présentée à
pour oùtenir le grade de
DOCTEUR DE 3èllle CYCLE
.Matlll)llIiJli'lUCS appliquées»
MIZERE
tJCll~
ANAL YSE D'UN CUBE DE
DECOMPOSITION TENSORIELLE
ET
LIENS ~NTRE
PROCEDURES DE COMPARAISQN DE TABLEAUX
RECTANGULAIRES DE DONNEES.
Thèse soutenue le 17 Juin 1981
devant la commission d'examen.
J.
B. BARBA
Pré~idclIl
G. DROUET D'AUBIGNY
Y. ESCOUFIEA
EXlllninlllcurs
G. ROMIEH
Il. VAN 'CUTSEM

"LE CALCUL t·1ATRICIEL
ad usum statisticorum
J. P. BENZECR 1
(l'analyse des données - 2)
NZUNZA
KIE551
(MIZERE DOMINIQUE)
né le 17 JUILLET 1952 à KANGAMBUNZU (Rep. du Zaïre)
;ja t. Congo lai se

UNIVERSITE SCIENTIFIQUE ET MEDICÀLË DE GRENOBLE
Monsieur Gabriel CAU
Président
Monsieur Joseph
KLEIN
Vice-Président
MEMBRES DU CORPS ENSEIGNAIH DE L'U.S.M.G.
PROFESSEURS TITULAIRES
MM.
AMBLARD Pierre
Clinique de dermatologie
ARNAUD Paul
Chimie
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I.S.N_
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Physique approfondie
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Electrochimie
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BARBIER Jean-Claude
Physique expérimentale
BARBIER Reynold
Géologie appliquée
BARJON Robert
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Statistiqlles
BARRIE Joseph
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BEAUDOING André
Clinique de pédiatrie et puériculture
BELORIZKY Elie
Physique
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Mathématiques pures
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BERTRANDIAS Françoise
Mathé'Twtiqucs pures
MM.
BERTRANDIAS Jean-Palll
Mathématiques pures
BEZES Henri
Clinique chirurgicale et traumatologie
BLAMBERT Maurice
Mathématiques pures
SOLUET Louis
InformatiqucJ (LU.T. BI
BONNET Jean-Louis
Clinique ophtalmologie
BONNET-EYMARfJ Joseph
Clinique hépato-gastro-entérologie
Mme
BONNIER Marie-Jeanne
Chimie générale
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BOUCHE R LE André
Chimie et toxicologie
BOUCHEZ Robert
Physique nucléaire
BOUSSARD Jean-Claude
Mathématiques appliquées
BOUTET DE MONVEL Louis
Mathématiqlles pu l'es
BRAVARD Yves
Géographie
CABANEL Guy
Clinique rhumatologique ct hydrologique
CALAS François
Anatomie
CARUER Georges
Biologie végétale
CAR RAZ Gilbelt
Biologie animale et pharmacodynamie
.. -1 ...

2
MM.
CAU Gabriel
Médecine légale et toxicologie
CAUOU IS Georges
Chimie organique
CHABAUTY Claude
Mathématiques pures
CHARACHON Robert
Clinique ot-rhino-Iaryngologique
CHATEAU Robert
Clinique de neurologie
CHIBON Pierre
Biologie animale
COEUR André
Pharmacie chimique et chimie analytique
COUDERC Pierre
Anatomie pathologique
DE8ELMAS Jacques
Géologie générale
DEGRANGE Charles
Zoologie
DELORMAS Pierre
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DEPORTES Charles
Chimie minérale
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Métallurgie
DODU Jacques
Mécanique appliquée (I.U.T. 1)
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DREYFUS Bernard
Thermodynamique
DUCROS Pierre
Cristallographie
FONTAINE Jean-Marc
Mathématiques pures
GAGNAIRE Didier
Chimie physique
GALVANI Octave
Mathématiques pures
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Analyse numérique
GAVEND Michel
Pharmacologie
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Electroradiologie
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GERMAIN Jean-Pierre
Mécanique
GIRAUD Pierre
Géologie
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Géographie
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Physique générale
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Mathématiques pures
KOSZU L Jean- Louis
Mathématiques pures
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Mécanique
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Thermodynamique
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Biologie végétale
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Physique
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Biochimie pharma~eutique
LAURENT Pierre
Mathématiques appl iquées
LEDRU Jean
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.../...

3
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LliBOUTRY
Louis
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Physique
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ROUGEMONT Jacques
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1)
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Zoologie
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.../...

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Physiologie animale
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Physique (I.U.T. 1)
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Physique (I.U.T. 1)
.../...

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habilitée à être directeur de thèse)
BERNARD Pierre
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CHAMPETI ER Jean
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Géo\\lraphie
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COLIN DE VERDIERE Yves
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CONTAMIN Charles
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Radioloyie
.../...

6
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Mécanique (I.U.T. 1)
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Automatique (I.U.T. 1)
PARAME LLE Bernard
Pneumologie
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Analyse (I.U_T. D) (Personnalité étrangère
habilitée à être directeur de thèse)
PEFFEN René
Métallurgie (I.U.T. 1)
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Géophysique-glaciologie
PHELIP Xavier
Rhumatologie
RACHALL Michel
Médecine interne
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Gynécologie et obstétrique
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Pédiatrie
RAPHAE L Bernard
SlOmatologie
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Bactériologie (pharmacie)
MM.
ROBERT Jean-Bernard
Chimie-physique
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Mathématiques (l.U, T. B) (Personnalité étrangère
habilitée à être directeur de thèse)
SAKAROVITCH Michel
Mathématiques appliquées
:../...

7
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SCHAERER René
Cancérologie
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SEIGLE-MURA.NDI Françoise
Crytogamie
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STOEIlNER Pierre
Anatomie pathologie
STUTZ Pierre
Mécanique
VROUSOS Constantin
Radiologie
MAITRES DE CONFERENCES ASSOCIES
MM . . DEVINE Roderick
Spectro Physique
KANEKO Akira
Mathématiques pures
JOHNSON Thomas
Mathématiques appliquées
RAY Tuhina
Physique
MAITRE DE CONFERENCES DELEGUE
M.,
ROCHAT Jacques
Hygiène et hydrologie (pharmnciel
Fait à Saint Martin d'Hères, novembre 1977

INSTITUT NATIONAL POL YTECHNlàuE DE GRENOBLE
Année universitaire 1979-1980
Président
M_ Philippe TRAYNARD
Vice-Présidents
M. Georges LESPINARD
M. René PAUTHENET
PROFESSEURS DES UNIVERSITES
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ANCEAU François
Informatique fondamentale et appliquée
BENOIT Jean
Radioéléctricité
BESSON Jean
Chimie Minérale
BLiMAN Samuel
Electronique
BLOCH Daniel
Physique du Solide - Cristallographie
BOIS Philippe
Mécanique
BONNETAIN Lucien
Génie Chimique
BONNIER Etienne
Métallurgie
BOUVARD Maurice
Génie Mécanique
BRISSONNEAU Pierre
Physique des Matériaux
BUYLE-BODIN Maurice
Electronique
CHARTIER Germain
Electronique
CHERADAME Hervé
Chimie Physique Macromoléculaires
Mme
CHERUY Arlette
Automatique
MM_
CHIAVERINA Jean
Biologie, Biochimie, Agronomie
COHEN Joseph
Electronique
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Electronique
DURAND Francis
Métallurgie
DURAND Jean-Louis
Physique Nucléaire et Corpusculaire
FE L1CI Noël
Electrotechnique
FOULARD Claude
Automatique
GUYOT Pierre
Métallurgie Physique
IVANES Marcel
Electrotechnique
JOUBERT Jean-Claude
Physique du Soline - Cristallographie
LACOUME Jean-Louis
Géographie - Trai tement du Signal
LANCIA Roland
Electronique - Automatique
LESIEUR Marcel
Mécanique
LESPINARD Georges
Mécanique
LONGEQUEUE Jean-Pierre
Physique Nucléaire Corpusculaire
MOREAU René
Mécanique
MORET Roger
Physique Nudéaire Corpusculaire
PARIAUD Jean-Charles
Chimie - Physique
PAUTHENET René
Physique du Solide - Cristallographie
PERRET René
Automatique
-../...

2
MM.
PER RET Robert
Electrotechnique
PIAU Jean·Michel
Mécanique
PIERRARD Jean·Marie
Mécanique
POLOUJADOFF Michel
Electrotechnique
POU POT Christian
Electronique - Automatique
RAMEAU Jean-Jacques
Chimie
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Chimie Appliquée et des matériaux
ROBE RT François
Analyse numérique
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Electrotechnique
Mme
SAUCI ER Gabrielle
Informatique fondamentale et appliquée
M.
SOHM Jean-Claude
Chimie • Physique
Mme
SCHLENKER Claire
Physique du Solide - Cristallographie
MM.
TRAYNARD Philippe
Chimie - Physique
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Intormatique fondamentale et appliquée
ZADWORNY François
Electronique
CHERCHEURS DU C.N.R.S. (Directeur et Maitre de Recherche)
M.
FRUCHART Robert
Directeur de Recherche
MM.
ANSARA Ibrahïm
Maitre de Recherche
BRONOEL Guy
Maitre de Recherche
CARRE René
Martre de Recherche
DAVID René
Maître de Recherche
DRIOLE Jean
Maitre de Recherche
KAMARINOS Georges
Martre de Recherche
KLEITZ Michel
Maitre de Recherche
LANDAU loan-Doré
Maitre de Recherche
MERMET Jean
Martre de Recherche
MUNI ER Jacques
Martre de Recherche
Personnalités IuIbilitées à diriger des travaux da recherche (décision du Conseil Scientifique)
E.N.S.E.E.G.
MM.
ALLI BERT Michel
BERNARD Claude
CAILLET Marcel
Mme
CHA TI LLON Catherine
MM.
COULON Michel
HAMMOU Abdelkader
JOUD Jean-Charles
RAVAINE Denis
SAINFORT
C.E.N.G.
.../ ...

3
MM.
SARRAZIN Pierre
SOUGUET Jean·Louis
TOUZAIN Philippe
URBAIN Georges
Laboratoire des Ultra·Réfractaires ODEILLO
E.N.S.M.E.E.
MM.
BlSCONDI Michel
BOOS Jean·Yves
GU 1LHOT Bernard
KOBI LANSKI André
LALAUZE René
LANCELOT Françis
LE COZE Jean
LESBATS Pierre
SOUSTELLE Michel
THEVENOT François
THOMAS Gérard
TRAN MINH Canh
DRIVER Julian
RIEU Jean
E.N.S.E.R.G.
MM.
BOREL Joseph
CHEHIKIAN Alain
VIKTOROVITCH Pierre
E.N.S.I.E.G.
MM.
BORNARD Guy
DESCHIZEAUX Pierre
GLANGEAUD François
JAUSSAUD Pierre
Mme
JOURDAIN Geneviève
MM.
LEJEUNE Gérard
PERARD Jacques
E.N.S.H.G.
M.
DELHAYE Jean·Marc
E.N.S.I.M.A.G.
MM.
COURTIN Jacques
LATOMBE Jean·Claude
LUCAS Michel
VERDILLON André

Je suis très reconnaissant à Monsieur
Gérard DROUET d'Aubigny, Maitre Assistant à l'Université de Grenoble
d'avoir lIir'igé ces travaux lie recherche et accepté lI'être membre lIu
Jury.
La persévérance lIans le travail plus la chaleur humaine font de lui
une personna lité hors lIu connnun.
Mes "emerci ements vont auss i à Mess i eur's
BARRA J.R. professeur a l'Université de Grenoble qui a bien voulu
accepter d'être le Président du Jury
ESCOUFIER Y. professeur à l'Université lie Montpellier lI'avoir accepté
d'être membre du Jury
IW~lIm G. professeur a l 'Ulliversité lie Gr'enoble d'avoir accepté d'être
membre du Jury
VAN CUTSEM professeur a l'Université lie Grenoble d'avoir accepté lI'être
membre du Jury
Pour la réal isation de ce travai l, je remercie J. TRINQUART pour son
aide en infonnatique, le service de reprographie de l' 1.R.H.A, et le
service de dactylographie à qui je dois la présentation.
A ma famille et amis je dis
"Matondo Hin9j "

pagt
- 1ntroduc ti on
- Notations
CII/lr 1mE 1 : Bases al gébri ques
§ (1.1)
L'espace Euclidien Mp,n (m) : le schéma de dualité
1.1.1.
Matrice et application linêaire
1.1.2.
Formes bilinéaires et Espace Euclidien
1.1.3.
Formes linéaires - .dualité et transposition
1.1.4.
Trace d'une matl"ice - l'espace Eucl idien
Hp,n (Il) : le schéma de dualité
§ (1. 2)
L'espace Euclidien E Il F : introduction au probléme du

choix de métrique
1.2. I.
Le produit tensoriel
1. 2.2.
Décomposition directe - tenseurs associés à une
application linéaire
1. 2.3.
Produit tensoriel de plusieurs espaces vectoriels
1. 2.4.
L'espace Euclidien FilE: le choix de métrique
CIIAP ITRE Il : /Ina lyse des tenseurs d'ordre deux
§ (11.1)
§ (11.2)
.>
facteur K
facteur 1
facteur J

§ (11.3) '"
Analyses inter-strates
42
2.3.1.
Analyse inter-strates k et i
2.3.2 .... Remarque sur les analyses inter strates j
CHAPITRE III : Analyse des tenseurs d'ordre trois
- Introduction générale
'19
Partie A : Les développements Mathématiques
SI
§ (A.l)
Analyse des différences
KIJ
§ (A.2)
Analyse du tenseur x
élément de (G ~ F) ~ E
Ana lyse du
nuage global N = UN (k)
xKIJ
§ (A. 3)
Analyse du tenseur x
élément de G G (F G E)
Comparai son
des tab 1eaux'Xk (k €
K)
1KJ
§ (A.4) '"
Analyse du tenseur x
élément de F ~ (G !l E)
Métriques
intra et métriques inter
Partie B : L'analyse statistique
65
§ (B.l) ... Analyse des différences et analyse du nuage global
B.l.l.
Analyse des différences
8.1.2 .... Analyse du nuage global
B. 1. 3. . .. Prob1éme du choi x de 1a métrique Mdans E
k
§ (B.2)
Analyse du nuage des tableaux X (kEK) : le choix des métriques
§ (B.3)
Description des liaisons entre m paquets de variables
l'analyse canonique généralisée
Partie C : Analyse des référentiels: décomposition d'un tenseur
7'
§ (C.l) ... Analyse du référentiel dérivant de l 'ACP du tenseur xKIJ de
(G li F)'~ E
C.l.l.
Int~oduction
C.1.2.
A~~lyse et décomposition tensorielle
,C.l.3.
~as particulier 00 les ensembles I,J et K jouent des
rôles symétriques
§ I(C. 2) :. :>'Ana lyse du, référenti el déri nnt de l'ACP du tenseur xKIJ de
k
G G(F ~ E) : reconstitution des strates X de données.
CHAPITRE IV'~ Applications
§ (4.1) ... Un tableau rectangulaire de données est un cube spécifique
4.1.1.
Introduction
4.1. 2.
Cube de données et analyses
4.1.3.
Analyse du nuage des représentants des catégories
4.1.4.
Fibrage

§ (4.2) ... Le problème des rotations procrustes où la recherche d'une
li
métrique inter
4.2.1.
Position du problème et formulation des hypothèses
ma théma tiques
4.2.1. (a)
Formalisation traditionnelle du problème
4.2.1. (b) .. , La nouvelle approche où la recherche de la métrique
inter
k
4.2.2 . . ,. Comparaison des tableaux X solution des rotations
procrustes
4.2.3.
Analyse des différences ou résiduelle
4.2.4.
Indicateur de liaison entre deux nuages de points
§ (4.3) ... Comparaison avec d'autres procédures
12'
4.3.1.
L'approche de Jaffrenou
4.3.2.
L'approche d'Escoufier
4.3.3.
Les métriques relationnelles de Schektman
- Exemple pratique
- Annexe
16:
- Bibliographie
16'

,1.
INTHO DU CI'ION
l.e développement des techniques d'analyse d'un cube de données
s'est heurté Jusqu'à présent à l'inadaptatlon du calcul matriciel au problème
rencontré.
Ainsi J.P.
13ENZECRI écrivait-il dans
"critique du calcul matrlclel"
([21, pp.50) : dès qu'on s'avance dans des applications du calcul tensoriel
(e.g .
.'1 la géométrie,
la mécanique et la physique) les conventions du calcul
matriciel sont dépassées par la complexlt.é des êtres mathématiques que l'on
rencontre.
Mals
les notations du calcul matriciel Impuissantes a-t-on dit,
à représenter les tenseurs d'ordre supérieurs à deux ne suffisent llIêlne pas à
exprimer complètelnent les propriétés du tenseur d'ordre deux".
L'Inadaptation du langage matriciel a engendré des méthodes d'analyse Incom-
piètes,
aussi notre travail se propose t-ll d'utiliser le forlllalisme tensoriel
pour rendre compte des techniques existantes,
ainsi présentées COlllme des
prolongements naturels des techniques usuelles d'Analyse des llinnées. Cette
présentation permet de définir une notion de dualité généralisée et de mettre
en évidence le l'ole prédominant du choix des métriques dans l'analyse d'un
cube de données.
l.es bases algébriques développées dans
le CJ-JAPlTIΠ1 permettent
de 'nontrer les liens existants entre une présentation matricielle et une présen-
·tatlon tensorielle.
L'extension au cas d'un tenseur d'ordre trois nécessaire
à l'étude d'un cube de données,
permet de situer notre travall par rapport à
celui de ]Art'flENOU [211] •
Au CHAPITRE Il, on définit le cube de données comme une fonc-
3
tlon
x
déf ln te sur le produit cartés le n
X
I
à valeurs dans
II
et
h
h= 1
représentée par un tableau à trois Indices.
Conventionnellement les éléments
de
I
sont respectivement pour
h = l ,2,3
appe lés des indlv Idus, des va-
h
riables et des Juges et Jouent des l'OIes symétflques suivant Je mode de

.2.
stratification du cube qui conduit usuellement le statisticien à réduire le pro-
blème à celui de l'étude d'un tableau rectangulaire de données. Ainsi le
formalisme qu'on développe ici montre que les procédures utilisées notamment
par CARROL [la], TUCKER [42], ESCOUFIER [18]. BOUROCHE [8]
et
L' HER MIER DES PLANTES [28]
conduisent à une perte d'information.
Nous montrons de plus que le mode de stratification. interprété
comme une application de la propriété universelle permet de définir un fibrage
spécifique des espaces vectorieis réels
El
' E
0E
• E
0 (E
0E )
de
2
l
2
3
1
dime;nsion finie qui permet la construction de nuages de points dont les élé-
ments sont des représentants d'éléments de
I
(h = 1,2 ,3)
. Nous généralisons
h
ainsi au cas des tenseurs d'ordre trois l'interprétation géométrique usuelle de
la dualité. L'anaiyse; de ces nuages permet de construire des résumés du cube
des données. Ainsi donc. par le biais des tenseurs d'ordre deux. les nuages
de points construits dans
E
(h = 1 2 3)
h
.
font l'objet d'une analyse et d'une
1
1
interprétation statistique dans les termes usuels,
lorsque la dualité qui carac-
térise "vecteur-individus" et "vecteur-variables" dans un tenseur d'ordre deux
est étendue aux "tenseur - individus" et "vecteur -variables" ou bien aux
"vecteur -individus" et "tenseur -variables" dans un tenseur d'ordre trois.
Cette extension peut alors être prolongée très naturellement aux tenseurs d'or-
dre supérieur fi trois au prix d'un accroissement combinatoire du nombre de
modes de stratification possibles.
L'importance du choix d'une métrique guidant l'analyse est déga-
gée au CHAPITRE III.
Nous montrons en particulier le n'lIe du mode de centrage
d'un cube de données.
De plus,
la définit Ion d'une métrique à effet relation-
nel au sens de SCIIEKTMAN· [37]
et CROQUETTE [11]
apparaft comme un cas
particulier non identifiable au choix usuel d'un produit tensoriel (ou de
Kronecker) de deux métriques, bien qu'elle définisse aussi de façon naturelle
une structure en bloc.
Nous montrons dans Je CHAPITRE IV que l'analyse d'un tenseur
d'ordre deux est équivalente à l'analyse d'un tenseur d'ordre trois sous forme
disjonctive complète. lorsque l'on fait choix d'une métrique induite par le

codage des varIables,
suivant les terllles de C.
DROUET d'AUBIGNY [121,
montrant ainsi le statut respectif de l'Analyse en Composantes Principales et
l'Analysc; Factorielle des Correspondances Multiples.
I:nftn nous donnons une présentation nouvelle du problème des
rotations procrustes, en tant qu'analyse d'un tenseur d'ordre quatre caracté-
rIsé par lin choix pertillent de métrIques.
Nous montrons que ce choix est
fortement lié à la déflnllton d'Indices de liaIsons entre tableaux de données
quI caractérlsent Jes procédures de compara lson de tableaux de données.
I\\lnsl les procédures d' ESCOUI'IEIl, de L'llEllMlEll DES PlANTES, de JI\\FFlŒNOU
et de SCIlEKTMAN apparaIssent comme autant de cas particullers caractérisés
par un choIx de métriques.
Dans cette dernIère partie,
nous donnons de plus, un exernple pratique d'ap-
p llcatlon qui présente l'Intérêt de montrer l' i rnportance du mode de centrage.

r
.;J.
Lm (F;E) ... L'ensemble des applications linéaires dc l'espace vectoriel
réel F dans l'espace vectoriel réel E
M
(rR) ... L'enscmble des matrices réelles à p 1ignes et n colonnes
p.n
L
(FxE; m) ... L'ensemble des fonncs bilinéaires sur FxE
2
dim (E) ... Dimension de E
1JI ... Cardinal de J
~ (resp i) .,. Un vecteur de E (resp E isomorphe à mlJI )
~ ... Un tenseur de F ~ E
"-
Tl' (A) ... Trace de A
det (A)
Détermi nant de A
produit scolaire
uans l'espace Euclidien (E.M)
t M ... transpo~ée de M
A = ID Ai ... A est la partition des ensembles A
i
~W ... L'orthogonal de W
E = IDEn ••• E est so"~e directe des sous espaces vectoriels En
6jj'~ f ...
0
Symbole de Kronecker
Cos (~.~)
,
Cosinus de l'angle entre les vecteurs u et v de (E ,M)
Cov (X .Y)
covariance
entre 1
Cor (X.Y)
lettres minuscules ... cOITélation
~npirique
variabl
X et Y
Var (X)
variance
de la
variabl
u (X) ...
écart types
1
... Matrice identité d'ordre p
p
lm (x)
Image de l'application linéaire x
Ker (x)
Noyau"

