,
,
UNIVERSITE VE MONTREAL
,
REMARQUES SUR LES EQUATIONS
,
VIFFERENTIELLES
ABSTRAITES
PA~
GASTON MANVATA N'GUEREKATA
,
,
VEPARTEMENT VE MATHEMATIQUES ET VE STATISTIQUE
,
FACULTE VES ARTS ET VES SCIENCES
. . . . .
. - "
..
THESE PRESENTEE A LA FACULTE VES ETUVES SUPERIEURES
EN VUE VE L' OBTENTION VU GRAVE VE
PHILOSOPHIAE VOCTOR (Ph. V.I
Juht 1980
O/,OM

---

UNIVERSITE: DE MONTRÉAL
FACUL TÉ DES ETUDES SUPËRIEURES
RAPPORT FINAL DU JURY
DÉSIGNÉ POUR L'EXAMEN D'UNE THÈSE DE DOCTORAT
.~' ~'"
.~. ~ .
. "
" ,
.
,~
_
Grade postulé
,_P_h_"0_'_,'_ _
~ Op t ion __\\_'lé_lt_)_\\_(_Y_':~_I1_;:_1'l_t_!ê._·5__
_Ti tre de Ici thèse
.',... ,
' _ ' .. :..i~--:. _ ....
Di recteur de recherche
DËClSION DU JURY PRISE À L'UNANIMITÉ DES VOIX
;1
. ,7 ,..
j
/ /
. , ~. )'.- ,..:·r... Â- \\--~.~....
Après la soutenance tenue le _ _~__
.'-:.
les membres du jury ont décidé:
':3 d'accepter la' thèsè ' .. '
o de refuser la thèse
"
(la candidature pren.d.fi~)
,<-::-".~''!;,~ X-'#,-; l ,'/ l "",! '
'\\~j[i 1.;-",/,'1'.1,/' / \\ 1 J.-";.<'11.,~.(
Signatures
/ prés ident-rapporteur
exami nateur externe
membre •
,i
membre
doyen de la F.E.S.
;.<;""-..,y" \\~..t. -'")
/.~)'
,:.- /
--1.--~;~"''''' -1
date
En cas de dissidence du jury, chaque membre est prié d'indiquer sa décision et de signer
Président-rapporteur
_
Examinateur externe
_
Membre
_
Membre
'
_
date
FES-Gr 19
FACULTÉ/DÉPARTEMENT/ÉCOLE

---

...
m-ffi1ER5ITE DE MOi:rIT\\EZ\\L
..
FACUL'l'E DES ETUDES SUPERIEURES
AVIS DE SOurEt.JANCE
Mo
Gaston Nguerekata
_
candidat au
Ph.D.
(mathématiques)
, soutiendra sa thèse
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - '
intitulée
Remarques sur les équations différentielles abstraites.
15H00
le
18 novembre 1980
à
------'-:....;...;:..-.:...:::...:::...=---.._------- - - - - - - - - - - - - - - ,
375 du Pavillon Délia Tétreaurt
dans la salle ---------------------------
Jérôme A. Goldstein
*
exanrinateur ~~terne
- - - - - - - -
Samuel Zaidman
Shuichi Takahashi
La soutenance aura lieu en présence du doyen de la Facll1 té
des études supérieures ou de son repr~sentanto
Les prOfeSS8lrS et étudiants intéressés au domaine de
la recherche du candidat sont invités à assister.à cette soutenance.
~ A CETTE SOUTENANCE, LE DOYEN SERA REPRESENTE PAR M. GUY PAOUETTE, DU
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE.
L9~en de la F.E.S.
date
,. i
: '
~ M. Jerome A. Goldstein ne peut y assister et le Doyen de la F.E.S. a nommé
M. Jacques Gauvin, professeur au département de mathématiques appliquées de
l'Ecole Polytechnique pour le remplacer.
FES Gr 18

---

,
TABLE VES MATIERES
SOMMAIRE ••
vi
INTR OVUCT ION
1
..
CHAPITRE 0:
PRE LIMINAIRES
3
PltoplUétél> UémeJLtcWr.u
3
Sem<..-noJunU • • • • • •
5
Conve/lgen.c.e. • • • • • •
• • • •
6
OpéJz.a:te.U!U:I Un écWr.e6
• • •
•
•
•
•
7
Fonc.:U..on.6 à valewt.6 da.n.6 un e6pa.c.e. loc.alement c.onve.xe. • la
V~vation
• • • •
• • Il
1ntégltation • • • • •
• 13
..
CHAPITRE 1:
PROBLEME OE CAUCHY
16
1.
P4obtème. de. Cauchy b~e.n po~é
• 16
2.
SOlu.üOM af,f,MbUu
. . • .
20
..
CHAPITRE 11:
FONCT1OIJS PRESQUE-PERIOVIQUES A VALEURS VANS UN ESPACE
LOCALEMENT CONVEXE • • • . •
• 23
1•
Véf,~tUüon cd p1W~é:tél>
• • 23
2.
CJU..;tèJte. de. Bochne.4 cd aubteo pJtopJvi.été.6 •
30
3.
Foneti..on.6 ncUbleme.nt p1te.6C{W!.-pé!u..ocU..queo;
tion de. f,onc.:U..oM P4eoqUe.-péJUocUqueo . •
• 38
..
..
".
CHAPITRE 111: SOLurIONS PRESQUE-PERIODIQUES V'EQUATIONS VIFFEREN-
TIELLES
•• • • • • • • • • • • • • • • • • •
• sa
1•
Sof.u.ü.on~ p1Luque.-pWocU..qUe6 de. l' équa.-U..on
d
.
(dt - A)x(t) = 0
.
.
.
.
.
.
50
2.
Le. c~ non homog~ne.
(~t - A)xCt) = fCt). .
. 56
3.
1né.gaLU:él> ab.6tJuU.-te.6 et p!r. e.6 que - p éJUodi..uté
da.n.6 lu. u.pace6 de. HUbeJt.t . • . . . • . . .
68

---

v
CONCLUSION • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
73
REMERC IEHENTS
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••
74
.. ..
REFERENCES • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••
75

---

SOH\\{AIRE
La présente thèse comprend trois parties:
0
1
Nous démontrons les résultats suivants au pre~ier chapitre. dans
un espace localement convexe complet
E:
- si le problème de Cauchy correspondant à l'équation
x'(t) =,Ax(t)
est bien posé sur
[O.T]. alors il l'est aussi sur
[0.=) .
--si
A
est un operateur fermé. pour chaque solution
x(t)
de
2
x'(t) =Ax(t)
de classe
CleO,T]
et
C (0.T], on peut construire une
solution affaiblie sur
[O.T]
soit
y(t) = (A-H) x(t) • À un scalaire donne.
20
Le chapitre II est consacre à l'etude des fonctions presque-pério-
diques dans un espace localement convexe; les principaux résultats sont
les suivants:
_ si
f(t)
est presque-périodique dans un espace localement con-
vexe complet
E • alors
{f(t) ; t € m}
est totalement borné dans
E
-
soit
E un espace de Fréchet; alors la fonction
f::m -+ E
=
est presque-périodique ssi de toute suite
(S')
on peut extraire une
n n=l '
=
CIl
sous-suite
(s)
telle que
(f(t+sn))n=l
converge uniformement en
n n=l
t €
m .
_ si f(t)
est presque-périodique dans l'espace de Fréchet
E
et si
F(t) = J: f(a)da est à trajectoire relativement compacte. alors
F(t)
est presque-périodique.

---

30
Nous discutons
de la presque-périodicité de solutions d'é-
quations différentielles dans le dernier chapitre:
- soit E un espace de Fréchet, A un opérateur compact tel que
k .
{A
, k=1,2, ... } est équi-continu, et pour toute semi-norme p , il exis-
tA
te une semi -norme
q
telle que
pee
x) s q(x)
pour tout
x €
E
et tout
't€:m
alors toute solution à trajectoire relativement compacte de
x'(t) =Ax(t)
est presque-périodique.
soit E un espace de Fréchet; si
A
est générateur infinité-
simal d'un groupe d'opérateurs équi-continu de classe
~O' {TCt) ; t ~ m}
tel que
T(t)x: m -+- E est presque-périodique pour clfaque
x €
E
et si
f(t)
est presque-periodique, alors toute solution à trajectoire relati-
vernent cor.:pacte de
x'(t) = Ax(t) + f(t)
cst presque-périodique.
- si A = A + A
est un opérateur de domaine
D(A)
dense dans
+
l'espace de Hilbert
H avec
A
un opérateur symétrique et
A
antisy-
+
2
métrique tels que pour tout
x E D(A) , Re (A+X , A x) 2: -cl!A+x1l
où
c s I , alors toute solution à trajectoire relativement compacte de
x'(t) = Ax(t)
est presque-périodique.

---

INTRODUCTION
Soit
E = E(T)
un espace localement convexe complet dont la topolo-
gie
T est induite
par une famille
Q de semi-normes continues.
Nous
démontrons au chapitre l (Théorèmes 1 et 2) des résultats sur le problème
de Cauchy abstrait relatif à l'équation différentielle
x'(t) = Ax(t) •
sur l'intervale
[OIT].
Le cas banachique dont nous sommes partis est de
S.G. KREIN [12].
Ensuite. en suivant toujours S.G. KREIN. nous parlons de
solution affaiblie de cette équation sur
[OIT]
en démontrant
(Théo-
rème 3) qu'on peut obtenir une solution affaiblie à partir d'une solu-
tion ordinaire vérifiant certaines hypothèses de régularité.
Le concept de fonction presque-périodique a été introduit dans la
littérature par E. BOHL et E. ESCLANGON au début du siècle et largement
étudié par S. BOCHNER [4J. [5J et aussi par bien d'autres mathématiciens.
Sur ce sujet on peut par exemple consulter les ouvrages suivants: [IJ I
[2J. [3J. [6J. [8J
[9J. [15J •...
I
Une définition de fonctions presque-périodiques sur un groupe et à
valeurs dans un espace vectoriel topologique fut déjà introduite dès 1935
par S. BOCHNER et J. von NEUMANN dans leur important mémoire [5J; nous con-
sidérons quant à nous celle suggérée dans [6J qui nous a permis ici de
généraliser sans trop de peine de nombreux résultats connus dans les es-
paces de Banach. notamment le critère de Bochner qui nous est d'une réelle
importance dans l'étude de solutions presque-périodiques d'équations dif-
férentielles, étude à laquelle est dévolu le dernier chapitre de la thèse.

---

2
Le premier théorème de ce chapitre démontre la presque-périodicité
des solutions de l'équation
x'(t) = Ax(t)
dans un espace de Fréchet.
Ce théorème est inspiré d'un résultat de A.I. PEROV (voir par exemple
théorème 1.1 [2lJ) mais n'en est pas une généralisation directe étant
donné que nous devons supposer en plus l'équi-continuité de l'ensemble
des puissances de l'opérateur
A.
Toutefois la technique utilisée res-
te la même.
Le deuxième théorème généralise un résultat dO au' Professeur S. ZAID-
~~ (voir Théorème 3.2 dans [2lJ), au cas d'espace de Fréchet.
On démon-
tre la presque-périodicité des solutions à trajectoires relativement com-
pactes de l'équation
x'(t) = Ax(t) + f(t)
lorsque
f(t)
est une fonc-
tion presque-périodique dans l'espace de Fréchet
E
Nous caractérisons
ensuite les solutions presque-périodiques de l'équation homogène associée,
au Théorème 3.
Enfin le Théorème 4 donne un résultat nouveau sur la presque-périodi-
cité des solutions de l'équation
x'(t) = Ax(t)
dans un espace de Hilbert.
Mais avant tout, à titre de préliminaires, (chapitre 0), nous rappe-
lons quelques propriétés élémentaires des espaces vectoriels topologiques,
et discutons très brièvement de la dérivation et de l'intégration (au sens
de Riemann) de fonctions vectorielles.

