UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
****
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
****
, .
THESE
Présentée
par
Mme FAYE Ndeye Arame BOYE
pour obtenir le titre de
Docteur
de
3ème
cycle
PHOTOIONISATION RÉSONANTE DES IONS
HELIUMOIDES MULTICHARGÉS DE CARBONE C4+
D'AZOTE N5+ET D'OXYGENE 0 6+
Soutenue
le
30 Juillet 1993 devant la commission d'examen
Président: Mr. M. Mansour Kane
Examinateurs :
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Mr. Libasse DIOP
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Mr. El Hadji Abib NGOM
Mr. Ahmadou WAGUE
Mr. Sada T. WANE

---

REMERCIEMENTS
Ce travail a été conçu et réalisé sous la direction de Monsieur Ahmadou WAGUE,
Maître de Conférences à l'Université Cheikh Anta DIOP de DAKAR, je lui témoigne ici
mes sincères remerciements et ma profonde reconnaissance pour toute l'assistance qu'il
m'a apportée. Je lui exprime ma profonde gratitude pour toute l'attention et toute la
rigueur avec lesquelles il a dirigé ce travail.
J'adresse mes sincères remerciements à MonsieurLe Professeur Mansour KANE,
chef de Département de Physique, de la Faculté des Sciences et Techniques
de
l'Université Cheikh Anta DIOP de DAKAR pour l'honneur qu'il mefait en acceptant de
présider le jury de thèse.
Que le Professeur Libasse DIOP, Doyen de la Faculté des Sciences et Techniques
de l'Université Cheikh Anta DIOP de DAKAR, trouve ici l'expression de ma profonde
gratitude pour le tempsprécieuxqu'il m'accorde en acceptant de juger ce travail.
Je suis très reconnaissante à Monsieur Sada T. WANE, Chargé d'Enseignement à
l'Université Cheikh Anta DIOP de DAKAR, pour l'intérêt qu'il a accordé à ce travail en
acceptant de le juger.
Que Monsieur EL Hadji Abib NGOM, Maître de Conférences à l'ENSUT de
DAKAR, trouve ici l'expression de ma profonde gratitude pour le temps précieux qu'il a
accordé à ce travail en acceptant de lejuger.
Qu'il me soit permis de remercier particulièrement Monsieur André FICKOUpour
toute l'aide et le soutien amical qu'il m'a apporté.
Je tiens aussi à remercier Monsieur Bouya DIOP pour l'aide qu'il m'a apportée
dans la conception des programmes informatiques.
A mes collègues, Oumar KA, Djibri/ DIOP, Bassirou BA, Issakha YOUM et à
tous ceux qui, au Département de Physique de la Faculté des Sciences et Techniques de
l'Université Cheikh Anta DIOP de DAKAR, m'ont manifesté leur soutien amical, je dis
merci.
Enfin je remercie sincèrement Madame GUEYE Fatou SAMBE, Mademoiselle
Codou NDIAYE et Monsieur Assane FAYE qui ont contribué à la mise en page et au
tirage de ce travail.

---

IRUÉ s lU 00IE
1
CCIHIAIFII'II'IRIE II ~ PRINCIPALES MÉTHODES EXPÉRIMENTALES ET
THÉORIQUES DANS L'ÉTUDE DE LA DYNAMIQUE
DES RÉSONANCES AUTOIONISANTES.
5
1.1. MÉTHODES EXPÉRIMENTALES
5
1.1.1. Excitation par impact photonique.
5
1.1.2. Excitation par impact électronique.
9
1.1.3. Excitation par impact de particules lourdes: protons, atomes
ou ions.
Il
1.2. MÉTHODES THÉORIQUES
13
1.2.1 - La théorie de la photoionisation résonante de Fano.
15
1.2.l.a) Interaction d'un état discret avec un état du continuum.
15
1.2.l.b) Interaction d'un état discret avec deux états du continuum.
17
1.2.2. L'approximation "Close-coupling".
19
1.2.3. La méthode des coordonnées hypersphériques.
21
1.2.4. La méthode de rotation complexe.
24
1.2.5. Formalisme des opérateurs de projection de Feschbach.
28
1.2.6. La théorie R-matrice.
30
1.2.7. La théorie du défaut quantique (QDT).
32
1.2.8. La méthode de diagonalis àtion.
36
1.2.9. Autres méthodes.
36
,
CCIHIAIFII'II'IRIE IIII ~ THÉORIE ET APPLICAT.ION DE LA MÉTHODE DE
DIAGONALISATION A LA PHOTOIONISATION
RÉSONANTE DES IONS HELIUMOIDES
MULTICHARGES C4+, N5+ ET 0 6+
37
ILL THÉORIE DE LA MÉTHODE DE DIAGONALISATION
37

---

11.2. APPLICATION DE LA MÉTHODE DE DIAGONALISATION
A LA PHOTOIONISATION RÉSONANTE DES IONS
HELIUMOIDES MULTICHARGES C4+,N5+,ET 0 6+
SOUS LES SEUILS D'EXCITATION n = 2 ET n = 3 DE
L'ION RÉSIDUEL.
43
II.2.l. Procédure de calcul.
43
II.2.2. Détermination des énergies et des fonctions d'onde des
états autoionisants.
43
II.2.2.1 Les énergies des états d'autoionisation 1po et
3po des ions c4+, N5+ et 0 6+ convergeant vers le seuil
d'excitation n = 3 de l'ion résiduel.
43
11.2.2.2 Les fonctions d'onde des états d'autoionisation lpo et 3po
des ions C4+ , N5+ et 0 6+ convergeant vers le seuil
d'excitation n =3 de l'ion résiduel.
49
II.2.2.3 Les énergies des états d'autoionisation 1pO des
ions c4+, N5+ et 0 6+ convergeant vers le seuil
d'excitation n =2 de l'ion résiduel.
53
II.2.3. Déterminationdes largeurs des niveaux d'autoionisation des ions
héliumoïdes N5+ et 0 6+ convergeant vers le seuil d'excitation
n = 3 de l'ion résiduel.
55
II.2.3.1 Discussion des résultats.
56
Iffi IIIffiIL II((}) G ~ A IF' !HI IIlE
67
ANNlEXlE
~ ÉLÉMENTS MATRICIELS DE L'INTERACTION
ÉLECTROSTATIQUE DES ÉLECTRONS À
L'APPROXIMATION LS
Al
A.l. ÉLÉMENTS MATRICIELS DE L'INTERACTION ÉLECfROSTATIQUE
ENTRE LES ÉTATS AUTOIONISANTS.
Al
A.2. ÉLÉMENTS MATRICIELS DE L'INTERACTION ÉLECfROSTATIQUE
DANS LE CALCUL DES LARGEURS DES RÉSONANCES
AUTOIONISANTES.
A6
A7

---

i
RÉSUME
Le présent travail est consacré à l'étude de la photoionisation résonante des systèmes
héliumoïdes multichargés c4+, N5+ et 0 6+ dans la zone spectrale correspondant à l'excitation
des états d'autoionisation convergeant vers les seuils d'excitation n = 2 et n = 3 de l'ion
hydrogénoïde résiduel.
Après une revue détaillée des principales méthodes expérimentales et théoriques dans
l'étude de la dynamique des résonances autoionisantes, la description quantitative de la
photoionisation résonante des systèmes héliumoïdes considérés est abordée.
Cette description comprend la détermination des énergies, des fonctions d'onde et des
largeurs partielles et totales des états d'auto ionisation singulets 1pa et triplets 3po. La
formulation théorique est basée sur la méthode de diagonalisation.
Les résultats obtenus pour les énergies, les fonctions d'onde et les largeurs totales des
résonances étudiées sont en bon accord avec les résultats théoriques et expérimentaux
disponibles. Pour ce qui concerne les largeurs partielles, leurs valeurs varient relativement
d'une méthode à une autre. Cette variation relative est due certainement au choix des fonctions
d'onde du continuum et elle incite à une étude plus poussée de la dynamique des corrélations
électroniques au niveau des canaux ouverts du continuum.
ABSTRACT
The present work is consecrated to the study of the resonant photoionisation of
multicharged helium-like systems C4+, N5+ and 0 6+ in the spectral area corresponding to the
excitation of autoionisation states converging to the n =2 and n =3 threshold of residual ion.
The quantitative description of the resonant photoionisation of helium-like systems is
made after a detailed review of the main experimental and theoretical methods in the study of the
dynamic of autoionising resonances.
By using the diagonalisation method, this description is made by calculating energies,
wave functions, partial and total widths of singulets 1Po and triplets 3PQ autoionising states.
Our results for energies, wave functions and total widths agree weIl with the available
theoretical and experimental results. Conceming the partial widths, the comparison beetwen our
results and those of other theoretical methods, give a relative dependence of the results to the
used method. This relative variation is certainly due to the choice of continuum wave functions
and must lead to a more detailed study of the electronic correlations in open channels .
Mots - clés: Photoionisation, états d'autoionisation , héliumoïdes, résonance.

---

1
INTRODUCTION
Aujourd'hui les études portant sur l'interaction du rayonnement électromagnétique
avec les atomes et les ions revêtent une grande importance dans la description des
propriétés
structurelles des systèmes atomiques.
Grâce à l'utilisation des sources
intenses de photons dans les expériences de spectroscopie des atomes et des ions, ces
études concernent des régions de plus en plus étendues du spectre électromagnétique et
s'intéressent particulièrement à la zone spectrale correspondant à l'excitation des
résonances autoionisantes ou états d'autoionisation.
Dans les systèmes héliurnoïdes, les états d'autoionisation sont des états de double
excitation électronique situés au dessus du premier potentiel d'ionisation et convergeant
vers les
seuils d'excitation n = 2 et n ~ 3 de l'ion hydrogénoïde résiduel. Ces états se
manifestent sous forme de résonances asymétriques [1] dans les sections efficaces de
photoionisation ou de diffusion des particules chargées par les atomes et les ions. Ce sont
des états quasi-stationnaires qui ont la particularité d'appartenir en même temps aux états
du continuum et du spectre discret.
Les premières observations expérimentales sur les résonances autoionisantes
remontent au début des années soixante avec les travaux de Madden et Codling [2-3] qui
ont étudié à l'aide d'une source de
rayonnement synchrotron,
le spectre de
photoabsorption de l'hélium et mis en évidence plusieurs résonances dans la zone
spectrale de l'ultraviolet lointain.
Depuis lors, grâce à la mise au point de nouvelles techniques
expérimentales à grand pouvoir de résolution, les études portant sur les processus de
photoabsorption et de photoionisation résonante des atomes et des ions ont connu un

---

2
développement considérable par l'utilisation des sources de rayonnement synchrotron [4-
9] et des lasers (10-14] dans des expériences de spectroscopie .
Avec le développement de ces techniques très avancées sur la spectroscopie des
atomes et des ions il devient plus que jamais nécessaire d'avoir des modèles théoriques
bien élaborés permettant une description détaillée des processus d'excitation et de
désexcitation radiatives et non radiatives des résonances autoionisantes.
L'étude des propriétés de ces résonances est très importante car elle concerne des
applications très diversifiées dans plusieurs domaines de la physique contemporaine.
Parmi ces domaines on peut citer: la physique des collisions atomiques et électroniques
[15-17] , la physique du solide [18], le diagnostic du plasma astrophysique ou de
laboratoire [19-20] . La description des résonances autoionisantes peut servir également
dans l'interprétation des spectres d'Auger des ions multichargés [21].
Une autre
application importante des propriétés des résonances atomiques concerne la séparation
des isotopes par photo ionisation sélective à partir des états d'autoionisation à l'aide de
lasers accordables [12] .En plus, avec de tels lasers l'étude des processus d'ionisation
multiphoton est devenue une réalité dans les investigations sur la dynamique de
l'interaction des photons avec les atomes et les ions [22-23] .
Les études expérimentales et théoriques des états d'autoionisation ont permis
d'obtenir beaucoup de données spectroscopiques sur les sections efficaces de
photoionisation, les énergies, les largeurs totales et partielles pour divers atomes et ions.
Jusqu'ici une grande place dans ces travaux est accordée aux systèmes atomiques à deux
électrons[24-45]. L'étude de ces systèmes constitue une étape importante dans
l'investigation des propriétés des atomes plus complexes et dans la recherche d'une
meilleure compréhension des processus de corrélation électronique au niveau atomique
[46-52].

---

3
Dans .ce but, il est important d'examiner le comportement isoélectronique et la
nature des changements intervenant dans les paramètres décrivant les propriétés des
systèmes heliumoïdes multichargés.
A cet effet, le travail actuel est consacré à l'étude de la photoionisation résonante
des ions heliumoïdes multichargés de carbone C4+, d'azote N5+et d'oxygène 06+dans
la zone spectrale correspondant à l'excitation des résonances autoionisantes convergeant
vers les seuils n=2 et n=3 de l'ion hydrogénoïde résiduel. Cette étude est faite sur la base
de la méthode de diagonalisation qui a déjà été utilisée avec succès dans le problème de la
photoionisation résonante [24,28,31].
D'une manière générale la résolution du problème de la photoionisation résonante
consiste en la prise en compte de l'interférence des processus d'ionisation directe avec les
processus d'ionisation à travers les états d'autoionisation .
Sous le seuil d'excitation n = 2 la description de la photoionisation résonante est
un problème monocanal dans lequel l'approche théorique consiste à considérer
l'interaction du niveau d'autoionisation avec un seul continuum. Par contre sous le seuil
d'excitation n = 3 , la description de la photoionisation résonante est un problème
multicanal où il faut décrire l'interaction des résonances avec plusieurs continua. La
résolution de ce problème complexe nécessite la prise en compte de l'interaction des
canaux fermés constitués par les états discrets, de l'interaction de ces canaux avec les
canaux ouverts du continuum ainsi que de l'interaction de ces états du continuum entre
eux.
L'étude théorique de ces différentes interactions sur la base de la méthode de
diagonalisation est abordée dans le présent travail qui comporte en plus de l'introduction
deux chapitres et une conclusion.

---

4
Le premier chapitre est consacré à une revue de l'état des travaux expérimentaux et
théoriques sur les résonances autoionisantes dans les systèmes heliumoïdes.
Le deuxième chapitre comporte :
1) Une description théorique des principales positions de la méthode de
diagonalisation .
2) Une étude quantitative et qualitative des caractéristiques des résonances
autoionisantes (énergies, fonctions d'onde, largeurs totales et partielles) des ions C4 +,
N5+, 0 6+ sous les seuls d'excitation n = 2 et n = 3. Les résultats obtenus sont discutés
et comparés à d'autres résultats expérimentaux et théoriques disponibles
Enfin la conclusion contient la formulation des principales déductions que
l'on peut tirer des résultats que nous avons obtenus au cours de ce travail.

