..
UNIVERSIT~ DE PROVENCE -
U. E. R.
DE MATH~MATIQUES
.,~
.',
;
!
....-,.
FORCING et CLASSES de STRUCTURES
THÈ:SE
de
DOCTORAT de SPÉCIALITÉ en MATHÉMATIQUES PURES
(Mention : Logique)
par
;
Cyprien GNANVO
.. ~ \\
~ ~
•
>
'
\\ ' .
•
"
•
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~ • l,
•
.~ ... ; ...
Soutenue le 22 Mal 1974, devant le Jury :
MM
R. FRAïsSË
Président
J. F. PABION
R. CUSIN
Examinateurs
G. FARDOUX

,
"
.....
.
" .
""""
......
N s~ xlue we Just~ne t)V~ nov~ ce
A la mémoire de Justine~ ma soeul'.
" ,/
Nj'avalû HUY1VI
K~ku Innocent, kpo
,
,
Daxomtvi e j'ai qe àhua
gbénu nô
DàxomEto ni dé jÈ édé ési li kpo.
A la mémoire de HOUiVYOVI Kokou Innooent et
r
,
de tous oeux qui depuis la glorieuse bataille
de Cana-Zogbodomè (1892) ~ ont~ oorrme à Data-Won
(1915)~ sacrifié leur vie pOUl' que mon pays
soit libre.
Nj'avalu Amilcar CABRAL, kpo
tomEvi
1
1
1
1
e towlo qut') Itogbat~ yovo kpo devi
,
,
ye t~ lE kpo hù 1& bi kpo.
fi la mémoire d'Amiloa1' CABFAL~ et de tous les
patriotes Afrioains assassinés par les impé-
rialistes et leurs valets.

Je suis reconnaissant à tous ceux qui de près ou de loin
ont permi\\, favorisé ou encouragé ce travail.
D'abord et avant tout, je suis très reconnaissant au
peuple dahoméen dont le labeur et les sacrifices m'ont donné la pos-
sibilité de continuer mes études jusqu'à cette thêse.
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à Monsieur
Roland FRAISSE, professeur à l'Université de Provence (Marseille),
qui, m'ayant chaleureusement reçu dans son équipe et guidé dans mes
recherches depuis 1970, n'a cessé de m'entourer de ses conseils
judicieux et de ses encouragements.
Ma reconnaissance va :
- à Monsieur J.F. PABION de l'Université Claude Bernard à Lyon, qui
après avoir dirigé mon travail de Diplôme d'Etude Approfondie (D.E.A),
a accepté de faire partie du Jury
à Monsieur R. CUSIN, pour le dévouement avec lequel il a suivi mes
recherches ;
- à Monsieur G. FARDOUX qui a bien voulu examiner ma thèse et faire
partie du jury.
J'ai enfin le plaisir de remercier Madame L. DIMONTE,
Mademoiselle M. ESPOSITO-FARESE et Mademoiselle N. GROS, du
Secrétariat de Mathématiques de l'Université de Provence.

- l
-
1
N T R O D U C T I O N
------------------------------
Le présent travail, divisé en deux parties, a pour origine, la préoc-
cupation que j'ai depuis mon contact avec le Forcing, d'étudier le forcing in-
troduit par R. FRAISSE en théorie des relations, en le comparant aux forcings
déjà existants notamment celui de A. ROBINSON. Ce souci, combiné avec l'influence
décisive qu'ont eu sur moi les exposés de MN. A. MACINTYRE et H. SIMMONS de l'
Université d'Aberdeen (Ecosse) au cours des éminaires de logique de 1972-73 à
Marseille, ainsi que des journées de logique des 19-20 et 21 février à Lyon,
m'a conduit à élargir mes domaines d'investigations et particulièrement à cher-
cher à mettre en évidence le rôle déterminant joué par l'liextension" sur une
classe de structures, dans la définition meme du forcing.
Le première partie, inspirée des travaux de P. HENRARD de l'Université
catholique de Louvain (Belgique), trouve son originalité dans la généralisation
de la quasi-totalité des résultats obtenus par ce dernier pour les n-extensions,
ainsi que la généralisation de certains résultats dûs à J.P. BENEJAH [21 et à
J.L. PAILLER, sur les extensions s-logique ct les (k,p)-extensions respectivement.
Outre son intérêt propre~ cette généralisation nous permet d'obtenir pour les
extensions s-logique, et les ~,p)-extensions, des résultats analogues à ceux
obtenus pour les n-extensions.
Dans la deuxième partie, j'ai introduit une notion très générale de
forcing
le r-forcing et après avoir rappelé brièvement les propriétés du forcing
fini et infini de A. ROBINSON, en montrant comment on peut les réduire à un

-- l
-
2
r - forcing, j'ai entrepris d'étudier le forcing de R. FRAISSE ou forcing en
théorie des relations.
En particulier, j'ai montrer que la 'lthéorie forcée" de la réalisation
M du langage L, par le prédicat générique
a
est une cothéorie non néces-
sairement forcing-complète, de l'expansion canonique de Th(M) dans ~ ~
{a}
de plus, j'ai apporté une solution partielle à la principale conjecture de
R. FRAISSE dans ce domaine
M = M'implique Ma
= M,a
, en montrant que
a
a
si M
M'alors M = M'
Je dois signaler que la plupart des autres
00
résultats rappelés dans cette partie ont été établis en collaboration avec
Mme Suzana BERESTOVOY-WNiDER et M. Antonio SETTE.

S O M M f . I R E
Préliminaire s
P 1
0
•
•
•
•
..
..
•
•
•
..
•
•
•
•
..
• •
IerePA~
Extension et classes de structure .....••.••... p 5
Chapitre 1..........................................
P 6
0
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
. . . .
§ 1
r -extension
P 6
§ 2
Les f-cothéories .•.••..•.•..•••.•.•••••• p 17
Chapitre 2 : Elimination des quantificateurs .•..••...••. p 25
§ 1 : La f-élimination des quantificateurs
pour les énoncés
p 25
§ 2
La f-élimination faible des quantifica-
teurs pour les énoncés ......•...••.•.•.. p 26
§ 3
La f-élimination des quantificateurs .•.. p 29
§ 4
La f-élimination faible des quantifi-
cateurs.. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... P 30
Ile PARTIE
Forcing et classe de structure ••...••...•.•.•• p 39
Chapitre 1 : r -forcing .................................................................... P 39
§ 1
Définitions et propriétés générales ..•.• P 39
§ 2
Forcing infini en théorie des modèles ••• p 43
§ 3
Forcing fini en théorie des modèles .•..• P 49
Chapitre 2 : Forcing en théorie des relations ••.•..••.•. p 55
§ 1
Définitions et g~n~rRlit's............ o. p 55
§ 2
Relations générale s ................................... P 63
§ 3
Théorie forcée ................................ P 67

- 1 -
PREL IMINA IRES
Nous utilisons les langages égalitaires de 1er ordre comportant les
symboles
A,
V,."
3 , V et ..
, des prédicats d'ayités finies notés
p ,
~ , ••• , des variables, x1,x2' •••Y1' Y2' ••• et un ensemble de constantes, C,
pouvant être vide. Ces langages sont notés généralement L, L', .•• ; la notion
de formule est connue, ainsi que les notions de :
- formule atomique = formule de la forme
p(xl' ••• ,x ) où p est un
n
prédicat n-aire.
- formule élémentaire ou formule de base ~ formule at.mique ou négation
d'atomique.
- formule libre = formule sans quantificateur.
- énoncé : formule sans variable libre •
• Nous dirons que
~
est une V n-formule ( 3 n-formule) ou que
(0 €
V
I( ((.1
€
=)
n) , si elle est équidéduite d'une formule sous forme prenexe,
n
ayant n blocs de quantificateurs, le premier étant un
V (resp. ~). Exemple:
3y
=lz
Vt
(o(x,y,z,t) oÙ (l'l(x,y,z,t) est libre, est une
V 3-.formule.
Etant donné s, une suite finie de couples ~'entier, on def-init comme
suit l'ensemble
As des formules de caractéristique s, par récurrence sur la
longueur de s:
i) ",At est l'ensemble des formules libres.
ii)
la formule
tP
appartient à A(s < p ,n »
pour
net p €
::N, si!p
est une combinaison booléenne positive (avec A et
v ) de formule de la forme
tP
où tP
€
A s.
Par abus, nous dirons que
t?
est de caractéristique s, si ~
est équi-
déduite d'une formule de caractéristique s.

- 2 .--
-1
Si s = ( <Pi ni »i< n' s
désigne la suite «
0, Po >-çno , Pi" ,<n1 , Pi> , •••
<nn_1,1Il> ) et tout
(~E A -1
est équièéduite d'une formule! 1JJ avec 1JJ E As.
s
De même pour k et p deux entiers natur~i3, l'ensemble A (k,p) des
(k p)-formules se définit par induction :
11.(0,0) = ensemble des formules libres.
-
(f) E
A(k,p) alors! lC
€
A(k,p)
- si
lC= W1 "
<0
ou
,P1)et
2
W= (1)1 v !f)2 avec
1-1'1 E
A(k1
@2 E A(k ,P2) alors
lC
E
A(k,p) avec k = max (k1 ,k2 ) et p = max (P1,P2).
2
+
-+
- si
(1)
=
~ (x ) ou ~ = ~x1 ••• x
ljI(x ) avec
r
r
r
alors
~ E 11.(
).
k+1,p+r
- par abus, une formule équidédtlite d'une (k-p)-formule est une
(k-p)-fcrmule.
Les rapports entre
As etA (k,p) sont étudiés èans
[2].
Une théorie
T de langage L est un ensemble d'énoncés de L, clos pour la conjonc-
tion et la déduction. L est appelé langage de T et noté L(T).
Soit T une théorie de langage L et
r
un enserrble de formules dy même
1angege, on pose T n r = {t'l E fi T ~ (0 } ; parfois on notera T n r la théorie
engendrée par T n r dans L.
Une structure est une suite M = (E, R , ••. ,R ' a , .•• ,a ) où E est un
1
p
1
n
ensemble non vide , Ri une relation de finie sur E (1 ~ i ~ p) ; et A = {ai} cE.
E sera appelé base de M et noté lM l .
Une structure est dénombrable ssi sa base l'est.
On dit que M est une réalisë".tion de L( Pl"'.' Pp' C), ou que M est
attribuable à L, ssi l'arité
de R · est épale à l'arité de p., 1< i<p, et si à l'élé-
1
J.
-
-
ment cl de C on assip,ne un élement aiEP,fe faç0n nue ~o~ tout airA, il existe ciE C
auquel ai est assigné. Si A est vide, M = (E, R1 •.• R ) est une multirelatiOl••
p
Si M = (E, R1 •.• R ) et M' = (E, R'l •.. R'n) sont deux multirelations de même
p
base E, la concatené de M et M' est la multirelation MM' = (E, R
>.
1 , ..• ,R ,R'1, ••• ,R l
p
n

-
3 -
Soit M une multirelation attribuable à L( Pl'"
P ). L(M) = L(P1"'"
P , C)
P
- -
P
où C = {~. / a. €
IMI } . (M, IMI
) est une structure attribuable à L(M).
1.
1.
L'assignation a. ~ a. sera dite canonique. Un énoncé de L(M) est ap~elé M-formule.
1.
1.
Le diagramme de t~, D(M) est l'ensemble des énoncés élémentaires de L(M)
réalisés par (M, IMI
).
Pour tout énoncé (j)
de L et toute structure H attribuable à L, la
valeur de vérité
(?(M) de ~
dans M e~t définie de façon habituelle (voir [
]);
si
w (M) = +, on dira que M est modèle de (0 noté
M l= (~ ; M est modèle d'une
théorie T si M != ~ pour tout énoncé
~ €
T, on le note M 1= T.
On note M 1=
(0 (al'"
an) pour (H, a 1 ,···,an ) 1= !.D(a1 ••• an) où
l.P Ca , ••• ,a
1
n ) est obtenue d'une formule (D (xl'"
xn ) de L en remplaçant xi par
une ai
€
lM! • Pour (al"" ,an) un n-uple de 1MI, la con fi ['"urat ion de (al"" ,an)
noté C (a , ••• ,a ), est la conjonction des formules élémentaires (ry(x , .•• ,x )
M 1
n
1
n
de L telles que
M 1= (D (al" •. ,an) ; C ( xl' ..• ,x ) est une fli-configuration ssi
H
n
i l existe (al'''' ,a )€
lM! n tel que C (a " .a ) est la H-configuration de
m
M 1
n
(a , ..• ,a ) est l'ensemble de formules
1
n
Un n-type~ de T est un ensemble de formules de L(T) tel que il existe
M 1=
=
~ (M) =
=
Si M est
une réalisation
de L, Th (M) est l'ensemble des énoncés de L vrais dans M, Th (M) est une théorie.
Soient M et M' deux multire1ations de langage L~ f un isomorphisme local de M
dans M' qui transforme (al'" an) en (f (a ), ... ,f,(a ), alors si lfl(a
1
n
1 ... an' 1)
est une formule de L(M), f(ln) èésigne la formule ln (f(a1), •.• f(an)'~) qui appar-
tient à L(M').
Une suite (M.).
est une chaine si pour tout i < j <cx, M. cM.
1.1.<0
-
-
1.
J
l'union de la chaine (M.).
-> noté
'1
H est l'unique extension des M.
1 . 1 . < u
i < o 1 .
1.

4
définie SUI'
. J
IM.I pal' la réanion des relations respectivement
(i.e le p-ième
1. <0
1.
relation de
i~ a Mi et la réunion des p-ième relations:
J
i<a
Enfin 0
dénote la classe des ordinaux et s'il n'y a pas d'
n
....
ambiguité le n-uple (a1, •.• ,an ) sera noté an.

1\\
-
5 -
l ère
P !', RTl E
EXTENSION S Eï C lI\\ SSES DE STR UC TURES
Dans cette partie, le paragraphe 1 du 1er chapitre est consacré au
théorème d'Amalgamation (1.1.5.) et à la généralisation du théorème de Chang-
La!; - S"..lszko' L 1.10). Au paragraphe 2, on étudie la généraHsë'"tion (le la notion de
cothéories et les propriétés s'y rapportant; nous obtenons les f- cothp.ories,
laf-modèle-complétude, ... et notamment la généralisation du test de modèle-
complétude de A. Robinson.
Le chapitre 2 expose l'analyse de div~rses formes d'élimination des
'
quantJ. f'J.cateurs, et la
" "
general'
"
J.sa\\..~on
aux f·-éliminations de quantificateurs,
nous avons en particulier le théorème 2.2.3. sur la
f-modèle-complétude et
l'élimination desquantificateurs, et le théorème 2.4.5. qui est une généralisa-
tian du théorème de caractfrisation d'une thsorie forcing-complète de R. Cusin.

\\
-
6 -
1
CHI'PJTRE
r- EXTENSIONS
Sauf indications,
r est un ensemble de formules du langage L, les
théories T et les structures M sont respectivement des théories et des réa-
,
lisations de L. Comme dans
[15]
nous dirons que ï est régulier ssi r contient 1
i
toutes les formules de la forme x = y
ou
x ~ y et est clos pour la sub~titution !
des variables. Dans la suite, nous supposerons toujours r·régulier sauf pour des
1
1
cas particuliers, pour lesquels nous donnerons les indications.
r(M) désigne l'ensemble des énoncés <0 (:n) de L(M) tels que c.p (~n) €
r.
le r-diagramme de M, noté D r(M), est la théorie engendrée dans L(M) par les
-+
énoncés
~ (:n) de r(M) tels que M 1= c.p (a ).
n
1.1. -
r- EXTENSIONS
r
étant un ensemble de formules de L, une formule (resp. un énoncé)
de r
sera dit
r-formule (resp. r-énoncé) ;
~ r
désigne l'ensemble des formules
-+
-+
-+
-+
-+
'ri x
<P (yn,x ) où
~ (yn,x ) E
r, définitions analogues pour:::l r,-'r
,
p
p
p
A
r
et
v r.
Définition 1.1.1.
Soient M et M' deux réalisations de L, on dit que M'est une
r -extens~~~~~ique de M ou que M est une
r -restriction logique de M'
(noté M ( 'r
M' ) ssi
M c M'
et pour tout énoncé ~ ~:n) de r(M),

M'
1=
<0 (an)'
n
Théorème 1.1.2
Soient
r un ensemble de formules de L, M et M' deux réalisations de L
avec M c: M', M < 'r M1
ssi (M ',lM !) ,-
Dr (M).

. 7 ..
~.
( (H', 1MI) désigne la structure M"
dans laquelle on distingue les
éléments de IMI
; par un abus de langage on identifiera M'et (M', lM 1) s~'il n'y
a pas de confusion.).
Preuve
Soit M (,
r M' et
(,')(~) un énoncé de D r (M), on a M 1= '9(::) , donc
,....
HI 1=
<,O(a).Donc(H',lM!)I=Dr(M).
Inversement si (H' ~ 1MI) 1= D fM) et l') (~) un énoncé de r on,
, . . . . , . . . .
,....
siM I=l~(a) alors
l;'l
(a)E
Dr (1) d'où (f1'~ IMI) I=lo(a)
doncM..i
M'.
r
Théorème 1.1.3.
/SOit r, un ensemble régulier de formules de L~ T une théorie de L
let M une réalisation de L. M admet une
r -extension logique~ M'
!modèle de T ssi M 1= T il V! f.r.
«T
n V"lA r ) désigne la théorie admettant pour axiomes les énoncés
de '1-' Ar:'
qui se déàuisent
de T.).
Preuve
Supposons M ~. r M' ~ ct f1' 1=
T ~ nous allons montrer que si q>
est
un
VI Ar·· énoncé tel que T 1- (0 ~ alors ~'î 1= l? , en effet soit lp
la formule
+
l/J . (x ) avec l/J . E
r~ telle que
1.
n
1.
Supposons que M 1;
l?
alors i l existe ~ =(a ~ ••. ~a ) tel que
n
1
n
M 1= Al/J.(a )~ avec l/J .(~ ) E
r on. Donc Mt I=K l/J . Œ ) ~ donc M' 1=', lï, donc
1.
n
1.
n
1.
n
i=l
M' I~
T~ ce qui est contraire à l'hypothèse.
Inversement ~ si M1=
T n'Ii Ar ~ posons T' ~ la théorie engendrée par
T li Dr (M) dans L( ! M! ) • T'est consistant sinon~ i l existe l/J 1 Œ) ~ I/J /à)~ ... ~
I/J n (a) avec 1P i Œ) E Dr
(M) tels que T U
{l/J 1"'" I/J ~} est inconsistant, donc
m
TI-v Î
I/J .(~) et comme les constantes~ n'apparaissent pas dans T~ on a
. 1
1.
1.=
m
,....m
~
TI- V ~ v Î I/J .~) ~ ce qui implique
MI:~\\1 x v Îl/J . \\x)
. ,
1.
1.
1.= ...
i=l