CHAPITRE 1
!JASES ALGEBRIQUES

.9.
Introduction
E et Fêtant deux espaces vectoriels réels de dimension finie.
On se propose de monU-er dans ce chapitl'e que les espaces vectoriels réels
de dimension finie:
""
(~) des matrices ~ p lignes et n colonnes
p.n
E ~ F produit tensoriel de E et de F
peuvent être munis de structures E~clidiennes ~ partir desquelles est
introduit le "schéma de dualité" car.actérisant un tableau de données X
(élément de H
. (m) ) "individus x caractèl"es".
p.n
.
Par un choix de métriques. on construit entre ces deux espaces une isométriE
qui permettra dans les chapitres suivant d'identifier tahleau de données X
et tenseur ~ (correspondant) pour leur analyse.
§ (1.1) ... L'espace Euclidien Mf}-'~: le schéma de dualité
On considère deux espaces vectoriels réels E et F de dimension finie
respective p et n. munis des bases respectives:
(~j /j~l ..... pl et (fi /i~l •...• nl.Mp.n(m).L IR (F;E)
l'espace vectoriel des applications linéaires de F dans!: et LZ(F x E;ffi)
l'espace vectoriel des formes bil inéaires sur F x E.
1.1.1. Matrice et application linéaire
Définition et propriété 1
"La matri'c~ M(x:~ti).(~:j) ) associé~ ~ toute application linéaire
x de L m(F;E) a ppur colonnes les vecteurs)/images par x des vecteurs (fi)
dans la base (~.j)\\de E : M~x\\·(!.il'(~j)J ~ [x(fl). .... x(fi) ..... x(fi\\)1
'-.
.
Théorème 1 1341
' "./
~'".
./;:-'
-?- .
"L m(F;!:) et ~1
(m) sont deux espaces vectoriels isomorphes"
11\\
p.n
soit E.. un élément de M
(m) tel que
1 J
P ,n
;
0
o
o
E•. ~
o
o
1J
o
0
dont tous les éléments sont nuls. sauf celui situé à l'intersection de la
,ème l'
l
l,ème
J
19ne et de
a
colonne qui vaut 1.
Théoréme Z [34)
1 ..... pl constitue la base canonique de H
(fR)
p.n

.10.
M
(fR) et M
(m) sont deux espaces vectoriels isomorphes de dimension
p,n
n,p
pn."
1.1.2 Formes bilinéaires et Espaces Euclidiens
Théoréme 3 ([27] pp 342)
"A toute fonne bilinéaire m définie sur F x E, on peut associer la matrice
M= [mUJ définie par mU = m(f, '~j)'
L'application de L2(F xE; m) dans M
(fR) qui à m fait correspondre
_ _ p,n
sa matrice Mest un isomorphisme d'espace vectoriel et pour tout couple
(,:,.!!) ~ F x E nous avons: m(,:,.!!) = t!!M,:, = tvtMu ".
m(f . ,e .) es t appelé terme générigue de M.
-, - J
En particulier lorsque nous aurons E=F nous dirons simplement que m est une
forme bilinéaire sur E.
Lemme 1 ([26] pp 51)
"Une forme bilinéaire m sur E est symétrique si ,et seulement, si sa matrice
Mest symétrique.
Définition 4 ([26J pp 64)
«Un espace vectoriel Euclidien E est un espace vectoriel de dimension fin
sur rn muni d'une forme bilinéaire symétrique m dont la forme quadratique
associée est définie positive.»
Dans ce cas la forme m sera dite symétrique définie positive.
Sa matrice associée Mest souvent appelée métrique.
m(!!.,:,) = <!!'':'>M définit un produit scalaire .
•!(j1j!) = I!!\\M une norme Euclidienne
et I!!-,:,I Mune distance Euclidienne
L'espace Euclidien ainsi défini est caractérisé par le couple (E,M).

· i 1.
1.1.3 l'onnes linéaires - Dual i té et t,"ansposltion
On note E* l'ensemble Lm (E; m) des formes linéaires sur E,E*estle dual
al~ébrique de [ et E"" bidual de [.
Théorème 5
cc - dim [ ~ dim ["
-_les p formes linéaires e"j (j~I."p) sur [ telles que e"j (e,,)~'.I~,
-J
J
fonnent une base de ["
avec 6~, le symbole de Kronecker;'>
- -
J
Coro 11 aire
cc Toute forme linéaire y de [" s'écrit dans la base (~"j)
y~r. y(e.:)e"j>->--
-
j
-J-
~reuve triviale.
Théorème 6
cc L'application de [ x [" dans rn qui à tout coupîe (~,~*) fait corr'espondl
~.. (~) est une forme bil inéaire canonique notée <. J .. > »
Tl1éorême 7 [34]
ccl. 'appl ication canonique de E da!lS ["." qlli à tout élément ~ fai t correspon(
UA" tel que <!;!* I~**>:;;<~J~*>· est un isomorphisme d1espace vectoriel.»
Par suite on identifiera ~ et ["~~
Théorème et définition Il
cc Soit x un élément de L!il (F;[). On appelle transposée de x l'application
de E* dans F* qui à tout élément y de [* fait correspondre yox.
C:-est :;;;- application linéaïre notée' t / et définie par:
(V~éF)
k
(VYeE ) c~,tx(y»
~ cx(~),y> »
Propriétés 2
cc 1 - Xe L m (F; E)
t
" "
-=<,
xéL miE ;F )
t
t
t
2 -
(XI ox ) ~
x
2
2 o
xI
3 - t( t x ) ~ x
Théorème 8
POlir tout xeL m (F;E)
nous avons M (tx ; (~"j), (f"i))
t l1 (x; (f l' ), (e.'
-
- ] '
Théorème 9 ([261pp 69)
cc Pour tout espace Euclidien ([,H), la fonction 'P, qui associe à tout vecU
u de [ la fonne linéaire '~">H~ E* est un isomOlThisllle d'espace
vectoriel. »

.12.
Puisque 'l'(~j) = r op(e.) (e.,)e*j'
(corollaire du théoréme 5) .
. ,
- J
-J
-
On montre facile~ent que la matrice associée à op dans les bases
(e.) et (e*j')
est f·l
- J
-
1.1.4 Trace d'une matrice - l'Espace Euclidien M
~
p.n
Introduction au schéma de dualité
Définition 5
<c
Soit A = (a .. ,) une matrice carrée d'ordre p. On appelle trace de
- - - - _ ~J.
E
A la somme de ses elements d,agonaux i . e : Tl' (A) = .a
. »
jj
J
Propriétés 3
l - Tl' (A) = Tl' (tA)
2 - Tl' (AB) = Tl' (BA)
3 - Tl' (tAA ) = Tl' (AtA) = .~, (a
,)2
jj
4 - Tl' ().(A+B)) =À (Tr(l\\) iJTr(B)) ÀE
rn
Propo~!.ion l
c< Soient (E.M) et (F.N) deux espaces Euclidiens tels que N soit diagonale.
Soient x et y d;;;-é1éments de L rn(F *; E) de l1atrices associées respectives
X et Y.
L 'app1 ication,: t
M
(fR)xM
(m)
)1Tl
p.n
p.n
(X.Y)
> Tl' (XNtYM)
est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
Elle confére à M
( m) la structure d'espace Euclidien.»
p.n
On note respectivement le produit scalaire et la norme Euc1 idienne.
«X,Y »N.r~ = t (x.y)
Il Xll • = (t(x.y))1/2
N M
Démonstration
La bilinéarité est triviale
Symétrie
t(X,Y) = Tr(XNtYM) = Tr(t(XNtYM)) = Tl' (MYNtX)
= Tr(YNtXM) = t(Y.M)
t est définie positive
En effet nous avons :
X = r~(x;(!i).(~j)) = [x(f"l) .... x(f*n)
f i i .
l i n
y = M(y;(~
),(~J)) = [Y(f" ),oo.y(f* ),oo.y(f h
posons pour tout élément i de J n J : (J n J = (1,2, ...• n})
. = X(f oi )
~,
-.
Yi = y(fll')

.13.
N z[ n
.] avec nii ,=0 pour I;<i'
1i
nous avons les ,'elations
XNty
[
t
i ni i ~ i
Yi
Tr(XNtYH) = [< x .• y.>
M
i
-1
1 nii
X;< 0 ~~3 io n n]tel que (~i "Q)"=~ (I~i ln . . M >0)
o
0
1010
La stl'icte
t(X .X) =~ [
i
r'ésulte de ce que pour tou t
" i o' on a
1 ~i 1 n .. M ~
0
11
C.Q.F.D.
Le schéma de dualité ([32]. pp 197-190)
j
S01ent (<Ji/ii] n ] ) un ensemble d'objets et X
(jn p] )
observés surew'i}
"
::"[""::'1 "l' <l- jéme liglle avec x~1
1
'"ème
colonne
est le tableau des données "individus x caractères".
j
A wi "eperé sur les p caractères X
(jE ]P] ) sont associés
le vecteur
i
~i = f; ~(X )~i
dans E
J
l'axe
~ fi
dans
F =
Œ~ f.
i -
1
x~ est la coordonnée du vecteur ~j par rapilort à la base fi
x
!i 1
-i
~
La fotïne li néa 1re
f·i dans F: x~ = f·i(~j)
j
à X mesuré sur les n C!t>jietsw
(iE ]n]) sont associés
i

· 14.
le vecteur
~j= r. Xj(wi)f. dans F
l
l'axe
~ej dans E = œ ~ ej
j -
x~ est la coordonnée du vecteur ~i par rapport à la base ~j
La forme li néa i re
e* j ·
j
dans E
,x i
toutes ces considérations traduisent la dualité existant entre les objets
wi (i=l..n) et les caractères Xj(j=l..p).
Soit m (resp n) l 'i~omorphisme canonique de E dans E*(resp F dans FO) de
matrices respectives M et N. La matrice XNtXM, associée à l'endomorphisme
xonotxom pennet de traiter simultanément lignes et colonnes du tableau X qu
nous avons interprétées en termes de dualité, ainsi appe11e-t-on schéma de
dualité le diagranUlle commutatif associé à xonotxom.
X
1.E
§ (1.2) L'espace Euclidien E MF: introduction au pt'oblème du choix des
métriques
1.2.1. Le produit tensoriel
Etant donné
(~ {l:À~'~ (~,~) À~,~Ern
l
x F) =
.".:~,
(~,~)€
•• ,f P'"
, • •,.b•• fi.i d. f,l. r
E x F
l •es pace vectol'i el réel des combi na i sons li néa ires formelles des éléments
de l'ensemble E x F, soit H le sous-espace de
rn(ExF) engendré par les
éléments de l a forme :
(~'~I+~e)-(~'~I)-(~'~l) ; (~~,~)-~(~,~)
(~1+~2'~)-(~1 '~)-(~2'~) ;(~,{J~)-{J (~,ll)

· i5.
qui annulent toute application bilinéairè défi~ie surE x F el ~ valeur
dans un espace vectoriel réel quelconque L de uimension finie.
Définition 1
«On appelle produit tensoriel de E et F, noté [MF, l'espace quotient
nl(ExF)/1I l1Iu"i de l 'application bili~aire--
~
E x F -------. EM f
(~,~) ------. ~(~,~)
~(~,~) noté u H ~ est appelé prouuit tensoriel de u et de v-.
Proposition et définition 2151
: La propriété universelle
«Soit (E Il F,.p) un produit tensoriel. l'our toute application bilinéaire
h définie sur E x F A valeur dans L, il existe une application linéaire
unique f de E ~ F dans L telle que:
il = f 0 ~
On dit que E Il f ~ ~ sont un ensemble et une application universels
associés A E x F. >.
Le di agrallJne sui vant es t COIIUIIU ta tif
~
ExF

[MF
i1~/
L
Ce t te propri été uni verse 11 e es t sou ven t exprimée sous 1a fonne
<"L
(E x F;L) est isomorphe A Lm (E ~ F;L»'>
2
1.2.2. Décomposition directe et tenseur associé A une application linéaire
Proposition 2 ([ 21] pp 16)
«Soient E =~ ). -!Ù.. F =lI>. FI'
deux sommes directes de familles de sous-
espaces vectoriels respecti/s de E et F, alors E Cl F = (l)
(l'ÀMFI')>>
Corollaire 1 ([5], pp 10
ÀII
«
Si F admet une base (f ), tuut élément de E ~ F s'écrit de façon unique
-i
sous 1a forme
LU. Il
f.
où U.f E
i -1
-1
-1
»
Corollaire 2 ([5], pp Il)
«
___
Si (~J') est une base de E et (fI') une base de F, les éléments e·
Hf.
- J
-1
for'ment une base de E Il F. Nous avons dim (E
Cl F) = dim (E). dim (F). »

.16.
Proposition 3 (r5] pp 15)
«
Le produit tensoriel [* ~ F* des duals de E et F est isomorphe au dual
de E ~ F ; on définit un isomorphisme de E* ~ F* sur (E '11 F)* en faisant
correspondre li tout produit tensoriel ~* Il ~* la forme linéaire x sur
E ~
F définie par:
»
Par suite nous identifierons E* ~ F* et (E~ F)
Proposition 4 ([5], pp 46)
«
L'application linéaire qui à tout tenseur ~~0~ fait correspondre
l'application linéaire:
est un isomorphisme de : F*~E dans L rn(F;E)
Rema rg ue (Greub r 21 ] pp 38)
«
On note ~* Il ~ l'élément de L rR (F;E) aSSOC1e au tenseur V*II ~ de
F* Œ E défini par : (~* Il ~) (~) = <~,~*>~
Soit x un élément de L rn (F;E) et ~
~Vi!i
1
Ev.x(f.) = Ef*i(v)x(f.)
. 1
-1
.
-
-1
1
1
l:<V, f*i> x(f.)
.
-
-
-1
1
Il lui correspond donc dans F* ID E le tenseur
x = ~ti Il x(!i)
-
1
Si dans la proposition ci-dessus on remplace F* par
F**
F. on a
l' i somorph i sme
L m(F*;E) ....
-+ F fi E
x
x = 1: f. IIX (t i )
.-1
-
1
~i pour tout i=l,2, ... n.
~~lication linéaire
f. Il x. : F* -------+ E
-1
-1
t* ------;. t*.x.
-
1-1
généralise l'opérateur coordonné.

.17.
l'lmage de F* par:
- fi 8 ~i est un axe détenniné par ~i
- (fi 8 ~i)~i eNeE. N de cardlnal fini
est une famille d'axes. associés aux élements de N
- ( (fi ~ ~i)~it'N)k (1.2 •.. n)
est un ensemble de n familles d'axes.
Cette image constitue un fibrage de E (voir figure 1.1. la notion de fibrage
sera définie au chapitre suivant).
On identifie le tenseur
fi Il ~i
à l'application linéaire
f
~ x. de l m(F A ;E) de matrice
-i
-1
M(fi
(J.ki).(e.) ) = '"O •.. O.x .•O....O]
associée
llJ
~i;
-J
~
-~-
-
ième
èlément
Nous avons par exemple
I~(l:(f.llx.);(f*i).e.) = [~1 •...• ~1.••••• ~nl
i -1 -1
-
-J
-E
b.. 1/.
-
J
.f.!]. 1.1
1.2.3. Produit tensoriel de plusieurs espaces vectoriels
Si en plus des espaces vectoriels E et F on considère l'espace vectoriel
réel G de dimension finie muni d'une base igk/ke ]m:l)

Proposition 5 ([8] pp 28)
«
Il existe un isomorphisme unique de E 0 F 0 G dans (E0F)0 G défini par
- - - - - - - - 4 1
(E 0 F) 0G
~~-........ (~ 0 ~) 0~
pour tout (!:!,~,~kExFxG »
Preuve
Cette proposition est une application de la propriété universelle en
considérant le dia!]ramme commutatif suivant
ExFxG
_ _ _
<p _ _...
E0F0G
(E0F) 0G
où h est une application trilinéaire définie comme suit
A tout élément x de L rn(G*;F0E) correspond dans G0(F0E) le tenseur
X=l:9k'0X(g*k)
- k
puisque x (g*k) est un tenseur de F0E, il lui correspond une application
k
1:
k
*i
linéaire x de L m(F*;E) telle que x(g*k) = if i BX (f
)
= xk
xk est le tenseur d'ordre deux associé au tenseur x d'ordre trois
alors x s'écrit
x = 1: ~ ~Xkijgk~(fi~~j)
k,1 ,J
notons I,J et K les ensembles de variations respectives des indices i,j,
k. Toute confusion entr"e tenseurs d'ordres deux ou trois sera évitée en
KIJ
kIJ
k
notant x
le tenseur x et x
le tenseur x .
'\\,
'\\,
On utilisera tout au long de ce travail l'une ou l'autre notation du
tenseur associé à une application linéaire.

1.2A. ~~~ce Euclidien F ~ E ; le choix de mélrl~
La matrice H = (m(f .lIe ,f.,lIe.,) associée à une forme bilinéaire m sur
-1 - j -1
-J
F ~ E muni de la base (f.lle ./ie/}se décompose natUl'ellL1l1ent en blocs.
-1
- J Je J
JeJ
M.. ,= (m(f.lle.,f.,lIe.,) )., J
11
-1 -J -1
-J
J e
Chaque bloc M
, est la matrice d'une fonne bilinéaire définie sllr
ii
(::fiIlE) x (~fi,IIE)
où" fi est l'axe passant par l'origine, de vecteur directeur fi on a
FilE = ~(::fiIlE)
1
Les métriques ~lii,peuvent être cboisies à priori dans les sous-espaces de
contraintes ':fiME (ie 1) (engendrés par la base [fi"~/jçJ) définis par
SClIEKTMIlN 1371 qui propose une métbode de construction des M
, (iti').
ii
Lorsque m est symétrique définie positive,l.es choix-distincts des métriques
M.• , définissent autant de structures Euclidiennesdans\\F M E.
11
. '

. .'
En padiculier, si on pose à priori ill(f.lle.,f.,lIe.,)·O.jJOur i J i'
-1
-J -1
-J
.
r
M a alors une structure bloc diag'o~ale
,i' _,
'. -
: ,
......
'>;;;.
o
M..
1 1
. /'
'\\ ...",,'
...'1
' /
'-~,~-~~~ /'
On retrouve ainsi la forme usuelle de la métrique M utilisêe dans la
E - stratégie développée en analyse canonique généralisée, en analyse des
correspondances multiples et dans l'étude des liaisons globales entre
plusieurs paquets de variables
Un autre type de métrique souvent rencontré en s ta tü tique es t obtenu en
imposant à m, la décomposition suivante
m(f i II~ j' fi' II~JI) = n ( fi' fi' ) . q (~J' '~J 1)
où fi (r"esp q) est une fonne bil inéaire sllr F (resp E)
JeJ
ieI
Q = (q(e.,e.,)). J
,N=(n(f.,f.,».,
-J -J
JE
-1-1
le(
ie 1
M =[ n(fi'f i ,) Q }i'e(
est appelé produit tensoriel (ou de Kronecker) de N et Q et noté NMQ.
(de même m est noté n Il q).

Cette matrice vérifie les propriétés suivantes
Propriété 1231
«
la) (NC>lQr = N IlQ
où Q est l'inverse généralisée de Moore Penrose de Q vérifiant
QQ-Q = Q
2o )t(NC>lQ) = tNC>ltQ
30 ) det (NC>lQ) = (det(N))P.(det(Q))n
»
S 't X
(
)iE!
(
y
(
)iEl)
la matrice associée
01
= xij jEJ
resp
= Yij jEJ
à x (resp y) élément de Lm(F*;E) de tenseur
x = E x.. f ~e.
(resp ~ = E y .. f
) on a les re"sultats sUl'vants
'\\J
i,j'J-;-J
;,jlJ-ia~j
!,~osition 6
« Etant donné (E,Q) et (F,N) deux espaces Euclidiens.
L'.ilrB:I~~~C[éfiniesur (FC>lE) x (FilE) dans IR qui au couple (x,y)
:\\t--Cc;;;~:·\\J""
---.:....-------'~ "" ""
!~\\;f{~i:;:~~~:"::~:::;::"h." '""ti".
1..\\~ c~Dfèr,e
l e
1. FC>lE J,Ja.Pstruc ture d'es pace Euclidien.
~~
'O.
;'??i'
(~_ Rartieul ier ,:",,"'l>~
-t~<;'\\
m(f"~er!l,fi.li'~t~.,,) = <f.,f·'>N.<e.,e">Q
»
-1 --'3=1=-;)
-1
-1
-J -J
Etablissons le résultat suivant avant de démontrer cette proposition.
Lemme fondarnenta l
Preuve
t
Développons «X'Y>~,Q=T~(XN yQ)
jEJ
(E y.,.,<e."e'>Q)'
j' 1 J
- J
- J
lE[
(Ex .. ",E <f.,f·'>N
~,Yl"J"<~J"'~J'>Q)J~~EJJ
i lJ
i' -1 -1
J

.21.
l: E
l: l: x
,y
< f . , f. ,>
i,i' j,j' ij
i'j' -1 -1
N
t
Tr(XN VQ);<~'~>N~Q . C.Q.F.M.
Démons tra t i un de l a propos i t i on 6
N est diagonalisable en N ; sots
ou S est une matrice orthogonale et D une matrice diagonale définie positive.
Aussi a-t-on
«X, V" N,Q; Tr(XN t VQ );Tr{ (XS) O(ts t v)QI
;Trl (XS)ot(VS)QI
;«X' •V' »O.Q
avec
X' ;X5
V';VS
e~ d'après la proposition 1§ (1.1) «X' ,X'''o,Q" est positif stl"ictemcnt pour
X f 0 c'est a dire pour
X f 0 puisque S f O. Donc «X ,X"N.Q est strictement positif.
Ce qui entraine que n m q est définie positivc:
."
la symétrie est triviale. C.Q.F.M.
Ilemarques
1) Nous effectuuns dans F le changemcnt de hase substituant, a la hase (fil
celle formée par les
ve~teurs propres de N.
2) l'importance de la métrique NtolQ est montrée dans le leulne fondamental qui,
on le verra, établit une
"équivalence" entre un nuage d'éléments
de Mp,n( m) et son image dans FME. Cette propriété n'est pas vérifiée par
les métriques introduites plus haut.


