,
THESE DE DOCTORAT D'ETAT
présentée à la
FACULTE DES SÇIENCES ET TECHNIQUES
DE L'UNIVERSITÉ.. DE OUAGADOUGOU
pour ~btenir le
Grade de Docteur ès-sciences Mathématiques
.~ .
1'.
ETUDE DE PROBL~MES PARABOLIQUES
HYPERBOLIQUES·NON LINEAIRES
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Président et Rapporteur
Ph. BÉNI~AN Professeur à l'Université de Franche-Comté
'1 .
.~,
Rapporteurs: S.N. KRUZKOV Professeur à l'Université d'Etat de Moscou
.;
J. L. VAZQUEZ Professeu~Universidad Autonoma de Madrid
Membres:
C. GOUDJO Maître de Conférence à l'Université Nationale du Bénin
M. OUATTARA Maître de Conférence à l'Université Ouagadougou
A. OUEDRAOGO Profess~t'J[ à l'Université de Ouagadougou
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Je voudrais en premier lieu exprimer ma reconnaIssance et ma profonde
gratitude à Monsieur Philippe BENILAN,qui a dirigé ce travail et qui m'a aidé à le mener
à bien, par ses conseils, ses critiques pertinèntes et son encouragement permanent.
Au long de ces années, il a su par sa disponibilité, sa rigueur, m'initier aux
différentes techniques de l'analyse et me faire partager sa passion pour les mathématiques.
J'exprime mes vifs remerciements à Monsieur Albert OUEDRAOGO qui a
assuré la codirection de l'ensemble de ce travail.
Je remercie bien vivement' Messieurs Stanislas KRUZKOV et Juan Luis
VAZQUEZ d'avoir accepter de prendre de leur temps pour examiner ce travail et en faire un
rapport.
Mes sincères remerciement ,vont à Côme GOUDJO et Moussa OUATTARA
qui ont bien voulu prendre part au jury. ' .
Je reste redevable aux membres de l'Equipe de Mathématiques de Besançon,
pour leur hospitalité et pour les conditions ,qu'ils m'ont offertes pour mener à bien ce travail.
Je tiens à leur exprimer ma reconnaissance pour l'ambiance amicale, calme et propice au
travail dont ils m'ont entouré durant mon séjour à l'Université de Franche Comté.
~ :
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,

A MA FAMILLE

TABLE
DES
MATIERES
INTRODUCTION
4
0
•
Première partie: L'équation générale Ut = a(., u, cp(., U)x)x + v dans LI.
l-Etude du problème stationnaire
. . . .
0
12
l.l-Introduction
0 .
0 0 .
12
lo2-Solution Entropique du problème Stationnaire
14
l.3-L'opérateur associé au problème de Dirichlet
21
1.4- Cas d'autres problèmes aux limites
30
l.5-Dépendance continue par rapport aux données
38
2-Le Problème d'évolution
43
2.1- Introduction
43
202-Bonnes Solutions
46
203-Solutions Entropiques
52
2.4-Solutions dans Lip(O, T; LI (1)) n L=( Q)
64
205-Appendice
.
.
.
0
73
Deuxième partie: Solutions généralisées d'équations d'évolution
l-Solution entropique pour une équation parabolique-hyperbolique non linéaire
79
loI-Introduction
79
1.2-Solution intégrale
80
lo3-Solution entropique
86
l.4-Formule de représentation
91
2
1.'-,

2-Solution généralisée locale d'une équation parabolique quasilinéaire dégénérée
du second ordre
96
2.1-Introduction
96
2.2-Solutions classiques, généralisées et entropiques
97
2.3-Problème de Cauchy
100
2.4-Références
110
Troisième partie: Comportement asymptotique
1-Attracteur compact pour une équation de réaction-diffusion dans IRN
112
1.1-Introduction
112
1.2-Existence du semi-groupe
113
1.3-Existence de l'attracteur
114
2-Fonctionnelles de Lyapunov et comportement asymptotique pour un problème
parabolique dégénéré
117
2.1-Introduction
117
2.2-Fonctionnelles de Lyapunov
119
2.3-Solutions globales
122
2.4-Conclusion
135
2.5-Appendice
137
3
..
1

INTRODUCTION
Dans ce mémoire, nous regroupons six articles en collaboration, dans lesquels nous
étudions divers aspects mathématiques de quelques équations d'évolution.
Dans la première et principale partie de ce travail, nous regroupons deux articles
où nous étudions des problèmes paraboliques fortement dégénérés en une dimension
d'espace sous des hypothèses très générales.
Utilisant la théorie des équations d'évolution dans L 1 , nous établissons des résultats
d'existence, d'unicité, de régularité et de dépendance continue par rapport aux données
de "bonne solutions" de problèmes de Cauchy ou de problèmes aux limites associés à
ces équations.
La seconde partie comprend deux articles où nous traitons des solutions généralisées
et nous faisons les liens avec les solutions au sens de Kruzkov. Nous donnons dans le
premier article une version abstraite via la théorie des semi-groupes non linéaires dans
L 1 , d'un résultat de Escobedo, Vazquez et Zuazua. Dans le second article, nous pro-
posons une notion de solution généralisée locale d'une équation parabolique dégénérée
du second ordre, pour laquelle nous montrons que le problème de Cauchy associé est
bien posé.
Dans la troisième et dernière partie de ce mémoire, nous étudions le comportement
asymptotique d'équations de réaction-diffusion.
Donnons maintenant un aperçu de chacune de ces parties.
1
Sur l'équation générale Lit = a(.,u.<p(.,u)x)x + v
Dans la première partie de ce mémoire nous étudions l'équation générale
(1)
Ut = a(., u, <p(., U)x)x + v.
de type parabolique pouvant dégénérer en hyperbolique du premier ordre pour certaines
valeurs des variables (x,u). Cette étude poursuit nos premiers travaux de recherche
(cf Thèse de Doctorat de 3eme cycle) qui ont concerné l'étude des équations
(2)
Ut + f(u)x = <p(u)xx + v
dont les résultats ont entièrement été étendus maintenant à l'équation plus générale
(1).
Notons que l'équation (1) avec <p = 0 se réduit à l'équation hyperbolique non
4

linéaire du premier ordre
(3)
Ut = a(.,u)x + v
.
alors qu'avec a(., k, Ç) = ç, elle se réduit à l'équation
(4)
Ut = cp(., u)xx + v.
Il s'agit donc de problèmes paraboliques hyperboliques non linéaires fortement dégénérés
pour lesquels il n'y a pas en général existence de solutions continues ni unicité de solu-
tions faibles pour des problèmes de Cauchy ou des problèmes aux limites associés aux
équations (1) et (2).
Exemple: Modélisation de l'écoulement d'un fluide en régime turbulent.
L'écoulement d'un fluide en régime turbulent à travers un milieux poreux d'après
Diaz et de Thelin, est modélisé en une dimension d'espace, par l'équation
avec
cp(u) = luln-lu
ou
cp(U) = (U - 1)+ où p > 1 et n > O.
Ce modèle est obtenue, à l'aide de l'équation de continuité
Bt + div v = 0
et la loi de Darcy non linéaire
Iv1 Q 2v
-
= -I«B) grad (B)
pour un certain q > 2, où B est le débit, I< (B) la conductivité hydraulique, <1>( B) le
potentiel total, est la somme du potentiel hydrostatique \\]i (B) et du potentiel gravita-
tionnel z.
Faisant le changement de fonction 'P(B) =
rO I«s)<l>'(s)ds, avec p = -q- et
Jo
q - 1
\\7 z = e E IR? , on obtient l'équation
On a fait diverses normalisation en prenant en particulier plusieurs constantes iden-
tiques à un. Les fonctions 'P et I< sont déterminées par l'expérimentation physique,
en particulier pour cP' (B) = 0 pour B :S 1 et I< (s) cP' (B) = 1 pour B ~ 1 on obtient
cp(B) = (u - 1)+. Nous considérons le cas monodimensionnel, pour plus de précisions
sur ce modèle voir l'article de Diaz et de Thelin et leurs références.
5
i

L'étude des équations (1) et (2) par la théorie des équations d'évolution dans LI
que nous avons développé, permet d'énoncer des résultats d'existence, d'unicité, de
régularité et de dépendance continue par rapport aux données pour les solutions de
problèmes de Cauchy ou de' problèmes aux limites associés à ces équations sous des
hypothèses très générales.
Nous supposons cp(x, k) et a(x, k,fJ continues; nous supposons d'autre part cp crois-
sante (au sens large) en k, a est croissante (au sens large) en ç, ce qui exprime le
caractère parabolique dégénéré des équations (1), (2); nous supposons également a co-
ercive en ç uniformément pour k borné, cp continuement différentiable en x, la fonction
H(x, k) = a(x, k, CPx(x, k)) a une dérivée partielle en x localement à variation bornée
et vérifie des hypothèses qui assurent en particulier le principe du maximum pour (1) .
Ces hypothèses sont clairement vérifiées pour l'exemple.
Si l'analyse directe de
(3) et (4) est relativement bien comprise maintenant, celle de (1) et (2) où les deux
phénomènes se mélangent est encore assez peu connue sauf dans le cas où le caractère
parabolique l'emporte nettement par rapport au caractère hyperbolique (cp strictement
croissante, f 0 cp-l assez régulière dans le cas de l'équation (2)).
La théorie de (3) est bien connue grâce à l'introduction par O. Oleinik et S.N.
Kruzkov de la notion de "solution entropique". Celle de l'équation (2) dans le cas où
cp est strictement croissante commence à être bien comprise maintenant notamment
grâce aux travaux de J. Carillo : il apparaît maintenant clairement dans ce cas que le
problème de Cauchy associé possède une unique solution faible.
Par contre, dans le cas général où cp est constante sur certains intervalles de l'ensemble
des valeurs de u, les phénomènes de parabolicité et d'hyperbolicité non linéaire vont
être mélangés et il ne semble pas que le problème soit encore bien compris.
Dans le premier article de cette partie, nous étudions l'équation stationnaire
(5)
-a(.,u,cp(.,u)x)x = v sur I,
pour lequel nous introduisons une notion de solution entropique dans la classe des
fonctions réglées.
Nous montrons que l'équation résolvante associée à (S) avec condition de Dirichlet
non homogène ou plus généralement en considérant des conditions non linéaire au
bord de l'intervalle ouvert l de IR, est bien posé dans cette classe de solution. Plus
précisement, nous montrons l'existence et l'unicté de solution entropique dans BV(1) n
Ll(1) du problème
(5)
u - À a(., u, cp(., u)x)x = v sur I,
pour tout À, 0 < À < À(v) avec condition au bord.
6

De sorte que nous pouvons associer aux données, un opérateur A de L1 (1) et d'écrire
formellement le problème d'évolution, sous la forme de l'équation d'évolution dans
V (1), du + Au 3 v sur ]0, Tl, dont l'étude fait l'objet du second article.
dt
.
Nous montrons que la fermeture de l'opérateur A dans L 1(1) est m-accrétive à
domaine dense, nous établissons également la dépendance continue de A par rapport
aux données.
Dans le second article de cette partie, utilisant la théorie des semi-groupes non
linéaires dans V, nous déduisons de l'étude du problème stationnaire l'existence et
l'unicité d'une "bonne solution" du problème de Cauchy ou de problèmes aux limites
associés à (1) pour tout Ua E L 1(1) et v E V(Q) (Q =]O,T[xI), sous les hypothèses
du premier article. Lorsque de plus, la donnée initiale est bornée et lT Ilv(t, .)I/u<>(l)dt
est fini, cet te "bonne solution" est bornée.
Nous montrons sous des hypothèses complémentaires sur les fonctions cp( x, k) et
a( x, k, 0 que cette bonne solution est "solution entropique" au sens de Kruzkov de (1)
c'est-à-dire vérifie
cp(.,u)x E L}oc(Q), h = a(.,u,cp(."u)x) E LL(Q)
:t 1u- k 1:::; :x (sign(u - k)(h - H(., k)) ) +
sign(u - k)(v + Hx(., k)) dans D'(Q)
pour tout k E IR; nous préciserons également la condition entropique sur la condition
au bord ~ lorsque 1 =1 IR.
Ces hypothèses sur les fonctions cp(x, k) et a(x, k,Ç) sont vérifiées en particulier
pour les fonctions a(x, k, Ç) satisfaisant aux conditions de type Leray-Lions considérées
par AIt et Luckhauss :
Co(k)j f, P
I
-
Ca(k):::; f,a(x,k,Ç) :::;C(k)(1 + 1 f, n
(avec 1 °sur IR). Elles sont aussi vérifiées par les
fonctions de la forme
a(x, k, f,) = aa(f, + g(k)) - f(x, k)
où j, g E C(IR2) n LOO (1; C(IR)) et aa : IR --+ IR est une fonction croissante continue
surjective, comme celles de Diaz et de Thelin où aa(ç) =
ç P 2ç,
1
I
-
1 < P < 00.
Lorsque Ua est solution (entropique) d'un problème stationnaire (5) et la fonction v
dans BV(O,T;L 1 (1)), la bonne solution de (1) est lipschitzienne de [O,T] dans L 1 (1),
nous montrons que les bonnes solutions sont "solutions entropiques", sans les restric-
tions précédentes sur les fonctions cp et a.
7

Nous ne savons pas s'il y a unicité de "solution entropique" pour les problèmes
d'évolution du second ordre, au moins dans la situation générale que nous considérons,
alors que ce résultat est bien connu dans le cas des problèmes du premier ordre (<p == 0).
Notons aussi que le résultat d'existence de "solution entropique" montre en particulier
l'existence de solution faible dans ce cadre très général.
Lorsque la fonction <p(x, k) est strictement croissante en k, nous montrons qu'il y a
unicité d'une fonction u solution faible appartenant à Lip(O, T; L1(1)) n Cb(Q). Enfin
nous établissons des résultats d'existence (et d'unicité) de solutions fortes.
Tous les résultats de cet article ont été développés, comme dans le premier article,
pour les problèmes de Cauchy et des problèmes aux limites avec conditions de Dirichlet
ou plus généralement avec des conditions au bord non linéaires.
Notons enfin que l'étude des équations (1) diffère de de celle de (2) par la dépendance
en x des fonctions a et <p, par la considération de condition au bord de type non
linéaire et surtout par la forme très générale des non linéarités, qui rendent en particulier
délicats, les passages à la limite et le problème d'identification des limites "faibles" de
ces équations.
II
Solutions généralisées d'équations d'évolution
Dans le premier article de cette seconde partie, nous considérons le problème de
Cauchy
(6)
{ Ut = Lxu - 8yf(u) +w sur ]0,T[x!1 x ffi.
u(o) = Uo sur !1 x ffi.
associé à un opérateur L, générateur d'un Co-semi-groupe linéaire sous-markovien sur
LI(!1,B,/-l) où T> 0, w E L 1(]0,T[x!1 x IR), Uo E LI(D x ffi.), (D,B,/-l) désigne un
espace mesuré et f est une fonction localement lipschitzienne de ffi. dans IR. On suppose
que la restriction de L à LI(D) n L2 (D) est symétrique et Lx désigne l'extension de L
à U(D x IR).
Grâce à la théorie générale des équations d'évolution dans un espace LI, nous
considérons une notion de solution entropique pour le problème (6) généralisant celle
de Kruzkov, pour laquelle nous obtenons un problème bien posé. Nous donnons ensuite
une formule de représenta.tion de type Trotter-Kato de ces solutions. Plus précisément,
lorsque f est de classe C2 , on a pour tout Uo E Ll(D x IR) et T > 0,
8

uniformément pour t E [0, Tj,
où Sj,L(t) est le semi-groupe associé à (6) et SO,L(t)
(resp Sj,o(t)) désigne le semi-groupe associé à (6) avec 1 == 0 (resp L == 0).
Ces résultats développés dans le cadre abstrait de la théorie des semi-groupes non
linéaires dans LI(O, X R) s'àpplique naturellement au cas des opérateurs différentiels.
Prenant L = ,0. dans L1 (RN) et w = 0, nous retrouvons par des méthodes totalement
différentes, les résultats de Escobedo, Zuazua et Vazquez pour le problème
{ U(O) = Uo sur RN X :IR.
Ces résultats s'appliquent également à des opérateur différentiels de même type avec
conditions aux limites ou à des opérateur différentiels avec coefficients discontinues.
Dans le second article de cette partie, nous développons une théorie locale de
l'équation (2). Nous considérons l'équation (2) sur un ouvert Q de R 2 •
Notons que, pour des données l, cp, v régulières cp' ~ c > 0, toute solution faible
U E Ll: ( Q) est solution classique, ceci n'est évidemment plus vrai dans le cadre général
c
que nous considérons: lorsque cp est constante sur certains intervalles de l'ensemble des
valeurs de u, les phénomènes de parabolicité et d'hyperbolicité non linéaire vont être
mélangés, comme nous l'avons déjà précisé.
La théorie développée dans la première partie de ce mémoire est non locale, les
fonctions Uo et v sont intégrables, tandis que les équations (1), (2) sont locales.
En règle générale, l'étude des équations aux dérivées partielles est faite classique-
ment en deux étapes: étude des équations avec données régulières puis passage à la
limite dans les classes de fonctions adéquates.
En collant à ces méthodes usuelles, nous proposons comme solution de l'équation
(2), toute fonction localement intégrable, "limite" de solution classique de problèmes
analogues. Plus précisément, toute fonction u E Ltoc(Q) est solution généralisée locale
de (2), si tout point (t, x) E Q admet un voisinage ouvert QI dans Q tel qu'il existe
des suites de fonctions régulières Un, CPn, vn) et Un solutions classiques de (2) sur QI
correspondant à Un, cpn, Un) et
Un --t U,
V n --t V
dans LLc( QI),
In --t l, cpn --t cp dans C(R),
{ In(un) --t I(u), CPn(un) --t cp(u) dans LLc(Q]).
Nous montrons qu'etant donné (u, û) solution généralisée locale de (2) correspon-
dant à (v, v), on a:
9

%t (u - û)+ + :x (signci(u - û)(J(u) - f(û)))
{
82
~ signci(u - û)(v - v) + 8x2(<P(U) - <p(û))+ dans 'D'(Q).
Il en résulte en particulier un principe de comparaison et l'unicité des solutions
généralisées locales du problème de Cauchy associé à (2) pour des données initiales
seulement bornées.
III
Comportement Asymptotique
Cette partie comprend deux articles traitant du comportement pour des grands
temps des solutions d'équations de réaction diffusion.
Dans le premier article, nous considérons le problème de réaction-diffusion dans IRN
(7)
{ Ut - .6.u + f(u) = 9 sur IRN X (0,+(0),
u(O) = Uo dans IRN .
L'existence d'attracteurs compacts dans les domaines bornés est bien connue grâce
en particulier aux travaux de Babin, Vishik, Martin Marion et Roger Temam. Mais la
méthode utilisée ne s'applique pas ici, en raison de la non compacité de l'injection de
H1(IR N) dans L2 (IR N) . C'est pourquoi nous étudions (7) dans l'espace des fonctions
à poids L2(IRN , p( x )dx) où le poids p tend vers zéro à l'infini.
Nous montrons l'existence d'un attracteur maximal compact pour la topologie forte
de L~(IRN) avec des hypothèses plus générales que celles de Babin et Vishik qui ont
montré l'existence d'un attracteur compact pour la topologie faible de L~(IRN).
Ut = (<p(u)tx + (g(u))x + f(u)
(8)
u(., ±1) = 0
{
u(O,.) = Uo
où l est l'intervalle] - 1,1[.
Les fonctions <p, g, f sont continues de IR dans IR. La fonction 1). Les fonctions f et 9 vérifient des hypothèses
de domination par la fonction <p.
10

Adaptant la méthode de Zelenyak, nous construisons des fonctionnelles de Lya-
punov et montrons quelques estimations sur elles. Nous montrons, par approximation
des données (cp, i, ua) par des fonctions régulières, l'existence de solution faible glob-
ale pour des données initialès bornées. Nous montrons en particulier qu'une solution
faible u de (8) est bornée dans LOO et cp(u)x est bornée dans LOO(IR+j L2 (I)). Nous en
déduisons, à l'aide des fonctionnelles de Lyapunov une estimation de type
Nous sommes ainsi en mesure de définir un système dynamique St, et de montrer
que le problème (8) est de type "gradient": c'est-à-dire que l'ensemble w-limite de toute
orbite précompacte est inclus dans l'ensemble des solutions stationnaires.
11

Partie 1
L'ÉQUATION GÉNÉRALE Ut = a(., u, <p(., U)x)x + v

Sur l'équation générale Ut = a(.,u,<p(.,u)x)x +v dans LI.
l Etude du Problème Stationnaire.
en collaboration avec Ph. Bénilan.
Evolutions Equations, Proceedings Conference L.S.U. Janvier 1993,
Lectures Notes, V 168 (1994), p 35-62.

SUR L'EQUATION GENERALE Ut = a(.,u,<p(.,u)x)x + v dans LI
I. Etude du Problème Stationnaire
l.Introduetion
Nous étudions le problème général
(1)
{ Ut = a(.,u, <p(.,u)x)x +v sur Q= ]0,T[xI
u = e sur ~ = ]0, T[xaI
où l est un intervalle ouvert de lR., v E L I (Q), e: al ~ lR., a: (x, k,Ç) E lR.3 ~ lR. continue
et croissante (au sens large) en ç, <p : (x, k) E lR.2 --t lR. continue et croissante (au sens
large) en k.
Mis à part des hypothèses techniques (que nous préciserons ci-dessous) sur la dépen-
dance en x, l'hypothèse principale sera une coercivité de la fonction a par rapport à ç,
uniformément pour (x, le) borné.
En particulier, les résultats que nous développons ici généralisent ceux de [4] (cf.
aussi [9]) pour l'équation
(2)
Ut + f(u)x = <p(u)xx + v sur Q, u = a sur ~
où f, <p sont des fonctions continues de lR. dans lR. avec <p croissante (au sens large);
(2) correspond à e = 0, a(x,k,Ç) = ç - f(k), <p(x,k) = <p(k).
Prenant <p == 0, (2) se réduit à la loi de conservation
(3)
Ut + f( u)x = v sur Q, u == a sur ~
de telle sorte qu'il est clair que nous incluons dans (1) des problèmes hyperboliques du
premier ordre, pour lesquels (même sous des hypothèses de régularité COQ sur les données)
12

il n'y a aucun espoir d'avoir existence de solutions fortes globales ni de résultats d'unicité
pour des solutions faibles.
En d'autres termes nous devons introduire une notion de
solution entropique pour le problème d'évolution du second ordre (1).
Suivant la démarche de [9] pour le problème (2), nous développons une notion de
solution entropique pour (1) en deux étapes, grâce à la théorie des équations d'évolution
dans un espace LI.
Dans une première étape, qui est l'objet de ce premier article, nous étudions le
"problème stationnaire"
(4)
-a(.,u, <p(.,u)x)x = v sur l, u =.e sur al
pour lequel nous définissons une notion de solution entropique. Ceci permet d'associer
aux données a, <p,.e un opérateur A de LI(I) et d'écrire formellement (1) sous la forme
d'une équation d'évolution
du
(5)
dt + Au :3 v sur ]0, T[ .
Nous montrerons dans cet article que la fermeture dans LI (1) de l'opérateur A est m-
accrétive à domaine dense (cf. Proposition 2.8 et Théorème 3.1 et 3.4). Ceci permettra,
par application de la théorie des équations d'évolution dans un espace de Banach (cf.
[3]) d'obtenir pour tout v E LI (Q) et Uo E LI(I), l'existence et l'unicité d'une "bonne
solution" U E C([O, T]; LI(I)) de (5) avec u(O) = uo.
Dans un deuxième article, nous préciserons en quel sens une "bonne solution" de (5)
est solution de (1) ; entre autres, si Uo E LI(I) n VX)(I) et v E L1(Q) n L 1(0, T; Loo(I)),
il sera clair que u E VX)( Q) et est solution entropique de (1) (cf. [4], [9] pour le cas de
(2)).
La première section est consacrée à la définition d'une solution entropique de (4).
Dans la deuxième section nous étudions l'opérateur A associé à a, <p, .e lorsque l'intervalle
l est borné. La troisième section est consacrée au cas l non borné ; nous considérons
aussi, pour le cas l =]0, co[ un problème aux limites
(6)
{ -a(.,u,<p(.,u)x)x = v sur ]0,co[
a(.,u,<p(.,u)(O) E ,(u(O))
où , est un graphe maximal monotone à domaine borné.
Enfin dans la dernière section, nous étudions la dépendance de l'opérateur A associé
aux différents problèmes stationnaires, par rapport aux données a,<p,e, ,. Ces résultats
permettront par application de la théorie générale, d'obtenir la dépendance des "bonnes
solutions" de (5) par rapport aux données.
13

Section 1. Solution entropique du problème stationnaire
On se donne
(1.1 )
a : IR X IR x IR ---+ IR, tp : IR x IR ---+ IR continues
et on suppose
(1.2)
{ a(x, k,0 est croissante en e, tp(x, k) est croissante en k
tp( x, k) est continuement dérivable par rapport à x.
On pose
(1.3)
H(x,k) = a(x,k,tpx(x,k)) pour (x,k) E IR x IR.
On se donne d'autre part l un intervalle ouvert de IR ; on note
(1.4 )
CL = InfI, 0'+ = SupI, al = {CL,O'+} n IR
On se donne enfin v E V' (I), f : al ---+ IR et on considère le problème aux limites
(PS)
-a(., u, tp(., u)x)x = v sur l, u = esur al
Il sera pratique de considérer une solution de (PS) comme une fonction u définie
(p.p) sur IR.
Définition 1.1.
On appelle solution faible de (PS) toute fonction u E L~c(IR)
vérifiant
ii) Si 0'_ > -00 (resp.O'+ < +00) alors
Lorsque tp == 0, le problème (PS) se ramène au problème du premier ordre
(1.5)
-a(., u)x = v sur l, u = f sur âI
14

pour lequel il est bien connu, si a(x, k) n'est pas monotone en k, qu'il n'y aura pas en
général existence d'une solution u continue sur 1 ni unicité d'une solution faible (au sens
de la Définition 1). Il suffit par exemple de considérer a( x, k) = k 2 , V = 0: si l est borné
et l( 0' _) i= l( 0'+), il n'existe pas de solution continue sur 1 i pour tout c > 0 et E C l
mesurable, la fonction CXE - CXI\\E se prolonge sur IR en une solution faible.
Afin d'obtenir un problème (PS) bien posé dans le cas général, nous introduisons
la notion de solution entropique de (PS) en adaptant celle introduite par O. Oleinik [7]
pour une loi de conservation. Nous utiliserons pour cela des fonctions u E L~c(lR) réglées,
c'est-à-dire vérifiant
(1.6)
u(x+) = lim ess u(x + h), u(x-) = lim ess u(x - h)
h!O
h!O
existent pour tout x E IR i on posera
(1.7)
.!!(x) = u(x+) Â u(x-), u(x) = u(x+) V u(x-), I(u, x) =].!!(x), u(x)[
Définition 1.2. On appelle solution entropique de (PS) une solution faible réglée u
vérifiant:
iii) il existe h E C(IR) telle que h = a(., u, w r ) p.p sur l
et pour tout x E IR avec u(x+) i= u(x-)
(1.8)
(u(x+) - u(x-))(h(x) - H(x,k)) ~ 0 Vk E I(u,x).
Remarque 1.3.
a) La condition entropique (1.8) n'intervient qu'aux points x El: la fonction h qui
est parfaitement définie par u sur l peut être prolongée arbitrairemeni; f:l1 dehors de 1
où elle n'intervient pas.
b) L'existence d'une solution entropique implique que v est la restriction à l de la
dérivée d'une fonction continue sur IR i supposons maintenant que v soit ainsi. Alors
toute solution faible continue est solution entropique. En particulier si
(1.9)
<p(x, k) est strictement croissante en k pour tout x E IR
alors toute solution faible est solution entropique.
En d'autres termes la condition entropique n'apparaît que lorsque, pour certaines valeurs
de x E l, le graphe de la fonction croissante e.p( x, .) présente des "parties plates" .
c) Supposons toujours que v soit la restriction à l de la dérivée d'une fonction
continue sur IR et considérons u une solution faible réglée de (PS), h E C(IR) telle que
h = a(.,u,wr ) p.p. sur l et x El tel que u(x+) i= u(x-).
15

La fonction w = <p(., u) étant continue, on a
<p(x,k) = w(x) pour tout k E I(u,x)
et donc
(1.10)
<Px(x,k) = <Px(x,u(x-)) = <Px(x,u(x+))
Vk E I(u,x)
Pour se fixer les idées, supposons u(x+) > u(x-) et fixons k E I(u, x) ; il existe S > 0
tel que
u < k p.p sur]x - h,x[, u > k p.p sur ]x,x + S[
et donc
w ~ <p(., k) sur]x - S,x[, w ~ <p(., k) sur ]x,x + S[;
il en résulte
Jim sup ess wx(y) ~ <pz(x, k),
lim
sup ess wz(y) ~ <pz(x, k)
,lx
y!z
et donc si x > CL (resp. x < Q+), alors h(x) ~ H(x, u(x-)) (resp. h(x) ~ H(x, u(x+))).
Dans le cas u(x+) < u(x-), les inégalités seront inversées; on a donc dans le cas général
si
x> Q_, (u(x+) - u(x-))(h(x) - H(x,u(x-))) ~ 0
(1.11)
{ si x < Q+, (u(x+) - u(x-))(h(x) - H(x,u(x+))) ~ 0
Il résulte de (1.10) et (1.11) que si
(1.12)
a(x, k, 0 est croissante (resp. décroissante) en k
et si Q+ = 00 (resp. Q_ = -00), alors toute solution faible réglée de (PS) est solution
entropique.
Enonçons maintenant le résultat principal de cette section:
Théorème 1.4. Supposons l borné. Soient UI, U2 des solutions entropiques de
(PS) correspondant respectivement à VI, V2 E D' (1) et fI, f 2 : BI -+ IR.
On suppose
,
(1.13)
VI ~ V2 + ! dans D (1) avec! mesure de Radon sur IR.
Alors
(1.14)
Jsignt(1!:.1 - U2)! ~ L r;(Q)signt(fl(a) - f2(a))(hl(a) - h2(Q))
1
QEôl
16

où signcir =: 0 si r ~ 0, signcir = 1 si r > 0, e(o_) =: 1, e(o+) =: -1 et hl, h2 sont les
fonctions correspondantes à uI, U2 dans la Définition 1.2.
Preuve
signciClil > U2) est la fonction caractéristique de {lil > ud qui est un ouvert de IR.
Si (je n, dnD sont les composantes connexes de l'ouvert In Ü!I > U2}, compte-tenu de
(1.13), on a
avec h = hl - h2 • Notons d'autre part que fl(o_) > f 2(o_) (resp. fl(o+) > f 2(o+))
si et seulement si il existe une composante connexe de l'ouvert {lil > U2} contenant 0_
(resp. 0+) j et alors pour l'un des intervalles jen, dn [ on aura Cn = 0_ (resp. dn =: 0+).
Il suffit donc de montrer qu'étant donné Je, d[ une composante connexe de Ü!l > U2}, on
a
[eEI=>h(e) 2:0] et[dEl=>h(d)~O].
Nous allons prouver la première implication: on suppose cEl et on montre que
hl(c) 2: h2 (e) ; la seconde peut être vérifiée de manière identique.
Puisque ]e, d[ est une composante connexe de {1!1 > Ü2} on a
(1.15)
D'autre part UI > U2 p.p sur ]e, d[ et donc
(1.16)
Distinguons plusieurs cas :
cas 1: ul(e+) > ul(e-) et u2(e-) > u2(e+)
Alors d'après (1.15) et (1.16), k = uI(e-) n u2(e+) E Z(uI,e) nZ(u2,e) ; appliquant la
condition d'entropie, h1(e) 2: H(e,k) 2: h2(e).
cas 2: u2(e+) < ul(e+) ~ Ul(C-)
D'après (1.15), u2(e+) < ul(e+) ~ u2(e-) et donc
D'un autre côté, <p(e, .) est constante sur Z( U2, c) j raisonnant comme dans la remarque
1.3-c), on en déduit
17

