THESE DE DOCTORAT de L'UNIVERSITE PARIS 6
Spécialité:
MATHEMATIQUES
Présenté
par
,C;\\\\·:l_'";)t
;,~'.~...,
.;~
Monsieur Kenny K. SIGGINI
/ /
-~
(G~)
oç/~<.:j
l '
( \\ ' -
Pour obtenir le titre de
-,' r, .
e
- - - -
' .. 1
1:1 MAtG,fj.,
DOCTEUR DE L'UNIVERSITE \\~.,f:8.,,' ,A:~:~,~;,~~J.~,:~,:,,r; S:J:1f;'g
.. '''1'''' v' ~." ,1·,.• 0<_' •
~O~è,:~"j'~ ~:.::-c1';i~~~C.U
\\ Arr",,'/èe ~.4.~· Q#··.~·.1.f3.9
. ""8 c.ou" li
':l
Sujet de la thèse:
.:'reg'.s,~~.-...-.-
\\
Sur les propriétés de régularité des mesures
vectorielles et multivoques sur des espaces
topologiques généraux.
Soutenue le ~ octobre 1992
Devant le Jury composé de :
Mr C. M. MARLE
Président
Mr R. PALLU DE LA BARRIERE
Examinateur
Mr J. SAINT RAYMOND
Exan1inateur
Mr E. LANERY
Exan1inateur

---

---

Je remercie Monsieur le Professeur MARLE de m'avoir fait
l'honneur de présider le jury de cette thèse.
Je remercie Monsieur le professeur LANERY d'avoir accepté
volontiers de participer à ce jury.
je suis extrêmenlent reconnaissant à Monsieur le professeur
SAINT RAYMOND de m'avoir permis d'améliorer quelques
résultats de ce travail et d'avoir accepté volontiers de participer
à ce jury.
Je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance à Monsieur le
professeur PALLU DE LA BARRIERE d'avoir suivi avec le plus
grand intérêt le déroulement de mes travaux. Ses conseils et la
simplicité qui a toujours entouré nos relations m'ont été très
précieux.

---

---

- 1 -
INTRODUCTION
Soient
M(T)
l'espace des mesures de Baire finies sur un espace topolo-
gique séparé
T
et
Cn)
l'espace des fonctions numériques continues bornées
définies dans
T.
La topologie de la convergence étroite sur
M(T)
(Le.
la
topologie de la convergence simple dans
C(T)
a
été,
à
notre
connaissance,
étudiée
pour
la
première
fois
par
Aleksandrov
[1]
;
cependant
l'étude
des
parties
étroitement
compactes
n'a
été
faite
que
dans
des
papiers
ultérieurs
dont
les
plus
couramment
cités
sont
de
D.H.
Fremlin,
D.J.H.
Carling
et
R.C.
Haydon
[2],
Prokhorov
[22J),
A.
Badrikian
[6),
J.B.
Conway
[9],
[27],
[28],
Dudley [30],
[32],
D.
Preiss [40J notamment L.
Le Cam
([7))
et Varada-
rajan
[Jl.
On
peut
dire,
sans
exagérer,
que
le
papier
de
Prokhorov
[22)
et
celui de J.8. Conway ((9) ont orienté les travaux sur la topologie étroite.
Prokhorov a soulevé le problème de la métrisabilité de cette topologie en mon-
trant que l'espace
A{ (T)
des probabilités de Radon muni de la topologie de
+
la convergence étroite est métrisable,
séparable et complet
si
T
l'est aussi.
J.B.Conway a
indiqué
une nouvelle façon
de
voir
le
problème
de
la compacité
étroite.
En
utilisant
le
résultat,
bien
connu,
selon
lequel
l'espace
des mesures de Radon bornées sur un espace topologique
T
localement compact
est le dual de C(T)
muni de la topologie stricte
{3, il a démontré qu'il y a
r
identité entre la classe des parties
(3-équicontinues de
M (T)
et celle des
parties
vérifiant
la
condition
de
Prokhorov.
Ensuite
il
a
abordé
la
question
suivante:
(C(T),{3)
est-il
un
espace de
Mackey
?
c'est-à-dire
la
topologie
de Mackey
-r(CeT), A{eT)
sur
CeT)
coïncide-t-elle avec la topologie
{3? On
r
sait
qu'une
réponse
positive
impliquerait
que
les
parties
de
M (T)
étroitement
compactes
et
celles
satisfaisant
la
condition
de
Prokhorov
sont
les mêmes.
J.B.
Con\\'!ay a prûuvé que si
T
est localement compact et para-
compact,
alors
(C(T),{3)
est
un
espace de Mackey.
Ii a
aussi
construit des
contre-exemples. La démarche de Conway a été reprise en particulier
par
H.S. Collins ((29), (31)).
..

---

- 2 -
Les travaux de R. Pallu de La Barrière
[17]
dans le cas
T
compact ont
montré
l'importance du rôle
joué
par
les
semi-variations,
lesquelles sont des
semi-normes
de
Riesz,
et
la
possibilité
de
considérer
l'intégration
par
rapport à une semi-norme de Riesz comme un fondement algébrique unifié pour
différents
problèmes
d'intégration
vectorielles
ou
multivoques.
Par
ailleurs
par le théorème de Hahn-Banach il existe une bijection entre
les semi-normes
de Riesz et les parties solides faiblement compactes de
M(TL
De ce fait nous
avons été amenés à développer une étude de semi-variation de Riesz en particu-
lier
les
propriétés
de
CT-régularité,
.-régularité,
de
tension
et
celle
de
parties solides faiblement
compactes dans
l'espace
des mesures
CT-régulières,
.-régulières et tendues. Nous avons profité de note étude pour essayer de sim-
plifier
les démonstrations
existant
dans
le
cas
scalaire.
Les
idées
que
nous
avons
exploitées
étant
inspirées
de
la
littérature
existante
nous
ne
saurions
prétendre qu'à une originalité toute relative de
la présentation que nous fai-
sons ici.
Le cadre et
les résultats de notre travail sont les suivants : on consi-
dère sur
C(T)
la topologie de la convergence uniforme dans
T, et l'on munit
l'espace
M(T, E)
des applications linéaires continues de
C(T) dans un espace
de Banach
E,
de
la
topologie
de
la convergence
étroite
(c'est-à-dire
de
la
topologi.e de la convergence simple dans
C(T) L Nous donnons une caractérisa-
tion des parties étroitement compactes dans chacun des sous-espaces
MCT(T. E),
•
t
M (T,E), M (T,E)
de
M(T,E)
formé respectivement des applications
CT-régu-
lières,
.-régulières
et
tendues.
Nous
démontrons
ensuite
que
ces
résultats
sont
vrais
pour
les
multi-applications
additives,
positivement
homogènes
et
continues définies dans le cône positif de
C(T)
et à
valeurs convexes fer-
mées bornées non vides dans
E,
et qu'ils peuvent être étendus à
un
espace
vectoriel
localement
convexe
séparé.
On
donne
particulièrement
dans
le
cha-
pitre
III
quelques
applications
de
ces
théorèmes.
Signalons
que
le
papier
de
Varadarajan [3] et de
Fremlin,
Garling et Haydon
[2]
ont été
pour
nous des
références
non
négligeables.
Ce travail est divisé en quatre chapitres résumés séparément ci-après.

---

.',
- 3 -
CHAPITRE 0
On note
T
un espace topologique,
C(T)
l'espace des fonctions numéri-
ques continues bornées définies dans
T, muni de la topologie de la convergen-
ce uniforme sur
T,
et on note
C (T)
le sous-espace de
C(T)
formé des
+
fonctions
positives
ou
nulles.
Nous
rappelons
le
dual
de
C(T),
les
défini-
tions
d'une famille
de formes
linéaires
uniformément
cr-régul ières,
T-régu-
lières,
tendues et démontrons qu'une famille
H
de formes linéaires est uni-
formément
cr-régulières
(resp.
T-régulières,
tendues)
si
et
seulement
si
IHj = {Iii
i E H}
ou
{t ; i E H}
et
H
= {i
i E H} sont uni-
formément
cr-régulières
(resp.
T-régulières,
tendues).
Dans
les
travaux
antérieurs
(par
exemple
[3],
[6])
ces
équivalences
étaient
prouvées
pour
H = {il,
et
les
démonstrations étaient différentes
d'un
cas
à
l'autre.
Ici
la
preuve est la même pour les familles uniformément
cr-régulières et uniformé-
ment
T-régulières.
CHAPITRE 1
On considère un semi -norme de Riesz
v
sur
C(T),
que l'on prolonge à
l'ensemble
des
fonctions
positives
définies
dans
T.
Nous
définissons
ensuite
les
semi-normes
de
Riesz
cr-régulières,
T-régulières,
tendues
et
donnons
ensuite des propriétés équivalentes à chacune de ces notions.
On démontre que
si
T
est un espace polonais ou un espace localement compact et dénombrable à
l'infini alors toute semi -norme de Riesz
cr-régulière sur
C(T)
est une semi-
norme de Riesz tendue. Ces résultats étaient connus pour les mesures réelles ;
notre démarche permet de
les re-obtenir en
corollaires.
Le pragraphe 3
est
consacré à la compacité étroite des familles
de mesures réelles
cr-régulières,
T-régulières et tendues. Pour sortir des chemins
battues
nous
avons
étudié

---

- 4 -
exclusivement les parties solides ;
il est prouvé que
pour qu'une partie
H
de l'espace des mesures
M(T)
soit uniformément
tT-régulière (resp.
,-régu-
lière)
il
faut
et
il
suffit
que
son
enveloppe
solide,
sol(H),
soit
relative-
ment étroitement compacte dans
MtT(T)
(resp. dans
M'(T).
Quant aux parties
uniformément tendues
l'assertion n'est
vraie que
pour
certaines
classes d'es-
paces
topologiques
T.
On
a
terminé
le
chapitre
en
rappelant
des
contre-
exemples qui montrent que l'on n'a pas pour tout espace topologique
T
la
proposition
suivante
"sol(H)
est
relativement
étroitement
compacte
dans
M'(T)
(resp. dans l'espace
Mt(T)
des mesures réelles tendues) si
H
est
relativement étroitement compacte dans
M' (T)
(resp. dans
Mt(T))".
CHAPITRE II
On désigne par
E
un espace de Banach et par
M(T,E)
l'ensemble des
applications
linéaires
continues
de
C(T)
dans
E.
La
topologie
étroite
sur
M(T,E)
est
la
moins
fine
des
topologies
rendant
continues
les
applications
Pf
'
f
E
C+(T),
de
M(T,E) ----j E
définies
par
pour tout
m E
M(T,E).
On
définit
les
applications vectorielles
tT-régulières,
,-régu-
lières et tendues. Soit
m E M(T,E), nous définissons une semi -norme de Riesz
m
associée à
m
et nous montrons que
m
est
tT-régulière,
,-régulière ou
tendue si et seulement si m
]'est aussi (corollaires : 2.3.,
2.5
et 2.3 bis).
Ceci permet d'énoncer, en s'appuyant sur les résultats du chapitre
concer-
nant les semi-normes de Riesz,
d'autres propriétés équivalentes à
chacune
de
ces
notions
(Théo.
2.2,
Corol.
2.3,
Théo.
2.4,
Corol.
2.5)
et
de
conclure
aussi que
Mt(T.E) = MtT(T,E)
si
T
est un espace polonais ou localement
compact et dénombrable à l'infini. Soit
H
une partie de M(T,E) ; on dit que
H
satisfaisant la condition de Prokhorov si
H
est uniformément tendue.
Il
est
prouvé que,
pour
toute
partie
H 5o.tisr"i$Qlltla
condition
de
Prokhorov,
les assertions
"H
est relativement étroitement compacte dans
Mt(T,E)"
et
"pour tout
f E C (T).
{m(f); m E H}
est
relativement
compact
dans
E"
+

---

- 5 -
sont
équivalentes.
Il
en
découle
que
pour
que
toute
partie
de
satisfaisant
la
condition
de
Prokhorov
soit
relativement
étroitement
com-
pacte dans
Mt(T,E)
il faut et il suffit que
E
soit de dimension finie.
(J'
Des résultats analogues sont établis dans les espaces
M" (T,El
et
M (T,El.
Lorsque
T
est
un
espace
topologique
métrisable
et
complet
ou
k-espace
t
hémicompact toute partie
H
de M (T,E)
est relativement étroitement compacte
si et seulement
si
H vérifie la condition de Prokhorov et pour tout
f E C (T) {m(f)
..
m E H}
est relativement compact dans
E. Ces hypothèses sur
T
sont
inutiles
si
H
est
une
partie
de
E
est
de
dimension finie
la
condition : "pour tout
f
E
C (T),
..
{m(f)
;
m E
H}
est
relativement compact dans
E'
est automatiquement satisfaite.
Soit
(m)
une suite d'éléments de
M(J'(T,E); nous prouvons que si
(m)
n
n
(J'
converge étroitement vers un élément
m, alors m E M (T,E) et {m
; n:=I,2, ... }
n
est
uniformément
(J'-régulier.
On
a
un
résultat
analogue
pour
(m l
dans
n
Mt(T,E)
mais pour une classe précise d'espaces topologiques
T. La démonstra-
tion est à peu près la même dans les deux cas.
Soit
CfB(E)
l'espace des parties convexe fermées bornées non vides de E
muni
de
la distance
de
Hausdorff
associée
à
la norme
de
E,
Mn,CfB(E))
l'espace
des
applications
additives,
positivement
homogènes
et
continues
de
C (T)
dans CfB(E)
muni de la topologie de la convergence étroite.
Nous no-
..
tons
M(J'(T,CfB(E)l,
M"(T,CfB(E)),
Mt(T,CfB(E))
les
sous-espaces
de
M(T,CfB(E))
formés
respectivement
des
multi-applications
(J'-régulières,
"-régulières
et
tendues.
Tous
les
résultats
de
compacité
et
de
convergence
( J ' "
t
énoncés dans
les
espaces
M (T,E),
M (T,E)
et
M (T,El
sont étendus
aux
espaces
M(J'(T,CfB(E)),
M"(T,CfB(E)),
Mt(T,CfB(E)l.
Dans la plupart des cas
il
a
suffi
de
plonger
isométriquement
l'espace
CfB(E)
dans
un
espace
de
Banach
approprié
pour
obtenir
le
résultat
voulu.
La
relation
d'ordre
sur
M(T,CfB(E)),
([17])
permet
de
définir
la
notion
d'enveloppe
solide
d'une
partie
H
de
M(T,CfB(E)),
et
de
partie
positive
(resp.
négative)
de M E M(T,CfB(E)l. Ceci a permis de donner de nouvelles
conditions,
caracté-

---

- 6 -
ri sant
les
parties
uniformément
(T-régulières
(resp.
"t-régulières,
tendues)
dans M(T,CFB(E»
(Théorèmes : 2.33,
2.33 bis et 2.35) et d'énoncer des résul-
tats
de
compacité que
nous
ne
pouvons
pas
avoir dans
M(T,El.
(Ex.
Corol.
2.48, Théo. 2.51, Corol. 2.52, Théo. 2.55 etc ... l.
Dans la partie complément (pages C.1 -C.4) nous faisons remarquer qu'en
munissant
E
de la topologie faible
(T(E,E'),
l'hypothèse : "E
est de dimen-
sion finie"
peut-être remplacée
par
:
"E
est
un
espace de Banach
réflexif"
dans
tous
les
résultats
de
compacité
étroite
dans
M(T(T,E),
M"t (T,E)
et
Mt(T,El.
Nous
mettons aussi
en
évidence
le
fait
que
les
résultats
principaux
peuvent être étendus aux espaces vectoriels localement
LOTI 'Jc)C.es
sé pClrés.
CHAPITRE III
Dans cette dernière
partie nous donnons quelques applications des
résul-
tats fondamentaux. On a démontré un théorème de relèvement pour les multime-
sures
de
Radon
positives
à
valeurs
convexes
faiblement
compactes,
lequel
a
servi
à
prouver
une
condition
nécessaire
et
suffisante
à
l'existence
d'une
limite projective d'un système projectif de multimesures de Radon positives à
valeurs convexes faiblement
compactes.
Cette condition est
la même que celle
qui a été donnée pour les mesures de Radon à valeurs réelles.
Elle est véri-
fiée par tout système projectif de multimesures indexé par un ensemble admet-
tant
une
partie
cofinale
dénombrable.
Nous
déduisons
des
théorèmes
2.13
et
2.17 des critères de compacité faible dans ll(I)
et ll(lNl.
Enfin
les
théorèmes
(T
(T
de convergence permettent de montrer que les espaces
M (T,E),
M (T,CFB(E»,
Mt(T,E), M\\T,CFB(E»
sont séquentiellement complets. En ce qui les espaces
Mt(T,E), Mt(T,CFB(E»
T
est supposé localement compact et paracompact.
Ces derniers résultats,
y compris la compacité dans
ll(I),
figurent dans
les papiers de J.B.
Conway [27) et de H.S.
Collins [29) comme applications de
la
compacité étroite
des
mesures
de
Radon
réelles.
Mais
notre
démarche
est
différente des leurs.

---

- 7 -
Par
souci
de
concision
les
démonstrations
de
certains
théorèmes
sont
présentées en appendice.
Parmi
les
références
postérieures
à
la
rédaction
de
ce
travail
traitant
entre théorie de la multimesure ou de la mesure et probabilité et notamment de
questions
en
relation
avec
notre
travail
citons
:
O.S.
Thiam
([38])
A.
Costé
([39]),
C.
Dellacherie
et
P.A.
Meyer
([37]),
P.
Billingsley
([36]),
R.M. Dudley [1].

---

r
,

---

CHA PIT RE 0
RAPPELS

---

r-
i

---

- O. 0-
§ 1. Notations.
On note
T un espace topologique séparé,
C(T)
l'espace des fonctions
numériques continues et bornées définies dans
T, muni de la topologie de la
convergence uniforme sur
T,
:h l'ensemble des part ies f- 1(C) de T où f
décrit
C(T)
et
C l'ensemble des parties fermées de la droite réelle ffi,
11 l'ensemble des parties T-Z de T Ol! Z € ~ • Dans toute la suite la
lettre
Z (respectivement
U)
avec ou sans indices désignera un élément de
~ (respectivement de 'lb). On désigne par § l'algèbre de Boole engendrée
par 1 . Soit
(f.)
une famille d'éléments de
C CT) ; la notation
(f.).j. f
l
l
[resp. (fi) t f]
siginifie que
(fi)
est filtrante décroissante
(resp. croissante) et
Cf· )
converge simplement vers
f dans T.
l
§ 2. ~lesures et formes linéaires.
Définitions 0.1 : 1) On appellera mesure positive sur
T
toute applicatiDn
positive
m de
~ dans IR qui vérifie les conditions suivantes :
(i)
m(A U B) =m(A) + m(B)
s&
A et B
sont disjoints.
(ii)
m(A) =sup{m(Z)
Z c A}
pour tout
A €
91 .
2) La différence de deux mesures positives sera appelée
mesure.
On désigne par }lCT)
(resp.
J1.+CT)) l'ensemble des mesures
(resp. positives) sur
T. Soit
m une mesure sur
T, les applications
+
m
et
m
définies sur
§
par
m+(A) = sup{m(B)
B E:
§
et
BeA}
et
m-(A) =-inHm(B)
B E:
~ et BeA}
Remazque
Rappelons que le mot mesure n'a pas ici son sens habituel et que
Z
est une partie fermée.

---

- 0.1 -
sont des mesures positives appelées respectivement partie positive et partie
négative de
m.
On a
m = m+ - m ; posons
Iml
= m+ + m
et
Iimii = Iml CT), le nombre
Iim Il
sera appelé la norme de
m. ~luni de l'application
11·11, ft CT)
est un espace
de Banach.
Théorème 0.2 : Une application
m de
!Ji dans IR est une mesure si et
seulement si sont réalisées les conditions suivantes
(i)
m est bornée,
(ii)
m est additive c'est-à-dire que
m(A U B) =m(A) + m(B)
pour tous
A,B
disjoints de
~
(iii)
poUY' tout
A E ~ , et tout
E:
> 0,
il existe
Z cA
te l que
Im(B)1 < E:
poUY' tout
B c A-Z.
Soit
Q.
une forme linéaire continue sur
C(T). On sait que
Q.
peut
+
s'écrire sous la forme suivante:
Q. = Q.
- Q.
où
Q.+ et Q.
sont des
formes linéaires positives continues sur
C(T). Notons
C CT)
le sous-
+
espace de
C(T)
dont les éléments sont positifs ou nuls; par définition,
pour tout
f E
C (T),
+
+
Q. (f) = sup{Q.(h)
Q. (f) = - inf{ Q. (h)
h E
C (T),
0 ~ h ~
f}.
+
Posons
IQ.I = Q.+ + Q. , alors pour tout
f E
C (T)
+
sup{ 1Q.(h) 1
h E
C(T)
et 0 ~
~
1 h 1
f}.
La norme de
Q.
est
1 Q.I (1),
où
est la fonction qui vaut
partout dans
T.

---

·,
- 0.2 -
Pour toute partie
A de T,
lA
désigne la fonction indicatrice de
A.
Soient
Z E ';b
et
DCZ)
l'ensemble des éléments
f de
C CT)
te ls que
+
f ~ l ' On indexe
DCZ)
de la manière suivante:
DCZ):= {fi; i El}; i> j
Z
si et seulement Sl
f. :;; f .. La famille
Cf. )
est alors une suite généralisée.
1
J
1
En effet on a :
i> i
pour tout
i dans
1 , si
i >- j et j > k
alors
i > k
pour tout
i ,j ,k
dans
l, enfin si
f.
et
f.
sont des éléments
1
J
de
DCZ)
alors
infCf.,f.)
appartient à
DCZ) ; soit donc
k E 1
tel que
1
J
infCf.,f.), on a
k > i
et
k > j.
1
J
Théorème 0.3
[1]: Il existe une correspondance biunivoque entre les formes
linéaires continues
~
sur
C(T)
et les mesures
m sur T, définie par la
formule :
( ,,)
'û f ) = Jfm.
+
On a
Il ~II = Iimii
en outre
~ ,~
et I~I
correspondent respectivement
via la formule (,,).
On construit la mesure
m correspondant à
~
de la manière suivante
supposons que
~
soit positive, alors pour tout
Z on pose
mCZ) := l~ ~Cfi) := inf{~Cf) ; f E:
C+CT)
et
l
:;; f :;; 1}
Z
1
et pour tout
AE:
g:, mCA) := sup{m(Z) , Z c: A}. Soit maintenant ~ quelco~que,
+
+
on a
~ := ~
- ~
et on associe à
~
C~-)
m'
Cm")
comme il est indiqué
+
-
ci-dessus, enfin l'on pose
m := m' - m". On montre que
m' := m et m" := m .
Notons que l'expression donnant
mCZ)
sont équivalente~ et que
Jfm:= lim
Jhnm
où
Ch
n-+=
n)
est une suite de fonctions
étagées qui converge simplement vers
f
(cf. Appendice, p. ;~. 9)

---

,
- 0.3-
§ 3. Classification des formes linéaires sur
C(T).
Définition 0.4
Soit
Q,
une fo~me linéai~e continue su~
C(T). On di~a que
Q,
est:
i)
a-~éguUè~e si
Q,(f ) ~ 0
po~ toute suite
(f ) dans
C (T)
telle
n
n
que
(f ) '" 0
n
ii)
T-~éguUè~e si
Q,(f.) ~ 0
po~ toute famille d'éléments
(f .)
de
C(T
1,
1,
teUe que
(f.)
'" O.
1,
iii)
tendue si la ~est~iction de
Q,
à la boule unité
B(O,l) de
C(T)
est continue lo~sque
B(O,l)
est munie de la topologie de la conve~­
gence compacte.
Nous désignons par
~f CT ,ffi.), MT CT ,ffi.), ~1t (T ,ffi.) l'ensemble des formes
linéaires continues sur
C(T)
respectivement
a-régulières,
T-régulières
et tendues, et par
~f CT ,ffi.) ,
~{CT ,ffi.) leur cône positif respectif.
+
+
On a les inclusions suivantes
Mt CT,ffi.) c
MT CT,lR) c Ma CT ,lR). La
première inclusion se démontre à l'aide du théorème de Dini.
Définition Cl.4bis : Soit
Hune fami Ue de fo~mes Unéai~es continues su~
C (T).
On di~a que
H est :
i)
unifo~mément
a-~éguliè~e si pou~ toute suite
(f)
dans
C (T)
n
Q,(f ) ~ 0
unifo~mément sw'
H
n
ii)
unifo~mément
T-~éguliè~e s~ pou~ toute famille d'éléments
(f.)
de
1,
C (T)
avec
(f.) '" 0,
unifo~mément s~
H
1,
iii)
unifo~mément tendue si
H ~est~einte à la boule unité
B(O,l) de
C(T)
est équicontinue lo~sque
B(O,l)
est munie de la topologie de la con -
ve~gence compacte.

---

, ,
-0.4-
Avant d'énoncer nos résultats sur les parties uniformément
a-régulières,
T-régulières et tendues, rappelons ceux qui sont classiques.
Théorème 0.5 ([3], [6] ... ) :
I) Soit
~
une forme linéaire continue sur
C(T), alors les propositions
suivantes sont équivalentes entre elles
1)
~
est
a-régulière (resp.
T-régulière)
2)
~+ et ~
sont
a-régulières (resp.
T-régulières)
3) I~I
est
a-régulière
(resp.
T-régulière) .
II) Soit
~
une forme linéaire continue sur
C(T) , alors les assertions
suivantes sont équivalentes entre elles :
1)
~
est tendue
sont tendues
3)
1 ~ 1
est tendue.

---

- 0.5 -
Théorème 0.6 : Soit
H une partie de
Ml (T)R) , alors les conditions suivantes
sont équivalentes entre elles :
1)
H
est uniformément
l-régulière
et
H = {~
; ~ E H}
sont uniformément
l-régulières
est uniformément
l-régulière.
Preuv~ : Les implications (2) ~ (3) ~ (1)
sont évidentes. Il reste à montrer
que
(1) ~ (2), ce qui réduit à
(1) ~ "H+
est uniformément
l-régulière".
H+
Supposons
que
ne
soit pas uniformément
l-régulière ; alors il existe
une famille d'éléments
(f.) .
l' (f.) -1- 0
dans
C(T), et
€
> 0
tels que
l
l
E:
l
+
sup{ ~
(fi) ; ~ E H} > €
pour tout
lEI. Posons
F = {f.
i E I}
pour
l
simplifier les notations. On en déduit qu'il existe
~ E: H tel que
+
~ (f) > €
,
f E: F ; comme
~+(f) = sup{~(g) ; g E C CT), 0 ;s g ;s n, il
+
existe
g E
c CT) avec O;s g ;s f
tel que
~ (g) > €
La famille de fonc-
+
tions de continues
+
((h-g))
où
h
parcourt
F et h ~ f
est décroissante
et tend vers
0
simplement dans
T. Comme
~ E Ml (T ,IR)
il existe
h f F
pour lequel on a
+
k = h v g = g + (h-g) , nous
avons
~ (k) > €.
Par conséquent pour chaque
f E F i l existe
h E F, k €
C CT)
et
~ E H tels que
h ~ k $ f
et
~(k) > €
;
on peut donc construire une
famille d'éléments
(k.) et (k.) -1- 0
de
C (T)
telle que
J
J
sup{~(k.) ; ~ E H} > €
pour tout
j
H n'est donc pas uniformément
J .
l-régulière.
c.q.f.d.
Cette démonstration m'a été suggérée par la lecture de
([2], p. 120).