CHAPITRE: II
ANALYSE DES TENSEURS D'ORDRE DEUX


§ (11.1) Natures des données
dêfinltions et notations
2.1.1. Le cube de données
Selon le type de données que l'on étudie, on s'intéresse à trois
ensembles finis:
1 de cardinal n. J de cardinal p et K de cardinal m.
En psychométrie PM" exemple, 1 représente généralement un ensemble
d'individus (personnes interrogés, testées etc 00')' J un ensemble de
stimulis (tests psychologiques, excitation, etc ... ) et K un ensemble de
sujets (juges, périodes, eXllél'Ïences etc" 00)' [n Sociométrie 1 et K
peuvent représenter deux groupes de personnes (garçons et filles d'une
même classe etc ... ) et J un ensemble de caractéristiques mesurant
l 'é ta t dea )"a ppor ts soc 1aux en tre ces deux groupes.
En analyse de variance, pour le plan factoriel d'ordre deux avec répé-
titions dans lequel et pour chaque case, les traitements sont ùffectués
sur les mêmes unités expérimentales formant l'ensemble l, J et K repré-
sentant les ensembles des traitements associés respectivement à l'un et
l'autre facteur.
Dans les séries chl'onologiques multidimensionnelles, d'un phénomène ~Jc 1
(économique, social etc ... ), plusieurs meSUl"es jEJ sont enregistrées
(production et vente d'un produit de conso~oation etc ... ) à chaque
instant teT (date, intervalles de temps I"éguliers etc. 00)'
Ddns ce texte nous adopterons la terminologie suivante:
1 représente l'ensemble des irldividus, J l'ensemble des val"iables et K
l'ensemble des juges.
Définition 1 121
cc On appelle cube de données la fonction x.
x : 1 x K x J ---~l> rH
(i,k,j)
__ x (i,k,j)
»
le tableau)(
( ( ' k .))iE!
Xl, ,J
kt K à trois indices qui lui est associé sera
jt J
aussi appelé cube de données . Sa représentation ~raphique donne
J
K
fig. 2.1

.26.
! ,J et K pouvant ne pas avoir le même cardinal, on devrait plutôt parler
d'un parallélépipède de données au lieu de la terminologie consacrée de
cube de données.
La fonction x peut revêtir plusieurs natures différentes: mesures réelles,
fréquences (absolues ou relatives), nombre binaire etc ...
On peut citer plusieurs exemples dont voici cinq:
Exemp le
Dans le plan factoriel d'ordre deux avec répétitions, x représente la
variable réponse des unités expérimentales if! aux traitements jfJ et kfK.
Exemple 2[ 141
En analyse des préférences, étant donné U=! x 1 un ensemble d'unités
statistiques où ! est un ensemble d'objets à comparer, V un ensemble de
valeurs réelles mesurant des degrés de préférence et K un ensemble de sujets
émettant des jugements de préférence sur les objets i et i'.
Le protocole expérimental P définit le cube de données :
P : U x K x V·~ {O,Il
((i,i'),k,V),
k
le juge k exprime sa
préférence pour i compar
Lp(i,il)(V)
à i' par la valeur v
o Sinon
Exemple 3
j
«
Etant donné un ques t i on na ire regroupa nt p v'a ri ab l es qua l itat ives x
(de k. modalités chacune) à l 'intension de n individus if!.
J .
.
Notons C~={ifl/X~(i)=qk;kfJkjJ}
la ca~égorie des individus associés à la
m~dalité qk de XJ qk est le code de C~.
j
CJ l' ensemb le des catégori es induites sur l par la vari ab le X et K =~cj.
On définit le cube x de données comme suit
t
x : !xKxJ -----'t {O;l}
s1 ifC~
(i,k,j) ------~ x(i ,k,j) =
a
sinon
Les C~ ne sont pas forcément égaux, et on prendra les qk tous distincts
(cf paragraphe § (IV.I)).
»

.27 .
Exem~
«
Pour cOIIII)a rel' 1a producti v Hé d'un cel' ta i n nombre d'en trepl'i ses id
dilns des secteurs d'activités cOllvnun jEJ et sur la machine de type LET.
la fonction x
x : 1 x T x J --~--)
[N'
(i .t.j)
xli .t.j) définit le nombre de
pièces fabdquées par ouvrier sur la machine de type t.
Exemple 5
«
Oans les senes chronologiques multidimensionnelles. à chaque instant
ttT.Xt=(X~•..•x{.:.,X~) représente une variable de composante les p
Illesures réelles X~ (jE J) enregistl"ées sur n objets \\.1: 1 d'un phénomène
naturel donné.
On définit le cube x de données co~ne suit
x : l x T x J
- - - )
(Il
(w, t ,j)
- - - - )
x(w.t.j)
x{(w)
2.1.2. Stratification du cube
Soient Eh (resp I ) (h=I,2,3) l'un quelconque des espaces vectoriels
h
(resp ensembles) E,F et G (resp 1. J et K) et :
i h
ll=(x( i h ,i h .i l
))i. ll1e I
0: 1 l
l
' d
d
"
d"f"
1
2
)3
1
....• e CUlle
e
onne",s
e HilS
1
2
'JE 13
sur 11 x 1
x 1 ,
2
3
Si l'on note (~h}
une base de Eh on construit à partir de II le tenseur
élément de E ME ME
I
2
3
EjMEZME] peut être considél'é grâce à la propriété universelle conuue le
1 1 1
produit tensoriel EIM(E2~E3)' Par conséquent x 1 2 3 peut s'écrire
11I~134: ~ ~
('
.
' )
(
)
X
1
1
1
X 1 h .1 h ,1 h
!ih ~ ~h lIl~h
hl h
11
1
2
3
1
2
3
2
3
X
"-
oü x est él ément de l IR (E· 1 iE2~(3)

.28.
D'après les rèsultats du paragraphe (1.2) du tenseur ~ d'ordre trois, est
associé le tenseur d'ordre deux.
xi h =X(e* hl)
'V
1
-
i
(*h)
=.[~h0xhl~ 2
'h
2
2
i h 1 1
2 3
=x
1
où xi hl est élément de Lrn(E *;E )·
2
3
On pose donc la définition:
Définition 2
«
Etant donné un cube x.défini sur Ilxl xl , ~ppelle strate (i
),
2
3
h
::',';'1')i:~
i ',ppli coh '" '::':::[" :::: ::hL
:.td::,,''''
1
2
1
2
3
1
d
h
3
)')
3
Le tableau )(i h1 à deux indices sera aussi appelé strate i h
On dira dans ce cas que l'on a stratifié le cube )( suivant 1le facteur
(~u sens analyse de variance) ~,
)('h
a pour graphique le rectangle
1
13
fig, 2.2
en faisant varier i
dans
h
I l ' on constate que la stratification traduit
un découpage de )( en 1des strates parallèles suivant facteur l ,
1
fig. 2.3

·29.
On peut citer plusieurs exemples selon la nature des ensembles li .12 ,h
et des espaces vectoriels 1'1 ,E z et E J'
1er cas: [1 ;J,I ;K,lJ ;I.~ ;['EtG et S;F
l
«
Dans l'exemple (3) ci-<.Iessus, on ~jfinit la strate zj élément de
.
k. L
j
k
l(G
';F} de matrice
ZJ;(x(i ,j .k}} il' 1
R
.
avec G ;lDGJ et dim (Gj};k.J
Les tableaux zj (fJ) disjonctifs complets pennettent d'étudier les liaisons
de dépendance entre les val"Ïables X] (i J) prises deux à deux, à l'aide des
techniques d'analyse des correspondances (cf § (IV.l).
2éme cas: li;K.h;I,h;J,E);E,Ez;F et b;G
k
«
L'appl ication 1inéail'e x
de L IR (l" ;E) <.le matrice:
Xk ( (k '
') }ieI
; x
.1.J
jf J
avec
X(k,i,j};kxj(i)
kX i est une mesure réelle sur 1 associée à <.Iifférentes expériences kf K et
k
<.Iâfinit la strate k des tableaux X
(kl'K).
On Ileut étudier les liaisons globales entl'e les variables de différentes
expériences, à l'aide des techniques <.l'analyses canoniques généralisées.
mais aussi diffêrentes notions "d'équivalence" entre ces tableaux, dont
le problème des "rotations procruste7~' offre ~11;,exemple Ilarticulier
3ème cas : 11;1.lz"K,I);J,El;F,EFG·~t b"E
«
Dans les sèries chronolog.i'ques mu1limehs·ù?nne.):les',.l'app1icalion 1 inéaire
y i de L IR (G" ;E) de matrice a~sociée
X(w.t.j);xj(w,t)
j
est la réalisation de la "fonction aléatoire" X (. ,tJ}.
La tl'ajectoire "'=i définit la strate i; pour laquelle Xj(i ,t) est une mesure
réelle jl'J enregistrée à la date tfT sur l'objet if 1.

.30.
2.1.3. Interprétation géométrique de la stratification
le fibrage
Soit a un élément de E*. L'image de E par ~ est notée:
Définition 3 [15J
«
Vaé IR, on appelle fibre a(OU courbe de niveau a) l'ensemble
Remargues
- ao~Ker(~)
la courbe de niveau a associée à un élément a de E* est une droite
- soit u (u. )jeJ un élément de E. e_*j définit-dans E le fibrage
-0
JO
/ a ~ (!id/ !!*j (_l_!i) ~a}
ujo
associé à l'axe
6e., les vecteurs !i,' solution du systéme
- J
e*l (1
u.) ~a'
-
-
-,
,
u10
e*j( 1
U.)~a.
-
- - -,
,
ujo

â. (. 1
- ~
:x .. .q'
~
:x: " i'
..-i/
.-7
1\\ ,
,~
17 ./~
e..-
\\ :~v
'X.,~
~ x.....À :t~~j X""j
..~
:X,,'i'
Fig. 2.4 Fibrage dans E
Les points situés sur une même fibre ont le même score par rapport li la
variable j de représentant ~ej'
Dans FilE on construit les fibres :
.i
*j
ak=(~/f 1iI~ (,Lt)=xijkJ(kêK) associées aux axes ~fi~~j
Ce même cube ~ pennet de construire dans FllE des tenseurs ~k solutions du
système

.32.
~ &-~' (i)e.~'
fig 2.5 : Fibrage dans F~E
Dans F~F~E on construit les fibres
*i
*k
*j
associés aux axes
ak={~ f &9 &~ (~)=xikj)
1
-:fiI!l9k&~j
A l'aide du cube * on peut construire un tenseur ~k.
Solution du système:
*1
*k
*1
k
f &9 ?~ (~)=xlk1
*i
*k
*j
k
f &9 ~~
(~)=xikj
*n
*k' *p
k
f &9 I!l~ (~)=xnkp
et "plo09é" dans le sous-espace vectoriel
F~gk~E de F~G~E=~(F~gk~E)
=F~(t(-:gkIlE) )

·33.
~-----
fig 2.6
Fibrage dans F0G0E
Remal'gues :
1) La structure des tenseurs xk(keK) sera étudiée au paragraphe (4.2.2)
'1.
2) On aboutit à des représentations géométriques sémblables lorsqu'on
considère la stratification de cube X selon le facteur
et J.
§ (11.2) Analyse des strates
Définitions et notations
2.2. 1. . RB ppe l s
On considère trois espaces Euclidiens (E,M),(F,N) et (G,Q) munis
de leurs bases canoniques respectives {e.ljeJJ. {[ilid] et {9klkeK].

_
1J I .
III
-~
1KI
E es t 1somorphe a m . F a m
et G a Ol
soit N;{x. JI if I]un nuage de
-1
n points dan
Définition 1 [321
«Le triplet (N,E,M) est une image Euclidienne du couple (I.d ) s'il
l
existe une application f de 1 dans E vérifiant:
1- f ( 1);N
2- dI(i,i');lf(i)-f(i')I M
~ dl est une distance Euclirliellne sur 1.
»

.34.
Défi niti on 2 1 321
«
Deux images Euclidiennes (N ,E ,M ) et (N ,E ,M ) de (l,dl) sont dites
J
1 1
2 2 2 -
équivalentes s'il existe une application bijective f de N dans N vérifian
1
2
f(x iJ)_f(x i IJ)I
=1 xiJ_ xi 'JI '
1
-
-
Mz -
-
Mi»
En conséquence, les analyses des nuages de points NI et Nz donnent
exactement les mémes résultats, puisque f est une isométrie de NI dans Nz.
2.2.2 Analyse du cube par stratification selon le facteur K
Dans ce paragraphe nous mettons en évidence les nuages des points
kIJ
que l'analyse du tenseur x
de FNE associé ~ l'élément xk de lm (F*;E)
permet de décrire :
kIJ
(k . ')f
x
=.l:.x
,1,J -il!l~j
1,J
=~fillxk(f*i)
1
Le vecteur k~iJ=xk(f*ij(iEI)
est le i(éme) vecteur colonne de la
matricexk=M(xk;(f*i)'(~j~obtenu par stratification selon K.
Pae sUitek~iJ représente l'individu i dans la strate k.
Notons respectivement :
Nx(k)={(klliJ ,Pi)lid}
kJ
iJ
9x =~PiklS
1
Le nuage de ces individus et son barycentre, lorsque l'individu
est
affecté du poids Pi
p.>o,l:p.=l
1
i 1
9:Jreprésente l'individu moyen repéré dans la strate k.
La transposée de xk a pour matrice :
txk=M(txk;(~*j)'(fi))
La variable j (ou kxj) dans la strate k est représentée par le vecteur
k~jI=txk(~*j) (jEJ)
M (k)={(k~jI ,.!) Ij J}
x
IJ 1
_.
représente le nuage de ces points et kxJ la moyenne empirique de kxj

.35.
L'analyse de la strate k est résumée par le schéma de dualité
k
E ~.
X

La description des nuages de points Nx(k) et Mx(k) se fai t usuellement
en prenant Nk=Dp la métrique diagonale des poids p .. On fait alors
x
1
k
l'Analyse en Composantes principales(A.C.P.) du tableau X Op-centré.
Cette démarche nous conduit à faire IKI=m Analyses en Composantes
principales. l'our lesquelles les métriques r~xk(kEK) pourront ne pas
être choisies identiques. Ce choix dépend de la connaissance de chaque
phénomêne à étudier' et des objecti fs à atteindl'e. SCIIEKTMAN (1371. pp 28)
utilise le tel'me "d'idéologie".
Nous indiquc:rons au chapi tre suivant la façon dont SCIIEKn~N et Croquette
1111 abordent le problème en présentant les "idéologies" possibles POUl"
analyser un tableau cubique.
Ileilla l'Clue l
:
Nous reprenons dans ce paragraphe les notations de SCIIEKTMAN et Croquette.
Soi t J
un vecteur de mn dont les composantes sont toutes égales à l'unité
-n
par suite:
kJ.
iJ
9x =~Pik1!
1
le barycentre des nuages Nx(k) s'écrit aussi
kJ
- '
9
=f. XJ e '
x
j k
- J
oj
X . r
kA =<k- J ,J >p
- n . Jl
k
Proposition et définition 3 : Op-centrage du tableau X
«
les deux propriétés suivantes sont équivalentes:
'.
- j
- \\lJcJ
kX =0
ka
2 - 9)(
=Q
Si l'une des deux pr'opriétés est vérifiêe, on di t que le tableau xk est
Dp-centr·é.
»

Lorsque la 1ère propriété est vérifiée, on dit que les variables kxj(jcJ)
sont centrées et lorsque la 2ème est vérifiée on dit que le nuage des
points N (k) est centré.
-x-----::=..c...~·
Définition 4
j
«
On dit que la variable
X est réduite si
k
O(kxj )=l
»
Remargues
kIJ
Grâce aux relations de dualité § (2.2.5), l'analyse des tenseurs x
et
kJ1
x
donne exactement les mèmes nuages de points, les mêmes schémas de
dualité, donc les mêmes résultats.
Lorsque 1 représente un ensemble de sujets soumis à des tests jeJ â divers
occa sions (temps) ke K. On retrouve 1 1 exemp le tra Hé sous l es noms de
"différences inter-individuelles dans des différences intra-individuelles"
et "différence inter variables dans des différences inter-individuelles"
par A. BUSS (l9J , pp 43-44).
2.2.3. Analyse du cube par stratification selon le facteur 1
( "k")
i(*k)
l:.X l ,
,J 9kll~j=~9kflY 9
k,J
yi est élément de LIR (Gk;E) et le vecteur ilJ=yi(g*k) (keK)
est le k(ème) vecteur colonne de la strate
i
i
*k
Y =M (y ; (9
) , (~j))
le nuage
Ny(i)={(1lJ ,qk) IkeK} des juges
a pour barycentre
le poids qk de k vérifié
1:
qk>o, kqk =1
t yi =M (ty i ; (~* i ) , (gk) )
les vecteurs lyjK=tyi (~ki) (jeJ) forment le nuage des variables
rI (i) ={ ( "yj K,1 )/ je J}
Y
1-
(.J]
-j
i Y es t 1a moyenne cmpi .-i que de i Y •

,37,
L'ilnalyse de la strate 1 est résUlllée pilr schéma de dual Hé.
yi
E-e

Ni
Y
nv; wiYIfN;
tyi
['
.. G
La description des nuages de points N (i) et N (i) se fait usuellement en
y
y
i
prenant N ;[)
la métrique diagonale,des poids qk'
y
q
On fait alors l'A.C,r. du tableilu yl 0q-Centré.
Lo~sque K est un ensemble de périodes (tellll)S, expériences. occasions etc ... :
analyser le nuage de point
Ny{i) revient simplement à décrire l'évolution de la trajectoire i.
La visualisation se faisant dans les plilns factoriels
- M (i) revient à décrire les liaisons entre variables j~J observées aux
y
mêmes instilnts teT sur un méme individu i.
- Un exemple classique est celui des grandeurs
P cOllulle production totale (des biens de consonunation et d'équipement)
C COlline celle des biens de consommation
1 COllille celle des biens d'équipement (égale il l'investissement)
R COIlUlie l es revenus dis tri buës
Lesquelles grandeurs sont observées à chaque période teT dans un pays i.
Ces variables sont liées par des relations affines di tes IlIodéles éconumiqu
de Keynes (cf Nalinvaud 1291 PI) 55. 129)
Lorsque 1 représente un ensemble de sujets soumis à des tests jeJ à divers
occasions keK. on retrouve l'exemple traité par A. BUSS (191. pp 43-44)
sous les nOllls de "différences inter-occasions dans des différences intra-
individuelles" et "différences inter-variables dilns des changements intra~
individuels".

.38.
2.2.4. Analyse du cube par stratification selon le facteur J
j KI
(' k ')
f
j ( *k)
x
\\:iXJ"lgkll_i=~gkllz 9
zj
est élément de LlR(G*;F)
k1
.
k
j~ =zJ(g*) (kéK) est le k(ème) vecteur colonne de la strate
Zj=M (zj ; (g *k) , (f i ) )
notons respectivement
NZ(j)={(j~kl ,qk) 1 kéK}
gjl=l:q
.zkl
z
k k J-
le nuage des juges et son barycentre
tZj=M( tzj; (!*i), (Uk))
iK t '
*i
les vecteurs j~
= zJ(f
) (id) forment le nuage des individus
M (j)={(.ziK,p.)lid}
z
J -
1
de ba rycen t re
jK
iK
9
= l:p. .z
z
i 1 J-
L'analyse de la strate j est résumée par le schéma de dualité
Pour la description des nuages de points Nz(j) et Mz(j) il Y a
lieu d'observer trois cas concernant le choix des métriques.
1er cas
Nj=D ,p.= 1
et MJ' quelconque
z q
lm
z
Alors on fait l'ACP du tableau zj Dq-centré
j
2ème cas
Mj=D ,qk= 1
et N
quelconque
z
p
TRI
z
t
.
Alors on fa it l'ACP du tableau
ZJ D -centré.
p
j
3ème cas
M~ = D et N = D . Alo lS on fait l'ACP du tableau
.
P t ' z
q
ZJ (ou
ZJ) centré en ligne et colonne, i.e. la
transposée tzj du tableau ZJ D -centré est D -centré.
.
q
p
O~ le note ZJ est O~tré. Lorsqu'en particulier
ZJ est un plan d'expérience d'ordre deux (simple)
analyser zj revient dans le cas d'un 0 -0 -centrage
q
p
8 analyser le tableau des résidus.

.39.
Lorsqu'en particulier K est l'ensemble des temps. analyser ie nuage Mz(j)
revient dans le cas d'un 0 - centrage A décrire les liaisons entre
'1
échantillons de la variable j constr'ui ts A partit" des 'individus iE1.
Et dans le cas d'un D - centrage A décrire les individus iEI par rapport
p
â la vill'iable j.
De IIIi,me analyser' le Iluage Nz(j) revient dans lé cas d'un Il - centrage A
q
décrire l'évolution de la variable j obser"vée globalement sur un échantillon
d'individus et dans le cas d'un D
- centrage A décl'ire entre autres les
p
liaisons auto-regressives de cette même variable:
jzt est-il un processus auto-régressif d'ordre un ? i.e
1
.zt=a
t-
(cf PHAr1 DINII TUIIN [331 )
J
/
+l:t
Exell~ : IInalyse de Mz (j)
1) ~ - centrage
Le prix j du produit Illanufacturé i est-il moins explicable par le prix j
de la matière première i' que par celui de la matière première i" ?
2) Qp - centrage
Description de plusieurs denrées agricoles ifl A travers (par exemple)
1eur rendemen t jèJ
[xellll) 1e 2 : IIna lyse de Nz (j)
Evolution du prix j du petrole pratiqué par différe~ts pays llroduc.teurs
it'! pendant la période allant de l'après d~uxième
'.'
guerre mondiale·jusqu'A
'.
nos jours.
,.'
Exemple 3 :La soclomatrlce de Thomas ([ 32J. pp 29'4')-
1 ét K (=1) sont l'ensemble des élèves d'une classe.
Le tableau
j
.
.
kE K
"l =(X(J.k.l))itl
où x(j ,k. i) est la note d'affini té (de 0 il 20) donnée par l'élève k A
l'élève i avec:
x(j.i.i)=20
est appelé sociomatrice de Thomas.
Nz(j) est le nuage des élèves par rapport aux notes qu'ils donnent et
Mz(j) celui par rapport aux notes reçues.

