UNIVERSITE
Ecole des Mines de Saint-Etienne
CLAUDE BERNARD LYON 1
Dpt Mécanique et Matériaux
N° d'ordre: 122-91
Année: 1991
THESE
Présentée devant
L'UNIVERSITE CLAUDE BERNARD - LYON 1
pour l'obtention
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du DIPLOME DE DOCTOR,AT
par
TOUKOUROU Chakirou Akan:b~,,":·:··
Professeur Certifié de l'Enseignement Technique (Option Mécanique)
Spécialité : Mécanique
Sujet de thèse:
METHODE D'IDENTIFICATION DES RIGIDITES DE
FLEXION DE POUTRES A INERTIE EVOLUTIVE
Soutenue le 4 Juillet 1991
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Composition du jury :
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MR
G.VERCHERY
Présidertt"
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MME
R. M. COURTADE
Rapporteur
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MM
L.JEZEQUEL
Rapporteur
M.GREDIAC
Examinateur
P.HAMELIN
"
MILE
F. RENARD
"
MR
A. VAUTRIN
"

---

UNIVERSITE CLAUDE BERNARD - LYON 1
Président de l'Université
M. le Professeur G •. FONTAINE
1er Vice-Président Fédération Santé
M. le Professeur P. ZECH
1er Vice-Président Fédération Sciences
M. Le Professeur Y. LEMOIGNE
Président du Comité de Coordination
des Etudes Médicales
M. le Professeur P. ZECH
Secrétaire Général
M. F. MARIANl
FEDERATION SANI»-
- UFR de Médecine GRANGE-BLANCHE
Directeur : Mme le Pr. PELLET
- UFR de Médecine ALEXIS-CARREL
Directeur: M. le Pro EVREUX
- UFR de Médecine LYON-NORD
Directeur: M. le Pro PATRICOT
- UFR de Médecine LYON-SUD
Directeur : M. le Pr. DEJOUR
- Institut des Sciences Biologiques
Directeur: M. le Pro Vll..LARD
et Pharmaceutiques
- UFR d'ODONTOLOGIE
Directeur: M. le Pro MAGLOIRE
- INSTITUT DES TECHNIQUES DE
Directeur: M. le Pro EYSSETrE
READAPTATION
- Département de BIOLOGIE HUMAINE
Directeur: M. le Pro BRYON
- Département d'INNOVATION ET DE
Directeur : M. le Pr. LLORCA
COORDINATION PEDAGOGIQUE
FEDERATION SClENCES
- Institut DES SCIENCES DE LA MATIERE Directeur: M. le Pr. ELBAZ
- Institut DES SCIENCES DE L'INGE-
Directeur: M.le Pro DTMNKT
mERIE ET DU DEVELOPPEMENT
TECHNOLOGIQUES
- Institut DE CHIMIE ET BIOLOGIE
Directeur: Mme VARAGNAT, M.C.
- Institut d'ANALYSE DES SYSTEMES
Directeur : M. le Pr. LEGAY
BIOLOGIQUES ET SOCIO-ECONOMIQUES
- Institut DES SCIENCES DE LA TERRE
Directeur: M. le Pro ELMI
DE L'OCEAN, DE L'ATMOSPHERE, DE
L'ESPACE ET DE L'ENVIRONNEMENT
- UFR des AcrIVrrES PHYSIQUES ET
Directeur : M. le Pr. CAMY
SPORTIVES
- I.U.T. A
Directeur : M. le Pr. GIELLY
- I.U.T. B
Directeur : M. le Pr. PIVOT
- Département de 1er Cycle
Directeur : M. PONCET, M. C.
pluridisciplinaire Sciences
- Département de 2ème Cycle
- Sciences de la Vie et de la
Terre
Directeur : M. le Pr. BLANCHET
- Sciences pour l'Ingénieur
Directeur : M. le Pr. BETHOUX
- Sciences de l'Analyse et de
la Matière
Directeur : M. le Pr. VIALLE

---

s/ma,~ st"~ 'mfJt' en.lzn~,~ 'mfJt'~~
st"~ lëu.o ~ m 'cnt"4:Jl/.&nu ~t" divant"cd ~~
P.J5.tœnœ.

---

Remerciements
Ce travail a été effectué au département de mécanique et matériaux à l'Ecole des
Mines de Saint-Etienne d'Octobre 1987 à Décembre 1990.
Je dois particulièrement remercier M. G. Verchery Professeur à l'Ecole des Mines
de Saint-Etienne de m'avoir accueilli au sein du département qu'il dirige, et de m'avoir
permis de mener ce travail dans des conditions très favorables et d'avoir accepter la
présidence du jury.
Je suis infiniment redevable à mon directeur de thèse M. A. Vautrin, Professeur à
l'Ecole des Mines de Saint-Etienne de la patience dont il a fait preuve en essayant de
m'initier à la recherche, tout en me faisant bénéficiant de son expérience, son sens de la
rigueur et la précision de sa pensée m'ont permis de mener à bon port ce travail.
Madame Rose Marie Courtade Professeur à l'Ecole Nationale d'Ingénieur de Saint-
Etienne m'a fait part de ses observations pour la mise au point final de ce rapport et a
accepté d'être rapporteur. Qu'elle trouve ici l'expression de ma profonde reconnaissance.
M L. Jézéquel Professeur à l'Ecole Centrale de Lyon a accepté d'être rapporteur
qu'il soit ici remercié.
M. M. Grédiac Professeur à l'Ecole Nationale d'Ingénieur de Saint-Etienne a
toujours montré de l'intérêt à ce travail et à attiré mon attention sur de nombreux points
aux cours des discussions très amicales, ces travaux ont eu une répercussion notable sur
ce travail. Je le remercie pour son aide précieuse et d'avoir accepté de participer au jury.
Je remercie M. P. Hamelin Professeur à l'Université de Claude Bernard Lyon l, et
Melle F. Renard, Ingénieur de recherches (Service recherches Rossignol) d'avoir accepté
de participer au Jury
J'ai été heureux de travailler avec M. D. Marty, son efficacité et sa disponibilité
m'ont permis de mener à bien la partie expérimentale de ce travail. Qu'il soit ici remercié
ainsi que tous les techniciens que j'ai cÔtoyés durant mon séjour à l'Ecole des Mines de
Saint-Etienne.
Mes remerciements vont à mes collègues de bureau qui ont toujours contribué à
entretenir une ambiance agréable et sympathique, en particulier Madame El Nahas Nabila,
Mrs C. Saad Bouh et A. Lorédo, tous les membres de l'équipe Modélisation et
caractérisation doivent être associés à ces remerciements.
Remerciements
1

---

RÉSUMÉ
Les poutres à inertie variable sont des structures optimisées pennettant d'utiliser au mieux
les propriétés des matériaux en limitant tout sur-coût. Par ailleurs, la pénétration des
composites dans le domaine structural est fortement liée à la possibilité de concevoir des
systèmes possédant des performances mécaniques accrues sans entraîner de coûts
prohibitifs. Par suite il convient de développer des méthodes de conception et de
caractérisation de structures à élancement variable. Le présent travail concerne la
conception et la réalisation d'une nouvelle méthode d'identification expérimentale de
l'inertie locale de flexion des poutres à inertie variable. Il s'agit du problème inverse
consistant à identifier l'inertie d'une poutre connaissant sa défonnée.
La méthode repose sur l'utilisation du principe des travaux virtuels. Le problème consiste
à construire une poutre modèle composée de différents tronçons, de longueur variable, et
dont l'inertie évolue linéairement; les inconnues sont les inerties au niveau des sections
extrêmes de chaque tronçon. Ces inconnues sont identifiées en écrivant que la poutre
réelle et la poutre modèle ont la même défonnée dans le contexte d'un essai mécanique
donné, qui dans le cas présent est l'essai de flexion trois points. Les flèches ou les
défonnations réelles sont supposées connues en un nombre réduit de points. Un
programme infonnatique convivial d'aide à l'identification de rigidités de poutres a été
développé en langage Turbo Pascal sur compatible PC. Il permet simultanément
l'apprentissage rapide de la méthode, la simulation numérique et l'identification effective
des rigidités de flexion. Une série de simulations numériques a été réalisée afin de carac-
tériser les performances réelles de la méthode quand diverses catégories d'erreurs de
nature aléatoire existent et pour divers types de poutres réelles et modèles. Une bonne
stabilité de la méthode a été trouvée.
Des essais expérimentaux ont enfin été menés dans le but de valider la méthode dans un
cas pratique. Une poutre à inertie variable en polyméthacylathe de méthyle (PMMA) a été
testée en flexion trois points à divers niveaux de charges et les défonnations de surface
mesurées en 14 points par des jauges de déformations. L'identification effective a conduit
à des résultats acceptables pour des nombres de tronçons de l'ordre d'une dizaine
environ.
MOTS CLEF: poutre, inertie évolutive, rigidité de flexion, identification mécanique,
simulation numérique, programme d'identification.
Résumé
II

---

ABSTRACT
Beams with variable inertia are obviously optimized structures that enable designers to
use at best material properties to meet structural requirements at reasonable cost.
Furthermore the future increase of the part of composite materials in structural
applications is strongly bound to the capability of designing new systems with enhanced
mechanical performances but without prohibitive costs. Therefore it is necessary to
develop more efficient designing methods and characterization procedures suited ta
structures with variable stiffnesses. The present work concerns the design and the
practical use of a new experimental identification method to identify the local bending
stiffness of beams. The problem is to de termine at best the beam variable stiffness
knowing the deflection of the bearn under a given loading configuration.
The method is based on the weIl known principle of virtual works. The problem aims at
determining a model bearn constituted of several stumps of different lengths and whose
bending stiffnesses are linear functions of the bearn longitudinal abscissa. The unknowns
of the problem are the bending stiffnesses of the beam sections. These unknowns are
then identified assuming that the real and the model bearns have the same deflections
under a given loading that is in the present case a th.ree-point bending test. The deflections
or the strains of the real bearn are experimentally measured at a limited number of points.
A friendly-user computer aided-identification program has been developed in Turbo
Pascal language on IBM compatible personal computer. Its purpose is to facilitate the
training in the identification process, the numerical simulation and the effective
identication of the bending stiffnesses. Various numerical simulations have been realized
to characterize the true capabilities of the method under different assumptions on
experimental statistical errors, on real bearn bending stiffness and model bearn number of
stumps. A satisfying stability of the process has been pointed out. Experimental tests
have been carried out to validate the method in a practical case. A polyméthacylathe
(PMMA) variable inertia beam has been tested in three-point bending at various load
levels and the surface strains measured at 14 points by strain gauges. The effective
identification has led to acceptable results for stump number of about 10.
KEY WORDS : beam, variable inertia, bending stiffness, mechanical identification,
numerical simulation, identification programme.
Abstract
III

---

SOMMAIRE
RESUME
ABSTRAcr
INTRODUCTION
1
PARTIE 1 : ASPECT THEORIQUE
3
1- SITUATION DU PROBLEME
4
1-1- Introduction
5
1-2- Bibliographie
5
1-2-1-Méthode de modélisation des poutres
6
1-2-2- Analyse des champs de contrainte et de déplacement sur
des poutres à inertie variable en bois
14
1-2-3- Méthode de détennination simultanée des rigidités de
flexion et de cisaillement
25
1-2-4- Méthode developpée par El Shaikh
28
1-2-5- Conclusion
30
1-3- Démarche de l'identification
30
2- METIIODE PROPOSEE
31
2-1- Introduction
32
2-2- Fonnulation du problème
33
2-2-1- Définition de la poutre modèle
33
2-2-2- Enoncé du problème
33
2-3- Connaissance de la réponse mécanique de la poutre réelle
34
2-3-1- Choix de l'essai mécanique
34
2-3-2- Les grandeurs cinématiques
34
2-4- Méthode de résolution
34
2-4-1- Introduction
34
2-4-2- Principe des travaux virtuels
35
2-4-2-1- Rappel
35
Sommaire
IV

---

2-4-2-2- Relation fondamentale
35
2-4-2-3- Application classique aux poutres
37
2-4-2-4- Application à l'identification des rigidités d'une
poutre
40
2-4-2-5- Choix des champs virtuels
43
2-4-2-5-1- Critère du choix
43
2-4-2-5-2- Etude de champs quelconques
43
2-4-2-5-3- Champs imposés nuls sur certains tronçons
45
2-4-2-5-4- Champs à courbure nulle sur certains
tronçons
46
2-4-2-5-5- Conclusion
47
2-4-3- Technique de résolution du système
47
2-4-3-1- Identification globale
47
2-4-3-1-1- Champs utilisés
48
2-4-3-1-2- Système d'équations
49
2-4-3-2- Identification locale
49
2-4-3-2-1- Champs utilisés
49
2-4-3-2-2- Système d'équations
50
2-4-3-3- Conclusion
51
2-4-4- Mode d'évaluation des résultats
51
2-5- Conclusion
52
PARTIE 2 : ASPECT
NUMERIQUE
53
3- REALISATION DU PROGRAMME D'IDENTIFICATION
54
3-1- Introduction
55
3-2- Interpolation et calcul des dérivées secondes aux points de Gauss
55
3-3- Organigramme du programme d'identification
58
3-3-1- Présentation des menus
61
3-3-2- Exemple typique d'identification
69
3-4- Caractéristique du programme
81
3-4-1- Langage et matériel utilisés
81
3-4-2- Possibilités et temps de calculs
81
3-5- Conclusion
83
Sommaire
v

---

4- STh1ULATION NUMERIQUE
84
4-1- Objectifs
85
4-2- Présentation du programme de simulation
85
4-3- Simulation d'erreurs de mesure
98
4-4- Choix des modèles de poutre et des configurations d'essai
99
4-5- Simulation des procédures expérimentales
101
4-5-1- Comparaison des caractéristiques réelles et des valeurs
identifiées
101
4-5-2- Influence de la valeur nominale de l'erreur aléatoire
102
4-5-3- Influence de l'erreur de mesure sur l'intensité des effons
109
4-5-4- Influence de l'erreur sur la position du point d'application de
la force
109
4-5-5- Influence des erreurs de mesure de la ponée de la poutre
112
4-5-6- Influence du nombre de points de mesure expérimentaux
112
4-5-7- Influence du choix de l'essai
112
4-5-8- Choix de la nature des paramètres pour l'identification
114
4-5-9- Conclusion
114
4-6- Stabilité de la méthode
114
4-7- Méthodologie du processus d'identification
115
4-8- Conclusion
116
PARTIE 3 : ASPECT
EXPERIMENTAL
117
5- ESSAIS EXPERIMENTAUX
118
5-1 Introduction
119
5-2- Montage mécanique
119
5-2-1- Objectifs
119
5-2-2- Description du montage
119
5-2-3- Eprouvette utilisée
121
5-2-4- Instruments de mesure
122
5-2-5- Procédure d'essai
122
5-2-6- Traitement numérique des mesures expérimentales
124
5-2-6-1- Essai 1
125
5-2-6-2- Essai 2
126
Sommaire
VI

---

5-2-6-3- Essai 3
127
5-2-7- Conclusion
127
5-3- Identification
128
5-3-1-Essai 1
129
5-3-2- Essai 2
134
5-3-3- Essai 3
139
5-4- Discussion
144
5-5- Conclusion
145
CONCLUSION GENERALE
146
BIBLIOGRAPHIE
149
ANNEXE A
152
Théories des poutres
152
a-1- Théorie des poutres d'Euler-Bernoulli
152
a-2- Théorie de Timoshenko (Dym & shames)
156
a-3- Domaine de validité de ces théories
158
a-4-Solutions approchées
159
a-4-1- Méthode de Ritz
159
a-4-2- Méthode des éléments finis
160
ANNEXE B
164
Application du principe des travaux virtuels aux poutres dans le cadre de la
théorie de Timoshenko
164
b-1- Application à l'identification des rigidités de poutres
164
b-2- Poutre modèle
167
ANNEXE C
171
Courbes effort-déformation sur les jauges (charge & décharge)
171
Sommaire
Vil

---

LISTE DES FIGURES
CHAPITRE 1:
Fig. 1-1 : Poutre réelle
6
Fig. 1-2 : Poutre approchée
6
Fig. 1-3 : Poutre idéale équivalente
7
Fig. 1-4 : Elément de poutre
7
Fig. 1-5 : Poutre symétrique
13
Fig. 1-6 : Poutre symétrique idéale équivalente
14
Fig. 1-7 : Poutre fuselée en bois
14
Fig. 1-8 : Poutre fuselée symétrique en bois
15
Fig. 1-9: Poutre entaillée symétrique en bois
15
Fig. 1-10 : Distribution des contraintes de cisaillement sur une poutre fuselée
(Maki et Kuenzi, 1985)
18
Fig. 1-11 : Comparaison entre valeurs théoriques et valeurs
expérimentales des déformations (Exx' 2Exy• Eyy )
20
Fig. 1-12: Ko (tg<\\»
22
Fig. 1-13 : Abaque pour dimensionnement des poutres sous charge concentrée
24
Fig. 1-14 : Abaque pour dimensionnement des poutres sous charge répartie
24
Fig. 1-15 : Echantillon de type poutre découpée dans une plaque (matériau
isotrope)
25
Fig. 1-16: Essai de flexion trois points
25
Fig. 1-17 : Composition de la poutre réelle (perche à sauter 125/400 Proto T48)
29
Fig. 1-18: Poutre identifiée (évolution de la rigidité de flexion)
29
CHAPITRE 2 :
Fig. 2-1 : Modèle de poutre à inertie constante
33
Fig. 2-2 : Modèle de poutre à inertie variable
33
Fig. 2-3 : Poutre droite chargée dans son plan
37
Fig. 2-4 : Section droite de la poutre en flexion
38
Fig. 2-5 : Poutre modèle retenue à inertie variable
41
Fig. 2-6 : Modèle de poutre identifié
44
Fig. 2-7 : Champs virtuels imposés nuls sur certains domaines de la poutre.
45
Liste des figures
Vlll

---

Fig. 2-8 : Champs virtuels à courbure nulle sur certains tronçons
46
Fig. 2-9 : n premiers champs utilisés pour l'identification globale
48
Fig. 2-10 : n+ 1ième champ utilisé pour l'identification globale
48
Fig. 2-11 : Champs utilisés dans le cas d'une identification locale
50
CHAPITRE 3:
Fig. 3-1 : Interpolation utilisant un seul point voisin
56
Fig. 3-2 : Présentation des modules principaux
59
Fig. 3-3 : Organigramme du programme d'identification
60
Fig. 3-4 : Condition d'essai: Menu 1
61
Fig. 3-5 : Mise en donnée des conditions d'essai: Menu 1
62
Fig. 3-6 : Choix de la nature du champ et simulation d'erreurs de mesure: Menu 2 63
Fig. 3-7 : Affichage signalant l'exécution de la procédure d'identification
64
Fig. 3-8 : Choix du type d'identification: Menu 3
64
Fig. 3-9 : Choix de la poutre modèle : Menu 4
65
Fig. 3-10 : Discrétisation manuelle
66
Fig. 3-11 : Affichage signalant l'exécution de la procédure des travaux virtuels
67
Fig. 3-12 : Affichage signalant la procédure de résolution du système d'équation
67
Fig. 3-13 : Visualisation graphique des résultats d'identification et sauvegarde
desfichie~
68
Fig. 3-14 : Type de poutre utilisée pour le test d'identification
69
Fig. 3-15 : Evolution des rigidités de la poutre réelle; conditions d'essai
70
Fig. 3-16: Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (3 tronçons égaux
identfication locale)
72
Fig. 3-17 : Représentation des défonnées (poutre réelle, modèle identifié 3
tronçons égaux identification locale)
72
Fig. 3-18 : Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (3 tronçons égaux
identification globale)
73
Fig. 3-19 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
3 tronçons égaux identification globale)
73
Fig 3-20: Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (4 tronçons
inégaux identification locale)
74
Fig. 3-21 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
4 tronçons inégaux identification locale)
74
Fig 3-22: Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (4 tronçons
inégaux identification globale)
75
Liste des fig ures
IX

---

Fig. 3-23 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
4 tronçons inégaux identification globale)
75
Fig 3-24: Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (6 tronçons
égaux identification locale)
76
Fig. 3-25 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
6 tronçons égaux identification locale)
76
Fig. 3-26: Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (6 tronçons égaux
identification globale)
77
Fig. 3-27 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
6 tronçons égaux identification globale)
77
Fig 3-28 : Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (12 tronçons
égaux identification locale)
78
Fig. 3-29 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
12 tronçons égaux identification locale)
78
Fig. 3-30: Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (12 tronçons égaux
identification globale)
79
Fig. 3-31 : Ecart relatif entre les flèches maximales des deux déformées en
fonction du nombre de tronçons
80
Fig. 3-32 : Ecart relatif norme 2 (aire délimitée par les deux déformées en
fonction du nombre de tronçons)
80
Fig. 3-33 : Temps de calcul en fonction du nombre de tronçons
82
CHAPITRE 4 :
Fig. 4-1 : Organigramme-type d'une simulation simple d'identification
86
Fig. 4-2 : Choix de poutre réelle simulée: Menu 1
87
Fig. 4-3 : Evolution de la rigidité de la poutre réelle simulée: Menu 1
88
Fig. 4-4 : Condition d'essai: Menu 2
89
Fig. 4-5 : Mise en donnée des conditions d'essai: Menu 2
90
Fig. 4-6 : Choix de la nature du champ et simulation d'erreurs de mesure: Menu 3 91
Fig. 4-7 : Affichage signalant l'exécution de la procédure d'interpolation
92
Fig. 4-8 : Choix du type d'identification Menu 4
93
Fig. 4-9 : Choix de la poutre modèle: Menu 5
94
Fig. 4-10 : Discrétisation en tronçons inégaux: Menu 5
95
Fig. 4-11 : Affichage signalant l'exécution de la procédure des travaux virtuels
95
Fig. 4-12 : Affichage signalant la procédure de résolution du système d'équations
96
Liste des figures
x

---

Fig. 4-13 : Visualisation graphique des résultats de l'identification et sauvegarde
des fichiers Menu 6
97
Fig. 4-14: Répartition des effectifs dans les 12 classes
99
Fig. 4-15 : Type de poutre utilisée pour la simulation numérique
100
Fig. 4-16 : Evolution des rigidités des poutres; conditions d'essai
100
Fig. 4-17 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié poutre 1
(8 tronçons egaux)
103
Fig. 4-18 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié poutre 1
(8 tronçons égaux)
103
Fig. 4-19 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié poutre 1
(24 tronçons égaux)
104
Fig. 4-20: Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié poutre 1
(24 tronçons égaux)
104
Fig. 4-21 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié poutre 2
(8 tronçons égaux)
105
Fig. 4-22 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié poutre 2
(8 tronçons égaux)
105
Fig. 4-23 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié poutre 2
(24 tronçons égaux)
106
Fig. 4-24: Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié poutre 2
(24 tronçons égaux)
106
Fig. 4-25 : Ecart entre flèches maximales des défonnées en fonction du nombre
de tronçons : simulation d'erreurs de mesure sur la défonnée
(poutre 1)
107
Fig. 4-26 : Ecart nonne 2 entre les défonnées en fonction du nombre de tronçons:
simulation d'erreurs de mesure sur la défonnée (poutre 1)
107
Fig. 4-27 : Ecart entre les flèches maximales des défonnées en fonction du
nombre de tronçons : simulation d'erreurs de mesure sur la défonnée
(poutre 2)
108
Fig. 4-28 : Ecart nonne 2 entre les défonnées en fonction du nombre de tronçons
simulation d'erreurs de mesure sur la défonnée (poutre 2)
108
Fig. 4-29: Ecart entre les flèches maximales des défonnées en fonction du nombre
de tronçons: simulation d'erreurs sur la distance PA (poutre 1)
110
Fig. 4-30 : Ecart nonne 2 entre les défonnées en fonction du nombre de tronçons:
simulation d'erreurs de mesure sur la distance PA (poutre 1)
110
Liste des figures
Xl

---

Fig. 4-31 : Ecart entre les flèches maximales des défonnées en fonction du
nombre de tronçons : simulation d'erreurs de mesure sur la distance
PA (modèle 2)
111
Fig. 4-32: Ecart nonne 2 entre les défonnées en fonction du nombre de tronçons:
simulation d'erreurs de mesure sur la distance PA (poutre 2)
111
Fig. 4-33 : Ecart entre les flèches maximales des défonnées en fonction de la
position du point d'application de la force (choix de l'essai)
113
Fig. 4-34 : Ecart nonne 2 entre les défonnées en fonction de la position
du point d'application de la force (choix de l'essai)
113
Fig. 4-35 : Stabilité de la méthode d'identification (poutre 1)
115
FIg. 4-36 : Stabilité de la méthode d'identification (poutre 2)
115
CHAPITRE 5 :
Fig. 5-1 : Schéma du montage mécanique
119
Fig 5-2: Montage mécanique
120
Fig. 5-3 : Eprouvette utilisée
121
Fig. 5-4 : Disposition des jauges sur l'éprouvette
121
Fig. 5-5 : Chaîne de mesure
122
Fig. 5-6 : Essai et conditions expérimentales
123
Fig. 5-7 : Ensemble du montage expérimental
123
Fig. 5-8 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (24 tronçons
égaux)
129
Fig. 5-9 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié (24 tronçons
égaux)
129
Fig. 5-10 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (12 tronçons
égaux)
130
Fig. 5-11 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié (12
tronçons égaux)
130
Fig. 5-12 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (13 tronçons
égaux)
131
Fig. 5-13 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié (13
tronçons égaux)
131
Fig. 5-14 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié ( 9 tronçons
égaux)
132
Fig. 5-15 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié ( 9
Liste des fig ures
XII

