THËSE
DE DOCTORAT DE TROISIËME CYCLE DE MATHËMATIQUES PURES
présentée
A L'UNIVERSITË SCIENTIFIQUE ET MËDICALE
DE GRENOBLE
par
Emmanuel AYASSOU
VARIETES
PRESQUE
'll- KAEHLERIENNES
Soutenue le
25 mai
1973 devant la commisston d'examen
C.CHABAUTY
Président
J. K.LEIN
E '
t
J. L. KOSZU L
xamma eurs
TABLE
DES
MATIERES
Pages
INTRODUCTION
1
Chapitre l - VARIETES y-COMPLEXES
3
1. Extensions quadratiques du corps ffi des réels.....
3
2. Champs de vecteurs y-complexes.................
4
3. Formes y-complexes.............................
5
4. Variétés presque y-complexes....................
6
Chapitre II - CONNEXIONS PRESQUE y-COMPLEXES..........
9
1. Repères adaptés
9
2. Connexions presque y-complexes.................
10
3. Construction....................................
14
Chapitre III - STRUCTURES PRESQUE y-HERMITIENNES
16
1. Définition et existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2. Repères presque y-hermitiens adaptés.............
19
3. Connexion presque y-hermitienne.................
22
Chapitre IV - STRUCTURES PRESQUE y-KAEHLERIENNES .. .. . . .
24
1. Forme de Kaehler
24
2. Variété y-kaehlérienne en coordonnées locales.....
29
3. Sur les formes J-harmoniques
32
BIBLIOGRAPHIE
40
-000000-
INTRODUCTION
Il parart intéressant de pouvoir regrouper les résultats obtenus
pour les structures presque tangentes, presque complexes, et presque
produit dans un seul et unique formalisme. L' introduction des struc-
tures y-complexes en offre une possibilité.
Monsieur J. Grifone dans
son travail de troisième cycle a défini les variétés y-complexes ainsi
que les champs de vecteurs et les formes y-complexes. Le but de ce
travail est de donner une suite à son oeuvre et d'étudier en particu-
lier les notions de connexion sur les variétés presque y-complexes.
Le premier chapitre est consacré aux rappels sur les champs
de vecteurs et les formes Y-complexes, ainsi qu'à la définition d'une
structure Y-complexe et presque Y-complexe.
Dans le second chapitre, nous définis sons d'abord la notion
de repère adapté en un point d'une variété presque y-complexe ; nous
introduisons ensuite les connexions presque y-complexes comme étant
des connexions linéaires sur le fibré principal défini par les repères
adaptés. Nous démontrons qu'une telle connexion peut être caractérisée
par le fait que la différentielle absolue du tenseur
J
définissant la
structure presque y-complexe est nulle.
La définition des tenseurs de
courbure, de torsion et de Ricci demeurant la même que dans le cas
réel, nous ne la donnons pas explicitement mais indiquons quand cela
parart intéressant quelques propriétés de celles-ci.
Nous définissons au troisième chapitre une structure presque y-
hermitienne comme étant la donnée d'un triplet
(M
' 1, g)
où
M
Zn
Zn
... / ...
- 2 -
est une variété différentiable réelle de dimension paire
2n;
J
un
tenseur de type
(1,1)
définissant sur
M
une structure presque
2n
y-complexe et
g
un tenseur de type
(0,2) , non dégénéré en tout
point de
M
satisfaisant à la condition:
i g
O.
Nous intro-
2n
J
duisons les repères presque y-hermitiens adaptés et définissons les
connexions presque y-hermitiennes comme des connexions linéaires
sur le fibré principal des repères presque y-hermitiens adaptés. Nous
démontrons qu'une telle connexion peut être caractérisée par le fait
que la différentielle absolue des deux tenseurs
J et g
est nulle.
Au quatrième chapitre, nous généralisons la définition de la
forme de K~hler
0
pour les structures presque y-hermitiennes et
indiquons quelques propriétés de
O.
Entre autre, nous établissons
l'équivalence entre le fait que la forme de K~hler est fermée et que
la connexion canonique associée à la métrique
g
est une connexion
presque y-hermitienne.
La plupart des résultats de ce travail ne sont connus que pour
Y
-1 (structures presque complexes).
Comment saurais-je exprimer ma profonde et respectueuse gra-
titude à Monsieur le Professeur J. KLEIN pour avoir accepté de diriger
mon travail et pour le soutien qu'il n'a cessé de m'apporter pour sa
réalisation.
Je suis reconnaissant à Messieurs les Professeurs C. CHABAUTY
et LL. KOSZUL pour l'honneur qu'ils me font en présidant le jury et en
en faisant partie.
- 7 -
Définition.
Un champ de vecteurs
X E T
sera dit de type (l,O)
(resp. de
~(O,l))si:
8X = 0
~ SX = 0)
où
S et S
sont les 1-formes vectorielles définies sur
T
122!:....:
S = l{J+jI)
2
-
1
S = -(J-jI)
2
On note
Tl, 0
le Ul-module des champs de vecteurs de type
(l,O)
O
et
T , 1
celui des champs de type
(0,1).
Remarquons que
a) Si
X E Tl, 0
alors
XE TO,l
b) Dans le cas
y = 0 ,
T 1 ,O n TO, l '/: \\ 0 J
c)
[T O, l, TO, 1] C TO, 1
si et seulement si
NJ
o .
Définition.
q
Etant donné
w E AP+
(ps:n, qs:n)
, on dit gue
W est de type
(p* ,q)
(resp.
de type (p,q*) si q '/: 0)
et on note
W E AP*, q
(resp.
W E AP,q*) si :
W(X ,X , ... ,X + ) = 0
1
2
p q
chaque fois gue la suite
(Xl""
,X + )
comporte plus de
q
éléments
p q
de type (0,1)
(resp.
plus de p éléments de type (l, 0)).
Proposition.
1) Les propriétés suivantes sont équivalentes
a)
W E AP*, 0
b)
i-w
0
S
c)
iSW
pjw
d)
iJW
pjw
2) Les propriétés suivantes sont équivalentes
a)
w E Ao,q*
b)
iSw = 0
- 8 -
c)
-qjw
d)
-qjw
La différentiation extérieure des formes
y-complexes est un endo-
morphisme
d
du F-module
A
qui possède les propriétés suivantes:
a)
dAP c AP+ 1
P
b)
d(a:i\\S) = da:i\\S + (-l)Pa:i\\dS
si
a: E A
2
c)
d
0
d)
dcÏ
da:
e)
(df)X = X. f
pour tout
f
dans
F .et tout
X
dans
T
'- +1
I-P
i+1
A
f)
dW(X ,X " .. ,X
) = i~l (-1)
Xiw(~, ... ,~, ... ,X
) +
1
Z
p+ 1
p+ 1
i+j
A
A
+
L;
(-1)
w( [X. ,X. LXI"
.. ,X., ... ,X., •.. ,X +1)
lsi<jsp+1
1
J
1
J
P
CHAPITRE
II
CONNEXIONS PRESQUE y-COMPLEXES
1. REPERES ADAPTES.
Définition.
Etant donné une structure presque y-complexe
(M
' Il , .Q!2
Zn
appelle repère adapté d'origine
p E M , une base
(e , e
) (a. = 1, ... , n,
a.
0.*
0.* = n+o.)
T (M)
telle que
e
= J (e ) •
p
0.*
P
a.
Existence des repères adaptés.
Cas
y = a •
Il suffit de prendre
n
vecteurs linéairement indépendants
(e )
a.
dans un complémentaire du noyau de
J
et de poser
e
= J (e )
p
0.*
P
a.
Les vecteurs
(e, e
)
sont linéairement indépendants ; en effet :
a.
0.*
= a entraf'ne
= a
soit
c'est-à-dire
0Ào.*e
E ker J
mais par hypothèse les
e
n'appar-
a.
p
a.
tiennent pas à
ker J
, donc
~À o.*e
0; d'où
À 0.* = a
p
a.