---

- 0.6 -
Théorème 0.7 : Soit
H une partie de
~(T~), alors les propositions suivan-
tes sont équivalentes entre elles :
1)
H est uniformément
a-régulière
2)
H+ et H
sont uniformément
a-régulières
3)
1HI
est uniformément
a-régulière.
La démonstration du théorème 0.6 peut être transportée ici, il suffit
d'y remplacer
(f.) par (f ).
l
n
Théorème 0.8 : Pour toute partie
H de Mt(T~), les assertions suivantes
sont équivalentes :
1)
H est uniformément tendue
2)
H+ et H-
sont uniformément tendues
3)
IHI
est uniformément tendue.
_Preuve : Il est évident que (2) '* (3) '* (1). Si nous montrons que 1) '* "H+
est
lll1iformément tendue" la démonstration s'achèvera. Pour tout
°
E
>
il existe
lll1e partie compacte K de T
et un nombre
6
°
>
tels que pour tout élément
h
de la boule lll1ité
B(O,1) de
C CT)
vérifiant
sup{ 1 h(t) 1 ; t E: K} < 6
on ait
sup{I~(h) 1 ; ~ E: H} < E. Soit
g
fixé dans
B(O,l)
; pour tout
f E: BCO,1)
avec
sup{ 1 f(t) - g(t) 1 ; t E: K} < 6
on a
sup{ 1 ~+(g) - ~+Cf) 1 ; ~ E: H} < E
car
C CT), h ;;i 1 g-f 1 } .
+
~em~~~~~_Q~~ : En prenant
H = {~}
dans les théorèmes 0.6 - 0.8, on retrouve
les résultats de [3]
et de bien d'autres.

---

- 0.7 -
'\\,
Définitions 0.9 : Soit
H une famille de mesu~es su~
T,
H
la famille de
fomes linéai~es continues su~
C (T)
déte~minées pa~ les éléments de
H.
On di~a que
H est:
'\\,
(i)
unifomément
a-~éguliè~e si
H
est unifo~mément a-~éguliè~e.
'\\,
(ii)
unifomément
,-~éguliè~e si
H
est un ifomémen t
,-~égu liè~e.
'\\,
(iii)
unifomément tendue si
H
est unifomément tendue.
~~~~~q~~_Q~~ : D'après ce qui précède, on a les équivalences suivantes:
"H
est uniformément
a-régulière"_Il H+ et H-
sont uniformément
a-réguliè-
reslr~lIlHI
est uniformément
a-régulière'~
On a les mêmes conclusions pour
H uniformément
,-régulière et unifor-
mément tendue.
Lorsque
H = {m}
on supprimera le mot uniformément dans les définitions
Nous noterons respectivement
)ta CT) ,
)l' CT) ,
)L t (T)
11 ensemble
des mesures
a-régulières,
,-régulières et tendues sur
T,
Jl1. ~ CT) , )t CT), J1.: CT)
leur cône positif respectif.

---

"
,
CHA PIT REl
SEMI-NORMES DE RIESZ ET PARTIES
ÉTROITEMENT Cm,1PACTES DE )'UT)

---

1"
- .1.Çl-
§ 1.
Notations. On prolonge l'addition et la multiplication dans :IR à :IR+ =
en posant par convention
o x (+00) = 0, r x (+00) = + 00, r + (+00)
+ 00
pour tout nombre réel positif
r.
Aux notations du chapitre 0, on ajoute celles-ci:
~ CT i) désigne l' ens;
des fonctions définies dans
T, à valeurs dans :IR ,
+
JCT) la partie de g; CT,1R) fonnée des éléments qui sont des enveloppes:
t
supérieures de familles de fonctions continues positives ou nulles et borné!
Ja(T)
le sous-ensemble de
J (T) dont les éléments sont des enveloppes
supérieures de suites croissantes.
§ 2.
A) Nous allons définir dlli~s ce paragraphe les semi-nonnes de Riesz
a-régulières,
T-régulières et tendues. Nous donnerons leurs propriétés car~
téristiques et évoquerons celles des mesures réelles comme applications. Ce~
propriétés sont, pour la plupart, connues pour les mesures réelles .
Définition 1.1 : On appellera semi-norme de Riesz sur
C(T)
toute sem~­
norme
v:
C(T) ~M
qui vérifie les deux conditions suivantes :
(i)
v(f) = v( Ifl)
pour tout
f E C (T)
(ii)
v(f) ~ v(g)
pour tous
f,g E C+(T)
tels que
f ~ g.
Toute semi-nonne de Riesz est continue car
Iv(f) - v(g)1 ~ v(lf-gl) ~ sup 1 fCt) - g(t) 1 v( 1) •
tF.T

---

- 1. 1 -
.'
"
Exemple : Soit
H une famille de formes linéaires continues sur
C(T)
telle
que
sup{lt!(l)
t E H} < + 00. L'application
v : C(T) +R
(f + v(f) = sup{ 1t 1(1 fi)
t E H}
est une semi-norme de Riesz sur
C CT) •
Définition 1.2 : Soit
v
une semi-norme de Riesz sur C {T}. On dira que
v
est
{i}
a-régulière si
lim v{f } =0
pour toute suite
{f } -t 0 dans
n
• n
C {T}
n
{ii}
,-régulière s&
lim v{f·} =0
pour toute famille filtrante
{f.}
-t 0
i
&
&
dans
C{T}
{iii} tendue si la restriction de
v
à la boule unité
8{0,1} de
C{T}
est
continue lorsque
8{0,1}
est munie de la topologie de la convergence
compacte.
Il est clair que toute seml-norme de Riesz
,-régulière est
a-régulière. Le théorème de Dini permet de montrer que toute seml-norme de
Riesz tendue est
,-régulière. Dans l'exemple ci-dessus,
v
est
a-régulière
(resp.
,-régulière, tendue) si et seulement Sl
H est uniformément
a-régulière (resp.
,-régulière, tendue).
Lemme 1.3
Soit
v
une semi-norme de Riesz. On a les propositions suivantes
{1} soient deux suites croissantes
{f} et {g}
dans
C {T}
telles que
n
n
+
lim f
=lim
E
0 {T}. Si
v
est
n
g n +
a-régulière alors
lim v{f } = lim v{g }.
n
n
n
n
n
n
{2} soient
{f.} et {g.}
deux familles filtrantes croissantes dans
( l
{T)
&
&
v+
telles que
lim f. =lim g.
appartienne à
C {T}. Si
v
est
1: -ré gu l ière
.
&
+
&
j
J
alors
lim v{f.} = lim v( g .J.
.
&
J
&
j
La démonstration est classique, nous la redonnons néanmoins dans
l'appendice 1.

---

- 1.2 ~
B) caractérisation des semi-normes d~Riesz.
Soit
v
une semi-norme de Riesz
v
sur
C(T), on prolonge
v
~
l'ensemble
~ (T,"IR) en posant
+
a) pour tout
g E ~ CT), v(g) = sup{v(h) ; h E:
C CT), h ~ g}
+
b) pour tout
f E: giCT,"IR), v(f) = inf{v(g) ; g E: ~ (T), g ~ f}.
+
Pour toute partie
A de T,
v(A) = v(1 )
où
1
est la fonction
A
A
indicatrice de
A.
-
Lemme 1.4
L'application
v
vérifie:
(1)
o ~ v(g) ~ + 00
pour
g E <f(T,zR)
pour tout
f,g
dans
1i(T,zR+)
tels que
f ~ g
v(f) ~ ï)(g).
(2) Soit
g E:
J(T) et (f ) t g
où
(f ) c
C (T). Si
v
est
o
n
n
+
0-
régulière alors
v(g) - lim v(f ).
n
n
(3) Soit
g E J(T)
et
(f·) t g, où
(f.)
c
C (T). Si
v
est
T-réguliè1
1.-
1.-
+
alors
v(g) = lim v(f.).
1.-
n
Preuve: La propriété (1) est lirumédiate. Démontrons la propriété (3). Par
définition
v(g) = sup{v(h)
h E:
S+(T),h ~ g}. Soit
h E C+(T)
avec
h ~ g;
v(fi ) ~ v(fi A h) pour tout i, où fi A h = inf(fi,h), par suite
lim v(fo) ~ lim v(fo A h) = v(h)
car
(f. A h) t h
et
v
est une semi-nol
0 1 ·
l
l
l
l
T-régulière. Comme
h
est arbitraire nous avons
lim v(f.) ~ v(g). LI inég,
.
l
l
lité inverse est immédiate.
Notons que
lim v(f.) = sup v(fo)
puisque
(f. )
est une famille
.
l
.
l
l
l
l
filtrante croissante.

---

- 1. 3 -
Proposition 1.5 : Toute semi-norme de Riesz
v
sur
C (T)
a-régulière
vérifie :
(1)
pour tout
g E:
~ (T), et r ;;; 0, rg E: 'J (T) et v(rg) =rv(g). Pour
a
a
tout
f,g E:
~ (T), les fonctions
f + g, f v g
et
f 1\\ g
sont des éléments
a
de
J (T) et v(f + g) ;;; v(f) +v(g).
a
(2 )
pour toute suite croissante
(f)
dans
J (T), on a lim f E ~ (T)
n
a
n
a
n
et
v(lim f ) = lim v(f ).
n
n
n
n
(3)
pour toute suite d'éléments de
~ (T), v( L f ) ;;; L v{f ).
a
n
n
n;;;l
n;;;l
Preuve: La démonstration que nous donnons ici est très classique, c'est
pourquoi elle est succincte. Soient
f,g (
~(T)
avec
(h
,) t f
et
a n ,
(h
2) t g, on a
rg = lim(rh
2)' f 1\\ g = lim(h
1 1\\ h
2) fvg = lim(h
l vh
2)'
n,
n,
n,
n,
n,
n,
f + g = lim(h
1 + h
2)' D'où
rg, f 1\\ g, f v g
et
f + g
sont éléments
n,
n,
de
~(T), et v(f + g) = lim v(h , + h 2);;; lim v(h 1) + lim v(h 2)
a
n,
n,
n,
n,
= v(f) + v(g). La propriété (1) est donc satisfaite. Prouvons (2). On pose
f
= lim h
,
où pour chaque entier naturel
n
la suite
(h
)
est
n
m
m,n
m,n m
croissante, et
Q
= sup{h
; n ;;; ml. Pour chaque
m,
'-1l1
m, n
suite
(~)
est croissante ; on a
hm,n;;; ~ ;;; f
car la suite
(f )
est
m
n
croissante, d'où
v(h
):s: v(r ) :s: v(f ). En faisant tendre
TIl vers + 00, et
m,n
-
m
-
m
ensuite
n vers + 00, nous obtenons:
lim f
= lim t;n E: ~ (T)
et
m
m
TIl
lim v(fm) = lim v(~) = v(lim~) (lemme'.4 (2)). Il reste à démontrer (3).
JP.
m
m
P
Soit
dans
~ CT), la suite
R- = L
f , est croissante
n
-P
n='
dans
J CT) ; d'après (2)
cr
p
v(lim ~) = lim v(~) ;;; lim L v(f ) = L' v(f ).
c.q.f.d.
p
p
n
p
n=l
n;;;1
n

---

- 1.4 -j
~~~~~q~~_~~~ : Si la semi-norme de Riesz v est
,-régulière, on remplacer~
dans les énoncés des assertions (1) et (2)
'J CT) par
1CT) et (f)
a
n
par une famille filtrante croissante
(fi)' La démonstration est analogue
à la précédente.
Pr9P()~i!i?~}.;§'" : Soit v une semi-norme de Riesz ,-régulière, alors poUY'
toute suite
(f)
dans
~(TjR+)
v( L
f )
~ L v(f).
n
n~1
n
n~1
n
Preuve
Supposons que
L
v(f ) < + 00. Pour tout
E
> 0, et tout entier
n
n~1
naturel
n ~ 1
il existe
~ E J (T) tel que f
)
E
n ~
et
v(f
gn
+ -
n
~ v(~
Zn
Par suite
f
L
~,et v( L f ) ~ v( L
n
n
n~1
n~1
n~1
La dernière inégalité découle de la remarque 1.1 et du fait que
P
L
~ = lim t (L
~). Par conséquent
f ) ~
L
v(f) + E
en fais
n~1
n=1
n
n~1
n
E ~ 0, on obtient la relation voulue.
Le résultat ci-dessous est connu, mais notre démonstration diffère
peu des autres.
Théorème 1.?
[~ ]
1) Pour qu'une mesure
m soit
,-régulière il faut et 1-
= - =
suffit que
lm 1(2 .) ~ 0
pour toute famille filtrante décroissante
(2.)
1-
1-
d'intersection vide.
2) Pour qu'une mesure
m
soit
a-régulière il faut et il suffit que
Iml (2 ) ~ 0 pour toute suite décroissante
(2)
d'intersection vide.
n
n

---

!
1.
- 1.5 -
Preuve: 1) Supposons que
m soit
,-régulière. Alors la semi-variation de
Riesz
v:
C (T) -+:ffi. (f -+ Jlfl Iml)
est
,-régulière. (Voir chp. 0
définition 0.9). Soit
(Zi) + ~, c'est-à-dire que
(Zi)
est filtrante
décroissante et d'intersection vide, alors
(l _ )
dans
:J(T)
T Z
t
l T
1
(Appendice l, Prop. 4 (2))
et
lim v(T-Z.) = v(T)
d'après la remarque 1.1.
.
1
1
Comme
lU E J(T)
pour tout
U,
v(U)
Iml(U)
par suite
1im 1m1 (T- Z. )
Iml (T)
en d'autres termes
Im!(Zi) -+ O. Supposons maintenant
1
1
que
Iml (Z.) + 0
pour toute famille
(Z.) + ~. Soit
(f.) + 0
dans
C (T)
1
1
1
+
sans nuire à la généralité on peut supposer que
f. :;;
pour tout
i. Soit
1
E
> 0, Z.
= {t E T
f. (t) ~ E} ; on a
1
1
rf . 1m1 = f
f . 1 m1 +. {
f. 1 ml:;; 1 ml (Z 1') + E 1m1 CT)
E
étant arbitraire,
J 1
Z.
1
JT-Z.
1
1
1
on peut conclure que
lim Jf·lml
O.
c.q.f.d.
1
1
2) En remplaçant la famille
(Z.) + ~
par une suite
(Z ) + ~
dans cette
1
n
démonstration on obtient celle de (2).
Nous allons maintenant caractériser les semi-normes de Riesz
~-régulières et tendues. Avant cela rappelons la définition et propositions
suivantes :
pé-finition 1.8 : Une suite
(2 J
sera dite régulière dans
T
si elle
n
satisfait les conditions suivantes
iJ
(2 J
est croissante et
n
U 2
=T
n
n
iiJ
Pour chaque entier naturel
n
il existe
U
tel que
n
2
e U e 2
l'
n
n
n+

---

..
- 1.6 -
Proposition 1.9 : ([3]
p. 169). Soit
(Z)
une suite régulière dans
T.
n
Alors il existe une suite
( f )
dans
n
i)
pour tout
n,
0 ~ f
~ 1
et
(f ) .j. 0
n
n
ii)
Z
=f- 1(0)
et
n
n
Proposition 1.10 : ([3]
p. 170). Soit
(Z)
une suite décroissante d'inte~
n
"-
section vide. Alors il existe une suite régulière
(Z)
dans
T
telle que
n
"-
Z c T-Z
pour chaque entier natur'el
n.
n
n
Les démonstrations des propositions 1.9 et 1.10
figurent dans
l'appendice 1.
Théorème 1.11 : Soit
v
une semi-norme de Riesz sur'
C (T). Alors les propri
tés suivantes sont équivalentes :
(1)
v
est
a-régulière
(2 )
pour toute suite régulière
(Z
)
dans
T,
v(T-Z ) -+ 0
n
n
(3)
pour toute suite
(Z)
décroissante d1intersection vide,
v(Z) -+ o.
n
n
Preuve: Démontrons l'implication (1) q (2). On suppose que
v
est
a-régulière dans
T; il existe, d'après la proposition 1.9, une suite
(f )
n
dans
(f ) .j. 0
et
1 _
~ f -
pour tout entier
n
T Z
n 1
n
naturel
n. Par conséquent
v(T-Z ) ~ v(f
1).
n
n-
Or
v(f _ )
n
-+
0
lorsque
n -+ + 00, la conclusion en découle. Prouvons que
1
(2) q
(3). Supposons que (2) soit vraie; soit
(Z)
une suite décroissante
n
*
d'intersection vide, on peut trouver une suite régulière
(Zn)
dans
T
telle que
*
Z c T-Z
pour tout
n
(Prop. 1. 10) .
n
n

---

- 1.7 -
*
-
*
~ v(T-Zn)' en outre v(T-Zn) + 0 quand n + + "', par conséquent
lim vez ) + O. Pour terminer, établissons (3) ~ (1). Pour ce faire on suppose
n
n
que
v
n'est pas
cr-régulière. Il existe alors
E > 0
et une suite
(f )
n
dans
C+(T)
avec
(f ) ~ 0, 0 ~ f
~ 1 pour
n = 1,2, ...
tels que
v(f ) > E
n
n
n
pour tout
n. Posons
Zn = {t ET; fn(t) ~ 8}
où
8 = E/2v(T), alors la
suite
(Z )
est décroissante et d'intersection vide. On a
n
comme
v
est croissante dans
~(T i), v(Zn) ~ v(f - 81T) ~ v(f ) - 8v(T)
n
n
> E/2,
ceci contredit l'assertion (3).
Corollaire 1.12 : Soit
H une famille de mesures sur
T. Pour que
H soit
uniformément
cr-régulière il faut et il suffit que
Iml (T-Z )
n
+
0
unifor-
mément sur
H pour toute suite régulière
(Z)
dans
T.
n
Preuve : L'application
v
C CT) + m.
définie par
v(f) = sUPU\\ fllml
; m E H}
pour tout
f E C(T), est une semi-norme de Riesz. Dire que
H
est uniformé-
ment
a-régulière équivaut à dire que
v
est
a-régulière
i.e.
v(T-Z ) = sup{lml (T-Z ) ; m €
H} + 0
pour toute suite régulière
(Z)
dans
n
n
n
T.
Théorème 1.13 : Soit
v
une semi-norme de Riesz sur
C (T). Pour que
v
soit
tendue il faut et il suffit que pOUl' tout
E > 0, il existe une partie compacte
K
de
T
telle que
sup(v(U) ; U c T-K } ~ E·
E
E
Preuve : Supposons que
v
soit tendue. Alors pour tout
E > 0
il existe une
partie compacte
K
de
T et un nombre
8 > 0
tels que pour tout
f E
C(T)
E
avec
Ifl ~ 1
et sup{!fCt) 1 ; tEK } ~ 8 on ait
v(f) ~ E' Soit U c T-K
E
E
par définition,
veu) = sup{v(h) ; hE C+(T), h ~ lU}
car
lu E J(T), les
fonctions
h ~ lU
sont nulles sur
K
donc
v(U) ~ E. Inversement, soient
h
E'
un élément de la boule unité
B(O,l) de
C (T)
munie de la topologie de la
covergence compacte, et
W = {f E B(0, 1)
sup
If(t) - h(t) 1 < E/2}
un
tEKE
voisinage de
h. On va prouver que
Iv(f) - v(h) 1
pour tout
f E W.

