KWAME ESENAM AKOUSSAH
ANALYSE NON LIt-ŒAIRE DES STRUcrURES A PAROIS MINCES
PAR ELEMENTS FINTS
ET SON APPLICATION AUX BATIMENTS INDUSTRIELS
Thèse
présentée
à l'Ecole des gradués
de l'Université Laval
pour l'obtention
du grade de Philosophiae Doctor (Ph.D.)
FACULTE DES SCIENCES ET GENIE
Ui'UVERSITE LAVAL
QUEBEC
JUIN 1987
© droits réservés de Kwamé Esénam Akoussah 1987.

Esenam Akoussah
~ UNIVERSITÉ
ATTESTATION
~IAVAL
École des gradués
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jou r du ma i s de
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19 87
~...e;;_-____c_,r"',)Jj.-1-- ___ 1
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26e
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les personnes soussignees, en leur quoi i té de membres du j ury, a '.~'s!r~r\\p\\!~~utenance de cet-
*
,-,~,.
te these et recommande son acceptation b l'Ecole des gradues de l'Universite Laval.
NOMS
UNIVERSITÉ
SIGNATURE
BEAULIEU, Denis
Laval
DIli".TT, Gou ri
Laval
PICARD, André
GAhl~AYA, Augustin
Laval
BATOZ, Jean-Louis
U.T.C., Compiègne, France
/
* AUTEUR:
}Ionsieur Esenam ilJZOUSSAH
TITRE:
"Analyse non linéaire des structures à parois minces par éléments finis
et son ap!Jlication aux b~tirnents industriels"
SIGNATURE DU PRESIDENT DE LA SOUTENt.NCE

"L'homme est un apprenti. la douleur est son maître,
Et nul ne se connaît tant qu'il n'a pas souffert.
C'est une dure lqi. mais une loi suprême,
Vieille comme le 'Mnde et lafatalité.
Qu'il nous faut du mnlheur recevoir le baptême,
Et qu'à ce triste prix tout doit être acheté."
Alfred de MUSSET

AVANT-PRüPüS
Ce travail a été réalisé sous la direction des professeurs Denis Beaulieu et Gouri
Dhan, à qui je veux exprimer mes sincères remerciements et ma profonde gratitude pour
leurs conseils, disponibilité, soutien moral et aussi pour la grande autonomie qu'ils m'ont
accordée pour faire cene recherche.
Je dois un remerciement tout à fait spécial au professeur André Picard, pour tout ce
qu'il a fait pour moi tout le long de ce travail, et qui de surcroît, a accepté de faire la
prélecture de cette thèse en tant que membre du Jury. Mes remerciements s'adressent aussi
aux autres professeurs qui m'ont fourni conseils et appui moral.
Je tiens à remercier I\\1r. Jean-Louis Batoz, professeur au Département de Génie
mécanique de l'Université de Technologie de Compiègne pour ses conseils et pour avoir
accepté d'être membre du Jury ainsi que Mr. Augustin Gakwaya, professeur au
Département de Génie méca:1ique de l'Université Laval, qui a aussi accepté de faire partie
du Jury.
J'aimerais particulièrement souligner l'appui du CRAN! (Centre de Recherche sur
les Applications Numériques en Ingénierie) qui nous a fourni les ressources informatiques
nécessaires à la réalisation de ce travail. Je ne pourrais également passer sous silence les
appuis de toutes sortes que j'ai reçus de mes collègues et amis du département pour mener à
bien ce travail, nommément: Louis Marcotte, Mario Fafard, Azzeddine Soulaïmani, Pierre
Dupuis, Louis Desjardins, Martin Talbot, Bruno Massicotte,Yves Matte, François Parrot et
Guy Gendron, aussi bien que tous ceux que je n'ai pu citer ici, sans oublier les amis de
Compiègne.
Je voudrais également remercier le personnel du Département de Génie Civil pour
le support technique et particulièrement Mr. Jean Parent à qui je dois la mise au propre des
dessins.
Ce travail a été rendu possible grâce au soutien financier de l'Institut Canadien de

Il
la Construction en Acier, du Conseil National de la Recherche du Canada et du
Gouvernement du Québec. Aussi dois-j~ remercier la Banque Africqine de Développement,
la Direction Générale de la Planification Scolaire du Togo et l'Université du Bénin à Lomé,
qui ont rendu possible mon séjour au Canada.
Je ne saurais terminer sans remercier de façon très spéciale ma famille toute entière
et mes amis pour leurs appui moral indispensable et encouragements, de même que tous
ceux qui ont participé de près ou de loin à ma formation depuis mon enfance, sans oublier
Akouvi , Adjovi et Elom pour leurs sacrifices et leur patience pendant toute la durée de ce
travail.

COURT RESUME
Les systèmes poteaux-entremises-diaphragme (PED) sont devenus très populaires
dans la construction des bâtiments industriels. Par contre, il n'existe aucune méthode
générale pour le dimensionnement des poteaux qui ne tienne compte des appuis élastiques
fournis par le diaphragme au niveau des entremises. Dans cette thèse, nous avons mis au
point un modèle numérique pour simuler de la façon la plus complète qui soit le
comportement physique des systèmes PED à l'aide de la méthode des élements finis, en
considérant les non-linéarités géométrique (pour tout le système, y compris les joints) et
matérielle(pour les poteaux uniquement avec la prise en compte des contraintes résiduelles).
La description lagrangienne actualisée a été adoptée. Plusieurs résultats comparatifs avec
des tests expérimentaux et d'autres modèles d'analyse ont été présentés pour illustrer les
performances du présent modèle.
K. Esénam AKOUSSAH
Denis BEAULIEU
~-~"!)L\\:c/( 1/
/ "
-
.
,.-'
Gouri DHATI

RESUME
Il se contruit de plus en plus de bâtiments industriels avec un revêtement extérieur
en tôles nervurées. Ces tôles sont généralement attachées à des entremises qui sont elles-
mêmes fixées aux poteaux, soit directement sur l'âme, soit sur la semelle extérieure des
poteaux. Dans le cas des poteaux à section relativement profonde, on utilise des diagonales
entre les entremises et la semelle intérieure des poteaux pour stabiliser ces derniers.
Dans de tels systèmes, l'effet diaphragme de la tôle, peut fournir au niveau des
entremises des appuis latéraux élastiques pouvant augmenter substantiellement la résistance
au flambement du poteau. Cependant, la complexité du problème fait que les solutions
analytiques n'existent que pour certains cas simples, de sorte que la majorité des
concepteurs négligent tout simplement cet effet dans leurs calculs.
La présente étude a pour but de mettre au point un modèle numérique efficace,
capable de simuler le comportement physique des systèmes poteaux-entremises- diapragme
(PED), par la méthode des éléments finis. Une formulation variationnelle générale des
barres à parois minces et à sections ouvertes en description lagrangienne ac~ualisée
approchée (élément rectiligne) ou partielle(élément d'arc surbaissé), basée sur la méc~nique
des milieux continus, a été développée en considérant les non-linéarités géométriques et
matérielles avec ou sans contraintes résiduelles. Le diaphragme a été simulé par un élément
plat de coque orthotrope (type DKT) et les attaches par des éléments ressorts en tenant
compte de la non-linéarité géométrique. Une technique de pénalité a été proposée pour
l'étude des problèmes de blocage de membrane. Le problème des fausses décharges
élastiques en plasticité a également été considéré.
l
Les résultats obtenus, comparés à des tests expérimentaux et à ceux d'autres
modèles d'analyse, démontrent une très bonne performance du présent modèle. Une étude
1
comparative avec un modèle simplifié a été également faite.Nos résultats, bien que
préliminaires, montrent clairement que la résistance totale d'un système PED ne dépend pas
1
i;.-
seulement de la résistance en cisaillement du diaphragme mais aussi de l'arrangemynt
géométrique de toutes ses composantes.
\\

\\'
K. Esénarn AKOUSSAH
Denis BEAULIEU
l
'
"
...'
.:~.

ABSTRAcr
Sheet steel cladding is frequently used in industrial buildings. The metal sheets are
generally attached to gins which are in turn connected to the column web or extemal flange.
For deep column sections, diagonals are used to brace the internai flange.
In such systems, the diaphragm action of the steel cladding could provide elastic
lateral support at girt level to substantially increase the buckling resistance of the columns.
However, the problem is rather complex and analytical solutions exist only for a few
simple cases. Consequently, the stabilizing action of the diaphragm is generally neglected
by designers.
The purpose of the present study is ta setup an efficient finite element model to
simulate the behaviour of the global physical system. A general variational fonnulation for
thin-walled beams with open sections is developped considering an approached up-dated
lagrangian description for srraight elements or a partial up-dated lagrangian description for
shallow arches, taking into account geometrical and material non-linearities and residual
stresses. Diaphragms are simulated by onhorropic flat shell elements (DKT type) and ail
connections are replaced by springs elements, taking into account the geometrical
non-linearities. A penalty approach is proposed to solv~ the famous problem of membrane
locking and the problem of false elastic discharges in plasticity is considered.
Comparative results with experimental tests and other models show a very good
performance of the present mode!. A comparative analysis with a simplified model is
presented. The preliminary results cleary show that the total resistance of a column-gin-
diaphragm system is not only a function of the diaphragm shear resistance but also of the
geometrical arrangement of ail components .

TABLE DES MATIÈRES
AVANT-PROPOS
.
COURT RÉSUMÉ
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
RÉSUMÉ
iv
ABSTRACT
VI
TABLE DES MATIÈRES

LISTE DES TABLEAUX
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xiv
LISTE DES FIGURES
xv
LISTE DES SYMBOLES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xix
NOTA TIONS
xi
CHAPITRE l INTRODUCTION
1
1.1
Généralités
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Aperçu bibliographique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1 Évolution de l'analyse non linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2.2 Application aux barres à parois minces et à sections ouvertes
7
1.2.3 Quelques remarques
10
1.2.4 Applications aux systèmes
poteaux-enrremises-diaphragmes (PED)
12
1.3 Objectifs et organisation des chapitres
15
1.3.1
Objectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3.2
Organisation des chapitres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4 Apport de la thèse
16
CHAPITRE II CONCEPTS DE BASE DE L'ANALYSE NON LINÉAIRE 18
2.1
Introduction et définitions
18
2.2 Cinématique
19

viii
2.2.1
Choix du repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.2
Gradients de défonnation
20
2.2.3
Mesure des défonnations
24
2.2.4
Taux de défonnation
25
2.2.5
Quelques relations utiles pour l'analyse incrémentale
28
2.3 Cinétique......................................
30
2.3.1
Tenseurs des contraintes de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.3.2
Tenseur des contraintes de Piolla-Kirchhoff
. . . . .
34
2.3.3
Variation du taux des contraintes
35
2.3.4
Équations d'équilibre
36
2.4 Principe des travaux virtuels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.4.1
Expression de travail virtuel sur le configuration actuelle
39
2.4.2
Expresison du travail virtuel dans la configuration initiale
41
2.4.3
Principe incrémentaI du travail virtuel
43
a) Description lagrangienne totale
43
b) Description lagrangienne actualisée
45
c) Cas particulier des corps orientés. . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.5 Lois de componement
48
2.5.1.
çomp~n,ement élastique des matériaux. . . . . . . . . . . . . . .
49
1) ElastIcIte..................................
49
ü) Hyperélasticité
50
iii) Hypoélasticité
51
2.5.2
Componement élasto-plastique
52
i) Hypothèses de base
53
ü) Loi d'écoulement incrémentaI
57
iii) Intégration de la loi élasto-plastique sur un profilé
58
CHAPITRE III FLEXION-TORSION ÉLASTIQUE D'UNE BARRE À
PAROIS MINCE ET À SECfION OUVERTE.......
63
3.1 Généralités
63
3.2 Cinématique virtuelle d'une barre soumise à de la
flexion-torsion
65
3.2.1
Description d'un point quelconque "q" de la barre
66
3.2.2
Cinématique virtuelle du point "pli sur le feuillet moyen
de la barre
68
3.2.3
Déplacement virtuel d'un point quelconque "q" de la barre
72
3.3 Expression du principe du travail virtuel
75
3.3.1
Travail vinuel interne
75
3.3.1.1
Cas de la barre droite
77
3.3.1.2
Cas spécial d'une poutre courbe - fonnulation
cartésienne (dite de Marguerre). . . . . . . . . . . . . . .
82
3.3.2
Travail virtuel externe
85
3.4 État de défonnation et de contrainte dans une lame en
flexion-torsion
86
3.4.1
État de défonnation
86

IX
3.4.2
État de contrainte
86
i)Contraintes normales
86
ii)Contriantes de cisaillement
87
3.5 Discussion
93
CHAPITRE IV ANALYSE NON LINÉAIRE DES BARRES À
PAROIS MINCES
.
96
4.1
Généralités
96
4.2 Expression du principe incrémental virtuel (description
langrangienne actualisée)
96
4.2.1
Taux du travail virtuel interne
96
i) En description langrangienne actualisée approchée DLAA
100
ü) En description langrangienne actualisée partielle DLAP ... 104
4.2.2
Taux du travail virtuel externe
106
4.2.3
Forces hors d'équilibre
107
4.3 Expression du principe incrémental en fonction des déplacements
109
4.3.1
Travail virtuel interne incrémental
109
4.3.1.1
Analyse non linéaire élastique
111
i) Formulation lagrangienne actualisée approchée '"
111
ü) Formulation lagrangienne actualisée partielle . . . .. 112
4.3.1.2
Analyse non linéaire inélastique
114
4.3.2
Forces hors d'équilibre
115
4.4 Stabilité élastique des barres
116
4.4.1
Critère de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
4.4.2
Exemples (section doublement symétrique
. . . ..
118
i) Flambement en torsion sans charge axiale
118
ü) Déversement d'une poutre bi-actualisée soumise à un
moment constant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
CHAPITRE V
DISCRÉTISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS,
MÉTHODES ET STRATÉGIES DE RÉSOLUTION ... 121
5.1
Généralités
121
5.2 Poutre bidimensionnelle et mise en évidence du
"blocage de membrane". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
122
5.2.1
Illustration du problème de blocage de membrane
123
5.2.2
Solutions proposées
127
5.2.3
Discrétisation par éléments finis
129
5.2.4
Remarques et conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
5.3 Choix de l'élément fini de poutre en 3 dimensions
132
5.3.1
Approximation du champ de déplacement
132
5.3.2
Expression matricielle des formes intégrales discrètes
132
i) Fonnulation lagrangienne actualisée approchée
134

x
ii) Fonnulation langrangienne actualisée partielle
135
iii) Calcul des effons résultants
137
5.3.3
Problèmes paniculiers dus à la plasticité
141
i) Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
ii) Vérification du critère de plasticité
142
iii) contraintes résiduelles
142
5.3.4
Assemblage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
5.4 Méthodes et stratégies de résolution
149
5.4.1
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
5.4.2
Problème de valeurs propres
150
5.4.3
Analyse non linéaire
150
i) Méthode de N-R avec contrôle en charge
152
ii) Méthode de N-R avec contrôle en déplacement
155
iii) Méthode de N-R avec longueur d'arc imposée. . . . . . . ..
155
iv) Remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
5.6 Résumé et programmation
160
5.6.1
Résumé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
5.6.2
Programmation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
CHAPITRE VI VALIDATION DU MODELE NUMÉRIQUE
164
6.1 Généralités....................................
164
6.2 Étude de la convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
6.2.1
Torsion pure d'une poutre en 1
'.............
165
i) Torsion unifonne
165
ii) Torsion non unifonne
. . . . . . . . . . . .
165
6.2.2
Stabilité élastique
167
i) Problème de flambement d'Euler (inertie constante) ....
167
ii) Problèmes de déversement .... . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
iii) Cas d'un poteau à inertie variable
170
6.3 Comparaison des éléments de poutre
. . . . . . .
170
6.3.1
Analyse linéaire d'arcs
174
6.3.2
Analyse non linéaire
176
6.3.2.1
Cadre de Williams
176
6.3.2.2
Porte-à-faux soumis à deux charges concentrées
transversales
179
6.3.2.3
Pone-à-faux avec une charge concentrée au bout libre 179
i) Exemple A
. .
179
li) Exemple B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
iii) Exemple C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
iv) Exemple D
191
6.3.3
Conclusion panielle et remarques. . . . . . . . . . . . . . . . .
191
6.4 Quelques exemples d'applications simples
194
6.4.1
Analyse non linéaire élastique post-flambement
" 194
6.4.1.1
Porte-à-faux avec charge axiale unifonne
194
6.4.1.2
Charge d'arcs
194

Xl
6.4.1.3
Problème de déversement latéral
.
198
i) Cas A: Lame soumise à une charge latérale
au bout libre
.
198
ii) Cas~: ,Poutre en l (section doublement
symetnque)
.
206
iii) Cas C: Poutre en l (section monosyrnétrique) .... 209
6.4.2
Analyse non linéaire complète (géométrie et matériau)
209
6.4.2.1
Flexion pure d'une poutre cantiliver suivie de
décharge
"
.
209
6.4.2.2
Torsion pure d'une poutre cantiliver suivie de
décharge
.
214
6.4.2.3
Flexion biaxiale d'un poteau en l
.
217
6.4.2.4
Exemple d'une cadre spatial
.
225
6.5 Conclusion du chapitre
.
225
CHAPITRE VII APPLICATIONS AUX BÂTIMENTS INDUSTRIELS
228
7.1
Généralités
.
228
7.2 Modèle PED-3 dimensions (PED-3D)
.
228
7.2.1
Hypothèses de base
.
228
7.2.2
Discrétisation du système PED
.
229
7.2.2.1
Modélisation de la tôle ondulée
.
230
7.2.2.2
Modélisation des assemblages
.
231
7.2.3
Cas particulier de la stabilité élastique
.
233
7.3 Modèles de comparaison
.
235
7.3.1
Modèle simplifié
.
235
7.3.2
Modèle 3-D complet
.
235
7.4 Exemples de stabilité élastique
.
235
7.4.1
Exemple du test de Cornell
.
235
7.4.2
Influence de l'excentricité des diverses composantes
qu système PED
.
239
7.4.3
Etude de l'influence des diagonales
.
244
7.4.4
Influence d'une ouverture au pied du mur
.
246
7.4.5
Quelques observations
.
246
7.5 Analyse non linéaire des systèmes PED
.
251
7.5.1
Exemple GT-3
.
251
7.5.2
Exemple PED-8
.
252
7.5.3
Conclusion
.
258
CHAPITRE VIII CONCLUSION ET RECOMMANDATIONS
. 259
8.1
Rétrospective
.
259
8.2 Bilan de la thèse et remarques "
.
260

XlI
8.3 Recommandations
.
262
a) Le modèle de poutre tridimensionnelle
.
262
b) Le modèle poteau-entremises-diaphragme
.
263
c) Potentiel d'utilisation du modèle
.
263
BIBLIOGRAPillE
.
265
ANNEXE A
Référentiels et propriétés des traces
.
277
Al
Définitions de référentiels ". . . . . . .. .
.
277
Al
Quelques propriétés des traces
.
281
ANNEXEB
Introduction du centre de cisaillement
.
283
BI
Formules générales
.
283
B2
Exemple d'une section en U
.
287
i) Centre de cisaillement
.
287
ü) Fonction du gauchissement
.
290
B3
Exemple d'une poutre en l
.
290
B4
Remarque
.
293
ANT-ŒXE C
Évaluation de O"xx en fonction des efforts résultants ...
295
ANNEXE D
Expression explicite ÔWint en formulation lagrangienne
actualisée approchée ou partielle pour une barre en
flexion-torsion élastique
. . . . . . . . . . . . . .
298
Dl
Formulation lagrangienne actualisée approchée
298
D2
Formulaiton lagrangienne actualisée partielle
301
ANNEXEE
Évaluation des matrices de rigidité des éléments courbes en
deux dimensions et comparaison avec d'autres modèles
304
El
Élément d'arc surbaissé (Marguerre)
305
E2
Élément d'arc profond (Love)
307
E3
Relation entre le modèle de pénalité et les autres modèles
308

Xlll
ANNEXEF
Matrices de transfonnation et de propriétés géométriques
310
FI
Relation défonnation-déplacement .. . . . . . . . . . . . . .
310
a) Fonnulation lagrangienne actualisée approchée
310
b) Fonnulation lagrangienne actualisée partielle
310
F2
Matrice des propriétés géométrqiues en plasticité
.311
ANNEXEG
Élement de coque en FLA
313
ANNEXEH
Développement des éléments de liaison
321
Hl
Évaluation de la matrice tangente
321
i) Liaison poutre-entremise (ELEM23)...........
321
ü) Diagonales (ELEM24)
323
ru) Liaison entremise-diaphragme (ELEM25)
326
H2
Évaluation des résidus
327

LISTE DES TABLEAUX
Tableau
6.1
Résumé des types d'éléments finis utlilisés
173
6.2
Déplacement v (cm) au sommet de l'arc a
177
6.3
Charge P (kN) pour un déplacement unitaire v (cm)
au sommet de l'arc profond b
177
6.4
Déplacements au bout libre de l'arc c
178
6.5
Influence du rapport tIR - déplacement au sommet
178
6.6
Déplacements au bout libre
181
6.7
Résultats comparatifs
183
6.8
Influence du nombre de pas (4 éléments PDLAP)
184
6.9
Influence du nombre de pas (4 éléments PDLAA)
184
6.10
Poutre d'Euler, résultats comparatifs
187
6.11
Résultats comparatifs du porte-à-faux soumis à un moment
constant
189
6.12
Quart de cercle chargé latéralement
194
6.13
Flèche en mm au bout libre
214
6.14
Rotation au bout libre du porte-à-faux (torsion pure)
216
6.15
Charges ultimes en kN
217
7.1
Caractéristiques physiques des joints poteaux-entremises
235
7.2
Résultats conparatifs du système PED de Cornell
241
7.3
Influence de l'excentricité des entremises et du diaphragme
241
7.4
Influence des diagonales
245
7.5
Influence d'une ouverture dans le mur
(résultats du modèle PED-3D)
250
7.6
Tension dans les diagonales (fig. 7.14)
258

LISTE DES FIGURES
Figure
1.1
Exemple d'un bâtiment industriel
2
1.2
Joints poteau-entremise
3
2.1
Choix du repère
21
2.2
Mouvement d'un élément différentiel
22
2.3
Vitesse relative Mu entre deux points voisins à un instant t
26
2.4
Configuration successives
29
2.5
Concept d'une contrainte
31
2.6
Composantes du vecteur contrainte
33
2.7
Conditions aux frontières dans la configuration d'équilibre
38
2.8
Gradients de défonnation entre les trois configurations
47
2.9
illustration de la fonction de charge
55
2.10
Écrouissage isotrope
55
2.11
Rabattement du premier ordre
59
2.12
Passage d'un état élastique À un état plastique
62
3.1
Représentation de la barre droite dans la configuration e(t)
64
3.2
Rotation de la section autour du point C
69
3.3
Déplacement d'un point quelconque de la barre
74


3.4
*
au 1

a~ 1
Visualisation de ~ = -
.
~ = -
74
x
aç ç=0'
s

ç =0
3.5
Géométrie du feuillet moyen: cas général d'une barre courbe
76
3.6
Poutre droite à section constante
78
3.7
Illustration de la contrainte axiale
88

xvi
3.8
illustration de l'aire Ap
91
3.9
illustration de la contrainte de cisaillement
91
4.1
Exemple de configurations successives
98
4.2
Coordonnées curvilignes dans la confituration Cl
98
4.3
Flambement en torsion d'une poutre chargée axialement
119
4.4
Déversement d'une poutre soumise à un moment constant
119
5.1
Repères curvilignes et cartésiens d'une poutre courbe
124
5.2
Élément fini en deux dimensions
130
5.3
Élement fmi de poutre en 3 dimensions
133
5.4
Calcul des rotations de corps rigidité à une itération i
138
5.5
Fausse décharge élastique
143
5.6
Décomposition des angles de rotation
146
5.7
Exemple d'une courbe charge-déplacement
151
5.8
Stratégie de pilotage
153
5.9
Algorithme de N-R avec charge imposée
154
5.10
Algorithme de N-R avec déplacement imposé
156
5.11
Méthode de longueur d'arc. Choix de la bonne solution à la
première itération (exemple en 2-D)
157
5.12
Méthode de longueur d'arc. Choix de la bonne solution à
l'itération i+1 (Exemple en 2-D)
159
5.13
Algorithme de résolution en DLA (DLAA ou DLAP)
162
5.14
Algorithmes de calcul élasto-plastique
163
6.1
Torsion non-uniforme
166
6.2
Exemples de la stabilité élastique
168
6.3
Test de convergence (flambement d'Euler)
169
6.4
Test de convergence (déversement)
171
6.5
Flambement d'un poteau à deux composantes
172
6.6
Exemples de poutres courbes
175
6.7
Cadre de Williams
180
6.8
Porte-à-faux soumis à deux charges concentrées
181
6.9
Poutre en porte-à-faux
182
6.10
Porte-à-faux (charge latérale au bout)
186
6.11
Porte-à-faux (charge axiale au bout libre)
188
6.12
Porte-à-faux (moment constant)
190

XVII
6.13
Quart de cercle en porte-à-faux soumis à une force
concentrée au bout libre
192
6.14
Porte-à-faux (charge axiale unifonne)
195
6.15
claquage d'arcs
196
6.16
claquage d'un arc soumis à une charge concentrée au sommet
197
6.17
claquage d'un arc sinusoïdal
199
6.18
claquage d'un arc sinusoïdal (poussée dans l'arc)
200
6.19
Exemples de déversement latéral
201
6.20
Déversement latéral d'une lame. Déplacement
au bout libre (8 éléments PDLAP)
202
6.21
Déversement d'une lame. Déplacement latéral
(8 éléments PDLAA)
203
6.22
Déversement d'une lame. Déplacement u et v
(8 éléments PDLAA)
204
6.23
Déversement d'une lame. Rotation cI>
205
6.24
Déversement d'un porte-à-faux (W200 X 27).
Déplacement au bout libre
207
6.25
Renversement d'un porte-à-faux (W200 X 27).
Efforts de torsion
208
6.26
Porte-à-faux dans l'espace (section monosymétrique)
210
6.27
Porte-à-faux (section monosymétrique). Efforts de flexion
211
6.28
Porte-à-faux (section monosymétrique). Efforts de torsion
212
6.29
Flexion pure élasto-plastique d'une console
213
6.30
Porte-à-faux soumis à un moment de torsion pure
(de St-Venant)
215
6.31
Poteau soumis à la flexion-torsion
218
6.32
Déplacements transversaux à mi-travée du poteau.
Flexion biaxiale avec contrainte résiduelle non équlibrée
219
6.33
Rotation cI> autour de x à mi-travée du poteau.
Flexion biaxiale avec contrainte résiduelle non équilibrée
220
6.34
Déplacements transversaux à mi-travée du poteau.
Flexion biaxiale avec contrainte résiduelle non équilibrée
221
6.35
Rotation cI> autour de x à mi-travée du poteau.
Flexion biaxiale avec contrainte résiduelle équilibrée
222
6.36
Déplacements transversaux à mi-travée du poteau.
Flexion biaxiale sans contrainte résiduelle
223
6.37
Rotation cI> autour de x à mi-travée du poteau.
Flexion biaxiale sans contrainte résiduelle
224

xviü
6.38
Exemple d'un cadre spatial
227
6.39
Déplacements vertical et horizontal au point 2,
exemple d'un cadre spatial
227
7.1
Élements de coque onhotrope (6 DDL par noeud)
230
7.2
Élements d'attache dans leur systèmes locaux
232
7.3
Montage du test de Comell
236
7.4
Système PED avec des diagonales
237
7.5
Propriétés géométriques et physiques des éléments
du système poteaux-entremises-diaphragme de la figure 7.3
238
7.6
Maillage tests de Comell
240
7.7
Mode flexion-torsion (GT-1)
242
7.8
Mode de flexion (GT-2)
243
7.9
Mur de Comell avec ouverture
247
7.10
Mode propre (GT-1) avec trou
248
7.11
Mode propre (GT-2) avec trou
249
7.12
Componement non linéraire du mur GT-3
253
7.13
Exemple GT-3, PAS 21, CDF =40
254
7.14
Maillage retenu, PED-8
255
7.15
Exemple PED-8, PAS 30, CDF =30
256
7.16
Componement non linéaire du mur PED-8
257
Al
Décomposition polaire. Élongation suivant les directions
principales nI et n2
278
BI
Exemple d'un profilé en U
288
B2
Représentation grapique de la fonction du gauchissement
288
B3
Exemple d'une poutre en 1
291
B4
lllustration de la fonction ro
291
B5
Interprétation physique de la fonction ro
294
G1
Rotations de la nonnale au plan moyen par rappon
aux axes y et x (respectivement Bx et By)
315
G2
Les effons résultants
317
G3
Dimensions de la tôle ondulée et de la plaque équivalente
selon la direction x
318

LISTE DES SYMBOLES
Symboles
{ }
vecteur colonne
<>
vecteur ligne
u (caractères gras )
vecteur
[ ]
matrice
tr [ ]
trace d'une matrice
det [ ]
détenninant d'une matrice
T (en exposant )
transposé d'un vecteur ou d'une matrice
inverse d'une matrice
accroissement
première variation
deuxième variation
sommation
II
produit
1111
norme euclidienne
l
intégrale
a
a
dérivée partielle
x
dérivée matérielle de x

xx
Indices
j, 1 ou 2 ( en exposant)
indique la configuration par rapport à laquelle
une grandeur est évaluée
i, 0 ou 1 ( en indice )
indique la configuration par rapport à laquelle
une grandeur se réfère
• ( en exposant)
se réfère aux variables virtuelles
e ( en exposant)
se réfère au cas élastique
P ( en exposant)
se réfère au cas plastique (Chap. 2) ou au pas
(Chap.6)
p ( en indice )
indique un incrément au cours du pas p+ 1
P ( en exposant)
se réfère au cas plastique (Chap. 2)
i ( en exposant)
se réfère aux itérations

NOTATION
Cinématique
x
coordonnées cartésiennes
u
vecteur déplacement exprimé dans un repère
cartésien
dV
élément différentiel de volume
dS
élément différentiel de sUIface
n
vecteur normal à la surface dS
[F]
tenseur des gradients de déformation
[R]
tenseur de rotation pure
rU]
tenseur d'élongation
ds
longueur de l'élément différentiel dx
[E]
tenseur de déformation de Green-Lagrange
u
vitesse d'une panicule matérielle
.1u
accroissement de déplacement en même temps
vitesse d'une particule dans cet ouvrage
[L]
tenseur des gradients de vitesse
[D]
tenseur des taux de déformation
[W]
tenseur des taux de rotation
Cinétique
[cr]
tenseur des contraintes de Cauchy
[T]
tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff de
première espèce (PK1)

XXll
[5]
tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff de
seconde espèce (PK2)
tenseur des contraintes de Kirchhoff
dérivée objective du tenseur de Cauchy
forces de volume
forces de surface
conditions limites géométriques
frontière du solide où sont appliquées les
forces de surface
frontière du solide où sont appliquées les
conditions limites géométriques
Travaux virtuels
W
forme intégrale
R
résidus d'équilibre
'V
fonctions de pondération
VI
taux de la forme intégrale
forces externes
f
taux des forces externes
ext
Relations constitutives
[H]
tenseur du quatrième ordre reliant le tenseur de
déformation au tenseur des contraintes
objectives
matrice du comportement élasto-plastique
reliant le vecteur des déformations au vecteur
des contraintes objectives

xxiii
f -
fonction seuil d'écoulement
limite élastique du matériau.
k
paramètre d'écrouissage
cr
état limite fonction de k
h
pente de la courbe uniaxiale pour un niveau de
contrainte cr
Application aux barres en flexion-torsion
variables curvilignes caractéristiques du
feuillet moyen d'une barre
n
la normale au plan 3 1, 32
vecteurs unitaires tangents au feuillet moyen.
o
centre de cisaillement d'une section
c
centre de gravité d'une section
x, ç, s, ç
coordonnées
curvilignes
d'un
point
quelconque
fonction de gauchissement ou coordonnée
sectorielle
p
distance entre une fibre et le point 0
projection de p par rapport aux axes t2 et n
excentricités des charges latérales uniformes
par rapport au point 0
moments d'inertie autour des axes y, Z et
l'inertie polaire autour du point 0
constante du gauchissement
moments statiques selon y, z et Cl)

XXIV
A
l'aire de la section
J
constante de torsion.
<I>
rotation autour de l'axe longitudinal de la barre
~X'~S
rotations de la nonnales
vecteurs des courbures.
moments autour des axes X, y et z
bimoment
moment de torsion pure de St -Venant.
effort normal et efforts tranchants selon y et z
Effort tranchant de gauchissement
coefficient de Wagner
sollicitations réparties selon les axes X, y et z
TI
énergie potentielle totale ou fonctionnelle
d'énergie
paramètre de charge critque
Application aux systèmes PED
module de cisaillement effectif du diaphragme
module de Young selon les axes X et y
coefficient de Poisson selon les axes X et y

xxv
Discrétisation par éléments finis
matrice reliant la partie linéaire des
déformations
de
Green-Lagrange
aux
variables nodales pour le calul de la matrice de
rigidi té
linéaire
matrice reliant la partie non linéaire des
déformations
de
Green-Lagrange
aux
variables nodales pour le calul de la matrice
géométrique
R
chargement de référence sur la stucture
F
vecteur des forces internes
/- matrice de rigidité linéaire
matrice géométrique
matrice tangente
efforts de membrane
efforts de flexion
Résolution non linéaire
paramètre de charge
composante de déplacement imposé pour la
méthode du déplacement imposé
accroissement de la longueur d'arc
nombre d'itérations désiré pour l'ajustement
du paramètre imposé
nombre d'itérations affectué au pas p

CHAPITREI
INTRODUCTION
1.1
Généralités
L'avènement des ponts en acier pour les chemins de fer à partir de la seconde
moitié du siècle passé a donné un essor considérable aux études de la stabilité de pièces à
parois minces soumises à des charges de compression. Depuis ce temps, on a connu
plusieurs développements au niveau des matériaux de construction, des appareils d'essais
et procédés de construction, de même que des moyens de calculs. C'est ainsi qu'au cours
des dernières années, on a vu s'intensifier l'utilisation des tôles d'acier dans les bâtiments
industriels de faible hauteur (fig. 1.1).
Les tôles nervurées généralement attachées à des éléments horizontaux appelés
entremises ou lisses de bardage sont utilisées dans les bâtiments industriels comme
revêtement architectural mais ont pour fonction de distribuer les charges de vent aux
entremises qui à leur tour les transmettent aux poteaux. Les entremises, quant à elles, sont
attachées soit à l'âme soit à l'aile extérieure des poteaux pour des raisons économiques ou
de construction. Dans le cas usuel, les entremises sont attachées à l'âme au centre de
gravité de la section du poteau (fig. 1.2 a), sauf si, pour des raisons de construction
(problèmes d'isolation, par exemple), on décide de faire passer l'entremise à l'extérieur du
poteau (fig. 1.2 b).
Pour les poteaux de section profonde, les entremises sont
systématiquement excentrées par rapport au centre de gravité de la section (fig. 1.2 b et c).
Dans ces deux derniers cas, des diagonales sont parfois utilisées pour forcer les entremises
et les poteaux à tourner d'un même angle lors du flambement et augmenter ainsi la

/1
- -
- -
Entremise
Poteau

3
e) PoteBu I~er
b) PoteBu profond BVec entremIses
entre les .emelles
c) Entreml... ettllCh... , le ..m.". .xt~r#eu,.
Fig. 1.2 - Joint poteBu-entremlse.

4
résistance globale de la structure. Une description plus détaillée des systèmes poteaux-
entremises-diaphragmes a été présentée par Massicotte (1984).
Dans les systèmes PED, le support latéral fourni par les entremises et la tôle
nervurée (cette dernière fournissant l'effet de diaphragme) peut augmenter substantiellement
la stabilité des poteaux (Akoussah et al. 1985). Il faut cependant noter que l'interaction
entre les différentes composantes du système est si complexe et si peu définie que, dans la
pratique, les ingénieurs considèrent le poteau latéralement supporté aux points d'attache, ce
qui n'est pas toujours le cas, ou négligent carrément cet effet dans leur dimensionnement
(Apparao 1968; Akoussah et al. 1985 ... ).
En fait, pour des raisons d'économie, sans pour autant négliger la sécurité, il faut,
à partir d'observations déjà faites en laboratoire, établir un modèle numérique général
d'analyse non linéaire du système, afin de pouvoir analyser de façon répétitive les
comportements pré et post-flambement de ces systèmes.
1.2
Aperçu bibliographigue
En mécanique des milieux continus, on considère généralement deux grandes
classes d'analyse:
l'analyse linéaire où l'on suppose les déplacements petits et les
défonnations infinitésimales et l'analyse non linéaire, dans le cas contraire. L'ingénieur,
dans ses calculs, se contente généralement d'une analyse linéaire.
Cependant, dans
l'évaluation de la charge ultime d'une structure, les déplacements et les défonnations
deviennent habituellement assez grands, ce qui force l'ingénieur à adopter, comme dans
notre cas, une analyse non linéaire.
On reconnaît trois classes d'analyse non linéaire (Bathe 1982):
-l'analyse non lin~aire des matériaux où l'on suppose les défonnations et les
déplacements infmitésimaux et où seule la loi de comportement est considérée non linéaire
(plasticité);
-l'analyse non linéaire avec de grands déplacements et de grandes rotations, mais
avec de petites défonnations. Si la loi de comportement est linéaire on parle alors de
non-linéarité géométrique et si la loi de comportement est non linéaire, on a une
combinaison des non-linéarités géométrique et matérielle. Ce dernier cas est celui qui nous

5
intéresse dans les présents travaux;
-et, l'analyse non linéaire en grandes déformations où toutes les variables
cinématiques sont supposées grandes. La loi de comportement est généralement non
linéaire.
Nous devons tout de même signaler un autre type de non-linéarité, celui des
problèmes de contact, où ce sont les conditions limites qui changent au cours du
mouvement. La non-linéarité de contact ne fait pas l'objet d'études dans le présent travail.
Ces différents types d'analyse doivent être spécialisés pour les structures minces qui nous
intéressent, à savoir les poutres, plaques et coques. Le lecteur averti comprendra donc
qu'il est illusoire de prétendre faire une revue exhaustive de la littérature dans ce domaine.
Nous allons donc nous contenter de rappeler quelques aspects principaux du
développement de l'analyse non linéaire par éléments fmis au cours des dernières années en
ce qui a trait principalement aux structures minces, telles les poutres.
Les techniques de résolution des équations non linéaires développées pour des
modèles numériques par éléments finis ayant fait l'objet d'une autre thèse (Fafard 1987),
nous référons le lecteur à cette thèse pour toute information supplémentaire sur ce sujet.
1.2.1
Evolution de l'analyse non linéaire
Les origines des équations non linéaires sont lointaines et il y a plusieurs ouvrages
généraux de mécanique des milieux continus qui en font largement mention (Truesdel et
Noll 1965; Truesdel et Toupin 1960; Malvern 1969). Par contre, leur application aux
éléments finis ne date que de la seconde moitié de notre siècle, tout comme la méthode des
éléments finis elle-même qui a été présentée formellement pour la première fois en 1956
pour l'analyse linéaire par Turner, Clough, Martin et Topp, selon Oden (1969).
Cependant, comme l'aura remarqué Oden, l'analyse non linéaire par éléments finis
connaîtra "des barrières non linéaires" à cause de sa complexité (formulations, techniques et
coûts de résolution des équations non linéaires, etc.) jusqu'à l'avènement des calculateurs
électroniques modernes.
En effet, même si les premières applications de la méthode des éléments finis en
analyse géométriquement non linéaire datent de 1959 avec Turner et Argyris
indépendamment (d'après Frey 1978), il faudra attendre jusqu'en 1965 pour assister à une

6
vulgarisation de la méthode.
A partir de cette année, il est apparu d'innombrables
publications dans ce domaine dont d'excellentes revues bibliographiques ont été faites par
Oden (1969), Batoz (1977), Frey (1978) et Gadala et al. (1984), pour ne citer que ceux-là.
TI en resson cenaines remarques et observations imponantes que voici.
D'une manière générale, les analyses non linéaires géométrique et physique ont
évolué indépendamment jusqu'en 1966 pour voir une application simultanée de ces deux
non-linéarités par Felippa (d'après Frey 1978). Suivirent plusieurs autres publications dont
on peut consulter la longue liste chez Oden (1969) ou Frey (1978).
Les bases de l'analyse non linéaire matérielle ont été les premières à être établies à
cause de leur simplicité. Deux différentes approches ont été proposées: la méthode des
déformations initiales et celle du module tangent. Dans la première méthode, pour un
accroissement de charge, on calcule un accroissement des déformations plastiques qui sont
ensuite considérées comme des déformations initiales pour corriger l'état des contraintes
dans le milieu étudié. Cette technique ne pouvant s'appliquer dans le cas des matériaux
sans écrouissage a été vite abandonnée en faveur de la technique du module tangent,
actuellement connue sous le nom de méthode incrémentale, où on effectue le calcul d'une
matrice tangente qui dépend des lois de comportement incrémentaIes. Zienkiewicz et al.
(1969) ont proposé plus tard la technique dite de contraintes initiales. Frey (1973) a
démontré que cette dernière approche n'est qu'un cas particulier de la méthode générale dite
incrémentale.
Après une série d'applications spécifiques, les équations d'une formulation
générale de l'analyse non linéaire géométrique ont été établies par Yagmai en 1968 pour la
description lagrangienne actualisée où la dernière position d'équilibre de la structure est
considérée comme la configuration de référence, et par Marcal et Oden à peu près à la même
époque pour la description lagrangienne totale où l'on fixe l'état initial comme référence
(Frey 1978). Dans les deux cas, les déformations étaient supposées infinitésimales.
Rappelons que la théorie classique de la mécanique des milieux continus offre quatre
différentes formulations pour décrire le mouvement d'un corps, soit: la formulation
matérielle qui n'est quasiment jamais utilisée en éléments finis, la formulation référentielle
dite lagrangienne, la formulation spatiale ou Eulérienne et la description relative, laquelle,
bien que moins connue, est la généralisation de la description lagrangienne actualisée. Ces
formulations sont bien décrites dans presque tous les ouvrages généraux de mécanique des
milieux continus (Mal verne 1969). Il faut noter cependant que seule la formulation

7
lagrangienne totale aura connu beaucoup de succès jusque dans les années 1970. Il faudra
attendre les travaux de Wunderlich en 1973 (d'après Gadala et al. 1984), Bathe et al. 1975
et Bathe et Bolourchi 1979 a et b, lesquels ont rigoureusement établi sur une base de la
mécanique des milieux continus les équations de base de la formulation lagrangienne
actualisée, pour donner le coup d'envoi aux recherches dans ce domaine. Nous pouvons
signaler parmi les innombrables publications deux contributions importantes qui nous ont
été utiles lors de ces travaux: Frey (1978) fut, à notre connaissance, le premier qui a
distingué clairement la description lagrangienne actualisée exacte de la description
approchée en cas de petites défonnations (voir Chap. 2) et Peterson et Petersson (1984) qui
ont introduit la notion de fonnulation lagrangienne actualisée partielle (voir Chap. 2).
Quant à la classe de non~linéaritéen grandes déformations, de vraies recherches en
éléments finis n'ont vraisemblablement commencé qu'en 1970 avec Hibbit, Marcal et Rice
(Detraux 1985). Cependant, les développements ont connu un frein assez sérieux au
niveau des lois de comportement en grandes déformations. Ces dernières ont fait
récemment l'objet de nombreuses recherches (Sidoroff 1976; Cordebois 1983; Dashner
1984 et 1986; Simo et Taylor 1984; Simo et Ortiz 1984).
Signalons, pour clore ce
paragraphe, les excellents travaux de Detraux (1985) et de Batoz et Dhatt (1986) qui
présentent une synthèse très concise des recherches en analyses non linéaires par éléments
finis au cours des dernières années sous la forme d'une approche unifiée.
1.2.2
Application aux barres à parois minces et à sections ouvertes
L'application de la méthode des éléments finis aux structures minces comme les
plaques, les coques et les barres est sans doute la branche la plus développée en éléments
finis actuellement ( Gallager 1975 et Zienkiewicz 1977). Cependant, en analyse non
linéaire avec l'hypothèse de grands déplacements et de grandes rotations, les applications
sont plus rares de même que les fonnulations rigoureuses dans le cas spécifique des barres
à parois minces. Avant de passer aux éléments finis, faisons d'abord un bref historique de
la théorie des barres minces.
Aux dires de plusieurs auteurs (Ojalvo 1981; Kennedy et Madugula 1982) Wagner
fut le premier en 1936 à établir les équations du problème de flambement en flexion-torsion
des profilés minces avec des sections ouvertes. Cependant, il est communément admis
(Kennedy et Madugula 1981) que la théorie des profilés minces à section ouverte dans sa
fonne actuelle a été l'oeuvre de Vlassov (1961); Bleich (1952); Timoshenko et Gere (1966)

8
et de Goodier. Après ces auteurs, il y eut plusieurs pionniers qui ont contribué à proposer
des solutions analytiques aux équations différentielles fort complexes obtenues dans
certains cas de chargement et de conditions limites. On peut citer à titre d'exemples,
Salvadori (1955, 1956) pour les cas de moments non uniformes avec ou sans charge
axiale, Galambos (1968) qui a beaucoup travaillé pour l'établissement de formules simples
pour le dimensionnement, de même que Massonnet (1962). Nous ne pouvons pas non
plus passer sous silence les excellents travaux de Nethercot et son équipe(1971 , 1973,
1976). TI faut avouer que la liste des contributions est longue et nous invitons le lecteur à
consulter un
ouvrage publié récemment. par Kennedy et Madugula (1982) sur le
flambement des
cornières en flexion-torsion, suite à l'effondrement du Colisée de
Hartford aux Etats-Unis ainsi que plusieurs ouvrages plus généra~x qui sont apparus dans
les dernières années, notamment: CRC of Japan (1971), Chajes (1974), Johnston (1976),
Gjelsvik (1981), Chen et Atsusta (1977), Oden et Ripperger (1981) et Cook et Young
(1985).
Jusqu'en 1970, selon les textes dont nous avons eu connaissance, les équations de
flexion-torsion ont été établies par l'approche classique de la résistance des matériaux où
l'on fait l'équilibre entre les forces internes et les forces externes. Seul Bleich (1952) a
utilisé une approche énergétique. Ceci a eu comme conséquence de limiter les formulations
à des cas particuliers de conditions limites et de chargement, les rendant ainsi peu viables
pour la méthode des éléments fmis.
En 1970, Barsoum a brisé la glace avec un élément fini permettant l'étude des
problèmes de flambement élastique en flexion-torsion en tenant compte du gauchissement
de la section et en utilisant le principe de stationnarité de l'énergie potentielle. Dans sa
thèse, Barsoum a abordé également l'analyse non linéaire géométrique en utilisant une
extension de la théorie linéaire de Vlassov. Pour calculer l'énergie de déformation de la
barre, il a utilisé la densité d'énergie élastique des plaques qui avait été proposée par Love,
laquelle sera utilisée indépendamment plus tard par Ghobarah et Tso (1971) pour établir
une théorie générale non linéaire géométrique pour les profilés minces à section ouverte en
formulation lagrangienne totale. Il faut noter cependant que ces développements ne sont
applicables que si les déplacements et rotations sont modérément grands, comme l'a
observé Barsoum lui-même lors de ses tests numériques.
Presqu'en même temps, en 1971, Rajasekaran et Murray ont développé en
fonnulation lagrangienne totale le même élément de poutre en s'appuyant sur une technique

9
incrémentale intuitive basée sur le principe de Biot (Rajasekaran 1971). ils ont utilisé le
principe des travaux virtuels en négligeant dans leurs équations incrémentales l'influence
des déplacements initiaux; ce qui les a conduits à une matrice tangente formée d'une matrice
de rigidité linéaire et d'une matrice géométrique. Dans leur formulation, la torsion pure de
5t-Venant ne découle pas directement du principe du travail virtuel général, mais a été
considérée indépendamment. Ils ont cependant inclus dans leur modèle la non-linéarité
matérielle, en remplaçant la section initiale de la barre par une section équivalente
déterminée en fonction de l'état de contrainte.
Rajasekaran a également considéré
l'influence du flambement local sur la stabilité globale des barres résultant en un élément
fini à Il degrés de liberté par noeud qui tient compte simultanément des déplacements de
poutre et du déplacement local de chaque plaque pour une analyse élastique seulement
(Rajasekaran 1971; Rajasekaran et Murray 1973). Même si leurs résultats n'étaient pas
concluants pour les flambements locaux survenus dans l'âme des poteaux, ces auteurs ont
montré que le phénomène de flambement local n'influence que très peu la stabilité globale
des poteaux à larges semelles.
Une première formulation variationnelle, utilisant le principe des travaux virtuels et
basée uniquement sur la mécanique des milieux continus, a été proposée par Nishino et al.
(1973) pour l'étude des problèmes de stabilité des membrures à parois minces. Les
équations non linéaires obtenues cette foiS aussi ne sont valables que pour des
déplacements et rotations modérés, et la formulation est lagrangienne totale. Il s'agit
également d'une extension de la théorie linéaire de Vlassov en analyse non linéaire. "
TI convient de rappeler que la difficulté majeure dans la formulation d'un problème
non linéaire de barres en trois dimensions tenant compte des grands déplacements et
grandes rotations, réside dans le fait que les rotations, n'étant pas des vecteurs, ne peuvent
être projetées vectoriellement que si elles sont petites ou à la rigueur modérées. Partant,
une analyse non linéaire de poutre en trois dimensions par formulation lagrangienne totale,
en considérant la théorie classique de Vlassov pour des grands déplacements et grandes
rotations n'est pas concevable puisque les variables sont toujours mesurées dans la mème
configuration initiale.
Epstein et al. (1978) ont été les premiers à présenter une formulation des
problèmes de barres en flexion-torsion en description lagrangienne totale pour des sections
composées de plaques, où les rotations ne sont pas considérées explicitement dans le
champ de déplacements. Chaque plaque de la section droite est considérée comme un

10
vecteur dans l'espace. Epstein (1979) reformulera sa théorie en considérant la barre comme
une courbe orientée dans l'espace mais pour l'analyse non linéaire géométrique seulement.
La même année, Bathe et Boulourchi(1979) ont présenté un élément de poutre en
3-D, ayant des degrés de liberté de l'ingénieur, ne considérant pas le gauchissement de la
section et en formulations lagrangiennes totale et actualisée. Ils ont inclus le cisaillement
transversal dans leur analyse.
Ils ont également établi l'équivalence entre les deux
formulations lagrangiennes, pour des rotations modérées. Pour résoudre le problème de la
rotation rigide de l'axe de la barre en formulation lagrangienne actualisée, ils ont proposé de
prendre la moyenne des rotations aux deux noeuds d'un élément [mi, tout comme Bazant et
El Nimeiri (1973), et leur matrice de passage est évaluée directement en tenant compte de
l'angle total de rotation rigide qui représente la somme des incréments de cet angle pendant
l'histoire du chargement.
En 1980, Usami et Koh ont étendu les travaux de Nishino et al. (1979) aux barres
courbées en utilisant un système de coordonnées cylindriques.
Les sections sont
supposées ouvertes et le matériau élastique. Suite à ces travaux, Wunderlich et Obrecht
(1980) d'une part, et Rarnm et Osterrieder (1983) d'autre part, s'inspirant des travaux
antérieurs, ont développé indépendamment des éléments finis de barres à parois minces et
~'O:n~uverte, en formulation lagrangienne actualisée, basés sur la mécanique Des
1" 'nîilieUX'c~us. Les deux gro~p~sde cherche~sont considéré des ~lémen,tsr"-,,tilignes;
!.~. ( W~~~~rl~cy e~fbre~ht ont procéOe u.mquement a une anal~se non l~earre geome~q~e ~~
\\~ \\ cf~ulat::l0J1 Ui'granglenne totale, tandis que Ramm et Ostemeder ont mclus la non-Imeante
L:(J YQ1atérielll(,è~s derniers ont considéré la plastification progressive de la section mais ont
~)
~~
"
égligé ·lrèffet de la contrainte de cisaillement due à la torsion pure de St-Venant sur la
contrainte axiale; la torsion pure étant limitée par la théorie de Nadai (sand-heap analogy).
Il convient de signaler que, compte tenu du fait que les rotations ne sont pas des vecteurs,
Ramm et Osterrieder ont proposé de calculer incrémentalement la matrice de passage du
système local au système global (voir chap. 5). Signalons enfin que Wunderlich et Obrecht
ont considéré une formulation variationnelle mixte résultant en un élément fini à 14 degrés
de liberté par noeud, alors que Ramm a utilisé le principe des travaux virtuels classiques en
calculant les efforts résultants totaux directement et non incrémentalement.

