Contribution à l'étude des solutions singulières de problèmes aux limites

THE5E
présentée à
l'UNIVERSITE de NICE
Pour obtenir le grade de DOCTEUR d'ETAT ès-SCIENCES
par
Côme GOUDJO
CONTRIBUTION à l'ETUDE des SOLUTIONS SINGULIERES
de PROBLEMES aux LIMITES
Soutenue le 31 janvier 1985, devant le Jury
MM.
C.BARDOS
Président
S.DELACHE
M.DURAND
Examinateur
P.FILIPPI
P.GRISVARD
A.PIRIOU
*

INTRODUCTION
Soit Q un ouvert de nn. Un problème aux limites dans Q est la résolu-
.
tion
d t une
équation
de
la
forme
Pu = f
dans Q avec
des
conditions
,
sur les
valeurs
de
u au bord aQ
de
Q,
P étant un opérateur aux
dérivées
partielles.
Pour
étudier
rigoureusement
ces
problèmes,
le
second
membre f
et
les
données au bord seront dans des espaces
fonctionnels appropriés et la solution u sera cherchée dans le même
type d'espace. Les espaces que nous utiliserons seront ceux de Sobolev,
isotropes ,et anisotropes construits sur L (Q) et L (Q) •
2
p
La
première
question
qui
se
pose
dans
l'étude
de
ce
problème
est
celle de
l'existence
et
de
l' unici té
de
la
solution dans
l'espace
considéré.
Une deuxième
question
très
importante
est
celle
de
la
régularité
de la solution.
.~
..
Obtient-on
une
meilleure
régularité
de
la
solution u en augmentant
'"'"
la régularité de f et celle des données au bord ?
'
; \\h
.Le
problème de régularité intervie~t par exemple en analyse numérique
pour
l'estimation
des
erreurs
dans
les
méthodes
d'approximation
de la solution u .
Ces deux questions ont été largement étudiées lorsque l'ouvert Q est
régulier
et
on
obtient
des
relations
précises
entre
la
régularité
de
la solution u et
çe l.Le des données suivant l'ordre et la nature
de
l'opérateur
P.
Mais
dans
la
pratique
interviennent
des
ouverts
non réguliers et alors ces résultats ne s'appliquent plus. Il apparaît
alors
que
u ne
puisse dépasser un seuil de
régularité quelque soit
celle des \\'données .
La troisième question qui se pose alors est de connaître le comporte-
ment
de
u au
voisinage
de
bord
de
Q.
On s'efforce
de
décomposer
u en une partie ayant la régularité voulue et une partie di te 'singuliè-
re
qu'on
explicite
au
mieux afin
d'en
faciliter l'utilisation dans
la pratique.
Nous
avons
étudié
ces
questions
dans
deux
situations
différentes,
l'une
où
l'opérateur
P est
de
type
elliptique
et
l'autre
de
type

2
parabolique
et
avons . tenté
de
faire
ressortir
une
analogie
entre
les résultats.
Beaucoup
de
travaux
ont
été
consacrés
à
l'étude
d'un
opérateur
elliptique dans
un ouvert
non régulier st de n2.
En particulier des
développements
en
fonctions
singulières
ont
été
donnés
dans
des
cas
très
généraux.
On
peut
citer
en
particulier
Kondratiev
(1),
Grisvard
(3),
Avantaggiati
et
Troisi
(1)
et
(2).
Par
contre
peu
de résultats ont été obtenus en dimension trois en particulier pour
le
développement
en
fonctions
singulières.
Dans le
cas
du dièdre
on peut citer les travaux de Nilcishkin(l) et Dauge (1).
n
Dans ce travail nous étudions le cas où st est un ouvert de E
avec
fissure,
P étant
l'opérateur fJ. de
Laplace
avec
des
conditions de
Neumann
sur
la fissure.
Nous plaçant dans
le
cas modèle
où st est
le complémentaire dans En de la fissure S où
+
x = (x", x
l' 0)
x
> 0 } ,
n-
n_ 1
nous
avons
obtenu
une
formule
de
représentation de
la solution u
grâce au calcul de Wiener Hopf en suivant une démarche due à Eskin (1).
A partir' de
cette
formule
de
représentation,
nous avons donné
les
deux premiers termes du développement de u au voisinage de la fissure
à l'aide des deux premières solutions singulières al et a
du problème
2
bi~imensionnel.
2
Par exemple pour la régularité H
lorsque les données
au bord vérifient une condition de compatibilité, la partie singulière
de
u est
de la forme
u
= (K * Ijl) al
où le
noyau
K est explicite
s
x"
ainsi
que
la
dépendance
de Ijl
par
rapport
aux
données.
Une
telle
représentation de la partie singulière permet d'envisager son exploita-
tion en analyse numérique.
Dans une
seconde partie nous avons étudié l'opérateur de la chaleur
a
P = at - A(t,x,D
dans
un
ouvert
cylindrique st:=: ]O,T[ xU
sans
x)
supposer
des
conditions
de
comptabilité entre la donnée de Cauchy
et les données au bord de U. En étudiant le cas particulier où U = R
et A = ::2 , nous avons fait
I
apparaître des solutions singulières
a;
qui sont de la
forme
1
t
. dE
a.(t,x) = ~
(t_y)J ~x (y,x)dy
J
J.
a
x 2
0
1
où . E(t,x)
e- mt
est
la
solution élémentaire de l'équation
=V4rt

3
n
de
la
chaleur. Lorsque
U est
un ouvert
régulier de R
nous
avons
obtenu de la solution du problème général grâce aux opérateurs pseudo-
différentiels anisotropes de Piriou (1).
Nous plaçant
ensuite dans
le
cas où A = f::.
nous avons obtenu comme
dans
la
première
partie
un
développement
de
u
au
voisinage
de
]O':T[ x au en utilisant les solutions singulières cr .•
J
1'·

4
Chapitre 1
ESPACES de SOBOLEV ANISOTROPES
Notations
R~
désigne le demi-espace ouvert x
0 de
mn •
n>
]Rn
désigne le demi-espace fermé x ~ 0
+
n
8( mn ) , ~(]ln), y( mn )
sont
respectivement
l'espace des
des fonctions indéfiniment dérivables, qui ont un support
compact,
qui
ont
une
décroissance
rapide
à
l'infini
ainsi que toutes leurs dérivées.
Les
duaux
de
ces
espaces
sont
les
espaces
usuels
de
distributions notés respectivement
8', !'J', Y'.
Y( liln )
désigne
l'ensemble
des
restrictions
à
]ln
des
+
+
éléments de .!l'( mn ) .
Pour
u €
Y( mn )
on
définit
la
transformée
de
Fourier
!E.. u(O = OU,;) =l
de u par
ei<x,f,;> uf x Idx ,
x
]ln
On a alors
ul x) = (2lT)-n r e-i<x,f,;>{}(Odf,;.
)mn
L2( mn )
désigne
l' espace
des
fonctions
mesurables
de
carré intégrable.
-

5
ESPACES de SOBOLEV ANISOTROPES
Introduction
Les
espaces de
Sobolev anisotropes interviennent de
façon
naturelle
dans
l'étude
de
fonctions
ayant
des
propriétés
de
régularité
différentes
suivant
certaines
variables.
Ils ont été étudiés par plusieurs auteurs, voir par exemple
Nikolski
(1),
Grisvard
(1), Li.ons-Hagene s : (2). Nous allons
étendre
à
ces
espaces
des théorèmes de
type Paley-Wiener
et
Liouville.
Nous
commencerons
par
donner
une
autre
définition et montrerons qu'elle coincide avec la définition
usuelle lorsque les paramètres r
et s sont de même signe.
§1.
Définitions et Préliminaires
Définition
.1 -
1
Si
r
et
s
sont
deux
nombres
réels,
r f 0
on
note
r s(
n)
H'
m
x m
l'espace
vectoriel
des
distributions
t
x
n+ 1
s/r)r
tempérées
u
sur
m
telles
que
(1+1'r1+1E,;l
Q(-r,E,;)
soit de carré intégrable avec
2
s/r)2r
lIull
= (
.
(1+1'r1+1E,;l
101 2 (-r,E,;)d"[ dE,;.
r,s
)mn+1
2(
S
Pour
r = 0,
on
pose
HO,s( m
x m~) = L
D\\ ' H ( m~».
t
Proposition 1.2 :
Pour r et s positifs, on a
r,
r,
H
s ( m
x IR~) = H 0 (R x m~) n HO, s (R x m~).
t
t
t
Démonstration.
Par
transformation de
Fourier,
il
revient
au
même
de
montrer
que
(1+ l "[1r 0 et
(1+ 1E,; 1)s 0 sont de
carré intégrable si et seulement si u est dans Hr,s( ]1\\ xm~).
Mais si r et s sont de même signe on a
Hr,o(Rtx m~) n Ho,s(Rtx m~) C Hr,s( mtx m~) •
En effet on remarque que si
r >0, les fonctions 1 + xy
et
(1 + x)r
sont
équivalentes
lorsque
x
tend
vers
+ ~ •
Par suite 'on peut trouver deux constantes Cl et C
positives
2
s/rr<C
telles que
C
(l+IE,;l
pour r f 0,
1(l+IE,;I)s<
2(l+IE,;I)S
s et r de même signe.

6
r(ar
Puisque
pour a
et
b positifs on a
(a + b)r< 2
+ br),
on peut trouver une constante M> 0 telle que
s/r)r<M«l
(l + hl + 1f;l
+ h-I)r + (1 + 1f;I)s).
- Si r et s sont positifs alors
Hr,s( ]\\x m;)c Hr,o( mtx lR~)(î HO,s( mtx lR~).
En effet on a
(1 + hl)r<(l +"I-r1 + 1f;ls/r)r
et
(l + 1f;I)s< cu + If;f/r)r<c(l + hl + 1f;ls/r)r
Proposition 1.3 :
Pour
r
et
s
négatifs,
Hr,s( mtxlR;)
s'identifie au dual
de H-r,o(Rtx :IR:) (î Ho,-s(Rtx m:).
Démonstration.
Elle
découle
de
la
proposition
précédente
et du fait que pour r et s quelconques Hr,s(Rtx m~) s'iden-
-r -s(
n)
tifie au dual de H '
Rtx m
.
x
Définition 1.4 :
n)
n)
On note Hr,s( mtx m
l'espace des éléments de Hr,s(Rtx m
+
x
x
-
n
qui ont leur support dans
]R x R .
+
r,
n)
On définit
également
H
s ( mtx m
de
façon
analogue.
-
x
n).
Ils sont munis de la norme induite par Hr,s(Rxm
~
n)
( m x lR
étant
l'ensemble
des
fonctions
indéfiniment
+
n,
dérivables à support compact dans
m xlR
on note
-
n)
+
~( m x m
l'ensemble
des
prolongements
par
zéro
pour
+
t < 0 des éléments de ~ (m x m'') .
+
Proposition 1.5 :
Pour
r
et
s
de
même
signe,
est
dense
dans
H:'s( ][\\x mn) •
La démonstration se fait en plusieurs étapes
Lemme 1.6 :
Pour
u E H:' s ( ]\\x m~)
il
existe
une
famille
{ue:}e: > 0
r,
d'éléments
de
H
s ( lR XlR~)
convergeant
ver
u
dans
t
r,
H
s (R x ]Rn) lorsque e:
tend vers 0 et telle que pour tout
n•
e , u
soit à support dans
[e:,oo[xlR
e:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .. ----------,
7
Démonstration.
On
fait
une
translation
par
rapport
à
~
la première variable et on pose u
= 'l.... U avec e:: =(e:: ,0,0, ••• ) •
1\\
:i.e::'l e::A
e::
Alors
u (r , t,:) = e u h ,C ) •
e::
2
2d'l
lIu
- ull
= ~1 + 1'l1+ICls/r)2rll_eie::'l,2 IGI
dC
e::
r,s
J'
quantité qui tend vers zéro quand
e:: ~ 0 d'après Lebesgue.
Lemme 1.7 :
On suppose r et s de même signe.
n,
Soit UEHr,s( mtX m;),
u à support dans [a,O)[ x m
a> 0,
alors
il
existe
une
famille
{ue::}e::> 0
d'éléments
de
r
H , s ( "ID X "1Dn)
ue:: tendant vers
d
Hr, s("1D
]Rn) l
~t
~x '
u
ans
~tX
x
orsque
m(
1
e:: ~ 0 avec u
dans H
mn+ ) pour tout m et u à support
e::
n
e::
dans [a- e:: , 0)[ x m •
Démonstration.
On
prend
pour
ue::
une
régularisée
de
u
,--
ue:: = Pe:: * u,
produit
de
convolution
de
u
avec Pe::
définie
par
( )
-n-l (x)
0)
P
x
= e::
P -
où
pEe
e::
e::
est posftif à support dans B(0,1) et l p(x)dx = 1.
Ü =$ Ü
et
$ (i:,C) =$(e::'l ,e::C) d'où
lim ~('l,C)=~(O)=l
e::
e::
e::
e:: .... o
e::
pout tout 'l,C. D'autre part on a
2
s/r)2r
2IGI 2d'l
lIu-ull
= ( .
U+hl+ICl
11-$ (-r,C)1
dC.
e::
r,s
Jmxmn
e::
Par suite u ~ u dans Hr,s d'après Lebesgue:
s/r)-r
(1+1'l1+ICI)m Ge:: = (1+1'l1+ICI)m(1+1'l1+ICl
B x
e::
s/r)r
x (l+I'lI+ICl
Ü •
Pour
r
et s de
même signe,
on
peut trouver M> 0 tel que
(1 + /'ll + ICls/r)-r < M«1 + l'll)-r + (1 + Icl)-s)
S étant à décroissance rapide, on en déduit que
e::
m
n
u E H ( lR +1).
e::
Lemme 1.8 :
n)
n,
Soit UEHm(mxm
pour tout m, à support
dans [a,O)[ x m
a > 0
alors
il
existe
une
famille
{u}
telle
que
e:: e::>0
n
u E Hm(lRx :m.n )
et
u
est à support compact dans
m' x m
e::
e::
+
m
et u tend vers u dans H , Y m.

8
a>
Démonstration.
Soi t XE: C , X valant 1 dans la boule centrée
à l'origine
et
de
rayon
1 et
ayant
son support dans la
boule de rayon 2.
On pose
u (t,x) = X(E t,E x) u(t,x).
E
Il
est
alors
immédiat
que
u E Hm, V m.
Il
est
immédiat
E
Z
n)
également que u
tend vers u dans L (R xlR
lorsque Etend
E
vers 0 d'après Lebesgue.
Pour
montrer
que
les
dérivées
de
u
tendent
également
E
2
n)
vers
les
dérivées
de
u
dans
L ( lRxlR
,
il
suffit
de
remarquer que pour 1a 1 >l on a
a
na u
= X(E t ,« x)n
u + rc B nBx nYu
E
a
E
avec B +y=a, et où X (t,x) =X(Et,EX).
E
Le premier terme tend vers na u et
nBX (t,x) = E1B1(nBX)( E t, EX)
E
B
donc si 1B1 ~ 1 on a
Hm n X nYu = O.
E-+O
E
Démonstration de la Proposition 1.5.
Il suffit de choisir m
m(
n)
r,
n)
entier
tel
que
H
lR xlR
c
H
s (R xlR
et
d'appliquer
les trois lemmes.
§z.
Le
théorème
de
type
Paley-Wiener
pour 'les
espaces
anisotropes
Introduction.
Nous nous proposons de donner une caractéri-
n).
sation de type Paley-Wiener pour les éléments de Hr,s(lRxlR
I\\r s
n
+
Notons A'
la fonction définie sur
lR xlR
par
+
~r,s(T,E,;) = (T + Hl+IE,;l)s/r)r
+
et "r,s
n)
l'opérateur défini dans 9'(lRx lR
par
+
-r:s ( ) I\\r,s( ) "(
)
A
u T,E,;
= A
T,E,;
U T,E,;
•
+
+
Proposition 1.9 :
Pour
r
et
s de même
signe,
Ar, s est un isomorphisme de
+
Hr , s
L2
sur
•
Démonstration.
r
et
s
étant
de
même
signe
(l + 1E,; 1) sir
et
1 + 1E,; 1sir
sont
équivalents; par
suite
il
existe Cl
et
Cz > 0 tels que

9
C (l +ITI +1E;;ls/r)r <
IÂ/T,E;;)I<c
1
2(l+ITI+IE;;/s/r)r.
On en déduit que
Ar,s est continu de Hr,s dans L2 et A-r,-s
2
r s
+
+
de L
dans H '
•
Théorème 1.10:
Pour
r
et
s
de
même
signe
l'opérateur
Ar,s est un isomorphisme de Hr,s sur L2 •
+
+
+
Démonstration.
D'après
la
proposition
1.9 il suffit de
r s
r s
n
montrer que pour u EH' , A'
u
est à support dans
m. x m. ,
+
+
+
~
-r,-s
2
de meme pour A
u
pour u E L .
+
+
Les
deux
propriétés
étant
identiques,
nous
montrerons
la première en commençant d'abord par le cas u E' ~( m. x m.n ) .:
-
+
Pour u E !J}(R x m.n ) on a
+
~(-r,E;;)=lCX).&.eht eiE,;x u(t,x)dx dt.
On peut alors définir ~(T + in ,E;;) par
.
CX)
"( . ). ( f Irt -tn iE;;x ( ) dx
u T + 1 n ,E;; =if
0 e
e
e
u t,x dt
pour n ~ 0 et la fonction z I-~ Ü(z, E;;) est analytique dans
le
demi-plan
Re z > 0,
et
par
"intégration
par
parties",
pour tout entier· N on peut trouver une constante C
telle
N
que
D'autre part, pour z =T + in
~r,s(z,E;;) = ~r,s(T + in + i(l + 1E;;l)s/r)r
+
+
.
est
une fonction analytique dans le demi-plan Re z> 0
et
1~:,s(z,E;;)1 < cu +/TI +·n+IE;;ls/r)r.
I\\r s
"
Par
sui te
A ' (z ,E;;) u (z ,E;; )
es t
analytique
dans
le
demi-
+
plan
lm z > 0,
continu dans
le
demi-plan
lm z > 0 et
pour
tout
entier
naturel
N,
on
peut
trouver
B > 0
tel
que :
N
I\\r s
"
-N
sir r
IA/ (z,E;;)u(z,E;;)1 5 BN(l+ ITI+IE;;I +n)
(l +hl+n+I~1 . ).
Si
r<O
on
a
(l +ITI + n+1 E;;/s/r)r < 1
et
si
r~O il
existe qne constante M telle que
(l + 1T 1 + n + 1E;; 1s / r) r < M(l + 1T 1 + n + 1E;; 1) max( r, s ) •

10
Par suite pour tout N il existe C
tel que
N
l''r s
1\\
-N
A/ (z,E) u(z,E)/ < C
+ hl +n + 1E:1)
N(l
J;.
(A:' sul( t,xl = (2~ )-0-1
.-iXE,;:• -d.r t ~:' s(T ,f,)Q(T ,f,)dT dE,.
Mais
grâce
à l' analyci té et à l' inégali té
précédente
on
peut
appliquer
le
théorème
de
Cauchy
à
cette
intégrale
et
intégrer
sur la
droite
z = T + in
,TElR,
n> 0
fixé.
D' où
(Ar, s u)( t j x) =
+
(2n)-n- 11 e-ixE: dE: fent e-i Tt ~r,s(T+in,E:)ti(T+in,E:)dT .
Df
. JR4
+
En appliquant
l'inégalité
précédente
pour
N assez grand
et en intégrant par rapport à T et E: il vient
n t
IA;'s u(t,x)1 <C e
ln> O.
Pour
t<O,
on fait tendre n
vers
+ ex> dl où
Ar, s u ( t .x ) = 0
pour t < O.
+
Pour
u E Hr, s
on
prend
une
suite
u.
tendant
vers
u
dans
+
J
Hr,s,
'"
n
Alors
Ar, s
tend vers Ar,su
2
u.E !I)(R x lR ).
u.
dans L
J
+
+
J
+
n)
donc dans
!I)' ( lR x:m
et Ar, s
est à support dans R x]Rn
u.
+
J
+
r s
pour tout j, i l en est donc de même pour i\\'
u.
+
Théorème 1.11:
On suppose r et s de même signe.
r,
Pour
tout
u E H
s ( :m x mn ) ,
la
transformée
de
Fourier
+
Û(T, E:)
de
u
se
prolonge
en
une
fonction
analytique de
la variable z = T+ in
dans le demi-plan
n > 0, pour presque
tout E: fixé.
Û(T + in, E:) est une f onetion continue pour
n > 0 à valeurs
dans l'espace "Hr,s des transformées de Fourier des éléments
+
de Hr,s.
+
Il existe une constante C telle que
s/r+n)2r
2dT
(1.12) (
l(l+ITI+IE:l
IÛ(T+in,E:)1
dE:~C 'n>O
J1Rn+
Réciproquement
si
v(T+in ,E:) est une fonction analytique
de z = T + in dans le demi-plan
n > 0 pour presque tout
E:
fixé.
Si
v est mesurable
et
s'il existe une constante C telle
que
v
vérifie
l ' inégalité
( 1.12) ,
alors
il
existe

11
r,
u E H
s ( m xmn ) telle que
+
v (T + i~ .n) = Q( T + i n ,~).
0 0 2
Démonstration.
Supposons d'abord que u eH'
= L •
+
+
En appliquant l'égalité de Parseval par rapport à la varia-
ble x, on a
2dx=
1
(
lu(t,x)1
(2
)n (
I~ u(t,~)12d~
}mn
1T
Jmn
x
et donc
f. ( IYi u(t,~)rd~ dt < 00 ;
R }mn
x
2
par sui te on a
pour presque tout 1; , LIs:. u( t ,1;) 1 dt < œ
d'après Fubini.
On en déduit d'après l'inégalité de
Schwartz que pour
n > 0
nt
1(m)
donné,
et pour presque
tout ~ fixé, e-
~ u(t,O E L
x
puisque
~ u(t,O est nul pout t < O.
x
En
nt
posant
Q(T+ in ,~) = &{ e-
~u =~(e-ntu)(T,~)
on
en déduit
que
Q(T + i n ,~) est une fonction analytique
de la variable z = n + i T
dans le demi-plan
rï > O.
D'après Parseval on a
(
l "
"
12
1
(
1
12 1 -nt
-n t Z
Jmn+1 U(T +in,~)-u(T +ino'O .dT d~=(21T)n+l Jmn+ 1 ul t j x )
e
-e
0
1 dt
quanti té qui tend vers 0 lorsque n
tend vers
no d'après
Lebesgue,d'où la continuité de Gpar rapport à n
à valeurs
fi..
n
dans L ( Rx ID. ).
2
1 t
l
De la même façon on a
00
2dtdx::;
2dt
(
lIQ(T+:in,~)12dT ~= 1. le-n u(t,x)1
l lu(t,x)1
dx
~
~o
~
Yn&::O
d'où l'inégalité (1.12).
Réciproquement soit
V(T +in,~) analytique IID" rapport à z='t+:in dans le.
demi-plan
n > 0
pour
presque
tout ~
fixé, mesurable par
rapport à l'ensemble des variables et vérifiant l'inégalité
(1.12), v est une distribution tempérée d'après l' inégali té
de Cauchy-Schwarz.
Posons
g(t,n,x) = (~-~ v)(t,n,x),
T, ...
la
transformée
de
Fourier
inverse
de
v
par
rapport
à
T et ~, pour n > 0 fixé.

12
. ,
l '
av
. av
v
etant ana yt i que on a -a- ::: 1-a-
d'où
par
transformation
Cl
n
"C
de Fourier on a ~ ::: - tg.
.
nt (
Mais
~ (entg) ::: en t (~ + tg)
et
e
g t,n,x) ::: g(t,x)
an
an
ne dépend pas de n , donc
(
)
-nt (
)
g t,n,x
::: e
g t,x.
œ
-
n
D'autre part si Ijl
est C
à support compact dans
lRx lR x lR ,
+
d'après Parseval on aur~ :
-n-l
(
c;;:
<g,Ijl>:::
2n)
<v,.:rc-Ijl>:::
"C,.,
~ (2U)-n-l!.)(mF+
~,' ~(T,n,,)dT ~
1 V(T+in,,)
do
D'où d'après Cauchy-Schwarz:
2
1 g,~
<
> 1s c ralRn+ll~(t,n,X) 1 dt dXYdn
grâce à l'inégalité 1.12.
Par densité on en déduit que g définit une forme linéaire
"
•
1
2
n+l
conti.nue
sur
l'espace
L ( :IR , L (R
» dont le dual est
+
2(
n 1
Lœ(R , L
lR + ».
Par
suite
il
existe
une
constante
C
+
2
telle
que
JI g( t,n .x) 1 dt dx ~ C pour presque tout n> 0,
et comme g(t,n,x) ::: e-ntg(t,x) pour
n >0, on a
2ntlg(t,x)
(
n-i l
e-
,2dt dx s C,
y n> o.
)JR
.
1
Fn faisant tendre n vers 0 on en déduit que gEL2( mn+ ) .
2
n+l
Pour
montrer
que
gEL ( :IR
)
remarquons
que
pour
e: > 0
+
:>
on
LLn .-2ntlg(t,x)12 dt dx >[ln .-2ntlgI2 dt dx
;;, .2n< LIn 1g( t,x) 12 dt dx
-.
d'où
f1 nlg(t,x)12dt dx < C .-2n< .
_.. lR
Fn faisant
tendre n
vers
+0>
on en déduit que
g(t,x) = 0
pour t<-e:.
Ceci étant vrai Y
e:>0 on a g(t,x) =0 pour
es o.
Soit à présent u dans Hr,s.
+
Sl"
Ar,s u
L2
on pose
v =
on a
vE
et
"(
)
1\\-1' -s(
) "(
)
U
"C, ~
= fi
'
"C ,1;;
V
"C,~ .
+
+
+

13
~ et ~-r,-s se prolongeant en
fonctions
analytiques
+
dans le demi-plan lm z > 0, i l en est de même pour G.
(
l·l~r,sh +:ï.rr,~) Q(T +iTl,O 12 dr d~ = ( 11~(T+iTl,~) ,2 d~
dT
lmM +
~M
et
puisque pour r
et
s
de
même
signe on
peut trouver Cl
et C
tels que
.
2
c U + IT I +Tl + 1~ls/r)r<lfI:,s(T.+iTl,~)I<C2U+ITI+Tl+I~ls/r{
1
on a l'inégalité (1.12) pour "u.
G(-r+iTl,O - Q(-r+iTlo'~) =
~:r,-s(-r+iTl'~) (~(T+:tTl,O - ~(T+iTlo'O) +
(I\\- r -s(
)
I\\-r -s(
.»
(
+
fi
'
T+iTl,~ - fi
'
T+iTlo'~
v T+iTlo'O.
+
+
Ar,
La
première
quantité
tend vers
0 dans H
s
quand
Tl .... Tl o
2
parce
que
~ est continue en Tl à valeur dans L et
(1+ IT 1+ I~ 1sir) r 1fi-r, -s( T+l.Tl ,01
reste
borné
par
rapport
+
à l'ensemble des variables lorsque Tl reste borné.
A
La
deuxième
quantité
tend
vers
0
dans
Hr,s
d'après
la
remarque précédente et le théorème de Lebesgue.
Réciproquement
soit
une
fonction
"(T +ir) ,~)
analytique
dans le demi-plan
Tl> 0 mesurable par rapport à l'ensemble
des variables et vérifiant l'inégalité (1.12).
Posons w(-r+iTl,~) = ~:,s(T+iTl'~) v(T+iTl,~) alors w se prolonge
en une fonction analytique de z = T + iTl
dans le demi-plan
Tl > 0, est mesurable et
r
llw(T+iTl,~)12 dT d~ ~ C V Tl~O.
lJRn+
Alors i l existe gEL2( mx :mn ) tel que
+
wh+iTl,~) = g(T+ iTl,~).
-r -s
Alors en posant u = fi'
g on a :
+
r s
"(
)
I\\_r -s(
)
uEH'
,
uT+iTl,~
= ft.
'
T+iTl,~
+
+
c.q.f.d.

14
§3.
Le théorème de type Liouville
Nous allons à présent donner une caractérisation de l'inter-
n).
section des espaces Hr,s( lRx]ln) et Hr,s( JRxJR
+
Théorème 1.13:
Théorème de Traces
Pour r et s positifs, r>!,
°<k < r-!, k entier, l'appli-
êJk
cation
u 1--- -+( O,x)
est
continue
et
surjective
de
êJt
Hr,s( lRxlRn) sur H(~)(r-k-!)( lRn).
Ce théorème est démontré par exemple dans Lions et Magenes
(2) •
Par transposition on a le
Corollaire 1.14 :
Pour r et s négatifs et r+k+! < 0, l'application
v l - -
1\\11
rt(k) est
.
. . .
d
H(~)(r+k+!)(....n)
V
a
u
cont1nue et 1nJect1ve
e
JK
dans Hr, s ( lRx ]ln) •
Proposition 1.15 :
n
Soient r et s de même signe, k entier positif, et v E Y(lR ).
Alors pour tout entier N> k, on peut trouver
n+
n)
UECN
1)(îHr,s(
( lR
lRxJR
tel que
~ (O,x) = v et
êJt k
(O,x) = °
pour
O<j~N,
j -! k.
avec
Il ullHr/s ~ CllvllH<s/rXr-k-!) où C est une constante > 0
dépendant de N et k.
Démonstration.
On cherche
la
transformée de
Fourier de u
par rapport à x sous la forme :
N
t q 1\\
-t(l+ 1ç; 1s/r)
(!F u)(t,ç;)
x
= ~ q ! gq (ç;) e
q=o
pour t>O et
(!F u)(t,ç;)
x
pour t< O.
Les fonctions g
et h
sont déterminées par les relations
q
q

15
j.
a
1E. u(O,ç) =10
pour j f k ,
O~j~N
atJ
x
~k(Ç) pour j = k.
On
obtient
alors
deux
systèmes
triangulaires
inversibles
qui déterminent les g
e t h .
q
q
On
a
~q = 0 pour q < k et ~q(ç) = Y (ç) 0k(Ç) où Yq(ç)
q
est.
un
polynôme
de
degré
q-k
de
la
variable
(1+ 1ç ls;r )
pour q~k.
Il
On
a
une expression analogue pour h
d'où la conclusion.
q
Corollaire 1.16 :
. S .
Hr , s ( mn+1 )
.
. f
Olt uE
, r et s posa t i
s.
Pour tout entier N~ r-! on peut trouver une suite (1V ) > 1
N
n+ 1
r
n+ 1
d'éléments
de
C ( IR
) n H ~ s ( IR
)
telle
que
1V m ~~d
vers u dans Hr,s( mn+1 ) et
aJ1V~ (ü.x) = 0 pour r-!:J<N.
.
atJ
.
aJu
Démonstration.
Soi t v. = - . (ü.x ) ,
O<j < r-!.
J
at J
On a
v. E H(s!r)(r- j-!) (mn )
et
d'après
la
proposition 1.15
J
n+ 1
N(
n+ 1
on
peut
trouver
uoEHr,s( IR
) n C
IR
)
telle
que
j
a
~Q(O,x) v. pour O<j <r-! et
a t J
J
j
~(O,x) = 0
pour
r-!~j<N.
at J
Alors en posant u
= u - U
1
o on a
j
U
E Hr , s ( mn+1 )
et
~ (O,x) = 0
pour 0 <j < r-!.
1
at J
On peut alors trouver une suite.p
d'éléments de
~(IRn+l)
m
nuls sur un voisinage de
l' hyperplan x =0 et qui convergent
n
dans
Hr , s ( mn+1 )
vers
u •
Il
ff'
su
lt
a l ors
de
prend re
1
Proposition 1.17
On suppose r et s de même signe.
Si
ô j N
VEHr,s( lRn+1)
et
v! 0,
alors
on
a
r+j+! < 0
et v:tisk)(r+ j+!)( mn ) .