Cas
y = 1 .
(E +)
Désignons par
une base de l'espace
T+
des vecteurs
p
a.
propres correspondant à la valeur propre +1 et par
(E-)
une base
de
a.
T
, espace des vecteurs propres correspondant à la valeur propre -1 .
p
On pose:
ea.
- 10 -
Cas
y = -1
+
Semblable au cas
y = 1 , à la différence que
T
désigne l'es-
p
pace des vecteurs propres associés à la valeur propre
+j
et
T
l'es-
p
pace des vecteurs propres associés à la valeur propre
-j
On pose ;
e
E+ + E
a.
a.
a.
HE+
E-)
a.
a.
Proposition II. 1.
L'ensemble
CB(M)
de tous les repères adaptés a ,une structure de
fibré principal de groupe structural
Ly
y
B yC
L
I(C B) E GL(2n,at) 1
Démonstration;
Il suffit de voir que
CB(M)
est un sous-fibré
du fibré des repères linéaires y-complexe de
M.
2. CONNEXIONS PRESQUE y-COMPLEXES.
Définition.
On appelle connexion presque y-complexe sur
(M
, n ~
2n
connexion linéaire sur le fibré des repères adaptés.
Proposition II. 2.
Soit
r une connexion linéaire y-complexe sur M et D sa dérivation
absolue. Les affirmations suivantes sont équivalentes
1)
r est une connexion presque y-complexe.
2)
DJ = 0 ,
Démonstration
Etant donné un recouvrement de
M
par des
2n
voisinages ouverts
U
, munis de sections locales du fibré des repères
E:
adaptés 1 une connexion presque y-complexe peut être définie par la donnée
dans chaque
U
d'une 1-forme
Wu
à valeurs dans l'algèbre de Lie de
E:
E:
LY . Une telle forme peut être représentée en tout point
P E M
par une
- 11 -
matrice
(n~) d'ordre 2n , dont les éléments sont des l-formes. On aura
1
donc localement :
a.
a.*
n~
n~
TTUE:
a.*
a.
n~*
n~
Par suite
dJa. + TTa.JP + na. JP* - nPJa. - TTP*Ja.
~
P ~
P* ~
~ P
~
p*
a.
p*
p* a.
a.
p*
P
a.
TT p*J ~
n~ Jp*
y TTp*ê~* - YTT~*êp
o
a.*
dJa.* +
a.* P
a.* p*
P a.*
p* a.*
DJ~* =
~*
TT p J~* + TTp*J~* - TT~*Jp
- TT~*Jp*
a.* p
P a.*
a.
p*
yn P êa.
n p J~*
n
J
= YTTp*ê~* -
~* P
~* P
a.
a.
0
y(n~*
TT~*)
DJa. = dJa.
+ TTa.Jp
a.
p*
p a.
p* a.
+ TTp*J~* - n~*Jp - n~*J *
~*
~*
p ~*
.
p
TTa.JP
p* a.
TTa.êP
p* a.*
p ~* - n~*J p*
p ~
TT~*êp*
a.
a.*
n
- n~* = 0
~
DJa.* = dJa.* +
*
a.* p*
P a.*
p* a.*
na. JP + TTp*J~ - n~J P - TT ê *
~
~
P ~
~
P
a.* p*
TT p*J~
P a.*
TT J
=
~ p
a.*
a.
= y(TT * - TT~)
o
S
Inversement, si on se donne des l-formes à valeurs dans l'algèbre
de Lie de
GL(2n,A)
correspondant à une connexion sur
M
telle que
2n
DJ = 0 , alors on a
/
- 12 -
a
a*
TI
TI
13
13
TIUe:
a
a*
a
*
TI
TI13 *
TI13
13
Donc, ces formes prennent leurs valeurs dans l'algèbre de Lie
de
Ly
et sont des formes d'une connexion presque y-complexe.
Proposition II. 3.
Etant donné une variété différentiable réelle
M
et une connexion
2n
linéaire y-complexe
r
ê.1dr
M
, les affirmations suivantes sont
2n
équivalentes
1)
r
est une connexion presque y-complexe d'une structure
presque y-complexe sur
M
.
2n
2)
Le groupe d' holonomie de
r
en tout point e st sous -groupe de Ly .
Démonstration
1)
~
2)
évident.
2)
Supposons qu'au point
p E M
' il
2n
:~sted:nL;e~è~:s :~ém::~:1::ue;R:e:::::o::o~:n~:'f:,::1t sor~~re
Considérons le tenseur
t(p)
en
p
, de type (l,1)
défini dans
la base
R
par la matrice
. Ce tenseur est invariant par le
P
(~ 6~
groupe
car pour toute matrice
nous avons :
~R
A= (~ ~C)
P
si
J = Π6~
D'après le théorème suivant, il existe sur
M
un tenseur
(qu 1 on
2n
notera
Tl
dont la dérivée absolue est nulle et ce tenseur vérifie
2
J
= yI
Lemme (voir [8] page 113).
Tout champ de tenseurs à dérivée covariante nulle sur une varié-
té différentiable
M
détermine en tout point
p E M
un tenseur inva-
riant par
WR
p
- 13 -
Inversement, de tout tenseur en
p ,
invariant par
~R
,on
p
déduit par transport un champ de tenseur défini sur
M
et à dérivée
covariante nulle.
La connexion
r
est donc telle que
DJ = 0 , d'après la propo-
sition II. 2, c'est une connexion presque y-complexe.
Proposition II.4.
Soit
~
et
R
la torsion et la courbure d'une connexion pres-
gue y-complexe
r
.§.ill
(M
,Il ; on a :
2n
1)
~(JZ,JW) - J~{JZ,W) - J~(Z,JW) + yY(Z,W)
-NJ(Z,W)
2)
R(Z, W) CI J = Jo R(Z , W)
Démonstration :
1) En remplaçant
~(U, y)
par sa valeur
~(U, Y) = DUY - DyU - [U, y]
on a quels que soient
Z et W dans
T:
~(JZ,JW) - J~{JZ, W) - J~(Z,JW) + y~(Z, W) =
-
[JZ,JW] + J [JZ, W] + J [Z,JW] - y [Z, W] + DJZJW - JDJZW + JDJ~
+ yDzW - JDZJW - yD~ + JDwJZ - DJWJZ
-NJ(Z, W) + (DJZIlW - (DJWIlZ - J{DzIlW + J{DwIlZ
-NJ(Z, W)
2)
R(Z, W)JU
DZDWJU
D [Z, wiU
IDZDWU
JD[Z,W]U
JR (Z, W)u
-
14 -
3.
CONSTRUCTION DES CONNEXIONS PRESQUE y-COMPLEXES DANS LE
CAS
Y 1- 0 •
Sur l'ensemble
X
des applications bilinéaires de
TxT
dans
T.
On définit les projecteurs conjugués
p et p'
par:
1
pL(Z,W) = "2(L(Z, W) + yJL(Z, JW))
1
p'L(Z, W) = "2(L(Z, W) - yJL(Z,JW))
on vérifie que :
a)
p+p'
identité
b)
po p'
p'o p = 0
c)
po p
p
et
p' 0 p'
p'
.
Lemme 1.
Etant donné un élément
LoEX, -",u.:..:n,::::e~c,::::o.:..:n-",d~it:.=i-",o.:..:n.....:..:n,::::é-",c-",e-",s-",s:=::.a.:.:ir""e:......:::e,-"t--",su=ff,-=-i
sante pour que l'équation
pL = L
)
admette une solution
o (resp.
p'L = L o
en
L
est gue
L
satisfasse à la relation
p'L
o ~. pL
= 0)
o
o
o
La solution générale de l'équation est alors
L = L
+ p'L
o
1
où
est un élément arbitraire de
X.