---

tronçons égaux)
132
Fig. 5-16 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié ( 5 tronçons
égaux)
133
Fig. 5-17 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (5
tronçons égaux)
133
Fig. 5-18 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (24 tronçons
égaux)
134
Fig. 5-19 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (24
tronçons égaux)
134
Fig. 5-20 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (13 tronçons
égaux)
135
Fig. 5-21 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (13
tronçons égaux)
135
Fig. 5-22 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (12 tronçons
égaux)
136
Fig. 5-23 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (12
tronçons égaux)
136
Fig. 5-24 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (9 tronçons
égaux)
137
Fig. 5-25 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (9
tronçons égaux)
137
Fig. 5-26 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié ( 5 tronçons
égaux)
138
Fig. 5-27 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (5
tronçons égaux)
138
Fig. 5-28 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (24 tronçons
égaux)
139
Fig. 5-29 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (24
tronçons égaux)
139
Fig. 5-30 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (13 tronçons
égaux)
140
Fig. 5-31 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (13
tronçons égaux)
140
Fig. 5-32 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (12 tronçons
égaux)
141
Fig. 5-33 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (12
tronçons égaux)
141
Liste desfigures
XIII

---

Fig. 5-34 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (9 tronçons
égaux)
142
Fig. 5-35 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (9
tronçons égaux)
142
Fig. 5-36 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié (8 tronçons
égaux)
143
Fig. 5-37 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié (8
tronçons égaux)
143
Fig. 5-38 : Evolution des écarts relatifs flèche-max du nombre de tronçons
et suivant l'essai
144
Fig. 5-39 : Evolution des écarts relatifs norme 2 en fonction de tronçons et
suivant l'essai
144
Annexe A
Fig. a-1 : Poutre droite à plan moyen chargée uniformément
152
Fig. a-2 : Section droite de la poutre
152
Fig. a-3 : Section droite de la poutre (hypothèse de Timoshenko)
156
Fig. a-4 : Elément de poutre
160
USTE DE TABLEAUX
Tab. 1.1 : Module d'Young (E) et de cisaillement (G) en GPA
27
Tab. 3.1 : Tableau récapitulatif des écarts observés sur les différents
identifications
81
Tab.3.2 : Tableau des différents temps de calcul
82
Tab. 5.1 : Résultats expérimentaux essai 1
125
Tab. 5.2 : Résultats expérimentaux essai 2
126
Tab. 5.3 : Résultats expérimentaux essai 3
127
Tab. 5.3 : Tableau récapitulatif des écarts relatifs relevés sur les différentes
identifications réelles
145
Liste des fig ures
XIV

---

INTRODUCTION
L'intérêt des matériaux composites est de pennettre de réaliser, de façon simple et
pratique des inerties évolutives, c'est-à-dire de placer des renforts aux endroits optimaux
compte tenu d'un cahier des charges fonctionnel. Du fait de leur souplesse de fabrication
par rapport aux matériaux traditionnels en particulier (assemblages collés, drapage des
structures à symétrie de révolution), ces matériaux sont à l'origine de nombreuses
innovations industrielles dans le domaine des transports notamment.
Pour un type de sollicitation donné, il est a priori possible d'optimiser la structure
globale à travers ses éléments. Il est clair que le problème se pose avec d'autant plus
d'acuité que la structure est une structure à hautes perfonnances (aéronautique,
équipement de sport de haut niveau, etc...) et que les matériaux mis en œuvre sont aussi
des matériaux performants, très coûteux et se prêtant eux-mêmes à une certaine
optimisation.
Le contrôle des propriétés des structures optimisées comme les poutres à inertie
variable, est essentiel. Il ne peut pas être en effet confondu avec un simple contrôle
dimensionnel puisque plusieurs matériaux différents peuvent entrer dans la confection de
la structure, le concepteur n'étant plus prisonnier d'un choix réduit de matériaux, ni d'une
solution.
Il est donc important d'élaborer une procédure de contrôle direct des propriétés
dimensionnantes de la structure lors de son élaboration, c'est-à-dire de disposer d'une
technique souple, adaptable et fiable pennettant de contrôler a posteriori l'évolution des
rigidités de flexion et de cisaillement: c'est l'objectif de notre étude.
Le travail présenté dans ce mémoire s'articule autour de trois aspects essentiels qui
reflètent toute notre démarche, à savoir les aspects:
- théorique,
- numérique,
- expérimental.
L'aspect théorique comprend deux chapitres:
- dans le premier chapitre nous dressons un court bilan des méthodes d'identification des
rigidités sur les poutres à inertie variable tout en examinant les différentes approches de la
littérature,
Introduction
1

---

- le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la méthode proposée tout en
formulant le problème d'une part, et en posant d'autre part les hypothèses de base avec
un formalisme rigoureux. Dans ce chapitre nous avons abordé le problème du choix des
champs virtuels dans le cadre de l'application du principe des travaux virtuels, l'utilisation
de champs virtuels particuliers offrant deux types d'identification à l'utilisateur :
l'identification globale et l'identification locale. Le choix d'un critère d'évaluation des
résultats de l'identification à partir des normes permet de comparer différentes
identifications.
Quant à l'aspect numérique, il rassemble les deux chapitres suivants:
- dans le troisième chapitre, nous présentons le programme d'identification dans toutes
ses fonctionnalités suivi d'un exemple type d'identification; il faut noter que le problème
de l'interpolation a été abordé compte tenu de la nature discrète des paramètres auxquels
nous avons accès : présentation du type d'interpolation et de la manière dont on procède
pour effectuer l'interpolation,
- le quatrième chapitre traite de la simulation d'erreurs de mesure sur la méthode
d'identification permettant de qualifier la méthode avant sa validation pratique. Dans cette
partie de notre travail nous regardons la sensibilité de la méthode proposée aux erreurs de
mesure, ces dernières ont été simulées sur des paramètres expérimentaux tout en tenant
compte de la nature de ces paramètres (simulations d'erreurs aléatoires sur les courbures
ou sur les flèches) ; entre autres la simulation nous a permis de nous rendre compte des
possibilités de notre programme d'identification.
Enfin l'aspect expérimental constitue le cinquième chapitre:
- cette partie de notre travail est consacrée à la validation de la méthode par un essai de
flexion 3 points sur une poutre à inertie évolutive; les identifications issues des différents
essais sont présentées ainsi que les moyens matériels pour la mise en œuvre de ces essais.
Introduction
2

---

PARTIE 1
ASPECT THEORIQUE
Parn"e 1
3

---

CHAPITRE
1
SITUATION DU PROBLE ME
Chapitre 1
4

---

1-1- Introduction
On défmit une poutre comme un solide engendré par une aire plane 5, dont le centre
de gravité décrit une courbe c (ligne moyenne de la poutre) cette aire plane 5 reste
perpendiculaire à c. La courbe C peut être une droite, ou une courbe plane ou gauche,
l'aire 5 est la section droite constante ou variable. Nous nous limiterons à l'étude des
poutres droites élancées, avec une inertie faiblement variable.
Les essais de flexion sur des structures de type poutre peuvent avoir un double
objectif :
-la détermination des caractéristiques mécaniques du matériau lorsqu'il entre dans
la réalisation des structures travaillant en flexion,
- l'identification des rigidités de la poutre en vue d'une éventuelle optimisation,
cette structure étant considérée comme un élément faisant partie intégrante d'un
mécanisme fonctionnel ( perche à sauter, ski, bielle, lame à ressort etc... ).
Dans le deuxième cas le problème est plus compliqué pour des raisons diverses:
- géométrie évolutive de la poutre,
- caractéristiques mécaniques variables d'une section à l'autre,
- l'hétérogénéité de la structure et l'anisotropie éventuelle des matériaux,
- les essais réalisés ne sont pas en général des essais normalisés.
Ce chapitre fait un tour d'horizon relativement bref des méthodes d'identification
développées jusqu'ici dans la littérature, tout en examinant plus particulièrement les
différentes démarches adoptées par les auteurs.
1-2- Bibliographie
De façon générale, deux méthodes se côtoient. La méthode purement numérique
utilisant les matrices de rigidités et la méthode expérimentale où l'accent est
principalement placé sur l'exploitation au mieux des résultats expérimentaux.
Chapitre 1
5

---

1·2·1· Méthode de modélisation des poutres
Cette méthode consiste à modéliser une poutre réelle à inertie évolutive régulière
(Fig. 1-1) de section droite en l, en une poutre présentant des sauts d'inertie, c'est-à-dire
des inerties constantes par morceaux (Fig. 1-2). Rodriguez. J. S. (1982) part de
l'hypothèse que la poutre réelle et la poutre idéale équivalente à trois tronçons (Fig. 1-3)
ont la même matrice de rigidité globale sous les mêmes conditions de chargement.
Dans sa démarche, il considère la structure complète comme un élément de poutre
à 2 nœuds (Fig.1-4).
1
Fig.1-1 : Poutre réelle.
Fig.1-2 : Poutre approchée.
Chapitre 1
6

---

-~
11
12
Fig.1-3 : Poutre idéale équivalente.
Si l'on considére un élément de poutre à 2 nœuds avec 6 degrés de liberté par
noeud (Fig. 1.4), nous avons dans le cas général le chargement suivant:
+
yi
d~5
~1l7
1
~~~-/ ----k-~
6
~
12 9/ \\
3
/
z
1
Fig. 1-4 : Elément de poutre.
N
: Effort axial suivant ox
Ty : Effort tranchant suivant oy
Tz
: Effort tranchant suivant oz
Mx : Moment de torsion suivant ox
My : Moment fléchissant suivant oy
Mz : Moment fléchissant suivant oz
et L la longueur de l'élément de poutre.
Chapitre 1
7

---

Dans ces conditions, le vecteur déplacement pour chacun des nœuds a pour
composantes les grandeurs Di (i = 1, 2
6), équivalentes à 0x' Oy' oz' ex' ey, ez'
conformément aux 6 degrés de liberté (3 translations et 3 rotations) :
1
Dl = J~ dx
o
1
1
~
fKzTz
D3 = J 8, dx +
GA dx
o
y
0
1
f~
DS = El dx
( 1.1)
o
y
En accord avec les relations précédentes, on définit les constantes mécaniques Qi (i =1,
2,
10) :
1
1
1
QI = JEt dx
Q2 = JE~z dx
Q3 = J::z dx
o
o
o
1
1
1
<24
J::
= JEi dx
QS= fE~ dx
Q6=
dx
o
y
o
y
o
y
1
1
1
Q7= J~ dx
Qg= fdJ dx
Q9= ~l dx
o
o
o
1
QlO= J~A dx
( 2.2)
o
Les grandeurs Qi et Di peuvent être évaluées par une méthode d'intégration
numérique.
Par suite la matrice de souplesse de la structure a pour expression:
Avec la méthode matricielle nous avons les les relations suivantes:
FPI =e; K d =P
où F et K sont la matrice de souplesse et de rigidité; d et P sont respectivement sont les
termes des forces et des déplacements généralisés aux extrémités de l'élément.(PI, P2, dl,
d2), e étant la distorsion relative entre les deux extrémités.
Chapitre 1
8

---

Q7
0
0
0
0
0
0
Q3+Q9
0
0
0
-Q2
0
0
Q6+QlO
0
Qs
0
( 1.3)
0
0
0
Qg
0
0
0
0
Qs
0
Q4
0
0
-Q6
0
0
0
QI
On considére maintenant que la poutre équivalente idéale a trois tronçons d'inerties
distinctes, c'est-à-dire que cette poutre est formée de trois tronçons de longueur Il, 12, 13
avec 13 =L - (11+12) et que les caractéristiques matérielles Ei, Gi sont propres à chaque
tronçon (Fig. 1-3).
Pour cette poutre idéale, les paramètres Qi précédents sont notés ici Q? et s'évaluent
très simplement comme suit :
1 - (11+11)
E I
3
z3
Chapitre 1
9

---

L
o
(Kz
[11
lZ
1 - (11 +lZ) ]1<
(1.4)
QlO = J GA dx =
GIA 1 + GZ A
.L~
Z +
G A
3
3
o
Ej Iij : rigidité de flexion dans le tronçon j associée au moment d'inertie suivant
l'axe 0 i
Gj Aj : rigidité en cisaillement dans le tronçon j
Kij: coefficient du cisaillement dans le tronçon i suivant la direction j
Gj Jj : rigidité en torsion dans le tronçon j
En supposant que le module d'Young et le module de cisaillement sont les
mêmes dans toute ~tructûtè~~ïl est possible d'écrire à partir de (1.4) :
l'
'
,
Chapitre 1
10

---

(1.5)
Par hypothèse. la poutre réelle et la poutre idéale équivalente ont la même matrice de
souplesse sous les même conditions de chargement. ce qui permet d'écrire une égalité
entre les composantes des 2 matrices de souplesse.
Ainsi est établi un système de dix équations à dix-huit inconnues qui ne sont pas
toutes indépendantes; le système demeure donc indétenniné.
E. G. Il .12.13, Ky, Kz• Iyl ' l y2 ' l y3 ' Izl. Iz2. Iz3 ' Al' A2• A3• JI' J2• J3 sont les
inconnues.
D'après Rodriguez (1982). pour n'importe quelle poutre idéale à section rectangulaire
nous avons: Kz = Ky = 1,2; par conséquent il n'existe aucune poutre idéale équivalente
de section droite rectangulaire telle que Q09 *" QOIO. Si nous imposons Q09 = Q9 et
QOlO= QlO' alors nous pouvons espérer avoir une poutre équivalente telle que Q09 *"
QOIO à condition que Ky et Kz soient différents de 1.2. Pour simplifier les notations
posons:
Chapitre 1
11

---

(1.6)
Pour la résolution du système Rodriguez (1982) fait deux analyses: une dans le cas
bidimensionnel et une dans un cas tridimensionnel.
- Dans le premier cas, la poutre idéale équivalente est une poutre à deux tronçons, avec
une section rectangulaire, alors il vient:
En supposant que les moment d'inertie de torsion sont partout les mêmes nous
avons:
Le système se réduit à cinq équations.
Chapitre 1
12

---

(1.7)
Les trois premières équations forme un système à trois inconnues:
- Dans le deuxième cas la poutre idéale équivalente a trois inertie, nous avons toujours un
système indéterminé. En admettant que E est positif sur l'ensemble de la structure il vient:
- Cas où K4 =KI: la poutre idéale à trois inertie se réduit à deux inerties.
Just D. J. et Walley W. J. (1979) utilisèrent les mêmes hypothèses pour la
modélisation des poutres à inertie variable en torsion et Arvind M. and al (1986) aussi
dans le cas dynamique. La méthode peut s'étendre à la modélisation des poutres
symétriques (Fig. 1-5 et Fig. 1-6)
Fig. 1-5 : Poutre symétrique.
Chapitre 1
13

---

~
.-1-
1
1
-
-
-
-
1
1
1
I
l -
1
-f-
..
....
...
11
11
Fig. 1-6 : Poutre symétrique idéale équivalente.
Cette méthode de poutre équivalente présente un grand intérêt dans la modélisation
des poutres de forme complexe en vue du calcul d'assemblages de poutre (Pissarenko G
et col, 1979, et Dellus P., 1976), mais l'approche de la poutre idéale demeure
insuffisante. Elle est de portée limitée dans le cas où nous avons des caractéristiques
matérielles variables d'une section à l'autre comme c'est le cas pour les structures
obtenues par enroulement filamentaire ou renforcées par endroits.
1-2-2- Analyse des champs de contrainte et de déplacement sur des
poutres à inertie variable en bois
Cette partie de notre étude bibliographique traite du comportement des poutres en
bois, à section variable, en vue du choix d'un critère pour le dimensionnement de ce
type de structure. Dans leur démarche Maki et Kuenzi (1965) font une approche
mathématique des contraintes principales sous certaines conditions de chargement et
déterminent les zones où ces contraintes sont maximales. L'étude de certains modèles a
été abordée :
- poutre à section variable non symétrique et symétrique (Fig. 1-7 et Fig. 1-8),
- poutre à section variable avec entaille (Fig. 1-9).
y
x
11-'4
....1 - - - - - - - - - - - - - . , .
1
Fig. 1-7 : Poutre fuselée en bois.
Chapitre 1
14

---

I~
~I
Fig. 1-8 : Poutre fuselée symétrique en bois.
ho
+-----------....~~
Fig. 1-9: Poutre entaillée symétrique en bois.
Dans le cas bidimensionnel seules les contraintes suivantes: O'xx' O'xy' O'yy'
interviennent, l'axe x étant la direction longitudinale.
Dans leurs travaux, Maki &Kuenzi analysent chacune de ces contraintes à partir
d'une expression analytique approchée. En supposant que la variation de la section
droite par rapport à une section de référence reste toujours inférieure à 25% dans la
plupart des cas, l'erreur commise en utilisant la théorie élémentaire des poutres sans
cisaillement (Eu1er- Bernoulli) est de l'ordre de 1 à 0.5% sur les contraintes.
En appliquant cette théorie élémentaire aux poutres à inertie faiblement variable
la contrainte normale de flexion en première approximation admet une évolution
linéaire dans la section droite; la resolution des équations globales d'équilibre de la
partie gauche isolée, menée dans les axes xyz (non centraux d'inertie) conduit à:
h
12M ( Y - 2 )
( 1.8 )
bh 3
Chapitre 1
15

---

où:
M: moment de flexion
h : hauteur de la poutre
b: largeur de la poutre
M, h : sont fonction de x
6M
La valeur maximale de O'xx dans une section quelconque est: O'xx max = bh 2
pour y = 0, et y = h. La valeur extrémale que peut prendre O'xx sur l'ensemble de la
poutre est obtenue en posant:
2 M (dh)
= 0 => h = --d:-'::M"'-::dx-
dx
cette valeur est: O'xxExt =
2bM(: )2
, dM
ou
dx
et ~ représentent respectivement l'effort tranchant et la pente de la
surface inclinée.
Quant à la contrainte de cisaillement O'xy dans une section donnée, d'après
dO'xx
+ dO'xy
la relation d'équilibre nous avons:
dx
dy
=0
( 1.9 )
Le calcul de la constante d'itégration a été mené avec le fait que pour y =0, O'xy =0
quelle que soit la section choisie. Alors que O'xy ne s'annule pas pour y = h, ce qui ne
vérifie pas les conditions limites pour le cisaillement sur une poutre à section constante.
En examinant l'expression de O'xy, on constate qu'il peut exister des sections pour
lesquelles la distribution est linéaire ou parabolique.
*
Cas linéaire: O'xy est fonction uniquement de
alors O'xy est maximun pour
Chapitre 1
16

---

3 M (~)
h=
dM
dx
2
La distribution dans cette section est de la fonne : O'
=
xy
b h
(*) dd~
*
2
avec un maximun à
=1
O'xy =
b h
d~
2
Cas parabolique: O'
est fonction uniquement de (*)
alors O'
xy
xy est maximun
pour
3
ï 2 dM
La distribution dans cette section est de la fonne: O'
= """"b1i"""" (h)
dx
xy
3
dM
avec un maximun à
0 ' - - - - -
xy -
b h
dx
*
Dans le cas général, le cisaillement est maximal à la position
telle que
2 ....M..- ~_
dM
dO' xv
ï
2
h
dx
dx
dx Jo = 0, quelle que soit la section h =
1
3 -..M...-(~_ dM)·
h
dx
dx
ï
6M
dh
Sur la face inclinée, c'est-à-dire à l'ordonnée h = 1, cr
=
bh
""""d'X
xy
2
2 (
dh /
M
elle sera maximal dans la section où h =
d 2 h d xd M
d h
et sa valeur
M d x 2 - d"X """"d'X
maximale dans cette section sera égale à :
2
3 M (
dh + d M ~ )
dx
dx
dx
cr xy =
2bM( g~ )3
Sur un cas particulier de poutre fuselée (Fig. 1-7), on peut observer la distribution
de cisaillement dans une section droite quelconque (Fig. 1-10)
Chapitre 1
17

---

VALuES
~~~~~~--~~r........._-...- - - - - r - l - '
-I
t
k
,
1
1
1
•
f ' ,
--,'
l'AItTtaJ'AIt
TAl'ClltD StAil
.HeM:. /1/ l
'1",
"
l
, . 1 TAN •
&
C '
Fig.1-1O : Distribution des contraintes de cisaillement sur une poutre
fuselée (Maki et Kuenzi, 1965).
Prenons une poutre sollicitée par une force concentrée V (Fig. 1-10) ; nous
avons:
M = Vx
h = ho + xtgep
dM
_ V
dh
dx
-
(fX= tgep
(1.10)
En substituant ces différents paramètres dans l'expression du cisaillement, nous
Au point x = 0 , h = ho alors a
=
:~ [t -(t)2] ; cette contrainte est
xy
.
y
1
3V
maXImale pour h = 2" avec axy = 2bho
Chapitre 1
18

---

La section h =ho étant la section origine, cette valeur peut être prise comme valeur
de référence sur toute la longueur de la poutre et les autres valeurs de cr xy peuvent
f '
d
3V
l '
s expnmer en onctlon e 2bh
:
o
Où Ci caractérise la hauteur relative de la section droite dans laquelle le cisaillement est
h
calculé. On peut calculer cr
n'importe où sur la poutre connaissant le paramètre hO lié la
xy
hauteur de la section droite.
En utilisant une nouvelle fois l'équation d'équilibre local, nous pouvons enfin
calculer cryy
(1.11)
2
Au point Y = 1, cr
= 6M (dh)
h
yy
bh2 dx
.
dcr
2 (
dh /
_
vv
dx
Elle est maximale pour
d.x...... - 0 => h =-----=------'------
2
2 M
d h + dM
~
dx 2
dx
dx
avec
cryymax
La figure 1-11 ci-après compare les valeurs calculées des défonnation, avec le
modèle précédent, aux valeurs expérimentales pour une poutre élancée à section droite
évolutive; les résultats sont en bon accord.
Chapitre 1
19

---

t·i
1
o
1.0
a.
D.'
LcaCHD:
-
THCClfCTICAL
ClIIIVC
6
OBSCltVCD
VALIAf"S
al
o
LD
a'
200
I$Q
~
E,. ~$SlVC
Fig.1- Il : Comparaison entre valeurs théoriques et valeurs expérimentales
des déformations (Exx• 2 Exy• Eyy ).
Chapitre 1
20

---

Gopu V. K. A. and al (1975), Gutkwoski R. M.and al (1982) ont trouvé une bonne
concordance entre ces résultats analytiques, les valeurs expérimentales et des calculs
obtenus par la méthode des éléments finis.
D'après toutes les discussions faites sur l'analyse de ces contraintes, nous pouvons
écrire les champs de contrainte en fonction de l'angle d'inclinaison <1> et de crlŒ :
6M
cr xx = bh2
6M
dh
cr xy = bh2 (lX
(1.12)
cr
_ 6 M
d~ 2
yy - bh2 ( dx)
6M
cr xx = bh2
6M
cr xy = bh2 tg<ll
=>
cr xy = cr xx tg<ll
(1.13)
6M
2
2
cr yy
cr
= bh2 tg <Il
yy = cr xx tg <Il
La contrainte cr
est maximale dans la section où h =2ho et on a : crxxmax.= 3M2
xx
2bho
En ce qui concerne la prévision de la rupture, Maki et Kuenzi adoptent le critère de
Norris qui permet de prendre en compte de façon élémentaire, le couplage entre les
diverses contraintes:
[cr;y ]2 + [cr? ]2 = 1
(1.14)
cr xy
cr yy
où l'exposant r désigne les valeurs des contraintes principales à la rupture.
En remplaçant les crxy,cryy par leurs expressions dans l'équation précédente nous
avons:
Chapitre 1
21

