THE E
A
LA
FACULTE
DES
SCIENCES
DE
L' U;\\IVERSITE
DE
ROUEN
p~1 r
l\\1ASSAMBA 'l'HI OYE
C:ON'TRIBU'TION
A L 'E1'UI)E
DES LrrS
FLUIDISI~S
BOUILLC)NNAN1'S
R. DARRIGO
Professeur (]
l' I.N.S.A.
de nOUEN.
F. EBERT
Professeur ô l'Universite (fe KAISE17SLAUTEHN.
G. GOUESBET
Professeur ci l' I.N.S.A. (le 1/0LJ[N.
C. LAGUERIE
Professeur il l'E.N.S./.G.C. [le TOULOLJSE.
J.F. LARGE
l'rufessL'ur il l'lJ.T.C. de COMPIEGNE.
M. TRINITE
IJirl.'ctellr <If'
lIec/lere/lL' iJU C.N.I1.S.
P. VALENTIN
Professeur. fldministrateur de l'I.N.S.R.
Ilf' /lOllfN.

---

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2
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'! t~
i;
<~
A la mémoire de mon gtand-p~re
El-hadj Ibrahima THIOYE
éducaceur passionné,
honulle généreux il qui je dois beaucoup.
i;
... '.' .......
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---

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i):J5'''!,
:; 1~ ;~
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i 'J..i
"'''.
! ·t
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3
1;'
,
.~ .
',"
Ce travéil a été effectué au Laboratoire d'énergétique des systèmes
et procédés de
l'I.N.S.A.
de Rouen,composante de
l'Unité Associée
au C.N.R.S. n° 230.
Je prie HM Pierre VALENTIN Administrateur de l'I.N.S.A.
et Hichel
TRINITE
Directeur
de
l'U.A.
C.N.R.S.
d'accepter
ma
reconnaissance et d'agréer mes sentiments respectueux.
,
., .' ~ '. " '.
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.
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-'.
' " ,
.... .'

---

1 i
Hes remerciements aux membres du jury:
Honsieur R. Darrigo
Professeur
~;
,
à l'I.N.S.A.
de ROUEN
,.
"
i',·
Honsieur F. Ebert
Professeur,Doyen
de
l'Université de KAISE.RSLAUTERN
Monsieur G. Gouesbet
Professeur à l'I.N.S.A. de ROUEN
Monsieur C. Laguérie
Professeur
à
E.N.S.I.G.C.
de
,;
TOULOUSE
Monsieur J.F. Large
Professeur à U.T.C. COMPIEGNE
Monsieur 1-1. Trinité
Directeur dé Recherche au C.N.R.S.
Monsieur P. Valentin
Professeur à l'Université de
ROUEN
et à
Monsieur J. Werther
Professeur
à
l'Université
Technique de HAHBOURG
pour avoir accepté de juger ce travail.
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1
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---

5
Je
tiens
aussi
il
exprimer
ma
gratitude
à
l'égard
de
~lessieurs
Darrigo
et
Gouesbet
pour
1.:1
confiance
qu'ils
m'ont
accordé
et
l'intérêt avec lequel ils ont suivi ce travail.
Ce
travail
né'.
ser,1Ît
prob3blement
p35
arrivé
à
telïne
sans
la
collabor{ltion de
~lonsieur I\\enri
Cavalier .Je
tiens
à
lui
adresser
tous mes remerciements.
Mes remerciements
..
~
,.. '
àM~ssicu'rs G. Greh'ln,J.N. Letoulouzan,B. ~laheu pour m'avoir fait
profiter de leurs connaissances
à Mademoiselle Diolinda Machado pour le soin qu'elle a apporté à la
dattylographie de ce mémoire.
à Messiéurs ,Sellier et Lecerf ainsi qu'à Monsieur Simon et à
tous
" . '
:!
ses COllaborateurs
pour la réalisation des différents
éléments du
,i·
;~
1,1
lit fluidisé .
•. ··1.. :
Enfin
mes
remerciements
à
tous
les
membres
du
laboratoire
qui
ont d'une manière ou d'une autre contribué à
la réalisation de ce
travail.
',' ,
~ ".
'Li
IV"
•
1'.~ 1
1 :
l ..
l,
:,'.~ .
:.
. : J .~

---

6
CONTRIBUTION A L'ETUDE DES LITS
FLUDISES BOUILLONNANTS
1
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---

8
De
la
probabi 1 i ré
éJ
priot-j
j
la
probabil i té
a
posteriori. i l ) ' a
le
même
abîme
qll' entre
la
[J(?(>ln,;crie
lo[;ique a priori
ct
Ulle
description
géoIlIL;r:riqllc
a
posu!riori
du
réel.Qu'il
y <lit
alors
coincidence
ell t re
la
probabil iCé
, ,
calculée
et
la
prob<lbilité m~surée.c·est peut
," :'
être
la
preuve
la
plus
délicate, la
plus
subtile.la
plus
cOllvaincallte
de
la
penlléabiliré de la llaCllre pOlir la raison
G,
Bachelénd
.'

---

9
INTRODUCTION
La
technique
de
fluidis<ltion,
d'nuorcl
utilisée
plus
spécifi.quement
par
1.'
industrie
pétrolière,est
maintenant
très
répandue.
Elle
consiste
il
mettre
en
suspension
des
particules
solides
par
l'intermédiaire
d'un
fluide
animé
d'un
mouvement
ascendant. Ceci leur confère des propriétés physiques particulières
comparables à celle des liquides.
L'intérêt
principal
des
lies
fluidisés
réside
dans
l'augmentation
de
la
surface
efficace
de
contact
entre
les
pareicules et le fluide grâce au brassage qu'ils provoquent.
Le
l i t ci' auol-d
fixe
il
des
débits
de
fluide
faibles ,atteint
l'état de
fluidisntion minimum quand ln perte de chill-ge est égale
au
poids
des
pareicules
par
unité
de
surface
de
la
section
du
lit.La vitesse minimulll de fluidisaeion u f' est définie en ce point.
m
Lorsque
la
vitesse
augmente,la
perte
de
charge
reste
conseante
tant que
la vitesse d'entrainement- des
particules
n'est
pas atteinte.
Si le fluide utilisé est un gaz,la dispersion des particules
ne
sera
uniforme
que
pour
des
vitesses
proches
de
la
vitesse
minimum
de
fluidisation.Sinon,il
y
a
apparition
d'une
phase
continue,dense
en
particules,appelée
émulsion
et
une
discontinue,constituée
de
poches
de
gaz
appelées
abusivement
bulles .La
fluidisation
es t
alors
dite
aggrégative
ou
bouillonnante.Dans
l'industrie
chilnique,ce
procédé
est
souvent
i
l"
~ f.
~.
~~ployé quand une réaction en phase gazeuse se fait en présence de
catalyseur
solide
finement
divisé.Le
rendement
de
la
réaction
dépend
alors
de
l'efficacité
du
contact
entre
le
fluide
et
les
particules
et
de
l'uniformité
clans
le
réacteur
de
certains
paramètres
contrôlant
Iii
réaction. Celles-ci
sont
à
leur
tour
tributaires
de
la
ta i lIe
des
bulles
dans
le
l i t. En
Of'
effet,l'homogénéisation
du
milieu
est
liée
à
la
circulation
.... ".-
particulaife induite par les bulles lors de leur ascension,mais ces
.~"
,
poches, de
gaz
constituent
aussi
des
bipasses
qui
diminuent
le
" C (\\ Il t: :l C t:
(~ 1\\ t: r 0 1e rl u i cie e cl es 1) :1r t: i. c u l. es. UIl e 0 p t lm i sa t i, 0 n de l e li r
t::lille
s'avèl'c
donc
nécessaire,pour
maximiser
le
rendement.Cette
, .

---

10
optLmisatiotl
tl'est
possible
que
si
nous
disIJosons
d'un
moyen
pennettant de détenl1inCl- leur loi de répartition en fonction de
la
hauteur du lit et des paramètres de fluidisation.
Nous
nous
sommes
donc
proposés
de
mettrc
en
oeuvre
une
tecl\\nique de mesure locale de la taille des bulles et de développer
parédlèlemcnt
un
Il10dèlc
mélthématique
permettéml
de
prédire
leur
fonctLoll de distribution à chaque cote du lit. Les résultats obtenus
par les deux méthodes seront comparés .'\\ ceux donnés par des modèles
déjà existants .
. .....
. r.,:_.,
\\' -..~.
;'
r:
:~i, ;.....
J,"
...
,,:.
_-"~
' \\... : >'
1-:.:,
:.' .

---

11
·:-- ': "
.....
GENERAL 1TES·
U DEMARCHE UTILISEE.
IDCONDITIONSGENERALES DE LTXPERIMENTATION.
.'
.' .)~:
'
~
'.
b,
~~':: ;~',
.
,
1",
'
. '
;',
l -
.. ':
,,"-..

---

',.'
12
I.DEMARCHE UTIUSEE
Plusieurs
(echn~ques ont été utilisées pour caractériser le
bullage
dans
les
l~ts fluidisés
P N
CI
" f f Cl)
gazeux.
. .
1eremlS lno
a
récemmcnt
procède
a
unc
revuc
de
toutes
ces
méthodes, avec
leurs
1
avantilges
et
leurs
inconvénients.Nous
avons
choisi
d'utiliser une
1
technique
permetcant
d'effectuer
des
meSèn-es
locales .Ce
choix
se
justifie par le
fait que si
l'étude de
la
fluidisation d'un point
de
vue
global
semble
ètl-e
bien
maitrisée
il
l'heure
actuelle,son
étude
locale
nous
réserve
cl:rtainement
des
réalités
non
encon;
dévoilées.
Les
sondes
les
plus
utilisées
pour
diagnostiqucr
localement
les
lits bouillonnants sont
:soit il capacité,soit il résistivité,soit à
i.Ilductance,ainsi
que
les
soneles
optiques.Dans
cous
les
cas,elles
Ollt
servi
il
suivre,soit
les
variations
de
porosité
dans
le
lit
fluidisé quand les chercheurs se sont intéressés aux bulles,soitles
mouvements particulaires,notamment avec le développement des fibres
optiques.
(2·7)
Les
sondes
il
capacité
sont
les
plus
courantes
.
Elles
sont
constituées
de
deux
pôles
d'un
condensateur
miniaturisé, La
capacité
du
condensateur
est
fonction
du
nombre
volumique
de
particules
dans
i 'élèillent de volume entre
les
deux
pôles .Cette
technique
permet
la
détection
de
variations
rapides
de
porosité.,tlle présente cependant deux inconvénients principaux:
-élIe .riét~ssite une instrumentation sophistiquée et onéreuse
-~ne ~alibration est nécessaire pour chaque système solide-fluide
étudié,
Les sondes il résistivité ont souvent servi il la détermination
" ,
h d
d
'
d"ln 11't bOul'llonnpnt(B-lO) ,La
des caracterlstlques
y ro ynamlques
•
u
... , ::.
résistivité
du
volume
de
mesure
est
une
fonction
du
nombre
•• l .....
·C
volumiqu~
de
particulcs.C~s
sondes
demandent
elles
aussi
un
lIl~ltéricl sOlJhistiqué et. onéreux ct elles ne fonctionnent que pour
.".<
-
:
: ~; .
des solides assez conductifs.
Les
sondes
il
inductance,elles,ont
une
utilisation
trés
slJéëifique.Les particules
à
fluidiser do ivent être
sens ibles
aux
,.
i:
1",
\\

---

13
Les
méthodes
optiques
ont
connu
un
développement
plus
,
t Ok'
l ( 11) l \\ . 1
1(12) l
'
. l'
.
recen .
"1
et a
,Sllca et a
, es ont utl lsees pour suivre
le
mouvement
des
particules
(vitesses
et
directions)
dans
l' émuls ion'. Morooka
(5)
,~l(13),se
et
a l , Na tsuno
et
u
sont
servis
de
fibl"(~s optiques pour détenni.ner le nombre volumique de particules
dans la phase diluée au dessus du lit.
Nous
avons
utilisé
une
sonde
optique
avec
un
volwne
de
déte~tion,de di~ension inférieure à celle des particules.Une bulle
n'est
pas
détectée
en
suivant
les
variations
de
porosité
du
lit,~ais grjce aux mouvements particulaires à ses frontières.Cette
méthode ,comparée
à
celles
qui
ont
été
utilisées
précéde~nent,
possède un avantage:elle permet cie sélectionner les bulles centrées
par rapport à la zone de détection avec seulement deux sondes.Seule
l'utilisation
de
la
méthode
probabiliste
de
Werther(14)
a
permis
jusqu'ici
de
procédel'
une
interprétation
correcte
des
signaux,relatifs aux bulles,fournis par uniquement 2 sondes.
Puisque
le
principe
de
Illesure
repose
sur
les
interactions
entre
la
fibre
optique,la
lwnière
émise
et
les
particules,nous
avons dans un premier
temps déterminé
le comportement de
la sonde
en
présence
d'une
seule
p,Hticule, identique
à
celles
qui
seront
fluidisées. Cette
étude
et
ses
résultats
sont
exposés
au
chapitre
Il.lls
justifient
le
principe
de
mesure
qui
est
développé
au
chapitre
IlLL'utilisation d'une
telle
technique
n'a
été
possible
que
grâce
à
la
mise
en
oeuvre
d'une
méthode
appropriée
cl' acquisition
et
de
traitement
du
signal. Leur
présentation
fait
l'objet
du
chapitre
IV. La
sui te
du
travail(chapitres
V,VI)
concerne:les
résultats
expérimentaux
relatifs
au
bullage;le
Jéveloppement
d'un
modèle
mathématique
de
caractérisation
des
bulles
dans
le
lit;enEin
la
confrontation
des
résultats
obtenus
,,:-.' .
..~. ,
dans les deux cas.
·· .. II.CONDITIONS GENERALES DE L'EXPERIMENTATION.
Lesfuèsures ont été réalisées dans un lit bidimensionnel.Ses parois
sont: l:()11S[:i,l:uée~; (I(~ deux plilqlleS dp. pl<:~xir>lns de largeur,l, égale à
-JUU
111111
et:' de
l1é1l1u~ur )()U 111I1I.1~'('pai.sselir e du lit est de 10 llun.Le

---

!,
distributeul' en bron:'.c> [ritt:é est choisi de sorte que dans la gamme
de
vitesses
de
fluidisiltion
que
nous
utilisons, le
renardage
soit
évité.La perte de charge du ~az fi travers le distributeur 6Pd et sa
perte
cie
charge
à
tC1Vers
le
lit 6Pl
sont
toujours
telles
que
la
comlition ci dessous soit: vérifiée:
0,2< 6P
/6Pl< 0,5
d
Les particules à fluidiser sont des billes de verre de diamètre d p
compris
entre
100 et
250 j1ln. L'histogramme
cumulé
de
la
taille des
billes
est
indiqué
sur
la
figure
l.Leur
densité
vaut
2,5.Par
conséquent elles appartiennent au Croupe
li de
la classification de
(lS )
Celcl<Ht
. Leul' indice de l'éfr<1c tion complexe il 1<1 longueur d'onde
d'émission
de
1<1
soncle(.\\=0,8 l 1
jlm)
est
prise
égale
à
1,5(l-Oi).La
masse
~ts
des
particules
chargées
clans
le
l i t
est
de
2,350
kg,La
hauteur du l i t au repos
est de
385 mm et sa
densité
apparente est
de 2,01.Le lit étudié est de type profond:h/l>l.
Le
gaz
de
fluidisation
est
de
l'air
provenant
d'un
compeesseur.Son
débit
est
mesul:é
à
l'aide
d'un
débitmètre
Brooks
R-6-15B <1vec
un
flotteur
sphérique
en acier
inox:le
débit
maximal
3
mesurùble est de
2,500 Nm /h.L'air utilisé est saturé en eau.Comme
il
n'est pas
traité,il
nous
a
fallu
très
souvent
remplacer
les
p<1rticules utilisées pOUl" les sécher.
Pour
assurer
une
distribution
uniforme,une
zone
de
stabilisation
du
g<1Z
avant
le
diffuseur,d'ouverture
0,26
,ainsi
qu'ui1e
grille
placée
à
150
mm
du
point
d'alimentation,
ont
été
.... ,"
Ilrévues .
Avant
chi1que
série
de
mesures, le
lit
est
fluidisé
pendant
deux
heures
une
vi tesse
supérieure
à
la
vitesse
de
manipulation,puis
le
débit
est
ramené
aux
conditions
de
L ..
l'expérimentation.
La vitesse minimum de
fluidisation est déterminée à partir de
Iii
lll,'sur\\'
dt',
la
jl\\'fte
dc
Ch;ll/',\\'
du
fluitlc
fi
travers
le
l i t
ft
l'aide d'Ul\\ I1lal\\omècre ft mel'eure.Elle est de 0,052 m/s.
Ll
sonde
utilisée
est
présentée
en détail
dans
le
chapitre
qui suit.
1... '. ','
.. "
.
....

---

15
,"
FIGURE DU CHAPITRE 1
l'ou rccnt.ilt:,C cUlnulé du po ids de S
pi! r t icul c~; ,

---

16
l'O\\Jt"celltage cUlllulé du poids des
particules à
fluidiser
PC
~OO .00 )- ._-----
90 00
~
-.J
1
!
i
,
i
1
80 .00 r--
~
1
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70 .00
1
j
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Ll
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1
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40 .00
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30 .aD· ~-
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.__.l
L
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~_L
~
80.00
116.00
152.00
188.00
224.00
260.00
d
en 11
p
1 m
"
j
i
f
rr

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Solid
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in
a
'":,";;!' ~i .-
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Fluidization.Edited by J.R. Grace and J.M. M.atsen
Plenum Press,New York.
"
.
11 •
1;j

---

19
13.Y. ~latsuno,H. Yalllaguchi,T. Oka,l!. Kagc,ancl K. Iligashitani(l983)
The
Use
of
Optic
Fibel'
Probes
for
the
~leasurel1\\ent of
Dilute
l'article
Conccntrations:Cllibration
and
Application
ta
Gas,[luidized Bed Carryovcr.
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Edited by D. Geldart.J .Wiley & sons.
,
,'!'"
, ....:...... ,
." . . '
.~' ,:

---

20
CARACTERISATION DU COMPORTEMENT
DE LA SONDE EN MILIEU PARTICULAIRE
l')
DESCRIPTION DE L 'APPAREIL.
,
,,'"
II' )
DETERMINA TION DU SEUIL DE TENSION DE LA SORTIE LOGIQUE.
1\\\\')
COMPOfUEr'lENT DE LA SONDE EN PRESENCE b 'UNr BILLE DE YERRE.
AJ MONTAGE
BJ RESULTATS
IV')
CrmÈRES DE DETECTION D'UNE PMTICULE-DETERMINATION DU
YOLUME DE MESURE
" . '
c
'.,.'
' , ' . "

---

optrocle et d'un CLlcuit dé détection syncl\\rol1C.
L'émetteur est une diode électroluminescente en ~l Ga As clont
te
spectre
J'émission
est
centré
sur
0,840
~m.
La
largeur
a
mi-hauteur de
la courbe cl'(:mission est de 30 nm.
Li1 puissance émi.se
est infédeure il 100 pW.
Le
cl é te c te u r e s t
une
pli 0 t 0 d i 0 cl e
e 11
sil i con e
don t
la
sensLbi.lité
est milximale il 0,850 ILIll ,wec une efficncité quantique
de 80 % .
Ln fibre utilisée est de
type
tout silice.
Son extrémité est
clivée.
Le diamètre du coeur de la fibre est de
100 rm et celui de
la gaiile de 140 j.m.L'ouverture numérique est de 0,29.
Le
tirtuit de détetti6n synchrone permet
de
s'affranchir
de
la
lumière ambiante
en bout
de
fibre.
Seule
la
lumière modulée h.
2,5 MHz est prise en compte.
~ .,' ~-
L'appareil comporte une sortie analogique, une sortie logique
(0-5
volts)
et
une
intégrée
avec
plusieurs
temps
d! i n té g rat ion.
." .
I l est possible d'augmenter l'amplitude du signal délivré par
la s6~tie analogique par augmentation du gain g:
." .
. '
(1)
ua
g.f(1) + U o
U
(onction
croissante
o est la tension d'offset et f (1) est une
, .
de l'intensité lumineuse arrivant au détecteur.
~ . "
L'amplitude ~aximale du signal de sortie analogique est limitée par
la
tension
de
saturLltion
de
l'amplific<Jteur
de
sortie
à
± 12,5
vo L[:s qll(~ 11 (' qu<: sa i t
1a v;ll CUl" J(~ [' ( 1), ccc i.
i.ndépendal11ll1cnt
cie
la
saturation du photodétectcur.
.
, ' .'-
~
; ' c-
,
i
i;'

---

22
:,'
Il .DETERMINATION DU SEUIL DE TENSION DE LA SORTIE LOGIQUE
~~--~--~------'------------------------------------
II.
partir d'une certaine
tension u
,
la
tension de
la
a
logique u
tension \\.l
=
2 V
e égale SV. Le constructeur indique une
a
POUL"
le
passage
de
la
sortie
logique
à
t ' é ta t
1.
Nous
l'avons
véri.fié expérimel\\talement . L'cxtr6mité de la fibre est placée dans
l'air.Nous partons d'une tension d'offset nulle.
Progressivement sa
valeur est augmentée,
ce
qui a
pour effec
de
faire
croitre de
la
même
valeur
u
.
La
tension
de
la
sortie
logique
est
mesurée
à
a
chaque fois.
Le passage à
l'état l
a bien lieu pour des valeurs de
u
aux
environs
de
2
V, la
transition
se
faisant
sur
plusieurs
a
mV.N6us considèrerons 4ue la tension seuil est de 2 V.
~ÇQ~EQ~I~~~~IJQ~6_~QNDEEN PRE~ENCE DE BILLE DE VERRE
La
lumière
émise
d' intens i té
1
es t
acheminée
en
bout
de
0
fibre.
A
l'interface
fibre-air
une
partie
1
de
celle-ci
est
r
ré fléch ie
et
la
composante
transmise
1.
va
éclairer
une
lnc
particule.
Celle-ci
en
diffusera
une
partie
dans
tout
l'espace.
Suivant
la
position
relative
de
la
particule
par
rapport
à
•
l'èxtrémité de la fibre,
celle-ci recueillera une intensité 1
plus
2
ou moins élevée.Le détecteur recevra donc une intensité 1 -1
+ 1 .
t
2
r
La tension analogique délivrée par la sonde sera:
En
dehors
de
sa
zone
de
saturation, la
photodiode
est
supposée
linéaire.Nous pouvons donc écrire:
(2)
Les
parti.cules
étudiées
sont
des
billes
de
verre
supposées
sphériques d'indice de réfraction complexe 1,5(1,0-0,Oi) à 0,84 pm.
Pour
trois
tailles
(350,
280,
168
).lm),
nous
avons
étudié
les
vàriations
Je
la
tension
u
en
fonction
de
la
position
relative
a
. '. ,',. ~ :'-
• • l · .
';";
.......:
i .~
':'·"'i..

---

23
fibre-particule.
Ll
di EE icul te
maj eut'e
consistait
il
pouvoir
minimiser les
interactions entre
le support de
la particule et le
faisceau lumineux incident.
La
technique
finalement
utilisée
a consiste à
accrocher
les
particules sut' un fil de section t'elativcment faible
: un filament
de tungstène de 10 IIIIl de diamètre (figure 2).
Nous
avons
ct' ilborcl
ver i fié
la
réac tion
de
la
sonde
en
la
plaçant
devant
l~
fil.
Quand
leur
distance
est
nulle
aucune
réaction
n'est
perceptible.
Cependant,
la
r-épartition spatiale
de
la
lumière diffusée
par la
particule sera
légérement modifiée
par
la présence du filament.
Nous négligerons ce phénomène dans le cadre de cette étude.
La
fibre
est
disposée
horizontalement
sur
une
table
de
déplacement
micrométrique
permettant
d'effectuer
des
translations
sui van t
l a ver tic ale
( z).
La par tic u 1e est a CCl" 0 c h é e à
l' ex t r é mit é
du
filament
disposé verticalement et fixé
à
un élément rigide sur
le plateau d'un microscope muni de deux déplacements micrométriques
en x et y et d'une échelle de mesure graduée tous les 4 ~m.
Une
fois
l'axe
de
la
fibre
placée
dans
le
IIléme
plan
horizontal que le centre de la particule,
elle est maintenue fixe.
Dansee plan, la particule est déplacée comme indiqué sur la figure
3.
L'origine 0 du repére est placée au centre de
la particule.
La
position 0'
du centre
de
l'extrémité de
la
fibre
est
repérée par
les coordonnées x,y.La distance fibre-particule
est donnée par r ~
2
(x +y2)1/2.
Pour
différentes
valeurs
(x,y)
la
tension
de
sortie
analogique est mesurée.
b") Ré t; u l ta t s
Les
figures
4
à
6
fournissent
les
résultats
expérimentaux pour des
billes de
verre
de
taille
168 /.lm
(fig.4),
',.'.

---

24
280 pm (fig.S) et 350 Jlm (fig.G).
Nous
pouvons observer une
décroissance
rapide de
la
tension
quand r augmente.
Pour chaque particule,
il existe un couple xe' Ye
te l que
U
~uO+f,·f(I)
quelque soit y
il
r
si y > Ye
u
quelque soit x
a
L'intensité lumineuse diffusée par la particule et collectée
par la fibre est quasi-nulle en dehors de la ZOne délimitée par les
relations
x
<
et
y
< yt
,qui
déterminent
le
domaine
où
la
détection
d'une
pàrticule
est
possible.
Le
tableau
1
donne
pour
chaque taille de particule les valeurs de xe et de Ye Il nous est
poss.i!)le
d'analyser
qualitativement
ces
résultats
en
étudiant
le
cas
simple
de
la
diffusion
de
la
lumière
par
un
centre
de
Nie
,(particule sph6rique, non magnétique,
isotrope et homogène) éclairé
par une onde plane d'extension infinie,
polarisée et en l'absence
de
diffusion
dépendante,
I l
est
utile
de
bien
préciser
que
nos
conditions
de
manipulation
sont
éloignées
des
caractéristiques
. :~.:
pré~itées. Aussi avons nous signalé que l'analyse de nos résultats
à
l'aide
de
la
Théorie
de
Mie
ne
sera
que
qualitative.
Le
.'.
développement de codes de calcul au laboratoire(l) exécutables sur
un micro-ordinateur classique permet de prédire
la répartition de
la
lumière
diffusée
dans
l'espace
par
un
centre
de
Mie.
l~s
dL1gralllliles
de
diffusioll
pour
les
particules
que
nous
avons
utilisées (même diamètre,
même
indice complexe de réfraction) sont
tracés.
Ces
diagramines
en coordonnées
angulai res
sont
donnés
sur
les
figures
7,
8 et 9 pour deux directions
de
polarisation de
la
lumière.
Il est remarquable que l'intensité lumineuse rétrodiffusée
(0
180·)
est
relativement
faible.
Par
ailleurs,
pour
une
. ~" ..
varLatJoIl
de
0
de
quelques
degrés
LIU
voisinnage
de
180·,
il
se
produit
une
diùlinution
très
sensible
de
l'intensité
lumineuse
diffusée
dans
cette
direction.
De
même
pour
une
valeur
de
y
cbnstante, une augmentation de x entraine une diminution de l'angle
.: .. ::'.<"
, ..

---

25
de coLlection de la fibre.
Enfin
l'i.ntensité
lumineuse
diffusée
dans
une
direction
2
décroLt en l/r .
Une
illlglllcntiltion
de
x
ou
de
y
a
pour
effet
une
baisse
illlp01"t,111ce cie l'intensi.t:é 1
recuei.llLe pilr
La ELbre.
2
IV.CRITERESDE DETECTION D'UNE PARTICULE-DETERMINATION DU
VOLUME
DE MESURE
d
Toute P'lltlcule de
diamètre
d '
telle que
xe> 0 et Ye>
~
p
est détectable pnr la sonde.
L<:1 zone cie détecti.on est contenue dans
le cylinclrecle 1"<:1yon xe et de longueur Yi'
contigu à
l'extrêmité '.'e
laI: i.b l'.:'.
La
Il rl'S ('11C.:'
de
la
pa r t i cule
deVdllL
l a
sonde
en t raine ra
une
augmentation plus ou moins
il~portante cie la
tension de sortie
analogique
en
rapport
avec
l'augmentati.on
du
terme
g.f(12)
de
l'équati.on 2.
Nous
avons
vu précédemment que
la
sorti.e
logique de
la
sonde
passait
à
l'état
l
pour
des
valeurs
de
tension
u il
supérieures à la tension-seuil u
-
2V.
La conditi.on nécessaire et
s
suffisante pour avoir ue - SV s'écrit:
(3)
Puisque g.f(lr) est une constante nous pouvons écrire:
La détection d'une particule en utilisant la
sortie
logique
e~tpossiblé si e~ son absence ue - a et en sa présence, ue - SV.
Cet;t:o ('.ond[t[(11\\ Si'
trl\\l\\ulr. nins\\
la particule est absente et K + ua < Us
la partiCule est dans
la zone de détection de la sonde et
> u s

---

,
,
.'
26
,1'
La
condition
nécessaire
et
suffisante
de
détection
d'une
particule s'cicrit donc:
+ ua < Us
{ K
K
t g , [ ( r 2 )
t·
U 0
> u s
L'offset
ua
est
réglable.Si
U o est telle que K + ua est
pratiquement
égale
à
us'
les
dimensions
de
la
zone
de
détection
sont
maximales.
Une
diminution
de
ua
à
partir
de
cette
valeur
entraine une diminution de la zone de détection.
Dans
le
cas
de
la
figure
6,
K + ua
~ IV.
La
tension
de
sortie analogique ~aximale est obtenue pour x - 0 et y = ~ /2. Elle
p
vaut u
=
1,83 V.
En maintenant la tension d'offset à cette valeur,
a
cette
particule
ne
pourra
être
détectée
la
sonde
quelle
que
soit. sa position par rapport à
la fibre car la sortie logique sera
toujours à
l'état a (u
< u
-
2 V).
;)
S
"
"
De même si ua est telle que K + ua ~ 2 V,
la sortie logique
sera toujours à l'état l, qu'une particule soit ou non dans sa zone
de ,détectioi1.
Par
contre, si
nous
réglons
l'offset
de
sorte
que
K ~ u - 1,6 V, ce qui aura pour effet de translater les courbes de
O
la .figur.e
6 dans
le
sens
des
u
croissantes
d'une
valeur
de
a,6
a
".l.'
.,",.~:
V,les points
(x,y)
tels que u
> 1,4 V avant la translation, vont
a
déter~iner
les
positiOns
de
la
part icule
où
celle
ci
est
détectable.
Ces résultats sont utilisés pour mettre en oeuvre un principe
de
détection
des
bulles
dans
un
lit
fluidisé
gazeux.
Dans
cette
situation les particules sont en grand nombre et proches les unes
des autres.
Nous serons en présence probablement de
phénomènes de
diffusion multiple
et même
de diffusion dépendante
de
la
lumière
par les billes de verre.
Mais,
comme les dimensions de la zone de
détection sont inférieures au diamètre des particules, nous pouvons
".'.".
supposer
que
celles-ci
n'y pénétrent
qu'une
par
une
et
que
les
photons diffusés par les particules environnantes et recueillis par
. :" .
la [1b1'e seront peu nombreux .
.. ,:.,
. ~

---

,i'
27
TABLEAU 1
- -
~i
Yi
"
d
168 /lm
40 !Jin
164 !Jm
p
cl
280 /lll!
t.5 /lill
236 !Jill
P
d
350 !JIll
48 iHn
245 !Jill
P
,,";.,
".".,
,r.. '· .
.. ',
'
"~
. ~;
; ..
~:;

---

, j
28
LISTE DES ~-I CURES DU CHN) 1Tf<[ 11
Figure 2 :.ParticuLe dccroc\\\\ce dU
Li 1<iillcnt dev:ll1t la fibre.
Figure 3
Sens de dé,p Li1CCf1!Cl1l d,·
LI
fibre devant La particule.
Figure
fi
:.Tensioll
d,',livré'C
P:IL'
LI
;;ol1de
en
fonction
de
sa
po s i t ion par r a p p 0 r t
il li n e p :1 L' t Lcul (, d ('
l G8 l' m.
F ig ure
5
:. Tell S Lon
d C' l i v r c', C
pd r
1il
S Cl lHl e
e 11
f 0 Il C t ion
d e s a
position par rapport il une p:lrticul(! dt' 280 !Jln.
Figuré
6
: .Tension
c\\('LivL'c>e
pin
la
sonde
en
fonction
de
sa
positioù par rapport ~l une particule' de 350 !lm.
Figl.f~e 7:.Intensité diffusée p:lr unc bille de verre de 168 J.lrn
{ ' . ;
de diamètre e~ diagramme an~ulairc.
......
:;
.
Figure
8
:. Intensité
di UUSt;e
pilr
une
bille
de
verre
de
280 fLm
de diamètre en diagrammc i1nguLlire.
Figure 9
:Intensité c1if[usôe
par une
bille de verre de diamètre
de 350
!!In en
diagréllllmc al1l:ul a i l'o .
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29
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34
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Il 1.\\ C R:\\ ,'1 ~11':
i\\ N(; LI 1,,\\ 1 R1::
.,.1,
.....