11
1.2.3
Ouelques remargues
Même si nous avons délibérément choisi de ne pas parler dans cet ouvrage des
méthodes de résolution, nous trouvons opportun de faire la mise au point suivante: il existe
deux tendances claires dans la résolution des équations non linéaires (Oden 1969). La
première approche est basée sur la résolution numérique des équations non linéaires
générales (méthode de type Newton-Raphson), tandis que la deuxième approche considère
le problème non linéaire comme la minimisation d'une fonction scalaire de plusieurs
variables, comme par exemple, l'énergie potentielle totale du système (méthode du type
gradient conjugué). La différence fondamentale entre ces deux approches est que, dans la
première, la matrice tangente joue un rôle très important et doit être calculée assez
correctement pour assurer une bonne convergence, alors que dans la deuxième, c'est le
calcul du résidu seulement qui assure la convergence, la matrice tangente étant moins
importante (Oden 1969).
Ceci nous amène à dire que dans tous les travaux que nous venons de présenter,
peu d'auteurs se sont attardés sur la mise en oeuvre de leur formulation. Chez Bathe et ses
co-auteurs par exemple, il est préconisé d'utiliser la méthode de Newton-Raphson
modifiée. Cette approche nous semble impossible pour la formulation lagrangienne
approchée où le résidu doit être calculé dans la configuration courante, couplant ainsi la
flexion et la membrane, tandis que ce couplage ne peut être pris en compte qu'en modifiant
la matrice tangente au cours des itérations.
Dans les dernières années, il y a eu beaucoup de raffinements apportés à la
formulation lagrangienne actualisée. La plupart des auteurs que nous venons de citer
proposent explicitement, sinon implicitement, d'actualiser la géométrie de la structure, ainsi
que toutes les autres variables à chaque itération au cours d'un pas. Même si cette
technique donne de bons résultats pour les problèmes d'élasticité classiques (Debordes et
al. 1986), son application bête pour le cas des structures minces peut entraîner des
problèmes de convergence(Jaamei 1986). En effet, à cause des hypothèses des structures
minces, même si on actualise la configuration à chaque itération, le domaine d'intégration
doit être conservé au cours de chaque pas afm de stabiliser la solution. De plus, à cause de
l'hypothèse de l'irréversibilité des lois de comportement élasto-plastique, les déformations
et partant les contraintes ne doivent être actualisées qu'à la fin d'un pas(voir Chap. 5).
TI faut noter également que dans le cas des structures minces, pour les formulations

12
lagrangiennes actualisées, les auteurs utilisent presque systématiquement les tennes
linéaires dans le calcul des contraintes résultantes afin d'éviter le problème du blocage de
membrane. Ce problème est encore mal connu et sera largement expliqué au chapitre 5.
TI nous semble également important de signaler qu'il y a deux tendances générales
dans la formulation des problèmes matériellement non linéaires.
A part l'approche
classique de plasticité que nous avons évoquée plus haut, il existe aussi une approche dite
de l'ingénieur où l'on considère des variables généralisées (Slater 1979; Ben Tabar 1981;
Roberts et Azizan 1983). Dans le cas des poutres, cette dernière approche se bute à un
sérieux problème malgré les efforts récents de Chen et Atsusta (1979) pour adapter cette
technique aux problèmes de flexion-torsion. En effet, il est très difficile de trouver la
surface d'écoulement plastique pour une barre soumise à la flexion-torsion ayant une
section quelconque dans l'espace des efforts résultants. Ces derniers sont généralement
l'effort axial, les trois moments et le bimoment, si on néglige l'effet du flux de cisaillement
dû à la flexion.
Pour clore cette section, nous aimerions mentionner d'autres techniques qui ont été
utilisées pour simuler les barres soumises à la flexion-torsion. Pour tenir compte du
flambement local, certains auteurs ont préconisé le concept de largeur effective où, à partir
d'un niveau de contrainte de compression dans une plaque composant la section droite, on
remplace la largeur réelle de ladite plaque par une largeur effective (DeWolf et al. 1974;
Wang et Pao 1980; Kalyanaraman 1979). Il faut noter cependant que cette approche ne
peut pas être efficace lorsqu'on considère les non-linéarités géométriques et matérielles
simultanément.
Hancock (1978) et Hancock et al. (1980) ont utilisé avec succès la
méthode des bandes finies pour résoudre des problèmes de stabilité élastique incluant le
flambement local. Une technique assez originale qui consiste à modéliser l'âme des poutres
par des éléments de plaques ou coques et les ailes par des éléments de poutres de
l'ingénieur a été utilisée par Akay et al. (1977) pour l'étude de l'influence du voilement
local sur la stabilité élastique globale des profilés en J, laquelle a été reprise en 1984 par
EI-Ghazaly et al. pour inclure le comportement élasto-plastique.
Nous aimerions également souligner l'apport très important de ceux qui ont permis
l'avancement des théories en flexion-torsion par leurs études expérimentales dont un
résumé assez complet a été présenté par Chen et Santathadaponn (1968), Johnston (1975)
et Kennedy et Madugula (1982). On peut citer entre autres, Birnstiel (1968), Rassaq et
Galambos (1979 a, b).

13
1.2.4
Applications aux systèmes poteaux-entremises-diaphragmes CPED)
A notre connaissance, il n'existe aucun modèle d'analyses non linéaires
géométrique et matérielle combinées d'un système PED. dans la littérature; la théorie des
poutres sur fondation élastique étant quand même établie par Vlassov et Léont'ev (1966) et
Tirnoshenko et Gere (1966), et Bleich (1952) pour les appuis élastiques depuis longtemps.
Selon les textes que nous avons consultés, Flint (1951) fut le premier à s'intéresser
aux problèmes de l'influence des retenues latérales, intermédiaires ou non, sur la stabilité
globale des poutres et/ou poteaux. En s'appuyant sur les résultats de tests expérimentaux,
il proposa des formules de calcul pour tenir compte de ces retenues.
Les solutions analytiques étant très complexes, on verra, jusque dans les années
1970, plusieurs auteurs traiter des cas paniculiers de retenues latérales et de chargement
pour les poutres en proposant, soit des formules de dimensionnement, soit des solutions
théoriques. On peut citer dans cette catégorie d'auteurs, Schmidt (1966), Taylor et Ojalvo
(1966), Miranda et Nair (1966), Traihair (1962), Hartmann (1967 et 1970), Glück et
Gellert (1962), Morrison (1972), Vinnakota et Àysto (1974), Kitipornchai et Richter
(1978) et la récente publication de Zahn (1984).
Nous avons noté que jusqu'au début des années 1970, on s'est sunout intéressé
aux retenues latérales minimales, reconnues sous le concept du "Full-bracing" (Errera
1965). Les premières recherches pour tenir compte de l'influence des tôles nervurées sur la
stabilité globale des poteaux dans un système PED ont commencé à l'Université Cornell
dans les années 1960.
Plusieurs études expérimentales et théoriques ont été alors
entreprises (Errera 1965; Pincus et Fisher 1966; Errera et al. 1967; Apparao 1968). Pour
simplifier la formulation des équations, on a supposé que le diaphragme agissait de façon
continue comme des ressons élastiques, et plusieurs formules de dimensionnement ont été
proposées. Apparao et al. (1968) ont introduit pour la première fois dans la formulation du
problème de stabilité d'un système PED la notion de retenues latérales élastiques
ponctuelles aux points d'attache des entremises. Ils ont considéré l'énergie potentielle
totale du système en supposant que le diaphragme travaille seulement en cisaillement pur
lors du flambement et par la technique de Rayleigh-Ritz, ils ont obtenu les solutions
analytiques pour des cas de chargement et de conditions d'appuis simples. Ils tinrent
compte de la plasticité du poteau dans leur modèle en évaluant un module tangent en
fonction de la contrainte moyenne de flambement.
Selon leurs observations

14
expérimentales, le diaphragme restait toujours élastique lors des essais.
D'autres équipes de recherche se sont également intéressées à la question. Home
et Ajmani ont publié de 1969 à 1972, une série de quatre articles sur le sujet en considérant
le poteau latéralement supponé de façon continue ou ponctuelle mais excentrée par rapport
au centre de cisaillement de la section et en proposant des formules de dimensionnement où
les retenues latérales sont supposées efficaces. Nethercot et Trahair (1975) ont repris les
travaux de Apparao pour les retenues latérales continues pour proposer des formules de
dimensionnement simplifiées.
Du point de vue éléments finis, Hancock et Trahair (1978) ont été les premiers à
étendre la formulation variationnelle de Barsoum aux poutres latéralement supportées de
façon continue par des ressorts élastiques ayant des rigidités en cisaillement et
flexion-torsion. Akoussah (1982) a considéré également le même type d'élément pour faire
l'étude du déversement des profilés en I. La difficulté majeure dans ce genre d'analyse est
l'évaluation de la rigidité équivalente des ressorts.
On remarquera que dans tout ce qui précède, on n'a parlé que de la simulation du
poteau dans le système P.E.D., les autres éléments étant soit remplacés par des ressorts
élastiques (Apparao et al. 1968), soit carrément négligés lorsqu'on juge leur retenue latérale
inefficace.
Dans le cadre du projet qui fait l'objet de cette thèse, deux modèles d'éléments finis
ont été développés pour simuler la stabilité élastique des systèmes PED. Massicote et
Beaulieu(1984) ont résolu les équations développées par Apparao par le même élément fini
qui sera présenté dans ce travail. lis ont effectué, par ailleurs, une analyse paramétrique en
considérant plusieurs paramètres physiques et géométriques du système. Fafard, Beaulieu
et Dhatt(1984) ont développé un autre modèle où les poutres sont simulées par un
assemblage d'éléments de plaque, les entremises par des éléments de poutre de l'ingénieur
et le diaghragme par des éléments de plaques orthotropes.
Ceci nous amène à parler des diaphragmes. En effet, plusieurs études ont porté
sur l'analyse des tôles nervurées dans le but de détenniner, soit théoriquement, soit
expérimentalement leur rigidité effective de cisaillement (Geee). Cette rigidité est l'équivalent
du module de cisaillement G lorsqu'on remplace la tôle par une plaque orthotrope
équivalente. Brindamour et Beaulieu (1984) ont fait un excellent état de cette question pour

15
les tôles de toitures, dont le comportement ressemble à celui des murs verticaux qui nous
concernent dans cette étude. Il convient de signaler que quelques études expérimentales de
diaphragmes sollicités en cisaillement ont été menées à l'Université Laval sous la direction
du professeur Beaulieu. Dans le domaine de l'analyse non linéaire des coques orthotropes
par éléments finis, nous n'avons eu connaissance que de deux études faites en description
lagrangienne totale (Batoz 1977 et Atrek et Nilson 1980).
1.3
Objectifs et organisation des chapitres.
1.3. 1
Objectifs
Comme on peut le constater, il n'existe actuellement aucune étude complète des
systèmes poteaux-entremises-diaphragmes où plusieurs paramètres physiques et
géométriques peuvent être considérés simultanément.
L'objectif principal de cette thèse est alors de mettre au point un modèle numérique
efficace, capable de simuler le comportement réel des poteaux dans les bâtiments industriels
(système PED) à l'aide de la méthode des éléments finis. Cette méthode est actuellement la
la plus adaptée à une telle étude.
Pour atteindre cet objectif, il nous faut:
-établir une formulation variationnelle consistante, basée uniquement
sur
la
mécanique des milieux continus, suivant les théories linéaire et non linéaires (géométrique
et matérielle) des barres à parois minces et à section ouverte soumises à la flexion-torsion,
en considérant le problème de blocage en membrane;
-introduire l'orthotropie dans les éléments triangulaires de coques (facettes planes
de type DKT) qui sont disponibles (Talbot 1986; Jaamei 1986 et Fafard 1987) aussi bien
pour l'analyse linéaire que pour l'analyse non linéaire géométrique;
-développer des éléments de liaison pour simuler les attaches poteau-entremise,
entremise-diaphragme ainsi que les diagonales qui servent à stabiliser les poteaux lorsque
les entremises passent à l'extérieur de ceux-ci;
-faire une étude comparative avec le modèle simplifié de Massicotte et Beaulieu

16
(1984) dans le domaine linéaire afin d'indiquer clairement, s'il y a lieu, les limites
d'application dudit modèle.
1.3.2
Organisation des chapitres
Notre travail est présenté de la manière suivante: au chapitre 2, nous faisons un
rappel des concepts de base des analyses non linéaires géométrique et matérielle,
notamment les différents tenseurs et fonnulations qui sont couramment utilisés, en
précisant également les hypothèses retenues pour la plasticité. Le chapitre 3 expose notre
fonnulation du problème de flexion-torsion élastique des barres. Au chapitre 4, nous
généralisons la fonnulation du problème de la flexion-torsion des barres à parois minces et
à section ouverte à l'analyse non linéaire aussi bien géométrique que matérielle, en
considérant une description lagrangienne actualisée. Cette dernière peut être soit approchée
dans le cas où les éléments de poutres sont toujours rectilignes, soit partielle lorsque nous
considérons les courbures initiales dans la configuration courante mais en gardant toujours
un repère cartésien. Le chapitre 5 présente les aspects numériques du modèle de poutre
dans l'espace. Les équations des chapitres 3 et 4 y sont discrétisées par différents éléments
de poutres en tenant compte du problème de blocage de membrane. Les méthodes et
diverses stratégies de résolution des équations non linéaires y sont présentées.
La
validation du modèle de poutre en trois dimensions est faite au chapitre 6. Plusieurs
exemples sont présentés pour démontrer les performances des divers éléments fmis qui ont
été développés dans le cadre de cette recherche au chapitre 5. Le chapitre 7 est consacré à la
finalisation du modèle numérique pour l'analyse des systèmes poteaux-entremises-
diaphragme et aux exemples d'applications pratiques aussi bien linéaires que non linéaires.
Nos conclusions et recommandations pour l'orientation des recherches futures au chapitre
8.
1.4
Apport de la thèse
On peut affirmer que le premier résultat tangible de ces travaux est la mise au point
d'un modèle numérique d'éléments finis pour simuler le componement pré et
post-flambement des poteaux dans les bâtiments industriels avec la possibilité de tenir
compte de la plastification des poteaux. Ce modèle permettra d'améliorer sensiblement le
calcul des bâtiments industriels et d'avoir une meilleure compréhension du comportement
global de la structure ainsi que le comportement individuel des éléments qui la composent.
Les développements qu'ont entraînés cette recherche pourront être directement appliqués à

17
la modélisation de nombreux systèmes de construction, tes les systèmes de toitures et de
planchers.
La théorie des barres à parois minces et à section ouverte soumises à la
flexion-torsion a été revue et une fonnulation originale basée sur la théorie des coques et
des hypothèses de Vlassov et Timoshenko est proposée.
Nous avons également tenté de généraliser par la technique de pénalité les
différentes techniques (intégration réduite, méthode mixte, décomposition de mode ou
contrainte moyenne de membrane) qui existent pour traiter le problème du blocage de
membrane.
A notre connaissance, c'est également la première fois qu'un modèle de poutre
tridimensionnelle en plasticité tient compte de l'effet de la contrainte de cisaillement produite
par la torsion pure de 5t-Venant sur la contrainte axiale.
Au niveau de la formulation lagrangienne actualisée, un algorithme clair, stable et
efficace a été présenté pour la résolution des problèmes non linéaires géométrique et
matériel sans risque de fausse décharge élastique durant les itérations d'équilibre et incluant
le traitement des contraintes résiduelles.
Enfin, oserons-nous signaler que c'est également la première fois, à notre
connaissance, qu'un élément de poutre courbe surbaissée (dite de Marguerre) en analyse
linéaire ou non linéaire, incluant l'effet du gauchissement, a été présenté dans la littérature
en considérant des grands déplacements et grandes rotations.

CHAPITRE II
CONCEPTS DE BASE DE L'ANALYSE NON LINEAIRE
2.1
Introduction et définitions
Dans ce chapitre, nous faisons un bref résumé des principaux concepts
couramment employés en mécanique non linéaire dont les détails ont déjà fait l'objet
d'ouvrages généraux (Sneddon et Berry 1958; Truesdell et Toupin 1960; Truesdell et NoD
1955; Malvern 1969; Lemaître et Chaboche 1985, ...)
Lorsqu'un corps est soumis à l'action d'une histoire de sollicitations, il occupe
plusieurs positions successives dans l'espace et dans le temps. On définit la configuration
C(t) comme la position qu'occupe le solide dans l'espace à un instant 1. Un ensemble de
variables cinématiques et mécaniques est associé à toute particule p du corps de volume V(t)
et de frontière Set):
-la position initiale X(p), la position spatiale x(p,t), la vitesse x(p,t) et
l'accélération x(p,t),
- la masse volumique p(X, t) et les contraintes internes cr(X, t) au voisinage de la
particule.
On notera que les caractères gras désignent des vecteurs. On
définit
alors
le
mouvement du corps comme l'évolution de ses configurations dans le temps et dans
l'espace. La description du mouvement:

19
- si elle est faite en fonction des coordonnées spatiales x(p,t), elle est dite spatiale
ou eulérienne, comme c'est le cas généralement en mécanique des fluides;
- si elle est faite en fonction des coordonnées matérielles X(p,t) dans une
configuration choisie ou configuration de référence, on parle alors d'une description
matérielle ou lagrangienne.
Nous pouvons écrire que x(p,t) :: x(X(t),t) et par simplification on écrira
désormais x(t) et X. D'autre part, si nous désignons un instant ti, la configuration
correspondante sera Cl et ses variables internes seront aussi identifiées par un indice i.
En général, les équations qui permettent de décrire la réponse d'un corps à l'action
d'une force ou excitation extérieure peuvent être classées en quatre grandes catégories
(Malvern 1969; Frey 1978):
- la cinématique qui étudie le mouvement du corps (aspects géométriques);
- la cinétique qui introduit les principes mécaniques (équilibre);
- la thermodynamique par ses deux principes fondamentaux. Notons que dans
notre cas, àu les effets thermiques ne sont pas considérés, seul le premier principe sur la
conservation de l'énergie sera retenu sous forme du principe du travail virtuel;
- les lois constitutives qui permettent d'établir des relations entre les variables
cinématiques, cinétiques et thermodynamiques (étude du comportement physique).
2.2
Cinématique
En mécanique des solides, nous adoptons systématiquement une description
lagrangienne pour le fait que notre corps change continuellement la position de sa frontière
dans l'espace.
Si nous considérons trois configurations successives, on définit la
configuration initiale Co comme celle correspondant à l'état de repos non chargé du corps;
la configuration déformée ou inconnue C (t) représente l'état déformé du corps sous
l'action des sollicitations et la configuration intermédiaire Ci (la dernière configuration
calculée) correspond à un état intermédiaire entre les deux premières configurations (fig.
2.1). Une description lagrangienne sera dite totale si la configuration de référence est la
configuration initiale. Par contre, si la configuration intermédiaire Ci est choisie comme
référence, on parle alors de description lagrangienne actualisée (en anglais Up-dated).
Dans la littérature, il existe plusieurs variantes de ces deux descriptions fondamentales

20
(Malvem 1969; Frey 1978; Batoz et Dhatt 1986, ... ).
2.2.1
Choix du repère
En général, on choisit un repère cartésien orthononné dans lequel on exprime les
variables de toutes les configurations (fig 2.1a) pour des raisons de simplicité des
express~n.":;.":,p~~r les corps orientés (poutres, plaques et coques), il est plus pratique
d'ut~~t/d§_~..I~~~reS""~articuliers à chaque configuration Ci (figure 2.1 b).
F/
~
.
2.';."2. ~( .raa.f€nts
e~\\formation
.~
C: ' / -
Q!V"
\\1
. - - /
Q
\\.)
I:J
'/ovèon-s-idé~oflSllecas général de la figure 2.1.a. Le mouvement d'une particule p
,

l' / ' [ {J St 1\\ {\\e,\\\\ -;Y
s'ecnt:
0 0 0
x(x ,t) = x
+ u(x )
(2.1)
où u = <u> = <u, v, w> est le vecteur déplacement de p (dans un repère cartésien). On
.
0
X
notera aUSSI que x
=
.
Au cours de la déformation, l'élément différentiel dxo dans la configuration initiale"
CO devient dx dans la configuration C (t) (fig. 2.2) tel que:
o
dx = dx + du
soit:
(2.2)
avec

21
.) Repère commun toutes les configurations
y
b) Repère paN/cul/er chaque configuration
Fig. 2.1 • Choix du repère.

22
C(t)
Fig. 2.2 - Mouvement d'un élément différentiel

23
1
au
au
au
+ -
-
-
axa
ayo
azo
(F);( =0)=
av
1
av
av
+ -
-
(2.3)
axa
ayo
azo
aw
aw
aw
-
-
1 + -
axa
ayo
azo

[I] est la matrice identité;
[F] est le tenseur des gradients de déformation (en anglais: déformation gradient).
On trouve également dans la littérature l'expression tenseur des gradients de déplacement
(Touzat 1980) pour désigner la même chose. Ce tenseur relie la configuration déformée à
la configuration initiale.
On admet d'autre part que l'application [F] est bijective:
(2.4)
où J est le déterminant de la matrice [F].
Rappelons brièvement que:
a)
(2.5)
b) un élément de volume différentiel de la configuration CO
o
. 0
°
0
dY = (ax x dy ) . d z
devient en C:
dY
= (dx x dy) . dz = J dYO
(2.6)
c) pour un élément de surface vectorielle défmi par:

24
la formule de Nanson (Truesdell et Toupin 1960) donne dans la configuration déformée:
1
dS =dx x dy = n dS
tel que:
(2.7)
2.2.3
Mesure des défonnations
Dans la littérature, on utilise plusieurs mesures de déformations dépendamment de
la loi de comportement (Malvern 1969; Batoz et Dhatt 1986; ...). Dans le cadre de ce
travail, nous exposons uniquement la déformation de Green-Lagrange.
Soit dso et ds les longueurs respectives des éléments différentiels dxO et dx
considérés au paragraphe précédent.
2
( ds°) = < dx°> {dxo}
(2.8)
2
( ds )
= < dx > { dx}
alors:
( ds /
= < dx°> [FJT [F] { dxo}
= < dx° > [CJ {dx°}
(2.9)
On désigne [C] comme le tenseur de Cauchy-Green droit. On appelle aussi le
tenseur de Cauchy-Green gauche, le tenseur [B] défini de la même façon, soit:
tel que
(2.10)

25
On remarquera que [B] et [C] sont des tenseurs symétriques et définis positifs. Si
le corps subit un mouvement de corps rigide, ces tenseurs deviennent unitaires.
Les mesures de déformation doivent s'annuler pour les mouvements de corps
rigides. On défmit alors la déformation de Green-Lagrange par:
O
f
(ds)2 _ (ds
= <dx° >([C] -[1] ){dx°}
(2.11)
= 2<dx°>(E]{dx°}
où [E] = 1/2 ([C] - [I]) est le tenseur de déformation de Green-Lagrange qui est le plus
utilisé dans la linérature.
2.2.4 Taux de défonnation
Dans le cas d'une analyse non linéaire, on peut avoir, soit des lois de
componement qui tiennent compte de l'histoire des déformations (plasticité), ou soit la
méthode de résolution des équations non linéaires (type Newton-Raphson) qui nécessitent
la connaissance des quantités incrémentales (dans le temps).
Soit i = lI, le vecteur vitesse d'une panicule matérielle.
o
.
dX(x ,t)
X=U=-""=:,,,,""-
dt
Il convient de noter que dans la suite de ce travail, où nous considérons une analyse
stationnaire, les vitesses ou taux seront remplacés par des accroissements sauf s'il y a
risque de confusion. En effet:
.1u = ù.1t = u
en supposant que
.1t = 1
(2.12)
A un instant t donné, on peut définir la différence spatiale de la vitesse entre deux
points voisins pet q (figure 2.3) (Batoz et Dhatt 1986) par:

26
y
x
Fig. 2.3 •• Vitesse relative du entre deux points voisins

• un Instant t.

27
{ Mu} = [ L ] { dx}
(2.13)

oflu
oflu .' oflu
ox
ay az
oflv
oflv
oflv
[L] = ox
ay a;-
(2.14)
oflw
oflw
oflw
~ ay a;:-
est appelé le tenseur gradient spatial des vitesses.
Le tenseur [L] non symétrique peut être décomposé en une partie symétrique [D]
et une partie antisymétrique [W] telles que:
(2.15)
soit:
(2.16)
(2.17)
[D] et [W] désignent respectivement les tenseurs taux de défonnation et taux de
rotation. La relation (2.16) joue un rôle très important en mécanique des solides comme
nous allons le constater dans la suite de ces travaux. On peut également montrer que (Batoz
et Dhatt 1986)
(2.18)

28
où [ÔE] représente le taux ou la vitesse de déformation dans la configuration initiale CO du
tenseur de Green-Lagrange.
2.2.5
Quelgues relations utiles pour l'analyse incrémentale
Supposons trois configurations successives distinctes CO, Cl et C2 (fig. 2.4) où
Cl et C2 correspondent respectivement aux configurations Ci et C (t) définies au début de
ce chapitre. Si nous notons Xij toute variable de la configuration Ci défmie et mesurée sur
Ci et ôXij l'accroissement de la quantité x entre les configurations Ci et Ck mesuré sur Ci,
nous pouvons écrire les relations cinématiques suivantes (Batoz et Dhatt 1986):
- pour les positions spatiales d'une particule p:
1
° ul(xO)
xo = x +
2
x
(2.19)
o = x°
2
O
+
u (x )
1
2
1
= xo + ÔU (xo )
- tenseur gradient de déformations:
[F~] = [F~][F~ ]
(2.20)
avec:

29
Fig. 2.4 " Conflgurstions SUCceSSives.

30
- tenseur de défonnation de Green-Lagrange:
(2.21)

[EOl], [E 2], [E
0
I2] sont définis à l'équation 2.1l.
[ô~] = [ F~ nô~][F~ ]
(2.22)
[ÔE~] ; [F~ nD][F~]
(2.23)
Remarques:
a) On notera de ce qui précède que toutes les quantités qui s'ajoutent se réfèrent
toujours à la même configuration.
b) Dorénavant nous allons omettre les indices supérieurs relatifs à la configuration
recherchée C2. Ainsi, aurons - nous par exemple:
2.3
CinétiQue
2.3.1
Tenseurs des contraintes de Cauchy:
Considérons la force de surface ~f agissant sur l'élément de surface ~S de normale
n au point p dans la configuration C(t) (fig. 2.5). La définition classique du vecteur
contrainte t(n) au point p est la limite:

31
y
At
,..,
o
x
Fig. 2.5 •• Concept d'une contrainte.

32
.
~f
t(n) = 11111 -
(2.24)
~s~o ~S
Cette défmition suppose que la limite existe. Comme t est fonction de n, il existe
au même point une infinité de vecteurs de contrainte. Par le théorème fondamental de
Cauchy (Truesdell et Toupin 1965), pour chaque direction n, on peut écrire
(Malvern,1969; Batoz et Dhatt 1986):
(2.25)
avec
cr
cr
cr
xx
xy
xz
cr
cr
cr
yx
yy
yz
(2.26)
cr
cr
cr
zx
zy
lZ
où [cr] est le tenseur des contraintes de Cauchy (fig. 2.6) ou contraintes vraies au point p.
Par la deuxième loi de mouvement de Cauchy (Truesdell et Toupin 1965), on peut
montrer que le tenseur [cr] est symétrique.
[ cr]T = [cr]
(2.27)
Si df désigne la force agissant sur l'élément différentiel de surface dS de normale
n dans la configuration C (t), alors:
{df} = [cr]T {n}
(2.28)

33
z
Convention· Pour O"ij. i désigne la normale de la facette sur laquelle agit
la contrainte et j la direction de cette dernière.
Fig. 2.6 -- Composantes du vecteur contrainte.

34
2.3.2
Tenseur des contraintes de Piolla-Kirchhoff
Les contraintes de Cauchy sont de nature eulérienne, i.e. exprimées dans la
configuration déformée et donc difficiles à évaluer lorsqu'on ne connaît pas encore cette
configuration. Pour suppléer à ce problème, on définit d'autres types de contraintes de
nature lagrangienne, i.e. en fonction de dso, nO dans la configuration CO.
On peut montrer aisément, à l'aide de la formule de Nanson (équation 2.7), que:
{df} = J [ a J[ F r T {nO}
(2.29)
On note:
[T] = J[a][FrT
(2.30)

[TJ est appelé le tenseur des contraintes de Piola-Kirchnoff de 1ère espèce (PKl). On
remarquera que ce tenseur n'est pas syméuique et représente des forces mesurées dans la
configuration courante par unité de surface non déformée. Ce tenseur n'est ni eulérien ni
lagrangien mais joue un grand rôle dans les transformations d'équations d'équilibre
eulériennes en équations lagrangiennes.
Pour obtenir un tenseur complètement lagrangien, nous allons également
transporter la force df dans la configuration initiale CO. On a alors:
(2.31)
soit:
[5J = J[Fr l [aJ [FrT
(2.32)
[a J = l/J [ F J [ 5 J [ F JT
et
[T]=[F][5]
(2.33)
On appelle le tenseur lagrangien symétrique [5], le tenseur des contraintes de
Piola-Kirchnoff de 2ème expèce (PK2). Ce tenseur jouera un grand rôle dans la suite de ce

35
travail.
Remarque: Signalons que dans la littérature on peut trouver plusieurs notations désignant
les mêmes tenseurs qui sont définis dans ce chapitre. Nous n'allons rappeler que celles
couramment utilisées par les ingénieurs:
(2.35:
On défmit également un autre tenseur dit de Kirchhoff par:
[ 't] == J [a] == [F] [ S ] [ F ]T
(2.36)
2.3.3
Variation ou taux des contraintes
Une quantité qui revient souvent en analyse non linéaire est le taux de variation des
contraintes.
Les taux de contraintes sont d'autant plus importants que les lois de
comportement de la plupart des matériaux en dépendent.
Cependant, une loi de
comportement doit être indépendante du repère de son observateur, ce qu'on appelle le
principe d'objectivité ou d'indifférence matérielle (en anglais - rnaterial frame-indifference)
largement exposé dans la thèse de Detraux (l985)(voir aussi Malvern 1969, Truesdell et
Noll 1965). Or, même si l'on peut montrer que les tenseurs des contraintes vérifient ce
principe, il n'en est pas de même pour leur variation dans le temps, sauf dans le cas des
contraintes de Kirchhoff qui sont de nature lagrangienne. Pour les contraintes de Cauchy,
il faut imposer un repère d'observation dans lequel la dérivée s'annulle pour les
mouvements de corps rigides. Pour des raisons pratiques d'intégration de la contrainte
totale sur un pas fini, surtout en grandes défonnations, il est plus efficace d'exprimer la
contrainte dans un repère tournant caractérisé par un opérateur de transport <P(t) (Batoz et
Dhatt 1986). Il vient alors:

36
[6]Obj = [ <1>(t) ] ~t ( [ <1>(t) JI [«t)] [ <1>(t) JT) [<1>(t) ]T
(2.37)
L'expression (2.37) est une généralisation des dérivées objectives communément
utilisées dans la littérature, dont on peut trouver plus de détails dans Malvern 1969; Detraux
1985; Batoz et Dhatt 1986. A titre d'exemple, on retrouve assez aisément la dérivée de
Jauman, couramment employée en mécanique, en choisissant <1>(t) =Q (t) défmi à l'annexe
A et qui représente la rotation locale d'un point matériel à l'instant t; soit:
(2.38)
où [6(t)] est le taux de contrainte pour une panicule matérielle donnée, à l'instant t.
Comme on peut le constater, lorsque le corps subit un mouvement de corps rigide
par exemple, l'intégration de l'équation (2.37) donne directement une contrainte constante
tandis que la solution de l'équation (2.38) n'est pas évidente, étant donné que [W] est une
fonction du temps t.
2.3.4
Equations d'équilibre
Les équations d'équilibre s'obtiennent à partir du principe de la conservation de la
quantité de mouvement. Considérons un sous-domaine d'un solide occupant le volume V
dans la configuration C(t) de contour S et soumis à des forces externes f par unité de
y
volume déformé et f par unité de surface déformée. En ne considérant que les effets
s
statiques, l'équilibre statique sur la configuration déformée peut s'écrire (Truesdell et
Toupin 1960; Malvern 1969, ... ):
ao..
_]_1
+f.
= 0
ax.
i,j =1,3
(2.39)
YI
]

37
avec les conditions limites suivantes (voir figure 2.7):
- mécaniques: [cr] ln} = {fs}
(2.40)
- géométriques:
lu} = {us}
telles que
S = Su u Sf
et
Su n Sf =0
L'équation (2.38) peut s'écrire sous forme matricielle:
(2.41)

et
a
a
a
0
0
ax
ay
0
az
[b]T
a
a
a
0
0
0
=
ay
ax az
a
a
a
0
0
0
az
ay ax
On notera que l'équation (2.39) (ou (2.41)) est écrite dans la configuration
déformée et peut être ramenée assez aisément dans la configurationinitiale (connue) par des
transformations géométriques. Pour des détails, voir Malvem 1969; Detraux 1985).

38
C(t}
o
x
{u t ={u. t sur Su ; conditions 9éométriQue5
[CT] {n t={fit sur S, : condit ions mécaniques
avec S = Su U S, et Su n S, =0
Fig. 2.7 •• Conditions aux frontières dans la configuration d'équilibre.

39
2.4
Principe des travaux virtuels
2.4.1
Expression du travail virtuel sur la configuration actuelle
Pour obtenir la forme variationnelle dans la configuration déformée, nous avons
choisi la méthode des résidus pondérés qui s'applique à l'équation d'équilibre obtenue
ci-dessus avec les conditions limites montrées à la figure 2.7; soit:
J< 'P > {R} dV = 0, 'vI'P
(2.42)
v
avec
[cr] {n}=fs
sur Sf
lu} = {us}
sur Su

{R} = [ b ]T{ cr} + {f) = 0
représente le résidu d'équilibre et {'P} des fonctions de pondération, tous les autres termes
étant définis au paragraphe précédent.
En mécanique, la méthode des éléments fmis utilise généralement la pondération de
type Galerkine où l'on fait correspondre l'espace des fonctions {'P} à celui des champs de
déplacements (ou vitesses) vinuels(les) {u*} cinématiquement adnùssibles (i.e. vérifiant
{u*} = {us} sur Su et dont les dérivées partielles d'ordre 1 sont continues à l'intérieur du
corps). Le résidu {R} ayant les caractéristiques d'une force, on parle alors de W comme un
travail (ou puissance) virtuel(le).
D'autre part, pour diminuer l'ordre des dérivées sur le tenseur de Cauchy [cr], on
utilise la forme intégrale faible qui s'obtient en intégrant par parties l'équation (2.42) avec la
prise en compte des conditions limites:

40
w = f< D· > {cr} dV
(2.43)
v


• •

<u > = <u
v
w >










au
av
aw
au
av
aw
av
au
aw
<D > = < - -
- - + - -
- - + - -
- - + - - >
ax
ay
az
ay
ax
ay
az
az
ax
< cr > = < crx cry crz t xy t yz t xz >
Notons que nous avons préféré la notation {u*} pour les fonctions de pondération
au lieu de {ou} couramment utilisé dans la littérature pour montrer que {u*} ne représente
pas nécessairement une variation des déplacements mais plutôt une fonction de même
nature que ces derniers.
L'expression (2.43) peut s'écrire également en utilisant les notations tensorielles
pour des raisons d'élégance (dans la manipulation des équations algébriques):
w = f
f
f
tr aD*] [cr]) dv -
<u*> {f) dv -
<u* > {f } ds = 0
(2.44)
s
v
v
Sr
avec
...
au
1 au
av
Jau· + aw·)
ax
~ ... ...)
2
ay + ax
~ az
ax
...
...
av
1
av
aw
[D] =
ay
~ ... ...)
2
az +ay
Sym.
...
aw
az

41
OÙ tr [A] =IAii est la trace de [A].
Les expressions (2.43) et (2.44) expriment l'équilibre du corps dans la
configuration actuelle (déformée Le. inconnue) et constituent le principe du travail vinuel
(PTY) dans cette configuration.
On notera que lorsque les déformations et les
déplacements sont petits, on confond les configurations déformées et initiales et nous
retrouvons alors le PTY couramment utilisé par les ingénieurs. Cependant, lorsqu'on
considère de grands déplacements ou de grandes défonnations, ce principe devient eulérien
et il faut, pour des raisons pratiques en mécanique des solides, l'exprimer dans une
configuration de référence.
2.4.2
Expression du travail virtuel dans la configuration initiale
On peut établir assez aisément l'expression du travail vinuel dans la configuration
initiale en changeant le domaine d'intégration de Y en yo (dY = J dYO) dans l'expression
(2.44) (Batoz et Dhatt 1986) en rappelant que:
soit:
ou soit, en introduisant le tenseur symétrique PK2 [5]:


42
*
*
*
dU
dU
dU
-
-
-
dXO
dYO
dZO
*
*
*
dV
dV
av
[F* ]
= -
-
-
dXO
dYO
dZO
*
*
*
dW
dW
dW
-
-
-
dXO
dYO
dZO
[F*] est le tenseur gradient de déformation virtuelle (ou des déplacements virtuels).
Dans la suite des travaux, nous allons poser:
W = W int - Wext
(2.47)
avec
f
W.
=
tr([F*]T [F] ES]) dYo
(2.48)
mt
va
W
= f < u* > °
{f }
Of
dY +
< u* > {f }
°
dS
(2.49)
ext
v
s
va
saf
Des propriétés (A.20) et (A.25) des traces (Annexe A), on obtient facilement:
(2.50)

*
1
T
*
*T
T
*
[E ] =ï([F]
[F] + [F ] [F] ) = [F] [D] [F]
(2.51)

43
2.4.3
Principe incrémentaI du travail virtuel
Pour certains matériaux, ou lorsqu'on considère la plasticité, il nous faut tenir
compte de l'histoire de toutes les configurations. De plus, les méthodes de résolution des
équations non linéaires obtenues après discrétisation par la méthode des éléments finis nous
obligent à faire une analyse incrémentale i.e. définir des opérateurs "tangents" à partir du

taux de la forme intégrale W, noté W. Par définition, si on note ~W la forme incrémentale
entre l'instant t = 't + ~t et 't connu:
~W = W('t + ~t) - W('t)
(2.52)
et le taux de la forme intégrale est définie par:
W· - 1·
~W
-
u n - -
(2.53)
~l~O ~t
En mécanique des solides, on ne considère généralement que les termes linéaires
en accroissements dans ~W pour un ~t fini. Ainsi pour une analyse statique, en prenant ~t
égal à l'unité, on obtient:
~W =VI
(2.54)
a) Description lagrangienne totale
Pour calculer ~W dans la configuration initiale (description lagrangienne totale),
nous allons considérer l'expression (2.45) de W où seul le tenseur PKl [T] est fonction du
temps:
W =W·
- W
ml
exl
(2.55)
avec

44
(2.56)
w
=
(2.57)
ext
J *
<u>{~f}dV°+
v
J *
<u>{~f}dS0
s
VO
SOf
Dans la littérature, il existe plusieurs expressions de ~Wint dépendamment du type
de tenseur qu'on veut utiliser. Il suffit de remplacer [~T] par des expressions en fonction
de [~cr], [~t], [ ~S] ou [~crR]' Pour plus de détails sur ces expressions on peut consulter
Detraux(l985), Batoz et Dhatt(l986).
Dans le présent travail, nous avons choisi
délibérément d'utiliser le tenseur PK2 qui est le plus connu par les ingénieurs; ce qui nous
donne:
~W. =
O
Jtr( [F*]T( [F] [~S] + [~F] [S])) dV
(2.58)
lOt
O
V
En utilisant les propriétés des traces (A2, A5a et A8), on obtient aisément:
(2.59)
Sous fonne vectorielle, utile pour la discrétisation, on a:
3
J *
L *
0
~W.
= « E > {~S} +
< F. > [S] {~.}) dV
(2.60)
lOt
1
1
°
i=l
V
avec
E*e*2E
*2E
*2E
*>
Y
z
xy
yz
xz
(2.61)

b) Description lagrangienne actualisée
Dans le cas d'une description lagrangienne actualisée, la configuration de référence
est continuellement ramenée à la dernière configuration calculée. L'expression (2.60) reste
toujours valable sauf que les variables cinématiques et mécaniques sont transportées sur la
configuration Cl (fig. 2.4). On obtient alors: .
(2.62)
où le tenseur [F1] est défini à l'équation (2.20). On rappelle que tous les indices supérieurs
relatifs à la configuration C2 ont été supprimés à la remarque b du paragraphe (2.2.5). On
remarquera aussi que [SIl] =[011].
<F li > et ~Flj > sont définis de la même façon qu'à l'équation (2.61); et:
(2.63)
Finalement, le taux du travail des forces externes s'écrit également:
f
!J.W
=
<u*>{~fVI}dVO+ f<u\\{~fSI}dSO
(2.64)
ext
yI
50
f
c) Cas particulier des cows orientés
Pour les structures à parois minces (corps orientés), nous admettons que les
déplacements et rotations peuvent être grands mais que les défonnations restent petites,
comme c'est le cas courant en constructions métalliques.
Ainsi pour des raisons de simplicité de la fonnulation, nous allons conserver dans

46
le reste de ce travail, uniquement la description lagrangienne actualisée du principe
incrémentaI, lequel est défini aux équations 2.62 et 2.64. Ces équations peuvent êtres
détaillées comme suit.
Considérons les tenseurs gradients de déformation entre les trois configurations
CO, Cl et C2 montrés à la figure 2.8. L'expression (2.62) devient alors (sous forme
vectorielle complète):
l:iW.
=
(2.65)
ml
f« ·
E > {l:iS } +<l:iTl ·>{a1})dV1
1
I
1
1
VI

[El·]
= [el·] + [Tl ·]
(2.66)
I
avec
[e~ 1
= -
(2.67)
2
r
]
[ :::] + [ :::
qui désigne la partie linéaire du tenseur Green-Lagrange; et
~] ~ n::l[:::r[:::])
(2.68)
[
=
[ [ :::
désignant la partie non linéaire du même tenseur. De même:
(2.69)
L'expression du travail des forces externes reste identique à l'équation (2.64).