---

5
CHAPITRE 1
PRINCIPALES MÉTHODES EXPÉRIMENTALES
ET THÉORIQUES DANS L'ÉTUDE DE LA DYNAMIQUE DES
RÉSONANCES
A UTOIONISANTES.
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e _ .
e
_
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1.1 MÉTHODES EXPÉRIMENTALES
Au cours des dernières années, les études expérimentales très diversifiées sur les
résonances atomiques se sont considérablement développées grâce à l'utilisation des
sources de rayonnement synchrotron et des lasers dans les processus de photoabsorption
et de photoionisation des atomes et des ions . Parmi ces travaux on peut distinguer les
techniques avancées de spectroscopie des photoélectrons, les expériences de mesure de
fluorescence consécutive à la désexcitation des résonances ainsi que les nouvelles
méthodes de spectroscopie électronique dans les collisions entre ions multichargés et
divers projectiles (électrons ,protons, ions, atomes et molécules)
Parmi ces diverses techniques d'investigation des états d'autoionisation des
systèmes atomiques et ioniques, nous aborderons ici, quelques aspects concernant les
investigations
par impact photonique (sources synchrotron et lasers),
par impact
électronique, par impact de protons ou d'ions lourds. Nous aborderons également la
technique de la spectroscopie "faisceau feuille mince" ("bearn-foil spectroscopy")
1.1.1 EXCITATION PAR IMPACT PHOTONIOUE.
Les premières expériences de Madden et Codling [2-3] à l'aide d'une source de
rayonnement synchrotron ont concerné la photoabsorption de l'hélium dans le domaine
spectral correspondant à l'ultra violet lointain (165-200 Â). Ces expériences ont permis
d'observer les résonances correspondant à l'excitation des états autoionisants convergeant
vers les seuils n = 2, n = 3 et n = 4 de l'ion He+. L 'énergie, la largeur et l'indexe de profil
de la résonance (25 2P) 1P ont été déterminées. La forme de la section efficace de
photoabsorption de l'hélium au voisinage de cette résonance est représentée sur la fig. 1.

---

6
IlIcnoNVOITS
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0 .5
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Fig. 1: Profil d'absorption de la résonance (2S2P) 1pOde 1'hélium
(Madden et Codling [2-3])
Par la suite, en utilisant une source de rayonnement synchrotron, Dhez et Ederer
[4] par des mesures de la section efficace de photoabsorption, avec un pouvoir de
résolution énergétique plus élevé que dans les expérience de Madden et Codling[2-3] ont
d éterminé les principaux paramètres décrivant le profil d'absorption de la résonance
(3S 3P) 1P de l'hélium. Récemment Kossmann et al [54] ont fait une nouvelle
détermination des paramètres de Fano pour la résonance (3S3P) 1P de l' hélium.
Les expériences par impact de photons sont également orientées vers d'autres
types d'analyse: il s'agit en l'occurrence des mesures de fluorescence comme celles
effectuées par Samson et Woodruff [5-6]
lors de la photoexcitation des résonances
convergeant vers les seuils n=3,4,5 de l'ion He+. Dans leurs travaux, Samson et
Woodruff ont enregistré la raie de fluorescence à 304 Â , émise lors de la désintégration
des niveaux excités n=2 de l'ion He+ et ont déterminé les sections efficaces partielles de
photoionisation (fig.2-5). Ces expériences constituent une étude complémentaire aux
expériences de photoabsorption .

---

7
La spectroscopie des
photoélectron s con stitue
un autre type d'analyse dans les
expérien ces de photoion isation par rayonnement sync hro tr on . Dans ce cadre Wuilleumier
et al ont étudié les proces sus photoniques dan s l'hélium et d'autres atomes [7-8] et Lindle
et al [ 9] se sont intéressés au processus de photoionisation de l'hélium au dessus du seuil
d'excitation n=2 de He" par impact de photons incidents ayant les é ne rgie s comprises
entre 67 ,5 eV et 90 eV. Dan s leur expérience, Lindle et al [9]ont détecté les
photo électrons à 0° et à 54,7 ° par rapport au vecteur de polarisation du faisceau de
photons( fig.6 ) .
Une autre technique ayant permis le développement des études expérimentales sur
les états d'autoionis ation, con cerne l'utilisation des lasers dans les mesures
spectroscopiques. En utilisant le rayonnement laser pour la préparation des ions cibles et
comme so~ce excitatrice, Carroll et Kenedy [ 10] ont étudié la photoexcitation des ions
lithium Li " sous le seuil d'excitation n=2 de l'ion résiduel.Dans ces expérience s.l'analyse
des données sur la section efficace de photoabsorption a permis de déterminer l'énergie
d'excitation et le profil de la résonance (2S2P) 1P .
Actuellement des progrès importants ont été réalisés par l'utilisation des lasers
[12,22J dans l'étude de s processu s d'ionisation multiphotonique des systè me s ato m ique s
(fig . 7) et dan s les proce ssus d'ioni sation sélective de s atomes .
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Fig.2 : Section efficace partielle de
Fig.3 : Section efficace partielle de
photoionisation de l'hélium laissant
photoionisation de l'hélium
laissant l'ion He + à l'état 2p
laissant l'ion He " à l'état 25
(Samson et Woodruff [5-6])
(Samson et Woodruff [5-6])

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N = 4. 5 (b ) : les indices K el Il se rapportent à la classificati on du
forrnalismc des groupe s
(Samson et \\Voodruff 15-6])
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60 0
800
Cha nne l numbe r
Fi g.6 : Spec tre des ph ot o électr on s détecté s à 54,7°.
Photoionisation de He avec des photons à 80 eV
(Lindle el al 19])

---

9
1. 1.2 - EXCITATION PAR IMPACT ÉLECTRONIOUE
Dans les expériences d'excitation photonique, les règles de sélection n'autorisent
que l'étude des
transitions optiques. Pour pallier à cette insuffisance, des travaux
expérimentaux se sont penchés sur l'excitation des résonances par impact électronique.
Ce procédé présente l'avantage de permettre l'observation des transitions aussi bien
optiques que non optiques.
L'excitation d'un état autoionisant par impact électronique entraîne l'apparition de
deux électrons : l'un est diffusé avec une perte d'énergie, l'autre est éjecté par
autoionisation. L'analyse de ce phénomène consiste en la détermination des
caractéristiques de l'électron diffusé, de l'électron éjecté , ainsi que ceux de l'ion résiduel.
Dans cette direction, les premiers travaux ont été réalisés par Silvennan et Lassettre
[55] qui ont mis en évidence dans l'hélium deux pics à 60, 1 eV et 63,5 (+0,01 eV) dans
la distribution spectrale des électrons diffusés. Les deux pics observés ont été interprétés
comme étant les deux premiers états doublement excités de la série 1po sous le seuil n = 2
de l'ion He+·
Par la suite l'excitation par collision électronique aussi bien sur He" que sur He a
été abondamment étudiée. C'est ainsi que Daly et Powell [56] ont utilisé un dispositif de
jets croisés d'ions He+ et d'électrons ( avec des énergies comprises entre 40 et 55 eV). En
détectant le courant résiduel d'ions He++, ils ont discerné trois résonances, IS, l p et 10
dans la section efficace de la transition Ils - 2 1S, attribuées à des états doublement
excités de l 'hélium sous le seuil n = 3.
Le spectre d'énergie des électrons éjectés à 140 0 de l 'hélium par impact
électronique a été mesuré par Oda et al [57].
Sous le seuil d'excitation n = 2, la
dépendance de la hauteur des pics par rapport à l'énergie d'excitation est observée
(fig.7,8).
Hicks et Corner [58] , en utilisant un dispositif de jets croisés d'électrons lents
(10 - 200 eV) et d'hélium dans une expérience à haute résolution spectrale ont observé les
structures résonantes dans le spectre des électrons éjectés
sous le seuil n = 2 de He"
(fig.9).

---

10
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Fig.8 : Spectre d 'élec tro ns éjec tés issu s d 'ét ats très exc ités d e l'hélium :
(a) : impac t d e 85 eV ; (b) : impact de 250 eV .
(Oda e t al [57]).
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Fig.9 : Spectre d'électrons éjectés de l'hélium à llO° avec d es
é ne rgi es d'exci ta tio n alla nt de 6 1 à 65 e V.
(H icks et Corner [581) .

---

11
I.1.3.EXCITATION PAR IMPACf DE PARTICULES LOURDES: PROTONS,
ATOMES OU IONS
Contrairement à l'excitation par impact électronique, l'excitation par impact de protons ne
peut induire des transitions vers des états triplets à partir du fondamental. Ces transitions
sont par contre possibles avec l'excitation par impact de particules lourdes comme les ions
positifs. Par ailleurs l'excitation par les particules lourdes permettent d'avoir des
informations importantes sur la durée de vie des états d'autoionisation .
Rudd[59] est l'un des premiers à établir la fiabilité de cette technique. Dans ses
expériences, une cible d'hélium est bombardée par des protons et des ions moléculaires
H2+ . L'identification des pics de résonance sous le seuil n = 2 est faite sur les spectres
des électrons éjectés (fig. 10, Il).
Bordenave - Montesquieu et Benoît -Cattin [17] ont fait les mêmes expériences en
utilisant en plus les projectiles H3+ avec une énergie incidente de 140 keV. Les pics
qu'ils obtiennent lors de la collision avec les protons, présentent l'asymétrie décrite par la
théorie de Fano . Récemment Bordenave -Montesquieu et al [61-62] ont étudié la double
excitation de l'hélium par impact de protons de 3 MeV.
Par excitation par des particules lourdes , Burch et al. [63] bombardent un faisceau
diffus d'hélium par différents jets ioniques de haute énergie. Les ions utilisés sont 05+(30
MeV), 04+(15 MeV), 08+(30 MeV) et Cl2+ (3 MeV) ,ainsi l'invariance du spectre en
énergie des électrons éjectés par rapport à la charge nucléaire à été établie. Les pics
obtenus ne présentent plus le profil asymétrique de Fano, ce qu'ils interprètent comme une
absence d'interférence entre l'ionisation directe et l'ionisation par l'intermédiaire d'une
résonance autoionisante.
Dans les expériences par impact ionique, l'analyse spectroscopique se fait à partir
du spectre des photons émis après désexcitation des états d'autoionisation. Ainsi, Bruch
et al [64] se s'ont intéressés à la collision d'ions C4+(5Me V) avec l'hélium (fig.12 ). Les
états doublement excités convergeant vers le seuil n =3 ont été détectés et les transitions
de désexcitation vers des états simplement excités ont été mesurées.
Dans le cadre des expériences par impact d'atomes, à l' heure actuelle, la précision
atteinte par la spectroscopie électronique a permis à Oza et al [60] d'analyser le spectre des
électrons éjectés après le processus collisionnel entre N7+et divers projectiles
(He, H2, Ar), et de déterminer ainsi les énergies d'excitation des états d'autoionisation

---

1
12
(31 nl ') de l'ion h éliumoide N5+.
Un a utre centre d'int érêt dans les techniques d'excitation des états d e ré sonance
est constitué par la techniqu e d'e xcitation dite "bearn-foil". Elle consis te à faire intera gir
un fais ceau d'ion s incidents accélérés jusqu'à des énergies de l'ordre de 100 ke V à 1 Me V
avec une feuill e mince d'un c o rps donnn é.L'excitation de s états de résonance des ion s
cibles se fait ainsi grâce aux collisions multipl es survenant lors de la traversée de la
feuille.Berry et al [65] .et plu s récemment Cederqu ist e l al [66] ont expolité ce tte
technique pour l'hél i um.
Nou s concluon s cet e x pos é sur les principales méthodes expérimentales dans
l'étude de la dynamique de s résonances autoionisantes en notant l'importance des progrè s
techniques accomplis depui s les premières expériences de Madden et Codling[2-3 [Nou s
assistons de plu s en plus à une nette amèlioration de la résolution expérimentale et à la
naiss ance de nouvell es technique s expérimentales favoris ant en cons équen ce
un e
stimulation croissante dan s le développement des recherches théoriques.
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(y
Fig. \\0 : Spectre d'électrons éjectés par impact de particul es
lourdes de 75 eV s ur l'hélium; (a) : cas de l'ion H;
(b) : cas de proton H+
(Rudd [59])

---

1
10 '
J
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.n
Figl l : Spectre XUV de la colli sion c4+ (5 MeV)-He
(Bruch et aJ [64 il
1.2. METHODES THEORlQUES
L'investigat ion de la dynamique de s ré sonances autoioni santes dan s les sy stèmes
à deux é lec tro ns e st d'une grande importance dans le développement el l'élaboration de
nouvelles technique s expérimentales et de nouvelle s méthode s d'approximation s
théoriques permettant une description détaillée des processus d'excitation et de
désexcitation radiatives et non radiatives de s états d'autoionisation
Les progrès théoriques réalisés dan s la description des processus d 'autoionisation
et l'interprétation des spectres des états doublement excités des systèmes h éliurnoïdes, a
mis en évidence la néce ssité de mettre au point des méthodes très bien élaborée s qui
prennent en compte le rôle fondamental joué par la corrélation électronique dans la
description des systèmes atomiques[46-52] .
Parmi le s processus d'excitation de s états d'autoionisation cités préc édemment.
nous allons nous intéresser particulièrement au processus de photoionisation. La figure
12 représente le diagramme de photoexcitation de l'h élium d'après Fano[ 1]

---

1
1-:1
1
Le processus de plus ba sse énergie eSI l'excitation d'un élec tro n vers une orbitale
atomique vide entre 20 el 24,6 eV.Lorsque l'énergie du photon dépasse le seuil de
première ionisation (24,6 eV) la photoionisation peut se produire en laissant l'ion résiduel
He+ dans son étal fondamental ( n = 1 ) ou alors dans un état excité
(n = 2 . 3.. ..)
respectivement au dessus de 65,4 eV , 72.7 eV .. etc .Pour les diverses énergies discrètes
du photon, entre 60 el 79 eV, l'excitation simultanée des deux électrons est possible . Ces
états de double excitation peuvent se désexciter par autoionisation et présentent la
particularité d'appartenir en même temp s aux configurations discrètes et à celles du
continuum. Au-delà de 79 eV, c'est la double ionisation qui peut se produire .
La coïncidence exacte des énergies des niveaux d'autoionisation avec celle s des
états du continuum ne permet pas l'application habituelle de la théorie des perturbations
pour la description dela photoionisation dans la zone spectrale correspondant à l'excitation
des résonances autoioni santes. Pour une telle description, comme on le sait à partir des
travaux de Feshbash[88] et de Fano[ 1] , il est néce ssaire d'utiliser des approximations
tenant compte le plu s que possible du mixage des configurations dans le spectre continu
et de procéder à une de scription unifiée de s processus directs et résonants
f - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .
EXCITED
STATE S
OF
HELIUM
( .• ,1 100ro"0'" ''''.~d
1" 6 .V
00 1"(OU,
1 ()c,1 .cotly
AIlO • • ct
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-
-
-
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-
-
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_ ' _ _/
,
1
J
1
40
SC
60
70
aD
EnerQY
in
eV
Fig.12 : Diagramme des différentes voies successivement
ouvertes dans le spectre de photoexcitation de He
(Fano 111)

---

15
Nous allons à présent aborder les principes de quelques unes des principales
méthodes théoriques permettant une telle description des résonances autoionisantes dans
des systèmes atomiques à deux électrons. Les méthodes que nous allons décrire ici sont:
la méthode de Fano, l'approximation "close-coupling", la méthode de rotation complexe,
la méthode des coordonnées hypersphériques, la théorie des opérateurs de projection de
Feschbach, la théorie du défaut quantique, la théorie R. matrice et la méthode de
diagonalisation ainsi que d'autres méthodes théoriques.
1.2.1. LA THÉORIE DE LA PHOTOIONISATION RÉSONANTE DE FANO
Le problème de la photoionisation résonante est traitée par Fano [1] dans le cas de
l'interaction d'un ou plusieurs états discrets avec un ou plusieurs continuums.
1.2.1.a) Interaction d'un état discret avec un état du continuum
Dans le cas de l'interaction d'un état discret j avec un état du continuum de fonction
d'onde \\}lE' .Fano décrit la fonction d'onde du système des états d'autoionisation sous la
forme suivante:
(1.1.1)
'"
Les sous-matrices de l'hamiltonien H du système dans les sous-espaces de canaux
fermés et ouverts sont diagonales.
(1.1. 3)
< \\}lE" IHI \\}lE' > = E' 8 (E" ,- E')
(1.1.4)
(1.1. 5)
L'équation (1.1.4) définit le couplage du niveau discret avec le continuum.
Les coefficients a et bE' sont des fonctions de l'énergie et sont solutions du système
d'équations suivantes:
E <p a + JdE' VE" hE, = E a
(1.1. 6)
VE' a + E' bE'
= E bE'
(1.1.7)

