, l'il'" d'ordre 219
Année 1984
présentée à
1
L/iNSTtrur'NAT~ONAl POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE
en vue de l'obtention
_._
_
-,---,-,._-
r~c'··:~·:.,·~·E'1.'"A-,-viCAIN ET MAlGACHi
du grade de Docteur de 3mo Cycle' '.J'j~j .H.__ • '::'.... ',~.
' . !
,
"~OU"
U
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t''"'I"r.:.t·'Gr·~,·r./\\I::NT
t. li"
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SUPERlE!J
Mention : Electronique
1 ~. A:·~,fI.
l"
I:. s. -
OUAGlfOUGOI
~~;::;:Jg~~~:1~~iL6
par
\\:
Désiré lllONGA-BOYENGA
Maitre en Physiql.lS de l'Université d~ Pau et des J)élYS de l'Adour
Contribution à l'étude du couplage par onde
de charge dfespace dans les structures
interdigitale et bigriile
soutenue le 1~ Octobre \\ 1984 devant le J~ry composé de
MM. BAUDRAND
Président
MATH EAU
1
AMALRIC
E.'(am inateurs
ATECHIAN
\\
AHMADPANAH
)
,·~j.~~'-,,"~~~!i';{~:
~~~.7ff~7~~X..~:~'.
,
LILONGN.- BOYENGA D.ésiré "C.ontribution à l'étude du couplage par onde
'de·'· charge . à r espaée dans ·les . st~..ictûres-':inter
digitale ·et bigrille .• "
Thèse 3ème cycle:Toulouse I.N.P.T.
(1984)
RESUME
L'#tude porte sur l'interaction entre les ondes de charge
d'espace dans un semiconducteur et les harmoniques d'espace
d'un champ électromagnétique portés par un. circuit extérieur
1
ne propageant pas d'énergie pour réduire les pertes.
En effet la réduction des pertes dans le circuit extérieur
constitue un avantage considérable des dispositifs fonc-
tionnant sur ce principe par rapport aux éléments classiques.
Deux types de structures sont considérés
à savoir:une ligne
interdigitale sur semiconducteur et une ligne bigrille
sur
semiconducteur.Dans les deux cas,le couplage onde-porteurs
ne fait intervenir que le mode TM et la méthode des moindres
carrés est utilisée pour déterminer les paramètres électriques
des structures.
L'analyse des performances électriques(gain,stabilité, ... ) de
ces structures basée sur le concept des circuits équivalents,
permeL_ de mettre en évidence l'existence d'un gain élevé au
synchronisme dan~ le"cas de~la structure à ligne interdigitale.
MOTS-CLES
Structure interdigital~
Structure bigrille
Couplage ond~-porteurs
Onde de charge d'espace
Harmoniques d'espace
Synchronisme
Date de soutenance: 19 octobre 1984
JURY
Président
H. BAUDRAND
Membres
J.C. MATHEAU
J .L. AMALRIC
J.
ATECHIAN
M.
AHrIADPANAH
INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE
----------~--------------------------------
PRESIDENT D'HONNEUR
M. le Professeur MONTEL
PRESIDENT
M. le Profes~eur NOUGARO
vICE':'PRESIDENT
M. ALBERTINI
Professeur
M. BUGAREL
Professeur
M. DABOSI
Professeur
M. MARTY
Professeur
Directeur de l'E.N.S.Â.T.
M. le Professeur CANDAU
Directau:t' de l'IE.N.S.C.!.
M. le Profes6eu~.LATTES
Directeur de l'a.N.S.E.i.I.H.T.
M. l'Ing~nieur Principal de l'Armement CRESTIN
Directeur de l'I.G.C.
M. le Professeur &~GELINO
SECRETAIRE GENERAL
M. CROS
PROFESSEURS HONORAIRES
Melle BERDUCOU
M. BIREBENT
M. DIEHL
M. RAMANT
PROFESSEURS
M. ALBERTINI
Cytologie et pathologie végétales
M. ALQUIER
Mécanique
M. Ai.'1ALRIC
Micro-électronique, micro-ondes
M. ANDRE
Sciences Agronomiques
M. ANGELINa
Génie Chimique
M. BAJON
Electronique. Electrotechnique, Automatique
M. BAUDRAND
Electronique. Electrotechnique. Automatique
M. BELLET
Mécanique-Hydraulique
M. BEN ATM
Génie Chimique
M. BONEL
Chimie Appliquée
M. BOUCHER
Electrotechnique - Electronique
M. BOURGEAT
Pédologie
M. BRUEL
Informatique
M. BUGAREL
Géni.e Chimique
M. BUIS
Biologie Quantitative
M. CABANEL
Informatique Fondamentale et Appliquée
M. CALMON
Chimie agricole
M. CANDAU
Zootechnie
M. CASTANIE
Automatique. Informatique Industrielle
M. CONSTANT
Chimie minérale
M. COSTES
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M, COUDERC
Génie Chimique
M, DABOSI
Métallurgie et réfractaires
M. DAI
Mécanique - Hydraulique
M. DE FORNEL
Electrotechnique, Electronique
... / ...
M. DELMAS
Chimie Organique
M. DOMENE CH
Génie Chimique
M. ECOCHARD
Amélioration des
M. ENJALBERT
Génie Chimique
M. FABRE
Mécanique .. Hydralique
..
M. FALLOT
Biotechnologie végétale" .app.l.iguée,':",
M. FARRENY
Informatique fondami~ritca:'ï~' cip'p1(i4u'é'e
M. FOCH
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. GARDY
Génie Chimique
M. GASET
Chimie industrielle
M. GIBERT
Génie Chim'ique
M. GILOT
Génie Chimique
M. GOURDENNE
Chimie - Physique
M. GRUAT
Mécanique - Hydraulique
M. HA MINH
Mécanique
M. HOFFMANN
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. KALCK
Chimie rninérê.le
M. LABAT
Ichtyologie appliquée
M. LAGUERIE
Génie Chimique
M. LEFEUVRE
Electronique. Electrotechnique, Automatique
M. LENZI
Chimie industrielle
M. t-'JARTY
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. Mi..SBERNAT
Mécanique - Hydraulique
M. MATHEAU
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. MATHIEU
Chimie analytique
M. MOLINIER
Génie Chimique
M. MONCOULON
Sciences Agronomiques
M. MONTEL
Chimie inorganique
M. MORA
Génie Chimique
M. MORARD
Physiologie végétale appLlquée
M. MORELIERE
Electronique, Electrotechnique? Automatique
M. NOAILLES
Mathématiques
M. NOUGARO
Mécanique - Hydraulique
M. PAREILLEUX
Sciences Agronomiques 1
M. PECH
Sciences Agronomiques,
M. PLANCHON
Photo-synthèse et amélioration des plantes
M. RIBA
Génie ChimiqUE:
M. ROBERT
Génie Chimique
M. RODRIGUEZ
Info rmat ique
M. SALLE
Informatique fondamentale appliqué~ ; "
M. TERRON
Zoologie
M. THIR..'CUOT
Mécanique - Hydraulique
:'/,.(.,;".:),...
M. TRANNOY
Electronique, Electrotechnique, A'ut,O!?5lt::.qUE:
M. TRUCHASSON
Mécanique - Hydraulique
, . ", ,
~
M. VOIGT
Chimie minérale
(mis à jour le 3
~ r
.
A ma VI. palj's,
A mvS paJle.vr:t.6 e.t à. me.6 nltQIte..6 e.t .0 a e.U!L6 ,
A ma b-<:'e.n.-wn'ée. Matt-<:.e.-u.n.e.,
A toute. ma camille.,
A me..o aJnt (e. ).0 •
-
REMERCIEMENTS -
Ce. mé:moJ.Jle. de. Thè.~~ e. I06t t' abou.J"~J.>e.me.Y1t de. tAoiA annéM d' ac.:ti..vJ.;téJ.:,
au Labo~o~o~te. de. Mi~oondl06 de. t'E.N.S.E.E.T.H.T. ~gé p~ MOYl.J.>i~
te. P~o6ehJ.>~- LEFEUVRE.Qu'~ tAouve. i~ t'e.xp~l06~ion de. ma p~o6onde. g4a-
:tLtude. poU,;t m' If a.vo~ ac.c.ue...i..W.
J' e.x.p~e. ma p~o6onde. g~ati.;tude. a MOYl.J.>ie.M te. P~06106~e.M BAUVRANV
d' avo-Ur. ac.c.e.pté. de. p~é.hideJr.. c.e. JMfj e..rt te. ~e.meJr..~e de. m1 avo~ 6a.J..:t
P/tQ 6J..-tvr.. de. .6a .e.u.~cü..té., c.ompéte.nc.e. e.t g4ande. e.xpéJu:.e.nc.e..
le. Ûe.rt.6 à tte.meJr..~eJr.. Mo Ylt~ie.U,;'t .f..e. P~o 6M.6 e.U!t. MATHEAU POUA .f..' in..téltU
. qu'il a bie.n voulu pottteJr.. a c.e. .0ta.vtU.J.. e;t poU,;'(. !.la paJ1..lA..~pa.:t<.on à c.e.
1MLf de. thè.6 e..
-
,
Moytllie.Ult. .f..e. P/t06e..M~t /v\\lALRTC me. 6ut l' hOnYl.e.M de. PCVtti~,I')vr..
a. c.e. JU,;tlj de. T~è.".6 e. et je. t 1 e.n ~emeJr..e..-te..
J e. .6~ .0tè.--~ .6 e.Yl.J.>ib.f..e. èt .f..a p~éJ.:, e.nc.e. daYlt~ c.e. JMU, de. MOYlhie.M
ATECHTAN.Qu'il .0touve. i~ l'e.Xp~l06.6ion de. ma p~oQonde. ~e.c.onna.i.A.6anc.e.
pOM C.M C.oYl.J.> e.i.L~ aviA ~~ .
MOYl.J.>ie.U,;t AHMADPANAH a toujoU,;'r..6 '~Mvi ave.c. in:té.~ê;t .f..e. dé.,touleme.Y1t
de. c.e. t/lavc~e.. e.t m' a
.~ ouv e.nt aidé. Je. .te. ~e.!11eJr..~e. ,~iytc.è.~eme.nt d' avo,~
ac.c.e.pté. de. pa/l..ti.~peJr.. a c.e. JUAIj :
J'u bé.né 6;'~é., au c.OU,;t!.J de. C.e..6 ~e.c.heJr..c.h~5, d'un c1..i.mat de. .6 ympath-te.
de. .f..a paJr..t de. me.o c.o.e...e..è:gue..ô c.hvr..c.h.e.wt!.J pa/un.<. te...6qUe..t,~ je. e..-LteJ'r.CJ.A...
1\\1e.-5.6:te.U!'c.6 TùNYE, BRITÙ, BÙU SsùUIS, ~IÙUKI LA, TAHA, ùKùu~1ù Vr, ~IONDI AlBA, KHAAfAL, P!3ASSE
QIU et M~~demo,üe...U~~ VIDAL e...t BAJù/'J.iÎ.u' i..L~ ~~o,i.e.n:t M~~M~~ du témo.tgnage.
de. ma ptw 6onde. CUJ'U.-ti.é..
Je Itvne.Jtue éga1.vnent Mv,.o.{.euM PEUCH eX P..ONGI ERES pOWl. tou.:t c.e
qu.' w ont 6rLU. pOWl. .te bon. dl?Jtou..tement de. c.e. tJta.vw.
Je tie.n..o à Jte.meJtue.Jt tJtè.o c.ha.ieWl.elL-~ ement
me.o ~ A.ëa.A..Yl eX
Eve..U.n.e. LAMURE pOUft .teWl. aJ..detolw de .ta rr'~ e. en. page. de c.e. rnémo.{Jte..
En.Q.{.n. je vou.c:fJr.a,0~ M.60Ue.Jt à me,,) JtemeJtueme.vr.t.6 tou.:te.o .te,,!:. pe.Jt-
i
•
.6on.n.e.6 C{u..{,de pJt~ ou. de lo.{.n., m'ont ,VJeJ1.m06 d'e66ec.:tu..Vt c.efte 1te.c.he.Jtc.he..
-
l
-
-
TABLE DES MATIERES -
CI-I.l\\P l T RE
l
GENERALITES SUR LES INTERACTIONS ONDES ELECTROMAGNETIo.UES-
PORTEURS
l
INTRODUCTION
7
l 2
INTERACTION ENTRE UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE RALENTIE ET LES
10
PORTEURS DANS UN SEMICONDUCTEUR
l 3
INTERACTION ENTRE HARMONIQUES D'ESPACE ET PORTEURS DANS UN
13
SEMICONDUCTEUR
BUT DE L'ETUDE
14·
ÇI'~AP ITRE II:""M1PLIFICATION L~TiRDiCIT.fiÜ! PAR"" UNE l~NDE .DE CHAP:Gi: D"'1ES'P-"ACll':"
.~.
.
II
INTRODUCTION
1 7
II 2
EQUATIONS FONDAMENTALES Dfu~S LE SEMICONDUCTEUR
19
II 3
DISPERSION DES ONDES DE CHARGE D'ESPACE
21
II 3
Vitesse de phase et vitesse de groupe des harmoniques d'espace
22
II 3 2
Différents modes de propagation des ondes de charge d'espace
22
II 4
CP~~S ELECTROMAGNETIQUES DANS LES DEUX MILIEUX
23
II 4
Potentiel électrique dans l'air
23
II 4 2
Potentiel électrique dans le semiconducteur
24
II 4 3
Expression~des champs dans les différents milieux
26
',', .
. II 5
CONDITIONS AUX LIMITES A LA
26
II 5
Permittivit~ effective
27
II 5 2
28
II 5 3
Champs et densités de courant dans le
29
II 6
QUADRIPOLE EQUIVALENT DE LA LIGNE
32
II 6
Cellule élémentaire
32
II 6
Courants et tensions sur les grilles
33
II 6
2
Matrice impédance de la cellule élémentaire
34
II 6 2
Matrice impédance du dispositif
36
II 7
STABILITE,DIRECTIVITE ET GAIN DU DISPOSITIF
38
II 7
Rappels
38
-
2 -
..,,.,
II 7
Stabilité
.)0
II 7
2
Directivité
39
II 7 1 3
Gain
39
II 7 2
Résultats numériques et leurs interprétations
41
CHAPITRE III
THEORIE DU COUPLAGE PAR ONDE DE CHARGE D'ESPACE
ENTRE DEUX LIGNES MICROBANDES
III
INTRODUCTION
47
III 2
STRUCTURE EN COUCHE MINCE
48
III 2
Potentiel en escalier dans les différents milieux
50
III 2 2
Dynamique du courant électronique dans le semiconducteur
51
III 2 3
Densité de courant total dans le film mincedè semiconducteur
54
III 2 4
Paramètres électriques de la structure
54'
III 2 5
Charges et potentiel ,dans le semiconducteur
56
III 2 6
Etude de l'onde de charge d'espace
58
III 2 7
Courants et tensions sur les grilles
60
III 2 8
Etude de l'hexapôle équivalent
61
III 2 8
Matrice impédance de l'hexapôle
61
III 2 8 2
Quadripôle équivalent du dispositif
63
III 2 8 2
Matrice impédance du disposicif
63
III 2 8 2 2 Stabilité et gain du dispositif
63
III 3
STRUCTURE EN COUCHE EPAISSE
66
III 3
Potentiel et champ à l'intérieur et l'extérieur du semiconducteur 66
III 3
1
A l'intêrieur du sGmiconducteur
66
III 3
2
A l'extérieur du semiconducteur
67
III 3
3
Paramètres électriques de la structure
68
III 3 2
Courants et tensions sur les grilles et sur le drain
70
III 3 3
Etude de l'hexapôle
71
-
3 -
CHAPITRE IV
APPROCHE EXPERIMENTALE
IV
INTRODUCTION
74
IV 2
REALISATION TECHNOLOGIQUE DU DISPOSITIF
74
IV 2
Traitements du substrat en vue de la gravure de la ligne
74
IV 2
Préparation des substra~s
74
IV 2
2
Métallisation
75
IV 2 2
Gravure de la ligne
76
IV 2 3
Conception du circuit de polarisation des lignes interdi-
76
gitales sur substrat d'alumine
IV 2 4
Conception du circuit de polarisation du semiconducteur
77
IV 2 4
Cas d'un substrat de silicium
77
IV 2 4 2
Cas d'un substrat d'alumine
77
IV 3
ETUDE EXPERIMENTALE DU DISPOSITIF A LIGNES INTERDIGITALES
78
IV 3
Caractéristiques du semiconducteur
78
IV 3 2
Caracté;istiques des lignes interdigitales
78
IV 3 3
Performances du dispositif
79
IV 3 3
Réalisation du couplage ligne-semiconducteur
79
IV 3 3 2
Mesures
79
1
a) sans polarisation du semiconducteur
79
b) influence de la polarisation du semiconducteur
80
c) conclusion
85
CONCLUSION GENERALE
8ô
REFERENCES
87
ANNEXES
93
fu~NEXE l
THEORE~ΠDE FLOQUET ET HA&~ONIQUES D'ESPACE
93
; ' . , .
......
fu~NEXE II: METHODE DES! MOINDRES CARRES
96
A 2
Cas de l'équation homogène
97
A 2
Calcul de la valeur propre minimale de la matrice des
98
moindres carrés
A 2
Principe de la méthode
98
-~ 2
2
Valeur propre minimale
99
A 2 1
3
Calcul de la deuxième valeur
propre minimale
100
A "L- 2
Cas de l'équation avec second membre
101
A 2 2
Méthode de
GAUSS
101
REFERENCES DES &~NEXES
105
4
- LISTE DES SYMBOLES UTILISES -
h
épaisseur de
l'isolant
p
période de
la structure
v o
- .
ci'
tension continue sur
la grille
i
V":G· •.
tension alt"ernative
sur
la grille
l
.. l
VI
potentiel alternatif
à
l'entrée
'V
potentiel
alternatif à
la sortie
2
E
champ élecsrique de
l'onde
H
champ magnétique de
l'onde
B
induction magnétique de
l'onde
B
induction magnétique
extérieur
o
k
constante de
propagation dans
le vide
o
J
densité de
courant des
porteurs
dans
le
semi-
conducteur
Po
densité
continue de
charge dans
le
semiconducteur
p
densité alternative de
charge
dans
le
semi-
conducteur
v
vitesse d'entrainement des
porteurs
o
v
vitesse alternative des
porteurs
T
tenseur de
1:~ll'!pR- de9~laxatinn. entre 2 e:.ollisiolts
T
température
absolue
1
K
constante de
BOLTZMANN
v
vitesse
thermique
T
E
permittivité du semiconducteur
s
E
permittivité du vide
o
w
pulsation de
l'onde
r, 6, k ,r ,: constantes de propagation
n
n
~
mobilité des
électrons
D
constante de
diffusion
cr
conductivité du semiconducteur
o
k' ,kil
partie
réelle et
imaginaire de k n
f
fréquence
de
l'onde
-
5 -
v
v
vitesses de
phase et
de
groupe de
l'harmonique n
<j>n'
gn
À
longueur de
DEBYE
D
v<j>
vitesse de
phase
de
l'harmonique
fondamental
Vi
potentiel
alternatif dans
l ' a i r
V z
potentiel
alternatif
dans
le
semiconducteur
cr
densité
de
charge
sur
le plan des
conducteurs
c
E:
permittivité effective
eff
.
s (n)
signe de,n
s
distance
séparant deux
grilles
success~ves
W
largeur des
conducteurs
G
ga~n
en pu~ssance
k
stabilité
g
conductance
du
film mlnce
de
semiconducteur
'\\,
Q.
charge
sur
la grille
i
'\\,~
I.
courant
sur
la grille
~
~
L
longueur de
la grille
Y
matrice
admittance
Z
matrice
impédance
H
matrice hybride
C
matrice de
chaîne
~ 1
<fl
potentiels
de
LAPLACE
Z
'l'
potentiel
de diffusion
2
li>
potentiel
scalaire
vd
tension de
modulation
source àrain
s
w
fréquence
de
plasma
p
l
de
courant
dans
le
film m~nce
E:.
permittivité
du milieu
i
~
densité
de
charge
totale
Pt
à
l'interface
d 1
distance
mur électrique-grille
A
élément
de
la matrice
A
ron
B
composante
du vecteur
B
n
X
vecteur propre
y
vecteur
propre
,
a.
