'".
N° ordre 1354
,.
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CONSEIL AFRiCAIN ET MAlGACH!: \\
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POUR L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
C. A. M. E. S. -
OUAC['DOUGOU '
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ci;l ~
M'IUT tJ95 ......
, Arr1ve.e.: K. i. '~'\\': .t~ ',' . 2 8 .8
Enregistre sous n tt 0 .1. . .
TH ÈSE'l:-...__.'-...--
_.-==-"~,,= !,--",,'
présentée à
L'UNIVERSITË DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE LILLE FLANDRES ARTOIS
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR DE 3eme CYCLE
SPËCIALlTË : MATHËMATIQUES PURES
par
Faustin TOUADERA
PROBLËMES DE CAUCHY MATRICIELS Coo
ET DANS LES ESPACES DE SOBOLEV,
A CARACTËRISTIQUES MULTIPLES
Membres du Jury: VAILLANT Jean, Président
GOURDIN Daniel, Rapporteur
BERZIN Robert
DE PARIS Jean-Claude
Examinateurs
GAVEAU Bernard
Soutenue le 22 septembre 1986

---

A mort pèlte.,
A ma mèlte.,
A mv.. 6ltèltv.. e;t M e.U!U>,
A :toute. ma 6amil.te..

---

A M~e-C~~e,
A .tOU/.J me.6 am.w.

---

TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION
PREMIERE PARTIE
CONDITION SUFFISANTE DE RESOLUBILITE DU PROBLEME
DE CAUCHY MATRICIEL
Ccx> NON CARACTERISTIQUE A
CARACTERISTIQUES DE MULTIPLICITE VARIABLE.
§
-
Notations, Hypothèses et Résultats.
1
§ 2 - Démonstration de l'existence de la solution.
10
a. Première réduction du problème.
10
b. Deuxième réduction du problème.
11
c. Reformulation des conditions.
20
d. Décomposition de la solution.
25
e. Inégalité d'énergie.
30
f. Fin de la démonstration de l'existence.
38
§
3 - Démonstration de l'unicité de la solution.
39
Bibliographie.
41
DEUXIEME PARTIE
CONDITION SUFFISANTE D'UNICITE
Ccx> DE CAUCHY POUR
DES SYSTEMES D'ORDRE 1 A CARACTERISTIQUES MULTIPLES.
43
§ 1 -
Notations, Hypothèses et Résultats.
43
§ 2 -
Réduction de l'opérateur.
50
§ 3 -
Estimation de
IIt>u111
.
73
§ 4 -
Décomposition de nb en produit de composition d'opé-
rateurs pseudo-différentiel s matriciels d'ordre 1
modulo des termes d'ordre ~ T-l- 1.
74
q
'"
.
§ 5 -
Estimation de Il bull
dans le cas (b) et fin de la
démonstration des théorèmes.
87
Bibliographie.
99
TROISIEME PARTIE
PARAMETR ICES LOCALES GENERALISEES POUR DES SYSTEMES
A CARACTER IST IQUES MULTIPLES NON HYPERBOLIQUES.
101
§
-
Cas des systèmes 2 x 2 à caractéristiques doubles et
de rang caractéristique 1.
101
§ 2 - Cas des systèmes m x m à caractéristiques de multi-
plicité
m
et de rang caractéristique
m-l.
116
Bibliographie.
132

---

Monsieur Daniel GOURDIN m'a initié aux techniques et méthodes
de la théorie des équations aux dérivées partielles. Ses remarques et
conseils généreux sont à la base de l'élaboration de ce travail. Qu'il
trouve ici l'expression de ma profonde reconnaissance et gratitude.
Je remercie Monsieur le Professeur Jean VAILLANT de l'honneur
qu'il me fait en acceptant de présider le jury de cette thèse.
Messieurs les Professeurs Robert BERZIN, Jean-Claude DE PARIS
et Bernard GAVEAU ont bien voulu faire partie de ce jury. Qu'ils trou-
vent ici mes sincères remerciements.
Je remercie très infiniment Madame Raymonde BERAT qui a dac-
tylographié cette thèse avec soin et compétence ainsi que
Mesdames Monique LLORET et Françoise WDOWCZYK, Messieurs Albert GOURNAY
et Michel PROVOST pour la reprographie.

---

INTRODUCTION
Dans cette thèse, nous étudions les conditions suffisantes
d'hyperbolicité faible pour les systèmes à caractéristiques de multi-
plicité variable et des conditions suffisantes d'unicité de Cauchy
COO
pour des systèmes non hyperboliques de multiplicité constante.
Notre travail est divisé en trois parties.
La première partie généralise aux systèmes un article écrit
par T. Nishitani dans le cas scalaire et donne une condition suffisante
d'hyperbolicité faible lorsque chaque couple de racines caractéristi-
ques pouvant avoir de valeurs égales admet un contact d'ordre infini
sur l 'hyperplan des données.
OO
La deuxième partie traîte de l'unicité de Cauchy
C
et géné-
ralise aux systèmes d'ordre
t =
dont le déterminant caracatéristique
admet
a
facteurs multiples
(a
quelconque) un résultat démontré par
D. Gourdin et H. Kadri lorsque
t = 1 et
0 =
1.
Une remarque finale aborde le cas
t
quelconque.
On montre que la non nullité du sous-caractéristique sur l'en-
semble caractéristique multiple est une condition suffisante d'unicité
OO
de Cauchy
C
lorsque les multiplicités des facteurs sont des constan-
tes
mi
quelconques.
La troisième partie expose la construction de paramétrix lo-
cales généralisées sous les mêmes hypothèses que dans la deuxième par-
tie, par la méthode des ondes asymptotiques en utilisant certains ré-
sultats dus à R. Berzin et J. Vaillant et la théorie des opérateurs
intégraux de Fourier.
Les deux dernières parties de ce travail feront l'objet d'un
article à paraître ultérieurement.
Dans le texte qui suit, nous adopterons la convention de sommation
d'Einstein.

---

- 1 -
PREMI ERE PARTI E
CONDITION SUFFISANTE DE RESOLUBILITE DU PROBLEME DE CAUCHY MATRICIEL COO
NON CARACTERISTIQUE A CARACTERISTIQUES DE MULTIPLICITE VARIABLE.
1. NOTATIONS - HYPOTHESES - RESULTATS.
a. Notations. Définitions et Propriétés fondamentales.
D
(D
D)
D
.
.
a D ·
. a
x =
x' .•• , x
;
= - la
= - l ax.
;
t = - lat = - l -;;-t
1
n
xj
x j
J
0
\\j s €IR,
nous considérons les espaces de Sobolev H
de norme
Iluils
s
Posons
H = (1 H
et pour Yu
s
€
H,
s
Ilu(t)ll~ = l f ID~u(x,t)12dX
n
[al=k
IR
Introduisons maintenant les classes d'opérateurs pseudo-
différentiels utilisées dans ce travail [1J, [7J, [8J, [1Q], [14J.
Définition.-
~
On dit que
p(X',~') est un symbole d'ordre
n
y
sur IR
n
1
et on note
p € SY(IRn xIR \\ 0)
si
p € Coo(IRn x IR n \\ 0)
vérifie:

---

- 2 -
i) V K(Ç ]Rn,
Va.
et
S dans JN n ,
il existe une constante
C
(K)
a.,S
tell e que
ID~,a~p(x' ;1;') 1. ~ Ca.,S(K)(1+II;' 1)y-isi
V x' E: K, 1;' E: (!Rn \\ 0).
;i)
Il existe une suite
{p
.} '--1>.,
de fonctions de
CGOQRnx!Rn,O)
homo-
y- J Jt.JJ,
gènes d'ordre
(y-j)
en
1;'
telles que
V N E: JN
N
ID~,{p- I p-J,}(x',I;')1
quand
+ + GO
j=O
y
uniformément par rapport à
x'
sur chaque compact
K(Ç]Rn.
On écrira alors
GO
P(x';I;')
I
'ù
P _,(x';I;')
j=O
y J
P (X"I;')
est dit symbole principal de
P.
y
,
Soit
u f: V(IRn)
et
û
la transformée de Fourier de
u
définie par
Û(I;')
f e-i<x',I;'>u(x)dt'
!Rn
1
avec
dt'
--'-n--C;f7'r2 dx'
(211 )
Définition 1.2.-
r: Onappelleopérateurpseudo-différentiel sur !Rn ,d'ordre y
n
et de symbole
P(x' ;1;') E: sy = SY(!Rnx!R \\. 0)
l'opérateur
p(x' ;D ')
x
défini
par:

---

- 3 -
l
P(x';Dx')u(x')
t
t
V(IRn) .
pour
OU
u €
Propriétés 1.1.-
Soit
P(x',D ')
un opérateur pseudo-différentiel d'ordre
y sur
x
mn et de symbole P € sY, alors
1)
P(x' ,D ')
est un opérateur continu de
S(IRn)
dans
S(IRn).
x
2)
Vs € m, on peut prolonger d'une façon unique P(x"D
)
, x'
en un opé-
3)
Caractère pseudo-local des opérateurs pseudo-différentiels.
n
OO
Soient
P(x' ;~') € SY et u € E'OR ) de classe C
dans un ouvert
de ]Rn
alors
OO
P(x',Dx')U
est de classe
C
dans
n.
4)
Soit
p(X',~') € SY, alors P(x',D ')
s'étend en un opérateur continu
x
n
n
de
S'OR )
dans
S' OR ).
5)
L'adjoint formel
*
P (x', 0x')
de
P(x ' ,0 x' )
dé fin i pa r
n
<P*(x' ,D' )u,v> 2 = <u,P(x' ,0 ,)v> 2 V U,v € VOR )
x
L
x
L
est un opérateur pseudo-différentiel d'ordre
y,
dont le symbole
P*(x' ,~')
vérifie:
*
P (X';~') 'V
1 ° aU P(x',").
ar x'~'
s
6)
Formule de composition des opérateurs pseudo-différentiels.
Soit
Q(x',D ')
un opérateur pseudo-différentiel d'ordre
y'
de
x
symbole
q(x' ,~') € sy'
alors l'opérateur composé:

---

- 4 -
est un opérateur pseudo-différentiel d'ordre
(y+y')
de symbole
r(x',~')
vérifiant
r(X',~') 'V L -dT a~lq(x',~I).Dx'p(x',~').
ad'ln
Pour simplifier l'écriture, on pose
V a et f3 € ~n.
On convient de considérer les termes indexés sur un ensemble
vide comme des éléments neutres vis-à-vis de la loi considérée(par exemple)
o
(I x ,). Y
J
j=1
Pour
k € ~,
on pose
I
l = {1, •.• ,(k-1)}
k
et pour
E
I
l,
on pose
k
Ik,i
Ji
{1, ••. ,(k-i-1)}.
Lemme 1.1.-
~~ Soient f (j = 1,...,k), k fonctions de cco(IRn). Alors
j
f.
est une fonction de
CcoQRn)
et on a
1
f = j=1
J

---

- 5 -
k-1
=L__
a-I;'a.
k-1
Cl.
J
J
a!
II
a J f.(x')a
J=1
k-1
k-l
j=1, ... ,(k-1)
j=1
J
II
a.! (a-
I a .)!
n
J
a ]ElN
j= 1
J
j=1
j-1
Cl • l; a-
I a.
J
i =1 l
La preuve de ce lemme qui est une généralisation de la formule
de Leibnitz de dérivation d'un produit se fait par récurrence sur le nom-
bre
k.
Proposition 1.1.-
Soient
Pj(X',Dx') (j = 1, ••• ,k) k opérateurs pseudo-diffé-
rentiels respectivement d'ordre
Yj
et de symbole
Pj(x' ,~')' alors:
P(x',D x') = P (x',D
1
x') 0 .•. 0 Pk(x',Dx')
est un opérateur pseudo-diffé-
k
rentiel d'ordre
y =
I y. et de symbole P(x',ç') vérifiant:
j= 1
J
(i-1) . .
1;'
l-J
L a .
j=1
J
P(x',~')
1
II
a
P.(X',~') x
Ct
. II l ( .ff
a ~ ! )( a . - I
a ~ )! i El
i
l
lE
JtJ i
l
1 . J
l
JE i
(j -1 )
n'
I
a.
n'=1
l
I (a.- I a~)
. l
l
. J
l
alE
JE.
p ( ' r ' )
x
,
k x,..,
•
La preuve de cette proposition se fait par récurrence sur le

---

- 6 -
nombre
k d'opérateurs intervenant dans la composition et en utilisant le
lemme précédent.
b. Hypothèses.
Soit l'opérateur différentiel matriciel réel
h de dimension
q x q de classe
coo QRn+1) et d'ordre e.
où
he . = he .(X,t;s,T)
est une matrice de dimension
q x q formée
--J
--J
de fonctions
(he .)Us polynômiales homogènes de degré e-j en s,
--J
à coefficients indéfiniment dérivables et bornés ainsi que toutes leurs
dérivées et tels que la matrice caractéristique
vérifie les hypothèses suivantes
Le déterminant caractéristique
det H possède la décomposition
suivante
m-s
s
(1. 1)
det H(x,t;s,T)
TI
(T-À.(X,t;s)) TI (T-~i(x,t;s))
i=1
l
i=1
(2s ~ m)
sont à valeurs réelles distinctes deux à deux dans chaque ensemble mais
Ài(x,t;s)
doit être égale à
~i(x,t;s)
quand
t = 0 et plus exactement.

---

- 7 -
(1. 2)
où
0i(t)
sont des fonctions de classe
C'"
positives et strictement crois-
santes pour
t > 0,
0i(O) = 0 et
vi(x,t;s) f 0
V(x,t;s).
-1
2 1-(1
]
En plus, nous supposons que
0i(oi)
€
C (L2,T )
/.-;
€
C"'QRn x [it ,,,,[ x]Rn \\ 0).
\\li €
C"'QRn x [Q+,<XlLx]Rn \\0).
Soit
A(x,t;s,T)
la matrice des cofacteurs de
H dans le déve-
loppement de
det H
HA = AH = det H.l q
où
I
est la matrice identité de dimension
q
q
x q
Supposons que
Soit
K le polynôme sous-caractéristique du système
K(X,t;s,T)
où
{,}
est le crochet de Poisson.
Posons

---

- 8 -
(1. 3)
Introduisons la condition suivante
K(x,t;s,~·) = T.(X,t;S){T-À.,T-~.} + S.(X,t;S)(À.-~.)/
l
l
l
l
l
l
l
T=~i
et
Si
sont des symboles d'opérateurs pseudo-différentiels.
Soient
f(t)
et
g(t)
deux fonctions de classe
C~ positives
et strictement croissantes pour
t > O.
Nous écrivons
g < f
si et seulement si il existe une constante
C positive telle que
1
(1.4 )
g' (t) [f' (t)r
g(t) [g' (t)] -1 f' (t) [f(t)] -1,
(f'
al)
soient deux fonctions de classe
C~ sur [O,C].
Cette relation d'ordre nous permet d'introduire la condition
concernant
{oi(t)}l~i~s'
Supposons que :
Pour Y 0i,Oj
tels que
0i(O)
a'. (0)
o alors ai < 0j
J
< 0j
est réalisée.