47
Cl
Fig. 2.8 -- Gradients de déformations entre les trois configurations;

48
Commentaires:
-Dans le cas général, l'expression incrémentale PVT (2.65) est obtenue directement
du taux de travail virtuel W par intégration sur la variable temps (t). Dans notre cas nous
avons une formulation qui correspond à la méthode d'intégration dite d'Euler explicite
(Dhatt et Touzot 1981; Detraux 1985). Cette méthode n'est stable que pour des Ôt très
petits, inférieurs à un Ôt critique. Pour remédier à cet inconvénient, nous avons adopté
une méthode itérative avec correction d'équilibre à chaque itération, laquelle sera détaillée
au chapitre 5. Cette méthode équivaut à une méthode d'intégration implicite (Detraux
1985). Notons que dans notre cas, les équations sont linéaires en accroissements tandis
que pour la méthode implicite, elles sont non linéaires par rappon aux inconnues Ôu; ce
qui nécessite également une méthode itérative de type Newton-Raphson pour les résoudre.
-L'expression (2.65) représente également l'équation du principe incrémentaI
classique basée sur le principe de Biot qu'on trouve dans la littérature (Rajasekaran 1971;
Frey 1978; Bathe 1981; Ramm et Osterrieder 1983).
-Pour les forces extérieures, l'expression (2.64) s'annule lorsque les forces sont
conservatives (indépendantes de la déformation) et n'est différente de zéro que pour des
sollicitations non conservatives.
2.5
Lois de comportement
Les caractéristiques physiques du matériau constituant le corps solide étudié n'ont
pas d'influence sur les relations cinématiques et cinétiques que nous venons d'établir aux
paragraphes précédents. Les lois de comportement sont introduites dans le but de décrire le
componement macroscopique du matériau sous l'effet des sollicitations afin de permettre
ainsi d'établir des relations entre les variables cinématiques, cinétiques et
thermodynamiques d'une manière générale. Elles doivent alors, non seulement respecter
une rigueur mathématique, mais aussi être capables de reproduire le mieux possible le
comportement physique observé.
il va sans dire que le défi est de taille. Le comportement réel d'un matériau étant
fon complexe, son étude en laboratoire de même que les modèles mathématiques fiables
exigent des technologies assez poussées; ce qui explique les récents développements dans

49
ce domaine suite aux développements informatiques (Ortiz et Simo 1986). Toutefois,
malgré la complexité du problème, les ingénieurs ont spécialisé les équations constitutives
pour des domaines de comportement bien délimités.
2.5.1
Comportement élastique des matériaux
i) Elasticité
Idéalement, un matériau est dit élastique lorsqu'un corps constitué de ce matériau
revient complètement à sa position initiale lorsqu'on retire ses sollicitations et qu'il existe
une relation unique entre l'état de contrainte et l'état de déformation pour une température
donnée (Malvern 1969).
En effet, plusieurs matériaux de construction ont
approximativement ce comportement lorsque les déplacements sont petits et que les
déformations restent infmitésimales. La loi constitutive peut alors s'écrire:
(2.70)
(J ij
= C ijkl ekl
où Cijkl est un tenseur du quatrième ordre contenant des coefficients dits d'élasticité reliant
les petites déformations é1d aux contraintes vraies (Jij' Pour les matériaux isotropes, cette
équation connue sous le nom de loi de Hooke généralisée devient (Malvern 1969; Frey
1978):
(J ..
= À eu C,. + Il f··
(2.71)
IJ
IJ
IJ
où À et Il représentent les constantes de Lamé. A partir d'un test de traction uniaxiale, on a
établi des relations entre ces constantes et les modules de Young (E), de cisaillement (G) et
le coefficient de Poisson (u) qui sont plus familiers aux ingénieurs. Soit:
uE
E
À = - - - - -
Il=G=
(2.72)
(1+u) (l-2u)
2(1+u)

50
En remplaçant les relations (2.72) dans (2.71) on obtient sous fonne matricielle la fonne
classique de la loi de Hooke soit:
{cr} = [C] {E}
(2.73)

l-u
u
u
0
0
0
1-u
u
0
0
0
1-u
0
0
0
d
[CJ
E
0
0
2(1+u)
(2.74)
d
d
sym.
0
2(1+u)
d
2(1+u)
avecd=(1+u)(1-2u)

et
<E>=<E
E
E
2E
2E
2E
>
(2.75)
x
y
z
xy
yz
xz
ii) Hyperélasricité
Le matériau sera dit hyperélastique s'il existe une fonction potentielle des
déformations dont la dérivée par rapport aux déformations donne les contraintes (fruesdell
et Toupin 1960; Malvem 1969). L'hyperélasticité ignore les effets thermiques et admet que
la fonction potentielle élastique existe dans tous les cas et ne dépend que des déformations.

51
Pour des petites défonnations, si W désigne l'énergie de défonnation par unité de volume,
on peut écrire (Malvern 1969)
aw
<J.. =
(2.76)
1J
ae..1J
La relation (2.76) d'après Truesdell et Toupin (1960) a été proposée par Green en
1839 et ne peut contenir que 21 coefficients d'élasticité comparativement à la relation (2.70)
qui peut en contenir 36, ce qui rend l'hyperélasticité plus restrictive que l'élasticité.
Cependant lorsque le matériau est isotrope, les deux lois deviennent identiques.
* Remarques: Comme il est mentionné précédemment, ces deux lois concordent
assez bien avec les observations lorsque les défOImations sont infmitésimales. Cependant,
pour être généralisées aux grandes défonnations, il faut qu'elles respectent le principe
purement mécanique de l'objectivité (voir au paragraphe 2.3.3) qui stipule que toute loi
constitutive doit être invariante dans tout changement de repère d'observation. En effet
dans le cas des grandes défonnations, le solide change continuellement de configurations
par opposition aux petites défonnations où l'on ne fait pas de distinction entre les tenseurs
de contrainte de types eulérien et lagrangien.
iii) Hypoélasticité
L'hypoélasticité est une généralisation de l'élasticité et de l'hyperélasticité où l'on
suppose qu'un incrément de défonnation produit un incrément de contrainte élastique
dépendamment de l'état de contrainte précédent (Truesdell et Toupin 1960). La loi
constitutive peut s'écrire sous la forme: (Detraux 1985):
(2.77)
où [H (cr)] est un tenseur de 4eme ordre contenant des coefficients d'élasticitéqui dépendent
de l'état de contrainte [cr] et de la dérivée matérielle des contraintes [~cr]. il a été montré par
Sideroff (Detraux 1985) que pour satisfaire au principe d'objectivité (ou d'indifférence

52
matérielle), on doit écrire:
(2.78)
où [~(J]obj est la dérivée objective (eq. 2.37) et [D] le taux de déformation. Sous forme
matricielle, la relation (2.78) peut s'écrire:
(2.79)
Dans le cas des déformations infinitésimales, [H] est identique à la matrice [C]
pour les matériaux élastiques ou hyperélastiques isotropes. Il faut noter que même si tout
matériau élastique ou hyperélastique est aussi hypoélastique, l'inverse n'est pas toujours
vrai (Frey 1978).
L'hypoélasticité offre·un intérêt particulier pour l'analyse non linéaire à cause de sa
loi constitutive incrémentale qui couvre également la théorie différentielle de la plasticité.
2.5.2
Comportement élasto-plastigue
Par opposition au comportement élastique, le comportement plastique (inélastique)
est caractérisé par le fait que les déformations totales sont irréversibles.
Depuis
l'avènement des ordinateurs rapides, le comportement élasto-plastique a fait l'objet de
nombreuses recherches pendant les dix dernières années tant au niveau des algorithmes
d'intégration qu'au niveau de la fonnulation des lois constitutives (Zienkiewicz et al. 1969;
Hughes et Winget 1980; Nagtegaal et De Jong 1981, Cordebois 1983, Tseng et Lee 1985;
Ortiz et Simo 1986; Rees 1983; Debordes et al. 1986, ...). Un résumé assez complet a été
présenté par Detraux (1985).
Dans ce paragraphe, nous ferons seulement un bref rappel des hypothèses et
équations de base de la plasticité en petites déformations. Pour plus de détails, on peut
consulter les ouvrages généraux tels que Olszak et al. 1963; Malvern 1969; Washizu 1975;
Owen et Hinton 1980; Lemaître et Chaboche 1985 ou les ouvrages mentionnés ci-haut.

53
i) Hypothèses de base:
1- Décomposition du taux de défonnarion total
Nous admettons dans ces travaux que le taux de défonnation total peut se
décomposer en une partie élastique (e) et une partie plastique (p), soit:
(2.80)
et que l'accroissentment des contraintes est:
(2.81)
De plus, nous admettons l'hypothèse d'incompressibilité des déformations
plastiques i.e.:
(2.82)
2- Existence de la surface de plasticité:
On suppose qu'il existe une surface d'écoulement (ou de plasticité) dans l'espace
des contraintes, dont l'expression mathématique est de la fonne (Malvem 1969; ...):
f(cr', k) = 0
(2.83)

(2.84)
est le tenseur déviateur des contraintes et k est un paramètre d'écrouissage toujours positif
et dépendant des défonnations plastiques. L'expression (2.83) est la fonction de charge.

54
Pour un accroissement de sollicitation donné, on peut trouver les situations
suivantes (fig. 2.9); soit:
f < 0,
componement élastique
(2.85)
f=O
avec:
df
df
df = -
dcr.. + -
dk = 0
(2.86)
dcr..
IJ
dk
IJ
qui représente un état d'écoulement plastique. L'expression (2.86) est dite condition de
consistance plastique (Lemaître et Chaboche 1985) et exprime le fait qu'aucun point
représentant un état de contrainte donné ne peut sonir de la surface d'écoulement (f>O est
impossible).
ou
d f < 0
(2.87)
ce qui implique que l'état atteint est élastique et on dit qu'il y a une décharge élastique.
3- Critère de plasticité:
Plusieurs critères existent dans la littérature pour exprimer explicitement la surface
d'écoulement initiale (Olszak et al. 1963; Lemaître et Chaboche 1985; ... ).
Nous
considérons dans nos analyses, uniquement le critère de Von Mises qui est déjà utilisé
largement en contruction métallique, soit:
f(cr) = f(cr') = 3/2 tr ( [cr'] [dl ) - cre = 0
(2.88)
où cre est la limite élastique du matériau.
4- Lois d'écoulement et d'écrouissage
Nous admettons un écoulement selon la 1oi de la normalité qui stipule que les

55
f (cr'+!1cr 1 k ) : 0
Fig. 2.9 - Illustration de la fonction de charge.
cr
o
f
Note : Les flèches indiquent le sens d'un chargement.
Fig. 2.10 - Écrouissage Isotrope.

56
déformations plastiques dérivent d'une fonction potentielle plastique:
=dÀ~
avec
dÀ ~ 0
(2.89)
aa..IJ
où dÀ est un coefficient de proportionnalité.
Nous considérons également un écrouissage isotrope (fig. 2.10).
L'effet
Bauschinger est négligé dans nos applications ainsi que l'anisotropie due aux déformations
plastiques. Ces hypothèses sont justifiées par le fait que nous ne considérons qu'une
analyse statique, et que la direction du chargement ne varie pas beaucoup. La fonction de
charge devient alors:
f(a, k) = ~ tr ([a'] [a']) - [cr (k)]2 = 0
(2.90)
Pour trouver une forme explicite de cr(k), on fait l'hypothèse du travail de
déformation plastique, soit:
_
...P
a dE
(2.91)
d'où
(2.92)
-
a
où h est la pente de la courbe uniaxiale (cr, ëP) obtenue en laboratoire. On peut alors écrire
que:
-
-
jJ
a(k) == a(E )
(2.93)
On admet par ailleurs que:

57
(2.94)
ii) Loi d'écoulement incrémentale
En considérant l'hypothèse H4, la condition de consistance plastique (éq. 2.86)
peut s'écrire (Zienkiewicz 1977; Owen et Hinton 1980):
af
< - > {dcr} = h dÀ
(2.95)
acr
En introduisant la relation (2.81) dans (2.95), on trouve assez aisément:
-1
M M e
M
dÀ = <->[HeJ {D}.
h+<-> [H] { - }
(2.96)
[
]
acr
acr
acr
TI vient alors:
(2.97)
où:
e
af -
af
TA
[H]{-}<->[nJ
[He] _
acr
acr
af
(2.98)
e
af
h + < - > [H ] { - }
acr
acr
est la matrice dite élasto-plastique.
On notera que pour les matériaux sans écrouissage ou parfaitement élasto-plastique
comme l'acier doux par exemple, la relation (2.98) reste valide avec h = O. On pourra

58
également vérifier que l'équation (2.89) représente effectivement la relation de
Prandtl-Reuss en introduisant le critère de Von-Mises.
iü) Intégration de la loi élasto-plastig,ue sur un pas fini
Des études récentes ont montré que même si les déformations sont petites, on peut
augmenter substantiellement les pas de temps sans causer l'instabilité numérique et perdre
l'objectivité en intégrant la loi élasto-plastique par la méthode d'Euler implicite ou
semi-implicite (Hughes et Taylor 1976; Hughes et Winget 1980; Nagtegaal et Jong 1981;
Debordes et al. 1986; Batoz et Dhatt 1986). Cependant, comme on le verra dans le chapitre
des exemples numériques pour les types de problèmes non linéaires que nous traitons, la
non-linéarité géométrique est généralement si sévère que déjà dans le domaine élastique
nous sommes limités à des pas de temps très petits; ce qui justifie largement le choix de la
méthode d'Euler explicite pour l'intégration de la loi constitutive. TI vient alors:
(a(t+~t) = (a(t)} + (~a}obj
(2.99)
Rabattement sur la surface de plasticité:
Considérons l'état de contrainte [a] tel que f( a+~a) > 0, f(a) étant nul (fig. 2.11)..
L'expression (2.97) représente une opération de rabattement de 1er ordre de l'accroissement
élastique de la contrainte {~a} =[He] {D} sur la surface d'écoulement. Comme on peut le
voir sur la figure 2.11, à cause de la non-linéarité de la surface d'écoulement, cette
opération ne peut ramener complètement l'état de contrainte sur la surface. En effet, il
manque oa qu'il faut calculer.
Pour remédier à cette situation, nous divisons ~a en m intervalles réguliers avant
de faire les rabattements, m étant déterminé par la relation (Ben Tahar 1981)
m =a f(a + ~a) - f(a)
{~a} =[W] {D)
(2.100)
-a

59
\\
of (cr)
âcr
Fig. 2.11 •• Rabattement du premier ordre.

60
où a est un coefficient numérique, considéré égal à 50 dans notre cas. Le coefficient de
proportionalité !::.À de l'équation (2.96) devient alors sur chaque intervalle:
-1
ID
1
df
df
df
!::.À
= - < -
> {!::.a}.
h + < -
> [Hl {-}
(2.101)
m
da
[
da
da ]
D'autre part, nous faisons un deuxième rabattement à chaque étape m pour tenir
compte de la non-linéarité de la surface d'écoulement:
(2.102)
ce qui nous permet d'écrire:
{DP}ID = {!::.éFt = (!::.ÀID + OMID) {~}
(2.103)
da
(2.104)
{!::.a}obj = L {!::.a}m
(2.105)
m
Remarque: Dans le cas où f (a) < 0, i.e. lorsqu'on passe d'un état élastique à un état
plastique, il faut d'abord trouver r > 0 tel que f (a + r!::.a, cr) =o.
Le calcul de r aussi se fait en deux étapes pour minimiser les erreurs dues à la non-
linéarité de la surface d'écoulement (Ben Tahar 1981):
(2.106)

61
avec
f(o)
r = - - - - -
(2.107)
1
f(0) • f( 0+.10)
f(o + r }.10)
r
(2.108)
2 =-
df
<-> {.10}
dO
Dans ce cas, on ne rabat que
.10 = (l-r) [He] {D}
(2.109)
Toutes ces opérations sont illustrées à la figure (2.12) et montrées sur
l'organigramme du calcul plastique dans le chapitre 5.

62
....
(1"+ tH,.
avec ~(1"= ~D
B : Rabattement avec m =1
C : Rabattement avec m =2
Fig. 2.12 •. Passage d'un état élastique à un état plastique.

CHAPITRE III
FLEXION - TORSION ELASTIQUE D'UNE BARRE A PAROIS MINCES ET A
SECTION OUVERTE
3. 1
Généralités
Une barre à parois minces se présente généralement comme une coque ou un
assemblage de plaques dans l'espace dont l'une des dimensions caractéristiques (la
longueur de la barre, L) est relativement très grande par rapport aux deux autres (épaisseur,
t , et largeur, b). De telles pièces, quand elles ont une section ouverte, ont une rigidité en
torsion très faible en plus d'une rigidité en flexion dans un plan, généralement petite par
rapport à l'autre plan; ce qui cause leur ruine par flambage en flexion et/ou torsion.
Dans ce chapitre, nous présentons les équations de base pour l'analyse d'une barre
droite (et pour les barres courbes surbaissées) à parois minces et à sections ouvertes,
dérivées directement de la théorie assujettie des coques présentée par Batoz et Dhatt
(1986).
La géométrie de la barre sera représentée par son feuillet moyen (ou surface
moyenne), lequel sera caractérisé par deux paramètres, a 1 et a2 appelés variables
curvilignes et son épaisseur, t , en tout point suivant la normale n au plan (al' a 2). Un
point quelconque q de la barre sera alors défini par ses coordonnées (x, s) sur le feuillet
moyen et çsuivant l'épaisseur (voir figure 3.1).

64
Il) Géométrie du fBull/et moyen.
y
z
b) section type.
Fig. 3.1 •• Représentation de /a barre (droite) dans /a configuration Cft)

65
Nous définissons la section droite de la barre comme l'intersection du plan nonnal
au vecteur al et de la barre elle-même (fig. 3.1b) et supposons la section constante sur
toute la longueur de la barre.
3.2
Cinématique virtuelle d'une barre soumise à la flexion - torsion
Nous limitons le champ de la cinématique virtuelle (ou cinématique réelle sous
forme de vitesses) aux hypothèses suivantes.:
1°) Les normales sont conservées après déformation et l'élongation suivant l'axe n
est négligée (approximations de Kirchhoff-Love);
2°) On fait l'hypothèse des contraintes planes pour chaque plaque ou coque
constituant la barre (CJçç=O);
3°) Les sections droites de la barre ne subissent pas de distorsion au cours de la
déformation virtuelle; i.e. le mouvement de la section se décompose en une translation et
une rotation rigide de cette première (pas de flambement local).
4°) Le cisaillement dans le plan du feuillet moyen est négligeable.
On remarquera que les hypothèses de Bernoulli-Navier qui forment la base de la
théorie élémentaire des poutres et celles de Saint- Venant pour les problèmes de torsion pure
ne sont que des cas particuliers des hypothèses générales mentionnées ci-dessus (Vlassov,
1961; Timoshenko et Gere, 1960; Bleich, 1952,... )
De plus, pour éviter toute complication de la fonnulation, nous limitons la
cinématique aux poutres droites; ce qui est suffisant pour l'étude des barres courbes
surbaissées.
Nous pouvons ainsi choisir un système d'axe local xyz en un point
quelconque C dans le plan de la section droite. Nous considérons également le point C,
pour l'instant, comme centre instantané de rotation de la section (fig. 3.1).

66
3.2.1 Description d'un point QuelconQue "<a" de la barre
Soit p un point quelconque de position x(p) sur le feuillet moyen de la barre dans
le sytème local montré à la figure 3.1. En supposant la barre droite, on a a1= i et nous
pouvons écrire
x(p) = ~ = xi + y(x,s)j + z(x,s)k
ou sous forme vectorielle:
(3.1)
p
{y(~,s)}
{x } =
z(x,s)
où s est la coordonnée curviligne du point p. Le plan tangent au feuillet moyen de la barre
en p est défini par deux vecteurs al(x,s) et a2(x,s) tels que:
ax
a
=i
et
a
= -p-
(3.2)
l
2
as
soit:
Le vecteur unitaire normal à ce plan tangent au point p peut alors s'écrire:
(3.3)
soit:
{n} =
{-~,s}
_1
,F; y,s
On remarquera que al et a2 sont orthogonaux. Nous pouvons alors choisir les
vecteurs tangents unitaires t l et t2 tels que:

67
et
(3.4)
Ces vecteurs forment au point p, avec n, une base orthononnée (i,tz,n) telle que
tout vecteur ~ au voisinage de p est défini par:
{~} = [FpJ {dç}
(3.5)

1
0
0
n
[F J = [ i t
n J
0
t Zy
=
y
p
(3.6)
2
0
t2z
nz
<dç> = < dx ds dÇ >
(3.7)
[FpJ est alors la matrice de passage entre la base curviligne et la base cartésienne. ç
représente la coordonnée suivant la normale n au feuillet moyen ( ç = 0).
Supposons maintenant un point quelconque q(x, s, Ç) de la barre, voisin du point
p. Nous pouvons écrire:
X q = ~(x, s) + Çn(s)
= (~+ Çnx)i + (Yp+ Çny)j + (Zp+ Çnz)k
(3.8)
Etant donné qu'en construction métallique les profilés sont généralement composés
d'assemblages de plaque (i.e. y,ss= z,ss = 0 pour chaque plaque), on peut établir assez
aisément que la matrice de passage [FpJ ne change pas du point p au point q. Soit:
(3.9)

68
Dans le cas général d'un repère complètement curviligne, on peut trouver des
détails très intéressants dans l'ouvrage de Batoz et Dhatt (1986).
3.2.2
Cinématique du point "p" sur le feuillet moyen de la barre
Considérons un point p sur le feuillet moyen, de coordonnées (x, y(s), z(s)) dans
le repère local cartésien (C, x, y, z) (fig. 3.1).
L'hypothèse 3 nous permet d'écrire que le déplacement du point p dans le plan yz
est composé d'une translation du centre instantané de rotation C et d'une rotation <1> de
l'ensemble de la section autour de ce point (voir figure 3.2):
v =vc(x) + y(s)[cos<1>(x) - 1] - z(s) sin<1>(x)
w = wc(x) + y(s) sin<1>(x) + z(s) [cos<1>(x) - 1]
(3.10)
où v et w sont les déplacements du point C. L'angle de rotation <1> étant petit, nous
pouvons écrire que:
v = vc(x) - z(s) <1>(x)
w = wc(x) + y(s) <1>(x)
(3.11)
Les coordonnées du point p deviennent alors:
X + U (x,s)
}
{x }
=
y(s) + vc(x) - z(s) <1> (x)
p
(3.12)
{ z(s) + w (x) + y(s) <1> (x)
c
Les tangentes à cette courbe sont définies par:

69
y
y 1----"
p
c
z
z
V" : p cos ( e+cP ) - y : y ( cos cp - 1) - Zsin cp
.,,, : p sin ( e+ cp ) - Z : y sin cp + Z (cos cP -1 )
Fig. 3.2 •• Rotation de /a section autour du point C.

70
1 + U (x,s)
,
,
v
(x) - z(s) <I> (x)
(3.13)
c ,
,
W (x) + y(s) <I> (x)
c
u (x,s)
,s
y (s) - z (s) <I> (x)
,s
,s
(3.14)
z (s) + y (s) <I> (x)
,s
,s
où le symbole ( )' désigne la dérivée par rapport à x. Dans le cas qui nous intéresse, où les
déplacements sont relativement petits, le terme u' est négligeable devant l'unité.
L'hypothèse 4 implique que 3} et 32 sont orthogonaux; d'où:
(3.15)
On notera que désormais nous écrirons u, vc' Wc et <I> au lieu de u(x, s); vc(x); wc(x) et
<I>(x) pour alléger les écritures sauf dans les cas où il y a un risque de confusion.
La figure 3.1 b nous permet d'établir aisément les relations géométriques suivantes,
en sachant que (i,t ,n)
2
est un trièdre droit:
z
= - cos a.
,s
y
= sin a.
(3.16)
,s
où a. est l'angle entre la normale n et l'axe y (fig. 3.1 b) et ne dépend que de la variable
curviligne s. De plus:

71
{:cn} = [sin a. -c.os o.] {y}
(3.17)
c
cos a.
sm a.
Z
En introduisant (3.16) et (3.17) dans (3.15) et en intégrant par rapport à s, nous
obtenons:
,
,
,
' 1 2
'
u = u - y(v
+ <I> w
) - z(w
- <I> v
) + ro <I>
- -r <I> <I>
(3.18)
c
c
c c c
c
2
avec:
s
2
2
2 1s
r
= J
2 (y y,s + Z z) ds = (y +z) 0
(3.19)
o
La constante d'intégration uc' représente physiquement le déplacement axial (de
membrane) de la barre évalué au point C qui est en même temps le centre de gravité de la
section droite. Plusieurs auteurs ont obtenu des expressions semblables à l'équation (3.18)
en écrivant explicitement que la déformation de cisaillement de Green Lagrange, en tenant
compte des termes non linéaires, est nulle dans le plan du feuillet moyen (Ghobarah et Tso,
1971; Usami et Koh, 1980). En négligeant les termes non linéaires dans l'équation (3.18),
on retrouve l'expression classique présentée par Vlassov, Timoshenko, etc. soit:
(3.20)
En supposant un pôle de rotation quelconque 0 de coordonnées yO et zo dans le
plan de la section, différent du centre de gravité C comme c'est le cas en général, nous
pouvons écrire (voir Annexe B):

72
u -yv
-ZW
+ro<f>
c
0
0
{u } =
= v0 - (z-zo)<1>
(3.21)
W o + (y-yo)<1>
où û) est la fonction de gauchissement de la section ou coordonnée sectorielle par rapport à
un pôle quelconque O. Nous avons montré à l'annexe B que 0 peut être choisi de façon à
rendre les fonctions y et z orthogonales à û).
Dans ce cas, 0 est appelé centre de
cisaillement de la section ou encore centre de torsion. D'autre part, on peut utiliser
directement une extrémité E de la section comme origine de la variable s en utilisant la
relation B.14, soit:
-.!.. 5
û)
= û)
û)
dA
(3.22)
P A
P
A

(3.23)
s représentant la coordonnée curviligne du point p situé sur le feuillet moyen. Deux
exemples (une section en U et une section en I) sont montrés à l'annexe B pour illustrer la
fonction de gauchissement.
3.2.3
Déplacement d'un point quelconque "q" de la barre
Pour décrire la cinématique en tout point quelconque de la barre, nous allons
transformer les déplacements dans le sytème curviligne (i,t ,n), afin d'exploiter les
2
propriétés de la coque (ou assemblage de plaques) qui constitue la barre. Si nous appelons

73
Vs et vç les composantes du vecteur déplacement selon t2 et n (fig. 3.1), alors:
a
a]
V s\\
= [ sin
-c.os
{v }
(3.24)
{ vJ
cos a
sm a
w
où v et w sont définis à l'équation (3.21). En posant:
cos a = -z
= l
,s
sin a = y
=m
,s
= m(y -yO) - lez -z.o)
(3.25)
= l(y -yo) + m(z -z.o),
la relation (3.24) devient alors:
(3.26)
Les paramètres rn et r représentent respectivement les projections par rapport aux
o
axes t2 et n de la distance entre le point p et le pôle de rotation 0 (fig. 3.1b).
Nous pouvons alors exprimer le déplacement du point q (fig. 3.3) par une série de
Taylor développée au point p (x, s, 0) limitée aux tennes linéaires seulement, soit:
uc - yv0 - zw0 + ro<I>
=
rnvO- Iwo - ro<I> + ç~s
(3.27)
q
où ~x et ~s représentent les rotations de la nonnale n autour des axes s et x (voir fig. 3.4)

74
q
o (x, Yo ,loI
Fig. 3.3 •• Déplacement d'un poInt quelconque de Is barre.
l
Fig. 3.4 •• Visusllsstion de 13, = lu 1
. ~ = dVI' '
4'"=0'
d'"
S
=0

75
L'hypothèse 1 (Kirchhoff-Love) conduit à:
av
~
=--..1..
(3.28)
x
ax
L'hypothèse 3 implique que:
~s = - <1>
(3.29)
En introduisant les relations (3.28) et (3.29) dans (3.27), on obtient:
,
,
u
u - (y + IÇ)v
+ (00 - Çr )<1>
c
o - (z + mÇ)wo
n
v
mv
s
=
o - Iwo - (ro+ Ç)<1>
(3.30)
v
Les relations (3.30) décrivent complètement la cinématique réelle(et virtuelle) d'un
point quelconque d'une barre en flexion-torsion.
3.3
Expression du principe du travail virtuel
3.3.1
Travail virtuel interne
Nous avons établi au chapitre 2 que le travail virtuel interne peut s'écrire dans le
système cartésien:
(3.31)
où [cr] est le tenseur de Cauchy et [D*] le taux de déformation virtuelle.
Afm de tenir compte explicitement des hypothèses des profilés minces à sections
ouvertes dans le principe du travail virtuel (hypothèse 2 de contraintes planes), nous allons
exprimer [D*] et [cr] dans le système de coordonnées curvilignes (t I , ~, n) (voir fig. 3.5),
soit:

7E
Fig. 3.5 - Géométrie du feuillet moyen :
cas général d'une barre courbe.

77
(3.32)
avec (voir relation A-9),
rat] = [Q]T [a] [Q]
[Dt] =[Q]T [ D* ] [Q]
(3.33)

[Q]
= [t
(3.34)
I (Ç) t 2(Ç) n]
(3.35)
Dans le cas général, on évalue par dérivation en chaîne [L*] par:
[L*]
= [Lç* ] [F(Ç)]"I
(3.36)

(3.37)
en sachant que:
(3.38)
Dans le cas particulier où le champ de déplacement est connu dans le repère
curviligne (i, t2, n), on évaluera directement [ Dn.
3.3.1.1 Cas de la barre droite
Dans le cas d'une poutre droite à section constante (fig. 3.6), nous venons

7
y
o
C L...---t~~---.
Z
n
,...,
Fig. 3.6 •• Poutre droite à section constsnte.

79
d'établir la cinématique complète au paragraphe 3.2 dans le repère curviligne (t I , ~, n).
De plus, rappelons que:
m =y
=sin Cl
,s
1 =-z
=cos Cl
(3.39)
,5
12 + m2 = 1
où 1 et m représentent les cosinus directeurs de la normale n, laquelle ne change pas de
direction le long d'une plaque, soit:
(3.40)
Y,55 = z,ss = 0
On obtient alors (relation 3.9):
1
0
0
[Fp(Ç)] =_[FpJ = 0 m
(3.41)
o
-1
m
et
J =det [F ] = 1
p
d'où
dV = dx dy dz =dx ds dÇ
(3.42)
D'autre part, nous pouvons évaluer directement [Dt] par:
(3.43)


80
*
au
aa:']
(3.44)
as
u* étant défini à l'équation (3.30).
Avec l'hypothèse (3,40), nous pouvons écrire que:
am
as = ra
(3.45-a)
arn
1
as =
(3,45-b)
ara
0
as =
(3,45-c)
am
am
al
as
= -
= 0
(3,45-d)
a~
d'où:
.'
...
."
U
- (y+lÇ)v
c
o - (z+mQwo
*'
r<1>
n
.'
+(w -Çr )<1>*"
+(r
n
o-Ç)<1>
(3,46)
a
*
-<1>
.'
Iv
.' <1>.'

o + mwo+ r
o
n
<1>

81
U.' - (y+lÇ)v ."- (z+mÇ)w ."
c
O
O
- ç<1l.'
o
+(w -Çr )<1l."
n
(3.47)
- ç<1l.'
o
o
o
o
o
La relation 3.32 donne alors:
w.
= f ·
(e N +
·
<X > {M) dx
(3.48)
mt
m
L
avec:
.e = u.'
(3.49-a)
m
c
*
*11
*"
*'
*"
<X > = < -w0
-v0
<I>
<I>
>
(3.49-b)
et
N = fa
dA
(3.S0-a)
xx
A
<M> = <M
M
T M >
(3.S0-b)
y
z
sv
w

M =f(z + rnÇ) a dA
z
f
M =
(y + lÇ) a
dA
y
xx
xx
A
A
(3.S0-c)
T
= -f2 ç'! dA
M
=f
sv
xs
(ro - r Ç) a
dA
w
n
xx
A
A
N et <M> représentent les efforts résultants à une section donnée de la barre dans le repère
cartésien.

82
3.3.1.2 Cas spécial d'une poutre courbe - fonnulation cartésienne (dite de Marguerre)
En éléments finis, une poutre courbe (profonde ou surbaissée) sera discrétisée en
plusieurs éléments. Il s'avère ainsi que pour chaque élément fini de poutre, la formulation
cartésienne de Marguerre, où l'on considère la poutre comme un arc surbaissé, est tout à
fait applicable.
Dans cette formulation, la géométrie du feuillet moyen (fig. 3.5) est décrite par les
coordonnées x, y(x,s) et z (x,s). Les vecteurs tangents 31 et 32 sont alors:
et
(3.51 )
De plus, on impose le vecteur n identique à celui de la poutre droite, i.e.:
< n > = < 0 -z,s y,s>
(3.52)
et
(y x)2 , (z x)2 , (z x Z x )
« 1
(3.53)
,
,
"
Les vecteurs tangents unitaires sont alors:
<t1> = <a1>=<1 Yx zx>
,
,
< t2> = <a2> = < 0 y s z s >
(3.54)
,
,
Nous pouvons ainsi écrire que:
1
o
o
1
o
o
y,s
-z
m
-1
,s
= y,x
(3.55)
z
z
z
m
,x
,s
Ys
,
,x
Dans la formulation de Marguerre, le champ de déplacement virtuel est identique à
celui d'une barre droite. Nous pouvons donc l'exprimer dans le repère curviligne (i, t2, n)

83
par:
*
*.
*
*
rA *
U
(3.56)
qt
= Upt 1+ vpt ~+Wpl n+~fJpl
où (relation 3.30):
*
*
*'
*1
*'
~t
= Ue - YVo - YWo + ro<1>
(3.57-a)
*
*
*
*
v
(3.57-b)
pt
= mvO - Iwo - rO<1>
*
IvO*
*
*
w
(3.57-c)
pt
=
+ mwO
+ rn<1>
*
*
*
<P pl> = <Px Ps 0 >
(3.57-d)
avec:
A*X
* '
* '
* '
fJ
= - lvo
- mwO
- rn<1>
A*S
*
fJ
=-<1>
(3.58)
Nous pouvons alors écrire dans le repère cartésien (i, j, k):
(3.59)

[QoJ
= [i t
(3.60)
2
n]
En introduisant l'équation (3.59) dans (3.37), il vient:
.'
."
.u
.'
*'
.'
*'
.1
U
- (y+IÇ)v
- (z+mÇ)w
- mv
+ Iwo
-Iv
-mw
- r <1>
c
o
o
o
o
o
n
..'
+ (o>-çr )<1>""
n
+(ro·Ç)<1>
..'
..'
..
(3.61 )
v0 - [(z.z~ + mÇ]<1>
1<1>"
-m<1>
..
m<1>
1<1>"

84
Enfm, nous pouvons évaluer:
(3.62)
soit:
.'
.'1
.'1
.'
.. .'
-rnvo+lw.'
U
- (y+IC)v
c
o - (z+rnQwo + «(J)-Crn)~·"
o
- Ivo- rnwo
- r ~
n .'
+ (ro-C)~.'
+ y}v .'
o - (z-zo+rn Q]~.'
+ Z
.'
[w + (y-yo+IQ]~
,x
.'
o
[<] =
.'.'
(3.63)

rnv
.'
o
o - Iwo - (ro+Q~
-~
Iv.'
.' .'

o
o + rnwo+rn~
~
et
(3.64)
Le déterminant de [Fp (Ç)] est égal à 1 et nous avons encore:
dV = dx dy dz =dx ds dÇ
(3.65)
L'expression du travail virtuel interne s'écrit alors:
w.
= f ·
(e N +
·
<X > {M})dx
(3.66)
mt
rn
L
avec:

*1
*1
*'
.'
e
= u
+ y v
+
+ (zoy
- Yoz )<1>
(3.67-a)
rn
c
,x o
Z
W
,x o
, x , x
.
...

..
<X > = «-wo -y <1>.'
...
)
(-v
+z
.' .'
<1> )
<1>
<1>
>
(3.67-b)
,x
0
,x
<M> =<M
M
T
M >
(3.67-c)
y
z
sv
(J)

85
où N, ~, ~, Tsv et Mw sont définis aux relations (3.50) et représentent encore les effons
résultants dans le repère cartésien.
3.3.2
Travail virtuel externe
Le travail virtuel externe sera également exprimé dans le repère cartésien comme les
variables cinématiques et effons résultants. Dans le cas des poutres minces, on néglige
généralement les forces de volumes fv' Soit .fs' le vecteur des forces et m, le vecteur de
moments imposés par unité de longueur sur une partie L r de la barre. On peut alors évaluer
le travail virtuel externe par la formule générale:
f
W
=
(u*f + ~*m) dL
(3.68)
ext
s
Lf
Dans la théorie des poutres à parois minces, le vecteur fs est composé d'une charge
axiale fx qui agit le long de l'axe joignant le centre de gravité des sections droites et des
charges latérales f et f
y
z' dont la ligne d'application est parallèle à la ligne joignant les pôles
de rotations choisis pour chaque section droite de la barre. Le point d'application des
charges latérales peut être excentré de (dy, dz) du pôle de rotation (fig. 3.6). En outre, le
vecteur U * est défini au point d'application des charges:
(3.69)
*
*
*
W
= wa + dy<I>
et
f-l.*
< A..*
*'
*'
<1-'
> =
'V
wa
va >,
(3.70)
les moments ~, ~ et lDz étant appliqués autour des axes passant par les pôles de rotations
des sections de la barre. On peut finalement écrire que:

86
w =f(f Ou* + f ov* +f OW* + (f d - f d )0<1>*
ext
x
c
y
0
Z
O
Z y
y Z
(3.71)
L f
*
* '
*'
+ m 8<1> + m ow
+ m ov
)
dL
x
y
O_
Z
O
3.4
Etat de défonnation et de contrainte dans une barre en flexion-torsion
3.4.1
Etat de défonnation
Considérons la barre de la figure 3.1 dans son système d'axe curviligne (x,s,Ç),
soumise à la flexion-torsion. Lorsque les déplacements sont petits, le tenseur taux des
déformations peut être assimilé au tenseur des défonnations. Les hypothèses des barres à
parois minces et à sections ouvertes conduisent alors à l'état de défonnation suivant
(relations 3.47):
-2 r~'
Exs =
\\:>'*'
(3.72)
On remarquera que l'hypothèse 4 est bien vérifiée si ç= 0; c'est-à-dire que le
cisaillement est nul dans le plan du feuillet moyen de la barre.
3.4.2
Etat de contrainte
A cause de nos hypothèses sur les déformations de cisaillement, seules les
contraintes nonnales peuvent être évaluées directement de la loi de Hooke; les contraintes
de cisaillement doivent être obtenues à partir des équations d'équilibre statique.
i) Contraintes nonnales
L'hypothèse 2 conduit à:

87
= 0
(3.73)
Soit E le module d'Young et u le coefficient de Poisson du matériau. La loi de
Hooke pour les contraintes planes appliquée à notre cas particulier donne:
E
cr
= --E
=E'E
xx
2 xx
xx
l-u
(3.74)
cr
= u
ss
crxx
u étant très petit (0.3 pour l'acier), on considère généralement E' égal à E et crss
négligeable.
L'état des contraintes nonnales en fonction des efforts résultants peut alors être
obtenu (Annexe C) par:
N
lM-lM
lM-lM
M
cr
=_ + z y
yz
y
Z
yz
y
r
Z (y+IÇ)
+
(z+m~) + (CJ) - r Ç)--fQ
xx
A
l l _ (I )2
l l _ (1 )2
n
l
Z y
yz
Z y
yz
co
(3.75)
cr
=cr
=0
ss
çç
La contrainte nonnale cr
peut alors être interprétée comme une constante plus une fonction
xx
linéaire de ç (figure 3.7) sur l'épaisseur de la section. La partie qui dépend de ç est
généralement négligée étant donné que les parois sont minces.
ü) Contraintes de cisaillement
A cause de la faible épaisseur des parois, il est également raisonnable de supposer
que les contraintes de cisaillement 'tsç et 'txç sont négligeables (Vlassov, 1961; Timoshenko
et Gere, 1966; Bleich, 1952; üden et Ripperger, 1980, ... ). En négligeant les forces de

88
Fig. 3.7 .- Illustration de la contrainte axiale.

89
volumes, les équations d'équilibre deviennent:
da
dt
~+-2!=O
dx
dS
(3.76)
dtxs = 0
ai"""
On peut immédiatement conclure que la contrainte de cisaillement est constante
selon l'axe x de la barre tout comme dans la théorie élémentaire des poutres.
En introduisant la relation (3.75a) dans l'équation (3.76a), il vient:
s
't
=
r(
_ . . . . . . 0 : . - -
(y+IÇ)I - (z+mÇ)I ]V +[(z+m;)I - (y + IÇ)I ]V )ds
xs
1 1 _ (1
)2 j
Y s
yz
y
z
yz
z
1
+_ J
z y
yz
0
1
(ro-rÇ)V ds
(3.77)
1
n
00
000

dM
dM
Vy = dxz et Vz = dx y sont les efforts tranchants résultant de la flexion,
dM
V
= -_West l'effort tranchant de gauchissement,
00
dx
MOl est le bimoment et y, z et ro sont les seules fonctions de s.
Dans la littérature, la contrainte 't
est généralement associée à un flux de
xs
cisaillement qui est défIni par:
q =t 't
(3.78)
xs
Ce qui conduit à l'expression plus connue de t
(Vlassov, 1961, Oden et Ripperger, 1980,
xs
Cook et Young, 1985) , soit:

90
t
=
1
[CS 1 - S 1 )V + (S 1 - S 1 )V] + 1 S V
(3.79)
xs
t(I 1 _ a))
z y
y yz
y
y z
z yz
Z
tl ro ro
Z y
yz
ro

Sy =f(z+mç)dA
S
=f(oo -Çr ) dA
(3.80)
ro
n
A
A
p
p
désignent les moments statiques de l'aire ~ hachurée sur la figure (3.8).
En supposant que la paroi est mince, nous avons négligé dans les équations
d'équilibre la panie du cisaillement qui provient de la torsion pure et qui s'auto-équilibre à
travers l'épaisseur. Elle est alors évaluée par la loi de Hooke, et par superposition, la
contrainte totale de cisaillement est obtenue par:
't
= t
- 2 Gç<1>'
(3.81)
xs
xs
où G désigne le module de cisaillement du matériau. Des relations (3.50), nous pouvons
écrire que:
T
= - f2ç(t - 2 Gç<1>') dA
(3.82)
sv
xs
A
Sachant que ç varie de -t/2 à +t/2, on obtient aisément:
T
<1>'
sv
=
(3.83)
GJ
où:
J = f4ç2dsdÇ
(3.84)
A
désigne communément la constante de torsion (égale à 1/3 bt3 pour une section
rectangulaire, à titre d'exemple).
T
est aussi appelé le moment de torsion pure de
sv
Saint-Venant. Ainsi:

91
y
z
"
Fig. 3.8 - Illustration de l'aire A p'
--
Fig. 3.9 •• Illustration de la. contrainte de cisaillement.

92
t
=
1
[(S 1 - S 1 )Y + (S 1 - S 1 )Y] + 1 S y
xs
t(l 1 _(1)4
z y
y yz
y
y z
z yz
z
tl CJ) CJ)
z y
yz)
T
CJ)
_ 2 ç ;v
(3.85)
On remarquera également que la contrainte totale de cisaillement t
varie
xs
linéairement à travers la paroi de la barre (fig. 3.9).
Exemple d'une poutre en 1
Bien que la variation de la contrainte nonnale dans la barre cr
soit facile à
xx
visualiser, celle de la contrainte de cisaillement t
ne l'est pas. Etant donné que le choix de
xs
la méthodologie à adopter pour l'analyse non linéaire physique de la barre repose
essentiellement sur une bonne connaissance de l'état des contraintes à analyser, nous allons
illustrer à l'aide de cet exemple la variation de la contrainte de cisaillement dans une poutre
en 1 qui est la section la plus utilisée pour les poutres et poteaux en Génie civil.
Considérons de nouveau la section en 1 étudiée à l'annexe B (exemple B3). La
partie de la contrainte induite par la torsion pure ne varie pas selon s et sera donc traitée
indépendamment. Si on étudie t
à une section donnée, on peut écrire:
xs
S
S
S
t
=2.y +2Y +....!Ey
(3.86)
xs
tI
ytI
z
tI
CJ)
z
y
CJ)
Des relations (B.33), on établit facilement pour l'aile inférieure et l'âme que:
S.jt
SJt
o~ s ~b/2
-d/2(z+b/2)
d/4(z2_b2/4)
(3.87)
b/2~s~d+b/2
1/2(y2-d2/4)-db/2
0

93
et nous trouvons finalement que:
2
dbV
b2V
db V)
dV
(Vz
dV)
t
b
= - - - y + _ _z +
i
Cl)
y z +
21 + 41 Cl)
O<s<-
xs
( 41
81
161
21
y
'"
-
-2
z
y
Cl)
Z
\\.V
= _d(b+d/4)V + Vy l
21
y
21
z
z
Par symétrie, on obtient la distribution complète de t
dans la section complète.
xs
On remarquera que:
- si Vy agit seul, (Vz = VCl) = 0) la disoibution est alors linéaire le long des ailes et
parabolique le long de l'âme (figure 3.lOa). Ces résultats concordent parfaitement avec la
théorie élémentaire des poutres (Murat, 1980; Massonnet et Cescotto, 1980, ...)
- Si Vz agit seul (Vy =Vw =0), on trouve une distribution parabolique le long des
des ailes et nulle dans l'âme (figure 3. lOb)
- Si Vw agit seul (Vy =Vz = 0), on obtient la même disoibution que lorque Vzagit
seul (figure 3.10c). C'est ce que Galambos (1968) appelle une situation spéciale pour les
sections doublement symétriques.
3.5
Discussion
Les résultats présentés dans ce chapitre concordent bien avec ceux présentés
généralement dans la littérature où l'effet de flexion autour de l'axe s du feuillet moyen est
négligé à cause de l'hypothèse justifiable de petite épaisseur des parois (Vlassov, 1961;
Timoshenko et Gere, 1966; Galambos, 1968; Rajasekaran, 1971; Ramm et Osterrieder,
1983; Cook et Young, 1985, ...). Cependant, pour introduire la torsion pure, ces auteurs
ont eu recours à d'autres techniques comme l'analogie des membranes, les fonctions de
contraintes, etc.
D'autre part, en négligeant ç dans nos relations, on note que la fonction de
gauchissement est nulle pour les sections rectangulaires et toutes sections formées de
plaques convergeant en un point commun, lequel coïncide avec le centre de cisaillement

94
~.J1.
I- d~
__=r-~
bJ S,If
c J 5..,1'
Fig. 3.10 - Distribution des moments statiques dans /a section.

