INFLUENCE DE LA MORPHOLOGIE
SUR LES CARACTÉRISTIQUES DE RIGIDITÉ
DES MACHINES OUTILS
THÈSE N° 1165 (1993)
PRÉSENTÉE AU DÉPARTEMENT DE MÉCANIQUE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES TECHNIQUES
PAR
PAPA MBOUP
- .
Maître ès sciences de l'Université Laval, Québec, Canada
de nationalité sénégalaise
1
acceptée sur proposition du jury:
1
Prof. M. Porchet, rapporteur
Mr J. Josserand, corapporteur
Mr A. Oberson, corapporteur
Dr P. Pahud, corapporteur
Lausanne, EPFL
1993

REMERCIEMENTS
Ce travail a été réalisé dans le Laboratoire de Conception Assistée par Ordinateur (
LCAO ) de l'Institut de Mécanique appliquée et de Construction des Machines
(IMECO) de l'Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) dirigé par Monsieur
le Professeur Mchel Porchet.
J'exprime mes sincères remerciements Monsieur le Professeur Michel Porchet direc-
teur du Laboratoire de Conception Assistée par Ordinateur pour ses précieux
conseils, son soutien et pour la direction de cette thèse.
J'exprime ma reconnaissance et ma sympathie Monsieur le Docteur Pierre Pahud du
Laboratoire de Machines-outils et Automates (LMO) pour sa disponibilité, son aide et
ses précieux conseils.
Mes remerciements vont à Monsieur Joseph Josserand responsable de projet à la
société Charmilles, Monsieur Alfred Oberson, Ing. dipl. EPFL, Professeur à l'EINEV à
Yverdon et Monsieur le Professeur Roland Longchamp directeur de l'Institut d'Auto-
matique (lA) et chef du département de mécanique (DME) de l'EPFL d'avoir bien
voulu examiner et commenter ce travail en tant que membre du jury.
J'exprime ma profonde gratitude à ma chère épouse Awa pour sa patience durant ces
années et pour son soutien. Ma reconnaissance va aussi à ma mère et à mon frère
qui se sont occupés de ma famille pendant mon séjour en Suisse et à mes filles pour
lesquelles je n'ai pas été disponible pendant ce temps.
Je remercie la Confédération Helvétique pour la bourse offerte pour la durée de mon
séjour.
Enfin, mes remerciements vont à toutes les personnes de l'Institut de Mécanique
appliquée et de Construction des Machines (IMECO) qui, de près ou de loin, ont
contribué à la réalisation de ce travail.
1

TABLE DES MATIERES
Liste des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Résul11é ............•......................................
5
Sumn-.ry
7
Chapitre 1: Introduction .••..•••......••••••.•..••••...•
9
1.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2 But de l'étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3 Plan de l'étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Chapitre 2: Etat de l'art •..••••••••••..•••....•••••••••••
17
2.1 Les travaux du laboratoire de machines-outils et automates de
l'EPFL
17
2.2 Les autres travaux
19
2.2.1 Les éléments de la machine-oUtil
19
2.2.2 Les matériaux
20
2.2.3 Les liaisons
21
Chapitre 3 : Les bAtis Inclinés •• . • • • . . • • • • • • • • • • • • . • • • • • •
23
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2 Les modèles
23
3.2.1 Présentation des modèles étudiés . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2.2 Caractéristiques des modèles
25
'it}'
2 3 L
d"
'\\LAf '/-...
3..
es con Itlons d'appUI e_
e
e . . . . . . . .
26
~
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3.3 Les méthodes de calcul. ',,' /~•.~ç'~.:.... :~~f ... "...
26
r:' i
1

/t;,
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3.3.1 Les élements finiS •• -\\o ..\\. . . • .. <$'.~. ·C \\t . . . . . . . .
26
1
\\
\\
' - , '
3.3.2 La résistance des maté(i~~'~",;";i. . . . . . . . .
27
,'-
. ( ' .
1
3.4 Résultats et analyse
;11 ~l:.j,,,,:;.~,':<~< • • • • • • • • • • •
29
3.4.1 Modèle de présentation des résultats
. . . . . .
29
3.4.2 Les bâtis sans cloison intermédiaire
30
3.4.2.1 Les déplacements
30
1
3.4.2.2 Déplacements dans la section transversale centrale de
la plaque arrière
32
1
-1-
J

3.4.2.3 Sections centrales transversales déformées .
33
3.4.3 Les bâtis avec cloison intermédiaire
35
3.4.3.1 Les déplacements
35
3.4.3.2 sections centrales transversales déformées .
36
3.4.4 Etude de l'effet des toiles de rigidification et de la toile inter-
médiaire
38
3.4.4.1 Le bâti de 450 ••••••••••••••• • • • • • • • • • • • • •
38
3.4.4.2 Le cadre plan incliné de 450 •••••••••••••••
39
3.4.5 Calcul des déplacements par la résistance des matériaux 40
3.4.6 Estimation des déplacements locaux
40
3.4.7 Conclusion
. . . . .
41
3.5 Etude théorique et expérimentale d'un bâti
41
3.5.1 Etude expérimentale
41
3.5.1.1 Description générale du bâti réel
41
3.5.1.2 Description de l'installation de mesure. . . . . . .
42
3.5.2 Etude par les éléments finis
44
3.5.3 Etude par la résistance des matériaux
44
3.5.4 Analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.6 Conclusion
48
Chapitre 4: Modélisation des caissons par un système équivalent
de poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.2 Description de la méthode de modélisation
49
4.2.1 Introduction
49
4.2.2 Les caractéristiques de la section du caisson . . . . .
50
4.2.3 Les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.2.4 Calcul des dimensions des sections des poutres. .
51
4.2.4.1 Le système d'équations
51
4.2.4.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.3 Présentation des cas étudiés
54
4.3.1 Le bâti soumis à l'effet du chariot d'une table
54
4.3.2 Le bâti soumis à l'effet d'une colonne
. . . . . .
55
4.3.3 La colonne en flexion
. . . . .
56
4.3.4 La colonne en torsion circulaire
56
-11-

4.4 La méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.4.1 Le caisson
57
4.4.2 Le système équivalent de poutres . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.5 La méthode de la résistance des matériaux. . . . . . . . . .
58
4.6 Les résu !tats
60
4.6.1 Le bâti soumis à l'effet du chariot d'une table
60
4.6.1.1 Le caisson de longueur L=O.80 m . . . . . . . . . . .
60
4.6.1.2 Le caisson de longueur L=2.40 m . . . . . . . . . . .
62
4.6.2 La déformation de la colonne
63
4.6.2.1 La colonne en flexion
63
4.6.2.2 La colonne en torsion
64
4.6.3 Le bâti soumis à l'effet d'une colonne
. . . . . .
66
4.7 Conclusion
67
Chapitre 5: Etude d'une structure formelle en forme de L •
69
5.1 Définition des modèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.1.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.1.2 Le modèle 1
70
5.1.3 Le modèle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.1.4 Le modèle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.2 Calcul de l'énergie de déformation élastique
72
5.2.1 Les éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.2.1.1 Le modèle en caisson
. . . . .
72
5.2.1.2 Le modèle en poutres
. . . . .
73
5.2.2 La fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.2.3 Comparaison des résultats obtenus par les trois méthodes
75
5.3 Influence de la position de la structure en L . . . . . . . . . . .
n
5.4 Etude de l'influence de la hauteur et de la largeur sur l'énergie de
déformation élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
5.4.1 Hauteur optimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
78
5.4.2 Largeur optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.5 Etude de la hauteur optimale d'un caisson avec l'énergie de défor-
mation
79
5.6 Conclusion
81
-111-

Chapitre 6 : Etude des modèles ••••••••••.••••••••••••••
83
6.1 Présentation des modèles étudiés. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6.1.1 Le type de machi ne
83
6.1 .2 Les invariants
83
6.1 .2.1 Le volume de travail
83
6.1.2.2 Le nombre de points d'appui
84
6.1.2.3 La position relative table/broche
84
6.1.2.4 La rigidité de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6.1.2.5 La section générale des caissons . . . . . . . . . . .
84
6.1.3 Les modèles retenus
85
6.1.3.1 Le modèle 1
85
6.1 .3.2 Le modèle 2
85
6.1 .3.3 Le modèle 3
86
6.2 Les cas de charge étudiés
86
6.3 Etude des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.3.1 Le modèle 1
86
6.3.1.1 Présentation
86
6.3.1.2 Les éléments finis
88
6.3.1.2.1 Description de la méthode. . . . . . . . . . . . .
88
6.3.1.2.2 Les résultats
89
6.3.1.3 La résistance des matériaux
90
6.3.1.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
6.3.2 Le modèle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.3.2.1 Présentation
92
6.3.2.2 Les éléments finis
93
6.3.2.3 La résistance des matériaux
94
6.3.2.4 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
6.3.3 Le modèle 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
6.4 Discussion
96
Chapitre 7: Recherche des meilleurs caissons pour les structures
99
7.1 Types de critère d'optimisation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
7.2 Influence des conditions aux limites
100
7.3 Les cas de charge intervenant dans les caissons de machines.
102
-IV-

7.4 Exemple de définition perverse d'un critère d'optimalisation
103
7.5 Les déplacements globaux
106
Chapitre 8: CONCLUSION • • • . . • • . . • • • . • • • . • . . • • • • • • • . • • •
107
8.1 Morphologie, comportement statique et dynamique . . . .
107
8.2 Comportement sain et comportement optimal des structures 107
8.3 Evolution des structures et pyramide des masses.. ...
108
8.4 La méthode analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
8.4.1 La théorie des poutres.
108
8.4.2 Le modèle en poutre composée. . . . . . . . . . . . . . . . .
109
8.4.3 Un intérêt limité des méthodes analytiques. . . . . . . .
109
8.5 Les méthodes numériques
109
8.5.1 Le modèle en caisson
109
8.5.2 Le modèle en poutre composée . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
8.6 Outil d'aide à la décision
110
Annexe 1: Les règles de construction .••..••••••••••.•••
113
Annexe Il : calcul des déplacements pour le bâti incliné de 30° 117
Annexe III : Les résultats des mesures expérimentales •••
121
Annexe IV : Modèle du bâti réel de 15° maillé ••••••...•.•
129
Annexe V : Le comportement des capteurs ••.•••••.•••••
131
Annexe VI : calcul par la résistance des matériaux de l'énergie de
déformation élastique et du déplacement du caisson
133
Annexe VII : Description du centre d'usinage de haute puissance du
laboratoire de machines-outils et automates •••••
147
Annexe VIII : calcul des déplacements du modèle 1 •..••••
149
Annexe IX: calcul des déplacements du modèle Il ..•.•••
153
Bilbllographie
1ST
Curriculum vitae
.
161
-v-

t,
i!
-1-
1
f
1
Liste des symboles
i!
1
r_
I[
f
r
~
,
a
: distance suivant l'axe Z entre la tête de la broche et
f
t
!
le milieu de la colonne
[ m]
1
Ac
: aire de la section de la colonne
[ m2 ]
~
~
Aoo
: aire de la section du bâti support de la colonne
[ m2 ]
1
i
Abt
: aire de la section du bâti support de la table
[ m2 ]
t!
1
B
: largeur de la section d'un bâti
[ m]
!~
b
: distance suivant l'axe Y entre la tête de la broche et
f
le milieu de la colonne
[ m]
l
!
: longueur de répartition de la charge
[ m]
>
C
r
E
: module d'élasticité
[N / m2 ]
t
t,
e
: épaisseur d'une plaque
[ m]
r~.
,
,
,
F
: aire d'une section
[ m2 ]
Fi
: aire de la section d'une poutre inférieure
[ m2 ]
Fs
: aire de la section d'une poutre supérieure
[ m2 ]
p
: force de sollicitation
[ N ]
1
•i
,
W
: angle d'orientation de l'ellipse d'inertie
[
0
]
f.
Wt
: angle de torsion
[radians]
f:'
G
: modu le de cisaillement
[N / m2 ]
,
H
: hauteur d'un bâti
[ m]
f
h
: distance verticale entre l'axe de la broche et l'axe
-1
1
,
neutre du bâti support de colonne
[ m]
.~-:~
1
1
h1x
: largeur de la section d'une poutre supérieure
[m]
~
h1y
: hauteur de la section d'une poutre supérieure
[ m]
1
t
";;
h2x
: largeur de la section d'une poutre inférieure
[ m]
.~
1
,
h2y
: hauteur de la section d'une poutre inférieure
[ m]
r-,
1
-!
hp
: distance horizontale entre le point d'application du poids
1
de la pièce et le bâti support de la table
[ m]
[
: distance horizontale entre l'extrémité de la pièce et
i
1
le bâti support de la table
[ m]
î1
hx
: distance verticale où est située l'axe de la pièce par
f
,
1
rapport au bâti support de la table
[ m]
!
: moment d'inertie par rapport à un axe
[ m4 ]
1
,;
1
~~
1
,
1

-2-
1
: moment d'inertie par rapport à l'axe x passant par le
x c.g.
centre de gravité
[ m4 ]
1
: moment d'inertie par rapport à l'axe y passant par le
y c.g.
centre de gravité
[ m4 ]
Ixc
: moment d'inertie de la colonne par rapport à l'axe X
passant par le centre de gravité de sa section
[ m4 ]
Ize
: moment d'inertie de la colonne par rapport à l'axe Z
passant par le centre de gravité de sa section
[ m4 ]
IXOO
: moment d'inertie du bâti support de la colonne par rapport
à l'axe X passant par le centre de gravité de sa section
[ m4 ]
IZOO
: moment d'inertie du bâti support de la colonne par rapport
à l'axe Z passant par le centre de gravité de sa section
[ m4 ]
IXbt
: moment d'inertie du bâti support de la table par rapport à
l'axe X passant par le centre de gravité de sa section
[ m4 ]
IYbt
: moment d'inertie du bâti support de la table par rapport à
l'axe Y passant par le centre de gravité de sa section
[ m4 ]
J
: moment d'inertie polaire
[ m4 ]
Je
: moment d'inertie polaire de la colonne
[m4 ]
Joo
: moment d'inertie polaire du bâti support de la colonne
[ m4 ]
Jbt
: moment d'inertie polaire du bâti support de la table
[ m4 ]
K
: rigidité
[N / m]
Kres
: rigidité d'un ressort
[N / m]
Kt
: rigidité d'une fondation
[ N / m]
L
: longueur d'un caisson
[ m]
M
: moment de flexion
[N m]
11
: coefficient de forme
[- ]
r
: rayon
[ m]
s
: longueur d'un appui
[ m]
T
: moment de torsion
[N m]
U
: énergie de déformation élastique
[ joules]
u
: déplacement
[m]
V
: effort tranchant
[ N ]
(JL
: contrainte
[ N / m2 ]
Ô
: angle
[
0
]
W
: poids de la pièce à usiner
[ N ]

f
!,
-3-
1
1
-t
1
~
w
: charge par unité de longueur
[ N / m]
1:
1
1
X, y et Z : les axes
[- ]
J~j
jl1
j
l
1
1
1
J
J
1
1

-5-
RESUME
Bien que l'apparition de la machine-outil date de plusieurs millénaires, elle était
conçue jusqu'à une date récente pour effectuer un type d'opération, sur la base d'une
longue tradition et selon une méthode de conception empirique. L'évolution technolo-
gique et la concurrence, qui exigent la production de pièces de plus en plus précises
et à moindre coûts, ont fait apparaître de nouvelles morphologies qui permettent plu-
sieurs types d'opération. Ces morphologies doivent répondre à l'un des paramètres
importants qui régit la précision de la machine et la stabilité de coupe c'est à dire la
rigidité relative entre l'outil et la surface usinée. En plus de ce facteur, elles doivent
répondre à des exigences autres que les exigences de base des structures, telles que
la chute libre des copeaux qui véhiculent une grande partie de la chaleur qui résulte
de l'énergie de coupe, la modularité, etc. Pendant longtemps, l'évacuation des
copeaux était assurée par des ouvertures dans les bâtis, mais comme l'ont montré
par exemple les travaux du laboratoire de machines-outils et automates de l'EPFL,
ces ouvertures affaiblissent les structures.
Pour faire face à ces exigences, certains constructeurs utilisent des bâtis à angle
d'inclinaison élevé qui facilitent l'évacuation des copeaux. Le comportement statique
des bâtis est en général caractérisé par la rigidité, assimilée en fait à une quantité
scalaire, mais les bâtis inclinés présentent un phénomène de flexion déviée qui n'est
pas pris en compte par cette grandeur scalaire, définie comme le quotient de la force
par le déplacement dans sa direction.
En dehors des bâtis inclinés, différentes morphologies sont utilisées pour assurer la
séparation entre la zone machine et la zone copeaux, comme par exemple celle du
centre d'usinage haute puissance ( 90 Kw ) conçu par le laboratoire de machines-ou-
tils et automates (LMO/EPFL). Le cahier des charges de cette machine est décrit en
annexe VII.
Plusieurs morphologies peuvent répondre au cahier des charges d'une machine-ou-
til. Il est donc nécessaire de pouvoir calculer tôt dans le processus de conception l'in-
fluence de choix morphologiques sur le comportement statique. Pour faire un choix
judicieux de morphologie dans la phase de préétude, il est nécessaire de trouver un
modèle qui permette de calculer le comportement et une fonctionnelle qui permette de
l'évaluer.
Le but de ce travail de thèse est de créer un outil d'aide à la décision c'est à dire de
définir une méthode simple de modélisation et une fonctionnelle pour la caractérisa-
tion du comportement des morphologies de machines-outils. Cette méthode simple
de modélisation du caisson sain, capable de prendre en considération, de manière

-6-
originale, les effets de compression de parois, a été appliquée aux principaux élé-
ments d'une machine-outil et à une structure formelle en forme de "L" composée de
deux caissons. Les résultats obtenus montrent la validité de la méthode et les avanta-
ges qu'elle offre par rapport à la méthode traditionnelle d'éléments finis qui utilisent
des éléments plaques minces quadrilatères. La fonctionnelle a permis quant à elle, de
définir un critère de qualité pour la comparaison des morphologies et de mettre en
évidence l'influence des positions possibles de la structure en "L" sur son comporte-
ment.
En outre, l'étude de trois modèles de morphologie nous a permis de mettre en évi-
dence son influence sur les déformations des structures et l'importance des déforma-
tions dans les directions autres que celle de la force de sollicitation.
Les différentes observations faites au cours de cette étude nous ont montré que la
notion d'optimisation des structures de machines-outils est discutable et qu'il faut plu-
tôt chercher des solutions qui satisfont au mieux les autres exigences du cahier des
charges de la machine sans pénaliser excessivement les structures.
Le but de ce travail est atteint en ce sens que la méthode de modélisation proposée
permet le traitement de la morphologie et que la fonctionnelle permet de définir le
critère de qualité pour la comparaison des solutions morphologiques.

-7-
SUMMARY
Ever since 'the arrivai of the machine tool thousands of years ago, until recently it was
designed to perform one type of operation on the basis of an old 'tradition and on an
empirical design method. The technological evolution and competition that stressed
the production of more precise parts cheaper, has brought on new morphologies to
allow for many types of operation. These morphologies should also respond to one of
the important parameters that governs the precision of the machine and the stability of
the cut, in other words, the relative rigidity between the tool and the machined surface.
On top of that, they should satisfy the basic requirements other than those of the struc-
ture, such as the chips that make up a large part of the heat resulting from the energy
1
r
of the cut, the modularity, etc. For a while, the evacuation of the chips was secured by
openings in the bed, but as shown by the Machine Toois and Automata Laboratory of
1
the EPFL (LMO), these openings weaken the structure.
1
To face these requirements, some designers place 'the bed at an angle to facilitate
!t
the evacuation of the chips. The static behaviour of the bed is in general characterized
1
by the rigidity, assimilated to a scalar quantity, but the inclined beds present a deviated
!!
bending phenomenon that is not taken into account by a scalar Iike the rigidity (defined
1
f
by the quotient of a force by the displacement in its direction).
1
Aside from the inclined beds, different morphologies are used to secure the separa-
1
tion between the machine zone and the chips zone, Iike for example the high powered
f
machining center developed by the Machine Toois and Automata Laboratory of the
1
1
EPFL (LMO). The schedule of conditions is discribed in Appendix VII.
1
Many morphologies can satisfy the schedule of conditions of a machine tool. It is
therefore necessary to calculate early on in the design process, the influence of the
morphological choices on the static behaviour. To make a judicious morphological
choice in the study phase, it is necessary to find a model in which to caJculate the
morphological behaviour, and a functional to evaluate it with.
The goal of this thesis work is to create a tool to help make a decision, in other words,
to define a simple method to model, and a functional to characterize the behaviour of
the machine tool morphologies. This simple modeling method of a sound caisson
structure was applied to the principal elements of a machine tool, and to a formai
L-shaped structure composed of two caissons. The results obtained show the validity
of 'the method and the advantages offered with respect to the traditional Finite Element
Method using thin shell quadrilateral elements. As for the functional, it also defines a
quality criterion to compare the morphologies, and shows the influence of the possible
positions of the L-shaped structure on its behaviour.
1

-8-
Other than that, the study of the three morphological models allowed us to show the
influence of the morphology on the deformation of the structures, and the importance
of the deformation in the directions other that the direction of the acting force.
The different observations made in the course of this study showed that the notion of
structure optimization of the machine tool is questionable and that it is better to look for
solutions that better satisfy the other requirements of the schedule of conditions of the
machine without penalizing the structure too much.
The goal of this work is completed in that the proposed modeling method allows for
the morphological analysis, and the functional allows to define the quality criterion for
the comparison with the morphological solutions.

-9-
Chapitre 1: Introduction
1.1 Généralités
Une machine-outil est un ensemble fonctionnel complexe composé d'éléments fixes
ou mobiles les uns par rapport aux autres. Elle permet par enlèvement de matière
d'usiner des pièces grâce aux mouvements relatifs de la pièce à usiner et de l'outil.
Ces mouvements sont assurés par les éléments mobiles qui sont disposés sur des
axes généralement orthogonaux, quelques fois parallèles. La distribution de ces axes
par rapport à pièce et outil, leur disposition par rapport à la gravité et la matérialisation
des axes par des caissons définissent la morphologie de la machine. La présente
étude porte sur la morphologie des machines d'usinage par enlèvement de copeaux
destinées à réaliser entièrement une pièce, autant que possible en une seule prise.
Parmi ces machines, on distingue les centres de tournage, où le mouvement de
coupe est transmis à la pièce par la broche, et les centres d'usinage où la broche
transmet le mouvement de coupe à l'outil. Il y a aujourd'hui une tendance à l'hybrida-
tion de ces deux classes de machines. On limitera l'étude à la morphologie des cen-
tres d'usinage (Fig. 1) qui sont capables d'usiner les cinq faces d'une pièce "parallélé-
pipédique". Ces machines possèdent généralement 4 axes, 3 translations et un axe
rotatif 8 ou C selon la morphologie [1].
Colonne
Magasin d'ouils
Chariot porte-broche
j
J
Outils
1Axe Y Broche
1
s
CD~
j
Table
,
Changeur d'outils
1
j
1
~
1
1
:1,
J
Bâti
Chariot croisé
Fig. 1: un centre d'usinage avec la colonne mobile ( l'orientation
de l'axe de la broche doit être indexable)
j,i

-10-
La configuration générale de la structure de la machine-outil évolue régulièrement
pour faire face aux besoins des utilisateurs. Elle est influencée par la diversification
des utilisateurs et de la morphologie des pièces, etc.
Les industries de l'automobile et de l'aéronautique ont été pendant longtemps les
principaux clients de l'industrie de la machinEH>util, mais les besoins sociaux ne ces-
sent d'augmenter et de se diversi'fier. Pour les satisfaire, les industriels ont besoin de
machines--outils de plus en plus performantes et capables de produire des pièces qui
ont des caractéristiques bien définies en un minimum de temps et au plus bas coût de
production. Les industriels ont aussi subi l'influence japonaise de faire" juste du pre-
mier coup", c'est à dire plus de reprise après le montage et pour cela, il est nécessaire
de produire des pièces très précises. Avec l'évolution technologique, les pièces à pro-
duire se sont diversi'fiées et ont fait apparaître aussi de nouveaux clients pour la pro-
duction des pièces nécessaires à la satisfaction des besoins sociaux.
En tout premier lieu, les structures doivent satisfaire les exigences suivantes: une
haute rigidité et si possible un bon facteur d'amortissement pour assurer la stabilité de
coupe nécessaire à l'amélioration de la précision des caractéristiques des pièces dont
l'évolution technologique a besoin.
La morphologie d'un centre d'usinage tel que ceux que nous envisageons est
influencée par des exigences autres que les contraintes de base des structures telles
que:
-
l'accès des outils à cinq faces de la pièce (usinage des pièces en une
seule ,prise),
1 .
-I~~~hute libre des copeaux et leur évacuation facile,
~.
- la\\maximalisation du volume de travail effectif, la minimisation du volume
~'t..
de la ri1llçhine,
,~~..
-le transfert facile des palettes de l'entrée à la table des machines.
- la mise en position et équilibre de la machine.,
L'automatisation des opérations d'usinage fait que les machines travaillent seules et
que l'intervention humaine est limitée à la surveillance, à l'entretien et au dépannage.
Ces interventions doivent rester faciles, il en résulte d'autres contraintes:
- l'accessibilité des organes de la machine,
- une séparation simple entre zone copeaux et zone propre,
- une mise en place facile des équipements et des accessoires,
Il peut s'ajouter à cela des contraintes propres à la conception comme par exemple
la modularité.

-11 -
Pour illustrer l'influence de l'une de ces exigences générales sur la conception glo-
bale de la structure, nous pouvons examiner le problème de l'évacuation facile des
copeaux. Dans les structures classiques, les copeaux s'accumulent petit à petit sur le
plan horizontal de travail au risque d'interférer avec le processus et doivent souvent
être retirés manuellement. Cette fonction d'évacuation est importante par le fait que
les copeaux véhiculent l'essentiel de la chaleur provenant de l'énergie de coupe et, à
leur contact la pièce à usiner et la structure de la machine-outil chauffent, provoquant
déformations et distorsions thermiques de celles-ci. Ces déformations entraînent des
erreurs dimensionnelles et les distorsions entraînent des défauts de forme sur la pièce
usinée. Les copeaux pouvant éventuellement pénétrer dans les glissières causent
leur usure prématurée. La présence d'un opérateur, sur les machines traditionnelles
et anciennes garantit une intervention rapide évitant les possibles incidents.
Pour résoudre le douloureux problème de l'évacuation naturelle des copeaux rendu
plus important dès l'automatisation à cause de l'absence d'opérateur, des trésors d'in-
ventivité furent utilisés, telle la disposition horizontale de la broche permettant d'usiner
des faces verticales, les arrosages massifs, les ouvertures dans les structures, etc.
Avec les besoins d'automatisation, de nouvelles morphologies qui présentent une in-
novation substantielle par rapport aux morphologies classiques sont utilisées. Les
machines telles que les tours posent aussi des problèmes particulièrement difficiles
(copeaux longs et forme du banc), la solution proposée est un déport de l'axe de la
broche et un angle d'inclinaison élevé pour assurer l'évacuation des copeaux (Fig. 2
a). Toujours dans ce but, des machines-outils sont aussi construites avec une broche
horizontale ( Fig. 2 b ) qui permet l'usinage de surfaces verticales tandis que d'autres
sont faites avec une broche verticale car la table horizontale permet de charger, d'ali-
gner et de fixer plus facilement la pièce à usiner.
La position horizontale de la broche est également utilisée dans beaucoup de cen-
tres d'usinage pour avoir accès principalement aux quatre faces verticales d'une
pièce fixée sur une table indexable (Fig. 2 c) et à cause de la longueur des lignes de
forces plus courte dans cette position. L'usinage des surfaces verticales fournit l'op-
portunité d'une évacuation facile des copeaux. La Fig. 2 d montre le centre d'usinage
du LMO où il y a une séparation totale entre la zone machine et la zone copeaux.
Un autre facteur important est qu'aujourd'hui, c'est la morphologie de la pièce qui
influence ou détermine la morphologie de la machine. Le cahier des charges d'une
machine ne devrait plus être dicté par le type d'opération à effectuer mais par la
gamme de pièces à réaliser. Cela rend difficile l'élaboration du cahier des charges de
machines universelles. Cette évolution doit se traduire par la conception de machi-
nes-outils polyvalentes capables d'effectuer toutes les opérations d'usinage d'une
gamme la plus large possible de morphologies de pièce. Le nombre d'axes de la

-12-
machine et la disposition de ceux-d par rapport à la gravité dépendent de la morpho-
logie des pièces à usiner.
(8)
-...
..
'
,.f ' :
L--
-
.......
.., .
• • ,
1 t
.'.'