---

c. RESULTATS.
Théorème.-
Si l'opérateur
h vérifie les hypothèses
H1,H
et si les con-
2
ditions
A et
B sont réalisées, le problème de Cauchy associé
(1)
hu = f
{
(2)
°iu(x,O)
j = 0,1, ... ,e-1
\\1 x dR
avec
f =
et
possède une solution unique
u(x,t) €
[ÇOO(H)]q
pour toutes données ini-
tiales
(uo(x), ... ,u _ (x))
e 1
€
[HJq
et le second membre
f(x,t) €
[çOO(H)]q
OO
en posant
Coo(H) = C ( @,+oo[,H).
Cette solution vérifie l'inégalité d'énergie suivante:
où
N(i)
est un entier dépendant de
h et
i = 1,2, ...
Rema rque 1.-
La condition
B ne dépend pas de (1.2).
Remarque 2.-
Au cas où tout
ai
tel que
ai(O) = 0 s'annule à l'ordre fini
pour
t = 0 la condition
B est toujours satisfaite.

---

- 10 -
2. DEMONSTRATION DE L'EXISTENCE DE LA SOLUTION.
a.
Première réduction du problème.
Considérons le problème de Cauchy (1) et (2) associé à
h
(1)
hu = f
n
{
(2)
Dlu(x,O) = uj(x)
\\/X €1R , j
0,1, ... ,s-1
~ U' ~ U
avec
f
(
u
(
Soit CL = {1.(x,t;D ,D )
un opérateur matriciel de dimension
x t
q x q d'ordre
m-s
et de matrice caractéristique
A(X,t;~,T).
En s'inspirant de l'article [4J,
nous réduisons l'opérateur
h à un opérateur
P différentiel en
t
et pseudo-différentiel en
x
A cause de l'inversibilité de
A(x,t;O,l)
(cf. Hl)'
on peut ré-
soudre les équations
Dl(GLV)(X,O)
uj(x),
j = 0,1, ... ,s-1
et calculer
vJo(x) = DJt'V(X,O),
j = 0,1, ... ,m-l
en fonctions de
u .(x) °-0
-1
J
J- , .•. ,8
(cf. [4J)
telles que pour toute solution
V €
[C"'(H)]q
du problème
~::; {:~v;,:O) ~ v ~
j '
j
0,', ... ,m-1

---

- 11 -
u = a v soit solution de (1) et (2).
Ainsi, nous sommes ramenés à la résolution du problème (1') et (2').
b. Deuxième réduction du problème.
Nous supposons que
0
<
1
O2 < '"
< as,
Nous garderons désormais,
cette relation d'ordre.
Soient :
où
Ài(x,t;D )
est l'opérateur pseudo-différentiel de symbole
Ài(x,t;~).
x
~i(x,t;Dx)
est l'opérateur pseudo-différentiel de symbole
~i(x,t;~).
Nous pouvons écrire
P(x,t;Dx,D )
sous la forme
t
(2.2)
où
et
Cm_i(x,t;Dx) (i = 1, ... ,m) opérateur pseudo-différentiel matriciel
de dimension
q x q de symbole
C
.(x,t;~)
dont les composantes sont
m-l
homogènes de degré
m-i
en
~
et
Qm-2
opérateur matriciel de dimension
q x q d'ordre
m-2.

---

- 12 -
Proposition 2.1.-
- 1]
LA
ème
Soit
A =
où
Li est la i
ligne de la matrice
A
Lq
A
1, ... ,q
alors
où
CO 1(X,t;~,T)
est le symbole principal de
C 1(x,t;D ,Dt)'
m-
m-
x
Preuve ;
D'après l'article [4J,
nous savons qu'il existe un opérateur
pseudo-différentiel matriciel
M de dimension
q x q dont le symbole
est homogène de degré
m-2
en
~
tel que
ip
1
n
Cmo_1(x,t;~'~1')
m
= a(P
1) - -
2
m-
2 j=O
a~ .ax .
J
J
1
m-s
s
- I (T-Ài(x,t;~)'T-~i(x,t;~)}
il (T-À.) il (T-~J.)/.Iq
j=1
J j=1
T=~.
jfi
jfi
l
+ (À. -~ . )M(x, t; ~) .
'1
l
Sac hant que
a ( p )
1 = H*A + HA* +
~.
L
~~
m-
j~O a~j aX j
avec
H* = He_1(x,t;~,T)
A* = Am_e_1(x,t;~,T).

---

- 13 -
Puisque nous avons
Pm = H.A,
2
a Pm
2
a (H.A) = _a_ (~ A + H~)
ai; -ax -
ai;J-ax .
ai;.
ax.·
ax.
J
J
J
J
J
J
==>
n
a2p
1;'
(~
~ _l __m_)
L
ai;J'·
ax .
2 ai;J.ax .
j=O
J
J
Ainsi, nous avons
CO
(
t t"
)
HA*
H*A +..!.
m-1 x, ;",)Ji
=
+
2
~.L t--.i!L A+ H~~
o ai; .ax.
<lx -<lx.
J=
J
J
J
J

---

- 14 -
Multiplions les deux membres de cette égalité par la 1ère ligne
1
de la matrice
A prise au point
(x,t;~'~i) que nous notons
LA(x,t;~'~i)
L1
1
1
1
1
l'
:=) ~ L.I••t;E.,,)· I., •...••j •...••,) (••t;E.,,).
[
1
Nous obtenons une ligne de
q symboles telle que
Choisissons, par exemple, la première composante de ce vecteur
ligne c'est-à-dire lorsque
y = 1
1 n
1 ~a H
}
2a
213
13
B
a
a Al
- - l A
- -
A + H - J
-
2 . 0
a
a~.ax.·
1
13 a~.ax.
J=
J
J
J
J
T=~i
+ (À.-)J.)N'(x,t;~).
l
l

---

- 15 -
m-s
s
Puisque
AH
II (T-À.) II (T-\\J.).I •
i=1
l
i=1
l
q
a
aA
aH
a m- s
s
a~j (A.H)
H + A. --- = --- II (T-À.). II (T-\\J.).I
par conséquent
= a~j
a~j
a~j i=1
l
i=1
l
q
il existe
f~ tel que
J
De même il existe
g~ tel que
J
D'où
Ha
_a_ A11
( '
)fi
B
a~. al
+
ui-Ai
j
J
T=\\J i
Nous avons aussi

---

- 16 -
Soit
Nous obtenons donc
q {~*a 1 n 2a a~H13
l
H
- -
l - -
13-1
13
2 '-0 at;.ax.
a. -
J-
J
J
ième
Par analogie. en choisissant la ô
composante du vecteur ligne
Ll(x.t;t;'~i) C~_1(x.t;t;'~i) nous obtenons l'expression suivante:
En sachant qu'il existe
Mil
tel que
[4J

---

- 17 -
En remplaçant
A8(x,t;~,~.) ainsi obtenu dans l'expression (*), nous pou-
y
,
vons ressortir le polynôme
K et regrouper les autres termes issus du dé-
veloppement sous la forme
(~i-\\i)N(x,t,s).
L'expression (*) s'écrira
1
m-s
s
1
- - {,-À. '-".
2
, ' ' ' ,
rr (,-\\.) rr (,-~.)Aé!
.
j=1
J j=1
J
,=~.
jfi
jfi
'
De ce fait, nous avons
LA1(X,t;~,~.) CO
~ ,
m- 1(x,t;~,~.)
,
Ainsi, nous obtenons
d'où la proposition.

---

- 18 -
Proposition 2.2.-
*
Il existe
A (x,t;~'~i)
tel que
CO 1(x,t;~,~.)
m-
,
soit une matrice
scalaire de la forme
K(x,t;~'~i)
CO 1(x,t;~,~.)
m-
,
1
A1(x, t;~'~i)
Preuve :
En effet nous avons :
2
o
(
)
*
*
n
aH
aA
1
a
Cm- 1 x,t;~'~i = HA + H A + .IT (~·ax. - 2 a~.ax. (H.A))
J=O
J
J
J
J
m-s
s
_ ~h-;l.,T-;J.} TI (T-!.) TI h-f:.')/
.r + (!'i-;Ji).M(x,t;!;,)
,
'j=1
J j =1
J/T=~.
q
j=i
jfi
'
Considérons cette égalité comme une équation matricielle par
*
*f
rapport à A (x,t;~'~i) = (A k )(x,t;~'~i) (f,k = 1, ..• ,q).
Fixons
k nous obtenons alors un système de
q équations
à
q inconnues. Ce système est de rang
q-1
et la condition de compatibi-
lité est satisfaite grâce à la condition (A) donc il est résoluble par rap-
port aux inconnues
[A*(X,t'~'~i)J~
(f = 1, ... ,q).
Proposition 2.3.-
La condition (A) est équivalente à la condition (A')

---

- 19 -
Il existe
A*(x,t;s,~·) tel que CO 1(x,t;s'~1·)
s'écrive sous
1
m-
la forme suivante:
Preuve :
A =>
A',
En effet nous avons d'après la condition (A) que
D'après la proposition 2.2, il existe
A*(x,t;s'~i) tel que
Donc il existe
A*(x,t;s'~i) tel que
A' => A.
En effet, il existe
A*(x,t;f,;'~i) tel que
D'après la proposition 2.1

---

- 20 -
Soit un vecteur colonne
CA
tel que
L1CA -
1
A 1 -
d'où la proposition.
c. Refonnulation d~s ,conditions.
/
•
U
•
Proposition 3.~~,:.~>/----·- "...... ' \\
Supposons que~~:e(conditions \\(A)' eît (8) sont satisfaites, alors
& -
1
.:1
'.--
*
~ 0
~.......
l
il existe
A (x,t;l;'l.li)~s'tel que
' / :;;1
(t)J~~lt\\.~(-X;-t-;.E;') ~\\€ùltx,
(3.0
a· (t) [a',
t; 1;) I}, (x, t ;1;) - 1.l,' (x, t;I;)J
,
,
m7;~
:_.~~;99il1il1~,-nJ'
,
"rn~v'
pour
1 ~ j ~ i ~ s
où
Uji est le symbole d'un opérateur
pseudo-différentiel matriciel de dimension
q x q.
Preuve :
D'après la proposition 2.3, il existe
A*(x,t;l;,l.li)
tel que
C~_1(x,t;I;,T)
symbole principal de
Cm_ (x,t;D
)
vérifie l'équation
1
xDt
suivante
(3.2)
où
Ti
et
Si
sont des symboles d'opérateurs pseudo-différentiels ma-
triciels de dimension
q x q.

---

- 21 -
Montrons la proposition par récurrence sur
j.
Supposons qu'elle soit vraie pour
1 ~ j ~ k-1
et montrons
qu'il en est de même pour
j = k.
Nous savons d'après (2.3) que
Si nous remplaçons dans cette expression
T
par
~j
nous
obtenons l'identité suivante (puisque
j = k) :
C~_l(x,t;S'~k)
Cm_1(x,t;s) + Cm_2(x,t;s)(~k-~1) + •• , +
+ Cm-k(x,t;s)(~k-~k-l)"'(~k-~l)'
Les autres s'annulent.
D'après l 'hypothèse de récurrence nous savons que, pour
(
1 ~ j ~ k-l
(3.1)
est vraie, en multipliant les deux membres de cette
égalité par
a.(a~)-l nous avons
l
l
Ainsi nous obtenons:

---

- 22 -
pour
k l;
l;
s.
Pour achever notre récurrence, il nous suffira de montrer que
(Ji((Jp-1C~_1(x,t;t;,)Ji) peut être factorisé et que l'un des facteurs est
justement
(Ài-)Ji)'
Pour prouver cela, notons que, avec
ôk
un certain symbole,
nous pouvons écrire
En effet, nous savons que
et

---

- 23 -
Par conséquent :
Ainsi d'après la proposition 2.3.
D'où
puisque
À.-~. = a·v·
d'après (1.2).
l
l
l
l
ai(ai)-1C~_1(X,t;~'~k) peut être factorisé et l'un des facteurs
est bien
(Ài-~i).
D'après la condition (B) et du fait que
vi
ne s'annule jamais
les coefficients de
a·v.
sont bien définis et réguliers.
l
l
De (3.3) en divisant les deux membres de cette égalité par
(~k-~k-1)' .. (~k-~1) nous avons:
où
Uk . matrice de dimension q x q, d'où la proposition.
, l

---

- 24 -
Corollaire 3.1.-
Sous les conditions (A) et (B), nous avons
où
'"
Cm .(x,t;D)
est un opérateur pseudo-différentiel matriciel de dimen-
-J
x
sion
q x q d'ordre
m-j
(1 ~ j ~ s).
Preuve :
D'après la proposition 3.1 et (1.2), nous avons
01·(t)G'.(t)]-1 Cm J.(x,t; ) = U.. (x,t;d(À·-IJ·)
~l
-
l J '
l
l
=>
C
.(x,t;t;l
o~(tVo.(t)r1u.. (x,t;ç;)(À'-IJ')
m-J
l
~,
~
Jl
l
l
o~(t)[o.(t)r1U .. (x,t;ç;)o.v. = o~(th.U .. (x,t;ç;)
,
l
Jl
l l
l
l Jl
o'·(t) [o'.(t)r1o~(tlv.U.. (x,t;t;l
o'.(t).C
.(x,t;ç;)
J
J
l
l Jl
J
m-J
avec
Cm_j(x,t;t;l = 0i(t) [oj(t)]-1 ViUj ,i(x,t;ç;).
Corollaire 3.2.-
Sous les conditions (A) et (B), pour
1 ~ k ~ j ~
~ s nous
pouvons écrire
Ok(t)~k(t)J-1Cm_j(x,t;ç;)= Uk,ij(x,t;ç;)(Ài-lJi)
où
U. 'k
est le symbole d'un opérateur pseudo-différentiel matriciel
q x q.
J, l
Preuve
Grâce à la condition (B), nous pouvons affirmer que
0k(ok)-1 o;(oi)-1
est
COO
dans un certain intervalle.
( i >k)
1
D'après la proposition 3.1,
0i(t) [oi(t)T cm_j (x,t;ç;)
Uji(x,t;t;)(Ài-lJi)'
Multiplions les deux membres par
0k(ok)-1 oi (oi)-1