95
(exemple des sections en T ou en croix). On peut vérifier qu'en conservant çdans nos
relations pour ces derniers cas, on retrouve ce que Bleich (1952) et Oden (2982) ont appelé
le gauchissement secondaire.
TI est à signaler également que d'autres auteurs ont déjà considéré soit explicitement
ou soit implicitement cet effet de flexion à travers l'épaisseur des parois (Nishino et al.,
1973, Gjeslvik, 1981; Nishida et Fukumoto, 1985).
Pour une section en J, la seule contrainte nonnale est axiale et maximale à une
extrémité des ailes (relation 3.75), quel que soit le chargement.
La contrainte de
cisaillement t xs maximale quant à elle, dépend beaucoup du chargement. Si nous
considérons le cas courant de flexion-torsion où Vy est relativement très grand par rappon à
Vz et Vro' alors t xsmax s'obtient dans l'âme. On peut conclure que le flux de cisaillement
maximum ne se produit jamais à l'endroit où la contrainte axiale est maximale.


CHAPITREN
ANALYSE NON LINEAIRE DES BARRES A PAROIS MINCES
4.1
Généralités
A cause de leur faible résistance en torsion et en flexion dans un plan, les barres à
parois minces subissent généralement de grands déplacements et de grandes rotations après
flambement. Une analyse non linéaire (géométrie et matériau) s'avère ainsi indispensable
pour une étude complète du componement de telles pièces. Dans ce chapitre, nous allons
spécialiser les relations non linéaires générales du chapitre deux, établies pour une
description lagrangienne actualisée, au cas paniculier des barres à parois minces et à
sections ouvenes. L'étude de la stabilité élastique par la méthode des valeurs propres sera
également présentée comme cas particulier de l'analyse non linéaire.
4.2
Expression du principe incrémentaI virtuel (description lagrangienne actualisée)
4.2.1
Taux du travail vinuel interne
L'expression du taux du travail virtuel interne pour une description lagrangienne
actualisée s'écrit (équation 2.62):
~Wint = Itr([E:] [~Sl] + [F;] [a} [~Fl]T) dyl
(4.1)
VI
où yI est le volume du corps dans la dernière configuration connue cl, C2 représentant la

97
configuration à déterminer, et
(4.2)
avec:
(4.3)
(4.4)
(4.5)
En supposant que les deux configurations Cl et C2 sont très voisines, et que:
aUI]
[axl
« [1] ,
la relation (4.2) devient:
(4.6)
Au chapitre 3, nous avons établi les relations cinématiques de la barre dans la
configuration Cl (fig. 4.1).
Comme mentionné au chapitre précédent, il est plus avantageux d'exprimer les
différents tenseurs de l'équation (4.1) dans le repère corotationnel (t l
1
l , t2 , nI) (fig. 4.2)
li vient alors:

98
Note : ~ est l'approximation rectiligne de C.
Fig. 4.1 •• Exemple de conflgurstlons successives.
=0
1
Fig. 4.2 •• Coordonnées curvilignes dsns /a configuration C .

99
l
ÔW
=Jtr( [E:]t [ôSl]t + [F:]t [O"l]t [ÔFl]~) dV
(4.7)
int
VI

(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
avec:
(4.13)
qui désigne la matrice de passage entre le système de référence global et le système
préférentiel local de la barre à la coordonnée ç1.
RemarQue: Pour simplifier l'écriture sans perdre de généralité, tous les indices
supérieurs relatifs à la configuration 2 des tenseurs sont supprimés sauf s'il y a risque de
confusion.
La formulation lagrangienne actualisée suppose que les variables cinématiques et
cinétiques sont évaluées dans la configuration Cl, ce qui impose l'utilisation d'.éléments
finis courbés pour représenter le domaine. Une telle pratique, pour des raisons numériques
(problème de membrane locking qui sera détaillé au chapitre 5), s'avère très coûteuse dans
le cas des corps orientés en théorie assujettie.

100
Pour les corps orientés, les déformations sont généralement petites. De plus,
l'utilisation d'éléments finis permet de supposer que les positions Cl et Cl des éléments
sont pratiquement les mêmes (fig. 4.1). On peut alors choisir Cl, qui est un déplacement
de corps rigide de Co n'ayant pas de signification physique, comme configuration de
référence au lieu de Cl. Dans ce cas on parle de description la&1"angienne actualisée
approchée. DLAACou FLAA). L'avantage principal de cette approximation se trouve au
niveau de la formulation Où les éléments sont plats. Cette approche est actuellement la plus
utilisée dans la littérature puisqu'elle concorde bien avec les théories classiques des
ingénieurs pour l'étude des corps orientés dans une analyse linéaire (Frey 1978; Bathe et
Bolourchi 1979 a, b; Bathe et Ho 1981; Bathe 1981; Ramm 1981; Talbot 1986).
Cependant, des difficultés de convergence pour certains cas de chargement ont suscité
depuis les dernières années l'intérêt de tenir compte des courbures initiales dans la
formulation (Jetteur et al. 1983; de Ville de Goyet et Frey 1984; Stolarski et al. 1984;
Peterson et Petersson 1985). Dans cette approche, on garde le système de coordonnées
cartésien dans la position Cl ce qui permet de garder des degrés de liberté de l'ingénieur
pour les éléments finis au moment de la discrétisation. Ici, on parle d'une description
lagrangienne actualisée partielle, DLAPCou FLAP), terme que nous empruntons à Peterson
et Peterson (1985). Cette amélioration entraîne également le fameux problème de blocage
de membrane que certains auteurs ont rapporté (Stolarski et Belytschko, 1982; Stolarski et
al. 1984; de Ville de Goyet et Frey 1984) et dont une étude détaillée sera faite au chapitre 5..
i) En description lagrangienne actualisée approchée. DLAA
Considérons de nouveau la barre étudiée au paragraphe (3.3.1.1). Nous pouvons
encore établir que:
1
o
o
[QI] = [FI(çl)] = 0
m
(4.14)
o -1
m

1== -z,SII et m =y,sll

101
Le champ de déplacement virtuel est aussi identique à celui montré aux équations
(3.30). En rappelant qu'il y a une analogie entre [L~*] et [F~* ], nous pouvons aisément
établir que:
(4.15)
*
* 1
. 1

'
u - yv 1
+ ro<I>l
1
-ZW 1
*
*
vI - (Z- ZO)<1>1
(4.16)
*
*
W 1 + (y-y0)<1> 1
pour tout point p situé sur le feuillet moyen, et
(4.17)
pour un point quelconque de la barre dans le repère local. Puis, finalement:
.'u- (y+l~)v."1 -
."
(z+rnQw
-rnv.'
*'
+lw
-Iv.'-rnw
l
l
l
.'
l
l
l
."
«(ù-rn~)<1>l
+(ro-~)<1>~
-r
.'
,
<1>
n 1
[F;] =
.'.'
rnv
-(rO+~)<1>l
l -lw l
.'
(4.18)
--4i"
0
t
1
*1
.'
.'
<1>.
Ivl+rrwl+r~l
1
0
Rappelons à nouveau que tous les indices supérieurs relatifs à la configuration C2
ont été supprimés pour alléger l'écriture. De plus, les indices relatifs au centre de gravité
ou au centre de cisaillement pour désigner les déplacements ne seront plus répétés, sauf si
nécessaire. Par exemple, les expressions ucl*2, vOl*2, wOl*2,<1>1*2 sont respectivement
équivalentes à ul *, vI *, W 1*, <1>1 *. Dans le même but, les coordonnées (x,y, z) ou (x, s, Ç)

102
d'un point quelconque de la barre dans la configuration Cl ne porteront pas d'indice sauf
s'il y a risque de confusion.
D'autre part, les expressions A' et Ali représentent
respectivement
Notons également que l'expression [.1F1l est identique à [F1*l si on remplace le
symbole * par l'opérateur .1.
il vient alors que:
. '
JiI"
...
u - (y+1Ç)v 1 - (z+mÇ)w 1
1
o
+«(0 -Çr )~* ..
n
1
(4.19 )
a
o
a
a
o
En supposant que les déformations sont petites, on peut négliger dans l'expression (4.7) le
tenne:
(4.20)

(4.21)
L'expression du taux de travail virtuel pour une description lagrangienne actualisée

103
approchée s'écrit alors:
(4.22)
où:
(4.23.:a)
(4.23-b)
(4.23-c)
(4.23-d)
(4.23-e)
et
(4.24-a)
(4.24-b)
~~l =J(z+mÇ)~Sxxl dAl
M\\l =f (y+lÇ)~Sxxl dA l
(4.24-c)
Al
Al
~T
I
=
(4.24-d)
svl
-J2Y~~S dA
xsl
Al

104
(4.25-a)
(4.25-b)
(4.25-c)
J
1
1
1
Y
(4.25-d)
yI =
m\\sl dA
yI
=-fIt dA
zl
xsl
Al
Al
(4.25-e)
(4.25-f)
Notons que Mp est un ~ffort résultant connu sous le nom de coefficient de Wagner
(Rarnrn et Osterrieder 1983) et souvent noté K. T nII est négligé généralement dans la
littérature (Rajasekaran 1971; Rarnrn 1983; ... ).
ii) En description lagrangienne actualisée partielle. DLAP
Au chapitre 3, nous avons déjà établi la cinématique d'une barre courbée dans la
configuration courante par une formulation cartésienne (théorie de Marguerre); ce qui
correspond à une description lagrangienne actualisée partielle. Nous pouvons alors écrire
(paragraphe 3.3.1.2):
1
o o
m
(4.26)
z,x
-1
m
De plus, en suivant exactement les mêmes démarches qu'au paragraphe (3.3.1.2), nous

105
pouvons aisément établir comme au paragraphe précédent, dans le système corotationnel
défIni par [QI]:
.'
."
.11
.'
.1
- rnv.' + IW.'
u1 - (y+IOv1 - (z+rnÇ)w1 + (CJ)-Çrn)<1>~"
-Iv -rnw
1
1
1
1
- fn .'
+ (f -O<1>l
O
.'
+ y,xlv .'
o - (z-zo+rn Ç)]<bÏ"
<1>1
+ Z
.'
[w + (y-yo+IÇ)]<1>l
,x
1
.'
(4.27)
o
IV .'+ rnw .'+ f
.'
<1>l
o
l
l
n
li vient alors (relation 4.15):
.'
."
."
ul - (y+IÇ)v - (z+rnÇ)w
1
l + (CJ)-Çfn)<1>~"·
+ y}v .'- (z-zo+rn Ç)]cI>i'
o
o
+ Z [w.' +
.'
(y-yo+IÇ)]<1>l
,x
l
(4.28)
o
o
o
o
o
Finalement, en supposant une fois encore les défonnations petites, l'expression (4.7) du
taux de travail virtuel interne s'écrit:
(4.29)

106
OÙ tous les tennes sont identiques à ceux présentés aux relations (4.23) à (4.25), sauf la
partie linéaire de la défonnation de membrane:
(4.30)
4.2.2
Taux du travail virtuel externe
Nous supposons encore que les forces de volume sont négligeables comme il est
généralement admis dans la théorie des pièces à parois minces. Si fsI désigne le vecteur
des forces et ml' le vecteur moment dans la configuration C2, imposés par unité de
longueur sur une ponion LeI de la barre dans la configuration Cl, alors le taux du travail
virtuel externe s'exprime généralement comme:
!:iW
feu
:=
*1!:if 1 +
(4.31)
ext
s
LI
f
Cependant, comme on l'a vu au chapitre traitant des travaux vinuels, dans le cas
d'une description lagrangienne actualisée, !:iWext est nul si les forces sont conservatives.
Mais, dans le cas de la flexion-torsion, lorsque les charges latérales fy et fz sont appliquées
à un point excentré de dy et dz du centre de torsion (voir fig. 3.6), ces charges créent des
moments uniformes additionnels qui dépendent de l'état de déformation de la barre. Les
déplacements latéraux évalués au point d'application de ces charges sont:
*
*
*
VI = v
- d 4>
(4.32-a)
1
z I
*
*
*
W
= W
(4.32-b)
I
+ d
1
y 4>1
Pour une rotation <I> 1 autour de l'axe de la barre, les excentricités des charges
latérales deviennent:

107
(4.33)
(4.33)
Par conséquent. le moment de torsion induit par f
et f
peut s'écrire:
yI
zI
(4.34)
et l'expression (4.31) devient:
(4.35)
Comme on le verra dans la validation numérique du modèle, l'expression (4.35) joue un
rôle extrêmement important lors du calcul de charges critiques excentrées par rapport au
centre de torsion.
Si PyI et Pzl désignent des charges concentrées excentrées de ~ et dz du centre de
torsion et <I> la rotation en torsion de la barre aux extrémités de la barre, il faut également
ajouter un taux de travail virtuel supplémentaire et l'expression générale peut s'écrire:
(4.36)
Le taux de travail virtuel calculé dans ce paragraphe est valable pour toutes les deux
formations en DLA que nous venons d'exposer.
4.2.3
Forces hors d'éguilibre
Les forces hors d'équilibre ou encore le résidu {R} est la différence entre le travail

108
virtuel interne et le travail virtuel externe dans une configuration donnée. Selon la théorie
de la mécanique, elle doit être toujours nulle; ce qui n'est pas le cas, à cause des
approximations de linéarisation qu'on introduit dans les équations pour les r~ndre
maniables et programmables sur les calculateurs électroniques disponibles, du type
d'intégration que nous avons choisi (Euler-explicite), en plus des erreurs numériques qu'on
accumule pendant la résolution des équations obtenues. TI s'avère alors indispensable
d'itérer sur le résidu afin de minimiser les erreurs. Pour ce faire, on retourne à l'équation
de base que l'on veut résoudre dans la dernière configuration connue et le résidu est tout
simplement:
(4.37)
avec
(4.38)
(4.39)
Soit:
(4.40)
où {RI} représente les charges extérieures totales appliquées sur la dernière configuration
connue Cl (C2 devient Cl après la résolution) et FI' les forces internes totales dans la
même configuration.

109
4.3
Expression du principe incrémentaI en fonction des déplacements
4.3.1
Travail virtuel interne incrémental
Au chapitre 2, nous avons déjà montré que pour une analyse statique, le taux d'une
quantité est égal à son accroissement. Rappelons que l'expression du travail virtuel interne
incrémentaI peut s'écrire (équation 5.7):
~Wint = ftr ([E~] [~Sl] + [F;] [al] [~FI]T)dvl
(4.41)
Vi
où nous laissons tomber l'indice t pour la suite de ces travaux.
Par définition, l'accroissement du tenseur PK2 [~SIJ, peut être évalué par la
formule du transport des contraintes (Batoz et Dhan 1986):
(4.42)

[~a]TR
= [H(a)] [0]
(4.43)
est la mesure dite objective de Truesdell du taux des contraintes de Cauchy dans la
configuration C2. JI est le déterminant du tenseur gradient de déformation [FI] entre les
deux configurations C2 et Cl, mesuré dans Cl.
Même si le taux des contraintes PK2 de par son origine lagrangienne est objective,
il n'a pas de relation directe avec la loi de comportement du matériau sauf si les
déplacements sont petits et que les contraintes de Cauchy et celles de PK2 sont
assimilables.
Cependant, on peut montrer (Annexe A) que lorsque les déformations sont petites,

110
le tenseur [FI] est pratiquement égal à [1]. JI est égal à un et nous pouvons écrire dans le
système corotationnel que:
(4.44)
où [H(a)] est un tenseur du quatrième ordre représentant les caractéristiques du matériau
que nous noterons [He] si le matériau est élastique et [Hep] pour le cas général des
matériaux élastoplastiques (Chapitre 2). [Dl] est le tenseur taux des déformations, qui
dépend du type de formulation considérée.
Notons qu'en modélisation numérique, les notations matérielles et vectorielles sont
préférées à celles des tenseurs pour des raisons de programmation sur calculateur
électronique. TI vient alors
(4.45)
où [H(cr)] désigne la matrice classique des coefficients caractéristiques des matériaux, et
(4.46)
La relation (4.45) introduite dans l'équation (4.41) fournit l'équation d'équilibre
incrémentale d'un corps en général et introduite dans les relations 4.22 et 4.29 aboutit au
principe incrémental des travaux virtuels pour les barres en flexion-torsion pour une
description lagrangienne actualisée en analyse non linéaire complète (matériau et
géométrie).
Pour la barre en flexion-torsion, l'expression (4.45) peut s'écrire alors sous fonne
matricielle:

111
ÔS XX1}
= [E(cr)
(4.47-a)
{ ôS
0
xs1
(4.47-b)
où E(cr) est le module de Young et G(cr) le
module de cisaillement de la loi de
componement incrémentale présenté au chapitre 2 et dont l'algorithme est montré au
chapitre 5. Dans l'équation (4.47), nous avons supposé que le carré du coefficient de
Poisson est négligeable devant l'unité, comme il a été expliqué au paragraphe (3.5.2).
4.3.1.1 Analyse non linéaire élastigue
Considérons un matériau élastique. Les modules E et G sont constants et nous
pouvons intégrer facilement l'expression (4.22).
i) Fonnulation lagrangienne actualisée approchée
Pour une fonnulation lagrangienne actualisée approchée, les relations (4.47)
s'expriment dans le repère corotationnel (voir paragraphe 3.4.1):
ôexsl = - 2Çô<I>"
(4.48)
D'autre pan, les contraintes de Cauchy peuvent être exprimées en fonction des effons
résultants présentés aux équations (3.75a) et (3.85). Toutes ces relations introduites dans
l'expression (4.22) nous donne sous forme matricielle (voir détails à l'Annexe D):
AW
f«p*> [DOl] {Ap 1 + <q*l> [D02] {ôql l)dLl
(4.49)
Oint =
1
LA 0
1
LI

112
où <p>, <q>, [DOl]LA et [D02] sont définis à l'annexe D, aux relations 0.8, 9 et 10:
< p} > = < u'}
w"
v"
<1>'
<1>" >
(4.50-a)
}
1
1
1
< q1 > = < w'l v'l <1>} <1>'1 >
(4.50-b)
EA
0
0
0
0
El
El
0
0
y
yz
[Dm]
El
a
a
(4.51)
=
z
LA
sym.
GJ
a
El
Cs)
N
a -v
(-M +
y zaN)
z
N
V
(Mz- YaN)
y
[D02]
=
(4.52)
FT
a
sym
Mp
Les relations (4.50) et (4.51) montrent que l'effet de flexion-torsion est
complètement indépendant de l'effet de membrane (dû au fait que les axes sont centraux i.e.
pas de moments statiques des sections). De même, pour une analyse linéaire, la flexion est
complètement découplée de la torsion, le centre de cisaillement ayant été choisi comme pôle
de rotation de la section.
ü) Fonnulation la~an~enne actualisée partielle
Les relations (4.48), dans le cas d'une formulation lagrangienne actualisée dite
partielle, peuvent s'écrire dans le système corotationnel (voir paragraphe (3.3.4.2»:

113
~exx] = ~u'] - (y+lÇ)~v"] - (z+mÇ)~w"] + (Cù-rnÇ)~<1>"]
+ y,x [~v]'-(z-zO+mÇ)~<1>]'] + Z,x [~w]'+(y-YO+lÇ)~<1>]']
(4.53-a)
(4.53-b)
En suivant les mêmes démarches que ci-dessus(voir les détails à l'annexe D), on
établit aisément sous forme matricielle:
~Wint = S(<p;> [DOl]LP{~p]} + <q;> [D02]{~q]})dL]
(4.54)
LI
Seuls les premiers tennes des équations (4.49) et (4.54) sont différents; le reste est
identique dans le cas des petites déformations, comme discuté au paragraphe (4.2.1.ii).
En effet (voir éqs. D.14 et D.16):
< p] > = < u'] 1 Z,x w'] 1w"] 1 y,x v']1 v"] 1 z,x <1>'] 1
Y <1>'
1 <1>' 1<1>" >
, x ]
]
]
(4.56)
et
A
A
0
A
0
-yoA
zaA
0
0
A
0
A
0
-yoA
zaA
0
0
~ 0
Iyz -~z
~
0
0
A
0
-yoA
zaA
0
0
[DOl]LP = E
Iz
-~
~z
0
0
(4.57)
(~+yo2)A -(lyz+ Yo ZoA) 0
0
sym.
(ly+za2)A
0
0
GJ/E 0
Iw

114
4.3.1.2 Analyse non linéaire inélastique
Pour une analyse élasto-plastique, les deux types de fonnulations que nous venons
d'exposer au paragraphe précédent restent valides; seule la loi constitutive change en
fonction de l'état actuel des contraintes.
Comme nous l'avons mentionné dans la revue bibliographique, dans le cas des
barres soumises à la flexion-torsion, l'utilisation des variables globales pour exprimer les
surfaces de plasticité (courbes d'interaction effort axial-moment, par exemple), non
seulement ne permet pas de suivre l'évolution de la plasticité dans la section, mais elle
devient très limitée au point de vue programmation lorsqu'on considère des cas de
chargement complexes pour plusieurs types de sections.
Ainsi dans ce travail, l'expression générale de la loi élasto-plastique présentée au
chapitre 2 a été retenue avec l'hypothèse des contraintes planes. Cependant, il faut noter
qu'au chapitre 3, nous avons montré que les seules contraintes existant dans la barre en
flexion-torsion sont la contrainte axiale cr
et la contrainte de cisaillement
xx
t xs' D'autre part
t
compone une partie provenant d'un flux de cisaillement (due à la flexion) et une partie
xs
qui varie linéairement à travers l'épaisseur (imputable à la torsion de Saint-Venant). La
distribution de ces contraintes sur la section a été étudiée au chapitre précédent et nous
pouvons en conclure qu'on peut négliger l'effet du flux de cisaillement sur la surface
d'écoulement comme c'est le cas dans la théorie élémentaire des poutres, sans commettre de
grande erreur; ce qui simplifie les calculs, puisque c'est la seule partie des contraintes qu'il
faut calculer par équilibre. Par contre, la contrainte de cisaillement produite par la torsion
pure doit être considérée car non seulement elle est toujours maximale au point de
contrainte axiale maximale, mais elle nous pennet aussi d'évaluer directement le moment de
torsion ultime que peut supporter une section quelconque.
il vient alors que les matrices [DOl] dans les relations (4.49) et (4.54) dépendent
de l'état de contrainte actuel, lequel varie sur la section. Ces matrices doivent donc être
intégrées numériquement, de même que les efforts résultants sur la section (relations 4.25)
dont les détails se trouvent au chapitre suivant.

115
4.3.2
Forces hors d'équilibre
Les forces hors d'équilibre s'évaluent exactement de la même façon pour une
analyse élastique qu'inélastique une fois que les efforts résultants sur la section sont
connus. Elles diffèrent seulement pour les types de formulations.
L'évaluation des charges équivalentes totales appliquées n'étant pas fonction du
type de formulation, nous n'allons considérer ici uniquement que les forces internes
équivalentes.
Pour la DLAA, l'équation (4.39) du travail virtuel interne est équivalente à
l'expression (3.48) du chapitre précédent. De même, dans le cas d'une DLAP, la relation
(4.39) devient équivalente à l'expression (3.66).
li faut cependant préciser que les efforts résultants totaux sont: calculés directement
en additionnant les accroissements d'efforts ~N1 et {~Ml} aux effons résultants existants
au début du pas NIl et MIl pour une analyse élastique, tandis que pour l'analyse
inélastique, il faut intégrer numériquement sur la section les contraintes totales obtenues par
le calcul élasto-plastique.
4.4
Stabilité élastiQ.ue des barres
Parfois en construction métallique, les poteaux et poutres travaillent dans le
domaine élastique jusqu'au flambement et la plasticité n'intervient qu'après le flambement.
4.4.1
Critère de stabilité
En mécanique des solides, il existe plusieurs concepts pour déterminer la stabilité
d'une structure. Ces concepts sont généralement classés en deux grandes catégories:
l'approche cinétique qui concerne surtout les sollicitations non conservatives (dynamique
par exemple) et l'approche statique qui réduit le problème de stabilité à une analyse de
bifurcation des fonnes d'équilibre du système. On peut trouver plus de détails sur ces deux
approches dans la thèse de Barsoum (1970) et aussi dans les ouvrages généraux (Bleich
1952; Timoshenko et Gere 1961; Chajes 1974; Gallagher 1975; Washizu 1975; ...).

116
De plus, dans le domaine élastique, on peut montrer qu'il existe toujours une
fonctionnelle Il représentant l'énergie potentielle totale du système et qui est associée au
principe des travaux virtuels (chapitre 2). Dans ce contexte énergétique, en adoptant
l'approche statique, on peut définir la charge critique d'un système comme la charge pour
laquelle la seconde variation de l'énergie potentielle totale du système n'est plus défmie
positive pour au moins un champ de déplacement cinématiquement admissible. En effet,
considérons les deux configurations successives Cl et C2 montrées à la figure 4.1 et
admettons qu'on atteint la charge critique en C2. Nous pouvons écrire:
(4.58)
Un développement en séries de Taylor limité aux termes de 2e ordre seulement nous permet
d'écrire:
(4.59)
soit
2
1
1
2
1
Il(u ) = Il(u ) + oIl(u ) + 0 Il(u ) + ...
(4.60)
D'aurre part, nous savons que tout champ de déplacement admissible satisfaisant
les conditions d'équilibre rend l'énergie potentielle totale stationnaire. La configuration Cl
étant en équilibre, il vient alors:
(4.61)
Pour un équilibre stable, le potentiel total doit être minimum, donc sa deuxième variation
doit êrre défmie positive i.e.:
(4.62)
Le système devient instable lorsque o2Il est négatif. Le point de bifurcation correspond

117
alors à:
(4.63)
ce qu'on appelle encore dans la littérature l'équilibre neutre ou indifférent. A la lumière de
l'équation (4.59), on peut conclure que le critère de stabilité correspond à un taux du travail
virtuel nul.
D'autre part, on suppose que jusqu'au flambement, la structure se comporte
linéairement et que les déplacements initiaux dans la configuration Cl sont très petits,
n'ayant pas ainsi d'influence sur la charge critique.
De plus, on admet que l'état de
contrainte [cr] dans la configuration C2 est directement proportionnel à l'état de contrainte
[crI] dans la configuration Cl par un facteur unique  qu'on notera \\r au moment de la
bifurcation, soit:
(4.64)
En introduisant l'expression (4.64) dans la relation (4.49) et en notant que le seul
tenne non nul du travail virtuel externe est inclus dans la matrice [002] (voir annexe D),
nous obtenons (remarquer qu'on ne fait plus de distinction entre les configurations):
tlw.
= J«P*> [DOlHtlp} + Â <q*> [D02Htlq} )dL
(4.65)
ml
cr
L
< p > = < u' w" v" <1>' <1>" >
(4.66-a)
< q > = < w' v' <1> <1>' >
(4.66-b)
[DOl] et [D02] sont identiques aux expressions (4.51) et (4.52).
On reconnaît ainsi à l'équation (4.65) un problème de valeurs propres (les charges
critiques) et de vecteurs propres (les modes de flambage). Pour obtenir des valeurs propres
positives, on change généralement la convention de signes pour les contraintes, i.e. la

118
compression devient positive et la tension négative; ce qui change le signe (+) de l'équation
(4.65) en un signe (-).
4.4.2
Exemples (section doublement symétrique)
i) Flambement en torsion sous charge axiale
Considérons l'exemple de la poutre montrée à la figure (4.3). Nous supposons
qu'elle ne peut que tourner autour de l'axe x, tous les autres déplacements étant retenus.
D'autre part nous confondons les accroissements de déplacements aux déplacements
totaux. En introduisant ces conditions dans la relation (4.65) on obtient:
JL "" "''' [GJ 0]{.1<1>'}
'" '
la
,
ôW = 0 «<1>
<1>
>
0
Elfi)
.1<1>'
- \\r<1> N A .1<1»dx = 0
(4.67)
En intégrant par parties l'équation (4.67) et en supposant qu'elle est vraie pour tout
champ de déplacements virtuels, on obtient l'équation différentielle du système; soit:
1
El .1<1>IV - (GJ - Â. N AO ) .1<1>"
= 0
fi)
(4.68)
cr
avec les conditions limites suivantes:
<1> = <1>' = 0
la
.
(4.68)
El <1>
- (GJ - Â. N - )<1>
=
fi)
El <1>"
= 0
cr
A
fi)
à x = 0
ou
x = 1.
On retrouve ainsi l'équation différentielle connue d'une barre qui flambe en mode
de torsion sous l'action d'une charge axiale (Washizu 1975).

119
p
---f
x
Fig. 4.3 _. Flambement en torsion d'une poutre
chargée axialement.
y
E,G,ly,Jetl w
~
~~ Mo __.~
Fig. 4.4 _. Déversement d'une poutre soumise à
un moment constant.

,
120
ii) Déversement d'une poutre bi-aniculée soumise à un moment constant
Considérons la poutre montrée à la figure (4.4). Comme le déversement a lieu
dans le plan XZ, nous pouvons donc supposer tous les déplacements nuls sauf w et <1>, et
l'équation (4.65) devient:
El
0
0
L
Y
!:i.W = f«w*" <1>*' <1>*"> 0
GJ
0
0
0
0
El
CI)
- < w·' <2>.'>[ ~cr Mcr]eW } dx
(4.70)
o
!:i.<1>')
avec
Mcr = \\rMo
De la même manière que précédemment, l'équation différentielle du système
s'écrit:
El !:i.w" + M M>
= 0
y
cr
(4.71 a)
GJ !:i.<1>' - El !:i.<lJ'" - M !:i.w' = 0
(4.71b)
CI)
cr
En dérivant une fois l'expression (4.71b) et en remplaçant w" par sa valeur tirée de (4.71a)
on retrouve l'équation très connue du déversement (Bleich 1956; Timoshenko et Gere
1961; ...) soit:
(M}
IV
El !:i.<lJ
- GJ!:i.<lJ" -
cr'!:i.<1>
= 0
(4.72)
CI)
Ely
avec les conditions limites classiques.


CHAPITRE V
DISCRETISATION PAR ELEMENTS FINIS, METHODES ET STRATEGIES DE
RESOLUTION
5.1
Généralités
Jusqu'à présent dans nos développements, nous avons considéré le corps solide
étudié comme un milieu continu. Comme on peut le constater, les équations obtenues sont
très compliquées et les solutions exactes n'existent que pour des cas très simples. li nous
faut alors choisir une technique d'approximation grâce à laquelle nous pourrons remplacer
le système continu par un système discrétisé équivalent.
Pour ce faire, plusieurs techniques ou méthodes existent dans la linérature dont les
plus connues sont, la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis. En
différences fmies, le système continu est remplacé par un réseau de points où les équations
aux dérivées partielles du système sont satisfaites; tandis qu'en éléments fmis, on vérifie
ces équations par sous-domaines qui sont les éléments finis sur lesquels on fait une
approximation des variables du système à partir de leurs valeurs nodales, lesquelles
deviennent ainsi les inconnues du problème.
Dû à la simplicité de sa mise en oeuvre et à sa puissance de résolution, il ne fait
aucun doute que la méthode des éléments finis est devenue et demeurera encore pour un
certain temps l'outil privilégié de calcul pour les ingénieurs.

122
Nous allons donc présenter dans ce chapitre le choix de l'élément fini qui nous a
permis de modéliser les barres soumises à la flexion-torsion, mais auparavant, nous allons
considérer une analyse dans le plan pour expliquer le problème de blocage de membrane.
Nous allons discuter ensuite des méthodes et techniques de pilotage utilisées pour résoudre
les équations algébriques obtenues suite à la discrétisation par éléments finis. On parlera
enfin des problèmes particuliers liés à la plasticité et la prise en compte des contraintes
initiales.
5.2
Poutre bidimensionnelle et mise en évidence du "blocage de membrane"
Suite à l'essor considérable qu'a connu la formulation lagrangienne actualisée au
cours des dix dernières années, les besoins d'utilisation d'éléments finis simples et courbés
pour représenter efficacement la géométrie des configurations courantes se sont aussi
accrus considérablement (Ebner et Ucciferro 1972; Wen et Rhaimzadeh 1978; Lee et Pian
1978; Stolarski et Belytschko 1982; Stolarski et al. 1984; Jetteur et al. 1983; de Ville de
Goyet et Frey 1984; Belytschko et al. 1985; Akoussah et al. 1986; ... ).
Presque tous ces auteurs ont rapporté que l'utilisation des éléments de type Co
pour l'approximation des déplacements de membrane et Cl pour l'approximation de la
flexion, conduit à une rigidification du système lorsque les structures flexibles courbées
sont considérées. Ce phénomène, lorsque le cisaillement est négligé dans la formulation,
est appelé blocage de membrane ("membrane locking"); un terme que nous devons à
Stolarski et Belytschko (1982) même si le phénomène avait été clairement identifié
auparavant (Ebener et Ucciferro 1972; Wen et Rahirnzadeh 1978; Lee et Pian 1978).
L'interprétation du phénomène cependant, reste très diverse. Dans un premier
temps, les chercheurs ont pensé que c'était une mauvaise représentation du mouvement de
corps rigide qui était la cause du problème (Noor et Peters 1981; Noor et Anderson 1981).
Cet argument ne tient plus quand on sait que l'utilisation des éléments isoparamétriques
dégénérés, lesquels tiennent compte correctement du mouvement rigide dans leur
formulation, conduit également au même problème (Frey 1978; Belytsch.ko et al. 1985).
Ainsi, d'autres chercheurs ont conclu que le blocage de membrane est plutôt causé par la
mauvaise représentation du mode de flexion inextensible, ie que les éléments étaient
incapables de représenter un état de déformation de membrane constant dû à la flexion (Lee

123
et Pian 1978; Stolarski et Belytschk:o 1982; de Ville de Goyet et Frey 1984; Belytschk:o et
al. 1985; Prathap et Barbu 1986). Quant à nous, nous croyons que tous ces arguments
restent valables si nous considérons que le phénomène de blocage est lié aux contraintes
parasites introduites par la discrétisation en plus de la contrainte réelle de l'inextensibilité.
Cet argument a été déjà avancé pour expliquer le phénomène de blocage de cisaillement
(Hugues et al. 1977; Prathap et Bhashyam 1982), qui est de la même nature que celui du
membrane locking (Prathap 1985; Belytschk:o et al. 1985).
5.2.1
lllustration du problème de blocage de membrane
Pour expliquer le problème du blocage de membrane, nous allons considérer
l'analyse linéaire des poutres courbes dans le plan, le modèle non linéaire ayant les mêmes
caractéristiques en ce qui a trait au phénomène de blocage.
En éléments finis, un corps solide de géométrie curviligne, est généralement
représenté par un assemblage d'éléments. La géométrie de chaque élément peut être
rectiligne, surbaissée ou courbée.
Les formulations intégrales correspondant
respectivement à ces types d'éléments dans le plan peuvent s'écrire d'une manière générale:
w = J(e* N + x* M + u* f + v* f ) dx = 0
(5.1)
x
y
L
où on définit (fig. 5.1)
- pour les éléments plats (éq. 3.49):
e* = u*'
(déformation de membrane)
x* = -v*"
(déformation de flexion)
(5.2)
- pour les éléments surbaissés dits de Marguerre (eq. 3.67):
e* = u*' + y-
v*'
.x
(membrane)
(5.3)
x* = -v*"
(flexion)

14------ e------1
Fig. 5.1 •• Repères curviligne et cartésien d'une poutre courbe.

125
- et pour les éléments d'arc profond dit de Love de rayon R (Batoz et Dhatt 1986):
v*
e* = u*
+
(membrane)
,s
R *
u 5
x* = -v*
+----:...
(flexion)
(5.4)
,55
R
( )' et ( ) 5 désignent respectivement les dérivées par rapport à x et s.
,
Les déplacements u et v sont définis dans le repère cartésien xy de même que les
efforts résultants sur une section et les charges extérieures pour les éléments plats et
surbaissés tandis que ces variables sont définies dans le repère curviligne pour les éléments
d'arc (fig. 5.1). De plus, les équations constitutives nous imposent deux contraintes sur
les variables globales N et M, telles que:
N - EAe = 0
(5.5a)
M - EIX
= 0
(5.5b)
où A et 1 représentent l'aire et l'inertie de la section, E le module d'Young et e et X sont
définis aux équations 5.2 à 5.4 en supprimant les étoiles.
On peut aussi montrer que les équations d'équilibre en variables globales pour
chaque type de fonnulation peut s'écrire:
- élément plat selon la théorie des poutres:
dN
-
+ f
= 0
dx
x
dV + f
= 0
(5.6)
dx
y
dM
-
- V
= 0
dx

126
- élément surbaissé (Akoussah et al. 1986)
dN
-
+ f
= 0
dx
x
dV
- + f
= 0
(5.7)
dx
y
dM
dy
- - V + N - =0
dx
dx
- élément d'arc (Batoz ,et Dhatt 1986)
dN
V
- + - + f
= 0
ds
R
x
dN
N
- - - + f
= 0
(5.8)
ds
R
y
dM
- - V = 0
ds
En introduisant les relations (5.5) dans l'équation (5.1), nous obtenons
l'expression classique du travail virtuel, soit, pour une section rectangulaire (A = bt et 1 =
bt3/12):
3f
Eb
W = t
(e*2'e
+
* Eb ) dx
X liX
+ ](U*f + v*f ) dx = 0
(5.9)
x
y
L
t
L
_
membrane
flexion
charges externes
où t et b sont respectivement l'épaisseur et la largeur de la section.
RemarQues:
- Les équations (5.3) et (5.4) montrent qu'il y a un couplage entre la flexion et la
membrane localement (au niveau de chaque élément) lorsqu'on considère l'élément courbé,
ce qui n'est pas le cas pour l'élément plat (éq. 5.2) où le couplage s'effectue au niveau
global (après assemblage) uniquement.

127
- En éléments finis, v et y sont approchés par des fonctions cubiques tandis que u
est linéaire. Ainsi, les défonnations de membrane sont de la fonne:
e = Cio
(élément plat)
(5.10)
e = bo+blx + b2x2 + b3x3 + b
(arc surbaissé)
(5.11)
4x4
e = Co +clx + c2x2 + c3x3
(arc profond)
(5.12)
TI est alors évident que si la poutre subit une flexion pure, excepté l'élément plat,
les éléments d'arcs surbaissés et profonds auront des difficultés pour satisfaire
simultanément les contraintes (5.5) et les équations d'équilibre (éqs. 5.7 et 5.8). En effet,
on peut constater que pour les champs de déformation (5.11) et (5.12), seuls les tennes
constants (boet co) proviennent simultanément des deux champs de déplacements u et v.
Tous les autres coefficients (b l, b2, ..., cl' ...) proviennent uniquement du champ de
déplacement v. Prathab et Bhashyam (1982) puis Donea et Lamain (1987), ont démontré
dans le cas du blocage de cisaillement que la partie qui provient des deux champs de
déplacement, laquelle ils ont dénommée la partie consistante, vérifie la contrainte réelle
(5.5a) tandis que les autres termes ("inconsistants") génèrent chacun une contrainte parasite
qui cause le blocage de membrane.
Dès lors, nous pouvons déjà présumer que le
phénomène du blocage de membrane sera plus sévère pour les éléments d'arc surbaissé que
pour les éléments d'arc profond.
- Enfin, on peut remarquer à l'équation (5.9) que si l'épaisseur t de la section
devient très petite, le terme de membrane devient dominant. Cela a pour effet, en éléments
finis, d'amplifier les contraintes parasites introduites par les termes "inconsistants" par le
facteur 1/t2.
5.2.2
Solutions proposées
Traditionnellement , pour éviter le problème du blocage, on utilisait des
interpolations d'ordres supérieurs pour le champ de déplacement u (Batoz 1977; Stolarski
et Belytschko 1982, ... ). Cependant cette approche est coûteuse puisqu'elle consiste à
augmenter le nombre total de degrés de liberté du problème et aboutit souvent à des
éléments fmis trop sophistiqués pour l'utilisation par des ingénieurs (choix de déformations

128
comme degrés de liberté, par exemple). De plus, selon Stolarski et Belytschk:o (1982),
cette approche diminue considérablement le pas de temps critique lors d'une analyse non
linéaire lorsqu'on applique la méthode d'Euler-explicite pour intégrer les équations dans le
temps comme c'est notre cas.
Une autre solution très populaire consiste à faire une intégration réduite (Stolarski
et Belytshcko 1982; Prathap et Bhashyam 1982; Noor et Peters 1981, ...). Cette approche
s'avère efficace si l'intégration réduite est faite seulement sur les termes concernés par le
blocage (on parle d'une intégration réduite sélective), mais complique légèrement la
programmation. D'autre part, certains chercheurs ont rapporté que cette technique ne
fonctionne pas dans tous les cas (de Ville de Goyet et Frey 1984; Prathap 1985).
La formulation mixte qui consiste à choisir des fonctions d'interpolation différentes
pour le champ des déplacements et les contraintes permet également d'éviter le blocage (Lee
et Pian 1978; Slater 1982). Dans ces dernières années d'autres chercheurs ont introduit de
nouveaux concepts équivalents pour résoudre le problème. Wen et Rahîrnzadeh (1983), et
de Ville de Goyet et Frey (1984) ont préconisé l'utilisation d'une déformation moyenne de
membrane. Stolarski et al. (1984) et Belytshcko et al. (1985), de leur côté, préconisent
d'utiliser une méthode de décomposition de mode ou encore de projection de contraintes
qui consiste essentiellement à "définir le mode flexionnel de toute déformation réelle et
d'ignorer l'énergie de déformation de membrane (et de cisaillement dans le cas d'un
blocage de cisaillement) associée aux modes de flexion". Pour plus de détails, le lecteur
peut consulter l'article de Belytschko et al (1985), par exemple. Ces derniers ont également
établi une équivalence entre la formulation mixte, la méthode de décomposition des modes
et l'intégration réduite. On pourra cependant noter que ces deux premières méthodes sont
sujettes à l'existence d'une fonctionnelle (l'énergie potentielle). D'autre part, l'utilisation
d'une déformation moyenne de membrane aussi n'est qu'intuitive. Nous proposons alors
un modèle variationnel de pénalité, pour résoudre le problème de blocage de membrane qui
est une généralisation des autres techniques déjà existantes.
Il s'agit d'introduire la contrainte (5.5a) dans l'équation (1) par la technique de
pénalité. TI vient:

129
3
W = J
N
bt
[e* N + N*(e-
) + X* 12 X l dx + ...
(5.13)
Ebt
L
où 1/t peut être considéré comme le paramètre de pénalité.
5.2.3
Discrétisation par éléments finis
La discrétisation de l'équation (5.13) peut être obtenue à l'aide de l'élément de
poutre à deux noeuds (fig. 5.2) avec une approximation linéaire (type CO) pour le
déplacement u et cubique (type Cl) pour v. L'effon normal N est approché localement
pour chaque élément. Dans les cas qui nous concernent ici, compte tenu des équations
d'équilibre (S.7a et 5.8a en négligeant VfR), nous pouvons approcher N par:
x
N = No + b(x) avec
b(x) = -Jf/S)dS
(5.14)
o
où No est constant sur l'élément et b(x) défIni tel que N vérifIe les équations d'équilibre.
On peut noter alors que le modèle (5.13) ne compone que la seule contrainte réelle
(S.5a), relative au problème du blocage de membrane, pour chaque élément. Le modèle
discret correspondant à l'expression (5.13) peut s'écrire:
1
*
3
vi:
f
*
No
* bt
h =
(e*h No + No eh - Ebt No + Xh E?h)dx
(5.15)
o 1
N*
1
+J[e:b(X) - E~tb(x)]dx - J(fxU: + f/~) dx = 0
o
0
où l'indice h indique l'approximation par éléments finis et lIa longueur de l'élément (e).
Pour réduire le nombre de degrés de liberté de l'élément, on fait une condensation
statique de la variable locale No. En négligeant l'effet de la courbure (Y.xv,x ou vfR dans
le cas de Love) sur la charge axiale appliquée. on trouve après condensation statique:

130
~ ~i-l
iHJ [1]
No
~ VZ,I
(1_ {)2 (2.{)
1
1/
1

..
4
-1
o
2 (1_{2)( I-{) x f/e
3 ( 1+{)2 ( 2 - {) x '/4
U( {) z: < G > {Un f
4 (-1 + f) (1 .. { ) lt //e
v({) = <H> {vn}
x
N({) = No+b(!} ; [b(X) z: ~.{fx(l)dS]
Fig. 5.2 - Élément fini en deux dimensions.

131
1
l
l
1
w: = 1e~ dx) : (JEA ehdx) +Jx~ El Xhdx -J(fxU~ +f v~)dx
(5.16)
y
= 0
o
0
0
0
L'effon normal peut alors être calculé par l'expression (5.14) avec:
l
No = +
JrEAe
(5.17)
h - b(x)]dx
o
5.2.4
Remarques et conclusion
1°) Les équations (5.14) et (5.17) nous permettent de remarquer que l'effon axial
pour toute répartition de la charge axiale peut être évalué exactement; ce qui n'est pas le cas
pour les autres techniques proposées dans la littérature (Lee et Pian 1978; Wen et
Rahirnzadeh 1978; de Ville de Goyet et Frey 1984; Stolarski et al. 1984; Belytschko et al.
1985).
2°) L'expression (5.16) peut être aisément associée au modèle mixte classique de
Hellinger-Reissner. On peut noter également qu'elle donne les mêmes résultats qu'un
modèle de déformation moyenne ou de décomposition de mode (voir la preuve à l'annexe
E) exception faite de l'évaluation de l'effon axial en présence de charges réparties.
3°) Il faut noter cependant qu'au point de vue programmation, le modèle de
déformation moyenne est le plus pratique puisque toutes les matrices conservent les mêmes
formes qu'en éléments finis classiques (on n'a plus besoin de condensation statique). Dans
la suite de ce travail, nous gardons le modèle de pénalité à cause de sa généralité. La
condensation statique sera faite directement sur la fonne intégrale afm de nous pennettre de
conserver les formes classiques des matrices en éléments finis.