.
f
• • •
·1
. ..~,,.

1I--....----.....,..--t
trou pour la chute
des copeaux
(b)

-13-
-
...-
~
.....- - _.........I.....-t "::;
..
-
.:...-.
1
'. ,
.. •


r--
-
--
[{
--
zone des copeaux
~
"--
""-goulotteinclinéeet
bac pour la récupé-
ration des copeaux
(c)
(d)
Fig. 2: des morphologies pour la chute libre des copeaux
1.2 But de l'étude
!t
Les raisons évoquées ci-<.lessus ont entraîné des modifications significatives dans la
f,
conception des machines-outils. Les structures de machines-outils qui avaient autre-
1
1
1
1
1

-14-
fois un comportement statique et dynamique satisfaisant pour beaucoup d'applica-
tions, ne sont plus assez rigides pour faire face à l'automatisation et aux exigences de
l'évolution technologique. Les machines traditionnelles étaient composées des machi-
nes d'ébauche qui devaient allier puissance et rigidité et des machines de précision
(une spécialité suisse) qui ne faisaient que des opérations légères (pointeuse alé-
seuse par exemple la Dixi 400). Aujourd'hui, sur une même machine, on veut la préci-
sion et la productivité. Pour cela, la structure d'une machine-outil doit répondre à un
cahier des charges beaucoup plus exigeant de la machine. Le concepteur doit analy-
ser, dans la phase de préétude, les solutions possibles par une méthode simple et
économique pour faire le choix de la morphologie la plus appropriée pour le but
recherché. Le choix de la morphologie sera basé sur une grandeur qui caractérise
parfaitement le comportement des structures satisfaisant les spécifications du cahier
des charges de la machine. En général, le comportement statique des structures de
machines-outils est caractérisé par la rigidité, traitée comme une grandeur scalaire et
ne donne aucun renseignement sur le comportement des structures dans les autres
directions.
L'analyse du cahier des charges de la machine-outil est le point de départ de son
étude. Une machine doit être rigide mais si la rigidité peut guider le dimensionnement
d'un caisson, ce sont d'autres critères qui déterminent la morphologie. Les solutions
dépendent des critères d'évaluation utilisés. La Fig. 2 montre que l'utilisation de critè-
res autres que la rigidité lors de la conception d'une machine-outil entraîne d'autres
solutions dont il est nécessaire de chiffrer le coût pour la rigidité dans la phase de
préétude. La chute libre des copeaux peut être assurée par exemple par une ouver-
ture dans le bâti qui aura comme conséquence un affaiblissement de la structure.
C'est l'innuence sur la rigidité de ces solutions, et donc de leur interaction sur les mor-
phologies que l'on cherche à étudier.
L'étude globale de l'ensemble des morphologies sensées qui répondent au cahier
des charges coûte cher et il peut donc être utile d'établir un outil d'aide à la décision
dans la phase de préétude des morphologies du point de vue des structures. Cet outil
d'aide à la décision permettra de faire le choix de la morphologie la plus appropriée
pour une broche ayant des caractéristiques définies (en général c'est l'élément le
moins rigide d'une machine bien conçue) à partir du volume de la pièce et de l'ensem-
ble des opérations à réaliser. On étudiera les variantes d'une morphologie définie à
partir d'un volume de pièce et de l'ensemble des opérations à effectuer.
Pour illustrer ceci, nous pouvons citer comme exemple le cas d'une machine formée
de quatre éléments standards ( le banc avec la table 'fixe, la colonne, le chariot croisé
pour les axes x et y et la broche avec son bélier pour l'axe z), où nous pouvons par la

-15-
pensée créer douze morphologies avec la répartition des mouvements entre la pièce
et l'outil.
En dehors de la répartition des mouvements entre la pièce et l'outil, l'orientation de la
structure par rapport à la gravité est un autre aspect important de la morphologie
(Fig. 3).
~
y
Z
a)
Fig. 3 : les aspects de la morphologie
La Fig. 3 (a) montre que la force F entraîne trois réactions pour une structure qui
repose au sol sur trois points et des effets de compression, de cisaillement et de
flexion sur la structure. La même structure qui a subi une rotation de 90 0 autour de
l'axe Z, conduit à une nouvelle répartition des réactions et les effets de la force F sur la
structure ont aussi changés. Les positions des réactions R1 et R2 ont été choisis
comme un compromis. On limitera notre étude aux structures qui ont trois points d'ap-
pui au sol.
Ces constatations montrent, comme on l'a souvent reproché aux méthodes d'optimi-
sation relatives aux structures, qu'avant d'optimiser, il faut faire le bon choix de la mor-
phologie. d'où l'intérêt du présent travail. Ce bon choix ne pourra être fait que si l'on
dispose d'une grandeur qui caractérise bien la qualité de l'architecture.

-16-
Le but de ce travail est donc de caractériser, par une grandeur ou un ensemble de
grandeurs aussi simple que possible, l'influence de la morphologie sur la rigidité d'u-
ne machine-outil formée de caissons sains, puis de construire un outil d'aide à la
décision.
1.3 Plan de l'étude
Pour réaliser ce travail, nous avons présenté dans le premier chapitre une introduc-
tion générale sur l'évolution dans le domaine de la construction de la machine-outil et
nous allons présenter, au chapitre 2, une synthèse des travaux disponibles dans la
littérature. Cette synthèse portera sur l'analyse des études axées sur le comporte-
ment des éléments de la machine-outil et sur les études par les méthodes numéri-
ques d'une structure entière de celle-ci. Elle nous permettra de définir les objectifs de
l'étude.
Le chapitre 3 sera consacré à l'étude théorique et expérimentale des bâtis inclinés
pour valider les méthodes de calcul utilisées et mettre en évidence les modifications
du comportement liées à l'angle d'inclinaison .
Dans le chapitre 4, nous proposerons une méthode simple et numériquement éco-
nomique de modélisation d'un caisson par un système abstrait de poutres pour juger
le comportement d'une structure composée d'un ensemble de caissons.
Le chapitre 5 sera consacré à l'application de la méthode décrite au chapitre 4, à
l'analyse d'une structure en L composée de deux caissons. Cette structure sera éga-
Iement utilisée pour définir une grandeur qui permettra de caractériser le comporte-
ment d'une structure dans la phase de préétude. Cette grandeur sera basée sur
l'énergie élastique de déformation.
Au chapitre 6, nous présenterons les modèles qui seront utilisés pour mettre en évi-
dence l'influence de la morphologie sur leur comportement et l'analyse de ceux-ci
suivant les méthodes de la résistance des matériaux et des éléments finis. Nous mon-
trerons qu'on peut obtenir des résultats satisfaisants si le modèle est judicieusement
choisi et conçu suivant les règles de construction déjà établies par le laboratoire de
machine~utils de l'EPFL.
Le chapitre 7 sera consacré à une étude sur l'optimisation des structures. On parlera
des critères d'optimisation et on montrera que cette notion est discutable en dehors
de machines très spécialisées.
Une conclusion générale sera donnée au chapitre 8 où nous ferons une analyse
globale des résultats et une description précise de l'outil d'aide à la décision proposé.

-17-
Chapitre 2: Etat de l'art
La machine-outil a une tradition millénaire ( tour de potier ). Elle a subi un long pro-
cessus empirique d'amélioration qui, grâce à l'habileté des opérateurs, fait que les
pièces usinées sont de meilleure précision que les machines. Ce mode de développe-
ment s'est épuisé dans les années 70 avec la concurrence intemationale et l'avène-
ment de la commande numérique et de l'automatisation qui exigent que la machine
assure à elle seule la qualité. La mauvaise compréhension des comportements carac-
téristique dans le domaine des structures, a nécessité le développement d'une
méthode scientifique de conception. C'est le programme que s'est fixé le LMO/EPFL
sous l'impulsion du Professeur F. Pruvot.
2.1 Les travaux du laboratoire de machines-outils et automates de l'EPFL
La démarche a consisté à considérer que des structures saines et calculables, donc
prévisibles devaient se composer de caissons soumis à des charges dans l'axe des
toiles et des torsions. C'est ainsi qu'un certain nombre de propositions portant sur la
conception et le calcul des bâtis de machines-outils [2] a été émis. ces propositions
sont les résultats d'une étude dont la démarche a consisté à isoler les principaux élé-
ments d'un bâti métallique, composé de toiles relativement minces soumises à des
charges qui peuvent être assimilées à la sollicitation des glissières par Lin chariot, et à
étudier leur comportement. Les efforts sont repris par des toiles travaillant dans leur
plan propre. cette étude a mis en évidence l'importance des déformations locales qui
existent au niveau des points d'appui et a proposé, pour les réduire, l'utilisation des
niches qui permettent aux forces d'appui d'être dans le plan propre des toiles. 1\\ res-
sort aussi de cette étude que les ouvertures dans les bâtis affaiblissent les structures.
Les travaux qui ont suivi cette étude ont montré d'une part que la résistance des
matériaux est applicable à l'étude des caissons à condition de prendre en compte la
flexion, le cisaillement, la compression et les effets locaux et d'autre part que le com-
portement en poutre du caisson est relativement optimal. ce comportement en poutre
j
est assuré par l'utilisation de cloisons intermédiaires qui travaillent dans leur propre
i
plan.
1
Dans ce cadre, une étude portant sur les contraintes et les déformations apparais-
sant dans une poutre-cloison de faible épaisseur soumise à des charges dans son
1
plan propre [3] a été présentée. L'analyse a montré la limite d'application de la théorie
1
1
élémentaire des poutres dans l'étude des cloisons qui composent un caisson. Elle a
1
également mis en évidence l'influence de la répartition de la charge et de la longueur
1
de l'appui sur la déformation des fibres supérieure et inférieure de la cloison et l'exis-
j
j
tence du rapport optimal entre la hauteur et la longueur. Les résultats de cette étude
j
ont été utilisés pour élaborer une formule [4] qui estime, dans la section centrale d'un
i11i

-18-
bâti, la déformation en compression au droit de la charge en fonction de la longueur
de répartition de la charge et de la largeur de l'appui .
Dans le but de minimiser les déformations globales, des études [5] portant sur la
recherche de la section optimale des bâtis ont été menées, sous certaines conditions
de charge et d'appui, et ont montré l'existence d'un rapport optimal, d'une part, entre
la hauteur et la longueur d'un bâti et d'autre part, entre sa largeur et sa longueur. Un
bâti conçu sur la base de ces considérations, qui définissent la section optimale, aura
une rigidité statique maximale. Cette rigidité statique maximale est pénalisée par les
déformations locales qui, à leur tour, seront minimisées par l'utilisation des rigidifica-
tions locales, par le soin apporté aux liaisons et par une meilleure répartition des char-
ges. Les études portant sur les rigidifications locales ont abouti à certains types de
section dans les bâtis qui sont largement utilisés dans l'industrie suisse de la machi-
ne-outil ( annexe 1).
Dans le domaine du cloisonnement qui assure le comportement en poutre des cais-
sons, une étude [6J basée sur le fait que les efforts de coupe ne sont généralement
pas dans le prolongement des toiles des structures et qu'ils peuvent s'exercer dans
des directions variables, a montré que le cloisonnement transversal est meilleur que
le cloisonnement diagonal.
Les études précédentes ont montré que les ouvertures affaiblissent les structures
particulièrement pour ce qui est de la rigidité torsionnelle. Pour résoudre le problème
de la descente des copeaux sans créer des ouvertures, le LMO [7J propose de dispo-
ser si possible le plan de travail selon deux principes:
- banc ou table vertical
- banc ou table inversé
Cela permet en même temps de séparer copeaux et liquide de coupe du plan de
travail par chute libre.
Des études dynamiques [9]-[10J ont complété les études statiques pour mettre en
évidence l'influence de certains éléments liés à la recherche d'une rigidité statique
optimale. Elles montrent que les diverses rigidifications locales et les cloisonnements
proposés par l'étude statique ne perturbent en rien le comportement dynamique des
bâtis. Les rigidifications augmentent légèrement les fréquences propres des modes
globaux. Le cloisonnement augmente considérablement les fréquences propres des
modes locaux (plaque), mais par contre, il diminue très légèrement les fréquences
propres des modes globaux. Le cloisonnement est essentiel à un comportement pré-
visible. Dans une structure entière, la distinction entre un mode local et un mode glo-
bal est discutable et constitue surtout une forme d'expression.
Le comportement dynamique des bâtis conçus selon les règles édictées par le labo-
ratoire de machines-outils et automates de l'EPFL [11J a été également analysé. Il

-19-
ressort de cette étude que les bâtis ont un comportement ·sain· c'est-à~ire prévisi-
ble et compréhensible et que l'amélioration du comportement statique et dynamique
s'est faite au détriment de l'amortissement qui est aussi une caractéristique primor-
diale des structures de machines-outils. Ce facteur est très important en ce sens qu'il
est l'un des paramètres essentiels qui régissent la stabilité de coupe, avec la rigidité
relative outiVsurface usinée et la dissipation d'énergie de la machine complète. Cette
étude a permis de cerner les phénomènes qui sont à la base de cette dissipation d'é-
nergie et les différentes méthodes utilisées actuellement pour augmenter l'amortisse-
ment.
Les glissières et la vis à bille ne doivent pas éliminer la performance du bâti. C'est
ainsi que le comportement des vis à billes qui sont sans doute l'un des éléments les
plus faibles dynamiquement d'une machine-outil a été étudié [12]. Il ressort de cette
étude que, pour améliorer le comportement d'une vis donnée, le seul élément sur
lequel on peut agir est la rigidité du système de fixation.
Dans le domaine des guidages, l'utilisation des patins à galets crée des effets locaux
qui perturbent considérablement le comportement statique et dynamique d'une
machine-outil, même si la conception du bâti est saine et sa rigidité élevée.
2.2 Les autres travaux
2.2.1 Les éléments de la machine.-outil
Le laboratoire de machines-outils de l'université d'Aachen [13] mena des calculs
d'analyse et d'optimisation à. l'aide des éléments finis sur les pièces simples de fonde-
rie où l'influence de différents paramètres de construction ( cloisons intérieures, épais-
seurs de paroi, ouvertures, etc. ) sur le comportement statique de celles-d a été exa-
miné. Les résultats de cette étude ont servi à élaborer une marche à suivre pour la
construction des pièces de fonderie des machines-outils. Ces résultats sont moins
performants que ceux du LMO sur les cas comparés.
Certains auteurs concentrèrent leurs efforts sur la conception optimale des structu-
res. Ainsi Yoshimura, Hamada, Yura, Hitomi [14], Yoshimura [15], Rao et Grandhi [16]
proposèrent des méthodes numériques de conception optimale des structures entiè-
res de machines-outils. Ces méthodes tiennent compte seulement de quelques varia-
bles dans le processus d'optimisation et très peu d'articles traitent, comme nous le
verrons plus loin, des liaisons qui ont un grand effet sur l'optimisation de la structure
entière. Elles sont trop globales pour guider la conception.
Boucher [17] étudia les chaînes de commande des mouvements d'avance qui, dans
le but d'optimiser le critère couplé • productivité 1qualité de production-, doivent per-
mettre d'accroître simultanément les vitesses d'avance et la précision des trajectoires
relatives de l'outil et de la pièce brute qui génèrent la forme de la pièce produite.

-20-
Shinno et Ito [18] proposèrent une méthode de génération de configuration de struc-
tures de machines-outils basée sur les systèmes de construction modulaires qui sont
devenus, récemment, importants non seulement pour rationaliser leur procédure de
conception et de fabrication, mais aussi pour développer les systèmes de production
t1exible. La procédure de génération peut produire interactivement des configurations
de machines-outils suivant les exigences d'usinage du client. C'est une méthode fon-
dée sur des modules et un graphe mais surtout pour des machines spéciales. Dans
notre cas, même pour une conception modulaire, les structures sont définies pour
chaque machine.
Thomley et Kumar [19] conclurent sur la base de recherches expérimentales que la
performance globale d'une machine-outil dépend essentiellement du comportement
statique et dynamique de la structure de la machine. Ces travaux ont permis de mettre
en évidence les influences de certains facteurs comme la hauteur des caissons, l'as-
semblage de ceux-ci, sur la rigidité statique et dynamique et les fréquences propres
sous des charges statiques et dynamiques.
Okamoto, Tsutsumi et Ito [20] constatèrent la nécessité de pouvoir estimer quantitati-
vement la rigidité d'une machine-outil entière sur la base d'informations obtenues à
partir des dessins de la machine et proposèrent une méthode de détermination du
modèle mathématique utilisant le diagramme de distribution de la rigidité comme don-
nées pour la conception. Ce diagramme indique les influences sur la rigidité de cer-
tains éléments comme les nervures, les cloisons intérieures, etc. C'est une approche
sans issues du problème du nervurage. Ces éléments améliorent le comportement en
poutre en réduisant les distorsions, les déformations locales et les défomlations en
mode plaque.
Natarajan [21] tenta d'étudier par éléments finis le comportement de la structure d'u-
ne perceuse radiale soumise à des charges statiques en utilisant des éléments pou-
tres qui tiennent compte de l'effet de la distorsion de section. Les résultats obtenus ne
sont pas concluants par ce que d'une part, les déformations en cisaillement qui contri-
buent d'une manière significative à la déformation globale ne sont pas prises en
compte par les éléments poutres utilisés et d'autre part les liaisons entre les éléments
de la machine ont été négligés. Ce type de morphologie qui présente un bon volume
de travail, possède une très faible rigidité. Ce ne sont généralement pas des machi-
nes de production.
2.2.2 Les matériaux
Toujours dans le but d'améliorer la qualité des machines-outils, divers chercheurs
s'intéressèrent aux matériaux utilisés dans la construction de machines-outils de for-
mes simples telles que les rectifieuses en granitan ( Studer ) et les tours en béton
hydraulique ( Georges Fischer ). Parmi ces travaux, nous pourrions citer ceux de Su-

-21 -
gishita, Nishiyama, Nagayasu, Shin-nou, Sato et o-hori [22] qui développèrent un
centre d'usinage dont le bâti et la colonne étaient en béton pour évaluer son compor-
tement statique et dynamique. Il ressort de cette étude que le béton présente de meil-
leures qualités d'amortissement et de résistance aux variations de température que la
fonte. Ces caractéristiques améliorent la durée de vie des outils et permettent des
possibilités de vitesses de coupe plus élevées. Nous pouvons citer aussi les travaux
1
'~1
de Rahman, Mansur et Chua [23] sur les bâtis en ferrociment qui montrèrent un meil-
1
1
leur comportement statique et dynamique que le bâti en fonte. Ces résultats doivent
j
1
être pris avec une grande prudence car la conception du bâti métallique utilisé pour la
1
1
comparaison est en général mauvaise. Il n'existe pas à notre connajssance de com-
1
1
paraison pour des bons dessins. Or les erreurs de conception sont plus fréquentes
1
dans des structures métalliques composées de plaques minces que dans des cons-
1
tructions massives telles que les bâtis en béton ou granitan.
ij
Les matériaux utilisés dans ces études sont en général, très mal adaptés aux efforts
i
localisés. Les liaisons entre pièces deviennent médiocres. Les guidages résistent très
1
mal au couple de renversement en raison de la faiblesse de la fixation des contre-g Iis-
1
l
sières. Ainsi, à rigidité égale, la masse de tels éléments est toujours plus importante,
'11
ce qui entraîne des fréquences propres plus basses. Ces matériaux conviennent pour
.~
les rectifieuses et les machines à mesurer, et, dans ces machines, surtout pour les
1
~
éléments de base ( socles ) non mobiles.
~j
J
2.2.3 Les liaisons
Il existe deux types de liaisons: les liaisons sans mobilité du type liaisons boulonnées
et les glissières permettant un mouvement relatif de deux pièces.
zatarain [24] étudia les liaisons qui sont un des facteurs importants qui contribuent à
la déformation des machines-outils. Il proposa une nouvelle formule qui permet de
faire une approximation entre la relation -pression 1déformation- obtenue et qui ajuste
mieux les résultats expérimentaux que la loi parabolique traditionnelle. Murphy et
Reddy [25] examinèrent des méthodes de modélisation des conditions de support des
liaisons glissantes pour l'étude des structures par les éléments finis et particulière-
ment pour les structures de machines-outils. Ils proposèrent, dans le cas où la contri-
bution de la rigidité des aspérités de surface à la rigidité globale de la structure est
significative, de modéliser celle-ci par un ressort spécial ayant une rigidité normale et
une rigidité tangentielle. Dans le cas où la contribution de la rigidité des aspérités de
surface à la rigidité globale de la structure n'est pas significative, la rigidité de la liaison
n'est pas représentée dans le modèle d'éléments finis mais les conditions de support
entre les deux éléments sont représentées d'une manière appropriée. Cette repré-
sentation peut se faire en utilisant un -floating hinge- qui permet une continuité des

-22-
déformations dans les directions linéaires désirées et en même temps une disconti-
nuité des pentes au niveau des points de support.
Ito et Tsutsumi [26], dans le cadre de l'utilisation de l'ordinateur dans l'étude des
structures de machines-outils, analysèrent les méthodes de modélisation des liaisons
qui sont en général représentées par des ressorts et des amortisseurs. Les caracté-
ristiques fondamentales des liaisons à considérer, quand on les remplace par des mo-
dèles mathématiques, sont les suivantes:
- la rigidité statique des structures avec liaisons est plus petite que celle de
la structure solide équivalente; la liaison doit montrer la discontinuité de la
caracté ristique;
- la capacité d'amortissement des structures avec liaisons est plus élevée
alors que leur fréquence propre est plus basse;
- les caractéristiques mentionnées ci-dessus sont largement dépendantes
du rapport des rigidités des liaisons voisines.
Sur la base de ces considérations, ils proposèrent une méthodologie de détermina-
tion des modèles mathématiques des liaisons qui jouent un rôle significatif dans l'ana-
lyse des structures par ordinateur.
Lavina [27] présenta les résultats d'une étude des effets de la rugosité de surface,
des déviations de planéité, des lubri'fiants, de la pression initiale à l'interface de la
liaison, de la rigidité des éléments assemblés et de la distance entre les boulons de
fixation sur la rigidité de la liaison et proposa une méthode de calcul des déflexions
des liaisons.
En ce qui concerne notre étude, elle ne prendra pas en compte les liaisons qui n'in-
valident pas les comparaisons, car notre but n'est pas d'estimer la rigidité d'une
machine donnée. De plus, seuls des bâtis en mécano-soudé seront réellement exa-
minés.

-23-
Chapitre 3 : Les bâtis inclinés
3.1 Généralités
Certains constructeurs utilisent les bâtis à angle d'inclinaison élevé pour faciliter
l'évacuation des copeaux. L'objet du présent chapitre est de mettre en évidence les
modifications de comportement liées à l'angle d'inclinaison et le problème de la défini-
tion de la rigidité pour les bâtis inclinés. On profitera également de l'opportunité offerte
par la présence, à notre institut, d'un bâti incliné de 15° pour valider nos méthodes de
calcul.
3.2 Les modèles
3.2.1 Présentation des modèles étudiés
Les études faites au laboratoire de machines;>utils de l'EPFL ont permis d'élaborer
les règles de construction présentées dans l'annexe 1. Elles ont montré qu'un caisson de
longueur L et de rigidité -maximale-, recevant des charges dans des conditions d'appui
données, a une section optimale. Il a une largeur optimale (B) et une hauteur optimale
(H) qui sont liées à la longueur du caisson par les rapports suivants en admettant une
épaisseur constante des toiles:
f = 0.85
et
f = 0.60
Nous admettons pour les besoins de cette étude que les épaisseurs des toiles, la hau-
teur moyenne, la longueur et la largeur sont invariantes. La hauteur moyenne est la
moyenne des hauteurs des parois latérales. La Fig. 4 représente le modèle général
avec l'angle d'inclinaison y, la figure 6 donne les dimensions extérieures et la figure 5
donne la section générale des modèles. Les modèles sont des structures fermées que
l'on suppose constituées de tôles d'acier d'une épaisseur de 25 mm à l'exception de la
plaque supérieure dont l'épaisseur est portée à 35 mm. La plaque supérieure sur
laquelle sont fixées les glissières est plus épaisse pour permettre la reprise des mo-
ments locaux, d'où le rôle important qu'elle joue dans le maintien en position relative de
la pièce et de l'outil.

-24-
y
w
z
x
1
,''fi.------
, "
4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
B
3
Fig. 4 : modèle général du bâti incliné
plaque supérieure de 35 mm
plaque latérale
plaque latérale . /
avant
arrière
25 mm
/
ellipse d'inertie
Fig. 5: la section générale des modèles avec les épaisseurs des plaques

-25-
bâti de 150
bâti de 45 0
Fig. 6 : la vue d'ensemble des bâtis
3.2.2 Caractéristiques des modèles
Les caractéristiques des sections des quatre modèles sont données dans le tableau 1
où l'angle cl> représente l'orientation de l'ellipse d'inertie par rapport aux axes centroï-
daux X et Y. Il est défini sur la Fig. 5.
Les coordonnées du centre de gravité ( x'cg , y'cg ) sont données par rapport à un sys-
tème d'axes situé, dans la section, sur la face inférieure et au milieu de sa largeur (voir
Fig. 5 ). Les moments d'inertie sont calculés par rapport au centre de gravité de la sec-
tion.
AngiE
x'cg
y'cg
Aire
Ix~
Iy~
Ixyc;g
Imax
Imin
cl>
(
0
)
m2
m4
m4
m4
(
0
)
m
m
m
m
0
0.0
0.880
0.149
0.061
0.033
0.0
0.061
0.033
0
15 -0.029 0.890
0.150
0.063
0.034
-0.004
0.064
0.033
8.14
30 -0.060 0.927
0.155
0.070
0.034
-0.009
0.072
0.031
13.62
45 -0.098 1.003
0.165
0.086
0.034
-0.016
0.090
0.029
15.82
Tableau 1. Caractéristiques des sections des modèles

-26-
3.2.3 Les conditions d'appui et le cas de charge
En plus des contraintes dimensionnelles, les conditions de charge et d'appuis sont
identiques. Le cas de charge que l'on rencontre fréquemment sur un bâti est représenté
sur la Fig. 4. 1/ s'agit d'une représentation des charges appliquées à un bâti par un cha-
riot qu'il supporte par l'intermédiaire de ses glissières. Le bâti est sollicité par deux char-
ges réparties d'égale valeur, situées au droit des parois latérales à une distance U3 des
extrémités. La charge totale sur chaque plaque latérale est de 10 KN. Cette force arbi-
traire n'est là que pour la comparaison.
Le bâti est posé sur quatre appuis répartis qui ont chacun la longueur d'un élément
(0.158 m) et sont caractérisés par le blocage selon Y des deux nœuds situés sur la pla-
que inférieure des deux éléments extrêmes de chacune des plaques latérales. Afin
d'assurer l'équilibre statique complet, nous avons encore ajouté sur les deux nœuds de
l'élément 1 de la plaque latérale arrière situés sur la plaque inférieure un blocage en
translation suivant X et Z et sur les deux nœuds de l'élément 2 de la plaque latérale
avant situés sur la plaque inférieure un blocage de la translation selon Z.
Les conditions de charge et d'appuis sont représentées sur la Fig. 7 pour le bâti de 00 •
Elles sont identiques pour les autres modèles.
3.3 Les méthodes de calcul
3.3.1 Les éléments finis
Tous les calculs par voie numérique sont effectués à l'aide du programme d'Eléments
finis Supertab de I.DEAS SDRC [36].
Les modèles ont été discrétisés en un nombre identique d'éléments. Les types d'élé-
ments utilisés sont:
- des plaques minces quadrilatères linéaires pour les parois du bâti,
- des poutres linéaires pour recevoir les charges réparties.
Ces éléments sont les plus simples et donnent des résultats satisfaisants.
Les détails de ce maillage sont représentés sur la Fig. 7. Pour chaque modèle de bâti
étudié, le nombre d'éléments "plaques minces quadrilatères linéaires" est de 468 et
celui d'éléments "poutres linéaires" est de 8. Dans les bâtis de 30 0 et 450 , des éléments
triangulaires qui peuvent poser des problèmes en intégration linéaire sont utilisés dans
les parties triangulaires. Le nombre de degrés de liberté est de 2826.