-
8 ..
-+
m
-+
m
(car VxY "l
Vx, (
1\\
1/1. (1» donc M 1=
v:11/1 •a), ce qui est con-
~
i=l
i=l
~
i=l
tradictoire avec
1~. a) E r 00, pour i = 1, ••• ,~donc T'est consistant, et
.,
~
1
admet un modèle H' dans lequel sont distingués les éléments attribués aux
constantes de M. M' 1= DfH) d'où M < r:1' et M' 1= T
(cqfd) •
Corollaire
Si M -< IJ.
M'avec IJ.
= '1, 1\\ r alors il existe H" avec t-1' <-r Mil
et M.( Mil.
Preuve
-+-+
-+-+
Soit
r' = { lP (a ,y)
/ <''' (x ,y) E r } . On a r c
r
' , r' a pour
langage L(M) ; nous allons montrer qu'il existe une
rf-extension logique de
(M', IMI ) qui est modèle de T'où T'est la théorie de M dans L( IHI). Cette
rf-extension logique en tant que modèle de T'est de la forme (Mil, IMI ) avec
M( Mil, où Mil est de langage L. Pour cela i l suffit de montrer que (M', 1 MI
)
est modèle de T' n \\Il 1\\ r' , or i l est aisé de voir que
T'n vl 1\\
r' = T'n IJ. (M)
= D IJ. on ; et puisque M.l.. 'IJ.H', (W, 1HI ) 1= DIJ. (M) donc (M', 1MI)t-T'n \\Il 1\\ r'
Donc i l existe Mil (M', IMI )«r,(W',1~11 ) et (M", IMI )1= T'.
-+
Ip(a') est un énoncé de
r (M') tel que
énoncé de
1'10-1') tel que (M', 1~1! )I=::
tp(~'), donc (M,II, !:M )1= tpa'), donc
-+
Mil 1=
tp(a').
En définitive on a :
M'
~r
Mil
et M <
HI'
(c.q.f.d)
1°)
H(.rM' ssi M~rM' où 1"
désigne la clôture de r pour les
opérations
A
et v
et la quantification existentielle. Cette remarque nous
permet de supposer couramment r clos pour les opération
1\\
et
V
•
2°) Si
r est clos pour la négation ( , ) on a M admet une
r -extension
logique M' modèle de T ssi M 1=
T n \\1 vr ~', et le corol':'aire devient

., 9
-
si H ~v r M', alors il existe Mil tel que M' .oc( Mil et M -< M".
r
3°) si r est clos pour les opérations booléennes ou simplement
pour l'opération
A
,
on a que M admet une r -extension logique modèle de T
ssi
M
1=
T n v-, r~' , et le corollaire est modifié en remplaçant A r par r.
Naturellement si on a r à la fois clos pour la -, et l'opérateur
v (donc
pour
A
aussi), le théorème se simplifie notamment et devient: M admet une
r -extension modèle de T ssi M 1= T n vl r , et le corollaire devient
M
-<
M'
110
il existe Mil tel que
M
/..,
Mil
et
M'
-<
Mil.
r
V r
Dans la suite, nous supposerons r clos pour l'opération A (et quelquefois pour
les deux opérations A et
v ) bauf pour les cas particuliers que nous indiquons.
Proposition 1.1.4
La
r-extension logique est transitive et si M cM'....::
rl"avec
r
Mf.., rM
" alors, M~..,r M'.
Preuve
La transitivité est aisée à voir.
Supposons
M
M'
MI!
MI.
Mil .",
• t ,-,-+.,
~ -+)
f
l
d
=. .( r J ,et v'r
S01
"'x
1 l!)\\X,y
une
ormu e
e
-+
-+~
~~
VI r telle que MI= V x Ill)(x,b), nO'lS allons montrer que alors M' I=V Xl lIHX,n);
en effet sinon M' 1= :::j~ M"I= 1 (()(à' b)
contradiction. (c.q.f.d.).
Théorème 1.1.5 (Amalgamation)
Soient r
et r
deux ensembles de formules du même langage L régulier,
1
2
clos pour A
,et vérifiant
r 1 c::lr 2' si trois réalisations M, Ml
et M vérifient
M -t
~M1
et r1 .(r 2
H
,alors i l existe une
2
YI
2
réalis ation M telle que
3
le diagramme commute.

... 10 -
Démonstration
On doit construire M tel que le diagramme suivant commute
3
Pour cela, L étant le langage commun posant L(M), L(M ) et L(M ) tels que les
I
2
constantes qui sont dans L(MI)-L(M) soient distinctes de celles qui sont
Soit
T (M ) la théorie de M dans L(l1 ) et D r (Ml) le r -1. diagramme de Ml' il
2
2
2
.. l
faut montré que
T 0"1 ) U D r (Ml) est consistant, c'est-à-dire qu'il existe
2
l
une structure M telle que
M
c M , l~F
M
(M , 1M '
) 1=
T (M ) et
3
2
3
3
3
2
2
(M , IMII
)l=D r
(Ml) ; supposons le contraire, il existe donc deux énoncés
3
l
lP (~l ,b) et 1JJ (~2,"t) appartenant respectivement D r (Ml) et
T (M ) tels que:
2
l
~l et ~2 sont des constantes de LP,O ,b et "t sont des constantes de L(M )- LOn
I
et L(M )-L(M) respectivement, et
(~l,b) -+
2
(1')
Donc :
avec 3
-+~
-+-+-+
Ml 1= <.ft (al,b) implique !\\ 1=3 x (:')(a ,x)
de là'on déduit que
l
-+
-+
-+
-+
-+ -+
-+
-+
-+
M1= 3 x
<.~ (al x) , car sinon H1= V X! ''J
(a ,x) avec \\f x -,
lOCal ,x)EV" r l (M)
et puisque H .~ 'f""1 rI t1 2
Donc
MF
3 ~
ID
(~1 ,-;.)
mais puisque ~ r I e ?<r 2 et
3 ~
1.,')
(~l ,~) E r 1(lM)
M ~ r'
H
implique que
tI\\2 1= 3~
2
II')
(~l ,~). Par ailleurs, comme les
2
~
~
~
~
constantes b n'occurent pas dans! 1JJ
(a ,c) et que les constantes c n'occurent
2
~
...
~
...
ï
~~
• .
~
~ ~
~
~~
pas dans
t;:'
(al'b), w(al,b) ~ 1 1JJ (a ,c) lmpl1que:! x (0(al'x~ V y-:l1JJ (a ,y)
2
2

et donc M l='='Y -'nl' (~2'Y)'
2
ce qui contredit l 'hypothèse que 1lJ a2,~)E
T{H2)
donc en définitive
T(M ):· D r' (Ml) est consistant et nous obtenons M
2
3
1
vérifiant: M
.(
M
et Ml
-< li M ·
( c.q.f.d. )
2
3
3
Corollaire
10 ) -
Si
r
c 3r 2 et
v-,r c
alors i l existe H
tel que ~11 <.. r
3
(r 1
n r 2) crI avec M
i l existe M
tel que Ml ~
M
et M
,/ H •
3
3
2
3
rI n r 2
30 ) Si M ~r Ml et H <\\fI ~2 ' alors i l existe H3 tel que
Ml
i..... r M2 et M
L...
M
2
3
Soit
La preuve de ce corollaire est facile
le 3eme donne comme cas particulier le
corollaire du Théorème 1.1.3.
Etant donné une suite CM.).
~
de structures de même langage, la
l. l. <<:
,
.
reunl.on
U
rM. est définie de façon usuelle; nous dirons qu'une telle suite
l. <u l.
est une
r - chaine ou chaine
r - extensive , si pour tout i< 0 , on a
M. (
M. 1
l.
r
l.+
et pour
À,
limite , et
À <
Ô on a r1 À
= U M••
l.
i<À
Définition 1.1.6
Soit
r
un ensemble de formules ,nous dirons que
r
est auto-inductif
ssi la réunion d'une
r-chaine quelconque est une
r -extension
logique de
chacune des structures de la
r-chaine.

- 12 -
Exemples
--------
-_. .
..
- r=
V n= ensemble dèS formules ayant n blocs de quantificateurs,
le premier -étant un '1( cf·.. L 9] )
-r=
A
s = ense~le, des fOrffiulesde caractéristique s (cf 7)
Définition 1.~.7
'Etant· donnés une théorie T et un ensemble de" formules; r ,de même
langage L, T est dite
r -i.nductive, (noté T ~ (T n( \\f
:3 T), bu'sinÎplement
T = T n V 3
r ) ssi T admet pour axiomes des énoncés de
v 3r . T est dite
r-stable , ssi toute réunion d'une
r-chaine de modèles de·:r est un modèle de T.
D'après la définition 1.1.7, et pour
r' = ensemble des formules sans
.
.
~
"
.
quantificat~ur, le théorèmr de Chang-!.o~ -,Sul?zko, dit que Test r -stable, ssi
T et r -iTlduct~ve ; ce théorème est généralisé au ,CgS où
r ='1
(Henrard [ 9 ]
n
et Simmons
) et au cas oùr = A (Bénéjam
( 2]
)
po~rcertains s.
s
Dans les théorèmes qui suivent, nous établi$~ons une généralisation
de ce théo~ème au cas où
r
est auto-inductif.
Théorème 1.1.8
( Keisler )
Soit
r régulier et clos pour
A
et
v
Soit une théorie T
de même langage '. Test r -inductive ssi
pour toutes structures H et M', l1' 1=
T et M 1... v"'1r
M'implique
'. ~
M 1=
T.
."
Démonstration
Si T = T n \\f:J r.
,~oit M \\',rr1' et M'I= . T donc
M 1= T n
(VI A (\\11
r»
(théor. 1.1.3), mais
VIA (VI .r)= V 3:T
donc
M 1=
T, n V 3
r - T
inversement, si M4 V, r M'et M'
1= T implique M1= T, on a que
M .1= T n V 3 r
implique MI= T
pout tout M~ donc Tc T n V 3 r , ce qui
implique que T = T n V 3
r .

-- 13 -
Il suffit que f
soit régulier tel que
3 f soit
clos pour v •
Théorème 1.1.9
Si
r est auto-inductif et T,
r-inductive, alors Test
r-stable.
Démonstration
Nous montrons que les V 3 r-énoncés sont conservés dans les unions
de
r-chaines. En effet, soiu::l =""x1 ·•• x
='
m
Y1 ·'· Yk \\fJ un énoncé où 1/J E r
et qui est satisfait dans chacune des structures d'une
r -chaine (H.).
~ • Si
1
1<
u
~
,'"
...
-_
.
J
lA
'1
.
a est un ~-uple d elements de ~1
'~",., 1
eX1ste une structure M.
de la chaîne
1
m
i< 8
1
0
...
... ......
telle que
a E 1H. i , comme H.
1= ln , il existe donc un k-uple D clements de M.
1
1
0
1 0
0
tel que M. 1=
1)1
(~,1», or f étant auto-inductif, M.<
L'
M., donc
1
1
•
~
1
0
0
f
1
<u
M
1= 1JJ (~,t) donc M 1= lI')
. Ceci étant~ si Test
r -inductive, et si
(M. ).
~
est une
f-chaîne de modèles de T,
U
M. 1= T n V =1f= T
(c.q.f.d.)
1
1
< u
i <8 1
Un ensemble de formules, f, est dit s~étrique~ si toute f-extension logique est une
!
f -extension logique.
Théorème 1.1.10
(Généralisation du théorème de Chang-los-Suzsko)
Si
f est auto-inductif tel que
V, r est symétrique, alors
une théorie T de même langage est
f - stable ssi Test f-inductive.
Démonstration
- Si Test
f-inductive, alors Test
f-stable (Th. 1.1.8)
- Soit T r -stable,
et t1
une V.:l r -restrictior.. d'un modèle de T
0
montrons que Mo 1=
T, cela montrera que T = T n V ;:1 r
• Pour cela, soit
construisons une chaîne de structure
HL). E
vérifiant :
1
1
W

·. 14 -
M
1= T n V 3 r
2i
M2i+1
1=
T
M
.(..
et
1;1
2i
M2i+2
2i
....
M
'r
2i+2
" ;,12i+1
W
M2i+1
et
N2i+1 " M2ii?
r
pour tout
i €
w
,
Partons de MO<V-'rM1' le corollaire du théorème 1.1.3 dit qu'il existe M2 tel
que Mo <. M et Ml <r M et puisque Mo < M , M est à nouveau modèle de rrn.v 3 r,
2
2
2
2
donc il existe M 1= T tel que M <. v-, r M , et il existe M
<; M
3
2
3
4 tel que M2
4
etM
<r M , on itère cette construction et on obtient le schéma :
3
4
T9
!~5
MS
r 1 f...~"lr
i .
r~-
T
=1
M
--~
r1
1=
T n V :!
r
3 .,.
"7~.'
4
rT ~~-, r
r
_____ i V
T
1=
T n V :1 r
9
Ml
~ .... ~2
V-'~'M~
.
0
v.
Ce qui donne M2i+1 .J.. r~f2i+2 L.
r M2i+3 donc M2i+1 L.. r M2i+2 i. r M2i+3 ; On
peut dire alors que la réunion Mw de cette chaine est
- un modèle de T, en tant que réunion de la
r -chaine (M .+ ).
2~ 1 ~< 11.\\
- une extension élémentaire de Mo en tant que réunion de la chaine élé-
mentaire (M2.).<
ce qui prouve que Mo 1=
T.
~ ~
w
Remarque
Il semble donc intéressant de savoir à quel:es conditions r est auto-
inductif, tel que vi r
est symétrique. Peut-on affaiblir cette dernière condi-
tion • Conune on le verra dans les applications
r =Vn et r =1\\ (k,p) vérifient
ces conditions.

_. 15 -
A P PLI C A T ION S
- A 1
r= A(k,p)
A 1.1.
Le cas
r ='ri n est étudié par P. Henrard [
9
J. Le théorème d'
amalgamation est résumé par le tableau suivant avec le~cas particulie~a, Set y
Si on a
alors il existe
l' • •
ce diagramme commute.
M
tel que •..
3
où p = min(m, n-1)
al
En remarquant que pour r = V n, ~1 ~..., r H
M <
1 M'
.. M < MI c:>
M <.,..
M'
n+
n
t
on a
'iïVn qui est symétrique, donc on retrouve le théorème de Chang-Lo~-Suzto :
Une théorie est Vn-inductive ssi elle
est Vn-stable.

- 16 -
2 n
A-1. 2.
Le cas
r=
A
avec
s
EON)
s----------------
Dans ce cas; r
est auto-inductif (cf
r 2
] )
Le théorème 1.1.5 donne
Soit s et s' sont tel que
A s
C":1
l\\s"
si ~1\\t A -1 Hl et H <s' ~12'
1
'1
.
M
1
1 "
s
a ors 1
eX1ste
3 te
que
8
d1acramme SU1vant sommute :
Comme cas particulier
s' = s.
alors il existe M tel que
3
commute le diagramme.
M
Les théorèmes 1.1.9 et 1.1.10 généralisent les théorèmes du paragrapbe 5-5 de
la thèse de genejam (pp.100).
A- 1. 3.
Le cas
r = A
est intéressant car
-, r= r et r
est auto-inductif.
(k ,p)
Le théorème 1.1.5 entraine le cas particulier suivant
il existe M tel que
3
Si
ce diagramme commute :
De plus le théorème 1.110 dit:
Test (k-p)-inductive ssi Test (k,p)-stable.

-
17 -
le 2.
LES
r-co·- THEOR IE S
Nous introduisons la notion de
r-cothéorie pour généraliser celle
de co-théorie due à He~ard
.r9~.
Définition 1.2.1
Des théories Tl et T
de même langage que
r ,sont des
2
r-cothéories
ssi tout modèle de Tl a une
r-extension logique modèle de
T
et inversement .
2
Proposition 1.2.2.
Tl et T
sont des
f-cothéories ssi T1nv 1 r :: T2nv ir
2
Preuve :
i)
Soient Tl et T
deux
r-cothéories et Ml t= T{Wl r
2
i l existe Mi
1= Tl et M -< f Mi
donc i l existe M
1= T2 tel que Mi <r M , on
1
2
2
en déduit que Ml admet une
r-extension IQgique M modèle de T , donc
2
2
Ml 1=
1
T
~V; r
de même on montre que 1'!2
1= T{I'7l
r
=> !~21t= T1n'fT"~ donc
2
sm Tl ,)t T2 sont f-cothéoiVies , ü o r s
Tl fl\\.'l r
:: T2nv-rr
ii)
Inversement, supposons T1n~ ï r
:: T r\\-ll r
et soit
2"
Ml
1= Tl ' on a
M
1= T (lV"\\ r"
donc~' 1: T nv-: r
, 1
l' "'"
,
donc il existe M 1- T
,1 1 r-
2" ".
,
2
2
tel que Ml L... f ~12 ' de même on montre que M l= T2 =>::l ~\\ 1= Tl tel que
2
M <rM
2
1
On voit donc aisément que la relation
" être
r-cothéorie"
est une relation d'é'luivalence, de plus pour
f:: ensemble des formules élémentai-
res, on obtient la notion classique de cothéorie ; d'où les classes de
r-co-
théories.
Démontrons rapidement que les classes de
f- cothéories ont le même
type d'ordre que les classes de cothéories.
Proposition 1.2.3 :
Une cla~se de
r -cothéories, ordonnée par l'inclusion
déductive est un ensemble convexe, avec un plus petit élément et des éléments
maximaux au dessus de chacun de ses éléments.

13 -
Preuve:
.Si Tl ~ T
et Tl fI\\:'""T r = T3nv "1
2 C T3
~ T3nv '1 r
et Tln'f -r r = T{'\\f -or r = T "VJ r
3
.
L'élément minimum est T
= Tn~1 r , commum à toutes les théories
r
de la classe .
. Cet ordre est aussi inductif ( au sens de Zorn) : soit l un ensem-
ble totalement ordonné
{T./i e l } , une chaine dG théories de la classe,
1
posons TI = U {T./i el}; si lP
est un énonc8 de Vi r
, qui se déduit de
1
TI n\\f l' r, alors lp se déduit d'un
T
, K ( l .08 a donc
K
T r
c(TlnVl r ) S
U {T1nV"T r li Er} = T . (c q f d) .
r
Nous allons maintenant généraliser la notion d'extension commune
( la J.E.P.: Joint
Embeding Property), celà nous permettra d'aborder le pro-
blème de la complétude-
des théories maximales d'une classe de r -cothéories •
Définition 1.2.4 .
Une théorie T a la propriété de
r-extension logique
commune ou
T et
r-filtrante
ssi pour deux modèles quelconques Ml et M2
de T, i l existe un modèle t"3 de T à l' isomo!"'phie tel oue Ml'" r M et M '" r M •
3
2
3
Théorème 1.2.5:
Si Test
r-filtrante, toutes ses
r -cothéories sont
r-filtrante .
Preuve
S 't T
r
h~'
d
T
q
f1
d
d'
.
01
1 une
-cot .. ~orle
e
, "-1 et
2
eU){ mo eles de Tl ' 11
existe deux modèles de T, NI et N
<,
2 tels que ~11 .L... r N1 et M
r N
2
2
r- extension logique commune N, modèle de T,
N admet une
r-extension logique, M F Tl ; la relation de
r -extension logique étant
transitive on a
(Par abus nous dirons que la classe de
r-cothéorie est
r- filtrante) .
Théorème 1.2.6:
Soit
T une théorie maximale dans sa classe de
r -cothéo~ies_
T est complète, ssi Test
r-filtrante
(donc ssi sa classe de
r-c~théories
est
r-filtrante).