Démonstration
Supposons que
L
soit solution de l'équation
2
pL
L
entrafne
p' pL
= p'L
soit
p'L
= 0
o '
pL
= L
2
0
2 0 0
Inversement,
si
L
est tel que
p'L
= 0 ; alors puisque
o
o
p+p' = identité on a
(identité -p)L
= 0
soit
pL
= L
. L'équation
o
o
0
pL = L
devient alors
pL = pL
soit
p(L-L ) = 0 , c'est-à-dire
o
o
o
pL' = 0
SI
L' = L-L
; mais
p'L' = L'
entrafne
L = L
+ p'L'
•
o
o
Lemme 2.
En posant
DZW =
"
DZW + L(Z, W)
~
LEX
les affirmations suivantes sont éguivalentes
(DZllW = 0
1
.,
2)
p'L(Z, W) = ZyJ{DZJ}W
pour tous
Z
!li.. W
dans
T.
- 15 -
Démonstration :
o
0
(DZJ}W = DZJW + L(Z,JW) - JDZW - JL(Z, W)
o
= 0
c:.
(DZJ}W = JL(Z, W) - L(Z,JW)
1
0
1
c:.
zYJ{DZJ}W) = "2[L(Z,W)-yJL(Z,JW)]
= p'L(Z, W) .
Remargue.
Dans le cas général
o
(DZJ}W = 0
c:.
(DZJ}W = JL(Z, W) - L(Z,JW)
Proposition II. 5.
Dans le cas
y = ±1 , (M
,J)
admet une connexion presque
2n
y-complexe dont la torsion j
vérifie :
•
Démonstration : On considère une connexion
D
symétrique
o
(c'est-à-dire dont la torsion
j
est nulle) et on pose
L(Z, W) = t [dJJWJ}z + J{DWJ}Z + 2J{D J}W]
Z
1
0
Il faut vérifier que
p'L(Z,W) = -yJ{D J}W
2
Z
p'L(Z, W)
D'autre part,
j(Z, W) = L(Z, W) - L(W,Z)
= t((DJWJ}Z + J{DwJ}Z + 2J{D J}W - (DJzJ}W - J{D J}W-2J{D
J}Z)
z
Z
W
= t((DJWJ}Z - (l\\zJ}W - J{DWJ}Z + J{DzJ}W)
-t NJ(Z, W)
CHAPITRE
III
STRUCTURES PRESQUE y-HERMITIENNES
1. DEFINITIONS ET EXISTENCE.
On appelle métrique pseudo-riemannienne sur une variété pres-
que y-complexe
(M
, Tl , une forme bilinéaire
9
sur le F-module
T
2n
des champs de vecteurs y-complexes qui vérifie les conditions suivantes
a)
9
g ;
b)
9
est symétrique c'est-à-dire
g(X, y)
g(Y, X)
pour tous
X ,Y
dans
T;
c)
Pour tout
X
dans
T, l'application
e: Y ... e(y) ;: g(X, y)
de
T
dans le module des 1-formes est bijective.
La métrique
9
est dite y-hermitienne si
i 9 = 0 • On appelle
J
structure presque y-hermitienne un triplet
(M
, J, g) ,où
9
est une
2n
métrique y-hermitienne
et
(M
, Tl
une structure presque y-complexe.
2n
Proposition III. 1.
l)
.â1. 9
est une métrique y-hermitienne alors
a)
g(X, JX) = 0
pour tout
X
dans
T.
b)
g(X, y) = 0
.2.!
X et Y
sont du même type.
2)
Si
9
est une métrique pseudo-riemannienne sur
(M
, Tl
2n
alors :
i 9
0
-
g(JX, y) + g(X,JY) = 0 pour tous X, Y dans T
J
..
g(JX,JY) + yg(X, y) = 0 pour tous X et Y dans T
- 17 -
Démonstration
: Seule l'assertion I-b) demande une justification
- dans le cas
y:f 0 ; supposons que
X et Y
soient tels que
IX = jX ; JY = jY , alors
0 = g(IX,Y) + g(X,IY) = 2jg(X,Y)
entraf'ne
g(X,Y) = 0 .
- dans le cas
y = 0 . posons
X = X
+ jX
. y = y
+ J'Y
,
1
2 '
1
2
où
Xl ' X
' YI' Y
sont des champs de vecteurs réels.
2
2
IX
jX
<:$
X = IX
+ jX
2
2
JY
jY..
Y = JY 2 + jY2
par suite :
g(X, y)
g(JX ,JY ) + yg(X ,Y ) + j(g(JX ,Y ) + g(X ,JY ))
2
2
2
2
2
2
2
2
o .
Existence d'une métrique y-:-hermitienne.
Si
9
est une métrique y-hermitienne définie sur le module des
champs de vecteurs réels sur
M, on en déduit une métrique y-hermi-
tienne
9
définie sur le module des champs de vecteurs y-complexes
en posant
g(Xt jX2' Y1+jY2) = g(X , Y1) + yg(X , Y2) + jg(X , Y2) + jg(X , Y1)
1
2
1
2
quels que soient les champs de vecteurs réels
Xl ' X
' YI' Y2 .
2
Il reste donc à construire
g .
a)
Cas
y:f 0 .
Si
h
est une métrique pseudo-riemannienne sur
M, le tenseur
9 défini par
g(X, y) = h(X, y) - yh(JX, JY)
est une métrique y-hermitienne.
- 18 -
b) 9.?~
y
o.
Lemme 1.
8i
h
est une forme bilinéaire symétrique sur
T
, non dégé-
R
nérée sur
ker J , alors la forme
1jr(X, y) = h(JX, y) - h(X, JY)
est anti-
symétrique et non déqénérée sur
T
.
R
En effet, dire que
1jr(X, Y)
0
pour tout
Y
dans
T
équivaut
R
à
h(JX, y) - h(X,JY) = 0
pour tout
Y
dans
T
ce qui entraf'ne
R
h(JX, y) = 0
pour tout
Y
dans
ker J ; par suite
JX = 0
Mais
JX = 0
équivaut à
X
appartient à
ker J ; ce qui entraf'ne
h(X, JY)
0
pour tout
Y E T
. D'où
X = 0
R
Lemme 2.
8i
k
est une forme bilinéaire antisymétrique et non dégénérée
.21!L ker J , alors la forme
g(X, y) = k(X, JY) + k(Y, JX)
est une métrique
y-hermitienne .
On démontre que
9 est non dégénérée d'une façon analogue
au lemme 1.
Dans le cas
y = 0
toute variété réelle
M, munie d'une
structure presque y-hermitienne a pour dimension réelle un multiple de 4 .
En effet, la matrice de la métrique
g , dans un repère adapté
est de la forme
avec
Par suite, si
y = 0 , det(G) = (dedG2)Z
n'est différent de zéro que
si la matrice
G
est d'ordre pair.
2
- 19 -
2. REPERES PRESQUE y-HERMITIENS ADAPTES.
Soit
(M
, 1, g)
une structure presque y-hermitienne avec
2n
n = 2'm
et soit
G
l
= matrice
o
eK ~ avec K~(~
m
unité d'ordre
m.
Définition.
On appelle repère presgue y-hermitien d'origine
p E M
'
2n
un repère
(e, e *)
d'origine
p , adapté dans lequel la matrice
de
0-
0-
g
est
Go
Existence des repères presgue y-hermitiens adaptés.
Lemme.
Dans le cas
y (:. 0 , désignons par
T+
l'espace propre associé
à la valeur propre
1
si
y = 1
.Q!!
si
Y
-1
~
T-
l'espace
propre associé à la valeur propre
-1
si
Y
1
.Q!!
-j
..ê..!
On a :
g(Z, W) = 0
si
Z m. W
appartiennent tous deux à
tous deux à
T
Démonstration
Ca s
y = 1 .