De manière identique au cas précédent, en inversant les rôles de Ul et U2, on obtiendra
h1(c) ~ H(C,U2(C+» ~ h2(c).
,
cas 3 : hypothèse complémentaire des cas l, 2 et 2 .
Compte-tenu de (1.15) et (1.16), on a Ul(C+) = U2(C+) et donc (Wl -W2)(C) = 0 j d'autre
part, Ul > U2 p.p sur lc, d[ et donc Wl - W2 ~ 0 sur lc, d[ j il en résulte
Puisque Wl,z E L~c(lR),
lim ess (h1(x) - a(x,u2(X),Wl,x(X») = 0
xlc
et donc
Comme corollaire on obtient la caractérisation des solutions entropiques à l'aide
d'inégalités correspondant à celles de S.N. Kruskov dans le cas d'une loi de conservation
((5], cf. aussi (1] pour le cas des conditions au bord) :
Corollaire 1.5. L'intervalle 1 étant quelconque, soient v E 1)' (1), l : 81 ----t IR
et u E L~c(lR) réglée avec W = ep(", u) E Wl~'cCO(IR) et vérifiant la condition (ii) de la
Définition 1.1. Supposons
(1.17)
pour tout k E IR, H x (., k) + v est la restriction d'une mesure de Radon sur R.
Alors U est solution entropique de (PS) si et seulement si il existe h E C(IR) avec h =
a(., u, w x ) p.p sur 1 telle que pour tout k E JR et tout ( E V(IR)+ on ait les inégalités
suivantes
fI signci(Jl - k ){(x(H(., k) - h) + ((Hx (., k) + v)} ~
(1.18 - 1)
{ 2: .s(a)signci(f(a) - k)((a)(h(a) - H(a, k»
oEéH
fI signci(k - u){(x(H(., k) - h) + ((Hx(., k) +v)} ~
(1.18 - 2)
{ L .s(a)signci(k - P(a»((a)(h(a) - H(a, k»
oEBI
18

Preuve
Montrons d'abord la condition nécessaire. Notons h la fonction correspondant à u
dans la Définition 1.2, fixons ( E V(1R.)+, k E 1R. et montrons les inégalités (1.18).
Pour celà, posons l = In] - R, +R[, où R > 0 est tel que 81 U supp( C] - R, +R[
; pour 0: E al posons 1(0:) = f(o:) si 0: E al, 1(0:) = 0 si 0: ~ al ; enfin posons
â{x, k, 0 = (x)a(x, k, 0 et rp(x, k) = ('(x)<p(x, k) où (' E V(] - R, R[)+, (' = 1 sur supp(.
On vérifie immédiatement que la fonction u définie par ü = u sur l, u = 1(0_) sur
] -
00, a_[, u = 1(0+) sur ]a+, oo[ est solution entropique de
avec h = (h comme fonction correspondante. D'un autre côté, la fonction û = k est
solu tion entropique de
-Ci(., û, ~(., û)x)x = -«(H(., k))x sur l, û = k sur al
Appliquant le théorème 1.4 avec (Ul' U2) = (u, û) (resp. (û, U)), on obtient (1.18-1) (resp.
(1.18-2)).
Réciproquement, supposons que les inégalités (1.18) soient satisfaites. Etant donné
(
E V(1)+, appliquant (1.18-1) (resp.
(1.18-2) avec k <
Inf
ess u (resp.
k >
BUpp(
Sup
ess u) on obtient
supp(
et donc
,
-hx = v dans V (1).
Pour prouver les inégalités entropiques, fixons x E R tel que u(x+) =1 u(x-) ; pour
se fixer les idées, supposons u(x+) > u(x-), le cas u(x+) < u(x-) se traitant de manière
identique. Etant donné k E T(u, x), il existe 8 > 0 tel que
U < k p.p sur ]x - 8, x[, U > k p.p sur lx, x + 8[;
choisissons ( E VOx - fJ, x + fJ[)+ avec (x) = 1 et appliquons les inégalités (1.18) en
remarquant que
(x(H(., k) - h) + (Hx(., k) + v) = «((H(., k) - h))x.
Si x E l, on peut toujours supposer supp( Clet on obtient en intégrant
(1.19)
-(H(x, k) - h(x)) ~ 0 ~ R(x, k) - h(x)
19

c'est-à-dire deux fois h(x) ~ H(x,k). Si x E 8/, par exemple x = CL, on peut toujours
supposer supp (c]- 00,0+[ et on obtient encore (1.19) puisque .e(CL) = u(x-) < k. 0
Remarque 1.6. La caractérisation du corollaire 1.5 fait clairement apparaître des
notions de sous-solutions entropiques et sur-solutions entropiques; nous ne développerons
pas plus ici ces notions et renvoyons à [3] pour une étude détaillée de ces notions dans le
cas d'une loi de conservation scalaire.
Remarque 1.7. Dans le cas où a(x,k,~) est monotone en k (cf. (1.12) dans la
Remarque 1.3-c), on peut étendre le théorème 1.4 aux solutions faibles de (PS) (cf. [9]
dans le cas a(x, k, () = ~ - f(k) avec f : IR -
IR continue monotone) ; on peut même
d'ailleurs sous des hypothèses de monotonie en k, considérer des applications a(x, k,~)
multivoques; mais nous ne développerons pas plus ce cas particulier.
Remarque 1.8. Si Hx(., k) + v E Lloc(l) pour tout k E IR et k - Hx(., k) + v est
continue de IR dans L}oc(Ï), alors (1.18-1) pour tout k E IR est équivalent à.
p.p k, il existe s E LOO(I) tel que s E sign+(u - k) p.p sur / et
rs{(x(H(., k) - h) +((Hx(., k) + vn ~ L Esignt(.e - k)((h - H(., k))
JI
âI
(cf. [2), Lemme 2-2 p.lI-ll) ; on a évidemment la même chose pour (1.18-2).
20

Section 2. L'opérateur associé au problème de Dirichlet sur un intervalle borné
On reprend les données a, <p de la section 1 avec les hypothèses (1.1), (1.2). On se
donne l un intervalle ouvert borné de IR et e : 81 --+ IR. On va associer au problème
stationnaire
(PS)
-a(.,u,<p(.,u)~:)x== v sur l, u = esur BI
un opérateur dans l'espace de Banach L 1(1).
On note A = Aa,'I',1 l'opérateur de L1(1) défini par
(2.1)
{ v EAu {:} u,v E L1(!) ,il existe il solution
entropique de (PS) telle que u = îi p.p sur l
Remarque 2.1. Bien que nous ayions employé une notation multivoque, l'opérateur
A est clairement un opérateur univoque; en fait il est même un "opérateur local" :
(2.2)
En effet
et donc {Ul = U2} C {hl = h2 } où hi E C(R) est telle que h j = a(.,uj,<p(.,Uj)x) p.p sur
l ; alors VI = -h1,x = -h2 ,x = V2 p.p sur {Ul = U2}'O
Comme corollaire du Théorème 1.4, on obtient la "s-T-accrétivité" dans L 1(!) de
l'opérateur A ; plus précisément on a :
Proposition 2.2. Soit>. > 0 et, pour i = 1,2, Uj, Vj, Zj E L 1 (1) tels que
(2.3)
Supposons
(2.4)
alors
(2.5)
21

Preuve
_
Vi -
Zj
Posons vi =
E AUi et U = {Zl > Z2} U {UI > U2}'
,\\
Compte-tenu de (2.4),
(2.6)
j(ZI - Z2)+ = L(ZI - Z2) ~ j(VI - V2)+ - À LeVI - V2)'
Notant Üi la solution entropique correspondant à Vi E AUi (d. (2.1», on a d'après (2.2)
L
et donc d'après le Théorème 1.4,
(VI - V2) 20 ; d'où (2.5) en reportant cette inégalité
dans (206).
On déduit également du Théorème lA, le "principe du maximum" pour l'opérateur
A ; plus précisément on a :
Proposition 2.3. Avec la notation (1.3), supposons
aH
,
(2.7)
signo k ax (., k) ~ Co + wlkl dans V (I) pour tout k E IR
pour certaines constantes CO 2: 0, w E IR. Etant donné ,\\ > 0 avec '\\w < 1 et u, v E LI (I)
avec u + '\\Au 3 v, on a
±
(
±
(..\\C() + v)±)
(2.8)
u
~ max sup R( Q:) ,sup ess
,\\
p.p sur 1
aEar
r
1 -
w
Preuve
On démontre l'estimation de u+, celle de U- s'obtenant de manière identique. Notons
k la constante du second membre de (2.8) ; la fonction Ü ::= k est solution entropique de
ü - '\\a(.,ü,ep(o,u)x)z = V sur l, u = k sur al
avec V = k - ,\\ ~~ (0' k). D'après (2.7) on a V ~ v dans V' (I) et donc
v-u
- -
v-u
-u-u
,
- - < - - + - - dans V (1)
,\\
- . . \\
..\\
Appliquant le Théorème 1.4 avec (Ul,U2) = (u,u) on obtient

d'où Il ~ U. <>
Le résultat principal de cette section est le Théorème d'existence suivant:
Théorème 2.4. On suppose (2.7) et les deux propriétés suivantes:
i) ~~ E EV/oc avec pour tout R > a
ô2 H
1
(2.9)
1 ôx
/ ~ p.(R) dans V (Ix}- R,R[)
2
ô2 H
1
(2.10)
âxâk ~ G(R) dans V (Ix] - R, RD
où p.(R) est une mesure positive finie sur let G(R) E IR
ii) une hypothèse de coercivité de a(x, k, e) par rapport à e:
(2.11 )
lim
inf
la(.,., 01 = +00 pour tout R> O.
lei-co Ix]-R,R[
Alors pour tout M > 0, il existe ÀM > a tel que
R(I + ÀA):J {v E EV(!); IlvllLoo ~ M} pour a < À < ÀM •
Remarque 2.5.
Notons que lorsque a(x,k,O = a(k,O et cp(x,k) = cp(k) sont
indépendantes de x, les conditions (2.7), (2.9) et (2.10) sont automatiquement satisfaites.
D'autre part, lorsque a(x, k, e) = ao(O- f(x, k), la condition de coercivité (2.11) se réduit
,a
lim
lao(OI = 00 .
lel-oo
Pour prouver le Théorème 2.4 nous devons donc résoudre, au sens des solutions
entropiques, le problème
(2.12)
u - Àa(., u, cp( ., u) x) x = V sur l, Il = esur âl
On peut faire diverses normalisat.ions sur les données et supposer
(2.13)
cp(x, 0) = 0, a(x,O,O) = O,À = 1
en remplaçant a, cp, v par
li(x, k, 0 = À( a( x, k, e+cp x (x, k)) - H (x, 0)),
23

•
<p(x, k) == <p(x, k) - <p(x, 0), V == v + >"Hz(x, 0)
Lorsque <pC x, .) est un homéomorphisme de IR sur IR pour tout x, en faisant le change-
ment d'inconnue w == <p(.,u) le problème (2.12) est équivalent à
(2.14)
f3(.,w) - >"b(.,w,wx)x == v sur l, w == <p(.,l) sur 81
où
(2.15)
f3(x,.) = <p(x,.)-l et b(x,r,O == a(x,f3(x,r),O.
il est clair, par des techniques classiques, (cf. par exemple [6]) que sous les hy-
pothèses:
(2.16)
{ 1b(x,r,01~ c(1+ 1ç1), b(x,r,O,ç+ c ~ c e
1f3(x, r)1 ~ c(l + Irl)
alors pour tout v E L2(I), il existe w E Hl(I) solution de (2.14) ;si de plus
(2.17)
b(X,T,O, f3(X,T) et v(x) sont C)O, ;~(x,r,O > 0,
alors w(x) et u(x) = f3(x, w(x)) sont COO •
Démontrons d'abord l'estimation de u dans BV(I) :
Lemme 2.6. Supposons que <p(x, k) est Coo, <p(x,.) est un homéomorphisme de IR
sur IR pour tout x et les fonctions b, f3 définies par (2.15) vérifient (2.16) et (2.17).
Soit u E COO(I) solution de (2.12). Alors
(1 - >"G(R))llu r l/ L1 ~ Ilvrl/u + L (Ivl + III + >"IHr(.,l)1)
ôI
(2.18)
+>..1 sup IHxr(.,k)1
Ikl~R
où
R == IlullL<>O et G(R) =
sup
(Hxk)+
Ix]-R,R[
Preuve
Posons z = <p(.,U),r - !px(.,u) = <Pk(.,U)Ur ; on a
(2.19)
u = d(., u, Z)r + v
24

avec d(x, k,,.,) = ),a(x, k, lPE(X, k) + ,.,).
Donnons-nous p E COO(IR) avec p' ~ 0, 0 = P(O) ~ Ipl ~ 1.
Dérivant (2.19), multipliant par p(z) et intégrant sur l, on a
J
J
J
p(z)u E::::
p(z)vz + L ep(z)(v - u) -
p(z)z d(.,u,z)z
81
(2.20)
~ JIVE1+ L (Ivl +Ill) +Il +12 +!J
al
avec
Il = - Jp'(z)zE{dE(.,u,z)-dx(.,u,O)+d},(.,u,z)u x}
~ J
G
\\p' (z)zl
J
12 = -
p(z)xdx(., u, O)x
= À[L ep(z)Hx(.,u) + Jp(Z)Hx(.,u)x]
al
= - J'
2
13
P (z)d'l(" U, z)zx ~ O.
Faisant tendre p(r) vers signo r, on a Il ~ 0 et donc à la limite dans (2.20)
Jluxl ~ JIvxl + L (Ivl + III +ÀIHx(.,l)1)
al
J
+ À
IHxx(.,u)/ + Hxk(.,u)luxl
d'où (2.18) . 0
Preuve du Théorème 2.4
Fixons Ào > 0 avec Àow < 1. Etant donné M > 0 posons
où G(R) est définie par (2.10). Nous allons montrer que pour v E BV(I) avec IivliL''''' ~ M
et À E]O, À M [, il existe une solution de (2.12).
Pour celà, nous approchons le problème (2.12) par des "problèmes réguliers" de la
manière suivante:
a) nous considérons Hn E COO(IR X IR) tels que Hn ~ H dans C(IR X IR) et pour tout
n
(2.21 )
signo k H;(x, k) ~ Co + wlkl pour tout (x, k) EIx IR
25

b.22)
rOÙ !,(R) est définie par (2.10),
(2.23)
H;k ~ G(R) pour tout (x, k) EIx] - R,R[
Ceci est toujours possible d'après les hypothèses (2.7), (2.9), (2.10) ;
b) nous considérons cpn E e<Xl(IR x IR) tels que <pn ~ <p, <p~ ~ CP% dans C(IR x IR) et
pour tout n, inf CPk > 0 de telle sorte que cpn(x,.) est tlll homéomorphisme de lR. sur IR
lRxlR
pour tout x E IR et rr(x,r) = <pn(x,.)-l est COOj
c) nous considérons an E coo(lR x lR x IR) tels que
an (x, k, Tl) ---+ li(x, k, Tl) = a( x, k, cp %(x, k) + Tl) - H (x, k)
dans C(IR x JR. x IR) et pour tout n
(2.24)
inf
a; > 0, an(x, k, 0) = 0 pour tout (x, k)
lRxlRxlR
(2.25)
inf
Inl>m
xE]
Ikl$R
d) nous posons
On a an ~ a dans C(JR x IR x IR), an(x, k, cp~(x, k» = Hn(x, k) et d'après (2.25) et (2.11)
(2.26)
lim
inf
lan(x, k, 01 = +00 pour tout R> o.
1{I......oo
nEN
xEl
Ik/$R
e) Enfin nous considérons v n E COC(I) tels que v n ~ v dans LI(I) et
(2.27)
Compte-tenu des hypothèses rr, bn , un vérifient (2.16) et (2.17); il existe donc pour
tout n, une (uni que) solution 11 n E COO (1) de
26

D'après (2.21) et (2.27), la Proposition 2.3 donne
(2.28)
D'après (2.22), (2.23) et (2.27), le Lemme 2.6 donne:
lIu:IIL' <:; (1 - AC(Rn-' (var v+~ (lvl + III +AIH:(.,l)1) +A11'(R))
Notons maintenant que (H:(a,l(a))) est borné j en effet
et donc avec (2.21), H: est borné uniformément sur Ix] - R, R[, il en résulte que
(2.29)
(2.30)
Utilisant (2.26), on en déduit
(2.31 )
... ,/
Après extraction d'une sous-suite, on peut donc supposer un ---+ u dans LI (I), w n ---+
W, h n ---+ h dans C(Ï), et l'on a u E BV(I), w = rp(., u) E WI,oo(I), h = a(., u, w z ) E
WI,oo(I) (en effet, w: ---+ W z *-faiblement dans Loo(I) et a(x, k,e) est monotone en e).
TI reste à prouver que u est solution entropique de (2.12) j pour celà il suffit d'utiliser le
Corollaire 1.5 (avec la Remarque 1.8) et de passer à la limite dans les inégalités (1.18-1),
(1.18-2) appliquées avec un, hn, H n, v n (en effet H:(.,k) ---+ Hz(.,k) dans LI(I) d'après
(2.22) et k ---+ Hz(.,k) est continue de lR dans LI(I) d'après (2.9)).0
Remarque 2.7. D'après la preuve ci-dessus, sous les hypothèses du Théorème 2.4,
étant donné Ml il existe '\\1 > 0 et Cl tels que pour v E BV(I) avec livI/Le» +var v ~ Ml
et 0 < ,\\ ::S ÀlI U = (I + '\\A)-lv E BV(I) et I/ u Il Le» + var u::S Cl'
On peut maintenant prouver le résultat qui permettra d'appliquer la théorie des
équations d'évolution à l'opérateur A :
Proposition 2.8. Sous les hypothèses du Théorème 2.4,
27

1) R(I + '\\A) est dense dans LI (I) pour tout ,\\ > 0
2) D(A) est dense dans LI(I).
Preuve
Prouvons d'abord le point 2). TI suffit de montrer que D(A) :J BV(I) ; fixons donc
v E BV(I) et utilisant le Théorème 2.4 pour ,\\ > 0 petit, considérons u~ = (I +'\\A)-I v .
D'après la Remarque 2.7, u~ E BV(I) et Ilu~IILoo + var u~ est borné lorsque ,\\ -+ 0 j
posant w~ = <p(., u~), h~ = a(., u~, w~"J on a u~ = '\\h~.x +v j pour prouver que u~ -+ V
dans LI (I) lorsque ,\\ -+ 0, il suffit donc de montrer que '\\h~l% -+ 0 dans V' (I) j puisque
'\\h~.x est borné dans VX>(I), il suffit donc de montrer que
(2.32)
'\\h~ -+ 0 en mesure sur l lorsque ,\\ -+ 0
Pour prouver (2.32), considérons R > IIvllLoo et pour r > 0
a(x, k,ç).ç
1 1
1( k)1
}
G(r) = In! { \\a(x,k,OI jX El, k ~ R, a x, ,ç 2: r .
On a lim
G(r) = +00 et pour ,\\ suffisamment petit,
r--oo
(2.33)
Fixons 8 > 0 et ro > 0 tel que G(ro) 2: O. Pour'\\ > 0 suffisamment petit et vérifiant
'\\ro ~ 8, on a
d'où
(2.34)
Not.ons maintenant que '\\llh~lloo est borné lorsque ,\\ -+ O. Sinon, puisque '\\"h~,xlloo
est borné, il existerait '\\n -+ 0 tel que Ih~n (x)1 -+ 00 uniformément pour XE] j on
aurait alors d'après (2.33), w~n,X -+ +00 ou w~n,X -+ -00 uniformément sur l j or ceci
28

contredit le fait que w~ est borné dans V:XJ(I). Notons enfin que d'après l'hypothèse
(2.11), w~,xX{lh~15ro} est borné dans LOO(I).
Il résulte donc de (2.34) que C(f)61{>.lh~1 > 6}1 est borné et donc
Pour prouver le point 1), posons k = w+ + l.n suffit de montrer que R(kl + A) =
R(kl + A) J BV(I). Fixons v E BV(I) et posons Al = kl + A-v. Utilisant le
Théorème 2.4, pour tout M > 0, il existe >'M E]O,I[ tel que R(l + >'Az) J {u E
LOO(I); lIulloo ~ M} pour tout 0 < >. < >'M ; de plus utilisant la Proposition 2.3, on a
on conclut alors de façon classique (cf. [8]) que 0 E R( Az).o

Section 3. Cas d'autres problèmes aux limites
On reprend les données a, c.p de la section 1 avec les hypothèses (1.1), (1.2).
On étudie d'abord le problème 'stationnaire
(3.1)
-a(., u, c.p(., U)2;}Z = v sur IR.
On note ici A = Aa,lp l'opérateur de LI (1) défini par
(3.2)
v EAu Ç:} v E LI(R), u E LI n LOO(R) et u est solution entropique de (3.1)
Comme dans la section 2 (cf. Remarque 2.1), l'opérateur A est univoque et local.
Théorème 3.1. On suppose
(3.3)
lim
c.p(x, k) = 0,
(lzl,k)-+(oo,O)
X
(3.4)
lim
a( x, k, 0 = h± existe dans IR
(z ,k,e)-+(±oo,O,O)
(3.5)
x ~ H (x, 0) est absolument continue sur IR
et que les hypothèses (2.7), (2.9), (2.10) et (2.11) sont satisfaites avec 1 = IR. Alors
1) L'opérateur A est s-T-accrétif dans LI(R)
2) R(I + ÀA) est dense dans LI (IR.) pour tout À > 0
3) D(A) est dense dans LI(R).
Preuve du point 1)
Notons d'abord qu'étant donné U E D(A), il existe W E W/o':C(IR) et h E C(IR) tels
que W = <pC., u), h = a(., u, w z ) p.p sur IR ; puisque h z = -~e,...L.!.(Jlt) on a h E AC(IR)
gr.. ",he POUr "
et donc en particulier hE C([-oo, +00)) ; utilisant l'hypotlî~e coêF 'N."é (2.11) (avec
J = IR) on en déduit W z E LOO(IR). Nous allons montrer .ll!llessous que
"'\\
i III O}ll ta.. OU8!l1l 1'1 ;
Cenfre
d ~
;; .
(3.6)
h(±oo) = h±
-:$,
D(Cumenf"
.c
\\ .
.J 'on
.:
i}
~
On remarque également qu'étant donné un intervalle bo~}~
.. ~.~
~ u est solution
"';1 J
68&'\\.
entropique de
-a(.,u,<p(.,u)z)z = v sur J,u = f. sur al
30

Etant donné UI, U2 E D(A), VI = Au}, V2 = AV2, utilisant le Théorème 1.4, pour
tout intervalle borné 1 =]cL,a+[ on a
i cr_+ signci(ui - U2)(VI - V2) ~ -signci(.!!l(a+) - u2(a+))[hl(a+) - h2(a+)]
+ signci(!!.l(a_) - u2(a_))[hl (a_) - h2(a_)].
Mais d'après (3.6),
lim
hl(a) - h2(a) = 0 et donc
cr-±oo
utilisant la localité, ceci prouvera la s-T-accrétivité de A.
Nous prouvons maintenant (3.6). Notons d'abord, puisque u E LI(R), qu'il existe
t n --+ 00 tel que u(tnx) --+ 0 p.p x E (1,2), disons pour tout x E E C (1,2) avec (1, 2)\\E
négligeable. Posons p(x) =
lim inf wx(tnx), défini p.p x E (1,2), disons pour tout
n-+oo
X E E quitte à restreindre E.
Fixons Xl, x2 E E avec Xl < X2 ; on a
et donc d'après l'hypothèse (3.3) et le lemme de Fatou (rappelons que w x E LOO(IR))
1X2 p(x) dx $ O.
Xl
On en déduit p(x) $ 0 p.p x E (1,2), disons à nouveau pour tout x E E. Etant donné
x E E, il existe une suite extraite (nk) et Ôk --+ 0 telles que wx(tnkx) $ Ok ; on a
et donc à la limite h( 00) $ h+. On montrera de la même manière h(00) ~ h+ (d'où
h(oo) = h+) et h( -00) = h_. 0
Pour la preuve des points 2) et 3) du théorème 1, nous utiliserons le réstÙtat suivant
Proposition 3.2. On suppose satisfaite l'hypothèse (3.5), que les hypothèses (2.7),
(2.8), (2.9) et (2.10) sont satisfaites avec 1 = lR et que l'hypothèse (2.11) est satisfaite
pour tout intervalle 1 borné de IR. Alors pour tout M > 0, il existe ),M > 0 tel que
R(I + )'A) :> {v E BV(lR) n LI (IR); IIvlloo $ M} pour tout), E)O, ),M[.
31

Preuve
Fixons Ào > °avec Àow < 1 (où west la constante intervenant dans (2.7) avec
1= IR). Etant donné M > 0, posons
ÀoCo + M
.
-1
R =
,.\\
et "\\M = mzn(,.\\o, C(R)
)
1- OW
où co, C(R) sont les données dans (2.7) et (2.10) respectivement (avec 1= IR).
Montrons que pour tout v E BV(IR) n LI(IR) avec IIvlloo ~ M et ,.\\ E)O, "\\M[, il existe une
solution u de
(3.7)
u +"\\A = v
vérifiant
/Iv/l oo + "\\Co
var v + "\\Jl(R)(IR)
(3.8)
IluliLl ~ /Iv +"\\Hr (.,0)IIL1' lIulloo ~
1- "\\w
,var u ~
1- "\\C(R)
où J1.(R) est donné par (2.9) (avec 1= IR).
Pour cela, considérons pour tout a > 0, la =] - a, a[ et AQ' l'opérateur de LI(Ia)
correspondant à la et f = °sur 810" D'après le Théorème 2.4 (voir la preuve), il existe
Ua E BV(Ia) tel que
Utilisant la Proposition 2.2 (en notant que AaO = -Hr(x,O)), la Proposition 2.3 et le
Lemme 2.6, la fonction Ua (prolongée par °sur lR\\la ) vérifient les estimations (3.8).
En particulier, {ua} est relativement compact dans L}oc(IR).
Utilisant d'autre part
l'hypothèse de coercivité (2.11) pour tout intervalle l borné, les fonctions tp(., ua)r sont
bornées dans L~c(1R). Considérant une suite an --+ 00 telle que uan --+ u dans L:oc(JR),
on voit facilement que u est solution de (3.7) vérifiant (3.8).0
Preuve des points 2) et 3) du Théorème 3.1
On suit pas à pas la preuve de la Proposition 2.8 grâce à la Proposition 3.2 rem-
plaçant le Théorème 2.4.Pour le point 2), l'extension est immédiate. Pour le point 3), on
adapte la preuve de la façon suivante.
Considérons v E BV(IR) n V (IR) et pour ,.\\ suffisamment petit u" = (1 + "\\A)-l v,
W" = ep(., u,,), h>.. = a(., u>.., w>..,r). Puisque u>.. est borné dans BV(IR) et llu>..llt ~ lIvlll'
pour prouver que u>.. --+ V dans LI(IR) lorsque ,.\\ --+ 0, il suffit de montrer que u" - v =
"\\h",r
°
--+
dans V' (IR). TI suffit donc de prouver que pour tout intervalle l borné et tout
S > 0,
I{x E Ij "\\Ih>..,xl > S}/
°
--+
lorsque ,.\\ --+ O.
32

Le raisonnement s'achève de manière identique. 0
Remarque 3.3. Les hypothèses (3.3), (3.4) et la coercivité globale (2.11) ne sont
utilisées que pour prouver l'accrétivité de l'opérateur A.
On traiterait exactement de la même manière le problème aux limites
(3.9)
-a(., u, cp(., U):zJI: = v sur ]0,00[, u(O) = lo
Nous allons plus généralement considérer un problème aux limites
(3.10)
{ -a(.,u,cp(.,U)r)r = v sur ]O,oo[
a(.,u,cp(.,u)r)(O) E 'Y(u(O))
où 'Y est un graphe maximal monotone de IR avec
(3.11)
D('Y) borné
On note maintenant A = A a ,lf',1' l'opérateur (univoque et local) de LI(O, 00) défini
par
v E LI(O,oo), U E LI(O,oo)n VXl(O,oo)
et il existe eE D(1) et tL solution entropique de
(3.12)
v EAu {:::::::::>
-a(.,u,cp(.,ûjr)r = v sur JO, 00[, u(O) = l
tels que h(O) E I(l), u = U p.p sur ]O,oo[
( avec les notations de la Définition 1.2 )
Théorème 3.4. On suppose (3.11) ,
(3.13)
lim
cp(x,k) = 0,
(x,k)-+(oo,O)
X
(3.14)
lim
a(x,k,O = h+ existe dans IR
(x,k,{)-+(oo,O,O)
(3.15)
X l-------4 H(x,O) est absolument continue sur ]O,oo[
et que les hypothèses (2.7), (2.9), (2.10) et (2.11) sont satisfaites avec 1=]0,00[. Alors
1) L'opérateur A est s-T-accrétif dans LI (0, (X))
2) R(I + '\\A) est dense dans LI(O, 00) poru' tout>' > 0
33

3) D(A) est dense dans L1(0, 00).
Le point 1) va résulter immédiatement du lemme suivant
Lemme 3.5. Supposons que (3.13), (3.14) ainsi que (2.11) avec l =]O,oo[ sont
satisfaites. Considérons.À > °et pour i = 1,2, Vi E U(O,oo), fi E IR et Üi solution
entropique de
(3.16)
-a(.,ü,<p(.,ir)x)x = V ~ u sur ]0,00(, ü(O) = f
correspondant à Vi, fi et vérifiant \\Li = ÜiIlO,oo[ E LI (0, 00) n Loo(O, (0). Alors
(3.17)
où hi est la fonction correspondant à Ui dans la Définition 1.2.
Preuve du Lemme 3.5
On a hi E AC(]O,oo[) et suivant la preuve du point 1 du Théorème 3.1, hi(+OO) :=
h+; aussi pour tout a > 0,
A la limite lorsque fi' -t +00, on obtient (3.17). <>
Preuve du Théorème 3.4-1)
Si \\Li + >'AUi = Vi, on est dans les conditions du Lemme 3.5 avec hi(D) E i(fi ).
Puisque i est monotone, le deuxième terme de (3.17) est positif ou Dili et donc
Pour la preuve des points 2) et 3) du Théorème 3.4, nous utilisons le résultat suivant
Proposition 3.6. On suppose satisfaite l'hypothèse (3.15), que les hypothèses (2.7),
(2.8), (2.9) et (2.10) sont satisfaites avec l =]0, oo[ et que l'hypothèse (2-11) est satisfaite
pour tout intervalle ouvert borné l C]O, 00[. Alors pour tout Nf > 0, il existe >'M > 0 tel
34

que pour 0 < À < ÀM, v E BV(O, oo)nLI(O, 00) avec IIvlloo $ Met l E [-M,M], il existe
une (unique) solution entropique de (3.16) vérifiant u = ul]o,oo[ E LI(O,oo) n BV(O, 00).
De plus
(3.18)
(3.19)
var U ~ (1- ÀG(R»-I[var v + Iv(O)1 + III + ÀIH%(O,l)1 + ÀJ.L(R)(]O,oo[)]
où R = Iluil oo et w, Co, J.L(R), G(R) sont les données dans (2.7), (2.9), (2.10) (avec 1 ==
]O,ooD·
Preuve de la Proposition 3.6
On suit exactement la preuve de la Proposition 3.2, considérant pour 0 > 0, Ua la
solution entropique de
(3.20)
-a(.,ua,<p(.,Ua)x)x = v ~Ua sur ]0,0(, ua(O) == l, ua(o) = 0
On obtient les estimations de Ua dans LOO et BV correspondant à (3.18) et (3.19) : le
seul problème concerne l'estimation de Ua = ua\\lo.oo[ dans LI (0,00). On a clairement (cf.
Lemme 3.5),
puisque Ua est borné dans LOO(O, 00), il en est de même de h~ et W a = <p(.,ua ); utilisant
la coercivité (2.11), on en déduit que ha est borné sur tout borné de (0,00) ; donc ha(O)
est borné et Ua est borné dans LI (0,00 ).0
Preuve du Théorème 3.4-2) et 3)
Suivant la preuve de la Proposition 2.8 en l'adaptant comme dans la démonstration
des points 2) et 3) du Théorème 3.1, on se ramène à montrer qu'étant donné M > 0,
(3.21 )
{ il existe ÀM > 0 tel que pour tout 0 < À < ÀM
R(I + ÀA) ::J {v E BV(ü, 00) n LI (0, 00); Ilu Il 00 $ M}
En effet d'après (3.18), Db) étant borné (hypothèse (3.11» si U + ÀAu :3 v avec
À > 0, Àw < 1, v E LOO(O, 00), alors
où L o = sup{ll!; lE Db)}.
35