-
19 -
Preuve :
i)
Si T est complète, deux modèles sont élémentairement équivalents. 9.
donc, ont une extension élémentaire commune, qui est donc une
r
-extension
logique commune modèle de T .
ii)
Inversement, si T est maximale dans sa classe
de r-cothéorie et
n'est pas complète, soit (D , un énoncé, non d~cidé dans T, T t:{ V)} et T'in (j) }
sont des théories n'appartenant pas 3. la classe de
r-cothéorie de T ; donc i l
existe des modèles Ml et M de T tels que Ml n'admet pas de r-extension logique
2
modèle de T 'i{tp}et ~12 n'admet pas de r -extension logique modèle de T ! {-r
1
(.O}
il s'en suit~que Ml et M n'ont pas de
r-extension logique commune modèle de T,
2
donc T n'est pas
r-filtrante (c.q.f.d).
Soit CC r
une classe de r -cothéorieset T
sa théorie minimum, nous
r
désignons par
T ~r
la théorie engendrée par Tr ., {IO l(QE ::'Ir ,II)
énoncé et
Théorème 1. 2.7
Si r
est auto-inductif, et si T
est r-stable, alors
r
10
T ::Ir
)
est dans ~r
:::Ir
2° ) si T est dans cr. , alors TI
T
est dans
r
t(r
3°) Les trois conditions i) ii) iii) sont éauivalentes
i) 'f
est r -filtrante
r
ii) T =.lr
décide de tous les énoncés de '1"1 r
iii) toute extention consistante de T3r est danscc:'r .
Preuve
i) le 1°) est un cas particulier de 2).
2) puisque tout modèle de T 'T 1r , est modèle de T, il suffit de
montrer que tout modèle de T a une
r -extension logique, modèle de T:}
T::Jr
Soit
3r
{
l().,
i
< l.l'}
l'ensemble des énoncés de ? r
qui sont dans T
1.
pour chaque i < (J."
tout modèle de T
peut s'étendre en une r -extension logique
r
modèle de Tr " {
ID .}
1.

- 20·
Partant d'un mçdèle Mo de
T,
construisons une r-chaine
(M.).<
•
l
l
W
telle que pour chaque i,
M.
1 F
Les
~i ~tant des
l+
...
...
...
enonces de
J
r ,
sont conserves par passage àux
r-extensions
et puisque T.
est r-stable,
M
= U {Mi li< (lI lest un modèle de
r
w
T
U { ~.
li <
u
r
' };
~·1
~tant modèle de 'T'
a
une r-extension
l
u\\
.. r
,
::lr
logique
M
pc: T, donc M est un modèle de T
\\J T
qui est
une
r-extension logique de
Mo
(c.q.f.d.)
3)
On démontre que
i
+ i i
+iii + i.
i
+ i i 1.
Si ~r
est
r-filtrante,
considérons T une théorie maximale
dans t: r'
T est donc complète;
soit t?
un ~nonc~ de v i r
,
T d~cide
3r
de l,,'>
•
Si T
!- lI) , a 10 r s :v E Tr
donc tp t=.
T
, s i T!-!',Oon a
: -,
(!)
est un ~noncé de
~r et~drune part tout modèle de T est modèle
d tau t r e :0 art t 0 ut T:I 0 d è l e t-1 d e Tr \\J {! lI) } a
une
r
-extension logique !1'
modèle de T,
donc
T
'J {! lI) } et;. c e qui
r
implique que"l
cp
E T 1r
,
cela prouve que
T ~r
décide des
énoncés
de
\\f
....,
r .
::Ir
i i
.... i i i 1.
Si T~
décide de tous
les
énonc~s de V
'lr
et si
lr
T est une extension consistante de T
on a
=:Ir
.
~r
T
n vlr
c
T
n\\l;r
et T
n 'f;r
cT n \\j ï r
donc
T n V'r
-
T
-
r
T
E
ce r
:':Ir
iii-:t
i
1
Si toute extention consistante de
T
est d
C?
ans
'-. r
alors
c""
L r
contient des
théories com~10tes et donc est r
-filtrante.
Remarque
Une théorie T décide de
tous les énoncés deV:r
ssi toute
extension complète de
T est une
r
-cothéorie.
Soi~ ~la théorie minimum d'une classe de
r-cothéorie ~r
v l
r
nous désignons par
T
,
la
th60ris dont l'ensemble d'axiomes
est
{ al a
est un ~noncé de V3r

-
21 --
Lemme :
Si
r c ri et T est une th60rie ,( T n
r) =(
( T 0 r~) n ri]
Preuve
Théorè,e 1.2.8
Si
r est auto-inductif et sî ..., r c \\-! 3 r , alors nous
avons
V 3 Il
Si Tl est
r-inductive ct Tl E ~r alors Tl c T
..
V3r
T
est dan::;
"'0 r
.,.
V~r
3° /
La classe de
'(
T .
l
r) -cothéories de
est l'ensemble
V3r
des extensions de T
dans
~ r
4°/
T'Ar est la seule théorie de ~ ayant la propriété 3°/
r
Démonstration
Soit Tl
r-inductive , et soit (0
un axiome
de Tl avec;
(? EV =j r, nous avons
T r U {u)} E ~r
en effet , pour tout modèle
M de T r
il existe M' modèle de Tl et \\1 L.... r
"1', puisque Tl n \\f"T r
=
t T
"-
d" d . t
M'
1
ml
; l
r '. -',"
e
1
r
ç on en
e U1
que.
=
r u te
inversement tout modèle de
J
T r U {<'.'} étant modèle de T
' i l s'en suit que' T
(J
{zn} c~~ d'où <n
est
r
r
un énoncé de \\' ? r "tel que T
U {<:"'l} F' 'Gr ' donc (n E T V ::1 r
c q d f
r
2° /
Puisque -r r
c \\' ::l r , on a • '-{ -, r c: '-{ :1 r
donc
Tr
'! l
r
v
est
r-inductive, donc
l r
El!
T
il reste a montrer que
T
n
. \\:'( "l r)
W :l
r
c T r
Si
c.p
est un énoncé de 'i( 'l r)
tel que T'
~
0
, il existe
v
=:J
r
un ensemble fini d/axiomes {C()o' (\\, ... , () 1(-1 }de T'
\\- 1;)
. Il suffit donc de montrer que Dour tout ensemble fini di énoncés de
'11
r,
{f.!'l1' .•• f.0 } , tel que ( T
U r (f). }
1
E 't
, ( 1~ i~ K-l) ,
K
r
1
r
( T
U { cD
.,
,
" 0 "
(!1K-l ) E "'fJ
on en déduirait alors que si cr> c: '_/ï r
et
r
0
r
\\:lE r
T
l - - IJ) ,alors If.' ( T
Pour le montrer, soit
modèle de T
nous
r
r" un
,
r
allons construire une
r-chaine UL)
telle que M L,
11
et
J
r
0
j < !l'
"1
u
{!f').}
pour ( 0 < i~ K ) : Pour cela M 1= T
et
m K + i
1= T r
1
r
Tr "L- { Cf) } E "€r
implique qu'il existe H
tel que
M4
M
et
'0
0
r
0 -
M
~ T
U
{ (') }
de meme i l existe IJ1;
tel que ~1 L.,. M et OK
1= T
r
. '1
1
r U{<\\ l-
0
0
'1
0

.. 22 -
et pour
1 ~ i < K , si M. 1 est construit, il existe 1-1. FT
U { (n. }
tel
1-
1
r
1
M.
d
l
-
f t '
q
M
U
e
a meme
açon nous cons rU1sons.
1
K, .oK + 1'" oL'lK +(K-1)
avec MK +(i-1) Z rMK
et ~f;
I=T
U { tV. } , et plus généralement
+ 1
'OK + i . r
1
nous obtenons r'!mk-1 .L.... r
11
( m < C!.' ) .
mK
..
M
pour i
r-:
{o, ... K-1
}
mK + i
et
1=
tU).
}'
pour i E
{o, ... K - 1
} .
'1
L'union M
U1.) àe cette
r-chaine, est une
r-extension
= u
]
j< !Il
logique de M et donc de M, parce que
r est auto-inductif j de plus, T
o
r
étant
r-stable, M
F
T
; enfin, en tant qu'union de la
r-chainG
w
r
et le
<r.
étant des énoncés de ~ , r
, donc
r-stables
1
m E ID
M
l=tr.
pour i E { O, .•• ,K-l } .
'1
Ainsi M
est une
r-oxtens ion logique de H, modèle de TrU{ Il) , • •(1)1 .}
le
o
-1
cela prouve que TrU {lfl 0""
(OK-1 }
est une
r- cothéorie de T
'
r
donc
"!Br E
T
.
(c qfd )
.
On sait que si
r c r' et T est une théorie, on a
( T
n r) = « T n r') nr ) ; puisque 'f:r'c \\' ?1 r , on en déduit, que si Tl
est une ':! ï r . -cothéorie de T'Ar
alors, Tl E ~r
~r
\\--/=r
• ( T .;~ n ':/ '1 r) = T '.,
===s>
Tt vo r = T'Ar n 'il r = T .
r
~r
~r
Donc les
's' .... r-cothéories de T .
sont des extensions de T'"
dans
% r
','lr
7P
Inversement> si Tl est une extension de T
. dans "'0 r
,on
à
al
T'Ar =
',-' :::l
,
r )
.'
r ,.... ...". '-"::Ir
b i T1 n v 3
~
t
)
puisque
T r V =l r
est
r-inductive
1
donc T V3r = T n V ~
r
et i l s'en suit que Tl est une \\;,(...., r) -cothéorie de
1
V:Jr
T" ..
( c q f d )

-
23 -
4° /
Si T est une théorie de ~ rayant 3°/, toute théorie Tl
'if Cl r )-cothéorie de T, contient T donc T •
(Tr''Af
) c: T, donc Test
f- inductive, ce qui implique
T c
T'13 f
'"Rr
cP
de plus T
E -~r et est
une extension de T, donc
~f
est une
( V , r )-cothéorie de T, donc
'A f
( T .
n
""':':If
\\1 1 r
) =( T n 'f 3
f
) d'où
T e T
VJf
Conclusion
T
= T
(c q f d )
. Nous allons à présent généraliser la notion de modèle-complétude
ce qui conduira à une généralisation du test de Robinson.
Définition 1.2.9 :
Etant donné une théorie T et
f
un ensemble de formules
Test
f- modèle-complète
Théorème 1.2.10 :
Généralisation du test de Robinson
Une théorie T e~t
f-modèle-complète ssi pour tou~ modèles Mlet M2
de T, si Ml < f
M
alors NI 4... V, f M •
2
2
Démonstration :
L'implication est évidente dans un sens.
POUI'
l'autre sens, supposons
>
!vi
, il fa ut montrer
2
qu'alors ( Ml I=T, ~~2 I=T et ~\\ ..( f
>
modèles de T tels
1\\ <. f /1-1 2 ' on en déduit que Ml <. 'f"l f
M , d'après le
2
corollaire
du théorème 1.1.3
il existe M
tel que
3
Ml ~ M et 11 <. f M
, puisque ~1l 1=
T on a à nouveau
M
et M modèles de
3
2
3
2
3
T et
<
M
f ~13' donc
M
'
donc il existe M
tel que
2
3
4
M
~ t1 et fI-l L.-... f r\\ ainsi, on construit une chaine (M.).
telle que
2
4
3
1
1< W
ct M".
1 -t...--.
M
=
H.
2 •
3 '
U
.<:1
+ -L.
1
+
Si on pose M W
i<
1
W
on a
comme union de la c.haine élémentaire (M?i+l).
et ~12 L.-.M w
l€w

. 24 -
comme union de la chaine élémentaire (M
) iEw
' donc Ml et M admettent
2i
2
une extension
élémentaire commune, comme Ml C M
on a
( c q f d . )
2
Théorème 1.2.11:
Si T esr une théorie
r-modèle-complète, alors
Test
r-stable ; si de plus
\\!~ r
est symétrique alors Test
f-inductive
Démonstration :
Si (M.).
est une
f-chaine de modèles de T (M.).
1
1< W
1
1< W
est une chaine élémentaire et V Mi
est modèle de T, donc Test T-stable
l
Si de plus
'<I( i r)
est symétrique , Test
f -inductive .
Théorème 1.2.12:
S~ Test
f-modèle-complète, alors T est maximale dans
sa classe
de
f+cothéorie .
Démonstration :
Soit M un modèle de T et Tl une
f -cothéorie, extension de T,
M admet une
f-extension logique
~\\ modèle de Tl' TeT
~ ~11 F T ,
donc t1 ~ Ml' donc M ~ Tl
donc T = Tl .
Corollaire 1.2.13 :
Si i
f C V 3 f, alors dans une classe de f -cothélDries,
il y a au plus une théorie
f-modèle-complète, appelée le
f-modèle compagnon
\\:Af
de la classe ; lors' qd il existe ,le
f-modèle-compagnon
est le T
de sa classe.
Démonstration :
..., f cV] f
> f c 3 VI f
dore
v.., f est symétrique.
Si Tm f
est le
f-modèle-compagnon, ell'3 est
f -inductive (1.2.11),
'T'm
d one .f
C
T~f
, mais comme elle est maximale, on a Tm
= TV3f
(c q f d )
f
Applications: le cas f=V
est étu~ié par P. HENRARD
[9]
n
. Les cas
f
= A (k,p) ou
f = As U As-l
donnent des résultats nouveaux, notamment
le théorème 1.2.AO renforce un résult~t de J.L. PAILLE~.rlO]

-
25 -
CH/PITRE
2
ELlMINlTlOI'! DES QUlNTIFIClTEURS
Ayant à notre disposition la théorie des
r-extensions, nous nous posons
le problème suivant: sous quell~s conditions les formules de l'algèbre de Lindenbaum~
Tarski d'une théorie T sont-elle équivalentes, ou minorées par des formules consis-
tantes avec T, qui se conservent par passage aux
r-extensions ; c'est-à-dire par
des formules de
3 r
? ( r et
T de mêm~ langage). Cela nous conduit à étudier deux
cas, qui se dédoublent chacun selon que l'on considère les énoncés seuls, ou l'
ensemble des formules, soit:
..
..
§ 1
r -élimination des quantificateurs pour les enonces ;
§ 2
r -élimination faible des quantificateurs pour les énoncés
§ 3
r - élimination des quantificateurs
§ 4
r -élimination faible des quantificateurs.
Définition 2.1.1
Une théorie T (de même langage L que r ) admet la
r-élimination des
quantificateurs pour les énoncés , si pour tout énoncé cr du langage L, il existe
un énoncé ~
de
3 r
tel que
Tf-
(
(f)
~~cr).
Définition 2.1.2 (Cusin)
Une théorie Test
r-quasi-complète ssi pour tout modèle Ml et M2
Théorème 2.1.3
Une théorie T admet la
r-élimination des quantificateurs pour les
énoncés ssi Test
f-quasi-complète.

- 26 -
Démonstration
Si T admet
la
r-élimination des ~uantificateurs pour les
é non c é s, pre non s !! 1 et r 2 de u x m0 d è 1 es de T tel que Hl -< r
M2 s i
a est un énoncé de L,
i l existe un énoncé ~
de ~
r
tel que
T~,
«[ ~~ a ) , on a donc :
a
Inversement
si Test
r-quasi-complète,
et que a
est un
~nonc~ de L, il n'existe pas de mod~le de T"J { cr } qui a une
r
- ex t en s ion m0 d è 1 e de T U
{ 1 a
}
don c
(T '1 {
a
}}J
« T'J {, a }) n V, r )
V,
n'est donc pas consistante'
i l existe donc un énoncé
1/! de
r
tel que
(T
{ , a})1- 1/!
et
(, ; {a} )~I 1/!
: on en tire que T'" Cl1/!
~~ a
)
e t e n po san t
(rl
= ..., tP
an a
{~E"lT
(c.q,f.d)
§
2
-
~~ __ [:~~!~!~~I!Q~_~~!~~~_~~§_9~~~I!~!~~I~~~§_~Q~~
LES ENONCES
Définition 2.2.1
Une théorie T admet
la
r-élimination faible des quantifi-
cateurs pour les énoncés,
si pour tout
énoncé a
consistant avec T,
i l existe un
~r -énoncé v
,consistant avec T tel que T ~
(
l,"l
"'a ) •
Théorème 2.2.2
.
lune théorie T admet la
r-élimination faible
des quantifi-
cateurs pour les énoncés s8i elle est maximale dans sa classe
de'
r-cothéories.
Démonstration
Si T admet la
r-élimination faible
des quantificateurs pour
les énoncés et
si
a
est un énoncé qui ne se déduit pas de T,
alors T U {a}
n'est pas une
r -cothéorie de T .
en effet dans ce
cas, TU
{ : a }
est consistant,
donc
i l existe un
=!r
-énoncé,

... 27
.
tO consistant
avec T tel que TI-
« ( ( \\
~'a ). Si M est un modèle de
T!J
{l,f)
}
,toute
r-extension de t4,
modèle de T,
est modèle
-, a, donc,
M n'admet pas de
r-extension logique modèle de T
1i{a}.
Inversement,
si T est maximal dans
sa classe de r-cothéories
et si a
est
uh énoncé consistant avec
T,
alors T'J { -, a}
est une
extension propre de T,
ct n'est
donc pas une
r-cothéorie de T,
donc
i l existe un \\:1 r -énoncé
tj.J
qui se dédui t
de T ! { -: a}
et ne se déduit
pas de T,
donc
:ljJ
est consistant avec T et T ~n 1jJ -+ a
),
en posant
(f)
= 1tj.J , on a:") ( lr
et
le résultat désiré.
(c.q.f.d)
Théorème 2.2.3
;Soit r
et
~ deux ensembles de formules de L, T une théorie
l
:
Ide L, pour i
= l, 2,
.~
dési~ne la classe de r.-cothéories
... r .
b
1
l
de T ;
on a
~
alors
1- si
c ' - r 1
1- si de plus Vi r 1 c ~r2 alors les conditions suivantes
!
équivalentes
;
1sont
i)
i l existe une th~orie T'
de
qui
est maximale
'r 2
1
1 dans sa classe de rl-cothéorie.
1
:
~r
ii) T
. 2(cf Théor.
1.2.7) admet la
rl-élimination
des quantificateurs pour les ~ r
-énoncés.
2
~r
i i i )
toute extension S de T
.
2 dans sa classe de r l
-cothéorie est dans
''c r 2
i v)
le s t héor ie s maximFll e s
de ~:r
sont max imales
2
dans leur classe de
rl-cothéories.
Démonstration
- r
cr
:.>
V!r
c: \\.'ï
._.
' .
r 1
,
donc
si T' E
1
2
l
T ' n VI r
~. = T n VI r 2 ",,> T 'n \\- -:;r [;'
= T n 'r'1 r
2
"
~
1

- 28
- on montre que
i -+ ii -+ iii -+ iv
-+i
=lf 2
Soit $ un
~r2-énoncé consistant avec T
, il existe un modèle M de
=Ir
, en tant que modèle de T - 2, M admet une r 2-extension qui est
modèle T', et qui satisfait
$
, donc T' 1 {$}
est consistant, T'étant une
théorie de
'-1:- r
maximale dans sa classe de r 1-cothéorie, le théorème 2.2.2
2
nous donne : il existe un =1 r 1-énoncé If' tel que T' ~ (l' .... $
, mais (n -+1/J
est un
3 r 2-énoncé (car T
(n E'
\\-'1 r 1 donc 1 If' F.: ::1 r 2' donc, (!')I $
est de la forme
-+
-+
-+
-+
::1 x
3 y (1<.r'(X) v
$'(Y) avec $' E r
et
2
(f"
Er?) ;
Puisque T' 1- l{\\ .... $
on a (T'U{ (,,1) .... $}) n\\-II r 2=T 'n \\;:' 1 r 2 et comme T' E ~
2
on a Tr cT' et (T ') { lr-+ $ }) nVI r 2 = Tr
donc (T
J {ffl ....$} )nvi r 2 c T r
' ce
r
2
2
2 3r 2
2
qui implique (T
U {q- .... 1J!})n\\-'1 r :: T r
et ( (~W)E T
• On a donc montrer que
r
2
3 r 2
2
~r
2
T
~ «(!'l-+ 1J!) avec (T'
J (f
)
consistant et (!' E
r l'
::Ir
~2
ii ., Hil Soit S une extension de T
2 telle que sn VI r l::T
n Y'l r l' il
=1 r 2
=Ir 2
faut montrer que sn\\:'I r ::T r 2=T
n
2
\\'1 r 2) comme T r 2 e T c S, i l
suffit de montrer que si
(l'est un \\-'Ir 2-énoncé tel que S 1- (f
,
alors
=Ir 2
;:l r 2
=Ir 2
T
... (f' • Supposons que T
,J.
(l' alors,
T
U { 1 «'}
est consistant, et puis·
=Ir 2
,
que
1gest
un =1r
'"
'"
2-enonce, i l existe un
~r 1-énoncé W tel que T
~ ~ ....1 (1'\\ )
=Ir
(cf H) avec T -
2 1 {1J!}
consistant.
=1 r
Soit M \\:
T·
2 V { 1JJ }, M a une
r l-extens1.on logique M tel que ~1' ... S et M' Ç="$
on en déduit que M' ~
1 v~
et
donc S li Ir
Hi -) ivl Soit K une théorie maximale de r-( r 2' K peut s'étendre en une théorie
maximale S dans sa classe de r l-cothéories. K étant une théorie de ~r 2
3r 2
(K
'T
)
€
~r (théo. 1.2.7) mais K étant maximale dans'~ , cela implique
=Jr 2
2
::Ir 2
r 2
T e K , donc S est une extension de T
, de plus on a que K est
::Ir
r l-cothéorie de T
2, donc S aussi, et le Hi) implique que SE î:
et donc S::K
r· 2
iv ~ i l Trivial
(c.q.f.d)