·40.
Exemple 4 : Les phénoménes spatio-temporels
Xj_t(I.J) représente pal' exemple la hauteur des pluies tombées en différents
endr'oits ~ 1 à des pér'iodes te T antérieures à une date je J.
tETj=lO, ... ,jl
pour t fixé
Xj_t(W)
est la réalisation de la trajectoire
Pour les vecteurs
tI
j~
de Nz(j)
leur moyenne dite moyenne temporelle
-t l
/ =:<.J<j-t(w)
est la réal isation de la trajectoire moyenne.
-t
t _ _.-/
~~è~rico~i~tance
~"'~<".."
tI
. (,
~'I
' " .• ~
< . ~

t' 1>
=C (t t 1 )
~
0:9.0
1~
J
j~
0
'
.....
( '
J . , J . ' .
P
Qj
0
es·,t là' <!;onction éJ.'auto-covariance et
~
~c- .. ')I..,,~
~
c3
(l''J
~
~i}
JS
C(t,t) est dite variance temporelle.
'i)/
(/
~
Pour 'J.és vecteuP's
'-"
dite moyenne spatiale et leur
variance.

< .z T., .z'1.>o
J-
J J-
J
q
la variance spatiale
Exemple 5
«
LOI"sque 1 représente un ensemble de sujets soumis à des tests jEJ à dive
occasions ~K. On retrouve l'exemple traité sous les noms de "différences
inter individuelles dans des changements intra-individuelles" et "différenc
inter-occasions dans des différences inter-individuelles" par A. IJUSS ([ 91,
pp 43-44).
»

.41.
2.2.5. Les relations de dualité
l
Les strates X ,\\ d' m (E/.E]) (i he !)) (cf notations du pal'd')rJphe
§ (2.1.2.)) pennettent lI'établir la lIualité1entre individus Wjé.!' juge '1tK
et variable ~J en croisant lignes et colonnes des tableaux x1h qui leur
1
sont associés par les relations :
_
j
)_.j
iJ _
j _cA i
j!
Xk , '-k X (w. -e
(kx
)"W'(kX )-1
(kX
)
1J
1
-
-
1
-
-
_ Zk(
)_ ,k(
iK)_
(
k)_ .• i( zkl)
-.

-(1
.z
"(J • . z
-t
._
J
1
~
J-
1 J
-
J
.
' k )
.
k
. K
~.yJ(w ):e'J(.y • )=w (.yJ)=o* (.yJ )
1
k
-
1
k 1
~
l-
i
c"-i
kl
·i
*k
iK
=.Z (wk)~1
(.z
)=wk(·Z )~(J
(.z
)
J
-
J-
. J
~
J-
qui se traduisent dans l'espace vectoriel Epar l'égalité des vecteurs:
xi J =1: e* j ( xi J ) e .
k-
j-
k-
-J
kJ
=i1
intersection entre les strates
et k (voir fig
2.7) puisque l'on a
respectivement dans G et F :
,yjK~.ziK
1-
J-
Il en résulte que les métri~ues
pennettent l'étude des vecteurs
i K .
k 1
.z
(\\'I),z
(,,-€K)
J-
J-
en faisant intervenir des notions de moyenne, de variance etc ...
J
J-_---l - - st ra te k

.42.
Les tenseurs d'ordre trois aSSOCleS aux applications linéaires de
Lffi(EI*;E2~E3) définissent des relations de dualité issues du croisement
de vecteurs de E] et de tenseurs d'ordre deux de E2SE 3 avec:
(h=l ,2,3)
avec Wi ,k=(wi ,'4<)
~k a~partient à l'espace des juges FSE, ~i à l'espace des individus GSE
et ~J à l'espace des variables GSF.
Les l'elations de dualité définies à partir des tenseurs d'ordre quatre ne
seront pas données, compte tenu du nombre important de produit tensoriel
de quatre espaces vectoriels qu'on peut construire à partir des trois seul
espaces E,F et G.
§ (11.3) Analyses inter-strates
2.3.1. Analyse. inter-strates k
Dans ce paragraphe, on se propose d'analyser le nuage
Nx=((<J~J ,qk) (kEK} "d'individus moyens"
afin de rendre compte des proximités globales existant entre les m
"populations" d'individus, chacune ayant pour représentant le nuage des
points :
de ba rycen t re
kJ -.
iJ
'.lx =~Pi k~
1
Les analyses faites au paragraphe (2.2.2.) ne tenaient pas compte de leur
pos Hi ons.
Lorsque K est un ensemble de périodes, Bouroche (lBI) analyse l'évolution
de ces populations en recherchant notamment les axes d'évolution qui
différencient le mieux possible les nuages de points Nx(k).

.ü.
C'est UII problf'me du type Analyse Factorielle DiscrimInante présenté par
l'auteur carnue une Analyse en Composants Principales de centres de aravités:
soit
G ~N(g ;(,,*k).(e.) où a
est UJI élément de L rn(G*;E) vérifiant pour
x
x
x
~
- J
'"
tout k K
On fome ainsi le nuage des variables
'K
Mx ~((!J~ • __J_) IjE J)
l,) 1
'K t
.
nJ ~ a (e*J)(.U)
~x
x-
j
Ce nuage est centré sur la moyenne Empirique des ax
On effectue alors l'analyse des nuages de points N et Mx résumée par le
x
schéma de dualité
Gx
G*
- - - - - - - -
E
--"-x
JI.=...-.G"
tG
- POUl' analyser les proximités globales entl'e les m nuaaes de points Nx(k).
on prend pour métrirl'leS :
N ~O .H ~r1k Vk K
x
Cl
x
x
k
où M est la métrique IItilisée pour allalyse~' la strate k.
x
On fait alors l'A.C.P. du tableau GO-centré.
x
li
- Pour rechet"cher les axes qui di fi'érencient le mieux possible les m nuages
de points Nx(k), 011 prend pour métriques
_ 1
N =0
M =V
x
q' x
x

.440
où V est la fonne quadratique d'inertie totale classiquement de composée
x
en somme de deux fonnes quadratiques
V =I~ +B
x
x
x
où W est la fonlle quadratique d'inertie intra-strates
x
W =
xkO txk
x ~qk
p
k
le tableau x
étant Op-centré et B est la fonne quadratique d'inertie
x
i nter-stra tes k
B =G ° tG
x
x Cl
x
On fait alors l 'ACP du tableau G 0q-centré.
x
L'analyse des nuages de points N
et Mx est celle de BOUROCHE [BI dans le
x
cas particulier où K est l'ensemble des temps.
Remarque : Analyse inter-strate i
Pour obtenir les résultats de l'analyse inter-strate i. il suffit de faire
une tt'anscription des résultats de l'analyse inter-strates k en prenant la
précaution de remplacer i en k, X (l'esp x) en Y (respy). G en F et K en I
2.3.2. flelllarque : Analyse inter-strates j
Au paragraphe précédent, nous avions analysé les proximités globale
entre nuages d'individus (resp. de juges) de représentants choisis dans
l'espace vectoriel E. Dans ce paragraphe nous analysons le méme phénoméne
a la différence que sa représentation se fait dans G en ce qui concerne
les individus et dans F en ce qui concerne les juges (cf. § (2.2.5)).
a) Analyse dans G
Le nuage d' i nd"j vi dus moyens
11 =[ (gj K,
l
)
jE J }
z
Z
lJT
avec
OK
i K
gJ =~p ° .z
z
i l J-
le barycentre du nuage
Mz(j)=[ (j~iK,Pi)\\ le I}
des individus
est identique au nuage des variables f\\ qui a été étudié au paragraphe
(2.3.1.) puisque:
jK~
iK~.
~j
jK
gz -,ri j~
=(;PiXijk)k K=(k
)~ K=gx

b) .I\\nalyse dans F
II suffit d'adapter à ce pat'a9r'aphe les résultats du (a) en remplaçant
K pa r I , Pipa r qk et X en Y.
Exel'!.!.'.~ : La reconnai ssance des fomes.
Nous Illodifions quelque peu la présentation de J. HüMEDER (1351, pp 5).
Nous posons le problème de la r'econnaissance J~s lettres de l'alphabet
en vue de leur lectur'e automatique. Nous disposons pour ce fait'e d'un
ensemble K de lettres (de l'alphabet français par exemple) et J'un certain
nOlllbre de personnes iE 1 cllarijées Je les écrire dans des calTés identiques,
subdivisés chacun en 36 petits calTés j"J (voit' fig. 2.8).
fi<j : 2.8
Le cube x de données est défini par
x
1xKxJ - - - - ; , (0, Ij
Si l'intersection entre le j(i:me)
(i,k,j)
_
x(i,k,j)=
peti t carré et la k(ème) lettre
écrite par la personne i est non
vide
ü
Sinon
Si l'analyse discrimi!lante des 26 nua<Jes de points
Nx(k)o{ (k~ iJ ,_.1-) 1 iE 1)
(k=1,2, .. ,26)
1 II
fai t apparaître une sépar'ation nette des strates sur les plans factoriels
(voir: fig. 2.9), alors chacune des lettres est écrite différenpnent par
l'ensemble des individus, ce qui implique qu'elles n'ont pas la mèlle fOllne
Mais d'autt'es analyses, telles que celles des strates Xl< peuvent révéler
les groupes d'individus ayant sensiblement la méme écriture.
L'analyse de la strate yi permet d'analyser l 'écl'Îtul'e d'un individu il
tr'avers le526 lettres de l'alpllabel. Nous pouvons aussi étudier la pr'évisi
notaunnent ell affectant une personne supplémentaire il un des groupes
d'individus Nx(k) déjà existant.

--2e axe
• •
Il
Il
I!I
..
l eUre
code
a
e
f
Il
"l
m
1er axe factoriel
fig
2.9

CHAPITRE : III
ANALYSE DES TENSEURS D'ORDRE TROIS


Intro<Juction Génér"ale
Soient [h el E,F,G)
(h=I,:I.')) un espace Euclidien
'Il
1 J ,J,K
(11=1,2,3) un enselllble et
_ .
.
.
\\ld J
X-(x(t,
,l,
,l \\)
le cube de données définis
Il
12
t1~"
l
1 h/
2
i h Je' j
Sur le produit Cartésien Ilxl2X1j.
Si l'on note Il!h) la base canonique de [h' on cosntrui t cl par"tir de X.
le tenseur :
Le produit tensoriel EI0E2 ME j peut être considéré grace cl la prorpriété
universelle comme l'un despl'oduits tensoriels EIM(E2I1Ej); (E tME 2)ME J •
Il J., 1.,
Dans ce chapi tre nous nous proposons d'ana lyser 1e tenseur X
~"COuulle
élément de EJM (E 2 ME j ) puis de (E lelE 2) ME j . Cette analyse consiste à
Habl il- dans la partie A tous les dêvelol)pements_!"athématic~.nécessaires
(mise en évidence des nuages de points qui Sel"Ont soumis à la description,
êtélblisséllient des scllémas de dualité, dia!)onalisation de la matrice
"d'inertie" etc ... ) à l'analyse statistique proposée dans la par"tie Il
(centt'age des nuages, choix de métriques, qualité cie représentation,
indicateurs de liaisons etc" .. ). lJélns la tr'ois"iéme partie pl'éciserons la
notion de référentiel introduit.e par J/IFFRENOU 1241 et l 'HElU1IEK DES PLANTES
1281 pui s nous en ferons l'ana lyse.


.51.
Partie A
les Jéveloppements mathémat1f]ues
On se pl'opose d'analyser dans ce par"agraphe le nuage des points
N=(((~~J - ~~J),Pi qk)/(~f'K,k II ... pour rendl'e compte au mieux des différen
existant entre individus et Juges A l'aide du tenseur ~ de (GWF)WE associé
à l'élément x de L rn(G*WF*;E) de mall'~ce associé.e x=t-I(x;(V*kll!d) '(~J))et
tel que pour tout (k.i) EKxI X(9·kllf*1)=(V~J - 5l~J) la différence entre
populations moyennes 1 et K.
Les tenseurs :
. t
.
gJ= x(~*J)
(jëJ)
."
=Et (kxJ-.VJ)Vkll!.
k •i
1
1
pennettent de construire dans GWF le nuage des variables
IHgJ.l) IJëJI
'"
IJ 1
dont l'analyse est résumée par" le schéma de dualité
"l-V---:,----H-j-r':·'""
\\4-,
E*---------...:.~ GWF
L'analyse spectrale de VM pennet de construire les vecteurs propres
1J
1
.
~
(1=\\.2 •... ) M-orthononnés dans E et ~ (1=\\.2 •... ) tenseurs N-orlho-
gonaux de GMF qui vérifient c1=txM~lJ
Le vecteur (gkJ - 9 iJ) s 'écr~ t dans la base (lJ 11=1.2".J
x
y
-
(u kJ _ !JiJ)=~ u(k.i .1)t/J
·x
y
1
de plus
Ce qui nous permettra de cOflstnlÏre un indice au paragraphe (B. 1.1.)
à l'aide de

.52.
§ (A.2) Analyse du tenseur XK1J élément de (GClF)IIE
Analyse du nuage global
Dans ce paragraphe on se propose de faire la description du
nuage global des points N=UN· (k)à l'aide du tenseur XK1J de (GClF)ClE
k
x
associé à l'élément z
de Lro(G*IIF* ;E) de matrice ~
associée:
x
I~
x
pour un k donné, les vecteurs
k~iJ=ZX(g*kllll(i) (id)
Fonllent le nuage des poi nts
et le nuage global des points individus
N=U N (k)
k
x
a pour- barycentre
J
kJ
9 =Lqk
2.x
k
La transposée de Zx a pour matrice
t
t
*j
~x=M( Zx ;(~
) ,(gklll!i))
zj=t z (e*j)
",x
x-
=L ~x(j,k,i)gklll!i
k,l
jK1
=x
(jeJ)
fonnent le nuage des variables
.
1
M= {(~~, lJr)( jE ,l)
par suite, ce problème est aussi celui de la description des liaisons
existantes entre les strates j.

Le tauleau 2
s'écrit
x
_
1J
nJ
1 J
i J
lJ
xJ
t x=/ I~
.···ol~
... ·'k~
""'k~ .···'III~ •.•. ,I\\I~ 1
Il
k
1 III
=lX
••• IX l •.. XI
2
est la concaténation des strates obtenues par stratification du cube X
x
selon le facteur K.
J
1
1
fig : 3.1
Le schéma de dua l Hé associé à l'analyse du tableau t.
est le suivant
x
E
2x
G"CiF A
1i"
\\01 x
t 2Il
Il H
M
GCiF
t
-[
ÀJ
L'analyse spectrale de V r~ pennet de constl-uire les vecteurs propres u
x
-
(À=
2
1.
•... ) M-orthononnés dans [
et cÀ (À: 1 .z .... ) tenseurs N-Ol-thogonaux
d
GM F
.
- ' f'
À t?
ÀJ
'c
e
~
qUI ver1
lent c = ~xM~
'"
Les vecteurs k~iJ s'écrivent dans la base I~ÀJ}
iJ
.
ÀJ
k~ =L u(k . À)~
À
,1.
Ce qui nous permettra
de construire un indice
au paragraphe (B.I.2).

.54.
Remarque 1 :
JK1
Grâce aux relations de dualité §(2.2.5), l'analyse des tenseurs x
,
éléments de Et1l(G~F) et llJ éléments de (G~F)~E donne exactement les mémes
nuages de poi nts, l es mêmes schémas de dua lité, donc l es mêmes résulta ts,
ce malgré une pennutation des vecteurs de base.
IKJ
Remarque 2 : .!\\~s de l'analyse du tenseur x
élément de (F~G)~E
Le tableau ly assoc~é à ce tenseur est la concaténation (i,e mise côte à
côte) des strates yl(iEl) par conséquent le formalisme mathématique lié à
1
son analyse est identique à celui du paragraphe précédent. Ce tenseur penne
la description des nuages de points
N=U N (i)
i
y
M=[(Xjl,K
1
IjeJ}
TTf
J
avec Ny(i )=[ (ii ,qk) l\\<e K}
Le schéma de dualité associé â l'analyse de ce tableau est le suivant
-~::L---~-w-Ir
: j+-i-v
Ck
--_......Iy~----_. F~G
Remarque 2.1 :
Lorsque l'ensemble K représente l'ensemble des temps, analyser N revient â
décrire l'évolution conjointe des différents individus iE 1 dans les plans
factoriels, en effet soit (!!I ,!!2} la base du premier plan factoriel issue
de l '~CP du tableau ~y'
La projection du vecteur iltJ s'écrit dans cette base
Cl
( t ) UI -ta .
( t ) U2
tE T
i ,1
-
l ,2
-
Cl
(t) et Q. 2(t) s' interprètent comme absci sse et ordonnée du poi nt ie 1
i ,1
l •
à l'instant tel. La courbe joignant les points (n. dt), n. 2(t) (tET)
1 t
1 t
constitue la trajectoire du point i (voir fig. 3.2).
Chacun des axes factoriels peut ne pas être un axe des temps (ou d'évoluti
dans le cas où il l'est, il s'interprète en tennes de tendance.

·/0
j.
~•
--....,.,.1-----------... ô .u l
!.!.2 : 3.2
KIJ
§(A.3) Analyse du tenseur x
élément de GIiI(FIiIE)
Comparaison de plusieurs
tableaux de données
Dans ce paragraphe nous proposons une manière d'aborder la comparais(
k
des tableaux X
(teK). D'autres mani~res seront présentées au chapitre IV
à ti tre de comparaison de procédures: celle d'Escoufier 118] et de
l 'Hermier des plantes 12UI en tennes d'opérateurs. celle de SCllEKHlAN 1371
en termes de métriques relationnelles. celle de Jaffrenou [241 enfin
l'appt'oche en tentles de rotations procrustes (c.f. notanlnent Sibsord 401).
k
/lu nuage des tableaux X
(ke K) subs ti tuons celui des tenseurs de HIE qui
lui est équivalent (au sens de l'équivalence entre images Euclidiennes)
kIJ
N=I(x
' f1 k) /keK)
Cette analyse se fait à partir du tenseur l ' J de G(l(FIiIE) associé àl'élémel
x
de Lm (G" ;FIiIE) de matrice associée Xy'
y
En effet:
xK1J=E E ~x(k.i.j)9ka(f.ae.)
. .
-1
-J
k .1 .J
1es tenseurs
formcn t 1e nuage des juges N de ba rycen tre :

.56.
pour
fixé, les vecteurs
.VjK=tx (f*ille*j) (,i;J)
, -
y -
-
forment le nuage M (i) des variables et M=U M (i)
Y
i
Y
est le nuage global qui sera soumis à la description.
La matrice t x s'écrit:
y
t x J til ... 1tvil···1 ttl
y
par conséquent le tableau X est la superposition des strates obtenues par 1
y
stratification du cube X suivant le facteur 1 (fig. 3.3).
Le schéma de dualité suivant est associé à l'analyse du tableau Xy
J
K
Xy
FilE ......
.....;..
_
G*
w
lh
F*IIE""'
"
My
11 N
y
y
....Jv'--
1
-+
G
fig
3.3
KIJ
Remarque : Analyse du tenseur x
élément de GII(EIIF)
On aurait pu décrire le nuage des tableaux Xk(kJ<) A l'aide du nuage
KJI
équivalent des tenseurs de EIIF à partir du tenseur x
:
La matrice X qui lui est associée est la superposition des strates ~j(jEJ
z
Le nuage des variables est le suivant
M=U M (j)
j
z
~1z(j)={(j~iK. 1) li El}
lIT
Compte tenu du fait qu'on a la relation de dualité
.ziK=.v jK
J -
,-
le problème se ramène à celui étudié au debout de ce paragraphe.
Le schéma de dualité pour cette analyse est le suivant:

.57.
Xz
G*
::'11v,
t xz
",Ir "
['MF'
~ G
lKJ
§ (A.4) Analyse du tenseur x
élément de FM(GNf)
t'létl'iques intl'a et
métriques intel'
Dans ce pa ragraphe on se propose tou t d'abord de décri re les lia i sons
lKJ
entl'e m paquets de Il variables chacun à l'aide des tenseurs x
de
FM(GME) associé à l'élément Yx de L rn (F*;GMf) de matl'Îce Y associée,
x
puis de car'actériser le rôle fondamental de certaines matrices servant
à cons trui l'e les métriques dans GOlf.
Les nuages de points étudiés sont
~I=U M (k)
k x
I1x(k)={ (k~jl ,_.!..l 1kEJ)
1 J
1
iKJ
N={ (x
,Pi)
1id )
k
La matrice Yx est la superposition des strates X (këK) par conséquent
son analyse est identique à celle du tableau X du paragraphe précédent.
y
Le schéma de dualité associé à l'analyse de Y
est le suivant:
x
Métriques intra et métl'Ïques inter
Décomposons G en
G~"'g
k- k
où ':gk est la dr'oi te engendrée par le vecteur de base ~k par sui te
GIlE~ (~gkME)
k

~gk NE est le sous-espace vectoriel engendré par (gkll~/Y J) et est
isomorphe à E.
Dans ce cas la métrique
s'écrit conrne matrice bloc
IéK
Mx=(Mkk'\\'é K
IIlKk' (k=k') est une forme bilinéaire symétrique que l'on supposera définie
positive sur ~gkIlE.
Elle permet de munir cet espace vectoriel d'un produit scalaire de matrice
associée :
Mkk' (k=k') appelé métrique intra
IIl
, (k/k') est une forme bilinéaire définie sur (~gkIlE)x(~gk.IIE).
kk
Elle permet de fixer les positions des sous-espaces vectoriels ~gkllE et
~gk,IIE dans GGE.
De matrice associée M , (k/k'). elle est appelée métrique inter par
kk
CROQUETTE 11l~.
Quelques métriques Mx
Vk/k 'é K
Mx a une structure diagonale
M~,
0
o
t1mm

.5!>.
Les sous-espaces vectoriels /l9kME (k K) sont deux. à deux. M -orthogonaux.
-
x.
Connaissant Mkk(kK) on peut tenter de construire des métriques inter
atlilpt:ées aux. problèmes traitées suivaflt la méthode pr'oposée par
SCIIEKTrWI 1 31~
Mkk,=n
, M, oü Mdéfinit un produit scalaire dans E. nkk,=nk'k et ri
kk
tk > O.
Dans ce cas on a :
=NWM
kf K
" " N, [ "k>' ] kil' K
Si N définit un produit scalaire dans G
on a
<Dk~~j·9k·~~j'>N~M=<9k·9k'>N<~j'~j·>M
posons
Cos Ih - - _ .
Il vient alors lorsque k=k'
COS(9k~~j.9k~~j~=Cos a
Alors les vecteurs de base de ~gk ME et E forment le même illlgle lorsque
j=j'
Cos (9k~~j,9k,0~j)=cos p
a lors les j (ème) vec teurs de base de ,:gk QlE et ,:gk' (lE (kl-k 'f K) fonnen t
un angle constant.
On voit ainsi qu'ici ~ joue l~ôle de métrique intra et N celui de métr'iquc
inter (voir fig. 3-4)

Mx est une matrice bloc diagonale dont les blocs sont aussi des matrices
blocs qui s'imbriquent les unes sur les autres en forme de treillis i.e.
o
t~heJ
M=
o
x
MI~h' ";
,
La matrice Qeh
(e"h- 1 ,11=2,3, ... ,m)
e(ème) bloc de la matrice Mx définit une matrice sur l'espace vector'iel
(e=h-l,h=z,3, ... m)
on a
~ kW
Mkk,=O pour
.
kFk 1 - i
Une telle matrice f\\ sera appelée matrice treillis.
Les sous-espaces vectoriels ~gksE (k€K)
de G~E non consécutifs (par rappo
à ]' indice de comptage k) sont M)(-orthogonaux.