---

35
REFERENCE
F. Corbin,G. GrehDn,G. Couesbet,B. MDheu (1988)
Interaction between a Sphere and a Gaussian Beam:Computation on a
Micro-Computer
Part.
Part. Syst.Charact. 5 pp 103-108.
f "
,1'··"

---

36
PRINCIPE DE MESURE
1. INTRODUCTION
II. ETUDE THEORIOUE DES MOUVEMENTS PARTICULAIRES
III. MOUVEMENTS PARTICULAIRES AUTOUR D'UNE BULLE
CONST AT ATIONS
EXPÉRIMENT AlES.
IV. MISE EN ÉVIDENCE EXPERIMENTALE DU PRINCIPE DE MESURE
A. MATERIEL UTILISE
B. PRÉSENTA TION DE LA TECHNIOUE DE MESURE
C. MESURE DE LA CORDE CENTRALE :
1) EXPÉRIMENTATIONS
2) MESURE DES VITESSES
3) MESURE DE LA CORDE CENTRALE.
V. CONCLUSION
Une réponse qui ne peut étre exprimée suppose
une question qui elle non plus ne peut étre
exprimée.L'énigme n'existe pas.5i une question
se
peut
absolument
poser,elle
peut
aussi
trouver sa réponse.
L. Wittgenstein

---

37
1. INTRODUCTION
Les bulles dont nous voulons mesurer la taille et la vitesse
peuvent être excentrées par rapport à la sonde. Dans ce cas nous ne
mesurons
pas
la
cOL-de
centrale
ct
le
signal
obtenu
n/ est
pas
exploitable.Le
même
problème
se
pose
quand
les
bulles
ont
une
trajectoire
oblique,
ce
qui
est
souvent
observé
au
cours
des
coalescences.
Pour
s'affranchir
de
cette
difficulté
au
moins
4
sondes
(fig.l)
sont
habituellement
utilisées(1-4).Ceci
a
pour
conséquence
de
perturber
fortement
le
comportement
des
éléments
étudiés.
Dans
cette
étude,
nous
montrons
qu'avec
un
dispositif
constitué
uniquement
de
2 sondes
optiques,
nous
pouvons
acquérir
ces informations.Autrement dit,
un critère de sélection des bulles
centrées par rapport à la zone de mesure est développé.
Il repose
sur
la
détection
des
mouvements
particulaires
induits
par
les
bulles.
Il. ETUDE THÉORIOUE DES MOUVEMENTS PARTICULAIRES
La
compréhension
de
la
circulation
particulaire
est
déterminante
dans
les
procédés
qui
utilisent
les
lits
fluidisés.
Aussi existe t-il une littérature abondante sur le sujet.
Il
a
d' abord
été
admis
que
les
mouvements
particulaires
étaient
aléatoires.
Puis
des
modèles
de
diffusions(5,6)
ont
été
utilisés
pour
l'étude
de
leur
évolution.
Cependant,
les
coefficients
de
diffusion
publiés
varient
trop
largement
d'un
auteur à
1/
autre
pour
que
ces
modèles
puissent
être
considérés
comme
réalistes.
Pour
la plupart des
auteurs,
ce
sont les bulles
qui sont à l/origine des mouvements particulaires.
Ce
que
nous
appelons
généralement
bulle
dans
les
lits
fluidisés
gazeux
ne
représente
pas
une
discontinui té
entre
deux
phases immiscibles. Elle est constituée d/une poche de gaz supposée
sphérique,
comportant
à
sa
base
une
zone
particulaire
appelée
sillage. Ces poches de gaz sont considérées vides de particules, si
110\\lS
1lt")',II)',t'()ll':
cl'I]p::,
('Il
petite qUillltité,
s/écoul[lnt sous l'effet
d' illstalJilités il p;lrtir du front.
Non perturbées,
elles présentent
,.
1·l'

---

38 ,.
"
une symétrie autour d'un axe
vertical
(Appelé par la suite axe de
la bulle).
Dans un lit en fluidisation minimum,
le gradient de pressioh
est constant.
Les
forces de
trainée exercées par le fluide sur les
particules équilibrent leur poids.
Les particules sont au repos en;,
moyenne.
Le
IIIOUVl'IIICllt
du
fluide
peut
être
caractérisé
par
desi
équipotentielles horizontales et des lignes de courant verticales . .
Une
poche
de
gaz
vide
de
particules,
de
masse
volumique'!
négligeable
comparée
à
celle
de
l'émulsion,
introduit
une;,
perturbation
dans
le
champ
de
pression.
o 'après les travaux de'
(7)
( 8)
K.S.
Sutherland
et
de
P.N.
Rowe
,
cette
perturbation
est
à
1'origine
du
mouvement
pJrticulaire
localisé
dans
son
voisinage
immédiat,du moins quand les particules ont un diamètre supérieur à
60 pm.
En
dehors
du
sillage
de
la
bulle
où
ces
mouvements
sont
relativement
complexes,
nous
pouvons
caractériser
l'écoulement
particulaire
avec
un
modèle
simple
l'émulsion
est
considérée
cowne un écoulement irrotationnel,
isovolume, autour de la bulle de
rayon R.
La fonction potentiel vérifie :
(1)
6. 1/J =0
Pour
un
lit
20
la
bulle
est
supposée
cylindrique
et
en
coordonnées polaires liées à la bulle (fig. 2) nous avons
:
l
a 1/J
l
(2 )
+
+
-0
a
2
r
r
Cette
équation
résolue
avec
des
conditions
aux
limites
appropriées, permet
de
déterminer
les
pro"fils
de
vitesse
des
particules.
( 3)
u
= u
cosO
r
B
(d+J2]
il
Il
(+J
(fI)
\\.1
_ .
2]
\\l
~; in /1
(1 +

---

39
Les équipotentielles et les lignes de courant sont représentées
en figure 3.
En coordonn~cs
cartésiennes,les composantes u
et u
sont données
z
y
par
(6)
u =
y
Le module u de la vitesse vaut
(7)
u =[u~ + u~J 112
=u
[+] 2
B
La vitesse des particules est proportio~nelle à [_
R]2 A une
r
distance du centre de la bulle égale à 3R, elle devient négligeable
devant u
(u~uB/10)
le
mouvement particulaire est donc
localisé
B
dans le voisinage immédiat de la bulle.
Pour
[
et } ,
< 8< 5: ]
les
particules
ont
un
mouvement
ascendant
(u
> 0)
avec
une
z
composante verticale de la vitesse d/autant plus importante que les
particules sont proches de l'axe de symétrie de la bulle.
11"
311"
5 11"
Pour:
- - : < ;
0 :<; - - et
:<;
8 :<; 711"]
- 4 -
les particules
ont
un
[ 4
4
mouvement descendant.
Les
particules
situées
au
dessus
du
centre
de
la
bulle
11"
3 11")
2~8~-2-
ont
un
mouvement
latéral
centrifuge,
tandis
celles
(
(-+
situées
en dessous
du centre de
la bulle
~ 8 ~ + ) sont
nspirées par clle et ont un mouvement centripète.
Clobalemcnt, chaque particule va décrire un "looping" avec un

---

40
mouvement ascendant franc à l'avant et à l'arrière de la bulle,
si
elle
est
proche
de
l'axe
de
symétrie
de
celle-ci.
Sinon,
elle
décrira
principalement
uniquement
un
mouvement
latéral
qui
l'éloignera ou l'approchera de cet axe (fig.4).
,
- .~
III.
MOUVEMENTS
PARTICULAIRES
AUTOUR
D'UNE
BULLE:
CONST AT ATIONS EXPERIMENTALES
Nous pouvons observer sur la figure
5 les lignes de courant
des
particules
autour
d/une
bulle
et
tirer
les
conclusions
suivantes :
Il
existe
une
similitude
avec
l/écoulement
potentiel
2D
autour d'un cylindre.
- Le
sillage est mis en évidence
par les
lignes de courant
verticales
dans
la
bulle.
Les
particules
à
l'intérieur
ont
un
mouvement ascensionnel avec une vitesse d/ensemble égale à celle de
la
bulle.
A cause
de
la
vitesse
très
élevée
des
gaz
dans
le
sillage,
les particules sont contraintes de s'écarter les unes des
autres
pour
diminuer
les
forces
de
trainée
exercées
sur
elles.
Cette zone peut être considérée comme un lit fluidisé
turbulent à
l'intérieur de la bulle.
Les particules y sont ainsi très agitées.
H.Reuter(9)
a effectué des
mesures permettant de quantifier
la répartition de la pression le long de l'axe z de symétrie d'une
bulle
isolée.
L'allure
de
la
courbe
est
représentée
en
trait
continu alors que la répartition de pression en l'absence de bulle
est représentée en pointillé (fig.6).
Nous pouvons remarquer entre
autres
que
la
perturbation
liée
à
la
présence
de
la
bulle
est
localisée
dans
son
environnement
inunédiat.
En
dehors
de
la
zone
perturbée,
la
porosité
du
lit
ainsi
que
le
gradient
de
pression
sont
constants. Ils
sont presque
égaux
à
ceux
de
la
fluidisation
minimum dans le cas de particules du groupe B de la classification
de
Geldart.Autour
de
la bulle,
le
gradient
de
pression
est plus
important
que
partout
ailleurs
dans
le
lit,
et
les
mouvements

---

41
Des particules traceur ont très souvent été utilisées en lit
bidimensionnel pour suivre les mouvements particulaires induits par
le bullage.
Elles
sont pl.:lcées dans
le bas
du
lit.Des
particules
non
marquées
sont
disposées
au
dessus
d/elles
constituant
une
couche
supérieure.
Les
mouvements
de
la
ligne
de
séparation
des
deux
couches
sous
1/ influence
d / une
bulle
ont
été
' t d"
(10-13)
e u les
. La figure
7 donne
sa
forme
à
différentes
positions de
la bulle.
Elle met en évidence :
- l/existence d/un mouvement particulaire sous l/effet de la
bulle à
des
distances
du
front
de celle-ci
égale
au moins
à
son
diamètre.
le
sillage,
matérialisé
par
les
particules
traceurs
à
l'intérieur de la bulle.
la
formation
d/une
trainée
de
traceurs
derrière
la
bulle(11,12) constituée d/une part de particules en mouvement sous
l'effet de la bulle et d'autre part de celles provenant du sillage
qui
se
renouvelle
continuellement
(fig.Ba).
Les
particules
en
mouvement sous l/effet de la bulle sont distinguées des autres par
l/utilisation d'une tranche de traceurs en sandwich entre 2 couches
de particules non marquées (fig.Sb).
Les profils de vitesse des
particules obtenus par le modèle
de
l/écoulement
potentiel
sont
qualitativement
en
accord
avec
1/ ensemble
de
ces
résultats
expérimentaux
obtenus
par
différents
auteurs.
En
conclusion,
nous
pouvons
localiser
les
particules
en
mouvement ascensionnel sous l/effet d'une bulle. (figure 9).
Dans le cas d/un lit bouillonnant, il y a déplacement en bloc
de
l'émulsion
entre
deux
bulles
en
interaction,
avant
leur
coalescence.
IV. MISE EN ÉVIDENCE EXPÉRIMENTALE DU PRINCIPE DE MESURE
A) MATÉRIEL UTILISÉ
1.I'n
"Xpi'I'II'llI:I'~'
~;()\\\\r.
rÙl\\\\l~;(~eH
s\\lr
\\11\\
lit
bidimensionnel
buuillollllllllt (largeur 300111111, hauteur au repos 385 mm, épaisseur 10

---

4
mm).
Les particules utilisees sont des billes de verre de diamètre
compris entre 125 et 250 ~m. Pour l'observation,les parois sont en
plexiglas.
Le
lit
est
eclaire
uniformement
à
l'arrière
par
une
lwnière rouge pour une bonne visualisation. On
introduit
dans
le
lit une bi-sonde
optique placée verticalement dont les extrémités,
points
de
mesure,
sont
parfaitement
localisées.
Les
signaux sont
traités
par
une
chaine
composée
d'un
oscilloscope
et
d'un
enregistreur optique à faisceau UV (vitesse de défilement du papier
pouvant
atteindre
l
mis)
permettant
l'analyse
de
phénomènes
rapides.
Une
caméra vidéo
enregistre
simultanément
le
mouvement des
bulles
dans
le
voisinage
des
points
de
mesure
et
les
signaux
délivrés par la sonde et visualisés par l'oscilloscope.
B) PRÉSENTATION DE LA TECHNIOUE DE
MESURE
La figure 10 résume les interactions entre une particule, la
fibre
optique
et
le
faisceau
lumineux
qu'elle
transmet.
Si
l'intensité lumineuse l
recueillie par la fibre
est supérieure à
t
un seuil déterminé Imin,
la sortie logique de la sonde fournit un
signal
à
l'état
haut.
La
particule
concernée
est
détectée.
Il
existe
une
partie
de
l'espace
limitée
par
une
surface
fermée
L
telle
que
toute
particule
détectée
a
son
centre
à
l'intérieur.
Cette zone est appelée conventionnellement "zone de détection" ou
"volume de mesure" de la sonde. Quand une particule sort de la zone
de
détection,
le
signal
retourne
à
l'état bas
jusqu'à ce
qu'une
autre particule y pénètre remettant le
signal au niveau haut.
Le
passage d'une particule dans le volume de mesure se traduira sur le
signal
par
l'apparition d'un
pic.
La
fréquence
d'apparition des
pics est une fonction croissante du flux particulaire à travers la
surface L:
,
c'est à dire du nombre volumique Np et de
la vitesse
vp.
(Notation d'Einstein)
des particules dans la zone de mesure à
l
l'instant t.
L'introduction de
la bi-sonde
optique dans
un lit
fluidisé
homogène
entraine
une
perturbation
des
lignes
de
courant
gazeux
(CII','
Il).
1,11
cOIII\\losnllte verticille
de
la vltesse du gaz décroît
elllralll;1I1l Ulle dilllil\\ulLoll de la cOlllposante verticale des forces de

---

43
tCllnéc
(I-'t)Z
c,;·:crcé,es
sur
les
partlcules.
Dans
les
zones
du
lit
fluidisé
non perturbées p<11' 1<1 présence des bulles ou dans un lit
en
fluidisalion
II1lnimum,
(Ft)z
équilibre
le
poids
de
chaque
particule (les forces
interparticulaires sont supposées nulles). La
diminution
de
(Ft)z
dans
le
voisinage
du
volume
de
mesure
entrainera
donc
un
dc;placement
particulaire
de
sorte
que
pour
un
nouvel
"équilibre",
l/extrémité
de
la
fibre
sera
dans
un
environnement exempt de particules,de dimension supérieure à celle
de
la
zone
de
détection.
Grâce
à
leur
zone
de
détection
très
réduite,les
sondes ne
"verront"
pas de
particules.
Le
signal
sera
donc au niveau bas quand les sODdes seront dans les endroits du lit
sans mouvement particulaire,
zones où les particules ne
sont pas
sous l/influence des bulles.
Par contre les particules en mouvement sous l'influence d/une
bulle peuvent entrer dans le volume de mesure de la bi-sonde.
Compte
tenu de sa disposition vertlcale,
la probabilité pour
que celle-ci détecte une particule est
importante
là où elles ont
un mouvement ascensionnel
franc
c/est à
dire non loin de
l/axe de
symétrie de
la bulle,
dans son front et dans son sillage. Quand le
point de mesure se trouve dans ces zones,
la fréquence d/apparition
de pics sur le signal sera relativement impo~tante.
Si
les
particules
ont
un
mouvement
latéral
ou
descendant
autour de l/extrémité de la fibre,ce qui est le cas si le point de
mesure
est
éloigné
de
l'axe
de
la
bulle,
la
probabilité
de
les
"voir"
sera
très
faible.
Sur
le
signal
délivré,
des
pics
seront
rarement observés.
Dans
le
si liaGe,
les
particules
sont
très
agi tées
avec
une
vitesse
latérale
moyenne
nulle
et
une
vitesse
ascensionnelle
1110yenne
m:lximalo. Le
flux
cntL1nt
clans
la
zone
de
détection
sera
important
des
pics
apparaitront
sur
le
signal
avec
une
haute
fréquence.
La
sonde
détectera
d / abord
le
front
de
la
bulle
puis
son
sillage et ensuite sa frontière arrière.
Si le point de mesure n'est pas éloigné de l/axe de la bulle
dont
on veut déte.lïllincr
les
caractéristiques,
et
si
celle-ci n'a
1;1.': \\111<' 1 Iii Il'''( "II,· llllll'l\\ll·.
~;:l 1 r;I\\lll~e sera dc":tcctéc llUlI\\édlntclIIcnt
'
ilpn':S
Il' slllilgl' ..

---

44
Nous
disposons
ainsi
d/une
technique
nous
permettant
de
distinguer
les
bulles
excentrées
par
rapport
au
point
de
mesure
et/ou ayant une trajectoire oblique de celles dont nous meiurons la
corde
centrale.Elle
est
basée
sur
l/analyse
de
la
fréquence
d/apparition des pics sur le signal logique quand la sonde est aux
frontières
de
la bulle,
et sur la vérification de la détection de
sa trainée.
Dans
le cas de bulles en interaction mais avant le début de
la
coalescence,
le
déplacement
en bloc
de
l/émulsion entre
elles
empêche de distinguer la trainée de la premi~re bulle. Nous ferons
dans
ce
cas
l/hypothèse
qu/elles
sont
alignées
verticalement
et
nous vérifierons si la trainée de la seconde bulle est détectée.
C. MESURE DE LA CORDE CENTRALE.
Elle
necessite
deux
sondes
l
et
2
dont
les
points
de
mesure
situés
sur
deux
verticales
distantes
de
2,8
mm
sont
respectivement élUX cotes z et z + h.La direction z positive indique
le sens du mouvement des bulles.
Lors du passage d'une bulle centrée par rapport au point de
mesure,
les sondes délivrent chacune un signal caractéristique de
la
bulle
constitué
de
deux
groupes
de
pics
(fig.12).
Le
premier
groupe marque le front de la bulle alors que le second est obtenu
quand le point de mesure est dans le sillage de la bulle et dans sa
trainée.
Le temps de
séj our
t
du point de mesure dans
la poche de
BI
gaz est le temps qui sépare l/apparition des deux groupes de pics
du signal
i.
Soit
t
le
décalage
entre
le
temps
de
détection du'
f
front de la bulle par les 2 sondes (fig.12). La vitesse du front de
la bulle mesurée par les sondes sera :
Appelons t
le décéllage entre le temps de détection du sillage par
s
les deux sondes. La vitesse du sillage mesurée par la bisonde sera:

---

45
La distance
h est déterminée
de
sorte
que
t
soit
toujours
f
inférieur à
t
. Elle détermine la taille de la plus petite bulle
Bl
détectable.
Cependant,
plus h est grand,
plus la précision sur la
mesure de la vitesse est grande.
i\\ous avons choisi h égale à 7 nun
par compromis.
Si Vs était égale à v
dans la zone d'influence des sondes,
f
nous
n'observerions
pas
de
déformation
des
bulles.
Dans
la
pratique, ce n'est pas le cas. Une étude des interactions entre les
sondes, et des bulles artificielles bidimensionnelles, réalisée par
enregistrement vidéo de
leur com?ortement au voisinage des,points
de
mesure,
me t
en
évidence
lors
du
vis ionnage
au
ralenti,
des
aplatissements et des élongations de bulles.
Ce phénomène a aussi
été
observé
par Rowe
et Masson(14)après
leur
étude,
au moyen de
rayon X,
des
interactions
entre
des
bulles
tridimensionnelles
et
différentes sondes.
Nous
dédui sons
de
ce
cons ta t
que
dans
la
zone
de
mesure 1
l'avant
et
l'arrière
de
la bulle
ne
se
déplacent
pas
à
la même
vitesse. Par exempie,l'aplatissement d'une bulle pourrait provenir
soit de la décélération du front soit de l'accélération du sillage~
')
,
D'où
l'intérêt
de
comparer
v
et
Vs
à
la
vitesse
v
du
f
centroïde de la bulle mesurée loin de la zone de détection, hors de
l'influence des sondes.
La minimisation de l'erreur conunise sur la
détermination de la vitesse permet d'augmenter la précision sur \\e
calcul de la corde centrale de la bulle dB puisque:
Rowe et al ont effectué(15) une étude comparative de la vitesse des
bulles mesurée d'une part avec une bi-sonde optique détectant de~
variations de
porosité et d'autre part par cinéfilm.
Ils
se sont
intéressés
à
la vitesse du front
de
la bulle
et à
celle
de
son
centroïde. Les résultats qu'ils ont obtenus sont indiqués en figure
13.
Ils ont conclu à
une absence
totale de corrélation entre les
deux
techniques
de
mesure,
ce
qui
conduirait
à
disqualifier
les
sondes
effectullnt
des
mesures
locales.
Cependant
une
analyse
de
leurs
r(\\~;\\.\\Il:IIl:s nous Ilmc!lle à remarquer que dans le cas où les

---

46
aplatissements de bulles sont importants,
la vitesse donnée par la
bi-sonde
optique
sous-estime
la
vitesse
réelle
(fig
13).
Ceci
pourrait être lié à
la décélération du front de
la bulle pendant
que
le sillage garderait une vitesse constante.
Nous
nous
sommes
alors intéressés à la comparaison d'une part de v
et v,et d'autre
f
part de v
et v.
s
1·) OBSERV ATION EXPÉRIMENT ALES
Dans
un
lit
en
fluidisation
minimum
une
alimentation
secondaire par un tube de petit diamètre,dont l'extrémité est sur
l'axe
du
lit
fluidisé,crée
artificiellement
des
bulles.
Un
enregistrement vidéo simultané du phénomène et des signaux délivrés
par
la
sortie
logique
de
la
bisonde
est
effectué.
Le
film
est
exploité image par image. Quand les points de mesures ne sont pas
dans
la zone d'influence de la bulle,
la sortie logique de chaque
sonde
délivre
un
signal
à
l'état
zéro
à
l'exception de
quelques
rares pics isolés.
De méme à
l'intérieur de
la poche de gaz,
les
signaux
obtenus
sont
plats.
Par
contre
dans
les
zones
o~
les
particules
sont
en
mouvement
sous
l'effet
d'une
bulle,
nous
observons des groupes de pics sur les signaux,apparaissant avec une
fréquence
plus
ou
moins
importante.
suivant
que
les
points
de
mesure
sont
dans
le
front
ou
à
l'arrière
de
la
bulle,
à
une
distance plus ou moins importante de l'axe de symétrie de celle-ci,
ou dans le sillage de la bulle. Dans la trainée, nous observons sur
le
signal
l'apparition de
créneau
(signal
à
l'état haut
pendant
plus de 5 ms).
Considérons un repère lié à la bulle
si la zone de mesure
en mouvement relatif ne coupe pas la poche de gaz près de son axe,
mais passe à une distance 1 de celui-ci inférieure à 3R, une série
de
pics
apparait
sur
le
signal
(fig.14)
avec
une
fréquence
relativement
faible
(20
Hz
au
maximum).
Cette
fréquence
est
d'autant plus faible que 1 est grand. Ces pics sont assez larges (3
à
5 ms).
Ces
résultats
sont
en
accord
avec
les
prévisions
théoriques.
Dans cette position relative par rapport à l'axe de la
hul.Lo,
lüs Jlllrticules ont des mouvements descendants ou latéraux.

---

47;
Aussi
la probabilité pour qu'elles
se
retrouvent
dans
la zone de
détection
est
faible.
D'autre
part
du
fait
des
vitesses
peu
élevées,
les pics obtenus sont plus larges.
Par contre si les points de mesure sont dans
le front de la
bulle,non loin de l'axe de symétrie une série de pics apparait avec
une fréquence moyenne de 80 Hz. A l'intérieur de la bulle le signal
est plat.
Des pics réapparaissent quand les points de mesure sont
dans
le
si lIage, leur
fréquence
moyenne
est
de
240
Hz.
Si
1
est
inférieur à
0,1 dB et
si
la
trajectoire
est verticale,
ces
pics
sont immédiatement suivis par un créneau,
relatif à la présence de
la bi-sonde dans la
trainp.e
(fig.15).
Nous pouvons en déduire que
cette
zone
serait
plus
dense
en
particules
ayant
un
mouvement
d'ensemble
lent.
Si
la
bulle
a
une
trajectoire
oblique,
(c'est
souvent
le cas
lors d'une coalescence)
la zone de
détection peut
couper la trainée de la bulle.
Mais dans ce cas le créneau obtenu
apparait éloigné des pics qui caractérisent le sillage.
2.) MESURE DES VITESSES
A partir des
images vidéo,
pour les bulles qui passent dans
la zone de détection de la bi-sonde avec une trajectoire verticale
et qui ont une durée de vie suffisamment longue, la vitesse au loin
v
est mesurée.
La vi tesse v f
du
front
de
la
bulle
ainsi
que
la
vitesse
v
du
sillage
au
point
de
mesure
de
la
bi-sonde,
sont
s
déterminées.
La vitesse v est calculée à partir de ia distance z parcourue
par
le centroùle de
la bulle
pendant un certain
temps,
évalué à
partir
du
nombre
N d'images
ayant
défilé
et
de
la
fréquence
de
défilement des images égale à 70 Hz.
70 . z
v =
N
L'incertitude sur l'évaluation de v s'écrit

---

48
Le temps de transit des bulles avant qu'elles ne pénétrent
dans
la zone
perturbée
par
la sonde est
égale
en moyenne
en 140
ms.Ce temps,au plus égal à la durée de vie des bulles,correspond à
un
défi lement
d'une
douzaine
d'images.
Nous
admettrons
une
!
:'"!"" .
incerti tude
tiN
-
l
sur
N.
La distance
moyenne
parcourue
par
les
bulles de la figure 16 est de 50 mm et celle de la figure 17 de 60
mm .
Admettons une incertitude de 4 mm sur la détermination de la
distance
parcourue
par
la
bulle
(imprécision
de
2
mm
sur
la
position du point de départ et de 2 mm sur la position à l'arrivée)
l'incertitude
relative
moyenne
sur
la
vitesse
des
bulles
de
la
figure 16 vaut:
tI
v
4
l
- - -
-+ - -
v
sa
la
- 0,18
Celle sur la vitesse des bulles de la figure 17 vaut
6 v
4
v
-
- -
60
-
0,17
Les
figures
16 et 17
représentent respectivement la vitesse
du
front
et du sillage pour chaque bulle mesurée à
l'aide de
la
sonde optique en fonction de
la vitesse de son centroïde
(obtenu
avec la caméra vidéo) moyennée sur une certaine distance entre des
points suffisament éloignés (environ 5 cm) du point de mesure pour
que nous puissions négliger les interactions entre la sonde et les
bulles.
L'observation
de
la
figure
16,
nous
amène
aux
mêmes
conclusions
que
Rowe
et
Masson.
Il
n'y
a
pas
de
corrélation
apparente entre la vitesse du front des bulles mesurée à l'aide des
sondes optiques et celle de
leur centroïde déterminée à partir de
l'enregistrement vidéo.
Par
contre
,la
figure
17
met
en
évidence
une
certaine
corrélation entre v
et v.
s
Pour qunntlficr
l'0cnrt entre
les vitesses
fournies
par
les deu~
techniques de mesure,nous avons calculé les grandeurs:
l..·['

---

49
E
-
f
Ns
E
-
(l/N ). L (Iv -vi/v)
s
s
i-l
s
Nf représente le nombre de points sur la figure 16 et N
le nombre
s
de points sur la figure 17.
E - 0,32
f
E - 0,19
s
L'erreur relative sur la détermination de v est de 0,18 pour les
points de la figure 16 alors que E
vaut 0,323.
f
Par contre E
est peu différent de 0,17
,l'erreur relative commise
s
sur la mesure des vitesses v de la figure 17
Nous
pouvons
donc
conc lure
qu'il
Y a
une
différence
importante
entre
d'une
part
la
vitesse,mesurée
par
une
bi-sonde
locale,du
front
d'une bulle et d'autre part celle de
son centroïde mesurée
loin de la zone
perturbée par les
sondes. Par contre nous
pouvons
estimer que v - v aux erreurs de mesure près. La vitesse de la
s
bulle non perturbée sera donc prise égale à celle calculée à partir
de t s
3) MESURE DE LA CORDE CENTRAlE
Le signal délivré par la sonde l,dont le point de mesure est
situé à z,est systématiquement utilisé pour calculer la corde des
bulles.
Que
l'on ait
un aplatissement
(trts. et
t
>t
)
ou une
Bl
B2
élongation (t
< t
et t
< t
),
elle reste plus caractéristique
f
s
Bl
B2
de la bulle non perturbée.

---

50
V. CONCLUSION
Une méthode simple pour suivre la dynamique
(taille,
vitesse
instantanée) de bulles dans un lit fluidisé bouillonnant gazeux est
mise
en
oeuvre.
Elle
cons iste
à
uti liser
une
sonde
optique
qui
détecte
le
front
et
le
sillage
de
la
bulle.Le
signal
obtenu
est
caractéristique
de
la
distance
1
entre
les
points
de
mesure
et
l'axe
de
symétrie
de
la
bulle.Si
1
est
faible(1<0.2*d ) ,la
B
fréquence d'apparition des pics sur le signal quand la sonde est au
front
de
la
bulle
es t
de
80
Hz
en
moyenne
et
de
240
Hz
quand
celle-ci
est
dans
le
sillage.Si
la
bulle
est
bien
centrée
par
rapport au
point
de
mesure
et
si
sa
trajectoire
est verticale,sa
trainée
est
détectée.Nous
pouvons
alors,
avec
une
deuxième
sonde
!~
placée
à
7mm
de
la
première,
obtenir
de
façon
déterministe
une
distribution des cordes centrales et des vitesses
instantanées des
bulles
en
différents
points
du
lit.
Les
différentes
techniques
utilisées
précédemment
nécessitaient 4
sondes
pour
l'obtention de
la distribution des cordes centrales.

---

51
;
1
LISTE
DES
FIGURES
DU
CHAPITRE
III
figure
l
:dispositif
constitué
de
4
sondes
utilisé
habituellement.
figure 2
repére lié à la bulle en coordonnées polaire.
figure
3
équipotentielles
et
lignes
de
courant
autour
d'une
bulle.
figure 4
mouvements particulaires induits par une bulle.
figure
5
photo
d'une
bulle
en
ascension
dans
un
lit
fluidisé
gaz-particules solides.
figure 6
Pression le long de l'axe de symétrie d'une bulle.
figure 7 : comportement de la ligne de séparation de deux types de
particules à différentes positions de la bulle.
figure 8 : traînée d'une bulle
a) particules traceurs en bas du lit.
b) particules traceurs en sandwich.
figure 9
zone où les particules ont un mouvement ascensionnel.
figure 10
interaction sonde-particule-faisceau lumineux.
figure 11
perturbation des lignes de courant par la présence de
la sonde.
.Q
figure 12 : signaux délivrés par la bi-sonde quand une bulle entre
dans les zones de mesure.

