(
ACADEMIE DE NANTES
Université du Maine
THESE
présentée Il
l'UNIVERSITE DU MAINE
pour obtenir le titre de
DOCTEUR 3e Cycle
SPECIALITE ACOUSTIQUE APPLIQUEE
- __
-
-
~
_
._~--
--- -
- .. _- ---- ---_.
-..-.....
.
....,.....
..
_-~,,'-~_.
- ~
-
Par
TAGUI Guelbeye Tchang
Etude du Couplage de deux discontinuités
dans un guide d'onde Acoustique.
Soutenue le 5 octobre 1987 devant la co. . ission d'exaaen
1 -
.
Mr
M. BRUNEAU
Président
~e A.M. BRUNEAU
Exaainateurs
Mr
J. KERGOMARD
.~-
,-
------._ _-...i
Page
1NTRODUCT 1ON
2
CHAPITRE 1 - POSITION DU PROBLEME
5
1-1 Déco.position aodale dan un guide.
5
1-2 Notations
6
1-3 Définition des différentes .atrices du problè.e
9
CHAPITRE II - RESOLUTION DU PROBLEME
15
11-1 Méthode des .ulti-dipôles
15
11-2 Variante de la .éthode des .ulti-dipôles
17
11-3 Méthode des .atrices i.pédances raaenées
18
11-4 Variante de la .éthode des .atrices i.pédances raaenées
21
11-5 Réduction des .atrices co.plexes à des .atrices réelles
23
J
CHAPITRE III - IMPEDANCES DE DISCONTINUITES
24
111-1 Circuit électrique équivalent
24
111-2 Calculs des iapédances de discontinuité
26
;
~.~-(:: il il,' '"
CHAPITRE IV - CALCULS ANALYTIQUES POUR .uN~~SEUL-MÔDE· SUPERIEUR .... 27
,.l·~/~·
r
_,
\\.
t· ~
1
-"./
: -
1
~.,
1
IV-1 I.pédance à droite
, ~
~.. i ..
.
27
'i';...........
IV-2 Calcul de la .atrice so_e
\\
\\"
/
27
1,,/".................
J"/-..(....
(>.
- - - - : :
' )
IV-3 Etude des variations de l'inductaQ~~~~ résistance
en fonction de la longueur e
29
CHAPITRE V - CALCUL DE LA CHAMBRE D'EXPANSION
DANS L'APPROXIMATION DU PISTON PLAN
31
CHAPITRE VI - RESULTATS NUMERIQUES
34
VI.1 Rétrécisseaent d'épaisseur finie
34
ANNEXE
CALCUL DES FONCTIONS PROPRES ET DES MATRICES
DE DISCONTINUITES EN GEOMETRIE CYLINDRIQUE
41
BIBLIOGRPHIE
46
=
j
.
REMERCIEMENTS
Le
travail
de
cette thèse de 3ème cycle (dont une partie a
été
faite
à
l'Université
de
NIAMEY
(NIGER»
a
été
effectué au
laboratoire
d'Acoustique Appliquée de l'Université du Maine (LE MANS,
FRANCE)
sous
la
direction de Jean KERGOMARD Chargé de Recherches au
C.N.R.S.
Ce
travail
a bien abouti grâce à sa franche collaboration.
Je lui exprime l'expression de ma profonde gratitude.
Je
remercie
très
sincèrement
Monsieur le Professeur
Michel BRUNEAU,
Responsable
du
laboratoire
d'Acoustique de m'avoir
donné tous les moyens nécessaires pour la réussite du travail.
Je
remercie
Madame A.M. BRUNEAU, Professeur
pour
s'être
intéressée à mon travail et d'avoir accepté de faire partie du jury.
Je
remercie
Monsieur
Jean-François BRESCIANI
dont
la
contribution,
notamment
en programmation. dans le cadre de son stage
m'a été très utile.
Durant
tout
mon
séjour
j'ai bénéficié du climat amical de
toute
l'équipe
du
laboratoire
d'Acoustique
dont
je
la
remercie
chaleureusement.
Je
remercie
Melle A. CHERdONNEL
pour
avoir
accepté
la
dactylographie du texte.
Mes
remerciements
vont enfin à ma chère épouse KOUMATEI qui
a
su
être
patiente avec la lourde tâche de la charge de nos enfants
durant toute notre absence.
2
Introduction
Quand
on
veut
calculer la propagation du son dans un guide
d'onde
acoustique
comportant un certain nombre de discontinuités, il
est
utile,
si on est à des fréquences où un seul mode se propage, de
pouvoir
considérer
chaque discontinuité isolément en le représentant
par
un
élément
localisé. Celui-ci correspond à l'existence de modes
évanescents
(décroissant
exporentiellement
de part et d'autre de la
discontinuité,
et
ne
transportant
pas
d'énergie). Pourtant, quand
deux
discontinuités
sont
proches
l'une
de
l'autre,
les
modes
décroissants
peuvent
coexister
avec
les
modes croissants dûs à la
discontinuité
suivante,
et
les
phénomènes
sont alors d'une nature
différente
ainsi les modes évanescents peuvent alors transporter de
l'énergie.
Cet
effet,
analogue
de
l'effet
tunnel de ma mécanique
quantique,
est exploité en électromagnétisme par les filtres en quide
à
modes
évenescents
(cf
réfs
1,
2), en optique (couplage de deux
guides d'ondes, cf ref 3), ...
En
acoustique,
il
est
également interessant d'étudier cet
effet,
pour
bien
délimiter
la validité des éléments localisés pour
représenter
une
discontinuité.
Ainsi pour un diaphragme d'épaisseur
finie,
à
partir de quelle épaisseur peut-on la considérer comme sans
épaisseur,
et
alors
utiliser
les
formules connues? A l'opposé, à
partir
de
quelle
épaisseur
peut-on
le
considérer comme un simple
tube,
présentant deux discontinuités de section à chaque extrèmités ?
Dans
les
cas
intermédiaires,
il
sera
interessant de proposer des
formules
approchées,
analogues
de
celles
que
l'on trouve dans le
"Waveguide handbook"
édité par Marcuwitz (4).
Nous
avons
donc
étudié
ce
problème,
à
l'aide
de
deux
méthodes
: la théorie modale, utilisable pour des géométries simples,
et
la
transformation
conforme,
qui
s'appuie
sur
la
méthode des
développements
asymptotiques raccordés, valable aux basses fréquences
et
utilisable
en
géométrie
bidimensionnelle.
Compte-tenu du temps
limité dont nous disposions, nous avons surtout cherché à :
r
~
,
3
1
1
!
- Comparer
entre elles les différentes solutions numériques de la
théorie
modale.
Au
passage,
nous
résolvons
à
notre avis pour la
première
fois
en
toute
généralité,
le
problème
de
la
chambre
d'expansion sans inversion de matrices.
- Obtenir
des
résultats
qualificatifs
concernant
les éléments
localisés
représentant
deux cas simples de double discontinuité: le
diaphragme
d'épaisseur
finie
et
la
chambre
d'expansion
en
particulier
nous
nous
intéressons
à
l'existence
éventuelle
de
résistances
(positive
et
négative)
représentant
la
propagation
d'énergie par des modes supérieurs.