Si
Z E T+ , W E T+
on a :
JZ = Z
et
JW = W
par suite:
g(Z, W) = g{JZ,JW) = -g(Z, W)
d'où
g(Z, W) = 0 . De même
si
Z E T
et
W E T- 1
on a :
JZ = -Z , JW
-W,
g(Z, W) = g{JZ,JW) = -g(Z, W)
d'où
g(Z, W) = 0 .
Cas
y = -1
Dire que
Z et W
appartiennent à
T+
ou à
T
signifie qu'ils sont du même type ; d'où le résultat.
a) Cas y = 1
Soit
(E+)
+
(E-)
une base de
T
et
une base de
T
. On
0-
0-
pose
u
= ~ sO-E+
et on cherche à déterminer les
Sa.
tel que l'on ait
1
1 0-
1
- zo -
La résolution donne lieu à un système de Cramer d'ordre
n
qui
admet une solution unique.
De la même façon, on peut déterminer
u , u ' ••• , un
tels que
z
3
g(Uo.,E;) = ôo.~ .
Enfin, on pose pour
a.
tel que
1 ~ a. ~ m
e
..l. (u
+ E-
)
a.
fi a.
o.+m
1
-
eo.+
= -
(u
-E)
m
fi o.+m a.
Pour tous
a. et ~
avec
1 s: a. s: m , 1 s: ~ ~ m
1
-
-
g(eo.,e,) = -Z g(u +E +
,u +E + )
"'
a.
a. m
S
~ m
1
-
1 -
=-g(u,E
) +-zg(E
,u)
Z
a.
s+m
o.+m
~
= 0
g(eo.,e *) = t g(Uo.+E~+m,JU~+JE;+m)
13
1
-
-
= 2 g(Uo.+Eo.+m,U~-E~+m)
1
-
.. ~
-2 g(Uo.,ES+~· + g(Eo.+m'u~)
= 0
1
g(eo.,e(s+m)}= 2 g(Uo. + Eo.+m ' JU~+m - JE;)
= l
g(u
+ E
,
+ E-)
Z
a.
o.+m
u s+m
13
1
-
1
-
= 2 g(Uo.,E~) + 2 g(Eo.+m,u~+m)
Ôo., ~
-
Z1 -
g(e~+m,ecr.*)= tg(U~+m-E~ , JUcr.+JE~+m)
= 19(u
-E
, u -E-
)
Z
~+m
~
cr.
cr.+m
= -6 ~cr.
Ainsi la matrice de
g
dans la base
(e , e *)
est
G
cr.
cr.
o
b)
Cas
y = -1
Méthode semblable à la précédente.
(E+)
(E-)
+
On désigne par
et
des bases de
T
et
T
respec-
cr.
cr.
T+
tivement. On construit
(u )
une base de
telle que
g(u ,E-) = 6 ~
cr.
cr.
~
cr.
et on pose :
_1
e
(u +E-+ )
cr.
fi
cr.
cr. m
pour
1 s; cr. s; m
.:;.L
e
(u + -E-)
cr.+m
fi cr. m cr.
c)
Cas
y = 0 •
Il s'agit de trouver une matrice inversible
P
de la forme
P =
~~) telle que l'on ait tpGp = Go où G est la matrice
de
g
dans une base adaptée quelconque.
G
est donc de la forme
G
L'équation
t pGp
. L'équa-
tion
tAGZA = K admet des solutions. D'autre part, en posant
D
et
C = tAG A
la deuxième équation devient
1
ce qui équivaut à
si
équation qui admet une infinité de solutions si
C
est symétrique (ce
qui est le cas).
-
22 -
Définition.
Une matrice carrée d'ordre
2n 1 U 1
sera dite orthogonale par
rapport à la métrigue
9
si
t UG U
G
o
0
~~~Eg~~ :
Si
U
est orthogonale par rapport à
9
on a
(det U) 2
1
car
det G
1 .
o
Proposition.
Etant donné une structure presque y-hermitienne 1 les matrices
de passage d'une base presgue y-hermitienne à une autre sont des ma-
trices orthogonales par rapport à la métrigue.
Proposition.
L'ensemble
G
des matrices orthogonales est un sous-groupe
H
de Lie de
Ly .
Démonstration
Si
t UG U
G
et
t VG V
G
alors
1
-------------
0
0
0
0
t(UV)G (UV)
tV(t UG U)V
t VG V
G
0
0
0
0
t(U- 1)G U- 1
-1
= G
par multiplication de la première relation par
U
o
0
à droite et par
tu- 1
à gauche.
3.
CONNEXION PRESQUE y-HERMITIENNE.
L'ensemble
EH
des repères presque y-hermitiens a une struc-
ture de fibré principal de groupe structural
G H 1 appelé fibré des
repères p. y. h.
Définition.
On appelle connexion presgue y-hermitienne sur
(M
,I, g)
une
2n
connexion sur le fibré de s repère s p. y. h.
- 23 -
Théorème.
Etant donné.
sur
M
une connexion linéaire y-'-cpmplexe ' l' i
2n
de dérivation absolue ,!)' ;-'les affirmations suivantes sont' égùivalentes :
a)
r
est une connexion
p.y.h.
b)
DI = 0
et
Dg = 0 .
!?~~~~~t!~!.i.9E:
On sait que l'algèbre de Lie de
G
est
H
QH
1U = (~ y:) ; tUG0 + GoU = 0 1 or
o
+ G U
. {:
o
t BK = 0
Dg
Cl 13
n
k
2n
k
- z: u gk *
z: 9 kUI3*
k=l
Cl
13
k=n+l
Cl
CHAPITRE
IV
STRUCTURES PRESQUE y-KAEHLERIENNES
1. FORME DE KAEHLER.
Définition.
Etant donné une structure p.y.h.
, (M
,J,g)
, on appelle forme
2n
de Kaehler, la forme
O(Z, W)
définie par
O(Z, W) = g(Z,JW)
La structure
(M
, J, g)
est dite presque y-kaehlérienne (P. y. k.)
2n
si
dO = 0 • Elle est dite y-kaehlérienne si
dO = 0
et
NJ = 0 •
Propriétés de la forme de Kaehler.
Propriétés immédiates :
a)
o(Z, W) + O(W,Z)
0
b)
i 0 = 0
J
c)
oUZ,JW) + yO(Z, W)
0
Proposition IV. l.
Etant donné une structure p.y.h.
(M
,J,g)
11 existe une
2n
connexion linéaire
r
et une seule de dérivation covariante
D
satis-
faisant aux conditions
a)
Dg = 0
b)
3" = 0 .
- 25 -
Elle satisfait en outre à la condition
DZW = DzW
La démonstration est analogue au cas réel.
Proposition IV. 2.
D
étant la dérivation covariante de la connexion riemannienne
associée à
g , on a pour tous éléments
X,Y,Z de
T:
a)
3dO(X, y ,Z) = g((DxJ)Z, y) + g((DZJ)Y,X) + g((DyJ)X,Z)
b)
g((DxJ)Y,Z) +g((DxJ)Z, y) = 0
c)
g((DXJ)JY,Z) = g((DxJ)Y,JZ)
d)
-2yg((D J)Y,Z) = 3dO(X,JY,JZ) + 3yd O(X,Y,Z) + g(NJ(Y,Z),JX}
X
Démonstration :
a)
3dO(X,Y,Z) = Xg(Y,JZ) + Yg(Z,JX) + Zg(X,JY) - g([X,Y],JZ)
- g([Z,X],JY) - g([Y,Z],JX)
et en utilisant les relations
Ug(V, VI) = g(DUV, VI) + g(V,DUW)
[U,V] = DUV - DVU
on obtient le résultat.
b)
g(JY,Z) + g(Y,JZ) = 0
=t
Xg(JY,Z) + Xg(Y,JZ) = 0
=t
g(DxJY, Z) + g(JY, DXZ) + g(DXY' JZ) + g(Y, DXJZ) = 0
soit
2
c)
(D J) JY = D J y - JD JY = -J(D JY - JD y) = - J(D J) Y
X
X
X
X
X
X
Donc
d)
NJ(Y,Z) = (DJYJ)Z - (DJZJ)Y + J(DZJ)Y - J(DyJ)Z
2g (N (Y,Z) ,JX) = 21 g ((D
J)Z,JX) - g((DJZJ)Y,JX) - yg((DZJ)Y,X) + yg((DyJ)~,X) 1
J
JY
-
26 -
6ydO(X, y , Z)
2y \\g((DXnZ,y) + g((Dzny,X) + g((DynX,Z) 1
6do(X, JY, JZ)
2!g((D J)JZ,JY) + g((DJZJ)JY,X) + g((DJYnX,Jz) 1
X
D'où le résultat en tenant compte des formules
b) et c)
.