---

2[
cr
2
2
cr
cr
2 4 ]
r
2
1 + ( ---.M...) tg Il> +
( - r
XX
xx
r
)
tg Q
=(cr )
( 1.15)
xx
crxy
cry y
r
En posant crxx = Ko crxx on a fmalement :
r
r
cr
22
cr xx 24
1 + [ rxx ] tg <Il + [-r-] tg <Il =
( 1.16)
crxy
cry y
Grâce à cette relation on peut tracer la courbe Ko fonction de l'angle d'inclinaison
<1>, ce qui permet de comparer les valeurs théoriques aux valeurs expérimentales sur trois
modèles différents de poutre à section variable (Fig. 1-7 ,Fig.1-8 et Fig.1-9).
1."
1
1
1
1
LEGEND :'
--rHEOHErICAL CUR~ FOR ~ WlrH srRENGTH
PRaPERTIES .. Fi~-6,OOO P.s.!.,' Frr-',()(X) P.S.I.,· Fi, -1,415 P.S.I•. 1
-rHEORETICAL CIJR~ FOR lfQX7 WlrH STRENGTH
~
PROPERTlES: F1,-II,!JOO P.s.!.; F,,-~ P.S.I.,· F,.,-1,415 p.s.!. •
4OSSERVED VALl/E FOR NAM .,
o OBsERVE/) VALLE FOR BEAM-2
c 08SERVED VALUE FOR BEAM-J
1.0
0.8 \\
"
0
"
, .
a6
\\ '.," .
4'"
'"".,
"
.............
a2
'"
.......
~ ~
co
al
0.2
().1
a..
TAN 8
(SLOPE OF
TAPER)
Fig.1-12 : Ka (tg<j»
Chapitre 1
22

---

Cette approche simple a permis à Maki et Kuenzi de proposer un critère de
dimensionnement des poutres fuselées. Leurs travaux présentent deux abaques permettant
de dimensionner les poutres (Fig. 1-13 & Fig. 1-14).
Les paramètres suivants sont supposés connus:
b : la largeur de la poutre
hO : la hauteur initiale
he : la hauteur fmale
E : le module d'élasticité du matériau
l : la longeur de la poutre
w : charge uniformément répartie
P : charge concentrée
he - hO
on peut alors calculer ~b qui est la flèche maximale de la poutre,
h O ' et
~b b(he - ho)3E
,
~b b(he - ho)3E
, .
p13
(charge concentree) ou
w1 3
(charge repartIe)
On examine ensuite si le point de coordonnées (hh~ ho, ~b b(~el; ho)3E )
est sur la courbe de l'abaque; si c'est le cas on peut dire que le choix des
dimensions de la poutre est optimal.
Ainsi un critère de dimensionnement des poutres en bois utilisées dans la
construction a pu être établi en vue d'une standardisation de ce type de structure. Nous
pensons que peut être envisagée une approche similaire sur des poutres homogènes à
plusieurs évolutions. Cette approche reste cependant inadaptée à l'identification des
rigidités des poutres hétérogènes.
Chapitre 1
23