---

CHAPITRE 0
PRELIMINAIRES
ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
PROPRIETES ELEMENTAIRES
Soit
E
un espace vectoriel sur le corps
~C~ =m
ou
Œ) .
Une
topologie
T
sur
E est dite compatible avec la structure algébrique
de
E
si les opérations d'espace vectoriel sont continues par rapport
à
T.
Un espace vectoriel topologique Ce.v.t.) sur
~ , E = ECT) , est
un espace vectoriel sur
~
avec une topologie compatible
T .
On peut montrer (voir par exemple [lOJ, [17J, [18J):
PROPOSITION.
Pour chaque
a €
E , la translation
f : E ~ E ,
f(x) = a+x , est un homéomorphisme.
En particulier si
U est une base
de· voisinages de l'origine, a+U
est une base de voisinages du point
a
Il en résulte que la structure topologique de
E
est entièrement
déterminée par une base de voisinages de l'origine.
Aussi, sauf mention
contraire, nous appelerons "voisinages", tout court, les voisinages de
l'origine.
Si
U est un voisinage, a+U
est un voisinage de
a
et
x €
a+U
ssi
x-a €
U .

---

4
PROPOSITION.
Pour chaque
À E ~ , À ~ 0 , l'application
f : E ~ E
f(x) = Àx , est un homéomorphisme.
En particulier si
U est un voisi-
nage, ÀU
aussi est un voisinage
(À ~ 0) .
Un sous-ensemble
X d'un espace vectoriel
E
est dit convexe si
" pour tout
x E X et tout
y €
X , ÀX+tlY €
X
si
À ~ 0
li ~ 0
et
À+lJ = l ; il est dit symétrique (ou équilibré, ou disqué) si pour tout
x €
X et
lÀ! SI, Àx EX; s'il est à la fois symétrique et convexe, on
dit qu'il est absolument convexe.
Si pour chaque
x €
X , il existe
À > 0
tel que
x E lIX
pour tout
~
tel que
11I1 ~ À , on dit que
X
est absorbant.
PROPOSITION.
Si
U est une base de voisinages, alors pour chaque
U EU,
(i)
U est absorbant
(ii)
il existe
V E U tel que
V+V c U
Ciii)
il existe un voisinage symétrique
W cU.
En pratique les
e.v.t.
les plus importants et les Dlus utiles sont ceux
qui sont localement convexes, c'est-a-dire les
e.v.t.
qui Dossèdent une
base de voisinaQes (de l'origine) formée d'ensembles convexes.
On appel-
lera de tels
C.V.t.
des espaces localement convexes
Ce.l.c.).
Nous
supposerons ici que tous les
e.v.t.
sont séparés.

---

5
,.
,
THEOREME.
Un
e.l.c.
E
po~~ède une b~e de vo~~na9u
U tette
que
(~I
&~
U €
U , V € U ~ e~te W EU, WC U n V
[~)
&~
U €
U , À t 0 alo~ À U € U
(~I
chaque
U €
U
ut ab&otummt convexe e;t ab&oJl.bant.
InveJl1Jemen.t &~
U ut une ba.m<..ile (non vide) d'e.YL6embtu de l'u-
pace vectoJüe.i
E
avec tu pttopJUété6 (~) - (~I, i l e~te. une. topolo-
g-ie. qu-i baU de.
E
un upace. locale.me.Yit convexe. a.vec
U
comme. b~e. de.
vo~-ina.gu •
SEMI-NORMES
Une fonction
p : E ~ [0,00)
vérifiant les propriétés
(i)
p(x+y) $ p(x)+p(y)
pour tout
x €
E , Y €
E , À €
~,
est dite semi-norrne sur
E .
Il résulte de (ii) que
pee) = 0
où
e
est l'élément nul de
E.
Si
P
est une semi-norme sur
E, on peut lui faire correspondre
un ensemble absolument convexe et absorbant
X, et on dit que
pest
la jauge de
X.

---

6
PROPOSITION.
(i)
Dans un
e.l.c.
E, une semi-norme est continue ssi elle est
continue à l'origine
(ii)
Si
P
est la jauge d'un ensemble absolument convexe et absor-
bant
X, P
est continue ssi
U
est un voisinage.
,
...
THEQREME.
PouJr.. tout en.6emble
Q
de .6em-i..-no!Une.6 .6uJr.. un e.6pac.e vec.-
toM..el
E, i l ewte une p.tu.6 6tUbie topolog,[e.6Ult
E c.ompa.t-i..ble avec.
la .6Vwc.tWte algébJUque de
E
et drou, laquelle c.haque .6e.rrU.-noJune de Q
e.6t c.ont-Lnue.
E
ut ai.olt6 un e.6pac.e loc.aleme.n-t c.onvexe et une bMe de vo-i...6,[nage.6
ouveJr.:t6 e.6t 60Junée pM le.6 en.6 emblu :
U = U(e: ; p.
, 1 $ i
$
n) = {x E E
p. (x)< e:
, 1 $ i $ n}
l
l
on dU que
E = E(T)
ut mé.ttU.-6able.6-i..
T
e.6t c.ompat-tble avec. UI1e. m~-
que
d i.6,[
E
ut un
e .l. c .
tel que
T
e.6t -i..ndu-i..te pa.!t W1e méWque
-tnvaM..ante et c.omplète
d , alolt6 i l e.6t dU un e.6pac.e de FJtéc.het.
Van.6
un e.6pac.e de FJtéc.het, T
peut ê:tJr..e engendJtée pM une 6a.nU..U.e dél10mbJUtble
CONVERGENCE
Soit
E
un ensemble quelconque; toute application d'un ensemble di-
rigé
A dans
E
est dite suite généralisée et se note
(X)
-
1111EA'

---

7
On dit que la suite généralisée
( X )
converge vers un point
x
de
~ ~ E Il
-
l'espace vectoriel topologique
E
si pour tout voisinage (de l'origine)
U • il existe
~o E Il
tel que
X
E
x+U
si
~ > ~
On dit que
~
0
(x~)~ E Il est une suite généralisée de Cauchy si pour tout voisinage U
i l existe
~o E Il
tel que
x ,-x " E U pour tout
~ , > ~
• ~" > ~
~
~
0
0
Si toute suite généralisée de Cauchy converge vers un élément de
E • on
dit que
E
est complet.
Si
E
est un
e.l.c.
dont la topologie est définie par une famille
de semi-normes continues
Q. alors pour toute suite généralisée
( X )
les assertions suivantes sont équivalentes:
lJ ~ E Il
(i)
lim x~ = x
lJ
(ii)
lim p(x~-x) = 0 pour chaque
p E Q .
~
A partir de maintenant et dans le reste de la thèse on supposera
E = E(,)
un
e.l.c.
complet dont la topologie
,
est définie par une
famille de semi-normes continues
Q .
Un sous-ensemble
D est dit dense dans
E
si chaque
x E E
est la
limite d'une suite généralisée d'éléments de
D.
,
OPERATEURS LINEAIRES
Soit
A un opérateur linéaire de domaine
D(A)
dense dans
E
et
à valeurs dans
E; A est dit fermé si'son graphe
G(A)
est fermé dans

---

8
E XE; c'est-a-dire que tout élément de
G(A)
(l'adhérence topologique
de
G(A)) appartient à
G(A) .
Nous pouvons démontrer:
.. ..
THEOREME.
SoU
E
un
e.Lc.
c.omplet et
A : D(A) .. E
un opéJr.a.-
tewz. Li..néa.-i.JLe; ai.o!L6
A
ut 6eJtmé l,l,-i pOWl toute l,LU;te 9 énéJl.tLf.M ée
dan6
D(A)
telle que lim x
= x
lim Ax
= y , on a
\\J
\\J
\\J
\\J
X E: D (A)
et Ax = Y •
..
VEMONSTRATION.
La condition est évidemment suffisante; montrons
qu'elle est nécessaire; pour cela, supposons que
A est fermé c'est-a-
dire
G(A) = G(A)
et soit
(x)
telle que
lim x
= x et
\\J \\J E: h
\\J
\\J
lim Ax
= Y ; il s'agit de montrer que (x,y) E: G(A) .
\\J
\\J
Soit
u x V
un voisinage arbitraire dans
E x E ; comme
lim x
= x ,
\\J
\\J
i l existe
\\JI E: 11.
tel que
x
E:
x+U
si
\\J > \\JI ; de même il exsite
\\J
\\J z E: 11. tel que Ax E: y+V si
car
lim Ax
= y.
Puisque
11.
lJ
\\J
\\J
est un ensemble dirigé, on peut choisir
tel que
\\Jo > \\JI
et
\\Jo > \\JZ ; alors si
\\J > lJ
' (x ,Ax )
Ce qu'il fallait
o
E:
(x,y)+U x V •
\\J
lJ
démontrer.
Nous obtenons le corollaire suivant très facile à démontrer:
COROLLAIRE.
Si
A
est un opérateur linéaire continu sur
E, alors
A est fermé.

---

9
Dans un
e.Lc.
E, un ensemble
X
est dit borné s'il est "absorbé"
par chaque voisinage;c'est-à-dire, pour chaque voisinage
U, il
existe
À > 0
tel que
X c ÀU.
X est dit totalement borné si pour chaque voi-
sinage
U, il correspond un ensemble fini
Y tel que
X c Y+V .
L'adhérence d'un ensemble totalement borné est aussi totalement bor-
né ([17J Lemme 3, page 49).
Il est évident qu'un ensemble totalement
borné est borné ([17J Proposition 5, page 49).
Un ensemble relativement
compact est un ensemble dont l'adhérence est compacte dans
E.
Soient
E
et
F deux
e.l.c.
L'opérateur linéaire
A: E ~ F
est dit compact s'il existe un voisinage
U de
E et un ensemble com-
pact
K de
F
tels que
A(U) c K.
Il est évident que tout opérateur
compact est continu; en effet si
V est un voisinage quelconque dans
F
A(ÀU) c ÀK c V pour tout
À > 0
suffisamment petit.
PROPOSITION.
Soit
E
un espace de Fréchet et
A un opérateur li-
k
néaire continu sur
E ; alors chaque
A
, k : 2,3,4, ...
est aussi con-
tinu sur
E.
,
2
VEioAONSTRATI ON •
I l suffit de montrer que
A
est éontinu et d'utili-
00
ser le raisonnement par induction sur
.
k , soit
(xn)n=!
une suite arbi-
traire d'éléments de
E
qui converge vers
e ; il suffit de montrer que
2
00
(A xn)n:l
converge vers
e ([18J Théorème 1.32, page 23).
Pour cela,
CI>
posons
Yn : AXn ' n: 1,2, ... ; la suite (Yn)n:l converge vers e car
00
A est continu; pour la même raison, la suite
(AYn)n:l
converge vers
e

---

10
Ce qu'il fallait démontrer.
Une famille
(AlJ)lJ E: r
d'opérateurs continus est dite équi-continue
sur
E
si pour toute semi-norme
p
il existe une semi-norme
q
telle
que
P (A x) ~ q (x)
lJ
pour tout
x E: E
et tout
lJ E: r .
...
FONCTIONS A VALEURS VANS UN ESPACE LOCALEMENT CONVEXE
VÉFINITION.
La fonction
f : 1 + E
où
1
est un intervale de
l'axe réel est dite continue en
t
E: 1
si
o
pour tout voisinage
U. il existe
é > 0
tel que
f(t) E: f(t )+U
pour tout
t E: 1
tel que
/t-t 1 < é •
o
0
Cette définition peut être formulée de la façon équivalente suivante:
pour tout
e: > 0
et toute semi-norme
p • il exis-
te
é > 0
tel que
p[f(t) -f(t )J < e:
pour tout
0
t E: l
tel que
It-t 1 < é .
0
f
est dite uniformément continue sur
l
si
pour tout voisinage
U. il existe
é > 0
tel que
fet ') -fet") E: U pour tout
t' E: l • t" E: l
tels
que
1t 1 - t Il J < é