~our démontrer (3.21) on peut toujours supposer M ~ Lo.
Considérons ).M > a construit à la Proposition 3.6 et fixons). Elo,).M [ et
v E BV(O, oo) n Ll(O, 00) avec IIvlloo 5 M. Utilisant la Proposition 3.6, pour l E D(,)
!considérons Ül l'unique solution entropique de (3.16) et posons T(l) = -hl(O), où hl est
la fonction correspondante.
Par définition de l'opérateur A, on a v E R(I + )'A) si et seulement si il existe l E D(r)
tel que T(l) + ,Cl) :3 O. il suffit donc de montrer que T est une application croissante
continue sur D(,) ; en effet alors T + , sera un graphe maximal monotone à domaine
borné et donc surjectif.
La croissance de T se déduit immédiatement du Lemme 3.5 ; en effet (3.17) donne
pour II > l2
Notons que cette inégalité montre également que l'application l -+ îil est décroissante.
Pour montrer la continuité de T donnons-nous (ln) une suite monotone de D(r) de limite
l; on a Ul -+ Ü dans L 1 (0, 00), d'où hl -+ h dans C([O,oo[) avec -h(O) = lim T(ln),
n
n
n
U - >'h x = v dans V' (JO, oo[). Raisonnant comme dans la fin de la preuve du Théorème
2.4 (dans un cas beaucoup plus simple), on voit que 'il = îil , h = hl ; donc
T(l) = lim T(ln).o
n
Remarque 3.7. Le point 1) du Théorème 3.4 reste évidemment valable pour un
graphe maximal monotone, quelconque. Le point 2) est par contre faux en général pour
ï quelconque. Il suffit de prendre, == 0, cp == 0, a(x,k,ç) = ç + k; j l'opérateur A est
alors défini par
2
U est solution entropique de -( ~ )x = v sur ]O,oo{ et u2 (O) = 0 ; en d'autres tenues,
étant donné v E LI (0,00) on au + Au :3 v si et seulement si u est solution entropique de
u 2
(3.22)
-(-) = V - U sur ]0,00[, u(O) = a
2 x
et u(O+) = 0; on vérifie directement pour v = CXjO,xo[ avec C > 0, Xo > a , que la solution
entropique u de (3.22) existe et vérifie u(O+) > a ; on en déduit par comparaison, que
R(I + A) est disjoint de {v E L 1(0, 00); V ~ 0, lim inf ess v(x) > a} et donc R(J + A)
x-O
n'est pas dense dans L 1 (O,oo).
36 -

On peut développer de nombreux cas particuliers où le point 2) du Théorème 3.4) reste
valable avec des graphes; à domaine non borné : C'est par exemple classique (cf. [2]
dans un cadre un peu différent) si a(x,k,e) = a(O, cp(x,k) = cp(k), 0 E ;(0).
Le problème reste cependant ouvert de trouver des conditions satisfaisantes générales
reliant a, cp et ; qui permettent d'obtenir le point 2) du Théorème 3.4.
37

Section 4. Dépendance continue de l'opérateur par rapport aux données
Dans cette section nous étudions la dépendance des opérateurs définis précédenunent
par rapport aux données (a, <p, f, 1), ce qui impliquera par la suite la dépendance continue
des "bonnes solutions" du problème d'évolution par rapport à ces mêmes données.
Considérons potrr commencer l'opérateur Aa,<p.l associé au problème de Dirichlet sur
un intervalle ouvert borné de la section 2, avec les notations de cette section. Rappelons
que l désigne dans ce cas, un intervalle ouvert borné quelconque de IR. Nous énonçons
le résultat obtenu:
Théorème 4.1. Supposons 1 borné, soient pour tout nE N, les fonctions an, <pn, fn
satisfaisant aux hypothèses (1.1), (1.2), (2.21), (2.22) et (2.23) (avec Co, w, J.L(R), G(R)
indépendant de n) et
(4.1)
lim
inf
lan (.,., 01 = +00 pour tout R> 0
I~I-+oo Nxlx]-R,R[
an ~ a OO dans C(IR x IR x IR)
<pn ~ <poo dans C(IR x IR)
(4.2)
{ 8<pn 8<p00
8x
~ a;- dans C(IR x IR)
.en ~ .eoo dans 1R2
alors, posant An = Aan,lpn,ln pour tout n E N on a
Plus précisément, étant donné M > 0, si ).,M est la constante du Théorème 2.4 (associée
aux données Co, w, J.L(R), G(R)), on a
(4.4)
pour tout v E BV(I) n Ll(I), IIvlloo :S M, 0 <)., < ).,M.
Preuve du Théorème 4.1 Puisque A
est la fermeture dans LI(I) de
(cf. Proposition 2.8), il suffit de prouver (4.4). Fixons v E BV(I), 0 < À < Àllvll oo et
posons un = (I + An)-lv.
38

On a (un) borné dans BV(I) (cf. (2.8), (2.18)) j on peut donc supposer un -+ u dans
LI(I) et p.p; on montre alors que u = (1 +)'AOO)-I Vcomme dans la preuve du Théorème
1.4. 0
Considérons maintenant le cas du problème sur l = IR j on a
Théorème 4.2.
On suppose maintenant l = IR. Soient, pour tout n E N, les
fonctions an, c.pn satisfaisant les hypothèses du Théorème 4.1, ainsi qu'aux hypothèses
(3.3), (3.4) et (3.5) avec
(4.5)
lim
sup
r IH;(x,O)ldx=O
R-oo
n
llxl>R
Alors on a la conclusion du Théorème 4.1 pour les opérateurs An = Aa",'P" correspondant
àl=1R.
Preuve
Fixons v E BV(IR) n LI (IR), 0 < ). < ).Ilvll oo et posons un = (I + .ÀAOO)-I v. On
a (un) borné dans BV(IR) n LI (IR) et un --+ (I + .ÀAOO)-I V dans Lloc(IR). Nous avons
seulement à montrer que un --+
oo
U
dans LI(R).
Pour celà, nous utilisons la technique (maintenant classique) suivante; remarquons
d'abord que si
(4.6)
v ~ (resp. ~) - H;(., 0) pour tout n,
alors on a un ~ 0 (resp. un ~ 0) puisque (I + .ÀAn)-I( -.ÀH;(., 0)) = 0 j mais
et donc, utilisant (4.5),
on en déduit un
OO
---t U
dans L1 (IR).
Dans le cas général on utilise
v~ = sup( v, -.ÀH;(., 0)),
v~ = inf(v, -.ÀH;(., 0));
on a d'après (4.5), vl --+ v± dans LI (I) et, avec la preuve ci-dessus,
39

dans U(lR). Puisque u~ ~ un ~ u+., on en déduit
et donc (u") converge dans Ll(IR). <>
Considérons enfin le cas 1=]0, oo[ avec conditions au bord en x = 0 non linéaire.
Théorème 4.3.
On suppose l =]0,00[. Soient, pour tout n E N, les fonctions
a", <.pn satisfaisant les hypothèses du Théorème 1 ainsi qu'aux hypothèses (3-13), (3-14)
et (3-15) avec
(4.7)
Hm sup
[
IH:(., 0)1 dx = 0
R-+oo
"
lz>R
Soient d'autre part ï" des graphes maximaux monotones de lR telles que
(4.9)
Db") est borné uniformément en n.
Alors on a la conclusion du Théorème 4.1 pour les opérateurs A" = A a" ,<p" .1'"'
Preuve
Soient v E BV(I) n LI, 0 < >. < >'lI v ll ' u" = (I + >'A")-lV, w" = <.p(., un),
oo
h" = an(.,u",wn,z) et f" E IR tel que h"(O) E ï"(l"), u" est solution entropique de
u" - >'al'l(., u", <.p"(., u")z)z = v sur ]0,00[, u"(O) = en.
Compte-tenu des hypothèses (en particulier (4.8)), on a (u") borné dans BV(I)nLl(I),
(w") et (h") borné dans Wl~';'([O,ooD i on peut supposer ln -+ l, u" -+ u dans
L:oc([O,oo[) et on a u solution entropique de u - >'aOO(.,u, <.pOO(., u),;)z = v sur ]0,00[,
u(O) = f.
Maintenant
h"(O) E ïn(f"), d'après (8) on aura h(O) E ïOO(f) et donc
On démontre que un -+ u dans L1(I) comme dans la p
Ulsque
40

Bibliographie
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Comté.
41

Sur l'équation générale Ut = a(., u, <p(., U):I:):I: + v dans LI.
n Le Problème d'Evolution.
en collaboration avec Ph. Bénilan.
aux Annales de l'Institut Henri Poincaré "Analyse non linéaire"
Vol.12, n06, 1995, p 727-761.

SUR L'EQUATION GENERALE Ut = a(., u, lp(., u)x)x + v dans LI
II. LE PROBLEME D'EVOLUTION
Résumé
Nous étudions dans cet article l'équation générale Ut = a(., u, lp(., u)x)x + v de type
parabolique pouvant dégénérée en hyperbolique du premier ordre pour certaines valeurs
de (x, u). Utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires dans LI, nous établissons
des résultats d'existence, d'unicité et de dépendance continue par rapport aux données,
d'une "bonne-solution" du problème de Cauchy ou de problèmes aux limites associés à
cette équation sous des hypothèses très générales sur les données. Avec des hypothèses
complémentaires, nous montrons que cette "bonne-solution" est "solution entropique",
nous étudions l'unicité de solutions faibles et l'existence de solutions fortes.
Abstract
We consider in this article, the general equation Ut = a(.,u, lp(.,u)x)x +v ofparbolic
type, w hich may degenerate into first order hyperbolic type for sorne values of (x, u). Under
very general assumptions on the data, we prove existence, uniqueness and continuous
dependance results for mild solution of associated Cauchy Problem or Boundary Value
Problems. With additionnal assumptions on the data, we show that this mild solution is
an "entropy solution". We study uruqueness of a weak solution and existence of strong
solution.
Introduction
Nous poursuivons l'étude commencée dans [BT2] du problème général
(1)
{ Ut =a(.,u, <p(.,u)x)x +v sur Q = ]O,T[xI
u = f sur E = ]0, T[xoI, u(O,.) = Ua sur l
43

où 1 est un intervalle ouvert de IR, v E LI(Q), f: ôl -+ IR, Uo E LI(I), a: (x, k,ç) E IR3 -+ IR
continue et croissante (au sens large) en ç, cp : (x, k) E IR2 -+ IR continue et croissante (au
sens large) en k.
Comme nous l'indiquions dans [BT2), notre étude généralise les résultats de [T), [BTl]
pour le problème
(2)
Ut + f(u)z = cp(u)rz + v sur Q, u = 0 sur~, u(O,.) = Uo sur l
où f, cp sont des fonctions continues de IR dans Il avec cp croissante (au sens large). Con-
sidérant le cas cp == 0, (2) se réduit à une loi de conservation
(3)
Ut+f(u)r=vsurQ, u=OsurE, u(O,.)=uosurl
de telle sorte qu'il est clair que nous incluons dans (1) des problèmes hyperboliques du
premier ordre, pour lesquels (même sous des hypothèses de régularité Coo sur les données)
il n'y a aucun espoir d'avoir existence de solutions fortes globales.
Utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires dans LI, nous déduisons les résultats
pour le "problème d'évolution" (1) des propriétés du "problème stationnaire"
(4)
u = a(., u, cp(., u )r)z + v sur l, u = esur ôl.
L'étude de (4) a fait l'objet du premier article [BT2] ; nous en rappellerons rapidement
les résultats dans la Section 1 de ce deuxième article où nous développerons la notion de
"bonne solution "de (1) se déduisant immédiatement de l'application de la théorie générale
des semi-groupes non linéaires.
Sous les hypothèses de [BT2] sur les données a et cp que nous repréciserons ci-dessous
(dans le cas a et cp indépendant de x, elles se réduisent à la coercivité de a par rapport
à ç, uniformément pour k borné), il y a existence et unicité d'une "bonne solution "de (1)
pour tout (ua, v) E LI(I) X LI(Q) et f: âl -+ IR (cf. Théorème 1-2). Lorsque Ua E LOO(I)
l T
et
lIv(t, ·)11 L''''' dt < 00, cette bonne solution est bornée (cf. Proposition 1-4).
Sous des hypothèses complémentaires sur les fonctions cp( x, k) et a(x, k, ç) nous mon-
trons dans la Section 2 que cette bonne solution est "solution entropique" de (1) c'est-à-dire
vérifie
CP("U)Z E L}oc(Q), h = a(.,u,<p(."u)z) E L}oc(Q)
(5)
~ 1u - k 1::; ~ (sign(u - k)(h - H(., k» ) +
sign(u-k)(v+Hz:(.,k» dans D'(Q)
44

pour tout k E IR, où H(x, k) = a(x, k, cp~(x, k» ; nous préciserons également la condition
entropique sur la condition au bord E lorsque 1 =IR (cf. Théorème 2-2)
Ces hypothèses complémentaires sont vérifiées pour les fonctions a( x, k,~) satisfaisant
aux conditions de type Leray-Lions considérées par [AL] :
eo(k)1 ~ P
P
I
-
Co(k) ~ ea(x,k,e) ~ C(k)(l + 1 e I )
(avec 1 0 sur IR).
Elle est aussi vérifiée par les fonctions de la forme
a(x, k, e) = ao(~ + g(k)) - J(x, k)
où J, 9 E C(IR.2)nD'°(I; C(IR» et ao : IR - IR est une fonction croissante continue surjective,
2
comme celles de [DT] où ao(e) = 1e IP - e, 1 < p < 00.
Dans le cas d'une loi de conservation (3) avec 1 = IR, il y a unicité d'une solution
entropique (cf. [Kr], [Be]) ; l'unicité d'une solution entropique dans BV(Q) est également
connue pour le problème (3) avec 81 =F 0 (cf. [BLN]). Pour le problème (2) avec l = R
et des hypothèses de régularité sur les données cp et J, l'unicité des solutions entropiques
dans BV(Q) a été considérée dans [VH] j nous ignorons si le même résultat est valable
dans le cas général du problème (1) considéré ici, ni même d'ailleurs pour le cas particulier
(2) sans les hypothèses restrictives de [VH].
Lorsque Uo est solution (entropique) d'un problème stationnaire (4) et la fonction v
dans BV(O, Tj L1(I)), la bonne solution de (1) est lipschitzienne de [0, Tl dans L1(I). Dans
la Section 3 nous montrons que les bonnes solutions sont, sans la restriction de la section
2 sur les fonctions c.p(x, k) et a(x, k, 0, solutions entropiques de (1) (cf. Théorème 3-1).
Lorsque la fonction c.p(x, k) est strictement croissante en k, la bonne solution est continue
sur Q ; généralisant les résultats de [BT1l, nous montrons qu'il y a unicité d'une solutiŒ"'.
faible u E Lip(O,T;Ll(I))nCb(Q) (cf. Théorème 3-3). Enfin utilisant les techniques de
[BGl, nous prouvons un résultat d'existence (et d'unicité) de solutions fories de (1) sous
des hypothèses très générales sur les fonctions a( x, k, e) et cp( x, k) : elles sont en particulier
. f .
. 8a
C(1Il>3) 8cp
C(D2)
8cp
10>2
satls aJtes S1 8k E
Jl'.
'8k E
Jl'.
et 8k > 0 p.p. sur Il'. •
Comme nous l'avons fait dans [BT2), les divers résultats des Sections 1, 2 et 3 seront
développés pour le problème (1) dans le cas 1 borné et 1 = IR, ainsi que pour le problème
dans le cas 1 =]0, oo[ où la condition de DiricWet u = f est remplacée par une condition
plus générale a(., u, c.p(., u)~)(., 0) E ï( u(., 0» avec ï graphe maximal monotone à domaine
borné.
45

Section 1. Bonnes solutions
On reprend les hypothèses de [BT2]. Dans tout cet article, on se donne
(1 - 1)
a : IR x IR x IR -+ IR, cp : IR X IR -+ IR continues
et vérifiant
a( x, k, 0 est croissante en e, <pCx, k) est croissante en k
(1 - 2)
{ cp(x, k) est continuement dérivable par rapport à. x.
On pose
(1 - 3)
H(x,k) = a(x,k,cpx(x,k)) pour (x,k) E lR x IR.
On se donne d'autre part l un intervalle ouvert de IR, 0 < T < 00 ; on pose Q =]0, T[x l
et pour Un E LI(I), v E LI(Q), on considère le problème
Ut = a(., u, cp(., u)x)x +v
sur Q
(E)
u(.,O) = Un
sur l
{
avec conditions au bord
sur E =]O,T[xôl.
Pour les conditions au bord, on considérera les trois cas suivants:
cas 1 : l = IR et donc E = 0
(1 - 4)
où e: {a_, a+} ~ IR est donnée
cas 3 : l =]0, oo[
(1 - 5)
a(.,u,cp(.,u)x) E 1'(u)
sur E =]0, T[x{O}
où l' est un graphe maximal monotone de lR donné de domaine D(')') borné.
On fait les hypothèses suivantes (cf. dans [BT2] les hypothèses (2-7), (2-9), (2-10),
(2-11), (3-3), (3-4), (3-5), (3-13), (3-14), (3-15) ):
(Hl)
lim
inf
la(.,.,ÜI = +00 VR> 0
1{I~oo IxJ-R,R[
46

et
~~
2
E Lt::c(1R ) et
(H2)
{ (signo k) a;: ~ Co + wlkl p.p. sur l X IR
où Co :2: 0, w E IR sont des constantes j
(H3)
où p(R) est une mesure positive finie sur l et G(R) une constante; enfin on fait l'hypothèse
lorsque lx 1 -+ +00 qui n'intervient que dans le cas l = IR ou l =]0, oo[ :
lim
<p(x,k) =0
(lxl,k)-(oo,O)
x
(H4)
lim
a(x, k,e) = h± existe dans 1R
(x,l:,e)-(±oo,O ,0)
H(.,O) E AG(IR).
On définit l'opérateur (univoque) A de L1(I) par Au = -a(.,u,<p(.,u)x)x où D(A)
est l'ensemble des u E LI(I) n VX>(I) vérifiant:
i) w = <p(.,u) E Wl~;'(I), a(.,u,wx) E AG(I)
ii) il existe îi : IR -+ IR réglée , h : IR -+ lR continues telles que
u = u, h = a(., u, w x ) p.p. sur l
et pour tout x E lR avec u( x+ ) :f- tiC ;;;- ), on a
(u(x+) - u(x- ))(h(x) - H(x, k)) :2: 0 Vk E I(u(x+ ),u(x-))
iii) dans les cas 2 et 3, les conditions au bord sont satisfaites :
<p(., u) est continue sur IR, et
cas 2 : li = e(a_) sur] - 00,0'_[, U = e(O'+) sur ]a+,+oo[
cas 3 : il existe eE Db) tel que h(O) E Tee) et îi = f sur] - 00,0[.
On a noté I(u+,u_) =] inf(u+,u_),sup(u+,u_) [.
Rappelons les résultats de [BT2] (cf. Proposition 2-8, Théorème 3-1 et 3-4) :
47

Lemme 1-1. Sous les hypothèses (H1)-(H4), l'opérateur A défini ci-dessus vérifie
i) A est T-accrétif, i.e.
1(UI - U2)+ ~1(UI - U2 + À(AUI - AU2))+ Vu}, U2 E D(A), À > O.
ii) R(I + ÀA) est dense dans LI(I) pour tout À > 0
iii) D(A) est dense dans LI (J).
Appliquant la théorie des semi-groupes non linéaires (cf. [Be ],[BCP]),en interprétant
le problème (E) sous la fonne de l'équation d'évolution dans LI(I)
du
dt + Au 3 v sur [0, T],
u(O) = Uo;
on en déduit immédiatement
Théorème 1-2. Sous les hypothèses (H1)-(H4), pour tout Uo E LI(I), V E LI(Q), il
existe une unique "bonne solution" U E C([O, T]; LI(I)) de (E) qui est caractérisée par la
propriété:
U(O) = Uo et pour tout !f E D(A), ( E V(]O, TO, ( ~ 0,
il existe a E LOO( Q), a E sign(U - !!.) sur Q tel que
(1 - 6)
JJa{(u - .!!)(t +(v - A.!!)(}dxdt ? 0
De plus, si UI, U2 sont les bonnes solutions correspondant à (uo;I,vd, (UO,2,V2)' on a
(1 - 7)
en particulier
(1 - 8)
UO,I ~ UO,2 p.p. sur l, VI ~ V2 p.p. sur Q =} UI(t) ~ U2(t) p.p. sur l
pour tout t E [0, T].
On se donne maintenant des suites (an), ('Pn) de fonctions vérifiant (1-1), (1-2) ; dans
les cas 2 (resp. 3) des conditions au bord sur E, on se donne également une suite (in)
(resp. (-rn)) d'applications de {a_, O'+} dans IR (resp. de graphes maximaux monotones
de IR, à domaine borné) ; on se donne enfin des suites (UO,n) et (vn) dans LI(I) et LI(Q)
respectivement. On suppose que (an, 'Pn) vérifient les hypothèses (H1)-(H4) unifonnément
48

par rapport à n ; ceci signifie dans (H2) et (H4) que les limites sont uniformes par rapport
à n, et enfin dans (H4) que (~ Hn(.,O)) est équi-intégrable sur IR ; dans le cas 3 des
conditions au bord, on suppose également que D(,n) est borné uniformément par rapport
à n.
On suppose maintenant que:
an ~ a dans C(IR X IR X IR)
8<pn
8<p
<pn ~ <p, 8x ~ 8x dans C(IR X IR)
UO,n ~ Uo dans L 1(1), V n ~ v dans Ll( Q)
et dans les cas 2 et 3 des conditions au bord
en ~ e dans {CL,G'+}
"'Yn ~ "'Y au sens des graphes maximaux monotones,
c'est-à-dire (1 +"'Yn)-I ~ (I + ,)-1 sur IR. Appliquant le théorème de dépendance continue
des solutions d'équation d'évolution dans un espace de Banach (cf. [Be], [Bep]), et utilisant
les théorèmes de la section 4 de [BT2], on obtient immédiatement :
Théorème 1-3. Avec les données et hypothèses ci-dessus, la bonne solution Un du
problème (E) correspondant à (an, cpn, UO,n, Un, en, ,n) converge dans C([O, T); Ll(I)) vers
la bonne solution u du problème (E) correspondant à (a, <p, Uo, v, e, ,).
On suppose maintenant que les données Ua, v vérifient
(1 - 9)
Alors la bonne solution U de (E) est essentiellement bornée ; plus précisément on a
l'estimation suivante:
Proposition 1-4. Supposant (1-9) et soit U la bonne solution de (E), alors la fonction
U est dans LOO(Q) et
max(M, IIuollLoo(I»)
(1 - 10)
T
+1 ew(T-t)(co + Ilv(t, ·)IILoo(1) ) dt
49

où M est donné suivant les conditions au bord:
cas 1 : M = 0
cas 2 : M = max (lf(cL)I, If(a+)I)
cas 3 : M = max {I k1j k E D( ,)}
Preuve
Définissons la fonctionnelle N sur LI(I) par
N(t/,) = max{M, lIullLoo(I)} E [0, +00]
où M désigne la constante donnée dans la Proposition 1-4. il est clair que N est s.c.i. sur
LI(I). D'après [BT2] (cf. Proposition 2-3, preuve des Propositions 3-2 et 3-6)
(1 - 11)
Il Il
<
{M),Cil + lIu + AullLoo }
u LOO (1) - max,
1 _ ),W
pour tout u E D(A), ), > 0 avec ),W < l, où Co, w sont les constantes de l'hypothèse (H2).
On en déduit
(1 - 12)
pour), > 0, ),W < 1 et u E R(I + )'A).
-
- - 1
La fermeture A de A dans LI(I) est m-accrétive ; notons J
= (I + ),A)
sa
À
résolvante. Fixons R> M ; d'après [BT2] (cf. Théorème 2-4, Proposition 3-2 et Proposi-
tion 3-6), il existe ),R > 0, ),R W < 1
R(I + )'A) ::) {u E LI(I) n BV(I); I/ul/Loo ~ R}
pour tout), E]O, ),R].
Par approximation dans (1-12) on obtient
(1 - 13)
pour À E ]O,ÀR] et u E LI(I) avec N(u) ~ R.
Considérons maintenant une subdivision t o = 0 < t < ... <
l
t n ~ T et Ul, ... , Un,
Vl, . . . , V n E LI (1) telle que
Uj -
Uj-l
-
.
(1 - 14)
- - - - + A u j 3 Vj pour t = l, .. . ,n
tj - tj-l
où Uo est la donnée initiale du problème (E).
50

Appliquant (1-13), pour i = 1, ... , n on a
Ài = ti - ti-I ~ ÀR et N(Ui-d + ÀillvillLoo ~ R,
il en résulte alors
1
N(Ui) ~ 1 _ Àiw (N(Ui-d + Ài(eo + II viIlLoo)).
En itérant, on a donc
i
(1 - 15)
piN(Ui) ~ N(uo) + L Àjpj(co + IIvjllLoo) pour i = l, ... , n
j==1
à condition que
n
(1 - 16)
maxÀi ~ ÀR et N(uo) + L Àipi(eo + II villLoo) ~ Rpn
i=1
où on a posé
i
(1 - 17)
Pi = II (1 - ÀjW).
j=1
Choisissant R> Ra = eWTN(uo) + l T ew(T-t) (Co + IIv(t,.)IILoo(I»)dt ; pour tout ê > 0,
il existe une subdivision to = 0 < t < ... <
l
tn ~ T et VI, ••• , V n E LI(I) tels que (1-16)
soit satisfaite et
t.
(1 - 18)
maxÀ; "Ô e,
[~, l lv(t,x) - vi(x)ldx dt "Ô e;
il existe UI, ... , Un E L I (!) uniques tels que (1-14) soit satisfaite; d'après (1-15) on a
(1 - 19)
N(ui)~R
pour
i=l, ... ,n.
D'après le Théorème de Crandall-Liggett, notant U e la fonction de [O,T] dans LI(!)
définie par ue(O) = Uo, ue(t) = Ui pour t E ]ti-I, ti], i = 1, ... , n, on sait que
ue(t) - u(t) dans LI (!) uniformément pour t E [0, T];
passant à la limite dans (1-19), on obtient
N(u(t)) ~ R
pour tout tE [0, T];
ceci étant vrai pour tout R> Ra on obtient bien (1-10). 0
51

Section 2. Solutions entropiques
On reprend les données de la Section 1. Dans cette section, on renforce les hypothèses
de la Section 1. On introduit tout d'abord l'hypothèse suivante qui n'interviendra que
dans le cas l non borné:
(H5)
cp(., k) est borné sur l pout tout k E IR.
Notons que ceci implique la première partie de (H4).
D'autre part, on introduit la fonction
(2 - 1)
G(x, k, Tl) = sup( Tlf. -
r{ a(x, k, r)dr )
{ER
Jo
c'est-à-dire que pour (x,k) E }R2,G(x,k,.) est lafonetion convexe conjuguée de la fonction
convexe
(2- 2)
f. -+ G*(x, k, f.) = 1{ a(x, k, r)dr.
On fait l'hypothèse suivante
pour tout R> 0, il existe GR: IR.+ -+ JR+
convexe croissante, CR > 0 et CR E IR tels que
(H6)
CRGR(I Tl D- CR ~ G(x, k, Tl) ~ GR(I Tl J)
pour tout (x, k, Tl) EIx [-R, R] x IR
Il est clair que l'hypothèse (H6) implique (Hl). En effet pour tout (x, k) EIx [-R, R] on
a
1
[{
GR(f])
(2 - 3)
1a(x,k,O 1 ~ RI Jo a(x,k,r)dr ~ Tl -
1f.1
pour tout f. E IR, f. f= 0 et Tl ~ O. Cette formule montre d'ailleurs aussi que GR est coercive,
c'est à dire
(2 - 4)
De façon équivalente, l'inégalité (H6) peut s'écrire
GR(I f. j)::; G*(x,k,f.) ~ CR + CRGR(lc~l)
52

où GR est la fonction convexe conjuguée de GR; ceci montre que l'hypothèse (R6) implique
aussi que a(x,k,O est borné sur l x [-R,R] x [-M,M]: plus précisement on a
(2 - 5)
* (Içl+l)
1a(x,k,O 1::; CR + CRG R
cR
+ GR(O)
°
pour tout (x, k,
EIx [-R, R] x IR.
Remarque 2-1. Notons que l'hypothèse (R6) est impliquée par les hypothèses de type
Leray-Lions,
(2 - 6)
co(k) 1 ç IP -Co(k) ::; ç a(x,k,O::; C(k)(l+ 1 ç IP)
(1 0 sur lR) telles qu'on les trouve dans [AL]. Elle est aussi
satisfaite par les fonctions de la forme
(2 - 7)
a(x,k,O = ao(ç + g(x,k)) - f(x,k)
où f, 9 E C(IR2) n VXJ(I; C(lR)) et ao : IR -. IR est croissante continue surjective, telles qu'on
les trouve dans [DT] avec ao(Ç) =1 ç IP-2 ç,
l < P < 00.
On a le résultat suivant :
Théorème 2-2 . Sous les hypothèses (H2) à (H6) (qui implique (RI)) soient Uo et v
vérifiant (1-9) . Alors la bonne solution u de (E) est "solution entropique", c'est-à-dire
plus précisément :
1) w = ep(.,u) E L/::c(Q),wz E L/::c(Q),h = a(.,u,wz ) E L}oc(Q) et
(2 - 8)
{ ~ lu-kl::;:x (Signo(u-k)(h-H(.,k)))
+signo(u - k)(v + Hz(.,k)) dans V'CQ)
pour tout k E IR.
2) Dans le cas 2 des conditions au bord, on a
(2 - 9)
w(t,a) = ep(a,f(a)) p.p.t E]O, T[ pour a E 81
et
53

