Année 1988
.
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RESUME DE THES~ POUR VENSf;!GNENiEN1 SUPERiEUR i
; C. A. M, E. S. -
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Arrivée
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En reg istré sous n° -H'
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A la Faculté des Sciences et T e c h n i q u e s · · -.. ----.,,~ .. -.-------.~ ..--.
de l'Université de l'Amitié des Peuples
Patrice LUMUMBA MOSCOU (URSS)
Par
• KOUADIO MOY A JONAS
Pour obtenir le
DIPLOME DE DOCTOR OF PHILOSOPHY (Ph.D)
en mathématiques et Physiques
Titre: La MECANIQUE DU FILAUX LIAISONS PROGRAMMEES
Soutenue le 21 janvier 1988 devant la Commission d'Examen
.l!!!:L: . Président-Rapporteur:
GalIIoullne A.S,
ProCesseur à l'Université P. LUMUMBA
Secrétaire
Volkov C.V,
Maître-Assistant à l'Université P. LUMUMBA
Directeur de Thèse
Mouharliamov R.G,
ProCesseur à l'Université P. LUMUMBA
Rapporteur
Starjlnskl V.M,
Professeur à l'Institut textil de MOSCOU
nnppo"'cur
Azlzov A.l'l'l,
Professeur Il l'Université Oouvemelllentule
de TACHKENT (OUZBIEKlSTAN)
Rapporteur
Zakaliouldne V.M,
Maître-Assistant à l'Institut d'Ingénorat et de
Physique de MOSCOU
Examhwteur
Mouhullllcd7.l11IllOv LA,
Professeur. Université P. LUMUMIJA

---

-
1 -
CARACTERISTIQUE GENERALE DE LA THESE
IMPORTANCE DU PROBLEME POSE
Le fil rigide est un système mécanique de très grande importance
dans la pratique de l'ingénieur. De par le nom "fil rigide" on sous-entend
en général les éléments physiques tels que les cables des lignes télépho-
niques et télégraphiques, les cables des réseaux ferroviaires, les antennes
de radio, les antennes ballistiques, les chaînes des ponts suspendus et des
ancres des bateaux etc ...
L'utilisation des fils rigides est aussi bien répandue dans les industries
de construction et de transport, dans les industries textiles et dans les
affaires maritimes. De nos jours, nombreux sont les domaines de la technique
moderne où l'on utilise, dans une certaine mesure, les fils rigides. Aussi,
la Mécanique du fil rigide couvre t-elle des situations physiques plus larges.
L'étude de la statique et de la dynamique du fil rigide est un
sujet d'actualité qui nécessite d'une part, l'élaboration de méthodes nume-
riques stables définissant la position d'équilibre du fil et les forces de
réaction de liaisons, et d'autre part, la résolution des équations de son
mouvement stationnaire.
BUT DU TRAVAIL
Le thème est consacré à l'étude approfondie des systèmes soumis à
des liaisons spéciales dites programmées et à l'élaboration des méthodes de
résolution des problèmes inverses de la dynamique appl iquée
à l'étude de
la statique et quelques problèmes de la dynamique du fil rigide.
METHODES DE RESOLUTION
Dans ce travail, nous utilisons les méthodes d'étude des positions
d'équilibre et des mouvements stationnaires du fil rigide; les méthodes
des systèmes mécaniques soumis à des liaisons programmées, les méthodes
... / ...