épaisseur du semiconducteur(dans la direction OX)
l
largeur du semiconducteur
-
6 -
~
phase des
charges dans
la couche mlnce de
h
semiconducteur
ID
courant sur
le drain
ZH
matrice
impédance de
l'hexapôle
ZQ
matrice
impédance du quad4ipôle
champ électrique de modulation source-drain
o
E:
permittivité relative
r
N
nombre de paire de doigts
o
P
,P.,P
pUlssances
transmise,incidente et réfléchie
t
1
r
6.f
différence de
fréquence
À
valeur pro~re
r•.•. '
r, ..
',: ·.1-··~·~ ;: ..
,1
".r'
-
7 -
CHAPITRE l
-
-, .
GENERÀLITES SUR LES INTERACTIONS ONDES
ELECTROMAGNETIQUES - PORTEURS
.
Ii - INTRODUCTION
En hautes fréquences, le temps de transit des électrons entre la source
et le draiI'l dans les transistors à effet de charrp ou entre les électrodes
des tubes à vides conventiormels tels que les tricdes, n'est plus négligea-
ble vis à vis de la période du signal A amplifier:leur performance fréquen-
tielle est de ce fait limitée.
Ce:çenda-nt, da.1lS de nanbreux dis::x>sitifs arnr,ùificateurs hyt)erfréquences,
on utilise à profit le teD9S de transit ~ur produire de l'énergie.Dans ces
d..i..s:?=,si t.ifs , c'est l' interac+-...ion entre les ondes de charge d'espace créees
dallS le faisceau d'électrons (par une modulation de la vitesse ou de la
charge de ces derQiers) et wîe onde électromagnétique qui est à la base du
phénomène d'amplification.
L'onde hyperfréquence 98ut servir à moduler une ouissance fournie œ.r
une source extérieure et l'énergie est récu?érée au niveau du faisceau élec-
tronique; c'est le cas dans les d..icdes à terms de transit ( 4 ) '-' {2 } où le
gain vient du déphasage entre la tension et le courant au niveau du semi-
conducteur.Ces diodes sont utilisées comme oscillateurs ou amplificateurs
à résistance néaative et oeuvent ~nter très haut en fréaua~ce avec des ouis-
....
-
- -
sances notables.
L'onde hyperfréquence 98ut aussi être aJIlT')lifiée elle-même dans la direc-
tion de propagation en interagissant avec le courant de ror-e-eurs . Dans ce der-
nier cas le cou~lage entre l' onde électrœ1a~étique et le courant de T)()rteurs
peut être discontinu ou continu
- interaction discontinue : c'est le cas
dans les tubes hvr-;erfrécruences
_ . .
..1,
tels
" >.,
-
8 -
que les klystrons et certains magnétrons qui e.rnploient des cavités électro-
magnétiques et p::lur lesquels un signal ne !Jeut être aI1191ifié que si sa frê-
la résonance de .," .
quence est voisine de celle devla cavité du tube.Ces tubes se prêtent mal
à une variation rapide de la fréquence.C31.C41.CSl
interaction continue : c'est le cas dans les tubes à ondes progressives
à vide (TPO)
(6)
(figure l l a) . Ici l'interaction entre un champ électro-
magnétique et un faisceau d'électrons n'a plus lieu sur une courte distance
ccmne dans le cas précédent mais sUr une plage de plusicut"!.I longueurs cl' onde.
Dans le TPO ,l'onde électrcmagnétique ralen.tie se :',)ro[.Jageant le long de
l'hélice, Lr'lteragit fortement avec le faisceau d'électrons si sa vitesse de
phase est approximativement synchronisée avec la vitesse d'e..'1.trainernent des
électrons.L'énergie est continuellement transférée du faisceau à l'onde 1~1
te donnant une onde croissante au fur et à mesure qu'elle prcq.resse. Le TPO
est un amplificateur à large bande passante.
Les dispositifs à semi-conducteur étant' appelés à rSTlplacer progressi-
vement les tubes à vide, plusieurs chercheurs se sont interessés à la possi-
bilité de réaliser l'équivalent à l'état solide du TPO.Ceci a été r~Jdu
fOssible en 1955 sur l'idée de PIERCE et SUHL (7) de remolacer le faisceau
électronique dans le TPO Dar les oorteurs dans un serrU-conducteur fOlarisé
(figure l l b).
Ce nouveau dispositif appelé tube à ondes progressives à l'état solide
(TPOS) offre un certain nanbre d'avantages par ra?POrt au T'PO. Il ne néces-
site pas de canon à électrons et d'autres accessoires composants le T1~ tels
que le dispositif de focalisation,le collecteur, ... etc.I1 est IToins lourd
et plus facilement réalisable avec la technologie des circuits intégrés pla~
naires. Son principe de fonctionnement est identique à celui du TPO: il uti-
lise l'interaction entre le faisceau de p::lrteurs dans le semiconducteur et
.... ·~:ï\\....r,; :.-';~';:.
. ! ~~
....J\\.
F ;., :.:
llile onde électtomagnétique ralentie se propagecmt le lon,j' dl une ligne à
retard.
")':,;',L."~'/ ':';'"
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joLéde. (T.P.O.S.)
, ~'.
-
10 -
Au paragrap.!-le l
2 de ce ci'.apit...-e ,nous verrons que les études exoéri-
mentales menées sur les TPOS se sont révélées assez décevantes à cause àes
t=ertes dans la ligne à retard et dans le semiCOI"1.dueteur .i.'1algr~ cet échec
relatif,l'amplification des ondes acoustiques dans les saniCOl'.ducteurs
piézoélectriques a ressuscité l' L'Ttérêt de la reche...."f""Che dans ce danai.l1.e;
d •où l ' avénement d' un tyçe nouveau d' aI'["[f?lificateurs fondés sur l ' interac-
tion entre les ha:l::r:ûnicr.J.eS d'espace d 1 un circui.t ~icdique ne r>ropâqeant
pas d' énergie (r-our réà.~ les r::e-rtes dans le circuit) et 0u."1- flux de cor-
teurs dans u."1. semiconducteur mlarisé.
DAL'JS L'"N $EMICONDUC7ECJR •
La pre.r:'lière étude t.~éorique (adoptée du r:cdèle unidil':1ensioI1I"'el du T?J)
du d.isposi tif prop:lsé ?aI PIERCE et SU"'HL est due à SOL'.Q·1A..R. et .;;SiL en 1%5
(8l
.Leur analyse a consisté à évaluer le gaL"1. de l'affi91if~cateur _
ondes progressives à l'état solide utilisant un semiconducteur de t:y::--e N
dont les ror-~urs ont un ter.!!?s de reccrrbinaison infini; ils ont obt2..'r1u l' 6-
quation caractétistique du TPO leur ~ttant deprédir;e un gain élevé Dar
cent.:iInètre.
Stj'MI (9 J en 1966 a donné une théorie bidi...-œnsionrielle du discosftif
"
- J.,'
:'>~"''':_.':,
~-.
'~~!':.,."<"",
en considérant les variations transversales du c..1..aI!'t!? électrcrnagnétique da."lS
le cas d'une st.."ï.lcture idéale ,il résoud l' équat.i.o~·d~'>di~~iO~:-:è..~:='ct2
et met en évidence la sU~si tion de deux or~2s:
•
•
.'
.~
.~~ ';'~'i->: ~~,,' .
une onde sans charge ct' espace qui pénètre da...J.S. le se..':Û.cor.ciucteur
une onde de diffusion confinée à la slli.':a.ce de sé:çara:tion se..'1'1.icond'..J.et.eur-
isolant.
1
-
I I
-
En 1967, HAj'.1tŒ.R(10) a repns le traitement de SOLYMAR et ASH;il a mon-
1
tré que l'utilisation d'un matériau semiconducteu! présentant une mobilité
différentielle néga.tive. cormne l'arseniure de gal!..~um peut donner un gain
.
.
si la vitesse des porteurs dans le semiconducteur est inféFieure à la vi-
tesse de phase de l'onde le long de la structure.
.
~
(11)
La théorie de ;'SUMI ê. été généralisée en 1969 par VURAL et STEcLE'
;
ils ont remplacé l~ ligne par une impédance inductive-résistive mais mal-
heureusement il n'est .souvent pas aisé de définir cette impédance pour des
structures réelles.
( 12)
En 1970, ETTENBERG et NADA~
ont amélioré le modèle de SOL~ÂR et
ASH en tenant compte dans leur calcul,des deux types de porteurs,des effets
de collision,de diffusion et de recombinaison des porteurs de charge.
.
.
( 13 )
THIE~~OT en 1972
reprend le calcul de SL~I en tenant compte de
l'épaisseur de l'isolant qui sépare la ligne du semiconducteur;en effet
dans les études précédentes l'effet de cet isolant a été négligé sur l'idée
intuitive que son épaisseur est faible devant la longueur d'onde dans le
système.THIENNOT montre que cette épaisseur joue un rôle analogue à celui
de la longueur de DEBYE dans le semiconducteur qui détermine le seuil
d'amplification.
DDUv~~~(14Jconsidère la ligne faiblement perturbée par une lame semi-
conductrice pré~entant une anisotropie de la conductivité pour les électrons
rapides. Il fai t un calcLll de perturbation, les champ's sont décomposés en
harmoniques d'espace et l'interaction est calculée en ne tenant compte que
de l'harmonique fondamental;du fait de l'anisotropie de la conductivité,
son calcul s'applique aussi au cas particulier d'un matériau à résistance
négative.
En 1973,LEFEUVRE et FOUAD fu\\NNA(1SJ ont proposé un modèle unidimension-
nel basé sur la théorie des modes couplés pour décrire l'interaction entre
une onde électromagnétique lente et les porteurs dans un semiconducteur.
;' "
.~ ,.
: .. .
-
12 -
(16)
A 1
-
,.
Une
année plus tard,GOVER et YARIV
ont ega ementanalyse l ~nter-
action d'une onde guidée par une ligne dirèctement gravée sur un semicon-
ducteur et le courant de porteurs dans le semiconducteur en tenant compte
des-pertes dues aux harmoniques d'espace du mode électromagnétique non
synchronisés avec le faisceau de~ porteur?
Un autre dispositif très vo~s~n par son fonctionnement de celui que
nous analysons est basé 'sur l'utilisation des semicDnducteurs piezoélec-
triques:c'est l'amplificateur acoustique(17) .Ici le faisceau de porteurs
interagit avec les ondes acoustiques produites par une contrainte électro-
mécanique;l'onde acoustique est amplifiée quand sa vitesse de phase est
inférieure à la vitesse d'entrainement des porteurs.Les expériences faites
à ce sujet ont été satisfaisantes
( 18 )
Il existe d'autres dispositifs à l'état solide utilisant les ondes de
charge d:espace créees dans un semiconducceur par une modulation de charge.
C
1
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-
d
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"
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&
(19)
- ,
-
e sont
es
~spos~t~ s a on es magnetostat~ques
e surLace
ou Le me-
canisme de couplage réside également dans l'action du champ électromagné-
tique de l'onde sur le flux des porteurs dans un semiconducteur.
Dans toutes les études théoriques précédemmenc cit;ées de l'amplifica-
teur-à ondes progressives à l'état solide,le gain prévu est très élevé
(quelques centaines de dB/mm).Sur le plan expérimental cependant,très peu
de résultats ont été publïés.
SUMI et SUZUKI(20) ont les premiers montré expérimentalemenr l'existen-
ce d'un couplage onde-porteurs en utilisant une ligne i méandre puis une
ligne à hélice et del' antimor.iù:re d'indium à nOK.Ces expérience's Sn't' été
reprises par NEWdOUSE et GUNSHOR[21J
sur l'rnSh à 77~K ~~à 4~2~~ èt sur
1
le germanium à 4°K puis par THIE~~OT(22) s~r l'InSh' à 77~K.
Notons que dans toutes ces exper~ences,le ga~n électronlque mesuré est
de l','ordre de grandeur de 25dB/mm seulement alors qu,::" le'~g'ài'~l'théo'i'ique
,
,.
calculé sans perte est ci 'environ 200 àBhmn.Cetce diffêrence est attribuée
,
:,' ~ ) , l' ') "), l"
aux pertes de l amplificaceur
U
-~
13 -
Ces pertes sont de deux natures : les pertes ohmiques dans les conduc-
teurs et les pertes de conversion dans les circuits d'entrée et de sortie
d'une part et les pertes dans le semiconducteur d'autre part.
l 3 - INTERACTION ENTRE HARMONIQUES D'ESPACE D'UN CIRCUIT PERIODIQUE ET
PORTEURS DANS UN SEMICONDUCTEUR.
Dans l'amplificateur à ondes progressives à l'état solide, les ondes
électromagnétiques lentes progressives interagissent avec les porteurs
dans un semiconducteur soumis à une tension continue si leur vitesse de
phase et la vitesse d'entrainement des porteurs sont très voisines.Les
vitesses de dérive des porteurs dans les semiconducteurs dépassant diffi-
5
cilement 10
rn/s,la vitesse de phase des ondes sur le circuit doit donc
être réduite dans un rapport d'envirion 1000 par rapport à celle de la
lumière;ce qui exigeil'utilisation des circuits à éléments très peu espa-
cés ou des hélices a~x pas extrêmement petits(24)
Pour éviter ce problème de ralentissement de l'onde,mais aussi ceux
liés aux pertes dans le circuit et d'isolation du circuit par rapport à
la tension continue,HINES (25) a proposé en 1968 de remplacer le ci=cuit
à ondes lentes par une "mosaïque" formée de petits rubans isolés qui ne
propagent pas d'énergie.Cette "mosaïque" est utilisée connue résistance
négative provenant de l'interaction entre les harmoniques d'espace de la
!1mosal.que" et les porteurs dans le semiconducteur.
.r,
En 1972,SWANENBURd 2'6) a montré que l'utilisation d'une structure ~n
terdigitale sur semiconducteur pouvait produire une conductance négative
si la vitesse des porteurs est suffisamment grande.Il a mis expérimentale-
ment en é\\~idence l'existence d'une telle conductance dans la bande de fré-
quences de 25-75 MHz à 25°K en utilisant un semiconducteur de type N.
Il est à noter que pour calculer l'admittance du circuit HINES et
SltlANENBURG ont négligé la contribution des harmoniques d'espace d'ordre
pair
sur l'idée que la géométrie, des structures qu'ils ont étudiées ne
-
14 -
permettait que la propagation des harmoniques d'espace d'ordre impaire.
leurs études montrent en outre qu'il n'est pas nécessaire que la vieesse de
groupe de l'onde électromagnêtique soit synchronisée avec celle des rOcteurs
mais que l'interaction entre les harmoniques du champ électromagnétique
créees par une structure périodique ne propageant pas d'énergie et un cou-
rant de porteurs (électrons) dans un semiconducteur peut donner un gain.
La vitesse de phase des harmoniques comme nous le verrons ase directe-
1
•
ment proportionnelle à la fréquence de l'onde;l'interaccion est donc plus
dépendante de cette dernière;la largeur de banàe sera par conséquent très
limitée.
l 4 - BUT DE L'ETUDE.
Nous
proposons dans le cadre de ce présent travail un nouveau
dispositif amplificateur à l'état solide analogue à ~"amplificateur à
ondes progressives mais ayant moins de pertes (figure l 2)
-5 eJr..tc.o nducte.W1..
o
-05o.f.ai'tt !S000 A)
SJ. Oz
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~ 0
mp-u- u-<.C.ctte.uA .U'l.te.''!.èVCg.Utu'
.. )
-
15 -
En effet nous suggérons la suppression de l.a ligne à retard et son
remplacement par une ligne interdigitale.Le rôle de la ligne interdigitale
diffère de celui des structures à ondes lentes car la longueur des doigts
de la ligne ni est pas. assez grande pour permettre la propagation de l'onde
le long des doigts;les pertes du circuit seront par conséquent considéra-
blement réduites.
Le semiconduèteur doit aussi avoir le mOins de pertes possibles.Pour
... .','~ ~~.
cela nous suggérons l'emploi d'un semiconducteur 4e haute résistivité (fai-
ble conductivité).Le gain du dispositif proviendra de l'interaction entre
les harmoniques d'espace de la ,ligne interdigitale et le courant de porteurs
dans le semiconducteur.
:- ~.
Nous présentons au chapitre II l'analyse des performances du disposi-
~, .
tif à partir de son quadripôle équivalent en tenant compte notamment de la
;
diffusion des porteurs dans le semiconducteur eX de la contribution de tous
les harmoniques ~'espace du champ électromagnétique crées par le circuit
d'excitation périodique.
;".
Dans le SOUCi de diminuer au maximum les pertes dans la structure et
/
aussi d'augmenter la vitesse d'entrainement des porteurs,nous proposons au
chapitre III,de remplacer la ligne interdigitale par une ligne à deux élec-
trodes de longueur assez grande (mais ne permettant toujours pas la propa-
gation de l'onde) afin d'augmenter les chances d'interactions onde-porteurs.
Ce dispositif (figure l 3) diffère légèrement de celui qui fait l'ob-
jet du deuxième chapit~e car son gain peut être contrôlé par une choix con-
bl
. . .
.
'1
(271
vena
e du CirCUit source-drain comme dans les structures FET blgrl les
Le chapitre IV est consacré à l'approche expérimentale.
En conclusion,les résultats expérimentaux sont comparés avec les prévi-
sions th~oriques.
-
16 -
_ - - - - - - - - - - - !J/LUi..u
.6 oU!1.c.e - - - - _
h
.... '.. .. .. . . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.... .... .. : ....... ". " ....
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.............................................
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1
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.. .. .. .. . .. ..
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..05 o.f.a.VI.:t
-','.
Amp-üMc.a.tewL b-i-gJULe.e. a on.de-ô de. c.hcuLge
d' e-ô pac.e.
"-~
-
17 -
1
1
1
r
- CHAPITRE II -
,
N~LIFICATION INTERDIGITALE PAR UNE ONDE
DE CHARGE D'ESPACE.
1
1
II 1 - INTRODUCTION
itt~
Dans ce chapitre nous étudions le couplage entre une ligne interdigi-
1
tale et un courant de porteurs dans un barreau de semiconducteur massif
déposé sur la ligne au travers d'une fine couche d'isolant d~épaisseur né-·
gligeable (h« p)
('figure I I I )
'.,
r
~-='"
c.0 nd.u..cte.uJt
1
,
1
h.
~,oS
wU:
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1
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-6 ~m<.c.o ndu.cte.W!.
F-i.gcvr.e. II 7
Sc.héma de. .ta t<.g n.e. '<'n..t.e.Jr..d.<'gda.te. ,oS u.Jr.. M.mA.-c.o n.du..cte.u.Jr.. •
Co~me le montre RAC28lun potentiel continu appliqué entre la source
o
0
0
et le drain induit des potentiels progressifs V ! 'V
, ... 'VCn sur les gril-
C
CZ
les de valeurs voisines à celles des potentiels dans le semiconducteur au
... t-
.
.
." ~
:.! ~
-
18 -
voisinage immédiat de sa surface (figure II 2).
(
~.~•.. ,
(al
z
0.2
o
-0.2
(b)
F-igu/te. II Z : a
VCv~v(a;tiovt c!.LL po,teYl;t(e,-t. ,SM ,leo g4UCVl
b
Va/UCL0(Ovt de c.' ùldù.e de modu2O-ti.oYl..
• j . . .~ r
"t
"
... ,'
-
19 -
Un effet de champ apparait donc naturellement dans le semiconducteur;
aussi la vitesse et la densité des porteurs seront spatialement modulées.
nous négligeons cet effet de champ continu sur les porteurs dans le semi-
conducteur.