---

1. -~:-:::-:-::::::-J
C
SINGLE TAPeIt
_
.1.1:
4'
•
~
t- '"'
L
.,
J.r-:.t~ TAPE;]:;
""T C
SIMiLE
i-
;
1 "
L
""1
4
'-
~
tE-t -_·\\.....-
~t~
•
~Le
()()(J//JLE TAPeIt
:"1~
LEGEND:
r~.
L
~T
" • TOTAL LDAD (JN «AlI
(UNIFOMJt. r DtSTlfIllVTCD 1
""" MAXIMAl ~ DEFL«T1ON
E' ELASTte MDtIIILUS (J" ~.
1,.
j
• BCAM WlDTH
...Il
...
...
_.r r.,..j DamLE7
~~~.
:~:
4$
, .
~.
~'-r
:
4.1---+----+----+---+----1
"
~
V
/
tUI---+--+-f-~--+-"7''-1
(EXAIIPLE1
....
-~-
-
7 V 1
/
4~'I---~----,~---1~---f----I
//V LCGCIID:
p - r:t:JItŒNTItATED MIDSA4H LDAD
","IIAXIMUII BCNDING ŒFUCTION
E' ELASTIC IIOOtA.tIS OF MAM
•• «AM WIDTH
4/1---+--+.....,4-+--+---+---1
V
1
,. ~
.~
t l
.... ,
(J
1
J
•
y
Fig 1-13 : Abaque pour dimensionnement
Fig.1-14 : Abaque pour dimensionnement
des poutres sous charge concentrée.
des poutres sous charge répartie.
Chapitre 1
24

---

1-2-3- Méthode de détermination simultanée des rigidités de
flexion et de cisaillement
Cette méthode d'identification consiste à détenniner de façon simultanée la rigidité
en flexion et celle en cisaillement en testant un échantillon de type poutre découpé dans
une plaque (Fig 1-15).
Fig. 1-15 : Echantillon de type poutre découpé dans une plaque
(matériau isotrope).
L'analyse de l'essai de flexion trois points (Fig. 1-15) est basée sur la théorie des
poutres de Timoshenko ; le modèle utilisé est celui d'une poutre à section rectangulaire
constant reposant sur 2 appuis simples et supportant une charge concentrée en son milieu.
La valeur de la flèche au centre de la poutre a pour expression:
(1.17)
p
1I2
~I h
7
+-f--------~
1
Fig. 1-16 : Essai de flexion trois points.
Chapitre 1
25

---

F : force appliquée
1: longueur de la poutre
D : rigidité de la poutre en flexion
R : rigidité de la poutre en cisaillement.
Les rigidité s'expriment en fonction des modules par les formules suivantes: pour
un matériau dont le module d'élasticité et de cisaillement sont respectivement E et Gnous
avons :
Ebh3
D =
12
R = KGbh
K : coefficient de cisaillement
h : épaisseur de la poutre
b : largueur de la poutre
La détermination des ces deux caractéristiques nécessite deux résultats d'essais
indépendants pouvant être obtenus en effectuant deux essais avec des portées Il, h
différentes. On utilise les pentes des courbes effort - flèche (Wagner et col, 1981, Tolf et
Clarin, 1984, Morin et Sixou, 1987).
(1.18)
Nous avons le système d'équations linéaires suivant pour D et R:
2
2
Y1Y2l1l2 (lI - 1
13
2)
Il
1
1
D
-
=
= --+
YI
48D
4R
48 ( Y2 l2 - Y1l1)
=>
~
2
2
1
~
Y2Y11112 (lI - 12)
-
= --+
R
Y2
48D
4R
=
3
3
4 (Y1l 1 - Y2l2)
(1.19)
La résolution du système permet la détermination des deux inconnus. La méthode a
été optimisée dans la littérature par Fisher and al (1981) en déterminant les 2 portées
optimales permettant l'identification plus judicieuse. Les résultats ont montré une grande
dispersion sur le module de cisaillement Les valeurs extrêmes ont été éliminées au fur et
Chapitre 1
26

---

à mesure afin d'obtenir un écart type inférieur à 10% de la valeur moyenne. Ont ainsi été
retenu une dizaine de couples de valeurs sur 70 au départ. La valeur moyenne calculée est
prise comme valeur finale des rigidités identifiées. Les couples de valeurs donnant des
résultats raisonnables sont les suivants:
(12, Il) = (8h,12h ), (8h,20h ), (12h,24h ), (8h, 12h ), (12h,20h ), (12h,24h);
Fisher et col (1981) ont utilisé la même méthode pour la détermination des deux
modules d'un matériau en fibre de verre-époxyde unidirectionnel (tableau 1-1).
el = 5.11
el = 5.11
el = 5.11
el = 10.21 el =10.21
el = 25.28
spécimen
e2 = 25.28 e2 =10.21
e2 = 34.98
e2 = 25.28 e2 = 34.98 e2 = 34.98
EU, G12
EU, G12
Eu ' G12
EU, G12
Eu ' G12
EU ' G12
31.94
31.72
30.36
31.69
30.25
29.05
1
2.09
2.11
2.23
2.18
2.84
-1.25
31.41
32.25
30.63
32.37
30.58
29.10
2
2.08
2.02
2.14
1.84
2.37
-1.11
34.66
31.84
31.41
31.46
31.20
30.96
3
1.88
2.04
2.07
2.99
3.17
8.18
32.80
31.65
32.85
31.49
32.86
34.22
4
1.51
1.56
1.51
1.75
1.5
0.59
25.08
30.84
32.13
31.91
32.77
33.60
5
3.16
2.27
2.16
1.13
1.07
0.66
29.78
30.29
32.26
30.36
32.45
34.62
6
2.23
2.18
2.02
2.02
1.55
0.44
29.90
32.67
33.12
33.12
33.03
32.94
7
3.78
3.18
3.16
2.02
2.05
2.35
valeur
30.80
31.61
31.78
31.77
31,88
32.07
moyenne
2.39
2.79
2.18
1.99
2.08
..
Tableau 1-1: Module d'Young (E) et module de cisaillement (G) en GPA
*
(el =
et e2 = ~ ).
Cette méthode permet à partir d'une seule éprouvette sans usinage ou préparation
particulière et grâce à 2 essais simples utilisant le même montage, d'identifier la rigidité en
flexion et en cisaillement. Mais elle demeure inadaptée pour des modèles de poutre à
inertie variable sauf dans le cas où la modélisation est réduite à une poutre à une seule
inertie.
Chapitre 1
27

---

1-2-4- Méthode développée par El Shaikh
La méthode d'identification d'El Shaikh (1984) consiste à modéliser la poutre réelle
par une poutre présentant un état de déformation le plus proche possible de celui de la
poutre réelle dans les mêmes conditions d'essai. Cette méthode procède par les étapes
suivantes:
- la première étape consiste à mettre au point un dispositif expérimental permettant de
réaliser un essai de flexion 3 points et de faire des mesures de déplacement avec une
grande précision,
-la deuxième étape consiste à établir l'expression analytique de la déformée d'une poutre
quelconque avec des inerties évolutives par tronçon,
-la troisième étape consiste à choisir un modèle de poutre, c'est à dire le nombre de
tronçons et la longueur de chaque tronçon et à définir une fonction erreur de la forme:
N
N
E=lO
"(W' _w.)2 +
~.
L
lm
le
(Wim - Wi-1m - Wie + Wi_1e)2
i =1
i = 1
(1.19)
où Wim et Wie sont respectivement la flèche mesurée et la flèche calculée en N points.
Cette fonction erreur représente la somme des écarts entre les flèches mesurées et
celles calculées augmentée des écarts entre les pentes mesurées et celles calculées à partir
des rigidités identifiées.
- et la quatrième étape qui consiste à mettre au point un algorithme dans un programme
informatique permettant de minimiser cette fonction erreur. Cet algorithme est basé sur la
méthode du simplex due à Nelder et Mead (1965).
Dans cette méthode on remplace de façon itérative des groupes de constantes
représentant les valeurs des rigidités qu'on veut identifier tout en minimisant chaque fois
la fonction erreur. Ainsi on procède à plusieurs itérations jusqu'à ce qu'on atteigne un
seuil d'erreur acceptable fixé à l'avance. Dans ses travaux El Shaikh a procédé à près de
200 itérations pour modéliser une poutre de 32 tronçons.
Ses travaux l'on conduit à la modélisation d'une perche à sauter en matériau
composite obtenue par enroulement de tissus, de longueur 4800 mm, et de diamètre 35
mm (Fig.1-17 et Fig. 1-18).
Chapitre 1
28

---

y
o
x
Fig. 1-17 : Composition de la poutre réelle (perche à sauter 125/400 Proto T48).
- rigidité de flexion 0
o
1
1
1
1
1000
2000
3000
4000
x
longueur (mm)
Fig. 1-18: Poutre identifiée (évolution de la rigidité de flexion).
Cette méthode présente des avantages non négligeables surtout sur le plan de la
précision, mais il faut noter que le problème du choix du premier groupe de rigidités
Chapitre 1
29

---

initiales demeure toujours posé, ce qui peut constituer un handicap majeur à l'utilisation
pratique de cette méthode. Nous estimons de plus que le nombre de tronçons nécessaires
est considérable pour approcher au mieux la poutre initiale et qu'un nombre d'itérations
trop important doit être effectué.
1-2-5- Conclusion
Il ressort de cette étude bibliographique que la méthode d'idéalisation des poutres et la
méthode d'El Shaikh sont semblables dans leur démarche, ceci étant; la seconde méthode
permet de prendre en compte les caractéristiques matérielles locales de la structure. Il faut
noter aussi que l'approche mathématique effectuée par Maki et Kuenzi présente un grand
intérêt pour le dimensionnement des poutres utilisées dans les charpentes en bois
puisqu'elle a permis d'établir des règles simples et pratiques traduites par des abaques.
1-3- Démarche de J'identification
Ce bilan montre que le nombre de méthodes présentées dans la littérature est très
réduit d'une part et que, mis à part les travaux de El Shaikh, la question de l'identification
locale des propriétés structurales n'est pas abordée dans sa globalité.
Vu les méthodes présentées dans notre partie bibliographique, il ressort que notre
démarche d'identification doit se fonder sur une réanalyse du problème. Nous avons donc
pris la décision de reformuler la question de l'identification au mieux des caractéristiques
structurales locales des poutres à inertie variable; étant donnée une poutre réelle et la
connaissance de sa (ou ses) réponse (s) mécani.que (s) peut-on déterminer une poutre
modèle dont la (ou les) réponse (s) mécanique (s) est (sont) proches de celle de la poutre
réelle? L'objectif étant de construire un véritable outil d'aide à la caractérisation des
poutres, le corps du travail est plus l'établissement d'une procédure pratique
d'identification, intégrant fortement l'approche expérimentale, que la mise au point des
algorithmes numériques.
Chapitre 1
30

---

CHAPITRE 2
METHODE PROPOSEE
Chapitre 2
31

---

2-1- Introduction
Il ressort de l'étude bibliographique qu'il existe peu de méthodes adaptées à
l'identification expérimentale des propriétés structurales des poutres à inertie variable.
Ceci nous incite à proposer une nouvelle méthode en formulant le problème
d'identification à la base. L'objet de ce chapitre est de présenter la méthode proposée,
c'est à dire les idées essentielles de base et la façon dont l'identification pratique se
déroule. Il apparaît nécessaire de poser clairement le problème afin que le lecteur sache
notamment ce que représentent les inconnues identifiées.
A partir d'une certaine connaissance de la structure à identifier, connaissance qui
peut être partielle, une poutre modèle est définie: plusieurs choix sont possibles, par
exemple poutre à inerties constantes par morceaux, ou à inerties linéaires continues, et le
nombre de tronçons de la poutre (les perfonnances de la méthode en dépendent
fortement). Le nombre maximal de tronçons est une limitation qui résulte toujours d'un
compromis.
Ensuite il faut examiner très soigneusement l'aspect expérimental et les grandeurs
qui constituent la connaissance que nous avons du comportement de la poutre réelle, à
savoir les déplacements ou les défonnations dans une configuration d'essai donné. Nous
avons la possibilité de redondance en faisant plusieurs essais; ceux-ci pouvant nous
permettre d'améliorer éventuellement l'identification. Concernant les paramètres
expérimentaux, il faut préciser en combien de points et en quels points ils sont mesurés,
la précision de l'identification dépendant à priori du nombre de points expérimentaux.
Le calcul conduit à des valeurs identifiées, à partir de l'utilisation du principe du
théorème des travaux virtuels et de la construction des champs virtuels spéciaux offrant la
possibilité d'une identification locale avec certains types de champs, l'intérêt de cette
identification locale étant de ne nécessiter que la résolution d'un système de deux
équations à deux inconnues.
Finalement il faut pouvoir comparer les différentes identifications, c'est à dire avoir
des éléments de comparaison sur chaque identification en définissant des nonnes
appropriées, ce qui pennet de fonnuler des critiques sur telle ou telle identification car la
première question que se posera l'utilisateur sera de savoir si l'identification est acceptable
ou non et ce qu'il doit faire pour l'améliorer éventuellement.
chapitre 2
32

---

2-2- Formulation du problème
2-2-1- Définition de la poutre modéle
2
On
02
Oj
Fig. 2-1 : Modèle de poutre
Fig. 2-2: Modèle de poutre
à inertie constante.
à inertie variable.
On définit une poutre modèle comme un assemblage de n tronçons élémentaires
avec des rigidités constantes par morceaux DI. D2,....., Dn (fig. 2-1), ou des rigidités
variant linéairement par morceaux DO, DI. D2....., Dn (fig. 2-2) tout en restant continues
lors d'un passage à l'autre.
2·2·2· Enoncé du problème
Connaissant la réponse mécanique de la poutre réelle dans une configuration
d'essai, le problème est de trouver une poutre modèle ayant la même réponse mécanique
que la poutre réelle dans la même configuration d'essai, cette condition pennet d'identifier
les rigidités de la poutre modèle. Le seul paramètre supposé connu de la poutre modèle
étant le nombre de tronçons qui la composent, ce nombre est choisi de façon délibérée par
l'opérateur: 1, 2, 3, 4,
n. La résolution du problème revient à déterminer
(DI,D2,.......,Dn) dans le cas où la rigidité est constante par tronçon et (Do, DI. D2.....,
Dn, Dn+Ü dans le cas où elle est linéairement variable.
chapitre 2
33

---

2-3- Connaissance de la réponse mécanique de la poutre réelle
2-3-1- Choix de l'essai mécanique
Dans la gamme des essais de flexion des poutres, nous avons retenu ce qui nous a
paru l'essai de base, à savoir l'essai de flexion trois points. Ce choix est le plus simple et
l'utilisateur doit pouvoir définir très aisément les différents paramètres de l'essai
notamment pour faire travailler tel ou tel tronçon en particulier, plusieurs essais doivent
notamment être possibles successivement. Enfin, si besoin est, des essais de flexion plus
complexes peuvent toujous être introduits ultérieurement.
2-3-2- Les grandeurs cinématiques
Ce sont des grandeurs cinématiques accessibles par l'expérimentateur lors de l'essai
nous avons:
-les flèches en k points de mesure W:wk,
, %,
- les défonnations e longitudinales maximales en k points de mesure Ek,
, En.
Donc nous avons un nombre discret et nécessairement limité de points de mesure,
ces résultats bruts sont des vecteurs de valeurs expérimentales entachées d'erreur avec
lesquels nous devons calculer d'autres grandeurs: les rigidités. Le problème sera de
définir une procédure d'interpolation et de calcul suffisamment stable garantissant une
précision acceptable sur les grandeurs finales, compte tenu d'erreurs expérimentales
inévitables.
2-4- Méthode de résolution
2-4-1- Introduction
Lors de l'énoncé du problème, nous avons posé comme condition que la poutre
modèle était définie comme ayant la même réponse mécanique que la poutre réelle dans la
même configuration d'essai. L'identification des caractéristiques de la poutre modèle
passe nécessairement par la résolution d'un système d'équations établi sur la base d'une
approche théorique et d'une technique numérique.
La méthode que nous proposons repose sur l'application du principe des travaux
virtuels à la poutre modèle que l'on veut identifier. Après un bref rappel sur le principe
chapitre 2
34

---

des travaux virtuels, nous présenterons son application aux poutres avec des champs
virtuels bien choisis.
2-4-2- Principe des travaux virtuels
2-4-2-1- Rappel
Le travail virtuel est défini comme un travail élémentaire d'un système mécanique
soumis à un ensemble de forces réelles dans un déplacement virtuel, c'est à dire dans
lequel les efforts restent constants.
2-4-2-2- Relation fondamentale
Considérons un solide de volume V et de surface extérieure S, soumis à une
distribution de forces de volume 1 et de forces surfaciques 1. Pour tout champ de
déplacement virtuel cinématiquement admissible W*, c'est à dire continûment dérivable
dans V et respectant les conditions aux limites en déplacement, nous pouvons évaluer le
travail virtuel des efforts extérieurs 1 et 1, noté W:xt :
W: =
(2.1)
xt
f1ït*dV + f1ït*dS
v
s
De façon tout à fait classique nous pouvons écrire dans un repère cartésien de
projection :
W *
ext = ffi li *i dv + fti li*ids
(2.2)
v
s
crij : composante du tenseur de contrainte de cauchy.
nj : vecteur normal
En appliquant le théorème de la divergence, l'équation (2.2) peut être transformée
comme suit:
W:
f
xt =
ffi li ~dv + fcrij nj li ~ds =
fi li ~ dv + f (crij nj li ~),j dv
(2.3)
v
s
v
v

---

W;xt = f Cfi + <Jij,j) uidv + f <Jij uij dv
C2.4)
v
v
Or en utilisant la symétrie du tenseur de contraintes <Jij et le fait que Eij est le
tenseur des déformations linéairisés il vient par suite:
1
*
*
= 2" C<Jij Ui,j + <Jji Uj ,j)
= <Jij *
Eij
C2.5)
Par suite il vient :
f
W ;xt = fCfi+ <Jji,j) U~ dv +
<Jij <j dv
C2.6)
. v
v
Le solide étant en équilibre, l'équation d'équilibre locale est vérifiée, soit :
<J" . + f' - 0
IJ,J
1-
Le travail virtuel des efforts extérieurs a donc pour expression :
W:xt = f<Jij E~j dv
C2.7)
v
chapitre 2
36

---

Notations
f
-la quantité
fiU~ dv + ftiu~ ds représente le travail virtuel des efforts
v
s
extérieurs noté W :xt'
f
- la quantité
Oïj e;j dv représente le travail virtuel des efforts intérieurs
v
, *
note W int :
W ~nt = fcrij e;jdv
(2.8)
v
et l'on a donc
*
W in t
(2.9)
Réciproquement une telle relation postulée initialement peut être utilisée pour établir
les équations d'équilibre, et à inverser les conditions aux limites en déplacement et en
effort (Germain & Muller, 1986 et Lemaitre, 1982). C'est une relation très générale car
aucune hypothèse n'est faite sur la loi de comportement du matériau et elle est vérifiée
pour tout champ de déplacement cinématiquement admissible.
2·4·2·3· Application classique aux poutres
1 - -
G : centre de gravité de la section droite a-b de la poutre
Fig. 2-3: Poutre droite chargée dans son plan.
chapitre 2
37

---

...... x'
x
Fig. 2-4 : Rotation de la section droite de la poutre en flexion.
A'-B' est la section finale dans la défonnation de la poutre et ~; représente l'angle
entre la nonnale initiale x et la nonnale finale x'. Considérons maintenant une poutre
réelle à inertie variable chargée dans son plan (fig 2-4). Dans la théorie élémentaire des
poutres, ou théorie de Bernoulli, (Annexe) nous avons le champ de déplacement est de la
fonne:
dw(x)
U x (x,y) = ua(x) - y ~
(2.10)
U y (x,y) = w(x)
U z (x,y) = 0
ua(x) étant le déplacement de G centre de gravité de la section droite suivant x et
w(x) la flèche réelle.
Dans ces conditions la seule composante de défonnation non nulle est ê xx la
défonnation longitudinale suivant x. En choisissant un champ de défonnation virtuel de
type Bernoulli ê *
xx , par conséquent le travail virtuel des efforts intérieurs peut s'écrire
sous la fonne suivante:
(2.11)
En posant ua (x) = 0 nous avons :
d2w(x)
ê xx = -y
dx2
chapitre 2
38

---

La défonnation virtuelle est reliée à la flèche virtuelle par une relation analogue à la
relation ci-dessus:
*
d2w*(x)
E xx = - y
dx2
Alors :
2
f
*
f
d w*(x)
criJ' E, .d v =
- y cr
2
dv
(2.12)
IJ
xx
dx
v
v
En associant la loi locale du matériau:
(2.13)
où E
est la défonnation longitudinale réelle, nous pouvons écrire :
xx
f *
f
2
d w*(x)
crij E jidv =
-y E(x) Exx
dx
(2.14)
2
dv
v
v
En remplaçant Exx par son expression en fonction de la flèche réelle, le travail virtuel des
efforts intérieurs est égal à:
*
- f
2
2
W
2 E( ) d w(x) d w*(x) d
i nt -
y
x
dx
(2.15)
2
dx2
v
v
Quant au travail des efforts extérieurs au niveau du système nous avons:
*
~ *
W ext = ~Fi Wi
(2.16)
1=1
Où les Fi sont les efforts ponctuels nonnaux à la surface et appliqués aux points i
(i = 1, 2,
p) et w: le déplacement virtuel de la force Fi dans le champ w*
En appliquant le théorème des travaux virtuels nous obtenons l'égalité:
chapitre 2
39

---

f
2 d 2w(x) d2w*(x) d
E( )
x
y
dx
(2.17)
2
dx2
v
v
1
2
2
=j [J y2 E(x) ds ] d :x) d ~:(x) dx
(2.18)
En posant
fy2 E(x) ds = D(x) nous aurons
s
t
1
*
d2w x
d 2 w*(x)
FiWi = fD(X)
~)
dx2
dx
(2.19)
i=l
dx
o
Où les quantités D(x) représentent la rigidité en flexion de la poutre réelle, west le
champ de déplacement réel, w* est le champ virtuel que l'on choisit indépendamment du
champ réel, Fi wrest le travail virtuel de la force réelle Fi à l'abscisse i dans le
, 1
.
1
dep acement Vlrtue w*
i .
Cette égalité est vérifiée quel que soit w* cinématiquement admissible.
2-4-2-4- Application à l'identification des rigidités d'une
poutre
L'égalité que nous venons d'établir est écrite pour la poutre réelle que l'on cherche à
identifier. Nous pouvons considérer D(x) comme une fonction inconnue dans l'équation
en supposant que les autres termes de l'égalité sont connus.
La grandeur D(x) peut être constante par tronçon ou variable suivant l'axe 0 x.
Lorsqu'on se place dans le second cas, on peut procéder à une détermination locale de la
rigidité.
chapitre 2
40

---

~
01.... ...
~
q-1
q
Q,_
Q,-1
!!n
~f·t .•••
I~
1
~-.~
2
.
j
n-1
ru
1
Fig. 2-5 : Poutre modéle retenue à inertie variable.
Prenons pour poutre modéle une poutre à n tronçons (fig. 2-5) sur chacun desquels
la rigidité est suceptible d'évoluer. Nous pouvons écrire l'égalité suivante (2.20) en
posant:
1
n
a'
j d2w(x) d2~~X) D(x) dx = L JJK(X) D(x) dx)
(2.20)
dx2
j=1 aj-l
avec ao =0, an =l, 1étant la longueur de la poutre.
La fonction D(x) étant linéaire quelque soit [aj-l , aj] nous pouvons adopter les
notation suivantes:
où Dj, Dj-l sont maintenant les rigidités en flexion de la poutre modèle aux points aj, et
aj-l respectivement.
Alors l'équation peut s'écrire sous cette fonne :
n
~ * ~ faj
Dj - Dj-l
LFiW i = ~
K (x) [ a'
a'
(x - a
(2.21 )
J'- 1) + D J' - tJ d x
1=1
J -
J-l
aj_l
j=O
chapitre 2
41

---

où n est le nombre total de tronçons.
Dans la configuration d'essai que nous avons choisie les efforts extérieurs sont
réduits à la force F appliquée au point i. L'équation précédente devient:
FiW *' =
(2.22)
1
Dans le second membre de l'équation (2.22) nous avons les Dj qui sont les n+ 1
inconnues à identifier, permettant ainsi de déterminer la rigidité aux extrémités de chaque
tronçon de la poutre et par suite de conduire à l'évolution de la rigidité en flexion de la
poutre modèle.
L'égalité précédente étant vérifiée quel que soit W* cinématiquement admissible, on
peut choisir n+ 1 champs virtuels ce qui nous permet d'établir un système de n+ 1
équations à n+ 1 inconnues. Le système se présente sous la forme suivante:
n
aj
" f
Dj - Dj-l
k
Kl(x) [
.
a'
(x - aj-Ü + Dj-d dx
J=1
aJ -
J-l
aj_1
n
aj
" f
Dj - Dj-l
k
Kk(x) [ a' _ a'
(x - aj-Ü + Dj-d dx
(2.23)
J=1
J
J-l
aj_l
2 2 *
où Kk(X) =d d:~X) d ::2(x) et W~ (Xi) est le déplacement virtuel normal du point
d'application (xï) de Fi dans le champ virtuel w~ (k= 0, ., ........, n)
chapitre 2
42

---

2·4·2·5· Choix des champs virtuels
L'application du principe des travaux virtuels repose sur un choix judicieux des
champs virtuels vérifiant les conditions limites en déplacement. Donc un critère de choix
s'impose afm de retenir ceux qui nous apparaîssent commodes en vue de l'identification.
2·4-2-5-1- Critère du choix
De façon évidente l'appréciation des champs repose sur des critères qui sont autres
que les normes. Les meilleurs champs virtuels sont ceux qui permettent une bonne
identification, c'est à dire tels que les rigidités identifiées soient très proches des rigidités
de la poutre réelle. La comparaison entre le travail virtuel des efforts intérieurs et celui des
efforts extérieurs permet également de juger de la pertinence des champs utilisés. Il
convient enfin de savoir détecter dans un groupe de champs virtuels ceux qui tendent à
rendre le système d'équations linéaires instable.
2-4-2-5-2- Etude de champs quelconques
Les champs virtuels devant être cinématiquement admissibles et continûment
dérivables nous avons envisagé des fonctions d'usages courants, du type polynômiales
ou sinusoïdales de la forme suivante :
*
1tX n
W2 = (sin -1)
*
21tx
W3 = (cos -1- _l)n
ou des produits de polynôme et de sinusoïdes
*
n .
1tX p
W4 =( l-x )
(sm -1)
*
1tX m
W5 = x n (sin -1)
chapitre 2
43

---

*
n
m
1tXp
w6 =( 1- x )
x
(sin -1)
*
m
21tx
n
w7 =x
(cos -1- -1)
*
21tx
m
wg =(l-x ) n (cos -1- -1)
*
21tx
n
1tX m
w9 =(cos -1- -1) (sin -1)
avec m, n et peN*
Les tests effectués avec ces champs virtuels sont les suivants:
Identifier des rigidités constantes d'une poutre modèle à r tronçons pour une poutre réelle
dont la rigidité de flexion est une fonction linéaire de l'abscisse longitudinale, le rapport
entre les rigidités des sections extrèmes variant de 1 à 5 (fig. 2-6).
~-~.
Fig. 2-6 : Modèle de poutre identifié.
Ces premiers tests nous ont permis de mettre en évidence un certain nombre de
problèmes principalement liés au choix de champs virtuels linéairement indispensables.
On constate notamment qu'au fur et à mesure que le nombre d'équations augmente le
système devient instable à cause de certains champs, d'où la nécessité de définir d'autres
champs complémentaires pouvant permettre une bonne identification. Les champs
virtuels conduisant à une bonne identification sont en général ceux dont l'allure est
proche de la déformée d'une poutre en flexion 3 points.
chapitre 2
44

---

2·4·2·5·3· Champs imposés nuls sur certains tronçons
Ces champs ont pour particularité de faire travailler une zone bien définie de la
poutre du fait de leur discontinuité. Ce sont des arcs de polynôme ou des arcs de
sinusoïde (fig.2-7). Nous donnons ici l'expression de la partie non nulle.
w*1 = A (cos 2 1t (x - a) _ 1)
b - a
*
1t (x - a)
W2 = A sin-....,--'--~
b - a
et w* = a pour XE [a,Xl] U [ xQ,I] avec m, net p E N*
w*
---t---:>::-~r----t-
o
a
b
L
Fig. 2-7 : Champs virtuels imposés nuls sur certains domaines de la poutre.
Les différents champs sont définis non nuls sur le segment [a,b]. Plusieurs tests
ont été effectués avec ces types de champ et ont conduit à des rigidités identifiées très
proches des rigidités réelles. Il faut cependant noter que la bonne qualité de l'identification
est liée au choix de l'essai réel : en effet nous avons observé que la plupart des
identifications satisfaisantes devraient être faites avec un essai où le point d'application de
chapitre 2
45

---

la force était nécessairement dans une zone voisine des extrémités du segment; en dehors
de cette zone les rigidités identifiées sont en général très éloignées des rigidités réelles. Et
de plus l'utilisation de ces champs nécessite autant d'essais que de rigidités à identifier.
Les insuffisances que comporte l'utilisation de ces types de champ nous
ont
contraint à rechercher d'autres champs plus conviviaux.
2-4-2-5-4- Champs à courbure nulle sur certains
tronçons
• ,
wt
,
o
L
Fig. 2-8 : Champs virtuels à courbure nulle sur certains tronçons.
Ce sont des champs paramétrés qui ont la particularité d'être deux fois continûment
dérivables sur toute la longueur de la poutre. Ce sont des arcs de polynôme raccordés à
leurs extrémités à des droites (fig. 2-8).