---

- lB -
Sans nuire à la généralité on peut poser
v(T) = 1. Soit
f E lv, l'ensemble,
U = {t ET; If(t) - h(t)\\ < E/2}
contient
K
ou encore
T-U
.
f
E
f c T-KE
D'après le lemme 3
de l'appendice l il existe
U tel que
T-U eUe T-K ~
f
E '
Supposons que
sUP{v(U) ; U c T-K } ~ E/4, alors
E
v(f-h) ~ v(!f-hI1U
+ If-hI1T_U ) ~ v(f 1 + 2 1U) ~ f v(1) + 2 v(U) ~ E
f
f
(lemme 1, Appendice 1).
Corollaire 1.14 : Soit
H une famille de mesures. Alors
H est uniformémen
tendue si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
1)
sup { m
1
1 (T)
, m E H} < + 00
2)
pour tout
E > 0,
il existe une partie compacte
K
de
T
telle que
E
pour tout
U c T-K ,
s up { 1m1 ru) ; m EH} ~ E·
E
Preuve : Toute partie uniformément tendue étant uniformément
~-régulière
on a :
sup{ Iml (~1T) ; m E H} -r 0, d'où
sup{ Iml (T) ; m E H} < + 00.
Le reste de la démonstration est analogue à celle du corollaire 1.12.
Définition 1.15 : Soit
~(T) l'ensemble des mesures sur T. On dira qu'un~
partie
H de
)( (T)
vérifie la condition de Prokhorov si elle satisfait le
conditions (1) et (2) du corollaire 1.14.
~~~EgY~~_l~~ : 1) En prenant dans les corollaires 1.12 et 1.14
H
{m}, Ol
retrouve des résultats de Varadarajan ([3]
p. 171 et p. 179).
2) Si l'espace
T est complètement régulier, alors la condition : "pour tou·
E
°
>
il existe une partie compacte
K
de
T telle que
E
sUP{veu) ; U c T-K } ~ E"
dans le théorème 1.13, sera équivalente à celle-c
E
"pour tout
E > 0, i l existe une partie compacte
K
·de
T telle que
E

---

-1.9-
En effet
v(T-K) ~ sup{v(U) ; U c T-K}
car
v
est croissant.
€
€
D'autre part
1 -
T K E J (1') ([4]
Prop. 7 p. 10) donc, par définition,
€
v(T-K) = sup{v(h) ; h E C (T)} et
h ~ 1 _
} ~ sup{v(U) ; U c T-K }
€
+
T K
€
€
puisque pour tout
h E C (1')
avec
h
1 _
~
on a
h ~ 1
où
+
T K
U
€
U = {t ET; h(t) > O} c T-K . Par conséquent
v(T-K ) = sup{v(U) ; U c T-K }.
€
€
€
La
notation
(Z.) f ~
signifie que la famille
(Z.)
est une suite
l
1
généralisée telle que
Z. c Z.
pour tout
i > j
et
n Z. = ~.
1
J
i
1
Théorème 1.? (bis) : Soit
v
une semi-norme de Riesz sur
C(T). Les conditions
suivantes sont équivalentes
(1)
v
est
T-régulière,
(2)
Pour toute famille
(Z.)
f~,
v(Z.) ~ o.
1.-
1.-
~r~~~ : Démontrons que (2) ~ (1). Soient
(fi) c C(T) ,
(fi) f 0
et
€
un
nombre réel positif; sans nuire à la généralité on peut supposer que
0 ~ f. ~ 1
l
pour tout
1
car l'hypothèse
(f.) f 0
-implique
inf f. (t)
lim f. (t) = 0
1
.
1
.
1
l
1
pour chaque
t E T. Posons
Zi = {t
t E T, fi(t) ~ 2~(T)} ; on a
(Zi) f 0,
v(f )
_
. fi) ~ v(1 _
i
= v(1 T Z. fi + 1Z
T Z. fi) + v(1 z. fi)
d'après la proposition 1.6'
l
1
1
1
V étant croissante,
€
ver)
€
~ 2 ver) = 2
et
V(1 . fi) ~ v(Zi)' Donc v(f
Z
i ) ~ 1 + v(Zi)' Si la condition (2)
1
est satisfaite on aura
lim
v(f.) = O. Montrons maintenant que (1) ~ (2) ;
.
1
1
on suppose que la condition (1) est vérifiée. Soit
(Zi) f 0 ; posons
D = {f ; f E C (1')
tel que
0 ~ f ~ 1 et
f = 1
sur un
Z.},
+
l

---

,..-
-1. 10-
On indexe
D de la manière suivante
D = (f ), À ~ ~
si et seulement si
À
f
~ f~
on vérifie facilement que
(f )
est une suite généralisée. De
À
À
Plus
(f ) ~ 0 : soit
t E T, il existe
i
tel que
t ~ Z.
d'après le
À
o
1 0
lemme 7 (Appendice!I) il existe
E D qui vérifie
f
= 1 sur
Zi
et
Ào
0
f
(t) = o. Pour tout
À ~ À
~ f
d'où
lirn fÀ(t) = 0 ; comme
t e s t
À
o ' f À
À
o
o
À
arbitraire
(f ) ~ o. Pour tout
E > 0
il existe
À tel que pour tout
À'
>
À
on ait
v(f ,) ~ E
d'après la condition (1) ;
sur un
Z.
donc
À
Jo
v(Zj ) ~ v(f ,), nous en déduisons donc que, pour tout
j > j
, v(Z.) ~ E.
À
o
J
o
/"-',~~-
._
/ - '
Cette démonstr~ià?
de celle de Varadarajan ([3] p. 174-175}
1
1
pour les mesures réelles.
Nous avons
tendues est en général
théorème 1. l
montre qu'il existe des
trois notiorl
de semi-normes de Riesz
~sition 1.16 : Soit
T
un espace topologique localement compact dénombrab~
à l'infini. Alors il existe une suite
(U)
formant un recouvrement de
T
et
n
telle que
U
soit relativement compact pour tout entier naturel
n.
n
Preuve : Il existe dans
T une suite
(0 )
d'ensembles ouverts relativement
n
compacts tels que
u 0 = T, et o cOl' où 0
désigne l'adhérence de
n
n
n+
n
n
pour tout
n. ([5]
p. 68). Soit
f
un élément de
C+(T)
qui vaut
1
sur le
n
compact
o
et dont le support est contenu dans
0
1. La suite
(U)
définie
n
n+
n
les propriétés
par
U = {t ET; fn(T) > O} pour tout entier naturel satisfait
TI
tendues car
0 eUe 0
1.
n
n
n+

---

- 1.11 -
Théorème 1.17 : Si
T
est un espace polonais ou localement compact dénom-
brable à l'infini, toute semi-norme de Riesz
a-régulière sur
C(T)
sera
tendue. En particulier toute mesure
a-régulière sur
T
est une mesure
tendue.
Preuve: Supposons que l'espace
T soit localement compact dénombrable à
l'infini. Soit une suite
(U)
vérifiant la proposition 1.16, la suite
(T-U )
n
n
est donc décroissante et d'intersection vide. Soit
v
une semi-norme de Riesz
a-régulière sur
C(T), alors
v(T-Un)
°
+
(Théo. 1.11). Comme
Un' l'adhé-
rence de
U, est compacte pour tout
n
et
v(T-V) + ° la conclusion découle
n
n
du théorème 1.13 et de la partie (2) de la remarque 1.2.
~~intenant l'espace
T est supposé polonais. Nous donnerons deux
démonstrations. La première est classique,'tandis que la deuxiè~e est indirec-
te et moins classique à notre connaissance. Rappelons que dans un espace
polonais toute partie fermée appartient à
:h ,et que toute fonction posi-
tive semi-continue inférieurement est l'élément de
~ (T)
([4]
Prop. 11
a
p. 18). Désignons par
B(t,r)
la boule ouverte de centre
t E T et de rayon
r > 0, et par
B(t,r)
son adhérence. Soit
(t)
une suite dense dans
T,
n
donc la suite
(B(t ,r))
forme un recouvrement ouvert de
T pour tout
r > °
n
par suite
(T -
E B(t ,1/j ))p EJN
est décroissante dans
l. et d'inter-
n
n=1
section vide.
ère
1
démonstration : Si
v
est une semi-norme de Riesz
a-régulière sur
C(T), on a : pour tout
E
> 0, il existe
p(j) E JN
tel que

---

- 1.12 -:
où
p(j)
est le plus petit des entiers naturels vérifiant cette inégalité.!
L'ensemble fermé
K
=
vérifie
vCT-K )
E:
E:
(Prop. 1.5
(3)) .
Pour conclure que
v
est tendue, i l suffit de prouver que
K
est compact .•
E:
De toute suite de points dans
K
il est possible d'extraire une sous-suitè
E:
qUl, pour tout entier naturel j, soit contenue à partir d'un certain rang
dans un même
B(t ,l/j )
(n ~ p(j)). Cette sous-suite sera donc de Cauchy~-
n
T étant complet elle sera convergente, ceci prouve que
K
est compact.
E:
Considérons maintenant une mesure
m
a-régulière sur
T. L'applic~
v:
C CT) -+JR(f -+ v(f) = Jlfllml)
est une semi-norme de Riesz
a-régulièrj.
elle est donc tendue,par suite
m l'est aussi.
ème
2
démonstration: L'espace
T
étant polonais, on peut supposer, sans
nuire à la généralité, que
T
est l'intersection d'une suite décroissante
d'ensembles ouverts
(T)
dans
[O,lJN. Chaque
T
est localement compact
n
n
dénombrable à l'infini
([4],
p. 21). Soit
l
l'injection canonique de
Ti
n
dans
T
et
i
(v)
l'image de
v
par
i
; i (v) :
CCT)-+JR
n
n
n
n
n
(f -+ i (v)(f) = v(f 0 i )). L'application
i (v)
est une semi-norme de Ries}
n
n
n
a- régulière puisque
v
l'est aUSS1. D'après la première partie de la
démonstration, pour tout
E:
> 0, il existe une partie compacte
K de T
n
n
-n
telle que
i
(v)
CT -K ) ~
n
n
n
E:
2
. Montrons que
-
-1
i (v) (T -K ) = v(i
CT -K )) = v (T-K nT). Par définition
n
n
n
n
n
n
n
i (v) (T -K ) = sup{v(h 0 in)
h
K}. Notons
'Vv
l'ensem'
n
n
n
E:
C (T ), h ~ l
+
n
T -
n
n
des formes linéaires continues
t
sur
C CT)
qui vérifient
t ~ v
c' est-;
dire
t(f) ~ v(f)
pour tout
f E:
C+(T). D'après le. théorème de Hahn-Banac
veho in) = supü(ho i ) ; tE: V'v} = sup{t(ho i ) ; t E: 'ilv
et
t ~ Ol.
n
n

---

-1.13-
La deuxième égalité est fournie par l'exemple 2) ci-dessous (cf. AppendiceI,p.A.
En notant
mR,
la mesure sur
T
correspondant à
R"
on a :
i Cv) (T -K ) = sup{fhoin(mn)
hE:
C+(T
-K ' R, E V'v}
n
n
n
'"
n ), h;;; 1Tn n
R, E: V'v}
sup{mR, CT-K nT)
R, E: V'v}
n
= v(T-K nT). On obtient la dernière égalité en se basant sur
n
l'égalité
mR,(U) = sup{R,(h) ; hE
C+(T),h;;; 1 } ; les espaces
T
et
T
U
n
étant métrisables tout ouvert de
T
(respectivement de
T)
est élément
n
de 11. Soit
K = n K : K est une partie compacte de
T, on a
n '
n;;;1
-n
v(T-K)
v(T-T n K ) ~
l
E:
2
E: •
c.q.f.d.
n
n;=;;1
§ 3. Topologie étroite sur
fit CT).
Définition 1.18 : Une partie
H de l'ensemble
~(T) des mesures sur T
sera dite solide si toute mesure
m telle que Iml;;; Im'I;. pour un élément
m' de H, appartient à
H.
Exemples: 1) Notons
cr
TI
l'intervalle d'ordre dans
fit(T)
pour tout
mE: A(T) , [-\\ ml, 1fi 1]]
est solide.
2) Soit
v
une semi-nonne de Riesz sur
C CT) et
"i1V = {9., E (CCT))' ; R,(f) ;;; v(f) pou:
tout
f'E C (T)}. L'ensemble
'ilv
est une partie solide du dual,
(C(T)) , ,
de
CCT).

---

- 1. 14
Ces exemples sont justifés dans l'appendice l
Clemme 2). De toute
évidence si
H est une partie solide alors
H contient
IHI = {Iml ; mEH},
H+
{m-
m E: H}.
D'une manière générale on peut définir dans tout espace vectoriel réticulé
la notion d'ensemble solide.
Définition 1.19 : Soit
H une partie de
)t(T). On appellera enveloppe
solide de
H, l'intersection de toutes les parties solides de
){(T)
contÈ
nant
H. On la notera
soUH) .
Il est évident que
sol CH)
est la plus petite partie solide de
JlCT)
contenant
H.
Lemme 1.20 : Pour toute partie
H de
)t(TJ,
so zr HJ - U{ [-1 ml, iml]]
m EH}.
Preuve: L'exemple 1 pennet de voir que
G = U{ [-Iml,
Iml]] ; m E: H}
est
solide. ~bntrons que
G est la plus petite partie solide contenant
H. Soi~~
G
une partie solide qui contient
H, et
m' E G ; il existe alors
m
E Hl
1
o
tel que
m'E
[-lm l, lm Ill. On a
o
0
Proposition 1.21 : Une partie
H de
~(T) est uniformément a-régulière
(resp. uniformément
T-régulière) si et seulement si
sol(H)
est uniforméme
a-régulière
(resp. uniformément
T-régulière).
Preuve: Le lemme ci-dessus pennet d'établir l'égalité
sup{ f flml ; m E soICH)} = sup{fflml ; m E H}
pour tout
f E C CT). On
+
en déduit que
sol CH)
est unifonnément
a-régulière Cresp. T-régulière) si
et seulement si
IHI = {Iml ; m E H}
l'est aussi. La
conclusion voulue
découle alors de la remarque 0.2.

---

-1.15-
l}ijinition 1~22 : Soit
orj1,.{T},CrT}}
la topologie faible sur
){rT}. On aprel-
lera topologie de la convergence étroite rou topologie étroite} sur
.J~a(T}, ;.e (T}
et
}tt(T}
la topologie induite par l'espace
ArT}
sur chacun de ces enser'bleB.
Nous emploierons l'adverbe étroitement pour signifier "au sens de 1(1 topo-
logie étroite". Dans toute la suite
){a (T), lit} CT) et JvLt CT)
ne seront munis
que cette topologie.
Pour qU'lme suite généralisée
(m.) dans
lL0 (T) converge étroitement vers
l
me mesure
m sur T, il faut et i l suffit que
lim m. Cf) = m(f) pour
f E C (T).
i
1
+
Théorème 1.23
Pour toute partie
H de
JiT rT }
les conditions suivantes sont
équivalentes :
1} H
est uniformément
T-régulière
2} Sol(H}
est relativement étroitement compacte dans
}tT(T}
3) l-t= Lm +; mEn} eL lr = l m-;
~
!Tl
nJ .sont z.elati(Jement étwitement compactes Jarj llJrl
Preuve: Supposons que
H soit uniformément
T-régulière. D'après la proposition
1
1.21
soICH)
l'est aussi; donc $1A.?{f Tl 1
Iml
; m E sol 0-1) } +
0
lorsque
11++=,
T
par suite
sup{imICT) ; m E soICH)} < + co. Vensemble
solOl)
étant borné, i l est
relativement compact dans
Jl CT) muni de la topologie faible cr (Jr1,(T) ,C(T) t COITUIlC
soICH)
est lmiformément
T-régulière son adhérence
soICH) dans
fit (T) est con-
tenue dansfitT(T), donc
soICH)
est relativement compacte dans
}1}(T) ; d'où
1) ~ 2). On a
2 ~ 3) cal" lf H+ c sol CH) et ft. T(T)
est une part ie fennée de
}tTCT) .
)
+
Pour finir montrons que
3) ~ 1). Soient l..ITle famille filtrante
(f.) + 0 dans CCT),
l
et
Si : .ftt: CT) + lR définie par
s·(m) = ff.m
pour tout
m E}t:CT) ; l'applica-
l
l
tion
S·
est continue pour la topologie étroite et
pour tout
mER: CT)
l
On peut donc appliquer le théorème de Dini ~l~ restrictions des
S·
aux compacts
l
H+ et "H-d'où
sup{ffim+;
m E H} -)- 0
et sup{J fi m-; mE: .1~0. La conclusion
découle alors du théo 06.
ô
.
Cette démonstration peut-être transposée dans
M (T); on a donc:
Théorème 1.24 : Pour toute partie
H de
)t a (T)
les conditions suivantes sont
équivalentes :
1} H
est uniformément
a-régulière
2} SolOiJ
est relativement étroitement compacte dans
Jf. cr (T)
3} H+ = {m+ ; m E H}et ll---{rn-; Il/fill] SL111L "lelaU(Jcn-ellt éhoit('Jr~nt ccmpac~de.tYl!
r
Al
(T).
Car cIt(T] est le dual de
C ('1') •

---

- 1. 16 -
Théorème 1.25 : Soit
T
un espace topologique localement compact métrisable.
PouY' toute partie
H de
ptt(T), les assertions suivantes sont équivalentes
entre elles :
1) H est uniformément tendue
2) Sol(H)
est relativement étroitement compacte dans
}tt(T)
3) H+ = {m~ ; m E H}et Jr={11l-j m E li J ~ont f"etQ.tiy'e\\1"~nt ~lnpClct€S-..-to.\\15 }t~!:
Preuve: On suppose que
H est uniformément tendue. Le len~e 1.20 et le coro~
laire 1 .14 montrent que
sol (H)
est aussi lmiformément tendue, par conséquen~
c'est une partie relativement compacte dans
)( (T)
dont l'adhérence est corl
dans
)( t (T) ; sol 0-1)
est donc relativement étroitement compacte dans )t t d
d'où 1) ~ 2). On démontre que
2) ~ 3)
en remarquant 11ce "'d.H~pt contenL6dan~
sol(H) et que
}l \\T)
est fermé dans
At (T). t'vlontrons enfin que
3) ~ 1) \\
+
--+î,
on suppose que la condition 3) est satisfaite. Soit
E
> 0, pour tout
m' E Hl
existe un ensemble compact
K 1
de
T
tel que
m' (T-K ,) < E/2. D'après l'li
m
m
pothèse sur
T, il existe un voisinage ouvert relativement compact
U, de K "
m
m:
dans
T. L'ensemble
W
= {m ; m E)vtt(T) , m(T-U ,) < E/2}
est un ouvert (br)
m'
+
m
Jrtt (T) car l' applicat ion de
At t (T) dans IR qUl à chaque m aSSOCle m(T-i
+
+
est semi-continue supérieurement ; la famille
(W ,) ,m' E H;
fonne alors un
m
recouvrement ouvert de
I~+. Par suite il existe une partie J finie de ~
telle que
(W ,) ,m' E J, soit un recouvrement ouvert de
i'? L'ensemble
m
U
= U{U
" m' E J}
est relativement compact et vérifie :
m'
~
sup{m 1 (T-U )
m' EH} < E /2.
En posant
K
U
on obtient
sup{lml(T-K) ; mE H""}< E,D'une munière
E
E
E
analogue on montre que H-
est
uniformément
tendue.
La conclusion
découle alors
du
théorème 08.

---

- 1.17 -
Commentaire : L'hypothèse de métrisabilité sur
T
a seulement permis de
définir
m(T-O)
pour toute partie ouverte
0 de T puisque l'algèbre de
Boole engendrée par les parties ouvertes de
T
coîncide avec celle déter-
minée par les éléments de
li . Cette hypothèse peut être supprimée car il
existe une bijection entre les mesures de Radon définies sur la tribu
borélienne d'un espace topologique complètement régulier
T et les formes
linéaires tendues sur
C CT)
([ 6], exposé n° 4 et [8]
Prop. 12 .p. 65).
En fait elle a été faite afin de ne pas revenir dans ce chapitre sur la
représentation des formes linéaires continues sur
C(T). Le théorème 1.25
est donc
vrai, sans l'hypothèse de métrisabilité, pour les mesures de
Radon boréliennes.
La proposition 1.21 est démontré d'une autre façon dans
([2] p.120).A notre connaissance il n'existe pas de critères de compacité
étroite dans les espaces
Jt. TCT) et )t t (T) pour T localement compact.
Les résultats connus dans ce domaine se limitent aux mesures positives
T-régulières, et tendues.
([6], [7], [8], [9]). Le théorème 1.23
(resp. théo. 1.24) montre, que dans
.J'PCT)
(resp.
Jrt°CT))
il y a identité
entre la classe des parties solides uniformément T -régul ières (uniformément
~-régulières) et celle des parties solides relativement étroitement compactes.
Le théorème 1.25 permet, bien entendu, une conclusion analogue dans
)tt CT)
pour
T
localement compact. Les théorèRes 1.23, 1.24 et
1.25 montrent que l'ensemble
des parties relativement étroitement compactes
coîncide respectivement dans
J~T(T), ~o(T), )tt(T) avec l'ensemble des
+
+
+
parties uniformément
T-régulières, uniformément
o-régulières et uniformé-
ment tendues. En ce qui concerne l'espace )(t(T) , l'espace
T est supposé
+
localement compact.
Les travaux antérieurs sur la compacité étroite nous amène à savoir
si l'assertion suivante est vraie dans les espaces
.M °(T) ,
.)rp CT) et
}tt (T) •

---

-1.18-
"Si lll1e partie
H est relativement étroitement compacte, alors son
enveloppe solide
sol(H)
le sera aussi".
Nous venons de voir qu'elle est vraie dans le cône positif de ces
ensembles. Nous montrerons indirectement dans le chapitre 2 qu'elle est
aussi vérifiée dans
fila CT) , et en déduirons alors des réponses partielles
pour
)lT CT)
et
)lt CT )
grâce au corollaire 1.14. On traitera aussi
d'autres cas particuliers concernant l'espace
)lt CT ).
Nous allons terminer ce chapitre par des
CONTRE-EXEMPLES.
On rappelle qu'un espace topologique
T
est dit pseudo-compact
si toute fonction numérique continue définie dans
T est bornée. Pour un
tel espace le théorème de Dini est vérifié C[3]
p. 170) ; par conséquent
toute semi-norme de Riesz sur
CCT)
sera
a-régulière Sl
Test pseudo-
compact.
1) Cet exemple est dû à Varadarajan C[3]
p. 178). Soient
~
le premier ordinal non dénombrable, et
T l ' ensemble des ordinaux < st
muni, de la topologie de l'ordre. On sait que
T
est pseudo-compact et que
v
v
le compactifié de Stone-Cech
T de T est l'ensemble des ordinaux ~ st
muni de la topologie de l'ordre. Pour tout
f E C CT), on note
f
l'élément
v
de
CCT)
dont la restriction à
Test
f ; on a
v
sup{ 1fCt) 1; t E T} = sup{ 1fCt) 1 ; t E T}. Soit
,Q,
la forme linéaire continue
dans
C CT)
définie par
,Q,Cf) = fCst) = lim fCt)
pour tout
f E C CT) ;
t+st
,Q, est a-régulière mais non
T-régulière. En effet pour tout
a E T, soit
f a
l'élément de
C CT)
définie par
e si t :;; a
f Ct)
a
si
t ;;; a + 1.
Ona
Cf ) .j. a
alors que lim tCf ) = 1.
a
a
a

---

-1.19-
2) Le prochain théorème permet d'exhiber une partie
H relativement étroite-
ment compacte dans
)lt(T)
mais dont l'enveloppe solide
sol(H)
ne l'est
pas.
Théorème (Varadarajan [3]
p. 199) : Soit
T
un espace métrique séparable
tel que
A ~(T) - )(;(T) soit non vide et possède un élément non atomique
u
([24]
p. 168). Alors il existe une suite
(u)
dans
}(t(T)
qui
o
n
converge étroitement vers
0
et telle que
(lu 1) converge étroitement
n
vers
U
dans )t{~(T). L'ensemble
n'est pas uniformément
o
tendu.
Nous indiquons brièvement la construction de la suite
(un) . Supposons
que
u
il:
E:
(T), pour toute partition finie
TT = (Al' ... ,An)
de
T en
0
n
parties
uo-mesurables, posons
u (TT) = L
u (A.) (\\. où t. est un point
0
j
o
=1
J
J
J
arbitraire de
A. et 0t
la mesure de Dirac en ce point.
J
j
Pour chaque entier naturel
n ~ 1, on considère la partition
TT
= (A
,.' .,A
)
n
n,
nk
de
T telle que diamètre
(An.) ~ lin
pour tout
j E: {n ," .,n }.
1
k
J
Ensuite on partage chaque
A
en parties mutuellement disjointes
n.J
BQ.
u (BQ. ) ~ .1
*
(' ~ Q. $
Q.n)
telles que
u (A
). On note
TT
la parti-
n·
o
n.
n
o
n·
n
J
J
J
J
tion de
T déterminée par les
BQ.
*
et
u (TT )
la mesure
n.
L
u (BQ. )
o
n
o Q.
o
n.
J
Q.,j
J
t n.J
où les points
tQ.
de
coîncident avec
t
n.
si
t
n.
E BQ.
n.
n·
J
J
J
J

---

- 1.Z0 -
Alors on pose
*
u
= U (TI ) - U (TI ) pour tout entier naturel n. On vérifie
n o n
0
n
que les suites
*
et (u (TI ))
convergent étroitement vers
U
o
n
o
lorsque
n + + 00,
et
*
*
Uo(TIn) 1 =Uo(TIn) + Uo (TIn)
ZÀ
où
n
À (T)
~ l u (T). Par conséquent la suite (un) converge étroitement vers C
n
n
0
dans
At CT) et ( 1Un 1) converge étroitement vers ~uo dans )La (T) .
L'ensemble
H = {u, ,u , ... }
est donc relativement étroitement compact
Z
dans Jt\\T) tant disque
1HI = {I u,1 ,1 uzi , ... }
est relat ivement étroi-
tement compact dans
.M..:CT) mais ne l'est pas dans }1.. ~ CT). On en déduit
que
H n'est pas uniformément tendu, et
sol(H)
n'est pas relativement
étroitement compacte dans
)ILt (T) .
Comme l'a fait remarquer Varadarajan, la partie de
[0,'] non mesur~
ble pour la mesure de Lebesgue et dont la mesure intérieure et extérieure dJ
Lebesgue valent respectivement
0 et "
munie de la topologie induite par
[0,'], satisfait l'hypothèse du théorème. La mesure extérieure de Lebesgue
est non atomique et non tendue sur
T.
3) Cet exemple a été construit par L. Lecam ([7]
p. ZZ4). Soient
T,
l'ensemble de tous les ordinaux ~~,
T
l'ensemble de tous les ordinaux ~
Z
où
~ et w désignent respectivement le plus petit ordinal non dénombrable
et le plus petit ordinal infini. Le produit cartésien de
T, et T
est not
Z
T, x T
; on munit
T, et T
de
Z
Z de la topologie de l'ordre, et
T, x TZ
la topologie produit. Soin
T = T, x T -
Z
(~,w), on sait que l'espace
T
est un espace complètement régulier, pseudo-compact dont le compactifié
v
de Stone-Cech
est
T, x T .
Z

---

- 1.21 -
Soient
m = é
la mesure de Dirac au point
(n,n) E T,
et
n
(n ,n)
vn = mn - mn+1· On a
Ivnl = mn + mn+1. Pour tout f E C(T), mn(f) = f(n,n)
comme
T est complètement régulier,
lim
f(n,n)
existe, par conséquent
n-+w
lim fin(f)
existe pour tout f ~C(T).
n-+w
En d'autres termes la suite
(m )
converge étroitement vers une forme
n
linéaire continue
ma
sur
CCT). L'espace T étant pseudo-compact m
-
a
est
a-régulière; on vérifie facilement que
m
n'est pas
T-régulière.
a
La suite
convergent étroitement vers
0
et
2m
respec-
a
tivement. Posons
H = {v
; n = 1,2, ... }
et
1HI = {I v l ,n = 1,2, ... },
n
n
on a les conclusions suivantes :
(i)
IHI
est relativement étroitement compact dans
Jl a (T) mais ne
+
l'est pas dans Jt: (T) .
(ii)
H est relativement étroitement compact dans
)tT(T)
et dans
)l t(T),
cependant
H n'est ni uniformément
T-régulier ni uniformément tendu.
(iii)
solCH)
n'est relativement étroitement compacte ni dans
j(T(T) , ni
dans
)tt (T) .
Enfin signalons qu'il existe dans
([2], p. 125-127) d'autres
contre-exemples.

---

CHA PIT RE II
COMPACITÉ ÉTROITE DES APPLICATIONS
a-RÉGULIÈRES
À VALEURS D~~S UN ESPACE DE B~ACH

---

- IInO -
§ o. Notations.
On conserve dans ce chapitre les notations précédentes. En plus on désigne
par :
C CT)
le sous-espace de
CCT)
formé des fonctions positives ou nulles,
+
E un espace de Banach,
E'
le dual topologique de
E,
1·1
la norme sur
E et E',
le produit scalaire usuel sur
E x E' ,
MCT,E)
l'ensemble des applications linéaires continues de
e(T)
dans
E,
m , pour tout
m E M(T ,E), et
y E El, la forme linéaire continue sur
e(T)
y
définie par
m Cf) == <mCf) ,y>
pour tout
f E
e (T) .
y
Dans tout ce qui va suivre la lettre
y
(avec ou sans indices) dési-
gnera exclusivement un élément de
E'.
§ 1. Caractérisation des Applications \\~ctorielles
o-Ré~ulières.
Définitions 2.1 : Soit
H une partie de
M(T,E). On dira que
H est
i)
uniformément
o-régulière si, pour toute suite
(f )
-t 0
dans
e
. n
(T),
la suite (m( f )) -+ 0
uniformément sur
H,
n
ii)
uniformément
T-régulière si, pour toute famille filtrante
(f.)
-t 0
• 'Z-
dans
e (T), m(f.) -+ 0 uniformément sur H,
'Z-
iii) uniformément tendue si la restriction
de
H à la boule unité
H/B(O, 1)
B(O,1)
de
e(T)
est équicontinue lorsque
BW, ])
est munie de la topolo-
gie de la convergence compacte.
Si
H == {ml
on supprimera alors dans ces définitions l'adverbe
uniformément.

---

- r1.o -
On note respectivement
Ma (T ,E), ~1T (T ,E), Mt CT ,E)
l'ensemble des
applications vectorielles
a-régulières,
T-régulières, tendues.
Proposition 2.1 : Soit
m E M(T,E). L'application
m
de
C (T) dans
IR+
définie par
m(f) = sup{lm(h)1 ; h €
C(T),o~lhl :;; Ifl}
est une semi-norrnd
de Riesz.
Les propriétés à démontrer sont toutes évidentes, sauf peut-être l'iné~
galité du triangle. Le lemme 2.1 de l'appendice rr pourra être consulté si
besoin est.
On prolongera la semi-norme de Riesz
m à l'ensemble
<} CT,1R)
comme:
+
dans le chapitre précédent. L'application prolongée sera encore notée
m.
On a donc
pour tout
g E1(T), m(g)
sup{m(h) ; h E
C+(T),
h
:;; g}
pour tout
f E ~ CT ,fR), m(f) = inf{rn(g)
g E
~ CT), g ~ f}.
Rappelons que
m vérifie toutes les propriétés du lemme 1.4, de la
proposition 1.5, et de la remarque 1.1 relatives à
v. L'application m sera
dite semi-norme de Riesz associée à
m.
Théorème 2.2 : Pour toute partie
H de
M(T,E)
les assertions suivantes sont.
équivalentes entre elles
1)
H
est uniformément
a-régulière,
2)
pour toute suite
(f ) .j. 0
dans
C(T), m(f ) ~ 0
uniformément dans
H
n
n
3)
pour toute suite régulière
(Z ) dans
T,
m(T-Z) ~ 0
uniformément
n
n
dans
H,
4)
pour toute suite décroissante
(Z )
d'intersection vide,
m(Z ) ~ 0
n
n
uniformément dans
H.

---

- 11.1 -
Preuve: Pour toute partie
H de ~1(T,E)
uniformément
a-régulière on a
1
sup{lJ(n f)m[
m E H} + 0
quand
n + + 00, pour tout
f f
CCT)
H est
donc simplement bornée par suite
sup{m(f) , m E H} < + 00
pour tout
f E C (T).
=
([ 10] , corol. 2, p. 22) . Soient
v :
91CT)R)+1R
définie par
+
v(f) = sup{m(f) , m E H}
pour tout
f E <f (T)R) , et
v
CCT) +1R
définie par
v(h) = sup{m(h) ; m E H}
Dour
h E
C(T). L'application
v
est une semi-norme de Riesz, son prolongement à
<} CT )R)
sera notée
v.
Pour tout
g E J CT), v(g) = v(g)
et
v(f) ?;; v(f)
SI
f i
~ (T). On a les
équivalences suivantes :
"H
est uniformément
a-régulière" <=
«la famille
(m ) , où
m
y
varie dans
H et
Iyl ~ 1,
est uniformément
a-régulière dans
MP(T)R»>
<= «la famille
(Imyl), où
m varie dans
H et
Iyl ~ 1, est uniformément
a-régulière dans
WCT)Rh> <= (2) <= V
est
a-régulière. La deuxième équi-
valence résulte du théorème 0.7, et la troisième de l'égalité
m(f) = sup{ Imyl (f) ; Iyl ~ 1}
pour tout
f E
C CT). En s' appuyant sur le
+
théorème 1.11
on montre que
(2) <= (3) <= «~veZ ) + 0
pour toute suite
n
(Z )
décroissante, d'intersection vide». Comme
v(Zn) ?;; v(Zn)
on a
n
(3) ~ (4). Il suffit de montrer que (4) ~ (3)
pour achever la démonstration.
Soient
(Zn)
une suite régulière dans
T, et une suite
(Un)
telle que
Zn C Un C Zn+1' on a
sup{m(T-Z ) ; m E H} = v(T-Zn) ~ V(T-U
n
n_1). Donc si
l'assertion (4)
est vérifiée on aura la conclusion voulue.
Corollaire 2.3
Soit
m
un élément de
M(T,E). Alors les conditions
suivantes sont équivalentes
(1)
m
est
a-régulière,
(2)
la semi-norme de Riesz
m associée à
m est
a-régulière,
(3)
poUY' toute suite régulière
(Z)
dans
T,
m(T-Z) + 0,
n
n
(4)
poUY' toute suite
(Z
)
décroissante d'intersection vide,
m(Z ) + O.
n
n

---

~?~~~-
Théorème 2.2 bis: Pour toute partie
H de M(T,E), les assertions suivantes sont
équivalents entre elles
(])
H est uniformément
T:-régulière,
(2)
pour toute famille
(f.) -1- 0
dans
C(T),
Tii(f.) -+ 0
uniformément dans
H.
1-
1-
rr~~y~ : Soit
Cf.) -1- 0 dans CCT) ; les
f.
sont nécessairement positifs ou nul
l
l
car
lim f.Ct) = inf f.Ct) = O. La condition (1) veut dire que
l
.
l
l
lim sup imCf.) 1 = lim sup su~
lm Cf·)1 = 0, donc elle est équivalente à
i
mEH
l
i
rnEH 1 yi;;; 1
Y l
"{~; Iyl ;;; 1, m E H} est uniformément T:-régulière". D'après le théorème 0.6,
l'ensemble
{m
; Iyl ;;; 1, m E H}
est uniformément
T:-régulier si et seulement
y
{Imyl ; Iyl ;;; 1, mE H}
l'est aussi. Par conséquent pour que
H satisfasse
la condition (1) il faut et il suffit que
o = lim sup s~
lm 1 Cf.) C= lim sup mCf.))
i
mEH 1 yi;;; 1
Y
l
i
mEH
l
donc Cl) <= (2).
Corollaire 2.3 bis
Soit
m E M(T,E). Les conditions suivantes sont
équivalentes
(1J
m est
T:-régu l ière,
(2)
La semi-norme de Riesz
m associée à
m est
T:-régulière,
(3)
Pour toute famille
(z.)
-1-
~, Tii(Z.) -+ o.
1-
1-
rr~~Y~ : On obtient l'équivalence entre (1) et (2)
en prenant dans le
théorème 2.2 bis
H = {m} ; ensuite (2) <= (3) résulte du théorème 1.7 bis.

---

- II.3 -
Théorème 2.4 : Pour toute partie
H de M(T,E)
les propositions (1) et (2)
sont équivalentes :
(1)
H
est uniformément tendue,
(2)
a) pour tout nombre réel
E
> 0
il existe une partie compacte
KE
de
T
telle que
sup{m(U) ; U c T-K , m E H} ~ E
E
m E H} < + 00.
Preuve: La démonstration est analogue à celle du théorème 2.2. Dire que
H
est unifo~ément tendue équivaut à dire que la semi-norme de Riesz
v:
C(T) +R (f + v(f) = sup{m(f) ; m EH})
est tendue. On se basera sur
le théorème 1.13 pour conclure.
Corollaire 2.5
Soit
m E M(T,E) ; alors
m est tendu si et seulement si
pour tout
E
> 0, il existe une partie compacte
K
de
T
telle que
E
sup{m(U) ; U c T-K } ~ E.
E
~~~~~q~~_~~l : Si T est un espace topologique complètement régulier alors
sup{m(U) ; U c T-K }
m(T-K)
(remarque 1.2).
E
E
Définition 2.6 : On dira qu'une partie
H de
M(T,E)
satisfait la condition
de Prokhorov si elle est uniformément tendue, i.e.
a)
sup{m(T); m E H} < + 00
b)
pour tout
E
> 0
il existe une partie compacte
K
de
T
telle que
E
U c T-K , m E H} $ E.
E
O T t
Il est clair que
~1 (T,E) ~ M (T,E) ~ M (T,E). Tout comme pour les
semi-normes de Riesz nous avons :
Théorème 2.? : Soit
T
un espace polonais, ou localement compact dénombrable
à l'infini, alors
MO(T,E) = Mt(T,E).