132
5.3
Choix de l'élément fini de poutre en 3 dimensions
5.3.1
Approximation du champ de déplacement
La discrétisation des équations d'équilibre obtenues aux chapitres 3 et 4
conduisent, comme dans le cas bidimensionnel, à un élément à deux noeuds de type Co en
membrane et de type Cl (élément d'Hennite) en flexion et torsion, tel qu'illustré à la figure
(5.3). Les déplacements u, v, w et <I> peuvent alors s'écrire:
u = <G> {un}
v = <H> {vn}
w = <H> {wn}
(5.18)
<I> = <H> {<I> n}
où {G} et {H} représentent les fonctions d'interpolation définies à la figure (5.2). Les
degrés de libertés ou déplacements nodaux {un}, {vn}, {wn} et {<I>n} sont montrés à la
figure (5.3). il est important de rappeler que le déplacement axial u est mesuré au centre de
gravité de la section tandis que les déplacements transversaux v et w, de même que la
rotation <I> sont défmis par rapport au centre de cisaillement. Partant, la charge axiale passe
par le centre de gravité de la section et les efforts transversaux et moments sont définis par
rapport à l'axe passant par le centre de cisaillement des sections.
L'élément résultant possède 7 degrés de liberté par noeuds dont les six degrés de
liberté de l'ingénieur, communément utilisés en analyse des structures spatiales formées de
poutres, plus la dérivée de la rotation <I> autour de l'axe passant par le centre de cisaillement
et qui représente le gauchissement de la section.
5.3.2
Expressions matricielles des formes intégrales discrètes
Dans nos travaux, suite à des essais en deux dimensions dont les résultats seront
présentés au chapitre suivant, nous avons retenu pour l'analyse en trois dimensions,

133
UI
~t
VI
v2
~.~
~
w,
w2
wj
!!
4>,
4>f
4>',
4>2
1
1
-1
o
b) Élément de référence
Fig. 5.3 •• Élément fini de poutre en trois dimensions.

134
l'élément plat et l'élément surbaissé qui correspondent respectivement aux formulations
lagrangiennes actualisées approchée et partielle définies au chapitre précédent. Nous
écrirons désormais Xhe == Xe pour simplifier l'écriture.
i) Formulation lagrangienne actualisée approchée
En introduisant les expressions (5.18) dans la relation (4.49) et (4.39) en tenant
compte de (4.48), on obtient respectivement:
a) pour l'opérateur tangent (taux du travail virtuel)
IIWe
=
int
<d>l< n> ( [kl] + [kg] ) {ll~}
= <d>l<n> [kt]{ll~}
(5.19)
avec:
1
=J
(5.20)
o
1
[kg] = f[Bnll [D02] [B
(5.21)
nl] dx
o
(5.22)
où [kl] représente la matrice de rigidité linéaire, [kg] la matrice de rigidité géométrique et
[kt] la matrice dite tangente. [D01kA et [D02] sont définies aux équations (4.51) et (4.52).
[BI] et [Eni] sont les matrices reliant les degrés de liberté aux déformations définies aux
équations (4.50), soit:
(5.22)
(5.23)

135
Les expressions pour [BIJ et [BnIJ sont présentées à l'annexe F. On notera que [BnIJ est
linéaire en déplacement.
b) pour l'énergie interne à la dernière configuration courante (connue généralement
comme les forces internes équivalentes aux noeuds ou résidus, par abus de langage) on a:
~y,e
Il<
e
W.
= <d > {FI}
(5.24)
mt
n
avec:
(5.25)
désignant les efforts résultants totaux dans la configuration courante, qui ont été définis aux
relations (4.25).
ii) Formulation lagrangienne actualisée partielle
La technique de pénalité décrite ci-dessus, appliquée à l'équation (4.29) donne
après la condensation statique de No :
1
1
1
f1~nt
I
= (fe: dx)(~fEgf1emI
f
I
dx)dA ) +
«X;>{LW I ) +T\\:IN~
o
X 0
0
...
1
I l < -
<T\\YI>{V l} + <T\\fl>{M~}) dx
(5.26)
Tous les termes ont été définis à l'équation 4.22. En introduisant la définition des
déformations dans l'équation (5.26), on peut aisément écrire:
(5.27)


136
1
~) f
=
([BI)T [DO1]LP[B ] )dx
(5.28)
lu
o
où l'expression de [Blu]' donnée à l'annexe F, représente la matrice de transformation entre
les déformations {Pl} de.l'équation (4.56) et les déplacements {~} de l'équation (5.22).
La matrice (DO l.] est définie à l'équation (4.57).
Le calcul de la matrice géométrique [kg] est identique ,à celui de la barre droite sauf
en ce qui a trait au calcul des efforts résultants.
Le résidu (ou les forces internes équivalentes aux noeuds) peut s'écrire (éq. 4.39):
1
{FI}e = f[B ]T{M~} dx
(5.29)
I
o

<MII>=<N
N -Mz N -My (-My+zoN) (~-YoN) T
Mw>III
(5.30)
SY
désignent encore des effons résultants totaux dans la configuration courante, définis aux
relations (4.25) en tenant compte de la contrainte (5.26).
[Blpl est défini exactement comme [B lu]' sans pénalité, puisque les efforts
résultants tiennent déjà compte de cette contrainte. Soit:
G'l
0
0
0
0
0
0
G'2
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
0
0
0
0
c
0
d
0
0
0
0
H"l 0
H"2 0
0
0
0
H"3
0
H"4
0
0
0
e
0
0
0
-f
0
0
g
0
0
0
-h
0
[Blp] = 0
H"l 0
0
0
H"
0
0
H"3 0
0
0
H"
0
(5.31)
-
2
-
4
0
0
0
a
0
0
b
0
0
0
c
0
0
d
0
0
0
e
0
0
f
0
0
0
g
0
0
h
0
0
0
H'I
0
0
H'2
0
0
0
H'3
0
0
H'4
0
0
0
H"l 0
0
H"2 0
0
0
H"3
0
0
H"4
où:

b =H'2Y,x
c = H'3Y,x
d =H'3Y,x
e =H'lZ,x
f =H'2z,x
g =H'3z,x
h = H'3z,x
iii) Calcul des efforts résultants
Le calcul des efforts résultants doit être effectué très soigneusement pour assurer la
convergence.
Comme nous l'avons mentionné au chapitre précédent, à une itération i du pas
p+ 1, les efforts résultants totaux sont:
Ni = NP+ ~ip
Mi = MP+~Mip
(5.32)
où NP et MP sont les efforts résultants au pas p et ~N ip et ~M ip représentent les
accroissements totaux des efforts depuis le début du pas p+l et sont calculés selon les
expressions (4.24) et (4.27) en tenant compte des particularités de chaque fonnulation
lagrangienne actualisée approchée ou partielle au niveau de la membrane. il faut cependant
éliminer d'abord les mouvements de corps rigides.
Calcul des rotations de corns rigide:
Comme montré à la figure 5.4, dans cette étude, la géométrie initiale de la barre en
trois dimensions a été approchée par:
,
,
Y,x = H2 vI + H4 v 2
(5.33)
Z,x = H W~
2
+ H4 W~
où les H\\ sont les dérivées premières des fonctions d'interpolation et v'n et w'n (n = 1,2)
représentent les rotations locales de la barre à ses noeuds, la barre étant libre de toute
rotation de corps rigide e (voir fig. 5.4).

138
'J
i
nP
1
i
i
_---r-_p (c: +~p •l:J.Yp•l:J.wp )
1
x
l:J. u~ = ( l:J.u2 - l:J.ull 1~
.
i
l:J.Y~ = (l:J.Y2-l:J.Y1l/p
l:J.w~ = (l:J.w2. - l:J.wl )/ ~
< Ü > =< V W >
sont les déplacements latéraux dans
le repère local de la barre déformée
Fig. 5.4 •• Calcul des rotations de corps rigide à une Itération i.

139
Les rotations finies n'étant pas assimilables aux vecteurs sauf si elles sont petites
(comme au cours d'un pas), nous avons procédé incrémentalement pour évaluer la
géométrie initiale à l'itération i d'un pas p+ 1, soit:
= y \\p + /).'1 1 i
,x
,x. P
(5.34)
où les /).y x et x sont évalués par l'expression (5.33) avec les accroissements des
,
,
déplacements /).V et /).W (fig. 5.4).
La rotation de corps rigide (Spi) à l'itération i au cours d'un pas p. peut alors
s'évaluer par:
(5.34)
La direction n de Si (a,~,'Y) est calculée par:
n =
(5.35)
Soit:

140
cos a = 0
(5.36)
cos y =
Ainsi:
AS Il
AS I
i
A
i l
= il
• cos 1-'
ilS . cos y
(5.37)
y P
P
p
et
Ilv' li
= Ilv' li
_ ilS Il
n p
n p
z p
(5.38)
Ilw' li
= Ilw' li _ ilS li
n p
n p
v p
représentant les accroissements réels des rotations autour des axes y et z.
Quant à la rotation autour de l'axe x local on suppose qu'en petites déformations,
elle peut être évaluée par:
Il<Ii
= H 1l<1>
~ + H 1l<1>' ri + H Il~ li
(5.39)
2
P
2-1 P
3
4
1 P
2 P
1l<1>2_1 = 1l<1>2 - 1l<1>1 représente la différence entre les accroissements de rotation <1> aux
noeuds 2 et 1.
Calcul de la déformation axiale (de membrane)
En formulation lagrangienne actualisée approchée, nous admettons que la
déformation de membrane qui donne l'incrément de l'effort normal !lN à une itération i au

141
cours d'un pas p+ 1 est:
li - IP
!le ~
= _P-
(5.40)
mp
IP
où:
(5.41)
est la longueur de la barre à l'itération i, et IP sa longueur au début du pas(fig. 5.4).
Par contre, dans le cas de la formulation lagrangienne actualisée partielle, il faut
tenir compte de la courbure de la barre et de la contrainte (5.17) (déformation moyenne).
La déformation axiale incrémentale peut s'évaluer alors comme la différence relative entre
les longueurs de la corde Cp à l'itération i et au début du pas (fig. 5.4)
d -cP
!le f = --L-
(5.42)
mp
cP

IP
d
p
1fl[ - i 2 - i 2]
== 1 + -
-
(y
) + (z
)
dx
(5.43)
p
p
2
.xp
.xp
1 0
5.3.3
Problèmes particuliers dus à la plasticité
i) Intégration numérique
Dans le cas élastique, trois points de Gauss le long de la barre nous suffisent pour
intégrer les équations incrémentales quoique nous ayons eu recours à une itégration
numérique au début du problème pour trouver les propriétés géométriques de la section
défmie aux annexes B et D.

142
Dans le cas de l'analyse élasto-plastique, nous voudrions suivre la pénétration
plastique progressivement à travers l'épaisseur de la barre. A cet effet, les matrices
[D01]LA et [D01]LP' montrées à l'annexe F, sont recalculées numériquement à chaque
itération à l'aide des points de Radau (Kopal 1955; Frey 1978) ou des points de Gauss. La
différence entre ces deux quadratures vient du simple fait qu'il n'existe aucun point de
Gauss sur les fibres extrêmes tandis qu'il y en a dans la quadrature de Radau, même si elle
est moins précise. Pour n point d'intégration, Gauss et Radau intègrent exactement un
polynôme de degré 2n - 1 et 2n - 3, respectivement ([ouzot et Dhan,1981; Kopal1955)).
ii) Vérification du critère de plasticité
Afin d'éviter les problèmes de fausses décharges (Frey 1978), le critère de
plasticité est vérifié à chaque itération avec des contraintes totales calculées en ajoutant aux
contraintes du début du pas leurs accroissements totaux à l'itération considérée. Tel
qu'illustré à la figure (5.5), en procédant de cene manière, à l'équilibre, le point BI passe en
B et non en C comme c'eût été l'occasion si on avait considéré des accroissements de
contraintes pour chaque itération et ceci à cause de l'irréversibilité des lois de
comportements.
iii) Contraintes résiduelles
En construction métallique, à cause des procédés de fabrication des profilés, il
existe toujours dans les barres des contraintes résiduelles avant tout chargement.
Cependant, leur intensité et leur distribution ne sont pas faciles à détenniner. En pratique,
on admet quelques distributions idéalisées qu'on peut consulter dans certains ouvrages
généraux (Picard et Beaulieu 1981, par exemple).
Les contraintes résiduelles, sont en équilibre. Elles ont pour effet d'amorcer
localement la plasticité plus tôt que prévu, n'ayant ainsi aucune influence sur le
comportement de .la pièce si le matériau reste dans le domaine élastique durant toute
l'histoire des sollicitations.

143
Fig. 5.5 .- Fausse décharge élastique.

144
Dans le cadre de ce travail, les contraintes résiduelles sont simplement interpolées
aux points d'intégration numérique au début du problème par un nouveau bloc de calcul
RESI qui a été implanté dans le programme MEF.
Il convient tout de même de signaler que lorsque les contraintes résiduelles
dépasseront au départ la limite élastique, il faudra non seulement qu'elles vérifient le critère
de plasticité mais aussi que l'utilisateur fournisse les déformations plastiques
correspondantes, surtout dans le cas de la plasticité parfaite où ces dernières ne peuvent être
déterminées à partir de la courbe contrainte-déformation.
5.3.4
Assemblage
Pour les deux fonnulations DLAA et DLAP, les déplacements virtuels et réels
incrémentaux qui ont été définis dans un système de coordonnées local xyz (fig. 3.1)
doivent être transfonnés dans le repère global cartésien XYZ. Pour un pas p, il vient alors:
(5.45)
où [TpJ est la matrice de passage du système global (g) au système local (1) au pas p, et {d}
sont les degrés de liberté de l'élément fini (éq. 5.22). Bazant et El Nimeri (1973) ont par
ailleurs montré que le gauchissement (<1>') est une variable locale de l'élément, qui n'a pas
à être transfonnée dans le système global. La matrice [Tpl s'écrit alors:
o
o
o
o
o
o
o
o
1
0
o
o
(5.46)
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o

145
où [RP] est la matrice de rotation classique en trois dimensions. Ramm et Osterrieder
(1983), ont suggéré de calculer cette matrice de manière incrémentale i.e.:
[RP] = [ôRP] [ôRP-1]
[ôR 1] [ÔRÛ]
(5.47)
où les [ôRP] représentent toutes les positions incrémentales entre la configuration initiale et
le pas p.
En effet, cette approche tient compte du fait que les rotations finies ne sont pas des
vecteurs et garde ainsi en mémoire l'histoire du mouvement de la barre. Sa mise en oeuvre
s'avère donc un peu coûteuse puisqu'il faut stocker en mémoire la matrice de passage
relative à chaque élément.
Nous avons également considéré une seconde approche directe. Supposons la
barre dans sa configuration courante C(t) à l'itération i du pas p+ 1 (fig. 5.6). La matrice
[RP] est évaluée en considérant les angles d'Euler: Ppi autour de l'axe global Y, "(pi autour
du nouvel axe z~ et api autour de l'axe axial Xl de la membrure; la rotation totale api étant
définie par rapport au plan xjY(Weaver et Gere 1980). Nous proposons alors de calculer
incrémentalement api, i.e.
(5.47-a)
où les ôaP représentent les rotations incrémentales locales de corps rigide autour de l'axe
de la membrure à un pas p donné.
A l'itération i, on peut évaluer la rotation rigide
incrémentale par la moyenne des rotations incrémentales aux noeuds de l'élément (Bathe et
Bolourchi 1979; Bazant et El Nimeri 1973); soit:
(5.47-b)
où 1 indique que ces rotations sont mesurées dans le système local de la membrure.

146
y
c(t)
./
x
./
. /
, /
a) Poutre proche du plsn XZ.
y
x
b) Poutre proche du plsn YZ.
Fig. 5.6 - Décomposition des angles de rotBtlon.

147
Enfin, pour des raisons numériques, il faut distinguer deux cas:
- le cas général où la membrure est plus proche du plan horizontal XZ (fig. 5.6a).
On trouve (Weaver et Gere 1980):
c
c
c
x
y
z
-c c cos ex -C sin ex
-C C cos ex +C sin ex
x
y
z
C cos ex
y
z
x
[RPJ
C
xz
C
=
xz
xz
(5.49)
C C sin ex -C cos ex
C C sin ex +C cos ex
x
y
z
-C sin ex
y
z
x
C
xz
C
xz
xz
- le cas où la membrure est plus proche du plan vertical YZ (fig. 5.6b). C'est le
cas où à la limite, le plan xIY n'est plus défini et ex est mesuré par rapport au plan xIX.
Les projections se font dans le plan YZ exactement comme le premier cas. L'axe
local de la membrure étant supposé X lorsque tous les angles d'Euler (a, p, y) sont nuls,
nous avons proposé de faire une rotation de Te/2 rad autour de l'axe Z avant de faire les
projections; ce qui donne:
C
C
C
x
y
z
C C cos ex -C sin ex
C· C cos a.. +C sin ex
-C
cos ex
x
y
z
Y z
Y
[RPJ
yz
Cyz
C
(5.50)
=
yz
12 C sin ex -C cos ex
- C C sin ex +C cos ex
C
sin ex
x
y
z
y
z
y
yz
C
C
yz
yz

148
Dans les équations (5.49) et (5.50), nous considérons:
1
a
- a
p
y
y
7. -z
c =
c = B- A
C = ~
A
(5.51)
x
y
l
z
l
C
= J~2+C2
yz
y
z
où l est la longueur de la membrure entre les noeuds A et B (figure 5.6)
Remarques:
1) On remarquera que les relations (5.49) et (5.50) sont valables uniquement pour
des angles mesurés selon les règles d'un trièdre droit. En effet un problème se pose
lorsque la normale au plan YZ change de direction au cours d'un pas, dépendamment du
----+
signe du produit vectoriel ABxJ (voir fig. 5.6). Dans nos analyses, nous avons choisi
tout simplement de garder la même direction de cette normale à l'intérieur d'un pas. Si au
cours d'un pas, le produit scalaire de la normale au début du pas et de celle à l'itération
considérée est négatif, nous changeons la direction de cette dernière en changeant le signe
de tous les termes des deux dernières lignes de la matrice [Rp].
2) On peut constater que l'approche directe de la matrice de passage s'avère
compliquée. Par expérience, pour éviter des problèmes numériques, nous préférons
l'approche incrémentale (plus exacte aussi) proposée par Rarnm et Osterrieder (1983).
En introduisant l'équation (5.45) dans les relations développées aux paragraphes
précédents, les formes incrémentales globales du chapitre précédent peuvent s'écrire, d'une
manière générale, par la technique classique d'assemblage par (Touzot et Dhan 1981):
ôw = < U* > [KT(U)]{ÔU}
(5.52)
et les équations d'équilibre deviennent:
(R(U)} = (R(U)} - (F(U)}
(5.53)

149
où:
{U} représente le vecteur des déplacements aux noeuds ou variables nodales du
problème,
[KT] est la matrice tangente globale(fonction des variables nodales),
{RCU)} représente le résidu ou les forces hors d'équilibre du problème,
{RCU)} est le vecteur des sollicitations externes dans le système global et
{F} est le vecteur des forces internes.
On remarquera qu'au niveau élémentaire, on peut écrire:
(5.54)
(5.55)
(5.56)

[kt] est défini par les équations (5.19) ou (5.27),
{FI}e par les équations (5.24) ou (5.29) ,
{RI} e sont les forces externes élémentaires mesurées dans la configuration au
début du pas.
5.4
Méthodes et stratégies de résolution
5.4.1
Introduction
Les méthodes et stratégies de résolution des équations non linéaires ou des
problèmes de valeurs propres ont déjà fait l'objet de plusieurs recherches (Bathe et Wilson
1974; Waszczyszyn 1983; Batoz et Dhatt 1979; Ramm 1980; Karamanlidis et al. 1980;

150
Crisfields 1981; Bergan et al. 1978 et 79; Glowinski et al. 1982; Batoz et al. 1986;...). De
plus, une étude comparative assez complète et détaillée sur les algorithmes de résolution
d'équations non linéaires a été faite par Fafard (1987). Nous nous limiterons donc à un
bref aperçu de quelques algorithmes qui nous ont été utiles dans ce travail, et dont nous
avons contribué à la mise au point.
5.4.2
Problème de valeurs propres
Pour résoudre les problèmes de bifurcation, nous avons choisi la méthode du
sous-espace, largement utilisée, qui permet de calculer les p premières valeurs propres et
les vecteurs propres correspondants du système. Elle consiste essentiellement à appliquer
plusieurs fois la méthode de Jacobi en améliorant les vecteurs de Ritz par itération inverse.
La méthode de Jacobi permet d'obtenir la base orthogonale formée des vecteurs de Ritz,
tandis que l'itération inverse ajuste cette base afin d'assurer la convergence vers les
vecteurs correspondant aux p plus petites valeurs propres en valeur absolue (Bathe et
Wilson 1974; Dhatt et Touzot 1981; Fafard, Beaulieu et Dhatt 1984).
5.4.3
Analyse non linéaire
En supposant que les sollicitations externes varient selon un seul paramètre À,
nous pouvons réécrire l'équation (5.53):
{R(U, À)} = {R(U,À)}-{F(U,À)}
(5.57)
Dans nos travaux, nous admettons également qu'il n'y a qu'un type de chargement
{F} indépendant de l'état de déformation. Il vient:
{R (0, À)} =À{F}
(5.58)
Il s'agit alors de trouver un ensemble de couples (À, {U}) qui satisfont l'équation
(5.57) par un algorithme robuste et efficace en considérant les contraintes suivantes
(fig.5.7):

151
A : point de bifurcation
B : charge limite (tangente horizontale)
C : déplacement limite (tangente verticale)
o
HUll
Fig. 5.7 .... Exemple d'une courbe charge-déplacement.

152
- la courbe charge-déplacement peut avoir des tangentes horizontales (charge
limite) ou verticales (déplacement limite), ou des points de bifurcation;
- la topologie initiale de la matrice tangente (symétrie et largeur de bande) doit être
conservée;
- enfin, les pas de chargement doivent être ajustés en fonction de la courbure
locale de la courbe charge-déplacement.
On parle alors de la détermination complète de la courbe charge-déplacement qui
est réalisée par points à l'aide de techniques dites de pilotage. Lorsque la technique de
pilotage est choisie, la solution associée à un pas (ou un point sur la courbe) est obtenue par
une méthode de résolution itérative.
Il existe dans la littérature plusieurs méthodes et techniques de pilotage (Fafard
1987), mais pour nos besoins spécifiques, nous allons nous limiter à la méthode bien
connue et robuste de Newton-Raphson standard (N-R). Cette méthode sera couplée à trois
techniques de pilotage qui nous permettront de satisfaire les contraintes citées plus haut,
soit (fig. 5.8): le contrôle en charge (charge imposée), le contrôle en déplacement (une
composante du déplacement imposée) ou la technique de longueur d'arc (la norme
euclidienne du vecteur déplacement imposée).
i) Méthode de N-R avec contrôle en charge
il s'agit de trouver pour une valeur de À fixée -
(À), le vecteur des variables nodales
de n composantes {U} vérifiant l'équation 5.57. La technique consiste essentiellement à la
suite d'opérations montrée à la figure (5.9) (Batoz et al. 1985). Cet algorithme nous
permet de tracer la courbe charge-déplacement jusqu'au premier point limite PL (fig. 5.8a).
Au-delà de ce point, la solution n'est plus unique et il n'est plus possible de piloter en
charge imposée.

153
?
luD
a) Charçe imposie
b) Oip/ac~m~nf imposi
?
c) Arc imposé
( tin! df Botoz fI 01., 1985 )
Fig. 5.8 •• Strstsgies de pllotsge.

154
-pasp:
).P, {lJP}
(solution connue)
-pasp+1: ).1==X, {UI}=={Up}
. Première itération (i=1)
[KT]{~UI} =).1{FP}-{FP}
{~U2} = {~Ul}
. Correction d'équilibre par itérations:
i = 2 à NITER (nombre d'itérations maximum)
{Ri} = {Ri} _ {Fi}
[KTi]{~Ui} = {Ri}
{~Up} == {~Upi+l) = {~Upi} + {~Ui}
().i+l = 1)
TEST de convergence
{Up+l} = {UP} + {~Up}
- prochain pas.
Note:
{~Ui} représente l'accroissement au cours d'une itération i, tandis que {~Upi}est
l'acroissement total depuis le début du pas jusqu'à l'itération i:
{~Upi} = {Ui} - {UP}
Fig. 5.9 - Algorithme de N-R avec charge imposée.

155
ii) Méthode de N-R avec contrôle en déplacement
Dans certains cas où il y a un déplacement prédominant (problème de claquage par
exemple), il est préférable de contrôler ce déplacement plutôt que d'imposer la charge.
Il s'agit alors pour une composante de lU) fixée, de trouver les (n-1) autres
composantes et À vérifiant l'équation (5.57). Les opérations nécessaires sont résumées à la
figure 5.10 .
Cet algorithme permet le tracé complet d'une courbe où il existe un point limite,
PL' en charge ( fig. 5.8b), mais ne permet pas de passer des points limites en déplacement
(P R ). De plus , il est important de noter que le déplacement imposé doit être
stratégiquement bien choisi (généralement dans la direction de la sollicitation), afin d'éviter
des problèmes numériques.
iii) Méthode de N-R avec longueur d'arc imposée:
Le problème consiste à trouver lU) et À vérifiant l'équation (5.57) et une relation
supplémentaire du type:
f({U), À)
= 0
(5.59)
Une définition possible de la fonction f, appliquée par plusieurs auteurs
(Karamanlidis et al. 1980; Ramm 1980; Crisfield 1981;...), est celle associée à la technique
dite de l'arc imposée. Cette technique consiste à se fixer sur chaque pas la norme
euclidienne de l'accroissement du vecteur rU) (fig. 5.8c), soit:
(5.60)
On remarquera que cet algorithme n'est qu'une généralisation de celui du

156
- pas p :
ÂP, {uP}
(solution connue)
- pas p+ 1 : Â1 =ÂP, {U1} = {UP}
. Première itération (i=l)
avec U 1 = Ü
et
q
q
. Correction d'équilibre par itérations:
i = 2 à NITER (nombre d'itérations maximum)
{Ri} = Âi{Fi} _ {Fi}
[KTi]({L\\UiR 1 L\\UiF}) = ({Ri} 1 {Fi})
1
.
(L\\U )
R
L\\Â1
= _
. q
(L\\U~)q
{L\\U } = {L\\U i+l} = {L\\URi} + L\\Âi{L\\U i }
p
p
F
Âi+1 = Âi + L\\Âi
TEST de convergence
{UP+ 1} = {UP} + {L\\ Up}
- prochain pas.
Fig. 5.10 - Algorithme de N-R avec déplacement imposé

157
déplacement imposé et ne diffère de ce dernier que par le calcul de ÔÀ(Batoz et al. 1985);
soit:
- à la première itération (i = 1):
~s
Ml = +
p
(5.61)
- MUIII
On choisit le signe de ÔÀl (figure 5.11) tel que:
(5.62)
- pour les autres itérations(i = 2 à NITER), ~').,.i doit vérifier l'expression (5.60) qui donne
explicitement:
(5.63)
avec:
.
.
a = <L1U FI> { ~U FI}
b = 2 <~UFl> {V}
c = <V>{Vj - (~Sp)2
<V> = <~URi> + <L1UIp>
_.
il faut choisir l'une des deux racines supposées réelles, sinon il faut changer ÔS et
p
recommencer le pas, tel que (fig. 5.12):
(5.64)
iv) Remarques
- Le critère de convergence retenu pour arrêter le processus itératif est la nonne
euclidienne de l'accroissement des variables nodales. On arrête les calculs si:

158
- - ......
/
.......
/
- - - - - 1 - -
1
8
_ _ _f _ _
\\
Up
1
l\\n
1
/
"
"",,/
........ _-
llSp-+-Ep
1et il vérifient II~UIII= ~ p
1est tel que: cos BI > 0
nest tel que : cos Bn< 0
+- La bonne estimation correspond au point J.
Fig. 5.11 •• Méthode de longueur d'arc; choix de la bonne solution
• la première Itération (exemple en 2 D).'

160
,,~tfll
p
< Cl
(5.65)
où Cl est un nombre réel très petit .Généralement Cl est pris égal à 10-3.
- Pour tenir compte des difficultés de convergence dues aux courbures locales de la
courbe charge-déplacement et automatiser ainsi la résolution, il est possible d'utiliser des
pas variables que ce soit en charge, déplacement ou longueur d'arc imposé. On utilise la
formule empirique (Rarnm 1980; Fafard 1985):
(de même que pour ~U , ~s )
(5.66)
q
p
où Id représente un nombre d'itérations désirable (choisi par l'utilisateur) et ~ le nombre
d'itérations effectué au pas p.
5.6
Résumé et programmation
5.6.1
Résumé
Les points essentiels de ce chapitre peuvent être résumés comme suit:
- Le phénomène de blocage de membrane peut être expliqué par la présence de
contraintes parasites induites par la discrétisation par éléments finis en plus d'une contrainte
réelle due à l'incapacité des éléments de type CO de simuler le mode de flexion inextensible.
TI a été également établi que la méthode intuitive de déformation moyenne est équivalente à
la technique de pénalité qui est une généralisation des formulations mixtes, de
décomposition de modes et de la méthode d'intégration réduite.

161
- En rappelant que [SI] =[<r ] en petites défonnations (Annexe A), l'algorithme de
R
résolution d'un problème non linéaire en formulation lagrangienne actualisée (approchée ou
partielle) peut être résumé à la figure 5.13. On notera que pour stabiliser le processus
itératif, nous faisons l'intégration des équations d'équilibre sur le même domaine qui est
celui du début du pas. De plus, compte tenu de la remarque sur les petites déformations au
début de ce paragraphe, les efforts résultants sont calculés dans la configuration Cl et
ramenés tout simplement dans la configuration C2 pour calculer les résidus.
- Dans le cas d'une analyse élastique, les propriétés géométriques de la section sont
déterminées une fois pour toutes au début du problème et la partie de l'intégration sur
l'épaisseur de la barre est supprimée de l'algorithme de la figure 5.13. Pour un problème
non linéaire complet, l'algorithme de calcul élasto-plastique est présenté à la figure 5.14.
On remarquera que l'accroissement des contraintes est considéré du début des itérations et
non à l'itération donnée, dans le but d'éviter les fausses décharges élastiques, tel
qu'expliqué précédemment. (§ 5.3.3.ii)
5.6.2
Programmation
Tous les programmes d'ordinateur, réalisés en Fortran 77 sur un VAX 111785
dans le cadre de ce travail, ont été intégrés au code de calcul MEF (Dhatt et Touzot 1981).
Le logiciel MOSAIC, développé à l'Université de Technologie de Compiègne, a servi à
faire le pré et le post-traitement des données. Pour tracer les courbes charge-déplacement,
nous avons utilisé le logiciel GRAPHE (Dupuis 1986).

162
* pas p : la configuration Cl est connue
-géométrie actualisée Cl ({Xl} = {xO}+ {VI})
-contraintes, et paramètres de plasticité actualisés. {So1} = {cr 1
R }
* pas p+ 1: Recherche de la configuraùon C2 pour {R2}
{V} = {VI} avec
{L\\V} = {O} à la première itéraùon
itéraùons i=l, NITER
-initialiser [KT] = [0] ; {R} =
2
{R }
pour chaque élément
-extraire {L\\Vge} de {L\\V li}; extraire {SOl} e
-extraire l~ géométrie actualisée Cl et ~éfinir [Tl]
-définir Cl ( à l'aide de {L\\Vge}) et [Tl]
-évaluer {L\\Ve} = [Tl] {L\\vge}
-iniùaliser [~) = [0) ; {~} = {O}
-pour chaque point d'intégration de Gauss (le long de la barre)
* initialiser {M}={O} et W*IPG = W1PG . detl (=11/2)
* pour chaque point d'intégration à travers l'épaisseur :
· iniùaliser [001)=[0) et W*IPR = WIPR . detlç
· calcul élastique de {L\\SlÏ} ( éq. 4.48 ou 4.53)
· calcul élasto-plastig,ue de {SOi}
· calculer [001] (éq. 4.51 ou 4.57)
.[001] = [001) . W*IPR
.{M} = {M} + W*IPR .{M*}
* définir [BI) , [B lu], [B lp) (Annexe F)
* {fint} = {fint} + W*IPG ( [BllT ou [B1p]T HM}
* {fext } = {fext} + W*IPG [Nu)T Ifs}
* évaluer [001] W*IPG et [002] W*IPG
* [klu) = [k1uJ + [BlulT [001][B1uJ (1u = 1 en OLAA)
* [kg) = [kg) + [BnllT [002][Bnll
- [kt] = [klu) + [kg)
- calculer {rg} = [Ti)T ({fext} - {fint}) et [KtJe = [Ti)T [kt) [Ti)
- assembler {R} et [KT)
-actualiserlagéométrie {X2} = {Xl} + {L\\V }
l
- actualiser les contraintes ( {cr 2
R } = {S02} = {crR1}+{L\\St} ) et les
paramètres de plasùcité
* prochain pas
Note:
<M*> = < Sxx ySxx zSxx wS xx p2Sxx -2ÇSxs>
avec
p2 = (y _YO)2 + (z _z.o)2 •
Fig. 5.13 - Algorithme de résoluùon en OLA (DLAA ou OLAP)

163
-1. Récupération des contraintes, des défozmations plastiques et du critère calculés
aupasprécédent: {O"R I } = {SOl}, {eP}I,f(O"RI).
-2. Calculer {O"Ri } == {O"Rl)+{~Sli}
-3. Calculer le nouveau critère f(O"Ri)
-4. Vérifier si f(O"Ri) < 0
si oui on saute à l'étape 8
sinon on continue à l'étape 5.
-5. Calculer le coefficient" r" pour le rabattement (éq. 2.109)
(r =0 si f(O"R1) =0): {O"Ri} == {O"R l) + r{ ~S 1i}
-6. Calculer" m " nombre d'intervalles de rabattement ( éq. 2.1(0)
-7. Intégration de la contrainte totale sur les m intervalles j=l, m
· calculer ~Î.) (éq. 2.101)
· calculer 8)) (éq. 2.102)
· calculer {DP}i = {DP}i + {DP}j
(éq. 2.103)
{~o"}i = {~o"}i + {~o"}j (éq. 2.104)
-8. Calculer [Hep]
(éq. 2.98)
-9. Transférer les contraintes et déformations plastiques incrémentales et le
nouveau critère dans des variables (CNTEI2, VEPE12 et FCRlC) qui
seront actualisées dans le bloc non linéaire.
-10. Sortie du calcul élasto-plastique.
Note: "i" représente l'itération de correction d'équilibre de N-R.
Fig. 5.14 - Algorithme de calcul élasto-plastique

CHAPITRE VI
VALIDATIaN DU MODELE NUMERIQUE
6.1.
Généralités
L'objectif principal de ce chapitre est d'illustrer par des exemples simples,
généralement traités dans la littérature à l'aide de méthodes analytiques ou numériques, les
performances des éléments finis résultants des formulations exposées dans les chapitres
précèdants. Le chapitre suivant sera consacré aux applications pratiques en Génie Civil,
notamment l'analyse des systèmes poteaux-entremises-diaphragme.
Les résultats de ce chapitre sont regroupés en trois groupes principaux: une étude
de la convergence du modèle numérique dans le domaine linéaire, une comparaison des
éléments finis développés dans le cadre de ces travaux et finalement une série d'exemples
d'application simples qu'on retrouve dans la littérature. Outre les sections rectangulaires
pleines, nous considérerons les profilés en 1 qui sont davantage utilisés dans l'industrie du
bâtiment.
TI convient de signaler que nous avons jugé bon de respecter les unités utilisées par
les différents auteurs dans les exemples que avons empruntés de la littérature.
6.2.
Etude de la convergence
Pour étudier la convergence du modèle numérique, nous ne nous sommes limités

165
qu'à quelques exemples de stabilité et de torsion pure qui sont en fait des exemples types
des applications pratiques que nous entendons faire dans le chapitre suivant.
6.2.1.
Torsion pure d'une poutre en 1
Notre étude pratique portera sur plusieurs modes de déformation de flexion
combinée à de la torsion. Il est alors essentiel de vérifier la précision de notre modèle
linéaire dans des cas de torsion pure.
i) Torsion uniforme
Considérons la poutre en 1 (W200 x 42) montrée à la figure (6.1.) et soumise à une
torsion uniforme. Le gauchissement (<1>') est par conséquent libre de se produire aux deux
extrémités de la poutre. La solution analytique est donnée par la formule suivante:
,
T
<1> = -
(6.1)
GJ

<1>' est la rotation unitaire le long de la barre,
T est le moment de torsion appliqué,
J est la constante de torsion et G le module de cisaillement.
Pour un moment de torsion unitaire T= 1kNm, la solution numérique pour un seul
élément fini coïncide avec la solution exacte; soit <1>' = 5.824xlO-2radlm.
ii)Torsion non uniforme
Considérons la même poutre en 1 que celle montrée à la figure (6.1). Lorsqu'on
empêche le gauchissement (<1>') à une extrémité, la torsion devient non uniforme.Dans ce
cas, la torsion provoque, en plus des contraintes de cisaillement, des contraintes axiales qui
s'autoéquilibrent.
La solution analytique est donnée par üden et Ripperger (1981) ou Akoussah
(1982):

166
66
W200x 42
Til:l kN m
-l
64
-
A)
~>
1
1
1
~.
~>
1t-- P.,2m--l
18.. ~
4
~
..
~
~>
~
~
..
6
Bimoment à l'encastrement (éq. C5)
4
~y...,---+--(Mw1:1wcp")--+---t----+---+----1
\\.
2
o t----+--~- 1
_
-
-
' { / 1
1

1
" - An91e de torsion au bout libre: cp
-2 t - - -
1
1
1
1
1
1
1
1 ,
1
l
,
!.~ Taux de variation à 1an9Je de torsion: cp
r.r
(bout libre)
,
-4 r-- -I~-____+--__+_--_+__--t__-__+--_+_--+__-____+--_f
,,
~ 1
-6 t---=-' +---f----+---+---+----+---+---+---I-----I
,..t
>

T,
-23 -1~r----+----+---+------+---+----+---I----+--___4
1
~
-250~-..I2--......I...---'---"---_...l---'"--
.....--'----Io---'
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Nombre d'éléments
Fig. 6.1 - Torsion non uniforme.

167
<1>(x) = 2.. [(cosh cx - l)tanh cl -sinh cx + cxJ
(6.1-a)
cGJ
T
<1>'(x) = GJ (tanh cl . sinh cx - cosh cx + 1 )
(6.1-b)
Tc
<1>"(x) = GJ ( tanh cl . cosh cx - sinh cx )
(6.1-c)

c =JGJ
El
<.0
E est le module élastique, 1(0 la constante de gauchissement et 1longueur de la barre.
Les résultats numériques sont présentés à la figure 6.1. On peut en conclure que
l'erreur est maximale pour le bimoment qui est fonction de <1>" (lequel est interpolé
linéairement pour chaque élément fini), mais que quatre éléments suffisent largement pour
représenter le mode de torsion pour un problème donné.
6.2.2.
Stabilité élastiQue
Au lieu de procéder à une étude de convergence du modèle pour les problèmes de
flexion linéaire, nous avons choisi de l'appliquer directement aux problèmes de stabilité
couramment rencontrés en structures.
i)Problèmes de flambement d'Euler (inertie constante)
Supposons les exemples montrés à la figure 6.2.a où nous considérons une barre
avec deux types de conditions d'appuis et de chargement. Dans le cas de la charge axiale
uniformément répartie, l'effort normal est calculé soit selon l'équation (5.14) i.e. linéaire,
ou soit par le modèle classique (5.9.) i.e. constant pour chaque élément.
Les résultats présentés à la figure (6.3) montrent que, pour une charge axiale
uniforme, même dix éléments ne suffisent pas pour converger à la solution théorique

168
Pcr
Ptr
(1) Blrotulée
(1/) Console .VIIe cMrge
(III) Console .VIIC CMrge
concentrée
IInéslre
s) Flambement d'Eule' (Nctlon tWetsngulslre)
________r' Mey.
Mer
~
"......--------.•)
Cas A : Porte-à-faux avec charge
cas B : Déversemert sous un
concentrée
moment constant
Cas C :dy = 0
Cas 0: d; =+h/2
Cas E : dy = -h/2
Déversement sous charge linéaire
,
b) Déversement ,.téral
Fig. 6.2 •• Exemples de la stabilité élastique.

---r-
1 2 ,
i
1
__L_ ~
-------L
--.J'L-,
_
1 ----
1'1 Poutr.,
rotule-rotule
i
___ - - f . _ .
_
8
1 - - - - -
- - - - - - - - -
-
1--- ---------,-------
[J F'nutr., encastre-libre
o Console : P -
Cte
1
n Console
P
lineaire
[
1
4 1 - - - - - - -
----------------1---
_.' ..._--
----.--- - - - - - - - 1
o I----~---~
l
"
L
1
--> _ _ _ .•_ -
.../;
~
______-<r--
'----'"
L
::J
t>
L
L
Ld
~_I1 ..._--
- 4
L/'_
if
1
..
1--
1/
1
1
- 8 1
--1---
1
1
l
~ 1
1
1
1
1
1
----l
2
4
6
8
10
1 2
Nombre
d'elerTlents
......
0)
CD
Fig. 6.3 -- Test de convergence (flsmbement d'Euler).

170
donnée par Timoshenko et Gere (1966) lorsqu'on considère l'effort normal N constant
pour chaque élément. Dans tous les autres cas, quatre éléments au maximum suffisent pour
converger indépendamment des conditions d'appui.
ii)Problèmes de déversement
Pour étudier le déversement, nous avons considéré les cinq cas classiques A, B,
C, D et E, montrés à la figure 6.2.b. Il existe une solution théorique exacte uniquement
pour le cas B (Timoshenko et Gere 1966; Chajes 1974...). Dans les autres cas, il existe
des solutions théoriques mais obtenues par approximation numérique (voir Timoshenko et
Gere 1966; Bleich 1952; Vlassov 1961; Nethercot et Trahair 1976; ...) Nos résultats
comparés aux solutions théoriques de Timoshenko (1966) sont présentés à la figure 6.4.
Une fois encore, quatre éléments suffisent largement pour converger à la solution avec une
erreur inférieure à 0.1 % exception faite du cas A où l'erreur stagne à 0.9%; ce qui peut
s'expliquer par des imprécisions sur la valeur théorique.
iü)Cas d'un poteau à inertie variable
Nous considérons ici le cas du flambement élastique d'un poteau à deux
composantes montré à la figure (6.5). La charge critique pour plusieurs conditions d'appui
a été détenninée analytiquement d'une manière itérative par Hsu (1969). Barsoum (1970), .
pour démontrer la puissance des éléments finis a repris le même problème. La figure (6.5)
montre nos résultats (MEF) comparés à ceux de Barsoum pour respectivement un et deux
éléments finis par composante du poteau.
6.3.
Comparaison des éléments de poutres
Pour mettre en évidence les performances du modèle de pénalité, nous allons
considérer dans un premier temps une analyse linéaire de poutre courbe dans le plan, où
plusieurs types d'éléments seront comparés.
En deux dimensions, nous avons retenu les éléments suivants pour l'analyse
linéaire (voir Tableau 6.1):
-un élément de poutre classique qui correspond à la description lagrangienne
actualisée approchée: PDLAA (modèles 5.1 et 5.19)

11
1
~
20 1_
1
1
1
I------M!---
-----~
1
r - -
- - - -
J.
1 6
_1
1
- - -
1
fi,
Cas de chargement A
._---
1 2
- - - - - -._-----
~-
+ Cas de chargement 8
<> Cas de chargement C
t-~
B 1 -
....
- - - - f -
...--- ----------..---
L
~
Q.l
o Cas de chargement D
L
L
uJ
"
Q
Cas de chargement E
4
..... -
~--------_
---- ----
~"- ~I---I
,
.L-_~~~"~--l~--_----
l~d-==:~!-_u ~---1
1
1
~." 1
1 .
--k---=....&....-_
o
_ . L I_~--'-_
L I
t=--~~
o
2
4
6
8
10
1 2
Nombre
d'elements
.......
'".......
Fig. 6.4 -- Test de convergence (dtlversement).

172
~
L
1
1
1
1
1
1
,"-"-....
Pcr
Valeur de À pour 1 élément
Valeur de À pour 2 éléments
Conditions frontières
MEF
Barsoum
MEF
Barsoum
Les deux bouts
l
45.888
45.880
45.494
45.480
encastrés
Les deux bouts
rotulés
l
11.225
11.224
11.133
11220
1bout encastré
et l'autre libre
l
2.6301
2.630
2.6287
2.6296
Fig. 6.5 •• Flambement d'un poteau à deux composantes.

173
Tableau 6.1: Résumé des types d'éléments finis utilisés.
Eléments
Descriptions
Modèle
Analyse
Nb points
de Gauss
PDLAA
Elément de poutre clas-
5.1
linéaire 2D
2
sique.
Formulation lagrangienne
5.19
non linéaire
3
actualisée approchée
3D
PMQDT
Poutre droite avec une
interpolation quatratique
5.1
linéaire 2D
2
en membre (3e degré de
liberté en membre non
nodal)
PMAG
Poutre courbe surbais-
5.1
linéaire 2D
2
sée - formulation
cartésienne dite de
Marguerre (sans péna-
lité)
PDLAP
PMAG + pénalisation
5.16
linéaire 2D
2
Formulation lagrangienne
5.28
non linéaire
3
actualisée partielle
3D
PLOYE
Poutre courbe profonde
5.1
linéaire 2D
2
dite de Love (sans péna-
lisation
PLOYEP
PLOYE + technique de
5.16
linéaire 2D
2
pénalité
-un élément de poutre droit dont on a ajouté un degré de liberté non nodal en
membrane pour avoir une un interpolation quadratique: PMQDT.
-un élément de poutre courbe selon la formulation cartésienne dite de Marguerre
sans aucune amélioration pour éviter le blocage de membrane; mais intégré avec 2 points de
Gauss seulement: PMAG (modèle 5.1 et éq. 5.3).
-un élément de poutre de Marguerre en utilisant la technique de pénalité pour éviter
le blocage de membrane. Soulignons que la théorie de Marguerre correspond à la
description lagrangienne actualisée partielle. Cet élément est baptisé PDLAP.
-un élément de poutre courbe profonde selon la théorie de Love (éq. 5.4), avec
deux variantes également: PLOYE (avec deux points de Gauss) et PLOVEP (avec technique

174
de pénalité). Ces éléments n'ont pas de correspondant au niveau non linéaire.
6.3.1.
Analyse linéaire d'arcs:
Les arcs sont généralement classés selon les deux rappons suivants:
a) tIR, épaisseur de l'arc sur son rayon. Si ce rappon est très peüt devant l'unité,
on dit que l'arc est mince, sinon l'arc est dit épais. Comme valeur maximale du rappon tIR
nous fIxerons 1/20 comme dans le cas des coques (Batoz 1977). Signalons que ce facteur
est très important du point de vue numérique pour le phénomène de blocage en membrane
comme il en a été fait mention au chapitre précédent
b) HfL, flèche ou hauteur de l'arc par rapport à son ouverture. Pour HfL < 1/8
(Batoz 1977; El Khaldi 1986), on peut considérer l'arc surbaissé, sinon il est profond. De
ce rapport dépend l'importance des termes du couplage flexion-membrane, qui est la cause
principale du blocage en membrane. Toujours du point de vue numérique, comme nous
venons de le voir au chapitre précédent, plus le mouvement de corps rigide est important,
plus le blocage est sévère. Pour illustrer chacun de ces phénomènes, nous avons considéré
les trois types de structure montrés à la figure(6.6). A cause de la syméoie, nous avons
modelisé la moitié des arcs seulement.
Le cas a représente un exemple où le mouvement de corps rigide est relativement
important mais où le couplage membre-flexion n'est pas très sévère. L'exemple b
représente un arc profond. L'arc en porte-à-faux de l'exemple c permet un mouvement de
corps rigide très important. Les résultats sont montrés aux Tableaux 6.2, 6.3 et 6.4. On
rappellera que la rotation 8 dans le cas de la théorie de Love est donnée par:
8=v
-u/R
,s
(6.2)
où v est le déplacement transversal de l'arc (s) et u le déplacement selon l'arc de rayon R.
Pour l'arc en porte-à-faux, la solution analytique a été obtenue par le théorème de
Castigliano en négligeant l'énergie de membrane qui est généralement très faible dans ce

175
P
P=20kN
~L
[cm)
b) Arc profond
c) Arc lin pone-s-fBUX
CaraetéristÎQJes géOmétriques
ArcA
ArcS
/vcC
7
2
7
2
6
2
Le module de Young E
2.0 x 10 kN/cm
1.05 x 10
kNlcm 1.092 x 10 kN/cm
Épaisseur de la section: t
0.2cm
0.125 cm
0.1 cm
Largeur de la section: b
1 cm
1.2cm
5cm
Rayon de courbure: R
200.5 cm
2.935 cm
15 cm
-4
-2
-3
Rapport VR
9.98 x 10
4.26 x 10
6.67 x 10
·2
Rapport HIL
2.5 x 10
2.26
-
Fig.6.6 •• Exemples de poutres courbes.