Soient: une poutre de longueur l, w * le champ virtuel, un segment [a,b] E [0,1]
avec a < b
Pour un polynôme de degré 4 nous avons:
a3
b a2
x E [O,a] w * =x [6" - -2- + d]
x4
3 a + b
2 a b
x E [a,b] w * = 12 + x
6
- x T
+ d x + c
b3
a b2
x E [b, 1] w * =(x - 1)["6 - -2- + d]
chapitre 2
46

---

3 a - 2b
et d _ b
C
3 b - 2a
b2 b - 3a
c
avec
= a
12
-
12 1
-
6
1
La double continuité et dérivabilité de ces champs virtuels a été vérifiée ainsi que
les conditions limites en déplacement.
2-4-2-5-5-
Conclusion
Les tests effectués avec les champs représentés dans le tout dernier paragraphe ont
donné des résulats très satisfaisants dans l'ensemble, les rigidités étant voisines des
rigidités réelles. Il faut noter que ce type de champs présente de nombreux avantages:
- le travail des efforts intérieurs est partout nul sauf sur le segment [a,b] ; par
conséquent il s'en suit un gain de temps de calcul et de précision lors de la résolution du
système linéaire (matrice creuse),
- on peut faire varier le support ]a,b[ sur toute la longueur de la poutre pour différents
champs, d'où la possibilité d'avoir autant de champs et d'équations que nécessitent
l'identification.
2-4-3- Technique de résolution du système
Dans la suite nous ne considérons que les champs virtuels développés dans le
paragraphe précédent à savoir des champs à courbure nulle en dehors d'un
tronçon donné. Avec l'utilisation de ces champs on constate que deux possibilités
d'identification s'offrent à l'utiliseur pour la résolution pratique du système d'équations:
- l'identification globale,
- l'identification locale.
2-4-3-1- Identification globale
L'identification globale consiste à déterminer de façon globale l'ensemble des
rigidités du modèle choisi, en résolvant le système d'équations linéaires à n+ 1 inconnues
n étant le nombre de tronçons de la poutre modèle.
chapitre 2
47

---

2-4-3-1-2- Champs utilisés
o
ak-l
ak
L
Fig. 2-9 : N premiers champs utilisés pour l'identification globale.
W *
n+l
, " 0
,
,
.. ...
..... -""
fig. 2-10: N+1ème champ utilisé pour l'identification globale.
Quant aux champs utilisés, une fois que le modèle est choisi (fig.2-5) les n+ 1
champs cinématiquement admissibles sont déterminés automatiquement à partir des
supports ]a,b[ variables représentant les bornes de chaque tronçon et le n+ 1ème champ est
celui dont le support est ]O,l[ (fig.2-1O, fig.2-11). Les champs sont les suivants:
-le support du champ k, k * n+l est ]ak-l' ak[,
- le support du champ n+ 1 est ]0, L[.
Avec les n+ 1 champs nous établissons le système linéaire de n+1 équations à n+1
inconnues. Après résolution, nous obtenons les n+ 1 rigidités du modèle à n tronçons; il
faut noter enfm que les n tronçons peuvent être tout aussi bien égaux qu'inégaux, et que
chapitre 2
48

---

les n+ 1 champs doivent égalemement vérifier les hypothèses de bases (champs
cinématiquement admissibles).
2-4-3-1-1- Système d'équations
Avec les n+l champs nous avons le système d'équations suivant.:
al
*
J Dl-DO
FiWO(xj) =
Ko(x) [
x + DO] dx
al-ao
ak+l
*
J
Dk - Dk-l
FiWk(xj)=
Kk(x) [
(x - ak-l) + Dk-IJ dx
ak-ak-l
ak
(pour le champ à courbure non nulle sur intervalle [ak-b ak])
n
a·
*
~ fJ
Dj - Dj-l
FiWn(Xi) = L..J
Kn(x) [a"
a" x + DJ"-d ) dx
j=l
J+ 1 -
J
aj_l
(pour le champ à courbure non nulle sur intervalle [0, L])
2-4-3-2- Identification locale
L'identification locale consiste à identifier les rigidités sur un domaine ]a,b[
quelconque de la poutre, c'est à dire finalement à identifier seulement les deux rigidités
des points a et b en une résolution. La partition de la poutre en plusieurs domaines pennet
à l'opérateur d'identifier l'ensemble des rigidités pas à pas.
chapitre 2
49

---

2·4·3·2·1· Champs utilisés
w~
....
w~
-
....
•
o
a
b
L
Fig. 2-11 : Champs utilisés dans le cas d'une identification locale.
Pour l'identification locale nous n'avons besoin que de deux champs virtuels. Il faut
cependant que les 2 champs soient de même support ]a,b[ (Fig. 2-11) ; il suffit de prendre
des polynômes de degrés différents (polynômes de degré 4 et 5) et faire varier le support
]a,b[ pour chaque identification. Nous donnons ci-dessous l'expression des deux
polynômes principaux.
x4
3 a + b
2 a b
x E [a,b] w * = 12 + x
6
- x T
+ d x + c
[
]
* x5
4 a + b
3 a b
XE
a,b
w
=20+ x
12
-x T+dIX+CI
Les constantes c, d, dl, CI sont fonction de a et b, et sont déterminées à partir des
mêmes hypothèses que celle posées pour le champ virtuel utilisé pour l'identification
globale.
2·4·3·2·2· Système d'équations
Pour un modèle à n tronçons (Fig. 2-5) nous allons déplacer le support ]a,b[ sur
chaque tronçon pour finalement identifier l'ensemble des rigidités de la poutre. Avec ces 2
champs nous pouvons établir un système de 2 équations à 2 inconnues nous permettant
ainsi d'identifier les deux rigidités aux extrémités a et b.
chapitre 2
50

---

Le système d'équations est le suivant:
b
*
J
Db - Da
F W i2 =
K 2(x) [ b _ a (x - b) + Db] d x
a
*
*
d2w(x)
d2w 1(x)
d2w(x)
d2w2 (x)
avec KI =
dx2
dx2
et K2 =
dx2
dx2
En chaque point du découpage il y a deux estimations de la rigidité de flexion, ces
deux rigidités étant en principe proches l'une de l'autre, nous convenons de prendre leur
demi-somme comme estimation finale de la rigidité en un point.
2·4·3·2· Conclusion
Nous estimons que l'identification locale offre plus de précision que l'identification
globale par le simple fait que nous avons un système d'équations à 2 inconnues contre
n+ l pour l'identification globale. Certes le nombre d'inconnues au total est identique dans
les deux cas, mais la résolution ne porte sur deux équations à la fois. On limiterait ainsi
les phénomènes d'instabilité et on accroît la précision.
2·4·4· Mode d'évaluation des résultats
Après l'identification des rigidités du modèle choisi, il est indispensable d'évaluer
les résultats de l'identification, c'est-à-dire de disposer d'éléments de comparaison entre la
poutre réelle et le modèle identifié. Ceci peut s'opérer de plusieurs façons:
- comparaison visuelle de l'évolution des rigidités réelles et identifiées lors des des
différents tests de validation de la méthode par la simulation numérique; ceci exige
bien sûr de connaitre les rigidités réelles,
- on peut défmir des normes permettant de comparer le modèle identifié et la poutre
réelle: l'écart maximal entre les flêches des deux déformées au même abscisse NI
et l'aire délimitée par la déformée de la poutre réelle et celle de la poutre modèle
toujours dans la même configuration d'essai N2 :
chapitre 2
51

---

fr : flèche poutre réelle
fi : flèche poutre identifiée
61
N2 = L6~ (Yjr - Yji)2
Yjr : défonnée de la poutre réelle
j=O
Yji : défonnée de la poutre identifiée
Nous relevons les écarts sur une soixantaine de points équidistants le long de la
poutre. L'utilisation de ces nonnes pourrait être considérée comme une aide au choix du
modèle idéal le plus proche de la poutre réelle. Les simulations numériques ont cherché à
fonder la légitimité de ces deux nonnes.
2-5- Conclusion
il ressort de la fonnulation du problème qu'une nouvelle méthode d'identification se
dégage avec deux options: l'identification globale et l'identification locale (champs à
courbure non nulle par segment) toutes deux reposant sur le choix de champs mieux
adaptés à la résolution du système.
De façon toute à fait générale nous estimons que toute cette démarche doit pouvoir
s'articuler dans un programme infonnatique devant avant tout permettre d'aborder le
problème avec méthode et de mieux gérer l'ensemble des données intervenant dans le
processus d'identification.
Ce programme est par conséquent un véritable outil au service de l'opérateur,
autorisant à la fois un apprentissage et une identification rapide, controlée et évaluée; il ne
s'agit donc pas que d'un simple moyen de calcul.
chapitre 2
52

---

PARTIE 2
ASPECT NUMERIQUE
Partie 2
53

---

---

CHAPITRE 3
REALISATION DU PROGRAMME D'IDENTIFICATION
Chapitre 3
54

---

---

3·1· Introduction
Dans ce chapitre, nous présentons le programme d'identification tout en décrivant les
différentes étapes de la démarche de l'identification. La présentation des différents calculs
permettant l'identification apparaît nécessaire notamment en ce qui concerne les dérivations
et les interpolations car la précision et la stabilité des résultats en dépendent bien
évidemment.
Ensuite nous allons présenter un exemple typique d'identification tout en commentant
chacune des étapes, ce qui pennet de découvrir et d'examiner les différentes fonctionnalités,
du programme et de les mettre en valeur.
Enfin nous allons procéder à la comparaison des types d'identification à partir des
normes que nous avons introduites, ceci permettant de qualifier les performances du
programme.
3·2· Interpolation et calcul des dérivées secondes aux points de Gauss
En nous mettant dans les conditions d'essai, nous pouvons accéder à des
paramètres expérimentaux qui se présentent sous fonne de vecteurs discrets; nous avons:
- les déplace~ents en k points expérimentaux w: [WI,W2,
, WkJ,
- les défonnations en j points expérimentaux
E:
[EI. E2,
, EjJ.
Les nombre k et j étant choisis par l'expérimentateur compte tenu de la précision et
des perfonnances des instruments de mesure à sa disposition. Un des soucis majeurs est
d'utiliser un nombre assez réduit de point expérimentaux; dans l'état actuel du programme
d'identification nous utilisons 41 points expérimentaux en déplacement et 25 points en
défonnation. Mais les nombres doivent nécessairement être adaptés au problème à
résoudre.
Pour simplifier les calculs d'intégration numérique nous avons a priori découpé la
portée de la poutre en 24 tronçons égaux. Sur chacun de ces intervalles sont placés cinq
points de Gauss. Le nombre de points de Gauss est donc figé (120 au total). Le choix des
tronçons est laissé à l'utilisateur. La longueur d'un tronçon peut être multiple direct de celle
d'un intervalle; dans ce cas les intégrales à calculer sur la longeur du tronçon sont séparées
en autant d'intégrales que nécessaire. Sur la longueur de chaque intervalle le calcul est alors
mené avec les cinq points de Gauss sur chaque intervalle séparément. Lorsque qu'un
Chapitre 3
55

---

tronçon ne recouvre pas exactement un nombre entier d'intervalles, comme la contribution
des dérivées secondes dans l'intégrale est nulle en dehors du tronçon, l'intégration
numérique ne fait intervenir que sur les intervalles "incomplets" que les points de Gauss
appartenant au tronçons considérés.
Quelle que soit la nature (déformation ou déplacement) du champ mesuré,
l'exploitation des résultats expérimentaux conduit à un problème d'interpolation d'une part,
parce que les points expérimentaux ne coïncident pas avec les points utilisés dans les calculs
numériques, en l'occurence les points de Gauss, et d'autre part parce qu'ils sont en nombre
plus faible que les points de Gauss; d'où le choix d'un type d'interpolation, c'est à dire la
manière dont on procède à l'interpolation et le degré du polynôme d'interpolation.
L'interpolation utilisée est du type Lagrange; elle est locale tout en tenant compte du
voisinage (Fig 3-1), c'est-à-dire que nous faisons intervenir les mêmes points voisins dans
deux interpolations consécutives. Cette manière de procéder permet ainsi de lisser certains
point expérimentaux fortement entachés d'erreur. Quant au degré, nous avons choisi un
polynôme de degré quatre pour les déplacements et de degré trois pour les déformations ce
qui est supérieur au degré d'un polynôme issu de la déformée d'une poutre en flexion trois
points.
Chapitre 3
56

---

Les points expérimentaux utilisés dans deux interpolations consécutives sont les éléments
de l'intersection (Fig. 3-1).
L'interpolation est défmie comme une méthode d'approximation qui permet d'obtenir
une valeur approchée <j>(x) de la valeur inconnue f(x) en un point XE [a,b]. La fonction
<j>(x) est la fonction d'interpolation de f; elle demande la connaissance des valeurs de f en
certains points. Quant à la fonction d'interpolation de Lagrange, elle est définie par la
n
fonction <j>(x) telle que: <j>(x) =L Li(X)f(Xi) où les (XJ(Xi)) sont les points expérimentaux
i=O
sur [a,b] et Li(X) sont les polynômes de Lagrange (Raques Gérard, 1973).
Li(X)
(~- xo)
(~ - ~i-})(X. - X~+I) (X - xn)
(Xl - xO)
(XI - XI-I)(XI - Xl+I)
(X - Xn)
Les polynômes étant de degré 4, nous utilisons 5 points pour établir le polynôme
d'approximation locale.
S
Alors <j>(x) = L Li(X)f(xü
i=l
Valeurs discrètes connues :
xi
Xl
x2
x3
X4
xs
f(xï)
WI
w2
w3
w4
wS
L x _
(x - X2)(X - X3)(X - X4)(X - XS)
l( ) - (Xl - X2)(XI - X3)(XI - X4)(XI - XS)
Chapitre 3
57

---

L'avantage de ce type d'interpolation est l'accès direct à la dérivée seconde sans
procéder à une double dérivation numérique lorsque les mesures expérimentales sont des
déplacements.
3-3- Organigramme du programme d'identification
Nous présentons ici la procédure d'identification des rigidités de la poutre modèle
dans tous ses détails.
Dans un premier temps apparaît sur l'écran du micro-ordinateur la présentation
sommaire des différents modules du programme global (Fig. 3-2) :
- identification réelle,
- simulation numérique,
- préparation des fichiers.
Cette visualisation permet à l'utilisateur d'ouvrir très aisément le module
d'identification dont nous présentons de façon schématique l'organigramme fonctionnel
(Fig. 3-3). Ce dernier est construit à base de menus déroulants, faciles à comprendre et
souples à utiliser.
Les différentes séquences du programme sont exécutées à partir des menus déroulants
en couleur qui s'affichent sur l'écran chaque fois que la procédure en cours est
complètement exécutée.
Chapitre 3
58

---

Fig. 3-2 : Présentation des modules principaux.
Chapitre 3
59

---

DONNEES:
NATURE DU CHAMP REEL,
FICHIERS SOURCES
CONDITIONS D' ESSAI
INTERPOLATION
MODELISATION ~----
CALCUL DES TRAVAUX VIRTUELS
RESOLUTION
EVALUATION
NON
Fig. 3-3 : Organigramme du programme d'identification.
Chapitre 3
60

---

3·3·1· Présentation des menus
Fig. 3-4 : Condition d'essai : Menu 1.
Ce menu pennet d'introduire les conditions d'essai, c'est-à-dire les
paramètres expérimentaux (Fig. 3-4, Fig. 3-5).
- portée de la poutre L (mm),
- distance entre le premier appui et le point d'application de la force PA (mm),
- la force F (N).
Toutes les données sont stockées dans un fichier source.
Chapitre 3
61

---

Ce menu demande à l'opérateur de fournir au programme le nom du
fichier contenant les mesures expérimentales caractérisant la réponse mécanique de la
poutre réelle:
-le champ de déplacement ou le champ de déformation dans le cadre de la
configuration définie dans le menu 1 (Fig. 3-6).
Chapitre 3
62

---

Après la mise en données, un conditionnement des données est effectué afin de les rendre
directement exploitables par la suite. Le programme réalise un traitement des données
fournies comportant l'interpolation des valeurs expérimentales aux points de Gauss et le
stockage des conditions limites dans un fichier source. Cette séquence est signalée par
l'affichage "INTERPOLATION" sur l'écran (fig. 3-7).
Chapitre 3
63

---

Fig. 3-7 : Affichage signalant l'exécution de la procédure d'interpolation.
Fig.3-8 : Choix du type d'identification: Menu 3.
Chapitre 3
64

---

rn
~
II")
~
'0
o
o
-gc:o
c: 'C
o
u
....
0
..."" -'Q)
U
rn
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Fig. 3-9 : Choix de la poutre modèle: Menu 4.
1
1
~ 8.
}
bhè
u

---

Fig. 3-10 : Discrétisation manuelle.
Dans ce menu l'opérateur choisit le modèle de poutre, c'est-à-dire le
nombre de tronçons qui composent la poutre et les dimensions de chaque tronçon (Fig. 3-
9). TI est à noter ici que l'évolution de la rigidité est linéaire par morceau et continue.
Les tronçons du modèle choisi peuvent être égaux ou inégaux, dans le premier cas le
programme se charge de calculer les dimensions de chaque tronçon connaissant le nombre
de tronçons total; dans le cas contraire, le programme fait appel à un sous module (Fig. 3-
10) permettant à l'opérateur de dimensionner lui-même les différents tronçons de la poutre
modèle en cliquant au niveau des sections de découpage (utilisation de la souris). A la fin
du découpage, l'opérateur peut valider le modèle s'il lui convient ou choisir un autre modèle
en recommençant le processus.
Chapitre 3
66

---

Fig. 3-11 : Affichage signalant l'exécution de la procédure des travaux virtuels.
Fig. 3-12 : Affichage signalant la procédure de résolution du système d'équations.
Chapitre 3
67

---

Après le choix du modèle, le programme calcule les travaux virtuels des efforts
intérieurs dérivant des champs virtuels. Il faut noter que le choix des champs virtuels
dépend du modèle qu'on veut identifier. Au fur et à mesure que le calcul se fait, les résultats
sont stockés dans des fichiers source, cette séquence est signalée par l'affichage
"CALCUL DES TRAVAUX VIRTUELS" (Fig. 3-11).
Fig. 3-13 : Visualisation graphique des résultats d'identification et sauvegarde des fichiers.
Chapitre 3
68

---

Après le calcul des travaux virtuels, le programme entame la résolution du système
d'équations ("RESOLUTION", Fig. 3-12). Au cours de cette séquence le programme
procède au calcul de la matrice du système, (matrice carrée de dimension n+1 pour
l'identification globale, ou de dimension 2 pour l'identification locale). Une fois le système
résolu, les rigidités sont stockées dans des fichiers permettant ainsi à l'opérateur de
visualiser ultérieurement le résultat de son identification.
Une grande partie de ce module est consacré à l'aspect graphique de
notre programme d'identification. Le menu ci- dessus a plusieurs fontionnalités :
- la visualisuation de l'évolution de la rigidité pour le modèle choisi,
-la visualisation simultanée des déformées (poutre réelle et modèle identifié),
- affichage de l'écart entre les flèches maximales et de l'aire délimitée par les deux
déformées en vue d'apprécier la qualité de l'identification pour une
amélioreration éventuelle
- enfm ce menu permet à l'opérateur de sauvegarder certaines identifications
lorsqu'il le juge nécessaire afin de les comparer à d'autres identifications.
3·3·2· Exemple typique d'identification
Dans l'exemple que nous nous proposons de traiter, nous allons utiliser la réponse
mécanique d'une poutre dont les caractéristiques sont données par les figures Fig. 3-12 et
Fig. 3-13 dans une configuration d'essai, et procéder à l'identification que nous avons
décrite dans le paragraphe précédent.
DO
Dl
D3
aO
r-----, a3_
Fig. 3-14 : Type de poutre utilisée pour le test d'identification.
Chapitre 3
69

---

1,20e+8
L(2
1,00e+8
F
--
C'l
8,00e+7
ê
z
6,00e+7
'-"
'a)
......."0 4,00e+7
....Cl)
....
~
2,00e+7
O,OOe+O
a
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Longueur (mm)
Fig. 3-15 : Evolution des rigidités de la poutre réelle; conditions d'essai.
»»»»> Menu 1 » » » » >
Conditions d'essai
PA
:= 1500 mm
F
:=5N
L
:= 3000 mm
»»»»> Menu 2 » » » » >
Type de champ: défonnation
Nom fichier: VYl
»»»»> Menu 3 » » » » >
Type d'identification: Identification Locale
»»»»> Menu 4 » » » » >
Modélisation
Nombre de tronçons : 3
Les tronçons sont-ils égaux
oui /1
Chapitre 3
70

---

»»»»> Menu 5 » » » » >
Visualisation des résultats de l'identification
Le programme étant conçu de telle manière que nous pouvons remonter à n'importe
quel menu, nous avons la possibilité de choisir d'autres modèles ou de choisir un autre
champ le cas échéant.
Nous allons retourner au menu 4.
»»»»> Menu 4 » » » » >
Modélisation
Nombre de tronçons: 6
Les tronçons sont-ils égaux
oui/l
»»»»> Menu 5 » » » » >
Visualisation des résultats de l'identification
Après cette suite d'identification nous allons remonter au menu 3 pour procéder à
l'identification globale sur les même modèles que ceux choisis pour l'identification locale
»»»»> Menu 3 » » » » >
Type d'identification: Identification Globale
Chapitre 3
71

---

10
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1
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0: U
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a. Il
10 J
Echelle ox : 103 mm, oy : 108 N mm2
Fig. 3-16 : Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (3 tronçons égaux
identification locale).
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-
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0.5,2055
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0 . U a . , . .
a .Il
10 :1
Echelle ox: 103 mm, oy : 102 mm
Fig. 3-17 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
3 tronçons égaux identification locale).
Chapitre 3
72

---

a
..' ~---
.
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.:
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.. - - - - - - - -_.
Echelle ox : 103 mm, oy : 108 N mm2
Fig. 3-18 : Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (3 tronçons égaux
identification globale).
au
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Echelle ox: 103 mm, oy : 102 mm
Fig. 3-19 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
3 tronçons égaux identification globale).
Chapitre 3
73

---

n
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~
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1
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0.1*
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10 ~
Echelle ox : 103 mm, oy : 108 N mm2
Fig. 3-20 : Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (4 tronçons inégaux
identification locale).
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Il 7
DEr ltlELLE -
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00.00
•
Echelle ox: 103 mm, oy : 102 mm
Fig. 3-21 : Représentation des défonnées (poutre réelle, modèle identifié
4 tronçons inégaux identification locale).
Chapitre 3
74

---

"",".-".'"'''.\\.,.
" "
Echelle ox : 103 mm, oy : 108 N mm2
Fig. 3-22 : Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (4 tronçons inégaux
identification globale).
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- - - - - - - - - , - , - - - - - , - - - - - - - -
Echelle ox: 103 mm, oy : 102 mm
Fig. 3-23 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
4 tronçons inégaux identification globale).
Chapitre 3
75

---

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Echelle ox : 103 mm, oy : 108 N mm2
Fig. 3-24: Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (6 tronçons égaux
identification locale).
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Echelle ox: 103 mm, oy : 102 mm
Fig. 3-25 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
6 tronçons égaux identification locale).
Chapitre 3
76

---

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Echelle ox : 103 mm, oy : 108 N mm2
Fig. 3-26: Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (6 tronçons égaux
identification globale ).
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Echelle ox: 103 mm, oy : 102 mm
Fig. 3-27 : Représentation des déformées (poutre réelle, modèle identifié
6 tronçons égaux identification globale).
Chapitre 3
77

---

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Echelle ox : 103 mm, oy : 108 N mm2
Fig. 3-28 : Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (12 tronçons égaux
identification locale).
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JO :3
Echelle ox: 103 mm, oy : 102 mm
Fig. 3-29: Représentation des défonnées (poutre réelle, modèle identifié
12 tronçons égaux identification locale).
Chapitre 3
78

---

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Echelle ox : 103 mm, oy : 108 N mm2
Fig. 3-30 : Evolution de la rigidité de la poutre modèle identifié (12 tronçons égaux
identification globale).
Nous rappelons que les deux défonnées ne sont autres que la défonnée de la poutre
réelle et celle du modèle identifié dans la même configuration d'essai.
Pour cette première identification que nous venous de faire, nous remarquons que la
meilleure identification est obtenue avec le modèle à 4 tronçons inégaux, nous enregistrons
les écarts les plus faibles avec ce modèle (Fig. 3-31 et Fig. 3-32). D'après l'évolution des
écarts nous déduisons que les modèles les plus proches de la poutre réelle sont ceux qui ont
un nombre de tronçons réduit et dont le découpage correspond au découpage de la poutre
réelle. Ceci n'est pas vérifié pour tous les modèles de poutre.
Vu les écarts relevés avec les deux types d'identification (Tab. 3-1) nous pouvons
confrrmer que l'identification locale est meilleure par rapport à l'identification globale, ce
qui nous amène à choisir celle ci dans la suite du travail notamment dans la simulation
numérique et pour l'identification réelle.
Il faut remarquer que le résultat de l'identification globale (Fig. 3-30 poutre modèle
identifié à 12 tronçons) en terme de rigidité ne permet pas de comparer les déformées issues
des deux poutres (rigidités négatives).
Chapitre 3
79

---

0,04
.....
~
0,03
ê
0
c:
to-o
.~
~
0,02
'E
Ident Locale
~
Ident Globale
~ 0,01
0,00 -+--........- - r - - - - - , r -.......-~-........-.,..-----"'T""-..,....___,
2
4
6
8
10
12
1 4
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 3-31 : Ecart relatif entre les flèches maximales des deux défonnées en fonction du
nombre de tronçons.
1,OOOe-3
8,OOOe-4
N
~
§
6,000e-4
0
c:
to-o
.~
~
4,OOOe-4
'E~
Ident Locale
~
Ident Globale
2,000e-4
O,OOOe+O
2
4
6
8
10
12
14
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 3-32 : Ecart relatif norme2 (aire délimitée par les deux défonnées) en fonction du
nombre de tronçons
Chapitre 3
80

---

Nombre de
Identification Locale
Identification Globalale
tronçons du
Ecart relatif
Ecart relatif
Ecart relatif
Ecart relatif
modèle identifié
nonne 1
nonne 2
nonne 1
nonne 2
3
5,591e-3
1,225e-4
8,772e-3
1,658e-4
*4
2,974e-3
7,096e-5
6,098e-3
1,438e-4
6
3,02ge-3
7 ,170e-5
2,2e-3
4,462e-4
12
3,100e-3
5,671e-4
-
-
* tronçons inégaux
Tab. 3-1 : Tableau récapitulatif des écarts observés sur les différentes identifications.
3·4· Caractéristique du programme
3·4·1· Langage et matériel utilisés
Le programme d'identification a été développé en Turbo Pascal 4.0 qui est à l'heure
actuelle l'un des langages les plus structurés et les mieux adaptés aux calculs scientifiques
avec 10.000 instructions environ dans son état actuel. il est implanté dans son intégralité
sur un micro-ordinateur de type Victor 286S compatible IBM.
La configuration minimale pour l'exécution nécessite une mémoire centrale de 640 Ko
avec un coprocesseur et un écran graphique du type EOA. Le programme compilé nécessite