Les
applications
de
ce type de problèmes sont nombreuses :
les
rétrécissements
localisés
sont nombreux dans les instruments de
musique
à
vent,
où les effets réactifs demandent à être bien connus
pour
prévoir
les
fréquences.
de
résonnance.
Quant
aux
chambres
d'expansion,
elles
sont
utilisées
couramment
comme
silencieux
industriels
(des
articles
récents (réfs 5,6,7) calculent leur effet
en inversant des matrices ou par éléments finis).
Ce
mémoire
porte
sur
l'utilisation de la théorie modale:
après
avoir
posé l'ensemble des équations sous forme matricielle, on
compare
diverses
méthodes
de
résolution,
puis
on
résout
analytiquement
un
cas
d'école
(1
seul
mode
évanescent
pris
en
compte),
enfin
on discute les résultats numériques. On se Imite à un
cas
particulier
la
géométrie
circulaire
avec
discontinuités
centrées
et symétriques. En annexe (B), nous montrons comment on peut
résoudre
le
problème
par transformation conforme ; on doit calculer
trois
intégrales
élliptiques
de
3e
espèce,
ce
qui
limite
les
possibilités d'approximations. Nous retrouvons bien les résultats déjà
donnés
par
Marcuwitz
(4)
(sans démonstrations). Précisons que nous
ignorons
les
effets
dissipatifs,
visqueux et thermiques dans cette
étude.
4
L'ensemble
de ce travail a été fa+t en partie à l'Université
de
Niamey,
où
les
moyens
de
calcul
et
de
mesure
sont
quasi-inexistants,
et
en
partie
à
l'Université
du Maine, lors de
séjours
de courte durée. Ces conditions très particulières expliquent
que
nous
n'ayons
pas
eu
le
temps
de
confronter nos résultats à
l'expérience,
ce
qui
sera
fait
au
L.A.U.M. dans un avenir proche
(thèse
de
J.P. Dalmont,
ref 7),
ni
de
rédiger
entièrement
les
résultats obtenus par transformation conforme .
.J
•
: ~; ". -:-;...
','JI"
5
CHAPITRE 1 :
POSITION DU PROBLEME
1.1. Déco.position .odale dans un guide
Pour
un guide de section constante et d'axe oz l'équation de
propagation
de
la
pression
acoustique
(en
l'absence
des
autres
sources
dans
le
guide)
s'écrit
(voir par exemple BRUNEAU [S, page
21]
:
Pour
un
signal
harmonique
de
pulsation
w
et
dont la dépendance
temporelle est notée e- jwt , l'équation (1) devient
(2)
La
solution élémentaire à variables séparées de l'équation (2) est de
la forme :
(3)
.J
.
où Ai
est une amplitude complexe quelconque et x et y les coordonnées
d'un plan transversal au guide.
Les
fonctions Qi
appelées
fonctions
propres du guide satisfont aux
conditions suivantes:
a) OQi (x,y).n - 0 sur la paroi du guide
b) Ces
fonctions
forment
une base orthogonale et toute fonction
dépendant
de
x
et
y
peut
être
décomposée
sur cette base sur la
section du guide et nous écrivons :
6
ff. "'j'
(5)
dS -
&ij J\\ij
où &ij désigne le symbole de Kronecker,
et J\\ij la norme sur la section du guide.
c) En reportant (3) dans (2) nous obtenons
(6)
où A
désigne le laplacien dépendant de x et y
xy
et
a 2 _
k 2 _ k 2
(7)
,
i
Dans
la
relation (7),
k
désigne le nombre d'onde caractérisant la
i
propagation
selon
z
et
peut
être réel ou imaginaire pur selon les
valeurs de k et ai
Rappelons
que
La
vitesse
posticulaire
est
obtenue
à
partir
de
l'équation d'Euler (voir ref 8, page 17) :
1
v - -
grad p
(8)
p
où p
représente la densité du milieu. La composante perpendicul~ire à
la
paroi de cette vitesse est nulle. si n désigne le vecteur normal à
la paroi, on écrit en tout point de celle-ci:
~.it - 0
(9)
1.2. Notations
Nous
considérons
la
discontinuité
de
section
suivante
caractérisée par un rétrécissement et un élargissement :
7
1
l
":','
,
.~ \\
~
"::nI:
~
1
l
Fig. 1
Deux types de double discontinuité :
à gauche, diaphragme d'épaisseur finie,
à droite, chambre d'expansion
La figure 1 Ilontre :
pour -. ! z! 0
guide
1 de section SI
pour 0 ! z ! l
guide
I l de section SIl
pour 0 ~ z ~ +et
guide III identique au guide 1
Nous
étudions
le
comportement
d'une onde plane acoustique (onde de
pression),
d'amplitude
incidente égale à l'unité, venant de - • vers
la première discontinuité.
Nous
admettons
qu'il
y
a
génération des .odes supérieurs
autour
des
surfaces de discontinuités. ,Ces modes supérieurs sont' des
modes
évanescents
car nous nous plaçons à des fréquences inférieures
à
la
pre.ière
fréquence
de
coupure.
Ils
décroissent
donc
exponentiellement
de
part
et
d'autre
de
la
discontinuité.
Leur
domaine
reste
localisé; loin des discontinuités, seule l'onde plane
subsiste.
Les
pressions
et vitesses associées sont décomposées sur la
base
de
fonctions
propres
notées Qij relatives aux guides l, II et
définies par :
8
Guide J
pression à gauche
ou encore
'",
".
~:
o~ yiI _ kiJ/kPC désigne l'admittance caractéristique dans le guide J.
"L
Dans les expressions suivantes nous omettons le facteur temporel e jwt .
Dans le guide II l'admittance caracteristique sera notée
..;~~;
Alors :
. ",
(11-a)
(ll-b)
En
notant
jV
les
.....'
j
coefficients
des fonctions propres, où *j - ~~
nous
rendons
(comme
nous
le
verrons
plus
loin)
la
matrice
de
propagation
réelle
ceci
allège
les
calculs
des
inverses
des
matrices. Par convention v désigne la vraie vitesse et VZ _ - jv.
9
Enfin dans le guide III
Pression à droite
Vitesse à droite
.
1,;:0
avec v t
i
Dans les relations (10),
(11) et (12)
a) P r
et
P t
sont
les
amplitudes réfléchies et transmises de
i
i
pression dans le guide 1.
b) p Z
et
v Z sont les amplitudes des pressions et vitesses dans
j
j
le guide II.
Nous définissons en définitive les vecteurs suivants
pt
et
V r et Vt sont les vecteurs pressions (relativement
e
vitesses)
réfléchis
et
transmis
dans
le
guide 1. A l'entrée nous
définissons :
et
Ve _ yl(A_pr) où Ai _ B
et yI est la
oi
matrice admittance caractéristique (qui est diagonale) .
.)
.
. pO,
p 2
et
vO,
v2
sont
les vecteurs pressions (relativement
vitesses)
en
Z -
0
et
z -
2
dans
le
guide II,
et
VO _ -jvO et
V2 __ jv 2 .
l"',,
1.3. Définition des différentes .atrices du problè.e
A
la
manière
de Roure [9], nous définissons successivement
les matrices de discontinuité et la matrice de propagation.
......
