-
STERIl/
THE S E
présentée à
L'UNIVERSITE DE PARIS SUD
CENTRE D'ORSAY
pour obtenir le titre de DOCTEUR 3e CYCLE
Spécialité Physique Atomique et Moléculaire
Option Optique Quantique
, .
".ACHE •
par
L. r;
CATALINA ELIZABETH STERN FORGACH
Sujet de la thèse
:
DIFFUSION RAYLEIGH
ET DETECTION HETERODYNE OPTIQUE
APPLICATION AUX FLUCTUATIONS ATMOSPHERIQUES
Soutenue le 6 Octobre 1981, devant la Commission d'Examen
MM.
J.
BAUCHE
Président
C.
FLYTZANIS
D.
GRESILLON
} Examinateurs
P.
LALLEMAND
M.
PERULLI

---

A CLARA ET ENRIQUE QUI
ETANT SI LOIN SONT TOUJOURS
RESTES SI PROCHES

---

REM E R C I E MEN T 5
Je
tiens
à
exprimer
mes
plus vifs
remerciements
à
Monsieur
le
Professeur
J.
BAUCHE qui
a
accepté
la
pré-
sidence de ce
jury ainsi
qu'à
Messieurs C.
FLYTZANI5
et
P.
LALLEMAND pour
l'intérêt qu'ils ont
porté
à
ce
sujet
et
leur
acceptation de
participer
à
cette Commission
d'Examen.
Je
remercie
très
spécialement Monsieur
le
Profes-
seur
PERULLI
pour
ses
commentaires
stimulants,
son
intérêt
à
la
suite de ces
recherches
et
sa
participation au
jury.
Ma
gratitude va
surtout
à
Monsieur
D.
GRE5ILLON.
C'est
sous
sa
direction que ce
travail
a
été
réalisé
c'est
grâce
à
ses conseils,
sa
patience
et
son
encouragement
que cette
thèse a
pu
aboutir.
J'en
suis
très
reconnaissante.
Mes
plus
vif
remerciements
sont aussi
pour
le
CON5EJO NACIONAL DE CIENCIA y
TECNOLOGIA
(CONACYT)
et
l'UNIVER5IDAD NACIONAL AUTONOMA
DE MEXICO
(UNAM)
c'est
grâce
à
leur
confiance
et
leur
support
économique
et
parfois moral
que
j ' a i
pu
rester
en France
le
temps
néces-
saire pour
finir
cette
thèse.
Ce
travail
a
été
réalisé
au
Laboratoire de
Physique des Milieux
Ionisés de
l'Ecole
Polytechnique.
Je
remercie Monsieur
DOUCET,
son Directeur
et Mademoiselle
MOUTTET,
sa
Responsable Administrative de m'avoir
accueillie
et donnée
tout
le
support matériel
nécessaire.
La
réalisation des
expériences
n'aurait
pas pu
être mené
à
bien
sans
le
support de Monsieur
B.
CHAPEY
ainsi
que
par Messieurs DUFOUR et VERMILLARD et
tout
le
groupe d'électronique.

---

Il Y a
de
nombreuses
personnes qui
m'ont
aid~e
depuis
le
d~but de mes ~tudes de 3e cycle
enseignants,
camarades de classe et amis
j'espère qu'ils
se
recon-
naitront dans ces
lignes
qu'ils
soient vivement
remerci~s.
Enfin,
c'est grâce
à
Mademoiselle LECOMTE,
Mesdames STEPHAN,
MILLARD
et ALEXANDRE qui
ont assur~ la
frappe
et
la
reproduction du
manuscrit
et
à Monsieur
B.
CHAPEY qui
a
~labor~ les figures,
que
ce manuscrit
a
pu
avoir
sa
forme définitive
je
leur
suis
infiniment
reconnaissante.

---

SOM MAI
R E
pages
Introduction.
Chapitre
l
-
Principes de
la
diffusion
et
détection
hétérodyne.
l
A.
La
diffusion Rayleigh.
2
B.
Détection
hétérodyne.
7
C.
Spectre
temporel du courant détecté.
11
D.
Rapport
signal
sur
bruit.
13
E.
Résolution
spatiale.
14
F.
Résolution
spectrale
16
l~ de~sit~~ec~'ràol..·e
G.
Calibration de
et
du
taux
de
fluctuatlons.
, . , '
"
17
~
! c A. ;'il E
\\
1
/
; --~
I--·~~
! -
Chapitre
II
-
Montage
eXPéi{~el1tal./)
21
A.
Présentation d'ensemble.
~';::.n:t"'"
--
22
.
B.
L'optique.
22
C.
Le détecteur.
40
Chapitre
III
-
Ondes
ultrasonores.
47
A.
Dispositif expérimental.
48
B.
Calibration du cristal piezoélectrique
d'excitation des ondes
ultrasonores.
51
C.
Directivité.
55
D.
Calibration de
la mesure
en
termes du
taux de
fluctuation.
58
E.
Sensibilité de
la détection.
67
F.
Efficacité d'hétérodynage.
68

---

pages
Chapitre
IV
-
Turbulence d'un
jet d'air
comprimé.
71
A.
Dispositif
expérimental.
72
B.
Analyse
radiale de
la
turbulence.
75
->-
C.
Anisotropie
de
spectre
S(k
,w).
83
6
D.
Spectre de
fluctuations
perpendiculaires
à
l'axe du
jet.
86
E.
Spectre de
fluctuations
parallèles
à
l'axe du
jet.
91
F.
Sensibilité de
la détection.
95
G.
Comparaison entre
la diffusion
sur
l ' a i r
comprimé
et
sur
l'azote
pur.
96
H.
Fluctuation
totale.
96
Conclusions.
103
Bibliographie.
104

---

INTRODUCTION
Depuis
les vingt dernières
années,
la détection
optique par mélange a
été
fortement
développée
en permettant
aux longueurs d'onde visibles
des
méthodes
micro-ondes
(ra-
dar).
Cette méthode
de
détection a
certains
avantages
sur
la
détection
spectroscopique habituelle
d'abord une
grande
résolution
spatiale
dans
les
directions perpendiculaires
à
la propagation du
faisceau
optique
et ensuite,
la possibili-
1 , 2 , 3
té d'at~illdre la limite
théorique
de
détection optique
L'objet du présent
travail
est
la
caractérisation
de
fluctuations
de
densité par détection héterodyne
de
la
lumière qu'elles
diffusent à
10 microns de
longueur d'onde.
Le
signal
diffusé
est traité
pour obtenir
le
spectre
tempo-
rel
des
fluctuations
de
densité.
Nous
appliquons
cette méthode
à
l'observation de
fluctuations
de
densité
atmosphérique
d'une part aux exci-
tations
monochromatiques
ultra-sonores
excitées par un cris-
tal piezzoélectrique et d'autre
part
à
la
turbulence produite
par un
jet d'air
comprimé.
Dans
la première partie
de
ce
travail,
nous
étu-
dions
les principes
sur
lesquels
est basé
l'expérience
et
dans
la deuxième,
nous
présentons
le
montage
expérimental.
Les
troisième et quatrième parties
sont consacrées
aux ré-
sultats expérimentaux respectivement sur
les ondes
ultra-
sonores monochromatiques
et
sur
la
turbulence
du
jet.

---

CHA P I T R E l
PRINCIPES DE LA DIFFUSION
ET
DETECTION HETERODYNE

---

-
2 -
CHAPITRE
l
PRINCIPES
DE LA DIFFUSION ET DETECTION HETERODYNE.
A -
LA DIFFUSION
RAYLEIGH.
Quand une
onde electromagnétique
intéragit avec
un
milieu matériel,
elle perturbe
la distribution
de
charge
élec-
tronique
des
atomes
et provoque
l'apparition de
moments dipo-
laires
induits.
Ces dipoles
rayonnent
à
leur
tour
des ondes
electromagnétiques de même
fréquence,
c'est un
phénomène qu'on
désigne par
"diffusion Rayleigh".
Rayonnement par un atome.
Supposons une
onde
électromagnétique monochromatique
se propageant dans
la direction
fi
avec
un vecteur de
polari-
->
o
4
sation E:
ses
champs
électrique et magnétique
sont
-iw
->
t
->
->
->
->
0
E
(r
, t)
E:
Re
8,
( r
)
e
( 1 )
0
0
0
0
->
->
E
( r
, t)
->
..-
->
0
0
B
(r
, t)
n
x
( 2 )
o
0
0
c
Quand cette onde
traverse
un
volume dans
lequel
i l
y
a
des molécules,
ses
champs
induisent des
moments dipolaires
qui
rayonnenent à
leur
tour dans
toutes
les directions.
->
Dans
chaque point
r
de
l'espace,
nous pouvons
1
connaître
les
champs rayonnés
à
partir de
->
->
B
IJ
x
A
( 3 )
2
->
ic
->
E
'V x B
( 4 )
w0
où A est
le potentiel vecteur

---

-
3 -
(5 )
c
L'argument de
la
fonction
Ô de
Dirac
assure
le com-
portement causal
des
champs.
si les densités
de courant et de charge sont
->-
->-
->-
->-
J(r o,t )
Re
J(r
)
exp(-iw t
)
( 6)
o
0
o 0
->-
->-
p(r
, t
)
Re
p (r
)
exp(-iw t
)
(7 )
o
0
0
o
0
->-
->-
->-
alors
A(r
, t
)
A (r 1 )
exp (-iUbtl)
( 8 )
1
1
où
eXP(ikl-;l-;O!)
->-
->-
J->-
->-
3
A (r 1 )
~
J (r
)
d
r
( 9)
o
0
0
1;1-;0 1
Dans
une
zone
éloignée
de
la
zone
de diffusion
2n
(Fig.
1.1)
où k
R
» 1
k
nous
pouvons
faire
l'appro-
o
o
X-
o
ximation
( 10)
->-
où
est un vecteur unitaire
dans
la direction de
r 1 '
->-
~o
ikR
e
r
-ik n . r 0
->-
->-
1
3
J(r
)
e
d
r
4IT
R
J
0
0
~o
ikR
(_ik)n
e
L:
J ->- ->-
->-
3
J(r
)
) n
d r
(;;l· r o
( 11 )
4IT
R
n
n!
0
0
Puisque
sur les
dimensions
d'un atome
kr
~ 1
o
(Fig.
1.1),
les
termes de
cette
somme
décroissent vite,
la
contribution
fondamentale
vient du premier
terme.
Nous pou-
vons
faire
l'approximation dite
dipolaire,
c'est-à-dire,
supposer le potentiel
vecteur
é~al
au premier
terme
->-
->-
J Cr
)
( 1 2 )
o

---

-
4
-
y
x
Fig.
1.1
-
Géométrie de
la
diffusion
um~~~Adlmf~f'~u'e~
1
u'
sr
e
incidente~
1
fluctuation
de
densité
2k
sin
e
o
2
Fig.
1.2
-
Refraction
de
Bragg

---

-
5 -
Maintenant,
à
partir de
l'équation de
continuité
-+
-+ -+ -+
iwp(r)
V'.J(rj
( 1 3 )
et par
intégration par parties,
nous pouvons
écrire
la
densi-
té
du courant en
termes
de
la
densité
de
charge
J -+-+ 3
-+
J(r
)d
r
-iw
p (r
)
( 14)
o
0
J -+ro
o
-+
ou du moment dipolaire p
de
l'atome
défini
comme
-+
-+
3
p
p (r
)
d
r
( 15)
o
o
(12)
devient alors
iw\\.l
ikR
o
-+
-+
e
- 4 l I
p(r
)
( 16)
1
R
w
où
k
c
Champ diffusé
par une
antenne.
Les
champs diffusés
en
pour
kR -+ 00 sont,
dans
l'approximation dipolaire
\\.1
wk
ikR
-+
0
-+
e
B (r 1 )
~
(n
x p)
( 1 7 )
1
R
2
ikR
-+
k
(n
-+
e
"" (r 1 )
41f"E
x p)
x
n
( 18)
1
1
R
0
A
partir du vecteur de
poynting
( 19)
qui
donne
le
flux
d'énergie.
Nous
pouvons
aussi
calculer la
puissance
rayonnée
P.
-
-+
P
§A n.S
da
(20 )
et par le
théorème
de
la divergence
(20)
devient

---

- 6 -
2
P
J V. S dV
J V.S R dR d~
( 2 1 )
De
(17),
(18),
(19)
et
(21),
la puissance
diffusée
dans
l'angle
solide
est
dP
1
4
k
1
(
+)
n
x p
( 22)
d~
32\\.1
c
1
o
Si
le moment
dipolaire
est
induit par un
champ élec-
-+
tromagnétique
extérieur
à
l'atome
(;
(r, t ) ,
faible
par
rapport
o
-+
au champ atomique,
alors p
est une
perturbation
linéaire
par
rapport
à
G
qu'on
écrit
sous
la
forme
o
-+
-+
p(r)
( 23)
où
E:
est
la
constante
diélectrique
du vide,
a (w)
la polarisé'.-
o
bilité
et G
le
champ électrique
incident.
o
La puissance par angle
solide
est
alors
dp
.
2
s~n
y
( 24)
d~
-+
où y
est
l'angle
entre n
et p.
1
La
section efficace de
diffusion par
angle
solide
est définie
comme
la puissance
rayonnée par
angle
solide par
unité
de
surface pour
une
intensité
unité
du
rayonnement
inci-
dent.
2
.
2
1 a (w) 1
s~n
y
( 25)
(4IT) 2
et
la
section efficace
totale
de
diffusion
Rayleigh
est donc
OR
(4IT)2
4
w
- - 4
( 26 )
6ITc
La puissance
diffusée
est proportionnelle
à
la qua-
trième puissance
de
la
fréquence
de
l'onde
incidente.

---

-
7 -
A partir de
(18)
et
(23),
nous pouvons
écrire
le
....
....
champ diffusé 8,s(r
)
par un atome
situé
en
r
en
termes du
1
o
....
champ
incident
8,
(r
)
o
0
ikR
e
R
....
ikR
e
8,
(r
)
( 27)
o
0
R
Si nous
supposons
la polarisation perpendiculaire
à
la direc-
tion de propagation,
sin y
=
1 .
Nous
définissons
un
rayon de
Rayleigh
2
k
r
-
R
4IT 1 Cl (W) 1
(28)
alors
ikR
....
....
e
8, s (r 1 )
r
8,
( r
R
0)
( 29)
0
R
De
(26)
nous
voyons que
(30 )
B -
DETECTION HETERODYNE.
Pour détecter
le
champ diffusé
nous
mélangeons
celui-
ci avec
un champ de
référence appelé oscillateur
local
(O. L. )
sur
la
surface
d'un photodétecteur quadratique
la photocon-
duction génère
alors
un courant dont
la
fréquence
est
celle
de
la différence de
fréquence
des deux ondes optiques.
Quand un
faisceau
optique
de
fréquence
V
et de puis-
sance P tombe
sur un détecteur
photosensible,
chaque photon
d'énergie
hv
a
une
certaine probabilité n
(appelée
aussi
efficacité quantique)
de
libérer un électron et de
produire
un courant.
Le
courant dans
le
détecteur
est
~
( 3 1 )
hv
avec
e
la charge
de
l'électron.