---

- 11.4-
Preuve : Soit
mE M(T,E) ; m E ~f(T,E) ~ m est
a-régulière (corol. 2.3)
En utilisant sucessivement le théorème 1.17 et le corollaire 2.5, on obtient
le résultat voulu.
§ 2. Compacité étroite dans
M(T,E).
Définition 2.8 : On appellera topologie de la convergence étroite (ou topolog;
étroite) sur
M(T,E)
la topologie déduite de la structure uniforme définie
par la famille d'écarts
(d ) , où
f
varie dans
C (T), sur
M(T,E)
avec
f
df(m,m') = Im(f) - m'(f)1
pour tout
m,m' E M(T,E).
Dans toute la suite on ne considérera que cette topologie sur
M(T,E).
Les ensembles
!'f CT ,E), MT (T ,E)
et
Mt CT ,E)
seront munis de la topologie
induite par celle de
M(T,E). Cette topologie est séparée. On emploiera
l'adverbe «étroitement»
pour signifier «au sens de la topologie étroite».
Pour tout
f E: C (T)
désignons par
Pf
l'application de
l'vI CT ,E)
dans E
définie par
Pf(m)
m(f).
Pour qu'un filtre
g sur MCT ,E) converge étroitement vers m E ~1(T ,E)
il faut et il suffit que la base de filtre
Pf(~) converge dans m(f)
pour tout
f E:
Proposition 2.9 : Soit
g E: 9 (T) ; alors la fonction
m -+ Tiirg)
est semi-
continue inférieurement dans
M(T,E).
Preuve: Pour tout
f E C (T), l'application
m -+ Im(f) 1
est continue
dans
~1(T ,E). La fonction m -+ m(g), g E:
~ (T), est semi-continue inférieu-
rement (s.c.i.) car c'est une enveloppe supérieure d'applications s.c.i., à
savoir
m -+ m(h) , hE
C (T)
et
h ~ g.
+
Théorème 2.10 : Soit
T
un espace topologique. Pour qu'une partie
H de
Mt(T,E)
satisfaisant la condition de Prokhorov soit relativement étroitement
compacte dans
:l (T,E), i Z faut et il suffit que pour tout f E
C (T)
+
l'ensemble
{m(f) ; m E: H}
soit relativement compact dans
E.

---

- 11.5-
Preuve : Supposons que pour tout
f E c CT)
l'ensemble
{mCf) ; m E H}
+
soit relativement compact dans
E. Hontrons que
H est relativement étroi-
t
tement compacte dans
H CT ,E) . Soient
~ illl ultrafiltre sur H, et f E: C CT):
+
la base d'ultrafiltre
PfC~) converge vers m'Cf) i.e. ~ converge étroi-
tement vers l'application
m' de
CCT)
dans
E. D'après le théorème de
Banach-Steinhaus
m' E MCT ,E). Soient
E:
> 0, et
K
illle partie compacte de
E:
-
T telle que
sup{mCU) ; U c T-K , m E: H} ~ E:. L'application
m + mCU)
étant
E:
s.c.i. dans
~lCT,E)
CProp. 2.9),
m'CU) ~ E:
pour tout
U dans
T-K, par
E:
suite
ml E: MtCT,E)
et
H est relativement étroitement compacte dans
MtCT,E). Inversement si
H est une partie relativement étroitement compacte
dans
Mt CT ,E), alors l'ensemble
{mCf) ; m E H}, f
E
CCT), est relativement
compact dans
E car l'application
Pf
est continue dans
MCT ,E).
Corollaire 2.11 : Une condition nécessaire et suffisante pour que toute
partie de
Mt(T,E)
satisfaisant la condition de Prokhorov soit relativement
étl'oitement compacte dans
ll(T,E)
est que
E
soit de dimension finie.
Rappelons que dans tout espace topologique
T métrisable les proprié-
tés suivantes sont vérifiées :
i)
tout sous-ensemble fermé de
Test illle partie
Z de T,
ii)
pour toute mesure réelle
~ définie sur l'algèbre de Boole
~
engendrée par
:b ,et toute part ie compacte K de T,
I~I CT-K) = sup{ I~I CU) ; U c T-K}
iii)
si la mesure
~ est tendue, alors pour tout E: > 0, et A E ~
i l
existe illle partie compacte
Z de A telle que
I~I CA-Z) ~ E:.
Voici un résultat qui nous sera utile :
Proposition 2.12 : ([11], p. 282) Une partie bornée
C de ~1
est faiblement
relativement compacte si et seulement si
lim sup
r
Ix(i)1 = o.
n-.Ko xEC i>n

---

- 11.6 -
Soient
mE M(T,E), et
y E E'. Par souci de clarté nous noterons
encore
m , dans les démonstrations qui vont suivre, la mesure sur
T
y
correspondant
à la forme linéaire
m
C(T) +R(f + my(f) = <y,m(f»).
y
Th '
,
2 1
S '
T
7 '
_ .
b7
7
(*).
eoreme
. 3:
o~ent
un espace topo~og~que metr~sa ~e comp~et, et
H
t
une partie de
M (T,E). Alors
H est relativement étroitement compacte dans
Mt(T,E)
si et seulement si
H satisfait la condition de Prokhorov, et pour
tout
f E
C+(T)
l'ensemble
{m(f) ; m E H}
est relativement compact dans
E.
Preuve: On a démontré dans le théorème 2.10 la partie suffisante de l'asserti~
Inversement supposons que
H soit étroitement compacte. Pour tout
f E
C (T)'
t
l'application
Pf
M (T,E) + E(m + Pf(m) = m(f))
est continue, donc
Pf(H) = {m(f) ; m E H}
est compact dans
E. Ceci prouve que
H est sùnple-
ment bornée d'où
sup{rnCT)
m E: H} < + 00 ((10], corol. 2, p. 22). Il reste
à montrer que pour tout
E
> 0
il existe une partie compacte
K de
T
E
telle que
sup{rn(T-K) ; m E H} ~ E. Soit
B'
la boule unité fennée de
E'
E
munie de la topologie induite par
aCE' ,E) ; H x B'
est une partie compacte
de l'espace produit
M\\T,E) x B'. L'application
(m,y) + m
de
MtCT,E) x B'
v
dans l'espace
il (T,"IR) munl de la topologie étroite étant continue, l'image
H = {m
; y E B', m E H}
de
H
y
x
Bt
par cette application est compacte
dans
Mt(T)R). Notons
d
la distance sur
T. On va maintenant prouver l'asser-
tion suivante :
"Si
H est une partie étroitement compacte de
Mt CT ,E)
alors pour tout
E
> 0 et tout
a > 0
il existe une partie finie
F de T
telle que
sup{rnCT-N(F,a)) ; mE H} ~ E". Avec
N(F,a) = {tE:T,d(t,F) =inf d(t,x) ~ a}.
xEF
Supposons que la conclusion soit fausse ; on construit alors par récurrence
une suite
(Yn)
dans
B', une suite
(m )
dans
H, et une suite
(F )
de
n
n
parties finies de
T telles que :
(*) .
Il serait plus correct de dire "métrisable de fa con complète".

---

- II. 7 -
( i)
F
= 0
o
(ii)
l\\.l 1 (T-N(
U F.,o)) > E, n = 1,2, ...
n
.
l
l<n
OÙ
\\.l
= <y ,m (.»
n
n
n
( iii)
F c T-N( U F·, 0), n = 1,2, ...
n
.
1
l<n
Supposons que
m., y.
et
F.
existent pour
1 ;;; i ;;; n-1
; alors
l
l
l
sup{rn(T-N( u
F. ,0))
mE H} > E (n ~ 1), donc on peut trouver
m E; H
tel
i<n
l
n
-
que
rn (T-N( u
F·,o)) > E
d'après la définition de
m
il existe
y
E B'
n
.
l
n
l<n
tel que
\\.ln
vérifie (ii). La propriété iii) précédant la proposition 2.12
assure l'existence d'un compact
Z
dans
T-N( u
F. ,0)
vérifiant
n
i<n
l
1 \\.ln 1 (Zn)
> E. Soient
k~n), ... ,k~n) une suite finie de points de Zn telle
que la réunion des boules de centre
et de rayon
0/4
contienne
Z .
n
(n)
(n)
Posons
F
{k
" .. ,k
}, nous avons
n
1
p
(iii)
F
c T-N( u
F.,o)
n
.
l
l<n
La récurrence est donc justifié~,Notons
G l'intérieur de l'ensemble fermé
n
N(F ,6/3), on a
d(Gn,G ) ~ 0/3
pour
n ~ m ; la suite
(G)
est donc loca-
n
m
n
lement finie. Comme
\\\\.lnl(G )
n
> E
il existe
f
E
n
C(T)
tel que
Ifni ~ 1Gn
et
co
>~. Pour tout ~
1 \\.l
( f) 1
En, posons
n
n
J(cd
L
a(n)fn; J(o.) E C CT)
e-
u.
'"
n~l

---

- II. 8-
1
car
CG )
est localement finie. L'application
J : ~oo +
CCT)
est contin\\
n
pour les topologies
a CR. ,~
00
1)
et
oC C (T), Mt (T ,IR))
donc sa transposée
t J
est aussi continue. Comme ItJ(w n) Cn)1 = IwnCJ(en))1 = Iwn(fn)1 > €,
l'ensemble
tJ(H)
n'est donc pas compact (Prop. 2.12), par conséquent
H
non plus. L'assertion est donc démontrée. Soit
€
> 0, il existe alors une
-
-n
f
suite
(F )
de parties finies de
T telle que
sup{m(T-N (F ,2
)); mE H}:;;t
n
n
-n
pour tout
n ~ 1}.L'ensemble
K = n{NCF ,2
) ; n ~ 1}
est compact dans
T
n
car il est fermé et précompact, en plus il vérifie
sup{m(T-K)
m E H} ~ €
. C.Q.F.D.
Corollaire 2.14 : Soient
T
un espace topologique métrisable complet et
E
un espace de Banach de dimension finie. Alors pour qu'une partie
H de
Mt(T,EJ
satisfasse la condition de Prokhorov il faut et il suffit qu'elle
t
soit relativement étroitement compacte dans
M (T,EJ.
La condition
sup{m(T) ; m E H} < + 00
implique que l'ensemble
{m(f)
m (
H}, f E
8 (T), est borné dans
E, donc il est relativement
+
compact dans
E.
Soit
T un espace topologique, on dira que
T est un
k-espace si un
sous-ensemble de
T est fermé dès que son intersection avec toute partie
compacte est compacte. Si
T est un
k-espace et s'il est réunion d'une
suite
(K)
de compacts telle que tout compact de
T
soit contenu dans un
n
~,alors
T sera appelé un
k-espace hémicornpact. Le résultat ci-dessous
est démontré dans l'appendice II.
Proposition 2.15
Tout
k-espace hémicompact est un espace normal.
Les mesures que nous avons considérées jusqu'ici sont celles de la
définition 0.1. Sauf mention expresse du contraire il en sera toujours ainsi.
Il a été signalé, vers la fin du chapitre 1, que si
T est un espace topo-
logique complètement régulier il existe une correspondance biunivoque entre

---

- II. 9 -
les formes linéaires tendues sur
C(T)
et les mesures
a-additiveJ,
régulières par rapport aux parties compactes de
T, définies sur la tribu
borélienne de
T. Nous formulons ceci sous forme de
Proposition 2.16 : ([ 8], p. 65) Soient
T
un espace complètement régulier
et
.e
une forme linéaire sur
0 (T). Pour qu'il existe une mesure
S
a-additive, régulière et bornée
.e sur T
telle que
.e(f) =s(f)
pour tout
f E
C (T), il faut et i l suffit que
t
soit tendue. La mesure
S
est alors
unique.
Théorème 2.17 : Soient
T
un
k-e&pace hémicompact et
H une partie de
t
M
t
(T,E). Alors
H est relativement étroitement compacte dans
M (T,E)
si
et seulement si
H vérifie la condition de Prokhorov et pour tout
f E C (T)
+
l'ensemble
{m(f) ; m E H}
est relativement compact dans
E.
Preuve : On va seulement démontrer que si
H est étroitement compacte dans
~{(T,E), alors pour tout E > 0 il existe une partie compacte K de T
E
telle que
sup{m(T-K) ; m f. H} ~ E. Quant au reste on reprendra mot pour mot
E
la démonstration du théorème 2.10. Soit
(K)
une suite croissante de com-
n
pacts dont la réunion est
T
et telle que tout sous-ensemble compact de
T
soit contenu dans un
K. Supposons qu'il existe un nombre
E > 0
tel que
n
pour tout compact
K de T on ait
sup{m(T-K) ; m f. H} > 4E. On démontre par
récurrence qu'il existe alors deux suites
(M ) et (L )
d'ensembles compacts
n
n
dans
T
telles que
~1
n L == 0 pour tout entier naturel
n, une suite
n
n
croissante d'entiers naturels
(jn)' une suite
(m )
dans
H, et enfin une
n
suite
(y)
dans
E'
qui vérifient
n
( i)
L U ~l
c K.
n
n
J n+l
(ii)
L
u ~1
cT-K.
(n ~ 2)
n
n
Jn
(iii)
~n (Ln)
~ (t-1n) > E
où
~n
<y ,m (.) >
n
n

---

- 11.10-
(iv)
I ~ 1 (T-K. U L u M ) < E/2.
n
J
n
n
n
Supposons que
L, M m et y
existent pour
1 ~ n < k ; il existe alors
n
n
n
n
jk
tel que
Il existe alors
Yk E E', IYkl ~ 1 qui vérifie
En utilisant la régularité de la mesure borélienne
~k (Prop. 2.16) et le
théorème de décomposition de Hahn. on trouve
L et M
satisfaisant aux
k
k
conditions (ii) - (iv). La propriété (i)
découle des hypothèsessur la suite
(K ). Soit
m E ~f(T,E), et un entier naturel
n
tel que
m(T-K
) < E/4.
n
0
no
En appliquant le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn sur les compacts
(K. )
p ~ no' on construit
une fonction
f
qui vérifie :
Jp
a)
-1 ~ f ;;; 1,
b)
f
0
sur
Kno
r
c)
f
sur
Ln
et
f
-1
sur
M
si
f ~n ~ 0
(n ~ n )
n
JK.
o
Jn
d)
f
-1
sur
Ln
et
f
sur
M
si
f
I
~n < 0
n
K .Jn
La fonction
f
est continue dans
T
car sa restriction à chaque
compact
K
est continue. On alors
1 ff
m 1 < E/4, et, en posant
n
)
Yn
B = K
U L U M
IJf"
1 ~ \\ r f" 1 - If
f 11 1 > c-c/2 = E/2
pour tout
J·n
n
n'
"n
"n
"n
c.
c.
)B
T-B
n ~ no' Il en résulte que
I~n(f) - m(f) 1 > E/4 pour n ~ no ; ceci prouve
que la suite
(mn) n'admet aucune valeur à'adhérence par conséquent H n'es
pas étroitement compacte.

---

-11.11 -
Corollaire 2.18 : Soient
T
un
k-espace hémicompact, et
E
un espace de
Banach de dimension finie. Pour toute partie
H de Mt(T,E)
les conditions
suivantes sont équivalentes :
(1)
H
satisfait la condition de Prokhorov
t
(2)
H
est relativement étroitement conrpacte dans
M (T,E).
N.B. Tout espace localement compact dénombrable à l'infini, en particulier
tout espace localement compact métrisable et séparable ([8], p. IV-21)
est
un
k-espace hémicompact.
Les démonstrations des théorèmes 2.13 et 2.17 sont inspirées du papier
de D.H. Fremlin ([2], p. 122-124).
Voici deux résultats relatifs à la compacité dans l'espace
~1T(T,E).
Théorème 2.19 : Soient
T
un espace topologique et
H une partie uniformé-
ment
T-régulière de
MT(T,E). Alors
H est relativement étroitement compacte
dans
MT (T,E)
si et seulement si l'ensemble
{m(f); m E H}
est relativement
compact dans
E pour tout fE C+( r;:.) •
La démonstration est analogue à celle du théorème 2.10.
Corollaire 2.20 : Pour que toute partie uniformément
T-régulière de
MT (T,E)
soit relativement compacte dans
MT (T,E)
il faut et il suffit oue
E
soit
de dimension finie.
Avant de passer à l'étude des parties compactes dans l 'espace
~lo(T ,E),
rappelons le résultat suivant :
Proposition 2.21 : ([3], p. 169) Soient
(Z)
une suite régulière dans
T
n
et
(r)
une suite de nombres réels strictement croissante (ou décroissante).
n
Alors il existe une fonction numérique
g
continue définie dans
T
telle
que
Z
= {t ET' g(t) $ r }
pour tout
n.
n
'
-
n

---

- ILl é-
Théo~ème 2.22 : Soit
T
un espace métrique sépa~able. Alo~s toute pa~tie ~e
tivement étroitement compacte de
MO(T,E)
est uniformément
o-~éguliè~e.
Preuve : Soit
H lIDe partie relativement compacte de
HO CT ,E). Identifions
1;
à lID sous-espace d'un espace compact métrisable
T'. Soit
G lIDe partie ouve~
de
Tt
contenant
T ; G est lID sous-espace localement compact dénombrable à[
l'infini LN.B. p.12) par suite
W(G,E) = Ht(G,E)
d'après le théorème 2.7.
'
Notons
j
l'injection canonique de
T dans G, pour tout
m dans ~1°CT,E),yEE~
~
~
m
la mesure sur
T correspondant à la forme linéaire
m, j(m)
l'image
y
y
y
~
de
m par j et j (m)
celle de
m par j. Pour tout
f E C(G), j (m) (f) = m(f 0
y
t
Il est évident que
j(H)
est relativement étroitement compacte dans
M (G,E)
par conséquent pour tout
€
> 0
il existe une partie compacte
K( de
G te
que
€
~ sup{j(m) (G-K) ; mE H} = sup{m(T-T n K ; mE H}
(Théo. 2.17).
€
€
Pour justifier cette égalité on utilise les relations suivantes : pour tout
m E HOCT,E), mCT-T n K ) = sup{ lrii 1 CT-Tn K ) ; Iyl :$ 1} = sup{ lrii 1 (l
K 0 j) ; Iyl
€
Y
€
V
G-
,
€
= sup{lj(rii )1 (G-K)
; Iyl ~ 1} = j(m) (G-K ). Comme l'ensemble ouvert
G est
y
€
€
arbitraire
H est alors uniformément
o-régulière. En effet soit
(Zn)
une
suite décroissante d'intersection vide
Z = z' n T où
Z' c T'
en posant)
n
n
n
G = U{T' -Z'
. n ~ 1}
n '
-
il existe alors un entier naturel
p
tel que
p
K
c
Un' -Z'
n
1,oo.,p}
par suite
T-TnK
~T-Tn (U (T'-Z')) == Zp'
€
n
€
n==l
n
D'ol!
sup{m(Z ); m E H} :$ sup{rn(T-T n K )
m E H}
P
:$
€.
C.Q.F.D.
€
Théorème 2.23 : Soit
T
un espace topologique. Pour toute pa~tie
H de
MO(T,E)
les assertions suivantes sont équivalentes entre elles:

---

- 11.13-
(])
H est uniformément
a-régulière et pour tout
f E C (T)
l'ensemble
+
{m{f) ; m E H}
est relativement compact dans
E.
(2)
H est relativement étroitement compacte dans
~(T,E).
(3)
poUY' tout espace métrique séparable
T , image de
T
par une application
o
continue
p, l'ensemble
p{H) = {p{m) ; m E H}
est relativement étroitement
compact dans
/If (T ,E)
et pour tout
f E C +(T)
l'ensemble
{m{f) ; m E H}
o
est relativement compact dans
E.
Preuve: La démonstration de l'implication (1) ~ (Z)
est une sorte de routine
après celles des théorèmes 2.10 et 2.19. Ql montre que (Z) ~ (3)
en utilisant
la continuité des applications
m + p(m)
de
M(T,E)
dans
M(To,E)
où
p(m) (f) = mU 0 p)
pour tout
f E
C(T )' et de
m
o
+
m(h) de
H(T ,E)
dans
E où
h
est fixé dans
O::T). Prouvons que (3) ~ (1), pour ce faire on
suppose que l'assertion (3) est vraie mais (1) fausse. Alors il existe
( >
0
et une suite régulière
(2)
dans
T tels que
sup{m(T-Z) ; m f H} > 4(
n
n
pour tout entier naturel
n. On en déduit qu'il existe une suite
(Y )
dans
n
pour tout
n, et une suite
(m )
dans
H telles que,
n
en posant
Pour tout entier naturel
n, soient
2 '
dans
T-2
vérifiant
n
n
la fonction
f
E
C (T)
telle que
2'
{t ET; fn(t) = O}. Soient
g
un
n
+
n
élément de
C CT)
qUl vérifie
2
= {t ET; g(t) ~ n}
(Prop. Z.Z1)~. et
p
+
n
l'application cont:inue de
T dans TIf définie par
pet) = (g(~) ,f (t) ,fz(t) ... )
1
pour tout
t E T. Ql pose
*
T
= pet)
et
Z = p(Z)
pour tout entier naturel
û
n
n
n, et on considère sur
T
la topologie induite par l'espace produit ~.
a
L'espace
Ta
est donc métrisable séparable. La suite
*
(2)
est régulière
n
dans
Ta, donc il existe un entier naturel
q
tel que

---

- II. 14
*
sup{plffi) CTo-Z
pour tout
n ~ q
CThéo.2.22).
n) ; m E H} ~ E
*
*
D'autre part
p(mn)(To-Zn) ~ 1<pCmn) ,Yn>1 CTo-Zn) ~ l\\.lnCZ~)I, > E/2
pour
n = 1,2, ...
d'où la contradiction.
C.Q.F.D.
Corollaire 2.24 : Pour que toute partie de
MOrT,E)
uniformément
o-réguli~
soit relativement compacte dans
MPrT,E)
il faut et il suffit que
E
soit
de dimension finie.

---

-I1.15-
a
§ 3. Convergence étroite dans
~I (T ,E) .
Dans ce paragraphe nous énoncons une version vectorielle du théorème
d'Alexandroff ([1], p. 209) et de celui de J. Dieudonné ([12]) concernant
respectivement la convergence étroite des suites de mesures
a-régulières et
tendues. Le résultat de Dieudonné a été repris par différents auteurs, en
particulier par L. Lecarn ([13] , p. 218) qui en a donné une légère générali-
sation. La démonstration que nous donnons ici est inspirée de celle de Lecam,
mais notre résultat couvre le sien.
Le résultat suivant est utile.
Théorème 2.25 : Soient
T
un espace topologique,
m f M(T,E) et 8(0,1)
la
boule unité de
C (T). S'il existe un nombre
E
> 0,
une partie
Z de T, un
élément
v
de 8(O,1J
et un nombre
0
° tels que pour tout u E 8(0,1)
0
>
vérifiant
sup {
<
1 u (t)
-
v (t) 1 ;
t f Z} :$ 0
on ait
Im(u) - m(v )
ç
o
1
o
=
'-'
,
alors
m(T-Z) ~ SE.
Preuve
Rappelons que
m
désigne la forme linéaire
f -+- <y ,mU) >
sur
C (T)
y
et aussi la mesure sur
T qui lui correspond. Soit
YE C El avec IYEI :$
tel que
m(T-Z) :$ lm
1 (1-Z)
+ E. Soient
Zl
une partie de
T-Z
vérifiant
YE
~
E
-
, f E
C (T)
avec
o :$ f :$ 1, f = 0
1 m
y 1 (Zl) ~
lm
1 (T-Z)
sur Zl ' f =
2
Y
~
E
sur
Z, et enfin
u E C(T)
avec
U:$
l _
; on a
u = (l-f)u + fu = (l-f)u
T Z
+ fv
+ fCu-v ), les fonctions
f(vo-u) et
g= {-1 v il /\\ [ f(vo-u)]}}
o
o
coîncident sur
Zl U Z
par conséquent
IJf(v -u)m
-Jv m 1
+ Jf(v -u)m
-Jgm
o
y
1:$
0 y
o
Y
Y
E
E
E
E
IJgm
-Jv m \\+ r
Ig+f(u-v)llm
2E.
Les fonctions
1
:$
E + 2(E/2)
YE
0
YE
JT-(Zl uZ )
0
YE
(l-f)u + fv
et
h = {-1 v {1
]}}
ne diffèrent que sur
o
Â
[(l-f)u + fvo
T - (Zl U Z), par suite

---

- 11.16-
If[C1-f)u + fv lm
-fv ffi
~
y \\ = If Ch-v )m
+
f[C1-f)u + fv lm
-fh~ 1
o
YE
0
E
0
YE
0
YE
YE
If Ch-v )m
~
1
+ r
IC1-nu + fv -hllm
1
E + 2CE/2)
2E. Cormne
o
YE
JT-CZ UZ)
0
YE
1
u = C1-nu + fv
+ fCu-v)
Ifum
1
~ If[(l-f)u + fv lm -fv m 1 +
o
0 '
YE
0
YE
0
YE
IffCu-v)m
+ fv m
u
étant arbitraire on a
1
~ 2E + 2E = 4E. La fonction
o
YE
0 YE
lm
ICT-Z) ~ 4E, d'où mCT-Z) ~ SE.
C.Q.F.D
YE
~~~~~g~~_~~2 : Si l'espace T est complètement régulier on remplacera dans
l'énoncé du théorème
2 par une partie compacte
K de
T. Alorsdans la èémon!
y
tration à la place de
21 c T-2 on prendra un ensemble compact K, c T-K où
y
y
T sera le compactifié de Stone-Cech de
T, et on utilisera au lieu de
m ,
YI::
y
son image par l'injection canonique de
T dans
T. Aussi
aCT)
sera-t-il
y
identifié à
CCT).
Théorème 2.26 : Soient
T
un espace topologique complètement régulier tel que
la boule unité
B(O,l) de
arT) munie de la topologie de la convergence com-
pacte soit un espace de Ba-ire, et
(m)
une suite d'éléments de
",/(T,E). Si
n
la suite
(m)
converge étroitement vers
m'alors:
n
(1) la suite
(m)
vérifiera la condition de Prokhorov
n
t
(2) m'
sera élément de
M (T,E).
Preuve : Supposons que la suite
Cm)
converge étroitement vers
ml. Alors
n
est simplement bornée par conséquent
sup {m CT) ; n = 1,2, ... } < + co
C~)
n
C[10 l, p. 22). Pour toute partie
A de T et tout
f f
C CT)
on pose
PA Cf) = sup {!fCt) 1 ; t E AL Soient
F
{m
; p ~ n} et P
l' appl ication
n
p
n
de
a CT) dans R définie par PnCf)
sup{lmCf)-mCf)l,m
etm
EF}
p
q
P
q
n
pour tout
f
dans
C CT), avec
n = 1,2, ... La suite
CP )
est décroissante
n

---

- II.17-
et converge simplement vers
0, en outre chaque
p e s t semi-continue
n
inférieurement dans
BCO,l)
munie de la topologie de la convergence compacte.
Soient
°
E >
et
Sn = {f E BCO,l) ; PnCf) ~ E}, n = 1,2, ... ,
alors
Sn
est une partie fermée de
BCO,l)
et
BCO,l)
U{Sn ; n ~1 ,2, ... }. Comme
BCO,1)
est un espace de Baire il existe un entier naturel
p
tel que
S
soit
o
Po
d'intérieur non vide, on peut donc trouver
ho E Sp , un compact
K
dans
T
o
o
et lm nombre réel
°
0 >
tels que pour tout
f E BCO,l)
vérifiant
PK Cf-ho) ~ 0
on ait
PnCf) ~ E
pour tout
n ~ p . Fixons
m.
dans
o
1
o
soient
K.
une partie comp:Kte de
T telle que
m. CT-K.) ~ E
et
K' = K u Ki;
1
1
1
0
alors pour tout
fEBCO,1)
vérifiant
PK' Cf-hd ~ 0 on a 1mCf) - mi Cf) 1 ~ E
pour
mE:. F
, dIol!
1 Cm-m.) Cf)
- Cm-m.) Ch ) 1 ~ 2e:, par suite
Cm-m.) CT-K') ~ 1Oe:
Po
1
1
0
1
pour tout
m E: F
d'après la remarque 2.1 du théorème 2.25. On en déduit que
Po
+
Kil
mCT-K') ~ Cm-m.) (T-K)
~CT-K') ~ lle:
pour
m E F
. Soit maintenant
un
1
1
~
sous-ensemble compact de
T qui vérifie
mpCT-K") ~ e:
pour
1 ~ p < Po' alors
m-CT-K' u ~') ~ lle:
pour tout entier naturel
n;
e:
étant arbitraire l'as-
n
sertion Cl) est prouvée.
La condition (2) découle de Cl) et de la proposition 2.9.
C.QF .D.
~~~~~q~€_~~~ : Si
T est un espace topologique localement compact et para-
compact alors la boule unité
BCO,l) de
CCT)
munie de la topologie de la
convergence compacte sera un espace de Baire. En effet un tel espace
Test
somme d'une famille
CT.)
d'espaces localement compacts dénombrables à l'infini
1
C[5], p. 70), par conséquent
BCO,l)
s'identifie à l'espace produit
n B CO,l)
i
i
Ol!
B CO,l)
désigne la boule unité de
C (T i)
munie de la topologie de la
i
convergence compacte. Il est évident que
B. CO,l)
est métrisable et complet,
1
par suite
n B CO,l)
est un espace de Baire C[4], p. 114, Exercice n° 16).
i
1