/hsigno(u - k) {Cu - k)(t - (h - H(.,k))(z + (v + Hz(.,k)) (}dtdx ~
(2 - 10)
2: f(a)signo(l(a) - k) < h(.,a) - H(a,k),((.,a) >
crEaI
pour tout ( E V(]O,T[xlR),( ~ 0 et k E lR , où f(QI+) = -l,f(a_) = +1.
3) Dans le cas 3 , des conditions au bord, il existe f. E LOO(O, T) avec "r(l) E LI(O, T) tel
que
(2 - 11)
w(t,O) = <p(O,f.) p.p.t E]O, T[
et
/hsigno(u - k){(u - k)(t - (h - HCk))(z. + (v + Hz(.,k))(}dtdx 2:
(2 - 12)
signo(lo - k) < h(.,O) - H(O,k),((.,O) >
+i T signo(f(t) - k)(zo - H(O,k))((t,O)dt
pour tout (E V(]O,T[xlR,( ~ 0, k E IR, f o E Db) et Zo E "r(fo).
Dans le deuxième membre des inégalités (2-10) et (2-12) , <, > est le crochet de dualité
entre 'LY(]O, T[) et V(]O, T[) ; en effet, appliquant (2-8) avec k = ± Il u IILoo(Q) 1 il est clair
que
(2 - 13)
Ut = hr, + v
dans 1)'(Q).
TI en résulte que h admet une trace dans V'(lO, T[) sur 81 :
pour tout QI E 81, h(., QI) est défini par
< h(., cr), ( >= f(a) Jk{u(t, x)('(t)p(x)-
(2 - 14)
{
h(t,x)(t)p(x) + v(t,x)((t)p(x) }dxdt
où P E 1J(Iu {a}),p(cr) = 1. Dans le cas 3 des conditions au bord, a = 0 et f(a) = 1.
54

Remarque 2-3 .
i) Dans le cas l = IR (cas 1) et d'un problème du premier ordre (!p(x, k) == 0) , il Y a
unicité des "solutions entropiques" , c'est-à-dire des fonctions u E C([O, T]; DX>(IR))nLOO(Q)
vérifiant (2-8) : ceci a été prouvé par S.N.Kruskhov ([Krll,[Kr2]) sous des hypothèses de
Lipschitz continuité de H(x,k) = a(x,k,O) par rapport à k ; dans le cas H(x,k) = H(k)
seulement continue, l'unicité a été prouvée dans [Bel] ; compte tenu de l'hypothèse (H4),
le raisonnement peut s'étendre au cas d'une dépendance en x. Nous ignorons dans le cas
des problèmes du second ordre s'il y a encore unicité des solutions entropiques, au moins
dans la situation générale considérée ici; en effet sous des hypothèses de régularités sur
les données, l'unicité des solutions entropiques BV est prouvée dans [VH]. Pour le cas 2
des conditions au bord, la condition entropique (2-10) correspond à celle considérée dans
[BLN] pour des problèmes du premier ordre et pour lesquels ils prouvent l'unicité sous des
hypothèses de régularité sur H et u.
ü) Le point 1) du Théorème 2-2 étend le résultat analogue de [BTl] dans le cas
a(x,k,Ç) = ç - f(k). Notons également que ce théorème prouve l'existence de solutions
faibles de (E) sous des hypothèses très générales et à ce titre étend en dimension 1 d'espace
les résultats de [AL] ) [DT] , etc ...
Preuve du Théorème 2-2 •
Notons par ~ le second membre de (1-10) et fixons R > ~.
D'après la preuve de la Proposition 1-4, pour f > 0 il existe des fonctions en escalier Uf! tJf
constantes sur les intervalles ]ti-I, td d'une subdivision to = 0 < tl < ... < t n ~ T tels que
(2 - 15)
(2 - 16)
E~5 {II Uf - U IILOO(o,T;Ll(I» + /1 Vf - tJ IlLl(Q) } = O.
On peut d'ailleurs toujours choisir uf(O), Vf(ti) E BV(I) avec les propriétés (1-16);
puisque R(I + ÀA) ::J {v E LI(I) n BV(I); Il v Iloo~ R} pour 0 < À < ÀR (cf. [BT2),
Théorème 2-4 et Lemme 2-6), on peut toujours supposer
55

Notant
on a
et
D'après le Corollaire 1-5 de [BT2] et la définition de A, on a en particulier
{Jsigno(u((t) - k){(v((t) - u~(t) + Hz(., k))( - (h((t) - H(., k))(z} ;::: 0
(2 - 17)
p.p.t E (0, T), \\I( E D(I), ( ~ 0 et k E IR;
pUIsque
on a donc
JJ
(2 - 18)
signo(u( - k){(v( + H z(., k))( - (h( - H(., k))(z} + JJ1u( - k 1(t ~ 0
V( E D( Q), ( ~ 0 et k E IR.
Dans le cas 2 des conditions au bord, on peut remplacer (2-17) par
L f(a)signo(e(a) - k)(h((t,a) - B(a, k))((a)
oE81
56

p.p.t E (0, T), V( E D(IR), ( 2: °et k E R
et donc (2-18) par
Jhsigno(ut - k){(vf +Hr(.,k))( - (hf - H(., k))(r} +Jh1Ut - k 1(,
(2 - 19)
2: L €(a)signo(f(a) - k) lT(hf(t,a) - H(a,k))«(t,a)dt
aE81
0
V( E D(]O, T[xIR), ( 2: °et k E IR.
Notons également que wf(t, 0') = <p(a,t'(a)) pour a E 81.
Enfin dans le cas 3 des conditions au bord, il existe ff :]0, T[--+ IR constante sur les intervalles
]ti-l, ti[ telle que hf(t,O) E i(t'f(t)), wf(t, 0) = <P(O,lf(t)) pour tout t ElO, T[ et
Jksigno(uf - k) {(v +
f
H r (., k))( - (h f - H(., k»(r} + Jk1Ut - k 1(,
(2 - 20)
2: l T signo(ff - k)(hf(.,O) - H(O, k))«(., O)dt ;
pwsque
on en déduit que le deuxième membre de (2-20) est
2:
lT
signo(fo - k)
(h f(.,O) - zo)«(.,O)dt
(2 - 21)
+l Tsigno(1f - k)(zo - H(O, k))«(., O)dt.
Il est clair, compte-tenu de (2-15) et (2-16) que
57

lorsque f -+ 0 . D'autre part, d'après (H5),
(2 - 22)
Le théorème s'obtiendra alors immédiatement à la limite dans (2-18) , (2-19) , (2-20)
et (2-21) en démontrant les résultats suivants:
Lemme 2-4 .Avec les notations ci-dessus,
1
-
1
-
i) W z E L/oc(Q), w(,Z -+ wz faiblement dans L/oc(Q)
..
1
-
l
-
11) h = a(., u, wz ) E L/oc(Q), h( -+ h fortement dans L/oc(Q)
iii) Dans les cas 2 et 3 des conditions au bord
h((.,a) -+ h(.,a) dans 'V'(]O,T[) pour a E âl, où h(.,a) est bien défini par (2-14)
puisque (2-13) est évidemment satisfaite d'après i) et ii).
Première étape de la preuve: Montrons d'abord que
(2 - 23)
GR(I hE 1) et GÈl(1 W o x 1) sont bornés dans L:oc(Q)·
Par construction on a
Définissons
l r
(2 - 24)
j(x,r) =
<p(x,s)ds
on a
d'où
58

(2 - 25)
CRGR(I h 1) - CR ~ G(.,uoh
f
f )
~ G("UflO)+
(2 - 26)
{
hfwf
+
,%
~ hfwf ,%
G R(O)
et
(2 - 27)
Etant donné ( E VeR), ( ~ 0, on a
J f
J1
(h,w", ~ -
(,h,w, - L «(a) J.T h,(t,a)w,(t,a)dt
l Q
Q
oEôI
0
(2 - 28)
+1((j(., uo) - j(., uf(T)) ) + Jk(VfWf •
Dissocions maintenant les différents cas des conditions au bord.
Cas 1 .
Fixons a > 0 et considèrons la fonction
((x) = exp( -(1 x 1-a)+).
Puisque hf, W f,% E LOO(Q), on peut appliquer (2-28) avec cette fonction ((x) et obtenir,
grâce à (2-26),
CR Jk(G R(1 hf 1) ~ (CR + GR(0)) Jk(+
J[ (h(wf + { ( (j(., Uo) - j(.,uf(T)) ) + J[(VfWf.
l{\\xl>a}
lJf(
lQ
Etant donné que (w() et (j(., Uf)) sont bornés dans LOO(Q), grâce à (R5), on a
Jk
CR
(G R(] hf 1) ~ C(l + Jk(1h( /).
59

Par inégalité de Young, on en déduit
et donc
est borné.
Puisque 1hE I~ GR(I hE 1) + GR(1), 1hE 1est borné dans L:oc(Q) j utilisant à nouveau
(2-28), on en déduit que JJ(hEwE,% est majoré pour tout ( E VeR), ( ~ 0, et donc
Q
d'après (2-27), GReI w E,% 1) est borné dans L}oc(Q) .
Cas 2 .
Appliquant (2-28) avec (= 1, on a puisque wE(t, 0) = ep(o,f(o)) pour 0 E al,
D'autre part choisissant POl E V(Iu {O}),POI(O) = 1, on a
E(") J.T h,(t, ,,)dt = Jk(V,Pa - h,Pa,.) + 1, Pa(Vo - v,(T))
donc
On en conclut la preuve de (2-23) comme dans le cas 1 .
Cas 3 .
Etant donné que Db) est borné, il existe f o E Db) tel que 0 E i(eo) ; par monotonie
de " on a
d'après (2-28), on a pour tout ( E VeR), ( 2 0
60

Jk(h,w", S - Jk(,h,w, - (O)<p(O,l.) J.T h,(t,O)dt
+ L+ ((j(., uo) - j(., uE(T))) + f k(VEWE.
Remplaçant
Jk
(0) J.T h,(t,O)dt par
(v,( - h,(.) + fa. (u. - u,(T)),
et raisonnant comme dans le cas 1, on obtient (2-23) .
Puisque GR et GR sont coercives, (2-23) montre en particulier que (hE) et (wE,x) sont
relativement faiblement séquentiel1ement compacts dans Lloc(Q). Ceci montre déjà le
point i) du lemme.
Deuxième étape de la preuve : Montrons que
1
-
h = a(., u, w x ) E L ,oc(Q) et
(2 - 29)
{
hE ---+ h faiblement dans Ltoc(Q).
Considèrons En ---+ 0 tel que hEn ---+ h faiblement dans Lloc(Q) et montrons que h =
a(., u, w x ) . Appliquant le Lemme A de l'Appendice, avec n compact de Q, Gn (., 77) =
G(., UEn (.),1]), on voit que
(2 - 30)
pour tout ( E L=( Q) à support borné.
Prenant (E V(Q),( ~ 0 et ç E LOO(Q) on a
donc en utilisant (2-25),
li~-+s~p Jf G(.,uEn,hfn ) (~ JJG(.,u,Ç)(
(2 - 31)
{
+ Jf {-hw(t: +j(., u)(t +vw( - wx~(}
61

De (2-30) et (2-31), on déduit
(2 - 32)
G(.,u,h) +j(.,u)t S G(.,u,e) + (hw)x - wxe + vw dans 'LY(Q)
pour tout eE Loo(Q).
D'un autre côté, d'après (2-18), UE,t = hE•x + V P p. sur Q, et donc à la limite
E
Ut = h
+
x
v dans V'CQ) .
Pour h > 0, considérons
11t+6
j6(t, x) = 6 t
j(x, u( r, x ))dr
on a j6 E CI([O, T - h]; L 1(I)), et
d . ()
j(.,u(t + h)) - j(.,u(t)) > ()u(t + h) - u(t)
- ) 6 t
=
w t
=
dt
h
-
h
111+6
(2 - 33)
w(t) (6
h(r)dr) + w(t)v(t) =
t
x
1t 6
(t)
-
w(t) 11+6
(~
h(r)dr) + w(t)v(t) - T
h(r)dr.
h
t
x
t
Utilisant les inégalités de Young et Jensen, on a
()
(+6
11t+6
w ; x it
h(r)dr S GR(I w(t)x 1) + h t
GR(I h(r) I)dr
puisque G R (! h 1) et GR(I wx /) E L:oc(Q),
w(t) 11+6
T
t
h(r)dr --+ w(t)xh(t) dans LI(O,TjL:oc(Ï))
lorsque h --+ O. A la limite dans (2-33), on obtient
(2 - 34)
~j(.,u) 2: (wh)x +wv - wxh dans V'CQ).
Reportant cette inégalité dans (2-32) on obtient
G(., u, h) ~ G(., u, 0 + wx(h - 0 p.p. sur Q
62

pour tout ~ E LOO(Q) ; donc h = a(., u, w z) .
Fin de la preuve du Lemme.
Pour montrer la convergence forte hE ~ h dans L}oc( Q), notons que d'après (2-30),
(2-31) et (2-34),
JJG(.,u, h)( ~ li~jrrJJG(.,UE, h ~
E ) (
li~~~pJJG(., UE, h ~ JJ
E ) (
G(., u,~)( + wz(h -~)(
pour tout ( E 1)(Q),( ~ 0 et ~ E LOO(Q) .
Appliquant l'inégalité précédente avec ~ = (h /\\ n) V (-n) et faisant n ~ +00, on obtient
pour tout ( E 1)(Q), ( ~ 0 .
Appliquant le Lemme B de l'Appendice, avec 11 compact de Q et GE(.,fl) = G(.,UE(.),fl),
le
puisque ç -+ G*(.,u(.),O =
a(.,u(.),r)dr est continument dérivable p.p. sur Q, on en
déduit (hE -+ (h dans Ll(Q) pour tout ( E 1)(Q), et donc hE -+ h dans L}oc(Q) puisque
hE .---. h faiblement dans L}oc( Q), on a bien hE -+ h fortement dans L}oc( Q) .
Enfin le point iii) est immédiat par passage à la limite dans la relation
J.T
Jh
h.(t, a)( t)dt = ,(a)
{ii,(t, x )('(t)p( x)
-hE(t, x)((t)p(x) + VE(t, x )((t)p(x) }dxdt
obtenue en intégrant l'équation UE,t = hE,z + VE .<>
63

Section 3. Solutions dans Lip(O, Tj Ll(I)) n LOO(Q).
On reprend les données et hypothèses de la Section 1. Rappelons que l'on définit le
domaine généralisé de l'opérateur A par :
D(A) = {uo E LI(I)j il existe (un) C D(A), tel que Un -+ Uo dans LI(I),
AU n est bornée dans LI(I)}.
Si v E BV(O, Tj LI(I)) et Uo E D(A), alors d'après la théorie générale des équations
d'évolution, la bonne solution u de (E) est lipschitzienne de [0, T] dans LI(I). Dans cette
section nous supposerons
(3 -1)
lT
Uo E D(A) n Loo(I), v E BV(O, T; LI(I))
et
II v(t, .)lIu dt < 00;
lO
de telle sorte que la bonne solution u de (E) est dans Lip(O, T; LI(I)) n LOO(Q). La bonne
solution u de (E) est alors solution entropique, plus précisément, on a le résultat suivant.
Théorème 3-1. Sous les hypothèses ci-dessus la bonne solution u de (E) est dans
Lip(O, T; LI(I)) n LOO(Q) et vérifie:
1) w = <p(.,u) E C(Q), W
E LOO(Q), h = a(.,u,w
Z
x) E C([O,T];w· - BV(I)) et
vérifie la condition entropique (2-8), en particulier
Ut = h
+
x
v dans D'(Q)
2) Dans le cas 2 des conditions au bord:
w(t,a) = <p(a,f(œ)) :pour tout (t,a) E [O,T] x 81
~ J1u(t, x) - k 1e(x)dx +Jsigno(u(t, x) - k»)(h(t, x) - H(x, kne'(x)dx
(3 - 2)
+ 'L e(a)signo(f(a) - k)(h(t,cr) - H(a,k))e(a) ~
QEôl
Jsigno(u(t, x) - k)(v(t, x) +Hx(x, k))e(x)dx
p.p. t E [0, Tl, Vk E IR, eE D(Ï) e~ °
où h(t,o) = lim h(t,x) qui existe puisque h(t,.) E BV(I).
X-+Q(
xEI
3) Dans le cas 3 des conditions au bord:
64

Il existel E LOO(O,T) tel que w(t,O) = <p(O,l(t)), h(t,O) E ,(let)) p.p. tE [O,T) et
~ /1 u(t,x) - k 1~(x)dx +Jsigno(u(t,x) - k)(h(t,x) - H(x,k))e'(x)dx
(3 - 3)
+signo(l(t) - k)(h(t,O) - H(., k))e(O) ~
/
signo( u(t, x) - k)( v(t, x) + H3;(X, k))~(x )dx
p.p. t E [0, Tl, Vk E IR, eE V(Ï)
e~ o.
Remarque 3-2. Notons bien que nous ne supposons pas que les conditions (H5) et
(H6) de la section 2 sont vérifiées j ce résultat est donc différent du Théorème 2-2 et comme
nous allons le voir, est beaucoup plus élémentaire. L'inconvénient est que nous ne savons
pas caractériser les éléments de D(A) en général. Notons cependant que D(A) et donc à.
fortiori D(A), contient les fonctions Uo E C(Ï) n Ll(1) vérifiant Wo = <p(., uo) E W,~'~ j
h = a(., Uo, w~) E AC(!), et Uo = l sur al, h(O) E ,Cl) dans les cas 2,3 des conditions au
bord
Preuve du théorème 3-1
On reprend les notations de la démonstration du Théorème 2-2. Par définition du
domaine généralisé, on peut toujours choisir u~(O) E D(A) avec Au~(O) borné dans LI (1).
On peut également choisir v~ borné dans EV(O, Tj L1(I)) j par accrétivité il en résulte que'
Au~ est borné dans Loo({O, T]; LI (1)) et donc h~ est borné dans Loo(O, T; BV(I)). D'après
l'hypothèse de coercivité (Hl), W~,3; est donc borné dans Loo(O, T; Loo(I)). On en déduit
que
w~(t) -+ w(t) = <p(., u(t)) dans C(I) uniformément pour t E [0, T] ,
W~(t)3;
oo
-+ w(t):: faiblement dans L
(1)
pour
tE [0, Tl .
Il en résulte
w = <p(.,u) E C(Q)
(3 -4)
W
E Loo(Q)
X
{ w~ -+ w dans enD, T]; LFoc(1)).
D'autre part puisque {h~(t)} est relativement compact dans L;oc(Ï), on a compte-tenu de
la monotonie de a par rapport e:
h~(t) -+ a(., u(t), w(t)x) dans L1{I) uniformément pour t E [0, Tl
65

et donc
h = a(., u, w r ) E C([O, T]; w* - BV(1)) et
(3 - 5)
{ he(t) ~ h(t) dans w* - BV(1) uniformément pour tout t E [0, Tl.
D'après le Corollaire 1-5 de [BT2) et la définition de A, on a d'autre part
(3 - 6)
Jsigno(u~(t) - k){(v~(t) - ~(t) +Ht:(., k))~ - (h~(t) - H(., k))~t:} 2: 0
p.p: t E [0, T)
V~ E 'D(1), ~ 2: 0 et k E IR ;
pmsque
sign(u~(t) - k)u~(t) 2:~ 1u~(t) - k l,
on a donc
~ J1u~(t, x) - k 1~(x)dx +Jsigno(u~(t, x) - k)(h~(t,x) - H(x, k))~'(x)dx
(3 - 7) {
S Jsigno(u~(t,x) - k)(ve(t,x) +Ht:(x,k»~(x)dx
p.p. t E [0, Tl
Vk E IR, ~ E 'D(7), ~ 2: O.
Dans le cas 2 des conditions au bord, on a w~(t, 0') = !p(0',.e(0')) et , à la place de (3-7),
on obtient
~ JIue(t,x)-k I~(x)dx+Jsigno(u~(t,x)-k)(h~(t,x)-H(x,k))e(x)dx
(3 - 8)
+ L e(O')signo(t'(a) - k)(hE:(t,a) - H(O',k))~(O') $
aE81
JsignO(uE;(t,X) - k)(VE;(t,X) +Hx(x,k))~(x)dx
p.p. t E [0, Tl, Vk E IR, ~ E 'D(7)
~ 2: O.
Enfin dans le cas 3 des conditions au bord on a
~ J1ue(t, x) - k 1ç(x)dx +Jsigna(u~(t, x) - k)(hE;(t, x) - B(x, k))e(x)dx
(3 - 9)
+signo(.e~(t,0) - k)(hE;(t, 0) - H(O, k))ç(O) S
JsignO(uE;(t,X) - k)(VE;(t,X) +Hx(x,k))ç(x)dx
p.p. t E [0, T)
Vk E IR, ~ E 'D(7), ç 2: 0
66

1et pour t E]O, T[
wt:(t,O) = cp(O, lt:(t)), ht:(t,O) E i(ft:(t)).
Passant à la limite dans les inégalités (3-7), (3-8), (3-9) et compte-tenu de (3-4) et
(3-5) on obtient la conclusion du théorème. <>
On ignore s'il y a unicité des solutions entropiques u E Lip(O, T; LI (I)) n Loo(Q) dans
le cas général, par contre dans le cas où cp est strictement croissante, on a le résultat
suivant:
Théorème 3-3. En plus des hypothèses de la Section 1 nous supposons que:
(3 - 10)
cp(x,.) est strictement croissante pour tout x E IR.
Alors pour tout (uo,v) vérifiant (3-1) la bonne solution u de (E) est l'unique solution de:
u E Lip(O,TjLI(!))nCb(Q), u(O,.) = Uo
W r E Loo (Q), h = a(., u, w r ) E C(O, T; w· - BV(I)) où W = cp(., u) et
(P)
Ut = hz + v dans V'CQ)
avec les conditions au bord
cas 2 : u = f
sur [0, T] x &l
cas 3 ; h(., 0) E i( u(., 0)) sur [0, Tl.
Preuve:
1) Existence. On montre que la bonne solution u de (E) qui est dans Lip(O, Tj LI(I))n
LOO(Q) est solution de (P). En effet d'après le Théorème 3-1, w = cp(.,u) E C(Q) et
donc utilisant l'hypothèse (3-10) on a u E C(Q)j et d'autre part W z E Loo(Q), h E
C([O, Tlj w· - BV(I)) et Ut = hz + v dans V'CQ).
Da.ru; le cas 2 des conditions au bord, puisque w(t, a) = cp(a,l(a)) pour tout (t, 0)
dans [0, Tl x &1, compte-tenu de (3-10), on a U = f sur [0, Tl x &1. Dans le cas 3 des
conditions au bord, il existe l E Loo(O, T) tel que w(t,O) = cp(O, let)) sur [0, Tl et p.p.
t E [0, T), h(t,O) E i(l(t)). Etant donné que hE C([O, T]; w· - BV(I)) et utilisant (3-10),
on a u(t, 0) = i(t) pour tout t E [0, Tl, on a donc
h(t,O) E 1'(u(t, 0))
Vt E [O,T].
2) Unicité.
Soient U), U2 deux solutions du problème (P). Posons Wj = cp(., Uj
qui satisfait w',z E VXJ(Q), i = 1,2 ; notons hi = a(., U,' w"x). Alors U = UI - U2 E
Lip(O, Tj L I (!)) n Cb(Q), h = hl - h2 E C([O, Tl; w· - BV(I)) et Ut = hx dans V'(Q).
67

Appliquant le Lemme 3 de [BT1] on a :
:!.- Ju(t)+:= f
h(t)1:
p.p. t E [0, T].
dt
}u(t •. »o
Pour prouver que u == 0, il suffit donc de montrer que pour t E (0, T) et la, b[ une
composante connexe de l'ouvert {u(t,.) > A}, on a
lb h(t)1: = h(t,b-) - h(t,a+) ~ O.
On va montrer que h(t,a+) ~ 0; on montrerait de la même manière que h(t,b_) ~ a ce
qui achevera la preuve du théorème.
1er cas: a E J. Alors Wl(t,.) > W2(t,.) sur ]a,b[ et wl(t,a) = w2(t,a). Puisque
Wl(t)1:, W2(t)1: E U:°(I), il existe une suite (x n ) de points de Lebesgue de Wl(t)1:' W2(t)1:
telle que Xn -+ a et Wi(t, x n )1: -+ ei avec el ~ e2' Ainsi par passage à la limite
et donc
h(t, a+) 2 O.
2ème cas: a = a_ > -00. Si tLl(t,a_) = tL2(t,a_) on est ainsi ramené au 1er cas.
Sinon, on est dans le cas 3 des conditions au bord et puisqu'on a Ul (t, 0) > U2(t, 0); par
monotonie de , on a h(t, 0+) ~ O.
3ème cas : a = -00. Reprenant maintenant la preuve du Théorème 3.1 de [BT2], on
a hi(t, a) =
lim
hi(t, x) = h_ pour i = 1, 2, où h_ est définie par (H4). On en déduit
,r-+-CX)
h(t,a+) ~ 0.0
Nous poursuivons avec l'hypothèse (3-10) du Théorème 3-3 et notons
/3(x,.) = <p(X, .)-1 pour tout x E IR.
Rappelons que la fonction C* est définie par (2.2).
Nous allons montrer que lorsque
cp, /3, C* vérifient l'hypothèse complémentaire ci-après:
8~* E C(1R3)
(H7)
jc E C(]R2), c> a p.p. sur ]R2 telle que
8cp
8/3
1
2)
8k 2 c, 8k 2 c dans V (IR
68

la solution u du problème (P) est solution forte.
Théorème 3-4. Sous les hypothèses du Théorème 3-3 , on suppose que (H7) est
vérifiée. Alors pour tout (ua, v) vérifiant (3.1), la solution u du problème (P) est solution
forte j plus précisément Ut E LOO(O, Tj L 1(1)).
Preuve
Soit u la solution du problème (P) donnée par le théorème 3-3.
Posons
n = ((t,x)jc(x,u(t,x)) > D et c(x,w(t,x)) > D}
Etant donné que u, w E C(Q), n est une partie ouverte de R2 • Pour prouver ce résultat
on va adopter la méthode de [BG].
1ère étape: Nous montrons tout d'abord que 1Ut(Q \\ n) 1= O.
On adopte les notations et la démarche de [BG].Pour x E l, posons:
X% : t - - (t, x),
V% = { t j (t, x) E Q \\ n }.
On a alors
Nous allons prouver que p.p. x E l
(3 - 11)
Fixons x El, tel que
N = { kj c(x, k):::. 0 } soit négligeable.
Puisque
V,r = {tj
c(x,u(t,x)) = 0 ou
c(x, <p(x" u(t, x)) = D},
on a
V% C (u 0 X% ) -1 (N U ( U{k;
c( x, k) > ~, <p(x, k) EN})).
n~l
L'ensemble {kj c(x, k) > 2:.} est une partie ouverte de R, c'est donc une réunion dénom-
n
brable d'intervalles ouverts disjoints )k}" k2 [. D'après (H7), f3(x,.) est lipschitzienne sur
)<p(x, kt}j <p(x, k2 )[ et donc
69

est négligeable. On en déduit que
1
{k;
cCx, k) > -,
'P(x, k) EN}
n
est négligeable et donc
1
c( x, k) > -,
'P( x, k) EN} )
n
est aussi négligeable. Puisque
U 0 Xx E C([O, Tl) n EV(O, T),
Ceci est vrai p.p x E l, d'où (3.11).
2ème étape: On va montrer que Ut E Lfoc(n) ; ceci impliquera que la fonction Ut est
dans D'O(O, Ti LI(n)) puisque Ut = Ut Xn et u E Lip(O, Ti LI(I)). On reprend les notations
de la preuve des Théorèmes 2-1 et 3-1.
On rappelle en particulier que
U~, w~Jz sont bornés dans LOO(ü, T; LI (!)).
On a îi~ --+ U dans C( Q) ; en effet {w~( t)} est relativement compact dans c(1) et donc
{u~(t)} est relativement compact dans CCI).
D'autre part
îi~(t) --+ u(t) dans LI(I) uniformément pour t E [0, T].
Donc
u~ -4 u dans C(Q).
Fixons maintenant (to, xo) E n, et posons ko = u(to xo) On a
1
Il existe
Co > °et b > a tels que
c( x, k) 2: CO et c(I, 'P( x, k)) 2: CO
(3 - 12)
{ pour tout (x, k) E V =]xo - b, Xo + b[x]ko - b, ko+b[
n existe éo > 0 et R = [Tl, T2] X [Xl, X2] voisinage de (to, IO)
(3 - 13)
{ tels que (x,u~(t,x)) E V pour tout 0 < é < éo, (t,x) ER.
70

Considérons (E D(]XI! X2[) avec 0 ~ ( ~ 1. Soit i tel que Tl ~ ti-l < t - i ~ T2 .
On a
Mwtiplions par Wi - Wi-l (2 et intégrons sur I.
ti - ti-l
J
Wi -
Wi-l
( = J( Vi + a(., Ui, Wi,% )%)
Ui -
Ui-l
_W_i-_W_i-_l
2
ti -
ti-l
ti -
ti-l
ti -
ti-l
Puisque
On a h~, W~ E LOO(IR), d'où
Compte-tenu de (3-12), (3-13) et (H7) on a
Il en résultera
J
JI
Co
(Ui - Ui_I)2(2 ~ Cl
Ui - Ui-Ij( + 14
ti -
ti-l
ti - ti-l
et en utilisant l'inégalité de Young, il vient
71

Considérons maintenant i,j tel que
En intégrant les inégalités correspondantes entre ]ti-ll tir et en faisant leur somme, on a.
Donc
Jl
Par passage à la limite, lorsque é: -t 0 , on obtient c;
u'(t?(2 ~ C2T +C3. Donc
la fonction Ut est dans Lfoc(n).<>
72

Appendice
Nous donnons ici, deux résultats classiques d'analyse convexe, dont nous n'avons pas
pu trouvé de références précises.
Soient (n, 8, fJ) un espace mesuré de mesure finie et pour n = 1,2, ... ,
G n : n x RN --t R+ mesurable en x, convexe en TJ E RN. On suppose
(A -1)
Gn(x, TJ) -+ G(x, TJ)
J.L p.p. x E n, VTJ E )RN lorsque n -+ 00
(A - 2)
où
Go: RN -+ \\R+ est convexe et coercive, i.e.
(A - 3)
Hm
~o~1) = +00.
Ifll--++oo
Soit d'autre part une suite (h n ) de L 1 (O,RN ) telle que
(A -
l
4)
Go(hn)dfJ ~ C < 00
pour tout n.
Alors (h n ) est relativement faiblement séquentiel1ement compact dans Ll(O,lRN )
on
suppose
(A - 5)
Lemme A. On a pour tout ( E LOO(n), ( ~ 0
(A - 6)
JGC·,h)) (dfJ <
Preuve
D'après (A-2), on a
(A - 7)
1~ 1~ Go ( TJ + rh) ~ Co (1 TJ /) V~ E âGn ( X , TJ),
et d'après (A-l), âGn(x,.) --t âG(x,.) au sens des graphes fJ p.p. x E n (cf. [Att]). Quitte
à prendre une suite extraite, et à remplacer Gn(x, TJ) par
73

on peut toujours supposer ( =1 et
(A - 8)
Gn(x,O) = 0
J1. p.p. xE n
Pour M > 0, définissons
G~(x,7]) = sup (ç7] - G~(x,O) ~ (M 17]1) /\\ Gn (x,7]).
lel:$M
On a
et
GM (x,7]) i G(x, 7]) lorsque M i 00.
D'après le lemme de Fatou, pour M fixé
GM (.,h)dJ1. ~ lim infjGM (.,hn)dJ1.;
j
n-oo
d'autre part
et
donc d'après le Théorème de Vitali
On en déduit
j GM(., h)dJ1. ~ lirn inf j G~(., hn )dJ1.
n--oo
~ lirn inf j Gn(., hn )dJ1.
n--oo
et donc (A-6), à la limite lorsque M -4 00.
Lemme B. Etant donné ( E ux:'(n), ( 2: 0, supposons
(A -9)
Si G(x,.) est strictement convexe et coercive J1. p.p. x E n, alors
(h n -+ Ch dans L1 (f2).
74

Preuve Conune dans la preuve du Lemme B on peut toujours supposer ( == 1. TI
existe ~n : n -+ RN mesurables tels que ~n E BG n(., h) fL p.p., ~n -+ ~ fL p.p. ; on a alors
(A - 10)
Etant donné M > 0, d'après (A-5), (A-7) et (A-9)
lim sup
{
(Gn(., hn) - Gn(., h) - ~n(hn - h»dfL $
n-+oo
l{1hl5:.M}
(A - 11)
limsup
{
(Gn(.,h)-Gn(.,hn»dfL.
n-+oo
l{lhl>M}
D'après (A-6),
lim sup
{
(G n(., h) - Gn (., hn»)dfL $ lim sup {
(G n(., h) - G(., h»dfL.
n ..... oo
l{lhl>M}
n->oo
l{lhl>M}
Enfin
Gn(., h) - G(., h) -+ 0 fL p.p. , 1Gn(., h) - G(., h) I~ GaO hl)
et par le lemme de Fatou et (A-4)
Donc, en reprenant (A-lO) et (A-11),
dans L1(n).
Utilisant un procédé diagonal, de toute suite extraite, on peut extraire une suite (n,l;)
telle que
Pour prouver le résultat, on peut donc supposer
(A - 12)
et montrer alors que hn -+ h IL p.p. sur {( > O}.
Fixons un point x E n, ((x) > 0 tel que la convergence (A-12) ait lieu ainsi que
75

et G(x,.) strictement convexe et coerClve.
Etant donné z E âG(x, TJ), il existe Zn E
8G n(x, t]n) tels que
On a
donc
lim sup(zn - (n(x ))hn(x)) ~ zt] - h(x )(x) + G(x, h(x)) - G(x, t]).
n--+oo
Puisqu'on peut prendre z E aN arbitraire et puisque G(x,.) est coercive, on en déduit
que hn(x) est borné. Si t] est point limite de (hn(x)) lorsque n -+ 00, on a alors
G(x, h(x)) ;::: G(x,t]) +(x)(h(x) - t])
et donc, puisque G( x, .) est strictement convexe, t] = h( x).
Il en résulte donc que hn(x) -+ h(x) lorsque n -+ 00. 0
76

REFERENCES
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Vol'pert (A.I), Hudjaev (S.L), Cauchy's problem for degenerate second order quasi-
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78

Partie II
SOLUTIONS GÉNÉRALISÉES D'ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION

Solution entropique pour une équation parabolique-hyperbolique non linéaire.
en collaboration avec Ph. Bénilan.
Annales Fac. Sc. de Toulouse, V III, n01 1994, p 63-80.