---

- 25
( ,)-1 '(
)-1
(1)-1 C
( ,)-1 '(
)-1 U (,
)
ok ok
°i °i
°i °i
m-j = ok ok
°i °i
ji Ai-~i
0k(t) [ok(t)r 1Cm_j = Uji ,k(x, t;t;). (Ài-~i)
où
Ujik(x,t;t;) = 0k(ok)-10i(oi)-1Uji(x,t;t;)
bien défini.
d. Décomposition de la solution.
Considérons le problème de Cauchy et l'inégalité d'énergie
associés pour les opérateurs suivants
(4.1)
L~j) = ITm+ ITm-1 + Cm_slls_1···1I1 + ",+Cm_jlij_1···li1
1::j::s+1
(L (k) + Q
)u = f
m
m-2
{
Diu(x,O) = uj(x)
f €
[CCX>(H[\\ q
u
€
Hq
i = O, ..• ,m-1
i
où
lii = [Dt - ~i (x, t;Dx)] 1::i::s' lio = Iq
L~s+1) = IT + IT - et N(k,l) entier dépendant de P,k,l.
m
m 1
Si le problème de Cauchy (P)k
est bien posé et que l'inégalité
(E)k
est vraie, nous obtenons une décomposition de la solution de
(P)k-1
qui, conduit à l'inégalité
(E)k-1
en utilisant le lemme suivant:
Lemme 4.1.-
~ SupposonsqueleproblèmedeCauchy(P)ksoitbienposéet
que l'inégal ité
(E)k
soit vraie. Sous les conditions
(A)
et
(B)
nous avons ce qui suit :

---

- 26 -
Pour Y entier
n
la solution
u(t) E [C""(H)]q
de
(P)k-1
se décompose de la manière suivante:
(4.2)
u = V + W
où
v
et
w
vérifient
n
n
n
n
(4.3)
Illvnlll
~
l
B1(k,n,l) [t0k_1(t)]n sup 1 !u(s)II"'(k n l)
.
O~sst
0 / ,
,
(4.4)
Illwnlll l . ~ B2(k,n,l){IIIU(O)III.p(k,n,l)+to~~~tllf(s)II.p(k,n,l}'
Oe plus, si nous posons
(L(k-1) + Q 2)v
= 9
alors
9
vérifie
m
m-
n
n
n
.p(k,n,l)+to~~~t
(4.5)
119n Ill. s B3(k,n,l) [tok_1(t)]n{111 u(O) III
Ilf{s) Il .p(k,n,l)}
où
.p(k,n,l)
est un entier dépendant de
P,k,l,n.
Preuve :
Soit
(L~k-1) + Qm_2)u = f, u € IT;""(H)]q. Remarquons que
(*)
L~k-1) + Qm-2 = L~k) + Qm-2 + Cm-k+16k-2 .••61 •
En effet de (4.1), nous avons
Lm(j) = I1
+
-
+ C
6
1" .6 +" .+C
.6. 1" .6
m
I1m 1
m-s s-
1
m-J J-
1
(1sjss+1)
L(k-1) = Il
+ Il
1 + C
6
1•.. 61 + '"
+ Cm_k6k_1 •.• 61 +
m
m
m-
m-s s-
+ Cm-k+16k-2···61

---

- Z7 -
Résolvons successivement le problème de Cauchy suivant
(L~k) + Qm-Z)un+1 = f - Cm_k+16k_Z ...61un
(4.6)
{
0tun+l(x,O) = 0tu(x,O)
0 ~ j ~ m-l
Par hypothèse
(P)k
est bien posé, ce problème a une solution
unique
un E: [c"'(H)] q
(n = 1, .•. ).
Nous allons montrer que
v
u-u
et
w
n
n
n
un
vérifient
les inégalités
(4.3)
et
(4.4),
En effet par définition de
un'
u-u
vérifient l'équation
n
avec les données initiales nulles; car nous savons que
(L~k-l) + Qm-Z)u f
par hypothèse et d'après (*).
(L (k) + Qm-Z)u = f - Cm_k+16k_Z •. ,6,u
{
(L~k) + Qm-Z)un = f - Cm-k+16k-Z...61un-1
Par conséquent, l'inégalité
(E)k
nous permet d'avoir
d'après les données initiales de (4.6),
u(x,O) = u (x,O)
n

---

- 28 -
O'autre part, le corollaire 3.1 nous montre que
'ù
C
.(x,t;O) = o'.(t)C
.(x,t;O)
m-J
x
J
m-J
x
=>
En réitérant
n
fois le même raisonnement et en tenant compte
du fait que
uo(x,t) = 0
et
v
= u-u , nous, obtenons
n
n
(4.3)
Il vn III ~ B1(k,l,n) [tok_1(t!J n O~U~t Il u(s) Il rj>( k,l,n)
(si
t > ~)
~ B (k,l,n)tn-m+l[ok_l(t)]n sup Ilu(s)II"'(k n l) (si O~ t~.!).
1
O~ s~t
'l"
,
2
Quant à
W ,
en prenant en compte les données initiales
n
c'est-à-dire
O{u + (x,O)
n
= o{u(x,O),
1
0lun(x,O) = O{u(x,O).
Illu III
~0 C(k,l){IIIUn(x,O) IIIN(k l)+t sup Ilf-Cm_k+l'\\_2···111un_lIIN(k l)}
n
-<-,
,
O~ s~ t
'
~
IIIN(k,l)+to~~~tllf(s)
,
C(k,l){IIIUn(X,O)
II N(k,l)+C 1(k,l) Illun- 111I N(k,l)+m-l}

---

- 29 -
En réitérant
n fois le raisonnement et en sachart que
U
= 0
o
un(x,O) = u(x,O).
III un Ill ~
t
B2(k,i,n) {i Il u(x ,0) III ~(k ,n,i)+to~~~tll f(s) Il ~(k,n,i)}
d'où, puisque
wn = un.
Pour prouver (4.5), remarquons que
gn
peut être mis sous la
forme
(4.7)
n = 1,2, .•.
En effet
(L(k-l) + Q
)v
= 9
=>
(L (k-1) + Q 2)(u-u) = gr"
m
m-2
n
n
m
m-
n
=>
(L(k-l) + Q 2)u - (L(k~1) + Q 2)u = 9
m
m-
m
m-
n
n
d'après l 'hypothèse et l'identité (*)
d'après (4.6), nous avons
d'après le corollaire 3.1.

---

- 30 -
en faisant les mêmes calculs que (4.3), nous obtenons en prenant
d'où le lemme.
Remarque
Dans le cas
k = s+l
le problème
{P)s+l
est bien posé et
dans
(E)s+l
on peut prendre
N{s+l,i) = i+l
([4J, [15J).
e. Inégalité d'énergie.
En utilisant la décomposition dans le lemme 4.1, montrons l'iné-
galité d'énergie
(E)k-1'
Soit
1
1
1
1
o
1
I q
1
1
1
L (x)
- - - - - - - - - - - - - - - - -
:
À1{x)I q
o
1
1
1
1
1
1

---

- 31 -
une matrice de dimension
(s+r) x (s+r)
(m-s >- s)
où les composantes
OO
sont des matrices de dimension
q x q de fonctions
C dans un certain
domaine
11
;
L(x)
est donc une matrice de dimension
q. (s+r) x q. (s+r)
à éléments fonctions.
Supposons que
Àj(x) - Ài(x),
~j(x) - ~i(x),
Àj(x) - ~i(x)
ne s'annulent jamais sur
11
si
i f j
et introduisons les matrices
(5.1)
f.(x) '" d
1(x) + d 2(x)(À.(x)-~1(x) +... +d
.(x)(À.-~. 1) ••. (À·-~1)
1
m-
m-
1
m-1
1
1-
1
Lemme 5.1.-
Supposons que
fi(x)
soient divisibles par
(Ài(x)-~i(x))
dans
COO alors il existe une matrice
N(x)
avec
det N = 1 qui dia-
gonalise
L(x).
Preuve
On général ise pour cela les démonstrations de [3J (Lemme 5.1)
et 05J
pour une telle matrice
L(x)
On peut construire une matrice
N qui diagonalise
L
N
a
-1
1
N
a
1
N
N- 1
B
N
-1
2
R
N2

---

- 32 -
avec
N
et
N
diagonalisant
A
et
A
respectivement et
1
2
1
2
det N = det N
1
2 = 1
si et seulement si
B = (b ij )1:::j:::s est telle que
1:::i:::r
les
b
matrices de dimension
q x q
vérifient
ij
(À·-)J1)b. 1
1,2, ... , m- s = r
1
1 ,
i
1,
,r
j
2,3,
,s
dm-1 (x)
(Ài-Ài+1) ... (Ài-Àr)(Ài-)J1)bi,1
i = 1, ... ,r
= >
{
d
. (x)
(1..-1.. 1)"'(1.·-1. )~À'-)J.)b.. -b . . -11· 23
m-J
11+
1
r L 1
J
1J
1,J-_J="
... ,s
En faisant
i = j
dans l'expression de
d
.
(j
1, ... ,s)
m-J
on constate que cela est réalisable si et seulement si
+ d
.(x)(À'-)J' 1) ... (À.-)J1)
m-1
1
1-
1
est divisible par
(Ài-)Ji)
dans
cCX)
V i i = 1, ••• , s.
c.q.f.d.
Lemme 5.2. -
06J
Soit
ott)
une fonction
cCX)
positive et strictement croissante
2
pour
t > 0
si
o(t)(o' (t))-1 €
C ( [O,TJ)
dans un certain intervalle
@,TJ, alors to' (t)
est croissante pour
t > 0
et il existe une cons-
tante
C
telle que

---

- 33 -
t[a'(t)J2 ~ C{a(t)a'(t) + ta(t)a"(t)}
soit réalisée
dans un certain intervalle
[O,T'J.
Montrons l'inégalité
(E)k-1'
Lemme 5.3.-
q
Sous les hypothèses du lemme 4.1, la solution
u €
Il''''(H)J
de
(L (k-1) + Q
)u = f
vérifie l'inégal ité suivante
m
m-2
où
N(k-1,i)
est un entier dépendant de
P, k-1
et
i.
Preuve :
D'après le lemme 4.1, nous décomposons
u en une somme
vérifie
(5.5)
(L(k-1) + Q
)v
= gn
m
m-2
n
En effet,
(L(k-1) + Q 2)(v +w ) = f
m
m-
n n
(L (k-1) + Q
)v
+ (L(k-1)
Q )
f
m
m-2
n
m
+
m-2 wn =
(L(k-1 + Q 2)v
= f - (L(k-1) + Q
)w
en posant
m
m-
n
m-2
n
Wn étant déterminé par (4.6), il suffit de déterminer v '
n
D'après (4.4), il suffit d'avoir une estimation analogue à (4.4) pour
vn
pour obtenir
(E)k-1'

---

- 34 -
Par simpl ification, oubl ions l'indice
n
et écrivons
(5.6)
D'après [12J et [3J,
nous pouvons écrire
Q 2 comme combi-
m-
naison linéaire des opérateurs
[1q' (0t-Ill ~x, t;0x) ), ... , (Dt-Àm_s-2(x, t;0xn... (0t -À1(x, t;0x) ). (0t-IlS(x, t;0x) ).
. . . (Dt-Ill (x, t ;Ox n}
(5 . 7)
Qm..., 2(x , t; °x' °t) = a0 (x , t ;°x) [0 t - Àm_s_2(x , t; °xl]· .. [0 t - À1(x, t ;°x)J .
[Ot-lls(x,t,Ox)]···[Dt-1l1(x,t;OxJ + ••• + Cl m_2(x,t;Ox)
où les Ct .(x,t;O)
sont des opérateurs pseudo-différentiels matriciels
J
x
de dimension
q x q
d'ordre
j,
0 ~ j ~ m-2.
(5.8)
(Am-2v,Am-3~t-1l1(x,t;0)JV,Am-s-l[ot-lls_1(x,t;Ox)] .•• [!Jt-1l1(x,t;Ox)]v,
m s 1
p(t)A - - [Ot-lls(x,t;Ox)]··· [Ot-1l 1(x,t;Ox)]v ,
et notons
V = (;0 1
A opérateur pseudo-différentiel
de symbole
(l+I~\\2)1/2.
vm-1)
Alors l'équation (5.6) peut être exprimée sous la forme matri-
cielle suivante:

---

- 35 -
où
1
1
1
o
1
I
1
q
1
o
llSI q 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1
_
G =
1
À I
1 q
1
o
9
1
1
1
\\i
1
0, ... ,0,p(t)C
, ...,p(t)Cm 1
m-k+l
-sI
2
B est un opérateur continu sur
(L QRn))m xq
et les
Ci
(i
1,2)
sont des matrices constantes.
D'après le corollaire 3.2,
p(t)C
. = U"k(x,t;t;)(À'-ll'), Vk ~ j ~ i donc les fonctions i,'(x)
m- J
J'
" "
sont bien divisibles par
(Ài-ll i ), V i et d'après le lemme 5.1, L1
est diagonalisable
iill[ ~ C _1_
or, d'après le lemme 5.2.
l p(t)
P( t)

---

- 36 -
1
°k_1(t)
t(ok_1(t))2
Co _ (t){ok_1(t)+to
(t)}
k 1
k_1
p(t) = °k_1(t) = t(ok_1(t)ok_1(t)) ~
to _ (t)ok_1(t)
k 1
(5.10)
Puisque
L~ est diagonalisable alors il est bien connu (02J, [3J)
que la solution
v(x,t)
de (5.9) vérifie l'inégalité d'énergie suivante:
t
{f (sOk 1(S))'
ft
}
(5.11)
Ilv(t)II-e., ~ M(k,-e.)
0
SOk~1(S) Ilv(s)ll-e.ds + ollg(s)ll-e.dS •
Posons
t (sa'
(s)) 1
w(t) = f
k-1
Ilv(s)ll-e.ds
et prenons l'entier
n = n(k,-e.)
o (sok_1 (s))
n(k,-e.) ;: M(k,-e.).
Alors de (5.1),
nous avons
n
dt[(tok _ (t)r W(t)] = [tok_1(t)]-ndtW(f)-n(tok_1(t))-n-1(tok_1(t))'w(t)
1
( tak-1 ( t) r n-1 ( tak-1 ( t) ) , 1 1v ( t) 1 I-e.- n( ta k-1 ( t) ) - n-1 ( ta k-1 ( t) ) 'w ( t )
(tok_1(t)rn-1(tok_1(t))'(llv(t)II-e.-nw(t))
. ~ (tok_1(t))-n-1(tok_1(t))'(ilv(t)II-e.-M(kl)w(t))

---

- 37 -
+ M( k ,f) fat
(s°k-1 ( s) ) 1 Il v( s) Il f ds } •
50k_ (5)
1
to _ (t)
monotone croissante.
k 1
En intégrant cette égalité de
a
à
t,
nous obtenons
r
. ~ M(k ,f)'
s(sok_1 (s)) -n
5UP Ilg(-r) Ilfds
.
a
a~T~S
rt
w(t) ~ M(k,f)(tok_ (t))n J S(Sok_1(S))-n SUp Ilgh)1 IfdS.
1
a
a~T~S
D'après le lemme 4.1 et le fait que
to _ (t)
soit monotone pour
k 1
g = gn(k,f)
nous avons l'inégalité suivante
puisque
to _ (t)
est monotone croissante
T ~ S
(T) ~ sOk_1(s)
k 1
=> TO k_1
(5.13) a;~~sIl g( T) Ilf, ~ B3(k,f,n) (sok-1 (s) )n(k,f){i Il u(a) III cp(k,f,n)+a;~~~1 f( T) Ilcp(k,n,f)}
w(t) ~ M(k,f)(tok_1(t) )m(k,f) ft B (k,f,n){111 u(a) III "(k f n)+ sup Ilf(T) \\ l "(k n f)}
3
a
~
"
a~T~S
~,
,

---

- 38 -
-
-n(k.t)
~
}
~ M(k,.tltLtok_1(t)J
'
B3(k,n,.t) Illu(O)III"(k
.t) + sup Ilf(s)11 (k
0)
,
'+'
,n,
O~s~t
<jJ
,n,,,--
(5.14) Illv(t)III.t, ~ M1 (k,.t)B3(k,n,.t)t(tok_1(t))n(k,.t){IIIU(Q)III<jJ(k,n,.t) +
S up
Il f( s ) 1 1<jJ (k n .t )}.
Q~s~t
' ,
En sachant que
=>
(5.15)
Illv(t)III.t, ~ N(k,.t)B (k,n(k,.t+1))t(to
(t))n(k,.t+1)-1
3
k_1
x
x {lllu(O) III <jJ(k,n(k,b1) ,.t+1) + O;~~t Ilf(s) Il <jJ(k,n(k,.t+1) ,b1)}
De (4.4) et (5.15) et du fait que
u = v + w
nous avons le
n
n
lemme 5.3.
f. Fin de la démonstration de l'existence de la solution.
Nous définissons la
E-translation
P (x,t;D ,Dt)
de
P par
.
E
X
(6.1)
et pour
P
nous avons les mêmes considérations que celles des paragra-
E
phes précédents en prenant
E comme un paramètre. Puisque
L(k-1)
est
m,E
strictement hyperbolique pour
E > 0
la résolubilité de
(P)k-1,E
est
assurée.