---

figure
13
v
en
fonction
de
la
vitesse
v
du
centroïde
de
la
f
bulle: mesures effecturles par Rowe et Masson.
figure
14
Sign<11 qU<1nd
le
point: de mesure
n'entre
pas
dans
la
bulle.
figure 15 : signal quand le point de mesure entre dans la bulle et
dans sa trainée.
figure
16
en
fonction
de
v
mesure
effectuée
au
laboratoire.
figure
17
v
en
fonc tion
de
v
mesure
eff~ctuée
au
s
laboratoire.
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---

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1\\. C
\\'ui I\\t~; de 11Il':;\\IrC CUp!;\\II<l1 res des sondes permettant de détecter les
Inilles ccnt.r(~cs 1.'1. ;'1 tr;I,jcctoire verticale.
D
Point de mesure de
LI :,;olldo centrale permettélnt de calculer la vitesse:
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lJ
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Il
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55
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---

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56
p
Figure
6
Pression
le
Long
de
) 'axe
de
symétrie
d'une
bulle
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COlllpurt.cll1Clll
de );\\
ligllC
de S(~p,Jr;llion de deux types de particule iJ di[[érentes;;Y~
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---

57
1
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Figure Sb
l'raillée d'ulle
bulle
l'rain~e d'une
bulle
a ) Il il r t: i cille s
i. r il C 1-' Il r
particules
traceur
en
sandwich
li u
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F' i \\' Il r 1~ <)
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---

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1
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préseflce de
li! sOlide.
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---

59
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Il'
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- - - - - - - - t -
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Sigl1;lllX lklivrés p;lr
les :;onde~; 1 ct 2 uisposécs respectivement aux cote z et z + h.:;-.. ,.
Fi\\"lrf~
- ' - L -
IL _ :
Sigl1:~lJX délivrés P:H 1;1 bi-so~de quand une bulle passe par les points de mesure.
V
4
0
Huiles
injcclêcs
f
<f"
Llt
bouillonnant
1.
•
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ROWE
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80
V
Figure 16 :v
en fonction de v:rnesures effectuées
f
encmJs
au laboratoire.
8
Vs
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en cm/s
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1 •
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V 8q
Figure 17 :v
en fonction de v:rnesures effectuées
s
en cm/~
au laboratoire.
l,'
!

---

62
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Dale
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pp. 21· 41.
,, i
, "
i i

---

1 ;
1
: I!
64
. j;
ACQUISITION ET TRAITEMENT DU SIGNAL
1 ACQUISITION DU SIGNAL.
A) RÉAliSATION DE LA CARTE.
1) L'HORLOGE EN TEMPS RÉEL.
2) LES MODULES D'ACQUISITION DES SIGNAUX 1 ET 2.
B) DIAGRAMMES DES TEMPS.
C) PROGRAMMATION.
1) LES PARAMÈTRES À FOURNIR AU PROGRAMME.
2) LES PROGRAMMES D'INTERRUPTION.
3) L'ECRITURE SUR FICHIER.
1\\
TRAITEMENT DU SIGNAL.
AO) REJET DES BULLES EXCENTRÉES.
BO) REJET DES BULLES À TRAJECTOIRE OBLIQUE.
En réalité nous ne connaissons nulle
chose pour l'avoir vue.
Démocrite
1·

---

65
1 ACQUISITION DU SIGNAL
La
numérisation
est
la
technique
la
plus
classique
d'acquisition
de
signaux.
Le
signal
est
échantillonné
à
une
fréquence
suffisamment élevée pour qu'aucune
information utile ne
soit perdue, et les valeurs obtenues sont saisies et stockées dans
des fichiers.
Les signaux qui font l'objet de notre étude ont été présentés
au
chapitre
précédent.
Ils
sont
constitués
d'amas
de
pics
s'étendant sur 100 ms en moyenne; chaque pic a une largeur pouvant
être inférieure à 0,5 ms. Ces groupes de pi~s sont séparés par des
zones où le signal est à l'état zéro sur quelques centaines de ms.
Le
signal ne varie donc qu'en des
moments
isolés.
Cependant,
une
bonne numérisation d'un tel signal doit se faire
à
une
fréquence
très élevée permettant d'acquerir un minimum de points sur les pics
les plus fins
: les fichiers où les points seront stockés seraient
dans ce cas encombrés d'informations inutiles.
Ceci
nous
a
amené
à
mettre
en
oeuvre
une
autre
technique
d'acquisition. Elle est basée sur l'analyse transitionnelle: seuls
les temps d'apparition des transitions montantes et descendantes du
signal sont enregistrés.
Pour rendre cette technique d'acquisition souple et adaptable
à
différentes situations,
un discriminateur d'amplitude ainsi que
deux filtres ont été prévus :
Les
signaux,
d'amplitude
inférieure
à
une
valeur-seuil
programmable,sont ignorés.
Il
est
aussi
possible
d'enlever
du
signal
les
pics
de
largeur inférieure à une valeur programmable.
Une carte
interface comprenant une horloge en temps réel a
été réalisée et installée dans un Zénith Z 159, compatible IBM. Un
programme écrit en assembleur. permet la saisie en temps réel pou'r
~"; ..
chaque transition: de son instant d'apparition, de son sens, ainsi
)
que l'origine de chaque signal parmi ceux délivrés par la bisond~.
1
1.

---

66
:
6 REALISATION DE LA CARTE
La carte interfacée comprend trois blocs distincts (fig.l).
1°) L'HORLOGE EN TEMPS REEL
Elle
uti lise
une
base
de
temps
multiple
de
125
ns
et
comprise
entre 50 ~s et l ms. Cette horloge est constituée de compteurs 32
bits.
2') LES MODULES D'ACQUISITION DES SIGNAUX 1 ET 2,
Ils
sont
identiques.
La
figure
2
présente
le
schéma
de
principe de ce bloc. Le signal délivré par les sondes passe d'abord
par
un
discriminateur
d'amplitude.
L'amplitude-seuil
est
programmée, codée sur 8 bits et convertie en signal analogique par
.~.
l'intermédiaire d'un convertisseur numérique-analogique.
Deux
filtres
sont
ensuite
utilisés.
Le
premier
permet
d'éliminer
du
signal
les
impulsions
de
largeur
inférieure
à
une
valeur
T i
.Ces
impulsions
ne
sont
pas
liées
aux
phénomènes
m n
physiques étudiés mais proviendraient plutôt de bruits. Le deuxième
filtre distingue les pics de largeur inférieure à ceux. de l~rgeur
supérieure
à
T,
que
nous
appelons
créneaux.
Le
nombre
de
pics
apparaissant entre deux créneaux est compté. Les fronts montants et
r,t...~ ,
descendants des créneaux provoquent une demande d'interruption et'
la saisie de la valeur affichée par le compteur.
Les valeurs T ..
mln
et T sont programmées.
Ces filtres
sont constitués principalement
d'un dérivateur logique R-C-XOR, d'une bascule D 74 LS 74, et d'une
triple horloge programmable,
compteur d'intervalles de
temps,
PIT
INTEL
8254.
Leur
schéma
de
principe
est
indiqué
figure
3.
Le
compteur est utilisé en mode "monostable redéclenchable,
déclenché
par un signal physique".
Un front sur le signal entrant,
sig-i~,
est traité d'abord par le dérivateur qui fournit à sa sortie(point
3)
une impulsion envoyée à l'entrée G du monostable(point 16).
La
sortie out (point 17)
de ce dernier est reliée à
l'entrée horloge

---

67
clk(point 3)
cie
la bascule D.
Le même
front du signal sig-in est
directement envoyé à l'entrée donnée(point 2) de la bascule D.
Si
le pic est un créneau (Tl ~ T), la sortie Q de la bascule, sig-out,
est traitée par un dérivateur R-C-XOR.
Les
impulsions résultantes
sont
utilisées
à
l'entrée
horloge
d'une
autre
bascule
D,
dont
l'entrée donnée reçoit le signal sig-out. Ceci permet de déterminer
le sens de
la
transition lors de
l'exécution de chaque programme
d'interruption.
Si à
la sortie de
la bascule
D,
un état
"1"
est
présent, le front est montant, sinon il est descendant.
Le
signal
sig-out
est
par
ailleurs
envoyé
à
l'entrée
d'un
autre comptellr du PIT Intel 82 54,
pour le décompte du nombre de
pics
entre
deux
demandes
d'interruption.
A chaque
exécution
du
programme d'interruption, ce compteur est lu et remis à zéro.
~
BO) DIAGRAMMES DES TEMPS
-
- - - - - - -
Les
figures
4a
et
4b
expliquent
la
procédure
de
fil trage
utilisée.
La
figure
4a représente
le cas d'un créneau apparu sur
sig-in.
(Tl> T), T étant la pseudo période du monostable, et celui
d'un
pic
(Tl
<
T)
filtré.
La
figure
4b
met
en
évidence
l'élimination d'un creux de faible largeur dans un créneau.
Tous les créneaux sont décalés d'un temps T constant pendant
toute
la
durée
de
l'acquisition et
égal
à
la
pseudo-période
du
monostable.
Ce
décalage
étant
constant,
il
n'influe
pas
sur
l'interprétation du signal.
le programme d'acquisition est entièrement réalisé en langage
assembleur.
Le macro-assembleur A 86 Eric Isaacson est utilisé du
fait
de
la
simplicité
de
sa
mise
en
oeuvre
et
de
sa
rapidité
d'exécution.
Le programme a nécessité environ 10 k octets pour' le
code
et
256 k octets
pour
les
données.
Il
est
composé
de
trois
parties
l'entrée
des
paramètres
de
l'acquisition
ainsi
que
1·
i

---

'~~(~i
~i::;l
~in
':tf
68i. j:;'1;
~i~
r, .f~
! ,,,li!
l' ini t ial isa t ion des variables,
les deux programmes d' interruPtion!.~'~
une pour chaque voie,
et enfin les modules d'écriture des données
sur disque.
Ce sont d'abord:
- la base de temps entre 50 ps et 1 ms de l'horloge en temp's
rée 1.
- le nombre total de mesures pouvant atteindre 30 000.
le
fichier
où
les
résultats
seront
stockés
ainsi
que
l'unité de disque.
1
Ensuite
il
faut
choisir
les
voies
à
valider
et
pour
chacune.
d'elles:
- la valeur de T entre 60 et 500 ps exprimée en unité de base
de temps.
- la valeur T.
entre 5 et 50 ps exprimée en unité de base
mln
de temps.
- la valeur du seuil de discrimination d'amplitude.
A
ce
niveau,
les
horloges,
les
convertisseurs
numérique-analogique,
les registres de la carte interface ainsi que
le
contrôleur
d'interruption
interne
du
calculateur
peuvent
être
initialisés.
L'horloge
à
8
MHz
et
les
disques
présents
sur
le
micro-ordinateur sont testés.
2·) LES PROGRAMMES D'INTERRUPTION
Ils
constituent
la
partie
centrale
du
programme.
On
distingue
deux modules
identiques,
un pour ëhaque voie.
Ils
sont
d'exécution
rapide,
environ
50
ps
sur
un
compatible IBM XT.
Ces
programmes
utilisent
les
lignes
IRQ4.
Aucune
autre
interruption
n'est
exécution. Chaque programme réalise
la
lecture à
la volée
des
32 bits
de
l'horloge en

---

69
rée 1.
- l'écriture des 2 octets de poids fort et des deux octets de
poids
faible
dans deux zones mémoire de données
comportant·- 64 ka
chacune.
- la lecture du sens du front (montant ou descendant) et son
ème
écriture dans une]
zone mémoire de données de 64 ka.
la
lecture
du
compteur
d'impulsions,
l'écriture
de
la
valeur lue dans une zone de la mémoire de 64 ka et la remise à zéro
du compteur.
Le
programme
d'acquisition
se
termine
par
l'écriture
du
contenu
des
quatre
zones
de
données
précédemment
décrites
dans
quatre
fichiers.
Un
Sème
fichier
sert
à
stocker
différentes
informations
concernant
l'acquisition,
principalement
les
paramètres d'entrée du programme. Tous ces fichiers ont le même nom
et ne se distinguent les uns des autres que p~r leur extension.
Il TRAITEMENT DU SIGNAL
A') REJET DES BULLES EXCENTRÉES
A
chaque
demande
d'interruption
induite
par
un
front
apparaissant sur l'un des deux signaux délivrés par la bisonde,
la
valeur affichée par le compteur d'intervall~s de temps a été lue ~
la
volée.
Ces
valeurs
saisies
ont
été
stockées
à
la
fin
de
l'acquisition dans deux fichiers.
Le temps séparant deux fronts est
donné par le nombre d'unités de base de temps entre les instants de
leur apparition.
En se fixant un instant initial arbitraire,
nous
pouvons
déterminer
les
temps
auxquels
toutes
les
transitions
ont
lieu.
.~
Par ai lleurs un fichier 8 bi ts contient pour chaque front,
l'origine
de
la
demande
d'interruption
(signal
1
ou
2)
et
son

---

70
sens.Il
est
donc
possible
à
partir
de
ces
trois
fichiers
de
reconstituer les signaux l et 2.
La fréquence d'acquisition des
informations stockées sur les
trois
fichiers
est
limitée
par
l'exécution
du
programme
d'interruption.
Sa valeur maximale est de 20 kHz.
Les pics sur le
signal ont tous des largeurs supérieures à 60 ps, valeur minimale
que l'on peut donner à la pseudo-période du monostable utilisé dans
le module de filtration.
Par ailleurs,
en utilisant la mémoire de
demande
d'interruption
du
contrôleur
Intel
8259
interne
au
calculateur.
il est possible de stocker temporairement une demande
survenue
au
cours
de
l'exécution
d'un
programme
d' iriterruption.
Celle-ci sera prise en compte en fin d'exécution du programme.
Il
serait donc certain que toute
les transitions seraient saisies si
l'acquisition concernait un seul signal. Cependant dans lé cadre de
notre
étude
où deux
signaux
sont
simultanémment
saisis,
il
peut
arriver
que
plus
de
deux
fronts
apparaissent
à
des
temps
suffisamment rapprochés pour que la dernière demande d'interruption
ne soit pas prise en compte.
Si tel est le cas,
le pic dont l'un
des fronts n'a pu être acquis doit être ignoré. Nous avons dans un
premier temps éliminé ces pics.
Le
traitement
a
ensuite
été
basé
sur
le
calcul
des
intervalles de temps f
entre les fronts descendants et montants de
pics successifs. L'histogramme de f
est fourni en figure 5.
Il est
réalisé sur plus de 5000 valeurs et est obtenu à partir du signal
délivré
par
la
sonde
l
placé
dans
l'axe· du
lit
fluidisé
bouillonnant,
à
une hauteur z -
312,5 mm du distributeur pendant
1:
environ 4 mn.
L'histogramme comporte 50 classes de 8 ms de large
d,.
chacune.
La figure
5 ne
reproduit que
les
20 premières classes.
';
~ , ··;'·r t
Nous
pouvons
remarquer
une
décroissance
rapide
de
la
densité
'?
·i
numérique
f
avec
l'augmentation de
t ,
suivie
d'un
domaine
ou f
présente une lente décroissance, avec des fluctuations autour de la
valeur
moyenne.
Cette
courbe
peut
s'analyser
à
partir
d~s
observations
effectuées
au
chapitre
présentant
le
principe
de
mesure :
la première classe de
l'histogramme
(t
< 8ms) correspond

---

1
1
1
i\\
71;
probablement à la présence du point de mesure dans le sillage des
bulles.
les classes 1 à 6 correspondent à la présence du point de
! : ~.
mesure aux frontières des bulles. Dans cette situation la valeur de
E
est plus ou moins faible suivant que le point de mesure est plus
ou
moins
rapproché
de
l'axe
de
la
bulle
et
suivant
que
'la
trajectoire de celle-ci est plus ou moins verticale,
- à partir de l
> 50 ms, f varie peu. Cette faible variation
ainsi que
les
fluctuations
autour de la valeur moyenne,
semblent
caractériser
des
phénomènes
erratiques.
Ils
correspondraient
à
.,
l'arrivée
de
particules
dans
la
zone
de
détection
de
faç:on
désordonnée. Ceci est généralement observé quand le point de mesure
coupe des bulles il des distances de leur axe supérieures à environ
0,20 dB' Dans cette situation, les particules dans le voisinage 'du}
.~.
:', -:: i ',.&'
p'oint
de
mesure
ont
globalement
un
mouvement
latéral
et
1eur'·f,
' .
.( . .J
présence dans la zone de détection est liée à des instabilités. Des'1
particules. isolées peuvent aussi entrer dans la zone de détecti~~'
.,
de façon erratique parce qu'elles ont des mouvements ascendants"de
faible amplitude sous l'influence de bulles assez éloignées.
Dans
un cas comme dans l'autre des pics apparaissent sur le signal ;qe
Î
"
façon aléatoire et avec une fréquence relativement basse.
A partir de ces premières constatations 1
i l est possibl~ i~dê"
définir
des
critères
de
détection
de
bulles
centrées
dont
i~~
sélectivité sera testée :
.;
1°)
apparition sur le signal 1 de deux groupes de pics. ~:11 > . ~ "
avant de la bulle,et g12 arrière de la bulle séparés par une zone.,· . ", i " 1 ...
,'., ;''j.
sans pic.
2°) apparition sur le signal 2 de deux groupes de pics g21 et
~
..," ;:
g22 . séparés par une zone sans pic.
\\
"'.. ,..'
" ' \\ .
. ; ;.
30)
chaque groupe de pics comporte au moins 4 pics séparés
Par des intervalles de temps ( inférieurs à (
pris égal à 50 ms.
max
4°)
Le
dernier
pic
du goupe
gn
doit apparaitre
avant':le
dernier du goupe g2l'

---

72
5°) Le premier pic de g12 doit apparaitre avant celui de g22'
Les
conditions
l
et
2
permettent
de
distinguer,sur
le
signal,l'intérieur
de
la
poche
de
gaz
de
l'émulsion,
donc
de
reconnaitre l'amas de pics caractéristique du front de la bulle et
celui dé livré par la sonde quand son point de mesure est dans! le
sillage.
Cette
distinction
est
possible
grâce
aux
pics
,qui
apparaissent sur le signal de façon sporadi'que entre le passage; de
deux bulles.
La condition 3 permet d'identifier les frontières de la bulle
et constitue un critère de sélection des bulles centrées.
Les
conditions
4
et
5
permettent
de
rejeter
les
bulles
à
trajectoire oblique.
Ces
critères
de
sélection
n'utilisent
pas
la
détection
de
la
trainée.Aussi
ils
n'a~surent
pas
rigoureusement
la
mesure
des
cordes
centrales.Il
faut
les
tester
en
comparant
les
résultats obtenus avec ces critères de sélection,à ceux déduits de
critères
d'abord
plus
sélectifs
(comprenant
la
détection
de
la
trainée), ensuite de critères moins sélectifs.
L'acquisition
des
signaux
fournis
par
la
bisonde
est
réalisée,
celle ci étant à z -
262,5 mm,
et à 30 mm de l'axe
du
lit.
La
vitesse
de
fluidisation
est
de
0,089
mis.
Dans
ces
conditions,
la fréquence de passage des grosses bulles est élevée à
l'emplacement
de
la
sonde,
et
la
fonction
de
distribution
des
tailles est
très dépendante des critères de sélection des bulles
centrées.
Les
signaux
sont
ensuite
traités
de
trois
manières
différentes
- cas (a),
les critères de sélection développés précédemment
sont appliqués,
•
CRS
(b),
des conditions plus restrictives
sont utilisées.
~
est prise égale à 10 ms. En plus une mesure n'est acceptée que
max
si la trainée de la bulle est détectée juste après le sillage.
cas
(c) ,
nous
avons
utilisé
des
condi tians
moins
restrictives
que
celles
retenues
dans
le
cas
(a).!
est
prise
max

---

73
égal à
100 ins.
Les
résultats
obtenus
sont
indiqués
en
figure
6.
Les
3
courbes représentent la fonction de distribution des tailles f
' .11
l
apparaît,
dal1s
le
cas
où
la
condition
(c)
est
appliquée,
que
les
résultats
sous-estiment
fortement
la
taille
des
bulles 1
en
comparaison
avec
les
résultats
obtenus
avec
les
critères
(a)
et
, . l
(b).
Ceci proviendrait du fait que 1 pour un grand nombre de .bulles ;~h
).?K.:
1
les
cordes
centrales
n'ont
pas
été mesurées.
L'histogramme
obtenq~:, !
-..l
en (c)
serait celui des cordes coupées quelle que soit la distance;
entre
le point de mesure et l'axe de la bulle.
Quand les
critère~i ,
",r.·
(a)
sont
appliqués,
les
tailles
obtenues
sont
légérement\\.'(
....1.':.:.
inférieures à
celles
fournies
avec
les
critères
(b)
de
sélection;lT
' f
Ces dernières,
étant plus sélectives,
fournissent les résultats lest
plus proches de la réalité.
D'autre part,
ils ne nécessitent pas de
traitement
supplémentaire
pour
rejeter
les
bulles
à
trajectoire
oblique.
Cependant le nombre de mesures validées par unité de temps
est
très
faible.
En
appliquant
les
conditions
(a),
nous
pouvons
extraire
du
signal
1004
mesures,
après
rej et
des
bulles
à
1
trajectoire oblique par un traitement supplémentaire,
alors que ~i
,1,
les conditions
(b)
sont utilisées,
ce nombre se reduit à 126.
Ceci
veut
dire
que,
pour
obtenir
un nombre
de
mesures
statistiquement
suffisant,
il
faut
environ
8
fois
plus
de
temps
si
nous
nous
servons des critères (b) pour traiter le signal.
A partir
de
cette
analyse, il
apparait
que
les
critères
(a)
sont appropriés pour le traitement du signal. La valeur f
SO·!ms
max
représente un bon compromis entre une bonne sélectivité et un temps
de manipulation réaliste.
B') REJET DES BULLES À TRAJECTOIRE OBLIQUE.
Quand
une
bulle
arrive
dans
la
zone
de
détection
avec
une
trajectoire
oblique,
i l
peut
en
résulter,
une
erreur
très
importante sur la mesure de sa vitesse et par conséquent une taille
erronée.
Le
traitement du signal doit
tenir compte de ces effets.
Nous avons déterminé une
taille minimale de bulles mesurables dans

---

74
la zone la plus basse étudiée et avec la vitesse de fluidisation '~f
3
.
-
0,067 rn/s.
Le volume minimal
trouvé est V
-
1340 mm.
Tous
Bmin
les
histogrammes
expérimentaux
ainsi
que
ceux
de
la
simulation
3
.'
seront tronqués. Nous aurons
en
abscisse
v -v -l,340
cm.
~~.
B B
Nous avons aussi déterminé une borne supérieure de
la
taille des
bulles à partir de constatations expérimentales.
Elle vaut 100 mm.
'}
Avec
la
relation
de
Pyle
et
Harrisson,
nous
avons
calculé
les
vitesses maximale et minimale correspondantes
,
U
·
- 0,5 Ig dB i
- 0,183 mis
Bmln
m n
U
- 0,5 Ig dB
- 0,5 m/s
Bmax
max
Nous en avons déduit ensuite la valeur des temps de décalage
minimum et maximum entre les deux signaux.
h
t
-
- 14 ms
Dmin
h
t
-
- 38 ms.
Dmax
Pour
le
traitement
nous
avons
pris
t
-
10
ms
,et
Dmin
t
- 50 ms.Si le décalage entre les signaux n'est pas compris
Dmax
entre ces valeurs extrêmes,la bulle concernée est rejetée.
L'algorithme de la partie traitement du signal est fourni
figure 7.

---

75
LISTE DES FIGURES DU CHAPITRE IV
Figure l
S~héma bloc de la carte interfacée
Figure 2
Schéma bloc d'un canal d'acquisition
Figure 3
Schéma de principe du filtrage des signaux
Figure 4
Diagrammes des temps
Figure
5
Fonction de
distribution des
intervalles
de
temps
entre deux pics successifs
Figure
6
Fonction
de
distribution
des
tailles
de
bulle
obtenues avec 3 traitements différents du signal
Figure 7
Algorithme du traitement du signal
1iri

---

. ,....
................................................................
CARTE INTERFACE
,::5;:;'::: O~l::CU~
SIGNAL ANALOG~
..-----.
INTERFACE
:
CANAL l
~
' - - - - "
DISCRIMIN.
DE NIVEAU ET
SONDE OPTIQUE
UNITE DE TRAITEMENT
-
'=="'.::: O?T::OUE:
SIGNAL ANALOG~
~
INTERFACE
-
CANAL 2
' - "
D::SCRIMIN.
DE NIVEAU ET
SONDE: OPTIQUE
UNITE DE TRAITEMENT
HORLOGE TEMPS REEL
.............................................................. ......
'
LTGNF"S DF" r'lI""MClNr'l. r'l' TNTI""RRI IPTTr"lN
-<
'RC ..
< :F<Q4
... ,..
BUS DE DONNEES 8
BITS DU MICRO ORDINATEUR
< puS
F"
ONNEES
SCHEMA BLOC DE LA PARTIE MATERIELLE REALISEE
Figure
~,
Ë
~
.,. .... •l
j
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~f(i~~~:f~~''t~
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---. -_.- -------.~

---

' ; : " ' ,
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",c' ••
,,-;
~~
................................................................................................................................................... ............................. _....
CHRTE INTERFACE -
UN SEUL CANAL EST MONTRE ICI
FILTRe:-Q'
IMPULSIONS PROGRAMMABLE
50R,=;:
,,":-.J::lLOG=OUE
DE L'OPTOFLOW
1
DISCRIMINATEUR
>
~
sus DO~!:"-J.
1
DE NIVEAU
L=GNE: D'
1
!
__
=NTE~RUo~
1
",:..,,,",O!
1
fIFFERENTIAT. 1
1
MEMOire
I~
l
1
1
1
1
LI' MEMO=;;:;:1 8US DONN
i
Ofcc~~;'I--=
CAN
1
l RECERENCE
1
<sus DE DONNEES>
1
.....................................................................................................
.
.
Figure
2
SCHEMA BLOC D'UN CANAL D'ACQUISITION
,
--
1
1
9.i~li
-....J
-....J
-'''~'''''
._-"
..----
."'-~
. ~
-~ .<\\,~~;g;:.
'~%1i~'
~
--'--,"
-'.-

---

1
1
i1,
HORLOGE DU SYSTEME
C-Ï'"iH
DU D=SCR=.
Figure
3
SCHEMA DE PRINCIPE DU FILTRAGE DES SIGNAUX
(
j
-...J
,~ ~
::~
00
•.<;.~,; •.';);:;'~~:.-. ,",-:
"'Yi"1
.._- j,
.'\\.'.; .'~'.-.~-
',., "~"I
~ . .:...:....::-.::...

---

·
.
...........................
T l )
T
T2
< T
<----------------)
<---->
~
SIG-::N
1
I l -------~---
G 1'1CNOSTA2LE
~
:
1 :
1
1
T ,
T :
- - - - ' - - - - - - - - - - - - - -
~<
:r---I<
1
T
OuT MOhIOSTç.SLE
1
J
1
- - - - - - - - - - - - J
1< ------------:i
:
:
1
.
'
SIG-OUT
1
- - - - -
U~ CRE~EAU )
T EST TRANSMIS
UN CRENEAU < A TEST FIL ,hE
DIAGRAMME DES TEMPS DU FILTRAGE
....................................................................................
..................................................................................
................................................................................................................................
.
_-
-
.
..
Tl
> T
T2<T
T3
) T
<-----------------><------) <------------------------)
~
SIG-IN
1
1
1
_
G MONOSTA8LE ~
1
1
1
T
RELANCE
T
- - - - - - - - - - - - - - - -
~<------------:r---I ----) 1<
1
T
OUT MONOSTASLE
1
J
1
- - - - - - - - - - - - J
1< ------------1
SIG-OUT
1<---------------------------------------------------)IL--
___
- - - - - - - -
Tl
+
T2 +
T3
UN TROU DANS UN CRENEAU
)
T E~T ELIMINE
DIAGRAMME DES TEMPS DU FILTRAGE
Figure
4
DIAGRAMMES DES TEMPS
-...J
\\0