Du point de vue alternatif,les grilles sont connectées à deux potentiels:
~
~
une moitié à VI et l'autre moitié à V
par rapport à la masse.Ces potentiels
2
alternatifs vont moduler périodiquement la conductivité du semiconducteur
comme dans les guides coplanaires sur substrat semiconducteur périodique-
~(29J
ment dope
ou dans les superréseaux où la conductance devient négative
au dessus d'une certaine valeur du champ électrique appliqué au semiconduc-
(30)
teur
Après avo~r analysé les modes de propagation des ondes de charge d'es-
pace dans le semiconducteur,nous examinerons ensuite le comportement élec-
trique du dispositif.
,',-
II 2 - EQUATIONS FONDAMENTALES DANS LE SEMICONDUCTEUR
Il a été montré que les ondes de charge d'espace sont en général une
combinaison des modes TE et TM ('11J,(13),(22),co~-e
pour l'étude des ondes
de surface excitées par des lignes à retard on peut se limiter au seul cas
: .~ ..
'
'
1
du mode TM(6)(9)(11 pour lequel le champ électrique E se réduit aux compo-
santes CE
,O,E).
x
z
.........
De plus nous admettrons que la propagation se fait en régime quasis ta-
' 1
. '
't~que;cette hypothèse
est
valable dans le cas où les dimensions du cir-
l~:~' ., ..
~.
.
.cuit sont faibles 'devant la longueur d' onde de l'onde, on a alors la proprié-
.té:
2
+ k 2) E o::'ïJ
E
II21
o
o.Ù
désigne le laplacien
et k
la constante de
o
: '. propagation d'une onde plane.
l " . , .
.
~..,
~,
L'hypothêse quasistatique n'est autre que celle des régimes quasista-
tionnaires;elle est appliquée ici aux circuits à constantes réparties.
-
20
-
. , •• ,.!.,
De l'équation II 2 1, on déduit la propriété
9
E = 0
II 2 2
x
Le champ électrique E dérive donc d'un potentiel scalaire V.On suppose que
la variation dans le temps de toutes les grandeurs ph(siques est en exp(jwt)
(j= 1=ï).Le champ électromagnétique de l'onde est donn~ par les équations
de ~\\~LL et de POISSON auxquelles s'ajouter.t la définition de la densité
de courant J et l'équation du mouvement des charges.
Dans l'hypothèse de faibles signaux,c'est à dire quand le produit des
petites grand~urs est négligeable vis à vis des autres èt s~ nous ne prenons
en compte qu'un seul type de porteurs -électrons- (ce qui est le cas dans
les semiconducteurs comme l'arséniure de gallium et le silicium aux concen-
1
trations utilisées),les équations fondamentales dans le semiconducteur
s'écrivent alors:
9 xH => J + jWE: E
I I 2 3 éi.
S
9 E = 0
.. 1 8P13~ OU·,·,R
I I 2 3 b
x
.... ,. nt
.';
9.E
piE:
I I 2 3 c
. s
), cum. ni
9.B '" 0
I I 2 3 cl
J
Po v + voP
I I 2 3 e
dv
n(E
B
B )
vn
Kim V'T
I I 2 3 f
dt '"
+ voX
+ vX
-
Po
-
0
où -e:
est la permittivité du semiconducteur,T la température absolue,
s
v
la vitesse d'entrainement des porteurs,n
le rapport entre la charge
..,'
o
des porteurs et leur masse m,w
la pulsation de l'onde, B
l'induction
o
magnétique extérieure appliquée, K la constante de Boltzmann,p
la den-
\\
0
sité
continue des porteurs, v
la vitesse thermique et T le tenseur èu
-...7"
T
temps de relaxation entre deux collisions qui s'écrit:
o
1·...
Nous supposerons que T
est isotrope et indépendant de l'énergie,c'est
à dire que T'T"
= Til = T
Pour un matériau de résistance différentielle négative Thest négatif.
~lus généralement on aura
0 < T,
< TT
-- 21
"'-.-
..
, (
II 3 - DISPERSION DES ONDES DE CHARGE D'ESPACE
Eliminons de l'~q~ation de transport (II 2 3 f),l'influence de to~t
gradient de température (température uniforme) et de tout ch~mp magn~t.ique
appliqué ou induit; en régime de collisions domin.antes c'est à dire, ~our
1
1 / T[»ljw + nB vol où n est un entier et B la constante de propagation
fondamentale de la structure qui sera définie ultérieurement, on trouve
que la vitesse alternative des porteurs est donnée par
v = 'JE -
D'ila
I I 3 l
~'
2
où
'J
nT est la mobilité des poteurs et D = v
T
la constante de diffusion
T
Après combinaison des équations II 3 1 et II 2 3 e,J peut s'écrire:
J = cr E - D'ilo
+ v 0
II 3 2
o
0
L'éauation de continuité s'écrit: 'ilJ + jWP = 0
II 3 3
'2 •
cr
W
Vo'il
d'où 'il 0- ( _2 + j - )0 -
0
= 0
II 3 4
EsD
D
D
où cr
= 'JO
désigne la conductivité du semiconducteur.
o
' 0
Pour connaitre les express~ons des champs E et H qu~ interviennent dans
les équations de MAXWELL ( II 2 3 a et II 2 3 d) il faut dans un premier
temps résoudre l'équation II 3 4 pour déterminer l'expression de la densité
de charge p •
Pour simplifier cette étude,le semiconducteur est supposé semi-infini
(d ») c'est à dire qu'il s'étend à l'infini dans la région des x négatifs;
. les porteurs sont entrainés à une vitesse v
parallèle à l'axe ot; les
' 0
1
,:~~phénomènes de recombiniison en surface sont négligés et la mobilité en
'<\\:.surface est la .même que la mobilité en volume.
-+
La st~ucture étant·uniforme suivant la direction Oy,on a par conséquent
Ci
Ciy = 0 pour toutes les grandeurs physiques.
~a structure est 'périodique (de période p),d'après le théorème de FLOQUET
~:;.:::: .·(cf Annexe 1) la charge p çians le semiconducteur est décomposable en une
9.'•..'.....,.,·.' ·.':j:.somme d r harmoniques
d'espace dont chacune vérifie
sépe..:-é'.:nent
l'équa-
-
22 -
tion II 3 4,en ne retenant que les solutions physiquement acceptables
p
= 1: a
exp (k x) exp (jnSz)
II 3 4
n n
n
,
e = 2rr/p et k est la constante de propagation de l'ondë de charge d'es-
n
pace suivant la direction O~
Les coefficients an sont les amplitudes des harmoniques d'espace.
La vitesse de phase de l'harmonique d'ordre n est donnée par
W
E!
v
où f est la fréquence de l'onde
II 3 5
<j)n
ns
n
LA vitesse de groupe a pour expression
déJ)
dw
v
II 3 ô
gn = dCns) ". ci("irr;/p) ". 0
Toutes les harmoniques ont une vitesse de groupe nulle.
·i'
Relat{vement à l'harmonique d'ordre n,s~ on remplacep par sor. expreSSlon
l'équation II 3 4 se met sous la forme suivante
2
2 2
1
w
nv
[ k
- n S
n
v<j)
] an
- r2~
1 + J w-(l + --0)
= 0
I I 3 7
c
°0
où >..
(~.s~!)1/2
la longueur de DEBYE
la pulsation de
=
est
w
=
D
qpo
C
E:
relaxation diélectrique du semiconducteur
et
v<j)
pf
Pour que l'équation II 3 7 soit satisfaisante,on doit avoir soit
2
2
w
nv
_
a
...
" .
0, soit k
- n s2
1 "
- -- . ( 1 +
(
1
~
) ) = 0
J,
et a
0
J
+
n
n
>..2
W
v<t>
n 1
D
c
On en déduit qu'il y a deux modes de propagation des ondes de charge d'es-
pace dans le semiconducteur pour une harmonique d'ordre n donné.
a ) Mode l
Il correspond à l'absence de la charge modulée dans le semiconducteur
•
-+
(p = 0 ),la constante de propagation SUlvant Ox de l'harmonique n est:
-:0"-. '
., ,
-
23 -
? .-:.'
, ,.
"
k_
= Ine!
II 3 8
.Ln
La diffusion est donc négligeable et le courant est égal au courant de
-;' .
~-
conduction.Cette onde est appèlée onde sol€noîde,c'est
une onde de surface
sans charge d'espace
b ) ~10de II
Ici la diffusion est à prendre en considération car la densité de charge p
n'est plus nulle;pour l'harmonique d'ordren satisfaisant à la condition
ISÀDI
«
11/n[,1'onde de charge d'espace est équivalente à une onde con-
centrée sur la surface du semiconducteur.Dans ces conditions la constante
,',
de propagation dans la direction O~ est donnfe par la relation suivante:
j!:l_ Cl
II 3 9
+ ~~o)]
W
v
c
' <P
13
3
Pour des concentrations supérieures à 10
cm-
et pour des ondes cen-
.-;
timécriques, on a
w«
Wc et la relation II 3 9 devient
:,'..
k 2 = k
2
l/À '2
II 3 la
n
lIn
D
L'onde est donc équivalente à une onde de surface localisée sur une faible
épaisseur égale à la longueur d'onde de DEBYE.Le champ électrique comme
nous le verrons est pratiquement transversal.
D'une manière plus générale,pour une harmonique n,la solution de l'é-
quation II 3 7 dans le cas du mode II est complexe et s'écrit:
1/2
kt
+
[ 2 2
1
r . W
LI
=
+ jk" = -
n S + --
1+J
(1 + ~~o) Jl
II 3 1 1
1.
n
À
2 !.
w
D
c
v~
où 1. ,
r-
et kil désignent les parties réelle et imaginaire de k
.
Iln
II 4 - cp~œs ELECTROMAGNETIQUES DANS LES DEUX MILIEUX
A l'extérieur du milieu semiconducteur (x > 0),i1 n'y a pas de charges.
a ?artir des relations II 2 3 b et II 2 3 c on peut montrer sans difficulté
le potentiel obéit à l'équation de LAPLACE (sauf au niveau des conduc-
-
24 -
teurs de la ligne);soit VI (x,~) ce potentiel l'équation à résoudre
s'écrit:
2
'V VI (x.·z) = 0
II 41
Recherche de la solution de II 4 1 à variables séparables.
t· .
Etant donné la périodicité de la structure d'excitation,comme pour la char-
ge on développe la solution de II 4 1 en une somme d'harmoniques d'espace.
soit
VI (x,z) = Ln VIn (x} exp(jnBz)
II 4 2
en substituant II 4 2 dans II 4 l,on obtient l'équation suivante pour VI (x)
,..
n
i.:':·
E
[a 2~~
~., ,i',
1 xl
2 2
l
__ ~m_
- n sv
(x)[
exp(jnBz) <:: 0
vz
n
2
ln
~ "
Cette derniè~~ équation est aussi valable pour une seule harmonique d'où
a2V (X)
ln
-------
II 4 3
r.
ax 2
,,
Les solutions de II 4 3 peuvent se mettre sous la forme
Vln(x)
D
exp(-a x) + B
exp (a x)
ln
n
ln
n
avec
a
'" k
CI
In
1 nsl
n
On en déduit donc l'expression suivante pour le potentiel dans la région
des x positifs
...
' ..
VI(x,z)
L:
[(DI
exp(-a x)+ B
exp(a x)]exp(jnSz)
n
n
n
l n
n
Le potentiel doit s'annuler à l'infini;cette condition implique que tous
les B
soient nuls et on a donc
ln
VI(x,z) = L: D.
exp(-a x) exp(jnSz)
II 4 4
n
ln
n
II 4 2 Potentiel dans le semiconducteur
Dans le milieu semiconducteur (x < O),comme nous l'avons montré au
paragraphe II 3.Les ondes de charge d'espace se divisent en deux modes:
un premier mode correspondant à l'absence de charges modulées et donc de
diffusion,
un deuxième mode qu~ est associé a une onde de diffusion.
...
.
-
25 -
.<'
En combinant les~quations II 2 3 e ~t II 2 3 f on montre que le po-
tentiel V (x,z) dans )le semiconducteur obeit à l'équation suivante
~.l' , .
2
2\\0
( .
)"
1
II 4 5
V JZ\\x,z
-PIEs
. ;-
...
La solution de II 4 5 est donc la so~me de deux solutions dont une solution
~
de l'équation homogène (onde solénoîde) et l'autre solution particulière
de l'équation avec second membre (onde de diffusion).
Posons V (x,z) = ~2(x,z) + ~2(x,z) ,
II 4 6
2
où ~;(x,z) et ~2(x,z) satisfont aux équations suivantes:
2
'il <P
(x, z)
0
2
.. 2
V ~2(x,z)
-OIEs
Le problème est à présent ramené à rechercher les fonctions ~2 et ~2·
D'une manière analogue à celle utilisée dans la recherche de VI (x,z)
~z et ~2 peuvent être à leur tour décomposés en série d'harmoniques d'es-
pace; ~2 et
~2 s'écrivent donc
=
~2(X'z)
rD
exp(a x) exp(jnBz)
II 4 7 a
n
2n
n
'l'2(x,z) = r
B
exp(kllnx)exp(jnSz)
II 4 7 b
n
2n
On en déd.uit que les amulitudes a
de la densité alternative des charges
.
n
et les amplitudes B
du potentiel sont liées par:
2n
2
a
-S;(k
- n2~2)
Cl
lln
E:
r
w
soi t encore
a
.~~"}
1 + J" -- (
1 +
II 4 8
A ~
L
w
n
D
c
La combinaison des relations II 4 7 et II 4 6 permet d'écrire le po-
tentiel dans le semiconducteur sous la forme suiva~te
V (x,z)
[D
exp( anx) + B
exp(kIInx)]exp(jnSz)
II 4 9
2
=
r n
2n
Zn
.:N.o,tons, que la partie réelle de k
doit être positive pour assurer la
Iln
décroissance des champs vers zéro à l'infini (x < 0, pour le semiconducteur)
26
Les express~ons des champs électriques sont obtenues en dérivant le
potentiel dans les régions concernées.
A l'extérieur du semiconducteur (x > O);à partir de la relation II 4 9
on obtient
Ex]
(x,z) = L a
nI
exp(-a x) exp(jnSz)
II 4 10 a
n
n
n
n
E
(x,z) =-L
jn~bln exp(-a x ) exp(jnSz)
II 4 10 b
ZI
n
n
A l'intérieur àu semiconducteur,en dérivant II 4 9,on aboutit à
"~;
E
(x',z) = - L: (a
.D
exp(a x) + k
B?
exp(k_
TI
,"·et
x2
2
r x))exp(jnSz)
n
n
n
n
L
n
_n
l
n
II 4 Il a
E
(x,z)
nS(n
exp(anx) + B
exp(kllnx))exp(jnSz)
z2
c
-jL n
2n
2n
II 4 Il b
;,-
II 5 CONDITIONS AUX LIMITES A LA SURFACE DU SEMICONDUCTEUR
Les champs dans l'air et dans le semiconducteur étant exprimés par
;' .
les relations II 4 10 et II 4 Il,il est à noter qu'ils dépendent de trois
Q,
constantes arbitraires Dl
,D?
et B
.Ces constantes seront déterminSes
n
~n
2n
à partir des conditions aux limites suivantes à la surface àu semiconciuc-
teur .
.i) le potentiel électrique est continu à l'interface isolant-semiconducteur
ii) la composante normale du courant total s'annule à la surface cles~ à
dire que le courant de conduction transverse s'oppose au courant de diffu-
s~on transverse
iii) la longueur de DEBYE est trop grande pour qu'on puisse envisager
l'existence d'une charge superficielle sur le semicon~ucteur;l'induction
électrique est par conséquent continue à l'interface' semiconducteur-isolant
Si la diffusion est négligée,une charge superficielle et un courant
superficiel apparaissent, les conditions ii) et iii) ne sont plus satisfai-
tes;dans ce cas une discontinuité de sE
et H
doit être introduite pour
x
y
'... ,:
connecter les champs.
.,
Les conditions i) et ii) s'écrivent
i)
V
(O,z) ::: V
0,:;;)
't/ z
1
2
:u.) ~\\2(O,z) ::: °
V z
De ces deux conditions,on aboutit au système d'équations suivant
= 'D'Zn + ~2n
~.
'"
Ci·1)
-
J
(1 +
'n 2n
Wc
kIIn
W
nv
Posons b
::: J
(1 + --0)
n
0.):1
Wc
vq,
Le système d'équatio~s .précédent est aisément résolu;on expr~me par ~xempl~ 1
,
"
.,
·,,1
' , . '
0Zn et B
en fonction de ~
2 n l n
B,.,
Dl n.
I I S l a
Ln =
l+b n
D
bn D
2n
---
ln
II S 1 b
l+b n
U'S
Permittivité effective du semiconducteur
La densité de charge cr (O,z) sur le plan des conducteurs est donnée
c
par le théorème de GAUSS de la manière suivante
k lg
cr (O,z) = D 1 - D
=
1
E:
î
10. Dl
+ E:
D
[1+ !-b ] ]exo(jnsz)
C
x.
x2
x=O
0
n- n
.n
r
2n o . '
n n
où
E:
= E: lE:
est la permittivité relative du semiconducteur
T.
S
0
nv
or
k
la b
-JW
Iw(l
+
--Q
)
lIn
n n
c
v
cP
cr
d'où.
cr (O,z) =
L [E: a. !J 1
+ aU
rE: - J --~------- l1exp(;n6z )
c
n o n
n
n 2n- s
W ( 1+nv
l,v ). J
a
q,
En remplaçar.t D
et b
par leur expression,la densit~ de charge dan~
2n
n
le plan yoz devient
cr o
E: s - J -=~~6;o
l
+
II S 2
ï-:-J;------~-----I Din exp(jnSz)
n o
...
--
--------
kT l
S
(w+n6v )
.... n
s
0
Cette dernière relation montre que le semiconducteur peu; être considér~
comme un diélectrique où chaque harmonique voit une constante diélectrique
':.,
-
28 -
effective
+
E
E
II 5 3
eff
S
(j)
CL
n
c
1 + --~
---------
jk
w+ nBv
IIn
o
et où seul. le mode l est susceptible de se, propager; cette permittivité
~:"':
effective dépend de S,elle est analogue à celle donnée par les références
(26)et (31).
Inl
Posons
sen) == --- et introduisons II 5 3 dans II 5 2;la densité su-
n
perficielle de charges dans le plan yoz s'écrit
cr (O,z) '" E:
Ln C X exp(jnSz)
rI 5 1."T
C
0
n n
____ n
avec
X
"" nsD
et
C
"" dn)
n
ln
n
II Eeff
+
]
E o
tandis que la
composante tangentielle du champ électrique suivant o! à
l'interface se met sous la forme
E
= -j L X exp(jnsz)
II 5 5
z
n n
Si nous admettons que les conducteurs sont parfaits,alors les composantes
tangentielles du champ électrique ne sauraient exister sur
ceux-ci ~ous
'-
avons donc
..... ,
·.1~ • '.
E (O,z)
o sur les conducteurs
II 5 6
z
La continuité de l'induction électrique (conditiori i1i citêe plus haut)
nécessite que la densité de charge cr(O,z) soit partout nulle sauf sur les
c
conducteurs où elle est égale à la densité de charge superficielle sur
chaqùe conducteur,soit
,
..
~
cr (O,z) =0 entre les conducteurs
II 5 7
c
Comme le montre bien les équations II 5 l,la détermination des ampli-
tudes des champs se ramène à celle des amplitudes D ln et donc à la réso-
luti~ri des équations II 5 6 et ~I 5 7 qui peuvent êtrecond~nsées sous la
forme
-
29 -
II 5 8
ln
L
:::: 0
\\' -p/2 < z < -'-.7/2-5
r exp(jnsz) pour -w/2 ~ z < +w/2
avec
W/2"io6
< Z < p/2
le exp(jnsz)-- --~ou;-~'..d2-s < z < -w/2
n
~ w/2 < Z < w/2+s
Dans toute la suite ~ous préndrons s==w=p/4
Les équations II 5 8 sont résolues par la méthode des moindres carrés
(Annexe II);la matrice-dont on déterminera la valeur propre minimale est
!