-
29 -
Définition 2.3.1
Etant donné un ensemble r
de formules, de L, une théorie r èu langage
L,admet la
r-élimination des quantificateurs, ssi pour toute formule ~ (x ... x )
1
n
i l existe une formule ([' (xl ••. x ) f
(
n
:::l
r t elle que T J- V xl ••. xn
(f' ++ ~
) •
L* désigne le langage obtenu en ajoutant à L une infinité dénombrable
de constantes (a.).
; ~
désigne la clôture de T (théorie de L) dans ~ ,
l.
l.< w
et r* désigne l'ensemble des formules de L* obtenu en remplaçant dans chaque
formule de r
, des variables par des constantes a ..
l.
(i. e
r* =
ri) .
Remarque
r auto- induct if .. r * auto- induct if
Théorème 2.3.2
Une théorie T admet la
r-élimination des quantificateurs ssi T* admet
la
r*-élimination des quantificateurs pour les énoncés.
Démonstration
Soit
~ (al' .. ' ,an) un énoncé de L*
, al' .• ' ,an étant les constantes
propres à L*
, apparaissant dans 1)1
• Si T admet la
r -élimination des quantifi-
cateurs, alors il existe une
:::l r -formule
T
1-
"
x
»
1 .•• x
(<p (xI' .•. 'x )
++
1)1
(xl'."x
on a donc aussi
n
n
n
T*!-
lr(a ···a )
.•. a ).
1
n
++ 1!J (a1
n
Inversement, soit
1)1 (xl •.. x ) une formule de L, si T *
admet la
n
r* -élimination des quantificateurs pour les énoncés
il existe un énoncé
j
constantes a •.. a
n'apparaissent pas dans T, on a aussi
1
k
T 1-
\\i xl·· .x
»)·
k ( <p (xl·· .x )
n
++ ~ (xl·· .xn
(c.q.f.d)

,
-
30 -
'.
Théorème 2.3.3
Une thaorie T admet la
r-élimination des quantificateurs ssi Test
r - modèle- complète.
Démonstration
Nous montrons que Test
r -modèle-complète ssi T *
est r* -quasi-complète,
et le théorème 2.1.3 nous donne le résultat.
- Si Test
r -modèle-complète, soit deux modèles Ml et M de T * tels
2
que Ml "r *M , ~\\
et M sont aussi des modèles de T tels que Ml <r. M
2
2
2 , donc
Ml
-< M , et on en t ire que pour tout énoncé
((J
(al •.• a ) de L*
2
k
Ml
1= <.p(a
~I.p(a1· •. a
1 • •• a ) ssi M
)·
k
2
k
Inversement, si Ml et M sont des modèles de T tels que Ml "r t1
et
2
2
si T*
est
r-quasi-complète, alors, soit
~{b1 ••• bn) un énoncé de L(M ),
1
on peut interpréter les constantes (a.).
J. J.< (;)
an = bn , et puisque Ml <r M2' on a (Ml' IM11 ) -<r*(M2~ IM2l ) et de plus
(Ml IM 1 )1=
! )
1
T*et (M2 , IM '
' )
donc:
l
)1=
T* , donc (Hl' !M l
E(M ,
IM
2
1
Ml 1= (f(b1•· .bn ) ssi (Ml' 1Ml' ) F lO (al·· .an ) ssi (M2, l Mll ) 1=\\.V(a1 •• .an )
ssi M
1= tp{b
2
1 •• .bn )
donc Ml < M , ce qui établit que Test
r-modèle - complète.
2
(C.Q.F.D.)
Définition 2.4.1
Une théorie T admet la
r-élimination faible des quantificateurs ssi
-+
-+
pour toute formule
ljJ
(-+x ) telle que
=l x
ljJ
(x ) est consistante avec T, i l
n
n
n
-+
-+
.
.
existe une
::1 r -formule
(!'
(~ ) telle que =!x U' (x ) sOJ.t consJ.stante avec T
n
n
n
-+
et TI- \\lx ( ((' -+ ljJ ).
n

Soit
r
un ensemble auto-inductif de formU1GS,~
une classe de
r -cothéories ; nous avons établi (théo. 1.2.8) que si -; r c V
=l
r ,
alors la classe des V"" r -cothéories de T v:I r
est la classe des extensions
de T
V =t r
dans cer
. Maintenant nous allons supposer ..., rc
:1
r
Posons r 1 = V -, r
neus obtenons :
f
lemme 2.4.2
•t1
a)
r
c
r
; ..., r
c
:::Ir
et
r
est auto-inductif.
1
1
l
1
\\-' =11 r
i
1
b) de plus, si T
est la théorie r -inductive maximale de la
1
V ~ r
classe de r 1-cothéories de T
, alors la classe de V-,
r 1-cothéories de
..... ::J
r
V 3r 1
.
1
T
est la classe des extensions de T
dans "";.·r
Preuve
a) -, r c
=t r
....
r
c
v-, r
= r 1
-, r c ::1 r ~\\'..., r c V::J r ~ r c V=J r
1
-,
"...
r
c =l VI
r
1
=
::J
r 1
1
1
Donc toute
r 1-chaine (M.).
est une
r -chaine et on a H.. =!J H.
qui est une
,
J.
J.<.:y
l
•
J.
1
J.<'(
r
-extension logique de chaque M..
!
J.
!
On va montrer que ty
est une r 1-extension logique de chaque Mi. Supposons que
ljJ
= ...-""') r ,
1
(~) soit un 'J' 1 (Mi )-énoncé, tel que Hi f=1jI(~) puisque r1
l
,+
-+
.+
-+:
-+ -+
ljJ
(a) =V Y -, (f(yn,a) avec W (Yn'x) E r
si t
est un n-upple quelconque de
n
n
ry , il existe k> i et k <'( tel que Ef soit un n-upple de
n
-+
-+
-+
-+
-+
-+
1
et Hi ~ V Y ..., ll"(yn,a) on a M
~ \\-'Y '
,r- (yn,a) donc H
n
k
n
k
1
-+
-+
-, r c::::lr
, ce qui entraine quel
lp(bn,a) E:lr (~1k) donc
(t
M
1= -, lPÜ~n ,;) ~
M'Y 1= -, lû(b ,~), soit que M y ~
V
k
n
!
donc,
(c.q.f.d)
f
Mi
(r M'Y
1
'v3 r1
b) de plus, si T
àésigne théorie r 1-inductive maximale de la
classe de r 1-cothéories de T V :J r
alors, r 1 vérifie toutes les hypothèses du
V? r 1
théorème 1.2.8, et on obtient que la classe des V-, r 1-cothéories de T
est
\\I:;r 1
la classe des extensions de T
dans sa classe de r1-Ctthéorie.

-
32 -
v 3rl
V :;Jr
~ ~r 1
Or T
- est une extension de T
, donc si T'est une extension de T
,
v : = t r . . .
,
~3rl
,
0
c est une extens10n de T
, et
etre une r l-cotheorie de T
revient
à être une r1-cothéorie de TV 3r
, donc à être une
r ~~othéorie de T V =ir
o
d.J é
1
1
d
d
TV:' r
d
la
0
0
ce qU1 permet
~ cr1re que
a c asse
es extens10ns
e
ans sa c
sse
~~ r
~
der 1-cothéories est la classe des extensions de T
1 dans
... r 0
(c.q.f.d.)
Ce lemme nous permet de définir, pour r
auto-inductif et vérifiant
, une famille (r .).<
d'ensemble de formules de la façon suivante
1
1
00
r 0 = r
,
r . 1 =Vlr o
1+
1
et chacun des
r
est auto-inductif et vérifie" roc
3 r.
nous pourrons
0
1
1
1
poser :
3
T V r 1= {((' , énoncé de \\' ~ rI 1 T't':;J r~
(f
E
-e r}
V 3 r
\\' ~ r
'ri ::Ir
2 {
,
,
T
= ((' ,enonce de V::l r21 (T
1,J
Cf' ) et T
1 sont rI-cothéories }
\\13 r
={ lP
énoncé de \\' =Jr 2/ (T
1 0
V :! r.
et si T
1
= {U' énoncé de V =' r .I(!
1
v :1 r ':+1=
~~ r
'13 r .
0
on définit
T
...
{
,
, d U =l r i T
J... '''et T
.1
.
t
r
thé
i
<Il enonce
ev
i+1
v "
S01en
i-cO
or es
V=l ri
={ep énoncé de \\,::;Ir i+l/(T
;_U lf)E (~r }
Maintenant supposons en plus que, r
contient toutes les formules atomiques (donc
toutes les formules libres,) et considérons une c1asse~r
; posons, pour alléger
la
à •
't0
T
Ti +1_ T V3ri
TOO
~I {Ti l'E
}
net t 10n
r = r '
r
-
et
r
- J
r
1
00
Remarque 2.4.2'
..
1°)
rI = 'if I r
r
='11
r
2
rI =V3r = '1 2
r 3 =VI r = v lrc:
3
"'4r
2
r
-VI r
4 -
3 =v? r 2 = \\1 4 r

_. 33 -
Pour i = 0, 1, 2, ••. on a
r
=
\\)
r
2i
2i
,
...,
r
= \\'
r
c
r
2i+1
2i+1
2i
" 2i
Et puisque r contient toutes les formules libres, tout énoncé
lf
est un
Vn-énoncé, donc appartient à un
r
.
2i
De plus,
r i e
r +
pour tout i E w et chaoue
r i est clos pour A .
i 1
1.+l
2°) De part même la définition de r
t T
i e
r
pour i = 0~1,2 ..•
.~
i+1
v
étant donné) on obtient que T
est la théorie ri-inductive maximale de
r
r
sa classe de r.-cothéories et la théorie minimum de sa classe der. 1-cothéories.
1
1+
La classe de ri-cothéories de T~+l admet pour minimum T~
Lemme 2.4.3
T W
est une
r - cothéorie maximale de ~
r
r .
Preuve :
Chaque Ti
(
{;
et comme
ç(J
est inductif pour l'inclusion
r
r
r
déductive, T W E .e
. de plus, soit
Q
un énoncé de
r
L
, on peut toujours
r
)
,
,
supposer que
W
<P
est
V
- enonce, donc
tPEr
U
2i + 2
2 ·
T
{tp}E
1
+ 2 ;
si
~r'
r
nous avons T
w
c( ~ U {l::l} ) n '1-' r C (T
U{l!'})n \\JI r = T r
donc
r
r
r
(~i
::t)
2i .1,
U
{<p} ) E
puisque
I.!) E V 3 r
celà entraine
(,1 €
T
2i
r
r
r ce qui
W
montre que Tr
est maximale dans ~r

- 34 -
Lemme 2.4.4 :
Soit
r auto-inductif, Tl une théorie
r- s'tehle
et
~
~
G(x ) une
3f -formule. Si pour tout modèle Mde T et tout n-uple a
de M,
n
n
M a une
f-extension logique modèle de
T u{ e (! ) }
alors
n
~
~
T U
{V x
e(x )
} est une
f-cothéorie de T.
n
n
~
Preuve :
Soit M un modèle de T , et
{ a ,
/(}<;l.};l.E
On,
n (}
l'ensemble des n-uples d'éléments de M , on peut construire une
f -chaine
(M
)a < À telle que M = M et M
1 est une
f- extension logique de M
(}
0
a+
(}
~
modèle de T U { e (a , )
}
M = U {M
(} < y } pour
y
ordinal limite ,
ne-.
y
(}
~
Comme T e~t f-stahle et que les
e (a
) sont des
:If -formules
np
~
l'union M ;l.
de cette
f-chaine eST
modèle de T et de chacan des
e (a
) .
np
Cela montre que tout modèle M de T à une
f- extension logique M' modèle de T
~
et de
e (a) pour chaque n-uplet d'éléments de M
On construit alors, (M.)
tel M = M et Mi + 1 est une
f -extension
o
l. i
< w
~
~
logique de M. et modèle de T et de chaque
e (a ) pour chaque n-uple a
l
.
n
n
d'éléments de M..
L'union M
de cette
f-chaine est une
f-extension logique
l.
w
de M , modèle de T U {V ~
e ( ; \\ }.
o
n
n
Les lemmes précédents nous permettent de démontrer le théorème
fondamental de ce paragraphe.

-
35 -
Théorème 2.4.5 :
Soit
r
un ensemble de formules , auto-inductif, vérifiant
"1rc:::I
r,
Soit .ce r
une classe de
r-cothéories,
sa théorie minimum
et T une théorie de cG r
alors les conditions suivantes sont équivalentes
i)
T admet la
r-élimination faible des quantificateurs
ii)
T = T W
r
iii)
*
T
est maximal dans sa classe dG
r *-cothéories.
(T*
désigne la théorie engendrée par T dans
*
L
=LU(a.)
"
ou
J. i < W
les a. sont de nouvelles constantes , en quantité dénombrable ) .
J.
Démonstration: On démontre que i) + ii) + iii) + i)
i + ii) :
par récurrence sur i on montre que
Tn r.
::
, ce qui revient à montrer
J.
+ 1
que T n V:. ri = T~
- pour i = 0,
T f
~ ~T n VI r = T = T 0
.
r--7
.
r
r
- supposons -le vrai jusqu'à l'ordre i,
c'est-à-dire, pour tout j
T n \\fI r. =
J
T
,et
montrons que
T ,., VI r
= Ti +1
J
r
r
i+1
T n V"" ri + 1 = T n \\f ::1 ri est
r.-inductive et
J.
( T n \\il ri + 1 ) n Vi ri
=T.n'1~r.
(car r. c: r.
), donc
J.
J.
J. + 1
(T fi V 3 r.
1) n
cela implique oue T n VI r.
est une
J.
+
J. + 1
ri-cothéorie de T~
donc T n VI r i+1 c: T~ + 1 (qui est la r.-inductive
J.
maximale de cette classe)
Inversement, soit ~ €
VI r. "1 tel que (,0 ~: T
alors l
d\\ est
consis-
J.1"
-
y
+
+
+
tant avec T et peut se mettre sous la forme 3 x e
( x ) où a (x) E r.J. + 1 '
comme T admet la
r-élimination faible des quantificateurs il existe une ~r -
+
+
formule
,p (x) tel que T
1- \\ri
x (l/J ..... e) ~
l/J + e =: 'pv
e avec
1
1/J
€
VI r = r"1 c: ri +1
. et.
0-E r. 1 donc 'f + e €
r.
1 = VI r .
J.+
J. +
J. .
+
donc V x ( 1/J +0) E
VI r.
et
V ~ ( l/J + e ) € T n \\;II r. = T i
J.
J.
r
soit
M I=T
et M 1= l/J (!) pour un u-uple ! de M, M est modèle de Tir et toute

-
3G -
r-
-+
extension logique de M,m od.èle de
~odèle de '(n) ~onc de é(a),donc de
-+
....
3 x
e( x) donc de ., (/), cela prouve
et Ti
U {Ip} ne sont pas
r
r
h' ·
d
D
Tif1
-cot eor1es et
onc que
~ ~
r
Donc quelque soit i €
w T n r. 1
et comme toute formule
1+
Cl)
de L appartient à un
ri ' cela entraine que T = T
.
r
i i ... iii 1
Comme r
est
alto-inductif et vérifie" r c :::1 r , si *
L
et r *
sont définis comme au paragraphe 2.3, alors
r • est auto-inductif et vérifie
ï
r
r
1
* c:::l
*
, donc si
*
T *
désigne la théorie minimum de la classe
'r
* .
• .
de r
-cothéories de T
, on peut recommencer la même construction des Tr*1
*
Cl)
et on obtient ( T
*)
. Nous montrons alors, par récurrence sur i que
r
*
i
i
•
(T r*)
= ( T r )
Pour i = 0
on a
c
. ,. ...
T
T n VI r = T
r
.~
r
• c:: (T** )0
•
= T •
r
r
Inversement soit lp (!) E
. ....
T * .. Cf,) (a)
r
et
. ....
....
....
T 1-. li)
(a)
, donc
T 1- ~ (!) , ce qui implique T I-V x li) (x)
....
...
...
of
•
avec
VX ~(x)
E VI r ,donc
T
~
r
V x (p(x) , donc Cf,) (a)E
(T
)
r
*
0
Conclusion :
= (T • )
r
Supposons que la propriété soit vraie jusqu'à l'ordre
i
et
;
t
montrons que
(T +1) · = (T*. )i + 1
r
r
- Soit li) E T/ + 1
cela donne
~? E V 3 ri tel que (T~ UD ) E ~r
donc li) E V 3
*
r.
, voyons maintenant que (T· .)i U Cf,) E
1
i
•
r
•
[c'est-à-dire (T• .)
u ~ est une
r -cothéorie de T •
r
r
.
*
Comme
(T• Ac
r
)1 E~r. (T .)
i l suffit de montrer q\\le pour tout
r
M 1= (T*
)i
, i l existe MI tel que M~
• )i U tp
r·
• Ml et MI 1-= (T
soit
r
r·
.1 *
donc: M I=(T;*
)i = (T
)
M 1-= Ti
r
' on a
, donc il existe Ml tel que
r
M <r Ml et H' I=T~ U ~ ; en gardant la même interprétation des constantes
dans M' que dans M, on a que
• •
Ml
1= (T *
r
)1 U tD , dloù
(T'" *)
·r

-
37 -
(TT'i+l)* C (T*r*
)i+ 1
ce qui prouve que
Inversement soit ~ E
(T*
)i+l
r*
o$q)EV3
*
.. r. tel que <T*r*)i u ~ E~*( T*r* ); posons alors
~ .. ..)'
....
'"
i
....
~ = V Y e (a,y ou
(a,y) E ~ r
, et soit MI= T et (b,c) une suite
r
.. ..
.. ..
quelconque d'éléments de M telle que b et c sont de même longueur que a et y
....
. ,
respectivement; en interprétant les constantes (a.) de man~ere que b = a
~
..
..
i *
et c = a' , on transforme M en un modèle de (T )
( * )i
.
= T r*
qu~ a une
r
.... 4
*
*
.
~
r-extension logique
M' modèle de (T r* )~u V y e (a ,y), donc
*
.
M' 1=
(T r*)~ ute (b,6)}ce qui implique que Ma une r -extension logique
i
.. ..
.
M' 1= T U e (b;c) ; ceci pouvant se faire pour tout modèle Mde T~
et toute
r....
suite (b,c) de M, on en déduit (lemme 2.4.4) que
.. .. .. ..
.. ..,
v
..
-+
x V y e (x,y) E V 3 r
, cela implique
V xV
y
e
(x,y)E
Ti +1
,
r
.
....
....
.. ..
(
)
enf~n, V x V y
e
x,y
.. V ..
y
e : ....
a,y , ~mph.que que V ..
(
) . .
y e (a,y )E
*
. 1
.
*
Conclusdon
(T
*)~+
= (T~+l)
r
r
Pour achever la démonstration t soit
W
((>
E:
'T'
i l existe i tel
~r
que
i
. *
*
.
C
(T~)
*
w
l." E T
= (T r*)~ donc ([JE
r
(T r"')
,
ce qui implique que
r
(T
*
W )
w
r
C
(T r* )
inversement soit ~ E(T*r*) ~ il existe
i tel ~ E <T** )i = (Ti )*
r
r
donc il existe
ill
) *
(1)0
E T~ tel que
-+ ~, donc ~ E
(T r
d'où
(T ** )
c:.
(T Ûl) *
r
,
donc si (ii) on a
r
*
T * =
(T
(l\\
W
) * =
r
(T *)
et comme
r
(T*r * ).t.) est maximale dans sa classe de r *-cothéorie, on a le résultat que
\\.
T * est maximale dans sa classe' de
r *-cothéories.
Hi .... i
)
Si T
est maximale dans sa classe de
*
r-cothéorie, alors
*
T
admet la
*
r-élimîbation faible des quantificateurs pour les énoncés(théDr.2.2.2).