---

Figure
5
fONCTION DE DISTRIBUTION DES INTERVALLES
DE TEMPS ENTRE DEUX PICS SUCCESSIFS
100~f
30.00
z-o: 50 mm du distributeur
25.00
z-262.5mm
u-0.067m/s
20.00
15.00
10.00
5.00
,
j
0.00
~)
0.00
20.00
40~00
SO.OO
80.00
100.00.120.00
140.00 .1S0.00
~
--"-.
.
1
~"<':.,
.,'<
---::2:..;-:;.- -::::: - .. .ss
1
00
':!WJ:,
~~~~g;;:;:~~-~j:~.::;.::'
:.---:.s'-::!,.L':·~-'-::.__:~;._L:_Ji::.~n~~_~ __:::.:::.:::
o
"<""~:O:~;t'tt~1~':~/"~::.~, .. -'·:'it~f~~~~(~-r.~~?~~-;~,*·.'y~~~~-f'?':!!f~$.,-{6;;.~::
-1
----- --~-~---- ----. -1

---

....
, ' ,
-'-'.'
'
"
, . ~ ,......
.;,
. ,-'
.,'7"'(0<-.
~:,
figure
6
fONCTION DE DISTRIBUTION DES TAILLES DE BULLE
'
OBTENUES AVEC 3 TRAITEMENTS DIFFERENTS DU SIGNAL
,
100* fi
45.00
z-O:
50 mm du distributeur
40.00
z-262.5 mm
35.00
Ut-0.089
mis
o courbe a
30.00
o courbe b
+ courbe c
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
o . 0.0
..o,=-~~ _~,,<,
..••.
". --....; .•,
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'.
"1'"''''''
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o . 00
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1

---

86
MODELES MATHEMATIQUES DE CARACTERISATION
----------------------------------------
DES BULLES DANS UN LIT FLUIDISE
I.DIFFÉRENTS TYPES DE MODÈLES
I1.PLACE
DU
MODÈLE
DES
BILANS
DE
POPULATION
(M.B.P.)
DANS
L'ÉTUDE DES LITS FLUIDISÉS
II1.EQUATION DES BILANS DE POPULATION Œ.P.)
A : "DENSITÉ PRODUIT"
B : EQUATION DES "DENSITÉ-PRODUIT"
IY.RÈsOLUTION
DE
L'ÈQUATION
DES
B.P.
PAR
MODÉLISATION
DE
FONCTION "DENSITÉ-PRODUIT" DU PREMIER ORDRE
A : MODÈLE DE ARGYRIOU ET Al
B : MODÈLE DE AGARWAl
Y.RÉSOLUTION
DE
L'ÉQUi\\TION
DES
B.P.
PAR
SIMULATION
MONTÉ
CARLO
CS.M.CJ
A
:
RELATION
ENTRE
LA
S.M.C.
ET
LA
RÉSOLUTION
DE
L 'ÉQUATION
INTÉGRO-DIFFÉRENTIELLE DES B.P.
B : RÉAliSATION DE LA SIMULATION
1') DÉTERMINATION DES FONCTIONS FRÉQUENCES :
A). FRÉQUENCE DES COAlESCENCES
B). FRÉQUENCE DES SCISSIONS
cl. FRÉQUENCE DES ENTRÉES DE BULLES.
2' ) DÉTERMINATION DE LA LOI DE DISTRIBUTION DES INTERVAlLES
D'ATTENTE
3') ALGORITHME DE LA SIMULATION
C'est III simulation qui est l'outil ml1Jeur rendl1nt
possible une nouvelle attitude vis A vis du réel.
P.Quel1u
i ,
1
1

---

87
Deux
méthodes
sont
utilisables
pour
déterminer
les
facteurs
influençant les performances des procédés
1l
Une
étude
à
l' éche He
pilote
ou
semi -pilote
peut
;être
i
réa l isée.
Les paramètres de sortie sont étudiés lorsque l'on tait
varier dans une large gamme les différentes valeurs des paramètres
d'entrée. Ce choix est coûteux et les résultats qui en découle~t se
présentent généralement sous
forme de corrélations empiriques) qui
ne sont utilisables que dans des conditions restrictives.
- La deuxième méthode consiste à utiliser une
approche
théorique
permettant une représentation
conceptuelle du système étudié. Son
état est alors caractérisé par un ensemble d'équations qui peuvent
être
résolues
de
façon
rigoureuse
uniquement
dans
certains
cas
particuliers,peu
courants.
Les
systèmes
réels
sont
le
siège
de
phénomènes
physico-chimiques
complexes
qui
sont
décrits
par
des
ensembles d'équations non résolubles par les méthodes mathématiques
usuelles : il faut alors recourir à la modèlisation.
I.DIFFERENTS TYPES DE MODELES
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Nous
pouvons
classer
les
modèles
en
deux
grandes
catégories.
Les
modèles
basés
sur
les
phénomènes
de
transport
qui
utilisent les équations de continuité décrivant la conservation de
la
masse,
de
la
q.d.m.,
et
de
l'énergie
dans
un
espace
à
coordonnées géométriques.
Le modèle des bilans de population généralement utilisé pour la
caractérisation
des
systèmes
constitués
par
une
phase
dispersée
dans une phase continue. Le système étudié est la phase dispersée.
Lü
bilan
de
population
se
présente
sous
la
forme
d'un
bilan
numérique pour chaque type d'élément. Ces équations contiennent des
termes
à
modéliser.
L'utilisation
du
modèle
des
bilans
de
population est essentielle dans
tous les procédés où les éléments
(particules,
bulles,
gouttes,
... )
perdent
leur
identité
par
scission
ou
par
aeglom6ration
(fluidisation,
cristallisation,
extraction
liquide-liquide ... ).
Avec
cette
approche,
les
bilans

---

88
sont effectués dans un espace des phases tel que les coordonnées Ei
représentent les
grandeurs physiques
qui déterminent
compléteme~t
:! .
l'état
d'un
élément.
Le
nombre
d'éléments
pris
en
compte
e~t
suffisamment grand pour que
ces
grandeurs
puissent être
décrit~s
par des fonctions continues.
11.PLACE DU M. B. P. DAN~ L' EI~QUULÇQàLE~CENCEDEL.6.~LLEL
Q~~~_UN~JEL~LQ1~~
La
simulation
des
phénomènes
qui
gouvernent
les
procédés
'.
utilisant des lits fluidisés bouillonnants peut se faire avec une
bonne
précision à
condition que
la
fonction
de
distribution des
tailles de bulles dans le modèle soit réaliste. Aussi, beaucoup de
chercheurs se sont intéressés à la détermination de cette fonction.
Johnsson
et
al(l),
définissent
un
modèle
basé
sur
les
phénomènes
de
transport
et
proposent
des
équations
dont
la
résolution fournit la distribution de taille des bulles en fonction
de leur position par rapport au distributeur et des paramètres de
i
'
la
fluidisation
Un
grand
nombre
de
travaux
de
recherche
ont
abouti à la mise en oeuvre de corrélations permettant de déterminer
la taille moyenne des bulles.Hilligardt et al,2) partent du modèle
statistique
de
coalescence
de
Werther(3)
et
en
déduisent
les
grandeurs
moyennes
caractéristiques
du
bullage.Miwa
et
al (4)
se
sont servi d'un modèle déterministe pour obtenir la taille moyenne
des
bulles
en
fonction
de
leur
position.A
partir
de
modèles
empiriques
ou
semi-empiriques,des
corrélations
applicables
dans
certaines
situations,souvent
restrictives,ont
été
proposées.Ces,
!
;
corrélations
ont été
regroupées
par Viswanathan et
Subbarao(S)
Plus
récemment,
Horio
et
Nonaka (6)
ont
proposé
une
corrélation
généralisée,
permettant
de
prédire
la
taille
moyenne
des
bulles
quelle que soit la nature des particules à fluidiser.
L'approche
qui
utilise
les
bilans
de
population (7 -12)
permet l'obtention de la valeur moyenne des grandeurs caractérisant
le bullage ainsi que leurs fluctuations.
Mais surtout,elle permet
de déterminer l'évolution de la fonction spatiale de distribution
des
tailles
dB'
Cette
fonction
fI (dB;z)
peut
être
obtenue
,de
i
;
i

---

89
différerites manières
en
résolvant
l'équation
des
B.P.
après
la
modèlisation
de
certains de ses termes permettant sa fermeture.
- en l'exprimant en fonction des densités de probabilité de Janossy
qui
seront
obtenues
par
résolution
pas
à
pas
de
l'équation
de
Janossy.
Cette méthode
utilise
la Simulation Monte-Carlo. (13-15).
Nous retiendrons celle-ci dans le cadre de cette étude.
~~Bl~6IlQ~E L'EQUATION DES BILAN DE POPULATION.
Soit
E
un
espace
des
phases
discret
de
dimension·
v.Considérons
dans cet espace>. états dans
lesquels
les
éléments
étudiés peuvent se retrouver.Ces états peuvent être représentés par
le tableau [~ij]
i - l , ... ,v
j - l , ... ,>'
Nous
définissons la probabilité d'avoir 0j éléments à l'état
j
représenté
par
le
vecteur
(€ij)
et
plus
généralement
les
probabilités jointes P[01.02 .... ,a>.] j - 1 •...•
>. pour qu'il yait
al éléments à
l'état l, O
éléments à l'état 2 .... , 0>. éléments à
2
l'état >..
Les o.
sont des variables aléatoires.
Si
E est continu 1
de
J
telles probabilités ne sont pas définissables, car nous aurons une
infinité d'états dans n'importe quel domaine de
E.
Il faut alors
utiliser des fonctions densité,
A) "DENSITt PRODUIT"
L'espace des phases E est continu et de dimension v.Un point
de coordonnées (€l""€)
est représenté par le vecteur (€i)'
Soit
n[(€i)'
t]
la densité de population des éléments étudiés au point
(€i)
à l'instant t.

---

1
1
, \\
1
90
1
v
1
(1)
dn[(Ei),t]
-
n[(E.);t]·n dEi est .la variable aléatoire
(v.a.) Il
1
i-l
liée au nombre d'éléments contenus dans le domain; [(Ei);(Ei+dE )] "II
i
i-
l, .. ,
v. Noùs
dirons
par
convention
que
ces
éléments
sont
aux,
états (E ) à (dEi) près.
i
f .. ·f
(2)
N(t)
-
n[(Ç.);t]
~ dEi est la v.a. liée au ~ombr~r
El
Ev
1
i-l
total d'éléments dans l'espace des phases.
'1'
Dans
la
plupart
des
cas
réels,
les' éléments
de
mê~es"1
coordonnées
dans
l'espace
des
phases
sont~,/:~~isCe_l:'nabl~~'J:NfusJ
admettrons
donc
q~' un point de l'espace des' phases, représentatif!
:'
i
d'un état donné ne peut ëtre occupé au plus q~e par un élément. Sil
.:. t1,~~ ~ .
:
.
'
'"\\.1
le système comprend N(t) éléments aux états ... ~~ij): à (dE
)
prèS~~-})'...
ij
j :
à N(t) et i-l à v,la fonction n[('7 );t] peut s!.écrire : . i ' l
i
l
-.~ ri'
" .' ;i
:.;,nj
.. ",
.
6 est
<:1
d~fini ainsi
1
,
,
1
l , .
i
1
6
1
si
('7 )
(E
)
1 :
1
i
ij
! , :
6
o
si
('7 ) "" (E
)
i
ij
1
1
Appelons €;
{n [«(il ; t]}'i;l d(i l'espérance mathématique du nombr~~
d'éléments
dans
[(EiJ;(Ei+dEiJ].La
moyenne
effectuée
est
une"'"
moyenne d'ensemble.Puisqu'il ne peut exister au plus qu'un élémen~
.J
dans un état donné,€;
{n[(Ei);t]}.
i~ldEi représente la probabilit~
, "'1
d'avoir à t un élément dans [(Ei);(Ei+dE )]·
i
La
densité-produit
du
premier
ordre
fl,est
définie
par.1
Ramakhrishman(16) de la façon suivante
(4)
t]}.~ dE i
i-l
",'.
1:;.
r
r
j

---

·',
.F
91
Nous
en
déduisons
l'espérance
mathématique
du
nombre
total
d'éléments:
(5 )
ufç" .Jç f l [(Çi) ; tL~ldÇi - g[N (t)]
'".
l
v
L'espérance mathématique du nombre d'élements dans une région 0 de
l'espace des phases est donné par:
(6)
Puisqu'elle
représente une moyenne,
la fonctioil
fi
ne décrit pas
complètement le système en présence de fluctuations
iMportantes.Si
le
nombre
d'éléments
de
la
population
étudiée
est
faible,le
coefficient
de
variation
de
la
v.a.
fi[(Ei);t]
a
ufie
valeur
relativement importante.Il faut alors évaluer la variance liée aux
densités d'ordre supérieur.
. .~.
Rafuakrishnan
(16)définit
ainsi
la
probabilité
jointe ..pour\\
qu'il y ai.t un élément dans
le
domaine
[(Eil);(Eil+dEil)] .... /un
élément dans le domaine
[(E. ); (E. +dE.
)], ... , un élémetlt dans le
1r
1r
1r
domaine [ (E
); (Eik+dE
)]
:
ik
ik
(7)
fk[(Eil);···;(Eir);···;(Çik)
; t]'jgl(igl dç ". J
1J
{j~l +ij);tJ}j~l [i~l
, (
g
d'ij]
\\
avec
.,.
(E· . )
(ç ik)
quelque
soit
j
~
k
puisque
deux
éléments
1J
distincts
ne
peuvent
être
dans
un
rhême
'état.
f
est
la
k
densité-produit d'ordre k.
Le
moment
du
second
ordre
de
la
densité
n
est
lié
à
la
densité-produit du second ordre f 2 ·
"
'...... '. ~..
1
"

---

B) EOUÂTION DES BILÂNS DE POPULATION
L'état
d'un
élément
est
défini
par
ses
coordonnées
vérifiant les équations:
(8)
i-l, ' .. ,li
qui
déterminent
son
évolution
au
cours
du
temps.
Ces
équations
concernent
un
élément
pendant
la
durée
de
sa
vie,
c'est à
dire
entre sa naissance et sa disparition. Elles fournissent par exemple
les
vitesses
de
déplacement
sur
les
différents
axes
de
l'espace
géométrique, la vitesse de croissance des éléments par transfert de
matière avec la phase continue,
... , etc.
L'équation de bilan va être établie dans le cas des lits fluidisés
où les éléments étudiés sont des bulles.
Nous allons au préalable
émettre des hypothèses concernant la nature des événements pouvant
changer l'état du système,les conditions et les résultats de leur
réalisation. Ces événements
sont
liés
aux
flux
rentrant
et
sortant
des bulles dans le domaine étudié par convection, leur coalescence
et leur scission.
-La
scission
d'une
bulle
mère
ne
peut
donner
que
deux
bulles
fi lles.
-Les coalescences ne concernent pas plus de deux bulles à la fois.
-La coordonnée Çe représente le volume d'une bulle.
-Lorsque deux bulles coalescent, le volume
de
la bulle
résultante
est la somme de leur volume.
-Nous
sommes
en mesure
d'étudier
le
système pendant un
temps
dt
suffisamment court, pour qu'il ne se produise qu'un seul événement
au plus.
Définition des lois de probabilité
-La probabilité d'avoir une bulle dans
le domaine
[(Ç1);(Çi+d~1)]
est donnée par :
t
l,,'j
. il
1
~
. '.>

---

93
-Soit r[(e ')]
dt la probabilité pour qu'une bulle à l'état ({i')
i
se scinde en deux entre les temps t et t+dt.
-Appelons p [(e
la probabilité pour qu'une bulle
,
i
i )
; (ei')LQld e i
fille
provenant
d'une
mère
soit
dans
le
domaine
- La probabilicé pour qu'une bulle à
l'état (e ) coalesce avec une
i
bulle à l'état (~i) entre t et t+dt est donnée par q[(ei);(~i)]dt
Equation de bilan
Nous allons recencer,en partant de t.tout~s les possibilités
exclusives
les
unes
des
autres
dont
dispose
une
bulle
pour
se
retrouver dans le domaine [(€i);(ei+d€i)]
à l'instant t + dt
A)
La bulle est dans le domaine à t+dt.
Elle n'a connu ni scission
ni coalescence durant
le
temps dt.
La probabilité d'avoir un tel
événement est liée au nombre net de bulles entrant dans le domaine
entre t et t+dt auquel on ajoute le nombre de bulles présentes dans
le domaine à t.Aucune de ces bulles n'a ni coalescé ni scissionné.
A -
{probabilité pour qu'une bulle
entre
dans
le
domaine
durant
dt
-probabilité
pour
qu'une
bulle
en
sorte
entre
t
et
t+dt
+probabilité d'avoir une bulle dans le domaine à t } {l-probabilité
d'avoir une scission ou une agglomération dans le domaine entre t
i
et t + dt}.
i
:'
Il
u i [( el' . . .• ei _l ' ei - de i ' ei +1 ' . . .• eIl
Il
Il
+fl[(e i ) ; t]. j~l dej -
i~l fl[(e i ) ; t] .ui[(Çi) ; tJ dt
f. ..
(~
i~l
, .,
"
j Ql de i} .{l- r [ (e i) J dt - dt
Jq[ (e i) ; i )J .fi [(ei) 1('7i) ;t] d'7i}
j~i
~l
~II

---

94
fl[CC)ICI).)
;
t] .. IT
dl).
désigne
la probabilité d'avoir une bulle
l
1
1= l
l
dans
[Cl)i);Cr1 +dl)i)]
sachant qu'une autre se trouve à l'état ({i)'
i
B)
la
bulle
arrive
dans
le
domaine
[CÇi) ;({i+dçi)]'
après
scission
d'une
bulle
mère
ent1-e
les
instants
t
et
t
+
dt.
En
supposant
qu'un
tel
événement
n'affecte
que
la
coordonnée
Çl
sa
probabilité de réalisation est égale à
"
dç v
C)
La
bulle
peut
arriver
dans
le
domaine
entre
t
et
t
+ dt par
coalescence de deux autres bulles. Nous supposons que cet événement
ierne
n'affecte que la coordonnée Çl et que la bulle obtenue a pour l
coordonnées
la
somme
des
lierne
coordonnées
des
deux
éléments
lui
ieme
ayant donné naissance.
Dans
le cas
des
lits
fluidisés
cette l
coordonnée est le volume de la bulle.
Un tel événement à une probabilité de se produire égale à:
i'
v
1
. ,ç v) ; CTI i)
; t] . i Œ1dç i . q [ Cç 1 ' ... ,ç l - 1) l'
çt +1 ' ...• ç v) ; ( TI i)] . d t-C .
le terme A s'écrit:
{-i~[ a:~:i i~[
,~[dOi}
(12) A -
do, dt+f[ ["l);t]
i~ldTli}
.{l-r [CÇi)]dt-dt J.··fq[CÇi);Cl)i)]·fl[eÇi)!CTli)
1)1
TJ v
l'équation de bilan s'écrit
v
t + d~ i~l dÇi - A + B + C
1..
i)

---

95
v
v
Bflu
v
(14 )
i
fl[(~i);t+dt]-fl[(~i);t] i~l d~i + i~l ~ i~ld~i·dt
{
}
{-l~l a:~:l 'l~l dEI dt fl[(El):t]l~l
+
dEl}.dt
.{-r[(~i)]-f.'.J q[(Ei);(fli)]'fl[(Ei)l(fli);t]i~ldfli}
fil
fl v
v
Les deux membres de l'équation (14)
sont divisés par dt'1~ldEi puis
on fait
tendre dt vers zéro.
v
Bf l u i
(15)
----- +
~
-
J. .J
Bt
i-l ~
f l [ ( Ei) ; t] . {r [ (E i ) ] +
q [ (E i) ; (fi i ) ]
fil fl v
. fI [« 1)
-J.
1 (" 1): t] 'l~l d"l}+B' +C'- -fl[(E ) ;t] ,r[(E )]
.Jq[(E ) ;('1 )]
i
i
i
i
'1 1 fl v
v
,f2[(Ei);(fli);t]'i~1 dfl
+ B'+ C'
i
(16)
B'- faCX)dE~ .. , JE: dE~ 'JOCX)dE~+l .. ' Jo"'d( 2·p[(€i); «)]
. r
[(E~)],fl[(E~)
t]
L'équation de
f
fait
intervenir
f
,
L'équation de
f
de
la
l
2
2
même
manière
fera
intervenir
f
et
ainsi
de
suite.
Si
le
nombre
3
total
N(t)
de
bulles
dans
le
système
est
connu,nous
sommes
en
mesure
d'écrire
un
système
fermé
de
N équations
de
ce
type
avec
l'équation de
f
ne
comportant qu'une
seule
inconnue
puisque
f +
N
N l
est nulle.
Cependant
N(t)
est
une
variable
aléatoire
et
son
espérance
mllth"mllttque
S{N(t)}
n'est
pas
une
donnée
à
priorLLa
résolution

---

96
directe
de
l'équation
nécessite
le
recours
à
une
hypothèse
supplémentaire.
(7 10)
Certains
chercheurs'
ont
supposé,de
façon
explicite
ou
implicite,
que
les
états de deux éléments
quelconques du système
sont
décorrélés.Dans
ces
conditions
il
est
possible
d'écrire:
1
~
(18)
f 2 [ ( ç i) : ('7 i) : t] - f 1 [ ( ç i) ; t] . f 1 [ ( '7 i) : t]
Cette
hypothèse
n'est
cependant
valable
que
si
deux
conditio~s
sont vérifiées:
-le
nombre
d'éléments
étudiés
doit
être
suffisamment
grand
1/
pour que l'écart type de la v.a. n[(çi);t]i~ldçi soit faible devant
son espérance mathématique s{n[(çi);t]}igl.dÇi
-les fluctuations au cours du temps de la v.a. n doivent être
f
'bl
(9)
a l
es
.
J.
1:
Dans un
lit
fluidisé
bouillonnant,aucune de
ces
conditions n'est
vérifiée. Les
bulles
ne
sont
pas
réparties
de
façon
aléatoire.Celles-ci coalescent vers
le centre où leur probabilité
de présence est plus importante. En même temps,leur nombre volumique
n
diminue avec la hauteur et devient rapidement très faible.
v
L'hypothèse
de
l'indépendance
entre
les
différents
états
des
éléments n'est pas réaliste dans ce cas.
D'autres
simplifications
de
l'équation
15
peuvent
être
faites.Si
l'équation
du
mouvement
dérive
d'un
Hamiltonien,la
variation des coordonnées d'un élément dans l'espace des phases est
une transformation canonique. Dans ces conditions,
quelle que soit.~
la
région O( t)
de
l'espace
des
phases
occupée
par
des
éléments
donnés,
son
volume
reste
invariant
au
cours
du
temps(17,18)
(Théorème de Liouville).
(19 )
il
1
•

---

97
1 ; ,
r .
dVO(t)
d
J
Il
(20)
- ---
i~l dEi - 0
dt
dt
OCt)
-,(
En
utilisant
l'équation
de
r.:'eibnitz
pour
la
différentiation des intégrales définies nous obtenons
l'
d
(21)
dt
Cette
relation
étant
vraie
quelle que soit la région OCt),
il découle de (20) et de (21)
~
a
(22)
[dE i] _0
i-l
aE.
dt
l
La divergence de la vitesse dans l'espace des phases est nulle. Le
système
est
conservatif
en
volume.
Il
L
[Uif )
peut être séparé en un terme de convection et en
l
i-l
un terme d'expansion nul.
Il
'''",,(23) L
i-l
Puisque
le
second
terme
du membre
de
droite
est
nul
nous
pouvons
réécrire
l'équation
(15)
en tenant compte
de
(18)
et de
(23)
:

---

98
f Cl)d<.2'P[(~i);«)J·
Î
r [(~~)J
j
i
o
f
,1
l ,
A partir de cette équation nous allons,en nous mettant dans
des
situations
particulières, retrouver
les
équations
de
base
de,
(7)
deux principaux modèles : celui de Argyriou et al
d'une part et
i
celui de Agarwal (10) .
: i
l~· RE~Ql~IlQN DE L'EQUATION DE BILAN DE POPULATION
A) MODÈLE DE ARGYRIOU ET AL (7)
Les hypothèses:
Hl : L'espace des phases est un plan. Les coordonnées sont la cote
z et
le volwne v
des bulles
tridimensionnelles.
fl[Z;v ] .dz.dv
B
B
B
n'est pas une probabilité mais représente le nombre de bulles entre
Z et z+dz,ayant un volwne compris entre v
et vB+dv .
B
B
H
L'indépendance
entre
les
états
des
éléments
éudiés
est
2
supposée :
f 2 [(Zl' v Bl )
H
Les
scissions
sont
négligées.
Cette
hypothèse
n'est
3
valable que dans le cas de lits fluidisés de particules de type B
et D de la classification de Geldart.

---

99
H
: On néglige la
croissance
des
bulles durant leur existence
4
-
0
!
.;:
H
la
vitesse
d'une
bulle
est
reliée
à
son
volume
par
la
5
relation:
d z
_ u
_ K
1/6
d t
B
2 v B
Seules
les
bulles
qui
sont
à
la
mëme
cote
peuvent
,,";,
coalescer.
a
dVB
a
d
a
[~J
V
+ az-
[d~ ] -0
B
puisque:
dV B
0
hypothèse H4
dt -
dz
- 0
hypothèse H5
dt
Le système est conservatif en volume.
le modèle :
Argyriou et al modélisent la fonction q[(zl,v
);(z2'v
)] en
Bl
B2
supposant
que
la probabilité
pour qu'une bulle
(zl'v
)
coalesce
Bl
: '
avec
une
bulle
(z2'
v
)
est
proportionnelle
à
leur
section ~
i :
B2
efficace de collision
~.
q -
0
(Hypothèse H )
6
(25)
(
1/3
1/3] 2
q [( z,
~ . [+f/3
-
a
[v
+v
Bl
B2
La
vitesse
relative
des
bulles
n'intervient
pas.Un
coefficient
ajustable est introduit.
. ~.
..{
En situation stationnaire avec les hypothèses H -H
l'équation (24)
l
5

---

100
devient en tenant compte de (25)
2
af
1/6
l
{1 /2 B
[
III
. Ill]
(26)
v
dV
B
az- - K
f:
B (vB-v B)
+ v B
.f1[(z.vp)J
3
2
l 3
.fl[(z,v
- v
dv'
v
+ v
/ ]
.fl[(z,V ?] .fl[(z,v
B
B)] -foco
[ 1/3
B
B
B
B)]
B
i
1
1
1
! .
i';
La
méthode
des
moments
est
utilisée
pour
sa
résolution:
!1
( 27)
n ?: a
!Jo
:
Espérance
mathématique
du
nombre
de
bulles
dans
le
domaine
[z;z+dz] ,rapporté à l'unLté de hauteur.
!JI
: Espérance mathématique du volume total des bulles entre z et
i '
. z+dz,rapporté
\\
à l'unité de hauteur.
!
n
L'opérateur
J ,v
dV
est
appliqué
à
chaque
membre
de
B
B
l'équation (26):
d
(28)
( n 1/6 a
v
v
fl[(z,v )]
B
B
az
B
dv
-
B
dz !Jn+l / 6
l '~,.,
1
1·
/:1
/
1
1.
Par ailleurs
v
~ v' +
B
B
1
et
1
(29)
1.
( 26) , (27) , (29) en t rai ne n t
c
;
:.:, t
i .~:
:,.,
,
.··~f~:î· l'
!~; t·
_______________________'---":'i:

---

iOl
i
J
1
1
1/3
J
1
(v -v
)
]dV'dV
i
J
B
B'
B
Bi
1
l,
n
1 ;
1
- rfo c~ [Pr+2/3'Pn-r + 2Pr+l/3'Pn-r+l/3 + Pr'~n-r+2/3 ]
1
1
1
!
(31 )
Jo'"
l 3
f[( Z,VB)] Jo'" f[(Z,VB)]·[vB / + v~/3r]dVB dVB
- ~o ~n+2/3 + 2 ~n+l/3 ~1/3 + ~n ~2/3
avec x - K z
l'équation (26) devient
3
n
d
1
r
(32)
L
C (
dx ~n+l/6 - -2- r-O
n ~r+2/3 ~n-r+2~r+l/3 ~n-r+l/3
.or
,1
i
Nous pouvons à partir de (32) obtenir autant d'équations que,
de valeurs de n:
n - 0
d~1/6
2
(33)
- - (PO
dX
~2/3 + ~1/3)
n - 1
d~1/6
(34)
- a
dx
n ~ 2
d~13/6
2
(35 )
dx
- 2 (~l ~5/3 + ~4/3)
.~l
.i
l,
l
~
, .
l
Quel
que
soit
le
nombre
de
valeurs
de
n
que
noust
1
i
prendrons,nous aurons toujours plus d'inconnues que d'équations:le•'1 .
système n'est pas fermé.
Pour contourner cette difficulté,
il faut
modéliser
fl,Lorsque
des
éléments
croissent
par
é
coalescence,l'approximation
la
plus
générale
de
la
fonction
de
distribution de leur taille consiste à développer la fonction f
e~
l
1
serie de Laguerre.
&
1 .
~
1 :
f·
l '
f
1
\\ '
i .
i
1

---

a
où
,~.
(37) p(À) (Z) = ~l~___
Z(À-l) exp (-Z) est une distribution
(À-l)!
gamma et:
(À)
i
j
i! (i+À-1) !
i-j
(38)
L.
(Z) =.L
(-1)
Z
l
J=O
j!(i-j)! (i+À-1-j)
sont les polynômes de Laguerre associés.
À,
a,
k. sont des fonctions de x.
j
l
r,
En
retenant
uniquement
le
premier
terme
de
la
serie nous
aurons :
(39)
Pour tout n ~ 0
n
À
1
ÀVB À-l
ÀVB
(40)
I-l
= f 00 v
n
0
B k O--;- (À -l)!
(-a-)
exp (- -a-) dVB
soit
r (nH)
(41)
r (À)
r1
l
(42)
I-lO(x)-kO (x)
?"
(43)
I-ll(x)=a (x).k
(x)
~;
O
~.
~,
2
~-
1
!
(44)
1-l (x)=k
(x) .a (x) (À(X)+l]
2
O
À(x)
La variance du volume total des bulles entre x et x + dx vaut
;'.
J:
2
a
_ Soo(V
- a(x))2.
B
fl (x).dX
v Bt
0
î
00
00
2
J v
.f (X).dX -2.a(X)·JoVB·fl(X).d~
B
l
O
00
2
+a (x)·S fl(x).dx
o

---

103
2 2 1
\\
G
- kO(x).a (x).~
VB
\\
2
La variance
\\~
à x du volume d'une bulle est obtenue en divisant 0 v
,
Bt
par le nombre moyen de bulles,kO(x).
2
(45)
a2[v (x)]-a (X)/À(X)
B
Le coefficient de variation du volume des bulles est défini comme
l'écart type divisé par la moyenne.
1
1.
i
Elle vaut:
1
(46)
Le
système
est
caractérisé
par
la
détermination
des
fonctions
a (x) , k (x) . À(x) .
O
En donnant à
n les valeurs 0,1 et 2 dans
l'équation
(32),
nous obtenons un système de 3 équations différentielles avec les
fonctions a(x), kO(x) et À(x) comme inconnues.
De
l'équations
(33)
et
(41)
nous
déduisons
après
calculs
et
réarrangements :
(34) et (41) donnent de la même manière
dk O
7
kO
a
-1.
da
del/À)
(48) dX""" + -6- --À- (T)
dx +
dx
.
[7~
-1
]
-6-0(~)
2
- À .k o.(JjJ (7/6+À) - JjJ(À))
- 0
de (35) et (41) il découle

---

104
13
kO
da
d(l/..\\)
(49)
+ - -
- " - +
6
..\\
dx
dx
[l~ akO(~ r l - ..\\2 k [1/1
O
(13/6+,,\\) - JP (..\\)J]
2
1/2 [
2
-2k
(~)
f(1+..\\).f(5/3+..\\)
f
(4/3 + ..\\)
]
0'..\\
.
f(..\\).f(13/6+..\\) + f(..\\).f(l3/6 +..\\)
d
(50)
avec 1/1(..\\)~ ln r C..\\)
Un arrangement des équations (47), (48), (49) conduit au système
~: - k a~~2
O
{36 R(..\\) -
1~6..\\ Q(..\\)} _
k2
1/2
(51)
o 36 a
{42 R(..\\) - ..\\ Q(..\\) [P("\\) -
1~6J}
d(l/..\\)
1/2 k O
dx
- a
~ Q(..\\)
avec
2
1
(52)
R("\\) -
[ f(2/3 + ..\\) r (1/3 + ..\\)
]
- -
f(1/6 + ..\\) + r(1/6 + ..\\).r(..\\)
..f>..
2
1
1
1
(53)
[
r
(l/3 +..\\)
]
r(2/3 +
Q(..\\) -
~n +36R("\\)
..\\5/2
r(..\\).r(1/6 + ..\\) - 7 r(1/6 +
(54)
P(..\\) -
[JP (1/6 + ..\\) - JP (..\\)] . ..\\
1
~i
Le
système
d'équations
différentielles
est
résolu
en
é m e 1
utilisant la méthode de Runge Kutta du 4
ordre. Les conditions;
aux limites utilisées sont obtenues à partir de la mesure de la:
,
,
fonction de distribution des tailles à l'origine des cotes z.
"l
kO(x) est l'espérance mathématique du nombre total de bulles dans
le domaine [x;x+dx] ,rapporté à l'unité de hauteur du lit.
Le nombre volumique moyen des bulles 0v(x) est relié à kO(x):
o)x)-kO(x)/S
1
1
1

---

10SJ
, ,
.~ J
. i
1
où S est la section du lit.
i. i,
'\\
a(x)
est le volume moyen d'ùne
bulle dans le domaine [x; x+dx].
1::1,
,•. ,J
l/[>'(X)]O,S
est
le
C.D.V.
du volume
des
bulles
dans
le
domaine .<.{
[x;x+dx] .
Le nombre volumique des bulles, leur taille moyenne,le coefficient
de
variation
de
leur
taille 1 seront
comparés
aux
grandeurs
correspondantes obtenues par l'intermédiaire de notre simulation .
• 1'
b)LE MODÈLE DE AOARWAL (RÉF.10)
1°) Les hypothèses:
Hl : L'espace des phases est un plan. Les coordonnées sont la cote
1
z des bulles et l'inverse de leur vitesse p - --- .
u B
fl[(Z'P)] .dz.dp n'est pas une probabilité mais représente le nombre
de bulles dans le domaine [ (z,p);(z+dz,p+dp)].
Les états des éléments sont supposés indépendants.
Les scissions sont négligées.
La croissance des bulles autrement que par coalescence est
dV B
négligée
--
dt
- °
H
La
vitesse
d'une
bulle
est
reliée
à
son
diamètre
part. la
5
l 2
f
relation u
- k d
/
B
B
H
Seules les bulles à la même cote z peuvent coa1escer.
')F
6
')
H
La probabilité de formation d'une bulle de taille donnée~est
7
négligeable comparée à la probabilité de destruction d'une bulle de
même taille.
Le système est conservatif en volume.
2°)Le modèle
Il
utilise
4
paramètres
indépendants
k ,
k ,
k ,m.
Les
1
2
3
fonctions f
et q sont ainsi définies.
l
m n
(56)
f (z,p) - k
p z
[
r zs]
exp -k
p
1
2
3
'.'î
1
1
1

---

106
L'équation (24) devient à l'état stationnaire
i
1
1
a
1
(57)
p
az
1
!!
i
Le terme de gauche s'écrit:
f
j î;
1 :
i (
1
a
[ J
{
(58)
p
az f
.: m
-1 zn-1
[
exp -k)
r
p s]}
z . {n-sk)p rz s}
l z,p
- . k2
.
Le terme de droite s'écrit :(
. l,·
rkl ( 1 1) 2 rri"2n [ r sJ 'm [ 'r sJ
(59)-
- t u
- ~ .k P z exp -k)p z .p exp -k)p z dp'
2
.'
o
,
z
P
P
2
2n-t
{m-u
[
r s] Jco ,m [
,r s] ,
--k k
l 2 z
p
.exp -k).p.z
. oP
.exp -k).p
.z
dp
-p m
.exp [k
-
r
