THE S E
présentée
pour robtention
du
DIPLOME de DocrEUR de 3e 'CYCLE
à
L'UNIVERSITE PIERRE ET MARIE cum
• Paris 6 -
spécialité : ME:tbématiques pares (1héorie des Bft'llP8B)
mention
:
par °M
Ahdo~ ~ .AllU~
•
Sujet de .. tbèlle : ~ gr:ooape de S,ylow du grotzpe symétrique dt
muteDDe ..,
.
deqnt 11 Co1lUllÎllÎD'D compol6e de :
M le .P.ro1'eess= fJ8%'C .lŒI.SJ'ŒR........•...
Prélident
M
~9.o~ .~UP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eumiDateur
M ~.~~ •.•.•...•.•.•.••.
«
• • • • •
«
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
M
••.
«
M
• • . . . . . . . . • . . . . . • • . . • . . . . • . . . . . . • • •
«
M
•..••..••.•..•.......•.•..•......•.

---

A mes parents qui m'ont toujours sou~eDu
au cours de mes études
A mOIl.épouse, Adényoyin Al.ice et à mes
entant. qui sont restés avec moi ma1gré
1.es difficu1.tés de chaque joar,
A Abiratou qui,
n'a pas eu une vie de
fami1.1.e normal.e à cause de mon absence
trop prol.ongée.
-.-.-D-=-D-
- A tous 1.es proches parent. qui m'ont
apporté une certaine aide, chacun à
sa façon, au cours de ma acol.arité
-._a_._:_
- A tous l.es enseignants qui ont contribué
à ma formation et à mon pays qui m'a
permis ces l.ongues études.

---

J'exprime ma profonde reconnaissance
- A Monsieur F. ABIBAUD, Ma!~re de Conférence
de PARIS 6,membre du Jury
- A Monsieur E. HALBERSTADT, Doc~eur d'E~a~,
chargé d'EnseignemeD~, membre du J'ury
Enfin, ma ~rès grande gra~i~ude à Monsieur
le Professeur M. KRASHER, Pré.iden~ du
Jury, qui, depuis quelques année., m'a
consacré une par~ie de son ~emps que je
sais cher, e~, don~ les conseils m'on~
permis de ~ravailler ce mémoire malgré
cer~aines difficul~'s par~iculièr.s que
j'avais.
.~

---

-
l
-
INTRODUCTION
Nous nous proposons d'é~udier le p - groupe ·de
Sylow !; du groupe symé~ri~ue-1 où p es~ un en~ier na~urel
pre.ier. To.~ le ~ravail s'appuie sur:.~s résul~ats géné-
raux établis dans le tascicule.
"STJlUCTt1RE DES P -
GROUPES DE SYLOW
DES
GROUPES SYMETlUQUES FINIS·
de Monsieur L. XALOUJNINE, publié dans les annales de
l'Eoole Normale Supérieure.
Nous énoncerons certains de ses théorèmes sans en
reprendre les démon~rations.
Nous utiliserons les notations et les symboles
oourants de l'algèbre moderne.
Dans le premier chapitre nous avons donné quel-
ques déti~tions et la composition des tableaux dans le
cas général.
Dans le seoond chapitre nous avons donné les
sous-groupes de~ par leurs indioations et entin dans
le troisième chapitre nous avons essayé d'indiquer un
sous-groupe d'automorphismes du groupe des automorphismes
de
~

---

-
2
CBA.PITRE I
GENERALITES
Considérons 1e nombre entier premier p, un entier
que100nque m et 1e groupe Symétrique
de degré n • pm et
d'ordre pm 1.
Les p
groupes de Sy10w de ~f- seraient désignés par
j'Jrra- • Comme i1 a été fait par Monsieur L. XALOUJNINE,
oette étude aura pour outi1 prinoipa1 des tab1eaux.
Soit •
l
Gp
•
f 0, I, 2, .••••• , p - I
1e corps des restes modu10 p des entiers naturels.
•
GP
1'espaoe vectorie1 de dimension m sur 1e corps
est 1e groupe symétrique de Em.
Désignons par
TXI ' 1'ensemble des vecteurs de Em dont 1a
première coordonnée ~ XI' non'fixé,

