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Ne d'ordre 162
,(Année, 1983 ','.
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1
.
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1
.THÈSE
v
présentée' à
;
\\
L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE.DE TOULOUSE.
-f
en vue de l'obtention
du diplôm,e de Docteur de Troisième Cycle ' --
.. \\
,.
Mention : Méçanique
"
par'
Amadou SARR','
.Etude de la· mise en mouvemen.t de nodules·.
pièges dans un réseau grave
soutenue le 4 juillet 1983 devant le Jury composé de
,
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.
\\
,
MM.
BORIES
Pi-ésident'
,
'
, Madame BIEBER
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:
1
G., de lAMBAllERIE
Exam inateurs
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R. lENORMAl\\ID
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---

SARR (Amadou)
-
Etude de la mise en mouvement de nodules piégés dans un réseau
gravé. -
210 p.
Th. de 3ème Cycle "MECANIQUE"
INPT
1983
162
RESUME
L'auteur étudie le dépiégeage d'une phase fluide non continue dispersée
dans une phase mouillante continue saturant un milieu poreux
(cas de la récupé-
ration assistée du pétrole). D'une revue bibliographique approfondie, i l dégage
le manque de connaissance sur la physique des mécanismes à l'échelle des pores.
L'auteur présente ensuite un réseau de capillaires gravés permettant la visuali-
sation des ménisques ainsi qu'une mesure des débits et pressions. Il décrit les
différentes étapes du déplacement d'un nodule placé dans un écoulement dont le
débit augmente progressivement, et calcule à chaque étape les pressions corres-
pondantes en fonction de la géométrie des canaux occupés par les interfaces.
Il met en évidence l'importance de la topologie des fluides dans les ca-
naux et, en particulier, des structures fermées de fluide non mouillant qui sta-
bilisent fortement les nodules.
Les résultats sont confirmés par une simulation sur ordinateur qui, après
un calcul des pressions dans chaque canal, permet de retrouver les résultats ex-
périmentaux.
MOTS-CLES :
- mécanique des fluides
-
réseau bidimensionnel
l
- milieux poreux
-
capillarité
1
- écoulemen ts
- ménisque
f1
t
- phase non continue
- nodule
1
!
visualisation
simulation numérique
f
t
réseau aléatoire
1
1
l
t
JURY et date de soutenance: 4 Juillet 1983
Président
S. BORIES
t
".,
i1
Membres
M. BIEBER
G. de LAMBALLERIE
i
R. LENORMAND
1
M. SARD IN
J

---

PRLSIDENT D'HONNEUR
M. le Profe.seur MONTEL
PRESIDENT
M. le Professeur NOUGARO
VICE-PRESIDENT
M.
BUGAREL
Profe••eur
(Attributions
Moyens et Personnels)
M. CANDAU
Profe••eur
(
"
Pédagogie)
M.
DABOSI
Profe••eur
(
"
Recherche)
H. MARTY
Profe••eur
(
"
Relations internationales)
Directeur de l'E.N.S.A.t.
H. le Professeur RAYNAUD
Directeur de l'E.N.S.C.t.
H. le Professeur LATTES
Directeur de l'E.N.S.E.I.l.R.T.
H. l'Ingénieur Principal de l'Armement CRESTIN
Directeur de l'I.G.C.
H. le Professeur GARDY
SECRETAIRE GENERAL
H. CRAMPES
PROFESSEURS HONORAIRES
Melle BERDUCOU
M. BIUBENT
H. DIEHL
M. HAMANT
PROFESSEURS
M. ALBERTINI
Cytologie et pathologie végétales
M. ANDRE
Sciences Agronomiques
M. ANGELINO
~nie Chimique
~.
BAJON
Electronique, Electrotechnique. Automatique
~.
BAUDRAND
Electroniqué, Electrotechnique, Automatique
~.
BELLET
",cat\\îque .... "Hydraulique
~.
SEN ArM
Ghie Chimique
H. BON EL
Chimie Appliquée
H. BOUCHER
Electrotechnique - Electronique
M. BOURGEAT
Pédologie
M. BRUEL
Informatique
M. BUGAREL
GEnie Chimique
M. BUIS
Biologie Quantitative
M. CALMON
Chimie agricole
M. CANDAU
ZoOtechnie
M. CASTANIE
Automatique, Informatique Industrielle
M. CONSTANT
Chimie minérale
M. COSTES
Electronique. Electrotechnique, Automatique
M. COUDERC
~nie Chimique
M. DABOSI
Métallurgie et réfractaires
M. DAT
Mécanique - Hydraulique
M. DE FORNEL
~lectrotechnique, Electronique
M. DOHENECH
~nie Chimique
H. ECOCHAIlIi
Agronomie
!'l.
ENJALBERT
Génie Chimique
M. FABRE
Hécanique - Hydraulique
H. FALLOT
Biotechnologie végétale appliquee
M. FARRENY
Informatique fondamentale appliquée
M. FOCH
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. GARDY
Genie Chimique
. . . 1...

---

H. CASET
Chimie industrielle
M. GIBERT
Génie Chimique
~!. GILOT
Génie Chimique
H. GUURDENNE
Chimie - Physique
M. GRUAT
Mécanique - Hydraulique
M. HA MINH
Mécanique
M. HOFFMANN
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. KALCK
Chimie minérale
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Ichtyologie appliquée
M. LAGUERIE
Génie Chimique
M. LEFEUVRE
Electronique, Electrotechnique, Automatique
H. LENZI
Chimie industrielle
M. MARTY
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. MASBERNAT
Mécanique - Hydraulique
M. MATHEAU
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. MATHIEU
Chimie analytique
M. MOLINIER
Génie Chimique
M. MONCOULON
Sciences Agronomiques
M. MONTEL
Chimie inorganique
M. MORA
Génie Chimique
M. MORARD
Physiologie végétale appliquée
M. MüRELlERE
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. NOAILLES
Mathématiques
M. NOUGARO
Mécanique - Hydraulique
M. PAREILLEUX
Sciences Agronomiques
M. PECH
Sciences Agronomiques
M. PLANCHON
Sciences Agronomiques
M. RIBA
Génie Chimique
M. ROBERT
Génie Chimique
M. RODRIGUEZ
Informatique
M. SALLE
Informatique fondamentale appliquée
M. TERRON
Zoologie
~. THIRRIOT
Mécanique - Hydraulique
M. TRANNOY
Electronique, Electrotechnique, Automatique
M. TRUCHASSON
Mécanique - Hydraulique
M. VOIGT
Chimie minérale
(mis à jour le 7 janvier 1982)

---

A V A N T - PRO P 0 S
Plusieurs personnes ont participé à la réalisation et à la pré-
sentation des travaux exposés dans ce mémoire. Qu'il me soit permis de
leur exprimer mes remerciements en guise d'avant-propos.
Çes travaux ont été effectués dans un climat fort agréable,
grâce à l'amitié que n'ont cessé de me témoigner les membres du Groupe
d'Etude s sur le s Mi lieux Poreux.
Monsieur Serge BORIES, Mattre de Recherche au C.N.R.S., m'a
marqué sa confiance en me permettant de travailler dans ce Groupe. Je
voudrais aussi le remercier pour le soutien qu'il m'a apporté par ses
précieux conseils et encouragements.
Monsieur Roland LENORMAND, Chargé de Recherche au C.N.R.S., a
assuré avec enthousiasme la direction de ma thèse et m'a permis de déve-
lopper une des perspectives dégagées par ses travaux en me faisant béné-
ficier de son expérience. Je voudrais lui témoigner toute ma reconnais-
sance.
Les échanges fructueux avec les chercheurs de l'Institut Fran-
çais du Pétrole, et en particulier avec Madame BIEBER et Monsieur JACQUIN,
ont contribué de manière déterminante à la définition du sujet et à l'o-
rientation des recherches.
La réalisation de ce mémoire a largement fait appel à l'expé-
rience et à la compétence du personnel de l'Institut de Mécanique des
Fluides dans plusieurs domaines :

---

Messieurs Georges CROUZIL et César ZARCONE ont participé aux
études expérimentales et à la représentation des résultats.
Monsieur Marcel BRUNATO a apporté son assistance à la réalisa-
tion des prises de vues et des travaux photographiques.
Madame Marie Luz TISON a assuré la dactylographie du texte.
Les personnels de l'atelier du groupe, du service informatique
et de l'imprimerie ont tous contribué à l'achèvement de ce travail dans
leurs spécialités respectives.
Mes remerciements s'adressent aussi à Monsieur de LAMBALLERIE,
Ingénieur à la Société Nationale Elf-Aquitaine et à Monsieur SARDIN,
Chargé de Recherche au C.N.R.S. qui m'ont fait l'honneur de participer au
Jury et qui ont contribué de manière fort enrichissante aux discussions
lors de la soutenance.

---

TABLE DES MATIERES
Pages
INTRODUCTION
1
CHAPITRE
I
-
ANALYSE
BIBLIOGRAPHIQUE
3
1.1. DEMARCHE GENERALE DES ETUDES EXPERIMENTALES
3
1.1.1. Drainage primaire
4
1.1.2. Imbibition
5
1.1.3. Déplacement d'une phase dispersée
9
1.2. SATURATION RESIDUELLE EN FIN D'IMBIBITION
9
1.2.1. Etudes expérimentales
9
1.2.2. Etudes théoriques
19
1.2.2.1. Equations macroscopiques
19
1.2.2.2. Mécanismes à l'échelle des pores
20
1.2.3. Modélisation de l'imbibition et du piégeage
22
1.3. DEPLACEMENT D'UNE PHASE DISPERSEE NON MOUILLANTE
24
1.3.1. Résultats expérimentaux
24
1.3.2. Expressions théoriques des conditions de
déplacement d'une phase dispersée
33
1.3.2.1. Cas d'un nodule
35
1.3.2.2. Cas d'une population de nodules
36
1.3.3. Modélisation
37
1.4. CONCLUSION
39
CHAPITRE
II
-
MECANISMES
DE
BASE DU
DEPLACEMENT
QUASI STATIQUE
D'UN FLUIDE
PAR UN AUTRE
DANS
UN
MICROMODELE
41
II.1. DESCRIPTION DES MOYENS EXPERIMENTAUX
41
II.1.1. Procédé de fabrication et propriétés des
micromodèles
41

---

II.1.2. Description du modèle utilisé pour l'étude de la
mise en mouvement d'un nodule
46
II.1.3. Dispositif expérimental
47
II.1.4. Caractéristiques des fluides
52
II.2. HYDROSTATIQUE DE L'INTERFACE DE DEUX FLUIDES NON MISCIBLES
DANS UN CAPILLAIRE
52
II.2.1. Equilibre mécanique
52
II.2.2. Réajustement de l'interface à la paroi du
capillaire : concept de mouillabilité
54
II.2.3. Formulations explicites de l'équilibre d'une interfa
interface
56
II.3. CONFIGURATIONS DES INTERFACES DANS LES MICROMODELES
58
II.3.1. Déplacement de type piston dans un canal
58
II.3.2. Ecoulement du fluide mouillant par les arêtes
61
II.3.3. Dans une intersection
61
CHAPITRE
III
-
ETUDES EXPERIMENTALES DU DEPLACEMENT
DANS LES MICROMODELES
73
111.1. CYCLE DRAINAGE-IMBIBITION DANS UN MICROMODELE
73
111.1.1. Drainage
73
111.1.2. Imbibition
81
111.2. NODULE PIEGE DANS DES MODELES DE FORMES SIMPLES
81
111.2.1. Passage d'un nodule dans la partie rétrécie d'un
capillaire
85
111.2.2. Dépiégeage d'un nodule piégé dans un doublet
98
111.3. MISE EN MOUVEMENT DE NODULES PIEGES DANS UN RESEAU
109
111.3.1. Mise en place d'un nodule dans le réseau
109
111.3.2. Dépiégeage d'un nodule de fluide non mouillant
113
111.4. CONCLUSION
114

---

CHAPITRE
IV -
SIMULATION DE LA MISE EN MOUVEMENT D'UN
NODULE PIEGE
117
IV.l. DEMARCHE
117
IV.2. ECOULEMENT D'UN FLUIDE MOUILLANT EN PRESENCE DE NODULES
118
IV.2.1. Conduction des noeuds
122
IV.2.2. Calcul du champ de pression
125
IV.3. CONDITIONS MACROSCOPIQUES DE MISE EN MOUVEMENT DU NODULE
126
IV.3.1. Conditions critiques locales
126
IV.3.2. Choix des interfaces
127
IV.4. APPLICATIONS
128
IV.5. CONCLUSION
128
CONCLUSION GENERALE
131
ANNEXE AI
-
CALCUL DES SEUILS DE LA PRESSION
CAPILLAIRE LOCALE
135
A. LI. DEPLACEMENT DANS UN CANAL PAR UNE INTERFACE FRONTALE
(PISTON)
136
A.L2. IMBIBITION DANS UN CANAL A PARTIR DES ARETES (RUPTURE)
136
A. 1. 3. HŒIBITION DANS UN NOEUD A PARTIR DE TROIS CANAUX
(TYPE "Il")
137
A.L4. HŒIBITION DANS UN }'OEUD A PARTIR DE DEUX CANAUX
(TYPE "12")
138
ANNEXE AIl
-
ECOULEMENT MONOPHASIQUE DANS UN RESEAU
GRAVE
149
A.II.l. APPROXIMATION DE LA LOI D'ECOULEMENT DANS UN CANAL
151
A.II.2. CONSERVATION DU VOLUME DE FLUIDE AUX NOEUDS DU RESEAU
152
A.II.3. SYSTEME LINEAIRE DES PRESSIONS AUX NOEUDS
153
A.II.4. APPLICATION
159

---

ANNEXE AllI
-
ECOULEMENT D'UN FLUIDE MOUILLANT DANS
LES ARETES
D'UN CANAL CONTENANT DU FLUIDE NON
MOUILLANT
167
ANNEXE AIV -
LOCALISATION DES
INTERFACES OU LES
CONDITIONS LOCALES DE MISE EN MOUVEMENT D'UN NODULE
SE REALISENT
169
A.IV.l. CHOIX DE L'INTERFACE OU EST REALISE LE DRAINAGE LOCAL
(Ld)169
A.IV.2. CHOIX DE L'INTERFACE OU EST REALISEE L'IMBIBITION LOCALE
Π)
173
I
ANNEXE AV -
DEPIEGEAGE
DE NODULES
:
RESULTATS
EXPERIMENTAUX -
SIMULATION DE LA MISE
EN MOUVEMENT
179
REFERENCES
BIBLIOGRAPHIQUES
207

---

l N T R 0 DUC T ION
La présence simultanée de deux fluides non miscibles au sein
d'un milieu poreux est une situation à laquelle on est souvent confronté
dans les domaines d'études des ressources naturelles. C'est le cas en
hydrologie, des écoulements air-eau dans les sols et dans les ouvrages
hydrauliques. La connaissance des mécanismes de déplacement lors des
cycles saturation-désaturation est d'un grand intérêt pour les praticiens.
En génie pétrolier, l'intérêt économique est directement lié à la quanti-
té d'huile produite des gisements; ce qui justifie les efforts déployés
pour la recherche sur le piégeage et le déplacement de l'huile résiduelle
au sein des roches. Il convient de rappeler qu'en général, plus de la
moitié de la quantité de pétrole initiale demeure piégée dans les gise-
ments au terme d'une procédure de récupération classique. D'autre part,
i l n'existe pas encore de méthode éprouvée à la fois techniquement et
économiquement permettant de résoudre ce problème
(de LAMBALLERIE G.,
1981) •
Les méthodes de récupération classiques et celles qui sont ju-
gées plus prometteuses
(injection de solutions aqueuses de tensio-actifs)
sont toutes conçues dans des cadres où le déplacement correspond à un
écoulement diphasique de fluides non miscibles. Les effets de la capilla-
rité, engendrés par la répulsion
(non miscibilité)
entre les deux fluides
et par la finesse des cavités qui constituent le domaine d'écoulement,
sont prépondérants dans les conditions naturelles des gisements. D'autre
part,
la discontinuité des paramètres (champ de pression, propriétés des
fluides)
rend inadéquate une approche de type milieu continu.

---

2
La compréhension des mécanismes de base qui se déroulent au
niveau des pores, est une étape nécessaire de la modélisation du dépla-
cement d'une phase dispersée piégée dans un milieu poreux. L'étude direc-
te de ces mécanismes sur des milieux poreux naturels est pratiquement im-
possible. C'est pour cette raison que l'on utilise des modèles simples
qui permettent de les décrire et de dissocier l'influence des différents
paramètres afin de les étudier progressivement.
Dans la première partie de cette thèse, nous mettons l'accent
sur les difficultés d'interprétation et de modélisation des déplacements
en milieux poreux en nous appuyant sur une analyse bibliographique. Cette
analyse met en évidence la nécessité d'une meilleure connaissance des mé-
canismes à l'échelle des pores.
A la suite du premier chapitre,
le domaine d'écoulement, dans
le cadre de notre étude, sera limité à des réseaux bidimensionnels sym-
bolisant un milieu poreux. Nous utilisons un support expérimental pour
visualiser les déplacements.
Les conditions de réalisation des différents mécanismes de base
(ruptures, déplacements)
dans un réseau,
sont caractérisées en fonction
de la pression capillaire locale. L'étude de ces déplacements locaux est
utilisée pour décrire la mise en mouvement de nodules piégés dans ce ré-
seau.
Le processus de dépiégeage de nodules piégés en fin de cycle
drainage-imbibition est retrouvé par simulation avec un ordinateur.
Les résultats pourront contribuer
à l'étude du dépiégeage en
milieux poreux naturels modélisés par des réseaux analogiques.

---

3
1t
-
CHAPITRE
l
-
!
ANALYSE
BIBLIOGRAPHIQUE
1
i
!,
1
f
Î
1. 1. DEMARCHE GENERALE DES ETUDES EXPERIMENTALES
~
l
~
!
L'étude des écoulements diphasiques en milieux poreux s'est
l1
largement développée en fonction des besoins d'une meilleure connais-
t
sance du comportement des fluides pendant l'exploitation des gisements
pétroliers. Les expérimentations en laboratoire suivent en général une
séquence analogue aux conditions initiales et aux différentes phases de
la production du pétrole. Ainsi, procède-t-on à un drainage, suivi d'une
imbibition puis à un déplacement de phase dispersée.
La distinction entre les deux fluides
(non miscibles) se fait
par le concept de mouillabilité relativement à la matrice solide (Figure
1.1.).
fluide non mouillant
FIGURE 1.1.

---

4
Le fluide mouillant est celui à l'intérieur duquel la tangente
à l'interface et la surface solide font un angle aigü. e«
TI/2)
est l'an-
gle de mouillage.
I . l . l .
Drainage
primaire
Le milieu poreux étant initialement saturé en fluide mouillant,
on déplace ce dernier en injectant du fluide non mouillant. Ce balayage
réalisée en augmentant par paliers la différence de pression entre le
fluide non mouillant et le fluide mouillant appelée "pression capillaire"
et en général notée "P Il.
c
p
-
p
-
p
(r.l)
c
n
m
P
et P
sont respectivement la pression dans le fluide non mouillant et
n
m
dans le fluide mouillant de part et d'autre du front de déplacement.
A l'échelle locale,
la pression capillaire nécessaire pour réa-
liser un drainage à travers une section d'un pore est donnée par la loi de
Laplace :
P
= 2 cr cos e/R
(r. 2)
c
cr
est la tension inter faciale entre les deux fluides,
R
est le rayon du disque équivalent à la section considérée.
Le drainage étant mené en augmentant par paliers la pression ca-
pillaire, à chaque étape le fluide non mouillant traverse les sections de
.
.
l
- 2 cr cos e
rayon équivalent, superieur ou ega
a
où i l est présent. La
P c
courbe d'évolution de la pression capillaire avec la saturation du milieu
en fluide non mouillant est utilisée pour déduire une approximation de la
distribution des pores de différents rayons au sein d'un milieu poreux.
La pénétration du mercure dans un milieu poreux sous vide se fait de maniè-

---

5
re analogue lors de la mesure de la porométrie par injection de mercure.
En fin de drainage,
une partie du fluide mouillant demeure dans l'échan-
tillon et constitue la saturation irréductible.
1.1.2.
Imbibition
Cette étape correspond au premier balayage à l'eau des gisements
pétroliers. En fonction des conditions dynamiques, on distingue deux types
d'imbibition:
Lorsque les forces capillaires sont prédominantes,
le mouvement
des interfaces est quasi-statique. On diminue par paliers la pression ca-
pillaire i
chaque étape correspond à un état d'équilibre de la saturation.
La courbe pression capillaire-saturation est associée avec celle obtenue
en phase de drainage primaire. On constate une hystérésis entre le draina-
ge et l'imbibition i
la pression capillaire étant plus basse à l'imbibition
(figure 1.2.). Cette courbe est une caractéristique du milieu poreux et des
deux fluides considérés.
Dans ce type de déplacement,
les forces de pression sont impor-
tantes par rapport aux forces capillaires. La rapidité du déplacement em-
pêche la réalisation d'états d'équilibre successifs contrairement au cas
précédent.
1
La saturation finale en fluide non mouillant est dite saturation
1
résiduelle et dépend du rapport entre les forces hydrodynamiques
(de pres-
sion et de viscosité)
et les forces capillaires. Ce fluide non mouillant
est piégé sous forme discontinue constituant une phase dispersée. La récu-
pération tertiaire du pétrole consiste au déplacement d'une telle phase.