---

16
La résolution de ce système pose une indétermination qui sera levée par
introduction de la formule de Dirac [67-68] :
bE' = [I/(E' - E) + z (E) ù (E - E')] VE' a
(1.1.8)
Les coefficients aCE) et bE'(E) peuvent alors s'exprimer en fonction du
déplacement ~ du niveau discret à la suite de son interaction avec le continuum et
s'écrivent sous la forme:
a (E) = sin ~ 11t VE
(1.1.9)
bE' (E) = (VE' 11t VE)' ~i~ ~, - cos ~ Ù (E - E')
(1.1.10)
Dans ces expressions ~ est défmi par :
~ = - arctan
(1.1.11)
E-E<p-F(E)
où,
E<p + F(E) est l'énergie de résonance.
Les paramètres de la résonance: l'indexe de profil q, la largeur F et l'énergie Er,
sont déterminés en évaluant la probabilité de transition de l'état initial li> du système vers
l'état stationnaire \\}JE .Cette probabilité est définie par le carré de l'élément de matrice
< \\}JE rI1 i >
avec :
(1.1.12)
L'opérateur T caractérise le mode d'excitation du système, et ~ la fonction d'onde
de l'état discret, "modifiée" du fait de l'interaction de cet état avec le continuum.
~
f
=
V_i,
ljl + P
dE' E
IVE'
(1.1.13)
Le rapport entre la probabilité de transition vers l'état stationnaire \\}JE
et la
probabilité de transition vers l'état du continuum non perturbé \\j1E est représenté par des
courbes qui sont fonctions de la variable €
et de l'indexe de profil q.

---

17
2
1< 'IlE l1]i > 1 _ (q + e)2
(1.1.14)
1< 'liE 111 i > F
1 + e2
avec
e = (E - Er) / 1/2 r
La largeur de résonance F et l'indexe de profil sont déterminés par les relations
r = 2n IVE2
(1.1.15)
<<1> rn i >
q =------'-----'-'-----
(1.1.16)
n V~ < 'liE rn i >
I.2.1.b) Interaction d'un état discret avec deux états du continuum
La fonction d'onde totale du système, dans ce cas, s'écrit sous la forme:
f
't'hE
dE' [bE' 'l'E' + CE' XE']
( 1.1.17)
= a <P +
h désigne un ensemble de paramètres spécifiant la fonction 'II , les coefficients a,
bE' et cE' sont fonctions de E et h. Les éléments matriciels à diagonaliser dans les sous
espaces des canaux fermés et ouverts de la sous-matrice énergie sont:
< <p IHI <p > = Eqi
< 'liE' IHI <p > == VE'
< XE' IHI <p > = WE'
(1.1.18)
< 'l'E''IHI 'liE' > = < XE"IHI XE' > = E' 0 (E" - E')
< XE" IHI 'liE' > =0
La dernière des équations (1.2 .18) implique que la matrice a déjà été diagonalisée
dans le sous espace des états du continuum 'liE' et XE' . Cette hypothèse est faite dans
l'intention de se focaliser sur l'interaction des états du continuum avec l'état discret.
Les coefficients a, bE' et CE' sont déterminés par
la résolution du système
d'équations:
fdE'[v;,,+w~,cd
{E<pa+
=Ea
VE' a + E' bE' = E bE'
(1.1.19)
WE' a + E' CE' = E CE'

---

18
Par des opérations incluant des combinaisons linéaires avec les paramètres
(VE'* ,WE'*) et (WE', - VE') dans les équations (1.1.19),
on obtient les solutions:
bl ~ h
IW~lll2][~ ~~~,
E'
1 <!Vi +
-cos dli (E - E')]
*
V
c2
= -
E
8 (E - E')
2
E'
(IV + IW~ll/2
EI
(1.1.20)
C2E' = -
1t (IVa2 + IWrJ2)
L\\ = - arctan
(1.1.21)
E - E cp - G(E)
où
G (E)
(1.1.22)
Les solutions (1.1.20) peuvent se généraliser facilement au cas de l'interaction
d'un niveau discret avec plusieurs continuums en complétant les combinaisons linéaires
caractéristiques que l'on rencontre dans ces solutions (1.1.20) par les éléments matriciels
correspondants à l'interaction des nouveaux continuums avec le niveau discret.
La probabilité des transitions de l'état initial aux états du continuum est défmie par
la relation :
(1.1.23)

---

19
La section efficace de photoabsorption au voisinage d'une résonance isolée en
interaction avec plusieurs continua a été détermin ée par Fano et Cooper [46] et admet la
forme suivante :
(1.1.24)
Dans cette formule, aa représente la partie de la section efficace correspondant
aux transitions vers les états du continuum qui interagissent avec l'état discret
autoionisant, et ab représente la partie ne contenant pas l'effet de l'interférence de la
résonance avec le spectre continu.
La méthode de Fano a été utilisée par Altik et Moore [69] pour décrire la
photoabsorption de l'atome d'hélium sous le seuil d'excitation n = 2 de l'ion He" et dans
le problème de la désintégration multicanale des résonances atomiques dans l'hélium par
Ramaker et Schrader [70]et par Chang [71].
Dans son application pratique, cette méthode s'avère très difficile, d'où la nécessité
de procéder à des simplifications.
1.2. 2. L'APPROXIMATION "CLOSE-COUPLING":
Le principe de l'approximation close- coupling dans la description de la
photoionisation résonante consiste à développer la fonction d'onde totale du système
"projectile + atome ou ion cible" sous la forme suivante:
A
...... '"
E"
'l'jE =
~ <Pi F ij (r)
(1.2. 1)
Dans cette expression , est l'opérateur d'antisymétrisation, les fonctions <Pi sont
définies dans le canal i
et
représentent les états de l'ion résiduel y compris
les
coordonnées d'espace et de spin. Les coefficients F~ (;) sont les fonctions inconnues
représentant le mouvement de l'électron éjecté, dans le canalj.
La fonction d'onde totale ainsi décrite, satisfait aux conditions aux limites
correspondant à une onde sortante dans le canal j et des ondes entrantes dans tous les
autres

---

20
ij
canaux. De cette manière les coefficients F (;)
satisfont aux conditions aux limites
suivantes:
E
i-:
F ij (r) ~ r
r ~ 0
(1.2.2)
où S+ est la matrice adjointe de la matrice unitaire de diffusion S dans le problème de la
collision et ei est défini par :
(1.2 .3)
avec
(1.2.4)
(Z - N)
et
T\\!i = -
k.
(1.2.5)
1
k~ est l'énergie de l'électron éjecté, exprimée en rydberg.
E
L'obtention
des fonctions inconnues F ij (r) consiste en la résolution d'un
système d'équations intégro-différentielles que l'on obtient en substituant l'équation
(1.2. 1) dans l'équation de Shr ëdinger, Ce qui donne:
2
d
. (li + 1)
2J (E)
[
-
- li
+ k.
F ·· (r) = 2 ~ V· ..
[
2
2
1
1J
4
11
dr
r
1
(1.2.6)
W(r, r') et Ver) sont respectivement les potentiels d'interaction d'échange et direct
des électrons ..Le nombre de solutions indépendantes dans les équations (1.2.6) est égal
au nombre de canaux ouverts pour une énergie bien déterminée.
Différentes techniques de résolution des équations intégro-différentielles couplées
(1.2.6) ont été développées par Smith [72] et par Burke et Seaton [73] . Certaines de ces
techniques ont été mises sous forme de programmes, comme par exemple les programmes

---

21
ATOMNP mis au point par Connely et al [74] et par Ormonde et al [75] et IMPACf
développé par Seaton [76].Ces différents programmes ont permis le calcul des sections
efficaces de photoionisation. Berrington et al [77] ont proposé un autre programme de
résolution de ces équations intégro-différentielles, basé sur la théorie R - matrice.
La résolution du système d'équations couplées (1.2 .6), même pour une base de
petite dimension, fait de l'approximation "close-coupling" une méthode assez fastidieuse.
Quand le nombre d'états de la cible augmente, les calculs deviennent complexes et la
convergence de la méthode s'avère lente. La lente convergence a amené Burke et Taylor
[78] a introduire dans la fonction d'onde totale des termes de corrélation interélectronique.
L'approximation "close - coupling" a
été appliquée au problème de la
photoionisation de 1'hélium par Henry et Lipsky [79] pour le calcul des sections efficaces.
Dans le cadre de la même approximation, Burke et al [80], de même que Cooper et
al [81] ont calculé les principales caractéristiques des niveaux d'autoionisation section
efficace de photoionisation de l' hélium près des seuils n = 2 et n = 3 de l'ion résiduel .
Dans les calculs pour les résonances situées près du seuil n = 2 ils ont utilisé un
développement sur la base de trois états (1s, 2s, 2p) de l'ion résiduel . Des calculs plus
précis incluant les six états (l s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d) de l'ion He+ ont été faits près des
seuils n =2 et n =3 par Burke et al [80], et Ormonde et al [82] .
1.2. 3. LA MÉTHODE DES COORDONNES HYPERSPHERIOUES .
En coordonnées hypersphériques, la fonction d'onde totale des états de double
excitation électronique dans les systèmes à deux électrons peut s'écrire sous la forme:
2
'l'KLM (R, a, fI, f2) = L (R5/ sin a cos at l Fl?- (R) <l>~ (R, a , fI , f2)
~ ,II.h
(1.3.1)
Dans cette expression,
fI
et f2 sont les coordonnées des électrons
R = (Il + z1) 112 représente le rayon hypersphérique
a = arctan (r2/ rI) représente l'angle hypersphérique

---

22
Le rayon hypersphérique R mesure la "taille" de l'état des électrons, l'angle
hypersphérique a mesure la corrélation entre les électrons -Dans FlP-(R) , K est un
ensemble de nombres quantiques incluant l'énergie et L représente le moment angulaire
total.
LM
" "
Les fonctions 4>11
(R, a, ri, r2) satisfont à l'équation différentielle suivante:
(1.3.2)
Dans l'équation (1.3.2) Vil (R)
est une valeur propre qui dépend
paramétriquement de R, li est le moment angulaire de l'électron i, et C ( a, 812) est un
terme proportionnel à la somme des potentiels nucléaire et électrostatique :
C ( a, 812) = ~ + ~ Z + 2 ( 1- sin (2a) cos 812)
(1.3 .3)
cosœ
smœ
avec
Les fonctions radiales Ff(R) satisfont à des équations différentielles couplées
que l'on obtient en substituant l'expression (1.3.1) dans l'équation de Shrëdinger et en
utilisant l'équation (1.3.2).
Ces équations sont les suivantes:
(1.3.4)
Dans la méthode des coordonnées hypersphériques Macek[47] a
introduit
l'approximation dite adiabatique. Dans cette approximation appelée encore approximation

---

23
qua si sépa ra ble, les termes du seco nd membre de l'équ ati on Cl .3 .4) sont négli gé s . La
fon ction d 'onde (1.3 . 1) d an s ce cas es t réduite à :
( 1.3.5)
L'approximation ad ia ba t iq ue a rendu possi ble un grand nombre d' études
th éoriques qui ont é luc idé la d ynamique de s processu s mettant en cause le s sys tè m e s
h éliumoïdes. Son appli cation dans la méthode de s co ordo nnées hypersph èriques a d onné
des résultats satisfaisants pour la d étermination des é nerg ies d e s états doubl ement e xc ité s
et des prediction s e xac tes su r la description de la d ynamique des syst èmes à d eu x
élec tro ns. Une application importante de cette ap prox ima tio n est la c la ssifica tio n des é ta ts
doublement excité s dans les systèmes à deux éle ctro ns formulée par le g ro upe d e Fano
[46], et par Lin [49]
Les foncti on s d' ond e quasi-s éparables d onn ent en général une e xcellente
représentati on d e s
fon ction s d'ond e dan s les sys tè mes à deux électron s a ux petites
di stances près du no yau. M ai s au x g ra ndes distan ces radiale s e lles d o n ne n t une
représentation pr oche de l'approximation d e la panicule indépendante .
La méthode
d es coordonnées hypersph ériques a ég a le m e n t ét é util isée pou r
c om pre ndre qualitativement co m me nt un état à d eux élec tro ns de basse énergie se trou vant
près de l'origine évolue ver s les é ta ts de haute e xc ita tion. e n recevant de l'énergie durant le
p rocess us c olli si onn el. Cette idée a e t illus trée pa r L in 14 9] qui
a montré qu e ces états
d écrivent un m ouv ement le lon g d'un potentiel c rê te ce ntr é autour de la direction
o. = Jt: /4 représentée sur la figure 13 .
•
F ig .1 3 : Cane e n relief du po te ntie l -C (a,S12) pour Z = 1.
(L in [4 9]) .

---

24
1.2.4. LA MÉTHODE DE ROTATION COMPLEXE
Du point de vue mathématique, cette méthode repose sur le théorème de Balslev et
Combes [83] concernant l'étude des systèmes régis par des interactions coulombiennes.
Ce théorème décrit le comportement de l'hamiltonien du système lors de
l'extension de l'espace réel à l'espace complexe.
Dans cette méthode le changement de la variable radiale r en variable complexe rei8
transforme l'hamiltonien réel H(r) en hamiltonien complexe H(r, 8)
......
......
......
H(r) =T + V
H(r, 8) = Te-2i8 + Ve-i8
(l.4.1)
où T
et V sont respectivement les opérateurs de l'énergie cinétique et de l'énergie
potentielle.
Les paramètres de la résonance sont obtenus en résolvant l'équation aux valeurs
propres complexes:
< 't'Ct) IH(r, 8) - wl 't'Ct) > = 0
(1.4.2)
où 't'Ct) est une fonction d'onde d'essai et t caractérise l'état des particules du système.
Dans l'équation (l.4. 2)
(1.4.3)
où Er et T, sont l'énergie et la largeur de la résonance respectivement.
Pour l'obtention des caractéristiques de la résonance, on choisit une fonction
d'essai, qui le plus souvent est une fonction de carré intégrable du type fonction de
Hylleraas.