16
Démonstration.
Si r + j + !>O, alors j >-r
-r -s(
n+1)
Pour
uE H ' : m
on
peut
trouver
d'après
1.16,
une
N
-r-s
H-r,-s
et
suite
(
'!I) cC n H'
telle
que
~ + U dans
m m
m
Y '!lm = 0 pour tout m.
Alors
j
< v ~ oj
u>
.
l
s:( j ),10
l .
.10
__
mlmQ)<v 1 Ut
' 'l'm> =m~'!l,< v,Y
t '
j 'l'm>
O.
Par suite :
et
v:: O.
Si r + j + ! < 0, alors j < -r-! donc pour tout
'PEH(s/r)(-r- j-!)( ]ln)
on
peut
trouver
UEH-r,-s( :mn+1 )
telle que
y. u = 'P et
lIull::5;C Il 'PI/ par suite
1< v ~ 0~ j ) ,~ > 1 = 1 < v, yj u > 1 = 1< v, 'P > 1 ::5; 1/ v ~ 0~ j ) I!Hr, s Il u Il H-r, -s
( . )
J
< cllv ~ 0t
IIHr ,s Il'Plltfs/r)(-r-j-!)
.
(s/r)(r+j+!)(
n)
Il Il
Il
(j)11
Parsu1tevEH
]l
et
VH(s/rY.(r+j+!)::5;CV~Ot Hr,s'
C> O.
Théorème 1.18:
On suppose r et s de même signe.
r,
r,
n+
Toute
distribution
u E H
s ( ]ln+ 1
1
) n H
s ( :m
)
est
de
est de la forme
u =
L+ V. ~ oV) ~vec v. E H(s/r)(r+j+!)(ll<n)
osj<-r-!
J
J
et i l existe une -constante K telle que :
IIv}Its/r)(r+j+!)< KllullHr,s pour tout u et tout j E[O,-r-![
•
Démonstration.
r,
r,
n)
u E H
s(R x]ln)n H
s(R x:m
:::) u est à support dans l 'hyper-
+
-
plan x
= 0,
alors d'après Schwartz
(1) u est de la forme
n.
u = ~ v ~ 0~ j) où la somme es t localement finie,
j
J
M •
a1S s i u EHr,s(R x-m n),
~
u est d' ord re au pl us -r par rapport
à t.
Par suite on a
N
u = ~ v
1 o~j)
avec N::5;-r
j
j=o
Soit
alors
'P E Y( ]ln),
d'après
la
proposition
1.15,
on
N(
peut
trouver
vE H-r,-s(Rn+ 1)n C
n
lR +1)
avec
y. = 'P
et
J
Ykv = 0 pour k ~ j d'où
r<u,v> 1 =1< v','P> I<CllullHr·l.sll.pIL; X
. 1)'
J
/;
\\s r
-r-J-2"
.-

17
Par sui te on a v. E Js/r)(r+- j-!) (]ln) et
J
IIvjIlHs/r(r+j+!) < cllullHr,s
y j<N.
D'autre part pour j < N, on a j<N-l<-r-l donc j+r+!<-!< o.
Par suite d'après le corollaire 1.14 on a
1
v
l8l ô~j) E Hr,s( mn+ ) pour
j <N.
On
en
déduit
alors que
j
v
Il ô~N) E Hr,.s( ]ln+l).
n
Par
sui te,
d'après
la
proposition
1.17
on
a
N< -r-!
si
v
f o.
N
Les
espaces
de
Sobolev
anisotropes
dans
un
demi-
espace
et
le
théorème
de
prolongement
par
zéro
Définition :
Soient r et s deux réels positifs. On note respectivement
Hr,s(R x]Rn) ,Hr,s(Rx]Rn),
Hr,s(R x]Rn)
ou
plus
simple-
+
+
+
+
ment
Hr,s(R xlRn)
Hr,s(RxlRn)
Hr,s( lR xlRn)
l'espace
+ '
+'
+
+
n)
des restrictions des éléments de Hr,s(RxlR
respectivement
n
n
n
à R x lR ,
R xlR
et
R x lR .
La
norme d'un élément étant
+
+
+
+
la
borne
inférieure
des
normes
de
ses
prolongements.
n),
n)
On
note
respectivement
Hr,s(R xlR
Hrcis(RxlR
et
o
+
,
+
r s n '
m.
n)
n)
et H ' (R xlR ) les fermetures de
,;u( lR xlR
, !i}(Rx]R
,
0,0
+
+
+
+
!i}(R x]Rn)
respectivement
dans
Hr,s(Rx]Rn),
Hr,s(Rx]Rn)
+
+
+
+
et Hr, s (R x]Rn).
+
+
Pour
r
et
s
réels
négatifs
on
note
respectivement
Hr,s(R x ]Rn)
Hr,s(Rx]Rn)
Hr,s(R x]Rn)
les
duaux
de
+ '
+ '
+
+
de
H-r,-s(Rx ]Rn),
H-r,-s(Rx ]Rn)
et
H-r,-s(R x ]Rn).
0,
,0
+
0,0
+
+
Pour r et s réels < 0 on note respectivement
Hr,s(R x ]Rn)
Hr,s(Rx]Rn)
Hr,s(R x]Rn)
l'ensemble
+ '
+ '
+
+
n
des
restrictions
des
éléments
de
Hr,s(Rx]Rn)
à
Rx]R,
+
n
R xlR
et R x]Rn re s pee tivemen t •
+
+
+
Pour r
et
s
positifs, on a pour ces espaces des théorèmes
n
de traces que nous donnons pour R x lR •
+
+

18
Théorème
1.20:
Si
s::> 0
et
r>!
alors
pour
k
entier,
r
O<k < r-!,
H , s (R x Rn)
, . .
.
d
A
s 1nJecte
cont1nument
ans
+
+
2(lR:»
,ckO\\, L
et
l'application
u-+ ak~ (O,x), O<k< r-!
est continue de Hr, s (R x JRn) dans
~t H(s/r)(r-k-!)( lHn) •
++
I
Il
+
os k<r-2"
Si r~O et s>! alors IX."JUI' O~j<s-!, If,s(R+ IR:) s'injecte. cmtinûment dans
j
-
. 2
n-l)
aJ
(
,
C (JR , L (R x lH
)
et
l'application
ul-+-. u t,x ,0),
+
+
ax Jn
o
r,
n)
<j < s-! est continue de H
s (lR x lH
dans
+
+
I l H(r/s)(s-j-!),s-j-!(R xlHn-1) .
•
1
+
oSJ<s-2"
Voir Lions-Magenes (2) et Grisvard (1) pour plus de détails.
Remarquons que l'application
ak
ul--> { ~ (O,x)
O~ k c r-!
at
O<j < s-!
de Hr,s( JR x lHn) dans
+
I l ./s/r) (r-k-!)( lRn)x T I H(s/r)(s-j-!),S-j-!ORx:nf-1)
k
1
+ .
1
+
os <r-2"
OSJ< s -2"
n'est
pas
surjective.
Il
faut
adjoindre
des
conditions
dites de compatibilité.
Nous allons à présent étudier les possibilités de prolonger
n)
les éléments de Hr,s(R xlH
en des éléments de Hr,s(Rxilln).
+
+
On dira alors qu'on les a prolongés par zéro.
Théorème 1.21
On suppose r et s positifs, r = m+ê avec
r,
m
entier >0
et
1s 1 < !,
alors
u E H
s (R x JRn)
~dmet un
n)
prolongement dans Hr,s(R xlH
si et seulement si a ~(O,X)=O
+
at
pour 0<k<m-1
n)
Si
r = m+!,
m entier >0,
alors
uEHr,s(R x.IR
admet un
+
n)
ak
prolongement dans Hr,s(Rx.IR
si et seulement si
~(O,X)=O
.
+
~
:7
r(
2
0';; k" m-l
fi 1 am u( t , x) 1
dt dx < co •
Jo l.IR at m
t
Ce
théorème
a été démontré dans Grisvard
(2).
Voir aussi
Lions-Magenes (1).

19
Théorème
1.22
Soient
l'
et
s
négatifs.
Alors
tout
u E Hl', S (R x ]Rn)
admet
un
prolongement
à
Hl', S ( ]R x ]Rn)
et
+
+
on . peut
choisir un opérateur de
prolongement
continu de
Hr,s(R x]Rn) dans Hr,s(R xm n).
+
+
S ·
U
t U t d I t
d
.. Hl', S(Il x]Rn)
1
1
e
Z
son
eux pro ongemen s
e
u
a
+
.
alors
U - U =
L
v.
1
Z
osj<-r-!
J
avec v. E H(s/r}(r+ j+! )(]Rn) •
J
n)
Démonstration.
Par
définition
Hr,s(R xm
est
le
dual
+
r,
de H-
-s (R x :nf).. Considérons d'abord le dual de
0,
+
H-r,-s(R x ]Rn).
Si R,
est
une
forme
linéaire
continue sur
+
H-r,-s(R x ]Rn).
On
lui
associe
une
distribution
TR,
sur
+
n
JR. +l déf i
.
e Inle par < TR,'.p > =<R"
.p/R+ x ]Rn> on a :
1 < TR, ,.p > 1 s Il R, Il Il.p II H- r , - s ( Rn+l ) ·
Par suite TR, E Hr,s(R x Rn) et
Il TR, Il < Il R,II • I l est immédiat
que TR, /R+ x]Rn = R,.
D'autre
part
si.p
est
à
support
dans
lR x]Rn
alors
< TR, ,.p > =< R" .p /R+ x ]Rn> = O.
n
Par suite TR, est à support dans R+xIR
d'où TR, E H:,s(]Rx]Rn).
n),
Si à présent u E Hl', S(R x IR
u se prolonge dl après Hahn-
+
n)
Banach
en
une
forme
linéaire
continue
sur H-r,-s(R x m
+
de
même
norme
que
u.
Par
suite
on
peut
lui
associer
n)
TuEH:,s(Rxm
avec IITuliHr,S(]Rn+l):$lIuIIHr,S(R x]Rn)~
+
Si ~ et Uz sont deux prolongements de u alors
n)
U
- UZE H:' s(R xJR.
et
l
U
- UZEH~,s(mxmn).
l
Par suite, d'après le théorème 1.18 on a
U - U
~
v. H ô(j)
avec
l
z
.L 1
J
t
0:s.J<-r-2
v. E IIs/r){r+j+!) ( IRn).
J
Corollaire
1.23;
Pour
l'
et
s
négatifs~
l' ~ -(m+!)
m
entier:> 0,
Hr,s(R x IRn) = Hr,s(RXïRn).
+
+

20
Démonstration.
L'inclusion
Hr,s(R x lHn)c Hr,s(R x lHn)
+
+
est immédiate pour tout l' <0 d'après le théorème précédent
n)
puisqu'on
peut
prolonger
en
un
élément
de
Hl', s (R x lH
•
+
n)
Réciproquement
soit
UEHr,s(RxJR
alors
i l
existe
+
n)
n•
UEHr,s(RxlH
telle que u = U/lH xlH
+
n)
Soit ~E .@(R xlH
alors < u, ~ > = < U,;p'> où;p est le prolon-
+
gement de ~
par zéro,
donc
1 < u,~>1 < II UIIHr , s
Il;p'II H- r,-s'
Mais
d'après
le
théorème
1.20,
puisque
l' -! -(m + !),
-r -! (m + !) et par sui te
~ - - ~
se
prolonge
en
une
application continue de
H~r,-s(R x lHn) dans ~r,-s(RxlHn).
,
+
Par
suite
on
a
u E (H-r,-s(R x lHn » , = Hr, s(R xlHn)
et
0,
+
+
lIull Hr , s ~ II UIIHr,s •
Application au calcul de Wiener-Hopf
-----
l' s n
----
I ' s
n)
On note H '
(RxlH),
H±' (RxlH
l'espace des transformées
n)
de
Fourier
des
éléments
de
Hr,s( lHxlH
et
H~,s(Rx:m.n),
normées naturellement.
Théorème
1.24
Si l' et s
sont de même signe et 1r 1 <!
. alors
~
----
.......-::::--:
Hr,s(R x Rn) = Hr,s(R xlHn) $ Hr,s(IHxlHn).
+
1\\r,
L'opérateur
de
projection
sur
Hr,s
parallèlement à H
s
+
appelé
projection de
Wiener-Hopf
et
noté
n" est continu
1\\:
de Hl', s ( Rx :m.n )
sur Hl', S ( Rx lHn) •
+
n 1
Pour u E !/( :m. + ) on a :
v·p
r,
n)
Démonstration.
Soit
u E H
s(R xlH
,
puisque
l' > -l,
on
n)
a u/R x RnEHr,s(RxlH
d'après le corollaire 1.22. Puisque
+
+
l' < !,
u/R x Rn
admet
un
prolongement
u
dans
Hl', S.
En
+
+
+
posant alors u
= u - u
on a "
u = "
u
+ "
u
avec
A
-
+
+
u±E: H:' s(Rx :m.n ) .
Soit u = v
+ v
une autre décomposition, alors
+
u
- v
= v u E Hl', s (î Hl', S = {O}
+
+
+

21
d'après le théorème 1.18, d'où l'unicité de la décomposition.
Si Ijl E !J1( :ffin+1)
alors
Ijl
= y Ijl
où
Y
est
la
fonction
+ +
+ A
+
de
Heaviside.
Par
suite
Il Ijl = y
{l-
Ijl
d'où
la
formule.
+

22
Chapitre II
RESOLUTION d'UN PROBLEME
aux LIMITES ELLIPTIQUE dans un
DOMAINE de Rn AVEC FISSURE
Introduction
n
Soient
S = {x €:R
, x =(x",x
l'O),x
1>0}
+
n-
n-
n
et
S _ = {x €:R
, x =(x",x
l'O),x
1 <a}
n-
n-
On pose
n
-
n=lR -
S
•
T
Si
u
est
une
fonction
régulière
définie
dans
n, on pose
n
u = ul:R
u
= u/]Rn
+
+
au
lim
x
--+ 0
ax
n
n
x
> 0
n
au
lim
x --+ 0
dX
n
n
x
< 0
n
On cherche
alors
une
distribution u solution du problème
i)
-àu + u = f dans
n
ii)
u
et
u
sont
de
classe
Cl
par
rapport
à x n
( p)
+
j'Jl(]Rn-1)
à
valeurs
dans
et
sont
telles
que
+
1 S
y~u/s+= h
Y1 u
= g,
+
f
est
une
distribution
donnée
dans
Q
,
g
et h
n-1
sont données dans R
.
+
Nous
nous
proposons
de
discuter
de
l'existence
et
de
l'unicité
de
la
solution
u
de
(p)
dans. les
espaces
de
Sobolev HS(Q).
Nous
allons
au
préalable
préciser
la
définition
de
ces
espaces.
§1.
Les espaces HS(n)
Définition 2.1
:
Pour
m
entier
la 1<ml
avec
Pour s ~ 0, non entier,
s=m+o,
0<0< 1 on pose

23
ff.
2
HS(Q)
ld'u(x)-d'u(>:)1
={U €
Hm(Q)
,
dx dy < 00
QxQ
1x-y 1 n+20
la 1 = m}
avec
(liu
ff 1na(x)-d'u(>:) 12
lIull=
II~ + L
dx d Y)!
lal=m
QxQ
1 x-y 1 n+20
S
Par
restriction
i l
est
immédiat
que
u
€ H
( Rn)
et
+
+
S
S
u
€ H
( Rn)
lorsque
u € H
( Q) .
Réciproquement
on
a
le
Théorème 2.2
Pour
s>O,
s
= m+o,
2(Q),
u€Hs(Q)
<=> u€L
l i E H S (
Rn)
>+
+
pour 0 < j < m-1
Pour
S = m + !
m entier > 0 ,
2(Q),
s(
u €Hs(Q)
<=> u €L
u
€H
Rn)
+
+
n)
u€Hs(R
,
y.
u
=
y. u
pour
O<j<m-s
-
-
J
+
J
m
m
2
dt
et
fl1n-2 1D u (x",xl't) - D u (x",xl'-t )1 dx" dX -t
x
+
n-
x
-
n-
n_ 1
n
n
o -00
est finie.
Voir Grisvard
(3) pou~ une démonstration.
§2.
Résolution
dans
H1 + E et
formule
de
représentation
Nous
allons
pour
simplifier,
supposer
f
nulle,
g
et
h
très
réguliers
et
donner
une
expression
analytique
de
la solution du problème
(P) •
1+E
. Théorème
2.5
Si
u € H
( Q)
est
solution
du
problème (P)
avec
f = 0,
g
et
h
réguliers,
alors
on
a
la
formule
de
représentation
-xn q ( E.:' )
(§x'
u
)(V,x
)
A( E.:' ) e
+
n
eXnq(E.:')
( ~,
u _ ) ( E.:' , x
)
B( V)
avec
n
/\\ /\\
/\\ /\\
(2.5.1)
A = _.!..!. n+(G+H)_ 1 1 n+(G-H)
2 q
1\\
q-
2 q
+ /\\ /\\
(2.5.2)
B = .!. .!. ~+(G+A) _ 1 1 n (G-H)
2 q
q
2 q
où
G
et
H
sont
des
prolongemen:~liers de
g
et h ,
q ( E.: ' ) = ( i + 1 E.: ' 1 2 ) !
q
(E.:') = ( E.:
± rvi + 1 E.:" 1 2 )! où E.:' = ( E.:" E.:
)
±
n-1
'
n-1
'
le
logarithme
étant
défini
en
faisant
une
coupure
suivant
le
demi-axe
réel
négatif et
en prenant des
valeurs
réelles
1
d
o
,
1
"tOf
+
+
t
1
°
t
sur
e
em1-axe
ree
pOS1 1
•
n = nE.:
es
e
pr-o j ec eur
n-1
de Wiener-Hopf par ra port à E.:
1.
n-

24
1+E:(Q)
Démonstration.
u
étant
dans
H
et
solution
de
(P) ,
on
a
par
restriction
- tiu
+ U
= 0
et
u
eH 1 + E: ( JRn)
+
+
+
+
par suite i l vient
(§ 1 u
)( E,;' ,x
)= A( E,;')
e-xnq(E,;' )
A
x
+
n
avec A(E,;I)
= Y u
(E,;'). De
même on a
(fF
u
) ( n , x 0)=+ B(n)exnq(E,;I).
Nous allons déterminer A et
x'
-
':>
n
':>
B
en
explicitant
les
conditions
aux
limites
sur
u ,
Soient
G
et
H
deux
prolongements
réguliers
de
g
et
h ,
Puisque
n-1
(
)/
n-1
Y1u+ / JR+
= g on a
y
JR+
=
= C_
1u+-G
O.
Par suite
y1u+-G1
est
une
distribution
à
support
dans
JRn-1
et
si
u eH + E: ( Q)
_1.+E:
n-1
on
a
y1u e H 2
(JR
) •
Comme
G
est
régulier
on
a
1
+
C e H- 2 +E: ( JRn-1).
-
-
-!+E:(....Jl-1)
De la même façon, si on pose
\\u_
-
H = D_ on a D E H
~
.
DI autre
part
on
a
-tiu + u
= 0
dans
Q.
DI après
la
formule
des
sauts,
les
traces
de
u
et
u
doivent
coincider
sur
+
11 hypersurface
S
contenue
dans Q
ainsi
que
leurs
dérivées
normale.
Par suite on a
You+
-
You_
= E+
Y
= F
1u + -
Y1u_
+
où
Par
transformation
de
Fourier
et
en
remarquant
que
A
!\\
A,
You+
=
y U
= B
o
-
""
A
B
Y1 u+ = -q A,
y1u_= q
on a, les 4 équations
A
A -
B
E
(1)
A+
-q(A + B)= F
( 2 )
-q A - a
A+
C
( 3 )
q B -
~ = 15
(4 )
.
Par
soustraction
de
(3)
et
(4)
et
en
reportant
dans
(2),
A
AA
/\\
A
i l v i e n t :
F = G-H + C_-D_.
+ dans
H-!+E: ( lRn- 1)
Ceci
est
une
égalité
puisque
G
et
H
sont
réguliers.
Par
suite
on
peut
appliquer
le
projecteur
de
Wiener-Hopf
d'après
le
théorème
1.2.3,
d'où
la
solution
A
AA
F = lT+(G-H) .
+

25
reportant dans
( 1) 'il
vient
A
A
1\\
H + C
+
D
_/
2 1.
_/
2 1.
d'où
q ( r 1 ) =( r-
+ïVl + 1r- "1
) 2 ( r-
- ïVl + 1r- "1
) 2 =
'"
"'n-l
'"
"'n-l
'"
1\\
AA
A'A
O
d ' d
' t
E __ G+H + C +D_
n en
e U1
que -q+
+
q
q-
A
A
1
1
Puisque
et
D
sont
dans
H- 2+ E ( ~n-)
et
que
q
se
prolonge
en
une
fonction
analytique
dans
le
demi-plan
.lm r-
l' < 0 et ne s' annulle
pas, on déduit d' après le théorème
"'0-
A
A
1. 11
que C_+D
e ~E ( ~n-l) et de la même façon'q ~ eQE (~n-l) .
q
-
'.+ +
+
Parsui~e d'après
le
théorème
1.18
on
peut
appliquer
n+
/\\E(
n-l)
dans
H
~
aux
deux
membres
de
l'égalité
ce
qui
donne
la solution :
A
A
En reportant les expressions de
E
et F
dans les équations
+
+
(1) et (2) on obtient les expressions de A et B.
§3.
Résolution dans les espaces HS(n)
3.1
Existence de la solution
Théorème 2.6:
Pour
°< s < 3/2 s 1- 1/2 le
problème
dans
HS- 3/2 (
(P)
avec
f=O,
g
et
h
~n-l) admet au moins
+
une solution dans HS(Q).
Démonstration.
Soient
G
et
H
des
prolongements
de
g
A
A A
et
h
à
Hs- 3/ 2 (
n
:R - 1 ) .
On
pose
<1>= G+H
et
.p =<1>/ ~n-l.
Il
q
+
est
immédiat
que
<1> e Hs- 1 ( ~n-l)
-
,...
s-l(
n-l)
et
donc
.p c H
~
.
+
+
Puisque
s-l <l,
s-l 1- !,.p admet
un
prolongement f
dans
s- 1
n- 1)
H
( lR
d'après
le
théorème
1.21.
De
la
même
façon,
+
-
s - 3 / 2 - 1
on pose 1V = g-h et 1V
admet un prolongement 1V dans H
(:nfl) •
+
;

26
On définit alors u
et u
par
(§,+u HE:',x)= A(E:')
e-xnq(E:')
x
+
n
(~I U HE:', x ) = B( E:') e x n q ( E:' )
x
-
n
avec
Il
est
immédiat
que
A
et
B
sont
dans
donc
d'après
la
régularité
elliptique,
u.
et
u
sont
dans
+
S
HS ( :Rn)
et
H ( :Rn).
Puisque
s>O,
on
note
u
l'unique
+
fonction
de
L 2 ( Rn)
qui
coïncide
avec
u
dans :Rn
et
u
+
+
·n
dans
R.
On
va
montrer
que
la
restriction
de
u
à Q est
solution du problème
(p)
et est dans HS(Q).
Il
est
immédiat
que
u
et
u
sont
dans
cO:> CR ,Y' ( ]{n-l))
+
+
et c" ( R _, Y' ( :Rn- 1 ) ) •
Nous
allons
étudier
les
traces
de
u
et
u
sur
S
et
+
S +
A
A
6
Â
~
1
n
Y u
-
y u = A-B = -1Jl/q e HS - 2 (:R -
)
o +
0
-
+
+
Par suite
(y u
-
Y u )/S
= 0
o
+
0
-
-
Y~u+
n- l).
Y;U = -q(A+B)
=~ e~:-3/2( :R
Par suite
Y u + -
Y u _/S _ = O.
l
l
On en conclut d'après la formule des sauts que
-6u + u = 0
dans Q •
On
en
conclut
d'autre
part
d'après
le
théorème
2.2
avec
slt que u ens(Q).
Par ailleurs on a
A l "
Ô
Ylu + = -q A = 2 (q_ ~ + 1jJ)
1\\
...............
1\\
~=~-<il+ <il
.
(~_~)/.Rn-l = 0 donc q (~~~) e ~s-3/2(:Rn-l) •
+
-
-
n
l
Par suite
§ - l ( q - ( i 4 ) ) / :R -
= 0
.
+
1\\
1\\
1\\
q_ ~ = G + H
d'où
Ylu+/S+= !(g+h + g-h)
= g.
De la même façon on obtient que
ylu_/s_= h ,
c v q v f v d ,

27
Corollaire 2.7
:
Pour
0 <s < 3/2
et
r > -~
le
problème
(P)
admet
au
moins
r(
une
solution
dans
HSUn
pour
f
dans
H
]Rn),
g
et
h
dans HS
3/ 2
-
( ]Rn).
+
"
~( E:)
Démonstration.
Soit V tel que V( E:)
- --..,;;......:...~
-l+IE;1 2·
r+ 2(
s(
Alors
V€
H
]Rn)
et
v
= vin €H
Q)
est
tel
que
- /).v+v
= f
dans
s. De plus puisque r+2 > 3/2, y: v et Y- v sont définis
l
et appartiennent à HS
3/ 2
-
( ]Rn-l).
On
peut
alors
chercher
la
solution
de
(P)
sous
la
forme
u = u + v où u
est solution de -/).u
u = 0 dans
n
l
l
l+
l
+
1
+
Yl "i S + = g - Yl v
y~ul/s+ = h - Yl v
c.q.f.d.
3.2
Unicité de la solution
L'étude
de
l'unicité
de
la
solution
du
problème
(p)
sera basée sur la régularité des traces du noyau de l'opéra-
teur -/).+1.
Théorème
2.8
-6 u + u
o
alors pour s
f ~ on a
,
u €C k( 'iR ,Hs-k-~( :R n - l })
pour
tout
entier
k > 0,
et
+
·(~,u)(E;',x ) = A(E:) e-xn~+IE:'12
avec
x
n
Démonstration.
Il
suffit
de
faire
la
démonstration
pour
et
-6 c=»+
o
n
on peut donc se ramener à k=O.

28
Pour
k=O,
si
s >!
c'est
le
théorème
de
traces.
On
suppose
donc que s < ! .
S
Mais
alors
u
admet
un
prolongement
ü dans H ( Rn)
(théorème
+
s
2(Rn
1.21) et
-!:J.ü + ü = F
eH -
) .
-
-
Par transformation de Fourier i l vient A
2
(E,; + i-vl'+
)a
1 E,;' 1
=
y
2
n
(E,;
-iv1+ lE,; 1 1
)
n
"s-1
n
Le
premier
membre
est
dans
H
(JR)
et
le
deuxième
membre
+
"s-1 (
n)
8
dans
H
R .
Par
sui te
d'après
le
théorème
1.1
on a
:
(E,;
+i'vi+ lE,; , 12)~ =
L
O.(E,;' )(-iE,;
)j
n
o~j<-s+! J
n
Par suite
O.(E,;t)(-iE,;
)j
J
n
2
E,; +i\\A+IE,;'1
n
Par
transformation
de
Fourier
inverse
par
rapport
à
E,;n
et
par
restriction
à
x
> 0,
i l
vient
par
application
n
du théorème de Cauchy
j
2
(-il;n)j e -xnVt+ 1 1;' 1
(~,
1
u)( E,;' ,x
)
= - 2n
L o.(E,; , )
dE,;
n
2
n
j
J
Y
- , +iV1+ 1E,;'1
où y est
un si tué
dans
le
demi-plan lm E,;
< 0 et est d'indice
2)
1 par rapport au point
(-i~+1 E,;' 1 d'oùnon a
( §
, u ) ( E,;' ,x
) = ~ [L (-vi+
~
1 E,;' 12 ) j
o. (E,; 1 e - xn-y{ + 1E; '1 2
x
n
1 .
J
~
2)
= :(E,;') e-xnvi+ 1E;'1
n- 1
s-!(
avec A e~s-!( R
)
d'où u e c-r R
,H
R n- 1 » .
1
Théorème 2.9
:
S
Soit u e H (Q ), s > 0 solution du problème (P)
avec f =
Alors on a
A( E,;' ) = ~

29
B( E.; , ) =
avec
S
Démonstration.
u e H ( Q) =u
et
+
u
= u/:IRneHs(:IRn).
-
-
-
-!:lu
+ u
= 0
dans
et
alors
d'après
le
+
+
théorème 2.8
~ , u+= A( E.;1) e - Xnvi' + 1E.;112
a v e c
AeH s - ~ ( :IRn - 1 )
de même
fF,u = B(E.;') exnvi+IE.;'12
x
-
2
Puisque
s>O,
u
est
dans
L
( Q )
et
est
défini
de
façon
unique
par
u
et
u ,
Y1u /S = 0
d'où
par
transformation
+
1\\
- /
+ -
s-
de Fourier
,
q A e H
3 2(
n
R
- 1 ) .
A
s-3/2
n-1
De
me me
q B e H
( R )
d'où
par
soustraction,
q (A-B) e ~~- 3/2 ( JRn-1')
et
en
divisant
par.
q
i l
vient
:
1
q
(A-B) e ~s-1( R n - 1 )
+
-
Par addition on a également
:
2
q(A+B) e ~~-3/2( R n- 1).
Puisque
-!:lu + U = 0
dans
Q
on
a d ' après
la
formule
des
sauts et par transformation de Fourier
:
A-Be~s-~( R n - 1 ) d'où
+
n 1
q+(A-B) e~:-1( R - )
et
q(A+B) e Hs- 3/ 2( JRn-1).
+
De 1 et l
on déduit d'après le théorème 1.18 que
q (A-B)
L O.(E.;')E.;j
+
< ' < 1
J
n-1
O..,J
"2- S
avec
et
de
~
et
4
on
déduit
que
q(A-B)
=
[
O.(E.;' )E.;j
<'<1
J
n-1
o-J
-s
avec
n- 2)
R
d'où le résultat.

