à variance minimal sont d' une part le
fait que l'on doit connaître avec exactitude la valeur du retard ( ce qui n'est pas toujours
évident en pratique) et disposer d'un modèle de prédiction à phase minimale (polynôme
B stable), d'autre part l'absence du terme de commande dans le critère conduit à des
efforts de commande très importants.
Cne solution à ce dernier problème a été apportée par l'incorporation dans le critère
d'une pondération du terme de commande [CLA 75]. C'est la commande à minimun de
variance généralisé (GMV), dont le critère de commande a la forme:
œ53z
J = E {P [y (k + d + 1) - y* (k + d + 1W+ Q [u( k) - u( k - 1W/k}
où P et Q sont des termes de pondération.
Par un choix adéquat, la pondération Q permet d'avoir des efforts de commande raison-
nables. Par contre le problème de l'incapacité à contrôler des procédés à non m1l11mUm
de phase demeure.
1.2.3
Commande prédictive à horizon étendue
Le concept de prédiction à horizon étendu est envisagé comme solution au problème
précédemment mentionné. Ce concept fait appel à un ensemble de prédictions effect uées
sur un horizon supérieur au retard, d'où une relative insensibilité à la valeur de ce retard.
Le concept de prédiction étendue en tant qu'outil de synthèse de commande vient de Ri-
chalet [RIC76], [RIC78]. La technique proposée est basée sur une modélisation de procédé
par réponse impulsionnelle :
nH
y(k) = 'Lh;u(k-i-l)
(1.10)
;=0
où les coefficients h; représentent les éléments de la réponse impulsionnelle.
Le modèle (1.10) est utilisé pour générer les valeurs prédites de la sortie sur l'horizon Np,

---

22
Généralités sur la commande des systèmes à retard
ce modèle est couplé à la synthèse d'une trajectoire de référence:
A l'origine, cette méthode ne prenait pas en compte un modèle de perturbation. <2': par
conséquent, ni la rejection de perturbation, ni l'annulation des erreurs statiques :1'é:aie:lt
garanties. Des versions beaucoup plus récentes ont comblées cette lacune, :RO'_-S~:.
[BRU84], [KEY88].
Ensuite, est apparue la commande par matrice dynamique (D\\IC) introc'li:-:- pé".r
_ [CUT8ü], dans laquelle la pr~diction se fait à l'aide d'un modèle de réponse inè:cie:le
sur un horizon égale à l'ordre du procédé:
ns
y(k) = L si!:lu(k - i - 1)
i=o
où les Si représentent les éléments de la réponse indicielle, et !:l, l'opérateur différent:a-
teur, défini par par 1 _ q-l.
A la différence de la technique précédente, la méthode (DMC) introduit une cont:-air.te
sur les variables des commandes futures, dans la mesure où il suppose qu'au delà d"ti:1e
certaine valeur Nu avec (Nu:::; Np), la variation de la commande future est nulle. Il :ntro-
duisait ainsi la notion d'horizon de commande. Le critère de commande est alors:
J = E {t.IY(k + j) - y"(k + j)]' + .\\1L'.u(k + j - 1))' Ik}
1.: 3)
sous la contrainte!:lu(k + i) = 0
Vi ~ Nu + 1
Cependant, bien que ces méthodes soient séduisantes, elles présentent des limitatio:-s En
effet:
• L'utilisation de modèle de convolution (modèle impulsionnelle ou indicielle) é. pour
conséquence que: une bonne approximation du procédé va nécessiter une large
valeur de l'ordre de troncature (nH ou ns), ce qui est néfaste lorsqu'une approche
adaptative est envisagée.
• Ces méthodes ne permettent pas de stabiliser des procédés instables en boude C'L1-
verte ou à non minimum de phase.

---

Commande par prédiction
23
C'est pourquoi les études qui ont suivi se sont orientées vers l'utilisation de modèles de
type fonction de transfert, la plupart du temps, discrète. Les modèles s'écrivent sous la
forme générale suivante:
q-dB
C
y(k) = ~u(k - 1) + ADÇ(k)
!1.U)
où A. B, C, D, sont des polynômes en q-l de degré respectifs nA. na. ne, nL).
ç k)
un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance finie et d le :-etard. en ter:1ps
discret, du système. La table 1.1 donne six cas particuliers de modèles. obtenus à pa:-tir
d~ l'expression générale (1.14). Le paramètre n représente l'ordre du système.
Modèle
nA
nB
ne
nD
D
ARX (AutoRegressive eXogenous)
71,
<71,
0
0
1
ARMA (AR Moving Average)
71,
0
>0
0
1
ARMAX (ARMA eXogenous)
71,
::;n
>0
0
1
1
ARIX (ARX Integrated)
n
::;n
0
1
~
ARIMAX (ARMAX Integrated)
n
::;n
>0
1
~
FIR (Finite Impulse Response)
0
nH - 1
-
-
-
FSR (Fini te Step Response)
0
ns -1
-
-
-
Table 1.1 : Modèles linéaires utilisés en commande
Le premier modèle utilisé fut le modèle (ARMAX). Ce modèle ;)ermet de rendre
compte du comportement des systèmes instables, tout en ne nécessité.nt qu'un :lombre
réduit de paramètres:
q-dB
C
y(k) = ~u(k - 1) + A ç(k)
(1.15)
La commande auto-ajustable à prédiction étendue (EPSAC) proposée à l'origine par
De I~eyser et al [KEY79], [KEY81] est parmi les premiers régulateurs de la famille des
contrôleurs à horizon étendu. La synthèse de la loi de commande est basée sur la minimi-
sation d'un critère quadratique:

---

24
Généralités sur la commande des systèmes à retard
Np
J =
L
,(k) [P(y(k + j) - y·(k + jW
!1.16)
i=d+l
où P est un polynôme de synthèse avec P(l) = 1 et y·(k) la trajectoire de référe:-:ce à
l'instant t= k.
Le facteur ,( k) est une fonction de pondération. Dans [KEY82], [KEYS.S:, [l''':E'd8:. une
pondération exponentielle a été proposée ,( k) = a Np k
-
où a est un paramètre de syn-
thèse.
La commande adaptative à horizon étendu (EHAC) proposé par Ydstie [YDSS-(. CG;l-
siste à calculer, à chaque instant d'échantillonnage, une séquence
de comma,nde [u(k), u(k+l), ... , u(k+Np-d)]. pour satisfaire l'identité:
avec
1 1 -)
.... .1. 1
De la séquence de commande, seule la commande u(k) est appliquée au procédé. et la
procédure est répétée au pas d'échantillonnage suivant: c'est le principe de commé.:1dè à
horizon glissant. La stabilité de cet algorithme est garantie pour les systèmes à pha~e non
minimale si Np est choisi suffisamment grand, et la connaissance du retard n 'est é\\'idem-
ment pas nécessaire. Par contre le fait qu'une seule prédiction soit utilisée ne permet pas
de stabiliser des systèmes naturellement instables.
La Commande Prédictive Généralisée (GPC) [CLA87], est l'un des derniers membre
de la famille des commandes à horizon étendu, et constitue en fait une généralisatiGn des
algorithmes présentés ci-dessus.
Le modèle utilisé (ARIMAX) est une extension du modèle .-\\.RMAX :
l
1. ~ 3)
l
J
Ce modèle est utilisé pour générer une séquence de prédictions de la sortie sur plt..:.sie\\.;rs
pas. Une séquence d'entrée est ensuite calculée, de manière à minimiser l'écart en:re les
sorties prédites et les références correspondantes, sous la contrainte que la comma::de ne
J
varie pas au delà d'un certain horizon. Le principe de la commande à horizon glissant èst
également appliqué.
j
Lt.
J = E
[P(y(k + j) - y'(k + j)]' + .\\(k)[Qu(k + j - 1)]' jk }
(1.19)
J
J

---

Commande par prédiction
25
sous la contrainte : ~u( k + i) = 0
pour i?:: Nu
Finalement, la combinaison des notions de prédiction à horizon étendu et d'horizon de
commande, confère la commande GPC, une robustesse vis à vis des problèmes de retard
variable ou inconnu, et de déphasage non-minimal.
La plupart des algorithmes de commande à prédiction étendue sont des cas particuliers
de la commande prédictive généralisée, et peuvent donc être retrouvés par certains choix
de paramètres de synthèse. La table 1.2 résume les différents types d'algorithmes suivant le
choix des paramètres du critère. Dans cette table, les symboles 'x' signifie que le paramètre
constitue un paramètre de synthèse, et '-' que la méthode correspondante n'utilise pas le
paramètre comme paramètre de synthèse.
Régulateur
Np
I\\Ti
Nu
,\\
Q
p
GPC
x
x
x
x
~
x
MAC
x
d+l
Np -d
x
~
1
DMC
x
d+l
x
x
~
1
EPSAC
x
d+l
1
0
-
x
EHAC
x
N p
1
0
-
1
MV
d+l
d+l
1
0
-
1
GMV
d+l
d+l
1
x
x
x
Table 1.2 :
Nous avons vu que la tendance était à l'utilisation de modèles linéaires de type AR-
MAX ou ARIMAX. La partie adaptative des commandes correspondantes va consister à
ajuster en ligne les coefficients des polynômes du modèle. L'estimation paramétrique est
de fait, très importante, dans ce sens qu'elle conditionne souvent le bor. fonctionnement
du système de commande adaptatif.
Dans l'annexe A, une description générale, et les propriétés essentielles que doi\\'ent
vérifier ces algorithmes d'estimation paramétriques, pour la stabilité et le bon fonction-
nement du système de commande adaptatif, sont présentées.

---

26
Généralités sur la commande des systèmes à retard
1.3
La commande Adaptative
1.3.1
Introduction
La "Commande adaptative" est un ensemble de techniques utilisées pour l'ajustement
automatique en ligne et en temps réel des régulateurs des boucles de commande afin de
réaliser ou maintenir un certain niveau de performances quand les paramètres du p,océdé
à commander sont soit inconnus soit/et varient dans le temps [LAN86].
L'utilisation des systèmes de commande adaptative connaît aujourd'hui un essor cer-
tain d'une part à cause de leur complexité raisonnable et d'autre part à cause l-:U dé-
veloppement de micro-processeurs pouvant servir de support pour leur mise en oeune.
Actuellement, les techniques de commande adaptative ont été utilisées a\\'ec succès pour
. un grand 'nombre d'applications dont une liste non-exhaustive est donnée ci-desso·.:S:
• Asservissement à moteurs électriques
• Pilotage automatique
• Systèmes énergétiques
• Régulation de Ph
• Systèmes hydrauliques
• Réacteurs chimiques
• Robots manipulateurs
• Colonnes à distiller
• Cimenterie
• Procédés biotechnologiques
Initialement, la commande conventionnelle à contre réaction est essentiellement utilisée
pour réduire (ou éliminer) l'effet des perturbations agissant sur les variables à réguler.
Cependant, les perturbations affectant l'ensemble du système de commande sont de deux
types [LAN86]:
(1) les perturbations agissant sur les variables à réguler,
(2) les perturbations paramétriques agissant sur les performances du système de com-
mande.
Les perturbations paramétriques rassemblent les variations de dynamiques, de gain sta-
tique, de retard. Un régulateur à paramètres fixes n'étant pas conçu pour prendre en
compte ce type de perturbations, les performances en boucle fermée s'en trouvent alors
affectées et dégradées. C'est à ce niveau qu'intervient la boucle d'adaptation, pour per-
mettre de maintenir les performances désirées en présence de perturbations paramétriques.

---

La commande Adaptative
27
-Le principe général d'un système de commande adaptative est représenté par deux
boucles (Fig, 1.5): une boucle classique à contre réaction comportant le procédé et le
régulateur à paramètres ajustables, la seconde boucle permet d'adapter en ligne les pa-
ramètres du régulateur, en fonction d'un certain indice de performance (I.P). Cet iudice
de performance est évalué par l'observation des données d'entrée et de sort:e du procédé,
pour être ensuite comparé à l'indice de performance désiré (Pd). L'écart entre l'I.P désiré
et l'I.P évalué sera traité par un "mécanisme d'adaptation". La sortie du "mécanisme
d'adaptation" va agir sur les paramètres du régulateur ou directement sur le signal de
commande afin de modifier d'une manière appropriée les performances du système.
Boucle d 'adapta tlon
Pd
Comparaison
Evaluation
Déçision
de l'indice de
performance
(I.P)
Mécanisme
d'adaptation
Figure 1.5 : Principe général d'un système de commande adaptative
1.3.2
Différentes techniques de commande adaptative
Il existe différents types de schémas de systèmes adaptatifs, qui se différencient par
le choix fait pour les différents blocs (régulateur et Evaluation-comparaison-adaptation )
composant le principe général donné sur la figure 1.5.
Ainsi. on distingue deux types de schémas:
• Commande adaptative en boucle ouverte
• Commande adaptati ve en boucle fermée
Dans le premier type de schéma, il n'y a pas de comparaison entre l'indice de performance
évalué et l'indice de performance désiré. L'adaptation se fait en fonction de \\'ariables auxi-
liaires, issues de l'environnement opératoire.
Les performances en boucle fermée de ces schémas peuvent être bonnes, si les variables
auxiliaires sont suffisamment reliées aux caractéristiques dynamiques du procédé. mais

---

28
Généralités sur la commande des systèmes à retard
ces performances se détériorent rapidement si ces relations changent au cours du temps.
La commande à gains préprogrammés est un exemple de commande adaptative en boucle
ouverte. Dans ce cas, le bloc d'adaptation contient une table de gains disponibles, l:tilisés
par le régulateur (du type PID par exemple).
Le second type (commande adaptative en boucle fermée) est le plus souvent utiiisé en
pratique. Deux schémas sont alors considérés:
(1) la commande adaptative directe (ou implicite)
(2) la commande adaptative indirecte (ou explicite).
Dans le premier cas, les paramètres du régulateur sont directement ajustés eL fO:lct ion
des mesures d'erreur de performances; l'ajustement se fait donc en une seule éta.pe.
_ Dans le second cas, l'adaptation des paramètres du régulateur se fait en deux é~apes:
• estimation des paramètres du modèle,
• calcul des paramètres du régulateur à partir des paramètres estimés.
La commande adaptative avec modèle de référence et la commande auto-ajustable CO!lS-
tituent deux exemples de techniques de commande adaptative couramment utibés en
pratique.
La commande à modèle de référence (Fig 1.6) est une commande directe: les para;nètres
du régulateur sont directement ajustés en fonction des informations d'entrée-sortie du
processus.
L'indice de performance mesuré est ici la sortie du processus, l'indice de performance
désiré est la sortie du modèle de référence, et l'adaptation se fait en fonction de l'erreur
de sortie et de l'historique des entrées-sorties.
La commande auto-ajustable (Self- Tuning Control) (Fig.1. 7), est une commande adap-
tative indirecte. Cette méthode est issue du raisonnement suivant: si le modèle du pro-
cessus à commander était parfaitement connu, nous serions en présence d'un problème
de commande classique; le modèle étant inconnu, on décide d'identifier les paramètres du
système et d'utiliser à chaque instant, ces estimés (comme s'il sagissait des vrais pa,a-
mètres) dans le calcul de la loi de commande. D'une certaine manière, on peut dire que
l'on commande à chaque instant, le modèle estimé du système. Cette manière de procéder
est connue dans la littérature sous le nom de principe d'équivalence certaine [A5Ti7].
Ainsi, l'algorithme de commande adaptative est composé d'un algorithme d'identification
des paramètres du modèle du processus et d'un algorithme de calcul de la loi de com-
mande. Le principe d'équivalence certaine permet de séparer les tâches de la commande
et de l'estimation du modèle du procédé. La synthèse de l'algorithme d'estimation para-
métrique se fait donc indépendamment de la méthode de commande choisie, pour',u que
les modèles utilisés par les deux tâches soient compatibles.
Ce schéma de commande est couramment utilisé lorsque les caractéristiques du processus
sont inconnues, et varient éventuellement avec le temps et avec les conditions opératoi:'c's.

---

La commande Adaptative
29
---- ----- ---. _o. ---------ii.;;.~i~· d-'~ci~pb.ti;'i;----- ------- ----------. ----- -. ---------.. -
MécanisIDe
d'adaptation
Figure 1.6 : Commande adaptative à modèle de référence
Boucle d'adaptation
Pd
Synthèse
Estimation
du régulateur
des paramètres
du processus
Figure 1. 7 : Commande auto-ajustable
La méthode indirecte nécessite un volume de calcul plus important, mais son domaine
d'application est beaucoup plus large, d'autre part elle a fait l'objet de davantage de
recherche que la méthode directe. Celle-ci est en fait limitée à quelques applications spéci-
fiques, du fait de la rigidité des propriétés que doivent satisfaire les modèles des procédés
(minimun de phase, retard connu).

---

30
Généralités sur la commande des systèmes à retard
Finalement, les considérations suivantes sont fondamentales pour tout schéma de com-
mande adaptative:
• Il est constitué de deux boucles, une boucle à contre-réaction ordinaire formée par
le processus avec le régulateur et une boucle d'adaptation qui permet d'ajuster les
paramètres du régulateur.
• La boucle d'adaptation comprend un estimateur récursif de paramètres et un bloc
de conception du régulateur dans le cas d'un schéma indirect. Ce dernier produit
une solution en ligne du problème de synthèse de la loi de commande.
• Le principe d'équivalence certaine est utilisé pour la synthèse d'une loi de comman(~e
adaptative. En effet, la commande que l'on applique au processus est la comman(:e
optimale au sens de la stratégie de commande utilisée, pour le modèle engend~p
par l'estimateur. Elle n'est donc pas nécessairement optimale pour le proces~'~~
considéré.
1.4
Conclusion
Dans ce chapitre introductif, une présentation de techniques de régulation de sy"-
tèmes comprenant un retard a été effectué. Ces techniques utilisent toutes, le principe l~e
prédiction.
Du régulateur de Smith au contrôleur GPC, nous avons montré l'évolution chronol()-
gique de ces méthodes, en soulignant pour chacune d'elle ses avantages et ses insuffisance~.
Nous avons pu constater une manifeste et incontestable évolution vers l'utilisation 2e
techniques de prédiction à horizon multiple, (Long-Range Predictive Control1ers (LRPC,.
techniques qui s'avèrent "efficaces" pour le contrôle des systèmes "complexes".
Enfin, les principes de commande adaptative ont été présentés. Ainsi, nous avo:-:s
vu que la partie adaptative des commandes consistait à ajuster en ligne les coefficients
des polynômes du modèle. L'annexe A est dédié aux problèmes relatifs à l'estimation
paramètrique.

---

!
Chapitre II
Synthèse des lois de commande prédictive
II.1
Introduction
La synthèse d'un "bon" système de c~mmande adaptatif passe a\\'ant tout par
l'élaboration d'une loi de commande performante. Le sens que l'on peut donner à l'adjectif
"performant" peut être très large, mais on peut tout de même se cantonner à certaines
propriétés nécessaires [M5A87] :
• Les performances en boucle fermée doivent POUVOH être spécifiées a pnon par
l'utilisateur, d'une manière simple.
• La loi de commande doit être insensible aux erreurs de modélisation puisque le
modèle utilisé pour représenter le comportement dynamique du procédé est choisi
linéaire et de degré peu élevé. Ce qui constitue une approximation de la réalité.
• Les perturbations externes même persistantes doivent être rejetées sans erreur per-
manente.
• La loi de commande doit pouvoir stabiliser des procédés très diwrs: stables ou
instables en boucle ouverte, à inverses stables ou non, à retards inconnus et éyen-
tuellement variables dans le temps.
Dans ce chapitre, nous présentons l'approche commande prédictive qui permet de satis-
faire ces exigences. Tout d'abord le type de classe de modèle mathématique communément
utilisé pour décrire le comportement des processus à commander et des perturbations qui
les affectent est donné. Ensuite le problème de commande est formulé sous la forme de la
minimisation d'un critère quadratique, après quoi les principes de la commande préJictive
généralisée sont exposés. Finalement l'influence, sur la performance, des di\\"ers paramètres
de synthèse de la loi de commande est analysée.
1I.2
Modélisation du processus et de son environ-
nement
La synthèse d'une loi de commande passe d'abord par une phase de modélisation du
processus à commander. Le modèle doit être capable de représenter le comportement dy-
31

---

32
Synthèse des lois de commande prédictive
namique du système, tout en ayant une complexité compatible avec les moyens de calcul
de la loi de commande. Par conséquent, pour la représentation du processus. nous consi-
dérerons la classe des procédés dont le comportement dynamique peut être approximé par
un modèle paramétrique linéaire perturbé que l'on peut écrire sous la forme polynô:-::1iale
suivante:
C(q-l)
,
A(q-I)D(q-I)Ç(k) + v(k)
2.1 !
,
...
J
modêle de perturbation
ç(k)
... -------,,,
· Processus
·· +-environnement
·.
·,,
·
·
c
·,
·
·
·
·,
AD
·
·
·,
·
·
·
·
·
·,
,
,
,
·
·
q-d-l
·
B
u(k):
·, y(k)
·,
A
·
·,
,
v~)
i
,
.
~-_.----_.-_ ..... _... _---_ ... _----_ .. __ ... _.... ---- .. ----_._-_.
Figure 2.1 : Représentation du procédé
où y(k), u(k), représentent respectivement la grandeur de sortie, la commande du SyS-
tème, ç( k) est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance finie, v( k) représente
l'influence des dynamiques négligées, d représente le retard minimal connu. en pé:"iodes
d'échantillonnage, du modèle du procédé. Les polynômes A, B, C et D sont donnés par:
A( q-l)
B( q-l)
C(q-l)
D( q-l)
Le modèle considéré (2.1) est en fait un modèle de commande qui décrit le comporteme:1t
externe du processus, dans une zone limitée autour de son point de fonctionnement. Eta:lt
donné que les procédés réels sont par nature non linéaires, l'utilisation d'un modèle li:l.éa::-è
conduit donc à des erreurs de modélisation. La fonction de transfert q-d-l B( q-l) /..1. (q-:)
doit donc représenter au mieux les dynamiques du procédé.

---

Objectif de commande
33
-Cependant, pour garantir la stabilité de la boucle fermée, il est nécessaire de faire
plusieurs hypothèses:
• Hl : Le modèle [A(q-l),B(q-l),d] est admissible vis à vis de la loi de commande
c'est-à-dire que ce modèle est stabilisable par la commande utilisée, dans le cas où
la séquence {v( t)} est identiquement nulle.
• H2 : Le modèle des perturbations externes est admissible: cette admissibilité se
traduit par le fait que les polynômes B( q-l) et D( q-l) sont premiers entre eux.
• H3 : La classe la plus large des dynamiques négligées est définie par l'hypothèse
suivante [PRA86]:
:J(o,p) E R+ * R+ tel que V(l, k) EN * N:
~ M!ll '5: ok +p
t=l+l~
où 7]( t) est une norme des signaux d'entrée-sortie filtrés,
(voir défini tion dans l'annexe A).
Une telle hypothèse stipule que les erreurs de modélisation que l'on peut considérer
sont celles qui sont en moyenne linéairement bornées par les signaux d'entrée-sortie.
Ceci concerne plus particulièrement les dynamiques négligées dues aux variations
des paramètres et à la réduction de l'ordre du modèle.
II.3
Objectif de commande
L'objectif de la commande est défini par la minimisation, par rapport à la séquence
{Q(q-l )eu(t)}, du critère de performance quadratique suivant:
J(k, Ni, Np) = E L~, [ey(k + j)]' + '\\(k)[Q(q-')e.(k + j - 11]'/t }
,2.2)
Ni
est l'horizon initial d'optimisation (supérieur ou égal au retard) .
Np
est l'horizon de prédiction, Np - Ni étant l'horizon d'optimisation.
À(k) :
est un facteur positif de pondération du signal de commande.
k
l'instant courant où le problème d'optimisation se pose.
ey(k) et eu(k) sont des fonctions de la sortie et de l'entrée du procédé.
Suivant le choix, d'une part des expressions de ey( k) et eu ( k) et d'autre part du modèle
interne des perturbations, on peut distinguer différents types de commande prédicti\\·e.