---

-
8 -
Nous
avons
deux
champs électriques
sur
notre détec-
teur
le
champ diffusé
-iw t
o
Re
t s (-; 1 ) e
(32)
et
l'oscillateur
local
-iw
t
OL
e
( 3 3 )
Le
champ total
est donné par
->-
->-
ET(rl,t)
(34)
Le
flux
d'énergie
en chaque point du détecteur est
donné par
le
vecteur de
Poynting
(éq.
( 19) 1 d'où
la puissance
totale
reçue
est donné
par
(20)
et de
( 3 1 ) ,
le
courant est
Ile
2
->-
->-
1 2
d
ri
+ EOL(rl,t)
(35)
h\\!
où Al
est la
surface
du
détecteur.
Nous
suivrons
dans
la
suite principalement,
l'ap-
5
proche de
E.
Holzhauer
et J.
Massig
Nous pouvons abandonner
la
notation vectorielle
des
champs
électriques
en
supposant que
le
champ OL et
le
champ diffusé
ont des polarisations parallèles.
Le
courant hetérodyne.
Le
courant obtenu en
(33)
a
trois
termes
un pro-
portionnel
à
IEsI2,
un
autre proportionnel
à
iEoLI2
et un
terme d'interférence proportionnel
à
lEs
EOL*I.
C'est ce
troisième
terme que
nous
allons
étudier puisqu'il
contient
l'information utile
E
multiplié par
un
terme
d'amplitude
s
beaucoup plus
grand
et de
fréquence
fixe
E
.
Ce
terme d'in-
OL
terférence
est

---

-
9 -
ne
1
~
~
J
*
i (w
-w
) t
i (t)
d 2
18,
(->-)8,
("'-)
0
0[;
r
r
r
e
+ ccl
( 36)
hV 2
~
1
s
1
OL
1
0
et
de
(29)
ne
~
- r [
[;
J
-i(uJ
-l<l
)t
]
1
o
-;-
2 .
* +
e
(r
)
d
r
G:.
( r )
ikR
o
or.
i (t)
- - e
+cc
hv
2
~
R
0
0
1 OL
1
R
0
(37)
Si
nous
analysons
la partie
de
l'équation
(37)
qui
est dans
l'intégrale,
nous
voyons
qu'elle
ressemble
à
l'équa-
tion de
Kirchhoff
de
la
diffraction
de
la
lumière par un
6
écran Al
ikR
-;-
o
e
i
-;-
2
EI.(r
)
k
J
If, (r 1 )
d
r
(38)
o
2ITi
(1
+ kR)
R
1
A 1
Dans
l'approximation
de
Fraunhofer kR -;- 00
ikR
-;-
e
El. (r
)
(39)
o
R
-;-
qui
donne
le
champ
en
r
construit
à
partir
de
la
distribution
o
du
chanp aux pOints;l
d'un
écran Al
pour
1;1 - ;0 1 grand. Nous
pouvons
donc
comprendre
cette
intégrale
comme
un
champ virtuel
dans
la
zone
de
diffusion
reconstruit
à
partir
du
champ
élec-
trique O.L.
sur
le
détecteur.
Nous
définirons
ce
champ O.L.
par
son
complexe
conjugué
ikR
*
-;-
1
2
d
r
El. *
+
e
El.
(r
)
n:-- J
(r 1 )
(40)
OL
0
1
OL
R
0
Al
et
(37)
devient
ne
1
i (t)
i
( 4 1 )
hV
2
/:: r À rIf, (; ) If, * -;-
OL(r
)
+ cc]
R
0 l
0
0
O
Le
courant
sur
le
détecteur peut
être
vu comme
dû
au mouvement d'un
centre
diffuseur
dans
la
forme
d'interféren-
~
-;-
et "'OL(r 1 )

---

-
10 -
Les
champs
électriques
des
ondes
optiques
sont dé-
terminés par
leur phase
et par
la
forme
du profil
transverse
de
leur
amplitude.
-+
-+
-+
r.
E
(r
, t)
t
U
(r
)
exp
(-+k
( 4 2 )
o
II
0
o
o
0
0
( 4 3 )
-+
-+
où
U
(r
)
et
U
( r )
sont des profils
transverseaux des
fais-
o
0
OL
0
ceaux primaire
et O.L.
respectivement.
En admettant que
ces
profils
restent
identiques
dans ·i:~"':é:'b.ne de diffusion pour tou-
te
translation dans
la
dir(~tion d~è"'flrQ~agation, nous pouvons
écrire
(41)
à
partir de
di) ~i~~__r~re
\\
1 ~;
i (
wô;~r}cxp
t)
= iC
il'ô·; .
(44)
l'le
1
où
C
À
&,
&,
(45)
o
hv
2
o
OL
-+
-+
-+
U (r)
U
(r)
uOL(r)
est
le profil de
la détection
o
-+
-+
kL\\
k o
WL\\
wo
Diffusion par
un
ensemble de
charges.
La diffusion
est
le
résultat de
la
somme
des
contri-
butions de
tous
les
centres
diffuseurs
dans
la zone éclairée
par
le
faisceau
incident.
Cette
somme
de
contributions peut
être vue
comme
une
intégrale
à
partir d'une
distribution conti-
nue
de
densité.
Le
courant hétérodyne que
nous
détectons
est
donné
par

---

-
11 -
i ( t)
(4 (,)
+
+
où
no(r,t)
est
la densité
et k
correspond au
vecteur d'onde
6
des
fluctuations
de
densité qui
sont à
l'origine de
la diffu-
sion.
En
effet,
la diffusion de
la
lumière
se
fait
de fa-
çon analogue
à
la diffraction de
Bragg dans
un cristal:(voir
+
Fig.
1.2)
une onde
incidente de
vecteur d'onde k
est diffusée
o
dans
la direction 8 par une
fluctuation
de
densité de vecteur
+
+
d'onde k
,
l'onde diffusée
à
un vecteur d'onde k
6
s
Nous avons
+
+
k
k
s
o
Ik 1
Ik 1
o
s
o
2k
sin
(47)
où
k
et
o
2
8
2
est
l'angle
de
Bragg.
Pour
8 «
l
k
8
o
(48)
L'équation
(46)
nous
donne
le
courant hétérodyne en
termes de
la densité
et du vecteur d'onde
des fluctuations.
La
résolution dans
l'espace réel
est déterminée par
la
fonc-
+
tion U(r)
qui
dépend uniquement des
profils des
champs opti-
ques.
C -
SPECTRE TEMPOREL
DU
COURANT
DETECTE.
Si
nous
faisons
passer
le
signal hétérodyne du dé-
tecteur par un analyseur de
spectre,
la quantité que
nous me-
surons
est la densité
spectrale
du courant
l
(w)
La densité
s

---

-
12 -
spectrale
est définie
comme
la
transformée
de
fourier
de
la
fQnction
de
corrélation du
courant
T
00
1
l
(w)
lim -
I2 dt J dT i (t) i(t+T) exp(iwT)
(49)
s
T
T-+oo
T
-"2
_00
Pour
faire
cette
transformation,
nous
utilisons
la
transformée
de
fourier
spatiale
et
temporelle de
la densité
-+
-+
n
(k,w)
n
(r,t)
( 50)
o
o
et
la
définition de
la
densité
spectrale des
fluctuations
de
densité
-+
2
<ln(k,W)I>
1
S(k,W)
lim
( 51 )
TV
n
T -+ 00
o
V -+ 00
A partir de
(46)
à
(51)
nous arrivons
à
2
1
l
(W)
C n
s
o
(2 TI) J
( 52)
-+
où W(k)
est
la
transformée
de
fourier
du
profil de
la
détec-
tion
-+
-+ -+
W(k)
exp(-ik.r)
( 5 J )
Pour
éviter des
confusions
avec
les
autres
défini-
tions
se
trouvant
dans
la
littérature,
nous
voulons préciser
que dans
le
présent
travail,
nous
appelons
détection hétéro-
dyne
le
cas w
f 0, c'est-à-dire w
f
w
,
et détection homo-
6
o
aL
dyne
w
=
O.
6
Dans
la pratique,
nous
n'observons
pas
s imul tanée-
ment
les
deux
termes
de
l'équation
(52).
Dans
notre
expérien-
ce
W =40 MHz.
Si
nous
regardons
à
une
fréquence
proche
de
6
w '
le
terme
en
W + w
sera
en haute
fréquence
de
l'ordre
de
6
6

---

-
13 -
2W
~ Ba MHz.
Pour voir
ceci
plus
clairement,
faisons
le
chan-
6
gement de
variable
w'
w
-
w,
l'éq.
(52)
devient
6
2
2
c n
(2~)3 ffJ d3k
o
IW(k 6 -k) 1 [S(k,W')+S(k,2W6 - W')]
( 54 )
Comme
dans
notre
expérience
-+-
-+-
S(k,w ~
Ba MHz)
~ S(k,w ~ KHZ),
nous
gardons dans
la
suite
seulement
le
terme
en basse
fréquence
2
l
(w)
C n
( 55)
s
o
L'équation
(55)
met en évidence
l'avantage de la détec-
tion héterodyne
nous
aurons
deux
spectres
différents
selon
que
la
fréquence
soit positive ou négative
l
(w)
f. l
(-w)
s
s
autour
de w .
Cette détection est
sensible
à
la direction de
6
propagation des
fluctuations.
D -
RAPPORT SIGNAL SUR BRUIT.
Dans
la détection héterodyne,
le
bruit est au mini-
mum le
bruit de
grenaille du courant photoélectrique produit
par
l'oscillateur
local.
On peut atteindre cette
limite de
sensibilité qui
nous
servira de
référence.
La densité
spec-
traie de
ce bruit
l
(w)
est
indépendante
de
la
fréquence
et
n
proportionnelle à
la puissance
de
l'oscillateur
local
Tl
2
e
l
(w)
(56)
n
h'J
TI POL
De
(55)
et
(54)
on déduit le
rapport
signal
sur bruit
l
(w)
s
Tl
P
n
( 5 7 )
l
(w)
h'J
0
o
n
-+-
Nous
remarquons que
dans
l'espace
des k,
la
résolu-
-+-
-+-
tion est déterminée par
la
fonction
de pondération W(k
-
k).
6

---

-
14 -
Cette
fonction
dépend des
profils
électromagnétiques
et de
la
géométrie
du
système qui
détermine
le
volume
de
diffusion.
E -
RESOLUTION SPATIALE.
Analysons
le cas
précis qui
nous
intéresse,
c'est-
à-dire,
l'expression de
l
(W)
pour
la géométrie et
les pro-
s
fils
propres
à
notre
expérience.
Nos
deux champs
optiques proviennent du même
laser
et ont des profils
gaussiens
-+
U
(t)=exp {-
1
( 58)
o
2
w o
1
2
exp {-
[x
+
tan
cos
(59)
2
(Y-Z
8
)2
2
8
2
2
J }
w0
2
2
-+
2
2
2
8
z
U (r)
exp [-
( x
+ y
+ - - -
(60 )
2
4
) J
w0
Pour
les coordonnées voir Fig.
1.3.
w e s t la
taille
du fais-
o
8
ceau et
8 l'angle de
diffusion.
tan
2
De
la
figure
1.4
nous
pouvons
voir que
la
longueur
d'intersection
entre
les deux
faisceaux
local
et primaire est
2w
4w
o
0
- - - ; , -
D =
correspondant à
la diagonale majeure
du
10-
'" -8-
.
8
s~n
'2
sange
formé par
l'intersection des
deux voies.
Chaque
côté du
2w o
parallélipipède
a
une
longueur
égale
à
où w e s t le dia-
.
8
o
s~n
'2
mètre
du
faisceau
et
8
l'angle
de
diffusion.
Dans
le domaine
des petits
angles
où
nous
travaillons,
cette
longueur est
beaucoup plus
grande que
la
longueur dans
laquelle
existent
les
fluctuations
que
nous
étudions
et que
nous
désignerons
par L.
D et L sont dans
le
plan yz.

---

-
15
-
x
"- ,
"- "- , ,
"- , ,
-'
ka', ,,,,
y
'" ..... '".....
z
Fig.
1.3
-
Coordonnées
dans
la
zone
de
diffusion
----r------r------',~-----;"~,.r------__l
01
kaL
Fig.
1.4
-
Plan
de
la
diffusion

---

-
16 -
->-
->-
Calculons maintenant
W(k~ -
k)
à
partir
de
l'expres-
sion
(53)
avec
l'origine
des
coordonnées
comme montre
la
fig.
1.3.
Nous multiplions
la
fonction
Uer)
(éq.
(60»),
par
une
fonction
créneau de
z
égale
à
1
pour
z
€[-~ ,~] et nulle
dehors
2
( 2
2
--2 \\ x +y +
)] .
wo
( 61 )
où nous faisons
l'approximation e ~ 0 dans le profil
k
L
z
2
sin
2
[kx2+[k~-ky]r}
(62)
k z
De
(55)
et
(60)
k
L
2
z
sin
~2~
2
1
IJ2 4
3
l
(w)
C n
w
Jd k
s
0
0
2
(2 II) 3
k z
2
w 0
ex p {-
(63)
4
[kx2+(k6-ky)2]}S(k,W-W~)
F -
RESOLUTION
SPECTRALE.
->-
->-
La connaissance
de W(k~ - k)
nous
permet maintenant
de
calculer
la résolution
~k3 = (~k ) (~k ) (~k ) que nous dé-
x
y
z
finissons
par
les
égalités suivantes
6k
Iw
(k
)1 2
00
dk
1 W(k
) 1 2
(64)
x
MAX
x
J
x
x
_00
~k
2
2
1 W
( k ) 1
oo
dk
IW(k
) 1
(65)
y
MAX
Y
J _00
y
y
L
2 dk 1 W(k ) 1 2
(66 )
J L
z
Z
2
de
(62)
IITw
( 6 7 )
o
L
2
(68 )

---

-
17
et
avec
(64)
(66)
2
2
fXl
- w
k
2
dk
0
x
l
TIw
ex p [
x
0
4
_00
J
21fï
l:Ik
l:Ik
(69)
x
2
w
TIw
o
Y
0
L
k
L
2
z
2
sin
2
J dk
dk
z
2
z
L
k
-
z
2
2!T
l:Ik
(70)
z
L 2 /
L
4
2
8TI
et
l:Ik 3
(71)
2
w
L
0
G -
CALIBRATION
DE
LA DENSITE
SPECTRALE
ET
DU TAUX
DE
FLUCTUATIONS.
La
mesure
que
nous
faisons
est
intégrée
dans
un
vo-
3
lume
l:Ik
dans
l'espace
des
nombres
d'onde
(éq.
71)
déterminé
par
l'optique.
Si
dans
ce
volume
nous
pouvons
supposer
que
....
S(k,w)
est une
fonction
qui
varie
lentement,
alors
que
....
est
une
fonction
très
piquée
autour
de
kl:l
alors
nous
....
....
pouvons
exprimer
W(kl:l-k)
à
l'aide
des
relations
(64)
à
(71)
........
comme
une
fonction
o(k-kl:l)
2
4
2
. . . . . . . .
1
2II
o(k
....
IW(kl:l-k)
w
L
kl:l)
( 72)
0
et
(57)
devient
l
(w)
s
n
\\2
2
L,
->
P
r
n
- f S (kl:l , IJJ
-
W )
(73 )
l
h
0
0
R
0
Wo
l:I
n
V
Inversement, nous pourrons utiliser le rapport observé l
(~)/I
pour
s
n
déduire la densité spectrale des fluctuations.
Pour w' =
2
hv
W
1
l
(w - w' )
->
0
S
l:I
S
(k LI ' w' ) =
\\2
?L
(74)
n P
n L
l
0
0
0
R
n
....
S (kw)
à
la
dimension
d'un
temps.
....
Si
nous
appelons
le
spectre
de
kl:l
le
spectre
intégré
sur
toutes
les
fréquences
(75)

---

-
18 -
-;-
S(k)
est une quantité
sans dimensions. A partir de
(73)
et en
intégrant en
fréquences
l
( w)
s
li
J
2
2
L
-;-
- - -
du)
P
À
r
n
S(kt,)
( 76 )
l
hv
0
0
R
0
2
n
w
0
et donc
2
hv
w
l
(W)
-;-
0
r s
S(kt,)
dw
( 7 7 )
lIP
2
2
J
l
0
P
À
n L r
n
0
0
0
R
Nous
re-écrivons
(76)
dans
la
forme
J I~ (w) dw
n
( 78)
Cette expression nous
permettra de
relier le
rapport
signal
sur bruit avec une
quantité
beaucoup plus
intuitive que
la densité
spectrale.
En effet,
la valeur quadratique
moyenne
de
la
fluctuation
de densité
moyennée
sur le
temps et
les posi-
'\\..2
tians,
< n
>,
est
liée
à
la densité
spectrale par
n
'\\..2
o
-;-
< n
>
S(k,w)
( 79)
(211)4
où n
est
la densité
moyenne.
A partir
de
(79)
nous
définis-
o
'\\..2
3
sons une
valeur quadratique moyenne
< n
> t, indiquée dans
t,k
liée
directement à
nos
mesures
(80)
D'où
l
(W)
li
s
2
2 L2
'\\..2
J
dw
211
P
À 2
r R
< n
>
(81 )
l
hv
0
0
t,
n
et
'\\..2
1
J I~ (w)
< n
>t,
d
(82)
2
w
211
n

---

-
19 -
Nous
définissons
aussi
le
taux de
fluctuation
rela-
t i f
f
par
"-'2
< n
> fi,
f
- - - - ; 1 -
([) 3 )
n o
alors
"-'2
< n
>11
hV
1
1
J l ~ (w) dw
(84)
2
np
2 2 2
n
o
,\\
L r
n
o
o
R
->-
Le
spectre S(k)
et
le carré
du
taux de
fluctuation
f2
sont
reliés
d'une
façon
simple
comme
nous
pouvons
voir de
(77)
et
(84)
(211)4 n
->-
o
S (k)
(85)
Jusqu'à
maintenant,
nous
avons
trouvé des
expres-
exactes (74),
(77) et
(85) deduites directement des expressions
sions/théoriques
et qui
nous
permettent en principe de
cali-
brer nos mesures.
Dans
la pratique,
nous
pouvons
trouver des
expressions
beaucoup plus opérationnelles
liées
directement
à
la
lecture que
nous
faisons
sur
l'analyseur de
spectre.
A défaut
d'intégrer point par point
le
spectre
l
(w),
nous multiplions
la
hauteur
du pic maximal
par
la
lar-
s
geur en pulsation I1w à
moins
trois
décibels
en dessous
de
ce
pic et
nous
utilisons
les
unités
en décibel
l s max
A
10(log l
log
l
)
10
log
-
(86)
s
n
l
max
n
l s max
10A/10
(87)
l n
et
l
(w)
s
a (w)
10(lOg
l
(w)-
10 log
(88)
s
In) =
10 log
l n
l
(w)
s
(89)
l n
avec
ces définitions
(74,
( 7 7)
et
(85)
deviennent
2
hV
w0
10a/10
(90)
nP
2
2
o
,\\
n Lr
0
o
R