---

11
Il est évident que la continuité uniforme sur
1
implique la continuité
en chaque point de
1
On peut aussi montrer que si
f
est continue
sur l'intervale fermé et borné
l , f(I)
est compact dans
E
..
VERIVATION
..
VEFINITION.
La fonction
f
1 + E
est dite dérivable au point
f(t)-f(t)
Hm
o
t-t
t + t
o
o
existe dans
E
Dans l'affirmative, on note
f' (t )
cette limite (qui
o
est unique) et on l'appelle la dérivée de la fonction
f
au point
t o
Nous pouvons aussi dire de façon équivalente que
f
est dérivable
au point
t
E
1
s'il existe
x E: E
tel que, pour tout
e: > 0
et tou-
0
te serni -norme
p
i l existe
15 > 0
tel que
tCt) -fCto)
p
t-t
- ~ < e:
0
on a alors
x
=fl(t) .
o
PROPOSITION.
Si
f
est dérivable au point
t
' alors
f
est con-
o
tinue au point
t o
..
VEMONSTRATION.
Posons
x = fl(t ) ; soit
p
une semi-norme arbi-
o
traire et choisissons
15 = 15(I,p,t)
tel que
o

---

12
f(t) -f(to)
_ ~ < l
p [
t-t o
si
It-t 1 < ô.
Comme on a:
o
p[f(t)-f(t )] s p[f(t)-f(to)-(t-to)X] + P[(t-to)X]
o
= It-to!~ tCt~~::to)
x) + pCx1
s It-tolU + p(x)]
alors
p[f(t) -f(t )] < e:
si
Jt-t
1
< min(ô
e : )
o
o·
'
l+p(x)
Nous pouvons alors démontrer:
THEOREME.
Soil.
A
un opéJLctte.wz. UnélUJr.e. neJl.JTlé..: ~u.ppO~oJt.6 qu.e.
la nonction
x(t)
: (a,b) + D(A)
~t d~vable. ~wz.
(a,b); ~~
Ax(t)
Mt a.u.6.6~ déJU..vable. ~wz.
(a, b)
afoJt.6 on a:
d
Ax(t) - A dx
t
(a b)
d t
-
d t '
E
,
•
~
VEMONSTRATION.
d
"
Ax (t+s)
- Ax (t)
dt Ax(t) = 1lm
s ~ 0
s
= lim A x(t+s) - x(t)
s + 0
S
= A.
lim
x(t+s) - x(t)
car
A est fermé
o
s
s +
= A dx
dt

---

·,
..A JEAN N'GUEREKATA
mon pèJr.e.

---

13
INTEGRATION
Soit la fonction
f : [a,bJ + E
continue et considérons
~ : a = t
< t
< •••
< t
= b une partition de [a,bJ de pas
o
l
n
I~I = max (t.-t. 1)
Soit la somme de Riemann de la fonction
f
re-
l~i~n
1
1-
lat ive à
~
n
I(n,f) = l
f(~.)(t.-t. 1)
i=l
1
1
1-
où
t. 1 ~ ~. st. , i = l,.. .• n
1-
1
1
..
DEFINITION.
On dit que
f
est intégrable (au sens de Riemann) sur
[a,bJ
si
lim
I(n,f)
I~I + 0
existe dans
E
Dans l'affirmative on note cette limite (qui est unique)
I:
par
f(t)dt
et qu'on appelle l'intégrale (de Riemann) de la fonction
f
sur
[a, bJ .
Nous allons démontrer le théorème suivant en considérant
E*
le dual
de
E
.. ..
THEOREME.
Si x' Ct)
ewte et ut c.onthtue llUll lR , alO/t.6
x(t)-x(O) =1: x'(o)do .
..
DEMONSTRATION.
Soit
x* E E*
arbitraire; étant donnée la continui-
té de
x*
on a par le précédent Théorème:

---

14
d
dx
dt (x*x)(t) = x*
.
dt '
donc
J: (x'X') (o)do =f: :0 (x'x)(o)do
= (x*x)(t) - (x*x)(O)
= x*[x(t) - x(O)J .
Par ailleurs
x* J: x'(o)do = J: (x*x') (o)do ,
donc on a
X'[f: x'(o)do - x(t) - x(O)] = 0 ;
et puisque
x*
est arbitraire, on déduit, en vertu d'un corollaire du
théorème de Hahn-Banach ([19J Corollaire l, page 108), que
x(t) - x(O) = J: x'(o)do .
COROLLAIRE.
Si
x'(t) - e
sur m , alors
x(t) _ constante sur
R.
~
VEMONSTRATION.
(évidente).
Enfin nous démontrons le:

---

]5
THEOREME.
S-i.
A
Mt un opéJta.:t.e.Wt OeJUné. e.:t.
x(t)
une. OOI1c:ü..OI1C.OI1-
f:
Ül1ue. ~Wl. :IR e.:t. à va.le.UM da.M D(A) te.lle. que.
Ax (a) da
e.wte.,
alMA
I: Ax(a)da =AI: x(a)da •
..
VEMONSTRATION.
Soit
~
0 = t
< t
< •••
< t
= t une partition
o
1
n
de
[O. tJ
ft Ax(a)da = 1im
Ï Ax(~.) (t.-t. 1)
o
1~I-+Oi=l
J.
J.
J.-
où
t. 1 s ~. < t.
i
= 1 •...•n
J.-
J.
J.
n
= A
1î.m
L x(~.) (t.-t. 1)
I~I
J.
J.
J.-
-+ 0 i=l
f:
= A
x(a)da .

---

CHAPITRE 1
,
PROBLEME DE CAUCHY
Considérant dans un espace localement convexe complet
E, f'é-
quation différentielle
x' (t) = Ax(t) , (x' (t)
où
A est un opérateur linéaire de domaine
D(A)
dense dans
E, nous
généralisons dans ce chapitre des résultats simples présentés par S.G.
KREIN [12J pour le cas Banachique.
Les définitions de "problème de Cauchy bien posé" (voir par exemple
[7J), et de "solution affaiblie" sont des extensions naturelles respec-
tives de celles que l'on trouve dans [12J).
,
,
1.
PROBLEME DE CAUCHY BIEN POSE
,
DEFINITION 1.
On appelle solution de l'équation CD sur l'intervalle
[O,TJ , toute fonction
x(t)
telle que:
(i)
V t €
[O,TJ , x(t) €
D(A)
(ii)
V t €
[0, TJ , x' (t)
existe et vérifie l'équation CD .
..
DEFINITION 2.
Le problème de Cauchy

---

17
(
X' (t)
= Ax(t)
{ x(O) = Xo E D(A)
est dit bien posé (et on écrit:
PCBP. pour alléger l'écriture) sur
[O.T]
si:
(i)
pour tout
Xo E D(A) • il existe une solution unique x(t)
sur
[O.T]
telle que
x(O) = Xo .
(ii)
si la suite généralisée de solutions
(x ( .)) llEJ\\
est telle
ll
que
X (0) + e • alors
X (t) + e
pour chaque
t E [O.T] .
II
II
..
THEOREME 1.
S-i.
PCBP
l>Wl
[O. TJ
alo/t.6 on a au.M-i. . PCBP
.6Wl
VEMONSTRATION.
Il est clair que si
Tl $ T • il n'y a rien à démon-
trer.
On supposera donc
Tl > T.
En particulier il suffit de démontrer
le théorème pour
Tl = 2T
Soit
x
E D(A)
; puisque
PCBP
sur
[O.T]. il existe une solution
o
unique
x(t)
sur
[O.T]
avec
x(O) = Xo
Soit
y(t)
tel que
(dv
lât =Ay(t) 0 $ t $ T
ly(O) = x(T) E D(A)

---

18
y(t)
est donc uniquement déterminé comme solution; soit la fonction
x(t)
si
0 s t s T
v(t) =
y(t-T)
si
T s t s 2T .
" Alors on a:
al
v(t)
est continue sur
[O,2T].
Il suffit de vérifier la con-
tinuité en
t = T ; on a:
lim
v(t) =
lim
y(t-T) = y(O) = x(T) = lim
x(t) = lim
v(t)
t
+ T
t
+ T
t
t T
t t T
donc
lim
v(t)
existe et est égale à
x(T) ;
t + T
bl
VI (t)
existe sur tout llintervale
[O,2T]
et y vérifie CD;
il suffit de le démontrer pour
t = T :
lim
v(T+h) - v(T) =
y(h) - y(O)
lim
h
h + 0
h
h + 0
= y' (0)
= Ay(O)
= Av(T)
= Ax(T)
lim
X(T+h) - x(T)
=
h t 0
h
= lim v(T+h) - v(T)
h t
0
h
i.e.
vl(T) = Av(T)

---

19
cl
Unicité de la solution de GD sur
[O,2TJ.
Pour la démontrer,
il suffit de vérifier que toute solution avec donnée initiale nulle est
nulle sur tout l'intervale
[O,2TJ ; soit
V(t)
une solution telle que
V(O) = a ; alors
V(t)
s'annule sur
[O,TJ
puisque par hypothèse du
théorème, PCBP
sur
[O,T]; on considère maintenant la fonction
Z(t)
définie par
Z(t) = V(T+t) , 0 ~ t ~ T .
Alors il en ressort que
Z'(t) = AZ(t) , 0 ~ t ~ T
Z(O) = V(T) = a .
Donc pour la même raison que précédemment, Z(t) _ a
sur
[O,TJ, c'est-
à-dire
V(t) = a
sur
[T,2TJ
dl
Les solutions de GD sur [O,2TJ dépendent continûment des don-
nées initiales.
Cette propriété découle de façon triviale de l'unicité
de la solution sur
[O,2T] .
Le théorème suivant est une conséquence immédiate du précédent; nous
en devons la démonstration au Professeur S. ZAIDMAN.
,
THEOREME 2.
Sl PCBP ~~
[O,TJ , alo~
PCBP
~~
[O,~) .

---

20
,
VE~{ONSTRATION.
Le théorème 1 nous permet de dire que
PCBP
sur
n
[OJ2 TJ • pour tout
n = 1.2.3 •...
Et par conséquent si
x
E D(A)
o
est donné. on peut trouver une suite de fonctions
{xn(t)}:=l
avec la
propriété que pour chaque
n.
n
x'(t) = Ax (t) , 0 ~ t ~ 2 T
n
n
x (0) = x
n
0
n
Remarquons que l'unicité de la solution sur chaque intervale
[0.2 TJ
impose l'égalité:
x (t) = x
let) • 0 ~ t ~ 2nr.
Vn = 1,2 •...
n
n+
Soit la fonction
x(t)
définie comme suit:
n
x(t) = x (t)
si
0 ~ t ~ 2 T .
n
Alors
x(t)
est bien définie sur
[O,~)
et à valeurs dans
D(A) ; de
plus. x(t)
est solution unique de GD sur
[0.=) .
La dépendance con-
tinue par rapport aux données initiales découle de l'unicité.
2.
SOLUTION AFFAIBLIE
En suivant S.G. KREIN [12J. nous définissons ainsi qu'il suit (DEFI-
NITION 3) les solutions affaiblies de l'équation G); ensuite nous démon-
2
trons que si une solution de classe
ClCO,TJ
et
C (0,TJ
existe. alors
on peut trouver une solution affaiblie de GD.

---

21
~
VEFINITION 3.
La fonction
xCt)
est dite solution affaiblie de
l'équation CD sur l'intervale
[O,T]
si:
Ci)
V t E CO,T] , xCt) E DCA)
Cii)
xCt)
est continue sur
[O,T] .
Ciii)
x'Ct)
existe et est continue sur
CO,T]
de plus
xlCt)
vé-
rifie CD sur
CO, T]
Nous démontrons alors le
..
THEOREME 3.
S-i
A ut un opMatetilt 6evuné., et.6-i
vCt)
ut une .60-
tu:Uon de CD, c.onilnament cU..66Ment-La.ble.6U!L
[O,T]
et deu.x 6o-i.6 c.on:U-
nl1ment cU..66MenüA.ble.6U!L
CO,T]
o..lOfL6 la. 60nc:U..on
xCt) = CA-ÀI)vCt) , À E ~
ut u.ne .6 ofution a66a.,ibüe de CD.6U!L
[0, T]
~
VEMONSTRATION.
Soit
À E ~
C~ = Πou R)
et considérons
v(t)
une solution vérifiant les hypothèses du théorème; nous montrons que la
fonction
xCt) = CA-ÀI)vCt) , 0 $ t $ T
où
l e s t l'opérateur identité sur
E
est une solution affaiblie de CD
sur
[O,T] on a:
xCt) = AvCt)
ÀvCt)
= v' Ct)
vCt) ,Os t s T

---

22
donc
x(t)
est continue sur
[0, TJ
2v
dv
Xl (t)
dx
d
À
o < t
T
= dt = dt2 -
dt •
$
2
d v
dv
Et puisque
--2-
et
dt
sont continues sur
(O,TJ , alors
Xl (t)
11 est
dt
aussi.
Par ailleurs, on a:
2
d v
d
- 2 = dt Av(t)
dt
= A ~~ , car A est fermé
2
= A v(t) • 0 < t $ T .
Il en résulte que:
2
Xl (t)
= A v(t) -À Av(t)
= A(A-À)v(t)
= Ax(t) , 0 < t $ T .
Ce qui complète la démonstration.