---

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0
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-"-
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.....
~
o
1
FIGURE 1.2. -
Illustration de l'hystérésis de l'évolution de la
saturation en fonction de la pression capillaire
lors d'un cycle drainage-imbibition.

---

9
1.1.3.
Déplacement d'une phase dispersée
Une partie du fluide non mouillant piégé en fin d'imbibition
peut être balayée en modifiant le rapport des forces au dépend des for-
ces capillaires. Les résultats de telles expériences sont représentés
sous forme de corrélation de la quantité de fluide récup~rée avec les pa-
ramètres macroscopiques de l'écoulement, les propriétés des fluides et
celles de la structure du milieu poreux.
Dans le reste de ce Chapitre, nous présentons une étude de l'in-
fluence de
différents paramètres sur la saturation en fin d'imbibition et
en fin de déplacement d'une phase dispersée.
1.2.
SATURATION RESIDUELLE EN FIN D'IMBIBITION
1.2.1. Etudes expérimentales
Les résultats expérimentaux montrent que l'efficacité de la ré-
cupération provient de l'accroissement des forces visqueuses et de pres-
sion relativement aux forces capillaires.
LEVERETT (1940) étudie les états d'équilibre de la saturation
dans des carottes de grès verticales sous l'action des forces capillaires
et de la différence de masse volumique entre les deux fluides. En utili-
sant différents couples de fluides, il montre que la saturation en fluide
mouillant (plus dense) d'une section à une hauteur h est une fonction dé-
.
~p gh IK/~
cro~ssante du groupe
~
~ est la porosité et ~p le contraste de
cr
masse volumique (p
- p J. ~pgh représente les forces de pression par uni-
m
n
cr
té de surface sur les interfaces à la hauteur h.
la force moyenne
IK/~
par unité de surface due à la tension interfaciale est expr~mee avec le
coefficient de Kozeny
IK/~ comme dimension caractéristique des cavités
du milieu poreux.

---

\\0
MOORE et SLOBOD (1956)
réalisent des imbibitions à débit constant
dans des carottes de grès. Leurs résultats montrent que la saturation rési-
duelle est une fonction décroissante du rapport des forces visqueuses sur
les forces capillaires
exprimé par le groupe
~
V la cos G où
V et V
m
m
m
m
sont respectivement la viscosité dynamique et la vitesse d'injection du
fluide mouillant.
LEFEBVRE DU PREY (1973)
utilise des milieux poreux artificiels
en aggloméré de téflon consolidé qui ont des propriétés mieux connues que
celles des milieux naturels
(homogénéité, reproductibilité des échantillons,
neutralité chimique) ........
/ ' .
1
/
,,' -_ .
Il mont~:'~Ué la.sa~~r~~ion résiduelle décroît lorsqu'on augmente
les forces de pressibn p~f'".iapp,oib aux forces capillaires, quelle que soit
la mouillabilité.
'
'X/:."
; ~1
,
(
/
Les résultats e~~~~taux d'ABRAMS (1975), sur six sortes de
f''''
,..;."
grès et une d'argile, montrent une décroissance de la saturation résiduel-
~
N
le en fonction du groupe
(~)
~n étant la viscosité dynamique du
acosG
~n
fluide non mouillant. N = 0,4 est la valeur de l'exposant qui lui permet
de corréler ses résultats. Ce groupe est proposé comme une généralisation
de celui introduit par MOORE et SLOBOD (1956). Nous montrons, sur la figu-
re I.3., une partie de ces résultats expérimentaux. La courbe
(1) est re-
présentative quant à sa forme des situations finales d'imbibition dans les
échantillons de grès. Elle met en évidence un seuil du groupe
(~
V lacosG)
-4
m
m
voisin de 10
au-delà duquel l'efficacité de la récupération croît de ma-
nière très sensible. Pour l'échantillon de calcaire dont la porométrie est
plus régulièrement distribuée que celles des grès, la corrélation schéma-
tisée par la courbe
(2) est presque linéaire. KEELAN et col.
(1972 et 1975)
utilisent des carottes de carbonate prélevées dans des gisements de gaz
naturels. Les échantillons sont très différents par leur structure
(compac-
te, cristalline, crayeuse),
leur granulométrie
(particules fines à grossiè-
res)
et leur porométrie.
Ils y étudient les saturations résiduelles d'un

---

70 ~
1
60
50
1
•
•
-•
•
~o
dP
~
Q)
Q)
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30
.-l
Q)
~ .-lco
'd
•..-1
•..-1
+-l
Ul
•..-1
(2 )
'Q)
~
~
0..-120
•
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~
•
0
0
•..-1
•..-1
+-l
+-l
co
co
~
~
::'
::'
( ')
+-l
+-l
co
co
10
CI)
CI)
Nca=~
CT
0
-6
10-5
10-'
10- 3
10
10- 1
FIGURE 1.3. - Evolution de la saturation résiduelle en fonction du nombre de capillaires
(1) Echantillon de grès; saturations initiales de l'ordre de 72 %
(2) Echantillon de calcaire; saturations initiales de l'ordre de 55 %.
D'après ABRAMS
(1975)

---

13
gaz déplacé par un liquide
(fluide mouillant)
en fonction des propriétés
des roches. La corrélation de la saturation résiduelle avec les autres pa-
ramètres macroscopiques du déplacement est très influencée par la struc-
ture et la porométrie des roches. Une partie des résultats est montrée sur
les figures 1.4. et 1.5. Le piégeage est plus important dans les milieux
dont les diamètres des pores sont contrastés et dont la distribution poro-
métrique est constituée de paliers distincts. Les propriétés macroscopi-
ques
(porosité, perméabilités)
sont insuffisantes pour caracté~iser l'in-
fluence de la structure poreuse sur le piégeage.
Une étude récente de la saturation résiduelle en fin d'imbibi-
tion est faite par CHATZ1S et MORROW (1982)
sur trois sortes de milieux
poreux : cylindres remplis de billes sphériques,
réseaux bidimensionnels
de seuils et de pores gravés entre deux plaques de verre
(micromodèles),
carottes de grés. Le déplacement de système monomère par de l'eau salée
(mouillant)
dans des carottes de grès laisse en place une saturation rési-
duelle qui polymérise en présence d'un catalyseur. Ces amas sont caracté-
risés à l'aide d'un analyseur d'images. La plupart des amas
(de l'ordre
de 50 % en nombre)
occupent un seul pore (50 à 120 ~m) de diamètre. La
distribution des amas d'huile dans les micromodèles après déplacement à
l'eau, est déterminée par comptage sur photos. Leur taille est proportion-
!
nelle à celle des réseaux utilisés et est en général plus grande que dans
it
les échantillons de grès. Dans les modèles à billes,
la saturation résiduel-
le est indépendante de la perméabilité et de la granulométrie pour les mé-
langes homogènes. S'il existe des hétérogénéités, le piégeage est favora-
ble dans les espaces entre les grosses sphères entourées par des petites.
Des observations analogues sont faites sur les micromodèles où le fluide
non mouillant est piégé préférentiellement dans des ensembles de gros pores
isolés par des seuils fins. La saturation résiduelle augmente avec le con-
traste entre les sections des pores et celles des seuils. Pour les faibles
contrastes, des nodules de grande taille sont piégés alors que la popula-
tion des nodules de petite taille est plus nombreuse et plus importante en
saturation pour des contrastes plus élevés.

---

---

15
100
100
/
rJP
/
1::
/
QI
80
BO
lJ)
cumulative
QI
l-I
0
0.,
60
60
Ul
QI
'0
al
QI
El
;j
4
~
0
:>
20
incrémentale
0
20 18 16 14 12 10 8
6
4
2
0
20
40
60
80
100
Diamètres des pores en microns
Saturation
initiale
100
100
/
/
dP
80
80
1::
QI
Ul
6
QI
l-I
60
0
b
b
0.,
l
2
40
Ul
QJ
'0
40
QJ
20
9
~
0
20
:>
aa
0
20
40
60
80
100
20 18 16 14 12 10 8
6
4
2
0
Saturation initiale
Diamètres des pores en microns
~~~~~!~!!~~_~
perméabilité à l'air
0,06 Darcy
porosité = 36,5 %
~~~~~!~!!~~_~
perméabilité à l'air
0,31 Darcy
porosité: 31,1 %
FIGURE 1.4. - Récupération de gaz dans deux échantillons de carbonate.
Le contraste entre les diamètres de pores est moins élevé et la satu-
ration résiduelle plus faible que dans les cas de la Figure 1.5.

---

---

17
100 r--........,..-
.....,....-.,..___.-r--.....-_ _
/
dP
/
t::
/
QI
a
Cf}
QI
l-l
o
0.
Ul
incrémentale
60
QI
saturation
'0
initiale
§ 4
'6 -r-r
~c~u~m~u.lative
>
2
o~1===;===;====;===;::===r=::::::;::::::::::;:::~...J
20
40
60
80
100
20 18 16 14 12 10 a 6
4
2
o
Diamètres des pores en microns
Saturation initiale
100 __.,.....
-.,..___.-,..............,......,.
100
dl
80
dP
t::
QI
1
60
Ul
1
QI
l-l
1
0
1
0.
i
Ul 40
40
QI
1
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1
QI
920
..-l
1
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1
0"-.........&.---'-.........---'_10-..&-..&.---'---'
0
a
20
40
60
80
100
20 18 16 14 12 10 ~
6 4
2
0
1
Saturation initiale
Diamètres des pores
1
f
Echantillon c
perméabilité à l'air
0,50 Darcy
1
1
porosité : 13 %
if
Echantillon d
perméabilité à l'air
0,39 Darcy
f
;
porosité
: 25 %
t
FIGURE 1.5. - Récupération de gaz dans deux échantillons de carbonate.
t
Les diamètres des pores sont contrastés et la récupération plus
,
faible.
1
l
1

---

---

19
1.2.2. Etudes
théoriques
Les équations de DARCY généralisées sont celles en général uti-
lisées pour décrire les écoulements diphasiques à l'échelle macroscopique
K
-+
m
-+
V
=
{grad P
- Pm ~}
(1. 3)
m
m
~n
K
-+
n
-+
V
{grad P
- P
~}
(1.4)
m
n
n
Un
-+
V, P, K sont respectivement le vecteur vitesse, la pression et la perméa-
bilité du milieu; U et P la viscosité dynamique et la densité. Les indi-
-+
ces m et n réfèrent au fluide mouillant et au fluide non mouillant. g est
l'accélération de la pesanteur.
L'analyse dimensionnelle de ces équation (LEVERETT et col. 1942
1956) met en évidence les paramètres adimensionnels (U lu ) et
m
n
entre autres. Les résultats expérimentaux (EVERETT
et Col.,
1950, GRA1G et col., 1955) montrent que la proportion du milieu balayée
avant que le front de déplacement n'atteigne la face de sortie (percée)
croit en fonction des deux groupes. Cette proportion est dite efficacité
macroscopique.
Les mécanismes capillaires concernent les parties du milieu ba-
layées par le front et où se déroulent le piégeage et la mise en mouve-
ment de nodules. L'efficacité du déplacement dans ces parties est dite
efficacité microscopique et ne peut pas être décrite avec les équations
précédentes.

---

20
1.2.2.2.
L'étude des mécanismes de base est faite en utilisant des modèles
simples permettant d'interpréter le comportement des interfaces. Celui du
doublet de pores à des diamètres différents a souvent servi pour illustrer
le piégeage du fluide mouillant en cours d'imbibition
(ROSE et Col.,
1956
et 1958, SLOBOD,
19?8,STEGEMEIER, 1977, CHATZIS et DULLIEN,
1983).
/ / ,
"
iIo"
f.n.m.
Lm.
p n
seuil permettant la rupture du
fluide non mouillant avant l'im-
p
bibition du gros pore
(d )
m
2
FIGURE 1.6.
Les calculs sont faits en approximant les deux pores par des
tubes cylindriques de sections constantes.
Si d'une part l'écoulement du fluide non mouillant dans chaque
tube est décrit par la loi d' Hagen-Poiseuille et d' autre part la pression
capillaire aux interfaces est déterminée avec la loi de Laplace, on ob-
tient
p
-
p
V.
( n i
n)
vitesse moyenne dans chaque tube i
1 ou 2
1
6
li
L
n

---

21
P .
P
4 a/do
saut de pression à travers interface
n~
m
~
(P
- P )/a
m
n
(r. 5)
4/d
+
P ) /a
2
(Pm
n
f
rapport de vitesse de déplacement dans les deux pores sous l'influence d'une
r
différence de pression (Pm - Pn) •
t
!
La vitesse relative entre l'interface du tube fin et celle du
gros tube décroît en fonction du rapport de la pression de déplacement sur
P
-
P
m
n
la tension interfaciale
.
(Ce rapport est négatif pour que la
a
P
-
P
ID
n
courbure des interfaces soit positive). En particulier, si
est
a
supérieur à - 4/d , la vitesse de déplacement est positive dans le tube
l
fin alors qu'elle est négative dans l'autre tube tant que ce rapport est
t
inférieur
f
à -
4/d . Lorsque la différence de pression qui impose le dépla-
2
cement est comprise entre les valeurs - 4 a/dl et - 4 a/d , seul le tube
2
fin est balayé i l'interface dans le gros tube étant bloquée au noeud amont.
Si la continuité du fluide non mouillant est rompue en aval du doublet
1
après le balayage du tube fin, le piégeage qui en résulte est d'autant
P
P
m
1
n
!
plus important que
1
a
Dans une étude théorique et expérimentale, CHATZIS et DULLIEN
(1983) précisent le déroulement des déplacements (drainage et imbibition)
1
dans les doublets. Ils insistent particulièrement sur la nécessité de ré-
l1
aliser la condition de rupture au voisinage du noeud aval pour observer
le piégeage du fluide non mouillant en imbibition. Cette condition n'est
pas mentionnée dans les illustrations des études précédentes i pour les
1r
configurations décrites par ces articles, le gros tube est balayé après
!
l'autre sans piégeage.
f!i
1
t
1
J

---

22
Configuration après balayage du canal fin dans un doublet
où le fluide non mouillant n'est pas piégé.
1.2.3.
Modélisation
de
l'imbibition
et
du piégeage
Pour l'étude des saturations résiduelles, en fin d'imbibition,
nous distinguons deux types de modèles en fonction des conditions dynami-
ques.
Ceux du premier type décrivent l'évolution quasi-statique
(suc-
cession d'états d'équilibre)
du front de déplacement essentiellement con-
trôlée par les forces capillaires. Ce mouvement se fait de façon inter-
mittente à différents endroits du front. Elle est modélisée en terme de
priorité entre les différents mécanismes de progression du fluide mouil-
lant (déplacements de chaines linéaires et ruptures du fluide non mouil-
lant) .
Le modèle de LENORMAND (1981)
introduit deux conditions: l'une
exprime la possibilité d'alimentation en fluide mouillant à partir de la
face d'injection par un chemin continu dans ce fluide;
l'autre condition
exprime la possibilité d'évacuation du fluide non mouillant par un chemin
continu dans ce fluide reliant l'interface à la face de sortie. Ses résul-
tats montrent que la taille des amas est proportionnelle à celle du réseau.
Cette conclusion est en accord qualitativement avec les résultats
expérimentaux de CHATZ1S et MORROW (1982).

---

23
LARSON et col.
(1981) supposent qu'en fin d'imbibition quasi-
statique, la saturation résiduelle est répartie de façon aléatoire et cor-
respond à la valeur de rupture de la continuité du fluide non mouillant
à travers le milieu poreux. Il calcule la saturation et sa répartition
par la théorie de la percolation en modélisant un échantillon de grès
par un réseau à mailles cubiques. Cet état de saturation est considéré
comme état initial dans un modèle d'étude du déplacement de la phase dis-
persée.
L'hypothèse de LARSON concernant la répartition de la phase dis-
persée est infirmée par les résultats expérimentaux et du modèle de LENOR-
MANO. Ces résultats permettent de conclure que les amas piégés en fin d'im-
bition sont de taille beaucoup plus grande que dans le cas d'une réparti-
tion aléatoire.
Les modèles du deuxième type simulent le déplacement en tenant
compte de l'influence de la cinétique. L'évolution du front est contrôlée
1
par les forces capillaires et les pertes de charge dans les fluides.
MOHANTY et col.
(1980) modélisent un milieu poreux par une dis-
1!'t
tribution de rayons de capillaires
(R = P /20). Les mécanismes de base
c
considérés pour l'avance du front sont des sauts ("Haines Jumps") aux en-
droits où la pression capillaire est inférieure au seuil correspondant au
rayon du pore (P
< 20/R) et des ruptures telles qu'elles sont décrites
c -
par ROOF (1970). Ces deux mécanismes entraînent des perturbations transi-
toires des champs de pression dans les fluides localisées au voisinage de
l'endroit où ils se produisent. Les auteurs introduisent une période spa-
tiale (distance entre deux mécanismes) et une période temporelle (durée
d'amortissement des perturbations transitoires) et en déduisent un nombre
moyen des mécanismes de base par période temporelle sur le front de dé-
placement. La priorité d'avancée à un endroit est caractérisée par la pres-
sion motrice locale (20/R - Pc) et par son éloignement par rapport aux
autres endroits où le front avance durant la période considérée. Leurs ré-
sultats confirment la décroissance de la saturation résiduelle en fonction
du groupe (~
V /~) .L'importance relative des ruptures par rapport aux
m
m

---

24
déplacements est plus grande pour une distribution large des rayons des
pores que pour une distribution étroite. Elle augmente aussi avec le
groupe
(~
V /a~)
; ce qui se traduit par des nodules piégés de taille
m
m
de plus en plus petite.
Dans le deuxième modèle de LENORMAND
(déplacement "à débit i l l i -
mité") (1981), les pertes de charge dans le fluide mouillant sont prises en
compte en considérant l'avancée du front prioritaire à proximité de la fa-
ce d'injection. Deux critères de priorité sont introduits: l'un basé sur
les forces capillaires, l'autre sur le champ de pression dans le fluide
mouillant. LENORMAND étudie les deux cas limites correspondant chacun à
la prédominance d'un critère; l'autre n'intervenant qu'à un niveau secon-
daire. En comparaison avec le déplacement quasi statique
("à débit limité"),
la saturation résiduelle et la taille des amas piégés sont moins grandes.
Les résultats sont confirmés par les expériences de l'auteur réalisées sur
modèles bidimensionnels.
1.3.
DEPLACEMENT D'UNE
PHASE
DISPERSEE
NON MOUILLANTE
1.3.1.
Résultats
expérimentaux
TABER (1969)
étudie expérimentalement le déplacement d'une phase
dispersée non mouillante piégée dans des carottes de grès prélevées de
gisements pétroliers
("Berea Sandstones"). A l'état initial, les échantil-
lons contiennent de l'eau et de l'huile en phase dispersée à une satura-
tion de l'ordre de 40 %. Elle est mise en place par un cycle drainage-
imbibition. Le déplacement est réalisé par accroissement du groupe
(~P /La)
m
en augmentant d'abord le gradient de pression moyen
(~Pm/L) et en diminuant
la tension interfaciale a afin d'atteindre les grandes valeurs du groupe.
Les résultats illustrés par la figure 1.7. montrent une corrélation du
pourcentage de l'huile initiale récupérée avec le groupe
(~Pm/La). Pour

---

25
o
o•
84-----------------------------,
-
8·tà
· 0
u o
wo
a:~
a:
Cf)
~o
Q
o·
::Jt
1
8.
Q
N
1
8...j..L----lI-----+----t----+-----1---
f
9J.oo
ao.oo
160.00
2ijO.00
320.00
14:00.00
NCA = ~p lu;
m
FIGURE 1.7. - Evolution du volume d'huile récupéré (en % du volume initial)
en fonction du nombre capillaire.
D'après TABER (1969)

