N° d'ordre 531
•
Presentee
A
LA
FACULTE
DES
SCIENCES
DE L'UNIVERSITE
DE
LYON
pour obtenir
le
DIPLOME
DE
DOCTEUR
DE
SPECIALITE
(3' Cycle)
DE PHYSIQUE
( Physique
Nue lealre )
par
Anne - Marle
DELAL~~~,.
/ · , ( i \\ : " ( '"'
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I f
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.~ i C 1\\ ;,\\ r.. ", \\ . ,
NOYAUX~:~~!~CHES
eTUDe
DE
CERTAINS
.
'
. '
lp et 25· ld
PAR
LA METHODE
DE
HARTREE - FOCK
Soutenue le 24
Juin
1970
devant
le Commission d'Examen
JURY:
MM.
J. Letoucriere
Président
M. Lambert
J.N. Massot
Examinateurs
Q. 00 Dang

UNIVERSITE
de
LYON
FACULTE
deo
SCIENCE;S
Q2Le~!._B~l!.o..!!.!!!.!..
MM. MOUSSA,
GAUTHIER Hend,
BRACONNIER
~!.C?J!.!I..!~!.a_J!.o.!'.2!..a.!~:.!
MM. de LARAMBEROUE
MM.
JAFFARD
MM.
DEJARDIN
SOLLAUD
EYRAUe
Henri
. VIRET
MOUSSA
AUMEf\\AS
.Q.!'.l.!.!l.
~!...e..!.!!...u.!
M.
J. BOIDIN
M. M.
DUFAY
!'.!El.!.!.!.!.y.!..!.
MM. M. PRETTRE
Chimie Induotrlelle
C. COURTY
Chimie - Phyolque
R. I<UHNER
Botanique
G. MALECOT
Mécanique rationnelle et appliquée
R. PARIS
Chimie mln4!rale
J.
JANIN
Phyolque g4!n4!rale
J.
FLANDRIN
<",..4!ologle appliquée
·R. BERNARD
Phyolque InduotrleUe
V. NlGON
Zoologie exp4!rlmentale
H. GAUTHIER
G4!010gie
J.
WAUTIER
Zoologie
J. CHOPIN
Chimie biologique
J. ·BRACONNIER
Calcul différentiel et Int'Inl
J.
CUElLLERON
Chimie
C. EYRAUO
Chimie appllqu,"
A. SARAZIN
Phyoique nucléaire
J.
BOIOIN
Microbiologie et mycololl.
G. PERES
Phyo iologle
G. MF.SNARD
Electronique
R. GRANDMQNTAONE
PhY,ique
A. BC'1Tll..LIER
Minéralogie
J.
LAFOUCRIERE
Phyolque nucléaire théorique
J.
DREUX
Chimie organique
S.
TEICHNER
Chimie InduotrleUe
M. PA VANS de CECCATTY
Zoologie
J.C.
MERLIN
Chimie analytique
M. DUFAY
Phyolqlle de l'aemooph''.
G. PHILBERT
Phyolqlle
R. COHEN-ADAD
Chimie
L. DAVID
Géologie
J.
CHANEL
Poychophyolologle
G. MAURY
Méthodoo mathématlqueo de la phyoi'lue
J.
DEPRAZ
Physlqlle nucléaire
J.
GAUTHIER
Chimie
F. GAUME
Phyoiqlle
R •. UZAN
Physique
"".;
J.M.
LEGAY
Biologie anlll\\&lo
A. LAFORGUE
Phyolque
J.
GERMAIN
Chimie
M. CHENEVOY
Pétrographie
J.
BIGAY
A,tronomie
Mme M. ERICSON
Phyolque
MM. G. DESCOTES
Chimie organlquo
: .r
M. LAMBERT
Phyolque nucléaire
P. ELOUARD
Géolo"le
D. PONASSE
Mathématlqueo
R. CHERY
Physique
Mlle D. GAUTHERON
Chimie Biologique
MM. J. CHEVRI ER
Mathémotlqueo
P. MICHEL
Miné raloglo

MM. R.
Ff·:RON
Matht: matique"
R. GIN,:T
Zoologie
G. J\\scn
PhYBiqu~
Mil.
M. MAITHOT
PhysiqlJ~
MM. P. Gl~VIN
Géolo~if'
J.
D'INCAN
Physique esu
P. I~P;FEIWRE
Milththnatique Il
R. Pf:RNET
Mathématiques
R. 13ER GEON
Phyolque
A. ERBF.:IA
Phyolqu.
Y. LF.:MOlGNE
Hotanh11Je
L. ,MARTEL
Mécanique
G. MICHF.:L
Blochlml.
P. PICARD
Mathématiques
P. LEBRETON
Blologi. végHale
J.
TOUSSET
Chlmi.
E. COMBET
Mathématique.
J.
DAVID
Biologl. animale
(.ntomologle)
R. SCHMITT
Phyoiqu.
P. BETI'IOUX
Mathématlqu.o
~!.1!.!..e.!_<!.e_ç!!!!f!!..e.!.'~~_
MM. G. DEMARCQ
Géologie
A. L,AURENT
Chimie organiquf!
A. ROT
Mathématiq\\lea
M. GUSAKOW
Phyoiqu.
Mlle G. THOMAS
Chlmi. minérale
MM. H. BUCHWALTER
Mathématlqu.o C.S.U.
J.
BOUZON
Math~matique. C.s.U.
.1.
COSNIER
Poychophyolololle
Mlle
D. LAMOURE
Biologi. végétale
MM. M. PORTHAULT
Chimie C.S.U.'
G. V A L E T .
Chiml. macromoNculalre
Y. HAUGAZEAU
Mothématlquel
R. ENAY
Géologie
P. BERTHET
Biologl. végétale
J.
BRUN
Biologie animale
J.
DELMAU
Phyolque
E. EL BAZ
Phy.ique - EI.ctrlclté
R. FONTANGES
Phyolologle
J.
HUET
Chimie
P. REMOND
Mathématlqu•• C.S. U •
P. JANIN
Mathématique.
C. RUHLA
Phyolqu.
C. DUPUY
Phyolque
M. CHASTRETTE
Chlml.
J.
PARIS
Chiml.
J.
DAILLIE
Biologlo animale
J .P.
LARPENT
Biologl. végétale
Mil.
M.J. WORBE
Phyolologle
MM. A. HOLLEY
Po ychophy.lololle
J.P. BURQ
Phyolque
A. ROUX
Biologie animale
J.
GORE
Chlml. orllanlque
P. PAZORD
Mathématlqueo
Mm. P. TERRA
Biologie végétale
MM. M. HACOUE:
M&th~TTl&tique.
(i.
Il ",,~l~
.Phy.,que
J .N.
MASSOT
Phyoique C.S.U.
A. BOUVIER
Physique
H. NEYRAND
Mathématiques
r.. FONTAIN!':
Phyaiqup.
MM. E. PATTEE
Biologie animale
A. TRANQUARD
Chimie
A. SALMONA
Phyolqu.
MU. A. OOUNOT
Biologie végétale
R. OUZlLOU
Mathématlqueo
C.S. tI.
F. ROBERoT
Mathématlquu
R. PUPIER
Mathématlqueo CSU
R. HAYART
Mathématlqueo CSU
M. J. BURNET
M.
A. ROUX

REMERCIEMENTS
Je remercie Moneieur le Profe •• eur A. SARAZIN, Directeur de l'Inetitut
de Phy.ique Nuc1o!aire de LYON de m'avoir permis de pr'parer cette th~ae dan. cet in.titut.
Mon.ieur le Profeueur J. LAFOUCRIERE me fait l'honneur d'accepter la
pr'sidence de ce Jury,; Je lui en .ui. tr~. reconnata.ante.
Que Monsieur le Professeur M. LAMBERT qui m'a accueillie dans son la-
boratoire et m'a donn' le .uJet de cette thlose trouve ici l'expres.ion de ma profonde gratitude.
Je le remercie vivement de m'avoir procur' le. meilleure. condition. de travail et de m'avoir
con.tamment guid'e de se. pr'deUJl conseils.
Toute ma reconnai . .ance va 'gaIement il. Mon.ieur G. DO DANG. Phy.icien
d'ORSAY et il. Mon.ieur J.N. MASSOT. Manre de Confo!rence., qui me font l'honneur d"tre mem-
bres de ce Jury. Mon.ieur G. DO ,DANG il. profe . .' il. l'Ecol. d'Et' de PREDEAL en 1969 dee coure
.ur la th'orie de HARTREE-FOCK qui m'ont ' t ' trh profitable ••
Mon.ieur le Profe.seur J. F. ALLARD,
il. l'In.titut de Phy.ique Nuc1'aire
d'ALGER •.m'a apport' une aide pr'deu.e lors de meS premier. travaux; j. le remercie tout
particulilorement pour le. 'changes que noua avons eu. et qui m'ont 'tél tr~s utiles.
Mon.ieur R. BUFFARD et Madame N. PERSE HAYE m'ont aid'e et conseill'e
pour la partie programmation; je leur exprime ma reconnaill.ance.
Je remercie 'salement Madame G. HADINGER et toutes le. personnee qui
m'ont donn' con.eil. et encouragements au cours de ce travail.

INTRODUCTION
Différents modèles ont été proposés et appliqués à l'étude de la structure
des noyaux. D'une manière générale, chacun de ce. modèles met l'accent sur une propriété frap-
pante de la structure nucléaire dont il ne donne par suite qu'une image partielle .
. Ainsi, le modèle des couches ramène les propriHés du noyau à celles d'un
en.semble de nucléons indépendants. Dans ce modèle, on suppose que l'effet des interactions entn
paires de particule .. Peut l!tre approché par un potentiel local simple agissant sur les particule.
individuelles.
Dan .. la forme la plus simple du modèle, l'équation de SCHRODINGER du noyau est rempla-
. cée par un ensemble d'équations; chacune de ces équations décrit le mouvement d'un nucléon se
déplaçant indépendimment des autres dans un puit. .. de potentiel harmonique. Il est bien connu que
les fonctions d'onde, solutions de l'ensemble des nucléons sont des produits antisymétrisés des
fonctions d'onde à une particule; on les appelle des configurations.
Dans sa forme la plus élaborée, ce modèle tient compte des interactions résiduelle. en
ajoutant au potenti~l de l'oscillateur harmonique un terme à un corps correspondant à une force
spin-orbite. Avec cette modification, le modèle peut expliquer la plupart des propriétés importan-
tes des noyaux.
Cependant, ce modèle à particules indépendantes se montre totalement ino-
pérant pour décrire des effets collectifs, d'où l'introduction des modèles collectifs, tel le modèle
semi-classique de BOHR-MOTTELSON. Ces modèles décomposent l'hamiltonien en deux parties
- Une partie fait intervenir les variables collectives,
l'autre partie fait intervenir les variables intrinsèques.
Ainsi, le modèle rotationnel étudie la dynamique du noyau en considérant un ·mouvement collectif
de rotation séparé adiabatiquement du mouvement individuel des nucléons. Une telle description
a permis de retrouver les niveaux des bandes de rotation observés expérimentalement; la structu-
re de ces bandes varie avec la déformation du noyau.
Malgré les succès de leurs applications, ces modèles ne donnent pas entière
satisfaction.
D'une part, ils font trop appel à la phénoménologie. En effet, dans le modèle des couches,
le choix du potentiel moyen et celui de l 'inte raction résiduelle sont totalement indépendant .. et sont
basés sur des critères phénoménologiques. Dans le Cas du modèle collectif, l'amplitude de la dé-
formation et la grandeur du moment d'inertie dépendent de paramètres ajustables.
D'autre part, ces mo·dèles ne présentent pas
de corrélations 'dlrectes entre e"x.
Il serait bon, pour une meilleure comp~éhension de la structure nucléaire, d'introduire
une description unique oil les différents modes de mouvements individuels et collectifs seraient
traités de. pair et susceptibles alors de comparai sdn.
Il serait bon aussi de réduire l'importance de la phénom'énologie et de déduire les carac-
téristiques du champ moyen de l'interaction ·nucUion-nucléon.
Dans ce sens, la théorie deHARTREE-FOCK veut être une solution plus
générale et plus unifiée.

2
Cette théorie émise au début du siècle a été appliquée au cas atomique par HARTREE,
en 1928,
et améliorée queiques années plus tard par FOCK.
L'application de cette théorie au 'cas nucléaire a été retardée parce que l'interaction
nucléon -nucléon déduite des expériences de diffusion est fortement répulsive à courte portée
t't ne p<'ut ~tre utilisée directement dans les calculs.
En effet,
les éléments de matrice d'une
telle interaction ne sont pas définis.
De plus,
cette méthode donne lieu à des calculs longs el
compliqllés qui" ne peuvent '~t're effectués qu'à l'aide d'ordinatel1r i aussi. a-t-il fallu attendre
le développement récent des moyens de calcul par l'informatique pour l'appliquer.
Quant à la difficulté' due 1< Ta présence du "coeur du.. " de l'int';,raction,
elle a été
en partie surmontée par l'apparition' de la théorie de BRUCKNER qui proposa une' nouvelle mé-
thode de résolution de'. équations de Hartree-Fock dans laquelle l'interaction nucléon-nucléon
est représentée par une' matriee de réaction.
En l'IbO;
'MOSZKOWSKI et SCOTT montr~rent
qu'en rait la matrice de réactiOn pouvait @tre approchée par un potentiel moyen.
Aussi,
actuellement,
la méthode de Hartree -Fock initilile est-elle utilisée en rem-
plaçant l'interaction· ré-aliate -'par une interaction effectiv-e.
Dans ce travail,
nous nous sommeS proposés d'appliquer la t!,~ori,,---~e'
Hartree-Fock à la détermination des énergies de liaison de certains noyaux légers et au calcul
des fonctions d'on!!". éorrespon'dantes.
Nous avons étudié en particulier les noyaux du type 4n
des coucheslp et 2s-1d.
Nous allons préciser' le,s conditions de cette appliqua lion ; nous exposerons les symé-
tries des solutions de Hartree-Fock que nous avons supposées.
Nous montTerons comment
nous avons effectué le choix du potentiel; nous décrirons la représentatlo;' utilisée qui est
formée des états' propres 'd'un oscillateur harmonique en base cylindrique et correspondant
li trois co~chescompIètes.
Nous avons laissé au champ moyen la possibilité d'être déformé 'en prenant pour
hamiltonien li une partietlle celui d'un oscillateur harmonique anillotrope.
h
h '" P ("'p ) + h
('" )
'"
z
z
2
2
0
h
Z
Z
avec
h
- - - --2 +
m",
z
'"z
2m
6 z
2
Z
2
h
oZ
1
2-
2-
- - - - - + - m", p
2m
o p2
2
P
Une telle représentation a ipitialernent deu?" degrés de liberté.
Cependant,
une des caractéris-
tiques de notre travail est de permettre aux étate de la représentation de venir de puits harmo-
niques de profondeur et de déformation différentes,
L'examen des résultats montrera l'avantage d'une telle base,
+
+
+
+

3
CHAPITRE 1
EXPOSE DE LA THEORIE DE HARTREE-FOCK ET SON APPLICATION
1. METHODE DE HARTREE-FOCK
Nous nous propOsons d''<;tudier certains noyaux des couches 1p et 2s-1 d ;
nous d'<;sirons d'<;terminer les niveaux d''<;nergie de ces noyaux, et tout d'abord, l'~nergie de leur
. ~tat fondamental.
Le noyau constitue un système de fermions en int/raction ; l''<;nergie totale
d'un noyau est donc la somme des '<;nergies cinétiques de ses fermions et des '<;nergies potentielles
qu'ils possèdent, du fait de leurs interactions mutuelles.
Nous postulons qu'à l'int'<;rieur du noyau, les seules interactions subies par
les fermions sont des interactions à deux particules, toute autre interaction '<;tant consid'<;r'<;e
inexistante ou n'<;gligeable. L'énergie totale du système est donc repr~sent~e, dans le langage de
ln '''';canique quantique, par l'opérateur hamiltonien nucléaire
HI
dont l'expression est la suivante
'" :L t. + 2: V (r..)
1
i < j
1J
e
t,
d'<;signe l 'énergie cin~tique du i
fermion, augmentée éventuellement d'une énergie potentielle
1
moyenne.
e
r ..
désigne toutes les coordonn'<;es relatives des
i
et je particules.
1J
V(r. ,)
représente le potentiel d'interaction entre les particules i et j.
1J
Les fermions étant indiscernables, les op'<;rateurs
t.
et V(r . .)
sont des opérateurs symétriques
1
1J
,-e specti vement à une et deux particule s.
Soustrayons l'énergie cinétique associ'<;e au mouvement du centre de masse,
notée
T cm
H
T em
L'hamiltonien H
ne représente ainsi que l'énergie intrinsèque du noy~u.
Ecrivons que
-2Pi
'"
et
T em
2m
-..Pi et m '<;tant la quantité de mouvement et la masse d'un fermion
A
est le nombre de fermions du système.

4
A
() r,
(t ~ll L
+
1=1
i=1
i< j= 1
L'éneq>.i~, intrinsr·que du noyau est donc représentée par l'hamiltonien H
... z
Pi
_1_; .P
H
= L (1 • !.-)
+L
.)
A
lm
i<: j
m A i
J
Pour déterminer les niveaux cl 'énergie du noyau, nous devons résoudre l'équation de SCHR!jPINGER
(1)
Rappelons que, aux points' ou l'équation (1) est saUsfaite. la fonctionnelle
<: "1 HI" > , astreint.e à la condition <: 'f 1" > = l , a des valeurs stationnaires qui sont les
énergies possibles du système.
On ne sait pas résoudre exactement l'équation de SCHROPINGER(I). On se pro-
pose de la résoudre approximativement par la méthode dite variationnelle.
Cette méthode associe à l'équation (1) la fonctionnelle
E (Ip) =
Lelle que tout vecteur
1"n >
qui rend E (f)
stationnaire est vecteur propre de
H avec la
valeur propre E
E (lf
»
n
n
Notons que cette méthode convient particulièrement bien à notre problème.
En fait, nous utiliserons des solutions approchées
1. >' des états propres 1'1' ,.; mals,
n
n
~ ( If » étant stationnaire pour 1 "n :>, E (II » sera beaucoup plus proche de E( 1f » que
n
n
lin:>
ne le sera de If
:>
. Ainsi, une médiocre approximation lin:>
de
\\"n>
donnera-t-elle
n
malgré tout Une bonne approximation de l'énergie En'
3. Forme de la fonction d'onde décrivant le système physique: un détermi-
. - - - - .. - _.... ~ -.- ....... _......... -- --- --- .... _.. -- - -_ ... -_ .... - -- -- -- - ....... -- - .. - .... -_ ..
na nt de SLATER
-_ .. _........... - .. -----
Nous restreignons la recherche de la fonction approchée 1t
>
en lui impo-
n
sant d'avoir la forme d'un déterminant de Slater. Ce choix nous est dicté par le succès du modèle
en couches qui construit les états des noyaux en plaçant les nucléon. individuels dans des états par-
ticulier. 'à un corps eten tenant compte de la stathtique de FERMI à laquelle sont assujettis les
nucléons.
Une seconde raison qui a dicté, ce choix est de préserver une certaine s.hDpU-
cité mathématique.