.61.
Seules les posi tions entre sous-espaces consécutifs sont considérées.
Les métriques tr"eillis seront utiles dans les problèmes où une information
ordi~~ sur les nuages Nx(k)
(k K) doi t étre prise en compte (nous
préciserons celà au paragraphe § (4.2)).
«
Mx est symétrique
Les individus i" 1 se décomposent en
oii le tenseur
,
i
iJ
iJ
k~ ~L6kk,gkI8k'~ ~9k\\~
k'
es t él émen t de D. ktlE
-g'
Propriété l i
«
i
i M i
i ,-
<k~ 'k'~ > x~<k~ 'k'~ >M,kk'
Preuve
« i
i'
iJ
i'J
<k~ 'k'~ >M ~<9k8k~ ,9kI8k'~
>M
x
x
C.Q,F.M.
Cette pl"opriété permet de construire une métrique Mx bloc par bloc à l'aide
des matrices l\\oko,r"k1k l et f\\ok\\ (koJk l d
k.k'l~K))
Soit /
un élément de L rn (FA ;~gkIlE) tel que: xk([*i )~k~i
Vi" [
On a la propriété
Propriété {31
»

.62.
et par suite
Proposition (1)
«
Pour :
les images Euclidiennes
de (l,dl) sont équivalentes.
»
Ce résultat permet de manipuler les tenseurs ~ i (ie 1) au méme titre que
les vecteurs k~ iJ (ie 1). sachant que la transformation
T
'
i JI' 1
11' 1
{ k~
le}
- - - > {~
le
}
conserve toute l'information contenue dans l'image Euclidienne
Coro 11 a i l'e
«
Si Mx est de la forme:
Mx=N~M
La proposition
(1) est vérifiée si et seulement si
1 ~kl N=I
»
Preuve
C.Q.F.M.
La base {9k 1keK} de G est dans ce cas N-normée
Les nuages :

.6] ;
seront tuus deux notés Nx(k);
Il a pour bar'ycentre :
On peut vêrifier que le nuage dont les points sont:
i
kJ
k~
- 9kll~X
(ie!) est de barycentr-e nul
Proposition (2) (Croquette [111 , pp 44)
«
Sous 1es hypothèses :
i - M
(Ile {
kO,k l } ck} ) est une métrique sur -:gklllE
kk
ii - M
est la transposêe de Mk1ko.alors t\\ est une métrique
kok1
(resp. semi métrique) sur (~gkoIlE)tIJ(,=gkl liE) si et seulement si le
rayon spec tra 1 de
_1
_1
r\\oko
~\\Okl
Mk1kl
Mk1ko est strictement infèrieur- à 1
(resp. infél'ieur ou égal (l 1). »
Ilemar(~
lJK
: !Ina lyse du tenseur x
de FII(EIiGt
iKJ
On aurait pu analyser le nuage des individus x
(iEl) à l'aide de :
N-'{(XiJK,Pi) lid}
qui lui est êquivalent à partir du tenseur
lJK
x
êlêrnent de FIl(EIIG) associê à l 'êlêment yz de L IR (F*;ŒG) de matrice
Y
associée.
z
Y est la superposition des strates t~j (jeJ)
z
Le nuage des variables est le suivant :
M-'U 11 (j)
j
z
Mz(j)={(j~kl. _1_) IkEK}
IKI
Compte tenu du fait qu'on a la relation de dual itê
zkl
Xjl
j-
k-

Le problème se ramène à celui étudié au début du paragraphe.
Le schéma de dualité pour cette analyse est le suivant:

.65.
Partie [j
l'analyse statistique
§ (ILl) Analyse dèS différences et analyse des nuages global
[j.l.l. Analyse des différences
Rappelons le schélllJ de dualité associé
l'analyse des nuages
de po i n ts :
t~~((!l.j._~) !jeJl
IJ 1
x
[ ...- - - - - - - - - G't!l('
l
M
t x
1N
- - - - - - - - - _ . GNF
Propriété
cc Le nuage des points N est centré par construction J)
kJ
iJ
en effet ~on barycentre 1: I:qk P" (9
-9
)=0
k,i
1
x
y
-
Pour faire la description des nuages N et N on prend pour métrique N=DqIlD p
la métrique des poids. le choix de N sera discuté au paragraphe (B.l)).
On fait alors l'A.C.P. du tableau X.
Les vecteurs propres lJ (resp. {) (>..=1.2," ... ) sont appelés axes
principaux.
L'inertie I
du nuage N s'écrit:
g
iJ 2
1 ;1: I:qkP.lgkJ- 9
IM =1: 1: qkP'( (k l' ,)2
g k,i
1
x
y
k,i.>.
1 a
,
,A
et l'indice
1: 1: 1: q Il·
(u( k " ')) 2
k,i.>'
k l , l , A

.66.
~lesure en pourcentage la contribution expliquée par le premier plan
factoriel de la paire [k,iJ au moment d'inertie I g. Les éléments des paires
à indice faible sont homogènes. On traite ainsi un problème d'homogénéité
de mème nature que celui traité dans un cadre unidimensionnel en statistiqUE
inférentielle lorsqu'il s'agit de comparer deux échantillons de taille net
m : usuellement traité dans ce cadre à l'aide des statistiques de STUDENT
ou de GAUSS (cf J. R. BARRA 1 11 pp 122).
B.1.2. Analyse du nuage global
La structure relationnelle (~x,DqWDp,M) traduite par le schéma de
dualité:
pennet de décri re l es nuages de poi nts
N=U N (k)
M= [ (zj
l )
1 jE J J
k
x
' l . x ' -
IJ 1
Il résulte alors du l enune fondamenta l (cf § (1. 2) } que
par suite les images Euclidiennes
j
({~XljEJ], G~F. DqwDp) et ([~j IjEJ], Mn,m( m},« • »Dq,D )p
d~ (J,dJ ) sont équivalentes.
~ est le représentant naturel de la strate ~j.
On fait alors l'A.C.P. du tableau ~x DqwD p - centré.
DqwD p - centrage du tableau ~x
Soit ~n (resp ~m) le vecteur de mn (resp mm) dont les composantes sont
toutes égales à l 'unité;~mWJn est un tenseur de G~F dont les composantes
sont toutes égales à l'unité.
La moyenne empirique ï j de la variable zj est égale à
x
'l.X

·67.
Définition (1) :
cc Le tableau ~x est dit D G D - centré si pour tout jeJ on a ij=o. »
=-=-=-=-:..-=-- q
p
x
On peut vérifier que le tableau dont les tenseurs lignes sont
(zJ' - i J' s oJ ) (jeJ) est 0
0 0
- centré.
-\\:.x
x -III -n
q
p
d'oD la propriété
Propriété (1l.
cc LOrSqUe:t~
et :t~' sont deux variables centrées cz j zj'>
-\\:.x '-\\:.x
0 0 0
q
p
définit leur covariance empirique. »
En effet
i j s oj
zj'- ij's oJ'
est égale à
x -III
n'-\\:.x
x -III
n>O GD
q
P
rq c xjI_i j jn'k~j'I-
k k k-
x
Il
.
- j
- j ' .
1. l:qkP·(x k.. - z ) (xk·j,-z ) qU1 est la covariance empirique
k i l
1J
X
1
X
entre deux tariables vectorielles j et j' définies sur K X 1 dont les
cOlllposantes et 1II0yennes empiriques sont identiquelllent égales à celles des
tenseurs zj
et zj'.
'\\,x
'\\.X
Proposition (1)
cc Les deux propriétés suivantes sont équivalentes
1 - l:qk9~J=Q
k
kJ
00 l:Qk9x est le barycentr'e du nuage global N. »
k

.68.
Rema l'que (l)
<~ L'expression ~~=Eqk kRj montre que l~ centrage de la variable ~~
n'entraine le centr~ge des variables kXJ (kEK) que lorsque toutes ces k
variables ont des moyennes positives.
»
Ai ns i donc nous sornrnes amenés à i nt rodui re une nouvelle notion, celle du
centrage global.
Définition (2)
ce Les variables k~jl (kE K) sont dites globalement centrées si l'on a
Eqk kxj =0
»
k
Conséquence :
k
ceLes tableaux X
(1«: K) sont dits globalement centrés si pour tout jEJ les
variables kxj (kEK) sont globalement centrées.
»
iJ
kJ
On montre que les tableaux dont les vecteurs colonnes sont k~
~ (Eqk9
)
k
x
(iEI) sont globalement centrés,
Rema rq ue (2)
Dire que le tableau ~x est D ~ D - centré équivaut à dire que les tableau
q
p
k
X
(1«: K)' sont globalement centrés.
On a :
Var (z~) = ~qk Ik~jl - (~qk kxj)~nIDp
zj est réduite si
a(zj)=l
x
x
Propriété (2)
cc Lorsque pour tout ~EK, les variables kxj (jEJ) sont centrées réduites,
alors les variables z~ (jEJ) sont centrées réduites.
»
Rema l'que (3)
ce Le mode de centrage construit dans ce paràgraphe est identique à celui
utilisé en Analyse de variance p-dimensionnelle lorsqu'on considère un
la
d'expérience répété à un facteur dans lequel, pour chaque variable réponse
jEJ et pour chaque modalité kEK, les traitements sont effectués sur les
mêmes unités expérimentales iE I. pour jEJ le modèle de décomposition de tou
observation x 'k' construit par B.J. WINER (1431
pp 265) s'écrit:
J ,

0690
observation = moyenne gloLale 1fi effcl de l'individu i 1+1
effet du tl'aitement k 1+1 résidu
-
J
j
xJ',,= I: I:qkPixJ'ki-k(]" k~
.~ , i.
Les tenseurs .t~ représentent dans ce cas le p "vectclH"S" variables
loéponses (cf PAGES 1 311
pp 42) 0
Le 0
Il D
- centrage corr'espond dans ce cas particulier au centrage
q
p
glohal des observations.
Les Indicateurs de liaison
On suppose que les nuages Nx(k) (këK) sont centrés.
La matrice de variance covariance V se décompose alors en
x
V =7:. 0 IID t7:.
x
x Ci
p
x
k
t k
k
=I:qkX Il
X =I:CikV
k
p
k
x
00 v: est la matrice d'inertie du nuage de point Nx(k),par suite
l'inertie 'g=T r(VxM)
=l:(]
,k
k k g
où ,~ est l'inertie des nuages Nx(k).
Les vecteurs propres
ÀJ
À
l!
(resp t ) (À=\\,2 '".") sont appelés axes
principaux d'inertie puisque:

.70.
l'indice
2
2
qkPi{{Cl(k,i,I)) + (Cl(k,i,2)) )
r. r. l:
(
) 2
k,i,À qkPi Cl(k,i ,À)
Mesure en pourcentage la contribution expliquée par le premier plan
factoriel de l'inertie du nuage des points Nx(k) au moment d'inertie Ig.
Dans un nuage a l'indice faible, on peut y déceler des regroupements
d'individus en classe homogénes.
Le cosinus
j
j'
r
=cor(l~,l;)= <lx,lx >OqGOp
l.t; 10 GD I{; \\ GO .
q
P
q
P
pennet de mesurer le degré de liaison entre les tableaux ~j et ~j' (jtj')
Propriété classique de r
Théorème (1)
«
· · 1
r="!:I~ ~J= ~J + B, ÀE R a le signe de r
B=I QI" . 'Qk'··· ,Qml
avec b =( xj-À Xj')J
-k
k
k
-x
»
Preuve
r = "!:1~l~= H~' ,Àe
R a le signe de r
-
j-~j
j
Cj -[ j
j
jJ
ou ~o-
- C,
- ~ 1'" '~k" .. '~m
j
avec c = XjJ
-k k -x
~
p zj=À~j'+cj-Àcj'
j
il suffit de prendre B=Cj-ÀC '
C.Q.F.M.

.71.
zJ (t'esp ;!J ') peut représenter par exeluple le tableau des dépenses de
consollulliltion (resp des revenus) d'un certain nombre de ménages if 1 à des dates
trT. Le coefficient À est appelé propension marginale à consolluller et mesure
l'augmentation de la consollunation pour une augmentation unitaire du revenu,
(c f E, t~ALI tlVAUO 1 291 ) ,
Théorème (;U
.;< Lorsque pour tout kt: K, les variilbles kxJ (1 J) sont centrées rédui tes.....on a
J
J'_
r~~ 1 <=> Vkt:K
Cor (k X 'kX
)-1'
»
À{e rn à le signe de l'avec
<=>
Vkf K
( XJ1 _
XJ J )
k-
k
-n
o(k XJ )
(=>
Vke K
(=., VkeK
or
Il;!(II
n:
1<=) 1 ÀI
1{=> À
+1
Dq' Il
~
l'
par suite
C,I).F,M, »

.72.
r pennet donc de déceler les paires de variables
(k€ K)
fortement corre l ées
B.1.3. Problème du choix de la métrique Mdans E
Nous présentons dans ce paragraphe la façon dont SCHEKTMAN([ 371
pp 23-33) interprète le choix de certaines métriques dites fondamentales
et le tableau récapitulatif qu'il avait bien voulu dresser. Etant entendu
que le choix d'une métrique Mdépend de la connaissance du phénomène à
étudier et des buts poursuivis.
L'auteur entend par métrique fondamentales, l'une des cinq suivantes
_1
_1
I,V,V,R,R

1 est la matrice unité, V la matrice de variance - covariance et R la
matrice des coefficients de correlation.faire le choix de :
- M=I revient à accorder une importance égale aux variables.
Les résultats d'une A.C.P. dépendent des unités de mesure (PAGESI321
pp 262).
_1
- M=V
la métrique de MAHALANOBIS, revient à ne conserver comme seules
infonnations apportées par les variables que le sous-espace qu'elles
engendrent. Décision prise en analyse canonique tandis que dans le plan
principal aucune direction n'est priviligiée.
- M=R plus une variable est correlées avec les autres plus le rôle qu'elle
joue sera importante dans le calcul des distances.

.73.
-='l.
TABI.EAU
:::::::::::=
(SCliEKTMAN ( 371
pp 20)
Traductions
2
Mathématiques
~'atrice ~1
Val'Î ab les
~'a tri ce M
Val'i al> les
: Idéologies
:"1
_1
_1
Sans effet vari ance
: D~/oll: DI 1/01
centrées
E
réduites
Sans effet covariance
:z--
Effet variance
_1
Sans effet cova ri ance
_1
centrées
R
rédui tes
E
Sans effet variance
Sans effet cOrl'élation
)
---~-
_1
Effet variance
R _1
centrées
DlalR
Diol
réduites
Sans effet corrélation
:4
2
Sans effet variance
I~ 1/0 1
centrées
réduites
EFfet partiel corrélation
(nonnée)
:~
Effet variance
centrées
2
rédui tes
DIo 1
Effet partiel corrélation
:-0--Sans effet variance
00/01 D~/ol
centrées
R
rédui tes
Effet corrélation
7
Effet vari ance
Effet corrélation
R
centrées
1:
réduites
Sans effet variance
Effet covariance
8
Effet variance
1:
centrées
DI all:D1 01
réduites
Effet covariance
avec (V=r)

k
§ (B.2) Analyse du nuage des tableaux X (kEK)
Nous avons l es nuages et schéma de dualité sui vant
k
N=
1
(~ ,qk)
kE K)
,t1=UM (i)
i y
XY
FilE 4
M
Y
(
1 txY
F*IIE*
• G
Si l'on décrit les nuages des points N et Mavec pour métriques
N =0
et M=0 IIM,
Y
q
Y
P
Le lemme fondamental (cf § (1.2)) nous assure que
k
k'
k k'
<~ ,~ >0 IIM=«X ,X »0 M
p
p'
iJ
iJ ..
=~Pi<k~
'k'~ >M
,
et par suite: deux images Euclidiennes équivalentes de(K,d K) sont
données par :
et
k
({(X ,qk) IkEK),Mp,n(rR),
xk est le représentant naturel de xk
o
On fait alors l 'ACP du tableau Xy Dq-centré.
~ - centrage de Xy
Le barycentre ~ du nuage des points N est égale à
k
iJ
iJ
x=Eqk x =Eqk(E!.Gk~
)=Ef'G(Eqk~
)
"'k"'k
i '
i ' k
par suite à l'aide des relations de dualité
d'où le résultat

.75.
<:<:
Le tdbleau X est D -centt'é si et seulement si pour tout if 1 le tahleau
"
y -
q
yi est Dq-centré. »
Pl'cuve
def
(X
es t ()4-centl'é q
~ ~=Q)
y
on a :
k ~
iJ
"J 2
_ !Il
1x 1
=l:P"1 k~
1
(1)
() MM i 1
y
M
[
P
Soit
( /
1
ké K)
le nuagc centré
"'0
l'indice
k
k'
pennet de mcsurer l'équivalence entre les tableaux X
et X

Propriétés
«
k
k'
i-r(~,{o ) f [-l,II
ii - r(xk,Xk)=d q==\\>
Xk= ÀXk'iG -ÀG
'1.0 '1.0
-
Y
Y
IJ
iJ
nJ
où G/19
I,Àf
R
y , ... ,9
, ... '9
y
y
»
Preuve de la 2é propriété ci-dessus
k
k'
X - G =ÀX
- ÀG
Y
Y
C.Q.F.M.

.76 ..
Si À=l
on a xk:X k '
Cet indice permet donc de "déceler" si les deux tableaux peuvent étre
considéres comme égaux, par conséquent équivalents.
§ IB.3) Description des liaisons entre m paquets de variables l'analyse
canonique généralisée
Rappelons les nuages de points et schéma de dualité
N=flX,i,p.) lid) ,M=UM lk)
avec
1
k x
~lx(k) =[ ( k~j 1, Pf )(I<é K )
\\
G~E
F*

", 1
N
t
x
y
G*I!E*

1..F
Pour décrire les nuages de points N et M.
On prend comme métriques :
--l
V
k=k'
Vkk =XkD
txk
kk
p
Xk étant Op-centré
0
klk'
On fait alors l'A.C.P. du tableau Yx Op-centré.
Les sous-espaces txk (E*)
(i<E K) engendrés pa r l es va ri ab les kxj (jE J)
appelés E.Q!entiels de prévision par PAGES (132) pp 353) sont décrits à
l'aide des deux propositions suivantes.
1
Notons respectivement cIl. al et u
la première composante principale, le
-
'"
'"
premier facteur principal et le premier axe principal issus de l'A.C.P.
du tableau Y avec
x
lJ t
1
C
= Y a
'"
x'"

.77 .
1
u
êlêment de GME s'êcrit :
'1.
1
1
*k
1
*
kJ
1
* k
U =[9kMU (9
) où u est êlêment de L R (G ;El.posons l~
=u (g
) (ktK)
'1.
k
on a le l'êsul tat.
Proposition (1)
« 1
kJ
a =r.gkMl~
k
par suite
avec
»
~osition (2) (PAGES 1311. pp 13)
«
L'A,C,P, du tableau Y
conduit à rechet'cher
simultanêment dans les
x t k


k1
diffét'ents sous-espaces
X
(E) (kt K) les vecteurs ... ~
rendant
maximum la 0 -nonue de :
p - - - -
kI
~l ~
sous la contrainte de nonualisation
'1
k1 2
l;~ IOp=l
»
La description des potentiels de préclslon se fai t en l'epl'ésentant dans
les plans factoriels les vecteurs ]~kI (kEK) en points supplémentait'es,


·79.
PiH'tie C :
Analyse des r'éférentiels : Décomposition d'un tenseur
§ (LI) Iléfërentiels dérivilnt de l'analyse du tenseur /I.J élément de
l Gllf )IIE
C.!.!. Intr'oduction
Considérons le schéma de dualité suivilnt
t.
E +._ _~x"_______ cr WP
o 110
~. 1
l q P
GMF
-------
J IJ • a"') et d' sont respectivement les jJ (éme) axe principal
-
-
'"
facteur principal et composante principale de valeur propre r." associée
issus de l'A.C.P. du tableau t. .CJJ étant un élément de GMF peut s'écrire
x '"
où Cl' est élément de L R (G' ;F) de matrice d'associée.
Défini tion 1 2131
«
On appelle Il(ème) réfhentiel le tenseur cP et jJ (éme) matrice référentiell
'"
la matrice C".
»
1
Dans l'espace Euclidien (M
(R), « , » D ,0) le'tableau C
est la
n ,m
q
p
meilleure (dans un sens que nous préciserons au paragraphe suivant)
.
1
combinaison linéaire des tableaux initiaux 7. J . Une analyse de C
fournirait
une description des individus et juges plus intéressante que celle fournie
par chacun des tableaux zj.