---

- rI.18-i
Théo~ème 2.27 : Soient
T
un espace topologique et
(m J
une suite d'élémen~
n
;
dé
MO(T,EJ . Si la suite
(m
)
conve~ge ét~oitement ve~s
m'
alo~s la suit~
n
i
(m J
se~a unifo~mément o-~éguliè~e et m'appa~tiend~a à 1~(T,E).
n
Preuve : Soient
(Z)
une suite régulière dans
T et B(0,1)
la boule unité
q
de
C(T). Pour toute partie
Z de T, et
f,g E C (T)
on pose
PZ(f,g) = sup{lf(t)-g(t)1 ; t E Z}. Nous allons démontrer que
sup {fi (T-Z ) ; n = 1,2, ... }
et
m' (T-Z) convergent tous vers zéro q + +
n
q
q
Pour ce faire on munit
B(0,1)
de la topologie métrisable définie par la fami;
dénombrable d'écarts
(PZ)' Comme
(Zq)
est régulière dans
T, B(0,1)
est
q
complet c'est donc un espace de Baire. Pour aboutir aux conclusions voulues
on procédera con~e dans la démonstration du théorème précédent. Au lieu de la
remarque 2.1 on utilisera le théorème 2.25.
La conclusion du théorème 2.27 est plus riche que celle du résultat
d'Alexandroff pour les mesures.
§ 4. Compacité étroite d'ensembles de multi-applications
a-régulières.
A) Notations et Rappels : En sus des notations antérieures nous désignons par
B+(O,l)
l'intersection de la boule unité
B(0,1) de
C(T) et de
CFB(E)
l'ensemble de toutes les parties convexes fermées bornées non vides
de
E,
CFB CE)
le sous-ensemble de
CFBCE)
dont tout élément contient
{O} ,
+
ChCE' )
l'espace de Banach des fonctions de
E' dans R
qui sont continues
pour la norme, et positivement homogènes. Pour
g E
eP(E'), la norme de
g
est
Iigii = sup{lg(y)1 ; y E E'
IYI ;;; 1},
CoX, Xc E, l'enveloppe convexe
*
fermée de
X,
6 (.IX)
la fonction d'appui de
X c'est-à-dire l'application
*
de
E' dans R
définie par
6 (yIX) = sup{<y,x>
x E X}
pour tout
y E E' ,
B + C, pour
C,B
des parties de
E, l'ensemble
{b + C ; C E C et b E B}

---

- 11.1·9-
B ~ C l'adhérence de
B + C,
1'>1(T ,CFB(E))
l'ensemble des multi-applications
M Continues définies dans
c: (n~ et
+
'
à valeurs dans
CFB(E)
qui vérifient les deux conditions suivantes
(i)
M(f + h) = M(f) ~ M(h)
pour tout
f,h E
C (T)
+
(ii)
1'>1(>..f) ::= >..!'<I(f)
pour tout nombre réel
À ~ 0
et tout
f €
c CT) .
+
Dans toute la suite l'ensemble CFB(E)
sera muni de la distance de
*
*
Hausdorff
D définie par
DCB,C) == sup{ 1ô (Yi B) - ô (Yi C) 1 ; Y E E', Iyl ~ l}.
On définit une relation d'ordre dans l'ensemble
M(T,CFB(E)
en posant, pour
tout
~I', M E: MCT ,CFBCE)),
M' c M si et seulement si
M' (f) c ~1(f)
pour
tout
f E
C (T). On dira qu'un élément
~I de MCT ,CBCE))
est positif si
e c ~1,
+
où
e(f) = {O}
pour tout
f E
C+CT); autrement dit
0 E M(f)
pour tout
f E
C CT). Notons que pour tout
M positif et tout
f ,h
dans
C CT)
véri-
+
+
fiant
f ~ h
on a
M(f) c Wh). On note
~I+(T,CFBCE))
le sous-ensemble de
M(T ,CFBCE))
fonné des multi-applications positives.
Les deux propositions suivantes figurent dans [14].
~osition 2.28 : Soient
C,B E CFB(E) ; alo~s :
*
*
1)
è (.[C) = ô (·IB)
si et seulement si
C = B.
*
*
2)
ô (·IC) ~ ô (·IB)
si et seulement si
Cc B.
* .
*
*
3)
ô (.jtC + ~B) = t ô (·IC) + ~ ô (·IB)
pou~ tous TioTl)b~es ~éels
t
~ 0, ~ ~ o.
Soient
(C. )
une famille d'éléments de
CFB(E)
et
C =Co(U C.), alo~s
1-
i
1.-
*
*
ô (·1 C) = sup Ô (·1 Ci) .
i
*
*
1
P~oposition 2.29 : L'application
ô
: C -+ Ô (·IC)
de
CFB(E)
dans
Cn(E')
est un isomo~phisme des st~uctu~es algéb~iques, topologiques et aussi de
~e lation d' o~dY'e
de
CFB (E) mns c h (E' ) .

---

- 11.20 -
Ce résultat a été généralisé par Godet-Thobie ([15]).
;
Proposition 2.30
([16])
: L'ensemble
CFB(E)
muni de la distance de Hausdorj
!
D est un espace uniforme complet.
On définit dans
M(T,CFB(E))
une loi d'addition, de multiplication par
un scalaire positif ou nul en posant :
C CT) ,
+
(r .M) (f) = rM(f) , M E: M(T ,CFBCE)), r ~ O.
Soient
M ,i'-1
E: ~lCT,CFBCE)), on vérifie aisément que l'application
Ml v M
1
2
2
de
C+ (T)
dans
CFBCE)
définie par
(Ml v M ) (f)
(f1)
(f~) ;
2
= Co U {H
.+. M
1
2
f ,f
E C+(T)
et
f
+ f
1
2
1
2 = f}, est la borne supérieure (pour la relation
d'ordre
M' c 1-1)
de
Ml et M
dans
Mer ,CFBCE)). On a donc:
2
Proposition 2.31 : Toute partie finie non vide de
M(T,CFB(E))
possède une
borne supérieure.
Etant donné
ME M(T,CFB(E)), on note
(-M)
l'élément de
M(T ,CFBCE))
définie par
(-M)(f) = -M(f)
pour tout
f E
q. (T) et 8 la mul ti-applicatio!
qui prend exclusivement la valeur
{a}. Tout comme il a été fait dans le cas
où
T est compact (voir [17]) on pose
IMI = (-~l) v M, M+ = M v e, ~.( = (-M) v e.
*
Compte tenu des propositions 2.28 et 2.29
l'application composée
0 aM
est
additive et positivement homogène de
C CT) dans
ChCE'); elle se prolonge
+
d'une manière unique en une application linéaire continue, que nous noterons
'\\,
M , de
OtT) dans
Ch(E'). Pour tout
f ~
+
où
f
sup(f,O), f- = sup(-f,O)
avec