J
1
1
1
-27-
1
f
1
J
1
1
f
1
1
1
!
1
1
J
,1Jfj
1
1
1
,1,

: nŒluds de la Plaque latérale arrière dont les déplacements SOnt utilisés
Pour tracer les figures 12 et 13.
F"rg. 7 : les COnditions de charge et d'apPUis Sur le bâti de O'
3.3.2 la résistance des matériaux
1
1
Un calCUl par la résistance des matériaux est effectué SUr tous les mOdèles POur véri-
1
lisées [5]:
fier les résultats obtenus avec la méthOde nUmérique. Les éqUations sUivantes Sont uti-
1
t
1
tie:
- POUr le déPlacement en flexion dans la direction des axes Principaux d'iner_
1
1
d'inertie:
(3.1 )
1
- POur le déplacement en cisaillement dans la direction des axes Principaux
1
J
1
1
(3.2 )
j

-28-
-le déplacement en compression est calculé avec la formule développée par
A. BOROUMAND [4] :
- 1.38 log t - 1.9 log { 2 - [ } + ~
(3.3 )
Ucc =
E e
P
où:
Pi : composante de la force totale P sur l'axe principal i
P : force totale appliquée sur la plaque ( 10 KN )
L: longueur du bâti ( 1.92 m )
11 : coefficient de forme (1.8 - 2)
1: moment d'inertie de la section
F : aire de la section
1: longueur de répartition de la charge ( 0.64 m )
s : longueur d'un appui ( 0.158 m )
a et ~ sont donnés par la Fig. 8 où 1est la longueur de répartition de la
charge.
J
1.0 f" --1"-
!
0,9
f'\\..
......
1
T'..
1
f'\\..
r"..i
0,8
~ f'\\..
0,7
'"
! f'\\..I J
f~i
i\\
0,6
i'" ~,
, 1"'-
0.1
0.5
"
Fig. 8 : les constantes a et ~
- les effets locaux dus à la charge appliquée et aux réactions aux appuis,
sont déterminés en utilisant les résultats de Flamant [37] qui permettent de
montrer qu'en un point situé à une distance r du point d'application de la
charge, la contrainte radiale de compression pour une plaque d'épaisseur e a
pour expression :
o = - 2P
cos a
)
r
{ si n 2ô + 2ô } e r
( 3.4
où a représente l'angle entre la verticale et le rayon passant par le point considéré
(Fig. 9). Les contraintes 09 et 'rra sont nulles.

f
!
-29-
t
1
[
En remplaçant l'équation 3.4 dans l'équation suivante:
f
i
or - VOe
(3.5 )
Er =
E
1
et en intégrant par rapport à r on peut calculer la déformation en compression u de la
plaque latérale :
1
l -
u =
2 P cos 6
dr
(3.6 )
1
E e { 2 6 + sin 2 6}
r
où:
1
P : charge appliquée sur la plaque
1
e : épaisseur de la plaque
t
t
Les déplacements de flexion et de cisaillement sont calculés dans les axes princi-
1
,
paux d'inertie et décomposés ensuite suivant les axes X et Y. Le déplacement de
compression est calculé suivant l'axe Y. Le déplacement total dans une direction est la
l
(
somme des composantes de déplacement dans la direction.
1
P
!
1.640 m
P/2
Fig. 9
P/2
3.4 Résultats et analyse
3.4.1 Modèle de présentation des résultats
Un triangle d'épaisseur nulle se déplace avec la section centrale du bâti. Le sommet du
triangle qui ne repose pas sur les glissières est confondue avec l'axe d'une broche. Il est
représenté sur la Fig. 10. Les résultats des études représentent les déplacements du
point de la broche où est fixé le système d'axes.

-30-
- .. x
broche
bâti
r-------------,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
la section centrale ""'- !
!
i
y
"X
1
1
1
-+
- - 8/2
1
Z
1
1
1
LJ~ 1
1
1
1
1
1
1
1
1
L _____________ 1
J
Rg. 10: la localisation de la section centrale d'un bâti avec sa broche
3.4.2 Les bâtis sans cloison intermédiaire
3.4.2.1 Les déplacements
Nous présentons dans le tableau 2 les déplacements de l'axe de la broche suivant les
axes x et y et sa rotation autour de l'axe z qui est confondu avec l'axe de la broche. On
observe sur le tableau 2que les déplacements suivant x augmentent avec l'angle d'incli-
naison alors que les déplacements suivant y restent sensiblement constants malgré
une nette augmentation du moment d'inertie de la section. On remarque sur le même
tableau que pour un angle d'inclinaison de 450 les déplacements suivant x deviennent
supérieurs à ceux suivant y. Ce phénomène est dû à la flexion déviée. En effet, dans un

-31-
bâti où l'angle d'inclinaison est nul, le moment de flexion est orienté suivant un axe prin-
cipal d'inertie alors que dans un bâti incliné, son orientation ne coincide plus avec un axe
principal d'inertie et nous avons ce qu'on appelle une flexion déviée. Les valeurs entre
parenthèses dans le Tableau 2. qui devraient être nulles sont dues à un blocage non
symétrique du déplacement de l'appui dans la direction X.
J
Le déplacement total Utot est défini par la formule:
1
U
(3.7 )
1
tot = ju~ + u~
où: Ux est le déplacement dans la direction X et uyest le déplacement dans la direc-
1
tion Y.
t
~
Angle ( 0 )
0
15
30
45
1
Dép!. selon -X (1 o-s m )
(--0.11 )
0.96
2.31
4.36
1
Dép!. selon -y (1O-S m )
3.67
3.70
3.76
3.95
1
Déplacements totaux (10-6 m)
3.67
3.82
4.41
5.88
1
Rotation Z (1 o-s radians)
(0.0016)
0.0544
0.0951
0.0233
1
Tableau 2.
Les déplacements du tableau 2 sont représentés sur la Fig. 11. Les faibles variations
des déplacements dans la direction verticale y montrent que la caractérisation des bâtis
inclinés par la rigidité dans le plan vertical n'exprime pas d'une manière satisfaisante le
comportement de tels systèmes.
- 6
E
~ 5
T""
fi)
4
-c:CDECD 3
0
ca
a.
'CD
2
c
-x- déplacements X
1
........ déplacements Y
-
dé lacements totaux
0
0
10
20
30
40
50
Angle d'inclinaison ( 0 )
Fig. 11 : la variation des déplacements avec "angle d'inclinaison

-32-
3.4.2.2 Déplacements dans la section transversale centrale de la plaque
arrière
Les déplacements des nœuds de la plaque latérale arrière situés au milieu de la lon-
gueur du bâti ( voir la figure 7 pour le cas du bâti de 0°) sont représentés sur les figures
12 et 13 en fonction de leur position par rapport à la plaque inférieure. On remarque sur
la Fig. 12 que, pour la plaque latérale arrière, les déplacements de flexion et de cisaille-
ment diminuent légèrement quand l'angle d'inclinaison croît, alors que les déplace-
ments de compression augmentent. Ceci est conforme aux résultats des études anté-
rieures qui ont montré que les déplacements de flexion-eisaillement diminuent au profit
des déplacements de compression quand la hauteur d'un bâti augmente. Ce type de
déplacement augmente avec l'angle d'inclinaison. Les déplacements verticaux globaux
varient peu avec l'angle d'inclinaison.
La Fig. 13 met en évidence l'existence de déformation en mode plaque quand l'angle
d'inclinaison augmente. Elle montre aussi que le déversement augmente avec l'angle
d'inclinaison.
E 5.0........~r---I~---r.....,.. ........---.---r-"""'T""--r--r-""T"""~~~,.....-r---r--....-,...-,...-r---1
- - bâti 0°
t
- - - bâti 15°
• • •
bâti 30°
-
-
bâti 45°
0.0 L.....IL.......I---I.----L--L.....L..........................__.....&.................L...........~.........................~~...................~
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.4
Position du nœud sur la hauteur ( m )
Fig. 12 : les déplacements verticaux ( -y )

-33-
......
E
4.~5-.....,~,~,~,~,....-,,....-,,....-,.,....-,,~,~r--r--r--....-._._._-r---r--..,.--"T."""""T."""""T.....,
/
_ _ bâti 0°
b 4.C~
/
-
/
Ch
~
--- bâti 15°
-c:
/
Q)
• • •
bâti 30°
E
/
-
"'"
_ _ bâti 45°
~
/
.
a.
"'"
'<1>
/
Cl
2.C
/
-
"'"
/
-
"'"
/
, /
-
"'"
~
.
0.(1 --
_.Ii
1
1
l
,
,
,
1


0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.4
Position du nœud sur la hauteur ( m )
Fig. 13 : les déplacements dans la direction (-X)
3.4.2.3 sections centrales transversales déformées
Pour voir plus clairement l'influence de l'inclinaison sur le comportement du bâti, nous
avons représenté sur les figures 14 et 151es sections centrales ( section au milieu de la
longueur du bâti) des bâtis déformés. On constate que les déformations en mode pla-
que augmentent avec l'angle d'inclinaison du bâti. Ce comportement est illustré pour la
plaque latérale arrière par les déplacements dans la direction X ( Fig. 13) des nœuds
situés sur la section centrale.
Au niveau de la section déformée du bâti de O·, la plaque supérieure est en flexion. La
flèche de cette plaque mesurée par rapport à une droite passant par ses deux extrémi-
tés est égale à 0.63 1O-S m. Ce comportement un peu surprenant a justifié une vérifica-
tion avec le programme SAFE ( Structural Analysis by Finite Elements) du ProfesseurJ.
JIROUSEK de l' EPFL~énie civil qui a donné une flèche de 0.60 1~ m. Cette flèche
est due à la distribution non uniforme de la contrainte principale sur la plaque supé-
rieure.
Ce comportement de la plaque supérieure montre aussi l'intérêt de la renforcer. Dans
le cas présent, le déplacement est faible et de ce fait n'a aucune importance fonction-
nelle. Ce faible déplacement est certainement dû à l'épaisseur de cette plaque qui est
plus grande que celle des autres plaques.

-34-
-----------------------------------
Fig. 14: les sections centrales des bâtis de 0° et de 15° sans cloison intermédiaire
Fig. 15 : les sections centrales des bâtis de 30° et de 45° sans cloison intermédiaire

-35-
3.4.3 Les bâtis avec cloison intermédiaire
En utilisant les mêmes modèles ( Fig. 6 ) auxquels nous ajoutons une paroi intermé-
diaire située à la section centrale du bâti, nous avons étudié l'influence de celle-ci sur le
comportement des bâtis inclinés. On mettra en évidence l'effet de la toile intermédiaire
sur le phénomène de déversement.
3.4.3.1 Les déplacements
Dans ce paragraphe, la section du bâti représentée à la Fig. 10 coïncide avec la posi-
tion de la cloison intermédiaire. Les résultats dans le tableau 3 montrent que les dépla-
cements dans les différentes directions particulièrement dans la direction x diminuent
avec la présence de la cloison intermédiaire. Les déplacements dans la direction x aug-
mentent, malgré la présence de la cloison intermédiaire, avec l'angle d'inclinaison alors
que les déplacements dans la direction y restent sensiblement constants. Malgré l'amé-
lioration due à la cloison intermédiaire, il est visible que la caractérisation du comporte-
ment de tels bâtis par un facteur simple comme la rigidité dans le plan vertical reste
insuffisante. Ce facteur ne donne aucune information sur les déplacements dans la
direction du déversement.
Angle ( • )
0
15
30
45
Dép!. selon -x (10-6 01 )
-0.098
0.542
1.279
2.161
Dép!. selon -y (10-6 01 )
3.194
3.189
3.177
3.161
Déplacement totaux (10-6 01)
3.195
3.235
3.425
3.829
Rotation Z (10-6 radians)
-0.003
0.289
0.629
1.014
Tableau 3.
Les courbes de la Fig. 16 représentent les déplacements du tableau 3.

-36-
6
E
~ déplacements X
Cf,....o 5
.....- déplacements Y
(/)
-c::
-
déplacements totaux
œ
4
E
--
~Q.
-<J)
3
-
C
~
2
1
~loo"""'
~
---~~
oo ----------10
20
30
40
50
Angle d'inclinaison ( 0 )
Fig. 16 : la variation des déplacements avec l'angle d'inclinaison
La comparaison des déplacements totaux ( Fig. 17 ) met en évidence l'effet de la
toile intermédiaire.
6
,-"
1
1
5
,",,'
sans toile intermédiaire
,~
::.
4
-------
(/)
1--------_-.--
-c::œ 3
avec toile intermédiaire
E
œ
u
tU
Q.
2
'G)
c
1
oo
10
20
30
40
50
Angle d'inclinaison ( 0 )
Fig. 17 : l'influence de la toile intermédiaire sur les déplacements totaux
3.4.3.2 Sections centrales transversales déformées
Les sections centrales transversales déformées sont représentées sur les figures 18
et 19. Elles montrent une diminution des effets de déversement c'est à dire l'inclinaison
des bâtis déformés vers le grand côté.

-37-
i -_ ... --ï--"'''' ------ -_ ... ---- -;'"---- -ï'" -----
r-"'-- ...
,
"
l
"
l
"
l
,
"!
:1
;-----1-----
1
---
r----- 1
--1---
1
1
1
---1
1
1
1
...--r1
---;,
1
,
-----~
1
1
1
1
1
1
t--
_
1
---+
- - - __ 1
1
,
,
1: ---
.~'f===::::::t::::::-ll-
_
r=r=9k::di--_
-----
-----
_____ J
J
J
J
J
J
---- ----- --
Fig. 18 les sections centrales des bâtis de 0 0 et de 150 avec cloison intermédiaire
,,,,,
M"=~9li==#~~~~~~'.~
,
1
1
1
1
1
1
1
1
r
1
1
1
1
1
1
1
1
r
1
1
,
1
1
1
1
1
1
1
r
r
1
,
r
1
,
1
1
1
1
':---
--,
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
r
1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
l
Fig.19 les sections centrales des bâtis de 30 0 et de 45 0 avec cloison intermédiaire

-38-
3.4.4 Etude de l'effet des toiles de rigidification et de la toile intermédiaire
3.4.4.1 Le bâti de 450
Les résultats du tableau 4 montrent que les déplacements dans les différentes direc-
tions augmentent dans le bâti incliné de 45° muni seulement de toiles de rigidification.
Les toiles de rigidification locale contrôlent les effets locaux mais augmentent les dépla-
cements globaux en raison de la rigidification. Les toiles de rigidification locale ne se
déforment pas uniquement dans leur plan. Sur le même tableau, on voit qu'en ajoutant
une toile intermédiaire, les déplacements dans les différentes directions diminuent mais
ils restent supérieurs à ceux du bâti muni seulement de la toile intermédiaire.
Rigidification Toile inter-
Bâti de 45° Rigidifica-
Désignation
et toile inter-
médiaire
nu
tion seule
médiaire
-seule
Déplacements en -x (10-6 m )
4.36
5.03
2.84
2.161
Déplacements en -y (10-6 m)
3.95
5.16
4.10
3.161
Déplacements totaux (10-6 m)
5.88
7.20
4.99
3.829
Rotation Z (1O-S radians)
0.0233
0.10
1.2122
1.014
Tableau 4. les déplacements pour le bâti de 45° avec les toiles de rigidification et
la toile intermédiaire
" "
" , ,
" ""\\ ',
\\
'
\\
1
\\
1
toiles de rigidification
toiles de rigidification et toile intermédiaire
( section où se situe la toile)
Fig. 20 : les sections centrales du bâti de 450

-39-
3.4.4.2 Le cadre plan incliné de 45°
L'effet des rigidifications locales observé sur la section centrale d'un bâti de 45° a
nécessité une vérification sur un cadre plan discrétisé en éléments poutres linéaires.
Le cadre plan repose sur deux appuis. On observe également que les rigidifieations
locales augmentent les déplacements globaux avec une charge verticale appliquée
dans l'axe des toiles verticales (Tableau 5.).
Désignation
Cadre plan nu
~adre + barres rigidif.
Déplac. en X ( 10-6 m )
-16.45
-28.85
Déplac. en Y ( 1O-S m )
-24.17
-24.10
Déplac. total ( 10-6 m )
29.20
37.60
Tableau 5. les déplacements de la pointe du cadre plan
"l',,,,,,,,,,,,,
'1
1
1
1
1
1
1
cadre plan nu
cadre plan avec barres de rigidification
Fig. 21 : les sections déformées du cadre plan incliné de 45°

-40-
3.4.5 calcul des déplacements par la résistance des matériaux
Dans les bâtis inclinés, nous avons une flexion déviée qui fait que les déplacements
dans la direction x peuvent être aussi importants devant ceux dans la direction verti-
cale. Pour les calculer, les forces de sollicitation sont décomposées dans les direc-
tions des moments principaux d'inertie. Les déplacements produits par ces compo-
santes de force sont calculés dans la direction de ces axes principaux d'inertie et
décomposés sur les axes x et y pour la flexion et le cisaillement. La compression est
calculée avec la force totale appliquée dans l'axe de la toile. Les résultats sont indi-
qués dans le Tableau 6. Les déplacements de compression augmentent avec l'angle
d'inclinaison et représentent plus de 50% du déplacement dans la direction Y.
Une analyse de ce tableau montre que dans les bâtis de 15, 30 et 45° , la résistance
des matériaux donne une valeur du déplacement dans la direction x différente de celle
des éléments finis. Cette différence est due au déplacement local car nous avons une
pointe dont la résistance s'affaiblit avec l'augmentation de l'angle d'inclinaison. Un
exemple du calcul effectué est présenté en annexe 1/ pour le bâti de 30°.
Angle ( • )
0
15
30
45
Déplacements en X (10-6 m )
0.000
0.383
0.577
0.625
Déplacements en Y (10-6 m )
3.601
3.793
4.014
4.202
Déplacement totaux (10-6 m)
3.601
3.932
4.684
4.778
Tableau 6. les déplacements obtenus par la résistance des matériaux pour les
bâtis sans cloison intermédiaire
3.4.& Estimation des déplacements locaux
En utilisant la formule (3.6) avec 6=0· et ô=45°, on peut calculer le déplacement en
compression de la plaque dû à la force de réaction F/2 avec comme bornes d'intégration
la longueur d'un élément ( 0.158 m) et la longueur d'un élément plus la hauteur du bâti (
1.n9 m ). Il est égal à u= 1.8 10-6 m. Le déplacement en compression de la plaque lors-
que la charge est répartie sur toute sa longueur et qu'elle est appuyée sur toute la lon-
gueur u,.=: 1.6510-6m. La différence entre ces deux valeurs nous donne le déplacement
local dû à la force de réaction F/2. Il est égal à UF 0.15 10-6 m.
Le déplacement en compression dû à la force F peut se calculer avec la formule 3.6 sur
une portion de la hauteLlrdu bâti (0.64 m) et sur la partie restante de la hauteur du bâti,la
compression est calculée en considérant que la charge est uniformément répartie sur
toute sa longueur et qu'il est appuyé surtoute sa longueur. Le déplacement de compres-

-41 -
sion dû à la force F vaut 1.74 10-6 m. La différence entre cette valeur et le déplacement
ur=: 1.6510-6 mdonne le déplacement local dû à la force F. Le déplacement local total de
la plaque est obtenu en ajoutant à cette valeur le déplacement local dû à la force de ré-
action F/2 et vaut 0.24 10-6 m.
3.4.7 Conclusion
L'analyse de l'ensemble des résuttats obtenus montre que les effets de déversement
constituent le problème principal des bâtis inclinés. Un moyen de diminuer ce type de
déformation est l'utilisation de cloisons intermédiaires qui, tout en diminuant les effets
de déversement, augmentent la rigidité globale verticale qui esttrès peu sensible à l'an-
gle d'inclinaison du bâti. L'écart de rigidité globale verticale pour le bâti de 00 est dû à la
reprise par la cloison intermédiaire d'une partie de la charge appliquée sur la plaque
latérale et la rigidification qu'elle apporte à celltH::i par la présence d'un "Té" à la place
d'une plaque simple.
L'ensemble des résuttats montre la difficutté de définir la rigidité d'un bâti incliné qui
présente des déplacements dans une direction autre que celle de la force qui peuvent
être même supérieurs à ceux dans la direction de la force lorsque l'angle d'inclinaison
est élevé. La caraetérisation du comportement de ces bâtis par la rigidité n'est significa-
tive que dans les directions des axes principaux d'inertie. En dehors de ces constata-
tions, on note la difficulté de définir la structure optimale en utilisant le critère de la rigi-
dité dans le plan vertical étant donné qu'elle est peu sensible à l'angle d'inclinaison et les
problèmes de comportement en poutre qui peuvent être atténués par l'utilisation des
cloisons intermédiaires.
3.5 Etude 'théorique et expérimentale d'un bâti
Le but de ce paragraphe est de comparer les déplacements obtenus par les éléments
finis à partir d'un modèle avec ceux des mesures expérimentales effectuées sur un bâti
réel avec un protocole d'essai dont je ne suis pas l'auteur.
3.5.1 Etude expérimentale
i
3.5.1.1 Description générale du bâti réel
1
E
Le bâti utilisé pour les besoins de cette étude est une structure fermée ayant trois cloi-
sons intermédiaires. Il est incliné de 150 et a une longueur de 1.36 m. La section de ce
bâti est représentée sur la Fig. 22. Les caractéristiques de cette section sont: l'angle
d'orientation de l'ellipse d'inertie 4l = 6.87 0 , l'aire F=5.307 10-2 m2 et les moments
1
d'inertie centroidaux: lxcg =1.597 10-3 m4 et lycg = 3.056 10-3 m4• L'ellipse d'inertie
1
1
représenté sur la section a un grand axe de 0.480 m et un petit axe de 0.347 m. On
remarque une différence importante d'épaisseur entre les deux plaques latérales. Elle
1
est due au fait que la plaque la plus épaisse va porter la table fixe.
t
1

-42-
f - - - - - - - - - - 5 9 5 - - - - - - - - - - - - i
Fig. 22 : section du bâti montrant les différentes parois
3.5.1.2 Description de l'installation de mesure
Le bâti incliné de 15° a été posé sur quatre points d'appui élastique dont deux forment
une barre unique qui repose sur un tube cylindrique qui transmet ces deux réactions du
bâti au sol en une seule réaction par l'intermédiaire d'une autre barre. Ainsi le système
repose sur le sol en trois points ( Fig. 23). Ce système d'appui laisse au bâti une possibi-
lité de rotation au niveau de ce dernier appui. Les capteurs inductifs de déplacement
sont montés sur un cadre qui est posé sur trois points d'appui fixés sur le bâti et appuient
sur des équerres collées sur le bâti. De cette manière, on ne tient pas compte des dépla-
cements dus aux appuis et on ne mesure que les déplacements propres du bâti. Nous
avons choisi 24 points de mesure sur le bâti, répartis de la manière suivante: 12 points
sur le plan inférieur et 12 sur le plan supérieur.
La mise en charge est effectuée à l'aide d'un vérin hydraulique qui agit sur une barre
qui a comme points d'appui les deux glissières et ainsi transmet la charge au droit des
parois latérales. Le bâti reçoit une charge de 100 KN dont 61 KN vont au droit de la paroi
du grand côté et 39 KN sur le petit côté. Cette répartition de la charge n'est due qu'à la
recherche d'une symétrie par rapport au centre de gravité pour éliminer l'effet de la tor-
sion. Cette répartition de la charge et le système d'appui ont eu un effet néfaste sur les

-43-
mesures. La position du centre de gravité ( Fig. 22 ) ne correspond pas du tout à cette
répartition ce qui a entraîné une torsion du bâti et par conséquent une rotation du cadre.
En plus, l'essai était conçu pour des déplacements verticaux et le déversement a provo-
qué des déplacements horizontaux qui affectent le glissement de la tige du capteur dans
le corps. ceci a provoqué de l'hystérésis au niveau des capteurs et par conséquent des
erreurs sur les déplacements mesurés.
Les résultats des trois séries de mesure pour la montée et la descente sont donnés
dans l'annexe III. Une série est constituée d'une montée (variation de la charge de 0 à
100 KN) et d'une descente (une variation de la charge de 100 KN à 0). Le déplacement
au milieu de la petite plaque est environ 45.4 10-6 m.
Ces mesures ont été effectuées à l'aide du matériel suivant:
- un vérin de 200 kN à 455 bars,
- 12 capteurs inductifs de déplacements RDP 05/100 AG qui ont les caractéristiques
suivantes:
- alimentation: 5 V,
- domaine de mesure: +/- 2.5 mm,
- sensibilité: 80 mVN/mm,
- linéarité: mieux que 0.5%
- reproductibilité (déplacement axial): dans une plage de tolérance 0.25 J.Lm.
- un central de mesure UPM60.
- un capteur de force C2I10T qui a une charge utile de 12 tonnes et une charge
limite de 15 tonnes.
y
1
,:--.-.--.----.-- .
plan supérieur
/ ' :
P2
,
1
,
1
449
.......,..'7f
LJ2: - -.....- -
1
plan inférieur
1
51.5

les équerres
L

les appuis du cadre
Fig. 23 : schéma du montage expérimental

-44-
3.5.2 Etude par les éléments finis
Le modèle du bâti réel a été maillé en 714 éléments "plaques minces quadrilatères
linéaires". Comme le montre le modèle en annexe IV,Ies appuis sont représentés par
des ressorts et la barre d'appui par des éléments poutres rigides.
Les déplacements obtenus par la méthode des éléments finis sont corrigés pour tenir
compte de la présence du cadre et de sa rotation avec le bâti. Les facteurs de correction
sont par la valeur du déplacement défini, au niveau de chaque plaque latérale, par la
droite passant par les deux nœuds qui coïncident avec la position des deux appuis du
carde. Les déplacements maximums obtenus au milieu du bâti sur le grand côté et sur
le petit côté sont respectivement de 18.6 1O-S m et de 45 10-6 m.
3.5.3 Etude par la résistance des matériaux
En utilisant les équations du paragraphe 3.3.2, nous pouvons estimer le déplacement
maximal du bâti qui se produit au niveau de la plaque du petit côté en ne considérant pas
la flexion déviée. Le moment d'inertie de la section par rapport à X est remplacé par un
moment d'inertie équivalent [38].
Le déplacement de flexion, au milieu du bâti, de 20 1O-S m est obtenu en utilisant le
moment d'inertie équivalent 1.6310-3 m4. Le déplacement de cisaillement est égal à 16
1O-S m et celui de compression de la plaque du petit côté à 5.1 10-6 m. Le déplacement
maximal du bâti, à la section du milieu, est de 4·1.2 10-6 m.
3.5.4 Analyse des résultats
Les allures de la déformée pour les plans supérieur et inférieur sont représentées pour
le grand côté et pour le petit côté aux figures 24, 25, 26 et 27.
Pour le petit côté, les résultats numériques et expérimentaux sont à peu près identi-
ques tandis que pour le grand côté, on note une certaine différence qui peut être due à la
rotation du cadre qui provoque une baisse sur les résultats des mesures du côté de la
grande plaque. Une autre cause possible de cette différence est le phénomène de
déversement dont nous avons fait cas dans l'étude de l'influence de l'inclinaison sur le
comportement des bâtis inclinés. En effet la rotation et le déversement provoquent des
problèmes de touches au niveau des capteurs ce qui peut entraîner un coulissement
difficile de la tige du capteur.
Nous avons tracé pour les capteurs 2, 3, 8 et 9 les déplacements en fonction de la
charge pour tester la linéarité et pourvoir l'hystérésis (voir annexe V). On remarque que
l'hystérésis est plus importante pour les capteurs 2 et 3 qui sont situés sur le grand côté
que pour les deux autres qui sont sur le petit côté. Ceci peut s'expliquer par le phéno-
mène de déversement dont nous avons parlé dans les pages précédentes.