une mémoire de 300 Ko ce qui ne donne pas la possibilité de l'exécuter en mémoire centrale
lorsqu'on doit préalablement charger certains modules tels que la souris et le module
d'impression.
Sa reconversion en Turbo Pascal 5.0 ou 6.0 pourrait apporter certaines améliorations
telles que:
- rapidité d'exécution
- augmentation de mémoire allouée à chaque unité qui peut dépasser 640 Ko.
3·4·2· Possibilités et temps de calculs
A l'état actuel du programme l'identification, certaines possibilités s'offrent à
l'utilisateur :
- identification d'un modèle de 24 tronçons au maximum (modèle avec 24
évolutions linéaires continues),
- à l'aide de notre programme, on peut travailler sur des poutres de longueurs variées :
Chapitre 3
81

---

poutre à longue ou à faible portée, ceci est également valable pour les rigidités:
(poutre à forte rigidité ou à faible rigidité),
- par contre le programme n'arrive pas à gérer des évolutions très lentes, c'est à dire
qu'en dessous d'un certain seuil, nous devons considérer que la pente est nulle au
niveau du tronçon, mais cet état de chose n'est pas trop pénalisant pour
l'identification.
Quant au temps de calcul, nous nous sommes intéressés aux temps réels d'exécution
des procédures de calcul à savoir : l'interpolation , le calcul des travaux virtuels, la
résolution du système d'équations.
calculs des travaux
calculs des travaux
procédures
virtuels et résolution
virtuels et résolution
interpolation
identification locale
identification globale
temps (2 tronçons)
T' 36
10"
temps (3 tronçons)
9" 83
19"
* 13" 58
temps (6 tronçons)
20" 20
l' 03"
temps (12 tronçons)
38" 76
3' 32"
** 8" 82
temps (24 tronçons)
l' 16"
13' 20"
Tab. 3-2 : Tableau des différents temps de calcul.
** déformée
* déformation
1000
600
Iden Locale
Iden Globale
400
200
o ~~~~:::::;=:~::::;::::;::::::;:::::~--..-----.
o
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons
Fig. 3-33 : Temps de calcul en fonction du nombre de tronçons
Chapitre 3
82

---

En général l'identification locale prend beaucoup moins de temps que l'identification
globale ce qui constitue un avange supplémentaire. De plus nous constatons que le temps
d'exécution pour l'identification locale est proportionnel au nombre de tronçons (Fig. 3-33)
3·5· Conclusion
Le programme que nous venons de présenter a de multiple fonctionnalités permettant
une certaine souplesse sur le plan utilisation. Son organigramme lui confère une bonne
interactivité. La procédure de discrétisation manuelle est comparable au maillage en
éléments finis, maillage grossier ou raffiné en certains endroits ce qui permet de localiser les
zones où l'évolution de la rigidité se trouve modifiée.
Il faut noter que les différents temps de calcul peuvent être améliorés en gérant au
mieux les entrées et sorties au niveau des fichiers, en particulier le temps d'accès au disque
dur du micro-ordinateur, et en utilisant de façon rationnelle des tableaux.
Chapitre 3
83

---

---

CHAPITRE 4
SIMULATIüN NUMERIQUE
Chapitre 4
84

---

---

4-1- Objectifs
Les différents résultats théoriques présentés dans les chapitres 2 et 3 ont été
développés dans le but de réaliser un essai mécanique réel sur une poutre donnée et un
programme de traitement des résultats expérimentaux permettant d'identifier les rigidités
de flexion de la poutre.
Cette étape finale de notre travail doit être précédée d'une simulation numérique de
la méthode proposée permettant à l'utilisateur d'apprécier l'influence des erreurs de
mesure sur les paramètres expérimentaux.
Les simulations numériques peuvent donc être considérées sous deux aspects:
- d'une part comme une aide à la définition des essais mécaniques (Grédiac M.
1989), et à l'apprentissage du programme d'identification,
- d'autre part comme une possibilité de tester différents traitements numériques
envisageables.
Dans notre cas, la simulation numérique est considérée comme une aide à la
décision permettant ainsi à l'opérateur d'initier une démarche à suivre pour réaliser
l'identification au mieux.
Après une présentation du module de simulation numérique dans ses grandes
lignes, nous allons tester quelques traitements numériques issus de modèles de poutre
dans une configuration d'essai choisie. Cela consiste par exemple à :
- comparer les résultats obtenus à partir des mesures de flèches (déformée de la poutre)
ou des déformations par les jauges (dérivée seconde de la déformée),
- estimer l'influence des différents paramètres expérimentaux et d'erreurs de mesure,
- comparer les simulations sur les 2 types d'identification,
- évaluer la stabilité de la méthode,
- tenter de fonder une méthodologie d'identification.
4-2- Présentation du programme de simulation
Les simulations sont effectuées en respectant l'organigramme fonctionnel du
programme (Fig. 4-1). Comme nous l'avons fait dans le chapitre précédent, nous
essayons ici de détailler les différentes étapes du programme avec toutes leurs
fonctionnalités.
Chapitre 4
85

---

DONNEES DE L'ESSAI
NATURE DU
CHAMP REEL
Génération
d'erreurs
aléatoires
INTERPOLATION
MODELISATION
CALCUL DES TRAVAUX VI RTU ELS
RESOLUTION
EVALUATION
NON
OUI
Fig. 4-1 : Organigramme-type d'une simulation simple d'identification.
Chapitre 4
86

---

Il faut noter que certains modules déjà utilisés dans le programme d'identification
seront réutilisés dans le programme de simulation tels que:
- les conditions d'essai,
- la modélisation,
- la visualisation du résultat de l'identification.
Pour des raisons de clarté de présentation nous avons estimé nécessaire de présenter
à nouveau ces modules dans ce paragraphe.
Fig. 4-2 : Choix de poutre poutre réelle simulée: Menu 1.
~",,----MlENU
_ _
G)
_ _ (données de l'essai)
Ce menu permet d'introduire les caractéristiques de la poutre modèle, c'est-à-dire
l'évolution de la rigidité de flexion de la poutre; ces données sont les suivantes:
-le nombre d'évolutions de la poutre (nombre de tronçons),
les caractéristique de chaque tronçon étant :
- longueur,
- rigidité initiale,
- rigidité [male.
Chapitre 4
87

---

Ces caractéristiques sont données dans un ordre chronologique avec un affichage
du numéro du tronçon, ce qui pennet à l'opérateur de mieux contrôler la saisie des
données par le programme.
Chapitre 4
88

---

Fig. 4-4 : Conditions d'essai : Menu 2.
~L....--MlENU
_ _
®
_ _ (données de l'essai)
Ce menu pennet à l'opérateur de choisir la configuration d'essai ; on introduit les
paramètres expérimentaux :
-la force appliquée F (N),
- la portée L (mm),
- la distance entre le premier appui et le point d'application de la force PA (mm).
La configuration de l'essai est affichée sur l'écran (Fig. 4-5), ce qui pennet à
l'opérateur de les introduire dans une ordre bien précis.
Chapitre 4
89

---

a
0\\
"t
~
.§.
Fig. 4-5
Ô

---

~_MlENU
_ _
®_ _ (nature du champ réel et simulation d'erreur Fig. 4-6)
Ce menu pennet d'une part de choisir le type de grandeur qui sera utilisé pour
l'identification, (il s'agit des champs de déplacement ou des champs de défonnation) et
d'autre part de simuler les erreurs de mesure. Cette simulation se fait de la façon suivante :
- donner la valeur nominale de l'erreur (notamment tenir compte de la mesure réelle
c'est-à-dire que l'erreur doit être raisonnable)
Chapitre 4
91

---

- donner le rang de l'erreur, cette sous-procédure permet de simuler un bruitage au
niveau de l'ordre des erreurs, c'est-à-dire du fait qu'on se place dans les
conditions où
l'opérateur réalise plusieurs essais dans la même configuration et que l'on observe
une dispersion des erreurs de mesure sur les points expérimentaux.
Fig. 4-7 : Affichage signalant l'exécution de la procédure d'interpolation.
Après reçu les données concernant la simulation d'erreur, le programme réalise un
traitement des données simulées comportant l'interpolation des valeurs expérimentales
aux points de Gauss. Cette séquence est signalée par l'affichage "INTERPOLATION"
sur l'écran (Fig. 4-7).
Chapitre 4
92

---

Fig. 4-8 : Choix du type d'identification : Menu 4.
~ MENU @
1(type d'identification)
Ce menu permet de choisir le type d'identification (l'identification globale ou
l'identification locale Fig. 4-8).
Chapitre 4
93

---

~ MENU @
1 (modélisation)
Dans ce menu l'opérateur définit les caractéristiques de la poutre modèle à identifier,
c'est -à-dire le nombre de tronçons qui la compose et les dimensions de chaque tronçon
Chapitre 4
94

---

(Fig .4-9) ; il donne la possibilité d'effectuer manuellement une discrétisation en tronçons
inégaux (Fig. 4-10).
Fig. 4-10 : Discrétisation en tronçons inégaux: Menu 5.
Fig.4-11 : Affichage signalant l'exécution de la procédure des travaux virtuels.
Chapitre 4
95

---

Après le choix du modèle à identifier,le programme calcule les travaux virtuels
dérivant des champs virtuels. Il faut noter que le choix des champs virtuels dépend du
modèle qu'on veut identifier. Au fur et à mesure que le calcul se fait, les résultats sont
stockés dans des fichiers sources; cette séquence est signalée par l'affichage "CALCULS
DES TRAVAUX VIRTUELS" (Fig. 4-11).
Fig.4-12: Affichage signalant la procédure de résolution du système d'équations.
Après le calcul des travaux virtuels, le programme entame la résolution du système
d'équations ( "RESOLUTION" Fig. 4-12). Au cours de cette séquence, le programme
procède au calcul de la matrice du système, matrice carrée de dimension n+ 1 pour
l'identification globale ou de dimension 2 pour l'identification locale. Une fois le système
résolu, les rigidités sont ensuite stockées dans des fichiers permettant ainsi à l'opérateur
de visualiser ultérieurement le résultat de son identification.
Chapitre 4
96

---

Fig. 4-13 : Visualisation graphique des résultats de l'identification et sauvegarde des
fichiers : Menu 6.
1
MOENU ®
1
~"--
(évaluation et sauvegarde de l'identification Fig. 4-13)
Une grande partie de ce module est consacré à l'aspect graphique de notre
programme d'identification. Le menu ci-dessus a plusieurs fonctionnalités:
-la visualisation de l'évolution de la rigidité du modèle choisi,
- la visualisation simultanée des deux déformées (poutre réelle et poutre modèle
Chapitre 4
97

---

identifié),
- affichage de l'écart entre les flèches maximales et de l'aire délimitée par les deux
déformées,
- enfin ce menu permet à l'opérateur de sauvegarder certaines identifications,
lorsqu'il le juge nécessaire afm de les comparer à d'autres résultats d'identification.
4-3- Simulation d'erreurs de mesure
Pour se mettre dans des conditions d'essai réel, la simulation d'erreur de mesure
apparaît nécessaire parce que les résultats expérimentaux sont toujours entachés d'erreurs
aussi faibles soient-elles ; ceci nous permet de tester la sensibilité de notre méthode
d'identification aux erreurs de mesure.
La simulation d'erreur de mesure doit tenir compte:
- de l'amplitude de la mesure,
- de la façon dont la mesure est exploitée,
- des instruments de mesure utilisés (précision).
Dans notre cas, nous pouvons d'une part simuler des erreurs de mesure sur les
flèches (déformée) ou sur les déformations longitudinales (dérivée seconde de la flèche),
d'autre part nous pouvons simuler des erreurs sur des mesures statiques telles que: la
force appliquée, la portée de la poutre, la distance du point d'application de la force par
rapport au premier appui par exemple.
Dans le premier cas, les erreurs sont simulées par un générateur de nombres
aléatoires suivant une distribution gaussienne. Ce générateur est obtenu à partir d'un autre
générateur de nombres aléatoires du type" linéaire congruant " (Knuth, 1981), les
nombres aléatoires suivant une suite récurrente du type:
xn+1 = ( a xn+c ) mod ( m )
Le choix des a, c, m, Xo est essentiel pour garantir le caractère aléatoire, Knuth
suggère les valeurs suivantes:
xo=O, a=3141792653, c=2718281829, m=235
que nous avons retenues. La distribution gaussienne est réalisée en additionnant entre 8 et
12 nombres aléatoires uniformes successifs. La normalité a été vérifiée grâce au test de
N: 2 (AFNOR X06-050, 1975). Pour les 121 nombres ainsi obtenus et une répartition en
Chapitre 4
98

---

12 classes nous avons ~2 =7.03 < ~2 95% = 16.92, alors l'hypothèse de la nonnalité est
convenable.
La figure 4-14 dont l'allure se rapproche d'une courbe de Gauss, illustre ce calcul
en montrant les effectifs dans les 12 classes, ainsi obtenues.
30
20
10
o
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Numéro de classe
Fig. 4-14 : Répartition des effectifs dans les 12 classes.
Le paramètre retenu pour l'étude est l'amplitude A de la distribution, c'est-à-dire
que les valeurs aléatoires générées oscillent entre ±A, l'écart type étant égal à 0,3 A
environ. Les valeurs aléatoires ont été traités à l'aide un logiciel de statistique, de ce fait
nous avons une certaine garantie sur les caractéristiques statistiques de la distribution.
Une autre possibilité consiste à faire des simulations avec la même série d'erreurs tout en
bruitant l'ordre des erreurs.
Pour notre simulation, nous avons choisi des amplitudes raisonnables, la valeur
maximale est de 1% des flèches réelles maximales et de 10 ~m/m pour les défonnations,
l'erreur systématique que l'on peut commettre avec une jauge. Dans le cas des données
statiques telles que la force ou la portée, l'amplitude de l'erreur peut raisonnablement
varier dans les proportions de 1 à 5% de la valeur nominale réelle.
4·4· Choix des modèles de poutre et des configurations d'essai
Pour la simulation numérique, notre choix s'est porté sur deux poutres réelles, une
assez simple et une comportant plusieurs tronçons trapézoïdaux.
Chapitre 4
99

---

Do
poutre 1
poutre 2
Fig. 4-15 : Type de poutre utilisée pour la simulation numérique.
7,00e+8
6,00e+8
""'
('l
5,00e+8
§ 4,00e+8
Z
--
'0
....
3,00e+8
;a
·eh
2,OOe+8
... Poutre 1
ë2
... Poutre 2
1,00e+8
O,OOe+O
0
1000
2000
3000
4000
Longueur (mm)
Fig. 4-16 : Evolution des rigidités des poutres réelles; conditions d'essai.
Conditions d'essai: L =3000 mm, F =30 N, PA = 1500 mm.
Nous avons pris une configuration d'essai qui ne tient compte d'aucune
considération a priori, vis-à-vis de la géométrie de la poutre 1 et 2, c'est-à-dire que nous
appliquons la charge au milieu de la poutre. Il est clair que certaines configurations
d'essai peuvent présenter un avantage pour l'identification, par exemple les
configurations d'essai où la charge est appliquée à des endroits de forte ou de faible
inertie. La comparaison des identifications issues des différentes configurations peut
Chapitre 4
100

---

évidemment nous guider dans le choix d'une configuration d'essai "optimale" en vue de
l'identification réelle.
4·5· Simulation des procédures expérimentales
La procédure expérimentale peut être simulée en tenant compte des types de
paramètres qui interviennent directement dans les différents calculs:
- valeur nominale de l'erreur aléatoire et bruitage de l'ordre des erreurs,
- erreurs de mesure sur l'intensité de la force,
- erreur de mesure sur la portée de la poutre,
- erreur de mesure sur la distance entre le point d'application et un appui,
- choix du modèle.
4·5·1· Comparaison des caractéristiques réelles et des valeurs
identifiées
L'évaluation quantitative des résultats de la simulation numérique passe d'abord par
la comparaison entre les caractéristiques réelles et les valeurs identifiées, en comparant les
rigidités de la poutre réelle et celles de la poutre modèle. Ceci peut se faire de façon
visuelle en regardant l'allure de l'évolution des rigidités des poutr~s, ou leurs déformées
dans la même configuration d'essai.
On peut aussi comparer les écarts entre les deux déformées traduit par la norme 2,
ce qui nous donne une idée de l'écart moyen entre les deux courbes ou de la différence
entre les deux flèches maximales (norme 1). Il faut noter que la norme 2 est
systématiquement calculée sur une soixantaine de points équidistants. Une autre grandeur
pouvant servir d'indice est l'écart des travaux virtuels des efforts extérieurs sur les deux
poutres.
Les seuls critères de jugement sur lesquels nous pouvons nous appuyer sont les
écarts, norme 2, ou la comparaison des flèches maximales des deux poutres dans les
mêmes configurations d'essai. Mais il faut bien sÛT se fixer un seuil à partir duquel on
peut juger que l'identification est acceptable ou non. Ce seuil peut dépendre des modèles
choisis. Donc le choix de ce seuil est laissé aux soins de l'utilisateur compte tenu du degré
de précision qu'il recherche pour l'identification et de son expérience personnelle.
Chapitre 4
101

---

4-5-2- Influence de la valeur nominale de l'erreur aléatoire
La valeur nominale de l'erreur aléatoire a une influence importante sur les rigidités
identifiées et sur les écarts relatifs obtenus à partir des identification réalisées avec les
deux poutres réelles (Fig. 4-17 à Fig. 4-24).
On constate qu'en dessous d'un certain seuil, les écarts entre les rigidités identifiées et les
rigidités réelles sont proportionnels aux valeurs nominales. Mais le coefficient de
proportionnalité peut varier d'un modèle à l'autre, c'est-à-dire que chaque modèle a sa
propre sensibilité aux erreurs de mesure; les figures ci-dessous illustrent largement cette
constatation (Fig. 4-25 à FigA-32).
Ces figures représentent l'évolution des écarts norme1 et norme2 issue des
différentes identifications en fonction du nombre de tronçons ; des simulations ont été
effectuées avec différentes valeurs de A représentant la valeur nominale de l'erreur
simulée.
Sur la plupart des modèles, les écarts enregistrés ont tendance à se stabiliser lorsque
le nombre de tronçons augmente et nous obtenons des écarts très faibles quand le modèle
identifié est très proche de la poutre réelle.
Chapitre 4
102

---

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Echelle: ox : 103mm,oy : 108N mm2
Fig. 4-17 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié poutre 1
(8 tronçons égaux).
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Echelle: ox : 103mm, oy : 10 mm
Fig. 4-18 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié poutre 1
(8 tronçons égaux).
Chapitre 4
103

---

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Echelle: ox : 103mm , oy : 108N mm2
Fig. 4-19: Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié poutre 1
(24 tronçons égaux).
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Echelle: ox: 103mm, oy : 10 mm
Fig. 4-20 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié poutre 1
(24 tronçons égaux).
Chapitre 4
104

---

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Echelle: ox : 103mm, oy : 108N mm2
Fig. 4-21 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié poutre 2
(8 tronçons égaux).
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Echelle: ox : 103mm, oy : 10 mm
Fig. 4-22 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié poutre 2
(8 tronçons égaux).
Chapitre 4
105

---

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Echelle: ox : 103mm, oy : 108N mm2
Fig. 4-23 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié poutre 2
(24 tronçons égaux).
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. _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .:...:'-----'-
Echelle: ox : 103mm, oy : 10 mm
Fig. 4-24 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié poutre 2
(24 tronçons égaux).
Chapitre 4
106

---

1,20e-2
.....
1,00e-2
Erreur 0 mm
~
§
Erreur 0,5 mm
8,00e-3
Erreur 0,3 mm
c::
......
Erreur 0,2 mm
'zj
Erreur 0,1 mm
~
6,00e-3
-~a 4,00e-3
u
~
2,00e-3
O,OOe+O
0
10
20
30
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 4-25: Ecan entre les flèches maximales des défonnées en fonction du nombre de
tronçons (simulation d'erreurs de mesure sur la défonnée poutre 1).
5,20e-4
C'l
5,00e-4
~
~ Erreur 0 mm
§
... Erreur 0,5 mm
c::
4,80e-4
......
... Erreur 0,3 mm
'zj
. . Erreur 0,2 mm
~
-~
-+ Erreur 0,1 mm
4,6Qe-4
a
~ 4,40e-4
4,20e-4
0
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 4-26 : Ecan nonne 2 entre les défonnées en fonction du nombre de tronçons
simulation d'erreurs de mesure sur la défonnée (poutre 1).
Chapitre 4
107

---

0,020
~
Erreur 0 mm
"* Erreur 0,5 mm
......
0,015
... Erreur0,3mm
~
.. Erreur0,2mm
.... Erreur 0,1 mm
s::
......
0,010
•t j
C':l
-~~ 0,005
,~
0,000 +---r---~I-..------,----r-..,.---r--""T'"-""T""-"--~---'
o
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 4-27 : Ecart entre les flèches maximales des défonnées en fonction du nombre de
tronçons (simulation d'erreurs de mesure sur la défonnée poutre 2).
1,00e·3
9,OOe-4
C'l
~ Erreur 0 mm
§ 8,OOe-4
-.. Erreur 0,5 mm
0
s::
-.. Erreur 0,3 mm
......
.- 7,00e·4
. . Erreur 0,2 mm
ê;j
-+- Erreur 0,1 mm
-~~ 6,OOe-4
~
5,OOe-4
4,00e-4
0
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons
Fig. 4-28: Ecart nonne 2 entre les défonnées en fonction du nombre de tronçons
simulation d'erreurs de mesure sur la défonnée (poutre 2).
Chapitre 4
108

---

4-5-3- Influence de l'erreur de mesure sur l'intensité des
efforts
Quelle que soit l'erreur de mesure sur la force appliquée, les écarts sur les flèches
maximales et les écarts cumulés ne sont pas affectés. Ce type d'erreur de mesure a
simplement un effet multiplicateur sur l'ensemble des rigidités identifiées, ceci s'explique
par le fait que ces rigidités sont les solutions de l'équation matricielle de la fonne suivante:
Fi w* = [K] D
Le paramètre force n'intervient que comme coefficient multiplicateur; ceci a été
montré par El Shaikh (1984).
4·5·4· Influence de l'erreur sur la position du point
d'application de la force
Ce type d'erreur n'a pas une grande influence sur l'identification en dessous d'un
certain seuil, il faut remarquer que cette erreur est toujours très faible lors des essais dans
la mesure où la position de la force appliquée est repérée de façon précise avant l'essai.
Nous présentons ici quelques simulations avec ce type d'erreur.
Chapitre 4
109

---

6,00e-3
-Do
Erreur 5%
-.- Erreur 3%
5,00e-3
.....
-.- Erreur 2%
..
~
Erreur 1%
§ 4,00e-3
... Erreur0%
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'-
'0
3,00e·3
~
-~ta 2,00e-3
u
~
1,00e-3
O,OOe+O
0
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 4-29: Ecart entre les flèches maximales des défonnées en fonction du nombre de
tronçons (simulation d'erreurs de mesure sur la distance PA poutre 1).
1,20e-4
1,00e-4
-Do
Erreur 5%
N
-.- Erreur3%
~
§
-.- Erreur2%
8,OQe-5
. . Erreur 1%
c:
'-
... ErreurO%
'0
6,OOe-5
~
-~ta 4,OOe-5
u
~
2,OOe-5
-3,31e-24
0
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 4-30 : Ecart nonne 2 entre les défonnées en fonction du nombre de tronçons
(simulation d'erreurs de mesure sur la distance PA poutre 1).
Chapitre 4
110

---

0,03
-0-
Err 5%
.... Err 3%
... Err 2%
0,02
. . Err 1%
-+- Err 0%
0,01
0,00 +--"T"'""-T'"""'I=--....---,r-----.-.....,.-"""T'"--r--r-.....;..."'T"""-"T"'""--,
o
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 4-31 : Ecart entre les flèches maximales des déformées en fontion du nombre de
tronçons (simulation d'erreurs de mesure sur la distance PA poutre 2).
1,000e-3
-0-
Erreur 5%
<"1
.... Erreur3%
~
7,500e-4
...
§
Erreur 2%
..
g
Erreur 1%
'-
-+- Erreur 0%
'l:j
5,0009-4
~
-elau 2,500e-4
~
l-"'T'"".:~~~=:=~~=~~§~~;;=-....--....----.
O,OOOe+O
o
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 4-32 : Ecart norme 2 entre les déformées en fonction du nombre de tronçons
(simulation d'erreurs de mesure sur la distance PA poutre 2).
Chapitre 4
111

---

4-5-5- Influence des erreurs de mesure de la portée de la poutre
Ce type d'erreur de mesure est difficilement simulable parce que les deux points
extrèmes de la poutre sont repérés expérimentalement. L'abscisse du deuxième point
représente la portée réelle de la poutre. L'erreur commise expérimentalement se reporte de
façon systématique sur les données utilisées dans les calculs, ce qui signifie logiquement
qu'on commet une erreur très faible sur ce paramètre.
4-5-6- Influence du nombre de points de mesure expérimentaux
Il faut noter qu'au départ, nous avons travaillé avec 121 points expérimentaux en
déplacement comme en déformation. Le nombre de points s'est considérablement réduit
grâce à la méthode d'interpolation locale de type Lagrange; ainsi nous sommes parvenus
à effectuer les identifications avec 41 points expérimentaux en déplacement et 25 points
en déformation.
Les identifications effectuées avec 60, 90, 120 points présentent des écarts
négligeables par rapport à celles réalisées avec un nombre de points inférieur.
4-5-7- Influence du choix de l'essai
Le choix de l'essai peut avoir une influence sur l'identification; certains essais
permettent de réduire les écarts sur les deux déformées et sur les flèches maximales (Fig.
4-33, Fig. 4-34). On constate ici que lorsqu'on applique la force aux endroits de faible
inertie, les écarts relatifs norme2 augmentent pour les deux poutres. Les différentes
simulations montrent que la prise en compte du choix de l'essai doit être intégrée au
processus d'identification.
Chapitre 4
112

---

0,15
-~ 0,10
-G-
poutre 1
c::
...
......
poutre2
.-
....eoj
-~la 0,05
~
0,00 l---.....-.:::::;==:.a=:::::;=~~=~~;:::~-.....-.....,
o
500
1000
1500
2000
2500
3000
Point d'application de la force par rapport au premier appui (mm)
Fig. 4-33: Ecart entre les flèches maximales des déformées en fonction de la position du
point d'application de la force (choix de l'essai).
5,OOe-4
N
4,OOe-4
ê
g
......
.- 3,OOe-4
~
-
-G-
poutre 1
~
... poutre2
la
~ 2,OOe-4
1,OOe-4 -+--......-r--__r-~--r--"'T"""--r--......,r__--r-~--r-____,
o
500
1000
1500
2000
2500
3000
Point d'application de la force par rapport au premier appui (mm)
Fig. 4-34 : Ecart norme 2 entre les déformées en fonction de la position du point
d'application de la force (choix de l'essai).
Chapitre 4
113

---

4-5-8- Choix de la nature des paramètres pour l'identification
Les conditions expérimentales peuvent nous permettre de mesurer : les
déplacements, les pentes ou les déformations. Un choix s'impose parmi ces trois types de
paramètre, les déformations sont des grandeurs directement exploitables contrairement
aux déplacements et aux pentes qui doivent subir une double ou simple dérivation, ce qui
constitue bien évidemment une source d'erreurs supplémentaires.
Nous estimons que ce choix a d'autres avantages matériels et techniques du fait que
les mesures sont obtenues en général avec une excellente résolution de l'ordre de
10-6 ~rn/m'
4-5-9- Conclusion