Proposition IV. 3.
Si
D
est la dérivation covariante de la connexion riemannienne
associée à la métrique
g
d'une structure p.y.h.
: (M
,J,g)
, dans
2n
le cas
y = ° .Q!L.9.:
2g ((D
J)X,y) = 3do{JX,y,Z) + 3dO(X,JY,Z) + g(NJ(Y,Z),X) + g(NJ(Z,X),Y)
JZ
P~E:.~~~tE~~i.?.!1 : Il suffit de développer le second membre en utili-
sant les formules de la proposition (IV. 2).
Proposition IV.4.
Si
D
est la dérivation covariante de la connexion riemannienne
associée à la métrique
g
d'une structure
p.y.h.
: (M
,J,g)
, dans le
2n
~ y = ° .Q!L.9.:
(dO = 0, NtO) = DJxJ
° et (DxnJY = ° pour tous X et Y dans T .
Démonstration
1)
DJxJ = 0
résulte de la proposition (IV. 3) et du fait que
g
est
non dégénérée.
2)
0 = dO(X, y ,JZ)
g((DxI)Y,JZ) + g((DyJ)JZ,X)
car
g((DJZnX, y) = 0
donc
g((DXJ)Y,JZ) + g((DyJ)JZ,X) = 0
(a)
En faisant des permutations circulaires de X,Y,Z , la relation (a) donne
g((DyJ)Z,JX) + g((DZJ)JX,y)
o
(b)
g((DZTlX,JY) + g((DxJ)JY,Z)
o
(c)
En retranchant membre à membre (b) et (c)
, on obtient
(d)
- 27 -
et en comparant les relations (a) et (d) on obtient
ce qui entraI'ne
(DXJ) JY = 0
pour tous
X et Y
dans
T.
Théorème.
Si
D
est la dérivation covariante de la connexion riemannienne
associée à la métrique
g
de la structure p.y.h.
: (M
,J,g) , les
2n
affirmations suivantes sont équivalentes
1)
D J = 0
pour tout
X E T
X
2)
D 0 = 0
pour tout
X E T
X
3)
dO = 0 , NJ = 0
et
(DXJ)Y = 0
pour tout
un sous-module supplémentaire de
lm J
dans
T
Démonst ration
1)
~ 2) •
XO(Y ,Z) - O(DXY' Z) - O(Y, DXZ)
Xg(Y, JZ) - g(DXY' JZ) - g(Y, JDXZ)
g(DXY' JZ) + g(Y, DXJZ) - g(DXY' JZ) - g(Y, JDXZ)
g((DXJ)Z, y)
d'où le résultat, puisque
g
est non dégénérée.
1) ~ 3).
Dans les cas
y = 1 et y
-1, c'est une consé-
quence des formules a) et d) de la proposition IV. 2.
Examinons le ca s
y = 0 .
1) entraI'ne 3) d'après la formule a)
proposition IV.2.
Et d'après la proposition IV.4,
dO = 0
et
NJ = 0
entraI'ne
DJXJ = 0
et
(DXJ) JY = 0
pour tou s X et Y dan s T
Proposition IV. 5.
Soit
D
la dérivation covariante de la connexion riemannienne
de la structure
p. y. h.
: (M
, J, g)
, le tenseur
K
défini par
2n
-
28 -
K(X, Y, Z, W) = g(R(Z, W)Y ,X)
possède les propriétés suivantes :
1)
K(X, y ,Z, W)
-K(Y,X,Z, W)
-K(X, Y, W, Z)
2)
K(X,Y,Z, W)
K(Z, W,X, y)
3)
K(X,Y,Z, W) + K(X,Z, W,Y) + K(X, W,Y,Z) = 0
4)
K{JX,JY,Z,W) = K(X,Y,JZ,JW) = -yK(X,Y,Z,W) pour tous
X,Y,Z, W dans T •
Démonstration:
La démonstration des relations 1), 2), 3)
est analogue au cas réel des variétés riemanniennes (voir par exemple
[4] page 69).
D'autre part :
K{JX,JY,Z,W) = g(R(Z,W)JY,JX) = g(JR(Z,W)Y,JX) = -yg(R(Z,W)Y,X)
K(X,Y,JZ,JW) = K{JZ,JW,X,Y) = -yg(R(X,Y)W,Z) = -yK(Z,W,X,Y)
Proposition IV. 6.
Soit
(M
, J, g)
une structure p. y. h.
Le tenseur de courbure
2n
R
de la connexion riemannienne associée à
g
vérifie les relations :
1)
R{JX, y) + R(X, JY) = 0
2)
R(X, y) = 0
..ê.!
X et Y sont du même type.
Démonstration :
1)
g((R{JU, V)+R(U ,JV))Z, W)
g(R(Z,W)JU,V) + g(R(Z,W)U,JV)
-g(R(Z, W)u ,JV) + g(R(Z, W)u ,IV)
o
pour tous
Z et W
dans
T
entraf'ne
R(JU ,V) + R(U, JV) = 0 •
2)
Pour
y i- 0 , supposons que
X et Y
soient du même type
alors
R(Z, W)x = DZD~ - DWDZX - D [Z, w]X
est du même type que
X
(car
DJX = JDX).
Donc
R(Z, W)x
et
Y
sont du même type, d'où
g(R(Z, W)X, y) = 0
c'est-à-dire
g(R(X, Y)Z, W) = 0
d'où
R(X, y) = 0
car
g
est non dégénérée.
- 29 -
Pour
y = 0 , supposons que
X = JU + jU , y
IV + jV
alors
R(X,Y) = R(JU,JV) + j(R(JU,V)+R(U,JV)) + R(jU,jV)
o .
Il en est de même si
X = JU -jU , y = JV-jV •
2. VARIETE y-KAEHLERIENNE EN COORDONNEES LOCMES.
Dans tout ce paragraphe,
D
sera la dérivation covariante de
la connexion associée au tenseur
g
d'une structure P. y. h.
: (M
, J, g).
2n
On supposera en outre que cette connexion est P. y. h.
; ce qui entraf-
ne que la structure est presque y-kaehlérienne.
Définitions.
Si
U
est un voisinage de
p E M
, de coordonnées locales
2n
Z
= x
+ jy
, les vecteurs
(~) , (~)
forment une base adaptée
a.
a.
a.
exa. p
eyo. p
à la structure en
p
On a
J~=~
Posons :
bx
ey
a.
a.
z =~
~
=~+
~
j
ex
Z *
a.
bYo.
a.
eyo.
bx
a.
a.
dz
dx
+ jdy
dz
dx
jdy
a.
a.
a.
a.
a.
a.
on a
dz (Z ) = 0
dz (Z *)
2j oS
a.
S
a.
S
a.
dZo.(Zs) = -2jO~
dZo.(ZS*) = 0
O
Donc,
si
y-; Oies
(Z)
forment une base de
T , 1
et
une
a.
base de
T 1 ,0
Les formes
(dz)
sont de type (1*,0)
et
a.
1\\
dz
(1 s 0.
s a. 2 s ... s o.r s n)
0.