---

- 11.21 -
On définit dans
MCT ,CFBCE))
la notion de partie
tmifonnément
a-régulière
(resp. T-régulières) exactement comme dans
M(T,E). Seule la
définition d'ensemble" unifonnément tendu requiert une légère modification.
Définition 2.32 : On dira qu'une partie
H de
M(T,CFB(E))
est uniformément
tendue si la restriction de
H à B+(O,1)
est équicontinue pour la topologie
+
de la convergence compacte sur
B (0,1).
Si
H = {M}
on dira simplement que
M est tme multi-application
a-régulière,
T-régulière, ou tendue selon le cas. On désigne respectivement
par
Ma(T,CFBCE)), MT(T,CFBCE)) et
~ltCT,CFBCE)) l'ensemble des multi-
applications
a-régulières,
T-régulières et tendues.
~~~q~q~~_~~~ : Pour qu'tme partie
H de
!'-lCT ,CFBCE))
soit unifonnément
a-régulière, unifonnément
T- régulière ou Lmifonnément tendue il faut et il
'\\,
'\\,
suffit que la famille
H = {H ; ME H}
dans
MCT,
CheE'))
le soit.
B) Caractérisation des multi-applications
a-régulières : Nous allons carac-
tériser les trois types de multi-applications que nous venons de voir à l'aide
d'une seml-nonne de Riesz.
Soit
M E M(T,CFB(E)), on appellera semi-norme de Riesz associée à
M,
et on notera
~1 , la semi-nonne de Riesz associée à M. Ceci se traduit par
l'égalité
M=~ï.
N. B. 1)
On peut aussi choisir une autre semi-nonne de Riesz ; par exemple
.
*
rvl(f) = sup{\\o (ylrv1(h))!
; y E E' et Iyl ~ 1, hE:
C+CT)
et
h ~ Ifl}
ou
encore
i1(f) = sup{lxl ; xE: IMI(lf!)}
([17], p. 3-15)
pour
f E C..cT). On
prolonge ensuite
M à 1 'ensemble
~ (T;IR) comme il a été fait dans le §2-B-
du chapitre 1.
Les raisons pour lesquelles nous avons préféré la semi-nonne
. '\\,
oe Riesz
~l = M aux autres apparaîtront en toute clarté dans la suite.
2) La remarque 2.3 permet de montrer qu'une partie H de
Mt(T,CFB(E)) est Q~iformément tendue si et seulement si elle est
équicontinue au point o.

---

- 11.22-
Théorème 2.33 : Pour toute partie
H de M(T,CFB(E))
les propriétés suivantes
sont équivalentes entre elles :
(1)
H est uniformément
a-régulière,
.
(2 )
Pour toute suite
(f ) .j. 0
dans
C (T),
M{f ) + 0
uniformément dans
n
n
.
(3)
Pour toute suite régulière
(Z )
dans
T,
M(T-Z ) + 0
uniformément
n
n
dans
H,
(4)
Pour toute suite décroissante
(Z)
d'intersection vide,
M(Z) + 0
n
n
uniformément dans
H,
sont uniformément
a-régulière~
est uniformément
a-régulière.
Preuve: En utilisant successivement la remarque 2.3, le théorème 2.2 et
•
'ù
l'égalité
M = M on obtient les équivalences: (1) ~(2) ~ (3) ~ (4).
Pour tout
M dans HCT ,CFBCE))
et tout
f E
C CT) ,
+
+
*
D(M (f),{O}) = D(M-(f), {a}) = sup{lo (yl~1Ch))1 ; Iyl ~ 1, h~
C+CT)
et
h ~ f} ~ M(f)
et
M+(f) ~ M-(f) ~ l~ll(f) ~ M(f). Nous en déduisons que
(2) ~ (5) ~ (6) ~ (1).
C.Q.F.D.
Corollaire 2.34 : Soit
M E M(T,CFB(E)). Alors les conditions suivantes sont
équivalentes entre elles :
(1)
M est une multiplication
a-régulière,
.
(2)
La semi-norme de Riesz
M est
a-régulière,
(3)
Pour toute suite régulière
(Z ) dans T,
M(T-Z) + 0,
n
n
.
(4)
Pour toute suite
(Z)
décroissante d'intersection vide,
M(Z) + 0,
n
n
+
-
(5 )
M et M
sont des multi-applications
a-régu lières,
(6)
IMI est une multi-application a-régulière.

---

-11.23-
Théorème 2.33 bis: Pour toute partie
H de M(T,CFB(E)), les propriétés sui-
vantes sont équivalentes entre elles :
(1)
H est uniformément
T-régulière,
(2)
pour toute famille
(f.) .j. 0
dans
C(T),
;'1(f.) + 0
uniformément sur
H,
~
~
sont uniformément
T-régulières,
(4)
IHI = {IMI ; ME H} est uniformément T-régulière.
~E~~~~ : On a signalé dans la remarque 2.3 qu'une partie H de MT (T,CFB(E))
est tmifonnément
T-régulière si et seulement si
'"
H = '"
{M ; ME H}
est tmifor-
mément
T-régulière dans
MT(T,Ch(E)). D'autre part, par définition,
t:1 = il
par conséquent d'après le théorème 2.2 bis dire que
'"
H est tmifonnément
T-régulière équivaut à dire que la propriété (2) est vérifiée. Donc
(1) ~ (2).
Il a été établi dans la démonstration du théorème 2.33 que pour tout
f E C (T)
+
(i)
La propriété i) montre que (2) ~ (3) ; et de ii)
on déduit que (3) ~ (4) ~ (1).
Corollaire 2.34 bis: Soit
M E M(T,CFB(E)) ; alors les conditions suivantes sont
équivalentes entre elles :
(])
M est
T-régulière,
(2 )
11 est T-régulière,
(3 )
Pour toute famille
(Z .)
.j.
Çif,
M(Z .) + 0,
1.-
1.-
(4)
M+
-
et
M
sont
T-réguZières,
(5)
IMI
est
T-régu Zière.
~!~~~
Si l'on pose
H = {M}
dans le théorème précédent on aura les équiva-
lences (1) ~ (2) ~ (4) ~ (S). L'équivalence (2) ~ (3)
résulte du corollaire
1 .7 (bis).

---

- 11.24 -
Théorème 235 : Pour toute partie
H de M(T,CFB(E))
les assertions suivantes
sont équivalentesentre elles :
1) H est uniformément tendue,
2)
a) Pour tout
E > 0 il existe une partie compacte
K de T
telle que
E
sup{M(V) ; U c T-K , M E H} ~ E,
E
b) sup{M(T) ; M E H} < 00,
+
+
-
3) H = {M ; M E H}
et H = {M
; M E H}
sont uniformément tendues,
4)
IHI
= {IMI , M E H}
est uniformément tendue.
Preuve : On a signalé dans la remarque 2.3
que
H est uniformément tendue si el
~
~
seulement si
H
l'est aussi. La conclusion sur
H peut-être prouvée ainsi:
.
~
on montre, grâce à l'hypothèse sur
H, que
H équicontinue au point
0 E BCO,l)~
où BCO,l)
désigne la boule unité de
CCT)
munie de la topologie de la converge~
compacte. Ensuite on établit l'équicontinuité de
H en tout point de BCO,l) eJ
~
~
~
utilisant la linéarité des éléments de
H. D'après le théorème 2.4, H est unifo;t
mément tendue si et seulement
sup{MCT) ; M E H} <
et pour tout
00
E > 0
il exl
~
.
une partie compacte
K
de T tel que
sup{MCT-K ) ; M E H} ~ E. Par définition;
E
E
M= M, par conséquent 1) ~ 2). Montrons que 1) ~ 3) ; on suppose que la conditi~
1) est vérifiée. Soit
V: CCT) +ffi
qui à chaque
f de CCT)
associe
sup{~lCf) ; t·l E: H},onadit dans la démonstration du théorème 2.4 que v est une
semi-norme de Riesz tendue; la relation
vCf) ~ sup{DCM+Cf),{O}) ; ME H} =
sup{DCM-Cf),{O}) ; ME fI}
pour tout
f E C CT), permet de montrer que
H+ et H-
+
sont équicontinues au point
0 de B+CO,l), par suite uniformément tendue d'après
N.B.-2- Cp. 12) ; donc 1) ~ 3). Les relations
Mc IMI c~t + t'-C
impliquent
DCMCf),{O}) ~ DCIM!Cf),{O}) ;;; DCt'-l+Cf) .;. ~rCf),{O}) ; ceci montre que l'équiconti-"
nuité de
H+ et H-
au point 0 entraîne celle delHI, laquelle implique à son tOUl
celle de
H. En se fondant sur N.B.-2- Cp. 21) on conclut que 3) ~ 4) ~ 1).
Corollaire 2.26 : Soit
M un élément de
M(T,CFB(E))
alors les conditions
suivantes sont équivalentes :
(1) M est une multi-application tendue,
(2) a) Pour tout
E > 0
il existe une partie compacte
K de T
telle que
E
sup{M(U) ; U E T-K )} ;;; E
E
b) M(T)
< + 00,

---

- 11.25 -
(3)
M+ et M-
sont des multi-applications tendues,
(4)
IMI est une multi-application tendue.
Théorème 2.37 : Soit
T
un espace polonais, ou localement compact dénombrable
à l'infini. Alors
Mt(T,CFB(E)) = MO(T,CFB(E)).
Définition 2.38 : On dira qu'une partie
H de
M(T,CFB(E))
satisfait la
condition de Prokhorov si
a) pour tout
E > 0
il existe une partie compacte
K
de T
telle que
E
sup{M(U) ; U c T-K , ME H} ~ E,
E
.
b) sup{M(T) ; M E H} < 00.
C) Compacité étroite dans
M(T,CFB(E))
Définition 2.39 : Nous appellerons topologie de la convergence étroite
(ou simplement topologie étroite) sur
M(T,CFB(E)) , la topologie c!édv.ite de
la structure uniforme définie par la famille d'écarts
(D ) , où
f (
S(T)
f
et
Df(M,M') = D(M(f),M'(f))
pour tout
M,M' E M(T,CFB(E)).
L'ensemble
Mn, CFB(E))
ne sera mlITli que de cette topologie, et
Ma (T ,CFBCE)) , ~lT (T ,CFBCE)) , ~lt n ,CFBCE))
de la topologie induite par celle
de
M(T,CFB(E)). Cette topologie est séparée car pour tout
C,B e CFB(E)
*
*
ô (·IC) = ô ('IB)
si et seulement si
C = B.
Les théorèmes de compacité et de convergence établie dans l'espace
~1(T,E)
ont leur analogue dans l'espace
M(T,CFB(E)). Grâce à la proposition
qui suit, ces versions multivoques apparaissent comme des cas particuliers
des résultats vectoriels. Nous nous contenterons donc des énoncés sans ou
avec des démonstrations succintes.

---

- II.26 -
Proposition 2.40 : L'espace
M(T,CFB(E))
est noméomorphe à un sous-espace
fermé de l'espace
M(T,
C h(E')).
Le sous-espace en question c'est précisément l'image de
M(T,CFB(E))
~
par l'application
M + M.
Théorème 2.41 : Soient
T
un espace topologique et
H une partie de
Mt(T,CFB(E))
satisfaisant la condition de Prokhorov. Alors
H est relative-
ment étroitement compacte dans
Mt(T,CFB(E))
si et seulement si pour tout
f f
C+(T)
l'ensemble
{M(f); ME H}
est relativement compact dans l'espacJ
CFB(E).
Preuve: Identifions
Mt(T,CFB(E))
à un sous-espace de
~r(T, Ch(E')) grâce
~
à l'application
~1 + M. On a vu que
H vérifie la condition de Prokhorov si
~
~
et seulement si
H = {M ; ME H}
la vérifie aussi. De plus dire que
{M(f) ; M EH}, f E C+(T) , est relativement compact dans
CFB(E)
équivaut
à dire que
{M(f)
M E H}
l'est aussi dans l'espace de Banach
Ch(E')
(Prop. 2.29). Les conclusions voulues découlent donc du théorème 2.10.
Avant d'en donner le corollaire, rappelons la
Proposition 2.42
([18], p. 47) : Soit
CK(E)
le sous-espace de CFB(E)
fermé
des parties compactes non vides de
E. Alors pour tout
Q
dans
CK(E) ,
{K E CK(E)
et
K c Q}
est une partie compacte de
CK(E).
N.B. Il est prouvé dans ([17], p. 11-12) que la distance de Hausdorff
sur
CK(E)
est identique à celle considérée par Hukuara ([18]).
Corollaire 2.43 : Pour que toute partie
H de
Mt(T,CFB(E))
satisfaisant
la condition de Prokhorov soit relativement étroitement compacte dans
Mt(T,CFB(E))
il faut et il suffit que
E
soit de dimension finie.

---

- 11.27 -
Preuve : Il suffit de montrer que si
E est de dimension finie alors pour
toute partie
H de MtCT,CFB(E))
vérifiant la condition de Prokhorov, l'en-
semble {M(f) ; ME H}
est relativement compact dans CFB(E) pour tout
f E C CT).
+
.
En effet la condition
sup{M(T) ; M €
H} < 00
implique
sup{M(f) ; ME H} < ex>
pour tout
f E
q(T) ; on en déduit que
Co UU'1(f) ; H E: H}
est fermé et
borné dans
E, donc compact. De plus
M(f) c m uU-Hf) ; ME H} pour
f E C+ (T) .
La conclusion voulue découle alors de la proposition précédente.
~~~~~q~~~~i : Le théorème 2.19 et son corollaire sont vrais pour
H dans
MT (T ,CFBCE)) .
Théorème 2.44 : Soient
T
un espace topologique métrisable complet, ou un
k-espace hémicompact, et
H une partie de
Mt(T,CFB(E}}. Alors
H est
relativement étroitement compacte dans
Mt(T,CFB(E}}
si et seulement si les
conditions suivantes sont vérifiées :
(1)
H satisfait la condition de Prokhorov,
(2)
pour tout
f E
C+(T}, {M(f} ; MEil}
est relativement compact dans
CFB(E}.
~~~~~q~~_~~~ : La condition (2) sera systématiquen~nt remplie si
E est de
dimension finie.
Définition 2.45 : Soient
T,T'
deux espaces topologiques,
f
une application
continue de
T dans T', et
M ~ M(T,CFB(E}}. On appellera image de
M par f,
et on la notera
f(M}, l'élément de
M(T',CFB(E}}
défini par
f(M}(h} = M(foh}
pour tout
hEC (T').
+
Théorème 2.46 : Soit
T
un espace topologique. Pour toute partie
H de
Ma(T,CFB(E}}
les propositions suivantes sont équivalentes entre elles
(1)
H est uniformément
a-régulière, et pour tout
f dans
{M{f}; MEH}
est relativement compact dans
CFB(E} ,

---

- 11.28 -
(2)
H est relativement étroitement compacte dans
~(T,CFB{E)),
Pour tout espace métrique séparable
T
image de
T
par une applica-
o
tion continue
p
l'ensemble
{p{M); ME H}
est relativement étroitement
compact dans
~(T ,CFB{E)), et pour tout f
dans
C+{T),
{M{f) ; ME H}
o
est relativement compact dans
CFB{E).
Corollaire 2.47 : Pour que toute partie uniformément
a-régulière de
~(T,CFB{E))
soit relativement étroitement compacte dans
M (T,CFB{E))
il faut et il suffit que
E
soit de dimension finie.
La structure particulière de l'espace
M(T,CFB(E))
permet d'avoir des
théorèmes de compacité qui n'existent pas dans
M(T,E).
Corollaire 2.48 : Soient
T
un espace topologique,
E
un espace de Banach
de dimension finie et
H
une partie de
Ma{T,CFB{E)). Alors les assertions
suivantes sont équivalentes :
(1)
H
est relativement étroitement compacte dans
~(T,CFB{E)),
(2)
IH[ ={[M[ ; ME H}
est relativement étroitement compacte dans
+
+
(3)
H = {M
M E H}
et
H = {M-
M E H}
sont relativement étroitement
compactes dans
Ma (T, CFB (E) ) ,
+
(4)
H est uniformément
a-régulière,
(5)
IH[
est uniformément
a-régulière,
.
(6)
Pour toute suite régulière
(Z ) dans T,
M{T-Z) + 0
uniformément
n
n
dans
H,
(7) Pour toute suite décroissante
(Z)
dans
T
et d'intersection vide,
n
.M{Z ) + 0 uniformément dans H,
n
+
(8)
H
et H
sont uniformément
a-régulières,

---

- 11.29 -
(9J
Pour tout espace métrique séparable
T , image de
T
par une applica-
o
tion continue
p, l'ensemble
{p(MJ; ME H}
est relativement étroitement
compact dan s
Preuve : Les équivalences (4) ~ (5) ~ (6) ~ (7) ~ (8)
résultent du
théorème 2.33 tandis que (2) ~ (5), (8) ~ (3) et (1) ~ (4) ~ (9)
découlent
du théorème 2.46 et de son corollaire 2.47.
Pour
E = R
on retrouve le résultat de Varadajan ([3], Théo. 28, p. 203).
La démonstration de celui-ci est beaucoup moins directe que la nôtre. Si
T
est un espace polonais ou localement compact dénombrable à l'infini alors on
pourra remplacer dans le corollaire 2.48
a
l-I (T ,CFBCE))
par
Mt CT ,CFB(E))
et l'expression "unifonnément
a-régulière"
par "unifonnément tendue".
Définition 2.49 : On dira qu'une partie
H de
M(T,CFB(EJJ
est solide si
tout élément
M de M(T,CFB(EJJ
tel que
M+ c
M'~ pour un élément M' de H,
appartient à
H.
Exemple : Soient
f E
C CT)
et un nombre réel
S
> 0
fixés; alors l'en-
+
semble
H = {j\\\\ E M(T ,CFBCE))
D( ~I+(f), {O}) < s}
est solide.
L'intersection de toute famille de parties solides est un ensemble
solide.
Définition 2.50 : Soit
H une partie de
M(T,CFB(EJJ, on appellera enveloppe
solide de
H et on notera
sol(HJ, l'intersection de toutes les parties
solides de
M(T,CFB(EJJ
contenant
H.
Théorème 2.51 : Pour qu'une partie
H de M;(T,CFB(EJJ
soit relativement
étroitement compacte dans
MT(T,CFB(EJJ
il faut et il suffit qu'elle soit
+
uniformément
T-régulière, et pour tout
f E
C+(TJ , {M(fJ ; M E H}
soit
relativement compact dans
CFB+(EJ.

---

- II. 30 -
Preuve: Supposons que
H soit relativement étroitement compacte. Pour tout
f E 0 CT)
l'application
P
: MT CT ,CFBCE))
f
+
CFB CE)
définie par
+
+
+
Pf(~1) = M(f), ME. H: CT ,CFBCE)), est continue par conséquent Pf(H) est
relativement compact dans
CFB+(E). Considérons maintenant
p. : MT CT ,CFBCE)) +;..
1
+
(~I + DG,f(f.),{O})), où
(f.).j. 0
dans
O+(T). La famille
(P.)
est filtrante!
1
1
1
décroissante et converge simplement vers
0, de plus chaque
p.
est continue.
1
En appliquant le théorème de Dini aux restrictions des
P.
à l'adhérence de
1
on obtient la conclusion que l'on veut, c'est-à-dire que
H est uniformément
T-régulière. La réciproque a été déjà vue.
~@~~~q~~_~~~ : Si
E est de dimension finie alors pour toute partie
H de
T
j\\1 CT ,CFBCE))
unifonnément
T-régulière, l'ensemble
{M(f)
; M E H}
sera
relativement compact dans
CFB(E)
pour tout
f dans
o (T). En effet la
+
.
suite
(1 f) .j. 0
(n ~ 1)
dans
0+ CT) , donc
sup{M(1 f) ; M
n
E: H} + O. On
n
.
en déduit qu'il existe un entier naturel
p
tel que
sup{M(f) ; M E H} < p,
pa-r suite 11 ensemble
Co U{M(f) ; M E H}
est fermé borné dans
E. La pro-
position 2.42 permet d'obtenir la conclusion souhaitée.
Corollaire 2.52:
(1)
Soit
H une partie de
MT(T,CFB(E)). Si
sol(H)
est
T
relativement étroitement compacte dans
M (T,CFB(E))
alors
H sera unifor-
mément
T-régulière.
(II) Soit
H une partie solide de
MT(T,CFB(E)). Alors
H
T
est relativement étroitement compacte dans
M (T,CFB(E))
si et seulement
si
H est uniformément
T-régulière, et pour tout
f E:
0 (T), {M(f) ; M E H}
+
est relativement compact dans
CFB(E).
Preuve : (1)
On suppose que
sol(H)
est relativement compacte dans
MT CT ,CFBCE)). On sait que
H+ c sol(H) et MT CT ,CFB(E))
est fenné dans
+
T
MTCT,CFB(E)), par conséquent
Ht
est relativement compacte dans
H CT ,CFBCE)) .
Le théorème 2.51 montre que
'H~ est uniformément T-régulière, à fortiori H
aussi.

---

- Il. 31 -
(II)
Nous avons
sol(H) = H. Si
H est relativement étroitement
compact alors, en vertu de (1),
H sera uniformément
T-régulière ; l'appli-
cation
M+ M(f)
définie dans
MT (T,CFB(E))
étant continue pour
f
fixé
dans
C+(T) , l'ensemble
{~1(f); mE H}
sera aussi relativement compact
dans
CFB(E). Le reste de la démonstration résulte de la Remarque 2.4.
Nous allons énoncer maintenant dans l'espace
~f(T,CFB(E)) des résul-
tats analogues au théorème 2.51 et à ses corollaires. On rappelle d'abord la :
Proposition 2.53 : Soit
T
un espace topologique. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
(1)
T
est un espace normal,
(2)
si
f et g
sont des fonctions numériques définies dans
T
telles que
f
soit semi-continue inférieurement,
g
semi-continue supérieurement et
f ~ g,
alors a existe une fonction continue
h
définie dans
T
qui vérifie
g;;; h;;; f.
La démonstration est faite dans l'appendice II. Le lecteur peut aussi
consulter les références [19], [20] et [21]
s'il veut en savoir davantage.
ErQposition 2.54 : Soit
T
un espace normal, et
f
une fonction positive,
bornée, semi-continue supérieurement définie dans
.
T. Alors la fonction
M + M(f)
est semi-continue supérieurement dans
M (T,CFB(E)).
+
.
Preuve
Par définition
M(f) = inf{M(g) , g E J(T)
et
g ~ f}. Pour tout
E > 0, il existe
gE E J (T)
tel que
~!(f) ~ ~1(g ) - E
et
gE ~ f
d'après
E
la proposition précédente on peut trouver
h
E C CT)
qui vérifie
a
~ h
~ f.
E
+
b E
E
.
Comme l' application
~1
est croissante on a
M(f) ~ M(h ) - E, donc
.
.
E
.
.
M(f) = inf{~I(h) ; h E
C+ CT)
et
h ~ f}. L' application
1'-1 + M(h) =D(H(h) ,{O})
.
est continue dans
M+(T,CFB(E))
pour tout
h dans
C+ (T) ;
~!(f)
est donc
l'enveloppe inférieure d'une famille d'applications continues, d'où
le résultat.

---

- II. 32 -
Théorème 2.55 : Soient
T
un espace localement compact et
H une partie de
t
M (T,CFB(E)). Les conditions suivantes sont équivalentes:
+
(1)
H est relativement étroitement compacte dans
M:(T,CFB(E)).
(2 )
H satisfait la condition de Prokhorov et pour tout
f €
C (T)
+
l'ensemble
{M( f)
; M E H}
est relativement compact dans
CFB (E),
+
Preuve: Compte tenu du théorème 2.41 il suffit de prouver que si
H est
compacte dans
Mt(T,CFB(E))
alors elle vérifiera la condition de Prokhorov.
+
.
L'application
M + M(T)
étant continue dans
Mt(T ,CFBCE)) ,
on a
+
.
sup{H(T) ; M E H} < + 00. Soient
T'
le compact if ié d'Alexandroff de
T, et
l
l'injection canonique de
T dans TI ; l'image de
H par i,
iCH), est compacte
dans
Mt (T' ,CFBCE)). Soit
E
> 0, associons à chaque
M de H un compact
K
+
·~1
.
de
T
tel que
M(T-~) < E, puis un ouvert relativement compact
T
.
•
-1
.
,
contenant
K},r On a
iCM)(T' -KM) ;;; M(i
(T'-~)) < E. L' appl ication M+ M(T' -O~j
étant semi-continue supérieurement dans
Mt(T,CFB(E)) (Prop. 2.54), l'ensemble
+
M
\\'V
des éléments
W de M:(T' ,CFBCE))
tels que
M' (T~0~1) < E est un ouvert
contenant
i(M). La famille
N
{h
; tv1 E H}
forme alors un recouvrement
d'ouverts de
i(H) ; soit
H'
une partie finie de
H telle que
n.f1; M E H'}
soit un recouvrement de
i (H). Soit
0 = U{O~1 ; M ~ H' }, sup{ i(M) (T' -0) ; ME H} .
. .
.
Pour tout ouvert
G de T,
MeT-G) ;;; iCM) CT' -G), par conséquent sup{~l(T-0); M:f-I} .
. -
L'adhérence
5 de 0 est W1e partie compacte de T qui vérifie sup{Î\\l(T-O) ; HE H}
Nous avons vu dans la démonstration du corollaire 2.43 que si
E
est
de dimension finie, alors pour toute partie
H vérifiant la condition de
Prokhorov l'ensemble
{M(f) ; M €
H}, Oll
f f.
C (T), sera relativement
+
compact dans
CFB(E). On a donc:

---

- 11.33 -
Corollaire 2.56 : Soient
T
un espace localement compact,
E
un espace de
Banach de dimension finie, et
H une partie de
Mt(T,CFB(E)). Alors les
+
propriétés suivantes sont équivalentes :
(1)
H satisfait la condition de Prokhorov,
(2)
H est relativement étroitement comapcte dans
M:(T,CFB(E)).
Signalons que pour un espace localement compact
T, les conclusions
du corollaire 2.52 sont vraies dans l'espace
Mt(T,CFB(E))
pour
H unifor-
mément tendue. D'autre part les théorèmes 2.26 et 2.27 de convergence ont leur
analogue respectivement dans
Mt(T,CFB(E))
et
MO(T,CFB(E)).
1) Certains résultats de ce chapitre figurent dans ([23], 1-2-3).
2) Nous avons vu que quelques théorèmes dans l'espace
M(T,CFB(E))
peuvent être considérés comme des cas particuliers des résultats
analogues prouvés dans
M(T,E). Le contraire est aussi possible; pour ce
faire il aurait fallu identifier, grâce à l'application
m + ml C (T)' mE M(T,E),
+
l'espace
M(T,E)
à un sous-espace fermé de
M(T,CFB(E)).

---

C 0 MP L É MEN T

---

- C. 1 -
On montre dans cette partie qu'en munissant
M(T,E)
de la topologie de
la convergence étroite associée à la topologie faible
a(E,E') de E, les ré-
sultats qui étaient vrais uniquement pour les espaces de Banach de dimension
finie (exemple: corol. 2.11, corol. 2.14, corol. 2.18, corol. 2.20, corol. 2.24
etc ... ) peuvent être étendus aux espaces de Banach réflexifs.
Les démonstrations restent sensiblement les mêmes. Traitons, à titre
d'exemple, le cas du corollaire 2.11.
Nous notons
Ea un espace de Banach muni de la topologie faible aCE,E')
et
M(T,E )
l'ensemble des applications linéaires continues de
C(T) dans
a
E
Les applications vectorielles
a-régulières, T-régulières et tendues sont
CI
définies de la même manière qu'au chapitre II. On désigne par
~t(T,E) l'en-
a
semble des applications vectorielles tendues.
Soient
m E: H(T ,E ), y E E' et
f E
CCT) ; on pose
CI
Où
m (h) = <m(h) ,y>. Si
g est
y
une fonction positive semi-continue inférieurement,
m (g) = sup{m (h) ; hE C+(T) , h ~ g}.
Y
Y
Sans nuire à la généralité, on suppose que
T est un espace topologique
complètement régulier.
Proposition C.l : Pour qu'un élément
m de M(T,E )
soit une application
CI
vectorie He tendue il faut et il suffit que pour tout
s > 0
et
y
E E '
il
existe une partie compacte
K(
)
telle que
~ (T-K(
)) ~ s.
s,y
y
s,y
Définition C.2 : Soient
f E
C/T) ,
et
l 'app lication de
M(T,E )
Pf
dans
a
E
définie par
Pf(m) =m(fJ
pour tout
m. On appellera topologie de la
CI
convergence étroite (ou simplement topologie étroite) sur
M(T,E ),
la moins
a
fine des topologies rendant continues les applications
Pf,f E C+(T).

---

- C.2 -
La topologie étroite est séparée. Soit
~ un filtre sur MCT,E)
a
<j. converge étroitement vers
m' E MCT,E~)
si et seulement si
lim pfC ~ ) = m' Cf)
pour tout
f E
C+ CT) .
Proposition C.3 : L'application
m + ~ (g)
est semi-continue inférieurement
y
dans
M(T,E)
pour tout
y E E'
et
g
positive semi-continue inférieure-
a
ment dans
T.
Définition C.4 : Soit
H une partie de
M(T ,E ). On dira que
H
vérifie la
a
condition
(P')
si:
(1)
m E H} < 00
où
~(T) = sup{m (T)
y
(2 )
pour tout
E > 0,
et
y E E'
il existe une partie compacte
K(
)
de
T
E,y
te lle que
sup{m (T-K(
}); m E H} :;; E.
Y
E,y
Théorème C.S : Soit
H une partie de
Mt(T,E)
satisfaisant la condition
(P'~
Alors
H est relativement étroitement compacte si et seulement si
{m(f} ;mEt
est relativment compact dans
E
pour tout
f E
C (T).
a
+
La démonstration est analogue à celle du théorème 2.10. Tout ultrafiltrE
sur
H converge vers une application linéaire
m' de
CCT) dans E . D'après
a
la proposition C.3 et la propriété 1) de CP'),
m'CT) < + 00 ; on en déduit que
m'est continue.
Corollaire C.6 : Pour que toute partie
H de Mt(T,E}
satisfaisant la con-
a
dition
(P')
soit relativement étroitement compacte dans
Mt(T,E}
il faut
a
et il suffit que
E
soit réflexif.

---

- C.3 -
Preuve : Si
E est un espace de Banach réflexif, alors
sup{m(T) ; mE" H} < + ex>
entraînera
{m(f) ; m E H}
cr(E,E')-relativement compact dans
E pour tout
f E C(T). D'après le théorème ci-dessus
H est relativement étroitement com-
pacte dans
Mt(T,E). Inversement supposons que
E ne
soit pas réflexif, il
cr
existerait donc dans la boule unité de
E une suite généralisée
(x.)
ne
1
possédant aucun point adhérent ([11], p.,1~). Soit
k E T, (6 X ), où
6
est
k i
k
la masse de Dirac au point
k
et
(6 x )(f) = f(k)x
pour tout
f
k i
i
€
C(T),
est alors une partie de
Mt(T,E)
satisfaisant
(P')
et non relativement
cr
étroitement compacte.
Toute partie de
Mt(T,E)
satisfaisant la condition de Prokhorov vérifie
aussi la condition
(P').
On a des résultats analogues au corollaire C.6 dans les espaces
Mcr(T,CFB(E):
M1(T, CFB(E))
et
Mt(T,CFB(E)). On considère maintenant sur
CFB(E)
la topo-
logie de Hausdorff associée à la topologie faible
cr(E,E') de E. Soit
C E CFB(E), {C E CFB(E) ; CcC
+ EV
et
CcC + EV}, où
E est un nombre
o
0
0
réel positif et
V un voisinage de
0 dans E pour la topologie
cr(E,E'),
est un voisinage de
C . En utilisant la fonction d'appui ce voisinage devient
o
*
*
{C
0
E: CFBCE)
; sup 16 (yIC ) -
o
6 (y\\C)1
< E}
;
V
étant l'ensemble polaire de
V.
o
yEV
On obtient un système fondamental de voisinages dans
CFB(E)
en faisant par-
courir à
V un système fondamental de voisinages
6(0) de O. On sait que si
V E 6(0)
alors
V est l'ensemble polaire de l'enveloppe convexe symétrique
d'une famille finie de points de
E'. D'après N. Bourbaki (E.V.T. Chp. I-II,
o
p. 54, corol. 1) et le théorème des bipolaires,
V est alors une partie com-
pacte de
E'
pour la norme. Soit
CC(E,E')
le sous-espace de
CFB(E)
formé
des parties convexes faiblement compactes de
E.
Nous ignorons si le résultat ci-dessous figure dans d'autres papiers.

---

- C.4 -
Théorème C.?:
E
est un espace de Banach et
C , un élément de
CC(E,E'J.
o
Alors
H = {C € CC(E,E') ; Cc C }
est une partie compacte de
CC(E,E')
o
muni de la topologie de Hausdorff associée à la topologie faible
o(E,E')
de
E.
Preuve : Notons
S CEI,1R)
l'ensemble des applicatiors sous-linéaires de E' dan~
pour tout
y E E',
6
:
sCE',1R) +lR
définie par
e (f) = f(y)
pour
y
Y
'"
*
tout
f
E
S(E',1R) . Posons
H = {6 (·IC) ; CE H}
et considérons une
ft
'"
'"
*
*
base dl ultrafiltre
'je
sur
H; pour tout
y E E', 6 (H) c [-6 (-y
y
1 Co),
6 (y
par conséquent la base d'ultrafiltre
6y(~) converge vers un nombre réel
fCy). Soit donc
f : E' + R
définie par
fCy) = Hm ~ 6
pour tout
y dans
y
E' ; l'application
f
est sous-linéaire et continue pour la topologie de Mack~
*
*
*
*
TCE' ,E)
sur
E'
car
-6 (-yi Co) ::;; f(y) ::;; 6 (Yi Co), Soit
vf = {x
~ E' ; x::;; f]
*
d'après le théorème de Hahn-Banach
f(y) = 6 (y
vf) ; f
étant continue pour
1
la topologie
T(E' ,E)
il existe une partie convexe fermée
K c E telle que
o
*
*
6 (ylvf) = 6 (yIK )' La relation: pour tout
*
*
o
y E E', 6 (yIKo) ~ 6 (Yi Co)
implique
K c C ; par suite
K €
CC(E,E'). NOlΠvenons de montrer que
o
0
o
pour tout ensemble fini
(Y1"" ,yp)
d'éléments de
E'
et pour tout
E > 0
o
rl'"
0
*
*
il existe
F (
~
qui vérifie
e (F) c [6 (y. IK ) - E, 6 (Yl' IK ) + E]
pour
Yi
l
0
o
o
i = 1,2, ... ,p. Soit
V E B(O)
;
V
étant compact pour la norme de
E', pour
tout
E > 0
il existe une famille finie de boules ouvertes
B(y.,E/4À)
de
J
centre
y.
et de rayon
J
À
> 0
vérifie
Co c ÀBCO,1).
o
Soit
F'
l'élément de
~ qui dépend de la famille (y.) et de E et qUl
J
*
*
*
0
0
vérifie
E
sup 16 (y·1 C) - 6 (y. 1 K ) 1 ::;; -2
pour tout
6 (·IC) E F'. Soit
Z EV
j
J
J
0
alors
Z
appartient à l'une des
B(y.,E/4À ), soit par exemple
B(v.
,E!4À)'
J
. Jo

---

- C.S -
*
*
*
On a
10 CZIC) - 0 (zIK )!
o
~ 10 CZIC)
*
o Cy.
C)
1
+
Jo
*
*
*
*
o CY·
C) -
K
K )
1
0 Cz 1
)
-
0 (y.
1
+ 0 Cy.
1K ) 1 ;;a
O
Jo
Jo
0
Jo
0
*
*
l
*
0 Cz 1C) - 0 Cy.
1 C) 1
10 Cy· 1 C)
Jo
Jo
*
*
*
- 0 Cy. 1 K ) 1 ;;a SUpCo Cz-y. IC), 0 Cy. -zlc)) +
Jo
0
Jo
Jo
*
*
*
*
supCo Cy. -zIK), 0 Cz-y. IK)) + 10 Cy. IC) - 0 Cy. IK)I
Jo
0
Jo
0
Jo
Jo
0
*
E:
E:
E:
*
0
;;a 2\\ 0 Cy. -zIBCO,l)) + 2 ;;a 2\\ 4I + 2 ~ E:
pour tout
0 C· Ic) E F'.
Jo
L'élément
z
étant arbitraire, nous avons
*
*
0
*
0
sup{io cylc) - 0 Cyi K )1 ;
o
YEV, 0 C·lc) E F'};;a E:.
On en déduit que tout ultrafiltre sur
H converge dans
H, donc
H est une
partie compacte de
CCCE,E').
Définition C.S : L'espace
CFB(E)
est toujours muni de la topologie de
Hausdorff associée à la topologie faible
o(E,E') de E. Pour tout
f E
C (T),
+
notons
Pf: M(T,CFB(E)) + CFB(E) (M + Pf(M) =M(f)). La topologie de la
convergence étroite sur
M(T,CFB(E))
est la moins fine rendant continues les
applications
(Pf)' f E C+(T).
Pour qu'un filtre
!F converge étroitement vers Mo il faut et il
suffit que
PfC ~)
converge vers
Mo Cf)
pour tout
f €
C CT).
+-
On rappelle que
sCO)
est une base de voisinages de
a dans l'espace
(E,o(E,E')) .

---

- C.6 -
Définition C.9 : On dira qu'une partie
H de
M{T,CFB{E}}
satisfait la
condition de Prokhoroff {ou encore est uniformément tendue} si
>\\
0
1)
pour tout
V €
6{0}, sup{lo {YIM{.}}I {T} ; Y €
V, Mf".. H} < + co,
2}
pour tout
€
> 0, pour tout
V E 6{0}
il existe une partie compacte
K €
de T
telle que
>\\
0
sup{lo {y\\M{'))1 {T-K} ; y E: V, ME H} ;;; €.
€
*
*
Par définition