Les différentes simulations effectuées ont montré que la méthode d'identification est
sensible aux erreurs de mesure, d'où la nécessité d'apporter le plus grand soin possible
aux essais expérimentaux.Dans l'ensemble les meilleures identifications sont celles
réalisées avec les modèles de 8 et 12 tronçons égaux pour la poutre 1 et celui de 6
tronçons pour la poutre 2. Dans le second cas, il faut noter que le modèle identifié est
proche de la poutre réelle.
4-6- Stabilité de la méthode
Une partie de notre travail de simulation a été consacrée à étudier la stabilité de la
méthode d'identification. Ceci consiste à répéter plusieurs fois (50) le même essai dans
les mêmes conditions tout en générant des suites d'erreurs différentes avec la même
valeur nominale. Ensuite la moyenne des rigidités identifiées est comparée aux valeurs
réelles. Cette procédure permet de détecter les endroits de la poutre où l'erreur relative est
très élevée (Fig. 4-35 et Fig. 4-36).
On constate qu'au voisinage des appuis, l'erreur relative sur les rigidités identifiées
peut atteindre 500 à 800%, ce qui n'est pas étonnant puisque les déformations ou les
déplacements sont alors voisins de zéro.
Chapitre 4
114

---

·
.
-2e+2 +---.,...--r------,~-.....,.--.....,...--...,..--...,....-___,
o
1000
2000
3000
4000
Longueur (mm)
Fig. 4-35 : Stabilité de la méthode d'identification (poutre 1).
8e+2
6e+2
,; 4e+2
~
2e+2
Oe+O
-2e+2
0
1000
2000
3000
4000
Longueur (mm)
Fig. 4-36 : Stabilité de la méthode d'identification (poutre 2).
4-7- Méthodologie du processus d'identification
Nous avons pu définir les grandes lignes d'une démarche visant à l'identification
des rigidités d'une poutre réelle quelconque, dont on n'a aucune information, sur la base
d'un bon nombre d'exemples dont les plus typiques sont traités dans la simulation
numérique.
Chapitre 4
115

---

L'objectif de la simulation dans son ensemble est de définir une méthodologie
d'identification, c'est-à-dire d'établir une marche à suivre raisonnable pour réaliser une
identification réelle. D'après les simulations qui ont été faites, il ressort qu'on ne peut pas
a priori retenir une règle générale concernant la méthodologie du processus
d'identification. On remarque que chaque modèle de poutre a sa propre particularité
(sensibilité aux erreurs de mesure, choix optimal de l'essai etc...).
Nous proposons dans ce paragraphe la démarche qui nous paraît la plus raisonnable
et la mieux fondée pour mener à bien l'identification des rigidités d'une poutre réelle
quelconque, sur laquelle nous ne disposons d'aucune infonnation :
- choisir un modèle de poutre à 24 tronçons égaux,
- repérer les endroits de la poutre où l'on soupçonne des changements d'évolution
c'est-à-dire les abscisses des points de découpage,
- choisir un nouveau modèle avec des tronçons inégaux correspondant aux points
précédents,
- affiner les découpages au voisinage des points de découpage sur le nouveau modèle,
c'est à dire faire varier le découpage aux endroits où l'on estime qu'il peut y avoir un
changement dans l'évolution,
- comparer les écarts entre les différentes identifications,
- refaire l'identification avec un autre essai comparer les rigidités identifiées pour un
même modèle et examiner la stabilité de l'identification.
4·8· Conclusion
Les simulations exposées dans ce chapitre rendent compte de la sensibilité de notre
méthode d'identification aux différents types d'erreur engendrés par le processus
expérimental. Cependant les erreurs de mesure sur la défonnée ou sur les défonnations
mesurées par les jauges sont plus redoutables que celles liées au chargement. Les ordres
de grandeur des erreurs utilisés sont assez raisonnables, surtout quand ils sont choisis en
fonction de l'état de déformation de la structure et non de façon systématique.
L'utilisation du système redondant n'apporte pas d'amélioration à l'identification
parce qu'il rend le système de résolution plus instable; ceci trouve son explication à
l'origine dans le choix des champs virtuels utilisés dans notre processus d'identification.
De plus la nonprise en compte du cisaillement constitue une source d'erreur qu'on
n'a pas pu tester à l'aide de notre programme de simulation dans son état actuel (toute la
fonnulation concernant application de la méthode aux poutres avec cisaillement a été
traitée dans l'annexe B)
Chapitre 4
116

---

PARTIE 3
ASPECT EXPERIMENTAL
Partie 3
117

---

---

CHAPITRE 5
ESSAIS EXPERIMENTAUX
ChapitreS
118

---

---

5-1- Introduction
Dans le but de valider la méthode d'identification que nous avons proposée, la
réalisation d'un essai réel apparaît indispensable. Cet essai doit être conforme au type
d'essai retenu et doit respecter toutes les hypothèses avancées dans la formulation du
problème. Une fois effectué le choix de la poutre à tester, on peut encore rappeler, en
restant sur le plan des généralités, l'existence inéluctable de trois phases successives:
- préparation des essais (montage mécanique, éprouvettes, instrumentation),
- mise en œuvre et obtention des résultats,
- interprétation et appréciation des résultats de l'identification.
5-2- Montage mécanique
5-2-1- Objectifs
Un dispositif expérimental doit remplir dans un premier temps les objectifs
fonctionnels assignés. Dans le cas précis de notre montage, nous avons prévu des tests
sur des échantillons en grandeur nature et des tests à une échelle réduite. Dans les deux
cas, les sollicitations vont générer des champs de déplacement ou de déformation faibles.
La mesure des déformations ou des déplacements en certains points de la poutre
permet de remonter facilement aux grandeurs à identifier à l'aide de notre programme
d'identification.
5-2-2- Description du montage
échantillon
support rouleau
bâti
Figure 5-1 : Schéma du montage mécanique.
chapitre 5
119

---

La recherche des condiùons optimales pour un essai est le souci majeur de tout
expérimentateur ceci afin de minimiser le plus possible les erreurs systématiques et
aléatoires inévitables encourues lors des manipulations (Moreau 1982). Le montage utilisé
est composé des éléments suivants :
- un bâù,
- deux supports rouleaux,
- un plateau où sont placés les poids.
Le plateau est suspendu à la poutre par l'intennédiaire d'un fil de nylon passant
dans une fine rainure réalisé sur la partie supérieure de la poutre, ce qui pennet d'avoir
une grande précision sur la distance du point d'applicaùon au premier appui d'une part et
d'autre part de s'affranchir également du problème de contact cylindre et plan incliné, la
partie supérieure de notre éprouvette est en effet légèrement oblique.
Fig. 5-2 : Montage mécanique.
chapitreS
120

---

5·2·3· Eprouvette utilisée
125 mm
100 mm
125 mm
Fig. 5-3 : Eprouvette utilisée.
Comme l'indique le dessin ci-dessus (Fig. 5-2) l'éprouvette a été usinée en
polyméthacylathe de méthyle (PMMA) de longueur 350 mm sur 25 mm de largeur avec
une hauteur variable suivant ox. Elle est équipée de 14 jauges de déformation de type
FLA-2 (Europavia TML) régulièrement espacées de 20 mm les unes des autres (Fig. 5-4)
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jauge de déformation
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20
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Fig. 5-4 : Disposition des jauges sur l'éprouvette.
chapitre 5
121

---

5-2-4- Instruments de mesure
Compte tenu du nombre élevé de jauges, nous avons utilisé une chaîne de mesure
composée de deux ponts d'extensométrie Vishay Micromesures modèle P-350 et de deux
boîtiers de commutation de type SB 1 à dix entrées permettant ainsi de connecter chaque
jauge au pont de mesure suivant un ordre chronologique. Il serait souhaitable d'avoir un
système d'aquisition automatique sur la chaîne de mesure~ ce qui permettrait un gain
considérable de temps et limiterait les dérives éventuelles du signal de déformation.
Les masses utilisées pour le chargement ont été préalablement étalonnées avant
l'essai, donc les forces appliquées sont connues avec une grande précision.
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Fig. 5-5 : Chaîne de mesure.
5-2-5- Procédure d'essai
Globalement nous avons réalisé trois essais en faisant varier le point d'application
de la force, chacun des essais a été mené de la façon décrite ci-après:
chapitre 5
122

---

PA
F
~----~
-r-----------+01
L
Fig. 5-6 : Essai et conditions expérimentales.
Trois incréments de charge ont été réalisés avec les masses variant entre 200 et 300g
(Fig. 5-1) ; chaque incrément est suivi d'une lecture de la déformation de chaque jauge.
Cette procédure permet ainsi de caractériser la linéarité de la réponse de la poutre. A la
suite du chargement total, nous avons procédé à une décharge par incrément de
l'éprouvette et la réponse de chaque jauge est à nouveau notée, ceci pour contrôler la
linéarité charge - décharge de chacune des jauges collées sur l'éprouvette.
Fig. 5-7 : Ensemble du montage expérimental.
chapitre 5
123

---

5-2-6- Traitement numérique des mesures expérimentales
La méthode d'identification repose avant tout sur une exploitation judicieuse des
résultats expérimentaux, d'où la nécessité d'un traitement numérique adéquat de
l'ensemble des mesures expérimentales.
Dans un premier temps, nous avons obtenu par régression linéaire (méthode des
moindres carrés) les coefficients de la courbe ê = a F + b (déformation - effort) pour
chaque jauge. On calcule ensuite la déformation de chaque jauge pour une force donnée
conventionnelle de 10 N. Il faut noter que les déformations calculées sont issues du
chargement uniquement; il semble en effet, au vu des résultats, que les valeurs obtenues
lors des décharges sont entâchées d'erreurs plus importantes, l'incertitude expérimentale
est évaluée à ±5.1O-6.
Ensuite nous avons calculé les dérivées secondes à la position des jauges à partir de
la théorie élémentaire des poutres :
dd:~X) =y =~'h, h étant l'épaisseur de la poutre au point d'abscisse x.
Les dérivées secondes une fois calculées calculées sont injectées dans le programme
d'identification (T~b. 5-1, Tab. 5-2, Tab. 5-3).
chapitre 5
124

---

5·2·6·1· Essai 1
Conditions d'essai :
-PA:=95mrn
- F
conventionnelle de 10 N
-L
:=302mrn
NO Jauge
Position ox(mm)
Défonnation(~rrVm)
Dérivée seconde
1
20
562
296
2
40
623
235
3
60
630
185
4
80
545
131
5
100
536
109
6
120
566
108
7
140
565
108
8
160
491
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9
180
434
83
10
200
403
77
11
220
378
79
12
240
384
92
13
260
380
115
14
280
352
145
Tableau 5-1 : Défonnations calculées par la droite des moindres carrés pour 10 N à partir
des résultats expérimentaux, dérivées secondes calculées par la relation (5.1) .
chapitre 5
125

---

5·2·6·2· Essai 2
Conditions d'essai:
-PA :=130 mm
- F conventionnelle ION
-L
:=302 mm
NO Jauge
Position ox(mm)
Défonnation (~m)
Dérivée seconde
1
20
399
210
2
40
450
170
3
60
426
125
4
80
379
91
5
100
429
88
6
120
372
71
7
140
400
76
8
160
480
91
9
180
474
90
10
200
349
67
11
220
328
69
12
240
354
85
13
260
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114
14
280
334
136
Tableau 5-2: Défonnations calculées par la droite des moindres carrés pour 10 N à partir
des résultats expérimentaux, dérivées secondes calculées par la relation (5.1) .
chapitre 5
126

---

5·2·6·3· Essai 3
Conditions d'essai:
-PA:=170mm
- F
conventionnelle de 10 N
-L
:=302mm
NO Jauge Position ox(mm)
Défonnation(~m)
Dérivée seconde
1
20
310
136
2
40
350
132
3
60
338
99
4
80
331
75
5
100
287
57
6
120
301
27
7
140
324
62
8
160
386
77
9
180
407
78
10
200
466
99
11
220
468
99
12
240
487
117
13
260
500
152
14
280
457
186
Tableau 5-3 : Défonnations calculées par la droite des moindres carrés pour 10 N à partir
des résultats expérimentaux, dérivées secondes calculées par la relation (5.1) .
chapitre 5
127

---

5·2·7· Conclusion
Nous pensons que les essais ont été réalisés dans de très bonnes conditions vu les
soins apponés à la préparation de l'éprouvette et du montage mécanique; les dispersions
ne sont pas très grandes au niveau de la proponionnalité entre effon et déformation des
jauges (Annexe C). Dans l'ensemble le plus faible coefficient de corrélation est de 0,97
on peut dire que les essais sont tout à fait fait acceptables (Fourasté J. et Langer B., 1989)
; Il faut noter que toutes les jauges ne présentent pas la même réponse en charge et en
décharge; ceci peut être dû aux problèmes de contact au niveau commutateurs ou des
soudures.
Ces fluctuations nous ont permis de poner une appréciation sur chacun des essais.
Mais cette appréciation doit être ponée sous réserve de l'identification des rigidités
de la structure, car c'est à panir de nos résultats que nous pourrons dire si les essais sont
acceptables ou pas.
5·3· Identification.
Cette partie présente l'ensemble des résultats issus des différents essais
expérimentaux. Nous avons comparé les poutres modèles identifiés et la poutre réelle sur
la base de l'évolution des rigidités de flexion d'une pan et des écarts fournis par les
normes d'autre pan. Ces écans permettent facilement de déterminer quel est le modèle le
plus proche de la poutre réelle.
chapitre 5
128

---

5·3·1· Essai 1
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Echelle: ox: 102mm ,oy: 107N mm2
Fig. 5-8 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(24 tronçons égaux).
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Fig. 5-9 : Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié
(24 tronçons égaux).
chapitre 5
129

---

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Echelle: ox: 1Q2mm • oy: 1Q7N mm2
Fig. 5-10 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(12 tronçons égaux).
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Fig. 5-11 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(12 tronçons égaux).
chapitre 5
130

---

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Echelle: ox : 102mm. oy : 107N mm2
Fig. 5-12 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(13 tronçons égaux).
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(13 tronçons égaux).
chapitre 5
131

---

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Echelle: ox : 102mm, oy: 107N mm2
Fig. 5-14 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(9 tronçons égaux).
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Fig. 5-15 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(9 tronçons égaux).
chapitre 5
132

---

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Fig. 5-16 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(5 tronçons égaux).
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Echelle: ox : 102mm, oy : 1 mm
Fig. 5-17 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(5 tronçons égaux).
chapitre 5
133

---

5·3·2· Essai 2
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(24 tronçons égaux).
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Fig. 5-19 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(24 tronçons égaux).
chapitre 5
134

---

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(13 tronçons égaux).
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Echelle: ox : 102mm, oy : 1 mm
Fig. 5-21 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(13 tronçons égaux).
chapitre 5
135

---

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Fig. 5-22 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(12 tronçons égaux).
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Fig. 5-23: Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(12 tronçons égaux).
chapitre 5
136

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Echelle: ox : 102mm, oy : 10 7 N mm2
Fig. 5-24 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(9 tronçons égaux).
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Echelle: ox : 102mm, oy : 1 mm
Fig. 5-25: Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(9 tronçons égaux).
chapitre 5
137

---

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Echelle: ox : 1Q2mm,oy : 1Q7N mm2
Fig. 5-26 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(5 tronçons égaux).
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Fig. 5-27: Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié
(5 tronçons égaux).
chapitre 5
138

---

5·3·3· Essai 3
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(24 tronçons égaux).
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Fig. 5-29 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(24 tronçons égaux).
chapitre 5
139

---

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(13 tronçons égaux).
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(13 tronçons égaux).
chapitre 5
140

---

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(12 tronçons égaux).
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Fig. 5-33: Comparaison des défonnées poutre réelle-modèle identifié
(12 tronçons égaux).
chapitre 5
141

---

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Fig. 5-34 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(9 tronçons égaux).
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Fig. 5-35 : Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(9 tronçons égaux).
chapitre 5
142

---

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Echelle: ox : 102mm.oy : 107N mm2
Fig. 5-36 : Evolution des rigidités poutre réelle-modèle identifié
(8 tronçons égaux).
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Echelle: ox : 102mm. oy : 1 mm
Fig. 5-37: Comparaison des déformées poutre réelle-modèle identifié
(8 tronçons égaux).
chapitre 5
143

---

5·4· Discussion
6e-1
5e·1
.....
... Essai 1
ê 4e-1
. . Essai 2
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.... Essai 3
......
3e-1
.....
...~-~ 2e-1
~uUJ 1e-1
Oe+O
a
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 5-38 : Evolution des écarts relatifs flèche-max. en fonction du nombre de tronçons et
suivant l'essai.
0,04
... Essai 1
0,03
... Essai 2
.... Essai 3
0,02
0,01
0,00 -r--....---r--.....----,r----r---'T--....-.....,...-_r_--r--....----,
a
5
10
15
20
25
30
Nombre de tronçons de la poutre modèle
Fig. 5-39 : Evolution des écarts relatifs nonne 2 en fonction du nombre de tronçons et
suivant l'essai.
Sur chaque essai, nous avons essayé de voir l'évolution des écarts suivant les
différents modèles de poutres identifiées: tronçons égaux ou inégaux (Tab. 5-4).
Il ressort de cette première identification que l'essai numéro 1 et l'essai numéro 3
pennettent la meilleure identification parce que les écarts relevés sont les plus faibles. Une
chapitre 5
144

---

autre constatation intéressante est le fait que la corrélation obtenue pour les réponses des
jauges en chargement-déchargement est alors très voisine de 1.
Poutre
Essai N°l
Essai N°2
Essai N°3
mooèle
Et norme 1
Et norme2 Et normel
Et norme2 Et norme1 Et norme2
0,223
15,000e-3
0,517
0,034
0,060
Il,OOe-3
24 tronçons
0,229
16,000e-3
0,524
0,035
0,064
10,00e-3
12 tronçons
0,111
8,018e-3
0,372
0,024
0,112
9,034e-3
13 tronçons
0,136
8,252e-3
0,379
0,024
0,161
13,00e-3
9 tronçons
-
-
0,505
0,033
0,157
14,00e-3
8 tronçons
0,154
9,365e-3
-
-
-
-
5 tronçons
Tab. 5-4: Tableau récapitulatif des écarts relatifs relevés sur les différentes identifications
réelles.
s-s- Conclusion
Nous aVQns présenté dans ce chapitre les résultats des premières expériences que
nous avons réalisées. Dans l'ensemble, les rigidités identifiées sont d'un ordre de
grandeur acceptable.
Nous estimons que ces premiers résultats de validation de la méthode
d'identification sont fort concluants bien que les écarts nous paraissent un peu élevés par
rapport aux écarts relevés avec les différentes simulations. li faut noter que le nombre de
points expérimentaux utilisés n'est pas le même que celui utilisé pour une simulation
simple, ce qui peut être pénalisant pour l'identification (dans le module de simulation
numérique nous avons prévu 25 points expérimentaux).
De plus, les résultats issus des trois essais confirment les conclusions tirées après
l'interprétation des réponses sur chaque jauge dans les différentes configurations d'essai
c'est-à-dire que le second essai est meilleur que les deux autres.
Nous pensons que si les essais étaient réalisés dans les conditions expérimentales
que celles prévues dans le programme d'identification (nombre de point expérimentaux)
ceci pourrait conduire à de meilleures identifications parce que nous avons travaillé avec
16 points expérimentaux en déformation au lieu de 25
chapitreS
145

---

CONCLUSION GENERALE
Le travail présenté dans ce mémoire s'inscrit dans le cadre de l'optimisation
des structures à inertie évolutive passant évidemment par une identification des
caractéristiques mécaniques locales de la structure.
Le problème de l'identification des rigidités des poutres à inertie varible est rarement
abordé dans la littérature. Il ressort de notre étude bibliographique que la méthode
proposée par EI-Shaikh et celle d'idéalisation des poutres sont semblables dans leur
approche, ceci étant, la première permet de prendre en compte les caractéristiques
matérielles locales de la structure tout en s'appuyant sur les données expérimentales. Il
faut noter que l'approche mathématique effectuée par Maki et Kuenzi est fort louable
puisqu'elle permet le dimensionnement des poutres en bois utilisées dans la construction
des charpentes. L'examen des différentes approches nous a permis de constater les
insuffisances de telle ou telle méthode. Aussi nous avons décidé de reformuler le
problème à la base et de proposer une nouvelle méthode d'identification en adoptant
l'hypothèse que la poutre identifiée doit avoir la même réponse mécanique que la poutre
réelle dans les mêmes configurations d'essai.
La méthode proposée utilise le théorème des travaux virtuels tout en examinant le
problème du choix des champs virtuels appropriés. Ceci nous a conduit à la construction
des champs virtuels particuliers permettant deux types d'identification :
- l'identification globale,
- l'identification locale.
Nous avons montré que l'identification locale présente entre autres avantages, un
temps de calcul considérablement réduit et une précision plus accrue par rapport à
l'identification globale. Pour l'évaluation de la qualité des identifications, nous avons
établis des normes (norme 1 et norme 2) : la norme 1 représente l'écart entre la flèche
maximale de la déformée de la poutre réelle et celle de la poutre identifiée lors de l'essai et
la norme 2 représente l'aire délimitée par les deux déformées.
La mise au point d'un programme informatique nous a paru nécessaire en vue
d'articuler la méthode dans son ensemble et de mieux gérer les données intervenant dans
le processus de l'identification. Le programme est écrit en Turbo Pascal 4.0 avec 9 400
instructions environ et implanté dans son intégralité sur un micro-ordinateur de type
Victor 286S compatible IBM. Son interactivité permet à l'utilisateur un apprentissage
facile avec des menus déroulants en couleur et une partie graphique permettant de
Conclusion Générale
146

---

visualiser en temps réel les résultats de l'identification. Ce programme permet
l'identification des rigidités de flexion à partir de la mesure des flèches ou des
déformations pour des modèles de poutre composés de tronçons égaux ou inégaux avec
un nombre maximal de 24 tronçons.
En dehors de l'identification proprement dite, l'outil informatique que nous avons
conçu nous a permis de faire des simulations numériques afin de voir la sensibilité de la
méthode aux erreurs de mesure d'une part, et d'autre part de qualifier les performances du
programme. Ces simulations ont mis en évidence la relative insensibilité de notre méthode
aux erreurs de mesure avec des écarts relatifs assez faibles pour les deux modèles de
poutre, nous avons des écarts de l'ordre de 10-2 pour la norme 1 et de 10-4 pour la norme2
pour une erreur maximale de l'ordre de 1% sur la flèche maximale. L'ensemble de ces
simulations nous a permis de proposer à l'utilisateur une méthodologie pour
l'identification réelle. Il faut noter qu'une expérience préalable, acquise au cours de
simulation est nécessaire dans la mesure où une procédure ne peut pas être établie dans le
cas générale.
Enfin, nous avons procédé à la validation de la méthode en effectuant une
identification de poutre réelle à inertie variable dahs le cas d'un essai de flexion trois
points. Les différentes configurations d'essais ont conduit à l'identification de plusieurs
modèles de poutres. Les résultats sont acceptables dans l'ensemble, les rigidités
identifiées sont proches des rigidités réelles. La meilleure identification est obtenue avec
les écarts de l'ordre de 5 10-2 pour l'écart de norme 1 et de 5 10-3 pour la norme 2.
A travers les différents chapitres de notre mémoire, il apparait que la méthode
d'identification que nous venons de proposer nécessite la maîtrise d'un grand nombre de
techniques expérimentales, théoriques mécaniques, théoriques mathématiques et
numériques; il serait intéressant d'approfondir quelques uns des aspects cités plus haut:
- la définition d'une procédure systématique d'identification pour l'utilisateur de
manière à mieux contrôler l'identification et la recherche d'une forme d'automatisation
des essais,
- l'amélioration du programme actuel sur le plan numérique; il faut trouver une
autre méthode d'intégration numérique, soit en augmentant le nombre de points de Gauss
ou soit par un choix du nombre de points de Gauss en fonction de l'intervalle. Il serait
Conclusion Générale
147

---

ainsi possible d'augmenter la précision de l'intégration numérique et, par suite, de rendre
plus précis le calcul des travaux virtuels,
- sur le plan expérimental, nous estimons qu'il faut élargir la gamme d'essai, ce qui
permettrait à l'utilisateur d'avoir plusieurs choix au niveau de l'essai (flexion quatre
points et flexion de poutre encastrée etc...),
- l'extension de la méthode aux poutres avec cisaillement.
Conclusion Générale
148

---

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Bibligraphie
151

---

ANNEXE A
Théories des poutres
a-1- Théorie des poutres d'Euler-Bernoulli
y
q(x)
P
P
x
.,
y
j
z .-
Fig. a-l : Poutre droite à plan moyen chargée uniformément.
dw
dx
VJfF~---------'-------1~X
Fig. a-2 : Section droite de la poutre
Considérant une section droite rectangulaire
nous avons le champ
déplacement suivant
dw(x)
ul (x,y) = uo(x) - y --a:x-
Annexe A
152

---

U2(x,y) = w(x)
(a-l)
u3(x,y) = 0