176
cas; soit:
3
PR
u = 2El
1tPR3
v =
~
(6.3)
4El
2
PR
e = -
El
Dans tous les cas on peut noter la supériorité de l'élément PDLAP, suivi de près
par l'élément PLOVEP, lesquels dérivent de la technique de pénalité. Le blocage en
membrane est survenu pour tous les éléments courbes qui n'ont pas subi d'amélioration
(PMAG et DLOVE). Comme prévu, le blocage est plus sévère dans l'exemple c où le
mouvement de corps rigide est plus important. Pour les rapports H/L considérés, on
observe une très bonne convergence des éléments courbes améliorés par la technique de
pénalité. On peut conclure qu'à toutes fins pratiques, à partir d'un maillage de 8 éléments,
tous les éléments de poutre PDLAA, POLAP et PLOVEP deviennent équivalents. Pour
étudier l'effet du rapport tIR, nous avons considéré l'arc surbaissé A en faisant varier son
épaisseur. Les résultats obtenus à l'aide des éléments PMAG et PDLAP pour un maillage
de 5 éléments finis sont montrés au Tableau 6.5. On voit clairement que le blocage devient
très important lorsque le rapport tIR diminue.
6.3.2.
Analyse non linéaire
L'analyse linéaire nous a permis de conclure que l'élément POLAP offre une
meilleure performance que l'élément PLOVEP. D'autre part l'élément plat POLAA, a
démontré lui aussi une très bonne performance, même si la convergence était plus lente.
Pour la suite de nos travaux, nous allons donc conserver uniquement les éléments POLAP
et le PDLAA, lesquels ont été développés en trois dimensions pour l'analyse non linéaire
géométrique.
6.3.2.1.Cadre de Williams
Pour mettre en évidence la performance de l'élément POLAP par rapport à
l'élément de poutre classique POLAA en analyse non 1inéaire géométrique, nous avons

177
Tableau 6.2: Déplacement v (cm) au sommet de l'arc a
Nombre d'éléments (moitié de l'arc)
Type
2
3
5
10
d'élément
PDLAA
0.046705
0.048085
0.048382
0.048424
PMAG
0.032582
0.039937
0.044673
0.047362
PDLAP
0.046706
0.048088
0.048384
0.048425
PLOVE
0.029274
0.038638
0.044437
0.047343
PLOVEP
0.046696
0.048083
0.048381
0.048424
PMQDT
id
PDLAP
Solution analytique (de Ville de Goyet et Frey 1984): v =0.0483357 cm
Tableau 6.3: Charge P (kN) pour un déplacement unitaire v (cm)
au sommet de l'arc profond b
Nombre d'éléments (moitié de l'arc)
Type
2
4
6
8
10
12
14
d'élément
DLAA
1144.7
1027.9
983.4
966.4
958.3
953.9
951.2
PMAG
39364.1
9964.9
5249.8
3465.6
2614.8
2129.6
1827.3
PDLAP
1142.9
969.8
953.4
948.8
946.9
945.8
945.2
PLOYE
2.792xl05 4.211x04
1.776xl04 -
9165.2
7151.3
PLOYEP
1510.2
1043.9
986.1
967.2
958.6
954.0
951.3
PMQDT
id
PDLAP
Solution analytique (Stolarski et Belystchko 1982): P = 942.2 kn

178
Tableau 6.4: Déplacements au bout libre de l'arc c
Nombre d'éléments
Type
Déplacements
1
4
8
10
12
d'éléments
u
3.4964
3.6852
3.7026
3.7047
3.7059
PDLAA
v
3.4964
5.6411
5.7787
5.7954
5.8045
e
0.3496
0.4850
0.4921
0.4929
0.4934
u
-0.4493x.lO-1 0.9954xlO-4
0.9624xlO-3
PMAG
v
0.4493xIO-l
0.185xl0-3
-
O.l516xlO-2
e
0.2289xI0- 1
0.967110-4
0.1295xlO-3
u
3.3167
3.6846
3.6898
3.7047
3.7058
PDLAP
v
5.0492
5.7878
5.7973
5.8193
5.8211
e
0.4412
0.4913
0.4932
0.4940
0.4941
u
-O.4544xIO-l
0.3648xlO-2
PLOYE
v
0.1736
0.4756xlO-2
e
0.5587xIO-l
0.6692xlO-3
u
2.6399
3.6347
3.6898
3.6965
3.7002
PLOYEP
v
4.3676
5.7148
5.7973
5.8074
5.8128
e
0.4323
0.4904
0.4932
0.4937
0.4939
Solution analytique: u = 3.7088 cm; v =5.8258cm et e =0.4945rad.
(éqs.6.2)
Tableau 6.5: Influence du rapport tIR -déplacement au sommet
tIR
PDLAP
PMAG
blocage: PDLAP-PMAG (%)
PDLAP
4.99xl004
0.28599
0.20944
26.8
9.98xI0-4
0.048384
0.044673
7.7
2.5xlO-2
0.2316xlQ-4
0.23057xlO-4
0.4
4.99xlO-2 (1/20)
0.39889xlO-5
0.39883xlO-5
0.0
9.98xlO-2 O/10)
0.50261xlQ-6
0.50259xI0-6
0.0

179
considéré dans un premier temps le problème standard du cadre de Williams (Williams 1969,
Frey 1978; Jetteur et al. 1983). Nos résultats montrés à la fig. 6.7, comparés au test
expérimental, démontrent l'excellente performance de l'élément PDLAP. Pour un seul élément
PDLAP sur la moitié du cadre, on obtient un meilleur comportement que lorsqu'on considère 4
éléments plats PDLAA.
6.3.2.2: Porte-à-faux soumis à deux charges concentrées transversales
L'un des problèmes les plus difficiles à résoudre en analyse non linéaire est celui des
porte-à-faux où le mouvement de corps rigide est très important. Le porte-à-faux soumis à
deux charges concentrées (fig.6.8) a fait l'objet de plusieurs études et peut être à toutes fins
pratiques considéré comme un "Benchmark" en analyse non linéaire géométrique(Ebner et
Ucciferro 1972; Jennings 1978; Wen et Rahimzadeh
1978; de Ville de Goyet et Frey
1984; ... ).
Nos résultats, obtenus pour une discrétisation de 2,4,10 et 20 éléments en 20 pas de
·chargement au total, sont comparés à ceux des autres auteurs pré-cités au Tableau 6.6. Dans
cet exemple, la rotation au bout libre est d'environ 1 rad. Les résultats théoriques avaient été
donnés par Frisch-Fayet par Manuel et Lee (Ebner et Ucciferro 1972), qui avaient considéré
respectivement des analyses directes et incrémentales. Comme on s'y attendait, nos résultats
sont identiques à ceux obtenus par de Ville de Goyet et Frey (1984) qui ont considéré un
modèle de déformation axiale moyenne. Cependant, Wen et Rahirnzadeh (1978), avec la même
hypothèse mais en évaluant la déformation axiale par le tenseur de Green-Lagrange classique
pour le calcul des efforts internes, n'ont pas obtenu de bon résultats. Jennings , par contre a
obtenu de meilleurs résultats avec la théorie des poteaux-poutres, l'équivalent de notre modèle
en formulation lagrangienne totale.
6.3.2.3.
Porte-à-faux avec une charge concentrée au bout libre:
Nous allons considérer quatre cas classiques (figure 6.9) qui ont déjà fait l'objet de
plusieurs recherches (Batoz 1981; Ramm 1981; Bathe et Bolourchi 1979; Talbot 1985;
Jaamei 1986... ).

180
6_----~----....._----
........----"""T"""----"""'T"""----_,
'* 1 élément POLAA
v
4 élément POLAA
51----1
o
1 élément POLAP
-
Expérimentale rI]
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'Q 41-------+-----+--*-:---*-h.lI.;.'"--*-:---*--+--~----+--"-----*-
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~ ~ '1'- v v
*v
* *
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o 2 1 - - - - - J " " - + - - - - - + - - - - - - + - - - - - - - + - - - - - - - + - - - - - - - 1
P
8
2
E = 0.108x10 kNlcm
1
6
EA=1.8849xI0 kN
; L.--,I---+---+--
t
El =9270 kN/cm2
-
~v~ fH=0.386
1.
L =26
.1
rcm]
7 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 o.
Déplacement v
[1] Jetteur et al.,1983 ; Williams. 1964
Fig. 6.7 - Cadre de William.

181
0.85
1.35
A~
t
t
1-2.0 -j.i
u,
~
ttmW@@ t
O•1
1---52.03 --1---50.72--1
V
.
E
7
E= 3.0x 10 kN/cm2
rem]
Fig.6.S -- Porte-Il-faux soumis Il deux charges concentrées.
Tapleau 6.6: Déplacements au bout libre
Nombre d'éléments
Type d'élément
Déplacements
2
4
10
20
PDLAA
uE
31.062
30.773
30.793
30.798
vE
69.392
67.516
67.081
67.016
PDLAP
uE
31.096
30.892
30.760
30.749
vE
67.193
67.092
66.976
66.965
de Ville de Goy~t
uE
31.08
30.84
30.75
30.74
et Frey (1984)
vE
67.32
67.06
66.97
66.96
Wen et Rahirnzadeh
uE
35.92
(1978)
vE

73.06
Jennings (1969)
uE
30.63
30.75
vE
66.76
66.95
Solutions analytiques
Manuel et Lee: uE = 30.75; vE =66.96
(Ebner et Ucciferro
1972)
Elastica (Frisch-Fray) uE = 31.66 et vE =67.31

182
~p
A~------ EluE
t = 0.1 m ; b = 1 m
6
2
....
~I-----IO ""----..1
E '"' 12 x 10
kNlm
liE
a) Exemple A
~EP/I~jE
A~-------
t'"' 0.1 m : b = 1 m
......----lOm----.1
6
2
E
1 - o
.I 1
.
lE 1 2 x 10
kNlm
liE
b) Exemple B
A~
E'\\ UjE.
t =0.1 m ; b = 1 m
1-011--.-----10 m - - - -
..I'M
6
2
E = 1.2 x 10
kN/m
liE
c) Exemple C
. ~ 1cm
1 cm
1
7
2
E = 10 kNlcm
7
2
G =0.5 x 10
kNlcm
d) Exemple D
Fig. 6.9 - Poutre en porte-à-faux.

183
i)Exemple A:
Dans le premier exemple, on considère une charge latérale à l'extrémité libre (fig
6.9a). Une solution analytique basée sur la théorie non linéaire avec l'hypothèse de la non
extension de l'axe moyen a été développée par Timoshenko et Gere (1972). Batoz (1981) a
également étudié à fond ce problème à l'aide d'un modèle de poutre en deux dimensions, en
considérant l'extension de la fibre moyenne.1l a obtenu un élément fini cubique en
membrane et en flexion en description lagrangienne totale.
Nos résultats, obtenus pour 8 éléments PDLAP en dix pas de chargement de P = 0
à P = 10 EI/L2, sont comparés à ceux du modèle de Batoz et à la solution analytique. au
Tableau 6.7. On remarquera que ces résultats collent très bien avec ceux de Batoz et la
solution analytique. Les moments évalués à l'encastrement A par éléments finis concordent
également très bien avec le moment d'encastrement théorique évalué par la fonnule
MA =P(L-uE) où uE est le déplacement axial théorique.
Les Tableaux 6.8 et 6.9 indiquent l'influence du nombre de pas sur les résultats
pour les deux types de [onnulations que nous avons retenues. Pour l'élément PDLAP, on
Tableau 6.7: Résultats comparatifs
Timoshenko et Gere
Batoz (1981)
MEF - 8 Elements
Nombre
(1972)
8 éléments
PDLAP
d'itéra-
tions
PL2
uEjL
vEjL MA*LlEl
uEIL
vEIL
MALlEl
uEjL
vEIL
MALlEl
NITER
El
1
0.056
0.302 0.944
0.056 0.302
0.941
0.056
0.302
0.946
4
2
0.160
0.494
1.680
0.160 0.493
1.667
0.160 0.493
1.680
6
3
0.255
0.603
2.235
0.255
0.604
2.212
0.255
0.605
2.247
4
4
0.329
0.670 2.684
0.329
0.670
2.636
0.328
0.670
2.702
7
5
0.388
0.714
3.060
0.387
0.713
2.987
0.387
0.714
3.067
8
6
0.434
0.744
3.396
0.434
0.744
3.291
0.433
0.745
3.398
6
7
0.472
0.767
3.696
0.472 0.766
3.558
0.469 0.767
3.250
2
8
0.504
0.785
3.968
0.505 0.784
3.795
0.504
0.785
4.075
8
9
0.531
0.799 4.221
0.531
0.798
4.014
0.530 0.800
4.226
6
,
10
0.555
0.811
4.450
0.554
0.809
4.218
0.553
0.811
4.460
5
M A* = P (L - uE) où uE est la valeur théorique de Timoshenko et Gere.

184
Tableau 6.8: Influence du nombre de pas (4 éléments POLAP)
5 PAS
10 PAS
20 PAS
40 PAS
PL~
uEIL
vEIL
uEIL
vEIL
uEIL
vEIL
uEIL
vEIL
El
2
0.161
0.494
0.159
0.493
0.159
0.494
0.159
0.494
4
0.327
0.671
0.326
0.672
0.326
0.672
0.326
0.673
6
0.431
0.747
0.431
0.748
0.432
0.749
0.431
0.749
8
0.500
0.788
0.500
0.789
0.500
0.790
0.500
0.790
10
0.548
0.814
0.550
0.816
0.550
0.816
0.550
0.816
Nb
d'ité-
5.8
5.4
4.6
4.6
ration
moyen/pas
Tableau 6.9: Influence du nombre de pas (4 éléments PDLAA)
5 PAS
10PAS
20 PAS
40 PAS
PL~
uEIL
vEIL
uEIL
vEIL
uEIL
vEIL
uEIL
vEIL
El
2
0.160
0.495
0.160
0.495
0.159
0.495
0.160
0.495
4
0.328
0.674
0.328
0.674
0.327
0.673
0.329
0.673
6
0.435
0.751
0.434
0.750
0.433
0.748
0.436
0.748
8
0.505
0.792
0.505
0.792
0.506
0.791
0.507
0.790
10
0.556
0.818
0.556
0.817
0.557
0.817
0.558
0.816
Nb
d'ité-
5.4
4.9
4.1
3.5
ration
moyen/pas
peut constater que le nombre de pas influence très peu les résultats, tandis l'élément
PDLAA est un peu plus sensible aux incréments du chargement. TI convient de rappeler que
les mouvements de corps rigide ont été traités de la même façon dans les deux cas, tel qu'il
a été exposé au chapitre précédent.

185
Soulignons également qu'à partir de 4 éléments finis, le nombre d'éléments
influencent très peu les résultats, contrairement à ce qu'a obtenu Jaamei (1986) pour une
formulation lagrangienne actualisée (FLA) ou approchée (FLAA). Jaamei entend par FLA,
une formulation lagrangienne totale à l'intérieur d'un pas d'une formulation lagrangienne
actualisée. Nous pensons que cet auteur a obtenu d'aussi mauvais résultats en FLA à cause
du phénomène de blocage en membrane. En FLAA l'influence des incréments de charge
peut s'expliquer par le fait que Jaamei ne tient pas compte des mouvements de corps rigide.
De plus, il actualise la géométrie à chaque itération de Newton-Raphson sans conserver le
domaine d'intégration sur le pas, tel que mentionné au chapitre précédent. Fafard (1987)
n'a pas expérimenté ce problème avec les mêmes éléments que Jaamei en utilisant notre
algorithme. En FLA, pour éviter le blocage de membrane, ce dernier - sur notre conseil- a
considéré une interpolation linéaire pour le déplacement transversal.
La figure 6.10 montre graphiquement la concordance de nos résultats avec la théorie
pour 8 élément finis (PDLAP ou PDLAA). En guise de conclusion, nous pouvons affirmer
que pour cet exemple la précision de l'élément PDLAP est supérieure à celle de l'élément
PDLAA pour un maillage assez grossier (4 éléments) mais que la convergence de ce dernier
est meilleure.
ii)Exemple B
Le cas du porte-à-faux soumis à une charge axiale souvent appelé "poutre d'Euler"
où "élastica", est également très connu dans la littérature (fig. 6.9b). Une solution
analytique a déjà été obtenue par Timoshenko et Gere (1966). Plusieurs autres chercheurs
ont résolu ce problème numériquement bien souvent par une formulation lagrangienne
totale (Batoz
1981; Epstein et Murray
1976; ...) avant l'explosion de la description
lagrangienne actualisée (Talbot 1985; Jaamei 1986; ...)
Pour tracer la courbe charge-déplacement au complet, nous avons utilisé la méthode
de Newton-Raphson standard couplée soit avec une technique de pilotage en charge
(résultats du Tableau 6.10), soit en imposant une longueur d'arc. Au Tableau 6.10, nous
présentons nos résultats, obtenus pour un maillage de 8 éléments PDLAA, en imposant le
chargement de PIPer
°
=
jusqu'à PIPer = 9:116 en 40 pas au total. Pour amorcer le
flambement, nous avons appliqué une charge perturbatrice de P/l 000, tel que suggéré par
Batoz (1981). Ces résultats concordent très bien avec la solution théorique et ceux obtenus

186
(])
0
CD
0
:::-
"-
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Q
0
.Q
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W
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CD
m
CI)
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......
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LD
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)(
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CL
0
Q.
LU
LU
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c::
c::
en
Cl
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(f)
::E
Cl
Cl
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Z
Z
.....
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(Q
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0
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,
cil
EJ
8
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0
..
'----_--'----_--'-1_---'-_ _.1-1_--'_ _--'--_---L.-_-'-I_ _.1..------"" 0
, 0
'0 1
'8
'9
'b
'2
(13/
ld)lN3H39~~HJ no
n~3A1N

~ 1
1
U/L
0...
-
0...
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~
t--
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w
L
W
(D
0:
ru
cr:
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u
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Cl
- -~- -
(4 ELE.
POLAP)
:=:J
cr:
w
- -/'1- -
(8 ELE.
POLRR)
:>
1---1
:z:
{TIMOSHENKO RND~ GERE 19BB}
0 ,
!
,
!
,
I l !
1
!
l
!
!
!
1
!
J
o.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
1.2
1.4
1.6
,.
DEPLRCEMENTS RU BOUT LIBRE
Fig. 6.11 .. Porte·à·faux (charge axiale au bout libre).
.....
co
co

187
Tableau 6.10: Poutre d'Euler - résultats comparatifs
Timoshenko et Gere
Batoz (1981)
MEF
(1966)
PIPcr
uEIL
vEIL
uEIL
vEIL
uEIL
vEIL
1.015
0.030
0.220
0.033
0.227
0.030
0.219
1.063
0.119
0.422
0.116
0.418
0.114
0.415
1.152
0.259
0.593
0.254
0.589
0.256
0.591
1.293
0.440
0.719
0.434
0.716
0.437
0.719
1.518
0.651
0.792
0.645
0.790
0.648
0.792
1.884
0.877
0.803
0.875
0.803
0.874
0.805
2.541
1.107
0.750
1.105
0.750
1.104
0.753
4.029
1.340
0.625
1.338
0.624
1.337
0.628
9.116
1.577
0.421
1.572
0.420
1.570
0.427
par Batoz à l'aide de son élément cubique en membrane et flexion, tenant compte de
l'extension de l'axe moyen. Nous avons noté par ailleurs que les résultats ne changent pas
de façon significative lorsqu'on retire ou non la charge perturbatrice en cours de
chargement lorsque le flambement est assez bien amorcé.
La figure 6.11 montre la concordance de nos résultats avec la solution analytique
pour un maillage de 8 éléments PDLAP, avec un pilotage en longueur d'arc. Pour amorcer
le flambement, la géométrie a été perturbée par le premier mode propre obtenu par la
méthode des valeurs propres (pour plus de détails, voir Fafard 1987), l'imperfection
initiale étant prise égale à L/1000. La courbe complète pour PIPer compris entre 0 et 4 a été
obtenue en 38 pas.
Dans tous les cas, le critère de convergence a été fixé à 0.001 et le nombre
d'itérations maximum par pas n'a jamais dépassé 8 avec un minimum de 3. A titre de
comparaison, signalons que Jaamei, pour résoudre le même problème avec PIPcr compris
entre 0 et 3 et une description lagrangienne actualisée approchée où il actualise la géométrie
à chaque itération, a dû considérer 300 pas de chargement avec un maximum de 90
itérations par pas.
üi)Exemple C
Considérons maintenant le cas du porte-à-faux montré à la figure 6.9c, soumis à

189
un moment constant. Le moment total pour courber la barre sous forme d'un cercle est
Mz==27tEIziL. Plusieurs auteurs ont déjà résolu numériquement ce problème(Batoz 1981;
Epstein et Murray 1976, a; Jaamei 1986; Bathe et Bolourchi 1979; Bathe et Ho 1981;...)
en utilisant différents types d'éléments. Nos résultats, obtenus pour 4 éléments finis
PDLAA et PDLAP sont présentés au Tableau 6.11 en comparaison avec la solution de
référence de Batoz (1981). Ce dernier a utilisé 4 éléments finis, cubiques en membrane et
flexion, tel que mentionné précédemment, et a considéré un nombre de 20 pas au total.
Nous avons considéré 10 pas pour tracer au complet la courbe de chargement. Comme on
pouvait s'y attendre, les éléments PDLAP étant plus sensibles au mouvement de corps
rigide, donc à une flexion pure, ont montré une convergence plus lente mais ont donné des
résultats très précis; ce qui confirme que le blocage en membrane a été éliminé. La courbe
charge-déformation est montrée sur la figure 6.12.
Tableau' 6.11: Résultats comparatifs du porte-à-faux soumis à un moment constant.
Batoz (1981)
PDLAA
PDLAP
10 MEL
uE/L
vE/L
uE/L
vE/L
uE/L
vE/L
7tEI
2
0.064
0.304
0.063
0.304
0.064
0.304
4
0.238
0.545
0.240
0.552
0.242
0.550
6
0.495
0.694
0.490
0.701
0.492
0.697
8
0.765
0.720
0.762
0.732
0.761
0.727
10
0.997
0.638
0.999
0.654
0.996
0.650
12
1.151
0.485
1.161
0.499
1.157
0.498
14
1.212
0.308
1.227
0.314
1.224
0.316
16
1.191
0.151
1.202
0.148
1.203
0.152
18
1.115
0.045
1.113
0.038
1.118
0.041
20
1.017
-0.001
1.000
0.0017
1.009
0.0002
Critère
de conver-
0.001
0.001
0.0001
gence
Remar-
20 pas avec une
10 pas avec une
10 pas avec une
ques
itération moyenne
itération moyen-
itération moyenne
de 14.7
ne de 5.3
de 10.2

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1
Cl
'2
8"1 9'1 17'1 2
l
'1
8 '09 '0 17'02·0 .~
[I3/lWl
lN3W3988Hj
no n83~IN

191
iv)Exemple D:
Considérons le quart de cercle montré à la figure 6.9d. Ce problème a été traité par
Bathe et Bolourchi (1979) à l'aide d'un élément de poutre tridimensionnel de l'ingénieur
incluant le cisaillement transversal, en fonnulation lagrangienne actualisée. Sur la figure
6.13 nous comparons nos résultats à ceux de Bathe et Bolourchi. On peut conclure que les
deux solutions concordent assez bien sauf pour le déplacement u. Bathe dans sa publication
donne seulement les déplacements obtenus pour PR2/EI égal à 3.6 et 7.2; soit
respectivement (uE = 11.5, vE = 39.5 et wE = 6.8) et (uE = 23.5, vE = 53.4 et wE =
13.4). Le Tableau 6.12 donne les déplacements obtenus en 12 pas de chargement pour faire
passer la charge de PR2/EI = 0 à 7.2 pour 8 éléments PDLAA ou PDLAP avec une itération
moyenne de 5.4 dans les deux cas. Mentionnons que Bathe et Bolourchi ont résolu le
même problème en 60 pas pour le même nombre d'éléments de poutre que nous. Pour
vérifier leur solution, ils ont utilisé 16 éléments solides de 16 noeuds en 3 D. On peut
constater qu'à la configuration finale, nos résultats diffèrent au maximum de 4.3% par
rapport à ceux de Bathe pour le déplacement u (Tableau 6.12). Cet écart peut être attribué à
plusieurs facteurs, mais nous croyons que cela est dû à la précision des données et au fait
que nous négligeons le cisaillement.
6.3.3
Conclusion partielle et remargues
Ces premiers tests numériques, nous permettent de conclure qu'en analyse
élastique linéaire ou non linéaire, notre modèle donne d'excellents résultats. Il va sans dire
que la technique de pénalité ou de défonnation moyenne est efficace pour traiter les
problèmes de blocage de membrane et que d'une manière générale, l'élément POLAP dit de
Marguerre est supérieur à tous les éléments que nous avons considérés dans les
paragraphes précédents. Ainsi, dans le domaine inélastique, nous ne considérerons que
l'élément PDLAP. TI faut tout de même signaler la perfonnance extraordinaire de l'élément
PDLAA (poutre droite) dans plusieurs cas où le mouvement de corps rigide est important.
Nous pouvons conclure également qu'au-delà de 8 éléments finis dans un maillage, on peut
utiliser presqu'indifféremment l'élément plat (PDLAA) ou courbé (PDLAP) sans changer
les résultats de façon significative.

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(FEM)
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u / R
(PDLAA et PDLAP)
v/R
(PDl.AA et
PDLAP)
o
w/R
(PDLAA et
PDLAP)
o
[Bathe
et
Bolourchi. 1979]
o
0.0
0.2
0.4
0.6
Deplacement
au
bout
libre
.......
co
Fig. 6.13 -- Qusrt de cercle en porte-à-fsux soumis à une force concentrée su
1\\)
bout libre.

193
Tableau 6.12: Quart de cercle chargé latéralement
8 éléments PDLAA
8 éléments PDLAP
PR2
uE/R
vE/R
wE/R
uE/R
vE/R
wE/R
El
0.6
0.0042
0.088
0.0043
0.0043
0.088
0.0043
1.2
0.018
0.171
0.014
0.018
0.171
0.014
1.8
0.038
0.243
0.027
0.038
0.243
0.027
2.4
0.061
0.303
0.042
0.061
0.303
0.042
3.0
0.085
0.353
0.057
0.085
0.353
0.057
3.6
0.109
0.395
0.072
0.109
0.394
0.072
4.2
0.132
0.429
0.086
0.132
0.428
0.085
4.8
0.154
0.456
0.098
0.154
0.456
0.098
5.4
0.174
0.481
0.110
0.173
0.480
0.110
6.0
0.192
0.501
0.120
0.192
0.500
0.120
6.6
0.209
0.518
0.130
0.209
0.517
0.130
7.2
0.225
0.533
0.139
0.224
0.532
0.139
Erreur au
dernier pas (4.3%)
(0.2%)
(3.7%)
(4.3%)
(0.2%)
(4.3%)

194
6.4.
QuelQues exemples d'application simples
Suite aux tests que nous venons de faire, nous avons choisi quelques exemples
plus ou moins pratiques, mais très simples qu'on peut trouver dans la littérature, pour
illustrer surtout certains aspects particuliers de notre modèle.
6.4.1.
Analyse non linéaire élastiQue post-flambement
6.4.1.1.Porte-à-faux avec charge axiale uniforme
Pour mettre en évidence l'importance de la précision sur le calcul de la charge
axiale, nous avons considéré le porte-à-faux montré à la figure 6.2a, soumis à une charge
axiale uniforme p.II s'agit en fait du porte-à-faux que nous avons étudié au paragraphe
6.3.2. En tenant compte de la variation de l'effort normal dans la barre, nous avons ramené
le nombre d'éléments nécessaires pour assurer une convergence du problème de 10 à 5.
Autrement dit, lorsque nous considérons la contrainte axiale constante par élément, nous
convergeons toujours à la même réponse mais en prenant un minimum de 10 éléments. La
courbe charge-déplacement pour plPcr compris entre 0 et Il est montrée sur la figure 6.14.
6.4.1.2.CloQuage d'arcs
Les problèmes de cloquage d'arcs sont assez fréquents en structures. Pour tester
notre modèle, nous avons considéré trois arcs de différents rayons qui ont été initialement
étudiés par Sabir et Lock (1972) et qui sont soumis à des forces concentrés au sommet et
un arc sinusoïdal chargé uniformément (charges conservatives)(fig. 6.15). Les
caractéristiques mécaniques et géométriques des trois premiers arcs sont celles de Sabir et
Lock. Nous avons simplement remplacé les unités impériales par des unités SI. Dans tous
les cas, la moitié seulement des arcs (rotulés aux extrémités), a été modelisée par 8 éléments
PDLAP en raison de la symétrie. Les solutions ont été obtenues par pilotage en
déplacement imposé.
Les résultats obtenus pour les trois arcs circulaires (fig. 6.15 a) sont montrés à la
figure 6.16. Nos résultats concordent très bien avec ceux de Sabir et Lock ainsi que ceux

195
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L:: 100cm
y :: H sin 7T1l / L
I z :: 1.0 cm4
L:: I<X>Q cm
A:: 1.0 cm 2
H:: 20 cm
E::
7
10 kN/cm 2
t :: 1cm
b :: 20 cm
RI = 250 cm
HilL 1 :: 5.05 x la
5
E:: 2.1 x la
Rz:: 400 cm
H2/L2 =3.14 x la
R =
=
3
800 cm
H3 /L3
1.56 x la
8) Arcs soumis à une charge concentrée
b) Arc slnusoidal soumis à une charge
uniforme
Fig. 6.15 •• Cloquage d'arcs.

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D"l P i CI Ge n. e n t
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R
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3 U rTl n. et
~
<0
-..J
Fig. 6.16 -- Claquage d'un arc soumis à une charge concentrée su sommet.

198
de Vaugrante (1983) qui a étudié le problème avec un élément [mi identique à celui de Batoz
(1981). On remarquera que l'arc surbaissé (R = 800cm) aurait facilement pu être résolu en
charge imposée.
Concernant l'arc sinusoïdal, nous avons calculé la solution analytique à l'aide
d'une équation non linéaire présentée par Timoshenko et Gere (1966). Les résultats
obtenus par notre modèle pour le déplacement v au sommet et la poussée dans l'arc à
l'articulation, sont comparés aux solutions théoriques aux figures 6.17 et 6.18. On note
une très bonne concordance entre les résultats théoriques et les résultats numériques.
6.4.1.3 Problème de déversement latéral
Outre le problème de flambement, le déversement latéral des barres est l'un des Cas
de stabilité les plus fréquents en structures et spécifiquement dans l'industrie du bâtiment.
Nous avons donc considéré trois exemples de déversement (fig. 6.19).
i)cas A- lame soumise à une charge latérale au bout libre.
Ce problème a également été traité par Talbot (1985) et Fafard (1987) avec des
éléments de coques en formulation lagrangienne actualisée. Nous avons retenu les mêmes
propriétés mécaniques que ces derniers (fig. 6. 19a).
Nos résultats, obtenus pour un maillage de 8 éléments (PDLAA ou PDLAP) sont
montrés aux figures 6.20 à 6.23. Soulignons que c'est un exemple qui a été très difficile à
traiter, les déplacements étant très grands. La rotation autour de l'axe longitudinal x, par
exemple, est supérieure à 1 rad. lorsque la charge dépasse deux fois la charge critique. La
courbe complète a été tracée en imposant la forme propre normalisée à L/1000 comme
déplacement initial de la poutre. La charge critique a été obtenue par la formule
(Timoshenko et Gere 1966):
lEïC
P
_
,,~~z'-"
cr -
(6.4)
Y2
2
L
où C = GJ est la rigidité torsionnelle, Elz est la rigidité flexionnelle autour de l'axe faible et

0 . ..30
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W
1
j
1
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r
Solution analytique
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1
1
[Timo3henko et Gere.
1966]
0 . 1 0 1
1 1 6
Nos Rp.3ultab (MEF)
o.S
1.0
-1.S
DeplocelTlent
ou
sornnîet
- L
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Fig. 6.17 -- Claquage d'un arc sinus aidaI.

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b =10 em
u
t =O.Sem 4
E
2
= 1.2 x 10
Nlem
i0oi141---- 120cml-,- - -•.1
71,
u =0.2
a) Cas A : Déversement 6Btéral d'une lame.
~
v~
A~_4-s.m--l 71, I W200x278
E =2.0 x 10
kPa
7
G =7.7x 10 kPa
b) Cas B : Déversement latéral d'une poutre en 1 (section symétrIque)
Py
~---------tL~ L~0.2~
8
E = 2.0 x 10
kPa
A~1""4~
~I:\\
'0
8
m
JE
Mx
.!
-.l
G= 10
kPa
t---i
0.1
Py -1.5 kN
Pz
- 0.4 kN et Mx - 0.1 kNm
c) Css C : Déversement IBtéral d'une poutre en 1 (section non symétrique)
Fig. 6.19 •• Exemples de déversement Istérsl.

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1.0
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z
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6
Deplacement vertical u (cm)
oDe pla ce men t vertical v (c m)
o
Deplacement lateral w (cm)
-
FEM Fafard [1987]
0.0 l
!
!
1
1
o
10
20
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40
5 0
60
Deplacements
au
bout
libre
1\\)
o
1\\)
FIg. 6.20 -- Déversement d'une Isme. Déplscement su bout libre.
(8 éléments PDLAP)

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-
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Re"ultats
(1::1
el",n,ents
PDLAA
)
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D"'place~"'nt lateral w
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Fafard
[1987]
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Deplacement
lateral
au
bout
libre
1\\)
Fig. 6.21
Dév,!rsement d'une lame. Déplacement latéral.
a
w
(8 éléments PDLAA)

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R",,"ultab (8 elem",nb PDL.AA )
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bout
libre
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Déversement d'une lame. Déplacement u et v.
1\\)
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1
1
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0 . 4
0.7
1 .1
1 .4
Rotat;on
Phi(Raci)
au
bout
libre
f\\)
o
Fig. 6.23 .• Déversement d'une lame. Rotation
cP.
(JI

206
Y2 est une fonction de C et de Cl = EIO). La constante Cl représente une rigidité au
gauchissement égale à zéro dans le cas d'une lame.
il nous a fallu 500 pas (! ) pour atteindre 2.27 Pcr avec les éléments de Marguerre,
tandis 350 pas ont suffit pour atteindre 7 Pcr avec des éléments PDLAA. La précision dans
les deux cas a été fixé à 0.0001 et le nombre d'itération moyen était d'environ 4.
La comparaison avec la solution de Fafard (1987) pour le déplacement transversal
W, montre une bonne concordance jusqu'à 40 cm environ. Au delà de cette valeur les
résultats semblent très différents même si les deux modèles donnent le même déplacement
limite. Nous pouvons justifier cette différence par plusieurs facteurs:
- Le cisaillement est négligé dans notre modèle, ce qui n'est pas le cas pour
l'élément de coque utilisé par Fafard,
- Présentement dans le modèle, nous avons négligé ce que nous avons appelé au
chapitre 3, le gauchissement secondaire qui est implicite dans le modèle de Fafard.
- La rotation de corps rigide autour de l'axe de la barre est approximée par sa
moyenne aux deux noeuds de chaque élément, ce qui n'est pas très satisfaisant lorsque les
rotations deviennent très grandes.
- Nous croyons également que le fait que les modèles de Fafard et de Talbot ne
tiennent pas compte du mouvement de corps rigide, puisse influencer leurs résultats, même
si ces derniers sont plus fiables, étant basés sur moins d'hypothèses simplificatrices.
ii) Cas B- poutre en 1 (section doublement symétrique)
Nous avons aussi considéré le cas d'une poutre en 1 où il exist~ un gauchissement
de la section. Pour ce cas, nous avons appliqué une charge perturbatrice de P/1000 dans le
plan faible de la section. La charge critique théorique est donnée par l'équation (6.3). Ce
cas a été moins difficile à traiter. La courbe de P = aà 4 Pcr a été obtenue en 107 pas au
total pour une précision de 0.0001 et ce pour un maillage de 8 éléments PDLAP (fig 6.24).
A la figure 6.25, nous présentons la courbe de l'évolution des moments de torsion Mx et
du binoment Mw à l'encastrement. Des résultats quasi identiques ont été obtenus avec 8

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Il
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o
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o
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,..
+
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V I I
1
Il
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0 . 1 0
0 . .30
0.40
1\\)
o
......,
Fig. 6.24 -- Déversement d'un porte-s;.faux (W200x27). Déplacements au bout libre.

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Z
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Resultats (8 cie POLAA ou p)
o
Moment Mx (kNm)
+
Moment Mw (kNm~
0.0 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o
7
14
21
28
35
Moments
de
torsion
et
bimoment
en
A
1\\)
o
Fig. 6.25 -- Déversement d'un porte-a-faux (W200x27).
Efforts de torsion.
(Xl

209
éléments PDLAA. On remarquera que le bimoment est environ égal aux deux tiers du
moment de torsion total Mx dans la configuration finale et que l'écart entre ces deux
moments s'élargit au fur et à mesure que la charge augmente; ce qui signifie que dans le cas
de sections doublement symétriques, les moments élevés de torsion seront pratiquement
repris par la torsion pure de 5t-Venant et que le gauchissement pourra alors être négligé.
iü)Cas C - poutre en l (section mono symétriQue)
C'est un cas qui a été traité initialement par Wunderlich et Obrecht (1980) pour
étudier l'influence de la symétrie sur la sévérité du gauchissement. Nous avons gardé la
même section que ce dernier mais puisque nous ne disposons pas des propriétés
mécaniques initialement utilisées, nous avons choisi d'utiliser les propriétés montrées à la
figure 6.19c.
Les courbes de déplacements (u,v, w, et <1» et des efforts résultants (Mx' My, Mz
et Mw) en fonction du paramètre de charge À sont montrées aux figures 6.26 à 6.28. Le
paramètre de charge critique Àcr a été calculé par la méthode des valeurs propres
(Àcr=4.027). On peut voir que les déplacements sont petits comparés à ceux de la lame"
étudiée précédemment, sauf pour les rotations qui sont à peu près du même ordre de
grandeur. La figure 6.27, montre que le moment de flexion Mz' autour de l'axe fort de la
section reste pratiquement linéaire tout le long du chargement. A la figure 6.28,
l'importance du gauchissement est évidente et le bimoment n'est pas non "plus négligeable.
6.4.2
Analyse non linéaire complète (géométrie et matériau)
6.4.2.1.Flexion pure d'une poutre cantilever suivi de décharge
Dans le but de tester notre modèle en plasticité, nous avons considéré la poutre
console montrée à la figure 6.29, qui a déjà été étudiée par Frey (1978) et nous avons gardé
les mêmes propriétés mécaniques que ce dernier. C'est un problème qui n'est que

2.8
2.1
..---.
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~
CL
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(1)
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1.4
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0.0
0.5
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2.0
Deplacements
au
bout
libre
N
.......
Fig. 6.26
Porte-à-faux dans l'espace (section monosymétrlque).
o

2.8
2.1
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1
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li bre
N
.....L
Fig. 6.27 -- Porte-a-faux (section monosymétrlque). Efforts de flexion.
.....L

2.8 1
1
1
1
1
2.1
----
L-
U
Q..
'-..."
Q..
' - - '
......
C
IV
E
IV
1.4
O'l
L-
a
-c
u
::J
-0
::J
a
IV
>
Torsion Mx (kNm)
Z
0.7
8imoment Mw (kNm 1)
"
0.0 o
6
12
18
24
~
Efforts
de
torsion
a
l'encastrement
Fig. 6.28 -- Porte-a-faux (section monosymétrlque). Efforts de torsion.
N
--L
N

Cl
ru 1
-;1IJ 1(
/.n ~ 20cm ~
UJ
--J
-
:z:
:z:
m
(
/n · ,..
w
Cl
f = 1.2 cm
b = 10 cm
CJ
E = 2000 f/cm2
1--
O""e= 4 f/cm2
fi:
Ifli
1
/
/
W
W
:=J
cr
1(
1---<
---l
~r
1
1
COURBE ANALYTIQUE
1
1
r::J
10 PTS DE GAUSS
Q...
0....
cr:
1
....
/
~
10 PTS DE RADAU
,
1
w
~\\-
/~ 1(
lD
1
~
8 PTS DE GRUSS
0:
cr:
n
:::r::
u
C l y
1
1
1
1
/
ml
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o.
O. 05
O. 1
O. 15
0.2
0.25
0.3
O. 35
0.4
DEPLRCEMENT VICMI RU BOUT LIBRE
Fig. 6.29 -- Flexion pure élasto-plastlque d'une console.
1\\)
- L
W

214
matériellement non linéaire et le matériau est supposé élastique- parfaitement plastique. La
courbe de la figure 6.29 montre nos résultats comparés à une solution analytique de
plasticité classiq ue des poutres (Massonnet et Save 1972) pour deux types de quadratures
d'intégration numérique. L'étude avec des nombres de points d'intégration différents est
montrée au tableau 6.13. On peut conclure que 8 points d'intégration à travers la hauteur
suffisent pour obtenir d'assez bons résultats, tandis que dans le cas élastique- parfaitement
plastique, 5 points conduiraient prématurément à une rotule plastique. On notera également
que nos résultats sont identiques à ceux de Frey et que l'erreur qu'il semble y avoir pour les
moments élevés vient du fait que la courbe charge-déplacement est très plate à ces niveaux
de chargement. Signalons pour terminer qu'un élément POLAP a été suffisant avec une
précision de 0.001 et que le moment plastique théorique total de la section est de 120 t cm.
Tableau 6.13: Flèche en mm au bout libre.
Nombre de points d'intégration transversale
Mo(tcm)
Référence
GAUSS
RADAU
5
8
10
5
6
8
10
80
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
90
0.924
0.923
0.918
0.943
0.925
0.912
0.928
0.924
100
1.164
1.130
1.124
1.086
1.071
1.148
1.118
1.131
110
1.404
1.622
1.614
*
1.810
1.624
1.558
1.600
115
*
2.331
2.370
*
2.179
2.565
2.561
2.263
* Tous les points sont plastifiés et on obtient une matrice singulière
6.4.2.2.Torsion pure d'une poutre cantilever suivi de déchar~e
Pour vérifier la distribution de la contrainte en torsion pure, nous avons considéré
la poutre AE de la figure 6.30, soumise à une torsion pure, le gauchissement étant libre
aux deux extrémités. Le moment de torsion limite de la section, en considérant les théories
de plasticité classiques en torsion("l'analogy of sand-heap" de Nadai) est donnée par

b= 10 cm
®J
Conditiol"'s limites en A:
®
t = 5 cm
M.
1
• •
E = 2000 t/cm 2
u=v=w=8.=8y=8z=0
v=0.3
Le gauchissement est libre
1----- 20cm ----J
G"e = 4 t/cm 2
3 0 0
Mx max ~ 2.88.ïS tcm
I:!>
o
..-..
1
1
lf'N
E
1
0
1
I:!>
u
2 0 0
-+-'
' - - '
x
2
-+-'
C
<lJ
E
<lJ
f-
I /
0
1
/
1
10 Pts de Radau
en
I:!>
1....
0
-c
u
Y
1
I:!> 10 Pts de Gauss
1
1
::::J
""Cl
::::J
1
/
1
/
1
1
o 5 Pts de Gauss
0
1 0 0
<lJ
>
z
r
o 5 Pts de Radau
1
1
0
/ I:!> 1
1
"
o III:!>
o
0 . 0 0
0 . 0 4
0 . 0 8
0.12
0.16
0 . 2 0
Rotation
au
bout
libre
Phi(Rad)
N
......
Fig. 6.30 -- Porte-à-~aux soumis à un moment de torsion pure.
Ul
(de Saint-Venant)

216
(Courbon 1971; Cook et Young 1985):
M
= 1/2 bt2 t
(6.5)
"'"'"x max
y
et le couple de torsion élastique maximum est:
M
= 1/3 bt2 t
(6.6)
·'"'"xe
y
où b et t désignent la largeur et l'épaisseur de la section tandis que t
est la limite élastique
y
en cisaillement pur, soit (Critère de Von Mises):
cr
t
_ _
e
Yf3
(6.7)
Dans notre cas, nous avons M xe = 192.5 tcm et Mxmax = 288.75 tcm. Nos résultats sont
montrés au tableau 6.14 et à la figure 6.30. On observe, comme dans le cas précédent, une
divergence des résultats lorsqu'on approche la charge limite. Le modèle numérique a prédit
exactement le couple de torsion élastique maximum. A la valeur du moment limite, tous les
points étaient plastifiés et on avait une matrice singulière. On peut également voir que 5
points d'intégration peuvent suffIre dans la plupart des cas.
Tableau 6.14: Rotation au bout libre du porte-à-faux. (torsion pure)
Nombre de points d'intégration à travers l'épaisseur 1.
Couple de
torsion
RADAU
GAUSS
tcm
10
5
10
5
0.96250E+Ü2
0.30030E-01
0.30ü30E-0 1
0.30ü30E-01
0.30ü30E-01
0.1 9250E+03
0.60061E-01
0.60067E-0 1
0.60060E-o 1
0.60060E-01
0.21175E+03
0.67177E-01
0.68653E-01
0.67099E-01
0.66066E-01
0.23100E+03
0.77268E-01
0.77233E-01
0.78117E-01
0.80218E-01
0.25025E+03
0.97228E-01
0.85813E-0 1
0.94998E-01
0.94644E-01
0.26950E+03
0.12369E+00
*
O.13üü4E+OO
0.10907E+00
* Matrice singulière

217
6.4.2.3.Flexion biaxiale d'un poteau en 1
Nous avons considéré l'exemple du poteau en 1 (fig. 6.31) qui a été testé
expérimentalement par Birnstiel (spécimen n07) (1968) et qui a été étudié par Epstein et al.
(1978) à l'aide d'un élément semblable au nôtre en fonnulation lagrangienne totale, où le
module de cisaillement est supposé constant lors de la plastification. De plus, Epstein a
considéré une distribution standard non équilibrée de la contrainte résiduelle (fig. 6.31 b).
Le même poteau a également été modélisé par Fafard (1987) par des éléments de coque
quadratiques en membrane. Pour fins de vérification avec ce dernier, nous avons aussi
considéré une distribution de contraintes résiduelles équilibrée (fig 6.31c), de même qu'un
cas où l'on néglige la contrainte résiduelle. Les résultats comparatifs des trois modèles et du
test expérimental sont montrés aux figures 6.32 à 6.37. Les charges ultimes obtenues sont
présentées au tableau 6.15. On constate d'une manière générale qu'il existe une bonne
corrélation entre les résultats numériques et le test expérimental. Le mode de flambement
concorde assez bien avec celui observé expérimentalement. Cependant, on peut remarquer
que, mis à part le cas où la contrainte résiduelle est négligée, le modèle de plaque donne une
charge ultime légèrement inférieure à celle du modèle de poutre. En équilibrant les
contraintes résiduelles, on améliore les résultats surtout pour le modèle de plaque. On peut
aussi noter que la charge ultime du modèle numérique ne varie pas beaucoup lorsqu'on
néglige les contraintes résiduelles.
Tableau 6.15: Charges ultimes en KN
Contraintes résiduelles Notre modèle Fafard (1987)
Epstein et al (1978)
Non équilibrées
344.21
335.43
346.94
Equilibrées
345.07
342.7
Sans contraintes
résiduelles
349
353.2
Test (Birstiel 1968): 340.7

218
Ir)
r fN...
CID
0
~
-l
..
:
A
A
z
L
N
8
1
1.
127
~
[mm]
Coupe A-A
a) Caractéristiques géométriques
-34.5
-34.5
-34.5
-34.5
[kN/mj
b) Contraintes résiduelles
c) Contraintes résiduelles
non-équilibrées
équilibrées
fT, .238 MPo
E : 207 QCX:) MPo
Et : 5175 MPo
aOOl15
0.0152
d) Courbe contralnte-déformatlon
Fig. 6.31 •• PoteBu soumis à /B flexion-torsion.