10
r;~ .··t.·;:~
r~.~
"
1.3.1. Matrices de discontinuités F et G
Nous
cherchons
à relier les grandeurs pressions et vitesses
de
part
et
d'autre
de la discontinuité considérée en utilisant les
conditions
aux limites. Ce qui nous permettra de définir les matrices
de discontinuité.
a) Discontinuité en z-o
Les conditions sont
a) Egalité de pression sur la petite section
sur SIl
b) Egalité de vitesse sur la petite section
1
II
VG(o) - v
(0)
sur SIl
et
vll(o) - 0 sur SI_SIl
La condition a) donne:
J
.
Nous
appliquons
la
condition
d'orthogonalité
sur
la section II
multiplions les deux membres de l'égalité par .~I* (conjugué de .~I)
et intégrons sur SIl, nous obtenons:
avec Ffi
et
sur la section SIl.
11
Soit sous forme matricielle
(13)
La condition (b) donne
Nous multiplions les deux membres de l'égalité par
,1*
(conjugué
de
~
,1) et nous intégrons sur SI en remarquant que hf vI :S _
vI dS,
q
~JsI
JI SIl
nous obtenons
(14)
avec
et
(hl est la norme dans le guide 1).
q
b) Discontinuité en z-2
Les
calculs sont les mêmes et nous obtenons pour les mêmes conditions
aux Hmi tes :
pour la pression
(15)
pour la vitesse
.J
.
(16)
1.3.1.1. Relation entre les aatrices F et G
Des relations précédentes. nous écrivons d'une façon générale
...
' j
i
i
l
F
(,II) 2dS
ij -lI 1 ,II*/hII dS avec Ail
i
SIl
Gij -II II , 1*/hl dS avec hl il (,~)2dS
' j
i
j
j
12
Nous définissons les matrices des normes
I\\Il _ c~ Alt.-4-
~
norme dans le guide II
. 0
}
D
'. A('fi
:t"
1\\1 -
C·t~ 0 rd norme dans le guide 1
et M
1
Il* dS.
ij -III .j ·i
a
1
alors Fij - Mij/l\\iI
et
où
- transformée de Mij .
Remarquons
que l'on a
Soit sous forme matricielle
t:-MI\\Il-l
(17)
-1\\1-1 t _
M
1\\1-1 t F I\\Il
. '
et pour les inverses
(17bis)
1.3.1.2. Particularités des fonctions F et G
Le
mode 0
étant
commun
aux
deux
guides,
on
a
immédiatement en
utilisant l'orthogonalité
rr .~I/.~I
P
-
dS _ "jo
(18a)
jo
)) SIl
13
et de même
(18b)
On peut alors vérifier la conservation des débits (plans)
v t _ Si 1 v 2
o
0
(19)
v 2 _ SIl v 0
o
0
En effet. on a
v e
o
d'où
v e _ G
0
sil/si v 0
v
0
00
-
o
0
v e _
Soit
SI
sIl v 0
0
0
Et de même on a
Si v t _SIl v 2
0
0
1.3.2. Matrice de propagation
Nous
cherchons
à
relier
les pressions et vitesses de deux
discontinuités
consécutives
séparées
par
une
distance 2;
les
relations (Il-a) et (ll-b) permettent d'écrire
en z-o
.J
.
(19)
en z-2
(20)
En
remplaçant la relation (19) dans la relation (20) nous définissons
les matrices diagonales (nulles) suivantes :
14
si i-o
H11 -
lSlnke
i - 0
k shf3II 2/f3II
i # 0
"
i
i
~.~
i~;,
,
'.;
HU -
L-s1nke
i - 0
II 2/k
i ,
0
f3 i shf3 i
Nous écrivons alors les relations matricielles suivantes
1
t
pO -
Tpt + HV
(21)
t VO _ H' pt + TVt
Noto~s que l'inversion de la relation (21) s'écrit simplement
(21bis)
.> •
avec l'identité suivante
Dans
la
relation (21)
les
fonctions
T,
H et HI sont des
fonctions
hyperboliques
pour
les
DIodes
supérieurs.
Quand
l'épaisseur t
du
guide
augmente,
les
valeurs
obtenues
par
ces
fonctions
peuvent
devenir très grandes. Ce qui peut être gênant pour
la
programmation â cause du phénomène d' "overflow". Par ailleurs, les
matrices
T,
H,
H'
sont
réelles
(c'est dans ce but que nous avons
multiplié les vitesses par -j).
15
CHAP ITRE II :
RESOLUTION DU PROBLEME
Pour
la
résolution,
rappelons
l'ensemble
des
équations
matricielles obtenues :
- Aux discontinuités:
1po _ FP~ (13) Ve _ GVo (14)
Lpe
e
- Fp
(15) vt - GV
(16)
- Dans le guide II
(21)
A l'entrée: pe _ A + pr et Ve __ jyI (A_pr)
_ A la sortie : Vt __ jyI pt
En
tout
on
a
9
équations, pour les inconnues suivantes
pe,pr, Ve,po,Vo,pe'Ve,pt et Vt , le vecteur A étant donné.
A
présent
nous
présentons
ci-dessous
les
différentes
méthodes de résolution du problème.
.J
II.l.Méthode des .ulti-dipôles
Une
méthode
très générale (cf ROURE [9]) consiste à étendre
à
un
nombre
de
modes quelconques la technique de multiplication de
matrices
de
transfert
très souvent utilisée dans l'approximation du
mode
plan
dans
ce
cas
les
matrices
sont d'ordre (2,2) chaque
élément
du
guide
étant
un quadripôle. Si on considère (n+1) modes,
chaque
élément
du
guide
est
un
2(n+1)-
dipôle et les matrices à
multiplier
sont
d'ordre
(2(n+1),
2(n+1)). A cette fin on forme les
vecteurs
d'extrémités
du
(2n+l)-dipôle
en
adjoignant
un
vecteur
pression
et
un
vecteur
vitesse. Une discontinuité sera représentée
par la relation :
16
Quant à la propagation, elle est représentéel par la relation
(les traits verticaux et horizontaux séparent les sous-matrices).
On
obtient
donc entre l'entrée et la sortie une relation du
type suivant
:.i
où
A,a,C,D
sont
des matrices réelles, si on a pris la précaution de
définir les vecteurs V - -jv où v sont les vitesses.
Dans notre cas, ~ - P-1TF
.
t - GH'P
Pour
résoudre le problème il faut connaitre les impédances terminales
et la source (vecteur A) :
où
ye
et yt sont les matrices admittances (diagonales), égales si le
guide
semi-infini
à l'entrée est identique au guide semi-infini à la
sortie.
.J
•
On a alors
(X_j~'{b)1t
cC: -J } yb)'Pt"
}~Vt-)'nt
(t~)
On
a
donc
une
matrice
complexe
d'ordre (n+1,n+1) à inverser pour
calculer
pt.
Cette
solution
a
l'avantage
d'une grande simplicité
quand
on
doit
considérer
un ensemble de discontinuités en cascade,
17
mais présente deux inconvénients
Il
faut inverser les matrices de discontinuité F(et G), ce qui
impose
d'avoir
le
même
nombre de modes de part et d'autre, et pose
des
problèmes
numériques
dès
Que
le
nombre
de
.odes dépasse la
vingtaine (en double précision).