---

- 20 -
2
hv
w
...;-
0
laA/la /:'w
S(k/:,)
( 9 1 )
TjP
2
2
0
l-
n
Lr
0
0
R
hv
2
1
1
laA/la
fI';
/:'w
(92)
2
2
np
2 2 2
2rr
n
0
l-
L r
0
0
R
Lorsqu'au
lieu d'étudier
la diffusion par
les atomes
polarisables
(atmosphère),
on
observe
la diffusion par
des
électrons
(diffusion
thomson
dans
un
plasma),
on utilisera
les
mêmes
équations
que
précédemment
en
remplaçant
r
par
r
le
R
o
rayon de
Thomson
de
l'électron
r o

---

-
21 -
CHA P I T R E l
l
MONTAGE
EXPERIMENTAL

---

- 22 -
CHAPITRE
II
MONTAGE
EXPERIMENTAL
A -
PRESENTATION D'ENSEMBLE.
La
figure
II
montre
le montage
expérimental.
Nous
envoyons
la
lumière provenant
d'un
laser
CO
dans
un cristal
2
de
germanium utilisé en modulateur acousto-optique
(MAO).
Dans ce
cristal,
une onde
de
compression progressive
de
fré-
quence
40 MHz
est
excitée par
un quartz
piezzoélectrique.
Une
partie
du
faisceau
incident est diffractœ sur
cette onde
à
l'angle
de
Bragg
(voir
éq.
1.47)
comme
nous décrirons plus
loin.
Cette partie
diffractée
forme
la voie O.L.
elle est
déplacée
en
fréquence
de
40 MHz
par
rapport à
la
fréquence
du
laser
incident.
La partie principale
du faisceau
traverse
le modulateur sans
être modifié
c'est
la voie primaire.
Après
le modulateur,
le
faisceau primaire
est envoyé
dans
la
zone
de diffusion.
Le
faisceau O.L.
traverse
aussi
la
zone de
diffusion
faisant
un angle
e avec le primaire. Après,
i l
est envoyé
directement
sur
le
photo détecteur.
Sur
le
détecteur
arrivent deux champs électriques
l'oscillateur
local
et
la partie
du primaire qui
est diffusée
dans
la direction de
l'O.L.
Le mélange optique
reçu par
le
détecteur photosensible crée
un courant qui
est envoyé dans
l'analyseur de
spectre.
La
figure
II.2
montre
le montage
ex-
périmental
vu
de
la
zone
de
diffusion ou
la
turbulence
est
crée.
Au
fond
à
droite
nous
voyons
le
laser
et à
gauche
le
détecteur.
B -
L'OPTIQUE.
Une
bonne
expérience de
diffusion qui puisse
être
décrite
effectivement par
les
équations
du chapitre
l,
néces-
site
un
faisceau mono fréquence
avec
un bon profil
spatial

---

-
-
-
jet
1
1
,
Détecteur
O.L.
MAO
Analyseur
1
1
de
spectre
+
~
1
'"
1
Signal
I~
1
!
+
~
I~
Prim.
~
e
'"
w
-- --- --
Quartz
'----
Fig.
II.1
-
Schéma
du
montage
expérimental

---

n
1
A. S.
1
L
3
4
L3
Cl.
L2
L1
r::- ~
LASER
01.
~!l0
fI
4
4
5
TI.C.
C
c.J!orirrètre-
D
détecteur
B
bus.
AC
air
cOlT'prim~
AS
analys0ur
de
~ppctr~
Fia.
TT. ~
-
Mont.aqe
expérimE"ntal

---

---

-
25 -
transverse gaussien.
Pour
cela,
i l
faut
que
le
faisceau
sor-
tant du
laser présente
lui-même ces qualités et qu'aucun des
éléments optiques
ne
les
fasse
perdre
le
long du
trajet.
Notre
laser est un PLl
Edinburgh dont
les caracté-
ristiques
données par
le
fabriquant
apparaissent dans
la table
II. 1 .
Nous
avons
étudié
les deux caractéristiques du laser
les plus
importantes pour notre
expérience
la forme
des
pro-
fils
et
l'unicité de
sa
fréquence.
L'analyse
de
l'unicité de
fréquence
a
besoin de
tout système
de détection et
sera donc
décrit à
la
fin
du chapitre.
Pour analyser
la
forme
du profil,
nous
avons
monté
un détecteur pyroélectrique
PLT
522
(voir
table
II.1)
sur une
platine
UT
100 Micro-Contrôle
à
microdéplacement commandée par
un moteur à
courant continu
(voir
fig.
II.3)
En
faisant
une
détection
synchrone
entre
le
signal
du détecteur et celui pro-
venant du modulateur d'amplitude
du faisceau
(chopper),
nous
pouvons
tracer
le profil
en puissance sur une
table
XY.
Nous
avons
vérifié que
le profil
du
faisceau
est
gaussien et à
symétrie
radiale
(fig.
II.4a
et II.4b).
Nous avons
tracé
les profils de
puissance horizontal
et vertical
du faisceau pour différentes distances
z.
Ces pro-
fils
sont de
la
forme
2
-2x
P
P
exp
( 1 )
profil vertical
0
2
w
2
-2Y
et
P
P
exp
( 2 )
profil horizontal.
0
2
w
Pour
chaque profil,
nous avons
calculé
sa
largeur w
2
à
l/e
du maximum par deux méthodes.
D'abord,
nous
l'avons
mesuré
directement
sur
les profils
tracés.
Après,
nous
l'avons
fait
en
calculant la pente par moindres
carrés
de
la droite
I2x
An P~
( 3 )
w

---

-
26 -
TABLE
II.1
LASER PLI
EDINGBURGH.
-6
longueur
d'onde
10.6
x
10
m
puissance
2W
polarisation
horizontale
-3
diamètre
du
faisceau
3.5
x
10
m
divergence
du
faisceau
4m
rad
stabilité
en
fréquence
mieux
que
300Khz
à
court
terme
mode
transversal
TE M00
rayon
de
courbure
du
miroir
arrière
3m
longueur
de
la
cavité
.545
m
DETECTEUR PYROELECTRIQUE
PLT
522
ORIEL.
surface
2 x 2 mm
NEP
2 x 10- 9 WHz- l / 2
réponse
50 V/W
polarisation
+5 à +9 volts
max 15 volts
MODULATEUR ACOUSTO-OPTIQUE ISOMET 1207A-6 OPTILAS.
-6
longueur d'onde
10.6 x 10
m
ouverture
6mm
fréquence centrale
40MHz
vérification par Optilas de
puissance maximale de
efficacité de déflection
la source RF
12 W
27% à RW
perte optique 8% a 10.6 ~
angle de Bragg 8/2
38.5 rad
vitesse acoustique
5.5 mm/~sec.

---

-
27
-
--
l
1- -1
1
....... i
M
-
----------------t-
LASERf-------QCOi lrlIIlI 1
'_._.---:
r
1
- o.s. -4.
4~
•
X_Y
C
MODULATEUR
D'AMPLITUDE
O.S.:
DETECTEUR
SYNCHRONE
o
DETECTEUR
PYROELECTRIQUE
PLT522
M
MOTEUR
A COURANT CONTINU
XY
TABLE
TRAÇANTE
.'
Fig.
II.3
-
Schéma
de
détection
du
profil
radial
des
faisceaux
laser

---

1
1
{U.A.}
x
{mm}
,,,,,,
N
,
0:>
,
d1+ 20 ,,,,,,,
d1+40' " ,,,,,,,
d1+60~(cml
Fig.
II.4a
-
Variation
du
profil
horizontal
du
faisceau
avec
la
distance
au
laser

---

l
(U.A.)
x
(mm)
, ,,,,,,,,d1/~~,,,,
'"
,
ID
,,
d1+20 " ,,",,,
d1+40?~,,,,
",,
d1+60~(cml
Fig.
II.4b
-
Variation
du
profil
vertical
du
faisceau
avec
la
distance
au
laser

---

30 -
La
variation
de
w avec
la
distance
z
apparaît
dans
les
figures
II.5(a)
et
II.5(b)
A partir
de
ces
figures
nous
pouvons
calculer
la
valeur
de
la
t a i l l e
* w
et
sa
o
position
z
avec
les
formules
habituelles
de
l'optique
des
.
o .
3
faIsceaux
gaussIens
tg
!'.6 '\\, !'.6
ITw
( 4 )
divergence
du
o
faisceau
ITw 2
o
w
et
/
z
) 2
_
l
( 5 )
/
wo
et
z.
les
distances
assez
grandes,
tg
!'.6 coincide
w vs
z.
**
Nous
avons
trouvé
que
la
t a i l l e
au
pincement
est
-3
égale
à
1.3
10
ID
(±
5%)
et
située
dans
la cavité
laser près
du miroir
arrière.
Nous
avons
aussi mesuré
la puissance
de
sortie
du
laser
et nous
avons
trouvé
700 mW.
Ces valeurs
ne
correspondent que
d'assez
loin
avec
celles
données
par
le
fabriquant
(table
II.1).
Nous
voulons
faire
noter
aussi
que
les
valeurs
du
rayon
de
courbure
et
de
la
longueur
de
la
cavité
données par
le
fabriquant,
font
prévoir
également
une
valeur
un peu
diffé-
rente
de
la
t a i l l e
qui
apparaît
dans
la
table
II.1.
De
la
formule
À
2
0
1/2
w
[deR -
d) l
( 6 )
R rayon
de
courbure
0
IT
J
d
longueur
de
la
cavité
et
à
partir des
valeurs
de
R et
d
de
la
table
II.1,
nous
* La taille est la demi-largeur à lie en amplitude du champ
électrique.
** Le pincement est la position où les surfaces d'onde sont
planes.
A cette
position
correspond
aussi
la
t a i l l e
la plus
faible.

---

-
31
-
'\\.A.J'"
o
(mm)
+
8
/
0./
+ Valeurs
de w obtenues par
moindres
carrés
/
3
tg8
= m = 2.51 10-
m
6
cl
wo = 1. 34
10 - 3 m
/
--- =
3
Droite pour
m = 2.51 10-
o Valeurs
de w obtenues par
la
largeur
à
1/e 2
3
tg8
= m E 2.8 10-
m
/
3
wo = 1.21 10-
m
o
/
= Droite pour m =
.1
/0
tg8
= _L
"T!WO
2
z
o----LI---I................I---..&_L.-...............L_.a.....-....L.....................................----L-.......__••~
d1.2 .4 .6 .8 d1 +1
d1+2
d1+ 3 (m)
Fig.
II.5a
-
Profil
horizontal
du
faisc~au

---

-
32
-
'Ur
(mm)
8
+ Valeurs
de
w obtenues
par
moindres
carrés
3
6
tg8
= m = 2.52 10-
3
wo
= 1.3410-
m
Droite
pour
m
+
o
Valeurs
de
w obtenues
par
la
largeur
à
Ile 2
3
tg8
= m = 2.75 10-
3
wo
= 1.23 10-
m
-3
Droite
pour
m ~
2.75
10
z
o....LI_ ..........L._.L.......L._L'_ .........J._.L.......L._L......._ ........J.-JL......IL-
~
d ·2
1
.4
.6 .8
d1+1
d1+2
d1+3 (m)
Fig.
II.5b
-
Profil
vertical
du
faisceau

---

33
-
devrions
trouver
en effet,
-3
w
1.9 x
10
m.
o
Revenons
à
la
figure
II.1.
Le
faisceau
laser
est en-
voyé
sur
le
modulateur
acousto-optique
ISOMET
1207A-6
(voir
table
II.1).
Le
MAO est
lié
à
un oscillateur de
40 MHz de
fré-
quence.
Cette
tension
est appliquée
entre
les
deux
faces
d'un
cristal piézoélectrique,
qui oscille
et
crée
une
onde de
com-
pression qui
se
propage
dans
le milieu d'interaction avec
une
vitesse
v
(voir
figure
II.6).
Le
faisceau
laser,
en
traver-
6
sant
le modulateur,
est diffracté
comme par
un
réseau
Le
premier ordre
de
la diffraction
correspond à
l'angle de
À f
o
Bragg
e
( 7 )
v
La proportion
de
lumière
déviée
et déplacée en
fré-
quence,
par
rapport
à
la
lumière
transmise
sans
modification,
dépend de
l'intensité
de
l'onde
acoustique
et donc
de
la
puissance
du
générateur
à
40 MHz.
Cette dépendance
est
linéai-
re
pour des
valeurs
faibles
de puissance
déviée.
Avec
le
générateur dont
nous
disposons,
nous
pouvons
ajuster
la puissance
de
l'O.L.
entre 0
et
70 mW.
Cette
carac-
téristique
est
spécialement avantageuse pour
permettre du faire
un
alignement
commode
avec
un
faisceau
assez puissant,
car
i l
peut être
facilement détecté
avec
des
plaques
thermosensibles
(à
fluorescence
ou à
cristaux
liquides)
puis de
réduire
cette puissance pour
atteindre
le
détecteur
en
dessous
de
son
seuil de
tolérance
(voir
table
II.2).
L'expérience
nous
a
montré
qu'il
y
a
une
taille op-
timale du
faisceau
à
l'intérieur
du modulateur pour que
la
voie oscillateur
locale
ne
soit pas
déformée.
Si
la
taille est
trop petite,
l'O.L.
n'a
plus de
symétrie
radiale
et
i l y
a
des
effets
de
diffraction
dans
les
bords
à
cause
de
la divergence

---

34
-
Cristal
piezzoélectrique
Générateur
40
MHz
Milieu
d'Interaction
::;;;_c::=-
Absorbeur
mécanique
ENTREE
SORTIE
1.
faisceau
incident.
l
l
faisceau
transmis
sans
modification.
o
Il
faisceau
déplacé
en
fréquence
et
dévié
d'un
angle
8.
Angle
de
Bragg
8/2.
L'absorbeur
mécanique
élimine
l'onde
longitudinale
pour
éviter
les
ondes
stationnaires
et
qu'il
n'y
a i t
pas
des
ondes
de
compression
que
dans
un
seul
sens.
Fig.
II.6
-
Modulateur
Acousto
Optique

---

-
35
-
(voir éq.
II.4).
De
tels
effets
de diffraction
se produisent
également si par contre
la
taille est
trop grande.
Nous avons
donc
mis
un
système
de deux
lentilles
L
et L
,
fig.
II.7,
1
2
(toutes
les
lentilles sont en ZnSe)'
devant
le
MAO,
pour attein-
dre
la
taille voulue.
Après
le modulateur,
chaque
faisceau passe par un
autre
système
de deux lentilles,
la première
étant commune
(L
,
L et L 4'
fig.
II.7).
Cette paire
crée
3
4
la taille voulue
(lO-3 m)
dans
la
zone de
diffusion.
llest très
important que
les
tailles des deux fais-
ceaux soient de
la même
dimension et que
leurs positions
coïn-
cident dans
la
zone
de
diffusion pour utiliser
les
éqs.
du
chapitre
1.
(voir éqs.
1.58
et 1.59).
Une
expérience de mesure
de
ces profils
est présentée
sur
la
fig.
II.8.
Nous
voyons que
ce
sont
seulement
les
queues qui
ne
sont pas
gaussiennes
et c'est là que
les
faisceaux
ne
coincident pas
la
queue
de
l'O.L.
est plus
large que
celle du primaire.
La dimension de
la
taille
est importante
d'un côté
parce qu'elle
détermine
la résolution
spatiale
dans
la zone
d'intersection des
faisceaux
(voir
fig.
1.4),
et d'un autre,
parce qu'elle
conditionne
la
séparabilité des deux
faisceaux
au niveau du détecteur
lorsque
l'angle de
diffusion est fai-
ble.
La
séparabilité des
faisceaux dépend du
rapport entre
la
divergence du faisceau
~8
(lui-même
fonction
inverse de
la
taille
au pincement éq.
II.4)
et de
l'angle
de
séparation.
Nous
séparons
les
deux faisceaux
à
une
distance L
de
la
zone
de diffusion où nous
bloquons
la voie primaire par
un absorbeur et nous
laissons passer la voie
locale à
travers
un diaphragme
(fig.
II.9).
La
largeur w de
la
tache
dans
cette position est
donnée par
À L
w
w
) 2
(8 )
o
ITw
2
o

---

z
14
135
~
y
Li.
1+-90
_14 i.3,5 _14
100
+L
----+1
4
--..1114-
55,S
I~
I~ 1
r
-
-
j.
W
.,
0'\\
,
~M1 1':- ..L
~
~
1
L1
L2
L3
LS
L
:
Lentilles
fI
'"
f
=
.1905 m = 7. 5"
2
M :
miroirs
f
=
. 381 m
3
'"
15"
D :
détecteur
Cd
Hg
Te
f
=
.508
4
'"
f 4
= 20"
f 5 '" .09 m = 3.75"
Fig.
II.7
-
Schéma
des
éléments
optiques.
Le
miroir
M
peut
être
déplacé
en
OY
et
tourné
4
pour
changer
l'angle
e