1
2
r
forment une base de
A *, 0 • De même
dz
1\\ dz
1\\ ••• 1\\ dz
(1 s SIS •.. S Ss s n)
S
S
S
1
2
s
forment une base de
A0 , s* •
- 30 -
p*q
Rappelons qu'une forme
w E A
(ps:n, qs:n)
est dite de type
(p*, q)
(resp. de type
(p,q*))
et on note
w E AP*, q (resp. w E AP , Q*)
si
w(Z
, Z
, ... , Z
) = 0
a.
a.
a.
1
2
p+q
chaque fois que la suite
Z
, ... , Z
comporte plus de
q
vecteurs
a. 1
a.p+q
de type (0,1)
(resp. plus de
p
vecteurs de type (l, 0)) •
Lemme 1.
En posant
gij = g(Zi,Zj)
ga.~ = ga.*~* = 0 .
Il résulte de ce fait que
Z
et
Z~
sont de même type
ainsi
a.
que
Z *
et
a.
Lemme 2.
En posant:
a.
D I = 0
X
r~*y*
o .
Démonstration :
= L; ra. Z
+ L;ra.*Z
~y a.
~y a.*
= -jD
Z
Z~ y
= ID
Z
o
Z~ y
En refaisant la même chose avec d'autres vecteurs, on obtient toutes
les relations annoncées.
Lemme 3.
:-
O}
o
i
a.
a.*
:0$
0
0
0
r *y
r~*y*
r~y
13
DI = 0
~!:!!I~.E~!: : Dans l' hypothèse
DI = 0
et
:- = 0 , les seules
a.*
composantes différentes de zéro sont
ra.
et
~y
r~*y* .
- 31 -
Tenseur de Ricci.
Posons
R(Z"Z,)Zk = L; Rke"Z
1
)
1)
e
R"k
= g(R(Zk'Z )Z"Z,)
1)
e
e ) 1
Lemme 4.
Ra.
= Ra.*
= 0
~*ij
~ij
a.*
JR(Z"Z.lZ
jL;R
j ""Ra. Z
+' ""Ra.* Z
o "Z *
- L J "
)LJ
1
)
S
o "
*
1'/1)
a.
13 1) a.
1'/1)
a.
De même
R(Z, ,Zj)JZ *
o .
1
~
Lemme 5.
1)
RiJke
-Rij ek = -Rjik e
Rkeij
2)
R
0
a.Sij
R * *"
a. S 1)
Ri'
0
)a.~
Rija.*S*
j
j
3)
R
- R
0
-
'* *
ia.~
la. ~
Démonstration : Les relations (1) sont une autre traduction des
relations de la proposition IV. 5 . Les relations (2) résultent des lemmes
1) et 4) ; par exemple :
k
ê
ê*
Ra.~ij = L;ga.kRSij = L;ga.êR~ij + L;ga.ê*R ~ij
ê*
or
g
= 0
(lemme 1)
et
R
= 0
(lemme 4).
Les relations (3)
a.ê
Sij
résultent de la proposition IV. 6.
Lemme 6.
On a d'une part
- 32 -
R(Z ,Z *)Z
y
~
a.
Ô
-D
(~r
ZÔ)
Z ~*
yo.
- ~ Z~* (r~o.)Z ô
d'autre part
d'où
Proposition IV. 7.
Dans une structure y-kaehlérienne, les composantes du tenseur
de Ricci vérifient localement
R
= R
o
o.~
0.*8*
2)
R
= R
-~
o.*~
o.~*
y
La proposition résulte des lemmes 5
et 6.
3. SUR LES FORMES J- HARMONIQUES.
Dans tout ce paragraphe la variété
M
sera supposée paracom-
pacte.
La forme volume sur une variété presque y-hermitienne.
Proposition IV.8.
(voir (7]) .
.fulli
(M
, J, g)
une structure
p. y. h.. Si la variété
M
g,&
2n
2n
orientable, il existe une forme
w , alternée, réelle, de degré
2n, ~
rang maximum en tout point de
M
telle que
2n
pour tous
Xi' Y
dans
T.
j
- 33 -
Tout autre élément de
AZn
qui vérifie cette condition est égale
à
W
ou
-w.
!?~~~I2.~t!"~!.i.?E
M
étant orientable, il existe une Zn-forme
~
alternée réelle qui est une base du module
AZn . Puisque
det ç/..X" Y.)
1
J
est une fonction multilinéaire alternée de
\\
et Y
,
il existe une
j
fonction
f E F
telle que :
pour tous champs de vecteurs réels
X.
, Y,
•
1
J
Or, si
(e )
est une base presque y-hermitienne adaptée on a
i
det g(e.,e,) = 1 ;
donc
1
J
Z
a f •
D'où
-Z
f = a
La fonction
f
est donc réelle et strictement positive en tout point
on peut alors poser:
w = JI. ~ .
Il suffit ensuite de y-complexifier
w
pour avoir une forme
définie sur
T.
Définition.
w
est appelé forme volume de la variété presque y-hermitienne.
1)
En désignant par
e , l'isomorphisme de T sur
défini
par
g , les formes volumes peuvent encore être caractérisées par la
condition:
2)
iJw = 0
Car dans une base adaptée on a :
2n
iJw(el, ... ,e2n) =
L:: w(e , ... ,Je" ... ,e
)
0
1
Z
i=1
1
n
- 34 -
Les différents opérateurs sur les formes.
L'opérateur J*
Définition.
J*
est l'application de
A
dans
A
définie par:
J*a.(X ,···,X ) = a.(JX ,···,JX )
1
p
1
p
P
pour tout
a. E A
et tous
X, ET.
1
Propositian IV. 9.
a)
J*i
= i J*
(= 0
si
y = 0)
J
J
b)
Si
Y
o
agissant sur
AP
Démonstration
P
a) Pour tout
a.
dans
A
on a :
i=p
i J*a.(X , ... ,X ) = 'B
J*dX1, ... ,JX., ... ,X )
J
1
p
i=1
1
P
i=p
'B a.(JX ,···, yX , ... , JX )
1
i
i=1
P
iJa.(JX1, ... , JX )
p
i=p
'B a.(JX , ... ,yX" ... ,JX)
1
i=1
1
P
b) Il suffit d' appliquer p fois
à
a.
pour obtenir le résultat.
Dans le cas général, on a :
k
,2s-1
P
i
= plJ* +
'B a
si
p
2k+l
Sl
J
J
s=l
k-l
,2s
i P = p!J* +
'B a/
si
p = 2k
J
J
s=O
où les
a
sont des coefficients entiers dépendant de
p .
s
- 3S -
L'opéra teur
*
Définition.
p
2n-p
* est l'application de A
dans
A
définie par
(i~0.)(X1' ... 1 X
)w = a.f\\ ex /\\· •. /\\ eX
2n-p
1
2n-p
pour tous
\\
dans
T
et tout entier positif
p .
Propriétés
P
2n-p
1)
* est un F-homomorphisme de A
dans
A
c'est-à-
dire
*(faJ = f*o.
*(0.+8) = *0. + *8
2)
*w = 1
et
*1 = w
3)
(*aJ (Xl' ...
/\\· •• /\\ eX
)
1 X
)
*(0./\\ ex
2n-p
1
2n-p
4)
*(0./\\ eX)
i(X)*o..
S)
* (i (X) a)
(-1) 2n -1 (* aJ /\\ ex
6)
**0. = (-1) (2n-1)pa.
pour tout
a.
dans
AP . Donc l'opérateur
*
est bijectif et on a :
-1
p
2n-p
*
= (-1) *
sur
A
.
8)
*0. = *0.
Démonstration
Voir
[7] page 26 à 31 .
Définition.
e;(o)
est l'opérateur défini par:
do) a. = 0/\\0.
où
0
est la forme de Kaehler associée à la métrique
g .
Proposition IV.10.
a)
J*e;(o) = -ye;(o)J*
b)
iJe;(o) = e;(o)i
.