---

- 39 -
Si nous supposons que l'inégal ité d'énergie
(E)k
est vérifiée unifor-
,E
mément pour
E,
alors on peut conclure que le problème de Cauchy pour
L (k-1) = L (k-1)
m
m,O
est bien posé et que
(E)k-1,E
est vérifiée uniformément
par rapport à
E d'après le lemme 5.3.
Par conséquent, le théorème est prouvé par induction sur
k.
3. DEMONSTRATION DE L'UNICITE DE LA SOLUTION.
L'unicité de la solution du problème (1) et (2) est garantie
par l'existence d'une solution pour l'opérateur adjoint de
h.
L'opérateur adjoint de
h = (hij)
i,j = 1, ... ,q
est égal à la matrice
transposée des opérateurs adjoints des
hij(x,t;Dx,D ).
t
De ce fait, la matrice caractéristique de l'opérateur adjoint
*h sera
*
*
t
H =
H(x , t ; ~ ..d
[H (x, t ; ~ , T)J .
D'où
tA*H
tAtH = t(H.A)
t(A.H)
tH.tA
*HtA
detH.I q
Soit un opérateur
b(x,t;Dx,D t ) de matrice caractéristique
B(X,t;~,T) = tA(x,t;~,T).
On pose

---

- 40 -
*
Par conséquent pour résoudre le problème de Cauchy associé à
h
*
on procèdera comme pour l'opérateur
h en remarquant que
h vérifie
les hypothèses
Hl
et
H
et les conditions
(A)
et
(B)
lorsque
h
2
les vérifie.

---

- 41 -
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---

- 43 -
DEUXIEME PARTIE
CONDITION SUFFISANTE D'UNICITE
Coo DE CAUCHY POUR DES SYSTEMES D'ORDRE
A CARACTERISTIQUES MULTIPLES.
1. NOTATIONS - HYPOTHESES - RESULTATS.
a. Notations.
Soit
n € ]N*,
on désigne par
(x,d
le point générique du fibré
cota ngent
T* (IRn+ 1)
avec
x = (x o'x , ••• ,x
1
n)
(xo'x ')
E; = (E;o,E;I'··· ,E;n)
(E;o,E;')·
On utilisera les notations usuelles
Yj=O,I, ••• ,n
Cl
(_(l_) n
(lX n
Cl
(_(l_) n
(lXn
n
J: Cl·
j=O
J

---

- 44 -
On désigne par
Il
Il la norme de [1.2(IRnDm par rapport à la variable x' , m ~ 2.
Il
Il
la norme de l'espace de Sobolev [H s (IRn)Jm.
Sur
[C~([O,TJ xlR~m,
on définit les normes suivantes
2
2
IIIull1
J:
='
IIul1
eXP[k(xo-T)2]dXo
(s) JT
.
Illulll~ =.2.
IID~UII~_i expl}.(xo-T)2JdXo
1=0
a
(s)
désigne le plus petit entier plus grand ou égal à
s.
Dans toute la suite, on désigne par :
L~ 1
la classe des opérateurs pseudo-différentiel s admettant un symbole
homogène d'ordre
y par rapport à la variable
ç'
et
sy
l'es-
x'
pace des symboles correspondants.
L~
est la classe des opérateurs différentiels en
Xo et pseudo-diffé-
rentiels en
x'
d'ordre
y = a + S en
x = (xo,x')
où
a
est
l'ordre de l'opérateur en
Xo et S ~ a l'ordre de l'opérateur en
x'.
S~ est l'espace des symboles correspondants.
Ly,r
est la classe des opérateurs pseudo-différentiels d'ordre
y en
x'
x'
dont l'espace des symboles correspondants est
tels
que ses symboles a.o(x,x' ;ç')
admettent un développement de la
forme
1
y- -
a.(xo,x';ç') '" {lo(x ,x';ç')lç'I Y
(x
o
+a 1 o,x';ç')!ç'l
r
+ ...
2
y- -
+ CL (x ;x';ç')lç'l
r
2
+ •••
o

---

- 45 -
où
a.(x ,x';ç;') €
5°, .
J
°
x
LY
est la classe des opérateurs pseudo-différentiels classiques d'ordre
cl,x
y par rapport à la variable
x'.
S~l,x' est l'espace des symboles correspondants.
Rappelons que
p(x',ç;') € S~l,x'
<==>
il existe pour tout
j € IN
une fonction
Pj € C(IRn x JRn \\ 0)
homogène de degré
y-j
telle
k-l
que
(p -
l PJ') € sy-k pour tout entier k ~ O.
j=O
b. Hypothèse s.
Soit l'opérateur différentiel matriciel réel de dimension
m x m
oo
de classe
C ORn+1)
et d'ordre
t.
f .t-j
(
)
h
,,1
h
. x;D
t
j=O
-J
x
où
ht . = ht .(x;ç;) est une matrice de dimension m x m formée de fonc-
- J
- J
tions
(ht_j)~ polynomiales homogènes de degré t-j en ç; et de classe
Cool~n+l) en x (0 ~ j ~ t) tel que la matrice
H = ht
vérifie les hypothèses suivantes:
Hypothèse 1.
~
Le déterminant caractéristique
det H possède une décomposition
J en facteyrs Hs
(s = 1, .•. ,a)
notée:

---

- 46 -
vl
Vs
va
det H = (H 1)
... (H)
.. , (H)
.
s
a
oo
H = Hs(x;s)
est une fonction polynômiale en
s
de classe
C QRn+l)
en
S
x telle que
où
(Ix)
n+l
est le champ de covecteur de coordonnée
s = (1,0, ... ,0)
x€lR
sur lRn+1.
La décomposition est une décomposition en facteurs irréductibles
sur 1R Cs] .
Chaque multiplicité
Vs
est constante.
Hypothèse 2.
Pour tout
x fixé dans lRn+1 et chaque
s = 1, ..• ,0
dans
l'anneau principal
<l>s'
local isé de lR[s]
par rapport à l'idéal premier
défini par
H '
dont les éléments sont des fonctions à dénominateurs
s
non divisibles par
Hs dans lR[s].
On a la forme réduite suivante de la matrice
H à l'aide de
ses facteurs invariants
Hs '
~]
H~s
o
avec
Vs > 1
(s = 1, ... ,0).
Vs
est constante
Vs = 1, ... ,0
v
qS
constante.
s

---

- 47 -
Hypothèse 3.
le ra~ical caractéristique
o
R = R(x;s)
TI
Hs(x;s)
s='
a ses racines
À.(x;s')
distinctes deux à deux et en posant
J
T,
H, (x;I x)i~1 [so - Ài(x;s')J
Ta
_
H (x;s)
H (x; 1 ) TI
[s 0 - À. (x; s' )J .
a
a
x·
1
l
l=T
1+
a-
On a
o = T < Tl'" < T < ... < Ta
O
S
et les inégalités suivantes
iFj,
x€.lI,
1s'l
1}.
On note
A~
le cofacteur de
Hi
l
k
A~'~ le cofacteur de Hi,j
dans le développement de
det H.
1,J
k,f
D'après les hypothèses 1, 2, 3,
il s'ensuit que:

---

- 48 -
les facteurs
Hs sont uniques à un facteur multiplicatif près appartenant
à
Coo(n)
et borné inférieurement en valeur absolue. Les multiplicités
Vs
sont indépendantes de
H
vérifiant les hypothèses.
s
Avec la convention de sommation d'Einstein, on a donc
.
cr
S
.
= (det H)ôl = II
(H)q ô'
s=1
s
cr
s
On pose
T
degré de
II (H )q
s=1
s
Ti = multiplicité du zéro
Ài(x,ç')
On suppose que
t = 1 et il existe
m mineurs de rang
(m-1)
non nuls quels que soient
Ço = Ài(x;ç'),
(i
1, .•. ,T cr)·
Quitte à former un changement dans l'ordre des équations et des
inconnus, on peut supposer :
A](X;À i ) t- 0,
V ç', x = (0,0) et
1, •.. ,
tel que
r· >
,
A~ (x; Ài) t- 0, Y ç', x = (0,0) et
1, .•• ,
tel que
r. >
,
A~(X'Ài) t- a,

---

1
K (0 0
(0 0
')
').J 0,
\\.J
S~-,
r i e
1
1
' ;1;0" À i
,;1;
,1;
T V . . ,
~
..,
et
1, ••• ,1/
>1
° ri
est le polynome sous-caractéristique du sytème
Nous allons montrer les théorèmes suivants
c. Résultats.
Théorème 1. - [6J
Sous les hypothèses
A, B et
C
il existe une constante
C > 0
indépendante de
u telle que
~, T, k- 1
suffisamment petits, on ait l'estimation suivante
klllulll~l+.! ~Clllhull12
q
où
'ù
n " {x
< r,
q"
max
qS "q1
(on peut supposer
q1 3 q2 3 ••• 3 qO)
s" 1, ••• ,
avec
111.111 et 111.lll s définies à la page 44.

---

- 50 -
Théorème 2. -
~J
Supposons les hypothèses du théorème 1 satisfaites, alors il
existe un voisinage
ni
de l'origine contenant
n tel que si
UE: [~~)(n')Jm
satisfait
hu=O
et
u=O
dans
{(xo'x') E:n'
x < 0
alors
u = 0 dans
n.
o
2. REDUCTION DE L'OPERATEUR
h.
On décompose le symbole
h(x;s)
de
h en symboles homogènes
d'ordre
t,
t-1, t-2, ... ,0.
t
t-1 *
t-2 **
(2.1)
h(x;s) = i H(x;s) + i
H (x;s) + i
H (x;s) + •••
avec
Soit Q un opérateur matriciel
m x m dont les éléments
sont de l a forme
(2.2)
Cl. ~J
où
A~ E: LT-t a pour symbole A~(X;s)
défini antérieurement à partir
J
x
J
*i
T-t-1
de la matrice des cofacteurs de
H et
A
E:
Lx
a un symbole
j
*i
T-t-1
A (x;s)
que l'on déterminera par la suite.
j
E:
Sx
On pose
(2.3)
b = Qh
(2-4)
(2.5)
TI
avec
T

---

- 51 -
r,
r
r
ql
2
'1
2
r
r
r
q
T +l
T
l
'1+ 2
2
a
r
r
r
q
T 1+1
T 1+2
T
0-
0-
a
donc
r l 3 r2 3 ••• 3 r,
puisque
q1 3 q2 3
a
On décompose alors le symbole
b(x;~)
de
b en symboles homo-
gènes d'ordre
T,
T-l,
,-2, ...
b(x,~) = B(x,~) + B*(x;~) + B**(x;~) + ...
D'après (2.1), (2.3) et
e,
on a :
Ta
r.
(2.6)
B(x;~) = II r~ - À.(x;~)l J. lm
j=lLO
J
J
où
lm
est la matrice identité d'ordre
m x m.
On définit
II _
par
T 1
(2.7)
"-
En liaison avec
Àj et d , on définit À
j
j
et
~j'
a ~ j ~ Ta comme suit :

---

- 52 -
Soit
'\\,
T
0
O
'\\,
qO
Tl
r T0
'\\,
T2
r
+ r
T
T -1
·
0
0
·
·'\\,Tj r + r +
T
T -1
·.. rT -j+l
0
0
0
'\\,
T
r
+ r
+
T
T
T
·
-1
.. + r 1
0
0
0
q0(r -T
1) + ·.. + ql (r l-To)
T.
o
0-
On pose
'\\,
6
=
et
dO
pour
o li; k li; T -1
'\\,
Tk+1 li; j li; T
0
k+
o
•
1
~j(X;DX') = ÀT _k(x;Dx') et
0
dT -k
o
Ains i
= 6r
d T
T
0
0
6r +r
dT -1
T
T0-1
0
0
6
6
.
T-l
dl
T
Les
d
et les
6
sont des dérivées directionnelles et peu-
j
j
vent être utilisées comme des dérivées, comme l'expliquent les lemmes
suivants :

---

- 53 -
Lemme 2.1.-
[2J, [3J, [10J.
a) Pour tout
j ~ 0,
il existe
(li(x;D ')
x
€
L~, , tels que
1
6.l'.·_1"'l'.
=
~ a (X,D ,)Dt + T, où T, représente les termes
i
x
J J
0
i=O
0
d'ordre inférieur
ordre de
C. ~ i
1
b)
i
Réciproquement, il existe
bi(x,D ')
, tel s que
x
€
Lx'
Dj
r b.(x,D ,)lI ..lI .. , ". lIo + T2
où
x
i=O
1
X
J-1 J-1-
0
avec
lI
= 0
pour
k ~ O.
k
Corollaire 2.1.-
Tout opérateur de
L~ (k entier non négatif) peut s'écrire
sous la forme
Preuve :
C'est une application de la partie (b) du lemme précédent.
Corollaire 2.2.-
Il existe
C
. €
(L,-i)
t l
,-1
x'
mxm
e s que
(2.8)
+ C
. (x; D ,) li
, ".lI
+ ClI
,,,.lI
+ T.
,-1
X
, -
0
T-
0

---

- 54 -
Avec
T
(L~~2)mxm où
l €,-i)
,-2)
)
(Lx'
mxm
(respectivement
(Lx'
m m
désigne l'espace des matrices
m x m
,-i
dont les éléments appartiennent à
Lx'
(respectivement
L~~2).
Définition 2.1.-
Pour
1 ~ j ~ "
on pose
.
,
cr
L'(X ,x';1;') = nO l(x;1;o=À.(x,1;'),1;')
J
O
,-
J
où
nO l(x;1;)
est le symbole principal de
n
l(x;D).
,-
,-
x
(2.9)
Rema rquons que
L (x
(x,1;'),1;')
j
O,X';1;') = n~_l(x;1;o = Àj
"u
= C,_l(x,1;')+C,_2(x;1;')(À;(x;1;')-À 1(x;1;') +
Comme valeur propre et pour vecteur propre associé
V À. racine en 1;
de
H
tel que
Vs > 1.
J
0
s

---

- 55 -
Remarque 1.
En appelant plus généralement, pour
{ = 1, •.. ,m
On a
(2.10)
Pour tout
À
racine en
~o de H
j
s
tel que
Vs > 1
et plus généralement
Proposition 2.1.-
[5J
Sous les hypothèses (A), (6) et (C) il existe un opérateur
Û=-_"":"'-_- [A+A*J
°
S
Il (H (x,I ))q
s=1
s
x
tel que la matrice
L
définie par (2.9) vérifie:
j
pour tout
j
avec
Àj(X,~I)
racine de
Hs ' on a
y X € n,
V~'
et {"f k
Et par suite
V t = 1, ... ,m
avec
00 > 0
et
(x;~') E: U x (!Rn_{Q}) où U est un voisinage de l'origine.