Solution Entropique pour une
Equation Parabolique - Hyperbolique Non Linéaire
Introduction:
Nous considérons le problème de Cauchy.
8,u = Lxu - 8yl(u) + w
pour (t,x,y) E Q =}O,T[xn x IR
(1)
{ u(O) = Uo
sur f2 x IR.
associé à un opérateur L, générateur d'un Co-semi-groupe linéaire sous-markovien sur
LI(0"B,/-L), où T> 0, w E LI(Q), Uo E L I (f2 x IR), (f2,B,j.L) désigne un espace mesuré et
f une fonction localement lipschitzienne de ]R dans lR. On suppose que la restriction de L
à LI (0,) n L2(f2) est symétrique. Nous désignerons par L z l'extension de Là L I (f2 x IR).
Sous l'hypothèse f lipschitzienne strictement croissante, d'inverse lipschitzienne, dans la
première partie, nous associons à Lx et l, un opérateur A de L I (f2 x IR) défini par
(2)
pour u E D(A) = Wl,l(lR, L I (f2)) n LI(IR, D(L)).
Nous montrons alors que A est s - T-accrétif, sous-markovien à domaine dense et vérifie
la "condition d'image".
Dans la seconde partie, grâce à la théorie générale des équations d'évolution dans un espace
LI, nous considérons une notion de solution entropique pour le problème (1) généralisant
celle de Kruskov, pour laquelle nous obtenons un problème bien posé.
La dernière partie est consacrée à une formule de représentation des solutions entropiqv.es
de (1), lorsque 1 E C2 (1R) et w = o.
Ces résultats développés dans le cadre abstrait de la théorie des semi-groupes non linéaires
dans LI(0, x IR) s'applique naturellement au cas des opérateurs différentiels.
Prenant
L = ~ dans LI (IRN) et w = 0, nous retrouvons par des techniques totalement différentes,
les résultats de Escobedo, Vasquez et Zuazua [EVZ} pour le problème
8,u = 6. x u - 8yf( u)
sur JO, co[ xIRN X IR
{ u(O, . ) = Uo
sur ]RN X R.
Les résultats abstraits s'appliquent évidemment à d'autres exemples d'opérateurs L, par
exemple au problème aux limites
79

ÔtU = 6 x u - ôyf(u) + w
sur ]0, T[xn x IR
1Àu+(1-À)~ = 0 sur ]O,T[xôn x IR
u(O,. ) = Uo
sur n x IR
où n est un ouvert de IRN et 0 ~ À ~ 1.
1. Solutions intégrales:
Dans cette partie on suppose
f : IR -t IR lipschitzienne croissante
(1)
{ avec (3 = f- I lipschitzienne et f(O) = O.
On définit l'opérateur A dans LI (n x IR) par
(2)
avec
(3)
où D(L) est muni naturellement de la norme du graphe.
Puisque f e~t lipschitzienne et f(O) = 0, pour u E D(A) on a feu) E WI,I(R; LI(n)) et
donc Au E LI(n x R) est bien défini. Etant donné que D(L) est dense dans LI(n), il est
clair que
(4)
D(A) est dense dans LI (n x R).
L'opérateur L étant générateur d'un Co-semi-groupe de contractions linéaires positives
sur LI(n), -L est s - T-accrétif dans LI(n), c'est-à-dire
(5)
J0.Lu dj1. ~ 0 Vu E D(L), 0. E v"O(n), 0. E sign+u
80

où sign + est le graphe d'Heaviside
{1}
si r > 0
sign+r=
[0,1]
sir=O
{ {a} si r < O.
Etant donné u, ü E D(A), on a p.p. x En f(u(x,. )),j(u(x,.)) E W]'](IR) et donc
1
(8yf(u(x,.)) - 8yf(u(x,. )))dy = a
[u(x,.»U(x,.)]
âyf(u(x,.)) - 8yf(ü(x,.)) = a p.p. sur [u(x,.) = ïi(x,. )].
Il en résulte immédiatement, grâce au théorème de Fubini, que l'opérateur A est
s - T-accrétif dans L](n x IR), c'est-à-dire
JJ a(Au - Aïi)dp.dy ~ a
(6)
{Vu,ü E D(A), a E Loc>(n x IR), a E sign+(u - ü).
En particulier, pour tout>' > 0, l + >'A est une bijection de D(A) sur R(1 + >'A) et
ho. = (1 + >'A)-l est une T-contraction pour la norme L](n x IR), c'est-à-dire
11(h.w - J-\\w)+llu(flxlR) ~ II(w - w)+llu(flxIR)
(7)
{ V w,w E R(I + >'A)
où pour r E IR, r+ = max (r, 0).
Notons que l'on a également le "principe du maximum"
(8)
inf ess w ~ J-\\w ::s sup ess w
V w E R(I + >. A).
En effet L étant générateur d'un serni-groupe sous-markovien on a
Jp(u)Lu dp. ::; a Vu E D(A), Vp E Po
où Po = {p E W1,OO(JR); p' ~ 0, p(O) = a}. 11 est clair d'autre part que
Jp(u(x,.))8yf(u(x,. ))dy = a
81

Vu E D(A),p.p. x E n, Vp E C(IR), p(O) = 0
et donc
(9)
11 p(u) AudfJ dy ~ 0 VuE D(A), p E Po
ce qui implique immédiatement (8) (cf. p.e. [Be]).
Le résultat principal de cette section est la vérification de la "condition d'image" pennet-
tant d'appliquer la théorie des semi-groupes non linéaires :
Théorème 1 : Pour tout>' > 0, R(I + >'A) est dense dans L1(n x IR). Plus précisément
(10)
Remplaçant L, f par >'L, >'f respectivement, on peut toujours supposer >.
1. On va
utiliser le Lemme suivant:
Lemme 1 :
Etant donné w E BVioc([O, oo[ j LI (0)) n Lfoc([O, oo[ j L2 (0)) il existe
u E Wl~'~([O,OO[i LI(n)) unique tel que u(O) = 0 et p.p. y E (0,00), u(.,y) E D(L)
et
(11 )
u(., y) - Lu(., y) + âyf(u(., y)) = w(., y).
De plus pour tout R> 0,
(12)
et
(13)
,
ou
(14)
o < c ~ /3' ~ C < 00
et
82

lR h J
(15)
- l'
-
Iw(x, y + h) - w(x, y)1 d d
Ilôyw Il M(flx[O,R[) - ~~ 0
h
j.L
Y
est la variation totale de w par rapport à y E [0, R[.
Preuve du Lemme: L'opérateur B = (I - L)f3 de LI(n) défini par Bv = (I - L)(3v
avec D(B) = {v E LI(n); f3(v) E D(L)} est m-accrétif dans LI(n). En fait, d'après (5)
on a:
J
J
J
(15)
a(Bv - Bv) 2: Jo:(f3(v) - f3(v)) =
(f3(v) - f3(v))+ 2: c
(v - v)+
pour tout v, v E D(B), 0: E DX>(IR) , a E sign+ (v - v) = sign+ (f3( v) - (3(v)) où c est
donné par (14) ; donc B - cI est 5 - T - accrétif et a fortiori B est accrétif. D'autre part
pour W E LI(n), l'équation v + Bv = west équivalente à u + feu) - Lu = w qui admet
une solution puisque f est lipschitzienne.
Etant donné w E B Vloc ([0 , 00[; LI(n)), utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires
(cf. [Bl], [BepD, considérons la bonne solution v du problème d'évolution
dv
(16)
dy + Bv :3 w sur [0,00[, v(o) = °;
on a v E LiPloc([O, 00[; LI (n)). Plus précisément ptùsque B - cl est accrétif,
Ilv(y + h) - v(y)llu(fl) ~ lh e-c(y+h-z) IIw(z)llu(fl) dz
(17)
+l Y e-c(y-z) IIw(z + h) - w(z)lIu(fl) dz.
Supposons maintenant de plus w E Lfoc([O, 00[; L2 (n)). On a alors
v E Wl~~([O,oo[; L2 (n)) et pour tout R> 0,
(18)
ceci se voit formellement à partir de l'estimation de l'énergie
83

(19)
où (I - L )1/2 est la racine carrée de l'opérateur auto-adjoint défini positif, fermeture dans
L 2 (n) de la restriction de 1 - L à LI(n) n L2(n) ; pour une démonstration rigoureuse de
(18) et (19), on peut suivre la preuve du Théorème 1 de [B2] (où ce résultat est prouvé
dans le cas pen) < 00).
Puisque LiPloc([O, 00[; LI (n))nWj~~2([0,00[; L 2(n)) est contenu dans Wj~~OO([O,oo[ ; LI (n))
et B est m-accrétif, v est donc solution forte de (16) (cf. [Bt], [Bep]). Posant U = f3( v),
on a ainsi prouvé le lemme, les estimations (12) et (13) se déduisant de (18) et (17)
respectivement.
0
Preuve du Théorème 1 : Fixons W E LI(n x IR) n L 2 (n x IR) n BV(IR; LI(n)). Etant
donné R > 0, utilisant le lemme, il existe UR E Wl~~OO([-R, 00[; LI (n)) tel que UR(. ,y) E
D(L)
et vérifie (11). On prolonge UR par 0 sur nx] - 00, -R[ de telle sorte que
UR E Wj~~OO(IR; LI (n)).
On a les estimations
(20)
(21)
par application de (12) et (13) ; on a aussi
(22)
puisque d'après (5)
En particulier UR E D(A) et UR + AUR = WR où WR(X,y) = w(x,y)X[-R,oo[(Y). Puisque
WR ~ w dans LI(n x IR), il en résulte par accrétivité de A, que UR ~ U dans LI(n x IR);
84

d'après (20) et (21), f(u) E Wl,2(1R; L2(n)) n W1,1(IR; L1(n)) ; donc u E D(A) et
u + Au = w.
0
Appliquant la théorie des semi-groupes non linéaires (cf.
[BI], [Bep]), pour tout
Uo
E Ll(n x IR) et w E LI(]O,T[xn x IR), il existe une unique bonne solution
u E C([O, T] ; LI (n x IR)) du problème d'évolution
du
(23)
dt + Au = w,
u( 0) = Ua'
De plus cette bonne solution est caractérisée par les inégalités intégrales.
En d'autres
termes on a le résultat suivant :
Corollaire 1 : Pour tout Ua E LI(f! X IR) et w E LI(]O, T[xn x IR), il existe une unique
solution U E C([O, T]; LI(n x IR)) avec u(O) = Uo vérifiant:
ve E D(]O, T[), e~ 0, V!! E D(A),3 a E UX>(Q)
a E sign (u - !!) telle que
(24)
JJJ a{(u - Y,.)e' + (w - AY,.)OdJLdydt ~ 0
Notons enfin que l'opérateur A étant T-accrétif, si u, u sont les solutions correspondantes
à (uo, w), (uo, w) respectivement, on a
JJ (u(t) - u(t))+ dJ.l dy ~ JJ (uo - "Uo)+ dJ.l dy+
(25)
{JJJ (w - wt dp dy dt Vt E [0, Tl
et en particulier le "principe de comparaison"
(26)
Uo ~ Uo et w ~ w => u ~ u.
Egalement compte tenu de (8), on a le "principe du maximum"
(27)
{inf essuo + l T inf essw(t)dt ~ u ~ sup essuo + l T sup essw(t) dt.
85

2. Solutions entropiques:
Dans cette partie on suppose seulement
(1)
f : IR -+ IR localement lipschitzienne.
On note
(2)
Do = {ljJ E D(L) n VXl(n) j L,p E DXl(n)}
muni de la norme
qui en fait un espace de Banach.
Théorème 2 :
1) Etant donné u E C([O, Tl; LI(n x IR)) n LOO(Q) et w E LI(Q) les deux propriétés (3) et
(4) suivantes sont équivalentes:
JJJ signo(u -ljJ){(u - ljJ)(çt + Lxç) + (J(u) - f(ljJ ))çy
(3)
+( w + LljJ)Ç}dt d{L dy ~ 0
V ljJ E Do,
V ç E D(]O, T[xIR; Do), ç ~ 0
JJJ signo(u -ljJ){(u - ,p)çt + (J(u) - f(ljJ)) çy+
(4)
(w + LljJ) Ç}dt d{L dy ~ 0
V ljJ E Do,
V ç E D(]O,T[xIR), ç ~ o.
l T
2) Etant donné Uo E LI (n x lR)nLOO(n x IR) et w E LI (Q) avec
IIw(t) Il LOO (flxlR) dt < 00,
il existe une unique solution u E C([O, T] ; L] (n x IR)) n LOO(Q) avec u(O) = Uo vérifiant
(3) et (4). De plus les estimations (1.25), (1.26) et (1.27) sont valables pour ces solutions.
La preuve de ce théorème va occuper toute cette section.
86

Remarq ue 1 : Nous remarquons d'abord que (3) => (4). En effet fixons t/J E Do,
ç E D(]O,T[xlR), ç ~ 0 et définissons, grâce au théorème de Fubini, a,b E LI(n) par
a = JJ sigl1o(u - t/J){(u - t/J)çt + (f(u) - !(t/J))Ç,1
+ (w + Lt/J)Odt dy
b = JJ lu - t/Jlç dt dy ;
on a b ~ 0, et appliquant (3)
J
(5)
(acp + bLcp)dj.l ~ 0 V cp E Do, cp ~ 0,
J
on en déduit
a dj.l ~ 0, c'est-à-dire (4), grâce au lemme suivant:
J
Lemme 2 : Etant donné a, b E L1(n), b ~ 0 vérifiant (5), on a
a dj.l ~ O.
Preuve du Lemme 2 : Etant donné p E L1(n) n LOO(n), p ~ 0 et >. > 0, on a
(I - >'L)-1 - I .
.
cp = (I - >'L)-lp E Do, cp ~ 0 et Lep =
:x
p; applIquant (5), pmsque Lest
symétrique, on obtient
A la limite ceci est encore vrai pour tout p E LOO(n), en particulier p = 1 ; puisque b ~ 0,
J
on a
(I - >'L)-l bdj.l ~ Jbdj.l et donc
J(I - >'L)-l adj.l ~ 0;
J
en faisant>. -
0, on obtient
a dj.l ~ O.
Dans (3) et (4) on a utilisé la fonction signo définie par
signo a = 1: 1si a =1= 0,
signo a = 0 si a = O.
Remarque 2 : Notons que (3) (resp. (4)) est équivalent à
87

v t/J E Do, V ç E D(]O,T[xIR.; Do) (resp. D()O,T[xIR.)),
ç ~ 0, 3 0' E LOO(Q), 0' E sign (u - t/J) telle que
JJJ
(6)
0' F dt dJ.1o dy ~ 0 avec
F = (u - t/J)(çt + LxO + (f(u) - f(t/J))çy + (w + Lt/J)ç
(resp . F = (u - t/J)çt + (f(u) - f(t/J))çy + (w + Lt/J)ç).
il est clair que (6) est impliquée par (3) (resp. (4)). Pour prouver la. réciproque, nous
utilisons l'existence de p E Do tel que p > °p.p. sur n (il suffit de prendre p = (I - L)-I Po
avec Po E LI (n) n LOO(n), Po > 0 p.p. sur n, cf. [Ar, Pro 1-5]). Etant donné t/J E Do
et ç E D(]O, T] x IR; Do) (resp.
D(]O, T[xIR)), ç ~ 0, considérons pour tout À E IR,
0'>. E VX'(Q), 0',\\ E sign(u - t/J -
Àp) telle que l'inégalité intégrale de (6) en remplaçant t/J
par t/J + >"p soit satisfaite; faisant À ~ 0, À > a on a 0',\\ ~ 0'+ = sigIlo (u - t/J+) ·et donc
l'inégalité intégrale de (6) est satisfaite avec 0' = 0'+ ; de la même manière elle est satisfaite
avec 0' = 0'_ = signo(u-t/J-); il est alors clair qu'elle est satisfaite a.vec 0' = signo(u-t/J).
On a même:
JJJ signa(u - t/J) F dt dJl dy 2: 1 fff
F dt dJ.1o dy 1·
U
JJJ[u=l/JI
Remarque 3 : Notons aussi que (3) et (4) ne dépendent que des valeurs de f dans
l'intervalle [m_,m+] où m_ = iof essu et m+ = sup essu. En effet pour tout t/J E LOO(n)
et ç E D(R; LI(]O,T[xn)),
JJJ
signo(u - t/J) f( t/') çy dt dJ.1o dy =
Ul/J'1.[m_,m+1
f
f( t/J )dJ.1o ffçy dt dy -
f
f( t/J )dJl ffiy dt dy = O.
Jl/J<m_
JP
Jl/J>m+
Preuve du Théorème 2 : Notons d'abord que l'on peut toujours supposer que f vérifie
(1.1). En effet, étant donné u E C([O, T]; Ll(n x IR))nLOO(Q) considérons M > I/ullL'XI(Q)'
posons c = 11f'I/L':"~(-M.M) + 1 et définissons u(t,x,z) = u(t,x,z - et) qui est aussi dans
C([a, T] ; LI(n x IR))nLOO ( Q) avec ü(O) = u(O). Faisant le changement de variable y = z-ct
et utilisant la Remarque 3, on voit que u vérifie (3) (resp. (4)) si et seulement si fi vérifie
(3) (resp. (4)) correspondant à w(t,x,z) = w(t,x,z - ct) et n'importe quelle fonction j
vérifiant fer) = fer) + cr sur [-M,M] ; compte tenu du choix de c, on peut toujours
choisir j vérifiant (1-1).
88

Nous supposons donc main tenant que f vérifie (1-1) et adoptons les notations de la sec-
tion 1. Considérons d'abord u E C([O, T]; L 1(n x R)) n V)(;'(Q) vérifiant (4) et montrons
que u vérifie (1-24). Ceci montrera que les estimations (1-25), (1-26) et (1-27) sont valables
pour les solutions u de (4) et donc en particulier l'unicité de u vérifiant (4) et u(O) = uo.
Il est clair que Do est un core pour L ; il suffit donc pour prouver (1-24) de considérer
On utilise la méthode de S.N. Kruskov (cf. [Kr]) en dédoublant la variable y et considérant
u(t,x,y) et u(x,z). Etant donné p(y,z) E D(lR2 ), P ~ 0, on a en utilisant (4) avec t/J(x) =
u(x, z) et intégrant en z,
JJJJ signo(u - u){(u - ü) f.'p + (J( u) - feu)) çpy+
(7)
{ (w +Lxu) çp}dtdJ.L dy ~ O.
D'un autre côté, on a
8z (signo(u - u)(J(u) - f(ü») = - sigI1o(u - u)8z feu)
puisque f est monotone, et donc
J
J
(8)
signo(u - u)(J(u) - f(u»çpz dz =
sigI1o(u - u) 8zf(u)çpdz.
Intégrant (8) en (t, x, y) et l'ajoutant à (7), on obtient
JJJJsigno(u - ü){(u - u) ç' p + (J( u) - feu»~ e(p,l + pz)+
Stùvant S.N. Kruskov [Kr] (cf. aussi [BI]), ceci montre que retournant à une seule variable
y, pour tout p E D(IR), p ~ 0, il existe Q' E LOO( Q), Q' E signeu - u) telle que l'on ait
l'inégalité intégrale de (1-24).
Nous prouvons enfin qu'une bonne solution u de (1-23) vérifie (3). Puisque nous savons
déjà d'après la remarque 1 que (3) implique (4), utilisant les propriétés des bonnes solutions
développées dans la section 1, ceci achèvera la preuve du théorème.
Nous suivons la démonstration de la Prop. 2-11 dans [BI). Notons d'abord que, compte
tenu de la Remarque 2, (3) est équivalent à
89

v t/J E Do, V f. E D(IR; Do), f. ~ 0,30 E LOO(Q), 0 E sign(u - t/J)
telle que pour tout a ~ s ~ t ~ T
(9)
JJ lu(t)-t/J/f.dfldy ~ JJ lu(s)-t/Jlf.dfldy+
it JJ o{(u - t/J)Lzf.+(f(u) - J(t/J»f.y +(w +Lt/J)f.}drdfldy.
Approchant w dans LI(Q) par des fonctions en escalier de [0, T] dans
LI(n X IR) n LOO(n X IR) n BV(IR; LI (n», il est clair qu'il suffit de prouver (9) pour une
fonction w constante en temps à valeur dans LI(n X IR) n LOO(n x IR) n BV(IR; LI(n», ce
que nous supposons maintenant; approchant Uo on peut également supposer
Uo E LI(n x IR) n LOO(n x IR) n BV(IR; LI(n». La bonne solution u(t) est alors limite dans
LI(n x IR) uniformément pour t E [0, T] des solutions uE(t) du problème discrétisé
UE(t)
uE(t
f)
-
f
-
+ AuE(t) = w pour t > a
{ uE(t) = Uo
pour t ~ O.
Etant donné t/J E Do, f. E V(IR; Do), f. ~ a on a par définition de A
(10)
D'après l'inégalité de Kato (cf. [Ar]) compte tenu de la symétrie de L on a
on a aussi
et donc, en multipliant (la) par f. et intégrant, on obtient pour (i - 1) f < s ~ if ~
(j - 1) f < t ~ j f,
iE
E
E
lE
JJ signo(u - t/JH(w +Lt/J)f. +(u -l/J)Lx f. +(J(UE) - J(t/J»f.y} dT dfl dy.
90

Passant à la limite on obtient bien (9).
0
Remarque 4 : La preuve (sous l'hypothèse (1.1)) qu'une bonne solution u de (1.23)
vérifie (3) s'applique de façon immédiate pour montrer que u est solution faible de
au sens
1IJ {u(~t + Lz~) + f(u)~y + wO dt dJ1- dy = °
(11)
{VçE D(]O,T[xlRj Do).
La preuve du Théorème montre en fait que toute fonction u E C([O, Tl; L1 (flx lR))nLCX>(Q)
vérifiant (3) (ou (4)) vérifie également (11). Notons que ceci peut se voir directement sous
des hypothèses sur L, par exemple s'il existe une suite (tPn) dans Do telle que tPn -+ 1
p.p. et (LtPn) converge dans L1 (!1) + LCX>(f2) j par contre nous ne voyons pas comment le
montrer dans le cas général sans passer par l'intermédiaire des bonnes solutions.
3. Formule de représentation:
Dans cette partie on suppose
(1)
f : 1R ----1 lR est de classe C2 •
Compte tenu du Théorème 2, on peut associer au problème
(2)
un semi-groupe (Sf,L(t)) sur L 1 (!1 X R)
: pour Ua E L 1(!1 x IR) n V'O(U x R), u(t) =
S I,L( t) Uo est l'unique solution u E C([O, oo[ j LI (!1 X lR)) n LCX>( Q) avec u(O) = Uo vérifiant
(2.3) (avec w = 0) j puisque Ua ----1 u(t) est une contraction dans Ll(!1 X R) (cf. (1.25)),
elle se prolonge par continuité en une contraction SI,L( t) partout définie sur L1 (f2 x lR).
Dans le cas f == 0, l'équation (2) se réduit à
et on a pour tout t ~ 0
91

(3)
(SO,L(t)UO)(X,y) = (etLuO("Y))(X)
p.p. (X,y) E n x IR.
Dans le cas L = 0, l'équation (2) se réduit à la loi de conservation
(4)
et on a pour tout t 2: 0
(5)
(Sj,o(t) uo)(x, y) = (T(t) uo(x,. ))(y) p.p. (x, y) En X IR
où T(t) est le semi-groupe sur LI(R) associée à (4) sur ]0, oo[xIR pour Uo E LI(n)nLOO(R)
u(t) = T(t) Uo est l'unique solution u E C([O, oo[ j LI(n)) n LOO(]O, oo[xJR) avec u(O) = Uo
vérifiant les conditions entropiques de Kruskov
JJ signo(u - k){(u - k)et +(f(u) - f(kney}dtdy 2: 0
(6)
{Vk E IR, çE VelO, oo[XIR), e2: o.
Théorème 3 : Pour tout Uo E LI(n X IR) et T > 0
(7)
uniformément pour t E [0, T].
Preuve du Théorème 3 : Supposons d'abord que f vérifie (1.1) et posons
Nous allons mont.rer que
u - Gj(t)u
(8)
-------=:.....:.....:.- ---t Au dans LI (n X IR)
t
pour tout u E D(IR j D(L n. Puisque D(IR j D(Ln est un core pour A et Sj,LCt) = e- tA
(au sens de la théorie non linéaire), (7) résultera du théorème de Brézis et pazy [BP].
92

Fixons donc u E D(IR; D(L)) et montrons (8). Pour cela notons d'abord que f étant de
classe C2 et Uo E V(IR), alors d'après la méthode des caractéristiques, il existe to > 0 telle
que la fonction
(t, y) E [0, to] x IR -+ (T(t) uo)(y).
Soit Cl à support compact; on aura donc alors évidemment
(9)
Uo - T(t)uo -+ 8 f(uo) dans LI(IR) j
11
t
rappelons, puisque T( t) est une contraction, que
(10)
Ecrivons
u - Gf(t)u _ A
_ (u - 50 ,dt )u
L
)
u -
+ xU
t
t
u - Sf o(t)u
+So,dt )(
t '
- 811 f(u))+
et évaluons II(t), 12(t), 13(t) les normes dans L I (f2 x IR) des trois termes du deuxième
membre.
Puisque (50 dt)) est continue dans L I (f2 x IR), lim 13 (t) = O. On a
1
t-.O
1 (t) ~ JIl u(x, 0) - ~(t)u(x,.) - â f(u(x,. )) Il Ll (IR) dJ.l(x)
2
1l
et donc lim 12 (t) = 0 grâce à (9) et (10). De même lim II(t) = 0 puisque pour tout y E IR
t~O
t~O
tL
e
u(., y) - u(., y) ~ Lu(., y) dans L I (f2)
t
etLu("y)-u("Y)11
Il
)11
l1
t
v(n) ~
Lu(., Y Ll(n)·
Nous prouvons maintenant le résultat dans le cas général (c'est-à-dire sans supposer que
f vérifie (1.1)). On peut toujours supposer Uo E L I(f2 x IR) n LOO(fl x IR) ; soit
M> Iluollu"'(nXIR)' D'après la preuve du Théorème 2 on a
93

(11 )
(SfIL(t) UO)(X, y) = (Si,L(t) UO)(X, y + et)
où
c = I/J'i1U"'C-M,M) + 1, Î(r) = fer) + cr sur [-M, M)
et ! vérifie (1.1) (on peut toujours choisir 1de classe C2 ).
D'après la première partie de cette preuve on a
(12)
De (11) on déduit
(Gi(t)uo)(x,y) = (Gf(t)uo)(x,y - et)
puisque /IGf(t)uo/lL'x>coXIR) ~ /Iuollux>coxlR) < M, on peut itérer pour obtenir
(G i(tt uo)(x, y) = (Gf(tt uo)(x, y - net).
Passant à la limite, (11) et (12) donnent (7).
0
94

Bibliographie
[Ar] ARENDT (W.) : Kato's inequality: A charaeterization of generators of positive
semigroups.
Proc. Roy. Irish Acad. Vol. 84 A, n° 2, pp. 155-174 (1982).
[BI] BENILAN (Ph.) : Equations d'évolution dans un espace de Banach que1qconque et
applications.
Thèse de Doctorat d'Etat, Orsay (1972).
[B2] BENILAN (Ph.) : Sur un problème d'évolution non monotone dans L2(n).
Publications Mathématiques de la Faculté des Sciences de Besançon. Fascicule nO 2
(1975-76).
(B.e] BENILAN (Ph.), CRANDALL (M.G.)-: Complete1y accretive operators, in semigroup
theory and evolution equations.
Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 135, pp. 41-75 (1991).
(BCP] BENILAN (Ph.), CRANDALL (M.G.), PAZY (A.) : Evolution equation governed by
accretive operators.
A paraître.
[BP] BREZIS (H.), PAZY (A.): Convergence and approximation of non linear semi-groups
in Banach spaces.
J. Funct. Anal. 9, 63-74 (1972).
[EVZ] ESCOBEDO (M.), VAZQUEZ (J.L.), ZUAZUA (E.) : Entropy solutions for cliffusion-
convection equations with partial cliffusivity.
A paraître.
[Kr] KRUZKOV (S.N.) : First order quasilinear equation in several independent variables.
Mat. USSR Sbornik 10, pp. 217-243 (1970).
95
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Solution généralisé locale d'une équation quasi linéaire dégénérée du second
ordre, en collaboration avec M. Maliki.
Prépublication de l'equipe de Maths de Besançon n095/15, soumis.