---

1
34
Synthèse des lois de commande prédictive
1
11.4
Commande prédictive généralisée (GPC)
l
L'approche commande prédictive généralisée a été proposé par Clarke et al :CL:\\8ï].
Une telle approche constitue une généralisation du principe de commande prériic:ive à
horizon étendu. La figure (2.2) illustre le principe de cette approche.
La commande GPe utilise la fonction objectif (2.2), où:
ey(k)
p(q-l) [y(k) - w(k)]
'.) '3)
\\_ ..
eu(k)
=
u(k)
(2,-t )
Q(q-l)
1 - q-l == 6.(q-l)
(2 ..) )
..) b")
\\- .
et en faisant l'hypothèse suivante:
Nu est appelé horizon de commande, et pris tel que Nu ::; Np
w(k) représente la trajectoire de référence à l'instant t=k, que doit poursuivre ia 50rtie.
P( q-l) est un polynôme asymptotiquement stable, qui introduit un effet de filtrage de
l'écart de sortie, qui devrait contribuer à améliorer la robustesse de la commande.
w(t+j)
........................... _...........
y(t+j)
Interval
d'optimisation,.
t-2
t-I
t+I
t+Hc
t+H I
Horizon
prédiction
Horizon initial
Horizon
commande
PASSE
FUTURE
Figure 2.2 : Principe de la commande prédictive
La fonction objectif a alors pour expression:

---

Commande prédictive généralisée (GPC)
35
(2.8)
Nous remarquons que ce critère de performance est composé de deux parties. Le premier
terme est l'accumulation, sur l'horizon de prédiction, des carrés des écarts filtrés.
Le deuxième terme représente la somme des carrés des valeurs sucees:::: -:es de
l'incrément de commande 6u(k), sur l'horizon de commande de k=l à l"lu, cette 30mme
étant pondérée par un facteur .À.
L'introduction du deuxième terme et le choix adéquat des valeurs de .À( k) perrr.ettent,
dJune part de limiter les variations de la commande au domaine de validité suppo3é pour
Je modèle, et d'autre part de pouvoir contrôler les systèmes à phase non minimale.
En pratique, il est très difficile d'estimer les polynômes C et D intervenant dans le
modèle de bruit, aussi ces polynômes sont fixés par le concepteur lors de la syntr.~se.
Et, par conséquent, ils interviennent comme des paramètres de synthèse.
Dans le cas de la commande GPC, le polynôme D est pris é~al à ~. Pour le mocèle des
perturbations externes ce choix permet de modéliser la plupart des perturbatio:1s ren-
contrées en pratique (échelons aléatoires à des instants aléatoires, mouvement brûwnien,
bruit de mesure, ... ).
Par ailleurs, l'utilisation de ce modèle permet d'incorporer une action intégré.:e dans
la loi de commande [TUF84] et d'autre part d'assurer la robustesse de l'estimateur des
paramètres vis à vis des perturbations externes [PET84].
En effet, les écarts utilisés pour l'estimation des paramètres,
~y(k) = y(k) - y(k -1)
et
6u(k) = u(k) - u(k - 1),
conduisent à l'élimination des valeurs statiques, et l'influence de la perturbatior. sur la
sortie s'atténue rapidement.
Le polynôme C est souvent noté par T, par exemple dans [CLA88]. Ici, nous adû;>terons
la notation:
C(q-l) = F(q-l)
G(q-l)
où F(q-l) et G(q-l) sont des polynômes asymptotiquement stables de degrés TI." et ng .
Finalement le modèle considéré pour la synthèse de la loi de commande a pour expression
q-dB
F
y(k) == ~u(k - 1) + AG6 ç(k) + v(k)
(2.9)

---

36
Synthèse des lois de commande prédictive
La loi de commande sera obtenue par minimisation du critère de performance (:!.S).
Pour ce faire, il est utile de réécrire l'expression du modèle (2.1) en fonction des nouvelles
variables de travail intervenant dans le critère à minimiser.
D'autre part, la synthèse de la loi de commande en question sera faite sous l'hypotièst'
que la séquence des dynamiques négligées est identiquement nulle.
En introduisant la variable ey( k) dans (2.1), on obtient alors:
ey(k) = ~~ 6.u(k - d - 1) + ::6. ç(k) - Pw(k)
Cette reparamétrisation du modèle du procédé établit une relation dynamique entI'",
ies indices' de performances {6.u(k)}
et {ey(k)}, nous l'appellerons alors modèle aL:';
. performances et nous l'utiliserons comme un modèle de commande pour la synthèse de :a
loi de commande, qui se fait en trois étapes:
(1) calcul du prédicteur optimal à j pas de l'erreur de poursuite de sortie
êy(k + j It), au sens des moindres carrés,
(2) calcul de la séquence des erreurs de poursuite de l'entrée {u(k + in
pour i E [0, Nu - 1] qui minimise le critère (2.8) par rapport à ~u(k),
(3) évaluation de la loi de commande, au sens d'un horizon fuyant.
Le prédicteur optimal de ey( k) au sens des moindres carrés est celui qui minimise ;a
variance de l'erreur de prédiction soit,
11.4.1
Prédicteur optimal à j-pas
l
Ecrivons l'expression (2.10) à l'instant k+j,
l
ey(k+j)= ~~6.u(k+j-d-l) + ::6. ç(k+j) - Pw(k+j)
J
A l'instant k, le troisième terme du membre de droite de l'équation (2.11) comprend ulle
séquence de termes {ç(k+i)}, i= 1, ... ,j, non prédictible. Par conséquent, pour calcu:c>r
le prédicteur à j-pas de ey(k), on introduit l'identité polynômiale suivante
J
J
1
J

---

Commande prédictive généralisée (CPC)
37
Cette identité correspond à la division euclidienne du rapport intervenant devant le terme
~(k + j) dans l'expression de ell(k + j). La solution unique de cette identité est donnée
par Ei(q-l) et Ri(q-l), de degrés respectifs j - 1 et max(n +
+
a
n g , n p
nf - j J.
Le prédicteur (2.11) prend alors la forme:
La minimisation du critère étant faite en fonction de la séquence
{~u(k + i)}. pour
i = 0 .. j - Nu-l, le modèle de prédiction doit être exprimé de façon à faire appé.raître
explicitement cette séquence.
Pour ce faire, nous introduirons une seconde identité polynômiale
i2.13)
dont la solution unique est donnée par
Hi(q-l)
et
J(i(q-l),
de degrés respectifs
j - d - 1 et max(nf - 1, nb + d + ng - 1).
L'expression du prédicteur devient
J(
R·
ell(k+j) =Hi ~u(k+j-d-l) + J ~u(k-l) + J y(k) - Pw(k+j) + E}~lk+j)
Le prédicteur optimal est déduit en considérant le fait que la séquence
{~( k)} est a
moyenne nulle
êy(k+j/k)=Hj~u(k+j-d-l)
+mi
(2.14)
,
'"
"~
future
passe
avec
mi = yBO(k + j) - Pw(k + j)
où
J(.
R·
yBO(k + j) = J ~u(k - 1) + J y(k)
(2.16)
yBO(k+ j) est, à l'instant k, la prédiction de la sortie àj pas en avant sous l'hypothèse
que les commandes futures sont constantes et égales à u(k - 1).
Le prédicteur optimal est composé de deux termes:

---

38
Synthèse des lois de commande prédictive
• le premier, Hj 6.u( k + j - d - 1), dépend des commandes futures,
• le second, mj, ne dépend que des valeurs passées de la commande et de la sortie, et
peut donc être calculé sans ambiguité, à l'instant k si l'on dispose de la référence
w(k + j).
11.4.2
Minimisation du critère
En écrivant l'équation (2.14), pour des valeurs de j allant de Ni à .Vp, nous o':Jte:lOns
une séquence de prédictions qui se met sous la forme vectorielle suivante
ê y =.Hu+m
(::!.1 i)
où les vecteurs m,
êy , u et la matrice H de dimensions respectives (Xp - .\\ -+- 1. 1).
(Np - Ni +1, 1), (Nu, 1), (Np - Ni+1, Nu), sont définis de la façon suivante:
[e;(k + Nd, ly(k + Ni + 1), ... , êy(k + Np)]
[6.u(k), 6.u(k + 1), ... ,6.u(k + Nu -1)]
[mNi' mNi+l' ... ,mNp ]
et
hNi - d- 1
ho
0
0
0
h N .-d
hl
ho
0
0
H=
0
(2.15)
h N .. - I
hl
ho
h Np - d- 1
hHp - H.. - d
où les hi sont les coefficients du polynôme
H ( -1)
h
h
-1 + h
-2
+ h.
-(j-l)
j
q
=
0+ lq
2q
+ ...
;-lq

---

Commande prédictive généralisée (GPC)
39
obtenu par résolution des équations Diophantines, et qui en fait n'est autre que la réponse
impulsionnelle de la fonction de transfert
P( q-l )B( q-l)
A(q-l ).0.
L'horizon Nu a été défini comme un horizon de commande qui peut ~oit égaler Sp.
soit lui être inférieur, c'est-à-dire Nu ~ Np.
Si Nu ~ Np, on impose une contrainte supplémentaire, qui caractérj~e la comm?nde
GPC et la différencie de la commande optimale LQ. Cette contrainte est que la (omm? mie
ne change plus au delà de l'horizon de commande:
u(k+i)=u(k+Nu -1) pour i = Nu, Nu+1, ..... ,Np-l. autrement dit .0.u(k+1l = a
Yi ~ .Vu.'
Il en résulte que le régulateur à contre réaction est calculé en admettant que le système
est remis en chaîne ouverte à partir de l'instant i=.Yu ("Open-Loop Feedback COlltrol
-strategy"). Cette contrainte permet de réduire considérablement le volume de calcul: par
rapport à celui qui est nécessaire pour une commande LQ) si Nu est petit.
En remplaçant ê y dans (2.2), par son expression (2.17). la fonction de coùt preLlI la
forme vectorielle suivante:
J = E {(Hu + mf(Hu + m) + À(k)uT u/ k}
(~.19)
L'expression du vecteur résultant de la minimisation de J par rapport à u est:
(::! .20)
Finalement, la loi de commande à horizon fuyant associée s'obtient comme suit
(2.21 )
Posons A = (HTH + À(t)ItIHT la matrice de gain.
et kT =[011 ... OIN ]
la première ligne de cette matrice. L'équation précédente s'écrit
p
alors

---

40
Synthèse des lois de commande prédictive
Commentaires:
• Bien qu'une séquence de commandes
u" = [6.u(k) .... 6.u(k + .Vu -
1 ?' soit
obtenue à l'instant k par la loi de commande (2.20), en pratique, nous applic.uons
seulement la première commande 6.u( k) au processus. A la période suivante ~+ l.
nous répétons la même procédure, c'est-à-dire que nous recalculons une séqc.ence de
commande dont la première sera effectivement appliquée au processus. et aiL:3i de
suite (commande à horizon fuyant).
• L'hypothèse Nu :S Np permet d'obtenir deux propriétés très intéressantes.
La première, est qu'il est possible de diminuer considérablement le coût de:3 c<'.!culs
dans'la mesure où HTH est une matrice carré d'ordre Nu.
En particulier, le choix de Nu =l, ramène le calcul de la loi de commande à l:n calcul
purement scalaire:
Np
h
6.u(k) = -
L
j - l
mj
j=N, >'(k) + "Lj:'N. h]_1
et tout problème d'inversion de matrice est ainsi éliminé. Le calcul de la cO:il!1~ande
devient donc très simple dans ce cas.
La deuxième propriété résultant de l'inégalité Nu :S Np
réside dans ce qu':1 est
possible de stabiliser un système à non-minimum de phase même si la \\"a:-iable)
>. est choisie nulle.
• Pour calculer la loi de commande, il faut connaître la trajectoire de référence (c( Z· +i),
i=O,l, ... N p-l, qui représente une séquence de valeurs future du signal de référence.
Dans certains cas, celles-ci sont connues a priori: passage programmé d'un régime
de fonctionnement à un autre, suivie d'une trajectoire programmée dans le cas d'un
robot, etc. En général cependant, les valeurs futures du signal de référence ne sont
pas connues a priori. Alors, on peut, soit les prédire ou les estimer à partir des
valeurs passées en utilisant certains algorithmes de prédictions [PET84], :CLA84],
soit tout simplement, en l'absence de toute information, prendre w( k) = le( k + i).
Ceci est évident dans le cas d'une régulation de maintient, où le signal de référence
garde une valeur de consigne constante.
IL5
Analyse de stabilité
Nous étudierons dans ce paragraphe la stabilité du système en boucle fermée lorsque
le système de régulation est basé sur la commande prédictive généralisée.
La commande appliquée au système est donnée par la relation (2.21), que nous pouvons
réécrire autrement en définissant les termes suivants:

---

Analyse de stabilité
41
Np
~u(k) = - L alj mj
(2.24)
j:=N.
En remplaçant mj par son expression donnée par la relation (2.15), (2.24) se développe
comme suit
Np
Np
L alj Rj y(k) + FP L alj q+Jw(k)
(2.2.j 1
j:=N,
j:=N;
..
'L'équation (2.25) conduit à l'expression classique (forme canonique n S T) d'un régula-
teur, figure (2.3).
S ~u(k) + n y(k) = T w(k)
(2.26
avec
Np
S
F + q-l L CtljJ(j
j:=N;
Np
n
L aljRj
j:=N;
Np
T
F P L Ctlj q+j
j:=N,
1
u(k)
y(k)
Procédé
S~
-
R
Figure 2.3 : Forme canonique régulateur

---

42
Synthèse des lois de commande prédictive
Théorème 2.1:
Soit un système décrit par le modèle du type AR/MAX (2.9), dont le système de commande
est basé sur la loi de commande prédictive généralisée (2.21), et étant donné
• les horizons de prédiction Np, de commande Nu et d'initialisation Xi.
• une séquence de consigne {w(j)},
• un filtre P( q-l).
Alors,
(1) La dynamique du système en boucle fermée est décrite par
Sp
AFP L Qlj q-r. tL" ;.)
)=N,
j\\'F
q-d-IBFP L Ci]) q+jtl'(k)
j:."",
(2) L'équation caractéristique du système en boucle fermée est
(3) Si le système en boucle fermée est stable, la rejection d'erreur statique lol's d·'.J.n
changement de consigne est garantie, i. e.
limk->co[w(k) - y(k)] = 0
(4) La simplification pôles-zéros stables ou instable n'a pas d'influence sur la stc.bil~é
en boucle fermée.
La démonstration est donnée en annexe.
Commentaires:
La proposition (1) du théorème donne les relations entrée-sortie de la boucle fermee.
L'expression de l'équation caractéristique fonction des différents paramètres de 5yn,h~se
est donnée par la proposition (2). Elle peut être utilisée comme outil pour l'analyse ,_-le
la stabilité. Nous aborderons cet aspect du problème dans la section suivante. La propo-
sition (3) du théorème a trait à la rejection d'erreur statique de poursuite. On pûuvê.it
présumer ce résultat, conséquence directe de l'action intégrale introduite par la loi de
commande (2.25). Enfin, la proposition (4) indique que la stabilité n'est pas inftuenc~e
par l'annulation possible de pôles-zéros. Ce résultat est particulièrement intéressant en
commande adaptative. En effet, dans le cas où le procédé est surparamétrisé, la pro(~­
dure d'estimation paramétrique peut conduire à une situation de pôles et zéros commu::s.

---

Analyse de stabilité
43
Corollaire 2.1:
L'équation caractéristique de la boucle fermée (2.27) est équivalente à:
(2.~S)
La démonstration du corollaire est donnée en annexe.
Remarques:.
D:après le corollaire 2.1, la stabilité de la boucle fermée est dominée par les Np premiers
coefficients de la réponse indicielle dans la mesure ou ceux-ci interviennent aussi bien dans
les coefficients du polynôme H j que dans le calcul des gains QIj. Par conséquent la stabi:ité
du GPC est· intrinsèquement liée aux coefficients de la réponse indicielle.
De la relation (2.28) du corollaire 2.1, nous déduisons que l'étude de la stabilité de
PCbJ se ramène à celle du polynôme Pc, puisque F peut être imposé stable (polynôme
de synthèse ).
Pc représente la dynamique introduite par la minimisation du critère. Cette dyna-
mique est fonction des paramètres de synthèse de la commande (Ni, Np. j'lu, À, P) et des
caractéristiques du système à commander, mais n'est pas reliée à eux par une loi bien
définie.
11.5.1
Influence des paramètres de synthèse sur la stabilité
Les principaux paramètres intervenant dans la "ynthèse de la commande GPe sont
[Ni, Np, Nu, À]. Récemment, l'analyse du rôle de ces paramètres dans la stabilité de
la boucle fermée, fut et demeure la préoccupation de quelques chercheurs. C'est ainsi
que dans [CLA89] des théorèmes de stabilité ont été énoncés par une formulation de la
commande GPC dans l'espace d'état.
Dans [SCA9ü], [ELS91], des règles simples ont été établies pour le choix de l'horizon de
prédiction Np.
Cependant, jusqu'à présent, aucune théorie sur la stabilité de la boucle fermée dans le
cas général, n'est disponible. Cela tient essentiellement au fait que l'équation caractéris-
tique de la boucle fermée (2.28) s'exprime de manière complexe en fonction des paramètres.
et donc il n'existe pas une loi bien définie les reliant entre eux.
Dans ce paragraphe, nous proposons une analyse de la stabilité de la boucle fermée à
travers l'examen des lieux de racines de l'équation caractéristique (2.28), sur des exemples
illustratifs.
Nous allons considérer pour l'instant le rôle des paramètres (Ni, Np, Nu, X) sur la
stabilité de la boucle fermée, avec P( q-I) = 1 et F( q-I) = l.
La stabilité est garantie si les racines du polynôme Pc ( qI) sont toutes à l'intérieur du
disque unité dans le plan q.
Les horizons de prédiction Np, de commande Nu, et d'initialisation Si, ainsi que le
paramètre À, jouent un rôle important dans la détermination du comportement de la

---

44
Synthèse des lois de commande prédictive
boucle fermée.
Pondération du terme de commande À
Le paramètre À intervient au niveau du second terme du critère de commande 1 :2.8 .
Dans le cas de la commande GPC (Q = 6.), ce paramètre pondère l'incrément de la corr.-
mande. Nous allons examiner l'influence de ce facteur sur la stabilité de la boucle fe:-mÉr:-
du système. Pour cela considérons l'exemple suivant
Influence du facteur À sur la stabilité du système en boucle fermée
Paramètres
Ni = 1 Nu = 2
P = F = G = 1
Système
H(
l
1-O.4z-1
Z -
) =
-:------=-=-=-----=-:-:"'::--:-=-=----.<
1 -1.838z
1 +O.8435z
2
Variables
Np = 2,5,10
Exemple 2.1
Les figures (2.4), (2.5) et (2.6) illustrent le lieu des pôles du système en boucle fcm~ç
lorsque À varie de 0 à 00, et pour des valeurs de Np = 2, 5, 10.
La figure (2.4) montre que la boucle fermée devient instable pour une certaine ?lage
des valeurs de À,
25.7::; À ::; 3.75 103 . Ce résultat peut paraitre curieux, ('ar bie:1
que la boucle fermée soit instable, le régulateur quant à lui est toujours optimal al.;. SE~5
du critère considéré. Et justement, c'est de là que vient le problème: le critère éta:.t
minimisé sur un nombre fini de pas d'échantillonnage (dans ce cas ci seulement deux Pê.S
d'échantillonnage), avec une pondération sur l'incrément de commande, la conséq'..:enc:e
des oscillations basse fréquence sera la faiblesse des valeurs de l'incrément de commanè:,.
et donc, dans la fonction critère, la part du terme de commande restera faible.
Par contre, si l'on augmente l'horizon de prédiction, l'horizon d'optimisation s'é:arg~:
également et la situation précédente est améliorée, ainsi que le montre la figure (2 ..~i. C',
maintenant, la boucle fermée est instable pour des valeurs de À : 5.9 103 ::; À ::; :2.8 10'.
En augmentant d'avantage l'horizon Np, on améliore le résultat. La figure (2.6) il>js:~e
le cas N =
p
10, la boucle fermée reste stable pour toute la gamme de variation de À.
Cependant, le système bouclé peut devenir oscillant pour une certaine plage de \\'ale·.:r
de À.

---

Analyse de stabilité
45
0.8
0.6
0.4
Lambda=O
0.2
....
-: 0
........._.:.-i----;>.....-----__
..§
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
·1
-1
o
- Rc(z)
Figure 2.4 : Lieu des racines en fonction de >., avec N p =2
0.8
0.6
0.4
0.2
....
-: 0
.5
-0.2
-0.4
-0.6
·0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
Rc(z)
Figure 2.5 : Lieu des racines en fonction de >., avec N p =5
Les pôles en boucle fermée, pour les valeurs extrêmes de >. (>'=0
et
>.~ ex:) sont
donnés par les théorèmes suivants.
Théorème 2.2: Si >. = 0, Np = Nu, Ni = l, alors les pôles en boucle fermée sont dÉter-
minés par le polynôme P F B.
Théorème 2.3: Si >. tend vers 00 et Np = Ne, alors les pôles en boucle fermée 50nt dé-
terminés par AF~.

---

46
Synthèse des lois de commande prédictive
0.8
0.6
0.4
0.2
'N'
'00
0
...5
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
1
-1
-1
-0.5
o
0.5
Re(z)
Figure 2.6 : Lieu des racines en fonction de À, avec N p =10
Horizons de commande et de prédiction Nu, Np
Le choix de Nu dépend principalement du système à commander. Plus le système se~a
complexe, plus Nu doit être élevé. Cependant, ce paramètre doit être choisi le plus pe::t
possible, car il conditionne directement le volume de calcul de la loi de commande. -:;0':.5
allons examiner l'influence de l'horizon de commande.
Considérons le système de l'exemple 2.1. La figure (2.7) donne le lieu des pôles en
fonction du paramètre Nu. Pour Nu=l, les pôles sont approximativement égaux à ceux
du procédé en boucle ouverte (0.886 et 0.952).
Lorsque l'horizon de commande augmente, les pôles tendent vers -0.4 (les autres pôles
pour Nu ~ 2 sont localisés à l'origine).
Lorsque Nu = 20, les pôles en boucle fermée sont localisés en -0.4 (correspondant au zé~o
du procédé) et, par conséquent, il se produit une annulation des zéros du procédé.
Remarquer que pour Nu = 3, correspondant à Nu = nA + l, les pôles sont en -0.1.5. et. il.
l'origine, on a donc approximativement un régulateur à "réponse pile"
Influence de l'horizon Nu sur la stabilité du système en boucle fermée
Paramètres
Ni = 1 Np = 20 À = 0 P = F = G = 1
Système
Variables
Exemple 2.2

---

Analyse de stabilité
47
0.8
0.6
0.4
0.2
'iô'
....
2
0 .....
•
.§
-0.2
·0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
0.5
. Re(z)
Figure 2.7 : Lieu des racines en fonction de Nu
Un aspect intéressant des régulateurs prédictifs à horizon fini est le suivant: lorsque
Nu = Np, Ni = 1 et >. =j:. 0, le régulateur ne dépent plus du paramètre .Vp , si celui·ci est
suffisamment grand. Par conséquent, le régulateur à horizon fini est le même que dans le
cas d'un horizon infini. L'exemple suivant illustre ce fait:
Influence de Nu sur la stabilité du système en boucle fermée
dans le cas Np = Nu et >. =j:. a
Paramètres
Ni = 1 >. = 0.01
P = F = G = 1
Système
H(
1-0.4z-1
1)
z-
= -:--:-~~'-=;;-;;-=-=----"
1- 1.838z 1 +O.8435z 2
Variables
Exemple 2.3
La figure (2.8), indique la localisation des pôles en fonction de l'horizon de prédiction
Np avec Nu = Np.
Pour Np ~ 5 les pôles n'évoluent plus (voir tableau 2.1).
Ce résultat signifie que le régulateur correspondant à Nu = 5 est identique au régulateur
correspondant à Np ~ 00.
Ce phénomène s'explique comme suit:
Supposons que tfk est le temps d'établissement (en nombre de période d'échantillonnage)
du système bouclé lorsque Np ~ 00.
Alors, pour tout Np ~ tfk,
la contribution des termes sorties prédites y(k + i)
et
commande u(k + i - 1), pour i = tfk + 1, ... ,00, dans la fonction critère, est constante

---

48
Synthèse des lois de commande prédictive
(et par conséquent n'affecte pas le gradient par rapport à u de la fonction critère). Ce qui
revient à dire que la dynamique engendrée par le critère est la même pour tout Np ~ ifl;.
Par conséquent, pour choisir l'horizon de prédiction Np, il est en général suffisant de
se baser sur le temps d'établissement du système en boucle fermée. Aussi, si le procédé
est stable et amorti, Np sera fixé tel que:
int(.) est une fonction convertissant une valeur réelle en une valeur entière.
Cependant, pour des procédés non amortis ou instables, la règle précédente n'est pks
applicable. Dans ce cas Np est plutôt relié au temps de montée du procédé par ur."
relation du même type que la relation précédente:
- Si le procédé comprend un retard pur d, la règle précédente reste toujours applicable.
seulement il faut rajouter à Np la valeur du retard.
Nu = Np
Racines de l'équation caractéristique
1
-0.2377 + / - 0.1454i,
0.1075
2
-0.1750 + / - 0.2246i,
0.0935
3
-0.1513 + / - 0.2196i,
0.0950
4
-0.1505 + / - 0.2172i,
0.0949
5
-0.1505 + / - 0.2171i,
0.0949
6
-0.1505 + / - 0.2171i,
0.0949
7
idem
20
idem
Table 2.1

---

Analyse de stabilité
49
0.8
0.6
0.4
0.2
'N'
....
0 ..
_.
.
;
•
.s
·0.2
..
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
o
0.5
. Rc(z)
Figure 2.8 : Lieu des racines en fonction de Nu, avec Np = Nu, et ,\\ =1- 0
Horizon initial Ni
L'influence de l'horizon Ni sur le comportement du système en boucle fermée a été
discuté par quelques chercheurs, on peut citer entre autres De Keyser et al [KEY38].
Clarke et al [CLA89]. Il ressort de leur analyse que, plus l'horizon .Vi
croit, plus le
système répond lentement aussi bien à un changement de consigne qu'à une perturba: ion
sur la sortie.
Toutefois, lorsque Ni est supérieur à d+l, dans le premier terme du critère (2.5) une
part des séquences de l'erreur de poursuite dans le "futur proche" est non pris en compte.
précisément, les termes de ey(k + i) pour i = d + 2, ... , Ni.
Pour des systèmes à minimun de phase, cela ne pose généralement aucun problème.
Par contre, pour des systèmes à non-minimum de phase, l'influence de Hi sur le système
bouclé est tout à fait imprévisible. Nous illustrons ce résultat par l'exemple suivant
Influence de l'horizon Ni sur la stabilité du système en boucle fermée
Paramètres
Np = 25 Nu = 2
,.\\ = 10-4
P = F = G = 1
1
1
Syste'me
H(z-I) - -0.5954z- (1-0.2269z- )
-
1-0.5910z 1+0.7261z 2
Variables
Ni = 1,2, ... ,25
Exemple 2.4
Ce système présente les caractéristiques suivantes: système oscillant, a non-minimum
de phase.