---

- 56 -
Proposition 2.2.-
[5J, [6J.
Sous les hypothèses
A,
B et C,
il existe un opérateur
matriciel
avec
A;i €
L~-t-1 ayant un symbole Aji(x;~*) ~ s~-t-1 tel que à
l'opérateur propre
a =
1=----__ 1]\\ + A*J
cr
S
II (H )q (x;I )
s=l
s
x
on ait un opérateur
où
Bi(x,~) est la partie homogène de degré i en
~ du symbole de l'opé-
rateur
b,
Bi(x;Dx) est l'opérateur de symbole Bi(x,~) et R _
T 2(X;Dx)
est le reste d'ordre
T-2,
vérifiant en posant
E=cr
rb-iTIIIl
T-1 L
T mJ
[(a~)iEJ~(X;~O=;>,/X;~'),~,)=O
pour tt-k,
x€n',
~'t-O
o
et
0 ~ i ~ q.-2.
.
.
J
[(a~ ~](X;~o
)i
= ;»x,ç'),~')
o
Ai
= I(_a_)i ~~-(X;~ = ÀJ.(X,~I),~')
aç
A'
0
o
~
-
1
o ~
~ q.-2,
l = 1, ... ,m
et
x €
D,
ç 1 f. o.
J

---

- 57 -
Preuve :
°
s
Pour simplifier les calculs, on suppose que
n (H (x,I ))q
s=l
s
s
et
qS = qs'
Nous allons montrer le résultat par récurrence sur
j
allant
de
0 à Qi-2.
Pour
j = 0,
le résultat est montré par le lemme 1.2 et la
proposition 1.1.
Nous avons aussi les relations suivantes
°
Q
B = AH = det H.lm = n (H ) s.I
s
m
s=l
*
*
*
n
aA
aH
B = A H + AH
+
L
•
y=O al;y
a\\
r
a
rtb- T I l ( .
-
( . ')
') - .T-l
a )B*J (.
_
(
')
0
1 )
~ °T-l L ' nT' mJ x,l;o - Ài X,I; ,1;
- ,
~
x,l;o - Ài X,I; ,1;
o
_
0
_
( a)j
Ib_oT n
I l ( .
- À ( • ')
')
-
.T-l~( a )jB*J('
_
(
')
')
81;0
°T-l L '
T' mJ x,i;o -
i X,I;
,1;
- ,
Lal;o
x,l;o - À i X,I;
,1;
.
pour
j = O, ... ,qi - 2.
Nous avons

---

- 58 - -
en sachant que
En désignant par At la
ième colonne de
A,
nous avons
t
*
2
1 n
d B
At(B
-"2 ~ ~).At =
y-O
y
y
~ *j k 1 n j dA~ dA~ dA~ dA~~ q.-l
= .L AjH k At +"2 ~ Hk(~· ~ - ~ . ax-) At + (Hi) 1
Pt'
J,k
y-O
y
y
y
y
t = l, ... ,m,
avec
Pt
une matrice
m x m hypothèse de récurrence.
Nous supposons avoir déjà calculé B*(X;so = Ài(x;s'),s')
r(d~ )B*l(x;so = Ài(X;S')'S')' ... '[(d~ )j-1B*l(x;so = À;(x,s'),s')
~ 0 J
- 0
J
tel s que
et
~
E~(X;so = À;(x;s'),s') = ~ (x;so = À;(x;s'),s')
At
r(d~
"d~ 1l
)j-1 E]t(X;so=À;(X;sl),sl) =
)j-l
(x;so = Ài(x,s'),s')
L o t
L 0
At J
pour t = l, ... ,m.
Calculons donc
que

---

[(d~O)jEJ~(X;I;O = Ài(x;I;'),I;') = 0 pour .t f k
~':o)~i(x"o
G,V ~I]
:~(X,I;')
e
,;(x,,'),,') e
(x;l;o =
,1;').
l
.{. 1,•.• ,m.
Posons
N = I(a~ )jEJ(X;l;o = Ài(x,I;'),I;').
L 0 -
Résolvons d'abord les équations
Nf = a pour .t # k.
Elles s'écrivent de la manière suivante
2
(_a_)jr*H + AH* +
~ ~~ _.1. ~ a (AH)j}.t(X 1; =À. 1;') = a.
{ al;
La al; ax
2
La al; ax
k ' 0
"
o
y=
y
y
y=
y
y
Nous pouvons réduire les équations sous la forme
où
c~ second membre connu puisque
A*(.
-
')
(( a )j-1 A*)(·
-
')
x,l;o - Ài,1;
, .•. ,
~
x,l;o - Ài,1;
sont déjà déterminés.
o
Choisissons
==>
N~ = a s'écrit sous la forme
k = l, .••• ,m,

---

- 60 -
En fixant
t
dans
l, ... ,m,
nous obtenons un système de
(m-l)-équations
à
m-l
i nconn ues
(i
l, ... ,m
et
puisque le
~~l (H~) (x;~o = Ài,~I) = Ai(x;~o = Ài,~I) # 0 par hypothèse.
k#t
Nous pouvons appliquer la règle de Cramer à ce système.
sont déterminés.
Donc les
Ni
sont déterminés pour
t = l, ••• ,m.
Calculons ces quantités.
Nous avons:
q.-j-1
+ (H.) 1
Pk'
l
, J
D'où
~
2
d
j *
1
~ d B )J -
(ar) (B
- 2"
L
~ At -
o
y=O
y y
~ k(_d_)j-k( * _.1 ~
i8_) (_d_) kA
+
L C. d~
B
r
L
d~ Cix
Ci ç:
t
k=l
J
So
~
=0
y
y
a

---

- 61 -
Par hypothèse de récurrence cela devient en
(x;~o = Ài,~I)
r
2
(ac-) (B
- -2 l
l
d
j
*
1
n
d B
~) Al (x;~o = Ài'~') =
_
"0
y=O
y
y_
j
Ck.(_d_)j-k 1
(d )kA (
')
L
- u .
---d~
0
X;~o = Àl·'~
+
k= 1 J d~O
A.{.
"o.{.
l
Montrons maintenant que
pour
l = 1, .•• ,m
et
j = O, .•• ,qi-2.
D'après l'article [2J
q.-1
(Hi) l
Qi
d'où
Nous avons donc pour
o ~ j ~ q.-2
.
.
l
1
• ~
• K
q . -1 - j
1
(_d_)J
.{. = (_d_)J
+ (
) l
d ~
-u
d
--,-
H.
Ro •
"0
A.{.
~o
AI
l
.{.,J
l
1

---

- 62 -
==>
Ainsi en composant
N par
Al
à droite. nous avons
Il existe un polynôme
A*(x;~o.~I)
en
~o de degré T-t-1
(donc
CL(X'~O.~I)
existe et de degré
T-t
en
~o)
puisque pour
sont déterminés et prennent les valeurs précédentes car le nombre de
conditions est inférieur à
T-t.
En effet. pour ohaque
À.
nous avons
q.-1
conditions.
1
Ta
1
Comme
~ i ~Ta'
Nous avons au total
y (qs-1) conditions
s=l
thèse. ainsi la proposition est démontrée.
Proposition 2.3.- [6J
Sous les hypothèses
A. B et C. on peut fixer les valeurs des
telles que les matrices
e
l(x;~I).e
'}(x;t') ..... eo(x;~I)
issues du
T-
T-L

---

- 63 -
développement de
rr~_1(x;~o,~I)
'V
avec
~o - Ào -
commutent entre elles deux à deux.
Preuve :
Examinons le cas particulier où cr = 2 =T cr (le cas où cr = 1, cf. [7J).
Il existe deux racines distinctes
À1 et À2 de multiplicités respectives
q1
et
q2'
rr~_1(x;~o,~I) peut se développer sous la forme suivante
rr~_1(x;~o,~I) = eT_1(x,~I) + eT_2(x,~I)(~o-À2) +
+
q -2
q -1
+ eT-q2+1(x,~I)(~O-À2) 2
+ eT_q2(x,~I)(~O-À2) 2

---

- 64 -
Montrant ainsi que
e
l(x,s'),e
2(x,s'), ... ,e
+1
T-
T-
T- q2
sont des matrices
sca 1aires.
Toujours d'après la proposition 2.2.
Nous avons que
Par conséquent,
[eT_q/x,s') + eT- -
q2 1(x,s ') (À 1-À2~
est une
matrice scalaire.
Soient
A et
B deux matrices telles que aA + $B = x.lm
(a ,$,x E: R) •
2
Nous avons
a AB + $B
xB }
=>
AB
BA.
a BA + $B 2
xB
A et
B commutent.
Aussi de la même manière, nous pouvons dire que

---

- 65 -
==>
matrice scalaire.
Soient A,
B et C des matrices telles que
aA + SB + yC
x lm
avec
A et
B qui commutent alors
2
aBA + SB
+ yBC
XB)
2
=> puisque
AB
BA => BC
CB
aAB + SB
+ yCB
xB
De même, nous avons
CA = AC.
=>
A, B et
C commutent entre elles deux à deux.
Par conséquent
deux à deux.
Ainsi en réitérant le même raisonnement jusqu'à la (q,_2)ième
dérivée de
prise au point
nous obtenons
ale
+ a
,-q2
2e
, + •.• + aq,e, = x.l
,-q2-
m
où
e,_q2,e -q2-" .•. ,e 2 commutent entre elles deux à deux.
De la même manière que précédemment, on montre que
e,
commute
avec
e,-q2" .. ,e2·

---

- 66 -
Il reste à montrer que
eo(x,~')
commute avec toutes les autres
matrices
ej(x,~')
(1 ~ j ~ T- q2)'
Remarquons à partir du développement de
n~_1(x'~o,~I) qui
Or, par définition
n
n
2(
)
o
(
') = A*H + AH* +
\\
~ ~ _ l
\\ Cl AH
nT_1 x;~o'~
L
~~
~
2
L
~~ ~x
i=O·osi oX i
i=O oSi o i
Nous savons par hypothèse que
H est d'ordre
t,
H*
d'ordre
t-1
A d~ordre
T-t
et
A*
est d'ordre
T-t-1.
Calculons cette dérivée à partir de la dernière égalité

---

- 67 -
Il nous suffira de choisir
(a~ )T-t-1A*(X'~o,~I) = (~~t»)t-1H* pour que
o
eo(x,~I)
soit une matrice nulle.
Par conséquent,
eo(x,~')
commutera avec toutes les autres matrices.
Montrons maintenant la proposition pour
cr
quelconque.
Il existe T
racines
(Ài' 1 li; i p )
de multiplicité
qi
cr
cr
( 1 li; i p
).
Notons
e = T .
cr
cr
rro
(x'~ ~') peut se développer sous la forme suivante
T-l
' 0 '
qe
qe-l- 1
qe-2- 1
q2- 1
ql-l
+ ee-2(~o-Àe)
(~o-Àe-l)
(~o-Àe-2)
"'(~o-À2)
(~o-Àl)
+
qe
qe-l- 1
qe-2- 1
q2- 1
ql
+ ee-3(~o-Àe)
(~o-Àe-l)
(~o-Àe-2)
"'(~o-À2)
(~o-Àl)
+

---

- 68 -
En utilisant ce développement et la proposition 2.2, on montre de la même
manière que précédemment, que les matrices
e
l' e
2,···,e
1 commutent entre elles deux à deux.
T-
T-
T-qe -q e-l -ql+e-
Il reste à montrer que les matrices
ee_2, ... ,ee_3, ... ,e ,e
1 o
commutent entre elles deux à deux et avec toutes les autres matrices.
Remarquons que
Or,
D'après les calculs faits ci-dessus
Il suffira de prendre
En choisissant
eo(x,~') est nulle par conséquent
Calculons la dérivée à partir de cette égalité

---

- 69 -
Il nous suffira de choisir
pour que
soit nulle. Par conséquent,
el(x,~I)
est aussi
nulle.
. .
(Cl )T-t-l *
(Cl )T-t-2 *
En Cholslssant
~
A,
~
A
convenablement
e
o
o
0
sont nulles, nous pouvons remarquer que:

---

- 70 -
+ (__d__ ),-3
d~O
~AH* + l ~~ _l l d (AH)j
n
n
2
. 0 d~. dX.
2· 0 d~.dX.
1=
1
1
1=
1
1
-
-
Pui sque
(_d__),-t-1 A* (_d__),-t-2A*
l
sont connues, i
suffira
d~O
'd~O
de choisir
pour que ~2(X,~I)
soit nulle.
Supposons, par récurrence, qu'il existe
(at-),-t-1A*.(at-),-t-2A*""'(d~),-t-&+2A* telles que
0 0 0
soient nulles.
Montrons qu'il existe
soit nulle.
Par cette hypothèse. nous remarquons que

---

- 71 -
or
n
2
à
à
1
n
à (AH)
rr 0 (x ~
~I) = A*H + AH* + \\
\\
'"1:-1
''''0''''
i;O àE;i àX i - 2" i;O àE;iàXi
(__à__)'"I:-S+1 rro
(x ~
~I)
àE;
'"1:-1' "'0''''
o
j
Puisque les
(à~ )'"I:-s+1- A* (j = 0, ••. ,t-1) sont soit nulles soit sont
o
déjà déterminées par hypothèse de récurrence.
Il suffira donc de prendre
2
+ (--à--)'"I:-S+1
* + y _à__à_l Ï à (AH)I}
àE;
rH
"0 àE;. àx. 2 . 0 àE;.àX.
o
1=
1
1
1=
1
1
pour que
e _ (x,E;')
soit nulle.
S 2
Ainsi toutes les matrices
e'"l:_l(x,E;'), •.. ,e (x,E;')
commutent
o
entre elles deux à deux.
Remarquons que les propositions 2.2 et 2.3 imposent au total
'"1:-1
conditions; d'où
'"1:-1 ~ '"I:-t
;
ce qui nécessite
t = 1.
Soit
ni
un voisinage ouvert de
n
;
tout opérateur pseudo-
différentiel étant équivalent à un opérateur pseudo~différentiel proprement