Solution généralisée locale d'une équation
parabolique quasilinéaire dégénérée du second ordre.
Résumé
Nous étudions dans cet article l'équation quasilinéaire Ut + I(u)z = j3(u)xx + vsur Q,
de type parabolique pouvant dégénérée en hyperbolique nonlinéaire du premier ordre pour
certaines valeurs de (x, u). Nous introduisons une notion de solution généralisée locale de cette
équation, nous établissons le lien avec les notions de solution classique et de solution entropique.
Nous montrons, pour le problème de Cauchy associé avec une donnée initiale bornée, un
résultat d'existence et d'unicité de solution généralisée locale.
1
Introduction
Nous considérons l'équation E = EU, f3, v, Q)
(E)
sur Q,
où Q est un ouvert de lR?, J, 13 des fonctions continues de lR dans R, avec 13 croissante (au
sens large) et v E LLc(Q). Lorsque l, f3 et v sont régulières et 13' ~ c> 0, toute solution faible
U
E L'Loc(Q) de (E) est solution classique (cf [Di), [DT], [Si]). Par contre évidemment, ceci
n'est plus vrai dans le cas général que nous considérons: lorsque f3 == 0, (E) se réduit à une loi
de conservation scalaire, et il est bien connu (même avec 1 régulière) qu'il n'y a pas existence
de solution classique globale du problème de Cauchy associé et également qu'il n'y a pas unicité
d'une solution faible (cf [DA], [Kr] ).
La théorie de l'équation (E) dans le cas 13 == °est maintenant bien connue grâce à l'introduction
par S.N Kruskhov de la notion de solution entropique (cf [Kr], [KrP]); dans le cas où 13 est
strictement croissante, la théorie commence à être bien comprise grâce notamment aux travaux
de J.Carrillo (cf [Cl], [C2], [C3] ), (cf aussi [BT], [DK], [G], [GT] ), et il apparaît maintenant
clairement dans ce cas que le problème de Cauchy associé possède une unique solution faible.
Par contre dans le cas général où fi est constante sur certains intervalles de l'ensemble des
valeurs de u, les phénomènes de parabolicité (même trés dégénérés) et d'hyperbolicité non
linéaire vont être mélangé et il ne semble pas que le problème soit encore bien compris.
Nous nous proposons dans cet article d'introduire une notion de solution généralisée locale de
l'équation (E), en approchant (E) par des équations analogues avec des données régulières,
96

pour laquelle nous obtenons un résultat d'existence et d'unicité pour le problème de Cauchy
associé. Nous ferons le lien avec la notion de solution entropique de (E) .
Dans la première section, nous introduisons la notion de solution généralisée locale de (E),
et précisons les liens avec les notions de solution classique et de solution entropique.
Dans la seconde section, nous étudions le problème de Cauchy associé à (E), nous y
établissons un résultat d'existence et d'unicité de solution généralisée locale (cf. Théorème 9).
Nous montrons aussi que lorsque (J, (J) sont localement lipchitzienne, cette solution dépend
continument des données (cf. Proposition 14).
2
Solutions classiques, généralisées et entropiques
Dans toute cette partie on se donne f, (J E C(lR), où {J est croissante (au sens large ), Q un
ouvert de :IR? et v E LLc(Q). On fait la normalisation f(O) = (J(O) = O.
On considère l'équation E = E(J,{J,Q,v).
(E)
sur Q.
Précisons tout d'abord la notion de solution classique de (E).
Définition 2.1 (Solution classique)
On appelle solution classique de E(J, (J, Q, v), toute fonction U E C(Q) telle que
Ut,
f(u):r,
(J(u):r:r E C(Q)
et
{
(2 -1)
ut+f(u):r=fJ(u):r:r+v
sur Q.
Notons qu'alors v est dans C(Q).
Si U est solution classique de E(J,{J,Q,v) et JE C 1 (IR), (J E C2(JR) avec
f3' > 0 alors U E C 1(Q) et U:r:r E C(Q) et sur Q on a Ut + J'(u)u:r = fJ'(u)u:r:r + {J"(u)u~ + v.
Lorsque f, (3 E C 1( Q), v E C( Q), toute fonction U E Cl (Q) telle que Ut + f( U):r = (3(U ):r:r +
v dans ~(Q) est solution classique de E(J, (3, Q, v).
Introduisons maintenant la notion de solution généralisée.
Définition 2.2 (Solution génémlisée)
On appelle solution génémlisée de E(J,{J,Q,v) toute fonction U E LLc(Q) vérifiant: il
existe une suite (Jn,(3n,vn,un) dans C(IR) x Cm(JR) x C(Q)2 avec Un solution classique de
E(Jn,f3n,Q,vn) telle que
(2 - 2)
où on a noté Cm(JR) l'ensemble des fonctions de IR dans IR continues et monotones croissantes
(au sens large).
97

Notons que la notion de solution généralisée est fermée pour le passage à la limite défini par
(2), plus précisément on a de manière immédiate le résultat suivant:
Proposition 2.3 Soit (Jn, Pn, V n,un) une suite de C(IR) X CmeR) X Lioc(Qfl convergente vers
(J,(3,v,u) au sens de (2). Si pour tout n, Un est solution génémlisée de E(Jn,(3n,Q,vn), alors
u est solution généralisée de E(j, P, Q, v).
La notion de solution généralisée est une notion globale, il lui correspond la notion locale
de solution suivante:
Définition 2.4 (Solution généralisée locale)
On appelle solution génémlisée locale de E(j, (3, Q, v) toute fonction
u E LLoc( Q), vérifiant: tout point (t o, xo) E Q admet un voisinage ouvert QI dans Q telle que
la restriction de 11. à QI soit solution généralisée de EU,(3,Ql,V).
Il est clair que si u est solution généralisée (resp. solution généralisée locale) sur Q alors u est
solution généralisée (resp. solution généralisée locale) sur tout ouvert QI C Q.
Suivant S.N.Kruskhov [Kr], on définit la notion de solution entropique.
Définition 2.5 (Solution entropique)
On appelle solution entropique de E(j,P,Q,v) toute fonction u E LLc(Q) vérifiant: f(u),
(3(u) E LtoAQ) et pour tout k E IR on a :
%t lu - kl + :x (signo(u - k)(J(u) - f(k)))
(2 - 3)
{
82
~signo(u-k)v+ 8x !(3(u)-(3(k)1 dans 1Y(Q),
2
où signor = I~ 1pour r =1- 0 et 0 sinon.
Toute solution classique est solution entropique, plus généralement en utilisant un raison-
nement courant, on a le résultat suivant.
Lemme 2.6 Soit u,û deux solutions classiques de E(J,(3,Q,v), E(j,f3,Q,v) respectivement
alors:
~ (u - û)+ + :x(signci(u - û)(J(u) - f(û)))
(2 - 4)
{
~ signci(u - û)(v - û) +::2({3(u) - f3(û))+ dans 1Y(Q).
Preuve. L'inégalité (4) étant locale, ilsuffit de la prouver dans un voisinage de tout point
(to,xo) de Q. On peut supposer que Q =]tll t2 [x]a,b[. Il est bien connu que (4) est équivalente
,a:
lb(u(t) - û(t))+çdx ~ l b(u(s) - û(s))+çdx
+ it lb signci(u(T) - Û(T)){(J(U(T)) - f(Û(T)))Ç;r
(2 - 5)
+(,B(U(T)) - ,B(Û(T)))~rr + (V(T) - v(T))}~dxdT.
98

Pour tout t} < s ~ t < t2
et ç E V(]a, bD, ç ~ o.
Sur l'intervalle ]t},t 2[, la fonction lf'(t) = l b(u(t) - û(t))+~dx est localement lipschitzienne.
Fixons t E]t}, t2 [ et notons
w = {3(u(t)) - {3(û(t)) E G2(]a, bD
h = f(u(t)) - f(û(t)) E C2(]a, bD.
n = {x E]a,b[,u(t,x) > û(t,x)} est une partie ouverte de :R ; c'est une réunion au plus
dénombrable d'intervalles ouverts disjoints. Puisque
(2 - 6)
pour prouver (5) il suffit de montrer
(2 -7)
Soit Je, d[ une composante connexe de n, on a
id wrrçdx = [wrçJ: - id WrÇrdx = [wrç]: + id wçrr dx .
Puisque, w(x) ~ 0 pour tout x E)e, dl, on a çwr(e) ~ 0 et çwAd) ~ 0; d'où
id wrrçdx ~ id wçrrdx.
On a également
et donc:
ld(wrz: + hr)çdx :s ld(Wçrr - hçr)dx.
(2 - 8)
Ce qui donne bien (7) par sommation de (8) sur toutes les composantes connexes de l'ouvert
n.
0
Notant que pour tout k E IR, la fonction û =k est solution classique de E(j,{3,Q, 0), le
Lemme 6, montre que toute solution classique est solution entropique. En fait on a le résultat
suivant:
Proposition 2.7 Toute solution généralisée locale de EU, (3, Q, v) est solution entropique.
Preuve. il suffit d'établir (3) au voisinage de tout point (t o, xo) de Q. Étant donné (t o, xo) E Q
fixé, il existe QI un voisinage ouvert de (to, xo) dans Q, tel que u restreinte à QI soit une solution
généralisée de EU, (3, QI, v). Il existe donc Um {3n, vn, un) une suite de G(R) x Gm(IR) x G(QI) x
C(Qd tels que Un soit une solution classique de E(Jn,{3n, QI, vn) et (Jn,(3n,vn,un) converge vers
(f,{3,v,u) au sens de (2) sur QI. Appliquant le Lemme 6 à (un,k) et (k,u n) et sommant les
99

deux inégalités obtenues, on obtient
pour tout ~ E V(Ql)'~ ~ 0 :
(2 - 9)
{Jkl signa(un- k)(un- k)~t +(Jn(un)- fn(k))~z:
+(,Bn(un) - ,Bn(k))fu: + vç 2: O.
Faisant tendre n vers l'infini, compte tenu de (2), il existe a E UlO(Ql), a E sign(u-k) tel que
Jkl a{(u - k)çt +(J(u) - f(k))çz: +(,B(u) - ,B(k))~z:z: + vO 2: 0,
(2 - 10)
où on a noté par sign le graphe monotone de IR, défini par :
si r> 0
sign(r) = { t-1, +1]
si r = 0
-1
si r < O.
L'inégalité (10) est équivalente à (3) (cf [Be],[TJ).
o
3
Problème de Cauchy.
On suppose dans toute cette partie que Q =]O,T[xIR avec T > 0, et on se donne
Uo E LOO(IR), v E LLc(Q) vérifiant
(H)
{ p.p t E]O, T[ v(t) E LOO(lR), lT Ilv(t)IILOO(lR)dt < 00.
On considère le problème PC = PC(J,,B, v, uo)
Ut + f(u)z: = ,B(u)z:z: + v
sur Q
(PC)
{ u(O,.) = Ua
sur IR.
Définition 3.8 On appelle solution généralisée (resp. solution génfalisée local,!) du problème
de Cauchy (PC), toute solution généralisée (resp. solution généralisée locale) u de E(J, {J, Q, v)
telle que u( t) ---4 Ua dans Lloc(JR) lorsque t ---4 0 essentiellement.
Dans cette section on établit un résultat d'existence et d'unicité de solution généralisée
locale du problème de Cauchy. Plus précisément on a:
100

Théorème 3.9 Étant donné (v, uo) vérifiant (H)
1. n existe une unique fonction u E Loo(Q) solution généralisée locale de PC(j,/3,Q,v,uo),
de plus u E C([O, Tl, LLc(1R)), vérifie
Ilu(t)IIL oo (IR) ::; II uo llVlO (R) + l' IIv(s) IlLoo (IR)ds
(3 - Il)
pour tout t E [0, T); et est solution généralisée de PC(j,/3, Q, v, Ua) .
2. Soient u, û les solutions généralisées locales correspondant à (v, uo) et (v, ûo) respective-
ment; on a
II(u(t) - û(t))+II L1(lR) ::; lI(uo -tÛO)+IIL1(IR)
+1
(3 - 12)
{
11 (v(s) - v(s))+II L1 (IR)ds
pour tout t E [0, Tl.
La preuve du théorème s'obtiendra à l'aide du résultat suivant:
Proposition 3.10 Étant donné C > 0, considérons X l'ensemble des fonctions (v, Uo) de
V(Q) x Ll(JR), vérifiant (H) avec /IUoIILoo(IR) + l T Ilv(t)/ILOO(lR)dt ::; C, muni de la topologie
de Ll(Q) x L 1 (IR).
1. Il existe une unique application continue:F de C(IR) x Cm(JR) x X dans C([O,T],L1(JR))
telle que pour tout (j,/3,v,uo) E C(IR) x Cm{lR) X X, u = F(I,/3,v,Uo) soit une solution
généralisée de PC(j, /3, Q, v, uo) vérifiant, Ilullro(Q) ~ C
2. Soient QI une partie ouverte de Q, (1,/3, v) E C(JR) x Cm(1R) x C(Qd et
u = F(j, /3, v, uo) avec (v, uo) EX} û une solution classique de E(j, /3, QI, v) a/ors
~(u - û)+ +:x(signci(u - û)(f(u) - f(û)))
2
(3 - 13)
{
~ ~2(/3(U) - ,8(û))+ +(v - û)+ dans 1)'(Ql).
Nous allons démontrer ce résultat plus loin, nous en déduisons avant comme conséquence prin-
cipale la preuve du théorème. Établissons tout d'abord quelques résultats préliminaires:
Lemme 3.11 Soient C ~ 0, et w E LOO(Q), Wo E LOO ( IR), cE L1(Q)} w E C(JR) des fonctions
positives teI/es que w soit croissante} w(O) = 0,
Jh{~tW +CI~xxl +w(w)l~xl +c(t, x)ç} ~ 0,V~ E V(Q), ~ ~ 0
et w(t) ---------t Wo dans LLc(1R), quand t ~ 0+ essentiellement. A/ors
sup
{ w(t,x)dx ~ { wo(x)dx + {T { c(t,x)dxdt.
(3 - 14)
tE[O,Tl 1IR
1IR
10 1IR
101

Preuve.
Nous adaptons ici, la preuve du Lemme 4 de [Ba] (cf.
aussi [KA]) . Pour tout
o < s ~ t < T, ç E 'D(IR) et ç ~ 0
/IR w(t,x)çdx ~ fIR w(s,x)çdx
{
f f
(3 - 15)
+
J {Glçxx 1+w(w)/çx\\ + c(t, x )Ç}dxdt.
Q
Soit ç une fonction test vérifiant: ç(x) == 1 sur [0,1] et ç(x) = 0 sur [2,00[. Considérons
<n(x) = «1:.1) alors Çn E 'D(lR) et 0 <çn ~ 1, ç~ == 0 sur IR \\ {x E lR,n ~ Ixl ~ 2n}. Injectant
n
<n dans (15) et faisant tendre s vers 0+, on obtient:
f
w(t,x)dx ~ f
wo(x)dx
J{lxl$n}
J{lxI9n}
+~ fT f
Gdxdt +.!.. fT f
w( w)dxdt
(3
16)
n2 Jo J{n$IxI$2n}
n Jo J{n$lxI9n}
-
+ fT f
c(t,x)dxdt.
Jo J{lxI9n}
Il résulte de (16) que w(t,.) E LI(R). Pour b > 0 fixé, on a
rT f
w(w )dxdt < rT r
w(b)dxdt + fT f
w(w )dxdt.
Jo
J{n$lxl$2n}
- Jo J{nSlxl$2n,w(t,x)$cS}
Jo 1{n$1x19n.w(t,x»cS}
On a w(w) ~ Gw , où Gw est une constante positive, puisque w E LOO(Q), il en résulte que
.!.. rT r
w(w)dxdt ~ 2w(b)T
n Jo J{ns/xIS2n}
T
Il
(3 - 17)
{
+-Gw ,,"
w(t,x)dx.
n
U
{n$lxIS2n}
Puisque w(t) E LI(IR), on a lim f
w(t,x)dx = O. Faisant tendre n vers l'infini, ensuite
n-+oo J{n$l xI9n}
b vers 0+ dans (17), et passant à la limite, lorsque n tend vers l'infini dans (16), on obtient le
résultat.
0
Lemme 3.12 Étant donné V n, Un vérifiant (H) et Un, ûn des fonctions de Lloc([O, T] x IR) n
LOO(Q) telles que (un, Vn)} (ûn, Un) vérifient l'inégalité de Kato (4) et :
IIUn(t)IILOO(Q) + IIÛnIlLoo(Q) + l T (llvn (s)IILoo(IR) + lIun(s)IILoo(IR))ds < G
(un,vnL (ûn,i1n) convergent respectivement vers (u,v), (û,u) dans Lloc([O,T] x IR) x Lloc(Q)
alors
sup j(u(t) - û(t))+çdx ~ j(uo - ûo)+çdx+ fTf{lf(u) - f(û)llçx/
tE[O,T]
Jo
(3-18)
{
+(,8(u) - ,8(û))+lçxxl + (v - v)+ç}dxds.
pour tout ç E 'D(IR), ç ~ 0; et où on a noté u(O) = Ua, û(O) = ûo.
102

Preuve. Soient eE VeR), e~ 0, et t ElO, Tl, intégrons l'inégalité (4) entre 0 et t, on a
j (un(t) - ûn(t)tedx ~ j(Un(O) - ûn(O))+edx
+lt j {sign+(un - ûn)(f(un) - f(ûn))(r + (;9(u
;9(ûn))+~%%
n ) -
}dxds
(3-19)
+kt j(Vn - vn)+~dxds.
D'où, pour tout t E [0, Tl
il en résulte On a
limsup j(un(t) - ûn(t))+çdx = j(u(t) - û(t))+çdx ~ limsup sup jeunet) - ûn(t))+çdx.
n-oo
n ..... oo
tE(O,71
Compte tenu de (19) on a
JeUnet) - Ûn(t))+~dx ~ j(un(O) - ûn(O))+edx
+ lT f{If(u
(3 - 20)
n) - f(ûn)\\\\~.,\\ + (j3(un ) - j3(ûn))+\\errl}dxds
+ kT j (Vn - Vn)+edxds.
Faisant tendre n vers l'infini dans cette inégalité, on obtient
limsup sup jeunet) - ûn(t))+çdx ~ j (uo - Ûo)+e dx
n-+oo
tE[O,TJ
+1T f If(u) - f(û)\\\\ftl dxds + 1T
(3 - 21)
j(;9(U) - ;9(û))+\\(t:tldxds
+1T j (v - û)+çdxds.
o
D'où le lemme.
Preuve du Théorème 9. Fixons c> IlttoI\\LOO(lR) + kT IlV(t) 1\\ LOO (lR)dt.
1) Existence. Posons wn,m(x) = W+X!-n,nJ(x) - W-X[-m,m)(x)
et Un,m = :F(f,f3,vn,m,u~,m)
m
alors:
Un,m i um
quand
n ----t 00
et u
l u
{ Un,m l Un quand m ----t 00 et Un i g.
En effet ll un,mllr>O(Q) < C, puisque (vn.m, u~·m) E X. Utilisant l'inégalité (14), les suites
(Un,m)m et (Un.m)n sont monotones bornées, de même que (Um)m et (Un)n.
En effet, util-
isant la première étape, deux éléments quelconque de ces suites, vérifient l'inégalité (3-15) et
103

m
donc (3-12). On obtient alors u = lim u
et y. = lim Un, qui sont solutions généralisées de
m-+CX)
n--+CX)
E(f,f3,Q, v), par fermeture de la notion de solution généralisée.
Montrons que y. E C([O, T]; Lloc(R). Il résulte de (18) appliquée au couple (un,m, Un,q) que:
pour tout ç E V(lR), 0 ~ ç ~ 1, t Elo, T[
flR (Un,m(t) - Un,q(t))+çdx ~ fR (u~,m - u~,q)+ çdx
+l T fR{lf(un,m)-f(un,q)IIçrl+(un,m-Un,q)+ç
(3-22)
+(,B(Un,m) - ,B(un,q))+lçrrl}dxds.
En échangeant le rôle de Un,m et Un,q et sommant les inégalités obtenues on a:
flR IUn,m(t) - Un,q(t)lçdx ~ flR Iu~,m - u~,qlçdx
+l T flR{2If(un,m) - f(un,q)llçrl + IVn,m - Un,qlç
(3 - 23)
+LB(un,m) - ,B(un,q)IIçxrl}dxds.
En faisant tendre q vers l'infini, on obtient:
sup
f Iun.m(t) - un(t)lçdx ~ f Iu~.m - u~lçdx
~~nJlR
JlR
+l T flR{2If(un,m) - f(un)llçrl + IVn,m - unlç
+1,B(un,m) - ,B(un)lçxxl}dxds.
Faisant maintenant
m ---+ 00, il en résulte
lim sup {sup
f IUn,m - Un lçdx} ~ O.
m-oc
tE[O,n JlR
Et donc Un,m ---+ Un dans e([O, Tl, Lloc(lR)) quand m tend vers l'infini, en particulier Un est
dans G(rO, T], LLc(R)).
Reprenant le raisonnement précédent avec la suite (un)n, il en résulte aussi
limsup {sup
f Iun(t) - ~(t)lçdx} ~ O.
n-oo
tE[O,n JlR
pour tout ç E V(lR), 0 ~ ç ~ 1. On a alors:!! E G(rO, TL Lloc(lR)) et donc ~ est solution
généralisée locale de PC(f,,B, Q, v, uo).
Notons que d'après le procédé diagonale, il existe
(un, u3) E X tel que Un ---+ li dans C(rO, TL LLc(lR)).
2) Unicité. D'après le Lemme 11, il suffit de montrer qu'étant donné (v, Ûo) vérifiant (H) et
û solution généralisée locale de PC(f,,B,Q,v,ûo) alors (li,Û) vérifie (18). D'après le procédé
104

diagonale, il existe (vn,uô) E X telle que Un = F(J,f3,vn,uô) ~.!! dans C([O, T], Ll (lR) , où
oc
on a noté Un = vn,m(n) et Uô = u~,m(n). Appliquant le Lemme 12 à. la suite (û, un) on obtient
(18) ce qui entraine donc l'unicité et la propriété de contraction LI.
0
Maintenant nous nous attaquons à la preuve de la Proposition 10, pour cela rappelons
tout d'abord les résultats développés dans [BT], [T] pour l'étude du problème de Cauchy
pe(J, 13, Q, v, ua) par la théorie des semi-groupes non linéaires dans LI.
On définit l'opérateur A = A/,p dans Ll(R) par Au = (J(u)-f3(u):zJe sur le domaine D(A)
des fonctions u E Ll(IR) n BV(IR), f3(u) E Wl'OO(IR), h = f(u) - f3(u):z: E AC(lH.) et
Vx E IR, 0 ~ À ~ 1,
On a alors le résultat suivant:
Lemme 3.13 L'opérateur A = A/,p vérifie:
1. A est T-accrétif dans Ll(IR), c'est à dire
pour tout u, Û E D(A), À E IR:t
2. R(I + ÀA) => Ll(IR) n BV(IR) => D(A)
"lÀ? O.
3. D(A) est dense dans Ll(IR).
4. Étant donné une suite (Jn,f3n) E C(IR) X Cm(IR) convergente dans C2(IR) vers (J,f3),
alors (I + ÀA/ •
n pJ-l u
----t (I + ÀA/,pt lu dans LI (IR)} lorsque n tend vers l'infini, pour
tout u E L 1(IR) n BV(IR) et À E IR:t.
Preuve de la Proposition 10.
D'aprés la théorie générale des équations d'évolution dans un espace LI, l'exiutcnce d'une
fonction F continue de C(IR) x Cm (:IR) X X dans C([O, Tl, LI (R)) découle du Lemme 13, compte
tenu du Lemme 11 et du Lemme 12, l'unicité de F découle en fait du point 2); établissons donc
le point 2) de cette proposition.
On peut toujours se ramener au cas d'un rectangle QI =]Ul,U2[X]Xl,X2[' nous notons
1 =]Xl' X2 [. Étant donné E > 0 fixé, considérons la suite (Ui, Vi) telle que pour tout ta = 0 <
t l < .. , < t ~
n
T ~ tn+! avec ti - ti-l ~ E, VI, V2, ..., Vn,Mo dans LI (IR) n BV(IR) vérifiant:
i~~llt~l I/v(t) - vdIL1(IR)dt ~ E et Ilua - Yol/ ~ E
on ait: Ilu(t) - udIL1(IR) ~ 6(E) pour tout t E]t i - b td où Ui est définie par récurrence par:
Ui -
Ui-l + A/,f3U i :3 Vi et 6: R+ ----t lR+ continue avec 6(0) = 0 .
ti - ti-l
De plus pour tout u, Û correspondant à (v, ua) et (v, ûa) resp. on a l'inégalité (3-12), et si (v, ua)
105

vérifie (H) alors u satisfait à l'estimation (3-11). par la théorie et posons u((t) = Ui, v((t) = Vi
Ui -
Ui-l
sur ]ti - ll tJ On a alors
AUi = Vi -
.
ti - ti-l
D'autre part û est solution classique et donc pour tout s E!0'"1l0'"2[, û(s) E G(R) et
-f3(û(s))zz + f(û(s))z = v(s) - û,(s) sur J.
Utilisant la Proposition 1-1 de [T] on a pour tout ç E V(I), ç ~ 0
1signci(Ui - û(s)){(J(Ui) - f(û(s)))çz - (({J(udr - f3(Û(S))r)çr
{ +(Vi - v(s) - Ui - Ui-l + û,(s))e}dx ~ o.
t i - t i - 1
Intégrons cette inégalité en t sur ]ti - ll ti[
pour obtenir
(3 - 24)
Notons que pour tout k E lR, w E LLoc(Q) on a
signci(w(t) - k)(w(t) - w(t')) ~ (w(t) - k)+ - (w(t') - k)+,
et donc
Il en résulte
lt~llsignci(u((t) - û(s)){(J(u((t)) - f(û(s)))çz
-(f3(u((t)) - ,B(û(s)))ze.~ + (v((t) - v(s))}dxdt
(3 - 25)
+ h(U((ti-l) - û(s))+çdx ~ h(u((ti) - û(s))+çdx
-lit~l 1signci(u((t) - û(s))û,(s))çdxdt.
Étant donnés 0'"1 < a ~ b < 0'"2 et 0'"1 < e $ d < 0'"2
intégrons l'inégalité précédente en s sur
Je, dl· Notant que p.p. s E]O'"}, 0'"2 [ on a
106

on obtient
l it ( signci(uf(t) - Û(S)){(f(Uf(t)) - f(û(s»))çr
ti_1 J]c,d[X I
-(,B(Uf(t)) - ,B(Û(S»))rçr + (Vf(t) - v(s))ç}dxdsdt
(3 - 26)
+ {
(uf(ti-d - û(s))+çdxds ~ (
(Uf(ti) - û(s))+çdxds
J]c,d[X I
J]c,d[X I
+lit~1 i(u((t) - û(d»+ - (u((t) - û(c))+çdxdt.
Il existe des indices i et j tels que: ti - 1 < b $ ti
et
ti-l < a $ ti' Sommons l'inégalité
précédente entre i et j pour obtenir
{t. 1 signt(u((t) - û(s)){(J(uf(t» - f(û(s))çr
tj
]c,d[xI
-(,B(uf(t» - ,B(Û(S»))r)çr + (v((t) -v(s)+ç}dxdsdt
(3 - 27)
+id ds J{(uf(a) - û(s))+ - (uf(b) - û(s»+ }çdx
~ lt. dt ({(uf(t) - û(d))+ - (uf(t) - û(c»)+ }çdx.
ti
JI
Puisque (v,uo) E X, on a (cf [T]) Il,B(uf)rIlV(Q) + lIufllv»(Q) $ C,
où C est une constante,
indépendante de t > O. Faisant tendre t vers 0+, dans (27), il en résulte
{
( signci(u(t) - û(s){ (J(u(t)) - f(û(s»)))çr
J]a ,b[x ]c,d[ JI
-(,B( u(t)) - ,B(û(s) ))rçr + (v(t) - v(s))ç }dxdsdt
(3 - 28)
+ id ds J{(u(a) - û(s))+ - (u(b) - û(s))+ }çdx
~ lb dt J{(u(t) - û(d»+ - (u(t) - û(c»+ }çdx.
Posons
if>(s,t) = i(u(t) - û(s»+dx
et
1/J(s, t) = l {signt(u(t) - û(s) [f(u(t)) - f(û(s») - (,B(u(t)) - ,B(û(s»))r] Çr
{
+(v(t) - v(s»+ç}dx.
L'inégalité devient
lb id t/J(s,t)dsdt +id(cP(s,a) - cP(s, b))ds ~ lb(cP(d, t) - cP(c,t»dt.
107

Qui entraine (cf [Be],[BCP]), pour tout (11 < s :5 t < (12
4>(s,s) + l t 1/J(T,T)dT 2: 4>(t,t).
C'est à dire
l tl signci(u(T) - Û(T)){U(U(T)) - J(Û(T)))er
-(,8(U(T)) - ,8(Û(T)))r)er + (V(T) - V(T))+e}dxdt
+l(u(s) - û(s))+edx ~ l(U(t) - Û(t))+edx.
Ce qui termine la preuve de cette proposition.
o
Étant donné une fonction w localement lipschitzienne, on notera
Iw(x) - w(y)1
}
II w I!Lip(!rl$R) = sup{
lx _ Yi
' x f. y, Ixl :5 R, Iyl ~ R .
Sous l'hypothèse complémentaire J, ,8 localement lipschitzienne, la solution généralisée locale
dépend continuement des données, plus précisement on a :
Proposition 3.14 Étant donné Un,,8n, Vn, uo,n) E C(JR) x Cm(JR) x Lloc(Q) x LOO(IR) avec
Jn} ,8n, J, ,8 localement lipschitziennes telles que:
Jn ~ J, ,8n -t,8 dans C(JR),
{ (vn, uo,n) -+ (v, uo) dans Lloc(Q) x Lloc(JR).
vérifiant
et
(H')
VR> 0 3
WR > 0, tel que IlfnllLip(lrl$R) + Il,8nI!Lip(lxl$R) :5 WR
alors Un ~ U dans C([O, Tl, Llcx:(JR)) où Un, U sont les solutions généralisées locales correspon-
dant respectivement à Un, ,8n, Vn, UO,n) et (j,,8, V, uo).
Preuve. Soient R> 0, é > 0 fixés, il existe (v,ûo) E X tels que Un = :FU,,8,vn,û~) - t U
dans C([O, Tl, Lloc(lR)).
f
IUQ - ûoldx + fT 1 Iv - vldxds < ~
(3 - 29)
J1xl$R
Jo
Irl:sR
4,
et
sup
f
Iu(t) - û(t)ldx < e,
(3 - 30)
tE(O,TJ Jlxl:SR
108

où Û = :F(J, /3, v, Ûo) et U est la solution généralisée locale correspondant à (J, /3, v, uo). Notons
ûn = :F(Jn, /3n, v, ûo), par continuité de :F, on a
lim sup
(R Iûn(t) - û(t)ldx = o.
n-oo tE[o.T1 J]
(3 - 31)
D'autre part
(
lun(t) - u(t)ldx ~ (
lun(t) - ûn(t)ldx + (
Iûn(t) - û(t)ldx + (
lû(t) - u(t)ldx.
J1xl$R
J1xl$R
Jlxl$R
J,xl$R
Compte tenu de (29), (30) pour montrer que lim sup
(
lun(t) - u(t)ldx = 0, il suffit
n-oo tE[O,T[ J1xl$R
d'établire qu'il existe no E lN, pour tout n 2: no
sup 1
lun(t) - ûn(t)ldx < é:.
tE[O,T1
Ixl$R
Par le Lemme 12, pour tout ç E V(lR), ç ~ 0 et 0 < t ~ T on a
J
t
lun(t) - ûn(t)lçdx ~ Jlu~ - ûolçdx + 21 JIfn(un) - fn(ûn)llçxldxds
{
(3-32)
t
+21 Jl/3n(un) - /3n(û n)llçxx\\dxds + l T JIVn - vlçdxds.
Par approximation prenons ç(x) =
(1 +1'xl)2' on a alors lçx(x)1 ~ 2ç et lçxx(x)1 < fie.
L'inégalité précédente devient, compte tenu de (H')
Jlun(t) - TÛn(t)lçdX ~ Jlu~ - ûo!çdx +6w l t J
c
IUn - ûnlçdxds
{
(3-33)
+1 JIVn - vlçdxds.
Par le Lemme de Gronwall on obtient
6wcT
e-
Jlun(t) - ûn(t)]çdx ~ Jlu~ - ûolçdx +l TJIVn- vlçdxds.
(3-34)
e
Choisissant R~ assez grand tel que R~ > R et [
çdx < 4C ' il résulte
Jlxl~Rc
6wcT
e-
Jlun(t) - ûn(t)lçdx ~ -2é: + [ lu~ - ûolçdx + {T ( IVn- vlçdxds.
Jlxl$Rc
Jo J1xl$R.
En utilisant (25), pour N assez grand on a :
e-6wcT JIun(t) - ûn(t)lçdx ~ e, pour tout t E [0, T];
1
d'où puisque (1 + IRIF ~ ç(x) ~ 1 pour Ixl ~ R, on a
sup JIun(t) - ûn(t)ldx ~ é: pour tout n ~ N
tE{o.T1
d'où le résultat.
o
109

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[Kr]
Kruskhov (S.N.), Results concerning the nature of the continuity of solutions of parabolic
equations and sorne of their applications, Math. Zam. 6.1, 1969, 517-523.
[KrP] Kruskhov (S.N.), Panov (E.Yu.), Conservative quasilinear first order laws with an infinite
domain of dependence on the initial data, Soviet. Math. Dokl. Vol. 42, (1991), N°2.
[LB] Barthélemy (L.), problème d'obstacle pour une équation quasi-linéaire du premier ordre,
Ann., Fac.sc.de Toulouse, Vol. IX, N°2, 1988.
110

[LSU] Ladyzenskaja (O.A.), Solonnikov (V.A.), Ural'ceva (N.N.), Linear and quasilinear equa-
tions of parabolic type, TransI. of Math. Monographs, 23, 1968.
[OA] Oleinik (O.A.), Discontinuous solutions of nonlinear differential equations, Amer. Math.
TransI. (2), (26), (1963), p.95-172.
[Si]
Simondon (F.), Strong solution for Ut = cp(u)xx - f(t)'ljJ(u)x, Comm. in P. D. E. 13, 11,
1988, 1337-1354.
[T]
Touré (H.), Étude des équations générales Ut -cp(u)xz+ f(u)x = v par la théorie des semi-
groupes non linéaires dans LI, Thèse 3erne cycle, 1982, Université de Franche- Comté.
111

Partie III
COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE

Compact Attraetors for reaction-diffusion equations in IRN .
en collaboration avec E.Feireils, Ph. Laurençot et F. Simondon.
C.R.Acad. Sc. de Paris t.319, série l, p 147-151, 1994.