---

---

1
1
27
j
l
1
:~
tous les échantillons, il existe une valeur critique de l'ordre de
3
-2
2
1,64 10
m
(5 dyne/cm
ft)/(dyne/cm»
en deçà de laquelle aucune huile
n'est récupérée. Au-delà de cette valeur, la saturation en huile décroît
de façon monotone et est inférieure à 5 % de la saturation initiale lors-
4
-2
2
que (6P /La) dépasse 13,20 10
m
(soit 400 (dyne/cm
ft)/(dyne/cm».
m
BATRA et DULLIEN (1973) réalisent des déplacements du même type
que TABER en s'intéressant davantage à l'influence de la structure poreuse
sur la récupération de la phase dispersée. Le milieu poreux est imaginé
comme une distribution des pores
(larges)
interconnectés par des seuils
(fins). Le piégeage lors de l'imbibition se fait par rupture aux seuils,
des nodules restant bloqués dans les pores. La difficulté de récupération
de tels nodules, caractérisée par le contraste des diamètres des pores et
des seuils, est représentée par un paramètre :
o
o
J J a(d , d ) d(d ) d(d )
(1.6)
l
2
2
l
00
dl
("Structural Difficulty
Index")
a(d , d ) représente la fraction du volume poreux constituée des pores de
l
2
diamètre d
dont l'accès se fait à travers un seuil de diamètre dl· dl et
2
d
sont des valeurs moyennes représentatives de la distribution des dia-
2
mètres des pores et des seuils respectivement. Les résultats de DULLIEN
et col. montrent une décroissance linéaire de la saturation résiduelle en
fonction du logarithme du paramètre :J) pour une quinzaine d'échantillons
de grès (Figure 1.8).
Des résultats obtenus par CHATZIS et MORROW (1981) concernent le
déplacement d'huile par de l'eau salée dans des carottes de grès. Pour
les 16 échantillons étudiés, la perméabilité à l'air varie de 0,1 à 1,5
darcy . Lors d'un cycle drainage-imbibition quasi-statique, les saturations
en huile au début et à la fin de l'imbibition varient respectivement de
57 % à 69 % et de 27 % à 43 %. Il n'apparaît aucune corrélation entre la
saturation résiduelle et la perméabilité. Le déplacement de la phase dis-
persée est réalisé par augmentation du gradient de pression dans le fluide
mouillant uniquement . Les groupes utilisés pour caractériser la saturation
1

---

---

29
1
ri
III
"M
+J
( a)
1
"M
C
"M
100
.
•
1
ri
g
•
!J
~j
::l
0
Porosité
<I>/K
'0
0
Perméabilité
tif'
C
Q)
40
'Q)
l-l
'Q)
20
0..
::l
U
0
'Q)
l-l
a
.
10
n4
D(mm}-1
.
!
•
ri
0
10-4
10-1
10-1 ~~
_1
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K (mt)
( c)
(b)
1 0 - - - - - - - - - - ,
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......
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1
1
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l-l
l-l
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0
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c
III
o
~
1 L---J.........----I.---'-----L---'----'---'-""""'--
o,01L.......--l..............L.---.......~--'---I
a 20
40
60
80
100
o
20
60
80
100
Vol. récupéré en % du vol.
initial
Vol. récupéré en % du vol.
initial
t
(a) Comparaison des corrélations de la saturation résiduelle avecd?et
avec <I>/K
(b)
Evolution de la saturation résiduelle avec le diamètre mgren des seuils
1
(c) Evolution de la saturation résiduelle avec le paramètre~ (Structural
1
Difficulty Index)
~
1
FIGURE I.8. - Déplacement d'huile en phase dispersée piégée dans des
échantillons de grès.
D'après DULLIEN et col.
(1972)

---

---

31
K
f:,p
a
m
'VJO
• Nca1 ==
L cr
K
f:,p
m
m
0,90
o Nca 2
L cr
]Jm V
Q.l
m
.-1
==
.-1
Q)
cr
Q)
o-i
0,80
;j
Itl
'Cl
·H
'ri.
+J
Perméabilité à l'air
en
'H
'(Il
t::
(au fluide mouillant)
0,70
~
'H
s::
t::
0
0
'H
-H
+J
+J
0,60
1tl
Itl
~
)..1
~
;j
+J
+J
1tl
Itl
Ù)
Ù)
U50
~I
10- 7
10 - 6
10
Nca
Nombre capillaire
FIGURE 1.9. - Evolution de la saturation résiduelle en fonction du
nombre capillaire
D'après CHATZIS et MORROW (1981)
(Berea Sandstone BL-2)

---

---

33
fl
v
K f1 P
résiduelle sont (m
m)
et (m
m) .
K
et K
sont les perméa-
a
m
cr
L cr
bilités à l'air et au fluide mouillant (eau salée)
à l'état de saturation
final
(Ka et Km' mesurées, sont approximativement proportionnelles). Les
corrélations de la saturation résiduelle
(en fraction de la saturation en
fin d'imbibition)
avec ces trois groupessont montrées sur la Figure 1.9.
pour un des échantillons utilisés. Les résultats expérimentaux sont en ac-
cord avec ceux obtenus par TABER en ce qui concerne les seuils de déplace-
ment de la phase dispersée exprimée avec le groupe
(Ka f1P /La).
m
Cette étude montre, d'autre part, que le gradient de pression
nécessaire pour réduire d'une même proportion la saturation en fluide non
mouillant est plus important si ce fluide est en phase dispersée que s ' i l
est en phase continue.
Une visualisation sur modèle tridimensionnel est réalisée par
NG et col.
(1978). Un nodule de fluide non mouillant est injecté dans un
cylindre rempli de billes de verre saturé en fluide mouillant. Pour deux
fluides de même densité,
le nodule est mis en mouvement en augmentant le
débit d'injection du fluide mouillant jusqu'à une valeur critique. Dans
un autre cas de déplacement,
le nodule est mis en mouvement par le contras-
te de densité entre les deux fluides lorsque sa longueur atteint une va-
leur critique. Des corrélations linéaires du débit critique avec l'inver-
se de la longueur,du débit critique avec l'inverse de la viscosité du
fluide mouillant et de la différence de masse volumique avec la longueur
critique sont faites conformément à la théorie du nombre capillaire décri-
te un peu plus bas.
1.3.2.
Expressions
théoriques
des
conditions
de
déplacement
d'une
phase
dispersée
1
Le déplacement d'une phase dispersée consiste à mettre en mouve-
!
ment des nodules en faisant croître le rapport des forces de pression et
f
!
viscosité sur les forces capillaires. Le schéma le plus simple est le pas-
!
~,
sage d'un nodule de fluide non mouillant dans un tube capillaire rétréci
~
rempli de fluide mouillant (GARDESCU, 1930).
1
il

---

34
f
f.n.m.
P
d
P
2
ml
dl
n
~
FIGURE 1.10.
La différence de pression dans le fluide mouillant le long du
nodule quand i l franchit le seuil est obtenue en supposant que sur chaque
interface la loi de Laplace est vérifiée et que la pression est uniforme
à l'intérieur du nodule.
p
-
p
(1.7)
m2
ml
Le rapport des forces de pression sur les forces capillaires au
passage du seuil est caractérisé par le contraste des diamètres.
(1.8)
4 cr cos
8
La mise en mouvement d'un nodule piégé,
en milieu poreux, est
interprétée en supposant que les conditions de drainage et d'imbibition
sont localement remplies sur deux de ses interfaces avec le fluide injec-
té. Le concept de nombre
capillaire
est une généralisation de cette
interprétation afin de déterminer les conditions du déplacement macrosco-
pique qui entraîne la mise en mouvement d'une partie
d'une population de
nodules constituant une phase dispersée piégée dans un milieu poreux.

---

35
Le nombre capillaire est défini par le rapport des forces de dé-
placement
(visqueuses et de pression)
sur les forces capillaires.
Il n'éxis-
te plus qu'une dizaine de formules pour exprimer ce rapport (LARSON et al.
1981). Elles diffèrent par les conditions expérimentales
(déplacement à
débit ou à gradient de pression constant)
et par la manière dont l'influen-
ce de la structure poreuse est prise en compte. Deux de ces formules sont :
K
/).p
m
N
-
(~)
(L 9)
cl
crcos8
L
].lm Vm
N
==
(LlO)
c2
crcos8
6Pm
V
et
sont la vitesse moyenne et le gradient de pression moyen du
m
L
fluide mouillant injecté dans le milieu poreux.].l
est sa viscosité, cr
et
m
8 la tension interfaciale entre les deux fluides et l'angle de mouillage.
K
est la perméabilité du milieu au fluide mouillant en présence de la sa-
m
turation résiduelle.
1.3.2.1.
Cas
d'un
nodule
V m
FIGURE L 11 .

---

36
Sur la figure (1.11), seules les interfaces où sont réalisées
les conditions de mise en mouvement sont représentées. Il est équivalent
d'exprimer les conditions locales de déplacement avec N
ou N
en ad-
c1
c2
mettant l'hypothèse suivante
h / Une loi linéaire (Darcy) exprime la relation entre la vitesse moyenne
1
V
et le gradient de pression au voisinage du nodule.
m
K
dP
V
V
=~~
~N
m
m
1
cl
lJm
4 Km
(1.11)
1
valeur critique du nombre capillaire
1
1 = 1/d
est la projection sur la direction de l'écoulement moyen de la
2
distance entre les deux interfaces (en nombre de diamètres d ) .
2
Il existe une distribution pour chacun des paramètres dl' d 2
(et par conséquent pour 8(d , d
1
»
et 1 . Ces distributions sont des
2
caractéristiques de la répartition de la phase dispersée au sein du mi-
lieu poreux. Pour exprimer les conditions de déplacement en fonction du
nombre de capillaires, les hypothèses suivantes sont nécessaires :
h / Les distributions de dl et d
sont caractérisées par les valeurs moyen-
2
2
nes dl' d
représentatives de l'influence de la structure du milieu sur
2
la rétention des nodules. Tous les nodules de même longueur (1) sont mis
en mouvement à la même valeur du nombre de capillaires ; cette valeur est
inversement proportionnelle à
(1).

---

37
h /
Il existe une valeur moyenne (1) représentative de la distribution
3
des longueurs des nodules. Cela implique l'existence d'un seuil du nombre
de capillaires correspondant à la récupération d'une partie significative
de la phase dispersée.
Les hypothèses précédentes sont souvent implicites et non justi-
fiées en fonction des propriétés spécifiques des milieux poreux considé-
rés. L'hypothèse h
est souvent utilisée pour interpréter le seuil de ré-
3
cupération constaté sur les échantillons de grès.
Des variantes existent dans l'écriture des conditions de mise
en mouvement de nodules. De manière générale, elles diffèrent par la fa-
çon de prendre en compte l'influence de la structure du milieu.
Mc DONALD et DULLIEN (1976) n'utilisent pas l'hypothèse hl et
introduisent l'influence de la structure poreuse par le paramètre
j)
(équation (6»
et une longueur moyenne des nodules. La récupération de
la phase dispersée est caractérisée par le nombre adimensionnel :
(ÔP /L)l
m
("Tertiary Oil Recovery Nwnber")
(1.12)
1.3.3. Modélisation
Modèle de PAYATAKES (1982)
--------------------------
Ce modèle décrit l'évolution de la répartition de la saturation
résiduelle suivant la taille des nodules lors d'Un processus de déplace-
\\
ment par accroissement du nombre capillaire dans un réseau de segments
~
convergents-divergents (figure 1.12) modélisant un milieu poreux. La re-
1

---

38
présentativité du réseau pour un milieu poreux réel est mathématiquement
analysée au préalable (PAYATAKES, 1977). Les caractéristiques du réseau
sont choisies de sorte à conserver les propriétés macroscopiques du proto-
type (porosité, courbe de drainage primaire, nombre de coordination, etc ... ).
,
.
,
:;---- ----+-
"
1
--7[-1
Q
"
1
"
,
..
,
,
~d.j
1
\\
,
\\
1 r
h'
h
,r
~-
+-+1
i - - - t - .
\\... m,-
: II
....
...
...
- ,/
----.-
FIGURE 1.12.
Le déplacement de type piston décrit par MELROSE et BRANDNER
(1974) et la rupture à un seuil décrite par ROOF sont les mécanismes de
base pris en compte par ce modèle.
La mise en oeuvre se fait de la façon suivante
fixer un nombre capillaire,
générer un nodule de la classe (nombre de segments ) à étudier
dans une position aléatoire,
- calculer le seuil qui correspond au déplacement ou à la ruptu-
re et le comparer à la valeur du nombre capillaire fixée.
Si la valeur du nombre
capillaire
est suffisante pour produi-
re un déplacement, la procédure est réitérée après chaque pas (franchisse-
ment d'un segment). Dans le cas d'une rupture, chaque partie est suivie in-
dividuellement. Les résultats montrent que la probabilité qu'un nodule res-

---

39
1
1
f
te fixe décroît en fonction de sa taille et du nombre capillaire. La
f
1
description stochas·tique du processus de déplacement est faite avec les
1
!
coefficients exprimant la destruction et la création de nodules de diffé-
1
rentes tailles· par les ruptures. Cette description est écrite sous forme
f~
d'une loi de conservation.
!
Modèle de LARSON et col.
(1981)
-------------------------------
Ce modèle utilise une conséquence immédiate de la théorie du
nombre capillaire. D'après l'équation
(11) et l'hypothèse h , le seuil du
2
nombre capillaire pour la mise en mouvement d'un nodule est inversement
proportionnel à sa longueur (l) et ne diffère pour un autre nodule que par
ce paramètre. Le modèle n'envisage pas la possibilité de rupture des no-
dules et suppose qu'une fois mis en mouvement,
ils seront dépiégés. Par
conséquent,
la saturation résiduelle à une valeur du nombre capillaire
fixée est constituée par les nodules piégés en fin d'imbibitionet de lon-
gueur inférieure à À!N
(À est une constante ayant la dimension d'une
ca
longueur et est caractéristique du piégeage dans le milieu poreux considé-
ré). La répartition initiale de la longueur des nodules est calculée avec
la théorie de la percolation (cf. 1.2.3.).
1.4. CONCLUSION
Une partie importante des études de déplacements en milieux po-
reux a pour but de caractériser l'influence des conditions dynamiques de
l'écoulement. Elles montrent que la saturation résiduelle décroît en fonc-
forces hydrodynamiques).
tion du nombre capillaire
(N
On constate que
ca
forces capillaires
ces courbes de corrélation (N
- Saturation résiduelle)
dépendent de la
ca
structure du milieu poreux considéré et ne sont pas déterminées par les
paramètres macroscopiques tels que la porosité ou la perméabilité. En

---

40
particulier,
la récupération est d'autant moins favorable que les diamè-
tres des pores sont contrastés. La plupart des résultats publiés sont des
corrélations entre les caractéristiques globales du déplacement et ne
fournissent pas d'informations sur les mécanismes physiques de déplacement
à
l'échelle des pores. Le manque de connaissances dans ce domaine rend
très difficile l'interprétation des expériences de déplacement en milieux
poreux; le comportement local des interfaces étant à l'origine du piégea-
ge et de la mise en mouvement des nodules.
L'observation des mécanismes de base se fait avec des modèles à
billes de verre et des réseaux gravés
(cf. synthèse de LE NORMAND
(1981».
Dans les modèles en verre,
la forme complexe des sections ne permet pas
de calculer les conditions d'équilibre des interfaces.
Dans la suite de cette thèse,
nous utilisons un support expéri-
mental constitué de modèles bidimensionnels transparents
(micromodèles).
Les conditions locales d'équilibre d'une interface sont calculées
en exprimant la loi de Laplace de manière appropriée aux configurations
observées lors des expériences de déplacement en micromodèles
(Chapitre
III). L'évolution des fronts de déplacement en drainage et en imbibition
quasi-statique est interprétée à partir de ces mécanismes de déplacement
local. Dans le quatrième chapitre,
nous présentons une méthode de simula-
tion permettant de retrouver,
avec un ordinateur,
le processus de dépiégea-
ge d'un nodule. Elle est basée sur les seuils de pression capillaire carac-
térisant l'équilibre des interfaces et sur le calcul du champ de pression
autour du nodule. Cette méthode est appliquée aux cas de nodules indivi-
duels piégés en fin de cycles drainage-imbibition et confrontée aux obser-
vations expérimentales.

---

41
-
CHAPlTRE
II
-
MECANISMES
DE
BASE
DU
DEPLACEMENT
QUASI-STATIQUE
D'UN FLUIDE
PAR UN AUTRE
DANS
UN MICROMODELE
L'étude suivante est faite à partir de l'hydrostatique des in-
terfaces fluide-fluide. Le support expérimental est constitué de micromo-
dèles dont nous rappelons le procédé de fabrication et les propriétés.
Après avoir décrit les mécanismes capillaires, nous les caractérisons par
un seuil de la pression capillaire locale. C'est la superposition de ces
mécanismes de base qui permettra d'interpréter les expériences de dépla-
cements dans les autres chapitres.
II.1. DESCRIPTlON DES MOYENS EXPERIMENTAUX
II.1.1. Procédé de fabrication et propriétés des micromodèles
Le support expérimental utilisé pour visualiser les phénomènes
capillaires est réalisé suivant la technique mise au point par J. BONNET
et R. LENORMAND
(1977)
; celle-ci est décrite dans leur publication.
Procédé de fabrication
La réalisation des micromodèles est effectuée en séquence, de
la manière suivante :

---

42
une plaque de Dycril,
composée d'un plastique photodurcissa-
ble lié à un support métallique est tout d'abord exposée aux rayons ultra-
violets sous un négatif à très haut contraste représentant le sujet à gra-
ver, puis traitée par projection de soude sous pression ; au terme de ce
traitement qui entraîne la dtssolution du Dycril protégé du rayonnement
par les parties noires du négatif, est ainsi obtenue une matrice gravée
(figure IL1.a.).
-
une empreinte de cette matrice est alors réalisée par moulage
sous vide d'une résine élastomère
(figure II.l.b.).
-
une matière plastique
(résine pour inclusion)
est ensuite
coulée sur le moule en résine. Elle conduit à l'obtention d'une réplique
transparente de la matrice Dycril et constitue le premier élément du mi-
cromodèle. La profondeur de la gravure
(épaisseur du plastique de la pla-
que de Dycril)
est d'un millimètre
(figure II.l.c.).
-
la réalisation définitive de ce dernier est enfin obtenue
par coulage d'un couvercle. Cette opération délicate a été résolue de
façon originale
de la manière suivante
:
-
les canaux du micromodèle sont préalablement remplis sous vide d'une pa-
raffine portée à l'état liquide,
(figure II.l.d.),
-
une fois celle-ci solidifiée, la surface du modèle est soigneusement
poncée afin d'éliminer toutes les traces de paraffine à l'extérieur des
canaux,
- une couche de matière plastique transparente destinée à constituer le
couvercle et assurant une soudure parfaite avec la partie gravée du mi-
cromodèle est ensuite coulée
(figure II.l.e.). La réalisation d'une soudu-
re parfaite du couvercle est indispensable si l'on veut éviter la propa-
gation du fluide mouillant par imbibition entre modèle et plaque de fer-
meture,
-
le contour extérieur du micromodèle est enfin usiné et soigneusement
poli afin d'obtenir la transparence nécessaire à la visualisation des
écoulements,

---

43
R.U.V.
,
t~ t
/Negatif
rl~~JS5~~~2ï Support (a)
IŒALI5ATION DE LA MATRICE
EN DYCRIL
métallique
Plastique photosensi ble
~.
FABRICATION DU MOULE FtTV
Moule RTV
(b)
Dycril
FIGURE II.1. -
Principe de la réalisation d'un micromodèle

---

45
- l'opération finale est l'élimination de la paraffine emplissant les
canaux par chauffage à 60 Q C environ. Le procédé qui entraîne le moins de
contraintes thermiques consiste à exposer le modèle parfaitement poli à
la lumière d'un projecteur de forte puissance ; la paraffine opaque absor-
be alors rapidement la chaleur et fond sans échauffement excessif de la
résine. Un rinçage au toluène permet de dissoudre les traces de paraffine.
Elles ont porté sur les points suivants
- suppression des déformations du moule en R.T.V. lors de la
polymérisation de la résine qui va constituer la première partie du micro-
modèle,
- suppression des effets de la pesanteur lors des écoulements
en améliorant le parallélisme entre les deux faces du micromodèle,
- amélioration de la transparence pour d'une part éviter l'ab-
sorption de chaleur et les déformations qu'elle entraîne lors de l'évacua-
tion de la paraffine et d'autre part obtenir une meilleure visualisation
des écoulements.
Ces améliorations ont consisté à utiliser deux plaques de Ple-
xiglas recouvertes sur une face d'une couche de résine à la place des cou-
lées de résine (figure II.2.).
canal gravé
plaques de
plexiglas
résine
FIGURE 11.2.

---

46
Les qualités optiques des faces externes sont préservées en
les couvrant de graisse afin d'éviter les rayures et le collage de la ré-
sine.
L'utilisation d'un négatif photographique comme élément de
départ offre de très larges possibilités de choix dans la représentation
du milieu poreux. Ce négatif peut être tout aussi bien obtenu à partir
d'un cliché d'une coupe de milieu poreux naturel qu'à partir d'un des-
sin géométrique laissant toute latitude quant aux lois de distributions
porométriques réalisables.
II.1.2. Description du modèle utilisé pour l'étude de la mise en mouve-
ment d'un nodule
Le négatif de ce micromodèle est une réplique réduite d'un
dessin réalisé par une table traçante pilotée par un
programme informa-
tique qui fixe la largeur des traits. Son principe consiste à générer
une suite de nombres réels uniformément répartis entre 0 et 1. La loi
de distribution est choisie par l'utilisateur en faisant une partition
de l'intervalle et en associant une classe de canaux à chaque élément de
la partition. La sortie graphique trace un réseau à mailles carrées dont
la largeur des traits est proportionnelle à la classe du canal. La dis-
position des canaux dans le réseau est déterminée par un nombre initial
à fournir par l'utilisateur.
Parmi plusieurs autres,
la matrice des classes de canaux du
réseau a été choisie de sorte qu'il y ait de fortes chances de piéger
un nodule en fin d'imbibition dans la partie centrale du micromodèle
(regroupement de canaux larges) .
Nous avons utilisé un réseau de taille modeste
(135 mailles,
276 canaux) afin de limiter le nombre de nodules i
l'étude d'une popula-
tion de nodules étant laissée pour une étape ultérieure à ce travail.