---

-
37
-
Intensité
(U.A.)
PRIMAIRE w 0= 1mm
tt---O.L. wo=1.1mm
y
4
3
2
1
o
1
2
3
4 (mm)
Fig.
II.8
-
Intersection
des
faisceaux
au
centre
de
la
diffusion

---

-
38
-
Fig.
II.9
-
séparation
des
faisceaux

---

39 -
TIw
2
ÀL
À L
o
et pour
L
}>
- À -
w '" w (
o
IIw 2
TIw o
o
avec
l'éq.
II.4
nous pouvons
écrire
w '" L 66
(9)
La distance
h
entre
les deux
taches
à
cette
distance
est donnée par
h
L6
( 10)
Nous ouvrons le
diaphragme d'un diamètre {Il '"'
2w et
nous voulons
calculer
l'angle minimal
de
diffusion 6
,
pour
min
lequel
i l
n'y aura qu'un pourcentage y dans
le voie
O.L.
prove-
nante
du primaire.
La partie
du primaire qui
passe
à
travers
le
dia-
phragme
est
2
2
-(x +y
)
2
w
l
d
d
( 1 1 )
o
x
Y
où Ad est
la
surface
du
diaphragme
TI (~) 2
2
l
est
la densité de
puissance.
o
La puissance
totale
du
faisceau
primaire
est
III
w2
o
P
et pour h > w nous
avons
o
2
_2h 2
P
2
0
w
(12 )
Pd 'V 2
e
De
(9),
(10)
et
(12)
_2(~)2
P o
M
Pd
e
( 1 3 )
2
Nous voulons que
cette puissance
soit plus petite ou égale
à
un pourcentage
y de POL
P
2YP
( 14 )
o
OL

---

- 40 -
Pour trouver
l'angle minimal
1
2
,Q,n
2y
P
8
;;;.
- -
M
I- l
OL
,Q,n 2y
( 1 5 )
2
P 0
POL
8
- -
( 1 6 )
min
MI 1 ,Q,n 2y
2
P0
Dans
notre
cas P
=.5mW,
P
= 400mW,
-3
OL
0
M
=
3.4
10
rad.
et nous
imposons y
=
10% d'où
-3
8 .
=
7
10
rad.
mln
L'angle
de diffusion
8 peut être modifié
facilement
à
l'aide du miroir M
(fig.
II.7)
qui peut être
déplacé dans
4
la détection oy et tourné
autour
de
lui-même.
Nous pouvons at-
teindre
la
limite
théorique.
Après
la
séparation des
faisceaux,
la voie O.L.
qui
contient maintenant
le
signal diffusé est
focalisée
par
la
len-
t i l l e Le
(fig.
II.7)
sur
le
détecteur.
:;>
C -
LE DETECTEUR.
Le
détecteur est un photovoltaique
en CdHgTe
N°
1187 de
SAT
(voir table
II.2).
Le
circuit de polarisation
est conçu pour un générateur de courant à
résistance
interne
nulle
donnant une
lecture
du courant de
photoémission
(figure
II.10).
Ce
courant est émis
lorsque
la
tension de polarisation
négative comme le montre la fig. II.11. Le circuit de polarisation est
est/un convertisseur d'impédance qui mesure
la
tension V et
le
courant id.
Ils
sont
limités
à
-.7mW et 4mA respectivement.
La
mesure du courant est très
utile.
Elle
nous permet d'abord de
mesurer
l'efficacité quantique
n à partir de
eP OL
n
( 1 7)
hv

---

_ 41 _
TABLE
II.2
----------
fenêtre
germanium
angle d'ouverture
30 0
-4
2
surface
sensible
4 x 10
cm
température
77 0
K
réponse
spectrale
500 MHz
longueur
d'onde
10.6
x
10-6 m
D*
= 4.9 lolOcm Hz l / 2W - l
puissance maximale
4 mW
tensions maximale
en
.8 v
inverse
courant maximal
5 mA
ANALYSEUR DE SPECTRE
7L12 Tektronix.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
rang
de
fréquence
centrale
l
MHz
à
1.8
6 Hz
résolut.ion
500 Hz
/
div
à
100 MHz
/
div
largeur
de
bande
300 Hz
à
3 MHz
vitesse de
balayage
10 ms/div
à
l
~s/div
UA401
UA402
UA403
Réponse en
fréquence
(MHz)
.2
à
1000
.2
à 1000
.2
à
1000
gain
en db
10
10
10
facteur
de
bruit
4
6
8
tension d'alimentation
12 V
12 V
12 V
courant d'alimentation
5
mA
12 mA
24 mA

---

-
42
-
Analyseur
Amplificateurs
de
spectre
~~X
~[>-[>-I
1
Of'\\-.--...--J
VA
401
VA
402
+
403
Détecteur
Cd
Hq
Te
(a l
100
pF
10 KD
10
HI
x
"Iédition
du
courant
10 KQ
450 Q
Détecteur
• • Cd
Hg
Te
(b)
Fig.
II.10
-
a)
schéma
de
la
détection
-
b)
Circuit
de
polarisation

---

-
43
-
V
(mV)
OmW"l""""'""------1~--+-.....&..---'--~
Fig.
IT.ll
-
caractéristique
TV
du
détecteur
Cd
Hg
Te
SAT.
L'énergie
nécessaire
pour
faire
passer
un
électron
à
la
bande
de
conduction
est
de
2,5
mw.

---

-
44-
Les
mesures
simultanées
de
i . ,
et de
la
puissance
l-
POL à
l'aide
d'un
calorimètre
nous
amènent
à
prendre
n =.22
Avec
le
courant
nous
pouvons
aussi
prévoir
la
densité
spectrale du bruit photonique
l
(w)
( 18)
n
à
comparer avec
les
eqs.
1.56 et
II.17.
Le
signal qui
sort du détecteur par
la
voie
HF
passe
à
travers
un
amplificateur
Avantek,
le
premier
(UA401)
à
faible
facteur
de
bruit et
10 db de
gain,
puis
UA
402
+ 403
de
10 db d'amplification chacun,
puis
amené
à
l'analyseur
de
spectre
7L12
Tektronix
sur
lequel
nous
pouvons
lire
directe-
ment
J
10
log
l
et
J
= 10
log
l
(voir
table
II.2
et
s
s
n
n
fig.
11.10).
En
fait,
le
bruit que
nous mesurons
n'est
pas
seule-
ment
le
bruit phtonique
dû
à
l'O.L.
mais
aussi
le
bruit
ther-
mique
du
premier
amplificateur*.
La
densité
spectrale
du
bruit que
nous mesurons
J
= 10 log
1
est,
puisque
les
bruits
sont
statistiquement
in-
t
t
dépendants
1
1 + 1
J
est
la
mesure
du
bruit que
nous
t
l
r
r
faisons
avec
le
détecteur
aveuglé.
En
unités
logarithmi-
ques
J
10 log
I
+ 10 log
[1 -
n
t
J
-J
r
t
J
J
+ 10 log
l
-
10 10
( 19 )
n
t
A partir des
données
expérimentales J
et J
pour
r
t
chaque valeur
id'
nous
pouvons connaître
le
bruit quantique
l n
* Le
détecteur
est
refroidi
à
la
température
de
l'azote
liquide
pour que
le
bruit
thermique
associé
ne
masque
pas
le
bruit
photonique
produit
par
l'O.L.

---

-
45-
A partir
de
l'éq.
18
nous
pouvons calculer
théori-
quement
la puissance photonique dans
un
interval
de
pulsa-
tion
/';
en
fonction
du courant
R id
e
P
(w)
------
( 20)
n
fI
où R est
l'impédance de
l'analyseur
de
spectre
R id e
P
(f)
2
- - - - - -
(21 )
n
fI
P
2R
id
e
/';f
(22)
n
et
de
(19 )
P -P
t
r
P
10
log
[ 1
10
Pt
+
-
-----
(23)
n
10
La
figure
II.12 montre
la
courbe
théorique
(éq.
22)
pour
/';f
= 30 Khz et R = 50~ et les résultats expérimentaux
correspondants.
Nous
voyons que
pour
un courant
jusqu'à
lmA,
la courbe
théorique
et
les valeurs
expérimentaux coïncident.
Au-delà de
1 mA,
l'expérience montre
un effet de
saturation.
Dans
nos
expériences
nous
avons
travaillé
avec
un courant plus
petit
ou
égal
à
1 mA.
Cette courbe
nous
permet d'avoir
une
valeur
absolue
du
bruit photonique pour
une
valeur
donnée
du courant.
Le~
bruit
photonique absolu
nous
permet
à
son
tour
une calibra-
tion exacte avec
les
formules
1.90,
1.91 et 1.92.
Une
fois
que
tout
le
système
de détection
est monté,
nous pouvons
vérifier
l'unicité
de
fréquence
du
laser.
Le
spectre de
l'O.L.
seul
ne
montre
pas d'autre
pics que celui
de
la
fréquence
n u l l e ;
i l
n'y a
pas
de
battements entre
deux
modes différents du
laser.

---

-
46
-
Pn
(10-15W)
1
cou r be
théor igue
+ valeurs expérimentales
6f
=
30
Khz
+
+
+
0.1
Id
o
1
2
3
(mA)
Fig.
II.12
-
Variation
du
bruit
avec
le
courant

---

-
47 -
CHA P I T R E
I I I
ONDES
ULTRASONORES

---

- 48 -
CHAPITRE III
ONDES ULTRASONORES
A -
DISPOSITIF EXPERIMENTAL.
Nous excitons des ondes
harmoniques
ultrasonores
dans
l ' a i r
par
l'oscillation d'une
céramique piezzoélectrique.
Nous disposons d'un disque
plan en quartz
p4-68 de
Quartz et Silice dont
les caractéristiques apparaissent dans
la
table 111.1.
A partir
des
caractéristiques données par
le
fabriquant,
nous pouvons connaître l'amplitude d'oscillation
a
de
l'épaisseur
du cristal
a
(1)
où d
est le coefficient de charge
33
et
V
l'amplitude de
la
tension d'excitation du cristal.
Nous polarisons
le cristal avec
une
tension alter-
native et
nous
le plaçons devant
la
zone d'intersection des
deux
faisceaux comme
nous avons montré dans
la
fig.
II.1.
A partir de
la
fréquence de
résonance du cristal
(f)
et de
la
vitesse du
son dans
l ' a i r ,
nous pouvons connaî-
r
tre le nombre d'onde des ondes
sonores
2 TIf r
k
(2)
C s
Pour observer
ces ondes,
on doit
régler
l'optique
pour
satisfaire la condition de Bragg
eq.
1.47 avec
k = k~,
d'où
l'angle auquel
nous devons croiser
les deux
faisceaux
k~
e
( 3 )
k o

---

-
49 -
TABLE 111.1
CARACTERISTIQUES DU DISQUE PIEZOELECTRIQUE P4-68 QUARTZ
ET
SILICE.
matériel
quartz
diamètre
25 mm
épaisseur
e
4 mm
p
constante de
fréquence
N
1780
st
-10
Coefficient
de charge
d
4.8
10
rn/volt
33
champ limite d'utilisation
600 voH/mm.
PHOTODIODE AU SILICIUM BPY 13
RTC.
tension de claquage
min
50 v
courant
max
l
llA
f
max 10 MHz
r

---

-
50 -
A partir
des
équations
(1)
(3),
nous
attendons
pour
f
= 445 KHz donnre par le constructeur
r
A
.7
mm
e
14 m rad
r
-1
3 m
o
k~
8.2
10
a
72
A pour
V
15
volts
La
détection
se
fait
comme
nous
avons
expliqué
dans
le
chapitre
II.
En changeant
la
fréquence
f
d'excitation des
ondes
ultrasonores,
à
amplitude
d'excitation constante,
nous
atten-
dons
que
l'amplitude
des
ondes
ultrasonores
détectées
présente
un
unique maximum
lorsque
f
= f
Cependant,
ce
n'est
pas
ce
r
que
nous observons.
L'amplitude
des ondes
détectées
présente
en
fait
une
série
de
résonances
très
étroites qui
manifestent
que
le cristal
piezoélectrique
lui-même
possède
plusieurs
fré-
quences
privilégiées d'excitation
qui
n'étaient
pas prévues.
Ceci
nous
a
conduit
à monter
une
expérience
spécifique
pour
mesurer
le déplacement de
la
face
avant
du
cristal,
que
nous
allons décrire.

---

-
51
-
Il
-
CALIBRATION DU CRISTAL PIEZOELECTRIQUE D'EXCITJ\\TIO!' DES_9_NDES
ULTRASONORES.
Nous
voulons
utiliser
le cristal
piezoélectrique
(CP),
pour
calibrer
la
détection optique des
ondes
de compression.
Pour cette calibration,
le CP doit
exciter
des
ondes
ultraso-
nores d'amplitude connue.
La
réponse
en
fréquence
nous
montre
que
les
spécifications du
cristal
(voir
table
II.1)
ne
sont
que
très approximatives.
Nous
avons
décidé
de mesurer
direc-
tement
l'amplitude d'oscillation du cristal.
Pour
celà,
nous
avons construit
un
interféromètre
de Michelson,
fig.
I I I . l a .
Nous avons
effectué
un
dépôt
de
cuivre électrolitique
sur
l'une des
faces
du CP
pour
pouvoir
l ' u t i l i s e r
comme
l'un des miroirs de
l'interféromètre.
A la
sortie de
l'interféromètre,
nous
avons
placé
une
diode
photosensible BPY
13
(table
111.1)
polarisée
et
branchée
à
un oscilloscope
et
à
un
analyseur
de
spectre.
Quand
le CP
oscille,
l'amplitude d'oscillation du
signal
d'in-
terférence doit
permettre
la
mesure du mouvement
du cristal
(fig.
III.lb).
Nous
attendons des
amplitudes de
l'ordre de
quelques
dizaines
d'Angstrom.
Cette
longueur
est
trop petite par
rap-
-6
port
à
la
longueur
d'onde
de
notre
laser
COZ
(10.6
xlo
m)
pour
donner
lieu à
une dérive
sensible de
franges.
Cette
dérive
peut
devenir
plus
sensible
avec
la
lumière d'un
laser
He
-
Ne où
elle
représente quelques millièmes
de
frange.
Nous
utilisons donc
un
laser
He -
Ne
pour
faire
cette mesure.
Le
premier
problème
à
résoudre
était de
rendre
réflé-
chissante
la
face
du CP
utilisée
en miroir.
Pour
cela,
nous
avons
fait
une électrolise
7 au
sulfate de
cuivre pour
déposer
une
couche
de
cuivre
sur
une
face
du
cristal.
Après,
nous

---

-
52
-
Laser
HE-NE
Diode
*.... ~t-' .~, ~~
t - - - '.. '..,,..., ,o------4..
Mir 0 i r
f i x e
Quartz
Oscillateur
a)
Interférométre
de
Michelson
Analyseur
de
spectre
+
20
V
1
Oscilloscope
b)
Polarisation
de
la
diode
et
mesure
Fig.
I I I . ]
-
Mesure
du
déplacement
du
c r i s t a l
piezzoélectrique.
Montage
a)
optique
et
b)
électrique.