---

50
Synthèse des lois de commande prédictive
La figure (2.9) donne le lieu des pôles du système en boucle fermée lorsque Ni varie de
1, ... ,25. Le système devient instable pour Ni = 18, ... ,20 et exhibe un comportement
oscillatoire pour les valeurs de Ni = 22, ... ,25. Seulement, le cas Hi = 21 présente des
performances satisfaisantes.
D'où, la conclusion: le comportement du système en boucle fermée est très sensible au
choix de Ni. Une faible variation de ce paramètre peut entraîner une évolution des pôles
du système bouclé d'une région stable et amortie vers une région instable et vice \\-erSê1
(cf. figure 2.9).
Par conséquent, nous pensons que Ni
ne doit pas être pris comme un paramètre è'ë'
synthèse, et nous prendrons systématiquement Ni égal à d+l. si le retard est connu. 0'~
à 1 dans le cas contraire.
0.8
0.6
22
.•23
0.4
21
. .24
.
'25
0.2
'N
181920
'00
..
.(
0
.. ..·..·..··11
.5
.'..
-0.2
.0.4
..
-0.6
-0.8
-1
-1
Re(z)
Figure 2.9 : Lieu des racines en fonction de Hi avec Hi = l, ... , 2.j et He = 2

---

Analyse de stabilité
51
II.5.2
Résumé de l'analyse
Dans cette sous section, nous avons montré que la commande GPC se ramenait à des
commandes classiques, par un choix particulier des paramètres du critère de commande
(horizon de prédiction, de commande, et d'initialisation). D'autre part, l'influence de ces
paramètres sur la stabilité et les performances du système en boucle fermée a été illustrée
par des exemples basés sur plusieurs procédés.
Nous résumons ci-après les principales conclusions de cette analyse:
• La méthode de placement de pôles est obtenue par le choix suivant des paramètres
de synthèse: Np ~ nA + nB + d + l, Ni = nB + d + l, Nu = nA + 1 et ,\\ = O.
Les pôles en boucle fermée sont déterminés par le polynôme P. Aussi. par ur, choix
approprié de ce polynôme, on peut se ramener à des types de régulateurs classiques
(voir table 2.4). D'autre part, ce choix a l'avantage de rendre le système en boucle
fermée indépendant du paramètre Np et, par conséquent. les performance de celui-ci
ne sont pas affectées par l'.horizon de prédiction.
•
Si le système est stable, et Ni = d + 1, Nu = 1 alors, plus Np croit, plus le sys-
tème de commande est robuste et simultanément moins rapide est la dynamique de
poursuite.
• Si le système est stable en boucle fermée, l'horizon Np peut être choisi égal à la
partie entière du rapport (ts,oo/Te) où ts,oo est le temps d'établissement de la
réponse indicielle du système bouclé, pour Np ---+ 00.
Si le procédé est stable et Nu > l, une règle de sélection serait:
Np = int[t s (5%)/Te ] où ts (5%) est le temps d'établissement à 5% de la réponse
indicielle du procédé.
Par conséquent le système bouclé est fortement sensible à la variation de l'horizon
Np. D'autre part, cet horizon dépend de la période d'échantillonnage Te. Plus la
période d'échantillonnage est faible, plus l'horizon de prédiction sera grand. Si l'on
considère la règle générale déterminant le choix de la période d'échantillonnage à
savoir de 10 à 20 fois plus petite que le temps d'établissement de la réponse indicielle
de la boucle fermée alors les valeurs typiques de Np sont comprises entre 10 et 20.
• Si le procédé est non amorti ou instable, l'horizon de commande Nu doit être plus
grand que l'unité. Dans ce cas le choix de Np peut se faire suivant la règle:
Np = int[3tm /Te] où tm est le temps de montée du procédé.
• Concernant l'horizon d'initialisation de l'optimisation Ni, il sera fixé à la valeur d + 1
si le retard est connu, ou simplement à l'unité dans le cas où le retard est inconnu
ou variable.

---

52
Synthèse des lois de commande prédictive
Il.6
Commande prédictive généralisée incorporant
une action "feedforward"
Très souvent, en commande de procédé, on est en présence de situations où l'OL dis-
pose de mesures de perturbations agissant sur la sortie du procédé à commander.
Dans ces cas, la représentation du procédé doit inclure l'effet de cette perturbation: pour
cela, le modèle est décrit sous une forme plus approprié. A la place de l'expression 2.1),
la représentation suivante est adoptée [LEE90] :
.) .)C\\)
1 _._J
où y(k), u(k), v(k), représentent respectivement la grandeur de sortie, la commanc:e du
système et les perturbations mesurables affectant la sortie du système.
W (k) représente le modèle de bruit du procédé.
Pour calculer la loi de commande, la fonction critère est la même que ce::e de
l'expression (2.2). Dans cette section, nous allons étendre l'algorithme de command.=- pré-
dictive généralisé à ce cas.
II.6.1
Calcul du prédicteur à j-pas
A partir du modèle (2.29), l'expression de la prédiction ey(k + j) se déduit aisément
PB
.
PE
.
A~ ~u(k + J - d - 1) + A~ ~v(k + J - 1)
Pw(k + j) + ::~ f,(k + j)
:2.30)
1
En utilisant les identités polynômiales (2.12) et (2.13), l'expression (2.30) devient:
f{.
Hj~u(k+j-d-1) + J ~u(k-1)
+ E~Ej ~v(k + j _ 1) + ; y(k)
Pw(k+j) + E f,(k+j)
(2.31 )
J
Considérons la troisième identité polynômiale suivante:

---

Commande prédictive généralisée incorporant une action "feedforward"
53
12.:32)
dont la solution unique est donnée par Lj(q-l) et Jj(q-l), de degrés respectifs j -1 ct
max(nf - 1, nd + n g - 1).
L'expression du prédicteur devient:
ey(k+j)
Hj bou(k+j-d-l) + Ljbov(k+j-l)
J{.
J.
+
J. bou(k - 1) + ; bov(k - 1)
R·
+
J. y(k) - Pw(k+j) + Ej ç(k+j)
(:?:.n'i
-Le prédicteur optimal est par conséquent: .'
êy(k + j / k) = Hj bou(k + j - d - 1) + L j bov(k + j - 1) + H J
,
...
-
--.--
future
passe
avec
J{.
J.
n
J. b.u(k -1) + ; b.v(k - 1)
J
R·
+
J. y(k) - Pw(k +j)
(2.3.5)
Le prédicteur optimal est composé de trois termes:
• le premier, Hj bou(k + j - d - 1), dépend des commandes futures,
• le second, L j bov(k + j - 1), dépend des perturbations mesurables futures.
• le troisième, nj, ne dépend que des valeurs passées de la commande, de la sortie et
de la perturbation mesurable et peut donc être calculé sans ambiguité, à l'instant
k, si l'on dispose de la référence w(k + j).
11.6.2
Minimisation du critère'
En écrivant l'équation (2.34), pour des valeurs de j allant de Ni à Np, nous obtenons
une séquence de prédictions qui se met sous la forme vectorielle suivante:
êy = Hu + Lv + n
(2.36)

---

54
Synthèse des lois de commande prédictive
où les vecteurs êll , u et la matrice H sont définis comme précédemment.
Les vecteurs n, v et la matrice L de dimensions respectives (Np - Ni +l,I), (Np,I),
(Np - Ni+l,Np), sont définis comme:
VT
[~v(k), ~v(k + 1), ... , ~v(k + Np - 1)]
nT -
[nN;, nNi+ll ... , nNp]
et
lN;-l
1
a a
a
0
lNi
11
1
a
a
0
L=
(2.37)
a
lN -1
11
1
p
0
où les li sont les coefficients du polynôme
L ( -1)
l + l -1 + l -2 +
+ l
-(j-1)
j
q
= 0
1q
2q
...
j-1q
obtenu par résolution des équations Diophantines, et qui, en fait, n'est autre que la réponse
impulsionnelle de la fonction de transfert
P(q-1)E(q-1)
A(q-1)~
En remplaçant eAy dans (2.2), par son expression (2.17), la fonction de coût prend la
forme vectorielle suivante:
J = E {(Hu + Lv + n)T(Hu + Lv + n) + -\\(k)uTult}
(2.38)
L'expression du vecteur résultant de la minimisation de J par rapport à u est:
(2.39)

---

Commande prédictive généralisée incorporant une action "feedforward"
55
Finalement, la loi de commande à horizon fuyant associée s'obtient comme suit:
(2.-40)
Commentaires:
• Comparativement à l'expression (2.15), la relation (2.35) a un terme supplément2.ire
relatif à la perturbation mesurable v( k). Ainsi, le modèle de prédiction prenè en
compte cette perturbation lors de la génération des séquences des sorties préd:tes
sur l'horizon de prédiction .
• De même les expressions (2.21) et (2.4;0) relatives à la valeur de la commande à ap-
pliquer au procédé, sont différentes. Dans (2.40) le terme additionnel Lv caractérise
l'action d'anticipation "feedforward" sur la variable de perturbation v(t).
11.6.3
Comportement en boucle fermée
La commande appliquée au système est donnée par la relation (2.40) :
Np
~u(k) = - L alj [nj + ij]
(2.-41 !
j=N.
Avec ij représentant les composantes du vecteur Lv et s'exprime:
ij = Lj t1v(k + j - 1)
En remplaçant
n
par son expression donnée par la relation (2.35), et ij par \\2.-42,.
J
(2.41) se développe comme suit:
Np
L alj Rjy(k)
j=Ni
Np
q-IEG~ L aljqj Ejv(k)
j=N.
Np
+ FP L alj q+j w(k)
(2.4:3 )
j=N,

---

56
Synthèse des lois de commande prédictive
L'équation (2.43) conduit à l'expression classique (forme canonique) suivante, d'un régu-
lateur en boucle :
S.6.u(k) + Ry(k) + Qv(k) = Tw(k)
(~.4-1 )
avec
Np
S
F + q-l L
QljJ{j
j=N,
Np
R
L Qlj Rj
J=N,
Np
Q
q-l EG.6. L
Qlj q-J E j
j=N.
Np
T
=
FPLQljq+j
j=N.
En reportant l'expression de la commande .6.u(k)
tirée de la relation (2.43) dans
l'équation du modèle (2.29), l'expression de la sortie y(k) en boucle fermée est donnée par
y(k) = q-d-l BT w(k) + q-l BQ v(k) + GSpF ç(k)
(2.4j)
PCbJ
PCbf
cbf
II.7
Conclusion
Dans ce chaptre, nous avons présenté la méthodologie de synthèse dès lois de com-
mande prédictive à horizon étendu, en se basant sur le cas particulier de la commande
GPe. Méthode de commande qui représente une généralisation des différents types de
commande prédictive.
Après avoir établi l'expression de l'équation caractéristique en boucle fermée. nous
avons démontré théoriquement quelques "bonnes " propriétés, caractérisant ce type de
commande (proposition 3 et 4 du théorème 2.1).
Ensuite, partant de l'expression analytique de l'équation caractéristique, une analyse
de l'influence, sur les performances de la stabilité, des paramètres de synthèse a été pré-
sentée. Ceci, à l'examen du lieu des racines de cette équation sur des exemples illustratifs.
Enfin, nous avons formulé la méthodologie de synthèse lorsque la structure du sys-
tème prend en compte une boucle "feedforward". Ainsi, nous constatons que le polynôme
caractéristique reste inchangé par rapport au premier cas.

---

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Deuxième Partie
Modélisation, Commande et
Supervision d'un système
d'irrigation

---

---

Chapitre III
Introduction à la gestion automatisée des
systèmes d'irrigation
111.1
Introduction
Depuis l'Antiquité, des systèmes de régulation équipent des canaux de transport
d'eau et certaines rivières à étiage prononcé dans bon nombre de pays à travers le monde.
Dans la mojorité des cas, ces régulations antiques sont constituées de simples déversoirs
dont le rôle principal est d'atténuer les conséquences les plus néfastes de variations rapides
des demandes ou des apports d'eau.
Il faut cependant noter que les anciens avaient compris le rôle privilégié qu'une régu-
lation pouvait jouer dans la gestion de la distribution de l'eau et certains avaient essayé,
avec les moyens limités de leur époque, d'atteindre des objectifs plus ambitieux en repen-
sant la conception générale des ouvrages. Par exemple, dans certaines cités de l'Empire
romain, pour assurer une hiérarchisation automatique des besoins en cas de pénurie, le
positionnement des prises sur les réserves tampon des aqueducs était fonction de la nature
des utilisateurs: les tranches inférieures de ces réserves alimentaient les fontaines publiques
de façon à satisfaire en permanence les besoins les plus essentiels des populations, tandis
qu'à l'opposé l'eau des bassins des villas des riches provenait des tranches supérieures
qui n'étaient approvisionnées qu'en période d'abondance. Bien entendu, un tel degré de
sophistication dans la conception d'ouvrages hydrauliques était exceptionnel. Il en montre
pas moins que, depuis des millénaires, des hydrauliciens ont refusé le conservatisme tech-
nique et ont clairement vu qu'en repoussant les limites de leur art ils pourraient mieux
répondre aux aspirations collectives de leurs concitoyens.
Malgré les efforts de ces précurseurs, les techniques de régulation de cours d'eau n'ont
pas fondamentalement progressé jusqu'au XX e siècle. Depuis, elles ont connu deux évo-
lutions majeures:
• la mise au point de la régulation par l'aval,
• et plus récemment l'utilisation des méthodes de commande automatique de proces-
sus.
La première de ces techniques, actuellement largement utilisée dans de nombreux pays,
a introduit sur les systèmes d'irrigation la notion de boucle de retour (boucle fermée),
,.
63

---

64
Introduction à. la gestion automatisée des systèmes d'irrigation
destinée à contrebalancer automatiquement les effets de perturbations non prevues par
les gestionnaires.
La seconde, nettement moins connue, a pour objectif de diminuer la rigidité de la liaison
entre la gestion des périmètres et la nature de leurs équipements.
L'objet de cette partie du mémoire s'inscrit dans la deuxième mouvance.
III.2
Présentation d'un système d'irrigation
La configuration classique de la partie maîtresse d'un système ou ensemble de syst;:'mes
d'irrigation consiste en une zone de stockage principale (barrage réservoir) et un organe
de transport (canal principal) des eaux, à ciel ouvert (c'est-à-dire "à surface libre·· 1. Les
canaux pri,ncipaux peuvent être construits par l'homme, bétonnés ou en terre. Parfois
ils correspondent à des cours d'eau naturels. Ces organes de transport ont sou\\·ent des
- dimensions considérables en longueur, pouvant atteindre des centaines de kilomètres. Les
irrigants effectuent des prélèvements le long de l'organe de transport en des emplacements
connus et selon des procédures le plus souvent connues ou estimées.
Dans le cas de l'utilisation d'un canal (Fig. 3.1 A), des vannes de régulation inter-
médiaires permettent de considérer le canal comme une succession de "biefs" en cascade.
Un bief est délimité par deux vannes de régulation, et comprend une prise latérale de
prélèvement.
Dans le cas de l'utilisation d'un lit naturel de rivière, le système est parfois équipé de
retenues intermédiaires (bâches) réparties au long du cours d'eau, destinées à jouer un
rôle de réserves auxilliaires. Les prélèvements s'effectuent au niveau des bâches (Fig. 3.1
B).
La présence de bâches peut dans certains cas être jugée superflue et le système se réduit
alors à sa réserve principale, alimentant des pompages au fil de l'eau sur la rivière (Fig.3.l
C).
Le rôle du canal principal étant de distribuer l'eau aux multiples usagers répartis
sur sa longueur (prises latérales, pompage) il est important de maîtriser l'ensemble de
l'écoulement depuis l'amont jusqu'à l'aval, afin de satisfaire les différentes demandes sans
débordements ni pertes d'eau excessives à l'aval du système. D'autre part. le système doit
assurer une distribution équitable ou du moins conforme aux objectifs (éviter les inégalités
entre les parties amont et aval).
Cette maitrise du système se joue à trois niveaux:
•
lors de sa conception (dimensionnement, ouvrages, ... ),
•
dans l'organisation humaine des usagers (prise d'eau à la demande ou entièrement
planifiée, ... ),
•
dans la technique de régulation utilisée.

---

1
Présentation d'un système d'irrigation
65
1
(
Vann~
R~servoir
o
pl
2
(A) CANAL PRINCIPAL (BIEF EN SERIE)
Vanne
Barrage
)U~
- --
1
Pl
P2
(8) RIVIERE AVEC BÂCHES INTERMEDIARES
Vanne
-
(C) RlVlFRB AVEC PRISES AU FIL DES BAUX
Figure 3.1 : Différentes configurations d'un système de transport d'eau à surface libre
pour l'irrigation

---

66
Introduction à. la gestion automatisée des systèmes d'irrigation
111.3
Rappels sur les méthodes classiques de régu-
lation des canaux
L'évaluation des apports de l'automatisation de la commande des transferts d 'eau
ne peut se faire que par comparaison à des régulations plus classiques (régulations par
l'amont et par l'aval), en particulier pour ce qui concerne la satisfaction des objectifs des
irrigants et des gestionnaires.
111.3.1
Objectifs de la gestion des systèmes de transport d'eau
d'irrigation
.
Au preJ;Ilier abord, l'objectif de la gestion de systèmes d'irrigation paraît simple: "ap-
porter aux irrigants l'eau nécessitée par les besoins des cultures". En pratique. la mise en
- oeuvre de cet objectif soulève des questions dont la plupart ne peuvent a\\"oir de réponses
que relatives à un environnement et à une époque donnés [VER86] :
(1) la distribution devra-t-elle se faire au tour d'eau ou à la demande?
(2) le système devra-t-il être capable de satisfaire des appels de débit imprévus
( fuite, panne, fraude, ... )?
si oui, dans quelles proportions?
si non, à qui fera-t-on supporter, de façon active ou passive, les défaillances corres-
pondantes?
(:3) le système d'irrigation devra-t-il pouvoir faire face à des modifications spatiales ou
quantitatives des besoins, qu'elles soient prévues (rotations et assolements) ou non
(adaptation des cultures à l'évolution des marchés agricoles)?
(4) faut-il chercher à économiser l'eau, en particulier en tirant parti d'é\\"entuels apports
pluviaux en saison sèche?
Bien entendu, les réponses à ces questions ne doivent pas être contradictoires et lec:.r
degré de liberté dépend beaucoup du coût et de la nature des techniques de régulation
utilisables.
111.3.2
Méthodes de distribution d'eau
Avant de présenter les méthodes classiques de régulation de canaux, nous rappelons.
ci-après, les méthodes de distribution d'eau s'effectuant au niveau du périmètre irrigué.
Les méthodes de régulation sont basées sur ces méthodes de distribution.
Dans les systèmes d'irrigation existant à travers le monde, deux méthodes de distri-
bution sont essentiellement utilisées:
(1) Distribution à la demande
Les irrigants prélèvent l'eau lorqu'ils le désirent dans un canal recevant un
débit constant. Les inconvénients immédiatement prévisibles sont:

---

Rappels sur les méthodes classiques de régulation des canaux
67
• une pénalisation des utilisateurs à l'aval, qui ne recevront que les "restes" après
consommation des utilisateurs de l'amont,
• des pertes d'eau dans le cas où l'ensemble de la consommation est inférieure
au débit en tête de canal,
• des variations importantes et non contrôlées des niveaux d'eau dans le canal
(ou le cours d'eau) qui entraîneront des variations également non maîtrisées
des débits de prélèvement, notamment lorsque ce prélèvement est gravitaire.
Par conséquent, une telle méthode de distribution ne peut se faire que dans des
périmètres où il n'y a pas de pénurie d'eau, où les canaux sont surdimensionnés et
où la demande n'est pas très importante.
Cet ensemble de conditions ne paraît pas correspondre à la réalité de nombreuses
régions d'agriculture irriguée.
Cependant, avec l'utilisation de nouvelles techniques de régulation, cette forme de
distribution pourrait être utilisée (nous en reparlerons un peu plus tard).
(2) Distribution au tour d'eau
Une solution fréquemment utilisée pour contrer les inconvénients de la situation
précédente consiste à imposer un tour d'eau aux utilisateurs. Dans ce cas ils ne se
servent plus à volonté mais selon un calendrier établi au préalable et qui fixe pour
chaque prise la période et le débit de prélèvement. Le débit en tête est calculé par
sommation des consommations programmées.
Il est cependant clair que la variabilité spatiale des caractéristiques physiques des
sols, les différents types de cultures et les variations des besoins en eau des cultures
pendant leur croissance, sont des facteurs déterminants dans le choix des doses et
des fréquences d'irrigation. Aussi, la période du tour d'eau doit être réduite, ty-
piquement de l'ordre de la semaine. Mais ceci, demande plus de travail pour les
gestionnaires, en ce qui concerne la programmation et l'éxécution de l'irrigation.
Cette méthode est très largement utilisée à travers le monde car elle permet, avec un
minimum de moyens techniques, de limiter les pertes à l'aval et d'améliorer l'équité
de la distribution entre les utilisateurs à l'aval et à l'amont. Dans la mesure où le
calendrier est respecté, l'utilisateur prélève un débit stable, sans grande fluctuation
du niveau dans le canal.
111.3.3
Régulation par l'amont
Le principe de régulation par l'amont consiste à maintenir constant le niveau d'eau
à l'amont des régulateurs (déversoirs ou vannes à niveau constant). Dans ce type de
régulation (Fig. 3.2), le débit demandé aux prises de prélèvement Pl et P2 est transmis
au régulateur amont A, lequel ouvre et envoie une onde positive qui arrive à la prise de
prélèvement après un temps t =
l
LI/Ch Cl étant la vitesse moyenne de propagation des
débits dans le bief l, et LI sa longueur. Et ce n'est qu'à partir de cet instant que la prise
Pl peut commencer à prélever le débit QI' Au même instant, le régulateur B se positionne

---

68
Introduction à la gestion automatisée des systèmes d'irrigation
de façon à maintenir un niveau qui permette d'alimenter la prise Pl et d'envoyer le débit
Q2
qui arrivera à la prise P
+
2 après un temps t 2 = t l
L2 /C2 ; et de la même façon que
précédemment, la prise P 2 ne pourra effectuer le prélèvement Q2 qu'à partir de ce temps
t2, car comme on l'observe sur (Fig. 3.2), il n'y'a pas de stockage d'eau dans le canal: la
ligne d'eau à débit nul étant au-dessous de la ligne d'eau à débit maximal.
La régulation par l'amont implique une rigidité certaine dans le mode de distribution
d'eau, dans ce sens que seuls les débits non utilisés dans un bief sont transférés vers l'aval.
Les principaux inconvénients du système de régulation par l'amont sont [CUN81]:
• la connaissance du temps de propagation des différents débits le long du canal car,
si les points de prélèvements sont nombreux et si la demande varie rapidement
dans les deux sens (demande et apport) la prédiction de ce temps est pratiquement
impossible.
• une erreur, sur la prédiction de la demande ou de manoeuvre des organes de réglage,
peut occasionner des pertes d'eau et des variations de niveaux, donc, un méconten-
tement des utilisateurs.
Le principal avantage de ce système, est le fait d'avoir des berges parallèles à la ligne
d'eau correspondant au débit maximal, donc de faibles coûts de génie civil.
111.3.4
Régulation par l'aval
Le principe de la régulation par l'aval est le maintien d'un niveau d'eau constant à
l'aval des régulateurs (vannes à niveau constant).
Dans cette méthode de régulation (Fig. 3.3), la ligne d'eau à débit nul est au-dessus de
la ligne d'eau au débit maximal. Ce qui permet, grâce au volume stocké dans le bief, de
satisfaire immédiatement la demande des prises Pl et P2• Contrairement à la technique
précédente, cette régulation est du type proportionnelle en boucle fermée où le régulateur
maintient le niveau constant à son aval immédiat en manœuvrant les vannes jusqu'à ce
que le débit corresponde au débit demandé à l'aval.
Les régulations par l'aval ont considérablement amélioré la gestion des canaux
d'irrigation car :
• les gestionnaires n'ont plus à être aussi précis dans leurs prévisions
• bien que nécessitant habituellement le maintien de tours d'eau, elles permettent néan-
moins de les assouplir, en particulier en absorbant les refus et en satisfaisant de petites
demandes imprévues.
Cependant, à coté d'avantages indéniables, les régulations par l'aval présentent des
inconvénients qui en limitent l'intérêt; le premier d'entre eux se situe au niveau du gé-
nie civil, les berges d'un bief devant être fortement surélevées à l'aval pour contenir une
ligne horizontale à l'aval. Par ailleurs ces régulateurs peuvent être facilement instables.
Ce risque d'instabilité croît avec l'inertie du système à piloter, et par conséquent les ré-
gulations par l'aval classiques perdent beaucoup de leur intérêt pour les grands systèmes
d'irrigation sur lesquels les temps de transit de l'eau se comptent en jours [VER86].