---

47
Le réseau est rectangulaire
(15 mailles x 9). Le négatif et
la matrice des classes de canaux sont représentés sur la figure II.3.
La largeur nominale d'un canal est égale en millimètres au
cinquième de sa classe. Le micromodèle comporte sept classes de canaux
avec la loi de distribution représentée par le tableau II.1.
TABLEAU II.1.
CLASSE (largeur)
NOMBRE DE CANAUX
PROPORTION
1 (0,2 nnn)
19
7 %
2
(0,4 mm)
70
25 %
3
(0,6 mm)
91
33 %
4
(0,8 mm)
65
24 %
5
(1,0 mm)
19
7 %
6
(1,2 nnn)
8
3 %
7
(1,4 nnn)
4
1 %
L'écoulement monophasique permanent dans ce réseau est étudié
dans l'Annexe A.II.
II.1.3. Dispositif expérimental
La visualisation des phénomènes capillaires dans les micromo-
dèles est réalisée avec un montage expérimental très simple. Nous avons
accordé la priorité à la compréhension des mécanismes dans la perspecti-
ve de les modéliser.

---

49
"
J
0
)
0
J
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J
J
J
J
J
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1
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r
· 1 --
z
i
J-
I
\\
~.
l
\\
i
J
FIGURE II.3. -
Matrice des classes de canaux et négatif du micromodèle
utilisé pour l'étude du déplacement d'Un nodule

---

51
IPhoto ou vidéo 1
micromodèle
air
table lumineuse
FIGURE II.4.
- Dispositif expérimental
Les prises de vues sont réalisées avec deux sortes de matériel
-
un appareil photographique avec différents objectifs dont
un de distance focale 200 mm muni d'un jeu de bagues permettant de gros-
sir jusqu'à dix
fois l'objet,
-
une caméra branchée sur un circuit vidéo
(magnétoscope +
écran T.V.).
Les expériences sont menées en faisant varier le niveau d'hui-
le avec une vis le long d'une crémaillère rigide graduée. Le pas de va-
riation du niveau d'huile est de 0,5 mm (soit 4,25 Pascal
en pression

---

52
d'injection). L'huile pénètre dans le micromodèle à travers une barrière
capillaire imperméable à l'air
(fluide non mouillant en présence de l'hui-
le). Cette barrière capillaire sert en même temps à stabiliser et à uni-
formiser la pression d'entrée
(en imbibition)
ou de sortie
(en drainage)
de l'huile.
II.1.4. Caractéristiques des fluides
Les fluides utilisés dans ces expériences sont de l'huile de
vaseline et l'air. L'huile est colorée au rouge cérol
(5 g/l) pour ob-
tenir un contraste parfait pour les visualisations. Sa densité est de
0,85 kg/l. La tension interfaciale entre les deux fluides est de
-3
25 10
N/m. La mouillabilité des micromodèles à l'huile en présence d'air
est parfaite; l'angle de mouillage mesuré avec un fort grossissement est
égal à O°C. D'autre part, des déplacements dans des tubes de section
constante fabriqués avec les mêmes produits que les micromodèles nous
ont permis de constater que le passage du drainage à l'imbibition se fait
par la plus faible augmentation du niveau décelable
«
0,5 mm). L'augmen-
tation de la pression d'injection correspondant à 0,5 mm de niveau
(4
Pascals) est négligeable devant la pression capillaire
(125 Pascals)
dans
les tubes. Cette observation est due à l'absence d'hystérésis de l'angle
de mouillage.
II.2. HYDROSTATIQUE DE L'INTERFACE DE DEUX FLUIDES NON MISCIBLES DANS
UN CAPILLAIRE
II.2.1. Equilibre mécanique
Pour deux fluides newtoniens en équilibre mécanique,
la dis-
continuité des contraintes à l'interface est compensée par l'énergie
libre de surface exprimée par la tension inter faciale
(LEGAIT,1981)
:

---

53
(2)
- cr ..
= cr c .
(11.1)
1J
n1
dU~k)
dU~k)
1
+ )Jk(--- +
J
)
est une composante du tenseur des
dX.
dX.
J
1
(k)
contraintes dans le fluide (k) de viscosité
)Jk où la pression est p
~(k)
et la vitesse U
•
C est la courbure totale de l'interface vers le fluide (1).
~
n est la normale à l'interface orientée vers le fluide (1).
fluide (2)
fluide (1)
~
n
FIGURE II. 5.
En mouvement quasi statique, à chaque position de l'interface,
les contraintes sont hydrostatiques dans les deux fluides. L'équilibre
mécanique de l'interface est exprimé
par la loi de Laplace classique:
(2)
p
(11.2.)
R
et R
sont les rayons de courbure principaux de l'interface vers le
1
2
fluide (1).

---

54
II.2.2. Réajustemen! de l'interface à la paroi du capillaire
concept
de mouillabilité
L'intersection de la surface solide avec l'interface est appe-
lée "ligne triple". Les efforts d'adhésion entre les trois composantes
du système qui s'exercent sur cette ligne sont reliés à l'équilibre par
l'équation de YOUNG:
cr
-
cr
cr cos 8
(II. 3)
ns
ms
interface fluide-fluide
projection de la ligne triple
\\
\\
\\
FIGURE II. 6.
cr
et cr
sont respectivement les tensions d'adhésion du fluide non mouil-
ns
ms
lant et du fluide mouillant au solide. L'angle de mouillage 8
est une
fonction des propriétés physico-chimiques des trois composantes du sys-
tème.
La forme de l'interface est la solution de l'équation (11.2.),
équation du second degré non linéaire et qui s'écrit explicitement en co-
ordonnées cylindriques :
p
-
p
1 d
(
r
dZ/dr
) =
n
m
(11.4)
2
r dr
Il + (dZ/dr)
cr
Les conditions aux limites de cette équation sont données par
l'équation (111.3)
qui impose l'angle de raccordement à la paroi solide.
La géométrie de la paroi solide intervient à travers cette équation.

---

55
La résolution du système d'équation (11.2) et (11.3) simul-
tanément avec les équations du mouvement des deux fluides, est impossi-
ble dans la plupart des cas de forme de la surface solide. D'autre part
seule la courbure de l'interface intervient dans le calcul de la pression
capillaire. Pour ces deux raisons, on se contente d'une approximation des
rayons de courbure de l'interface suivant la forme de la section où elle
se trouve.
Certains auteurs supposent qu'une variation de l'angle de
mouillage entre le drainage et l'imbibition contribue à l'hystérésis des
courbes pression capillaire-saturation et à élever le nombre capillaire
de déplacement des nodules.
MELROSE et BRANDNER (1974) introduisent une valeur de la cour-
bure de l'interface différente pour le drainage et l'imbibition. Celle-ci
est stable dans une section donnée tant que sa courbure est dans un in-
tervalle Jc , C [
dont les limites correspondent respectivement à l'im-
I
d
bibition et au drainage.
Les mesures d'angle
de mouillage sont en général effectuées
à partir de prises de vue aussi bien en statique qu'en dynamique. Dans
ce dernier cas, les études théoriques du comportement des deux fluides
au voisinage de la "ligne triple" (intersection entre l'interface et la
paroi) mettent en évidence une
grande influence des contraintes visqueu-
ses sur l'angle de contact apparent «(17),
(18),
(25),
(26),
(28),
(29),
(44) ) •
En particulier, HANSEN et TOONG (1971) prévoient que la dif-
férence peut atteindre 13° entre la valeur mesurée avec la tangente jus-
te à la ligne triple et celle mesurée avec la tangente à un point situé
-5
à 2,6 10
cm. Ce calcul est fait avec une valeur de nombre capillaire
(~vla ~
3
10- ) courante pour les expériences de déplacement dans les tu-
bes capillaires. Ces résultats permettent d'expliquer l'hystérésis appa-
rente de l'angle de contact par la forte déformation de l'interface au
voisinage de la ligne triple; celle-ci n'est pas accessible à cause de
la résolution insuffisante des appareils de visualisation.

---

56
Tel qu'il est introduit par l'équation de YOUNG, l'angle de
mouillage est une caractéristique intrinsèque des trois composantes du
système (1 solide et 2 fluides non miscibles) .
II.2.3. Formulations explicites de l'équilibre d'une interface
Cas d'une section circulaire
Si la pression capillaire est uniforme sur l'interface, celle-
ci est une calotte sphérique de rayon R/cos a ; R étant le rayon de la
section. La condition d'équilibre s'écrit:
P
2 cr cos aiR
c
RG/~e
f.n.m.
~
f.m.
FIGURE II. 7.
Cas de sections non circulaires
Pour trouver une expression approchée de la condition d'équi-
libre une hypothèse fréquemment utilisée consiste à négliger la présence
du fluide mouillant dans les arêtes (SCHE1DEGGER (1974), GANOUL1S (1974»
lors de l'écriture du bilan des efforts.
Dans l'axe de la section, l'équilibre de l'interface sous
l'action des forces capillaires et de pression est exprimée par la con-
dition :

---

57
p
x S = cr
f cos(e + a(s»ds
(ILS)
c
(L)
FIGURE II. 8.
Si a est constant le long du périmètre, Pc x S = cr cos(e + ~)L
S et L sont respectivement l'aire et le périmètre de la section.
p c
L cos (e + ~)
4 cos(e + a)
(IL6)
cr
S
OH
OH diamètre hydraulique (4S/L) de la section.
Exemples
P c
413 cos(e + ~)
Section triangulaire équilatérale de côté a
cr
a
p c
1
1
Section rectangulaire de côtés a et b
2 cos(e + a) (- + -)
cr
a
b
LENORMANO (1981) a fait un calcul plus précis de la condition
d'équilibre d'une interface dans une section rectangulaire. Elle s'expri-
me sous la forme P
= 2 (l/a + l/b) F(a/b) ; le terme correctif F(a/b)
c
est voisin de 1 avec une erreur relative maximale inférieure à 6 % attein-
te pour a/b = 1 (section carrée) .

---

58
II.3. CONFIGURATIONS DES INTERFACES DANS LES MICROMODELES
La différence fondamentale par rapport aux tubes capillaires
à section circulaire tient au fait que le fluide mouillant est toujours
présent dans les arêtes des canaux et peut coexister avec le fluide non
mouillant dans une section. La proportion des deux fluides évolue avec
la pression capillaire, mais l'épaisseur de la couche de fluide mouillant
semble toujours suffisante pour assurer la continuité de cette phase. La
variation d'épaisseur du fluide mouillant dans les arêtes traduit un dé-
placement entre les fluides,différent du balayage de type piston par une
interface frontale.
La figure II.9. schématise la configuration des flui-
des avec une interface frontale dans un canal.
On distingue quatre types de déplacements
(deux dans les canaux,
et deux dans les noeuds). La détermination des seuils de la pression capil-
laire locale est faite à partir d'un calcul des rayons de courbure des in-
terfaces
(cf. Annexe A.I.).
II.3.1. Déplacement de type piston dans un canal
C'est le balayage d'un canal par une interface frontale.
La pression capillaire a la même valeur en drainage qu'en imbi-
bition puisqu'il n'y a pas d'hystérésis de l'angle de mouillage. Nous dé-
signerons cette valeur fixée pour la largeur d du canal par "pression ca-
pillaire du seuil d" notée "Ps(d)"
(angle de mouillage nul)
(11.7)
La figure II.ll.b. illustre ce mécanisme de déplacement.

---

59
Fluid e
e
menlsque parallèle
interface frontale
à l'arête
a )
FLuide
mouillant
e
Flu", de
non
mouillant
p
b)
FIGURE II.9. -
Schéma de la configuration des fluides dans un canal de
section rectangulaire contenant une interface frontale

---

61
II.3.2. Ecoulement du fluide mouillant par les arêtes
Sur la figure II.10. le fluide mouillant contenu dans les ca-
naux A et B s'écoule par les arêtes lors d'une coalescence du fluide non
mouillant dans un canal. Celui-ci est évacué simultanément par les deux
extrémités. Ce
mécanisme
est à l'origine de la formation de structures
fermées dans la phase non mouillante (cf. Chapitre III).
En imbibition, le fluide mouillant peut envahir un canal à par-
tir des arêtes.
Il se produit une rupture de continuité du fluide non
mouillant, la formation de deux interfaces de type piston dans le canal
et l'évacuation du fluide non mouillant (figure 111.9.). Le seuil de la
pression capillaire de rupture dans un canal est noté "P "
R
2 a
d étant la largeur de la section (cf. Annexe A.I.).
d
II.3.3. Dans une intersection
En drainage, le fluide non mouillant envahit spontanément l'in-
tersection après avoir rempli un des canaux adjacents. Ce processus s'ef-
fectue avec des interfaces hors d'équilibre i le seuil de pression capil-
laire de passage à travers un canal étant plus que suffisant pour envahir
un noeud.
En imbibition, la progression du fluide mouillant est lente
et réversible jusqu'à ce qu'une configuration instable soit atteinte
toute l'intersection est alors envahie. Ce déplacement se déroule de fa-
çon différente suivant la topologie locale des deux fluides et en parti-
culier le nombre de canaux à partir desquels le fluide mouillant pénètre
dans l'intersection. C'est le critère que nous utiliserons pour distinguer
les différents types d'imbibition dans une intersection.

---

63
B
1\\
L
(al
. ~..
B
A
(bl
B
A
(cl
FIGURE II.l0. - Mise en évidence du fluide mouillant par les arêtes dans le
cas du drainage d'un canal à partir des deux extrémités
(canaux 1\\ et B) •

---

65
,
fIGURE II.11. -
Imbibition Il dans un noeud
(a)
suivie d'un déplacement piston
dans le canal
(b)
passage du
fluide
mouillant
FIGURE II.12.
- COnfiguration d'une interface pour une pression capillaire
comprise entre le seuil de pénétration au noeud (P
) et celui
I1
de balayage définitif au noeud
(P~l)

---

67
Ce type de déplacement montré sur les figures II.11. et 12.
sera désigné par "Il". Le fluide mouillant pénètre dans l'intersection
du côté du plus fin des canaux perpendiculaires au canal contenant du
fluide non mouillant lorsque la pression capillaire atteint un seuil
noté PlI. L'envahissement total de l'intersection n'a lieu qu'à un seuil
de pression capillaire, généralement plus basse que le premier et noté
*
PlI
(cf. Annex A.I.).
Entre ces deux seuils les fluides coexistent dans l'intersec-
tion ; le fluide mouillant s'écoule entre deux canaux adjacents; la dé-
formation de l'interface est réversible.
Ce mécanisme se déroule en deux étapes
: l'interface pénètre
au noeud lorsque la pression capillaire atteint le seuil P
(Figure
I2
II.13.a.), puis se déforme de manière réversible jusqu'à ce qu'une con-
figuration instable soit atteinte.
L'envahissement du noeud par le fluide mouillant se produit
avec une rupture de continuité du fluide non mouillant à la pression ca-
pillaire P~2 (Figure II.13.b.).
Les calculs des différentes pressions sont présentés dans
l'Annexe A.1. .
(a)
FIGURE II. 13 .