30
Corollaire 2.10
Si
1 < s < 3/2,
alors
problème
(P)
admet
une
solution
et
une
seule
dans
pour
f €
n" ( lRn) ,
g
et h
dans Hs- 3/ 2( lRn - 1 ) .
+
Démonstration.
Pour s;;:l, on a
4-os:5-4 et
1-s.$ 0
par
suite
le noyau est
réduit à zéro.
§4.
Régularité de la solution pour s > 3/2
Pour
s> 3/2
d'après
le
corollaire
précédent
unique
solution
du
problème
(P)
qui
est
dans
s-
1
lorsque g et h sont donnés dans H
3/ 2( R n - ) .
+
On
se
propose
dl étudier
la
régularité
de
u ,
D'après
les
expressions
de
u
et
on
voit
que
ces
deux
fonctions
+
sont
de
même
nature.
Il
suffit
donc
d' étudier
l'une
des
deux,
ce sera u
•
+
D'autre
part
u
se
décompose
en
deux
et
nous
étudierons
+
chacune
des
deux
expressions.
Nous
allons
donc
considérer
une fonction u de la forme
:
(2.11)
(!7 u ) ( f,;'
x
)
= (~( f,; 1 ) /q (f,;')) e -xn q ( f,; , )
,
x
> 0
x'
,
n
+
n
où
;p est
le
prolongement
par
zéro
d'une
fonction
Ij)
€
Ha ( Rn - 1 ),
a > 0
+
q (f,; ')
= (1 + 1f,; , 12) 4 et s , (f,; ,) = (f,; n-1 + i VI + 1f,; Il 12)4 •
D'après
la
régularité
elliptique
et
le
prolongement
par
zéro,
i l
est
immédiat
que
pour
a < 4 on a
u € Ha + 1 ( Rn).
+
Pour
a > 4 on a le
Théorème 2.12
1
Soit
u
défini
par
Ij)
2. Il
avec
€ Ha (
:Rn - 1 ) .
Pour
a > "2
+
a f.
d'un
demi
entier,
u
peut
se
mettre
sous
la
forme
m
avec
u
= LUk + ua
k=o
k
2
U
€ H
+ 3 /
- e: ( :R:),
k
= O,l, ••• ,m
.
e > 0
k
C;;t
ua € H a+ 1 ( lR~)
où
m
est
la
partie
entière
de
De
plus
ukfHk+3/2(lR~) si la trace d'ordre k de Ij) sur
l'hyperplan x
1= 0
est non nulle.
n-

31
Démonstration.
0
n'étant
pas
un
demi~entier,
si
m
est
la partie entière de o-!,
on a o-!-m> O.
Par
suite
on
peut
définir
les
traces
d'ordre
k
de 'il
sur
l'hyperplan
x
0
pour
k=O, l , ... ,m.
On
pose
donc
n_ 1=
",k
(Yk'il)(x ll
a li>
)
O~k:Sm
k
dX _
n 1
O-k-!( Rn-Z)
On a y k 'il e H
pour n >3.
Nous
allons
alors
remplacer 'il
par
des
relèvements
des
Y 'il'
k
Plus précisément on a
le
Lemme 2.13
:
n-1
Soit 'ilk défini dans R
par
1
(2.13.1)
(~II'ilk)(E,;",xn~1)=
où
q , (E,; ")
= -Vi + 1E,; Il 1 2 •
Alors on a 'ilk e HO ( JR~-1) pour 0 < k < m,
o pour j=0,1, •.• ,k-1 et
Admettons ce lemme et démontrons le théorème.
m
Soi t
'il
L
0 = 'il -
'il
alors
k
.
K=O
pour J=0,1, •.. ,m.
Alors
d'après
le
théorème
de
prolongement
par
0,
on
a
-
eHo ( JRn-1).
'il 0
+
A
1\\
1
1
Par
suite
- /
e HO +2 ( "l[)n- )
•
'il
q+
+
~
et
d'apres
la
régularité
o
elliptique u
définie par
(~ u ) ( E,; 1 X ) = (~ ( E,;' )/ q (E,;'»e - Xnq ( E,; , )
x'
0
' n
0
+
est dans HO + 1 ( JRn).
On a
+
où u
est défini par
:
k
( ~ , u
(E,; , ,x
= ~k (E,; , ) / q+ (E,; ,» e -xn q ( E,; 1 )
k)
n)
Puisque
Yj''il
0
pour
j=0,1, .•• ,k-1,
toujours
d'après
k=
le
théorème
de
prolongement
par
0
on
a
~k e H:+!-e: ( R n- 1)
pour k=0,1, ..• ,m.

32
.
k+3/2-€(
n)
k+3/2
n
Par s u i.t.e U
e u
:m.+
• Supposons que ukE H
(R+),
k
k
alors sa trace
y u
sera dans
i I
n-1)
.
H
(R
. SOlt, par transfor-
k
o
"
I\\k+l
n-1
mation de Fourier, $k/ q+ sera dans H
(:m.
) et puisque q
+
+
se
prolonge
en
une
fonction
analytique
dans
le
demi-plan
6.
t\\k+!.
n-1
"
lm ~ n-l > 0
on
en
déduit
que
IJ>k eH + 2 (:m.
)
c 'est-a-dlre
quel
IJ>k
admet
un
prolongement
par
zéro
qui
est
dans
n- 1).
Hk+:r ( :m.
DI après
le
théo~ème de
prolongement
par
zéro
on
aura
en plus
des
conditions
Y'.lJ>k=O
pour
j=O, ••• ,k,
J.
la
condition
intégrale
L fDO aklJ>
2
.
_ _k_ (x", t )
dx "
dtt < 00 •
:m.n- 2
at k
o
.
Mais d'après Plancherel on a
l aklJ>k
2
.
- - ( x " ,t)
dx "
2
:m.n- 2
at k
=
(2 TI; n-2 fR n -
par suite d'après Fubini on aura
DO
k
2
f :t (~dk)(~"
k
,t) 1 ~t <00 pour presque tout ~".
On
(~lIlJ>k)(~",t)
a
= y21J>(~") ~~ e-~+I~"12
k
d'où
~( ~"lJ>k) (~" , t.)
at
k
où
p I t )
= 1 +
L a'(~")tj. Mais il est immédiat que
j - l
J
- fDO. -2tv'l:+1C"" 12 dt
pour
tout
j > 1
on
a
t J e
DO~
t
<00
par
suite
on
Yk~ (~ f
a
la
condition
;
" ) 12
e - 2tVt + 1~ ",2 d; <00 pour
o t\\
presque
tout
~"
ce
qui
implique
YklJ>(~")=O pour
preque
tout
~".
c v q s f v d .
Démonstration
du
Lemme
2.13.
Il
est
immédiat
que
n- 2))
IJ>k e CDO(R+, YI ( :m.
avec
Yj IJ>k =0
pour
j=O, 1, .•. ,k-1
a
1).
et
YklJ>k= YklJ>.
I l
reste
donc
à
montrer
que
IJ>k e H ( :m.:-
Soi t
~ le
prolongement
de
IJ>k
par
zéro
pour
x
1 < O.
n-
t\\
On a
.k+l
1
YklJ>(~II)

33
Mais
puisqu'on
ne
s'intéresse
qu'à
la
restriction
de
n-l
à
peut
remplacer
~
autre
expression
Ijlk
:R
on
par
une
+
qui a même restriction.
Pour tout nombre complexe on a la relation
N-l
.
N
(-2a)
(2.13.2)
x~a = .L
N .
J=O
(X+a)(X-a)
Cette relation s'obtient en remarquant que x~a = (X-a)(I+(2a/x-a»
et
en
développant
1 + (2~/X-a).
Par
dérivation
on
a
alors
:
1
_ ~ (j +k ) !
( - 2 a ) j
(2.13.3)
~
+
(X+a)k+l
-
j=o j! k!
(X_a)j+k+l
(-1 )k
ak
(-2a) N
+
k!
---.<
N
ax
(X+a)(X-a)
En appliquant cette relation ,
1
'1
.
t
a
1
Vlen:
(~
+ïvi+I~"12)k+l.
n-l
N-l
1
L (j+k) !
(_2-vf + 1 ~" 12)j
j!
k!
j=o
(
.)k
(_2"Vl:'+I~"12)N
+
-J
k!
Mais
pour
tout
j
la
fonction
1
se
( ~
_ i VI + 1~ "12 ) j +k + 1
n-l
prolonge
en
une
fonction
analytique
dans
le
demi-plan
n 1
.Lm
~ 1 < 0, donc la restriction à :R -
de
sa
transformée
n-
+
de Fourier inverse est nulle; par suite
~k a même restriction
que la fonction
~k définie par :
1\\
(
.k.
k
Lk + 1 ( _ 2'\\1 + 1 ~" 12 )N Y-:'Ijl ( ~" )
~ (~", ~
) =
- \\r
a
k .
k
n-l
k.
a~k 1· (~ l+iVl+I~"12)(~
l-iVl+I~"12 )N.
n-
n-
n-
D'après Leibnitz on a
ak
1
k
a~n_l
( ~
+ïVl + 1 ~" 12 ) ( ~
- ivl. + 1 ~" 12 ) N
n-l
n-l
N-l
1
(_l)k k!
.L
J=o

34
Par
suite
on
peut
trouver
une
constante
C
telle
que
2)N
2
(1+ 1 E,;1I/
1y,!}1jl (E,; ") 1
2
1~ (E,;') 1 < C ·
.
k
k
(1+1E,;1I12+E,;~_1)N+k+1
2+
On
multiplie
alors
par
(1+1E,;"1
E,;2
f et on intègre.
n-1
Mais
si
on
choisit
N
assez
grand
pour
que
a-k-! < N alors
2
l'intégrale
JR( 1+ ~~-1 + ~"
1
1
) <1-N-k-l
d ~n-l
converge
et
est égale à c(1+IE,;1I1 2)a-k-!-N
Par suite on a
IIljJkll~a(:Rn-1) < CIIYk Ijl lI~a-k-! (]Rn-2) .
c.q.f.d.
Nous avons un énoncé analogue pour la deuxième expression
dans
la
représentation
de
la
solution
et
la
démonstration
est en tout point identique à la précédente.
Théorème 2.14 :
Soit v€co(R
, ~'( ]Rn-1)) définie par:
+
( § v)(E,;'
x
)
=(@(E,;I)/q(E,;I))e-xnq(E,;')
x'
,
n
où
~ est
le
prolongement
par
zéro
d'une
fonction
de
ljJ €H a ( ]Rn-1).
+
Alors
pour
a >!
et
si a n ' est
pas
un
demi-entier
v
peut
se mettre sous la forme
m
k+ 2-e:
v = L
v
+ v
avec v
€ H
( ]Rn)
k=O,1, . . . ,m
e:>O
k
k=o
k
a
+
a+ 2(
v
€ H
]Rn)
m étant la partie entière de
a--12 •
a
+
'
Jo
k+2(
n)
De
plus
v k 'F H
]R+
si
la
trace
d'ordre
k
de ljJ
sur
l'hyperplan x
1= 0 n'est pas nulle.
n-

35
Chapitre III
CALCUL des PREMIERES
SOLUTIONS du LAPLACIEN
dans un DOMAINE AVEC FISSURE
Les
notations
étant
celles
du
chapitre
précédent,
on
se
propose
d'étudier
le
problème
de
régularité
de
la
solution de l'équation de Laplace dans Q.
1
Soit donc u~.H (Q). On suppose que :
i)
6u=O
dans
Q
i»
y;u/S+= g,
y~u/S+= h .
s-3/2(
n-1
Si
g
et
h sont donnés dans H
] R ) avec s > 1,
a-t-on
+
u dans HS(Q)
?
Nous
allons
établir
pour
la
discussion
de
ce
problème,
une
formule
de
représentation
de
u
analogue
à
celle
du
théorème 2.5 avec cette fois-ci
q(~I)=I~'1
§1.
La formule de représentation
1.1
Préliminaires
S
Nous
allons
établir
la
continuité
H
des
opérateurs
qui
interviendront
dans
la
formule
de
représentation.
Soit
a(~)
une
fonction
définie
sur
]Rn,
localement
intégrable,
à croissance lente pour
I~I -- 00.
On associe alors à a un opérateur A de
Y(]Rn) dans
Y' ( ]Rn)
-1 ( 1\\
défini par
Au =ffi
au).
Proposition 3.1
:
On
suppose
que
a
est
continu
en
dehors
de
l'origine
et homogène de degré a.
i)
Si a >-n
alors
l'opérateur
A
associé
à
a, se
prolonge
en
un
opérateur
continu
de
HS
(]Rn)
dans
nS- a ( ]Rn) ..
comp
l oc
Si a > -~
alors
A se
prolonge
en
un
opérateur
continu
HS
a
(
]Rn)
dans Hs- a ( ]Rn)
et de HS ( lli,n)
dans Hs
( ]Rn).
comp
l-oc

36
Démonstration.
L)
Soit 8
une
fonction
de
troncature,
nulle
au voisinage
de zéro et valant 1 au voisinage de l'infini ..
a(~)O(~) = 8(~)a(~)O(~)+(1-8(~»a(~)O(~).
(1+1~12)(s/~~a/2) 8(~)a(~)O(~)=(I+I~12)-a/28(~)a(~)(I+I~12)s/20(~)
et
(l+1~12)-a/2 8(~)a(~) est borné sur :Rn puisque a est
continu
en
dehors
de
l'origine
et
homogène
de
degré a .
Donc
fji-l (8 a 0) ~ Hs- a( :Rn) si u E HS ( :Rn).
Puisque a > -n,
a est localement intégrable.
Par
suite
(1-8 (~ ) ) a (~ ) E LI ( ]Rn) ,
alors
sa
transformée
oo
de Fourier inverse k est dans L ( :Rn) et on a
jt-l«1-8)a 0) = k * u.
2
I
Si
u
est
dans
L
( :Rn)
alors
u E L
( :Rn)
et
donc
comp
00
n
comp
k*UE:L(:R).
De plus pour tout multi-entier y,
DY (k * u ) = DY k * u
et
DY k = § -1 ( ( i ~) Y (1- 8) a )
v
00
n
donc on a encore D 1 k E L ( :R ).
6
2
Si
u
=
D v
avec
v E L
( :Rn)
alors
comp
par suite on a
n
2
n
ii)
Si a > -
2 on a
a E L
( :R ).
l o c
En
faisant
la
même
décomposition
que
précédemment,
i l
vient que
§ - 1 (8 a 0) E Hs - a(:Rn )
et
~-I«(1-8)a Ü) = k * u
avec
On
en
déduit
alors
comme
s
si UEH
(:Rn).
comp
oo
2
Si
u E L ( :Rn),
alors
d'après
Holder
k * UEL ( :Rn)
et
oo
en
raisonnant
comme
précédemment
on
a
k * uEW ( :Rn)
00
c.q.f.d.

37
Corollaire 3.2 :
1
On
pose
q+(E:')=(E: n_1±ilE:"1)2. Alors pour n>3,
l'applica-
n- 1)
tion
.p~ YE:~1(*1 est continue de H:( :R
dans'
dans HS+ 2
(:Rn..: 1). -
±loc
On
applique
la
proposition
précédente
n-1
avec
a =-!
et
a > -
2
si
n>3.
Donc
Soit Q u
+
c > O.
n- 1)
On sait que si
.p E S
H ( :R
alors
+
Il
suffit
donc
de
montrer
que
n-1
fil' (:R
) lorsque
c ----?> O.
n- 1)
Si \\Il E Y( :R
on a
@(E; ,) 0(E; ,) dE:'
q~ ( E: ' )
qui
est
intégrable
et ~
Lebesgue
on a
c
lim
<Q .p, \\Il> =
<Q .p,\\Il>
c v q v f v d ,
€-+o
+ +
Proposition 3.3 :
1
On pose q(E:' )=IE:' 1 et q±(E:' )=(E:
1 )2.
n_ 1±ilE:"
fi
i)
L'application
.p /---?> ~~ 1 (~ e -xn q)
se
prolonge
en
n- 1)
s+
2
une
application continue
de
H s
(:R
dans
H
3 / ( :Rn).
comp
loc
+
ii)
L'application
.1\\
1
.....
=-1 (~ e- x n q)
1
't' r-:;:"
oT.
se
pro on ge
en
E:' , q ,
n- 1)
1(
une application continue de HS ( -:R
dans HS +
:Rn).
loc
+

38
Démonstration.
Soit
t > 0
fixé,
pour
que
que
e -txn
u E Hs + 3/ 2 ( :m.n ) .
+
Soit e une fonction de troncature. On a
u = u
u
avec
1+
2
_ or - 1 (~"
- x n q )
u 1-J'"E,;' qlj)e
u 2 = ~E,;~ 1 ( ( 1 ~ e) ~ e - xn q ) •
Si
est
le
prolongement
de
"r
par
zéro
pour
x
< 0,
n
on
a
~ ( -txn - ) =
ie ~
En
décomposant
E,;
e
u 1
q [E,;n+i(q+t)] .
1
d'après
la
formule
2.13.2
et
en
raisonnant
~
n
s
comme
au
lemme
2. 13
on
obtient
e -txn "r E H +3/ 2 ( :m.~)
1
m:- 1 (e "
1
puisque
Ij) ï'"7J'"ç
q Ij»
est
cont inu
de
HS ( :m.n -
)
dans
HS + 1 ( :m.n - 1 ) .
Pour
on
raisonne
à
x n fixé
comme
à
la
proposition
(l-e )e- Xu q
3. l , 1) .
Puisque
est
localement
intégrable
q
à
support
compact
on
déduit
que
pour Ij)
à
support compact,
u
E.W(l)(Rn - 1)
pour
x
fixé.
Mais
i l
en
est
de
même
pour
2
(1)
n
toubes ses dérivées
d t o
E W(l)( -.on).
î
en x n
ou u 2
(1)
~+
ii)
On
décompose
~-1( "
~ e -xnq) et on utilise le fait que
q±
1-6 e- xn q est pour x
L2(
> 0 fixé, dans
:m.n - 1 ) .
c.q.f.d.
q±
n
1.2
La formule de représentation
Théorème 3.4 :
On
suppose
n > 3 .
Soit
s,{!
tel que
6 u=O.
Alors on a
( ~ , u ) (E,;', x
=
A( E,; 1 ) e -xn 1 E,; 1 1
n)
avec
A E ~s-! ( :m.n - 1 ) .

39
Démonstration.
Supposons
dl abord
que
s < ! .
Soit
alors u
un prolongement par zéro de u à H~( ~n).
S- 2(
S- 2(
On a
f!ti = F avec FE H
~n) n H
~n). Par transformation
+
-
de Fourier on a
:
2 1\\
1\\
"
-1E;;1
li = -(E;; +ilE;;'I)(E;; -ilE;;'I)ü = F
n
n
-«n+il~'
d'où
1) [(~n+ii~' I)S + ~n-t~, I~= o.
1\\
l'
2
(
n)
.
F l n )
Puisque n>3,~ELloc ~
• Par s u i t.e
~ELloc(~
n
n
1\\
on en déduit que
(E;;n+ilE;;'I)~ + E;; -i/E;;'r=O
n
puisque
(E;; +ilE;;' 1)1 0 presque partout.
n
eEHs(~n)
s- 1(
d'où
(E;; +ilE;;'I)aEH
~n), ~E ~s-2(~n)
d'où
+
n
+
1\\
F
s-l
(
n)
( 1
1 ~
s-l ( n
s-l
n)
~ E H 1
~
par suite
E;; +i
E;;'
)u E H
~. ) n H
( R .
<;,_-11 c,' 1
-
oc
n
+
n
D'après le théorème 1.18 i l vient
A
~
li(E;;)
=
k-
•
1
oSJ<-S+2
. 1 1
avec
V.EHs+J-2(~n-·).
Par
transformation
de
Fourier
J
inverse en E;;
i l vient
:
n
(~,u)(E;;',xn) = -i( .L (-ilE;;'I)j ~.(E;;I)e-XnIE;;'I)
OSJ <-s+!
J
En posant A(E;;')
= - i (
L
(-ilE;;' I)j O.(E;;'))
o~j<-s+!
J
on a bien
A E ~s-! ( ~n-1).
1
Supposons
s> 2.
On
prend
alors o < !
et
u E HO ( ~n).
Alors
.
1 E;; , 1
1\\
1
(!F ,u)(E;;',x ) = A(E;;' )e- Xn
avec A E HO - 2( ~n-1).
Mais
x
n
puisque
s >!
dl après
le
théorème
de
trace,
u
a
urie
trace
1
1\\
1
1
qui est dans HS- 2 ( lR n - 1 ) Pa r suite A est dans HS- 2(IRn- ). c.q f
• • d ,

40
Théorème
3.5
On
suppose
que
n ~3.
Soit
u E' HS(n)
tel
que
l\\u==O.
On
note
u
et
u
les
restrictions
de
u
à
Rn
+
+
-
/
+
et R~. Soient g == Y;u/S+ et h== Y
S
;
On suppose que g et h
1u
sont à support compact.
Alors pour s ~ 1 on a la formule de représentation
A( f,;' ) e -Xn 1 f,;' 1
(3. 5 • 1)
( ~ , u + ) ( f,;' ,x
==
n)
B(f,;')exn1f,;'1
(3.5.2)
(~,u_)(f,;',xn) ==
avec
:
1\\
t:.
(3.5.3)
A == -!($/q+ + 'il/q)
/1
(3.5.4)
B ==
! â /s, - ~/ q)
J.
ou
q ( (,)
==
1f,; 1 1 et
q + ( f,;')
==
rc
±i 1f,;" 1 ) 2
li
/1
n-l
'il == g-h
,
4> == ji="-1 (G+H)
,
Ijl == 4>/ :JRn-l •
q-
+
.
G
t H
d
1
'
S-3/ 2(
n-l)
e
' s o n t
es
pro ongements
a
H
:JR
de
g
et h ,
comp
$ et 'il sont les prolongements par zéro de Ijl et 'il •
Démonstration.
On
sait
d'après
le
théorème
3.4
que
u
et u
sont de la forme
+
(.~ ,u )(f,;' ,x )
x
+
n
( ~ , u _ ) ( f,;' ,xn)
Soit alors v défini par
(.<j'IV
)(f,;',x)
== A(f,;I)e-xn1f,;'1
x
+
n
(.~
B ( f,; 1 ) eXn 1f,; 1 1
1 V_)( f,;' ,x n)
où A et B sont définis par
(3.5.3) et (3.5.4).
Comme
au
théorème
2.6
on
voit
que
l\\v==O
dans n,
y;v/s+ == g,
-
/
+
h
Y v S ==
•
1
A
n
+ /
+
Soit alors W == u-v,
on a
uW==O dans ~',
Yi W S ==0,
Mais par construction on a
:
(!Fx'W )(f,;',x
)
==~(f,;')e-xnq(f,;I)
+
n
( $ ,
W ) ( f,; , ,x )
== PA ( f,; 1 ) e Xn q ( f,; ')
•
x
-
n
Alors
en
exprimant
les
conditions
aux
limites,
i l
vient
1\\
(3.5.5)
q ~== E
1\\-
(3.5.6)
q&l== F
1\\-
(3.5.1)
.91- fIl == M
1\\+
(3.5.8)
q ( .91 +&1) == N+

41
Par addition de
(3.5.5)
et
(3.5.6)
on a
q ( d +tJd)
~ + ~ = ~
avec
+
A
/\\
!J
q(.~ +~) = q(y u
+ y u )
+ ljJ
o +
0 -
/\\
As-~ ( JRn-1)
/\\
AS-3/2(
n-1)
y u
E H
donc
q y u
E H
JR
o +
o +
3/2
l
A
A ±
1
ljJ E HS -
(JR:-)
et s > 1 donc
ijJ E H: 2 (JRn- ).
Par
suite
q(s'+~) A-~( JRn-1){'\\ H-!( JRn-1) qui est réduit
+
-
. à {o} d'après le théorème 1.8 d'où q(.~+~) = o.
Par suite
d+tJd
est nul en dehors de l'origine.
Ô
Mais
si ljJ
est
à
support
compact,
ljJ
est
indéfiniment dériva-
1
1
n-1
6-
ble
et
puisque
n > 3, q E L
(JR
)
par
suite
ljJ /q
est
l o c
localement
intégrable
et
comme
i l
en
est
de
même
pour
/\\
.
/\\
Y u
et y u ,
on en déduit que
sI+&l = o.
o +
0
-
/\\
D'après
( 3 • 5 • 7 )
q M = q
(d -PJ)
et
d'après
(3.5.5)
et
+ +
+
(3.5.6)
/\\
/\\
.
E
F
A
q
(si -~) = .;::;.:...--=- = q M
+
q-
+ +
/\\
A
q
LC# -tJd) = q (y'h
-
y u ) + ; j ) .
+
.
+
0
+
o -
Si
g
et
h
sont
à
support
compact,
d'après
la
proposition
6.
2(
n-1)
3.1,
IIlEL
JR
,
et
i l
en
est
de
même pour q
(y,\\ - y/\\u
).
+
0
+
0 . -
Par
suite
d'après
le
théorème
1.8,
q
(sf-ÇjJ) =0
donc
,s#-ÇjJ =0
+
en dehors de
l'origine.
Mais par construction
d - tJd = y,\\
- y'\\
+ ~/ q •
o
+
0
-
+
Puisque
n > 3,
~ E Lioc ( JRn-1) donc S/q+ E Lioc ( JRn-1) et
pa r
suite
d - ~ = o.
§2
Calcul de la Première Solution Singulière
Théorème
3.6:
Soit u défini par
( 3 • 6 • 1 )
(~ ,u) ( t" ' ,x ) == ( ~/ q )e - xn :E: ' 1
x
.,
n
't'
+
±
cr
n-1
avec
q+(E;;')=~E:n_1+ilE;;"12) et
où
IIlEH (JR+
)
et
III le
prolongement de III par zéro pour x
<o.
n_ 1

42
On
suppose
que
a>!
et a f.
d'un
demi-entier.
Alors
on a
m
u =
L uk + ua
avec
k=O
u
E H3/ 2+ k- E ( :Rn)
u
E H o- 1 ( :Rn)
k
loc
+
a
loc
+
où m est la partie entière de
a-! .
De
plus
on
a
ukjHI3/2+k(IRn)
si
la
trace
d'ordre
k
de
oc
+
~ sur l'hyperplan x
1=0 n'est pas nulle.
n-
Démonstration.
Elle
est
analogue
à
celle
du
théorème
(2.12).
On définit pour· 0< k< m, ~k par
1\\
<.~ Il ~k ) ( ; Il , X n _ 1) = yk~ (cIl )
et on définit u
par
k
(
)( t' ,
)
(6/
) -xnl;'1
~,uk
s ,xn
=
~k q+ e
ua est défini par
1\\
- x l ; ' 1
.
(9i'x,u
,xn)=(.:j)a/ q) e
n
a)(;'
L
avec
~a = ~ - ~k·
k=o
On conclut alors de la même façon grâce au
Lemme 3.7 :
Soit G
défini par
k
k
I\\g (t'II)
x n_ 1
-xn-11;"1
( ~IIGk) ( ;" ,xn_ )
1
=
k
~
~ e
a-k-!(
n-2)
avec gk E, H
: R .
a
n-1 )
Alo r s
G E Hl
(:R
•
k
oc
+
,
,
a
(-.on-1 )
Demonstration.
Soit n > 0
fixe.
Pour
que
G
E H
k
l o c
.JI'- +
a(
i l suffit que e- n Xn-1 GkE H
:R~-1).
On
pose
G
= e-n Xn- 1G
,G ·
le prolongement de G
k,n
k.
k ,n
k ,n
par zéro pour x
1 < O.
Alors par transformation de. Fourier
n-
i l vient

43
"Gk,n(S') =
On décompose alors
1
d'après
(2.13.2)
et
on
conclut
de
(sn_l+ i(n+ls"I))k+1
la même façon qu'au lemme 2.13.
c.q.f.d.
Supposons
que
! < cr <3/2.
Alors
d'après
le
théorème
3.6, si u est défini par (3.6.1) on a
n)
u=uo+ucravec
u
EHcr+1(:R
cr
loc
+
et u
est défini par
o
( dl:
) (
C"
)
(6 /
) - xn 1s' 1
.Tx t U o
~' ,xn
=.po q+ e
avec
.p
défini par
.0
1\\
- x n _ 1 1s "1
(
~II .po) (s" ,x
= y~.p (s") e
n_ 1)
Nous
allons
donner
une
expression
plus
explicite
de
u o
et
allons
pour
cela
l'exprimer
en
fonction
de
la
première
solution
singulière
en
dimension
deux
donnée
dans Grisvard
( 3 ) .
Remarquons que u
est solution de l'équation
o
n
6u
= 0
dans:R
o
+
1\\
"
y u
=
;p /q .
o 0
0
+
Cette
remarque
nous
permettra
de
comparer
d'autres expres-
sions à u
en utilisant la régularité elliptique.
o
D'après l'expression de
.p , on a
o
1\\
A
_
i
YQ.p(~")
~o/q+ - (s
+il~"1)372'
n-1
En
prenant
la
transformée
de
Fourier
inverse
de
cette
expression
et
d'après
la
relation
(2.2)
de
l'appendice,
il vient
:
i
e - i ( 3lT/ 4) .{'.p ( ~ " ) ( x!
) e - x n - 1 1s Il 1
o
n-1,+
( §x" y0 u 0 ) ( s" , x n - 1 )

44
Nous
allons
prendre
un
autre
relèvement
de cette
fonction.
. On pose
x
o~e<1T
n-1
= r
cos e
x
= r
sin e
n
(3.8.1)
$1(r,e) = .y;
e
cos
.
2
Soit U
tel que
o
1\\
ri ~ Il 1
( 3 . 8.2)
( fF Il U ) ( ~ Il , x
1 ' x
)
= W Yo' Ij) ( ~ Il ) ë
$1 ( e , r )
x
0
n-
n
,
2i
i (1T /4)
ou w=-JTI'e
.
On a alors y U
= y u .
o 0
0
0
Théorème
3.9
U
étant
défini
par
(3.8.2)
et
u
par
0
0
(3.6.1) on a
U -u
E Ha +1 ( ]Rn).
0
0
loc
+
Démonstration.
Nous allons utiliser la régularité ellipti-
que et calculer ~U •
o
~II(~U ) = _1~1I12
.t1F Il (U ) + § Il ( ~'U )
X
0
X
0
x
o
2
2
2
2
,
él
él
él
1
él
1
él
ou
~,
=
2
+
2 = élr 2 + r ar + r2 éle2
élx
1
élx
n-
n
En remarquant que ~1$1= 0 il vient
~ (~U
e
)
-rl~"1
= -2w ~ y':'.fl e
cos
x"
0
-Ir
o'l"
2'
La
régularité
de
~U
est
alors
donnée
par
la
proposition
o
suivante
:
Proposition 3.10 :
Soit
k(~",r) =ra e-rl~1I1 avec a>-2, et
2
2
2
r
= x
+ x
•
n
n_ 1
Alors
l ' application
gt----..~~,t (~( ~") k ( ~" , r ) )
est
continue
s
n 2
s+a+1( --n
,
de H ( JR. -
) dans Hl
JR. ) pour s < O.
oc
+
Admettons cette proposition.
Puisque
y'lj) E Ha -! ( JR.n-2)
o
'
et
donc
a < 3/2,
en
appliquant
la
proposition
1
avec
a = -2
on a
~(U
a-
)EH
1(JR.n).
o
loc
+

45
Par suite d'après la régularité elliptique on a
U
-
u
E H (H 1 ( JRn).
o
0
loc
+
1\\
Démonstration de la proposition.
Soit k(~) = (.~ ,k)(~",~')
X
où on a
posé x'=(x
l ' x )
et ~'=(~
1'~).
n-
n
n-
n
Alors ~~II1 (~(~ " ) k (~
~ ~ » .
Il , r )
=
§-1 (~ «. Il ) (
1\\
Nous pouvons conclure en étudiant k(~) d'où le
Lemme 3.11
:
Soit
k (.~ Il , r) = r 0 e - r 1~ Il 1 , °> 0> -2 .
A
Alors
la
transformée
de
Fourier
k(~",V) de k par rapport
CD
,
à
x'
est
en
dehors
de
l'origine
une
fonction
C
homogene
de
degré
-0-2
par
rapport
à
l'ensemble
des
variables.
Admettons
le
lemme,
alors
en
multipliant
par
une
fonction
1
_ oz-l
A A
de
troncature,
on
montre
que
l'application
u r---:JI'
(u k )
est continue de HS ( JRn)
dans Hs +a + 2 ( JRn).
A
l oc
Par
ailleurs
g
= ~ (g N 15
N 15
) •
Hais
d' après
le
x
x
x
n_ 1
n
théorème
de
traces,
l'application
u l - u(xll,O,O)
est
r
r
continuede H ( JRn)
dans H - 1 ( JRn-2).
1
P t '
S1
r >...
ar
ranspos1-
tion
on
déduit
que
l'application
g~I-"~gN15
N
x
15x
n_ 1
n
est continue de
H- r+ 1( JRn-2)
dans
Hr( JRn).
I l
suffit
alors
de
prendre
s=-r+ 1
d' où
la
condition
s < O.
Démonstration du lemme.
k(~",r) est une fonction invarian-
te
par
rotation.
Il
en
sera
de
même
pour
sa
transformée
de
Fourier.
Par
rapport
à
~n-1
et
~ n
elle
ne
dépendra
que de la variable p et on a
pour
1~"lfO
~(~",p) ~ fKrae-r'~"1 e i xn P dX _ dX
n
1
n
1 0 -r 1~Il1 irpsine d dx
=
JR2 r
e
e
x n_ 1
n
~ L~i':a+1 e-rl~"1 eirpsine dr de.