---

:.•::~::' ...'.:.J.
".#_ •.
",~~;~k~"'~·-~··
.': . .';: •
.'.\\ • • . . . , •...,.: ... ',
1
Rappels sur les méthodes classiques de régulation des canaux
69
1
Diverses régulations hydromécaniques ou électromécaniques ont été imaginées au
[
cours des dernières décennies pour tenter de dépasser les limites des deux grandes fa-
milles qui viennent d'être décrites. Presque toutes sont des combinaisons de régulations
par l'amont et de régulations par l'aval, destinées à trouver un niveau de compromis
t
plus satisfaisant entre les avantages et les inconvénients des unes et des autres. Des dé·
tails d'informations sur ces différentes techniques peuvent être trouvés dans les références
[BUR83], [BUY79], [CUN8l], [CHE83].
R~gul8tion
Amont
O<Q<Qmax
-
Q=O
A
PI
C
P2
Figure 3.2 : Régulation par l'amont
R~gulation
AvaJ
-
A
Figure 3.3 : Régulation par l'aval

---

70
Introduction à la gestion automatisée des systèmes d'irrigation
111.4
Introduction de l'automatique dans la régula-
tion des canaux
Dans la gestion traditionnelle des systèmes d'irrigation, la mise au point d 'une s~ratégie
de lâchures en tête de système, permettant de répondre aux objectifs du gestionnaire
(sàtisfaction des irrigants, respect d'un débit de consigne à l'aval) reste souvent le résultat
d'une démarche empirique guidée par l'expérience.
Plus les systèmes de canaux sont grands en dimensions et complexes en architecture
(ouvrages, réserves-tampon, ... ), plus rapidement les méthodes classiques atteignent leurs
limites: inégalités, pertes, vulnérabilité aux perturbations.
Des tentatives de rationalisation de la gestion de certains systèmes ont été (.:;nciuites
et parfois menées à bien. Une réflexion du type automatique s'introduit peu à peu dans
l'analyse dès problèmes, aussi bien pour la mise au point des lâchures. effectuées à raide
_de prévisions sur les besoins, que pour l'élaboration de procédures de correction e:1 temps
réel destinées à contrer des perturbations.
A ce sujet, nous citerons deux des principales méthodes de régulation qui ont :-ecours,
à différents degrés, à des techniques d'automatique. Elles illustrent les démarches :-écentes
(moins de 20 ans) dans ce domaine..
Méthode de régulation dite "régulation dynamique"
La Société du Canal de Provence (SCP) dans le sud-est de la France, a mis aU point
durant les années 60 une méthode de régulation appelée "régulation dynamique". Cette
méthode est actuellement en oeuvre sur le Canal de Provence (basée sur la configuration du
type (Fig.3.1 A) et sur plusieurs autres ouvrages dans différents pays, [MO.J86], :DEL88].
Le système est considéré comme une succession de bief, la manœune de la YéWne i à
l'amont du bief i est calculée de façon à satisfaire le Qj(t) somme de :
• la demande instantatée sur le bief i, Pj(t),
• la demande Qi+l(t + Ti) du bief i + 1 anticipée d'un temps de transfert T; caracté-
ristique du bief i (calculé sur des bases hydrauliques),
• la variation du volume stocké dans le bief i lorsqu'on passe de Qi(t -;- 1) à Qilt).
Il est difficile, faute de références écrites détaillées, de décrire les fondeme:1ts et le
formalisme exacts de cette méthode.
Cette régulation n'utilise pas directement de modèle mathématique des écoulements mais
se réfère à des tables calculées initialement et qui permettent pour un état donné du
système de déterminer certaines grandeurs hydrauliques (temps de transfert sur un bief.
volume contenu dans un bief en régime normal, ... )
Méthode de régulation dite "CARAMBA"
Cette méthode a été mis au point au début des années SO par la Compagnie
d'Aménagement des Coteaux de Cascogne (CACG), le Centre d'Etude.et de Recherche

---

Introduction de l'automatique dans la régulation des canaux
71
de Toulouse (CERT) et Le Centre National du Machinisme Agricole, du Génie Rural, des
Eaux et Forêts (CEMAGREF). Les systèmes concernés ont une configuration du type
(Fig. 3.1 C): il s'agit de cours d'eau naturels, secs en été, dont on veut soutenir les étiages
à partir d'un barrage amont, de façon à garantir aux irrigants une alimentation en eau
régulière et à respecter un débit réservé à l'aval tout en économisant au maximum la
ressource. Les prélèvements se font à la demande.
Le système est donc pourvu d'un seul régulateur à l'amont (vanne du barrage). La
commande de ce régulateur est déterminée à partir des prévisions de prélèvement et de
mesure de débit réalisées en différents points du système. Les transferts d'hydrogrammes
en rivière sont modélisés par des modèles linéaires de second ordre avec retard; la régu-
lation est obtenue par placement de pôles avec une architecture permettant de détecter
et corriger les perturbations apparaissants sur chaque tronçon de la rivière.
11104.1
L'automatique en hydraulique à surface libre: considé-
rations générales
Dans toute automatisation d'un système physique donné, une phase de modélisation
(de son comportement) est primordiale.
Les systèmes hydrauliques à surface libre présentent des spécificités qui les rendent très
particuliers pour une démarche de régulation automatique. Les phénomènes physiques
à prendre en compte sont décrits par des équations d'évolution fournies par l'analyse
hydraulique du système étudié. Ces équations décrivant les transferts d'eau sur des canaux
sont généralement fortement non linéaire.
De plus, l'échelle de temps caractéristique des phénomènes hydrauliques ( retard à
l'influence d'une donnée d'entrée sur une donnée de sortie) est bien supérieure à celle
des processus classiquement commandés et régulés grâce aux méthodes classiques de
l'automatique.
Les différents aspects sur la modélisation des phénomènes de transfert d'eau, font l'objet
du chapitre suivant.
La prise en compte de ces caractéristiques ( non linéarités, retard important) par
rapport aux conditions classiques de mise en oeuvre des théories, constitue la principale
difficulté de l'application de l'automatique aux systèmes hydrauliques à surface libre.

---

---

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,.
Cl1apitre IV
Modélisation mathématique des
écoulements hydrauliques à surface libre
IV.!
Introduction
Ce chapitre donne une description et présente la modélisation du phénomène de
l'écoulement transitoire en hydraulique à surface libre.
IV.2
Modèle de Saint-Venant
IV.2.1
Les équations de l'écoulement unidimensionnel transi-
toire à surface libre
On appelle écoulement transitoire tout écoulement où le débit et la côte varient au
cours du temps.
Pour aborder l'étude théorique de l'écoulement transitoire, Saint-Venant [SVE91], a in-
troduit les hypothèses simplificatrices suivantes:
• l'écoulement est unidimensionnel, c'est-à-dire que les mouvements transversaux des
particules sont négligeables, (vitesse moyenne sur un axe),
• les accélérations verticales sont négligeables, c'est-à-dire que la courbure des lignes
de courant est faible, par conséquent la répartition de pression sur la verticale est
hydrostatique.
Compte tenu des hypothèses précisées ci-dessus, l'écoulement transitoire peut être établi
par les équations de conservation de la masse (équation de continuité) et de conservation
de la quantité de mouvement (équation dynamique).
Pour établir ces équations, nous considérerons la représentation simplifiée d'un canal ou
rivière présentée par la figure (4.1).
73

---

74
Modélisation mathématique des écoulements hydrauliques à surface libre
Equation de continuité
Considérons deux sections dans la rivière situées aux points d'abscisse x
et x-~.r.
l'équation de continuité exprime que si, à un même instant, il passe plus de débit à tfè.\\"ers
la section amont que la section aval, la différence est en train de se stocker entre les deux
sections faisant monter l'eau dans le tronçon: on est en phase de crue.
A l'inverse, s'il passe plus d'eau à travers la section aval qu'à travers la section ar:-:ont.
c'est ,que de l'eau précédemment stockée dans le tronçon est en train de se \\·idê.:1ger
entrainant la baisse de niveau: on est en phase de décrue.
Q
v
H
x
x
q
x+dx
Figure 4.1 : Représentation schématique d'un tronçon de canal
Considérons la variation du volume contenu entre les sections d'abscisse x
et
.r -~.r
pendant la période de temps tlt
La masse de l'eau entrant dans la section est:
p Q(x, t) tlt + p q tlx tlt
La masse d'eau sortant de la section est:
p Q(x + 6x, t) tlt
La variation de stockage pendant le temps tlt est:
L'équation de la conservation de masse s'exprime alors:
Par passage à la limite on obtient l'équation suivante:
aS(x,t) + ôQ(x,t) _
at
ax
-
q

---

--._-._._._~-
._-_. ·----·-------------·------'---"""l
...:'1""l~_~t':"'!".-~~--.,.....2Sf~
Modè1~ de S&Î11t-Venant
75
Equation dynamique:.
Appliquons le principe de la conservation de quantité de mouvement à un volume
d'eau contenu entre les sections d'abscisse x et x +~x. fig (4.2)
~
...
,
.............
:
...
:
~
..
:
"''''''' ........"
,
l
,
: 1
:
:
V
!
,
V2
:
x
•
1
2
! 2
x+âx
Figure 4.2 :
La projection sur l'axe du canal de l'équation de quantité de mouvement s'écrit:
dm1/.; =
_ _
Z
'LFext/x
(4.1)
dt
Durant la période de temps ~t, le volume V, contenu entre les sections 1 et 2, se déforme
et occupe le volume V' contenu entre les sections l'et 2'. Nous voulons estimer la pro-
jection sur l'axe x de la variation de la quantité de mouvement.
Evaluation de la quantité de mouvement:
La quantité de mouvement perdue correspond au volume VI, c'est-à-dire:
p V(x, t) ~t S(x, t) V(x, t)
Le gain de quantité de mouvement correspond au volume v:z, c'est-à-dire:
p V(x + ~x, t) ~t S(x + ~x, t) V(x + ~x, t)
La variation de la quantité de mouvement dans la portion commune est:
p S(x, t + ~t) ~x V(x, t + ~t) - P S(x, t) ~x V(x, t)
La variation de quantité de mouvement dûe aux apports latéraux est:

---

16
Modélisation matbématique des écoulements bydrauliques à surface libre
-le p q(x, t) 6x 6t V(x, t)
avec
k=1 pour des apports sortants
k=O pour des apports entrants
Par conséquent
6mVz -
(p V 6t S V)z+~z.t - (p V 6t S V)z,t
+ (p S 6x V)z.t+~zt - (p S 6x V)z,t
le (p q 6x 6t V)z.t
Cette expression s'écrit:
Nous allons maintenant examiner le terme de droite de l'équation (4.1), représentant
la projection sur l'axe x de la résultante des forces extérieures.
Il s'agit de considérer les forces qui agissent sur une "tranche d'eau :"
la pesanteur, la pression de l'eau environnante et le frottement du fond du canal.
Evaluation des forces extérieures
La résultante de la force de gravité:
F, = p 9 S 6x sin l
Pour les canaux à faible pente, sin l ~ l
Par conséquent,
F, = p 9 S 6x l
La projection sur x de la résultante de la force de pression égale:
8y
F,z = - p 9 S 6x 8x
La force de friction est évaluée à partir de la formule de Mannig-Strickler :
Flz = - P 9 S 6x J
Avec

---

Modèle de 8aint- Venant
77
-La somme des forces extérieures est donc :
L Fextfx - Fg + Fpx + FIx
=
P9S L\\x [1 - J - ~~]
L'équation (4.1) s'écrit alors:
aV2S
asv
]
pL\\x [--+---kqV
(4.2)
ax
at
C'est -à- dire:
gS(I - J) + kqV
(4.3)
_ L'équation dynamique s.'exprjme donc: -.'
aQ(x,t) + aVQ(x,t) +
SaZ(x,t) = -gS J + kV
at
ax
9
ax
q
En résumé, les écoulements transitoires à surface libre sont régis par le système
d'équations aux dérivées partielles suivant, connues sous le nom d'équations de Saint-
Venant:
L aZ(x, t)
aQ(x, t)
q
( 4.4)
at
+
ax
aQ(x, t)
aVQ(x, t)
SaZ(x, t)
= -gSJ + kqV
(4.5)
at
+
ax
+ 9
ax
,
~
ou
L
largeur du miroir. (m)
Z(x,t) :
côte de la surface mouillée. (m)
Q(x,t):
débit à travers la section S. (m3/s)
S
section mouillée. (m2)
V
vitesse moyenne dans S. (m/s)
q
débit latéral entrant par unité de longueur. (m3/s/m)
J
perte de charge linéique
g
accelération de la pesanteur
t
temps. (s)
x
variable d'espace. (m)
Pour être résolu, ce système d'équations aux dérivées partielles doit être complété par:
• des conditions initiales, Z(x,O); Q(x,O) c'est-à-dire les côtes et les débits au temps
t=O .
• des conditions aux limites: c'est-à-dire les débits entrant à l'amont en fonction du
temps et les variations de côtes (à l'amont en torrentiel ou à l'aval en fluvial).

---

78
Modélisation mathématique des écoulements hydrauliques à surface libre
IV.3
Simulation numérique du modèle
La résolution des équations de Saint-Venant (système d'équations aux dérivées par-
tielles non-linéaires) n'est pas possible analytiquement, et par conséquent nécessite la mise
en oeuvre d'approximations de la solution.
Divers-es méthodes numériques existent pour la résolution de telles équations:
• la méthode des caractéristiques,
• la méthode des différences finies,
• la méthode des éléments finis.
Parmi ces méthodes de résolution, la méthode de discrétisation par différences finie~ est
la plus utilisée pour sa simplicité de mise en oeuvre.
Cette méthode consiste à calculer les valeurs des variables d'état (Q,Z) sur un ensemble
fini prédéterminé de points du domaine étudié, et en un ensemble fini d'instants. On note
ordinairement n l'indice des instants et j l'indice des points. Une fonction f est approchée
par la valeur fjn en ce point et à cet instant.
Un schéma aux différences finies est donné par un ensemble de formules permettant de
transformer la (ou les) équation(s) aux dérivées partielles en équation(s) linéaire(sl aux
différences finies.
Dans la théorie de modélisation des écoulements à surface libre, un schéma souvent
utilisé actuellement semble être celui de Preissmann.
Le plan (x,t) est discrétisé en un maillage rectangulaire avec un pas d'espace ~x ct un
:pas de temps ~t . Les expressions de la fonction en un point M du plan (x,t) situé aux
. coordonnées (j~x+~x/2, n~t+(}~t) tel que le montre la figure (4.3), s'expriment comme
suit:
fjn + fjn+l
(J)M
......
+ (} ~Ii + ~!J+l
......
2
2
(~~)
fj~l - fjn
......
+ (} ~Ii+l -~!J
......
M
~x
~x
(~~) ...... ~fj+l +~Ii
......
M
2~t
où (} est un paramètre réel 0 ::s (} ::s 1.
~fj = g+l - fr
Ce schéma est inconditionnellement stable pour des valeurs de (} comprises entre 0.5 et
1. Associé à la linéarisation (qui consiste à ne retenir que les termes d'ordre 1), le schéma
de discrétisation précédent conduit à écrire le systrhe d'équation (4.5) de Saint-Venant
sous la forme:

---

Modèles simplifiés de transport d'eau à surface libre
79
t
(n+l)~t
M
n~t
(j+1I2)dx
(j+l)~x
x
Figure 4.3 : Schéma de discrétisation de Preissmann
A21~Qj + A22~Zj
B21~Qj+l + B22~Zj+l + B 23
All~Qj + A12~Zj
Bll~Qj+l + B12~Zj+l + B
-;.6
13
1
Le système (4.6) doit être résolu dans tout le domaine d'espace et à chaque pas de :e:~~p~"
Ainsi, un canal est représenté par N sections de calcul, j = 1, 2, ... N. A chaque pCJin:
d'espace j, les inconnues à calculer sont ~Q et ~Z, soit au total 2N inconnues.
Le système (4.6) donne 2(N-1) équations linéaires en ~Q et ~Z.
Les conditions aux limites permettent d'obtenir deux équations supplémentaires. ce qu:
ramène le nombre total d'équation à 2N. Alors, la résolution s'obtient par inversio:: ci' "Jne-
matrice 2N*2N.
Une méthode dite de double balayage permet, compte-tenu de la forme creu~e è-:- lé.
matrice, d'obtenir la solution plus rapidement que par une inversion.
Des développements détaillés de cette méthode peuvent être trouvés dans [CE~I')O:.
[LIGï.5]. Dans la suite de nos travaux nous avons pu utiliser un modèle de sin~~_dé_:io::
des écoulements à surface libre bassé sur ce type de discrétisation. Il sagit du moèèle 3IC
(Simulation of Irrigation Canal) réalisé par le CEMAGREF. Ce modèle calcule la ~ült::ioL
des équations de Saint- Venant avec un pas de temps ~t = 10 mn et un pas d'espace ~.T =
.500 m.
IV.4
Modèles simplifiés de transport d'eau à sur-
face libre
Le modèle de simulation précédent nécessite une description précise de la géométr:e e:
de la rugosité des cours d'eau tout le long de leur tracé. Or si cela peut être. fait rapider:1en:

---

SO
Modélisation mathématique des écoulements hydrauliques à surface libre
pour des ouvrages neufs, de longs et minutieux levés de terrain sont indispensables pour
des rivières naturelles ou pour des canaux anciens.
C'est pour cette raison, explique Verdier [VER77], que l'on a opté pour des solutions
qui consistent à utiliser des modèles simplifiés de propagation d'eau sous la forme d'une
fonction de transfert exploitable dans l'élaboration des lois de commande en temps réel.
Pour le type d'application que nous considérons, le modèle de Hayami [HAY59] peut
être utilisé. Ce modèle est en fait une simplification des équations de Saint-Venant.
Hayami a constaté qu'en fonctionnement normal l'énergie fournie à un cours d'eau par
la pesanteur est "presque toujours" entièrement dissipée sous forme de frottement sur le
fond et sur les berges: l'énergie nécessaire à la mise en mouvement de l'eau peut être
considérée comme négligeable par rapport à l'énergie perdue par frottement. Aussi, les
simplifications introduites par Hayami se basent sur les hypothèses suivantes:
.. les débits latéraux sont nuls,
• les termes d'inertie sont négligeables devant les termes représentant l'énergie perdue
par frottement.
Les termes
~~ et V ~~ propres aux écoulements non permanents, appelés termes
d'inertie, représentent la mise en vitesse de l'eau.
L'hypothèse de négliger les termes d'inertie, revient à négliger (~ + a:Q ) de\\'ant 9 S~~ ,
x
Par conséquent. le système d'équation (4.5) se réduit à :
L aZ(x, t)
aQ(x, t)
o
(-Lï)
at
+
ax
aZ(x, t)
-J
(-LS)
ax
En dérivant l'équation de continuité (4.7) par rapport à x et l'équation dynamique (-1.8)
. par rapport à t, et en éliminant la variable Z (x, t), on obtient une équation différentielle en
Q(x, t), communément appelée équation de transport-diffusion d'Hayami, Pour le détail
des calculs se référer à [KOSS9].
1
iJQ(x,t) + e iJQ(x,t) - E iJ2Q(;:,t) = 0 1
at
ax
ax'2
En général, e et E ne sont pas constants, ils dépendent de L et de J qui ne dépendent
que de Q et Z. Mais, Bocquillon [BOC83] indique que si la gamme des valeurs du débit
est assez réduite, la variation de e et E sont suffisamment faibles pour que ces paramètres
puissent être considérés comme constants.
'
L'équation précédente devient alors une équation aux dérivées partielles du type para-
bolique représentant la convection et la diffusion du débit Q(x, t). Ce débit est transporté
avec une vitesse moyenne de convection e constante et diffusé avec un coefficient de
diffusion E également constant.
Le problème posé est le suivant: trouver une fonction de transfert reliant le débit lâché
à l'amont Qe(P) et le débit observé en un point à l'aval situé à l'abscisse x,.Qs(x.p) où

---

Modèles simplifiés de transport d'eau à surface libre
81
p désigne la variable de Laplace:
Qs(x,p) = F(
)
Qe(P)
X,p
Pour ce faire, appliquons à l'équation d'Hayami la transformée de Laplace TL[.] :
a2Q
TL [aQ(x, t) + CaQ(x, t) _ E
(x, t)] = T L[O] = 0
at
ax
ax 2
Posons T L[Q(x, t)] = Q(x, p)
Alors,
Le détail des calculs est développé dans l'annexe B.
Q(x,p)=Q(O,p)exp [Xe
2E (
~)]
I-V 1 +ezp
Q(x,p) = Q(O,p) F(x,p)
F(x,p) désigne la fonction de transfert entre l'entrée et le point d'abscisse x.
F(x,p) = exp [~; (l-Jl+ ~~ p)]
Remarques:
La fonction de transfert F( x, p) présente la particularité d'être une fonction non rationLelie
en p. D'autre part la mise en oeuvre de la simulation temporelle de l'écoulement à part::- de
ce modèle va nécessiter la détermination de la transformée inverse de Laplace de F( I. pl.
[KOS89].
IV.4.1
Simulation numérique du modèle d'hayami
Dans un cas général, il est difficile d'obtenir une expression analytique de Qs(::.t!.
Cependant, lorsque les entrées considérées sont du type échelon ou rampe, il est fc..cile
d'obtenir une expression analytique de Qs(x, t).
Dans la pratique cela présente un grand intérêt, dans la mesure où une entrée quelco:-.que
peut être décomposée en signaux de type échelon ou rampe.
Ainsi pour des entrées échelons, c'est-à-dire:
t.
où U (t - t , ) est la fonction échelon.