---

- :3 -
ce1ui des vec~eurs de E
de première.
m
T xI' x2 ' •• Xs ce1ui des vec~eurs de E. don~
1e• • première. ooordonnées .on~ xI' x 2 ' •• x. 0
Une ~raDsforma~ion ponc~e11e biunivoque de Em
es~ une permu~a~ion-d•• é1é.en~s de T e~ , A une .~1i­
~ud. près, c'es~ un é1é.en~ de 1p••
Considérons 1es opéra~ions ~(a) , 1 7 (a{Xr»'
~(a{xI' X2' •• , Xs » où a es~ une cons~an~e e~
a (XI) , ••• , a{xI , x2 ' ••• , x.) son~ des fonc~ions l
val.eur. dans G • Ce dernier é~an~ un corps fizli, ~ou~e
p
fonction a{xI , x2 ' ""
x 5 ) es~ une fonc~ion po1yn8me a
+
a
ctes~ une permu~a~ion circu1aire
C'es~ une permu~a~ion circu1aire dépeAdan~ de 1a varia-

---

- 4 -
C'est une permutation circulaire dépendaat des s
Considérons le produi~
C(
est une transformation de Em telle que
donc c'est uae permutation de Km.
Cette permutation 0( serait notée sous forme d'un
tableau 1
chaque coordonnée a{x ,x , •• ,x ) du tableau.A.
serait
I
2
s
m
désignée par
fA. Js •
j

---

- 5 -
Les s premières ooordonnées de Am forment 1e tableau
As
= [a, a(x1 ), •• ,8J.(~, x2 '· .XS_1 )]
Soient le. tableaux
A.
[a, a(x ), •• , a(x
1
1 , •• ,x ), ••••• ]
8
et
BI:
[b, b(X ), •• , b(x1, •• ,x ), ••••• ]
1
s
1
cozaoe.pOlldant à deux transformations
0<. et 0{
re.pectivement.
Déte~ons le tableau corraepondant à la transformation
•
Ca1c~one a10re (X.A).Spour un vecteur
•
(X1·a, •• ,xS+1·a(x1'··'XS),··){b, •• ,b(X1'··'Xe)'··]
= (X1 ·a.b,X2 ·a(X1 )·b(X1a), •••• ,

---

- 6 -
Si nous notons additivement 1a composition des tab1eaux
Nous avons donc :
AB serait 1e composé de. tab1eaux A et B.
On vérifie que 1'inverse d'un tab1eau
et 1: ... [o. o • •••••• 0]
serait 1'é1ement neutre pour
cette 10i,
On vérifie que 1'en.emb1e de. tab1eaux muni de cette
de composition est un groupe non abé1ien car en généra1
AB
F BA.
.J

---

-7-
Le nombre des fonctions a(x ,x , •• , x ) à va~eurs
I
2
s
s
dans G
étant pP, ~e nombre des tab~eaux Am serait
p
m-I
m-2
p
+ P
+ •••• +p+I
P
Pour notre travai~, m étant éga~' à J, le p-grou~
5l
2
,
P + p+I.
de Sylow
J
est d ordre p
2J:ayrème I.
Le groupe ~ des tableaux est i~omorphe
à un p-groupe de Sylow de ~. d'o~dre;
Nous al~ons donner un ensemble de d'tinit~ons
dont nous avons besoin pour la suite.
Défini tion 1:
Un tab~eau A est dit de· profondeur_
r lorsque sa première coordonnée non nulle
est
[.A. ] r+I •
Considérons deux tableaux de profondeurs au moins
égales à r, .A. et B.
On vérifie que le 'tableau AB est aussi. de profon-
deur au moins égale à r
et pour un tableau C de ~ ,
l
le transmué CAC-
du tableau A est de profondeur
supérieure ou égale à r. L'ensemble des tableauz de

---

- 8 -
'profondeur au mo:l.ns éga1e il. r
est donc un sous-groupe
distingué de ~ que nous désignons par ~
Soit un tab1eau  = [a, a(~), a(xI ,x2 } Jde ~
1ee fonctions a(~), a(x , x ) Bont des p01yn&mes il.
I
2
ya1eurs dans G
et en app1iquant 1a formu1e d'interp.-
p
1ation de LAGRANGE chacune d'e11es s'écrit a
De façon généra1e, deux p01yn&mes congrue modu10
1'idé&1
1 = (xi- XI' x~-x2"'"
x:- xs) représenteraient
5
une mAme fonction a(xI, •• ,x )' Par suite, chaque coordonnée
s
d'un tab1eau  •
[ a , a(x ), a(x ,x ) J serait représentée
I
I
2
par un p01yn&me où 1es exposants des variab1es xi seraient
au p1us égaux à pool.
Un te1 po1yn8me est dit p01ynSme réduit.
Déf'init;igD
21
On ~ppe11e hauteur d'un monSme réduit