219
r-----=-----------------------~O
n
Ln
(\\J
CD
CD
m
r--
CD
CD
r--
Cf)
-J
m
m
o
W
1-
(\\J
1-<
a:::
1-
1-
Cf)
-J
Z
::J
o
>-
Cf)
a:
a:
a:::
1-<
W
a:::
a:
m
a:
u..
a:
a:::
::J
Cf)
w
u..
::E
Ln
o
o
z
::E
Cf)
W
1-
u..
Cf)
W
1-
Ln
o
Ln
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. 0 S2 . 0 0 . 0 SI' 0 0 1
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Ln
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ru
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ru
x
TESTS DE BIRNSTIEL
1 1988 1
(')
NOS RESULTATS
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FEM FAFARD
1987
=
-'
=
~
FEM MURRAY
[
1978
Ln
=1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
O.
0.005
0.0\\
0.015
0.02
0.025
0.03
,.
PHI
(RAO)
Fig. 6.33 -- Rotstlon cp sutour de X à m/·trsvée du potesu.
Flexion bisxlsle svec contrslnte résiduelle non équilibrée.
1\\)
1\\)
o

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TESTS DE BIRNSTIEL
[
1968
1
Cl
Ln
o
NOS RESULTATS
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FEM FRFRRD
[
1987
J
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=
Ln
=1
1
1
1
Y
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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JO.
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1
1
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~Ig. O.,Jq. .- Ot:pliicemeiits t;â;;5a,;~r58:'::: è m.-t!!!'-'~~ _!! POtIff9U-
Flexion biaxiale avec contrainte résiduelle équilibrée.
1\\)
1\\)
.....

Cl
=
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Ln
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TEST~1 DE BIRN5TIEL [
1888
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1
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Ln
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1
1
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1
1
1
1
1
o.
o. 02
O. 025
O. 03
PH l
(RAO)
Fig. 6.35 -- Rotation if; autour de X à ml-travée du poteau.
Flexion biaxiale avec contrainte résiduelle équilibrée.
'"
'"'"

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=
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Ln
M
~~~~~~~~~~~~~~~~
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TESTS DE 8IRNSTIEL
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19E1a
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NOS RESULTATS
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1
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Ln
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1
1
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1
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1
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1
1
1
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O.
5.
10.
15.
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25.
JO.
V (MM)
W (MM)
Fig. 6.36 •. Déplacements transversaux à m/·travée du poteau.
Flexion biaxiale sans contrainte résiduelle.
1\\)
1\\)
w

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TESTS DE BIRNSTIEL
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1988
1
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NOS RESULTATS
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FEM FAFARD
[
1987
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L.f)
,
,
1
1
1
1
1
'=',
J
1
1
1
1
0.03
O.
O. 005
O. 01
O. 015
O. 02
O. 025
PH l
(RAD)
Fig. 6.37 -- Rotation <p autour de X à ml-travée du poteau.
Flexion biaxiale sans contrainte résiduelle.
1\\)
1\\)
~

225
6.4.2.4.Exemple d'un cadre spatial
Le but ultime de notre recherche étant le développement d'un modèle pouvant
simuler le comportement en trois dimensions des bâtiments industriels, nom, avons
considéré le cadre spatial montré à la figure 6.38, où plusieurs types de charges sont
appliquées pour illustrer la performance générale du modèle. C'est un cadre qui a été
initialement étudié par Akermann par une méthode matricielle dite" Small fmite deformation
transfer matrix method", tel que rapporté par Ramm (1983). Akermann a obtenu une charge
ultime À égale à 2.963. Ramm, à l'aide d'un élément semblable au nôtre mais rectiligne,
u
en considérant un maillage de 6 éléments finis par poutre a obtenu une charge ultime
légèrement plus faible (À = 2.957) suivi d'une légère décharge. Les résultats que nous
u
avons obtenus sont comparés à ceux de ces auteurs à la figure 6.39. Nous avons considéré
les mêmes caractéristiques du cadre, le même maillage et un matériau élastique-parfaitement
plastique. On peut en conclure une excellente performance de notre modèle qui donne une
charge ultime encore plus petite, soit À = 2.940. D'après nos résultats, c'est le poteau 1-2
u
de la figure 6.38 qui s'est partiellement plastifié, sans pour autant former une rotule
plastique, en entraînant la ruine du cadre. Le même résultat été observé par Ramm .
6.5.
Conclusion du chapitre
A l'aide de plusieurs exemples, nous venons de montrer que notre modèle de
poutre en trois dimensions donne de très bons résultats dans ses limites d'appbcations
évidemment. Il faut rappeler que l'élément courbé de Marguerre donne de meilleurs
résultats dans tous les cas mais présente parfois des difficultés de convergence, surtout
lorsque le mode de flexion est prédominant dans la structure. L'écrouissage isotrope que
nous avons considéré en plasticité semble très justifié pour les types de chargement que
nous avons considérés dans nos analyses.

226
l
HEB 300
L: Goocm
0 : 100 cm
b: 10 cm 4
E: 2.1110 kN/cm2
lJ: 0.3
p: I(X)() kN
P, : 0.1 kN/cm
H: 20 kN
O"r: 24 kN/cm 2
Et: 0
Fig. 6.38 -- Exemple d'un cadre spatial.

227
r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , U l
El
El
El
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111
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111
"'"""L
' U
'2

• 1
'0

CHAPITRE VII
APPLICATIONS AUX BATIMENTS INDUSTRIELS
7. 1
Généralités
La dernière étape de cette recherche consiste à étudier la stabilité des poteaux dans
les bâtiments industriels (fig.l.I), soit en d'autres termes, à étudier les systèmes
poteaux-entremises-diaphragme (PED). Dans ce qui suit, nous allons présenter brièvement
notre modèle de simulation des systèmes PED ainsi que deux autres modèles qui ont été
développés dans le cadre du même projet pour fins de vérification. Nous allons ensuite
présenter quelques résultats d'analyses effectuées dans les domaines linéaire et non linéaire,
pour valider le modèle.
7.2
Modèle PED - 3 dimensions CPED-3D)
7.2.1
Hypothèses de base
Le componement réel d'un système poteaux-entremises-diaphragme est fon
complexe et un modèle numérique exact serait onéreux et, par le fait même, inapplicable à
ce genre d'analyse dans le contexte informatique qui prévaut actuellement à l'Université
Laval. Nous avons donc admis un cenain nombre d'hypothèses selon les observations qui
ont été faites lors de tests expérimentaux et d'autres analyses numériques:

229
- La tôle sera assimilée à une coque orthotrope dont on déterminera des propriétés
mécaniques équivalentes.
- Il a été observé lors des essais que la tôle reste élastique tout le long du
chargement. On peut donc considérer uniquement une analyse géométriquement non
linéaire (Apparao 1968; Errera 1965; Atrek et Nilson 1980; ...).
- Les assemblages poteaux-entremises et entremises-diaphragme seront remplacés
par des éléments ressorts de rigidité constante afin de nous permettre de tenir compte des
assemblages semi-rigides. Étant donné que nous ne considérons qu'un comp0l1ement
global de la tôle qui constitue le diaphragme, les joints de couture de ce dernier ne seront
pas considérés dans cette analyse.
- Nous considérons une analyse non linéaire incrémentale (description
lagrangienne actualisée) pour déterminer la charge ultime des poteaux tandis que la méthode
des valeurs propres nous permet de déterminer la charge critique élastique du système.
7.2.2
Discrétisation du système PED
Comme mentionné ci-dessus, chaque composante du système est discrétisée dans
notre modèle par un type spécifique d'élément fini. Les poteaux et entremises ont été
simulés par l'élément de poutre qui a été développé et présenté dans les chapitres
précédents.
7.2.2.1 Modélisation de la tôle ondulée
Le diaphragme a été simulé par des éléments plats triangulaires de coque oI1hotrope
de type DKT en formulation lagrangienne actualisée. Cet élément, représenté sur la figure
7.1, est une superposition de deux éléments dans sa version linéaire (Ben Tahar 1981;
Bathe et Ho 1981; Talbot 1981; ... ): l'élément CST (Constant Strain Triangle) pour la
représentation de la membrane et l'élément DKT (Discrete Kirchhoff Triangle) pour la
flexion.
Les étapes principales pour le développement de cet élément en analyse
géométriquement non linéaire sont similaires à celles présentées aux chapitres 2 et 5

230
z
z
y
Il
KM =Rigidité de merrbrane
< U n >n = < U • v >n
K B = Rigidité de flexion
<u 1>n = <w.Sx,Sy >n
Ka z
=Rigidité de rotation fictive dans
le plan du feuillet moyen
Fig. 7.1 - Élément de coque orthotrope (6 DDL pBr noeud).

231
(algorithme de résolution de la figure 5.13). Quelques équations de bases sont présentées à
l'annexe G et le lecteur peut consulter les thèses de Jaamei (1986), Talbot (1985) et Fafard
(1987) pour plus de détails.
Le seul changement que nous avons apporté à cet élément est l'évaluati:on des
propriétés mécaniques équivalentes pour tenir compte de l'orthotropie de la tôle. Les détails
sont présentés à l'annexe G. Signalons tout simplement que dans notre analyse, nous
supposons que le module de cisaillement effectif de la tôle est fourni par des tests, les
formules empiriques existantes ne se prêtant pas à la programmation sur ordinateur (Davies
et Lawson 1978; Beaulieu et Brindamour 1984; Ha et al. 1979; ...).
7.2.2.2 Modélisation des assemblages
Afin d'assurer une compatibilité géométrique entre les différentes composantes
excentrées les unes par rapport aux autres du système PED, nous avons utilisé des éléments
ressorts spéciaux (fig.7 .2) pour tenir compte de ces contraintes de manière systématique.
Des détails sur le développement de ces éléments se trouvent à l'annexe H. Soulignons que
la difficulté majeure que nous avons rencontrée dans le développement de ces éléments est
le choix de leur repère local, étant donné qu'ils relient généralement deux éléments de types
différents et de repères locaux différents avec des propriétés élémentaires définies dans le
système local d'un élément donné. Nous avons choisi systématiquement comme repère
local de la connection, le repère local de la poutre mère, par rapport à laquelle les propriétés
de l'assemblage sont définies. Ceci nous a amené à considérer des éléments à trois noeuds
où le troisième noeud ne sert qu'à identifier le repère local dans l'analyse non linéaire où les
configurations changent continuellement.
Les éléments d'attache ont des rigidités dans toutes les directions (~' Ky, Kz'
Kex' Key, Kez)' sauf la diagonale qui n'a qu'une rigidité axiale (EAIL), lesquelles sont
ajustables pour tenir compte des joints flexibles entre poteaux et entremise~; ou le
diaphragme et son support.
Nous avons considéré une formulation lagrangienne
actualisée, ce qui nous permet de tenir compte facilement d'un comportement
matériellement non linéaire des assemblages, même si dans la présente venion du
programme nous ne considérons que des assemblages à rigidité constante.

232
y
, ....."'---.,.-,.
"
.
., ,
" .~
~~~~~
l
Poteau
a) Resson poteau-entremise
b) Diagonales
y
oiaphrogme ~--~"+....,....."?-,,....,.....""'-f
Ressort
1
dy
CD 1 ~ ~-/----_-L.--.z
H
Entremise
dz
c) Ressort-entremlse-dlaphragme
Fig. 7.2 •• Éléments d'attache dans leurs systèmes locaux.

233
7.2.3
Cas particulier de la stabilité élastique
Il peut arriver que la charge critique du système soit atteinte avant que ses
composantes ne commencent à se plastifier. Pour le modèle PED, nous pouvons écrire
comme au chapitre 4 une expression variationnelle:
I1W =f(e~. I1cr.. + À cr.. I1rt) dV =0
(7.1)
1J
1J
cr 1J
1J
V

e*ij et 1111*ij ont été définis au chapitre 2 (éqs 2.67 et 2.69) comme parties
linéaire et non linéaire du tenseur de Green-Lagrange, cr·. est le champ des
1J
contraintes juste avant le flambement et \\ r est le facteur de charge critique.
La discrétisation par éléments finis de cette équation conduit au problème classique
des valeurs propres:
(7.2)
La solution de l'équation (7.2) a été également obtenue par la méthode du
sous-espace qui donne les plus petites valeurs propres demandées et les modes :propres
correspondants.
Le modèle considère la contribution de chaque composante du système PED
(poteaux, entremises, diaphragme et joints) dans le calcul de la matrice de rigidité [K] du
système. Cependant, l'état de contrainte cr·· est supposé nul pour tous les éléments du
1J
système, excepté les poteaux pour lesquels nous voulons déterminer la charge critique et le
mode propre (Akoussah et al. 1986).

234
7.3
Modèles de comparaison
Dans le cadre de ce projet, il a été décidé pour des raisons pratiques de faire un
modèle simplifié (Massicotte et Beaulieu 1984) qui serait adapté aux micro-ordinateurs et
un modèle plus complet en 3 D (Fafard et al. 1984) qui
permettrait de faire des
vérifications.
7.3.1
Modèle simplifié
Le modèle simplifié a été basé sur la théorie qui a été développée à l'Université
Cornell dans les années 1960 (Massicotte et al. 1985). A la différence des chercheurs de
Cornell qui ont résolu leurs équations différentielles analytiquement, le modèle simplifié
utilise la méthode des éléments finis pour discrétiser le poteau, et toutes les autres
composantes du système (entremises, diaphragme et joints) sont remplacées par des
éléments de ressorts placés au niveau des entremises. Les propriétés de ces éléments
incluent la rigidité flexionnelle des entremises autour de l'axe fort, la rigidité en cisaillement
du diaphragme et la rigidité des joints entre le poteau et les entremises. il est à noter que ce
modèle ne peut pas directement tenir compte des diagonales.
On en tient compte
indirectement en augmentant l'inertie de l'entremise; ce qui n'est possible que si le joint
poteau-entremise n'est pas parfaitement articulé. L'élément de poutre 2D utilisé dans ce
modèle est identique à celui que nous avons présenté dans les chapitres antérieurs. Il.
convient de noter que seul l'effet de cisaillement du diaphragme est pris en compte dans ce
modèle. Pour plus de détails sur la théorie, on peut consulter Massicotte et Beaulieu (1984)
ou Apparao (1968).
7.3.2
Modèle 3 D complet
il est important de vérifier si les hypothèses de poutres que nous avons faites dans
notre modèle (PED-3D) représentent bien la réalité puisque nous voulons nous servir de ces
résultats pour définir la précision du modèle simplifié. Il a alors été décidé de développer
un modèle plus général en 3 D où les poteaux seraient simulés par des assemblages
d'éléments de plaques dans l'espace, les autres composantes du système étant simulées de
la même façon que dans le modèle PED-3D (Fafard et al. 1984).

235
7.4
Exemples de stabilité élastigue
Dans un premier temps, pour valider le modèle, nous allons considérer une série
de trois tests expérimentaux qui ont été effectués à l'Université Cornell (Apparao 1968) sur
un même montage de système PED (fig. 7.3). L'influence de certains paramètres sera
ensuite étudiée en considéra~t le sous-système montré à la figure 7.4.
7.4.1
Exemple du test de Comell
Considérons le montage de la figure 7.3 qui a été testé expérimentalement. Trois
types de joints poteau-entremise ont été considérés (voir Tableau 7.1).
Tableau 7.1: Caractéristiques physiques des joints poteaux-entremises
nO du test
Rigidité du joint autour de l'axe
Excentricité de l'entremise par
longitudinal du poteau Kex
rapport au centre de cisailkment
(kN/rad.)
du poteau e (mm)
GT-1
o(rotulé)
152
GT-2
1010 (rigide)
254
GT-3
1.469 (flexible)
152
Les propriétés géométriques et mécaniques des autres éléments du système sont
montrées à la figure 7.5. Concernant l'essai nO GT-3, Apparao (1968) a observé qu'à 2.22
kN de la charge critique totale, soit à P = 111.18 kN, les ressorts de chaque côté des
joints poteaux-entremises (fig. 7.3c) avaient cédé. La rigidité du joint a été alors pri:;e égale
à la moitié de sa valeur initiale. D'autre part, dans ces commentaires, spécifiquement sur le
test GT-3, Apparao signale que même si la contrainte moyenne dans les poteaux restait
dans le domaine élastique, certaines parties du poteau se seraient plastifiées à cause de
l'importance des déplacements observés.
Cependant, il affirme que même après le
flambement, les déformations du diaphragme sont négligeables pour tous les essai:; et que
le diaphragme n'a subi aucun dommage.

,
.
Cadre d essaIs
Tôle ondulee std.
0) Joints pour lest GT-I
!ro......
10
...J
Poteau
K8y • 10
Entremise
Tôfe ondurée std.
~
fri t-11~~i
Tôle
:
b) Joints pour test G T - 2
...J
ondul'
std.
~L
1
K8y Ir 1.469
ro
......
...J
-RessortEntrem.
Tôle ondulée std .
I~
• 1
c) Joints pour test GT-3
Poteau: M200x9.7
Elevation
Plon
(tiré de Apparao, 1968)
Fig. 7.3 -- Montage du test de Cornell.
'"
(.oJ
m

237
p
,,-Poteau: W46Q !lIOG
1
§
Entremise
..,
t--§
rL'-l;.I~~~~~"C:oI'~"~
114----- 6000
.1
B) Élévation
&4S
~1"(L45'30'3mmJ
b) Section A-A
54S
~OSihon
c) Simulation du model simplifié
[mm]
4
Propriétés géométriques des entremises: A = 548 mm 2; 1y = 0.4662 x 10 6 mm
Iz
7
5
4
= 0.204 x 10
mnietJ=0.715x10
mm
Propriétés physiques du poteau: E = 200 000 MPa;
\\l. 0.3
; a y .. 400 MPa
Fig. 7.4 .- Système PED Bvec des diagonales.

238
,58-"1.1
JI
36.7
~~
2
A=428mm
CI)
6
4
3.4
(Tl
I x =1.37x10 mm
N
J
Il)
5
4
I
J y=1.54x10 mm
4
J = 514 mm
a) Poteaux
b) Entremises
1" /1
I~
~67.7---t
c) Diaphragme utilisé lors des tests
1 Il.3
11.3
Geff. =2300 MPa
u=O)3
d) Diaphragme équivalent pour le calcul des propriétés orthotropes
[mm]
Fig. 7.5 .- Propriétés géométriques et physiques des éléments du
système poteaux-entremises-diaphragme de la figure 7.3 .

239
Le maillage qui a été retenu pour l'analyse numérique est montré à la figure 7.6.
On a considéré 6 éléments de poutre entre chaque point d'attache du poteau. Les résultats
obtenus de notre modèle et des deux autres mentionnés précédemment, comparés 1l.UX tests
expérimentaux, sont présentés au Tableau 7.2. Les résultats du présent modèle et ceux du
modèle simplifié collent très bien. L'erreur relative par rapport aux tests est d'environ l %
pour les essais GT-2 et GT-3, la charge critique prédite étant inférieure à celle obtenue
expérimentalement. Il faut noter cependant que lors des tests numériques, les propriétés
géométriques du poteau que nous avons retenues sont celles d'un profilé équivalent au
8JR6.5 dans le catalogue des profilés canadiens (CrSC 1980) soit un M200x9.7. Dans le
cas du joint rotulé (GT-1), la charge critique que nous avons obtenue est 18% inférieure à
la charge critique expérimentale. Cette différence peut être attribuée au fait qu'il est très
difficile de réaliser un joint parfaitement rotulé en laboratoire. Le test GT-3 prouve que les
résultats sont très sensibles à la rigidité du joint. Le modèle de Fafard (1984), où le: poteau
est simulé par un assemblage de plaques dans l'espace, donne des résultats similaires aux
nôtres.
Les modes de flambements obtenus avec notre modèle coïncident avec ceux
observés expérimentalement. Les figures 7.7 et 7.8 présentent respectivement le mode de
flexion-torsion (test GT-l) et le mode de flexion entre les entremises (test GT-2). La
configuration initiale est indiquée en traits continus tandis que la configuration déformée est
montrée en traits discontinus.
7.4.2
Influence de l'excentricité des diverses composantes du système PED
Dans l'exemple que nous venons d'étudier, le montage était conçu de façon telle
que le diaphragme et les entremises travaillaient dans un même plan, ce qui permettait de
considérer une seule excentricité pour ces derniers. Le présent modèle est capable de tenir
compte des excentricités individuelles de chaque élément par rapport au centre de
cisaillement du poteau, ce qui est le cas' en pratique, mais qui ne peut être considéré par le
modèle simplifié. Pour ainsi étudier l'influence de ces excentricités sur la résistance globale
du système, nous avons considéré les montages qui ont fait l'objet des tests à Çornell, en
faisant varier la position des entremises par rapport au centre de gravité des poteaux jusqu'à
la position considéréé dans les tests. Nous avons appelé el l'excentricité de l'entremise par
rapport au centre de gravité (qui est en même temps le centre de cisaillement) de la section

240
TITRE:
~IG 7.6 MAILLAGE
TESTS
DE
COR~ELL
B. 0 .0.
"'10SAIC."'10S
PARAMETRES DE VUE
MOSAIC
V 2.23
EC'-!ELLE:
4.949
HARo-COPY
3.275
8&8
OEIL.
1.000
14-JUN-B7
1.000
14. CJ7. 42
1.000
COMPIEGNE SCIENCE INDûSTRIE

241
Tableau 7.2: Résultats comparatifs du spécimen d'essai de Cornell
n° de l'essai
Charge critique
Notre modèle
Modèle simplifié
Modèle 3 D
Mode
expérimentale
(erreur)
(erreur)
(erreur)
de flambement
(kN)
(kN)
(kN)
(kN)
GT-l
78.7
64.3 (18%)
64.3 (18%)
57.7 (27%)
flexion-torsion
(fig. 7.7)
GT-2
165.9
164.3 (1%)
164.3
(1%)
173.5 (5%)
flexion (fig. 7.8)
GT-3
113.4
112.0 (1%)
112.5
(1%)
. ~22.0 (8%)
flexion -torsion
Tableau 7.3: Influence de l'excentricité (1) des entremises et du diaphragme
e2'(mm)
el (mm)
GT-1 (Pc!PE)*
GT-2 (Pc!PE)
GT-3 (Pc!PE)
(Eg. 7.3)
(fig. 7.3)
Notre modèle
Notre modèle
Notre modèle
(kN)
(kN)
(kN)
e
0
164.3 (1.0)
164.3 (1.0)
164.3 (1.0)
62
(e-e2)
106.9 (0.65)
164.3 (1.0)
164.3 (1.0)
32.4
(e-~)
82.2 (0.5)
164.3 (1.0)
146.0 (0.89)
15
(e-e2)
71.6 (0.44)
164.3 (1.0)
126.2 (0.77)
0
e
64.3 (0.39)
164.3 (1.0)
112.0 (0.68)
*P =
E
164.3 kN est la charge critique du poteau lorsqu'il flambe entre les entremises.
AnQle
(1) Excentricité des composantes

242
--
./
""-
/
1
!
1--.
l
""-
(
1
1
TITRE.
"'IG.7.7
MODE
FLEXION-TOQSION
(GT-l)
El
O. D.
"'IOSAIC
"'IDS
PARA"'IETRES
DE
VUE
"'IQSA!C
1/ 2.23
EC'-iELLE.
5
016
'-iAReJ-C'JPY
Cl riO
2 7 1 6
~EIL.
1.~Q~
14-,jiJN-a7
\\JDO
:1
1:: . .24 . ..::~
CiQC;
-1.')Q'=.J

243
TITRE"
""15
7. a
MODE
DE
FLEXION
(GT-2)
B
0.0
..,OSAIC
..,OS
PARA"'ETRE"S
DE
VUE
..,OSAIC
V2.23
EC::'-lELLE.
5.244
'-lARD-CODY
û L:JD
3
47D
0EIL
14-JUN-B7
j
.OOC
\\J[} 0
15.
1
000
')4. 52
- 1 .
CQMPIEGNE SCIENCf INDUSTPlf
1) "J ')

244
du poteau et e2 l'excentricité du diaphragme par rapport à l'entremise (voir Tableau 7.3).
La somme de el et e2 donne e, l'excentricité totale.
Les résultats montrés au Tableau
7.3 indiquent clairement que la position
géométrique de chaque élément dans le système influence la résistance globale sauf si le
joint est relativement rigide comme dans l'exemple GT-2.
Dans le cas des joints
partiellement ou parfaitement rotulés, la charge critique peut varier de 1 à 0.39 fois la
charge critique d'Euler (flexion entre les entremises) selon que l'entremise est connectée
directement au centre de gravité de la section du poteau ou excentrée, le diaphragme restant
toujours à la même position.
7.4.3
Étude de l'influence des diagonales
Comme nous l'avons mentionné au premier chapitre, l'une des interrogations
principales dans l'analyse des systèmes PED est l'influence des diagonales qui,
supposément, servent à forcer les entremises et les poteaux à tourner du même angle,
lorsque les entremises sont connectées aux semelles de poteaux profonds, ou passent à
l'extérieur des poteaux pour des raisons de construction. Pour étudier ce problème, nous
avons considéré le sous-système montré à la figure 7 A. La géométrie du diaphragme fut
prise identique à celle utilisée dans les tests de Cornell; seule la rigidité effective en
cisaillement fut modifiée. Les caractéristiques géométriques des autres composantes du
système sont montrées à la figure 704.
Un total de huit cas a été étudié, en considérant deux rigidités du diaphragme, deux
types de joints (rotulé et rigide) avec ou sans diagonales et en gardant la même excentricité
des entremises et du diaphragme pour tous les cas.
Les résultats comparatifs avec le modèle simplifié sont montrés au Tableau 704.
Les diagonales, dans le cas du modèle simplifié, ont été simulées en doublant l'inertie de
l'entremise (fig. 7Ac) sur une longueur allant du poteau au point d'attache de la diagonale.
Cette technique est valable lorsque l'assemblage poteau-entremise n'est pas articulé. Dans
le cas contraire il faudrait trouver une rigidité équivalente du système formé par la
diagonale, l'entremise et l'âme du poteau; ce qui n'est pas fait dans la version présente du

245
modèle simplifié. Nous pouvons néanmoins conclure que les deux modèles, une fois de
plus, donnent des résultats identiques. Quant à l'influence des diagonales, elle nous paraît
évidente lorsque le joint poteau-entremise est une rotule. Dans ce cas, pour un diaphragme
suffisamment rigide, le mode de flambement passe de la flexion-torsion à un mode de
flexion entre les entremises (voir exemples PED-2 et PED-4). Cependant, lorsque le joint
est rigide entre le poteau et l'entremise, les diagonales ne jouent plus un rôle important
(exemples PED-5 à PED-8), ce qui semble tout à fait normal puisque leur rôle premier est
de renforcer le joint en permettant une rotation d'ensemble du joint.
Tableau 7.4 Influence des diagonales
Exemple (1)
Geff
Kex
Aire de la
Résultats
Modèle
Mode de
(MPa)
(kNm/rad)
diagonale
Modèle
simplifié
flambement
A (mm2)
PED-3D
(PcrIPE)
(Pcr/PE)(2)
(kN)
(kN)
PED-1
1000
0
0
2060.7 (0.37)
2071.0 (0.37)
flexion-torsion
PED-2
2300
0
0
2252.1 (0041)
2264.1 (0041)
flexion-torsion
PED-3
1000
0
216
4902.7 (0.89)
flexion-torsion
PED-4
2300
0
216
5513.8 (l.0)
flexion
PED-5
1000
1010
0
4726.8 (0.86)
476204 (0.86)
flexion-torsion
PED-6
2300
1010
0
5513.8 (l.0)
5514.0 (l.0)
flexion
PED-7
1000
1010
216
4905.1 (0.89)
4876.0 (0.88)
flexion-torsion
PED-8
2300
1010
216
5513.8 (l.0)
5514.0 (1.0)
flexion
(1)
e == 31O.2mm pour tous les exemples.
(2)
P
== 5514 kN représente la charge critique lorsque le poteau flambe en flexion
E
entre les entremises.

246
7.4.4
Influence d'une ouverture au pied du mur
En pratique, il arrive souvent qu'on aménage des ouvertures dans les murs des
bâtiments industriels. Pour étudier leur influence, nous avons considéré un cas extrême où
l'ouverture est aménagée directement au pied d'un poteau (fig. 7.9). Les caractéristiques
physiques et géométriques du système sont les mêmes que celles de l'exemple de Cornell
(tests GT l, GT 2 et GT 3).
A cause de la dissymétrie de la structure, nous avons fait une analyse élastique
pour déterminer l'état des contraintes réelles avant le calcul des charges critiques. Pour
avoir une base commune de comparaison, nous avons procédé de la même manière pour les
cas sans ouverture, ce qui a modifié légèrement les résultats compte tenu du fait que le
diaphragme reprend une petite partie des charges.
Les résultats obtenus pour le modèle PED-3D sont montrés au Tableau 7.5 en
comparaison avec les résultats pour un mur sans ouverture.
Nous indiquons entre
parenthèse le rapport entre la charge critique pour un mur avec et sans l'ouverture. On peut
constater que l'influence de l'ouverture est seulement perceptible lorsque les assemblages
entremises-poteaux ne sont pas rotulés ce qui peut s'expliquer par le fait que la sollicitation
du diaphragme est moindre lorsque les assemblages sont rotulés. On constate de plus que
distribution des efforts dans le système ne change pratiquement pas par rapport au cas où il·
n'y a pas de trou.
TI faut signaler cependant que nous n'avons pas tenu compte de l'influence du trou
sur le module de rigidité en cisaillement du diaphragme, lequel a été déterminé lors des
essais sur le mur compleLDes essais avec trou auraient été nécessaires mais ne faisaient pas
partie de notre travail de recherche.
7.4.5
Quelques observations
Dans tous les cas où le modèle simplifié s'applique, nous pouvons conclure qu'il
simule correctement le comportement élastique des systèmes poteaux-entremises-
diaphragme.
Le modèle plus complet où le poteau est simulé par un assemblage de plaques en 3

247
TITRE".
~IG.7.9 MUR
DE
COR~ELL
AVEC
OUVERTURE
S .D. D.
...,OSAIC ...,05
0ARAMETRES DE VUE
MOSAIC Il 2
23
ECHELLE:
4.949
HARD-COPY
Cl (JO
:3
275
IJEIL.
1
:i4-JUN-B7
000
\\Je) 0
1.1J01J
14. 26. 1J7
l
000
COMPIEGNE SCIENCE INDUSTRIE

248
TITRE
~IG. 7.10
MODE
PRQPRE
(GT-l)
AVEC
TRQU
B.O.O.
MOSAIC
MOS
PARAMETRES
DE
VUE
M05AIC
V 2.23
ECCiELLE.5.215
HA''10-CQDY
LJ LJO
3
.<151
OEIL.
i .'JG0
1.<1-JUN-B7
\\JD 0
1 .
17 . .<14.
i 4
C)rJ 0
-l.'JClO
COMPIEGNE SCIENCE INDUSTRIE

249
TITRE.
"'lS. 7.11
MODE
PRDDRE
(GT-2)
AVEC
TROU
B.O.O:
~OSAIC.~OS
DARAMETRES
DE
VUE
MOSAIC
V 2.23
ECHELLE.
5.302
HARD-CClDY
LJ {JD
3.509
ClEIL.
l
000
14--.JUN-B7
CJGID
1
000
17. '57: 49
-1. ')00
COMPIEGNE SCIENCE INDUSTPIE

250
Tableau 7.5 Influence d'une ouverture dans le mur (résultats du modèle PED-3D)
Essais de Cornell
Conditions
GT-1
GT-2
GT-3
Pcro avant ouverture
(kN)
62.1
171.7
115.5
Pcr après ouverture
(Pc! Pcro)
61.7 (1.0)
168.9 (0.98)
105.8 (0.92)
Mode de flambement
flexion-torsion
flexion
flexion-torsion
(avec ouverture)
(fig. 7.10)
(fig. 7.11)
D confmne bien les hypothèses des profilés minces à section ouverte; la différence entre les
résultats pouvant en partie s'expliquer par la différence entre les propriétés géométriques
des sections calculées numériquement et celles tirées directement du catalogue des profilés.
Cette conclusion a été illustrée largement dans les travaux de maîtrise de Fafard (1984).
Dans le domaine non linéaire, le modèle simplifié s'avère inapplicable, ne pouvant
pas tenir compte du comportement non linéaire des entremises et du diaphragme, lesquels
doivent être remplacés par des ressorts élastiques. Le modèle 3 D de plaques qui serait plus
facile à réaliser exige des coûts de calculs (temps machine) trop élevés. Le modèle PED-3D
s'avère ainsi un outil privilégié pour ce genre d'analyse avec l'hypothèse qu'il n'y aura pas
de voilement local du poteau avant la ruine du système, ce qui est satisfait puisque les
sections de poteaux satisfont les limites d'élancement des parties minces spécifiées dans la
norme S 16.1.

251
7.5
Analyse non linéaire des systèmes PED
Pour compléter cette étude, nous avons choisi deux exemples panni les cas
élastiques que nous venons d'étudier, soit l'exemple PED-S où nous voulons voir l'effet
des diagonales et de la plastification du poteau sur le comportement global du système, puis
le test GT-3 où les joints sont semi-rigides, et où on a observé une ruine par flexion-torsion
(le seul test d'ailleurs pour lequel la courbe charge-déplacement a été fournie par Apparao),
afin d'illustrer le comportement post-flambement des systèmes poteaux-entre:mises-
diaphragmes.
7.5.1
Exemple GT-3
Les caractéristiques géométriques du système sont montrées à la figure 7.3 et au
Tableau 7.1. Il convient de noter que la rigidité du joint poteau-entremise a été pris,e égale
à sa valeur initiale au début du test comme l'a indiqué Apparao dans sa thèse, soit deux fois
la valeur indiquée au Tableau 7.1. Les données mécaniques sont presque inexistantes sur
le test. Cependant, un essai sur des coupons prélevés par Apparao sur un autre poteau de
même nuance d'acier (A441), nous indique que la limite élastique est d'environ 447 MPa.
Nous avons alors considéré le poteau élastiquè - parfaitement plastique.
Le maillage est le même qu'à la figure 7.6. Pour amorcer le flambement, nous
avons appliqué une charge perturbatrice égale à PIlOO à mi-portée de chaque poteau. A
cause de l'excentricité du diaphragme, le système tend généralement à se déplacer hors de
son plan, ce qui a rendu quasiment impossible l'utilisation de la technique de perturbation
par le mode propre.
L'état de la déformée, au 21e pas est montré à la figure 1.12. Nous avons
considéré un total de 27 pas avec une précision de 0.001. Le déplacement latéral du poteau
à mi-hauteur et la rotation <1> autour de son axe au même endroit sont comparés aux résultats
expérimentaux et à ceux du modèle d'Apparao - qui a résolu le problème analytiquement- à
la figure 7.13. On voit que les deux modèles théoriques concordent très bien mai.s qu'ils
sont quand même légèrement différents des valeurs expérimentales. Apparao a supposé
que cet écart était attribuable à la plastification partielle du poteau - son analyse étant
élastique, mais nous n'avons observé aucune plastification. Nous pensons donc: que la

252
cause réelle pourrait être la rigidité des joints poteaux-entremises qui se seraient componés
de façon non linéaire au cours du chargement.
7.5.2
Exemple PED-S
Les caractéristiques géométriques du système sont montrées à la figure 7.4. Le
poteau est supposé élastique-parfaitement plastique avec une limite élastique de 400 MPa.
Nous avons également utilisé la technique des charges perturbatrices pour les mêmes
raisons que précédemment, en appliquant P/lOO au milieu de chaque travée entre les
entremises, selon le mode propre du système. Le maillage retenu est montré à la figure
7.14.
Nous avons résolu le problème en 30 pas.
La déformée à l'étape finale du
chargement est montrée à la figure 7.15 et la courbe charge-déplacement pour le
déplacement latéral du noeud à mi-hauteur du poteau est présentée à la figure 7.16. A partir
du quatrième pas de chargement, soit À == 0.405 la plastification a commencé dans l'aile du
poteau dans la travée centrale. Le système a quand même pu résister à une charge ultime de
À égale à 0.519 suivie d'une légère décharge accompagnée de la formation d'une rotule
u
plastique à la mi-hauteur du poteau.
Il faut noter que dans cet exemple le mode de flambement élastique est une flexion
entre les entremises; ce que nous n'avons pu obtenir par la perturbation, car la flexion
s'accompagnait toujours d'une petite torsion dans les poteaux. La travée centrale se
déformait ainsi toujours plus que les deux travées de rive, la symétrie étant quand même
conservée.
Nous avons obtenu d'intéressants résultats quant aux diagonales. D'une manière
générale, du début jusqu'à la fin du chargement, toutes les diagonales sont en tension sauf
celles qui sont situées à chaque extrémité du poteau où l'effort axial est pratiquement nul
pour des raisons de conditions limites. Les tensions obtenues dans les diagonales 1 à 4
(fig. 7.14), pour trois différents niveaux de chargement, sont montrées au Tableau 7.6.
Théoriquement, pour des raisons de symétrie, les efforts dans les quatre diagonales doivent
être égaux à chaque pas, mais pour des raisons de discontinuité du champ des déformations

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A
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NOS RESULTATS
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O.
O. 01
O. Oé
RotatIon
(J)
Déplacement latéral u
Fig. 7.12 •• Comportement l'ion Ifnt§alre du mur GT·3.
N
01
W

254
/
1
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TITRE.
~IG7. 13
EXEMPLE
GT-3 PAS
21
CDF-40
8
D. D.
MOSA! C; MOS
DAR4METRES DE vUE
..,OSAIC
V 2.23
EC'-iEi....LE.
4.596
HARD-CODY
3.041
LJ CID
IJE!L
l
OCO
14-JUN-87
CJD 0
16. 52. 48
1.0S0
-1.S00
CQMPIEGNE SCIEN~f INOUSTPIE

255
TITRE
~IG7. 14
MAILLAGE RETEN0.
PED-B
9.0.0.
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CARAMETRES
DE
VUE
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V 2 . 23
ECYELLE.
11681
535
HARO-CQCY
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7729
672
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14-~UN-87
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28
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1.0')')
CO~PIEGNE SCIENCE

256
TITRE:
~IG.7.15 EXEMPLE
PE08 PAS
30
COF-30
9.0.0.
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PARAMETRES DE VûE
MOSI>.IC
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COMDIEGNE SCIENCE INDUSTRIE

257
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258
due à la discrétisation, en plus des difficultés numériques que nous avons signalées plus
haut, on peut considérer ces résultats acceptables. On peut conclure aussi que les efforts
dans les diagonales sont généralement très faibles comparés à la charge dans les poteaux. il
ne faut pas cependant oublier que dans le cas étudié, les assemblages poteau-entremise sont
rigides.
Tableau 7.6 Tension dans les diagonales (fig. 7.14)
Effort dans les diagonales (kN)
pas (À)
1
2
3
4
0.405
5.59
5.60
4.82
6.25
début plastification
0.519
9.31
9.25
7.73
10.46
charge ultime
0.502
10.54
9.60
8.72
10.53
état fmal
7.5.3
Conclusion
A l'aide de ces deux exemples, nous avons montré la capacité d'analyse de notre
modèle dans le domaine non linéaire qui constitue pour nous un champ de recherche que
nous voudrions bien explorer dans les prochaines années à l'aide de l'outil que venons de
mettre au point. Nos résultats, comparés à un test expérimental semblent, assez bons.
Lorsqu'il y a plastification de la section, on atteint une charge ultime suivie d'une décharge.
Il n'en demeure pas moins que l'analyse non linéaire d'un système PED est un peu difficile
car le choix de la perturbation qui doit amorcer le flambement n'est pas évident étant donné
que la structure semble très sensible aux imperfections initiales (les perturbations dans le
cas présent).