---

82
Modélisation mathématique des écoulements hydrauliques à surface libre
Le débit résultant au point aval d'abscisse x s'exprime:
'" 13t· [
ex
r
]
Qs(x, t) = Q(x, 0) + ~ -' er fc(Xm ) + exp( -E ) er fc( ..\\p)
(4.9)
tt<t
2
Avec.
x - e (t - ti)
X m = ----==-'----
2VE~
x + e (t - td
X p = ----==-----
2VE~
100 u2
er fc(x) =
e
du
Le développement complet des calculs sur la simulation numérique de l'équation de
Hayami est présenté en annexe C.
IVA.2
Comparaison des résultats de simulation Saint-Venant
et Hayami : nécessité d'une modification de Hayami
pour la prise en compte des non-linéarités
Le modèle d'Hayami a été utilisé comme base de simulation de nombreuses ri\\'ières
servant à l'irrigation dans le Sud-ouest de la France. Vu que ce modèle constitue une
simplification du modèle complet, nous proposons dans cette section d'évaluer la "validité"
de celui-ci par rapport au modèle décrit par les équations de Saint- Venant.
Pour ce faire, nous soumettons aux deux modèles un même hydrogramme d'entrée Qe(t j .
. La rivière considérée possède les caractéristiques suivantes:
x
15 km
e
1.25 km/h
E
0.367 km 2 / h
La figure (4.4) illustre la réponse, à un hydrogramme d'entrée donné, des deux modèles.
L'observation de ce résultat appelle les commentaires suivants:
les écarts entre les différents modèles sont tout à fait acceptables tant que les variations
temporelles du débit ne sont pas importantes.
Une explication naturelle à ce phénomène vient du fait que le modèle d'Hayami est
linéaire, en ce sens que les paramètres e et E sont supposés constants. Or ces paramètres
caractérisent respectivement le temps de retard et la diffusion.
Une analyse de la réponse du modèle complet révèle que le temps de retard et la diffusion
sont fonction du débit dans le canal. Ce phénomène est spécifique aux systèmes hydrau-
liques à surface libre: plus le débit dans le canal est élevé plus le temps de transfert
(retard) est faible.
Finalement, bien que d'usage plus souple (deux paramètres seulement sont à con-
naître, ainsi que la longueur du bief, au lieu d'une topographie complète et de nombreux
cœfficients de perte de charge linéaire) le modèle d 'Hayami présente des limites:

---

Modèles simplifiés de transport d'eau à surface libre
83
il ne prend pas en compte l'effet de la variation du débit d'eau sur la vitesse de propagation
des ondes.
Dans la section suivante, nous proposons une modification de ce modèle pour ~ésüudre
ce problème.
4.5
4
3.5
_/....
i
3
....
2.5
El
~\\...
2
"-:.; .
1
1.5
\\
0.5
80
100
120
Tempo (h)
Figure 4.4 : Réponses de St. Venant et de Hayami à un hydrogramme d'entrée e:-. éC:lelon

---

84
Modélisation mathématique des écoulements hydrauliques à surface libre
IV.5
Modèle d'Hayami modifié
Afin d'améliorer la précision du modèle d'Hayami, nous considérerons le paramètre e
comme une fonction du débit moyen. Des expressions analytiques pour ces paramètres sont
disponibles, mais malheureusement celles-ci s'expriment de manière complexe en fonction
du débit [KOS89].
1
[aL âLJ]
e
e(Q,Z) = L2~~
ax - âZ
1
E
=
E(Q,Z)=8j
L aQ
Dans la suite, nous introduisons la notation e· = l/e.
Etude expérimentale de l'évolution de e en fonction du débit
Nous nous proposons d'établir expérimentalement la loi d'évolution de ces paramètres
en fonction du débit moyen. Pour ce faire, utilisant le modèle de Saint-Venant. la mani-
pulation suivante est menée:
A partir d'un régime permanent initial, on effectue un échelon d'amplitude 0.5m 3 / s.
puis on relève le temps de retard de la réponse correspondant, soit Ta.5 • Lorsque le système
atteint son nouveau régime permanent (1 m 3 /}), on effectue de nouveau un échelon de
même amplitude, et le temps retard Tl est relevé. Une fois le nouveau régime permanent
(1.5 m 3 / s) atteint, on recommence de nouveau les mêmes opérations que précédemment.
ce qui permet de noter les valeurs Tu, T2 , T2.5 , ...
Dès lors le paramètre e* peut être évalué, puisqu'il est relié au temps de retard par
la relation: T ~ e· * x
Q moyen (m 3 /s)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
-L-S
5.0
5.·S
6.0
1
Retard T (mn)
690
540
460
420
380
358
330
318
:300 i 290
280
no
1
e- (h/km)
0.76
0.6
0.5
0.45
0.4
0.38
0.36
0.34
0.:33
0.32
0.31
0.3
1
(Longueur canal x = 15 km )
Table 4.1 :
La figure (4.5) illustre la variation de e- en fonction du débit moyen. L'examen de
cette courbe expérimentale laisse voir, en première approximation, une fonction en 1/Q.
Ainsi, l'étude expérimentale confirme le résultat de l'analyse physique des systèmes
hydrauliques: le temps de transfert (retard) est en première approximation, inversement
proportionnel au débit moyen transitant dans le canal (ou cours d'eau) . .

---

Modèle d'Hayami modifié
85
A ce point plusieurs aproximations sont envisageables:
- l'une consiste à exprimer e et E en fonction de Q et à les introduire dans l'équat :on
d'Hayami qui devient l'équation de l'onde diffusante, on doit alors utiliser une ré~o­
lution par discrétisation selon un schéma adapté,
- une autre démarche, que nous avons suivie ici, consiste à adopter une approche
"adaptative" qui permet de conserver le mode de résolution d'Hayami tout en con-
sidérant que les paramètres e et E varient à chaque pas de temps.
0.8
0.7
0.6
0.5
~ 0.4
0.3
. ....... i
0.2
0.1
0
2
3
4
Q moyen (rnJ/a)
Figure 4.5 : Caractéristique expérimentale de e-
De l'étude expérimentale précédente, nous adoptons une relation récurrente de la ';a-
leur de e; sous la forme suivante:
;3>0
où Qf est le débit moyen à la période t : Qf = L:~=t-N+1 Q~/N.
Qf est la valeur du débit à l'instant t.
Procédure de calage de /3
Pour le calage de /3 , un problème d'optimisation est formulé comme suit:
pour une rivière donnée par le modèle d' Hayami (e et E donné), le problème consiste'
à trouver la valeur de /3, qui minimise la fonction de coût (4.11) exprimant la sommE: de,;
carrés de l'erreur de sortie définie par la figure (4.6).
N
VN (/3) = 2)t(tW
(-i.ll
t=1
Avec

---

86
Modélisation mathématique des écoulements hydrauliques à surface libre
QSlJ( t) représente la sortie du modèle Saint- Venant,
Qhy(t) représente la sortie du modèle Hayami modifié.
l~,
Qsv(t)
r---
Saint-Venant
Qe(t)
+
b'I
E(t,l3)
'f-"-
Qhy<t)
Hayami
,
- modifié
Figure 4.6 : Définition de l'erreur de sortie
Le critère (4.11) normalisé en fonction de 8 est illustré dans la figure (-Li). :'\\ous
remarquons que cette fonction possède la propriété intéressante de fonction uni modale.
Nous rappelons simplement ci-après cette notion d'unimodalité.
Définition :on dit qu'une fonction f de?R
dans?R
est unimodale sur l"lntervalle rÉel
[A,B] si elle admet un minimun a* E [A,B] et si 'Val E [A,B], 'Va2 E [A,BJ avec al < 02.
on a:
a2:::;a*
=}
f(ad>f(a2)
al 2 a*
=}
f(ad < f(a2)
Une fonction unimodale sur [A,B] a donc la propriété d'avoir un minimum local unique
mais n'est pas nécessairement dérivable ni même continue (elle doit cependant être définie
en tout point de [A,B] ).
Par conséquent, toute méthode d'optimisation unidimensionnelle peut être employée
pour la détermination du paramètre 13. Ici la méthode de Fibonacci a été utilisée.
En ce qui concerne le paramètre E, il a été difficile de trouver expérimentalement
une loi de variation. Nous savons simplement que ce paramètre caractérise la diffusion de
l'onde.
Cependant, nous avons constaté, par des simulations, qu'en maintenant ce paramètre
constant, avec seulement 8* variable, les résultats de simulation sont acceptables.

---

Modèle d'Hayami modifié
87
O . 0 6 , - - - - - - - - r - - - - - r - - - - - r - - - - - - - - - , - - - - - - - r - o
0.05 ."".........................."
+...
.
i
0.04
+..
+. "
.
;
1
i
i
1 0.03
!
·······················1···
i..
!
..... -.-
;
i
................
0.01
j
°0~--.".0.~OO:"::'5---0~.0:-:-1--......"..0.~01.".S---0~.02=----::-0.025~
Figure 4.7 : Critèr~ VN(,B) normalisé
Simulation du modèle d'Hayami modifié
La simulation numérique, dans ce cas, se déroule en deux étapes:
(1) calcul de la valeur courante 0;, par la relation (4.10),
(2) calcul du débit Qa(X, t) par la même relation que (4.9)
Dans la relation (4.10), la valeur initiale 0;0' est prise égale à celle du modèle d'Hayami.
Pour comparaison, nous avons repris le scénario de la section précédente.
Le résultat est reporté sur la figure (4.8) où, en plus, de la réponse des modèles de Saint-
Venant et d'Hayami, celle d'Hayami modifié est donnée.
Le résultat du modèle modifié est tout à fait satisfaisant ; nous obtenons un suivi
parfait avec le modèle réel (Saint-Venant) excepté une légère différence dans le transitoire
pour les débits élevés. Ceci est probablement dû au fait que E est maintenu constant.
Mais, comme nous l'avons fait remarquer plus haut, d'une part il n'a pas été possible de
trouver une relation simple de variation de ce paramètre, et d'autre part celui-ci se révèle
d'une sensibilité plus faible que 0 aux variations de débit.
Remarques concernant le modèle modifié
Plus haut, nous avons indiqué que la simulation numérique du modèle modifié se
déroulait en deux temps, à chaque période de calcul. Dans le paragraphe (IVA.1), il a
été supposé que les paramètres 0
et E étaient constants. Ce qui a permis, partant de
l'équation parabolique, de mettre en œuvre un modèle de simulation temporelle via la
transformée de la Laplace.
Dans la modélisation modifiée, nous avons gardé la même relation (4.9) pour la simu-
lation temporelle du débit.
Cela, nous semble t-il, n'est pas gênant, dans l~ mesure où les paramètres demeurent
constants entre les instants d'échantillonnage de la simulation.

---

88
Modélisation mathématique des écoulements hydrauliques à. surface libre
4.5.------,------.-----..-----~---______,
4
\\""{
3.5
"
-,
3
.\\->,.
...
:\\ ....
...j.\\-\\.__....
El
2
\\~~,;~.:~,,~\\.
.
-.,,..,......,.-
...,..
."':',\\.·'·w
Temp. (h)
Figure 4.8 : Réponses de St. Venant, de Hayami et de Hayami modifié
IV.6
Conclusion
Dans ce chapitre, des modèles de l'écoulement non permanent dans les ouvrages de
transport d'eau à surface libre sont décrits.
Le modèle de Saint-Venant intègre tous les phénomènes du système physique réel (retard
et diffusion de propagation de débit variable avec le régime de l'écoulement, ... ). Par
conséquent, il constitue un modèle de simulation se rapprochant le plus de la réalité.
Cependant, il nécessite un ensemble de données (topologie, rugosité) qui n'est pas tou50urs
accessi ble.
Le modèle d'Hayami est obtenu à partir du modèle de Saint- Venant sous quelques hy-
pothèses simplificatrices. Les avantages de celui-ci sont sa souplesse d'utilisation (nombre
de paramètres réduit à deux) et sa linéarité. En contre partie, ce modèle utilisé en simu-
lation peut, dans certains cas, s'éloigner de la réalité. Cela vient naturellement du fait de
sa linéarité.
Pour améliorer le réalisme du modèle d'Hayami, nous avons proposé une modification
en introduisant une adaptation en ligne du modèle en fonction du régime de l'écoulement.
Les résultats de simulation ont montré, que par cette modification, les non-linéarités du
phénomène, en particulier la variabilité du temps de retard. sont pris en compte.

---

Chapitre V
Commande d'un système de transport et
de distribution d'eau
V.1
Caractéristiques et -' spécification de la corn·
mande
La geltion d'un IYltème hydraulique dépend beaucoup de lei objectifl. Pour
l'irrigation, il l'agit d'une part de répondre aux beloinl variél de la demande dei ullierl
(irrigantl) en leur Ulurant la dilponibilité de débit nécellaire au bon moment et au bon
endroit, d'autre part de limiter lei pertel à l'aval, tout en maintenant le débit de lortie
proche.du débit de conligne (débit rélervé).
Il faut également tenir compte dei contraintel phyliquel et hydrauliquOl relativet au
IYltème. En effet, au niveau de la vanne de commande au barrAle, le débit maximun
que l'on peut fournir elt loumil à une limitation Q",•• , d'autre part, d'un point de vue
hydraulique, il faut prolcrire toute variation brulque importante du débit, pour éviter
l'érolion dei bergel, par conléquent, noui avonl une contrainte de la forme: IÂQ(t)1 S
(ÂQ)",••.
En rélumé, le problème de commande conlilte globalement à gérer au mieux l'eau
nécellaire à l'irrigation au niveau du barrAle, 10UI lei contraintel :
• lei prélèvementl au niveau dei prilel de pompile le font à la demande, l'ullier
n'elt donc loumil à aucune contrainte horaire,
• relpect d'un débit rélervé (débit de conligne) à l'aval du IYltème,
• contraintel lur l'amplitude et lur la variation de la variable de commande.
Lei deux modèlel de limulation décrit. danl le précédent chapitre n'étant pu coma
patible avec l'utililation dei méthodel de détermination dei loil de commande liDéalrel,
noui allonl déterminer, à partir dei reprélentationl précédentel, dei modèln de coma
mande obtenui par identification paramétrique.
89

---

90
Commande d'un système de transport et de distribution d'eau
V.2
Commande prédictive d'un hief simple
V.2.1
Nature des perturbations
Les principales perturbations sur le débit sont induites par le pompage de l'eau né-
cessaire à l'irrigation des cultures. Aussi, pour obtenir des performances acceptableS de
l'algorithme de commande face aux variations de ces irrigations, il est nécessaire, du fait
des retards importants du système, de prévoir les pompages correspondants. Ces pertur-
bations sont d'une part mesurables : des dispositifs de mesure équipent les stations de
pompage et permettent ainsi de suivre en temps réel les prélèvements effectués pa: les
irrigants, d'autre part elles peuvent être estimées. La prédiction des prélèvements se fait
à partir des données sur les cause des modifications d'irrigation: les besoins en ea'..l cie
!a culture, J'état hydrique du sol et l'apport extérieur. l'annexe D décrit une approche
possible d'estimation des besoins en eau d'une plante.
V.2.2
Modèle de commande
L'élaboration des lois de commande du débit le long d'une rivière s'appuie sur les :onc-
tions de transfert entre les différents points particuliers de cette rivière, correspondant à
une entrée, une station de mesures. La simplicité de mise en oeuvre de l'algorithme temps
réel et sa souplesse d'adaptation est fortement liée à la complexité de la représentation
choisie. Aussi, pour satisfaire ces besoins de simplicité et de souplesse, la modélisation
utilisée pour la détermination de la commande est basée sur une représentation du type
entrée-sortie de la forme :
(5.1 )
où y(t), u(t), v(t) et v(t) représentent respectivement la sortie mesurée, l'entrée cie
commande, l'entrée de perturbation mesurable et perturbation aléatoire;
d est le retard discret entrée-sortie du système.
V.2.3
Représentation d'un bief simple
Un bief représente, un tronçon de rivière compris entre un point correspondant à ur.e
entrée de commande et un point correspondant à une station de mesure, ou bie:l l..::1
tronçon compris entre deux points de mesures. Un bief contient une station de pompage
située juste avant le point de mesure, figure (5.1). Une étude préliminaire consistera: à
la détermination de l'ordre (nA,
nB, nD), du retard, et de la période d'échantillonnage.

---

Commande prédictive d'un bief simple
91
( Commande)
(Sortie)
Qs
r---------------------
-------------.
,
'.
.
-
,,,._-.----_._----._-----------.__.--------..----------.------- ----..'
(
Prélèvements)
Qp
Figure 5.1 : Schéma d'un bief simple
V.2.4
A-perçus des non-linéarités
Des réponses indicielles-ont été établies ên boucle ouverte sur le modèle de simulation
non-linéaire. Elles nous permettent de mettre en évidence les caractéristiques générales
du système, qui faciliteront le choix de la structure du modèle linéaire à utiliser.
Plusieurs réponses indicielles correspondante chacune à un échelon de commande
d'amplitude a.5m3/ s sont données sur les figures (5.2) et (5.3).
Sur la figure (5.2) est représentée, pour chaque échelon positif, la variation du débit à
l'aval par rapport au régime permanent.
La figure (5.3) montre également cette variation dans le cas d'échelons négatifs.
L'observation de ces courbes nous fournit les renseignements suivants:
• Les réponses sont stables et amorties. Nous avons à faire à un comportement de
second ordre,(on observe une tangente a l'origine nulle).
• Le retard observé est important et varie avec le point de fonctionnement. Plus le
débit initial est faible, plus le retard est grand.
• La constante de temps ne varie presque pas avec le point de fonctionnement dans le
cas d'échelons positifs (Fig. 5.2). Par contre elle est différente pour les deux types
d'échelon, ( r+ < r-).
De plus, dans le cas d'échelons négatifs, elle varie avec le point de fonctionnement
(fig. 5.3). Plus le débit initial est faible plus la constante de temps est grande.
• Le gain statique ne varie pas.
En résumé, nous dirons que les caractéristiques dynamiques du canal évoluent avec le
point de fonctionnement, et peuvent être identifiées à un second ordre avec retard.

---

92
Commande d'un système de transport et de distribution d'eau
0.6
0.5
..
~
., ...
.. '
-,'
.. ' :
0.4
, ",~,:,~:,>./
~
..,
. ' / "
/
,
1
0.3
~ç~eJiofl<:l.5 .~l.o tn~/s
e
2 EchelOn 1.0 - 1.5 tn3/s
3 Echdon 1.5 - 2.0 tn3/s
•
,
4
Echeion 2.0 - 2.5 tn3/s
0.2
.
0.1
. ~?/2,
:
0
100
200
300
400
500
600
Tetnps (tnn)
Figure 5.2 : réponse indicielle (échelons positifs)
0.6
'.
- ~
0.5
~<~.
....
:<'. ':"'"
1 Echeion 1.0 - 0.5 tn3/s
.........
0.4
,
\\
,\\\\
'2&h~'~~ i"5~i.()tn3/s
3 Echelon 2.0 - 1.5 tn3/s
, .
4 Echeion 2.5 - 2.0 tn3/s
~
. . • • . . • • • • ' # '
. • • • • .
. . . . • ~".' • ;'•• . . . . ),: i .
0.3
e
'.
..
'
43 ...
2
02
"< ..".....".
0.1 f
0
100
200
300
500
600
Tetnps (tnn)
Figure 5.3 : réponse indicielle (échelons négatifs)
Sélection de la période d'échantillonnage
Le choix de la fréquence d'échantillonnage pour un système de commande-régulation se
fait en fonction de la bande passante désirée pour le système en boucle fermée. Notons que,
quelle que soit la façon de spécifier les performances désirées, celles-ci peuvent toujours
être reliées à la bande passante du système en boucle fermée.
D'autre part, les réponses désirées en boucle fermée seront beaucoup plus rapides que
les réponses en boucle ouverte. Par conséquent une période d'échantillonnage calculée par
rapport à la dynamique en boucle ouverte s'avérerait trop importante pour assurer une

---

Commande prédictive d'un bief simple
93
réponse raisonnable en boucle fermée.
Enfin, dans le cas d'un système avec retard important, la période d'échantillonnage doit
être choisie de telle sorte que le retard couvre deux à trois intervalles d'échantillonnage.
Aussi, en pratique, il faut tenir compte de plusieurs facteurs, et sélectionner la période
d'échantillonnage en faisant un compromis.
Pour l'application traitée, bief simple avec une station de pompage, le retard varie de
1 à 3 heures lorsque le débit évolue dans la gamme 0.5 - 2.5 m3 / s.
Nous choisissons donc pour la période d'échantillonnage: Te = Iheure.
Synthèse de l'estimateur
Le modè}e estimé a la structure suivante:
A(q-l)
= l:f alq-l +a2q-2
B(q-l)
_
bo + b1q-1 + b2q-2
d
-
3
Pour l'estimation, les données sont filtrées par H(q-l) donné par (voir annexe A):
(5.2)
avec a = 0.5
Les données sont également normalisées:
filtre de normalisation J.L = 0.95
J.Lo = O.l.
Les paramètres du modèle sont initialisés avec des valeurs préalablement estimées en
boucle ouverte.
Synthèse de la commande
• horizon de prédiction Np = 6
• horizon d'initialisation Ni = 1
• horizon de commande Nu = 1
• pondération des variations de la commande À = 1.8
• filtre F(q-l) = 1
filtre G( q-l) = 1
• P(q-l) = 1

---

94
Commande d'un système de transport et de distribution d'eau
Premier scénario
Le débit de consigne à l'aval du bief évolue comme indiqué sur la figure (5.4) (trait
continue). Sur cette même figure est représentée la sortie. La figure (5.5) illustre l'évolu tion
de la commande.
2
1
1
1.8
-<
1
1.6
...... :
"i"
~
...
""-
lA
.. ,
~ \\.
El
Jj
1.2
\\
!.:
O·~';:;-O---;;3~O---;:';:;--~---;~--=----:8:':::O----:9:':::O------=--::-::----:--7"::-----:-:!
Heure
Figure 5.4 : Evolution sortie/consigne
1.6
1.5
1.4
1.3
~
1.2
1.1
Heure
Figure 5.5 : Evolution de la commande GPC
On note un léger dépassement aux changements de consignes, avec un temps de ré-
ponse légèrement plus rapide que celui de la boucle ouverte. L'allure de la commande est
régulière, sans oscillation aux changements de consignes. De plus la variation de celle-ci
demeure dans les limites de la contrainte I.6.Q(k)1 < O.3m 3 /s.
Les courbes des figures (5.6) et (5.7) présentent l'évolution des paramètres estimés du
modèle de commande.

---

Commande prédictive d'un bief simple
95
o.24.----~-~--~-~-~--~-
.........-~--~_
0.23'
Bvaludon de a2
0.23
0.22.5
u
0.22
0.215
u
0.21
0.20'
0'~----=3':-0----:':40:------:'~0-----:60':---7="0:------:8~0----=90':------:1~OO."....----,.1....,10:----!120
Heure
Figure 5.6 : Evolution du paramètre estimé a2(t)
0.4
h2
-_........--..............-......_-----_.............-_...........-------..-...._..--_.....-.....------_...-_...--- -_......-------_...........
0.3
0.2
hl
.......................................................................................
0.1
bD
ob---~------------------------j
-0'\\2L,-0----::o"30:---40,.,....--='0--60~--:7~0----=80':---90"."...-...,.100~-..,....1l'-:-0-.....,..,J120
Heure
Figure 5.7 : Evolution des paramètres estimés bj(t)
Deuxième scénario
Le débit de consigne à l'aval est fixé à Q: = 0.5m3 / s. L'évolution des prélèvements à la
station de pompage est représentée sur la figure (5.8). Les figures (5.9) et (5.10) illustrent
respectivement l'évolution de la sortie régulée et celle de la commande.
Nous avons vu, lors de la synthèse des lois de commande, que la dynamique relative
à l'entrée de perturbation mesurable (prélèvement) était identique à celle relative aux
changements de consigne (poursuite). On le constate sur la figure (5.9); le "rejet" des
perturbations s'effectue avec une dynamique acceptable (pas d'oscillations).