).p.z s] Jco ,
. oP m
-uexp [-k),p ,r.zs] .dp ,}
Après
calcul
les
équations
(57),
(58)
et
(59)
donnent
la
relation:
t k(m+l)/r
s(m+l)/r
r.z . )
.z
. i
u ku/ r
su/r r (m-~+l)
-p ' )
. z
.
]
Après
réarrangement
et
identification
des
exposants
de
p
et
z
ainsi que des coefficients des monômes, nous obtenons:
l'

---

u - 1
(61)
r = 1
n - m.s
t - l-s
k
k
f(m)
l
2
s - -
k(m+l)
3
3°)
Les résultats,
1
La fonction de distribution de,. p,
f , est donnée par:
l
( 62 ) fi [p; z] -
m
s (m+l)
[
s]
p
z
exp
-k ,p.z
3
r(m+l)
et
co
m + 1
(63) p - Jo
1
puisque u
-
est une fonction monotone de p. Nous aurons
B
P
(64)
La fonction de distribution des vitesses est donnée par
(m+l)(m+l)
m + 1
(65)
-("""~-+-::2""") exp (.
r(m+l) p(m+l)
ua
p
s
k
z
3
(66) u -
B
m
(m+l)
(m+l)
m
uB
(67)
f'
[u
exp [-
1
B] -
(m+2)
~]
u
r(m+l) u
B
B

---

108
i
De
la
même
manière
u
-
k ~~<2 et la fonction dB(u ) est une
B
B
.
i
._~~
fonction monotone.
1
(m+ 1) -: (m+ 1)
1
m
ua .
exp [_ m. uB ]
(68)
f l' [dB] - - 2 - - - - : - (---=-"1),.......----;-(~3:--)
est la
r
f(m+l) k m+
d m+
/2
k dl / 2
.1
B
B
,:
fonction de distribution
des
tailles de bulle .On en déduit:
2 - 2
m u
f(m-l)
B
(69)
dB -
2
le diamètre moyen des bulles à z.
k
f(m+l)
2s
d -
z
B
2
m(m-l)k
En substituant
(69)
dans
(68) \\lOUS
pouvons obtenir une
autre
expression de f1'(d )
B
(m-l)/2 Ci (m+l)/2
f(m+l) dB
1/2
(70)
f'
[d]
l
f(m+l)
. B
[
exp
f(m-1) dB ]
l
B - --2-- f(m_l)(m+l)/2.dim+3)/2
TI
d3
Puisque vB - --6-- B
(m+7)/6 _ (m+l)/2
1
f(m+l)(m-l)/2
-(m+7)/6
1f
(-i-)
dB
f(m_l)(m+l)/2 .vB
TI 1/3
f (m+l)]1/2
V -1/6]
.exp
- (T)
est la
[
[
dB f
(m-l)
.
B
.,
fonction de répartition normée du volume des bulles
- 3
f(m+l)2
TI
( 72)
v B - --6-- dB . f(m-5)'f(m_l) représente le volume moyen des
bulles à z.
En substituant (72) dans (71) nous obtenons : j
:'i~
*î·~t~i·of
iit
A<i
:~
'*Sç

---

'1
(
: ;
109
. ?
"
(m+l)/6
v
l
r(m+l)(m.5)/~
B
f(m+l)
(73)f ' [v l
- -
.~)1/6]",
l
.
(m+7)/6 exp [ - Cf(m-S)
v
BJ
6
r(m- 5) (m+l) /6
v
B
B
La fréquence de détecti?n des bulles est
ainsi
évaluée'i:'
1
"<
-la sonde est considérée conunè. inunobile,et
o.
p
La relation 55 devient:
k
~
1':':;-
l
~'.;.
q[(z,p);(z,p')]- - ~~~'P'
z,;~
-le
point de
mesure
de
la: sonde
étant unique
et placé à 'z,la !,"
il:l
' S
.
fonction de distribution correspondante vaut:
-:-, ,
(74)
fI [p
z] - 6 (z,z )
s
avec
6 (z, z ) - l
si z - z
s
s
6 (z, z ) - 0
si z .. z
s
s
Le
nombre
de
collis ions
entre
des
bulles
de
taille
quelconque et la sonde est donné par la relation:
k
l
-2- f
2
l
'm
ms
(75)
f
~ -kl
(z) -
exp[-k
p' Zs] dp'
los
P
z
c
3
Z
p'
0
Le facteur 1/2 intervient parceque chaque collision est comptée 2
fois.
s
k3
(76)
f
(z) - - - -
c
2
los
z
~.'
"
Le nombre volumique de bulles est donné par la relation
(77)
1
1:
où u
est la vitesse du gaz, en fût vide
et u
est
la vitesse
f
mf
minimum de fluidisation.L'hypothèse implicite utilisée est celle de
la théorie des 2 phases.

---

où
Qf est le débit total de gaz à la vitesse de fluidisation.
Qmf est le débit de gaz à travers le lit à
la vitesse mînimum d~
fluidisa tion.
QB est le débit de gaz traversant le lit sous forme de bulles.
S est la section du lit.
De (72) et (77) nous déduisons~\\
,
3
,
,
,
"
',"
n (z) _ 6 (u-umf) f(m-l)
(78)
v
2 -3
7r.f (m-S) f(m+l)
dB
La vitesse des bulles à
l'drigine n'est pas 'nulle.La vi'tesse u
C,'
B
utilisée
par Agarwal
dans
son modèle
n'est
donc
pas
la vitesse
réelle des bulles.Celle-ci vaut:
(79)
uB- u + u
B
BO
De
la
même
manière les
bulles'
1
à
l'origine
n'ont
pas
une
taille",;
nulle. Leur diamètre réel dB s'obtient à partir de dB:
( 80)
d'1/2_dl/2 +d l / 2
B
B
Bü
A partir des équations 70 et 80 nous pouvons écrire:
1
1
f(m+l)m-l/2
(m+l)
x
(81 )
f l [dB] -1/2. f(m_l)m+l/2
(m+2)d'1/2
y
B
1/2
. exp [- (m+l»)
~]
f(m-l)
y
avec
1/2
(82)
x -l(ï' - d
lm) 1/2 . (~d )
l \\,lB
BO
In
BO
le diamètre moyen réel des bulles vaut
(84)
4")
Evaluation des constantes
1
Le
modèle
comprend
4
constantes
k ,
k ,
m à
déterminer l
l
2
"
t
;
,
',/
l(
~ 1!

---

lil
expérimentalement.Le
calcul
des
caractéristiques
moyennes
des
bulles ne nécessite cependant que la connaissance de k ,m et s.
3
Des équations
(70),
(72)
et (73)
il découle que si dB est connu,
les fonctions de distribution fi [dB]
et fi
[v ]
sont
déterminées
B
par le choix de m.
Les paramètres k , m et s ont été évalués par Agarwal en se servant
3
des résultats expérimentaux publiés par Rowe et Yacono(19). Ceux ci
ont été obtenus
dans
des
conditions
de
fluidisation
identiques à
celles
de
notre
simulation
:u
-
0.052
rn/s,
uf/u
-
1,3
et
mf
mf
distributeur poreux.
Aussi des comparaisons avec les résultats de·
notre
modèle
sont
possibles:Les
valeurs
des
paramètres
après
ajustement sont :
k
-
82.0
3
m -
10
s - 0.4
La valeur de k est celle de:l~relation de Oavies et Taylor:k-22,26
en unité cgs.
La relation (84) devient en utilisant (69)
1/2
(85)
dB - d
+ 0,74 zO,4 dBO
+ 0,15 zO,8
BO
Le nombre volumique de bulle donné par la relation (77) devient
..
(86)
n (z) -
v
Pour une paroi poreuse,Miwa et al(4) proposent la relation:
En supposant que u
se déduise de d
ainsi:
1
BO
BO
-
(u
- u
) + 22 , 26 . dOB' 5
u BO
f
mf
et en utilisant les relations 66 et 79 nous
obtenons:

---

".,-.,.,
", :~:
112
". '
,
f
!
!
1
! li
1
1
i
l'
i
';!'
!
"
~1l:.
i
"14;-
Le précédent chapitre montre que la résolution de l'équati9n
intégro-differentielle obtenue par un bilan numérique de popul'atign
.~
.~rr
est
ardue,même
avec
beauco~p d'hypothéses
simplificatrices ; t
.;,'
"4:' '
souvent non justifiées. L'équation utilisée dans le modèle de~ie~t;
'~
.
de
moins
en
moins
représentative
du
phénoméne
reel
étudié.De
plus,elle ne permet pas de calculer les fluctuations de n liées a~x
densités produit du second ordre.
Nous
avons
résolu
l'équation
intégro-différentielle
par
une
simulation
Monte-Carlo.L'hypothèse
d'indépendance
des
différents
états
des
éléments
n'est
pas
retenue.Ceux-ci
peuvent
.<
être corrélés. Le coefficient de variation du nombre volumique de
!
bulles sera déterminé.Ses valeurs permettront de valider ou réfuter
,~:.
l'hypothèse d'indépendance des états des éléments.
}
....
lg
,~'
A•) RELATION ENTRE LA SIMULATION MONTE-CARLO ET LA RtSOLUTlON;~~t'
DE L'EQUATION INTEGRa-DIFFERENTIELLE.
.~~
~I
'i·
:~~;.
Elle
a
été
mise
en
évidence
par
D.
Ramkrishna
(20)~. Lès
\\,'
~
t
i '
l , '
1
fonctions densité produit s'expriment en fonction des densités,;~ae
l
Janossy. Ces dernières sont ainsi définies:
1
1
(88)
Ja[(€n);"';
(€ia)]-pr{avoir
a bulles dans le système étudié
1
avec une bulle dans chaque domaine [(€ij);(€ij+d€ij)]
j-l à
o
v
Soit
d'avoir à
l'état (€i)
à
(d€i>
fl[(€i)]i~l d€i
la probabilité
prés une bulle tirée au hasard parmi 0-0
bulles,a
étant connu.
0
O
(89)
i.i
,.
";:
i
" ..
1
f',.
"r"r.

---

113
l/
in
i-l
Dans le cas d'une v.a. Q nous aurons:
l
(91)
Q
!
et la normalisation des densités de Janossy s'écrit:
'.-.~
ex>
l
Q
!
L'espérance mathématique du nombre de bulles dans le domaine
('li) à (d'li) près est donnée pas, les relations (3) et (92)
:
l
(93)
Q
!
Pour
mettre
en
évidence
la
relation
entre
la
simulation
Monte-Carlo et la résolution de:;l'équation des bilans de population
nous allons nous placer dans un cas particulier simple:l'espace des
1
phases
est
monodimensionnel;on
ne
s'interesse
qu'au
volume
des
1·,
éléments;les
événements
pris.
en
compte
sont
les
scissions
des
l'
"r
bulles.
Soit Et l'état du système à t.
ième
Soit Çr le volume du r
élément du système à t.
.
,
l
l
d
ième'l .
d
. . ,
0
SOlt ~'
e vo ume
u r e ement
u systeme a t - t - T,T >
et
r
suffisament petit pour qu'un seul événement se produise entre t ' e t
...
'
"
t.
ième
Soi t
çr' (ç r'
t
t') le volume qu'avait le r
élément
à
t '
snchnnt qu'li t, son volume est ç .
r
":.

---

~;
~I
~,
j
114
~1"~ .
,/;;
.;1-' ,
'f1f
(.
(~.
~,
ième
C
(C)
est la vitesse de crois~ance
'>r
'>r'
du r
élément à t
.'
li
ième
i
€r
(€~) est la vitesse de croi~ance du r
éléptent à t'
~'
N le nombre total d' éléments à\\;~t
~
~:
Essayons de déterminer la fOI1 c t:Jon densité J
[€~;,; .. ;{N ; t].
N
?i
Nous
pouvons
avoir
une
bulli
de
volume
com~ris
entre
{l, et
€ l +d€ l' ... ; une bulle de volwf1 compris entre €~ et {N + d€N: par
croissance sans scission entre~t' et t des N bulles présentes dans
,~~
le systéme à t'.
~
.J_,
Soit
€i(t'+ul€i,t')
le
volum~fde la bulle if t' + u sachant
qu'elle avait le volume €i
à t'~
Soit r(€iJ
dt' la probabilité ~zur que l'élément i scissionne entre
t' et t 1 +d t' .
La
probabilité
pour
que
constituants
du
système
scissionne entre t ' e t t'+
Ï TJ r [€ i ( t' + u 1
i-l
O
Définissons la probabilité conditionnelle P
,Si
,\\'lj;'
,~
i~
scissions dans le système pendant un
P (T 1 Et'] - Pr { pas de
,
.
, '
..~
~~(it
N
.'i""
(94) P (u+duIEt,) - P (U\\Et,).~l
i~l r [€i (t'+ul{i,t)] du]
Î
'.~
1.- ,"
~~(UIEt')'
(95)
du - . P(UIEt')'{i~l r ['i(t'+ul'i,t')]
:~
(96)
P('IEt ,) -K.exp {'i~l f~r['i (t'+ul'i,t')] dU}
P(OIEt~)-l, donc K-l.
~.
.,i,~
.!(.:~
La
probabilité
pour
que
l'on
ait
eu
N éléments
{i à t' ,,'
sachant qu'à
t
on à
N éléme~:s aux états {i ,~~st donnée par la :;1':
k
1:
probabilité d'avoir N élément~~{i à t' qui évoluent des états ~i à
t' jusqu'aux états €i
à t sans scissionner.
.:.~,
,{:i~r,
:.~ .

---

''1,
", j
"
:Us
,r
Un tel événement a une probabilité de se réaliser égale à:
,
~/
N
J N [ç i (ç l' t
t')
,
ç'
1
(ÇN
t 1 t') ] x n
Çi (ç iJ dt
N
,
i-l
"
Soit P [çj + ç~ ; ç~] dç'k la~probabilité pour qu'une bulle mère
.~ ..~.
de volume ç: + Çk' donne. a'près!) scission, naissance à une bulle de
J
;
volume entre ç~ et ç~ + dç~
La
probabilité
d'obtenir
à
t,
N éléments
dans
le
système
par
scission de l'une quelconque des N-l bulles à t ' e s t :
N
N
t'+r
,
( 97)
j ~l k~l f,
J N_1 [ç i (ç 1 t
,1
1u' ) ; ... ; ç j -1
( çj _1 ' t 1u' )
. k
t
J'"
C (ç"tlu') + Çk' (Çk,t\\u');çj' 1 (ç, l,t!u'); ... ;
J
J
+
J+
- \\ N
ç ~ -1 (ç k ' t 1u' ) ; ç~+1 (ç k+ l' t 1u' ) ; ... ; çN(ç N,t 1u' ) ; u'] i~ldç i
i"k
r[çj(çj,tlu') + ç~ (çk,tlu')]du' .p[çj (çj,tlu') + Çk(Çk,tlu');
<'k(Çk,tlu'] d<k oexp
i~l
{-
( . r [<, (Ç"tIU]dU}
~J;.
,'.,
~
L'exponentielle caractérise l'hypothèse qù' i l ne se produit
qu'un seul
événement
entre
les
temps
t ' e t
t' - ,t'
+ T.Si
cet
événement
à
eu
1 ieu
au
temps
u'
E
[t'
les~
1 t] 1
éléments
obtenus
l,
doivent
évoluer
de
u'
jusqu~à
t
sans
qu
il
y
ait
d'autres
1~:.·
1
scissions.
La
probabilité
d'avoir
à
t
une
bulle
i
dans
le
domaine
limité par ç. et ç. + dç. ,i - 1 à N s'écrit:
1 1 1
1·
1:
..; ..'
,;
1
1,~:

---

116
N
.
( 98)
J N[ ç 1; ... ; ç N] . i ~1 [ç i (ç i) dt] ... J N[ ç i (ç l' t 1 t ' ) ; ...
ÇN (çN,tlt')]'i~l [çi(çi)dt].exp {- i~l f: r[';i(t'+u1çi,t']dU}
N
N
ft'+T
J N l
+
[C (.; . , t 1u' ) ; ... ; C 1 ( Ç. l t 1u' ) ;
j~l k~l
,
du'
-
l
l
J-
J - ,
j
~ k
t
i .
N
.p [çj(çj.tlu') + Çk(Çk,tlu');Çk(Çk,tlu']'i~l (çi(çi) dt)
. exp {-i~l f:, r[';i (Ç.tIU)]dU}
Analyse de l'équation (98)
L'état Et ainsi défini: une bulle i de volume compris entre
;' ,
v
et v
+ dV
,i =
1 à N,
peut être obtenu de deux manières,
l '
Bi
Bi
Bi
exclusives l'une de l'autre, en partant de t'
:
- A t'
le système était constitué par N bulles et aucurie d'entre
elles
n'a
scissionné
durant
le
temps
T.
La
probabilité
de
réalisation d'un tel événement est donné par le premier terme du
membre de droite de l'é quation (98).
t
- Le système à t' était form~~de N-l bu~les et une parmi elles ~
"
scissionné au temps u', u' E [~', t]. La probabilité de réalisation
d'un
tel
événement est
donnée., par
le
second
terme
du membre
de
droite.
Partant
d'un
état
initial,
nous
nous
proposons
de
caractériser l'évolution du système.
Il nous
faudra au préalable
1:-:.<
.~~
f'
discrétiser le temps, c'est à~ire déterminer les temps r. au bout .' 1~
.r,
1
o'
:
'
..
i
s',.
desquels
le système sera à
no.~veau passé en revue.A cause de
la
1 :
1 }
nature aléatoire du système étudié, la discrétisation du temps sera
aléatoire mais non arbitraire ..
''i-'
Pour
passer
d'un
état
Et'
à
un
état
E,
,il
nous
sera
:':
.
t +r
'.
i
" .
"
nécessaire
de
déterminer
dans
ce
cas
simple,
lequel
des
deux
: i
" .
"
\\
1
i .

---

événements.
B S.!..!1\\dLATION RÉALISÉE DANS
1°) Méthodologie
~"
L'espace
des
phases
sera
bidimensionnel
avec
,e'"
coordonnées la cote z et le v~lume v
des bulles.
B
scission nous considérons la coalescence des bulles
seront définies.

---

118
chaque
coalescence
ou
scission.
En
premier
lieu,
les
fonctions
ù.
liées à la fréquence des évènements seront modélisées. Puis la loi
de distribution des
temps de~ latence sera déterminée.
En partant
d'une situation connue à t ' , nous tirerons au hasard,A partir de la
loi de distribution des temps; d'attente,le temps r au bout duquel
il se passera un évènement; Un tirage aléatoire permettra ensuite
de déterminer la nature de l'évènement et un second son résultat.
La situation à t - t'+ r est ensuite déduite de celle A t'. La loi~
d'évolution des
coordonnées
des
éléments
du
système au cours
du'.
temps est donnée par :
(99)
2- Réalisation de la simulation
R.
CUft et J.
R.
Grace(2l,22)
ont étudié
les
interactions entre
deux bulles
i
et j
constituant une paire
isolée quelle que; soit
leur
position
relative.
Le
modèle
qu'ils
proposent
repose
sur
l'hypothèse suivante: uBi-uB~~+~ij
u
:vitesse de la bulle i
Bi
uB~i:vitesse de la bulle i isolée
~... :vitesse
qu'aurait
l'émulsion
au
nez
de
la
bulle
i,
sous
Nl]
l'influence de la bulle j
si celle-ci était seule.
L'écoulement
est
considéré
comme
un
écoulement
potentiel.Ces
résultats ont permis à Johnsson et al(l)
de mettre en oeuvre une
simulation
avec
comme
objectif
la
détermination
des
lois
de
distribution
des
tailles
de
bulles
bidimensionnelles.
Ils
effectuent un calcul déterministe de la trajectoire des bulles,dan~
le
lit.
A partir d'une
situation à
t',
ils évaluent pour chaque
bulle
i l ' influence
résultant
de
l'interaction
avec
les
autr.es
"~'
bulles.
Sa vitesse est ensuite déterminée.Connaissant la position
~'i' •
et lA vitesse des bulles à t ' , ils déterminent leur position à t-t'
'~'~1"1
+ "
, étant un temps faible arbitraire. Un critère de coalescenc~,

---

119
t '
fonction
de
la
distance
entre
les
bulles,
permet
ensuite
de
caractériser
le
système
à
t
à
partir
de
son
état
à
t'.
Cette
méthode
demande
un
temps
de
calcul
très
élevé. et
un
ordinateur
',.r.
puissant. En plus, l'objet de 1/ étude étant le siège de phénomènes
stochastiques,l'utilisation des méthodes classiques de la mécanique
~~
J
semble non appropriée.
al (14)
A
l'opposé,
Shah
et
ont
développé
une
approche
probabiliste
utilisant
la
simulation
Monte-
Carlo
avec:
une
discrétisation aléatoire mais non arbitraire du tèmps; un tirage de
la
nature
des
évènements
et'·
des
éléments
concernés
parla
..;;
réalisation de ces évènements. ~
Cette
méthode
parait
plus
réaliste.
Malheureusement
elle
présente elle aussi des limites :
a)
La fonction fréquence des coalescences q proposée ne dépend que
du volume et de
la différence de cote t-.z des bulles.
La vitesse
relative des bulles n'est pas prise en compte alors qu'elle joue un
rôle important dans le processus de coalescence.
La fonction fréquence de coalescence proposée par Shah et al
s'écrit:
q[(zl' v
)
) ] - 0 si \\zl-z2
(d
+d
)
Bl
(z2' v B2
1>k l
Bl
B2
(100) C
."f'"
.....
( 1/3
1/3
[(zl' v
)
\\») - k v
+ v
) si
.~l::.
Bl
(z2' V B2
Bl
B2
.f!.
•..;'t
~~'.
Iz
1:S k (d +d )
l - z
;;.$
2
l
Bl
B2
'~'
k
et k sont des paramètres ajJitables.
l
~).
Par
ailleurs,
la
bulle
est
supposée
aplatie,
de
forme
elliptique.
Ceci
n'est
pas
toujours
observé.
Au
cours
des
coalescences, les bulles subissent des élongations. Dans le bas du
,.
,
lit,
des bulles circulaires sont souvent observées.
Il parait dès
\\
1.
lors
plus
adéquat
de
déterminer
la
forme
de
la bulle
de
façon
l
aléatoire.
~).
Shah
et
al
suppose
une
répartition
latérale
uniforme
des
bulles
dans
toute
la
section
du
lit.
Pourtant
i l
est
cxpértmentlllement prouvé que
lors
de
leur ascension,
les bulles,
coalescent
vers
des
axes
prIvilégiés
où
leur
probabilité
de

---

120
présence est plus importante.
0). Les scissions sont négligées.
Le modèle que nous proposons tente de pallier ces limites.
Il se veut d'abord un compromis entre celui de Johnsson et;al
:....
. ;'1;.
d'une part et celui de Shah et al d'autre part .
.·/~
,;~,
',::;':
'La
trajectoire
d'un~~" bulle ,avant qu'elle' ne soit,;,c'en
"interaction
forte"
avec
une
autre,est
considérée
commei~étant
.... .
.-
stochastique.
Cette hypothès~lrepose sur le fait que: 18 buU'e; e~t
,,'
dans ces conditions soumise ~iâ de multiples ;interactions
, :"\\li'
.
.
entre 'elles
Le
nombre
deJparamètres
qui
interviennent
~..1
détermination de sa trajectoire est ainsi très élevé'.'
;,.\\
:: .
"1:
Le
modèle
de
Shah
et
al
semble
plus
réaliste
dans
cette
;{~\\
situation.
;:~.
"
..:
Cependant,
quand deux bulles sont en "forte interaction",
ce
qui est le cas à partir du début du processus de coalescence,
leur
influence
mutuelle
devient, très
importante
comparée
à
celles
~~
~:
qu'elles subissent de la part~des autres bulles. Du point de vue d~
~iJ:
~
leur mouvement relatif,
donc.~'de la coalescence: elles peuvent;'êtr~;
considérées
conune
isolées" t~ur vitesse relative peut alo'rs:;' êtr:~f
,
·,:'f
calculée en utilisant les é~~ations classiques de la mécanique des.
";:';."
~:
fluides.
~.f''i
Nous utiliserons les résultats du modèle de Clift et Grace.
~
-;:"
,f
Le
modèle
que
nous
proposons
tentera
ensuite
de
lever
le~
limites a,
{J.
'Y
du modèle
d.e
Shah et
al
précédemment citées.
J.-1
fonction
fréquence
des
coalescences
sera
déterminée
en
tenant
~.
!
compte
de
la
vitesse
relative
des
bulles
et
en
introduisant
url
:::f
.~...~
temps
caractéristique
pour 'la
coalescence.
Nous
rechercherons
,1.
ensuite une corrélation entreil'axe vertical dv et l'axe horizontal
~ des bulles.Un tirage aléatoire permettra d'établir la forme dé
la
bulle.
Les
zones
du
lit
à
forte
probabilité
de
présence
de
bulles
seront
localisées.
Enfin
les
scissions
seront
prises
en
~:0-
"
:r

---

1 1
121
compte.
a.) Détermination des fonctions fréquences
- Fonction fréquence des coalescences.
La
faible
perte
de
charge
au centre du
lit
ainsi que
les
mouvements
particulaires
descendants
à
proximité
des
parois
induisent
une
coalescence
des
bulles
vers
le
centre
du
lit ,si
celui-ci est profond. A partir d'un cinéfilm du lit bidimensionnel
réalisé avec une caméra vidéo, nous avons déterminé la répartition
latérale
des
bulles
dans
le ::::: lit
divisé
verticalement
en
14
i
tranches.Nous
en
avons
déduit
une
relation
donnant
approximativement la largeur y du lit occupée par les bulles pour
,
,..
chaque
cote
z
(fig.l).
En
lit. tridimensionnel,
la
zone
à
forte
, .
;'
probabilité
de
présence
des
bulles
pourrait
être
déterminée
en
filmant la surface du lit dont on fait varier la hauteur 1
ou en
utilisant des sondes locales. Nous avons imposé à y la forme
(101)
y - a-b [1 - exp (-cz)]
Ensuite nous avons déterminé expérimentalement la valeur de
ces constantes.Pour une vitesse de fluidisation égale à 0,067 mis
nous avons obtenu :
a -
260 mm
b - 100 mm
-1
c - 0,01 mm
y et z sont en mm
Nous faisons l'hypothèse que la position d'une bulle sur la largeur
y est indépendante de sa taille.
Une
série
de
mesures
réalisée
sur
des
clichés
pris
dans
différentes conditions de fluidisation nous a permis d'établir des
corrélations
entre
les
longueurs
~ de l'axe vertical et <1l de
l'axe horizontal des bulles supposées
de
section elliptique.
Les
résultats obtenus pour deux zones du lit de cote différente sont

---

122
indiqués en figures 2 et 3.
La figure 2 concerne des. bulles situées entre les cotes z -
50 mm et z - 150 mm et la figure 3 celles situées entre z - 150 mm
et
z
250
mm,
L'origine
des
cotes
est
située
à
50
mm
du
distributeur.La région de l'espace (~,~) commune aux deux figures
a des dimensions relativement ',importantes . La forme d'une bulle ne
'C..
semble pas dépendre directementJde la zone du lit où elle se situe.
"
Si
les
très
petites
bulles \\~sont
le
plus
souvent
de
section
y
circulaire,
les
grosses
peuvent
être
aplaties,
allongées
ou
"'
circulaires,
Leur
forme
est très variée même si elles paraissent
majoritairement aplaties.
Ces
résultats
sont en accord avec ceux
(23)
(24)
obtenus par Rowe et al
,Kabrwata et al
qui indiquent que la
forme
d'une
bulle
dépend principalement de
la nature
du gaz
de
fluidisation et des
particules,
d'où
la
possibilité d'extrapoler
les résultats obtenus en lit l;>idimensionne1,
concernant la forme
des
bulles 1
à
tout
autre
lit
bidimensionnel
ou
tridimensionnel
utilisant le même type de parti~ule et de fluide.
Sur
les
figures
2 et
3
les
points
(ln '11i'
ln d
)
sont
vi
limités par deux droites dont lès équations sont:
( 102)
ln d - al ln ~ + b
,
courbe 1
H
l
(103)
lnd
+ b
courbe 2
,~
H- a 2 ln ~
2 :v
d
et ~i sont reliées aux voi'ume v
de la bulle par la relation
Hi
;,
Bi
4e
~" K v
dHi x ~i - -; vBi
Bi
Nous pouvons donc écrire :
(104)
ln d
- ln K v
. ln d
courbe 3
Hi
Bi
vi
La
courbe
3 coupe
la
courbe
l
au
point
de
coordonnée
(~il' dH~l) avec ~il donné par l'équation:
(105)
Le
point
d'intersection
des
courbes
2
et
3
a
pour
coordonnées d
et d
avec
vi2
Hi2
:.~,
.c)'
'\\{:~----------'-------------------'--

---

123
~;:
, iJ.1
(106)
;}
~
1:
Une
bulle
de
volume
v
peut
avoir
un
axe
vertical
de1ll
Bi
longueur
quelconque
entre
d '1
et
d '2'
Un
tirage
aléatoire"p';
Vl
Vl
uniforme entre d
et d
fournit la valeur de d
'
Ensuite '\\tÜ"
vil
vi2
vi
est obtenue à partir de l'équation (104) ,Les tirages effectués sonÔ~
;.~ .
uniformes alors qu'il apparai t bien sur les figures 2 et 3 que les,]
points
ne
sont
pas
uniformément
répartis
entre
les
courbes
1
e é ' l
Hl
2.Cependant,ceci
permet d'éviter
une
trop
grande
complication du
r,:,
problème étudié.
!
La
probabilité
de
coalescence
d'une
paire
quelconque
de
bulles
pendant
un
temps
dt
est
définie
en
introduisant un
temps
caractéristique te.
Ceci constitue une différence essentielle avec
le modèle proposé par Shah et al (14).
Ce temps caractéristique tc
représente
le
temps
entre
le
moment où
le
front
de
la
bulle
de
derrière entre dans
le sillage de la bulle de devant et la fin de
la coalescence.
CUft
et Grace
proposent
un
modè le
pour
leque 1 la
fin
du
processus
de
coalescence
a
lieu
quand
la
couche
de
particules
séparant
les
deux
bulles
entre
dans
le
sillage
de
la
bulle
résultante,
rls
recommandent(2?)
la
corrélation
de
Farrokha1aee
of... ~
pour le calcul du temps de coalescence
,~
tc:
(107)
, i
L'indice 1 est celle de la bulle
de devant.
L' indice 2 est celle de la bulle de derrière.
R - rayon de la bulle.
U
- vitesse de la bulle isolée,
.>;!:~
Bco
Une
bulle
(zl'
vBl)
et
une
autre
(z2'
v
)
ont
une
B2
probabilité
.
q[(Zl'
v
)
,
v
)
, t] de coalescer pendant un
Bl
(z2
B2
'"
temps t,que nous avons défini par les relations suivantes:
:i
·C
...!.

---

fil.J;j
124 'fl~
"
'1~
(l08 )
!'r;
j
t;
1
l"
'1
exp(-4,69-t-)], <\\11 + <\\12
[~
tc
inf (yl,y2)
"'t
:j
1
;!
'l
si
(d
+ d
)
zl - z2 < -2-
+ IU
-
1
vl
v2
Bl
uB21 . t
i1~
et (zl -z2) (u
- u
) < o.
'1
J
Bl
B2
i
~
".j..
~
inf(Yl'Y2) est la plus petite des deux valeurs Y
et Y '
il;
l
2
'1
Yi est la largeur du lit occupée par les bulles,à la cote zr'
i
Avec les indices 1 pour la bulle de devant et 2 pour la bulle de
derrière,inf(Y 'Y2)
-
Y
puisque y décroit avec
z,inf(y ,y ) est
l
l
l
2
utilisé
car
la coalescence a fieu à
la position de
la bulle de
devant où y est le plus faible. 0
Cette loi de probabilité est plus réaliste que celle proposée
par Shah et al (relation 100).
Les conditions aux limites sont les suivantes:
-quand t tend vers zéro,q tend vers zéro
-quand t tend vers l'infini,q tend vers (<\\1l+<\\12)/inf(y ,y )
l
2
La
valeur
4,69
a
été
choisie
pour
avoir
q
0.99
(dul+
)l-
<\\12)/inf(Y l 'Y2) quand t - t c '
~
t est pris très inférie~r~à tc,Les temps de coalescence font
quelques centaines de ms alors que t vaut 1 ms.Nous pouvons écrire:
..;~
"
t + tc '" tc
"
et considérer que si q est non nulle, le processus de coalescence,
si coalescence
i l Y a,
a débuté,
La vitesse
de
la bulle
2 est
'·1
égale,avec le modèle de Clift:e~Grace,à u
+ uB2~' Puisque durant
Bl
la
coalescence la vitesse de \\'la bulle 1 est peu affectée, nous
iz
!i>
pouvons écrire:

---

).
~~t
125
1~'.'
"':
La
vi tesse
relative '~(entre
les
2
bulles
peut 'être
<
'.. ~
1
approximée par u
'
j
B2w
'f~
i·
l.
i '
1.
\\~"'.:c'
(26)
La relation de Pyle etJ:~arrisson
donne la valeur de ta
vitesse de la bulle isolée:
(l09 )
u
-
Bw
0,5 x [g x
î:·1·
.i. '
La probabilité pour qu'une coalescence ait lieu durant t-l ms
est représentée par la foncti~n
l'
(110)
Q(t) -
1/2,[
tJ
i,j
i ...j
- Fonction fréquence des scissions
L' hypothèse
de
Davidson et Harrisson
(une bulle
scissionne
quand des
particles passent du sillage au front)
a conduit à
la
détermination d'un diamètre maximal de bulle stable dB
donné par
max
l'équation
"
..,'
2 v 2
t
( 111)
d
-
Bmax
g
où v
est la vitesse de chute libre des particules.
t
Cette
équation semble
sous
estimer
la
taille maximale
des
bulles stables, l'erreur devenant très importante si des particules
de petites tailles (d
< 50 ~m) sont utilisées. D.Geldart cité par
(27)
p
l,
R.Clift
propose de calculer v
en prenant 2,7 d
au lieu de d'~
(2§)
p
p
Les travaux de Rowe et al
sur le mécanisme de la scission
des
bulles
ont mis
en évidence que
ce
phénomène
est lié
à
des
instabilités au niveau du front de la bulle.
,~J;
Toei
et
al(29)
sur
la
base
de
l'analyse
de
résultats
expérimentaux
obtenus
sur
un
lit
bidimensionnel,
concluent
à
':'~~
l'absence
de
correlations
entre
la
taille
des
bulles
et
la
.~1t
fréquence
des
scissions.
Il~J proposent une
dépendance
avec
la
l:;;>;t
taille des par~icules utiliséè~.
'
'.
~,

---

1 •
i
r: :.~
"
~7.
\\ "'\\:
';"
Horio
Nonaka(6)
';
i.,',
et
s~appuyant
sur
l'observation
! i i':'
,'1
variation de la taille des bùlles avec la température, ont
que
la fréquence de scission d'une bulle serait aussi
liée à
l~;':
viscosité du gaz de fluidisation.Ils proposent la relation:
-p
(112 )
f *
u
(1 S pSI, 2)
s - ()
mf
La constante () est déterminée expérimentalement.
pour p - l
6
a -
, 5 10-3 x u /(gd )0,5{
pour p - 1,2
B
B
~;.I~
Nous avons utilisé pour notre simulation