---

..
- 9 -
9-1
s-2
h
= i p
+ i
I P
+ •••• +
s
s-
notre travai1 1es seu1s monames réduits
i
seront
r i 2
ou xI x
'
donc 1a hauteur sera
2
1
or
donc
h
'(p-I)p+(p-I) + l
-
Pour une coordonnée CA] s- a(xI, •• ,x _ )' repré-
s I
sentée par un po1~Sme réduit, 1a hauteur de son terme
de p1us haut dégré serait notée lA 1 s,' et h l[A] J- \\A\\ s
serait 1a hauteur de cette coordonnée.
Définition
J
On appe11e indicatrice d'un tab1eau A31e
système des hauteurs de ses coordonnées 1
'~l -<.lA II ,lA 12 ,lA 1J >.
Rappe10ns que1ques résu1tats sur 1es propriétés
des tab1eaux 1
Soient deux tab1eaux A et B de ~ , on a 1'équi-
val.ence 1

---

-
10 -
(
1 A\\ ~
\\ BI) ~ ( rA' u ~ 'B 1u)
l
pour u
E. ~ l, 2, ••• , m
et si A est de profondeur r
et B quelconque,
Nous avons de mime, pour un transmué BAB-l, de A par B,
avec A et B de mime profondeur
t
-1/
'
BAB -1
)
BAB
u ~ max (lAI , h [b (X )-b(X u u u
)J
u
u
u
et si  est de profondeur r
et B quelconque,
A p~tir de cette dernière relation, selon que
le terme, principal de la coordonnée
[ABJu est égal ou
différent de celui de [A] u
;

---

- ~~ -
d'où
Lemme ~
La condition nécessaire et suf~isante pour
que ~e terme principa~ d'une coordonnée
[A1u d'un tab~eau A, de rang m et de pro-
~oncleur r
soit invariant pour tout automor-
phisme :t.ntérieur du groupe ~ est
t AI> pli." - p'"
, (r<.. u ,-m,)
"
Définition 4
On appe~~e BouB-groupe para~~é~otopique
da ~ tout BouB-groupe !il qui contienne
~ct
tout tab~eau dont ~'ind.ica~ .st au
p~us éga~e à ce~~e de ~'UD que~conque de
ses é~ément8.
En d'autres termes Bi
~a p~us hauie indicatrice, tout tab~eau
h~ que 1B' , 1A 1 est é~ément de fA. •

---

-
12 -
CHAPITRE II.
LES SOUS-GROUPES DE
~SUITE CENTRALE ASCENDANTE (S.C.A.)
E11e est oonstruite de 1a façon suivante 1
1e 1er terme Zo est Punité de
~ 1 ZeJ. 7:
Z~ • oentre de fl/Z/}' 0' est-à-dire :Z" • centre de ~.
~ est te1 que Z.t /Z4. centre de ~ /ZJ. et ainsi
.
de suite Jusqu'au dernier terme Ze
~
•
S
On a
1
.......
Zo C
Z,4 C
C
Zt
• P
•
•
et chaque terme de cette suite est un sOlls-groupe
-'---
caractéristique de
~ •
_ SUITE CENTRALE DESCENDANTE (S.C.D.)
E11e est construite comme suit 1
EP
(g: ,g;) = f(A,B) / A et B ~ g; J
~,
(
Zlhf
)
Zc.' •
fi;.
l
é1ément uni té de
Ce sont aussi des eoue-groupes caractéristiques de

---

- 13 -
Cf.)
,.."
....,
....,
J. = Zo::::::> Z-f:) •••••. ,:J Zc' = l
Nous énonçons ces résu1~a~s connus
Lemme 2.
DaDS un p-groupe on a 1es inc1usions SUiTaD~eS :
et par conséquen~
Théorème 2
DaDS un p-groupe 1es deux suites centra1es ont
1e même nombre de termes
c
= c'
•
g; .
sous-groupe para11é1opique ~ de
/
Considérons un
Pour chaque ~ab1eau A de ~ considérons 1a coordonnée de
raDg u e~ posons
max 1 A.1oLt.'
c'est-à-dire, pour ce qui nous intéresse
1B4~ = k.( = max 1AI~
I~.t.=k,t, =max 1A.I~
I$t= k =
5
max 1A.I3
et
o
~ k..u ,"p u·4.