-45-
Une comparaison d'une part des figures 24 et 25 et d'autre part des figures 26 et 27,
mettent en évidence l'existence d'une compression qui est plus prononcée pour la
petite plaque.
Si nous prenons comme référence la rigidité obtenue à partir des résultats expérimen-
taux du petit côté, là où les hystérèses sont faibles (Fig. 26 et Fig. 27), on constate une
différence d'environ 10% avec la rigidité donnée par la résistance des matériaux et de
0.7% avec les éléments finis.
Comme toute mesure est par principe entachée d'erreur, les résultats expérimentaux
présentent des erreurs que nous tenterons d'estimer. Les causes des erreurs de
mesure sont de trois ordres:
1 - les imprécisions résultant des simplifications dues à la modélisation,
Elles sont une source d'erreur non négligeable.
2 - le comportement de la base de mesure,
Les capteurs sont montés sur un cadre qui subit une rotation et en même temps le
phénomène de déversement du bâti.
3 - les erreurs liées à la précision des appareils de mesure.
Le capteur de force utilisé pour mesurer la charge totale appliquée a une précision de
0.2%. Les capteurs de déplacement à induction sont étalonnés avec un micromètre qui
donne une précision sur les mesures de 4.6%. En plus de ces erreurs, le capteur de
déplacement a un écart de linéarité de 0.5%, une erreur de répétabilité (reproductibilité)
de 0.6% et une sensibilité à la température que nous négligerons.
Pour les capteurs inductifs de déplacement, nous négligerons les erreurs d'hystérésis
qui sont provoquées par les jeux mécaniques, le fluage des ressorts etc... Ce type d'er-
t
reur est visible sur les figures en annexe V.
t
1
Globalement en considérant les régies de calcul de propagation d'erreurs, on peut
f
estimer l'erreur sur les mesures à environ 6%. Cette valeur peut être dépassée à cause
de l'hystérèse des capteurs.
.1
/
J

-46-
......
50
E
---résultats expérimentaux
~
-
o
~
~résultats des éléments finis
40
fi)
-c:::Q) -
E
Q)
~
30
a.
-<1)
o
-
20
-
~
~.
V"""
10
~"-
/ ' •
-
~
o
~
1
1
1
1
1
"-.1 1
o
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Positions sur la longueur du bâti
Fig. 24 : les déplacements de la plaque du grand côté - plan inférieur
......
50
E
---résultats expérimentaux
~
-
o
~
~résultats des éléments finis
40
fi)
-c:::Q) -
E
Q)
~
30
a.
-<1)
o
-
20
~
-
~~ ~
~
10
~

/ '
-
~

o
1
1
1
1
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o
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Positions sur la longueur du bâti
Fig. 25:
les déplacements de la plaque du grand côté - plan supérieur

-47-
5O,-,-------r-------r---~--___r----------1
E
~résultatsexpérimentaux
Cfo
T'""
~résultats des éléments finis
--
4O-+-----4------+------1f-7......1iO::'""""-+----,----...,..------I
U)
-c:Q)E~ 301-l-----+---~~L---+----+_--~Lf_---+---___I
Q.
'CD
o
2 0 . + - - - - - - I - - - - - - : # - - + - - - - + - - - - + - - - - + - - y . - - + - - - - - - - i
1 0 - l - - - - - - I - - - - + - - - - + - - - - + - - - - + - - - - T - - - - - I
04--.......---1---.--+--....---+_-...---+--...---+--,.--+--,.----1
o
0.2
0.4
0.6
O~
1~
12
1A
Positions sur la longueur du bâti
Fig. 26: les déplacements de la plaque du petit côté - plan inférieur
50......----.......-----.----....-----...-----...-----,.---__
E
Cf0
T'""
--U) 40
-c:Q)EQ)
~ 30
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0
l
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t!~
~:~
101-+----~_+_---_+_---_t_---...I----...I----'i__--.:~___I
--- résultats expérimentaux
-+résultats des éléments finis
Ol-t----r---+---.--t--,--+--"T"---r--"T"--"T"--"T"--+--.---t
o
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
Positions sur la longueur du bâti
Fig. 27 : les déplacements de la plaque du petit côté - plan supérieur

-48-
3.6 Conclusion
De cette étude, on peut tirer les conclusions suivantes:
-les angles d'inclinajson, si on fixe comme invariant la hauteur moyenne, influencent
peu les déplacements verticaux ce qui peut s'expliquer par le choix des dimensions opti-
males basé sur les études précédentes. Les déplacements dans la direction x varient
beaucoup avec l'angle d'inclinaison,
-l'angle d'orientation de l'ellipse d'inertie croit lentement avec l'augmentation de l'an-
gle d'inclinaison du bâti jusqu'à 45°.
-dans le cas du bâti de 0°, les rigidités obtenues par les éléments finis sont inférieures
de 2% à celles données par la résistance des matériaux en tenant compte des déplace-
ments de compression, de cisaillement, de flexion et des déplacements locaux,
- les effets de déversement constituent un problème dans l'utilisation des bâtis incli-
nés et ils augmentent avec l'angle d'inclinaison,
- les cloisons intermédiaires atténuent les effets de déversement,
- les toiles de rigidification locale augmentent les déplacements globaux.
La méthode des éléments 'finis est bien adaptée à l'analyse des bâtis de machines-ou-
tils. Elle nous a permis d'analyser l'influence de l'angle d'inclinaison, de mettre en évi-
dence le danger des images de comportement en poutre et l'insuffisance de la caracté-
risation du comportement des bâtis inclinés par la rigidité dans le plan vertical au delà
d'un angle d'inclinaison de 20°. C'est pourquoi, dans le chapitre 5, nous proposerons
une fonctionnelle qui permettra de mieux caractériser le comportement de ces bâtis.

-49-
Chapitre 4: Modélisation des caissons par un
système équivalent de poutres
4.1 Généralités
L'objet du présent chapitre est de développer une méthode de modélisation des
caissons sains par un système équivalent de quatre poutres. Pour juger la validité de
cette représentation, nous comparerons les énergies de déformation du caisson et de
son modèle équivalent de poutres soumis à des contraintes identiques de charge et
d'appui. Cette méthode permettra de réduire le temps de calcul nécessaire pour
l'étude du caisson avec des éléments plaques minces. Elle sera ensuite appliquée à
un caisson soumis à des cas de charges que l'on rencontre fréquemment dans le
domaine de la machine-outil et dans le prochain chapitre, elle sera appliquée à une
structure composée de deux caissons sains.
4.2 Description de la méthode de modélisation
4.2.1 Introduction
La théorie des poutres décrit le comportement d'un objet tridimensionnel par une
ligne fictive, la ligne élastique. Les effets de la flexion, du cisaillement et de la torsion
circulaire peuvent être reportés sur la structure tridimensionnelle. Par contre, l'effet de
la compression ou les déplacements locaux ne peuvent s'intégrer facilement dans le
modèle. Il en résulte que l'allure de la ligne élastique au sens de la théorie des poutres
est peu pertinente dans un bâti de machine-outil car les effets non modélisés font
varier l'allure de la déformée de la fibre supérieure à la fibre inférieure.
En outre, le prolongement de la ligne élastique (Fig. 28), au niveau de la liaison de
deux poutres courtes, entraîne des erreurs importantes sur les déplacements ce qui
n'est pas le cas en présence de poutres longues.
poutres longues
poutres courtes
prolongement de l'élastique peu de consé-
erreurs importantes
quences sur les résultats
à cause de la liaison
élastique
Fig. 28 : liaisons de deux poutres

-50-
C'est pour tenir compte de ces phénomènes que nous modéliserons le caisson par
un système équivalent de quatre poutres dont les deux poutres supérieures matériali-
sent en quelque sorte les glissières. L'allure de la ligne élastique des poutres supé-
rieures sera voisine de celle assimilée des glissières.
Pour lier les poutres supérieures aux poutres inférieures, nous représenterons,
comme cela se fait dans le domaine de la construction métallique, une poutre par un
système de treillis comme l'indique la Fig. 29. Les barres de liaison entre poutres hori-
zontales supérieures et inférieures permettent d'assurer le comportement en poutre
du système. Elles transmettent les effets des charges de la poutre supérieure sur
laquelle elles sont appliquées à la poutre inférieure, et réciproquement pour l'effet des
réactions des appuis.
barre
Fig. 29 : Un treillis
poutre inférieure
4.2.2 Les caractéristiques de la section du caisson
Les caractéristiques de la section du caisson (Fig. 31) que nous utilisons pour
l'étude sont données dans le tableau ci-dessous. Les moments d'inertie sont détermi-
nés par rapport à des axes passant par le centre de gravité du caisson.
Désignation
Aire (m2 )
lx c.g. x 103 (m4) Iy c.g. x 103 (m4)
J x 103 (m4)
Caisson
0.0468
1.669
1.593
3.262
Tableau 7. Les caractéristiques de la section
4.2.3 Les hypothèses
La section du système équivalent de poutres a les mêmes dimensions extérieures
que la section du caisson. Elle a également les mêmes caractéristiques, de symétrie
en particulier, que la section du caisson. Ceci est décrit dans les hypothèses suivan-
tes:
- la somme des aires des sections des quatre poutres est égale à l'aire de la
section du caisson,

-51 -
-la section des quatre poutres a le même centre de gravité que la section du
caisson,
- les moments d'inertie globaux de la section des quatre poutres par rapport
aux axes centraux principaux d'inertie, passant donc par le centre de gravité
de la section du caisson, sont égaux à ceux de la section du caisson par rap-
port à ces mêmes axes.
4.2.4 calcul des dimensions des sections des poutres
Les dimensions des sections des poutres sont déterminées en considérant que la
section du système de poutres a les mêmes caractéristiques que la section du cais-
son comme exprimé ci-dessus. Le caisson est modélisé par un système équivalent
de quatre poutres comme l'indique la Fig. 30, dont les dimensions extérieures sont les
mêmes que celles du caisson (Fig. 31 ). Ceci est exprimé, dans le cas d'une symétrie,
j
par un système de quatre équations à quatre inconnues dont l'une des deux solutions
.j
-,
réelles, celle qui respecte les dimensions extérieures du caisson, est la solution
1
~
recherchée.
i1l
4.2.4.1 Le système d'équations
- le même moment d'inertie par rapport à l'axe x passant par le centre de gravité de
1
la section du caisson:
1
i=4
l
Ix~ = Ilxp,
( 4.1 )
i=1
1
où:
1
1
.,
IXb*! : moment d'inertie de la section du caisson par rapport à l'axe x
~
Ixp,
: moment d'inertie d'une poutre i par rapport à l'axe x
-le même moment d'inertie par rapport à l'axe y passant par le centre de gravité de
la section du caisson:
1
i=4
Iy~ = IIYP1
(4.2 )
i=1
où:
IYb*! : moment d'inertie de la section du caisson par rapport à l'axe y
IYb*! : moment d'inertie de la section d'une poutre i par rapport à l'axe y
- la même aire de la section "matérielle":

-52-
i=4
Fcaisson = l FPI
(4.3 )
i=1
où:
Fcaisson: aire de la section du caisson
Fp, : aire de la section d'une poutre i
- le même centre de gravité c'est à dire que le moment des aires des poutres supé-
rieures par rapport à l'axe x est égal à celui des aires des poutres inférieures par
rapport à ce même axe:
i=2
i=2
IFs, YS1 = IFi, Yij
(4.4 )
i=1
i=1
où:
FSI : aire d'une poutre supérieure i
Ys, : distance du centre de gravité de la section d'une poutre supérieure i
à l'axe x
Fil : aire d'une poutre inférieure i
Yi
: distance du centre de gravité de la section d'une poutre inférieure i
j
à l'axe x
4.2.4.2 Application
Le système d'équations défini précédemment est appliqué au système équivalent de
poutres de la Fig. 31.
Les moments d'inertie du système équivalent de poutres et ceux du caisson sont
égaux:
lx.., = hl,h~3 + hz.h~3 + 2hl,h ,{H -
1
0.281 - h~'r + 2h2.h2,{0.281 - h:·r
h1 3
h2 3
h1 h1 {
}2
h2 h2 {
}2
I
= h
+ h
+
;
+
;
YbêII
y B - h
y B - h
1 y T
2 y T
1x
2x
L'aire de la section du système équivalent de poutres et celle du caisson sont égales:

-53-
La section du système équivalent de poutres et celle du caisson ont le même centre
de gravité:
hl,h1,{H- 0.281 - h~,} _ h2h ,{0.281 _ h:,} = 0
La résolution de ce système de quatre équations à quatre inconnues nous donne les
dimensions des poutres. Ce système d'équations a deux solutions réelles dont seule
l'une donne des dimensions de poutres qui respectent l'égalité entre les dimensions
extérieures du caisson et celles du système équivalent de poutres. C'est cette solution
qui nous intéresse. Dans le cas particulier, on obtient:
h
h
= 131.4 mm
1x -
117.9 mm
1'1
h
h
2x -
190.5 mm
2
-
41.5 mm
'1
y
tex
Fig. 30: le caisson et son modèle équivalent de poutres
z

-54-
----
40
Y
Y
c. g.
H =480
x
230
261
20
8=500
Fig. 31 : section du bâti et de son modèle équivalent de poutres
4.3 Présentation des cas étudiés
Sur une machine-outil, on trouve des cas typiques de charge qui sont l'effet du cha-
riot d'une table sur laquelle est fixée la pièce à usiner sur un bâti, l'effet d'une colonne
sollicitée par une charge sur un bâti et les sollicitations en flexion et en torsion circulai-
re d'une colonne.
Il s'agit dans ce paragraphe de présenter les cas où la méthode de modélisation
proposée sera appliquée pour vérifier sa validité.
4.3.1 Le bâti soumis à l'effet du chariot d'une table
L'action du chariot d'une table sur un bâti est schématisé sur la figure ci-dessous.
On peut dans de nombreux cas représenter la charge, qui est constituée en général
des forces d'usinage, du poids de la table et de celui de la pièce à usiner qui repose
sur elle, par une charge uniformément répartie sur le tiers central de la longueur du
bâti. Le bâti est une structure fermée composée de tôles minces, il repose sur le sol
par l'intermédiaire de deux appuis transversaux linéaires.

-55-
E
E
o
ex)
v
Modèle : Bâti
4.3.2 Le bâti soumis à l'effet d'une colonne
Lorsqu'une colonne est sollicitée par une force parallèle à la direction d'un des lon-
gues arrêtes du bâti qui la supporte, elle provoque un moment de flexion sur la lon-
gueur de contact entre le bâti et elle. Ce moment de flexion est modélisé par le cas de
charge ci-dessous. Le bâti est supposé reposer sur deux appuis transversaux linéai-
res.
E
E
~
v
Modèle: Bâti soumis à l'effet d'une colonne

-56-
4.3.3 La colonne en flexion
Une colonne est en général modélisée par un caisson encastré à une extrémité.
E
E
..........
0
..........
co
.....
v
...............
Modèle : Colonne en flexion
4.3.4 La colonne en torsion circulaire
Une colonne conçue suivant les règles de construction élaborées par le LMO est
soumise à une torsion que "on peut admettre circulaire ( règles de dessin des cais-
sons ).
E
E
...........
o
co
...........
v
..................
Modèle: Colonne soumise à une torsion

-57-
4.4 La méthode des éléments finis
L'étude par les éléments finis est faite sur le caisson et sur le système équivalent de
poutres.
4.4.1 Le caisson
Le caisson est maillé en utilisant des éléments "plaques minces quadrilatères". Dans
les différents cas étudiés, la charge est répartie sur le tiers de la longueur du caisson.
Pour les conditions aux limites, le caisson repose sur un système d'appuis isostatique
du fait de la symétrie géométrique et du cas de charge, sauf dans le cas où il est
encastré à une extrémité.
4.4.2 Le système équivalent de poutres
Les poutres supérieures et inférieures du système équivalent de poutres sont discré-
tisées en utilisant des éléments poutres linéaires. Les barres de liaisons sont modéli-
sées par des ressorts linéaires parallèles dont la rigidité en compression est égale à
celle de la plaque latérale soumise à une charge Iinéique d'intensité constante. Cette
représentation permet de tenir compte de la compression des parois en supposant
que la plaque est appuyée sur toute sa longueur et que la force de sollicitation est
uniformément répartie de la même manière. Le "cisaillement" entre ressorts est
négligé. La rigidité d'un ressort Kres est donnée par:
K
EeL
ras =
n H
[ N/m ]
(4.5)
où:
E: module d'élasticité du matériau (N/m2), e: épaisseur de la plaque (m), L:
longueur de la plaque (m), H: hauteur de la plaque (m) et n: nombre de ressorts.

-58-
Fig. 32 : modèle du système équivalent de poutres
4.5 La méthode de la résistance des matériaux
L'énergie de déformation des cas présentés ci-dessus est évaluée en utilisant les
équations classiques de la résistance des matériaux [39]. L'énergie est composée,
d'une manière générale, des contributions dues à la flexion, au cisaillement, à la tor-
sion et à la compression.
Les équations qui donnent ces énergies en joules sont les suivantes:
- l'énergie élastique de flexion suivant "axe x :
1 fL
2
(4.6)
Uflex = 2EI
{ Mx} dx
x 0
où E : module d'élasticité ( N/m2 ), Mx : moment de flexion ( N.m ) , lx : moment
d'inertie ( m4 ) de la section de la poutre par rapport à l'axe sur lequel agit le moment
de flexion et qui passe par son centre de gravité et L : longueur de la poutre ( m ).
- l'énergie élastique de torsion :
L
1 f 2
Utor = 2GJ 0 { T} dx
(4.7)

-59-
où G : module de cisa.illement ( N/m2 ), T : moment de torsion ( N.m ), J : moment
d'inertie polaire ( m4 ) de la section de la poutre par rapport au centre de gravité de la
section du caisson et L : longueur de la poutre ( m ).
- l'énergie élastique de cisaillement :
Uc~ = 1.\\
2ciF
V}2dx
(4.8)
où G : module de cisaillement ( N/m2 ), V : effort tranchant ( N ), F : aire de la section
de la poutre ( m2 ), L : longueur de la poutre ( m ) et 11: coefficient de forme de la
section de la poutre.
- l'énergie élastique de compression :
Le calcul de l'énergie élastique de compression est basé sur la théorie de la poutre
sur fondation élastique [40]. Le choix de cette théorie est dû simplement au fait qu'elle
existe et que, respectant les conditions globales d'équilibre et les conditions aux limi-
tes, elle donne des résultats satisfaisants.
L'énergie de déformation de la fondation (Fig. 33) est donnée par l'équation sui-
vante:
~fL 2
Ucomp = 2" 0 { y} dx
(4.9)
où:
- Kf est la rigidité de la fondation ( N/m2 )
- y est la déformée de la fondation (m)
Calcul de la rigidité de la fondation Kf:
(4.10)
où:
- R est la force de réaction par unité de longueur de la paroi ( N/m)
- f est la déformation en compression de la paroi latérale lorsque la charge est
uniformément répartie sur toute sa longueur (m)
- e est l'épaisseur d'une plaque verticale ( 0.02 m )
- H est la hauteur du caisson ( 0.48 m )
(4.11 )
où:

-60-
- lx est le moment d'inertie d'une poutre supérieure et d'une poutre inférieure
(0.8345 10-3 m4)
- E est le module d'élasticité ( N/m2)
L
A ......-a= U3----.I
......-a=U3-....... B
Fig. 33 : poutre sur une fondation élastique
4.6 Les résultats
Pour vérifier les résultats obtenus par la méthode de modélisation développée ci-
dessus, nous avons calculé l'énergie de déformation élastique par la méthode des
éléments finis en considérant les caissons qui sont présentés dans le paragraphe 4.3.
Le cas de charge et les conditions limites considérés sont indiqués dans ce même
paragraphe. Les résultats des éléments finis obtenus avec le caisson et son modèle
en poutres sont comparés à ceux obtenus par la résistance des matériaux (annexe
VI ), identiques bien sûr pour les modèles en poutre unique ou en poutres équivalen-
tes. Pour les conditions limites, lorsque le caisson est sur quatre appuis, nous avons
considéré que les poutres inférieures reposent sur deux appuis simples et dans les
cas où le caisson est encastré, le système équivalent de poutres est encastré.
4.6.1 Le bâti soumis à l'effet du chariot d'une table
Pour vérifier la validité du système équivalent de poutres, nous avons étudié deux
modèles où nous avons fait varier la longueur du bâti en gardant la longueur de répar-
tition de la charge identique.
4.6.1.1 Le caisson de longueur L=O.SO m
Pour le modèle de longueur L=0.80 m, il y a une bonne concordance entre les résul-
tats des trois méthodes de calcul. Le calcul du déplacement en compression et de
l'énergie élastique de compression avec la théorie de la poutre sur fondation élastique
donne de bons résultats.

-61 -
Modèle : Bâti
40 mm
E
E
o
ex>
~
SOOmm
Section
cas de charge: charge uniformément répartie sur le tiers central de la longueur
Conditions limites: 4 points d'appui
Energie élastique de déformation : tableau ci-dessous
Résistance
Eléments finis
Désignation
(modèle en
.......~-.-----,r---------t
poutres)
Caisson
Modèle en poutres
Energie ( 1Q-3 N.m )
20.72
21.20
21.40
Déplac. point sup. ( 10~ m )
2.93
3.24
3.03
Déplac. point inf. ( 1O~ m )
1.78
1.86
1.82
~
l!I!IlUIJ!!!I!IlUl'!l!IHillIJ!ll'HL
~
Fig. 34 : Déformée en compression de la poutre de 0.80 m sur fondation élastique

-62-
4.6.1.2 Le caisson de longueur L=2.40 m
En conservant la même longueur de répartition de charge que dans le cas du cais-
son de longueur L=O.80 m, nous avons étudié ce cas pour voir l'in'fluence de la lon-
gueur de répartition de la charge et de la longueur du caisson. Il ressort de cette étude
comme l'indiquent les résultats que le système équivalent de poutres peut parfaite-
ment modéliser le caisson. L'étude des effets de la compression des parois par la
théorie de la poutre sur fondation élastique montre que lorsque la charge n'est "pas
bien répartie" ou 'rop concentrée" les déplacements à ses extrémités deviennent
négatifs. La proportion entre longueur de la charge et longueur de la poutre condui-
sant à des déplacements nuls aux extrémités de la poutre semble être le cas limite
d'utilisation de cette approche pour évaluer les effets des compressions des parois
dans les poutres caissons soumises à des efforts de flexion.
Modèle : Bâti
40 mm
E
E
o
co
~
500 mm
Section
cas de charge: charge uniformément répartie sur le (1/9) central de la longueur
Conditions limites: 4 points d'appui
Energie élastique de déformation : tableau ci-dessous
Résistance
Eléments finis
Désignation
(modèle en
Caisson
Modèle en poutres
Doutres)
Energie ( 10-3 N.m )
131.42
153.65
141.82
Déplac. point sup. ( 10-6 m )
17.86
20.97
19.20
Déplac. point inf. ( 1Q-6 m )
17.00
19.48
18.20

-63-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Fig. 35 : Déformée en compression de la poutre de 2.40 m sur fondation élastique
4.6.2 La déformation de la colonne
4.6.2.1 La colonne en 'flexion
La déformation en compression est calculée avec la 'théorie de la poutre sur fonda-
tion élastique en supposant que la charge est concentrée à l'extrémité de la poutre.
L'énergie de compression est calculée comme le demi-produit de la charge par la
déformation en compression.

-64-
Modèle : Colonne en flexion
40 mm
E
E
o
co
v
SOOmm
Section
cas de charge: charge uniformément répartie sur le tiers de la longueur
Conditions limites : encastrement à une extrémité
Energie élastique de déformation : tableau ci-dessous
Résistance
Eléments finis
Désignation
(modèle en 1----.- -__r - - - - - - - - - - !
outres
Caisson
Modèle en poutres
Energie ( 10-3 N.m )
88.83
93.23
80.10
Déplac. point sup. ( 10-6 m )
13.48
13.70
12.74
Déplac. point inf. ( 10-6 m )
10.97
13.10
11.24
4.6.2.2 La colonne en torsion
Dans le calcul de l'angle de torsion e'll'énergie de torsion par la résistance des maté-
riaux, nous avons utilisé le moment d'inertie polaire. Les résultats obtenus par les
éléments finis avec le caisson montrent que la théorie de la torsion circulaire n'est pas
applicable, même pour des caissons de section matérielle assez proches du carré.
On note, ce qui est normal, une bonne concordance entre l'angle de rotation du
modèle en poutres et celui de la résistance des matériaux calculé avec le moment
d'inertie polaire.
Les résultats sont vérifiés aussi avec la théorie de Bredt [41] qui est basée sur les
hypothèses suivantes:
- la contrainte tangentielle est parallèle au contour,
-les différentes cloisons qui forment une cellule sont parcourues par un 'flux
de cisaillement constant.

-65-
La théorie de Bredt donne respectivement pour l'énergie de déformation et pour l'an-
gle de torsion 2410-3 N.m et 13.20 10-6 rct. Ces valeurs, qui restent évidemment des
valeurs globales pour la section, ne donnent pas une bonne approximation énergéti-
que. Par contre, pour ce qui est de la déformation, la valeur obtenue est une bonne
évaluation de l'angle de rotation moyen de la section ( environ 12% d'erreur ). Les
effets de la distorsion de la section illustrés par la Fig. 36 ne peuvent en aucun cas
être pris en compte par une théorie de type élémentaire.
Modèle: Colonne soumise à une torsion
40 mm
E
E
o
eX)
v
...................................
500 mm
Section
Cas de charge: charge uni ormément répartie sur le tiers de la longueur
Conditions limites : encastrement à une extrémité
Energie élastique de déformation: tableau ci-<lessous
Eléments finis
Désignation
Caisson
Modèle en poutres
Energie ( 1Q-3 N.m )
17.00
33.90
17.12
Angle point sup. ( 10-6 rd )
9.32
19.18
8.02
Angle point inf. ( 1O-S rd )
9.32
11.42
4.71

-66-
1
L
_
-
- - -
-
-
-)1(
Fig. 36 : la distorsion de la section du caisson
4.6.3 Le bâti soumis à l'effet d'une colonne
Dans ce cas, nous avons pris en compte, dans le calcul par la résistance des maté-
riaux de l'énergie de déformation et de l'angle de flexion dus à la compression, une
poutre sur fondation élastique soumise à un couple de forces égales et opposées qui
modélisent le moment. Sur le caisson nous avons des déformations locales très
importantes au niveau des charges. On remarque une différence entre l'angle de rota-
tion obtenu par les éléments finis et celui donné par la résistance des matériaux du
modèle en poutres. La différence est due à la modélisation du moment par un couple
de forces pour estimer l'effet de la compression.
Par éléments finis, les résultats du caisson sont fortement différents de ceux du
modèle en poutres. Ceci est dû à la réduction de la zone de compression qui se traduit
par des déformations locales très importantes au niveau de la charge.