---

CHAPITRE II
,
~
FONCTIONS PRESQUE-PERIODIQUES A VALEURS VNIS
UN ESPACE LOCALEMENT CONVEXE
Dans le présent chapitre, nous discutons quelques propriétés des
fonctions presque-périodiques de m dans
E
un espace localement con-
vexe complet.
La définition que nous utilisons était déjà connue avant
ce travail; elle se trouve ainsi formulée, par exemple dans [6] (page
159).
Nous obtenons entre autres une généralisation du critère de Boch-
ner (théorème 6) dans un espace de Fréchet; et aussi, que dans un espace
de Fréchet, si
f(t)
est presque-périodique et
F(t) -- It f(a)da est
o
telle que
{F(t) ; t € m}
est relativement compact, alors
F(t)
est
presque-périodique.
Cette étude n'est nullement exhaustive mais constitue pour nous un
exercice de préparation au prochain chapitre qui traite des solutions
presque-périodiques de certaines équations différentielles.
Les référen-
ces parmi les plus consultées ont été les suivantes: [1], [2], [4J, [5],
[6].
~
1.
VEFINITION ET PROPRIETES
VEFINITION.
Une fonction continue
f : ~ ~ E est dite presque-
périodique (On notera: p.p.) , si pour tout voisinage
U , il existe un

---

24
nombre réel
l = l(U) > 0 tel que tout intervalle de la droite réelle
de longueur
l
contient au moins un point d'abscisse
T
tel que:
f(t+T) - f(t) €
U
pour chaque
t € m .
REMARQUE ,.
Etant donné qu'un tel
T dépend du voisinage
U, on
l'appellera une
U-translation de la fonction
f(t) .
Les trois prochains Théorèmes dont nous donnons les démonstrations
simples et élémentaires sont formulés dans [6J page 160.
Ils sont vali-
des dans tout espace localement convexe complet
E.
THEOREME 1.
Toute noncüon p. p.
f : lR -+ E
e6t u.n-î.noJunément c.on-
~
VEMOUSTRATION.
Soit
U un voisinage arbitraire donné; il s'agit
de montrer qu'il existe un nombre
ô > 0
tel que
f(t) - f(t') €
U si
It-t'I < ô •
Soit
V un voisinage symétrique tel que
V + V + V cU.
A cause de la presque-périodicité de
f . il existe
l = l(V)
cor-
respondant dans la Définition 1.
Mais puisque
f
est uniformément con-
tinue sur l'intervale
[-l,l+lJ. on peut trouver un nombre
ô
(disons
o < Ô < 1) • tel que

---

25
CD
Considérons
t
et
t'arbitraires dans m , mais tels que
It-t'I < ô.
Alors il existe
T une
V-translation de
f
telle que
t+T €
[O,iJ
(il suffit de prendre
T €
[-t,-t+lJ) ; il en résulte que
t'+T €
[-l,i+1J ; en effet on a:
-1 < -ô ~ t+T-Ô < t'+T < t+T+Ô ~ l+ô <
i+l
on a évidemment
f(t+T) - f(t) €
V
f(t'+T) - f(t') €
V
car
T est une
V-translation de
f
et aussi
f(t+T) - f(t'+T) €
V
car
t+T , t'+T €
[-l,l+lJ
et
!t-t' 1 < ô.
En écrivant
f(t) - f(t')
comme suit:
f(t) - f(t') = f(t) - f(t+T)
+ f(t+T) - f(t'+T)
+ f(t'+T) - f(t')
il résulte de CD et ® que

---

26
f(t) - f(t') EU.
.. ..
THEOREME 2.
Si
(fn)::l
e6t une 1>u.Ue de nOl1cUOM
p.p.
C(u-i. c.OI1-
veJl.ge wûn0lUnémen.t 1>Wl. lR
VeJ!.,6 une 6ol1c..:U..ol1
f(t) , a1.0M c.e1.le-u e6t
a.u61>-t
p.p .
..
VEMONsrRATI0N.
Notons d'abord que la fonction
f(t)
est évidemment
continue sur m comme limite uniforme de fonctions continues; en effet,
considérons un voisinage
U arbitrairement donné et montrons que pour
tout
t
E lR
il existe un nombre
ô > 0
tel que
o
f(t) - f(t ) EU, si
1t -t 1
o
< Ô
o
Soient
t o E lR donné et V un voisinage symétrique tel que
V + V + V cU.
Puisque
f(t)
est la limite uniforme sur lR
de la sui-
te
(fn(t))::l' il existe un entier positif
N tel que si
n > N ,
alors
f(t) - f (t) E V
n
pour tout
t E~.
Considérons la fonction
f
(t)
pour un
no > N
no
celle-ci étant continue, il existe
ô : ô(t ,V)
tel que
o
f
( t ) E V
si
It-t 1 < Ô •
n
0
o
o
En écrivant
f(t) - f(t ) , où
It-t 1 < Ô , comme suit:
o
o
f(t) - f(t ) : f(t) - f
(t)
o
no
+ f
Ct)
- f
( t )
no
no
0
+ f
(t) - f(t )
no
0
0

---

27
et en tenant compte de CD et 0. on a bien:
f(t) - f(t ) EU. si
It-t 1 < Ô •
o
0
Toujours pour la même fonction
f
(t)
p.p., il existe
l = leV)
tel
n o
que tout intervale de m de longueur
l
contient un point
T
tel que
f
(t +T ) - f
(t ) EV,
n
n
o
0
pour chaque
t E: m .
Soit
f(t+T) - f(t) = f(t+T)
f
(t+T)
n o
+ f
(t+T) - f
(t)
n
n
o
0
+ f
(t) - f(t) .
no
Par CD et ®' nous concluons que
f(t+T) - f(t) E U
pour chaque
t E m
ce qu'il fallait démontrer.
,
..
THEOREME 3.
S~
f(t)
e6t p.p., alo~
{f(t)
t
E m}
ut :totale-
ment b04né ~
E .
,
VEMONSTRATI0N.
Soit
U un voisinage donné.
Nous voulons montrer
qu'il existe un ensemble fini
X E E
tel que:

---

29
et puisque
t
est arbitraire. on conclut que
\\1
{f(t) ; t € IR} c
U
(x.+U) .
j =1
J
Ce qu'il fallait démontrer.
REMARQUE 2.
Si
E est un espace de Fréchet. alors
{f(t) ; t € IR}
est relativement compact si
f(t)
est
p.p.
Car dans tout espace métri-
que complet. un sous-ensemble est relativement compact ssi il est totale-
ment borné (voir [19J page 13).
On a alors que toute suite
possède une sous-suite convergente.
.. ..
THEOREME 4.
SoU
E un Mpa.c.e loc.ai.ement c.onvexe c.omple-t.
S.i
f(t) : IR + E
Mt
p.p., alO!L6 le.6 nonc.ü..On.6
Àf(t) (À €~)
e;t
f(t) =f(-t)
~ont a.uh~~ p.p .
..
VEMONSTRATI0N.
Il est tout à fait évident que
Àf(t)
est
p.p.
Voyons la fonction
f(t) ; étant donnee la presque-periodicite de
f(t) •
si
U
est un voisinage donné. il existe
l = leU)
tel que tout inter-
va1e de longueur
l
contient un point
T
tel que
f(t+~ - f(t) €
U
pour chaque
t € IR .
En posant
s = -t • on voit que
s
parcourt IR
si
t
parcourt IR •
et

---

30
f(S-T)
f(s) = f(-S+T) - f(-s)
= f(t+T) - f(t)
donc
f(S-T) - f(s) E: U
pour chaque
s E: lR .
f(t)
est
p.p.
avec
-T
comme
U-translation.
...
2.
CRITERE VE BOCHNER ET AUTRES PROPRIETES
Nous commençons par le théorème suivant dont la démonstration est
une adaptation de celle du Théorème 6.6 [6J au cas d'espace de Fréchet.
,
...
THEOREME 5.
SoU
E
un upa.c.e de FJtéc.het et
f(t) : lR 4 E
une
oonc.:U..on ptLuqu.e-péJUoeU.qu.e; ai..o!UJ pOUlt toute .6u.Ue JtéeU.e
(s,)OO 1
il.
n n=
(f(t+sn))~=l ~oU
UYÜOOltmémen:t c.onveJtgen:te en
t
E: lR
.
,
VEMONSTRATION.
Considérons la suite des translatées de
f . soit
00
00
( f )
correspondant à la suite
(s )
et
soit
S = (n)
1
une
sn n=l
n n=l
n n=
suite dense dans lR .
D'après la Remarque 2. on peut extraire de la suite
une sous-suite convergente. car
{f(t) ; t E: m}
est relativement compact
dans
E .

---

31
Appelons
(f
) co
la sous-suite de
(f
)co
qui converge en
sl,n n=l
sn n=l
co
On applique le m~me argument que ci-dessus à la suite
(fsl,n)n=l
co
pour choisir une sous-suite
(f
)
qui converge en
On con-
s2,n n=l
tinue le processus de la même manière et on considère la suite diagona-
co
le
(f
)
qui converge pour chaque
t1
dans
S
Appelons cette
s
n
n,n n=l
co
suite
(f
)
et montrons qu'elle est uniformément convergente sur
r n n=l
lR, c'est-à-dire:
pour tout voisinage
U • i l existe
N =NU
tel que si
n. m > N • on a
f(t+r ) - f(t+r )
n
m €
U • pour tout
t € m .
Considérons donc un voisinage
U arbitraire et soit un voisinage symé-
trique
V tel que
V + V + V + V + V cU.
Soit
l = leV)
correspondant dans la définition de presque-périodi-
cité de la fonction
f(t) .
Etant donnée la continuité uniforme de
f(t)
sur lR
(Théorème 1)
il existe
ô = Ôv > 0 tel que
f(t) - f(t') €
V
pour tout
t , t '
vérifiant
It-t' 1 < Ô •
Divisons
l'intervale
[O.l]
en
v
intervales de longueurs plus
petites que
ô
Ensuite. dans chacun des intervales, on choisit un
point de
S
(ce qui est possible car
S
est dense dans
lR) et on forme

---

S
étant fini. la suite
(f)~
est uniformément convergente
o
r n n=l
sur
S
j
donc il existe
N = N
o
y
tel que si
n.m > N • on a:
f(~.+r ) - f(~.+r ) €
V
1
n
1
m
pour tout
i = l •...• v
Soit
t € m arbitraire et
T €
[-t.-t+!J
tel que
f(t+T) - f(t) €
V .
Remarquons que
t+T €
[ O,!J
soit
~.
choisi de façon que
1
1t+T-~. 1 < l5 j alors
1
f(t+T+r ) - f(E;.+r ) €
Y •
n
1
n
pour tout
n
(à cause de CD) .
Donc en prenant
n.m > N , on a:
~
(Ce qui signifie que la suite
(f(t+rn))n=l
est uniformément Cauchy en
t € lR) .
En effet pour voir ®. il suffit de considérer
f(t+r ) - f(t+r ) = [f(t+r ) - f(t+r +T)J
n
m
n
n
+ [f(t+rn+T) - f(~i+rn)J
+ [f(~i+rn) - f(E;i+rm)J
+ [f(~.+r ) - f(t+r +T)]
1
m
m
+ [f(t+r +T) - f(t+r )]
m
m