- 38 -
Montrons que cela implique (i) . Si 0 (x ... x ) est une formule
1
n
de L telle que T U{3 x ... x
e}est consistant~ alors
*
T U 0 (a ,,,.,a ) est
1
n
1
n
consistant.
Il existe donc un énoncé ,p
(al' .• a , a
1 ... a) de
=J
r*
n
n+
p
tel que
*
T
U tP
(a ."a ) est consistant et
*
T
1- tP (a ,."a ) ..... 0
1
p
1
p
déduit que
3 r-formule consistante avec
T telle que
[ 3 x
1'"
x
tP
..... e J
n+
p
donc T admet la
r-élimination faible des quantificateurs.
(c.q.f.d)
Puisque de part sa construction même, T;
est unique dans
sa
classe de
r-cothéorie~ ce théorème nous apprend que dans toute classe de
r -cothéorie (avec
r-vérifiant les conditions du théorème)~ il y a une et
une seule théorie
qui admet la
r-élimination faible des quantificateurs.
En posant r
l'ensemble des formules sans quantificateur, et Tune
théorie de même langage, nous savons~ grâce au théorème de caractérisation
de R. 'CUSIN
[ 5 ]
que la forcing-compagnon de T, Tf
est une
r -co théorie
(ou simplement cothéorie dans ce cas) , qui admet la
r-élimination faible
des quantificateurs ; donc pour ce
r
, c'est cela oui justifie
que~ étant donné une classe de
r-aothéories ( pour
r-auto-ioductif et
w
vérifiant ';r C ~ r
)~ T
sera appelé le
r-forcing-fini-compagnon de T.
r
, .
w
De plus dans une classe de
r -cotheor1es~ T
est la seule
r
candidate au titre de
r-modèle-compagnon car si T admet la
r-élimination
des quantificateurs~ elle admet la
r-élimination faible des quantificateurs.
En posant r=v n~ on retrouve les théorèmes établis par P. HENRARD.
Pour
r = A s '.J As-l, ou'
r--
A
l
th"
d
t d
l'
11
1 1 .
ll(k~p)
es
eoremesonnen
es app 1ca-
tions intéressantes~ et certains résultats de BENEJAM~ tandis que le théorème
2.4.5 nous conduit à la notion de s-forcing-fini-compagnon~ et celle de (k-p)-
forcing-fini- compagnon~ d'une théorie.

-- 39
2 è'm e,. Pt RTl E
:
! FORCING ET CL/'SSES DE STRUCTURES i
..- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
C. Hf PITRE 1
•
Dans
[1 3
A. ROBInSON
.introduit un forcing appàlé couram-
ment "forcing infini"et dont neus nous inspirons pour donner la définition
du
r- forcing.
§ 1
DEFINITIONS ET PROPRIETES GE~ŒRALES
Définition 1.1.1
Soit r
un ensemble de formules, auto-inductif, contenant les
formules atomiques et négations d'atomiques et ~
une classe de structures de
même langage L que r . Pour une structure M€
~
et un énoncé cp E
L(M),
nous définissons la "relation" M force
p
relativement à ( r, E
), notée
M IF
(r,~) cp de la façon suivante :
- si <.."
est atomique
MF (r,E) cp ssi
M 1,= cp
- sicp = <Pl "CP2
M II=(r,E)<I' 1"
tf)2 ssi r-. (r,E) tr1 et MI- (r,E)tf' 2
-tp = ([11 v (1'2 : HII= Cr ,E) (r' ssi M 11= (r ,E) (('1 ou
M 1= (r ,E) U'2
appartenant à 1: , on a M' lAI! (r ,E)tP •
~
~
+
-tf) = ~x tP(x ) , M~ (r,E)
ssi il existe
a, n-uple de M tel que
+
M l=
tP (a).
Cette définition dépend de r
et de E, mais s'il n'y a pas d'ambiguité
nous dirons simplement "lit force <p': et noterons i'!·1 :1= tO 1:
Comme nous le verons dans la suite, en prenant r , l'ensemble de
formules libres, on retrouve les forcine infini de A. Robinson [
13
] ,
de
plus, avec ce même
r ,et
E = la classe des restrictions finies à l'isomorphie

"- 40 -
près, des modèles d'une théorie T, on retrouve le forcing finie de A. Robinson [13]
Nous montrerons aussi qu'en prenant pour ~
la classe de restrictions finies
des
multirelations M S où 11 e~ 1 '"ârité de" S sont -donnés et pour
r
l'ensemble
des formules du langage de M et des formules élémentaires en~a(S attribttable" ~
à
a) on retombe sur un forcing semblable à celui de R.. Fraissé. Pour le moment
donnens quelques propriétés générales du forcing ainsi défini.
Théorème 1.1.2
Etant donné
r
et
~
nous avons
a) soit M E ~ et M'E
r, M -< r M' (!) (L(M)
si M!!: (n
alors W 11= •
b) on ne peut pas avoir M IF lret M~~ ..., cp.
c) si M 11=
w
alors M!F"''''' (J).
d) si M 11=11"l (f)
alors M!I= ..., 
Démonstration
a) Far
induction sur la complexité de
~ •
- si
est atoITlique
M 11= l.,O
~
H 1= ~ '"'~
H' 1= I.J' ~
I()
~1 11=
-
(M
11= <Pl 1\\
(P2)"'~
(M IF '''1 et M!F
(r' 2) r"~
(M' 11=
M' 11= tp1
1\\
(1)2
- M 11=
Ifl
v
ql2" (même dér.:onstration)
1
- M 11=
::l z
I/J
(x)
0:>
M IF
,p
(a)
è
1P
IF
I/J
(a)....
~1'!1= ~ x I/J (x)
- M 11= ..., tp ~
aucune
r -extension logique de i1 ne force ln , donc aucune
r -extension logique de M' ne force 1(\\
donc M' 11= ""'1 (0
b) par induction sur la complexite de la formule.
c)
M 11=
(p
donc toute
r -extension logique de M force ID
donc aucune ne force ..., LP, donc 11 11="" ..., (1) •

- 41 -
d) M 11="", l
q>, si M 1t1 '(1)
,
i l existe donc M' tel que
M .( r M'et M' /1=
(0
,
donc H' IF!"" If) , ce qui est contradictoire avec le
fait que M 11="
-, cc.
e) soit cP E L{M)
- si CC
est atomique
M 1= (1)
ou M 1=, <0 donc
H 11= ln
ou
M 11=..., '"
•
- si
<p e:et
(1)1
"(°
i l existe M', M
2
..(r
M'et M' U=
(,"1 ou M' 11=,(,01
si M' 11="1 (Pl' alors M'II=,
{«(\\1
"1(2) si M'II= lP1' i l existe Mil tel que
M'
.( r M" et M"II=
«'2 ou M" 1= "1-1'2' si M" 11=..., (Jl2 alors M' 11=...,
ltn1" (1)2) si
M"II= <0
, donc M"II= ([)1 " (02·
2
tr
est
(~1 v
(['2
même raisonnement.
=, •,
"1[)
soit M 11= ..., TP ou i l existe M', M .( r M' tel que M' te TP •
(c.q.f.d.)
Théorème 1.1.3
Soient r et
r donné comme dans la définition 1.1.1 ; supposons de
plus que
r
soit clos pour les sous-formules, alors pour tout MEr et tout
(('
(X) de r , si (â)
- soit
I.P de la forme <Pl (;t) "ce 2 C!c),[ resp. '.0 1 (x) v
2{x)]
tel que
la proposition soit vraie pour ((l1 et <p 2' alors si MEr
et a est un n-uple
de M, M Il=tp ~) ssi
M IRDl{"E:) et MII=<P {!)
[resp
MII=CC1 ou M!F
<P2]
2
ce qui équivaut d'après l'hypothèse d'induction à
MI= cel{!) et MI=
<P2(1)
[resp. M 1'90
ou M 191'2
,donc équivalent à M 1= tp (!).
1
- soit tp
= 3 Y TP
tx;}r) tel que l 'hypothèse est vérifiée pour
TP
(~,y). Si M fret 1 E 1Hln
HII=::J y" (!,y) ssi i l existe ~ de M
tel que M II=TP
(1,~) donc ssi MI=1JJ (!,~) qui équivaut à MI=3YTP (l,y).

\\!
-
42-
- sieo (x) =l
ljJ (x)' l' hypothèse étant vraie pour ljJ
(1c), si MEE
...
n
et a E 1MI
a) si MlF ~), quelque soit M' E J.
, M~r M', alors
M Il;l
ljJ
(à), donc M'
1=1 t/J (~) ~ M l=1ljJ Œ) et donc HI= (n(~)
(3) si MI= t.p (~) alors ou M IF
r.p(~), ou bien il existe M', tel
que 11 .( r
M'et M' 11= ljJ (~), mais alors M' .F ljJ (~) , or lr"(a)E r (M) et MI= <p a),
implique que quelque soit t1', r-extension logique de H, M' 1= lP (1) ; contradic-
tion, donc on a li 11= t(' (~).
(c.q.f.d.)
Corollaire 1.1.4
Si
r
est clos pour les sous-formules et si
E est donné, pour
0+-
(t)f='
tout lC
"-_
r , et tout HE E , et a un n-uple de M,
-+
-+
M
1= «(1( a)
ssi
MlF lf'(a)
Preuve
Si
r est clos pour les sous-formules, alors 3 r aussi l'est, et
comme toute r-extension logique est une 3 r-extensi6n logique on a le résultat.
En posant quelques conditions naturelles sur
r , on peut introduire
une généralisation de la notion de structure générique, de théorie forcing
compagnon et obtenir pour r
les résultats relatifs au forcing infini de Robinson
ou relatifs au n-forcing du à Henrard. Nous n'allons pas insister sur cet
aspect dans le présent travail, nous nous contenterons de rappeler les résultats
sur le forcing infini de Robinson ( § 2 ) et sur le forcing fini du même
auteur ( § 3 ).

- 43 -
~ § 2
FORCING INFINI EN THEORIE DES MODELES
Dans
[13], A. Robinson introduit la notion de forcing infini en
théorie des modèles, que l'on retrouve en reprenant la définition 1.1.1. avec
r
= l'ensemble des formules atomiques.ou négations d'atomiques; en effet dans
ce cas la
r-exention logique est tout simplement l'extension au sens habituel.
Définition
1.2.1.
Soit l
une classe de structure de même signature (attribuable au
même langage
L), pour
ME l
et
<p
E L(M), on dira
M
force .. p
relat~vem~nt f
à
l
(M 11= (j»
ou simplement
M force
(j)
(M
11=
(j) ) s'il n 'y a pas d' ambi-
l
guité, pour simplifier
Pour
(j)
atomique :
M 11=
(j)
ssi
M
11= (j)
Pour
(j) = <Pl " (/)2
M 11= (j)
ssi
M 11= (j)1
et
M 11= (j)2
Pour
~ = (j)1 St <P
M ,,. qJ
ssi
2
M 11= (j)1
ou
M 11= (j)2
,
Pour
(j) =
1/1
M
11= (j)
ssi pour tout
M' E I:, tel que
Mc
M' ,M' 1IfJ' ~
Pour
(j) = 3n I/I(x)
M 11= :~, si il existe
a €
lM]
tel qae
M 11= 1/1 (a).
Remarque
(,
On voit aisément que pour r
égal à l'ensemble des formules atomiqu~s et
négations d'atomiques, on retrouve la définission 1.1.1. Donc on a naturellement
toutes les propriétés générales données au théorème 1.1.2, en remplaçant
.( r
par
c:
soit:
a)
Si
M €
1; M' €
I: , tel que
M c:
Mt alors pour tout
(j) E
L( M)
M 11= (j)
implique
Mt
11= (j).
b)
On ne peut avoir
M 11= (j) et
M
11= -: ([) •
c)
M 11=
(j)
implique
M
1I="l .., (j)
d )
M fta: ..,..,.., (j)
ssi
M
1I="l q>
é)
Pour tout
M E I:
et tout
(j)
€
L( M), il existe
M' €
I: tel que
M c:
M'
et
M'
11= (j)
ou
Mt
1I=1(j)

1
- 44 .-
!
Le corollaire 1.1.4. devient
si
tp(~) est une formule existentielle l
....
f
(un seul bloc de quanteurs en
3), pour tout
~1 €
I:, et tout n-uple
a
de
M
....
....
M
IF
q>(a)
ssi
M 1= ~ (a).
Définition 1.2.2.
f1
Une structure
M E I:
est ?énérique pour
(ou générique s'il n'y a f1
pas d' ambiguité), ssi pour tout
li' E
L( M), M
IF
q>
ssi
M 1=
lP
Théorème 1.2.3.
Etant donnée une structure
M de
I: , les propriétés suivantes sont
équivalentes
:
1)
M est générique pour
I:
2)
Pour tout
lP €
L( M), si
M 1=
(,?
alors
M IFi ilP
3)
Pour tout
cp
E
L(M)
M 1= (4)
ssi
MlF "l"l 1 v q>2 '
....
....
x
1/1 (x)
pour
~ =! 1/1
on a :
M 1= l1/l
~ M IF -;"l"l 1/1
c:>
M IF :1/1
""
M IF
<.p
Inversement si
M
IF l(l
alors
M
IF i 1/1
d'où
M1- -i 1/1, car sinon
M 1=
. 1/1 •
implique Ml=1/Ipuisque la propriété est supposée vraie pour
1/1.
Donc
1)
<~ 2)
1)
Q
3)
Supposons 1)
- si
M 1= ~
alors
M IF
lIl., donc
M11="l"1 lP
- si
MlF''''' tpalors
M
I~
l' lP
d'où
M 1=
tp

- 45 -
3)
• 1)
trivial car
nous avons donc
1) ~
2)
~ 3)
et nous allons prouver que
1)
~ 4).
5). 1)
ce qui achèvera la démonstration
1)
... 4)
trivial
4)
.. 5)
pour tout
li'
€
L( M) ~ M 1= li' ou
M1= ï
li' •
donc d'après
4)
M 11= li' ou
MIl=i li'
5)
.. 1)
Par induction, facile sauf pour
lP = 11JJ
MII="".~
M 1f7t 1JJ
( d'après
5) )
<~ non 4wf 1= 1JJ)
~
MI="l1JJ
Etant donné
I~ soit
r*
la sous-classe des structures génériques pour I~
Théorème 1.2.4.
r*
vérifie la propriété
g21: pour tout
M et
M' ~ de
r* , M c M'
implique que
M L... M'
Démonstration
...
quel que soit
((J(a) E
L( M)
...
...
M 1=
lP(a)
•
MI~ ~(a); (car
(M €
I*»
...
oô
M'II= (l)(a)
~ M'l=lP(-;), (cal' Ml E r*)
Théorème 1. 2 • 5 •
Soit
(Mi) i < Ô
une chaine de structures génériques pour
l
si
U
M.
est dans
1: ,
alors
U
M.
est générique pour
l
.
J.
J.
i< Ô
i < ô
Démonstration
D'après 1.2.4. la chaine
(M.)
. ô
est une chaine élémentaire~ donc
J.
J.<
pour tout
j :
M. -<
U
M.J.
J
i<ô
soit
tP €
L( U M.) ~ i l existe
i
tel que
<p €
L( M. )
et
M. 1=
li'
ssi U M./=«)
J.
J.
J.
J.
donc si
U M. 1=
lP
~
M. IF
li'
J.
J.
..
U N. 11=
cp
C::.Q.F.D.
J.

-
45 -
,
A partir de maintenant nous supposerons que
~
est une classe inductive
de structures (i.e. la réunion d'une chaine quelconque d'éléments de
~
est
dans
~), c'est en particulier le cas si
est la classe des modèles d'une
théorie inductive (i.e. axiomatisée avec des énoncés en
V3 )
Sous cette condition, nous avons
Théorème 1. 2.5.
~*
est cofinal dans
~
(i.e.
tout
M de
~
est restriction
d'une générique)
Démonstration
Soit
M E ~
et
une énumération des énoncés de
L(M),
construisons une chaine
(M.)
que
M
i<a telle
= M et
M. It= -; <;>. (a) ou
1.
o
1.
1.
M• It= "l lP. (a )
soit
M(l) = U
M.
nous avons, pour tout
tp
€
L(M),
1.
1.
1.
i<a
M(l) E ~
et
ri 1) It= \\'J
ou
MO) It= l' (Pl
et nous itérons la précédente
construction de manière à obtenir
M(l), H(2), •••
.... , en posant
M
nous savons que
M*
est générique pour
~ et M c M (C. Q. F. D.) 1
Théorème 1.2.6.
Si
~
est inductive
~*
est la seule sous-classe vérifiant
gl)
~*
est cofinal dans
.r
g2)
si
M €
L* , M' €
~*
et M c: H', alors
M
L... M'
g3)
soit
M
E ~
, si quel que soit
M' E L*
..
M c M'
M
< r1' , alors ME L*
Démonstration
Etant donné
~
inductive, les théorèmes 1.2.4. et 1.2.5. montrent que
~* a g2 et gl ' montrons que ~* vérifie
Soit un
MEL
tel que pour tout
M' E: .r*
M c M'
~ M', nous allons
montrer qu'alors, M est générique pour
.r, pour cela il suffit de montrer que
pour tout
<,0
E L(M)
M 1= lP
~ M I~ ~, ce qui se fait par induction, le seul
cas non trivial étant
q?
=.., $.