---

96
Commande d'un système de transport et de distribution d'eau
0.3
0.25
~
J
0.2
.JO!.
1
0.1:5
El
0.1
J
0.0:5
01
1
20
40
60
80
100
120
140
Heure
Figure 5.8
Evolution des prélèvements
0.9
0.8f-·················!····· .. ················;·········
,
.
0.7
0.6
';'
.JO!.
"T<t"
0.:5 i----+....,-..,.....---.....,-:::-:------.,c--.-=='
.....--.....i-~-~-l.:.-"-"-------1
El
'.'
0.4
0'3
0.2
l
0.1
o f
.
---2="0,..------:4""0---~60::------:8:'::;0-------,1~00c::----:-l~20::------J140
Heure
Figure 5.9
Sortie régulée
0.7:5 , - - - - - , - - - - - - . . . . , . . - - - - - - - - - - , - - - - - - , - - - - - - - , - - - - - - - - ,
0.7,.···· .. ············,·················
0.6:5f-················+··········
;
f-
;
,
0.6
0.:55
0.5 L----.J2u...0---~40~---60-:'::-------=8'::-0------=1~00::----:;-;12~0:--------:-l140
Heure
Figure 5,10
Evolution de la commande GPe

---

Problématique des biefs en cascade
·97
V.3
Problématique des biefs en cascade
Une généralisation du cas précédent (bief simple) est la situation dans laquelle inter-
viennent plusieurs points de prélèvement et de mesure. La rivière est dans ce cas, découpée
en biefs définis par la position des points de mesure (Fig. 5.11).
Le problème de commande est formulé comme suit:
Déterminer la commande u, dans l'objectif de satisfaire au mieux les prélèvements
PI, P2, P3, tout en maintenant le débit à l'aval du système (Y3) proche d'un débit de
consigne.
La difficulté essentielle de ce problème de commande est dûe à :
• Des temps de retard très importants, induits par les phénomènes de transfert le long
de l'organe dé transport,
• le système n'est pourvu que d'un seul régulateur.
Sur un tel système, une correction classique à partir des trois mesures disponibles ne
peut conduire qu'à une commande dont le temps de réponse ne serait être inférieur au
retard maximal du système.
1Pl
1P2
l P3
u
Bief 1
Yl
Bief 2
y,
Bief 3
y~
Figure 5.11 : Découpage de la rivière en biefs
Initialement, une architecture de commande, mettant en œuvre des régulateurs en
cascade avait été envisagée; le raisonnement était le suivant :
à chaque bief est associé un régulateur type GPC. Mais, comme nous ne disposons pas de
commande intermédiaire, la sortie du ime régulateur représente la consigne du (i - 1)me
régulateur, i = N, ... , 1.
La commande effective est générée par le régulateur 1. Cette architecture n'a en définitive
pas été retenue pour la raison suivante:
Il a été montré [GAW84],[GAW88] qu'une structure de régulateurs en cascade (Fig.
5.12) fonctionne bien si l'hypothèse suivante est vérifiée: la dynamique de la boucle interne
doit être plus rapide que celle de la boucle externe.
Or, ici, les boucles élémentaires présentent des caractéristiques dynamiques voisines.

---

98
Commande d'un système de transport et de distribution d"eau
U 1
~
Yl
B
Y2
q-d}
q-d2 ....:::::.:J.
Al
A 2
~
f - -
REGI
REG 2
U
y ~
2
2
Figure 5.12 : Régulateurs en cascade
-V.4
Commande basée sur l'inversion de modèle
La linéarité du modèle d'Hayami rend la représentation globale de la rivière extrême-
ment souple. En effet cette représentation peut être obtenue suivant les entrées et sorties
considérées, par une mise en cascade de biefs élémentaires caractérisés uniquement par
leurs longueurs.
Si Hl et H2 représentent les fonctions de transfert de deux biefs de longueur Ll et L,>
alors la fonction de transfert équivalente des deux biefs en cascade sera H3 = H l .H2 '. Fig.
5.13).
Bief 1
Bief Z
y
Hl
HZ
Figure 5.13 : Biefs en cascade
Dans cette section, nous proposons une méthode de régulation du système, basée sur
les prédictions de consommation d'eau. Avant de présenter les résultats de simulation
obtenus, nous donnons ci-après une description de la procédure.

---

Commande basée sur l'inversion de modèle
99
V-.4.1
Inversion du modèle de Hayami
Position du problème
Le modèle d'Hayami donne une relation liant le débit aval au débit amont. Dans la sec-
tion (111.4.1) nous avons établi une relation, dans l'espace temporel, donnant l'expression
du 'débit au point d'espace x en fonction du débit à l'entrée :
'"' 13t; [
e X ]
Q~(x, t) = Q(x, 0) + ~ 2 er fc(Xm ) + exp(E) er fc(Xp )
(5.3)
h<t
Par conséquent, si les paramètres e et E sont des constantes, la relation précédente
est linéaire par rapport à 13t;. En d'autres termes,
Hydrogramme d'entrée
Transfert
Hydrogramme sortie
Figure 5.14 : Transfert d'hydrogramme par le modèle d'Hayami
Procédure d'inversion
Le problème inverse consiste à "reconstituer" les valeurs Qe(t) correspondant a un
hydrogramme de sortie donné Q~(x, t).
A partir de l'expression (5.3)
Q~(x, t) = Qo(x) + L 13t/P(t, ti)
ti<t
où
(5.4)
la procédure consiste à évaluer les 13t•.
Considérons une simulation directe, c'est-à-dire un transfert d'un hydrogramme amont
par le modèle d'Hayami, figure (5.14). Soit d la valeur du retard correspondant au modèle

---

100
Commande d'un système de transport et de distribution d'eau
(G,E,x), et soit to l'instant initial de la simulation. Alors,
N
Qs(to + d) = Qo(x) +
i=O/t.<to+d
c'est-à-dire
N
Qs(to+d)=Qo(x)+
L
I3t.<f>(t o +d,ti) + 3to <f>(to +d,t u )
i=l/t;<to+d
.-\\insi, à l'instant to + d, on peut évaluer la valeur de I3tO par la relation:
Qs(to + d) - Qo(x) - Li'::l/t.<to+d ,Bt.<f>(to + d. ti)
!3to=
<f>(to+d,t
l, O.,J i
o)
ou <f>(to + d, to), a pour expression, (cf. formule (5.4)) :
avec
x -Gd
JEVJ
x+Gd
JEVJ
r-.lontrons que <f>(to + d, to) est non nul.
Pour cela, il suffit de remplacer le retard d par x/Go
X", et X p ont alors pour valeurs:
ou
Gx
a = - >0
E -
Alors.
<f>(to + d, to) = 0.5 [Er je(O) + exp(a) er je (2y'a)]
En remarquant que, d'une part,
er je (0) = l, et d'autre part que er je( (0) = 0, no;.::::
déduisons que:
<f>(to + d, to) E [0.5, 1]
(.5.~1
A l'instant tk, I3tk nous avons:

---

~
Commande basée sur l'inversion de modèle
101
1
f
{i
- Q.(to + d + tA:) - Qo(x) - L::~;::-1 {iti~(tO + d + tA:, ti)
(5.8)
t. -
~(to + d + t,;, to+tl;)
L'entrée à cet instant, est alors donnée par :
A:
Qe(tO + tA:) = 00 + L: {iti
(5.9)
i=O

---

102
Commande d'un système de transport et de distribution d'eau
V.4.2
Détermination de la commande en boucle ouverte
La commande à l'instant t doit satisfaire les prélèvements futurs, ceci en tenant con:pte
de la dynamique de transfert entre l'amont (barrage) et chaque point de prélèvement. .:'\\ous
utilisons comme modèle de transfert, le modèle d 'Hayami modifié (cf. §IV.5).
Déscription de la procédure
A l'instant t les étapes suivantes sont considérées (Fig.5.1S):
(1) La valeur courante de e~ est évaluée par la relation (4.10),
(2) les temps de retard entre l'amont et chaque point de prélèvement i sont alors é\\"a:ués
1
di = "ELje;
i = l, ... , n
j=l
(3) à chaque point de prélèvement, un intervalle de prédiction est défini par :
hi = [t+tLje;,
t+tLje;+Np]
(~,.ll,
J=l
J=l
où Np est l'horizon de prédiction des pompages.
Disposant de ces prédictions, l'inversion du modèle d'Hayami est mlS en oe"JVre
pour obtenir une séquence de commande
[QAm(t), QAm(t + 1), ... , QAm(t + Np - 1)], avec:
n
J
QAm(t + k) = "E II H l
k = O... , .Y
i-
[Pj(t + dj + k)]
p -
l
( - l')
.J.
_)
j=l i=l
L'équation (5.12) est une équation formelle dans laquelle Ht [.]. représente la pro-
cédure d'inversion du modèle relatif au bief j,
(4) seule la commande Q Am (t) est appliquée à l'instant t.
A l'instant suivant, (t+1), les mêmes étapes sont reconsidérées
principe de rhor:zon
glissant.

---

~
Commande basée sur l'inversion de modèle
103
[
f
BIEF 1
BIEF)
BIEFJ
IIi'
If, Np.
Figure 5.15 : principe de commande par inversion
V.4.3
Nécessité d'une boucle fermée
Si les hypothèses sur l'estimation sont vérifiées, la boucle ouverte définie ci-dessus est
suffisante pour obtenir une bonne régulation. Cependant, dans les cas réels, il peut y avoir
des variations de prélèvement d'une journée à l'autre. Ces variations peuvent être faibles
(variations dûes à l'intervention humaine dans les prélèvements) ou plus importantes si
les conditions changent (panne de pompe, orage, ... ).
Dans ces cas, l'unique boucle ouverte n'est plus suffisante. Une boucle fermée est
nécessaire. Par ailleurs, cette boucle suppose une périodicité des pompages aux points de
prélèvement; les prélèvements à l'heure t sont identiques à ceux réalisés à t - T. Ici, la
période T est prise égale à 24 heures.
En effet, dans l'estimation des prélèvements futurs, nous supposons que le comportement
des usagers est le même chaque jour.

---

104
Commande d'un système de transport et de distribution d'eau
Le principe de cette boucle est alors le suivant
• à chaque instant i, les valeurs des pompages effectivement r~alisés
P( t'.
:"ont
comparées aux valeurs estimées ?(i - T). L'écart entre les deux \\"lellrs t'~i ca:lll;c~
• cet écart est utilisé pour corriger la commande déterminée par lit hOllclf' '-'1\\\\t-rtp
Pour des problèmes de robustesse, les écarts utilisés dans la rürrect iU\\l.~()n· ct 11
préalable filtrés par F( q-l )
n
QAmc(i) = QAm(t) + F(q-l) L [PJ(i) - Pj(i - Tl]
(." . 1·1
J
·V.4.4
Résultats de simulation
Pour tester la méthode de commande décrite ci-dessus, une rivière de JO km de :ün:.:
avec trois points de mesures et trois stations de pompage est considért>e, Dirrér('I1:~ t·:pe~
de scénarios de prélèvement, présentant des caractéristiques particulière~. sont Cil] :,icl~]'«.
Scénario 1
Pour ce scénario, les prélèvements estimés aux trois stations sont repn~s('11t (~~ pa:- [(':'
figures (5.16), (5.17) et (5,18), et correspondent à ceux effectivement réalisr"s,
La figure (.5.19) représente le débit lâché (commande), l'évolution des débits ail droi~ de~
trois stations de mesure est donnée sur la figure (5.20). La figure (.5.21) dOnll<' Li! 7."0111
sur la sortie aval du système.
;\\ous observons, (Fig. 5.21), une évolution du débit à l'aval du système alltol:!, (:<" le.
\\'aleur du débit objectif avec un écart inférieur ou égal à +/- 0.O:3m 3 , soit 6~1c. .le li: \\'ct:et::'
objective.

---

t
Commande basée sur l'inversion de modèle
105
r
..
\\.4
u
•..,
I.J
•..
'.2
•.n
...
u
~ •.1'
~ ...
•.2
1
i
"1'" ...... _.... 1 .....
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t .... ·
O."
1
1
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...
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..··1 ..
t ·
1
i
. ,
_
T
.
•. M
...
.. t
1
1
1
....
..~
te
-
Figure 5.16
Pompage station 1
Figure 5.19 : Commande
O~
1'r---r--""--~-----"'!'"--~J-----'
o...,
1
l
,
1
2
......
.. j.
l
.
... ) ..
••
1
o.U
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1
1
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-_.~;~;. 1
•. 1
.•..... ·'v·
tl
JI
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.
..,
...-
.. ,..~·_c.;·__·,~-,..:.:..····f·:~--··~
~.~-
0.0'
1
l
'
i
•
20
••
Figure 5.17
Pompage station 2
Figure 5.20 : Sorties
•..
.2
o...
...,
.. .. ... ..+.. ... -.......-+
1
j
1
i
tu.
...
Q3
i
i
.. 1
D.tA
t
1
1
J
•.n
....
."
........ t
..
•. 12
1
j
1
~ .,
i ..,
.n<
1
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o.•,
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....
.... 1. ..
.... • .. .. ....
L.
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....
•..
1
!
1
.1
1
1
....
!
1
1
•.n
.... ......... 1
........ ! ............
1
1
1
1
•
1
1
••
.~
.. 110 •• '00 .20 '.0 ,..
He_
Figure 5.18
Pompage station 3
Figure 5.21
Zoom sortie aval

---

106
Commande d'un système de transport et de distribution d'eau
Scénario 2
Ce scénario présente les mêmes caractéristiques que le précédent pour les prélhements
réalisés. Mais dans ce cas une erreur sur les prédictions des pompages à la station 2
est simulée. La figure (5.23) représente l'évolution des pompages réalisés et prédits. La
prédiction des pompages au jour 5 de la simulation diffère des pompages réalisés de -l0 9é.
La figure (5.25) représente le débit lâché (commande). L'évolution des débits aux
points de mesure est représentée sur la figure (5.26).
Pour mettre en évidence l'effet de la boucle fermée, deux simulations ont été effectuées.
rune omettant l'action de la boucle fermée, et l'autre prenant en compte la boude fermée.
La figure (5.27) donne l'évolution du débit à l'aval dans les deux cas.

---

Commande basée sur l'inversion de modèle
107
a.,
..\\
ad
1.0
a.'
1.2
a.u
\\.\\
a.•
1 '.2,.1
1 a.'
a.2
a.'
•. 15
a.\\
a.1
a.""
••
a
•.s.
co
......
......
Figure 5.22 : Pompage station 1
Figure 5.25 : Commande
n.'
15
1
D.'"
1
Réalisé
1
1
n.'
..
2
- ......
1·
""'f
1
1
O.U
\\
1
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..
1
\\
.J ..
o "
..
1
i
~ n,~"
1
1
i
0.'-
J
D.U
1
..\\
•. 5
0.ft1
•,.
,.
...
..
....
20
••
\\
\\20
le.
......
11eWW'.
Figure 5.23
Pompage station 2
Figure 5.26
Sorties
•.2
• \\1
Ot4C
0_14
0.12
1 0.\\
...
....
0 "
001,.0
Figure 5.24
Pompage station 3
Figure 5.27 : Sortie aval

---

108
Commande d'un système de transport et de distribution d'eau
V.5
Conclusion
Dans ce chapitre, le problème de la commande (à court terme) de débit d'tm systè:11e
de transport d'eau est considéré.
Pour le cas d'un système simple (bief unique), la commande prédictive généralisée donne
des résultats satisfaisants aussi bien en suivi de référence (changement du débit de con-
signe) que la "rejeetion" des perturbations mesurables (prélèvements).
Cependant, pour une configuration "complexe" (plusieurs biefs en cascade), la méthode
précédente est moins adaptée. Pour cela, une méthode particulière de commande a été
proposée. Celle-ci est basée sur l'inversion du modèle de transfert caractérisant un bief. Sur
la base d'une estimation des prélèvements aux différentes stations de pompage, l 'imer~ioll
d.u modèle qe transfert permet de déterminer la commande (commande en bouc le 011 ve:-te)
à appliquer pour satisfaire les pompages prédits. L'avantage du modèle d 'Hayami mod:I1é.
-dans la procédure d'inversion, est que la variation du temps de transfert (retard) e:;t piise
en compte dans la détermination de la commande.
Etant donné que les perturbations considérées sont mesurables, une boucle de correc-
tion a été définie, avec l'hypothèse de périodicité des perturbations. lin test de la méthode
proposée sur un système de trois biefs a permis de mettre en évidence son efficacité e, sa
souplesse d'utilisation.
~1
1

---

Chapitre VI
Supervision d'un système d'irrigation
VI.l
Position du problème
Les problèmes de gestion des systèmes d~ distribution d'eau abordés dans le précédent
chapitre, consistaient essentiellement à élaborer une commande pour satisfaire au mieux
les demandes en eau des irrigants et maintenir un débit à l'aval du système aussi proche
que possible d'un débit de consigne. C'est une gestion à court terme, voire en temps réel,
la périodicité des décisions étant de l'ordre de l'heure. Ce niveau de gestion est couram-
ment appelé gestion tactique.
Cependant, dès lors que des considérations sur le moyen ou long terme sont abordées,
le terme de gestion stratégique est employé.
La notion de gestion stratégique peut intervenir par exemple lorsqu'il y a choix d'un nou-
veau débit de consigne en situation probable de pénurie par exemple. Elle se situe donc
dans des échéances à moyen et long terme et se caractérise par un pas de temps de l'ordre
de la semaine ou de plusieurs semaines. Une des tâches également assignées au niveau
stratégique, est, de déterminer à moyen terme la quantité d'eau à allouer aux différents
usagers, compte tenu de l'état des réserves, des besoins spécifiés par ceux-ci et des condi-
tions climatiques passées et actuelles.
Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux problèmes de décision en gestion stra-
tégique de systèmes d'irrigation qui constituent le niveau Supervision. Ce niveau vient
naturellement en complément de la gestion tactique (niveau commande) d'un système
automatisé.
Les différentes fonctions pouvant constituer ce superviseur sont analysées, de même que
les difficultés liées à leur mise en oeuvre.
Une approche de résolution du problème de la gestion des réserves en eau, basée à la fois
sur des méthodes quantitatives et des méthodes qualitatives est alors présentée.
109
',"",

---

110
Supervision d'un système d'irrigation
VI.2
Fonctions du Superviseur et difficultés de ré-
solution
Reconnaître à chaque étape de la campagne d'irrigation la situation effecti\\"e. Ceci est
réalisé à partir de l'état actuel des ressources, confronté à l'estimation des besoins futurs
en eau des usagers.
En situation de pénurie, il est souvent nécessaire de faire des choix qui se ré\\'èlent
parfois particulièrement douloureux. Par exemple, la sécheresse 1984-198 ï, proyoq uant de
graves inquiétudes pour l'alimentation en eau potable (dans le sud de la France). l'a"lto:"ité
administrative a été obligée d'interdire les irrigations bien avant la fin cie la caIl;pagne.
L'enjeu économique d'une telle décision est énorme. Pour la région concernée. le proc~uit
brut des cultures irriguées est voisin de 800 MF/an. Alors si la décision aclmini~Lra~ive
conduit à une perte de récolte de 50%, on comprend qu'elle ne soit pas applicable facile-
ment et conduise à des "résistances" sur le terrain. Ce fut le cas en 1986. où de trè~ fo:-tes
tensions sont apparues.
Il est par conséquent nécessaire d'établir des stratégies de priorité pour chaq\\.:e type
d'usager pour tenter de réduire les conséquences en situation de pénurie grave.
Cette stratégie d'attribution sera assignée à une fonction du superviseur.
4
Cependant, il faut souligner que l'analyse et la réalisation effective de ces fonctions
rencontrent un certain nombre de problèmes, vu les aléas dans lesquels le système cûnsi(:éré
évolue:
• aléas climatiques: des problèmes de prévision des apports d'eau pendant la période
de la campagne en résulte.
• aléas liés à la demande: dûs d'une part au fait que le comportement des usagers est
souvent très difficile à prédire, d'autre part que les besoins réels des plantes sont
soumis aux aléas climatiques.
Au vu de ces difficultés, une approche purement quantitative serait insuffisante. r: 'où
la proposition d'une approche utilisant les techniques de raisonnement qualitatir" et
d'ensembles flous.
VI.3
1
Description de l'approche retenue
Le niveau supervision vise à la réalisation des fonctions suivantes:
J
• Reconnaissance en ligne de la situation.
Cette fonction consiste à l'estimation de l'état des
ressources, confronté à
l'estimation des besoins en eau des irrigants pour la période restante de la campagne
d'irrigation. Cette situation évaluée, reflète alors le degré de criticité des réserves en
eau.

---

DescriptioD. de l'approche retenue
III
• Attribuer des priorités aux usagers.
Une fois la situation évaluée, on est amené, à prendre un certain nombre de déci-
sion en fonction naturellement de la situation en cours. Par exemple, en situation
de pénurie prononcée, une modification dans la méthode de distribution s'impose.
Cette fonction interviendra essentiellement à ce niveau par l'attribution des poids
de priorité aux différents usagers.
• Allocation de quantités d'eau par type d'usager.
L'objectif est de calculer les quantités d'eau à allouer à chaque irrigant pour la
période à venir, étant donné la situation en cours, et les différentes priorités. Le pro-
blème est formulé en terme d'optimisation d'une fonctionnelle linéaire quadratique.
Un problème linéaire quadratique est donc formulé à chaque étape.
• Donner des consignes au système de commande de distribution d'eau.
Pour ,se ramener au niveau de la gestion tactique, il est nécessaire de "traduire"
les décisions de l'échelle stratégique à l'échelle tactique. C'est donc la fonction
d'interface.

---

112
Supervision d'un système d'irrigation
VI.4
Reconnaissance en ligne de situation
Traditionnellement, le principe utilisé pour l'évaluation de l'état courant des résen'es
en eau consistait à suivre une courbe figée dite "de vidange". Cette approche est fortement
liée aux données statistiques sur les précédentes années, et suppose, en générale. que les
variations par rapport à cette courbe soient très limitées.
Cependant, dans bon nombre de régions où l'irrigation est une activité très importante.
la pluviométrie présente les caractéristiques essentielles suivantes: insuffisance et irrégu-
larité. Par conséquent, d'une année à l'autre, la "distribution" de ces pluj~s peut \\'a:-ier
énormement (aussi bien en quantité d'eau qu'en régularité). De ce fait. utiliser une cOl:rbe
de vidange figée peut s'avérer éronné.
L'approche considérée ici consiste à prendre en considération les besoins en eau cou-
rants et futnrs des cultures. A chaque instant, les besoins en eau pour la période restante
de la campagne d'irrigation sont estimés sur. la base de l'état d'évolution de la plante. de
-la pluviométrie et de la superficie agraire irriguée, (cf. annexe D).
L'état des réserves disponibles est alors estimé, à chaque période par un indicateur
défini par:
v(t) = [V(t) - ~min]
(6.1)
E;=t D~
où T est une période de temps choisie telle que:
b~+.,. = 0
"i/T ~ 0
T représente la fin de la campagne d'irrigation.
Et
• V( t) représente l'état courant de la réserve relevé au début de la semaine t.
• Vmin est la réserve minimale à conserver à la fin de la campagne d'irrigation.
• b~ est la demande en eau estimée à l'instant t pour la période T.
Examinons l'indice v(t) défini par l'équation (6.1):
Si v(t) < 1, la réserve disponible à cet instant t est inférieure aux besoins estimés pour la
période restante de la campagne d'irrigation.
Si v( t) ~ 1, la réserve est suffisante pour satisfaire les besoins estimés.
Posons nous la question suivante:
Si pour deux instants différents t
<
l
et t 2 (t l
t 2 ) v a la même valeur (i.e v(td = v(t 2 )).
pouvons nous dire que cela représente une même situation? La réponse est sans doute non.
En effet, l'indice v(t) doit tenir compte du temps restant pour la campagne d'irrigation
(T-t). Par exemple une même valeur de v pour t=Tj4 et t=3Tj4 n'aurait pas la même
signification. Dans le premier cas, on serait en situation critique, tandis que dans le second
on serait plutôt en situation faiblement critique.

---

Reconnaissance en ligne de situation
113
-On conçoit d'un déficit en eau très prononcé entralnera des dégâts (sur les cultures)
irréversibles pouvant à la limite occasionner la dévastation totale de la plantation, tandis
que si le déficit est maintenu dans une certaine limite, seulement sera affecté le rendement
des cultures.
Ce qui revient à dire qu'une situation de faible déficit prolongé sera équivalente à un sé-
vère déficit de très courte durée. Par exemple si les dégâts occasionnés par le déficit croît
selon une fonction g(t, T), alors deux situations de déficit équivalentes seront telles que:
T
T
L(1-1I1)b~lg(T,T) = L(1-112)b~2g(T,T)
(6.2)
'T=tl
'T=t2
ou
(6.3)
Par conséquent, un déficit de 110 en début de campagne d'irrigation est équivalent à
un déficit lI(t) pour la période restante [t,Tl.
On peut alors définir dans le plan (t.lI) des zones d'équi-criticité qui ont l'allure géné-
rale représentée sur la figure (6.1). Nous avons associé à chacune de ces zones un degré
de criticité pris parmi :
(1) Situation très critique (TC) si : 110 :s; 0.50
(2) Situation moyennement critique (MC) si : 0.50 $ 110 :s; 0.80
(3) Situation faiblement critique (FC) si : 0.80 :s; 110 :s; 0.95
(4) Situation normale(NS) si: 0.95 :s; 110
A chaque étape, la situation doit être réévaluée à l'aide d'un nouveau calcul de l'indice
Il.
Compte tenu des incertitudes relatives au calcul des besoins futurs, la limite entre ces
zones ne peut être parfaitement définie, d'où la nécessité d'introduire à chaque étape, des
fonctions d'appartenance qui seront effectivement utilisées pour l'attribution de priorités.
Celles-ci sont représentées sur la figure (6.2).