---

- 2 -
d'étude des problèmes inverses de la dynamique et de la mécanique analytique
et enfin la 2ème méthode de LIAPOUNOFF appliquée à l'étude de la stabilité
des systèmes mécaniques.
NOUVEAUX APPORTS SCIENTIFIQUES
Pour la première fois ont été construites les équations d'équi-
libre et du mouvement stationnaire du fil rigide soumis à des liaisons pro-
grammées ; les forces de réaction de ces liaisons et la tension du filant
été définies en tenant compte de l'écartement éventuel des points du fil du
programme donné
dans le cas d'équilibre du fil soumis à des liaisons holo-
nomes programmées il a été prouvé qu'il existe l'intégrale de tension qui
correspond en dynami que à l' intégra le d' énergi e ; dans le cas de forces po-
tentielles et non potentielles, il a été formulé les conditions d'existence
d'intégrale d'énergie; enfin dans cette étude ont été obtenues les condi-
tions suffisantes de stabilité, de la stabilité asymptotique et de l'insta-
bilité des formes d'équilibre et du mouvement stationnaire du fil rigide.
INTERETS PRATIQUES
Les résultats de ce travail peuvent trouver leur application dans
la résolution de certains problèmes inverses de la statique du fil (ponts,
grues, antennes de radio, antennes ballistiques) et dans les études des
mouvements stationnaires du fil rigide fermé (escalateurs de métro, radia-
teurs, ponts roulants etc ... ).
Le travail présente un intérêt particulier chez les ingénieurs
mécaniciens, les ingénieurs en bâtiments, des ponts et chaussées et enfin
en industries légères et textiles.
APPROBATION
Les résultats de la thèse ont été exposés et soumis a la délibé-
ration au cours
- des séminaires scientifiques à la chaire de mécanique théorique
de l'Université de l'Amitié des Peuples P. Lumumba sous la direction du
Professeur GALLIOULINE A. S.
. .. / ...

---

- 3 -
- des Conférences de Jeunes Chercheurs organisées par l'Université
de l'Amitié des Peuples P. Lumumba (1985, 1986, 1987)
e
e
e
- des 21
,
22
23
conférences scientifiques de la Faculté
des Sciences de l'Université
P. Lumumba (1985, 1986, 1987).
PUBLICATION, STRUCTURE ET VOLUME DE LA THESE
Exposée dans cinq publications, la thèse de 105 pages se compose
d'un index, d'une introduction, de cinq chapitres, d'une conclusion et de
la liste de certains trQvaux ayant trait au thème.
SOMMAIRE DE LA THESE
Dans l'introduction, nous avons présenté les motifs d'actualité
du thème choisi, énuméré les travaux lui ayant trait et les principaux ré-
sultats obtenus. Les problèmes essentiels qui y sont posés sont les
suivants :
- établir les équations d'équilibre et du mouvement stationnaire
du fil rigide en tenant compte de l'écartement éventuel de sa forme par rap-
port à la courbe théorique le long de laquelle il devrait être disposé
- définir les forces de réaction des liaisons programmées et la
tension du fil rigide;
- définir les intégrales premières des équations d'équilibre du
fil soumis à des liaisons programmées;
- construire un algorithme stable définissant les forces direc-
trices en conformité avec les conditions de stabilité des liaisons programmées.
Au chapitre l, nous abordons les questions liées à la construction
des équations différentielles de l 'équllibre du fil soumis à des liaisons
programmées et à la définition des forces de réactions programmées. A cet
effet, au § l, les équations de la courbe le long d~ l~q~elle est disposé
le fil s'introduisent comme des liaisons dites programmées appliquées à
... / ...