/
définie COû1.'1le suit
( __ ~E__ (~e
-
1) cos(m-n)~ sin(m-n)~ pour mfn
TI(m-n)
m
n
2
4
Aron
{
~ (1 + ICmI2)
pour m""n
Le vecteur X == ( X, ,X , ... ,X ) solution est le vecteur propre associé
2
"
n
à la valeur propre minimale de la matrice A.
I I 5 3 Champs et densités de courant dans le semiconducteur
Après avo~r déterminé les amplitudes des champs Qln,P2n et B
,dans
2n
ce sous-paragraphe, nous nous intéressons à la variation des composantes
du champ électrique et ~ celle de la densité de courant dans le semicon-
àucteur.
En combinant les refations 11_4 Il et II 5 l,les ondes TM dans le
semiconducteur s'écrivent
s (n) X b
(
t
~ n
exp(anx)
5 9
(
)
a
E 2 x, Z ::::
1+'0
x
n·
n
b
--~ X
II 5 9 b
l+b
n
n
Les composantes de la densité de courant ont pour expresslons
:.1
~ -:
-
30 -
b X
n n
- 0 '
L
II 5 la a
sen)
l+b
o
n
n
d
+ ~~- exp(kllnx~ exp(jnBz)
II 5 10 b
n
où
cl
'" 1 -
n
Les premiers termes de II 5 9 et II 5 10 représentent le champ solé-
noïde,chaque harmonique pénètre dans le semiconducteur sur une profondeur
de l'ordre de lia ,tandis que les seconds sont des champs dûs à la charge
n
d'espace et sont distribués sur une profondeur de l/k'
(k'=Re(k
)).
lln
Pour une harmânique n
ondes de diffu-
sion le rapport entre les composantes
du cha::np
~lectrique
Ex2II
II 5 1 i
EûII
Il en résulte que
_ _......,;""i~i
Le champ électrique est par conséquent pratiquement tr~nsversal.
La figure II 3 illustre le comportement des composante? E
et E
du
x2
z2
champ électrique dans le semiconducteur àu synchronisme,c'est à dire quand
la fréquence du signal hyperfréquence et la vitesse des porteurs vérifient
la 'relation pf ~ v .
o
Nous constatons que ces champs se répartissent sur une épaisseur de
l'ordre de 4 ÀD
Dans le figure II 4 nous donnons la variation des densités de courant
dans le semiconducteur au synchronisme.On constate d'une part que le cou-
rant normal nul à la surface croit très vite pour atteindre sa valeur maxi-
male sur une épaisseur de l'ordre de la longueur de DEBYE "(À ) puis décroit
D
à partir de ce maximum n.~our s'annuler sur une orofondeur d'environ 4 À~.
.
U
-
31
-
1.5
, "
Q5
F-tDUAe. II 3
V;"st/r...ébu.LéoVl de-s C.hMPJ'S daM .te. M.m.éc.oVlduc;te.u/t à la n/té-
qr.r.e.nc.e. de. O. 5 GH z, e.Vl 60 nc.,téo Vl de. IS 0Vl ér.al.6-6 e.Ult l''JOUlt UVle.
ma."Û'U.-c.e. de.,s mc.éVléJte..6 c.Cù't/té,s de. cLéme.n6-toM (40,40)
tJx,JZ x16~m1
t5
.
.,
1.
--- - JX
-J~L
0.5
Q:~--:::f;=---==~~---- xlAD
O.
25
5.
F.égu/1..e. II .:1
c.o Vlduc..te.u/t ('[(a. ~/téC?r.r.eYlc.e. de. O. 5 GHz, e.Vl !l 0 YlC.,téOVl de. .t' épal.6-
M.Ult du. .6 VIU.C.O Ylduc.te.u/t l''JOU/t UVle. rna.'tùc.e. de..6 rnoéVld.'te-s
c.a/l/'té/s
de. cLéme.V[;S.éo rr.6 ( .:1 0, 40)
-
32 -
D'autre part,le courant tangentiel max~mum à l'interface (x=O) décroit
progressivement pour atteindre une valeur nulle sur une épaisseur de 4 ÀD
également.
l
II 6 QUADRIPOLE EQUIVALENT DE"LA LIGNE
Afin d'évaluer les performances du dispositif étudié,nous nous consa-
crons dans un premier temps,à l'étude des caractéristiques électriques de
la ligne à partir de l'une de ses cellules élémentaires ,constituée de deux
conducteurs consécutifs isolés (figure II 5)
:",' ,
...;
e.
y
jl
conducreur
isoldn r _--.
semiconducteur ~,"--_,r_;1
V
-:..;2
- - : ' . i
é. f. ém e. nta.Ùt e.
F<.gu./te. II 5
- 33 -
II 6 l l Courants et tensions sur les grilles
De la relation II 5 2,nous déduisons l'expression de la charge totale
Q. sur la grille i comme étant l'intégrale de la densité de charge sur.çalle
~
Cl. ..
cr (O,z)
dy dz
II61
c
En vertu de la conservation des charges,le courant et la charge sur
la griJ.le ~ sont li"és par la relation
'1j
'\\,
-~g~
' V
Ii =
= jwQ.
II 6 2
dt'"
~
La charge sur la pr.emière grille s'obtient en intégrant II 6 l pour
-w/2 < z< +w/2
et 0< y <L
où L désigne la ~ongueur d'une grille.
Pour ,,1 -' p/4
on a
C
~l
n
"" 2e:: L Z
v
~]]
I I 6 3
0
". s~n
n
nB
n
4
Le potentiel étant constant sur chaque grille,pour l'exprimer au
mieux sur la premi~re grille,on se place au point z=·w/4.
On a par conséquent :
'\\,
V
= V (0 z)
1
= w/4
l
l '
z
..
or w = p/4 ; il en résulte que
>-
l
x exp(jnrr/8)
II 6 4
n
,"-.0.
Les express~ons qe la charge,du courant et du potentiel sur la secon-
de grille de la cellule élémentaire s'obtiennent d'une manière analogue et
on a successivement
C
~v
i l
Q2
ZE: L L:
X
cos nrr sin nrr/4
0
n nS
n
î"
Cn
-2
2jwE: L L:
X
cos nIT Sl1l nn/4
I I 6 5
0
n nS
n
'\\,
V
=
s +5w/4
2
V, (O,z) 1
1
z
-~' . ",'
-
34 -
;,;...
~2 = [
X
exp(j9ITn/8)
II 6 6
n nB
n
II 6 1 2 Matrice impédance de la cellule élémentaire
Après avoir déterminé les inconnues X
par la méthode des moindres
n
carrés (Annexe In , à parrir des courants et tensions"donnés
par les rela-
tions II 6 3 - II 6 6, on peut définir en paramétrage (V~I) un quadripôle
ayant pour entrée la première grille et pour sortie la seconde grille.
...r;.• ,.
On distingue dans cette représentation les matrices suivantes
la matrice admittance Iyl
- la matrice hybride
IHI
- la matrice de chaîne
le 1
-
;;.
la matrice impédance
Iz 1
Nous caractérisons
le quadripôle ainsi défini par sa matrice
impédance (Z]
; elle fournit une description complète des propriétés
'~, .
électriques du quadripôle et vérifie la relation suivante
II 6 7
[~11~21
La détermination des caractéristiques de la cellule élémentaire néces-
site la connaissance des éléments de matrice Z.. ;il y a donc 4 inconnues à
~J
d~terminer,il nous faut 4 équations indêpendsntes.
La cellule élémentaire comporte deux conducteurs,deux modes de propa-
.
à '
~
(32;.(33)
':J.
gat~on sont
conslderer
Le premier est le mode pair (figure II 6 a),il correspond à la configura-
tion où la même tension est appliquée sur chaque conducteur de la cellule
élémentaire.
Le second est le moàe ~mpalr (figure II 6 b),il décrit la configuration où
les tensions sur les deux conducteurs de l~ cellule élémentaire sont opposées.
-
35 -
(a)
(c.)
F.z.0 U/t e. II 6
(a] mode.;.JcUA
(6) mode. -Ullpa.;.Jl.
(c.)
Qu.adr<.-I-:YJô.te. éQu...Z.vcJ:.e.rd de. .ta c.e-Uu..te. étéme.Y'vtcv(/te..
-
36
-
Le régime des faibles signaux
suppose que nous nous placerons dans
l'hypothèse de la linéarité: le principe de superposicion est alors appli-
cable.Pour le calcul des éléments Z.. on superposera les solutions données
~J
par les modes pair et impair.
Ces deux modes correspondent aux deux plus petites valeurs propres de la
matrice des moindres carr§s.
Désignons par À
et À
ces deux valeurs propres et supposons que À[
1
2
et À
vérifient l'inégalité
À
< À ' Si l'on consid~re le vecteur propre
2
1
2
X (X ,X?"",X) aesocié à la VlÜ'eur propre
À 1
(mode impsir) ,cl' après II 6 7
1'" _
n'\\,
'\\,
VIX
Z11 I·1X + ZI2 12X
'\\,
'\\,
'\\,
I I 6 8
D'une manière analogue,pour le vecteur propre Y(Yl'Y?""'Y ) associé
_
n
à la valeur propre À
(mode pair) on a
2
'\\,
'\\,
'\\,
Vu
Zil I 1X' + 2.'") 1 2X:
1,,-
'\\,
'\\,
'\\,
I I 6 9
V
1
_
2Y
Z21 Il Y + 2 22
2y
En
suit:
II 6 10
"v
'1t
"'V
~
où 6 = l
. l
-
l
J.
lX
2y
2x'
1'1"
Dans le sous-paragraphe précédent,l'étude portait sur une cellule élé-
rnentaire;à présent considérons toute la structure interdigitale.L'ensemble
de cette structure peut être considéré comme une association de plusieurs
.~ ..-
-
37 -
cellules élémentaires identiques mlses en cascade,chacune de ces cellules
étant bien sûr représentée par son quadripôle équivalent que nous venons
d'analyser précédemment.Ces cellules en cascade constituent un ensemble de
quadripôles Ql,Q2"
··,Qn identiques mis en parallèle (figure II 7).
.
-
0..1
'V
'V
2L.
2L
Cl.z
'V
1
1
I
2
l
) -
-
n
1
l
~3
'V
'V
1
V
1
V
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
'V
1
I
12
j -
-
l 1
1
n
,
-yt
,
.,...
1
~I ••
F-<'..gu.Ju'.. II 7
Sc.héma éle.e..-tJr...i.ou.e. de. la Li.g ne. .ù",Ce/uii.g.üale MUt
/.) eJrU..c.o ndu.e..-te.u.J1. .
:., :
.... ,..,
-
.)0
-
Si les doigts de la ligne sont en nombre de 2 N , il Y aura N
quadri-
a
0
pôles en parallèle.La matrice ~mpédance totale j2 l de la ligne s'obtient
t
à partir de la relation suivante
!z
d'où l'on tire i'expression àe
1
N 1 2 1
o
t
.!. !z11
I I 6 Il
":;. ,
N
'):, .
,,,,.,.
o
2 21
'~<.,:.
'.':~~l\\ '
~.
·r';;._ .-
II 7 - STABILITE, DIRECTIVE ET GAIN DU DISPOSITIF
II 7 1 1 Stabilité
~:.:
Avant de réaliser un amplificateur,on doit s'assurer qu'il est stable
afin d'éviter des oscillations désastreuses quant à son fonctionnement.ll
'<.
;' .
existe,dans la littérature spécialisée,plusieurs définitions de la stabi·-
\\
;~,
lité et noùs prendrons celle la plus souvent utilisée pour définir la sta-
bilité d'un quadripôle (34J. (35J. (37J
2 Re (y 11) Re (y 22) ~ 1 YI 2 YI 2 1 + Re ( y 2 1 Y2 1)
II 7
où la dénomination y
est utilisée pour désigner les paramètres z,y,h o~ g
du quadripôle.
Toute quantité indiquant la stabilité conditionnelle ou incondition-
nelle doit inclure toute l'information contenue dans II 7 1 qui est inva-
riante quelques soit lrinversion de l'entrée et de la sortie.La quantité
:.'
_:_~~~~.!..!.~~~~~~~~=_~~~~l~~~l~
k
II 7 2
IYZjYiZ!
est appelée "invariant de stabili"Cé, èe LINVILL".Il reste inchangé lors-
qu'on substitue les paramè"cres z,h ou g aux paramètres y.
-
39 -
Si k > 1 et Re(y
), Re(Y22) >
0
le quadripôle est dit incondi~ion
11
rrellement stable tandis que si
-1 < k < l , le quadripôle est dit condi-
tionnellement stable.Dans ce cas il est toujours possible de choisir des
terminaisons YI et Y
aux deux accès du quadripôle qui rendent le système
2
stable.On définit le nouveau coefficient de stabilité par
2 Re(Y
) - Re(Y
Y
)
I + YI 1) Re(Y 2 + Y22
I2
21
-------------T-------;-------------------
', ... -,
Y12 Y21 1
Le coefficient de stabilité peut être également défini à partir de
li matrice de diffraction (36).
2
2
2
, ".
1
Is221
"
+ l S11' S22 - S12'1'21 1
- !S11 1
-
k
---- ------------------------------------------
2.
[S12 i Is 21 ,
'-;,
II 7 1 2 Directivité
Le coefficient de directivité est défini par le rapport suivant
II 7 3
Il permet de mesur~r la réciprocité du quadripôle, comme la stabilité il
·est auss~ invariant sous la transformation Y en z,y,h ou g.
II 7 1 3 Gain
La auestion relative au ga~n d'un quadripôle a été traité par de nom-
. :
.
(35J
(37)
.breux auteurs
'
.On a vu que les tensions et les courants étaient
par la re\\ation
'\\,
'\\,
'\\,
VI
T
+ Z
Z Il
T
~I
, 12 ~2
I I 7 4
V -. Z21 Il
Z22 1 2
"
L
-
40 -
Suivant BOLINDER
II 7 4 peet se mettre sous la forme
'V
I
= 0
Z
II 7 5
'V
'V
2 ] 1] + (2
+ 2 )
I
= 0
2
Z2
L
Z
'V
'V
,
'V
'V
avec 2
= VI/Il
et ZL
- VZ/I
Z.
et
ZL
désignent.respectivement
in
Z
ln
les impédances d'entrée et de charge du quadripôle.
De II 7 4 on en déduit que
2]2 2 21
2
= 2
-
--------
in
] 1
2
+ Z22
II 7 6
L
Le galn en puissanc~ ~~ quadripôle est donné par
Re(V I
)
Z 2
G = -
---~~--
Re(V I 7 )
I
G étant alors défini comme le rapport entre la pUlssance absorbée par la
charge et la puissance à l'entrée
".:'
Tout calcul fait,on trou~e
2
II 7 7
G = ~~t~t~) I~;;+~~-I
II 7 ] 4 Gain rnaXlmum stable
On a vu que pour k< 1 ou Re(y] 1) ,Re(Y22)
< 0 , il était toujours ~os
sible de placer aux deux extrémités du quadripôle des terminaisons à perte
tl et Yz de manière à rendre Re(JI+YI]) et Re(J2+Y22) positifs et à faire
tendre le coefficient de stabilité K] vers l'unité.
Le système global se trouve par conséquent dans la région entre les
stabilités conditionnelle et inconditionnelle et dans ces conditions on
peut définir le gain mâximum par
II 7 S
-
41 -
Le galn maXlmL~ stable est l'inverse de la directivité et est également
invariant sous la transformation Y·en z,y,h ou g.
Sur la figure II 2 7 nous avons représenté les courbes de gain en
de doigts
fonction du rapport V~/Vo pour une ligne interdigitale de 8 paires
5
et pour des vitesses d'entraînement des porteurs de 0.75 105 m/ S et 0.5 10 rn/S.
fGain(db)
30.,
2o.~
.'..
1Qt
,1
,
"l'
::
'!:
, 1
~nl,
Il
: :
'l"
Q
..1nu.
1 :~I
2
~_.::....!<.
~l \\ 3
"'l-J+\\
!1.1
\\ 1
+-~---"':"J'__--;.;.,h'î-4..:..:.•
,V~/\\ 1
L . : = .
,-
T
"1.
: l"
'/ 0
Vi
l I~1 ' ,~\\
-10
Ji,
.J!' \\
\\
1
1
1
1
•
\\
..../ :
-20
: ' 1
1
r
5
V =0.5 10 miS
!
1 ,
. '
. J ,
:'
o
-30 I~
..
\\).J
'1'..
''1
V =0.75 10SmiS
o
F.égu./te. 11 2 7
COU/lbez-,~ dee gCLéVl. CZ-Y1 6o!'lc..U.oYL de.. Vq/V0 POUit UYlC, U~j;le.
.tYL;t.ez-,'trUgLWe. de.. 8 ;.:cUAez-,!J de. do-i..g.:U, U.n.e. -Unpédan.c.e. de.
c.ha/tge. ZL=5Cl.:,u.YLe. ~éAI~ode. P=SOum,pcU/t CtY1. ~vn..<..c.on.duc.
..te.UJ't de. c.o Vldcec...:tév-i....té 0= 0 ,0 IDm - 1.
-
42 -
les
Cormne le· montre cette figure, le couplage entre harmoniques d'espace
de la ligne interdigitale et l'onde de charge d'espace dans le semiconduc-
teur, est clairement mis en évidence au voisinage du synchronisme c'est à
dire aux fréquences où la vitesse d'entraînement des porteurs et la vitesse
,
dè phase de l'harmonique du champ électrique de l'onde sont égales.
v
v
Ijln
0
Le maximum de ga~n obtenu à ces fréquences pourrait s'expliquer de la
façon suivante: lors d'une alternance négat~ve de l'harmonique d'espace
d'ordre n du champ électrique de l'onde,il y a accumulation des électrons
sous les grilles du circuit d'entrée.Ces électrons sont ensuite entrainés
à la vitesse v .Puisque l'onde de charge d'espace est supposée se propager
o
sans affaiblissement au cours du temps,si cette vitesse d'entraînement des
porteurs v
est égale à la vitesse de phase de l'harmonique,ces électrons
o
arrivent sous les grilles du circuit de sortie lors de l'alternance néga-
tive de l'harmoniqueconsidéré;ils vont contribuer à augmenter la charge
modulée sous les grilles du circuit de sortie.
Les électrons ainsi accumulés sous les grilles du circuit de sortie
cêdent leur énergie à l'onde et il en résulte une amplification de celle-
CL
Le fort couplage au synchronisme entre l'onde de charge d'espace dans
le semiconducteur et les harmoniques d'esnace de la li~ne est allssi mis en
évidence à fréquence fixe.Pour l'illustrer,nous avons représenté sur la
figure II 2 8,la courbe du gain en fonction du rapport vo/v
pour une ligne
.;,~
,.J;-
Q
interdigitale à 126 paires de doigts et pour une fréquence de 2.5 GHz.
/
Nous constatons clairement que le
est max~muru·aux vo~s~nages des
vitesses V
pour lesquelles la ~elation V
v,
est vérifiée.
o
o
cpn
-
43 -
,
.,
'.
"
.~
GUI1(db)
t:"""
..";"
20.
~
ïO.
-70.
r
-20. ~
6 = 2.5 GHz
Va/ua.,u.oi't du gUI1 e.11 b0n.e..-U0I1 de. V/V l' {Jou/t UI1e. J.J:tJr.uc.-
.:tu./te. -ùz.,teAcU.g/>t.aJ!.e. à 726 do.i.g.to.
LOVlgUe.Wt dll do--i..g.t L=J
mm , Pé!L.<-ode. P=80 ).lm
COl1due..-ti.v-<-'té CJ=O. 0 1 12m- J
:\\la.ûüce. de..,~ mo.i.Ylci/le.-~ ccvv'1..i~ SOxSO
t'o;o
-
44 -
Sur les figures II 9 a et b sont représentées les courbes de la sta-
bilité du dispositif en fonction du rapport v /v
à fréquence variable et
{.
GJ
0
à vitesse variable.
ftabiliré
1.
.8
.6
.4
.2
1
O.