46
La fonction JOJde(xB)essel1iéi:::indaond6né~IPa~ t
o
= f i
e
1
v a e n
o
1\\
(00 a+1
-rlE:"1
k(E:", p)
=
21T Jo r
. e
Jo (rp)dr
~(ÀI;",ÀI;') ~(ÀE;",Àp)
=
2w L~ra+l e-ÀrlE;"IJo(l.rp)dr
et par changement de variable,
~ (>..E: Il , ÀE: 1) = À- a- 2 ~ ( E: Il , E: 1 ) •
c v q v f v d .
r
On a U = w !Fi.! (y~'il e- 1E:1I1) $1 (6,r)
o
-1
r;
_rlt"1I1
et
~
( y l 'il e
.,
)
= K ~:- yi 'il
où
E:II
0
XII
0
r(n-l)/2
1
K(xll,r)
= 1T (n - 1 ) /2
-(-r~2-1-'-,x-,-,"""':12:-")--;(:--n--"""0-'/"="2"')
K est un noyau de Poisson par rapport à X
1 et X
•
n-
n
Théorème 3.12
:
i)
LI opérateur
g f---~ K·::· g
est
continu
dans HS + 1 ( Rn) pour s < o.
I oc
+
n
ii) Pour
tout
s ,
g--~K ~} g
•
d
HS ( "1O
- 2 )
est
cont1nu
e
~
dans
n
2
HS ( R
-
»
et
si
g 1= o.
Démonstration.
i)
est
un
corollaire
de
la
proposition
3.10 en prenant a=O.
ii)
On
fait
une
transformation
de
Fourier
p ar-t.Le Ll.e
en XII.
Alors on a
~II(K {:- g) = e- r lE: 1I1 ~\\E:") et il suffit
X
de montrer que cette expression est dans
2-€:(R
2
2
H
2
L
(Rn -
»
n L 2 .
(R 2
L2 ( R n- 2»
loc
+'
s- 2
lac
~ ,
s
2
on a noté L~ l'espace L2 avec le poids (1 + 1E: 1 )° •

47
Puisque e -r 1 E;;" 1 < 1,
i l est immédiat que
!i!,,(K -;l- g)E L2
(R 2,L 2( ]Rn-2)).
x
l oc
+
s
a
a2
De même "'Ir g- (K -* g) et - - [j'" (K * g) sont dans
a
x"
ar2
x
L2
(]R 2 L 2
(]Rn- 2) )
mais
ce
n'est
pas
le
cas
pour
loe
+'
s-2
.!. .1..( K -;:- g)
car
_1_
n'est
pas
intégrable
à
l'origine
en
r
ar
2
r
dimension
deux.
Mais
on
a
_1_ EL~
(]R2)
pour
tout
p<2.
r P
oc
Par
suite
~,,(K ~} g) E Wî~~(R:,L;~2( ]Rn-2))
pour
tout
p < 2.
Alors
d'après
le
théorème
d'injection
de
Sobolev
on a
K *
EH 2-e:(R 2 HS
2(
-
]Rn-2))
g
loc
+'
et de plus d'après Fubini:
si g-fO.
c.q.f.d.
Revenons
à
présent
à
u
et
exprimons
Y'1j)
en
fonction
de
o
g et h ,
D'après le théorème 3.5 on a
:
1\\ 1\\
Ij)=
4>/]Rn-1
où
4>=~-1(G+H)
+
q-
G et H étant des prolongements de g et h.
Proposition 3.13 :
n
1
Pour G E !/( 1R -
) on a
1\\
§-1 (~) (x" x
)
q_
'
n-1
1
(y
-x
)2 G(y",y
Jdy "
dy
x
n-1
n-1
n-1
n-1
[(
) 2
1"
"1 2 ] ( n - Ü! 2 )
x
-y
+
x -y
n-1
n-1
Démonstration.
g-1 (8/q_)
= j'="-1 (q= 1) ~} G.
Mais d'après la formule
(2.3) de l'appendice

48
i ( n/4)
Xn-l 1 E:" 1
e
e
et
1
r (n-l/2) x
1
§-1 «
-1)
Xn-l 1E:" 1) =
E:"
_[(x- 2 ) ]
n-
x n_ 1 _ e
n - 1 -
( 2
1" 12 ) (n -1)!2
( n -1) !2
x
1+ X
n
n-
d'où le résultat.
c.q.f.d.
Par
suite
si
G
est
un
prolongement
de
g,
i l
vient
1
1'" 1
-1
A
n-l
(Yn_l- Xn_l)2 g(Y"'Yn_l)dy" dY n_ 1
,t:F
( G/q )/JR
=a
-
+
n
n-2
[(
)2,,,
"12](n-l)/2
n-l :R
x
l-Y
1
+ x -y
n-
n-
et
sa trace
est
égale
à
T(g)
où
l'opérateur
T est
défini
par
:
Joo
n-
u-
n-
T(g ) - -
l
r ( n - l )/2
~1 g(y" ,y 1 )dy"dy 1
(3.14)
.
-
n(n-O!2
n-2
(y2
+ Ix"-y"
2
1
)(n - l ) ! 2
o :R
n-l
On a
immédiatement la
Proposition 3.15
:
L'opérateur
gt--~T(g)
défini
par
( 3. 14),
est
continu
O
n- 1)
O
n- 2)
de H ( :R
dans
H
(:R
pour
0> o.
+
I oc
,
.
Démonstration.
Si
G
est
un
à
HO( :Rn - 1 )
prolongement
de
g
-1(A/
)
0+1
n-l
§
G q
E Hl
(:R
)
et
donc
si
0> 0
la
trace
de
~
oc
-1
0
n-2
fF
( /q
) est dans Hl
(:R
) .
c.q.f.d.
oc
Définition 3.16
:
Soient
g
et
h
O(
n-l)
dans
H : R
.
On
dira
que
g
et
h
sont
+
compatibles
si
g-h
admet
un
prolongement
par
zéro
dans
HO ( :Rn - 1 ) •
+
1
Théorème 3·17
Soit
UEH
( n )
tel
que
l'lu
= 0
dans n
r;u/s+= g,
r~u/s+= h,
et soit
u
= u/ :Rn.
+
+
Hs-312(
n-l )
On
suppose
que
g
et
h
sont
dans
:R
.
Alors
comp
+

49
Pour
s
(
n)
1 < s < 3/ 2,
u
E Hl
J R .
+
oc
+
Pour
3/2 < s < 5/2, si
g
et
h
vérifient
la
condition
de compatibilité, on a
u + = ~ K * (T ( g ) + T ( h »
$1 + Us
où
Us E H~oc(JR:) et
où
les
opérateurs
K
et
T
sont
définis par (3.12)
et (3.14),$1
par (3.8.2).
Démonstration.
D'après
la
formule
de
représentation
.
/
s-1
~1
du
théorème
3.5,
si
s- 3 2 < 0,
.p E Hl o c (JR+
)
et
admet
s-1
n-1
un
prolongement
par
zéro
.p
dans
H loc( JR
) ,
donc
6/
E. Â
Hs - ! ( JRn-1)
d
•11
q
et
e
meme
que
~/
P
•
l
. •
A
,II
q.
ar
regu a r-Lt.é
't'
+
loc
't'
S
elliptique,
on en déduit que u E H
( i " ) .
I oc
+
Pour
3/2 < s < 5/2
et
si
g
et
h
vérifient
la
condition
de compati bili té,
alors
~E HS - 3/2 ( JRn-1) et donc
~/q E ~sl-! ( JRn-1) et encore d'après la régularité elliptique
oc
:Fe--, 1 (.~ / q) e - x niE;;' 1 / JRn E HS
(JRn) .
.,
+
loc
+
On
applique
alors
le
théorème
3.9
à
la
première
expression
avec cr= s-1.
c.q.f.d.
è me
§3.
Calcul de la 2
Solution singulière
Nous
allons
de
la
même
façon
analyser
le
deuxième
terme
dans
l'expression
de
u .
Nous
aurons
donc
l'analogue
+
du théorème 3.6.
Théorème 3.18 :
Soit v défini par
:
(~,v) E;;' ,x
= (~/I E;;'l)e- x n l E:' 1
n)
n
"
:R - 1 ) ,
Jo
't'
e'tant
un
prolongement
où
ljJ E
de
ljJ
par
H~omp ( +
zéro.
Alors
pour
cr > !,
cr 1=
d'un
demi-entier,
on
a
m
v
=
avec
~
k=o
v
E H2 + k- E( JRn)
k
loc
+ '
où
m
est la partie entière
de
cr-!.

50
De plus
on
a
v k f Hî:~ ( :m.:)
si
la
trace
d'ordre
k
de l/J sur
l'hyperplan x
1=0 n'est pas nulle.
n-
Nous allons
supposer
que
! < 0 < 3/2 et donner une expression
o
plus
explicite
de
v
modulo
les
éléments
de
H + 3 / 2( :m.n ) .
o
loc
+
(3.18.1)
(
tZ
V
) ( n
x
)
= (~o/q) e -Xn 1 f:' 1
.JX. 0
<"
n
'1'
où
l/J
est défini par
o
(3.18.2)
:::
y ~l/J ( f:" ) e - Xn -1 1 f:" 1
o
".v
est cett'e fois,.-ci
solution de
:
0
6v
= 0
dans
:m.n
0
+
1\\.
Y
V
=
'"~ /q.
o
o
0
Nous
allons
donc
utiliser
la
deuxième
solution
singulière
en
dimension
deux
pour
remplacer
v
par
une
autre
express-
o
sion
ayant
la
même
trace
que
v
.
La
transformée
de
Fourier
o
de cette trace étant égale à
---..
A
iY'l/J(f:")
o
(3.19)
YV(f:I)
o
2
2
= (f:
+ilf:"I)(f:
+1f:"1
)!
n-1
n-1
on a alors
la proposition suivante
Proposition 3.20 :
1
y v
étant
défini
par
(3.19),
avec
l/J E HO ( :m.n -
)
o >!
o
1
1
alors
à
l'addition
d'une
fonction
de
H O+ - e: ( :m.n -
)
près,
loc
on a
!J! (y v)(f:" x
) = !.(x
) e x n- 1 1f:" 1
x"
0
'
n- 1
1T
n- 1 -
1(
)
-xn-1/f:"1
-
-
x
e
1T
n-1 +
La
démonstration
de
cette
proposition
se
fera
en
plusieurs
étapes.
La
première
étape
et
la
plus
importante
consistant
1
à remplacer le facteur
2
l
par
I ~
1-1
~
/
<'n-1
pour <'n_1 FO.
(f:
+ 1f:" 1) 2
n_ 1
On
prendra
ensuite
une
distribution
sur
~
prolongeant
cette fonction.
On cherchera ensuite à écrire la transformée

51
de
Fourier
inverse
de
la
partie
principale
comme
somme
n- l
d'une
distribution
à
support
dans R
et
d'une
distribu-
+-
t ·
,
t
d
R n - 1
10n a suppor
ans
_
•
Lemme 3.21
:
Pour E,;n_l!O on a
1
1
-.-ls~
=
2 2 1 .
l E,;n-l r +
3 R ( E,; Il , E,;n- 1 )
(E,;n-l+1 E,;" 1
) 2
1
1
E,;n-l
avec R( t"1I
t"
)
borné.
<,
'<'n-l
Démonstration.
d'où le résultat.
c.q.f.d.
co
Soit
alors X
une
fonction
C
réelle
nulle
pour
1 t 1 < 1
et valant
1 pour
1 t 1 > 2.
D'après le lemme
X(E,;n_l)
X(E,;n_l)
lE,;
1 +-
n-l
On en déduit alors que
.......--.
....---
1\\
i y~1\\1 (E,; Il ) X( E,; n _ 1 )
(I-X(E,;
1)) iy'1\\I(E,;")
n-
0
Yov = (E,;n_l+ iR"TflE,;n_l 1 +
+
3
(E,;
+ilE,;"I)IE,;
1
n-l
n-l
Nous
allons
montrer. que
les
deux
derniers
termes
sont
réguliers
et
par
suite
seul
le
premier
terme
donnera
lieu à une solution singulière.

52
Lemme 3.22
OO
Soit
a(~) une fonction C
en dehors de l'origine,
homogène
de
degré
a
.
On
associe
à
a
une
distribution
tempérée
définie
dans ]Rn
et
qui
coincide
avec
a
en
dehors
de
l'origine et on définit l'opérateur A par
n)
Au = ~-1 (a ~) pour uE Y(:R
.
Alors A se prolonge en un opérateur continu
de
HS
(:Rn) dans Hs- a( :Rn) pour tout réel s.
comp
loc
Démonstration.
Ce
lemme
se
démontre
exactement
de
la
même façon que la proposition 3.1.
Corollaire 3.23 :
00
e étant une fonction C
à support compact et X une fonction
OO
C
nulle
au
voisinage
de
0;
les
opérateurs
~1 et ~2
définis par
:
"91 (g) ( ~' )
1
(~
+il~"I)(~2 +1~"12)!
n-1
n-1
1~"lkX(~
)~(~")R(~",~
)
n-1
n-1
=
~k+1(~
+il~"I)
n-1
n-1
OR borné,
sont
continus de
HO
(:Rn- 2)
dans HO +3/2 ( :Rn- 1)
respecti-
comp
loc
vement pour tout 0 réel et tout
0 < k.
Démonstration.
Puisque
e est
à
support
compact,
on a
r
2
2
1e(~
)1
( 1+~2
+ I~" 12)0-!d~
< c I 1+ I~" 1 )0
y 0
)R
,
n-1
n-1
n-1
(
)" (
)
Ao -! (
n-1
par suite
e ~n-1 g ~" E H
:R
) pour tout
On applique alors le lemme 3.22 avec a=-2.
..
lJ2l
O(
n-2
Pour ;71;2 on remarque que pour g E H
:R
) alors
I~" Ikg(~") E ~O-k-!( ]{n-1) si
0 <-k
d'où
le
résultat
en
appliquant le lemme 3.22 avec a=-(k+2).

53
Nous allons à présent analyser le terme
f\\
iX(E:
)Y'ltJ(E:")
n-1
0
E:
(E:
+i
E:"
n-1
n-1
X étant
nul
au
voisinage
de
l'origine,
on
peut
prendre
pour
l
1
r toute distribution sur :R qui coincide avec
E: n_ 1
"
1
la fonction lE:
r en dehors de l'origine.
n-1
Nous
allons
prendre
un
prolongement
en
utilisant
les
distributions
x~ "et x~ (voir Appendice). Puisque x~ et
~
+
1
-1
+
x_
ont
un
pôle au
point
~=-1 on note x;
et x
les parties
régulières
du
développement
en
série
de
Laurent
de
ces
distributions
au
voisinage
de
~=-1,
voir
Guelfand
et
1=
1+
1.
Chilov(1).
On pose donc
Ixl-
x-
+ x-
_
Afin
de
mettre
en
évidence
la
structure
de
la
transformée
de Fourier inverse de la distribution (E:
+i I~ E:
r'
n-1
n-1
nous
allons
donner
une
décomposition
de
type
Wiener
Hopf
1.
de la distribution
Ixl-
Lemme 3.24 :
- 1
1
-1
1x 1
= "2(x+io)
- ~(x+io)-1 Log(x+io)
l.Tf
1(
)-1
1(
)-1
+ "2 x-io
+ -.- x-io
Log(x-io)
l.Tf
Démonstration.
En résolvant le système
"
~
x
ix Tf x
(x r Lo )
= x
+ e
x
(x-io)~
+
-i~Tf - ~
= x~ + e
x
i l vient
+
"","i~ Tf
+i~Tf
~
x
e
e
x
=
U
U
(x-io)
+
-i~Tf
U Tf
Tf
-
Tf
e
-e
e
-e
x
x
=
i~Tf 1 -iÀ Tf (x+io)~ +
.~ 1 .~ (x-io)~
-l. Tf
l. Tf
e
-e
e
-e
d'où par addition
x
x
-i~Tf
,
'~1J"
el. "-1
(
.)~
x
1-e
( .
)1\\
+
x
=
.,
.,
X+l.O
+
.,
.,
X-l.O
+
l.1\\ Tf
-u xn
l.1\\ Tf
- l.1\\ Tf
e
-e
e
-e
Soit en posant
~= -1+~

54
- Iu 'If
-1 +lJ
-1 + lJ
l+e
-1+lJ
x
+
x
=
(x+io)
+
- Iu 'If
ilJ 'If
e
-e
ilJ 'If
1 +e
(
l o ) -1 +lJ
X-l0
- ilJ 'If
Iu 'If
e
-e
On
fait
alors
un
développement
limité
au
voisinage
de
o d'où le résultat en prenant la valeur pour lJ=0 de la
partie régulière du développement.
c.q.f.d.
On en déduit que
Lemme 3.25 :
(J)
Soi t
X une
fonction
C
nulle
au
voisinage
de
0,
alors
on a les relations
:
.
)-1
(3.25.1)
X(E;;n_l)(E;;n_l+ 10
X(E;;n_l)
=
+
(E;;n_l+ i lE;;"I)
(E;;n_l+ i lE;;"1 )2
(E;;n_l+ilE;;" 1 )2E;;n_l
(3.25.2)
X( E;;n -1 ) (E;; n _ 1 + i 0 ) - 1 Log (E;; n _ 1 + i 0 )
X( E;; n _ 1 ) Log ( E;; n _ 1 + i 1E;; " 1 )
=
(E;;n_l+ i lE;;"I)
(E;;n_l+ i lE;;" 1)2
i 1E;; " 1X ( E;; n _ 1 ) Log ( E;; n _ 1 +i 1VII)
iX(E;;n_l) lE;;" 1 R ( E;; ' )
1
+
+
E;;n _ 1 (E;; n _ 1 +i 1E;; " 1 ) 2
E;;n_l (E;;n-l +i lE;;" 1)2
(3.25.3)
X(E;;n_l)(E;;n_l- i o)-1
X( E;;n-l)
(E;;
+ilE;;"I)
(E;;
:"'ilE;;"1)2
E;;
(E;;
-ilE;;"1)2
n4
n-l
n-l
n-l
2ilE;;"lx(E;;n_l)
-
E;;-n---l-;-(E;;-n-_-l---i--'rf"] ) «,.. +i I~
X(E;;n_l) (E;;n_l-iO)-ILOg(E;;n_l-io) X(E;;n_l )Log(~_I-i1E;;" 1)
(3.25.4)
2
(E;;
+ilE;;"I)
(E;;
-i[E;;"1
n-l
n-l
i 1E;; " 1X( E;; n _ 1 )Log (~_ 1 - i 1 E;;" 1 )
2ilE;;"lx(E;;n_l)Log(E;;n_l-IE;;"I)
2)
E;;
(E;;
_ilE;;"1
(E;;
+ i r'E;; " t> 2 ( E;;
- i 1E;;" 1 )
n-l
n-l
n-l
n-l
i 1VI 1 X( E;; n _ 1 ) R 2 (E;; 1 )
+
E;;n-l (E;;n_l- i lE;;"I)(E;;n_l+ i lE;;" 1)
où RI
et R
sont bornés par·
1 +
1~"lz
Z
E;;n_l

55
Démonstration.
Pour
~n_1tO on a
1
1
ils" 1
d'où (3.23.1)
~n-1 =~+~
(~~
~-1
n-1
n-1
~]
l '
[
~n-1 = (~n-1 +i 1~"p 1 - ~n-1 +i I~" l d ou
en
prenant
le
logarithme i l vient
:
Log( ~n-1 +io) = Log( ~n-1 +i 1~" 1) + Log (1 - .~)
n-1
11
.
I~"I
)_
ils"l
(
dt
Log 1-1 ~n_1+il~"r - - ~n_1+il~"1 0 1-i(tI1iï1)7(~n_1+i~
I~"I
=
- i ~R1(~I).
i t 1
1
~ "1)
t 1~" 12
~ " 12
1- -::::---'-""'"---'------::,..-
On a Re 1- ~ = 1- 2
2 >
d'où
(
n-1
~n-1+1~"1
~2 +1~"12
n-1
2
1R ( ~ , ) 1< 1+ I~" 1 ce qui donne ( 3.23.2) grâce à (3.23.1).
1
~n-1
De
la
même
façon
on
a
(3.23.3)
et
(3.23.4)
en
remarquant
que
:
1
1
~
= ~ -
2il~"1
--=:...::::;..l'-Z.......!-
•
c s q s f s d,
n-1
n-1
«
-il~"I)(~
+il~"I)
n-1
n-1
D'après
le lemme 3.20 et le corollaire 3.21
les transfor-
mées
de
Fourier
inverses
des
quantités
suivantes
sont
n
1
n
dans
H~:~/2( :R - ) si g est dans HO (:R - 2) pour
a < 1,
iX(~
)I~"I~(~")
i
X(~
)I~"IR (~,)~(~,,)
n-1
n-1
1
~n_1(~n_1+il~"lf '
iX(~
)I~"I~(~")
2il~"lx(~
)~(~,,)
n-1
n-1
~
(~
_il~"1)2
~n-1 (~n_1-iI~" 1) (~n-1 +i 1~" 1)
n-1
n-1
i 1~" 1X (~n-1 ) R (~ , )
2
et
~
(~
-iWl)(~
+i~·
n-1
n-1.
n-1

56
Pour les termes logarithmiques on a le
Lemme 3.26 :
œ
Soit X
une
fonction C
nulle
au
voisinage
de
0
alors
l'opérateur défini par
X( ~n-1 )0.( V )Log(~n_1 ± 1~"1)
.~-1(Au) =
~k ( ~
± i 1 ~ Il 1 ) q
n-1
n-s L:
l
.
.
d
HS ( JRn-1)
se
pro onge
en
un
operateur
corrt Lnu
e
dans
Hs +k +q - E ( JRn-1)
pour tout s
réel et tout E: > o.
Démonstration.
Le
dénominateur
étant
homogène
de
degré
k+q
et X
nul
au
voisinage
de
l'origine,
pour
tout
E > 0,
on peut trouver C tel que
X(~n-1 )Log(~n_1 ± il ~"1)
~k (~
±il~lIl)q
n-1
n-1
d'où le résultat.
Corollaire 3.27 :
a
Pour
g
dans
H ( JRn-2)
avec
a < 1,
les
transformées
de
Fourier
inverses
des
quantités
suivantes
sont
dans
Ha +3/ 2 - E ( JRn-1)
y
E: < 0
X(~·
)il~III~(~II)Log(~ +il~"I) ilt"lx(~n_1)Log(~n_1-il~ll)
n-1
n
~
(~
_il~1I12
n-1
n-1
il~lIlx(~n_1)Log(~n_1-il~lIl)
(~
+il~III)2(~
_il~lIl)
n-1
n-1
Par suite seuls les premiers termes des relations ( 3 . 25 . 1) ,
(3.25.2) ,
(3.25.3)
et
(3.25.4)
donneront
lieu à
des singu-
larités.
Mais
S( ~n-1 ) = 1-X(~n_1)
étant
à
support
compact,
d'après
le
corollaire
3.23
les
transformées
de
Fourier
inverses des
expressions
suivantes
seront
dans
H~:~/2( JRn- 2) si g est dans Ha ( JRn- 2) et cela v e .
S(~n_1 )~(~1I)
S(~n_1)~(~II)
(~n_1+il ~1I12)
( ~
_ il ~"1) 2
n-1

57
tandis
que
les
sui vantes
seront
dans
HO' + 3/2 -e: ( JRn-l)
loc
e( l:n_l )~( l:" )Log( l:n-l +i Il:" 1 )
e(l:n_l )~(l:")LOg(l:n_l-iIl:" 1)
(l:n_l+ i ll:"1)2
(l:
_ill:"1)2
n-l
.
toujours
d'après
le
corollaire
3.23
en
remarquant
que
Log(l:n_l- i ll:" I )
C
V e: > 0,
i l existe C tel que
<--:------:---:---
( l:
- i Il: Il 1 ) 2 - (l: 2
+ 1 l:" 12 ) 2 - e: •
n-l
n-l
On a
donc d'après le lemme 3.24,
le
Corollaire 3.27 :
O' + l - e: ( JRn-l)
,
A une fonction d e Hloc
pres on a
A
.
A
.
1\\
iY~1V(l:")
1 Y~1V(l:")Log(l:n_l+ill:"I)
Yov(l:",l:n_l)=!
2
2
( l:n _ 1 + i Il: " 1 )
1T
( l:n _ 1 + i Il: Il 1 )
"y<'1V( l:" )Log(l:
- i Il: Il 1 )
1
0
n-l
+ -
1T
(l:
_ill:"1)2
n-l
Par
transformation
de
Fourier
partielle
inverse
en
t"
<'n-l
et
d'après
(2.4)
et
(2.5)
de
l'appendice,
i l
vient
à
n-l)
,
fonction de HO'+l-e:(
une
:R
pres
loc
.
. /\\
.
(IF
Y'v)(l:" x
)
= -
~Y'1V(l:")e-xn-l
x"
0
'
n-l
2 0
+ lY'1V(l:")e-Xn-lll:"1 [(i~ +f'(2))(x
)
-(x
) Log(x
) ]
1T
0
2
n-l
+
n-l
+
n-l
+
_.!}'1V (l: Il ) eX n - lll: " 1(x
)
2 0
.
n-l
-
1T
+ l-0'1V(l:")e Xn- l ll: Il 1 [(i
_f' (2)) (x
)
+(x
) Log(x
) ]
1T
0
2
n-l
-
n-l
-
n-l
-
= *Y) ( l:" ) e -xn-l Il: Il 1 [f' ( 2) (X
) + - (x
) +Log( x
) + ]
n_ l
n_ l
n_ l
- *Y)(l:II)exn-lll:1I1 [f'(2)(xn_l)_-(xn_l)_LOg(xn_l)_] •
Mais on a
le
Lemme 3.28 :
1 Soit W défini par :
( ~ W) ( l:
-xn-lll:"I A(t"I)
(
xn-lll:"lgl\\(t"")
Il , X
) "=( x
) e
g
<,
-
x
) e
n_
<,
l
alors
WEHO'+3/2(:Rn-l)
si
0' <
t ,
l x
n-l
n-l +
0'(
n-2)
avec
g E H
:IR.
,
loc

58
n-l
n
1
Démonstration.
Soient
W+=
/
W R+
et
w = W/ R -
alors
ai:
()(t"II
) = x
e-xn-llE:"lgl\\(t"II)
et
07:. Il
w.'
, : > , x
n_
l 1' : >
x . +
n-
(
)(
)
e Xn - l l E: " 1 gl\\(t"II)
•
~II -,
E:" ,x n_ 1
= x n_ 1
':>
Alors
d'après
le
lemme
3.7,
et
W
E Ho + 3/ 2( R n - 1).
-
loc
-
Mais
y'w
= 0 = Yo w
o +
-
y'w
= g = y' w
1 +
1 -
n 1
Par suite on a wE H~~~/2( R - ) si
0+3/2 < 5/2 soit
0< 1.
c.q.f.d.
Ceci achève la démonstration de la proposition 3.20.
Soient r et e définis par :
x
1 = r cos e
O<r<OO
n-
x n = r sin e
o < e < 1 T .
Soit $2 défini par :
$2 (r, e) = r (cos e
Log r
- e sin e )
qui
est
la
deuxième
fonction singulière.
On a
:
Proposition 3.29 :
Soient
v
déf ini
par
(3.18.1)
et
(3.18.2)
et
V
défini
o
o
par :
(3.29.1)
(~IIV
1
r lE;;"'Yo{'\\lJ(E:")$2(r,e)
)(E:",x
l ' x ) = 1T e-
x
0
n-
n
avec
alors
Démonstration.
On utilise la régularité elliptique.
$
(v V ) ( t" Il
X
) =! e -x n-l 1E: Il 1y' ,l, (t" ") Log x
x"
' 0
0
':>, n-l
1T
0'1'
':>
n-l
pour x l > 0
n-
= _ ! e-bCn-lllE:"IV'\\lJ(t"II)Loglx
1
1T
'0
':>
n-l
pour x
1 < O.
n-
Par suite d'après la proposition 3.20
V
1
+
v
EHo + - e: ( R n - 1).
yo 0
yo 0
loc

59
ou
d'où
CD
où fI et f
sont des fonctions de C
de 8.
2
Puisque
est
dans
en
appliquant
la
proposition
3.10
avec
:Y
0=0
on
déduit
que
- 1 ( 1~ Il 1 y' ljJ ( ~ Il ) e - r 1~ Il 1 ) E Ha -! ( :JRn )
~"
0
loc
+
pour a <3/2.
Pour le deuxième. terme on a le
Lemme 3.30 : -rl~III
Soit
k
= e
r Log r
.
On
note
~(~ '~n-1'~n) la transformée de Fourier de k
Il
A
CD
par
rapport
à
x
et
x
alors
k
est
une
fonction
C
n-1
n
en dehors de l'origine et V
e > 0,
i l existe une constante C
telle que
I~ (~ ,~
Il
l ,~ ) 1< C(~2 1 + ~2 + 1~" 12) -1 + c •
n-
n
n-
n
En
admettant
le
lemme
on conclut comme
pour la proposi-
tion 3.10 que
§. - 1 ( 1 ~ Il 1y ~ljJ (~ Il ) Log r e - r 1~ Il 1 ) E Ha - ! +c ( :Rn)
~"
0
loc
+
si
ljJ E Ha ( :JRn-1)
avec
a < 3/2.
+
2
n
Par sui te d'après la régularité elliptique V -v E HO+ 3/ - e:(:JR ) .
o
0
1oc
+
Démonstration du lemme 3.30 :
Comme pour le lemme 3.11 on a
A
(OO
r 1 cIl 1
k(
J
~", o) = 2n }orLOg r e-
(rp)dr
o
où J
est la fonction de Bessel d'ordre o.
o
Soit À
un
réel
> 0
en faisant
un changement de variable

60
i l vient
.
"k(ÀC",Àp) =
-2
À
"
-2
k(C',p)-À
Lo g X "k
(CU,p)
o
Co(~",p)
avec
=
2n 1~ e-rl~"1 Jo(rp)dr
o
est homogène de degré -2 d'après le lemme 3.11.
C"
2
2.!
r
En
posant
C" =À T'
P = À
avec
À = ( 1c" 1 + P )_2
i l
vient
t (
2+
2
r,
C" , p ) = ( 1c" 1 2 + p2 ) - 1 ~(f ,r)-(
~).
1 C" 1
p2)-1 Log( 1 C" 1 + p2)to(
En majorant ~ et ~
sur la sphère unité i l vient
:
'"
0
2
2 -1
2 -1
2
2
k(CU,p)I~C1(IC"1
1
+p)
+ C
Log-(ICUI
+p)
2(IC"I+p)
d'où le résultat.
c.q.f.d.
En conclusion nous avons le
:
1
Théorème 3.31:
On
suppose
que
n > 3.
Soit
u E H (St)
tel
que
à u=O
dans
St.
On
pose
u =u/St,
g=y~u/S+
-
/
+
et
h=y 1 u S .
s-3/2
n-1+)
Si g et h sont dans H
( :R
,
alors
comp
+
i)
s
(
n)
Pour 1::; s < 3 / 2,
u
E Hl
I R .
+
oc
+
ii)
Pour
3/2 < s < 5/2
et
si
g
et
h
sont
compatibles,
alors
u - 1. K-:}~ $
E HS
(:Rn) .
+
lT
1
loc
+
1
S
i i i ) Si g et h sont quelconques on a u - -lT K~}~ $1 E H
(:Rn)
+
loc
+
pour
3/2 < s < 2
et
u -
1 K*.n
$
1
K-:hh $
E Hs-e: ( :Rn)
+
lT
y
1- 2lT
0/
2
loc
+
pour 2 < s < 5/2
y
e: > 0,
avec
1\\1 ( x")
= g ( x" , 0 )- h ( x" , 0 )
~ = T(g) + T{h } ,
les
opérateurs
K et
T
étant
définis
par
(3.12)
et
(3.14).
Démonstration.
Pour
i)
et
ii)
voir.
le
théorème
3.17.
Pour
i i i )
on
applique
la
proposition
3.29
au
second
terme
de l'expression u
avec 1\\I=g-h et 0=s-3/2.
+
c.q.f.d.