-67-
Modèle: Bâti soumis à l'action d'une colonne
40 mm
E
E
o
en
-.;t
500 mm
Section du caisson
cas de charge: charge ré
rtie sur le tiers de la longueur
Conditions limites : 4 points d'appui
Energie élastique de déformation : tableau ci-dessous
Résistance
Eléments finis
Désignation
(modèle en I--~~.---r-------~
utres
Caisson
Modèle en poutres
Energie ( 1O~ N.m )
2.66
8.77
4.56
Ang le de 'flexion ( 10-6 rd )
3.87
7.15
3.41
4.7 Conclusion
De cette étude, nous pouvons tirer les conclusions suivantes:
- le caisson soumis à l'action du chariot de la table est parfaitement modélisé par le
système équivalent de poutres,
-la compression peut être calculé par la théorie de la poutre sur fondation élastique
si la charge est bien répartie sur la longueur du caisson,
- le système équivalent de poutres modélise bien le comportement de la colonne en
flexion,
- il en est autrement en ce qui concerne la torsion: le caisson ne se comporte pas
comme s'il est soumis à une torsion circulaire (distorsion des sections constatée dans
les calculs par la méthode des éléments finis),
- le caisson soumis à l'action d'une colonne donne des résultats différents pour le
caisson et pour le modèle en poutres avec la méthode des éléments finis et la résis-
tance des matériaux (distorsion des sections constatée dans les calculs par la
méthode des éléments finis).

-68-
Les résultats prouvent que la méthode présentée est bien adaptée à l'étude du com-
portement d'un caisson sain dans la phase de préétude. Il est évident que l'on entend
ici par "caisson sain" justement un caisson qui ne présente que des distorsions limi-
tées des sections. La méthode permet de réduire le temps de calcul par la méthode
des éléments finis et d'utiliser la symétrie du caisson. Elle permet également d'intro-
duire la compression, de calculer plus facilement en éléments finis en utilisant les élé-
ments poutres qui sont suffisamment robustes et donne une bonne vision du compor-
tement des glissières. Elle peut être utilisée sur des machines du type PC avec des
logiciels plus faciles à utiliser et à modifier pour obtenir les informations pertinentes.
Une certaine prudence est de mise dans l'utilisation des résultats concernant des
efforts de torsion, des conditions aux limites de type "encastrement supposé parlait" et
certaines comparaisons d'énergie à cause des contraintes locales. La méthode "mas-
que" ou ne prend pas en considération les distorsions de section.

-69-
Chapitre 5: Etude d'une structure formelle en
forme de L
La méthode de modélisation du caisson sain développée dans le chapitre précédent
est appliquée à une structure en forme de L composée de deux caissons: le caisson
de base utilisé précédemment et un caisson rapporté. Cette structure ne correspond
pas à une ou des machines concrètes, la longueur laissée pour d'éventuelles glissiè-
res n'étant pas suffisante. Elle a été conservée dans ce document car elle met en
évidence certains problèmes. En effet, les caissons de longueurs minimales interfè-
rent plus et ont plus de distorsion de section. Cette structure formelle nous permettra
de définir une fonctionnelle basée sur l'énergie de déformation élastique pour caracté-
riser le comportement des structures de machines-outils. Le recours à une fonction-
nelle, c'est à dire à une valeur moyennée vise à éviter le danger créé par une valeur
unique de déplacement, valeur pour laquelle des compensations de déplacements
opposés peuvent créer des erreurs considérables. Pour évaluer sa validité, nous
avons calculé l'énergie de déformation de trois modèles où nous avons les principaux
types de sollicitation.
5.1 Définition des modèles
5.1.1 Généralités
La structure en L (Fig. 37 ) est composée de deux caissons de dimensions respec-
tives de 820 x 500 x 480 pour le bâti et de 340 x 500 x 480 pour le caisson rapporté.
Les épaisseurs des plaques du bâti sont de 40 mm pour la plaque supérieure sur
laquelle est fixée la colonne et de 20 mm pour les autres plaques. Pour le caisson
rapporté, la plaque qui supporte les glissières a une épaisseur de 40 mm et pour les
autres, elle est de 20 mm.
Nous allons admettre pour l'étude le cas de charge d'un usinage qui peut être assi-
milé à un fraisage à axe horizontal dont les caractéristiques sont les suivantes:
- la composante axiale qui est une force horizontale vaut :
Fa = 154 daN
- la composante radiale qui est verticale vaut :
Fr =267 daN
Nous avons admis que le poids de la pièce à usiner est de 500 daN.
Les forces d'usinage qui s'appliquent sur le caisson rapporté dans les trois modèles
sont de 1540 N pour la force horizontale et de 2670 N pour la force verticale. Pour le
bâti, les forces de sollicitation varient d'un modèle à l'autre avec l'orientation de la
structure dans le champ de la gravité.

-70-
Dans les trois modèles que nous allons définir, la structure repose sur trois points
d'appui, les épaisseurs des plaques sont invariantes et le seul paramètre variable, en
dehors de la position des appuis du modèle 2, est l'orientation du poids de la pièce à
usiner par rapport à la position de la structure. On suppose également que l'usinage
de la pièce se fait de l'extrémité de la pièce vers la table et que les glissières sont
indiquées pour montrer la zone de travail.
5.1.2 Le modèle 1
En dehors des caractéristiques de la structure décrites ci-dessus, le bâti du modèle
1 est sollicité en flexion par le poids de la pièce. La force verticale de 2670 N appli-
quée sur la pièce et le poids de celle-ci ont le même sens. Ceci est dû au choix du
sens de l'usinage qui va de l'extrémité de la pièce vers la table.
"glissière"
~+++---- plaques de 40 mm
820
~-- bâti
Fig. 37 : modèle dans la position normale
5.1.3 Le modèle 2
Il est constitué de la même structure que le modèle 1 mais avec une rotation de 90°
autour de l'axe Z. Le poids de la pièce agit en torsion sur le bâti.

-71-
Fig. 38 : modèle avec la rotation de 90 0
5.1.4 Le modèle 3
Ce modèle est caractérisé par une rotation de 1800 autour de l'axe Z du modèle 1.
Le choix arbitraire du sens de l'usinage entraîne une compensation entre le poids de
la pièce et la force verticale de 2670 N appliquée sur la pièce qui ont un sens opposé.
Ce choix sera conservé pour les calculs. La connaissance complète du cahier des
charges de la machine aurait pu entraîner une autre décision. Pour les conditions
d'appui, les deux appuis situés sur la plaque verticale pouvaient se placer sur l'extré-
mité inférieure de celle-ci.
appuis a1tematifs
Fig. 39 : modèle avec la rotation de 1800

-72-
5.2 Calcul de l'énergie de déformation élastique
L'énergie de déformation est calculée par la méthode des éléments finis avec le
modèle en caissons et le modèle équivalent de poutres. Les déplacements obtenus
par les éléments finis avec le modèle en caissons sont utilisés pour définir une fonc-
tionnelle qui permet de calculer l'énergie de déformation élastique.
5.2.1 Les éléments finis
5.2.1.1 Le modèle en caisson
La structure est maillée avec des éléments plaques minces quadrilatères linéaires.
Les forces de sollicitations sont appliquées sur deux éléments indéformables qui s'ap-
puient chacun sur quatre points sur la colonne ou sur le bâti ( Fig. 40 ).
Fig. 40 : la structure en caissons maillée

-73-
5.2.1.2 Le modèle en poutres
La structure est modélisée par un système équivalent de poutres ( Fig. 41 ) dont les
dimensions des sections sont déterminées selon la méthode décrite au chapitre pré-
cédent. Sur la Fig. 41 sont indiquées les forces Fi qui représentent les réactions que
les forces de sollicitation provoquent au niveau de leur point d'application sur les pou-
tres et les moments Mi sont les moments créés par ces mêmes forces par rapport à
l'axe neutre du caisson. Les points 1 et 2 et 3 et 4 indiquent respectivement les points
d'appui de la structure indéformable qui supporte les forces de sollicitation sur le bâti
et sur la colonne.
Pour évaluer l'énergie de déformation élastique, les poutres sont discrétisées en élé-
ments "poutres linéaires" dont les moments d'inertie sont calculés par rapport à l'axe
neutre du caisson. Des éléments "ressorts" sont utilisés pour tenir compte de la com-
pression dans les parois. Les rigidités des ressorts sont calculées avec l'équation 4.5.
Le modèle du système équivalent de poutres du modèle 2 est représenté sur la
Fig. 42. Pour le calcul par les éléments finis, la poutre supérieure du bâti doit être
bloquée, dans la direction Z, à l'une de ses extrémités. Les liaisons entre la poutre
supérieure et chacune des poutres verticales sont constituées par des encastre-
ments.
Les dimensions sont en mm
Z
480
Fig. 41 : modèle en poutres basé sur la symétrie

-74-
Fig. 42 : le système équivalent du modèle 2 maillé
5.2.2 La fonctionnelle
On caractérise généralement le comportement statique des bâtis, au laboratoire de
machines-{)utils, par une grandeur scalaire appelée rigidité. Elle est définie par le rap-
port entre la force appliquée (ou la force résultante) et le déplacement qu'elle produit
dans sa direction. Une telle définition peut être étendue en introduisant un tenseur
symétrique, le tenseur de rigidité. Ceci n'a pas été fait dans ce travail car un tel ten-
seur pose des problèmes délicats et n'aide pas réellement à l'évaluation du comporte-
ment des structures de machineS-{)utils. Dans le cas des bâtis inclinés sollicités par
des forces dans l'axe des toiles verticales, nous avons vu que, à cause du phénomè-
ne de déversement, la rigidité dans le plan vertical est peu sensible à l'angle d'inclinai-
son (si la hauteur moyenne est choisie constante) et le déplacement maximal ne se
produit plus dans la direction de la force appliquée, surtout lorsque l'angle d'inclinai-
son est élevé. Ce comportement ne viole qu'en apparence le principe de superposi-
tion. Ce dernier, dans le cas de la théorie de la flexion, ne s'applique en effet que dans
des axes principaux d'inertie. En outre, dans une opération d'usinage, les forces de
coupe ont d'une manière générale des composantes qui agissent dans les différentes
directions principales. Elles produisent des déplacements de la structure dans toutes
les directions. Le déplacement dans une direction n'est donc pas seulement l'œuvre
de la force qui agit dans la même direction. La caractérisation du comportement de

-75-
tels systèmes par la rigidité qui est un facteur unidirectionnel n'est donc pas suffisan-
te. Elle ne renseigne pas sur le comportement de la structure dans les autres direc-
tions et par conséquent sur l'état de précision de la pièce usinée.
Pour caractériser mieux le comportement des structures, nous allons définir une
fonctionnelle qui permet de calculer l'énergie globale de déformation élastique. C'est
une quantité scalaire appelée forme quadratique symétrique définie semi-positive
des forces ou des déplacements. Pour un système supposé linéaire élastique, l'éner-
gie de déformation ( interne) et le travail des forces extérieures ( externe) sont équi-
valents et la fonctionnelle choisie Ut peut être définie par la formule de Clapeyron:
(5.1 )
(5.2 )
où:
Ut: la fonctionnelle
Pi: force de sollicitation i
aij: coefficient d'influence
Ôj: déplacement du point d'application de la force i dans sa direction
L'équation 5.1 peut se mettre sous la forme suivante [42]:
i=nj=n
Ut = ~ l I{Kjj ôj Ô,i}
(5.3)
;=1 ;=1
Kij: coefficient de la matrice de rigidité
On crée un critère de qualité par le choix du cas de charge par rapport à l'objectif de
la structure ( cahier des charges fonctionnel de la machine ). Par exemple, une charge
ponctuelle mobile pourra être remplacée par une charge répartie. Le critère de qualité
proposé revient à calculer l'énergie de déformation associé au cas de charge choisi.
Cette énergie est soit donnée par le programme utilisé soit déterminée au moyen de
la formule de Clapeyron.
Ce critère choisi est alors indépendant de la modélisation choisie et peut s'appliquer
aussi bien à un modèle classique en éléments finis qu'au modèle équivalent de pou-
tres.
5.2.3 Comparaison des résultats obtenus par les trois méthodes
L'énergie élastique de déformation évaluée suivant les trois méthodes est représen-
tée dans les tableaux cHjessous.

-76-
Désignation
Energie ( 10-3J)
Ecart 0/0
Modèle en caissons
6.85
Ref
Fonctionnelle
6.85
0.00
Modèle en poutres
6.51
-5.00
Tableau 8. Les énergies de déformations élastiques de la position normale
Désignation
Energie ( 10-3J)
Ecart 0/0
Modèle en caissons
10.00
Ref
Fonctionnelle
9.58
--4.20
Modèle en poutres
10.04
+0.40
Tableau 9. Les énergies de déformations élastiques avec la rotation de 90 0
Désignation
Energie (10-3J)
Ecart 0/0
Modèle en caissons
8.45
Ref
Fonctionnelle
8.45
0.00
Modèle en poutres
8.47
+0.24
Tableau 10. Les énergies de déformations élastiques avec la rotation de 180 0
En prenant comme référence la valeur de l'énergie de déformation obtenue par les
éléments finis avec le modèle en caissons, nous avons estimé les pourcentages d'é-
cart. On remarque que l'écart maximal est de 4.2 %. Il est dû au fait que le calcul en
éléments finis de l'énergie de déformation considère une contrainte constante sur un
élément alors que le calcul des déplacements utilisés par la fonctionnelle est plus
exact. Globalement les résultats montrent que la modélisation de ces structures par
un système équivalent de poutres est acceptable à condition qu'elle soit faite avec un
certain soin. Les caissons doivent être également bien dessinés pour avoir un com-
portement poutre. Les résultats de la fonctionnelle montrent qu'elle caractérise bien le
comportement de ces structures.
Il est à noter que la valeur choisie comme référence n'est pas toujours la meilleure
du fait que le calcul de l'énergie de déformation en éléments finis est moins précis que
celui des déplacements. Ainsi la fonctionnelle - formule de Clapeyron - devrait être

-77-
prise comme véritable référence car l'on remarque sa précision supérieure à la valeur
minimale d'énergie évaluée; c'est une conséquence du théorème du minimum de
Rayleigh.
5.3 Influence de la position de la structure en L
Les énergies élastiques de déformation calculées par les éléments finis, dans les
trois positions sont représentées sur le Tableau 11. Idéalement, les cas de charges
retenus devraient traduire le cahier des charges de la machine.
i
Positions
Energie ( 10--3J)
J
1
Normale
6.85
!
i
f
Rotation de 90 0
10.00
1
,,1
1
Rotation de 1800
8.45
1
Tableau 11. Les énergies de déformation dans les trois positions
t
Une analyse de ce tableau montre que le changement de l'action du poids de la
pièce de la 'flexion sur la position initiale, à de la torsion dans la position où la structure
a subi une rotation de 90 0 , a augmenté l'énergie de déformation de 51 %. Dans la
position où la rotation est de 1800, l'énergie a augmenté de 28% par rapport à celle de
la position normale. Dans un système à un degré de liberté, une augmentation de
f
50% de l'énergie élastique équivaut à une diminution de 25% environ de la rigidité.
i
1
Ces deux positions ont l'avantage de permettre une chute libre des copeaux et du
1
!
liquide de coupe qui véhiculent une grande partie de la chaleur qui provient du proces-
!
sus d'usinage.
1
1
(-
5.4 Etude de l'influence de la hauteur et de la largeur sur l'énergie de déforma-
~
tion élastique
it
Les différentes variantes de la structure en L dans la position normale sont discréti-
sées en un nombre identique d'éléments plaques minces quadrilatères linéaires, quel-
1
les que soient les valeurs des rapports HI L entre la hauteur et la longueur et BI L
entre la largeur et la longueur. Les paramètres L, B et H sont indiqués sur la Fig. 43.
1
1
;
\\i
1
i
1

-78-
Fig. 43 : modèle dans la position normale
5.4.1 Hauteur optimale
En gardant la longueur utile du bâti ( 340 mm ), les épaisseurs de tôles, la largeur, les
conditions d'appui et le cas de charge invariables, nous avons fait varier la hauteur
pour mettre en évidence l'influence de celle-ci sur le comportement de la structure.
Pour cela, nous avons évalué pour chaque valeur de la hauteur H l'énergie de défor-
mation élastique de la structure. Il ressort de cette étude que l'énergie de déformation
élastique de la structure est minimale lorsque le rapport entre la hauteur et la longueur
H / L = 0.60.
10
.....
c:
o
15
>'-
.:JI'
...
r~
r-.
E
6
...~"0
CI)
"0
4
CI)
.~
CI)
c:
W
2
o0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
H/L
Fig. 44 : variation de l'énergie de déformation en fonction de la hauteur

-79-
5.4.2 Largeur optimale
En gardant la longueur utile, la hauteur, les épaisseurs de toile, les conditions d'ap-
pui et le cas de charge invariables, nous avons fait varier la largeur pour mettre en
évidence son influence sur le comportement du bâti. La courbe de variation de l'éner-
gie de déformation en fonction du rapport entre la largeur et la longueur du bâti B 1L,
décroît jusqu'à B=L.
10
.....
8
c::
o
i
~-
E
~
.e 6
-<D
"0
----- .6 ~ ~.6" -
CD
"0
CD
4
.~
CD
c::
W
2
oo
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
B/L
Fig. 45 : variation de l'énergie de déformation en fonction de la largeur
5.5 Etude de la hauteur optimale d'un caisson avec l'énergie de déformation
Pour tester la validité de cette représentation par la fonctionnelle, nous avons déter-
miné la valeur du rapport optimal entre la hauteur et la longueur pour les cas de char-
ge dont nous avons parlés au chapitre précédent. Il ressort de cette investigation que,
pour un caisson soumis à une charge uniformément répartie sur le tiers central de sa
longueur, le rapport optimal entre la hauteur et la longueur H 1 L se situe aux environs
de 0.85 comme dans le cas des études faites au laboratoire de machines-outils de
l'EPFL. Pour le cas du bâti sollicité par l'intermédiaire d'une colonne, la valeur du rap-
port optimal est identique.
Pour la colonne en flexion ou en torsion, le déplacement tend vers une asymptote
quand le rapport HI L augmente.

-80-
100
x colonne en Hexion
bâti avec charge répartie
80
au milieu
c:
o
~E
\\
~
o
- 60
'CD
"'C
CP
'"
"'C
~
CP
.ê>
40
CP
~~
c:
W
Â.
~
-
-
-
20
oo
0.5
1.0
1.5
2.0
H/L
Fig. 46 : variation de l'énergie de déformation avec le rapport HI L
50
..,
Â.
..
.......
C?
-
-
0
....
-
......
c:
40
0
~E~
0
-
'CD
30
"'C
CP
"'C
X-
CP
"êJ 20
CP
c:
----....
-
w
10
~ colonne en torsion circulaire
-...... colonne sur bâti
oo
0.5
1.0
1.5
2.0
H/L
Fig. 47 : variation de l'énergie de déformation avec le rapport HI L

-81 -
5.6 Conclusion
Les résultats de l'analyse de la structure en L confirment la validité de la méthode de
modélisation des caissons développée dans le chapitre précédent. En effet, l'écart
maximal entre l'énergie de déformation élastique du système équivalent de poutres et
celle obtenue par les éléments finis avec la structure en caissons est de 4.5%. Ceci
montre que la fonctionnelle peut être un outil pour caractériser le comportement d'une
structure multi-caissons dans la phase de préétude. Elle indique aussi que si on
connaît les déplacements des points d'une structure où s'appliquent les charges, on
peut évaluer très facilement, par la formule de Clapeyron, l'énergie de déformation
élastique de celle-ci.
Une comparaison des résultats des trois modèles montre l'influence de la morpholo-
gie de la structure sur son comportement. En effet le modèle 3 a une énergie de défor-
mation élastique supérieure de 28% à celle du modèle 1. Ceci est dû au choix du sens
de l'usinage qui va de l'extrémité de la pièce vers la table et qui entraîne une compen-
sation entre le poids de la pièce et la force d'usinage dans le modèle 3.Le modèle 2
caractérisé par le poids de la pièce qui agit en torsion a une énergie de déformation
supérieure à celle du modèle 1 de 51 %. Ceci montre que les portes à faux et la torsion
pénalisent les structures de machines-outils.
Les résultats de l'analyse de la hauteur optimale d'un cajsson de la structure en L
confirment les résultats obtenus par le LMO pour un caisson isolé.

-83-
Chapitre 6 : Etude des modèles
Dans ce chapitre, nous allons étudier et comparer le comportement de trois modèles
de morphologie d'une machine-outil. Pour cela, nous déterminerons les déplace-
ments que provoque une force de coupe de direction donnée dans sa direction d'ap-
plication et dans les deux directions qui lui sont perpendiculaires.
6.1 Présentation des modèles étudiés
L'analyse des travaux disponibles dans la littérature montre qu'aucune étude en
dehors des travaux d'optimisation du caisson du laboratoire de machines~utils et
automates et ceux de Shinno et Ito [18] qui concernent surtout les machines modulai-
res, n'aborde le problème de la morphologie des machine~utils. L'étude de la mor-
phologie joue un rôle important dans la conception des machine~utils actuelles qui
sont soumises à des contraintes autres que les contraintes de base des structures.
6.1.1 Le type de machine
Nous avons choisi comme type de machine le centre d'usinage 4 axes qui est d'un
usage général. 1/ permet d'effectuer plusieurs opérations d'usinage en une seule prise
de pièce et constitue par conséquent un cas idéal de machine~utils. Les forces de
sollicitation dépendent du type d'opération. La Fig. 1 montre un exemple de centre
d'usinage de quatre axes muni d'un magasin d'outils et d'un changeur automatique
d'outils. La machine de référence est le projet de centre d'usinage de grande puis-
sance du LMOIEPFL (cf Fig. 53 page 85).
6.1.2 Les invariants
Pour réaliser les objectifs que nous nous sommes fixés, nous al/ons utiliser les mor-
phologies que l'on rencontre fréquemment. Les structures seront conçues suivant les
règles de construction élaborées par le laboratoire de machines~utils de l'EPFL et
sur la base d'un certain nombre d'invariants qui nous permettront d'analyser de ma-
nière approfondie l'influence de la morphologie sur le comportement de la machine-
outil. Ces invariants sont principalement le volume de travail de la machine-outil, le
nombre d'axes, la position relative tablelbroche, la rigidité de référence ainsi que le
nombre de points d'appui.
6.1.2.1 Le volume de travail
Le volume de travail définit les courses utiles dans les différentes directions. La réfé-
rence de volume est celui du projet de centre d'usinage haute puissance du labora-
toire de machine~utils de l'EPFL. 1/ est de SOO x SOO x SOO mm3. Une description de
ce centre d'usinage est présentée à l'annexe VII.

-84-
6.1.2.2 Le nombre de points d'appui
Les modèles reposent sur trois points d'appui ce qui est une solution qui ne néces-
site pas une fondation spéciale et dont le comportement est indépendant de celui des
appuis.
6.1.2.3 La position relative table/broche
L'orientation de la pièce, que nous définissons par l'axe de rotation de la table tour-
nante, définit, avec la broche horizontale qui correspond à la position de travailla plus
favorable, un plan vertical ou un plan horizontal. Nous avons choisi pour référence,
que l'axe de la pièce et celui de la broche définissent un plan horizontal. Ceci entraîne
que la table est verticale.
"
/
axe de la pièce horizontal
.
-~
................
!
~././ Il
g r a v i t e : >
'
1
_./
1-
r--axede lapièce
. /
1
vertical
_'1-
axe de la broche horizontal
1
",
axe de la broche horizontal
a) plan horizontal
b) plan vertical
Fig. 48 : orientation de la pièce par rapport à la gravité
6.1.2.4 La rigidité de référence
La rigidité de la broche est la rigidité radiale de la broche, ISO 50 de diamètre ep=140
mm, conçue par le laboratoire de machines-outils et automates pour équiper une
machine Dixi 400. Elle est de 108 N/m. La broche est montée sur des roulements à
galets coniques de la marque Timken et de type L225 800/810.
6.1.2.5 La section générale des caissons
Les sections de la colonne et des branches de la structure en Lsont identiques. Les
épaisseurs des toiles sont indiquées sur la Fig. 49.

-85-
840
12mm
420
452
20
820 mm
Fig. 49 : les dimensions des toiles de la section des modèles
6.1.3 Les modèles retenus
6.1.3.1 Le modèle 1
Il est caractérisé par un bâti en forme de T Les mouvements X et Y sont du côté de
la broche et le mouvement Z du côté de la pièce. Les axes Y et Z sont sur le bâti.
y
® gravité
} - -. . z
Fig. 50 : la forme du bâti et sa disposition par rapport à la gravité
6.1.3.2 Le modèle 2
Il est caractérisé par un bâti en forme de L. Les mouvements X et Z sont du côté de
la broche et le mouvement Y du côté de la pièce. Les axes Y et Z sont sur le bâti.
y
® gravité
} - - " z
Fig. 51 : la forme du bâti et sa disposition par rapport à la gravité

-86-
6.1.3.3 Le modèle 3
Il est caractérisé par un bâti en forme de L. Le mouvement X est du côté de la
broche et les mouvements Y et Z du côté de la pièce. Les axes X et Y sont sur le bâti.
X
!gravité
}----I~Y
Fig. 52 : la forme du bâti et sa disposition par rapport à la gravité
6.2 Les cas de charge étudiés
Nous avons choisi les deux cas de charge suivants:
- le premier cas de charge est composé d'une force de coupe de 10 KN (Annexe VII)
et d'une force de 5 KN qui modélise le poids maximum d'une pièce et en outre, montre
l'effet des forces de type gravité,
- le deuxième cas de charge est constitué uniquement de la force de coupe de 10
KN.
6.3 Etude des modèles
6.3.1 Le modèle 1
6.3.1.1 Présentation
Il est constitué par le centre d'usinage de haute puissance du laboratoire de machi-
nes-outils et automates dont la description générale est présentée dans l'annexe VII.
Cette morphologie permet la chute libre des copeaux qui véhiculent l'essentiel de la
chaleur résultant du processus d'usinage. Ce modèle comprend une masse fixe et
deux masses mobiles. Ces masses mobiles provoquent des variations dans les réac-
tions des trois points d'appui du polygone de sustentation. Du point de vue de l'équili-
bre de la machine, il y a deux masses en mouvement qui se déplacent à l'intérieur du
triangle de sustentation de la machine: l'axe Z plus la table tournante et l'axe Y ( 1250
kg ) plus le bélier. Les masses en mouvement sont acceptables. Le socle est la pièce
la plus lourde. Le poids de la pièce crée une composante de torsion sur le bâti qui
supporte la table.
Les déplacements du modèle sont calculés par la méthode des éléments finis et par
la résistance des matériaux pour les deux cas de charge.