-
47 -
Soit
M 1= 11/1 , et montrons que quel que soit
M'
E r
tel que
M c
M',
M' 111
1/1
puisque
r* est cofinal dans L, i.l existe M" tel que M' c: M" ce qui
entraine
M ...(,
W'
,donc
Mli IF l
1)J
,
cela implique
Ml' IF .., 1/1
et donc que
M'II;
1/1
Denc
r* vérifie gi ' g2 et g3
Montrons après l'unicité. Soit
r* et
r*1
deux sous-classe de
r vérifiant
Par induction on établit que quel que soient
M E r*
et
Ml
E ri ' et pour tout
n.
M
"*
M -<
M
n
Si n
= 0 c'est trivial
Supposons vrai pour
n, et soit
M E r* et
Ml E ri
avec
Mc Ml ' on a alors
nous donne
M' E r*
tel que
Ml c
M' , donc
Ml -< n
M'
mais alors
entraine que
M -< Ml ~ donc
M-< n+1 Ml
on fait de même pour
Ml cM
0:"> N
~
M ; en conclusion quel que Boit
M E r*
1
n+l
fM
Ml ..
M <- Ml
C
..
Ml c
M
Ml -< M
donne alors
r*= r*
(C.Q.F.D.)
1
Etant donnée une théorie
T du langage
L
et
TV
étant sa coth6rie minimum, nous
posons
r = Mod (TV) = classe des modèles de T~
T
={M/M est une sous-structure d'un Qodèle de TJ
.... .
•
Une s truc ture
Mf~
." sera dite T-generl.que SSl. M est générique pour rT
( i. e .
M €
r; )
Dans
[13
]
A. Robinson a montré que LT est la seule sous-classe de L
vérifiant
T
(g'3) : si pour deux structures
M et M', on a
M .(
H' ct
alors
Une preuve simple de cette propriété est donnée à l'aide de théorème d'amalgamation

,!!~
- 48 -
Définition 1.2.7.
Etant donnée une théorie
T,
la théorie engendrée par
l'ensemble des énoncés de
L, dont lô négation
f
n'est forcée par aucune struc-
ture de
I
est appelée le forcing compagnon de
T, pour le forcing infin~ et
T
notée
~.
Rappelons brièvement quelques propriétés de
Tg
Théorème 1.2.8.
~ = Th (I~) et ~ est une cothéorie de T.
Définition 1.2.9.
Un opérateur compagnon est une fonction (
)c
qui a une
théorie
T associe une
théorie
TC
telle que
..
(cl)
TC
Tl n \\'1 = T n '11
= TC
2
1
2
(c )
T
2
n "ft = TCn V1
(c )
T
3
n \\'2 C TCn \\/2
Théorème 1. 2 .10.
l'opérateur
(
)g
est un opérateur compagnon
Théorème 1.2.11.
Si
T admet un modèle-compagnon
yu , alcrs Tg = Tm
Si
Tg
est
x-catégorique pour un cardinal infini X , alors
Tg
est modèl-complète et est donc le model compagnon de
T.
Si
I*
est une classe élémentaire
Tg
est le modèle-compagnon
T
de
T.
Théorème 1.2.12.
Tg
est complète ssi
T
est filtrante (i.e.
a-filtrante)

-
49 -
§ 3 - FORCING FINI EN THEORIE DES MODELES
Dans ce paragraphe nous rappelons brièvement les propriétés du forcing
fini introduit par
A. Robinson dans
[12].
Soit
L = L(P
"'P
,C)
L(A) = L(P
..• Pk ' C u A) est une
1
k
1
expansion normale de
L si
A est un ensemble infini
de constantes et
A n C = 0
Soit
T une théorie de
L et L(A)
une expansion normale de
L.
Une condition de
L(A)
relative à
T est un ensemble fini
P
d'énoncés élémentai-
res de
L(A)
tel que
T ü P
est consistante.
U(T,A)
désigne l'ensemble des conditions de
L(A) relatives à
T.
Définition 1.3.1.
Si
P E
e( T,A)
et
«.\\
est un énoncé de
L(A), on définit
plI- (j) (f> force q»
par induction sur la complexité de
<oP,
i)
Si (,0 est atomique,
P II- ((l si
q€
P
ii)
Si
IP = ljJ
1\\
1jJ2 , P
11-
c"' si
P 11- 1jJ1 et P 11- 1jJ2
1
iii)
Si
~ = 1jJ1
v 1jJ2 , P 11-
li' si
F rI- 1jJ1 OU
P II- 1jJ2
iiii) Si
\\tl=3xljJ (x), P
il-
l;') si
il existe une constante
a
de
L(A) telle
que
P
II-
ljJ(a)
V)
Si
(j) = '1 ljJ
, P
II-
<p si
quel que soit
Q
::J P,
(Q €
U(T,A» Q Il;' 1/1
Remarques
1)
Cette notion de forcing est indépendante de l'expansion normale
L(A) choisie
2)
Il découle de la définition que :
i)
Si
P II- tP, alors
P
117"""'1(;')
ii)
Si
P II- (,0 et
Q ::J P, alors
Q II- lP
iii)
([)
++ ljJ
(mod L(A»
n'entraîne pas
P II- l.O
ssi
P II- ljJ
On dit que
P
forae faiblement,
P
*
II- l~ , si
Si,
P II- lD
alors
P
*
11-
tp, mais la réciproque est fausse
prendre
P = 0 et
~
= 3 x( p.(x)
v:3 P.(x) ).
1 1 '
Néanmoins; si
tp ="l 1jJ,
P II- 1.,1) ssi
P
*
!f- 1::'

- 50 -
Au lieu de prendre pour condition un ensemble fini d'énoncés élémentai-
res de
L(A), consistant avec
T, on peut considérer comme, ensemble de conditions,
fl( T)
la classe des restrictions finies de modèles de
T (ce qui revient~u même
l
que de prendre les restrictions finies d'éléments de
~T) ; on définit alors le
f
forcing fini de la même façon que ci-dessus (cf
[ 13
]). Cela prouve que le forcing 1
fini en théorie des modèles peut être réduit à un
r-forcing avec
r = ensemble
1
de formules élémentaires de
L et
~
= e( T) .
Définition 1.3.2.
Etant donné
T une théorie de
L,~, l'ensemble des énoncés de L,
faiblement forcés par ln condition vide est une théorie consistante ( [1] ), qu'on
appelle !,orcing f:i~~.~co;"":'pac~on de T .
Théorème 1.3.3.
L'opérateur
( )f est un opérateur-compagnon, c'est-à-dire
Etant donné
T
- Tf
est une cothéorie de
T
- quel que soit
;
•
Tl
cothéorie de
T,
ri =
- T n "1
c
Tf n "'1
2
2
Définition 1.3.4.
U ne structure
M E I
est ~-:.~-génériqu:..
T
ssi quel que soit
<p
E
L( M) ~
M 1=
l.P
ssi i l existe une restriction fini
P c
M telle que
PH- tp
Théorème 1.3.5.
Si
L est un langage dénombrable et
T est une théorie de
L il
existe une structure
T-f-générique. De plus, pour toute condition
Pt relative
à
T, i l elriste
M, Ô!lf-générique telle que
P c D( M) •
f
Toute structureT.~générique est un modèle de T , mais la réciproque est fausse.
Les modèles de
Tf
qui sont T-f-générique sont caractérisés par :

- 51 -
Théorème 1.3.6.
Un modèle
M de
~ est T-f-générique sii M est un modèle
complétif de
Tf .
..
Alors : Tout modèle de
Tf
est T-f-générique sii
Tf
est modèle~complète.
Dans ce cas
Tf
est' le modèle compagn,~p de
T.
Théorème 1.3.7.
Si
T
,
.
d'
f
n
cst une theor1e de langage
enombrable, T
=
Th (M.)
1
i
avec
M. , T-f-générique.
1
Preuve
Si
M
est T-f-générique, M.... : Tf et
~ c Th(M.)
donc
~ c n Th(M.)
1
1
.
1
1
avec
M., T-f-générique.
1
Si
~ est un énoncé de L et Q ~ ~, il existe une condition P telle que
P
; soit
M. T-f-générique avec
P c D(M). alors
M I=~ <.p et
1
<.p ~ Th (M.).
1
Corollaire 1.3.8.
Si
L(T)
est dénombrable,
T = ~ sii
T est la th€orie
de ses
modèles complétifs.
Remarque
i)
la caractérisation donnée à partir du corollaire 1.3.8. dans [
5 ]
d'une
théorie forcing compagnon, a permis une construction des structures génériques
à l'aide d'un théorème d'omission de types, sans utiliser la notion de forcing
Théorème 1. 39.
Pour toute théorie
T
de langage dénombrable, il existe une et une seule
sous-classe iFT de
L
tel que :
T

-
52 -
i)
T et Th OF )
sont des cothéories
T
ii)
lFT
est la classe des modèles complétifs de Th orT) .
Du corollaire
1.3.8., il résulte que
lF
est la classe des structuree
T
T-f-générique et que
;
= Th ( lFT).
Grâce à une oonstruction de lF
' sans forcing
H. Simmons
[
16]
fournit
T
une construction de
Tf
sans forcing. Par ailleurs, comme nous l'avons signaler
dans la première partie (ch.2 § 4) en prenant
r = ensemble des formules sans
quantificateurs, on retrouve la construction de
Tf
due à P. MEl!rtARD [ 9 ] ;
donc :
Théorème 1.3.10
Etant donnée
T, de langage
L, Tf
est la seule cothéorie de
T qui
admet l'élimination faible des quantificateurs (i.e. toute formule consistante
avec
T et minorée par une formule existentielle consistante avec
T) et ;
est maximale dans sa classe de cothéories.
Remarque
Toute théorie
T, inductive et maximale dans sa classe de cothéories
est forcing-complète (i.e. égale à son
~), et il en est de même pour tout
opérateur compagnon, c'est-à-dire si
T est inductive et maximable,
et si
(
)* est un opérateur compagnon, T = T * corollaire~la théorie inductive
maximale associée à
T
, .
••~- maximale dans sa classe de octhéories ssi
tous l~s opérateurs compagnons coincident sur cette classe.
Théorème 1.3.11
Si
T admet un modèle-compagnon
~ alors ~ =;
inverse-
ment si tous les modèles de
Tf
sont des éléments de
~T' alors ;
est le
modèle compagnon de
T.
Théorème 1. 3 .12
Si
T
et
Xo-catégorique, ;est Xo-catégorique et modèle-
complète.
Problème : peut-on remplacer
X
par
o
X ?
a

-
53 -
Enfin, les résultats suivants ne seront nécessaires dans le dernier chapitre
pour la comparaison du forcing en théorie des relations et en théorie des modèles.
Soit
L', le langage obtenu à partir de
L
en ajoutant un nouveau prédicat
cr
et soit
T'
la théorie engendrée dans
L'
par une théorie
T
de
L,
mT)
et
aT')
désignent respectivement les restrictions finies de modèles de
T et
de
T'. Nous avons :
Théorème
1.3.13
- Pour toute condition
U de
U(T) et toute relation
S
attribuable à
cr
et
définie sur la base de
U,
US
est un élément de
U(T'), et inversement
pour toute condition
U' de
U(T'), la restriction
U'/L
de
U'
aux relations
attribuables à
L apparti€nt
à
~(T).
- Si
(p
est une formule dans laquelle il n'y a pas de
cr ,et
U'
une
condition de ~ (T' ),
U'
If-
t;')
ssi
U'/L
Preuve
- Si
~
est atomique
U'
If- 'f' ~
u' 1= <.;:'
~
U' /L 1= ({)
- Si l.p = tiJ
A1jJ
ou
(facile)
1
2
- Soit
~ = 3 x ~(x)
avec la propriété vraie pour tout
U' E
U(T') et
tout
~(a) E L(U'),
U'
If- (,,1) ~ i l existe
a Elu' 1
tel que
U'
If-
~(a)
~ U'/L
I~
~(a)
<---.
U' /L I~
3x
t/J(x)
avec la propriété pour tout
U' e: U( T' )
et
t/J
; nous
posons
U' = US
avec
U = U'/L
U'
Ir ~ ~~
quel que soit
U' extension de
U' ,
U'
lit t/J
. Supposons alors que
U' If-
l,f
et qu'il existe
U extension
-
-
de
U telle que
U I~
t/J
, posons
S
, une extension de
S
"a la base
de
-
-
U ,
U S
est une extension de
U'
qui force
t/J
(puisque
U
I~ t/J ) , d'où
..
contradiction, donc
U'
If- ..,
t/J
U' /L
Ir
~ 1jJ •

-
54 -
Inversement si
U' IL = U 11- "lljJ~ alors quel que soit
U'
extension de
U' ~
U'/L
est une extension de
U qui ne force pas
ljJ
donc
u' II-t
1/1
donc
u'
Il-! 1/1
(C.Q.F.D.)
Corollaire
1.3.14
Si
T,f
est le forcing-compagnon de
T' dans
L'. alors la restriction
de
T,f
à
L est la théorie
Tf.

- 55 --
C Hf PITRE 2
FORCING EHTHEORIE DES RELI'T10NS
Partant d'une ~ultirelation H, de langage L, R.FRAISSE
introduit
dans [
7
une notion de Forcing sensiblement différente de celle de A. Robinson,
à l'aide d'un prédicat supplémentaire a . L'objet essentiel de ce chapitre,est
d'une part, de comparer ce forcing, que nous appelons~ forcing en théorie des
relations, au forcing en théorie des modèles, d'autre part, nous apportons quelques
solutions partielles aux problèmes posés dans
7
1 relativement aux forcing
en théorie des relations.
§ 1 .• DEFINITIONS ET GENERALITES
Soit t1 une multirelation réalisation du langage L = L(P1, .•. ,P )
k
et a un prédicat n-aire, n quelconque, 'l' appar'tenant pas à L. Soit L' =L lJ {a}
L'(M) c'est le langage obtenu en ajoutant les constantes de !B! à L'.
~ sera appelé prédicat générique, ,èt une formule de L' (M) sera dite M S-for:nule
ou Ma- formule;
Un Ma-système P est un ensemble fini consistant d'énoncés élémentaires
de L'(M), ne faisant intervenir que le prédicat a • S'il n'y a pas d'ambiguïté,
on appellera P un système.
Si P est un Ma-système, Q est un sursystème de P, si. Q est un
Ma-système et pc Q. On le notera pc: Q.
Si P eet un M a-système et S est une réalisation dea définie sur IMI,
S 1= P sii
P c
D( S) •
Remarque: Si P et P' sont des Ma~ystèmes, pl' P' ne l'est pas nécessairement,
car PU P' peut être ;inconsistant. Si P n P' = 0 , alors P -, P' est un Mo-système.

-
56 -
Abus de langage: Si MS = (E, R1, ... , ~,S) est une réalisation de L=(L(Pl, ••• ,Pk' cr)
et
~ est une MS-formule, on écrira indifféremment ~= ~(Pl' ••• 'Pk,a)
ou
On identifie
M avec l'ensemble de constantes de L'(M).
Définition 2.1.1
Si P est un t-! a-système et l,n
un énoncé de L'(M), on définit
P force (+) lt')
(P
Il '+ (1) ) et P force (-) ~') (P
II-: (n), par induct ion sur la com-
plaxité de (0 , de la façon suivante
i)
si cp est atomique
P
!~ tD sii quel que soit S 1= P, us 1= <r
P
II: =
..
P
''+
sii P H:
lfl
1/1
P
11-: 1{'
sii P
''+ lfJ
iiii) si cp = 3 x 1/1 (x)
p !'+ (,0
sii i l existe a EIM 1 tel que P !'+ 1/J(a)
P 1': C!>
sii quels que soient P ,::) P et a E! l'f 1
P' !ft 1/J (a).
Les autres connecteurs logiques sont définis de façon booleene etV x 1/1 (x) est
cons idéré comme une abréviat ion de"'l3 x'l 11 ( x) •
Remarques
[7 J
la form~lation est légèrement différente, mais
n'entraîne guère de différence dans le fond avec la présente formulation.
2°) Si
~ est une formule élémentaire et ne contient que le prédicat
a
, alors
P I~
sii t"
E
P et P
Il: <p
sii'" «'
E
P.
3°) Si ln E'L(M), alors quels que soient
a
et le ~b -système P,
P
''+ t,0 sii MI!='CIJ ; donc s'il existe un système P tel que P ""+ l') , tout système Q
force (+) cp

- 57 -
40 ) Quels que soient la formule (r' EL' (M) et le M a - système P,
P
11 +'+ sii P "+ ,,(~ et Pli: 'f sii P Il: -, I<p.
50) Soient
(r',
1fJ
formules de L1 (M) et P un M a -système~
n'entraine pas
P Il+r=T 1JI •
Exemple : soit
(0 = a
(a)v -, a (a) , 1JJ =V x a ( x)v 3 x -, a (x). lP et 1JI
étant des
thèses de L', <p ++ 1JI
• Soit P = { a(a) }
P 'I:j:- lI' , mais P lit V x a
(x) et
P
I~ 3x-'
a(x) , donc P I~ 1JI
•
Propriétés Elémentaires
2.1.2
(voir [7 J ).
Soit ~
un énoncé de L'(M), et P un
M a-système, alors,
a) P ne peut forcer (+) et forcer (-) la même formule.
b) si P II-:- cp
(resp. P Il:- '() ) alors quel que soit Q;:)
P , Q If:; <p
(resp
Q
J~ cp).
c) Pour tout énoncé lD
de L' ([-1) et tout ~1 a -système P, i l existe
Q ~
P tel que Q 'l:j:-tPou Q I~ lO •
d) une thèse n'est jamais forcée (-), et si on a
1JI ++ Hl
avec
P 'I:j:- tp
alors i l existe Q ~
P tel que Q
''+ 1JI •
Proposition 2.1.3
Soit M une mUltirelation, S une relation quelconque définie sur IMI
et
(r. une MS - formule existentielle ,(r'E 3 ), Alors MS
!= ~ sii il existe
1
P c
D(S) tel que
P Il:j:-
~
Preuve
Soit
ID
élémentaire
s'il existe Pc
D(S) tel que P ,~ ~
MS
1= ~ , car S 1= P •
• Si MS
I=tr et Cr"
est une M-formule, M1= (n est alors P ''+ tr"quel que
soit P.
• Si
(f' est une S-formule,
E D(S), donc P= {(0)c D(S) et 'p ''+ (f).

-
58 -
Si
1.1)= ~ 1 " 1/J 2
et MS
1= <r , f1S 1= 1/J 1 et MS
:= 1/J 2 alors il existe
Pl c D(S) et P
r-:D(S) tel ~ue Pl P+'./J
et P
Itt1/J
alors P
'tt
2
:J
P
1
lI)
•
2
2
1
2
S'il existe Pc D(S) tel que P 'tt(Ol et P Itt
(()2' alors MS 1= (['.
Soit(r:3x1/J(x), avec1/J(x) libre et Pc:D(S). Alors P I~«(\\ sii, il
+
existe a
EIHSI
telqueP Itt1Jl
(a) siiilexisteaE'~1SI tel que MS
l=1/J(a)
sii MS
le- qJ •
(c.q.f.d.)
Si
(D est un énoncé universel «r E \\1 1)' la proposition n'est pas
nécessairement vraie : soit M une multirelation réduite à sa base èt S relation
unaire définie sur lM 1 tel que S(x) = + pour tout x E lM 1 • Alors MS
1= VxS(x),
mais 'fi xS (x) n'est forcée (+) par aucun système P.
Proposition 2.1.4.
Soit f1 une multirelation, S une relation quelconque àéfinie sur lM 1 et
<p
une MS-formule inductive «nE '1 ). Alors MS
l=<r entraine que quelque soit
2
Pc..
D(S), P lit <c.
Preuve: Compte tenu de la propositionl1~et des propriétés de cohérence, il suffit
de montrer que si l'énoncé est vrai pour 1J} (a) , il l'est pour<D ='1 x 1/J
(x).
Si MS
1= (~ , alors quel que soit a E i MsL HS
I~ (a) e~ quel que soit P cD(S),
P IIf1/J (a). S'il existe P CD(S) tel que P !~ (.0, il existe a. 1MI tel que P I~. (a)
ce qui est contradictoire.
Remarques 2.1. 4
1) la proposition n'est pas nécessairement vraie si ~ 3
: soit
2
M = (Z,< ),Z ensemble des entiers relatifs muni de l'ordre na.turel et S relation
unaire tel que S(x) = + si
x> O. Six"'S(y),MS 1= (fi mais tout sys·tème
P force (-)
P I~ t""Sii quels que soient aE '~~; et F::J P, i l existe l:E' MI et 15::JP
tel que 15 I~ b> a ...
S(b) . Etant donnés P, aEI Ml
et P::> P, on prend b > a tel que
b ne figure pas dans 15 (possible car { x/x> al est infini) et on définit =P=p !Jn cr
(bn :
alors P I~
b> 8....
S(1) •
2°) La réciproque de la proposition est fausse, comme on montrera
par un contre exemple .