p - 1,1
() _ 6,5 10. 3 ml,l /s 2 ,l
.;
;
,i
.
:; :r:
Si N est le nombre de bulles, la fréquence des scissions dansc
tout le lit N
est donnée par
s
(113)
N
-
N x f *
s
s
1~
la probabilité d'avoir une scission durant le temps t
vaut
(114)
N - N x f * x t
s
s
,t;..
ri..
t
étant
très
faible
et constant durant
toute
la simulation, nou~'
pouvons
considérer
que
N
est
une
probabilité.Pour
se'
le"
s
représenter
intuitivement, i l
suffit
de
découper
le
temps
de
la'
simulation en intervalles de l ms de largeur.La probabilité d'avoir
une
scission pendant
l
ms
est égale
au
rapport entre
le
nombre
d'intervalles
pour
lesquels
une
scission
s'est
produite
et
le
nombre total d'intervalles.
fonction fréquence des entrées de bulles:
~
~::' .
Dans
un
lit
homogène,
des
fluctuations
de
concentration
"",'
particulaire donnent naissance localement à
des
zones pauvres en
particules.
Il est généralement admis que ces micropoches de ,', gaz:,
,~;}
.'
/*G[~i
.Ji' ~::.{~,-
'~.t ,
1:·
.~
,

---

représentent des
bulles
à
partir
d'un diamètre de
l'ordre
de 10
i
, i
fois
le diamètre des particl.ües. Juste au dessus du distributeur,
ces microbulles sont en nombre important. Il semble alors judicieux
de limiter la zone à étudier'pour ne pas tenir compte de ces bulles
et ainsi
diminuer
les
temps
de
calcul:l'origine
des
cotes
z est
placée
à
50
mm
du distributeur.
Les
bulles
dans
le
système
ont
alors une
taille convenable.
Leur nombre n'est pas
trop élevé et
les temps de calcul sont réalistes.
A partir d'un cinéfilm nous avons déterminé pour 200 bulles
la
loi
de
distribution 4>
("B)
des
volwnes
à
l'entrée
du milieu
'. >1
, i
étudié ainsi que la fréquenèe d'entrée des bulles.
La fonction de
distribution cwnulée F(v ) est.\\ tracée en figure 4 pour une vitesse
B
de fluidisation de 0,067 rn/s. La fréquence d'entrée des bulles est
de 35 Hz.
N . dt - Pr {une bulle entre dans la zone du lit étudiée à z
e
- 0 entre t et t + dt}
4>(v )
dV
-
Pr {YB < volwne
de
la bulle
entrante < v
+
B
B
B
d
1
une bulle est entrée dans la zone étudiée}
vB
(115 )
Le débit de gaz QB entrant en z-O sous la forme de bulles est
-3 3
égal
à
0,044
10
m /s.
Il
est
inférieur
à
èelui
prédit
par
la
théorie des deux phases,
en accord avec les résultats de nombreux
expérimentateurs.
Nous utiliserons comme conditions aux limites,
la fréquence
des bulles déterminée expérimentalement ainsi que leur fonction de
distribution.
La taille de
la bulle entrant dans
le système sera
déterminée
par
tirage
aléatoire
à
partir
de
la
fonction
de
'.;
distribution cwnulée F(v ) ..
B
b.) Détermination de l'évènement réalisé.
Un
tirage
aléatoire
est
effec tué
pour
déterminer
s'il
se
produit
soit
une
coalescence, soit
une
entrée
de
bulle
soit
une
sclssion.

---

120
présence est plus importante.
8). Les scissions sont négligées.
, i·1
Le modèle que nous proposons tente de pallier ces limites.
Il se veut d'abord un compromis entre celui de Johnsson ~t al
d'une
i
i
part et celui de Shah et al d'autre part.
\\
,3--
·r
'.J
La
trajectoire
d'une"'''; bulle, avant
qu'elle
ne
soit
en
,",
.:
.,'r
"interaction
forte"
avec
une ..
autre,est
considérée
comme cétant
.~;J
stochastique. Cette hypothè~ef~epose sur le fait que la bullé-,est
" W
v'
dans ces conditions soumise àJde multiples interactions corrélées
~{
r'J:
t
ll~!':~]
entre elles
Le nombre de ;paramètres 'qui
interviennent dans la
,
l'1
détermination de sa trajectoire est ainsi très élevé.
·ls1
~)
Le
modèle
de
Shah
et "'al
semble
plus
réaliste
dans'~·è·tte
i
situation.
Cependant. quand deux bulles sont en "forte interactionf ce
qui est le cas à partir du début du processus de coalescence, lleur
·fl
influence
mutuelle
devient
très
importante
comparée
à
celles
qu'elles subissent de la part des autres bulles. Du point de ~~ de
leur mouvement· relatif 1 donc de la coalescence 1 elles peuvent~~~tre
considérées
comme
isolées.
Leur vitesse
relative peut alors11~~re
calculée en utilisant les équations classiques de la mécaniqué~rdes
':~
fluides.
::itt
(ID,
rr-:
$l
Nous utiliserons les résultats du modèle de Clift et Gra~e.
Il,
~.,
'~
Le modèle
que
nous
proposons
tentera ensuite de
leveriles
limites Q,
{J,
"Y
du modèle de Shah et al précédemment citéei:' La
f!j
fonction
fréquence
des
coalescences
sera
déterminée
en
tenant
·Âîl·
compte
de
la vitesse
relative
des
bulles
et
en
introduisarii: un·
i'.
temps
caractéristique
pour
la
coalescence.
Nous
recherchèrons
~:~,; .
ensuite une corrélation entre l'axe vertical ~. et l'axe horiz6~ta1
--V
r
d
des bulles.Un tirage aléatoire permettra d'établir la for~e de
H
la bulle.
Les
zones
du
lit
à
forte
probabilité
de
présenc:e
de
..
bulles
seront' localisées.
Enfin
les
scissions
seront
prisJs"en
','

---

121
compte.
• j
, ,
a.) Détermination des fonctions fréquences
:
j
1
. ;
- Fonction fréquence des coalescences.
La
faible
perte
de
charge
au centre
du
lit
ainsi
que
les
mouvements
particulaires
descendants
à
proximité
des
parois
:1 .
induisent
une
coalescence
des
bulles
vers
le
centre
du
lit
si
celui-ci est profond. A partir d'un cinéfilm du lit bidimensionnel
réalisé avec une caméra vidéo, nous avons déterminé la répartition
latérale
des
bulles
dans
le
lit
divisé
verticalement
en
14
tranches.Nous
en
avons
:., déduit
une
relation
donnant
approximativement la largeur y'du lit occupée par les bulles pour
chaque
cote
z
(fig.l).
En
lit
tridimensionnel,
la
zone
à
forte
..'.~"
probabilité
de
présence
des
bulles
pourrait
être
déterminée
en
filmant
la surface du li t
dont on fait varier la hauteur,
ou en
utilisant des sondes locales. Nous avons imposé à y la forme
(101)
y - a-b [1 - exp (-Cl)]
Ensuite nous avons déterminé expérimentalement la valeur de
ces constantes.Pour une vitesse de fluidisation égale à 0,067 mis
nous avons obtenu :
a - 260 mm
b - 100 mm
-1
c - 0,01 mm
y et z sont en ~n
Nous faisons l'hypothèse que la position d'une bulle sur la largeur
y est indépendante de sa taille.
Une
série
de
mesures
réalisée
sur
des
clichés
pris
dans
différentes conditions de fluidisation nous a permis d'établir des
corrélations
entre
les
longueurs
'\\;
de
l'axe vertical
et <1i de
l'axe horizontal des bulles supposées de
section elliptique.
Les
résultats obtenus pour deux zones du lit de cote différente sont

---

1 2 2 ·
indiqués en figures 2 et 3.
La figure 2 concerne dés bulles situées entre les cotes z -
SO mm et z - lso mm et la figure 3 celles situées entre z - 150 mm
i
et
z
2S0
mm.
L'origine
des
cotes
est
située
à
50
mm
du
distributeur.La région de l'espace (~.dv) commune aux deux figures
,
;
t
a des dimensions relativement importantes.La forme d'une bulleine
1
1
semble pas dépendre directement de la zone du lit où elle se situe.
Si
les
très
petites
bulles
sont
le
plus
souvent
de
section
'.
circulaire.
les'
grosses
peuvent
être
aplaties,
allongées' ou
circulaires.
Leur
forme est très variée même si elles paraissent
maj ori tairement aplaties.
Ces
ré sul tats
sont en accord avec ceux
obtenus par Rowe et al(23), Kabawata et al(24) qui indiquent que la
forme
d'une
bulle
dépend pr inc ipalement
de
la
nature
du gaz .. de
::.
fluidisation et des
particules.
d'où
la poss ibilité d'extrapoler
,
les
résultats obtenus en lit bidimensionnel,
concernant la forme
des
bulles,
à
tout
autre
lit
bidimensionnel
ou
tridimensionnel
utilisant le même type de particule et de fluide.
Sur
les
figures
2 et
3 les
points
(ln <\\ii'
ln d
)
sont
vi
limités par deux droites dont les équations sont:
(102)
ln ~- al ln dv+ b
courbe 1
l
(103)
ln d
ln
+ b
courbe 2
H- a 2
dv
2
-'
d
et
sont reliées aux volume v
de la bulle par la relation
Hi
dvi
Bi
4e
d
- K v
Hi x dvi - -; v Bi
Bi
Nous pouvons donc écrire
(104)
ln ~i - ln K v
- ln d
courbe 3
Bi
vi
La
courbe
3 coupe
la
courbe
l
au
point
de
coordonnée
(dvil' ~il) avec dvil donné par l'équation:
(10S)
Le
point
d'intersection
des
courbes
2
et
3
a
pour
coordonnées d
et d
avec
vi2
Hi2
.!-.

---

12
1
~ . 1
(106 )
Une
bulle
de
volume
v
peut
avoir
un
axe
vertical
de
Bi
longueur
quelconque
entre
d '
et
d '2'
Un
tirage
aléatoire
Vl l
Vl
uniforme entre d
et d
fournit la valeur de d
'
Ensuite ~i
vil
vi2
vi
est obtenue à partir de l'équation (104).Les tirages effectués sont
i j
uniformes alors qu'il apparait bien sur les figures 2 et 3 qu~ les
points
ne sont pas
uniformément
répartis
entre
les
courbes 1 et
2.Cependant,ceci permet d'éviter une
trop
grande
complication du
problème étudié.
La
probabilité
de
coalescence
d'une
paire
quelconque
de
bulles pendant un temps
dt est définie
en introduisant un temps
caractéristique tc. Ceci constitue une différence essentielle:avec
le modèle proposé par Shah et al(14).
Ce temps caractéristiq~e tc
représente
le
temps
entre
le
moment où le
front
de
la bulle de
derrière entre dans le sillage de la bulle de devant et la fin de
la coalescence.
Clift et Grace
proposent un modèle pour lequel
la fin du
processus
de
coalescence
a
lieu
quand
la
couche
de
particules
séparant
les
deux
bulles
entre
dans
le
sillage
de
la
bulle
résultante.
Ils
recommandent(25)
la
corrélation
de
Farrokhalaee
pour le calcul du temps de coalescence
tc:
,,.,
(107)
L'indice 1 est celle de la bulle
de devant.
L'indice 2 est celle de la bulle de derrière.
R -
rayon de la bulle.
U
- vitesse de la bulle isolée.
Bco
Une
bulle
(zl'
v
)
et
une
autre
(z2'
v
)
ont
une
Bl
B2
probabilité q[(zl' v
)
; (z2
; v
)
; t]
de coalescer pendant un
Bl
B2
temps t,que nous avons défini par les relations suivantes:

---

.c
124
(l08 )
t]- 0 si
t] _ [1 _ exp(-4,69-t-)]. ~1 + ~2
tc
inf (yl,y2)
1
1
·1
,
i
,
1
inf(Yl'Y2) est la plus petite des deux valeurs Yl et Y2'
Yi est la largeur du lit occupée par les bulles,à la cote Zi'
Avec les indices l pour la bulle de devant et 2 pour la bulle de
derrière,inf(Y 'Y2)
-
Y
puisque Y décroit avec
z.inf(Yl'Y2)
est
l
l
utilisé car la coalescence
a lieu à
la position de
la bulle de
devant où Y est le plus faible.
Cette loi de probabilité est plus réaliste que celle proposée
par Shah et al (relation 100).
Les conditions aux limites sont les suivantes:
-quand t tend vers zéro,q tend vers zéro
-quand t tend vers l'infini,q tend vers (~1+~2)/inf(Yl'Y2)
La
valeur
4,69
a
été
choisie
pour
avoir
q
0.99
(~l+
,
~2)/inf(Yl'Y2) quand t - t c ' ,
1
t est pris très inférieur à tc.Les temps de coalescence font
quelques centaines de ms alors que t vaut l mS.Nous pouvons écrire:
t + tc '" tc
et considérer que si q est non nulle, le processus de coalescence,
si coalescence
il Y a,
a débuté.
La vitesse
de
la bulle
2 est
égale,avec le modèle de Clift e~ Grace,à u
+ uB2~' Puisque durant
Bl
la
coalescence
la vi tesse de':: la bulle 1 est peu affectée. nous
pouvons écrire:
'.(

---

125
La
vitesse
relative
entre
les
2
bulles
peut
être
approximée par uB2~'
.;.:
La relation de Pyle et Harrisson(26)
donne la valeur de la
1
vitesse de la bulle isolée:
1
,1
(109)
1
O 5
0, 5] 0, 5
uB~ -
,
X
[
(
g X
dH X dv)
1
"
f
J
l
La probabilité pour qu'une coalescence ait lieu durant t-l m$
i
1
est représentée par la fonction
"
,
1
ï·
( 110)
Q(t) = 1/2.[
(z., v .)
t]
]
B
i,j
]
i"'j
- Fonction fréquence des scissions
L' hypothèse
de
Davidson et Harrisson
(une bulle
scissionne
quand des particles passent du sillage au front)
a conduit à
la
détermination d'un diamètre maximal de bulle stable dB
donné par
max
l'équation
2 v 2
t
(111)
d
' -
Bmax
g
':'1.
où v t est la vitesse de chute .libre des particules.
:'-'.
Cette
équation semble
sous
estimer
la
taille
maximale
des 1
"
bulles stables, l'erreur deven~nt très importante si des particule~
de petites tailles (d
< 50 ~m) sont utilisées. D.Geldart cité par
(27)
P ' , ;
,
R.Clift
propose de calculer v
en prenant 2,7 d
au lieu de d '.
'. g
p
p
Les travaux de Rowe et al(2 ) sur le mécanisme de la scission
des
bulles
ont mis
en évidence
que
ce
phénomène
est
lié
à
des
instabilités au niveau du front de la bulle.
Toei
et
al(29)
sur
la
base
de
l'analyse
de
résultats
expérimentaux
obtenus
sur
un
lit
bidimensionnel,
concluent
à
l'absence
de
correlations
entre
la
taille
des
bulles
et
la
i
,:
,",
fr6qulIllCC!
dûs
sctsstOl\\s.
1'ls
proposent
une
dépendance
avec
la
taille des particules utilisées.

---

126
Horio
et
Nonaka(6)
s'appuyant
sur
l'observation
de
la
variation de la taille des bulles avec la température,
ont estimé
que la fréquence
de scission d'une bulle serait aussi liée à
la
viscosité du gaz de fluidisation.lls proposent la relation:
-p
(12)
f *
u
(1 :s p :s1,2)
s
mf
La constante a est déterminée expérimentalement.
pour p - 1
pour p - 1,2
:
;,
Nous avons utilisé pour notre simulation
:~
p = 1,1
a = 6,5 10- 3 ml ,1/s2,l
Si N est le nombre de bulles, la fréquence des scissions dans
tout le lit N
est donnée par
s
(113 )
Ns
i
rl
la probabilité d'avoir une scission durant le temps t
vaut
(114 )
N = N x f* x t
s
s
t
étant très
faible
et constant durant
toute
la simulation, nous
J
pouvons
considérer
que
N'est
une
probabilité.Pour
se
le
~
représenter
intuitivement, i{ 'suffit
de
découper
le
temps
de
la - 11
!
,1
simulation en intervalles de l:ms de largeur.La probabilité d'avoir
:<
:i
une
scission pendant 1 ms
est égale
au
rapport
entre
le
nombre: i
i
d'intervalles
pour
lesquels
une
scission
s'est
produite
et
nombre total d'intervalles.
fonction fréquence des entrées de bulles :
i'
Dans
un
lit
homogène,. des
fluctuations
de
concentration
plIrticulllire donnent naissance
localement à des
zones pauvres en
particules.
Il est généralement admis que ces micropoches de gaz

---

127 "
représentent des bulles à
partir d'un diamètre de
l'ordre de 10
fois le diamètre des particules.
Juste au dessus du distributeur,
ces microbulles sont en nombre important. Il semble alors judicieux
de limiter la zone à étudier pour ne pas tenir compte de ces bulles
et ainsi diminuer
les
temps
de calcul:l'origine des cotes z est
placée
à
50
mm du distributeur.
Les bulles
dans
le
système
ont
, i
alors une
taille convenable.
Leur nombre n'est pas trop élevé et
les temps de calcul sont réalistes.
A partir d'un cinéfilm, nous avons déterminé pour 200 bulles
la
loi
de
distribution 4J
(v ):/; des
volumes
à
l'entrée du milieu
B
étudié ainsi que la fréquence ;'d' entrée des bulles. La fonction de
distribution cumulée F(v ) est "tracée en figure 4 pour une vitesse
B
de fluidisation de 0,067 rn/s. La fréquence d'entrée des bulles est
de 35 Hz.
Ne' dt - Pr {une bulle entre dans la zone du lit étudiée à z
- 0 entre t et t + dt}
4J(v )
dV
-
Fr {v
< volume de la bulle entrante < v
+
B
B
B
B
d
1 une bulle est entrée dans
la zone étudiée}
vB
(115 )
Le débit de gaz QB entrant en z-O sous la-forme de bulles est
-3 3
égal
à
0 , 044
10
m /s.
Il
est
inférieur
à
celui
prédit
par
la
théorie des deux phases,
en accord avec les résultats de nombreux
expérimentateurs.
Nous util iserons comme conditions aux 1 imi tes,
la fréquence
des bulles déterminée expérimentalement ainsi que leur fonction de
distribution.
La taille de la bulle entrant dans le système sera
déterminée
par
tirage
aléatoire
à
partir
de
la
fonction
de
distribution cumulée F(v ) ..
B
b.) Détermination de l'évènement réalisé.
Un
tirage
aléatoire
est
effectué
pour
déterminer
s'il
se
produit
soit
une
coalescence,soit
une
entrée
de
bulle
soit
une
scission.
l~ -
:".

---

128
(116 )
Pr {coalescence 1 un événement a lieu} -
Q
N
+ N
+ Q
e
s
N
i,'
(117)
Pr {entrée de bulle 1 un événement a lieu} - N +~ +Q
e
s
N
i
(118)
Pr {scission 1 un événement a lieu} - ~N---+~Ns-----
, i
e
s + Q
c) Détermination de la loi
de
distributions
des
intervalles
d'attente ou temps de latence.
Soi t
N le nombre de bulles
dans
le
li t
fluidisé à
t.
Ces bulles
i l
sont aux états (Zl' v
),
....
,
(ZN' v
).
L'état de la bulle j
à
B1
BN
t + T, T > 0 est donné par la résolution de l'équation:
"
dz
(119 )
cr;:-
, i
1
, 1
(120)
- 0
!
avec les conditions initiales ~uivantes
T
- 0
Z - Zj
1
'1
1
! '.
v B - v Bj
~
Soit Et l'état du système à t~
lJt
f.i
0.-:
Définissons la probabilité coriditionnelle
.~
-1<
~~
(121)
P (T 1 Et) - lf { intervalle d'attente> rlE t }
~
La probabilité d'avoir l'intervalle de temps d'attente supérieur à
T
+ dT est reliée à celle d'avoir l'intervalle de temps d'attente
supérieur à T par:
+
(122 )
N ) dT
S
[1 - exp
(-4,69 ~)J
tc ..
1J
; .

---

129:
...
.:
:i~,'
(123 ) i~j {l - exp (-4,69 t~:]>} i~j
dr
Qr
4,69 tC ij
.'
i"'j
i"'j
(124 )
(125 )
La condition initiale s'écrit:
et
(126)
P(T\\E) - exp {-T(Q+N +N )}
t e s
la relation (126) peut ~'écrire grâce à (123) car dans tout
le domaine d'intégration T estltrès inférieur à tc.
La
fonction
de
distribution
cumulée
des
temps
d'attente
\\
:
F(TIE ) est la probabilité pO\\lr que le temps d'attente soit < r.
t
Elle est donnée par :
':'
(127)
F(TIE ) - l-exp {- (Q + N + N ) r}
t
9
e
s
La valeur de F est tirée au hàsard entre 0 et 1 de façon uniforme.
'J;;'t
Nous en déduisons une valeur dé r .
..\\ ...
,ty',
2f
dO) Evolution dynamique des coordonnées des bulles
'l'~
la
vitesse
d'ascension
d'une
bulle
isolée
dans
un
lit
bidimensionnel est souvent calculée en utilisant
la relation de
Pyle et Harrisson,
(128)
O 5 ("g'dB) 0,5
u B -
,
Dans
un
l i t
bouillonnant.
i l
faut - tenir
compte
de!
j
l'influence des autres bulles présentes dans le milieu.Davidson et'
Harrisson(30) en se servant de la théorie des deux phases proposent.~
dans ce cas de calculer la vit:;se d'une bulle en ajoutant à uB~ lel
l
i
1(",

---

130
(26)
terme uf-umf.Pyle et Harrisson
ont trouvé que cette relation
~
constitue une bonne représentation de la vitesse d'une bulle dans
un lit bidimensionnel bouillonnant:
~
T
î
(129)
u
- °. 5 (gd )0.5
B
+ u
-u
i
B
f
mf
1
i
!
'.'
Les
prédictions
de
Farrokhalaee publiées
par R.
Clift
et J.
R.
Grace(25) montrent que la vitesse d'une bulle est trés tributaire
de sa position dans le lit.Ceci est lié aux interactions avec les:
i .
! ;
bulles environnantes.
Puisque
seule
les
influences
exercées
sur
une
bulle
par celles
situées
au
dessus
d'elle
sont
appréciables,
nous
proposons
de
calculer la vitesse d'une bulles j
dans ce modèle de la manière
suivante
N
0,5 (VB)O'25
i~l (vBilz i > Zj) QB
(130)
u Bj - 0,5.g
.
en
+
. e.l
le produit e.l représente la section du
;
Le premier terme du membre de droite représente la vitesse de "i1a
.'
bulle isolée.Le second terme est lié à l'influence exercée par les
autres bulles sur celle étudiée.
Pour une bulle à
la cote
Z
-
0 nous
retrouvons
la
théorie
des
deux phàses.
Pour une bulle de cote supérieure à celle de toutes
les autres bulles,
nous retrouvons le cas de
la bulle isolée. Ces
conditions
aux
limites
sont
en
accord
avec
les
résultats
de
Farrokhalaee précédemment cités.
eO) Tirages aléatoires
Ils sont tous réalisés à partir de la fonction.
Al - 93.al + 2581 - trunc «al.93 + 2581 )/16384).16384.
Ce tirage permet d'obtenir tous les entiers entre 0 et 16384
~ 1
de
façon
aléatoire.
Il
a
été
testé
avec
différentes
conditions
initiales. Le résultat est concluant.
3°) Algorithme de la simulation. (Figures 5,6,7,8)

---

131
LISTE DES FIGURES DU CHAPITRE V
Figure 1
Largeur y du lit occupée par les bulles en fonction
de z
Figure 2
Corrélation entre les axes horizontaux et verticaux
des
1
i
bulles entre z - ,150 mm et z - 250 mm
, ,j
il '
~i
J .
~
~
Figure 3
Corrélation entr~lles axes horizontaux et verticaux des:4
bulles entre z -,~~50 mm et z - 250 mm
Figure 4
Fonction de distribution cumulée des tailles de bulle
~~
:.:sr.
à z - 0
'~~
Figure 5
Organigramme général de la simulation
Figure 6
Organigra~ne du calcul de la fonction fréquence des
coalescences
Figure 7
Organigramme de la détermination de la paire de bulles
ayant coalescé
~
..,.~,
Figure 8
Organigramme dU~falcul des temps d'attente.
" ~
l"
~i-". ,,'

---

Fis~,e
l
LARGEUR Y DU LIT OCCUPEE PAR LES BULLES EN fONCTION
DE
Z
y
260.00
250.00
2"0.00
Ut- 0 . OG7 . / .
230.00
220.00
210.00
200.00
190.00
lBO.OO
170.00
'''.'''''~,..,'', ""'.,,""'"
"""160; 00
"'-,
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
~OO.OO
....
W
N
z en IfIm
\\1'.~
. r .... .',~~~••;:.l.:;;, ,.;
", -:........:'.....,•• ".~ ." .~.:\\.', ....,.;, :.~ I~':!.' ~.'t."C."~~""''''''''~'~~~'':'~~;~''''~~~~ .
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." _~_._
~•.'";~ :._
j
'~·'I~V.;~~.r."'~';, ',~ .. ".,"".

---

./
2·
LN(DIl)
133
i
1
1
J
1
•
l
, -,." ..
/
. /'
/
./
1:
111
(DII)
I,OLI 92
ln
(OV)
+ 0,2438
2:
III
(DII)
0,8205 ln
(OV)
+ 0,0938
o
1-f~-----l--1--1f--"--2+1--+--t-~--'t---~3 i
LN(OV)
Figure 2
CORRELATION
ENTRE LES AXES HORIZONTAUX ET VERTICAUX
,.',
DES
BULLES SITUEES ENTRE Z = 50 mm ET Z = ISO mm
2
1
t
~
LN(DH)
1
1:
1n
(011)
1,0667
ln
(OV)
+ O,175Ç)
/'
" .
2:
l Il
( 0 Il )
0,6957
ln
(OV)(
O,200P:
:
'
;
, ; !
1 _ .__... - t .--.--'
0 ' 0 - - . ' ' 0 ' 0 .
,_~_---<.----'-"1
. t--o-o.-l.o-.--o-·1t----I---~t-~o~--i--2·-.~--l-
",'
'3
o
·1\\
LN (DV) ,
1: i \\~ Il r c
:\\
,
C() 1\\ 1\\ 1-: I.r\\ T 1() NÎ~ :\\ T 1\\1-: I.I-~ S ,,\\ 1·: S Il () R J Z 0 NT :\\ lJ X
l
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n:I:TIC,\\II\\
IJI':\\
I\\III.I.I~S S/"I'I:I:I:S l'Tlï:'~ /.
[.:/,
"
/ ..
!.,') U 111111
:l~'
\\
i .
ik~,~~.,..',
"~:

---

Figure 4
: Fonction de distribution du volume cumulé
des bulles à z-Q
F
1. 00
1 -
l - -
1- - - -,
~--_._-
/ / /
0.90
/~////
o.so
1
/
/
0.70
/
/
/
/
/
/
0.60
, /'
,./
/
,/
0.50
0.40
~
1
1
1
1
1
1
1--'
W
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
~.
3
- . - -
_ _
o .
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-:':~::~;~'-:::';::::::::_:-
__
- ' : ..

---

135
'C """' }-'r-=:J'OIDi._/c~:~7~~o::0/
_
_
loillole •.
-------
' j ' ,
l-O
Ix'O
Ecrltore de.
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1
·1
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IX)'16384
1
1
1
000
1
1
I-
C.lcul do 10 prob.
l
de coale.ceDee
peod.ut 1.0 oochl.t
qae l'Do 0 l'6tot
Et.
Colcul d. 10
probobilit' "ovoir
uoe ociooioo
p.odoot 1•• oochoot
qu. 1• • yoti • • • ot
i
l'Hot Et.
-·î:
Prob . • utr6.
de bull.
duroot
1. . :0.036.
O~lftr.1D.lloD
da te.p.
d'alteale
T.
. ~.,
:1
.'1
1

---

10
20
136
Tluge
Icil
al~atolre de
ent.
, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1
l • ~y~neeellt
f - - - - - - - - - - ,
rhl1l~.
coal
:er_inatlon de la
bulle ayant
Lllionn~
Recherche de
et de la
OHer_ha tioll
la pdre de
.111e dei bullel
dll yolu_e
bnll . . ayant
llel lachant que
Ybn-1 de la
coalelc~.
bulle
!
lyot~.e elt à
l'Hat Et.
entrallte.
.D,=D, + 1
Recalclll du
lecalcul dei
pOlltioDi et
pOlitioDl zi
yolll_" de.
i=1 1 11-1
bnll8l.
zn-O.
Retrait dei
Rejet dea
bulle. i
bulle. i
tell . . que
tell. . que
zi>z_ax.
zi>z_ax.
Sailie de la
pOIHioll et du
yolu_e de. bulle.
pr~lentel danl le
"y"Uee.
lncr~mentatlon de.
coapteur •.
FIC Uln:
'j:
0 I~ CliN Il; 1< Ml ~ll·: c: 1·; NI:: RIII, ln: l, i\\ S 11'1 UU'I' 1UN
1
[
:i
i l
i

---

D'ter.l~.tlo~ d~
137
co~ple (Dbl.DY1)
po~r la b~lle de
vol~.e Ybl.1 partlr
de. re1atlo~.
(104).(106).(10e)
1
et d'~~ tlrace
.1'atolre.Ca1c~1 de
Ub(l) avec (130)
l'
oal
Calc~l de Tl
1 partlr de
I l et de la
5 :>
relatlo~ 101
' . / '
3

---

3
Calcul de;
138
dlot=ab'CZ1-ZJ) f + - - - - - - - - - - ,
Z.i.=infCZi.ZJ)
,
Si Zi=Z.i • • lor.
i.=1 et ix-J.
Si ZJ=Z.in alore
6
i.=J et ix-1.
Calcal da ta.p.
da coal.acence
te elltre le.
ballea 1 et J.
Ub[ 111] ot.
(Dv1.Dv J)12-(
oa1
oa1
q1J=O
11011
qij=(1-exp(-4,7t/tc»
Q=Q'qij
'(~hi'DbJ)/iar(Yi,YJ)
1\\0

---

139
60
DOD
J=D-l
oui
; :
";: ".,.,,:,
, .
5
DOD
oui
Fil
Figure
6
ORGANIGRAMME DU CALCUL DE-LA FONCTION
FREQUENCE DES COALESCENCES

---

":0'1'':'., ,
,
1.
, ,
,,.1
140
!II
l"i
DEBUT
Sachaut qu'il y'a
coale.ceuce,calcul
de la probabilit'
de co.le.ceuce pk
de chaque paire de
bull ...
Tirage d'un
noabre
aléatoire rail
entre 0 et
16384.
i'
•• •• 16384.pk
FIGURE 7
DETERMINATION DE LA PAIRE
DE BULLE AYANT COALESCE.
nOIl
oui
La pa ire k •
c.oale.c'.
c fiN

---

141
DEBUT
Tl rage
aléatoire
d' aa .eatier
raa eatre 0
et 16384.
Ta=(-l/(Nt·Ja.Q»·
la«16383-raa)/16384)
FIGURE 8
ORGANIGRAMME OU CALCUL DES TEMPS D'ATTENTE.
"?"
1
1
'"
1
!
1
\\
.,
~:l\\~
riil"1
1

---

Réferences
l)Johnsson J .E., Clift R., 'Grace J .R. (1974)
Prediction
of
bubble
distribution
in
Freely-bubbling
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Fluidized Beds.
.. !
i
'1
Inst. Chem. Eng. Symp. Ser. 1 38, Pap B5.
: ;!
i
"1
i
! 1"
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1
t
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"i
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1
Hemisphere publishing Corporation.
fii:
'i~
}~
1
A~j
4) Miwa K., Mori S., Kato T"
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,~~.
l '
.)~(
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Behavior of Bubbles in a Gaseous Fluidized Bed 1
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"
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,f
, :1.
, i
i
1
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Ilandbuch der Physik (Edited by S.Flugge)
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.
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i
~. l
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---

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ï
!,
'!
!
! '
! ;
; "
, ,
!
.
["

---

146
"
'}
1.) RESULTATS EXPERIMENTAUX
''::
f
lU RESULTATS
,.
DE LA SIMIJLATION
}"
III.) COMPARAISON ENTRE LES RESULTATS EXPERIMENTAUX ET NUMERIQUES
Connaltre scientifiquement une loi naturelle,
c'est la connaItre 8 la fois corrune phénomène
et con~e noumène.
G. Bachelard.

---

147
1.) RESULTATS EXPERIMENTAUX
1.) Taille des bulles.
,1
Les expétiences ont été réalisées à deux vitesses de fluidisation.
l
Une première série de mesures au cours de laquelle u -O,067 mis a
f
été
effectuée
avec
la
bisonde
toujours
placée
sur
l'axe
du
lit. L' évolution
de
la
fonction
de
distribution
tronquée
est
présentée
à
la
figure
1.Les
tailles
sont
d'abord
relativement
uniforme
au
dessus
du
distributeur.Au
fur
et
à
mesure
que
z
augmente,la dispersion devient de plus en plus importante.Ceci est
une caractéristique des lits fluidisés bouillonnants.Le calcul des
tailles
moyennes
n'est
donc
pas
suffisant
pour
caractériser
le
bullage.Dans des procédés où la détermination du volume des bulles