---

-
53
-
avons poli
cette
couche
pour
qu'elle
réfléchisse
la
lumière
et
collé
l'autre
face
sur
un
support massif.
Le
signal
d'interférence
qui
sort de
la diode
est
du
type
T
s (t)
~ l dt[&lCOS(WLt + k
(4 )
L x 1 )
o
où &1
est
le
champ électrique
dans
la branche
du miroir
fixe,
&2
celui
de
la branche
du
CP
et W
la
fréquence
du
laser He-
L
Ne.
La
longueur
xl
est
fixe
alors
que
x
varie
avec
le dépla-
2
cement de
la
face
de
cristal.
Ce
déplacement est beaucoup
plus
lent que
le
temps
d'intégration.
Nous
pouvons
écrire
8
2
& 2
o 1
2
s (t)
+
( 5 )
2
2
où
x
+
f',
(6 )
x est
la différence
entre
les
deux
chemins quand
le
CP
n'os-
cille pas
et f',
représente
l'oscillation du
cristal
a
cos W t
( 7 )
r
où
a
est
l'amplitude
et W
la
fréquence
d'oscillation du
cris-
r
tal.
Nous
regardons
le
terme
d'interférence
qui
contient
l'information que
nous
cherchons.
a
Comme
À ~ 1,
nous
pouvons
développer
(8 )
De
(8)
nous
pouvons
séparer
le
terme
d'interférence
en deux parties.
La première &1&2
cos
kLx
est
le
terme qui
apparaît quand
le
CP
n'oscille
pas.
Ce
terme
devrait être
d'amplitude
constante.
En
fait,
la
rigidité
de
notre
montage

---

-
54 -
6tant
insuffisante,
la
lonqueur
x varie de
façon
al6atoire
avec
une
amplitude
bien
sup~rieure à
la
longueur d'onde
\\
et avec
un
spectre de
fréquences
formé
par
les vibrations mé-
caniques
(10hz
à
100hZ).
En observant
l'amplitude
crête à
crête
de
ce
signal
sur un écran d'oscilloscope,
on obtient
donc directement un
signal
v
( 9 )
c
Le
deuxième
terme
d'interférence
est harmonique
et
provient de
l'oscillation du
cristal
w L.
Nous
mesurons
son amplitude
r
en
l'observant
sur un analyseur de
spectre
accordé
sur
la
fréquence
w • La valeur quadratique moyenne
sur
les
fluctua-
r
tions
aléatoires
de
x
est obtenue
en choisissant une
résolu-
tion
large
en fréquence
(plus
grande que
1 khz),
et en mesu-
rant
la valeur moyenne de
l'indication de
l'analyseur de
spectre.
Cette valeur
efficace que
nous
appelons
V
est
p
1
/1,
V
- - /1,
k
a
( 10 )
p
L
12 1 2
d'où
/ 2 v
2/2 V
p
p
8,
(j,
V
1 2
c
V
/ 2 \\
a
--k
-rr-
( 1 1 )
V c
Nous
avons
remarqué
que
la
surface du CP n'est pas
homogène car
la valeur
de
a que
nous mesurons dépend de
la
partie du cristal
sur
laquelle
tOmbe
le
faisceau
He-Ne.
Nous
avons
fait
des
mesures
tout
le
long
d'un diamètre en déplaçant
le cristal
dans
le
sens perpendiculaire à
l'incidence du
faisceau
(fig.
III .la).
Nous avons
reporté
la valeur moyenne
de
l'amplitude d'oséillation
a
sur
chacune des positions

---

-
55 -
laissant
toujours
la meme
tension d'excitation ainsi
que
la
variance ~a sur
l'ensemble des
mesures
/~
-
2
L ( a . - a )
(12)
1
Nous
avons
répété
cette
expérience pour
trois
fré-
quences qui
correspodaient chacune à
un maximum d'amplitude
du signal
hétérodyne de
la
diffusion.
La
table
111.2 montre
l'ensemble des
résultats.
On
peut observer
la grande
valeur
relative
de
~a/a,
qui
indique
que
le mouvement de
la
face
du
CP n'est pas
uniforme.
Nous
avons
aussi
étudié
la variation de
l'amplitude
de
la
tension d'excitation pour une
fréquence
donnée
(voir
fig.
111.2)
en
trois
points différents
du cristal.
Les pentes
sont
celles
calculées par moindres carrés
et correspondent
au
coéfficient de
charge d
.
On observe une
variation
l i -
33
néaire.
Cependant,
le
coefficient de
charge dépend de
la po-
sition sur
la
face.
Avec
le montage de
la
figure
111.1,
nous avons
aussi
mesuré
la vitesse
du
son dans
l ' a i r .
En effet,
par
interfé-
rométrie
nous pouvons
mesurer
la phase
entre
le
générateur
de
l'onde
ultrasonore
et
le
signal
détecté.
En mesurant le
décalage
de
phase
en
fonction
de
la distance
(variable)
en-
tre
la zone de
diffusion
et
le cristal piézzoélectrique
(posté
sur une platine micrométrique)
nous
avons obtenu à
f
= 733.7 KHz,
À = 471
l
3~ et Cs = 345 ± 2m
C -
DIRECTIVITE.
- - - - - - - - - - -
Il
s'agit de montrer
ici
qualitativement,
à
l'aide
des
ondes
ultrasonores
excitées par
le
CP,
l'un des
intérêts
de
la détection
hétérodyne v.e.,
sa
sensibilité au
sens de
propagation des
fluctuations.

---

-
56
-
TABLE
III.2
-
CALIBRATION DU CRISTAL PIEZOELECTRIQUE.
1 -
VARIATION DE
L'AMPLITUDE
D'OSCILLATION AVEC LA FREQUENCE
D'EXCITATION.
fréquence
amplitude
de
amplitude
mo-
variance
d'excitation
la
tension
yenne
d'oscil-
!'> a
f
(KHz)
d'excitation
lation à
0
r
A
V
(volts)
0
exc
A
413
1 2 . 5
62
34
480
12.5
60
16
502
1 2 . 5
69
24
2
-
VARIATION DE
L'AMPLITUDE
D'OSCILLATION AVEC L'AMPLITUDE
DE
LA TENSION
D'EXCITATION POUR DIFFERENTES POSITIONS
SUR LE
CRISTAL.
f
502
KHz
milieu du
cristal
z = 0
~
-1
z
=
3 mm
z
=
0
z
=
3 mm
V
à
à
à
exc
(volts)
Â
~
Â
1 2 . 5
19.0
83.0
66.4
10
28.4
64.8
67.0
7.5
33 . 2
54.0
47.4
5
7.2
24.0
28.4
2 . 5
4.8
5.4
9.6
1 .25
2.8
3.2
5 . 7
0.5
1 . 4
1 . 3
1 . 9
0.25
0.8
0.6
1
d
=
d
=
d
=
33
33
33
- 10
-10
-10
2 .3
10
rn/v
7
10
rn/v
6
10
rn/v
1
d
est
la pente
calculée par moindres
carrés.
33

---

-
57
-
a
(Al
-10
d 33 '" 6 10
70
60
+
+z
= 0
50
6z
-3
Oz
+3
40
30
~
10
2.3
10-
20
~d33 '"
10
8
10
12
(V)
Fig.
111.2
-
Variation
de
l'amplitude
d'oscillation
du
Quartz
avec
l'amplitude
de
la
tension
d'excitation.

---

58 -
Dans
la
figure
III.3a
,nous
voyons que quand
l'onde
l
->-
->-
sonore se déplace
dans
le
même
sens
que
k
-
k
i l
Y a
un
o
s
décalage positif du spectre par rapport à
la référence ~ .
Dans
la figure
III.3bl
et b2
nous voyons que quand d'onde
so-
nore
se déplace
dans
le
sens
inverse que précédemment,
le
décalage
du spectre
est négatif.
D -
CALIBRATION DE LA MESURE EN
TERMES
DU TAUX DE FLUCTUATION.
Nous avons montré au chapitre
l
comment calculer la
réponse
de
l'optique hétérodyne à
une
fluctuation
de
densité
donnée.
Nous
savons d'autre part excitér,
avec
le C.P.,
des
ondes
ultrasonores
dont nous pouvons prévoir
l'amplitude.
Nous
voulons maintenant,
en détectant ces ondes
ultrasonores par
l'optique
hétérodyne,
connaître
l'efficacité de
notre montage.
Nous
calculons d'abord
l'amplitude des ondes ultra-
S
sonores connaissant les caractéristiques du C.P.
Nous
supposons
une onde
de petite
amplitude
et nous
pouvons écrire
la pression p
et la densité
p du
fluide
comme
p
p
+ p'
( l 3)
o
p
P
+ p'
( 1 4 )
o
où Po'
Po sont la pression et la densité moyennes
et
p'
< Po'
p'
< Po
sont des
petites
fluctuations
autour des
valeurs moyennes.
Dans
ce cas,
nous pouvons
linéariser les équations
qui
décrivent
le mouvement d'un
fluide
compressible.
L'équation
de
continuité
È..2. + ~.P ~
o
( 1 5 )
dt
devient
ap'
->-
-
+ p 'V.v
o
( 16 )
dt
o

---

aa·db
W
0 L. A
wO-
f:,
.~
OL
quartz
MAO
~
w
(°1 )
a...
21'1
"'~'I'
n'Ill
,
.., •..,..
, 1 1
1
i
i
,
1
i
i
~ (MHz)
-2
-1
a
1
aa-ldb
(°2)
lJ'
•
'JO
OL.
MAO
w
~
21'1
(b1 )
2(MHz)
-1
a
1
(b2)
Fig.
111.3
-
Directivité
de
l'Hétérodynage

---

-
60 -
et
l'équation d'Euler
-+
dV
-+
-+
-
+
(vV)
v
dt
( 1 7)
devient
-+
dV
Vp'
-
+
o
dt
P
( 18)
o
Nous
avons
deux équations
(16)
et
(18),
et trois
-+
inconnues
v,
p'
et p'.
Puisque
nous
pouvons
supposer que
l ' a i r est un
gaz
parfait et que
tout mouvement dans
un
tel
gaz
est adiabatique,
une petite
variation p'
est
liée
à
une
petite variation
p'
par
p'
~ )
p'
dP 0
S
et
(17 )
devient
dp'
dp
-+
-
+ Po
ap- ) V.v
0
( 1 9 )
dt
0
S
Nous
définissons
un potentiel
de
vitesses
par
-+
V
-
Vtp
(20)
et alors
de
(18)
d'l'
p'
Po
( 2 1 )
dt
et de
( 19 )
2
d '1'
V2'1'
1
o
( 2 2 )
2
2
cs
dt
où
c
est
la vitesse
du
son.
s
(22)
est une
équation d'onde
c'est
l'équation des
ondes
sonores qui
se
propagent à
la vitesse de phase
c s
Le
potentiel '1'
doit
satisfaire
deux
conditions
aux
limites
d'l'
i )
U
( 2 3 )
dy
n
y=O

---

-
61
-
où
U
est
la
vitesse
normale
d'oscillation
de
la
face
libre
n
du C.P.,
l'axe
oy
étant
orienté
normalement
à
cette
surface
(vo i r
fig.
1. 3
et
Ir. 7) .
ii)
loin
de
la
source,
~oo doit être
une
onde
sphérique
di-
vergente.
Nous
sommes
intéressés
dans
la
région ou
l'onde
so-
nore
peut être
considérée
comme
une
onde
plane
et
nous
pro po-
sons
comme
solution
de
(22)
(24)
En
substituant
(24)
en
(22)
on
obtient
la
relation
de
dispersion
entre
W
et k
.
1
1
(25)
c s
D'autre
part,
nous
pouvons
décrire
le
déplacement
du
cristal
par
oy
a
cos
W t
( 26)
r
avec
une
vitesse
U
W a
sin
W t
( 27)
n
r
r
De
la première
condition
aux
limites
(éq.
23)
et de
(24)
et
(25)
~
k
sin
W t
- w
a
sin
W t
0
1
r
1
r
-W
d'où
1
( 28)
~
a
c
a
0
k
s
1
et
~
-c
a
cos(k1y
- W1 t)
(29)
s
et
de
( 2 1 )
p'
-Po ~
w1sin(k1y-w1t)
Po
c
a
W
sin(k1y-w1t)
( 30)
0
s
r

---

62
où
(30)
est
l'onde
de
pression
produite
dans
l ' a i r par
l'os-
cillation du
cristal.
La
fréquence
W
étant bien
inférieure
à
la
fréquence
1
de
collision
dans
l ' a i r ,
le
processus
est adiabatique.
p'
y
KTn'
( 3 1 )
avec
p'
n'm
n
m
o
la vitesse
de
son
est
c
/ yKT
( 32)
s
m
où
n
densité
de
molécules
par
unité
de
volume
dans
l ' a i r
o
m masse moyenne
d'une
molécule
y
=
c
/ c
p
v
K
constante
de
Boltzmann
T
température
absolue.
De
(30),
(31)
et
(32)
p'
n'
( 33)
yKT
Nous
appelons
l'amplitude
de
la
fluctuation
n o
(34)
et nous
pouvons
écrire
la
fluctuation
de
densité
dans
l ' a i r
( 35)
Maintenant
nous
avons
besoin
de
relier
cette quantité
avec
celles
que
nous
détectons,
c'est-à-dire,
avec
la densité
spectrale
du
courant.
Pour
cela,
nous
mettons
(35)
dans
l'ex-
pression du
courant
1.46.

---

-
63
-
_-
ne
1
[ 0
> ,
f
3
'V
i (t)
LI.
"2
ïÇ"
o
hv
1 rR(oO(uOLJ JJd r n stn[k (y+d)-W t] x
l
1
l
-2
2
w o
r-2
+ eXPl~
(36)
o
où
d
est
la
distance
entre
le bord
du CP,
où
l'onde
acoustique
commence
à
se propager
dans
l ' a i r ,
et
la
zone
d'intersection
des
faisceaux
où
elle est détectée.
Dans
l'expression précé-
dente
nous
avons
inclu
la
forme
gaussienne
des
profils.
Les
limites
d'intégration
sont définies par
la
forme
de
la
zone
où
i l
y
a
des
fluctuations
comme
montre
la
figure
1.4.
Le
long des
axes
OX
et OY,
la
zone
d'existence
de
l'onde
ultrasonore
est plus
grande
que
la
zone
d'intersection
des
faisceaux;
par
contre
le
long de
l'axe
OZ,
la
longueur
de
la
zone
d'intersection
D est beaucoup plus
longue que
la
longueur
des
fluctuations
1,
(que
nous
considérerons
égale
au diamètre
du C.P.).
x
E
[_00, 00]
y
E
[_00, 00]
( 37)
z
E
[-~, ~]
Dans
ces
conditions
ne
1
i (t)
À
j/::
'V
II
2
r
8,
G,
L
R
n 1
w
x
0
hv
2
0
al,
2
0
(38 )

---

-
64
-
Nous
analysons
le
premier
terme
de
(38)
en
calculant
la
densité
spectrale
l
(w)
définie
par
1.49.
s
D'abord
oo
J dT i(t)i(t+T) exp(iWT)
00
2
2
-(k
-k
)
w
1
r:,
0
]J~T eXP(iWT)COS[ k1d-(W1-Wr:,)t]
4
_00
.cos
[k1d
-
(W1-Wr:,) (t+T) ]
(39 )
ne
1
où
C
;\\
~, /j, /j,
0
hV
2
II
R
0
OL
0
Si
nous
appelons
W
- w
-
W '
de
1.47
L
1
2
le
résultat
final
est
:
3
l
/~
2
!1
ne
-
.;
fi. 2 g2
'\\,2
4
2
l
(W)
(;\\0
r
)
n
w
L
s
R
o
oL
l
0
16
hv
2
llo
2
2
(kl-kr:,)
w0
exp [-
] [ 0 (w + W ) + o(w - W )]
(40)
2
2
4
et en termes de la puissance
!1
ne
2
;\\2
2
'\\,2
2
l
(W)
)
r
P
P
n
L
s
0
R
0
oL
l
4
hv
2
2
(kl-kL\\)
w0
exp [-
[0 ( w+ W ) + o(w - W )]
(41 )
2
2
4

---

-
65 -
Avec
1.57
nous
pouvons
calculer
le
rapport
signal
sur
bruit
l
(w)
s
Tl
l
hv
n
2 2
-(k -k
) w
[
1
fi,
exp
0
( 42)
4
Dans notre cas particulier,
nous avons adapté l'angle
de diffusion de façon à avoir kfl,
= k . On effectue la mesure sur un ana-
l
lyseur de spectre au voisinage de la fréquence w = wfI, -
w •
Si nous
l
intégrons
(42)
sur
les fréquences
j
2
l
(w)
n
'1
Tl
s
,\\2
2
'<"2
2
dw
r
P
(43)
hv
nI L
l
4
0
R
0
n
et inversement
4
hv
l
l
(w)
'\\,2
s
J
dw
nI
[j2
(44)
TlP
,\\ 2 r 2 L 2
l
fi, V
0
o R
n
'\\,2
ou
fl,V
indique que la valeur de nI
est mesurée dans un certain volume
défini par
(37).
Avec la définition 1.89, dans le cas d'une fonction 6
nous pouvons écrire :
4
h v
1
A/l0
?i2
10
(45)
l
2
2
2
2
fi, V
fT
P
r
L
Tl o
'\\0
R
'\\,
nI
4
h \\)
/\\/10
!,.i
et
f
10
]
( 46)
[[2
')
2
2 2
n
Tlp
,\\ ., r
L n
0
0
<)
R
0
Jusqu'ici, nous avons supposé une optique idéale avec
deux faisceaux gaussiens identiques. Cependant, nous avons constaté dans

---

,
-
66 -
nos expériences avec les ondes ultrasonores que l'optique était mauvaise
la taille du laser incident dans le MAO était trop petite par rapport à
la longueur d'onde acoustique dans le modulateur et le profil de l'onde
laser restait déformé.
Pour tenir compte d'un mauvais mélange entre les
faisceaux nous pouvons écrire:
hv
l
AllO
10
(47)
nP
À 2
2 L 2
o
0
r R
ou
~
est appelé le facteur d'hétérodynage et dépend uniquement de
l'optique de détection
(voir paragraphe III.e).
Avec la calibration que nous avons fait du CP et
'è
l'équation
(34)
nous pouvons prévoir une valeur de nI
pour chaque fré-
quence d'oscillation du cristal, et la comparer avec les résultats des
25
3
expériences
~l
à partir de (47). Pour no = 2.7 10
11m
et
Cs
340 mlsec
les ~Xleurs des fluctuations excitées par le cristal piézo-
électr ique et attendues par
(34)
et la table III. 2 sont
3
'è
'è
+
'è
(l/m )
,-
"
'è
1
1
f
(KHz)
nI
n
-
t,n
1
f
t,n
r
l
l
1
1
20
-5
~
l
- - - -
1
20
+
20
3
413
9.8
10
3.6
10
!
5.4
10
(9.8 -
5.4)
10
Ilm
1
1
1
1
;
1
l
20 i
-5
1
20
+
20
3
480
14.5
o
, 5.4
10
3.8
(14.5 -
3. 8)
1
10
10
11m
1
!
i
20
20
+
20
3
502
17 .1
10
,
10- 5
6.4
6.1
10
(17.2 -
6. 1)
10
11m
1
!
ou
(48 )
Dans la dernière colonne de la table nous
voyons le domaine de valeurs dans lequel nous attendons trouver nos
mesures.
Par l'expérience de diffusion, pour P
=
.4 watt,
n = .22,
o
L = .025m et ~ = .11 avec une largeur de bande t,f = 30 KHz, nous avons
trouvé les résultats suivants