---

33
et d'appliquer <D et @ selon le cas à chacun des cinq termes du mem-
bre de droite.
Nous en arrivons maintenant au critère de Bochner valable dans un
espace de Fréchet:
..
~
THEOREME 6.
So-<.e:t
E
un upaee de FILéehe:t; la. 6onc;t,ion
f::m ~ E
ut
00
p.p.
.6.6-<' poUl!. toLLte .6uite ILéei1.e
(s)
i l ex-Ute une .60U6-.6uU:.e
n n=l
tei.1.e que la. .6uite
(f(t+sn) )~=l eonveJLge un-i.6olLmément en t €:m.
~
VEMONSTRATI0N.
La nécessité de la condition a été démontrée au Théo-
rème 5; il reste à vérifier la suffisance; supposons par contradiction que
la fonction
f(t)
n'est pas presque-periodique; alors il existe un voi-
sinage
V tel que pour tout
l > 0 , il existe un intervalle de longueur
l
qui ne contient aucune
V-translation de
f(t) ; ce qui peut s'enoncer
conune sui t :
il existe un intervalle [-a,-a+lJ
tel que
pour tout
T €
[-a,-a+lJ , il existe un
t = t
tel que
T
f(t+T) - f(t) , V .
Considérons Tl € m arbitraire et un intervalle (al,b )
avec
l
qui ne contient aucune
V-translation de
f(t)
Soit
al-b l
maintenant
Z
; alors
TZ-T l
ne
peut être une
V-translation de
f(t).
On considère un autre intervalle

---

34
avec
b -a
> 2U T I+I T 1) , qui ne contient aucune
U-transla-
2
2
I
2
a -b
2
2
tion de
f(t)
Soit
T
alors
TS-T
E:
(a ,b ) ,
=
S
2
I
2
2
T -T
E:
(a ,b )
et donc
et
T -T
ne peuvent être des
U-trans-
S
2
2
2
3
2
lations de
f(t)
On continue le processus de la même manière pour ob-
lX)
tenir une suite
(T )
telle qu'aucun
T -T
n'est une
U-translation
n n=l
m n
de
f(t) ; c'est-à-dire que pour chaque
m et chaque
n
(m > n) , il
existe
t = t
E: m
tel que
mn
CD
f(t+T -T ) - f(t) , U .
m n
En posant
a = 0mn = t-Tn ' CD devient
f(O+T ) - f(O+T ) , U .
m
n
lX)
lX)
S'il existe une sous-suite
(T')
C
(T )
telle que la suite
n n=l
n n=l
co
(f(t+T~))n=1
converge uniformément en
t
, alors pour tout voisinage
V
il existe
N - N
-
V
tel que si
m,n > N
(on peut supposer
m > n) , on a
f(t+T')
- f(tH') E: V
m
n
pour tout
t
E: m .
Mais ceci contredit GD; en effet il suffit de prendre
U = V et
co
a
= t
dans G).
La suite
(f(t+Tn))n=1
ne contient donc pas de
m,n
m,n
sous-suite uniformément convergente en
t .
Le theorème est démontre.
REt~RQUE 3.
Dans la démonstration de la suffisance de la condition
nous n'avons pas utilisé la metrizabilité de l'espace
E; elle est donc

---

35
valable dans tout espace localement convexe complet.
.. ,
THEOREME 7.
Soli
E
un upac.e. de. FJtéc.het;~,t
f(t)
et
g(t)
~ont
p . p .
da.n.6
E, atolL6
f (t) +g (t)
au.M,t ut
p .p .
dan.6
E
..
VEMONSTRATION.
Elle est simple; il suffit d'utiliser le critère de
co
Bochner comme suit:
soit
(Sil)
Wle suite réelle arbitraire,· on peut
n n=l
co
en extraire une sous-suite
(S')
telle que la suite
n n=l
converge uniformément en
t € m ; ensuite on procède à une seconde extrac-
co
co
co
tion pour avoir
(sn)n=l c (s~)n=l
telle que
(g(t+sn))n=l
converge Wli-
co
formément en
t ; alors la suite
(f(t+sn)+g(t+sn))n=l
converge unifor-
mément en
t
Et donc
f(t)+g(t)
est
p.p.
REMARQUE 4.
Il découle du Théorème 7 que la somme finie de fonctions
p.p. dans un espace de Frechet est aussi p.p.
.. ..
THEOREME 8.
Soli
E
un upac.e. de. FJtéc.het.
AlolL6.tu nonc.tio~
flet) , f (t)
~on:t p.p.
da.n.6
E
~.6,t ta. nonc.tion
f(t) = (f (t),f (t))
2
l
2
2
ut
p . p.
da~.t' u pac.e. pJtoduU E
2
VÉMONSTRATION.
Notons d'abord que l'espace
E
est aussi un espace
de Fréchet (voir [17J, page 87).
Supposons que
flet)
et
f (t)
sont
2
p.p. dans
E.
Considérons Wle suite réelle arbitraire (s~)~=l .
Nous
voulons montrer qu'il existe une sous-suite
(r)co
C(S")co
telle que
n n=l
n n=l
co
la suite
(f(t+rn))n:l
soit uniformément convergente en
t E m (critère
de Bochner).

---

36
Par le même critère on peut extraire une sous-suite
co
co
(s")
telle que
n n=l
(fI (t+s~))n=l converge uniformément en
t .
Ensui-
co
co
co
te soit
(s)
c
(SI)
telle que
(f (t+s ))n=1
converge uniformé-
n n=l
n n=l
2
n
co
Ment en
t .
Alors
(f(t+sn))n=l
converge uniformément en
t .
2
En effet soit
U
un voisinage arbitraire dans
E
; alors
U ~ VI x V
où
VI
et
V
sont des voisinages dans
E.
Par ce que
2
2
nous venons de démontrer:
et
Soit
N = max(N ,N ) , alors si
m,n > N on a bien
I
2
f. (t+s ) - f. (t+s ) €
V. • 'I;J t € :R , 'I;J i = 1,2
1
n
1
ID
1
c'est-à-dire
f(t+s ) - f(t+s ) €
U , V t € m .
n
ID
Inversement supposons que
f(t)
est
p.p.
Soit
VI
et
V
des voisi-
2
nages arbitraires dans
E ; on peut supposer sans perte de généralité que

---

37
2
2
y
= y = y ; alors U = y
est un voisinage dans
E
.
Maintenant
l
2
œ
soit
(S')
une suite réelle donnée,' on en extrait une sous-suite
n n=l
œ
œ
(s )
telle que
n n=l
(f(t+sn))n=l
converge uniformément en
t .
Donc il existe
N = N
tel que si
m,n > N ,
V
pour tout
t € R
ce qui est équivalent à
f. (t+s ) - f. (t+s ) €
Y ,
1
n
1
m
pour tout
t € R
et pour
i = 1,2 ; nous avons montré que
flet)
et
f (t)
sont
p.p.
2
COROLLAIRE 7.
Si
flet)
et
f (t)
sont presque-périodiques dans
2
l'espace de Fréchet
E, alors pour tout voisinage
V, flet)
et
f (t)
2
ont des
V-translations communes.
~
VEMONSTRATION.
Soit
V un voisinage donné dans
E; par le Théo-
rème 8, la fonction
f(t) = (f (t),f (t))
est aussi
p.p.
Soit alors
l
2
2
Tune
V -translation de
f(t) ; on a:
2
f(t+T) - f(t) €
V
,
pour tout
t € R
ce qui s'écrit ainsi
pour tout
t € R , i = 1,2 , c'est-à-dire que
T
est une
V-translation

---

38
REMARQUE 5.
Le Théorème 8 et le Corollaire 1 s'appliquent aisément
au cas de
n
fonctions à valeurs dans un espace de Fréchet
E.
..
..
3.
FONCTIONS FAIBLEMENT PRESQUE-PERIOVIQUES; INTEGRATION VES FONCTIONS
..
PRESQUE-PERIOVIQUES
Soit
E
un espace localement convexe complet.
VEFINITION.
La fonction
fet) : lR ~ E est dite faiblement presque-
périodique (on notera
F. p.p.) dans
E
si la fonction numérique
(x*f)
(t)
est presque-périodique pour chaque
x* €
E* .
REMARQUE 6.
a)
Toute fonction
p.p.
est aussi
F.p.p.
bl
Si
f(t)
est
F.p.p.
alors
f(t)
est faiblement continue et
faiblement bornée sur ffi .
Nous avon sIe
.. ..
THEOREME 9.
SoU E un upace locai..ement convexe complet; .wU
f(t)
une nonc.tion
F.p.p.
et continue ~Wt lR ; .6UppO.60n~ que
{F (t) ; t
f:
€
:m}
ut nMblement bolLné où F(t) =
f(o)do ; ai..oM
F(t)
ut F.p.p.
Avant de démontrer le Théorème, nous faisons remarquer que l'hypo-
thèse de la continuité de la fonction
f(t)
n'est présente que pour
I:
nous assurer l'existence de l'intégrale
f(o)do
telle que définie au