---

25
'1'(;1,;0= L Ckmnexp[-a(rl+r0]r~2x
k, m,n
(1.4.4)
avec k + m + n ~ 0)
( 0) est un entier positif)
pour L = 0,
k ~
m
Dans l'expression de la fonction d'essai, a et S sont le paramètre linéaire et le spin
total du système respectivement.
Pour décrire l'état quasi-stationnaire, le choix d'une telle fonction pose un
problème, car la fonction d'onde a la forme asymptotique suivante:
'l'(r) --t e ikr quand r --t 00
Par le changement de variable r --t rei8, on peut mettre cette forme asymptotique
sous la forme d'une fonction de carré intégrable.
A la résonance d'énergie Er et de moment k, on a
où
~ = 1/2 arg (Er)
pour cette valeur complexe de l'énergie la forme asymptotique devient :
=exp riIkl r cos (8 - ~)l exp r-Ikl r sin (8-~)-
(1.4. 5)
Pour
0 < 8 - ~ < 1t12, '1' (r) décroît exponentiellement et se comporte donc
comme une fonction d'onde de carré intégrable,
Les caractéristiques de la résonance peuvent alors être obtenues à l'aide de ces
fonctions. La présence du terme oscillant nécessite l'utilisation d'une base suffisanunent

---

26
large de fonctions de carré intégrable pour la fonction d'essai . La précision des résultats
dépend donc de la taille de la base choisie.
La détermination numérique de la position et de la largeur de la résonance dépend
des trajectoires de rotation des valeurs propres complexes qui doivent satisfaire aux
conditions suivantes:
aw
- = 0
a8
aw
- = 0
aa
aw
- = 0
am
'"
L'observation du spectre de l'hamiltonien H(r, 8) dans le plan complexe permet
de faire les remarques suivantes :
a) les énergies correspondant aux états liés sont identiques à celles des états liés
'"
de H(r)
'"
b)
les seuils d'énergie réelle pour les diagrammes de H(r, 8)
sont les
'"
'"
mêmes que ceux de H(r) , mais les diagrammes de H(r, 8)
sont tournés d'un angle 28
vers le bas, en dessous des basses couches.
c)
les
valeurs
propres complexes discrètes
sont obtenues quand
~ = 1/21arg (Er + i El~ < 0
,où Er est l'énergie de résonance mesurée par rapport au
seuil d'ionisation auquel est associé 8.
La méthode de rotation complexe a été utilisée en physique atomique par Doolen
[82] pour déterminer ces paramètres de la résonance dans le système e- + H.
Dans les travaux de Doolen [84] ont été utilisées plusieurs fonctions d'onde
variationnelles construites sur une base de Hylleraas, et il a été montré que les valeurs
propres de l'énergie dirigent vers la position de la résonance où elles se stabilisent
jusqu'à une valeur limite de 8 à partir de laquelle elles commencent à dévier dans le plan
complexe ( fig. 15).

---

27
""
""
La comparaison des spectres des hamiltoniens H(r) et H(r, S) est illustrée sur la
figure 16 pour les états lS de H- étudiés par Doolen [84].
Par la suite des calculs complets ont été faits par Ho [85-86] et par Callaway et
Ho [87] sur les états doublement excités sous les seuils n =2, 3, 4, 5 et 6 de l'ion He".
L'application de la méthode de rotation complexe aux systèmes héliumoïdes a
donné des résultats intéressants pour les positions et
les largeurs des résonances.
Cependant seules les largeurs totales sont déterminées dans la plupart des cas par cette
méthode.
Ry
-0,000 .-----o-------------------..--.,-~,....__----__.r.,...,.----
-0,00 1
-0,002
-0,003 L...-----------ir----~-----_+--------+--------
-0,2975
-0,2970
-0,2980
Fig. 15 : Trajectoire des valeurs propres de l'énergie en fonction de l'angle
S pour la résonance de Feschbach 2s2 IS dans H- (95 fonctions
de Hylleraas).(Doolen [84])
Courbe A: a = 0,7; Courbe B : a = 0,8; Courbe C: a = 0,9

---

28
E = -0)25
•
spectre pour H(r)
spectre pour H(S)
/
état lié
Fig. 16: Spectres des hamiltoniens H(r) et H(e) dans H- (Doolen [84])
1.2. 5. FORMALISME DES OPÉRATEURS DE PROJECTION DE FESCHBACH
Le formalisme des opérateurs de projection a été développé par Feschbach [88]
dans ses travaux sur la théorie unifiée des résonances nucléaires . Le formalisme a par la
suite été utilisée par Hahn et al [89] dans la description des phénomènes de résonance
dans les collisions atomiques.
Les opérateurs de projection Pet Q vérifient les relations:
p2 = P ;
Q2 = Q;
PQ = 0 ; P + Q = 1
(1.5.1)
où Pest l'opérateur de projection sur les canaux ouverts et Q est l'opérateur de
projection
sur les canaux fermés.
Si le système atomique "projectile + cible" est représenté par la fonction d'onde 'V
, à l'aide des opérateurs P et Q, l'équation de Shrëdinger (H - E) 'V
= 0 du système est
transformé en deux équations couplées
(1.5.2. a)
(1.5 .2 .b)
où
H(pp) = PHP
H~ = PHQ
(1.5.3)
H(QQ) = QHQ
H
=
QP
Q H P
(1.5.4)

---

29
Q'I' peut être déduit de l'équation (1.5.2.a) et remplacé dans l'équation
(1.5.2.b), ce qui donne l'équation de shrëdinger pour P\\jI
(E- H) P\\jI =0
(1.5.5)
où l'hamiltonien effectif H (ou encore potentiel optique généralisé) est défini par:
1
H = H(pp) + H(PQ) EH
' H(QP)
(1.5.6)
-
(OQ)
La résolution de l'équation (1.5.5) donne les amplitudes de transition de la
réaction. de collision considérée.
Après la collision, les réactions (diffusion élastique comprise) énergétiquement
permises sont considérées comme des canaux ouverts, les autres étant les canaux fermés.
Les résonances apparaissent comme des singularités du potentiel optique généralisé
et leurs énergies En sont les valeurs propres de l'hamiltonien H(QQ) = Q H Q:
(1.5.7)
Les fonctions <l> n désignent les états résonants et sont des vecteurs propres de
HQQ et également de Q.
Pour trouver les valeurs propres de H(QQ), on applique une méthode
variationnelle en utilisant le théorème d'Hylleraas- Undhein. La fonction <l>n d'un état
donné est alors développée sur une base à n éléments convenablement choisis, le
traitement variationnel donnera n énergies supérieures aux n premières valeurs propres de
H(QQ).
L'opérateur Q pouvant se développer sur la base des fonctions <l> n » on insère
l'expression Q = L 1<l> n > < <l> ni dans les équations couplées (1.5.2) pour obtenir les
n
paramètres de la résonance :
ES = Es + ~s
(1.5.8)
(1.5.9)

---

30
(1.5.10)
~s = < cjls IQ H P PeE - PHP)-l PH Qcjls >
(1.5.11)
Ces paramètres sont respectivement, la position exacte, l'énergie, la largeur et le
décalage en énergie dû au couplage entre l'état discret cjls
et le continuum par la
perturbation H(QQ).
Dans le cadre du formalisme des opérateurs de Feschbach, des résultats complets
ont été obtenus dans le problème de la photoionisation résonante des systèmes
héliumoïdes[ 32,34].Bachau [ 32] a utilisé ce formalisme dans l'étude des résonances
autoionisantes de l'hélium et des ions héliumoïdes convergeants vers les seuils n = 2 et
n= 3 de l'ion résiduel.
1.2. 6. LA THÉORIE R-MA TRIeE.
La théorie R - matrice fut introduite par Wigner et Eisenbud [92] dans leurs
travaux concernant les réactions nucléaires. L'idée essentielle de cette méthode est que la
configuration d'espace décrivant la particule éjectée et la cible dans le processus de
collision, est divisée en deux régions :
a) une région interne où l'interaction est très forte et le processus de collision
difficile à traiter
b) une région externe où l'interaction est relativement faible et où il est possible de
résoudre l'équation de Shrôdinger de manière analytique.
Dans la région interne r ~ a, (a définit le rayon de la sphère où l'interaction entre
l'électron éjecté et les électrons liés est forte), on défmit la fonction d'onde 'Vk
'Vk = A
4'Fijk<l>i(X\\, x2' .. . xN' ~N+Duij(rN+I)
IJ
(1.6.1)

---

31
N est le nombre de configurations de l'ion résiduel et de l'électron éjecté dans le
canal i; les <I> j décrivent (N+ 1) configurations d'électrons liés (états de même L et S); les
fonctions
Uij sont les orbitales d'ordre zéro, représentant les fonctions propres du
potentiel V(r) dans le champs du noyau de charge atomique Z, elles sont onhogonalisées
et satisfont aux conditions suivantes:
Uij (0) = 0
pour r = 0
et
(1.6. 2)
a
= b
pour r = a
U ij (a)
où b est une constante arbitraire.
La diagonalisation de l'hamiltonien de (N+ 1) électrons dans la région interne
permet d'obtenir les coefficients Cijk et djk ainsi que les valeurs propres Ek.
Dans le processus de photoionisation, les fonctions 'Vk
forment une base pour
le développement des fonctions d'onde de
l'état initial 'Va et de l'état final 'VE qui
s'écrivent:
'Vo= L AOk 'Vk
(1.6.3)
k
'VE = L AEk 'Vk
(1.6.4)
k
(1.6.5)
avec
< 'Vkl HI 'Vk' > = Ek °kk'
Les coefficients Aok et AEK sont déterminés en fonctions des termes
Uij à la
limite de la région interne, par l'intermédiaire des fonctions Vik (a), Yi (a) et de leurs
dérivées telles que :
Vjk(rl =L Cjjk U ij(r)
(1.6. 6)
J
Yi Ir] = L AEk Vik(r)
(1.6.7)
k

---

32
Chaque fonction Yi (a) et sa dérivée sont reliées par une matrice R que l'on
d éfinit de la manière suivante :
1
Vik(a) Vj~a)
Rij (E) =
L
2a
k
Ek - E
(1.6.8)
La théorie R - matrice est applicable à beaucoup de processus atomiques.
Appliquée à la photoionisation, elle présente certains avantages:
a) les différents états de l'ion résiduel (fondamental et états liés) peuvent être
décrits par superposition de configurations introduisant des pseudo - orbitales.
b) les fonctions d'onde de l'étal final et de l'état initial sont choisies dans la
même base de fonctions \\jIk.
c) une seule diagonalisation donne la matrice R à toutes les énergies ce qui
facilite le traitement détaillé des profils d'autoionisation.
Berrington et al [75] ont publié un programme basé sur la théorie R - matrice qui
a permis de trouver une solution approximée des équations couplées de la méthode "close
- coupling" et de calculer les sections efficaces de collision et de photoionisation dans un
système atomique quelconque. Des travaux du groupe de Burke [93-94]
utilisant la
théorie R-matrice ont permis de calculer les sections efficaces de collision et de
photoionisation dans différents systèmes atomiques. De même par la théorie R - matrice,
les sections efficaces totales et partielles dans la photoionisation résonante de l'hélium,
ont été déterminées par Hayes et al [95].
1.2.7. LA THÉORIE DU DÉFAUT OUANTIOUE CODn
La théorie du défaut quantique est une méthode qui décrit les processus de
photoabsorption atomique et de diffusion électron-ion, en utilisant les propriétés
analytiques des électrons excités se mouvant dans un champ purement coulombien.

---

33
La description de ces processus se fait avec quelques paramètres déterminés par
le calcu1 ou par les données expérimentales.
La détermination de ces paramètres permet de prédire la variation en fonction de
l'énergie de propriétés atomiques telles que les sections efficaces partielles et totales de
photoionisation et de diffusion, les paramètres d'asymétrie du photoelectron, les profils
d'autoionisation, etc.
Le Q D T divise la configuration d'espace de l'électron excité en deux régions:
a) une région interne 0:::;; r :::;; ro où les corrélations électroniques sont difficiles
à traiter.
b) une région externe ro :::;; r:::;; 00
où le potentiel d'interaction électron - ion
est supposé être purement coulombien.
Le rayon limite ro est de l'ordre du rayon de l'atome considéré.
Dans les travaux de Starace [96] sur les systèmes atomiques à deux électrons,
l'électron excité voit un champ coulombien pour r ~ ro. L'équation de Shrëdinger dans
cette région a deux solutions, une régulière f(v, r) et une irrégulière g(v, r) pour les petites
valeurs de r, telles que:
1+1
f(v, r) ~ r
(1.7 .1)
r~O
- 1
g(v, r) ~ r
(1.7.2)
r~O
Le paramètre v est lié à l'énergie de l'électron excité E relative au seuil
d'ionisation:
E = - 0.5 v -2
(1.7. 3)
La solution générale 'V(v, r) de l'équation de Schrëdinger est une combinaison
linéaire des fonctions f(v, r)
et g(v, r)
dont les coefficients sont déterminés par les
conditions aux limites pour r= ro et r = 00. Cette solution s'écrit sous la forme:
'V(v, r) = N v {f(V, r) cos 1t Il- g(v, r) sin 1t1l} r ~ r0
(1.7.4)

---

34
Le facteur de normalisation N v est déterminé par le comportement de
",( v, r)
aux grandes valeurs de r. Le paramètre ~ est la phase relative avec laquelle les solutions
régulière et irrégulière sont superposées, sa valeur dépend du comportement de ",( v, r)
dans la région 0:::; r :::; ro
où le potentiel effectif est non coulombien.
L'obtention de la valeur du paramètre ~
à toute énergie requiert un calcul
numérique de la fonction d'onde dans la région interne.
Cette fonction notée V 0 v, r)
est définie par :
"'ov, r) = L C;l,.(v) U À (r)
(1.7.5)
À
Les fonctions radiales U À (r)
sont un ensemble discret de fonctions propres.
Les coefficients CÀ(v)
sont d éterminés par la théorie R - matrice.
L'égalité des dérivées logarithmiques des équations (1.7.4) et (1.7.5) à r = ro
détermine u.
Il existe une manière approchée de d éterminer la valeur de u , qui consiste à
considérer le comportement asymptotique de ",(v, r)
pour les énergies de l'électron
excité au dessous du seuil,
",(v, r)
doit alors tendre vers zéro. Les fonctions
asymptotiques régulière et irrégulière sont alors:
f (v, r) ~ U (v, p) sin 7t v -
V (v, r) exp in v
(1.7.6)
r~oo
g(v,r) ~ - U (v, p) cos 7tV+
V(v,r) exp i7t(v+1/2)
(1.7.7)
r~oo
En substituant les formules (1.7.6) et (1.7 .7) dans l'équation (1.7. 4) on obtient
",(v, r) ~ N, {U(V, r) sin 7t (v +~) - V(v, r) exp i7t(v +~)}
(1.7.8)
Dans l'équation (7.8) la condition ",(v, r) = 0 implique que sin 7t (v + u) = 0
soit : v + ~ = n
(entier)

---

35
Dans ce cas l'énergie prend la valeur :
E =-0.5 v-2 = -0.5 (n-llt2
(1.7 .9)
Dans (7.9), Il traduit donc le défaut quantique et peut être détermin é directement
à partir des niveaux d'énergie de Rydberg.
Pour les énergies positives de l'électron excité, v = i/k , où k est le moment de
l'électron. Dans ce cas les fonctions asymptotiques prennent la forme
2
1/2
.
f (v.r) ~ (-)
sm (kr + e)
1tk
(1.7.10)
r~oo
2 1/2
g (v.r) ~ - (-)
cos (kr + e)
1tk
(1.7.11)
où
e= (- 1/2) 11t + &ln (2 k r) + arg T(l-t-1 - i/k)
(1.7 .12)
La fonction d'onde totale devient alors:
2 1/2 .
'l'(k, r) ~ N k (-)
sm (k r + e+ 1t Il)
1tk
(1.7.13)
r~oo
Dans l'expression (1.7.13), 1t1l est la différence de phase de diffusion aux
énergies près du seuil.
La théorie du défaut quantique (QDT) pour un seul canal[96] décrit alors le
spectre discret de l'énergie avec le défaut quantique Il qui est déterminé par les interactions
électron - ion dans la région interne et par la position du seuil d 'ionisation. Les différents
paramètres de la théorie du défaut quantique ont été d étermin és par Seaston et al [97], Lu
[98] et par Fano et al [99].