---

- 4 -
]' élément du fil rigide, et ceci, de la façon suivante
T
T
~(x) ::: a ,
a
a(s)
,
a ::: (a 1 ,( )
(l)
~ ::: (C'~2)
2
T
T
,
~(x , x)
S'
13'
13'(s)
13 '
(B' 1 '
B')
</J
(1), ,1>2)
... (2)
2
où
T
x = (x, ' x , x)
-
coordonnées vectori~Vles cartés i ennes , x = x(s)
2
3
dx
x
s - paramètre désignant la longueur de l' élément du fil.
ds
Les variables a et S', très petites en valeur absolue, fixent
l'écart entre la position réelle d'équilibre (resp. le mouvement réel sta-
tionnaire) du fil et la position d'équilibre programmée (resp. le mouvement
stationnaire programmé) dont les équations sont les suivantes:
~ (x) = 0
(3)
</JCx' ,x)
0
(4)
Les variables a et 13
sont définies comme solutions des éauations différen-
tielles
2
da
d a
a "
\\t(a', a, S' , x' , x) ,
a'
-(fS ,
Ci "
(5)
- 2
ds
13"
<p(a, a. ' , S' , x' , x) ,
13"
dS
(6)
-(fS
T
T
\\t = (\\t 1 ' \\t )
<:>
= (<Pl' <P )
2
2
Les fonctions vectorielles \\t et <Il doivent être arbitrairement choisies de
telle sorte que les équations ( 5) et (6 ) admettent une solution stable
a = a'
= 0
S'
0
soit
\\t(O,
0, 0,
1
x
, x)
0
(7)
,
et
<jJ(0, 0, 0, x , x)
0
(8)
Les équations (3), (5) et (7) définissent les liaisons holonomes program-
mées, tandis que (4), (6) et (8) les liaisons non holonomes programmées.
Dans les §§2,3, le principe de D'ALAMBERT-LAGRANGE appliqué à la
position d'équilibre du fil donne:
T
1
1_
ds (Tx ') + F + ~ . R l
)Jfo(T)
d
f (T)
_
. <5 x
o
(9 )

---

- 5 -
où
~a - la densité linéaire du fil
F = F(X, Y, Z) - le vecteur des forces actives
T - la tension du fil
R
R(R], R , R ) - le vecteur des forces de réactions de
2
3
liaisons
ox - le vecteur des déplacements virtuels
f(T) - la fonction de tension du fil.
En effectuant des opérations algébriques sur les liaisons (1) et (2) et en
considérant l'équation vectorielle (9), nous arrivons à établir les équa-
tions du fil rigide homogène et extensible sous la forme des éauations de
LAGRANGE de 1ère espèce :
T
Tx" =' -T'x' - f.1F - G À
Cl 0)
où
À - le vecteur multiolicateur de LAGRANGE,
w
- la
f(T)
densité linéaire du fil extensible
Le vecteur des réactions de liaisons
R = GTÀ s'obtient alors sous la forme
R
R + R
( 1 1)
a
p
avec
+
Ra = Ra(x' ,x) = C (wCF + GT'x' - TW)
+
'V
R
= R (a',a,S',x',x) = G T Z
p
p
où
T'
dT
=
[·1
(x,TE,
x
cp x') T
as
xx
x
a2E,
'V
E,
(1/,<p)T
G+
--2
Z
= GT(GGTrI
xx
dX
Dan s la formule (11), le vecteur R définit toutes les forces d'influence
a
(forces de réaction des liaisons orogrammées) qui agissent sur le système
lorsque le programme d'équilibre est exact, c'est-à-dire quand le fil

---

- 6 -
rigide n'a subi aucun écartement de sa position d'équilibre. Dans ce cas
Ra.
p
Mais si la position réelle d'équilibre du fil extensible diffère de la pro-
grammée, alors il est nécessaire de transmettre au système des forces
directrices normalisatrices complémentaires R pour ramener la forme du
p
fil à la position d'équilibre souhaitée.
En remplaçant dans (la) le vecteur des réactions de liaisons R (vecteur des
forces directrices) par sa valeur (11), nous obtenons en définitive, les
équations générales d'équilibre du fil rigide homogène et extensible
,
Tx ' , = -jJ F - T ' X 1 + R (x l ,x)
+ R (a "
a,
B', x
, x) ,
(12)
o
p
Pour intégrer les équations (12) en connaissant les conditions initiales
x(s ) = X
x'(s) = x'
a
a
' B'
il est nécessaire de
o
0
0
0 '
0
o
0
prendre en compte les équations (5) - (8).
Si le f"il rigide homogène est inextensible, f(T) = l, soit lJ = lJ o
Nous obtenons alors dans ce cas des équations analogues aux (12).
Dans les §§4 et 5, l'introduction du vecteur q des coordonnées
généralisées qui définit de façon identique le vecteur x, permet d'établir
les équations d'équilibre du fil extensible aux liaisons programmées sous
la forme des équations de LAGRANGE de 2ème espèce
.i-(T2l.) - T ..2...!.. = ,JI). _ ",T j.
ds
êlg 1
dq
>-'
'/' q'
.
.i-(T aI) _ T êl I _
0 _
T
ds
da
aa -
(13)
1
lJ -a
4> a' À - n
où
À ,
n -
les vecteurs multiplicateurs de LAGRANGE
~x
Q = F _0__
les forces actives qénéralisées
dq
Qa = F : : - forces généralisées des liaisons programmées
avec,
T
T
T
2I
q 1 T A q '+ a,T Ba' + 2q' T Ka'
A
x x
B
x x
K = x x
q q
a a
q a