---

- 14 -
Doac daDS ~ , à chaque sys1;ème :K
>
CI
<k... ,k,e"k3
oorrespoad un sous-groupe parallélo1;opique donné. u. 1;el
sys1;ème es1; appelé indioa1;rice du sous-groupe ~ e1; no1;é
•
Alors -.n sous-groupe fj( es1; di 1; de pro:rculdeur r
lorsque son indica1;rice es1; de la forme
I~I. (
"*l
>
0 , • • • • • 0 ,
1g21 t ••••
avec
\\3{1 lIi/lI ~o.
De oe1;1;e dé:rini1;ion e1; d'après ~ lemme ~ découle
le 1;héorème suivan1; 1
Théorème 3
Pour qu'un sous-groupe parallélo1;opique
.:iL de
profoadeur r, 80i1; un sous groupe dis1;ingué de
5; il f'au1; e1; il suffi1; que
Un s.ous-groupe parallélo1;opique dis1;ingué !ft. serai1;
désigné par G.P.I.
Le p-groupe de Sylow ~ es1; un groupe parallélo1;o-
pique dis1;ingué e1; comp1;e 1;enu du 1;héorème 5 ~e la ~hèse

---

- 15 -
de MORsieur L. XALOUJNINE et de la formation des termes
de la S.C.D., chaque terme de cette suite est un G.P.I.
""
L'indicatrice d'un terme Z~ de la S.C.D • •st
t~ l"')
. (10.)
1~l
=( k 4 'XL'· • • • ,km )
J!'J
avec
Cl
DI8J[
(0,
u-l
P
-
r
)
Il.
donc
f;>
1z.l Cl
(l, p, pa>
Cl
. t par conséquent
Le groupe .~ est de classe
p~, c'est-à-dire que les
S.C~A. et S.C.D. ont~;chacune p~ + 1 termes.
De plus
Z
1.'
Cl
Z ...
t-r- -Il.)
••
et
C"1
,1.-4
EVec
k
t+
Cl
max (0, p
r
).
4l.
l.s suites S.C.A. et S.C.D. se oorrespondent.
@
.
Nous allons étudier les sous-gr~upes de :ri autres que
les termes de la suite centrale ascendante. Cette étude se

---

- ~6 -
fera par ~es indicatrices. Nous donnerons donc pour ce~a
~es résu~tats étab~is par Monsieur L. KALOUJNlNE de façon
généra~e et nous ~es app~iquerons au cas
.. = 3.
Nous supposons pour ~a suite que ~'eDtier pest supé-
rieur à 2
Théorème 4.
Tout sous-groupe caractéristique de
~ est un
G.P.I.
; et tout sous-groupe de ~ t invarian1;
pour un certain groupe
~." d'automorphismes de
~ t eat un G.P.I•
.... 'Pour m c
J, formons ~e groupe d'.automorphismes S>~.
Soit W •
(VA ,V,t 'Vi) un système de 1;rois é~éments
non uu~s de G
e1; ~a transformation
p
W 1
A ~ W(A)
définie par
Définissons ~e produit de deux transformations W,W' par 1
On vérifie que cette transformation est un automor-
phisme de
..f; .

---

- 17 -
En e:f:fe1;, peur .A. .. [a, a(x,.)
, a(~ ,xL) ] e1;
-J
(
.J
..,
.4)
De plue
W..
v
••1; la 1;rans:forma1;ion récipre.ue
4 'Ve ,v,
de Y III (vi , V~ , VJ )
car (\\r"-~")(A) .. Ji~ [V., a, V~ a(v;/x..f ), V, a(v;~x.. , V~4XI)]
.. [a, a(x.. ), a(x" ,xI,) ]
..
(W-l) (A).

---

-
J.8 -
L' enseabJ.e W,mani de cette 1llUJ.tipJ.ication est 1Ul
groupe abéJ.ien d' automorphisael de ~ •
ordre de 14 c
(p_J.)3
Le groupe des automerphismes :lntérieurs de
~
est désigné par ~et iJ. est isomorp~e à ~/Z~. Le
groupe ~ est engendré par :{et l.Lt. •
Théorème' (théor. J.O de J.a thèse de Monaieur L. KALOUJNINE)
Les sous-groupes G.P.I. de ~en sont J.es soua-groupes
caractéristiques.
Déterm:lnons J.e& G.P.I.
~.
de
Soit D
J.'ensembJ.e des tabJ.eaux de profondeur au moiZUI
s
égaJ.e à s. Compte tenu du J.emme J.,
1 1 (
s
.-J. )
As
•
0, ••• ,0, p , ••• ,p
~
Les différents D.4
de
sont •
~car
Do •
D.
qui n'est autre chose que
Le G.P.I. DJ. ,
dont l'indicatrioe est
ne correspond à aucun terme de J.a S.C.A.
,
car V' z ,
r