5
En effet, un système formé de A
fermions admet en général pour fonctions
•
propre. exactes ri" son hamiltonien total un ensemble de déterminants de Slater construits à partir
de. fonctions propre •. d'une ob.ervable d'un systèmeparticulier à un corps.
Soient ·1"1 >, 1"2> ..... l"i > ... l"n > , le. fonction. propre. d'une
ob.ervable
U d'une particule
UI" >=ul">
n
n
n
Le. déterminants de Slater ql d'un ensemble de A fermion. construits
li. partir de l'enBemble de.
fonctions 1 <1. > ont la forme suivante:
1
1
c
VA.I
"
(1)
"
(A)
n
n
Par .ulte, l'état vectoriel 11' > décrivant exactement le .y.tème compo.é de A fermio~., e.t
en général une combinaison linéaire de ceB déterminant., lesquels .ou.-tendent un espace vecto-
riel de dlmen.lon Infinie et la combinaison linéaire qui définit 11'> . e.t en droit Infinie. Prati-
.quement, il n'e.t pa •. po.slble de' déterminer une telle combinaison; une premièTe approxlrriàtîon
c·on.isterait li. tronquer .on dillve10ppement et li. déterminer le .ou.-espace de. états li. A
corps
sur le.qu~h 1" > . a de. composante. non négligeable., ce. composante. étant a10r. en nombre
finI. Cette .approximation ne réduit pas beaucoup le. difficulté. de 1& rt~.olution du problème;
aus.i, .implifions-noue cette réeo1ution en cherchant une solution approchée 1':> ayant une forme
déterminée: celle d'un déterminant de Slater.
Nous convenonS de noter la fonction approchée
1. > qui repréeentera
l',hat à A particules, .ou• •a forme normali.ée par :
Le. états il. un corps
10:1 >
.ont appelé. le. état. occupCls. Le détenninant 1.:>
n'a unevale\\lr
non nulle que .1 lee ICl
> sont linéairement Indépendants, ce qui e.t garanti el nous prenone de.
I
tlitate 1Cl
> orthonormaux.
i
En ré.umtli, nous eomme. conduit. li. déterminer de. états 1• > • qui aient
la forme de déterminants de Slater et qui miniml.ent la fonctionnelle . < .1 "1'>
; il.·..ioivent
donc ea.tlefalre 1ee relation • •uivantee :
6<
'1"1'>
0
<.1·,>=
Ce. relation. Impliquent certaine. condition• •ur lee étatS 10:. > . Pour exprimer ce. conditione,
1
nous fai.one appel au langage de la .econde quantification.

6
+
D,Hinissons les op<!irateurs de création
a,
et d'annihilation
1
+
a,
O"=li>
et
ai
1 0 >
o
1
Ces opérateurs créent ou détruisent une particule dans l'état
I,i >
L'ihat
1-0 >
représente un iltat sans particule,
Ces opérateurs obéissent aux lois d'anticommutation suivantes:
o
l
J
[ a i '
a
+
=
[a: ' aJ +
6 ij
et
[ a : ,
a;
j
Dans une telle représentation. l'hamiltonien s'exprime en fonction de ces opérateurs, de la façon
suivante:
1
+ -
L
(1 )
4
ijkl
Dans cette expression. l'élément de matrice à deux corps est antlsym<!itrique
' V
'"
< ij 1 v 1 kt, >
=
- <
Ij 1v 1 Ô< >
N
l '<!itat à deux corpe 1k~ >
étant défini à partir de l '<!itat symétrique 1k 6 >
par
'"
Ikt>= Ikt, > - 1~k >
Nous suppo.sons que la fonction d'onde a la forme
+
+
1
1t > = b,
' . • . .. b
...• ,
0 >
(l)
"ï
>'A
Où l'opérateur
crée une particule dans l'état
1À >
Son opé rateur adjoint
b>.
annihile une particule se trouvant dans l '<!Itat
Ces opérate,urs vé·rifient les lois d'anticommutation
o
6lV-.'
Op<!irateur et fonction d'onde étant écrits sous les formes
(1) et (l), l'énergie du système a l'expres-
sion suivante :
E=<tIHlt,>
E
=~<iltlk><tla: aklt>+~ nkl <iJlvlkL ><tla: a; al a 1~ >
k

7
Par application du théorème de WICK, on a :
o
avec
et k
e •
ik
avec
i,j,k€'
•
Par suite. l'énergie s'exprime en langage de la seconde quantification par :
-v
E = < • IH 1. > ~ L. < XIt 1X> + ~
~ < Xlllvl Xu >
XE'
X, Il e •
5. Equations et états de HAR TREE-FOCK
-------.------------.---------------
Nous rappelons que la {onction
1 t >
doit rendre la fonctionnelle
<'IHI.>
stationnaire et minimum.
D'après l'expression de
1t >
il nous faut déterminer quel est l'ensemble d'orbites occu~e_ X qui minimi_e l'énergie. Pour
ce faire. nous dévèloppons les orbites
1X>
sur une base complète de vecteurs
1 i >
..
ce qui s'é!=rit
..
b~lo>
[
X
+
c.
ai 10 >
1
i= )
CD
d'où
b+
[ X +
=
c.
a.
X
1
1
i= )
Les états
1 X>
sont supposés normalisé_
CD
d'où
C-
i=l
Ce développement des orbites
1X>
nous donne. pour l'énergie, l 'expre_ sion:
CD
•
X
>
c
Lc~ < i1tlk
+
k
i, k
Pour qu'il soit pos_ible de calculer la matrice représentant l'hamiltonien. nous devons restreindre le
développement en droit
infini des orbites; nous effectuons donc une troncature dans la base de_ vec-
teur_!.i > et nou_ nou_
limitons à un _ous-e_pace linéaire de dimension n.
Ainsi.
c ~ 1 i>
1
Ecrivons que E
doit Atre stationnaire par rapport à des variations des or.bite_ occupées, c'est-à-

8
.
À
dire par rapport à des variations infinitésimale. àes coefficients
ci
; ceS coefficients étant liés
par la condition de normalisation, nous introduisons, co,mme il est usuel, un multipli.cateur de
Lagrange, noté
e,
Nous devons avoir:
A
6
XiI·
t
2
(LI cl, 1
=- el,
- '1]
0
6 c .
Àet
j
J
t
En remplaçant
E
par son expression explicite, cette condition devient
L ~ i 1t 1k > .. >
< i,4 1 v 1 k";' J
k
L
; U € t , '
,,' J
(2 )
À~
À
avec
~ cj < ij 1 v 1 kt, > c t
Définissons l'opérateur hermitique à un corps,
h,
appelé
hamiltonien de Hartree -'Fock et admet-
tant pour éléments de matrice sur la base choisie:
=
 = t f;l 
Les équ;\\ticns
(2)
~pparaissent équivalentes au problème de valeur propre suivant
1 h 1À;;' = e 1 À > 1
(3)
À
Les orbites occupées 1À>
que nous cherchona à déterminer et qui minimisent l'énergie du sy.tè-
m,e sont donc les fonctions propre a de l'hamiltonien de Hartree-Fock avec la valeur propre
e
;
À
aussi, ces orbites sont-elles appelées orbites de Hartree-Fock. Lorsqu'eUes sont déterminées,
nous connaissons l'état .tationnaire
I~ > conaidéré comme état propre approché et appelé état de
Hartree-Fock.
Nous pouvons alors évaluer l'énergie lui correapondant dite énergie de Hartree-Fock et nntée
E HF
E
= < f 1H 1f > =
L. <: ÀulvlÀIl >
HF
e'
À
lJet
Or, d'après
(2)
~ < À III v 1 À Il > = e - < À 1t 1 À >
À
d'où
(4 )
,
'
L'équation hl À> = e 1 À>
que nous sommes conduits à résoudre est du
À
TTll!me type que l'équation initlale (1)
HIY >=
Elf >

'i
Cependant, noUs sommeil dans un espac" de Hilbert à un corps et non plus dans l'espac", de Hilbert
des état. à
A corps. Cette réduction du problème est obtenue au prl~ d'un procédé de résolution
assez long et délicat.
En effet, les équations (2) ne se rlisolvent pa,; immédiatement parce que
l'opérateur
h
dont on recherche Jes états propres
). dépend de ces ml!mes états; il s'agit donc
d'Un problème seli-consistent que nous choisissons de résoudre par itération, en procédant de la
mani~re suiva.nte.
a) Nous faisons un choix initial cl". A orbites d'Bartree-Fock on·upé".
soit l'ensemble noté
~ (0)
b) Nous calculons les éléments de matrice
<
1h (0) 1 k>
de l 'hamil-
tonien de ·Hartree -Fock correspondant. à ce choix.
c) Nous diagonalisons
h(o)
ce qui fournit un nouvel ensemble
d'orbites' de Bartree-Fock.
d) Nous choisissons A orbites occupées dans l'ensemble [). (J 0
e) Nous calculons la nouvelle matri ce
h (1) corre spondant à ce choix
la diagonalisation fournit un nouvel ense.mble
).(2), .. Nous continuons ce processus jusqu'à ce que
deux diagonalisations successives fournissent très approximativement les m~mes orbites.
Cette méthode nécessite quelques remarques importantes:
a) Chaque diagonalisation de
h
fournit
n
orbite s 1). >
dont A
seu-
lement sont occupées; on peut obtenir plusieurs états if>
de Hartree-Fock. suivant le choix fait
des A
états occupés: choix qui doit donc
l!tre défini par un critère sérieux •.Nous choisissons
un critère d'ordre physique qui contribue à rendre l'énergie du noyau minimum. Comme le montre
la formule (4) .de l'énergie, celle-ci dépend, pour une grande part, des énergies
e~
des états de
Bartree-Fock occupés; par suite, sa valeur sera d'autant plus faible que les énergies des orbites
de Hartree - Fock occupée s seront plus petite s.
Aus.I, classons -nous le s vecteurs propre s de
h
de telle façon que leurs valeurs propres soient dans un ordre croissant; les
A
états occupés sont
alors les A
premiers, dans l'ordre ainsi établi.
b) Une difficulté apparan si
h
a des dégénérescences, auquel cas les
vecteurs propres associés aux valeurs propres dégénérées ne sont pas uniques; on ne peut obtenir
la convergence'.
c) De plus, ml!me si le proce.sus itératif converge, il n'y a pas de ga-
rantie qu'on ait fait choix. au départ. de la meilleure fonction d'onde.
11. BASE CHOISIE POUR LE DEVELOPPEMENT DES ORBITES
Pour effectuer la résolution numérique des équations de Hartree-Fock. il.
faut donner une expression numérique aux {onctions d'onde et aux orbites. Nous choisissonB d'expri-
mer les orbites par leur d~veloppement sur une base complète de vecteurs orthonormés.
La base est en principe arbitraire; mais il faut qu'elle assure une bonne con-
vergence pour le développement des orbites et qu'elle permette un calcul aisé des 'élémentiiï:le 'ma-
trice. De plus. nous montrerons (paragraphe III) qu'une base possédant certaineS propriétés desy-
métrie peut présenter un grand intérlH par suite des simplifications de calcul 'auxquelles elle conduit.

10
Compte tenu du succ~s obtenu par NI LSSON utilisant un potentiel harmoniqlje~
nOus choishsons de d/Ôvelopper les orbites sur une base d'oscillateur harmonique auquel nous im"
posons en plus d 'l\\tt'e à sym/Ôtrie cylindrique.
2. Vecteurs de cette base
Les parties spatiales des vecteurs de base 1i> , que nous appelons orbitaJI.. ~
sont donc les /Ôtats propres satisfaisant l'/Ôquation de Schrlldinger suivante:
[~ +
+
'f
E
'f
2m
nmn
nmn
nmn
2
Z
Z
Z
W
et
W
sont les fr/Ôquences de l'oscillateur le long de l'axe des
z et dans le plan
x-y.
p
z
Lee valeurs propres
E
s'/Ôcrlvent :
nmn z
1
E
'"
(Zn + 1m 1 + )
h w
+
(n
+ - ) h w
nmn
p
Z
Z
Z
z
Posons
a '"
et
=
h
h
a et Il ont les dimensions de Œongueu~ -2
Les {onctions p.roprea '0 m Oz
ont ~ur expre.8ion
,
1
2
1
z2
1
P
Imj
ï a P
1
2
1 m f
ï
Iml
Z
( Il ï z)
•
N
e
(a
p)
L
(a p ) e
H
e
om'oz
nmn
n
z
n
Z
1
où
N
Zan!
nmn
r 14(+) n
Z
[
Z
(n + Iml) !
Chaque orbitale
•
est donc caract/Ôris/Ôe par trois nombres quantiques,
par
a et Il ; nous
Botans:
a
Il >
Convenons de repr&senter par
SI
et
Ti
les nombres quantiques de spin et d'isospin ;
chaque-vecteur de base
1i~
est alors dMinl par cinq nombresquantlques et par a
et Il ;
NOI.!8 tScrivons :
Il >= h
n
S,'
Ti
"Il >
Zi
3. Choix de vecteurs orthonorm/Ôs
Deux /Ôtats d'espace
ln m n ;
a'll>
et
ln' m' n'
; /l' Il' >
sont auto-
Z
z
matiquement orthogonaux s'Us sont de parlt/Ô s oppos/Ôesou s'ils ont des valeurs de m
di stinctee.
Slil n'en est pas ainsi, ces deux vecteurs diffèrent par leurs nombres quantiques
n
ou
Oz
; nous

Il
avons
~oit
n
f.
n'
7.
z
Pour que de tels états soient orthogonaux, nous leur imposons d'être ~tats propres du m~me oseil-
lateur ; pour cela,
si
n
i·
n'
nous pQson~
13'
7,
z
si
*'
n
n'
nous pOHone
'1
= o.'
De plus, la symétrie par renversement du temp. oblige les états
1n m n
>
et ln -m n >
:.
z
z
être issue du même os~illateur, c'e8t~à-dire à avoir les mêmes conAtant,es
!1
et
13. nans ce.
conditions, les vecteurs 1 n m n
>
affectés de constantes
a et 13
dlHtlrentes forment un" bas"
z
orthonormale.
Nous présentons dans le tableau suivant les dlK premiers vecteurs d" cettF
base, avec le choix de constantes a et 13
le plus général.
Couche
n
m
n
parité
constantes
z
1 S
0
0
0
+ 1
al
BI
1 p
0
0
1
- 1
a
r1
Z
2
0
+ 1
0
- 1
a 3 il}
0
- 1
0
- 1
a
11
3
1
TABLEAU
Z S, ID
0
0
Z
+ 1
a
ill
4
0
+ 1
1
+ 1
a
13
5
4
0
- 1
1
+ 1
11 5 1'4
0
+ Z
0
+ 1
(l6 13 5
0
- 2
0
+ 1
a
13
6
5
1
0
0
+ 1
al
fl 6
4. ~:~'.?~~~~':':~~_ ~~ !,?_s~_ ~ _c~:'!'~'.l.u~:,_c~_s
Les vecteurs
1 i > engendrent une base de dimension Infinie. Maisl"s néces-
sités du calcul (impossibilité de diagonaliser une matrice de dimensions très grandes) nous ohli-
gent à eHectuer une troncature dans la base précédemment constitutle ; aussi, la représentai ion
choisie est-elle restreinte aux trois premières couches des états de l'oscillateur harmonique.
Nous gardons:

12
La couche
IS
correspondant. à N ::.: 0
qui comporte 1 état
La couche
IP
correspondant ft N
qui comporte 3 états
La couche 28, J D
correspondant à N
2
qui cotnporte 6 états
Ceci donne dix états d'espace. différents qui, combinée avec les états de Bpin et d1isDspin engen-
drent une base restrteinte de quarante états.
Mais puisque ceci ne constitue qu'une représentation incomplète pour l'espa-
ce de Hilbert des états à particule indépendante, les Rolubons d'Hartree-Fock obtenues deviennent
dépendantes du choix de cette représentation, c'est· à-dire de ses dimensions et de la fortne du
puits qui définit les états
1 i >.
Pour cette raison, il est nécessaire de faire varier la fr~quence de l'oscil-
lateur qui génère la base jusqu'à l'obtention du tninimutn d'énergie correspondant à la solution
d'équilibre.
Notre représentabon possède deux degrés de liberté; nous pouvons en effel
permettre aux états qui la constituent d'l!tre issus de puits harmoniques de forme différente en
choisissant des fréquences
wp
et
Wz.
différentes pour chaque
état, c'est-à-dire en changea.n.
les constantes
0.
e1
il affedées aux orbitales 1 n m nz' > .
Ainsi) pouvons-nous faire varier la base restr.einte de représentation sans
augmenter ses dimensions et déterminer les constantes qui donnent la meilleure énergie; cette
possibilité est propre à la représentation à symétrie axiale.
Le développement des orbites d 'Hartree -Fock sur cett e
base se limite
donc à:
1i
Si
Ti
>
i, Bi' Ti
i = 1 • 10
k
Les coefficients
c.
T
sont choisis réels; cette contrainte équivaut à demander au système
l
SI
i
nucléaire un plan de symétrie (nous le montrerons au para.graphe lII).
Il est agréable pour la suite des calculs de remplacer les nombres quantiques
de spin et d'isospin
Si
et Ti
par les variables
ai
et
"'i
; la correspondance est la suivante;
J
pour
en haut
Si
+ 2
spin
a.l
1
s.
spin en bas
2
"2
ai
l
pour
Ti
=
T
isospin du proton
....
p
=
l
T.
T
i sospin du neutron
T.
= 2
1
n
l
11 expr ession d'une orbite 1k:>
est alors
10
2
2
k
Ik>
= 2::::
L..
L
c
a. T.
>
iOi 'ri
l
l
i=l
ai =1
"'i=1

JI!. !'I(OPRJETES DE SYMETRIE nu HAMILTONIEN !JE HARTREE-FOCK ET Dl:: SES SOLU nu!'.')
Nous ne pouvons cal.c.uler le hatniltonien de Hartree-Yock que lor5que non"
a.vons fait choix dlun ensemble
[À. (0) ] d'orbites initi.~lement occupées. Aussi allons-nouH pn~ci
s~r }eA hypoth~~ses de 6ym~trie~ faites sur l'eusetnhle de départ [À. (0)] • montrer, .\\ l1aÎr\\P rJ'~111
i...héorr'tne, que t:eS Rymétries se transmettp.nt à J'ha.miltoni.en de Hartree-Fock
h, et ~ s~s Koll]
l
't
tions
>
p.t de~terrniner les grandes simplifications qui résultent de ("es hypothr-ses cians les
ca 1c u18.
Nous supposons Buçcessivement que les orbites ont un isospîn déteJ·nlinl
qu'elles admettent la symétrie axiale et qu'elles ont une parité bien définie.
Notre t'itude repose sur le théorème suivant, établi par RIPKA (8)
1. Théorème
Théorème: Si un opérateur
\\l
commute avec l'hamiltonien b->!.al dli
systt~rr)e Il et laisse invariant l'ensemble des orbites occupées
lÀ>, cet opérateur n tOlllll,\\ltj~
avec l'hamiltonien de Hartree -Fock,
h.
Un opérateur
0
laisse invariant l'enserrlble des orbites occupées s'il t.ransforme t.out étal l)( ('!ll'"
eH une combinaison linéaire des seules orbites occupées,
ce qui s'écrit;
0 lÀ :>
L::- n
1 À' >
( 1)
À À'
À' €
t
Soit \\In hamiltonien nucléaire total,
H
H
L-
I
t.
+
L
v (r .l
T + v
1
2
i < j
1)
et l'hanüllonien de Ha rtree -Fock, h f lui correspondant. D'après le théor~me, si l'opé r.l ll'II."
Cl
t~omlnut(~ .:tvec
li, (;'c6t~à-dire si
p.t si cet opérateur vérifie la relation (1), il commute aussi avec
h
L'hamiltonien
h
de Hartree-Fock possède donc les symétries communes à l'hamiltonien réel Il
et à l'ensemble des états initiaux occupés,
~ (ol1 ; il en est de même de l'ensemble [À (1l]
des vecteurs propres issus dt" la. prelnière diagonalisation de
h
; ces symétries Be cons{~rvent au
cours des itérations successives et sont transnlÎses à la
solution finale
1 +:>,
considérée conime
état propre approché.
Nous allons considérer successivement les diverses symétries SUppORl~t"R
au départ.
Noua supposons que les état6 de Hartree-Fock ont un isospin défini, t:'est-
;i-dire qu'ils sont occupés 80it par un proton,
soit par un neutron. Le hamiltonien de Hartree-Foc:k
ne l....oup1e donc que des états de même isospin ; ainsi. la matrice
h
représenlant .cet han1i1lonien