---

36
1.2. 8. LA MÉTHODE DE DIAGONALISATION
La recherche d'approches approximatives dans la résolution du problème de la
photoionisation résonante a permis la mise au point de la méthode de diagonalisation.
Cette méthode a été appliquée avec succès à la description des résonances
autoionisantes dans la photoionisation monocanale (Balashov et al [ 24] ) et multicanale
(Senashenko et Wagué [ 28] dans l'hélium et les ions héliumoïdes multichargés.
Les fondements de cette méthode consiste en l'introduction dans les équations
générales de la théorie unifiée des réactions nucléaires de Feschbach[86], de certaines
simplifications liées à une prise en compte approximative de l'interaction des niveaux
d'autoionisation avec le spectre continu. Dans son application pratique la méthode de
diagonalisation consiste à résoudre des systèmes d'équations algébriques, au lieu de
systèmes d'équations intégrales couplées dans la méthode de Fano ou de systèmes
d'équations intégro-différentielles dans la méthode de l'approximation du close-coupling.
La méthode de diagonalisation servira de base à notre travail, elle sera donc
décrite de manière plus détaillée dans le chapitre II.
1.2.9. AUTRES MÉTHODES
Avant de terminer cette revue, il est important de noter que plusieurs autres
méthodes ont été utilisées dans l'étude de la dynamique des résonances dans les systèmes
atomiques à deux électrons. Ces études comprennent les méthodes de la théorie des
groupes [ 102] et différentes méthodes variationnelles [103-105].En ce qui concerne la
méthode de la théorie des groupes, elle a été essentiellement appliquée aux états de
résonances doublement excités de H- et de He [102]. Par cette méthode, deux nouveaux
nombres quantiques K et T ont été obtenus , et ces nombres quantiques ont permis la
classification des états doublement excités.

---

37
CHAPITRE Il
THÉORIE ET APPLICATION DE LA MÉTHODE
DE DIAGONALISATION A LA PHOTOIONISATION
RÉSONANTE DES IONS HELIUMOIDES
C4+, N5+ ET 0 6 +
Il.1 THÉORIE DE LA MÉTHODE DE DIAGONALISATION
Pour la description des processus d'excitation et de désexcitation radiative et non
radiative des états d'autoionisation, il est nécessaire d'utiliser des méthodes tenant compte
le plus que possible du mixage des configurations dans le spectre continu. La méthode de
diagonalisation est l'une de ces méthodes. Elle a été appliquée à la description de la
photoabsorption résonante de l'hélium sous le seuil d'excitation n = 2 de l'ion résiduel
He+ par Balashov et al [24], dans le problème de la photoionisation monocanale, quand
on considère l'interaction d'une ou plusieurs résonances avec un seul état continu.
La généralisation de cette méthode à l'étude de la photoionisation résonante
multicanale
sous le seuil n = 3 a été faite par Senashenko et Wagué [28] pour la
description de la résonance (3S3P) 1P de l'hélium et par Wagué[31 ,36,38] dans l'étude
des systèmes héliumoïdes multichargés sous les seuils d'excitation n =2 et n =3 de l'ion
résiduel. Sous les seuils d'excitation n ~ 3 de l'ion résiduel, à l'approximation LS, la
désexcitation des états d'autoionisation dans les systèmes héliumoïdes multichargés se fait
aussi bien vers l'état fondamental que vers les états excités de l'ion résiduel. Ceci amène à
considérer l'interaction des résonances autoionisantes avec plusieurs états du continuum.
Le problème de la photoionisation devient alors un problème multicanal.
Pour la résolution du problème de la photoionisation résonante multicanale, les
étapes suivantes sont nécessaires:
1°) la fonction d'onde de l'état initial du système atomique considéré doit être
connue.
2°) les fonctions d'onde, les énergies, les largeurs partielles et totales des états
d'autoionisation doivent être déterminées.

---

38
3°) les fonctions d'onde du spectre continu doivent être calculées avec et sans
l'effet des interférences avec les résonances.
La détermination de toutes ces caractéristiques permet de calculer les amplitudes
partielle et totale de la photoionisation au voisinage d'une résonance. En utilisant
l'expression de l'amplitude partielle, on peut obtenir la section efficace de photoionisation
qui admet la forme suivante:
(2.1.1)
où Ti est l'amplitude partielle de photoionisation dans le canal i.
Cette amplitude est la somme de l'interférence des transitions directes vers le spectre
continu :
hv +A ----7A+ + e
et des transitions résonantes à travers les niveaux d'autoionisation:
hv +A ----7Aexcité ----7 A+ + e
Pour un système à deux électrons l'amplitude partielle Ti est définie par :
(2.1.2)
où rI et
r2
sont les coordonnées d'espace des électrons, Ôest l'opérateur du moment
dipolaire, 'l'Ei (fI, f2) représente la fonction d'onde de l'état quasi-stationnaire du système
ion+photoélectron avec l'énergie E, '1'0 ( --
rI' --
r 2) est la fonction d'onde de l'état initial, et
i définit tous les nombres quantiques nécessaires pour décrire l'ion et le photoélectron
dans un canal ouvert donné.
Avec une fonction d'onde donnée de l'état initial, le calcul des amplitudes partielles
Ti se ramène à la détermination des fonctions 'l'Ei (fI, [2). Pour cela il faut résoudre
l'équation de Schrëdinger :
,.....,
.....
.. ....
H 'l'Ei (rI' rV = E 'l'Ei (rI' rV
(2.1.3)

---

39
A l'approximation du couplage LS et en tenant compte uniquement de l'interaction
électrostatique des électrons l'hamiltonien fi en unités atomiques s'écrit sous la forme
......
1
2
1
2
z
H=--\\7
--\\7
(2.1.4)
2
ri
2
r2
où _1_
est l'opérateur de l'interaction électrostatique entre les électrons, Z est la
rl2
charge nucléaire.
Pour la résolution de l'équation (2.1.3) on développe la fonction d'onde 'VEi (ri, r2)
sous la forme:
'VEi (ri, r2) = AL 'Vk (ri) Uki (E, r2)
(2 .1.5)
k
où A est l'opérateur d'antisymétrisation, Uki (E, r2) sont les fonctions inconnues à
déterminer décrivant le mouvement du photoélectron, et 'Vk (ri) sont les fonctions propres
définissant les états de l'ion résiduel telles que:
(2.1.6)
(2.1.7)
Un première approximation dans l'application de la méthode de diagonalisation
consiste à remplacer la sommation infinie de l'équation (2.1.5) par une sommation finie
dans les sous - espaces des canaux fermés et des canaux ouverts.
= AL ['Vk (;I)Uki(E, ;'})] + LAveE)
(2 .1.8)
<l>~(;I';'})
k
~
où k représente l'ensemble des nombres quantiques caractérisant le système ion +
photoélectron dans le sous-espace des canaux ouverts, les fonctions G>!l(~,r;) son t
......
obtenues par une transformation unitaire qui diagonalise l'hamiltonien H dans le sous-
espace des canaux fermés:
<l>~ (;1>;~ =AL a~[ 'VI (;1) 'Vm(;~ ]
(2.1.9)
lm

---

40
Elles satisfont à la condition de diagonalisation :
(2.1.10)
Dans la transformation unitaire (2.1.9), les coefficients u~ définissant les fonctions
sont déterminés par la résolution du système d'équations linéaires algébriques:
I{ (E~-EO) O~v+ <X~Iv] XV>} UV =0
(2.1.11)
v
où Eo représente la valeur propre de l'hamiltonien à l'ordre zéro Ho correspondant aux
fonctions propres Xv définies par :
(2. 1. 12)
La détermination de la fonction d'onde du système ion+photoélectron 'l'Ei (rI , [2)
se ramène aux calculs des coefficients /\\11 (E) et
Vji (E, [2). Dans ces calculs, la
méthode de diagonalisation en tant que simplification notable de la méthode de Feschbach
ou de Fano consiste à négliger le couplage indirect des canaux fermés à travers les canaux
ouverts[24,31, 36].
Il a été montré que pour la résolution du problème de la photoionisation [31,36] il
faut avoir des fonctions
Vli) (E, ;i) qui remplissent des conditions aux limites
appropriées correspondant à l'émission d'un électron par l'atome à la suite de son
interaction avec le rayonnement électromagnétique. Pour cela ces fonctions doivent avoir
dans chaque canal j :f. i une onde entrante et dans tous les autres canaux i une onde
sortante. Avec ces conditions aux limites qui sont celles du problème de la photoionisation
les fonctions Vli) (E,;i) au premier ordre de l'interaction électrostatique entre les canaux
ouverts prennent la forme suivante[36]:
(-)
..
(- ) . .
(-)
~
..
V j i (E, ri) = <P i (E, ri) 0 ij + Gj (E) ( LJ Vjk V k!E, ri)
k:f.j
+ nI/\\v<E) < <Pv (;I,;i) Ivl 'l'j (; 1) > }
(2 .1.13)
v

---

41
(-)
..
où <Pi (E, ri) est l'onde sortante dans le canal i et Gj<-) (E) est l'opérateur de Green.
Quant aux coefficients
1\\11 (E), au premier ordre de l'interaction électrostatique
dans les canaux ouverts, ils ont été obtenus sous la forme :
~ <<P (;1,;i) Ivl Â['Vj (;1) Uji(E, ;:ù] >
J
Il
1\\ (E) = - - . . : . . . . . . - - - - - - - - - -
(2.1.14)
Il
i
tot
E - E - -r
- DII
Il
2
r
~
..
(- ) . .
()
(-)
..
où
U ji (E, ri) =<Pi (E, ri) 8ij + Gj - (E) (1 - 8ij) Vij <Pi (E , ri)
(2.1.15)
2
t o t
r
= 2n ~ 1< <P
vi $j
1l (;1, ;i) 1
(E) >1
(2.1.16)
J
r'" et D~ sont la largeur et le déplacement de la résonance respectivement.
<Pj (E)
est la fonction d'onde du spectre continu sans l'effet de l'interférence des
résonances quand l'interaction électrostatique est considérée au premier ordre.
(2.1.17)
où <Pj (E) est la fonction d'onde du spectre continu à l'ordre zéro.
Finalement à l'approximation de diagonalisation [24,31] , la fonction d'onde de
l'état final du système ion +photoélectron dans le canal i au premier ordre de l'interaction
électrostatique s'écrit sous la forme :
(2.1.18)

---

42
et l'amplitude totale de la photoionisation au voisinage d'une résonance isolée prend la
forme:
l " 1
q+i
~
TI=
-0
-0
-0
-0
"
< <l>j (E)
D 'V o (r), rV > + - . < <l>Jl (r), rvlV1<1>jCE»
x
E - 1
L,<<I>Jl(;)' ;z)lvl;k(E)151 'Vo (; )' ;v>
k
(2.1.19)
2
:t1< <l>Jl(;)' ;v1vl;k (E»I
toi
E = (E - E Jl- D~ / (1/2) r Jl
où
(2.1.20)
< <l>Jl (;)' ;z) 161 'Vo (;)' ;z»
q=
(2.1.21)
1t L, < <l>Jl (;)' ;v 1vl;k (E» <;k (E) 151 'V
;z»
0 ( ; ) '
k
Les caractéristiques E, E~ et q sont respectivement l'écart relatif, l'énergie et l'indexe
de profil de la résonance.
Quand on néglige le couplage des canaux ouverts entre eux dans la détermination
des principales caractéristiques de la photoionisation résonante il suffit de remplacer dans
les formules correspondantes précédentes les fonctions <l>iE) par les fonctions <l>j(E)
décrivant le continuum à l'ordre zéro.
Un autre paramètre caractérisant la photoionisation résonante est la section efficace
de photo ionisation au voisinage d'une résonance isolée. A l'approximaion de
diagonalisation ce paramètre est défmi également par la formule de Fano[l] :
(2.1.22)
Dans cette formule o, représente la partie de la section efficace incluant l'effet de
l'interférence de la résonance avec le spectre continu, et Ob la partie ne contenant pas cet
effet.

---

43
II. 2
APPLICATION DE LA MÉTHODE DE DIAGONALISATION A LA
PHOTOIONISATION RÉSONANTE DES IONS HELIUMOIDES
MULTICHARGES C4+,N5+,ET 06+ SOUS LES SEUILS
D'EXCITATION fi = 2 ET fi = 3 DE L'ION RÉSIDUEL.
II.2.1 PROCÉDURE DE CALCUL
Après avoir obtenu les principales formules du problème de la photoionisation
résonante multicanale par la méthode de diagonalisation, nous avons procédé aux calculs
systématiques des principales caractéristiques des états d'autoionisation des ions
multichargés C4+, N5+, 0 6+ sous les seuils d'excitation n = 2 et n = 3 de l'ion résiduel.
Ces calculs concernent les niveaux d'énergies, les fonctions d'onde, les largeurs partielles
et totales des résonances autoionisantes singulets et triplets. L'obtention de toutes ces
caractéristiques nécessite des calculs numériques pour la détermination des éléments
matriciels de l'interaction électrostatique entre les configurations discrètes de double
excitation électronique, et entre ces configurations et celles du continuum. Les formules
analytiques concernant le calcul de ces éléments matriciels se trouvent dans les annexes du
présent travail. Les calculs pratiques ont été réalisés à l'aide de programmes en fortran que
nous avons conçus et qui ont été compilés et exécutes sur micro ordinateurs PC Olivetti et
IBM PS2.
11.2.2 DÉTERMINATION DES ÉNERGIES ET DES
FONCTIONS D'ONDES DES ÉTATS AUTOIONISANTS
II. 2.2.1 Les énergies des états d'autoionisation lfO~3fOdes
ions c4+~5+et 0 6+ convergeant vers le seuil d'excitation n =3
de l'ion résiduel
Les énergies et les fonctions d'onde des états d'autoionisation sont obtenues par
diagonalisation de la matrice d'interaction du système à deux électrons considéré, dans une
base où les fonctions propres de l'hamiltonien sont sous la forme de produits
antisymétriques de fonctions coulombiennes dans le champ de charge Z. Les calculs ont
été effectués en deux variantes dans une base de dimension 7x7 et dans une base de
dimension 12x12 contenant les configurations suivantes: 31 nI' avec 1 ~ 2, l' ~ 3 et
3 ~ n ~ 5.