---

- 19 -
fil)
2
k~ .. 0 =9 r ~ p -1
.J-.,} .. p ~ pZ-4 - p' +r
2
.. P ~ r .. p
ce qui es't
ezclu.
Dl es't le sous-groupe de 'tous les 'tabl••us
A de la forme
[0, a(z~), a(z,f ,z.) ] ,
[ 0 ,
, z~z;:] t Dl e't en es't un 'tableau
rédui't.
Le G.P.I. D2 • don't l'indioa'trice es't
1D2 1 .. <0, 0, -1>
es't différen't de 'tous les 'termes de la S.C.A.
..
e't enfin
Nous aTone donc 2 sous-groupes Ds ' dis'tinc'ts de 'tous les
au'tree sous-groupes vus plus hau't.
Les G.P.I.
F
d'indica'trice
h,.
Nous allons former 'tous les F
de
f2.
h,s
s €
{0,l,2] e't hl {O,l, ••• ,ps}
pour chaque s 0
1er Ca••
s
... 0
e't
he { 0,1 10

---

-
20 -
Ce qui Doua donne deux sous-groupes F
et F
0,0
1.,0
donc
J
2è Cas. a a
1. et hE: { 0,1.,2 •••••• ,p
Consid'rons 1.88 F&,.4
avec h ,. 0 et h ,. P J a1.ors
aucun des sous-groupes ",oi
ne coincide avec un Z., de 1.a
S.C.A..
En e1'1'et pour un Z4 on a
1
1. 'k'i = max (0, p-p" +r)
• h ,
p-1..
c'est-à-dire
!
/
P -
1
~

---

- 21 -
et aucune de ces valeurs de r ne donne
.J"'}
f,
A. s .. P ,
donc nous avons dans ce 2e cas (p-l) sous-groupes F,,~
distil.ll'ta des précédents.
Je Cas.
s .. 2
et h €
~o, 1, •••• ,p&J
>.
F
.. <
ft/
0,
0 ,
h
NousexclRons h • 0 et h .. p~ pour lesquelles on a 1
Si un Z~ était égal à un F~,~' on écrirait 1
r1k",..max (0, c l'+r)
p -
.. 0
k~' ..
(0,
Jo
max
p
p +r)
..
0
~
f,
{ r' p - l
~
.l
r ' . p - p
~ r6P - p
""l:
,
donc, en prenant r .. h t- P - p,
Jt', ..
(0,
f,
~
max
p -
p +r)
= r
nous obtenons 1

---

-
22 -
Ce qui signi~ie que les (pt_ p + 1) sous-groupes
"ft,%-' hf {O,l, ••• ,
p"- pJ
correspondent a1l% (p'- p+l)
premiers termes de la S.C.A. de
~.
Donc pour h ({P:.P+l,
,p!- l} nous avons des
sous-groupes l,t di~~érents de tous les autres déjà indiqués
c'est-à-dire, dans ce 3e cas,
(p-l) sous-groupes ~
de
~
'lA
distincts des premiers.
Les G.P.I.
Cs
d'indicatrice
4
~
J >
p ,
•••• ,p
-
p
q;.
E~dions les différents
C4
de
1c.l = <l, p - l, l'- 1 )
ce sous-groupe Co
est di~~érent de tous les termes de la
car si 'b =
Zo/l. pour un certain r, alors
(It.)
1-
k,t
•
1 ~ r
= p
et
LIl.)
L
k~ = p - 1 ~ r , p - 1
ce qui est contradictoire.
1c.. , • <o,p,p~ - p >
C., ~ S.C.A., car pour Co( = Z on aurait
..
.-.~_ .. ~.... _~

---

... 23 -
i l Y a donc une contradiction.
Bous avons seule.ent deux G.P.I. de type C~.
Les G.P.I.
CSth d'indicatrice
C"/~ =
o, •• ,o,h, P
-
p, •••• ,
>
1
1 <
.4+4
~
p.-A _ pA
Déterminons lee soue-groupes ?4), de ~
•
s Ë [0,1,21
et h ([0, l, •••• , pA}
•
~}or Cas • s = 0 e;t hE {o, l}
C
=
eo
Z 2
1
p ...1
les sous-groupes C". et CD
coincident.
2. cas.
s = l
et hE:{O,l, •••.• , p
}
J