1
x
~
l
0
x
0
L . -
~
1
0
o appui
Fig. 54 : la position des appuis du modèle 1

-88-
6.3.1.2 Les éléments finis
Le modèle 1 est utilisé comme modèle de référence. Le bâti qui supporte la table est
soumis à une torsion lorsque la force de coupe est orientée dans deux des trois direc-
tions principales.
6.3.1.2.1 Description de la méthode
La précision d'une pièce dépend de la déformation relative entre la pièce et l'outil
produite par les variations des forces et des réactions résultant des déplacements des
éléments mobiles dans le champ de gravitation. La déformation relative est une fonc-
tion de la rigidité des éléments de la machine-outil et de l'orientation de l'opération
d'usinage effectuée sur elle.
Pour évaluer la déformation relative entre la pièce et l'outil, les différents caissons de
chaque modèle de structure ont été discrétisés en éléments "plaques minces quadri-
latères linéaires" définis par quatre nœuds situés sur les quatre coins de l'élément.
Les liens entre le caisson de la colonne et le bâti du modèle ont été modélisés par
des ressorts linéaires de rigidité élevée. C'est l'autosuffisance des caissons qui nous a
permis d'utiliser quatre ressorts. Il en est de même entre le bâti et le chariot de l'axe B
modélisé par une structure indéformable. Ceci permet d'éviter une structure mono-
bloc qui entraîne une rigidification locale. L'utilisation des ressorts traduit le comporte-
ment sain de chaque caisson. Chaque ressort est défini par deux nœuds dont les
déplacements sont soumis à des contraintes qui assurent des déplacements identi-
ques pour les deux nœuds dans les directions qui sont perpendiculaires à celle du
ressort.
La pièce à usiner est modélisée par un élément indéformable ce qui élimine l'in-
fluence du comportement de la pièce sur la déformation relative entre la pièce et l'ou-
til, il en est de même polir la broche dont la rigidité est un invariant. Dans la réalité, le
comportement de la pièce à usiner peut inUuencer la déformation relative suivant sa
rigidité propre.
La structure repose sur trois points d'appui dont la position dépend de la morpholo-
gie du modèle. Au niveau de chaque point d'appui, un élément indéformable est utilisé
pour assurer une meilleure répartition de la force de réaction due à la présence de
l'appui. Il minimise ainsi l'influence des déformations locales dues à la force ponctuelle
de réaction.
La force de sollicitation qui modélise la force de coupe est appliquée à l'extrémité de
la broche et de la pièce à usiner. Les deux forces sont égales et de sens opposé. La
valeur de la force de coupe utilisée est de 10 KN. Nous avons étudié les deux cas de
charge: dans le premier cas les forces de sollicitation sont la force de coupe et la force
de 5 KN qui modélise le poids de la pièce et qui en outre, donne une idée de l'effet des
forces du type gravité tandis que dans le deuxième cas, l'unique force de sollicitation

-89-
est la force de coupe de 10 KN. La force de 5 KN est appliquée au centre de gravité de
la pièce. Pour l'étude des déplacements dans les trois directions, la seule variable du
modèle est la direction de la force de coupe.
La Fig. 55 présente les différents éléments utilisés dans la modélisation pour l'étude
par les éléments finis.
Rg. 55 : le modèle de maillage de la structure 1
6.3.1.2.2 Les résultats
Les déplacements Uij ( où i indique la direction de la force et j la direction du déplace-
ment) représentés dans les tableaux ci-dessous sont les déplacements relatifs entre
l'extrémité de la broche où est fixé l'outil de coupe et l'extrémité de la pièce à usiner.
Le déplacement de l'extrémité de la broche est la somme des déplacements de ce
point dus à la colonne et de ceux dus au bâti qui supporte la colonne. Le déplacement
relatif est la valeur absolue de la différence entre le déplacement de l'extrémité de la
broche et de celui du point d'application de la force de sollicitation sur la pièce.

-90-
Déplacements Uij (pm )
Direction
de la force
X
y
Z
X
33.71
18.70
7.74
Y
10.40
23.60
8.50
Z
13.50
1.54
22.65
Tableau 12. Les résultats des éléments finis du modèle 1 avec le poids de la
pièce compris
Déplacements Uij (pm )
Direction
de la force
X
y
Z
X
28.16
16.53
7.61
Y
16.53
26.73
5.60
Z
7.61
5.60
22.70
Tableau 13. Les résultats des éléments finis du modèle 1 sans le poids de la
pièce
6.3.1.3 La résistance des matériaux
Dans l'étude que nous avons effectuée par la résistance des matériaux, nous
n'avons pas pris en compte les déplacements locaux dus à la concentration des char-
ges aux appuis au sol et de la charge provoquant la flèche et les déplacements de
compression dans les parois supportant la charge. Les déplacements calculés repré-
sentent les déplacements relatifs entre la pièce à usiner et l'outil.
Sur la base de ces considérations, nous avons modélisé chaque élément de la struc-
ture par une poutre ayant des conditions limites bien définies. Ainsi la colonne est
représentée par exemple par une poutre qui a les mêmes caractéristiques géométri-
ques qu'elle et dont l'une des extrémités est libre et l'autre encastrée.
Les déplacements sont calculés séparément pour les forces de sollicitation et pour
les réactions qu'elles provoquent. Le principe de superposition est utilisé pour déter-
miner les déplacements globaux.

-91-
Les calculs effectués sont présentés dans l'annexe VIII. La modélisation choisie ne
respecte pas l'équilibre global. Ceci a entraîné une dissymétrie de la matrice des
déplacements (Tableau 15.).
Déplacements Ujj (pm )
Direction
de la force
X
y
Z
X
28.85
15.12
6.60
Y
7.41
18.03
6.34
Z
11.40
0.75
17.94
Tableau 14. Les résultats de la résistance des matériaux du modèle 1 avec le
poids de la pièce compris
Déplacements Uij (pm )
Direction
de la force
X
y
Z
X
24.44
11.90
6.00
Y
11.83
21.25
5.75
Z
6.98
3.97
17.34
Tableau 15. Les résultats de la résistance des matériaux du modèle 1 sans le
poids de la pièce
6.3.1.4 Discussion
Une comparaison des résultats des deux méthodes de calcul nous montre l'in-
fluence des déplacements de compression et des déplacements locaux qui sont pris
en compte uniquement dans les déplacements donnés par les éléments finis. Les
déplacements de compression peuvent être estimés avec la théorie de la poutre sur
fondation élastique. Ces estimations ne sont pas faites ici. Les déplacements dans les
directions principales sont différents et ceci montre une anisotropie de la structure.
L'ensemble des résultats met en évidence l'importance des déplacements dans les
directions perpendiculaires à celle de la force.

-92-
Les déplacements obtenus avec les deux cas de charge montrent que dans la direc-
tion X, le poids de la pièce augmente les déplacements tandis que dans les directions
y et Z, il y a une compensation qui est due au choix du sens de la force de coupe
appliquée sur la pièce.
6.3.2 Le modèle 2
6.3.2.1 Présentation
C'est une version modifiée du modèle 1 où le poids de la pièce à usiner met en
flexion le bâti qui supporte la table verticale. La surface de base de la pièce est partiel-
lement dans l'espace du bâti ce qui peut avoir pour conséquence une chute de
copeaux sur la glissière, alors que celle du bélier porte broche est en dehors de l'es-
pace du bâti et crée de ce fait une torsion sur le bâti qui supporte la colonne.
Comme dans le modèle 1, les réactions des points d'appui du polygone de sustenta-
tion varient avec les masses mobiles.
Fig. 56 : le modèle 2

-93-
/
0
L....-.
x
- . 8 2
1
0
1
0
o appui
Fig. 57 : la position des appuis du modèle 2
6.3.2.2 Les éléments finis
Le modèle 2 est une version du modèle 1 où la pièce qui agissait en torsion dans ce
modèle, agit en flexion sur le bâti qui la supporte. Dans ce modèle, l'axe de la pièce
est parallèle à l'axe neutre du bâti qui supporte la table. Ce bâti est soumis à une
torsion par la force de sollicitation lorsqu'elle est orientée dans une seule des trois
directions.
Déplacements Uij (!lm )
Direction
de la force
X
y
Z
X
25.43
13.82
8.02
Y
8.95
21.28
4.12
Z
10.89
2.12
16.96
Tableau 16. Les résultats des éléments finis du modèle 2 avec le poids de la
pièce compris

-94-
Déplacements Uij (}lm )
Direction
de la force
X
y
Z
X
22.41
11.98
7.87
Y
11.98
23.12
3.96
Z
7.87
3.96
16.81
Tableau 17. Les résultats des éléments finis du modèle 2 sans le poids de la
pièce
6.3.2.3 La résistance des matériaux
Les calculs effectués sont présentés dans l'annexe IX.
Déplacements Uij (Pm )
Direction
de la force
X
y
Z
X
22.10
10.65
5.46
Y
7.31
21.44
3.78
Z
7.97
4.04
17.90
Tableau 18. Les résultats de la résistance des matériaux du modèle 2 avec le
poids de la pièce compris
Déplacements Uij (Pm )
Direction
de la force
X
y
Z
X
21.54
10.40
5.46
Y
7.87
21.69
3.78
Z
7.46
4.30
17.86
Tableau 19. Les résultats de la résistance des matériaux du modèle 2 sans le
poids de la pièce

-95-
6.3.2.4 Discussion
Comme dans le modèle 1, les déplacements obtenus par les deux méthodes de cal-
cul mettent en évidence l'effet de la compression et des déplacements locaux. Les
déplacements dans les directions principales montrent une anisotropie de la structure.
Contrairement au modèle 1, le poids de la pièce augmente d'une manière générale
les déplacements.
6.3.3 Le modèle 3
Le modèle 3 est caractérisé par sa colonne fixe. La broche effectue le mouvement
dans la direction X. La table assure le mouvement de translation Z et le bâti qui la
supporte effectue le mouvement de translation dans la direction Y. L'inconvénient de
ce modèle est les masses énormes du bâti ( 1800 kg ) et du chariot de la ta~le ( 1200
kg ) qui bougent. Ceci se traduit par des forces de réactions très élevées qui varient
avec la position de ces masses (Tableau 20.). Les réactions sont calculées avec le
chariot de la table positionné à l'extrémité du bâti qui le supporte. Ce modèle est inac-
ceptable sans la compensation du poids des axes Y et Z.
1
x
~
J
82~
r--.
Rg. 58 : le modèle 3

-96-
0
3
x
2
1
0
0
-
o
Fig. 59 : la position des appuis du modèle 3
appui
Réactions X ( Newtons)
Position de l'axe Y
1
2
3
1-Niveau de la colonne
47825
31789
-23105
2-Milieu de sa course
42140
37474
-23105
3-Extrémité du bâti-eolonne
36455
43159
-23105
Tableau 20. variation des réactions avec la position de la masse du bâti qui sup-
porte le chariot de la table
6.4 Discussion
Les déplacements du modèle 2 sont plus petits que ceux du modèle 1 mais la Fig. 54
montre que pour le modèle 1, la surface de base de la pièce est toujours en dehors de
l'espace du bâti, ce qui n'est pas le cas pour le modèle 2 ( Fig. 57 ). Mais pour le
modèle 1, le déplacement de la broche met en flexion le bâti, ce qui est favorable sur
sa longueur qui est grande d'où une diminution des réactions d'appui. Dans le cas du
modèle 2, le bélier met en torsion le bâti et crée une flexion variable dans son déplace-
ment selon l'axe Z. Cela montre l'importance d'un cahier des charges définissant les
exigences des différents usinages et les problèmes créés par la conception de machi-

-97-
nes universelles par opposition aux machines spéciales. En effet, s'il est possible
d'estimer les efforts maximums pour une machine universelle (ils correspondent soit à
la puissance à la broche, soit aux poussées de perçage), on ne sait, par contre, rien
ou presque de leurs points d'application.
Une compara,ison des déplacements de chaque modèle obtenus par la méthode des
éléments finis et par la résistance des matériaux met en évidence l'influence de la
compression et des distorsions qui sont prises en compte dans les déplacements
obtenus par les éléments finis. Les déplacements obtenus selon les deux cas de solli-
citation de chaque modèle montrent que le poids de la pièce augmente les déplace-
ments dans la direction verticale X où son effet se produit dans le même sens que
celui de la force de coupe et diminue ceux des autres directions où son effet est de
sens opposé. Une comparaison des tableaux 13 et 17 élimine le facteur arbitra,ire sur
le choix des forces, ce qui est plus intéressant pour les mesures. Ces deux tableaux
montrent également une symétrie des déplacements par rapport aux directions princi-
pales.
1
•j
Les déplacements du modèle 1 sont d'une manière générale plus grands que ceux
j
j
du modèle 2. Ceci est plus visible lorsque la force de sollicitation est dirigée dans la
1
direction verticale X ou dans la direction Z. Chaque modèle présente une anisotropie
1
1
des déplacements dans les trois directions principales. Ce phénomène est néfaste
dans la conception d'un centre d'usinage où l'orientation des forces de coupe est
1i
variable selon le type d'opération qui est effectué.
1
1
Au niveau des modèles 1 et 2, la principale différence est l'orientation de l'axe de la
j,1
table par rapport à celui du bâti qui la porte. L'aetïon du poids de la pièce sur le bâti qui
!
i
supporte la table dépend de cette orientation. Dans le cas du modèle 1, le poids de la
i
pièce met en torsion le bâti qui supporte la table et dans le modèle 2, le bâti est en
flexion sous l'action du poids de la pièce. De cette analyse, il ressort qu'il est préféra-
ble d'avoir dans une machine le poids de la pièce qui agit en flexion sur le bâti qui la
supporte car un bâti est en général plus résistant à la flexion qu'à la torsion. Mais le
désir de faciliter la descente des copeaux ou d'utiliser une table croisée conduit tou-
jours à des concessions qui finalement affaiblissent les structures.
Au niveau du calcul des déplacements par la résistance des matériaux, on observe
que les contributions les plus importantes aux déplacements globaux proviennent de
l'effet multiplicateur des bras de levier. Ceci montre que les longueurs des bras de
levier doivent être limitées au strict nécessaire.
Les masses des deux modèles sont indiquées dans le tableau 21. Ce tableau mon-
tre que le modèle 2 qui a une masse voisine de celle du modèle 1 a un comportement
meilleur ce qui n'est pas une surprise mais les copeaux peuvent tomber sur le bâti. La
différence de masse est due à la quantité de matière utilisée pour les toiles qui fer-

-98-
ment la structure principale en fait en forme de T pour le modèle 1 et en forme de L
pour le modèle 2 .
Modèle
Masse (Kg)
Ecart ( % )
1
5641
Ref
2
5909
+ 4.75
Tableau 21. : Les masses des modèles

-99-
Chapitre 7: Recherche des meilleurs caissons
pour les structures
Au chapitre 6, nous avons simplement adopté les caissons dessinés par le LMO. Il
faut maintenant voir comment tracer les caissons de base. Ce tracé va dépendre des
efforts subis donc en particulier de la position du caisson dans la structure d'ensemble
de la machine. En effet, au niveau d'une structure en "L",le tracé direct des cais-
sons pose des problèmes, par exemple comment lier deux sections du genre de la
figure ci-dessous.
section avec des rai-
disseurs locaux
Fig. 60 : assemblage de caissons
Il faut donc décomposer les cas et traiter des caissons individuels qu'il faudra
ensuite lier au mieux selon des approches qui diffèreront un peu selon que la structure
est:
- mono-bloc
- avec une liaison boulonnée
- avec une glissière
Ce problème est accentué par les dégradations du comportement global que peu-
vent introduire des raidisseurs locaux ( cf. bâtis inclinés)

-100-
Dans le cas d'une structure monobloc, la solution proposée serait un parallélépipède
avec les plaques hachurées.
7.1 Types de critère d'optimisation
Le cas le plus simple, pour envisager le type de critère d'optimisation est celui du
caisson sur 4 appuis, chargé dans sa partie centrale ( cas LMO ).
Fig. 61 : cellule élémentaire LMO
Le but de l'optimisation d'une structure de machine-outil est la minimisation du
déplacement relatif, entre la pièce et l'outil, lequel dépend de nombreux paramètres.
Le comportement statique et dynamique d'un bâti par exemple est fonction de plu-
sieurs variables, la hauteur, la largeur, les épaisseurs de toile, les conditions aux limi-
tes, le cas de charge, la quantité de matière, etc. L'optimisation d'un caisson sur qua-
tre appuis par exemple, peut être obtenue en faisant varier un ou plusieurs de ces
paramètres et en gardant les autres constants. On peut optimiser sa hauteur pour un
cas de charge, des conditions aux limites et une quantité de matière constante don-
nés, avec l'une des trois méthodes ci-dessous:
1 - on détermine la hauteur optimale à partir de la famille de courbes représentant la
relation entre la hauteur et la déformation totale maximale pour les différentes valeurs
de la largeur,
2 - on détermine la hauteur optimale, si la hauteur est égale à la largeur, à partir de
la courbe représentant la relation entre la hauteur et la déformation totale maximale,
3 - on détermine la hauteur optimale, lorsque la largeur est constante, à partir de la
famille de courbes représentant la relation entre la hauteur et la déformation totale
maximale pour les différentes valeurs de l'épaisseur de toile.
On peut par une judicieuse répartition de la matière par une variation de la section,
chercher une hauteur optimale du bâti telle que sa déformation totale soit minimale.
7.2 Influence des conditions aux limites
Pour mettre en évidence l'influence des conditions limites sur le rapport optimal en-
tre la hauteur et la longueur, nous avons étudié le comportement de trois modèles qui
sont représentés sur la Fig. 62. Les modèles 1 et 2 ont quatre appuis tandis que le
modèle 3 repose sur une fondation élastique sur toute la longueur du bâti.

-101 -
Modèle 1
Modèle 2
Modèle 4
Modèle 3
Fig. 62 : modèles pour l'étude de l'influence des conditions aux limites
Le rapport optimal se situe respectivement aux environs de 0.85 et de 0.45 pour les
modèles 1 et 2. Il est important de signaler que pour le modèle 2, si on prend pour L la
distance entre les appuis, on trouve un rapport presque identique à celui du modèle 1.
Ceci montre que c'est la distance entre appuis qui conditionne une rigidité optimale.
Ainsi que la faible influence de la longueur de répartition de la charge pour des valeurs
de 0.3 à 0.5 et pour des conditions d'appui identiques sur cette valeur optimale.
Dans le cas du modèle 3 où le bâti repose sur une fondation élastique, il se pose le
problème de l'existence d'un rapport optimal entre la hauteur et la longueur. Les étu-
des faites par le laboratoire de machines-outils et automates ont montré que, lorsque
les dimensions du caisson sont optimales, les déplacements en compression sont

-102-
plus importants que ceux dus à la flexion. Comme les déplacements en compression
augmentent avec la hauteur, ils doivent être minimums pour une hauteur nulle. Ceci
peut expliquer l'allure de la courbe des déplacements du modèle 3 qui diminue forte-
ment lorsque la hauteur diminue. Elle tendrait vers zéro si la force de sollicitation était
répartie sur toute la longueur du bâti.
E
5
Cfa
,...
fIJ
-c::(1)E 4
(1)
~
~
'CD
C
modèle 2
3
modèle 3
2
1
O+--..,.....--..,.....--~-~-~-~-,.--,.--,.--~ __r---I
o
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
H/L
Fig. 63 : Influence des conditions aux limites sur le rapport optimal
7.3 Les cas de charge intervenant dans les caissons de machines
Les études faites au laboratoire de machines~utils et automates de l'EPFL ont
montré que, pour un cas de charge et des conditions d'appui donnés, il existe un bâti
optimal. Le cas de charge utilisé, lors de l'étude des rapports optimaux entre la hau-
teur et la longueur d'une part et entre la largeur et la longueur d'autre part, était com-
posé uniquement de forces pures verticales appliquées dans le prolongement de l'axe
des toiles du caisson. Un des avantages de cette étude est qu'elle fournit au concep-
teur la rigidité maximale qu'on peut obtenir pour un caisson donné. Mais dans une
structure globale de machine-outil, un caisson est soumis à une charge complexe qui
dépend comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent de la morphologie de la
machine-outil et du type d'opération effectué. Le comportement du caisson sous ces

-103-
conditions est autre que celui du caisson soumis à la charge pure. Une charge com-
plexe est une combinaison de charges comme celles présentées à la Fig. 64 qu'on
peut trouver sur une structure en L sur trois points d'appui.
Pour les machines-outils spéciales, les opérations sont connues et le cas de charge
peut être parfaitement défini. L'analyse du comportement du bâti soumis à ce cas de
charge permettra de le dimensionner pour atteindre les caractéristiques des opéra-
tions d'usinage.
}tt
1
a) cellule élémentaire LMO
b) effet d'une colonne à l'extrémité d'un bâti
l
1
[
1
!1
t
c) effet d'une colonne sur un bâti
1
1
1
d) torsion sur un caisson sur trois points d'appui
1~11
e) colonne soumise à une torsion, une
1
flexion et un cisaillement par un bélier
1
1
Fig. 64 : des exemples de cas de charge
Cette analyse montre l'importance du cas de charge ( y compris les conditions aux
1
r
limites) dans la définition d'un caisson "optimal".
t
Pour les types de machines comme les centres d'usinage qui sont conçus pour un
1
i(
usage général, les forces de coupe dépendent du type d'opération, du matériau à
t
usiner et des conditions d'usinage. A chaque type d'opération est associé un cas de
f
charge ce qui impose un choix avant de déterminer des dimensions optimales.
7.4 Exemple de définition perverse d'un critère d'optirnalisation
1
~~
Pour illustrer l'importance de la définition des déplacements, une poutre pleine est
~
soumise successivement à une force verticale et à des forces égales dans les trois
1
g
(
t

-104-
directions. Les forces de sollicitation sont appliquées sur un point d'une structure indé-
formable qui est liée au bâti par des ressorts linéaires de rigidité élevée. Les deux
nœuds de chaque ressort ont les mêmes déplacements dans les directions X et Z. De
façon à éliminer l'influence des déformations aux appuis un deuxième système de
barres indéformables est associé à 3 points éloignés des appuis (Fig. 65). Hors sollici-
tation, ces barres se rejoignent au point de la structure indéformable précitée. Ces cas
de charges et ce critère, ont donné des valeurs du rapport optimal entre la hauteur et
la longueur de respectivement de 0.6 et de 0.2. La valeur 0.2 est inacceptable pour un
bâti. La Fig. 66 montre que cela est dû à des compensations liées aux différents bras
de levier (intersection des courbes pour une charge verticale et pour 3 charges). Cela
montre le danger qu'il y a à considérer un déplacement relatif qui brise toute relation
entre les déplacements considérés et l'énergie interne de déformation. Il est néces-
saire, dans ces conditions, de trouver une solution de compromis qui satisfait les exi-
gences du cahier des charges de la machine.
L'application de forces égales et opposées sur les points qui coïncident des deux
structures indéformables élimine également les déformations aux appuis. Dans ce
cas, le rapport optimal se situe, en utilisant l'énergie de déformation, aux environs de
0.4 comme l'indique la Fig. 67.
ce point est situé à 400 mm
de la plaque supérieure
F
appui
820
Fig. 65 : modèle utilisé pour l'étude de l'influence du cas de charge

-10S-
4
force de composantes égales
2
"'--_.:.1
!\\oL..
~
v
,,---~---~
~
\\
force verticale de SOOON
1
Ol+--__,.--~-___.,....__-.....,.....--r__-_._--.___-___r--_r_-____j
o
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H/L
Fig. 66 : variation du déplacement dans la direction de la résultante des
forces avec le rapport HlL
---
.., 12
~0.......- 10
c:
0
~E~0 8
-
'CD
"C
Q)
"C
Q)
6
Cas de charge
.~
Q)
c:
Fx=SOOO N
w
4
Fy=SOOON
Fz = SOOO N
2
O+--___r--~-___r--~-___r--~-_r--....,......-__,.-_i
o
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
H/L
Fig. 67 : variation de l'énergie de déformation en fonction du rapport H/L

-106-
7.5 Les déplacements globaux
La précision d'une machine-outil dépend du déplacement relatif entre la pièce et
l'outil. Ce déplacement relatif est la somme des déplacements de tous les éléments
de la machine-outil mesurés par rapport au point de contact entre la pièce et l'outil. Il
dépend non seulement de la longueur des bras de levier mais aussi de la force de
coupe totale appliquée et de la morphologie de la machine. Le déplacement à consi-
dérer dans l'optimisation des structures qui sont soumises en général à des charges
complexes qui dépendent de la morphologie de la machine est la contribution de la
composante de la machine dans le déplacement relatif entre la pièce et l'outil de la
structure globale. En outre, la morphologie de la machine doit satisfaire des exigences
autres que structurales ce qui entraîne que la notion même d'optimisation d'une struc-
ture, globalement est discutable. Il s'agit plutôt de la recherche d'une structure qui
satisfait le compromis entre les exigences de base imposées aux structures et les
exigences autres que celles dépendant des structures.
Pour les structures de forme simple comme le caisson soumis à une charge simple,
il est facile de trouver un critère d'optimisation alors que pour les structures de forme
complexe soumises à des charges complexes, il est presque impossible de trouver un
critère d'optimisation d'où la critique de la notion d'optimal.
Sur la base d'un assemblage de caissons raisonnablement ·optimisés· selon les
considérations ci-dessus, composer la structure, puis la charger avec une charge
choisie de façon à traduire au mieux les objectifs du cahier des charges selon la
méthode globale présentée dans le présent travail.