C H"'A P I T R E
IV
REGULARITE
~
DE LA SOLUTION DE L'OPERATEUR DE LAPLACE
DANS UN DOMAINE AVEC FISSURE

61
REGULARITE
Lp
DE LA SOLUTION DE L'OPERATEUR DE LAPLACE DANS
UN DOMAINE AVEC FISSURE
.Introduction:
Les notations étant celles du chapitre III,
2/p
Soit
u
e:
w
(n)
tel que
:
p
tlu
o
dans
n
+
y
u/ S
g,
Y1 u/ S+
+
= h
1
s-l-l/p
n-1
si
g et h sont donnés dans
W
O R )
p
+
S
avec
s ~ 2/p,
a-t-on
u e: W
(n> ?
p
L'étude de La rz équ Lar Lté de
u
se fera de la même façon que précédemment.
Ayant obtenu une représentation explicite de
u
en fonction de 9 et h,
i l suffira de montrer que cette représentation est encore vraie dans
2/p
w
(n) et de montrer ensuite la continuité
L
de tous les opérateurs
p
p
introduits.
§1
: Préliminaires
Nous allons rappeler les définitions des espaces utilisés et en donner
quelques propriétés qui nous seront utiles.
On suppose que
1 
pour
lai ~ m
si
s = m
est un entier positif,
p
m
u E: W (n)
et
pour
lai = m,
p
Jf a a p
ID u(x)
-
D u(y) 1
<
+<X>
n+,ç p
nxn
Ix-yi
si
s = m + 0
0<0<1.
m entier ~ 0
Défini tion
4.2
o s
Pour
s
~ 0
on note
W
(n>
la fermeture dans
wS(n)
p
p
de l'ensemble

62
Définition
4.3
s
0
-s
Pour s < 0
on note
W (Q)
le dual de l'espace
W
(nJ
-
p
q
1
Çlvec
- + - =
1
p
q
Défini tion
4.4
s
Pour s réel
on note
w (n), l'espace des restrictions à n des
p
s
n
éléments de
W (IR ) •
p
Théorème
4.5
Pour s ~ 0,
Théorème
4.6
k entier ~ 0, 0 < 0
< 1
aku
E l k
Sl s - -
=
+0,
l~opérateur
,
alors
u~(u(x',O), ... ,
k
(x',O»
1
-
axn
i
défini pour les fonctions réguliers, se prolonge en un opérateur
s
s-k-l/p
continu surjectif de
W (IRn)
W
(IRn-l)
sur
1
p
+
p
t
Définition
4.7
s
n
NouS dirons que
u e W (IR )se prolonge par zéro s ' i l existe
p
+
s
n
E:
W (IRn) à~ support dans
lR
p
+ -
+
n
tel que
u/lR
u.
+
Théorème
4.8
i)
Soit
s
positif tel que
s
-
l/p
soit non entier.
s
n
Alors
u e W (IR ) se prolonge par zéro si et seulement si
p
+
i
~(x',O) = 0 pour tout j < s -l/p
ax ]
n
ii)
Si
s = m + l/p
m entier ~ 0,
alors
u
se prolonge par zéro si et seulement si
o pour tout
j
< m
et

63
pour tout
a
tel que
lai
m
L -
,_ _
Voir Ne~as
(1), Grisvard
(3) pour la démonstration de ces théorèmes.
Nous allons à présent définir brièvement d'autres espaces fonctionnels
qui interviendront dans les théorèmes de continuité.
Défini tian
4.9
Pour 1 < P < 00
et s réel on note
l'ensemble des distributions tempérées
u
telles que
6(-1[(1 + 1~12)s/2 ~J
E:
Définition 4.10
Pour 1 <
et s
réel positif, non entier
on pose
Pour
s
entier ~ l,
est l'ensemble des
tels que
x+y
p
au(
fDaU(x)
+ Dau(y) - 2D
2) 1
dxdy < CXI
n+1
lx - yi
pour tout
lai
= s-l
Remarque
: Pour
m
entier on a
grâce au Théorème de Mihlin.
L'une des principales propriétés de ces espaces est leur stabilité
par interpolation d'une façon plus précise on a
Théorème
4.11
1il Pour
so
et
sl
réels et
o < e < 1
on a
s
n
[ s
n
s
1 n ]
H 0(IR )
,
H
(IR )
=
H
(IR )
p
p
e
p

64
où le premier membre désigne l'espace d'interpolation obtenu par la
méthode complexe et
H) Pour So et s1
réels positifs et
a < 8 < 1
So
n),
s1
n
s
(B
OR
B
OR ))8,p
= BORn)
p
p
p
où le premier membre désiqne l'espace d'interpolation obtenue par
L__u_n_e_méthode rée_l_l_e_e_t
_
Voir Calderon
(1)
pour la démonstration de il
et lions-Pectre
(1) pour
la démonstration de ii).
§ 2
Les théorèmes de continuité
Dans les chapitres précédents, les opérateurs utilisés ont été de deux types;
les opérateurs pseudo-différentiels et les noyaux de Poisson. Mais les noyaux
de Poisson étant composés d'un opérateur multicouche et d'un opérateur pseudo-
différentiel, le problème de continuité se ramène à celle des opérateurs pseudo-
différentiels. Les opérateurs utilisés sont à coefficients constants et de la
forme :
6f-1
J
(a(~) û (~))
où
a(~) symbole de l'opérateur est de façon générale une distribution
00
tempérée,
fonction
C
en dehors de l'origine.
On peut appliquer le théorème des multiplicateurs de
~Lp de Mihlin.
Mais lorsque les dérivées de
a
ne sont pas des fonctions bornées au voisi-
nage de l'origine, on n'obtient ainsi que la régularité locale de Au.
Lorsque
a
est une distribution homogène on peut utiliser le théorème
d'interpolation de Marcin Kiewicz et la théorie des intégrales singulières.
Mais dans ce cas on obtient la régularité
L
de Au
avec
q > p.
q
Nous allons exposer brièvement les résultats obtenus avec chacune de ces
méthodes.

65
Théorème
4 . 12
Soit
tel que
a
a
lE;I
ID aCE;) 1 < C
pour tout
E;"I- 0
et tout
lai ~ n
où
C
est une constante.
=~1
Alors l'opérateur
u~Au
(a G.)
est continu de
L (IRn) dans
L (IRn)
p
p
pour
1 < P < co
Voir Mihlin (1),
Triebel
(1) pour la démonstration de ce théorème.
Théorème
4 . 13
n
Soit
a
C
(IRn). On suppose qu'il existe un réel
d
tel que pour tout
lai < n on ait
~
<
C
(1
+ 1E;12)
2
a
1'-1
Alors l'opérateur
u ~ Au
(a û)
s
s-d
B
(IRn)
dans
B
(IRn)
1
est continu de
p
p
et pour tout
~
l < p < c o
s
Démonstration
s
s-d
On démontre d'abord que
A
est continu de
H Œ{n)
dans H
(IRn) pour tout s
p
p
En effet si
U
E:
.........
Au
a Û
et
d
s/2
2
2
= (1
)
a (E;)
(1
+/E;1
+ 1~12)
û(E;)
s
puisque
(1
+ 1~12) 2 ....
u
E:
~Lp' il suffit de montrer que
d
2
2
(1 +
1 E; 1
)
a(~)
est un multiplicateur de
6J'L
ce qui est
p
immédiat d'après la formule de Liebniz et le théorème de Mihlin.
Mais d'après le théorème de reitération de Lions-Peetre on a pour
o < 8 < 1

66
où
s = (1-8)so +
8s
Par suite d'après la propriété
1
s-d
d'interpolation, A est continu de
B
ORn ) pour tout s.
c.q.f.d.
Remarque
Lorsaue
s
est non entier et que s-d
est entier, ce théorème prouve
n
que pour
u
E
W OR )
,
Au
e:
Bs-d ORn )
et non
Au
e:
wS-d ORn ) .
p
p
p
Mais lorsque le degré
d
de A est entier. On peut montrer directement
s
s-d
n
n
que A est continu de W OR ) dans W
OR) sans passer par les espaces
p
p
s
n
H
OR ) •
p
Théorème
4. 14
00
n
Soit
a e: C OR*) homogène de degré d
avec
-n < d < O.
@:::1
_
Alors l'opérateur
u ~ Au = -y
(a(~) u
(~»
est continu de
n
n
LOR) dans LOR)
P
q
1
1
d
avec
=
-
+
1 tJ
on dira alors que f est dans
L
P
p
faible si
t
of (t)
est borné dans JO,oo[
I l est inunédiat que toute fonction de
L
est dans
L
faible.
p
p
Grâce au théorème d'interpolation de Marcin kiewicz, on obtient une géné-
ralisation du Théorème de Young sur le produit de Convolution :-'
n
n
Si f est dans L OR ) faible et g dans L OR )
q
p
1
1
..
avec
1 < q 1
p
q
n
1
1
1
alors
f*
g
e:
Lr CIR ) avec
- + - - 1
r
p
q

67
=~1
Soit alors
k
(a).
k est homogène de degré
-n-d
et donc
-n-d
J
Ik(x)1
s
clxl
On vérifie alors que k est de type faible
n
L
avec
q
q = n+d
Par suite
k * g
8
L
avec
r
1
1
n+d
1
d
- = - + - - = - + -
r
p
n
p
n
Voir Folland
(1), Hormander (1) pour plus de détails.
Théorème
4.15
1/2
On pose
q(~) = I~I
et
q±(~) = (~n ± il~'I)
1
On note
A
l'opérateur associé à la fonction
q
aCe)
= - -
q (~).
1
et
A
celui associé à
Alors si on suppose que
n ~ 2, on a
q±
q±
s
n
i)
Pour
1 < p < n ,
A~
f:
W CIR )
et
q
r
s
s
n
n
D. Aq;l 8
W
.CIR )
pour
u s W CIR )
J
.
p
P
1
1
1
a
où
= -
-
D.
1 < j
~ n
r
p
n
J
aXj
En particulier
A
est continu de
q
s
n
s+l
n
CIR )
n
ws CIRn )
W
dans
W
CIR)
p,comp
p,loc
r
pour tout
1 < p < 00
avec
r
~ p
s
n
ii)
Pour
1 < p < 2n ,
CIR )
Ag± u
e:
B r
s-1/2
s
n
et
D.A
u
e:
B
CIR )
pour
u e: B
où
J q±
p
p
1
1
1
r
P
2n
En particulier
o
A
est continu de
q±
s
s+l
n
n
B
CIR )
dans
B
CIR ) n
p,comp
p,loc
pour tout
1 p .

68
Démonstration
i)
1)
Supposons
s entier ~ 0
alors d'après le Théorème 4.14
n
n
AqU
e: L
(]R)
puisque
u
e:.L(]R).
Pour tout multi indice
a
r
p
tel que
lai
~ s
on a
a
a
D A u
A
D u
E
g
q
Enfin pour tout
lS-j S n
D.A u
i~.
J q
est défini par -qit)
qui est homogène de degré 0
donc
D.A u
E
L
(]Rn).
J q
P
2)
On suppose que s est entier ~ O.
Alors
u
est somme de termes de la forme
Daf
avec
f
E L
(]Rn)
et
lai
< - s
a
a
p
-
Daf
DaA f
[al
s
(]Rn)
A
E
W
c:
W
q
a
q a
r
r
3)
Le résultat pour
s
non entier s'obtient par interpolation.
S
Supposons à présent que
1 < P < co
et
u E: W
(lRn)
p,comp
Si
1 < P < n ,
on prend
y
p
si non on prend
y
tel que
1
1 1 1
0 ( - < - +
n
y - n
p
Alors
1 < y < n S p
S
S
W
(]Rn)
C
W (]Rn)
et alors
p,comp
y
s (]Rn)
1
1
A u
e:
W
avec
-
= - - .!.<.!.
q
r
r
y
n - p
s
s
donc
r
~ p
et par suite
W (lRn)
W
(lRn)
C
r
p,loc
s-l
et puisque
D.A u
e:
W
(]Rn)
pour
1 < j
~ n
J q
P
on a bien
A U E
ws +1
(lRn)
q.
p,loc
H)
La première partie se démontre de la même façon que i)
et le fait que
s-1/2
D. A
u
e:
B
(]Rn) résulte du théorème 4.13 puisque
est
J
q±
p
homogène de degré
1/2.
Pour montrer la deuxième partie, on choisit
y
comme précédemment.

69
s
s
Alors si
u e: B
(IRn)
A
u
e
B (IRn)
p,comp
,
q±
r 1
1
1
1
s
avec
et
A
(A.
u)
e:
B
mt)
r
y
2n
1
q±
q±
r
1
1
1
1
1
avec
- =
r
r
2n
y
n
1
Par ailleurs pour
lai < 2
on a
-
D~
s-1
n
0
A
u
D.A
0
D.A
u
e:B
(IR).
q+
q±
1.
q
J q±
p
±
Par suite on a
A
0
A
u
e
Bs+ 1
(IRn) .
q±
q±
p,loc
c.q.f.d.
Nous allons pour terminer donner sur un exemple la méthode de
démonstration de la continuité
Lp
d'un noyau de Poisson.
Pro osition
4.16
Soit
X
l'opérateur
-x
~
n
(K v) (~Og x
=
n)
e
7x'
Alors
K
se prolonge en un opérateur continu
S
de
B
(IRn-1)
dans
Bs+l<+ 1/p (IRn)
p
p
+
pour tout s et tout
1 < P < 00 •
Démonstration
D'après le lemme 2.13 on a par transformation de Fourier
k 1
~
i
+ ::i.(~')
Kv (q
où
Kv
est le prolongement de
K v
par 0
pour
x
< o.
n
~ôx
et par transposition du théorème de traces,
n
l'opérateurv~v ~·ôx
est continu de
n
B cr ORn - 1 )
dans
B cr -1+1/p ORn )
p
p
si
cr < o.

70
D'autre part d'après la formule
(2.13.3)
du Lemme 2.13, pour tout N
a même restriction pour
x
> 0
que
n
~v
défini par
v=
où
Qk
est une constante et N entier.
On choisit alors N assez grand pour que
a = s - N
<0
et alors
S-N-l+1/p + N + 1
s+l/p (IRn)
~v
e:
B
B
p
(IRn)
p
c.q.f.d.
Remarque
:
Si
s
est non entier on peut remplacer les espaces de Besov par des
espaces de Sobolev dans l'énnoncé de 4.16.
§3 : Le orolonqement par zéro et le projecteur de Wiener~Hopf
Nous avons donné le principe du prolongement par zéro dans le théorème 4.8
pour s positif. Nous allons prolonger ce résultat pour s
< 0 et obtenir
comme application la continuité
Lp du projecteur de Wiener Hopf.
Proposition
4.17
On suppose que
s-l/p
est non entier.
& 0
q
1
1
1
où
= 1
et
-s -
n'est pas entier donc d'après le
q
P
q
théorème de traces,
est continu de
-s
-s-j-l/q
n 1
W
(IR~
sur
W
CIR - ) •
q
q

71
Par transposition on obtient que l'application
v---+ v
est
1 q
n- 1)
n)
continu injective de
ws + j + / OR
dans
WS OR
.
p
p
j
S
n)
Réciproquement si
v ml ô
e: W OR
x
p
et si
.
1
a
l
s+]+ -
<
,
a ors pour tout
q
-s-j-l/q
n- 1
W
OR
) on a
q
-s
n
où R est un relèvement continu de
dans
W
OR)
q
(i )
<v ml ô
,
RCf>
=
<v, cp >
d'où il existe
C
tel que
x
j
1 <v,Cf>
<
C Il v ml ô
Il
Il
S
cp Il
1
x
-s-j-l/q
n-l
W
W
OR)
p
q
et
Il
<
v Il
C
IIVml
ô(j)11
Ws+ j + 1/q
x
s
W
p
P
si
s + j + l/q
~ 0,
j ~ -s-l/q
et on peut montrer en utilisant la
n)
proposition 4.16 que pour tout
u e: W-sOR
on peut trouver une suite
q
n)
(ljJ )
de fonctions réqulières tendant vers u dans W-sOR
et telle que
m m
q
y,ljJ
= a
"lm
J m
(j)
alors
< v ml Ô
,u >
< v ml ô (j)
ljJ
> = a
=
Hm
x
x
'
m
n
ID_ OO
n
(j)
donc
v ml 6
- a et par injectivité
v-O.
c.f.f.d.
xn
Ai
Théorème
4.18
Soit 1 < p < 00
On suppose que s- 1/ p
n'est pas entier.
Alors toute distribution
u
appartenant à
est de la forme
u =
L
a < j < -s-l+l/p
s+j+l-l/p
1
n-
avec
v,e:w
OR).
1
P
Démonstration
Ce théorème se démontre exactement comme le théorème 1.18 en utilisant
la proposition 4.17.
On en déduit le
Théorème
4.19
1 Soient
1 < P < 00
et
s < 0,
alors toute distribution

72
s
n
u
e:
W (IR+)
P
S
admet un prolongement dans
W
cnt)
p,+
et on peut choisir un opérateur de prolongement continu.
Si
U
et
U
sont deux prolongements de
u
alors on a
1
2
v. ~ c5x(j)
j<:.s J1+1/pn
W s+j+1-1/p ORn - 1 )
avec
V.
E:
1
p
Théorème
4.20
Soient
1 < p < ~
et
-1 + l/p < s < l/p
.......,
Alors
if (IRn)
WS
(IRn)
p
p,-
"'5
L'opérateur de projection sur
W
(IRn)
p,+
- s
-"" s
n
étant l'opérateur de Wiener Hopf qui est continu de
W (IR") sur W
(IR)
P
p,+
- - - ----- -------- - -----------------------
Démonstration
n
Soi t
Û e: W
S OR )
p
si
s ~ 0,
on a
Pour s < 0
o s
n
Soit alors
W
(IR)
alors
q
+
< u, Cf>
où
~
Cf est le prolongement de Cf par 0
1
1
Comme
s > -1 + 1
-s  1
<
Il u] ] IlCf 11 ; par suite
s
n
U
E:
W (IR ) •
p
+
1
Puisque
-s - 1 + -
p

73
On a
-s -
1 + 1/p < 0
d'où l'unicité de la décomposition
d'après le théorème 4.19.
f 4 : La formule de représentation.
Théorème
4.21
On suppose
n > 2
Soient 1 < P < <XI
et
s réel,
s-l/p
non entier.
s
Si
u E: W (IIt) est tel que
!lu = 0
alors
p
+
aD
_
U
E:
C
OR+ '
et
(Gfx' u ) (~I, x )
n
1
'\\s- -
n-1
avec
A E: W
pOR
)
P
Démonstration
1
On suppose que
s <
alors
u
P
admet un prolongement par zéro
-u dans
-F
Par transformation de Fourier on a
~
-
u
F
1~12 = (~2 + ~ 2
1
u 1
)
avec
n
q± (~) = (~ ± i
I~al).
......
F
....s-2
n
puisque
n > 2
est défini et appartient à
W
OR)
avec
-
q
r
1
1
1
- -
et de plus on a
~
p
n
......
s-2
F
......
- E: W
(nt)
On a
q -
r,-
.......
......
q
Û -
et puisque
q_
est non nul en dehors de l'origine,
lq+
~_J = 0
-
......
.......
F
on a
q u
-
Mais on a le
+
q -
Lemme
4.22
Si
1 < P < aD
alors quelque soit le réel s, les polynômes ne sont
s
dans
(IRn) •
pas
Wp

74
Admettons ce lemme .
~
.......s-1
q u
E:
W
(IR),
et
+
P
Mais dUaprès le théorème de Sobolev, puisque
r
> p,
on peut trouver
t
tel que
s-2
n
t
n
et
W
(IR)CW(IR),
on en déduit
r
r
alors que
et d'après le I~mme
C
= 0
V a
On a donc
a
A
~
F
WS- 1
1
(lRn) n w
s - (lRn)
q+ u
-
E:
q
p,+
p,-
~
d'où
q u
E
(H ) j
_1v
(1;')
avec
+
n
j
o < j < - s + p
S+j-1/p(IR
v. e: W
--
d'après le théorème 4.18
J
p
1
j
de la même façon que précédemment on définit
Z(iE;)
vj(E;') et on a
q+
J
n
j
E(il;)
v,(E;'))
=0
et en appliquant le lemme on déduit que
j
J
.....
u
E(iE; )jv.(E;')
n
J
0< j
< -
s+ 1/p
. On obtient alors le résultat en faisant une transformation de Fourier
inverse par rapport à
II
n
1
Si
s >
alors
u e:
P
(IR+)
avec
s
< -
o
p
......so-1/p
n-1
d'où la représentation avec
A e: W
( I R ) .
p
s-1/p
n-l
Mais la trace de
u
est définie et est dans
W
( I R )
et on a
p
A
c.q.f.d.
Démonstration du lemme :
On peut supposer que
s
est entier négatif.
Par dérivation on se ramène au cas d'une constante. Il suffit donc de
n
montrer qu'il n'y a pas de constante dans
W- mrrn )
1
\\.ln
pour
< p < ClD
P
Si non par transposition la constante définirait une forme continue sur
Wm(IRn)
avec
1 < q < ClD .On en déduit alors que
q

75
~ S cp
1 c 1
(X) dx 1
< 00
lRn
ce qui est absurde,
i l sùffit de prendre
(L
Cf(x)
~ + ') - %
Théorème
4.23
On suppose que
n > 3
et
1 < p < 00
Soit
u E wS(n)
tel que
~u = 0 dans n.
p
Soient
u+ et u_
les restrictions de u
à
lR: et lRn
Soient
On suppose que 9 et h sont à support compact.
Alors pour
s ~ 2/p
on a la formule de représentation
(GJ> ,~+) (f,;' ,x = A(f,; , )e- xn 1f,; , 1 4 •23 . 1
n)
(6J"x
B(~')exnlf,;'1
lU;..) (f,;' ,x
4.23.2
n)
1
~
~
A (~U )
(Cf /q+ + 1jJ / q)
4.23.3
2
1
~
B(f,;')
(Cf /q+
~
2
-
1jJ /
q)
4.23.4
avec
q(F;')
=
1 ~' 1 ,
q±(F;')
1
'1' => 9 - h , Cf= ~/ lR:- ,
s-l-l/p
où
G et H sont des prolongements de 9 et h à
Bp,comp
Cf et '"f sont des prolongements par zéro de Cf et 1jJ
Démonstration
On note
v
la fonction définie par
v+ et v
où
v+ et
v
sont
donnés par 4.23.1 et 4.23.2.
D'après le théorème 4.15 et la proposition 4.16
S
1 s
si
s < 2/p + 1/2
on a
v E B
l
(n) n B- + (n ) 1
r ~ p.
P, oc
r
On vérifie alors que
~v
o dans
O.
-
+
et
Y1 vis
= h.
Soit alors
w = u - v .

76
D'après le Théorème 4.21
on a
st:
ciI(
(v ) (I;',x )
1; 1 ) e -xn 1E,; , 1
JX
i>
n
1 E,;' 1
= 13 (1; 1 ) e x n
où
v
et v
sont les restrictions de v à ~
et
]Rn
+
En exprimant les conditions aux limites sur
W
i l vient
qcA
""E
4.23.5
",....
qj3
F
4.23.6
A_~ = î\\
4.23.7
q(J+$)
N'
4.23.8
+
Par addition des 2 premières égalités
.......
on a
q(rIi +~
= N+
~
A+ d» = --'yu + R - 1JJ /q
"'.P
0
+
o -
s-l/p
1
W
(lRn- )
et
you_
sont dans
p
s-l-l/p
n-1
et
e:
W
(IR+)
et comme
s > 2/p,
p
-l+l/p
n-1
e:
W
( I R ) .
Par suite
p
/1 + dJ )
-1+1/p
n-1
-l+l/p
n 1
q ( cIf
.p
e: W
, G R ) n W
(IR -
)
p,+
p,-
qui est réduit à {ü} d'après le théorème 4.18
d'où
q ( ,J+ l' )
o
et
(/( +:fj
E
c
0(0:) •
Cl
1Cl 1
s N
~
-1+1/p
n-1
Mais pour
n > 3,
1JJ/q e:
W
( I R )
r
1
1
1
avec
=
Alors en utilisant le lemme 4.22, on
r
p
n-1
.
déduit que
~+:Jj = 0
Par soustraction de 4.23.5
et
4.23.6
on a
Par suite
A
.......
E
F
.......
q+ M
q
+
.......
q
(vf-$)
............
~
~
q+ M
q
(y u
y u )
Cf
+
+
-+
0
+
o -

77
Il
-1/2+l/p
1
-1/2+1/p
1
n
n
donc
q
(JJ -:E) e: W
OR -
) n W
OR -
)
+
p,loc,+
p,loc,-
qui est réduit à {O}.
Par suite on a
q
(ci - tjj) = 0
et donc
A - rd
o
+
en raisonnant comme précédemment
.r. e,
d'où
c.q.f.d.
§5 : Calcul des premières solutions singulières dans les espaces _Lp-
Grâce à la formule de représentation, les calculs sont identiques à ceux
effectués au chapitre III. Il reste simplement à morrtre r la continuité
L
des opérateurs qui interviennent. Mais la continuité de ces opérateurs
p
s'obtient soit en utilisant les théorèmes 4.13 et 4.15, soit en utilisant
la proposition 4.16 qui montre la continuité
L p
des noyaux de Poisson.
Il suffira de remplacer
par
et la régularité globale
par une régularité locale. Il reste cependant deux opérateurs qui ne
rentrent pas dans ces deux catégories. Ce sont l'opérateur
K
défini au
(4.12) qui est un noyau de Poisson singulier et l'opérateur
T
défini au
(3.14) qui est un opérateur de trace.
n '~ 3
Pro osition
4.24
-rlE;;"1
Soit
k(E;;",r)
rOe
avec
2
1/2
2
o > 0 > - 2
où
r = (x
1 + x
)
n-
n
-1
Alors l'opérateur
g 1----+ E;; Il
(
g(E;; Il) k (Ç;", r) )
est continu de
dans
pour
C1
< 0 ,
C1
non entier,
1 < P < (J)
Vémonstration
~1
On a
~: ~ g(E;;
( ....
g(["II) ....
k(t"1I
t"
t")')'
Il ) k ( E;; Il , r) )
J
.,
."., 1'"
n-
n
où
k est la transformée de Fourier de k par rapport à
x
1 et
x
n-
n
....
00
D'après le lemme 3.11
k
est
C
en dehors de l'origine et homogène
de degré
-0-2
et pour
n > 3
c'est une fonction localement intégrable.