Vd;/\\b
o.
1.
2.
3.
4.
..
1
1
. ..~
~t~': ..
"'.....
,""
; ' ,
F-<.g U/te. II Z 9 il
COuJ1.be.
du.. c.oeD6,ù~ ...ie.;1-t de. .ta ,),tab.ü.dé en fonc...ûOYL de V/V
Cl
9
0
5
V
= 0.r5
70
miS
o
-
45 -
rr
': ~
:: ~ ..
;.:
1). J
.11
:
, i 1
fstabiliré
lr
al
'6l
.Llîzr
Vt/Yo..
d, l
2.
3.
4.
S.
9 b; Cou..rcbe du. c.oe6M.e..-ée.n.t de 'JtabdUé eYt 6oYte..-t<:.oYt de V !V
<jJ
0
6~équ.eYtc.e. 0=2.5 GHz
Nous 'constatons que pour des valeurs impaires de V.p/V
,le syst~me se
o
trouve dans la région de la stabi'lité conditionnelle:en effet pour les har-
moniques d'espace d'ordre impair
la polarisation des doigts de la ligne
change de signe d'un doigt à L'autre.
-
46 -
Cette configuration particulière de la polarisation semble jouer un
rôle important pour la stabilité du dispositif;la èirectivité reste cons-
tamment égale à l'unité (figure II 2 10) quelles que soieBt la vitesse et
la fréquence.Le quadripôle est alors réciproque et le gain maximum est
indépendant de la fréqueGce et de la vitesse.
En conclusion,au sync~ronisme on peut envisager ~n dispositif ampli-
ficateur ou oscillateur.
:'.
~..
(.
~::
1.
.5
FiguJte. II 2 10
Cou/1.be. du c.oe.5 n·i-c.(c~.V'.·t de. ta di./te.c.tév.i.-té e.n 6oYLc..ti-oYl.
5
de la 6~Œqu~nc.e a Va = 0.75 10
m/S
-
47· -
-
CHAPITRE III -
.
THEORIE DU COUPLAGE PAR ONDE DE CHARGE D'ESPACE
ENTRE DEUX LIGNES MICROBANDES
.
III 1 - INTRODUCTION
Contrairemen~ au cas étudi~ dans le chapitre préc€dent
oa le circuit
était formé d'un réseau infini de conducteurs,nous considérerons maintenant
le cas d'un circuit constitu~ de deux €lectrodes
de longueur L inférieure
à la longueur d'onde de manière à n€gliger
la propagation de l'onde le long
des électrodes (figure III 1).
x.
w
G
G
1
z
1 U
z
. . . :
. '
.
. . .
Il
'0
.. . . .
...
~
.
.~~C7~
j~
~
muJW
A
p
·3i4J- - - - -
A
-----~
-
48 -
..~ '.
L'équation de propagation pour le champ électrique s'écrira:
2
2
(V
+ k 2) E =V E =
0
III 1
o
A la tension continue d'entraînement des porteurs,
se superpose une ten-
sion variable VOS
qu'on doit prendre en compte dans les expressions du
potentiel.
Pour simplifier cette étude,nous admettrons qu'il y a deux murs élec-
triques au niveau de la source et du drain. Cette hypothèse permettra de
considérer la structure comme périodique,de période
égale à la distance
qui' sépare les deux murs.
III 2 - STRUCTURE EN COUCHE MINCE
Dans ce paragraphe,nous nous intéressons au cas où le semiconducteur
séparé des lignes par une fine couche d'isolant (figure III ,1) est une lame
mince d'épaisseur ode l'ordre de la longueur de DEBYE.
Le problème à résoudre se ramène à celui étudié au chapitre précédent.
L'étude sera faite dans l'hypothèse du régime quasistatique et en mode TM
pour leqUel le couplage entre "ondê's"de charges d' e'spacë et ondes de surface
( S'] , ( 1 1 l • ( 1 4 )
est particulièrement bien adapté
Le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire ~ et on 3 la rela-
tion suivante
III 2 l
La structure sera supposée u:1iforme sui'Tant Oy;pour toutes les grandeurs
physiques on a donc 3 / 3y = 0
Les milieuN 1 et 2 étant des diélectriques purs, les potentiels (Pl (x,z)
et ~2(x,z) dans les deux milieux obeissent aux équations suivantes:
i'
49
"
Vi. ~l (x,z)
0
X
> 0
III 2 2 8.
\\]2 (j>.,(x,z) '" 0
y.
-< 0
III 2 2 b
La structure étant sup~cs6epériodique,on prend COWEe base les harmoni-
ques d'espace du circuit périodique;le potentiel dans chaque milieu est
(Annexe r )
décomposé en une ~ornme d'harmoniques d'espace
En omettant le terme exp(jwt) en facteur on a:
.,
~l (x,z)
) z)
+ vcl (7.)
III 2 3 8.
'"
r fin exp (j (0.13+6
n
0
,
(j)2(x,z) =
r f
exp(j(n13+13 )z)
III 2 3 b
2n
+ v cl (z)
n
0
où S
désigne le déphasage entre les deux murs de la structure et S= ~1!
o
p
Dans tout ce qu~ suit nous prendrons 6 =0.
o
En reportant II 2 3 dans III 2 2,on obtient les équations suivantes:
?
d-f.
(x)
J.n
P"·
o
III 2 4
2
(lx
où ~ indique le milie~ 1 ou 2.
La solution de cette équation s'écrit sous la forme:
f.
(x) =D..
exp(-'lnSlx) + B.
exp(,'nS;x)
Ul
~n
~n"
où D.
et B.
représentent les amplitudes dps ondes.r.p~ 0ndes doivent res-
ln
~n
ter finies losque x croit indéfiniment,ce
suivantes Dour fi
ex) et f? (x)
.
n
_n
f1n(x) = D
exp(-lnSlx)
in
f
ex).= B"
exp(!nSlx)
7
... n
Ln
Les express~ons générales de cl> 1 (x, z) 1
1
<!J
(x,z)
[
D
exp(-lnSI x) exp (j nSz
j
n
in
(D2{~; z)
[
B
exp (
x)
exp(jnSz)
n
2n
1 nS 1
-
50
-
Le potentiel étant continu lorsqu'on passe à'un milieu à l'antre,à
l'interface des deux milieux, on doit avo~r:
1>1 (x,z) Ix=o+ = '~2(x,z) Ix=o-
~oit
Ln fi
exp(jnBz)
Ln B
exp(jnBz)
Vz
1n
2n
B
.
on en déduit que QIn
= A
2n
n
1
En fonction de A ,les relations III 2 5 deviennnent"
n
~l (x,z) = Ln An exp(-inSl x ) exp(jnBz) + và(z)
III 2 6 a
~2(x,z) = Ln An exp(lnSI x) exp(jnSz) + vd(~
III 2 6 0
III 2 1 Potentiel en escalier dans les différents milieux
Nous admettrons en première ~pproximation,que v~z) varie linéairement
a
\\1
' i - ~~"--
""
avec z. Posons
Eo =,'OS/?
":>n a:
'd(z)
= - E (p/2+z)
o
Les
relations
III 2 6 deviennent
~I (x,z)
Ln A
exp(-inSI x) exp (jnSz) - E (p/2+z)
III 2 7 a
n
0
~; .-
~2(x,z) ""
[
A
exp(
Ins
x) exp(jnBz)
E (p/2+z)
III 2 7 b
1
n
n
0
III 2 1 1 Champs électriques
f-
.'::~.
",.
La combinaison des relations III 2 7 et III 2 l permet d'obtenir les
expressions des composantes du champ électrique dans les deux milieux.
'f:.
;'.'
a) milieu 1
En dérivant III 2 7 a,on a
E xl (x, z)
L
Insl A
exp(-inSl x ) exp (j nez)
I I I 2 3 a
n
n
E zl(x,z)
-J L
nSA
exp(-lnS/x) exp (j nBz) + E
Ir,.
... l-
2 8 b
n
n
0
b) milieu 2
les composantes du champ électrique sont obtenues en dérivant
III 2 7 b
! .
-
51 -
E ~(x,z) = - E
[nSIA
exp(!nS! x) exp(jnBz)
III 2 9 a
x,,-
n
n
E 2(x,z)'= - j
E nSA
exp(lnSI x) exp(jnSz) +E
III 2 9 b
z
n
n
0
L'épaisseur de la lame semiconductrice étant très faible,le phénomène
de diffusion peut être négligé à condition de considérer la lame semicon~
ductrice cO$~e une charge superficielle de densité Ps donnant naissance à
un courant superficiel dirig~ suivant la direction O~ (6), (19), (31),(38J
Soit p la densité alternative de charges dans la lame mince semlcon-
àuctrice,on peut écrire
III 2 10
Les équations définissant la vitesse alternative des porteurs et l'in-
.;~
tensit~ alternative du courant d~ns la couche mince de semiconducteur s'~-
crivent successivement
dv
K
n(E + v vB + vXB ) - v/,- - VT
III 2 11 a
dt
0"
' 0
m
l
Poov + Psv
III 2 11 b
o
où n,V ,m ,B ",T et Po ont la même définition qu'au second paragraphe du
.
0
a
chapitre II.
~'~'.
On admettra que ~'intensité du courant l et la densité de charge
ne dépendent que de t.
En régime de faible signal et dans l'hypothèse des collisions domi-
nantes ( 11, »w
où w
est la fréquence de plasma) ,l'équation III 2 11 a
p
p
se ~et sous la forme(si on néglige VT)
:
v '" l' (E + v xB)
III 2 12
,..
0
-
52 -
On n~glige l'effet du champ magn~tique de l'onde sur.ies porteurs dans
le semiconducteur.
Les indices étant supprimés,le champ électrique dans le semiconducteur
suivant la direction Oz,est donné par la relation III 2 8 b pour x=O
il s'écrit
E(O,Z) = E
+ E
o
\\oz
ave4~ El "" - j E nSA exp(jn6z)
z
n
n
La relati0n III 2 ] 1 b devient'
l
= cr 0 E
+ cr 0 Elz + 0 v
0
0
0
s 0
qu'on peut encore écrire sous la forme
l
l
+
1]
III 2 1""'
. .)
0
avec l
cr 6 E
et
Il
a 0 E]z 0{- 0 v
0
0
0
0
s 0
L'~quation de conservation du courant s'êcrit
d 1. + jw 0
= 0
III 2 ]4
-
1
S
dz
En combinant les ~quations III 2 ]3 et III 2 14 et en ne retenant qu'une
seule harmonique,on peut aisément exprimer les amplitudes de la densité
alternative de charge et de l'intensité alternative de courant dans le semi-
conducteur en fonction de l'amplitude du champ E 1z
nBa
III 2 15 a
On a
Pn = -.(~~~S~-)- EIZn
wcr ~
o
E
et
- - - - - - - -
]z
III 2 15 b
(w+n8v)
n
o
avec
E
= -
jnBA
IZ n
n
La densité alternative de charges et l'intensité alcernative du cou-
rant dans la couche mince de semiconducteur pour l'ensemble des harmo~i~ues
sont données par
p(z)
jcr
L
nS
( .
)
-------- nSA exp Jn3z
III 2 16
0
n (w+nSv )
n
o,,!\\
Il (z)
- J wa 6
np.
Z
Tl-
•.
5 )
-----
-exptJn z
III 2 17
0
n (w+n Sv )
0
, .
.'r
1
!
-
53 -
Remarque: La relation III 2 15 b montre qu'il est possible d'obtenir
pour certains harmoniques d'espace,une impédance négative dans la direction
d'entraînement des porteurs.
III 2 J Densité de courant total dans le film m~nce de semiconducteur
-
-
-
-
"'- -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
_. -
-
-
-
-
-
-°1- -
La densité de courant total circulant dans la couche mlnce semicon-
ductrice est la somme d'une densité de courant l
créee par le champ E
et
o
0
d'un terme Il dù à la contribution des harmoniques d'espace du champ élec-
trique de l'onde.
Xn
on a
lez) = gE
-
Jg
~
--------~- exp(jnSz)
III 2 18
o
~n (l+nvo/vQ)
où ~ =0 8 est la conductance du semiconducteur et X
uS A
<:0
0
n
n
Les expressions des champs (III 2 8 et III 2 9) seront entièrement
déterminées une foi.s les Daramètres X
connus.Le calcul de ces champs se
•
n
ramène,à l'aide des conditions de continuité,à celui de la composante E (O,z)
z
du champ électriqua et de la densité de charges a (O,z) sur les conducteurs
c
dans le plan yOz.
Considérons une t~anchede la structure dz (figu~e III 2) et désignons
par c"
et
"- l
€"
les constantes diél'ectriques etes milieux
et 2.La d.ensité
'-
totale de charge pt(O,z) à l'interface (x=O) est obtenue à partir du théo-
rème de GAUSS
pt(O,z)
€lE
(O,z) - €2Ex2(O,z)
III 2 19 a
xl
Cette charge est constituée de la charge dans le semiconducteur p8 (égale à
la charge mupcrficielle p ) à laquelle s'ajoute la charge a (O,z)
lorsqu'on
4
s
C
se trouve sur un conducteur.
-
5 4 -
x
~1
c.oY!d.ac;te.uJt
.~
è t
... .. .. ..
....
......... .
"".e-_....b.
.. ... ... .. ;..:...~,
.. ..
.....:
•..; _.",.::..'"...:"~~...:.
..
'" :...,:'Ji!.,...;ri'J...:...:...:.:...:..:J
.. . . ". .. - .. . .... .. .. ... .. .. .....
1
1
1
1
.6 em.Zc.o nducte.uJL
1
1
2
z z"-dz
F<'gu/te. III 2
StJw.c.twte. b'<',gfi.A-Ue.,,) ,~Wt M.m'<'C.OVldude.WL e.n c.ouc.he.
m'<'nc.e.
La densité totale de charge P
peut encore s'écrire:
t
pt(O,z) = po
+
0
(0,Z)
c
De cette relation on tire l'expression de 0
(0,Z) et en remplaçant pt(O,z)
c
et P par leur expression en fonction de X , on obtient:
n
f:
° (O,z)
l::
X sen)
(~I + (~2 - j _g~.ê~i~2.)] exp(jnSz)
c
n
n
(ù
+ nfv o
+ 1 pour n>O
avec
sen)
{ -1 pour n<O
Cette expreSSlon de cr (O,z) montre qu'on peut définir pour les x<O
c
et pour chaque harmonique,une permittivité effective
E
=
E
-
ig~.ê~i~2.
III 2 19 b
eff n
2
(w+nSvo)
Cette permittivité effective pourrait aussi être obtenue à parti~ de
la permittivité dépendante du nombre d'onde s(6) donnée par INGEBRIGTSEN
et coll.·(39) en considérant un semiconducteur de très faible épaisseur dans
.t"
lequel la diffusion est négligée.
La relation III 2 19 b montre que la partie imaginaire de Eeff change
n
de signe si w
°
+
nSv o <
.Ce changement de signe est la cause de l'amplifi-
cation ou de l'absorption des ondes accoustiques de surface qui interagis-
' l '
.
d
.
(4Gj
sent avec un ml leu semlcon ucteur adjacent •
' .
.
:~:
.f, •
-
55 -
E:
cc
Posons
a
=
sen)
(1 + ._S:!.:.l.n)
-n
E: ]
DaŒs ces conditions
cr (O,z) s'écrit
c
ï
X q
exp(jnBz)
III 2 20
n
n
n
Les coefficients X
sont déterminés à partir des conditions de continuité
n
à l'interface des deux milieux à savoir :le champ électrique n'a pas de
composantes tangentielles sur les conducteur
la densité de charges cr (O,z) sur
c
le plan yOz est nulle entre les conducteurs.
Les équations traduisant les conditions précédentes s'écrivent:
f -0/2+dl< z< -P/2+~1+w
E
- j [
X exp(jnBz) = a sur les conducteurs
o
n n
d
d
p/2- ]-w < z<
p/2-]
[
q
X exp(J'oBz)
o sur l'isolant
-p/2
< z<
-P/2TQl
n
-n
n
{ -p/2+d +w< z<
p/2-dl~w
1
p/2-cil< z<
p/2
D'une façon plus générale,ces équations se mettent sous la forme:
..
t.-
a (z) X
E (z)
III 2 21
n
n
n
0
r
exp (j n6z)
sur les conducteurs
où
a (z) =
n
{qn exp (juSz)
sur l'isolant
(
jE
les conducteurs
.{ .
et
E (z) =
r
sur
0
0
0
sur l'isolant
Les équations III 2 21 sont résolues par la méthode des moindres car-
res
(Annexe IIl. La solution
X = ( X ,X , ... ,X ) satisfait à l'équation
i
2
n
.",.
matricielle suivante
III 2 22
où A et B sont des matrices définies par
a
a
et
mn
m
n
m.
t/2
A
= (P/2
" (z)
(z) dz
B
a '" (z) E (;:) dz
f ..... '
m
a
J- p /2
-p/2
-
56 -
Après quelques manipulations algébriques,on trouve
4 ( l-q'; q )
ID
n
A
sin(m-n)f3 ~ cos (m-n)R (~ - dl - ~)
mn
(m -n) S
2
s~ m"" n
A
+ 2w
mm :::1 (p - 2w) 1 qml
:::)
B
== -
m
2
La solution X(X ,X , ... ,X ) recherchée est déduite de III 2 22 par
1
2
n
inversion de la matrice A ce qui donne
III 2 23
Le nombre élevé de paramètres (dimensions géométriques,vicesse des
porteurs,tension source-drain,fréquence de l'onde,etc ... ) ne nous a pas
permis d'analyser en détail leur influence
sur le comportement du
système. Aussi nous avons re?résent~ seulement les variations des char.f,es
sur les grilles (figure III 3) et du potentiel dans le semiconducteur
(figure III 4).
L'effet de bord est mLS en évidence: le max~mum des charges esc con-
centrée sur les extrémités des conducteurs .On constate également que la
tension varie linéairement dans le semiconducteur sauf dans les régions
situées sous les grilles où elle reste constante.
-
57 -
1
o()6
• f J
(MI<SA)
~
Drain -.Z
·Gl
G2
F-LgUJ'-e. III 3
VO./t,.i..a,.ti.on du moduL: de.-6 cho../tge.-6 ,.JU!1.. ie.-6 gJLJ:.e.e.ô ~oU!1..
,-JVLUe.--tU/le. e.n couche. mLnce..
{a)
Fi..gIJ./le. III 4
VCVLio...tton du pote.ntte.i do..n·.J .ta. couche. mLnce. de.
,b eft/,.i..co ndue.--Ceu/l.
(b) V
=
(0..\\
V
= 10V
sv
,
DS
.
os
.l..
-
58 -
En haute fréquence et pour un matériau de haùte résistivité satisfai-
sant à la condition ~o faible ,le couplage entre les deux lignes microbandes
est influencé par la propagation d'une onde de charge d'espace sur la cou-
che mince semiconduc trice . .
Il
- -
- (4)
, . 1
.
d
.d '
.
a ete montre
,qu l
eXlste
eux ma es ae propagatlon sur une
lame mince de semiconducteur,l'un pair et l'autre impair en x (figure III 2)
de constantes de propagation
w
q,o
r
J -
( 1 - j
)
pour l'onde palre
1
v
é:Vb
0
et
f
~ ( 1 -
Q~ )
pour l'onde impaire
2
J
J
v
Wé:
0
On constate que l'onde paire est beaucoup moins atténuée par rapport à
celle du milieu infini;w
dans le cas du milieu infini est remnlacé par v /8
•
.
0
alors que la constante
de propagation de l'onde impaire est la même que
celle du milieu infini.D'où l'intérêt,dans un problème à'excitation des
ondes dans une couche mince de semiconducteur de favoriser l'onde paire au
détriment de l'onde impaire.
Ces deux types d'ondes ont cependant la meme vitesse de phase v~égale
à la vitesse d'entraînement des porteurs dans le semiconducteur
1
dW
v
v
III 2 24
o
~I , 2
cIT' 1 2
,
Les figures III S a et III 5 b montrent le module ec la phase de la
densi~é\\âe charges dans le semiconducteur
à la fréquence de 1.4 GHz pour
y~ ~.