Compact attractors for reaction-diffusion equations ln RN
Abstracl - ln this Note. we consider a n:action-diffiJsion equation in R'" and show eltistence of
the m:uimal compact attraetor in weighted spaces LJ (R''', p (.r) d:r), wilh weight p going to zero
al
intinity.
Attracteurs compacts pour des équations de réaction-diffusion dans RN'
Rlsumi - On consjd~re ici IUle iquarion de riacrion-d~fJU$ion dans R''' li on irablir l'exurence d'un
arrracuur maxil1Ull compacr daru l'espace LZ (RN, P(z) tiz), où le poids p rend "US :iro à l'inJÏ1ti.
Version française abrégée - Dans cette Note, nous érudions "existence d'un attracteur
maximal compact pour des équations de r6cuon-ditfusion dans RN. L'existence d':mTaeteurs
dans le ClS d'un domaine borné est bien connue ([21, [9]. [10]), mais la méthode utilisée ne
s'applique pas ici, en raison de la non~ompacüé de l'injection de Hl (RN) dans L2(R"'). :-.lous
considérons le probléme (1.1) dans l'espace à poids L; (RN) [défini par (1.2)] avec "'! > N/2
et sous les hypothéses (HI), (H2) et (H3). L'érude de ce problème a été initiée par A. V.
Babin et :YI. 1. Vishik : dans [3], ils monrrenr J'existence d'un artr.lcteur maximal compact
pour la topologie faible de L; (RN) sous une hypothèse de croissance sur f. Nous montrons
ici l'existence d'un attracteur maximal compact pour la topologie fone de L; (RN) sous les
seules hypothéses (Hl), (Hl) et (H3).
Tout d'abord, on associe à (1.1) un semi-groupe continu sur L~ (RN) en utilisant la théorie
des opérateurs maximaux monotones [5].
PROPOSI1l0N 1. - Soil ..., E R. Sous les hypothim (HI) a (ID), si uo E L; (RN,) le problime
(l.l) admet Ul1e unique solution faible u E C ([0, +(0), L; (RN)) (au mu de (51) ;;irifiant
l i (0) = tLQ. De plus, le sani-groupe difini par St tto = l:- (t) m lipschitzi(71 dans L; (RN).
Le résultat principal de cette· Note est le suivant:
THËORSl;IE 2. - Soit,.., > N/2. Sous ks Irypothises (Hl), (li) et (H3), k semi-groupe (Sel
a un attracteur maximal compact dans L; (RN).
La preuve de ce résultat comporte trois étapes: on monrre d'abord l'existence d'un borné
absorbant positivement invariant Bo dans L; (RN) 1 puis l'existence d'un borné absorbant dans
H; (RN) 1 espace des foncuons de L; (R~) a gradient dans L~ (RN)~. On a ensuite la compacité
~ympcotique de (Sd en utilisant une méthode de décomposition ([8], [71) : pour 1/ > 0, on
décompose la solution u àe (1.1) en v + w, où v et w sont définis par (3A)-{3.7). On monae
alors qu'il existe T'l > 0 tel que V (T'l) vérifie (3.8) et tel que w(T'l) est dans L2 (RN). On
en déduit :llors le résult:lt suivant:
LE!vlME 3. - Sult 1/ > O. II aine T'l > 0 lel que ST" Bo ruimet Ul1 ruou7:remel1l fil1l par des
bou/es de L; (RN) de rayun inftrieur li ".
Le théoréme 2 esr :llors une conséquence du lemme 3 et des propriétés de Bo.
112

1. If'lTRODUCTION. - In lhis paper. we conslder reaclion-diffusion equalions in R:'I/ and
we $ludy exislence of a global compact J[lrJC,Or Recall lhat. in che case of J bounded
domain 12. lhe exislence of the il1ax:maj J[lrJCOr t'or re:lCrion-diffuslon equJ[ions WJS
invesligaled in several papers ([2). [9). [10] Jnd lhe references therein). In IhlS case. since
the embedding of Hl (12) in U (D) is compact. the existence of a bounded absorbing sel
in Hl (0) yields the exislence or lhe maximal altraClOr in L2 (0) [lOJ: When the domain
r! is unbounded. the exislence oï J boundd :!bsorbing set in Hl (!1) is noc surricienr for
che existence of the maximal illtrJcror. due 10 [he !Je!< of compactness or' lhe embedding
of Hl (12) in L" (12).
We consider the following problem:
Ut -
3U -7- 1 (u) = 9
ID RN X (0, +00),
(1.1 )
{
u(O)='UQ
ID RN:
in the weighled spaces
(1.2)
L~ (RN) = { umeasurable. J(l ~ ixI2)-'" u2 dI < -7X }:
"'( c:: R.
Let us now state lhe assumptions on the daca:
(HI)
1 E Cl (RN),
f (0) = Q.
(H2)
1 (u)u ~ ou2 - C2 :
0> O.
C2 ~ O.
(H3)
9 E L~ (R:'I/).
The tirst resullS for reaetion-<:liffusion equarions in unbounded domains are that of A. V.
Babin and M. 1. Vishik [3]. When -! < O. lhey prove thal. under some growth restrictions
on the nonlinearüy f, (1.1) has a compac: altrac:or in L~ (R''i). When: > NI?, !bey only
obmin !be existence aï a compact arrraClor for che weak topology of L~ (R:'I/).
HereJ,fter. we shall focus on rhe case -[ > N/2. Firsl. we consUUct the semigroup of
solutions to (LI) by the theory of maximal monocone operators in Hilbert spaces [5]. In
this way. we are able co remove Lf-Je growth conditions on 1 which are imposed in [3).
Next. we prove that. in fac~. che se:-Dlg,cup has a maximal anraClOr whîch is strongly
compact in L~ (11:'1/).
We now Slale our resulrs:
PROPOS mON 1.1. - Lee : E R. If (Hl) and (H3) are fulfiLled. for any Uo E L; (RN),
rhere exises Q unique \\\\Ieak so/wlon u in CUO: -:-x), L;(R Ii » la (1.1) in che sense oj
[51 wich u (0) ::: l.L<J. Moreover. Ihe sem/group defined by St (Uo) = U (t, .) is Lipschic~
coneinuous wieh respecr ro Uo in L: (liN)
THEOREM 1.1. - Lee -{ > NI'!.. Under assumpeions (Hl). (H2). (H3). che sem/group (Sd
has a ma.J:imal compace aUracror .A in L~ (fil:").
SimiIar resullS have been proved for oiller equacions in unbounded domains by severa!
Juthors ([ Il. [6], (Î]).
2. EXISTE~CE OF THE SE\\1IGiWUP. - \\Ve (Qosider : E R Jnd 'A'e derine Jn operalOr on
L~ (RN) by:
'·u':::: f ~ :R~~
~. {:J" - L~ :,Ro'.i'J' ',"
-
"_ ..... :r \\.
. ) \\.1
•
Au = -.:~u -rI (u),
'1
:: D (.-\\)
113

We put w = Cl + 2,'J. and assume that (Hl) and (H3) hold. We then prove that
(A + w Id) is maximal monotone in L; (RN) and that D (A) is dense in L; (RN).
Let P (u) = w u -T-g, U E L~ (RN); P is Lipschitz continuous in L~ (RN) and it follows
from (sf mat for any UQ E L; (RN), there exists a unique weak. solution to
du
-
+ A u +w u =P (u ),
u (0) = l.JQ,
dt
which we denote by t 1-> St l.JQ E C([O, +00), L;(RN)).
FurthefTTIore. (St) is a Lipschit.z continuous semigroup in L~ (RN) with Lipschit.z constant
e"" and. if Uo E D(A), t ....... St U<) is a strong solution [Q (l.l) (in the sense of (5]).
This completes the proof of proposition 1.1.
3. ExJSTENCE OF THE MAXIMAL ATTRACTOR. - In this section. we give a sketch of the proof
of theorem L2. Let 1 > N /2.
We denote by H; (RN), ilie space of functions of L~ (R~) with gradient in L; (RN)~
and put
te =
.
mm (1. Ja)
-
.
. 2"'1
We note· that
(3.1 )
STEP 1. - Existence aj a pasirively invariant bounded absorbing set in L; (RN).
LE.'-AMA 3.1. - There exists a bounded sel 8
c
0 in L~ (RN), St 8 0
8 0 , t ~ O. such that.for
any bounded subset 8 in L~ (RN), rhere exürs ta (13) > 0 such that St 8 C 80 , t ~ ta (8).
Sketch of proof. - We take the scalar product in U (R:'{) of (Li) with (p, u) (ar least
for strong solutions) and obra.in. using (Hl), (H2), (3.1) 3.fld Young inequaliry,
(3.2)
Lerruna 3.1 then follows from (3.2), Gronwall lenuna and the Lipschitz continuiry of
(St).
0
5TEP 2. - Existençe of a bounded absorbing set in H; (RN).
LE.'-AMA 3.2. - 77tere exists a bounded set Bl in H:, (RN) sudt thac St Ba C 8 1 , t ~ 1.
Sketch oj praof - For Uo E 8 0 , we take the scalar producr in U (R~) of (l.l) with
( - P. 'il u). integrate by parts and:
~ :t J
2
2
p.l'iluI dx+ Jp.ltluI dx+ Jvp.vu(Ut+f(u))dx
J
- Cl
p.l'i7 ul 2 dI ~ Jp.l6.ul-lgldx.
Nexr. we express 6u + 9 = Ut + f (u) and use (3.1), (Hl). (H3) and Young inequality
to obtain
(3.3)
Lemma 3.2 then follows in J c!assical way (rom (3.2). ! ~3) Jnd the uniform GronwaJi
lemma (lOJ.
0
114

STEP 3. - Asymprotjc compacrness of (Sd in L~ (RN).
Here. we decompose the solution u [Q (1.1) in u =v + w as in [7]. adapling a method
introduced in [8) for wave equations in bounded domains. More precisely, we prove lhe
following result:
LEMMA 3.3. - For any T/ > 0, chere exiscs Try > 0 such chat the set ST~ BD has a Imite
covering by balls of L; (RN) of radius less than 1).
Sketch of prao! - We decompose 1 == Il + h, where
(3.4)
r E Ii,
where C3 , COl depend on1y on Cl, C,!, ex and J.
°
Next, for /3 > 0, we consider a function X;3 E Coo (RN) satisfying
~ X ~ l and
if
11'1 ~ /3,
Xo (r) == { ~
if
Irl ~ 1 + ,B.
Let 1) > O. Since Xt3 -
0 as /3 -
+ee. there e:tists {3 = {3 ('11) such that
., .,
(3.5)
J 2j C 12dx < T/- a-
P.Xlig+
4
= 16'
Al this point., we fix (3 = {3(TJ). For Uo E Bo• we put u(t) = SI Ut) and decompose
u == v + w wilh
(3.6)
Vt -
6v + fI (v) == X;J (g - h (u)),
v (0) == 1.1<),
(3.7)
wt - 6.w + fI (v + w) - Idv) == (1 - XiJ)(g - h (u)),
w (0) == O.
(Note that 'U and w depend on T/.)
Now, following the arguments of Step 1 and using (3.4), we obtain exponential decay
of 'U in L; (RN) as t -
+cc; therefore, this last propeny and (3.5) ensure that there
exiscs T" > 0 such that
J
(3.8)
p.lv(T,,)12dx~:2.
Next, the function (1 - Xo) (g - h (u)) has compact support. Consequently, we cake the
scalar product in L2 (RI") of (3.7) with w and we infer from (3.4) and Gronwalilernrna that
Iw (T,,)!L, (R"') ~ C (T/),
hence, since P. (x) decreases to zero as x increases toinfiniry. there exists Ary > 0 such that
(3.9)
Lenuna 3.3 then follows from (3.8). (3.9) and the compacmess of the embedding of
Hl (B (0, ..1,.'1)) in U (B (0, A'l))'
0
Fioally. lheorem 1.2 follows from lemma 3.3. the propenies o{ Bl) and classical
:u-guments.
115

(II F. ABERCa. Exislence 3nd fin;te dimensionality of the global attraclor for evolUlion equations on unboonded
domains. J. Difftr~ntifJl EqualloflS. 83. 1990. pp. 85-108.
121 A. V. BABIN and M. l. VISH1K. Anrac:ol> oi panial differenllaJ evolutlon equations and eStlmaleS of ~ir
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Springer- Verlag, New York. 1988.
116

A Lyapunov funetional and long-time behavior for a degenerate parabolic
problem. en collaboration avec F. Simondon.
à paraître in Advances in Mathematical Sciences and Applications.
Vol 6, nO! (1996), p 243-266.

A 'LYAPUNOV FUNCTIONAL AND LONG-TIME BEHAVIOUR
FOR A DEGENERATE PARABOLIC PROBLEM
Abstract. We study a degenerate parabolic problem on a bounded domain in one
space dimension, with reaction and convection tenus, and we prove that this problem is
gradient-like: the w-limit set of any precompaet orbit belongs to the set of equilibriurn
points. We construct, for this purpose, a special Lyapunov funetional using a method of
Zelenyak.
INTRODUCTION
A dynamical system is said to be gradient-like, if the w-limit set of any precompact
orbit belongs to the set of equilibrium points. The bounded solutions of the semilinear
parabolic problem
Ut = Un + f(u, ux )
on a bounded interval, with Dirichlet-NewnaDil boundary conditions, have this property.
More precise1y, Zelenyak [22] in 1968 and Matano [13] in 1978 have independently proved
that the w-limit set of any precompaet orbit is a single point, sa that the global solutions
have a limit when t -+ 00. If we consider now the problem
Ut=~u+f(u)
on a bounded domain of IRn with Dirichlet-Neumann boundary conditions, there exists a
Lyapunov funetional ( see [14]) and the dynamical system defined by bounded solutions in
suitable spaces is also gradient-like. But, if f depends on the gradient Vu, the semiflow is
no longer gradient-like. In [91, an example of a periodic orbit is given in dimension n = 2
and PohiCik [17] has proved that very complicated dynamics can be found for particul
choices of f in any dimension n 2 2.
117

This paper is concerned with the fol1owing degenerate parabolic problem in one space
dimension. Let J =] - 1, 1[ and consider
on Q = IR+ X J
Ut = (<p(u))u + (g(u))z + feu)
on rn..+
(P)
u(·, ±1) = 0
{
.
u(O,·) = Ua
on J.
The initial data Ua E Loo(I), and we consider the fol1ov.ring assumptions on the coef-
ficients in the equation.
 0 such that
{
Col<p(r)lm o ~ <p'(r) ~ GI I<p(r)lm 1 V Irl ~ ro·
.
f(r)<p(r)
f E C1(IR), f(O) = 0, :3 0 ~ a < 1 such that bm sup 1 ( )1 +
0
1 < 00.
r--±ao 
2
0 such that Ig'(r)/ ~ G2<P'(r) V Irl ~ ro
.
Ig'(r)1
{
and :3 Il ~ 0 such that bm sup ( '())
< 00.
r--±oo
 1, fer) = rP , p < n, g(r) = r , q ~ n belongs to this
c1ass of coefficients.
\\Ve sha11 proye that these conditions are sufficient for the existence of a global weak
solu tion u of (P). Of course, it is not a classical solution, but we sha11 obtain two estimates
which are useftÙ for the study of the asymptotic behaviour of the solution: u is bounded
in Loo(Q), and (<p(u))z is bounded in LOO(IR+; L2 (I)), In fact, an estimate of the type
will allow us to conclude that our problem is gradient-like. In order to obtain this estimate,
we will adapt a method of Zelenyak for finding a Lyapunoy funetional to a sequence of
approximating problems. Let Un denote a smooth solution of an approximate problem.
Then we sha11 proye that there are two funetions If> n and pn with
1<l'n(x,l''(Un)(t,x),(<P(Un)),(t,x))dx <; C(T) for t;:> T > 0
and
118

where the constants C( T) are independent of n, and the following equality gives the ex-
pected estimate
If we are able to define a dynarnical system with our solution, i.e. if we have uniqueness
and continuity with respect to the initial data, then we shall provide a very simple proof
that the system is gradient-like. We consider two cases where, restricting our hypotheses,
we have enough regularity on the solutions of problem (P) to prove uniqueness results. In
the first one, considering only positive solutions, and taking a convexity condition on <p:
<p<p"
o< mo ~ -'2- S ml < 1,
<p
we prove that the constructed weak solutions are in fact strong solutions: Ut and (<p( u));u
are in Lfoc( Q) for sorne 1 < P < 2. In the second case, we remark that the constructed
weak solutions are the mild solutions defined by the general semigroup theory of [5]. Then
taking srnooth enough initial data Uo, we have u E Lip([O, T];LI(I)) for any T > O. In the
general case of a weak solution without a uniqueness result we rnay adapt a direct proof
of (12] to our problern involving only the variational definition of the solution, and the
w-lirnit set also belongs to the set of equilibrium points.
The organization of this paper is as follows. In section 1, we construct a Lyapunov
functional for convenient parabolic problems in one spatial dimension and establish sorne
estirnates of it. In section 2, we establish the existence of a global solution of (P), unique-
ness in certain cases and investigate its regularity.
In section 3, we conc1ude that our
problem is gradient-like.
I.
THE LYAPUNOV FUNCTIONAL
In the fol1owing lemma, by adaptating a method of Ze1enyak method [22, Lemma 1],
we find a Lyapunov functional convenient for our problem, and give an estimate of this
funetional . Consider the problern
(b(v))t = V
+a(v, v
on Q
(1)
xx
x )
{
v(', ±1) = c
on IR+
where c is a constant.
Lemma 1: Let a E Cl (IR2 ; IR) be such that
119

and
for two constants ao and al, and b E Cl ( IR ).
Suppose that tbe differential equation
y" + a(y, y') = 0 has a global solution on l for any initial condition (YOI Y~) E rn.2 • Tben
there exist two funetions p, cI>: l x IR2 ---t IR of class at least Cl, satisfying
and
7]2
1cI>(xl~,7])1 ~ eaO (2 +all~1) V (X,~,7]) EIx IR2
such that for any smootb solution of (1) we bave
(2)
Proof. In the paper of Zelenyak [22] b was the identity. With the same calculations, to
construct p and ci> we rewrite (2) as
and obtain that p and ci> satisfy (2) if they satisfy identically
(3)
whilst (3) holds if pis a solution of
8p
ôp
ap
aa
(4)
- + 7]- - -a = p-
ôx
ô~
Ô7]
Ô7]
and
w here Zl and Z2 are two functions chosen such that
8z1
8z2
a[(x,~) - a;(x,Ç) = p(x,çIO)a(~,O).
120

Take for example
By (4), remark that if we put p = eA , the function A satisfies the fol1owing partial differ-
ential equation
âA
âA
âA
âa
(5)
-
+ 1 ] - -
- a - -
=0.
ôx
â~
â1]
âT]
Now, consider the differential system describing the charaeteristics of this equation :
d~
-
=1]
(6)
dx
{ dT]
dx = -aCe, 1]).
By the hypothesis on the equation yU + a(y, y') = 0, (6) has a global solution on 1 for any
initial concütion (y, z) wruch we denote by
Sz:(y,z) = (e(x,y,z),1](x,y,z)).
Subsequently, by the method of charaeteristics
l x âa
A(x,y,z) = 0 âT](St-x(y,z))dt
is solution of (5). Therefore
(7)
IA(x,y,z)1 ~ ao
V (x,y,z) EIx IR2
and
p(x,y,z) = eA(:z:,y,z) ~ e- ao
V (x,y,z) EIx IR2 .
But
(8)
<ll(x,ç,T]) = -1f/(1] - v)p(x,e,v)dv + le p(x,v,O)a(v,O)dv.
So by (7) and (8) we obtain
121

Lemma 2. Let a(~, ry) == a(Ory + /3(0, a, /3 E Cl ( IR) be two bounded functions :
la(~)1 ~ ao and 1/3(0/ ~ al for any ( E IR, then the conclusions Lemma 1 hold.
Proof. We have only to prave that the system
d(
-
=ry
dx
dry
{ -
= -a(~)ry - 13(Ç)
dx
has a global solution for any initial condition ((0, ryo) E IR2. Note that for any solution of
this system
dry
1dx 1 ~ ao Iryl + al·
From this inequality the a priori estimate
for any x E IR follows. Therefore 1~(x)1 is also botrnded for any x E IR and thus the
solution is defined on lR.
Il.
EXISTENCE OF A GLOBAL SOLUTION
Consider problem (P) with Uo E VX'(I), and cp,! and 9 satisfying (Hl) - (H3 ). The
growth condition on f will permit us to show that problem (P) has a global solution.
The problem with this condition and 9 = 0 was studied in [20]. These results extend
several results obtained by Galaktionov [7], Nakao [15] and Sacks [18]. The conditions on
9 are such that the gradient term does not adversely perturb the regularity and allows the
obtainment of a uniform bound on l'(<p(u))x(t, .)12 • In fad, to obtain the latter bound,
the condition Ig'2(r)1 ~ C2<P'(r) V Irl ~ ro instead of Ig'(r)1 :$ C2<P'(r) Vlrl ~ ra would
be sufficient. However this would not be enough to estimate the Lyapunov funetional.
Remark that global solutions with decay estimates as t
- t
00 have been obtained by
Nakao ([16]), in the case f == O.
We will first establish a priori estimates on the smooth solutions of approximate
problems. Denote by Un the smooth solutions of
Ut = (CPn(u))xx + (g(u))x + fn(u) on QT = ]0, T[xI
(PTn )
u(., ±1) = a on ]0, T[
{
u(O,.) = UO n
on l
122

r ~ n and sup If~ 1 ~ sup If' 1 for each M > 0 and n E lN, f n -+ f and <Pn -+  0 such that
By classical results (see [11]) (PTn ) has a unique smooth solution Un'
Proposition 1. If (H3 ) is fulElled, then Un satisfies
IU n 1 ~ C( ess.sup Iuo 1) on QT,
Iunl ~ C(r) on [r, T] x 1
and
ll(<pc 2
Un))z 1 (t, x )dx ~ K( r) for t E [r, T],
the constants C and K being independent of n and T.
Proof. For simplicity, we drop the index n (until shortly before the end of the praof).
Let , ~ 1 and multiply the equation by(<p(u) - <p(ro))+-Y and remark that
r
lir
ifweputG(r)= Jo g'(s)(<p(s)-<p(ro))+"Yds. Define-y(r)=
0 (<p(s)-<p(ro))+-Yds,then
we obtain by the calculations of {20, Proposition 2] (for the case 9 = 0)
1
(9)
~-y(u)(t,.) ~ C(r,,) for t ~ r > O.
On the other hand, v = -u satisfies
Vt = (cp(v))u + (y(v))z + Jev)
with ep(r) = -ct'(-r), g(r) = -g(-r), fer) = -f(-r), and it is easy to see that cp, y, f
lr
have the same properties as 'P, 9 and f. Define W"Y =
(cp(s) - ep(ro))+"Yds. Then we
also have for any , ~ 1
1
1
(10)
W-y(v)(t,.) =
'lI"Y(-u)(t,.) ~ C(r,,) for t 2: r > O.
Remark now that
123

and analogously
But c.p is bounded on [-ra, ra], sa that, using (9) and (10) we have, for any 1 ~ 1 and
t~r>O
(11)
1,c.p(u)l/(t,.) ~ C(l) l(l+~/+mt-l(U)+~/-l(U)+ qJ/+mt-l(-u)+ qJl-l(-U)) ~ C(r, 1).
We can now multiply the equation in (PTn ) by 1c.p(u)I,-lc.p(u), integrate over 1 and use
(Rn). This yields by (11)
(12) 1utlc.p(u)I'-lc.p(U)(t,.) + Cr :'1)21 1(1c.p(u)IJ:.j-!c.p(u))x(t, .)/2
~ l(l/Ic.p(u)l' + >-Ic.p(u),,+a)(t,.) ~ C(r,,) for t ~ r.
Let b,(r) = l r Ic.p(s)1,-1 c.p(s)ds. The hypothesis on c.p implies 6,(r) ~ C(l + Ic.p(r)j,-m+l )
for aU r, and (11) yields
1
(13)
b,(u)(t,.) ~ C(r,,)
for t ~ r > O. Integrating (12) with respect to t, we get
(14)
We use now the strong energy estimate.
Multiply the equation in problem (PTn ) by
(c.p(u)h, integrate over 1 and denote t/J(r) = l r f(s)c.p'(s)ds, we get
Using Holder and Young inequalities, we have
(15')
But we can choose f.J, ~ ~ in the last condition of (H3 ) and (H3 ) implies that g'Z(r)c.p'(r) ~
C(c.p'2(r) + 1c.p(r)I'-lc.p'Z(r)) for, = 1 + ml(2f.J, - 1) . Then we have
19'Z(u)c.p'(u)u; ~ C(l l(cp(u))x\\Z + l(jc.p(u)I-Y-c.p(u)):lY)
124

and by (12) we get
1(1<p(u)IJ.jl<p(u))x(t,.W ::; C(T,-y) - c(-Y) j(6-y(U))t(t,.)
1
for any 'Y ~ 1. This yields
(16)
19'2(tt)<p'(u)u; ~ C(T, 'Y) - Ch) :t 1(61(u) + 6-y(u)).
On the other hand we have '!f(r) ::; CI<p(r)l + o~ll<p(r )1 0 +1 • It fol1ows from (11) that
for t ~ T,we have fI '!f(u)(t,.) ::; C where C is a constant depending on T. Let
-1
y(t) = ~ 11(<p(u))x' 2(t,.) + C j(61(u)(t,.) + 6-y(u)(t,.)) + C
'!f(u)(t,.))
for t > T. Then (15),(15') and (16) yield y'(t) ~ C(r,-y). Ifnow we first suppose that t/J(u)
lt+h
is non negative, C - fI'!f(u)(t,.) ~ C and by (13) and (14) we get
t
y(s)ds ~ C(T,h)
for t > T. Then, using the uniform Gronwa11lemma, we obtain y(t) ~ K(T) for any t 2: T,
hence
(17)
In one dimension this implies that <p(u)(t,.) is bounded in LOO(I) for any t ~ T and, if
[<p( tt)( t, x)1 ~ C then lu(t, x)1 ~ max(<p-1(C), _tp-1 (-C)) ::; C which constant does not
depend on n by our hypotheses on <Pn' Therefore liuIiL=([T.11xI) ::; C(T) and the second
and third estimàtes of Proposition 1 are proved.
It remains to drop the condition '!f(u) 2: O. Consider Uo E V(1) such that Uo ~ ut ::;
uo. And consider f E C1 (IR), \\Vith fer) == fer) for r ~ 0 or r ~ 0 and fer) 2: 1 and
j+(r) ::; fer) ~ f+(r) + 1 for r 2: O. And let u be the solution of (PTn ) with Uo as initial
condition and 7 instead of f. By the maximum principle, u 2: 0 sinee f(O) == 7(0) = 0,
and u ~ u since feu) ~ f+(u) ~ 7(u). 7 satisfies the hypothesis, and we have '!f(u) =
f: f(s)<p'(s )ds ~ O. By the proof ahove we get
u(t,.) ::; u(t,.) < C(T)
for any t ~ T. Analogously, we prove that u(t,.) > -C(T) for any t ~ T and
l\\ullL=([r,11xI) ::; C(T). Then C ~ 1'!f(u)(t,.) is bounded for t 2: T and we have (17) as
above.
Let Co == ess.sup luo 1 and (0 = max(Co + 1, ro + 1). Then there exist.s an interval [0, TO]
such that there exists a unique solution of e = À(<p(o)a + 1 wit.h (0) == (0 satisfying
ço - t ~ ç(t) ::; (0 + t. Now consider N large enough that
1
1
V n ~ N, 'Ir E [ço - 2' ço + 2]'
125

We use again the index n. It remains to show that Un is uniformly bounded on [0, TO] x 1
independently of n. To this end, consider the differential operator
Ln(v) = Vt - (<Pn(v))xr - (g(V))3; - fn(v).
Then Ln(u n ) = 0 and Ln(e) = À(<p(e))Q + 1 - fn(f,) ~ 0 on ]0, TO[XJ and Un 5 f, on
the parabolic boundary of this open set.
It follows from the maximum principle that
Un :S f. 5 f.o + t on [0, TO] x J. Similary we get Un ~ -ço - t. We conclude that
1
\\l u nl1u:"(QT) :S max(eo + 2",C(TO))
Remark for later use that the strong energy estimate gives here
(18)
lt+h 1Un'(<P(Un))t 5 C(T)h for t ~ T.
Definition 1. A weak solution of (P) with initial condition Uo E Loo(I) is a funetion
U E LOO(Q) nC(IR+ x 7) with (<p(u))x E LOO(]T, 00[; L2(I)) for any T > 0, satisfying
+l
(19)
(
(uet+<p(u)ça-g(u)e3;+f(u)f.)
ç(O)UO =0
lQT
I
for any f, E C2 (Qr) with ç(T,.) = 0 and ç(., ±1) = 0 for any T > O.
Proposition 2. Letuo E Loo(I). Un der (Hl), (H2 ),(H3 ), thereexistsaweaksolution
U of(P). Moreover let h(r) = l r V<P'(s)ds tben
(20)
(h(u)), E L2(]T,00[XI) for any T > O.
Proof. Consider the solution Un of (PTn) and Un, the solution of (PTn) for T < T,
tin = tin on Qr by uniqueness of the solution of (PTn ). Then we can define Un E C(Q)
solution of (PTn) for any T > O. Un satisfies Proposition 1. Therefore <Pn(u n) is bounded
and locally equicontinuous on Q by the estimate on (CPn( un)):r and Kruzhkov result [10]
(see also [8]). Then, there exists v E C(Q) and a subsequence of <Pn(u n) that we also note
<Pn( un) such that
<Pn(U n) ~ v
uniformly on compact subsets of Q. Set U = <p-l(v). Remarking that <pn ~ <P tmiformly
on compact subsets of IR and that
1<p(U n) - <p(u)l :S l<p(u n) - <Pn(un)1 + l<Pn(un) - vi
we obtain un(t, x) ~ u(t, x) for any (t, x) E Q. But Un, 'Pn(U n ), g(u n), fn(u n) are bounded
on Q therefore these sequences converge to u,<p(u),g(u),f(u) in L2 (Qr). The function Un
satisfies (19) for any T > 0 and eE C2 ( Qr) with ç(T,.) = 0 and ç(., ±1)) = 0 and for
any n, in view of the above convergence, we pass to the limit as n goes to infinity and we
obtain (19) for u.
126