78
s
L'opérateur
u ...
, ----'~". Gfiû k) est continu de
W (lRn) dans
s+2+a (!Rn
p
Wp,loc
)
g(E;")
Si
s > 2/q,
s -
2/q
non entier, l'opérateur de trace
s-2/q
2
u~u(x",O,O) est continu de WS(IR)
dans
W
ORn - ) .
Par
q
q
transposition l'opérateur
g ~g ~ Ô
_
~ 6x
Xn 1
n
cr -2/q
est continu de
Wcr (lRn-2)
dans
W
(lRn)
p
p
1
pour
cr
non entier
cr < 0,
..!..+
1
P
q
d'où le résultat.
c.q.f.d.
Théorème
4.25
On suppose
n ~ 3 ,
soit
f(n-l )
r
2
On pose
K(x",r)
=
TT n-l
2
Alors l'opérateur
g...---.,. K * g
est :
x"
W
1)
Continu de
cr ORn - 2 )
dans
p
pour
cr < 1 ,
cr
non entier.
1+2/p
W
(lRn)
si
g f; O •.
K * g
p,loc
+
2
W cr
2)
K * g
pour tout cr
et tout
1 
La> OR+,
P
K*q
L
(!R2
p,loc
+'
pour tou t cr et tout 1 < P < 2
3) Pour tout
cr
et tout
p,
K * q
est indéfiniment dérivable en
tout point
n
2
XE:lR
tel que
x
f; a
+
n

79
Démonstration
On pourrait penser appliquer directement la proposition 4.24, mais elle
impose la condi tion
cr < 0
alors que nous voulons
cr < 1.
Nous allons
donc une fois de plus appliquer la. régularité elliptique.
La trace de
K*g
pour x
= 0
a pour transformée de Fourier partielle
n
Œ" (y (K '* o ) )
~Jx
0
---
et
y o(K """ g)
Soit
alors
U
le relèvement de
YO(K * q) par le noyau de Poisson classique.
-x
1 ç; 1 1
Alors
( ~, U) (Ç;',x )
Y:;(K
"'" g)
e
n
pour
x
> 0
n
n
2ilç;III
et
(Ç; 2
+. 1 ç; Il 1 2 >. (Ç;n+i 1 ç; , 1 )
n-l
llU
= 0 r
yo(K*g)
y. (U)
0
2
a
/
En posant
li
- -
+
+
li"
on a
a
2
2
x
ax
n
n-l
(L + llll) K*q 0
donc
2
ar
a
li
K*g
=
K* g
et
r
ar
~,,(ll K*q)
- -
e
r
a
2
cr -1
.........
n-2
Mais si
W
ORn - )
g e:
p
,
Iç;III Ci
E
W
OR
)
p
donc en appliquant la proposition
4.24
cr -2+2/p
avec
a. = -l, on déduit que
li K * g
E:
W
ORn- 2)
p,loc
cr +2/p
2
pour
cr < 1
et donc d'après la régularité elliptique
K *' q - U E: W
(lRn- )
p,loe

80
Par ailleurs par transposition du théorème de trace,
"'" cr -1-2/q
n-2
1~"lg e; W
( I R )
p
1
1
pour
(J
< 1
où
- + - = 1
par suite
q
p
cr -1-2/q+3 -
cr +2/p
n
(IRn)
U e: W
OR )
= W
p,loc
+
p,loc
Ce qui prouve la première partie de 1).
Soit
g e:
supposons que
l+l/p
n-1
e:
alors on a
y
(K*g)
E W
OR
) .
o
p, loc
-x
1 E,;" 1
%
n-1
Mais
(y
(K*g»:::
e
g(E,;")
x"
0
n-1
Q)
n-l
pour
x
> 0,
yo(K*g)/!R+
est donc dans
C cm.+
).
n_ 1
1+1/p
n-1
00
n-l
De même on a
y
(K* g)
E:
W
l
cm.
)
dans
C O R ) .
o
p, oc
n- 1)
Puisque
y
(K*'g)
e; w1+1/p
cm.
on a la condition de compa1:ibilité.
o
p, loc
Cl
Cl
P d
~
Y (K*g) (x",t)
- -
y
(K*g) (x",-t) 1
-.!. < 00
aX
_
0
Clx _
0
t
n 1
n 1
n-2
pour tout compact
Q
de
:IR
donc
.(
p
y
(K* g) (x" ,t)
- L
y
(K*g) (x" -t) 1
dt < 00
I
o
Clx
1
o
~x
0
'
t
n-1
n-
pour presque tout x" e: Q
d'après Fubini.
Mais par continuité on déduit que
Cl
Cl
-;:;-
y
(K*g) (X",O )
~
y
(K * g) (x",O )
aX
1
0
+
aX
0
-
n-
n-1
pour presque tout
X"
e: Q.
Cela étant vrai pour tout
9.
on déduit
que pourppresque tout
x".
d
Cl
-
Y
(K * g) (x" 0 ) = ~
y
(K* g) (x",O )
dX
1 0
'
+
ex
o ·
-
n-
n-l
et par transformation de Fourier

81
-1é;"1
g(é;")
1é;"1 g(é;")
pour presque tout
é;"
donc
g
a
2)
Pour
r
fixé, on applique le théorème de Mihlin à l'opérateur
6L--l
\\"x"
-rlé;"1
Il faut pour cela majoreI
(é;,,)aDé;~(e
)
pour
Jal
~ n-2.
On peut prendre
a =
(ai)
1 <: i
< n-2
avec
a
= a
ou 1.
Voir Nikol'skii
(1) •
i
Par récurrence on montre le
Lemme
4.26
Soit
a = (a.)
avec
a
= a ou 1.
1.
~é; Il 1
a. -r
Alors pour
é;":f a
D e
10.1
E
e
k=l
On en déduit donc que :
-:c e
1
Il 1
1 (é;") a Da e
1
s
qui est borné pour tout
r
et tout
é;".
Par suite d'après Mihlin, il existe M tel que
pour tout
g
et tout
r et si
s = m
~ M Il DSgII
pour tout
1131
s m.
D'où le résultat pour tout
s
par interpolation.
D'autre part

82
1
= r
d'où
M
pour tout
r
f:.
a
r
et tout
E;".
On en déduit d'après Mihlin que
M
-r
1
2
W (lRn- )
et
p
1
-
2
comme
EL
CJR)
pour
p < 2
r
p,loc
+
On déduit que
pour
Par dérivation et interpolation on déduit le
résul tat pour tout
cr.
2
3)
Soit
E > 0,
on pose
m?
=
{XE JR+
;
1 X 1
~ d
e:,+
co
hn 2
n-2
Nous allons montrer que
e W
l.Il'
x JR
}
p.loc
e:,+
c'est à dire que toutes les dérivées de
K~g
sont dans
L
(lR2
x ]Rn-2) •
p,loc
E,+
K*g
ne dépendant pas de
e il suffit de considérer les
k
a
13
D
K* g .
Par transformatlon de Fourier par rapport à x" on a
k
>.:11
ar
ou encore (iE;") 13(-IE;"I)k(E;")Y e-rlE;"1 f(E;")
si on suppose que
et est égale à
DYf
avec
f E L CJRn-2).
p
On applique alors le théorème de Mihlin et puisque
r ~ e: > 0,
on a
-rlE;"1
1 (E;,,}aD~,,«iE;") 8,(-IE;"I)k(E;") y e
)
< M
si
laI ~ n-2
Par suite on a

83
k
li a
e K* qll
Il fil
k D "
< M
x
ar
CIRn - 2 )
L
CJRn-2)
L p
P
2
d'où pour tout compact
Oc IR
,
on a
,
E:,+
k
a
e
n-2
L
(Q
ork
D " K*g
E:
x]R
)
c.q.f.d.
x
P
Pro osition
4.27
Soit
9 ~ T(g)
l'opérateur défini par
T(g)
(x")
1 y
1 g(y",y
1)dy"dy
1
n-
n-
n-
n-1
2
Alors
T
se prolonge en un opérateur continu de
W O
CJRn-1)
p,comp
+
cr +1/2-1/p
2
dans
W
CJRn- )
p,loc
pour
1 
cr + 1/2 - l/p > a ,
cr + 1/2 - l/p
non entier.
Démonstration
D ' aprè s
3 • 14 ,
où
G
est un prolongement de
9
à
et
q
= (~
_ il' Il 1) ,1/2 '
n-1
si
1 a
est non entier
c.q.f.d.
Remarque:
4.27.1
Si
cr + 1/2 - l/p
est entier,

83 (bis)
cr +1/2-1/p
n-2
i l faut remplacer l'espace
W
OR)
p,loc
cr+1/2-1/p
n-2
par
B O R ) •
p,loc
Théorème
4.28
r On suppose que n ~ 3 et 1<p<oo
1
u e: w2/p (Q)
Soit
tel que
p
+
+
lIu = 0
dans n,
-
+
Y1 u/S
= g,
Y
u/S
= h.
1
On suppose que g et h sont dans
wS-1-1/JORn-1)
p,comp
+
1
Alors 1)
pour
2/p S s -< 2/p + '2
on a
2)
pour
2/p + 1/2 < S < 2/p + 3/2
et si
9 et h vérifient la condition de compatibilité
1
S
n
alors
u
e
W
ïT(K* Cf)
OR )
+
S1
p,loc
+
3)
Pour g et h quelconques on a
s
n
f:W
l
OR)
pour
p. oc
+
2/p + 1/2 < s < 2/p + 1
et
;(K"Cf)
1
oS
-
(K* ljJ)
s
ws-e:
ORn)
u
h
e
+
1
2
p,loc
+
pour tout
E:
> 0,
2/p + 1 < S < 2/p + 3/2
avec
ljJ (x")
g(x", 0)
h(x", 0)
Cf (x")
T (q) (x")
+ T(h) (x")
K étant défini par
4.25
et
T par 4.27.
Remarque :
1
Comme à la définition 3.16, on dira que g et h appartenant à wcr ORn - )
p
+
sont compatibles si
g-h
se prolonge en un élément de

CHA P I T R E
V
SOLUTIONS SINGULIERES DE L'EQUATION DE LA CHALEUR EN DIMENSION UN D'ESPACE

84
SOLUTIONS SINGULIERES DE L'EQUATION DE LA CHALEUR EN DIMENSION UN D'ESPACE
Afin d'introduire les solutions singulières qui permettront de décrire le cas
le plus général, nous allons supposer que
Le problème à résoudre est alors la recherche de
Il
solution de
1)
U
E
et
au
= f
at
-0
-
2)
U
E
Ç, (:iR+,
et
u (0, .)
g
3)
U
E
et
B(Y u)
= h
où
B
est un opérateur aux dérivées partielles d'ordre
~ < 1
au
yu
y u
u(.,O)
ax
o
(.,0)
.
Pour donner un sens plus précis à ce problème, nous allons le discuter dans les
espaces de Sobolev.
§.1
PROPRIETES DE LA SOLUTION ELEMENTAIRE
1
Soit
E(t,x)
e
Pour
t
> 0,
= a
pour
t
< 0,
l'unique sol ut ion. t.empézée de l'équation de
la chaleur à support dans
iR+
Nous notons
E(D)
l'opérateur défini par
E(D) = E*f, produit de convolution
de Epar f
défini pour tout
f E "f/JRh ensemble des distributions sur
B2 ,
nulles pour
t
< O.
Définitior.
5.1
2
Pour
T
réel>
0, on note
Br, s ( lR , T)
la restr Let.Lon à
] _00, T [
x
JR
2
des éléments de
Br, s ( :IR )( :IR) •
On notera
Br,s (:IR
T)
1. ç ensemble des éléments
+
'
2
de
Br, s ( :R : T)
qui sont nuls pour
t
< a

85 .
Proposition
5.2
5,25
2
L r app Li ca t.Lon
f
E ( D ) f
/
J _00, T [ x lR est continue de H+
( lR )
5+1,
2(5+1)
2
dans
H+
( lR , T)
pour tout réel
5
et
T
> o.
Démonstration
Soi t"
un réel > a
f i.xé ,
Soit
u
*
E
f
a Lo.r s
e - Il tu
Car
E
et
f
sont nuls pour
t
< a
Si on montre que
e-i'lt u
Hs + 1 ,
2 (5+1) (
€
lR2 )
+
1, 2(5:+1) (
2
alors on aura
H:+
u e:
lR, T)
pour tout
T > O.
2
Hs,2s
2
Mais puisque
f
e...,..,t r.
0---+
-
..
est continu de
Hs,2s
( lR )
dans
lR
+
(
)
+
'.,n
*
est ramené à montrer que
f.>-----+ u
=
(e...,..,t E)
f
est continu de
5+1,
2(5+1)
2
dans
H
(lR).
+
Par transformation de Fourier on a
--
1
E
e~t E
=
n
,2
t+i lt; i + in
if. (r ,
t;)
Il est alors
'" 12 ) 5 + 1
immédiat que
(1 +
1T 1 +
1~
lu(t, o l <
où
est une constante dépendant de
11
• Par suite on a
5+1,2(5+1)
2
u E: H
( lR ).
D'autre part si
5,25
-
f
e: H+
alors
f
~~ prolonge en une fonction analytique
dans le demi plan
Im t
> 0,
et i l en est de même pour le dénominateur par
suite
Û(T,t;)
se prolonge en une fonction analytique dans le demi-plan
Im t
> a

86
s+l, 2(s+1)
2
et donc
u e: H
OR ).
c , q. f. d ,
+
IProPosi tion
5.3
( ')
L'application
ljJ ~ E (D) «\\ J
l/J) /
1
] O , T [ x : I R
1
2(s+j _ 1/2)
S
1 est
continue de
H
( :IR
dans
H ' 2s ( ] O,T [
x
:IR)
1
pour tout
s
réel.
De plus pour tout entier
k > 0,
o
2(s-k- 1/2)
)
8
l/J)
/
t
> 0, e
C
(~+ ' H
( :IR)
Démonstration •
(j)
Soit
u
-fit
= E(D)
(Ct
0
l/J)
et posons comme précédemment
u
= e
u
Il
alorlt
Û'
(T,
E;)
=
Ê (T , E;) (-i(T + il1» j
1 (E;)
l
Il
.
j
...
i (-i (T +i Il))
l/J (E;)
et en développant
2
T + i
lE;I
+ il1
(voir
2.13.2)
2
q
2
N
1
n-l
=
1
-2i(E;
+ Il ) 1
(-2i(E;
+ Il))
1:
+
q=O
(T-i(E;2+ 11 »q+l
On en déduit que
u
a même restriction à
t > 0
que
Il
v'1'
où
v
est défini par :
Il
.
N
i
(-it.... 1l )J(-2i(E;2+ n »
~ (E;)
(T+i(E;2+ 11 » (T-i(E;2+ 11 »N
2s
2
(1
+ ITI 2 ) j
(l + E;4)N 1
~ (E;) t
(l +
h! + E;2) ! v 1 <
n
4 N+1-s
(1 + T 2+ E; )
où
est une constante. Si on choisit
N
tel que
N > j+s- 1/2
CIl)
(1+T2)j
alors l'intégrale
l
=
converge. De plus

87
en faisant le changement de variable
T
= y Il + E;4
il vient
; +
1
S
-
1/2 - N
r = (l + E;4)-
.1 y2 + 1j
1
1+ E; 4
dy
y2) N+1- s
(l +
4 j+s - 1/2 - N
Jo 2. j+s-N-l
<
C
(l + E; )
avec
C=
+ y 1
dy
s,2s
R
Par suite
v
e:
H
OR2 )
et
1')
C
IlljJ Il
11
2 (s + j - 1/2)
H
(JR
D'autre part
v
étant intégrable pour
N grand,
ll
~
1
-itT .....
uT}) (t, E;)
JR
(T, E;)dT
=
e
v
211'
1')
pour
t > a
et d'après Cauchy on peut se ramener à une intégrale sur un
contour
r dans le demi-plan
lm T < a
d' indice
1
par rapport à - i (E;2+ 1'} )
1
211'
-..
Mais
v
diffère de
par une fonction analytique dans le 1/2 plan
lmT < a
1111
-itT
d'où
(1x
1
f!
t
> a .
2rr
En appliquant alors la formule des résidus il vient
et donc
t
> 0 .
Par dérivation en
t
il vient

88
( ttf L
2 j+k
t"2
u) (t,f;)
= (- f;)
~(f;)e-t<,
t
> 0
J'x atk
On en déduit alors que
Co ( -
2(s-k-1/2)
R
,H
( lR
si.
,10
H2 (j+s-1/2)
'l'E:
(lR)
+
Si
j
o et k
o
alors
(~u) (O,f;)
tiJ(f;)
c , q. f. d ,
proposition
5.4
1
' i l
L'application
Cf~ u = E(D) (Cf €l 0x(k)) /
x R
1
+
-i (2s+k - 3/2)
est continue de
H
( lR)
dans
+
s,2s
H+
( lR x lR+
'
T)
pour tout
s
réel,
T > O.
1
.
-(2s-J-1/2)
2
H) Pour tout j
H+
OR»)
iii) En tout point
(t,x)
avec
x > 0,
t > 0,
u(
, ) est indéfiniment dérivable
et
Da u(O,x)
= 0
pour tout a
et
x > O.
Démonstration
On pose
et
~t\\
Cf- (T) (- i t;)k
'1'---
_
alors
Û
(T,~)
:'1
où on a fait une coupure suivant l'axe réel négatif,
le logarithme étant
réel sur la droite réelle positive. On a alors
~
k
CR (T) (-i~)
1\\
Û (T,~) =
11
2i/il-iT (E;-il n -iT)
2ir' 11 -iT (~+ir' 11 -iT)
'1
> 0
~
11
-
Lr =
ie
pe
avec
p > 0
et
'Il'
'Il'
- -
< e <
2
2

89
iS
ln
iL
IP e 2
donc
Re~n -iL
10 coss
>
2
1-;; > 0
2
12
Par suite pour
L
fixé,
la fonction
se prolonge en
t;. -
i
ln - Lr
une fonction analytique dans le demi-plan
lm t;.
< 0 .
Sa transformée
de Fourier inverse est donc nulle pour
x > O.
Par ailleurs on a
1
N-1
(-2i 1 n - iL)q
=
E
r----:--, a+ 1
t;. + i
"Tl-iL
q=O
(t;. -
i
"Tl -iL) -
+
Par suite
u
a même restriction à
x > 0
que
v
Il
n
(-it;.)k Cf. (or) (-:a/f!':l-iL)N
défini par
"""
Tl
v
= -
n
2il Tl -iL (t;.-il n -i T) N (t;.+il n -i T)
On peut trouver une constante
C
telle que
il
2 2s
2
Cl + 1
2
l ,N-l Ir';)1 2
L 1 + e :
I~ (L, t;.) 1 < c Cl+t;. ) Cl+ T J
-r
i:
Tl
,n
Cl + 1T' + t;.2) N+l - 2 s
Si on choisit
N
tel que
N > 2s + k -
1/2
alors l'intégrale
J
dt;.
converge et faisant le
r =
R
changement de variable
i l vient
2s+k-N-1/2
l
<
Cl + 1 1
T )
d'où

90
Il
<
I! ce Il 1/2(2s+k-3/2)
"1
H·
OR)
D'autre part pour
N· assez grand,
est intégrable en
et donc en
prenant sa transformée de Fourier inverse en
~
on a
er'
1
v
(t,x)
=
ft Il
2'IT
Mais pour
x > 0, on peut appliquer le théorème de Cauchy et ramener l'intégrale
sur un contour
r situé dans le demi-plan
Im~ < 0
et puisque
~
diffère de
Il
û
par une fonction analytique dans le demi-plan
Im~ < 0
i l vient :
1)
(~
le-ixt-i~f
u
) (T,X):: __
l_
, x > 0
n
2n
2 .
~
-
H
+n
r
et par le théorème des résidus i l vienr
1
1
•
k-l+j'"
-xv';Tï""=iT
5.4.1-
(@i(u ) (T,X)
ft
2
(- r n
-
H)
Cf'(T)e
n
,n
on en déduit que
1
k-l+j
A I '
(_ .; n - Lr )
~ ("[)e-x n-H
2
~
.!..(2s-j-l/2)
2
d'où
H
( :IR) )
+
~(2s+k-3/4)
sL
Hi:
( :IR
+
u ) (T,X)
=
n
-iT
puisque
Re
(-.; n - i T)
> 0 ,
on en dédui t que

91
JajRIa)
SR
- 1/ 2 ( 2S- 1/ 2 )
,
1
1 q+j
-xl Tl-iT
car
(1
+ l T)
(1 +
1:)
le
1
est borné
V q et
V j
si
x > 0
Par suite
V E: > 0
,
V A < 00
on a
'
11 ] q
2
I.a.::...... ~ u (t,x) 1 dt dx
<
00
ax]
atq
Tl
R
on en déduit que
00
U
E: H
loc
(:IR x
] E:
00 [
et donc d'après Sobolev,
00
U
E:
C
(:IR x :IR ).
D' autre part pour
x
fixé,
~ u se prolonge en une
+
fonction analytique pour
lm T
> o. En effet il en est
ainsi. pour
car
1
-:-(2s+k-1-1/2)
le.'1 E: H+'2
(JR)
et i l en est de même pour
.; n -i T
puisque
Re (n - i T )
=
Tl
+ Re T
>
Tl
si
Re T > 0
.
Par suite
u
(t,x) est identiquement nulle pour
t
~ 0
par suite toutes
Tl
ses traces sont nulles pour t
= O.
c . q , f. d ,
Calcul explicite de
u
Pour
x > 0
fixé
est le produit de convolution de
CfF) et de la trans-
1
k-1
-xl Tl -d r
formée de Fourier inverse
E
de
- ( - / T l - i T )
e
k,ll
2
qui est à décroissance rapide pour
x > 0
fixé.
_ _
k-1 -xl Tl -i T
E
(t,x)
1
1
1 Tl -i T)
e
d r
k , Tl
2
211'

92
Il +i~
1
1
-xt
st
rr:
k-l
-xlS
=
- - e
e
(- t' s )
e
ds
2
2iTf
par changement de variable. On a donc une transformation de Laplace inverse.
Pour
k = 0
on trouve 2
x
4t
1
Eo(t,x)
e
-
qui est la solution élémentaire de
2
.,1 Tf t
l'équation de la chaleur
E
(t,x)
=
et
k
u(t,x)
=
X > 0
§ .2
EXISTENCE DE LA SOLUTION DU PROBLEME (G} )
2.1.
On peut se ramener au cas où le second membre
f = O.
En effet soit
....
On note
f
le prolongement de f par zéro pour
t
<
O. Le symbole
de E étant une fraction rationnelle, l'application
f~
E(D)
f / JO,T[ x::R+
0,20
0+1,
2(0+1) ]
[
est continue de
H
OR + x ::R+) dans
H
(
O,T
x R ~
pour
0
> -1/2
On pose alors :
,..
E(D)f
et
0+1,
2 tr +1)
alors la restriction de
u
à JO,T[ x lR+
est dans
H
(JO,T[ X:IR )
V T
1
+
a
a2
et
- - )u = f
1
dt
ax2
2 0
Si
cri
> -1/2
alors
t~ul(t,.) E
COOR
H
+tR )
+'
+
o +3/4-u/2
u
3
Si
0
> 2"-4
alors
X
......--.., u
(. ,x) E
Cl.! CiRr, H
OR+) )
1
On suppose donc que
o
3
> Max
(-1/2,
1!..
2
4
est alors solution de
(G/)
avec
f
O.

93
2.2
On peut se ramener au cas où la donnée de Cauchy
9
est nulle.
2ô
En effet soit
9
donné dans
H
(E+)
, alors il existe
2
un prolongement
19
de
9
dans
H
C (R).
On pose alors
E (D)
(ô
~
19)
et
t
JlL 2 / n, x lR+. Alors on a
(~
a .
D'après la proposition 5.3
at
6+1/2, 26+1
u
€
H
(R+ x ~+, T)
2
2ô
t~ u ( t , . ) E: CO CR+ rH
<:R+»
2
et
u2(O,.) = 9
Ô - !:+ 1
-
2
4
1!._.!.
Par ailleurs si
Ô >
alors
u
,x)
~ -
x~
2(.
E:
C OR+,
H
OR+) )
2
4
Alors
u - u
est solution du problème (6f )
avec
9
0
2
Pro osition 5.5
s- Ï - i
Pour
f
= 0,
9 = a
et
h €
H
(R+) ,
s,2s
H
ORxlR)
le problème (~) admet au moins une solution dans
+
+
si
h
admet un prolongement par zéro.
Démonstration
......
On pose
E(D) (h ~ c'x)
dans le cas de la condition de Dirichlet et
= E(D) (h ~ ôx)
pour la condition de Neumann alors
u =
A/lR
x m
est
+
+
dans
et
-2u est solution du problème.
Corollaire
5.6
1
s - ~ - "4
Pour
h €
H
(R )
avec
s - 1 _ 1. <1/2,
s - ~ - .!. n'est pas un
2
4
2
4
-
demi-entier, le problème (5P)
avec
f
0,
9
o admet au moins une solution
s,2s
u
qui est dans
H
OR+x
JR+, T)
li T >-0

94
Démonstration :
Elle découle de la proposition précédente et du théorème de prolongement
par zéro.
Théorème
5.7
3
On suppose que
s - ~
< 0;
2
4
s - ~ - ~
non entier,
f
E:
If ,20' OR+ x E+)
avec
cr > Max(-1/2, ~
-
3/4),
0'
~ s - 1
2
26
g E: H
uR ~
avec
Ô > t
1-
(\\.2: s - 1/2
'4
s-l.I/2-1/4
et
h E: H
(q»
OR+ ) alors
admet an moins une solution
u
s,2s
qui est dans
H
OR+x:IR:
T)
tt
V T > 0
Démonstration
5
Puisque
Il ~ 1 r on a nécessairement
s < "4
On peut donc toujours supposer que
cr
<
1
et
cr
> s-l
en remplaçant 0'
'4
cr ,2J
par 1/4 si
cr
> 1/4.
Alors
f
se prolonge en un élément de H+
OR x :IR) •
s,2s
Les solutions
u
et u
définies précédemment sont dans
1
2
H
OR/<JR+,T)
pour tout T
et le problème avec
f = 0, g = 0
admet une solution d'après
le corollaire 5.6.
§ 3 : Unicité
Pro osition : 5.8
Soit
1
s i' -4
au
tel que
a 2u
-
:= 0
alors
u
admet des traces de tous ordres et
at
au 2
k
k
a u
s- .,. - 1/4
( • ,0)
k
e: H+
CR)
ax

95
Démonstration
On suppose que
s
admet un prolongement par zéro
-
<
1
, alors
u
u
dans
4
s .. 2s
H
OR2)
+,+
F
avec
s-l, 2(s-1)
2
FE:H+,+
OR)
n
s -1, 2 (s-l)
2
H+ _
C1R )
,
par suite d'après le théorème 1.18,
L
( . )
J
F
=
Cfj 181 ôx
a ~ j < - 2s + 1 + 1/2
avec
~( 2s+j-l-l/2)
~j
et donc d'après
E:
H
OR)
+
la Broposition 5.4,
u = (E(D)F)/:rn
et
s-, ~ - 1/4
lu
- y
e:
co (:R'+ r H+ 2
(IR) )
ax
Supposons à présent que
s
> 1-
4
1
cr ,2cr
On prend
cr
<
-
et
u. e: 8+
ORxlR)
4
+
D'ap~ès le calcul précédent,
u = E(D)F
( j )
avec
F
Z-
gj 181
ôx
Mais d'après la formule 5.4.1
O:::;j<-2:r +1+1/2
on peut mettre
u
sous la forme
1
u = E(D)
(Cf QlI 6' x)
et alors
~
11 ( • ,
0) •
Mais puisque
"2
s-1/4
s > 1/4
u ( . , 0) est défini et appartient à
H+
OR ) ,
alors les
s- ~ -1/4
traces de
u
sont dans
H
2
OR) toujours d'après la proposition 5.4.1.
+
c . q. f. d ,
proposition
5.9
2
Soit
u e: ,,2)'(E,+ x lR+)
tel que
au
a u
= 0
2
at
ax
1
On suppose que
t
~ u(t,.) e:
Co00+ r
~ (E,+) )
et que
u(O,.)
= o.
On suppose qu'il existe
a
tel que le prolonçrement de
u
par zéro pour

96
a , 2a
t
< a
soit dans
H+
(IRxR)
+
Si en plus u(.,O) = a
alors on a
u = E(ceml O'x)/lR+ xlR+
où E est
la solution élémentaire de l'équation de la chaleur et
c;;-
6 (j)
JC--
C j
t
O~j< -a-l/4
Si
d\\1.(
0)
= a
alors on a
dX .,
u
E ( Cf 'li éx) ./JR+ x lR+
avec
cp
:E.. C o~j)
j
O~j<-a+ 1/4
Démonstration
Puisque
u E;
"(:IR+»),
u
a un prolongement naturel
UO
nul pour
t
< a
et
(dU) °
puisque
dt
u(O,.) = O.
On a donc
a
dt
et
X:IR )
alors d'après la proposition précédente, si a # !
+
4
et si
u
est un prolongement par a de UO on a
li = E(Uf ml o'x)
avec
a-l/4
CfE H+
(R) •
Mais si
u(.,O) = a
alors
y (u) = - .!- Cf = a
pour
x > a
donc
o
2
a-l/4
Cf E; H
(IR) •
Par suite d'après le théorème 1.18 ,
Cf=
-
Mais on a également
u
de la forme
u = E (D) ( Cf' 'li éx)
avec
a-3/4
y u =
! Cf E;
H
(R) •
1
2
+
Si on a
dU(.,O)
a
alors
dX
a-3/4
Cfe:
a-3/4
()
H+
(R)
H
OR)
et alors
c.1(=
Z-
C o~ j)
j
a .
1
<J<-a+ ~
4'

97
Corollaire: 5.10
Le problème
(~) avec condition de Dirichlet admet au plus une solution
s,2s
dans
H
(R x JR)
si
s > _ 1 •
Of-
+
"4
Le problème
(gP) avec condition de Neumann admet au plus une solution dans
1
si
s ~.
4
Démonstration
s,2s
Ei u E: H
(1R+ x JR+)
alors le prolongement de
u
par
0
est dans
5,25
1
H
OR x R
si on suppose
s
< 1/2
•
Mais si
s >
+
4
Pour le problème
de Dirichlet
Cf = 0
et donc
u = o.
De même si 5 > 1/4
pour le problème de Neumann, on a
Cf
O.
Théorème
5.11
~
fl
On suppose que
-1/4 + 7 ~ s < 3/4 + 2
si
alors
f
E:
If ,20 <R+ X JR+)
avec
o > s-l
a > Max (-1 /2 ,
~ -3/4) ,
2 15
,1.
't'
E:
H
fTn+)
~
avec
~u > s - 1/2
15 >
l:-
1
-
2
4
s- l:-
-1/4
2
CfE:
H
OR+)
alors le problème
(G) ) admet une solution et une
s,2s
1
seule qui est dans
H
(R+ x lR+, T)
Lpour T > O.
§
4:
REGULARITE DE LA SOLUTION
On suppose à présent que
s > 3
+
l:-
4
2
f
donné dans
~
1
s-
E:
2s-1
H
(R )
CfE:
H
2
4 OR )
+
+
alors le problème
(qs)
admet une unique solution qui est dans

98
3/4+ 11/2- E:, 2(3/4+ 11/2- E:)
H
OR+x lR+)
pour tout E: > 0
Pour étudier le comportement de
u
au voisinage de l'origine, nous
allons donner un développement asymptotique de
u
à
l'aide d'une
échelle de fonctions que nous allons appeler solutions singuliêres.
Nous avons vu au paragraphe précédent que les solutions de l'équation
i
homogêne sont de la forme
:
u = E
C
E (D) (ô ~ j) ~ ÔI~) /IR+ x lR+
j
j
( j )
E(O) (ô t
~ ô'x) =
E ( 0) (ô
lllI ôx)
t
Mais E(D) (Ô
~ ôx) n'est autre que la solution élémentaire
E
de
t
l'équation de la chaleur.
Les fonctions singulières seront donc des dérivées mais aussi des
primitives de la solution fondamentale.
k
t
On pose alors pour k entier ~ 0,
0
(t,x)
E(O) (-±.
~ ô'x)
k
k!
k
k
où
t
= t
pour
t
~ 0
et
0
pour t
< o.
+
De même on pose
(k)
o -k-l (t,x)
E(D)(Ô
~ÔIX)
t
k
a (t,x)
1
(t-y)
dE
-(y.x)dy
où
k
k!
dX
E
est la solution élémentaire.
Ok est donc une primitive d'ordre k+l
dE
.
de
En particulier on a
dX
2
2
a
(t ,x) = -
e-y
f114"t
dy
est la fonction erreur
0
/Ti
complémentaire.