---

-
67 -
'\\,2
'\\,2
'\\,2
'\\,
+
'\\,
3
nI
6 n
n
- 6 n
l
nI
f 6V
l
1
f
6
(m- 6 )
(m-
(f<HZ)
6V
6V
6V
16V
6V
i
,
41
41
20
20
413
94
1.2
10
0.3 10
3.4 10
1.3 10- 5
+
(3.4 -
.4)
10
41
41
20
5
+
20
480
92
.7
10
0.2 10
2.7 10
i 1.0 10-
(2.7 -
.3)
10
1
41
41
20
20
502
99
3.7
10
l
10
6
10
10- 5
+
2.2
(6.0 -
.8)
10
où
est calculé en considérant une erreur de ~ l db dans la
'\\,2
nI
• En comparant les deux tables précédentes, nous voyons
que la mesure A~térodyne est inférieure à celle qu'on attend: d'un
facteur
trois à 413 KHz, d'un facteur cinq pour 408 KHz et d'un facteur
trois pour 502 KHz.
E -
SENSIBILITE DE LA DETECTION.
A partir de la formule
(47)
nous pouvons estimer la sensi-
bilité de la détection hétérodyne pour une onde monochromatique. En
supposant un rapport signal sur bruit égal à l,
(A = 0), et un cas
idéal
(s = 1), nous pouvons calculer la fluctuation minimale que nous
pouvons détecter par cette méthode dans les mêmes conditions de puis-
sance et d'efficacité quantique. On obtient
'\\,2
30
-6
3.5 10
nI
m
6V min
'\\,
1015
-3
n
1.9
m
16V min
'\\,
nI min
-11
f
7
10
min
n0

---

-
68 -
En fait,
cette limite pouvait même être réduite puisque
le rapport signal sur bruit dépend de la largeur de bande,
(arbitraire
ici de 30 KHz)
dans laquelle nous faisons la mesure. Si nous diminuons
cette largeur,
le rapport signal sur
bruit augmente.
F -
EFFICACITE D'HETERODYNAGE.
Les équations 1.58 et 1.59 décrivent les profiles des
faisceaux gaussiens pour des surfaces d'onde planes. Quand cette condi-
tion n'est pas remplie,
les équations du courant 1.46 et de sa densité
spectrale 1.63 sont modifiées.
Expérimentalement, pour tenir compte de cette modification
et donc,
d'un mauvais mélange optique des deux faisceaux sur les détec-
teurs, nous avons ajouté le facteur d'hétérodynage
~
dans l'équation
47. Nous allons montrér comment nous avons mesuré ce facteur
~.
Nous faisons passer le faisceau primaire à travers une
lame séparatrice qui ne laisse passer qu'un millième de la puissance
incidente. Cette partie transmise à le même profil que le faisceau pri-
maire et comme elle a une très faible puissance, elle peut être envoyée
directement sur le détecteur Cd Hg Te
(voir table II.2).
-+
-+
soient E (r, t)
t.
(r)
cos
W
+w ) t
le champ
OL
o
6
OL
-+
-+
électrique de l'O.L. et
E
(r,t)
cf, (r)
cos
W t
+ ~) celui provenant
o
de la partie transmise du primaire ; et soient POL et P les puissances
correspondantes.
Nous pouvons bloquer l'un ou l'autre de ces faisceaux
et faire une mesure des courants correspondants i
et i
et donc
OL
connaître P
et P.
OL
Nous pouvons aussi envoyer les deux faisceaux simultané-
ment
; le mélange produit un battement que nous pouvons détecter dans
l'analyseur de spectre.

---

- 69 -
,
La puissance totale du mélange de ces deux champs est
de la forme
2
P + POL + constante f"'ë, (t) t
(~)cos[ (w +w) tJcos[ w t+<j> d r
(49)
J A
OL
0
t:.
0
où A la surface du détecteur. Si le mélange est parfait, c'est-à-dire
si les deux faisceaux sont proportionnels l'un à l'autre, la puissance
est de la forme :
(50 )
Si le mélange n'est parfait
t,
~
(51 )
1
!\\
où nous ne connaissons pas la relation entre P', P et POL.
1
Nous définissons :
1
p'
[, -
(52)
1
!
1
en p' est la puissance du battement et P et POL sont les puissances de
f
chacun des faisceaux. Quant le mélange est parfait, de (50) et
(51)
nous avons
1!
p'
1.
[,
dépend des profils des
faisceaux.
Puisque nous mesurons directement i
et i,
c'est conve-
OL
nable d'exprimer
[,
en termes de
courant
i '
(53)
2 / i i
o

---

-
70 -
où
i
est le courant correspondant à la puissance P' mesuré avec
l'analyseur de spectre:
2
P'
R
<1 >
(54)
2
i'
<1 >
(55)
R l'impédance de l'analyseur de spectre.
Nous avons fait quatre mesures de ~
i
i
i'
OL
(mA)
(mA)
(mA)
R
50 D
~
.11
1.1
1.15
0.28
.12
t:,~
.02
1.15
1.15
0.28
.12
1.3
1.4
0.18
.07
1.0
1.0
0.16
.13
c'est la valeur de ~
que nous avons utilisée pour les
calculs du paragraphe précédent.

---

71
CHA P I T R E
l
V
TURBULENCE D'UN JET D'AIR COMPRIME

---

-
72
-
CHAPITRE
IV
TURBULENCE D'UN JET D'AIR COMPRIME
A -
DISPOSITIF EXPERIMENTAL.
Nous produisons
un
jet axisymétrique
d'air
comprimé
à
partir d'un orifice
circulaire.
Deux orifices ont été u t i l i -
sés,
l'un de
imm et l'autre de
3mm de
diamètre.
Près de
l ' o r i -
fice
est
installé
un manomètre pouvant mesurer
la pression
9
entre 0
et 4.4
bar.
La
fig.
IV.i
montre
une
coupe
schémati-
que
d'un
jet axisymétrique
le long de
son axe.
On distingue
habituellement trois
régions.
Dans
la première,
le mouvement
est celui d'un
flux
laminaire.
Dans
la deuxième,
appelée
zone
de
mélange,
i l y
a
une partie
de
flux
laminaire
et i l
existe
déjà un mouvement
turbulent.
La
troisième est celle où
la
turbulence est pleinement développée
elle se
trouve
à
une
distance
comprise
entre
20 et 40
fois
le diamètre
du nez.
A côté
de
la
coupe
du
jet,
la
figure
montre
la
distribution de vitesses dans
chaque
région.
Un
jet
axisymétrique peut être
comparé
à
un
cône
si nous
faisons
des
coupes
transversales
le
long
de
l'axe
du
jet,
nous
trouverons
des
cercles
dont
le
rayon croit avec
la distance
au nez.
Nous
définissons pour
la
suite un nouveau
système
d'axes
nous
appelons
OZ
l'axe
fixe
du
faisceau
oscillateur
-+
local
et pour
axe OX
la direction verticale.
Le vecteur
k 6
définit
par
la diffusion
est dans
le
plan YOZ
et voisin de
l'axe OYe
1
Nous avons
installé
le
nez
sur
un montage micromé-
f
trique
de Micro Contrôle
(voir
fig.
IV. 2).
Le nez
est
toujours
f
f
dirigé
vers
la
zone d'intersection des
faisceaux
et
i l a
trois
t
mouvements
possibles.
Un des mouvements décrit
une circonfé-
!
rence dans
le
plan XOY
nous
appelons a
l'angle entre
l'axe
i
1
OX
et
l'axe du
jet dans
le plan XOY,
dans
les directions
parallèle et
perpendiculaire
à
l'axe du
jet.
!

---

-
73
-
Vs ·Vitesse centrale
V·
vitesse
initiale
1
-
-
--------....
- Vi
Vi
-----1~Vs
-
-
a)
Distribution
de
vitesses
d
zone
de
mélange
turbulence
développée
b)
coupe
longitudinale
d'un
jet
Fig.
IV.I
-
Schéma
d'un
jet axisymétrique

---

74
x
z
Fig.
IV.2
Montage
de
la
Buse

---

-
75
-
J1
1
1
1
Le montage
décrit
ci-dessus permet de placer n'impo~
1
1
1
te quelle
région du
nez
dans
la
zone
d'intersection des
fais-
Î
ceaux optiques.
Nous pouvons
donc
étudier
les
fluctuations
de
1
1
n'importe quelle
région du jet dans
n'importe quelle
direction
j
3
l
perpendicualire à
l'axe optique.
j
l'~
j
Dans
le premier
chapitre nous avons
vu qu'avec
la
1
1
détection hétérodyne
nous
pouvons mesurer des
fluctuations
de
1
+
1
densité
correspondantes au k
déterminé par
l'angle
de diffu-
~
~
sion et donc par
l'optique.
Pour
les petits angles de
diffu-
sion dans
lesquels nous
travaillons
(8 ~ 20 mrad),
nous
+
pouvons
supposer que
k~ est parallèle
à
OY.
Dans
la
figure
IV.3a,
nous montrons
d'une part
la
zone
d'intersection des
faisceaux,
qui
est un
losange
hachuré
de diagonale
D et,
d'autre part,la zone
de
turbulence qui
est
la
section
transversale du
cône de
diamètre L.
Pour chaque me-
sure,
nous détectons
les
fluctuations
qui
existent dans
l'in-o
tersection
entre
le
cône
de
turbulence
et
la zone
d'intersec-
tion des
faisceaux.
Pour
toutes
les mesures que
nous avons
fait
L < D.
puisque
la
turbulence
a
un
spectre
large,
nous pou-
vons
appliquer directement
les
formules
1.90,
1.91
et 1.92 pour
calculer la densité
spectrale et
le
taux des
fluctuations.
Dans ces
formules,
le
seul paramètre que
nous
ne
connaissons
pas
est
la
longueur de
la
turbulence.
Nous montrons dans
le pa-
ragraphe
suivant
la
façon
de
mesurer
cette
longueur.
B -
ANALYSE
RADIALE
DE LA TURBULENCE.
Nous
plaçons un
nez
de
trois millimètres de diamètre
dans
le plan XY à
une
distance
X
90 mm de
la zone de diffu-
sion avec
l'axe de
symétrie du
jet parallèle
à
l'axe OX,
(a = 0°,
fig.
IV.2).
Les
fluctuations
que
nous
pouvons
détecter
dans cette position du nez
sont celles
de
la
turbulence déve-
loppée
dans
l'axe du
jet dont
le vecteur d'onde est

---

-
76
-
perpendiculaire
à
l'axe
du
jet
Ik~1 étant déterminé par
l'angle de
diffusion).
L'expérience
a
été
fai te pour
e =
l
10 mrad
-+
1
10 3 m-
qui
correspond à
k~
= 6
une pression de
1
p
=
4.2
bar et une
largeur de
bande 6f
3
khz.
Nous
sommes
placés pour
faire
une
détection au
centre de
la
section transversale
montrée par
la
zone
hachu-
-+
rée
de
la
fig.
Iv.3b.Comme
L ~ D pour une mesure de S(k~,W)
nous
avons
un
résultat
intégral
le
long d'un
"cylindre"
(comparer
IV.3a et
IV.3b)
de
rayon
égal
à
la
taille
du
fais-
ceau
(w
= 1 mm)
et de
longueur égale
au
diamètre
de
la
sec-
a
tian
transversale
du cône
de
turbulence.
Une
fois
faite
cette mesure,
nous
déplaçons
le
nez
le
long de
l'axe OY une
distance
égale
à
deux
fois
la
taille
du
faisceau.
La mesure
correspondante à
cette position
inclut
les
fluctuations
dans
un
cylindre
avec
le même
rayon
que précédemment,
mais
de
longueur égale
à
la corde
corres-
pondante
à
cette position de
y
(voir
fig.
IV.3b).
Pour
faire
une
analyse
radiale
de
la
turbulence,
nous
continuons
ce
procédé.
Pour
chaque
mesure
nous
aurons
des
cylindres
de
même
rayon dont
la
longueur dépendra de
la
distance y
à
l'axe du
jet.
-+
La
figure
IV.4
montre
la variation de
S(k~,W)
avec
la position radiale y
dans
la
section
transversale
du cône.
Le
résultat aurait été
symétrique
si
nous
avions
déplacé
le
nez
dans
le
sens
inverse
de
y.
Nous
observons
d'abord pour y
= 0 une courbe symé-
trique
avec
un unique
maximum à
la fréquence
de
battement W .
6
Puis,
à
mesure
que
nous
nous
éloignons
de
l'axe
du
jet,
l'am-
plitude décroît et
la
courbe
devient dissymétrique,
le
spec-
tre plus
intense du côté
des
hautes
fréquences,
c'est-à-dire,
pour
les
fluctuations
se propageant vers
l'extérieur du
jet.
Ensuite
un nouveau pic
indépendant apparaît de
fréquence
centrale
380 KHz
et
se propageant vers
l'extérieur.
Le
rapport

---

j
!
-
77
-
G.L.
a)
Comparaison
entre
la
longueur
de
la
turbulence
(L)
et
la
longueur
d' intersection
des
faisceaux
(D)
z
y
b)
Analyse
radiale
de
la
turbulence
par
franges
d'é pa i s s e u r
2 wo
f
~,
1
1
Fig.
IV.3
-
Détermination
de
la
longueur
de
la
turbulence.
f
1

---

x
(sec)
"\\.)
L
t
G.L. z
----<8
-
PRIM.-'"
;J ',.'ô
/;
n"-
IJ'
-Jd(}
.J
\\.<,
-...J
co
~ 3 ta 1: 100)< ~.
(t: 31r/,
."
--
Fig.
IV.4
-
Analyse
radiale
de
la
turbulence
X :
90
mm,
d
= 3 mm, p = 4.2 bar,
~f = 3KHz, k
= . 6
10 4 m- l
a
= 0°
o
'
""'_"""""<'~'.!:""''''''''_~~_'!'I.'''f''''''''''''''''"~__''~,"",,=''''''A''''''_''''~~'·""'7';'~"~·V"''''''"·~'''.~'''''.''''''-9,'''''''·''''''''i''l''''''~
.....""........_.Fr'.,"~_"..,_·,:ic"'"._ •..".",~)'!""~,"~,,"""""v,"'.,........,,-~_,...,:."""~,:" ....'<.;"'!';·~.·.".,..."",'~"'~·."".,...,......,..",·~"iW'......,.~""'..·./~..."'"_~''''''f·'''_·r}·"'"'·~:';''''''''"''''''.',"~","''','; ..,..,..·i_'''''·'''''...,~,'''".,...~',......,""'...'?-,."''',._..,'!''~.~_~~-'~.:''''''''",."''~,-.".'''~ .....''''...,''i~;I..'.,,~'_"'·';O;-""""···"'~'''''_>'''''.'1t,·,=, __,?,'''··''''''-;·'''$''':'''''7·''':'''' '~':""":_:""'<~---':"""'-:"'_':"_'"",!,''''~'"o'·-'''''C'''''''''''''''',"""I?'''''·''>~"':"""'''""''',"!"~",,,,,),,,.~ .•(,~~,,,,,,~__:,,~,",,,",,~<,,,,,,~,,,."":".,"'.".,.""'''''''''''...,.,..,."..~'