\\0 (YI~!C'~,CT-K€) = sup{lo (yl!'-1C·))1 (f) ; f E
C CT)
+
et
f;;; lT_~}' La condition 1) de la définition est équivalente à
.
sup{WT) ; ~1 E H} < + co. En effet elle implique que
U{HCh) ; h (.
C CT)
et
+
hl ;;; f, M E H}
est faiblement borné dans
E; par conséquent i l est aussi
1
borné pour la norme.
Théorème C.10 : Soient
T
un espace topologique et
H une partie de
Mt{T,CFB{E}}
satisfaisant la condition de Prokhorov. Alors
H est relative-
ment étroitement compacte dans
Mt{T,CFB{E}}
si et seulement si
{M{f} ; ME h
est relativement compact dans
CFB(E}
pov..!' tout
f E:
qCT}.
Preuve : On suppose que pour tout
f €
C CT)
l'ensemble
{MCf) ; M €
H}
+
est relativement compact. Soit
~ une base d'ultrafiltre sur H; pfC ~ )
converge pour tout
f E
C+ CT). Posons
~10
C+ CT) + CFBCE)
définie par
MoCf) = lim~
Pf' f E
C+CT);
Mo
est additive et positivement homogène.
Soient
€
> 0, V E 6CO)
et une partie compacte
K de T
tels que
*
o
Montrons que, pour tout
hE
q.CT)
et
h;;; l - ,
sup{lo CYIMoCh))
y E V} <
T K
1
Comme·
~10 Ch)
est adhérent à {~ICh) ; H E H}
il existe
M E: H
qui vérifie
sup{lo*cYIM Ch)) - o*CYIMCh))
d
1
;;;
4 }, d'où
sup{lo*CYI~1oCh))1 ; y € V} ;;; €/Z,
o
0
YEV

---

- C.7 -
o
*
h
étant positive et arbitraire,
sup{lô (y[M (0]1 (T-K )
y E: V}
o
e:
.
Montrons que
~~
est continue. La condition
sup{M(T) ; M E H} < + OJ
entraîne la continuité des
*
ô (yIM(o)), y E E' et
M(f) C AB(O,l), A > 0,
pour tout
f E
C CT)
et
+
f ~ 1. Soient
e: > 0, V E 6 (0), f
€
C CT)
et
o
+
V
Y1""'yp E E'
tel que
C
B(Y1,e:/ 4) U•.. U B(Yp,e:/4)
il
n > ° tel que
pour tout
f
dans
C+CT)
avec
Ilf-foll < n
on ait
*
*
sup{ 1 ô (YiIHo(f)) - ô (YiIMo(f)) l, i
1 , ... ,p} < e:. En imitant la démonstra-
tion du théorème C.7, on montre que
Corollaire C.ll:
E
est un espace de Banach et
CFB(E)
est muni de la topo-
logie de Hausdorff associée à la topologie faible de
E. Alors
E
réflexif
si et seulement si toute partie de
Mt(T,CFB(EJJ
satisfaisant la condition
de Prokhorov est relativement étroitement compacte.
La condition 1) de la définition C.9 implique: pour tout
f E
C CT) ,
+
U{H(f) ; M E H}
est borné dans
E. Si
E est réflexif alors
{~1(f), M E H}
sera relativement compact, pour tout
f E
C+(T) , dans
CFB(E)). CThéo. C. 7) .
Signalons que les théorèmes de caractérisation des parties uniformément
a-régulières (resp. uniformément tendues) ainsi que leur démonstration, sont
analogues à ceux que nous avons étudiés lorsque
CFB(E)
est muni de la
distance de Hausdorff. Seules les formulations sont un peu différentes. Voici
en exemple le cas des parties uniformément
a-régulières.
On dira qu'une partie
H
de
1'-1 CT ,CFBCE))
est uniformément
a-régulière
si pour toute suite
(f)} ° dans
C(T), M(f ) + {O}
uniformément
n
n
dans
H.
Soient
VE 6(0)
et
1'-lE~lCT,CFBCE))
l'application
1'-~
CCT) +lR
o
définie par
~oV(f) = sup{lô*(yIMeo))\\(lfl)
y €
V}
pour tout
f E C CT)
est une semi-norme de Riesz sur
C(T).

---

- C.8 -
Théorème C.12 : Pour toute partie
H de
M(T,CFB(E))
les propriétés sui-
vantes sont équivalentes entre elles
1)
H est uniformément
a-régulière,
2)
pour toute suite
(f )
-j.
0
dans
C(T)
et pour tout
V E B(O),
.
n
MO(f ) + 0
uniformément dans
H,
V
n
.
3)
pour toute suite régulière
(Z)
dans
T
et tout
V E B(O),
MO(T-Z) +
n
V
n
uniformément dans
H,
4)
pour toute suite décroissante
(Z)
d'intersection vide, et pour tout
n
.
V E B(O),
M~(Zn) + 0
uniformément dans
H,
et
H = {M- ; M E H}
sont uniformément
a-régulière~
6)
iHI={iMI;MEH}
est uniformément
a-régulière.
Si
CFB(E)
est muni de la topologie de Hausdorff associée à la topologie
faible de
E, on pourra alors remplacer l'hypothèse
liE
est de dimension".fin
par
ilE
est réflexiE'dans l'énoncé des résultats suivants : corol. 2.48,
corol. 2.56, corol. 2.47; remarque 2.6, etc ... r,.
Les résultats du chapitre II peuvent être étendus aux e.l.c.s. d'après
ce qui précède.

---

CHA PIT RE III
QUELQUES APPLICATIONS DES RÉSULTATS PRINCIPAUX

---

_ § 1 -
LIMITE PROJECTIVE DE MULTWiESURES
DE RADON POSITIVES A VAL.EURS CONVEXES
COMPACTES,

---

- III. 1 -
§ O. Rappels.
Intégration d'une fonction numérique par rapport à une multi-
application.
Soient
T un espace topologique compact,
v
une semi-nom.e de Riesz sur
-
C CT)
et
v
son prolongement à l'ensemble
~ CT ,lR+) des fonctions positives
définies dans
T. Posons
~v = {f E ]RT ;vCifl) < + oo} , par définition
l'espace
:il (v)
des fonctions
v-intégrables est l'adhérence de
C CT)
dans l' espace semi-nonné
srv' Soit 1\\f E ~ICT ,CFRCE)) ; pour f E CCT) on pose
~f(f) = sup{1 cS*(YIM(.))1 ([fi) ; Iyl ~ 1} ,et on note M le prolongement de
M
à
~CT,lR+).
Définition 3.1 ([1?] , p. 3-1?) : Soit
M un élément fixé dans
M(T,CFB(E)).
L'espace
:il (M)
des fonctions numéPiques définies dans
T
M-intégmbles est
l'espace
'!}(M).
Pour tout
f E: .;i 1 (M)
on note
[fM
l'intégraJe de
f
par rapoort
à
M.
•
Remarque: La semi-nonne
M est différente de celle de Pallu de la
Barrière, néanmoins elles sont équivalentes ([17]
p. 3-15).
Définition 3.2 : Soit
(T', (~,')
un espace mesurable abstrait, où
~' est
une tribu de parties de
T'. On dira qu'une application
m de
~' dans CFB(E)
est une multimesure faible si pour tout
y E E', l'application
cS*(y[m(.)} :
ce' -+JJ?(A -+ /(ylm(A))} est une mesure.
Théorème 3.3
([1?]- p. 2-25) : Soit
CC(E,E')
le sous-espace de CFB(~}
formé des parties faiblement compactes de
E. Alors toute multi~esure faible
m de
~, dans
CC(E,E')
est une multimesure forte i.e. pour toute
t'-partition
{A ,A , ... ,An""}
de
A E ~'
on a
m(A} = lim
~ m(A )
1
2
N~ n=l
n
dans
CC(E,E').

---

- III.2 -
Nous omettrons l'adjectif "forte" et "faible" quand nous varIerons des1
multimesures à valeurs dans
CCCE,E').
Définition 3.4 : Soit
M un élément fixé dans
M(T,CFB(E) ; on dira que
M
est prolongeable si
lA E ;el (M)
pour toute partie borélienne de
T.
Si
~1 est prolongeable alors l'application A -+ J1 M E CFBCE)
est
A
une multimesure faible définie dans la tribu borélienne de l'espace compact
T
Proposition 3.5
[17]
Soit
M E. M(T, CC(E ,E' )).
1) Si
M est positive alors
M est prolongeable
2) Pour tout
f E ~l(M), et
y E E'
*
a (ylffM)
*
= ffa (YiM(.)).
§ 1. Limites projectives de multimesures.
Dans toute la suite
T
est un espace topologique complètement
régulier,
:BCT)
la tribu borélienne de
T,
sCT,JR)
l'esDace des fonctions
numériques bornées
définies dans
T
muni de la topologie de la convergence
uniforme sur
T,
!CT,IR)
le sous-espace de
sCT,IR)
dont les éléments
s'écrivent:
Lr.1
, où
CA.)
désigne une famille finie d'éléments mutuel-
A
1 .
1
1
lement disjoints de
93 CT), BCT ,lR) l'adhérence de l CT ,IR) dans
BCT ,IR) ,
1+ CT ,IR)
le cône positif
de
l CT ,IR), et
B+CT,IR)
celui de
BCT,IR).
Définition 3.6 : On dira qu'une application
m
de
se(T)
dans
CC(E,E')
est une multimesure de Radon si
m est une multimesure et si pour tout
A (
19(T)
et tout
E > 0,
il existe une partie compacte
K de T,
KeA
telle que
D(m(A),m(K)) ~ E, où
D est la distance de Haussdorff associée
à la norme de
E.

---

- ITI.3 -
On définit une relation d'ordre dans l'ensemble des multimesures en
posant
m c m'
si et seulement si
m(A) cm' (A)
pour tout
A E
~(T). Une
mult ünesure
m est dite positive si
0 €
m(A)
pour tout
A E
~(T) .
Toute multimesure positive
m de
:B (T) dans
CCCE,E')
détermine
une application continue positive, additive et positivement homogène
f(·)m
de
B+ (T ,JR)
dans
CC CE ,E')
de la façon suivante : pour tout
h E 1+ CT ,IR) ,
h ::: I:r· lA , on pose
f hm ::: rr.m(A.). L'application
f (·)m est lmifonnément
1
.
1
1
.
1
continue dans
l
(T,IR) ; l'espace
CCCE,E')
étant complet, on peut la prolongée
+
d'une manière unique à l'adhérence
B (T,lR)
de
l
(T,1R). La prolongée que
+
+
nous noterons encore
f(·)m
est l'application voulue.
T/réorèrr:e 3.7 : Soit
T
un espace topolc~;ique complètement régulier. Il existe
une bijection, définie par
M(f) = ffm
pour tout
f E
O+(T), entre tes
mu lti-app lications positives tendues
11
cl va leurs dans
CC(E ,E' )
et les
multirnesures de Radon positives
m.
v
Preuve
Soient
T'
le compactifié de Stone-Cech de
T,
1
l'injection
canonique de
T
dans
T' , et
v
la multi-application positive tendue de
o (T') dans CC CE ,E') définie v(h) = t-l(hoi) pour tout h E n (T' ) Si h
+
'"'+ l
•
'\\,
est une fonction numérique définie dans
T, on notera
h
la fonction orolon-
gée à
T'
qui vaut
0
dans
T'-T. Soient
t: > 0, et
K
une partie compacte
t:
de
T
telle que
M(T-K ) < t: , on a
v(T'-K) ::: M(T-K ) < t:, par conséquent
t:
t:
t:
'\\,
v(T'-T) := 0, on en déduit que la fonction
l
E:
~1 (v) ([17]-chap. III) .
T
'\\,
D'autre part
v
est prolongeable
(Prop. 3.5)
d'où
t 1(v)
1A'nT ~
pour
tout
A' E:
1> (T' )
;;[,1 (v)
pour tout
A E:
<13 (T). On sait que
l' appl icat ion
m'
~(T' ) -+ CC CE ,E' ) (A' -+ m' (A') := f 1 ,v)
est lme
A
n;~ll t imesure de Radon , cormne
v(T' -Kt:) < t:
alors l'application
m de
53 CT)
dans
CC CE ,E' )
définie par
m(A) := {i'Av
pour tout
A
E:
:B (T) est lUle

---

- III· 5 -
vectorielle (prop. 2.29. p II. 19). Il existe donc une probabilité P sur $ (X) qui
r-
vérifie lim
m(A) = 0 ; on a en pH rt.ï cul i e r r> ( A) = 0 => m (A) = 0
PU\\) -" 0
(
(34)
P.
321
Lemme 5
)
Ceci implique
lim D ( ( °J)m (A)) = 0 . Cette condit ion
. f(A1~O
nous la noterons m « P. Comme X est un espace compact la probabilité P est une
mesure régulière.
Notons q-1
(~(X) ) l'image réciproque de ~(X) par q, mt la multimesure de
Radon positive de q-1 (.:B (X) dans CC (E,E') définie par m' ( q-, (A) ) = m (A) pour
tout A e 13 ( X ), et P' la probabilité régulière sur q-1 (:~(X) ) définie par
P' ( q-1(A)
) = P (A) pour rout A €
$ (X). Comme q est surjective m'et P' sont
bien définies.
On a lim
D ( {O)., m' (q-1(A)
) = 0 • Prolongeons pl à la tribu
P'(lft(A»)-J 0
borélienne ~ (T) en une probabilité régulière Pli. Considérons pour tout 8 é ~ (T),
l'espérance conditionnelle E (8 t q-1 (~ (X))
) de l'indicatrice de
8 par rapport
à q-1 (13 (X) , et posons pour tout y E- E'
fL
(8) =JE (8 1 q-1 (~(X)) ) my•
y
Comme m~ «p: car m l
p',
.(
et E (8 1 q-1 (13 (X)
)) est une
P'- classe de
J
fonctions positives p'- essentiellement bornée) l'intégrale fJ'y(8) =
E(8 1 q- Y.1HX») trty
exi ste et est bien définie .
L'application f!,
:.1> (T)~ R (8 ~ ~ (8) ) est CS -additive compte tenu de la
y
+
y
continuité monotone de E (. 1 q-1:B(X) »)
, et prolonge m' . Pour tout y, y' li: E'
y
et ~ ~ 0
on a
P'l+'f'· ~ I-ly + 11./ et jJ-),y = ÀI-'y De plus pour tout
8 6 ~(T) et ~ E- E'
1-L ( 8 ) ~ m'y (T) = 6* ( Yi m (X) ) car E (. Iq-4(~{)O))
y
est croissante. Fixons 8 dans 1> (T) ; l'application
P8:
E' -> R
(y -> P8 (y) = I-'-y (8)
) est sous-linéaire et continue pour la
*
topologie de Mackey car
r (y) ~ 6 (y , m ( X ) ).
8
Soit F' l'ensemble des formes linéaires.fa définies sur E' telles que ~ ~~P8 ;

---

-IlI.7-
,...,
Il existe olors une multimesure de Radon positive
m'
sur K
à valeurs dons
n
n
CC (E, E') telle que
et
ma.*rK )
, n
\\
l'l
En se basant sur (1) on a
~ tif (K ):: (1 ' m)'" ( X ).
C
n
n
"
.
Soit ~
l'image de
;;;,
par l'injection canonique K
"lU:
T
on vérifie
n
n
n -~
,
facilement que q
(~n):: \\;~
(2)
en se
basant sur l'égalité qoi
::
jnoqoin' où jn désigne l'injection canonique
n
de t
dans X, et la transitivité de la mesure image. Par définition
n
q (rn ) (X) :: r;:;
( T ) d'où compte tenu de la relation
(2) m (T)
:: m (C
).
n
n
n
n
1'lontrollS que pour tout 9 , €
C
( T ) la série
[ , Rl
( g ) est inconditionnelle-
+
n
ment convergente. Pour ce faire il suffit de montrer, d'après un résultat bien connu,
que pour tout x
de f;;
(g) la série ï. x
est inconditionnellement convergente. On
n
n
n
,..,
peut se limiter aux fonctions 9 ~ 1 sans nuire à la généralité. Comme m
est
n
positive,
m (g) c. r9.' (T) ::
m (C
); soit X.
E,n.
( 9
alors
n
n
n
n
n
) ( é m (C
). La série
L m (C ) est inconditionnellement convergente avec
n
n
n
m ( C ) :: m (X) alors
[ )(,
l'est aussi,
c'est ce que nous voulons.
n
n
Notons
la somme de la série
L ;?in ( 9 )
L m (g).
n::
n
1
Soit m'
C
(T )
---40
C C
(E E'
+
N
9
m' ( 9 )
::
m
( 9 )
n
L'application m'
est additive, positivement homogène, positive et
continue.
La contuité résulte
du foi t que pour tout 9 €
C
( T ) avec
o !:' 9 ~ 1,
+
*
00
,....,
m'
(g)~+80. En effet
m' ( g)
C
L m
(T)
::
m (
X).
(1.:.1
n

---

-III· 8-
Posons
je ( T,C C (E, E') )
fiC
1
(X,
cc (E/E')
les espaces
de multimesures de Radon respectivement sur
T et X à voleurs dons
cc ( E, E' ) munis de la topologie de la convergence étroite. L'application de
}e (
)e
T, CC ( E, E' ) ) dons
(X,
CC ( E, E')
) qui à choque m associe
oC>
q ( m ) 1
image de m par q 1 est continue.
D'où
~ q
m ) = q ( m' ) ;
n
~~
cO
d'après la relation (2)
q ( m ) = 1 tn
et d'outre port
}
1
m
m
C
n
Yl
'n;T
Cn
par suite m = q ( m' ). Il reste à établir l'égalité
*
m~(~).::m' (1) ce qui revient à
Or
montrer que
0
(y 1 m
(X)
) =
s '*" ( y 1 m' ( T)
) pour tout y é
E' 1
1yi ~ 1.
Or cette dernière relation est immédiate d'après la relation
00
L
q
(m
)
= q
(m').
c. q. f. d.
n
n=1
Soit 1 un ensemble non vide muni d'une relation d'ordre notée
é 1 et
filtrant pour cette relation.

---

- IIr.9 -
On appelle système projectif d'espaces topologiques indexé par
1
toute
famille
(T.,f .. )
oD
T.
est Lm espace topologique et
f..
est Lme aDoli-
1
1J
1
1J
cation continue de
T. dans T.
pour
i ~ j, oD
f ..
est l'application
J
1
11
identique de
T. et où l'on a
f .. 0 f'
si
i $ j $ k.
1
1J
Jk
Définition 3.10 : Soit
(T.,f .. J
un système projectif d'espaces topologiques
"
"J
complètement réguliers
T .,
indexé pal'
J. On appellera système projectif de
1-
multimesures de Radon SUI'
(T·,f .. )
une famille
(m.J
(le multimesures de
-i.-
1-J
1-
Radon où
mi' i E J, est définie SUI'
T. et où l'on a
m. = f. -rm .J
pOLœ
1-
1-
1-J
J
i ;$ j.
Théol'ème :3.11 .. Soient
(T .,f .. J
un système projectif d'espaces topologiques
1-
1-J
comp lètemen t !'égul iers
T.
indexé pal'
J, Y un espace topologique con~lète-
1-
ment régulier, et
(f.J, i E J, une famille d'applications continues
f. : Y + T
1-
1-
telles (-lue
fi = f
0
f
pour tout
(i,j)., i ;$ j. Enfin soit
(mi)
un
ij
j
système projectif de multimesures de Radon positiVes à valeurs convexes fOl'te-
ment compactes dans
E
sur
(T .,f . .J.
1.-
1.-J
Pour qu'il existe une multimesure de Radon positive ~:'1. a.. valeurs
convexes fortement compactes dans
E SUI' Y
telles que
f .(m) = m.
pOLœ
1.-
1.-
tmtt
i, il faut et il suffit que soient vérifiées les conditions suivantes
·t
aJ pour tout
E
> 0
il existe un compact
K
de Y
tel que
m.(T.-f(K J) < €
€
1.-
1.-
E
pour tout
i E J,
-t
bJ sup{m.(T.J
i E J} < + 00
1.-
1.-

---

- III. 10 -
Preuve
: Supposons qu'il existe une telle multimesure m sur 'J. Alors
m'' (T.) = f. (m) = m ( "f ) pour tout i; on en déduit que
l
1
1
Sup
t m * ( T); i € 1 J = m*(,/) <CIO. Soit i> et K( une partie
i
*
compacte de '1 qui vérifie m
('/.- Ki ) <€;
pour tout i e 1 on a
*
m.
(T. - f. ( K. )
=
Sup
t 6* ( Y1mi (Ti-fi(K~ ) )); ty\\ ~ 1 J
1
l i t
=
Sup
L 6"(Ylfi(m)(Ti-fil~)).);\\Y\\~1J
4
m * (y - Kt Y L. '~
On vient de prouver que la condition est nécessaire. Démontrons maintenant Ja
suffisance. Nous admettons que les conditions a) et b) sont satisfaites. Commen-
çons par la remarque suivante : (m.) , i e: 1 , étant un système projectif de
1
multimesures de Radon sur le système projectif
( T., f ..)
on a :
1
1J
m. ( T . ) = m. ( T. ) pour tout i, j
€
1.
1
1
J
J
En effet 1 étant filtrant à droite,
il existe
k E: 1 tel que
i ~ k
et
j ~ k.
Alors
f.
(m
) = m.
et f. k ( m k) = m.,
d'où m. ( T
=
l k
k
1
J
J
1
ml(( fi k1 ( Ti)
) = m
( T
)
et m
( T
) = m
( f-;k ( T ) ) = m
( T
)
k
k
j
j
k
j
k
k
Posons 00= mi (Ti)' iE:I, et notons j\\(! (y, c k(E»)
l'ensemble
des multimesures de Radon à valeurs convexes fortement compactes dans E
sur y. Lapropriété a ) implique: pour chaque entier naturel
n?- 1
il existe
une partie compacte K...
de '1 telle que sup m. * F T.- f. ( K')) ,/·1·
..
• I l \\ .
1
1
11
, -
lE
n
Posons
m' positive, m' *('1).~ :up mi (Ti),
ud
*
}.
m'
(~.. K· ) ,~ pour tout n ~ 1 et m' cV) c 00
n
-
n
Soit m ' f H, pour tout f ,f: C+ ('1) on a m' (f)
C\\lfllm' (~) Cl\\f/lQo"
La première incluSion vient du fait que m est positive. Donc H est relativement
étroitement compact dans }t} ('1,
tk ( E)
)
(Prop. 2.42. et Théo. 2.41).

---

Soit
H l'adhérence de H dans je ('f, c k (E)) pour la topologie étroite.
On vérifie facilement que 5i m' ~
H alors m' est positiv~.
t
G J
Pour tout i /S. l,
1
1 J '
Posons Hi =
m' f
H ;
f. ( m') = m.
H. est non vide ( Théo 3.9 ) et H. est une partie fermée de H pour la
1
1
topologie étroite. Pour tout i, j e 1 avec i ~ j on a
H
C Hi
d'après la
j
relation f.
= f.
0
f.
La famille ( H. ).
'1 possède
donc la
1
1
I l l e : :
propriété de l'intersection finiedans l'ememble compact
H, par conséquent
n
. Soit
mE', G H.
, on a
f. ( m ) = m .
i
G!
. \\
1
1
1
pour tout
€
I.
C q.
f.
d.
Remorql'e~
: 1 ) Comme pour les mesure réelles, les conditions a ) et b) sont
sati5faites lorsque 1 possède une partie co finale dénombrable et y = lim T.
.(;-
1
([8]
. p. 53 )
2 ) Compte tenu des théorèmes C. 7 et C. 10 le théorème 3-11
est encore vrai pour les multimesures
de Radon à valeurs convexes faiblement
compactes.

---

---

- III,12-
§ 2. Compacité faible dans
~ 1(1) et consé uences des théorèmes de conver ence
étroite.
On dit qu'un sous-espace
B d'un espace topologique
Test séquen-
tiellement compact si toute suite dans
B possède une sous-suite qui y
converge.
Théorème 3.12 : Soient
T
un espace topologique localement compact dont la
topologie admet une base dénombrable, et
H une partie de
Mt(T,E). Les
propositions suivantes sont équivalentes
1) H
satisfait la condition de Prokhorov et pour tout
f
E C+(T),
l'ensemble
{m(f) ; m E: H}
est relativement compact dans
E.
2) H
est uniformément
a-régulière et pour tout
f
E: C+(T), l'ensemble
{m(fJ ; m E: H}
est relativment compact dans
E,
t
3) H
est relativement séquentiellement compacte dans
M (T,E).
t
4) H est relativement étroitement compacte dans
M (T,E).
t
5) Toute suite de
H
possède une valeur d'adhérence dans
M (T,E).
Preuve: Rappelons que l'hypothèse sur
T
implique que
T est métrisable,
dénombrable à l'infini et séparable ([ 4], p. 21). On suppose que
H est
uniformément
a-régulière
alors l'application
f ~ v(f) = sup{m(f) ; m E H}
définie dans
C(T)
est une semi-norme de Riesz
a-régulière; elle est donc
tendue (Théo. 1.17). Donc (1) ~ (2). Faisons une démonstration par l'absurde
pour justifier l 1 implication (3) ~ (2). Dire que la proposition 2) est fausse
équivaut à dire qu 1 il existe une suite
(f ) ~ 0
dans
C(T), une suite
(m )
n
n
dans
H et
E:
> 0
tels que
m(f ) > E:
pour tout entier naturel
n, ou
n
n
bien qu'il existe
f E C+(T)
et
(m.)
dans
H tels que la suite
J
ne possède aucune sous-suite convergente dans
E. L1 ensemble
H étant relati-
vement séquentiellement compact, on peut extraire de
(m )
une sous-suite
n
(m
)
qUl converge étroitement dans
M(T,E)
vers
m; donc
n k

---

- III
1
sup{m
Cf ) ; k = 1 ,2, ... } + 0
quand
n + +
CThéo. 2.27) d'où la pr~
n
00
-
nk
contradiction. En suivant la même démarche on contredit l'hypothèse selo1
laquelle la suite
Cmj(f))
ne possède aucune valeur d'adhérence. Dans le;
théorème 2.23 on a vu que 2) entraîne 4). Prouvons que 4) entraîne 3). pd{
cela on suppose que
H est étroitement compacte. Notons
)tCT)
le sous-l
espace de
CCT)
formé des fonctions à support compact;
)(CT)
est sépl
ble, soit donc
D une partie dénombrable de
1((T)
telle que l'adhérencf
-
t
D de D soit égale à
XCT). Montrons que pour tout
m E: M CT ,E), si
ml
dans1(.CT)
alors
m = 0
partout. Il existe dans
T une suite
CK)
~
n
parties compactes qui vérifient
K c int CK
1)
n
n+
pour tout entier naturel
et
U K =
n
T ; on peut alors construire une suite
C~n) dans
Jl+CT)
tel~
n
que
~n/Kn = 1 et supportC~n) c intCKn+ ) pour tout n ; quel que soit
1
CCT), la suite
C~nf) t f, ~nf € j{CT) ; l'application m étant Œ-ré~
mCf) = lim mC~ f). Cette égalité montre que
m(f) = 0
si
mCg) = 0
pour
n
n
g ()CCT). De la continuité de
m on déduit que
mCf) = 0 pour tout
f E
dès que
mCh) = 0 pour tout
h ( D. Par conséquent la topologie définie ~
MtCT,E)
par la famille de semi-normes
CPh) h E D, avec
PhCm) = ImCh) 1
tout
mE MtCT,E), est séparée. Elle est moins fine que la topologie étroj
mais les deux topologies coîncident sur toute partie compacte de
MtCT,E)
donc sur
H. Comme la topologie définie par la famille de semi-normes
Cp}
h E D, est métrisable l'implication 4) ~ 3) et l'équivalence 3) ~ 5)
déc
lent des caractérisations des espaces métrisables compacts. C.Q.F.D.
Soit
l
un ensemble non vide muni de la topologie discrète. On notE
l'ensemble des parties finies de
l,
l'espace vectoriel des familles dans
E absolument sommab:
indexées sur
l,

---

- II 1.14 _ 1
~ 1 au lieu de
~1ON)R) où ~ est l'ensemble des entiers naturels,
~1l)l'espace de Banach des familles de nombres réels bornées indexées
sur
1. La nonne sur
~coCI) étant Ilrll = sup Ir.l, r = Cr.) E ~coCI)
co
.
l
l
l
On sait que
~coCI)
est l'espace
CCI)
des fonctions numériques continues
bornées définies dans
l
; donc confonnément à nos notations,
MCI,E)
est
l'espace des applications linéaires continues de
CCI)
dans
E muni de la
topologie de la convergence étroite, et
Mt CI ,E)
le sous-esDace de
~1(I ,E)
formé des applications vectorielles tendues.
Soit
Ca. )
une famille dans
E
indexée sur
1. On dit que
Ca. )
l
l
satisfait au critère de Cauchy si, pour tout
E > 0,
il existe
JE ~ PfCI)
tel que pour tout
J E PfCI)
disjoint de
J
on ait
1
L
a·1 ~ E.
iEJ
l
Les propriétés suivantes sont démontrées dans le livre de G. Choquet
([26]) :
1) Toute famille sommable satisfait au critère de Cauchy.
2) Dans un espace de Banach, toute sous-famille d'une famille sommable
est sorrunable.
3) Dans lm espace de Banach de dimension finie il y a équivalence entre la som
mabilité et l'absolue sommabilité. En d'autres termes
Ca.)
est sommable si
l
et seulement si
Clail)
est sommable.
Pour tout
r = CrI') E ~coCI)
et tout
x = Cx.) E ~1CI,E), la famille
Cr.x.)
I I I
appartient à
~1CI,E). En effet
Ir.x·1 ~llrll Ix·l. La conclusion découle
l
l
co
l
du principe de comparaison des familles sorrunables de nombres réels positifs.
Dans tout ce qui va suivre, on considère sur
~1CI,E) la topologie
définie par la famille de semi-no rmes
CP
~1CI,E) -+:R
r ) , r E ~co(I)
avec
Pr
définie
p Cx) = 1Lr. x· 1
Cx. )
1
par
pour tout
x =
E ~ (I,E).
r
l
l
l
L'expression
Lr·x.
désigne la somme de la famille
Cr.x.). Dans un espace
l
l
l
l
de Banach, toute famille absolument sommable est sommable.

---

- IILll
Lemme 3.13 : Soit
E
un espace de Banach de dimension finie. Les espaces
1
t (I,EJ
et
Mt(I,EJ
sont homéomorphes.
1
t
1
Preuve
Soit
8
t O,E) + t'-l O,E)
qui à tout
x E t 0 ,E) , x = (xi) ,
------
!
associe
où
8 (r) = Lr.x.
pour tout
r
tco(I).
8x
= (r. ) E
L'application
x
1
1
1
}
est linéaire; montrons que, pour
x
fixé,
8
est une application vect~
x
~
rielle tendue de
CCI) dans E. La linéarité est immédiate et la continuité
découle de la relation
\\8x(r)j ~llrIL(Llxil) = 1<llrIL. La famille (Ixil) !
étant sommable, elle vérifie donc le critère de Cauchy: pour tout
E > O(
il existe
JE E Pf(I)
tel que pour tout
J E Pf(I)
disjoint de
JE
on ~
L
Ix·1 ~ E. La sous-famille
(Ixil), i El-JE' est alors sommable et de
. J
1
lE
sorrnne
L
lx. \\ ~ ê. Par conséquent pour tout
.
J
E > ° il existe une parti
1
10- E
E ~ e 0 - K ) = sup{18 x(r) 1 ; r E t co 0) , Il r 1L :;;
et
r/
= o}.
X
E
KE
Inversement soit
m E Mt 0 ,E) ; pour
i
fixé dans
l
on note
e
= (0,0, ... ,1,0,0, ... )
où
1 est la
i-ème coordonnée,
i
e . = (0,0, ... ,ri,O,O, ... ) = rie
= Le .. F
r
i
et pour tout
J E Pf(I), eJ
1
JEJ
J
tout
i E l, posons
xi = m(e i ) ; montrons que pour tout r = (ri) E tco(I)
la famille
(ri Xi)
est sommable et de somme
m(r), autrement dit
8
= m
x
1
et
(
Xi) E t (I,E). Comme
m est tendue, pour tout
E > ° il existe un
partie
Ji
de
PfO)
telle que
E ~ mO-J ) = supt Im(r)
°:;;
1
;
Irl :;; 11
E
-
Pour tout
J ~ J ,Ir -
L
r.e·1 :;; Il r lico l I-J ; supposons un instant que
E
j EJ
J J
E
Ilrll
:;; 1, alors
Im(r) -
L
r.x·1 = Im(r) - L
r. m(e.) 1 = Im(r -
L
r.e.)
co
j (J
J J
j €.J
J
J
j EJ
J J
:;; m0 -J ) :;; E. Donc
fi (r)
= L r .x .
pour
Il r Il
:5 1.
E
1
1
co

---

- III.16-
Si
Il rll >
on se ramènera au cas précédent en considérant la
00
r.
famille
(_ _
1
1_
m(e. ))
dont la somme est
- - - m(r). Le résultat général
1
IlrlL
Ilrll
y découle. L'injectivité de
8
est immédiate ; il est aussi évident que
e
et
1
8-
sont continues.
Ce lemme montre que le théorème ci-dessous est un cas particulier
du théorème 3.12.
Théorème .3.14 : Soit
E
un espace de Banach de dimension finie. PouY' toute
partie
H de
~1(N,E) les assertions suivantes sont équivalentes:
1) H est relativement compacte
2) a)
(1' )
= r E ~oo(JN)
et
IlrlL ~ 1, x - (.1; ) E: H} < 00
n
n
b) pour tout
E:
> 0,
il existe un entier naturel
IV
tel que
sup{1 L
r xl; r E ~oo(j}JJ, Ilrll
~ 1 avec
r. = 0
pouY' tout
i ~ N et x E 1l} ~ (
p>N
p P
1.
00
,0:)
H
est re lativement séquentie llement compact~.
1
4)
Toute suite de li admet Ufle aaLeu'L d'ahé'Leflce dan.s I( N,E )
5)
li. est wlatiaemeflt compacte POU'L La flO'Lme de Ji (N, E)
Notons que si E est de dimension finie la topologie 'définie sur f( N,E ) co'i~cide
1
1
avec la topologie r(6
(N, E)
( 0
(N
E) )')
L"
l
(1)
)
o \\"L-
, . \\ : - ,
•
equiva ence
~) (5
est
classique ( [36 J . r' :4.g1 ) .
,!h(orème_ .3.15 : Pour toute partie bornée
H de ~1 , les propositions s7.dvantes
sont équivalentes :
1)
H est faiblement relativement CQmpacte.
2 )
l Ùl
S up 1.
L
1 x l ;
x EH} = O.
N-Ko
p>N
P
;))
if
est séquentie llement re lativement compacte.
1
4)
TClde suite de
H
admet une valeup d'adhérence dans
~ .
5) 7l est 'LeLatiaemeflt compacte pou<- La flO'Lme de l'

---

- TI 1. 1~
Nous retrouvons la proposition 2. 12 avec des conclusions plus riches
L'ensemble
l
est maintenant non dénombrable mais i l est toujours
muni de la topologie discrète. C'est donc un espace métrisable convlet. En
;
se rcférant au lemme 3.13, le corollaire 2.14 conduit aLLX résultats suivant
Théorème 3. 16 : Soit
E
un espace de Banach de dimension finie. PoUY' tout(
paY'tie
H de
Q.l(I,E)
les propositiomsuivantes sont équivalentes:
1)
H est relativement compacte
2)
a)
sup { 1LX .r ·1
(r.) = r E: Q.00(I), !lrll ~ 1, (x.) - x EH} < + 00
1-
1-
1-
00
1-
b)
pow' tout
E
> 0, i l existe une partie finie
J
de l
tel que
E
sup{
,
1
L
r .x .1
Il r Il00 ~ 1, r. = 0 pour tout i E J
x E H} ~ E •
1-
1-
1-
E '
iEI-J E
Théorème 3.17 : Soit
H une partie bornée de
R,l(I)
alors
H est fa-ibU
i.'elat(vel'lent compacte si, et seulement si POZil' tout
E
> 0
il e:àste une ~
finie
J
de l
te l que
sup{ L
1x.l ; x E H} ~ E.
E
iEI-J
1-
E
Les de1..Lx résultats qui suivent découlent respect iverrent des démonstd
tions des théorèmes 2.13 et 2.17.
Théorème 3.18 : Soit
T
un espace topologique métrisable. Toute partie
H
de
Mt(T,E)
relativement étroitement compacte satisfait les conditions
suivantes :
a)
supCm(T)
m E H} < -}- 00
b)
pow' tout
E
> 0
il existe une partie précompacte
B
fermée de
T
E
telle que
sup{m(T-B ) ; m E H} ~ E.
E
Théorème 3. 19 : Soit
T
un
k-espace hémicompact. PoUY' toute partie
H
ri!
Mt(T,E)
les assertions suivantes sont équivalentes:

---

- III.18 -
1} H
satisfait la condition de Prokhorov et pour tout
f €
C+{T}, l'ensemble
{m{f} ; m E: H}
est relativement compact dans
E.
t
2} H est relativement étroitement compacte dans
M {T,E}.
3} Toute suite d'éléments de
H admet dans
Mt{T,E}
une valeur d'adhérence.
~~~~~ : On suit le schéma suivant
1) ~ 2) ~ 3) ~ 1). L'implication 1) ~ 2)
est déjà démontrée; 2 ~ 3)
est toujours vraie. Pour prouver que 3) ~ 1),
on suppose que l'assertion 1) est fausse c'est-à-dire que
H ne vérifie pas
la condition de Prokhorov ou bien qu'il existe
f E C CT)
tel que l'ensemble
+
{mef) ; m E H}
ne soit pas relativement compact dans
E. Dans le premier
cas, en reprenant mot pour mot la démonstration du théorème 2.17, on construit
une suite d'éléments de
H qui n'admet aucune valeur d'adhérence. Dans le
second cas on exhibe encore une suite dans
H qui nt admet aucune valeur
d'adhérence .
On dit qu'un espace uniforme
Test séquentiellernent complet si toute
suite de Cauchy y
est convergente.
Les théorèmes de convergence étroite impliquent ceux-ci
Théorème 3.20 : 1} Soit
T
un espace topologique localement compact et
paracompact. Alors les espaces
Mt{T,E} et Mt{T,CFB{E}}
sont séquentielle-
ment complets.
2} Pour tout espace topologique
T, les espaces
MO{CFB{E}}
sont séquentiellement complets.
Corollaire 3.21 : Soit
T
un espace topologique localement et paracompact.
Alors l'espace
ptr{T)R}
des mesures boréliennes régulières bornées sur
T
est étroitement séquentiellement complet.