---

114
Supervision d'un système d'irrigation
,
t
t
1.----.-------r-----.-------.-----,---~--~--
0.9r===:::-=:=T~~.i-~..,
.
NS
J
t
l
............. ,"'-
,
.
0.2
t
0.1
O'----_-'--_ _--'--_ _--'-_ _--'----'>o_---'
'------l'-~
_
_____.J
o
2
4
5
6
7
8
l
Figure 6.1 : Courbes d'équi-criticité
TC
11--_ _--..
MC
FC
NS
OL-_ _---'t...-_.....Ji.
..L.._ _~
L.__......Ji_ _.......
1*)
Figure 6.2 : Fonctions d'appartenance des situations
VI.5
Attribution de priorités
Une première attribution de degrés d'importance ou de priorités pour les différents
usagers est réalisée a priori par l'attribution de poids
M
p.
avec
P
j = 1, ... ,!vI
)
j :2: 0
et
L Pj = 1
j=1
M , entier, représente le nombre d'usagers.
Cette attribution, faite à l'avance, peut être basée sur diverses considérations spéci-
fiques au pays ou à la région considérée.

---

Attribution de priorités
115
Dàns le Sud-Ouest de la France, parmi les cultures irriguées, on peut distinguer les cul-
tures à hauts revenus (fruits et légumes, tabac, production de semences), les "grandes
cultures" à forts besoins en eau d'irrigation (mais et soja) et celles à moindres besoins
d'irrigation (tournesol et sorgho).
Alors, sur les cultures à haut revenu, il est préférable de jouer la sécurité et donc attribuer
une haute priorité à ces cultures. Ensuite seront considérées les cultures a forts besoins
en eau, puis celles à moindres besoins,...
En fait, ce degré de priorité varie avec l'évolution d'une part de la situation générale
(criticité) et d'autre part des besoins en eau actuels propres à chaque usager. Un usager
donné peut donc voir l'importance de son degré de priorité évoluer durant la période de
la campagne.
On définit donc pour chaque période un indice >'j(t) associé à l'usager j, donné par :
>'j(t) =="Pj nj(t)
(6.4)
avec
0 ~ Pj ~ 1
0 ~ nj(t) ~ 1
où nj(t)
est un indice indiquant l'importance de la satisfaction de la demande courante
en eau de l'usager j. La détermination de cet indice est discutée au paragraphe (VI.8).
L'indice >'j(t) permet alors, à l'aide de fonctions d'appartenance, telles que celles
représentées sur la figure (6.3), d'indiquer la classe d'importance actuelle de l'usager j.
Les classes d'importance considérées ici sont :
(1) Usage très essentiel (TE).
(2) Usage moyennement essentiel (ME).
(3) Usage faiblement essentiel (FE).
(4) Usage secondaire (SE).
On associe arbitrairement à chaque couple (criticité de la situation, classe d'usager)
un poids qui traduit l'importance attribuée a priori à cette classe d'usager lors d !une
situation de criticité comparable.
Ceci conduit à la construction de la matrice de poids P donnée par:
~ TC
MC
FC
NS
TE
p.TC
P.MC
p.FC
p.NS
TE
TE
TE
TE
ME
pTC
pMC
pFC
pNS
ME
ME
ME
ME
FE
pTC
pMC
pFC
pNS
FE
FE
FE
FE
SE
pTC
pMC
pFC
pNS
SE
SE
SE
SE

---

116
Supervision d'un système d'irrigation
FE
ME
TE
O'--_ _---"-_ _->-
......_ - - - "
...L.._ _l....-_---:
lAft)
Figure 6.3 : Fonction d'appartenance des usagers
avec:
V i,j : a $ pI
et Li Pt = 1.
Finalement, à chaque étape, compte tenu des divers degrés d'appartenance d'un couple
(situation, usage) à des classes bien définies, on attribue à l'usager correspondant un poids.
image de son degré de priorité, donné par l'expression:
IIj(t) = L L /-ll(v)mk(>'j )Pk
(6.51
leL keK
avec
L={TC,MC,FC,NS}
et
K={SE,FE,ME,TE}
VI.6
Allocation des quantités d'eau hebdomadaires
On utilise alors une règle de proportionnalité-saturation pour déterminer le vobrr.e
total d'eau que l'on met à la disposition durant la semaine qui commence:
i 6.6i
avec
b: = L b:
et Je = {TE,ME,FE,SE}
J
jelC
où D:
est à l'instant t, l'estimation du volume d'eau, pour les besoins des usagers du
J
type j
,pour la semaine à venir.
Un problème de programmation linéaire quadratique est alors formulé. L'objectif recher-
ché est de calculer les quantités d'eau Q:
à allouer à chaque irrigant j .pour la semair.e
J

---

;: \\,""- .
Allocation des quantités d'eau hebdomadaires
117
à venir:
M
A
2
L (Q:j - D:J ITj(t)
(6.7)
j=1
sous les contraintes
M
l:Q:j ~ Q:
et
j = 1 to M
(6.8)
j=1
En utili~ant le Lagrangien, on montre facilement que la solution de ce problème
l'optimisation est donnée par:
(6.9)
La relation (6.9) exprime que la quantité allouée à l'usager j est sa demande ÎJ:
plus
]
un terme représentant le déficit inversement pondéré par le poids de sa priorité. En
d'autres termes le déficit est équitablement réparti selon le niveau d'importance de
l'usager.
Dans ce qui suit, nous proposons d'examiner les cas suivants:
quelle situation adopter ou quelle classe attribuer à un usager si les indices associés (lI(t)
et Àj(t)), sont tel que l'on se trouve entre deux situations ou deux classes.
(1) Si lI(t) est telle que 3 1E L:
o< J-L1(1I(t)) < 1
et
J-L1+1(1I(t)) = 1 - J-L1(1I(t))
alors deux situations extrêmes sont à considérer:
a) J-Ll = 1
et
J-Ll+1 = 0
b) J-Ll = 0
et
J-Ll+1 = 1
(2) Pour les classes d'usager on peut également avoir
Àj(t) tel que 3 k E K :
0< mA:(Àj ) < 1
et
mk+l(Àj ) = 1- mA:(Àj )
alors les deux cas extrêmes sont à considérer:
c) mA: = 1
et
mk+l = 0
d) mA: = 0
et
mk+l = 1
Ainsi, au total 2(1+M) situations possibles doivent être considérées. Pour chaque situation,
les poids ITj(t) sont calculés et le problème d'optimisation LQ est exécuté. Finalement n

---

118
Supervision d'un système d'irrigation
solutions Q~ ,
n= 21+M
sont obtenues.
]
Posons:
(6.10,
et
Q~m"% = min [Q~(n) 1 Q~(n) > Q~ ]
(6.11)
t]
n
i]
t]
i]
Alors, pour chaque usager j la quantité d'eau "allouable" pour la semaine. est déf.nie
par un intervalle possible:
-VI. 7
Allocation des quantités d'eau au niveau tac-
tique
Soit 1\\;, k = 1, ... , J, la courbe nominale de demande hebdomadaire de l'usager J.
la demande pour le jour k durant la période t est donnée par:
où Dt] est la demande en eau de l'usager j
pour la période de temps t.
Ainsi, on définit un intervalle de quantité d'eau que l'on est à mesure de délivrer. SOit :
(6.13 î
avec
1\\7(t)Q:]m,n
(ô.1-i 1
1\\7(t)Q:;,"%
(6.1.j,
la figure (6.4) illustre l'évolution de cet intervalle.
Par conséquent la quantité d'eau allouée à l'usager j pour le jour k de la période t
(d~ ) est déterminée par:
]
St
St
St

---

Allocation des quantités d'eau au niveau tactique
119
Q lII1U
.....U
.
Q smin
.
......tj.............................................................
.
:::.:.:~--_ - -
.-:;;----'---......I---....&...---J...-----I.--........-----_k
J
Figure. 6.4 :. Evol.ution de l'intervalle de quantité allouable
Cependant, cette valeur devrait être corrigée, par l'introduction des informations mé-
téorologiques locales. Ces informations peuvent être formulées sous la forme d'une fonction
rj(p), indiquant la probabilité de pluie pour le jour en cour. Ainsi, la valeur à allouer pour
la journée k est corrigée comme suit:
-le
le
dCi = [1 - rj(p)]dCi
(6.16)
où p ,
0 ~ p ~ 1, est un paramètre indicant l'importance des pluies, et rj(p) une fonction
croissante monotone.
Par exemple, dans un premier temps on utilisera la quantification suivante:
1
.n
pluie certaine
0.75
SI
pluie tres probable
rj(p) =
0.5
SI
pluie probable
0.25
SI
pluie peu probable
0
SI
pluie incertaine
La quantité totale pour le jour suivant est alors:
Pour se ramener au niveau horaire (période de la commande); soit
o~, la demande
en eau ( m3/ s) par l'usager i pour l'heure h.

---

120
Supervision d'un système d'irrigation
Nous allons supposer que chaque irrigant pratique uniquement un type de culture. Soit
Si
l'ensemble des irrigants pratiquant la culture de type j,
alors, la demande totale
pour l'heure h est :
eStt == i: (L eS~) == i: V7
(6.17)
i=l
IESj
i=l
La demande totale pour la journée est par conséquent :
24
eS == L eS~ot
h=!
La quantité allouée à l'usager i pour l'heure h est alors donnée par:
i E S'
(6.18)
)
avec
(6.19)
VI.S
Détermination des coefficients d'importance
de satisfaction des besoins
La sélection de la valeur courante du paramètre ni intervenant dans la relation (6.4)
peut se faire, dans le cas des cultures, par l'utilisation d'un système de base de con-
naissance sur le cycle de vie des végétaux. Pour des classes de cultures: cette base de
connaissance doit contenir les informations telles que:
• les besoins nominaux en eaux de chaque espèce durant son cycle de vie,
J
• les périodes sensibles à la sécheresse durant le cycle végétatif,
• la chronologie de la pluviométrie et des irrigations passés.
J
Nous allons illustrer cela par un exemple, en prenant le cas de principales cultures
d'été irriguées en Midi-Pyrénées: le mais, le soja, le tournesol et le sorgho.
1
Les périodes du cycle de développement de ces espèces au cours desquelles la plante est
particulièrement sensible à la sécheresse, ont été mises en évidence par des chercheurs
agronomes. Sont schématisées sur la figure! (6.5), les périodes sensibles et les périodes
J
d'irrigation communément pratiquées en Midi-Pyrénées.
La sensibilité du rendement de ces espèces par rapport au rendement d'un témoin bien
1
irrigué, pour des phases de sécheresse intervenant à différents moments du cycle végétatif.
a également été analysée. Ces périodes critiques sont schématisées sur la figure (6.6)
~
1 Revue Coteaux de Gascogne, No. 79-80 de juillet 1989, "spécial Gestion de l'eau" ..

---

1
Détermination des coefficients d'importance de satisfaction des besoins
121
1
1
1
Mai
Juin
2
2
1
MAIS
SOJA
1
TOURNESOL
l'
SORGHO
_
Période sensible
!Z?m
Période d'irrigation
1 Figure 6.5 : Périodes sensibles et périodes·'d'irrigation des principales cultures en
Midi- Pyrénées
1
Une analyse de la figure (6,6) amène les remarques suivantes: le soja et le tournesol
présentent une longue période sensible (de 40-45 jours), mais avec des risques de perte
de rendement à peu près identiques pendant toute cette durée. Pour le soja, elle com-
mence début floraison et finit lorsque les graines ont environ 10 mm de diamètre dans
les gousses, Pour le tournesol, elle débute au stade bouton floral diamètre 3-4cm et se
poursuit 20 jours après floraison. Par contre le maïs et le sorgho présentent des phases
de très grande sensibilité à la sécheresse (période apex 20cm/floraison femelle pour le
maïs, gonflement/fin floraison pour le sorgho) et des phases de sensibilité moins poussée
~ (période floraison femelle/grain pâteux pour le maïs , fin floraison grain pâteux pour le
sorgho).
De la figure (6.5), il ressort un recoupement des périodes sensibles de toutes les es-
pèces de mi-juillet à mi-août, période au début de laquelle les réserves hydriques des sols
sont bien entamées alors que la demande climatique est maximale pendant la deuxième
quinzaine de juillee
Il est également possible d'établir des courbes de réponse à l'eau de divers végétaux,
représentées sur la figure3 (6.7). Ces courbes, calculées par des chercheurs de l'INRA,
s'interprètent comme suit: si l'on fournit par 75% des besoins en eau à un tournesol, la
perte de rendement sera de 10% par rapport à un tournesol bien alimenté en eau, alors
que pour un maïs alimenté à 75% de ses besoins, la perte de rendement sera de 45%.
Ces courbes révèlent que maïs et soja sont les plantes les plus sensibles à un manque
d'eau, et qu'elles répondent mieux à l'irrigation que le sorgho et le tournesol, plantes plus
tolérantes à la sécheresse.
2Chambre régionale d'agriculture Midi-Pyrénées, CACG, 1989 - Etude climatique des régions pluvi<r
métriques et déficits hydriques de la région Midi-Pyrénées, 200 p.
3Revue Coteaux de Gascogne, No. 79-80 de juillet 1989, "spécial Gestion de l'eau".

---

122
Supervision d'un système d'irrigation
%
%
SORGHO
du ~moin
SOJA
100
.
•
100 ._._____
_
.
_
80
60
40q
, gonflement
fm fJoraison
floraison
1 ère gousse
1ère graine
20
50
70
jours
20
50
100 jours
après levée
après levée
%
%
100
_
100
50
50
apex
floraison
grain
grain
bouton floral
floraison
20 cm
laiteux
pâleux
4cm
50
100
jours
50
90
jours
MAIS
TOURNESOL
Figure 6.6 : Sensibilité à la sécheresse de quelques plantes. Rendement exprimé en % du
rendement d'un témoin bien irrigué pour des phases de sécheresse intervenant à différents
moments du cycle végétatif

---

1
Détermination des coel1icients d'importance de satisfaction des besoins
123.
1
J
Nous donnons ci-après, à. titre illustratif, un exemple de règle pour la sélection du
coefficient d'importance courant des besoins en eau du type de culture j.
Rappelons que 0 ~ nj $ 1 , et que plus nj est grand, plus importante ("impérative")
1
est la satisfaction du type j.
Exemple de règle:
RI
1
• SI SEMAINE COURANTE E [MI-JUIN, FIN-JUIN]
ALORS
1
nMAIS = 0.8
nTOURN. = 0.6
nSOJA = 0.2
1
nSORG. = 0.05
1
• SI SEMAINE COURANTE E [FIN-JUIN, MI-JUILLET]
1
ET
STADE MAIS $
FLORAISON FEMELLE
ALORS
nMAIS = 0.8
nSOJA = 0.6
nTOURN. = 0.1
nSORG. = 0.05
• .sI SEMAINE COURANTE E [MI-JUILLET, MI-AOUT]
ALORS
Prendre nj comme une fonction de la pente des droites
associées à chacune des cultures (Fig. 6.7)
• SI SEMAINE COURANTE E [MI-AOUT, FIN-SEPTEMBRE]
ALORS
nSORG. = 0.8
nSOJA = 0.6
nMAIS = 0.2
nTOURN. = 0.01
Dans R3 , on se situe dans la période de recoupement (Fig. 6.5). Période sensible de
toutes les espèces. En tenant compte des informations de la Figure (6.7), les coefficients
nj
peuvent être choisis sur la base de la réponse à l'eau des différentes cultures.
En ce qui concerne les autres types d'usagers qui ont en général une demande perma.
nente, nI peut être choisi constant. Par exemple, pour l'usage humain (consommation
d'eau potable) on poura prendre nh = 0.9 pour l'usage industriel nI = 0.8.

---

124
Supervision d'un système d'irrigation
% de la pro4uction par rapport
à la production d'une pladrc
bien alimenrk en eau
100 % t.
90 %
g = grain
MST = Matière sèche totale
55 %
(plante entière)
% d'eau consommée par
par rapport à la
consommation d' une
o
plante bien alimenté en
eau
o
75 %
100 %
Figure 6.7 : Réponse à l'eau de quelques végétaux
J
J
J
1
J

---

~'~:~'t.~ :>;;.'··:':;··\\é',:";.~. \\':.:'i;·'';::,'.:,Y'.·'
,•••,;..<- . . . . . .
Détermination des coefficients d'importance de satisfaction des besoins
, 125
r----------\\. Semaine t
1
Evaluation de J'indice
S~Jection de l'indice
de critici~
II( /)
11
tt
1...-__'(_'1(_1)-)-r--_.~_...I
1\\i )
~_o_s_n_;(_I_)S_l__...1
Evaluation de J'indice
Matrice des
Pj
~
-
de priori~
PI
AJ(I) := Pj nj(l)
'1 ~~)
-'
-
~
Calcul des degrés de prioril~ :
Il
rI;(I) = E E "'(II)m·pj)~
pI
1
/EtlEK
t=t+1
CalcuJ des quanlités d'eau
hiveau HEBDOMADAIRE
'!J.
Q
11/0j(/JI
(/).
Q')
'1 os
'1 -
E:',[l/0.(I)1
, - , .
D.i,,"
1
•
Infonnations m~téo
Allocation de quantités d'eau
rj(p)
niveau JOURNALIER
~tennination des
:A
•
•
paramètres
al', =Aj(/)D~I
rj(p)
d~, =[1 - rj(p)ld~j
................
..
~
~
Affectation de débit
~
niveau HORAIRE
6: :: min(6:. 6)
Figure 6.8 : Organigramme de la fonction Supervision

---

---

1
1
Conclusion Générale
Le travail présenté dans ce mémoire rentre dans le cadre général de la conduite c:té'S
grands systèmes distribués dans l'espace, tels que les systèmes d'irrigation, de transport
et de communication.
Dans 'le cas des transferts d'eau (irrigation) le phénomène de transport peut ê: re
~odélisé par les équations de Saint-Venant. _Les principales caractéristiques dynamiques
et statiques des systèmes hydrauliques à surface libre sont:
o fortes non linéarités,
o grands retards,
o phénomènes dissipatifs (amortissement de certaines perturbations).
Devant la complexité des équations de Saint-Venant, un modèle simplifié de SI-
mulation (modèle d'Hayami) a été utilisé. Celui-ci est linéaire et sa mise en oeuvre est
bien plus aisée. Pourtant, il possède un inconvénient majeur: il est incapable de repro-
duire avec fidélité le comportement du phénomène physique réel pour certains régimes de
fonctionnement.
Nous avons amélioré ce modèle en introduisant un mécanisme d'adaptation en
ligne de ses paramètres en fonction de l'état hydraulique courant. Ce mécanisme de ca-
libration relativement aisée, permet alors au modèle ainsi modifié, de reproduire éi-;ec
précision les régimes dynamiques les plus variés tout en conservant un degré de com-
plexité réduit.
L'analyse du problème considéré, nous a permis de distinguer deux niveaux de
gestion pour lesquels nous avons proposé des approches de résolution des problèmes de
décision associés :
o Au niveau de la gestion tactique, nous avons considéré un problème de commande
visant à satisfaire les prédictions à court terme de demande en eau des usagers et un débi:
de consigne à l'aval du système.
Ce problème de commande se singularise par la présence de retards importéints
induits par les temps de transfert de l'eau. Cette particularité nous a conduit à propose:-
un schéma de commande basé sur les techniques de Commande Prédictive.
Dans un premier temps un système élémentaire (bief simple) a été considéré, et une
technique de type commande prédictive généralisée (GPC) s'est révélée efficace pour le
résoudre.
Cependant, dans le cas général un système d'irrigation présente une successlO;:
127

---

128
Conclusion générale
Cependant, dans le cas général un système d'irrigation présente une succession
de biefs en cascade avec des points de prélèvement et de mesure intermédiaires, alors
qu'il n'existe souvent qu'une seule entrée pour gérer ce système à retard. Cn schéma de
commande particulier, basé sur l'inversion du modèle simplifié de transfert d'eau établi
au paravant, nous a permis de traiter ce problème.
On a établi ainsi une loi de commande en boucle ouverte qui, sous l'hypothèse de
périodicité des demandes en eau, peut être complétée par une boucle de correction.
La mise en oeuvre de cet algorithme de commande par simulation numérique, nous a
permis de tester son efficacité.
o
Au niveau de la gestion stratégique, il s'agit de gérer la ressource en eau avec
pour but, d'une part de préserver les réserves disponibles et d'autre part. minimiser les
conséquences d'une évent uelle pénurie.
Nous avons essentiellement mené ici, un travail conceptuel, basé sur les techniques
-de raisonnement qualitatif et des sous-ensembles flous, permettant "d'assister" le niveau
de gestion tactique défini ci-dessus, par l'affectation de consignes sous forme d'allocations
hebdomadaires de quantité d'eau aux usagers.
Nous avons donc développé une approche modulaire, mettant en oeuvre les fonctions
suivantes pour le superviseur du système:
o Reconnaissance de la situation,
o Attribution de priorités aux usagers,
o Allocation de quantités hebdomadaires pour chaque type d'usager,
o Définition de consignes pour le système de commande.
L'approche décrite confére au système de gestion une grande robustesse vis à vis
des aléas liés aux approvisionnements en eau et à sa demande.
Perspectives
Il est apparu au cours de cette étude que l'un des facteurs qui conditionne l'efficacité
des méthodes de l'Automatique pour la conduite des systèmes d'irrigation, est la qualité
des prévisions des besoins en eau à court terme et des approvisionnements à plus long
terme. Il est donc fondamental de développer les outils de prédiction de façon à les rendre
de plus en plus performants.
Un autre point essentiel lié à l'automatisation des systèmes de distribution de l'eau.
est la définition du rôle de l'usager (manifestation de ses besoins et pompages effectifs) et
du niveau de contrainte (limitation, prix? ) qui peut lui être imposé par le système. Ceci
fait appel à des considérations d'ordre politique.
En ce qui concerne la structure de commande proposée dans cette thèse, il semble
intéressant d'essayer d'adapter ces deux niveaux, à l'aide par exemple de techniques de
décomposition-coordination, au cas d'un réseau d'irrigation multi-entrées multi-sorties.