---

44
Les principaux résultats des calculs concernant les énergies, se trouvent dans les
tableaux 1 à 7. Ces résultats sont comparés à ceux d'autres auteurs utilisant d'autres
méthodes théoriques.
Dans les tableaux let 2, les énergies des états 1pO et 3po de l'ion N5+ s o n t
comparées à celles trouvées par Ho [l06] par la méthode de rotation complexe, par Oza
[107] par la méthode "Close-coupling", par le groupe de Hugo [108] par la méthode
TDM (Truncated diagonalised Method) , et par Bachau [32] par la méthode de Feschbach
Il y' a un bon accord entre nos résultats et ceux de ces auteurs. Pour l'énergie de
l'état 1po (l), on a une différence relative de 0,1 % entre nos valeurs et celles de Ho
[106], de Oza [107] et de Bachau [32] , et par rapport à la valeur donnée par le groupe de
Hugo [l08] l'écart est de l'ordre de 0,15 %.
Dans le cas de l'état 1po (2), Oza [107] trouve la valeur 4,731 u.a et Bachau[32]
trouve 4.722 u.a, soit une différence respective de 0,6 % et 0,4 % avec la notre qui est de
4.7040 u.a.
Pour l'état IpO(3) l'accord est encore meilleur avec le résultat du groupe de Hugo
[108], l'écart relatif étant de 0.01 %.
Les tableaux 3 à 5 comportent les énergies de quelques états d'autoionisation
singulets et triplets des ions 0 6+ et c4+ comparés à celles des travaux [31,32,106].
Les écarts relatifs sont respectivement de 0,04 % pour les états triplets 0 6+, et de
0,007 % et 0,006 % pour les deux premiers états triplets de l'ion c4+. Pour le premier
état singulet de l'ion C4+, l'accord est parfait avec la valeur de l'énergie donnée par la
méthode de rotation complexe[ 106].
D'une manière générale nos résultats concernant les énergies sont conformes à ceux
d'autres auteurs utilisant d'autres méthodes d'approche du problème de la photoionisation
résonante des systèmes héliumoïdes multichargés.
TI faut noter cependant que dans la plupart des travaux cités, la dimension de la base
choisie est plus grande que celle que nous utilisons. Le plus souvent des bases d'une
vingtaine d'états et plus ont été utilisées .

---

45
Dans le souci d'observer la convergence des résultats quand la base augmente, nous
avons calculé les énergies dans une base de 12 x12. Dans ce cas nous avons constaté que
les résultats obtenus s'approchent davantage de ceux des autres auteurs que dans le cas
d'une base de 7 x7 . Ces résultats figurent dans les tableaux 6 et 7.
L'observation des valeurs obtenues pour les énergies dans ce travail et dans celui de
Bachau[32] , montre qu'il y a une certaine stabilité de l'énergie par rapport au choix de la
base quand la charge Z augmente.
Tableau 1: Énergies ((-E) en u.a.) des états d'autoionisation 1po des ions N5+
convergeant vers le seuil n =3 de l'ion résiduel
Méthode
Méthode de
Méthode de
Méthode de
Méthode de
TDM
rotation
Close -coupling
Feschbach
diagonalisation
complexe
(travail présent)
(a)
(b)
(c)
id}
(matrice 7 x 7)
1po (3,3)
5.2496
5.02143
5.0214
5.021
5.0166
4.73658
4.7368
4.731
4.722
4.7040
(3,4)
4.02813
4.0280
4.028
4.027
4.0285
3.94806
3.9458
3.945
-
3.9387
3.94371
3.9438
3.944
-
3.9119
3.79654
3.7954
3.791
3.7026
3.77253
3.774
3.5875
(a) Hugo et al [108]
(b) Ho [106]
(c) Oza [107]
(d) Bachau [32]

---

46
Tableau 2 : - Énergies «-E) en u.a) des états triplets 3PO des ions N5+
convergeant vers le seuil n =3 de l'ion résiduel
États
Méthode de Feschbach
Méthode de diagonalisation
(a)
(travail présent)
3po
(1)
5.096
5.095
(2)
4.911
4.913
(3)
3. 996
3.981
(a) Bachau [32]
Tableau 3: Énergies ((-E)en u.a) de quelques états singulets et triplets des ions
0 6+ convergeant vers le seuil n = 3 de l'ion résiduel
États
Méthode de Feschbach
Méthode de diagonalisation
(a)
(présent travail)
1po
(1)
6. 624
6. 620
(2)
6. 276
6. 257
(3)
5. 296
5. 308
31'0
(1)
6. 712
6.710
(2)
6. 498
6. 500
(3)
5. 261
5. 251
(a) Bachau [32]

---

47
Tableau 4 : Énergies d'excitation (en eV) de quelques états d'autoionisation singulets et
triplets des ions <=4+ convergeant vers le seuil n = 3 de l'ion résiduel.
États
Méthode de
Travail présent
Méthode de rotation
diagonalisation (a)
complexe (b)
lpo
(1)
782,79
782,73
782,73
(2)
789,65
789,81
789,15
(3)
807,65
802,02
-
3po
(1)
781,05
781,09
781,04
(2)
785,35
785,26
785,23
(3)
802,75
802,10
-
(a) Wagué [31]
(b) Ho [106]
Tableau 5: Énergies d'excitation (en eV) de quelques états d'autoionisation 1pO
des ions N5+, 0 6+ convergeant vers le seuil n = 3 de l'ion résiduel
États
N5+
0 6+
Méthodes
3S3P
1081,94
1429,46
Méthode de
3P3D
1090,40
1439,26
diagonalisation
4S3P
1108,80
1465,10
(travail présent)
3S3P
1081,88
1429,41
Formalisme de
3P3D
1090,01
1438,88
Feschbach
4S3P
1108,92
1465,54
(a)
(a) Bachau [32]

---

48
Tableau 6: Énergies ((-E)en u.a) des états d'autoionisation 1pO des ions c4+,
N5+ et 0 6+ convergeant vers le seuil n = 3 de l'ion résiduel (Matrice 12 x 12).
États de la base
c4+
N5+
0 6+
3S3P
3. 6367
5.0186
6. 6222
3P3D
3. 3773
4. 7078
6. 2620
4S3P
2. 9229
4.0317
5. 3123
4P3D
2. 8872
3. 9485
5. 2012
3P4D
2. 8186
3.9315
5. 1741
3S4P
2. 7408
3.7710
4. 9997
3D4F
2.6738
3. 7083
4. 9161
5S3P
2. 5698
3. 5287
4.6374
5P3D
2. 5189
3.4691
4.5713
3P5D
2. 5063
3.4582
4.5603
3S5P
2. 3833
3. 3191
4.4077
3D5F
2.2776
3. 2120
4. 2990
Tableau 7: Énergies ((-E)en u.a.) desétats d'autoionisation 3pO des ions 0 6+
et N5+ convergeant vers le seuil n =3 de l'ion résiduel (Matrice 12 x 12)
États de base
N5+
0 6+
3S3P
5.0962
6.7116
3P3D
4. 9163
6. 5040
4S3P
4.0283
5.2949
4P3D
3. 9895
5.2593
3P4D
3.9441
5.2028
4P3D
3. 8764
5. 1186
3D4F
3. 8433
5.0829
3P5D
3. 5218
4. 6263
5S3P
3. 5058
4. 5898
3D5F
3.4646
4. 5482
5P3D
3.4203
4.5176
3S5P
3.4058
4.445

---

49
II. 2.2.2 Les fonctions d'onde des états d' autoionisation 1fÜ ~3fÜ des
~+ N5+llQ6+ conver~eantvers le seuil d'excitation
n = 3 de l'ion résiduel
Les fonctions d'onde des états d'autoionisation sont données par les vecteurs
propres obtenus après diagonalisation de la matrice d'interaction du système héliumoïde
considéré.
La comparaison des résultats figurant dans les tableaux 8 et 9 sur les vecteurs
propres des états d'autoionisation 31 nl' 1pa de l'ion N5+ obtenus par diagonalisation
d'une matrice 7 x 7, et d'une matrice 12 x 12 respectivement, montre la quasi-stabilité des
fonctions d'onde par rapport au choix de la dimension de la base.
Les fonctions d'onde des états d'autoionisation 31 nI' 1pO des ions 06+et 0+ sont
consignés dans les tableaux 10 et Il .D'après ces résultats, la structure des fonctions
d'onde présente un important mixage des configurations de base dû à l'interaction des
électron-électron.
La comparaison des vecteurs propres 3po et 1pa des ions N5+ et 0 6+ dans les
tableaux 12 et 13 laisse apparaître que le mixage est plus important dans les états singulets
que dans les états triplets.
Ceci pourrait s'expliquer par le principe d'exclusion de Pauli qui n'admet pas que
les deux électrons soient au même endroit quand leur spin total S = 1 (état triplet). Dans
ce cas, l'interaction des électrons devenant plus faible, il y' a moins de mélange de
configurations.
Enfin on constate qu'avec l'augmentation de la charge Z , les fonctions d'onde
obtenues se stabilisent par rapport à la dimension de la base choisie.

---

50
Tableau 8 : Vecteurs propres des états d'autoionisation 31 ni' 1pO des ions N5+
convergeant vers le seuil n = 3 de l'ion résiduel (Matrice 7 x 7)
3S3P
0.7631
0.0417
-0.0057
-0.6282
0.1014
-0.1033
-0.0119
3P3D
0.6374
-0.1024
0.0130
0.7496
0.0323
0.1361
0.0367
4S3P
-0.0435
0.4279
0.6099
0.0931
0.6050
-0.1282
-0.2273
4P3D
-0.0608
-0.5154
0.3567
-0.1012
0.3084
0.1615
0.6868
3P4D
0.0664
-0.5542
-0.03771
0.0061
0.5711
-0.1171
0.4539
3S4P
-0.0310
0.4665
-0.5958
0.0665
0.4303
-0.0461
0.4842
3D4F
-0.0134
0.1183
-0.0559
-0.1411
0.1262
0.9551
-0.1855
Tableau 9:
Vecteurs propres des états d'autoionisation 31 ni' 1pO des ions
N5+ convergeant vers le seuil n =3 de l'ion résiduel (Matrice 12 x 12)
3S3P
0.7627
0.0584
-0.0056
-0.6285
0.0877
-0.0574
-0.0105
3P3D
0.6375
-0.1042
0.0123
0.7501
0.0313
0.0602
0.0324
4S3P
-0.0425
0.4319
0.6016
0.0895
0.5860
0.0190
-0.2326
4P3D
-0.0588
-0.4940
0.3590
-0.0974
0.3240
-0.0076
0.6690
3P4D
-0.0639
-0.4236
-0.3852
0.0071
0.5628
-0.3059
-0.4446
3S4P
-0.0303
0.4319
-0.5915
0.0634
0.4077
0.1198
0.4858
3D4F
-0.0126
-0.1559
-0.0637
-0.1328
0.1349
0.8138
-0.2072
5S3P
-0.0233
0.1051
0.0415
0.0155
-0.1303
0.1453
0.0492
5P3D
-0.0219
0.2228
-0.0309
-0.0218
-0.0864
0.0008
-0.0904
3P5D
-0.0130
-0.1942
-0.0405
0.0220
-0.1034
-0.0045
0.0261
3S5P
-0.0077
-0.1737
0.0425
0.0117
-0.0628
-0.0640
-0.0679
3D5F
-0.0068
0.1898
0.0189
-0.0393
-0.0505
-0.4440
0.0673

---

51
Tableau 10: Vecteurs propres des états d'autoionisation 31 nI' 1pO des ions 0 6+
convergeant vers le seuil n =3 de l'ion résiduel (Matrice 12 x 12)
3S3P
0.7642
0.0482
-0.0077
-0.6312
0.0683
0.0552
-0.0396
3P3D
0.6379
-0.0935
0.0162
0.7545
0.0335
0.0604
0.0146
4S3P
-0.0367
0.4417
0.5705
0.0766
0.4456
0.00288
-0,49 11
4P3D
-0.00509
-0.5013
0.4153
-0.0845
0.5459
0.0112
0.4714
3P4D
-0.0558
-0.4753
-0.4000
0.00541
0.3386
-0.2872
-0.6070
3S4P
-0.0255
0.4183
0.5757
0.0560
0.5946
0.1025
0.3087
3D4F
-0.0111
0.1428
0.0703
-0.1170
0.0370
0.8513
-0.2320
5S3P
-0.0113
0.1627
-0.0300
0.0197
0.0752
0.0030
0.0586
5P3D
-0.0194
0.1900
0.0338
-0.0196
-0.0972
0.0084
-0.0425
3P5D
-0.0207
0.1024
0.1024
0.0132
-0.0852
0.1198
0.0795
3S5P
-0.0068
-0.1528
0.0393
0.0102
-0.0734
-0.0470
0.0300
3D5F
-0.0061
0.1567
0.0161
-0.0361
-0.0131
-0.3984
0.0675
Tableau Il
Vecteurs propres des états d'autoionisation 31 nI' 1pO des ions c4+
convergeant vers le seuil n = 3 de l'ion résiduel (Matrice 12 x 121
3S3P
0.7609
-0.0647
-0.0092
-0.6228
0.0699
-0.0601
0.0848
3P3D
0.6370
-0.1199
0.0220
0.7418
-0.0494
0.0617
0.0391
4S3P
-0.0457
0.3294
0.5819
0.1184
0.3151
0.0284
0.6176
4P3D
-0.0745
-0.4792
-0.3146
0.0125
0.646
-0.3175
0.2530
3P4D
-0.0653
-0.4189
0.0136
-0.1259
-0.6186
-0.0021
0.5858
3S4P
-0.0363
0.4749
-0.7414
0.0738
-0.0453
0.1332
0.3735
3D4F
-0.0146
-0.1868
-0.0170
0.1512
0.2459
0.7659
0.0276
5S3P
-0.0154
-0.1915
-0.0507
0.0233
-0.0734
-0.0104
-0.1384
5P3D
-0.0253
0.2355
0.0222
-0.0231
0.0872
0.0018
-0.1523
3P5D
-0.0268
0.1296
0.0538
0.0186
-0.1072
0.1756
-0.1131
3S5P
-0.0094
-0.2128
0.0722
0.0119
-0.0023
-0.0023
-0.0848
3D5F
-0.0077
0.2299
0.0153
-0.0423
-0.0754
-0.4982
-0.0149

---

52
Tableau 12 :
Vecteurs propres comparés des états d'autoionisation 3pO et 1pOdes
ions N5+ convergeant vers le seuil n =3 de l'ion résiduel
États de la
3pO
1pO
base
3S3P
0.9197
0.0030
0.0626
0.7627
0.0584
-0.0056
3P3D
0.3844
0.0246
0.0247
0.6375
-0.1042
0.0123
3S4P
0.0436
0.3669
0.5867
0.0303
0.4319
0.5915
4S3P
0.0397
0.3318
0.6940
-0.0425
0.4319
0.6016
4P3D
-0.0280
-0.5307
0.2957
-0.0588
-0.4940
0.3590
3P4D
-0.0306
0.5800
0.2387
-0.0639
-0.4236
-0.3852
3S4D
-0.0148
-0.0201
-0.0776
-0.0077
-0.1737
0.0425
5S3P
0.01311
0.0198
-0.0829
-0.0233
0.1051
0.0415
Tableau 13 :Vecteurs propres comparés des états d'autoionisation 3pO et 1pO
des ions 0 6+ convergeant vers le seuil n = 3 de l'ion résiduel
États de la base
3pO
1pO
3S3P
0.9221
0.00206
0.05280
0.7642
0.0482
-0.0077
3P3D
0.3808
0.02405
0.0270
0.6379
-0.0935
0.0162
3S4P
-0.0384
0.2401
0.658
-0.0255
0.4183
-0.5757
4S 3P
-0.0347
-0.3963
0.600
-0.0367
0.4417
0.5705
3P4D
-0.0267
-0.5713
0.3186
-0.0558
-0.4753
0.40006
4P3D
-0.0182
-0.5519
0.2724
-0.0509
-0.5013
0.4153
3S5P
-0.0124
-0.0001
-0.0629
-0.0068
-0.1528
0.0393
5S3P
0.0114
0.0236
-0.0607
-0.0113
0.1627
0.0300