CHAPITREvm
CONCLUSION ET RECOMMANDATIONS
8.1
Rétrospective
On a présenté un modèle numérique d'analyse de stabilité aussi bien linéaire que
non linéaire des poteaux dans les bâtiments industriels, en tenant compte du comportement
non linéaire du matériau et des contraintes résiduelles.
Nous avons présenté au chapitre 2, un résumé des toncepts couramment employés
en mécanique non linéaire. Le principe du travail virtuel incrémental y est présenté sous
forme de taux de travail virtuel. L'intégration des équations incrémentales dans le temps est
faite selon la méthode d'Euler-explicite, et la méthode itérative de résolution de
Newton-Raphson a été adoptée pour stabiliser l'algorithme. En plasticité, nous avons
retenu le critère de Von Mises avec un écrouissage isotrope.
Le chapitre 3 est consacré à la formulation variationnelle du problème de
flexion-torsion linéaire des barres à parois minces et à sections ouvertes, basée sur la
théorie des coques minces et les hypothèses connues de ces barres en flexion-torsion.
Nous avons considéré le cas des poutres droites et des poutres courbes surbaissées dans un
système cartésien (formulation de Marguerre). Cette formulation a été étendue à l'analyse
non linéaire (matériau et géomérie) au chapitre 4. Le cas des poutres rectilignes a abouti à
une formulation lagrangienne actualisée approchée et celui des poutres courbes surbaissées
à la formulation lagrangienne actualisée dite partielle.
Le problème du blocage de membrane a été abordé au chapitre 5 où nous discutons

260
des problèmes numériques tels la discrétisation par éléments finis, les méthodes et les
stratégies de résolution des équations obtenues aux chapitres 3 et 4. Il a été montré que
toutes les techniques utilisées pour traiter le blocage de membrane (intégrations réduites,
formulations mixtes, décomposition de mode ou contrainte moyenne de membrane)
peuvent se résumer en une seule technique plus générale de pénalité. Les formulatlons des
chapitres 3 et 4 ont abouti à deux grands types d'éléments de poutre tridimensionnelle: les
éléments plats et les éléments courbes. Comme nous l'avons indiqué plus haut, la méthode
de Newton-Raphson standard a été adoptée et couplée avec plusieurs techniques de pilotage
(par charge, déplacement ou longueur d'arc imposés). Les contraintes résiduelle5. ont été
également introduites.
Les deux derniers chapitres ont porté sur la validation du modèle de poutre seule
qui représente l'axe principal de cette recherche, et les applications pratiques à l'analyse des
systèmes poteaux-entremises-diapragmes(PED). Plusieurs exemples de poutres, :poteaux
ou cadres tridimensionnels ont été considérés au chapitre 6 pour illustrer les perfonnances
du modèle dans les problèmes de torsion, de flambement en flexion et/ou torsion et de
déversement élastique, ainsi qu'en analyse pré et post-flambement aussi bien élastique
qu'inélastique. La première partie du chapitre 7 a été consacrée à la finalisation du modèle
PED-3D pour l'analyse des systèmes PED et surtout au développement des divers éléments
de liaison et à l'introduction de l'orthotropie dans l'élément de plaque utilisé pour simuler
les diaphragmes. Des résultats de tests expérimentaux ont été ensuite confrontés avec nos
résultats théoriques. L'influence de certains paramètres géométriques a été étudiée. Une
étude comparative avec un modèle simplifié (Massicotte et Beaulieu, 1984) a été faite dans
le domaine linéaire.
8.2
Bilan de la thèse et remarques
Les résultats des chapitres 6 et 7 nous permettent de conclure que le but principal
de cette thèse, qui consistait à développer un modèle numérique capable d'analyser le
comportement pré et post-flambement des poteaux dans les bâtime~ts industriels, est
atteint.
Des résultats de plusieurs tests expérimentaux et numériques déjà publié!. ont été
confrontés avec succès à ceux de notre modèle, avec une erreur relative presque EOujours
inférieure à 3% sauf dans un cas (exemple GT-l du spécimen d'essai de Comell) où elle a
atteint 18%; ce que nous attribuons d'ailleurs aux conditions de l'essai. En plasticité, le fait

261
d'avoir couplé les effets du cisaillement dû à la torsion pure et de la contrainte axiale nous a
pennis d'arriver à des charges ultimes légèrement plus petites (et plus proches des résultats
expérimentaux) que celles obtenues par les modèles de Epstein et al. (1978) et de Ramm et
Osterrieder (1983).
Au sujet du comportement des systèmes poteaux-entremises-diaphragmes,
d'intéressantes conclusions peuvent être tirées. Dans le domaine linéaire, lorsque le modèle
simplifié s'applique, on obtient des résultats identiques au modèle général PED-3D. Les
résultats démontrent que la résistance du système dépend fortement non seulement de la
résistance en cisaillement du diaphragme, mais aussi de plusieurs autres paramètres
physiques et géométriques tels les excentricités des éléments les uns par rapport aux autres,
la rigidité flexionnelle des entremises, la présence de diagonales et la rigidité des joints
poteau-entremise. L'étude préliminaire de l'influence d'une ouverture dans le mur sur le
comportement global du système nous laisse croire que le trou affecterait plutôt la résistance
en cisaillement du diaphragme (qui ne fait pas l'objet d'études dans de notre recherche) que
celui du système global.
L'analyse non linéaire a démontré que lorsqu'il y a plastification de la section du
poteau, le système atteint une charge ultime suivie d'une décharge. Par contre, si on reste
dans le domaine élastique, on peut aller au-delà de la charge critique de flambement linéaire.
On a obtenu, comme l'on pouvait s'y attendre, que toutes les diagonales travaillent en
tension.
Le bilan de ces résultats nous permet aussi de faire les remarques suivantes:
- Du point de vue formulation, on peut dire que l'algorithme que nous avons
proposé pour la formulation lagrangienne actualisée est stable et efficace pour la résolution
des problèmes non linéaires (matériau et géométrie) des structures minces. Les éléments de
type Marguerre (surbaissés) donnent de très bons résultats et convergent vers la solution
théorique avec moins d'éléments que les éléments plats mais nécessitent parfois plus
d'itérations que ces derniers.
- Du point de vue numérique, on peut affirmer que la technique de pénalité que
nous avons utilisée pour éviter le problème de blocage de membrane est efficace. De plus,
cette technique nous permet de calculer correctement la contrainte de membrane, même si
nous avons des charges externes axiales réparties. Il va sans dire que l'un des aspects

262
importants est d'avoir inclus les contraintes résiduelles dans notre modèle. Cependant, la
distribution exacte de ces dernières dans les profIlés reste une grosse interrogation dans la
littérature.
- Du point de vue algorithme de résolution des équations non linéaires, nous avons
été très satisfait de la méthode de Newton-Raphson standard couplée avec des techniques
de pilotage en charge, déplacement ou longueur d'arc imposés, laquelle nous a permis de
tracer automatiquement toutes nos courbes de charge-déplacement.
8.3
Recommandations
Dans le but d'orienter les recherches futures et d'augmenter le potentiel
d'utilisation du programme, nous formulons les recommandations suivantes:
a) Modèle de poutre tridimensionnelle
- Il faudra dans l'avenir étendre la formulation aux sections fermées. Dans sa
version présente, le modèle ne peut tenir compte que des sections ouvertes formées d'un
maximum de trois plaques (couvrant quand même presque tous les profilés usuels:
sections en 1, T, U et cornières) On pourra également augmenter le nombre de :plaques
composant la section pour des applications spéciales comme les profilés avec rebords (lips,
en anglais).
- Présentement, le "gauchissement secondaire" qui est en fait une flexion par
rapport à la ligne moyenne de la section (voir discussion au chapitre trois) est négligé dans
le modèle numérique. Il faudrait le programmer pour étudier son importance réelle sur les
comportements surtout post-flambement des structures minces.
- Il serait également intéressant d'inclure l'effet dynamique.
- La dernière recommandation, qui à notre avis est peut-être la plus importante, est
la possibilité de visualiser les ,contraintes dans le poteau. Les contraintes pour chaque point
d'intégration numérique sont stockées à chaque pas de chargement. Malheureusement, le
programme de CAO MOSAIC, dans sa version actuelle ne permet pas la représentation les
contraintes à ces points, mais seulement aux noeuds, ce qui nécessiterait des extrapolations
que nous jugeons irréalistes en plasticité. Il faudrait alors qu'on soit capable, à partir des

263
données aux points d'intégration, de générer des éléments solides dont les noeuds seraient
les dits points, ceci afin de pouvoir visualiser la carte des contraintes.
b) Modèle poteaux-entremises-diaphragme
- Le présent modèle permer de simuler
des assemblages poteau-entremise
semi-rigides avec une rigidité constante. Cependant, le modèle est conçu pour tenir compte
du comportement non linéaire des assemblages (courbe moment-rotation non linéaire,
rigidité décroissante). Il serait donc souhaitable d'inclure ce comportement dans le modèle.
- Pour l'analyse post-flambement, il serait également souhaitable de tenir compte
de la non-linéarité des assemblages entremises-tôle, phénomène local généralement dû à la
plastification de la tôle autour des fixations, tel qu'observé en laboratoire.
- Il faut dire enfin que pour mesurer la performance réelle du modèle PED, il
faudra procéder à plusieurs séries de tests en laboratoire, de façon à évaluer des paramètres
importants encore mal connus tels la rigidité des assemblages poteau-entremise et
entremise-tôle et les propriétés mécaniques de chaque composante. Signalons que des
séries de tests sur les fixations poteau-entremise et les diaphragmes ont été entrprises au
Département de Génie Civil (Laberge et Beaulieu, 1987).
c) Potentiel d'utilisation du modèle
Le modèle en général a un potentiel d'utilisation énorme comme l'ont démontré les
exemples des chapitres 6 et 7. Il faudrait alors exploiter au maximum ce potentiel, surtout
dans le domaine non linéaire, pour faire une analyse paramétrique du système PED où les
cas à étudier seraient sélectionnés à partir des tests numériques faits à l'aide du modèle
(linéaire) simplifié de Massicotte et Beaulieu (1984); ceci afin de pouvoir proposer des
règles de calcul fiables pour les ingénieurs de la pratique.
Nous aimerions signaler en terminant que le présent modèle peut également
s'appliquer aux structures telles les toitures, les ponts, les dalles raidies, et presque toutes
structures formées d'éléments unidirectionnels, assemblés dans l'espace et comportant
même des discontinuités élastiques. Dans sa version actuelle le modèle est limité aux
analyses non linéaires statiques l'effet dynamique étant négligé. il convient aussi de noter

264
que dans la version actuelle du modèle, les axes locaux des éléments de coques dans la
configuration initiale, en cas d'orthotropie, doivent rester parallèles ou orthogonaux aux
axes, du système de coordonnées global de la structure.

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ANNEXE A
REFERENTIELS ET PROPRIETES DES TRACES
Al.
Définitions de référentiels
D'une manière générale, en utilisant le théorème de décomposition polaire (Detraux
1985; Batoz et Dhatt 1986; ... ), on peut décomposer le tenseur gradient de déformation tel
que (fig. Al):
[F] = [R] {U} = [V] [R]
(Al)
avec
[U] = [MO] [À] [MO]T = [C]lfl
(A.2)
[V] = [M] [ À ] [M]T = [B]l/2
(A3)
[M] = [R] [MO]
(A4)
où:
[U] est le tenseur de déformation pure droit,


.....
278
F ' ftU =VR
Fig. A.1 •• Décomposition polaire. Élongation suivant les directions
principales n 1 et n 2 .

279
[V] est le tenseur de défonnation pure gauche,
À
o
o
1
À
o
(AS)
2
o
o
À3
représentent les élongations principales dans les directions principales 0 1°,02° et 030 du
tenseur [C] (valeurs et vecteurs propres de [C]).
[R] est la matrice de rotation qui
transforme les directions principales de [Cl en directions principales de [B] -1 en un point
donné (Malvern 1969).
Il existe un tenseur de taux de rotation pure [.o.] défini par:
(A6)
qui est lié au tenseur taux de rotation par (Truesdell et Noll 1965; Detraux 1985; Hatoz et
Dhatt 1986):
[W] = [D] + ~ [R] ( [0] [Url - [ur\\O]) [Rl
(A7)
Supposons maintenant deux référentiels C (t) et C* qui ne diffèrent que par une
rotation propre [Q(t)] = [Q*], tel que pour deux quantités {dx} et {dx *} définies
respectivement dans les deux référentiels, on ait:
{dx*} = [Q*] {dx}
(A8)
On peut montrer assez aisément que:

280
[D*] = [Q*] [D] [Q*]T
(A.9)
[W*] = [Q*] [Q*l + [Q*] [W] [Q*]T
(A. ID)
Par définition, on caractérise le référentiel corotationnel par un taux de rotation nul.
Ceci pennet d'établir que (Batoz et Dhatt 1986):
(A-11)
On définit le référentiel corotationnel pur par un taux de rotation pure ( ou vitesse
angulaire) [QR] nul. li est ainsi caractérisé par la rotation pure [R]. (Batoz et Dhatt 1986).
Dans ce référentiel corotationnel, on peut alors écrire:
[DR] = [R]T [D] [R] = [Url [Ê] [Url
(A.12)
[WR] = [R]T [R] + [Rl [W] [R] = ~ ( [U] [Ur l - [Ur l [U])
(A. 13)
Ces relations sont très importantes lors de l'étude des lois de comportement surtout
si les défonnations sont jugées grandes, le principe de l'objectivité n'étant plus vérifié.
systématiquement.
Dans le cadre de ce travail, nous supposons que les défonnations sont petites. On
peut alors aisément démontrer que (éq. 2.11):
2[E]
= ([U]2 - [1])
(A. 14)
soit
rU] = ([1] + 2[E])1/2 "" [1] + [E]
(A.lS)
et

281
[U]-l "" [1] - [E]
(A.16)
Il vient:
[F]
"" [R] (m + [E])
(A.l?)
[Fr 1 "" ([1] - [E]) [R]T
(A.18)
Ainsi, pouvons-nous assimiler [F] à [R] et rU] à une matrice identité sans
commettre une grande erreur, ce qui nous permet d'écrire (selon les équations 2.32 et
A.12) que:
(A.l?)
(A.18)
Ces relations nous montrent que pour de petites déformations, le tenseur de
PioUA-Kirchhoff de 2e espèce représente le tenseur de Cauchy dans le référentiel défini par
la rotation [R]. On dit aussi que CS] représente le tenseur matériel ou corotationnel des
contraintes. De plus, la vitesse de déformation [~E] se confond avec le taux de défonnation
dans le repère caractérisé par [R].
On notera que lorsque les déplacements aussi sont petits (Le. la norme du vecteur
déplacement est négligeable devant les longueurs caractéristiques du corps), on a [F] "" [R]
"" [1] et les deux tenseurs de Cauchy et de PioUa - Kirchhoff sont identiques, de sorte qu'il
n'est plus nécessaire de faire la distinction entre les configurations initiales et déformées.
A2.
Ouelques propriétés des traces
Nous donnons ici quelques propriétés des traces qui ont été utilisées dans le

282
chapitre 2. Soit [A], [B] et [Cl, trois tenseurs du second ordre et a un scalaire. Nous
avons:
(A. 19)
tr([A] + [B]) = tr([A]) + tr([B])
(A.20)
tr(a[A]) = a tr([A])
(A.2I)
(A.22)
tr([A][B][C]) = tr([B[C][A]) = tr([C][B][A])
= tr([A]T[B]T[C]T)
(A.23)
tr([AHB]) = tr([A] [B]T), si [A] est symétrique
(A.24)
tr([A][B]) = 0,
si [A] est symétrique et que [B] =_[B]T
(A.25)
tr([A][B]) = 1/2 tr([A]([B] +[B]T», si [A] est symétrique
(A.26)


ANNEXEB
INTRODUCTION DU CENTRE DE CISAILLEMENT
B 1.
FOffilules générales
En considérant le centre de gravité comme le pôle de rotation instantané, nous
avons trouvé les relations (3.11) et (3.21), soit:
u = u - yv ' - zw +
1
ü)
<1>'
c c c
c
v = v - z<1>
(B.1)
c
W
= Wc + y<1>
avec:
(B.2)
Note: u = u*, v = v* et W = w*.
Dans le cas général, le centre de gravité ne coïncide pas avec le centre de rotation.
Soit 0, un point quelconque de coordonnées (yO' zO) dans le plan de la section droite de la
barre.
Considérons maintenant 0 comme le pôle de rotation de la section.
Les
déplacements transversaux de la barre au point C deviennent alors:

284
(B.3)
où va et wa désignent les déplacements traversaux du point O. En introduisant les relations
(B3) dans (BI), on obtient:
1
l
" "
U
= ue - YVa - zWa + W'V
(BA)
W = wa + (Y-Ya)<I>

=w+yz-ZY
e
a
a
(B.5)
est la fonction de gauchissement de la section par rapport à un pôle quelconque O. west
aussi désigné comme la coordonnée sectorielle du point p dans la littérature.
Pour des raisons pratiques, on introduit la notion de centre de cisaillement qui
possède des propriétés très intéressantes. En effet, si nous choisissons 0 comme le centre
de cisaillement de la section, nous découplons ainsi la flexion et la torsion. Physiquement,
ce centre est tel que tout effort de cisaillement agissant en ce point ne prcxluit pas de torsion
de la barre. Pour plus de détails, le lecteur pourra consulter Oden et Ripperger(l980) et
Vlassov(l961). En d'autres tennes, on dit que les fonctions y, Z et w de la section sont
orthogonales (Yang et McGuire 1986,a), i.e.:
fwY dA =fwz dA = 0
(B.6)

285
Il s'agit alors de trouver le point a dont les coordonnées vérifient les relations
(B6). D'autre pan, nous imposons une extrémité de la section, soit le point E (voir figure
3.1) comme origine de la variable s au lieu de D. D'où:
s
D
s
w
f
CD ==
re ds == (-fre ds + fredS) == C+w
(B.7)
s
D
E
E
s
avec
Ir
w ==
ds
s
e
E
On remarquera que w
== wc' En substituant les équations (B.5) et (B.7) dans
CD
(B.6) en en supposant que les axes y et z sont centraux, on obtient:
fAwy dA == fAwsY dA - zoIz + yolyz == 0
(B.8-a)
twz dA == fAwszdA - zOlyz +yoly == 0
(B.8-b)

(B.9)
t
En posant Swye == fA wsz dA et Swze ==
wsY dA les relations (B.8) deviennent:
(B.lO-a)
(B.lO-b)
En résolvant (B.IO), on trouve facilement (Rajasekaran 1971; Oden et Ripperger
1981; Cook et Young 1985; Vlassov 1961):

286
S
l
- S
l
wzc zy
wyc z
Ya =
(B.lI-a)
l l - r
y z
yz
S
l
- S
l
wzc y
wyc yz
(B.lI-b)
2
l l - 1
y z
yz
Enfin, pour trouver l'origine réelle D de la variable s on exprime le fait que west
central i.e. le moment statique sectoriel Sw de la section est nul:
tWdA = 0
(B.12)
s
D
W
= fra ds = (-fra ds
c+W
(B.13)
p
D
E
avec
(B.14)
En introduisant la relation (B.B) dans (B.12), on a:
(B.1S)
d'où
c = -l/A f W dA
(B.16)
A P
En prenant l'origine de s en E, nous pouvons désormais écrire la fonction de
gauchissement par rapport à un pôle donné comme:
W = w - 1/A fA w dA
(B.17)
p
p
où w est défini par la relation (B.14)
p

287
Remarque: Les fonctions de gauchissement présentées aux relations (R5-a) et
(R17) sont identiques à un signe près, à celles généralement présentées dans la littérature
(Timoshenko et Gere 1966; Vlassov 1961; Rajasekaran 1971;...). Cette différence vient
du fait que nous avons choisi le trièdre direct (i, t2, n) où le sens positif de la rotation
autour de l'axe de la barre est le sens horaire.
B2.
Exemple d'une section en U
Condisérons la section en U montrée à la figure BI.
i) Centre de cisaillement
Les axes sont centraux et principaux. Alors Ixy est nul et les relations (B 11)
deviennent:
s
s
= _ wyc
wzc
(RIS)
YO
l
et
zo - --1-
y
z
Evaluons COs pour chaque plaque de la section. La relation (3.17) nous donne:
rc = ly + mz
(B.19)

m
y
z
o$; s $;b
1
0
d/2
b -z -s
a
b $; s $;b+d
0
-1
d/2 +b - s
(B.20)
b+d$;s$;2b+d
-1
0
-d/2
s-b-d-za

288
y
r r,
d
0-----+----------'---....
z
Jo!-- ""'----F
\\--b --1
Fig. 8.1 -- Exemple d'un profilé en U.
y
Q {b-el
2
e
z
Fig. 8-2 -- Représentation graphique de la
fonction de gauchissement.

289
Nous pouvons alors calculer COs comme suit:
s dJ2
O~s~b
bd/2 + z (s-b)
b ~ s ~b+d
CO
=
(B.21)
s
dJ2(s-d) \\ z d
b+d ~ s ~ 2b+d
a
D'où
(B.22)
Par symétrie, nous savons que Swyc est nul. D'autre part, nous avons:
(B.23)
En remplaçant (B23) et (B22) dans l'expression (B 18), on trouve:
2
4b (d+3b)
Yo =
(B.23)
0 et Zo = - (2b+d)(6b+d)
Pour fins de comparaison, nous allons calculer e = Izoi - Izal, soit:
e = 3b2/(6b+d)
(B.24)
On retouve ainsi l'expression de Timoshenko et Gere(1966), Oden et Ripperger
(1981), Cook et Young (1985), ...

290
ii) Fonction de gauchissement
Nous allons maintenant évaluer la fonction de gauchissement en considérant le pôle
O. Nous avons:
(B25)
D'où:
sd/2
0$ s $b
w = bd/2 - e(s-b)
b $ s $ b+d
(B.26)
S
-ed + d/2(s-d)
b+d $ s$ 2b+d
d
-(b-e)
(B.27)
2
avec 1 = 2b + d
Nous pouvons alors écrire que (relation B.17)
sh/2 -d(b-e)/2
O$s$b
w = -e(s-d/2 -b)
b $ s $b+d
(B-28)
-(e+b+d-s)d/2
b+d $ s $ 2b+d
La fonction w qui représente le déplacement axial des points situés sur une section
droite du feuillet moyen de la barre pour un taux de rotation unitaire selon l'axe x, est
représenté graphiquement à la figure B2. On remarquera que nos résultats sont semblables
à ceux obtenus par Timoshenko et Gere (1966) si nous considérons que l'angle de rotation
autour de l'axe de la barre est positif dans le sens horaire.
B3.
Exemple d'une poutre en l
Considérons la poutre en l montrée à la figure B3. La double symétrie de la
section implique que son centre de gravité et son centre de cisaillement coïncident.

291
'i
s
fF
G
s
n
d
0
L
z
s
E
H
n
I~
b-J
Fig. 8-3 - Exemple d'une poutre en 1 .
db
4 L,.L..;r;:l.I..L.l...u...t:~::z:l"'T"rTT"T'rT"T'l db
4"
0 6 - - - - - - - - .
z
db
d bP"I""'I"l"TTT~~~~~ 4
"4 -
Fig. 8-4 -- Illustration de la fonction lQ

292
Fonction de gauchissement
Dans le cas d'une poutre en l, la relation (B.25) devient:
ra = Iy + mz
(B29)
avec:
m
y
z
o~ s ~b
-1
0
-d/2
s-b/2
b/2 ~ s ~b/2+d
0
1
s - d/2 -b/2
0
(B.30)
b/2+d~s~+d
1
0
d/2
d+b/2 - s
côté F
b/2+d~s~b+d
-1
0
d12
-(d+b/2 - s)
côté G
d'où
sd/2
O~s~b
bdl4
b/2 ~ s ~ d+b/2
CD
=
(B-3l)
p
(s-d)/d/2
d+b/2 ~ s~b+d du côté de F
(d+b-s)/d/2
d+b/2 ~ s~+b du côté de G
On évalue alors aisément la constante:
1..5
db
CD
dA = -
(B.32)
A
P
4
A
Finalement la fonction de gauchissement s'écrit:

293
-(b/2 -s)d/2
o~s ~b
o
b/2 ~ s ~ d+b/2
Cù = -(b/2 +d-s)d/2
d+b/2 ~ s ~d+b
du côté de F
(B.33)
(b/2 +d-s)d/2
d+b/2 ~ s ~d+b
du côté de G
On peut voir la représentation graphique de Cù sur la figure BA. On remarquera
encore que pour la même rotation physique de la barre autour de son axe, nous obtenons le
même gauchissement que Cook et Young 1985.
B4.
RemarQue
On notera que la quantité 6Cù = J/ rOds représente le double de l'aire hachurée sur
la figure (B5). Dans le cas des sections formées de plaques, on reconnaît aisément:
6Cù = l~xOfI =xeYf -xfYe
(B.35)
Une systématisation du calcul de la fonction Cù pour faciliter la programmation sur
ordinateur par conséquent a été faite:
Cù + x Y - xfY
(B.35)
e
e f
e

294
o~-----------..
l
Fig. 8-5 .- Interprétation physique de la fonction ((J~

ANNEXEC
EVALUATION DE cr
EN FONCTION DES EFFORTS RESULTANTS
xx
Il s'agit dans cet annexe de trouver une relation entre les contraintes cr
et les
xx
efforts résultants N, My, Mz, et Mw' L'équation (3.74) peut s'écrire:
-
-
cr
= E (u' -yv "-zw "+ w<1>")
(Cl)
xx
c
0
0

y = y+lÇ
z = z +mç
w=W -r ç
n
et les relations (3.50) nous donnent:
N =f cr dA .
My =f~cr dA
xx
'
xx
A
A
(C2)
M =fy cr dA
M
=fw cr dA
z
xx
w
xx
A
A
En remplaçant (Cl) dans (C2), en supposant des axes centraux et un pôle placé
au centre de cisaillement, nous avons:

296
N
A
0
0
0
u' c
M
l
l
0
-v"
z
z
yz
0
=E
(C3)
M
l
0
-w"
y
y
0
sym.
M
l
<1>"
co
avec ly' lz et lyz définis aux équations (B.9) et
f-2
l
= w dA
(CA)
co
A
représentant le moment d'inertie sectorielle appelé communément la constante de
gauchissement qu'on peut trouver également sous les notations Jco' Cco' r.... A représente
l'aire de la section.
De (C3), nous pouvons aisément tirer:
N
Eu'
=
(CS-a)
0
A
lM - l
M
y
z
yz
y
\\
-Ev "
=
(CS-b)
0
_12
l l
y z
yz
lM - l M
z
y
yz
z
- EW"
=
(CS-c)
0
_12
l l
y z
yz
M
E<1>" = ----fQ.
(CS-d)
lco
La contrainte axiale est alors égale à:

297
N
lM -1 M
l M - l M
M
_
y
z
yz
y-
cr
- -+
y + z
y
yz
z Z + ---l!:l ro
(C.6)
xx
A l I _12
2
1 1 - 1
1Cl)
y z
yz
y z
yz
En faisant lyz égal à zéro pour des axes principaux d'inerties, on retrouve
effectivement les formules connues de la résistance de matériaux.

ANNEXED
EXPRESSION EXPLICITE DE tiW
EN FORMULATION LAGRANGIENNE
INT
ACTUALISEE APPROCHEE OU PARTIELLE POUR UNE BARRE EN
FLEXION-TORSION ELASTIQUE
Dl
Formulation lagrangienne actualisée approchée:
L'expression (4.47), en tenant compte de (4.48) peut s'écrire sous forme
matricielle:
-E(z+mÇ)
-E(y+IÇ)
o
(D.I)
o
o
-2GÇ
On établit alors facilement suivant les équations (5.24)

299
~NI
EA
0
0
0
0
,
~uI
~Myl
-El
-El
0
0
y
yz
"
~wI
~Zl
-El
:=:
0
0
z
(D.2)
~<I>I
sym.
OJ
0
"
~<I>l
~((l
El((l
où les propriétés géométriques de la section ly' lyz et lz sont définies aux équations (B9) en
remplaçant y et z respectivement par y +lÇ et z+mç (ce qui sera le cas jusqu'à la fin de cette
annexe) et les propriétés l((l et J sont respectivement définies en (C4) et (3.84).
D'autre part, on peut également évaluer le coefficient de Wagner en fonction des
autres efforts résultants:
(D.3)
\\
En introduisant l'expression (C6) dans (D3), il vient:
1
l
Ml
=....Q NI + H MIl + H M
+ H Ml
(DA)
pl
A
1
z
a
y
bl
((l
((lI
où A est l'aire de la section et:
J 2
2
l
la =
[(Y-Ya) + (Z-Za) ] dA
(D.5-a)
Al
J 2 2 l
H
:=:
y(y +z )dA
- 2y l - 2z l
(D.5-b)
z
a z
a yz
Al
(D.5-c)

300
f
H
l
2
2
l
(D.S-d)
W
= l
CJi...y +z )dA

AI
l Ml - l
Ml
Ml
y
zl
yz
yI
=
(D.6-a)
al
2
l l - 1
y z
yz
l Ml - l
Ml
~l
z
yI
yz
zl
=
{D.6-b)
2
l l - 1
y z
yz
On remarquera que pour une section doublement symétrique, Hy = Hz = H(I) == 0
En introduisant toutes ces relations dans l'équation (4.22) réorganisée sous forme
matricielle pour des raisons de programmation sur ordinateurs, il vient:
I
i1W
= f( <p> [DOl]LA{ i1P I} + <q:> [D02]{ i1ql})dL
(D.7)
int
LI

<
*
*'
*"
*" m*'
m*"
>
Pl
> = < li l
W
l v
~ l ~
l
(D.8-a)
( D.8-b)
( D.8-c)
( D.8-d)

301
EA
0
0
0
0
El
El
0
0
y
yz
[DOl]
El
0
0
(D.9)
=
z
LA
sym.
GJ
0
Elw
N
0
-V
(-M/ zoN)
z
N
V
(M - YoN)
y
z
[D02]
=
(D.lO)
FT
0
sym
Mp
L'expression:
(D.II)
provient en fait du taux de travail virtuel externe (relation 4.36) et devient ainsi une
composante de la matrice tangente. Tous les effons résultants sont définis aux équations
(4.25).
D2.
Formulation lagrangienne actualisée partielle:
L'incrément des contraintes PK2 pour la barre peut s'écrire(relations 4.47 et 4.53):

302
.1u'l
z .1w'
,x
1
.1w"l
1
1
-z
1
-y
(Y-YO)
-(Z-Z )
0
0
=
G
0
0
0
0
0
0
0
-2-Ç
:] y .1v'l,x
[ 6S
.1v"
1]
1 '(D.12)
z .1cI>'1
E
,x
y .1<1>'1
,x
.1<1>' 1
.1<1>" 1
Comme ci-dessus, nous pouvons établir aisément à l'aide des relations (4.24),
que:
6N
A
A
0
A
0
-y A
zoA
0
0
0
1
61'.1 1
0
0
-1
0
-1
l
-1
0
0
y
y
yz
yz
y
6MzI
= 0
0
-1
0
-1
l
-1
0
0
{ 6 P I}
yz
z
z
yz
6Tsvl
0
0
0
0
0
0
0
GJ!E
0
6Mw]
0
l
(D.13)
0
0
0
0
0
0
0
w
avec
6<1>'
1 6<1>' 16<1>" >
Y,x
1
1
]
(D.14)
où y x et z x représentent les défonnées de la ligne moyenne dans les deux plans latéraux de
,
,
la barre dans la dernière configuration Cl.
En remarquant que les termes non linéaires sont identiques pour les deux
fOffi1ulations (DLAA et DLAP), nous pouvons écrire:
I
6W
= J( <P> [D01]LP{ 6P I} + <q> [D02]( 6q l})dL
(D.IS)
int
l
L

303
où l'expression <Pl *> est identique à l'équation (D.14) aux astérisques près,
<ql *> et <D.qz> sont définis aux équations (D.8-c et d), la matrice [D02] est identique à
l'équation (D.10) et:
A
0
A
0
lA
-yoA
zoA
0
0
A
0
A
0
-yoA
zoA
0
0
Iy
0
Iyz -Iyz
Iy
0
0
A
0
-yoA
zoA
0
0
[DOl]LP = E
Iz
-1
Iyz
0
0
(D.16)
z
(lz+yoZ)A -(Iyz+yozoA) 0
0
sym.
CIy+z02)A
0
0
GJ!E 0
Iw

AN1\\TEXE E
EV ALUATION DES MATRICES DE RIGIDITE DES ELEMENTS COURBES EN
DEUX DIMENSIONS ET COMPARAISON AVEC D'AUTRES MODELES
Comme on vient de le voir, l'expression discrétisée du modèle de pénalité peut
s'écrire sous la forme (éq. 5.16)
1
1
1
1
~ 1< +
=
dx)
(JEA ehdx) + Jx: El X dx -J(fxU~
h
+ fy<)dx = 0
(E.l)
o
0
0
0
Sous forme matricielle, on écrit:
(E.2)
(E.3)
avec:
{dn} = {:~} d'où:
~
E~
= «> [(j[B m]T dx)
(j[Bm1dX) + j[B/EI [Br] dX] {dn}+ ... (E.4)
o
0
0

305
unet vn étant les déplacements nodaux montrés à la figure (6.2). [Bm] et [Br] sont les
matrices de transfonnations entre les défonnations et les déplacements.
El.
Element d'arc surbaissé CMarguerre)
On a:
e = = u + y v
,x
,X,x
x == -v
(E.5)
,xx
Dans le cadre de nos travaux, nous approximons y par:
(E.6)
où H2 et H4 sont les fonctions d'interpolation montrées à la figure (5.2) et o'} et u 2
représentent des rotations dans le repère corotationnel de l'élément montré à la figure (6.1).
Dès lors, nous pouvons écrire que:
1
,
(E.7)
1
Y,xH3
Y,xH4]
(E.8)
L'expression (EA) peut être écrite sous la fonne:
(E.9)
où [Km] représente la matrice de rigidité de membrane et [Kr] la matrice de rigidité de
flexion.
En introduisant les relations (E.7) et (E.8) dans (EA), on obtient aisément:

306
0
0
0
0
0
0
12
61
0
-12
61
2
2
41
0
-61
21
[Kr]
El
(E.lO)
= -3
0
0
0
1
sym.
12
-61
2
41
qui est la matrice classique de la flexion élémentaire et
1
-a
-le
-1
a
-le
]
2
2
lac]
a
2
lac
a
-a
2
12 2
le]
-lac
2
c]
]
1 c]c
[Km]
2
= E;
(E.ll)
1
-a
le2
sym.
2
-lac
a
2
12 2
S
avec:
(E.12)
On remarquera facilement le couplage entre les termes de flexion et de membrane.

307
E2.
Element d'arc profond CLove)
Les relations de déformations-déplacements s'écrivent:
v
e
= u +-
,s
R
Us
X =-v +-'
(E.13)
,ss
R
TI vient:
1
1
1
1
1
1
[B ]
(E.14)
= [-- -H
H
H
m
1
R l R 2 1 R 3 RH4 ]
1
1
"
[B ]
=
H
H ]
(E.15)
f
[ IR
Hl
H2 IR
3
4
En introduisant (E.14) et (E.15) dans (EA) on obtient:
2
(l/R)2
0
_1 2/R
-O/R)2
0
1 /R
12
61
0
-12
61
2
2
2
41
[K
1 /R
-61
21
El
f ]
- -
(E.16)
3
1
(I/R)2
0
-I/R
sym.
12
-61
2
41
et:

308
1
-V2R
_}2/12R
-1
-V2R
}2/12R
}2/4R2
13/24R2
V2R
}2/4R2
_1 3/24R2
2
2
2
[Km]
}4/144R
12/12R
13124R
_14/144R
EA
= -
CE.18)
1
1
-12/
V2R
12R
sym.
12/
2
4R2
_13/24R
2
14/144R
où 1 représente la longueur de l'arc. Pour un arc d'angle d'ouverture e et de rayon R, par
exemple, on a I=Re.
Il faut noter également que pour la fonnulation de Love, la variable v,s ne
représente pas la rotation de l'ingénieur, laquelle doit être plutôt évaluée par ( v,s - u/R).
E3.
Relation entre le modèle de pénalité et les autres modèles
De toute évidence, l'équivalence est directe entre les modèles mixtes du type
Hu- Washizu (voir Belytschko et aL, 1985) ou Hellinger-Reissner et le modèle de
défonnation de membrane moyenne proposé par Wen et Rahirnzadeh (1983) pour l'analyse
non linéaire à panir des idées de Jennings (1968) et étendu à la théorie de Marguerre par de
Ville de Goyet et Frey (1984).
Quant à la méthode de décomposition de mode, l'énergie de défonnation est
donnée par (Stolarski et aL, 1984):
1
1
+ 1J
U
-2
= IJ
2" El 2
X dx
2" EA€ dx
CE.19)
o
o


309
b
U
- U
21
21
E = - - -
(E.20)
1
(E21)
représentant le déplacement axial total de membrane, et:
1
= -Jy v dx
(E.22)
,x
,x
o
représentant le déplacement axial associé au mode de flexion (ou dû à la courbure) de
l'élément pour la théorie de Marguerre et qui découle de la contrainte d'inextensibilité (soit
e = 0 en flexion pure). En remplaçant (E.20) dans (E.12) en tenant compte de (E.21) et
(E.22), on trouve aisément les mêmes résultats qu'aux équations (E.lO) et (E.ll) dans le
cas du modèle de pénalité.

ANNEXEF
MATRIeES DE TRANSFORMATION ET DE PROPRIETES GEOMETRIQUES
FI.
Relation défonnation-déplacement
a)
Fonnulation lacrangienne actualisée approchée
G'}
0
0
0
0
0
0
G'2
0
0
0
0
0
0
0
0
H"}
0
H"2 0
0
0
0
H"3
0
H"4
0
0
[BI] =
0
H"}
0
0
0
H"
0
0
H"3 0
0
0
H"
0
(F.2)
-
2
-
4
0
0
0
H'l
0
0
H'2
0
0
0
H'3
0
0
H'4
0
0
0
H"
0
0
H"2 0
0
0
H"3
0
0
H"
}
[~ 0 H'} 0 H'2 0 0 0 0 H'3 0 H'4
H'}
0
0
0
o
- H'2
0
0
H'3
0
0
0
- H'4
0]
0
(F.2)
[Brul =
0
0
H}
0
0
H2
0
0
0
H3
0
o
l4
0
0
H'}
0
0
H'2
0
0
0
H'3
0
o H'4
b)
Fonnulation lagrangienne actualisée partielle
Dans le cas de la barre en trois dimensions, la géométrie initiale y x et z x à une
,
,
itération donnée, est donnée aux équations (5.33).
La relation défonnation-déplacement (4.56) peut alors s'écrire, en tenant compte de

311
la condensation statique à l'équation 5.26 et en regroupant les termes de membrane et de
flexion:
(F.3)
où (~) est le vecteur déplacement des noeuds défini à l'équation (5.22) et
G')
0
0
0
0
0
0
G'2
0
0
0
0
0
0
0
0
a
0
b
0
0
0
0
c
0
ct
0
0
0
0
H")
0
H"2 0
0
0
0
H"3
0
H"4
0
0
0
e
0
0
0
-f
0
0
g
0
0
0
-h
0
[BluJ = 0
H")
0
0
0
H"
0
0
H"3 0
0
0
H"
0
(FA)
-
2
-
4
0
0
0
a
0
0
b
0
0
0
c
0
0
ct
0
0
0
e
0
0
f
0
0
0
g
0
0
h
0
0
0
H')
0
0
H'2
0
0
0
H'3
0
0
H'4
0
0
0
H")
0
0
H"2 0
0
0
H"3
0
0
H"4
où:
a = lIl5) H'â·,x dx ; b = lIl5) H'2Y,x dx ; c = lIl5) H'3Y,x dx
d = lIl5) H'4Y,x dx ; e = lIl5) H1z,x dx ; f = lIl5) H'2z,x dx
g = 1/15) H'3z,x dx ; h = 1/15) H'4z,x dx

312
F2.
Matrice des propriétés géométriques en plasticité
a) Fonnulation lagrangienne actualisée approchée
E
YI
zl
0
W I
Y2
z
0
W
y
3
[001]
=
z2
0
W4 dA
(F.5)
LA
A
sym.
4Gç2
0
002
b) Fonnulation lagrangienne actualisée partielle
E
E YI
E
ZI
z3
Y3
0
W 1
E YI
E
zl
z3
Y3
0
W 1
Y2
Y
Z
1
Ys
y
Y4
0
W3
[DOl]
J
E
zl
Z3
Y3
0
W 1
=
z2
dA.
(F.6)
Z4
LP
Zs
0
W4
A
(z-zO)z3 (y-y~z3 0
w6
sym.
(y-y~Y3 0
Ws
4Gç2 0
w2
où E et G sont les modules d'Young et de cisaillement qui dépendent de l'état de contrainte.
YI = -yE ; Y2 = y2E ; Y3 = (y-YO)E ; Y4 = -y(y-yo)E ; YS = y(z~zO)E
zl =-zE ; z2 == z2E
z3 =-(z-z.o)E ; z4 == z(z-z.o)E;
Zs == -z(y-YO)E

ANNEXEG
ELEMENT DE COQUE EN FLA
Cet élément a été développé par Jaamei (1986). Il a été modifié au niveau du
calcul des efforts de membrane par l'introduction
d'une interpolation linéaire du
déplacement transversal w pour éviter le blocage de membrane (Fafard, 1987).
On
présente dans cette annexe les différentes équations de bases.
-champ de déplacement (de type Von Karman)
u(x,y,z) = u(x,y) + z~ (x,y)
x
v(x,y,z) = v(x,v) + z~ (x,y)
(G.I)
.l
y
w(x,y,z) = w(x,y)
où f3x et f3y sont les rotations de la nomlale, définies à la figure G.I.
-les défom1ations peuvent s'écrire:
(G.2)
où < E
> est la déformation de membrane, composée d'une partie linéaire < e
> et d'une
m
m

314
partie non linéaire < l'lm >.
{~::u+v }
{e }
m
:::
,x
,y
(G.3)
(w )2
1
,x
2
(w
)2
,y
2w w
,x
y
< E > est la défonnation de flexion:
f
(GA)
avec
~x,x
{X}:::
~y,y
~x,y + ~y ,x
< X> étant la courbure.
-Le champ des contraintes est obtenu par la loi de Hooke:
(G.S)
La matrice [D] dans le cas orthotrope (contrainte plane) est donnée par:

315
z
l
n
.....
x
y
8.
Fig. G-1 - Rotations de la normale su plan moyen psr rspport
sux axes y et x (respectivement
f3x et f3y )

316
Ex
u E
o
yx x
1
E
[0] =
o
- - - - - 1 uxyE y
y
(0.6)
1-u u
xy yx
o
o
(l-u u
)0
xy yx
xy
où Ex et E y sont les modules élastiques dans les directions x et y; Oxy est le module de
cisaillement et u
et u
sont les coefficients de Poisson dans les deux directions.
xy
yx
-Les efforts résultants de membrane et de flexion sont défmis par:
Nxx
+t/2
{N}
N
=
yy
= f {cr}dz = t [0] {E } = [0 HE}
(0.7)
m
m
m
N
-t/2
xy
+t/2
3
{M}
M
=
yy
= fz{ cr}dz = ;2 [0] {X } = [OfH X }
(0.7)
M
-t}2
xy
La figure 0.2 montre les efforts positifs.
Pour trouver les propriétés mécaniques équivalentes de la tôle ondulée (fig. 0.3),
on considère séparément le comportement en membrane et le comportement en flexion:
en membrane
Le module de cisaillement effectif en membrane est supposé donné par des tests.
Les modules élastiques dans les deux directions peuvent être obtenus par le principe de
l'énergie minimum (Mohamed et Ohan, 1981) à partir du module de base du matériau E.

z:
317
Nxx
Nyy
---::1""--- Nxy
o)------_--:~------------.....~ y
a) Les efforts de membrsne
x
~----------------------_..-
y
Q
x
foiyy
foixy
bo'"---...r---- foixy
foiyy
b) Les momentsfléchlsssnts
Mry
Fig. G.2 _. Les efforts résultants.

318
p
p
d-----~
a) Ondulation
p
/
?~
.. Zt::::==========,r ~
b) Plaque ~qulvalente
Fig. G.3 -- Dimensions de la Mie ondulée et de la plaque
équivalente selon la direction x.

319
Soit:
Ed
E = - - - - - - - - - - - - - - -
(G.9-a)
x
2
2
1
2(e+h sin e + 2.) + 24..!:...(
h
+-)
2
cos e
2
t2 3cos e
(2e + 1 + 2h/cos e)E
E
(G.9-b)
y =
d
À cause de la symétrie, on a E
=
xy
El'x ' ce qui nous pennet d'écrire:
uE
=uE
(G.10-a)
l'X x
Xl' Y
d'où
u
E
uE
yx x
x
(G.lO-b)
U
=
=
xy
E
E
y
y
en admettant que u
est le même que le coefficient de Poisson du matériau de base.
yx
en flexion:
Dans le cas de la flexion, nous évaluons directement la matrice [Dr] de l'équation
G-8. En considérant une ondulation trapézoïdale (fig. G.3), l'inertie équivalente dans les
deux directions nous pennet d'écrire (Timoshenko et Woinowsky-Krieger, 1959; Marzouk
et Abdel-Sayed, 1973; Batoz, 1978; Atrek et Nilson, 1980; etc):
D
0
0
x
o
D
o
y
(G.11)
o
o
D xy

320

d
D
= - - - - - -
x
2e + l + 2h/cos e
2
2th
3
2
2
D
= E[2etz + - - (h /3 -hz + z ) + tl(h-z) ] (=EI)
y
cos e
2e + l + 2h/cos e
D
=
xy
d
24(1+1»
z étant la distance à l'axe neutre d'une nervure (fig. G.3). Mentionnons que des fonnules
similaires pour les ondulations sinusoïdales sont données dans les références memionnées
ci-dessus.

ANNEXEH
DEVELOPPEMEI'.'T DES ELEMENTS DE LIAISON
H 1.
Evaluation de la matrice tangente
La matrice tangente d'un élément ressort est évaluée directement en prenant la
seconde variation de son énergie de défonnation. Dans sa dernière configuration, si un
ressort de rigidité K subit une défonnation u, son énergie totale est:
U = 1/2 ku2
(H.1)
La deuxième variation de cette énergie est:
f:.W = Du k f:.u
(H.2)
où on peut assimiler Du à u* dans les développements antérieurs. Dans ce cas, k représente
directement la matrice tangente de l'élément ressort.
Nous allons appliquer la même
technique à notre cas particulier.
i)Liaison poutre-entremise CELEM23)
Considérons la liaison montrée à la figure 7.2-a. Les degrés de liberté des deux
principaux noeuds peuvent s'écrire:

322
(H.3)
où p indique le poteau et e l'entremise.
Si d et d
y
z désignent les excentricités du noeud 2 par rapport au noeud 1 (centre de
cisaillement du poteau), la défonnation du ressort à plusieurs degrés de liberté s'écrit:
u
=u - u + yv + zw - co<I>
pe
e
p p p
p
v
=v -v +d<I>
pe
e
p
z p
W
=w -w -d<1>
pe
e
p
y
p
(HA)
8
= 8
- 8
xpe
xe
xp
8
=8
- 8
ype
ye
yp
8
= 8
- 8
zpe
ze
zp

y = Yo + dy et z = Zo + dz '
Yo et Zo désignant les coordonnées du centre de cisaillement. Le paramètre (j) représente le
gauchissement du poteau au point de l'attache, lequel nous avons négligé dans le présent.
travail.On notera aussi que le système local du resson est pris égal à celui du poteau.
En introduisant ces déformations dans l'expression H.2, nous pouvons écrire que:
[KL23 ] = [B23]T[D23] [B23]
(H.S)

-1
0
0
0
z
y
-ù.)
1
0
0
0
0
0
0
0
-1
o dz 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0
0 -1 -d y
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
[B23] = 0
0
o -1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
(H.6)
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
-]
0
0
0
0
0
0
l
0 6x14

323
[D23] =
(H.7)

kx ' k et k
y
z'
sont les constantes de ressort dans la direction des trois
déplacements et ~x ' key et kez sont les constantes de ressort pour les trois rotations.
Pour passer du système de coordonnées local au système global, on évalue la
matrice de passage exactement de la même façon que dans le cas des éléments de poteau,
soit en utilisant les coordonnées du troisième noeud de l'élément ressort.
ii)Diagona1es CELEM24)
Dans le cas des diagonales (fig. 7.2 b), nous choisissons encore le système
coordonnées local du poteau comme le repère local de la liaison.
La difficulté
supplémentaire vient du fait que la diagonale elle-même possède également un axe local
privilégié qui est son axe axial. Les degrés de liberté de cet élément sont identiques à ceux
de l'équation (H.l). En admettant que la diagonale ne peut flamber lors du chargement, sa
matrice tangente dans son système local peut s'écrire:
[Kil K'2]
[K24J = K
K
(H.8)
21
22
avec
EA
0
0
1
[Kll ] = [K22] = -[K12] = -[K21 ] = 0 0 0
(H.9)
0
0
0

324
Si [RpJ désigne la matrice de passage de système local de la diagonale au système
local du poteau (évaluée à partir des coordonnées des noeuds 1 et 2 de la barre dans le
système local du poteau), nous pouvons écrire la matrice tangente de la barre dans ce
dernier système:
(H.lO)
avec
(H.11)
où [fpJ est la matrice standard du passage (3x3) pour des éléments de barre en trois
dimensions. La matrice [D
J
24
s'évalue très facilement à la main:
(H.12)
sym.
et en posant:
al
b I
cl
a
b
c
[rpJ =
2
2
2
(H.13)
a
b
c
3
3
3
il vient alors:

325
2
a}b}
a}c}
a}
'I
EA
2
[rpJ [Kll][rpJ
= - a}b}
b
bIc}
(H.14)
1
}
2
a}c}
bIc}
c }
A cause de l'excentricité du noeud 1 de la barre par rapport au centre de
cisaillement du poteau (soit dyet dz dans le système local du poteau), il s'ensuit une
transformation des degrés de liberté de ce noeud:
v} = v - d <1>
(H.IS)
p
z p
où y el z SOnt définis comme en (HA).
Nous pouvons alors écrire:
(H.16)

< ub > désigne les 6 degrés de liberté d'une barre dans l'espace et
}
0
0
0 -z
.y
w
0
0
0
0
0
0
0
0
}
o -dz 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
}
dy 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
[B24] = 0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
(H.18)
0
0
0
0
0
0 0
0
}
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
}
0
0
0
0
6x14

326
La matrice tangente finale de la barre dans le système local de la liaison est par conséquent:
{H.18)
La transfonnation dans le système global se fait exactement de la même manière que dans le
cas de l'élément 23.
iü)Liaison entremise-diaphragme CELEM25)
Les attaches du diaphragme aux entremises (fig. 7.2 c) sont également simulées
par des ressorts. Les degrés de liberté de ces ressons sont:
L'approche est identique à celle de la liaison poteau-entremise. On obtient:
[K
] = [B25]T [D] [B25]
(H.19)
l25

-1
0
0
0
z
y
-ù)
1
0
0
0
0
0
0
-1
0 dz 0
0
0
0
1
0
0
0
0
[B25] = 0
0
-1 -dy 0 0 0 0 0
1
0
0
0
(H.20-a)
0
0
o -1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
6x13
kx
k
0
y
k z
[D25] =
k
(H.20-b)
ex
o
key
kez 6x6
Le passage du système de coordonnées local au système global se fait également à J'aide du

327
troisième noeud de l'élément ressort et de l'angle de rotation initiale de l'entremise.
H2.
Evaluation des résidus
Le résidu global est toujours défmi par:
{R} = {R} - {F}
(H.21)
{F}e = {F 1}e + {.6.F}e

{.6.F}e = [KT] {.6.u}e
(H.22)