99
Proposition: 5.12
Pour
k
entier> 0,
pour tout
s < 3/4 + k
et tout
T
> 0
3/4+k,2(3/4+k)
et
H
CR+X lR+, T)
T >
1 pou~__~~__c_u_n
°
_
Démonstration:
k
-Tlt
Soit
l''J
> 0 ,
e
cr
(e~tE) (D) (e~t t+ ~ 6'x)
k
k!
pour t
> ° ,
-Tl t
k
e
t
et sa trace est nulle
k!
jusqu'à l'ordre
k-1
donc
k
-Tl t t
cr
e
+
e:
H
CR)
pour tout
cr
< 1/2 + k
k!
+
d'après le théorème de prolongement par zéro. Par suite d'après la proposition
a + 1/4, 2 (cr + 1/4)
5.4, on a
cr k e: H+
CR x:IR)
d'où le résultat.
3/4+k, 2(3/4+k)
Supposons que
ak/:IR+x~ e: H
. .
OR+xlR+,T)
En décrivant
k
fois par rapport à t, i l vient
3/4,
3/2
~ 6'x) / lR+!IC R+ e: H
(R+x :IR+,T)
Mais pour tout x > ° fixe;
E(D) (1+
~ 6'x) (O,x)
°
et pour
t
> ° fixé,
E(D) (1+
~ ô'x) (t,O) = 1
Par suite
E(D) (~+
~ ô'x)
ne vérifie pas la condition de compatibilité
(Voir
Lions 2).
Théorème
5.13
On suppose que
5
e: ]
-1/4 -k - 1
-1/4 - k[
k entier> 0, alors toute solution
u
du problème
(~) homogène avec la
condition de Dirichlet est de la forme
k
u
=
1:
C.cr.!
où les
sont des constantes.
j=O
] -]-
On suppose que
5
e: ]
3/4 + k,
3/4 + k + 1 [
s-1,2(s-1)
k entier ~ 0 , on donne
f E. H
-
CR X:IR )
+
+

100
et
Alors le problème
(q>
avec condition de Dirichlet admet une unique solution
u
qui
3/4-e:, 2 <3/4-e:)
est dans
H
(R+x ~,T)
e: > O.
Il existe des constantes uniques
c
telles que
j
k
u
E
C, (J , + U
j=OJ
J
S
'liT> 0
Démonstration
La première partie découle de la proposition 5.9.
Supposons alors que
s e ]
3/4+ k,
3/4+ k
+ 1
[
Si
u
est solution de
(qjS), on sait que
u
est de la forme
avec
e: HS ' 2s (R x lR
T)
u
+
+,
2
aU _
et
u
solution de
1
o
1
a
"i (0,.)
= 0
s-1/4
"i (. ,0)
=
cp avec cp e: H
CJR+)
k
Nous allons chercher
u
sous la forme
E
c.
1
(J
,
+ u 3
j=O
J
J
2
Puisque
_d_ a
d
a,
0
V
j,
on a
dt
j
2
J
ax
2
aU
a u
3
3
0
2
at
ax
a. (0,.) = 0
V
j
donc
u
(0 , . )
0
3
J
k
i
t
u
(t,O)
E
C.
+ u (t,O) =
1
j=O
J
3
Cf
j!
s-1/4
Puisque
Cf e: H
(R+) et que
s > 3/4 + k,
on peut définir les
traces de
jusqu'à l'ordre
k
On prend donc
(j)
j
0,1,
. . . , k
(0 )
k
j
t
et alors
= Cf-
E
C,
j=O
J
j !

101
s-1/4
est dans
H
OR ,T)
V T > 0
et de plus ses traces sont nulles
+
jusqu'à l'ordre k. Puisque s < 3/4 + k + 1,
on en déduit que
u
se
3(t,O)
s-1/4
s,2s
prolonge par zéro à
H+
(R,Tl .
P~r suite on a
u 3 € H
(~+x R+,T)
V T > 0
d'où la décomposition de u.
Supposons qu'on ait deux décompositions,
s,2s
alors i l existerait des coefficients
C. et une fonction
Us €
H
(R x R
,T)
J
+
+
telle que
kI:
C. a.
+
u
= O.
j=O
J
J
s
3/4
puisque
s > 3/4
et que pour
j
> t • a. e H
(R r T) •
-
J
3/4
On déduit que
H
(R+ ,T)
d'où
Co = 0
d'après la proposition 5.12
et ainsi de suite on a
0,
j
0,
. . . r k.

CHA P I T R E
VI
SOLUTIONS
L 2
DE L'EQUATION DE LA CHALEUR DANS UN OUVER!' DE
JRn

102
n
SOLUTIONS
L
DE L'EQUATION DE LA CHALEUR DANS UN OUVERT
DE lR
2
1- Introduction
Soit
n
un ouvert borné de
lR n
tel que
n
soit une variété à bord indé-
finiment dérivable de bord
r
Soit a < T < m.
On pose
J 0, T [ x n
= JO,T[xr
Dans
Q
on considère l'opérateur
T
-
Cl
A =
il
-
E
a
(t,x) D
êlt
Cl
x
s
1 Cl 1
2
B
un opérateur frontière d'ordre
~ 5 1,
de la forme
B = (B ,B
B ,B
"0
1),
0
1
ee
Opérateureurs aux dérivées partielles sur
r à coefficients dans
C (~T)
On se propose alors de résoudre le problème :
Au
f
dans
u (o,x)
= g
B(yu)
h
r,s
Les données q et h seront dans des espaces de Sobolev
H
(JO,T[ x m
r,s
J
[
et
H
(
0, T
)( r:
r,s.
Les espaces
H
(Ixn)
où l
est un intervalle ouvert de lR
sont définis
n
comme au chapitre 1 § 4, en remplaçant
lR
par
n.
,
+
r s
L'espace
H '
(I x
I')
se défini en se ramenant par cartes locales à
r s
n-l
H '
(I X:IR
).
Cela étant les résultats se transposent aisément et on a
en particulier des théorèmes de prolongement par zéro des éléments de
r,s
[
et
H
(JO,T
x
r: à
r,s
r,s
H
{J - œ ,T [ x n
et
Ii
{J_m,T[xn}
+
+

103
§ 2 : OPERATEURS PSEIJOODIFFEREN'I'IELS DU TYPE DE VOLTERRA
Nous allons décrire une classe d •opérateurs pseu,dodifférentiels anisotropes
qui suffira pour notre problème. Puisqu'il s'agit de l'équation de la chaleur
associée à un opérateur d'ordre 2, l'anisotropie correspondra à un poids égal
â 2 sur la variable
t . Pour la définition générale et la démonstration des
résultats, voir Pirion (1) et (2).
Définition
6.1
n
Soit
Q = l
x n où l est un intervalle ouvert de met n un ouvert dem
.
n+l
Une fonction
a(t,x, -iT ,~) indéfiniment dérivable dans
Q x m
est un
symbole anisotrope d'ordre
m
dans Q s'il existe une suite
a,
de fonctions
J
telle que
ex>
i)
C
dans
n+l
ii)
Pour tout
A > 0,
(t,x) E Q,
(T,~) E m
m-j
= À
a,(t,x, -iT,~)
J
iii)
Pour tout compact
K
de
Q,
pour tous multi-indices
a ,8,
pour tous entiers
k, q, N,
N > 1
i l existe une constante
C
telle que
k
q
a
a
D
D
D
D
(a-
E
a, )
<
J
T
t
x
~
j<N
avec
~
m - N - 2k -
1al
pour
2
tout
X
E K
et
1.1 1/ + I~I > 1
On écrit alors que
a
'ù
E a.
j
J
L'ensemble de tels symboles sur
Q
sera noté
Si
on lui associe l'opérateur
A = a(t,x,
a , D ) par
at
x
-n-l
i Tt
A,
A (('(t,x)
= (2'11')
r e-
-ix~
e
a(t,x, -iT,~)~(T,~)dT d~
Jmn+1
pour
Cf E: c:J; (Q) •
2 m
On note
L '
(Q)
l'ensemble des opérateurs
A : ~ (Ç?) j>--~~ t (Q) tels que
pour tout
f
E: ~(Q), i l existe
S2,m(Q)
avec

104
a
A( f Cf)
= a~(t,x,---,D ) én
r
at x ~
Par cartes locales on définit également
2,m
L
t z :
si
t
= l x r .
Définition
6.2
Un opérateur pseudodifférentiel anisotrope A sur Q
sera dit de Volterra
si pour tout
T e l,
alors pour toute
Cf c 'f/J (Q) nulle pour t < T on a
A Cf
nulle pour
t < T.
2,m
Le sous ensemble de
L
(Q) formé des opérateurs de Volterra sera noté
2
2,m(
V , m(Q) .
De même on définit
V
E ).
Défini tion
6.3
On note
(J
. (Q)
l'ensemble des fonctions
a
= a (t,x, -iT,!;) vérifiant
m-]
j
j
les conditions i) et ii) de la définition 6.1 et admettant un prolongement
00
holomorphe
a. (t,x, 11 -iT,!;)
pour
Tl
> a
de classe C
par rapport à
J
l'ensemble des variables, les dérivées étant continues pour
I~I + Izi .; a
où
z = Il -i T •
Théorème 6.4
2 m
Soit
A e V '
(Q)
et
E a
le symbole de A. Alors pour j > 0,
j
j
(J
• (Q)
m-]
Réciproquement si (a
est une suite telle que
j ) .
a]·
e: C1
• (Q) pour tout
m-]
]
j
alors il existe
52,m
a e
(Q)
tel que
a 'ù t
a.J
et
A = a(t,x, !...,D ) e: v2 ,m(Q) •
dt
x
Définition
6.5
2,m(Q)
Soit
A €
V
On dira que A est parabolique en un point (t,x) de Q
si on a
a
(t,x, l1-iT,E;) 1: a
o
pour
Tl
~ 0,
1 ~ 1 + 1 z 1 1: a
avec
z = 11 -i T.

105
2,m
Si A E V
(E),
A sera dit parabolique en un point (t.x).
x E r
s'il
existe une carte
(U,S)
au dessus de
x
telle que le transporté de
A/IxU
par l'application (id,S)
soit parabolique au point
(t, 6(x»,
On suppose à présent que
n est borné
que
o E r
et soit
T e: I.
T < 01>
On pose
~ = {(t,x) E Q 1 t < T}
et on définit de même
ET'
On note
r;t+ (QT) l'ensemble des u E fj)'(Q )
tel que u = a
pour
t < O.
T
On définit de même
2,m
Si A E V
(Q), on lui associe l'opérateur
~ tel que pour tout t < T
ro c""
et tout
'-f
à support dans
] - œ , T [
valant 1 dans
] 0, t [ , on ait
A (u)
A(Cfu)
T
Théorème
6.6
2 m
Soit
A EV'
(Q), parabolique en tout point (t,x) avec
a ~ t ~ T
et
X
E
n
Alors il existe deux opérateurs
El et E
appartenant à
2
2 -m
v '
(Q)
propres tels que
A El u
= u
dans
QT
pour tout
u E
fJ5: (Q)
et
E
= u
2AU
si
u E ~~ (Q)
est à support dans
~
§3 : APPLICATION A LA RESOLUTION DE L'EQUATION DE LA CHALEUR
a
Soient
A =
at
et
B
(Bo' B ) '
t
On pose
Q
= ] O,T[ x n
T
et
ET =
JO,T[
x r
,
On suppose
a
e: COI> ("Q"T)
a
"" -
B
et B
à coefficients dans
C (ET)' On peut alors les prolonger à des
o
l
n
ensembles de la forme
1 x U
et
1 x
r
où
U est un ouvert de :IR
U:::>n
et 1 intervalle ouvert de ~
contenant 0 et T.
On prendra pour simplifier
1 = R ,

,1
106
3.1
Résolution du problème
(Gf
Au
= f
1)
u(o,.) =0
Proposition
6.7
Soit
E
un opérateur psewodifférentiel anisotrope dl ordre
m
de symbole
E a. tel que pour tout
j
aj(t,x, -iT,E;.)
est une fraction rationnelle
:i J
de
n :; (T, E;.), E propre.
Alors l'application
où
,
f
est le prolongement de
f
par zéro pour t < 0
est continu de
:o~:cr(:) :a::
(Q
)
1
>
." cr - l' b-m
T
2
Démonstration
Elle résulte du fait que
E
a la propriété de transmission par rapport à
la variable
t.
Voir Bontet de Monvel (1)
Proposition
6.8
Pour cr > - 1/2
le problème (6]51) lorsque A est parabolique dans
QT
a+1,2(cr+1)
0,20
admet au moins une solution dans
H
(Q)
pour tout
f c H
(Q
)
T
T
ol§monstration
Soit
El un inverse d'ordre -2 à droite de A, E
propre.
1
u = E -
On pose
f
/
0
1
-T
0+1,2(0 +1)
alors d'après la proposition 6.7
u e: H
(Q
)
T
et
Au
f
Mais puisque
cr
> -
1/2
i l existe
1 s]
< 1/2
ô,2 ô
oH, 2(6+1)
tel que
f e: H+
(R x U).
Mais E étant de Volterra,
E f
e: H+
(RXU)
6+1,
2(6+1)
donc le prolongement de
u
par zéro est dans H
(R x U)
et par suite
+
u(O,.)
= O.
3.2. Résolution du problème
Au
f
(6]2)
u(o,.)
g.

107
Proposition
6.9
Si
A
est parabolique dans
Q
et si
cr > - 1/2
alors le problème
(~2)
T
a+l,2(a+l)
admet au moins une solution dans
H
(Q )
T
pour tout
f
dans
If .ze (Q ) et g dans H2:1+ l(m.
Démonstration
a+l,2t1+1)
Puisque
aJ'
> - 1/2
on peut trouver
W €
H
(Q )
T
te l que
W(0, • )
g
a ,2a (
AW
e:
H
QT)
et d'après la proposition précédente on peut trouver
v
solution de
Av
f
- AW
V\\O,.)
CJ
Alors
u -
v + W est solution de
(~)
3.3
Résolution du problème
Au
= a
dans
(GjSJ
QT
u(o,.)
= a
sur
E0
B (yu)
= h
sur
ET
avec
yu = (y u, Y1 u )
'-1
o
s- -
-1/4, 2s-lJ-1/2
2
h
est donné dans
H
(E
)
T
s,2s
et on cherche
u
dans
H
(Q
)
T
Définition
6.8
Soi t
u e
95'( ]O,T [ x m. On dira que u a des traces sectionnelles
jusqu'à l'ordre
k
par rapport à t
à l'origine si t
~ u(t,x)
K(
est dans
C
[O,T[,
~'(~':) i ,
n
Lorsque
lR
on dira que
u
a des traces sectionnelles jusqu'à
+
l'ordre k au bord de n
si
X
~U(t,x',x )
n.
n
est dans
n
Si
n est un ouvert régulier de lR
de bord r, on dira que
u
a des
traces sectionnelles jusqu'à l'ordre
k
au bord si tout point du bord

108
admet une carte
(a,V)
telle que le transporté de u par la carte
(id, a, ] 0, T [
x V) ait des traces sectionnelles jusqu'à l'ordre
k
au bord.
( .)
Pour
j
entier et
h E: $'( JO,T[ x f) on note
h ~ Ô ]
la distribution
sur
JO,T[ x U
dont la
•
transportée par la Carte
(id, a) est de la forme
j
D
ôx
où
v
est la transportée de
h
par la carte
(id, air).
n
n.
On cherche donc
u
ayant des traces sectionnelles.
Proposition
6.10
2,m
Soient
A
un opérateur pseU:lodifférentiel anisotrope
A E: L
(R x U),
A propre,
j et k deux entiers
~ O.
On suppose que chaque composante
a
(t,x, -iT,!;)
du symbole de A est une fraction rationnelle par rapport
q
( j )
à
la variable
(T,!;).
Alors pour tout
h E:
(R x r
(A (h ~
Ô
» 1 R x n
ï
,
a des traces sectionnelles de tous ordres et
A
h
k, j
2,m+k+j+l
avec
A
.
k
E:
L
(R x f).
, ]
2 m
De plus si
A E: V '
(R x U)
et si
h
E:
est indéfiniment dérivable et toutes
ses dérivées sont nulles pour t
= O.
Démonstration
La première partie se démontre de la même façon que pour les opérateurs
pse.ttiodifférentie Is. Voir Pirion
(2)
pour plus de détails. La deuxième
partie résulte du fait que
A
conserve le support singulier et si
2,m
A
;D:
E: V
(RxU)
et
h E:
(Rxf)
alors
A(h ~ o(j») est dans
00
et comme
(A(h ~ ô(j))1 R x n
est
C
, toutes ses
dérivées sont nulles pour
t
= O.
On utilise la méthode des projecteurs de Caldéron. Soit l'opérateur A du
problème
(G)).

109
Si
u E: ~ OR x ST) est tel que
Au = 0,
alors on définit l'opérateur
A
sur
~'ùR x f) par
.
A(yu)
= A(uO)
où
UO
est le prolongement de u par Û hors de n,
yu = (You, y 1u) .
Soient alors
El et E
deux inverses à droite et à gauche pour A d'après
2
le théorème 6.6.
On définit deux projecteurs de Calderon
Q1 et Q2
par
où
D'après la proposition 6.9 et l'expression de
A,
Q. est une matrice
l
i
(Q
)
0 < k,j
< 1
d'opérateurs anisotropes tels que
k, j
i
2
k-.Q,
Q
E: V'
(R x f)
k,R.
Proposition
6.11
On suppose que la matrice
BQ1
admet un inverse à droite alors
s-~/2-1/4 , 2s-~-1/2
r
pour tout
h E: H
( ] a ,T L x r)
prolongeable par zéro
(~3)
s,2s
admet une solution dans
H
( Q ) .
T
Démonstration
est un inverse à droite de
BQ1
On prend
u = E
(A (D (h») / ] 0 ,T [ x n
1
1
où
-h est un prolongement par zéro de h.
La proposition résulte alors de Pirion (2).
3.3.2. Unicité de la solution
Proposition
6.12
On suppose que la matrice
(I-Q2) œ B
admet un inverse à gauche.
Soit
u
solution du problème
(G}'3)
avec
B (yu)
= O.
S'il existe
Ct
réel tel que le prolongement de
Ct , 20.
u
par zéro pour t
< a
soit dans
H
(R x m
alors on a
+
u
E
(A (D (O,h») / Q
avec
2
2
T
u
ct (j)
2(j+Ct
1/4)
- l' +
h
E
v· 18I
et
v, e: H
J
J
(f)
O~ j s -Ct + Ho -1/4
2

110
Démonstration :
Puisque
u
est continue par rapport à t
on lui associe de façon naturelle
son prolongement par zéro pour t
< 0,
soit
û
et puisque u(o.,)
= a
on a encore
A u
= O.
Si on suppose que
a,2a(
U
E
H
R x Q)
alors d'après Pirion
(2),
û a des traces sectionnelles de tous ordres et
.....
a- ~-1/4,
2a-k-1/2
y U
E
H
2
OR x I') •
k
+
a- i -1/4, 2a-~-1/2
Posons alors
B (yU:)
= h E H
OR x I')
Mais alors
ü
est solution de
Au
a
BlYU) = h
Par suite si
D
est un inverse à gauche de
(1 - Q2) œ B
on a
2
D'autre part
B (y u ) / t > a
=
B (yu)
= a
donc
B(yu)
est à support dans {a} x r .
Par suite d'aprês le théorème
1.18
on a
h
I:
O~
avec
j< -a + ~ - 1/4
2
.2(a+j-~ +1/4)
v.
E
H
(I')
]
c , q , f. d ,
Corollaire
6.13
Si A est parabolique et si
(1 - Q2) œ B
admet un inverse à gauche,
s 2s
le problème
(~j admet au plus une solution dans H'
(Q)
si
T
s>_.!-+~
4
2
Démonstration
On prend
a
tel que
_.!..+H..
et
4
2
a S
1
ce qui est possible puisque
2

111
a,2a
Alors
U E: H
OR x rI)
et donc
+
J.I
h = 0
puisque
-a +
1/4 s o.
2"
Théorème
6 • 14
Si A est parabolique dans
~
si
BQ
admet un inverse à droite et (1 - Q2) 19 B
admet un inverse à gauche,
1
0,20
20 +1
s-u/2-1/4,2s-J.I-1/2
alors pour
f
dans
H
(Q),
g
dans
H
(n) ,
h dans H
(E )
T
T
o > 1nf(-1/2, -3/4 + u/2)
,
o ~ s-l , le problème (6]5) admet une solution
s,2s
et une seule dans
H
(~)
si
1
+
~ <
S
<
4
2
Démonstration.
0+1,2p+1)
On résoud (Gj51 dont la solution
v
est dans
H
(QT)'
B(yv)
est défini puisque
0 > -3/4 + u/2
et
B (yv)
est dans
u
s- 2 -1/4, 2s-u-1/2
H
0:)
puisque
0+1
~ s
T
Par suite on est ramené au problème (~d qui a une solution unique dans
s,2s
H
(Q
)
car
-1/2 < s -u/2 - 1/4 < 1/2
T
Remarque :
On peut trouver un voisinage de [0, T J
dans leauel les inverses E
et E
-
1
2
de A ont même symbole qu'une paramétrix de A. Par suite les projecteurs
Q1 et Q2
ont même symbole dans un voisinage de
[ O,T ] •
En se ramenant au demi espace
x
> a
les conditions sur B peuvent alors
n
être interprêtées de la façon suivante
a
On note
E
a (t,x)-t
lal=2 Cl
le symbole principal de A oü
Z = '1 -iL, '1 > 0
On désigne par
C+(t,x' ,Z,~')
le sous-espace des données de Cauchy
(u(o), u' (0»
des solutions de l'équation différentielle
qui sont bornées pour
x
~ o.
n
On désigne par
C-(t,x',Z,~') les données de Cauchy des solutions bornées
bornées pour
x
< o.
n -

112
Alors le symbole principal de
Ql et Q2
peut étre interprété comme la
projection dans
]R2
sur
C(t,x' ,z,t;,') parallèlement à
C(t.x'.z,t;,')·
Soit alors
bo(t,x',z,t;')
le symbole principal de B, les conditions sur
B
sont vérifiées si la restriction
~o(t,x',z,t;'~ ~e bo(t,x',z,t;') 1
C"'(t,x',z,t;')
est inversible pour
Il
2: 0,
Izi
+ IE;'I f: O.
Si on suppose que pour
t,x',z
fixés l'opérateur associé à
ao(t,x',o,z,~)
est proprement elliptique et si
bO
et b 1
sont les composantes de
b
o
0
o
'
alors l'opérateur
b
s'identifie 1 la multiplication par la fonction
o
o
1
C (t,x',z,t;,')
= b
(t,x',z,t;')
+ ar
(t,x',z,t;')b (t,x',z,t;,')
o
0
+
0
où
T+(t,x' ,z,t;,') est la racine 1 partie imaginaire strictement positive de
a (t , x'. 0, z, t;,).
o
Par suite les conditions sur
B
sont vérifiées si et seulement si
Co ne
s'annule pas. C'est donc le cas si
b~ = 1, b~ = 0
c'est la condition
de Dd r i ch Le t .
O
1
b
0 ,
b
1
, c'est la condition de Neumann.
0
0
1
n-l
0
b
1
et
b
= i( ~
a
(t,x')t;.
)
0
0
j=l a
J
où les
da
sont 1 valeurs réelles, c'est la condition de dérivée oblique.
3.4. Régularité de la solution
s-l
2s-2
On suppose que
s ~ 3/4 + ~/2
et on donne
f
dans H '
(~),
2s-1
s-~/2-1/4, 2s-~-~2
g
dans H
(S1)
et h dans H
'l~ )
T
3/4+~/2-E,
alors on a une unique solution qui est dans
H
VE>O
~
s,2s
Mais puisque la solution du problème
(Fi est dans
H
(~) on en déduit
s,2s
que
u
sera dans H
(~) si et seu~ement si la solution du problème (GJ3)
s,2s
s,2s
associé est dans H
(Q ). Soit alors
W E H
(Q ) tel que
w(O,.) = g.
T
T
Le problème
~3
associé est alors
Au
= 0
u(o,.)
0
B (yu)
= Cf

114
- ~
avec
cp = h - B ( (E (f + A W ) ) )
---
r--
où
f
et
A W
sont les prolongements de f et AW par zéro pour
t
~ O.
s-~/2-1/4, 2s-~-1/2
On en déduit alors que si
Cf se prolonge par zéro à H+
OR x n
5,2s
alors la solution
u
du problème
(~) est dans
H
(QT)'
Dans le cas où cette condition dite de compatibilité n'est pas vérifiée, nous
allons donner un développement assymptotique de la solution
u
au voisinage
a
du bord
r
lorsque
A =
où ~ est l'opérateur de Laplace, avec une
dt
condition de Dirichlet sur le bord
r de
n en utilisant les solutions sin-
gulières
introduites au
§4
Ok
chapitre
:2:
Théorème
6. 15
Soit
s > 3/4
s -
3/4 = k + ô ,
k entier > 0
o < Ô < 1.
s-l, 2s-2
On donne
f
dans
H
(QT)
2s-1
s-1/4, 2s-1/2
g
dans
H
(Il)
,
h dans
H
0: )
T
Alors le problème
(~) avec
a
A =
~,
admet une solution et une seule dans
dt
3/4-e:, 2(3/4-e:)
H
(QT)
pour tout
e: > O.
Dans un voisinage de la frontière
ET
de
QT' la solution
u
peut
se mettre sous la forme
k
u =
E
C. (t,x') (J
(t,p)
+ u
j=O
]
j
s
s,2s
avec
Us e: H
(~) •
x =
(x',p)
où
D
est une coordonnée transverse à r,
x'e: r
C.(t,x')
est solution de l'équation
J
( ~ - ~') C. = 0
dt
J
2(s-j-2/4)
Cj(O,
v.
avec
v. e H
(f)
]
J
où
6'
est l'opérateur de Laplace - Bertrami sur le bord r, les v. étant
J
nuls si et seulement si les données vérifient la condition de compatibilité.

115
Démonstration
On se ramène à la résolution d'un problème
(~3) avec donnée Cf .
00
On prend alors un voisinage
tUbulaire 17 de f. Soit Xe:C
a support
dans 11 et valant 1 nans un voisÏ:n"ige de f •
Alors
X-\\,l
es i: solution de
Cl
at
(Xu)
-
A<xu)
= [fj, X ] u
f
( t , x )
3
<xu)(O,.)
=0
où
[X "fj ]
est le commutateur de
X et fj.
La fonction
f
est identiquement nulle sur un voisinage de f.
Il en
3
est de même pour
~3 son prolongement par zéro pour t < O. Par suite
si E est la solution élémentaire de fj, on a
E * f
indéfiniment déri-
3
vable lorsque
x
parcourt un voisinage de f.
(E
est pseudo-local).
Mais d'autre part E est de Volterra donc E* f
est nul pour tout t
< 0
3
et
x e: r/.
Par suite
E* f / [ O,T ]
x n
a toutes ses dérivées par
rapport à
t
nulles pour t
= 0
dans un voisinage de f.
Par suite sa trace sur
f
est plate en t
= O. On e~t donc ramené au
problème
<'3)
avec
u
à
support dans un voisinage
tubulaire
tr de r.
Mais dans un tel voisinage,
fj
se ramène à des t.ermes d'ordre inférieur
a2
près à un opérateur de la forme
+ fj'
où fj' est l'opérateur de
ar2
Laplace Beltrami sur le bord et
p = 0
définit f,
p > 0
définit
n
dans
1T
On se ramène alors à la régularité de la ~olution du problème.
2u
a
a
u
fj'u
- 2
+
at
ap
u (0, .) = 0
You
Cf
On cherche alors
u
sous la forme
k
u
=
L:
C,<t,x')
a, (t, o ) + U
j=O
J
J
s
où
Us
est solution d'un problème
(~) avec une donnée vérifiant les
conàitions de compatibilité.
On prend alors
C.(t,x')
solution de
J

116
a C.
_ J
ri' C,
at
J
H2 (s-j-1/2) (f)
C,(O,
)
= v.
e
à déterminer.
J
J
2(fl
6'
étant générateur infinitésimal d'un semi-groupe dans
L
,
s - j , 2(s-j) ('<' )
ce problème admet une solution et une seule dans
H
~T
pour
a < ; < k
ac.
a
= - - l
Cl,
+
C.
a.
at
at
J
J
J
a2
=
6' c.
cr,
+
C.
- 2 ) ( c , a . )
J
J
J
dp
J
J
puisque
C,
ne dépend pas de
p
et
cr.
J
J
ne dépend pas de x'.
'2
On a donc
~ u = ( ~ + l\\') Us
a .
at
s
()r2
On a vu que
<J,(O,.)
= a
Vj
J
par su.ite
u ( O , . ) = o
s
Par construction des
a.
on a
a. (t,a)
pour
t
> 0 .
J
J
. 1
J •
d'où la relation
k
3=0
c
(t, x')
+ y Us = ('0
j
0
'1
~
j
0 t
c . (t,x').
J=
-
J
j !
On va donc déterminer les
v.
pour que
you
se prolonge par zéro dans
s
s-1/4, 2s-1/2
J
H+
OR x f).
Mais avec les hypothèses sur s, il suffit que ses
traces soient nulles jusqu'à l'ordre k.
On a le
Lemme
6.16
.
H2 (s-j-1/2) (f)
S01ent
v. e:
et
J
t6 '
c.(t.x')
=
e
v.
alors
J
.
J
S
H , 2 S ( '<' T ) '
t
.
'~l' d
.
1
C,
e:
~
ses
races Jusqu a
or re J-
sont nulles et sa
J

117
1 trace d'ordre
j
est égale à
v,
.
J
Admettons le lemme. 2
s, s
Alors
y u
e:
H
(fT) .
, o s
j
t
Si on pose
-
C.(t,x')
on a
q j
j!
J
(q )
2(s-q-l/2)
Cfj
(0)
E:
H
(~ )
pour
o < q ~ k
et
o
pour
o ~ q ~ j-l
v,
d'où le système
J
Cf (0)
v o
Cf' (0)
v
+ q'o(O)
1
Cf" (0) = v + Cfï (0) + Cf" (0)
2
o
(k )
k-l
(k )
Cf (0)
~
Cfq (0)
q=O
On a donc un système triangulaire qu~ détermine de façon unique les
v.
J
en fonction des valeurs pour t = 0
des dérivées de go.
Ce qui achève
la démonstration du Théorème.
Démonstration du Lemme
Elle se fait par récurrence sur j
ttl'
On pose
U
= e
v
et
o
1
2(s-1-1/2)
avec
v
e:
H
(I') •
On a
1
s-l
2 (s-l) (~ )
u
e:
H
'
o
T
donc
est solution de
u'
- tl'u
= u
1
1
0
s,2s
et
u (0 ) = 0,
par suite
u
c H
(~T)
1
1
c.q.f.d.