.80.
C.1.2. Analyse de Cil
Nous avons la relation
(C~ = l: e*j (aIIJ ) zj
j -
-
Propriété des C~ (JAFFRENOU)
" Parmi tous les tableaux
l: e*j (M ~J) zj
j
les tableaux Cil sont ceux qui réalisent successivement le maximum de
sous la contrainte de M-orthonormalité sur les solutions en xJ .
,
O
CP
cP
P
n a « ,
»0
0
il
6
, .
q' P
l'Il
Cil fournit les deux nuages de points
kT
i K
N = {( P f
. qk) 1 k E K} et M = ({ pÇ. • Pi) 1
El}
L'analyse de cP est résumée par le schéma de dualité
F
Cil
G*

" 1
tc~
l'G
F*
Pour décri re les nuages de points N et M on prend comme métriques
M= Op et N
0q'

./ll.
Cen tl'age du tab l eau Cil
Compte-tenu du mode de centt'a!Je du cube. il ya lieu d'observer deux
cas.
k
a) les tableaux X
(k • K) sont Op-centrés ~ priori
Dans ce cas les tableaux zj (j t J) sont centrés en colonnes et les
tableaux tzj (j t J) en ligne. Alors on fai t l'ACP du tableau Cl' U -centré
.
q
(qui équivaut ~ un 0q-llp-centrage de Cl' et ZJ et §(2.2 .4.)) et l'IICP du
tableau tCI' Op centr'é.
k
b) les tableaux X
(k t
K) sont globalement centrés (cf. § (1l.1.2.))
Dans ce cas. les tableaux zj (j ( J) sont globalement centrés. Alors
on fai t l' ACP du tableau (1'
(resp t CIl ) D
(resp ° ) - centré (qui cOrl'es-
.
q .
p
pond au ° (resp Op) - cen trage de ZJ (resp tzJ) et l' IICP de ce même
q
.
j
tab leau 0q -llp -ccntré qui correspond ~ un 0q -Op -centrage de ZJ (resp t z ).
tI
tK
Soit ((i

u

c
1 t
• .!s)} l'ensemble des valeurs propres. axes
t .11
11-
11-
principaux et composantes principales issues de l 'II.CP. de Cil. on il :
l'ropos i ti on
Il
(1
l:
Bt .1'
t • .!s.l
Preuve
Tr(CI' [)
tCI' [) )
q
p
C.Q.U1.

Théorème
Décomposition d'un tenseur
Preuve
(cJl,k,té IR)
d'où
tI
c =r.9k~(r.c
k t ~
)
'"k
t J l " J l
tI
=r.(r.c
k t9k)~ !!
tkJl"
Jl
C.Q.F.M.
Remarque
«
En posant 1/,tK\\Dq=l
(noY1nal isation des composants principales)
on retrouve la fonnule
Jl_
(3
1
tK
t J
1(. -r.
( t JI) 12 /:.
~Jl!!
te 1s i '
. '"
qui est la tensorialisée de la décomposition d'ECKART et YOUNG 144)
En effet
=cJl
»
'"
(Pour les propriétés de l'Opérateur VeC, voir Annexe).

Coro 11 a i l'e
K1J
«
Le tenseur x
se décompose COIIUIl~ sui t
»
D'aprés la proposition 2 :
xK1,J=l:d'IIII'J
IL'\\.
-
=L(J: ctKIl ut! )III/,J
l'
tP-
"-
-
=[
ctKIl Utltlll"J
} r
1'-
-
" • t
PI'OpOS i t i on 2
K1J
«Le tenseur a
de (Gt;F)~J[ de rang l' (r<p') tel que
KIJ
KIJ 2
I x - a
ID 110 M:~
soit minimum
q
p
est donnée par la fOllllule
»
On lt'ouve la démonstration géné.'ale de cette proposition dans BENZECRI
([ 21 • pp 76. 169).
_,
l'
J
Soi t : '- ='1> "J'
1'=1-
le sous-espace de E (resp F) engendré par les l' premiers axes factoriels.
KIJ
KIJ
« a
est la pt'Ojection D IlD lit~ - Ol·tliogonale de x
sur (GMF)ME'. )')
li
P
KIJ
On peut aussi approximer' x
par sa projection
fO'
c tK tl Il li 1IHJI'J
r
}' -
}'-
-
J1=1
1:ë Il')
de rang l' dans l'espace (GNF')ME'i.e la matrice associée à ce tenseur à ce
tenseur es t de l'ang l',
Ce suntlà autant de fUllllules approchées de reconstitution de tenseurs de
données,

.84.
Cas particulier
cc En approximant le tenseur xKIJ par sa projection
1'"
L
tlK
tlI J'J
l'~l /~
1I1'~
Il
tll
sur (G~ u
)IIE
-p-
tl 1
o
ou
u
serait par exemple le premier vecteur principal.
p-
On retrouve 1e modèle ana 1ogue à celui de CARROLL 1 101
i . e
x ..'!! L
c c , u .
k'J
l 'J l'k. l". l'J
l'E
P
»
C.1.3. Cas particulier
Les ensembles I,J et K jouent des rôles symétriques
Exemple ;
cc Considérons * un plan factoriel d'ordre trois où les ensembles
l, J et K sont ceux des traitements relatifs aux trois facteurs réalisés
sur les unités d'expériences. »
Soient :
les vecteurs principaux issus de l'A.C.P. des tenseurs respectifs.
xKIJ de ((GMF)IIE,QGNIIM)
xJK1 de ((EGG)IIF,MGQGN)
et
xJIK de ((EMF)MG,MIINGQ)
Proposition 3
cc Le tenseur llJ se décompose comme suit ;
KIJ
aK
ÀI
l'J
x
=E L L(~a,À ,11),!!
II~
II~
a IÀ,Il
où le réel (~a,À,I') est égal à ;
k1
À 1
aK
~ À
=ECJI~
,~ >N •c9 k ''!! >Q
a,
,1'
k
»

PI-euve
/[J=r
c!'fJtfJ
(théorème dè clëcomposi t ion)
lit; 1p' 1'"
-
Fs'ëcrit:
kl
kl
XI
XI
II~ =r<l,ç ,v 'Nv
X
-
-
Comme élément supplémentaire clans l'espace factoriel engenclré par
(,li
IXôln'll
par suite
k 1
XI
1:< c
,v
> 9k élément de G s'écrit
k 1' -
-
N
.
.
kl
XI
mK
wok
l.«l:</,~
,~ >N9k) ,I.:! 'Q-
o
k
comme élément supplémentaire dans la base {I.:!mk /uôlm'Il
en prenant :-
_ (.
k 1
XI
"K
fJ,
-< l:k<"~
,~ 'N9k)'I.:! 'Q
Ct,/\\ ,Il
r
="< ckl
XI
uk
L
,~'N ·<9k'I.:!
>Q
k 1'-
on a :
l'
mk
XI
c =l:[ fJ
I.:!
II~
""
u,À
lt.À .1 1
ce qui assure la conclusion.

.86.
Remarque
JK 1
J
«
Les fonllu l es de décompos it i on des tenseurs x
et x 1K sont ident i ques
à une homothétie près et une pennutation près des vecteurs II ,"!.aK et tj'J
à celles établies dans la proposition 3.
»
Corollaire
«
Preuve
On a

Il suffit donc de montrer que:
f,
:{J
À ,a ,Il
a ,À ,fi
On a par dualité entre lignes et colonnes d'un tableau
par suite
et
*i (
k1
ak
À1
f,
=[ (Ef
C
)<9k ,W
>Q<f., v
>N
",a,1J i k-
Il-
-
-1
-
a k
(f* i
k1)
À 1
)
=[<9k'w
>Q r.
(c
<f. ,v
>N
k
-
i-
W
-1-
[
ak
*i
kl
ÀI
=k<9k'''!.
>Q<~f (IJ~ )fi'~ >N
1
ak
kl
ÀK
=[<9k'''!.
>Q<Il~
,~ >N
k
-{3
- a,À ,Il
C.Q.F.M.
Les tenseurs xKIJ et xIKJ éléments recpectifs de (G0F)0E et de (FMG)0E
se décomposent de façon identique à une pennutation près des vecteurs
~À 1 et "!."K.

.H7.
Des fonllules de la proposi tion 3 011 retrouve le modèle de TUCKEIl 1 ~21
i.e
§ (C.2) Iléférentiels dérivant de ~~se du tenseur
xK1J
k
de GM(FME) : reconstitution de la strate X
Considérons le scliéma de dualité suivant
xy
G*
·:"i tx
1Dq
Y
rAME*
G
S ·
t
X
X
XK
.
t l
' ( ' )
. ,
l
Olen
~. t
et ~
respectlvemen
es ft eme
axe prlnclpa • facteur
principal et composante IlI'incipale issues de l'A.C.P. de Xy'
X
,-
• t
~
s eCrl
:
X
u =f. l:u, .. f.lle .
'1.
• •
ftlJ-l
- J
1 .J
=~fiIlJ'((i)
1
Où u\\ est élément de L R (FA;E) de matrice Ù' associée UX(X=l) fournit
les deux nuages de points :
1 il' J Jet
M={ (X !!j 1 • _1_)
1 .i: J J
1 J
1
le tenseur J est appelé
(ème) r-éfér-entiel et UX X (cille) lIIatrice de
'1.
ré férence.
l
Le scliéma de dualité associé il l'analyse de U
est le suivant:
ul
E ..
r:p
·l tu1
['
.. F
1-
Pour décri re N et f1 on fai t l'ACI' non centrée de U .

Proposition
«
On a la formule de reconstitution globale des données
»
Preuve
k
k
À
À
X =[<x ,u >M
u
'1.
À '1.
'1.
Y
'1.
*k
ÀK
À
*k
ÀK
À
*i
=~9 (~ l~ =*9 (~ 1(~fi~U (f Il
*k
Àk
À
*i
= [fl·~(r.9
(~
lu (f Il
i
À
xk
À
i
=Efl·~([9
(~
lu l(! 1
i
À
k
i
= f i ~x (f
1
d'où
et
Ce qui assure le résultat énoncé.

ctIAPI'l11E IV
APPLlCAJ'.IONS


.91.
§ (IV. 1)
Un tab leau reclèll)~lre cie données est lin cllbe spécif 19"e.
4.1.1.
Introduction.
Nous étudions dans ce paragraphe sous quelles condilions un
tahleau rectangulaire de données
X
peut être Inte .. prété comme un cube
pa ..llculle .. sans affecter pour autallt les résultats de son analyse.
Cette
trônsformalion permet de faire apparaf1re une Infoflilallon nouvelle qui per-
mettra d'étudier les liaisons entre variables
xJ (définies par ce tableau)
en terme de dépend~e. CE;tte approche permettra d'analyser les données
en terllies d8 finesse d'une parUtions,
ce qui n'apparaft pas clairement dans
l'analyse usuelle du tableau
X . Pour ce faire,
nous mettons en évidence
l'Informallon qualitative apportée par les variables
XJ (J EJl
en regroupant
les individus dans des catégories définies par leurs scores sur chaque va-
rlable (cf.
Catherine d'AU BIGNY [ 12] ).
*
Solt
x
un élément de
rH (F
; E)
de matrlc8
X
associée tel
t
*j
que
2iJ 1
x(e
)
(j E: J)
salent des variables quanlltallves.
J
Soit
1\\
l'enselld>ie des valeurs prises par les
X
sur
1 • On
a H = l . J H
avec
J
J
On peut écrire
}\\
sous
la forme
J
}\\
= l x
/ k E ] ln
1)
j
Jk'
J

m
est le nombre de valeurs différentes de la variable
et
J
] m 1 =
J
J
On salt que chaque variable
X
Indult sur
les catégories
C
=
x
J k
J k
Xk
J
est appelé le code de la caJ&gorle
JC
' ou encore de la moda llté
k
J
k
cie
X
.

.92.
On note
C.
l'ensemble des catégories induites sur
par la variable
xj
)
et
C
u C.
J
)
Lorsque le tableau
X
est quelconque, deux catégories égales peuvent
avoir des codes différents (voir fig : 4.1). En tenant compte du fait que
dans la définition (1) du cube de données donnée au paragraphe
(2.1.1),
la façon dont les ensembles
l, J et
K
ont été construits n'intervient pas
et lorsque
C
est l'ensemble des "juges", ses éléments doivent être
déterminés de façon unique, on ne peut donc pas leur attribuer deux codes
distincts
~ 1 2 3 4
i
X
80
70
80
50
~
2
x
2
4
2
10
50
( 1 •3 }
( 1 , 3 }
or
8 0 1- 2 .
4.1 .2.
Cube de données et analyses.
Hypothèse
"Le tableau
X
vérifie la condition suivante :
j
les catégories induites sur
par les variables
X
sont toutes distinctes".
Sous cette hypothèse on a
C
et
III
n
Puisqu'aucune catégorie n'est vide nous avons au plus
(2 )_1
catégories
distinctes pour
III = n .

.')3.
Un exemple
~ 1 2 3 4
5
Xl
00
10
80
00
10
fig
4 .2
2
X
5
20
1
1
5
[ l ,3 ,4 )
[3,4)
el
C
[[1,3,4)
[2,51 ,'l1,51 , [2), [3,4)
} .
So il
[S
/ k E: 1111 l
la hase canonique de l'espace euclldlen
J-k
J
(G
,M )
isomorphe à
nlllJ •
J
J
On déilnit le cube
x
de données comme suit
x
I x C X J - . [ O , l j
si
i E Ck
sinon
Chaque élémenl
j E J
permet de mettre en dualité les Individus éléments
de
et les catégories élémenls de
C
par la slrate
)
{dément de
".
r
(G
. f)
de malrlce associée
D(
J'
1 E: 1
(x (l, C
' Il
k
kElrn ]
J
qui a pOlir k ème vecteur colonne le vecleur

Il C <.) est la fonction Indicatrice de la catégorie
J k
J
J
"k
Z
=
M( z
; (J ~
) ,
(! 1) )

.94.
les vecteurs
k 1
j
*k
J~' = Z ( j §. ) (kE]m ))
j
forment le nuage des catégories
k I l
7/1 = ( (jl'
,;;--) /
k E ) m ) l
j
j
ies vecteurs
iC
t
j
*i
j
Z
.
Z
(~
)
(i E i)
B
k E) m.]
J
forment ie nuage des individus
iC·
1
((_z
J
) / i E I )
'liT
On représente ainsi le tableau
zj
sous forme disjonctive complète
~ 1 •
i
n
marge
code
1
0
0
0
= n
0
rr
u
k
1
1
0
jn k
{k
mj
0
0
1

tk
est l'effectif de la catégorie
JC k .
En faisant l'hypothèse d'équipondération sur les indivIdus l'analyse du
tableau
tzj
ne nous donne pas de résultats intéressants.
Mais le croise-

.95.
t
J'
illé:nt des tableaux
tZJ
et
Z
(j fJ')
permet d'étudIer les relallons de
dépendances entre variables
Xl
et
Xl'
à l'aIde d'une analyse factorielle
des correspondances
(A r C)
trüduiLe par le shéma de dualllé suivant
tzj
..
tZl'
G

F
GJ'
J

-1
j
n
n
Zl'
..
j -1
VI
f~l
VI'
zJ
..
G
F ~
Gl'
J
t l
0
1.
't
avec
V
k
j
n
, nm
0
J
J
cette A.F.C.
n'est autre que l'analyse du tableau de conllngence
vjJ'
= t zl ZJ'
défini comme tri croisé et de terme générique
Jj' n
,
I:
kk
1 El
code
Tableau de
conllngence
fig
4.4
x
Cette analyse ne fait pos Intervenir les codage
j k
.
La liaison entre
J
variables
X
et
Xl'
est donc étudiée en terme de dépendance il l'aide
d'un des nOllllHeux Indices utilisables:
2
par exelllple la statistique du
X
(cf. Catherine d'AUflIGNY [ 12] ).

.96.
4.1.3.
Analyse du nuage des représentants des catégories.
Nous allons analyser à partir d'un tenseur spécifique le nuage
des points
U
avec
j
~
0jj' il
C (il ej'
représente
l'individu
dans la catégorie
j'
j
k
Sachant que tous
les individus d'une même catégorie ont le même représentant.
celte analyse se résume en celui des
~
m
représentants
(il y a autant
J
j
de représentants que de catégories).
Solt
G
Œi
G

(G • Njjl
est un espace euclidien engen-
J
J
J
dré par la base canonique
[J g k /k E ] m ]}
G
J
J
SoiL
x
le tenseur de
E 0 (G0 F')
associé à l'élément
x
de
SR (E * ;G0Fl
de matrice
X
associée tel que
*j
J'
x (Q.
)
oJj' Z
avec
~
J~ k 0 J ~k 1 un élément de
kE]m.]
)
par suite
G0F
l
les tenseurs
t
{j EJ 1
forment le nuage des variables

on a
·A J
Cl
x
M (x; (c
)
,
(J - k Qll fi ))
1
t
[ -
1
0 - 0
Z
0
0
1
'::
)
0
U
zP
0
-- o ._
0
JI
z
0
1-
kI
m,
z
1-
11\\1 1
0
~
1 -D-
II
z
J-
O
::::
0
0
z
\\
mJ
. kl
z
j -
0
m) 1
j-'
Il
z
0
p-
kl
\\ III
z
p-
p
~mpJ
0
0
--Jl-

.91
J"es vecteurs colonnes de
X
forment une base. Par suite le sous-espace
vectoriel de
G 0 F
engendré par les tenseurs
~J (j En est de dimension p
L'application linéaire
x
est injective. A la transposée de
x
est associée
la matrice
Les vecteurs
t x ( J'9. * k 0 !. *i )
(
] · 1 )
iEI, kE
m
.
J
J'
forment les nuages des individus
N
((k~iJ,p.) 1 iEI,kE]m,J)
J
1
J
appartenant à l'ensemble
C
U
c
J
J k
J
U
N
est le nuage des
I;
m
représentants d'individus.
j
j
j
j
Le schéma de dualité suivant est associé à l'analyse du tableau
E
_
~~
G *0 r *
:.l
r. :.
X
p

.99.
Pour décrire
N
et
'ln nous allons choisir pour f1l6trlquus
N
Q~ D
Il
Oil
Q (resp.
D)
est une métrique; dM)!>
G
(rusp.
l').
P
Co III Ille
G
ED
G
on d
J
J
J E J
Q
[Cf ( J~ k • J' ~ k' )] k E] m ]
J
J' E J
k'E]mJ'l
J E J
J' EJ
avec
une forllle bllinéalre définie sur
est la
métrique Illter et
N
métrique
Intra
(cf.
paragraphe
(3.1. -1) ).
JJ
Nous avons par déflnllion
J
J'
Z
z ) N
~ D
JI'
p
(4.1.3.1)
Li
k E ] IIl ]
J
k'EJfIlj']
d'où le résultat
suivant
ProQIlété fonclalllentdie.
"Si l'on pose

.100.
on a
XJ'I ) D
p
JI
J

X
représente la variable
X
associée au tableau d'origine
X
"
Démonstration
= r:
(k
J~k l
kElm.l
J
et
r-
k El In 1
J
k'E]m.,l
J
or d'après l'expression (4.1.3.1)
on a
.zkl
.,zk'I
( ti • /
)
(
Q~ D
B
J-
• J -
)D
p
kElm.l
p
J
k'Elm.' 1
J
l'égalité est assuré si J'on prend
(J'~\\' j'2k ')N
Jj'
Par suite on est assuré de l'équivalence des images euclidiennes
et
([t J IJET). Ger. QeD)
p

.101.
Le le nseur
li
e;;l donc le re~sùnlant de la varlilb le
X J • c'est en ce la
que cette propriété est fondamentale. I\\in;;l donc les analyses des tableaux
(non centrés)
X
el
t x
donnent le;; lIleme;; résultat;; en ce quI concerne
la descrlpliDn dans
Je plan de COlllpOSanl.ùs principales.
1)
Dans les plans principaux les vecteurs illdlvidu
illillaux
Jo:
[,
HI
peuvenl être représenlés
COllllllC points supplémentdires.
Cora lia Ire de
la propriété fonda me nta le
"SI le tableau
X
est
D
-centré
p
l'
( t j
l'
Cov (X J ,Xl')
)QQlI Dp
J 2
J
Var (X )
1: 1 QQlIDP
J
J'
(t
, l
)OQllD
p
1/1
_
0 <& DP
J
Salt
a
(
x
)
le vecteur coddye de
la variable
X

-J
j
k kE1lllJl
on a
4.1.4.
Fibrage.
«appelons que l'on a pour tout
k El m 1
J
xi J
Il (1)
k-
e
0jj'
C
-j'
J k

Les individus d'une même catégorie ont donc le même représentant et deux
individus appartenant à des catégories différentes (Induites par une même
variable) peuvent aussi avoir le même re prése nta nt puisque les codages ne
J] (i)
sont pas
il (i)
prises en compte. Re rnplaçons
par
dans l'expres-
(k
jC k
jC k
sion de
k ~i)
aiors
i)
i' J
2
2
... (k,k') E lm, l
k~
= 0. k'2l.
pour tout
(i,i') E 1
J
i J
Lorsque la variable
est fixée,
les vecteurs individus
k~ (k El m, l, i EIl
J
sont tous colinéaires et donc portés par une même fibre (cf. exemple §(II.2)).
Pour leur description, l1s seront tous alignés, car il y a conservation de la
colinéarité par changement de base ou pM projection.
Et quand
parcourt
l'ensemble
) . le plan principal est alors
"quadrillé" par les fibres.
On a la représentation suivante de ce plan
~e
o
J
6 ,
-e
(>
o
p
(>
o
(>
o
(>
o
fig
4.5
(>
o
(>
(>
o
0
6
1er axe factoriel
-u i
on a
xi)
Il (i)
k-
~
e
Ôjj'
(k
jC
J
k
J'
(l)
xj(l)
~
Il
e,
ô Jj'
j'
JCk
J
xJ(l) e J