S
la v et pour des vitesses d'entraînement v
de 105 mis et 0.9 iO
rn/s.
" .. s .
0
Nous constatons que lorsqu'on fixe v
,la charge nulle en module au départ
o
de la source (figure III S a) augmente au nlveau de la première grille puis
1
se propage avec une phase linéaire entre les deux grilles (figure III S b)
et diminue à partir de l'extrêmicé en rég2rè èu drain de la seconde grille
-
59 -
source
'drain
F-i..gu./T..e. III 5 a
Hodu.1.e. de-6 dLw'tglù~ oLteAYw.A.ve."s dan6 .ta couc.h.e. rrU-n.ce. de.
"'.
.6 eJn.<.c cn.duc.;te.UJ7.. e.n-t't e. .ta M UACe. cd:. .te. MeU.n. po UI't un.e. 0''1. é -
que.n.ce. 6=1.46 Hz.,VOS=10V,;S =d,=w=ZOwm,WIitf=68
PHASE(radians)
-\\b=1t?m/s
n '.
- - - -Vo =O.9105m~
seur e
drain
-n r
Fégu./'tC2. III 5 b : ;.hgwne.n.t du C'flct/i..9IùS attVtYLC'vtéve.,s daM .ta couch.e. m.{.n.ce. de.
<~ e.lnéco n.duc. te.UI't CJLÛ'te. ta 'S OU/lCe. e.,t te. c1''t<.l.ért'Joull une. 6/té-
que.n.ce. 6=].4 GHz., VOS =101),dl';'~ =w=ZOwm,IVIld=68
~'.
..
.~ri:i},:::~' i::;.'.~~
-
60 -
avant de s'annuler de nouveau sur celui-ci.
Considérons les courbes de la figure III 5 b;entre les deux grilles,
la phase varie linéairement en fonction de z.On peut donc écrire:
w
~h '" --- z + ~
v
0
<fi
où
~
est pris comme référence.On en déduit que
o
w
,', ,
F "
w/p
III 2 25
:·tf'~·
o
l-::·~
Po désigne la pente de la courbe de ~h en fonction de z dans la région com-
,f~ .
prise entre les deux grilles.
{.
5
Pour v
= 0.9
lOS rn/s, nous avions évalué la pente P
de l'ordre de 0.9 \\0
"X:'-'
L-
o
5
0
fj
rad/m. D'où (équation III 2 25)
v
= 0.94
\\0
rn/s.
.,.
,~
<P
.~, "
5
;'.
Un raisonnement analogue conduit à v~ = 0.98 10
mis pour une valeur de V o
5
égale à \\0
rn/s.
L'erreur comm~se en calculant indirectement v<t>
par la relation III 2
25 au lieu d'appliquer directement la formule III 2 24 estr de 4% dans le
premier cas et de 2% dans le second.
En conclusion,nous
pouvons affirmer que la création d'une onde de
charge d'espace par l'utilisation d'un dispositif à deux grilles sur seml-
conducteur en couche mince est possible.
Les charges QGI et QG2 sur les grilles sont calculées co~~e étant les
intégrales de la densité superficielle de charges sur ces grilles.A partir
de l'équation de conservation du courant,nous en èéduisons les cou~ants
4"
,;'
.
y.
1,
grilles.
ç,
. j" ..' .
X
l ,"T
L.L
r. .
n casnn (exp(jnS(w+d )
exp(jnSd\\»
:2 26 a
E1wL Ln qn
nS
l
'(
E
-~~ cosnIT (exp(-jnBd,) - exp(-jn6(w+d.»
2 26 b
1wL Ln qn
nB
l '
1
où L est la longueur de chaque grille dans la direction Oy .
-
6J.
-
Le courant sur le drain s'obtient en intégrant la densité de courant
lez) donn~e par III 2 18 et en se plaçant à la cSte z=p/2
soit
dy 1
jz=p/2
X cosnIT
- J ~g
2 --~--------- )
UI 2 26 c
V
n
n~(I+v~/nvo)
o
Pour une ~valuation moyenne des tensions sur les grilles,on se placera
au milieu de chaque grille.On a successivement
(-p/Z+d +w/2
1
VGI (x) '"
)-p/2
"'
E (0 z) dz
z
,.
.
':,.',
ip/Z .--
VG2 e x ) ·
Ez.(O, z)
dz
-p/2-d -w/2
l
Ces intégrales s'effectuent sans difficult~ et on obtient:
1
X
VGl~)
E
(d +w/2) + Ln ~~(exp(-jns(p/2-dl-w/2»-
cos~nn) III 2 27 a
o
1
X
VG2~)
E
(p-d
o
1- w/2) + Ln ~~(exp(jn6(p/2-dl-w/2»-cosnIT
) III 2 27 b
La tension sur le drain est donnée par l'expression suivante:
X cosnIT
n
VDS (X) =
E
III 2 2ï
Ln ------- -
oP
c
LlS
III 2 8
Matrice impédance de l'hexapôle
On représente la structure de la figure III 1 par son hexapôle équi-
valent dont les accès sont constituées par les grilles G1,Gi et le drain.
Le comportement électrique du dispositif peut ~tre établi à partir de la
matrice impédance
IzBI de l'hexapôle.Pour une solution X(X ,X
I
2 , ... ,~)
d~ l'équation III 2 2;;.
-
62 -
Les courants et les tensions sont liés par :-
VGI (Xl
I GI
V
(X)
I
(X:]
(X)
G2
ZR
G2
III 2 28
VOS (X)
ID
(X)
=
Z21
Z22
'Z23
avec
IZR/
l2 ZI2 213
II
Z31
Z32
1
Z33
La matrice
IZR\\
est définie à partir des relations III 2 26 et III 2
27.Le système d'équations III 2 28 a 9 inconnues qui sont les éléments de
la matrice [ZR!
.Pour les déterminer,on applique le principe de superpo-
sition :on calcule pour trois états caractérisés par des valeurs voisines
de l'amplitude de la composante alternative E
du champ,les vecteurs salu-
a
.
tions de l'équation III 2 23.
I
Soient X ,x 2 ,x3 ces trois vecteurSjon construit les matrices suivantes
1
1
l
I 1(X )
IGZ(X )
ID(x )]
G
2
?
2
M.
=
I
(X )
I
(X-)
ID (X )
l
GI
G2
3
3
3
l
(X )
I
(X )
ID (X ) J
GI
G2
1.
1
V
(X )
IVG
VDS (X 1)
G2
1
! «)
?
M
V
2
OS (X )
VG1(x )
VG?(X-)
v
3
-
3
3
V
(X ) 1
VG1(X )
VG2 (X )
OS
J
On peut aisément monter que la matrice transposée de la matrice
l'équation
M.
M
III 3 39
l
v
De cette équation (en admettant que la matrice
~1.
soit inversible) ,on
t
1
tire l'expression de
et par suite celle de (ZRl par simple trans-
1ZRI
t
position de
\\ZRI
t
"
- (1
1
t )
En effet
IZR\\
- ~ i ZRI
-
63 -
III 2 8 2
Matrice impédance du quadripôle
Plaçons entre l? ,source et le drain, une fermeture purement réactive.
.
"
matrice impédance de lrhexapôle
par
Z
(k, l ~ 2)
Ok, l
III 2 8 2 2 Stabilité et gain du quadripôle
De la même manière qu'au paragraphe II 7 du chapitre II,la stabilité,
la directivité et le gain du dispositif sont calculés en fonction de ZL '
la seconde grille étant fermée sur 50 Q.
Nous constatons que le gain,la stftbilité et la directivité restent cons-
tants quelle que soit la fermeture. Sur les figures III 6 (a-d)
,nous donnons
les courbes de stabilité et de ga~n en fonction de p F/v
pour un semicon-
o
8
ducteur. Dour leauel aô~ 5 10-
,le circuit source-drain étant fermé sur une
•
•
0
impédance c~pacitive_
~ous mettons en évidence le phénomène de synchronisme à des valeurs
de p F/v
non seulement entières mais aussi demi-entières_
o
-
64 -
sl"abilité
-05
:·t·,,>
-1
·:t>·,::
Va a lOS mlo ,~ô
~ 5 70- 8
al ~ 0
::1
W ::1
20 \\.lm , Z L ~ - j 50 Î2
stabilihi
1
fl
t
os
~ r 1 I~0
Qn.
2.
ir.
Q5
\\1 \\
~
U
11
\\J
~
, CG
,
~> '
'.'
. ,',
-
65
-
3o.tGain(db)
2Qr
1o.~
1
QI
Px'7~
1
o.
1.
3.
1o·f
Var: 10 5 ml.5'
Cbô = 5 10- 8
20'r1
d] = 6
= W = 20 um
30
Z L = - j50 n
~ ~
Gaifl(db)
3Q
Va = i0 5 mj.6
(.
(Joô
= 5 10- 8
Pf
4.
Vo di = .·6 If lU = ;JO ).lm
ZL= -j50 n
2Q
-
r
-30.1
F,ég:J}T.e. l TI 6 d
Va/'..A:.a..téo Yl. du Gr.tÙl ;OOM une. ,),Otue.-tu./l.e. CYl. couche. nUYl.ce.
-
66 -
III 3 - STRUCTURE EN COUCHE EPAISSE
L'épaisseur de la couche semiconductrice (quelques longueurs de DEBYE)
déposée sur la ligne à deux électrodes, n'est plus négligeable,la chargé
n'est plus superficielle,le phénomène de diffusion ne peut par conséquent
plus être négligé comme dans le cas des couches minces.
Pour cette étude,nous nous placerons égal~ment dans l'hypothèse du
régime quasistatique où seul le mode TM est considéré.Les analyses faites
aux paragraphes
Il 2 et II 3
du deuxième chapitre restent donc ~alables.
Les potentiels dans le semiconducteur et dans l'air doivent être mo·-
difiis pour .rendre compte de la modulation de la tension source-drain.8ous
admettrons,pour simplifier que cette tension de modulation ~arie linéaire-
ment avec z.
Pour les mêmes raisons qu'au chapitre précédent,toutes les grandeurs phy-
siques sont supposées indépendantes de y.
La tension de modulation
s'écrit:
I I I J l
III 3 l I A l'intérieur du semiconducteur
Compte tenu des hypothèses,le potentiel
V?(x,z) àans le semiconduc-
teur obeit à l'équation de POISSON
2
9 V (x z)
= - p/~
III 3 2
2
'
-0
où p satisfait à l'~quacion
II 3 4.
~ .
- 6ï -
L1expression du potentiel dans le semiconducteur est obtenue en
superposant trois solutions: la première correspond à l'onde solénotde
associée à l'absence de diffusion (p = O),la seconde à l'onde de diffusion
(p ~ 0) et la troisième tient compte de la modulation de la tension
source-drain. On a
III 3 3
On opère de la même manière qu'au II 3, ~2 et
~2 sont décomposés en
série d'narmonigues d'espace en ne retenant que les solutions physiquement
acceptables.On obtient
~2(x,z) = Ln V
exp(a x ) exp(jnsz)
Zn
n
et
~2(x,z) "" Ln V3n exp(klln)e~p(jnsz)
où
a
""
et k~I
est donné par la relation II 3 Il .
1 n6 '1
il
.1.
n
En remplaçant ~2' ~2 et v
par leur expreSSLons respectives,le poten-,
ds
ciel à l'intérieur du semiconducteur s'~crit:
.".
III 3 4
, Les expressions des champs dans le semiconducceur s'obtiennent en dé-
rivant III 3 4
.
III 3 5
= _
E n(X,Z)
~~li::~~2 = - 1: (a. V exp(a. x)+k ,V exp (kIT x») exp(jnSz)
a
XL
oX
n
n 2
p
n
n
_~n
3n
_n
~Y~i::~~2 "" -J Ln nS(V2nexp(a.nx)+V3nexp(kIlnx») exp(jnSz) + Eo
b
oZ
III 3
2 A l'extérieur du semiconducteur
Dans l'air,le potentiel
VI (x,z) obéit à l'équation de LAPLACE
o
-
68 -
~I~;i'
~. ~~;.
1
VI (x,z) est la somme de Vd(4et d'un terme périodique 0 (x,z)
;\\;" .
1
Vl(x,z) ""
'fll(x,z) + vd(z)
III 3 .6
~l (x,z) se développe à son tour en série d'harmoniques d'~spaceoEn ne
~
"
retenant que des ondes évanescentes suivant Ox, on obtient
;
VI(x,z) '" Ln VIn exp(- CL :<) exp(jnBz) .,;.' Eo(p/Z +z)
III 3 7
n
Les composantes du champ êlectrique dans l'air sont par conséquent
av1(x,z)
- - - - - -
'0
E
(x, z) '" -
r
a
VI
exp(a x) exp(jnSz)
III 3 3 ô.
xl
àx
n
n
n
n
aV 1 (x:, z)
E
(x: z)
c:
-
- - - - -
'"
E
-
j-r
VI
nS exp(a x)exp(jnBz)
III 3 8 b
z l
'
az
o
n
n
n
;
III 3 1 3 Paramètres électriques de la structure
Dans l'écriture des champs apparaissent trois constantes complexes
arbitraires Vln'V
et V
oOn les détermine à partir des conditions aux
Zn
3n
.B>
limites décrites au paragraphe II 5 du chapitre précédent:à l'interface
air-semiconducteur les composantes tangentielles des champs électriques
sont continues et la composante normale du courant total est nulle.
Ces conditions s'écrivent:
.~'"
i)
,Ezl(x,z)
Ix=o+
:::r
E ? (x, z)
1
-
z_
x:::tO
1
il).J
(x,z)
l'
-
'" 0
x:
x=o
Les conditions i) et ii) permettent d'exprimer V
et V
en fonction
Zn
3n
de Vin
b n
V
1
=
Zn
VI
V3n ==
Il
l+b
.n
1+0
ln
n
n
W
..
~~O) krlh
avec
b
J
Çl
+
n
Wc
v
an
c?
-
69 -
La densité de charge cr (O,z) et la composante
E (O,z) dans le plan
c
z
yOz s'écrivent sous la forme suivante:
cr (O.z)
c
.
s
r C X exp(jnSz)
III 3 9 a
o
n
n
n
E (0,2) ~ - j r
X
exp(jnBz) + E
III 3 9 b
z;
n
n
0
avec
x = nBV
,.
et C
=
j
n
,n
sen) [(l+s Ff lE: )J '
n
e .• n
.'3 ,ou
est donné par la
relation II 5 3.
Le problème est à pr€sent
de déterminer ces paramètres X .Pour cela
n
z-
écrivons qu'à l'interface la densité de charges cr CO,z) est nulle dans la
c
région comprise entre les conducteurs et que sur les conducteurs,la compo-
sante tangentielle Ez(O,z) du champ électrique est nulle.'
Il en résulte des relations III 3 9 que:
entre les conducteurs
E
- j
)
X
exp(jn6z)
o
sur les conducteurs
a
-n
n
On peut mettre ces équations sous la for.ne condensée suivante:
[
a (z)
X = E (z)
III 3 10
il
n
n
0
exp (jnSz)
sur les conducteurs
avec a (z) '"
n
{ C exp(jnSz)
entre les conducteurs
n
. E
sur les conducteurs
J
ec
E (z) '"
( 0
-
o
o .
entre les conducteurs
De la même .maniêre que dans le cas de la couche mince, les équations
III 3 lO sont résolues par la méthode Ges moindres carréslAnnexe II )
On montre que les lDconnues x obeissent au svstème d'éa,uations suivant
n
.
[
A
X
=>
El
III 3 Il
..
mn
n
rn
-
70 -
Les matrices A et 13 sont définies comme 3uit
~~.!..:g~Ç~2
w
sin(m-n)
cos(m=ri)S(~
- ~)
1
A
'"
::1
S-
- dl
5I.
m :-; n
mn
(m-n) S
Z
2
Z
A
+
Z w
~ (p - Z w) 1 Cm 1
mm
_
4_E o
w
j mS
sin mS 2 cos m8(p/2 - dl - w/,2)
Le système d'équations III 3 1l est résolu par la méchode de GAuSS CAn -
nexe 2!Les composantes X
ainsi obtenues permettent de calculer les ten-
n
S1.ons et les courants sur les grilles et sur le drain.
D'une manière analogue à celle utilisée au paragraphe III Z 7 on a:
X
V
(X)
Gl
'" 1:
-~-(exp(-jnS(p/Z-d -w/Z»
- cosnrr)- Eo (dl+w/2)
III 3 l 2 a
n nS
l
Xn
V
(X)
(exp(jns~p/2-dl-w/2»
cosnIT)- Eo(p-d,j-w/Z)
III ') T Z b
'" [n
-
..; 1
GZ .
nB
1
C X
tl.
n
I
(X) ::r jWE: LI:
casnIT (e:..."? (jnS (d 1+w»
- exp (j nSd l »)
III ".) 12 C
GI
o
n n
C X
n n
..,
IGZ(X) = jWE: LI:
cosaIT (exp(-jnSd ) - exp (- jnS (dl +w) »'
III .)
12 ci
o
n nS
l
Le courant qui circule dans une section droite de semiconducteur a 12
côte z est donné par
110
I(z) '"
~o J dx dy
III 3 13
o
/-ao
z
où t désigne la
lar~eur du semicdnducceur dans la direction Oy.
Rappelons qu'en fonction de X
la densité de courant J
' -
..
s eCr:J.t
n
z
b
cl
n
n
J
[
X (exn(a x)
'" - Ju
exp (kIInx) ) exp (jnSz).
z
o
n l+b
n
..
n
b
n
n
?
0
W
TIV
où d
= l - (,\\D - cr0 h
+
jv /n8)(;) /C5v~
0
+ j
( l
0
.;-
»)
n
s
a
0
: 0 l
V
éù
V
T c
iD
-
71 -
Après i~tégration III 3 13 devient
l(z) :=
i:
l 1 exp (jnez)
III 3 14
lJ.
n
a.vec
l
1er
~rL
~l1
d n
+ -
)
n
0
i+b
an LI
n
J.
n
Pour déteëminer l'expression du courant drain,il suffit d'appliquer
la relation III 3 14 pour z=p/2.
ID (X) => l (z ) l'
:::1"
l
cosnIT
III 3 15 a
~n
n
z=p/2
La tension source drain est donnée par
. X
Vn~(-) :::1 i:
-~.cosnrr - E p
III 15 b
v~ ~
n
nB
0
III 3 3 Etude de l'hexapôle équivalent
D'une manière analogue à celle utilisée au paragraphe III 2 8 dans le
cas de la couche mince,on place une impédance purement réactive entre la
source et le drain.Le dispositif se comporte alors comme un quadripôle dont
on peut ca.lculer le gain,la stabilité et la directivité.
Ces derniers sont représentés sur les figures III 7(a-d ) .Nous consta-
tons que le phénomène ~e résonance est également mis en évidence pour les
valeurs entières et demi-entières du rapport p F/v .
o
-
72
1.
05
Q'
2
3.
4.
PxF
V'
o
US
1
1.
,-
~~~::
·1~:'''.'·
~'?~.~ .
. '
L
I s - .
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5
- 7 -1
r:
V
::
70
m/~
, cr :: 0.07 n m
a
f\\
,
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71 . g
'.-
dl ::
.1
:1
W :: 20 \\lm ,
ZL =: -j50 n, E,'!.
~fi~.' :
';:'" .
tGain(db)
,~Jomblte. d' hCl/lInO yu.ou.~ : 64-
5
.
J.
v
1a ml,~
·f:·:··
o
z,
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J..;.
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J.
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Fégu.lte. rTT r b
~P((..w.)e.
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..,..,
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l . j
-
tGain(db)
40L
.
2Œ
Q
,::
F~g~~ III r c
v~atio~ du G~~ en 6o~~on de ~o/Vo oo~ u~e couche
épcr..U>J.Je.
,- ~
Nomb~e d'h~tmoniqu~~
64
j
V
=5 .1 0 . mf,~
~_ = - j 50 \\2
o
.