- La
matrice
de propagation peut prendre de très grandes valeurs
pour
les
modes
élevés
(cf
§
1.3.2);
ROURE
(9,10) a proposé une
variante pour éviter cet inconvénient (voir § II 3).
II.2 Variante de la .éthode de .ulti-dipôles
Nous
avons
trouvé
dans
le cas de deux discontinuités, une
variante
à
la méthode précédente : le but essentiel Que nous voulons
atteindre
est
d'éviter
l'inversion
des
matrices
de
discontinuité. Pour
cela,
on
doit
toujours
exprimer
les vitesses
extérieures
(Ve
et
Vt )
en fonction des vitesses intérieures (Vo et
Ve ),
et
vice versa pour les pressions. Les deux équations à résoudre
sont donc obtenues comme le montre le schéma ci-dessous
~Sli'v..S
vJ.s~~
~~~<4<"~
>
)
.Q"t',,·~.l
o.,{~·,w~
~,.,.tù·,v.t~)
La
relation
intermédiaire
est
obtenue
en
calculant
la
matrice
admittance du multi-dipôle interieur. Ecrivons donc:
.J
.
18
_Ir
5'
L
=
rY">.
" ' ,
C--H t-
,
;) '\\II.
r.o -- ,
On obtient finalement avec les relations (24) et (25)
(",~"t- t-~ ~t-) A ( t'\\,
04-
t t'\\'l. -ci ~~) (fJf'__ 1't-) ::; 0
(~\\. Y\\'\\, _j Y'=-) A- + ( t\\ \\ _ r1t. +j Yl;-") ('"Fr*1b-") == b
On a donc deux matrices à inverser d'ordre (m,m)
) \\1r =
L~( =--
Nous
avons
en
définitive
à inverser deux matrices d'ordre (.,m), •
étant
le nombre de modes dans le grand guide, quel que soit le nombre
de
modes
dans
le petit guide. L'avantage de la méthode est que dans
le
problème
de
recherche
de
convergence,
le
nombre
de
modes à
considérer
dans
le
petit
et
le
grand guide est indépendant. Nous
.J
faisons
remarquer
d'autre
part
que
nos calculs font intervenir la
matrice
diagonale
H- 1
(1 +
T), dans laquelle les exposantielles se
compensent pour les grandes épaisseurs du guide II.
II.3.Méthode des .atrices i.pédances raaenées
Cette
méthode
a
été
proposée
par
Roure
[10]
nous la
présentons co.me suit :
Soient
N
discontinuités en cascades séparées par N- 1 tronçons de
guide.
Supposons
qu'on
connaisse
la
matrice
impédance à la droite du
19
.....
J
r
;
",'
....-..
...~~~'
..'
Fig. 2
Géométrie de tuyau à section variable
.J
.
..
, .)
, ~!.
Pour
une
discontinuité
on
utilise les matrices F et G, et pour
éviter d'avoir à les inverser. on distingue deux cas:
. Elargissement de section
--
·f::~'
20
,:~. ~'.~.:'.::
. Rétrécissement de section
On
remarque
que
selon
les
besoins
on
pourra
utiliser
pour
la
propagation
soit
(28)
soit
(28)bis
soit
l'équivalent
pour
l'admittance. On ramène ainsi les impédances jusqu'à l'entrée. Alors:
oQ
Y
est la matrice diagonale admittance caractéristique. On en tire
c
pr
d'oQ poe et Vo e . On repart dans l'autre sens et on calcule ..
0'
pour un élargissement
lV.C- - G-- V?
..+-I
-
&.+1
..
.... p::
~~, _ fi+I~.J)
Puis
pour
la
propagation, comme on a conservé les impédances Zid et
Z g
(ou
leurs
inverses) en mémoire, on utilise l'une ou l'autre des
i
équations
de
l'inverse
de
(28). Il est aisé de remarquer qu'il n'y
aura pas d'autres inversions à effectuer pour ce retour.
Au
total
il
y
aura
une inversion à effectuer par tronçon
(éq.(29)
ou
(29)bis), et une à l'entrée, soit N inversions. Ceci est
à
comparer
avec
la
méthode
des
multi-dipôles,
qui aboutit à une
inversion
par
discontinuité,
plus
une
entre l'entrée et la sortie
,
pour
la résolution du problème, soit N + 1 inversions (évidemment des
symétries
peuvent
alors réduire ce nombre, mais cette méthode impose
un même nombre de modes dans tous les guides).
Dans
notre
cas
particulier,
la
présente
méthode
impose
/~ ..~, .....
l'inversion
d'une
matrice
d'ordre ;n.·(éq-;--(29)bis) et d'une matrice
ir"---' ,,/
"
'"
d'ordre M (éq. (30)).
<C
'-
--,,:.
~....
'
",
21
II.4. Variante de la .éthode des .atrices i.pédances ra.enées
En
utilisant
la vitesse Ve comme inconnue intermédiaire, on
peut
résoudre
notre
problème
en
inversant
une
seule
matrice,
d'ordre (n, n). En effet, rappelons les équations
L t
t
V
- _jy
pt~
pe -F pt,
Vt -GVe
pO_ Tp 2+HV2, VO -H'p2 + TV2
D'après la relation (13)
Soit
(31)
avec Q _ F yt-1G _ matrice d'ordre (n,n).
D'autre part
ve __ jyt(A_pr) _ GH'Fpt + GTG- 1 Vt
_ GTG- 1 GV 2 _ jGH'Fyt - 1 GV 2
_ (GT + j GH'Q)V 2
. . .1
..... '(
Soit
en
multipliant
les 2 membres de l'égalité par F, on obtient la
2ème équation :
F(A-pr) _ j (QT + jQH'Q) V2
. (32)
.)
On résout le système d'équation en V2 et on a
1
L
2FA - RV
(33)
Lavee R - H-QH'Q + j
(TQ + QT)
On en déduit pt et pr par les relations
l pt _ jyt - 1 GV2
(34)
t et pr _ FA - j(QT + jQH'Q)V2
(35)
Pour
calculer
pt et pr nous avons seulement la matrice R â inverser.
Son
ordre
est
celui
de
la
matrice Q
(d'ordre
(n,n)). Cet ordre
correspond au nombre de modes dans le petit guide.
22
'-r0,
~'.
L'avantage
de
la
méthode
est qu:on a à inverser une seule
matrice au lieu de deux dans les autres méthodes.
En
résuaé
Nous
donnons
un
récapitulatif
des
méthodes
pour la
résolution du problème :
a) Méthode des .ulti-dipoles
On
inverse
une
matrice
d'ordre
(n,m) avec la condition n
égal
m
(n - modes dans le petit et m modes dans le grand). C'est une
méthode
simple
pour
des
discontinuités
en
cascades
mais
l'inconvénient
est
qu'on inverse l~s matrices de discontinuités F et
G
et
qu'il y a des problèmes numériques quand le nombre de modes est
élevé (20).
b) Variante de la .éthode des .ulti-dipôles
On
inverse
deux matrices d'ordre (m.m) (m - nombre de modes
dans
le
grand
guide). Elle
permet d'avoir le nombre élevé de modes
pour la recherche de la convergence.
c) Méthode des .atrices i.pédances ra.enées
On
a
deux
matrices
d'ordre
(m,m)
et
d'ordre
(m,n)
à
J
inverser. Matrice
d'ordre (m,m) correspondant aux tronçons et matrice
d'ordre
(m,n)
correspondant aux discontinuités. Cette méthode semble
la meilleure dans le cas général.
d) Variante de la .éthode des .atrices i.pédance raaenées
On
utilise
un
vecteur inter.édiaire (Ve ) et on inverse une
matrice
d'ordre (n,n) (n - nombre de modes dans le petit guide). Dans
le
cas
de
la
double
discontinuité, cette méthode est donc la plus
avantageuse. On
notera
que
notre
présentation
peut être adaptée à
n'importe quel type de double discontinuité.