.103.
Ce qui montre que les fibre:; ell que:;tlon sont celles construlles dans Je
cas usuol par dualité à l'aide du schéma
x
...
C
' 4 i - - - - - - - - - - l'
cd ._....;tx~
__+l';p
Dans ce cas.
la description cles points se lait non seulement Je long d'une
flure.
Illais aussi par rapport à d'autres. On utilise encore ici le schéma de
dualité du paragraphe précédent à savoir
x
...
...
E •
G
01'
~l
1Q"0
lX
E
.C0 r p
On décrll les nuages des llolnts
N
et
'ln
en prenant pour
Q
la "métrique"
de terme générique
(avec
Q=[N
,lJEJ
) .
JJ
l' ES
Dans ce cas la propriété fonda menla le
J
ti'
( ~i
XJ'l )
(t

se trouve conserver.
)Q0D
-
D
p
p
Ilelllargue ;
"Malgré le remplacement cie
11 C (1)
par
n C (1)
dans
J k
J k
l'expression de
• le sous-espace vectoriel de
engendré par
les
p
tenseurs
reste ùe dimension
p

.104.
§ (IV. 2)
Le problème des rotations procrustes ou la recherche d'une métrique
inter.
4.2.1.
Position du problème et formulation des hypothèses mathématiques.
a) Formalisation traditionnelle du problème.
Etant données deux images euclidiennes
II
(( NX(k) = ((k 1i
,Pi) liE! },E,!p») (k=ko,k )
de
(l,dl)
.
j
Les nuages de points
N (k)
et
N (k)
n'ont dans
(E,!)
ni la même
x
0
x
1
p
orientation, ni la mêlne forme,
la position de l'un par rapport à l'autre étant
flxée.
Le problème de la comparaison de ces deux nuages de points se
pose en ces termes
:
-
Dans quelle mesure peut-on considérer comme éguivalentes ces
deux images euclidiennes
?
-
Ces deux nuages de points diffèrent-ils significativement
?
Géométriquement, la résolution de ce problème procède de deux façons,
la
première par identification, qui consiste à considérer l'un des deux nuages
de points (par exemple
NX(k 1)
comme une "cible" sur lequel par déplacement
on fait col'ncider au mieux l'autre nuage de points sans le déformer.
Ces déplacements opèrent (par étapes) une translation (qui permet de rendre
les deux nuages de points "concentriques"), une rotation autour de ce centre
de gravité commun (ou bien une symétrie), enfin une homothétie (voir fig :
4 . 6 ; 4 . 7 ; 4 . 8 )

.105.
le uanslaté
NX(k(fJ']),
.•. - - / de N (k )
-"QN
1

X
0
;

0
1
x
(k)
, < - -
• •
((1)
,
0
Il Il
-
I '.
l ,
1
a
o
fl.,
fig
<1.6
tra ns latlon
fig
4,7
rot.atlon
fig
4. Il : hOlllothétle
Mathématlque ment,
pour résoudre ce problème on écrll dans
( M
(Jl(), (
p,n
»0 ,1 ) le modèle suivant
p
p
k
X ] = 0.1'

Il
est ulle translation ùe vecteur
!:J.I , Il = [ QI, •.. , QI" .. , Q.I ] , P
une
applJcatlon orthogonale
(I.e.
t p p = 1 ) ,0.
le rapport. d'une homothétie et.
p

traùull les résidus de cet ajustement.
Soient respectivement
E(p)
et
~(p) les groupes ùes translations ou bien
des appllcatlons orthogonales et ùes slnlillLudûs (nous reprenons lei les nota-
lions de Sluson [40] ) aveu
p = dindE) .

·106.
Le modèle mathématique précédent peut s'écrire plus généralement
k
T X 0
-1-
E:
,
T E (E(p) , S(p) )
f(p)
.
k
k
Pour faire corncider au mieux les tableaux
X 1
et
X 0
on calcule
l'estimateur
T
de
T
qui minimise le critère d'ajustement (Sibson [40] )
( il II~
iJ
2
!TEf(p))
E:
,1
L;
1
iJ_T
x
I
Pi
k 1 x
k
1
p
p
i
o
P
k
et l'on mesure l'écart entre les tableaux
et
X 0
par la statistique
procruste (Sibson [40]
k
k o
iJ
G
(Xl
X
)
r
'
x
T ko
Une deuxième approche par appariement consiste à transformer simultanément
les deux nuages de points jusqu'à les faire corncider au mieux.
b) La nouvelle approche ou la recherche de la métrique inter.
b. 1. Introduction.
Considérons deux images euclidiennes
avec
M
et
M
quelconques.
Ces deux images euclidiennes sont
kok o
kjkj
équivalentes à celles du sous-paragraphe précédent (cf. proposition § (3. A.4.))
Le nuage de points
N
(k)
est représenté dans le sous-espace
x
euclidien
0E
M
)
de
G0E=
a;
o E) . Rechercher les

kk
k
positions relatives
des deux nuages de points équivaut à rechercher celles
des sous espaces
(k=ko,k
)

Elles sont donc déterminées par
j
la métrique Inter

.107.
Enfin l'orientation du nuaQe
Nx(k)
(k = ka. kt)
est ceiul du sous espace
(k = k
• k
)
dans
G 0 E:
o
1
Pour positIonner les nuages de poInts
N x (k)
(k = k o' k 1)
à dIstance
minimale. on s'alltorlse des translations (à .. 1·lntérleu.... de chaque espace
euclIdien
(t:.
~ E • M
)
pulsqu'une translation est une bijection d'un
kk
-'\\
espacû donné dans
lul-meme).
des rotations
(ou sYltlétrles) et des homothéties.
-----------------.....
N (k )
x
a
Ug
4.9.
Propos Jt Ion (1)
k
"
Soient
"
L;
Je barycentre du nuage des poInts
N (k)
et
1
x
'J'une translatton.
On a
k
k'
k
k
( 9
'J'k 2
kt k') <'
>(g = 0 '" k )
l.a preuve rés ulte de ce que
t.
0
E:
et
Il
o E
sont deux
-gk
-gk'
espaces supplémenlftlres.
Faire colnclde .. deux barycentres revient donc à
centrer les deux nuages de points.
t;upposons les nuages
N (k)
x

.108.
Dans
~ E , M
k )
le modèle mathématique s'écrit
k 1 1
(l)
N (k )
a. P
N (k ) + N
x
1
x
0


N
(C~i, Pi) li El} est le nuage des résidus associés à chacun des

indi v idus
i E l ,
€i
=
xi - a. P k . (
a.
le rapport d'une homothétie et
kl'"
0
P
une isométrie de
f',
~ E
dans
f',
~ E . Elle vérifie la condition
-gk
-gk
o
1
d'invariance
i
i'
i'
x
x
k ~
)
o
M
k
k o 0
qui peut encore s'écrire
Remarque (l)
"P
n'est une rotation (ou symétrie) que pour
l P
Nous traitons donc dans ce paragraphe un problème général dont celui des
rotations procrustes en est un cas particuller.
Dans ce cas,
le modèle
mathématique ci-dessus ne peut être écrit dans
M
OR)
à cause des
p,n
contraintes sur les métriques
M
(k EK)
qui doivent être égales"
kk

.109.
1>-2
Estimation des paramètres du modèle
On convient de mesurer l'écart entre les points k1~i et ko(i (iel) dans
f',
ilE par l'écart quadratique
-gk
. .
.
.
2
I lx 1
k
-
Tk Xl lM
,Te r(p)
'"
0"-
k lk 1
et l 'écal't entre les nuages de points Nx(k ) et Nx(ko) par la somne pondérée
de ces écarts quadratique :
2
lJ.
(Nx(kl) ,Nx(ko) lest l'inertie
Nt (cf notations de
CnOQUETTE III J ).
Pour positionner les nuages de points
minimale on cherche le paramètre
T qui minimise
/ \\
soit T cet estimateur de T le tenseur.
"i
i
A
i
~ =kl/t - Tko{ sera appelé tenseur résidu sur l'élément
ie!
b.2.l T est l'isométrie l'
Proposition (2)
«
Minimiser {;-Pi Ikl~i - Tko~j (
ITeE(p) o}
.
Mkl kl
revient à maximiser
Preuve

i
i 2
=EP·lk IX ,2
+EP'lk X 1
.
1
'"
M
. 1
0",
M
1
kiki 1
koko
puisque les deux premiers termes positifs du membre de droite de l'égalité
ci-dessus ne dépendent pas des paramètres P, minimiser
(EP J lklXi - T k xi 2
1
ITeE(p)}
revient à maximiser
.
1
'"
0",
M
1
klk 1
C.Q. F.M.
Les nuages de points Nx(k) (ke(ko,k 1})
sont plongés dans l'espace Euclidien.
De plus les seuls termes connus de la matrice Mx sont les métriques intra
M
(k=ko,k 1)
kk
On cherche à déterminer les matrices inter M , (klk' e(ko,k l
la décompos it
kk
})
i
EP ,1 k IX
-
xi 2
i2
i2
i 1
'"
ko", lM =~Pi kl~
+~Pi
1
1
1 ka{
lM
X 1
Mk1kl 1
koko
(cf propriété (2) § (3.A.4)

·111.
ConJuit à choisir pour métrique inter t\\lko' la matrice
où l' désigne une solution Je l'expression (1).
On a Jonc Jans ce cas (Croquette [ III )
.
rechercher l'estimateur P de l'équivaut à rechercher la métrique inter M
'
kako
Une généralisation Je cette démarche au cas de III nuage de points Nx(k) (It"K)
permet de construire Mx tout entier.
La solution construi te par CllOQUETTE (Il) est donnée par:
Mklko~Mklk' Vklko(Mkoko Vkok1 Mk1kl Vk1ko ) -1/2MkOkO (*)
t kl
ko
1/2
X
Mk1ko X Dp~(Wklkl Op Wkoko Op)
La solution e~t unique si V
est régulier.
1
k1ko
W
k
k1k1 Op est l'opérateur d'ESCOUFIER Ukl associé au tableau X
et Vklko~XklOp tXko
Propriété
«
On a la propriété de symétrie:
En effet
(W koko Op WklklOp) et (Wk1kl Op W
D ) ont les mêmes
koko
p
valeurs propres non nulles dans le même ordre de multiplicité (cf SIBSON 1401).
COllllle ces deux ma tr i ces sont non néOa t ives. on a ,:
1j2
1/2
1/
Tr(W koko Op Wk k Op)
~fl.i
~TdWklkl Op Wkoko Op) .2
(cf Annexe A.4)
Propos i li on (3)
«L'isométrie Il ~ (:<Jk,"lE,Mk1kIl dans (,:gkoIlE • M
)
koko
qui minimise:
i 2
:-Pi Iko~i - (j kl~IM
llfE(p)}
1
-
koko
est l'adjoint P* • de l'isométrie P 501ution de l'expression (1) >)0
(pour'la défl~1t1on'de p. confére annexe A.5).
(,) Pour sa défini tion voir annexe A.2

.112.
Preuve
D'après l'expression (2) on a :
Mkokl=Mkoko 6
la propriété de symétrie ci-dessus entraîne que
M
=t M
klko
kokl
Or il est montré en annexe que
-*
_1 t-
_1
P =M
t(M
P)
koko
~ Mklkl=Mkoko
klkl
_1
=M
t
koko
(M klko )
=M koko _1 Mkok1
=6
C.Q.F.M.
b.2.2. T est la similitude de
P
Pétant l'isométrie construite au paragraphe §(b.2.1) et a le rapport
d'une homothétie.
Proposition 4
«
Le réel :
-a=Tr(Wkoko Op Wk1k1
i 2
Ik< lM koko
Minimise
»
Preuve
i 2
posons ...~(a)=EP·lklxi - aP k x
la fonction polynôme du
i l
'V
Ü'Io
lMklk1
second degré en a dont la dérivée seconde.

.113 .
est stricteillelit posi tive
atteint par conséquent son minimum absolu pour la va leur.
Cl
qui annule sa dérivée première:
i 2
1/
d 7C1W=°1 ko~" lM
- Tr(Wi<Dko Op Wk k Op)
2
-
koko
Ceci a,sure le résultat.
" est dOlic un estimateur des moindres carrés de CI,
Les deux «droites de régression»
construites ~ partir des modèles
(id)
x i =
0*
i
i
ko~
oP k1X
+ ~
(i cl)
"\\0
donnent deux indices différents ;
2
2
A
(Nx(k)).Nx(ko) et
A
(Nx(ko).Nx(k 1 ))
2
La mei lleure droi te étant celle a indice A
plus peti te.l'absence de symétrie
2
de l'indice A
rend impossible toute description de plus de deux nuages de
points Nx(k) (k=1.2, ...• m).
k
4.2.2, Comparaison des tableaux X
solution des «rotations procrustes»
Nous avons vu au paragraphe (2,1.2.)qu~;la.stratificationdu cube ~
k
selon le facteur K permet de construire un tenseur x
(keK) solution du système
'"
~ i k . k i=1,2.,,n
f* IIg* Me*J (x )=x. 'k
-
-
'"
lJ
j=1.2 ... p
et plongé dans le sous-vectoriel :
de FMFIIE=FM($ (~gkM[))
le
Proposition (5)

.114.
Preuve
C.Q.F .M.
k
On peut aussi écrire x
sous la forme

xk=Ef.mxk(f*i)

i-1
-
xk(f*i)= xi
-
k'ù
k
x
est un élément de LJR (F*;':9k~E) de matrice associée la strate Xk.
Les tenseurs k~; (id) forment le nuage des individus
i
1
Nx(k)= {(k\\ ,Pi)
iE!}
introduit au paragraphe (4.2.1.b).
Théorème
«
Soient x.k (k€K)
un élément de F~(,:gkn) (k€K) ~ a k (k€K) un réel non nul
~;
m
k
k
(E
a
v =O)~v =0
YkéK)
»
k=1 k 'ù
' ù ' ù

Preuve
triviale
Mais:
1+ 1
-a l +1 ~
€ FS(,:gl+I~E)
l
s
l
l
S~1 as ~ € S~I(F~(~9s~E))=F9~:i,:gsmE))
et l'on peut montrer (Grenb [21] pp 20)
l
(F9(~=f,:gs9E))) n(F9(,:gl+I~E))

l
F~((~al(~gsME)) n(~gl+I~E))
puisque
l
(~al(~gsME))n(~gl+1 0E))a(QI
(Condition requise par une somme directe de sous-espaces vectoriels cf KATSUMI
125J pp 50).
Par suite;
H·l
al+ 1~
aQ
1+ 1
X,
aQ
Vl dl.rn-ll
résulte donc de ce que:
C.Q.F.M.
D'après ce théorème. le nuage des points :
k
Na{({ ,qk) (keK)
ne peut être centré (au sens de la métrique 0q)
sans le réduire au singleton (oJ
"-
Ce qui estl~bsurde.
Dans ce pat'agraphe nous allons faire la description du nuage Na((~k,qk) IkeK)
des tenseurs /
(keK) associés respectivement aux tableaux xk (keK) à partir
'"
du tenseur {de G~(F0(GME)) associé à l'élément x de L rn (G*;FM(G~[)) de matrice
..k
~aM(Xi(9 ).(fi~gk'~~j))
te l que
x(g*k)ax k
(keK)
'"
D'après le paragraphe (J.A.3) la matrice ~ est une ~~os1tion des tableaux ~~
ti a[i-t
l.· ...
l , ...
i-t~J
vérifiant les relations de dualité
k
i
.y a kx
1",
"'.
yi es t un é1émen t de M
( Itl)
pm,m
de fonne bloc diagonale
1"
IJ
il
o
kJ
.y
1-
o
mJ
i~

.116.
par sui te X s'écrit
""
IJ
I~
0
kJ
I~
0
mJ
I~
..)
IJ
.y
0
{
\\
'V "
X
1-
kJ
'1
. \\
""
i Y
0
-"
ymJ
i
/
; '
\\
rv
IJ
\\
rfL
o
kJ
o
rfi
1a transposée de x correspond à 1a matrice
t
(t
(f*i (*k
*j) (
))
~=M x; _ s 9 s~
,gk'
pour
et k fixés, 1es vecteurs
vérifient
d'où la propriété.
Propriété (1)
«
Pour k fixé, les vecteurs i JyjK (ie l ,,iEJ) sont tous portés par 1 'axe
~gk.
Le nuage des variables est 1e suivant

.117.
Le schérlla de dua 1Hé suivant est associé il l' ana lyse du tableau X
'"
X
FIil(GIIE).
G*
"
l
M
t
IN
{
F'II(G*IIE*)
.G
Les nuages de points N et M sont décrits avec crn~lIe métriques
N=O
M=O
Il Mx
q
P
où Op (resp. Mx) est une métrique dans F (l'esp. GIIE"~ (~gk!JE) et Mx une matrice
relationnelle.
Nous avons :
def
k
k' 2
k
k' 2
lx
- x
1
= l:p·l·x
- .x
1
,~
'"
Il flM
i 1 h
h
I~
P x
x
la sO~lIe pondérée des écarts quadratiques résiduelles entre les deux nuages de
points Nx(k) et Nx(k')
(k/k').M
mesure donc la "variance résiduelle" (ou écart
x
quadra tique) .
Proposition (6)
«
La matrice de "variilnce-covarlance-
J'K
." des variables i,kY
est bloc
diagonale el est égale il :
o
v=
o
,>
Preuve
i
jK
j'K
j
<jkY
'i'k'Y
'0 1l'
q j'
"kk' est de dimension (np,np) et s'annule pour k/k'
jK
j oK
Car <i kY 'i' k 'Y
'0
XkiJ· Xi'k'J" <9k,9 k "1l
,

q
q
o pour kIk'

.118.
On a
Akk~[qk 'ikj 'i'k'j' ]~,j'
=qk Xk Il txk
C.Q.U1.
Cette proposition nous permet de calculer de façon effective la matrice V.
Propriètè fondamentale
k k'
k
t k'
«
<x ,x
>0 filM "'tr(X
0
X
Mk'k)
»
"\\1
"\\1
P X
P
Preuve
k
k'.
.
i
i
<~ ,~ >0 IIM·=~Pi<k~ 'k'~ >Mx
p
x 1
E
i
i
=iPi<k~ 'k'~ >M kk ,
Propri ètè (3)
«
reprèsente l'inertie du nuage des points Nx (k)
Première application de la propriètè fondamentale
lorsqu'il y a ègalitè entre les deux termes suivants
k
k' 2
k
k' 2
\\{
- {
10 IIM =~ Pili~ - i~
IM
P x 1
x
2
c,
(Nx(k) ,Nx(k')
la borne infèrieure de
IPéE (p) )
est telle que:
(cf § (4.2.1.b ))

.lJ9.
Pour ne pas perdre la propriété (3).
On fai t alOl'5 l'ACP non centré du tableau ~.
Dans le plan des conqlosantes principales les variables:
i kyjK (i e l ,ke K,jCJ) sont portées par m fibres les projections des -:gk (keK)
r;présentant les juges keK dans G
o
<>
o
<>
$
<>

<>
o
<>
o
....
<>
..
o
~Cl
1er axe factoriel
jK
fig; 4.10
~, n;O;T sont les points variables 1,kY
Dans le plan des vecteurs principaux on mettra en évidence la classe des tenseurs
.l;\\k (keK) homogénes, c'est-à-dire ceux qui sont des plus rapprochés (deux à deux)
possible.
Cas particulier: Utilisation des métriques treillis.
Supposons que le nuage de points Nx(t) à l'instant tel dépend du nuage N
(t-l)
x
qui le précède et seulement de lui, alors pour décrire le nuage des points:
N~ [(Ii, t ,q t) 1 teT }
On prend pour métrique Mx la métrique treillis (cf § (A.4)) telle que
et
On traite ainsi un problème de même nature que celui traité dans <les chaines cie
MARKOV d'ordre 1 lorsqu'on considère que les résultats d'une épreuve dépendent des
résultats de celle qui la précède et seulement d'eux.

·izo.
4.Z.3. Analyse des différences ou résiduelle
Soient Xk et Xk' (k<k') les deux tableaux qui ont fourni la meilleure
approximation. On va analyser le nuage des points :
N={((k,~i - k~i)'Pi) li€!}
afin de mettre en évidence ceux des points dont l'écart quadratique résiduel
i i
I
2
k'~ - k~ 1Mx
a été des plus faibles.
Cette analyse se fait à partir du tenseur ~t de
F~((~gk~E)ID(~gk,~E))
associé à l'élément:
xt de LIR (F*; (~gk~E)~ (~gk' liE)) de matri ce
{t associée telle que:
La matrice ~t s'écrit
k
_1 ax \\

'"
k 1
X
où a=-]
A la transposée de x est associé le tableau:
t
t
t
*k
*j
~t=M( Xt;(~ l'l~ ),(fi ))
t
(*ko
*j)
{a k~j r
ko=k
les vecteurs
x 9
jeJ
t
l'l~
=
k,~jl
ko=k'
forment le nuage des variables
ï
M={(a k~jl_l_ )
IjeJ} u {(k,~J _1_)
IjeJ}
!X 1
IJI
le schéma de dualité su'j va nt es t as soci é à l'analyse du tableau ~t
~t
(~gk
F*
Q E) W(~gk' 6il E)
4
Qk.k·i V
IN
t x
(~g*k Il E*) W(~g*k' Q E*) ,
"'t
.. F

.121.
L'analyse du triplet (Xt'Dp,Ok k') IJermet de construire les tellseu.'s principaux
À
' 1 . ,
À!
~
(À=l,2 , ... ) dans (~gkflE)",(~gk ,ME) et ç
(À=1,2, ... ) cOlllposantes principales
dans F vér Î fi ont :
i
k{ ) s'écrit dans la base
ÀI
avec
ç =~~(\\(k',k,i,À))fi
1
i
i 2
2
et
Ik'~ -k~ 10
= Àl:(u(k' ,k, i ,À))
k,k'
=Îii r 2
v
0k,k'
par suite l'inertie Ig du nuage N s'écrit:
l ' i nd i ce
mesure en pourcentage la part d'inertie expliqué par le point if! dans le
prelllier plan principal. Ceux des points dont l'indice est faible sont ceux
à écart quadratique résiduel petit.