11
Be décompose~t-elle en deux Bous-matrices, de dimensions
20 x 2.0 chacune.
l'une
h (p)
d'élément
h .. (p)
où
1i >
et
1j >
sont des'états proton •.
'.1
l'autre h (n)
d'élément
h .. (n)
où
1i >
et 1j >
sont de s états nelltron s.
'.1
Cette hypothpse permet d'écrire le développement d'une orbite 1 >. >
SOllS 1"
forme:
L'hamiltonien réel
H
est invariant dans une symétrie axiale d'axe Oz :
il commutp- donc avec l'opérateur rnoment cinétique total J z
Nous postulons que le s orbites occupées initialement possèdent aussi cette symétrie, c'est - à -di r<,
que ces orbites sont des états propres de l'opérateur Jz'
Rappelons que
J z
est la somme de deux opérateurs
L z et Sz
L z eot l'opérateur moment
dnétiqu<' orbital et
Sz
est l'opérateur moment dnétique spinoriel.
Leur acti on sur un vecteur de base s'écrit:
L
1 ni m. n
,
>
>
Zi
1 ai
> 1Ti
" mi 1 ni mi n Zi >1 ai > 1 Ti >
z
Sz
1 ni mi n zi
> lai
> 1\\
> " a. 1ni mi oz' >( cr, > 1TI>
1
"
1
Par suite
J
ni mi
1
nzi.
> 1 ai
>1 T. > = (mi + altiminZi > lai> 1Ti >
z
1
Les orhites ayant la symétrie axiale, leur développement se simplifie COmme suit
1),. >
>---
ni mi' n zi ' Oi
1
m'A =mi+o i
L'action de l 'opé rateur
J
sur une orbite slécrit donc
z
>
J
In.m.n.
>Ia, > 1T),. >
ni' mi' nzi' ai
z
l 1 Z 1
1
m'>.=mi + '\\
c

l '
~, '>
-
!
>
."
1,
TT!
n
."
j
1
l
1'i
,.
~ ~ ;IPpa rrti'l q:lf'
1.
~!",:f' 'rjv;!rlant llt:'nst"mhlf> df:"S nr!qfel'l O'(-\\lpf;i~~. i."
n
4
~-tvpo1h('.!3~ ~'lr l;.;j p<:ll'il{'
},'haml1tonif'n réel
H
de notrf" "'y~t~me d ... fermi.on" i"'8r Iflvari.tlnt da11s un~'
!-).'I('ll,I!P"i.
Intpractlons qUI conservenl la paritp
paT snitf'.
P déRi~nanl l'op(~ratel1r parHr !nl;:'\\j"
l
HI
o
-'
Nous postulons que h's orhites onl IlnE" parité totale ojen rléfinie . par .. q'!f'.
rI'.'ll'"
l'n"lltous }r d~v~loppement dr cha,qu~ orhite
I~ >
pa rltf~ lalait'!
Al1paravant. d 11(1118 fant d{>terminer la parité d'lIn 'l;f"1~1E'ur dE' O.1Rf'
ln JTi '~7 ~
tint! Ip.lle fonction rsl Je produit des deu)C fonchons suivantes
<P81nmOo
[on(IIOn d(>pendant dea seules variah\\f"~ "Pt
A
<
z· 1 n
>
fon, t.ion dépendant de la seule variable
z
z
nf!tilllS6ons l'action deB opérateurs parité en
7.
,
P
et parité
en
1.
P
P -1
1
-
P,
7.
L
P
Ip, 9)P· ~
(P , q
• 1T )
pq
p
NOUfi en d~dulg0nB
o
P
m
n
>
I l ) ,
! n m Oz >
z
P.
P
ln m o >
n m
n
p 9
>
z
r 'op('rateur parité totale o'est autre que le produIt Pp 9
Il!l
P
Par suite. la parité du vecteur
l,.
"-
m ", >
est (.i)m + n z
Appliquoosl'opérateur parité à une orbite 1~ >
P 1 ~ >
P
>
n.m,n
cr
In.m.n
:>
1
l
2..
1
l
2", i
1
[m' =m + ~
À
i
.., i

If,
l.
p 1 À :>
c
pl nimin . >1(7i >IT >
n;mlnz,fJ
z
À
i
TÀ
,
1
m'=m+O'
À
i
i
~---.---
L-..__..
P 1 À >
l'l, m,n
0-,
1
1
Zi
1
m' -
À -
Or, dan6 cette eommat:l0n. n'interviennent que des fonctions In.m.n . >
de mime parité; par
z
1
1
1
..uite. la somme (mi + nz) a la ml!me valeur pour tau. leI terme.
nous la d~.ignons par n'À'
>
n'
(-1 )
À
ml
= m.+o.
À
1
1
ni
= m.+ n
À
1
Z.1
ni
]
P p > ; ( - l )
À.
IÀ~
Il apparan que l'opérateur parité laisee invariant. l'eneemble dee orbitee
occupée •. D'après le théorème de Ripka. l'hamilt.onien de Hartree-Fock cone'!rve aueei la parité
totale et ne couple donc que des étate de même parité.
Par euite. notre repréeentatlon contenant 14 étata de parité po.itive et
6 états de parité négative. chaque matrice
h(p) ou h(n) .e décompoee en deux sous-matrices
- l'une de dimen.ion..
14
x
14
- l'autre de dimensions 6
x
6
Définiesons l'opérateur densité nucléaire
p
comme opérateur de projec·
don eur le Boue-espace dee étate occupée
L'élément de matrice de
P sur la baee choisie .'écrit
À
Nous choieiesons le .. coefficiente c.
réel. ; le. élémente de matrice P
eont donc réele.
1 al T.
ij
Montrone que cette contrainte équivaut li demander au eyetème nuch~aire un plan de eymétrie.
Pour cela. con"ldéron. l'expre ••lon de l'éH!m.nt de matrice diagonal de p,
en repréeentation de. coordonnée. spatialee -; .

17
1"H:omposons les orhitPo8
lÀ > SIlI notr€
1);:lSf" d'o~\\illal,f'dr,
il vient
,
~ _ . ~
)
~ L-----
L <: r 1 i > c
c
<
il r >
i tï. 'T
j (J, ~ ,
1 €
t
i.j
1
1
.1
.1
Cette exp'rf":ssion fait apparai\\rc ] "dément de nlatrice
0,
prétédemment défini et 1<J p....) rl.if> SP;\\-
lJ
• J .\\1 e
<: -;.,
'>
de.~ vecteuT8 de bast' qilP "OUf; llotons
•
(r)
1
OIT)
:>--
0
0, ,
•
(r)~"" I,rl
IJ
i
J
i, j
SOU8
("(~tt~ forme. nous
voyons qUE" j Il")p~r;jtf;llr 0 (~st hermitiqut' puisque J'élément
P ..
'.1
valeur réelle,
Nous pouvons -.:?cri re
1
2'
1) apr<'s l'expression des fonctions. cr) en base cylindrique, (annexe 1) il vient ~
ni(mi - mj) 9
+
-i (m.
e
•
~
1
P (r)
L
2'
,
P
F, .
(P, 1.)
[ <
l • j
1J
lJ
où
F"
(z)
est une fonction des variables
0 et
7.
;\\. valeurs réelles.
'J
P (r)
L
0 .. F
(P, z)
co. (m.,
m,l9
i,j
IJ
ij
J
Cette dernière expression de la densité
P
montre que
P
adm~t ulle sy-
métrie de réflexion par rapport au plan
,,- z.
IV. CHOIX D'UN POTENTIEL PHENOMENOLOGIQUE
On. voudrait utiliser un potentiel réaliste V. connecté avec la vraie interal'"
tion nucl~on·nuçl~on et obtenir des énergies selI·coni!!listentes , Malheureusement, lel!!l inter~.clions
réalistes à deux nllc1éons qUl son! dérivées de. expér.ences de diffusion nucléon-nudéon se révè-
lelll lortement répulsives aux courtes distançes. La présenr.e d'un tel coeur dur dans ces intE"ra€:tJons
nous empi!che de les utiliser.directement car leurs éléments de mat.rice 80.l1l infinis:,
Toutefois, une solution à cette difficulté a été proposée par (iOlJ ISTO:'t· f 1)
1957 (13). Elle consiste à rempiacer'i 'interaction
V par une matrice de réaction
G. obtenue
rar l'intermédiaire d'équations compliquées et dont les éléments de matrice peuvent l!tre rai.on-
(14) et (15)
,
.
nablement approchés par celIX d'un potentiel' "à coeur mou"
'. Ce dern.er pot"~hel,
appelé effeçtif, comporte une lIqueue" attractive annulant ll'effet du coeur r~pu18if. et conduisant
il un potent.el nul jusqu'à une certaine distance de .~paration d.
Mais l'importance de la partie
attractive intr,oduite et par Buite la di.tance
d, dépendent de l'énergie des particules en interaction.
En fait, le ~hoix de
d
.era tel que le potentiel effectif résultant donne les déphasages corrects
pour l'interaction nucléon-nucléon.
Un second problpme est pOBP par les interactions réalistes :, (:ell~'8-ci
présentent en général une composante non centrale et de caractère tensoriel. On a pu toutefois

IR
nH}ntrer que: ce type de
force contribue,
dana le cadre de6 approximations précédentes,
il
un
terme de correction,
connu Sous le nom de correction de
BORN
cette dernière. pouvanl' ~.tre
approchée,
à
partir d·'un potentiel central (KUO et BROWN (16)),
une simple renormalisa.tion
du potentiel effectif permet de tenir compte de l'effet de la force tenseur.
Une troieième caractéristique du potentiel effectif utilisé est de dlfpendre
d" la densité du système à N corps dans lequel a lieu l'interaction.
Rappelone que la densité
Pest r"liée au nombre d'états occupée,
à par-
ticule indépendante (étata d'onde plane) et au moment de FERMI k
de l'état fondamental par
F
p
On voit que la d"nsité augmente a.vec. le nombre d'étate occupés ; or,
des calcula détaill~s,
basés sur le respect du principe d'exclusion,
ont montré que l'interaction diminue dans la
matière nucléaire,
lorsque le nombre d'états occupés augmente.
Au ... i devonB-nOUB reporter
à un noyau fini la dépendance en densité ; nous traduisons SOn effet de la façon suivante :
nous imposons sux interactions ayant lieu dans le coeur central du noyau d'@tre plus faibles
que celles survenant dans les régions de moindre densité.
Des potentiels simples construits à partir d" ceS considérations ont él.i'
utilisée dans de nombreux calculs.
Dana notre cas,
nous suivons l'approche adoptée par
VOLKOV, (3) MANNING (7),
BRINK et BOECKER(6).
Nous utilisons une force analytique simple dont les pa.ramètres ont été
~hoisis de façon à rendre compte des. caractéristiques Importantes de J'interaction effective
que no'.Is Venons d'étudier; cette force satisfait aux propriétés suivantes:
l.
Le potentiel doit reproduire correctement les déphasages d 'ond ..
8
pour la diffusion nucléon-nucléon; en effet,
l'onde s est la plus forte composante de l'inter'lptlon.
2.
Il doit avoir un comportement assez proche,
à longue portée.
de
ce lui de l' inté raction réali ste.
3.
Il doit produire une saturation correcte dans la matière nudéaire,
çondition naturelle si l'on veut étudier un grand nombre de noyaux.
4.
Les corrections du second ordre dans la matière nucléaire,
.. ~!)jvent être faibles;
cette condition vient du fait que le calcul d'Hartree-Fock qui utilise la matrice
de réaction G est une approximation du premier ordre de la théorie de BRUCKNER-GOLDSTONE
donc pour que cette approximation BOit bonne,
il est nécessaire que les corrections d'ordre
plus élevé soient petites.
Une dernière propriété,
d'ordre non physique,
mals qui a son importance.
est que les éléments de matrice de la force utilisée soient aisés à calculer.
Aussi les parties non centrales du potentiel effectif seront-elles i8norée~.
Pour compenser les effets de cette omission,
nOus introduisons une forcr
spin-orbite dans le potentiel de HF.
Cette force est nécessaire pour donner J'ordre correct
des niveaux d'énergie à particule indépendante dans le modèle des' couches sphériques.
L'im-
portance de cette force est choisie,
dans le caS des noyaux de la couche 2s-1d.
de façon à
17
rendre compte des S MeV d'écart entre les niveaux d /
et d /2. dans 0
,
S 2
3
Toutes ces conditions sont bien satisfaites par la forcp. de VOLKOV
(3)
dont l'expression est la suivante

10
V!r)
v
et
v
sont les profondeurs respectives des potentiels attractifs et répulsifs
a
r
v
< 0
et
\\'
> 0
a
r
.:-. i\\
el
A
Fiant. les port~eFi de ces potentiels.
r
Les orw_~rateurs P . P
,PT
Ront respectivement les opérateurs d'échange d'espace. de spin et d~
x
IT
d 'J 5()spin.
La somme de ceS deux potentiels de forme gau8~iE"'nne produit lm potentiel effectif de la forme
souhaitée et de plus aisé à calculer.
v
v
v effecti f
-
d
- _.._--_._------_.....
r
r
Nous avons r-hoiaî
cette forr.e pour effectuer noS calculs car elle a permis aux nombreux auteurs qui l'ont utilifife
d'ohtenir de bons résultats pour les énergies de liaison, la dimension, et les spectres des noyaux
de la couche
1 P .
_Nous utiliserons aussi un potentiel.de-forme voisine, celui de BRINK et
2
2
-r /~
_
2
v (r)
+
e
Les paramètres de ces forces sont donnés dans le tableau suivant
_.
Va.
Vr
~a
À r
w
m
Il
h
,
-
-
Foree 1 de Voik;'v
-ln,34
144,86
1,60
0,82
0,4
0,6
0
0
Force 1 de Manning
- 78.03
82,8
l,50
0,80
0,29
0.71
0,20
- 0, O~
Force BI de Brink
!-II
!-I2
S}
ml
52
1n2
1,4
0,7
- 140,6
0,4864 389. ~
- 0, 529

20
CHAPITRE Jl
ORGANISATION
DES CALCULS
r. NUMEROTATION ET CLASSIFICATION DES VECTEURS DE BASE
Nous classons les dix vedeurs de base
ln m n
>
de la couche
2s.1d
en
z
fonction de leur parit~ totale, de leur parit/\\ en
z
et de leur parité en
P. e . données resper-\\.\\vr
n z + m
n z
m
ment par (-1)
( - 1 ) . (-1)
.
LeS vecteurs de parlt~ positive sont numérotés de 1 à 7. ceux de paritt' né~il
tivede8àl0.
Nous groupons les vecteurs présentant la mfme d~composltion de la parité
totale dans un m!me tableau. Nous formons ainsi" tableaux dont'le numéro
M
augmente en mi"-
me temps que le numéro des vecteurs les composal>t.,
Vecteur
. Parlt~
totale
Parité en P. e
Parité en
"
Tableau
Num~ro
n
tm
n
ln m
n
>
(-1) z
( - I r
(_ 1) z
M
Il
1 0
0
0 >
1
1 0
0
2 >
2
1 0
2
0 >
3
t
t
t
1
1 0
- 2
0 >
4
1 1
0
0 >
5
1 0
1
1 >
6
t
-
-
2
1 0
- 1
1 >
7
,
1 0
1
0 >
e
-
-
t
3
1 0
:- 1
0 >
9
1 0
0
1 >
10
-
t
-
4
"

21
Tl
CA '--CUL DES TERMES OF; LA MA TRI(;F.
H
ET MISE EN MEMOIRE
Rappelons l'expreuion de l 'hamiltonien de HAR TREE -FOCK
Un élément
ne matrÎ("e A'écrit
'V

>
+
ij 1 V (1 Z) k e
l,es différents termes dont la connaissance est nécessaire pour le calcul de Pélément
\\1< sont
don,' ;
- les termes il
1 corps
<
1 t
1 k
>
éne rgie cinétique
<
If:lk>,
interaction spin-orbite
- les termes 11
Z corps
< ij Iv (1 Z)lkt >
potenUel d'interaction
""
< ij Ipi PZ 1kt > .
quantité de. mouvement
Les termes
< il tl k >
ne dépendent que des composantes spatiales
el
1<
des vecteurs. Nous les calculons et les mettons en mémoire sous forme de tableau" il
Z indices
i
et
k.
l,es termes 
dépendent des composantes spatiales
i
.. ,
1<
et spinorielles
cr.
et
des vecteurs. Nous les calculons et les mettons en mémoire sous
1
forme de d ..ux tableaux
et ALS Z à trois indices (i, k. CI k ), correspondant respective-
ment aux valeurs 1 et Z. du spin Cl .
i
a) Ordre
Nous représentons par les ml!mes lettres
i. j. k. t
à la fois le vecteur de base et son numéro ..
'"
Nous ne calculons et ne mettons en mémoire que les termes à Z corps < ij 1 vi k&. >
dont les
numéros des vecteurs obéissent à la relation d'ordre suivante :
i ~ k
En effet. si nous prenons un groupe de 4 vecteurs 1! > • 1j > , 1k > . 1t >
grou~s deux à
deux. en couples non ordonnés
(i j) et (k fI ), uous pouvons former huit ~rmes
< ij 1 v 1 kt >
Nous allons démontrer qu'il suffit, pour les connanre tous, de connanre
l'lin dlentTe ("U'X.
{'lest pourquoi,
nOlis ne calculons,
comme 5t>ul tt:î11It'. que cel~u uont les !lUnU'
TQS
des vecteurs obéissent à·la relation d 10rdre précédente.