---

39
chapitre 0 ; de plus, dans les applications au chapitre III, toutes les
intégrantes sont continues sur ~.
Ce qui justifie pour nous cette hy-
pothèse.
VEMONSTRATION.
Soit
x* e: E*
arbitraire; (x*f) (t)
est une fonc-
tion numérique
p.p.
Par continuité de
x* , on a
(x*F)(t) = f: (x*f)(o)do,
qui est bornée par hypothèse.
Le Théorème 6.20 [6J nous permet de dire
alors que
(x*F)(t)
est presque-périodique; ce qu'il fallait démontrer.
.. ..
THEOREME 10.
SoU
E
un upa.ce. de. Fttéchet et
f
: ~ -+ E
une. oonc-
tlon donnée.; alo~
f(t)
ut p.p.
~~~ f(t)
ut
F.p.p.
et que. de.
pfu.6
{f(t) ; t e: IR}
ut tte.i.a.:U.veme.n:t compa.ct .
..
VEMONSTRATION.
Si
f(t)
est
p.p. ,
alors par la Remarque 6
f(t)
est
F.p.p. ; tandis que la Remarque 2 nous permet de dire que
{f(t) ; t e:~}
est relativement compact.
Il nous reste à démontrer la
suffisance de la condition.
D'abord nous allons montrer, par contradiction, que
f(t)
est con-
tinue sur ~
Supposons alors qu'il existe
t
un point de disconti-
o
nuité de
f(t)
Nous pouvons dans ce cas trouver un voisinage
U et
ClO
ClO
deux suites réelles
(s~ )n-l et
(s~ )n-l
tels que:
1
-
2
-
Hm
s'
= 0 = lim
n -+ ClO
nI
il -+ ex>
et

---

40
f(t +s' ) - f(t +s' ) , U
o
nI
0
n 2
pour tout
n E W
En utilisant la compacité relative de
{f(t)
t
E lR},
lX>
lX>
on peut extraire des sous-suites
( s )
c
(s' )
et
n
n=l
n
n=l
1
1
lX>
lX>
(s )
c
(s' )
telles que:
n
n-l
n
n=l
2
-
2
lim
f(t +s
) = al E E
o
nI
n -+ lX>
lim
f(t +s
) = a2 E E .
o
n 2
'U
Il résulte alors de CD que
al -a
et par suite
al -a
2
2 1: e .
Par le Théorème de Hahn-Banach ([19J Corollaire l, page 108), il
existe
x* E E*
tel que
donc
Par continuité de
x*
on a:
x*(a ) -
1
-
lim
x*f(t +s
)
o
nI
x*f(t +s
)
o
n 2

---

41
(nous avons utilise la continuite faible de
f(t) dans l'egalit~ (1)).
Nous contredisons CV; la fonction
f(t)
est donc continue sur IR •
Nous utiliserons le critère de Bochner pour montrer la presque-
periodicite de
f(t) .
Mais d'abord voyons le
LEMME 1.
Soit
E
un espace de Frechet et considerons
4> : IR -+ E
une fonction
p.p.
Soit une suite reelle
...
existe pour tout
k = 1,2, ...
ou
te dense dans IR •
CIl
Alors la suite
(cHt+sn) )n=lconverge uniformement en
t € IR •
..
VEMONSTRATION.
Supposons par contradiction que
(4)(t+s )):=l
ne
n
converge pas uniformement en
t .
Alors il existe un voisinage
U tel
que pour tout
N = 1,2, ...
il existe
nN'~ > N
et
t N € IR tels que
Le critère de Bochner nous permet d'extraire deux sous-suites
et (s' ) c (s
)
telles que
~
~
lim
uniformement en
t
€
~
N-+CIl
lim
4>(t+s') = g2(t)
uniformement en
t € IR •
N -+ CIl
~
Soit
V un voisinage symetrique tel que
V + V + V cU.
Alors il exis-
te
N
tel que si
N > N
o
o

---

42
nous voyons que
</>(tN+s' ) - </>(tN+S' ) €
U ce qui contredit CD.
n
m
N
N
Nous avons donc trouvé un voisinage
V tel que pour tout
N assez
grand, il existe
t N € ~ tel que:
Mais ceci est impossible; en effet il suffit de prendre une sous-suite
lim
HE;k +s~ ) =
N-+co
N
pour chaque
k , autrement dit
pour chaque
k. alors par continuité de
gl(t)
et
g2(t) , on doit
avoir
gl(tN) = g2(t ) , donc gl(t
)
doit appartenir à tout
N
N) - g2(tN

---

43
voisinage.
Ceci achève la démonstration du Lemme 1.
ex>
Reprenons celle du Théorème 10.
Soit
Ch )
une suite réelle
n n=l
ex>
donnée et considérons
Cn )
la suite des nombres rationnels.
r r=l
Etant donné que
{fCt) ; t € ffi}
est relativement compact, on peut
ex>
extraire de
Ch )
une sous-suite, qu'on notera encore de la même fa-
n n=l
çon, telle que, pour chaque
r ,
lim
fCn +h ) = x
existe dans
E.
r
n
r
n -+ ex>
ex>
Démontrons maintenant que la suite
Cf Cn +h ))
1
est uniformément con-
r
n
n=
vergente par rapport à
r
Supposons le contraire; alors il existe un
voisinage
U et trois sous-suites:
Chr' )rex>=l c Ch ) ex>
r r=l
ex>
ex>
Ch")
c
Ch )
r r=l
r r=l
tels que
fC~ +h') - fC~ +h") , U .
r
r
r
r
Par la compacité relative de
{fCt) ; t € ffi}
nous pouvons tout de suite
supposer que:
lim
fC~ +h') = b' €
E
r
r
r-+ex>
®
lim
fC~ +h") = b" €
E
r
r
r-+ex>

---

44
et donc, à cause de @.
bl - b" , U •
En vertu du même théorème de Hahn-Banach déjà cité dans la démonstration
du .Lemme 1. soit
x* €
E*
tel que
®
x*(b l ) -t x*(b") .
Comme par hypothèse
f(t)
est
F.p.p . • la fonction numérique
(x*f)(t)
est
p.p.
et donc uniformément continue sur m .
Considérons la suite des fonctions numériques
(m)m
définies
't'n n=l
par:
En écrivant
n = 1.2 •...• on voit que chaque
<pn(t)
est
p.p.
Par ailleurs. étant
donnée la continuité uniforme de
x*f(t)
sur m . on déduit que la sui-
m
te
(<pn(t))n=l
est équi-uniformément continue sur m
En effet soit
E > 0
donné; il existe
ô = ô
> 0
tel que
E
or on a:

---

pour tout
n = 1,2,... ; autrement dit
et pour tout
n = 1,2,... .
Pour chaque
r , on a, à cause de CD:
lim
x*f(n +h ) = x*(x) .
r
n
r
n -+- co
co
Donc, par le lemme 1, (x*f(t+hn))n=l
converge uniformément en
t .
co
ex>
Considérons maintenant les suites
(~r+hPr=l et
(~ +h")
Le
r
r r=l
critère de Bochner nous permet d'extraire deux sous-suites (que nous no-
terons de la même façon), telles que les suites
co
al
(x*f(t+~ +h'))
l et
(x*f(t+~ +h"))
r
r
r=
r
r
r=l
convergent uniformément en
t E ffi.
Démontrons maintenant que
lim
x*f(t+~ +h') = lim
x*f(t+~ +h")
.
r
r
r
r
r-+- co
Pour cela, soit l'inégalité suivante:
Ix*f(t+~ +h') - x*f(t+~ +h")) 1
r
r
r
r
~ Ix*f(t+~ +h') - x*f(t+~ +h ) 1
r
r
r
r
+ Ix*f(t+~ +h ) - x*f(t+~ +h") 1
r
r
r
r
valable pour tout
r .

---

.+6
00
Soit
€
> 0
donné; comme
(x*f(t+hr))r=l
converge uniformément en
t
on peut déterminer
de façon que pour
r,s > n
on a:
€
pour tout
t € :IR
on aura alors pour
r,s > n€
®
Ix*f(t+~ +h ) - x*f(t+~ +h )1 < 2€ .
r
s
r
r
00
00
Mais puisque
(h")
c
(h )
si on prend
r r=l
r r=l
r > n
, on aura:
€
€
Ix*f(t+~ +h') - x*f(t+~ +h ) 1 < -2 '
r
r
r
r
Ix*f(t+~ +h") - x*f(t+~ +h )
€
1
r
r
r
r
< -2
par sui te, à cause de l' inégali té (J),
Ix*f(t+t; +h') - x*f(t+~ +h'!) 1 < €
r
r
r
r
ceci pour tout
t € lR .
® est alors démontré.
Si on prend
t = 0 , alors par ® on a:
x* (b') =
lim
x*f(~ +h')
r
r
r -+ 00
=
lim
x*f(t; +h")
r
r
r-+oo
= x*(bl:)
ce qui contredit ® et démontre que la sui te

---

47
uniformément par rapport à
r .
Donc si
U est un voisinage donné, il existe
N = NU
tel que si
i, j
> N , on a:
f(n +h.) - f(n +h.) E U
r
1
r
J
pour tout
r
.
Enfin si
t E m arbitraire, on prend une sous-suite de
(n)
r r=l
qui converge vers
t
et, en utilisant la continuité de
f
et la rela-
tion ®, on obtient, pour
i ,j > N ,
f(t+h.) - f(t+h.) EU.
1
J
La presque-périodicité de f
est ainsi démontrée.
,
~
THEOREME 11.
S-i
f(t)
ut une. 60nction
p.p.
daM un upa.c.e. de
FJtéehe.t
E
et que
{F(t) ; t E lR} , où
F(t) = f: f(a)do , e!.lt Jte.i.ttti..-
ve.ment c.ompa.ct, ai.OJL6
F(t)
ut p.p.
~
VEMONSTRATION.
Elle est directe par les deux précédents théorèmes;
en effet, {F(t) ; t E m}
est borné puisque relativement compact, et donc
faiblement borné; par le théorème 9, la fonction
F(t)
est faiblement
presque-périodique; on conclut en utilisant le théorème 10.
Nous finissons le chapitre par le théorème suivant dont le cas bana-
chique est démontré dans [2J (théorème VIII, page 6).

---

.. ..
THEOREME 12.
SoU
E
un upac.e. loc.a..teme.nt c.onve.xe. c.ompleL
S-<-
f(t)
ut
p.p.
da.n6
E
e.:t lla déJUvée.
f' (t)
un.<.60!l.méme.n:t c.ontinue.
II U!l.
lR , a..tOM f' (t)
Mt a.Ul>ll-<-
p . p .
da.n6
E.
VEMONSTRATI0N.
Nous considérons comme dans [2J la suite de fonctions
1
Q)
" presque-périodiques
(n(f(t+ n) - f(t)))n=l et montrons qu'elle converge
uniformément sur lR
vers la fonction
flet) ; la conclusion est faite
ensuite en vertu du Théorème 2 du présent chapitre.
Soit
U = U(E ; p.
1 $ i ~ n)
un voisinage arbitraire; il s'agit
l
de montrer qu'il existe un entier positif
N = NU
tel que
f' (t) - n (f (t+ .!.) - f (t)) €
U
n
pour tout
t , dès que
n > N .
Par la continuité uniforme de
flet) , nous pouvons choisir
o = Ou > 0 de façon que
pour tout
t l ,t
vérifiant
Itl-t21
2
< ° . Or on peut écrire:
l n
1
__ nI /
f' (t) - n(f(t+ n) - f(t))
Cf' (t) - f' (t+o) Jdo .
a
1
Donc en choisissant
N = ~ > -
dès que
° '
n > N , on aura:
l/n
1
Pi[f'(t) - n(f(t+j1-) - f(t))] ~ nf p.[f'(t)-f'(t+o)Jdo
a
l
< E

---

48
,
,
THEOREME 12.
Soli
E
W1
e.6pace localement convexe compld.
S-i
f(t)
e.6t
p.p.
da.n6
E
d.6a délUvé.e
f' (t)
u.YÜ.6oltméme.nt con.t.U!.ue
.6Wl
lR , alO!L6 f' (t)
ut aU.6.6.i p . p .
da.n6
E •
,
VEMONSTRATTON.
Nous considérons comme dans [2J la suite de fonctions
presque-périodiques
(n(f(t+~) - f(t)))::l et montrons qu'elle converge
uniformément sur lR
vers la fonction
f'(t) ; la conclusion est faite
ensuite en vertu du théorème 2 du présent chapitre.
Soit
U: U(t ; p. J l :s; i :s; n)
tm voisinage arbitraire; i l s'agit
1
de montrer qu'il existe un entier positif
N: NU
tel que
f' (t) - n (f (t+ 1.) - f (t)) €
U
n
pour tout
t J dès que
n > N .
Par la continuité uniforme de