---

- 24 -
=')
C"'D
est un é~ément de ~a S.C.A..
Js,~1 ... <o,~,
>
pS_ p
Le.; sous-groupeC~l n'est pas é~'mènt ~a suite centra~e, car,
r
1ZIL 1 • max (0, p - l' + r)
•
~
~
p -
p " + ~ =4
~
donc r = p - p+~ et cette va~eur de r donne
1c" l· <
>
,p
0,
p, pS_ p
-)c.f'
C
•
C
"-',f>
...,
Pour h ~ 0 et h ~ p, nous avons (p-~) sous-groupes C~A ,
tous d1~~érents des précédents et aussi aucun n'est é~'ment
de ~a S.C.A.., oar
1z,Jt Il max (0, p - p" +r) ... h
::::9
~
r
... h + p -
p
donc
, Z3\\./ ...
S
.1.
t
;
P - P + h ~ P - P

---

- 25 -
Je Gas.
s = 2 a1: hE { 0, l, ••• , pt J
JC,) .. <
>
0,
0 ,
0
= 1l 1
~>
C&"o
~
correspond à l, uni1:é de
•
C~4
es1: un sous-groupe don1: les élémen1:s son1: les
1:ableaux de la forme
A .. [0, 0, a]. Il ea1: d'ordre p et
coincide avec Z~ de la S.C.A.
Nous avons vu que pour r ~ p2._ p,
1P-) .. 0
!.
donc pour h = r ~ p'J._ p, 1CJ.,~ 1 .. 1Ze 1 et de plus
. fc ,&I .. I~,.tl Vh! {o, l, •••• , p!}
l
Alors les sous-groupes
~~
et ~/~
coincident.
Théorème 6 •
La dérivée K.,d
,
de rang,,4, de ~ est le G.P.I.
de profondeur a et d'indica1:rice
On a
1
et
-------------'

---

différen~es
~
Voyons 1es
dérivées de
•
if
Kc =
J
K-1
= (5;, ~)
e~
IK
1Ztl_..
J f •<0,
p-1, pJ._ 1 >1:
1
K.,t
•
(K-f' K~)
et
<
1K.tl
0, 0,
1:
p"- p)=
1Zt-tJ
enfin
K!
1:
(Ks.' K~)
et
1K3 1 = <0, 0, 0) = 1Zo 1
Nous avons donc qua~re dérivées pour ~ qui sont 1
Théorème 7 •
Le groupe Li engendré par des puissances d'exposan~s
pt des tab1eaux de ~ est 1e G.P.I. de profondeur 2
e~ d'indica~rice
/+-4
1
tII--I
1
(0, .. 0, 1,
p
-
p + 1, •• , p
p + 1
>
ce qui donne
L
=
•
~

---

- 27 -
=
=
Théorlilme 8 •
Pour un G.P.I. 5R de pro:fondeur s et d'indicatrice
<
>'
k", ,
kJ.' ••• '
km
le oOlDlllUta'teur (~ ,!R.) est un G.P.I. de pro:fon-
deur s ou s
+ 1 et d'indicatrice <~ , kz, ••• , k~ >
rH
Â
)
telle que k~ = max (~- l,
p
-
p
pour-
s + 1 Lut.. m.
- .....
Nous cO"àissons les G.P.I.
DA
•
Ft, ..
'
CA
et C"JC
;
:formons les G.P.I.
( ~, fR.> par les indicatrices 1.
(3;,l?, )
<
-4
4".4,
= 0, ••• ,0, p -l, p
-
l, ••• p "H)
-
1
en posant D" = (~ , ~ ), déterminons les indicatrices des
sous-groupes ~
&

---

- 28 -
,
Ce qui signi~ie que ces trois sous-groupes~oommutateurs
sont déjà rencontrés.
posons
J.~ (4"~J-{) .. F~
lFit .. (0, h-J., pS_ J.) pour h l~J., ••• , pJ •
pour z h .. P
Si h ~ P et h ~ J., on a (p - 2) TaJ.eurs de h pour
J.esqueJ.J.es J.es~'
sont des G.P.I. distinctia de ceux déjà
exposés.
(Ji, ~j~
.. Fn,
)
1F~' 1 .. <0, 0, h - J.) pour h E ~;l, 2, ••• , P ~
Tous ces sous-groupes 1" coincident avec J.es sous-groupes
't. pour hl{O,J., •••, p -J.] •
3' (9;,c.) = C', c'est un terme de J.a S.C.A.,
car
1c' 1 ... <
0, p -
2, l' - 2 ) .. , Zf ..l, ,
(fj, C~ ) .. C" •
1C fi 1=<0, p-J., Pl_p_J. )
C~est un G.P.I. dif~érent des autres ci-dessus.