Soient donc. quatre vecteurs
1 i >
1 j > ,
1 k> ,
1 t >
; supposons que
1 i
> et
1 J >
d'une part.
1 k>
et
1 R, > d'autre part, appartiennent au même br~ ou kd. A
ce He hypothèse, correspondent les huit termes suivants
~
'"
<
j
v 1
kt,
'>
(1 )

(5)
~
<
k t
v
d, 1
1
ij
>
(Z)
<
v
j i
>
(h)
kt
"-
<
j
i
v
>
(3)
<
j i
1 v
fk
>
(7)
1
,...,
,h
ij
>
(4)
< h
~
<
v
\\ v
j i
>
(8 )
1
~
~
Les termes étant antisymétrisés
( < ij 1 vi kt,
> = - < 1 j 1vi tk »,
connanre les termes \\,,2,3,4 revient à connanre 5.6,7,8,
et pour cette m!me raison. la conn~i!'l-
sance de I,Z
donne celle de 3,4. Enfin, montrons que les termes 1 et Z sont égaux. Le potentiel
choisi est hermïtique
Par défini tion ,
+
~
"-
fi

<
kt
v
1 j
>
donc:
<
1 j
v
kt
~
>
kf..,
>*
=
<
v
i j
De
plus, la valeur de
< 1 j
v [kt
>
est réelle.
1 kt
' V
Par suite:
<
1 j
v
'>
<
HI v 1 1 j >
. Notons que' nous avons trois possibilités de coupler deux à deux les quatre
vecteurs 1i >, 1 j >,
1 k >,
1t>, à savoir:
( i j)
et
(k f, ) ; ( 1 k) et (j e. ) ; ( 1 e,) et (j k )
A ces trois cas correspondent en tout 24 termes; il suffit donc pour Jes
connanre tO\\lS d'en calculer trois.
Tout ce qui vient d'être dit sur les termes < i.j 1 v 1 ~e, >
s'applique ég'l-
- v
~
lement aux termes
< ij 1 PI Pz 1 kt,. >
qui auront ainsi les mêmes classification
et l1um<'rotn.tinn.
b) Classification
11)
Nous avons choisi des états occupés
~, états propres de l'opérateur parité totale et nous
avons
montré que l'hamiltonien de HAR TREE -FOCK ne couplait alors que des états de même pa-
rité. Un terme à 2 corps < Ij 1 v 1 kt >
ne contribue donc à l'hamiltonien de HARTREE-FOCK
que si, dans le bra et le ket, apparaissent simultanément deux états de même parité. C'est pour-
quoi, seuls les termes suivants, peuvent avoir une contribution non nulle: (nolls indiçons par
+ et -
les vecteurs de parité totale positive et négative.)
.+
< ,
/1
k+
t+
vi
>
<
t 1v 1k- t+ >
.+
.+
< 1
j+
t,-
1
vi k
>
<
J
1 v 1 k+
t - >
j l vi k+
t+
+
<
>
< 1
'1
k+
i -
j
vi
.'
>
,+
<
jÎ vi k
t - >
< 1
j
1 vi k
e-+
>
Parmi ces termes, nous ne calculons que ceux pour lesquels
i ~ j
k ~ l- •
i ~ k

2'\\
Or, avec la numérotation choisie, un vecteur rie parité positive est nécessairement de num~ro in~
férieur à un vecteur de parité négative. Il ne nOU6 reste à considérer que le. quatre- termes sui-
vants, que nous affectons de la variable
S:
.+
.+
< 1
J
Iv
k+
,. + >
1
S =
<
v Ik -
{, -
>
S = 2.
Classification
S
l .+
<
J
v Il<
j +
>
S = 3
+
~. +
<
Iv il<
>
S
4
(3)
Mais, parmi ces termes respectant la conservation de la parité totale, certains np. con-
tribuent pas au hamiltonien car ils ne conservent pas les parités en
z
et
p, 9
séparément.
Pour combiner des vecteurs, nous devon. encore tenir compte du tableau
M
auquel Ils appar-
tiennent.
En définitif. la relation d'ordre, la conservation des parités en
z
et en .p, e, ne nous
permettent de réaliser que les combinaisons T de tableaux
M, notées de la façon schématique
suivante:
< a
a 1 v 1 a
a
>
Les 4 vecteurs appartiennent au
ml!me tableau
M = a
< a
b Ivl a
b
>
deux
à deux aux memes tableaux
< a'
a 1 vi b
b
>
t Les 4 vecteurs appartiennent
Clas!iflcation
T
J
M =a
M' =b
< a
b 1 vic
d
>
Les 4 vecteurs sont pris dans
quatre tableaux différents
c) Numérotation
Il n'est pas aisé d'évaluer le nombre de terme. à 2. corps d'après les com-
binai.ons permises T entre les tableaux M auxquels appartiennent les vecteurs.
Il est plus facile de baser la numérotation sur les combinai.ons
S
respec
tant la conservation de la seule parité totale.
Dan8 une combinaison
S, le nurn~ro dtun terme est le nombre de ceux qui
l'ont précédé. plus un.
NOlls choisissons d'appeler tout d'abord les vecteurs de parité positive, puis
ceuX ·de parité négative. (formules en appendice). Grllce à cette étude, notre méthode ne fait met! r~
en mémoire que 949 termes à 2. corps au lieu de s 10 000 (10 X 10 x 10 x 10) qui apparaissent lors-
"-
qu'on considère tous les termes
< ij 1 vi ke. >
formés à partir des dix
vecteure de base.
a) Le programme principal [orme successivement toutes le s combinai-
sons permises T de tableaux M ; il calcule le numéro de la combinaison S leur correspondant. Il
est .sui.vidu sous-programme
Appelem.
b) Appelem
appelle tous les vecteurs
i,j, k,t
des tableaux
Mi' M
de la combinai 80n permi Be
T
vé rifiant
j • M k , Mt
i ~k
Pour chaque groupe
ainsi formé, 11 appeIJe
No.

1.4
'V
c) No
calcule le numéro des éléments <: ij 1 vi kQ,
>
et
<: ij 1
> ("'orreBpondant~ et est ~uivi S\\H;(essÎvelTlent des SOUR programm.es suîv'inh:;
- -
d) pl
PZ
qui calcule la valeur du; terme
'"
<:
ij 1 PI 1Pz 1 ke, >
e) < ij 1 v 1 k" >
qui calcule la valeur du te rme < ij 1 v 1 k~ >
L~s valeur. des termes à 1 corps 
et

sont calculées dans un
pro~ramme séparé.
( les organigrammes correspondant aux programmes du calcul des termes de la matrice et df'
leur mise en mémoire .se trouvent regroupés au paragraphe IV.)
Ill. CALCUL DE LA MATRICE
H
1. Recherche des éléments mis en mémoire
a. Termes à 1 corps
Les termes d'énergie cinétique et de couplage spin-orbite ont été mis en mémoire, respect!-
vement BOUS forlne d'un tableau à deux indices
i
et
k
1
et de deux tableaux à trois indices
(i, k, '''k) ; ces tablea',>x sont appelés en mémoire centrale au moment du calcul; comme ils appa-
raissent dans les expressions à calculer avec ces même 8 indices, ils 80nt don"c connus.
b. Termes à Z corps
Nous avons vu
que pour les huit termes à Z corps, ou 
correspondant à un groupe de quatre vecteurs
i, j, k, t , groupés deux à deux, en couples non
ordonnés (ij) et (kt. ) nous n'avons mis en mémoire, en les affectant d'un numéro, qu'un seul ter-
me dont les numéros de vecteurs vérifient la relation suivante
i ~ k
N
' "
Lorsqu'il apparat! dans le calcul un terme

ou
 , il faut pour
·-lnnanre sa valeur, ranger les vecteurs dans l'ordre ci-dessus, ce qui noue perITlet de calculer
alors le numéro du terme qui lui correspond en mémoire. De plus, d'après les propriétés de sy-
métrie et d'antisymétrie de ces termes, si
p
permutations ont été réalisées entre les vecteurs
au cours du rangement, la valeur cherchée du terme est égale à celle en mémoire multipliée
par (-l)P.
a. Terme --
vik
A
Convenons d1appeler
la somme
L. 
où les
~ sont les orbites
~=I
occupées,
i
et
k
des vecteurs de base avec toutes leurs composantes, V étant.le potentiel d'inter-
action choisi, somme de deux potentiels attractif VI et répulsif
VZ.
1
1
1
1 p \\
VI =
(Cl + Cz ~ + c
+
3
P
c
a
4
"I e
+ c Z p) e
4
T

Z5
Le terme
se décompose donc en la somme des deux termes semblables euivants
'Î'
I:

noté
V ik
).
/);
et
1:
<
i).IVZI
k ).
>
noté
Vik
).
La méthode de calcul de ces deux termes étant la m"me, nous l'exposons sans considérer les in-
dices 1 et Z.
Appelons
v la partie purement spatiale
de
VI
ou
VZ
Z
r
- - Z -
!JI
v
=e
ou
v
= e
Calculone
=
E <
).
Décomposone les orbites occupées
). sur la base choisie
>
",....
Le terme
v
s'écrit
ik
+c <ij IvlkL> Il C\\l1
Oj. Il T \\1I T Tt - c3<ijlv1tk>lIl1l,\\ Il ~111 Ti"" Il Yk
3
t Il I1j
i
j
+c <ij Ivlkt>IIl\\,\\II~l}.Il TiT" II
4
TjTk - c4<ijlvlt-k>lIl1i% 1I~Oj.1I TiTkllTj\\ }
Remarquo..s .que nous avons toujours
Ti = Tk
Ti = Tk = TP
(isospin du proton) ou
TI = Tk = Tn
(leospin du neutron)
II est possible de décomposer la sommation sur les orbites occupées À comme suit :
où
Àp et Àn
. sont les orbites occupées respectivement par un proton et un neutron.

l6
Posons
= S
et
;: 5
P
n
Nous effectuons s~par~ment ces deux sommations dans les deux cas qui se présentent
a)
=
T
P
Il)
r.
T
1
n
a'} Sommation sur les orbites·protons
~
••.. _ .••. _-_.-.--.- •. _ •....•••..
p
NOUI avons alors
T j
" ",t. = T P . Par suite. le s deux coeHI clents ° dépendant de l'isospin
sont ~llaux à un ~
=
=
et :-c {
S
cl < Ij 1vi kt,
> 6alO'kOaj'
CI < Ij Ivl tk > 00'0', 00'0'
p- ~p.j.t
1"
j k
aJ' aL
+ c < Ij 1v 1 tk > O~O'k
Z
60'l:7t
C z < Ij Iv 1 ke > 60'1<t °'J ak
+ c)< Ijlvlk~ > Oalat.0O'a
.
J
. c) < ij Ivllk >6q"'k OUjO't
k
+ c < Ij 1vi k~ >
°~ 6aiat
} c~
Ja.r
J p
11 apparan ,les deux coefficients suivants d~pendant du spin:
et
En effectuant la sommation sur les spins. nous obtenons, comme facteurs du terme purement
spatial.
• quand ai et a
sont quelconques
k
a pouvant prendre Z valeurs 1
Nous d~signone les coefflclepte :
~z ~p Àp
c
• c
par A A
0'=
jaT
la ...
P
p
p
les termes
< Ij 1v \\ kt- >
par X DE
et
<lj 1v 1 .t k >
par Y D E
Finalement les sommatione effectuées sur Tj' Tt
' a
• a
j
t réduieent Sp à l'expression euivante :
S
= L
[AA (CI XDE - CzYDE + c YDEt c XDE)t BBp(c] YDE • cZXDE + c) XDE + c YDE~
3
4
4
p
Àp,j~
P

Z7
Nous avons alors
T.
= Tt = T
J
n
Par suite, les deux coefficients 6 dépendant de l'isospin sont respectivement égaux à 1 et O.
et
et :
Les coefficients dépendant du spin sont les mimes que précédemment.
'Nous déflnissons de même
BB
et'
AA
n
n
donnent A S
l'expression suivante
n
Sn = h,,[AA (Cl XDE -
(c
XDE + c. YDETI
n
C zYDE) + BBn 3
n)J ..
Finalement, nous avons, lorsque
"i = T
= TP
k
~k = S + S
où S
et S
ont les eJlpre nions précilldentes.
p
n
p
n
I!) T. = 1:
= T
1
k
n
Il n'est pas utile de développer les calculs. Le raisonnement 8St analO1"e ; nouS décomposons E
À
Les formules ont la même forme, mais
~
et À
sont échangés.
n
p
Nous obtenons:
et
Sn = h), ~ An (CI XDE- CzYDE +c YDE +c XDE)+BB (c YI)E - cZXDE + c XDE +c YDETI
3
4
n
1
3
4
n
avec pour S
et S
les expressions préc4identes.
p
n
b. Terme
-Pik
A
.....
Nous appelons '"
Plk
la, somme f?1 .
Projetoit.les orbites occup4ies sur la base choisie: Il vient:

28
=L
>
À
c,JO,T,
À, j,t
J J
(Tj' 0,e
Tj'Tt
Développons
C
( .. 1.....
t
=À, j, t, < lJ PI pzi k
°j' al.
Tj' Tt
Nous décomposons
I:
en
À
Le. coefficients
~ , dépendant du spin et de l'ioospin, sont les mêmes que ceux apparaissant dans
le calcul du terme '"
v
' Nous sommes conduits à définir comme prllclldemment AA
' BB
et AA ,
ik
p
p
n
BB .
n
En appelant XXDE et YYDE, les termes <lj \\ P'I~ 1 kt> et dj I~l ~I tk>
noue obtenons
-.
pour
Pik
l'expression suivante:
l\\k = C.
(AA
XXDE
+ BB p YYDE) + L
(AA
XXDE)
si
et k
protons
n
Àl),j,1,
P
Àn,j,t
> t (AA XXDE + BB YYDE) +
(AA
XXDE)
si
i et k
neutrons
n
p
À ,j,
n
n
a. Programme principal
Il lit les composantes initiales des orbite~ sur les vecteurs de base.
Il calcule successivement chaque élément
h
de la matrice H ; cette matrice étant symétri-
ik
1ue, il n'en dltermlne que la moitié, c'est-à-dire, ne forme que les h
tels que
i?, k. Or, les
ik
vecteurs
i
et
k
qu'il appelle et qui .ont purement .patlaux, doivent être de même parité; il ne
couple donc que les vecteurs de parité positive, qui ont un numllro
< 7, d'après notre numérota-
tion, puis, ceux de parité négative, de numéro> 7,
Pour chaque couple
i et k, il fait connartre le numéro des tableaux M
auxquels ces deux vec-
teurs appartiennent: Mi et M
, Il détermine ensuite les deux tableaux M
et Mt
qu'Il est permis
k
j
de leur'associer et auxquels.appartiennent l~s vecteurs j et .t .'
Pour chaque combinaison
T
formée, il donne la valeur de la variable S lui correspondant;
il la transmet au sous-programme
Term qu'Il appelle et qui, une fois exécuté, lui communique la
valeur de s huit éléments de matri ce
h
correspondant au mime couple de vecteurs
1 0i Ti
kOk \\
spatiaùx i
et k.
Chaque élément ayant six indices et le calcu1:J.teur n;lm toUirant que' troie au plu~', Term trans-
met la valeur de chacun sous forme de quatre tableaux A, D, E, .H à trois indices chacun i, k.~,
Le programme principal appelle alors le sous -programme Pompon
qui construit la matrice H

29
à deux indices à partir de ces tableaux. puis, le sous-programme Eigen qui diagonalise la matrice
en appliquant une méthode de JACOBI et fait connanre le~ vecteurs propres classé. 'suivant la va-
leur croissante des valeurs propres associées.
Le programme princi pal déte rrnine alor s le 8 nouvelles composantes des orbites sur les ve,c-
tenrs d~ base; il appelle ensuite le sous-programme Energ qui calcule l'énergie totale du noyau;
il a
terminé alors son premier cyc.le.
Il recommence son pro'cessus avec la noavelle série de composantes et jusqu'à détermination
d'une seconde ct meilleure énergie totale, et.c ..
Le nombre d'itérations est variable.
b) Sous -programme Term
o.) Il calcule la valeur de chaque élément h.
k T ' 11 évalue tout d'abord
v'k
et
Pik,
tcri 1).
' \\ k
•
Pour cela, il fait dérouler tous les vecteurs
j
e t . t
des tableaux
M
et ML
que le programme
j
principal a permis d'associer aux tableaux
Mi et M
des vecteurs spatiaux
i et k
de l'élément de
k
matrice considéré. Pour chaque série.
Lj, k, t
appelée, il calcule sa contribution aux huit élé-
ments de matrice différents
h.
et
h.
k
correspondant au ml!me couple
'l1iT p k"k
T
T P
'l1 T
cr
j n
k n
spatial
i
et
k. HIes met en n,émoire, pUIs, leur additionne successivement les contributions de!!
autres séries appeiées. Il détermine ainsi la contribution de tous les
i, j, k, t
d'une combinaison
T
de tableaux
M
puis la contribution de tous les
i, j, k,t
de toutes les combinaisons
T; c'eA'
par définition, la vall>ur de
v ik
et
Pik' A chaque
v ik
et
Pik' Term addition~e les termes d'éner-
gie cinétique et de couplage spin-orbite et fournit ainsi la valeur totale de chaque
h.'CliTi k crk TI<'
Pour effectuer ce
calcul, Term appel1e les sous-programmes suivants:
i,j, k,
M ~~~~ :!.'::'!?:':'::'l'!':-"c ~~ _~~:'::'l' Ayant déterminé qu'une séri e de vecteurs
t
peut donnpr
un d j 1
'"
vi"'!' >
non nul et connaissant le numéro de la combinaison
S auquel cette série appar-
tient. Term appelle Class.
· Glass
range les numé.ros des vecteurs
i,j, k,t
suivant l'ordre demandé pour la mise en mémoire
et détermine le nombre de permutations P
que ce rangement a nécessitées, Il appelle
No.
· No
calcule le numéro
N
des éléments mis en mémoire, correspondant à la série
i j k e classé".
et le communique à TransI.
"'~""_s!
v
donne,
à partir de
Net P, la valeur cherchée des termes
<ij Ivl kt> et <ij 1PtPz l'- 1,>;
II appelle Tabla.
· Tablo
déterm.ne alors la contribution de ces termes à 2 corps à l'élément de matrice
h
il la transmet à Term qui la met en mémoire et Passe à la série
i cr;"i
k "'kTk
i,.L k, .t. suivante.
é. Sou~ - programme Pompon
Le programme principal lui communique la valeur d'un élément de matrice
sous la form~ des Guatre tableaux suivants. à trois indices chacun:
cr.
T.
Tk
•
•
ifâblo
A ,i, k, cr
)
1
k
l Tablo
T
D (i, k. Cl)
2
2
P
Tabla
E (i, k. Ok)
2
T
= 2
.Il
Tablo
H (i, k, crk)
2
2
2

30
Pompon fait alore connanre
les indices M et N de ligne et de colonne de la
position occupée par l'élément dans la matrice H construite de la façon suivante:
1.20
N
21,40
..
,...
,
1. 10
=1. 10
.;
)00(
•
=1.2
~ =1,2
=T =
T,
=Tn =2
1
1,20
T
=T =
k
p
M
~I. 40
K
1.10
T
2
"
d. Sous-programme Eigen
Il diagonalise successivement les deux matrices de dimensions 20 x 20
h (p) et h (n).
Il d<!itermine les 20 vecteurs propres et leurs valeurs propres. Ensuite. Il
classe les vecteurs propres de façon que les valeurs propres associ<!ies soient dans un ordre crois-
1'l.nt.
e. Sous-programme Energ
Connaissant les composantes des orbites de HAR TREE -FOCK occupées sur les
vecteurs de base, les ~nergies de ces orbites et les termes Il un corps d'énergie cinétique. ce program-
me en déduit l ','"ergle totale du noyau: E
,
HF