---

68
~~~~~~_~~~!!2~~~~!~~~_~~~~_~~~_!~~~~~~~~!~~
Lorsque deux canaux parallèles adjacents à une intersection
sont remplis de fluide non mouillant,
l'imbibition dans cette dernière à
partir d'un canal par un déplacement de type piston est pratiquement im-
possible.
y
Lm
Lm
- - - - -... x
a
FIGURE II.14.
Dans les deux cas schématisés par la figure II.14.,
l'interfa-
ce est stoppée en imbibition par la perspective d'un rayon de courbure
infini dans le plan (x, 0, y)
(en pointillés). L'imbibition se fait par
un des autres mécanismes
(rupture dans un canal par exemple) .
II.4. CONCLUSION
Nous avons montré dans ce qui précède que pour les différents
mécanismes de déplacement d'une interface dans un micromodèle, le seuil
de la pression capillaire locale peut être approché à partir des observa-
tions. Dans tous les cas, ce seuil peut s'écrire sous la forme:

---

69
X
r
étant le rayon de courbure du menlsque dans le plan horizontal.
x
Le tableau II.2. récapitule
les valeurs de P /0 qui correspondent aux dif-
c
férents mécanismes et aux sept classes de canaux du micromodèle utilisé
(figure II.3.). Pour le déplacement aux intersections, nous n'y repré-
sentons que les cas de quatre canaux de même classe. Des intersections
avec différentes combinaisons des classes de canaux sont rencontrées lors
de l'étude du déplacement de nodules (Annexe A.V.).
On constate de manière générale que le seuil de pression capil-
laire est plus bas pour les imbibitions qui s'effectuent avec une ruptu-
re (colonnes 8 et 10) que pour celles qui consistent à déplacer les chaî-
nes linéaires (colonnes 4 et 6). A cause de l'épaisseur sensiblement cons-
tante de la gravure, les seuils de pression capillaire du déplacement de
type piston sont moins contrastés que les largeurs des canaux. Les éta-
pes du drainage primaire lors de l'étude de la porométrie correspondent
en première approximation à ces seuils.

---

. ,
.'
T.::::.::'.:.
~";.
---,
,
'';:~'::
~
......
' ..
*'L
Classe
Classe
Déplacement de type
Imbibition par trois
Imbibition par deux ca- 1 Ruptures dans un canal
des
des
piston dans un canal
canaux adjacents
(Il)
naux adjacents
(I ) dans
2
dans un noeud
un noeud
canaux
canaux
---~::~----:-~:~~~~----I----~::~----I--~~~~~----r---~::~---l----~~~~~---r---~::~----r--~~~~~--
t
1
0,2
[
0,1
------------ ------------ -----------
2
0,4
0,2
~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~t~~~~~~~~~~]~~~~~~~~~~~~~t~~~~~~~~~~~t~~~~~~~~~~
------------ ------------ -----------
-----=------L----~:~-----L----~:=----l----=:=:---J----_~:~:J ~:==
i
~:~=__J ~:~= L ~:~=-__L =:::__
t
t
4,50
1
0,57
3,75
2,5
---------- -------------t
4
0,8
0,4
2,73
]
2,37
2
-----------
------------ -----------
-----------
5
1,0
0,5
4,00
J
0,71
3,40
3,41
2,29
( 00 )
2,00
-...J
-----------
------------ ----------- ----------- ------------
---------- ------------- -----------
-----~-----JL----~:=----Jl----~:~----l----=:~~---J-----~:~~---J---::~~-----l----~:~~--J-----~:~~----L----~-:-~--l
=:~~__
7
1,4
0,7
3,43
1, 00
3,00
4,78
2,21
(
00
)
2,00
TABLEAU II.2. - Valeurs des pressions de déplacements pour les différentes classes de canaux du micromodèle et rayons de
~.
b
l
%
cour ure equ~va ents r
p*
20 (lIe + 1/2 r*)
c
~
"".~
_~ o·,'_'~
~
~ ~"'
_ " . '
_ . , _ _ •• _
•.
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.''''
_
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_
_
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"oC' '"n-o· • .........,'"-
"'••.•-
..
_.. '.·_0."," ." ••••-
_ _. -
" '
- - - "

---

73
-
CHAPITRE
III
-
ETUDES EXPERIMENTALES
DU DEPLACEMENT DANS LES MICROMODELES
A partir des mécanismes de base étudiés au Chapitre précédent,
nous allons décrire l'évolution du front de déplacement lors d'un cycle
drainage-imbibition quasi statique et le processus de dépiégeage de no-
dules piégés dans des micromodèles.
111.1.
CYCLE DRAINAGE-IMBIBITION DANS UN MICROMODELE
111.1.1.
Drainage
Le réseau est initialement saturé en huile. Le drainage s'effec-
tue en diminuant progressivement la pression du fluide mouillant ; le
fluide non mouillant
(air)
étant à
la pression atmosphérique. La pression
capillaire est déduite du niveau de l'huile par rapport au modèle. La sa-
turation en huile est mesurée en continu par pesée
(précision 1 mg).
L'évolution du front de déplacement est contrôlée par la largeur
des canaux,
les noeuds étant envahis spontanément dès qu'ils sont en con-
tact avec l'air. A cause de la disposition des canaux de différentes clas-
ses dans le réseau et de sa petite taille,
le drainage est caractérisé par
trois seuils de pression. Ces étapes correspondent aux points matérialisés
sur la courbe pression capillaire-saturation (Figure 111.1.).

---

75
12
10
•
8
!I1
•
1
•J
6
0
,
3
0]
'S{ 3 }
•
, /
",.
a-
"
P {])
•
8
'0
fS{4}
1
1
CT
•
,
CT
/•
f5(6)
DO
/
,
P {3}
R
cr
____,/I]
cr
~
.-
Pli (3,3)
2
cr
O...............--.....,-------,~----------r----l-~
Smm
o
0,1
0,2
0,3
0,'
FIGURE III.1.
- Courbes de draina0e et d'imbibition dans un micromodèle

---

77
- Première étape du drainage (Figure III.2.a.)
: la pression ca-
pillaire juste nécessaire pour amorcer le drainage correspond au seuil de
déplacement de type piston dans les canaux de classe 6. La pénétration est
limitée à deux canaux.
- Deuxième étape du drainage (Figure III.2.b.)
: les deux canaux
envahis à l'étape 1 n'étant pas voisins de canaux de classe 5 (ou plus),
l'étape suivante correspond à la pression capillaire de seuil de la clas-
se 4.
- Troisième étape du drainage: lorsque la pression d'injection
est suffisante pour envahir les canaux de classe 3, on observe :
- la formation d'une ligne de fluide non mouillant continue sur
toute une section du micromodèle (Figure III.2.c.). Cette li-
gne isole une partie importante de fluide mouillant. L'essen-
tiel du piégeage se produit à ce stade intermédiaire,
les canaux de classe supérieure ou égale à 3 permettent à l'air
d'arriver à la barrière capillaire.
L'accroissement de la pression capillaire au-delà de P (3) ne per-
s
met de déplacer du fluide mouillant qu'en aval de la ligne de fluide non
mouillant (portion D -D
de la courbe de la Figure III.1.). La dernière
3
4
phase du drainage est effectuée par écoulement de l'huile le long des arê-
tes. Un obstacle continu de fluide non mouillant se forme le long de toute
la barrière capillaire (Figure III.2.d.).
L'essentiel du déplacement (plateau D -D
de la courbe) se pro-
2
3
duit à la pression P (3).
s

---

79
(a)
1
~ fluide non
(h)
mouillant
J
.
J
(c)
.
1
1
1
0
..
(d)
Il
-
~ 8
FIGURE III. 2. - Etapes de drainage dans le micromodèle. Le fluide non mouillant
(en blanc)
est injecté sur la droite du réseau. a)
Pénétration
dans deux canaux de classe 6. bl
Envahissement des canaux de
classe 4. cl
Etape intermédiaire,
formation d'une li~ne conti-
nue de fluide non mouillant piégeant des amas importants de
fluide mouillant. dl
Fin du drainage

---

81
111.1.2.
Imbibition
La situation initiale est celle de la fin du drainage. On pro-
cède par augmentation de la pression de l'huile. L'imbibition est mar-
quée par deux paliers de pression que nous allons interpréter grace aux
mécanismes de base au niveau des noeuds et des canaux.
- Première étape de l'imbibition: la pénétration de l'huile dans
le micrornodèle n'est sensible qu'après une importante élévation de son
niveau (portion 1 -1
de la courbe). Elle débute par des déplacements de
0
1
type piston dans les canaux adjacents à la barrière capillaire (classes
1 à 4). A la même pression capillaire, voisine de P (4)
et P (2), l'obs-
5
R
tacle de fluide non mouillant est rompu dans les canaux de classe 1 puis
de classe 2 (figures III.3.a. et b.). Un nodule est ainsi piégé dans un
seul canal (classe 5).
- Deuxième étape de l'imbibition: du point 1
au point 1
sur
2
3
la courbe (Figure 111.1.)
: la majeure partie du fluide non mouillant est
balayée lorsque la pression capillaire passe en-deçà du seuil de rupture
de la classe 3. La pression de l'huile est suffisante pour déplacer les
chaînes linéaires par des imbibitions de type Il et provoquer la rupture
de structures fermées par des imbibitions de type 1
(Figure III.3.c.).
2
L'imbibition est terminée lorsque le fluide non mouillant n'est
plus en phase continue le long du réseau (Figure III.3.d.).
111.2.
NODULE PIEGE DANS DES MODELES DE FORMES SIMPLES
Le piégeage et la mise en mouvement de nodules se font par com-
binaison des mécanismes de base au niveau des interfaces. La première partie
de cette étude est faite avec des modèles de formes simples. L'interpréta-
tion des observations est simplifiée pour deux raisons :

---

83
·
1
[
0
(a)
-~8
il 1
·
1
1""'"" 0
(b)
,.. ..-.
FLUIDE
MOUILLANT
1
·
0
(c)
(d)
FIGURE III.J. -
Imbibition après le drainage de la figure III.2.
a)
et b)
début de l'imbibition par piston dans les canaux ad-
jacents à la barrière et rupture des classes 1 et 2. c) balayage
du réseau par des mécanismes Il et 12. d)
fin d'imbibition.

---

85
les nodules ont un nombre minimum d'interfaces,
- le domaine d'écoulement du fluide injecté n'a pas beaucoup
d'interconnexions ce qui facilite la compréhension de l'évolution de la
pression au voisinage des interfaces du nodule.
Nous étudions le déplacement de deux sortes de nodules. Un no-
dule ayant une structure linéaire et un nodule constitué d'une boucle.
Cette première partie constitue une étape vers la modélisation du dépla-
cement des nodules dans le réseau.
III.2.1.
Passage d'un nodule dans
la partie rétrécie d'un
capillaire
Considérons un capillaire ayant une partie large et une partie
fine. Un nodule de fluide non mouillant dans un tel capillaire est piégé
dans la partie large au seuil d'accès de la partie étroite. Les sections
rectangulaires permettent l'écoulement du fluide mouillant par les arêtes
entre la paroi solide et un ménisque. L'évolution de la pression capillai-
re au cours du processus de mise en mouvement est déduite du comportement
de ce ménisque. Le débit est déduit de la mesure du déplacement du fluide
dans le tube de sortie.
a) Observations
La pression capillaire sur l'interface amont est imposée par la
section du gros canal et détermine la pression dans le nodule pour toute
valeur de la pression du fluide mouillant dans ce canal.
- la quantité de fluide mouillant le long du nodule diminue
(Figures III.4.a.b.),
- le débit du fluide mouillant augmente avec le niveau d'injec-
tion (Figure III.6.).

---

86
-
la quantité de fluide mouillant dans les arêtes augmente
(Fi-
gures III.4.c.d.),
-
le débit croît sensiblement après avoir baissé lors de l'ac-
cès de l'interface dans le canal fin
(Figure 111.6.).
~E~~~_!~_~E~~~~~~~~~~~!_~~_~~~~!~_!~_~~~~~~~~~~_~~~!_~
~_~~E~~!~~
~~-~~~~-~~~~~~~~-~~~~~~!_!~~-~~~~~~~~~~-~~~-~~~~-~~~!~~~
- dépiégeage en bloc
(Figure 111.4.),
-
dépiégeage par des ruptures successives libérant chacune une
partie de sa taille décroissante. Une portion du nodule reste piégée au-
delà du seuil (Figure 111.5.).
~)
Interprétation
Nous nous référons à la Figure III. 7. pour l'interprétation des
mécanismes observés. Entre les états
(1)
et (2),
l'évolution est commune
aux deux types de dépiégeage. La pression capillaire reste égale à P
(D)
s
sur l'interface
(Li)'
(I ) et (I) sont confondues en une seule interface
2
où la pression capillaire croît de façon continue et réversible de Ps(D)
à P (d).
5
Lorsque cette limite est atteinte,
l'interface
(I ) se forme dans
2
le canal fin et la pression capillaire y demeure constante à
(p
(d)). La
s
pression capillaire commence à décroître sur l'interface
(I).
Quand l'interface
(I )
franchit le seuil
(état 2),
la diffé-
2
rence de pression dans le fluide mouillant le long du nodule peut être
calculée en superposant les conditions de déplacement de type piston dans
les deux sections.
20 (.!. - .!.)
(IILl)
d
D

---

87
...•
..
~-..~-.~
_. '"" ........ .,.
i........, ..
_.
" _". •
•
FIGURE 111.4. - Dépiégeage du nodule sans ruptures

---

89
(a)
(c)
,,\\,.:~,~-----1IIlII
,"f'.':. . . ._ ' - - - - - -
..FLUIDE
MOUILLANT
(d)
(e)
,-_
~....
........~
( f)
. .
.__ ..-
oil'llI.
FIGURE 111.5. -
Dépiégeage du nodule par ruptures successives

---

91
8
1
r
1
1
1
1
.
f
;>
8
CIl:i
D = 1,5 rmn
d .. 0,3 JI].lI)
"AVEC RUPTURES"
f
D.P
11,5
81--_ _-+-_ _----4
-+-_ _--+
+-_ _-+_ _--1
9:i.00
2.00
'l.00
6.00
8.00
10.00
12.00
1\\1.0
DELTA H CIQIl)
8
r ] @+=
'8
;z.
~~
le
:1:
D = 2 mm
d = 0,6 Itnn
t::,p
4,5
"SANS RUPTURES"
CD
...
8
CIl:i
8.+:-:-_ _-+--_ _-+-_ _--+-_ _-+_ _--._ _~I___
___l
9:1.00
0.80
1. 80
2.1'0
3.20
Il. 00
Il. eo
5.150
DELTA H (mm)
FIGURE III. 6. -
Evolution du débit du fluide mouillant en fonction de la pression
d'injection D.P pour deux e~périences. (En ordonnée, V est la vi-
tesse de déplacement du fluide dans le tube de sortie, de diamètre
in terne 2 rmn) .

---

93
TABLEAU III. 1 •
AVEC RUPTURES
SANS RUPTURE
D en nun
1,5
2
1,5
2
2
d en nun
0,3
0,4
0,75
0,6
0,5
I\\H expérimental en nnn
11,5
12
2,5
4,5
5,0
I\\H théorique en nun
14,5
15,3
3,6
6,3
8,1
Sur le Tableau 111.1. nous comparons l'élévation du niveau du
vase pendant l'expérience (I\\H expérimental) à la valeur théorique calculée
avec la formule :
(III. 2)
I\\H (th -
.
)
eorlque
Pm
étant la masse volumique de l'huile.
La valeur théorique est généralement supérieure à la valeur ex-
périmentale. Nous expliquons cet écart par la contribution des forces de
contraintes visqueuses au déplacement.
Dans le canal (d), derrière
[2' la pression capillaire varie
continuement
de P (E) à P (d).
c
s
D
Si d >
PR(d) < P (d) < P (D)
P
(d)
s
s
s
L + Die
La pression capillaire dans le canal fin est partout supérieure à PR(d)
pendant tout le processus.

---

95
/'"
,
, "
(r., ) 1
1
1
~.' ,
~,
.
f__ L
.
'
..
...
:
.
__
(a)
----t-- -L --_. -~.}-
- - - - -r-- .'
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\\,
•
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2 )
1
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"
\\
\\
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"
A
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......
...
---- -- état 3
-.... _... _- état"
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(h)
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1
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(r)
Pc
~
' ...
------
Pc (r,)
.
X,
)
X,., X12
,X13
U
Ps (d) '"
....
(c) '.
, / -........... ..............
--- -- ---
....
---
P
. - - - --
- - - -_ Pc ( r.
s (D)
)
P~ (r.2 )
X
Pif (d)
2
FIGURE III. 7. - a) Différentes' configurations des interfaces du nodule
b) Evolution de la pression capillaire sur les interfaces en
fonction de Xl
(position de l'interface (Li»
c) Evolution de la pression capillaire sur les interfaces en
fonction de X
(position de (L ».
2
2

---

97
D
Si d <
1 + Die
Au-delà d'une position X
de (~2)' Pc(~) passe en-deçà de PR{d)
(Figure
2R
111.7.) et la condition de rupture (Pc 2 PR{d»
peut être réalisée en un
point du ménisque dans le canal fin.
Sur la Figure 111.8. nous avons représenté par la longueur ap-
proximative de la partie rompue
h' qui correspond à un nodule plus court
est bien inférieure à h ; la longueur des parties rompues décroît au
cours du processus.
Lorsque le nodule est suffisamment petit (Figure 111.8.) la
perte de charge dans le fluide mouillant n'est plus en mesure de le mettre
en mouvement.
P
(d)
s
-----1 ..... - ... -
Ps ( D ) - ; t - - - - -......-----;---~-~----...;::::I~--- .......,.X2
X 2 2
X' 2 Rf
1
1
1
h
1
h'
l
FIGURE IlL8.

---

98
111.2.2.
Dépiégeage d'un nodule piégé dans
un doublet
Lorsqu'un nodule de fluide non mouillant a une structure fermée,
sa mise en mouvement ne peut être effectuée sans une rupture. Ce type de
nodule est illustré par le cas d'un doublet. La mise en place et le dé-
placement sont interprétés à partir des mécanismes de base.
a) Mise en place du nodule (Figure 111.9.)
Le micromodèle initialement saturé en huile est entièrement drai-
né ; du fluide mouillant persiste le long des arêtes des canaux. En aug-
mentant progressivement la pression dans l'huile, l'imbibition du canal
fin en aval est réalisée par une rupture avant que le front n'atteigne
les canaux du doublet. Ceci illustre une forme de piégeage possible en im-
bibition.
b) Dépiégeage du nodule
En continuant à augmenter la pression d'injection, nous obser-
vons
- l'augmentation de la quantité de fluide mouillant le long des
arêtes,
- la pénétration de l'interface aval du nodule dans le canal
aval. La pression capillaire est imposée par la section de ce dernier et
fixe celle du nodule à chaque étape.
Le dépiégeage peut se dérouler de deux manières
- un déplacement de type piston suivi d'une rupture analogue à
l'imbibition 1
(cf. Chapitre II). C'est le cas de la Figure 111.10.,
2
- une rupture dans un des canaux du doublet (Figure 111.11.)
suivie d'une évacuation spontanée du fluide non mouillant.
~) Interprétation
Sur la Figure 111.12. nous illustrons les deux cas de dépiégeage
observés.

---

99
t~ ,.'
drainage
a)
imbibition
FIGURE III. 9. -
Piégeage d'un nodule dans un doublet après un drainage
(a)
suivi d'une imbibition (b). La rupture dans le canal de
droite isole le nodule.

---

101
Au cours du processus, la pression capillaire diminue sur l'inter-
face (L ) est reste égale
(d ) sur (L ). A chaque étape, elle augmente
1
à Ps 1
2
d'amont en aval du nodule de P eL ) à P (d ).
c
1
s
1
- Dans le premier cas, le dépiégeage est réalisé quand la pres-
sion capillaire sur l'interface (L ) atteint p (2 r~) où r~
correspond à
1
s
la configuration de l'état (3).
x'V
r
'V
1
(1
-
sin a)
Lors de ce type de dépiégeage, la pression capillaire autour
du nodule est supérieure au seuil de rupture dans un des canaux du doublet
d
> e sin a
2
- L'autre type de déplacement s'effectue par rupture dans un
des canaux du doublet dont le diamètre (d;) est inférieur à e sin a •
Les caractéristiques des micromodèles sont
dans le premier cas (Figure 111.10.)
: al = 32°C
0,75 mm > e sin al
dans le deuxième cas (Figure 111.11.): a
= 37°C
d'
0,5 mm < e sin a
2
2
2

---

J03
FLUIDE
MOUILLANT
FIGURE IU.• tC.
- Dépiégeage danfi un doublet pa.r imb.:i.bition ;1:2 dans le
noeud a.mont

---

105
••
•
FLUIDE
)
MOUILLANT
••
•
•
FIGURE III.ll. - Dépiégeage dans un doublet par rupture dans un des
canaux

---

107
-,-J)
d -
I
(1)
- - - - - -- ~
( ])--
-- -- --~ dP•• dP.... "",,)
--
~
p~ (dl)
--
~
~ (1 r,-) +----..---4-~~--------------L---- .....~
o
V~
~
FIGURE 111.12. - a)
Différentes configurations des interfaces frontales
d'un nodule en nrocessus de dépiéaeage dans un doublet
b)
Evolution de la nression capillaire le lonq du nodule
pour chaaue confiquration

---

109
111.3. MISE EN MOUVEMENT DE NODULES PIEGES DANS UN RESEAU
111.3.1. Mise en place d'un nodule dans
le réseau
Notre exigence
principale a été que le nodule étudié soit piégé
dans une situation représentative d'une fin de cycle drainage-imbibition.
C'est pour cette raison que l'injection de fluide non mouillant à partir
d'un trou percé sur la paroi, procédé de mise en place le plus évident, a
été évitée. Le micromodèle utilisé dans cette étude permet de satisfaire
cette exigence.