---

- 29
".'
(g; ,
= c',
h 1= P ~CI
1=
Cil
,.
et h ~ P ~les (p-l)
î' différents des autre. G.P.I.
vus plus haut.
Sous-groupes de
(autres que le. G.P.I.)
Définition 5
On appelle sous-groupe es.entiel de 3;, tout
sous-groupe contenant au moins un tableau
dont la première coordonnée n'est pas nu~~ •
Nous avons déj~ rencontré un sous-groupe essentiel
proprejil s'agit de ~. avec
Ico}o'. <l, p-l, p~-l >.

---

-
JO -
CHAPITRE' •
~
ETUDE DE QUELQUES AUTOMORPHISMES DE
•
Dé~erminon5 un 5Y5~ème généra~eur de ~ •
Soi~ le sys~ème 5uiTan~
(A..f
'
A " , A~ )
avec
A., =[l, 0, 0]
At. = [ 0, %~" , 0 ]
A
On vérifie que ce sys~ème (A~, A~, A~ ) e5~ généra-
~eur de c9? •
Le ~ableau A-I, appar~ien~ à Cv
, avec c., .,. Z" , Vr
~ (Dol e~ D., ; ~ pour ~ou~ r
e~
Les sous-groupes C.
,
D~
e~ D~ é~an~ des 8ous-groupes
carac~éris~ique. de ~' pour ~Ol1~ au~omorphisme 0( de ~J
on ob~ien~ les implica~ions suivan~es a

---

-
)1 -
,,-t-
alors
= [a,
+. • •• +
p-4
1.1.
CX-i
x.t,
+ •••• + .~.r a,.O
Nous avons 1
(p -
1) possibili1:és pour la première coordonnée
P-I
p
possibili1:és pour la deuxième coordonnée
e1:
p~.f
p
possibili1:és pour la 1:roi....e coordonnée
oe qui 1'ai1: en 1:ou1:
p-~
p •• .J
p~p-~
( P - l)p
.p
•
(p-l)p
1:rans1'orma1:ions.
2'
( Â2 €Dl
e1:
Â2 ;. D
e1:
tI
2
Â2
Zr)
=4
0(,
(Â
e1:
e1:
2 €D l
Â~f 12
~ if Zr)·
alors
Ad... • [0,
P-.
p., P 4
dx
+ ••••••• + d."
b~
X4;-
+ •••• +
b
4
J,
o
dFO
!"
Nous avons 1
_ pour la deuxiè.e coordonnée,
(p-l) valeurs de
d e1: pP-'"
possibili1:és pour les au1:res 1:ermes,
pl.
- pour la 1:roisiè.e coordonnée, p
possibili1:és.
ce qui 1'ai1:

---

- J2 -
,
J'
(A ê
3
D,t.
et
A3 z,l~ )
=-->
(A~ €. Dot. et At::/. t z,.""-4 ) •
::s
dOlle
~ == [ 0, 0, e"p-4",.. .. +••••••+ et]' e ~ 0
~
L
nous avons 1
p! ~
(p-l) valeurs possibl_ pour e et p
~
possibilités pour les autres terme. de la
troi.ième coordonnée j ce qui donne
pt.-4
en tout (p - l)p -
trans~oraation••
5i./l désigDB 1.. croupe cie 100118 1.•• au1oeaorphj.. . . . de ~ ,
on o~~ient une majoration de l'ordre de.ll avec la combi-
naison des trans~ormations précédent.s.1
Nous easayons d'indiquer dans notre travail quelques
sous-groupes du groupe~.
'Ut'
Ainsi nous rapp.lons le groupe abélien
des
automorphismes de~, dont chaque élément est de la
~orme 1
li
= (Y~, y~, y~) avec Wt ~ o.
et qui est d'ordre (p-l)J.