We now proye that <pC u) is continuous up to rn.+ x al. By Proposition 1,
11(<p(u))zI2(t,.) is bounded for t 2 r >O. Thus <p(u)(t,.) is continuous on Ï, and
cp(u)(t,±l) = 0 and Icp(u)(t,x)1 ~ C(r)lx ± lit, hence <peu) is continuous on rn.+ x Ï.
1001
It re~ains to proye that
Ut<P(U)t ~ C(r). Let C > 0 be a constant such that
lICPn(u n)IILoo(Q) ~ C, and denote by bn E Cl (IR) a unifonnly bounded sequence offunctions
1
such that bn(Ç) = <p;I(Ç) for I~I ~ c. If we set an(~,7J) ::: J.,(bn(Ç))7J + fn(bn(Ç)), then
CPn
1
our assurnptions imply 1i,(bn(Ç))1 ~ ao and Ifn(bn(~))1 ~ al V ~ E IR for sorne constants
<Pn
ao and al. And Un = CPn( Un) satisfies
Then, by Lernma 1, Lemma 2 and Proposition 1 we get
Let hn(r) = l r ~ds then from the above
(hn(un))t ---+ X
weakly in L 2 (]r, 00[; l)
But
hn(u n) ---+ heu) uniformly on compact subsets of Q
consequently, X = h( u)t and the proposition is proved.
In the general case, we are not able to proye a uniqueness theorem for weak solutions of
problem (P) so we cannot define a dynamical system with the solutions given in Proposition
2. We shall now consider two cases where additional conditions on t,he data giye more
regularity on the solutions and hence the allow us to proye uniqueness thoo:œms.
Case 1. Strong solutions
Definition 2. A lunetion u E C([O, 00[; LI (I)) is called a strong solution ol (P) with
initial condition Uo if it is a weak solution ol (P), such that Ut and cp( u)x:z: are in L}oc(Q).
"Te have the fol1owing lemma.
Lemma 3. Let u, û be two strong solutions ol (P) with initial conditions ua, Ûo then
lor any t > 0 we have
(21)
127

where for c = max(IIuIILOO(Q), lIûllLoo(Q»), K = max 1J'(r)l.
lrl~c
Proof. Let u and û be two st~ong solutions of (P). Furthennore, let a, {3 satisfy
-1 < a < {3 < 1, and 0 < r. Then for a.e. t > r the following holds
(22)
[fJ (u-û )tsgn+(u-û)(t, .) = [
. ((<Ptu)-<p( û ))xx +(g( u)-g(Û)}.:+ f( u)- f( û»(t, .).
Ja
Ju>u
Since u and û are continuous, we have {x E]a, .B[; u(t, x) -û(t, x) > O} = UiEJ]ai, bi[ where
J is a countable set. li ai =F a and bi =F (3, then u - û is zero at ai and b, and
(g(u) - g(û»(b,) - (g(u) - g(û))(a,) = 0
and
(<p(u) - <p(û»r(b,) - (<p(u) - <p(û»r(ad ~ O.
The latter holds because <p is increasing. From (22) we obtain
l fJ
(23)
(u - û)t ~ [(<peu) - <p(û))+ r]~ + [(g(u) - g(û))sgn+(u - û)]~ + K ifJ(u - û)+.
Consider
l t
l t
i(X) =
(<p(U) - <p(û))+(s,x)ds and b(x) =
(g(u) - g(û»sgn+(u - û)(s,x)ds.
Then,for a.e. x E l, ,'(x) = jt(<p(U) - <p(û))+ r(s,x)ds.
For all n E lN, there exist an, {3n, -1 ~ an ~ -1 +.!.., 1 - .!.. ~ {3n ~ 1, such that
n
n
,'(an) ~ 0 and ,'({3n) ~ o. (Aetually, if " < 0 on ] - 1, -1 + .!..[ then 0 ~ ,(-1 + .!..) <
n
n
,( -1) = O. The same argument works in +1. Integrating (23) over ]r, t[, we obtain
l fJn
(u-û)+(r,.)+,/(,Bn)_,/(an)+b(,Bn)-b(an)+K l t I fJn
(u-û)+(t,.) = lfJn
(u-û)+.
an
an
r
an
From u = û = 0 on 81 and the continuity of g(u) - g(û), it follows that b(an) ~ 0 and
b(,Bn) ~ 0 as n ~ 00. Therefore
lt
(2,1)
l(u-û)+(t,.)~ h(u-û)+(r,.)+K i(u-û)+
and (24) implies (21) using the fact that u - û E C([O, 00[; LI (1))
\\Ve shall establish the existence of a strong solution of (P) only for positive initial
data. Consider the following new assumption on the coefficient  0 ,<p(O) = 0,
(HD
<p(r)<p"(r)
{ <p'(r) > 0 and 3 mO,ml such that 0 < mo $
<p'2(r)
~ ml < 1 V r > 0,
,
1
so that <p is an increasing convex function, and ....:E- is increasing and ~ is decreasing
<pmo
<pml
on IR+', and
128

,
(H~)
limsuprl(2,)'(r)1 < 00.
r-O+
c.p
Consider assumptions (H2) and (H3) only on [O,oo[ and note that (HD implies that (Hd
is satisfied on [O,oo[ and that (H~) is also satisfied if g(r) = r q and c.p(r) = r n , for q 2 n.
Proposition 3. Assume tbat (H~),(H2),(H3),(H~)boldo Tben for any Uo in
(LOO)+(1), tbere exists a unique strong solution of(P). More precisely Ut, rp( u)xx E Lfoc(Q)
for some 1 < P < 2, (g(u»z E L~c(Q) and U satisnes (20).
We will first establish a priori pointwise estimates on the smooth positive solutions of
approximate problems, for this, we change our approximation a little. Denote by Un the
smooth solutions of
Ut = (lp(u))r: + (g(u))z + In(u) on QT
(PT~)
u(.,±l) = -
on ]O,T[
n
{
1
u(O,.) = UO + -
n
on I.
n
Here, as in [20], ln E COO([O,oo[), In(r) = °Vr E [O,~], In(r) ~ '\\rpQ(r) for r ~ ro, ro
a fixed real number, ln constant for r 2 n and sup I/~I ~ sup 11'1 for each M > 0, n E lN'
[O,M]
[O,M]
and f n ~ f uniformly on compact subsets of IR + , UO n E V(1), 0 ~ UO n ~ ess.sup Uo,
UO n ~ Uo E LI(I).
By classical results of [11], (PT~) admits a unique smooth solution
Un
(Un
E CI,2(QT), U nr ' Unt E CI,2(QT))' Moreover Un 2 ~ on QT by the maximum
principle. And a little change in the previous proof shows that Un satisfies the estimates
of Proposition 1.
Lemma 4. Suppose that (Hd, (H3 ) and (H~) are fu11i1led, and let T> O. Suppose
furthermore that Un, tIJe solution of (PT~) satisnes Un $ c on QT' Then for any t 2 r > °
and x E I we have
(25)
(26)
Moreover, there exists p, 1 < p < 2 such that, for r ~ il < i 2 ~ T, and -1 < a < b < 1
(27)
129

where the constants do not depend on n and T.
Proof. As in [19], we use a modification of the Bernstein method due to Bénilan.
Write u instead of Un and put p = (<,o(u)l(u~ g(u) for k E C2(]0,ooD with k(r) > a for
r > O. Then p satisfies L) (p) = a on Qr where
<,0" k
g<,o"
k'
(28)
LI (v) = Vt - <,0'(u)vu - vV x(7(u) + 2k'(u)) + v:r( 7(u) + 2 / (u) - g'(u))
kk"
gk"
</>'
g2 k"
k' f
' f
</>'
-v3 _(u) + 2v 2-(u) - v(-(u) + -Cu) - -Cu)) - ( L - 2 )
<,0'
<,0'
<,0'
<,0' k
k
k
k<,o'
with </> = <,o'f, then taking k(r) = er - <,oCr), with e = 1 +max <,0', and
[0 ,cl
çt(t,x) =
f 2(C + ~), with f = ±1, C ~ a and K > 0, we get fLI(çt) ~ a for C and
1 - x
tl
K large enough (see the details of the calculations in the appendix). By the maximum
principle we have
K u(t,x)
l(<,o(u))x(t, x) + g(u)(t,x)l::; e(C + -1)
2'
fi
1- x
Rence for t ~ r, and x El, (25) is fulfilled.
Now, let q = (<,o(u)k Then q satisfies L2(q) = a on Qr where
,
"
(29)
L2(v) = Vt - <,o'(u)vxx - g'(u)vx - (f'(u) + (!L, )'(u)(ep(u))z)v - !L2(u)v2.
<,0
,
<,0'
K <,o(u)(t,x)
If ((t,x) = -CC + t ) (1 _ x )2 for C ~ a and K > 0, then we have L
2
2 (() ::; a for C and
K large enough and (26) by the maximum principle (see the details of the calculations in
the appendix). Note that (26) is a local version of the Aronson-Bénilan estimate for the
porous medium equation (see [1]).
Now (27) follows from (26) and (18) by Bénilan's method [4] (see also Proposition 5
of [19]).
Proof of Proposition 3. Let Un be the sequence of solutions of (PT~), for any posi-
tive T. It converges to u, a weak solution of (P) as in Proposition 2. In order to prove t.hat
U E COO, T); U (I)), assume first that Uo E V(I).
Then, by the strong energy estimate,
and using (15), repeating the argument in the proof of Proposition 1 we obtain
y'(t) ::; C
for a < t < T
where
y(t) = ~ l'(Ip(un ):r,2(t,.) + l(Ip)(un)(t,.) + <?"((un)(t, .)) + C -1 tjJ(un)(t,.)
130

for a suitable choice of ,. Therefore
and (15) gives
(30)
Set V n = cp(un ). Then (30) yields IlVntIlL2(O,TiL2~1» ~ 2Tmaxcp'(u n )C(uo,T) ::; C. It
follows that V n is equicontinuous from [0, T) into L (I) with values in a bounded subset of
Hl (1). Hence, by Ascoli's theorem, V n ---+ V in C([O, Tl; L2(I» and cp(u) = v, and this is
sufficient to have proven that u = cp-I(V) E C([O, Tl; LI(I».
If we remove now the condition Uo E 1'(1), we cau take a sequence UOk E V(I) such
that Uo k ----+ uo in LI (I), and consider Uk the solution of (P) in QT defined as above, with
UOk as initial condition. According to Lemma 3
Therefore there exists a U E C([O, Tl; LI (1»
such that UA: --+ U in C([O, Tl; LI(I), and
clearly, with the other estimates on Uk, U is a solution of (P) on QT with iIÙtial condition
Uo in the sense of DefiIÙtion 2.
The inequality (27) yields Ut E Lfoc(Q) for some 1 < P < 2. Thus (tp(u»x:z; is also in
Lfoc(Q) because (g(u»z E L~c(Q) (recall that l(g(u»xl ~ CI(tp(u»xl with our conditions
on the data) and f (u) is a continuous function. Remark that the equation of (P) is satisfied
almost everywhere. UIÙqueness is a consequence of Lemma 3.
Case 2. Mild solutions
We will now use general semigroup theory to derive the global existence of mild
solutions with more general data (tp,g,uo). The weak solutions of Proposition 2 are in
fact mi Id solutions. So, with suitable smooth initial data Uo, they have the regularity
u E Lip(O, T; LI(I» for any T > 0, and this gives the uIÙqueness result of Lemma 6 below.
Let us state a general existence result for mild solutions.
Suppose that l = )a _, a+ [ is an open interval of IR. Vve denote by 81 := {CL, O'+} nTIl
the bOlll1dary of l in IR. In this section we will consider merely the fol1owing assumptions
(31)
{ cp is continuous and nondecreasing
9 is continuous,
(32)
fis Lipschitz continuous and 1 J'(r) 1 ~ w
V r E il\\.
131

(33)
Now consider the problem
Ut = cp(u)u + g(u)x + f(u) + v on QT
(PE)
{ u = 0on ET =]0,T[x8J
u(O) = Uo in J.
Denote by A = A"",9 the LI (1) operator defined by
Au 3 v
{:::=}
(i) u E BV(I)nLI(I),v E L I(1),-cp(u)x -g(u) = H(u) E BV(I),
1
(ii)
signo(u-k){(H(u)-g(k))çx +vo ~
(34)
L signo(k) e(a)[H(u)(a) - g(k)]ç(a)
aE81
V k E IR,ç E D(IR),ç ~ 0,
(iii) cp(u)(a) =0
VaE8J,
where €(a_)
= 1,€(a+)
= -l, signo = R for r =1- 0 and signoO = O. This means that
formally Au = -cp(u)xx - g(u)x in the domain D(A). The c10sure of A, Ais m-T-accretive
in LI(I), with a dense domain and V >. > 0 there holds R(I + >'A) ::::> BV(I) n LI(I).
Moreover the map (cp,g) -- A"",g is continuous, (see [6, 21]).
Since f satisfies (32), it defines a Lipschitz continuous operator on LI(I), with domain
DU) = LI (1) ::::> D(A). It follows from the general theory of evolution equations governed
by accretive operator (see [3, 5)) that B = A - f + wJ is m-accretive in LI(I). Denote by
P E( cp, g, f, uo, v) the problem (P E) with data cp, g, f, uo, v. Then we have the following.
Lemma 5. Suppose that (31), (32) and (33) hold.
i) There exists a uruque mild solution u E C([O, T]; LI (I)) of (PE) and we have the
LI -contraction property, i.e.
ifu [resp.
û} is mild solution of PE(c.p,g,f,uo,v) [resp.
PE(c.p,g,f,ûo,iJ)] then:
lIu(t) - û(t)lIu(I) ~ ewtlluo - ûollu(I) + lt ew(t-s) Ilv(s) - v(s)II Ll(I)ds.
(ii) A rillld solution of (PE) is continuous with respect to (<p,g,j,uo,v) that is: let
('Pn,gn,fn,uo,n,v n) be sequences of functions such that (31), (32) and (33) hold (with
w independent of n) and
cpn -- cp in C(IR),
gn -- gin C(IR)
and
fn -- f in C(IR)
132

uniformly on any compact set of IR ,
then Un, the mild solution of PE(r.pn, 9n, ln, UO,n, vn) converges in C([O, TJ; LI (I)) ta U tbe
mild solution ofPE(cp,g,j,uo,v) as n -+ 00.
ProoL. Since A - 1+wI is m-accretive in L 1(1), from the general theory of evolution
equations in Banach spaces (see [2]) follows directly the first part of the lemma. The
continuous dependence ofmild solutions of (PE) with respect to (CP,9,UO'v) follows from
Theorem 2 of [6J. It remains to show that it is also continuous with respect to f. By genera.l
semigroup theory it is sufficient ta show that the map (cp, g, f) -+ A~.9 - 1 is continuous
with respect ta f. To see this we consider a sequence (fn) satisfying the conditions of the
lemma. Let B n = A~,g - ln, B = A~,g - l, ~ > 0, ~w < l, and V E BV(I)nLl(I). Then
there exists a Un E BV(I) n L 1(I) such that Un + ~Bnun = V which is equivalent to
Using Lemma 4-4 of [21J and the uniform Lipschitz condition on ln we obtain
(1 - ~w)var Un ~ var v+ 1veeL) 1 + 1v(fr+) 1
(1- ~w)lIunllu'O ~ II v llux>
(35)
{ (1 - ~w)lIunllu ~ Ilvllu
II/n(u n )lIu + II/n(u n )II L oo ~ C.
Tt fol1ows that the sequences (un) and (In (un)) are compact in Lloc(I).
To see that a limit u of a subsequence of (un) is equal to uoo , we show that Bü = v.
Let u be the limit of any subsequence, which we denote again by (un). By (35)
in Lloc(I), and then (cp(u n ))% -+ (<p(u))% in Lloc(I).
Using now (32) and passing to the limit in (ii) as in [6}, we get that Bu = v. In the
case where l is unbounded we conclude as in [21], that Un converges to Uoo in L 1(!).
~
If in addition, Ua and v are smooth and <p is increasing, then we obtain the uniqueness
(and existence) of weak solutions of (PE). More precisely, we have the fol1owing.
Lemma 6. Suppose that (31) and (32) hold and let v E BV(O, T; LI(I)) be such that
T
1 IIv(t)IILoc> dt < 00, and Uo E L1(I) satisEes
Ifep is increasing, then there exists a unique solution U E C(QT)nLOO(Qr)nLip(O, T; L 1(I))
of:
133

(Pl)
{ Ut = <p(U)u +g(u)~ + f(u) +V in 'O'(QT)
u(O) = Uo on l, u = 0 on LT = ]0, T[xâl.
ProoE. Consider v E BV(O, T; Ll(1)) and let u he a mild solution of (PE). Recall that
(see [3,5]) the generalized domain of B = A - f denoted by ÏJ(B), is characterized by the
fact that u is Lipschitz continuous on [0, T] if and only if Uo E D(B). Since f is Lipschitz
continuous it follows that ÏJ(B) = ÏJ(A). It is c1ear that if u is Lipschitz continuous in
[0, Tl, then f(u) is also Lipschitz continuous in [0, Tl. Since by (H4), Uo E D(A) n LOO(I)
and there exists a unique solution of (PE), which is a solution of (P') (see [21, Propositions
2-2, 5-3 and Theorem C]).
Next we prove the uniqueness of solution of (P').
Let u and û be solutions of (Pl).
Then t ....... (<p(u(t)))~ and t I-t (<p(û(t))~ are
continuous in '0'(1). V t E [0, Tl, u(t), û(t) E D(A) n Loo(l), then for H(u) = lf'(u)~ +
g(u), H(û) = <p(û)~ + g(û) we have (see Proposition 2-2 of [21]). Therefore,
1
(36)
signo (u(t) - û(t){H(u)(t) - H(û)(t)} ~ 0 V tE [0, Tl·
We also have
(u - û)t - (H(u) - H(û»)~ = f(u) - f(û) in 'O'(QT).
By Lemma 3 of [6] and (36) we get
(37)
.!!.- f (u(t») - û(t»+ ~ { signri (u(t) - û(t»(J(u)(t) - f(û)(t»
& JI
h
for almost all t E [0, T]. Exchanging u and û in (37) and adding the two inequalities we
ohtain
~ { 1u(t) - û(t) I~ { 1f(u)(t) - f(û)(t) 1
dt JI
JI
for aImost all t E [0, Tl. By the Lipschitz continuity of f and Gronwall's lemma this gives
which completes the praof of uniqueness.
\\Ve are now in position to prove the following result:
Proposition 4.
Suppose that (Hd, (H2 ), (H3 ), (H4 ) hold.
Then there exists a
unique weak solution of (P) such that:
(38)
u E C(QT) n Lip(O, T; L 1 (1» V T > O.
134

Prool.
Uniqueness.
Suppose that there exist two weak solutions u and il of (P) satisfying (38), then there
exists R > a so that lIuIlLoo(Q) ~ Rand jûIILOO(Q) ~ R, and 1 is Lipschitz continuous on
[-R,R]. From Lemma 6 the uniqueness is then c1ear sinee weak solutions of (P) satisfy
Ut = ip(u):r;:r; + g(u)x + I(u) in 1)'(QT) for any T> a.
Existence.
The solution constructed in the proof of Proposition 2 with Ua satisfying (H4.) is a solu-
tion of (P') with v = O. To see this, return to the proof of Proposition 2. With assmnptions
on (ipn, g, ln, UO,n) the solutions (un) of (PTn) are strong solutions of P E(ipn, g, ln, Uo,n ).
By Proposition 1, there exists an R > 0 such that
We can replace 1 in (P) by TRI such that TRI is Lipschitz continuous in IR, TRI == 1 on
{I x 1~ R}, and there exists w E IR+ such that
1TRf'(X) I~ w 'V x E IR. It turns out,
that we can a1ways suppose that 1 is Lipschitz continuous and that 1I~ ILoo ~ w for ail n.
Since strong solutions are mild solutions, by Lemmas 5 and 6 the sequence (un) converges
in C([O, T]; V (I)) to u which is a solution of (P').
Remark. Let Uo E Loo(I) with the assumptions of Proposition 3 (resp. 4). We define
StCuo) = u(t,.) where u E C([O, 00[; V(I)) is the solution of (P) given by Proposition 3
(resp.
4). Then, if X is the closure of {St(ua) ; t ~ a} in L1(I), (St) is a Lipschitz
continuous semigroup on (X, Il.lIu(I)). Vve have thus defined a dynamical system.
III.
CONCLUSION
In this last section we will prove that our problem is gradient-like. We first define the
w-limit set and the set of stationary so:\\uEons.
Definition 3. Let u be a weak solution of (P) with initial condition Ua. We defme
the w-limit set as
= {w E C(Ï) ; 3t n -7 co such that u(t n ) -+ W in c(1)}.
The eq ui valence of the two definitions follows from the equicontinuity of {ep( u)(t, .) t 2: T}
and Ascoli 's theorem.
Definition 4. A stationary solution of problem (P) is a weak solution u such that
Ut = 0 in 1)'(Q). Denote by N the set of stationary solutions of (P).
135

It is easy to see that N is the set of functions w E C(Ï) sucb that
{or any ~ E C5(Ï).
Proposition 5. For any weak solution u of (P) satisfying (20), we have w( u) eN.
Proof. Consider w E w(u). Then there exists t n --+ 00 such that u(tn,.) --+ win C(Ï).
Therefore h(u)(tn,.) --+ h( w) in C(Ï) and (h( u))t E L2(JT, oo[xI). This implies that
(39)
{ Ih(u)(t n + s) - h(u)(tn)1 2 ~ s€(n)
where lim ê(n) = O.
h
n-~
Subseqnently, if Un(s,.) = u(tn + s,.), then h(Un) --+ h(w) in L~(I, L'l(I)). We now use
the method of Langlais and Phillips in [12] ta complete the proof.
Let ( E C5(Ï) , p E C5(] - 1,1[), p ~ 0, J~l p(s )ds = 1 and take, as test function
en(t, x) = p(t - tn)(x). Then it follows from (19) that
and thus
11 {(P'Un( +p(<p(UnKxx - g(Un)(x +f(Un)()) =O.
-1 JI
But Un -+ W, <p(Un) -+ <p(w), g(Un) -+ g(w) and f(Un) -+ f(w) in L2(I2 ). Passing to the
Jl
limit as n -+ 00, in view of the fact that
p' = 0, we conclude that
-1
1(<p(wKu - g(wKx +f(w)() = o.
In the case where we can define a dj''Uamical system, we are able to give a simple and
direct proof of the fact that it is gradient-like.
Proposition 5'. For any solution U of(P) given by Proposition 3 or 4 satisfying (20)
we have w(u) C N.
Proof.
Suppose that StJ uo) -+ w in Loo (I) for sorne sequences (in) snch that
in -t 00. vVe prove that St(w) = w for t > O. Fix t > 0, then we have
Ilh(St(w)) - h(w)lIv(J) ~ Ilh(St(w)) - h(St+t (uo))IIL2(J)
n
+llh(St+tJuo)) - h(St (UO))/IL2(l) + IIh(St (uo) - h(w)IIL2(J).
n
n
136

Since Stn(UO) --+ W in Loo(1) and h' is bounded, Ilh(S,Juo) - h(w)lIp(1) --+ a in L2(f).
The solutions are bounded in Loo(Q). Hence
II h(St(W)) - h(St+t (uo))IIL2(I)
(uo)IILC>O{I)
n
$ ClISt(w) - St+tJuo)lIt(I) ~ Cllw - Stn
--+ a
as n --+ 00. Finally by (39), this yields Ilh(St(w)) - h(w)IIL2{I) < é for any é > O.
APPENDIX
We now complete the proof of Lemma 4, detailing the calculations. Consider p =
(cp(u))z+g(u)r
k()
( ) ' h
'
'fi
()
lor
r
= er - cp r wlt e = 1 + max cp. p satIs es LI p = a on QT,
k( u )
[O,e]
where L 1 i~ given by (28), Let ~E(t,X) = (E(X)(C + ~), with f = ±1, C ~ 0 and K > 0,
t2
-
é
-,
2fX
-II
2f(1 + 3x2 )
and ~e(x) =
2'
Remark that ~E(X) = (1
2)2 and ~E =
(
2)3'
We now
1-x
-x
1-x
praye that we can choose the constants C and K such that fLl(~E) ~ O. As on ÔpQT,
the parabolic boundary of QT, we have -00 = ~-l $ p $ 6 = 00 we will deduce by
the maximum principle that ~_I ~ P $ ~l
on QT. Note that , with our hypothesis
-k(r)k"(r)
m
-k(u)k"(u)
()
~
o . The term
( )
~~ will give the sign of LI (~E)' Indeed, the
cp' r
1 - mo
cp' u
funetions involved in the expression of LI are bounded on [0, cl by hypothesis. Then we
have
(1 - x 2 )3 f L I (!E) ~ ;t( l~~o KZ - CCc)) + ~2 (1~~o C - C(c))
+1f( 1~~o Cz - C(c)C - CCc)) + CC~~o cz - C(c)),
where we denote by C(c) the constants depending on c. Then for K and C large enough,
we have fLl(~E) ~ O.
Consider now q = (cp(u)),.
q satisfies L2(q) == a where L2 is givenby (29). Let
«(t, x) = -CC + K ) ~(u)(t;~l for C 2: a and K > 0, and denote by ( the funetion defined
t
1 - x
-
1
-,
2
4x
-II ( )
4(1 + 5x )
-
on J by «(x) = (
2)Z' Remark that ((x) = (
2)3' (
X
= (1
Z)4
and (2: 1
1-x
l - x - x
on J. We now prove that we can choose the constants C and K such that Lz(q) = 0 2: Lz(O
on QT. As p 2: ( = -00 on ÔpQT, we will have q 2: ( on QT by the maximum principle.
K
-
K
- ,
K
-
-II
-
Lz(O = t <p(u)( - (C + t )cp'(u)Ut( + cp (u)(C + t )((cp(u))xz( + cp(uK + 2(cp(u))r(')
2
+g'(u)(C + ~ )((cp(u))z( +cp(u)(') + cp(u)((C + ~ )(J'(u) +(~', )'(u)(cp(u)),,)
-CC + K)2 <p(u)cp"(u) <p(u)(z.
t
cp'z
137

Now, u is solution of the equation in (PT~) and (HD holds, then we have
L 2 (O ~ ~ <p(u)( + <p(u)(C + ~)(<p'(u)(" + g'(u)(' + (f'(u) - ~((~; f(u))()
K '
'(u)
2CK
K 2
+<p(u)(C + - )(( J.-.- )'(u)( + 2('<P( ) )(<p(u))x - mo<p(u)(2(C2 + -
+ -2 ).
t
<p'
<p u
t
t
In fact (25) can be written I(<p(u))xl ~ C(c)(1 + ;\\- )u(1, and (H~) holds, then we get
-2
K
( )
K
1
2
2CK
K 2
L 2(()<<p( (2+Cc(C+-)(I+~)-mo(C+--+-2)).
-
t
t
t"'I
t
t
We note C(c) the constants depending on c. Remark that
K
1
3K+C
K
(C + T )(1 + tf) ~ 3C +
t
+ t2'
then we will have L (O
2
~ 0 if
1 + C(c) - moK ~ 0, C(c)(3K + C) - 2moCK ~ 0, C(c) - moC ~ 0
2C(c)
1 + C(c)
.
Take C = - - and K = max(
,C ) and (26) IS proved.
mo
mo
Acknowledgement. The author3 would like to thank the referee for his remaries and
suggestions.
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preprint.
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1, 1, (1968), 34-45. Translated as Diff. Eq.,1,(1968)17-22.
1
140

Résumé
Dans ce mémoire, nous regroupons SIX articles en collaboration, dans lesquels nous étudions
divers aspects mathématiques de quelques équations d'évolution.
Dans la première et principale partie de ce travail, nous regroupons deux articles où nous
étudions des problèmes paraboliques fortement dégénérés en une dimension d'espace sous des hy-
pothèses très générales.
Utilisant la théorie des équations d 'évol ution dans LI, nous établissons des résultats d'existence,
d'unicité, de régularité et de dépendance continue par rapport aux données de "bonne solutions"
de problèmes de Cauchy ou de problèmes aux limites associés à ces équations.
La seconde partie comprend deux articles où nous traitons des solutions généralisées et nous
faisons les liens avec les solutions au sens de Kruzkov. Nous donnons dans le premier article une
version abstraite via la théorie des semi-groupes non linéaires dans L1, d'un résultat de Escobedo,
Vazquez et Zuazua.
Dans le second article, nous proposons une notion de solution généralisée
locale d'une équation parabolique dégénérée du second ordre, pour laquelle nous montrons que le
problème de Cauchy associé est bien posé.
Dans la troisième et dernière partie de ce mémoire, nous étudions le comportement asymptotique
d'équations de réaction-diffusion.
MOTS CLES
Paraboliques dégénéré
Hyperbolique non linéaire
Solution entropique
Semi-groupe non linëaire
Fonctionnelle de Lyapunov
Comprotement asymptotique
Attracteur compact

Résumé
Dans ce mémoire, nous regroupons six articles en collaboration, dans lesquels nous étudions
divers aspects mathématiques de queiques équations d'évolution.
Dans la première et principale partie de ce tr~vail, nous regroupons deux articles où nous
étudions des problèmes pa.ra.boliques fortement dégénérés en une dimension d'espace sous des hy-
pothèses. très générales.
Utilisant la théorie des équations d'évolution dans LI, nous établissons des rés\\Ùtats d'existence,
d'unicité, de régularité et de dépendance continue par rapport aux données de "bonne solutions"
de problèmes de Cauchy ou de problèmes aux limites associés à ces équations.
La seconde partie comprend deux articles où nous traitons des solutions généralisées et nous
faisons les liens avec les solutions au sens de Kruzkov. Nous donnons dans le premier article une
version abstraite via la théorie des semi-groupes non linéaires dans LI, d'un résult&t de Escobedo,
Vazquez et Zuazua.. Dans le second article, nous proposons une notion de solution généralisée
locale d'une équation parabolique dégénérée du second ordre, pour laquelle nous montrons que le
problème de Cauchy associé est bien posé.
Dans la troisième et dernière partie de ce mémoire, nous étudions le comporiement asymptotique
d'équations de réaction-diffusion.
MOTSCLES
. Parabol~ques dégénéré
Hyperbolique non linéaire
Solution entropique
Semi-groupe non linëaire
Fonctionnelle de Lyapunov
Comprotement asymptotique
Attracteur compact