---

53
II.2.2 .3 Les énefl~ies des états d'autoionisation 1fÜ des ions ç4+.....,N5+
~6+ conver~eant vers le seuil d'excitation n - 2 de l'ion résiduel
Dans cette partie, nous avons calculé à l'approximation LS les énergies des états
d'autoionisation convergeant vers le seuil d'excitation n =2 de l'ion résiduel .Les résultats
obtenus sont comparés à ceux obtenus avec la prise en compte des effets relativistes
[31,38] dans la description des caractéristiques de la photoionisation résonante. Ces
calculs sont importants pour la détermination de l'influence des effets relativistes quand la
charge Z augmente.
Pour nos calculs nous avons considéré les configurations de fonctions
coulombiennes antisymétriques dans le champ de charge Z dans une base de dimension
12x12:
2S2P,2S3P, 3S2P,2P3D,2S4P, 4S2P,2P4D,2S5P, 5S2P,2P5D,6S2P, 2S6P
Les résultats concernant les énergies d'excitation des états 1pO des ions C4+, N5+
et 0 6+ se trouvent dans le tableau 14. Le tableau 15 montre le résultat des calculs
concernant les énergies de quelques états inférieurs, ces résultats sont comparés à ceux
qui ont été obtenus à l'approximation du couplage intermédiaire en tenant compte de
l'interaction spin-orbite[31]
Le tableau 15 fait apparaître les énergies de quelques états 21 nI' de l'ion 0 6+,
comparés aux énergies calculées dans l'approximation du couplage intennéctiaire en tenant
compte de l'interaction spin - orbite [31-38].
Dans le tableau 16 figurent les résultats portant sur les vecteurs propres de quelques
états auto ionisants 1pO de l'ion C4+ sous le seuil d'excitation n = 2. Ces résultats
comparés à ceux obtenus en tenant compte de l'interaction spin-orbite, ne laissent paraître
aucune différence notoire. La fonction d'onde étant définie à la phase près, les différences
de signe parfois observées n'ont pas d'importance.
Ces tableaux montre que la prise en compte de l'interaction spin-orbite pour les ions
considérés n'influe pas beaucoup sur la valeur de l'énergie d'excitation. L'approximation
LS que nous avons choisi pour décrire les systèmes héluimoïde s multichargés c4+, N5+
et 0 6+ dont les charges Z peuvent être considérées comme moyennes, est donc
acceptable.

---

54
Tableau 14: Énergies «-E) en u.a) des états d'autoionisation 1pO des ions c4+
N5+, 0 6+ convergeant vers le seuil n =2 de l'ion résiduel
(Matrice 12 x 12)
États de la base
c4+
N5+
0 6+
2S2P
7.915
10.973
14. 530
2S3P
6.095
8. 372
9.981
3S2P
5. 887
8. 121
10.889
2P3D
5. 804
8.022
10. 630
4S2P
5. 361
7. 346
9.491
2P4D
5.272
7.236
9.638
2S5P
5.237
7.196
9.464
5S2P
5. 350
6. 889
9.030
2P5D
4. 987
6. 831
8.955
6S2P
4. 882
6.723
8. 867
2S6P
4.815
6. 609
8. 675
4. 739
6. 528
8.581
Tableau 15: Énergies d'excitation (en eV) de quelques états d'auto ionisation 1pO de l'ion
0 6+ convergeant vers le seuil n =2 de l'ion résiduel.
Approximation du
États de base
couplage
Travail présent
Théorie des
intennédiaire( a )
perturbations ( b )
2S2P
1214. 82
1214. 27
1214.43
3S2P
1310.58
1313.34
1310.56
2P3D
1320. 40
1320.40
1317.66
(a) Wagué [31]
(b) Vainshtein et al [110]

---

55
Tableau 16: Vecteurs propres de quelques états d'autoionisation 1pOde l'ion c4+
états de la base
(a)
Travail présent
2S3P
0.60501
- 0.68539
0.60419
0.68539
2P3S
0.686278
0.686224
0.68338
- 0.686224
2P3D
0.23847
-0.216370
0.24134
0.21664
(a) Wagué [31]
II. 2.3 DÉTERMINATION DES LARGEURS DES NIVEAUX D'AUTOIONI-
SATION DES IONS HELIUMOIDES N5+ ET 0 6+ CONVERGEANT
VERS LE SEUIL D'EXCITATION n = 3 DE L10N RÉSIDUEL
La détermination des largeurs totales et partielles des niveaux d'autoionisation est
très importante dans la description des processus dynamiques de la photoionisation
résonante. Cette description nécessite la connaissance des fonctions d'onde du spectre
continu et celles des états d'autoionisation.
Dans nos calculs, nous avons considéré les fonctions d'onde du spectre continu
comme des fonctions coulombiennes où la fonction d'onde du photoélectron est définie
dans le champ de charge (Z - 1) tandis que celle de l'électron de l'ion résiduel est définie
dans le champ de charge Z. Pour ce qui concerne les fonctions d'onde des états
d'autoionisation, elles sont les mêmes que celles que nous avons obtenues pour la
détermination des énergies d'excitation des résonances.
La photoionisation résonante des ions héliumoides d'azote N5+ et d'oxygène 0 6+
sous le seuil d'excitation n = 3 de l'ion résiduel, revêt un caractère multicanal. Dans cette
zone spectrale la désexcitation des résonances a lieu suivant quatre canaux du continuum.
L'une des transitions 1skp a lieu vers l'état fondamental de l'ion résiduel et les trois
autres vers les états excités 2s lep, 2p ks et 2p kd.
Lorsqu'il y a plusieurs voies de désexcitation non radiative des résonances, la
difficulté majeure dans la détermination des caractéristiques résonantes réside dans

---

56
l'évaluation de la contribution des différents états du continuum, mais surtout clans la prise
en compte de leur interaction directe .
Du point de vue théorique l'approche la plus simple dans la détermination des
largeurs est la négligence de l'interaction des canaux ouverts entre eux. Dans ce cas les
largeurs partielle et totale sont défmies par les expressions:
2.3.1
2.3.2
Sur les figures 17, 18 et 19 sont représentés les diagrammes des transitions
correspondant à l'excitation et à la désexcitation des résonances de N5+ et 0 6+ sous le
seuil d'excitation n = 3 .
II.2.3.1 DISCUSSION DES RÉSULTATS
Pour les ions héliumoïdes N5+ et 0 6+, nous avons calculé les largeurs totales
des 7 premiers niveaux d'autoionisation convergeant vers le seuil d'excitation n = 3.
Nous avons comparé nos résultats avec les résultats théoriques disponibles [106-109],il
existe un bon accord entre nos résultats et ceux de ces auteurs comme l'indique le tableau
17. Dans ce tableau les résultats concernant les largeurs totales des résonances de N5+
sous le seuil d'excitation n = 3 sont présentés en comparaison avec ceux de Ho [ 106],
Oza [107], Hugo et Hansen [108] et Bachau et al [109] , qui ont respectivement utilisé la
méthode de rotation complexe, l'approximation close-coupling, la méthode B. Spline et le
formalisme de Feschbach. Aucune donnée expérimentale sur les largeurs n'étant
disponible, la comparaison avec l'expérience n'a pu être effectuée.
Pour ce qui concerne le calcul des largeurs totales des résonances convergeant vers
le seuil n = 3 dans les ions multichargés 0 6+, nous avons comparé nos résultats avec les
seuls disponibles à notre connaissance de Bachau [32] et Bachau et al [109]. Comme
l'indique le tableau 18, là aussi il existe un bon accord entre les différents résultats.
Les résultats du calcul des largeurs partielles correspondant aux transitions vers les
canaux ouverts 1s kp, 2s kp, 2pKs et 2p kd, se trouvent dans les tableaux 20 pour l'ion

---

57
N5+ et 21 pour l'ion 0 6+, Pour ces résultats les possibilités de comparaison sont limitées
du fait de l'absence presque totale de données sur les largeurs partielles dans la littérature.
La seule comparaison possible a été faite avec les résultats de Bachau et al [109].
L'observation des
tableaux 20 et 21 montre qu'il y a un bon accord pour quelques
largeurs partielles, mais aussi de grandes différences pour certaines.
Les différences observées sont probablement dues à la sensibilité des largeurs
partielles au choix des fonctions d'onde du spectre continu où pour des calculs plus précis
il faudrait tenir compte de l'influence de l'interaction des canaux ouverts entre eux.
Une information importante que nous tirons du calcul des largeurs partielles est la
probabilité relative CùIJ. de formation de l'ion résiduel à l'état fondamental, définie par la
relation:
û1t =
où
~ est la largeur partielle correspondant à la formation de l'ion résiduel à l'état
fondamental et ri la largeur partielle correspondant à la formation de l'ion résiduel aux
états excités n =2
Les résultats du calcul de cette probabilité se trouve dans le tableau 22 où nous
voyons que la probabilité relative de formation de l'ion résiduel aux états excités est plus
grande que celle de sa formation à l'état fondamental. Ce résultat est conforme aux
résul tats expérimentaux [6-7] et théoriques [31] sur l'hélium et les ions héliumoïdes
multichargés.

---

58
Tableau 17:
Largeurs totales (en eV) des états d'auto ionisation 1pO des ions N5+
convergeant vers le seuil n =3 de l'ion résiduel.
États d'auto-
Méthode de
Méthode B.
Rotation
Close -
Formalisme
ionisation
diagonali-
Spline
complexe
Coupling
de Feshbach
sation (travail
(a)
(b)
(c)
(d)
présent)
3S3P
0.44
0.380
0.402
0.402
0.40
3P3D
0.13
0.108
0 .10
0.114
0.10
4S3P
0.0029
0.0018
0.0027
0.0015
0.0019
4P3D
0.22
0 .20
0.21
0.20
0 .24
3P4D
0.028
0.023
0.017
0.013
0.03
3S4P
0.039
0.049
-
0.054
0.05
3D4F
0.0024
0.0038
-
-
0.0014
(a) Hugo W and J. E. Hansen [108]
(b) Ho [106]
(c) Oza [107]
(d) Bachau et al [109]

---

59
Tableau 18 : Largeurs totales (en eV) des deux premiers états d'autoionisation
1po et 3po des ions N5+ et 06+ convergeant vers le seuil n = 3
de l'ion résiduel
États
N5+
06+
Méthodes
d'approche
3S3P
0.44
0.46
Méthode de
3P3D
0.13
0.12
diagonalisation
(travail présent)
1po
3S3P
0.438
0.44
TDM
3P3D
0.114
-
(Truncated
diagonalisation
Méthod. (a»
3S3P
0.10
0.11
Méthode de
3P3D
0.049
0.046
diagonalisation
3po
(travail présent)
3S3P
0.11
0.11
Formalisme de
3P3D
0.043
0.043
Feschbach (b)
(a) Bachau [32]
(b) Bachau et al [109]
(c) Bordenave - Montesqiueu, P. Benoît Cattin et al [61]

---

60
Tableau 19 : Largeurs totales (en eV) des états d'autoionisation 1pO des ions 0 6+
convergeant vers le seuil n =3 de l'ion résiduel.
États
Méthode de
Formalisme de
MéthodeTDM
d'autoionisation
diagonalisation
Feschbach
(travail présent)
(a)
(b)
3S3P
0.46
0.40
0,44
3P3D
0.12
0.11
-
4S3P
0.0020
0.0019
-
4P3D
0.21
0.23
-
3P4D
0.045
0.044
-
3S4P
0.07
0.053
-
3D4F
0.0029
0.0022
-
(a) Bachau et al [109]
Tableau 20: Largeurs partielles (en eV) des états d'autoionisation 1pO des ions N5+
convergeant vers le seuil n =3 de l'ion résiduel.
Voies de désexcitation
États
l skp
2skp
2pks
2pkd
3S3P
0.0027
0.39
0.010
0.062
(a)
0.0035
0.12
0.19
0.081
3P3D
0.00167
0.0076
0.0019
0.095
(a)
0.0017
0.0068
0.0019
0.092
4S3P
0.28.10- 5
0.75.10- 3
0.69 .10-3
0.329.10- 3
(a) 0.20.10- 5
0.72.10- 3
0.8.10- 3
0.35.10- 3
4P3D
0.45.10- 4
0.076
0.11
0.63.10-2
(a) 0.24.10- 2
0.72
0.12
0.43.10- 1
3P4D
0.38.10- 4
0.015
0.0116
0.024
(a) 0.25.10- 3
0.62 . 10-2
0.012
0.012
3S4P
0.0027
0.0014
0.0011
0.03
(a)
0.0027
0.0013
0.0014
0.044
3D4F
0.94.10- 3
0.189.10-3
0.37.10-6
0.0036
(a) 0.91.10- 5
0.20.10-3
0.32.10-6
0.0012
(a) Bachau et al [109]

---

61
Tableau 21 : Largeurs partielles (en eV) des états d'autoionisation l po des ions 0 6+
convergeant vers le seuil n = 3 de l'ion résiduel
États
Voies de désexcitation
1skp
2skp
2pks
2pkd
3S3P
0.0038
0.41
0.0036
0.094
(a) 0.0037
0.12
0.19
0.085
3P3D
0.68.10- 5
0.020
0.017
0.047
(a) 0.18.10- 2
0.0073
0.0019
0.096
4S3P
0.15.10- 5
0.76.10- 3
0.82.10- 3
0.43.10- 3
(a) 0.20.10- 5
0.70.10- 3
0.81.10- 3
0.36.10- 3
4P3D
0.44.10- 4
0.08
0.023
0.047
(a) 0.24.10- 2
0.069
0.12
0.042
3P4D
0.34.10-4
0.017
0.013
0.0099
(a) 0.40.10- 3
0.016
0.018
0.0096
3S4P
0.0009
0.0015
0.0017
0.041
(a) 0.0014
0.0029
0.0017
0.047
3D4F
0.37.10- 6
0.83 .10- 3
0.32.10- 5
0.0018
(a) 0.19 .10-4
0.28 .10- 3
0.36.10- 5
0.0019
(a) Bachau et al [109]

---

1
1
62
1
Tableau 22: Largeurs partielles r ~ (eV) des états d'autoionisation 1pO et 3pO
J
1
des ions N5+et 0 6+ convergeant vers le seuil n = 3 de l'ion résiduel
et probabilité relative (I)~ de formation de l'ion résiduel à l'état fondamental.
1
1
États
~
N5+
(a)
0 6+
r. ,
(a)
(I)~
J
travail
travail
présent
1
présent
1po (1)
r~
0.27.10- 2
0.35.10- 2
0.38.10- 2
0.37.10- 2
r~
0.44
0.40
0.46
0.405
1
0>1
0.60.10- 2
-
0.81 . 10-2
-
1po (2)
ri
0.167.10-2
0.17.10- 2
0.68.10- 5
0.18.10- 2
1
G
0.13
0.10
0.12
0.105
on
0.0126
-
0.56.10- 3
-
1
1po (3)
li
0.28.10- 5
0.20.10- 5
0.15.10- 5
0.20.10- 5
G
0.22.10- 2
0.187 .10- 2
0.20.10- 2
0.19.10-2
1
(1),
0.127.10-2
-
0.75.10-3
-
3po (1)
d
0.6.10- 3
0.55.10- 3
0.57.10- 3
0.19.10- 5
1
r~
0.10
0.104
0.11
0.105
(1)1
0.59.10- 2
-
0.51.10- 2
-
3po (2)
ri
0.209.10- 5
0.23.10- 5
0.23.10- 5
0.19.10- 5
1
G
0.049
0.0428
0.046
0.0427
O>?
0.42.10- 4
-
0.49.10-4
-
1
3po (3)
li
0.297.10-4
0.28.10- 4
0.143.10-3
0.14.10-4
G
0.010
0.9.10- 2
0.73.10- 2
0.73.10-2
1
0>,
0.296 .10-2
-
0.195.10- 2
-
1
(a) Bachau et al [109]
1
1
1
1

---

6+
N
en = 3)
1081 ,94 eV
(3 S3P)l p
105 1 ,77 eV
.
N 6 + en = 2)
919,86eV
(2 S2P)l p
6+
55 2,1 2 eV
N
en = 1)
Fig.1 6 : Diagramm e des tran sitions correspondant à la d ésexcitation
du niveau d'autoio nis auon (3S )P l 1P des ions N)+
7+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0
en = 3)
1<'129 ,46 eV
7 +
1391,91 eV -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-r--
-
-
-
----A.-
-
-
- --
0
en = 2)
1214,27 eV
7+
738,87 eV - - - --
-
------'''----
-
- - - --
-
-
-
-
-
-
-
-
0
en = 1)
138,1 2 eV -
- --
-
-
-
-
-
-
-
-
- - - - --
-
-
-
-
-
- -
Fig.l 7 : Diagramme des transitions correspondant à la d ésexcuation d u
niveau d' autoionisation OS 3P) 1P des ions 0 6+

---

64
1 l . = 3 - - - - - - -
_ _- ' - - _ . . L . . - - - - J_ _ Il. = 2
Fig 19 : Diagramme de transition des niveaux
auto ionisants convergeant vers n = 3
dans les systèmes atomiques à 2 électrons.