Dans la théorie élémentaire des poutres, on évalue a xx et w(x) qui sont
respectivement la contrainte en flexion et la déformée de la ligne neutre. On ramène le
problème à un cas unidirectionnel :
l'énergie libre de déformation U est la suivante
U - 1. fa. ·e··dv
- 2
(a-2)
IJ IJ
V
L
-h/2
- 1. j
!a..e"dV
- 2
IJ IJ
hl
travail dû à effort normal P:
L
Up =(P[ ul(l)] - P [ul(O)]) =P fd:X1 dx
(a-3)
o
travail dû à une charge répartie q(x)
1
Uq = jq(x)w(x)d x
Energie potentielle totale :
1
1
j:
-
1. ra·· e.. dv -
.., - 2 ~
P f dcrx1
- jq(X)
IJ
IJ
dx
w(x)dx
(a-4)
o
Sachant que le calcul des différentes intégrales peut être mené avec:
1
J
h3
{1,z,z2} dz ={h, 0, 12 }
l'équation (a-4) devient :
Annexe A
153

---

1
2
1; =j[ EA(d~1)2 +
1
EI(d :S»2 - p :
_ - qw(x) ] dx
(a-5)
L'énergie potentielle totale se présente sous la fonne d'une fonctionnelle F ayant pour
variables u1(x) et w(x) ; en utilisant les équations d'Euler-Lagrange, nous avons:
- pour la première variable :
:C[EAd~I]=O
- pour la seconde variable nous avons:
~[ EId2w(x) ] _
dx
dx2
- q
La fonctionnelle Fest extremale pour
dF
dUt
du Il = 0 => EA dx
- P = 0
x = 0 , x = L
dUt
avec u' 1 =---a.x-
x=O, x=L
dF
d3w
dw" = El dx3 = 0
x=O, x = L
(a-6)
" d2w
1
dw
avec w = dx2 et w = dx
Nous avons les conditions limites cinématiques et naturelles
pour
UI
---->
EA
~l =p
dw
d2w
pour
---->
EI
= 0
dx
dx2
pour w(x)
---->
~Id2w) -0
(a-7)
dx
dx2
-
Annexe A
154

---

les conditions limites pennettent de remonter à l'équation de la défonnée.
Interprétation physique
h/2
N =
raxxbdy
hi2
h/2
M=
faxxybdy
h/2
N= EA~
dx
M = _El d2w~x)
dx
Considérant un élément de poutre
h/2
V =
raxybdY
hi2
_ E
d2w(x) _ My
axx = E êxx -
Y dx2
-
1
Nous avons la relation d'équilibre a~:x + a~; y = 0 à partir de cette
relation d'équilibre nous pouvons avoir l'expression de a xy
fdM(X) y.
dM(x) -.r:.
a xy =
dx
1 dy =
dx
21 + g(x)
où g(x) est une fonction
arbitraire à détenniner à partir des condition limites.
Annexe A
155

---

a-2- Théorie de Timoshenko (Dym & Shames)
y' ....t----.
..... x'
--
-- --
~:::;:::::-------+----""'~x
x"
Fig. a-3 : Section droite de la poutre (hypothèse de Timoshenko)
Contrairement à la théorie d'Euler-Bernoulli la théorie de Timoshenko prend en
compte l'effet de cisaillement, le champ de déplacement est le suivant:
dw(x)
ul (x,y) = - y (~ - ~x ) = -y ",(x)
(a-8)
où ",(x) et ~(x)
sont respectivement l'angle de rotation de la section droite
dû à la flexion et au cisaillement .La pente totale de la fibre neutre est égale à la somme
des 2 composantes ",(x) et ~(x).
d",(x)
1
nous avons: Exx = -y ~,
Exy = 2: ~(x)
h/2
d",(x)
M =
fO"xxybdy =El ~
(a-9)
-h/2
Annexe A
156

---

-h/2
h/2
, ,
v
v = f<Jxybdy = <Jxy fbdy = <Jxy A = GA~(x). d ou <Jxy = A = G~(x) (a-lO)
h/2
-h/2
Nous pouvons calculer l'énergie potentielle totale dans le cas d'une poutre de
Timoshenko. Compte tenu des champs de déformation en présence, nous avons l'énergie
potentielle (ç)
L
h/2
L
h/2
1
ç = ~ f
f <Jxx êxx bdxdz + f f <Jxy êxy bdxdz - Jq(X)W(X) dx
o
-h/2
0
-h/2
L
h/2
L
h/2
L
= .!. f
f y2E (d",(x) )2bdxdz) +f fG (~(x»2 bdxdz - rq(x)w(x) dx
2 0
-h/2
dx
0
-h/2
d
L
L
L
=~ 1E l(d~X) dx)2 + ~ 1GA(w(x)_",(x»2 dx - Jq(X)W(X) dx
(a-11)
L'énergie potentielle se présente sous forme d'une fonctionnelle F de variable ",(x)
et w(x) ; en utilisant les équations d'Euler-Lagrange, nous avons:
(a-12)
d", d2w
GA [ dx - dx2 ] =q
(a-13)
où El et GA sont respectivement les rigidité en flexion et en cisaillement.
Les conditions limites pour x = a et x = 1sont les suivantes:
Considérant les équations (a-9) et (a-la), nous avons les conditions limites
supplémentaires :
M = a => x = aet x = L;
Annexe A
157

---

dM
dV
V = 0 => X = 0 et x = L; avec
dx = V et
dx = -q
Le découplage des équations d'Euler-Lagrange par dérivation des équations (a-2) nous
donne:
d3",
El dx3 = q
en subtituant :~ dans la 2ième équation vous avons:
d3",
d2g(x)
1
d4w
- -
- - + - -
(a-14)
dx3 -
dx2
kGA
dx4
en remplaçant :~ par son expression dans dans l'équation il revient :
d3", _ ..9... _ d2g(x)
1
d4w d"
d4w _
d2g(x)
El
dx3 - El -
dx2
kGA dx4
ou
dx4 - q + dx2
kGA
L'équation précédente avec les conditions aux limites permettent de retrouver
l'équation de la déformée de la poutre qui est la suivante:
(a-15)
où k es le coefficient de cisaillement .
a·3· Domaine de validité de ces théories
La théorie de Timoshenko est plus riche et plus générale que la théorie élémentaire
des poutres au prix d'une fonction supplémentaire. Cette solution permet d'affiner les
solutions analytiques issues de la théorie classique. Toutefois ces solutions sont entachées
d'erreurs au voisinage des appuis et de la zone indentation où nous pouvons avoir des
concentrations de contrainte et des champs de déplacement non homogènes.
Pour une poutre, l'élancement doit être grand par définition, et le rapport ~ vaut
2(1 +u) : l'influence du cisaillement est alors négligeable. Dans le cas où nous avons un
élancement faible, l'effet du cisaillement devient plus important sur la déformée. Il faut
noter que le choix de l'essai de flexion 3 points ou 4 points a des incidences sur la
détermination des caractéristiques matérielles.Whitney et Husman (1977) dans leur
analyse estiment que l'essai de flexion 4 points accroît l'effet du cisaillement sur la
Annexe A
158

---

déformée. ils retrouvent des modules de rigidité de flexion moins élevés en flexion 4
points qu'en flexion 3 points.Par contre le module d'élasticité trouvé avec des essais sur
des poutres courtes est plus petit que sur les poutres longues. Pour des matériaux
fortement anisotropes nous avons toujours l'effet du cisaillement qui subsiste même pour
élancement ~ 30 Fisher et col (1981).
a·4· Solutions approchées
En dehors des solutions exactes, il existe des méthodes de résolution approchées en
l'occurence la méthode de Ritz et celle des éléments fmis.
a·4·1· Méthode de Ritz
La méthode de Ritz est basée sur la minimisation de l'énergie totale de déformation
U . La minimisation de la fonction quadratique se fait en choisissant au mieux les champs
de déplacement de forme simple ou sous forme de série.
Considérant une poutre posée sur 2 appuis simple et chargée en son milieu (charge
P), avec la théorie élémentaire des poutres, nous avons l'expression du champ de
déplacement:
Pl3
x
x 3
'
0~x~V2
W(x)ex = 48El[ 3 r 4(r) ] ou Wex est la solution exacte de
l'équation différentielle, El la rigidité en flexion et lIa longueur de la poutre.
L'énergie potentielle totale dans ces conditions est égale
j:
_
El 1(d2w(x))2dx
Pw()
':l -
2 J d2x
-
x x=1/2
(a-12)
Supposant que la fonction approchant W choisie est de la forme Asin (~) où A reste à
déterminer, la fonction Asin ~ doit vérifier les conditions limites en déplacement. En
remplaçant W par son expression dans l'énergie potentielle totale:
1t
1
nous avons ç = El A2(T)4 2 - PA
La valeur de A pour laquelle çest extrémale est obtenue en posant ~1 = 0 => A
2Pl3
- - -
~El
Annexe A
159

---

2 Pl3
.
1tX
d'où Wl = - - sm -
(a-13)
1t4EI
1
Nous pouvons comparer les déplacements issus de la solution exacte et ceux obtenus par
la solution approchée de Ritz.
1
1
x= 4"
x= 2"
Elwex
0,01432
0,02083
pl3
Elwapp
0,01452
0,02053
pl3
On peut choisir un nombre infini de fonctions vérifiant les conditions limites. Ces
fonctions peuvent se présenter sous forme de série pour avoir une meilleure
approximation. On peut constater que la méthode de Ritz est aussi basée sur un choix
judicieux des champs de déplacement.
a·4·2· Méthode des éléments finis
p
,"""
1.....
- - - - - . , . . .
- . ,...
i +
+j [w'
- - - - djleJ
Fig. a-4 : Elément de poutre.
Cette méthode très largement utilisée permet de calculer les contraites ou les
déformation d'une poutre sous n'importe quel chargement, on fait une une discrétisation
de la structure en de petits éléments en l'occurence des éléments de poutre (Touzot et
Dhatt, 1984). Donc l'élément de base de la structure est une poutre à deux noeuds avec
deux degré de liberté par noeuds fig (a-4 ).
Annexe A
160

---

Les défonnations et les contraintes dans l'élément de poutre peuvent être exprimées
en fonction de la défonnée w (déplacement par rapport à la fibre moyenne).
Le moment fléchissant M et le champ de déplacement w sont reliés par la relation
suivante:
Pour une poutre continue, le champ de déplacement Wi et la rotation Si sont aussi
continus.
Les défonnations et les contrainte sont données par :
d2w
EII = d2x Y , 0'11 = E EII les autres composantes sont supposées nulles
(théorie élémentaire des poutres).
Pour la fonction d'interpolation, on suppose que le champ de déplacement w peut
être décrit par un polynône de degré 3 (pour tenir compte du moment fléchissant linéaire
engendré par les réaction d'appui)
(a-14)
On déterminera les paramètres ao, al, a2, a3, ~ à partir des conditions limites en
déplacement.
Wi = w(O)
wi =w(l)
Si =w'(O)
Ces conditions assurent la continuité des déplacements et des rotations dans la
poutre. Les conditions précitées permettent de déterminer les coefficient ao, al, a2, a3, ~.
Le report des coefficient dans l'équation nous donne:
(a-15)
Annexe A
161

---

Les fonction d'interpolations sont données par les (NÜ i = l, 4
x2
x3
NI=1- 312 +2-fj-
(a-16)
Ainsi nous pouvons établir la matrice de rigidité de défonnation reliant les défonnations
aux déplacements des nœuds:
E=B Ue
De même, on peut calculer la matrice de rigidité élémentaire Re:
L
Re= JlB E B dx
(lB est la matrice transposée de B)
-121 61
-121 61
412 -61
212
(a-17)
121 -612
412
El étant la rigidité en flexion de la poutre.
Annexe A
162

---

Quant au calcul du vecteur force élémentaire, nous avons :
- cas de char~e repartie constante
q
g!
Fe = 2
-cas de chage concentrée P en x =a
a
b2(3a+b)
1 a b2
P
f 1P
~
~...
~I
Fe = 13
a2(3b+a)
- 1 b a 2
Annexe A
163

---

ANNEXE B
Application du principe des travaux virtuels aux poutres
dans le cadre de la théorie de Timoshenko
b-l-
Application à l'identification des rigidités de poutres
Considérons une poutre chargée perpendiculairement à son plan moyen (fig a-l).
Dans la théorie de Timoshenko (voir Annexe A), nous avons le champ de déplacement
qui est de la fonne
U 1 (x,y)
= uo (x) - y ",(x)
U2 (x,y) = W (x)
(b-l)
U3 (x,y) = 0
Les 2 composantes de défonnation non nulles sont: Exx ,Exz. Le travail des efforts
intérieurs peut s'écrire sous la fonne suivante:
(b-2)
En posant Uo (x) =0 nous avons:
d~
Exx = - y
dx
(b-3)
1 dW(x)
E xz = 2: [dx
- ",(x)]
w* étant homogène à w, nous pouvons écrire:
Annexe B
164

---

*
d",*(x)
ê xx = - y
dx
(b-4)
*
_ 1- [dw*(x)
*()]
ê
xy -
2
dx
-'II
x
Alors :
(b-5)
En associant la loi locale du matériau
(b-6)
Nous pouvons écrire:
f-
d",*(x) dv +
E ê xx y
dx
v
J
dw*(x)
2 G ê
(
dx
- ",*(x) ) dv )
(b-7)
xy
v
En remplaçant les ê xx, ê xy par leurs expressions respectives, le travail virtuel des
efforts intérieurs est égal à :
Annexe B
165

---

(b-8)
X
J2 G [( d wcix ) - 'l'(x) ( dwJx(x) - 'l'*(x)] dv
v
Quant au travail des efforts extérieurs au niveau du système, nous avons:
(b-9)
où Fi sont les efforts ponctuels nonnaux à la surface et appliqués aux points i
(i = 1, 2,
p) et w ~ est déplacement virtuel de la force Fi dans le champ w *.
En appliquant le théorème des travaux virtuels, nous pouvons écrire l'égalité :
~ F * - f E 2 d'l'(x) d'l'*(x) dv +
L i w i -
Y
dx
dx
i =1
v
f
X
G ( '1'* (x) - dWcix )) ('l'*(x) - dwJx(x)) dv
v
1
J[J
x
G ds )][ '1'* (x) - dwcix ) ] [ '1'* (x) - dw~x) ] dx
(b-lO)
En posant
JE y2 ds = D(x) et JG ds = d(x), nous avons
s
s
Annexe B
166

---

1
IFi ~ = JD(x) dlJ1d;)dlJ1;x)dx +
W
i =1
1
Jd(x) [dwcfxX)-1J1(x)] [dW~X) -1J1*(x)]dx
(b-11)
Où les quantités D(x) et d(x) représentent respectivement la rigidité en flexion et
celle en cisaillement de la poutre, w*, 'l'* sont les champs virtuels vérifiant les mêmes
conditions limites et de continuité que w, 'l' qui sont respectivement la déformée réelle et
la rotation réelle due à la flexion.
b·2· poutre modèle
Dans l'égalité que nous venons d'établir, nous pouvons considérer D(x) et d(x)
comme inconnues dans l'équation en supposant que les autres termes de l'égalité sont
connus.
Les quantités D(x) et d(x) peuvent être constantes ou variables suivant l'axe 0 x.
Lorsqu'on se met dans le second cas, on peut procéder à une détermination locale des
rigidités.
Supposons que la poutre à modéliser est une poutre à n évolutions c'est-à-dire
qu'elle comporte n tronçons avec des évolutions de rigidités différentes par tronçon. Nous
pouvons écrire l'égalité suivante en posant:
1
n
J
a·
D(x) dlJ1d;) dlJ1;X) dx = L /K(x) D(x) dx
(b-12)
aj_l
j =1
1
1
J
aj
x
d(x) [(dwLxLIJ1(x» ( dw:1 ) - 'l'*(x)] dx = L l k(x) d(x) d x
aj-l
j =1
avec ao =0, an =1 1étant la longueur de la poutre.
Annexe B
167

---

En considérant que les fonctions D(x) et d(x) sont linéaires quel que soit [aj , aj+ 1]
nous pouvons adopter les notations suivantes:
Dj - Dj-l
D(x) =
.
.
(x .. aj-Ü + Dj-l sur l'intervalle j
aJ - aJ-I
dj - dj-l
d(x) =.
.
(x - aj-Ü + dj-l sur l'intervalle j
aJ - aJ-I
n
~
*
~ faj
Dj-Dj-l
,LFi W i = ~
K(x) [aj- aj-l (x - aj_}) + Dj-d dx
i =1
aj_l
j = 1
n
a·J
~ f
dj - dj-l
~
k(x) [
.
a'
(x-aj_})+dj_ddx
(b-13)
aJ - J-I
a· 1
J-
j = 1
Dans le second membre de l'équation nous avons 2n+2 inconnues à déterminer
(n+1) constantes pour avoir l'évolution de chacune des deux rigidités sur la poutre, (DO,
D}, D2, .....Dn) et (do, dl, d2, .....dn). Ceci implique un système linéaire à 2n+2
équations d'où le choix de 2n+2 champs virtuels permettant l'identification des
constantes. Chacune des équations du système se présente sous la forme suivante :
al
F
f
w(iù = DO
K(x) al - x dx
+
al - aO
ao
al
a2
D [f K (X) -----"'-- dx + f
x - aO
K (x)
1
al - aO
ao
al
Annexe B
168

---

an-l
an
f
f
K
x - an-z
K
an - x
+ ... Dn-1 [
(x) a
_ a
dx +
(x)
_
d x]
n-l
n-Z
an
an-l
an-z
an-l
al
do fK(X)al-x dx +
al - ao
ao
al
aZ
f
d}[
k(x)
x - aO dx + f k (x) aZ - x dx ]
al - aO
aZ - al
ao
al
an-!
an
f
f
k
x - an -Z
k
an - x
+ ... dn- 1[
(x)a
-a
dx+
(x)a
-a
dx]
n-l
n-Z
n
n-l
an-Z
an-l
an
+ d
f
n
K(x)
(b-14)
an-l
xi étant l'abscisse de point d'application de la force F.
Le système global peut se mettre sous la forme matricielle suivante:
Annexe B
169

---

*
Fi W i2
= [A]
+ [B]
(b-15)
*
Fi W i (2n+2)
dn
avec:
ai
fK (x) al - x dx
ao 1
al - aO
an
f
x - a
1
K(2n+2)(X) a
1 ~-â dx
n-
n
~-1
an
a·1
a - x
fk1(X) 1
dx
ao
f
x - a
1
k1(X)
n-
dx
al - aO
an-1 - an
an-l
an
a·1
a - x
f k(2n+2)(X) a Il _ aO d x
fk(2n+2)(X) aX- a~-l dx
ao
n-1
n
an-1
Annexe B
170

---

ANNEXE C
Courbes effort-déformation sur les jauges (charge & décharge)
Essaj nO 1
Jauge nO 1 charge-décharge
800
.-
~ 600
\\0
1
o
- 400
--§
'zj
y = - 18,0478 + 58,0062x R = 1,00
ê 200
tE
Y=52,2956 + 51,8894x R =1,00
o
O-+--......-.....,..-.......- - - , - - . . - - , . . - -......-"'T""-......- - ,
2
4
6
8
10
12
force(N)
Jauge nO 2 charge-décharge
800
.-
•
j2
~ 600
c
jd2
\\0
o
-
-- 400
§
'zj
~
y = - 18,5687 + 64, 1486x R =1,00
ê 200
tE
'0
Y=33,7736 + 59,5849x R =0,99
Cl
O-+--......-.....,..-.......- - - , - - . . - - , . . - -......-"'T""-......- - ,
2
4
6
8
10
12
force(N)
Annexe C
171

---

Jauge nO 3 charge-décharge
800
-
j3
i 600
jd3
\\0
6
- 400
--§
',:j
ro
y = -5,0427 + 59,5945x R = 1,00
§ 200
..a
Y=45,6783 + 55,3733x R =0,99
'0
Q
O-+--....,....-.....,...-__---r-.......,,....--r---.,....--r--....,....---,
2
4
6
8
10
12
force(N)
Jauge nO 4 charge-décharge
800
-i 600
j4
\\0
jd4
6
- 400
--§
':::1
y =2,4531 + 54,2141x R =0,99
ro
§ 200
Y=51,8393 + 50,0413x R =0,99
..a
CS
O+--....,....-"""T'"-....,..-.....,.-.....,,....--r---......-.,--....,....-...,
2
4
6
8
10
12
force(N)
Annexe C
172

---

Jauge nO 5 charge-décharge
800
~ 600
j5
1.0
o
-
jd5
.......,
c
400
o
.--~
y = 26,9978 + 50,8851x R = 0,98
§ 200
..8
Y=60,849 + 46,1396x R =0,99
'0
Cl
O+--""""I"'"-~----.r----r--"""'--r-----r"----'r---""'--"
2
4
6
8
10
12
force(N)
Jauge nO 6 charge-décharge
800
...--
~ 600
•
j6
1.0
o
-
c
jd6
.......,
400
c
o
"J:l
§
y =53,807 + 51,2016x R =0,98
..8 200
'0
Y=89,3655 + 46,715x R =0,99
Cl
O+--""""I"'"-~----.r----r--"""'--r-----r"----'r---.,......-"
2
4
6
8
10
12
force(N)
Annexe C
173

---

Jauge nO 7 charge-décharge
800
-
i 600
\\0
• j7
1
0
c
jd7
-
'-"
400
c:
.9
y = 52,5594 + 51,2735x R =0,99
-~ê
Y= 95,0522 + 48,3132x R =0,99
200
..e
'CI.)
0
a
2
4
6
8
10
12
force(N)
Jauge nO 8 charge-décharge
800
-i 600
\\0
1
0
-
'-"
400
§
.~
~
y = 65,5617 + 42,4974x R = 0,99
§ 200
c,.;:;,
Y= 134,477 + 38,2482x R = 0,99
0
a
2
4
6
8
10
12
force(N)
Annexe C
174

---

Jauge nO 9 charge-décharge
800
-~ 600
1.0
1
0
-
' - '
400
c:
•
j9
0
'l:\\
c
jd9
I:':S
§ 200
y = 61,8976 + 37,2485x R =0,99
oB
'CL>
0
Y= 130,9103 + 32,949x R = 0,99
0
2
4
6
8
10
12
force(N)
Jauge nO 10 charge-décharge
800
-~ 600
1.0
1
0
-
' - '
400
c:
~~i::::::::::::::::=:::::::=:;:::::J'''''----• j10
0
'l:\\
c
jd10
I:':S
§
y =68,1567 + 33,4552x R =0,99
200
oB
'CL>
Y=134,0492 + 27,9813x R =0,99
0
0
2
4
6
8
10
12
force(N)
Annexe C
175

---

Jauge nO Il charge-décharge
800
..-..
~ 600
\\0
1
0
-
'-"
400
c
• j11
0
"J:j
c
jd11
<:a
ê 200
Y= 46,2532 + 33,1162x R= 0,98
..s
'0
Cl
y = 114,2504 + 26,3994x R = 1,00
0
2
4
6
8
1 0
12
force(N)
Jauge nO 12 charge-décharge
800
..-..
~ 600
\\0
1
0
-'-" 400
c
• j12
0
"J:j
CI
jd12
<:a
§ 200
Y= 36,5058 + 34,7048x R= 0,98
0.,.;;.
~
y = 102,1636 + 28,1815x R= 0,99
0
2
4
6
8
10
12
force(N)
Annexe C
176

---

Jauge nO 13 charge-décharge
800
..-.
i 600
\\0
1
0
-
-- 400
c
0
'=:l
CIS
ê
y
200
=4,028 + 37,6269x R =l,DO
..8
,~
0
Y =75,5922 + 31,1171x R = 1,00
a
2
4
6
8
10
12
force(N)
Jauge nO 14 charge-décharge
800
..-.
i 600
\\0
1
0
-
-- 400
c
0
'=:l
•
CIS
ê
..8 200
Y= - 17,208 + 36,9026x R = 0,95
~
Y= 66,2377 + 26,7262x R = l,DO
a
2
4
6
8
10
12
force(N)
Annexe C
177

---

Essai nO 2
Jauge nO 1 charge-décharge
400
..-..
.g
•
j1
t:
300
c
jd1
\\0
1
o
-
--§ 200
.~
y = -6,2285 + 31,624x R =1,00
..s 100
Y=52,7509 + 26,6154x R =1,00
'Q)
o
O+--.....-.....,..-......,..---r--..,...--r--....,..-......,--r----,
2
4
6
8
10
12
Force(N)
Jauge nO 2 charge-décharge
500
..-..
~ 400
•
j2
\\0
1
0
300
-
--
D
jd2
c:::
0
.- 200
~
y = - 3,5174 + 35,3888x R = 1,00
§
..s
Y=51,6479 + 31,3391x R =1,00
'Q)
100
0
0
2
4
6
8
10
12
Force(N)
Annexe C
178

---

Jauge nO 3 charge-décharge
500
...-,
i 400
j3
\\0
1
0
300
-
--
jd3
c
0
.-.... 200
y =3,8645 + 33,3944x R =1,00
~\\,.;:;,
Y= 83,7085 + 26,47x R = 1,00
100
0
0
2
4
6
8
10
12
Force(N)
Jauge nO 4 charge-décharge
500
...-,
i 400
\\0
1
0
300
---c0'J:j 200
~
ë
y = 10,5257 + 30,0667x
R = 1,00
tE
0 100
Y = 101,916 + 21,7304x
R = 0,99
0
2
4
6
8
10
12
Force(N)
Annexe C
179

---

Jauge nO 5 charge-décharge
500
-%400
\\0
1
0
300
jS
-
--
jdS
c::
0
"a
200
~
ê
y =12,6528 + 27,4656x R =1,00
~
Q 100
Y=113,107 + 18,3602x R =0,99
0
2
4
6
8
1 0
12
Force(N)
Jauge nO 6 charge-décharge
500
-%400
\\0
1
0
300
-
--
•
j6
c::
D
jd6
0
.-.... 200
~
ê
y = -0,0604 + 30,0798x R =1,00
~
'0
100
Y
Cl
=59,3985 + 24,7326x R =0,97
0
2
4
6
8
10
12
Force(N)
Annexe C
180

---

Jauge nO 7 charge-décharge
500
...-,
i 400
\\01
0
300
• j7
-
--c:
D
jd7
0
.~
200
C':S
ë
y = - 18,1983 + 34,2392x R = 1,00
..s
'(1)
100
Cl
Y= 51,6503 + 28,7569x R = 1,00
0
2
4
6
8
10
12
Force(N)
Jauge nO 8 charge-décharge
500
...-,
i 400
\\0
0
300
---
•
j8
c:
D
jd8
0
.-..- 200
C':S
y = 2,3798 + 38,4039x R = 1,00
ë
..s
'(1)
100
y=79,3742+31,6084x R=1,00
Cl
0
2
4
6
8
10
12
Force(N)
Annexe C
181

---

Jauge nO 9 charge-décharge
500
.-
~ 400
\\0
1
0
300
• j9
---c:
1:1
jd9
0
".=
C':l
200
§
Y= 28,7706 + 37,813x R=l,OO
..8 100
0
Y= 122,0847 + 27,0203x R = 0,98
0
2
4
6
8
1 0
12
Force(N)
Jauge nO 10 charge-décharge
600
.- 500
~\\0 400
1
0
•
j10
-
--
1:1
c:
300
jd10
0
".=
C':l
Y= 21,9386 + 44,3939x R = 1,00
§ 200
..8
Y=127,145 + 35,2882x R =1,00
0 100
0
2
4
6
8
10
12
Force(N)
Annexe C
182

---

Jauge nO Il charge-décharge
600
- 500
~
\\0
400
•
j11
1
0
-
--
c
jd11
c:
300
0
"~
C':l
ê 200
y =19,0352 + 44,9107x R =1,00
..s
Y= 111,8191 + 36,5526x R = 1,00
0 100
a
2
4
6
8
10
12
Force(N)
Jauge nO 12 charge-décharge
600
- 500
~\\0
•
j12
1
400
0
-
--
c
jd12
c:
300
0
"J::'
y =7,9183 + 47,89x R =1,00
§ 200
Y= 91,9413 + 40,8245x R = 1,00
..s
0 100
a
2
4
6
8
1 a
12
Force(N)
Annexe C
183

---

Jauge nO 13 charge-décharge
600
..-..
i 500
\\0
•
j13
1
400
0
-
--
c
jd13
c::
300
0
.:=
~
y =1,1955 + 49,8982x R =1,00
§ 200
c..;;.
'Q)
y = 67,5323 + 44,7973x R = 1,00
Cl
100
0
2
4
6
8
1 0
1 2
Force(N)
Jauge nO 14 charge-décharge
600 .
..-..
i 500
\\0
•
j14
1
400
0
-
--
c
jd14
c::
300
0
.:=
y = -4,5482 + 46,1384x R =1,00
~ 200
c..;;.
'Q)
Y=79,3806 + 38,9733x R =1,00
Cl
100
0
2
4
6
8
1 0
1 2
Force(N)
Annexe C
184

---

Jauge nO 1 charge-décharge
500
..-,
i 400
•
j1
\\0
c
jd1
1
0
- 300
' - '
c::
0
.;:3
~
200
§
y = 6,454 + 39,2659x R = 1,00
...'<00 100
Y = 14,2689 + 38,9522x R = 1,00
a
2
4
6
8
10
12
Force (N)
Jauge nO 2 charge-décharge
600
..-,
i 500
j2
\\0
jd2
1
400
0
-
' - '
c::
0
300
.;:3
~
y =7,3655 + 44,2151x R =1,00
§ 200
...
Y=5,5102 + 44,6867x R =1,00
'<0
0
100
a
2
4
6
8
10
12
Force (N)
Annexe C
185

---

Jauge nO 3 charge-décharge
600
.-
i 500
•
j3
\\0
1
400
0
-
c
jd3
.......,
c:
0
300
·e
~
y =7,3797 + 41,8969x R =1,00
§ 200
..E
'<1,)
Y =0,086 + 43,0426x R =1,00
0
100
a
2
4
6
8
10
12
Force (N)
Jauge nO 4 charge-décharge
600
.-
i 500
\\0
1
0
400
-
.......,
j4
c:
•
0
300
c
jd4
"e
~
§ 200
Y=0,603 + 37,8004x R =1,00
..E
'<1,)
0
100
Y= -8,8252 + 38,8526x R =1,00
a
2
4
6
8
10
12
Force (N)
Annexe C
186

---

Jauge nO 5 charge-décharge
GOO
..-.
~ 500
\\0
1
0
400
-
--
•
j5
c::
0
300
1:1
jd5
"J:j
§ 200
y = • 25,8642 + 45,503x R = 0,98
~
'Q)
Cl
100
Y=11,276 + 35,9517x R =1,00
0
2
4
G Force (N)8
10
12
Jauge nO 6 charge-décharge
GOO
..-.
~ 500
\\0
0
400
-
• jG
--c::0 300
1:1
jdG
"J:j
~
ê 200
~
Y= 177,3856 + 20,9757x R = 0,97
'Q)
Cl
100
Y= - 3,6657 + 37,5755x R= 0,98
0
2
4
GForce (N) 8
10
12
Annexe C
187

---

Jauge nO 7 charge-décharge
600
-
i 500
\\0
1
0
400
-
'-"
•
j7
c=
0
300
':::2
~
ë 200
y
..e
=1,3304 + 39,8541x R =0,98
,~
Cl
100
0
2
4
10
1 2
6 Force (N) 8
Jauge nO 8 charge-décharge
600
-i 500
\\0
1
0
400
-
'-"
j8
c=
•
0
300
D
jd8
':::2
~
ë 200
Y= -8,2201 + 48,7843x R =1,00
..e
~ 100
Y=180,8125 + 29,3397x R =0,94
a
2
4
6 Force (N) 8
10
12
Annexe C
188

---

Jauge nO 9 charge-décharge
600
.-
%500
\\D
1
400
0
• j9
-
--
c
jd9
c
0
300
'=:1
~
Y= -11,2211 + 48,7û85x R =1,00
ë 200
..8
'Q)
y =163,6601 + 34,2987x R =1,00
Cl
100
0
2
4
6 Force (N) 8
10
12
Jauge nO 10 charge-décharge
600
.-
%500
\\D
1
0
400
j10
-
--
jd10
c
0
300
'=:1
~
ë 200
Y= - 12,4881 + 36,1817x R =1,00
..8
0
Y= -32,7868 + 38,0495x R =1,00
100
0
2
4
6 Force (N) 8
10
12
Annexe C
189

---

Jauge nO Il charge-décharge
600
..-.
i 500
\\0
f
0
400
-
--c::
• j 11
0
300
.~
c
jd11
~
§
200
oB
y = 3,2068 + 32,4692x R = 1,00
'0
Cl
100
Y= - 42,2473 + 36,8665x R = 1,00
a
2
4
6 Force (N) 8
10
12
Jauge nO 12 charge-décharge
600
..-.
i 500
\\0
1
0
400
-
--c::
• j12
0
300
.~
c
jd12
~
§
200
Y= - 23,7706 + 37,7433x R = l,DO
oB
'0
Cl
Y= - 37,6758 + 38,9059x R= l,DO
100
a
2
4
6 Force (N) 8
10
12
Annexe C
190

---

Jauge nO 13 charge-décharge
600
-
i 500
1.0
1
0
400
-'-'c::
• j13
0
300
.~
c
jd13
~
§
200
..8
Y= -29,8788 + 40,7212x R =1,00
0 100
Y= -28,6762 + 40,3867x R =1,00
0
2
4
6 Force (N) 8
10
12
Jauge nO 14 charge-décharge
600
'8 500
â'Ç ~oo
o
-
' - '
•
j14
c:: 300
o
c
jd14
.~
~
§ 200
..8
y = - 18,4816 + 35,2694x R =1,00
0 100
Y= -24,2239 + 35,3822x R =1,00
04---r--"""T"---.----r----,r----r---~-_r_-....,....-...,
2
4
6
8
1 0
12
Force (N)
Annexe C
191

---

~O:i: TOUKOUROU
DATE de SOUTENANCE
(avec précision du nom de jeune fille,
le cas échéant>
Prénoms:
Chakirou Akanho
4 Juillet 1991
TITRE :
Méthode d'identification des rigidités de flexion de poutres à inertie évolutive
NATURE :
Numéro d'ordre:
122-91
DOCTORAT
DIPLOME
DOCTEUR-
DOCTORAT
DE
Spécialité
DE DOCT.
:
INGENIEUR
D'ETAT
3e CYCLE
j
0
D
0
D
1
Cote B.r.O. - Lyon:
T 50/210119
/
et
bis
1 CLASSE:
RESUl'Œ
Les poutres à inertie variable sont des structures optimisées pennettant d'utiliser au mieux les propriétés des
matériaux en limitant tout sur-coût. Il est clair par ailleurs que la pénétration des composites dans le domaine
structural est fortement liée à la possibilité de concevoir des systèmes possédant des perfonnances mécaniques accrues
sans entraîner de coûts prohibitifs. Par suite il convient de développer des méthodes de conception et de caractérisation
de structures à élancement variable. Le présent travail concerne la conception et la réalisation d'une nouvelle méthode
d'identification expérimentale de l'inertie locale de flexion des poutres à inertie variable. Il s'agit du problème inverse
consistant à identifier l'inertie d'une poutre connaissant sa défonnée.
La méthode repose sur l'utilisation du principe des travaux virtuels. Le problème co~ste à construire une poutre
modèle composée de différents tronçons, de longueur variable, et dont l'inertie évolue linéairement; les inconnues sont
les inerties au niveau des sections extrêmes de chaque tronçon. Ces inconnues sont identifiées en écrivant que la poutre
réelle et la poutre modèles ont la même défonnée dans le contexte d'un essai médmique donné, qui dans le cas présent
est l'essai de flexion trois points. Les flèches ou les défonnations réelles sont supposées connues en un nombre réduit
de points. Un programme infonnatique convivial d'aide à l'identification de rigidités de poutres a été développé en
langage Turbo Pascal sur compatible PC. Il pennet simultanément l'apprentissage rapide de la méthode, la simulation
numérique et l'identification effective des rigidités de flexion. Une série de simulations numériques a été réalisée afin de
caractériser les perfonnances réelles de la méthode quand diverses catégories d'erreurs de nature aléatoire existent et pour
divers types de poutres réelles et modèles. Une bonne stabilité de la méthode a été trouvée.
Des essais expérimentaux ont enfin été menés dans le but de valider la méthode dans Ul} cas pratique. Une poutre à
inertie variable en (Pfv1MA) a été testée en flexion trois points à divers niveaux de charges et les déformations de
surface mesurées en 14 points par des jauges de défonnations. L'identification effective a conduit à des résultats
acceptables pour des nombres de tronçons de l'ordre d'une dizaine environ.
MOTS-CLES :
poutre inertie évolutive rigidité de flexion identification mécanique simulation numérique
programme d'identification.
Laboratoire(s) de recherches:
Ecole des Mines de SAINT-ETIENNE
Département Mécanique et Matériaux
Directeur de recherches· :
Professeur Alain VAUTRIN
Président du jury :
G. Yerchery
. Compos ition du jury:
R.M. Courtade M.Grédiac L.Jézéqucl
F. Renard A. Vautrin P.Hamelin G. Yerchery

---