118
Remar~ue
=
On fait un développement analogue avec la condition de Neumann en remplaçant
les fonctions singulières
dE
\\
a, construites avec
par
J
dX
les fonctions singulières construites avec
E
où
E
est la solution
élémentaire de l'équation de la chaleur en une variable d'espace.

C H A
P I T
R
E
VII
n
SOLUTIONS
Lp
DE L'EQUATION DE LA CHALEUR DANS UN OUVERT DE
:IR

119
SOLUTIONS .Lp
DE L'EQUATION DE LA CHALEUR DANS UN OUVERl' DE
]Rn
Introduction :
On se propose d'étendre les résultats du chapitre précédent aux espaces
de Sobolev construits sur
Lp . Les calculs étant les mêmes, il s'agira
essentiellement de montrer la continuité des opérateurs utilisés dans les
nouveaux espaces.
§1:
Espaoes de, Sobolev anisotropes.
Défini tion
7.1
Soient l
un intervalle ouvert de ]R et n un ouvert régulier de
]Rn
Pour
1 < P < al
et
s réel ~ 0,
on pose :
Ws,2s(I
2s
x n)
WS(I
L (n»
n L (r , W (n» .
p
p
,
p
P
s
2s
Bs , 2s ( I
x n)
B t r , L (n) n L (l, B
(n) ) •
p
p
p
p
p
Pour
s < 0 , les espaces correspondants sont définis par dualité.
Pour
s
réel on pose
2 s/2
2S ]
{ u/ [ (l + 1 TI)
+ (l + 1 ~ 1 ) G
Grâce au théorème des multiplicateurs de
~Lp il est immédiat que
pour
sentier
on a
s,2s
s,2s
H
OR x ]Rn)
W
OR x ]Rn)
p
p
Par ailleurs grâce au théorème de Plancherel
on a
Hs , 2s (IR x ]Rn) = ws , 2s (IR x ]Rn) = Bs , 2s (IR x ]Rn)
p p p
pour tout
s
lorsque
p = 2.
Pour
p ~ 2
on a les inclusions
Bs,2s(I x m
c
Ws,2s(I x m
1 < p s 2
p
p
. ws , 2s (1 x n)
C.
Bs,2s(I x n)
2 < p < al
P
P

120
Proposition
7.2
Soit
0 < e < 1
i)
L ( l x n )
=
p
8,p
avec
5 = (1 - 8)m
ID entier
~ 1
s
,2s
o
s1,2s
0
1
s,2s
i i l
(B
(1 x 0)
B
(1 x m)
=
B
(1 x n)
P
p
p
8,p
avec
s = (1 - 8)s + 8s
0
1
s
,2s
S1,2S 1
5,25
n
n
Hi)
[HpO
0 OR x]R ),
H
OR x m ) ]
H
(R x ]Rn)
p
e
p
avec
s = (1-8) 5
+
8s
.
0
1
s
,2s
s1,2s
s,2s
1
iv
H
0
~ x ]Rn) , H
OR x ]Rn) l
= B
OR x ]Rn)
p
p
p
a IP
avec
s =
(1-8)so
+
aS 1
Démonstration
Pour i) et ii)
voir
Grisvard (4)
Pour ii.i)
voir Calderon (1)
.
lv)
se déduit de l'égalité entre les espaces
s,2s
s,2s
n
H
OR x ]Rn)
et
W
CR X]R ) lorsque
s
est entier, le théorème de
p
p
réitération de Lions - Peetre ; ainsi que i
et ii).
c.q.f.d.
On a pour ces espaces des théorèmes de traces et de prolongement par zéro
correspondant à ceux énoncés au chapitre 1 dans le cas
p = 2.
Proposi tion 7.3
1
i)
On suppose que a E l,
alors pour
j
< s
.
k
P
l'application
u -,----~~ ( ~ (O,x»
atk
o < k < j
s
est continue et surjective de
W ,2s (1 x m
p
1
2(s-k- -
)
s,2s
P
et
B
(1 x 11)
dans
B
(n)
TI
P
P
Os k s j

121
ii) On suppose que
i
< 2s -
l/p
alors
l'application
u~(y (u)
o f q S R.
q
s,2s
est continue et surjective de
W
(1 x S1)
P
1
1
1
s.2s
7(2s-q--p) , 2s-q- P
et
B
(1 x S"l)
dans
B
(1 x
f)
p
p
où
r est le bord de S"l et
la trace d'ordre q sur r.
§2. Continuité
L
des opérateurs anisotropes
P
Les deux types d'opérateurs qui interviennent ici encore sont les opérateurs
de type pseujo-différentiel e~ les opérateurs de type noyaux de Poisson. Mais
ces derniers étant le résultat de l'application d'un· opérateur du premier type
à une mLllticouche, leur continuité est ramenée à celle d'un opérateur du pre-
mier type d'où le principal résultat:
Théorème
7.4
2 m
Soit
A (. L '
(IxS"l) un opérateur pseudo-différentiel anisotrope d'ordre
m,
alors
i)
A se prolonge en un opérateur continu de
s,2s
s- ~
2s-m
2 '
B
('IxS1)
dans
B
l
(IxS1)
p,comp
p, oc
pour tous
s et 1 < P < œ
H)
A se prolonge en un opérateur continu de
s,2s
s- ~
2s-m
2
W
(1xS1)
dans
W
1
'
(1xS"l)
p,comp
p, oc
m
si
est un entier.
2
Démonstration
2) Il suffit de faire la démonstration pour
s ~ 0,
le cas
s < 0
s'obtenant par transposition.
IXS"l
ayant la propriété de prolongement, la propriété d'interpolation iv)
de la proposition 7.2
est encore vraie pour
IXS"l. Par suite il suffit de
faire la démonstration pour les espaces.

122
s,2s
H
(IXn).
En prolongeant par zéro les fonctions à support compact
p
dans
IX~
on se ramène au cas où A est de la forme
Au
2 , m
où
a E 5
{IXn) est nul en dehors d'un compact.
1)
Soit
e(.,~) une fonction de troncature nulle au voisinage de l'origine
e~ ..valant 1 pour
1.1+ I~I grand et supposons que a(t,x,-i.,~) = e(.,~) k(.,~)
ex>
où
k
est C
en dehors de l'origine, et est tel que
2
m
k(À .,À~) = X k(.,~)
pour
À > O.
6fl
Alors on a
Au =
- -
(e k û) .
Il suffit alors de montrer que
m
s- 2
e(.,~)k(.,~)u(.,~) e: 6f LP
2 s
et comme
(1 + h 1 + 1e1 )
û
suffit de montrer que
(1 + 1.1
est un multiplicateur de
On applique alors le théorème de Mih'lin-Lizorkin.
Théorème
7.5
(Mih'lin-Lizorkin)
Soit
b
une fonction définie sur
~n telle que pour tout multi-entier
Cl =
(Cl
Cl.
= 0 ou 1,
i
== 1, ... n,
la dérivée
1
l.
Cl
D b (~)
existe et est continue en tout point
tel que
~i F 0
lorsque
Cl
= 1
et s ' i l existe
M
tel que
i
pour tous les
~
et tous les
Cl
alors
b
est un multiplicateur de
et i l existe
tel que
" Gf -1 ( bu) Il L
<
Cp M Il
p
Dour tout
u E L
l<p<ex>
P

123
Voir Lizorkin (1) et Nilol'skrI (1).
On applique alors le théorème à
ID
co
qui est
C
en remarquant que
a
2
m-2a
a' 1Oak (T ,E;)
1-1
Oa k
-
verifie
o k(À T, ÀE;) = À
où
rn-la' 1
2
d'où
p(T,E;)
2)
où on a posé
p(T,E;) = (1 + ITI+ 1E;1
2
T
5.,
ITI + 1E;1
2
1 S P
( -
1 +
<
donc
p
IP
2
1 +ITI+IE;I
I) reste borné.
IP
II) Cas où
k(t,x,T,E;) est quasi homogène mais dépend de t et x.
On se ramène au cas précédent grâce à la théorie. des espaces
nucléaires.
1
2
4
"2
On pose ici
p(T,E;) = (T
+ 1E; 1 )
m
2
T
alors
k(t,x,T,E;)
=
(p(T,E;»
k(t,x,
I)
p
.,ip
T
pour
p(T,E;) 'F 0
et
p (
I) = 1
p
i p
Soit alors
E = {(T,E;) / p(T,E;) = l}
co
co
E
est une variété
C
et la restriction de
k
est dans
C (IxnxE)
o
co
alors
C (IxQ) étant nucléaire il existe :
o
1)
Une suite
(Àv)v
sommable.

124
00
2) Une suite de fonctions
(av)v
bornée dans
C
(Ixn).
o
00
3) Une suite de fonctions
(kv)v bornée dans
C (I:) telle que
k
I:
.
À
a
k
sur
Ixnx L: •
v~J
v
v
v
m
2
T
E;
alors
k(t,x,T,E,;) =
I:
À
a
(t,x) (p(T,E,;)
k
( -
70)
\\
v
v
p
v~l
pour
m
b
(T,E,;) =
(p(T,E,;»2
k
( T
On pose
S-)
v
V
0
IP
2
alors on vérifie que
b
(A
T,
ÀE,;)
À"b (T,E,;)
v
v
On applique alors I) à
b
et on en prend la somme.
v
III) Cas qénéral.
A est défini par
2 , m
a(t,x,T,E,;)
E:
S
(I x n)
8 étant une fonction de troncature
a = 8a + (1 - 8)a
et
(1
-
8)a définit un opérateur régularisant.
N
Ba =
I:
:)=0
où
est quasi homogène de degré
m-j
et
5 2 ,m- N- l
E
(I
x n)
En appliquant le théorème de continuité de Pirion dans le cas
p
2,
l'opérateur associé à
est continu
m
N+1
s,2s
s- 2"+-2-' 2s-m+N+1
de
H
(Ixn)
dans
H
(rxn)
2 ,como
2,loc
Soit alors
p
tel que
< p < ~ •
Si
P < 2
alors d'après le théorème d'injection de Sobolev-Lizorkni
(voir Nikolski (1», on a
s,2s
s-cS, 2s-2cS
H
(Ixn)
H
(rxn)
p,comp
c
2 ,comp
avec
s
1
Par suite l'opérateur
~ associé à
est
P

125
m
N+l
s-o- - +
2s-20-m+N+1
s,2s
2
2
(Ix51)
continu de
H
dans
H
p,comp
2,loc
m
s- 2' 2s-m
qui s'injecte dans
H
(IXQ)
pour
N
assez grand.
p,loe
HS , 2 s
(Ix51)
Si
P > 2
alors
c: HS , 2s
(Ix51)
p,comp
2,comp
m
N+l
s- -
+
2s-m+N+l
2
dont l'image par
est continue dans
H
2
(Ixn)
2,loc
qui s'injecte d'après Sobolev-Lizorkin dans
m
N+l
s- 2 + -2- -
6, 2s-m+N+1-20
H
(IXQ)
p,loc
m
s- 2 '
2s-m
contenu dans
H
(IX51)
pour
N
assez grand.
p,loc
ii)
Lorsque 2s est non entier, tous les exposants sont non entiers,
les espaces de Sobolev coincident avec ceux de Besov et on est ramené à i).
Lorsque 2s est entier ou s entier on obtient le résultat en regardant
directement les dérivées de
Au.
c.q.f.d.
Proposition
7.6
Soient
51
un ouvert borné et régulier de
mn
U un ouvert de
mn
tel que
51 c: u
d
A
C(t,x)
dt
z
a
(t,x)
Da
un opérateur différentiel
a
x
< 2
1 a 1
parabolique dans
l
x U
et E une paramétrix de A dans
l
x U.E propre.
( j )
Alors l'application
Cf ~ E ( Cf ~ Or
) / r x n
1 (2a + j-l-l/p), 2a +j-l-l/p
est continu de
B 2
(1
x
r)
p

126
0,20
dans
w
(IxQ)
pour
1 < p < CD
p
où
r
est le bord de
Q,
j
entier ~ 0
Démonstration ..
On fait la démonstration pour
j
= O.
D'après le théorème de trace,
l'ap~lication
u ~u(t,x' ,0) est
continue de
WS
1
, 2s ORx ]Rn)
dans
B .2"( s-l/q) , s-l/q flnx ]Rn-l)
1.=
pour
s >
q
q
q
et donc par transposition l'application
Cf ~ Cf ~ oX
est continue
n
1
1
- -(s-q)-(s- -
)
-s,-2s
de
B
2
q(:Rx ]Rn-l)
dans
W
ORx ]Rn)
p
p
1
1
avec
- +
= 1
•
En posant
cr = -s + 1
et par cartes locales on
p
q
déduit que
Cf ~ Cf ~ Or et continu de
1
2( 2 0 - 1 - l/P), 20 - 1- l/p
J -1,
2(0 -1)
B
(1
x I')
dans
w
(rxu)
P
p
1
1
pour
° < -+ -
E
étant un opérateur anisotrope d'ordre -2 on en
2
2p
déduit que
E(Cf~ Or) E: W o , 2cr (1xU) donc en particulier pour
p
o = 1/2,
E(
~ Or) / 1xQ
-1
1/2, 1
est continu de
P (Ixf)
dans
W
(IxQ) •
p
On fait alors une récurrence sur les nombres de la forme
cr
= k2
k
entier naturel. C'est donc vrai pour k ~ 1.
Pour k = 2 on suppose que
1/2(l-1/p),
l-l/p
B
(1xr)
et on veut montrer que
p
1,2
u = E(Cf~ Ôr) /1xQ e W
(1xQl
p
1/2,1
d'après le résultat précédent on a
u e: W
(1xQl
P
1/2,1
dU
i l suffit alors de montrer que
E:
W
(IxQ)
dX.
p
1.
dU
pour
1 < i
< n
et
e
L
(1xQl.
dt
p
Par carte locale, si
DI
est une dérivation tangentielle au voisinage du
bord de
Q,
on a

127
D'
E(Cf (\\Il.Or)
'" E(D' Cf ri!} Or) + (D'E-ED') (Cf ~
or)
1
1
- -
- -
D'SPE
W
2p
P(IXr)
donc
p
D'E - ED'
est un opérateur anisotrope d'ordre -2 et comme
1
1
E
w- 2'""'
(IXU)
on a
p
1
1
2'
E
w
(PU) •
p
au
On raisonne de même pour
at
Pour une dérivation normale à
r,
par carte locale on se ramène à ô
ôxn
Mais
E
étant une paramétrix de A on a
où
6Jf (CP) est indéfiniment
dérivable.
Donc
A
(E (CP ® Or ) /
r
x n
6Jt (Cf) /Ixn E Coo(Ixn)
2
ô
ôx 2
u
E
L (l x n :)
d'après les étapes
d'où
a(O,o, . . . ,2) (t,x)
p
n
précédentes. Puisque
A
est parabolique
a(O,o ... ,?) (t,x)
'1 0
donc on a
a2
- - u
E
d'où le résultat.
ax 2
n
On obtient alors la continui té pour tout
a > 0
par interpolation.
c.q.f.d.
Proposition
7.7.
Les hypothèses étant celles de la proposition 7.6 et en supposant que 0 E l,
l'application
tjJ
~ E(Ot ri!} tjJ) / JO,T[ x ri
est continue de
B~a-2/PW)
dans
v? ,20 ( ] O,T[ x ri)
p
pour tout
cr
et
T E l ,
T > O.
Démonstration
Elle est en tout point analogue à
la précédente. Par transposition du théorème
1
de trace on montre que la propriété est vraie pour
(1
<
donc en parti cu-
p
k
lier
(1
= 0
et on fait une récurrence sur les nombres de la forme
(1
="2
et le résultat final s'obtient par interpolation.

128
Pro osition
7.8
Les hypothèses étant celles de la proposition 7.7. L'application,
f~ E( f ) / ] O,T [ x n
est continue de
w o , 20 (JO,T[ x n). dans
p
c:r+1, 2(0+ 1)
1
W
( JO,T[
x n)
pour tout
C1
>- 1 +
P
p
où
f
désigne un prGlongement de
f
à
R x U
dont la restriction est
dans
w0 ,20 CR x U) et qui vaut zéro
pour t
< a
1=>
+
Démonstration
D'après le théorème de prolongement par zéro
0,20
1
-
si
-1 + -
< 0
< 1.-
on a
f
E: W
(1
xII)
d'où le résultat pour
p
p
p
ces valeurs de
o.
On l'étend ensuite en augmentant chaque intervalle pré-
1
1
cèdent de 1/2.
Supposons que
-
< a
< -
+ 1/2.
P
P
On sait que E(
f
)
E: L (1 x n).
Calculons ses dérivées
p
a
(E(
f ) / JO,T[
x
n)
ax,
~-- E( f ))/ JO;T[ x n
xi
~
_a_ E(
a
a
f )
E ~( f
+
f
ax.
ax.
ax, E - E dX.
~
~
~
~
,-..-
iJ -1/2,
20-1
a
af
f
di
et
W
( JO,T[
D)
ax.
E;
x
ax.
clx.
p
~
.i.
l
, - - -
1
1
et
-1 + 1/p < 0 - - <
donc
E(~x. f) / JO,T[ x n)
2
p
l
0+1/2, 20 +1
est dans
W
( JO,T[ x n).
P
1/2-E:, 2 (1/p-E:)
D'autre part
f
E: W
(1
x n)
donc
P
1/p+1-E:, 2(1/p+1-E)
0+1/2,2(0+1/2)
[_a_ E - E
E;
w
(1
x n)
c:::
W
(1
x n)
l
~~] ( f )
élx.
p
P
l
1
di
Puisque
0
> 0
at
donc
a
at
= ~E(f)/Jo,T[xn
dt

129
E(
~tf) 1 JO,T[ x rt + [a E E a ] (f) 1]
[
n
a
at
-
at
O,T
x ..
r---
E(
~~)I JO,T[ x rt + E(Ot ~ ljJ) 1 JO,T[ x rt
+
[~ E - E !- J
at
at
a ,2a
af
a -1
f
E
W
( ]O,T[ x rt)
2t1-1)( JO,T[ x rt)
E
W
'
P
at
P
1
1
1
1
1
et
-<a
< - +
-1 +
-
< a-1 < -
donc
p
p
2"
p
p
.-..-
E(~ )
wa .z e
E
(IX rt).
at
p
D' après la proposi tion 7. 7 ,
E (Ct ~ 1/J) 1 Jo, T [ x rt
cr
est dans
wcr, 2
( Jo T[ x rt).
p
,
1
1
Enfin on prend
E > 0
tel que
a < - + '2 - E
1
1
P
-E,
2 (- -
E)
-
wP
p
On a
f
E:
(1 x rt)
p
a
a
at E - E at
étant anisotrope d'ordre -1
on a
1
1
1
1
-
-t-
'2 -
a
a
E
2 ( - + - - E )
f )
w,p
p
2
···-E - E
E
at
at
p
(1 x ri)
et donc
cr
2a
[~E - E ~t ('f) E W
(1 x rt)
d'où
at
]
p
1
1
1
le résultat pour
- < a <
- +
On l'étend par récurrence sur tout
p
p
2
intervalle de la forme
1
k
1
k
1
- + -
k entier ~ o.
Il ne reste plus que les valeurs
p
2 '
P-+'2+i
1
k
particulières
P + 2
qui s'obtiennent par interpolation.
c.q.f.d.
Grâce à ces résultats et en procédant exactement comme dans le cas
p = 2
on a

130
Théorème
7.9
LES hypothèses sur A et B étant celles du théorème 6.14, pour f, g, h
respectivement dans
w(]'~O(Q)
p
T
1
1
2 «(]+1-1/p)
s-....1!+ -
2s-J-l-
2
2 p '
B
(n)
P (E
)
B
p
' T
P
avec
o > Inf(-1 + 1/p, -1 + ~ + ~p)' (] > s-1
-1 + 1
< s _ l!. __
1_ < .!..
p
2
2p
p
Alors le problème
(~) admet une solution et une seule dans
Lorsque
on a la régularité de la solution si on a la
condition de compatibilité :
~ _ 1
S-
h - B(y(E( f + AW»)
qui est'dans
B
'
25
2
2p
J1 -1/P
d
p
(Q ) a met un
T
prolongement par zéro où
W E W;,2s(~)
est un relèvement de g.
a
Dans le cas particulier où
A = at - ~
et B(y(u»
= Y u
on a de la même
o
façon un développement de la solution U ~n solutions singulières au voisinage
de la frontière
de
Théorème
7 • 10
3
1
On suppose que
s = 2
- + k + ô
avec
p
k entier
~ 0, 0 < Ô < 1
Alors pour
s-1,
2s-2(
)
f dans
W
Q ,
g
dans
B2 (s-1/p) (n)
P
T
p
1
s- 2p'
h dans
BP
a
le problème
(U})
avec
A = -
- ~
at
3
3
- - E
2E
W 2p
, P
et
B (y u)
=
YOLl
a une solution et une seule dans
(~)
!?
li e:>O.
Dans un voisinage de la frontière
ET
de
QT
la solution
u
peut se mettre sous la forme
:
k
u
=
E
C. (t,x')
(] . (t ,p) + u
j=O
J
J
s

131
5,25
avec
Us
e:
W
(QT)
et
C.
solution
p
J
a
de
-,« 1 ) C.
0
at
J
2(s-j- ~)
C.(O,.)
v.
avec
v.
e:
B
2p (r)
J
J
J
P

A.l
APPENDICE
Les distributions x~, x A et leurs
+
-
transformées de Fourier
1.
Les définitions
a)
x À et x À
+
Pour
À complexe
on
note
x À
la
fonction
qui
vaut
e À Log x
+
pour x > 0 et 0 pour x < O.
,
À
Alors
pour
Re À > -1,
x
est
une
fonction
localement
inté-
+
."
grable
qui
. définit
une
distribution
tempérée
sur
:IR.
Si
k
est
un
entier. ~ 0
et
li> E Y(:IR)
on
a
en
intégrant,
par
Mais
le
second
membre
est
bien
défini
si
Re À + k > -1,
À f
-1,-2, ..• ,-k.
À
Par
suite
on
peut
définir
x
pour
tout, ,nombre
complexe À
+
À
qui
n'est
pas
entier
négatif
et
l'application
À _ x +
est
analytique
à
valeurs
dans
Y' ( :IR)
en
dehors
des
enti~rs négatifs qui sont des pôles simples.
À
De. la
même
façon
ori
déf ini t
x
en
posant
pour
Re À >-1
À
À Log] x 1
x = e
pour x < 0 et 0 pour x > O.
b ]
(x+io)À,
(x_io)À,
(x+io)À Log(x+io)~ (x-iof'Log(x-io)
On
fait
une
coupure
dan~
le
plan
complexe
suivant
la
droite
réelle
négative
et
on
prend
la
dé t.er-md.na t.Lon
du
logarithme
qui
est
réelle
sur
la
droite
réelle
-pos Lt.Lve ~
Pour
E > 0,
la
fonction
(x s-L E)À = eÀ LOg(~+i E)
définit.
une distribution tempérée sur:R . .
Pour
Re À > -1
elle
tend
lorsque
E - . 0 ,.vers
la
.fonction
(
.)À
À (L 0 g 1x 1+i 1T Y ( - x »
l' 1À
iÀ 1T Y ( - x )
X+10
= e
= x e '
.
où
Y
est
la
fonction
de
He av Ls Lde
qui
vaut
1
pour, x'.> 0
et 0 sinon. On a donc
À
iÀ1T
~
(1.1 )
x
+ e
x
+

A.2
La
distribution
(x+io)À
peut
donc
être
définie
pour
toute
valeur
de À différente
dl un
entier
négatif.
Mais un calcul
À
À
des
résidus
de
x
et
x
montre
qu'on
peut
prolonger
+
(x+io)À
à tout le plan complexe.
De
la
même
façon
on
définit
la
distribution
(x-io)À
qui
est donnée par :
À
.... Un
À
(1. 2)
x
+ e x .
+.
La
fonction
À 1----l•• (x+io)À
de
CE
dans. Y' (JR)
admet
une
dérivée qui est notée :
(x+io)À Log(x+io).
De la même façon on définit la distribution (x-io)ÀLog(x-io)
comme
étant
la
dérivée
par
rapport
à À de
la
distribution
(x_io)À .
2.
Calcul des transformées de Fourier
Soit e: > 0 pour Re À> -Ion a
:
-x(e:-i~)
iOOx
Y(x:e-ExHO
"
>' e
dx.
On
pose
alors
z=x(e:-iO.
Alors
quand
x
décrit
la demi-
droite
R,
z
décrit
la
demi-droite
D
définie
par
e: -i~ :
+
x =(e:_i~)-lz et l'intégrale devient
S'(x~ e-E~)( ~)"(-il->'-1(~+i<l-À-lLi e-Zdz " ei(À+1)(./2)(~+iE)-À-Ir(À+1)
où I' (À +1)
est
la
fonction d'Euler et Si obtient en ramenant
l'intégrale sur D à
une
intégrale sur R
grâce à la formule
+
des résidus.
En faisant tendre e: vers 0 on en déduit que
:
(2.1)
JF(x À) = ei(À+l)(n/2)(~+io)-À-lf(À+l)
+
et
cette
formule
reste
vraie
par
prolongement
analytique
pour À non entier négatif. On en déduit que
-i(À+i)(n/2) À
- 1 [(
i.o ) - À - i]
e
x+
(2.2)
JF
~+1.0
=
f(À+1)

A.3
De la même façon on a
:
i(À+l)(n/2) À
e ·
x,
(2.3)
ar- 1 r;(
. )-À-l]
.r
~f,;-10
==
r( À+ 1)
Ces
formules
s'étendent
par
prolongement
analytique
à
toutes les valeurs de À.
En particulier pour À=l on a
Pour
avoir
les
transformées
de
Fourier
inverses
des
distributions
(f,;+io l Log(f,; +io)
et
(f,; _io)À Log( f,;-io)
i l
suffit
de
dériver
les
formules
(2.2)
et
(2.3)
par
rapport
à À.
En
faisant· les
calculs
et
en
prenant
À==l,
i l
vient
n
(2.5)
-
i
"2 x+
+
i
.II. x
2

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*
.'"

U ABLE
5JES
j)j) ATIERES
INTRODUCTION
PAGES
Chapitre
r
Espaces de Sobolev Ariisotropes.
§1
Définitions et Préliminaires
5
§2
Le théorème de type Paley-Wiener pour les
espaces anisotropes . . . . . . • . . • • . . • . • . • . . . .
8
§3
Le théorème de type Liouville
14
§4
Les espaces de Sobolev anisotropes dans un
demi espace et le Théorème de prolongement
par zéro . . . . • . . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
~hapitre
II
Résolution diun problème aux limites elliptique
dans un ouvert de
mn
avec fissure
§1
Les espaces
HS(~)
22
1+e:
§2
Résolution dans
H
(n) et la formule de
représentation .•.•••.•••••.••..••.•••.•..
23
§3 : Résolution dans les espaces
HS(~)
3.1 Existence de la solution
25
3.2 Unicité de la solution
27
§4,: Régularité de la solution
30
Chapi tre III
Calcul des premières solutions singulières
du Laplacien dans un domaine avec fissure
§1
:
La formule de représentation
1.1 Préliminaire
35
1.2 La formule de représentation
38
§2
Calcul de la première solution singulière
41
§3
Calcul de la seconde solution singulière
49
c:hapitre IV
Régularité
L
de la solution de l'opérateur
p
de Laplace dans un domaine avec fissure
§1
Préliminaires
61
§2
Les théorêmes de continuité
64
§3
Le prolongement par zéro et le projecteur
de Wiener-Hopf
70
§4
La formule de représentation
73
§5
Calcul des premières singularités dans les
espaces
Lp
77
/ - - .

Chapitre
y
Solutions singulières de l'équation de la chaleur
en dimension un d'espace
§l.: Propriétés de la solution élémentaire
84
§2
Existence de la solution du problème (6f)
92
§3
Unicité de la solution
94
§4
Régularité de la solution
97
Chapitre
VI
Solutions
L
de l'équation de la chaleur dans un
2
ouvert de
]Rn,
~1
Introduction
101
§2
Opérateurs pseudo-différentiels du type de Voltera
103
§3
Application à la résolution de l'équation de la
chaleur, , • • • . . . . . . . • . • • • • • . • • • . . . . • • . • • . . . . • • • • • . •
105
Chapi tre VII
Solution
L
de l'équation de la chaleur dans
p
n
un ouvert de
]R .
§1
Espaces de Sobolev anisotropes
119
§2
Continuité
L
des opérateurs anisotropes
p
et application ••.••.••••••••••..•.••.•.••.•..••••.•
121
Appendice
Bibliographie,

RÉSUMÉ
On étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution du problème Pu = f avec des
données au bord dans deux situations différentes où les théorèmes classiques ne s'appli-
quent pas. pans le premier cas on considère l'opérateur de Laplace dans un ouvert de
R'avec fissure. On a obtenu une formule de représentation de la solution U grâce au
calcul de Wiener Hopf et on donne un développement en solutions singulières de U.
Dans une deuxième partie on étudie l'équation de la chaleur dans. un cylindre sans sup-
poser des conditions de compatibilité
entre. la donnée de Cauchy et les données aux
limites. On utilise les opérateurs pseudo-différentiels anisotropes pour décrire la solution
U et on donne un développement asymptotique de U au voisinage du bord.
MOTS CLEFS
Espaces de Sobolev anisotropes, opérateurs différentiels elliptiques et paraboliques, opéra-
teurs pseudo-différentiels anisotropes, méthodes de Wiener Hopf, solutions singulières de
problèmes aux limites.
CLASSIFICAnON AMS
35 A, 3.5 B, 3.5 C, 35 J, 35 K, 35 S.
!!'-_ ....