---

- 72 -
supporté
on peut choisir a
proprement supporté ainsi que
b = CL. h
Cl
v(n') -
v(n')
b
a.h
v(n') -v(n').
Choisissons maintenant
e1 € c'''OR+) telle que 0 ~ 01 (s) ~ 1
pour
s >- R+1
pour
s ~ R.
n
Choisissons une autre fonction
~ € CoOR ) positive égale à
dans un voisinage de
{x'; lx' 1 ~ j)i}.
Formons les fonctions
~1(X';~')
~(x')e1(1~'I)
~2(x';~')
~(x')e2(1~'I).
Les opérateurs
~1(x';Dx') et ~2(X' ;Dx') sont proprement sup-
portés appartiennent à
L~, et pour x = (xo,x') dans n, on a
u(x) = ~1 (x' ;Dx1 )u(x) + ~2(x' ;Dx' )u(x).
Soit
~(X;Dx) = iTBT(x;Dx) + iT-1BT_1(x;Dx)
où
Bi(x;~)
est la partie homogène de degré
i
en
~
du symbole de
l'opérateur
b et
Bi(x;Dx) est l'opérateur de symbole Bi(x;~).
Nous allons calculer les estimations de
Illbulll
dans les 2
cas suivants:

---

- 73 -
a) pour
u, = 'l',(x';D ')u
où
Supp 'l',(x';ç;')C {ç;'I\\ç;'\\ ~ R+1}.
x
'\\,
3. ESTIMATION DE
\\ \\ Ibu, III.
Nous avons besoin des deux lemmes suivants
Lemme 3.1. - [16]
Soient
s
et
s'
deux nombres réels tels que
s' < S
et
- ~ ~ s alors pour chaque
E > 0,
on peut choisir
T et
~
tels
2
que
où
n = {x
(x
~
o" ) ; Ix'l~ ~
et
O~ Xo T}.
Lemme 3.2.- [10J
Soit. R
c
(L Y)
Y ~ , - 2 +.1
et
S E: (L ,-2)
x mxm
q
x
mxm
alors si l'estimation du théorème
est vraie pour
b
dlllu\\\\\\
,
~ cll1bulll
,-2+ - .
q
Elle sera aussi vraie pour
b + R + s.
Proposition 3.'.- '0
So it
'l',
l'opérateur pseudo-différentiel défini ci-dessus.
Soit
'\\,
b(x;Dx) = B (x;D ) + B ,(x;D).
,
x
,-
x
Supposons que
Xo = 0 soit non caractéristique à l'origine
'\\,
relativement à
b.

---

- 74 -
alors il existe une constante
C
'V
indépendante de
u telle que pour
r,
T et
d- 1 suffisamment petits
pour tout
u €[C~Ut)Jn
où
n={x;lx'I~~ et o~xo~n.
'V
4. DECOMPOSITION DE
b
EN UN PRODUIT DE COMPOSITION D~OPERATEURS PSEUDO-
DIFFERENTIELS MATRICIELS D'ORDRE 1 MODULO DES TERMES D'ORDRE ~ , - 1
1
q
Ce paragraphe consiste à remplacer
'V
T
.T-1
b(x;Dx) = i B (x;Dx) + l
B _ (x;D )
par un produit de facteurs matri-
T
l
x
ciels différentiels en
X
et pseudo-différentiels en
x'
du le)" ordre
o
1
à parties principales scalaires modulo des termes d'ordre
~ T - 1
q
On utilise une méthode analogue à celle présentée par D:!J pour
l'étude du problème de Cauchy à caractéristiques multiples et généralisée
aux systèmes par [2J et la réduction du précédent paragraphe.
'V
Avant de remplacer
b par un produit de facteurs du premier
,-1- .1
ordre modulo un opérateur de
(L
q )
on introduit d'abord le
x
mxm '
module
V sur l'anneau
A des opérateurs de la forme
C = C'Im + Cil
avec
C' € L~,
et
Cil €
(L~l)mxm associé à l'opérateur
IlT
V est engendré par les opérateurs monomes formés de la
manière suivante.

---

- 75 -
On décrit d'abord les opérateurs qui engendrent
V(l).
Ce sont
l es opéra teurs
(*)
où
c1.. est un opéra teur proprement supporté arbi-
lJ
1
l - - ; r ..
traire de
(L
rij
lJ) mxm
avec
r ..
lJ
pouvant être égal à
j
avec
1 ~ i,j ~ T •
.
.
a
On note cet ensemble d'opérateurs générateurs
V' (1) •
V(2)
est formé un peu différemment par rapport à
V(l).
Un opéra teur
V
V(2)
est de
2 €
V,(2)
(ensemble d'opérateurs engendrant le module
la forme
(**)
1- -.L,r.
où
V1 €
V' ( 1)
t
b
(L
ri
1)
e
i ,2 €
mxm
est proprement supporté
~ i ~ T a
V(3)
est formé de la même manière que
V(2).
V € V,(3)
est de la
3
forme
(***)
1- -l, r.
où
V2 €
V' ( 2)
t
b
(L
ri
1)
e
. 3 €
1,
mxm
est proprement supporté
(l~i~T)
a
On forme a in si
V' (4), V' (5) , ... , V h
1
-1 )
1
(1- -r.,r ·)
(*)
CI ..
est de la forme
C=C'1
+C"
avec
1
C'
1J
m
€
L
1
et

---

- 76 -
(**),(***)
b. 2,b. 3""
sont de la fonne
C = C'I
+ Cil
avec
, ,
, ,
m
1
(1--,r.)
o,r.
C'
L
r.
,
x'
,
et
Cil €
(Lx' l)mxm
Finalement
soit
V'
V le module engendré pour les opérateurs de
V'
sur l'anneau
,-1- ..!.
modulo des termes appartenant à
(L
q )
x'
mxm'
On va remplacer
~,
.,-1
b = i B (x;D ) + l
B
1(x;D)
par un produit de facteurs du premier ordre.
, x
T-
X
Proposition 4.1.- [6J
Soit
u ='Y (x',D
2
2
x ')
où
SupP'Y(x';t;')c{f;';It;'I~R}
et
u E: [c~(n)Jm
Alors sous les hypothèses
A, B et C
,- f- ..!.
où
T €
(L
q )
est un élément du module
V,
R E: (L,-2)
x
mxm
x
mxm
avec
:f ,
et
cr
k
r.,
(4.0
À~(x;t;')
,
0 0 .
1
À,.(x;t;' )Im + l V~ k(x;t;' )It; '\\
k= 1 ' ,

---

- 77 -
où
Les
À~ commutent entre elles deux à deux et en plus
l
[
V~ 1(x;1;')
avec
lorsque
ri> 1
l ,
(4.2
llL1(x, 1;') - ll~,1(x,1;') # 0
[
\\vI(x',1;') € n x 5~~1
lorsque
ri> 1 et
j # k.
Preuve :
Nous avons d'après (2.7), (2.8) et (2.12)
On utilise la proposition 2.1 et la définition 2.1 et on
construit
tL
vérifiant
(~)
telle que
*
\\vi x € n, V 1;' \\vI.e. # k et V j
1, ... ,.r a
avec
r j :: 2
1, ... ,1:
avec
r.::,: 2.
a
J
On a

---

- 78 -
rl.(x;s' n
~J
-
LIr° (x'~ = À.(X·~') ~I),l
T-1
'''0
J ' ' ' ' ., j
1
K1
• ---. (x;s
= À .(x;s') ,s')
AI
0
J
1
pour tout
j €
J
(r
~ 2).
On pose
j
et plus généralement
rr o 1(x;s) = E(x,s).
T-
avec
e
.(x·~')
(ST-j)
(j
'-J
,.,
= 1, ... ,,).
€
x'
mxm
D'après la proposition 2.3, les matrices
e
.(x,s')
corrnnutent
,-J
entre elles deux à deux
(1 ~ j ~ T).
1ère étape :
Factorisation de
M(x;so's')
'ù
en posant
So - 1.
-
1.
0
On cherche les "racines" en
s
de
M.
o
Puisque
C
.(x,s')
est homogène d'ordre
,-j
T-J

---

- 79 -
1; J I ; '
l
, - j
e
. (x' 1; ') = e
. ( x; -
• 11; , 1) = e
. (x; - ) . 11; 1
, - J '
'-J
11;'1
'-J
\\1;'1
Posons
e
. ( x; _1;_'_)
e ' . ( X; 1; 1 ) •
'-J
11;'1
'-J
D'où
<=>
'a
r.
1
T
(4.4)
i '
Il
[1; -À .(x;I;')J J. l
+ i -
~ e' .(x,I;')II;'IT-j(l;o-~· 1) ••• (1;0-~0)
j=l
0
J
m
l
'-J
J-
j=l
= O.
Posons
1;
= À.l + V avec V une matrice m x m et résolvons
o
l
m
(4.4) en
V.
Nous avons alors
.,-1
T
+ l
l e' .(x;I;')II;'IT-j(1; -~. 1) ... (1; -~)
j=1
'-J
0
J-
0
0
(4.5)
Remarque 2.
Si on prenait
1;0 €
Œlm'
(4.5) n'aurait pas de solution, on va

---

donc se placer dans un "Sur anneau" de matrices dans lequel il y aura des
solutions.
Développons maintenant les deux membres de (4.5)
p.p
première partie du deuxième membre
d.p
deuxième partie du deuxième membre.
Comme
À
-
est scalaire, nous avons
i
Àk
p.p
r. [Ta
r k
V l
TI
(À.-À
)
.1
k
+ f
1(X,~I)V +
k=1
l
m
T-r i -
k~i
avec
V une matrice
m x m et
fT_r.(x,~I),... ,f1(x,~'),fo(X'~')
l
sont sca 1aires
avec
9
2,9
3, ... ,9
matrices
m x m qui commutent entre elles deux
T-
T-
0
à deux puisqu'elles sont des combinaisons linéaires des matrices
e , ... ,e _
qui commutent entre elles deux à deux.
o
T 1
V
_ <"_'_
Soit
V' = - - et~" =
"
alors
I~' 1
1~' 1
(V') r.{Ta~
p.p
l
TI
À.(x;~")
... +
k=1
l
k~i
T-r. }
+ f
(x;~")V' + ... +(V')
l
T-r.-1
l

---

- 81 -
d.p = -FrIt;'lt-1{E(X;t;o = À (x,t;I),t;").I
+ gT_2(x,t;")V' + •••
i
m
••• + gO(X,t;") (V' )T-l}
d'où nous avons
p.p =
avec
À~(x;t;') = À.(X;t;")
,
,
f'(x;Ç;') = f.(x;t;")
,
g' (x;t;')
g(X;t;")
Lemme 4.1. - [5J
Considérons la matrice
m x m :
Ta
T-r·
r ' . } -1
'!'.(V' ;X,t;") ={ I1IÀ~(x;t;') -À'(x;t;,)l. k. I + L f'
.(V')J
x
1
k-l I~ ,
k
'J
m
.-1
T - r . - J
-
-
J-
1
k~i
Alors
1
II/r.
Ilji.(V' ;x;t;")
1
- 1
-
D'autre part,
'!'i
est une matrice de fonctions analytiques
l/ri
en
V'
(11v' Il < d.
Par conséquent,
('!'i)
est aussi analytique
en
V'.

---

- 82 -
(IIV' Il
2
< E
;
fonctions analytiques à
m -variables).
Donc le deuxième membre de (4.5) est donné par
p.p + d.p =
1
-
r
1-r i
}
1s' 11{ nO lÀ '. (x; s') - Àk' (x; s' D k. r + I f '
.(v' )j
x
k 1
l m . 1
T -r'-J
=
J=
l
kf i
~T[f
x
I-À '. (x; s' )
k=1 L l
kfi
À'(X;s,)]rk.r + 1~ri f'
.(V1)j}
x
k
m
J
1-r'-J
J=1
l
r.
1
x
(V') l
{
1s'l
soit le lemme suivant:
Lemme 4.2.-[5J, QOJ.
Le deuxième membre de l'équation (4.5) d'inconnue
V'
se
l'équation matricielle en
V'
V' €
B(O;d

---

- 83 -
j ---.-1'/'-- ~
l/r.
V' = w
'l',' (V'
J
,X,I;")_
"
1,::: j ::: r,'
r.
11;' 1
'
ième
est une racine
r.
de l'unité, dont la solution est de la forme
,
k
r.,
V'(x,I;')
L V~ k(x , 1; , ) • 11;' 1
k= 1
' ,
avec
V~,k vérifiant (4.2) pour 1::: i ::: Ta'
r. >,
et
,
k = 1.
-kir.
Identifions les coefficients de chaque
11;'1
'
(k = 1, ... )
-l/r.
k = 1
Coefficient de
II;' 1
'
V. l(x,I;")
,,
-2/r.
k = 2
Coefficient de
II;' 1
'
g~-2
C,

---

- 84 -
1
1
r,~'i
Il
fr; 9~-2 2'
- - = -
w J
r.
r.
E~
(À~-À')
1
1
~~a(À:_À'rr 9~-2
E'
)
1
E~1
k=1
1
k
k= 1
1
k
k;i
k;i
-
-
-3/r.
k = 3
Coefficient de
1ç; 'I
1
3'
V.
=
-=--_i_
J
~
3
w J
E'
1/ri { '
(9 T -2 V.
+ 9T -
(V.
)2
1,3
1
Ta
r.
E'
1,2
E'
1,1
Il (À'.-À')
1
i
i
[ k= 1
1
k
k;i
-
( - -
1)
ri
ri
l,
+ 1 1
9T -2 J2 (V.
}
)2
.
2
E~
1,1
1
-4/r.
k = 4
Coefficient de
II;;' 1
1
v.
=
1
9~-2
9~-3
9~-4
3
4'[
w J
E~1
-
( - - V, 3 + - - 2V, 1V. 2 + - - (V. 1) ) +
1,4
Ta
{ ri
E~
l ,
E~
l ,
l ,
E~
l ,
Il
l
(À~-À')
1
1
1
k= 1
1
k
k;1
1 1
1
( 9~ - 2 2
9~- 2 9'T-3 (V. )3 )
+ -2 -
( - - 1)
( - - )
2V. 1 V. 2 + 2 - -
ri
ri
E~
l ,
l ,
E',
E~
1 , 1
1
1
1
9'
}
+ ~~(~_ 1)(~ - 2)(~)3(V.
)3.
o r . r .
r.
E'
1,1
1
1
1
i
-kir.
k
quelconque
Coefficient de
Iç;' 1
1
k'
9~-3
V
-
J
E'i
1
1-
T-2
V.
1;'
. k -
J1/r.{
[9'
V.
V.
W
+ - -
L
1 ,
Ta
r·
E'
1,k-1
1,m 1,n
E~
m+n=k-1
[Il (À~-À')
1 ;
1
k= 1
1
k
k;;