---

- 33 -
Le groupe 1 des automorphismes intérieurs de ~
isomorphe au groupe quotient ~/Z. et qui est d'ordre
Construisons 1'ensemb1e
~ des opérations suivantes 1
soit un tableau A = [ a , a(%-4)' a(:I[4 ,%1.)] dont les coordonnées
sont sous ~ormesréduites.
Chaque variable é'itant d'exposant au plus égal à
(p-l)
nous pouvons considérer 1es (p-1) dérivées successives
de a(%~) et les (p-1) dérivées partielles successives
par rapport à %~
de a (%4 'Xl,) •
Âu tableau
A
= [a, :.. a (X.. ), a(x", ,x,t.) ]
associons
~ (A)
r.
()
. ç o ' (
)
.ço
a(P-4) ( .. )
(
)
'f
= La, a x-f
+ ..... a'1
x,
+ •••• + "'!>-4~,
~,a x~ ,xt,
+
]
Une telle trans~ormation serait désignée par le
système de pl é1éments de Gr 1
cp= (1, t:.t' f' , •••• ,~ J l,
~
"'i
~ , ••• , er-.ot)

---

- 34 -
Déterminons ~e trans~ormé du système (A4 , A , Al)
l1.)
-
~
générateur de g'?, par rj.
p(At) .. [0, :c~+ g(x.. ), 0], degré g (x-1) ~ p-2
t (A ) [0, 0, MP-.f
x-i x
h
3
la
(x ... '
x,t)]
t
+
,
degré h(X.. , x )
(p-~) (p-2).
t
On Toit que ~e système (rj (A4.)/ rj(A1.) /~A,~) )
est un système générateur de
~ •
3
ri
En outre on Téri~ie que
f (A) (B) .. t:f(AB) pour
deux tab~eaux lA. .. [a, a(x.,).,a(X4'X~)] et
En ,.net:
peur ~ =
( ~ , 1;, , •• , )..4 ; ~ , e" , •••• , e ~4 )
= [a + b, a(x-i) + ~ a l (x.,}+ •••••• + ~ a(p.')(x-t)
~I
;-,
~
+ b(x -a) + t; ti(x.. - a)+ •••• +~ J':-I)(X.. -a),
.(
t.
f>-' ...
a(x., ,x. )+e~ a' (X., ,x..)+ •••• + e
.1.;-1) (K ,x )
'"
: e t "
,-.;(.,
+ b(X-f -a, x~ -a(x
~t..(x'"
4 »+eo4
-a, xA-a(x.. »)
+ ••••• + e
t;'rx -a, x -a(x., » ]
p-4 ""'L'"
L

---

- 35 -
= [a + b, a(x.. )+b(x.. -a)+1'~ (a~ (x..f )+i(x~ - a~ + ••••• +
l' (!rrX4 )+tr-ftx.j -a), a(x..f ,xe)+b(x... -a, x,,-a(x~»
+
p.,;r.,
'Je,
..,
.,.
e.., (a' (x ,xI.) +
4
~
e ,lrtx ,x:,)+
4
".., \\'xt.
_P(AB).
~ est aussi une 'trans1'ormation biunivoque, don't c'est
un automorphisme de ~ •
Dé1'inissons ~e produit de deux te~s automorphismes
1>
;lI
l
,
= ( ~ , 1'.4 , •• , 1'~ ; ~ ,e. , ••• e,.J et 'fJ=(~,~ , •• ,).,; ~,e/, •• ef )
'"
p-4
par fcf ~ (~, ~ + :t:t', 1'~ + ~ ~'
~, ~, + e/ , ... ,~e, et'
(+-1 al.(.
~ = (~,O, ••• ,O ; ~,O •••• ,O) serait ~'é~ément neutre
pour ~ette mu~tip~ication ; et chaque é~ément cf admet un
symé'trique
~-".
'j!
L'ensemb~e~est donc un groupe abé~ien d'automorphismes
Gû
~~~
de .,,15' d'ordre p
•
i est donc un sous-groupedu groupe.7'2 •.• ./ ..

---

- 36 -
INDICATIONS
BIBLIOGRAPHIQUES
-c-=-c-:-=-=_
- L. KALOUJNINE -
"Structure des p-groupes de Sylow
des groupes symétriques fini."
(Annales de l'Ecole Normale Supérieure)
- L. KALOUJNINE et M. KRASNER
, . .
"Produit complet ~s_ ~oQp~. de per-
mutations et pro~i~~è~)d?~xten8ion
de groupes.- 1949
_// .~!
- A. KOUROCH -
"Théor~edes groupes" Moscou 1944

---