1
r:; 0
= ù. ù 7 \\2 - 1m-
d7 = ~ = l'J = 2 0 ).lm
jÜain~b)
6·..... 1
u.
- ï4 -
CF.AP!TRE
!v -
APPROCHE EXPERI~~ITALE
IV 1 - INTRODUCTION
Ce chapitre est consacré à la vérification expérimentale des résul'tats
que nous avons obtenus théoriquement.Après avoir sommairement décrie au
paragraphe 2 les différentes phases du processus de la fabrication du dis-
?ositif expérimental,nous donnons au paragraphe 3,les divers moyens que
nous avons mis en oeuvre pour effectuer nos mesures.
IV 2 - REALISATION TEClli~OLOGIQu~
DU DISPOSITIF
Les lignes qu~ servent pour ce travail expérimental sont réalisées par
1
13 te.chnologie des circuits intégrés ( photogravure) qui est l'une des
activités importante
de notre laboratoire.Ces lignes sont obtenues par
......
différentes technologies et notamment en contact SCHOT~{Y,en contact ~1IS
et par simple gravure sur substrat d'alumine.
IV 2
IV 2
Préparation des suostrats
a) cas des substrats en silicium
Vu l'aspect de peau orangé du substac sur lequel. doit être grav€e
la
ligne,un prem~er polissage mécanique du substrat, avec des grains abrasifs
de 15 um de diamètre pendant 1 mn (sous adjonction d'eau), est nécessaire.
Ce polissage est suivi d'un second avec des grains de l ~m de diamètre
?endant 4 heures avec humidification du drap abrasif toutes les 15 minutes.
Snfin,l'aspect lisse et brillant du substat est obtenu avec un dernier
OO:;';f-t ~.~
-
75 -
4)j:
polissage chimique à l'aide d'une solution d'attaque isotropique qu~ dé-
pend beaucoup des conditions de température.
b) Cas des substrats d'alumine
Ce sont des substrats de référence Alsimag 712,de forma,t 1"xl"xO.025".
Ils sont des isolants de faibles pertes diélectriques aux fréquences micro-
ondes.
Avant la métallisation,il conv~enc d'avoir un subscat d'une surface
très propre si l'on désire une bonne adhérence du dépot métallique sur le
1
•
substrat.Pour cela,on effectue le nettoyageostilVant:
- on trempe le substrat dans le trichloroéthylène bouillant pendant 10 mn
suivi d'un nettoyage dans du R.B.S. à 25% ou 50ï"porté pendant 30 ~~ en
-i};1l111li ~ a(Ofi •
- le substrat est ensuite successivement rincé à l'eau courante PUlS à l'eau
déionisée et à l'alcool isopropylique.
- le substrat subit enfin un étuvage à 300°C sous vide.
IV 2 1 2 Métallisation
Le substrat nettoyé doit ensuite être métallisé pour permettra la gra-
vure de la ligne.Les dépôts métalliques sont effectués :
- soit sur des substrats d'al~~ine
- soit sur des substrats de silicium oxydé pour la réalisation des contacts
M. 1. S.
-- soit directement sur des substrats da silicium pour la réalisation des
contacts SCHOT~{Y.
Les états de surface du silicium étant souvent très peu satisfaisants,
pour le dépôt de métal directement sur silicium (contact SCHOTTKY), le métal
avec lequel est réalisé le dépôt est essentiel:il doit présenter une bonne
adhésion sur le silici~m.
Las ~étaux les plus communéoent utilisés a~rès
diverses études soncle chrome et l'aluminium.Du fai: de la ~auvais2 souda-
bilité du chrome on utilise aussi l'or (dé?o: de cnrome d'environ 200 ~ q~l
'.-
.~
76 -
sert de couche d'accrochage SUlVl d'une couche d'or).
Les opérations de métallisation sont effectuées sur un banc d'évapora-
tion Alcatel équipé d'un dispositif automatique de contrôle de
différents
paramèt~es : épaisseur des dépôts,vitesse d'évaporation •...
Le substrat métallisé est soigneusement rincé à l'alcool méthylique
PUlS
à l'acétone et enfin à l'e~u.Il est ensuite séché à l'azote et déposé
dans un four à 120°C pendant 20mn pour enlever l'humidité en surface et
obtenir une bonne adhésion de la résine.
On dépose une couche de résine d'environ 0.5 uœ d'épaisseur sur le
substrat;ce dernier est ensuite placé dans un four à SO°C pendant 10 mu
enVlron afin de faire durcir la résine pour éviter qu'elle colle au masque
lors de l'insolation.
Après l'étuvage,on l'insole pendant 22 secondes PUlS on le plonge
p~ndant une quin~aine de secondes dans une solution aqueuse alcaline
dév~;lo?pe1.\\r SHIPLEY).r:e. substrat est ensuite rincé abondamment à l'eau dé-
ioniB~œ.Au cours de cette op6racion la r~sine part dans 18s endroits
qU:L
ont été exposés aux rayons .ultraviolets (UV).
On attaque le métal là où la résine est partie à l'aide d'une solu-
t
tion d'attaque correspondant au type de métal déposé.La ligne est ainsi
gravée sur le substrat suivant le modèle du masque employé.
IV 2 3 CQncentiop du circuit de polarisation des lignes interdigitales sur
-----------------------~-----~-----
substrats d'alumine.
:'.,
Pour réaliser les circuits d'entrée et de sortie de l'onde RF sur les
lignes interdigitaJ.es,plusieurs solutions ont écé envisagées pour éviter
.
~es court-circuits éventuels entre l'entrée et la sortie .
~'- .
-
77 -
ta première solution consist~ à 's~parer les doi~ts de la liRne int~r
digitale entre eux et à les coupler ~~~~citive~enc en insérant une fine
couche d'isolant entre une couche condu~trice en or(sur laquelle on appli-
quera Itonde microond~)~e~0~extrémicésdes doigts de ls ligne
'ré~arvës
pour la polarisation de cette dernière.
Ce travail a été effeccué au Laboratoire de ~ficroélectronique de
l'E.S.E.L. de l'E.N.S.E.R:B. à Bo~deaux par la techni~ue de sérigraphie(41).
La seconde solution consiste à réaliser des lignes incerdigitales nor-
males et à s'assurer que chacune d'entre elles ne présente pas de court-
circuits.Cette solution esc moins efficace que la précédent'e car en cas
de court-circuit entre de~x doigts la ligne devient inucilisable.
IV 2 4 1 Cas d'un substrat de silicium
Dans le cas présenc,pour la polarisacion du semiconducteur, les
con-
tacts ohmiques sont directement écablis sur, le silicium par évaporation
d'un dépôt d'indium ou d'aluminium.
IV 2 4 2 Cas d'un substrat d'alumine
On grave le circuit de polarisation àu semiconducteur sur le substrat
par la technologie que nous venons de décrire précédemment.La te~sion con-
tinue sera appliquée au semiconducteur par l'intermédiaire d'une colle
'i.
conductrice (laque d'argent).
f~..c~'.
~.
t,
~'..,
-
78 -
IV 3 ETUDE EXPERIMENTALE DU DISPOSITIF A LIGNES INTEP~IGITALES
IV 3 1 Caractéristiques du semiconducteur
------~----------
Dans cette manipula.tion nous ut:iliserons du silicium de type N très
peu dooé pour diminuer l'atténuation de l'onde de charge d'espace.Les bar-
T.eaL~~ de siliciL~ utilisés ont les caractéristiques suivantes:
- résistivité 10 kQ cm
- permittivité relative
La longueur et la largeur des barreaL~~ dépendent: de la longueur et de la
largeur des doigts de la ligne interdigitale utilisée.
Le couplage devant s'effectuer au n~veau de la surface du semiconduc-
teur,la longueur de DEBYE
À
étant de 6 ~m environ,l'épaisseur de la cou-
O
cne semiconductrice·ne doit pas théoriquement dépassér 30 ~m s~ l'on veut
éviter les effets de volume qu~ masquent l'observation du couplage onde-
porteurs.ll est pratiquement impossible d'atteindre une telle épaisseur
car le semiconducteur devient très fragile;nous nous bornerons à utiliser
des barreaux de semiconducteur dont les épaisseurs varieront: de 30 um
à
! JO ljm.
Sur des sub~trats d'alumine de 640 ~m d'épaisseur et de constante dié-
lectrique relative
~
~ 9.6 sont gravées des lignes interdigitales possé-
r
dant les caractéristiques indiquées sur le tableau IV 3 1.
Nombre de palres
Longueur des
Largeur des
Ecart entre les
Période
de doigts N
ctoigt:s L
doigcs
w
doigts s
P
0
8
mm
20 \\.lm
20 um
80 \\.lm
126
ann
20 um
20 \\.lm
80 \\.lm
ïa.b.teew. rv 3
J1{~.:~.:
-
79 -
~,' .
.:.;\\':
.. ~:
IV 3 3 Performances du disDositif
- - - - - - - - - -"' - - -
IV 3 3 1 Réalisation du couplage ligne-semiconducteur
Un barreau de silicium d'une largeur légerement inférieure à la lon~t~ur
utile des doigts de la ligne est appliqué sur celle-ci en exerçant une fai-
ble pression de manière à diminuer le gap d'air séparant la ligne du se~i
conducteur: l'interaction onde-porteurs dépend en partie de l'épaisseur
de ce gap d'air.La pression ne doit cepenàant pas être trop importante pour
éviter la cassure du semiconducteur.
IV 3 3 2 Mesures
a) sans polarisation du semiconducteur
En l'absence du courant dans le semiconducteur et à l'aide de l'analy-
seur de réseau dont une vue d'ensemble est présentée sur la fi~ure IV l,
nous avons relevé successivement la transmission et la refle~ion
des lignes interdigitales.en fonction de la fréquence.
.~,.
?- . .
'.
d=f
lit
1·· · - 1
l q 14j ,0 j
Q
.
\\
i,t
L R~~~-:-e;_c.e._--E---.JI ~-1----i-6-=r-r=-r~,--, 50 ,J
".,.
; ....
,,,..
:; ..
.'~'~.'
Cou rJ.l euJt
I:
. ~:...
l
F.i.gUJte. IV 7 : Sc.héina de. t' a.neLtl(/) e.U/t de.. ,'(é-.s e.C'-.LLX
1 G~né.'ta-te.UJt (Uobutll. HP 362GB 9/U1.dué. de.. 0.7 Zi. Z
de. ,. 3 L: ;f.. Z Si-!:
2 D.wpo~-i-ti.6 de. me.,.su/tZ de.s .'Jcvu1.,'l1èt'te.s S
. :'
Pour la ligne à/8 paires de doigts ,la courbe du gaJ.n en fonction de
la fr8quence est r.eprésentée sur la figure IV 2 a.On note un maximum de
?er~es de 10 dB sur presque toute l~ gamme de fréquences.
Pour la ligne à 126 palres de doigts,la figure IV 2 b montre les cour-
bes de variation du module,du coefficient de réflexion à l'entrée
Sil
et du coefficient de transmission
5
,Nous constatons d'une part,que la
21
structure se comparte comme un' filtre passe-bas et d'autre part,que
Sll et
c:
' b '
.
l'
d
l'
t
~21 '>'l'no.ent
~en"?'.nsens l.nverse
un
e
au re.
b) influence de la polarisacion
Pour la Q8SUre du gain du dispositif,nous avons adopté le montage
représenté sur la figure IV 3.
W--1 I !1
g
®5
(
1
\\
1
1
î
l
1
~
F~0~~e IV 3
Sch~~a d~ mo~tage
pOUli.
Ca. me..ôu.:te d~ gCV<..Yl d~ cU...)r.Jo,~..Ltl6
....
GiLYlVtOJte.UA
de b,léqu.cn.c.e. HF
2 CO~'(J.te.u/t b~d..<'/te.c..ti.OYlYl.e..e.
4- Ce..Uv.i.. e. de. me..ô Wi. e
5 D'<"od,,",- de. dUe.c..Uo YI.
6 Gé.Y7.~'ta...te.U/l d 1 .l.Jn:'Jt.J..t,.)/~o n..~ Ge.Yl.vr.a1. Ra.cLi.o
(1211 BI
7 AJ!J..me..,vl,ta.:ti..O'r'l. Ha.u...te. Te.yv::'~oYl vetor?e.x. 3";'0
8 Té. de. rJ0 .e.a/r.,~::' cr..tZ.0 YI.
9 Ù~c..Gtto6COpe. V 1050
10 C.i....~c!...L[C'~te.u...'t
-
81
-
Gain(djj)
12
2.
RGhz)
":10.
(a.l
F-iguJte. r v 2 a.: Pelt-te. d' Ùll> vr.:tJ..o YI. de. ta. Zig Yl.e. ùr.:tVtd.J..gdai..e. a g pcv:/1.C!.l;
de. do-igt.6~f(42)
5211-
\\511\\----
1.
--
~':«''.
r
!\\iV~
a~a·~·'-···---:----""'--...~." .....-...~...
.. _--_ .... ---~ .. '
----;:;:--_Y-_
-"'-T.=--!
11
.. :
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,? ~
9"
.<.guJte.
'- 0
OQ.'Ja.<.c..(.. Q.n.z:~
·Q.v'1.cn.SinU ..').(.. OVl. 12.-;: c'-~ :r..e.]",-e.x..,WYL LCe. .{.E. "'-"LJYle.
-
82 -
Pour éviter un é.chauffement prolongé du semiconducteur par dissip.atiC)n. 'i,
.
':'
~..
" ,"'.: ..'
de puissance ,on 2.pplique à celui-ci des impulsions cie haute tension :d',~.O:Wl,irtM~e
,.~
l
,
• • •
:.t 1'1,.
constante,de largeur
10 ~s,à la fréquence de
~qZ au moyen d'une
d
, . - • .
alimentation pilotée par un générateur d'impulsions.
On relève,à i'aJde des détecte~rs quadratiques et pour chaque fréquenc~.
les puissances. incidente
P. CV ) ,transmise P CV ) et réfléchie P CV).
L .
.
t .
r
, "
;~}
On définit le gaLn par :
Gain'" 10 log
p CV ) / (P. CV ) - P CV»)
t
L
r ·
et cn calcule cette grandeur en fonction de la fréquence.
Dans le cas de la ligne à 8 paLres de doigts,les résultats sont donnés
sur la figure IV 4 : la variation du gain en fonction de la fréquence pré-
sente des maxima à des intervalles
6f égaux. Ceci confirme nos prévisions
théoriques;on note cependant un effet secondaire qui doie être dû à l'effet
du semiconducteur sur l'adaptation de la structure au circuit d'alimentation.
Cet effet se traduit par une ~élioration de la transmission dans la gamme
de fréquences où les mesures ont été effectuées.
Gèlin{dbl
(\\
_·-V:400.volts
( \\.
-V=4So.volrs
(
\\
1
10.
ii11f1
1
j
/
/
/
/
O. h"1.--r--;-';;----:"-;---.....:---+--..:x--:-
12
1.6
- 83 -
Une estimation de la vitesse d'entrainement v
des por~eurs peut être
o
faite à partir des données exp~rimentales à l'aide de la relation v
"" P l1i
o
5
On en déduit que la vitesse d'en~rainement v
des porteurs est de 0.424 10 mis
o
lorsqu'une tension de 450 V est appliquée au 9arreau de semiconducteur.
A partir de cette vitesse obtenue expérimentalement,on calcule le gain
théorique du dispositif en fonction du rapport v.~/v .Ce gain est illustré sur
'"
0
.
la figure IV 5
j Oo.~Gain(db)
75.-
::[
o. o.
\\4.
V~/\\b
-25.
-50.
F-igUlte. IV 5
CoU/tOe. de. geUn .théoiti..que. d{.l. ci.i.-~ p0.6ili6 .'001.1./1. une. v.{..te.ô.~ e de.
pa~e.~
5
V
~ 0.424 r0 m/~
o
On note un maximum de ga~n théorique de 84 dB pour le troisième harmonique
alors que le gain maximum obtenu expérimentalement est de 13 dE pour cet harmo-
nique.Cette différence peut être attribuée à la diminution du facteur de sta0ilité
du dispositif (représenté sur la figure IV 6) â ceete fréquence.
En ce qu~ cQncerne la ligne interdigitale à 126 pa~res de doigcs,nous
a.vons observé en l'absence du ci rcul a teur
(figure IV 3)
une augmentation de
la puissance de sortie avec la polarisation du semiconducteur par rapport à celle
sans polarisation du semiconducteur au~ fréquences de 55 MHz et 1:0 MHz.
Ceci est probablement dG. il. une meilleure adaptation du dispositif au
circ~it
d'entrée à ces fréquences lorsqu'on polarise .le semiconducteur, ce qui
se traduit alors par une augmentation du niveau d'encrée pendant la dur€e
des:'
impuJ.sions appliquées au semiconducteur.Nous avons ~uss~ observé une faible
,
actfnuation à la fréquence de 160 ~z.
rSfdbl!i\\è
r
l~
,;.,
1.
~
1
}r1.
j.,
f,
1
0. rnlo.---::1.-':"-~2.-~3. --4..L-.--S~!.-_.\\6/v.;
1
S-tab..<.Li.-té. du 40 .r.Jo,~.{.,t{.nl'JoUJr. u.ne. v.Î....teA'O e. de. ,YJO!t..te.UJ'r...6
,..
V
= O.~24 lO~ m/~.
a
- 35 -
c) conclusion
Le fort couplage au synchronisme obtenu ?our Le dispositif à lignes
interdigitales peut permettre d'2valuer les caractéristiques du semicon-
ducteur.
Au synchronisoe la relation v
= v
est vérifiée;connzissant le pas
°
QU
de la structure et les
dimensions géométriques àu semiconducteur,on peut
en déduire sa mobilité (42).
- 86 -
- CONCLUSION GENEP~E
Dans ce travail. nous avons"décrit le cou~lage entre une onde de charge
d'espace dans un semiconducteur de haute résistivité (silicium) et les
harmoniques d'espace d'un champ électromagnétique portés par une struc-
ture interdigitale d'une part et une structure bigrille
d'autre part.
Dans les deux cas,la méthode des moindres carrés a été utilisée pour
1
résoudre les équations qui traduisent les conditions aux limites à l'in-
terface air-semiconducteur. Cette méthode permet non seuleme~t une meilleure
précision mais aussi une bonne convergence dans le traitement numérique
du problème c'est à dire un important gain de temps de calcul.
Une représentation des structures par leur quadripôle équivalent a
permhs de prévoir leurs performances et notamment leur stabilité et leur
ga~n.
Pour la structure interdigitale,nous avons obtenu théoriquement des
maxima de gain aux voisinages du synchronisme.En ce qui concerne la struc-
ture bigrille ,nous avons d'une part mis en évidence la possibilité de
créer (par excitation de la structure) une onde de charge d'espace dans
le semiconducteur en couche mince et d'autre par~ obtenu
des résonances
de gain aux fréquences multiples de la fréquence correspondant à la moitié
de la fréquence fondamentale du synchronisme Cf = v /p) ;contrairement au
.
0
cas de la struc~ure interdigitale,ici p représente la distance entre la
source et le drain.
Sur le plan expérimental,les courbes de ga~n obtenues en fonc~ion de
fréquence au laboratoire,confirment,coœme la théorie,l'exis~ence de gain
élevé aux voisinages du s)~chronisme pour les différents "harmoniques
d'espace de la structure.
-87 -
Le dispositif à lignes interdigitales présente les avantages poten-
tiels suivants:
il est possible d'étendre son utilisation à des fréquences plus élevées
en reduisant le pas de la ligne interdigitale.
- sa fabrication dans une technologie entièrement intégrée est envisageable
ave~ des substrats semiconducteurs dont les états de surface seraient
parfaitement maitrisés ou avec des semiconducteurs ayant une résistance
différentielle négative comme l'arséniure de gallium.
Le dispositif trouverait son application comme amplificateur accordé,
détecteur de signaux à fréquence donnée et aussi comme oscillateur.Il peut
également servir pour la caractérisation des semiconduc~eurs (mesure de la
mobilité,de la conductivité).