A la dernière étape du cycle drainage-imbibition (portion 1 -1
2
3
de la Figure 111.1.), la pression capillaire est comprise entre P (3) et
R
P~2(3,3) (en décroissant). Alors que l'imbibition de type 1 est bloquée
2
avant deux canaux de classe 3, une rupture se produit rapidement en amont
dans un canal de classe 3 aussi (Figure III.3.c.) .Le piégeage du nodule ré-
sulte de cette rupture et du blocage des autres interfaces en amont.
Après l'isolation du nodule s'effectue le déplacement des derniè-
res chaînes linéaires. Lorsque le front de déplacement atteint la face de
sortie, la pression du fluide mouillant augmente de manière rapide à cause
de la chute de la pression capillaire. Ce phénomène transitoire permet
d'atteindre le seuil de rupture (P~2(3,3»
au noeud où le front de dépla-
cement est bloqué. La configuration finale de la phase dispersée est celle
de la Figure 111.13. Elle est constituée de deux nodules, le plus petit
n'occupant qu'un seul canal.
En tenant compte de l'influence du petit nodule sur l'écoulement
du fluide injecté, nous pouvons étudier le processus de déplacement de
l'autre. Ce nodule sera désigné par "N3" dans la suite de cette étude.
Il est possible de piéger du fluide non mouillant dans d'autres
configurations que celle ci-dessus décrite en modifiant
la séquence de
variation de la pression pendant le cycle drainage-imbibition. Cette modi-
fication consiste à faire varier la pression de manière plus ou moins ra-
pide afin de favoriser tel ou tel mécanisme de base. Les mécanismes lents
(écoulement par les arêtes) sont défavorisés par les variations brusques

---

111
r - -
1
,...--
-
(a)
B
. ..
........ .
1
1
N3
-
.
Je
(b)
Ni
Ul
lJU~ -
" '~LJU
- ' .
~:JJ;~'L
r 0 -
1
~:..,~ A
"
I
(c)
.,-
~ !l JI .'.'
l
JI
:J~rj~
, . i
:=J--'"
;~-
.
~
N2
~l]ill
J
:.j
;,1
. ,
FIGURE 111.13. - Nodules piégés après un cycle drainage-imbibition
dans le réseau. Les différentes configurations sont
obtenues en modifiant les débits de drainage et
d'imbibition.

---

113
par rapport aux déplacements rapides (de type piston dans un canal).
Deux configurations de piégeage correspondant chacun à un seul nodule
principal sont représentées sur les Figures III.13.b. et III.13.c. Ces
nodules seront désignés respectivement par "NI" et "N2".
111.3.2.
Dépiégeage d'un nodule de fluide
non mouillant
On peut remarquer unè première différence entre les nodules
Nt et N3 d'une part et le nodule N2 d'autre part. Les deux comportent
des structures fermées (boucles) alors que l'autre est constitué de
chaînes linéaires.
Les différentes étapes du dépiégeage de ces trois nodules sont
décrites en détail et comparées aux résult.ats de simulations (Chapitre
IV) dans l'Annexe V. Résumons rapidement ces résultats
- le nodule Nt est constitué d'une boucle et d'une chaine li-
néaire dirigées vers l'aval. Il est mis en mouvement dès que cette bou-
cle est rompue par une imbibition de type 12 à l'un de ces noeuds. Avant
la rupture on constate dans une phase intermédiaire la pénétration du
fluide mouillant dans ce noeud (Figures A.V.3. et 4.),
- le nodule N3 comporte en plus d'une boucle et d'une chaîne
linéaire principale dirigées vers l'aval, trois ramifications perpendi-
culaires à la direction de l'écoulement moyen. La première phase de la
mise en mouvement de ce nodule consiste au déplacement de deux chaînes
linéaires, la deuxième à une rupture de type 12.
Après la rupture de leur boucle, ces deux nodules (Nt et N3)
sont mobilisés jusqu'à la face sortie ~ le déplacement est rapide et
hors d'équilibre.
- le nodule N2 est dépiégé par une succession de déplacements
élémentaires constitués chacun d'un drainage dans un canal et d'une im-
bibition de type 12 dans un noeud en amont.

---

114
Lors du dépiégeage,
i l existe une séquence de configurations d'é-
quilibre. Lorsque le nodule est en équilibre, une seule de ses interfaces
à la fois est située dans un canal. C'est la section de ce canal qui impo-
se la pression capillaire de l'interface et la pression dans le nodule
(fluide mouillant en écoulement permanent). Les autres interfaces sont si-
tuées dans des noeuds où leur pression capillaire peut varier
(entre PI
et
*
PI' cf. Annexe A.I)
en maintenant une configuration d'équilibre. C'est
le blocage de l'imbibition à ces noeuds qui retient le nodule.
On constate, en augmentant la pression d'injection, que le dépla-
cement du nodule se fait vers le canal qui contient une de ses interfaces.
Cette dernière observation est importante pour décrire le processus de dé-
piégeage du nodule avec les seuils de pression aux différentes étapes. Ceci
est l'objet du prochain chapitre.
I I I . 4 .
CONCLUSION
Lors du cycle drainage-imbibition quasi statique, l'évolution du
front peut être déduite des mécanismes de déplacement à l'échelle des po-
res.
Il en est de même pour le piégeage, en particulier du fluide non
mouillant en fin de cycle drainage-imbibition.
Les deux cas de dépiégeage étudiés sur les modèles de formes sim-
ples présentent les différences qualitatives suivantes :
-
le premier nodule est bloqué par un rétrécissement en aval alors
que c'est l'imbibition en amont du deuxième nodule qui est bloquée,
-
au cours du processus de dépiégeage,
la pression capillaire au-
tour du nodule linéaire décroît alors qu'elle augmente autour de la boucle,
- à chaque étape, la pression capillaire croît d'amont en aval
du doublet alors qu'elle décroît le long du nodule linéaire.

---

115
L'observation des nodules piégés dans le réseau a permis de
faire les constatations suivantes :
c'est le blocage de l'imbibition dans les noeuds en amont qui
retient ces nodules plutôt qu'une restriction de la section de passage en
aval. En cela, ils présentent une analogie avec les nodules piégés dans un
doublet,
- leur mise en mouvement correspond au seuil d'imbibition d'un de
ces noeuds; le passage du nodule étant déterminé par la pénétration d'une
de ses interfaces dans un canal en aval avant que le seuil de mise en mou-
vement ne soit atteint.
Le principe de la simulation de la mise en mouvement des nodules
présenté au prochain chapitre est basé sur ces observations et sur une mé-
thode de calcul du champ de pression.

---

117
-
CHAPITRE
IV -
SIMULATION DE LA MISE EN MOUVEMENT
D'UN NODULE PIEGE
IV.l. DEMARCHE
Lors d'un déplacement de phase dispersée en milieux poreux,
on impose l'écoulement extérieur à l'échelle de l'échantillon. L'évo-
lution des paramètres macroscopiques (débit total ou différence de
pression entre la face d'entrée et celle de sortie) entraîne des chan-
gements de la pression capillaire sur les interfaces entre les nodules
piégés et le fluide injecté pour les déplacer.
Le déplacement d'une interface est caractérisé de façon déter-
ministe par le seuil de la pression locale qui compense la tension in-
terfaciale.
Les valeurs des paramètres macroscopiques nécessaires pour dé-
placer une interface sont celles qui réalisent ce seuil de pression loca-
le. La pression à l'intérieur du nodule est une variable qui s'adapte de
façon a priori inconnue aux changements de l'écoulement extérieur.
Dans ce qui suit, nous nous proposons de déterminer l'évolution
d'un nodule de fluide non mouillant piégé dans un micromodèle-réseau. Le
déplacement du nodule est considéré comme une séquence de "déplacements
élémentaires" constitués chacun de la superposition d'un drainage et d'une
imbibition localisés sur deux interfaces.

---

118
L'écoulement de fluide mouillant injecté pour déplacer le nodule
s'effectue sous une différence de pression
(6P )
imposée entre la face d'en-
m
trée et celle de sortie. Cet écoulement est influencé par la configuration
du nodule. Pour une configuration du nodule donnée,
l'écoulement du fluide
mouillant est permament puisque la géométrie du domaine et les conditions
aux frontières sont constantes.
Nous supposons que la pression dans le nodule se stabilise à une
valeur approximativement uniforme.
Au deuxième paragraphe de ce chapitre est présentée une méthode
de calcul du champ de pression aux noeuds du réseau de l'écoulement du
fluide mouillant en présence de fluide non mouillant piégé.
Les seuils de pression capillaire locale des mécanismes de dépla-
cement des interfaces sont connus
(cf. Annexe AI)
; nous allons en déduire
la perte de charge entre deux interfaces où se produisent simultanément
deux de ces mécanismes
(un drainage et une imbibition)
et la différence de
pression macroscopique qui lui correspond. Pour déterminer le déplacement
élémentaire qui se produit à partir d'une configuration donnée,
i l restera
à choisir le couple d'interfaces où i l se réalise. Ces deux points consti-
tuent le troisième paragraphe. Cette démarche est schématisée par la Figure
IV. 1.
IV.2. ECOULEMENT DU FLUIDE MOUILLANT EN PRESENCE DE NODULES
Dans l'Annexe AI, nous décrivons une méthode de calcul du champ
de pression aux noeuds du réseau saturé par un fluide en écoulement perma-
-+
nent. Le vecteur des pressions aux noeuds P est la solution d'un système
-+
-+
d'équation linéaire
(AP = B)
dont la matrice des coefficients est calculée
avec les conductances hydrauliques des liaisons qui représentent les canaux.

---

119
CONFIGURATION DU NODULE
CHAMP DE PRESSION
SEUILS MACROSCOPIQUES
DES DIFFERENTS DEPLACEMENTS ELEMENTAIRES
POSSIBLES
DETERMINATION DU DEPLACEMENT ELEMENTAIRE
PRIORITAIRE
NOUVELLE CONFIGURATION DU NODULE
FIGURE IV.l. -
Principe de la simulation

---

121
La conservation du débit au noeud d'indices
(l, J) est exprimée par la
ième
K
équation du système linéaire (K = (I - 2) M + J
; M est le nombre
de noeuds sur une largeur du réseau) .
Elle s'écrit:
A
xP
+A
xP
+A
xP
+A
xP
K,K-M
1-1,J
K,K-1
I,J-1
K,K
I,J
K,K+1
I,J+1
( 1)
(2)
(3)
(4)
+ A
x P
(IV. 1 • )
K,K+M
I+1 , J
(5)
Le terme (3) peut s'expliciter
(3)
( 1 ' )
(2 ' )
(4' )
+ C
x P
I,M+J-l
I,J
(5' )
(C 1
2) est la matrice des conductances hydrauliques des canaux du réseau.
l
, l
Les échanges de débits entre le noeud d'indices
(l, J) et les noeuds voi-
sins sont schématisés par la Figure IV.2.

---

122
(I+l,J)
!(5)+(5')
(2)+(2')
(I,J-l)
(I,J)
.......- - - - (I,J+l )
(4)+(4')
(1)+(1')
l
(I-l,J)
FIGURE IV.2.
La présence de nodules immobiles peut
être prise en compte en
déterminant leur influence sur l'écoulement du fluide mouillant. Le débit
de l'écoulement par les arêtes d'un canal piégé est négligeable devant
celui qui passe dans les canaux parallèles non piégés (Annexe AIl) •
IV.2.1.
Conduction des noeuds
On distingue deux sortes de noeuds occupés par le fluide non
mouillant.
En représentant chaque canal par une liaison, tous les cas de
la Figure IV.3. sont schématisés par la Figure IV.4.
o :.
où
•
•
(J)...
.. 0
0
(1)
symbolise l'absence
de débit entre les
noeuds (1) et (J)
FIGURE IV.4.

---

123
Fluide mouillant
Fluide non mouillant
(a)
(b)
(C)
~)
FIGURE IV.3. - Configurations du fluide non mouillant dans les interaec-
tion~ ne permettant pas l'écoulement du fluide ~ouillant
(noeuds bloqués)
r:
( 0)
FIGURE rv.S. - Configurations du fluide non mouillant dans les intersections
permettant l'écouleJllen~ du fluide mouillant (noeuds partiel-
lement occupés)

---

125
Les trois cas de la Figure IV.S.
sont schématisés par la Figure
IV.6.
~
0
FIGURE IV.6.
IV.2.2. Calcul du champ de pression
Les équations de l'écoulement dans le réseau avec les nodules
sont écrites sous la forme d'un système linéaire comme dans le cas mono-
phasique
(cf. ANNEXE AIl). Nous déduisons la matrice de ce système de
l'équivalence établie entre l'équation
(IV.l.)
et le schéma de la Figure
IV.2. Le procédé utilisé consiste à modifier la matrice du système liné-
aire de l'écoulement monophasique
lorsqu'un noeud est bloqué, l'équa-
tion correspondante devient une identité triviale à éliminer (puisqu'il
n'y a pas lieu d'y calculer la pression). Cellesdes quatre noeuds voisins
sont amputées des termes d'échange de débit avec ce noeud. Dans le cas
d'un noeud partiellement occupé, nous supposons que la conduction est par-
faite entre les deux canaux non bloqués ;
les modifications consistent à
affecter une conductance hydraulique nulle aux deux canaux bloqués. Les
équations aux deux noeuds reliés par un canal bloqué sont amputées des
termes correspondant au
débit qu'ils devraient échanger par ce canal.
Les coefficients du système linéaire qui tient compte de la pré-
sence du fluide non mouillant sont calculés par deux algorithmes: l'un

---

126
effectue les transformations correspondant aux noeuds bloqués, l'autre
celles correspondantes aux canaux bloqués non adjacents à un noeud blo-
qué.
Le champ de pression est obtenu par résolution du système li-
néaire. La solution est représentée sous une forme matricielle ; nous
utilisons le symbole "0.0" pour représenter les noeuds bloqués
(absence
de fluide mouillant).
Les pressions aux noeuds sont représentées en variables rédui-
tes
(p .. ) connne dans l'Annexe AI l .
lJ
P . . - P
1 , J
S
p . .
(IV.3. )
1,J
P
- P
e
s
P . . , P
et P
sont respectivement les pressions au noeud d'indices
(i,j)
1 , J
e
s
à la face d'entrée et à la face de sortie.
IV.3.
CONDITIONS MACROSCOPIQUES
DE
MISE EN
MOUVEMENT DU
NODULE
IV.3.I.
Conditions
critiques
locales
L'écoulement du fluide injecté crée une variation de pression
dans ce fluide autour du nodule. La différence de pression capillaire qui
en résulte entre deux interfaces est égale en valeur absolue à la perte
de charge entre deux points dans le fluide injecté situés au voisinage
de ces interfaces.
(I.4. )

---

127
P
(L,) et P (L.)
(i = 1,2) sont respectivement la pression capillaire sur
c
1.
m
1.
l'interface
(L.) et la pression dans le fluide injecté au voisinage de
1.
(Li)
; dP
(L ,L ) et dP
(L ,L ) sont les différences de pression capillai-
c
1
2
m
l
2
re et de pression dans le fluide entre deux interfaces quelconques
(L )
l
et (L2).
Les conditions critiques d'un déplacement élémentaire sont la
superposition des conditions de drainage sur une interface
(L ) et d'im-
D
bibition sur une autre
(LI). Le seuil de pression capillaire correspon-
dant à chaque mécanisme de base de déplacement dans le réseau est connu
à partir du paragraphe III du Chapitre II. Nous pouvons par conséquent
calculer la perte de charge locale que doit créer l'écoulement du fluide
injecté pour provoquer un déplacement élémentaire en un couple d'interfa-
ces.
IV.3.2.
Choix des
interfaces
La pression dans le fluide mouillant au niveau de chaque inter-
face est reliée à la différence de pression macroscopique par les coeffi-
cients de la matrice
(p,
.). La différence de pression entre deux inter-
1.,J
faces s'exprime en fonction de la perte de charge macroscopique
~Pm
(IV.S.)
où P
(E.)
est la pression du fluide mouillant au voisinage de
(E.).
m
1.
1.
Cette relation nous permet d'exprimer les conditions d'un dé-
placement élementaire en fonction de la perte de charge macroscopique :
-
dP
:E ,E )
c
1
2
(IV.6.)
(P(Ll)
- P(L2»

---

128
Le procédé expérimental consiste à accroître la différence ma-
croscopique ; par conséquent, parmi tous les déplacements possibles,
c'est celui qui correspond à la plus petite valeur de la perte de charge
(6P ) qui est prioritaire pour entraîner le changement de la configura-
m
tion du nodule.
IV.4.
APPLICATIONS
En annexe AV, nous présentons les résultats de la simulation de
la mise en mouvement de nodules piégés en fin d'imbibition.
Afin de permettre une meilleure comparaison, ils y sont regrou-
pés avec les résultats expérimentaux qui sont des visualisations du pro-
cessus de dépiégeage.
IV.S.
CONCLUSION
Le comportement d'un nodule soumis à un déplacement sous l'in-
fluence d'une perte de charge croissant par paliers comprend deux étapes
la première est une évolution quasi-statique. La pression à
l'intérieur du nodule est imposée par la position de ses interfaces dont
l'une est dans un canal. Le réajustement de la courbure des autres inter-
faces qui sont situées dans des noeuds entraîne l'adaptation de la confi-
guration du nodule à l'écoulement du fluide injecté,
la deuxième étape, mise en mouvement du nodule, est atteinte
lorsque les conditions locales d'imbibition sont réalisées sur une des
interfaces situées dans un noeud.

---

129
Nous avons simulé la première étape de cette évolution et déter-
miné les conditions de mise en mouvement en tenant compte des interactions
entre le nodule et le fluide injecté (changement de configuration, répar-
tition de la perte de charge).
On note un bon accord entre l'observation expérimentale et la
prévision que l'on peut faire par le calcul du processus de mise en mouve-
ment à partir des différentes configurations des nodules étudiés.
La deuxième étape du déplacement se fait par un processus hors
d'équilibre. Le repiégeage éventuel d'un nodule est lié à sa vitesse ini-
tiale. Après une rupture de structure fermée en amont, les nodules Nl et
N3 sont mobilisés juqu'à la face de sortie alors que le nodule N2 est
repiégé après avoir été mis en mouvement avec des déplacements de chaînes
linéaires par des imbibitions de types Il. La vitesse initiale d'un nodule
est fonction de la différence entre le seuil (de ~p ) qui a entraîné sa
m
mise en mouvement et le seuil qui serait nécessaire pour la configuration
(transitoire) a~teinte juste après.
Le calcul du champ de pression est applicable à un réseau avec
une population de nodules immobiles. Dans ce cas, pour étudier la mise en
mouvement, il faut définir une priorité entre les nodules.

---

131
-
CONCLUSION GENERALE -
Nous commençons par rappeler la démarche générale dans laquelle
se situe cette étude et ainsi d'établir le lien entre l'étape qu'elle cons-
titue et les perspectives qui seront dégagées ensuite. Les principales éta-
pes de cette démarche sont :
11 Description et caractérisation des mécanismes de déplacement
à
l'échelle des pores,
2/ Etude des interactions entre la phase dispersée, l'écoulement
du fluide injecté pour le déplacer et de l'influence de la structure poreu-
se,
3/ Vérification de la modélisation du comportement local des
fluides
confrontation entre simulation et résultats expérimentaux,
4/ Simulation analogique : cette étape comprend la simulation sur
réseaux de grande taille et l'étude de l'analogie entre ces réseaux et les
milieux poreux naturels.
Les trois premières étapes ont été abordées dans cette thèse. Les
points essentiels ont été rassemblés à la fin de chaque chapitre ; nous
ne ferons ici que quelques observations générales sur les résultats
Il existe plusieurs mécanismes de déplacement à l'échelle des
pores qui dépendent non seulement de la section des pores mais aussi de la
topologie locale des fluides. Les conditions de mise en mouvement d'une pha-
se dispersée sont liées à la topologie des nodules (avec ou sans structure
fermée) .
Cette conclusion est en contradiction avec la théorie du nombre
capillaire de déplacements qui ne caractérise les nodules que par leur tail-
le.

---

132
L'accord entre les expériences et la simulation de la mise en
mouvement d'un nodule valide la modélisation des mécanismes de base dans
les micromodèles.
Nous envisageons la suite de cette étude en deux parties :