-
59 -.
Définition 2.1.5.
Etant donné un
Ma-système
P, la base de
P, noté Ipi ~ c'est
l'ensemble des éléments de
IMI qui apparaissent dans
P; un tel système est dit
complet, si étant donné un n-uple quelconque d'éléments de
+
1 a(a)
est dans
P.
n
Lemme 2. 1. 6 •
Tout
Ma-système est contenu dans un système complet et pour tout
énoncé
~ de
L'(M)
~ est forcé à
+
(resp (-»
par un système ssi il existe
un système complet que le force à
+
(resp (-) )
La preuve est aisée.
Lemme 2. 1. 7 •
Quel que soit l'énoncé
~
de
L'(M), et le
Ma-système
P,
P
Ir: tp
ssi
La preuve ressort de la définition.
Ces deux lemmes nous permettent, d'une part de ne parler que de forcer à
+ ou
forcer tout court. D'autre part, d'identifier les
M a-systèmes (complet) à des
restrictions finies de relation n-aires définies sur IMI : a chaque système complet
+
+
on associe la· relation définie sur sa base et valant +
sur
a
si
a(a ) €
P
n
n
J
'+
si '1 a(a ) E P.
n
Ainsi
Met a
étant fixés, a
étant n-aire, posons :
E
= {U' lU' est finie et U' c MS avec S relation n-aire quelconque } sur 1MI
Ma
A chaque U €
I
et de la forme
U S
correspond bijectivement un
Ma-système
Ma
o
0
P qui est le èiagramme canonique de S .
o
Pour tout
U E I
et tout énoncé
10 EL' (U) on définit
U
''+ q> de la façon
Mo
suivante
Si
<P
est atomique
U
''+ «J ssi
U 1= <P
- Si
«J
= W 1\\ W
1
2
U
1,+ «J ssi
U 1'+lJI1 et
U1 ''+ t/!2
- Si
tp
= It/!
U
1,+ ~ssi quel que soit Ü eKtension de U tel que
U E
I
, U
Ma
I~ t/!
Si
«J
= 3x tjJ(x)
U ''+ «J ssi il existe a E lui tel que
U
1,+
1/J(a)

\\,,
En prenant
r= ensemble des formules sans quantificateurs de
L'et
I: =I: Ma
on a
Lemme 2. 1. 8 .
Pour tout
U E L ct tout ~ E
L'(U)
U
11= {I)
ssi
..
UII- (L,r) tP
'
La preuve est immédiate.
Naturellement, pour
U de la forme
U S
on n'a pas,
U 1,+ <.p
ssi
o
So '1:; (()
0
car par exemple si
~(a) est un énoncé élémentaire de
L(M) vrai SUI" le seul
élément a
de
(M), quel que soit le
Mo-système
s ,S
II-
3x ~(x), mais si
0 0 +
on considère
U tel que
a e lui,
U i~ 3x
~(x).
Cependant le théorème suivant nous indiqué que malgré les apparences, la différenc~
n'est pas importante.
P
étant un Ma-système, Up
désigne l'élément
U S
de
s = P et U
o 0
o
0
est la restriction de
M
a
Théorème 2.1.9.
Pour tout énoncé
<'[J
E
L'On et tout
M -système on a
a) Si
Up
I~
tP , alors i l existe
P::::> P
tel que
P '1-.; tP
b) Si
P
II:;
<.p, alors il existe
P ::> P
tel que
U-
I~ (;.1
P
+
Preuve:
la relation
I~
vérifie les propriétés élémentaires d'un
r-forcing
en particulier
-
-
a) Si
U I~ 4' alors quel que soit
U::> U
U
11=
4':l
+
-
13) Quel que soit U etlPEL'(M), i l existe
U tel que
U cu
et
U
',+tPou
U ,,+""q>
la preuve alors se fait par induction.
- Si
(jJ
est atomique. U
''+
p
Q ssi
P
11- (;':l
- Si
q>
est de la forme
y "~2 ' ~lv ~2
ou
3x~(x) avec le théorème vrai
pour
~1' ~2
et w(a)
le passage est facile.
- Si
1.,0 ='l ~ ~ le théorème étant vrai pour
~, on a
1) U
p
1,+ q> <=1> Quel que soit
Up ::> Up
Up I~ ~
~
quel que soit
P
::>P
, D-p II:( w
-
<>.~
quel que soit
P :J P
P I~
1JJ
-
..:- il existe F =:> P tel que P 11-; lb

1
,- 61 -
-
...
2)
p
If- 
quel que soit
U
, U
p :::> Up
p
I~ 1Ji
-
-
il::::
~
i l existe
U
tel que
U
p
p
"+
lP
Définition 2.1.10.
Relation générale
Soit
M une multirelation et
0 un prédicat générique. Une relatiOn
S
réalisation
de
0
de base IMI
est générale pour
M sii pour tout énoncé lP de
L'(M) il
existe un système
p C D(S)
tel que
P
ihe ou
P
+'
Théorème 2.1.11.
Etant donné une multirelation dénombrable
M, un prédicat générique
0 et un
Mo-système
P, il existe une relation
sl= p
générale pour
M.
Preuve
Soit
(tPi)i € N
une énumération des énoncés de LI (M) on construit une
de sursystèmes de
P
tel que
Q.
1 c Q.
et
Q. It- (j1
,11 exis-
~-
~
~
i
tence de chaque
Q.
est donnée par la proposition 1. Soit
Q = .!J
Q.
et
~
J.l_ N
~
supposons on-aire. Comme tout énoncé de
L'/o
est forcé, quelle que soit
n
(al'"'' an)EIMl
, 0(a , .. ·,a ) E
Q
ou ""1 0(a ... a ) E
Q. Soit
S
la réalisa-
1
n
1
n
tion de 0
sur
IMI
tel que
S(a ... a ) = + sii
0(a ... a ) E Q et
1
n
1
n
S(a
sii 'l0(a ••• a ) E Q.
1 ··· an)
1
n
Alors
sl=p
et
S
est générale pour
M.
Définition 2.1.12.
Théorie forcée
Etant donnés une multirelation
M réalisation du langage
L et un prédicat géné-
rique 0 , soit
MO
l'ensemble des énoncés de
L = L U {o}
qui ne sont forcées
(-) par aunun Mo-système.
Théorème 2.1.13
M~ est un théorie consistante.

- 62 -
Preuve:
M est close pour la conjonction (définition du forcing ii) ) et
pour la déduction (corollaire 1) .
81.'
( Ma. l '
M
-.
~
, 1.
êX1.ste un
a-systeme
P
tel que
P Ir (;>, alors
P If- ~ l,O
et
+
a
.., c.p flM
, d'où la consistance de
Ma .
On appelle
Ma théorie forcée de
M et par a , ou théorie forcée, s'il n'y a
pas d'arnbigüité.
Les relations générales sont étudiées au § 2 de ce chapitre tandis que le § 3
est consacré à une analyse plus détaillée de la théorie forcée d'une multirelation

-
63 -
§ 2
- RELATIONS GENERALES
La plupart des résultats énoncés dans ce chapitre ont été établis
en collaboration avec Mme Suzana Berestovoy et M. Antonio Sette. Le détail des
démonstrations figure dans
[
3
J. Sauf pour le théorème 2.2.1., toutes les
multirelations de ce p~rag~aphe sont dénombrables.
Théorème 2.2.1. : il y a équivalence entre
i)
La relation
S
est générale pour
M
ii)
Quelle que soit la MS-formule
~, MS 1= ~
sii il existe P c O(S) tel
que
P
It:; q:>
Preuve
ii) implique i) est évident
i)
implique
ii) compte tenu de la proposition 2~.3 il suffit de montrer que si
l'énoncé est vrai pour
q>, il l'est pour 1 (,0
. MS ,- 1 l.P, quel que soit
P c
O( S),
P
I~ (,0
,
car
MS loF l.P , donc i l existe
Q c: 0(5)
tel que
Q
It:; Il{; (car 5 est générale pour M).
. Supposons qu'il existe
P c
D(S)
tel que
P
/1-1 t.P. Si
MS loF 1 tp
,
alors
+
MS
1= q>
et il existe
P'
c:
D(S)
tel que
P'
I~ l.P ; mais celà est impossible,
car alors le système
P
U P'
1":; l!l et P U P' ft:; IlP
Remarque:
ii) est encore équivalent à : quel que soit l'énoncé
q>
de
L',
MS 1= 1 tp sii i l existe
P c
D(S) tel que
P
It l.P •
Définit~n 2.2.2.
Une relation
S
est riche pour son arité sii quelle que soit
la relation
R de même arité que
S,
R <
S (i.e., il existe une restriction
de
S
isomorphe à
R).
Théorème 2.2.3.
Si
S
est une relation générale (pour
M quelconque),
S
est riche et homogène.

\\
- 64
cr
Corollaire 2.2.4. : Si
M' S' 1= M , alors
S'
est une relation riche et homogène.
(S' n'est pas nécessairement générale pour
M comme le montre un contre-exemple
donné dans la suite.
Corollaire 2.2.5.:
Toutes les reiations générales de même arité sont isomorphes. !
•
En particulier, si
S'et
S
sont de même arité et générales pour une multirela-
tion
M, S ~
S' ; mais
S ~ S ' e t
S
générale pour
M, n'entraine pas
S'
générale pour
M.
Théorème 2.2.6.
Soient
M, M' deux réalisations du langage
L, f : M~
Mt
un isomorphisme et
cr
un prédicat générique, Alors pour tout énoncé
(,0
E L' (M)
et tout
Ma-système
P, P
If--
l.p
sii
f(P)
11+(_)
f(q»
+( -)
Preuve : par induction sur la complexité de
~
Soit
(,0
atomique :
i)
Si
q>
est une M-formule, P
I~ ~ sii
MI= (,0
sii
M' 1= f«(,O) sii
f(P) 11:1(q», et
P II:" l.P
sii
M 1=1(Çl
sii
M' 1=
f(l~ sii
f(P)
II: f(q;)
car
fnq»
=1 f(q»
)
ii) Si
q>
est une S-formule, P II- Q sii
(9 E P
sii
f(<o) E f(P) sii
+
f(P)
1,+
f(1.;?),
et
P
II- l.;') sii -l\\n E
P
sii
f(P)
I~ f(lq»
sii f( p) II:"
f(q»
Si
(j)
= 1/J A 1/J'
ou
Q = -: 1/J, l'énoncé est immédiat. Si
q> =3 x 1/J(x) ,
P II- ~ sii il existe a E lMi
tel que
P I~ 1/J(a) ; P
I~
l~(a)
sii
+
f(P)
~ 1/J(f(a) ), alors f(P) 1,+ f(lp), car sinon, pour tout b E lM' 1 ,
f(P)
lit 1/J(b). De même si
f(P)
1,+ f(l.P), il existe a E IMi
tel que
+
f(P)
II-
f(1/J(a» , donc par récurrence
P
I~ 1/J(a) ; et alors
P
I~ l.P
+
Si
P
nt l.O , il existe
P' ::>
P
et
a
E IMI
tel que
P' ''+ tp (a)
par
récurrence
f(P' )
II-
f( 1/J(a) ) et donc
f(P)
lit f(q».
+
Réciproquement, si
f(P)
lit
f«(,O) , il existe
f(a) EiM'1
et
f(P') ::>
f(P)
tel que
f(P') If;
f( 1/J(a»
; par récurrence, P' ''+
(a)
et alors
P' lit q>.
Si
(Çl €
L, alors

·- 65 -
Corollaire 2.2.7. : Soient M, M' deux réalisations de
L, S, S'
deux relations
telles que
MS ~ M'S'et
S
est générale pour
M. Alors
S'
est générale pour
M' •
Corollaire 2.2.8 : Pour toute relation
S
riche et homogène, il existe une
multirelation
M telle que
S
est gén~rale, pour
M
Remarques
1) Si
M et M'
sont deux multirelations isomorphes de même base et
S
est géné-
raIe pour
M, S
n'est pas nécessairement générale pour
M'.
Exemple : soit
R relation unaire riche et homogène, et
S
unaire et générale
pour
R,
R ~ S. mais
S
n'est pas générale pour
S.
2) Dans le corollaire 1, on ne peut pas remplacer l'hypothèse
MS ~ MiS' par
MS • M'S', comme le montre ce qui suit:
i) Lemme 1
Soit
M = (E, ~) une chaine discrète dénombrable sans premier
ou sans dernier élément, et
S
une relation unaire générale pour
M. Etant
donnée une suite de
"+"
et
"- " quelconque,
S n
de longueur
n, il existe
a , ... ,a
' n éléments consécutifs de
E
tels que
(S(a ) ... S(a » = S n
1
n
1
n
(i.e.
S
réalise toutes les suites finies de
li +"
et
"_")
ii) Lemme 2
Soit
M = (E, <) une chaine, A une partie infinie de
E, et
S
une relation unaire de base
E. Si
A est un intervalle initial, un intervalle
final, ou un intervalle qui admet un supremum ou un infimum, et
S(x) = + pour
tout
x
E
A
(ou
S(x) = -
pour tout
x
E A), alors
S
n'est pas générale
pour
M.
Preuve :
Dans chaque cas, il existe un "
"
enonce 1/J
qui n'est pas forcé
(+ )
par aucun système et tel que
MS 1=
1/J.
Supposons
S(x) = + pour tout
x
E . A.
..
Si
A
est un intervalle initial,
1/J = 3 x 'TI Y (y
< x
SCy) )
Si
A
est un intervalle final,
1/J = 3x
Vy
(y > x .. S(y) )
c·
..,l.
A
est un intervalle qui admet un sup et un inf ,

- 66 -
Si
S(x) ::
pour tout
x €
A, on remplace, dans
1jJ, S(y)
par
-, S(y)
iii) Soit
M:: (N, oe;;;)
chaine des entiers naturels et
S
relation unaire géné-
rale pour
M ~ soit
M'S'une ultrapuissance de
MS. Comme
S
réalise des suites
finies de
H+"
de longueur quelconque,
S'
réalise une suite infinie de
"+",
que l'on peut construire admettant un sup et un inf.
Donc
S'
n'est pas générale pour
M' •
Comme
MS -< M' S'
cet exemple, du à H. POUZET. donne une réponse négative à un
des problèmes posés dans
[1]
MS
• M' S'
et
S
générale pour
M implique
S'
générale pour
M' ?
Le problème suivant reste ouvert.
Soit
M'S'
tel que
S'est générale pour
Ml et soit
MS
< M'S'
,alors
S
est-elle générale pour
M?

-
67 -
§
THEORIE FORCEE
3
--------------
A - MULTIRELATION GARNIE - MULTIRELATION POURVUE
Dans ce qui suit M est une structure dénombrable, de langage L, a est
un prédicat non dans L. Posons G
=
{MS / S est générale pour M l. Sans ambi-
Ma
guité G
sera noté G, ou Ga ou G
Comme M est dénombrable,
M
M tout simplement.
a
G nlest pas vide; Mf désigne la théorie forcée de M par a.
Ma
Théorème 1
Pr~l:1Ye
Soit (0
une MS-formule, alors
i) Si (,1) llTh(G)
, i l existe HS E G telle que MS
!= .., <.p , donc i l
existe IC D(S) tel que P l~ -, (,:J, alors P I~ <C
et <!l E[ M
ii) Si <.p E[
Ma , i l existe un M a_ système P tel que P I~ c.p, alors
P lr+ .., cp; soit S
I=P une relation générale.
On a MS
1= -, tP et donc lO fi. Th (G).
Proposition 2
Ma / L = Th (M)
r cf [7]
Définition 3
Soit M une multirelation réalisation
.de L, et tP(xl, ••• , x ) une formule
n
de L.
i)
cp(xl, .•. ,x ) est pourvue dans ~! sii A
= { (al •.. a )/H ~ (al •.• a ) }
n
- - '
-
<.p
n
n
est vide ou dénombrable
(si M 1= ~l"" ,x
~ (xl, ••. ,x ), alors A
est
n
n
<.p
dénombrable).
ii) M est pourvue sii quel que soit
tÇ
de L,
CD
est pourvue dans M.
Théorème 4
Si Ma
est complète, alors M est pourvue
(cf (14))
Définition 5
Une mult irelat ion M est garnie sii pour toute partie finie Ac. i Ml, i l
existe un automorphisme f de M tel que f(A)
ft A = 0 • Notons que M est garnie

- 68 -
sii quelles que soient
Al' A
finies
A. c M, il existe un automorphisme
2
1
f
de
M tel que
f (Al) n A = 0 , car si
M est garnie, il existe
2
f : M ~ M tel que
f(A
J A ) n (Al U A ) = 0 donc
f(A )
n
1
2
2
1
réciproque est évidente.
Cette définition a été introduite (sous la deuxième forme) dans [ 14] ,où
on montre aussi
1héorème 6 : Si
M
est une multirelation garnie,
MJ est complète.
Rémarques 7
i)
Si dans la multirelation
M il Y a un élément distingué, i.e. définissable
par une formule de
L, M n'est pas pourvue. La réciproque est fausse voir
[
14
] •
ii)
On n'a pas en général une caractérisation des multirelations
M telles que
M
soit complète, car les notions de pourvue et garnie ne coincident pas comme
le montre l'exemple suiT~nt communiqué par A.ROBERTY : Soit
M = (Z, c, U)
où
Z est l'ensemble des entiers relatifs, C, la consécutivité sur
Z et U,
une relation unaire symétrique par rapport à
0, et décrivant sur
Z+
(et sur Z-)
toutes les suites de
It+" et de "-" de la façon suivante :
On ordonne toutes les suites finies de "+11 et ", -" par longueur croissante, les
suites de la même longueur ayant un ordre quelconque entre elles, et on construit
sur
Z+: U(l) = + , U(2) = - entre
x = 3 et
x = 10 on range les 4 suites de
" +" et "_II de 2 éléments entre
x = 11 et
x = 34 on range les 8 suites de
n-1
,
Il +"
et "_" de 3 éléments. Si jusqu'à
x = p (où
p =
. i)
i~l
i
on a range
n
toutes les suites de
n - 1
éléments, entre
p+1
et p+n.2
on range
)
les
'f1
suites "-a
n éléments.
U(O) = -
et
U(-n) = U(n)
Jïl':<,~I-; tl+tl~·Ub.l1~
o
Les Il +"
et il_"
sur
i, donnent la valeur U( i) .
1°) M n'est pas garnie: le seul automorphisme de
M est l'identité. En effet
supposons qu'il existe un automorphisme
f
de
M différent de l'identité.
1

\\t
- 69
alors quel que soit
x E Z, f(x) ~ x , car les seuls automorphisme de
(Z,C)
sont les translations, soit donc
f(O) = n
avec
n> 0
et posons
(Pl"'"
Pn)
la dernière suite de
n "+" consécutifs sur
Z
avant
0 (en allant de
-1
vers 0) ; alors
(f(P1)"'"
f(Pn»
est une suite de
n
"+" consécutifs telle
que
(puisque
p
~
- 1) : donc soit
n
-
(f(P1) ••.• ' f(Pn»
est entièrement contenu dans
Z
, soit
(f(P1)"'"
f(Pn»
contient O;or aucun de ces cas n'est possible car
(f(P1)""
f(p » ne peut être
n
dans
Z
(P1, •.. ,Pn)
étant la dernière telle suite et
0
ne peut être dans
en conclusion, il n'y a pas d'autre automorphis-
me que l'identité.
2°) M est pourvue: quelles que soient
(a ...a ) n-uple de
Z, et (k,p), il
1
n
existe (b ... b ) dans
Z, telle que
=
1
n
(?J
et
CM, al'" an)
k.p (M, b1 . . .bn) , i. e . M 1= (al" .a ) sii M 1- q>(b ·· .b )
n
1
n
quelle que soit la formule
, avec
car
(q»
~ (k, p) .
Etant donné
(a .•. a )
et (k.p) , on considère l'intervalle minimal pour la
1
n
consécutivité, l = c ••• c
' contenant
1
t
(a1···an ) et l' = d1, ... ,d(p+1)k '
C( d . , d. +") = C (d'., d'. 1) = +
1
1
~
1
1+
d' ) = + (on ajoute
(p+1)k
1
éléments consécutifs "à gauche;l et "à droite" de
I).
Soit
C (e ... e ) la M-configuration de
l'
comme au-delà de tout élément de
Z
M 1
m
on trouve toute
M-configuration donnée, on considère
J = (e'l'"
e 'm) tel
de façon que, si
a.
est le p-ième élément de
l ' , b.
est le p-ième élément
1
1
de
J. Soit
f
un automorphisme local de
M défini sur
l' de codomaine
J,
alors la bijection
f(a.) = b. , 1 ~i~ n, est un (k,p)-automorphisme (V9ir [7] )
1
1
k ,p
et (M , a •.• a )
•
(M, b .•• b ), Cela
.ontre que quelle que soit la formule
1
n
1
n
q> (xl"
.x )
réalisée da"1s
M il existe deux n-uples disjointes de
n
Z qui
réalisent
tp( xl' .. x )
ce qui implique qu'il y a une infinité de
n
n-uples
différentes réalisant
tp:
ce qui prouve que
M est pourvue.