.122.
4.2.4. Indicateur de liaison entre deux nuages de points
l' i ndi ce
k
k'
lx ID
~ H x 1x ID ~ Mx
'"
p x ' "
p
Mesure le degré d'équivalence entre images euclidiennes
(Nx{k), ~gk 9 E, Mkk ) et (Nx{k'), 'l9k' 9 E, Mk'k') tenant compte
de leur positions relatives dans G &E c'est-à-dire des métriques
inter r"kk' (k ~ k'). 1l général i se (comme on le verra au paragra-
phe suivant) tous les indices de même nature: le RV d'Escoufier
le COR de Jaffrenou etc. et satisfai t à la propriété génêrale
suivante :
Propriété générale
"NZ E [-1, 1] "
Théorème
"Pour Mx solution des notations procrustes
avec ~ une application orthogonale".
Preuve
1 <=
1
k' -
k
«X
,f' X"O
Mk'k'
p.
k'
k
Il'< 1\\0 M
Ilx 11 0 M
p' k'k '
p' kk

.123.
1=>-1
(M(
)(IIl).«,
p,n
et
k
k
k
NZ(xk'.x ) ~ 1 =>
X '
,\\ P X
avec
,\\ t Ill, ,\\ > 0
'"
'"
or savons-Ilous que
par' conséquent
,\\ ~
et E ~ 0
C.Q. F .r~.
Coro 11 a i l'e
"Les images Enclidiennes
sont équivalentes"
car

.124.
§ (4.3.) Comparaison avec d'autres procédures
autres applications
de la propriété fondamentale
Dans ce paragraphe, nous allons montrer que les procédures de compa-
raisons des tableaux Xk(k €
K) font toutes la description du nuage
des tenseurs N = [(~k, qk) 1 k € K}
et ne différent que par le choix
des métriques qui caractérisent les approches d'Esconfier, de Jaffrenou
des notations procrustes et des métriques relationnelles de Schektman.
4.3.1. L' approche de Jaffrenou
[24]
Si l'on prend t1
= N il M avec N une« métri que» dont l es termes sont
n
2
tous égaux à l'unité, alors Mk'k = M V(k,k') €
K
on a la propriété
suivante:
Propri été (1)
"
k
k'
k
k'
< X
,x
>0
il N il M =« X ,X »0
M
p
p'
Preuve
k'
k
t k'
x
>0
il N il M = Tr (X
0
X
M)
P
k
k~
«X , X »0
M
p'
C.Q.F.t1.
par conséquent les images Euclidiennes de (K. dK)
([(xk,qk) 1 h €
K}, Mp,n (IR), «'»0
) sont équivalentes le
p,M
k
k
tenseur x
est le représentant du tableau X .
'"

d'oü la propriété
"
PropriHé 111
k
k'
k
NZ(~.O' ~.o )

l
<= >
Xk = À X ' + IJ
À
IR ale signe de NI
IJ
[~ •••• , ~ ••••• !J. !
kJ
k 'J
avec ~ = ~x
- À ~x
Interprétation de cette approche
L'interprétation de cette approche réside dans le choix particulier de N.
En effet on a :
Il k,k' €
K
ce qui est équivalent à
par conséquent l'espace vectoriel G est réduit a la droite ft
engendré
-g
par .2
G 9 E = A Il E
et
-g
F fi G Il E
F Q ..0.
6l E
est isomorphe il F 6l E.
g
Cela revient a posi~onner les nuages de points
x'
Nx(k)
(h', Pi) 1
Il
(k €
K) dans le même espace [licUdien
C~g Q E, 11k) Ol! leur descr-iption se fail de façon naturelle.

.126.
k
On a alors puisque x est élément de F 9 ~ 9 E
k
k'
k'
< ~
) ~
>
x >
'"
Xi
k'" ,
L Pi < k~iJ, k ,!;,iJ > M (et proposition (1) 1
i
§ (3.A.4.)
kIJ
k'IJ
< X
1
X
>
k
k'
«
X , X
»
Op ,/1
Ceci est une autre démonstration de la propriété (I) ci-dessus.
Rema rque (I)
"La différence entre l'approche de Jaffrenou et celle exposée au
paragraphe (B.2.) ne réside que dans le centrage des tableaux
k
X
(k E K). "
4.3.2. L'approche d'Escoufier [18]
Considérons le schéma de dualité suivant
Et:
Le tableau U =
k
tXk M
Xk Op est appelé Opérateur d' Escoufier
kk
L'ensemble H des opérateurs Op-Symétriques sur F définit un sous-espace
de LIR(F,F) qui contient tous les opérateurs Uk (k E K).

.In.
La forllle bilinéaire SYlllétrique P définie sur Lm (1'
F) par-
P(/\\,Ll) ~ Tr(AO)
permet oe définir une distilnce Euclidienne sur Il.
Lorsque pOlir t-lx nous fai sons le choix suivant:
Premier choix
k' D txk M
X
1Mk'k ~ Mk'k' P kk
~\\k ;c III
Dans ce cas
ce qui entraine que
On uti lise donc en ce cas la Illétrique de Mahalallobis
el on il la propriété
Propri étUil
"
< xk , xk ' >
,;
'"
D Il t1x
P

. ml.
Preuve :
k
k'
- 1 - 1
< {
• {
>
D Q M = Tr(V kk Vkk , Vk'k'
Vk'k)
P
x
C.Q.F.M.
par conséquent
les images Euclidiennes de (K, d ),
K
équivalentes.
{k est le représentant de U .
k
On a
la somme des carrés des coefficients canoniques entre les paquets
de variables Mx(k) et Mx(k')
Faire le choix de cette métrique Mx revient à décrire le nuage des
tableaux sous l'optique de l'analyse canonique.
Pour obtenir ce résultat, Escoufier ([18J, pp. 76) prend comme
métrique dans Ek la matrice Vk~

.129.
Deuxième choix
~ ~ - - - -
On a dans ce cas le résultat suivant:
=
~
j,j'
Plus deux variables (elles peuvent ètre identiques) ont une convariance
élevée, plus leuy- y-ôle est imponant dilns le cillcul de la distance
Euclidienne déduite de P par conséquent dans la descriptiofl du nuage
des tenseuy's
~k(k E K)
On met en exergue l'effet variance covariance
des variables kXJ(j E J, k E K).
POUY' obtenir ce résul tat Escoufier (U8], pp. 75) prend con~lIe métrique
dans E la llIatrice identité 'P'
Troisième choix
k'
Mk'k = Dl'
D
txk 0
X
!lJk '
P
1/o k'
1 f\\k = Ill/Ok Vkk D R
l/ok
kk
où R
est !il matrice des coefficients de corrélillion des variables
kk

.130.
On a le résultat:
P(U , U ,) = L
cor2(kxj,
kxj')
k
k
j,j'
Choisir ainsi Mx revient à supposer que les variables kxj(k E K.j E J)
sont centrées-réduites: il y a effet corrélation par analogie à l'effet
variance-covariance qui est ici éliminé. Escoufier ([18], pp. 76) prend
pour métrique dans E , la matrice M
/
pour obtenir le résultat
k
k = Dl Ok2
ci -dessus.
Quatrième choix ou le cas particulier de l 'Hermier des Plantes [28]
M 'k = Xk' tXk
k
t\\k = Xk txk
En effet, considérons S = (Sk/k E KJ le cube standard de l 'Hermier Des
Plantes où Sk représente la matrice des proximités entre éléments de I..
Sk E S(IR n) espace vectoriel des formes quadratiques sur !Rn.
Soit Xk le vecteur de lR n(n+l)/2 construit à partir de Sk par l'appli-
cation s de (l,2, ...• nJ 2 dans IR telle que
k
k
xs(i,i') = S(i,i')
(i colonne, i' ligne)
s(i,i,)=.il:!..=ll+i'
i = l ..... n
i',;
2
k
X
(X~(i.il))S=1,2, .... ~2..U

·131.
.
n( n+ J)
Soi t. I~ la lIIatrice dIagonale d'ordre _~
de terme" gênéri que
1 ; 1 < i
''ii. i ') 0
i'
On a la pro~riété suivante :
Pl'orri été (21 (1"28], pp. 12)

.132.
k
La factorisation canonique de Sk fournit la strate X i.e.
par conséquent on a
k
<x
xk'>I \\lM
Tr(Sk,Sk')
n x
p(Sk,Sk')
k
k'
<~ ,~ >M
par conséquent : les images Euclidiennes
({ (x k, qk)/kEK}, F8G8E, I 8M ) et
n x
k
Rn(n+1)/2, ~)
(il! ' qk)/kEK),
de (K, d )
K
sont équivalentes.
k
k
x
est le représentant du vecteur X
Choisir ainsi Mx revient A décrire le nuage des tableaux Xk (kEK) sous
l'optique d'analyse des tableaux des proximités entre éléments de 1.
Pour la description des tenseurs ~k (k"K) l 'Hermier Des Plantes (1:28l,
pp Il) pose une hypothèse d'équipondération des juges k K A notre avis
restrictive et on a la propriété:
Propriété (6)
"NZ(x k, xk')
RV(U , U ,)
k
k
Théorème
k'
"(NZ
±1) <-> (X

.133.
Preuve
1 <"= 1 triviale
L--> 1NZ = 1.1 ~> Uk, ÀUk
~>
k
les tl'iplets (X , M , Op) et (X "
~'k'k" Op) sont équivalents
kk
k
(cf Annexe A.3), ce qui nous amène à envisager deux cas:
k'
k
pour À
1 , il ex i s te une i somé tl' i e P te Ile que X
PX
k'
k
- l'our À l- 1, il existe une similitude Àf' tel le que X = ÀPX •
(La démonstration complète a été faite par Escoufier [1[\\:1, pp 68).
4.3.3 - Les métriques relationnelles lie SCHEKntAN l37]
Définit~..'!. ([Il], pp 47)
n o '
f(
À
\\
U)/À'
'1 l'
bl
,1


SOlent
ka, kU , k~
é.'I\\l
ensem
eues moments [JI'lnClpaux,
k
vecteurs axiaux, variables principales Op-normés de l'ACP de (X , M
, Op)
kk
et U
l'isométrie de (A 9kGE, ~\\k) dans (F, 0 ) définie par

À1 .
P
k(k~ ) = k~
VÀo'[Pk J ·
On dit que Mx est a effet relationnel (k, k') si
H
, = t
'
kk
Uk Op uk
avec
À1
c
et
k-
Pk le nombre de val eUIOs propres ui s li nc tes.
On a la solution suivante (cf croquette [10:1, pp 49)
pour M
(kEK) COlillnUn.
kk

.134.
Propriété (Il)
"Mx est a effet relationnel (k, k') si et seulement si
À
À'
Àl
À'1
cos (k~ , k' ~
) = cos (k!:.
'k '!:.
) V(À, À')
Pk x Pk'
Propriété (12)
"Mx est à effet relationnel (k,k') si et seulement si
Wkk , Op = (Wkk D )I/2 (Wk'k' D )I/2
p
p
Par conséquent on a
k
<x , xk'>D 9M
= Tr (W kk 0p)I/2 (Wk'k' D )I/2
p
P x
où P est le produit scalaire défini au paragraphe (4.3.2).
Par suite les images Euclidiennes
k
({(x, qk)/kEK}, F9(G9E),M ) et
x
({((W kk )I/2, qk)/kEK , H, P) sont équivalentes.
Pour un choix de la métrique intra Mkk (cf §(3.B.I.2.)), il correspond
une métrique inter Mk'k (k f k').
Exemple : ( 37 , pp 39)
-1
- 1 - 1
- Mkk = Vkk on a Mkk , = Vkk Vkk ' Vk'k'

.13~.
On retl'ouvC
là.
les tr'ois choix de l'approche d'Escou fiel"
On l'etl'ouve é')alement le choix de l 'Hennier Oes Plantes.
Pour' dêcrire le nuage de; di ffér'ences
i
N = f((,,~
k'x i). p·)/id) afin de pouvoir détecter ceux des indl-
v i dus i el don t la "v~r'ianc~
i
résiduelle" Ikx
- k, xi l2
Q
-
-
k,k' est faible
relativement aux autres). il suffit de remplacer dans l 'anillyse du para-
graphe (4.2.3) la Métrique Qk,k' correpondant ilU type de logique
(Escoufier, Jaffr'enou. Sc lIektlllan. Rotations procrustcs, etc.,.) qui
sous- tend l'ana lyse,


· D7.
IEXEMPLE
PRATIQUE
1


EXEMPLE PRATIQUE
Les données sont dans OOUIlOCIiE 181
~
Initiales
Période
1
ALLEt~AGNE
0
de 1963 à 1970
2 -
AUTillCIiE
A
3 -
t
BELGIQUE
U
LUXENOOURG
4 -
C/\\NAOA
CON
5 -
DAN[f~l\\IlK
OK
6 -
ESPAGNE
E
7 -
ETATS-UNIS
USA
U
Ff~ANCE
F
9 -
GIŒCE
GR
10 -
II<LANOE
SE
Variilbles
Initiales
l - Pourcentag~ d'actifs dans
r
AGI
l'agricullure et l'industrie
2 - Produit national brut en dOllarst
_2
PNB
et par hab. l< la
l
3 - ConsollHnation d'électricité en
ELE
Kwh par hab. et par an
4 - Nombre de T.V. pour 1000 hab.
TV
5-
Ba lance COIIHlIerc iale (lIIi 11 i ons d~ r
dollilrs)
OLC


DONNEES
- - -
- - - -
/INNEE
P/lYS
/I.G.I.
l'.N.IL
E.L.E.
T.V.
Il. L. C.
:
- - - - - - - - - -
D
61.a
1641
2UlO
131
1.0
- - - -
/1
63.5
1076
Ul19
53
0.3
- - - - -
U
53.2
1500
1633
110
0.2
CDN
45.7
2253
5742
240
6.9
1963
- - - - - -
DK
58.3
1700
12GB
lfJ2
3.2
E
72 .3
4B3
508
12
- 6.9
USA
41.0
3090
4670
300
0.9
- - - -
F
60.1
1771
1600
72
0.6
GR
77.2
520
207
0.0
- 7.9
SE
60.7
llOO
793
53
3.4
0
61.3
1780
2440
171
1.6
/1
61.7
1190
2060
J7
- 4.9
: - - - - - :
IJ
53.0
1660
1920
145
2.1
- - - - -
- - - -
CDN
44.7
2260
62110
265
1.8
DK
58.5
III 90
1520
210
5.8
..
1964
- - - - -
E
71.9
570
720
35
7.3
: - - - - ;
US/I
39.5
3330
5UlO
325
1.2
F
59.1
lù20
1030
III
1.2
Cil
78.5
590
380
0.0
13.0
- - - -
SE
61.0
920
940
70.0
15.4

.142.
ANNEE
PAYS
A. G.I.
P.N.B.
E. L. E.
T.V.
B.L.C.
o
60.6
1900
2597
192
0.4
A
69.1
1270
2155
100
- 5.4
:
B
:
52 2
:
1780
:
2022
:
163
:
o 1
:
:
:
:
:
:
:
CON
:
:
43.8
2460
:
6647
:
266
;
0.3
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
OK
:
58.8
:
2100
:
1711
:
230
:
- 5.6
1965
:
:
:
:
:
:
:
E
:
:
:
:
:
69.5
670
799
45
- 7.3
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
;
USA
:
39.1
:
3650
:
5473
:
370
:
0.8
:
:
:
:
:
:
:- - - -:
:
:
:
:
F
58.9
1920
1924
132
- 0.3
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
GR
74.8
690
445
0.0
,. Il. 5
:
:
:
:
:
:
:
SE
:
:
:
:
:
60.3
965
1079
98
-13.4
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
0
60.1
2010
2730
213
1.7
:
:
:
:
:
:
:
A
:
:
:
:
:
60.9
1380
2245
117
- 6.4
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
B
51. 3
1910
2210
174
- 1.8
:
:
:
:
:
:
;
:
:
:
:
:
:
CON
:
43.1
:
2670
:
7100
:
279
:
0.8
:- - -:
:
:
:
:
;
OK
:
58.5
:
2320
:
1850
:
230
;
- 5.3
1966
:
:
:
:
:
:
:
E
:
69.7
:
770
:
900
:
70
:
- 9.5
:
:
:
:
:
;
:
USA
:
39.6
:
3840
:
5835
:
372
:
0.6
:
;
:
:
:
:
:
F
:
58.4
:
2060
:
2035
:
153
:
- 1.0
:
;
:
:
:
:
:
GR
:
70.5
:
755
:
590
0.0
:
- 12.7
:
:
:
:
:
:
SE
;
59.8
:
1010
:
1170
139
:
- 12.3


.144.
ANNEE
PAYS
A. G. I.
P.N.B.
E.L.E.
1. V.
B.L.C.
o
58.7
2520
3322
231
2.7
A
59.0
1690
2647
134
- 3.2
B
50.0
2360
2671
186
0.3
CON
40.5
3460
8199
279
0.9
:
:
:
:
:
:
:
:
:
OK
:
50.4
:
2860
:
2413
:
244
:
- 6.1
1969
:
:
:
:
:
:
:
:
:
E
:
67.8
:
870
:
1245
:
84
:
- 8.1
:
:
:
:
:
:
:
:
:
USA
:
38.3
:
4660
:
7013
:
392
:
0.2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
F
:
55.7
:
2770
:
2407
:
185
:
- 1.7
:
:
:
:
:
:
:
:
:
GR
:
70.7
:
950
:
823
:
9
: - 12.4
:
:
:
:
:
:
:
:
:
SE
:
58.1
:
1190
:
1577
:
151
: - 15.3
:
:
:
0
:
59.3
:
3040
:
3551
:
262
:
2.4
:
:
:
:
:
:
:
:
:
A
:
59.3
:
1940
:
2843
:
173
:
- 4.8
:
:
:
:
:
:
:
:
:
B
:
49.5
:
2670
:
2864
:
207
:
0.9
:
:
:
:
:
:
:
..
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:
:
CON
:
38.7
:
3740·
:
8580
:
279
:
3.7
:
:
:
:
:
:
:
:
:
OK
:
46.9
:
3160
:
2662
:
250
:
- 7.1
1970
:
:
:
:
:
:
:
:
:
E
:
67.0
:
960
:
1370
:
167
:
- 7.3
:
:
:
:
:- - - -:
:
:
:
USA
:
36.7
:
4760
:
7379
:
399
:
0.4
:
:
:
:
:
:
:
:
:
F
:
52.9
:
2920
:
2566
:
201
:
- 0.8
:
:
:
:
:- - - -:
:
:
:
GR
:
70.7
:
1040
:
981
:
10
: - 14.0
:
:
:
:
:
:
SE
:
:
57.5
:
1340
1630
163
: - 13.7
:
:
:
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1 ANNEXE


.163.
ANNEXE
A~l. Opèrateur Vec 1311
Oêfinition
«
Soient x. (i=l •.. n) les vecteurs colonnes d'une matrice X de dimension
- - - -1
(p,II). On appelle Ve'c (X) l'unique vecteur dont la (i .j)ème ~mposallte est
la j(ème) composante du i(è1ne) vecteur ~i i.e.
~I
Vec(X)=
~1
x
-n
Propl'i etès
1 - Soient ~ et y deux vecteurs quelconque
Vec (~ ti') =YII~
2 - Tr(tAU)=t(Vec(A))Vec(B)
3 - Vec (ABC)=(tC~A)Vec(U)
4 - Vec(AU)=(I~A)Vec(U)=(tU~A)Vec(I)
=( t BW 1)Vec (A)

est une matrice 1dentitè.
A. 2. Oècompos i li on spectra 1e d'une ilia tri ce
Etant donnè C une matrice carrée non négative et C=l:s.p, sa dècomposi tion
j J J
spectl'ale qs);):n p . est. notè Cm 110ur mER.
_1
j
J
C
est l'inverse yènèralisèe de C i.e
CC-C=C
avec (S/j=1.2 .... } l'ensemble des valeurs singulières
non triviales de C.

.164.
A.3 Equivalence entre tableaux "individus x caractères" dans une optique de
description (cf ESCOUFIER [181. pp 67)
Equivalence (a')
k
«
Les triplets (Xk,Mkk,D p) et (X ' ,Mk'k' .D ) sont équivalents si les o[Jérateur~
p
d'ESCOUFIER associés Uk et U , sont identiques.
k
»
Equivalence (b')
«
'1
(X k
(k'
)
Les tr,p ets
,Mkk,D p) et X .Mk'k"D
sont équivalents si les oPérateur
p
l,
d'ESCOUFIER associés U et U , sont homothétiques.
»
1
k
k
A.4. Trace d'une matrice
Proposition
«
Soit A une matrice carrée
n
Tr(A)=E
À.
la somme des valeurs propres
i=1 '
réels ou complexes de A.
»
Preuve
, ~ =1 ... n
Soit A = 1ai j
J=l. .. n
(À-ail)
-a12
~(À)=det IXln-AI=
*
(À-ai i)
*
(À- a
)
nn
le polynôme caractéristique.
n
On sait que Tr (A)=E
a ..
i =1 11
n
n- I
On a ~(À)=À
-
À
(all + a22 +... +a nn )+ ....
=(À-À Il (À-À 2 )(À -À 3) • • •• (À-\\)
I
=À n _ Àn-
(À + À
I
2 + "'+ À,,)+'"
n
n
Ce qui entraîne que :E
À.=Ea .. =Tr(A)
i=1 'h l11
C.Q.F.M.

.165.
A.5. Adjointe d'une application linéaire
Définition Ill]
cc L'application fi de F dans E est l'adjointe de l'application linéaire l' de
(E,M) dans (F,N) si :
Une telle application B existe quel que soit Pest unique et linéaire.
011 l a no te l' *.
»
Propriétés
c<
*
_1
t
p;M
PN
- (1'*)*;1'
- Pest une isométrie ~ p' p;I E
»


.167.
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