31
ORGANIGRAMMES
Les organigrammes numéros 1 et Il
correspondent au programme
du calcul des termes A 1 corps et à 2 corp •.
Les organigrammes numéros Ill, IV, V, VI et VII
correspondent
au programme du calcul de la matrice H.
+
+
+

3l
No 1
Mh. en mlmalre de. fl#menh k deux COt'pl
1
non
li
1
GALL APPELEM (A, B, C, D, B)
"""
J
"', ' •••, ,C. ','.'., "".
A .... 1 s-a 'f C • 3 t O. 2, s. ,
GALL APPELEW lA, B, C, D, S)
GALL APPF:LEM (A,B,C,D,S
L'a.nd. 1 A. B. C. D r.pr' ••ntent 1•• tableaux
~. WJ' N , W
awtqu.1o ~PP"\\'U.nll.nl
K
L
GALL APPELEM (A, B, C, D, 8)
1.~ y.ct.u.rl 1. J'. K. L

NolI
Appel de tOUI lei termel correlpondantl • une combinai.,," -le '~hl"a'lx "onn' ..
SouI.Programme Appelem (A .B.C, 5)
1 • LI MI (A)
J • LI MI (B)
Tr
K. LI MI (C)
1
L. LI Ml (0)
--c
IL.L+~ FIK+'1 ~IJ+l.1 [11 1+11
GALL NUMERO (l, J ,K, L. 5)
L < MIN (LlM Z (0), K)
oui
1
K < MIN (LlMZ(C), L)
-
oui
J < MIN (LIMZ(B).I)
.
oui
....
1< LlM (A)
Z
ou!
1 END l

34
No III
ML .t M
"Re.ue. cl. I.Z,3.4/,,\\ .t ~
J
M
.. ML
J
ML et MJ"Rutu de I.Z, 14/1'01• • t MK
M J ., M
..
non

35
Fin du programme princlpal- Introduction de nouven. . compolantu pour lu orbitu
NolV
1 ME1=1 1
1
EIGEN d4termlne lee vecteun
CALL EIGEN (MEl)
1
propru SP (l, K) pour la ma·
trice proton
1
1 K " 21 1
00 LA .. 1 NP
J
.
1
·1 " 0
1
1
1 K .. K-I 1
09 LB .. I,IO
00 LC .. I,Z
11 0 1+1
1
CP (LA. LB, LC)"SP(I, K)
1 ME1=Z
1
EIOEN d4termlne 1. . vecteun
CALL EIGEN (MEl)
l
propre. SN(l, K) pour la ma·
1
.
1
trice neutron
09 LA .I,NN
1
K .. 21
1
1
l " 0
1
,
00.LB.. 1 10
1
K=K-I
0(>.LClIl,2
1
1=1+ 1
l
CN(LA. LB, LC)"SN(I. K)
J
T
1 CALL ENER (ENI) 1
INiter=Nlter + 1
d'but •

36
No V
Soue-Programme RESTES (MI, MJ. MR.ML)
Soue-Programme TERM (MI,MJ.MK.ML.S)
CALLCLASS(I,J.K,L,S)

37
No VI
Sous-Programm ..
CLA.SS
(I,J,K,L,S)
Sous-Programme
TRANSF
(J, L,P, N)
XDF: (M) • • XDEC (N, M)
XDE(M) = XDEC (N, M)
VDE (M) " • YDEC (N, M)
VDE (M)" YDEC (N, M)
;O;PI'; = • XXDEC (N)
. XXDE % XXDEC (N)
YY)IE. - YYDEC (N)
YYDE % YYDEC (N)

3B
Sous· Programme PrJ MP~ M
DJt>
"k " 1. Z
DJt>
11,,1,10
nJt>
a=I.Z
non

39
CHAPITRE III
APPLICATION DE LA METHODE DE HARTREE-FOCK
A L'ETUDE DE CERTAINS NOYAUX LEGERS
Nous nous proposons d'appliquer la m~thode de HARTREE-FOCK pour cal-
culer les ~nergies des, ~tats fondamentaux de quelques noyaux légers et les configurations corres-
pondantes.
Nous utilisons dans cette ~tude les potentiels phénomlorlOlogiques de BRINK
et BOEKER et de MONSONEGO.
Nous montrons en étudiant les énergies de liaison et les densités des noyaux
4
16
sphériques
He
et
0
que ces deux potentiels donnent une structure stable au noyau.
Nous utilisons ensuite ces potentiels pour étudier les énergies de liaison des
IZ
8
noyaux dMormés
C
et
Be. Nous prouvons alors l'int~r~t de la base cylindrique choisie en mon-
IZ
8
trant que les ~nergles de liaison des noyaux
C et
Be
étudi~s avec notre base limit~e à trois
couches sont très voisines de celles obtenues par BRINK et BOEKER avec une base cart~slenne
d'oscillateur isotrope plus ~tendùe.
1. ETUDE DE QUELQUES POTENTIELS PHENOMENOLOGIQUES
Nous étudions successivement le potentiel
BI
de BRINK et BOEKER et le
potentiel de MONSONEGO( 17):
Nous nous proposons de montrer que ces deux forces sont saturantes. La mé-
thode de HAR TREE -FOCK
utilisant une base restreinte form~e de fonctions d'onde issues d'un
puits harmonique de constante
w, fournit après convergence des itérations une valeur de l'énergie
"< liai son
E
; cette valeur dépend de la constante
w ; nous la notons EHF(w). SI la force uti-
HF
lisée est saturante, il existe une valeur
E
(w ) minimum et seule cette valeur peut ~tre consi-
HF
dérée comme l'én,:,rgle du noyau. Aussi étudierons-nous pour les deux forces citées, la fonction
EHF(w)
; nous verrons si la courbe de cette fonction passe par un minimum pour une valeur par-
ticulière
w
de la variable
w.
eq
Si ces deux forces se montrent effectivement saturantes, nous examinerons
si, au Point de saturation, "..OUS obtenons un.e bonne densité pour le noyau, c'est-'\\ .. dirl', si le rayo'n
nw::léaire correspondant est bien celui mesuré expérimentalement,
Ensuite, nous confronterons la valeur minimale
E
obtenue avec l'énergie
HF
de liaison expérimentale.

a) Etude du noy"
"p
o.) Energie de liaison mi.nimum ; confi~~~~~l.!.~_~.~ __~t_~ulllhre,
'.j
Noue choisissons de dé.( nr(' If' r:ov;:v.J
He
par la confipuration, lornl('(' fJp~
·1
quatre états de la couche 1 s ; nous notons
(OOe 1 :
Nous réalisons les cal. 'Jj, de Hi\\RTREF ,FOCK
ilVP'
Je. force
f',. pn ·,(,i'
1
sant des bases différentes. formées de fon(l.nn!:' prnprf's d'o~Hillah'llr harmonirlue dp. conFitanl-,'
différente.
Dans un calcul exact; (" 'p~t
;'-d1 rt"' ri\\"e( une base dt" dimt'n9ion lnhnl~. :.' r",
sultat obtenu serait indépendant de la const~ntP '"
. cependant. la troncatül'e dp la hasp " ,.j'<trull
,
cette indépendance; nous pourrons considé;rPT les Vii riatlone de llénergie obtenue en fonction rit.:>
!
comme un test de la valeur de la méthode de HAR TB E;E - FOCK utilisant un~ telle ba"~.
Nous pr~sentons les l'éslütats ohtf':nus dans lf> tahleau suivant
"'-1
hw (MeV'
:
F
IMpV)
HF
-~-+
--------
!
15
1
l1 f,/.
1B
ZR. : ~
21
lH.4R
24
27
4
1
Energies pour
He obtenues pour dif~é rent~s
d10scillateur pour la forl e P'I
1
!
1
1
heur~usemenl
Nous constatons
'lu .. Je" variations de l'énergie ne sont pa"
TOp importantes
la courbe représentative'lest "'H la fl~ure No l, (fin du paragraph .. No 1)
Nous obtenons un midl.l.lT1UfTl de lién~l·gie pour h(~
::; 21 MeV
eq
~ ='•. ~~~ 4H Mevi
HF minImum
.,,
""
,__ '
J
11 est bon de noter que BOEK·ER(5) a réalis~ ce (,aIeul variarionnel en l.1t1l1eant l.lne l:...asE" (dr1(.sien
ne et nos résultats sont en très bon accord S'Vel, lee ,.t<-sl1lt.ale obtenu8 par 'BOEKER .Les cl)nfigur<itJl)n~
résultantes sont présentées dans le tableau
Nu 1 !fin du paTH~raphe 1).
Le8 solutions obtenuefl présentent la svtnélrie sphérlqUf>.
En p;ffet, d1aprPB le
développement d'un vecteur 1n m
n
>
..
écrit en hase fvljnd-rlque Bu!" la base d~s vecteurs carté·
siens, notés 1n
n
n
)
(annexe No
5
),
on .-'1.
x
y
z
l
t 100 > ..
V?-
L! 2(0) 4
020 ) j
T
1002 >
1 () O! l

4)
chten'H:'" p(n.r
h '....1
(J
·lHÎiOOO>·
1).\\0,1002> ~
O.\\SlllOO>
ou
i ~
> en, 481 i OOü )
O. 107 ri 002 } , i OlO ) , Izon) J
p
LM. seconde ~xpreBF.lion .fait. bien apparan.re 1~. syn1(:;' rie sphérique.
Parmi les configurations pr~sp.nté.eBI seule cellE-~ correspondant à
h:J,\\
'"' lJ Me:V
dé(,Tit le vrai état physique df' l'hf';;1ium puisqu~ l'énergie cotteBponclant.:.. ef5t l?
-q
valeur nllninlun1 de
E
(w).
On constate (PH" chaque particule
Be trouve alors enti(>rement nanp,
HF
J'état
1ft.
Il est intl--ress:.tnt d'étudier ('ornparativement la r:onvergence des diffôrenls
calculs de HAll fREE-FOCK ré"];s,,s sur
4 He ; La courbe No
2
montre que la convergence
~8t obtenue dans tous lefi: cas. mais plus ou mO\\llS rapidement.. Lorsque la baRe est la meillellrf.-~
(hw = 21 MeV), l'énergie de liaison minimum est obtenue d"s la première Itération et il n'est pas
n<', essaire alors de prolonger le calcul itératif.
4
[1)
Densité du noyau
He.
L'hélium étant 11n noya 11 sphérique. il est aisé de calt.:uler 80n raY0!1.
con·
na l !Jsant 11 ~nsemble de 8 fonctions d 'ondf": qui 1fi' déc rit.
Désignons par
'1' le paramètre
.[ h
où
west la constante d'osclllatio',
mw
des fonctions de base. On a montré
(lA)
que le rayon r
de l'hélinm s'exprime simplement en
fOI1("tion de
fJ.~
A j'équilibre (h w
21 MeV). nous obtenons un rayon égal à 1. 7l frn.
eq
-,
1.72
fm
1
lr' j Conclusions
Il apparafl: dans celle étnde que la force
est saturante; elle donne au
:au
4 H r.
une énergie de liaison de - 28,48 MeV, donc en très bon a(:cord avec les rés1lHats
expérinlentaux
l'li., permet de retrouver la bonne densité de
4 He
puisque le rayon
ourlé.aire obtenu de 1. 7Z fm
est tr'"
proche du rayon mesuré: 1. hl fm.
Il,
b) Etude du noyau
0
a) Ene-rgle de liaison mintmu~ ; configuration d'éqmHbre
16
Noue choisissons de décrire le noya.u
0
paT la configuration fOTfl\\':;e d~s
quatre état A
1 s et des dou2.e états correspondant aux trois orbit.ales
1 p ; nous écrirons (~ette
~~{)nfi/2urabon sous la forme;
Avec celle des, ri pt"''' .mtiale, nous réalisons des calculs d'IlARTRf~E.-FOCK
;,'~V'-~(_ dt.'s !.J;1.5 ..~!":I formpe~ de fonctJuns d'onde
d'oscillateur harn10nique d'érler~teB !'1 w dtfférentes.
~.t- tabieau Li-apr<_'s montre les r~suHatg obtflnus.

42
~w (MeV) EHF(MeV)
10
96.36
1 \\ . 1
\\04.\\4
1 3. 4
106.83
1 :.. 2
-104.41
J1
96.86
16
Energies pour
0
obtenues pour différentes énergies hw d'oscillateur
pour la force BI
La courbe No
3
représentative de l'énergie de liaiaon en fonction de
l'énergip d'oscillateur hw
présente un minimum de -106.85 MeV pour la valeur hw
= 13. <;2 Me V
eq
-106.8:' MeV
minimum
Les configurations d'équilibre sont montrées dans le tableau No 2.
Comme les orbites initiales avaient un spin bien défini, les orbites d'équilibre ont la mlme propriété,
AUBSi avonS-nOus quatre orbites "proton ll qui se décomposent sur des vecteurfJ de spin
+ 1/2.,
comme le montre le tableau No
. Quatre autres orbites "protons h ont les rn8mes con1po-
santes sur des vecteurs de base, ayant ml!me état d'espace, mals de spin
- I/l. Les huit orbites
Ilneutron It Be présentent comme les orbites II proton".
Nous constatons que la configuration obtenue présente bien la symétrie sphé-
rique. En effet, les trois orbitales
Ip
sont entièrement occupées; l'orbite de parité positive se dé-
compose comme suit: (pour hw" 1 3. ~ MeV)
IÀp> =10.9991000> + 0.0231002 > - o.on 1100>
Ce développement s'écrirait sur la base cartésienne
IÀp >" 0.9991000 ) + 0.023 Œ002 ) + 1020 ) + 1200 TI
Cette dernière équation fait bien apparanre la symétrie sphérique. Remarquons que l'orbite paire
est presque entièrement un état
ls.
16
~l Densité du noyau
O.
Puisque le noyau 16 0
est sphérique, son rayon peut !tre calculé simplement;
son expression en fonction de la constante
ex' définie précédemment (voir 4 He ) est
3
,
ï ex
A l'équilibre (hw
" 13.52 MeV), nous obtenons un rayon égal à 2.63 fm.
eq
1
r
= 2.63 fm

't",'
:-:o1i(.lusl(J\\,s
~ou~ COll Fit..t f 011:') que 1;, (orce
B
e9t
saturanle. A ltéquilihre. el1f:' donnt> la
J
1h
·..-·rait~ densité du noyau
a pui sque le rayon c.al (111~ ('!st égal à 2. (d lm alors que le rayon ~XP(~ ri-
T"lJf'nt .• l t·HI. égal à?
h4 fm,
Cependant, l'énergip de liaison obtenue:
- J Oô. 85 MeV
eAlf
IH>;:'lUCOUP
phl~ pl'tltf"' que l'énergif': mt"flllrpe expérirrlent.alement et corriF.léc de l'énergie coulombienllt' :
Le potentiel de. MONS('Nr,:GO esi un potentiel uniquement attractif.
l
r
V Ir) ~ Va (cI -1
< 2 P )
exp 1 - - l -
U
Vo ~-l9 3l MeY
CI
= 0.28 ; Cl = 0.72 ; U = l. S8 fm
1"
a) Etude ou noyau
0.
('],) Energie de liaison minimum; configuration d'équilibr~
Notre description initiale de IbO
est la ml!me que précédemment. Quatre
"tats 1 s et Il états
1p
sont occupés:
Nous calculons l'énergie de liaison
E
pour diverses bases caractérisées par des énergie.
HF
d'OSCillateur hw différentes. Nous ohtenon. ;
hw (MeV)
E
(MeV)
HF
12
- 141. 7
l ,. 5
- 144.4
15. l
- 144.9
L 16.8l
- 143
II
- 130.4
16
~.: Il€- rgies pour
o obtenues pOHr différente. énergies hw d'oscillateur pour la force de
MONSONEGO
La représentation graphique de ces résultats esl la courbe
No 4
qui présente un minimllm de
- 145.2 MeV pour
hw
=14.b7MeV.
eq
- 145.2 MeY
1 E HF
minimum
La confip'.lration d'éYl.lilibre présente la symétriE" sphérique (tahlcan r"\\l..
3
). En effet. le.
trois orbitales
l p sont entièrement occupées: l'orbite p ... i-re se d(~I.I)1 lJ'.I9f" comme suit
1. )J0Ur t~ 1.,.) :.- 1 3, r) Mt" ....,')
IÀp> 0.994 1000 > -1 0.0613 1 002 > - 0.OR67 1100 >

44
ue r\\.,~ ... el()ppl'Incnt correApondant sur ln. has!' caTtéHienne
ln
n
n
'3 'éc rit
"
y
7.
>
O. <)94 1 000 )
+ 0. 0013 1:1°02
) +020 ) + 2001
rllet en évidence la syrnétrie sph6riqne.
16
du noyau
0
Nous avons vu précédemment que le rayon du noyau sphérique
160 s'expTi-
me ~n fonction de la constant.e
'x t
par:
.,
Z
(J'
i 4. 67 MeV), nous obtenons pour le rayon une longueur de 2.52 fm.
y) Conclusions
Nous constatons heureusement que la force de MONSONEGO eBt Baturalll,
1 (,
1\\ l 'f'=quili.bre, elle donne au noyau
0 un rayon un peu faible:
r = l, 52, fm, alors que le rayon
ex.péritncntat est égal à 2.64 fm. Par c.ontre, l'énerRie de liaison obtenue est très proche rie
Ill~nergie Incsurée expp.rimcntalePlent et c:orrigée de llénergie c.oulombienne
- 142,8 MeV.
1
J
1
hw (MeV)
1000 >p= 2: >
002>1 0
IIOO>lo=ï>
1
= ï>
À
15
C. P
0.983
- 0.107
0.152
J. O.
l
l
À
18
P
C.
0.996
- 0.052
0,073
Jia i
À p
1
10- 5
5
10-
21
C.
Ji °i
À
2.4
C
P
0.997
0.043
- 0.061
1
j i °i
1
À
27
C P
0.991
O. 078
- O. ) 10
ji ai
.
TABLEAU "" l ,
4 He ,Orbite d'lIARTREE-FOCK occupée par un proton. Nous présentons
les différentes solutiolls obtenues lorsque les fonctions d10nde à unf" parti-
cule de la baf:lc sont issues d'oscillateurs harmoniques de constantes
w dif-
fé rente 6.

45
>•
en MeV
~
•<:>
- t EHF
4
E
( He ) • f ( hw)
HF
• n.66
- 28. 1S
- 28.14
• 28.23
• 28.48
hw en MeV
'---
- ' -
---l
_ _l__
_ ' _
- ' - _ ~
~
IS
18
ZI
Icm.1 MeV
4
VarIation de l"fterlie de
He en fonction de la conetaDte d'oecUlateur w;
Le potentiel utUle' eet le poteDtiel
BI de BRINK •
COURBE
No 1

>CI~
il
i
[
1
1
1
h", "
1
1
1
.1
.4
hw " 21 MeV
hlol" 24
h. . . 27 MeV
2
3
4
5
ordre de l'itération
Etude comparole de la convergence de la aolutlon de HAR TREE -FOCl<
E HFloraque
lea {onctions de baae aont Inuea d'oacUlateur d'41nerpea différentea.
COURBE No ~

47
E
en MeV
HF
- 96.3
- 96.8
• 101
• 106.8
hw en MeV
9
10
1 J. 7
13.4
13.52
15.2
17
2 cm.
MeV
Vart'ltion d.' J'C<nerllle de 160 en fonction de la conetante d'oecUlateulf W
Le pot~nti.: II l ili.é eet le potentiel BI de BRINK
COURDE
No 3

Etats de parité
positive
e" (MeV)
000
002
0+20
o - 20
100
a + Il
a - Il
Occupé.
- 47. 02
0.999
0.023
- 0.032
Non occupé
2.63
. 1
-
Non occupé
2. 63
1
Non occupé
2.65
10- 4
0.815
0.579
.
Non occupé
2.66
1
Non occupé
2.66
1
1
Non occupé
7.68
0.039
- 0.578
0.815
....
Etats de parité
'"
négative
e" (Me V)
a + la
o - la
001
Occupé
- 20. 79
1
Occupé
- 20.79
1
Occupé
- 20.. 76
1
TABLEAU No 2
.16 0 - E
= - 106.8 MeV. Calcul effectué a.vec le potentiel de BRINK; hw = 13.4 MeV
HF
Orbites de HARTREE-FOCK occupées par un proton de spin + 1/2. Les autres orbites sont obtenues par
permutation des valeurs de spin et d'isosp!n.