23
II.5 Réduction des .atriees eo.plexes à des .atrices réelles
Dans
les
quatre
méthodes. nous avons des équations du type
A-MB
à
résoudre.
où
Ai-V io ' et M-M'+jM" où Mij - 0 si i et j sont
différents
de
zéro
(ceci
correspond au fait que nous n'avons qu'un
seul
mode
propagatif) .
I l
est
alors
intéressant
de
réduire
l'inversion
de
matrices
complexes d'ordre (n+1.n+1) à une inversion
de
matrices
réelles
d'ordre
(n,n). En
effet
on
peut
décomposer
l'équation comme suit
J i-o
1- ~ Moj Bj - Moo Bo + ~ Moj Bj
(36a)
~ i~
0- ~ Mij Bj - Mio Bo + ~ Mij Bj
(36b)
On définit alors la matrice m'et mO et b :
si i et j .. 0
m' d'ordre (n,n)
si i .. 0
mO d'ordre n
si j .. 0
b d'ordre n
Soit
(37)
()
,
'.'
"
-,:, ,
24
CHAPITRE III
CALCUL DES IMPEDANCES DE DISCONTINUITES
111.1 Circuit électrique équivalent
La
génération
de
.odes
évanescents
au
niveau
des
discontinuités
géoaétriques
du
guide
est
prise
en co.pte 80US la
forme
d'une
correction
à
la
théorie
uni-dimensionnelle
par
l'inter.édiaire
d'une
impédance
appelée
impédance de di8continuité
(voir
par
ex.
réf.1B). Nous donnons ci-dessous le schéma électrique
pour le mode plan (en analogie i.pédance acoustique) (fig. 3) :
J"
~~---T--~
.
---~-~-
Figure 3
Sur
cette
figure
la propagation du .ode plan dans le guide
II
est
représenté
par
le
schéma
classique
en
T.
A ~haque
discontinuité,
le
débit du mode plan est conservé, donc les éléments
inconnus
sont
des
impédances
en
série
Za
et
ZO'
Aux
basses
fréquences.
une
analyse
en "développellent assYJllptotiques raccordés"
(O.A.R)
( cf.
par
exemple
Thompson
[12.13]
),
montrerait
que
l'ensemble
du
schéma
se
réduit
à
deux termes: une inductance en
série,
qui
comprend l'inductance Lp _ pi/SIl, représentant l'inertie
de
l'air
pour
le
.ode plan et les inductances L
et L
qui doivent
G
O
être
égales par syaétr1e (les débits Ue et ut tendant à être égaux) ;
une
capacité en parallèle, C _ Psll/pc2 représentant l'élasticité de
p
l'air
pour le !Iode plan. Bien entendu 1/2Lp et Cp sont les li.ites du
schéma
en
T
; on en conclut que les impédances ZD et Za tendent aux
basses
fréquences
vers
- jwL
et - jwL
O
a et so~t alors égales. Quand
la
fréquence
augmente
ces
illpédances
peuvent
être différentes en
25
raison
de
la
propagation
dans
le
guide
II,
la différence étant
d'autant plus grande que la longueur 2 est grande.
Pour
représenter
la
variation avec la fréquence de chacune
des
inductances
Ln et L , on pourrait rechercher un circuit avec des
G
éléments
indépendants
de
la
fréquence
(capacité
en parallèle sur
l'inductance.
inductance en série sur la capacité,
... (cf par exemple
KERGOMARD
[11]).
En
fait il est d'usage, étant donné les variations
relativement faibles avec la fréquence, de calculer simplement L(w).
le
plus
important
â
propos
des
impédances
de
discontinuités
est l'existence des résistances: la démonstration que
les
impédances
sont
réduites
à
des
inductances,
dans le cas des
discontinuités
de
section
(cf GARCIA [14]) n'est valable que si les
guides
de
part
et
d'autre
sont
semi-infinis, c'est à dire si les
modes
supérieurs
sont
strictement
décroissants
exponentiellement.
Quand
la
longueur
e
est finie. ces derniers peuvent transporter de
l'énergie
(cf
KERGOMARD
[15]).
l'exponentielle
croissante
étant
superposée
à
l'exponentielle
décroissante, et pas nécessairement en
phase
avec
elle. On attend donc l'existence de résistances de signes
opposés,
afin que les flux d'énergie dissipés se compensent: à l'une
des
discontinuités,
le
mode
plan
cède
de
l'énergie
aux
modes
supérieurs.
à
l'autre,
il
le
récupère
intégralement,
afin
que
globalement
l'énergie
soit conservée. ~ux basses fréquences, on'doit
avoir
nécessairement
Re(Zn) - -
Re
(ZG)
quand
la
fréquence
augmente,
les
débits
Ue
et
ut étant différents les valeurs de ces
deux quantités peuvent être différentes.
- ,.:.~.;
:;.~~
Par
ailleurs,
comme
pourrait
encore le montrer la méthode
des
n.A.R,
le rapport de la partie réelle de l'impédance à sa partie
imaginaire
doit s'annuler; on peut en conclure, ce qui sera confirmé
plus
loin,
que Re (ZG) et Re (Zn) sont proportionnels au carré de la
fréquence
c'est
à dire qu'on a affaire à des résistances RD et R en
G
parallèle sur Ln et L
(cf. figure 4).
G
26
En
résullé
nous
avons à chercher L
(w),
L
O
G (w), RO (w) 1 RG
(w)
leur limite basse fréquence est telle que L - L
et
O
G
RD - - RG,
On les obtient par
L
R
RR
Figure 4
III.2Calculs des iapédances Ze et Zn
Nous
définissons
les
i.pédances aux discontinuités, où les
débits se conservent,
En z _ l, on a P f _ P t + Z
ut
0 0 0
En utilisant P ! _ ~ F j P t _ P t + ~ F j P t
o
0
j
o
0
j
On obtient
En z-o
l'illpédance à gauche est définie par
On en tire de .éme
II"""'-
pc/s
~ Foj
j~l
'.,
Pour calculer des grandeurs sans diaension on calcule
ZGS1/PC où
1
2
S
- ab , 4b/f, RG
et de .éme pour ZO' LO et RO.
27
CHAPITRE IV:
CALCULS ANALYTIQUES DANS LE CAS D'UN SEUL MODE SUPERIEUR (. .n-l)
Pour
appréhender
de façon plus précise certains phénomènes,
il
nous
a
paru
intéressant
de calculer analytiquement le résultat
dans
le
cas
le
plus
simple
où
on
ne prend en co.pte qu1un mode
supérieur
dans
chaque guide. Nous n'avons calculé que les éléments à
droite,
les
éléments
à gauche exigent des calculs sensiblement plus
lourds, au moins pour la méthode retenue (cf.§II.l).