---

-
79
-
de
cette
fréquence
au nombre
d'onde
supposé
par
l'optique
3
-1
k
= 6 10
m
montre
que
ces
fluctuations
se propagent à
6
398 rn/sec
qui
est
la vitesse
des
ondes
ultrasonores.
Nous
ob-
servons donc
les
ondes
ultrasonores
rayonnées par
la
turbu-
lence à
l'extérieur.
Remarquons
que
l'amplitude de
ces
fluc-
tuations
est beaucoup plus
faible
(40 db)
que
celles des
fluc-
tuations
de
vitesse
moyenne
nulle
observées
au
centre.
Nous
distinguerons par
le
nom de
"fluctuations de masse"
le
spectre
centré
à
fréquence
nulle pour
les distinguer
des
"fluctuations
ultrasonores".
Nous
avons
également observé que
si
nous
nous
appro-
chons du nez,
les ondes
ultrasonores
apparaissent plus proches
de
l'axe
comme on pouvait attendre puisque
les
diamètres
des
zones
transversales près
du nez
sont plus petits.
La
figure
IV.S
montre
l'apparition de
ces ondes
à
différentes
distances
du nez.
L'axe OY montre
la distance
à
l'axe
du
jet et
l'axe
OX
la distance
au nez.
Si
nous
intégrons
en
fréquence
chaque
courbe de
la
-+
figure
IV.4,
nous pouvons
calculer
le
spectre S(k
)
pour cha-
6
-+
que
valeur
de
y
à
partir
de
1.91.
Nous
avons
tracé
S(k
)
en
6
fonction
de y
dans
la figure
IV.6a.
Cette variation est dûe
à
la variation de
la
longueur
L de
la
turbulence
avec y
-+
(fig.
IV.Sb).
Pour
connaître
le profil
radial
de
S(k
)
et du
6
taux
des
fluctuations
f
nous
devons proèéder à
une
inversion
d'Abel.
Nous
sommes
intéressés par
la
valeur
de
St
(y)
dans
6
chaque point
(y, z).
St
(y)
est en fait
l'intégrale
le
long
6
de
z
de
cette
fonction
de point St
(y,z)
Si nous
appelons
6
2
r
=
z
nous
pouvons
écrire
1
2
2
R -r
f
( 1 )
2
2
1 R -r

---

80
-
N
I
~
~ -
<!
E
: j
E
-
,
t
<lJ
U
C
(lJ
M
:l
.n
1.4
:l
.j.J
...
-...j'
co
M
<lJ
'0
<lJ
M
co
.....
'0
co
1-<
<lJ
(j)
>.
M
co
C
1':(
If)
:>
H
D>
.....
..
N
"-'
-Eu-
+
+
+
x
Ln
Lf')
a
..---
N
(Y)

---

-
81
-
En
supposant que
le
système
est
symétrique par
rap-
port
à
l'axe
OX,
nous
pouvons
calculer Sk"
(r)
à
partir de
la
6
formule
d'inversion d'Abel
9
R
-1
r
dy
TIJ
( 2 )
dy
r
2
2
.; Y -r
A partir
de
la
figure
IV.6a,
nous
avons
mesuré
la
densité
de
Sk"
(y)
à
chaque
point en prenant
la
valeur
moyenne
6
des
pentes
entre
et Sk"6 (Yi),et
Sk~ (Yi) et Sk (Yi+l)
6
Après,
nous
avons
approché
l'intégrale
(2)
par
une
somme
et
nous
avons
imposé
les
conditions
i)
R -+
00
dSk"
(y)
6
i i )
= 0
dy
Iy o
dSk"
(y)
~
i i i )
o
dy
Iy 18 mm
Pour
chaque
valeur
de
r
nous
avons
18
-1
1
TI
L
( 3 )
dy
y=o
où
2w o
Le
résultat
de
l'inversion
apparaît dans
la
figure
IV.6b.
Si
nous
définissons
L/2
comme
la
valeur de
r
pour
la-
quelle
Sk"
(r)
est
la moitié
de
son maximum,
nous
trouvons
,
~-
.
pour
l
experlence
faite
à
X = 90 mm du nez L ~
11
mm avec
une
erreur
de
mesure
donnée
par
la
t a i l l e
du
faisceau
1 mm
Nous
utisiserons
cette
valeur
de
L pour
calibrer
toutes
nos
mesures.

---

1
-
82
j
j
SktJyJ
î
(1011mm)
1
;
1
1
j.;
10
1
8
.8
6
.6
4
.4
2
.2
r
O'---..L...........-.a..---I._L...-...........I...:~~ ...........--II....-...................................~~
o 2
6
10
6
10
14 (mm)
-+
Fig.
IV.6
-
a)
Variation
de
S(kt\\)
avec
y
-
b)
Inversion
d'Abel.
Variation
de
S(kt\\)
avec
r.

---

!
-
83
-
ft,
-+
C -
ANISOTROPIE
DU SPECTRE
S(k6'~'
Nous plaçons
une
autre
fois
le
nez
en y
=
0
pour
X =
90 mm de
façon que
l'axe du
jet passe par
le
centre de
la
zone de
diffusion
et nous
le faisons tourner
dans
le plan
XY.
L'angle de
diffusion
cans cette
expérience a
été de
20 m
4
rad,
ce qui
correspond
à
Ik61 = 1.2 10
l/m.
Nous
allons dé-
tecter
des
fluctuations
avec
la même
valeur
Ik61 mais pour
-+
différentes
directions
a. = 0° correspond à
k
perpendi-
6 -+
culaire
au
flot,
a. = 90° et a.
-90°
correspond à
k
paral-
6
lèle
et
antiparallèle
au
flot
respoectivement.
La
figure
IV.7
-+
montre
le
spectre
S(k
,w)
pour quelques
valeurs de
a. entre
6
-90°
et +90°.
Lors
d'une
relation
complète,
nous
pouvons ob-
server
les
symétries
le
spectre
pour a.
45°
est
identique
à
celui
de a.
le
spectre pour a.
-45°
est
identique
à
celui de
a. = -135°
et celui
de
a.
0°
identique
à
celui
de
a.
180°.
-+
Pour a. = 0°,
nous
voyons
que
S(k
,W)
est symétrique
6
en fréquence
puisque
dans
ce
cas k
est
perpendiculaire au
6
flot,
i l
n'y a
pas
une
direction préférentielle dans
le
spec-
tre.
Pour a. i
0,
i l
Y a
par contre
toujours une
dissymétrie
(ce qui
ne
permettrait pas de
voir une
détection homodyne dé-
finie
au premier chapitre).
Pour
chaque
valeur
de a. nous pouvons
retenir
une
vitesse,
la vitesse
de
phase
correspondante
au maximum du
spectre.
La
figure
Iv.8 montre
la variation de
cette vitesse
avec o..
Le
t r a i t plein montre
la
courbe sin o..
Ce que
nous mesurons
en fait
pour a. =
90°
est
le
déplacement
doppler
du
pic maximum et donc
la vitesse
du
jet.
Pour
les
autres
angles,
nous mesurons
la projection de
cette vitesse
dans
la direction d'observation.

---

~
x
S(kà,w)
(sec)
10 3
102
10
LX=OO
1
z
10-1
10 3
10 3
10 2
102
10
0(=-45° 10
(){=45°
1
1
10-1
10-1
co
~
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
10 3
10 2
10
~=-900
()(=900
1
10-1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2 -1 0 1 2 3
~
Fig.
IV
-
Anisotropie
du
spectre
spatio-temporel.
a
= 0° montre k
perpendiculaire
au
flot
6
~
,
a
=
90°
et
a
=
-90°
montrent
k
parallele
et
antiparallèle
au
flot.
X = 90 mm
;
6
d
= 3 mm ; p = 4.2 bar, 6f = 30 KHz, k
=
1 . 2 1 0 4
m- l .
6
_ _ _,
.'_..,J..."..".>...,""..-,............',~•.~"..•.""'?',_''",.",":"'.~.'''',~._ ..,''"'''''...,' ~_.,,-,-.~,.,,~,~~J" __~.
- ".,..,...,,_'"_ _,...........~""_~~__,__
,_ .. _~.,..-.-~,,,..,..-,......_'""~.~~
~_,"'!!" .........,.~,_....._"'."!~~'!C__, ~ ~ ~ ~ ' ~
....., ."...""""......>o;::1'·~1"'~"':"-,..',"i'~·T·-.,.'''~~
.... ...,...,...,.,..,....-......'',,..,"'_'''''''''·,.;<,K"''i"_""".".-_.~.'"
...."""p"'-,~;,~",.~~.,.."''',._'''''_,_~.''' ..~''''".',........,.....>-'Y~.'"""·~.~.-' ..."",.<:.'...,..,,'''':~,_''' ...'.M......'.',.,..._':...._,.. "*',....,."..,,,~ ••.~,,~'",..~"''"'...,,,..~

---

1
1
-
85
-
f!
1
f
!
Vd
(m/sec)
80
+
()(
(0 )
Fig.
IV.8
-
Projection
de
la
vitesse
du
jet
sur
la
direction
de
détection.
Le
t r a i t
plein
montre
sin
a.

---

-
86
-
j
i
A partir de
S(k
,w)
pour chaque
valeur de a,
nous
6
-+
2
!~
pouvons
mesurer S(k
)
0t
f
Nous
trouvons
que
les
deux res-
6
1
tent
invariants
avec
a
(à
4db près).
Bien que
la
forme
du
1
1
spectre change,
la valeur intégrale
et donc
la fluctuation
l
4
1
quadratique
reste
la même.
Pour
8
=
20 m rad,
k
=
1.2
la
llm,
l
6
jl
p
=
4.2
bar et 6f =
30 Khz
correspondant à
figure
IV.7
nous
î
1
avons obtenu
les valeurs
suivantes
li
-+
2
J
S(k
,w)
2
la
sec
!
6
i
1
-+
1
8
S(k
)
1 .6
10
1
6
J
l\\
f2(k
)
-11
1 . 5
la
-!
6
1
-+
-6
1
f
(k 6)
3 . 9
la
l'
,
6
i
r
l'
D -
SPECTRE DE FLUCTUATIONS PERPENDICULAIRES A L'AXE
DU JET.
1
f
Toujours
avec
la même disposition du montage
X =
a
i
90 mmi
a = 0,
nous avons
changé
8 entre
la et 85 mrad.
Nous
K
analysons des
fluctuations
dont
le vecteur
d'onde est
f
perpendiculaire au
flot
avec
une variation de
entre
-+
f
4
-1
et 5
la m
•
La
figure
IV.9 montre
la variation de
S(k
,w)
avec
6
f
Ik61.
On remarque
cette
fois
que
les
spectres sont toujours
symétriques.
Toutefois,
l'amplitude
décroît et la
largeur croît
-+
4 -1
-+
avec
jk61.
Ainsi pour k
=
6
la m
le maximum de
S(k
,w)
est
6
6
!
3
f
de
10
sec
avec une
largeur
à
moins
3 db
au maximum de
80 KHz.
=
5
10 4
11
l
.
d
(-+k)
d
2
10- 1
Pour k
m,
e
maXlmum
e
S
6'w
est
e
sec
t
6
1
avec
une
largeur de
450 KHz.
f
-+
Nous pouvons
calculer S(k
)
à
partir des
courbes de
f
6
la figure
Iv.9.
Les
valeurs que
nous avons
trouvé varient
1
l
entre
f
l,
1
!
-+
8
f2
-la
-5
S(k
)
7.8
la
,
1 . 3
la
,
f
1 . 5
la
pour
6
4
-1
k =
6
10
m
6
et
1
\\
-+
5
f2
-14
-7
4 -1
!
S(k
)
6.3
la
,
9
la
,
f
3
la
pour
k = 5
la m
.
6
6
1
1
l
1
,

---

~_" ....,.,,,,,~,, ..,~_o',,,..,,,o,--,_,,,,,,,,_o"o.",,~o<,_,,,,,,"~,'ii""'"'_'._~o~"'~o""''''"'''O,,,,,~;''''''UJI.-_,,,,,,,,,';'''o;",,,.'':,,,
;;.A,,",.~'.;.,,_ • .,~'''''".~''';'''''',,_-''é_..,_ "''-~-oHo.o~'''''''''''''''''_'oi. ....oo..'-"""",'",.~, .._,,,, ; o'i!Ü~",,;~''':''''''':''''·__ ~'o~'''-,,''>c_~p'oh''~'o;oo'''O __"''_''"oJ'-~_ ;,".
.. ""0"0 .o~ _._o~;" ....,••.
S(kl\\1 W)
103
102
(sec)
10
1
w
10-1
211
-6-4-2 0
(Hzx10 5)
kt,
perpendiculaire
au
flot.
X
= 90 mm
d
= 3 mm
00
-.1
p
= 4 . 2 bar
t,f
= 3 KHz
L
= 11 mm
103
102
10
1
10-1
16
(10-3)
~
Fig.
IV.9
-
variation
du
spectre
S(kt,W)
avec
k~

---

-
88
-
Afin de
tester
s ' i l existe une
loi
d'échelle de
la
puissance
spectrale
avec
le
nombre
d'onde,
nous
avons
tracé
-+
(fig.
IV.10)
la variation de
10 log S(k
)
avec
10 log k6/ko.
6
Les points
(croix)
s'alignent sur
une
droite
dont
la pente,
calculée par moindres
carrés
est -3.4
±
4.
La
table
IV.1
montre
les
résultats des
expériences
analogues
à
la précédente
faites
pour différentes
conditions
de pression,
à
différentes
distances
du nez
et pour différents
diamètres.
Nous
avons
deux
types
de
résultats.
Pour des mesu-
res
faites
près du nez,
nous
trouvons
deux pentes qui
varient
pour
les petites valeurs de
k
entre
-1.7
et -3
et pour les
grandes
valeurs
entre
-5
et -7.
A grandes distances
du nez,
nous
trouvons
une pente
unique
égale
à
-3.7 pour une
distance
de
15
fois
le
diamètre
et à
-3.4
± 4 pour une distance de
30
fois
le
diamètre.
Pour comparer cette pente
aux
théories
de
la
turbu-
lence
fluide
isotrope,
i l
faut
d'abord remarquer que
le
spec-
-+
tre
que
nous mesurons
S(k
)
est un
spectre de
vecteur d'onde.
6
11
La
théorie
de
Kolmogorov
est établie pour
le
spectre des
nombres
(module)
d'onde
E(k)
dans
une
hypothèse de
spectre
-+
vectoriel
S(k) isotrope. E(k)
et S(k)
sont alors
liés
par
la
.
12
re l atlon
2
-+
E (k)
411 k
S(k)
(4 )
Dans
la
zone
inertielle
du
spectre
de Kolmogorov,
loin des petits nombres
d'onde
caractéristiques de
la produc-
tion et des
grands
nombres
d'onde
caractéristiques de
la dis-
sipation,
le
spectre E(k)
devrait
varier
selon
la
loi
-5/3
E (k)
k
( 5 )
-+
Pour
S(k)
nous
attendons
donc une
variation du
type
-3.7
S (k)
k
(6 )

---

-
89
-
80
70
60
50
2
6
8
10
10 l09~
-+
Fig.
IV.la
-
variation
du
spectre
intéqré
S{k~)
avec
k~.
Pente
m = -
3.4
+
.4
calculée
par
moindres
carrés.

---

-
90 -
-+
TABLE
IV.1.
VARIATION DE S(k
)
AVEC k
'
6
Ô
X distance
au nez
m pente calculée par moindres
carrées dans
la courbe
-+
10gS
(k
),
VS
log k
"
6
6
Pour d
1 mm
(diamètre
du nez),
p
3 bar
2
X
m pour
m
pour
(mm)
k
petit
k
grand
6
6
1
-
1 . 9
- 6
2
- 1 . 8
- 5.4
3
- 3
- 5 . 7
4
- 3
- 5
8
- 2.8
- 5.2
9
- 1 .75
- 6
10
- 2.9
- 7
Pour d
3 mm.
Près du nez
X
2 mm
X
3 mm
P
2.6 bar
P
1 .8 bar
ml
-2.6
ml
-3
m
-5
m
-5.5
2
2
Loin du nez
X
45 mm
X
90 mm
P
3 bar
p
4 . 2 bar
m
-3.7
m
- 3 . 4 ± 4

---

-
91
-
Dans un
jet d'aire
comprimé
nous
ne pouvons
supposer
-+
un
spectre
intégré S(k
)
isotrope que
dans
la
zone de
turbu-
6
-+
lence développée.
(Nous avons
déjà montré que
S(k
)
est
indé-
6
mendant de a).
Le
dernier
résultat de
la
table
IV. 1 qui est
aussi
celui
de
la
figure
IV.10 correspond à
une mesure
faite
dans
la
zone de
turbulence
développée
(à une
distance de
30
-+
-3
4+.4
fois
le diamètre
du nez).
Nous
trouvons
S(k
) ~ k
.
-
ce
6
qui
correspond dans
sa marge
d'erreur au résultat attendu par
( 6) •
E -
SPECTRE DES FLUCTUATIONS PARALLELES A L'AXE
DU JET.
Nous
avons
également étudié
des
fluctuations
dont
-+
k
est parallèle au flot.
Pour cela,
nous
choisissons a
= 90°.
6
Nous varions
Ik61 de la même façon que précédemment en chan-
geant
l'angle
8.
La
figure
IV.1
montre
les
résultats obtenus.
4
-1
Nous
avons
trouvé pour k
= 6 10
m
un maximum de
S(k
,W)
6
6
3
de
10
sec avec
une
largeur de
80 KHz
et pour k
=
6
4
-1
-1
5
10
m
un maximum de
10
sec
avec
une
largeur de
500 KHz.
-+
Ces
résultats
sont du même ordre
que
ceux trouvés
pour k 6
perpendiculaire au flot.
Lesspectres
sont toujours dissymétriques par rapport
à
W .
La
fréquence
au maximum augmente
linéairement avec k
6
6
comme
nous avons montré
dans
les
figures
IV.12a
et
Iv.2b où
nous
avons
tracé
la
fréquence
w du maximum de S(k ,W)
en
6
fonction
du nombre
d'onde.
Ces
figures
nous donnent par
sa
pente,
une
valeur moyenne
de
la vitesse
centrale
du
jet
69 rn/sec
à
90 mm du nez
et
147 rn/sec
à
45 mm du nez.
-+
Nous pouvons maintenant calculer S(k
)à partir des
6
courbes de
la
figure
IV.11
8
-10
5
9.8
10
,
1 • 7
10
,
= 1.310-
pour
4
-1
k
=
6
10
m
6
et
5
-7
6.2
10
,
1
3.3
10
pour
4
-1
5
10
m
.