J
- 36 -
Démonstration :
a)
(J* e;(o)) 0. = J* (01\\0.)
J*O 1\\ J*o.
-yO 1\\ J*o.
-y(e;(o) J*) 0.
b)
iJe;(o) 0.
iJ(OI\\o.)
iJOI\\o. + OI\\iJo.
Ol\\iJo.
(e;( 0) i ) 0.
J
L'opérateur
0J'
Définition.
00. = (_1)P+1;l d*0.
o 0. = (_1)p+1;l d *0.
J
J
.
*-1, *
Jo.=
l a
0. J dans
~p.
Proposition IV. Il.
On a :
2
1)
0
= 0
si la structure est intégrable.
J
2)
0J = JJo - oJJ .
3)
JJ = i
.
J
Démonstration
2
-1 2
2
o = * d * et d = 0
si
N
= 0
J
J
J
J
3)
j o.(X , ... ,X )
;\\*0.(X , ... ,X )
J
1
p
1
p
(-1)P*i *0.(X , .•. ,X )
J
1
p
(-l)P* [(itA"ex11\\ ... I\\ex ]
p
(-1)P* [J(*o.l\\~' .. I\\ex~
*0.!\\iJ(ex 11\\... 1\\exp) ]
Il
o car de degré 2n
- 37 -
i=p
(-1) p* ~ *0. /\\ ex /\\ ... /\\ eJX./\\ ... /\\ eX
1
i=l
l
P
i=p
(-1)P
~ (**a.)(X , ... ,JX., ... ,X)
1
i=l
l
P
i=p
(-l)P(-l) (Zn-1)p ~ a.(X , ... ,JX., ... ,X )
1
i=l
l
P
Corollaire.
Formes J -harmoniques.
Préliminaire algébrigue.
Soit
Am.
l'espace vectoriel sur
m.
des formes réelles sur
MZn
On sait que si
M
est compacte, on peut définir un produit scalaire
sur
~
en posant
S a./\\*~ pour tous a. et ~ dans
M
o si a. E A~, ~ E A~ et p f:. q •
Ce produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique, définie
positive. On peut en déduire une forme bilinéaire
(
, >al
sur
A
en
posant:
(X +jX
+jY >al = (X1'Y1>m.+Y(XZ'YZ>m. + j(X ,Y >m.+(X 'Y >m..l
1
Z,Y 1
Z
1
Z
Z
1
La forme
( ,
>9.1
est symétrique, réelle c'est-à-dire
(a,S>8l = (a.,~>Vl
Mais elle n'est positive que dans les cas
y
-1
et
y
o et définie
positive que dans le cas
y = -1
D'autre part, elle vérifie:
- 38 -
Opérateur Laplacien.
Définition.
Proposition IV. 12.
Pour tous
a..§.l ~
dans
A
on a
1)
(dJa.,~>U1
2)
(!:lJa.,~>ü
Démonstration :
1) De la formule
dJ(a./\\*~) = dJa.Â*~ - a."*ÔJ~
on tire
(dJa., ~ >ü
SM dJa.Â~~~
SM a.Â*ÔJ~ + SM dJ(a./\\*~)
SM a./\\*ÔJ~
=
(a.'ÔJ~>ü
2) La formule précédente entrafhe
(dJÔJa.,~>Ü + (ÔJdJa.,~>ü
(a.'ÔJdJ~>ü + (a.,dJÔJ~>ü
(a.,!:lJS>ü .
Proposition IV. 13.
Pour qu'une p-forme
a.
sur une variété p.y.h.
compacte soit
J-harmonigue il faut et il suffit qu'elle soit fermée et cofermée.
P~~~I2.~tE~!.i.9E:
P
Soit
a. E A
; il est évident que
ôJa. = 0
et
dJa.
0
entrafhe
!:lJa. = 0 . Montrons que si
!:lJa. = 0
alors
ôJa.
et
dJa.
sont nuls .
- 39 -
Posons
ÔJa. = a+jb
dJa. = c+jd . On a
( ClJa., a) ~ = (a, a) IR + (c, c) IR = 0
=
a = 0 , c = 0 .
Par suite,
ClJa. = 0 = ôJa. = jb ,
où
est une
forme réelle. Or
o et
( ClJa. , a.)
o.
Ü'
Mais
(2)
En additionnant membre à membre les relations (1) et (2)
(ÔJa.,ÔJ(a.+iÎ)~ + (dJa.,dJ(a.+(i)~ = 0 .
En posant
ôJa. = a+jb,
dJa. = a+jd
la relation (3) devient
2(a,a)IR + (c,c)IR) + 2j(a,b)IR + (c,d)1R? = 0
D'où
a = 0
et
c = 0
Par suite
ÔJa. = jb
et
(ClJa., a. )~ = j( (ô a. , ôJa.2) IR + ( d a.
2
J 2
J 2 , dJa.2) IR)
0
= ôJa.2 = 0 et dJa.2 = 0 .
Le cas elliptique est classique et résulte du fait que la forme
(
)~,
e st définie positive
( ClJa., Ci)~ = 0
~ ( ôJa., ôJa)~ + (dJa., dJiÎ)~
o
D'où
ôJa. = 0
et
dJa. = 0 .
BIBLIOGRAPHIE
[1.] - D. BERNARD - "Sur la géométrie différentielle des G-structures".
Annales de l'Institut Fourier - X (1960) pp.151-270.
[2] - R. S.
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tiable manifold".
Annali di Matematica 54 (1961) pp.
123-142.
[3] - J. GRIFONE -
"Structures presque y-complexes". Thèse de 3e cycle
à l'Université de Grenoble - juin 1965.
[4] - S.
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Academie Press. New-York and London (1962).
[5] - KENTARO YANO -
"DifferentiaI Geometry on complex and almost
complex s pace s " .
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London (1969).
[7] - LL.
KOSZUL -
"Variétés kaehlériennes".
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[8] - A. LICHNEROWICZ -
"Théorie globale des connexions et des grou-
pes d'holonomie".
Ed.
Cremonese 1 Rome (1955).
-000000-
PrésIdent
: Monsieur IIllchel SMlf
Vice-Président: Moosleur Gabriel CAU
~~~~~~,:!~§-~!~I,!~~!~~~
DEPASSEL Roger
~cenlQue des Fluides
DEPORTES Cht!rles
Chl",le ",lnén,le
~.
ANGLES D'AUPIAC P5ul
~êc5r'IQue des fluides
GAUTHIER Ywf.'S
ScIences bIologiques
ARNAUD Georg6S
CI inique <1es /IIllladles Infectieuses
G"VEND Michel
Phaf'?lltlcologle
AR~AUD P5u 1
Ch l"'le
GEP"'IAlh Je<'ln Flerre
Mécan 1QUo
AUBERT GUI'
Physique
GIOON Paul
Grologle et "'11 nér~logie
AYA~T 'l'we'i
PhyS lque a~profond1e
GLE:-.lAT Renê
Chirrle organIque
l~
P,).R9IEP ~arle-Jeal'lne
F lectroc~ 1",le
HACÇt:E':. Gérard
(<'Ilcui
rull\\érlllUl.
"fol.
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Physloue elloérl~ntale
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~
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PhysIque g{'néral-o
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Chl,de et TOllicologl6
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PhyslQua nucléalr~
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Ph ys lQue phanneceutlque
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Chl"'ie analytique
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Physique
CAU G<'Ibrlel
Médecine légale et ToxicologIe
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BI LLET Je<'ln
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El ectrotechnl QUi.
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~
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!ol5thélfti!ltlques (IUT B)
a:>uOE~ PIerre
Anetomle Pi!lthologlQue
BRUGEL Lucien
EnergMlqoo
CRAYA Antoine
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BU 1SSON Roger
PhysIque
~
Df6EL......S Anne-Merle
M"tlère médlcal~
BUTEL Jelln
Orthopéd 1e
J+II.