---

- 7 -
Les liaisons programmées (1) - (8) permettent de définir les vecteurs À , n
et R = R + R
a
p
-\\
À
Y [T(cI>,rl+M-N)-cI>
A
(0.+ TKrl + M)-cjJ}
a i l
q r
-1
R
y{TM
-
cl>
A
(]JQ + M)}
a
I
q'
R
yT(cI>a' rl + NI - KD -
cjJ)
p
_KT A-1 M
+ M
+ TBrl + N
n
2
3
où
M, N - des fonctions déoendantes de q', a, a', o., B'
]JQ + R + TKrl
M] =}JO
+ R
.
-0.
0.
Dans les §§6 et 8 a été analysé un cas particulier lorsoue les
liaisons orogrammées sont toutes holonomes et obtenues les équations d'équi-
libre du fil rigide extensible sous la forme des équations de LAGRANGE de 2ème
espèce. Par ailleurs, nous avons montré que sous des conditions bien défi-
nies, il existe l'intégrale de tension qui correspond en dynamique à l'in-
tégrale d'énergie.
]J
U + h
( 14)
a
où
U
U(q,o.) - fonction de force
Va
h - constante ; f(T) = --
\\l
Si le fil est inextensible, la tension prend alors la valeur
T = -}J
U
+ h
( 15)
a
Dans les §§8, 9, nous avons établi les éauations d'éouilibre du
fil extensible sous la forme canonique de Hamilton
aH
aH
q
(}JQ + <jJT À)
( 16)
3P
p
- - -
aq
q'
aH
aH
a'
=
1
-
(}JO + <jJT À + n )
âP
p
-a
d'ëX
-a
a
et défini le vecteur des forces de réaction
R = R + R
a
p

---

- 8 -
Au § 10, la construction d'un algorithme stable permet de définir
la tension du fil. Des exemples d'application y sont examinés avec la plus
grande rigueur mathématique en tenant compte des liaisons de programme.
Oans le Chapitre II, l'examen d'un cas de liaisons uniquement non
holonomes permet d'établir les équations d'équilibre du fil rigide sous la
forme des Equations d'Appel
aK
aTI"
où
Q - les forces actives généralisées
2K
Tx"T x " - fonction généralisée (énergie d'accélération)
TI
-
le vecteur des pseudo - coordonnées
Le vecteur des forces de réactions de liaisons programmées correspondant a
été par ailleurs défini R = R + R
o
p
Au Chapitre III, le fil rigide et inextensible est placé dans le
champ des forces potentielles et non potentielles le long d'une courbe donnée.
Les équations d'équilibre ont été établies dans les différents cas. En outre,
nous avons prouvé sous certaines conditions bien définies, l'existence de
l'intégrale d'énergie est possible (intégrale de tension).
Au Chapitre IV, l'analyse de la stabilité de la position d'équi-
<
libre du fil rigide placé le long d'une courbe nous conduit ~ celle des va-
riétés ~ programme.
Ainsi dans les §§l, 2, en utilisant la 2e méthode de LIAPOUNOFF appliquée aux
aux variétés intégrales, nous arrivons ~ définir les conditions qu'il faut
imposer aux fo~ctions arbitraires ri et
<Il
de la partie droite des équations
différentielles d'équilibre du fil pour de garantir la stabilité, la stabi-
lité asymptotique et l'instabilité de sa forme en équilibre.
Au Chapitre V, il a été question d'établir les équations différen-
tielles des mouvements simples du fil soumis ~ des liaisons programmées
holonones, et définir le vecteur des forces directrices garantissant la sta-
bilité du mouvement stationnaire du fil le long d'une courbe donnée. A cet
effet, dans les §§2, 3 un cas particulier a été examiné. Le fil rigide est