-107-
Chapitre 8: CONCLUSION
Les objectifs que nous avions défini pour ce travail consistaient à analyser l'influence
de la morphologie sur la rigidité et à créer un outil d'aide à la décision dans la phase
de pré-étude des solutions morphologiques qui répondent à un cahier des charges
d'une machine-outil.
8.1 Morphologie, comportement statique et dynamique
Le nombre d'axes, leur répartition côté pièce respectivement broche et leur orienta-
tion définissent l'architecture d'une machine. En habillant cette architecture avec les
glissières, les contre glissières et les caissons, on obtient la morphologie d'une
machine.
Le choix de la "bonne" morphologie dépend d'une multitude de facteurs:
- la morphologie des pièces et des usinages à réaliser
- le chargement et le déchargement des pièces et outils
-la récupération des copeaux et des fluides de coupe
- le travail de l'opérateur
-la maintenance
-l'usinage, l'assemblage et le réglage de la machine
Les dimensions des pièces à réaliser et les usinages supportés déterminent les
dimensions de la machine. Mais d'autres critères peuvent intervenir ( par exemple
dimensions et poids (chercher une morphologie plus compacte), influence du poids
sur le prix, etc. ).
Les comportements statique et dynamique des structures sont des caractéristiques
fondamentales d'une machine-outil. Ces caractéristiques jouent un rôle déterminant
sur la qualité des surfaces usinées ( qui caractérise la qua,lité d'une machine-outil ).
Le comportement statique conditionne largement le comportement dynamique d'une
machine ( surtout si elle est construite sans masses parasites ). Il faut pouvoir calculer
tôt dans le processus de conception l'influence de choix morphologiques sur le com-
portement statique.
8.2 Comportement sain et comportement optimal des structures
Les structures d'une machine-outil peuvent être assimilées à un ensemble de cais-
sons regroupés en un bloc, boulonnés ou se déplaçant les uns par rapport aux autres
par l'intermédiaire de glissière. Les études des caissons et de leur assemblage se font
suivant un processus itératif. Les "caissons sains" peuvent être relativement optimisés

-108-
du point de we local. Les règles élaborées au LMO sont une base pour la construc-
tion des caissons sains (c.a.d. dont le comportement se rapproche autant que possi-
ble de celui de poutres). La notion d'optimalisation est par contre discutable. La hau-
teur optimale d'un caisson varie, par exemple:
- selon le critère
( quantité de matière constante, épaisseur de toiles constantes, ... )
- selon le cas de charge
( longueur de la partie chargée, orientation des charges, ... )
- selon les conditions aux limites ( trois points, ... )
De plus, le déplacement n'est qu'un indice ( par exemple, les déformations locales
aux appuis n'affedent pas les usinages dans le cas d'une machine sur trois points ).
Pire encore, il ne se fait pas nécessairement dans la diredion de la force ( flexion
déviée des bâtis inclinés, poutres en L, ...)
S'ajoute à cela le fait que le regroupement de caissons individuellement optimisés ne
garantit pas une structure globalement optimale. C'est pourquoi il faut se contenter de
chercher un outil qui permette d'évaluer, et par conséquent d'améliorer, des strudures
composées de caissons sains.
8.3 Evolution des structures et pyramide des masses
Dans la conception traditionnelle basée sur une "strudure enveloppe", les lacunes
de rigidité étaient compensées par un accroissement de la masse, le socle constituait
la partie la plus lourde et le polygone de sustentation était large. Mais pour la concep-
tion moderne, les strudures sont des poutres courtes, plus légères et la pyramide des
masses n'est plus pertinente. Le polygone de sustentation est étroit et nous avons de
grandes variations des conditions d'appui. Il faut donc étudier soigneusement l'équili-
bre statique global avant l'étude des caissons élémentaires.
8.4 La méthode analytique
8.4.1 La théorie des poutres.
Cette théorie décrit le comportement d'une ligne fictive ( l'élastique) et postule que
les propriétés de cette ligne suffisent à définir le comportement des sections ( les rota-
tions de cisaillement, de flexion et de torsion circulaire ). Dans le cas des bâtis de
machines, on calcule toujours hors des hypothèses de la théorie des poutres ( St
Venant, ... ). La prise en compte de la compression des toiles ne peut se faire dans le
cadre du modèle "poutre", elle n'est qu'une correction de certaines flèches.
La flexion déviée, qui apparaît dans les bâtis inclinés, impose de se placer dans les
axes principaux d'inertie et de projeter les forces sur ceux-ci, d'où le danger des rai-
sonnements sur la compression des toiles.

-109-
L'assemblage de caissons dont les dimensions transversales sont du même ordre
de grandeur que les sections pose des problèmes dans le cadre de cette théorie et
peut entraîner des risques d'erreurs importants.
Dans ce domaine, on ne sait ni généraliser ni automatiser les procédures de calcul
de la résistance des matériaux et les calculs sont laborieux, les risques d'erreurs
importants. Enfin, on obtient une image peu visuelle du comportement des objets.
8.4.2 Le modèle en poutre composée
Cette thèse propose une méthode de modélisation originale : le modèle en poutres
composées. Ce modèle met en évidence l'avantage de tendre vers un comportement
poutre. Par contre, il ne dit rien sur les précautions à prendre pour éviter les distor-
sions de section, impose de rester dans les axes principaux d'inertie et se limite à la
torsion circulaire.
Cette méthode améliore la méthode analytique en incorporant la compression au
modèle et en visualisant le comportement des glissières. Elle reste très lourde à mani-
puler analytiquement.
8.4.3 Un Intérêt limité des méthodes analytiques.
Les méthodes analytiques mettent en évidence l'influence des paramètres et per-
mettent l'optimisation, lorsque qu'une fonction ·objectir est clairement définie. Dans
notre cas, l'absence d'une fonction ·objectir bien définie, fait perdre à ces solutions
une partie importante de leur intérêt.
8.5 Les méthodes numériques
8.5.1 Le modèle en caisson
Dans l'état actuel de l'art, la méthode des éléments finis, appliquée aux structures de
machines impose un maillage explicite par l'utilisateur. Ce maillage aura un effet
déterminant sur la taille du problème et la qualité des résultats. Cette méthode peut
être efficace une fois le modèle validé et mis au point par un spécialiste. Son efficacité
peut être améliorée sur deux plans:
- un affichage représentant le comportement de la machine (n'afficher que
les arêtes pertinentes)
- une utilisation judicieuse du principe de superposition dans l'analyse des
cas de charges
8.5.2 Le modèle en poutre composée
La méthode des éléments finis appliquée sur le modèle de poutres composées n'a
pas à être validée, seule la composition des poutres doit l'être. Elle réduit le temps de
préparation d'un modèle et le temps de résolution.

-110-
Elle est intéressante pour un calcul numérique, moins pour le gain de temps de cal-
cul, que pour la possibilité d'utiliser des programmes plus petits et plus faciles à adap-
ter aux besoins.
8.6 Outil d'aide à la décision
La démarche proposée peut être décrite par la Fig. 68. Elle montre que l'outil d'aide
à la décision, pour le traitement de la morphologie, est constitué:
- d'un critère de qualité, l'énergie de déformation dans un cas de charge qui
traduit les objectifs de qualité en un système de forces
- et d'un modèle numérique, le système de poutres composées ou un calcul
direct en éléments finis
C'est le critère de qualité qui pose le problème le plus difficile dès que l'on veut traiter
de morphologies complexes.
Comme dit précédemment c'est la qualité des surfaces usinées qui est détermi-
nante, mais cela ne suffit pas seul à construire un critère sauf pour des machines
spéciales ne réalisant qu'une opération dont les paramètres sont invariants. La qualité
varie en fonction des opérations et de la configuration de la machine ( position des
axes et outillage utilisé ).
Pour un centre d'usinage, on peut dimensionner/concevoir pour l'opération la plus
sévère prévue par le cahier des charges en terme de rapport efforts de coupe/préci-
sion. Par contre, on ne sait pas où elle se produit dans le volume de travail.
Dans l'état actuel de l'art, on se contente presque toujours d'analyser la réponse de
la structure en terme de déplacements, pour un nombre limité de cas de charges (et
de configurations). C'est la responsabilité du concepteur de relier ces indices aux per-
formances utiles de la machine. On utilise souvent dans ce but la notion de rigidité. Or,
si cette notion est intuitivement évidente, elle pose trop de problèmes si on cherche
une définition précise et fiable. la notion de rigidité est discutable si l'on s'écarte du
modèle qui a fondé sa définition ( cf le chapitre sur les bâtis inclinés ).
Le critère proposé permet d'éviter les pièges les plus grossiers (cf chapitre 7) et de
tenir compte d'une manière intuitive de certains problèmes. Par exemple, comme dit
précédemment, les déplacements aux appuis de machines trois points n'influencent
pas les performances d'usinage. Il suffira de choisir un cas de charge en équilibre
global même sans appui pour tenir compte de ce facteur. Il faut relever que le cas de
charge et les déplacements choisis doivent être validés du point de vue énergétique. Il
en résulte que, pour des cas de charges quelconques, ce sont toujours les déplace-
ments globaux qui doivent être pris en compte et que, de façon corollaire, les déplace-
ments relatifs doivent être estimés sur des points chargés ( applicabilité de la formule
de Clapeyron )

-111 -
Cahier des charges
Eléments finis
!famillesdepièces
choix des éléments,
à réaliser...
maillage, validation
une architecture, une
morphologie
y
candidate
k--~'_
, ~
système de
r-N.iI\\r-t poutres com-
posées
Modélisation
un ou des cas de
charge de référence
Résolution par un pro-
gramme d'éléments
finis "poutres"
Fig. 68 : résumé de la démarche proposée


-113-
Annexe 1: Les règles de construction
Les études faites dans le laboratoire de machines~utils et automates ont permis
d'élaborer les régies de construction suivantes:
Règle No 1
Un élément de guidage ou un élément destiné à supporter des efforts doit se trouver
directement au droit d'une paroi orientée, pour autant que cela soit possible, dans la
direction de la résultante des efforts qu'elle subit.
Corollaire 1: Si "on veut que la fondation d'une machine participe à la rigidité de son
bâti, les vérins d'appui au sol doivent être disposés dans des niches et dans l'axe d'une
paroi latérale pour éviter la création d'un moment fléchissant dans la paroi.
Corollaire 2: Les toiles d'un bâti doivent être vis-à-vis des toiles des organes qu'il
porte (glissière, poupée, etc.).
Règle No 2
Lorsque les bâtis sont sollicités en FLEXION, il faut faire en sorte que leurs structures
entières se comportent comme des poutres simples pour ce qui est des déformations
globales.
Corollaire 1: les changements brusques de section dans les structures des bâtis font
que ceux-ci ne se comportent pas comme des poutres simples sur toute leur longueur.
Corollaire 2: lorsqu'un changement de section courante est inévitable dans un bâti,les
cas des descentes de copeaux et de la liaison entre support de colonne et celui des glis-
sières horizontales en sont des exemples, il faut s'arranger de façon telle que la section
la plus faible soit dans le prolongement de la section courante.
Règle No 3
Tous les éléments d'un bâti qui sont sollicités en TORSION doivent nécessairement
avoir une section courante fermée.
Règle No 4
Dans un bâti reposant sur quatre appuis (c'est--à-<Jire sans hyperstatisme pour ce qui
est de la flexion), le rapport LargeurlLongueur n'a pas besoin de dépasser la valeur 0.4
car, au-<lelà de cette valeur, on ne gagne plus en rigidité.
Autre forme de l'énoncé: la rigidité en flexion d'une poutrEH:aisson, dont l'épaisseur
des parois et la hauteur sont constantes, chargée comme l'illustre la Fig. 69 est maxi-
male pour un rapport B/L compris entre 0.4 et 0.6.

-114-
Fig. 69
Règle No 5
La rigidité verticale d'un bâti, dont les toiles ont une épaisseurconstante, reposant sur
quatre appuis est maximale lorsque le rapport Hauteur/Longueur prend la valeur de
0.85. La charge doit être dans la partie centrale et répartie sur le tiers de la longueur et
les appuis aux extrémités.
Règle No 6
La rigidité de la liaison GlissièrelBâti doit être accordée avec celle des structures de la
machine qui participent à la précision de celle-ci.
Types de rigidifieation locale de la liaison entre glissières et bâti.
1) Fort épaississement de la toile supérieure: ( Fig. 70 )

-115-
---~
Fig. 70
2) Utilisation de toiles intermédiaires et création de coins artificiels pour l'appui de cel-
les-ci ( Fig. 71 )
---~
Fig. 71
3) Combinaison de la première solution avec la deuxième.


-117-
Annexe Il : Calcul des déplacements pour le bâti incliné de
30°
Les différents bâtis comparés sont en acier soudé. Le module d'élasticité retenu vaut
E = 2.068 1011 N/m2
Cette valeur est celle utilisée, pour l'acier, par le programme l'DEAS. Le coefficient
de Poisson est égal à 0.3.
La force totale sur chaque paroi latérale:
P = 10000 N
Les composantes de cette force suivant les axes principaux d'inertie:
P
=
min
10000 cos <1> = 9719 N
Pmax = 10000 sin <1> = 2355 N
Pmin est la composante de la force dans la direction de 'min
Pmax est la composante de la force dans la direction de Imax
Pour une longueur de 1895 mm, les charges réparties correspondantes, sont pour
chacune des toiles verticales:
qmax = 3728 N/m
qmin = 15386 N/m
1 ) Les déplacements de flexion:
Ils sont calculés suivant les axes principaux d'inertie et décomposés suivant les axes
XetY.
La formule de la flexion est donnée par l'équation qui résulte de nos calculs du chapi-
tre 4 concernant le caisson sur quatre appuis avec une charge répartie au milieu ( voir
annexe VI ).
_3qL4
Yflex = 6.5908 10
El
-la direction de Imax
q
L4
Yflex = 6.5908 10-3 8:
= 0.04256 10-6 m
ax
Ôx = Yf\\exCOS<l> = 0.04136 10-6 m

-118-
Ôy = Yflexsin<p = 0.01002 10-6 m
- la direction de Imin
q
L4
Yflex = 6.5908 10-3 ~in.
= 0.4080 10-6 m
min
Ôx = Yflex sin <p = 0.09607 10-6 m
Ôy = YflexCOs<P = 0.3965 10-6 m
2 ) Les déplacements de cisaillement:
La formule du moment est donnée par l'équation qui résulte de nos calculs du chapi-
tre 4 concernant le caisson sur quatre appuis avec une charge répartie au milieu.
M = qL2{1_ 1}
12 6
MTI
Ycis = G F
-la direction de Imax
y. = Mmax TI = 03016 10-6 m
CIS
G F
.
Ôx = Yciscos<P = 0.2932 10-6 m
Ôy = Ycissin<P = 0.07103 10-6 m
- la direction de Imin
M . TI
Y · =
min
= 1 2450 10-6 m
CIS
G F
.
Ôx = Ycis sin<p = 0.293 10-6 m
Ôy = Ycis C05ql = 1.210 10-6 m
Le moment de torsion ( Fig. 72 ):
Mtm., = Pmin( - 0.694745 + 0.2593961 ) = - 4231 N.m
M
=
tmu
Pmax( 0.2025978 + 0.2025978 + 0.9092519 ) = 3095 N.m
M
= -
total
1136 N.m
Dans l'hypothèse de la torsion circulaire, l'angle de torsion à U2 vaut:

-119-
Le déplacement dû à la torsion:
Ôxt = 1.11 x 0.132 10-6 = - 0.1465 10-6 m
0.927m
t - - - 0.52 -
...........--
0.64 - - - t
Fig. 72 : la section du bâti de 30· avec les forces de sollicitation
Le déplacement en compression de la grande plaque latérale (formule 3.3 ):
Ôcc = 2.3262 10-6 m
Récapitulation des déplacements:
Ô
= 0.5nO 10-6 m
xtotal
Ôytotal = 4.0140 10-6 m


tn
(1)
-as....c(1)
E
.-1-
'CD
c..
><
(1)
tn
(1)
1-
:J
tn
(1)
E
tn
....
(1)
C\\,I
....
"C
tn
....as
....
-:Jtn
'CD
1-
tn
(1)
-1
••
-
-(1)
=
c
c
ct

Sérle1
Centre d'usinage CIM, Bâtis en acier
Plan supérieur
0
1
2
3
4
Charge KN
5
6
7
8
9
10
11
f.lm
f.lm
f.lm
f.lm
f.lm
f.lm
f.lm
f.lm
f.lm
f.lm
f.lm
f.lm
0.42
0.02
-0.01
0.06
0.06
0.07
0.03
-0.02
0.01
0.01
0.01
0.00
-0.08
20.59
0.67
-0.19
-1.03
-1.1
-0.03
0.29
-2.29
-4.62
-7.08
-6.69
-4.09
-1.86
39.95
1.01
-1.08
-2.97
-3.11
-0.93
0.08
-6.24
-11.35
-16.58
-16.03
-11.10
-6.20
60.39
0.59
-2.96
-6.14
-6.52
-3.27
-1.14
-10.32
-18.27
-26.26
-25.49
-18.03
-10.27
79.97
0.00
-4.79
-9.13
-9.62
-5.37
-2.21
-13.88
-24.31
-34.59
-33.70
-23.91
-13.58
100.26
-0.68
-6.77
-12.27
-12.89
-7.65
-3.42
-17.60
-30.54
-43.08
-42.05
-29.93
-16.93
80.17
-1.17
-6.41
-10.97
-11.75
-7.58
-3.80
-15.59
-26.18
-36.37
-35.40
-25.58
-14.99
59.99
-1.63
-5.69
-9.12
-9.91
-6.93
-3.79
-11.59
-19.35
-26.84
-25.98
-18.66
-10.83
39.94
-1.41
-4.09
-6.29
-6.86
-4.84
-2.72
-7.49
-12.57
-17.47
-16.89
-11.97
-6.89
20.49
-0.67
-2.03
-3.06
-3.37
-2.35
-1.33
-3.58
-6.12
-8.57
-8.28
-5.83
-3.38
0.43
0.40
0.35
0.46
0.42
0.37
0.19
0.19
0.27 .
0.35
0.36
0.25
0.03
-122-

...
.....' "., '''''-'-''''''''''''''~:'"''
'
Série 1
Centre d'usinage CIM, Bâtis en acier
Plan Inférieur
Charge KN
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
l-lI11
J.lm
J.lm
J.lm
J.lm
J.lrn
J.lm
J.lm
J.lm
J.lm
J.l.m
J.l.m
0.44
0
-0.01
0
-0.01
0
-0.01
0
0
0
-0.01
0.01
-0.01
20.9
-0.73
-1.4
-1.73
-1.45
-0.15
0.11
-0.54
-2.15
-2.45
-3.32
-2.09
0.02
39.89
-0.29
-2.24
-3.43
-3.28
-1.14
-0.23
-4.53
-8.93
-11.3
-12.36
-9.48
-4.37
60.20
-0.17
-3.72
-5.91
-6.09
-3.34
-1.25
-8.62
-15.82
-20.32
-21.42
-16.77
-8.51
85.53
-0.44
-5.96
-9.28
-9.82
-6.15
-2.64
-13.67
-24.23
-31.24
-32.28
-25.44
-13.24
100.21
-0.58
-7.15
-11.07
-11.82
-7.57
-3.33
-16.37
-28.8
-37.15
-38.19
-30.12
-15.66
80.16
-0.41
-6.33
-9.92
-10.72
-7.52
-3.74
-16.32
-26.89
-34.92
-35.07
-28.19
-15.95
48.42
-0.72
-4.38
-6.76
-7.47
-5.84
-3.04
-9.78
-16.14
-20.95
-21.09
-16.93
-9.63
40.43
-0.79
-3.87
-5.91
-6.5
-5.12
-2.72
-8.25
-13.62
-17.71
-17.76
-14.26
-8.12
20.32
-0.68
-2.17
-3.18
-3.44
-2.71
-1.47
-3.94
-6.67
-8.70
-8.72
-6.96
-3.92
0.46
-0.27
-0.30
-0.29
-0.26
-0.21
-0.13
-0.12
-0.18 .
-0.19
-0.17
-.08
-0.03
-123-
1 ~'_}"I'il"m''''";I'<'''~'':~'''':'''''''''''''''-''''''.'~'(''".:'t<';-i'-;"'''#V-''~'~"""'i"","""~"",:r;:"'I""""'''.''''-'~:'_''''''',,",,,l'''"_'''.?_'~,",,
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", "~"',"-"""",,,,,,.,,...

Série 2
Centre d'usinage CIM, Bâtis en acier
Plan supérieur
Charge KN
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
/Lm
/Lm
/Lm
/Lm
/Lm
/Lm
/Lm
/Lm
/Lm
/Lm
J.lm
/Lm
0.44
0.02
0.01
0.01
0.01
0.01
0.00
0.01
0.00
0.00
0.01
-0.01
-0.01
20.29
0.61
-0.20
-1.09
-1.11
-0.10
0.25
-2.27
-4.59
-7.03
-6.62
-4.10
-1.81
42.37
0.86
-1.40
-3.59
-3.72
-1.42
-0.17
-6.75
-12.25
-17.83
-17.26
-12.07
-6.69
60.05
0.51
-2.96
-6.18
-6.54
-3.31
-1.13
-10.16
-18.02
-25.94
-25.16
-17.81
-10.04
80.12
-0.18
-4.98
-9.41
-9.91
-5.67
-2.37
-13.99
-24.49
-34.82
-33.89
-24.12
-13.66
100.23
-0.91
-6.96
-12.56
-13.20
-7.92
-3.56
-17.66
-30.63
-43.18
-42.12
-30.08
-16.91
69.91
-1.65
-6.30
-10.40
-11.23
-7.71
-4.05
-13.64
-22.81
-31.66
-30.72
-22.22
-12.87
59.34
-1.82
-5.78
-9.27
-10.03
-7.10
-3.86
-11.47
-19.15
-26.58
-25.72
-18.53
-10.65
39.77
-1.53
-4.17
-6.44
-6.98
-4.98
-2.77
-7.48
-12.56
-17.47
-16.88
-12.06
-6.85
20.44
-0.75
-2.05
-3.16
-3.47
-2.48
-1.38
-3.53
-6.05
-8.49
-8.17
-5.80
-3.24
0.45
0.29
0.25
0.29
0.25
0.15
0.07
0.13
0.18 .
0.24
0.25
0.12
0.05

... "
Série 2
Centre d'usinage CIM, Bâtis en acier
Plan Inférieur
Charge KN
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
J1rn
J1rn
J1rn
J1rn
J1rn
J1rn
J1rn
J1rn
J1rn
J1rn
J1rn
J1rn
0.46
-0.27
-0.30
-0.29
-0.26
-0.21
-0.13
-0.12
-0.18
-0.19
-0.17
-0.08
-0.03
20.38
-0.77
-1.50
-1.90
-1.63
-0.34
0
-0.6
-2.33
-2.59
-3.52
-2.23
-0.04
40.11
-0.35
-2.35
-3.61
-3.47
-1.32
-0.34
-4.71
-9.23
-11.67
-12.71
-9.73
-4.52
60.55
-0.21
-3.81
-6.05
-6.23
-3.45
-1.34
-8.76
-16.08
-20.63
-21.73
-16.99
-8.63
80.41
-0.36
-5.48
-8.58
-9.06
-5.56
-2.35
-12.60
-22.52
-29.01
-30.08
-23.67
-12.24
101.14
-0.61
-7.26
-11.26
-12.01
-7.73
-3.43
-16.58
-29.19
-37.66
-38.67
-30.50
-15.87
78.08
-0.44
-6.27
0-9.85
-10.68
-7.62
-3.85
-16.03
-26.32
-34.08
-34.25
-27.50
-15.57
60.25
-0.80
-5.46
-8.45
-9.30
-7.22
-3.77
-12.47
-20.42
-26.50
-26.51
-21.29
-12.06
39.60
-0.95
-3.98
-5.98
-6.51
-5.14
-2.73
-8.04
-13.31
-17.30
-17.31
-13.83
-7.80
20.74
-0.68
-2.23
-3.29
-3.51
-2.76
-1.51
-4.05
-6.88
-8.96
-8.96
-7.10
-3.98
0.46
0.21
0.26
0.25
0.38
0.44
0.24
0.27
0.27
0.43
0.34
0.40
0.27
-125-
~
'Ill"''''~'''''~''''?'"-'~'''"\\!'''''~'''f''''''''';''''>}'"'<'";'''''~''''''''~''''-'"'J"'~''''''''''''P'_J'''',,,,,",,",,"''''''''.'''''_'',,,,,",''!i'.'''''''
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Série 3
Centre d'usinage CIM, Bâtis en acier
Plan supérieur
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Charge KN
Ilm
Ilm
Ilm
Ilm
Ilm
Ilm
Ilm
Ilm
Ilm
Ilm
Ilm
Ilm
0.45
0.01
0.01
0.03
0.01
0.03
0.03
0.01
0.02
0.01
0.01
0.02
0.02
20.46
0.55
-0.28
-1.14
-1.18
-0.08
0.29
-2.38
-4.74
-7.25
-6.86
-4.26
-1.91
40.23
0.84
-1.24
-3.22
-3.34
-1.11
-0.00
-6.33
-11.49
-16.79
-16.26
-11.27
-6.21
61.77
0.36
-3.24
-6.55
-6.91
-3.56
-1.26
-10.59
-18.69
-26.87
-26.08
-18.44
-10.41
80.30
-0.19
-4.99
-9.39
-9.88
-5.59
-2.31
-14.02
-24.51
-34.90
-33.99
-24.17
-13.63
99.82
-0.92
-6.96
-12.51
-13.11
-7.83
-3.50
-17.60
-30.53
-43.07
-42.06
-29.96
-16.86
80.16
-1.38
-6.62
-11.24
-11.94
-7.78
-3.89
-15.65
-26.26
-36.57
-35.58
-25.74
-15.01
57.01
-1.83
-5.63
-8.94
-9.61
-6.78
-3.70
-11.02
-18.39
-25.59
-24.78
-17.79
-10.22
37.29
-1.50
-3.92
-6.01
-6.46
-4.58
-2.52
-6.98
-11.71
-16.35
-15.80
-11.20
-6.35
19.98
-0.86
-2.12
-3.19
-3.42
-2.41
-1.36
-3.54
-5.99
-8.45
-8.18
-5.72
-3.21
0.44
0.21
0.17
0.25
0.23
0.16
0.08
0.19
0.27
0.35
0.35
0.28
0.14
-126-

. .;o,..
.,;'.;\\.",
" , , , , , . . . .',' . . . . . .
Série 3
Centre d'usinage CIM, Bâtis en acier
Plan Inférieur
Charge KN
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Jlm
Jlm
Jlm
Jlm
Jlm
Jlm
Jlm
Jlm
Jlm
Jlm
Jlm
Jlm
0.46
0.21
0.26
-0.21
0.38
0.44
0.24
0.27
0.27
0.43
0.34
0.40
0.27
21.75
-0.43
-1.28
-1.74
-1.35
0.17
0.28
-1.27
-3.38
-4.00
-4.88
-3.41
-0.97
40.92
-0.13
-2.20
-3.54
-3.38
-1.23
-0.25
-0.78
-9.42
-11.88
-12.96
-9.92
-4.63
60.20
-0.09
-3.68
-5.95
-6.09
-3.34
-1.26
-8.64
-15.91
-20.37
-21.48
-16.77
-8.49
80.43
-0.32
-5.44
-8.61
-9.02
-5.52
-2.30
-12.54
-22.50
-28.95
-30.05
-23.61
-12.19
101.66
-0.58
-7.27
-11.34
-12.05
-7.74
-3.39
-16.62
-29.55
-37.83
-38.87
-30.62
-15.90
78.97
-0.43
-6.32
-9.97
-10.76
-7.66
-3.84
-16.14
-26.57
-34.38
-34.56
-27.72
-15.66
60.38
-0.81
-5.47
-8.52
-9.33
-7.24
-3.79
-12.42
-20.40
-26.42
-26.48
-21.21
-11.99
38.95
-0.88
-3.82
-5.85
-6.32
-4.96
-2.64
-7.82
-13.03
-16.89
-16.95
-13.51
-7.61
20.88
-0.64
-2.20
-3.28
-3.50
-2.73
-1.48
-4.02
-6.88
-8.93
-8.98
-7.10
-3.99
0.46
-0.18
-0.23
-0.28
-0.19
-0.12
-0.07
-0.03
-0.16
-0.16
-0.15
0.00
0.07
-127-
l
_""'";""~"'*'W''''''''"''''''''"~',~M>i,'6-~'''''''''''''''~'''?''f'_''''''''0-' ,__ '"'<'''''''~''''4''>"","~,;',''':O~'''~.':''~/'''''''''''Y.,'',''''""",-"-.-",._>~,,, ......,_,.,.....~ .....,...,
, '_"__'.-.-'....'.".,......."':"T"l~ _ _·......_~."...,.~-"" __-"""".....,,,~,.·,'""""',·""=",..-r==oI ..'.-,,,..,..,.l'''':'' •.,.....,~,.......,.,-",~,~"'~...",.-,,_.~""-,~--,.,.~_,,' '.,,··,~~',,-"",,' .. _',"~'_·"F, ..."_·,"',<~<On";." ..~~,",·,'"".~-"---»-,-",."
"'~' -'''~ ..,......,'',<~ ""-','"