DERELMAS Jacques
Gllologle Qénéralo
Q-lA"'BAZ Ed~nd
Blochl"'le médicale
DEGMNGE Char 1es
ZoologIe -
Q-lAWETIER Jeer'
l\\nctOlr'lle et orgllnog(lOêse
DESRE Pierre
Métallurole
D-lIAVERINA Jeen
BIologIe appliquée (EfP)
DESSAU>: Georges
PhysIologie anlme.lo
Q-lIElQtj Plerro
BiologIe enllMle
ooDU Jacques
Mâca'11Que i!lppllquée
COHEN-ADDAD Jean-Pierre
SpectrOllléTrl e pl'1ys IQue
ooLIQJE Jean-Michel
P~ysiQue das plllSlll8S
COl0t43 MaurIce
BIochImie lllédicele
DREYfUS Bernerd
Thermodynal'llqoo
CONTE René
Phys 1Que
(XjCRQS PIerre
Cri sta 1logrephl a
COOUlIIl . . .
RadIologie
(lJ()J 1S PI erre
CllnlQu"l do IJcrmatologle l'.t Syphlllqrl!lphi
CROOZET Go,
~tcIQ~le
FAU René
Clinique neuro-psychlatrlQue
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MOtllllurgle
fELlCI t-.Cltil
Electrostatique
OClSSAUO René
M<!IthémetlQues (ClJS)
GAGNAIRE Didier
Chl",le physIque
"'"-3
ETERRAOOSSI Jacc:uellne
Physiologie
GALLISSDT frençols
"'IzIthéml!ltIQues Puros
flf4.
FAURE Jacques
M('dec 1ne 1ége 1e
GALV.cNI Octave
Math~tlQuas Pures
GENSAC Pierre
Sotan IQue
GASTINEL ~l
Anelyse numérique
Gloot-. Maurice
Géologie
GE1NOOE Michel
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GRIFFlTHS IIllchllêl
Mi!lth6TlatlQues Appliquées
GERBER Robert
oo1athérnetlQues Pures
GROULADE Joseph
BIOChImie médicale
GIRAUD PIerre
Géologie
HOLLAI<O Dllnlel
H&roatologle
KLE 1N Joseph
Mi!lthêlllatl Ques Pures
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Hygiène et Médecine prévantlve
Botanique €lt
PhysIologie végét51e
~
KOfLER LucIe
IOELMAN SI~n
Physiologie anlrmla
Mathélfta"'"1 Ques Pures
1+1.
KOSZUL Jeen-Louls
IVANFS Marcel
E loctrlcltf!
KRAVTCHnlKO julIen
Mécal"'lQue
jt,LBERT Pl erre
Hi stolag/e
"'athêmlltloues AppllQuéos
~TZ"".N~ Je5n
JOLY Je~n-René
Metl'16ftetlques Pures
LACAZE Albert
The~dynllmlQue
JOUBERT Jean-Cli!lude
Physique du Solide
LACHARIolE Je<'ln
BiologIe vé9étl:ile
JULLIEN PIerre
MllthÔ!!ll'lt IQues Pures
LAJZEROIiICZ Joseph
Physique
!<AHANE André
PhyslQIJoe généra 10
LtlTRE 1LLE René
ChIrurgie généri!lle
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Physique
lATURAZE Jean
BIochimie pnermaceutlQoo
LACOl104E Jeen-Louis
nhys 1qu"
LAURENT Pierre
~~athOOl8tlques Ap~IIQuées
More
LAJZEROIiICZ Je"nnlne
Phys 1Quo
LEORU Je5n
ClIniqUE médIcale B
""'.
LA~IA Rolend
Physique atomique
LLI BOUTRY Lou 1s
Géophys 1Que
LE JUNTEP Nol! 1
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LOUP Jeal'l
LEROY Phi lippe
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Mathêmllt 1Ques Pures
MIe
LUTZ E! 1sebeth
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Physique ~uclél!llre
"!ALGRANGE Bernerd
M<'Ith~tIQues Pures
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PhysIque Nucléaire
Cllniqu(lobstétrlcale
MALlNAS Yves
LUU DOC Cuong
Chimie OrllllnlQue
......RTIN-NOEL PiErra
Semélologlc médic"i1e
MACHE ~t91 s
P~Y510togio végétale
IoIASSEPORT J08'l
Géograph 1e
""".GN 1N Rober"'"
HygIène e"'" Médecine préventIve
IoIAZARE Yves
ClInique médlcalCl A
IoIARECHAL J6an
I4UcenlQue
""Inéralogl€l
et Pétrogr5phle
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~RT 1~~-BCUYER Mi ch91
Chl",le (CUS)
KlURIQUANO Clllude
HIstologie
IoIAVNARO Roger
Physique du SolIde
KlUSSA André
ChImie nucléaire
IolICl-IOULIER Jean
Physique (I.U.T. " .... ")
Physique du Solide
NEEL Louis
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Maladies Infectlouses
O:':ENDA Paul
BotemlQue
~REflU RoI"'':
Hydraulique (INP)
PAUTHENET Reno
Electrotochnl Que
NEGRE Rober+
M6Cllnique
PAYAN Jean-Jacques
~athêlllatlQues Puros
~ARAJoELLE Bernard
PneUl"lOlogle
PEBAY-PEYROULA Jei!ln-Cleude
Physique
PfCCOUD François
Anelyse (IUT B'
PERRET René
ServOlllécan 1smes
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Métallurgie
PhyslQua IndustrIelle
PILLET E",lle
PEL~~T J~n
Physiologie 'lnllll8le
RASSAT André
Chl!!'ie systêlllatlQuo
PERRET Jei!ln
NeurOlogie
RENARO Miche 1
TherlfOdynaml Que
PERRI~ Louis
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Ph ys 101,1';' 1ndustri el le
REULOS Roné
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Physique du SolIde
Phys 1Que
RINALDI R"neud
PHELIP X5vier
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ROGET Je5n
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Biologie llnilll8le
SANTO~ Luc i en
MéC<'lnlQue
~.
RACHAI L Michel
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Mlcroblologlt) ot HygiènE'
SEIGNEURIN Raymond
"lACINET Clllude
GynécologIe et obSTétrIque
SENGEL Philippe
Zoologie
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ChimIe
Méclln;que des fluides
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SOUTIF "1ichel
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I<INAUDD Mllrguerlte
Chl",IE macro:roltculelre
Physiologie
TANCHE Meurt ce
......
RJlolIER Guy
MathêmllTIQues f IUT Bl
Chimie oanérale
TRAYNARO Plo) 1 Il poe
SHQM Jean CllIud"
Chimie G4nérele
VAILL>'ND Frençols
Zoolool~
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Anest~és101091 e
PhysIque
VALCNTIN Jacques
~uclé<'llra
STOEBNER PI erre
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VAuÇlJOI S Bern<!lrd
C<'Ilcul électronlQIJEl
VAN CUTSEM Bernard
lAethllni!ltlques Appl l'lutes
PharmacIe qaléniQue
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VE 1LLON Gér5rd
MathlJl0tlQues ,""ppIIQuées {INPl
M.
VEfû\\IN ?l'''dré
Ph ys 1Que
VI ALO'I Pl erf'(.
Gllologl€l
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Géograph 1E
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Mt-docl ne lnterno
Gé09rep~le
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Itne
~IER Jllne
Chimie g'nérele
1+1.
CARU ER Georges
Biologie v6gétl'Jle
, . .
BERIEL Hêlêne
PtlY510logie
fl'llt le }Cl Mel 1912
COHEN JOSeph
E lectrotochnl Que
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RENAUDEr Jllcquellne
Iollcroblologle
Radl06lectr l "'l té
<nM:S And'"
vu,
Grenoble, le
Le Président de la thèse,
C. CHABAUTY
VU, et permis d'imprimer
Grenoble, le
Le Président de l'Université scientifique
et médicale,
M. saUTIF