---

- 85 -
g~-4 ==
+
L
v.. v.. v.. +
E' ~--- "'1 "'2 "'3
i
i +i +i =k-1
1 2 3
V•• V..••• V..
J
"'1 "'2
"'r.-1
,
g'
1 1
1
+ 1 - (- - 1)
( ,-2) 2
I v .
v.
+
ri
ri
.
"m
',n
[
Ei
m=n=k-1
V. • V. • V•. V•.
+ •••
"'1 "'2 "'3 "'4
+
g'
+ (~)2
V•.••• V• .
E'.,
"'1
"'2r.-2
,
t
+ 2
L
V. . . . . V..
V..••• V. .
t=2
"'1
"'t-1 ',J1
',J s-1
s=2
tls
t
g~-t g~-t g~-t
2
s
n+
2
1)
I
t
t =2
1
(E ~) s
,
t =2
2
t =2
s
V. . 1
V. .1
V• . s ••• V
} •
. . s
, , , 1
, , , t
, , , 1
"'t
1
s
En utilisant la méthode des séries majorantes dans les algèbres
de Banach, on montre que ces développements convergent [5J.
Nous voyons que les termes généraux sont des combinaisons linéaires

---

- 86 -
finies de puissances de
g' 2, ... ,g'
à coefficients scalaires. Nous en
T-
0
déduisons, compte tenu du fait que les matrices
g' 2, ... ,g'
commutent
T-
0
entre elles deux à deux, que les
Ai
(1, J.' ri
et
r , i 'Ta)
sont
des matrices commutant entre elles deux à deux.
Lemme 4. 3. - [5J
en posant V~(x';so;s') =so-A~(X;s')
pourtout
So
appartenant à
l'anneau A des matrices engendrées par A~(X,S') et les matrices
l
"scalaires"
CL(x,s.').I m
2ème étape :
'V
Décomposition de
b
Lemme 4.4.- [5J
'V
'V
b = TI + T + R avec
T-l- ...!..
T €
(Lx
ri )mxm
et appartient au module

---

- 87 -
'"
5. ESTIMATION DE Il bu Il
DANS LE CAS
(b)
ET FIN DE LA DEMONSTRATION DES
THEOREMES.
Dans ce paragraphe, on va supposer que
u est de la forme
Pour simplifier les notations, on écrtra
u au lieu de
u2
Avant d'aborder la démonstration de l'estimation, on va donner quelques
lemmes techniques dont nous avons besoin pour la manipulation des facteurs
du premier ordre composant
'"TI
C et
k désigneront les constantes qui
peuvent varier au cours d'une démonstration mais qui seront toujours no-
tées
C, k.
Lemme 5. 1. [5J, [1 OJ .
l'opérateur de symbole
/'0-,,(';').1
f
0
-
~
k=1
Alors:
il existe
C(x,D~),d(x;Dx') éléments de
tels que
( )
( . ) (k)
. ) Ct)
5.1
C x,Dx' di u + d(x,Dx' di u
CL (x,Dx' )Dx u + b(x;D ,)u + M(x;D ,)u
o
x
x
où
M E (L~~)mxm
(classe d'opérateurs d'ordre
-00)
et
k t t.

---

1- --l r.
r. '
(b)
Pour tout
l
b' f: (L x'
l
)mxm
o,r.
il ex i ste
C',
d' él émen ts de
(L 1 1)
te l s que
x
mxm
'V
o,r ..
1,r ..
(c)
Pour tout
'"
Ct f: (Lx' lJ)mxm
b f: (Lx,lJ)mxm
0, r ..
il existe
'"c, d (L
lJ)
f:
où
r ..
ppcm (ri' r )
tels que
x'
mxm
lJ
(5.2)
~
'"
'"
Q'(x,D,)D
u+b(x;D,)u
+M(x;Dx')u
x
X
x
o
Tous ces opérateurs sont choisis proprement supportés.
Corollaire 5.1.- [5J, [10J
De plus,
b = b'J
+ b"
et
(1 = -b
avec
m
0, ri
b '
L
f:
x'
(b)
ra(k) a~t)J = C(x D ) a~k) + d(x,D ' )aJ~.t) + M (x;D ')
L l
' 1
'x'
l
x
2
x
avec

---

- 89 -
Les lemmes suivants permettent de contrôler les termes d'ordre
'V
inférieur lorsque l'on permute les facteurs de
n.
Lemme 5.2. [5J, [1Q] .
.
(1) (2)
(s1)
(1)
(sw)
SOlt
0r(x;D
d'ordre
r
x) = d
d1
••• d
••• d
. . . d
1
1
W
W
et soit
0r(x,D )
l'opérateur obtenu par une permutation arbitraire
x
des facteurs
d~j) alors
l
est un opérateur appartenant (modulo des termes d'ordre
~ r-2)
au
o
module
S(r)
sur le sous-anneau
(L : B)
formé d'opérateurs
x
mxm
C
C'l
+ C"
avec
C €
LO,B
et
C" E ('L- 1,B)
.
m
Xl
x'
mxm'
B = ppcm
1~i~w).
S(r)
est engendré par des opérateurs monomes
Or ;Id~j)
l
formés par omission d'un des facteurs (à la fois) composant
0,
r
Lemme 5.3. [5J, [1OJ.
Modulo des termes de
(L~~2)mxm' [~,'j1ImJ E S(.r) pour
o
'V
E Lx'
où
S(,)
est le module associé à l'opérateur
n.
Lemme 5.4. [5J.
Soit
CL (x,Dx') un opérateur proprement supporté appartenant
à
(Lo,k)
c'est-à-dire
x'
mxm

---

- 90 -
Alors il existe des constantes
C et
R indépendantes de
a telles que
telle que
supp 'l'2(x,E;')C {E;';IE;'I?l RL
Proposition 5.1.- [5J
Soit
a~j) = D l - À~(X'D ) où À~(x;E;') est défini dans
l
x
rn
, ' x '
,
o
la proposition 4.1.
Alors pour
T,
~ et k- 1 suffisamment petits
c est une constante indépendante de
T, r, k et
u.
Preuve :
avec
,.(j)
1,ri
( ')
o,r.
où
A
et
A~
l
E
Lx,
J
E
(L
')
l X '
rnxrn'
On a
D'autre part, il existe
C' > 0
telle que
2
2
111A"u111
li C' lllull1
car
Ail
est d'ordre
O.
D'où puisque
a!(j)r
= a~j) - A~(j)
on a
l m '
,
Illu l l1 2.li 2C {llla~j)ull\\2 + IIIAj(j)u II12}
et par la suite
k
2
2
Illull1 . li 2C
Illa~j)uII12 + 2Ct Illull1 •
k

---

- 91 -
1
2CC'
1
Alors pour
k-
suffisamment petit ----- < -
on a
k
2
2
2
III u111
~
2C
1
x -k III a~ j) u111
2CC'
- ----r-
Illu ll12, ~ C~' Illa~j)uII12 en posant Cil
4C
d'où la proposition.
Rema rque 3.-
"-
La majeure partie de la démonstration de l'estimation de
Illbulll
dans le cas (b) sera établie par récurrence.
Rappelons que
Soit
ma = 0
ml = r 1
m = r
+ r
2
1
Z
de
(La,)
ou
a = m.+l
avec
0 ~ i s T-1
et
0 ~ l s r
X
mxm
1
i+ 1
_
_
(1)
(l))
(si
- 0,
Qa u - a1 ... a
u.
1
Comme dans le lemme 5.2, on peut associer à cet opérateur
le mod uleS (a) .
Soit
S'(a)
l'ensemble des opérateurs qui engendrent
S(a).
En conséquence de la proposition 5.1, nous avons les lemmes suivants:

---

Lemme 5.5.- [5J, DoJ.
Il existe une constante
C indépendante de
U telle que pour
'"
-1
r, T, k
suffisamment petits, on ait:
Clllull12_2 + ciiiO ull1 2 >. k l
Ills u111 2 , Vu € [C"'o(n)]m .
a
a
S S'
a
€
(a)
Lemme 5.6.- [10J.
Soit
a = m. + t
défini ci-dessus, il existe une constante
C
l
IV
-1
indépendante de
u telle que pour
r, T, k
suffisamment petits, on
ait 1es estimations suivantes:
si
0,
b)
cillo ull1 2 ~ killull1 2
1
si
s i,
a
a-2+ -r 1
Nous allons maintenant décrire un autre module noté
W associé
a
à 1'opérateur
Q.
a
On décrit d'abord les opérateurs qui engendrent
Ils
forment la collection
W,(1) •
a
r 1
rit
(1)
Si on note
Ta = d1 ... di di+1Im' les éléments de W~
sont
T
T
a
b. ~
â"-:-'
l
di
l
avec
i F j
où
bi
et
b ..
sont des opérateurs proprement supportés
lJ
de la forme
b ~ l
+ b'~
b .. = b ~ . l
+ b'~ .
l
m
l
lJ
lJ m
lJ

---

- 93 -
1
1 - -
r
1,r..
o,r ..
où
ri '
b!
i
e: L
b'
L
lJb"
(L
lJ)
l
i j E:
x'
' i j E:
x'
mxm
avec
r
=
ij
ppcm
(ri,r j ).
W,(2)
est formé de manière semblable en remplaçant l'opérateur
Ct
T
dans les éléments par un élément de
W,(l).
Ct
Ct
On continue de cette manière pour tous les opérateurs de
W'Ct
sur l'anneau des opérateurs
C proprement supportés de
(L 0 ')
de
x' mxm
la forme
Lemme 5. 7. - DOJ
Il existe une constante
C indépendants de
U telle que pour
~, T, k- 1 suffisamment petits, on ait l'estimation suivante
Corollaire 5.2.- [lOJ
Soit
T l'opérateur défini par la proposition 4.1, il existe
une constante
C indépendante de
U telle que
Proposition 5.2.- [5J, [10J.
Soit
~2
définie page
"-
Soit
b(x,D) = B (x,D ) + B l(x,D).
x
T
X
T-
X
Supposons que l'hyperplan
X
= 0 soit non caractéristique
o
à
"-
l'origine relativement à
b.
Alors il existe une constante
C indépendante de
utelle

---

que pour
~, T, k- 1 suffisamment petits, on ait
'V
où
Il = {x = (xo,x')
tel que
Ix'l ~ r
et
O~ xo~ n.
Preuve :
Soit
u = ~2u.
D'après la proposition 4.1, on a
2
'V
'V
2
(5.1)
bU
= nU
où
T
2
2 + TU
+ RU
2
2
€
V et
R €
(L'- )
x'
mxm
Puisque
Q = n,
si on pose
a =,
dans Lemme 5.7, nous avons
,
l'estimation
D'après le corollaire 5.2.
d'où
'V
'V
(5.1)
implique que
(puisque
n = b - T - R)
2
2
'V
2
(5.2)
cIII u211 \\
1 + CIII Tu2111
+ CIII bu2111
3
,-2+ -q

---

- 95 -
2
Pour
k > c,
on peut absorber les termes
Clll u2 111
1 + CIII llu 2 111
T-2+ -q
du premier membre de (5.2) dans le 2ème membre et on obtient
Nous sommes maintenant prêts à compléter la preuve du théorème 1
'V
en montrant comment l'estimation de
Illbulll
dans les deux cas (a) et (b)
'V
conduit à l'estimation de
Illbulll
dans le cas général, puis à "esti-
'V
mation de
Illbulll.
Preuve du théorème 1 :
II~u112 = Il'l',~u
2
+ 'l'2~uI12 = 1l'I'lbul 1 + Il'l')~'uI12 + 2Re('l',~u,'I'iu)
~
2
2
2
1l'I'lbul 1 + 1l'l'iU11 - 211bul1
•
D'où
2
Estimons maintenant
1l'l'obul 1
,
i = ',2.
l
Donc
D'où
2
2
2
(5.3)
IIIbull1
~ Clllbu,111 + Clllbu21112 - Cllllb,'I'lJu,III -

---

- 96 -
Estimons maintenant les derniers termes de (5.3). Puisque
b
(L~')m
L~,
dans
'"
€
m et
'l'i €
et puisque le coefficient de
b
est
u'"
1 1
D'où
lm
b,'l'iJ €
(Lx~ )mxm·
'"
2
'V
2
2
III [b, 'l' 1J u1III
+ III [b,'l'21u1111
~ Cil !u1"1 1- 1
D'après la proposition 4.1
Lb,'l' il u2 = [(~ + T + R) ,'l'iJu2
1
1-1- -
1-2)
où
T €
(Lx'
q)mxm
et
R €
(Lx'
.
mxm
Examinant les opérateurs
T et
R,
on voit qu'ils sont tous
deux d'ordre
~ 1-2
en
x '
D'où
o
En outre (5.3)
impl ique que
'"
D'après le lemme 5.2,
[n,'l'i] €
Sh)
modulo des termes appar-
tenant à
(L~~2)mxm
(5.4)
implique par conséquent que
2
(5.5)
IIIbull1
3 Clllbu11112 + Clll bu 211\\2 - clllu1111~_1 - clllu2111~_2
- C
L i l i 5 u21112.
\\€S (1)
1

---

- 97 -
En appliquant les propositions (3.1) et (5.2) et le lemme (5.5)
à (5.5), on obtient
En appliquant le lemme 3.1 et en choisissant
k > C,
on
obtient
~
2
2
2
CIII bu III
~ kIII u1III
1 + k III u2111
1
T-2+ -
T-2+ -
q
q
2
;: k III uIII
1
T-2+ -q
Finalement, en appliquant le lemme 3.2, on obtient l'estimation
voulue
2
2
CIII bu 111
~ kIII u111
1
T-2+ -q
et plus généralement
2
killull1
1:; Clilbulll~
('ri {)
,t+T-2+ ~
q
or
Illbulll~,:; C' Illhulll.t+T_1
d'où
on a

---

- 98 -
Remarque
Sous les hypothèses
A, B et
C mais lorsque
t ~ 1 est quel-
conque, on obtient à nouveau les théorèmes 1 et 2 en supposant alors que
les matrices
eo, ... ,e,_1 commutent entre elles deux à deux.

---

- 99 -
BIBLIOGRAPHIE
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T. CARLEMAN
- Sur un problème d'unicité pour les systèmes d'équa-
tions aux dérivées partielles à deux variables in-
dépendantes.
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[5J
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[6J
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---

- 100 -
[9J J. VAILLANT
- Données de Cauchy portées par une caractéristique
double, dans le cas d'un système linéaire d'équa-
tions aux dérivées partielles, rôle des bicarac-
téri st iq ues.
J. Math. Pures Appl. (9) 47 (1968), 1-40.
[la]
M. ZEMAN
- On the uniqueness of Cauchy problem for partial
differential operators with multiple caracteristics.
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa (18)
1980, p. 257-285.
[11J
C. ZUILY
Uniqueness and non uniqueness in the Cauchy problem.
(Birkhauüser, 1982), Progress in Mathematics.
[12J
C. ZUILY
- Unicité du problème de Cauchy pour une classe d'o-
pérateurs différentiels.
Comm. in Partial DifferentiaI Equations 6 (2),
153-196 (1981).
[13]
S. MIZOHATA et Y. OHYA - Pour la condition d'hyperbolicité des équations
à caractéristiques multiples, Il.
Jap. Journ. Math. 40 (1971), 63-104.