IV.I I.pédance à droite
On doit calculer :
ZD _
ISI F
P t /P t
pr
(41)
0"
0
Nous
allons
chercher
le
rapport
P t /P t
en utilisant la
,
0
première
méthode (cf.§II.l). En applicant la méthode de réduction des
matrices complexes à des matrices réelles, on peut montrer que:
p t/ P t _ - S
1
(42)
' 0
' 0 S"
où S - S,
IV.2 Calcul de la .atrice so. .e
)
"
S - S,
Dans
les
expressions
des
éléments
des
matrices
nous
employons les quantités sans dimensions suivantes
x
- kE Y -
Ela ~, _ a,a où a est une dimension caractéristique du
guide II." On a alors
Too - cos x
- Sin x
28
avec K
h (
2y2_X2)'/2 1 y y etthlo - - ho
,
-
8
15,
,
2
h'
_ K (lS y) x
,
1
1
On pose ~
1\\ l/sl _ 1\\ II/sIl
Vi
01 -
i
i
Dans le cas particulier de la géométrie cylindrique
1\\ 1-s I J 2 (lS
)
J 2
(15
)
1\\ I/sl -
~
,
' 0
0'
~ 0
0'
-
,
0'
Nous avons :
S
- t - j(ho + h F 2/~ F 2)/a2
'00
0
' 0 '
0'"
2
S
(to-t,)F
,
,
OI - lS
yh
FOI/ax
-
Ftt
'01
2
:1
S
d
F
"0 - jh, FOI/a
t t
0'
2
S
h,/ax
-
t, + lSl y
F
'"
t t
"
~
et
S
- 2
j(a
h~ - jyoto )
200
2
S
ja
h'
- oFOI
20'
2
S
-x F
h~-j(to-t,)/~ol
o,(a
a lSlY
2'0
S
(h'F 2/~
+ h'
2)/
F
lS,Y + t,
21' -ax 0 0' 01
1
t t
.J
.
On
en déduit le rapport P /P t - -S,oiS"
(relation 41). Pour obtenir
1
0
la
limite
basse
fréquence,
on
fait
tendre
x
vers 0 : h' _ -x,
o
h' _ (lS y)2K lx
et
avec
l
,
1
ho - -h~,
t, - chlS,Y
Nous obtenons
--
Soit en ne conservant que les termes d'ordre 1 et 2 en x
-jxFO,( shlS,y/aF,2-(1-t )+ja2X)/alS YÀ (2t +(l/aF 2+aF 2)shlS y)
.
1
,
1
0 1 '
'1
'1
,
29
En remplaçant cette expression dans (4~), il vient
-jxF 2(8h~ y/aF
2 -(l-t )+ja2X)/(a~ YÂ
)(2t +(l/aF 2+aF 2)sh~ y)
01
1
11
1
1
01
1
11
11
1
Cette impédance est de la forme :
1
Si
- - -l/jwL + l/R, on tire
z
On en déduit
et p - -F 2(sh~ y/aF 2_(1-t )/a~ YÂ
(2t +(l/aF 2+ aF 2)sh~ y)
01
1
11
1
1
01
1
11
11
1
Nous obtenons finalement
Lpb +
2
2
2
2
F
(sh~ y/aF
-(l-t »)/n~ Â
(2t +(l/aF
+aF
)sh~ y)
(43-a)
p
01
1
11
1
1 01
1
11
11
1
1
2
R _ -F 2(sh~ y/aF 2 - (l-t »)/n~ Â (2t
+(~ + aF
)sh~ y
(43-b)
01
1
11
1
1 01
1
aF <;
11
1
11
On
peut
simplifier
les
expressions (43-a)
et
(43-b)
de la façon
suivante
J
.
Lpb/p - +FO~/~lÂ01(1+aFl~ coth(~lY/2)
(44-a)
)
RD -
(44-b)
(LDb/p)(ch~lY - 1 + sh~ly/aFl~)/a3y
IV.3 Etude des variations de l'inductance et de la résistance
en fonction de la longueur e
" ...
~r
al Liaite quand l'épaisseur e tend vers zéro (y ~ 0)
Lpb/p _ F 2/ 2naÀ
F 2
01
01 11
30
Dans
ce
cas
où
l'épaisseur
du
petit fluide devient très
petite la self est directement proportionnelle à cette dernière.
Ceci
signifie
que
l'approximation
de
l'inductance
du
diaphragme
sans
épaisseur
est très mauvaise puisque le résultat est
nul.
On
peut
en conclure que l'existence d'une inductance non nulle
pour
le
diaphragme
sans
épaisseur
est
due
au
calcul
de limite
multiple
(quand
le
nombre
de
modes
tend
vers l'infini et que la
longueur
tend
vers
zéro). On peut faire le même commentaire pour la
résistance
qui
doit
être
infinie pour le diaphragme sans épaisseur
(impédance imaginaire pure).
b/ Liaite quand l'épaisseur tend vers l'infini (y ~ ml
On obtient
LDb/p _ F 2/KX
y
(1 + aF 2)
01
01 u l
11
Quant
à
la
résistance
(en
parallèle),
elle
tend
vers
l'infini.
ce
qui
est
satisfaisant:
à
la
limite, on retrouve la
dlscontinuité
entre
deux
guides
semi-infinis
et
il ne doit pas y
avoir de propagation pour les modes évanescents.
J
.
En
conclusion: comme nous l'avons dit (§ 111.1), la présence de deux
résistances
de
signes opposés, montre que le mode plan communique de
l'énergie
aux
modes
supérieurs
à
l'entrée
de
la
discontinuité,
laquelle est cédée à la sortie.
Le
signe (-)
devant
l'expression
de
la
résistance
à
droite (44-b)
est
quelque peu surprenant : il montre que cet échange
d'énergie
se
fait
en
sens
inverse
le
.ode
plan
récupère
de
l'énergie
(qu'il
n'a
pas
créée)
à
l'entrée
et la cède aux modes
supérieurs
à
la
sortie.
Ceci est toutefois concevable puisque nous
~.
étudions un régime permanent.
~
~
i~.~.~.~<
lr°';
•
31
CHAPITRE V
CALCUL DE LA CHAMBRE Dl EXPANS ION
DANS L'APPROXIMATION DU PISTON PLAN
L'étude
des
différentes
aéthodes de résolution avait comme
objectif
la
détermination
des éléaents acoustiques représentant une
double
discontinuité.
Mais
nous
nous
SOllmes
rendu
cOllpte que la
aéthode
appelée
"variante
de la aéthode des aulti-dipôles" (§ 11-2)
peraettait
de
résoudre
le
problème
classique
de
la
chambre
d'expansion
si
on
ne
prend en compte que le 1I0de plan à l'entrée
(guide I)
et
la sortie (guide 1 Il) , cette aéthode donne une solution
sans
inversion
de
aatrices,
ce
qui,
à
notre
connaissance,
est
original.
Seuls
Ih et Lee [16] ont donné récemment le lIême résultat,
dans
le
cas
particulier
de la géollétrie cylindrique, par un calcul
plus compliqué.
Supposons
le
problème
suivant, asymétrique, chaque matrice
de discontinuité comportant une double infinité de aodes (Fig. 5).