---

65
CONCLUSION
Sur la base de la méthode de diagonalisation nous avons calculé de façon
systématique les énergies, les fonctions d'onde, ainsi que les largeurs partielles et totales
des états d'autoionisation dans le problème de la photoionisation résonante des ions
héliumoïdes multichargés ç4+, N5+ et 0 6+ sous les seuils d'excitation n = 2 et n = 3 de
l'ion résiduel. Les principaux résultats que nous avons obtenus sont les suivants :
1°) Pour les ions N5+ et 0 6+ alors que la plupart des études théoriques ne
donnent que les énergies des trois ou sept premiers états autoionisants sous le seuil
d'excitation n =3 de l'ion résiduel, dans notre travail, nous avons calculé pour la première
fois les énergies des douze premiers états d'autoionisation aussi bien sous le seuil n = 3
que sous le seuil n = 2 de l'ion résiduel. Les résultats que nous avons obtenus pour ces
énergies sont en bon accord avec les résultats obtenus par d'autres méthodes théoriques.
2°) Pour ce qui concerne les fonctions d'onde associées aux résonances
convergeant vers le seuil d'excitation n = 3 nous avons observé que le mixage des
configurations est plus prononcé dans les états singulets que dans les états triplets. De
même nos calculs ont montré qu'avec l'augmentation de la charge Z il n'est pas nécessaire
de travailler avec une base de grande dimension pour une détermination adéquate des
vecteurs d'onde des états autoionisants. Sous le seuil d'excitation n = 2, nos calculs ont
montré la faible influence de l'interaction spin-orbite sur la structure des fonctions d'onde
3°) Sous le seuil d'excitation n = 2 de l'ion résiduel, la comparaison de nos
calculs avec les calculs relativistes obtenus à l'approximation du couplage
intermédiaire[31] a montré que pour la description de la photoionisation résonante des
ions héliumoïdes multichargés C4+, N5+et 06+on peut se limiter à l'approximation LS
pour la détermination des énergies et des fonctions d'onde .
4°) Pour les calculs concernant les largeurs totales des résonances sous le
seuil d'excitation n = 3 dans les ions multichargés N5+ et 0 6+ , les résultats que nous
avons obtenus sont conformes aux résultats théoriques disponibles. Par contre pour les
largeurs partielles, aussi bien pour les ions N5+ que pour les ions 0 6+ , nos résultats ne
sont pas toujours conformes aux seuls résultats disponibles de Bachau et al [109]. Cette
divergence est due certainement à la différence qui existe entre notre méthode et celle de
ces auteurs dans le choix des fonctions d'onde du continuum qui sont très sensibles aux
approximations utilisées. A ce niveau il serait intéressant d'étudier l'influence de

---

66
approximations utilisées. A ce niveau il serait intéressant d'étudier l'influence de
l'interaction électrostatique des continuums entre eux sur les caractéristiques des largeurs
partielles dans le problème de la photoionisation multicanaJe.
5°) Dans le présent travail nous avons montré que pour les états
d'autoionisation des ions N5+ et 0 6+ convergeant vers le seuil d'excitation n = 3 la
probabilité relative de formation des ions aux états excités est plus grande que celle de leur
formation à l'état fondamental. Ce résultat est conforme aux résultats des travaux
expérimentaux de Samson et Woodruff [5-6] sur l'hélium, et en accord avec les résultats
théoriques de Bachau [32].
En conclusion, le travail effectué dans cette thèse, vient confirmer la validité de la
méthode de diagonalisation quant à sa capacité d'interpréter et de décrire les phénomènes
liés au processus de la photoionisation multicanale dans les systèmes héliumoïdes, mais
aussi de donner des résultats théoriques conformes aux résultats expérimentaux et aux
calculs d'autres méthodes théoriques. En plus l'intérêt de cette méthode consiste à
apporter une simplification notable à l'approche mathématique du problème de la
photoionisation résonante. Mais il faut souligner qu'il serait utile pour compléter ce travail
d'envisager de faire une étude plus poussée concernant les sections efficaces, les indexes
de profil, ainsi que les paramètres de la distribution angulaire des photoélectrons dans la
dynamique de la photoionisation résonante des ions multichargés.

---

67
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---

Al
ANNEXE
ÉLÉMENTS MATRICIELS DE L'INTERACTION ÉLECTROSTATIQUE DES
ÉLECTRONS A L'APPROXIMATION LS
Al Éléments matriciels de l'interaction électrostatique entre les états autoionisants
A l'approximation LS, la fonction d'onde d'une configuration à deux électrons de
moment angulaires Let de spin, S admet la forme suivante:
(A1.I)
n, l, m, jl sont les nombres quantiques caractérisant l'état de l'électron.
Les coefficients C~m' et C~Il'
sont les coefficients de Clebsch - Gordan
~m' = (lI' mm' / Il' L ML)
(AI.2)
CIlIl' = (ss' Iljl' / ss' S Ms)
(A.I .3)
Les fonctions 'Vnlmjl (r) sont les fonctions d'onde électroniques qui contiennent
les variables spatiales et les variables de spin, elles s'écrivent sous la forme:
(Al A)
où Rnl ,Ylm et Q>jl sont respectivement les fonctions radiale, angulaire et de spin de la
fonction d'onde hydrogénoïde.

---

A2
Les éléments matriciels s'écrivent sous la forme d'une somme algébrique
d'intégrales I et K. L'intégrale I exprime l'interaction directe entre les distributions de
charge de deux électrons et l'intégrale K exprime l'interaction d'échange des électrons
Ces intégrales s'écrivent:
(A.l.5)
Pour calculer ces intégrales, on procède au développement de l'opérateur
d'interaction électrostatique
_1_
en polynômes de Legendre.
riZ
(A. 1.6)
où r< et r > sont respectivement les plus petite et grande valeur entre les vecteurs
posiuon fi
et
fZ
des électrons, rj 2 = 1 fi -
fZ 1 représente la distance
interélectronique.
De cette manière les intégrales I et K deviennent:
(A.l.?)
K= L~kOk
(A.l.8)
k
Les fonctions Fk et Ok sont appelées intégrales de Slater et s'écrivent sous la
forme:
Fk (nI, nT)
(A. 1.9)
Ok (nI, n'l')
(A.1.lO)

---

A3
où
(A. 1.11)
Dans le cas du couplage électrostatique entre différents niveaux d'autoionisation ,
les éléments matriciels s'écrivent:
< ni n'l' LS M
M W n" I" n"' I"' LS ML Ms >
L
s lfi2l
= L R~irect (n 1n' l' n" I" n"' I"') ak ± R~hange ( n' l' n'" I"' n" I")
~k
k
(A. 1.12)
où
= (000
R~ect Je
(A. 1.l3)
(A.1.14)
Les signes + et - correspondent respectivement aux états singulets (S = 0) et triplet
(S = 1)
Les coefficients ak et ~k sont définies par :
(A. 1.15)
(A. 1.16)
{I l' L
}
où les
1"l''' k
sont les symboles 6j de Wigner associés aux calculs des coefficients
W de Racah [III] .

---

A4
Les éléments matriciels réduits (lIC~ 1')
sont définis par :
olckll') = (_1)1" / (21 + 1) (2k + 1) (21' + 1)
(b~l~)
(A.l.1?)
V
4D
où (b~I~) sont les symboles 3j de Wigner qui sont différent de zéro si U+ 1'1 ~ k ~ U+ 1'1
avec k + 1+ l' = 2 où k est un entier.
Pour déterminer les intégrales radiales directe et d'échange, nous établirons un
programme basé sur un calcul fait par Butler et al [112].
En se référant à ces travaux, pour Z = 1, les intégrales radiales de Slater en unité
atomique s'écrivent sous la forme d'une combinaison linéaire d'intégrales du genre
t _1_ (p+q-s)!
1
S=Û
~s+
(Cl + ~) p + q + 1 - s
(A.l.18)
Ceci aboutit au résultat final :
na -la - 1
nd - Id • 1
Rk (ab, cd) = A (ab cd)
L
L
L
L
A(s) B(s1) x
s =0
SI =0
52 =0
S3 =0
(A. l. 19)
Dans cette expression a, b, c et d représentent les états électroniques,
(A.l.20)
(-1)S (L)S
n
A(s) =
a
(A.l.21)
(na - la - 1 - s)! 2la + 1 + s) ! s !

---

A5
B (s 1), C(s2) et D(s3) sont définis par des expressions similaires à celle de A(s).
1 (s SI S2 S3) =
q!
(_~_)P+I i (p+r)! ( a ) r
aq+lpp+1
a+~
r=O
r!
a+p
y
y!
(x+r) !
p
+
(_a_)x+1
L
(
) 2
(A.I .22)
a x+ 1~y+1
a+p
r!
r=O
a+p
avec
p= lb + Id + 2 + k + SI + S3
q= la + lç + 1 - k + S + S2
x= la + lç + 2 + k + S + S2
(A. 1.23)
y= lb + d +1 -k+ SI + S3
a = (na + ne) / na ne
p = (nb + nd) / nb nd
En guise d'exemple nous allons exprimer ci-dessous quelques éléments
matriciels de l'opérateur électrostatique liant les termes de certaines configurations à
deux électrons.
diI
1
ex
< sp IVI sp > = R o +3 RI
f2
dû
f2
ex
< sp IVI pd > = - 3 R 1 -5 R2
(A.1.24)
f6
du
2f6 Rdil f6 Rex
2f2 R ex
< pd IVI df > = -5
RI
- 35
3
- 35
2
- 7(3
4

---

A6
A2 Éléments matriciels de l'interaction électrostatique dans le calcul des largeurs des
résonances auto ionisantes
Les largeurs des résonances autoionisantes sont obtenues à partir des éléments
matriciels de l'interaction électrostatique des niveaux autoionisants avec le continuum.
Ces éléments matriciels s'expriment en fonction des intégrales radiales de Slater en
tenant compte du fait qu'un des électrons se trouve dans le continuum. Pour le calcul
des ces largeurs, nous avons fait un programme basé sur l'algorithme de calcul des
intégrales radiales donné par Zemtsov [113]. Cet algorithme est basé sur le calcul des
intégrales du type
J; (b) ~ f ooe{~ +;k)r r n+1+[ F ( i~ + 1+ 1 , 21 + 2, 2i k r ) dr
(A .2.l )
o
où F (a, b, x) est une fonction hypergéométrique confluente[114-115]. Les intégrales
J ~ (b) peuvent s'exprimer sous la forme:
1
Z
k
J n (b) = f(l, n) exp( -2 k arc tan ~ )
(A2.2)
les fonctions f(l, n) étant reliées par les relations de récurrence suivantes:
f(l, 1) = (21 + 1)! / k2 + b2) 1+1
1
Z
k
f( 0, -1) = 2Z [ exp 2 (k arc tan ~ ) -1 ]
Il + 1) ~ - Z
f(l , 1 + 1) = 2.
2
f(l, 1)
(A.2 .3)
2
k + ~
_j(n+2)~-Z]~I,n+ 1)+[1l1+ 1)-(n+ 1)x(n+2)] <PII,n)
f(l, n + 2) -
2
2
k + ~
(k2+ ~2) <P (l,n) + 2(z -n~) <P (I,n-l)
f(l n - 2) =
)
,
1(l+1)-n(n+1
f(l,1-1)=
1(21+1)
= [1(21-1) f(l-1,1-2) - (bl+Z)f(l-1,1-1)].
2xk 2
2
1
+ Z

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A7
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RÉSUME
Le présent travail est consacré à l'étude de la photoionisation résonante des systèmes
héliurnoïdes multichargés c4+, N5+ et 0 6+ dans la zone spectrale correspondant à l'excitation
des états d'autoionisation convergeant vers les seuils d'excitation n = 2 et n = 3 de l'ion
hydrogénoïde résidueL
'
Après une revue détaillée des principales méthodes expérimentales et théoriques dans
l'étude de la dynamique des -résonances autoionisantes, la description quantitative de la
photoionisation résonante des systèmes héliumoïdes considérés est abordée.
.
Cette description comprendla détermination des énergies, des fonctions d'onde et des
largeurs partielles et totales des états d'autoionisation singulets 1pO et triplets 3 p o. La
formulation théorique est basée sur la méthode de diagonalisation.
Les résultats obtenus pour les énergies, les fonctions d'onde et les largeurs totales des
résonances étudiées sont en bon accord avec les résultats théoriques et expérimentaux
disponibles. pour ce qui concerne les largeurs partielles, leurs valeurs varient relativement
d'une méthode à une autre. Cette variation relative est due certainement au choix des fonctions
d'onde du continuum et elle incite' à Une étude plus poussée de la dynamique des corrélations
électroniques au niveau des canaux ouverts du continuum.
ABSTRACT
. The present workis consecrated to the study of the resonantphotoionisation of
multicharged helium-like systems C4+~ N5+ and 0 6+ in thespectral area corresponding to the
.
.~
excitation of autoionisation states converging to then =2 and n = 3 threshold of residual ion.
'.
.
The quantitative description of the resonant photoionisation.ofheliurn-like systems is
made after a detailed review of the main experimental and theoretical methods in the studyofthe
dynamic of autoionising resonances.
,
By using the diagonalisation method, this description is made by calculating energies,
wave functions, partial and total widths of singulets 1Po and triplets 3pOautoionising states.
Our results for energies, wave functions and total widths agree well with the available
theoretical and experimental results. Conceming the partial widths, the comparison beetwen our
results and thoseof other theoretical methods, give a relative dependence of the results to the
used method. This relative variation is certainly due to the choice of continuum wave functions
and must lead to a more detailed study of the electronic correlations in open channels .
, Mots - clés: Photoionisation, états d'autoionisation , héliumoïdes, résonance.

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