- 70 -
Dans
3
on montre :
Proposition 8 : Si
M est une multirelation pourvue et
~(x1... xn)
est réalisée
dans
M, alors il existe une infinité de
n7uples disjointes qui réalisent
~
dans
M.
Proposition 9 : Si
M est pourvue et
M'
5
M, alors
M'est pourvue.
Preuve: Si
M' n'est pas pourvue,il existe (j)(x ... x )
réalisé dans
M'
par
1
n
exactement
k n-uples différents. Alors
k
n
i
i
i
M' 1= "
x
"Iy 1 ... y n
x )" ( v
x. -;. y.) ~-hp(yl ' ' ' y »),
n
i=l
n
j=l
J
J
n
énoncé qui n'est pas réalisé dans
M.
Ce qui suit montre, compte tenu de l' ex,::mple ci-dessus, que
H
garnie et
M' =M
n'implique pas
M' g rnie.
Définition 10
Une structure
M
est un modèle saturé d'une théorie
T
sii
i)
M
1= T
ii) Quels que soient
n et le n-type cr; de
T,
mM) -;. 0
iii) Quelles que soient
(a ... a ),(h ... b )
de !Mi n , si
~a1' ..a )
1
n
1
n
n
= ~(b1 ... bn)
il existe un automorphisme
f
de
M tel que
f(a.) = b.
1
1
l~i~n
Lemme 11 : Si
M est une multirelation pourvue, il existe
M'
garnie, M' }M
Preuve :
Soit
T = Th(M) et HI un modèle saturé de
T, alors
M -< M' .
Montrons que
M'
est garnie : soit
A = {al" .a } une partie finie de
n
1M' 1
et cr; (al" .an ) = {cp. IM'I =(,j). (al' .. a ) }
Considérons
L' = L(T)
1
1
n
où
a.
est assigné à
a. et ë. -;. a. , 1 ~ i, j ~
n
1
1
1
J
et l'ensemble de formules de
L'
cI>
= HL = (,j) (â .. ·â ~(,j).(c1'''C)"
1
1
n
1
n
n
" "
Cl -;. a.
([).
E
(al" .a ) .
,
n
cI>
est finiment réalisé dans
M'
]
1
i, j=l
car si
H\\ ... 0 } est un sous-ensemble fini
p
de
cI>
, comme
P
M' 1= A
(,().(a ... a)
et
M'est pou:uvue, il existe
(b ... b )
telle que
1
i=l
1
n
1
n

-
71 -
P
P
{b .... b } Mal ... a } = (lJ
et
M'
1= A
(1). (bl ... b ),
donc
l1' 1= 1\\
~.
1
n
n
i=l
1
1
n
i=l
Alors
T
U~
estconsistant, comme
M'est saturé il existe dans
M' des
, tels que
(Ml, al ... a ,cl •.. c ) 1= ~
n
n
1 < i ~ n, i.e.
f(A) n
A = 0
Définition 12
Une multirelation
M est garnie sur
M' sii
M' c M et pour
toute partie finie
A ciM';
, il existe un automorphisme
f
de
M
tel que
f(A)
n A = 0
Théorème 13
Si
M
est dénombrable et pou~vue,
i l existe
M';> M,
M'
garnie et dénombrable.
Preuve:
Si
Th(M) admet un modèle dénombrable saturé, le théorème découle immé-
diatement du lemme 1 ; siDon, soit
M' garnie, extension élémentaire de
M. Consi-
dérons pour toute partie finie
Ac: : Mi
l'automorphisme
fA
de
M'
tel que
f(A) n A = 0
et définissons sur
1Ml
la relation binaire
RA
telle que
RA(x,y) = + sii
fA(x) = y. Soit
c = {al" .an ··} = IMI et A = {Al,···An ··}
l'ensemble des parties finies de
IMI
Si
M = (M', al'i.a ... , RA , ... RA
... ), L (Th (M»
est dénombrable car
c
n
n
et
A le sont. Alors
Th(M)
admet un moàèle dénombrable
N.
i)
M,,< N: si
(I)(xl ... xn)EL(Tn o-n, MI=t;>(al ... a ) sii
M'I=q>(al ... a )
n
n
car
Mo<{
M', et
H'1=(j)(al •.. a )
sii
N 1= (j)(al ... a ) ,car
NI= Th (M)
et
n
n
(j)( al' , . an)
E L( Th (M) ),
ii)
N est garnie sur
M: soit
A c!MI. A = {al" ,an}
alors il existe
n
bl .•• b
tels que
N 1=
n
1\\
(j).(b.), o~
~.(x) = RA(a.,x), alors
i=l
1
1
1
1
{bl···b } n{al,·,a }= 0
; et
RA
définit un automorphisme de
N
tel que
n
n
f(A) n A = ft'
tel que
Nl=N, et
N. >- N. 1
1
1-
garnie sur
N. 1 • Alors
lN
=
U
!J,
est garnie et dénombrable, et
ID > M.
1-
iE:JN
1

-
72 -
Remarque 14
L'existence d'une multirelation
M pourvue et non garnie telle
que
MO
ne soit pas complète donnera une réponse négative à la conjecture
posée dans
[ 7]
M5 Mi
entraine-t-il
Mf = M'O ,car on aura M' =M,
pour
M' garnie, donc
M'o
complète, sans que
MO
le soit, mais on ignore si
la théorie forcée de
M = (Z) c, U) est complète.
Nous avons le résultat suivant, qui est une solution partielle à cette conjecture.
Définition 15
Soient
M et
M'
deux strudures de bases
E et E', et un ordinal
a , un
a-isomorphisme
f
défini sur
FeE
dans
F'
El
est défini de la
façon suivante :
- tout isomorphisme local est un O-isomorphisme.
- pour
a ~1
et admettant un précédent
a-l, l'application
f
est un
a-isomor-
-
phisme si : quel que soit
F = F augmenté d'un nombre fini d'éléments de
E
-
il existe une application
f
extension de
f
à
F
qui est un
(a-1)isomorphis-
me de
M dans
M' ; et inversement en remplaçant
F, E, f, Met M' par
F', E', f-l, M'et M;
- a ordinal limite
f
est un
a-isomorphisme si
f est
s-- isomorphisme pour
8 < a
Définition 16
Deux structures
M et M' sont
a-équivalentes si il existe un
a-isomor-
phisme de
M vers
M'
; on le note
M'
et si
M
M'
pour tout
a
a
on dit que
M et M' sont co-équivalents notés
(M
= M'). Ces notions sont
cr
étudiées dans
(
7
] , nous retiendrons simplement que :
- tout
a-isomorphisme est un S-isomorphisme pour S ~
a
- si
f
est
a-isomorphisme défini sur
F de
M vers
M', il en est de même
pour
f
restreint à toute partie de
F.
- un isomorphisme de
M vers
M'est un
a--isomorphisme quel que soit
a .
...
Nous rappelons que
lul
et
désignent la base de
U
et
a,
et nous posons
L'on = (L' ( H) nVn)
(V (1) n 3n).
n

- 73 -
Proposition 17
:tant donné un entier
n
~ 1, deux structures
M et M' de langage
L,
...
soit
~(a) une formule de
L'
(M) et un
Ma--système
U, alors pour tout 2n-isomor-
n
phisme
f de
lui ~I~I
dans
M'on a :
U 11- 0(~)
entraine
f(U) Ir ~(f(~».
Preuve
Par induction sur
n
...
~,
... ...
-+
...
- pour
n = 1~
<.p(a)~tde la forme? y ljJ (a,y) ou
VyljJ (a,y)
...
-+ ...
...
-+
a) si
~(a) = 3y ljJ (a,y), donc
U Ir q(a)
implique : il existe
b
tel que
U Ir 1jJ(~,b), soit donc
f
un 2-isomorphisme de iUIU!~1
dans
M', il existe
donc une extension f
de
f
qui est un 1-isomorphisme de
IUIJ 1~1
U !bl
dans
M'
-+ -+
U U-
q:>( a) =>
U
1= ljJ(a,b)
~ f(U) 1= ljJ <f(a), f(n»
.....
f(U)
Ir 3y
1jJ(f(~) y), or f(U) = Hu)
j
-+
-+
......
b) si
<.p( a) = Vy (a ,y)
...
...
-
U Ir.- <.p(a)
quel que soit
b, quel que soit b
extension
U
de
U
il existe
une extension
Ü telle que
0
Ir
(~,b), soit donc f = un 2-isomorphisme de
lU! U
dans
M'et considérons un
M'a-système
Q', extension de
Hu) et
b
1
1
n-uple quelconque de
M', il existe une extension
f-
de
f-
de
Q' U b'
dans
M, qui est· un l-isomorphisme, donc
U = f"-l(Q')
est une extension de
U
=
donc il existe
une existence
U
de
U tel que
donc il
--=1 ··1
existe une extension
g
de
f
d
lU=':' f- 1
e
, 1 .1
(b')1
dans
M'
qui est
un O-isomorphisme, et on a
...
::
...
g ( U) 1= ljJ ( g ( a ) , b ' )
-+
...
or
g(a) = Ha)
g(Ù) = f(U) , g(Ù) :: Q'
et donc
g(O)
est une extension de
...
-+
Q'
qui est un
Ma-système tel que
g( ln
1=
ljJ(f(a),b)
cela prouve que
-+
f(U) Ir ~(f(a».
Supposons la propriété vraie jusqu'à l'ordre
-+
n et soit
t~(a )
E
U un
M -système et
f
un
2(n+1)-isomorphisme de lu,u/1i
dans
M'.

\\
- 74 -
~(1) est de la forme 3y ~ (1,y) ou
vy ~ (!,y)
où
~(!,y) est dans vn
ou
3n.
....
........ ....
a) si
~(a) = 3y ~(a,y)
ulr ~(1) ç
il existe
b tél que UI~ ~(~,b)
Il existe une extension
f
de
f
qui est un
(2n+1)-isomorphisme de
-
dans
HI,
f
est aussi
2n-isomorphisme et ~(a,b)
€
L (M)
n
et comme
........
U
donc
f(U) I~
3y~ (f(a),y).
....
....
.... ....
b)
si
~(a)
est de la fo~e
Vy ~(a,y)
....
-
U I~~(a)
ç
quel que soit
b
et quel que soit
U, extension de
U il existe
-
........
une extension
Ü
de
U tel que
U
I~ ~(a,b)
posons
Q'
une extension de
-1
-1
f(U) et
b' un p-u. 'pIe de
M', i l existe
f
une extension de
f
qui est
un (2n+1)-isomorphisme de
:Q'! Ulb' ~
dans
M
tel que
donc i l existe
1
alors il existe un 2n-isomorphisme de
;ül u if- (b)1 dans
M'
tel que
1
(donc
Q' c g(Ü»
et
g(f- (b ' » = b'
l"hypothèse d'induc-
=
....
tion entraîne que
g(U) It- JP(g(a), b')
ce qui entraîne que quel que soi~
l'extension
Q' de
f(U)
et
b', il existe une extension
QI = g(Ü) tel que
.... ....
........
Qi" Ir ~(g (1'>,b 1 ), donc que
f(U)
I~ Vy ~(f(a),y)
puisque
g(a) = f(a)
(C.Q.F.D.)
Théorème 18
Si
M .
M'alors
00
Preuve
Conséquence de la précédente proposition car si
~ ~ Mf alors il
existe
U, M -~stème tel que
U I~ 'ltp, donc
si
~ €
Vn
f(U) I~ l<p
pour un 2(n+1)isomorphisme
f .

,
.
/~,
..
t,
f
B - LE FORCING COMPAGNON DE Mf.
1
Cette partie concerne le résultat fondamental relatif à la comparaison
du forcing en théorie des relations
au . forcing en théorie des modèles.
M est une structure de langage L~ T = Th(M) sa théorie complète dans L,
T', la théorie engendrée par T dans L 'J
{o}
où 0 est un prédicat (générique)
non dans L.
Théorème fondamental 1
[8]
~f et T' sont des cothéories.
Preuve
D'après (7 J, T' c: ~f donc T' n VIc l.f n'Y 1 ; inversement soit
,
,
V xl ... x
(()(xl ..• x ) un enonce de rf
dans lequel
(IJ
(xl" .x
n
n
n ) est une
ki
k
formule libre ; t" (xl' •. xn ) peut se mettre sous la forme
1\\
v
A •• , avec
i=l
j=l
J.J
A.. fnrmule atomique ou nég ation d'atomique.
J.J
k.~
•.ai
( )
•
<. < k
..fJ
f-u
Sirn--
V xl",xn(()Xl",x
"X
v A •••
n
alors pour tout J., 1= J.=
, M
VX
n . 1 J.J
1k
J=
Il suffit donc de prouver que pour tout énoncé de la forme\\! xl"'x
y
A.
k
n j=l
J
avec A. atomique ou négation d'atomique, H9- V xl·"x
~
AJ'~ ( implique que
n
l
1=1
k
0,-
k
T' ~ V xl' •• x
v
A.• Soit donc M J "Ix"'x
v
A. ,
n
on suppose que pour
J
1
n
j~l
J
j=l
.
1
<
J=
, ••• , 1 =
k, A. n e contient pas de 0 et que pour j =l+l~..• ,k,A.
J
l
k
J
est en 0 ; posons alors A = v
A. ct B = v
A. ; la formule devient V xl"'x (A v B)
j=l
J
j=l+l
J
n
a) Supposons la formule telle que
pour tout n-uple (a, ••• ,a ) de la
n
base de M, si H
1="" A(a, .•• ,a ) alors B (a, ... ~a ) est une thèse [i.e il y a
n
n
~
~
~
~
un p-uple a
tel que s(a ) v ..., s(a ) occure dans B(a ) ] ; dans ces conditions~
p
p
p
n.
V xl'" x
déduit de T' ~ en effet, pour tout modèle M'5' de T'et
n ( A v B) se
tout n-uple ~,
de la base de H' 5' si M' 1= ..., ll(~' ) alors il existe un isorr.or-
n
n
phisme local f de H' dans H tel que f(~' n) est un n-uple an de ri tel que
MI=
..., A(a
~
n ) donc B(~n) est une thèse; de même, B(~'n) est une thèse, et
!
alors M'S'
1= B(a'n) ; donc quel que soit le n-uple ~'n~ M'5'!= (A v B)(a'n)'
\\i
donc T'
~V xl' "x
A YB.
n
!
1

\\
1
b) Si l'hypothèse de
(a)
n'est pas vérifiée, il existe un n-uple
M
tel que
Dans ces conditions, définissons le système
U de la façon suivante, pour tout
...
...
p-uple
a
de
{al' .... a }
, posons
O'(a )( U
si 1 O'(~ )
.
p
est dans
p
n
P
-
et
..
100(a ) E U
si 0' (~)
est dans
p
p
ainsi défini, force à - la formule
Yx ... x
A v
B, car quelle que soit la
1
n
relation
s
1= U
pas dans
MO',
ce qui est contraire à l'hypothèse. En définitive, si
y xl'"
x
(A v
B)
est un énoncé universel ~e
MO'
l'hypothèse
(a)
est
n
toujours vérifiée, donc
YX
x
(A v
B)
se déduit de
TT.-
1
n
(C.Q.F.D.)
Corollaire 2:
T,f
est le forcing-compagnon de
MJ
Preuve : immédiate
On a évidemment que
MJ
est forcing-complète asi
Mf = T,f
Corollaire 3 : Si
M
e
M'alors
sont des cot~éories.
Théorème 4 : Si
T,f c
MO'
alors
Preuve
T,f
est maximale dans sa classe de cothéories.
Théorème 5 :
Si
alors
T = yf
Preuve
Il revient au même de montrer que
T ~ Tf entraine
Ma ~ TT f
Comme
T = Th (M)
est complète,
rf l'est aussi [1] , alors si T ~ yf,
i l existe un énoncé lP
de
f
-
cr
L
tel que
T 1- <.p et
T
1- i lP, donc
M /- lP
et
T,f
1-
ItP ,car
MO'/L = T et
T,fiL = ~ .
Exemple: M = (N, <). Si
T = ThOn, ri = Th (Q, < ), donc
MO' ~ T' f
Remarques
6
a)
Le corollaire
1(t1éor. 5) entraine
MO' n V c T,f n V ' mais
T,f n 3
2
2
2
ne contient pas nécessairement
considérer dans l'exemple précédent
l'énoncé
tf) =3x Vy
(x<y). Ma 1- <.p
et
T,fl-ï lP

- 77 -
b)
Si
Th(M) = T 1 Tf , il existe une relation
S
générale pour
M telle
que
MS
n'est pasT~f'-générique, car si pour toute
S
générale
MS
est
générique,
c)
Si
T 1 Tf , lFT'
if:. G
dt donc
T cT,f
M,'!"; car
lFT'
'= GMO'",,> Ma c T' f
,
f
f
qui implique
T cT
donc T = T .
d)
Si
;
T ~
, Ma n'est pas inductive, car si Ma
est inductive
Ma
c TIf
;
et donc
T c
.
e)
Si
M est garnie et
Ma
inductive, alors
Ma = T,f
La réciproque du théorème
5
ci-dessus demeure un prob:èffie ouvert à savoir
.c:
pour
T = Th(M)
T = r
entraine-t-il
Ma
= TI f ?
qui peut être affaibli
T = Tf
entraine -t-il qu'il existe
t1 1
1= T tel
que
M'a = T,f ?
Des réponses à ces questions auraiellt des influences importantes sur la conjec-
ture de
R. Fraissé:
M == MI
co:>
Ma = M'a
Tant que cette conjecture ne sera pas résolue, il serait intéressant d'étudier la
théorie
Ta associée à une théorie de
T
de la façon suivante :
- Si
T est complète,
a
est une coth~oric de
T: et
Tt C
T, ce qui implique

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