-(UE
••
>
CI)
><
CI)
c
c
«

-131 -
Annexe V : Le comportement des capteurs
z~c 100
CD
x essai 1
CD
~
• essai 2
0
u.
Â. essai 3
80
604 - - -.......
1
L -. . . . .- - - - _ _ t - - - - - t _ _ - - - - + _ - - - - -
401-+-~IF_
I - - - - - 4 - - - - - - - j - - - - - - + - - - - - - - + - - - - - _ _ _ 1
201~1l__i__- - _ _ + _ - - - - _ _ t - - - - - t _ _ - - - - + _ - - - - _ _ _ I
OI-flllE~-~--+--~-__t--__._--+--___;_--+_-_,r_-___I
o
10
20
30
40
50
Déformations en microns
Fig. 73 : capteur 2 - Plan supérieur du grand côté
1
z
~
c
100
1
CD
x essai 1
1
CD
• essai 2
~
0
Â. essai 3
f
u.
80
1
i1
6O-+-------!-------+--~~-+------+-------1
1
1
4 O - + - - - - - - - ! - - - - - - : : : i l l F - - + - - - - - t _ _ - - - - + _ - - - - - - 1
!
f
2 O - + - - - - - - : : ; j I l E . l R - - - - - - - + - - - - - + - - - - - + - - - - - - - j
1
O-fE:--r-----!----.----+----r---+-------r--+---,,-----j
o
10
20
30
40
50
1
1
Déformations en microns
f
~-
Fig. 74 : capteur 8 - Plan supérieur petit côté

-132-
z
:::.::: 100
c:
x essai 1
CD
CD
• essai 2
~
0

essai 3
LL
80
6 O - + - - - - I P - - - - I I i - - - - - - + - - - - - - + - - - - - t - - - - - - - - - - - i
4O-I-----:~----:_--+------+------+------1--------l
2 O , - + - l a _ . . - - - - - t - - - - - - t - - - - - - + - - - - - f - - - - - - - - i
O'--fIII:--.....------!------.----+------.----+---...,....---I__-----.-----l
o
10
20
30
40
50
Déformations en microns
Fig. 75 : capteur 3 - Plan supérieur du grand côté
z
:::.::: 100
c:
x essai 1
CD
CD
• essai 2
~
0
LL
80
• essai3
6O-+-------+-----+--~~-_+_-----I__----_l
4 O - I - - - - - - - + - - . . . . . . . . , , ; l 8 F - + - - - - - - + - - - - - - 1 - - - - - - - - l
2O-I-------,l~r-t-----+-----_+_-----1--------l
O....pK.--.....------+-----.----+------,---+---...,....---I---.......,...----j
o
10
20
30
40
50
Déformations en microns
Fig. 76 : capteur 9 - Plan supérieur du petit côté

-133-
Annexe VI : Calcul par la résistance des matériaux de l'énergie de
déformation élastique et du déplacement du caisson
Le caisson est en acier dont les caractéristiques sont:
- le module d'élasticité E = 2.068 1011 N/m2
- le coefficient de Poison o. 29
Les caractéristiques de la section du caisson:
- le moment d'inertie 1= 1.669 1Q-3 m4
- l'aire de la section F = 0.0468 m2
VI.1 Le caisson de L = 0.80 m avec une charge répartie au milieu
Le caisson de longueur L = 0.80 m est modélisé par une poutre sur deux appuis qui a
les mêmes caractéristiques de section que le caisson.
Ll3
Ll3
L =0.80 m
A
La charge sur la poutre :
P = qL
3
Calcul des réactions aux appuis:
RB = q~
_
L
RA - q6
La charge répartie q peut s'exprimer en fonction de x par la fonction singulière sui-
vante:
( )
L
a
2L
a
qx =q<x-->
- q < x -
->
3
3
L'effort tranchant V (x):
x
J
V( ) -
L
a
2 L
ad
L
1
2 L
1
x -
q<x-->
- q < x -
->
x=q<x-->
- q < x -
->
+c1
3
3
3
3
a
Le moment de flexion M (x):
x
J
M(x) =
V(x)dx = S < x - L > 2 - q < x - 2 L > 2 + c x + c
1
2
2
3
2
3
a

-134-
Les constantes c1 et C2 sont déterminées avec les conditions aux limites:
M(x) = 0
quand
x=o
d'où
C2 = 0
V(x) = -RA
quand
x=o
d'où
C1 = -RA
M(x) = q < x - L >2 - q < x - 2 L >2 - qL.!
2
3
2
3
6
Si on utilise la moitié de la poutre à cause de la symétrie:
M( ) - - q
L
2
LX
x - - - < x - - >
- q -
2
3
6
L'énergie de flexion Uf\\ex:
x=O.5L
- J M(x)2 -
-3
Uf\\ex - 2
2EI
dx - 3.14 10
Joules
x=O
Calcul du déplacement dû à la flexion à x = 0.5 L:
2
d y = M(x) = .1.( q < x _ L > 2 _ q < x _ 2 L > 2 _ qL x)
dx2
El
El
2
3
2
3
6
dy = .1.( q < x _ L > 3 _ q < x _ 2 L > 3 _ qL x2) + c1
dx
El
6
3
6
3
12
dy = .1.( q < x _ L > 3 _ q < x _ 2 L > 3 - qL x2) + c1
dx
El
6
3
6
3
12
-
1 ( q
L
4
q
2 L
4
L x3 )
Y - El 24 < x - 3 >
- 24 < x -
3 >
- q 36 + c1x + c2
Déterminons les constantes à partir des conditions aux limites:
y = 0
quand
x = 0
d'où
C2 = 0
dy = 0
quand
x = 0.5L
dx
qL3
c1 = 99.69EI
Le déplacement à x =0.5 L:
y = 6.5908 10 -3 ~14
Yflex = 0.440 10-6 m
Le cisaillement:
L
L
T(x) = = q < x - - > - q-
3
6

-135-
x=O.SL
T
U· = 2 f
11 (X)2 dx = 940 10 -3Joules
CIS
2GF
.
x=O
Energie de déformation totale:
U
= 12.54 10 -3Joules
total
Calcul du déplacement dû au cisaillement:
11 M(x)
Ycis =
G F
Le déplacement à x =0.5 L:
Ycis = 1.343 10-6 m
Le déplacement de la fibre inférieure dû à la flexion et au cisaillement à x =0.5 L:
Yinf. = 1.783 10-6 m
Le déplacement en compression est calculé en considérant une poutre sur fondation
b
élastique ( voir chapitre 4 ):
!!
L
1
A ...-_a= L/3--.I
~-a=L/3-....... B
1
[
1
t
1
ti
Fig. 77 : poutre sur une fondation élastique
1
1
Le déplacement au milieu de la poutre qui modélise le caisson entier, est donné par
i
,
la formule suivante [40]:
!
q
(Sinh~ cos ~ cosh ~~ + sin ~a cosh ~ cos ~~)
1
Ycomp = 1<t[1 - 2
Sinh~L + sin ~L
]
!i
i
,
où: a = ( 1/3) L, c = ( 1/6) L, q = 56250 Nlm, Kt = 17.2333 109 N/m2 et ~=1.88 m-1
t
i
Ycomp = 1.1445 10-6 m
Le déplacement de la fibre supérieure:

-136-
Ysup. = Yinf. + Ycomp = 2.9275 10 -6 m

-137-
VI.2 Le caisson de L =2.40 m avec une charge répartie au milieu
Le caisson de longueur L = 2.40 m est modélisé par une poutre sur deux appuis qui a
les mêmes caractéristiques de section que le caisson.
q = 56250 N/m
4l/9
4l/9
x
L = 2.40 m
A
La charge sur la poutre
P = qL
9
Calcul des réactions aux appuis
RB = q..b..
18
RA = q1~
La charge répartie q peut s'exprimer en fonction de x par la fonction singulière sui-
vante:
q(x) = - q < x - 4L > 0 + q < x _ 5L > 0
9
9
L:effort tranchant V (x):
x
V(x) = J- q < x - 4L > 0 + q < x - 5L > 0 dx = - q < x - 4L > 1 + q < x - 5L > 1 + c1
9
9
9
9
o
Le moment de flexion M (x):
x
M(x) = JV(x)dx = - q < x - 4L > 2 + q < x - 5L > 2 + c x + c
1
2
2
9
2
9
o
Les constantes C1 et C2 sont déterminées avec les conditions aux limites:
M(x) = 0
quand
x=O
d'où
C2 = 0
V(x) = RA
quand
x=O
d'où
C1 = RA
M(x) = - q < x - 4L >2 + q < x _ 5L >2 + qL...!..
2
9
2
9
18
Si on utilise la moitié de la poutre à cause de la symétrie:
M(x) = = - q < x - 4L > 2 + qL...!..
2
9
18
L:énergie de flexion Uflex:

-138-
x=O.5L
-
f M(X)2
-
-3
Uf1ex - 2
2EI
dx - 92.765 10
Joules
x=O
Calcul du déplacement dû à la flexion à x = 0.5 L
2
d y = M(x) = J....( _ q < x _ 4L > 2 + q < x _ 5 L > 2 + qL...!...)
dx2
El
El
2
9
2
9
18
dy = J.... ( _ 9 < x _ 4L > 3 + q < x _ 5 L > 3 + qL x2 ) + c1
dx
El
6
9
6
9
36
dy = J....( _..9.- < x _ 4L >3 +..9.- < x _ 5 L >3 + qL x2) + c1
dx
El
24
9
24
9
36
-
1 ( q
4L
4
q
5 L
4
L x3 )
y - Er - 24 < x - "9 >
+ 24 < x -
9 >
+ q 108 + c1x + c2
Déterminons les constantes à partir des conditions aux limites:
y = 0
quand
x = 0
d'où
C2 = 0
dy = 0
quand
x = 0.5L
dx
qL3
c1 = - 0.00692Ef
Le déplacement à x = 0.5 L:
y = - 2.300922 10-3~4
Yflex = 12.4412 10 -6 m
Le cisaillement:
4L
L
T(x) = - q < x - -
> + q -
9
18
x=O.5L
f
U· = 2
TJT(X)2 dx = 3358 10 -3Joules
CIS
2GF
.
x=O
Energie de déformation totale:
U
= 126.345 10-3Joules
total
Calcul du déplacement dû au cisaillement:
11 M(x)
Ycis = G F
Le déplacement à x =0.5 L:

-139-
Ycis = 4.57 10-6 m
Le déplacement de la fibre inférieure dû à la flexion et au cisaillement à x = 0.5 L:
Yinf. = 17.01 10-6 m
Le déplacement en compression ( Fig. 77 ) est calculé en considérant une poutre sur
fondation élastique [40]:
q
(Sinh~cos ~cosh ~~ + sin ~acosh ~cos ~~)
Ycomp = ~[1 - 2
Sinh~L + sin ~L
]
où: a = (4/9) L, c = ( 1/18) L, q = 56250 N/m , Kt = 17.2333 109 N/m2 et ~=1.88 m-1.
Ycomp = 0.854 10- 6 m
Le déplacement de la fibre supérieure:
Ysup. = Yinf. + Ycomp = 17.864 10- 6 m

-140-
VI.3 La colonne soumise à une charge répartie sur le tiers de sa longueur
La colonne est modélisée par une poutre encastrée à une extrémité qui a les mêmes
caractéristiques de section que le caisson.
L =0.80 m
La charge sur la poutre:
P = qL
3
Calcul des réactions aux appuis:
RA = q;
MA = ~qL2
18
La charge répartie q peut s'exprimer en fonction de x par la fonction singulière sui-
vante:
q(x) = q < x - 2L > 0
3
L'effort tranchant V (x):
x
VIx) = lq < x - ~ >
~
0 dx = q < X -
> 1 + c1
o
La constante C1 est déterminée avec les conditions aux limites:
V(x) = 0
quand
x=L
d'où
C1 =- RA
Le moment de flexion M (x):
x
M(x) = lV(x)dx = q < x - 2L > 2 - qL x + C2
2 3 3
o
La constante C2 est déterminée avec les conditions aux limites:
M(L) = 0
quand
x=L
d'où
C2 = MA
M(x) = q < x - 2L > 2 _ qL x + ~qL2
2
3
3
18
L'énergie de flexion Uflex:

-141 -
x=L
tlex =
f
U
~~~2 dx = 32.38 10-3Joules
x=o
Calcul du déplacement dû à la flexion à x = L
2
d y = M(x) = -L( q < x _ 2L >2 _ qL x + ~qL2)
dx2
El
El
2
3
3
18
2
dy = -L ( q < x _ 2L > 3 _ qL x + ~qL2x) + c
dx
El
6
3
6
18
1
_ 1 ( q
2L
4
L x3
5
L2 2)
Y - El
24 < x - "3 >
- q 18 + 36 q
x
+ c1x + c2
Déterminons les constantes à partir des conditions aux limites:
y = 0
quand
x = 0
d'où
c2 = 0
dy = 0
quand
x = 0
d'où
c
= 0
1
dx
Le déplacement à x = L:
Yflex = 5.60 10-6 m
Le cisaillement:
2L
L
T(x) = q < x - -
> - q-
3
3
x=L
f TJT(x)2
U
10-3Joules
cis =
2GF
dx = 37.61
x=o
Energie de déformation totale de flexion et de cisaillement:
U
= 70 10-3 Joules
total
Calcul du déplacement dû au cisaillement:
TJ M(x)
Ycis = G F
Le déplacement à x =0:
Ycis = 5.373 10-6 m
Le déplacement de la fibre inférieure dû à la flexion et au cisaillement :
Yinf. = 10.97 10-6 m

-142-
Le déplacement en compression est calculé en considérant une poutre sur fondation
élastique ( voir [40] ). La charge est supposée concentrée au milieu de la longueur de
répartition:
La formule qui donne le déplacement en compression:
Pp
Sinh 2pL - sin 2pL
ycamp = K;" ( Cosh2 PL + cos2 pL )
Pour la charge P=15 000 N, L = 0.80 m, P=1.88 m-1, KF17.2333 109 N/m2
Ycamp = 2.514 10-6 m
Le déplacement de la fibre supérieure:
Ysup. = Yinf. + Ycomp = 13.48 10-6 m
L'énergie de compression:
PYcomp
-3
Ucomp =
2
= 18.855 10
Joules
L'énergie totale:
U
= ( 70 + 18.855 ) 10-3 = 88.855 10-3 Joules
tDtale

-143-
VI.4 Le bâti est soumis à l'action d'une colonne sur le tiers de sa longueur
Le bâti est modélisé par une poutre sur deux appuis situés à ses extrémités et qui a
les mêmes caractéristiques de section que le caisson.
y
L =0.80 m
5U6
RB
La charge sur la poutre est constituée par un moment M:
M = 1333 N.m
Calcul des réactions aux appuis:
Calcul du moment de flexion:
x<L
6
M(x) = - ~ x
M(x) = M - M x
L
L'énergie de flexion Uf\\ex:
x=l
- f M(x)2 -
-3
Uf\\ex -
2EI
dx - 0.415 10
Joules
x=o
Calcul du déplacement dû à la flexion:
2
d y = M(x) =.1.( M _ Mx)
dx2
El
El
L
dy
1 f
M
dx = El
( M - LX) dx
_ 1 ( M 2
M 3)
Y - El 2"x - 6L x
+ cl x + c2
Déterminons les constantes à partir des conditions aux limites:
y = 0
quand
x = 0
d'où
C2 = 0
y=o
quand
x=L
d'où
ML
Cl = - 3EI

-144-
L'angle de déflexion à x =( 1/6) L:
Sflex = 0.515 10-6 rd
L'effort tranchant V(x):
V(x) = dM(x)
dx
L'angle de cisaillement à x =( 1/6) L:
Scis = TJ~~) = 0.895 10-6 rd
L'angle dû à la flexion et au cisaillement:
S = 1.410 10-6 rd
L'énergie de cisaillement:
x=L
U· =
J TJV(x)2 dx = 0 60 10-3Joules
cas
2GF
.
x=o
Energie de déformation totale de flexion et de cisaillement:
U
= 1.015 10-3 Joules
total
Estimation de l'effet de la compression par la théorie de la poutre sur fondation élas-
tique.
On considère une poutre sur fondation élastique soumise à un couple de forces éga-
Ies et opposées pour représenter le moment M (voir la référence [40] page 55 pour la
formule de l'angle de rotation ):
l'angle de rotation résultant dû à la compression après la superposition:
Scomp = 2.46 10-6 rd
L'angle global de rotation au point d'application du moment:
9
= ( 2.46 + 1.41 ) 10-6 = 3.87 10-6 rd
total
L'énergie de compression:
9
Ucomp = M
7P = 1333 1.23 10-6 = 1.64 10-3 Joules
L'énergie totale:
Utotale = ( 1.015 + 1.64 ) 10-3 = 2.655 10-3 Joules

-145-
VI.4 La colonne est soumise à une torsion sur le tiers de sa longueur
Le moment de torsion est répartie sur le tiers de la longueur du caisson.
Le moment de 3645 N.m est représenté par un moment réparti sur quatre points qui
ont les positions suivantes par rapport à l'encastrement:
L1 = 0.53333 m
T1 = 455.625 N.m
L2 = 0.62222 m
T2 = 1366.875 N.m
L3 = 0.71111 m
T3 = 1366.875 N.m
4 =0.80000 m
T4 = 455.625 N.m
L'angle de torsion:
"TL
6 = ~ ~ 1 = 9.32 10-6 rd
L'énergie de torsion:
Ut = ~ T 6 = 17 10-3 Joules
Les écarts avec le système équivalent de poutres:
L'angle de torsion:
9.32 - 8.02 = 14 0/
9.32
'0
L'énergie de torsion:
17 - 17.12 = _ 0 7 0/
17
.
'0


-147-
Annexe VII : Description du centre d'usinage de haute
puissance du laboratoire de machines-ou-
tUs et automates
la morphologie d'une machine-outil dépend de la morphologie des pièces à usiner,
de leurs dimensions qui fixent le volume de travail effectif et des exigences autres que
structurales telles que la chute libre des copeaux, la modularité, etc...
Le volume de travail de ce centre d'usinage est de 500 x SOO x SOO mm3. Ces dimen-
sions correspondent à une très large gamme de pièces à usiner.
a) Les morphologies des pièces:
Le centre d'usinage doit permettre d'accéder à cinq faces au moins d'un polyèdre en
une seule prise. Il permet d'usiner en un nombre quelconque de serrages des pièces
polyédriques quelconques dont les plus simples sont:
-les pièces plates recevant un usinage sur une seule face ou sur deux faces parallè-
les
-les pièces parallélépipédiques pouvant recevoir un usinage sur les six faces
- les pièces prismatiques droites ou obliques.
b) Morphologie de la machine
la machine a 4 axes X, Y, Z, B et le cinquième axe est constitué par l'indexage de la
tête de la broche qui permettra des usinages dans des directions quelconques.
L'axe B doit pouvoir entraîner le plateau à une vitesse de SOO rpm et le problème de la
descente des copeaux amène naturellement à considérer la palette verticale ce qui
fixe l'axe B horizontal. La descente des copeaux pose des problèmes d'affaiblisse-
ment des structures lorsque des ouvertures sont faites dans les bâtis.
En ce qui concerne la disposition des axes X, Y et Z, nous avions vu que les chariots
croisés introduisaient des faiblesses dans les structures, la solution qui s'imposait
généralement pour les rendre plus rigides, était l'augmentation des dimensions du
chariot, en particulier de leur hauteur. ceci entraîne une augmentation des bras de
levier lorsque les courses sont identiques.
Pour résoudre les problèmes ci-dessus, un bâti en "L" sur lequel seront rapportées
les glissières des axes Z et y est choisi. Le mouvement en Z sera imposé à la palette
et celui en Y à la colonne qui portera les glissières du chariot porte broche. Cette
morphologie permet la réalisation d'une séparation complète entre la zone machine et
la zone copeaux et d'avoir un ensemble de glissières X et Y perpendiculaires dans
des plans perpendiculaires ce qui fait que la liaison entre les glissières n'est plus une
paire de droites comme dans le cas du chariot croisé mais des plans.

-148-
c) Le système de commande des axes
Les axes sont commandés par des vis à billes de pas de 10 mm qui sont dimension-
nées sur la base de la force de poussée nécessaire pour percer en plein de l'acier de
60 à 70 HB avec un forêt de diamètre 50 mm. La vitesse rapide est 16 m/min et fixe la
vitesse de rotation des moteurs.
La valeur de la poussée dans le perçage à «1>=50 mm est de 3000 daN d'après le
cahier des charges.
d) Le système de commande de la broche
La puissance du moteur hydraulique d'entraînement de la broche est de 90 kW qui
correspond grossièrement à une force de 10 KN pour une fraise de 250 mm. Cette
puissance est disponible pour des vitesses de 400 à 10000 rpm.
d) Les capacités et les performances de l'axe B
Pour cet espace de travail, une palette carrée de 450 x 450 mm dont le diamètre ne
dépasse pas 560 mm ou une palette circulaire de 630 mm de diamètre est néces-
saire. Les dimensions de la palette circulaire permet plus facilement l'usinage d'une
pièce de 500 x SOO x 500 mm3.
Les exigences de performances de l'axe B sont:
- en position de verrouillage, elle doit présenter une rigidité de rotation suffisamment
élevée pour ne pas nuire à la rigidité globale de la machine et permettre des opéra-
tions de surfaçage à grande puissance en ébauche,
- la palette doit pouvoir atteindre une vitesse de 500 rpm et permettre à cette vitesse
des opérations de tournage en finition,
- il doit permettre également à basse vitesse de rotation des opérations de contour-
nage.

-149-
ANNEXE VIII: Calcul des déplacements du modèle 1
Décomposition du modèle 1
Le modèle 1 est décomposé en trois parties :
-la colonne
-le bâtLsupport de la colonne
-le bâtLsupport de la table
Modélisation de la colonne
axe neutre de la colonne
x
z
O.90m
Fig. 78 : le modèle de la colonne encastrée
Les caractéristiques de la section de la colonne:
- l'aire de la section de la colonne:
- Ac =0.1189 m2
-les moments d'inertie par rapport à un système d'axes passant par son centre de
gravité:
- Ize =1.09 1()-2 m4
- IYe =1.1 0 10-2 m4
- le moment d'inertie polaire par rapport à son centre de gravité:
- Je =2.2 10-2 m4.
Les dimensions sont les suivantes:

-150-
- a =0.90 m
- b =0.573 m
- L = 0.90 m
où b est la distance entre l'axe de la broche et l'axe neutre de la colonne.
L'axe de la broche est à 0.30 m de la face de la colonne et le centre de gravité de la
section de la colonne est situé à 0.273 m de cette face. /1 est situé verticalement à 0.90
m de l'encastrement.
La longueur de la zone de contact entre la colonne et le bélier est de 0.60 m.
On suppose que le bâti support de la colonne est une poutre encastrée à une extré-
mité et est portée par un appui à l'autre extrémité. La colonne repose sur toute sa
longueur qui est de 0.8 m.
Modélisation du bAti_support de la colonne
x
~ axeneutre
0.30 m 1 de la colonne
z
1
1
1
1
y
1
1
1
1.2
Ip
1
O.90m
axe neutre
0.8
batLcolonne
encastrement
Rx
Fig. 79 : le bâti-support de la colonne
Les caractéristiques de la section du baU_support de la colonne:
- l'aire de la section du bâtLsupport de la colonne:
- Abc = 0.1189 m2

-151-
-les moments d'inertie par rapport à un système d'axes passant par son centre de
gravité:
-IZbc =1.09 10-2 m4
- IXbc = 1.10 10-2 m4
- le moment d'inertie polaire par rapport à son centre de gravité:
- Je =2.2 10-2 m4
La distance h verticale entre l'axe de la broche - qui est à 0.9 m du bâti - et l'axe
neutre du bâti qui supporte la colonne situé à 0.273 m sous celle-ci:
h = 0.273 + 0.9 = 1.173 m
On suppose que le bâti qui supporte le chariot de la table est une poutre encastrée à
une extrémité et appuyée dans la direction X et la direction Y. L'axe de la pièce est
situé à 0.9 m de la face supérieure du bâti et l'axe neutre de ce bâti est situé à 0.273 m
de cette face.
Modélisation du bâti_support de la colonne
encastrement
X
z
y
Rx
Fig. 80 : le bâti-support de la table

-152-
Les caractéristiques de la section du bêti support de la table:
- l'aire de la section du bâti support de la table:
- Abt = 0.1189 m2
- les moments d'inertie par rapport à un système d'axes passant par son centre de
gravité:
- IYbt = 1.1 0 10-2 m4
-IXbt = 1.09 10-2 m4
- le moment d'inertie polaire par rapport à son centre de gravité:
- JC = 2.20 10-2 m4
La distance horizontale entre la direction de la force et l'axe neutre du bâti-support de
la table. On suppose que l'épaisseur de la table est de 0.3 m et la longueur de la pièce
est de 0.5 m. L'axe neutre est à 0.40 m de la table.
hy = 0.4 + 0.3 + 0.5 = 1.20 m
La distance verticale entre l'axe de la pièce - qui est situé à 0.9 m de la face du bâti -
et l'axe neutre du bâti support de la table:
hx = 0.273 + 0.9 = 1.173 m
La distance hp entre le point d'application du poids de la pièce et l'axe neutre du bâti-
support de la table:
hp = 0.4 + 0.4 = 0.80 m
Modélisation du modèle 1
Fig. 81 : le modèle 1

-153-
Annexe IX : Calcul des déformations du modèle Il
Décomposition du modèle 2
Comme dans le modèle 1, le modèle 2 est décomposé en trois parties:
-la colonne
- le bâtLsupport de la colonne
-le bâtLsupport de la table
Modélisation de la colonne
Nous avons utilisé la colonne du modèle 1dans le modèle II. Les déplacements sont
identiques en valeur absolue.
X
z
f'l axe neutre
0.30 m 1de la colonne
!~!
1
l
1
1
1
p
p
y
0.9m
Fig. 82: modélisation de la colonne
Modélisation du bêti_support de la colonne
Les caractéristiques de la section du bAti_support de la colonne
Les caradéristiques de la sedion du bâti qui supporte la colonne sont les mêmes que
celles du bâti qui supporte la table dans le modèle 1.
- l'aire de la sedion du bâti support de la table:
- Atx =0.1189 m2
-les moments d'inertie par rapport à un système d'axes passant par son centre de
gravité:
- IYbt = 1.10 10-2 m4
- IXbt = 1.09 10-2 m4
- le moment d'inertie polaire par rapport à son centre de gravité:

-154-
- Je = 2.20 10-2 m4
~ axeneutre
0.30 m 1de la colonne
x
1
1
z
p
p
encastrement
y
"
o. , ;~\\"",
0.9?'
,
1.236
",'"
axe neutre du bâti_support
de la colonne
Fig. 83 : modélisation du bâti_support de la colonne
Modélisation du bâtLsupport de la table
1.173
1.10
p
Fig. 84 : modélisation du bâtLsupport de la table

-155-
Modélisation du modèle 2
x
z
y
~ axeneutre
0.30 m 1de la colonne Rx
1
1
1
1
1
1
0.71 m
pl
1
Fig. 85 : le modèle 2

-157-
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Curriculum vitae
Nom
M'BOUP
Prénom
Papa
Date et lieu de naissance
1954 à Pire
Ueu d'origine
Pire ( SENEGAL )
Parents
Modou et Bousso Leye
Etat civil
Marié, quatre enfants
Formation et emplois
1960 - 1967
Ecole primaire de Pire
1967 -1974
Lycée Charles de Gaulle à Saint Louis
1974 -1979
Ecole Polytechnique de Thiès
1979
Diplôme d'ingénieur en mécanique
1979 -1983
Ingénieur à la SODEVA
1983 -1986
Université Laval à Québec au Canada
1986
Maître es sciences
1986 -1989
Maître assistant à l'Ecole Polytechnique de
Thiès ( SENEGAL )
Dès 1989
Stagiaire puis doctorant au laboratoire de
conception assistée par ordinateur de l'Ecole
Polytechnique Fédérale de Lausanne dirigé par
le professeur M. Porchet ..'
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Publicat.iQn
( -l'"
;J '~.,
/-,.... l"
~ ti '.
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