est indispensable,la connaissance de la variance de la v.a. v
est
B
tout aussi nécessaire.
Les variations du diamètre calculé à
partir du volume moyen sont
représentées en figure
2.
La taille moyenne est surévaluée parce
que la ;onde ne détecte pas les petites bulles.
A cette~vitesse de fluidisation,il n'a pas été possiblelde suivre
l'évolution de la fonction f ' avec la distance y à l'axe du lit.
1
l
l,
La
deuxième
série
de
mesure
a
été
éffectuée
à
la
vitesse
de
fluidisation
de
0,089
rn/s.
i
Les
variations
de
la
fonction
de
distribution
des
volumes
sont
~ .
indiquéès
en
figure
3.11
mettent
en
évidence
une
dispersion
importante des tailles en haut du lit.
La figure 4 représente les variations du diamètre moyen des bulles.
Aux cotes z-112,5 mm et z-262,5 mm,nous avons effectué des mesures
à
différentes
positions
latérales.Les
résultats
sont
indiqués
respectivement
sur
les
figures
5
et
6.Dans
le
bas
du
lit
la'
corrélation entre la
taille des bulles et leur position latérale
est très faible.Dans la figure 5 les courbes obtenues présentent un
très leger écart.Par contre,nous pouvons remarquer sur la figure 6
une nette dépendance entre la fonction de distribution des tailles

---

1
.,
148
et
la \\position
latérale
des
points
de
mesure.Les
plus
grosses
1
, 1
ii
bulles sont dé tec tées à
3 cm de
l'axe du 1 i t. La coalescence des
bulles .!se fait en direction de deux axes verticaux, symétriques par
rapport, au centre du lit.
[. i
2.) Fréquence des bulles
"1'
Les
expériences
ont
été
r~alisées à la vitesse de fluidisation
*
00
•
uf,égal; à 0,089 mis.
'; ,
.~.
i
:
A z-ll~., 5 mm,la fréquence de passage des bulles est importante au il,.;
\\
'. ~
"
centre ~u lit.Elle diminue hu voisinage des. bords(fig.7).
\\
~
A
la
cote
z=262,5
mm
la
courbe(fig.8)
présente
un
minima
à
.
.t~
y-O. Les; coalescences ont dirigé les bulles vers deux axes verticaux
situés à y-±30 mm où les maxima de la courbe se sont déplacés.Ceci~
est à ('origine des mouvements particulaire~ descendants au centr~~
du lit qui défléchissent à leur tour les bulles.
3.) Vitesse des bulles
Pour
comparer
nos
résultats
avec
ceux
donnés
par
la
relation
généralement utilisée:
tl'1
qui
pe~met le
calcul
de
la
vitesse
ascensionnelle
d'une
bulle
"f:
dans
un
lit
bouillonnant, nous
avons
tabulé
les
valeurs
de
K
:}:'
calculées à partir de la mesure de u :
ii
B
: r 1
:if
~;
(1)
r-
'f:
,
:}.
1
~~:
, i
Les valeurs de K sont indiquées
(tableau l)pour deux vitesses de
fluidi;~tion et à différents endroits du lit.Elles proviennent de
"k"
moyenn~s effectuées sur quelques centaines de valeurs.
Les vai~urs obtenues à partir de nos mesures
sont toujours en deçà
,
(1)
de O,s~valeur proposée par Pyle et Harrisson
.
,
Quand le point de mesure est éloigné de l'axe du lit(y-sO mm), la "
valeur'de K est relAtivement faible.Dans cette zone, la résultante
i
des
forces
exercées
sur
l'une
d'entre
elle
par
les
bulles
~ i
:
:
o. 1
1

---

149
environnantes a une composante latérale importante.Sa contribution
à l'augmentation de la vitesse ascensionnelle de la "bulle isolée"
est
très
en
deçà
de
u
u
' En
calculant
K à
partir
de" la
f
mf
relation l,nous sous-estimons sa valeur.Il en est de même lorsque
..
i
le
point
de
mesure
se
trouve
en
haut
du
lit,puisque
seule ';'une
',;,-'
fraction
réduite
des
bulles
contribue
à
l'augmentation
de,
la
-~~
vitesse
d'une
bulle
dans
cette
zone:ce
sont
celles
situées':; au
"~
'~
dessus
d'elle.La
relation ,1
est
le
plus
proche
de
la
réalité
à
}if',:
z-112,5mm avec y-O. Dans ce cas la constante K est proche de c~lle
.~
proposée par la relation de Pyle et Harrisson.
~

---

150
~ .
1 1 . )
RESULTATS DE LA SIMULATION
'r
Les
condi tions
ini tiales
de
la
simulation
ont
été
tirées
1
.. '
d'une photo du lit réalisée alors que sa vitesse de f1uidisation
"
".
:.
était de 0,067 mis.
La saisie des informations concernant les bulles ne commence
au cours de la simulation qu'après
stationnarité.
Les
conditions
portent sur le nombre de bulles dans le lit. Après la réalisation
de cinq événements, le nombre N(i) de bulles est enregistré. Le lit
est supposé en situation stationnaire si :
(N (i+l) - N (i )) IN (i ) < 0, l.
(N (i+2)
N (i»)/N (i) < 0,1.
(N (1+3)
- N (i») IN (i ) < 0, 1
Celle-ci est atteinte au bout de quelques secondes.
1°) Présentation des résultats
Les fonctions
de distribution de
taille
de bulles obtenues
pour les 14 tranches du lit par la simulation sont présentées aux
figures
9.
Au
fur
et à
mesure
que
z
augmente,
la
fraction
des
petites bulles diminue alors que celle des grosse bulles augmente.
3
Le volume maximum de bulle stable est de l'ordre de 38 cm ,
La
fonction
n
(z) .dz
constitue
une
moyenne
temporelle
du
nombre n de bulles entre z et z+dz.
Les variations
de nez) sont
indiquées en figure 10.On note d'abord une forte décroissance avec
z suivie d'une décroissance plus lente.
Les coalescences se font
essentiellement
dans
la
première
moitié
du
lit.Ce
phénomène
caractérise les lits profonds.Les parois repoussent les bulles vers
le
centre
et
la coalescence est très
développée
dans
le bas
du
lit.En haut du lit,elles sont très rares.Miwa et al(2) ont observé
le même phénomène en étudiant l'influence de la largeur d'un li.t
fluidisé sur la cinétique de coalescence.
Le
coefficient
de
variation
de
n,a ln,
est
représenté
sur
la
n
même
figure. Il
est
à
peu près
constant,avec
une
valeur
environ

---

151
égale à 1.Nous pouvons constater que l'écart type de la v.a. n(z)
est
très
souvent
supérieur
à
sa
valeur
mo,yenne.Ce
résultat
est
important. Les
fluctuations
étant
relativement
élevées, l'espérance
mathématique de nez) ne suffit pas à elle seule pour caractériser
le bullage.Le modèle
d'Argyriou et al
ainsi que celui d'Agarwal
présentent à ce niveau une limite puisqu'ils ne permettent pas de
déterminer les fluctuations de n(z). Par ailleurs ,les corrélations
entre les états des éléments présents dans le système ne doivent
pas
être
négligées:l'hypothèse
d'indépendance
entre
deux
états
quelconques n'est pas réaliste.
Le coefficient de variation de n augmente avec z .Ceci s'explique
par la diminution du nombre de bulles.
Ces
résultats
déterminent
complétement
les
caractéristiques
spatiales du bullage.
La
figure
11
représente
les
variations
du diamètre
dB obt;~~u à
partir
du
volume
moyen
des
bulles
V . La moyenne est ic:i,~ une
B
If
moyenne
spatio-temporeii~.
La
fonction
v
(z)
représente~t une
bt
moyenne temporelle du volume total v
(z)
dz des bulles s~€.~ées
bt
'!ît
entre z et z + dz,
rapporté à l'unité de hauteur du lit.
Ell~est
schématisée en même temps que le coefficient de variation de V~~(Z)
en figure 12.
..~
~'"
La figure 13 représente la fréquence des bulles.
~~.
Le débit volumique QB de gaz traversant le lit sous forme de bulles
.~.
est constant avec z et est égal
'.~
à sa valeur à z - O.
~-:1,
2°) Expression analytique de la loi de distribution de taille:ÎI
"!
L'objectif de la simulation était de permettre la résolution
de l'équation intégro-différentielle des bilans de population, do~c
de
proposer
une
fonction
analytique
f
comme
solution. ~Pour
l
réaliser cet obj ectif.
il nous suffit de trouver une fonction de
~
.
distribution
pouvant
constituer
une
bonne
approximation ijt des
distribution de tailles obtenus par la simulation.
Cette fonction
doit dépendre de v
et de z.
B

---

152
Les
fonctions
généralement
utilisées
à
cette
fin
sont
la
fonction 10g-normale(3) et les fonctions gamma(4). Juste. au dessus
du
diffuseur,
les
bulles
ont
à
peu
près
la
même
taille.
La
distribution correspondante peut être alors décrite entre autre par
la
loi
normale.
Au
fur
et à
mesure
que
l'on
augmente
z,
cette
distribution s'écarte de la loi normale.
Elle devient biaisée du
,i·
fait
de
la coalescence.
avec
un nombre
plus
élevé
de bullés
de
i
taille inférieure à la moyenne. Pour décrire de telles répartitions
.f
biaisées.
la
loi
log-normale
ainsi
que
les
fonctions
gamma; sont
j'
parmi
les
plus
appropriées,
Ceci
explique
leur
fréquente
utilisation pour représenter la distribution de taille d'éléments
croissant par coalescence,
La
fonction
densité
produit
du premier
ordre
est
supposée
être une fonction gamma.
V
v
- v
'
B
B
Bmin
v
est le volume réel des bulles.
B
3
v
.
= 1,34 cm .
Bmln
(2)
a
- 2
v B
(3)
y - - 2 - - 1 - À - l
a v B
sont des fonctions de z.
La fonction fl(z,v ) définie par:
B
x(z)(y(z)+l)
{
}
y(z)
(4) fl(z,v ) = n(z).----~~--- .exp -x(z),v
,v
B
B
B
r [y(z) +1]
i
Argyriou
et
al
pour
représenter
la
est
utilisée
par
~ ; ,
distribution des tailles .

---

153 :'
La fonction normée fi(z,v ) se déduit de f
B
l
fi (z,v ) dz,dv
représente la fraction des bulles de volume
.1
B
B
!
entre
v
et
vB+dv . situées
entre
les
cotes
z
et
z+dz.
B
B
n(z) . fi (z, vB)dz. dV
représente
le
nombre
moyen
de
bullf"
située
B
\\
t,
entre z et z+dz et ayant un volume entre v
et vB+dv
. La. moyenne
B
B
est ici temporelle.
~~.
x(z) et y(z) sont déterminées à partir du volume moyen des bulles
v
et de la variance de v ·
J1,
B
B
Les figures 14 représentent pour différentes valeurs;de z, la
fonction
de
distribution 'analytique
fi
en
trait
contin~:. et les
• !
résultats de la simulation en points. Nous pouvons dédùire de ces
:: ~.
'" .
figures que dans toute la partie étudiée du lit, les résultats' de
ij. .
.
,"".
la simulation sont bien représentés par la fonction analytique. Ces
.~{
constatations
sont
en
accord
avec
celles
de
Burgess:, et
~:t';
'. '~).
Calderbank(5) .
~.
3°) Comparaison avec les résultats d'autres modèles.
Dans
le modèle
d'Argyriou et al comme dans celui '~que nous 1
. '. ~
avons
développé.
le
nombre
moyen
de
bulles
f
est
d~~~it j par 1
1
i
l'équation
:r
'~:,
(6)
1
,~
j
;
ï
Le
système
étudié
est
caractérisé
par
les
fonctions
x(z), 1
,
.
\\
y(z) ,nv(z)
et
par
le
coef.:/cient
de
variation
de
1a;vari l!-b1e 1
aléatoire n . La fonction Tl (z) déduite de notre simulation a été'
vv:~,.
4'
. \\
comparée à celles proposées .. par différents
modèles.
_ ' . j
Les fonction x(z) et y(z) ne dépendent que du volume moyen v
et de i
,
B
i
~
,
C1 2
/-2
v .
Pu i sque
notre
i
1
s..,.~u at i on
a
éte'
é
r li
a s é e
. en
lit 1.
vB
B

---

ri ,
i'
:1'
li
: rl
H.
''-,
.
l.~
1
, i :
..:~
'.
,
154
,
~:~r:
i i
!.!
l'{
,- 1
~ 1
;
j;
'i
"
bidimensionnel alors que les autres modèles sont conçus pour un lit
..
tridimensionnel,
nous
avons
comparé
le
diamètre
d.B
des
bulles
T
-2
obtenu à partir du volume moyen vB.Les valeurs
de
0vB/vB que nous
avons calculées ont été comparées à celles publiées par Argyriou et
al.
a) Variation de
diamètre
moyen
des
bulles
avec
la
hauteur
(figure 15).
Notre modèle donne dés résultats proches de ceux d'Argyriou
et al. Le diamètre moyen que nous obtenons est légérement supérieur
,
à celui fourni par leur modèle entre z = 0 et z -
200 mm. Au delà,
l'écart commence à
s'accentuer pour atteindre
0,5 cm en haut du
lit.
Dans
le modèle
d' Argyriou . et al, la vitesse relative des bulles
est supposée constante. Le temps de coalescence n'intervient pas.La
coalescence de deux bulles n'est possible que si elles sont: à la
même
cote
z.
D'autre
part,
ce
modèle
fait
l'hypothèse
que
la
;
répartition latérale des bulles est uniforme dans toute la largeur
i
du lit. Ces hypothèses auraient tendance à
sous estimer la taille
des
bulles
par
une
diminution
de
la
fréquence
des
coalescences
surtout vers le haut du lit. Les travaux de Clift et Grace (6,7) ont
i!.
montré que
la coalescence de deux bulles
est
très dépendante de
,
, i '
leur vitesse relative et que le temps de coalescence joue un rôle
3
important.
Werthe/ ) a étudié de
façon détaillée
la répartition
des bulles dans un lit fluidisé et mis
en évidence des
zones à
forte probabilité de présence de bulles et d'autres où celles-ci
sont absentes.
La simulation que nous avons réalisé fournit des tailles moyennes
de bulles inférieures à celles obtenues à partir de la corrélation
de Werther
(8).
L'écart d'abord faible s'accentue progressivement
quand
z
augmente.
Ceci
p~ovient
probablement
de
l'hyp~th~se
introduite dans le modèle de ~Werther et considérant que lorsqu'une
'i
bulle de volume v
coalesce avec une autre de volume v
, la<bulle
Bl
B2
il ' .. :, {
: ri '
.-:\\ '
,
.1
résul tante
n'a
pas
comme
volume
la
somme
des
volumes
des
deux
bulles. Selon Werther il y aurait un transfert de gaz de l'émulsion
. . i
.,.; 1
:
1
~ 1
1
..
i'
:1

---

155
à
la bulle
résultante
de
sorte
que
le
volume
de
celle-ci
soit
environ
l,15.(v
+v
).
Dans
le
cadre
de
notre
simulation,
nous
Bl
B2
n'avons pas utilisé cette hypothèse.
La fonction dB(z) obtenue avec le modèle d' Agarwal donne les
tailles les plus faibles.Ce modèle utilise 4 paramètres ajustables
et une approche plutôt déterministe de l'étude du bullage. Seul la
vitesse relative des bulles est prise en compte dans
la fonction
fréquence des coalescences. Une comparaison avec les autres modèles
n'est donc pas immédiate.
b) Variations de la fonction n
(z).(figure 16)
v
La
comparaison
concerne
les
modèles
d'Argyriou
et
al,
d'Agarwal et notre modèle dans deux cas:
un
cas
1
où
le
modèle
de
base
est
utilisé
avec
une
distribution de volume obtenu expérimentalement comme condition aux
limites.
- un cas 2 où nous avons utilisé comme condition aux limites
des bulles de même volume égal au volume minim~ des bulles.
L'écart entre les courbes des cas 1 et 2 de notre modèle est
d'abord très important.
Cependant il diminue très vite et au delà
de z =
100 mm les courbes se superposent. Les bulles semblent ne
plus avoir en mémoire leur répartition initiale.
Ce résultats est
très
interessant
pour
l'utilisation
de
notre
modèle
en
lit
tridimensionnel où l'on ne peut pas obtenir facilement la fonction
de répartition des tailles à l'origine.La comparaison des courbes 1
et 2 de notre modèle montre que le nombre volumique de bulles dans
la région au dessus du diffuseur est très dépendant des
conditions
aux
limites.Celles-ci
sont
à
leur
tour
liées
à
la
nature
du
distributeur. Puisque
les
mêmes
types
de
diffuseur
ne
sont
pas
utilisés,il est normal qu'il y'ait des écarts importants entre les
·'"0-
résultats comparés dans
le bas
du lit.Au fur
et à mesure que z
augmente,le bullage devient insensible aux conditions initiales et
!
"
:, ~
::: ..
t:-~ ...\\~.~.:~-. -,
> .

---

156 .-
les
deux
courbes
se
rapprochent. Nous
pouvons
considérer
que
nos
résultats
sont
en
accord
avec
ceux
du modèle
d' Argyriou et
al
à
partir de
z=60 mm. Par contre
la diffèrence
avec
ceux publiés par
Agarwal est non négligeable.
2
-2
c) Variation de 0vB/vB avec z (figure 17)
C'est
à
ce
niveau
que,
le
désaccord
entre
les
résultats
de
notre
modèle
et
ceux
du
modèle
d'Argyriou
et
al
est
le
plus
important.
Alors que le notre fournit des valeurs autour de l,
les
leur sont comprises entre 2 et 3.
4°)
Evaluation
de
l'importance
des
différents
éléments
consitutifs du modèle.
Le modèle de base tient compte des scissions.
Les conditions
aux limites (z = 0) de la fonction de répartition des tailles ainsi
que la fréquence d'entrée des bulles dans le l i t ont été mesurées.
La
forme
des
bulles
est déterminée
par
tirage
aléatoire
à
partir
des
résultats
expérimentaux.
La
différence
fondamentale
entre
ce
modèle de base et celui de Shah et al repose sur l'introduction des
vitesses
relatives
ainsi
que
du
temps
de
coalescence
dans
la
détermination de la cinétique des coalescences.
Pour
évaluer
l'importance
de
chacun
de
ces
éléments,
nous
avons réalisé des simulations dans différents cas :
- un cas a où les scission sont négligées
- un cas b où les bulles sont supposées sphériques.
-
un cas c
où la
taille des bulles est supposée uniforme à
l'entrée du lit.
- un cas d où la vitesse relative des bulles n'est pas prise
en compte. Dans cette situation le modèle ressemble à celui de Shah.
et
al
à
la
différence
près
qu'il
n'y
a
pas
de
coefficient
ajustable,
multiplicateur
de
la
fonction
fréquence
des

---

157
coalescences.
Les
figures
(18)
montrent
une
certaine
importance
de
la
fonction de répartition utilisée dans les conditions aux limites.
L'utilisation à l'entrée du lit de bulles de taille uniforme,égale
à
la
taille
minimum
des
bulles,affecte
surtout
les
premières
classes de l'histogramme.
Dans les cas z ~ 212,5 mm et z .. 262,5
mm,
la
différence
avec
les
résultats
du
modèle
de
base
est
importante
pour
les
deux
premières
classes
mais
l'écart
diminue
avec les classes de taille supérieure.
Les figures (19) montrent que les scissions ne jouent pas un
grand rôle et que les bulles peuvent être supposées sphériques. Par
contre,en ne tenant pas compte de la vitesse relative des bulles,
nous obtenons des résultats très différents de ceux du modèle de
base.Les coalescences deviennent très importantes et ont lieu dans
la partie inférieure du lie. Toutes les fonctions caractéristiques
du
bull age
sont
profondém~nt modifiées.
Le
nombre
volumique
de
bulles
est
très
faible
et
celles-ci
sont
plus
grosses.
Les
fonctions de distribution dès tailles changent qualitativement.
il

---

158
III.)
COMPMAISON SIMULATION-EXPERIENCE
---------------------------------
!
La
sonde
ne
peut
pas
détecter
les
bulles
trop
petites
présentes dans le lit.En vue d'une comparaison entre les résultats
théoriques
et
ceux
de
l' exp~rience.ce
facteur
doit
être
pris:- en
compte.Les histogrammes doivent être tronqués.
1
'4
J
La fonction de distribùtion des
tailles
fi'
fournie
parj la
-!-~
--
4
simulation est une fonction de distribution spatiale. fI (zs' vB),;dz s
dV
représente le nombre de bulles de volume entre v
et et v + dV
B
B
B
B
of
"',
situées entre z
et z + dz .Un observateur au point de mesure de la
bi-sonde placé ~ z - sz
v:r~ passer des bulles avec une fon~~ion
s
i
-
de
distribution
non
spatiale. qui
sera
ainsi
différente:, de
~
fI' [zs,vBJ .Les
résultats
exp,érimentaux
seront
donc
traités
a~ant
leur comparaison avec ceux de la simulation.
1°) Troncature des histogrammes:
,-'-....
A
la
vitesse
de
flu~~disation U -O.067 m/s,la plus 3Pe~ite
f
bulle détectée par les sond~~ a un volume v
de 1,34 cm . ~oit
Bmin
v '
le
volume
réel
des' bulles
détectées
Nous
comparerons,;i les
f:nctions
de
distribution
théoriques
et
eX~ériment~l~;'''f
..
,;,;
d~
2°)
Transformation de
la
fonction
expérimentale
de
-.
distribution des bulles en fonction spatiale.
Soient
Pr(i)
la
probabilité
de
détection
des
bulles
i
de
volume vB(i) par la bisonde,n(i) leur nombre volumique et n'(~) le
nombre moyen de bulles i dé~ectées par unité de temps.
La
technique
de détection ~_~ue nous avons développée,
nous p~rmet
de ne pas tenir compte des, bulles dont l'axe est distant du point
de
mesure
de
plus
de
O,2d
La
probabilité
Pr(i)
de
détection
W
d'une
bulle
i
est
donc
proportionnelle
à
la valeur
~(i) de la
longueur de son axe horizontal.
1
,-
"
~", ",if.

---

159
D'autre part, le nombre de bulles de volume vB(i) franchissant par
unité de
temps
la droite
z -
z
est proportionnel à
la vitesse
s
uB(i) de ces bulles.
Nous pouvons donc écrire:
n'(i) est proportionnel à n(i).dH(i).uB(i)
la fonction de distribution des tailles fi se calcule à partir de
n' (i) :
n'(i)/dH(i).uB(i)
fl[vB(i)] -------'---------------
.[ n'(j)/dH(j)·uB(i)
J~l
à
imax
imax est le nombre
total de classes.
Les valeurs ~(i) et uB(i)
constituent des moyennes effectuées avec l'ensemble des éléments de
la classe i.
,
7:
3°) Calcul des volumes de bulle à partir de la mesure de dv
Nous
nous
somme
ser~is
de
la
droite
médiane
entre
celle
délimitant
les
points
sur
les
figures
(2)
et
(3)
du
chapitre
précédent. A partir de d
(i), d
(i) est déterminé et le volume de
v
H
la bulle calculé.
'·I~"{·
...-::$:
"
;\\:' ~
4°) Comparaison des résultats expérimentaux et numériq4és
fl~~
Les
mesures
effectuées
au
chapitre
II
montrent
que
la
détection des
particules
est d'autant plus
facile
que
celles-ci
sont grosses,
dans
la gamme' des
tailles
couramment utilisées
en
fluidisation.
Par ailleurs, ," plus
la vitesse
de
fluidisation est
..;
grande, plus la taille moyenne des bulles est importante ainsi que
la circulation particulaire à leur frontière. "
Les expériences ainsi que la simulation ont été réalisées~dans les
. ;'
conditions suivantes:

---

l
~160
u
=1,29
f
1
Il ne s'agissait pas là des conditions les plus favorab1es.Si les
résultats
sont
validés, nous
pouvons
en
déduire
un
domaine
d'utilisation relativement vaste de la technique de mesure.
'0,
Il
Y
a
un
bon
accord
globalement
entre
les
résu1ta~s
j,'
expérimentaux et ceux de la simulation. Pour les cotes z - 112,5;inm
~
(figure 1ge
),
z =
162,5 mm
(figure
19d),
z
-
187,5 mm
(figure
~.
19c), la concordance entre les résultats est satisfaisante. Poui,! z
J
~ 212,5 mm (figure 19b) il Y a un léger désaccord qui commencéAà
s'accentuer à
z
~ 262,5 mm (figure 19a). Dans tous les cas,.t1a
.
. 'l"t
simulation
i
sous
estime
la
taille
des
bulles
comparée
à
l'expérience.
..~
L'écart
entre
la
simulation
et
les
mesures
serait
1ié~ à
l'hypothèse de répartition latérale uniforme des tailles de
*
bu11~s,
,_
utilisée dans le modèle. Cette hypothèse n'est pas réaliste. Nous
à,
avons
donc
essayé
pour
chaque
cote
de
mesure,
de
déterminer
l'histogramme
moyen
des
tailles
à
partir
de
ceux
obtenus. à
{.
ri
différentes
positions
latérales
pour
une
comparaison
avec
le
modèle. La tentative a échouée parce qu'il nous
fallait des
temps
~
trop longs pour obtenir un échantillon de mesure statistiquement
~
signifiant.
Ceci serait dû à la trajectoire
très
souvent oblique
des bulles hors axe,
ainsi qu'à leur fréquence faible.
Puisquej1a
~
technique de mesure ignore les bulles excentrées et à trajecto!re
oblique, la fréquence des mesures validées devenait trop faib1e.i
La répartition des bulles dans un lit fluidisé en fonction!de
l'excés de gaz de f1uidisation et du rapport entre la hauteur et~le
diamètre du lit a été étudiée par Werther(3). -Dans les conditi~ns
~'
de notre simulation
(u
~ 0,052 mis; u
-
1,29;
HI! > 1) nous
mf
f
avons une zone à forte probabilité de présence de bulle versÎ- 1e
centre du lit avec les plus grosses bulles sur l'axe du 1it.ÎAU
dessus du diffuseur,
la répartition est uniforme. Mais à caus~'de
!If
la
coalescence
vers
le
centre, une
ségrégation va
se
développer
!li'
rapidement, les grosses bulles se retrouvant vers l'axe du lit, les
;t,
petites sur les cotés. Cett~ non uniformité d'abord peu importante'
t

---

161
va se développer avec la hauteur. La coalescence vers le centre des
't·.
..~
"
;;~t.
bulles est
auss i
à
l ' origineildu mouvement
global
des
particules.
~~
;:.:{~o/;.:
Les bu~les les transportent 19rs de leur ascen~ion à la surface:::du
lit.
En
éclatant,
elles
le_~'projettent vers:1es parois le l~ng
desquel'~ elles redescendent:~f~'i::e mouvement parÙculair~ à son, tour
. .~~~~.
i:"
;,;. .'
. .:
contribue
à
amplifier
la!~::;:~oalescence vers:~, le centre où :;':ies
"'~~'.
j :~.:.:~.
.
particu,les chassent les bull~'~.
"'<,<;;~ ",
?~isque nous avons réaÙsé nos mesures a~ centre du lit';,:'~es,
tai1ie~' obtenues sont sJp:t~ieures à celles fourni~s '. par:jha::
simulafion
qui 1 elle 1 effectuêS une
moyenne
sur
l'ensemble"
des
.'~
j-:l~i~:t
~;.
' . "',.;'.);
résultats
que
fournirait:~{t1a
sonde
à'
différentes f positions
~..
;..)~....
latérales.
L'écart de
plus:' en plus important avec la hauteur est
aussi lié au développement de;la ségrégation.
ii
Dans
toutes
les
zones, étudiées 1 les
mesures
ne
fournisseni '
pas des tailles inférieures à celles obtenues par la simu1ation.L~
principe
de
mesure
est
trés
sélectif. Il
permet
de
ne
pas
tenir
compte des bulles excentrées.
,..: .
•11:;,
·h-
.'i.
,i:·
" iF
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i
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'~J!;"'
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---

~'
~
f
1
"
t
162
Val. C LI r s
d ('
k
() b tell LI ie spa r I . ' exp é rie n ce.
ofl
,lU
centre
Ju
lit.
k
IU,S
0,34
1 (l'l, ')
0,40
1'<37,5
0,34
212 , 5
0,3 l
262,5
0,32
UE/U
= l , 7 l
mE
z
= 262,5 mm
y
en
mm
T
0
0,36
l6
0,32
30
0,33
50
0,22
z
= 112 ,5
mm
~,
'.
,',
iii~
Y en
mm
k
f
L
'
,
tj..
~ '. -
')
0
0,46
t
t
16
0,40
~~"
'i(
30
0,38
'!
50
0,23
;';.
';(
.:,
Tableaux 1

---

163
LISTE DES FIGURES DU CHAPITRE VI
Figure 1 : Evolution de la :fonction de distribution des volumes
avec z à u
0,067 m/s
f
;
Figure 2
:
Taille moyenne· des bulles détectées par la sonde.
u
- 0,067 rn/s, y - 0
f
Figure 3 : Evolution de la ;fonction de distribution des volumes
,
avec z à u
- 0,089 m/s
f
Figure
4
:
Taille moyenne, des bulles détectées par la sonde.
u
- 0,089 rn/s, y - 0
f
Figure 5
Evolution de la fonction de distribution des volumes
avec
la
distanqe
y
à
l'axe
vertical
du
lit
z -112,5 mm
u - 0,089 m/s
,
f:
Figure 6 : Evolution de la fonction de distribution des volumes
avec
la
distance
y
à
l'axe
vertical
du
lit
z -
262,5 mm, u
- 0,089 m/s
f
Figure 1
Fréquence des bulles en fonction de la distance y à
.."'"
l'axe vertical du lit. z - 112,5 mm u
- 0,089 m/s
f
Figure 8
Fréquence des bulles en fonction de la distance y à
l'axe vertical du lit. z - 262,5 mm u
- 0,089 m/s
f
Figures 9 :Evolution de la fonction de distribution des volumes
obtenue par la simulation
Figure 10
Nombre moyen n de bulles, en fonction de z. Coefficient
de variation
ae n en fonction de z

---

Figure 11
Diamètre moyen aes bulles en fonction de z
1
, 1
!
1
Figure
12
Volume
total
moyen
des
bulles
. Coefficient
de
1
i',
variation du voiume total
,:
r
Figure 13
Fréquence des bulles
i
Figures 14
:Comparaison entre les résultats de la simulation et
la fonction analytique de lissage
Figure
15
Comparaison
entre
le
diamètre
moyen
des
bulles
obtenu
avec
notre
modèle
et
ceux
obtenus
avec
d'autres modèles.
Figure
16
:
Comparaison entre
le
nombre volumique
de bulles
obtenu
avec
notre
modèle
et
ceux
obtenus
avec
d'autres modèl~s.
j
Figure 17
Comparaison du'coefficient de variation obtenu avec
. ,t'
~. ~t
notre modèle et celui obtenu avec modèle de Argyriou
.~
et al
ta
;j::'l
.{_G~~
~ ~f{
Figure
18
Comparaison entre
les
fontions
de
distributiorii·de
ii::
volume de deux simulations
.~+
p
~,d::
Figures 19 :comparais~n ~ntre
les
résultats
expérimenta~;ljet
ceux de dlfferentes simulations :z-112.S mm
~:

---