f'(t) J nous pouvons choisir
\\S : \\Su > 0
de façon que
Or on peut écrire:
l n
l
__
f' (t) - n(f(t+ïï) - f(t))
nI / Cf' (t) - f' (t+o) Jdo .
a
Donc en choisissant
N: NU > ~ J dès que n > N J on aura:
l/n
p.[f'(t) - n(f(t+.!.) - f(t))] s n
p.[f' (t)-f' (t+o)Jdo
1
n
fa
1
<;
t

---

49
pour toute semi-norme
p.
et pour tout
t
E :rn.
ce qu'il fallait démon-
1.
trer.

---

52
(t-T-s)A
(t-T)A
= e
Y(T+S)-e
Y(T+S)
l
S
et
(t-T)A
(t-T)A
J = e
Y(T+s)-e
Y(T)
s
Puisque
e(t-T)A
est continu sur
E et que
lim
Y(T+S)-Y(T) = yI(T) ,
S -+ 0
S
alors on a:
Hm
J = e (t-T)Ayl (T)
5 -+ 0
(t -T)
= Ae
y(T)
Montrons que
lim
l = _Ae(t-T)AY(T) , ce qui donnerait alors
S -+ 0
VI (T) =
lim
V(T+S)-V(T) = A (t-T)A ( )
- e
y T
S -+ 0
S
(t-T)A
+
Ae
Y(T)
= e
(t-T-s)A
(t-T)A
(t-T)A
= e
Y(T+s)-e
Y(T+S)
l
= Ae
Y(T)
A (t+T)A .( )
+ e
y T
s
-sA
= e (t_T)A[e s -1 Y(T+S) + AyeT) ]

---

53
-sA
+ e
-1 Y(T) + AY(T)] .
S
tA
U "1"
tl lsant 1es
"
proprlet 'es de
{e
,. t €lR}
on obt;ent·.
~
-sA
(1)
lim
e
-1 y( T) =
s .... 0
S
(voir [19j, Corollaire 3, page 245); on a aussi:
LEMME 1.
(2)
lim
s .... 0
~
VEMONSTRATION VU LEMME.
Remarquons d'abord que le groupe
tA
{e
; t € lR}
est équi-continu sur les sous-ensembles compacts de
lR ;
et par conséquent si on suppose
It/ ~ 1 , alors pour toute semi-norme
P
il existe une semi-norme
q
telle que
tA
pee
x) ~ q(x)
pour tout
x €
E .
Maintenant soit
-sA
+ (e
-1)Y'(T)
Soit
p
une semi-norme arbitraire; alors il existe une semi-norme
q
telle que, pour
Isi ~ 1

---

54
(3)
-sA
+ p[(e
-I)Y'(T)J
-sA
utilisant le fait que
y'(t)
existe sur ~
et que
lim
(e
-I)Y'(T)=6,
s ~ 0
on peut rendre le membre de droite de (3) arbitrairement petit lorsque
s
tend vers
0; ceci démontre le lemme.
En combinant (1) et (2), on obtient que
lim
1 + Ae(t- )AY(T) = 6 .
s ~ 0
On conclut alors que
V'(T) = 6
pour tout
T € ~ , ce qui veut dire que
la fonction
V(T) = constante.
,
VEFINITION.
L'espace de Fréchet
E
est dit parfait si pour toute
fonction
f(t)
: ~ ~ E
telle que:
(i)
{f(t)
t €~}
est borné dans
E
(ii)
flet)
est
p.p.
dans
E
on a:
f(t)
p.p.
dans
E.
Nous démontrons maintenant le

---

55
THÉORÈME 1.
Soit
E un espace de Fréchet parfait; supposons que:
(i)
A est un opérateur linéaire compact
k
(H)
{A
; k = I,Z, ... }
est équi-continu
(iii)
Pour toute serni-norme
p
il existe une semi-norme
q
telle que:
tA
pee
xJ:::; q(x)
pour tout
x €
E
et tout
t € ffi. •
Alors toute solution
x(t)
de l'équation
x'(t) = Ax(t) , -~ < t < =
est
p.p.
dans
E .
..
tA
VEMmlSTRATTON.
Comme
x(t) = e
x(O) , alors
x(t)
est bornée dans
E.
L'espace
E étant un espace parfait, il suffit donc de montrer que
x' (t)
est
p.p.
L'opérateur
A
étant compact, alors
{Ax(t) ; t € ffi.}
est relative-
~
ment compact; i l en sera de même pour
{x'(t) ; t €ffi.}
•
Soit
(s~)n=l
~
une suite réelle arbitraire; on peut en extraire une sous-suite
(sn)n=l
CXl
telle que la suite
(x'(sn))n=l
soit de Cauchy dans
E.
Or on a:
x'(t+s) = Ax(t+s )
n
n
(t+s )A
n
= Ae
x(O)
s A
= Ae tA e n x (0)

---

56
tA
= Ae
x(s)
n
tA
= e
Ax(s )
n
tA x' (s )
= e
n
pour tout
t € m et tout
n = 1.2 •....
Si
P
est une semi-norme don-
née. il existe une semi-norme
q. d'après (iii). telle que
p~x' (t+s ) -x' (t+s) = p[etA(x' (s ) -x' (s ))1
n
m
n
m
CD
pour tout
t
et tout
m.n € ~
On en déduit que la suite
(x'(t+s))
l
n
nz;
est de Cauchy uniforme en
t ; on applique le critère de Bochner pour con-
clure de la presque-périodicité de
x'(t).
2.
LE CAS NON HOMOGÈNE
(~t - A)x(t) = f(t)
Nous considérons d'abord l'équation non homogène
x'(t) = Ax(t) + f(t) • -CD < t < CD
où
A est un opérateur linéaire fermé de domaine
D(A)
dense dans un es-
pace de Fréchet arbitraire
E.
La fonction
f (t) : m -+ E sera touj ours
supposée presque-périodique dans
E
Mais rappelons quelques définitions utiles (voir [19J).

---

57
,
VEFINITION 2.
On dit que la famille d'opérateurs linéaires continus
{T(t) ; t E: nU
est un groupe équi-continu de classe
c
si
o
(ii)
Pour toute semi-norrne
p , il existe une semi-norme
q
telle
que
p[T(t)x] ~ q(x)
pour tout
x E: E et tout
t € m .
(Hi)
lim
T(t)x = T (t ) x
pour tout
X €
E et tout
t
€
m .
o
o
t
-+- t o
,
VEFINITION 3.
Soit
{T(t) ; t € m}
un groupe équi-continu de clas-
se
C
; on définit le générateur infinitésimal
A de
T(t)
par:
o
T(n)x-x
Ax = lim
Tl
n-+-O
c'est-à-dire
A est l'opérateur linéaire de domaine
T(n)x-x
D (A) = {x €
E
lim
existe dans
E}
et pour tout
X
€
D(A) ,
n
n-+-O
T(n)x-x
Ax = lim
n
n-+-O
REMARQUE 1.
On peut moptrer que
d
dt T(t)x = AT(t)x = T(t)Ax
pour tout
x €
D(A)
et donc qu'en particulier
A commute avec
T(t)
sur
D(A).
(Voir [19J pour le cas semi-groupal).
Dans le reste de ce paragraphe, nous supposerons que
A est le géné-
rateur infinitésimal d'un groupe équi-continu de classe
C • {T(t) ; tE:
m}
o

---

58
Nous allons maintenant démontrer un certain nombre de lemmes.
LEMME 2.
Soit
E
un espace localement convexe complet.
La fonc-
tion
T(t-cr)f(cr) : ffi ~ E
est continue pour chaque
t
si
f(cr)
est une
fonction continue sur ffi
..
VEMONSTRATION.
Il s'agit de montrer que
lim
T(t-cr-s)f(cr+s)
s ~ a
existe et est égale à
T(t-cr)f(cr)
Soit l'égalité suivante:
[T(t-cr-s)f(cr+s) - T(t-cr)f(cr)] = [T(t-cr-s)f(cr+s) - T(t-cr-s)f(cr)]
+ [T(t-cr-s)f(cr) - T(t-cr)f(cr))
Par la propriété (iii) de la Définition 2, on a
lim
T(t-cr-s)f(cr) = T(t-cr)f(cr) .
s ~ a
Si
P
est une semi-norme arbitraire, alors par la propriété (ii) de la
Définition 2, il existe une semi-norme
q
telle que
p[T(t-cr-s)(f(cr+s) - f(cr))J $ q[f(cr+s) - f(cr)J .
on utilise maintenant la continuité de la fonction
f(cr)
pour déduire que
lorsque
s
tend vers
0, on peut rendre le terme
q[f(cr+s) - f(cr)J
ar-
bitrairement petit.
La démonstration est ainsi achevée.
Nous sommes alors en mesure de démontrer le lemme suivant qui nous
permet de représenter les solutions de l'équation CD.
La technique uti-
lisée est la même que dans [2lJ.

---

59
LEMME 3.
Soit
E un espace localement convexe complet.
Toute so-
lution de l'équation CD s'écrit sous la forme
f:
x(t) = T(t)x(O) +
T(t-cr)f(cr)dcr
~
VEMONSTRATION.
Le lemme 1 garantit l'existence de toutes les inté-
grales que nous utiliserons.
Appliquons
T(t-cr)
de chaque côté de CD;
on obtient:
T(t-cr)x'(cr) = T(t-cr)Ax(cr) + T(t-cr)f(cr)
on intègre ensuite de
0
à
t :
(1)
ft T(t-cr)x'(cr)dcr = ft T(t-cr)Ax(cr)dcr
o
-0
J:
+
T(t-cr)f(cr)dcr .
Or
d
T(t-cr-s)x(cr+s)-T(t-cr)x(cr)
dcr T(t-cr)x(cr)
lim
= s + 0
S
T(t-cr-s)x(cr+s)-T(t-cr)x(cr+s)
= lim
S +
0
S
T(t-cr)x(a+s)-T(t-a)x(cr)
+
lim
s + 0
S
=
T(-s)x(cr+s)-x(cr+s)
lim
T(t-cr)
s + 0
S
x (cr+s) -x(cr)
+
lim
T(t-cr)
S +
0
S

---

60
= T(t-cr)[ lim T(-s)-I x(a+s)
s
S
-+ 0
x(cr+s)-x(a) ]
+
Hm
s
s -+ 0
= T(t-a)[-Ax(a)+x'(a)]
x(a+s)-x(a)
n effet on a évidemment
x' (0') = Hm
d'un autre côté
s
s -+ 0
soit
Tè-s)-I x(a+s) = (T(_S)_I)(x(a+s)-x(cr»
+ T(-s)-I x(a) .
s
s
s
Il est clair que
Hm
T(-s)-I x(cr) = -Ax(a) •
s -+ 0
S
car
A est le générateur infinitésimal du groupe
{T(t) ; t E m}.
Par
ailleurs, on peut démontrer, exactement comme le Lemme 1, le résultat
suivant:
sous- LEMME.
Hm
(T(-s)-I) x(a+s)-x(cr) = e .
s
s -+ 0
Par suite, on obtient
lim
T(-s)-I x(a+s) = -Ax(cr) .
s -+ 0
S
D'où

---

61
d
T(t-a)x' (a) = da T(t-a)x(a) + T(t-a)Ax(a) .
En intégrant de
0
à
t , on obtient:
I:
(2)
J: T(t-a)x'(a)da = x(t)-T(t)x(O) + T(t-a)Ax(a)da
et en combinant (1) et (2), on obtient la formule désirée.
LEMME 4.
Soit
E un espace de Fréchet.
Si
{T(t)x; t €~}
est
relativement compact pour tout
x €
E
et
{f(t)
t E:~}
est relative-
ment compact. alors
{T(t)f(t);t € m}
est aussi relativement compact.
,
VEMONSTRATI0N.
00
Soit
(t")
une suite réelle arbitraire donnée,·
n n=l
alors par l'hypothèse sur
f(t) , il existe une sous-suite
(t')OO
C
(t")oo
telle que
lim
f(t')
existe dans
E ., soit
x
cet-
n n=l
n n= l
n
te limite.
00
00
Faisons une seconde extraction
(t)
c (t')
de façon que la
n n=l
n n=l
00
suite
(T(tn)x)n=l
soit de Cauchy dans
E, ce qui est possible à cause
de la compacité relative de
{T(t)x; t € ffi}.
00
Nous allons montrer que
(T(tn)f(tn))n=l
est une suite de Cauchy,
ce qui achèverait la démonstration du lemme; écrivons
[T(t ) -T(t ) ][f(t ) -x]
n
ID
n
+ [(T(t )-T(t ))x]
n
ID
+ T(t )[f(t )-f(t )J .
m
n
m

---

62
Soit
p
une semi-norme arbitraire; on a l'inégalité suivante:
p[T(t )f(t )-T(t )f(t )J s p[[T(tn)-T(tm)JCf(tn)-xJJ
n
n
m
m
+ p[(T(t )-T(t ))xJ
n
m
+ pCT(t )Jf(t )-f(t )JJ
m
n
m
Par équi-continuité de
{T(t)
t e: lR} , il existe une semi-norme
q
telle que
p[T(t )[f(t )-f(t )JJ S q[f(t )-f(t )J
rn
n
m
n
m
et
p[[T(t )-T(t )J[f(t )-xJJ s 2q[f(t )-xJ
n
m
n
n
On peut choisir
m et
n
assez grands tels que:
q[f(t )-f(t )J < ~
n
m
3
q[f(t )-xJ < ~
n
6
E
p[(T(t )-T(t ))xJ < -3
n
m
ce qui implique que
La démonstration est achevée.
Maintenant voyons le

---

63
LEMME 5.
Soit
E un espace de Fréchet et, con-
sidérons
{T(t) ; t € ml
un groupe équi-continu de classe
Co
tel que
T(t) x : m -+ E
est presque-périodique pour tout