PO
1
P
.)
Discontinuité 1/11
1 [Kl
" II/III
Il [Ml
1
Fig. li
Pour
appliquer
la
méthode
indiquée,
11 suffit d'échanger
vitesses
et
pressions
dans le schélla d'obtention des équations: on
en tire :
.
.~
' ...,::
,jfi
32
l F H'-'[G Ve - TG t]
-
V·
pt
a
,
a
pe --F H'-'[G Vt
e
- TG
V ]
,
a
,
ou
i -j F H'-' G ye(A_pr) +j F H'-' TG yt pt
pt -
a
,
a
a
A+pr _ +jF
H'-' G yt pt -j F
H'-' TG ye(A_pr)
,
a
,
,
S'il
n'y
a que le mode plan dans les guides 1 et III, on en
tire
pt
2f2 ....1
_
pr _ (fat-l)(faa+l)-f12f21
(45)
(l+faa)(l+f,,)-f,afa,
(f,,+1)(f 2a+l)-f,af at
où
où
et
Etant donné les relations entre F et G, on peut écrire aussi
f ,a - -j Pa 1: Faoj F,o/Hj
J
fat - -j P, 1: Faoj Fto/Hj
t f11 - -j P, 1: F,oj Fto/Hj
f aa - -j Pa 1: Faoj Fao/Hj
où
SIlI/AII
P, -SI/AIl
et
j
Pa -
j
En
ne
considérant que les modes propagatifs dans la chambre
(guide
II),
on
peut
trouver
des équations donnant les minimums de
transmission,
qui font intervenir des sommes d1inverse de sinkjl. Par
ailleurs.
si les sections SI et SIII ~endent vers zéro, on peut tirer
de
la
formule
45,
la
réponse
en
un point M
situé sur la paroi
a,
II/III,
à
l'excitation d'une source ponctuelle, située en M (sur la
t
paroi 1/11), de vitesse uniforme (l-pr)pc :
'•.. ', f.
. ,.....~
33
>
,-
~
- -
1
2
pcf
_ -jS
pC
-
~
-
1-P
2t
•
H'j
r
J
En utilisant les .odes orthonormés. - ./(h)t/2, on obtient
- _ ...+
(46)
1-Pr
Le résultat est classique: notamment Bruneau [8. p 517] écrit
-1
G(M ,M ) _-1:
(47)
t
2
j
où
G
est
la
fonction
de
Greu. On
en tire, grâce à l'équation de
Helmholtz-Huygens
$
pt _ p(M.l _
G(M, ,M.l 3 , p(M,) dS, -
SiG (M, ,M.l
, p(M.)
n
·3n
En prenant garde à la convention e jwt
ant P(Mt ) - -jwp u (Mt)
_ -jk (l_pr)
d'où
-jk pc SI G(M ,M )
t
2
Cette
formule,
avec
l'éq.47,
est
bien
identique à notre
équation
46.
La
formule
45
généralise
donc l'équation donnée par
Bruneau
au
cas
où
la source est un piston plan. et le récepteur un
microphone, de vitesse uniforme, de section quelconque.
;.
~,
,..
:., -
•
" , i-'~'"
34
CHAPITRE VI :
RESULTATS NUMERIQUES
VI.l: Rétrécisse8ent d'épaisseur finie
Nous
présentons
ci-dessous les résultats numériques obtenus
par
la
méthode
que
nous
avons
appelée variante de la méthode des
multidipôles
(§
II.2). Nous
avons
calculé
les
inductances
et
résistances
pour
trois
valeurs du rapport de section dans le cas du
rétrécissement
d'épaisseur finie (a-O,l;O,5 et 0,9). Nous nous sommes
limités
aux valeurs basses fréquences, en calculant pour ka_l0- 3 - le
nombre
de modes retenu vérifie la relation n/m-a : en effet, comme le
remarquent
Hudde
et
Letens
[17],
les
modes
élevés,
qui
font
intervenir
la
fonction
J
,
sont peu diférents d'une fonction sinus,
t
et pour assurer une meilleure convergence, il convient de s'arrêter de
part
et
d'autre
d'une
discontinuité
à
des
modes
qui
soient
identiques
x
x
sin nn - - sin •• -v x ~ n - am
a
b
Les
figures
ci-après
présentent)
les
résultats pour trois
quantités:
VI.l.1 Inductance de discontinuité
Nous
avons
calculé l'inductance de discontinuité à droite:
quand
la
fréquence
tend vers zéro, nous avons vérifié qu'elle était
bien
égale
à celle de gauche. La première observation (pour a - 0,5)
est
que
la
présence
de
deux
modes
dans
le grand guide suffit à
assurer
une
convergence
vers une valeur non nulle quand la longueur
tend
vers
zéro.
La rapidité de convergence quand le nombre de modes
augmente,
est
à
peu près indépendante de la longueur e. Pour g très
",1
• • •
35
grand,
nous retrouvons bien le résultat de la discontinuité simple de
section
(cf
Kergomard
et
Garcia
[18],
et
pour
l
très petit le
demi-résultat
du diaphragme sans épaisseur (cf Fock[19] et Leppington
et
Levine[20]).
Nous
montrons
les résultats
dans
le
tableau
1
ci-dessous. Quelques
premiers
essais qu'il faudrait développer, nous
ont
montré
que
pour
lia
petit, la convergence vers L(~) se fait
comme
A-~l/a
log l/a + xl/a. Cette dépendance en l/a est identique à
celle
que l'on trouve de façon analytique dans le cas de la géométrie
bidimensionnelle
(voir
dernière
partie). Les courbes de la figure 6
sont
données
avec
une échelle logarithmique pour l'absisse. On peut
remarquer
qu'un diaphragme d'épaisseur ~/100 peut pratiquement être
considéré comme un diaphragme sans épaisseur.
Inversement,
un
diaphragme
d'épaisseur 1 égale à son rayon
peut-être
considéré
comme
d'épaisseur
infinie, plus exactement les
modes
exporentiellement
décroissants
sont
découplés
des
modes
exporentiellement
croissants. Cette estimation correspond à celle que
donne
des
raisonnements
logiques
simples
(voir par exemple Pierce
[21]) .
On
peut
remarquer
que
ces
conclusions
qualitatives
ne
dépendent
pratiquement
pas
du
rapport du rayon du diaphragme (a) à
celui du guide (b).
d
.
Enfin,
une
surprise
peut-être
vue
sur
les
courbes
correspondant
à
a-O,9
la
courbe
pour
m - 20 est supérieure à
celles,
confondues,
pour
m -
60
et m - 80. Nous devons effectuer
d'autres calculs pour interpréter ce résultat.
Le
tableau
1
montre les valeurs obtenues quand la longueur
tend vers zéro ou l'infini.
",
,..