~~~~ --'r..~:.:-;~
:··:j}~~::c~;~.~~:~::~<~~.~X'_~<::·>·:~ :'~ ~~·'t~-~. -:.~';'.
,
100~H 1
Figure l ; Evolution de la fonction de distribution des volumes
avec z à uf = 0,067 mis
80.00
70.00
z-O:
50 mm du distributeur
Ut-0.OS7 mIs
60.00
~
\\
+
z-112.5 mm
<)
.
-
z-162.2 mm
50.00
~ x\\ \\
)(
z-1B7 . 5 nùÏl
0
z-212.5 mm
40.00
1-
\\ \\\\ \\
'il
z-262.5 mm
30.00
20.00
10.00
0.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
.....
a-
Yb en cm3
V!
i
1
~

---

~' ,
::
~ ..
• ,,-.~ --! .~.
'~-~.\\~~{r:,~;.. ....';?;,'.,.
'~:' .....
' f '
'''.t.
;'''~l., .::,
~)
Fi gure 2 : Ta il1 e moyenne des bull es détectées par 1a sonde.
u = 0,067 rn/s, y = 0
f
dB en c.
5.50
1"
1
l
1
v
".75
~
-
v
<4. 00
~
./.;,.<
v
exp.
-
U,-0.067 ../a
3.25
~
-
v
2.50
\\-
-
1.75
1 -
-
1
1
1
L
1. 00
0.00
70.00
1-40.00
210.00
280.00
350.00
......
0'
.
..
0'
,~,~.~~-
~. ~:" ..
.
";.' '!.-'::.i":r-:~.":,""""":....,~."~,,,,,,:-,,,,~,,~:_ ...•._ ._•.:..~......;~. :'!"J!~
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en IIR)
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~.'
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~.
Figure 3 : Evolution de la fonction de distribution des volumes
1
avec z à u
100 H f1
f = 0,089 mis
70.00
Uf·0.089 mis
60.00
(>
z-112.5 mm
+ z-162.5 flm
50.00
o z-212.5 mm
r~~1~t~.;\\'<
'V z-262.5 mm
~~~~I\\,,;\\T-;.~:~~t~~~l·:~:;_~:"I·;·"~~~;.
-", -,
'''.'~'<f.~~~$8-;'~'''~~'''''!'~\\~.'
,'~'.",r;~,,,,,~;.,,,q,,,,,~"":.~."
.."
" '''' -
4Ô. ôèf'"
~'\\~~\\4L"" ":·~~~..;",~i~;:...,.,;;;ikiik~~,~~ ...
..JEfE::'~1i~~:~=:~:~:;;~~
30.00
20.00
10.00
:.~
;~
0.00
~
10.00'--''15,-00
0.00
5.00
20-, 00
25'~ 00
30,00.··.. 35.00·---.40-,-00,.--_,__ ._
1--'
C\\
--.J
Vb en cm 3
-1
'......
-,.
~~
'~l;!
........-.. ,."".._-.~.~..___~----~.~'""-~~_A
..~,:'~

---

··'t.
,'. ::,::~(:.:) /r.:t'::'(y{;;t;f~;·:;\\J{~~~i+'ik;rf~.".:< ,.~~:~:_.;~':',
Ta i 11 e moyenne
des
bull es
détectées
par l a
sonde.
Fi gure 4
u
°
= 0,089 rn/s, y =
f
de en c.
5.50
+
~.86
+
~.21
+
exp.
-=-' ~
.'"-\\-.r:~1V!"1.}··:-:"!•. ..
':;'··~l:.{:-;_..,. ...-=>"""""", -.
~.w~·~,· ~'~.~~~~~~..~. ~-_. '~'-""""""""'-_~;:ofi\\"'='
~.''J::
~~r;.. .~iïi1:t;~~:r~~~:·,
'~'·,:'~~t~'!i::&!I{";.T';:~'~'''; .;;r;;~IW,:·.·~\\,:"
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2.93
..:it.I;~~-::":...';.:- :~~./r
:::...:,..;:~,i-~~",," .~irr~ .'
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2.29
1. 6~
. .
~':
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. <,~. , ,~
r~
. _
1. 00
.....
0\\
0.00'
70.00
1~0.00
210.00
280.00
350.00
0:.
Z ln mm
---_._-...._-,..-

---

.... '
"
,
Figure 5 : Evolution de la fonction de distribution des volumes
avec
la
distance
y
à
l'axe
vertical
du
lit
,
1001(f 1
Z = 112,5 mm, u
= 0,089 mis
f
70.00
60.00
Uf-o.oag mIs
z-'112.5 mm
50.00
o centre
o 16 mm de l'axe
'rô~.:i~\\::m:.~;l'1::t.i~)lô;r:~~'\\!;~i;~'~~~~~I~.~.·
..'" _':"~
30.00
20.00
10.00
0.00
-- -'.;..':.~";."..:-.~. "
0.00
5.00
10.00
15.00
20 :--00
25.00--'-30':-00
·35;::0~40.-00__.. _.,,__
......
J \\
Vs en c:m3
~
j
----
"-.
--'---.. _-
- - - - --_.. ---'---'.'"
" -
-~...
- ~
- '
~
.~

---

·,~,,~:\\
<
,.: ..
".1' •
Figure 6
:
Evolution de la fonction de distribution des volumes
avec
la
distance
y
à
l'axe
vertical
du
l i t
,
z - 262,5 mm, u
- 0,089 mis
100 M f1
f
50.00
45.00
z-262.5 mm
40.00
Ur-0.OB9 m/I
(>
au centre
35.00
9
16 mm de l'axe
30.00.,
~~;~~~~:~,~,~~~~~Id~ "•.
,.
..' 'W'!J$; l '~~~~,:''''';>'
"-
........,.!.
o
~~:'
:.r{~?J'!;'i- .
30 mm de l'axe
. '
:;'i;;':"";''f.'.'·'·'~'W~l'·'''''::~'!''!·-"''''i''f.':~~if~''''i.~'''~
""'f~~\\~r'fIJr~(Y7!9-{:~~-·---~1~~.'
..i:1~~if;t~{Y: ~.·'Y ~)'i~~k
.
+ 5 0 mm d el' a x e ' ~"U" "'.~", - ,.'''~'Il!#ol\\ll<''._\\;, ~','>J
••
j ," •
,
. . . . . "''''_I.."•."",.~,..
25.00
20.00
15.00
10.00
S.OO
0.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00 :35.00
40.00
.....
~
; •...'::.-
Vb en" cm 3
~..
-.,.-----,-.---_....:.......:..._--..:-::.-:..
','
. ..::._..:..._--_..::._--------------"'-'-_..- ... ....-.-
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171
;~ ..
~%.~.,.
.,: .
-.;~'
.~
t~
,).:!'
<t:'~,
ln>
t~
Figure 7
Fréquence des bulles en f~nction de la distance y à
l'axe vertical du lit. z = 112,5 mm u = 0,089 mis
f
fr en Hz
0.40
1
1
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1.
0.3.4
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..
0.29
'
f-
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0.23
-
-
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0.17 t-
-
0.11
1-
-
O. 06 1-
-
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"
IV
0.00
1
1
0.00
12.00
2.4.00
36.00
48.00
60.00
·;,T
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i
172
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Figure 8
Fréquence des bulles en fonction de la distance y à
!
l'axe vertical du l iL z =)62,5 mm u .. 0,089 mIs
f
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,.
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fr en Hz
*
0.40
v
0.35
Ut-0.089 mIl
0.30
z-262.5 mm
0.25
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j
0.20
11
0.15
j
t
0.10
J1
O.OS
v
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0.00
0.00
12.00
24.00
~36. 00
.48.00
60.00
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Figures 9 :Evolution de la fonction de distribution des volumes
obtenue par la simulation
,
Figure
9a
100*f1
80.00
Simulation
70.00
Uf-0.OS7 mis
SO.OO
+
z-j2. 5 mm
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50.00
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z-62. 5 mm
'1
z-87.5 mm
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30.00
20.00
10.00
......
......
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0.00
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Figure
9b:Evolution de
la
fonction
de
distribution
des
tailles
obtenue
par
simulation
100 M f'1
80.00
simulation
70.00
Uf-0.067 mis
60.00
+ z-112. 5 mm
o z-137.5 mm
"t'.
t"J.
:-~;~.
50.00'
o z -162 . 5:" mm '. ,
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"V
z-187.5 mm
40.00
30.00
20.00
10.00
'..
0.00
.....
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
---J
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----
~_._-
--- --- --------- __ ----yb--~n. cm 3
- - -~----
--- -- ---.. - -- '-- - ... -- ~
-- j

---

figure
9c:Evolution
de
la
fonction
de
distribution
des
tailles
obtenue
par
simulation
,
100*f1
..'.~H~.1i~; ~'6;,,:~,::'
50.00
45.00
40.00
simulation
35.00
Uf-0.067 mis
t.~1${~@.1:~;,:'.\\~«. ",'I:'}'I~Ô'1;;:MÔ:b
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o
z-237.5 mm
25.00
"il z-262.5 mm
20.00
15.00
10.00
5.00
i/i.Jiii
- ~ '."' ~~(~,~,~~,~.- '.,
0.00
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0.00
5.00
10 ~ '00"
"15.00
. 20.00
25~00
30;00
35,0040.00
~
V·
V
en cm 3
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Figure 9d:Evolution
de
la:fonction
de
distribution
des
tailles
obtenue
par
simulation
,
100+H1
35.00
30.00
Simulation
25.00
Ut-0.067 mis
o z-287.5 mm
.. '.. ,....;
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20.00
o
z-312.5 mm
V
z-337.5 mm
15.00
10.00
5.00
0.00
'0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25,00
30,00
35,00
40,00
.....
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Vb
en cm 3
0'
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de variation
de n en fonction de z
1S0.00
limulation
140.00
Ut-O. OS? mis
<> n
m-'
120.00
v c:. d . v. de n
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80.00
SO.OO
40.00
20.00
0.00
,.....
0.00'
50.00
100.00
1!50.00
200.00
250.00
300.00
350.00
.......
.......
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da en Cil
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11111.
3.50
Uf·0.067 mIl
3 • O.q,;,_:-:; 1\\
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2.00
1. 50
1. 00
1-'
'-J
co
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
-~-------_·-z -en-l1m--

---

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Fig'-"re
12
:Volume
total
moyen
des
bulles;coefficient
de
variation
du
volume
total
des
bulles
22~.00
simulation
200.00
Uf-0.067 mIs
o Ybt
.
en cm 3 /m
17~.00
\\1
c. d • v. de Yb
150.00
' .. ,.Ji,.;.~~::'
125.00
100.00
75.00
50.00
25.00
0.00
......
-.J
0.00
!SO.OO
,100-.00
1!50;00
200.00
2S0.00
300.00
'3!s0.00
\\D
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z en mm
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Figure
13:Fréquence des
bulles obtenue
par
simulation
fr en Hz
30.00
2~.00
simulation
Ut-0.067 II/S
20.00
15.00
10.00
5.00
" .'<~:'
0.00
......
0.00
. 50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
co
o
-z en .11

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FigureS14
:Comparaison
entre
les
résultats
de
la
simulatioll
et
la
fonction
analytique
de
lissage
,
100 Mf1
Figure
14a
80.00
v
U.,-5.2 CII/S
70.00
U,/U.,-1.29
z-1.2!5 C.
60.00
"V st.ulat1on
-
courb't analyt1qui
50.00
Z-O:~O •• du d1str1buteur
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040.00
30.00
20.00
10.00
~
. 0.00
0.00
2.00
".00
6.00
8.90
10.00
12.00
14.00
j
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1
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VB en c. 3
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14b
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100M f 1
80.00
U.,·5.2 CII/.
70.00
U,/U.,.1. 29
z-3.75 Cil
60.00
\\l
slltUlatlon
courba analyt1que
50.00
z-O: 50 •• du d1str1buteur
~O.OO
30.00
20.00
10.00
0.00
0.00
2.00
A.OO
6.00
8.00
10.00
12.00
1".00
......
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Vs en c.3

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14c
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60.00
v
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U,/U.,-1.29
z-6.25 Cil
40.00
-- courbe analytlque
'1
.1ItUl.tlon
30.00
ZaO: 50 .~ du dlstr1buteur
20'.00
v
10.00
0.00
0.00
2.00
41.00
6.00
8. 00
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40.00
35.00
U.,-!5.2 cm/.
U,/U
30.00
fO ,-t.29
z-S.7! CRI
courbe analyt1qui
2'5.00
v .\\lIUlat 10n
20.00
z+,O:SO am du distributeur
v
1!5.00
.....
v
10.00
v
'5.00
0.00
0.00
2.00
".00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
~
co
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VB ln c. 3
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14e
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U.f-!5.2 cm/II
70.00
Uf/Ullf- 1 . 29
z-11.25 Cil
60.00
courbe analyt1que
v • 1IRU lat 1on
50.00
z-0:!50 .~ du d1str1buteur
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
......'
CC'
VB en
V1
Cil!

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courbe analytlque
v Il_ulatlon
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z-O:!SO M~ du dlatrlbuteur
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10.00
0.00
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10.00
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2!5.00
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35.00
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zaO: 50 Mm du d11tr1buteur
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U,/UIl,-1.29
30.00
z-16.25 CM
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simulation
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z-0:5 cm du distributeur
10.00
0.00
0.00
. 5,00
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20.00
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courbe analytique
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z-0:5 cm du distributeur
10.00
5.00
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z-23~75 cm
"V
s 1mu lat ion
20.00
courbe analytique
15.00
z-0:5 cm du distributeur
10.00
~.
5.00
..
0.00
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-
0-.:00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
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35.00
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v
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Umt-5.2 cm/s
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"V
s1mu lat ion
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20.00
-- courbe analytique
15.00
z-0:5 cm du distributeur
10.00
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0.00
"
0.00
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10.00
15.00
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Umf-5.2 cmls
Uf/UlJlf-1.29
25.00
z-28~75 cm
'V simulation
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-
courbe analytique
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15.00
z-0:5 cm du distributeur
10.00
5.00
0.00
,.,~",~~.
~_ "
0.00
5.00
10.00···'·15~00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
.....
\\0
"", -v_-_ '...... ...'~-.--~....~~..--.-':';':'_-..~.~.~...._ ..~._~__'"~~ __..---~YB !!!L:'."3 ..~ ._.
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_
l'V
..it>.
-~.-

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.... ' ~~~' ~
~~: :":'~, ,.~;~~,;~.~ :.~
Figure
14 m
1
100*f1
35.00
z~0:5 cm du distributeur
30.00
Umf-5.2 cm/s
Uf/ Umf- 1 . 29
v
25.00
z-31.25 cm
.....
\\l simulation
\\
.-
20.00
-
courbe ana 1yt ique
15.00
..::"....'.(....,.,." ...,... -
I··....<••~~........
10.00
5.00
1
1
f i l
1
=:r:
v 'I-""-'~~v""""'~-'"-~r;;;,~"''\\>';''''''~~--~'"'''''''''-'-'=.-'
0.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
t-'
\\0
W
Vs en cm3

---

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ï:,:,
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figl,lre
î 4n
l
100*f1
30.00
Umf-5.2 cm/s
Uf/Umf- 1 . 29
25.00
Z-33.75 cm
\\1 simulation
"V
20.00
-
courbe analytique
•. }';"'·:-!f~:;i;~~~' i·"'
le
... lé;';Ç7fc'\\%R;g:~W ' 'K~1~r<#~'t1~?::~~~I~~}:i#\\W~i.K":;. .t~~:;~~~~~~Z:kJ;~,,,,\\.,.,~~~,;:,
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.-: 'j1[\\;'~~~~~1{l~"}~~;'"
'<:::'!
15.00
z-0:5 cm du distributeur
10.00
~ ,;,~
~::;,.:'
•.'J'.-'
. ,!~
5.00
g~ Q~Oé~60·:::~·:P"5::·OO~!ci;9~'c·~5~()9~~;·~:~o·:·oo,r-25':'00" .30.00 35 . OO'."::-~O •00
1-'
\\0
~""
v~·.e~' 'c:m3
~
._-._._._--_.
-. __'_'-

---

('
.;.,".
, ....
Fi g u..re
15:Comparaison entre
le
diamêtre
moyen
des
bulles
obtenu
avec
notre modêle
et
ceux
obtenus
avec
d'autres
mod~l~s
da en cm
5.50
Z·O: ~O Mm du d1atr1buteur
5.00
+
ARGYRIOU et Il (Umf·O.O~5 ml. Uf/Umf·1.~)
\\7 notre 'modele
4.50
o WERTHER
o AGARWAL
4.00
UmtDO.0!52 In/.
;/fl;:;~}~~::.
:~·;~111j~j~
;:. ··r .
<
.... .J;\\1 ~;~1{~1j f'/U ," f; 29
3.50
m
';.~4~':~ ,~~~.::.
:~~~~~
3.00
2.50
2.00
1. 50
1. 00
._,_.~<~,.:,
--:...::'
:t~.~/·~",,,,,··"·lr;~"Y~
~,:"
0.50
0.00
50.00
10·0.00
150.00
200.00
2!50 .. 00
300.00'
3!50.00
~,
\\0
'..Il
Z ln mm
.--._.,._._--.. --------'--~._._-.._---~._-

---

Il'
l ' -
,'1, . ' :
Figure
16:Comparaison entre
le
nombre
volumique
de
bulles
obtenu avec
notre modèle
et
ceux
obtenus avec
d'autres modèles
"ven c..- 3
0.10
Z·O: 50 •• du distributeur
0.09
OARGYRlOU et .1 (U.,·O.O.S ./~
U,/u.f·1 .• )
0.08
o AGARWAL
v notre .ode1e cas 1
0.07
+ notre _ode1e: c.s 2
U ,·0.052 _/s
, ".·;~::?f;i·_.··J\\ ",(,~r:sO;~;06.;~"
~~~~;1;:: ~ ~;f~1~~;i;:'~ ,~-:~.. >~\\0;J'~~';,;";"'::";~;~~~';;;t
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. ~...;.t~\\~~ :,:;~ ."
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" ::1';\\,
. ,;:;: .
. U,/U.,·1.29
0.05
0.0.
0.03,
0.02
o.os
0.00..
0.00
50.00
100.00
USO.OO
200.00
250,00
900,00
950.00
.....
\\C
",
Z en ••

---

:"1"-,::"
". 'r,t.,,:.,
Figure
17:Cornparaison
du
coefficient
de
viJrlCl L iul\\
du
volume
des
bulles
obtenu
avec
noLrc
m,,(i('[\\:-
et
celui
obtenu
avec
le
modèle
d'Argvrioll
et
dl
Sig2/y2bmOY
3.00
r-"
,-"-'-'
--
------'-"-'---- -----r----
1 -------,-----
".--.e---e----a--- __e---a---a--- 8
8
----,--- -- -- ,
2.75
r-
~.~
8
- 8
1
2.50
r-
~
/
,
~
Argyrlou et al
2.25
~ /
notre modele
:({'
;':~-.l-:~l:~tt.
2.00
L- ."'~'-'-i;;;.'.:<"
, '~~~""-~
• ~.
.c.C~ .,.••,....
. ':'·.}·'-i.~N.~:.:··.
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\\~.~M!t:i-~Qt:j::~;.~,:~·'.~';:' ~'~~..\\7.·");'
,
1. 75
~
~
1. 50
~
~
1
i
1.25
r-
1
;r-~
1.00
t- ./
"
!
\\ \\
0.75
t-v/
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1
o.50 L -.. -
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~-l~·'VJ
o '
""'''-'ê''''~'''
0.00.
50.00
100':00
--150.-'00200. 00
250'~00
300.00-350.00
~
\\D
' 1
z en mm
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---

0;;':, '1 ;;. ,,'e"("'fC"~'""}:;'U"\\'I~'.;.~/i'!-,r:''\\;~·'~-,~,.",=,>f''l'".,.~.~ -. -''''''''l'-I'~., _ ,~n_..... ~ ~ '
. :r~·,.·~·
Figure 18 : Comparaison entre les fontions de distribution de
volume de deux simulations
,
figure
18a
100 tll f 1
80.00
70.00
.1.
Ut- 0 . 067
.1l1Ulat1on
'1 ca. 1
60.00
+ca. 2
o exp.
,i~'-"'~..\\. -....i,~'
.. '..
50 • 0 O'i,tf,\\\\' r-;;~W?'4'i~~' v.!l~~~"C~;r;<i;".%ï'*1!(iel~"", '~"'S"/
":,i.''.
" .:{! ,~
z - t t 2 . 5'...· ..',.',t'<·:· ,. "" .."...
~O.OO
30.00
20.00
10.00-
- --.....
.......:.._~
..~
_._..-.:·~t:l"'· ····~'>!§r:l!:"~)\\~~r~"*~t~ f:"",-·~.._·"w···'·r ~'-'-,"'~""";:;'l ;'ij" '~~i;';ii.\\"i.~~ir t-
'-~,". ·____ .._ _
._.
0.00
5.00·-·--·-1~r~··oo"--·!!5.00
0.00'
20 .. .00
2!5~-00 --'30~OO"
35; 00
~O.OO
_.~
\\.0
Cl"
Va .n cm 3
- - - - - - - - - - - - - - ---- --._- ----- _._----,- --"._-'--------
-------

---

199
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o
o
o
o
o
o
o
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...
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N
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---

.. ~
-:.::..•~, ".
Figure
18c
,
100 Mf1
55.00
419.50
Uf-0.067 m/s
s1l1u!at1on
41~.00
\\l cas
1
+ css 2
38.50
o exp.
,,;';'I~'~!)it>~"':m~133 ': 00
z-212.5 Il. .)";/'....;i.·..l: .,.
. .2":''''),
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1
21.50
j
22.00
Jn~li
16.50
11.00
5,50
0,00
'.
'0.00
s.oo
10.00
15.00
20··.00·
,':.25.00.
30.0.0.
3~LOQ<40,c?'Q.
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, . Va en cII 3
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---

Figure 18d
,
i00 Mfi
~O.OO
Uf.O.067 ../a
35.00
lillulltion
\\l
ca. 1
.~.
+ cas 2
30.00
o exp.
z· 262.5 . . . . . ...,
,'i.>
20.00
1~.00
.':
10.00
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5,00
.------.·----o~-oo-·I--""_:·-- ..-----J·"
l
'H;,.: J iF :t~:::::::::::i~1_~..;"'~l
0.00' ... ' !5 ;"OO ..·..~'.~.-10. 00
15,00
20 , 00 ;:; 25, 00
SO,OO
.- 0-- .. "0 ---.------0-' .. -
35,00
040,00
.~.~
l'V
c-
VB en cll 3
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1im*e-r;&s?6é~jglm~~1Mr~~~~~~;:lf~·"~;:~~~1w~6~"Ç!;,';o~,~.·~,;'l.":";-{··!;~~~;~'·--"·I~·~~:1'\\;;"T.l!'ê~1n__
~_ ,~_
r.:-: .. " . _..... __ ........
•••.

---

Figures
19:Comparaison
entre
les
résultats
expérimentaux
et
ceux
,
de
différentes
simulations
iOO~t1
Figure
19a
40.00
Uf-0.067 mIs
"
35.00
,',
z-262.5 mm
o exp.
sim.
30.00
.
o notre modele
X sans scissions
25.00
+ bulles sphériques
.
20.00
v
modele de coalescence de Shah
et al
15.00
10.00
5.00
'f,i"i}::,:;i;,~~~!tii,$lii.·~~:x",·,.i,\\~"':;::~i::(j1 t\\i..;,;,:,;.L ,_~~il'__""'"'''' .... 1
1
l I A
-4-
i I~
1
o.00
'
'
'",.
. ...
l'V
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25,00'30.00
35.00,
40.00
o
l'V
Vb en cm 3
:,·.~-:}'1:~~~~;';F.~;~Ji';"::'\\"",.,.

---

Figure
19b
,
100*f1
50.00
. ,..,,~.~ . 0 0
Uf-0.06? mis
z-212.5 mm
40.00
o exp.
35.00
sim.
·t.~~~;i5~~~~;i~à~.::4~Îk1!~;'.1:~.~.,..,
o no t rem0 dèl e.,,;~~8ti~~:!J;i;~bl*;lÎil'l:P.--' ...
30.00
X
sans scissions
+ bulles sphériques
25.00
.
~ modele de coalescence de Shah
20.00
et al
.•..
15.00
10.00
";'!~;'f;...;.-:•.~.. ,...,,,;':'i".,,-<";~':"':'t
5.00
...~~. -.-~~.-\\t.·~:~~~~- '", t~~~:'-"""::_"",,,
,
(,;~~-'''~f~~:~\\\\
0.00
5.00
10.00
15,00
20.00
25,00
30.0035,00
40.00
r",
o
Yb en cm 3
w
... ..-".-".

---

figure
19c
,
100~H 1
60.00
Uf-0.067m/s
z-187.5 mm
50.00
o exp.
sim. :
o notre modele
7'.<.· . "'"",;-;.'
\\;.!t~....';;It~g" ..:..00
~:lt"_~1~fr~t~l.:~~\\~~~~~~1~'":'::/)··
. ~:~,~:~
,,,"'''':.
x"sans sc iss ions .'....
'. ~ ':"j
~;
.
+ bulles sphériques
30.00
"V modele de coalescence de Shah
et al
20.00
10.00
0.00
0.00
'5.00
10,00
15,00
20.00
25,00
·30,00
35,00
40,00
l'V
,,)
.z:..
Yb en cm 3

---

Figure
19d
,
iOO*t1
60,00
Uf- O,067m/s
50.00
z • 162 . 5 mm""
o exp.
5 im.:
40.00
o notre modèle
~t~~~~~
,,:~:
1;,":,,::;":~/;'if.:~
~'
(~ ·;~:~~;~:':;,t~:j);.,.-·:
".
";')";~r:l;$'~"'i;=~,,"sans ''1'~s'c':1"s s"i è n s .)Y,~~''W·K.>.,· ":
, 1;.'-""""1"
'~":<->::":''';'''''$'''..,,,,..;.>
+ bulles sphériques
30.00
~ modèle de coalescence de Shah
et al
20.00
10.00
....;'".:,;;,:;.~.
o. 0\\>-1
1
1
J .. ::::!. :G;I§;;U:I.
t:..
i 1
.d.----_._
0.00
5.00
10.00
15,00
20.00
25,00
30.00
35,00
40. 00
- - _ .__._--.~-_.
V1
Vb en cm 3

---

<"-:
~.....~ ' •• ','
~; :~:..~',~'';''~; ~ -:'~
. ',:;
.'à;;;;.
Figure
1ge,
1
100*f1
80.00
70.00
Uf-0.067 mis
60.00
z-112.5 mm
o exp.
~:['~~! ,,~., '~''.i;r~*JrJW5'Ô:'~00
-.~; ':~4~~~Y·"~i.:,1:~~~'~i:;~'0!.;~~~·.'\\':-';:'::~:<'~~~r
,,~~'t:ii!fP; " .~,
, '>t:-;c,~'v Simulation:',
,;~ ,;i:J~~~~t)-të:·:·~~·~:i\\~~~(~'fo:i '.:~' .}f ·ë~&·;~~?.4•... -
o notre modè le
X sans scissions
40.00
+ bulles sphériques
9
modèle de coalescence de Sheh
et al
30.00
20.00
" +~*~,.;,;.:.-.:.,-".. -
:.; 10.00
0.00
Po,)
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.0030.00
35 . OO?:
40.
-----_.-
00.,,---'---
...----_.
"fJ'
. Vb en cm 3

---

207
Références
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,<1
The Rising Velocity of Bubbles in Two-Dimensional Flidized Beds.
Chem. Eng. Sei., 22, p.p.531.
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\\
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!
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~
1
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~
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:6,
Bubbles in Gas F1uidised Beds-Part l
?;;
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1;'
,,\\)
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A.I.Ch.E. journa1,14,426.
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Chem. Eng. Sei. ,vo1.30,pp 1511-1518.
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Chemical Engineering Progress Symposium Series,nol05,vo1.66,14.
7) R. Clift and J.R. Grace(1971)
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Coalescence of Bubb1es in Fluidized Bed
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Bubble Growth in Large Diameter F1uidized Beds.
;:.
Fluidisation Technology vol.I,editedby D.L. Keairns
Hemisphere Publishing corporation.
; i
',:
.' ,·z,
0',0.
)'

---

208
t
CONCLUSION
1\\1j
1l
'11.t,i
Il
convient,selon
moi de
renoncer
à cette Idée
Î
des
sources
dernières
de
la
connaissance
et
de
~, ~l
reconnaltre
que
celle-ci
est
de
part
en
p~rt
humaine, que
se
mêlent
à
elle
nos
erreurs,nos
préjugés,nos rêves et nos espérances,e~ que tout ce
que nous puissions faire
est d'essayer d'atteindre
la vérité quand bien même celle-ci serait hors de
notre portée.
K. Popper
t
t-,1t\\ll~ll"

---

\\
CONCLUSION
i i
l '
i 1
l !
,
1
! 1
C
' d
l '
\\ '
ette
etu e
a
permis
a
mlse
en
oeuvre
d'une
techntque
1 \\
originale
de
mesure
des
tailles
et
des
vitesses
de
bulles.lElle
repose
sur
le
suivi
des mouvements
particulaires
induits parI Iles
1 ;
bulles et permet de ne sélectionner que celles centr'es par ra~Jort
J i
au point de mesure.
j i
( \\
,
1
L'acquisition
du
signal
a
n'cessité
la
réalisation
~'iune
.;1;!-
carte
interface
et
d'un 'programme
1 1
écrit
en
assembleur, de
te,mps
j i
d'exécution
relativement court,adaptés à
l'analyse
des
phénomènes
i!
rapides.
l'
\\ '1
L'utilisation
de
la
simulation
Monté-Carlo
a
permis i de
1 \\
développer
un
modèle
de
cinétique
des
coalescences
réalist,e;.Ce
• 1
modèle mi-stochastique,mi-è:terministe intégre la nature aléat~ire
du comportement des bulles~dans un lit fluidisé bouillonnant,ainsi
que
celle
déterministe
des
interactions
entre
deux
bulles
j'~ste
"
l '
avant et pendant la coal=~=ence.Les r'sultats de la simulatio~~nt
l,
été
validés
par
ceux
d'autres
modèles. La
méthode
que
nous
aV,ons
~
~
développée permet de calcu~er le coefficient de variation du nombre
;,~
! ;
volumique des bulles, ce que' la résolution directe de l'équation; de
~
1 \\
bilan de population ne perm~t pas.
\\ :
Il est à remarquer que le J~dèle que nous avons élaboré ne conttknt
ii~
J
aucun
paramètre
ajustab~e.Les conditions
aux
limites
f~nt
#
' 1
déterminées
expérimentalement
mais
pas
dans
le
.but
d' avoi~ : un
Yi
! j
accord global entre la simulation et les mesures.
Dans
le
cas
d'un
l i t
biJlmensionnel,nos
résultats
expérimenF.....~.'ux
ainsi
que
ceux
de
la
simulation
ont
été
comparés. L'accord 1:,. ;st
satisfaisant.
La suite de ce travail pourrait concerner l'investigation des li'cs
bouillonnants
et
des
lits
circulants
tridimensionnels
: par
1
l'intermédiaire
des
sondes optiques. La
simulation serait utiliSée
!
i
,
pour étudier les lits bouillonnants.

---