---

- 9 -
fermé et effectue simultanément deux mouvements: un mouvement linéaire
et un rotatoire autour d'un axe vertical. Ce type de mouvements se ren-
contrent en ballistique (antennes ballistiques). Les équaLions du mouvement
stationnaire du fil rigide inextensible s'obtiennent sous la forme
o
(17)
où
T
F
(X, Y, Z)
- le vecteur des forces actives
T
P
(Pl' P , P )
le vecteur des forces directrices
2
3
agissant sur un élément du fil
T
x = (xl' x ' x )
- les coordonnées cartésiennes en rotation
2
3
avec l'élément du fil.
W - densité linéaire du fil
inextensible
o
T
2
T =
-
v
- tens i on dynami que du fi 1.
IJ o
v - vitesse longitudinale de l'élément du fil
Des calculs numériques approfondis permettent de définir les forces direc-
trices sur l'élément du fil
+
~
p = ç
{T(Il- s'x') - (T'a' + IJ s F)} + k[s ]
( 18)
x
x
0
x
x
où
k - une valeur cons tan te
[s l - le produit vectoriel de
sI et S2
x
sl(x I , X2' x3)
al
s2(x
) = a
I , x2' x3
2
Il est évident que dans le second membre de la formule (18), le 1er vecteur
représente les composantes du vecteur P qui passe par la normale de l'élé-
ment du fil et le second vecteur
k[sxJ - les composantes passant par la
tangente.
Par ailleurs, par analogie avec les résultats obtenus dans le Chapitre 1,
§9, nous établissons les équations définissant la tension dynamique du fil.

---

- 10 -
Enfin, dans la conclusion, les principaux résultats obtenus dans
la thèse ont été rappelés.
PUBLICATIONS
Sur le thème de cette thèse ont été publiés les travaux suivants
1- JONAS K. M - Le problème inverse de l'équilibre du fil.// Université
de l'Amitié des Peuples Patrice Lumumba: Physico-Math, Chimie, Moscou du 19
au 23 Février 1985, Partie l, M. 1985, pages 34-37.
(Le manuscrit est mis en dépôt au trésor du VINITI le 29 Mai 1985, sous le
N° 3713 - 85 dép.).
2 - JONAS K. M- L'équation d'équilibre du fil rigide placé le long d'une
courbe donnée. ~ Matériel de la 9ème Conférence des Jeunes Chercheurs organi-
sées à l'Université de l'Amitié des Peuples Patrice Lumumba Moscou, du 15 au
19 Avril 1986. Partie 1, M. 1986, pages 170 - 173.
(Le manuscrit est en dépôt du VINITI N° 6848, 25-09,86).
3 - MOUHARLIAMOFF R. G. • JONAS K. M. - L'équation LAGRANGE de 1ère espèce
de l'équilibre du fil rigide et homogène aux liaisons programmées.// Les pro-
blèmes de directions des procédés de transport sur les chemins de fer. Tra-
vaux VZIIT, fascicule N° 134,1987, pages 161 - 166.
4 - JONAS K. M. - Les équations d'équilibre du fil rigide aux liaisons
programmées sous la forme des équations de LAGRANGE de 2ème espèce et sous
la forme canonique de Hamilton. ~ Problème de la mécanique du mouvement diri-
geable : systèmes dynamiques non linéaires. Université gouvernementale de la
ville de Perm. A. M, Gorki, 1987, pages 94 - 103.

---