---

- III.1
Nous avons vu qu'il existe une correspondance biunivoque entre
t
et
M (T,lR) (Prop. 2. 16) •
La plupart des résultats de ce paragraphe sont connus pour des mesur}
réelles: le corollaire 3.21 et le théorème 3.19 ont été démontrés par
J.B. Conway ([27], [28]), H.S. Collins ([29], [31])
et R.M. Dudley ([3oH
Le théorème 3.18 figure aussi dans le papier de R.M. Dudley. Les résultat\\
de compacité dans
iXI) ont été retrouvés par H.S. Collins ([31])
comme ~
cas particuliers de la compacité étroite mais en suivant une voie différet
de la nôtre.

---

- A.l -
A P PEN DIe E l
Lemme 1 : Soit
v
une semi-norme de Riesz sur
C (T).
1) Soient
(f ) et (g )
deux suites croissantes dans
C (T)
telles oue
n
n
+
lim f
=lim 0 E C/T). Si v est a-régulière alors lim v(f ) =lim v(g ).
n
~n
n
n
n
n
n
n
2) Soient
(f.) et (g.)
deux familles filtrantes croissantes dans
C (T)
1.-
J
+
telles que
lim f. =lim g. E C (T). Si
v
est
,-régulière alors
•
-z
1.-
+
1.-
j
lim v(f.) = lim v( g.).
i
1.-
-i
J
u
Preuve
(2) On a
1irn f. ~ 1im g. , 1im f. /\\ g. = g., où
i
l
j
J
i
l
J
J
f. /\\ g. = inf(f. ,g.), et
v(f ·) ~ v(f · /\\ f ')
pour tout
i et j
donc
1
l
J
l
J
1
J
l~ v(f
pour tout
j. La dernière égalité résulte
i ) ~ l~ v(fi /\\ gj) = v(gj)
l
l
de l'hypothèse sur
v
et de la relation
v(f-g) ~ iv(f) - v(g)!.
On en déduit que
lim v(f.) ~ lim v(g.). De la même manière on démontre que
.
l
l
j
J
lirnv(g.) ~ lirn v(f.).
j
J
.
l
l
(1) La démonstration est analogue à la précédente.
Lemme 2
Soit
v
une semi-norme de Riesz
,-régulière sur
C (T). Alors
on a
(i)
0 ~ v(f} :os; + 00
pour tout
f E
J (T)
(ii) pour tout
g E ;; (T)
et
r ~ 0, rg E: J(T)
et
v(rg) = rv(g). Pour tout
f,g E ~(T), alors les fonctions
f + g,.f v g
et
f /\\ g
sont dans
1(T)
et
v{f + g) ~ 1](f) + v(g).

---

A.2 -
(iiiJ soit
(f.J
une famille filtrante croissante d'éléments de
J(TJ, a~
1-
Um f. E J (TJ
et
v(Um f.J = Zim li(f .) .
•
1-
•
1-
• 1-
1-
1-
i
Preuve : La propriété (i) est évidente. Soient
f ,g E 'J (T) ; on peut suppo~
que
f
(resp.
g)
est limite d'une famille filtrante
(hi,,)
(resp.
hi,~
d'éléments de
C+(T). Il apparaît ainsi que
(rh. ,) t rg,
1,
(h. 1 + h. 2) t (f + g)
(h. 1 II. h. 2) t (f II. g)
et
(h. 1 v h. 2)
1,
1,
1,
1,
1,
1,
Les fonctions
rg, f + g, f II. g
et
f v g
sont donc des éléments de
j
D'après le lerrnne 1.4 (3),
v(f + g) = lim veho 1 + h. 2) ;;a lim
veho 1)
i
1,
1,
i
1,
+ lim veho 2) = v(f) + v(g). Démontrons la propriété (iii). Soit
(f. )
une
1,
1
famille filtrante d'éléments de
'J (T) ; pour tout i, soient (h. .) t f.,
1, J
1
où
h .. E
C+ (T) , et
g. = sup{h. . , 1 ~ j}. On a
g. E
C (T),
1J
J
1,J
J
+
h.. ;;a g. ;;a f.
si
1 ;;a J
et
g. ;;a g. ,
si
j ;;a j'
donc
veho .) ;;a v(g.) ;;a
1J
J
J
J
J
1,J
J
pour
i ;;a J
et
j ;;a j', 1im h.
. ;;a lim g. ~ lim f.
pOUl
.
1, J
J
j
J
j
J
tout
1, d'où
lim f. ~ lim g. ;;a lim f .. On en déduit que
(g.) t lim f.
et
i
1
j
J
j
J
J
1
1
lim f. E
~ (T) . Les inégalités veho .) ;;a v(g.) ;;a v(f.) pour i ;;aj, impli-
1
1,J
J
J
quent
lim veho .)) ;;a lim v(g.) =v(limg.) = v(lim f.) ;;a limv(f.). Corrnne
.
1, J
.
J
.
J
.
J
.
J
J
J
J
J
J
lim veho .) = v(f.)
pour tout
;;a lim vU.). En
.
1, J
1
J
j
J
passant à la limite sur
i, nous obtenons
lim v(f.) = v(lim f.).
.
1
.
1
1
1
Lemme:3
Soient
h E
C+(TJ
et
g E:
j (TJ ; alors
v(h + gJ ;;a v(hJ + v(gJ.

---

- A.3 -
Preuve:Soit
fE
C+(T)
et
f~h+g.Ona f~h+[(f-h)vO] et
[Cf - h) v 0] ~ g ; donc
v(f) ~ v(h + (f - h) v 0) ~ v((f - h) v 0)
+ v(h) ~ v(g) + v(h). Comme
f
est arbitraire,
v(h + g) ~ v(g) + v(h).
Lemme 4 : 1) Soit
v
une semi-norme de Riesz sur
CrT). Alors
Vv
est
une partie solide du dual
r CrT))' de
C (T).
2) Pour tout
m E){ (T jE?), [-Iml , Iml]J
est une partie solide de
)1..rT,JR) .
Preuve: Soit
Q,E Vv = {,Q, E (C(T))'
tel que
Q,(f) ~ v(f)
pour
f
E
C(Tn
9.(-f) = -Q,(f) ~ v(-f) = v(lfl) = v(f) donc !Q,(f)1 ~v(f), f E c(T). Comme
~
~
1 Q, 1 (1 fi)
= sup { 1 Q, (h)1 j h E C (T) et
1 h 1
1 fi}
et 19J (h) 1
v (h) ~ v ( 1 fi) pour tout
h
dans
CCT) vérifiant Ihl ~ Ifl on a IQ,I(f) ~ 1Q,1(lf[) ~v(f) pour f E C(T). Soit mai
tenant Q,' E (C(T))' tel que IQ,'I ~ IQ,I
Le.
1Q,'I(f) ~ 1Q,I(f) "!Jour tout f ~ 0,
f E C(T). On a alors
Q,'(f) ~ 1Q,'I(lfl) ~ 1Q,\\Clfl) ~ v(f)
pour tout
f E
C(T)
Le.
Q,' E vv.
2) Pour tout
A E cf, Iml (A) == sup{l: Im(A.) 1 ; (A.)}
où
(Al·)
est une suite
.
1
1
1
finie d' éléments de
~
deux à deux disjoints avec
A· c A. Soit
1
m' E: [-1 ml, 1ml]];
alors
lm' (A) 1 ~ Iml (A)
pour
A E 91 , donc
lm' 1 (A) ~ 1ml (A)
pour tout
A. Par suite
1m' 1E [-Iml ,1 ml ]]. Considérons
maintenant
u E A(T,lR)
tel que
lui ~ lm' 1 ; on a
u(A) ~ lui (A) ~ lm' 1 (A) ~ Iml (A)
et
u(A)
;;;
- lui (A) ~ -Iml (A)
pour tout
A E rJ, donc
u E [-Iml ,lml]J.
Lemme 5 : Soient
T· un espace topologique et
K
une partie compacte de
T.
Pour tout
Z c T-K
il existe
U tel aue
Z eUe T-K.

---

-A.4-
Preuve : Posons
Z
où
f (
C (T)
et
f ;;;; 1,
+
Zn = {t ET; f(t) ;;;; l/n}
et
Un = {t E T
f(t) < 1/
1}
pour tout
n+
naturel
n ~ 1 ;
n U = Z = n Zn. Par hypothèse
K c
U (T ......
n
n
n~l
n~l
P
i l existe donc un entier naturel
p
tel que
K c
u (T...... Z ). Corrrrne
U
n=l
n
n
p
P
pour tout
n ~ 1, nous avons
Kc
U (T-Z ) c
U
(T-U ) c T-Z
n
n
n=l
n=O
p
P
Le.
T-K::>
U
U ::> Z.
Il suffit de poser
U = n U (= U)
pour
n=O
n
n=O
n
0
conclure.
disjoints. Alors il existe
g E
C (T)
tel
+
Gue
0 ~ g
;;;;1,
g/Z
= 0 et g/Z =1.
1
2
J (T) pour toute partie U de T.
cr
:->reuve
-1
-1
tels que
Zl = f
(0), Zz = f
1
Z (0).
Z
Alors la fonction
g
fZ/(f
+ fZz)
est celle voulue.
1
1
Z)Soit
U=T-Z
avec
1
Z=f- (O)
et
f (
C+(T).Posons
Un = {t ET; f(t) < l/n} pour tout
n ~ 1
alors
Z = nu. D'après 1)
n~l n
il existe, pour tout
n ~ 1,
tel que
fn/ Z = 1 et f n /T-U
,
n

---

- A.S -
A P PEN DIe E
II
[lemme 2.1 : Soient
I ,f
l
2 , h
des éléments de
C (T)
tels que
f 1 ~ 0,
f
~ 0
et
;;;
2
1 Mt) 1
f / t ) + f(t)
pour tout
t €
T. Alors il existe
hl
et
h
dans
C(T)
qui vérifient
2
b)
Ih.\\ ;;; f. , i = 1,2 ;
c)
1.-
1.-
Preuve: Soit l'ensemble ouvert
0 = {t ET; IhCt)1 > O} ; on a
1 ;;; Cf1 + f2)/lhl. Posons, dans 0,
Alors
a· ~ 0,
a·
est continue,
et
a· ;;; f·/lhl. Soit
l
l
l
l
h. = a.h
dans
0
et
h. = 0
dans
T-O; les fonctions
hl' Ci = 1,2)
1 1 1
vérifient les conditions
a), b) et c) du lerrnne. Il reste à montrer au'elles
sont partout continues dans
T. Soit
t E T-O, et
Ct. )
une suite généralisée
J
dans
T
qui converge vers
t. D'après la condition
c)
lim 1h. Ct.) 1 ;;; lim 1hCt.) 1 = 0, donc
lim h. Ct.) = o.
l
J
J
j
J
.
l
J
J
Proposition 2.2
Tout
k-espace hémicompact est un espace normal.
Preuve: Soient
T un
k-espace hémicornpact,
A et B deux sous-ensembles
fermés disjoints de
T. Nous allons construire une fonction
f E
C CT)
qui
+
vaut
en tout point de
A, et
0
en tout point de
B. Soit
CK)
une
n
suite croissante de parties compactes de
T dont la réunion est
T et telle
que tout sous-ensemble compact de
T soit contenu dans un
K. Posons
n
A = A n K
et
B = B n K
pour tout entier naturel
n
n
n
n
n
deux fermés disjoints de
K . Alors il existe
f
€
G CK)
telle que
n
n
+
n
f n/
= 1,
f /
= 0 et
0;;; f
;;; 1. Soit
~
la fonction définie cormne suit
An
n Bn
n
~Ct) = fnCt) si t € Kn , ~Ct) = 1 si t € A
et ~Ct)
.
n+1
= 0
si
t E Bn+1

---

- A.6 -
La fonction
fTn est continue sur la partie fennée K U A 1 u B 1
n
n+
n+
de
K +
+
+
n 1 ; on peut donc la prolonger à
Kn 1 en lD1e fonction continue fn 1
avec
0 ~ f + ;;; 1. On peut alors construire, en utilisant le procédé ci-
n 1
dessus, par induction lD1e suite
(f )
telle que
o ;;; f
:5
n
n -
et
f
= f
pour tout
n. La fonction
f
définie dans
T par
n
n+ 1/Kn
si
tEK
est celle que nous voulons.
n
Proposition 2.3 : Soient
(Z)
une suite régulière et
( r )
une suite de
n
n
nombres réels strictement croissante (ou strictement décroissante). Alors v
existe une fonction numérique continue
g
définie dans
T
telle que pour;
chaque entier naturel
n
on ait
Z
= {t ET; g(t) ~ r }.
n
n
Preuve : Soit lD1e suite
telle que
z cU cZ 1 pour tout entier
n
n
n+
naturel
n. Construisons par induction lD1e suite
(f )
de fonctions nurnér~
n
ques vérifiant les conditions suivantes :
(1)
f
est définie dans
(t) = r
pour tout
t E
,
1
Zl
et
f 1
1
Zl
fn(n > 1
est définie dans
Z
et vaut
r
sur
sur
Z -U
•
n
1
Z1 ' r Z sur ZZ-U1'··· ,rn
n
n-l
et
r. < f
< r. 1
sur
U.-Z.
pour
1 = 1,Z, ... ,n-l.
1
n
1+
1
1
(Z)
f ,f
1
Z""
sont continues sur
Zl'ZZ""
respectivement.
(3)
f
prolonge
f -
n
n 1 pour tout
n.
Supposons que
f 1' f Z' ... ,f
soient continues. Notons
n
go
la foncti
continue définie dans
Z
qui vaut
r
dans Z
et
r
dans Z
-U
,
n+l
n
n
n+l
n+l
n
posons
f
=
dan
Z
-Z
n+ 1
f
dans
Z
et
f
n
n
n+ 1 = R
La fonction
o
f
n+ 1 TI'
n+1
ainsi définie vérifie les conditions (1), (Z) et (3).

---

- A.7 -
La fonction
g : T +JR
définie par
gCt) :: f Ct)
si
t €
Z
est celle
n
n
voulue. Notons que la cond i t ion (3) montre que
g est bien définie ,
g
étant continue sur chaque
Z , elle est continue dans
T. tout entier.
n
Théorème 2.4 : Soit
T
un espace topologique. Alors les conditions sui-
vantes sont équivalentes
(i)
T
est un espace normal
(ii)
pour toute fonction numérique
f et g
définie dans
T,
respecti-
vement semi-continue inférieurement et semi-continue supérieurement telles
que
g(t) ~ f(t)
pour tout
t €
T, il existe une fonction continue
h de T
dans IR
qui vérifie
g(t) ~ Mt) ~ f(t)
pour tout
t
E T.
Preuve: Ci) ~ Cii). On suppose que l'espace
T est normal. Soit
Q l'en-
semble des nombres rationnels ; pour tout
r E Q on pose
GCr) = {t ; t E T,gCt) < r} et
FCr) :: {t , t ET,fCt) ~ r}
GCr)
est un
ouvert et
FCr)
un fermé. Pour tout
r, r' E Q avec
r < rI
i l existe des
parties
UCr) et UCr') de T telles que
FCr) c UCr), UCr) c UCr'),
UCr) c GCr'), où
UCr)
désigne l'adhérence de
UCr). En effet
FCr) et
T-GCr')
étant deux parties fermées disjointes de
T, il existe une fonction
continue
k: T + [b,r'], où
b < r, qui vérifie: kCt) = b
si
t E FCr)
et
kCt) :: r'
SI
tE T-GCr')
C[8]
p. 42, Théo. 1) ; alors
UCr) ::k- 1([b,r[)
et
UCr'):: k- 1C[b,r'[)
satisfont aux conditions voulues. On a
T :: U{FCr)
r E Q}
et
n{GCr) ; r €
Q} :: 0, par conséquent
U{UCr) ; r €
Q} :: T. Soit
h : T +JR
définie par
hCt) :: inf{r
r E Q
et
tel que
t €
UCr)} pour tout
t E T. Pour tout
t €
T
il existe
r
et
s
dans
Q tels que
t E UCr) n CT-GCs)), donc
h
ne prend ni la valeur +00
ni
- 0 0 .
~·lontrons que
gCt) ~ hCt) ~ fCt)
pour
t E: T. Soit
t
fixé, pour
tout
r > hCt), t €
GCr)
i.e.
gCt) < r
d'où
gCt) ~ hCt)
d'autre part
quelque soit
r' < h(t), t ~ UCr')
et
t ~ FCr)
pour tout
r < r', on en
que
fCt) ~ hCt). Démontrons que
h
est continue.

---

- A.S "1
Soit
E:
> 0, i l existe
r, rI E Q tels que
hCt) - E: < r < hCt) < hCt) + i
et
t E UCr') - UCr)
d'après les conditions sur les ensembles
UCr) ; pouf
tout élément
t
de l'ensemble ouvert
UCr') - DCr)
on a
r < fCt) < rI ;
h
est donc cont llme .
ii) ~ i). Dire que
T est normal équivaut à dire que quel que soit l'en-
semble fermé
F de T, et le voisinage ouvert
V de F, il existe un voisina~
ouvert
Wde F tel que
Wc V. Supposons que la condition ii) soit satisf~
soient
F et V les ensembles précités, alors les fonctions indicatrices
et l v sont respectivement semi-continue supérieurement et semi-continue
inférieurement et
l
~ l . Il existe alors une fonction continue
h: T+
F
V
continue telle que
l
~ h ~ l ; l'ensemble ouvert W= H- 1C]1/
F
V
z,1]) est
l'un de ceux que l'on veut.

---

- A.9 -
Lemme? : Soient
Z E ~ et t E T te ls que t ~ Z, alors il existe f E C (T)
+
qui vérife
1) 0 ~ f ~ 1
2) flz = 1
et
f(t) = O.
-1
Preuve
Posons
Z = g
(0)
où
g E C+(T)
et, pour tout entier naturel
n ~ 1,
------
<
U
= {t
.l}.
; t ET, g (t)
Ona
Z = n u ; il existe donc un entier naturel
n
n
n~l
n
c
n
tel que
t E U
, comme Z
et
~
sont disjoints, il existe d'après le
0
n
n
0
o
lemme 6 (p. A.4)
f E C+(T)
tel que
f
= 1 et
/Z
f
c
= o.
/Uno
Définition de l'intégrale
f ffi dans le théorème 0.3.
-1
Notons d'abord que pour tous
a,b E ffi, f E C(T) (0 ~ a < b), f
([a, b[) =
1
f- 1([a,"'[) n T - f- 1([b,"'[) E::F car f- 1([a,oo[) ,f- ([b,oo()
sont dans
:b
Soient
f E C (T),
n et k
deux entiers naturels avec
n ~ 1 et
+
~ k ~ nZn + 1. On pose: A
f- 1([(k-1) ~[) pour
1 ~ k ~ nZn
k ,n
Zn
'Zn
A
= f- 1([n,oo[)
pour
k = nZn + 1.
k,n
Pour chaque entier naturel
n
fixé, {A
; 1 ~ k ~ nZn + 1}
est une famille
k ,n
finie d'éléments de
~ mutuellement disjoints. Pour tout entier naturel n, soit
n
nZ +1 k-1
f
= L
--- 1
on vérifie facilement que
(f ) t f. Posons
n
n
k=l
Zn
Ak n
,
n
nZ +1 (k 1)
ff m = L
+
~(A
) ; pour tout
n,
ff m ~ ~(T) sup f(t)
et la suite
n
k=l
Zn
k,n
n
tET
est croissante par conséquent
Cff m)
admet une limite. Par définition
n
Maintenant pour
f E C(T) , on pose
ffm
Ol!
+
f
= sup(f,O)
et
f- = sup(-f,O).

---

---

- R.1 -
REFERENCES
[1]
A.D. ALEKSANDROV
Additive set-functions in abstract spaces
a) ~'!at. Sb. (N.S.) 8 (50) (1940), 307-348
œnglish Russian Summary) ~~ 2, 315.
b) 9(51 (1941), 563-628 (Fnglish Russian
Surrrrnary) MR 2 315.
c) Mat. Sb. (N.S.) 13(55) (1943),169-238
(English Russian Summary) ~~ 6, 275.
[2]
D.H. FREHLIN, D.J.H.
GARLING
Bounded measures on topological spaces.
et R. G. HAYDON
Proc. London Math. soc. 25 (1972), p. 115-135
[3]
V. S.
VARADARAJAN
~~asures on topological spaces. Amer. Math.
Soc. Translations, serie 2, 48.
[ 4]
N. BOURBAKI
Topologie générale II chp. V-X. NOUl/elle
édition (Hermann).
[5]
N.
BOURBAKI
Topologie générale l chp. I-IV. Nouvelle
édit ion (Hermann).
[6]
A. BADRIKIAN
Séminaire sur les fonctions aléatoires et
les mesures cylindriques. Lecture ~~tes in
~1ath. nO 139, 1970.
[7]
L. LECAM
: Convergence in Distribution of Stochastic
Processes. Univ. California, Publ. Statis-
tics, 1958.
[8]
N. BOURBAKI
Intégration chp. IX (Hermann).

---

- R.2 "t
[9]
J.
CONWAY
The strict topology and compactness in 1
space of measures II. Trans. Amer. ~~t~
Soc. 126 (1967) p. 474-86.
[10]
N.
BOURBAKI
Espaces vectoriels topologiques chp. II;
(Hemann) .
[11]
G. KOTHE
Topological vector s~aces 1. (Springer
Verlag 1983).
[12]
J.
DIEUDONNE
Sur le produit de composition. Composit~
Math. 12 (1954).
[13]
L. LECAM
Ibid.
..
[14]
L. HORMANDER
Sur la fonction d'appui des ensembles
,
[
convexes dans un espace localement conv~
Arkiv for Math. 3-12, (1954) p. 181-1861
[15]
C. GODET-THOBIE
~illltimesures et multi-mesures de transi1
Thèse, ~bntpellier (1975).
[16]
C. CASTAING - M.
VALADIER
Convex Analysis and measurable mu1tifon~
Springer. Lecture Notes in Math. 580 (1~
[17]
R. PALLU de la BARRIERE
Publications Math. de l'Univ. Pierre et
~~rie Curie, n° 33. Vector and set-value
measures l, II, III.
[18]
M. HUKUHARA
Sur l'application semi-continue dont la
valeur est un convexe co~act. Funk.
Ekvacioj 10 (1967).

---

- R.3 -
[19]
D. PREISS and J.
VILIMOVSKY
In Between Theorems in Uniform Spaces.
Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 261, nO 2
(1980) p. 497.
v
[20]
M. KATETOV
On real-valued functions in topological
spaces. Fl1nd. t'ath. 38 (1951) p. 85-91.
[21 ]
JÇJRGEN HOFFMANN-JÇJRGENSEN
A general "in between theorem". Math. Scand.
50 (1982).
[22]
Ju.
V.
PROHOROV
Convergence of random processes and limits
theorems in probability theory. Theory of
Probality and its applications. Vol. 1, n° 2
(1956).
[23] [1]
K.K. SIGGINI
Compacité étroite des multi-ap~lications ten-
dus. Revue Roumaine de tv!ath. Pures et Appl.
Tome XXXIII, 1988, nO 5 •
[2]
Sur la compacité étroite des multi-applica-
tions de Radon. Comptes rendus. Acad. Sc.
Paris, 296, série l, (1983) p. 109-112.
[3]
Quelques résultats sur les applications
vectorielles a-régulières. C.R. Acad. Sc.
Paris, t. 298, Série l, nO 19 (1984) ,p".47-7-480
[24]
P.R. HALMOS
Heasure Theory. Van Nostrand, New-York, (1950:
[25]
K.K. SIGGINI
Sur la limite projective des multimesures de
Radon positives. C.R. Acad. Sc. Paris, t. 299
série l, n° 20 (1984).rr- ,co!J_1011.

---

- R.4
[26]
G. CHOQUET
Cours d'Analyse. Tome II. (Topologie).
~1ASSON.
[27]
J.B. CONWAY
A theorern on sequential convergence of
rneasures and sorne applications Pacific
Journal ~1ath. 28 (1969).
[28]
J.B. CONWAY
The strict topology and cornpactness in
space of rneasures. Bulletin Amer. fl.lath.
72 (1966).
[29]
H.S. COLLINS and
Remarks on certain flmction spaces.
J.R. DORROH
Annalen 176, p. 157-168 (1968).
[30]
R.M. DUDLEY
Convergence of Baire rneasures. Studia
~lathernatica T. XXVII (1966).
[31]
R.S. COLLINS
On the space
x,ex> (S), \\Vith the strict tl~
logy. ~1ath. ~eitschr. 106, 361-373 (1961
[32]
R.M. DUDLEY
'veak convergence of probabilities on n~
separable rnetric spaces and ernpirical
1
;
rneasures on Euclidean spaces. Illinois l
Journal of Math. 10 (1966).
[33]
R. RANGA RAO
Relations between weak and unifonm con~,
gence of rneasures \\Vith applications. Ni
of~!ath. Statistics 33 (1962).
.
,
N • DUNFORD
et
Linear operator.
Part. I, Inter science!
J.T •SCHWARTZ
New-York
(1964).
D5J
E.
Thomas
L 1 i n t é 9 rat ion par r a p p 0 r t
à
LJ Il e
ln €
de
Radon
(Thèse).
Ann.
Inst.
rout
20,
ND 2 (1970)
pp.
55 -
191.

---

- R.5 -
[36] P. Billingsley
Convergence of Probability measures . New-York -
Chichester - Brisbane Toronto. Joh Wiley 1968.
[37]
C.
Dellacherie et P.A.
Meyer
: Probabilités et Potentiel 1975.
Publica-
tion de l'Institut Mathématique de Strasbourg
(Hermann)
[38] O.S. Thiam
Thèse de doctorat d'Etat (Université Paris VI).
[39]
A. Coste
Thèse de Doctorat d'Etat <Université Paris VI)
(977).
[40]
D. Preiss
Metric spaces in which Prokhorov' s theorem is not
valid. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 27 (1973)
pp. 109-116.
[41.]
R.M. Dudley
Real analysis and Probability. Wadsworth & Brooks/
Cole Mathematics series, California (1989).

---

---

- R.6 -
INDEX DES AUTEURS
(par ordre alphabétique)
A.D. Aleksandrov
[1]
A. Badrikian
[6]
P. Billingsley
[36]
N. Bourbaki
[4], [5], [8]. [l0]
C. Castaing-(M. Valadier)
[16]
G. Choquet
[26]
H. S. Collins
[29], [31]
J.B. Conway
[9], [27], [28]
A. Coste
[39]
C. Dellacherie
[37]
J. Dieudonné
[12]
J.R. Dorroh (H.S. Collins and J.R. Dorroh) [29]
R.M. Dudley
[30], [32], [41]
N. Dunford (J.T. Schwartz)
[34]
D.H. Fremlin
[2]
D.J.H. Garling
[2]
C. Godet-Thobie
[l5]
P.R. Halmos
[24]
R.G. Haydon
[2]
L. Hormander
[l4]
M. Hukuhara
[18]
Jorgen Hoffmann-Jorgensen
[21]
M. Kat~tov
[20]
G. Kothe
[11]
L. Lecam
[7], [13]
P.A. Meyer (c. Dellacherie)
[37]
R. Pallu de La Barrière
[17]
D. Preiss
[l9], [40]
Ju. V. Prokhorov
[42]

---

- R.7 -
R. Ranga Rao
[33)
J.T. Schwartz (N. Dunford)
(34)
K.K. Siggini
[23], [25]
D.S. Thiam
[38]
E. Thomas
[35]
M. Valadier (C. Castaing)
[16]
V.S. Varadarajan
[3]
J. Vilimovski (D. Preiss)
[l9]
.~-'--'
.,-'
c
/,.,.
,
"
~. -"" .

---