x €
E.
Supposons que
f(t)
: ~ -+ E est presque-périodique; alors la fonction
T(t) f(t)
: m -+ E
est presque-périodique.
VEMONSTRATI0N.
Soit
U = U(E ; p. , l ~ i ~ n)
un voisinage arbi-
1
traire donné; puisque
{T(t)
t € ml
est équi-continu, à chaque semi-
norme
Pi • il correspond une semi-norme
qi
telle que
(1)
q. (x)
1
pour tout
x €
E
et tout
t € m .
Considérons le voisinage symétrique
E
V = V(-4 ; p. ,q. , 1 ~ i ~ n)
V+V+V+V cU.
l
1
Puisque
{f(t) ; t € ml
est totalement borné
(Théorème 3 du chapitre
II), il existe
t
, ... ,t
tels que pour tout
t
l
€
m , on a:
v
v
f(t) €
U (f(tk)+V) .
k=l
Considérons maintenant les fonctions presque-périodiques suivantes:
f(t) , T(t)f(t ) , k = l, ... ,v .
k

---

64
Alors par le Corollaire l du chapitre II, elles ont les mêmes
V-transla-
tions; nous pouvons donc dire qu'il existe
l = leV) > 0
tel que tout
intervale de longueur
l
contient un point
T
tel que:
f(t+T) -f(t) €
V
(2)
T(t+T)f(tk)-T(t)f(t )
k
€
V , k = l, ... ,v
pour tout
t €:IR
•
Considérons
t €:IR
arbitraire; alors il existe
k(l $ k $ v)
tel
que
(3)
Ecrivons:
T(t+T)f(t+T)-T(t)f(t) = T(t+T)[f(t+T)-f(t)]
+ T(t+T)[f(t)-f(t )]
k
+ T(t)[f(tk)-f(t)] .
Soit l'inégalité suivante valable pour toute semi-norme
p.
:
1
Pi[T(t+T)f(t+T)-T(t)f(t)] $ Pi['I'(t+T)[f(t+T)-f(t)]]

---

65
en utilisant (1) on majore le membre de droite par:
par (2) et (3).
Nous avons donc montré que
T(t+,)f(t+T)-T(t)f(t) €
U
pour tout
t € m • ce qui est la presque-périodicité pour la fonction
T(t) f(t) .
THEOREME :2.
Sod
E
un e..opac.e de Ftz.éc.he;t.
SUpp0.60/1.-6 que
x (t)
ut une .601u.üon a :ttz.aj ec.:to-Ute tz.eta;t,Lveme.n:t c.ompac.:te de l'équation
xl(t) = Ax(t)+f(t) • -~ < t < ~
où
A
eJ.>t génélta.:te.wt -<.n6-i..nUé6.ima.-t d'un gtz.oupe équi-c.onti.nu de e..to...6.6e
CofT(t) ; t € lR}
tel que T(t)x : m-r E
eAt p.p.
l'OM c.haque
x €
E ,
et
f(t)
une 6onction
p.p.
AloM
x (t)
ut p .p .

---

66
,
DEMONSTRATION.
D'après le lemme 3, x(t)
s'écrit:
f:
x(t) = T(t)x(O) +
T(t-cr)f(cr)dcr .
Comme
T(t)x(O)
est
p.p. , il suffit de montrer que la fonction
I:
v(t) -
T(t-cr)f(cr)dcr
= x(t) -T(t)x(O)
est p.p.
{v(t)
t € m} est relativement compact puisque
{x(t)
t
E: m}
et
{T(t)x(O) ; t € m}
le sont.
Par ailleurs on a:
J:
v(t) =
T(t)T(-cr)f(cr)do
= T(t)I: T(-a)f(a)da
J:
donc
T(-t)v(t) =
T(-cr)f(cr)dcr .
Par le Théorème 4 du chapitre II, T(-t)x
est
p.p.
pour tout
X E: E ,donc
{T(-t)x; t E: m}
est relativement compact pour tout
x €
E
(voir Remarque 2 du chapitre II).
Par le Lemme 4, {T(-t)v(t) ; t E: m }
et donc
{I: T(-o)f(o)do ; t E: R} est relativement compact. Le Lemme
5 nous permet de dire que la fonction
T(-t)f(t)
est
p.p. , donc par
le Théorème Il du Chapitre II, J: T(-o)f(cr)do est p.p. I:
On applique à nouveau le Lemme 5 pour conclure que
T(t-o)f(cr)dcr
est
p.p.
Le Théorème est démontré.

---

67
..
THEOREHE 3.
Soil
E un upac.e de. FJtéc.he:t.
Lu f:>o.f.ut.<.otU> à :tfta.-
j e.doVz.u Jte.f.a.:t<.vement c.ompadu de l'équation.
x'(t) = Ax(t) , _00 < t < =
où.
A
ut le géné.Jta:teWl. -i..n6-i..rU;tÛ.-i..rra..t d'un gJtoupe. équ-i..-C.On.tÙlU de. c.fu!:>-
!:le.
CO{T(t) ; t e: nn
!:l0n.t pJtéwéme.n.t lu !:l0.f..uti0tU> pJtuque.-péJUod.{.quu •
..
VEMONSTRATION.
Nous savons déjà (Remarque 2, chapitre II) que si
x(t)
est une solution
p.p. , alors elle est à trajectoire relativement
compacte.
Inversement soit
x(t)
une solution telle que
{x(t) ; t e: m}
est relativement compacte; de toute suite réelle
=
(S')
on peut ex-
n n=l
IX>
traire une sous-suite
(s )
telle que la suite
n n=l
Cauchy dans
E; or on a:
= T(t)T(sn)x(O)
pour tout
n
par suite:
x(t+s )-x(t s ) = T(t)[x(s )-x(s )] .
n
ID
n
ID
Soit
p
une semi-norme arbitraire; par équicontinuité de
T(t) , il
existe une semi-norme
q
telle que
p[x(t+s )-x(t+s )] = p[T(t)[x(s )-x(s )J]
n
ID
n
m

---

68
CX>
pour tout
t € m
ce qui montre que la suite
(x(t+sn))n=l
est de Cau-
chy uniforme en
t ; le critère de Bochner nous permet alors de dire que
x(t)
est
p.p.
~
~
~ ;
3.
INEGALITE ABSTRAITE ET PRESQUE-PERIODICITE VANS LES ESPACES VE HILBERT
Nous considérons ici l'équation différentielle
x' (t) = Ax(t) , _cx> < t < cx>
dans un espace de Hilbert
H muni du produit scalaire
(-,-)
et de la
norme
II-II; A est un opérateur linéaire de domaine D(A)
dense dans
H.
Il est bien connu (voir [21] Théorème 2.1 ou [2]) que si
A
est un
opérateur antisymétrique, alors toute solution à trajectoire relativement
compacte est
p.p.
dans
H
Nous démontrons ici un résultat analogue
pour le cas où
A = A + A
avec
A
un opérateur symétrique et
A
un
+
opérateur antisymétrique.
..
...
THEOREME 4.
Supposons que
A = A
+ A
où
+
(i)
A
est symétrique,
+
(ii)
A
est antisymétrique,
2
(iii)
V x €
D(A) , Re(A+x,A_X) ~ _cIIA+xI1
où
c
est une constante
telle que
c ~ 1 .
Alors toute solution à trajectoire relativement compacte de l'équa-
tion

---

69
x'(t) = Ax(t) • _m < t < m
est
p.p.
dans
H.
,
DEMONSTRATION.
Considérons
y(t)
une solution arbitraire non iden-
.' tiquement nulle et bornée dans
H.
Soit la fonction numérique
= (y(t) .y(t)) • t € :IR
~(t)
est aussi bornée sur :IR.
On a:
d
d
~'(t) = dt ~(t) = dt (y(t).y(t))
= (y'(t).y(t)) + (y(t).y'(t))
= (Ay(t),y(t)) + (y(t),Ay(t))
= (A+y(t).y(t)) + (A y(t).y(t))
+ (y(t).A+y(t)) + (y(t).A_y(t))
= 2(A+y(t) .y(t))
à cause de (i) et (ii) .
Rappelons le résultat suivant:
(voir [23J.Sublema. page 56):
si
B est un opérateur linéaire symétrique de domaine
D(B) c H et
x(t)
une solution de l'équation
x'(t) = Bx(t)
alors la fonction

---

70
b(t) = (Bx(t),x(t))
est continûment différentiable et sa dérivée est
égale à
2 Re(Bx(t).x'(t)) .
Appliqué ici cela donne:
d
dt (A+y(t),y(t)) = 2 Re(A+y(t),Y'(t))
= 2 Re(A y(t),Ay(t))
+
= 2 Re[(A+y(t).A+y(t))
+ (A y(t).A y(t))J
+
-
2
= 2 Re[ liA y(t) Il +(A y(t),A y(t)) ]
+
+
-
2
= 2[ liA y(t)" +Re (A y(t),A y(t)) ] .
+
+ -
Par suite on a:
2
!-2 et>(t) = lj>"(t) = 4[IIA y(t) Il 2+Re (A y(t),A y(t))]
dt
+
+ -
~
2
4(l-c) liA y(t) 11
, par (iii)
+
cj>(t)
est donc une fonction convexe de
t .
Etant bornée sur m • elle
est nécessairement constante.
Nous pouvons donc dire:
cj>(t) = cj>(O) • pour tout
t € m •
c'est-à-dire:
2
2
(1)
lIy(t)11
= lIy(O)11
• pour tout
t € m .

---

Supposons maintenant que
y(t)
est une solution à trajectoire relative-
ment compacte dans
H ; alors
y(t)
est bornée et vérifie l'égalité (1).
Soit
SEm
quelconque et considérons la fonction' tranlatée.
y (t) = x (t + s) , _ex> < t < ex> •
S
Alors
y'(t) = Ay (t) , _ex> < t < ex> •
S
S
Donc si
et
s2
sont donnés, on a:
(y
(t)-y
(t))' = A(y
(t);"y
Ct)) , _ex> < t < ex>
§l
s2
sI
s2
et par suite
2
Ily (t) -y
(t) Il
sI
s2
ou encore
On finit la démonstration en utilisant le critère de Bochner:
soit
ex>
(S')
une suite réelle donnée; comme
{x(t) ; t E ffi}
est relativement
n n=l
compact, on extrait une sous-suite
ex>
(x(sn))n=l
soit de Cauchy.
On a:
2
2
sup
Iix(t+s )-x(t+s )11
= IIx(sn)-x(sm)11
.
tEffi
n
m

---

72
œ
Ce qui montre que la suite des translatées
(x(t+sn))n=l
est de Cauchy
uniforme en
t . d'où la presque-périodicité de
x(t) .

---

CONCLUSION
Un outil essentiel dans l'étude des solutions presque-périodiques
d'équations différentielles a été dans cette thèse le critère de Bochner
~ que nous avons pu établir dans les espaces de Fréchet.
Il semble inté-
ressant, selon S. ZAID~IAN, de refaire en partie ou entièrement le présent
travail, en utilisant la définition de presque-périodicité dans les es-
paces vectoriels topologiques proposée par S. BOCHNER et J. Von NEUMAN
dans leur important mémoire [5J (Définition 1.4) et de comparer les ré-
sultats.
Cet intérêt serait grand si on pouvait arriver par ce biais à
démontrer les Théorèmes l, 2 et 3 du Chapitre III sans l'hypothèse de la
mêtrisabilité de l'espace.
Quant au Théorème 4 du Chapitre III, son intérêt réside dans le fait
que le résultat bien connu pour le cas où l'opérateur
A est antisymétri-
que ([2lJ Théorème 3.1) peut désormais être considéré comme un Corollai~e
simple; en effet on peut alors écrire
A = 8+A
en considérant
8
l'opé-
2
rateur nul comme opérateur symétrique; 1 'hypothèse
Re(8x,Ax) ~ _c118X11
est bien vérifiée dans ce cas.

---

REMERCIEMENTS
Qu'il me soit permis de remercier mon directeur le Professeur S.
ZAIDMA~ pour m'avoir guidé au cours de ce travail; je dois au Professeur
A. LASCU beaucoup de reconnaissance pour avoir été la première personne
à me parler d'équations différentielles.
Je ne saurais manquer de gratitude envers le Professeur P. BERTHIAU-
ME. Directeur du département de Mathématiques et de Statistique pour sa
bienveillante sollicitude.
Je dois remercier mon pays à travers son Ministère de l'Education
Nationale pour l'octroi d'une bourse couvrant la période de mes études
de Doctorat.
Enfin merci à Mademoiselle Thérèse OUELLET pour l'excellent travail
de dactylographie que voici.

---

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