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Annexe A
Estimation paramétrique
Dans cette annexe, nous présentons les propriétés généraux que doivent remplir les al-
gorithmes d'estimation paramétrique utilisés dans un schéma de commande adaptative.
avant de présenter l'algorithme des moindre carrés recursif. Ensuite, des aspects pratiques
et numériques de l'estimateur, liés à l'implantation, seront abordés.
A.1
Propriétés de l'estimateur
Pour assurer la stabilité et la robustesse d'un schéma de commande adaptative. le
système d'adaptation doit satisfaire un certain nombre de conditions [FUC82]
(1) l'estimateur doit reproduire en moyenne, le comportement entrée-sortie du procédé.
(2) les paramètres estimés doivent être bornés,
(3) les paramètres doivent évoluer relativement lentement par rapport à l'état du pro-
cédé,
(4) le modèle estimé doit être admissible en moyenne, par rapport à la loi de commande
considérée.
L'importance de ces propriétées est directement liée à l'utilisation qui en est faite dans
un algorithme de commande adaptative. On peut les considérer comme les conditions
(suffisantes) que doit satisfaire un algorithme d'estimation paramétrique faisant partie
d'une de commande adaptative. Les trois premières propriétées peuvent être assurées par
une large classe d'estimateurs, par contre la dernière n'est pas évident à satisfaire et doit
par conséquent faire l'objet d'une attention particulière par l'utilisateur.
A.2
Structure du modèle
La classe des modèles utilisés dans la synthèse des algorithmes d'estimation est repré-
senté par l'équation suivante:
( 1.l'i
133

---

134
Estimation paramétrique
Ce modèle linéaire, est à la base de la synthèse de la plupart des lois de commandes
linéaires. En théorie d'estimation paramétrique, la structure du modèle c'est-à-dire l'ordre,
le retard, doit être fixé a priori.
Ici, nous ne rentrerons pas dans les détails de l'identification de la structure, qui en
fait constitue un domaine à part entière de l'automatique: l'identification des systèmes.
Simplement, nous faisons remarquer qu'en matière d'évaluation de l'ordre du modèle,
plusieures méthodes existent, on peut distinguer celles qui font appel à une procédure de
test a postéori de la validité d'un modèle identifié ([LJU87]), de celles qui visent à trou \\'er
directement l'ordre du modèle ([AKA69], [STü86]).
Concernant le retard, en pratique, il suffit de connaître une borne inférieure. et
d'augmenter la dimension du polynôme B(q-l) pour prendre en compte sa variation éwn-
tuelle ([DEK81]).
, En résumé, la structure du modèle du procédé est fixée sur la base de l'observation
expérimentale du comportement du procédé.
A.3
Estimateur paramétrique
Le modèle (1.1) du système à estimer peut se mettre sous la forme :
y(k) = eTr.p(k) + v(k)
( 1.2)
où () et cp sont les vecteurs de paramètres et d'observation respectivement:
[al a2 ... anA bo ... bnB ]
[-y(k - 1) - y(k - 2) ... - y(k - nA) u(k - d - 1) ... u(k - d - nB - l)j
A.3.!
Estimateur des moindres carrés
L'estimateur des moindres carrés a pour objectif la minimisation du critère:
( 1.3)
où N est le nombre de mesures disponibles.
Il s'agit de déterminer une estimation du vecteur de paramètre à l'instant t de telle sorte
qu'il minimise la somme des carrés des écarts entre le procédé et le modèle de prédiction
sur un horizon de N mesures.
La valeur de Ô(k) s'obtient en cherchant la valeur qui annule :8~Z)'
Soit:

---

Estimateur paramétrique
135
sous contrainte que l'inverse existe,
En posant,
t
R(k)
LÇ(k)yT(k)
k==t-N
alors,
t
O;v(k) = P(I.:) L
T
y(l.:k (k)
'.. ,.)
k==t-S
La relation (1.5) correspond à l'algorithme des moindres carT~s nor:-:(', .:·'i:'. Li, è- .• W
tion récursi\\'e s'obtient par l'application du lemme d'inversion des mat:':,ec :L.fl"<3:
Ô(k)
Ô(k - 1) + L(k)E(t)
P(k - 1)r.p(k)
L( k)
1 +çT(k)P(k - 1)y(k)
P (k _ 1) _ P (k - l)ç U· )? T ( k) P (k - 1)]
P(k)
( :.C
[
1 +ç(I.')P(k - 1).;(1.')
è(k)
.
'T
y(k) - 0 (k - 1)y(1.·)
L(k) est le \\'ecteur de gain, et P(k) la matrice 01' covariance dt' l'crrcll! d'cs,in,(]t:,,;,
d k) est l'erreur de prédiction à \\ln pas,
L'algorithme précédent ne garantit une estimation non biaisée que si la ~6';'~ence vil.' es'
\\ln brnit blanc.
A.3.2
Estimateur des moindres carrés pondéré
L'équation (l.i) montre que la séquence P(k) est décroissante. cl pétr conSé(;Ilt:'llt :: f':.
est de même de la séquence L(k), ce qui entrai ne lIne diminution du gélin ,i'adétpLl1 iC):1.
Cependant, il est nécéssaire, lorsque l'on désire identifier des paramètres \\'ariables, Le I,e
pacité d'adaptation de l'algorithme doit être préservée an cours dl] temps. Ce-r PI)":' "
but qu'à été introduite la notion de facteu1' d'oubli. Elle consiste simplr:rrwllt C:l lit rr.:',),.
mulatiün du critère de minimisation:

---

136
Estimation paramétrique
t
VN(O)=
L ,\\t-k[Y(k)-OT<p(k)r
(1.7)
k=t-N
où ,\\ est le facteur d'oubli, 0 $ ,\\ $ 1.
A.4
Aspects pratiques de l'identification
Certains problèmes apparaissant au niveau de la mise en oeuvre d'un estimateur ne
sont pas pris en compte par la théorie. Il est alors nécessaire d'agir sur l'estimateur. en
aval et en amont de la procédure d'estimation proprement dite. La Vue d'ensemble de lâ
procédure globale d'estimation (Fig. 1.1), présente ([BORgO]):
• Traitement des données en amont (fitrage et normalisation),
• l'estimateur,
• procédure de tests en aval, qUI a pour but essentiel d'assurer l"admissibilité du
modèle.
Filtrage des signaux d'entrée sortie
Le modèle du procédé (1.1) comprend un terme représentant les perturbations agissant
sur la sortie. Pour le développement théorique de l'estimateur, nous avons supposé que ces
perturbations avaient des propriétés simples et générales. Mais en pratique. on rencontre
plusieurs types de perturbations:
• les perturbations inhérentes au système de contrôle, telles que les bruits de mesure
dus aux capteurs,
• les perturbations engendrées par le type de contrôle, telles que les dynamiques négli-
gées lors du choix de la structure du modèle, ou le repliement dû à l'échantillonnage.
Ces perturbations peuvent engentrer des variations brusques et importantes des para-
mètres, mettant ainsi en cause l'admissibilité du modèle. Si une information sur la nature
de ces perturbations est disponible, elle doit être incorporée dans la structure du modèle.
sinon, un filtrage des signaux d'entré sortie devient nécessaire.
Nous avons considéré, lors de la synthèse des lois de commande, que le modèle des
perturbations était supposé connu. Il sera donc incorporé dans le modèle d'identification.
avec un filtrage adéquat. Finalement, les signaux seront filtrés par:
(1.8)
où C' (q-l) et
F' (q-l) sont des polynômes asymptotiquement stables, choisis tels que
C'(q-l)/F'(q-l) soit un filtre passe bas.

---

Aspects pratiques de j'identification
137
u(t)
y ( t ) _
..........:r
:::
I1'::::::::::"
~-_..__..-__.._-;.--~_.~ _ _-: ~
FILTRAGE
FILTRAGE
NORMALISATION
NORMALISATION
ESTIMATEUR
...
DES
-
PARAMETRES
"
8(t)
Figure 1.1 : Environnement de l'estimateur de paramètres
Normalisation des signaux d'entrée sortie
L'opération de la normalisation est la suivante:
diviser le vecteur d'observation et la mesure à l'instant t par la racine carrée de:
T/(k) = max (<pT(k)<p(k),T/o)
(1. 9)
où T/o > 0 fixe une norme minimale.
La norme peut être filtrée par un premier ordre dont la bande passante contient les
modes dominants du procédé et écarte les dynamiques négligées.
L'expression de T/( k) devient:
T/(k) = JlT/(k - 1) + (1 - Jl)max (<pT(k)<p(k), T/o)
(1.10)
où 0 < Jl ::; 1 définit la bande passante du filtre de normalisation.
D'un point de vue théorique, la normalisation des signaux traités par. l'estimateur a

---

138
Estimation paramétrique
comme conséquence la bornétude des erreurs de modélisation ce qui permet l'obtention
de résultats de convergence et de stabilité, ([EGA79], [PRA84]).
Au point de vue pratique la normalisation améliore le conditionnement numérique et
réduit l'effet des perturbations.
Zone morte
L'utilisation d'une zone morte revient à geler l'estimateur lorsque l'erreur de prédiction
a priori é est inférieure à un certain seuil éo. D'un point de vue pratique, l'importance
d'une zone morte est évidente dans le cas où l'utilisateur connait la variance (J
de la
perturbation (ou une borne supérieure de la variance). En effet, un choix tel que ::0 ~
2(J, permet d'éviter, en régime établi (régulation), d'exciter l'estimateur avec des signaux
npn significatifs de la dynamique du procédé.
Factorisation
Tout au long de l'estimation, la matrice P(k) doit demeure définie positive. En pra-
tique, il se peut que durant de longues estimations, P(k) devienne semi-définie positive
(par propagation d'erreurs d'arrondis). Pour éviter ce problème, la matrice de covariance
est factorée sous la forme [BIE77] :
P(k) == U(k)D(k)UT(k)
où U(k) est une matrice triangulaire supérieure dont les éléments sont égaux à 1. et
D(k) est une matrice diagonale.
A.5
Algorithme d'adaptation paramétrique
Dans cette section, est présentée la version complète de l'estimateur de paramètres.
Les données sont préalablement filtrées et normalisées:
~G'(q-l) y(k)
iit( k)
=
(1.11)
F'(q-l) jTf(k)
~G'(q-l) <p(k)
cpf( k) ==
(1.12)
F'(q-l) jTf(k)
L'actualisation du vecteur paramètre se fait alors de la façon suivante:
Ô(k)
== Ô(k - 1) + L(k)é(k)
P(k - l)CPf(k)
L(k) =
1 + cpJ(k)P(k - 1)<Pf(k)

---

Algorithme d'adaptation paramétrique
139
1 [
) P(k - 1)'PJ(k)Çi)(k)P(k - 1)]
P(k)
(1.:3)
= -
P(k-1 -
a(k)
c+epj(t)P(k-1),,3j(t)
~(t) = i}j(t) - êT(k - l)epj(t)
trace[P(k)]
a( k)
= trace[P(k - 1)]
c
= constante
(1.l4)

---

Annexe B
Analyse de stabilité
B.l
Démonstration du théorème 2.1
Proposition (1)
La démonstration de la proposition (1) du théorème 2.1 est évidente. Il suffit d'écrir,c ~c.;
relations cn boucle fermée à partir du schéma bloc (2.:3) ( forme canonique du cre
Proposition (2)
L'établissement de la proposition (2) est aussi évidente. En effet la seconde équaricJ:, d.
(1) :
-d-l BF P ",Np
+J
y(k) = q
j:J=N.O:'l] q
w(k)
cbf
donne directement le polynôme caractéristique Pcbf (q-l) du svstème bou,l(' de h 51~,:'i;'­
par rapport iL la rdérence soit:
Np
Np
]
o= P
+, (,/-d-l "'....
cbf = 6.A
F + fI-IL QI] 1\\')
(C
{(.fi
1
l...- "1.1
[
J=/'V
)=N,
1
Proposition(3)
Appliquons le tht~orème de la valeur finale à la fonction de transfert en z entre y t'i '.
Soit }'(;:') et IV(;:,) les transformées en z respectives de y(k) et w(k).
Y(z)
BYW(Z-I)
W(z)
Abf ( ;;-1 )
avec
ou
Np
/\\' (;;) = L IÎ' 1J ;;J
J='v)
j ·11

---

142
Analyse de stabilité
et
Soit l'érreur de poursuite définie par é (z ):
é(Z)
'1 ')
\\ _._'
- Par hypothèse AbJ(Z-I) est stable, par conséquent nous pouvons appliquer le théorème
_de la valeur finale. Pour UI~e consigne en échelon, nous avons :
Or
11(1)]J(1)~(1)I«1)
Np
L Qljl1(1)]J(1)~(1)
(2Ai
j=N)
et
Np
L Qlj ]J(1)~(1)11(1)
j=Ni
La dernière égalité (2.5) est obtenue, en remarquant que, L).(1) = 0 et Rj(1) = ]J(l)F(l '.
ceci d'après la première équation diophantine (2.12), (cf. ??) :
En reportant les relations (2.4) et (2.5) dans (2.3), il vient que:
(2.6 )

---

Démonstration du théorème 2.1
143
Proposition (4).
Soit A( q-l) et Ë( q-l) les polynômes augmentés définit comme:
A(q-l),B(q-l)
B(q-l),B(q-l)
ou
m
,B(q-l) = II(l - Oiq-l)
i=l
avec Qi scalaires arbitraires et m entier positif m ~ 1.
Pour le système nominal A(q-l) et B( q-l), les équations Diophantines utilisées di':.n5
le développement du prédicteur sont:
PF
=
E j AGt1 + q-j Rj
(') .,.)
_.1
BGE·
F Hj + q-(j-d) K j
(~S)
J
Pour le système augmenté, les équations Diophantines à considérer sont :
PF
= Ej AGt1 + q-jRj
ËGËj = F fIj + q-(j-d) Rj
D'autre part, l'expression de l'équation caractéristique de la boucle fermée du systè:ne
augmenté est :
(2.:11
Aussi, pour prouver (4), il est suffisant de prouver que l'égalité suivante est vraie.
Np
Np
"Np
'[R' _ tl.JB -d
""'
.}v. _
""'
.}:?
+ L.Jj=Ni OlJ J
J
q
L..J
(2. :2)
OlJ
\\ J -
L..J OlJ
\\ J
At1
j=Nj
j=Ni
.
En soustraillant l'équation (2.10) de l'équation (2.8), et en tenant compte des esp:-es-
sions et, nous obtenons:
(')_ . ~.. 3'1
La soustraction de l'équation (2.7) à l'équation (2.8), donne:
(')_. 14'·
~

---

144
Analyse de stabilité
En reportant (2.13) et (2.14), il vient que:
Finalement, prémultiplions les deux membres de l'équation précédente par
QI)
et
appliquons la sommation sur j, j = {Nj , • •• , Np}, alors :
En développant (2.16), on retrouve l'égalité (2.12).
(c.q.f.d)
\\l \\l \\;7
B.2
Démonstration du corollaire 2.1
Considérons l'identi té polynômiale (deuxième équation Diophantine) :
BGEj = F Hj + q-U-d) K j
(? --
_. - 1
Multiplions l'équation précédente par A~ on obtient alors:
A~BGEj = A~[FHj + q-U-d) K j ]
(2.l8)
En remarquant que (première équation Diophantine) :
alors, l'équation (2.18) a pour expression:
(2.: 9
considérons l'équation caractéristique du système bouclé:
Np
]
Np
o= ~A F + q-l j~i Qlj K j + q-d-l j~i Qlj RjB
(2.20,
[
En reportant l'expression (2.19) dans l'équation (2.20) on obtient:
0= !lA [F + q-' ;~, "1; K;] +q-'-' ;~, ",;';FPB - q-'-' ;~, ",;A!l[<fFH; + q'Ki
(2.21 i
Après développement et simplification, il vient que:

---

Démonstration du corollaire 2.1
145
o= F { Ail + q-'-I J~. c'Ii qJ[BP - AIlHJ]}
i??2)
(c.q.f.d Î
'7 V \\;7

---

---

Annexe C
Modélisation des phénomènes de transfert
d'eau
- .
C.l
Fonction de transfert d'un hief
Nous allons déterminer l'expression de la fonction de transfert d'un bief simple. par la
méthode de la transformation de Laplace, à partir de l'équation d'Hayami.
Soit l'équation décrivant le modèle d'Hayami :
B2Q
BQ + e BQ _ E
= 0
(3.1 )
Bt
Bx
Bx2
Avec, les conditions initiale et aux limites:
Q(x,O) = Qo
Q(O, t)
Appliquons la transformation de Laplace à l'équation différentielle (3.1).
BQ
B2Q
TU [BQ + e
_ E
] = TL[O] = 0
(3.2)
Bt
Bx
Bx2
Compte tenue des propriétées suivantes de la transformée de Laplace :
BQ]
foo
BQ
B foo
B
TL [Bx
= la
exp(-pt)Bx dt =
Bxlo
exp(-pt)Q(x,t)dt =
BxTL[Q]
2
TL [B Q] = ~TL[Q]2
Bx2
Bx2
ITL[.] désignant l'opérateur de la transformation de Laplace
2Remarque: a8r et ~ permutent avec fooo car x et t sont indépendants
147

---

148
Modélisation des phénomènes de transfert d'eau
TL [~~] = p TL[Q] - Q(x,O)
Posons
TL[Q(x,t)] = Q(x,p)
Alors, la relation (3.2) se développe comme:
(0f E) dQ _ (pf E)Q = _ Q(x, 0)
(3.3)
dx
E
Vx > 0
Vt E]O, +oo[
L'equation (3.3) est une équation différentielle ordinaire de second dégré en x. a\\'ec p
çomme paramètre.
L'équation caractéristique relative à l'équation homogène est:
ci - (0fE)o: - (pfE) =0
et a comme sol utions :
0- y'02 + 4Ep
2E
0+ y'e2 +4Ep
2E
Une solution particulière à l'équation non homogène (3.3) est:
Q = Q(x,O)
p
Par conséquent, la forme générale de la solution de (3.3) s'exprime:
-
[
]
]
Q(x,O)
Q(x, p) = A exp O:tX
+ B exp[O:2x +
(3.4 )
p
La solution recherchée doit vérifier les conditions aux limites suivantes:
(1) x=oo
dQ = 0,
:::::::} B = 0
dx
Cette condition traduit les contraintes physiques du système: un amortissement de
l'onde lorsque x croit.
(2) x = 0
Q(O,p) = A + Q(O,O),
==> A = Q(O, p) _ Q(O,O)
p
p
.

---

Solution de l'équation de transport-diffusion
149
D'où la solution:
Or
Q(x,O) = T L[Qo(x, t)]
avec
Qo(x, t) = Q(x, 0) = ete
P
Finalement, il vient que:
e - J02 + 4pE )
T L[Q(x, t) - Qo(x)] = T L[Q(O, t) - Qo] exp (
2E
x
(3.5)
Ainsi, la transformée de Laplace de l'hydrogramme aval moins l'hydrogramme de base
èst égale à la transformée de Laplace de l'nydogramme amont moins l'hydrogramme de
base, multipliée par la fonction F( x,p), fonction de transfert du bief.
F(x,p) = exp [~~ (1-)1+ ~~ p)]
C.2
Solution de l'équation de transport-diffusion
Dans la section précédente, nous avons obtenus la fonction de transfert d'un bief. via
la transformée de Laplace.
Dans cette section, une solution (dans l'espace temporel) à l'équation d'Hayami est
développée, via la transformation inverse de Laplace.
La relation, hydrogramme de sortie et hydrogramme d'entrée dans l'espace de Laplace
est:
Q,,(x,p) = F(x,p) Qe(P)
(.3.6)
Considérons une entrée du type échelon:
Qe(t) = U(t)
Qe(P) = l/p.
Nous recherchons l'expression de la sortie Q,,(x, t) pour cet entrée. Pour ce faire. consi-
dérons la relation (3.6), et remplaçons la fonction F(x,p) par son expression de la section
précédente:

---

150
Modélisation des phénomènes de transfert d'eau
Xe] exp [-7EJP+~] (1
1 )
Q~(x,p) = exp [2E
2)
e
J
2
e2 _
fëï + J
e2
f82
p + 4E
P + 4E
V 4Ë
P + 4E + V4E
exp
_
[:ce]
2Ë
Q(
~ x,p) -
2
Or, les tables donnant la transformée de Laplace inverse de la fonction:
exp [-aJP]
JP(y'P+ b)
est:
exp [b(bt+a)] er!c(bJt+ 2~)
En appliquant cette transformation à l'équation (3.7), il vient que:
1
[Xe]
-
2"fXP 2E
1
[Xe]
+ i exp 2E
Finalement, après développement, on obtient:
Qs(x, t) = ~ [er Je (Xm ) + exp [~] er Je (Xp )]
avec
x - et
X m = -2VE--=E='"Jt--=t
X _ x + et
JI -
2VEJt

---

Solution de l'équation de transport-diffusion
151
l.1
Figure 3.1 : Hydrogramme d'entrée décomposé en somme d'échelons
Ce resultat, traduisant l'hydrogramme de réponse à un échelon, est d'une applicat:on
très large. En effet, on peut décomposer un hydrogramme quelconque d'entrée en L:ne
somme d'échelons (Fig. 3.1).
N
Qe(t) = QO(t) + L:
f3t,U(t - ti)
i=O/t, <t
où U( t - td est la fonction échelon.
Le débit résultant au point aval d'abscisse x s'exprime:
~ f3tj [
e X ]
Qs(X, t) = Q(x, 0) + . L....
2 er fc(Xm ) + exp( Fi") er fc(X
(3.8)
p )
t=O/tt<t
Avec

---

Annexe D
Méthode de calcul des besoins en eau des
plantes
D.I
Prédiction des pompages
Les principales perturbations sur le débit sont induites par le pompage de l'eau né-
cessaire à l'iirigation des cultures. Aussi, pour obtenir des performances acceptables de
l'algorithme de commande face aux variations de ces irrigations, il est nécessaire, du fait
des retards important du système, de prévoir les pompages correspondants à partir de
données sur les causes de ces modifications d'irrigation.
L'irrigation d'une plante dépend essentiellement de l'état hydrique du sol, des besoins
en eau de la culture et de l'apport extérieur. Connaître les besoins en eau d'une culture.
revient à faire un bilan appelé bilan hydrique.
D.l.1
Principe de calcul du bilan hydrique
Faire un bilan hydrique, c'est faire une comptabilité toute simple. ~"lais au lieu de
travailler avec des françs, on travaille avec des millimètres d'eau, sur un compte que l'on
appelle déficit hydrique du sol. Le calcul conduit à une valeur du déficit, à une date
donnée, qui permet à l'irrigant de tirer des conclusions pour la conduite de son arrosage.
Les éléments à "comptabiliser" sont les suivants:
(1) La valeur du compte à l'initialisation du calcul:
• si le sol est saturé, le déficit est nul et la valeur du compte est 0,
• si l'on fait débuter le calcul après une période sèche, le sol sera en déficit par
rapport à son état de saturation et le déficit initial sera positif.
(2) Les éléments qui augmentent le déficit:
• la consommation en eau par la culture (transpiration),
• l'évaporation qui se produit à la surface du sol (évaporation).
On
regroupe
transpiration
et
évaporation
sous
le
vocabulaire
d'évapotranspiration.
153

---

154
Méthode de calcul des besoins en eau des plantes
(3) Les élements qui diminuent le déficit:
• la partie utile des pluies naturelles, c'est-à-dire la partie qui pénètre dans
le sol et y reste (il faut donc estimer le ruissellement et é\\'entuellement l'eau
drainée),
• les apports faits par l'irrigation.
Deux de ces éléments sont facilement connus par l'irrigant : la pluie naturelle. qu ïl peut
mesurer avec un pluviomètre installé sur son exploitation et les apports de l'irrigation.
Le déficit du sol au départ du calcul n'est très aisé à déterminer: le plus simple es: de
commencer le bilan hydrique à une époque où l'on peut considérer que le sol est saL:ré.
c'est-à-dire dans la plupart des cas, au printemps, en avril ou mai après une pér:ode
pluvieuse ayant apportée 40 à 50 millimètres.
Il reste à déterminer ia consommation' en eau de l'ensemble (sol + plante) ap-
pelée évapotranspiration. Cette consommation est déterminée par le calcul de la
ETM (l'évapotranspiration maximale) représentant la consommation de la plante sous
l'hypothèse d'une alimentation en eau suffisate. Ce paramètre ET~l est obtenu par
l'intermédiare d'une donnée météorologique: l'évapotranspiration potentielle (ETP' ex-
primée en millimètre de hauteur d'eau et qui constitue une consommation de référence
dépendant uniquement des conditions climatiques et qui, par conséquent peut être dé:er-
miné quotidiennement à partir des observations météorologiques.
La consommation d'une culture se détermine alors à partir de cette ETP en la mul-
tipliant par un coefficient K connu appellé coefficient cultural, qui dépend du stade
végétatif de la culture.
Une fois connus les cinq éléments du calcul (déficit, pluies naturelles, doses d'irrigatior.
apportées, ETP, coefficient cultural K), le bilan hydrique consiste à faire, jour par jour.
le calcul suivant :
déficit du jour i = déficit du jour i-1 + consommation du jour i (KxETP)
- pluie du
jour i - irrigation du jour i.
D.1.2
Quel enseignement tirer de l'établissement d'un bilan
hydrique
Le calcul du bilan hydrique conduit à la connaissance du déficit en eau du sol. pa.
rapport à l'état de saturation. Ce déficit est à comparer aux réserves facilement utilisables
(RFU) du sol lorsqu'il est saturé.
Si le déficit est proche de la RFU et si la culture est à un stade où une bonne ali-
mentation en eau conditionne étroitement le rendement, l'irrigation doit débuter ou être
pourSUIVIe.
Il faut donc que l'irrigant connaisse la RFU de ces sols ou de ces parcelles. Ce n'est
pas une donnée très facile à déterminer: elle dépend de la profondeur du sol, de sa texture
(composition granulométrique), de la densité du chevelu racinaire, etc.
.

---

1
Prédiction des pompages
155
L'irrigation est alors calculer de manière à garantir la consommation de la plante
quelles que soient les conditions climatiques. Grâce à cette irrigation le déficit hydrique
du sol ne doit pas dépasser le niveau de la RFU.

---