49
.1:l0.4
• 141. 7
• 144.4
• 144.9
- 145. Z
I l
13.5
14.67
15.1
16.'
21
- - -
~------i
lem ~ 1 M"V
16
Variation de l'4nerlle de
0 en 'onctlon de la con.tante d'o.cUlat.v .. 1 le pottlntlel
utUh4 ut le potentiel de MONSONEGO.
COURBE No ..

Etats de parité
e),.
000
002
a + 20
a - 20
100
a + 11
a - 11
positive
(MeV)
Occupé
- 51. 17
0.994
0.613
- O. OS 7
Non occupé
2.09
+ 1
Non occupé
2.09
+ 1
Non occu~
2.12
0.0002
0.815
0.579
.
Non occupé
2.13
1
Non occupé
2.13
1
Cft
o
Non occupé
6.34
0.106
- 0.576
0.81
..
Etats de parité
négative
e (MeV)
0+ la
a - 10
001
À
Occupé
- 25. 50
1
Occupé
- 25. 50
1
Occupé
- 25.48
1
TABLEAU No 3
16 0 .
E
= - \\44.4 MeV - Calcul effectué avec le potentiel de MONSONEGO ;
HF
ri'" = 1 3. 5 MeV
Orbites de HARTREE -FOCK occupé .. s par un proton de spin + 1/2 .. Les autres orbites
sont obtenues par pe rmuta.tion des va.leurs de spin et d'isospin.

Il. ETUDE DE QUELQUES NOYAUX DEFORMES
dans une couche
Avant d'aborder l'étude d ... " noyaux déformés, nous nous proposons, au pr(a-
lable, d'étudier de façon systématique le comportement des éléments de matrice d'énergie cinéti-
que et du potentiel lorsque nous utilisons des fonctions d'onde issues de potentiels harmoniques <le
déformation différente,
Nous re streignons notre étude à des noyallx déformés de la couche
1 p. Les
éléments de matrice font intervenir les fonctions d'onde suivantes:
1
2.
2.
1
2.
•
= 1001 >
Co
(bz) exp ( - ï
a {x
+ y } - ï bz }
po
+
t+I=/O-IO>
c
(
)
1
(2.
y2.)
1
2.
ax + i by
exp (- 2 a
x
+
- ï bz )
p-
~ 1
Ces fonctions posslodent toutes la symétrie cylindrique. A des puits harmoniques différents. cor-
a
respondent des valeurs différentes du rapport
b'
Il est bon de relier ce rapport au paramètre
de déformation de NIJ.,SON :
a
1
/
Z
b = (1 + "3 e)
(I - 3" e)
Si
€
>0
la déformation e.t "prolate"
Si
€
< 0
la déformation est "oblate".
Nous choisissons comme variable de notre étude la déformation €.
NOliS
étudions des déformations nucléaires à volume constant, ce qui revient à garder le produit
a2.b
constant.
Les résultats sont présentés en figures Nos 5, (, et 7. La figure No 5
représente les
variations des éléments de matrice d'énergie cinétique
2-
E
=< t
1
lm
1 • >
ss
•
s
p2.
E
=<tpI1i
It + >
Pl
2.m
p - 1
E po
Les figures Nos 6 et
7
représentent respectivement les éléments de matrice directs du poten-
tiel
et les éléments de matrice d'échange défini. comme suit:

S2
Le potentiel utilisé est celui de VOLKOV.
L'examen des courbes obtenues permet de faire les remarques qualitatives
suiva.ntes.
Lorsque la particule se meut de préfé:'ence le long de l'axe des
z, une dé-
formation prolate entrai ne une diminution de l'énergie cinétique. Lorsque le mouvement ge fait de.
préférence dans le plan
xy, une déformation oblate diminue aiors l'énergie cinétique. Lorsque je
mouvement n'a pas de direction privilégiée,
toute déformation fait augmenter l'énergie cinétique.
Les éléments de matrice directs du potentiel varient e!l sens contraire des
éléments d'énergie cinétique.
La variation des éléments de matrice d'échange est moins caractéristique.
il est bon de noter que VOLKOV(
3
la étudié la variation des énergies ci-
nétiques et potentielles avec la déformation, Nos résultats sont en très bon accord avec ceux obte-
(3)
nUS par VOLKOV .
E
r.n('!rglt: E 1/1/
p
~t"I Mt:'V
•1
Z3
_
Zl
i
'4 1.-
i
i
~_
1 J
.
E • • . Il
1
1
l i~
1
1
1
1
l
'
L-._1__
1 Z
..L-.._--'-_----J
..L----L---'--_.L ....
- 0.6
• 0.4
• O. Z
o
0.1
0.4
0.6
d~lorlJlotion ,
conn]';1: ;ioS .VaTl;lIion de l'énergie cinétique en fonction de la déformation C

53
Energie en MEV
- 5
>"
.,.,
o•eu..,
-(,
Vp1PI
V Po Po
• 7
·8
V. Po
1
i .
_L-~....,.---".,..--L.-··c·;"'-. - - - - - . . . .
0.04,
o. (,
dMorma.tion c
COURBE No (,
Variation des élément. de matrice directs
V iJ " <: t i ('l ~J (a.) 1V (ri z) 1 ~ 1 (\\) 4'J (Z) ~
en fonction de la d&formation: a·Zb : O. G(,4

54
Energie en MeV
o
V
.
PiPa x
VplPoa
V ptl p-1 a
- 1
v
V
p+1
P-
- Z
V • Pox
1
1
- 3 Iv·~·
i
V.PoX
- 4
• 0.6
- o.•
o .
o••
0.6
d'formatlnn ~
COURBI:; No 7
Variation du .H'ment. de matrice d"change
Vlja. < .1(1) +j(Z) 1 V (rIZ) 1 ,. j(l) ~ I(Z) ..
en {onction de la d'formatlon 1. alb. 0.064

Les calculs que nous avons effectués jusqu'alors utilisent une base formée
de fonctions d'onde issues du ml!me potentiel harmonique.
Nous nous proposons d'améliorer notre étude en cherchant une base plus
;l:ddptée à cha.que noyau, l:;'est-à-dire en donnant à chaque couche, et mieux à chaqUE" vecteur de
iJase. les paramètres qui leur sont propres.
Nous exPosons brièvement la méthode adoptée pour déterminer ces param',-
(7)
(56)
tres ; cette méthode a été utilisée par
MAN,"INC;
,BRINK et BOE KER
'
et est connue sous
le nom d'approximation générale harmonique (AGH)
J:'lOllS rappelons que nous cherchons la soiution
.. HF
du problème de
HARTREE-FOCK en lui impoBant la forme d'un déterminant formé à partir de N états occupés
chaque état est une combinaison linéaire de vecteurB de baBe ; chaque vecteur de base
li>
est
.caractériBé par deux constantes d'oscillation
Cl
et III ; noUs avons vu que l'orthogonalité des
i
vecteurs
li:> impose certaines conditions sur leB "-.
et 13 ..
1
1
Ainsi,
"-.
a,
ou Il. "13.
pour quelques couples de vecteurs
F> et li>
1
J
1
J
On peut exécuter le calcul d'HARTREE-FOCK pour différents ensembles
<le paramètres
ai et Pi; chaque calcul fournit après convergence une valeur de l'énergie de liai-
son; ainsi l'éner gle apparait-elle comme une fonction des paramètres "-. et Il., Nous écrivons:
1
1
(1 )
Le meilleur ensemble de paramètres ai
et (3i
est ..elui qui rend l'énergie
E(Cl\\, , . 'lN ; Ill"
·!lN)
minimum.
Pour détenniner cet ensemble, il faut faire varier les paramètres des
N
!!tats de
hase; ce calcul de minimisation est très long car il y a un très grand nombre de paramètres et
le'H d, oix ne repose pas sur des critères bien dMinlB.
Aussi effectuons-nous une nouvelle approximation du problème de HAR TREE-
FOCK qui nous conduira à une détermination plus simple des meilleurs paramètres
a. et P.,
1
1
Nous considérons comme nouvelle solution approchée de l'état d'BAR TREE-
FOCK précédent • HF' pour un noyau de
n nucléons, le déterminant formé seulement des
n états
IIi (~îllatellr
occupé B.
Soit f HF
Il.2 ... ,n > ce déterminant. L'énergie correspondante obtenue s'écrit:
< .'
1
HF
HI,'HF :>
Cetle énergie dép"nd toujours des paramètres a.
et Il.
; mais leur nombre est ici beaucoup plus
1
1
retitreirit et est égal au norn~re d'états occupés, c'est-à-dire a.u nombre de nucléons du noyau
étudié; la minimisation est alors plus aisée à effectuer. surtout dans le caS des noyaux légers.
L'approximation générale harmonique consiste donc à minimiser l'énergie
défir,ie par l'équation moins générale (2).
Les paramètres issus de ce calcul AGH
sont ensuite utilisés dans la configuration de départ
du calcul itératif d'HAR TREE-FOCK. 11 est il remarquer que la solution t
dépend de cons-
HF
tanLes .d'oscillation q'ü ne sont pas dans la configuration t'HF' Mais cette dépendance est faible;
i-':<Ju~. r::hoisissOHS t'omme paramètres d'états nOn occupés
1il> (n < i~ < N) des valeurs moyennes

rai sonnahles re spectant l'art.hogona hté.
Noua avons effectué c1PllX calr:uls AGJ--I avec les noyaux
8 Be et 40 Ca . Le
potentiel utilisé est celui de MANNING; le" paramhres introd'ùits sont ceux obtenus par MANNING
après minimisation.
La configuration introduite est
Les constantes sont les fluivantes ;
Orbitale
1000 >
1002 >
! lo! 20 >
il 00 >
10 ! 117
10 : 10>
1001 >
"l
1
cr. =mw /h
0.5998
0.5998
O. 5781
0.5998
0.5781
0.5599
o. 5599
p
1
j
~ =mw /h
O. 5998
0.5998
O. 5781
O. 5']98
O. 5781
0.5599
0.5599
z
J
Tableau No
4
C(lnstantes a. et i3
pour chaque orbitale de base, pour le calc\\Ù AGH sur
40Ca. Nous obtenons une énergie de - 465.42 MeV, très voisine de celle obte-
nUe par MANNING
dans les mêmes conditions:
- 465.52 MeV.
Les configurations obtenues et les énergies des orbites individuelles sont données dans le
tableau No 5 (page suivante)
. Le 9 constante 8 sont le 8 sui vante B
1000 >
1001 >
Orbitale
11 = mw /h
0.6823
0.6105
P
i3 =mw /h
0.2683
0.3813
z
Tableau No
6
Constantes a. et ~ pour chaque orbitale pour le calcul AGH sur 8 Bc . La
configuration initiale est
(000)4 (001)4. Nous obtenons une énergie de
- 46.99 MeV très voisine de celle obtenue par MANNING dans les ml!m~s
conditions: 47.05 MeV.
Les configurations obtenues et les énergies des états individuels sont données dans le tableau
suivant No
7
Etat
Parité
e~ (MeV)
1000)
1001)
Occupé
Positive
- 38.724
1
Occupé
Négative
- 21.05
1
B
Tableau No 7
Be - Configuration AGH
Orbites occupées par un proton de spin + 1/2. Les autres orhites sont
obtenues par permutation des valeurs de spin et d'isospin.

Etats de parité
positi \\te
e). (Me V)
000
002
0+ 20
o - 20
100
o + Il
0- Il
Occupé .
- 122. 5:
0.998
0.034
- 0.047
Occupé
- 39.61
O. 577
-0.487
.
0.868
Occupé
- 39.29
-0.007
Q.710
0.348
- 0.612
Occupé
- 39.23
.1
Occupé
- 39.18
0.452
0.892
Occupé
- 34.25
-0.004
+ 0.506
+0.315
+ 0.787
Occupé
-3-\\.22
0.892
0.452
\\.n
-J
Etats de parité
e). (.MeV)
0+ 10
o :: 10
001
négative
Occupé
- 79. 68
0.567
. 0.824
Occupé
- 79.62
1
Occupé
-76.65
0.. 824
- O. 567
TABLEAU ~:'5 40 Ca ; E
= ~ 465.42 MeV - Calcul AGH avec le potentiel de MANNING.
HF
Orbites d .. '"L\\R.TREE-FOCK occupées par un proton de spin
+1/2. Les autres orbites sont obtenus p<lr permuta·
tion des valeurs de spin et d'isospin.

58
Notre étude a porté jusqu'alors sur des noyaux sphériques. Nous nous pro-
posons maintenant de calculer le. énergies des états fondamentaux de quelques noyaux déformé.
(lt les configurations correspondantes.
IJoriginalité de ce travail consiste à modifier la base· de développeme nt des
orbite. pour mieux l'adapter à l'étude des noyaux déformés; plus précisément. nous Introduirons
dans chaque couche le. déformations qui leur sont propres.
Nous constaterons que l'utilisation d'une base déformée abaisse de façon
très appréciable l'énergie de liaison qui devient alors très voisine de celle obtenue par BRINK et
nOE:KER en utilisant une base cartésienne formée de quatre couches.
Il sera intéressant aussi de comparer nos résultats avec les énergies de liai-
son obtenues par Monsieur ALLARD de l'Institut Nucléaire d'ALGE:R qui a effectué des calculs de
llAR TRE:E -FOCK aVec une base cartésienne formée de trois couches.
Ces comparaisons mettent en évidence l'intérl!t de la base cylindrique que
nous avons choisie.
a) Oscillateurs sphériques et déformés
Avant de présenter les calculs que nous avons effectués sur quelques noyaux
déformés, nous désir~:ms donner quelques précisions sur les déformations introduites pour mieux
comprendre leur ri51e et leur avantage.
Considérons une: fonction propre de l'oscillateur harmonique à une dimension
exprimée dans la hase cartésienne
1/4
1
2
1n
>
(m:x)
x
x
~'" -ï x m"'x/h
H n
(x
~) e
",x
114
n x
.
h
. )1/2
fT
(2
n x
où
w e s t la con~tante d'oscillateur
x
H
est un polyni5me d'HERMITE.
nx
-2<1
Soit Une COllstante d'oscillateur w, voisine de
Wx et reliée à Wx par
'"x
'" e
a.
est un nombre très inférieur à l'unité.
Nous pouvons interpréter
W
comme une constante déformée par rapport à
w
; par suite.
x
les fonctions propres 1 n
> "'x
apparaissent comme fonctions d'oscillateur déformé par rapport
x
aux fonctions propres
1 n x > W
dé l'oscillateur sphérique de cons"tante
w.
Nous pouvons développer les fonctions
1 n x > "'x
sur la base complète des fonctions 1n
> '"
x
gr3:ce aux propriétés
des pofyni5mes d'HERMITE. ce développement s'écrit
ln
>
= 1n
> w + ~"V (n + 1) (n + 2)
ln - 2 > .•. (1)
x
"'x
x
x
x
x
'"
De la m~me façon. nOU9 pouvons développer les fonctions propres d'un oscillateur déformé à trois
ùiInensions sur la base des fonctions propres sphériques.

59
-L1
F~1ur cela. définissons
W
w e
x
-21J
w
w
e
y
-2y
'0
w e
z
.2(<1+ IJ + y)
d'où
w
",)
w
= w e
X
Y
7
ln
n
n
~
'-
1n,,' n
n
'" w
x'
Y'
z
w
ü)
""
Y
z
x
y
z
,
~r--r;-- + 1)
+
(n
+ -zr
2,
-V----;;-fr-;-:t)
'2 u
1
1n
- 2,
>
" +
Il
, n
>
n . 11
V
"
"
Y
z
'"
" X
x
y
7.
'.)
-v
>
1
n
+ 2, n
>
n
n
(n
- 1) 1n ,n
- 2, n
x '
y
z
w
Y
y
x
y
,~
l
'
+ Z y V (n z + 1) (n z + 2)
ln. fi,n +2>
_Ir;. (n -Dln, 11 ,n -l:>
z
y
z
(,,)
V ., z?
Z
y
7.
'..}
(2)
Quand a, j3 et y
sont petits, on peut négliger les termeB de rang pluB élevé, dans ce développement.
NotonB que
a IJ et y BonI. reliés à la déformation €
de NILSSON par leB relations:
1 + 1
'3
w
€
x
-2(a-y)
=
e
si l'axt: des
z
est
1
1 - '3 €
w
un axe de 8ytnétrit~
z
1
1 +
c
w
- 2 (13 - a)
3
---L.... =
e
ai l'axe des
x
esl
J
w
'3 €
z
L'interprétation de la formule (2) révl.·le l 'intér~t de la déformation; tl
"pparan en effet que le développement d'une orbite sur une base de fonctions propres d'O$cü:ale'l'
ù';iormé est équivalent en développement de œ tte m~me orbite sur une Lase sphérique conten3'"
do:. couches plus élevées.
1 2
b) Etude du noyau
C
-Li Calcul avec le potentiel BI de BRINK et BOEKER
Nous avonS étudié le carbone 12 C en utilisant une base d'oscillateur sph(;ri-
que puis une base d'oscillateur déformé. BOEKER
a étudié ce meme noyau, en dfecluant Url ":llc,,',
ri 'HAR TREE -FOCK, avec une base cartésienne d'oscillateur sphérique contenant quatre couche.,
Il a calculé les déformations correspondant aux couches
Is et Ip. Les dé-
iormations que nous introduisons sont celles qu'il a obtenues. Leurs valeurs sont données dans le
tableau suivant
No 8
Déformations
Couche
1 s
Couche 1 p
a
~
Il
0.25
O. JI
Y
- 0.15
- 0.07
Tableau No 8