---

b"""~'"~';".'i·'."".' ....'~',~~,;;.,,~ ....~.•,",'~"' .., ..:..,..>,").~\\i......',;.,i.-" ..~..,;,,"_,'i~" ........";...'~<v~·,'·,".."',;ko·«"~,'~,.",,.~'"',
,...•,'~ •.•"'.; ...' ~'- '.;"~,,. b"~,, '._,.;',.....';",..."'".•,_.;j, .'.,-•••;., '-..,~ -"'"'.-.......,....._•.~._...............~" "..........."":..";.",.,,, ......, .~··,_.~"....;:·,.._,;.;·,·..",,·~~ ..;~''''.''";_.;:~,'ë......-'i(·"......._i<.'
SCkâl w)
(sec)
W
2'N
,
.,
(Hzx105)
K~
parallèle
au
flot
X
=
90
mm
d
= 3 mm
P
4.2
bar
'"N
f"f
3 Khz
L
= Il mm
103
102
10
1
10-1
+
Fig.
IV.11
-
variation
du
spectre
S(k~,w) avec
k 6
""'~~_ _
.
•. _ .. ,~",!,~.."""",,,,,·,,,,,·,,,,,,..'-..-m"'.""'f'·'''';'_'''_'''~''''"''''''"'''''~;''''~.,.""",,,,,,,,,,,,',,,,"-_,,,,
,,,,~,,,,,,,,,,,,,>,,,~,,,,,,,,,,,,.'",,,
...,_......,,~..,.".,.........._,,,,._.
~.
~_,,,,,~,,~,,,_,,,!-_ .......,,, __._ _
. __
. ~
... "'"-,_._
..._,....._ _c.-..
. ,"""""'''''''''.''''''''''''''...'''''...''''.....",.'''''_._.. _..,~""""""'..."...'<o-,.,,_._'..._'..T_....-',__"'.,"'''<.__"...__"ro..-''"_~~.•·.._ .....'''..............._''''_.
.-.--_~_"Q_ _ ~
~•._,,~_,g_, _ _. _
..
_

---

-
93
-
w
(10 5rad)
sec
X
90
mm
d
3
mm
40
p
4.2
bar
v
= 69 m/sec
(pente
par
moindres
carrés)
30
20
10
k
o
1
2
3
4
5
(10 41/m)
Fig.
l2a
-
Calcul
de
la
vitesse
centrale
du
jet
par
déplacement
doppler

---

-
94
-
W
(10 5rad)
sec
X
45
mm
d
3
mm
40
p
4 . 2
bar
v
= 147 rn/sec
pente
par
moindres
carrés
30
20
10
k
o
1
2
3
4
5 (10L.,/m)
Fig.
12b
-
Calcul
de
la
vitesse
centrale
du
jet
par
déplacement doppler

---

-
95
-
Ces
résultats
sont du même ordre que
ceux
trouvés
~
pour k
perpendiculaire
au
flot
(a
Nous
attendions
ce
t:,
~
résultat puisque
nous
avons montré au paragraphe C que S(kt:,)
était indépendant de
a.
Les cercles dans
la
figure
IV.9 montrent la varia-
~
~
tion de
S(kt:,)
avec
kt:, pour
kt:, parallèle
au
flot.
On
remarque
que
ces
nouveaux points
(cercles)
s'alignent sur
la même
droi-
te
que
ceux venant du ~ctre des
k perpendiculaires.
Ceci
justifie
à
posteriori que
le
spectre
intégré
en
fréquence
~
S(kt:,)
est bien
isotrope
et
satisfait aux conditions
de
Kolmo-
gorov.
F -
SENSIBILITE
DE LA DETECTION.
De
la même
façon
qu'au
chapitre
III,
paragraphe E,
nous pouvons
estimer
la
sensibilité
de
la détection hétérodyne
pour
la
turbulence
à
partir des
équations
1.88
-
1.92.
Pour
un
rapport
signal
sur bruit égal
à
1,
a
a
et
~
10- 2
S (kt:,'w)
.
1 . 8
sec
mln
~
S(kt:,)
-2
1 .8
la
sec
t:,w
Imin
f2
-21
3
la
sec
t:,w
Imin
Pour
un signal
de
largeur
t:,w
100 KHz
et A
a
-16
3
la
-8
f
.
1 .8
la
mln
~
S(k A )
•
L.l
mln

---

-
96
-
G -
COMPARAISON ENTRE
LA DIFFUSION SUR L'AIR COMPRIME ET SUR
L'AZOTE PUR.
Pour connaître
l'influence
de
la présence d'impure-
tés
dans
la diffusion
sur
l ' a i r
comprimé,
nous
avons
comparé
les
résultats
obtenus dans
l'azote pur avec
ceux obtenus
sur
l ' a i r comprimé.
La
figure
IV.13
montre
cette
comparaison.
Nous
n'avons pas
trouvé
desdifférences importantes pour consi-
dérer
le besoin de
contrôler
la composition
du
jet.
H -
FLUCTUATION TOTALE.
Nous
voulons maintenant calculer
le
niveau
total
de
fluctuation
dans
un point donné
du
jet
c'est-à-dire,
le
ni-
-+
veau de
fluctuation
dû à
toutes
les valeurs
de
k
dans
l'es-
1'1
pace.
Pour cela,
nous prennons
le
système d'axes
suivant
l'axe OZ
est celui de
l'O.L.
l'axe OX est
l'axe vertical,
-+
y est l'angle entre kl'1 et
l'a~e OZ et a
est
l'angle entre
la
-+
projection de
kl'1 dans
le plan
XOY
et
l'axe OX
(figure
IV.14a).
Chaque vecteur kl'1 est donc
repéré
par
Ikl'1l, a et y.
Comme
nous
avons
vu au premier
chapitre,
chaque me-
sure de
f2
est en fait
une
intégration dans
un volume
de
l'es-
3
3
pace
des
k
égale
à
l'1k
(eq.
I. 71). l'1k
est une pastille qui
a
la
forme
d'une
éllipsoîde
de
révolution
2
3
4IIa b
l'1k
( 7 )
3
2/IT
où
2a
l'1k
l'1k
x
y
w 0
2II
2b
l'1k
-
z
L
2
3
SII
l'1k
( S )
2
w
L
0

---

-
97
-
!
Air
comprimé
Azote
1
\\
1
!
5(k,w)
1
5(k, w)
!
p
1
1
1
~
1
~l,i
w
1
211
i
!1,:
1
~
1
i
1
1
1
Fig.
IV.13
-
Comparaison
entre
la
diffusion
sur
l ' a i r
comprimé
et
sur
l'azote.
Echelle
linéaire.

---

-
98
-
kz
kz
r \\
l
,
1
. .
kA
:
1
1
1
L1
(a)
1
1
1
(b)
,
1
ky
\\
1
'-'
ky
kz
kx
1
2/n
w0
1
.1 k
k
X
.1
ky
z
2n
2/71"
L
1
w0
2/TT
2/n
W
lIIIlI
w
~
.!.
o
0
(c )
tkx
"
.... ,
1
....
"
1
........
"',
1
1
. . . . . .
1
"
" ,
"
1
1
...
'
1
l
,
\\ .
1
l
,
"
" k
1
l
'l
l,
"
\\ "'
Z
1
,
"
"
, ,
,~~..
1
1
"
,
1
1
I~
, , '
-.
' 1
1'\\ A
, ' , '
1
1
U
... '
... '
:
1
F-"'''''-'' .--,"
. - """
(d)
ky/~k~-
Fig.
IV.14
-
Résolution
de
la
mesure.
Fluctuation
totale.

---

-
99
-
-+
Pour k
parallèle à
l'axe
OY
(a =
90°,
Y = 90°
6
3
fig.
IV.14b),
la projection de
la pastille 6 k
dans
le plan
XOY est un
cercle de diamètre
2/IT
centré
en
Ik61
sur
l'axe
O
d
l
l
, w o
l
.
2/IT et
Y
ans
e
p
an YOZ,
c
est une
e
llpse
de
grand axe
2IT
_
-+
W
de petit axe :L centre aussi en
Ik61
sur
l'axe OY
et gans
le
plan ZOX c'est aussi
une
ellipse centrée
à
l'origine
de
grand
2/IT
axe parallèle à
OX et égale
à
(fig.
IV.14c).
L
Nous
appelerons
dans
la suite
la mesure
faite
avec
2
cette
résolution f
p.
Nous
avons
déjà montré que
f2
est
indépendant de a.
p
Nous
supposons que
la turbulence
est complètement isotrope
et
2
donc que
f
est aussi
indépendante
de
y. Dans ce cas, nous
p
pouvons calculer
le niveau
total
de
fluctuation
pour
toutes
les
directions pour une
valeur de
Ik61.
3
Soit N le
nombre
de
pastilles de
volume 6k
qui
ren-
trent dans
la
couche
sphérique
de
volume
4ITk
2 6k
(fig.
IV.
6
Y
14d).
Alors
1
N
k
2 w
L
( 9 )
lIT
6
o
Le
niveau
total
de
fluctuation
de
nombre
d'onde
2
f
(k
)
dont
le vecteur d'onde
se
trouve
dans
la couche
c
6
-+
2/IT
sphérique
de
rayon
Ik61
et d'épaisseur 6k
w e s t donné
y
o
par
f
2
N f
2
( 10)
c
P
2
La
figure
Iv.15
montre
la variation de
f
avec
c
La courbe
descend
très vite pour
les
k
plus petits et
6
plus
doucement pour
les k
plus
grands.
Si maintenant nous
6
voulons
connaître
le
niveau
total de
fluctuation
f
2 pour tous
T
les nombres
d'onde
f
2
r f 2 dk
( 11 )
T
Jk
c

---

-
100 -
+
2
fCQuche
(10.9)
26
+ k
perpendiculaire
au
flot
6
o k
parallèle
au
flot
6
X
= 90 mm
ct
= 3 mm
p
=
4.2
bar
o
f:,f
= 3 KHz
0\\
+
~~
o +
'\\+~
k~
00
1
2
3
4
5
6
(10 81/m)
Fig.
IV.15
-
Variation
de
f~ avec IkL'lI

---

101
-
Expérimentalement,
nous
avons
un
nombre
fini
de
va-
leurs,
nous pouvons
à
partir de
ceux-ci
calculer
le
niveau
total
observé
en approchant
l'intégral
(éq.
11)
par
une
somme
i1k
f
2
L:
f
2
m
( 12)
T
c
"KI{
k
r
obs
i1k m
où
montre
le
rapport
entre
l'interval
i1k
entre deux va-
Kk
m
r
3
leurs de
k(i1k
= 3.5 10- ) et la résolution i1k
provenant de
m
-3
r
la divergeance
du
faisceau
(i1k
=3.10
).
r
Les
résultats obtenus
dans
cette
figure
Iv.15
sont
f
2
-7
3
10
T
-4
6
10
Alors que
les
fluctuations
détruisent complètement
la propagation
des
ondes
sonores,
cette valeur du
taux de
fluctuation
est assez
faible.
Assez
faible
en particulier
pour que
le
terme
de
compressibilité dans
l'équation de
Mavier
Stokes
soit négligeable par rapport aux
termes
habituels
re-
latifs
au fluide
incompressible.
Reprenons
l'équation de
Navier Stokes
av
-+
-'ïlp
_ vi1v
dt +
(v.'ïl)v
( 13)
p
l'équation de
conservation du nombre
de particules
an
-+
+ V (n v)
o
( 14)
dt
où
p
nm
et
Vp
yKTVn
( 15)
Pour
un
fluide
imcompressible
'ïln = O.
Dans
notre
cas
f
2 ~ 1
< ~2 >1/2 ~ n
et nous
T
0
'V
-+
pouvons
linéariser
n
= n
+ n(r,t)
o

---

-
102
-
Alors
yKT
'ln
( 1 6 )
m
n
Si
nous
comparons
ce
terme
avec
av
2
W
Wv
dt
k
( 1 7)
Le
rapport entre
les deux
termes
terme
de pression
( 18)
terme
d'inertie
Or,
de
l'expérience
nous
avons
W
'V
0.2
c
k
s
kc s )2 'V 25
W
2
alors
l'équation
(18)
devient de
l'ordre de
10-
~ 1.
Le
terme
de pression est négligeable
dans
(13)
et
donc
la dynamique
dans
le
jet d'air
comprimé
est
la même que
dans
un
fluide
incompressible.

---

-
103
-
CONCLUSIONS
Nous
avons
fait
une
analyse
approfondie
de
la
théorie
et
la
mise
au
point expérimentale d'une
méthode
d'observation
des
fluctuations
de
densité
à travers
la
détection
hétérodyne de
la
lumière
que
ces
fluctuations
diffusent
à 10 ~m de longueur d'onde.
Cette
méthode
est
sensible
à
la direction de
propagation
des
fluctuations
et permet de
mettre
en évi-
dence
les
anisotropies
du
spectre des
fluctuations
de
. ,
-+
densIte
S(k
,w)
6
Elle permet
en particulier
de
mesurer
la
vitesse
du
jet par
déplacement doppler.
Elle permet également d'observer
la
conversion
des
modes
turbulents
en modes
acoustiques.
Cette méthode permet
des mesures
absolues du
-+
. ,
-+
~2
spectre S(k
,w)et de
ses
Integrales
S(k
), f
et
<n >6.
6
6
Nous
avons
pu observer
aussi
que
ce
spectre
intégré
S(k
) était isotrope dans la
zone de
turbulence
6
,
,
-+
developpee
S(k
) est
indépendant de a.
6
-+
Enfin
nous avons
observé
que
S(k
)
suivant
une
6
loi
d'échelle
analogue
à celle du spectre des vitesses.
Les
avantages
potentiels de
la
méthode proviennent
du
fait
que
nous
avons
une mesure
directe
de
n(k,t)et
donc
la possibilité de
faire
l'examen des corrélations entre
nombres d'onde
différents.
Cet
examen permettrait
l'étude
des
interrelations
et
de mécanismes
d'équilibre
et
de
création d'un
spectre de
nombres d'onde.

---

-
104
-
BIBLIOGRAPHIE
1.
G.
Benedek
i
Optical
Mixing
Spectroscopy
i
Polarisation,
Matière
et
Rayonnement
i
PUF
;
Paris
1969.
2.
H.Z.
Cummins
and
H.L.
Swinney
i
Light
Beatin~~ctros­
~
;
Progress
in Optics
;
North
Holland
Pub.
Co.
Amsterdam;
Vol.
VIII
p.
135,
1970.
3.
A.
Yariv
Introduction
to Optical
Electronics
Holt,
Rinehart
and Winston;
N.Y.
1976.
4.
J.D.
Jackson;
Classical
Electrodynamics
John Wiley
and
Sons;
N.Y.
1975.
5.
E.
Holzhauer
and
J.H.
Massig
;
An
analysis of
optical
•
mixing
in
Plasma
Scattering experiments
Plasma
Physics
20 p.
867
(1978).
6.
M.
Born
and
E.
Wolf
Principles
of
Optics,
Macmillan
N.Y.
1964.
7.
A.K.
Graham and
H.L.
Pinkerton
;
Electroplating
Enginee-
ring
Handbook
p.
240
;
Pinehold
Pub.
Co
;
N.Y.
1962.
8.
L.
Landau
et E.
Lifschitz
;
Mécanique
des
Fluides
Mir
Moscou
1971.
Course
in Turbulence;
10.
on Plasma
Science
PS-9
p.
18
(1981) .
Il.
A.N.
Kolmogorov
C.R.
Ac.
Sc.
URSS
30 p.
301
(1941).
12.
H.A.
Rose
and
P.L.
Sulem
Le Journal
de
Physique
39
p.
441
(1978).

---

ERR
A T A
4
~
w
dP
-+-
0
_ 12
éq
(22)
1 (f'\\ 1
x p)
page
6,
x n
dTI
2
1
32n c
~ 3 4
c
k
dP
0
2
..
éq
(24)
e:
la(w] 12 1& (;)1 2
dS1
2
0
0
32n
page
9,
éq
(41)
:
i ( t)
..
i
ne 1
hv "2 1
page 10,
éq
(44)
:
r
page
11
:
éq
(46)
:
*
r
-+-
-+-
-+-
] }
+
U
(r)
exp
i ( k fj, • r
-
wfj, t ),
2w o
page 14,
ligne
18
• ••
à
où
2w
est
le diamètre
•••
e
o
sin '2
page
40,
ligne 23
limités
à
-.7v
page
44,
éq
(19)
J
•
n
J t + 10 lOg[1

---