1/ Etudes complémentaires du dépiégeage de nodules dans les micro-
modèles
cette partie inclut les points suivants à étudier :
-
mouvement d'un nodule dans un réseau: trajectoire,
champ de
pression dans les deux fluides,
conditions de rupture, conditions de re-
piégeage,
- évolution d'une population de nodules en déplacement: mise
en mouvement d'un des nodules, perturbation de l'écoulement et de la con-
figuration des autres nodules, conditions de coalescence.
2/ Simulation analogique
(macroscopisation)
Cette partie est conçue comme une transposition des lois de com-
portement observées sur micromodèles à des réseaux de grande taille
(20
ou 3D)
et qui permettent de dépasser certaines limites des modèles expé-
rimentaux telles que la taille et l'épaisseur constante des canaux.
On peut adopter le programme mis au point dans cette thèse pour
calculer le champ de pression au voisinage d'un nodule immobile en y met-
tant des conditions aux limites adéquates ; le champ de pression en dehors
de ce voisinage pouvant être approché par une loi de Darcy. Une approche
plus appropriée à l'étude du champ de pression dans ces réseaux analogi-
ques, nous semble être la"théorie du champ moyen"
(Effective Medium Theory)
L'analogie entre les écoulements en réseau et les circuits électriques, qui
a déjà été notée
(cf. Annexe AI), n'est en fait qu'un cas particulier de
l'analogie qui existe entre les écoulements en milieux poreux et le trans-
port de quantités physiques dans de la matière hétérogène. La théorie du
champ moyen permet de remplacer une distribution de conductances
(élec-
triques, hydrauliques, .•• ) par une conductance uniforme en conservant

---

133
le comportement moyen du réseau. KIRKPATRICK (1973) décrit les équations
qui déterminent la valeur la conductance uniforme et l'écart entre les
champs (différence de potentiel, perte de charge, •.• ) réel et moyen le
long des conductances du réseau. KOPLIK (1981) a montré que cette théorie
s'applique tant que la situation du réseau n'est pas voisine du seuil de
conduction. La vérification de cette condition, qui porte sur la distri-
bution des conductances du réseau, peut être faite avec la théorie de la
percolation, développée aussi par les physiciens de la matière hétérogè-
ne et adaptée à l'étude des écoulements en milieu poreux. KOPLIK (1982)
a aussi appliqué la théorie du champ moyen pour calculer le champ de pres-
sion et la perméabilité géométrique de plusieurs réseaux.
Cette théorie nous semble adaptable à l'étude des pertes de char-
ge locales le long des nodules piégés dans des réseaux de grande taille.
Les populations de nodules peuvent être obtenues par simulation
d'un cycle drainage-imbibition dans les réseaux ou expérimentalement en
définissant des critères de transposition des caractéristiques (forme, tail-
le) des nodules piégés dans les milieux poreux réels et ceux des réseaux
de simulation.

---

135
-
ANNEXE AI
-
CALCUL
DES
SEUILS
DE
LA PRESSION CAPILLAIRE
LOCALE
Pour une configuration d'une interface en déplacement quasi-
statique, on exprime la condition d'équilibre mécanique avec la loi de
Laplace écrite sous la forme :
P
P
- P
2 cr(~ + ~)
(A.L!.)
c
n
m
e
2r
(pour un angle de mouillage nul) .
P , P
et P
sont respectivement la pression capillaire, la pression dans
c
n
m
le fluide non mouillant et celle dans le fluide mouillant.
cr est l~ tension interfaciale entre les deux fluides.
e est l'épaisseur des canaux (1 mm)
r est le rayon de courbure de l'interface dans le plan d'une face du modèle.
Cette expression de la loi de Laplace est obtenue en modélisant
l'interface par une calotte torique de rayon (e!2) dans le plan d'une sec-
tion du modèle.
On calcule approximativement le rayon de courbure r pour chaque
étape des quatre mécanismes de déplacement observés en micromodèle et on
en déduit les seuils de la pression capillaire locale.

---

136
A.I.I.
DEPLACEMENT DANS UN CANAL PAR UNE
INTERFACE FRONTALE
(PISTON)
On écrit la condition d'équilibre entre les forces capillaires
et les forces de pression dans l'axe du canal sans tenir compte de la pré-
sence du fluide mouillant le long des arêtes dans la partie du canal con-
tenant du fluide non mouillant :
P
x
(d x
e)
20(d + e)
c
r
= d/2
1
1
20(-+-)
e
d
Ce dernier seuil est noté "P (d) ".
s
A.I.2.
IMBIBITION DANS UN CANAL A PARTIR DES ARETES
(RUPTURE)
cl
d/2
(d
< e)
F IGU RE A. 1 . 1 .

---

137
Suffisamment loin de l'interface frontale,
la courbure du ménis-
que qui se trouve dans les arêtes est pratiquement nulle dans tout plan
contenant l'axe du canal
(Figure II.9.).
La loi de Laplace s'écrit:
cr
Pc
P
Les ménisques deviennent instables lorsqu'ils se détachent des
!
d
faces les moins larges ; le rayon de courbure correspondant vaut P
=
R
2
2cr
1
et le seuil de la pression capillaire PR(d)
. Ce seuil s'exprime sous
i
d
!
d
la forme de l'équation A.I.I. en posant r
,
rayon de courbure
1 + die
qu'aurait une interface frontale à la pression capillaire PR(d).
A.I.3.
IMBIBITION
DANS
UN NOEUD A PARTIR DE TROIS CANAUX
(TYPE
"Il")
Le rayon de courbure r qui apparaît dans l'équation A.I.1. est
calculé en utilisant la Figure A.I.2.
Les deux étapes de ce mécanisme de déplacement sont
a) La pénétr~tion de l'interface dans le noeud
Le rayon de courbure a la valeur r
et la pression capillaire vaut
1
P
(état 2, Figure A.I.2.)
l1
t!t
1
1

---

138
1
~
2a (- +
e
b) L'envahissement de tout le noeud par le fluide mouillant:
cette étape correspond aux valeurs de r * et
;:
P
du rayon de courbure r
l
ll
et de la pression capillaire :
dl + d' + 2 d
;:
1
2
r
di,
) ~
l (dl'
d 2
2,8
*
1
l,4
P
di, d )
~;;o
Il (dl'
(- +
)
2
e
dl + d' + 2 d
1
2
La figure A.I.3. illustre l'évolution capillaire au cours de ce
mécanisme d'imbibition par le cas où les quatre canaux ont la même largeur.
A. l .4.
IMBIBITION DANS UN NOEUD A PARTIR DE DEUX CANAUX
( TYPE
"I 2" )
Comme dans le cas précédent, ce mécanisme se décompose en deux
étapes qui sont
a) La pénétration de l'interface dans le noeud:
Les valeurs du rayon de courbure et de la pression capillaire s'expriment
de manière identique au cas précédent (état 2, Figure A.I.4.).
2a (.!.. +
0, 7
)
e
dl + di

---

139
b) La rupture de continuité du fluide non mouillant qui entraîne
l'envahissement définitif du noeud se produit avec les valeurs du rayon de
courbure et de la pression capillaire qui sont respectivement :
*(d
d') ~ d
d'
/2 d
d'
r 2
2'
2
~ 2 + 2 +
2
2
et
(état 3, figure A.I.4.).
La figure A.l.S. permet de déduire l'évolution de la pression
capillaire au cours de ce mécanisme de déplacement.

---

141
· .
· .
· .
· .
état
1
·
.
· .
· .
- - - état 2
· .
· .
· .
· .
--- ---- état 3
d'
•:::(:'d'.):::: :::
1
':
1 '::::
..
. .
..... . "
~ --
r ~
T
(dT + d:;)/T,4
(d)
r(
V
et (df+ d2
T,4
(état 2')
::te
r 1 < r
< r'
1
1
d
FIGURE A.I.2. -
IMBIBITION Il
1
1
Pc == 20 (.- + - )
e
2r
r
augmente entre les états 1 et 3 en passant par la valeur r
lorsque
1
l'interface pénètre dans le noeud.
::te
r
est la valeur du rayon de courbure lorsque le fluide mouillant en-
1
vahit tout le noeud.
Une limite supérieure de r~ est obtenue en considérant la configuration
(fictive)
de l'interface pénétrant au noeud du côté du plus large des
canaux (di) perpendiculaires au canal contenant du fluide non mouillant.
La moyenne de r
(dl' d ) et de r
(di, d ) est prise comme une approxi-
1
2
1
2
mation de r~ (dl' di, d )·
2

---

143
,
pO
: :: ::::::::: ::: .. 0
:: ::::::::: :::P
NW
- ..-
2
1 ::::::::: ::: W
-
... :~::~ H:-+-
0,
.:..... Tl~\\m\\n ~~L~2
..
..
.....
.
-
0
p NW
2
1
'.
4
Ps
3 p,
Pi' Pc
e
;:)
P~ ( instabilité)
-~-
a
~
2
0
-
Pw (fin dr
- - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -
~nag~) t
Imbib'ltion
FIGURE A. 1. 3 •
La press·ion capillaire sur les interfaces· diminue de P 5 ~d) à P Il entre les
états 1 et 2 où l'instabilité est atteinte
(les quatre canaux étant de même
largeur,
*
Pli = Pli)·
Elle augmente pendant le balayage du noeud jusqu 1 à la valeur P
(d)
imposée par
s
la section des canaux (état 4) .

---

145
t
• • • • •
· .
· .
· .
·
.
· .
· .
·
.
·t••••.•
· .
·t••••.•
·
.
· .
· .
·
.
·
.
·
.
·
.
·
.
·
.
·
.
·
.
·
.
/
1
1
1
1
1
d'2
état 1
état 2
état 3
---- -.
FIGURE A.I.4. -
IMBIBITION 12
1
1
P
= 20(- + - )
C
e
2r
Etat 1 : Le rayon de courbure r
sur chaque interface,
imposé par la section
des canaux, est inférieur au seuil de pénétration dans le noeud.
Etat 2
: r
atteint la valeur r
(d ,
di)
et l'interface pénètre dans le noeud.
2
1
Ensuite r augmente de manière réversible jusqu'à ce que la configuration de-
:*
vienne instable avec une valeur r
du rayon de courbure (état 3) .
2

---

147
d
:: 1 ::
....
..
....
..
1 ~~~~~
...............
..
.. .. .. .. ..
..
.. .. .. .. ..
A ",\\.\\ \\
1..\\\\\\,\\
\\\\
5
\\
,....~
/
",
a )
FIGURE A.I.S.
A l'état 1, la pression capillaire est imposée par la section des canaux.
Entre les états 1 et 4, elle décroît en passant par P12 lorsque l'inter-
face pénètre dans le noeud.
La configuration instable
(état 4)
correspond au seuil pX
où la conti-
12
nuité du fluide non mouillant est rompue.

---

149
-
ANNEXE AIl -
ECOULEMENT MONOPHASIQUE PERMANENT DANS UN
RESEAU
GRAVE
Cet écoulement est schématisé par la Figure A.II.l.
,
,
,
,
,
I l
"
I l
1
l
1
1 q2,1
q3 1
,
~,1
1 ql,M+l
P 2 2
,
P 3 2
,
P N,2
1 J
1
If
QN,M+l
1
1
q2 2
,
1
1
1
/.
1
1
' !
l
-
P
- 1
-
a
e
::::F'
-::
~
~F
:::.=
-::
P s
,
1
1
/
l
1
1
1 Ql, 2M-2
P 2 ,M-l
PN,M-1
1
1
,
I l
l
QN,2M-2
Q2,M-l
1
1
Q3,H-l
QN,M-1
f 1,2M-l
P.2,M
1P3 ,M
PN,M
1 1
1
/1
QN,2M-l
écoulement moyen
FIGURE A. II.1 .

---

151
Notations
La matrice (p .. ) représente les pressions aux noeuds de mêmes
1J
indices. Les débits dans les canaux sont représentés par la matrice (qij);
ils sont notés positifs dans le sens des flêches.
Hypothèses
- Le fluide est incompressible.
1
- Les pertes de charges aux noeuds sont négligeables par rapport
à celles dans les canaux.
J
- Une différence de pression de
~p imposée entre la face d'en-
trée et celle de sortie produit un écoulement permanent dans chaque canal
1
1
du réseau.
t
fj,p
P
P
l,,
e
s
it
où P
et P
sont respectivement la pression sur la face d'entrée et celle
!
e
s
1
sur la face de sortie.
ri'l'
1
!
A.II.l.
APPROXIMATION DE LA LOI D'ECOULEMENT DANS UN CANAL
En raison de la forme rectangulaire de la section, il n'existe
pas de solution analytique exacte aux équations d'écoulement. On va utili-
ser une relation approximative entre le débit et la perte de charge en
identifiant la section à une ellipse de même surface et de même rapport
entre les axes (LENORMAND, 1981).
2
dP
4 TT l-l
1 + (die)
q
4
(A.II.1.)
l
e
(die) 3
dP
est le gradient de pression le long du canal de longueur l
l
l-l
est la viscosité dynamique du fluide
q
est le débit de l'écoulement (en volume)
e et d sont l'épaisseur et la largeur du canal.

---

152
3
3
L
=
e
(die)
c ::
(A.IL1')
2
dP
4 TI ~(1 + (die)
)1
c est la conductance hydraulique du canal.
A.II.2.
CONSERVATION DU VOLUME DE
FLUIDE AUX
NOEUDS
DU
RESEAU
L'égalité du débit entrant et du débit sortant en tout noeud du
réseau est exprimée par le système d'équations (2)
:
i
2, 3,
•.• , N
o
(a)
i
2,3, .•. ,N
j
2, . . . , M-l
o
(b)
i
2,3, ... ,N
q .
1+q . 1 2
1- q . 2
1
o
(c)
1,M-
1 - , M-
1, M-
(A.IL2.)
En écrivant la loi d'écoulement A.II.l' pour tous les canaux du
réseau, on obtient le système d'équations
(A.II.3.)
:
j
1,2, ... ,M
x
(p e - P
,)
(a)
ql,M+j-l
C1 ,M+j-l
2 , J
i = 2,3, ... , N-l j
1,2, ... ,M
qi,M+j-l
C,
' 1 x
(p,
P. +1
,)
(b)
1,M+J-
1,j
1
, J
j
1,2, ... ,M
C
x
(p
,
P )
(c)
qN,M+j-l
n,M+j-l
N, J
s
i
2,3, ... ,N
j
1,2, ... , M-l
q . .
C,
x
(P.
,
p.
'+1)
(d)
1,J
1,j
1,J
1,J
(A. IL 3.)
Les équations A.II.3. a., b., c. décrivent l'écoulement dans les
canaux parallèles à la direction du gradient de pression moyen et les équa-
tions A.II.3.d. l'écoulement dans les canaux perpendiculaires à cette direc-
tion.

---

153
Ces deux systèmes d'équations linéaires font apparaître l'analo-
gie des champs de pression aux noeuds et débits dans les canaux avec les
champs de potentiels et de courants dans un circuit électrique de même for-
me que le réseau. Ils constituent un système de
(3MN -
2M - N+1)
équations
linéaires reliant les débits dans les
(2MN - N - M+1)
canaux et les M(N-1)
noeuds d'un réseau rectangulaire de N x
(M-1)
mailles.
A.II.3.
SYSTEME
LINEAIRE
DES PRESSIONS AUX NOEUDS
Au lieu de calculer simultanément les débits dans les canaux et
les pressions aux noeuds, nous allons réécrire les équations A.II.2. en
tenant compte de A.II.3. afin d'obtenir le système dont les inconnues sont
les composantes de la matrice du champ de pression.
Les équations A.II.2.a. deviennent:
i=3, 4, ... , N-1
P'- l l(-C'_l p)+P. l(C'_l M+C , l+C ' M)+P, 2(-C, 1)
1 . ,
1 . ,
1.,
1.
,
1.,
1.,
1.,
1.,
+P i +1 ,1 (-Ci,M) = 0
P
(-C
)+P
(C
+C
+C
)+P
(-c
) = Px x C
N-l,l
N-l,M
N,l
N-l,M
N,l
N,M
N,2
N,l
N,M
Les équations A.II.2.b. deviennent
j
2 , 3, . • . , M-l
:

---

154
i
3,4, .. o,N-1
j
2,3, o.,. ,M-1
P, 1 ' (-C. 1 M+' l)+P,
, 1 (-C,
, l)+P,
,(C, 1 M+' 1 + C,
, 1+ C,
,+C. M ' 1)
l - , J
1 - ,
J-
1,J-
1,J-
1,J
1 - ,
J-
1,J-
1,J
l, +J-
+ P.
. + 1 (-C.
j) +P , + 1 . (-C, M+' -1 )
o
1,J
l,
1 , J
l,
J
j
2,3, ... , M-l
P
(-C
) + P
(-C
) + P
(C
+ C
.
+C
,+C
. )
N-l,j
N-1,M+J-l
N,j-l
N,j-l
N,j
N-l,M+j-1
N,J-l
N,J
N,M+J-1
(A. II • 2 b ' )
0
Les équations A.II.2.c. deviennent
P
(-C
) +P
(C
+C
+C
) + P
(-C
)
2,M-l
2,M-1
2,M
1,2M-l
2,M-l
2,2M-1
3,M
2,2M-l
Pe x C1 ,2M-1
i
3,4, ... ,N-l
P
(-C
) +P
(-C
) +P
(C
+C
+C
) = P xC
N-l,M
N-l,2M-l
N,M-l
N,M-l
N,M
M-1,2M-1
N,M-1
N,2M-l
s
N,2M-l
(A.II.2.c' )
Nous appellerons (Si) le système linéaire formé avec les équa-
tions A.II.2oa'.,b' 0' et c'. Il peut s'écrire sous la forme:
-+
-+
AP
B
(A II 4
0
0
0
)

---

155
-+
-+
AP
B
(A. II. 4. )
C l,M
P
x
e
P
C
2,M
l,2M-l
o
-+
-+
où P
et B -
PN,l
o
CN,M
p
x
P
s
N,M
CN,2M-l
-+
-+
P et B sont respectivement le vecteur du champ de pression et celui des dé-
bits échangés avec l'extérieur du réseau.
On obtient ainsi un système linéaire d'ordre NN
NN étant le nom-
bre de noeuds dans le réseau.
La matrice A a la structure représentée par la figure A.II.2.
;
c'est une matrice bande symétrique et creuse dont les seuls coefficients
non nuls sont sur les diagonales matérialisées par des traits. Ces coeffi-
cients sont calculés avec les équations A.II.2.a'., b'. et c'. en fonction
des conductances des canaux du réseau.
En prenant comme références P
_ 0 et P
_ l, nous obtenons un
s
e
champ de pression en notation adimensionnelle :
p . . -
P
1 , ]
5
p . . -
l,J
t,p
où
t,p
-+
Le vecteur p obtenu en redressant la matrice
(p . . ) colonne par colonne
-+
-+
-+ l,J
est la solution du système linéaire Ap = b
b est obtenu en posant P
= 1
e
-+
et P
= 0 dans B (second membre du système Sl)'
s

---

157
.Al
l.A
2 0 .••• 0
,
·A
O. • . . . . . . . • . . . • • • . • . . • . • . • • . • . • • ••
0
1 ,
1,M+l
Première ligne
du réseau
(i =
2)
o
o
o
'A
o
1,M+l
o
A
.
A
A
K,K-l
K,K
K,K+l
o
o
o
ANN-M,NM
o
o
Dernière ligne
du réseau
(i = N -
1)
o
(!) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
o... 0
ANM,NM-M
MM,NM
FIGURE A.II.2.

---

159
A.II.4.
APPLICATION
Nous avons appliqué cette méthode à l'écoulement dans le réseau
gravé décrit au deuxième chapitre.
La figure A.II.3. représente la matrice du champ de pression aux
noeuds
(en notation adimensionnelle). La figure A.II.4. représente la pres-
sion moyenne aux noeuds d'une ligne en fonction de la distance par rapport
à la face d'entrée.
La proportion du débit total qui passe dans les canaux est repré-
sentée par la matrice de la figure A.II.5.
Débit
-12
La conductance hydraulique
) est 88,5 10
(V.S.I.)
Perte de charge
3
pour un fluide de viscosité 20 10-
PL.
La perméabilité géométrique K est de 2870 Darcy.
K est définie par la relation
Q
K =
s W(6P/L)
(6P/L) est la valeur moyenne du gradient de pression qui produit l'écoule-
ment dont le débit en volume est Q.
~
est la viscosité dynamique du fluide
S
est l'aire d'une section transversale, produit de la largeur (36,5 mm)
du modèle par l'épaisseur des canaux (1 mm).

---

161
0.000
:l. Oill
a.Oll
O.Oll
a.oal
l.Oill
J.(JJJ
O.OJO
O.OJl
l.~H
16.172
1~. '78
6.403
21.726
~.H~
5.0l7
So 2'>7
~.16~
-Il. 371
-0.4H
L6!H
-2.%9
1.60~
).18l
-L423
-0.417
-1.871
11.'H
~.2il~
Il. 28'
12.667
17.~H
L 87a
12. 60~
10.136)
6.710
-O.H'
-4.104
·(J.4'>4
2.37]
-6.106
2.a16
-0.0~6
2.146
12. H6
S.7'4
2.as~
17.410
14.726
12. H8
4.486
12.93'>
4.S03
L441
LOS'
-1. 9JIJ
il.6S~
LH6
2.(JH
-0.372
-2.U~
11.45} .
~.a77
4.7a7
U.42a
10.774
SoH6
n.'6(J
6.~81
6.916
-O.~U
6.763
a.70l
-0.771
~. HO
-1.291
-0.031
'.112
-2.02~
11.~6~
10.77S
16. H4
'.31~
21.4\\14
L6~6
12.216
11.721
4.967
1. 716
2. 8S6
2. JS]
L~87
1.4~a
1.'33
-2.62J
1. oaa
2.4H
10.248
1.4'>6
11.277
lS.0B
~.40S
21. H'
8.6H
8. ~J7
10.364
7.411
J.187
-~.89S
7. ~76
-0.2n
-1. ~ 22
-2.~(J~
-8.111
1.a26
~. 7H
~.76'
17. ,,~
1. 218
U.6~~
2). 2il~
9.639
IL7il3
1.226
a. 4)8
l.SOS
-l. ~J1
-1.2B
-2.~SJ
-6.7U
a.OH
S.2'>O
10.168
14.no
2.~:n
17. HI
I~. 6JS
'.907
IL 7(J2
L7H
3.4~9
-l.ll~
-7.6~:I
-o. U7
-1. 131
-~. 723
-~.~84
6.'U
6.364
16.771
7.1a~
2'>.182
~. 264
10.139
1.783
1Ll41
-4.170
0.0:/1
0.61'>
J.439
2.B(J
8.616
4.237
-(J. 72)
-(J. '04
10. >54
12. 4~1
6.66~
4.213
2L231
L 6'8
~.(J27
il. JS~
-0."::1
S.211
2.774
2. ~22
l.U7
-L(Ja7
-0.:lJ1
-2.812
10.179
IL 197
1. 104
6.711
2).41))
4. 862
4.H2
6.:/ )7
1(J.026
4.040
2. )72
-2.60S
1.2J6
) ' 2 "
-'.034
J.841
J. 796
6.1 j:/
6.0B
2.8:/:/
21.4~~
11.183
14.~77
1.n7
10. ]87
1(J.822
·).OH
'.731
2.827
1.IO~
:/. ~ 77
il. 71)
9.H~
-9. 2~2
-4.0as
9.2H
6.~as
4.621
2(J.aH
S.219
S. 7 B
-2.4'>7
2.67:/
-0.~26
1. 7 ~S
1).16:1
-a.~12
J.1J6~
1.67.1
11.5:/2
2.~JJ
10.~8~
1.~J1
32. 7 8~
n.6~4
1 (J. 766
L612
3.410
-O.OH
1.202
2.723
-0.H7
-,. '49
-1. H2
1. 918
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Il. HO
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~.481
4.1(J1
2L(J~2
23.8'D
7.0:16
6.IN
7. ilN
FIGURE A.II.S. - Matrice des débits dans le~ canaux lorsque le déhit total est
100. Les lignes d'ordre pair représentent les canaux d'axe
parallèle à la direction moyenne de l'écoulement.

---

163
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165
p 100
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.....
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
15.0
XM:5
FIGURE A. I1.4. - Evolution de la pression moyenne en fonction de la
distance à la face d'entrée.
En abscisse,
la distance est représentée sous forme
adimensionnelle en nombre de longueurs des canaux.
En ordonnée,
la pression varie de 100 sur la face
d'entrée à a sur la face de sortie.

---

167
-
ANNEXE AllI
-
ECOULEMENT D'UN FLUIDE MOUILLANT
DANS LES ARETES D'UN CANAL CONTENANT DU FLUIDE NON MOUILLANT
Lors du déplacement d'une phase dispersée dans un micromodèle,
on constate un écoulement du fluide mouillant dans les arêtes le long des
nodules piégés.
Nous allons comparer le débit de cet écoulement au débit qui
passe dans les canaux parallèles non piégés.
La section d'écoulement est schématisée par la Figure A.III.1.
fluide
mouillant
mouillant
FIG URE A. l Ir. 1.
Une approximation de la loi débit-perte de charge est réalisée