60
Cee d6formatiorlfi on t t~té oh~ enue S )Jrt.r HOEKF:J( .1.pr':~ 8 avoir effectué un calcul cl 'I-IAH,TREE - I-'OC1\\.
ul..llisanL un oBcill<itellr
harmonique d'énergie h
::=
15 rneV.
LJ
Notons Q11C J30EKE~
il consUlté que
'1 et B
aV._U~~'I:. la. m1!me valeur. Le carbone
a dnn r·
la sYJ'nptrie axiale, d'axe
oz.
N01j~ pré Rentons dans le tah.l(":}'tl suivant No
'r
n.os résultats et CeltX de BOEJ<ER llnl] r
"Q,npnr:'i,<;on.
- -
,
--------,- _.-----------._- ----------
1
CartéSlf-:llne
1
1
Hnse
r----r---- ..._--+ __ C''':',"=-__
i
i
défo rmée
S_p_h_é_rl_q~e
sphé r i q l l e t l _ _
+__S__P_h__é_r_i_q_ll_e__-+
_
1
i-------f
1
1
1
Nornhre d" cou-
1
quatre
trois
trois
trois
1
1
1
1
ches de la base
1
(BOEKER)
1
(ALLARD)
(nos -calculs)
EH
(en MeV)
1
F
- 68.6
- 64.4
- 64.44
- 67.94
1
1
-
---j
1
'-
J
......
.-1
Gain
-..".....
V-
4.l
3.5
(en MeV)
1
1
1
L
1
1
J
1
Il
T-thleiluNo
9
Energie de l'état fondamental de
C. Tous les calcills
3
H J.
~n conservant le ml!me volume nucléaire; on a
tA)
W
W
W
con stante et
x
y
z
moyen
h 'v
~ 1"5 MeV.
tTloy(:n
Il apparait que l'extension de la base cartésienne de trois couches à quatre
coul.hes fournit un gain de 4.2 MeV; par contre, déformer la base cylindrique sans rrlodifier a'='ti
·,n,ions abaisse l'énergie de 3.5 MeV.
L'intérët de la base cylindrique est ainsi clairement montré.
La configuration correspondant à l'énergie minimum
E:
= - 67_ 9·1 MeV
HF
esl présentée dans le tableau No 10 (fin du chapitre III).
~) Calcul avec le potentiel de MONSONEGO et le potentiel BI de BRINK po'n un vohlIl,e nu--
LI éai re .fixé.
--------
I.l
Nous t.:alculons l'énergie de liai nOn du carbone
C en utilisant sucrp5sive-
ment trois hases différa.nt par leur déforrrlatîon
mais en maintenant le volume nUdléaire conBl.-<Jnt~
J
1/3
ce qui revient à garder le produit
(w
w
w) constant. Nous définissons
w
((.0.) W • L) )
x
y
z
moyen
x y
z
Les troi B bases utilisées sont
1. Une base A d'oscillateur sphérique, d'énergie
hw
14.18 MeV
moyen
mw
mw
mw
x
y
7-
Par suite
-----
- - - - =
O.34l
h
h
h

t . ..i;ne. b~8l!; ,,6' aVt:!(' la mime d~fO'rmati'on axiale dan. chaque- couche la déformation chOisie ~·c;t
celle propos"e par
MONSONEGO
(1 7 )
pour
h w "
'4,18 MeV
moyen
tno,
mw
x
y
mw ~
"
~O\\lS ;).'100_
~
0.l6~
~
0 565
t.
h
!l
Une b,,~e (
où c.qaq!le couche eet déformée. la déformatIon eet ceUe calculée par BRI (;\\.
noue: t'Ivan. don('"
w
W
x
-l(<1
yI
- - - = ---L. :
e
hw
:14.18
MeV
w
w
moyen
~
Z
LE~ ('onfLtantr:fJ
mw
mw
mw
x
- - y
z
---~
et
.ont
alors •
h
h
h
couche
le
II'
mw
mw
1
x
- - - = --L
0.262
0.303
h
h
m...
1 h
1
O. ">83
0.434
z
,
Tableau No
Il
Noue préeentons les résultats obtenus dans le tableau suivant (No 12)
,
,
,C
' , '
Potentiel de MONSONEGO
Potentiel BI de BRfNK'
E
1
HF (MeV)
Gain
(MeV)
E
(M.. V)
Gain (Mf'\\"
,_.
HF
! !!
BaRt' A (oscillateur ephérique)
- 96,98
..
- 65,
.,
12
~"._--'
-
Î
b.-:.s('
B (o.cillat"ur cylindrique)
- 95.5
)
l.8
- 64. 35
)
2 R
Ba ... (
(déformatlOn totale)
- 98. 78
·67.9l
~
...
.---,
L.
: ~olpi1"
'\\lo 12
EnergIe de l1aison de Ile en MeV; pour toutes le. bases. h w
= 14.18 Me\\!
moyen
:~().,;::; Ih.;jlno~S la ct.....nhguration CO~~"sI'Q.nda,nt
".p
à l'énergie la plu. bau.
i"'\\
, '··'IR. 78 Mèv di.il. ·iii\\d<~J<'
'j "\\fi il 'cl.itha'pitr'e'llI)'.
•• " 1\\\\.1-

62
Il apparaît que la dMormation totale de la base abaisse l'lInergie de f.çon .
appdciable ,: 2,8 MeV et 1,8 MeV
respectivement pour le potentiel BI de BRINK I!t le potenUel
cie MONSONEGO.
Nous c,onstatons que la dMormation axiale diminue l "ner gie. Nous pensons
que cela vient du fait que nous avons hitroduit pour l'Iltat intrins~que la d'formation propos'e par
+
MONSONEGO pour l'Iltat projetll J" 0
• Puisque l'lInergie n'est pas am'lior'e, ceci prouve bien
+
que 1'Iltat intrinsèque et l'lItat J " 0 n'ont pas la m~me d'formation.
Le table'au No
12
montre li. nouveau que la force BI de BIllNK ne lie
pas suffisamment les noyaux alors que la force de MONSONEGO donne une 'nergi. de liaison du
lZ e assez proche de l"nergie expl!rimentale. corrig'e de l"nergie coulombienn. etui est:
- 101,38 MeV.
lZ
y) Etude de
C "4 trous, 4 particules"
Nous avons calcul' l'lInergie de liahon du carbonelZe "4 tro~s- .. particules".
, MONSONEOO ayant effectull ce calcul, nous nous plaçons dans les mime. conditions que lui pour
pouvoir faire une comparaison des rllsultats
- la base choisie est la base B
- le potentiel est celui de MONSONEGO
,
12
- la configuration d'crivant le carbone
C 4 trous-4particules au d'part
du calcul it'ratif est :
Nous obtenons une 'nergie de liaison de -87. OZ MeV. La configuration
"4 trous-4 particules" de 12e a donc une lInergie de liaison inf'rieure de 8.48 MeV seulement à
,
12
celle de la configuration de 1"tat fondamental de
e. (Configuration obtenue dans le tableau No 14)
MONSONEGO trouve après projection un 'cart de 4.58 MeV entre les'deux
+
12
IZ
'tats 0
de
e et
e "4 trous- 4 particules". On voit que la projection abaisse davantage le ni-
veau 0+ de 12e "4 trous-4particules" que le niveau 0+ de IZe.
8
c) Etude du noyau
Be
8
Nous avons effectu' sur le beryllillm
Be un calcul analollle au calcul a)
du carbone 1Ze , utilisant la force BI de BRINK. Nous avons introduit 188 d'formation. calcul'es par
BOEKER
à partir d'un oscillateur harmonique d "ne rgie h", " l!l M.V et que nous donnons dan.
le tableau .uivant
couche 1.
couche 1 p
a
0.53
0.16
Il " y
- O. 1Z
- O. 08
Tableau No 15
ee noyau proS_ente la lIym'trie axiale puillque Il'' y • Les roSsultah obtenus .ont pr's.nt's dans
le tableau suivant No 16
Noull pr'sentons les oSnergies obtenues avec une base cart'sienne
pour comparai s,on.

( 1
Cylill<iriqu~
_"'__~_~_.
,
~ ._----.-..
Â-._.~
._~
--.....
~-----_._ ... ~-
f;ph~ rique
Déformé"
l
troi R
trüi H
1
Tableau N" 16 :
Energie de l'état fondamental de I l e , tous les calculs "tihsellt la Con'I' nI
en conservant le m~me volurne nucléaire. on a
3
W
w w
= W
= con stant {'
et
h w
1 i; MeV
x y z
moyen
moyen
La configuration correspondant à l'énergie:
41-.2 MeV est donnée au t.ahleau 17 (fin du chapitre l~:
Il apparart que la d~formation de la base. sans modifier ses dinH'.tlstons
liore de façon appr~ci~ble l'~nergie . le gain dE" 2.6 MeV Il'est pas aussi
important que c.~lu; ()LJlt"
nu dans le cas du carbone (3,5 MeV).
Il
p(~\\lt~@tre cela e5t~il dO au {rut que la déform.ation introduite pPllr 1('
Be 1\\ ."
pnB la me;}leure ; en effet, BOEKEH
a
utili8é pour dlterminer 1e8 défornlations llllf'> n1(~t..hodc
qui n'est valable qu~ si a, ~, et y
!'!ont pE".tits devant llunité ; or, il a trouvé: pour la I...:ouche 1 ~
",zO,,3,
1Z
H
L1étllde des noyfltlx déformés
Cet
B
noue a permis d~ montrer avec évi-
de.n<:e t'intérêt de la base cylindrique pUlsqu l elle permet d 1 0btenir des énergies voisines de (;elle~
oote-nues avec une base cartésienne
plus étendue.
Le prog ramme pré\\'oil llintrodurtiOl1 d'un cou plage spin-Ilrbitt, dans l'iuter •.:.:. .
t.!.on nucléaire.
Nous a vane Vp rifié que le te rrne
diagona1i6~ sur la bas .. donne bien le
splittinR, des niveaux du modèle des ('OUCh{:5.
-- ... -
En effet :
Z
.t l
l
J
_
s
z
Noua obtenons aprr-e diagona1isation, les valeurs propres 9uivantes
Valeur propre
Nombre de foi s
r~-4=LI-~~
o
cor re spondant à
l/l
'1
0
l
o. <;
3/2
l
1
- 1
,
,
l / l
'\\
Z
3/l
Z
l
L. ____
1
1_ _
1
1
~
1
1_ Z
l~'~,
1.
J
_J
J

'-,lO'\\Fi ."1VOnS ;-1..ltSSi
IIIiliSC; le potentird rh..
~1/\\ '·-:!\\Jï~.JC t"lHnportallt un terflle ';e couplage spin-orbite pour
i l
~ t IlriJer J 'oxvg<-'Ile
o et notls oht.r·lHms :HU:' éllf'rgit, ri.-· -IZe), 17 Mf:V tr('p: voisine dp celle obtenup
par MANING utilisant la même base. il sa'voil
129.2MeV
Ce réstùtat, confi rme la valldité du programme.
.. ,..._----_._-
..
Etats de parité
'\\
noo
no,l,
o j 20
o . 20
100
o + Il
o - Il
pOAitjv~
(MeVl
Ocrupé
O.OBI
..._-.-- .- --....... - - + - - - - 1 - - - - 4
.
.._---- - - - - - ...- - - -..- l - - - -....
Non occupé
-, --._.__.._--_..-
2.6
e.-... - ---- +--_
Non occupé
4.8
-n.081
0.995
_..---
Non occupé
t 1. 21
f - - - . - - -..- - - -
_._0 ..0. . . ..
.
__
- ' - c "
-".-- .... _-
Non ocnlpé
1 J . 21
J
...
... __._- - _.....- ..-
Non occupé
18.1>7
0.006
0.01lO
Etats d,. parité
el..
o , 10
o - 10
001
négative
'u_,,'
f-.---'''--.----+-~.- _._-_.. +-----~._--
Uccupé
17.7'1
Occupé
J 7. 7')
Non OCC1lp~
0.41
TaMeau No 10
12(;, E}I.F = 1>7.94 MeV .. C"I, .. 1 effectué ave< le potentiel d,. BRINK
sur une base entif~rement di;rormée ~ 'hw
::.::
J S l\\.1eV.
moyen
Orbi''''
1.
HARTREE-f'OCK O( ('upé~s rar 1111 rn'\\lon df'! spin" '/l. Lf'lIt ;'llltreB orbitf>fl'
BOni ohl"nll~R pd,r pernllltat10n des valeurs de t':tpin ~t n1isospin.

Etat de pa rité
eÀ. (MeV)
000
002
a + 20
o - 20
100
a + II
.1
• J J
positive
-----
Occupé
- 43.17
0.996
0.054
-0,072
- - - - '------- e-------
-
Non oecupé
2.99
J
- -
Non occupé
2.99
1
---
Non occupé.
6_88
0.074
-0.019
0.997
----f--------
~on occupé
13.95
1-- ------- ..~
Non occupé
13.95
1
------- ----~ ----1----
'"
--"
:'ion occupé
23.10 -0.OS2
0.998
0.021
Etats de parité
eÀ.
a + la
a - 10
00\\
négathre
(MeV)
'Occupé
- 23.28
\\
- - - - - - - -
Occupé
- 23.28
i
----
:---:on oc cupé
2.28
1
\\2
1 .... BLE"I1J " 0
13,
- - ,--..---,,------
C. EH~ = - Q8.78 !vieV. Ca~c:..l.l effectué aVec. le potentlel de ~{C:;St·-.;.sGO Sur l.... r'"e b:t::·
,r
entîèrementdéiormée;
h",
"l'l,lB ~leV.
mo'{en
Orbite:,; "ie H_-\\.RTREE-FOCK occ~:p~~s par un proton de s?in
+-
l /~.
: ~s autres orbite5
so.r:.t ()t~i~ li "Po 5 pa.:"" ?erm'.ltati:J'G Jes :aleurs è~ tipin e:' d'isosPln

-
Etats de pa rité
e~ p.-le V
,
000
002
a + 20
a - ZO
100
a
II
T
() - i i
positive
Oa.upé
- 39.1'
0.993
0.112
o.ola
.._ -
,
Occupé
- 16. 4E -0.112
. 0.994
0.002
Non occupé
10.46
1
Non occupé
10.46
1
..- f - - - - -
Non occupé
19.64
- 0.010
0.002
0.999
~ .
f - - - -
. - , . -
Non occupé
21.55
1
. - - - -
Non occupé
21.55
1
(>'.
c-
Etats de parlté
e\\
a + la
a - la
001
négative
(MeV)
Occupé
- 28.25
1
..
"on occupé
5.59
1
Non occupé
5. 5Q
1
12
TABLEAT; ,",0
14 :
C "4 trollS-" particules" - E
= ·87. 02 MeV - Calcul effectué avec le potentiel
HF
de MO"SO:,cE:::;O.
Or"ites de HARTREE-FOCK oc<,,,pées par '~n proton de spin'" 1/2. Les autres orbites sont obtenues par per-
mutat.ion des valeurs de 5?in et d11BOSnJn.

Etat de parlté
e iMe\\'
000
oaz
0+ 20
o - 20
100
cl + 1 1
o .. Il
positive
\\
Oécüpé
- 30.07
0.988
- O. 1 52
0.025
f---. - -..- - . - - - - -
---_._--- 1------ f-.
- - f - - - . - - - - - - - -- -~-_ .. -. --
:-;on occupé
5. 61
O. 154
0.982
- 0.110 •
..-
_._---
f--'~~!:"~CC".lpé
12.23
1
--f--.
t-----···
~on occupé
12.23
1
_ . - ---'--- 1------ - - - - -1--
1 - - - -
Non occupé
18.89 ·0.007
O. 113
0.993
~-------- - - - - _.
- - -
-- _._----
:-';on occupé
20.07
1
- -
----- .
- - - -f--
- - l----.
.. _..
~on occupé
20.07
1
C'
.....
Etat de parité
e.\\
o + 10
o - 10
001
pégative (MeV)
(MeV)
Occupé
- lb. 87
1
Non occupé
4.77
1
Non occupé
4.77
1
Ta::>leau ~o
17 :
~ Be - E .. _ = - -13, Z M"V - Calcul effectué aveC le potentiel de BRINK .ur I.•n" in.e entière-
1- -
ITlent déformée
hw
= 15 :N!e".'-.
moyen
Orb\\tt's de !-V\\RTRE:E ~FOCK occup~~s par ·,ln p'!:'oton rie spln
1/2. Les autres orbites sont obte ....:.. ~es par perm\\l-
tation des valeurs de SplD e~ d'is05?tT,

69
CONCLUSION
L'objet de cette thèse était de mettre au point un programme, ap!,f ;'1""
la méthode de HARTRÈE-FOCK au calcul des énergi"s et des configurations des noya.ux 16",.,'"
vue d'une confrontation avec les résultat. expérimentaux.
Nous avons utilisé les potentiels phénomènologiques de VOLKO\\'
,
.
4
1('.
l\\.1ANNING, BRINK et BOEKER, MONSONEGO, pour étudier les noyaux spherIque.s
He,
U.
8
12
et les noyaux déformés
Be et
C; Les résultats que nous avons obtenus sont td,s conforme", 'IX
résultats des auteurs précédents.
Nous avons montré l 'intérl!t de la base cylindrique choisie. En effet.
nous pouvons amé~iorer les résultats d'un calcul d'HARTREE-FOCK en augmentant le. dimens",,',;
de la base, mais l'importance de l'ordinateur et le temps de calcul augmentent très vite ave' \\"
grandeur de la base; Etant donntS le coilt onéreux des calcule sur de tels appareils. il apparan ,1''''1'
tageux d'utiliser la base cylindrique qui permet après déformation, d'obtenir des énergies lr"';
voisines de celles calculées aveC uueb;i8e isotrope plus étendue.
Le progra'mme reste très ouvert; nous pouvons introduire d'rHltrf~R p'1.
tentiels phénoménologiques; une re st ri ction cependant: leur dépendance radiale doit reste)' d·.'
(orme gaussienne.
Nous pouvons étudier des interactions avec couplage spin-orbite.
Nous nous proposons dans l'immédiat d'augmenter les dimenllions de h
base pour obtenir de meilleurs résultats, et pour étudier des noyaux plus lourds.