(60.D.T;--
1
L
alp
[20.2)
.:' (10. Il
1
,
1
.1,,,
1
1
,,,,,,,,,,,,,
1
a
,
~ - 10
,
-
2
1
b-
,
b
,
1
,,,
1
1
1
1
1
1
1
,
10-lf
lIa
lIa
1
L alp
0.00711 1
a
- -
b
0.9
lIa
Fig. 6
Résultats pour l'inductance de discontinuité
37
Lb
~ 0,1 0,5 0,9
p
KERGOMARD
e ~ CIl
2,26
0,191
0,00744
m-SO
GARCIA
TAGUI
2,26
0,190
0,00741
m-80
e -+ 0
FOCK/LEVINE
2,148
0,169
0,0052
TAGUI
2,11
0,170
0,00507
Lb
Tableau 1
Comparaison des valeurs de
quand e -+ • et
p
et quand e -+ 0
VI.l.2. Résistance de discontinuité
La
figure (7)
présente
les résultats pour la résistance en
parallèle
à
droite
(limite
basse
fréquence).
Nous
avons vérifié
qu'aux
basses
fréquences,
la
résistance
à gauche était identique.
mais
de
signe
opposé.
Les
variations
étant
très grandes avec la
longueur,
nous
présentons
les
courbes en échelle logarithmique. On
remarque
que
la résistance tend vers l~infini à la fois pour e petit
et
t grand.
ce qui signifie que les modes supérieurs ne transmettent
pas d'énergie.
Les
valeurs
pour
fla
petit viennent d'erreurs numériques,
comme
nous
le
discutons
ci-dessous;
en
fait
la courbe est bien
toujours
décroissante
puis
croissante
avec e.
Les
minimums
de
résistance
sont
observés
pour
fla - 0,5 environ, indépendamment du
rapport a des rayons.
Il
reste
que
le mode plan perd de l'énergie en aval, et en
gagne
en
amont,
donc les modes supérieurs transportent de l'énergie
dans le sens contraire du mode plan (voir § IV.3).
"
.
,}o
-4
1
10
L
0
(1 .1)
(60.301
2.1
1
.,.'
10-1.1
10-2
-1
)
a
• la
b
b
·3
)
a
1
.
J
.
- - . ; , . -
b
0.9
[60.5lf]
la
(l.U
Fi&. 7
Résultats pour les résistances
de discontinuité
39
VI.l.3. Rapport des flux d'énergie
Nous
avons calculé également le rapport ID du flux d'énergie
transporté
par
les
modes supérieurs au flux d'énergie total (Figure
8). Un calcul élémentaire montre que:
l
ID - ------------- - Re(ZD S /pc)
1
_ Re(pt ut *)
2
Aux
basses
fréquences,
il
est
proportionnel à k2 , c'est
pourquoi
nous
avons
représenté
ID/k2a2.
Les
commentaires
sont
similaires
à
ceux
faits
pour
la résistance. On peut remarquer que
pour
ka -
3
1,
le
rapport ID
est de l'ordre de 10- , ce qui est très
faible.
Quand
la
fréquence
tend
vers la première coupure du grand
guide l,
ce rapport croit notablement, mais, puisque nous étudions un
rétrécissement,
les
modes du petit guide II sont encore loin de leur
coupure,
et
la
limite ne dépasse pas
2
10-
environ. Nous reviendrons
sur
cette
opération dans le cas de l'élargissement d'épaisseur finie
(chambre d'expansion).
On
notera
enfin
que
ce
rapport
peut
être
calculé
indifféremment à droite, ou à gauche
J
.
Les
deux
valeurs doivent être identiques et de signe opposé, à toute
fréquence,
pour
assurer la conservation de l'énergie. En fait, quand
la
longueur
est
trop
petite
ou trop grande. le rapport ID/I
peut
G
prendre
des
valeurs
aberrantes
(positives
ou
négatives), au lieu
de -1,
et
ceci nous a servi de test de validité du calcul numérique.
C'est
ainsi
que
nous
pouvons
écarter
certaines
valeurs
de
la
résistance.
41
ANNEXE
CALCUL DES FONCTIONS PROPRES ET MATRICES DE DISCONTINUITE
EN GEOMETRIE CYLINDRIQUE
-
-
-
- - - . ! p Oi:
On
résout
l'équation générale de propagation dans le cas du
problème
à
symétrie
radiale
(indépendant
de
l'angle 6
et
de la
variable axiale z) [8. page 120).
. (24)
La solution est de la forme
P •
R(r) T(t)
(25)
Les équations (24) et 25) donnent l'équation à variables séparées
42
Les solutions sont
R(r) - AJ (Kr) + BN (Kr)
o
0
où
Jo
et
No sont les fonctions de Bessel et de Neumann d'ordre zéro
de 1ère espèce. Les condtions aux limites imposent la solution:
R(r) - AJ (k r)
o
r
car lorsque r ~ 0, la limite R(r) est finie et No(K ) diverge (r-o).
r
La condition sur la vitesse particulaire nulle sur la paroi donne:
1$
J'(KR)-o
0m
o
r
K R - 1$
r
om
Kr - - -
R
R - rayon du cylindre
r
1$ 0i
Xom - (m+1) ème zéro de To
On pose .i(r) - J ( - - )
o
R
Calcul des fonctions P
G et leurs nor.es
r
r
r
J o (l$ o i b)J o (1$ 2 ;)dS
0
1\\1 l
. J .
r
2
[J (~ 2 -)]
r dr
o
0
a
J
2(t)dt -- [J 2(Z) + J 2(Z)]
o
2
o
t
r
On pose y - r ~
..
.~
02 a
43
a
a
r - - - y
dr - - - dy
~02
~02
~
a
2
02 Y J 2(y)dy _ 2K.(---)
[J 2(~ ,,) + J (~ ,,)]
o
o
0...
1
0 ...
~02
o
On sait que J' (x) - -J (x)
o
1
D'où
Calcul de Fei
a r r
1 -
~o (~oib) JO(~02;)rdr
D'après GRADSHTEYN [23. page 634]
~w Jm (~w') Jm-l (~w) - ~w'Jm-l(~w')Jm(~)
~Jm (~w' )Jm (~w)d~ - --------~--~-------
W,2
_ W2
On pose
d~ - dr
J
.
W'
_
.!.u
~
w _ .:.2.!
b
a
Par identification on a
~02
r
~
~oi
(~oir)
~
--- r J
(~oi -) J
(~r) - --r J
J
(~r)
a
0
b
-1
a
0
b
-1
b
li
a
1 - 2.
~oi 2 - (~oe)2
(---)
b
a
44
a
J_
(lSoit; )J
t
o (lSoe)
1 -
2 11 -----------:::2~----:2:-----------
(~) _ (lSoe)
b
a
D'après ABRAMO WITZ [22, PAGE 358]
n
J_ n (z) - (-1) Jn (z) ~ n J_ (z) - -J (z)
t
t
~ J_
(lSoe) - -J
(lSoe) -
t
t
0
a
a
(lSolb') J t (lSoi 'b) Jo (lSoe)
D'où
1 -
+2K
cJ
•
-lI
r
r
J 0 (lSoj;) J
(lSOqb')dS
0
De même
Gqj
h1q
on fait
q - e
1· r r
( lSoC) J
(lSoe-) ds
11.11
a
0
b
j - i
i
GU
AI
-FU
1
e
II. e
45
"II i
GU - F12
,,1 e
" I I
.a2 J Il (liAl)
a
2J
(lI
0
o1)
)2
;:r
- (-)
f
-.b2 J 2 hs
e
0
oe )
b
J
(lI oe )
0
a 2
J
(lI 01 »2 F
GU -(-)
(
p
U
b
J
(lice)
0
.J
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