avec la loi de Poiseuille exprimée avec le diamètre hydraulique de la
section (S).

---

168
2
TI
S = P (1 - -) est l'aire de la section (S).
4
P
2 P est le périmètre mouillé en considérant le ménisque com-
e
me une surface libre
ce qui revient à négliger la viscosité du fluide non
mouillant (air).
4S
2p(1
~)
est le diamètre hydraulique de la section.
OH
-
P
4
e
La loi de perte de charge ainsi approchée est
4
4
TI P
(1 - TI/4)
dP
q
8
l
q est le débit en volume dans chacune des quatre arêtes d'un canal.
V est la viscosité dynamique du fluide.
dP
est le gradient de pression dans le fluide mouillant suivant l'axe du
l
canal.
Le débit de l'écoulement dans un canal parallèle non piégé est
4
3
e
(die)
dP
- - - - - 2
(cf. Annexe A.II) .
4 TI 11 (1 +( dl e »
l
Le rapport du débit de l'écoulement par les arêtes au débit de
l'écoulement dans un canal rempli de fluide mouillant est:
2
2TI 2 (1 _ ~) 4 (E..) 3 (E..)
(1 + (i)
)
4
d
e
e
2
4
Ce rapport, de l'ordre de 10- (E..)3(E..)
, est inférieur à 5 10-
d
e
<
. .
(e
d)
car p
mlnlmum -, -
.
2
2
Nous négligerons le débit d'écoulement par les arêtes devant celui
de l'écoulement dans les canaux parallèles non piégés pour calculer le champ
de pression dans le fluide mouillant en présence de nodules immobiles.

---

169
-
ANNEXE
AIV
-
LOCALISATION DES
INTERFACES
OU LES
CONDITIONS
LOCALES
DE MISE
EN
MOUVEMENT D'UN NODULE
SE
REALISENT
Nous commençons par choisir le canal où pénètre une des inter-
faces du nodule avant que le seuil de mise en mouvement ne soit atteint.
A. IV.l. CHOIX DE L'INTERFACE OU EST REALISE LE DRAINAGE LOCAL
(Ld)
Le drainage est réalisé lorsque la différence de pression entre
le fluide non mouillant et le fluide mouillant dépasse la pression capil-
laire d'équilibre (P
(L»
d'une interface
(L) imposée par sa configura-
c
tion.
La "pression motrice du drainage"
(P
) est définie par cet ex-
Md
cédent
-
(P
P )
P Œ)
(A. IV.1.)
n
m
c
Nous supposons que le nodule sera déplacé vers l'interface où
la pression motrice est maximale. Ce critère peut s'exprimer de manière
relative entre deux interfaces sans la variable P . Lorsqu'une interface
n
se trouve dans un noeud et cherche à pénétrer dans un canal adjacent
(Figure A.I.V.l.), la pression motrice du drainage dans chacun des canaux
(di)
en est :
:

---

171
1
1
P
= (P
pi
6P )
20 (- + - )
(A. IV .2.)
Mdi
n
m
e
di
lp 2
\\P3
1
1
1
1
1
1\\
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,
1
1 Lm.
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- - - - - - - . . . .
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Ln.m.
1
1
/
Ln.m.
1
1
FIGURE A. IV.l.
Pour une interface située dans un canal (Figure A.IV.2.)
1
1
(p
- P 6P ) -
2 (- + -)
(A. IV. 3. )
n
m
e
d
1
1
1
1
1 f.m.
1
f. n. m.
1
(d)
1
-1------ -
ou
- - - - - - + - - - - - - - - P
(d)
IP
1
•
1
•
1
Ln. m.
1
1
1
FIGURE A.IV.2.

---

173
La pression motrice peut ainsi être calculée pour l'ensemble des
canaux situés sur la frontière du nodule.
Soient deux canaux (d.) et (d.), le drainage est prioritaire dans
1.
J
le premier par rapport au deuxième si P
> P
:
md1
Md2
1
1
I1P
(p. - p.)
< 20 ( - - - )
(A. IV .4. )
m
1.
J
d.
d.
J
1.
20
20
ou
p. + --=---
< Pj + - - -
(A. IV.4')
1.
I1P
d.
t:;p
d.
m
1.
m
J
D'où les règles suivantes
- Parmi les deux canaux de même classe (d. = d.), c'est celui
1.
J
où la pression du fluide mouillant est plus basse qui est prioritaire pour
être envahi par le nodule.
- Si Pi > Pj' le drainage ne peut être prioritaire dans (di) que
s'il est plus large que (d ).
j
Ces deux remarques sont souvent suffisantes pour déterminer a: d) .
Dans les autres cas, on applique le critère général exprimé par (4) ou (4')
avec la valeur de
P
qui a permis d'atteindre la configuration du nodule.
m
A.IV.2. CHOIX DE L'INTERFACE OU EST REALISEE L'IMBIBITION LOCALE (LIl
Nous avm~E montré, dans l'Annexe A. 1. que toute étape d'un méca-
nisme d' imbibi tion locale est caractérisé par un rayon de courbure r* (dans
le plan de la surface du modèle) de l'interface (L). Soit d la largeur du
canal où s'effectue le drainage :

---

174
20 (l/d -
1/2 r*)
(A. IV. 5 • )
(p(L)
-
p(L »
d
est la valeur de la perte de charge macroscopique nécessaire pour réali-
ser une imbibition en (E)
simultanée à un drainage en
(L ).
(L ) étant
d
d
déterminée,
(LI)
est l'interface qui'minimise
~m(Ld' L).
Nous allons discuter les priorités relatives des différents mé-
canismes d'imbibition qui peuvent se produire sur les interfaces d'un no-
dule en processus de déplacement. Nous serons amenés à utiliser la valeur
approximative des rayons de courbure des interfaces lors de l'imbibition
dans une intersection de canaux de différentes classes
(cf. 111.2., Chapi-
tre II). Cette discussion est menée en fonction de la distribution des
largeurs des canaux du micromodèle réalisé pour l'étude expérimentale du
dépiégeage
(cf. Chapitre II).
Imbibition de type Il en amont d'un nodule
Lm.
1
(d
< d')
1
1
1
1 (dl)
1
~ (d
1
Ln.m.
- - - - - - ~ - ....1......-/--.---
1
(d)
1
(d 1
)
1
1
1
1
1
1
1 p' 1
FIGURE A. IV. 3.
L'interface pénètre au noeud quand la pression capillaire passe
'\\,
en-deçà de 2
(l/e + l/R ) (dl' d
) '\\, (dl + d )/1,4 (cL An-
l
»
où ~1 (dl' (
2
2
2
nexe A.I.). Avant que ce seuil ne soit atteint,
le noeud est bloqué, nous
prenons la moyenne
(P2 + Pl)/2 pour une valeur approximative de p(L)
dans
le calcul du seuil qui entraîne le "débloquage" du noeud entre les canaux

---

175
Le canal (d) est en général de classe supérieure ou égale à 3
(en fin d'imbibition, la pression capillaire atteint le seuil de rupture
dans les canaux de classe 3) alors que (dl)'
(d'l)'
(d ) sont moins lar-
2
ges que les canaux de classe 5 ; les canaux de classe supérieure à 4
étant peu nombreux dans le réseau.
R
est par conséquent compris entre 0,29 mm (Tl (1,1))
) 1,14 mm
l
(R (4,4)). Les valeurs de R
les plus fréquentes sont: R (2,2) (0,57 mm),
l
l
l
R (2,3) (0,71 mm), 0,86 mm(R (3,3)).
l
l
Une fois que le noeud est débloqué, nous pouvons calculer le
seuil de
~Pm qui achève l'imbibition de type (Il). Le rayon de courbu-
re correspondant R~(dl' d'l' d ) (cf. Annexe A.I.), prend le plus sou-
2
vent les valeurs 0,57 mm «2,2,2)), 0,64 mm «2,3,2)), 0,79 mm «2,3,3)),
0,86 mm (3,3,3)) et 0,93 mm (3,4,3)).
Imbibition de type (I ) en amont d'un nodule
2
Ln.m.
(d 1
)
2
p' 1
FIGURE A.IV.4.
Le seuil de pénétration de l'interface au noeud est calculé
en prenant (Pl + P'1)/2 pour une valeur approximative de peE) et le
seuil de pénétration au noeud est calculé de manière identique au cas

---

176
La rupture du nodule est réalisée lorsque r atteint R*2(d , d'2)
2
(cf. Chapitre II). R*2 prend fréquemment les valeurs 2,05 mm ((3,3»,
2,38 mm ((3,4», 2,73 mm «(4,4», 3,06 mm «4,5»
et 3,41 mm ((5,5».
Cas d'une rupture dans un canal en amont d'un nodule
Pratiquement, seuls les canaux de classes 3 et 4 sont concernés
par ce mécanisme ; d'une part les canaux moins larges que ceux de classe
3 ne sont pas piégés et d'autre part la rupture dans les autres canaux
nécessite une pression capillaire plus basse par rapport à tous les au-
tres mécanismes (cf. Chapitre II).
Priorités locales entre les différents mécanismes d'imbibition en amont
d'un nodule
En considérant des interfaces suffisamment voisines, ces prio-
rités sont déterminées par les paramètres :
largeur des canaux,
et
- topologie locale du nodule,
dont nous pouvons examiner l'influence à partir de la Figure A.IV.5.
- f . n . m .
(d' )
I l
_ _ _ _ _ _ _ - i - - - (d_)_ifo-...., _ _ ~d~:!. _L
f. m.
(d )
1
1
2
1 Rupture
1
1
1 (d' )
1
1
1
1""
1
1 (d" )
1
1
2
FIGURE A. IV. 5.

---

177
Entre deux déplacements du même type, c'est celui qui se fait avec
le plus petit rayon r qui est prioritaire. Entre les différents types
de déplacement, nous pouvons établir, pour le micromodèle utilisé, les
priorités relatives suivantes :
l'imbibition de type (Il) est prioritaire sur le type (I ). Ce-
2
ci est une conséquence de la topologie locale du nodule uniquement,
- la rupture dans un canal de classe 3 est prioritaire sur l'imbi-
- il Y a priorité de l'imbibition (Il) sur la rupture dans un
canal de classe 4 de même que sur la rupture dans un canal de classe 3
sauf, pour ce dernier cas, si le noeud comporte deux canaux de classe
supérieure à 3.
,
J
1
l~1,,!1
1i;
1
iil

---

179
-
ANNEXE AV
-
~J
1
l
DEPIEGEAGE
DE
NODULES
RESULTATS
EXPERIMENTAUX
ï
SIMULATION DE
LA MISE
EN MOUVEMENT
1li1!
1
1
1
*,
i1
Le dispositif expérimental utilisé ne permet pas de mesurer
les seuils de la perte de charge dont i l est question dans les condi-
tions de mise en mouvement. La comparaison entre les expériences et le
calcul sera faite en terme de prévision du déplacement élémentaire oui
entraîne le changement de configuration d'un nodule.
La présentation des résultats sera faite pour trois cas de no-
dules piégés individuellement en fin de cycle drainage-imbibition.
La séquence des configurations au cours du déplacement est il-
lustrée par des photos. Pour chaque configuration d'un nodule,
le champ
des pressions aux noeuds dans le fluide mouillant est représenté par une
matrice.
Au-dessus de la matrice du champ de pression est écrit le seuil
de
(~P la)
(calculé)
auquel le nodule atteint cette configuration. En
ID
dessous est écrit le seuil prévu par le calcul comme étant nécessaire pour
entraîner le déplacement élémentaire prioritaire pour entraîner le chan-
gement de configuration du nodule.
Les interfaces où se produisent les déplacements sont localisées
et indiquées par des flèches sur la matrice du champ de pression.
La priorité du déplacement élémentaire à ces deux interfaces est
justifiée en montrant qu'elles correspondent au minimum du seuil nécessaire
parmi les couples d'interfaces où i l peut être envisagé.
1
il

---

181
(a)
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== 0
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n.1S
Il.0S
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-1
!'::.pml er
2,16 nun
FIGURE A.V.1.
-
a)
Configuration du nodule en l'absence d'écoulement du fluide
mouillant. Les noeuds A,
B,
C,
sont entièrement occupés par le
nodule.
b)
Matrice des pressions aux noeuds dans le fluide mouillant
(en notation adimensionnelle p) .
L'interface
(Id)
est localisée dans un canal de classe 4 et p(Id)
== 13,11.
L'imbibition locale consiste en la pénétration du fluide mouillant à un des
noeuds A,
B ou C. Les seuils correspondants à ces trois déplacements élémentai-
res sont respectivement :
1
!'::.p 1er
2,16
(nun- )
en
A
m
-1
!'::.p 1er
2,64
(nun
)
en
B
m
-1
!'::.p 1er
2,74
(mm
)
en
C
m
Le déplacement élémentaire prioritaire est composé de la superposition d'une im-
bibition en
A
et du drainage en
B (flèches).

---

183
-1
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FIGURE A. V • 2.
Champ de pression après la pénétration du fluide mouillant
en A.
On localise l'interface
(Id)
dans un canal de classe 4 et p(Id)
=
13,47.
Les trois imbibitions locales envisageables et leur seuil respectif sont
-1
La rupture du nodule en
A
par une imbibition de type 12
(6P /0 = 3,93 nun
)
m
-1
La pénétration du fluide mouillant au noeud
B
(/'ip /0
2,70 nun
)
m
-1
La pénétration du fluide mouillant au noeud
C
(6P /0
2,81 nun)
m
Le déplacement élémentaire prioritaire se produit avec une imbibition
(péné-
tration du fluide mouillant)
en
B

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m
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FIGURE A.V.3.
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m
Champ de pression lorsque du fluide mouillant passe en
A
et en
B
On localise
(Ld)
dans un canal de classe 4 et p(Id)
== 10,97.
L'imbibition locale prioritaire à partir de cette configuration consiste
en la pénétration du fluide mouillant en
C
Le seuil du déplacement
élémentaire correspondant, !:::'P /a == 2,51
est inférieur à celui qui a per-
mis la pénétration du fluide mouillant en
B
. On prévoit que le fluide
mouillant pénètre au noeud
C
dès qu'il peut passer à
travers le noeud
B.

---

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2,70 mm
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6P m/O
3,79 mm
-1
FIGURE A.V.4.
6P /0
< 3,75 mm
m
Configuration du nodule juste avant le dépiégeage.
En
A
B
, et
C
les interfaces sont dans l'espace des noeuds.
(L:d)
est dans un canal de classe 4 et p(Ld) = 11,17.
L'imbibition locale prioritaire consiste en la rupture de la boucle par
un mécanisme de type 12 et peut être envisagée en
A
B
ou
C. Les
seuils correspondants sont
1
6P /0
3,79
(mm- ) en
A
m
-1
6P /0
3,75
(mm
) en
B
m
1
6P /0
7,24
(mm-
) en
C
m
La rupture est donc prévue en
B
elle se produira en
A
mais l'écart
entre les seuils en
A
et en
B
est de l'ordre de 1 % et en hauteur
d'huile inférieure à 0,5 mm.

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a)
et b)
Avant et après la rupture de la boucle en
A
c)
Evacuation du fluide non mouillant vers la sortie

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m
FIGURE A.v.6. - a) Configuration initiale du nodule N2
En l'absence d'écoulement tous les noeuds situés sur la frontière sont
entièrement occupés par le fluide non mouillant.
Ce nodule ne comporte pas de structure fermée
(boucle)
b)
Champ des pressions aux noeuds dans le fluide mouillant
pour la configuration du nodule représentée par a) .
La première étape du déplacement se fait par un drainage en D où l'inter-
face
(Ed)
est localisée
(par le calcul)
dans un canal de classe 4 et
p (Ed)
= 7,97.
L'imbibition locale est un mécanisme de type Il, qui se produit après la
pénétration du fluide mouillant au noeud
A
. Le canal suivant est sponta-
nément balayé.
-1
Le seuil de ce déplacement est /),.Pm/o
1,83 mm

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FJGURE A.V.?
- a) est une photographie du nodule N2 après la première
étape du déplacement.
b) est le champ des pressions aux noeuds dans le fluide
mouillant correspondant à la configuration représentée
par a).
(Ld)
est localisée en D
dans un canal de classe 3 ; p(Ld) = 3,12.
L'étape du dépiégeage consécutive à cette configuration est, comme la
précédente, un mécanisme de type Il suivi du balayage dans le canal sui-
vant.
C'est en
B
que l'imbibition locale est prioritaire avec un seùil
~Pm/0 = 3,06 mm-1
Remarque : La restriction de la section de passage en aval
(de la classe
4 à la classe 3) contribue à élever le seuil de la mise en mouvement.

---

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FIGURE A.V.S.
a) Configuration atteinte par le nodule en mouvement après
un parcours long d'un canal à partir de la position immo-
bile représentée par la Figure A.V.7.a).
b) Est le champ de pression autour d'un nodule statique
dans la configuration représentée par a) .
Cette matrice permet de déterminer un déplacement élémentaire prioritaire
qui est constitué par :
un drainage en
D
dans un canal de classe 5,
une imbibition en
C
par un mécanisme de type Il.
-1
Le seuil correspondant à ce déplacement élémentaire est !J.p /a = 0,001 mm
les rayons de courbure des interfaces (Ed) et (rI) étant é~aux.
Le nodule n'est pas immobile dans cette configuration puisque le seuil né-
cessaire pour le mettre en mouvement est inférieur à celui qui a permis de
la réaliser.

---

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FIGURE A.V.9. - De man1ere analogue à l'étape précédente,
le nodule passe
par cette configuration ( a ) sans arrêt ; le seuil appli-
qué étant toujours
suffisant.
Remarque
Le nodule est mobilisé à partir de la configuration représentée par
la Figure A.V.7.a). Les deux dernières étapes du mouvement sont les dépla-
cements élémentaires qui seraient prioritaires si le nodule était immo-
bile dans chaque configuration.

---

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/:1p /0 '" 0,86 mm
m
FIGURE A.V.10. - a) Configuration initiale du nodule N3
(fin de cycle drainage-imbibition quasi-statique)
Il existe un seul fluide dans l'espace de chaque noeud.
b) Champ de pression dans le fluide mouillant autour du
nodule N3 dans sa configuration initiale a) •
(Ld) est dans un canal de classe 4 et p(Ld) = 9,81.
-1
• Pénétration du fluide mouillant au noeud
B (!:':.P /0
0,86 mm
)
m
puis au noeud
A (!:':.P /0 = 1,08l.
m
• Imbibition de type Il en
A
suivie du déplacement piston dans le canal
suivant (!:':.P /0 = 1,29 mm- l ).
m
Drainage dans le canal
D

---

201
a) . . . . . . . . . . . .~.......
-1
6P /0
1,29 mm
m
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-1
1 ,29 mm
m
FIGURE A.V.ll. - a) Configuration initiale du nodule N3 après la première
étape du déplacement.
b) Champ de pression autour du nodule N3 dans la confi-
guration de a) .
(Id)
est dans un canal de classe 4 et p(Id) = 3,58.
La deuxième étape du déplacement prévue Se déroule de la manlere suivante
pénétration du fluide mouillant
-1
en
C
(6P /0 = 1,43 mm) puis
m
-1
en
E (6P /0 = 2,04 mm
)
m
imbibition de type Il en
E
et de type piston dans le canal sui-
vant (6p /0
-1
m
2,28 mm
) aVec drainage en
D.

---

203
•
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al
-1
f',p /a = 2,28
mm
m
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-1
f',p /a
3,15 mm
m
FIGURE A.V.12. - al et bl Configuration du nodule N3 avant la troi-
sième étape du déplacement et champ de pression
correspondant.
(L:dl
est dans un canal de classe 3 et p (L:d)
= 2,38.
Les quatre mécanismes d'imbibition prioritaires et les seuils corres-
pondants sont :
-1
Mécanisme de type I2
(rupture)
en
B
f',p /a
3,17 mm
m
-1
Mécanisme de type I2
(rupture)
en
C
f',p rn/a
3,15 mm
-1
• Pénétration du fluide mouillant
f',p
en
H
rn/a
3,82 mm
-1
Pénétration du fluide mouillant en
f',p
G
rn/a
3,84 mm
Ceci permet d'accorder la priorité à
la rupture de la boucle au noeud
C.
Remarque: La présence du petit nodule qui réduit l'écoulement vers le
noeud G empêche le déplacement de la dernière portion linéaire perpendi-
culaire à la direction de l'écoulement moyen.

---

l
1
1
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205
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a)
"
b)
FIGURE A.V.l3.
-
Evacuation du fluide non mouillant après la rupture
de la boucle du nodule par une imbibition de type 12
au noeud
C

---

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~\\'
''''''-

---

INSTITUT
NATIONAL
POLYTECHNIQUE
DE
TOULOUSE
DE C1 S ION
le President de l' Institut National Polytechrùque de 'IUJI.OOSE
VU,
les dispositions de l'article 10 de l'arrêté du 16 avril 1974
sur le IXX:roPAT de TROISIDiE CYCLE
vu,
le rapport de thèse établi par un des nembres du jury
AUI'ORISE
M oosieur SARR Amadou
à présenter une thèse en soutenance pour l'obtention du grade de
IXX:TEUR de 'l'OOISnME CYCLE devant un jury cnmposé de
M. BORIES,
Maitre de recherches à l' I.N.P. T.
Président
)
Hw BIEBER,
Ingénieur à l'Institut Français de
)
Pétrole à RUEIL MALMAISON
)
)
f-l. de LAMBALLERIE, Ingénieur à la S.N.E.A. à PAU
)
)
Menbres
M. LEr-oRMAND,
O1argé de recherches CNRS
)
)
M. SARDIN,
Chargé de recherches CNRS aux Labora-
)
toires des SCiences du a2nie chimique
)
à NA~
)
A TOUUXJSE, le 17 juin 1983
I.e Président de l'LN.P.T.
1..:>-
Professeur J. N:)l.JQ\\RO
-_...."

---