70
ANNEXE
1
FONCTIONS D'ONDE DE L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
DANS LA REPRESENTATION DES COORDONNEES CYLINDRIQUES
1 • FONCTIONS D'ONDZ DANS L'ESPACE DE CONFIGURATION (20)
Les (onctions d londe, solutions de l'équation:
[
2
2
2
mw
m
w
h
V 2
2
p
Z
+
Il
+
-J •
E
nmn
"
nmn
Zm
Z
Z
z
• n m n
z
z
sont:
im t
1
1
Z
1
1
Z
Iml
- - a P
13
Z
Iml
-Z
z
p 2)
e ,
(!:lZ z)
•
N
e
( a.
p )
L
(a.
Z
H
e
n
nmn
nmn
n
z
z
z
2 an!
où
N
"
nmn z
(n + 1ml) !
1
et
E
(Z n + lm 1+ 1) h w
+ (n
+ -) hw
nmn
p
z
2
z
z
mw
mw z
a " --p-
h
h
-2
a. et l:l ont les dimensions de [longueu;:]
Il est commode d'écrire la série des fonctions propres, Indicées par l,
"ni mi nZ
sous une forme qui fasse apparanre séparément les parties dépendant de
z
et celles
i
dépendant de
Il et
t
1
. -
Imt
•
(r)= (ZIT)
2
e
. ; (p)
.~ (z)
n.m.n
1
1
Zi
On dMinit
1
1
2
2
-Z a p
.. r (p)" (Zan! / (n+1mll!) a
(0. P ) e
1
1
1
2
Z
-Z l:l z
• a (7} " (flZ / (IT l/Z Zn z
H
(!:l
z)
e
n z

71
Il. FONCTIONS D'ONDE DANS L'1';SPACE DES MOMENTS (20)
Dans l'espace d'impulsion en coordonnées cylindriques, un point a pl'~ur r:Ull,-'
données
k , a , k
P
z
Soit la transformée de FOURIER de
•
(r)
dans cet e8pace,
E '
'n m n
..
z
fi 'écrit :
-3/2
r
(k ,a, k )
p
z
N
(2r: )
1
(P, ~, z) pd P
d t d,'.
nmn
'n m n
z
.1
z
L'évaluation de cette itlt.égrale donne
1
-1
2
i ma
2n+ Iml
l
- - a
k
t
2
P
N'
)1t'!1\\
e
(0. - ï
k
e
nmn
nmn
p
z
z
1
n
- Z
• z H Ok) e
n z
z
·1
- ï
-1
où
N'
= 13
a
N
nmn
n m r~
z
z
On volt que
N'
peut l!tre obtenu à partir de
N
en remplaçant
a et 13, partout.
n m n z
n m n z
2
+ 1 1
par leur s inverses
.
a -1 et Il- I . Ainsi, exc<!pté pour le facteur de phase
i
n
m
+ "z •
f est obtenue à partir de • en remplaçant partout 0. et ~ par leurs inv","ses. Il est commode
d'utiliser pour la fonction
Inimin"'i
la notation suivante
1
- Z
1 mi a
= (2 71)
,1'
e
(k
) ta
(k
)
i
P
1
z
où
1
-1 2
1/2
Iml
Iml
-1
2
- ï a
k p
1 l' (k p )
(a -
k p )
Ln
(a
k
) e
p
1
- ~f3-1 k~
t
1. 2
a (k
'
n
H
e
zl
z .1
n z

7Z
ANNEXE
Il
ELEMENTS DE MATRICE DES OPERATEURS A UN CORPS:
Energie cinétique et force spin-orbite, en représentation des coordonnées
cylindriques et sur une base d'oscillateur harmonique
I. INTEGRALES DE BASE
Nous définissons
'"
R (n)
=
n = 0,1 .•..
i j
j t (r) (p) n ~(r) (p)
P
p dP
j
0
'"
r
( on)
r
R
t(~) (kp) k~ t
(k p) kpdkp
n = 1,2 ...•
i j
J
j
0
'"
Z~~)
~a
n
a
( z)
Il
( z)
dz
t
n = 0,1 ..•..
1)
J
1
.'"
'"
a
( on)
Z ..
= f.", t. (k ) kn ta (k ) dk
n = 1,2 . . . . .
1)
1
z
P
j
z
z
'." fonctions. et t
sont celles définies dans l'annexe No 1 ; i et j sont les indices de deux états.
Ges intégrales R
et
Z
sont importantes car de nombreux éléments de ma-
trice d'opérateurs à ùn corps ou à deux corps peuvent ~tre évalués en fonction de leurs produits.
Nous calculons
R(n)
et
Z(n)
pour
n = - 2, -1,0, 1,2.
ij
ij
11. ELEMENTS DE MA TRIGE DE LA l!'ORGE SPIN -ORBITE (21)
Pour évaluer ces éléments, nous écrivons
t .8 sous la forme
t
.t. s
z
z
où
ott' i
St
s
sont les opérateurs définis comme à l'ordinaire
.tt
t
t
=
~.
s
= s
i
y
t
x
sy

73
Nous utilisons la définition tout-à-fait générale:
L
-; fi P
Nous obtenon s :
. ~
1 e
- i P e 1
k
+ i z e
k p
z
.
e - IT
1
P
k z
Nous pouvons calculer les éléments de matrice de
f. -;;
entre l vecteurs de base
1 i> et l.i >
 = - l l « l i t .
Ij>+<i1es
I j » + < l l t s
Ij>
,
+-
-+
z z
L!intégration sur. les variables spinorielles et angulaires est aisée; celle sur les variables
p et
l-
se ramène aux intégrales R et
Z
définies précédemment. Finalement, nous obtenons:
< il -
t. -; 1j > =r
ô (m
_ m) 6 (s
_ s ) ln
S. R
(0) z (0)
1
1
j
i
j
i
1
ij
.ij
ln
- n . + I )
(1)
(-1)
+ 2' ô (mi - m
+ 1) ô (Si - Sj - 1) { i
Zj
Z1
R
j
ij
Zij
. (lnj+lmjl-lni
-Imll-I)R(-I)
Z(I)}
+ 1
l'
l'
.
J
J
1 Ô ·
{ .(nZj
- nzi - 1)
(1).
(-1)
+2'
(m
-m
Zij
i
j - I ) 6 ( s i - Sj+l)
1
R ij
-lmil+I)R~~I)
J
+ 1(2nj+lmj\\- 2ni
Z(I)}
1J
ij
D'après les lois de conservation, le facteur complexe .. st toujours égal à
~ 1.
Ill. ELEMENTS DE MATTUCE DE L'ENERGIE CINETIQUE (li)
L'expression de l'énergie cinétique totale est la suivante
A
l
T
t. hl
L
Pi
l
k.
J'
1
i=1
2m
i= 1
lm
La soustraction de l'énergie cinétique du centre de masse correspond au terme
l
--1l--
=
L: \\ k.
2mA
lm
lm
i< j
J
A
est le nombre de masse du noyau et m
la masse moyenne des nucléons. Le premier terme de
la partie droite de cette dernière équation est incorporé à l'exp,., sslon de l'énergie cinétique totale
qu'il renormaliBe :
T
( 1 -
) T
A
Le second terme a la forme d'un opérateur à
l
corps
séparable.

74
1. Lea élément a d .. matrice 
a 'évaluent aiaément en repréaen-
2
2
2
talion Il où , k2 = k~ co a2 9 +
k
ain2 9 +
k
'"
kZ P +
k
P
Z
z
On obtient:
Grllee aux règles de conaervalion de la paril.:, 1.. facteur complexe eat toujoura égal à
± 1.
Z. L'élément de matrice à deux corpa 
est égal à
l
Z
<;
i t l k
k
cos (9
- 9
k
1 jm>
lp
2p
1
z)ljm> + < iLI k 1z 2z
Les intégrations ,sur
9
dans chacun d'es deux termes aont aimples et donnent des facteurs de
KRONECKER.
Les inlégra~.ons sur Pl' PZ' zi ,z2
se ramènent aux Intégrale a R et Z
définies
au début de cette annexe.
Toua calcule effectués, nous obtenons la formule:
< itlkl k21j m> = f} ô (ml' m j ! 1) Ô (m.f. - mm : 1) ô (Si - Sj) ô (St' sm)
•
1(2nj+Znm·Zni
.2n!
+ Imjl+
Immi-Imil-Imll)
( • 1)
z (0)
Z (0)
R I,m
ij
m
-. )m
..
1 (nzj
+ nzm ' nZi
-
nz.f, ) •
R (0)
ij
+
Le. règles de sélection étant toujours satisfaites, le facteur complexe se réduit à
. 1.

75
II.NNEXE III
ELEMENTS DE MATRICE DE L'INTERACTION A DEUX CORPS(ZO)
Nous voulons calcule r les éléments de matrice 
0(,
'1(1,2) est un potentiel de dépendance radiale gaussienne; les états
i,.t , j, m sont lesronctions
propres de l'oscillateur harmonique en ha st=' cylindrique,
cal{":ul~es dans l'annexe 1. Elles sont ca. ~
ractéri8~eB par les trois nombres quantiques
n, m, Oz
et par le. paramètres Il et 13,
Nous les notone Buccessivement :
li >
Il
a
>
IL>
f3 b >
lm>
L'élément de matrice à calculer s'écrit:
+n
-2r-Z.)
( n
)
(n
)
[n "3J min(n "l,n "3· Zr)(n "1
"3
"z
"4
Zld<-lL
L
L
L L
r=O
ft = 0 •
t = 0
u = 0
v=O

7f,
Les polynômes de LAGUERRE sont définis de la façon suivante (ERDELYI - RMérence)
p
k
(-ap) s
(a p ) = ~ (: ~ ~l
t
(p + k) ! (_a)s
L
pS
p
s!
s=O
(p-s) ! (k+S)! 8 !
p
k
k
d'où
L
(a p )
P
[
.f!,
(Il) " "
ps
s=O
k
(p+k)! (_a)s
avec
..0
(Cl)
='
ps
(p-s) ! ( u 8) ! s!
Les polynôm~8 d'HERMITE utilisés sont définis comme suit :
H
(x) = n!
_ I)m (lx) n - lm
n
m ! (n - lm) !
On a utilis~ la relation,suivante entre ces polynllmes (BAILEY - LONDON référence)
(m]
Hm (a x)
= L hmr
r=O
Dans cette équation
1
[ m]
Z
m
si
m
est pai r
1
[m]
(m - 1)
8i
est impai r
=-
m
Z
m
h
(y)
='
mr
r !
(m - Zr) !

77
ANNEXE
IV
Nlllnérotation des termes à deux corps
Rappelons qu'un terme est nUMéroté d'aprl!s la combinaison 5
)llaq'le!!',
il llpp.."1.rtient. Dans Une combinaison, le numé ro d'un terme est le nombre de ceux qui llont précéoé 1
plu. "n.
.,
,+
...
Combinaison S" 1
correspondant à
< ...
il
1<
1./ >
Désignons par I,J,K,L les numéros des vecteurs
i, j. k,.(,
1
1
1
N"
Z4 (1) (1 - 1) (1 + 1) (31 - 2) + l (J - 1) (I) (1 + 1) + Z (K) (K - 1) + L
Nous évaluons à 462 termes dans cette combinaison.
Combinaison 5 = 2
correspon dant à <
N = (1, - 7) +~ (K - 7) (K - 8)'" .!.. (J - 8) (J - 7) (J - 6) + .2..(1 -8) (1 - 7) (1 - 6) (31 - 23) + 461
Z
Z
24
Nous évaluons à 25 le ';ombre de termes re.pectant cette combinai son.
Combinaison S" 3
correspondant à < ;.- t 1
k
FI -
J
N = 49
8~ (1 - 7) + (K - 8)
+ 7 (J - 1) + 1, + 487
Nous évaluons à 294 le nombre de termes respectant cette combinaison.
Combinaison S" 4
correspondant à < i -
j - \\
1
N
= 1, + Z K (K - 1) + 28 (J
8) + J" (1 - 7) (1 - 8) + 781
Nous évaluons à 168
le nombre de termes respectant cette combinaison.

7R
ANNEXE V
DEVELOPPEMENT n'UN VECT~~UR DE LA BASE CARTESIENNE 1 n n n
SUR LA BASE
x y ~
]n;s Vl;~CTE1jRS CYLlNDRIQUES 1n m n >
"--
-
~
(Nous ne prése.ntons que les développement;; 'lui nous ont été utiles).
Couche 1.
1000 )
1000 >
Couche 1 p
1001 )
= 1001 >
\\ 100 )
_I-
10+ 10 >
+
\\ 0 - 10 >
V2
\\ff
lOlO )
10
+ 10> -
10 - 10 >
V2
VT
Couche Zs-Id
1002 ) = 1002 >
1
1020 )
10 + 20 >
10 - 20 >
\\100
- "2
>
2
V2
1
1
1200 )
=
10 + 20 > +
-
10 • 20 > -
- -
1 100 >
2
2
VZ
'1. DEVELOPPEMENT D'UN VECTE:UR DE LA BASE CYLINDRIQUE
ln m n
>
SUR LA BASE
z
DES VECTEllilS CARTESIENS
ln n
n
)
-
--------
x y
z
(Nous ne présentons que les développements qui nous ont été utiles)
Couche
1 s
1000 >
1000 )
Couche
1p
1001 > = 1001 )
1
10 + 10> =
il 00) +
1010 )
lfZ
1
i
10 - 10 >= --1100) - -
1010)
'/2
'{2
CO\\Jche 2e-1 d
\\002
>
10 + 20 >
1110 ) - ~ 102.0 )
\\/Z
L
10 -
i
1
20 >
1200 )
V2 Il LO ) • Z' 1020 )
1100 >
1200 ) _ _1_
1020)
VZ

St T',."' ':1',
'Y'"
1 (
.-',
OI,lTS
ri" rv1
LAMHER T, AI ,tjl':R 1f~hf' t.7
,,.
!vi E.') '-:1/\\;
j "
1."
'}h\\,<;;,:. 1'"
74
:l;lf,:;~ ~~
C,h
4
A. n
r,
[fi()!,Fl.:l{
AQlll'Jh7)
27
li
H~'~lri, 1.1'-'.J 'l;lrlr~~~· J n. ~ (~Jl, uj~tioll,", ln 11ghl TIll( Ipl.
Mt NL\\8t('r !.... nl .... ersl1 ..·
Han\\lltnJ),
Ont.ano
M.
!.!,l;'.
K F k ~,f ,-\\ ~~
;"hj' t'{f~'('~ Il! trunl:'ltJ01' ;n nlll.Je;:,r t-l;-lTTr't>C·,FoI~. (-a)culations
~;,~( i l ' l f jJ),\\,~,\\ ~
'\\
Il ..-:
P:\\";:~i ('} 1y,,,,,,
JO: .F M 1\\ ~:
Sf-'li ·t{)n~1i"ltf·nl ntH le~! i.aj\\_ulatlor,~ wlth 1:1 defçrmed basis
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J..:
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Vévrier J 'l69
IH.
MOSf\\.O\\V.'S,f-~Y
F'("olf~ dps .Iouches - 1 gAl)
1"
r r;;p .... 10I"'n1<u·,0r: ~fhpnl(·· i()1 h;;rn)oni( SI ;lJa10r wav~ functions.
F(ln"l1ul.~!'i oP," f<'n.'lle'l:; p"""pr~~~ dt', }'CJr;lril1atel1T harmonique P.t des ternIr'"
.3
d(~ux ~',\\)rpH
COPLF y et VOLKOV
Nu'!~ar l'hv81CS 84 (1966) 417
f'\\
1\\.
LF:BFDEV
Special !unc1lons and their app}l<~atlonB
iPrentlce Hall - Englewood Cliff. - New Jer5ey
Î965 - p, 81)
iPo"r la forme intégrale du polynôme de LAGUERRE)
W. ~i
BAILEY and J.
LONDOl'i - Math Soc. 23 (194H) 291
(Pour relation enlre polynômes d'HERMlTE)
ERDF.LYT el AL
Tahles of integral transforms, volume Il
(Mt
Graw HIll Book, 1 9 'l'; - p.
lOS)
(Pour la r(;solution de l~t<quatiol} djfférenti~lh:: de l'osriLlateur harmonique en coordol1n~(~s
cylindriques)
\\i.
SJ\\N~O"Y
"Orthogonal
l1
fluHtlons
~ Pllrt' rlntl Applied M~thernat1c8 (VoJum~ IX
lnterscience
",,'>Ii,hers
New-York,
19S9
p
103 - Relal.1on av~(' polyn~me de LAGUERRE)
FR 1.ll: l .Y1
l'Hl ghe r t ran scendental fune ttons ll
IVo1lm1<' 2
Mc Graw Hill Book <'0 - New York - J 'l~1) p. 188
l'jour Üt'~hnltion ries polynômes de LAGllERHE
111
CA LCUL DF:S ~~LEMENTS A ) CORPS
ENF:RnlF: CINETIQUE et COUPLAGE SPIN-ORfllTF:
A.DH'ELYl - W. MAGNUS - F. OBERHETTINGER - F.G. TRlCOMI
Tables of H.legral tran.forms - Mc. Graw Hill Book - Co
J 954
(Volume 1) p.
3f,9 - Phg". 9S-39 (Polynomes d'HERMITE)
(Voiume Il) p.
IR9
('-o"ction
de BESSEL)
!V',lllmc Il) ~.
IQl (Polyn~mes de LAGUERRE)
\\.' f", 1~}rl'1 \\' l X
i nterSc1.encf' Puhli shers
j959
P
\\02 iReJa"on
déduHe de \\'orthogonaiit'< des polynômes de LAC;UERRE)
p
LOC; :_Hf-~lëü.:ion entre polynômes de LAGUERRE)

\\
1
1
TAB)'F: DES MATIERE5
INTRODUCTION,
3
1
1.
Méthodp} 1;' rI l'Pp
i'nck ..
3
1) f1;'I.nril f (\\nl('J} dl) système physique
1
Z) Mt:thode de rpl:HdotJon ttùoptée : méthode va.riationnelle
i
3) Forrr", df' la fonel' .. " d'onde décrivant le système phyeique
!
4) Apppi "'IX notations ùe la seconde quantification
l
':i)
!
Equation. et états de Hartrep-Fod
h) M"'hod .. de résolution des équations de Hartree-Fock
II. Base choisie pour le développement des orbites . . . . . . . . . •' . . • . . . .
9
1)
1
ChOIX d'une base d'oscillateur harmonique
2) Verteurs de cette base
3) Choix de vecteurs orthonormés
4) TronUlturt'~ de. la has€'
; con8rquences
5) Avantage de la base choi8i~
1
6) Expres.ion des orbites sur cette base
, Ill. Propri"t"s de symétrie du hamiltonien de Hartree-Fock et de
5es solutions ....
13
1) T h<'or',me
2) Hypolh,'se sur l'i90spin
3) liypolh,',,, dO' symétrie axiale
4) Hypothèse sur la parité
5) Sy""'ITle impo.ée à la densité nucléaire
TV, Choix d'un potentiel phénomènologique
CHAPITRE Il - Organisation des raJcul~,..
'
, , '
20
1. NuméTlJtation des vpcteurs de base, , .. , , .. , . ,
20
Tl. Calcul des tcrl'nefl de la tt.atrice ; mise en mémoire
,
2J
1) T~rmeB à un corps
2) Termes il deux corps
3) Programmes
Ill. Calcul de la matrice H ..
, ..•.•. , •. , , ..•.. , .••....•..•. "
24
1 ),Recherche des .éléments mis en mémoire
2) Cah ul ùe
vik et
Pik
3) Programmes
1 V. OrganIgrammes.
. , ..... , , •..•.••.••.•••..•. 31
CHAPITRE 111 - Application de le _~H'thode de.,I1artree-Fock à l'étude de certains
no}(;.\\~ lf1.ge:~. •.
. . . . .
. _ . . . . . . . .
" . . . . _. . . . . . . . . • . ~ ...•. .. .39
J,
Etude d .. 'l"elque. potenhels phénomènologiques
'
39
1) I.e pot .. nbel
Hl de BRINK et BOEKER
2) Le 1"" enli el de MONSONEGO

82
If. Etude de qudques lloyaux déformés ..
51
1) Va riation des énergies cinétiques et potentielles avec •
la dé! ormation
2) Base formlle de vecteurs issus de potentiels différents
12
8
.3) Etude proprem"nt dite des noyaux déformés
C et
Be
4) Co uplage spin·orbite
CONCLUSION
.
('1
ANNEXES ..
70
I.Expression des fonctions d", base..
. . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . 70
II. Eléments de matrice des opérateurs énergie cinétique et couplage
..pin -orbite
.
. . . • • . . . . • . • • • . • . . • . • • . . . . . • • • . • . . . • . •
72
III. Eléments de matrice de l'interaction à deux corps......
75
IV. Numérotation des termes à deux corp". .• . . . . • . •.. . . . . . . . . . . . ..
77
V. Correspondance des vecteurs cartésiens et cylindriqu,",,,.. . . . . . . ..
78
BIBLJOGRAPlllE . . . . . . • . . • . . . . . . . . . .
79
l·
1
f -
f'
\\.