SB -
-
REFERENCES
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READ
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n'"
- ~.).-
lli"INEXES
-
ANNEXE
l
THEOREr-....E DE FLOQUET ET P..A,.q"l\\10NIQUES D'ESPACE (1) , (2) , (3) , (4 )
Le théorème de FLOQUET Joue un rôle important dans l'étude des struc-
tures périodiques;il permet la décomposition du champ électr.omagnétique en
harmoniques d'espace comme nous le verrons par la suite.
Dans ce mémoire les structures utilisées sont constituées d'une suite
d'éléments
identiques dans la direction Oz.Il est question de résoudre les
équations de ~\\WELL avec les conditions aux limites périodiques.Soit p la
période de la structur.e dans la direction Oz,la constante diélectrique ef-
fective
€eff(z)
varie périodiquement le long de la structure.
Le comportement d'une onde est décrit par l'équation
?
k -
U(x,z)
0
CI
A 1
o
.2~_
où.
est le laplacien en coordonnées cartésiennes, k
2
o
dX
la constante de propagation d'une onde plane dans le vide et U(x,z) une
composante quelconque du champ électromagnétique.
Cherchons la solution de AlI sous la forme
U(x,Z)
=
<lJ(x)
\\Jf
(z)
si nous supposons que ~(x) varlesinusoîdale~en~l'équationAli devient:
1
e: Cf)
'il (z)
.. 0
A 1 2
eJ..
où
- 94 -
si 'jI(z) est une solution de l'équation A l 2 ,~(z+p) le sera aUSS1.
Si '1'1 et '1'2 sont des solutions linéairement indépendan~es de- l'équation
A 1 2, 'l'1(z+P) et
'l'2(z+P) peuvent s'écrire sous la forme
'1' 1(z+p) .. al '1' 1 (z) + b 1 . '!' 2 (z)
A 1 3
'1'2(z+P) Q a
'1'1 (z) + b
o/Z(z)
Z
Z
La solution générale s'écrit:
A 1 4
On montre que '!'(z) vérifie la propriété (d'après les équations A
3)~
'!'(z+p) = exp(-jS p) 7(z)
A
.....
5
o
où
S
est une solution de l'2quation
cos(S 0)
A
6
a
0'
2
al et b
sont déterminés par la géométrie de la scructure.
1
Les solutions de A 1 5 sont 6
et -
So
0
Posons
fez) '" ~ (z) exp (j S z)
o
Alors
f(z+p)'" '!'(z+p)e~~(j6 (z+p»
o
En utilisant A 1 5 on trouve que:
f(z+p) .. '!'(z) exp(j6 z) = fez)
o
La fonction fez) est donc une fonction périodique,de période 0 dans
la direction O~.La soltion de l'équation .-\\ 1 2 prend la forme suivante:
o/(z) = fez) exp(-j 3 z)
.-\\ i
7
o
La relation A 1 7 expr~me le théorème de FLOQUET
d~ns l'hypothèse des
milie~ sans pertes.
Posons U(x,z)
g(x,z)
exp(-jS z)
8
o
-95- '
où
g(x,z)
= ~(x)· f .. (z)
-+
La fonction f étant périodique,de période
p suivant Oz,la fonction
g le sera aussi.On'peut développer g(x,z) en série de FOURIER
0""+0:>
2n
g(x,z)
=
g (x) exp(-j --nz)
"
.
n
p
n=-o:>
1 (7.+p
zn
Gotons que g (x) ""
pJ z
U(x,z) exp(j(So+ p-n)z)
A 1 9
n
Le phénomène ondulatoire libre peut alors être considéré comme la
superposition d'un nombre infini d'ondes planes inhomogènes ayant des ré-
p2.rti tions transversales de g (x) et des constantes de propagation
n
2TI
+-
+
+
r
6
+ p- n
n = ' 0 , - I , - 2 , ... -
<XI
n
0
Ces composantes des ondes sont appelées "harmoniques d'espace".
Déterminons,à l'aide des formules v
w/r et v
dw/dr n les vitesses
~n
n
gn
de phase et les vitesses de groupe des harmoniques d'espace.
w
v
et v
=' dw/dg
cPn
8 +2rr/p
gn
0
o
On voit aue les valeurs de v·
dépendent du rang de l'harmonique et
.
~n
peuvent être opposées.Quant à la vitesse de groupe,elle est la même pour
tous les harmoniques.
S~lon que les vitesses de phase et de groupe sont dirigées dans le
même sens ou dans des sens opposés ,on parle d'onde directe (progressive)
ou d'onde loverse
(régressive).
Ainsi le phén?mène ondulatoire se présente comme une superposition
des ondes directes et inverses.
- 96·-
- AJ.'lliEXE II -
( 5 ) • ( 6 ) • ( 7 ] ,.( 8 )
lfillTHODE DES MOINDRES CARRES
La recherche des paramètres électriques des structures périodiques se
ramène en général au calcul des expressions de la composante tangentielle
du champ électrique et de la densité de charge sur le plan des conducteurs
(figure
A 2 1 ) qui doivent satisfaire aux conditions limites.
r
1
c.OY7.du.c..:te.wr.
ù
_ _ Z
"
P,lG1k%f~8.1àé'M~W~
1
1
1 l'JI 2
w
w/~
~----""l!lQ-----l!>q:oq._-----."""G"C__~~
J
1
~---------
p --------<.-,
Fl..gu./te. A 2
Pta.n. drz...,5 c.c Y7.dU.c...te.UJLÔ
Ces conditions de continuité s'écrivent généralement sous la forme
suivante
l1"'+'"
':C a (z) X "" E (z)
A 2 1
il-=.:- co
n
n
sur les conducteurs
où
a (z)
{ exp(juSz)
5
n
C
exp(jnBz)
entre les conducteurs
n
1
El (z)
et
sur les conduc~eurs
E(z)
=:
\\ E (:::)
entre les conducteurs
Z
- 97 -
",i
La résolution de A Z 1 permet de àéterminer les paramètres X
inconn~s;
n
dans la pratique on
cherche une solution numérique approchée en effec~uanc
la troncature de la somme à ~
termes.Dans ces conditions la solution appro-
a
.'
,
chée la mieux adaptée est celle obtenue en utilisant le critêre des moindres
f~,
·1
carrés c'est à dire que l'on cherche la solution qu~ minimise la somme des
J:1;'
carrés des résidus R(Xl1'~ti"I'~:~) suivant:
.1
2
\\
1
dz·
R(X1"XZ""'X
A 2 2
E (z) 1
n ) ::l
'
L a an(z) x~
-p/2
n"'-No
Deux cas sont à distinguer :
A 2 1 Cas de l'équation homogène ( E(z) m 0)
2
a (z) X
dz
n
n
1
f+p/2
i·
co
Posons
~
X ::l (X1,X?, ... ,X)
et
A
a
(z)
a
(z)
dz
_
n
mn
-p/2
fi
n
meM
n=N
~o
La
/;l
On a
R(X)
=0
A
X
X
mn
m
n
n=o-M
n"'-N
a
0
La matrice A peut être considérée comme la ~eprésentation d'un certain
opérateur dans la base des exponentielles complexes ( exp(jnSz) ) .Elle ~st
hermitienne et donc définie positive
et ses valeurs propres sont par con-
. "
séquent réelles et positives.
Le critère des moinàres can'és implique que
n"" +N
m""+M
,
R (X)
L a
~o
A
Xl<" X
soit
j
rn~n~rnum.
mn
m
n
n=-N
m=::-M
0
0
On montre que la solution X non identiq~ement nulle satisfait ,dans
la
notationde DIR~C. à l'équation
R(X) "" <X/A/X> = \\ .
<X/X?
A '! 4
m~n
,
où
À.
est la valeur propre la plUS pecice de la matrice A.
m~n
- 9r. -
A 2
L Çalcul de' la va.leur [Jrop:-e 'iIl!linimale de la matrice des moindres carrés
Pour calculer À
et son vecteur propre correspondant, on applique
min
la méthode itérative'(9), (10)
A 2 If t Principe cie la méthode
Soit fi un espace hilbertien ~ur R ou C, li et S de~~ vecteurs de H;
on cherche à résoudre l'équation:
AX=
À .
Xl
m~n.
Pour cela on construit une suite de vecteurs S. (i = 1,N ) à partir
l
0
d1un vecteur initial arbitraire
S
de la façon suivante
o
5,
l '" A Sk
K,+
Soient \\1 '\\Z""'\\N
les valeurs propres de la matrice A et (U ,U ,··· ,Un)
o
I
Z
le.ur vecteur propre associé.On peut développer S,SI" ",SN
sur la base (U )
i
N O , a
~o
5
'"
L -
a.
U.
ü
i=1
l
l
N
~O
A S
L-
a.
À.
U.
(A U.
U. )
'" \\'
o
l
l
l
l
l
i=1
l
N
k
Sk '"
A 5,
,
~ a.(\\.)' U.
K.- 1
i=1
1 1 1
Supposons que a
(n ~ N ) est "on nul et que À
soit la valeur praD. re
n o '
n
la plus grande de la matrice A.En mettant dans l'expression de S1
le terme
k
K.
2.
C\\)
en facteur, on trouve
n
n
k
k
S.
a C\\ )
li
+
a./a
( \\ . / \\ )
U.)
k
il
n
n
l
n
l
n
l
k
or À./À
<l,on peut donc négliger le cerme
1.:. 1
a. / a
(À./\\ )'
U
d
l.
n
J_fll
l
n
l n .
evant
l
U pour k assez grand.
n
- 99 -
Le vecteur 5,
converge donc vers a
(>,) k U
et par conséquent à un
,;:
n
n
n
coefficient multiplicatif près;vers U .Le protes sus dr~tération converge
n
vers le mode qui correspond à la valeur propre la plus grande.On a
Ak+ 1 5
..kb
o
I l
et
Ak S i l
o
:OFF
l'
On en déduit ,d'après ces relations précédentes que:
5
À
:0
À
'"
l im. ~ ( __~::J.)
A 2 4
n
max
l<~
5,K
À
peut être calculé à partir de l'une quelconque des composantes de Sk+l
max
et la composante correspondante de 5 .
k
'.'.
,,,-,
On peut aussi caculer À
avec une précision plus grande en formant
max
le quotient de RAYLEIGH.
5 +A 5
1
À
_~
k
l '"
A 2 5
max
51<. + 5k
; .
On montre que l'erreur dans ce cas sur À
est proportionnelle au
max
produit des erreurs sur Sk et 5 + : elle est donc du second ordre.
k
A 2 1 l 2
valeur propre minimale
Etant donn~ qu'on veut le vecteur propre associé à la valeur propre
minimale de la matrice A,une transformation de celle-ci s'impose si l'on
veut aplliquer la méthode itérative décrite plus haut.
Formons la matrice B telle que
où l est la matrice unité.
En appliquant la méthode itérative à la matrice B,on peut d~terminer la
1
valeur propre minimale de A.En effet,en mulcipliant B par U,
on trouve:
i:\\:
B U1<. =1 \\
l
- Al
~.
max
l
" -
J
-,
- 1.00 -
Comme
on peut écrire
avec
"" \\
- \\
ma.--::
k
7
Si À
~ 0 on a
B U
= 0
: U
est un vecteur propre de B avec une valeur
k
k
k
propre nu.lle.
Pour que U.
soit un vecteur propre de B avec la plus grande valeur
r
::<
propre JI
associée,il faut que \\1
soit minimum.Il en résulte que la va-
max
::<
leur propre
JI.
et son vecteur propre X correspondant satisfont à:
ml.n•
A 2 6 a
A 2 6 b
A 2
~ ~ Calcul de la deuxième valeur propre· minim.,l.J.e
La nécessité de superposer les modes dans certains problèmes conduit à
la recherche de la de~xième valeur propre minimale À.
de la matrice des
ml.n
~oindres carrés.
Dans le paragraphe précédent,nous avons calculé \\
par déflation
max
(remplacement de À
par 0) ;nous procédons de la même façon pour calculer
,
max
À ·
•
Pour ce la on forme la. matrice
ŒJ.l.D.
dans J.aquelle
B'"
,\\
I - A
ma..x
À
=:l
À
-
À .
max
max
ml.n
et U.
vecteur propre corresponàant à la valeur propre \\
.
::<
ml.n
On applique de nouveau le processus itératif sur la matrice C. Soit
!I
1
,
,\\
la valeur propre maximale
àe C • À
est obtenu de la me me manière
max
ml.n
"
que
À
.11 suffie donc dans
min
A 2 6 a,
c.e remplacer \\
par
'\\
max
max
:,üur trouver
,
l'expression de
\\
On a
ml.n
"
\\
.
ml.n
À
A 2 ï
max
À max
-101 -
Dans ce cas la relation A 2 2 devient
"'~t1o
1\\;:
No
R(X)
~
(L
El
A
Xli' X
-
Bl>' X
-
B X"', + C
A Z 8
ma-M
na-N
mn
m n
m
m
m m)
o
0
où
Amn
L+P/2
::
a $
( Z )
a' (z) d'z
-p/2
m
n
B
'"'
(+p/2 E(z) air (z) dz
m
J-p/2
m
C
L+P/2
2
::
.
!E(z) 1
dz
p/2
R(X) peut encore s'écrire sous la forme
R(X) ""
<X / A / X>
<X / B
B / X>
+ C
En différentiant R(X) nous obtenons
dR
<dX / A / X>
+ <X / A / dX>
- <dX / B
B /
dX)
::1
<dX / (A..'< - B)
(XA - B) / dX>
. ~
\\
On doit avoir dR
a
dX
d'où
A...X -
B ::1 0
soit
AX ::II B
A 2 9
(9),(10).(11)
A
A 2 2 l Méthode de GAUSS
-:
";
La méthode de GAUSS est utilisée pour la résolution des équations li-
néaires ; elle est basée sur l'algorithme de l'élimination successive des
inconnues.
Considérons le système A 2 9,il peut encore s'écrire sous la forme:
A1IX
+
l + A
X
12
'" B
2
1
A21 Xl + .'\\22X2 +
A :2 10
A lX l + A ?X? + ... + A X
B
n
n_ _
nI'. n
n
- 102 -
Supposons que AlI
soit non nul et divisons les coefficients de la
deuxième équation du système A 2 10 par AIl .On obtient
Xl + Cl~X2 + .,. + CI X = BI (1)
A 2 Il
. L . .
n o .
où
C;,
=A :
1 A'l
(j
1)
et Bl(l) = BI 1 Ail
,.J
l' j
!• •
En appliquant l'équation (A 2 Il) on élimine l'inconnue XI du système
(A 2 10).Pour ~ela il suffit de soustraire de l.a deuxième équation de
(A 2 lO),le produit de (A 2 11) par AZ1,de la troisième équation de (A 2 lO~,
le produit de (A 2 Il) par A
, et ainsi de suite; il en résulte un sys-'
31
tème. d.e (0-1)
( 1 )
A
,. X
+- A
O)X
= B Cl)
22
2
2n
0
2
A
(1) X
+ A
O)X
'" B Cl)
. 32
' 2
30
0
3
A 2 12
(l.),.
'il
(1)
A
+ A
(l)X
+
l
i
"'3+'"
'-'
0_
nn
n
n
Ci)
où
il. .
- A. ' - Ail C..
( :
.
,.l.,J
~
2)
~J
1.J
l.J
(1)
( 1)
et
B,
B, - BI
1\\ 1
( i~ 2 )
1.
1.
Divisons ensuite les coefficients de la première équation de (A 2 12)
pa.r
(\\)
( " 1
.
l'
.
lr~
.
A
s 1.
n'est pas nu ); On ootl.ent _ equatl.on
22
X
+ C
(1)
;\\3 + '"
+-
C
(1) X
B (2)
2
23
Zn
n
2
r
( 1)
où
A '(!) 1;
(1)
~2j
ZJ
22
On. él i!lline ensuite :\\2 de la meme mani8re que X ·On aboutit au système:
1
(2)X
(2)
(2) X
(2)
A..,~ " ] +- A
X
+
+-
-' -'
34
4
A]n
:: B
n
3
(2)
(2)
(2)X
(2)
A,]
X~ +- A
X
+
+ A.
B
-+
.)
44
4
40
0
4
.'1.
2 1J
( ?)
..\\
-, X
nn
n
'.:..
- 103 -
où
.\\ .. (2)
:::l
A •. Cl) _ A. ? Cl)
(
l ,
j
~ 3)
1J
lJ
l_
B (1)
et
B. (2)
'" B. Cl)
i ~ 3)
l
1.
2
De (A 2 13) on peut tirer X
ec obtenir un système d'équations de (n-3)
3
inconnues.On élimine sucèessivement
X ,X '"
"~r
l'élimination de ~
con-
4
S
'"
K
duit au système
(k)
(k)
(k)
(k)
'\\.+I,k+1
ft.-
1 k 1~
t 1" ••• +A.,
1
X
:::l
-K+
, +
«;+
«;+
,n n
Bk
(k)
(k)
Xy
(k) X
B (k)
'\\+2,k+1
\\:+2,k+2 ~+[+ ... +Ak+2,n n :::l
k+l
A 2 14
A
(k)
~ + A (k:?~ I+ ... +A (k) X
B (k)
:::l
n , k+1
k
n, 1<.+_-1<...
n , n n
n
(k)
(k-I)
(k- i)
(k-I)
aVec
A •.
:::r
A .. _
- A
C, .
(i,j
~k+l)
lJ
1J
ik
KJ
(k)
(k- t)
(k-l)
(k-I)
et
B.
::1
B.
-
B _
l
1.
Ai,k-l
k
1
(k-I)
(k-l)
(k-I)
où
C .
::0
A.. .
1 A
k J
"1<.J
k,k'
Ainsi par élimination de proche en proche,on arr l'le au système matri-
ciel suivanc:
( 1)
C
C
C
I2
I3
ln
XI
BI
C2~1)
(2)
C
( 1)
X
B
2n
2
2
,n 2 1S
(n-I)
(n-l )
C
X
B..,
n
n-I
-:l
(n)
X
B
n
n
On voit que la ma r-::'ice des coefficier:ts est cciangulaire avec
des
sur la diagonale.
De (A 2 15) on a immédiatement X
et par la suite,de proche en proche,
n
on obtienc
X
l'X
2'X
3""
n-.
n-
n-
(n)
X
c
B
n.
n
(n-2)
..
B
(n-l)
;\\
""
- C
1
X
u-l
n-l
n- ,n
n
X
=R
(0-2) _ C
(n-3) X 1 - C
(n-3) X
• n-2 u n- 2
n-2,n-l
n-
n-2,n
n
•
::l
B (1)
:\\.1
1
Remarques:
(k-l )
a) quand on rencontre un pivot nul
(~
1
= 0 ),on peut permuter les
K,:cc ,
lignes ou les colonnes restantes.
b) la méthode de GAUSS permet de calculer au passage le déterminant qui est
ég~l au produit des pivots.
... ",",
-
lOS -
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~' ' ,
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~
D E C l S ION
" , '
.
. \\. ;,
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.
.,. ". :.. :"-':~:':'~'::..
LePré,~:t;~:t~n~ (je l'Institut National Polytechnique de Toulouse
VU
les disDositions de l'article la de l'arrêté du 16 avri 1 1974
sur l~,boCTORAT ~~ TROISIEME CYCLE
VU
le rapport de thèse établi par un des membres du jury
I\\UTORISE
Monsieur LILONGA-BOYENGA Désiré
à présenter une thèse en soutenance pour l'obtention du grade de .
DOCTEUR de TROrSIEME CYCLE devant un jury composé de
Président
M. BAUD?JU~D, Professeur I~~T (L~SEEIHT)
M. MATHEAU, Professeur INPT (L~~EEInT)
M. fu~~RIC, Professeur L~7T (ENSEEIET)
~L ATECEIAi..'i, Maître-Assistant G?S TOI:JLCUSE
M. Afu~P&'iPB ~ajid, Attaché de Recherche
i'1embres
L.~PT (E.~SEEIHT)
. A Tou lous~; le
20 septembre 1984
1
Professeur J. NQUGARO