---

- 101 -
TROISIEME PARTIE
PARAMETRICES LOCALES GENERALISEES POUR DES SYSTEMES A CARACTERISTIQUES
MULTIPLES NON HYPERBOLIQUES.
On se propose de construire des paramétrices locales générali-
sées pour le problème de Cauchy
COO
par la méthode des ondes asympto-
tiques pour les systèmes à caractéristiques de multiplicité constante ne
vérifiant pas les conditions de Levi.
Pour cela. on adapte des résultats dus à R. Berzin et
J. Vaillant [2J et on construit des opérateurs intégraux de Fourier,
dont la phase n'est pas homogène mais admet un développement en symboles
homogènes d'ordresfractionnaires [4J.
Ce travail sera complété par un article à paraître ultérieu-
rement [8J.
On notera
X
[O.T+[ x X'
et
X'
un voisinage de
0 dans
]Rn.
1. CAS DES SYSTEMES
2 x 2 A CARACTERISTIQUES DOUBLES ET DE RANG CARAC-
TERISTIQUE 1.
Soit un opérateur
h différentiel à coefficients
COO(X) ,
d'ordre 1 kowa1ewskien à 2 lignes et 2 colonnes dont le sous-caractéris-

---

- 102 -
tique ne s'annule pas sur l'ensemble caractéristique supposé réel double.
On note
x = (xo'x')
le point courant au voisinage de l'ori-
n
gine
0 avec
Xo€IR
et
x't:IR •
On pose
s = (so's')
le point courant du fibré cotangent.
Si
H(x,s)
est la matrice caractéristique
2 x 2 de
h,
on suppose que
det H(x,s) = ~o - Ï "k(X)Sk]2
L::
k= 1
n
où
"k € S;(X)
et on note
,,(x,s') =
L "k(x)sk et H'(x,s) = so- (x,s').
k=l
En util i sant la théorie des opérateurs de Lax-Maslov [4J, [9J,
montrons le théorème suivant
Théorème 1.-
Soit
X'
voisinage de
0 dans IRn et
X
CO,T+[ x X'
avec
Sous les hypothèses précédentes, il existe un voisinage ouvert
U de
0
dans
X',
un voisinage ouvert relativement compact
V de
0
dans
X',
deux intervalles
[O,T~[c [O,T+[ et [Q,T~[C [O,T~[ pour
lesquels on a les propriétés suivantes:
Pour tout
T €
[à,T~[ il existe un opérateur F0,1 (T) de
Lax-Maslov de
U dans
X appliquant
V(U)
dans c'>O(LO,T~[,V(V))
et
un opérateur elliptique
E(T) = E tel que
a) pour toute fonction
u € V(U),
la fonction
(x 0 ' T,x ')
....
CF 0, 1(Tl uJ (x 0 ' X')
est de cl a sse
Cco
da ns
@,T~[ x [O,T~[ x X' et pour tout T € [O,T~[
on a
(1)
[Fo,l(TlU] (T,x') =: Eu(x')

---

b) pour tout
T E: [O,T;[ la restriction
(2)
Rn): u ...
Q1F o,l(TluJ lco,T2[xx'
de
ho F ,l(Tl
à
[O,T;[ x X'
est un opérateur régularisant
a
de
U dans
[O,T;[ x X'
avec
[R(Tlu] (xo,x') = I K(xo,T,x',y')u(y')dY'.
u
OO
K étant une fonction scalaire de classe
C
dans
[O,T;[x [O,T;[ x X' x X',
bornée ainsi que toutes ses dérivées et nulle
hors de
Le signe
= signifie l'égalité modulo un opérateur régulari-
oo
sant à noyau
C •
Preuve :
Appelons
~(x,~')
la fonction de phase définie localement
pour les équations
(3)
On cherche
Fo,,(T)
sous la forme d'un développement asymptotique
Nous voulons que la restriction à
[Q,T;[x X'
de l'opérateur
de Lax-Maslov.

---

- 104 -
(4 )
(i.e.
d'ordre
- ~ - ~ pour l 3 3)
Yo[.i F~
l
1(T)]- E soit d'ordre
- - + 1 pour
l 3 3
J<l
'
_
2
désigne la trace de
F
1(T)
sur l'hyperplan
X = {T} x X'
0,
T
On a :
1 - l
1 2
u € V(U),
Yo,1,j+1 €
5
2
homogène,
~ € 5 /
homogène à déterminer
par la suite.
Pour calculer les valeurs des
Y 1 . 1 = Y. 1 déjà obtenues
9, ,J+
J+
dans l'article de R. Berzin et J. Vaillant [2] et celle de
~, on part
de la formule suivante:

---

- 105 -
Dans le deuxième membre de cette égalité la première ligne
est d'ordre
(2 - 1)
la deuxième ligne est d'ordre
(2 - j+1)
et les
2
2
deux dernières lignes sont d'ordre
(1 - il.
Comme dans ce premier cas,
j ~ 2 le terme de plus haut degré
a pour degré 1.
On écrit alors que tous les termes coefficients de
ei(~+~)
sont nuls. On obtient
Terme de degré 1.
(7)
==>
(8)
Terme de degré ~
(9)
Terme de degré O.
1
Terme de degré - 2 .
Et tous les autres s'écrivent de la même façon:

---

- 106 ..:.
Terme de degré
k
(k
0,1, ... )
2
On obtient des équations d'inconnues
~
et
Yk+l
(k = 2, •.. ).
Elles se résolvent suivant le même principe de la résolution d'un système
de
m = 2 équations à
m = 2
inconnues de rang
m-l = 1
::: A ::: m
(En utilisant la convention de sommation d'Einstein, et en abré-
geant la notation
H~(x.gradxl~) par celle plus simple H~).
En posant
[ 1 ] •
1
1
AA
1
fA = ~
(1 ::: A ::: m)
(A, # 0)
Al
1
1
1
f
= (f •...• f ).
1
m
fl
est une base du noyau de
tH
(ou base du noyau à gauche de
H).
Par conséquent la condition nécessaire et suffisante de compatibilité du
système est :
( 13)
De même. en posant
"'1
est une base du noyau de
H(x.gradx'~)·
"'1

---

- 107 -
Si la condition de compatibilité (13) est satisfaite alors nous
avons, en séparant les inconnues principales
où
B parcourt les indices (v+l, ••• ,m) et B parcourt les indices
(l, ... ,v).
Ici
v = rang H = 1
d'où
et par suite
ou encore
1 < B :> m •
D'où la solution
( 14)
Appliquons (13) et (14) successivement
( 15)

---

- 108 -
car la condition de compatibilité est satisfaite
A~ x 0 = 0
Or on a les relations
(ô5
le symbole de Kronecker) .
.
Remarque
B = B car les termes correspondants à B sont nuls.
D'où ici
Donc
( 16)
car la condition de compatibilité (13) est satisfaite
AB
Al (aO HA)(a'l')
l y l=O.
A
BoAT 3
1
Pour l'équation (10),
FA
vaut

---

- 109 -
On a donc une condition de compatibilité
1 A
AAF
= 0, c'est-à-dire
c'est-à-dire
or
D'où
D'où
(17)
A~ n (aaH')(aa'l')}2 = i{H~(aaA1)(aaA~) + H;AA1A~}
a
(L~
étant le polynôme sous-caractéristique de
h)
et alors on peut résoudre (10) par la formule (14) :

---

- 110 -
D'où
+ i
La condition de compatibilité (13) s'écrit:
t~1(-aaHA)(a'l')(aS A~(a 'l') + i A1(aaHA)(a A~)Jy1 +
A
B a A f S
A B
aAf
4
1
1
1
A
~
+ i A1(aaHA)(a 'l')(a S
1)a y1 +
A1(aaHA)(a S 1)(a 'l')a y1 + W'Y31 = o.
A
B
a
AT 133
4
B A T S
a3
1
1
1
Le coefficient de
Y4
est nul, d'après la condition de compatibi-
lité (17). Il reste donc une équation différentielle du premier ordre
sans second membre, le long de la bicaractéristique :

---

- 111 -
Ce qui donne
vj
lorsque l'on connaît
vj(T,x',t;')
et, par suite,
v~ pour tout B = 1, ... ,m.
On résout alors (11) par la formule (14) qui donne
v~ en fonction
1
1
1
1
de
V6' VS' V4 et V3•
En itérant le procédé, on trouve
pour tout
B·
1, ... ,m
et
pour tout
j = 2, ...
Rema rq uon s que l'équation ( 17) n'est pas à second membre nul, on
pourra donc choisir
'fI(T,x',I;') = a avec 'fI(x,I;') of a pour a ~ X < T.
0
Nous reviendrons au choix de
'fi
de telle que
Fo,1(T} ait un sens par
la suite.
L'équation (2) étant ainsi résolue, cherchons une solution de (1).
(
j
f
y
1 L F (T}lJ - E so i t d'ordre (- -2 + 1)
o
G<l+1 0,1
.
t pour tout l ~ 2.
Pour
l = 2,
on obtient:
2
y oFo,1(T)
a pour symbole,
Vo,1,3(T,x',I;')
V3 de la forme
En choisissant
v1 1
1
,
et
V3,2
0,
on a

---

- 112 -
0
(20)
Y3 =
2
A1
0
AT1
Pour
~ = 3,
on obtient:
en choisissant
1
1
= _1_
Y4,1. = 0 et Y4,2
1i7T
Remarquons que
det[Y
+ Y ] = -
1
lacxt;)a 'l'l(T'X',E;I)
3
4
IIE;'I L Ai cxJ
or
(a 'l')(T,x',E;') = 0
pour
cx = l, ... ,n et seul
cx
D'où
c'est pourquoi on pourra prendre
Yk+l (T,x',E;') = 0 pour tout k ~ 4.

---

- 113 -
Définition 1. [11J
Un opérateur pseudo-différentiel
F est dit elliptique si
F
possède une paramétrix
G.
i.e.
il existe
M, M'
opérateurs régularisants tels que
F 0 G = l + M et G 0 F
l + M' .
Lemme 1.-
E est elliptique.
On le démontre à l'aide du lemme 2 suivant
Lemme 2.-
~
Il existe un opérateur
G de symbole
Z tel que
J = E 0 G
~ne partie principale No scalaire (No = noIm), elliptique.
Preuve ;
Il suffit de vérifier que l'opérateur
F ,1(T)
de symbole
o
VtT) ~ Y3 + Y4 + ••• est elliptique.
On prend
G(T)
de symbole
Z avec
1
/1 S' 1
Z ~
mineurs de
+ ••.

---

- 114 -
1
- - -
Il s' 1
l
'\\,
+ termes d'ordre -1
+ termes d'ordre - ?.
On pose
J = F a G de symbole
N avec
N '\\, No + N- 1/ 2 + •••
Calculons
No
en utilisant la formule
Pour
lai = 0
2
B Al
3
Y.l '\\, -(a :T)(aB~)12 + termes d'ordre -1 + termes d'ordre
- ~
A,
étant d'ordre
Pour
1 a 1
= 1
aay
est d'ordre
~ -1
et
0 l
est d'ordre
~ 0
a
o1 où 1e 1emme .

---

- 115 -
La preuve du lemme 1 est classique.
Reste à déterminer
~(x,~').
D'après (17)
et pour
Xo = T,
il vient
Donc
lm ao~ = ±
Im~
croit à partir de la valeur 0,
donc devient positive.
Il s'ensuit que
FO,l est un opérateur intégral de Fourier.
Remarque :
La restriction
yl0,1 (T)
(0 ~ t < T)
de l'opérateur
F l(T)
0,
à l'hyperplan
X = {T}
T
x X'
est régularisante.
Remarque
Le choix de
K nulle hors de
[b,T~[x [O,T~[x V x V est
évident
(cf. [4J).

---

- 116 -
2.
CAS DES SYSTEMES
m x m A CARACTERISTIQUES DE MUL TI PLIC ITE
m ET
DE RANG CARACTERISTIQUE
m-1.
Soit
h
un opérateur aux dérivées partielles d'ordre 1,
kowalewskien à
m lignes et
m colonnes à coefficients
Coo(X)
tel que
où
Àkf:. C;(X)
et on note
À(x,ç;')
H'(x,ç;) = Ç;o - À(x,ç;')
et
H = matrice caractéristique de
h.
On suppose que la matrice caractéristique
H vérifie
([12J,
[5J, [6J)
1) pour tout
x au voisinage de
0,
dans l'anneau
~
localisé
de IRŒ]
par l'idéal principal
défini par
H' (x,ç;).
H~
2) puisqu'il existe au moins un cofacteur d'ordre
m-1
non
divisible par
H',
A~(X,Ç;) remplira ce rôle.
3)
K[O;Ç;o = À(O,ç;') ,ç;'J -1 0,
V ç;' -1 0
où
K est le polynôme sous-ca ractéri st ique de
h ([5J, [12J).
En appelant
A la matrice des cofacteurs de
H dans le développement de
det H.
On a :
(21)
AH = HA = (H,)m. Im .

---

- "7 -
On suppose de plus que
m-, fois B
k fois
B
B]
,---..... A
r - - . . , A
A
(22)
~o •••. , o ,
~o •...• o ,
,
det
a
:T •...• a
-:1 •...• -:1
"f 0
[
A,
A,
A,
aux points
(0; ~o = À(O. ~'). ~').
En utilisant la théorie des opérateurs de Lax-Maslov [4J. [9J.
Montrons le théorème suivant
Théorème 2. -
[8J
n
Soit
X'
un voisinage de
0
dans IR
et
X
[O.T+[ x X'
avec
0 < T+.
Sous les hypothèses précédentes. il existe un voisinage ouvert
U de
0
dans
X'.
un voisinage ouvert relativement compact
V de
Ü
dans
X',
deux intervalles
[ël,T~[e @,T+[ et [o,TiCe lb,T~[ pour
lesquels. on a les propriétés suivantes:
Pour tout
T E [o,Ti[,
il existe un opérateur
Fo,,(T)
de
Lax-Maslov de
U dans
X appliquant
V(U)
dans
c'''([O,T~[,V(V))
et
un opérateur elliptique
E(T) = E tel que
a)
pour toute fonction
u E V(U),
la fonction
(xo,T,x')
--
Cfo,,(T)u] (XO,x ' )
est de classe
cCX>
dans
IT>, Ti [x [0, Ti [ x X1 et pour tout T E C9, Ti [ on a
(23)
CF0, , (T) uJ (T ,x ') :: Eu (x 1 ) •
b) pour tout
T E [0, Ti [
la restriction

---

- 118 -
(24)
R(T)
u
de
hlo,l(T) à [O,T;[xX' est un opérateur régularisant de U dans
[0, T; [ x X'
avec
K étant une fonction scalaire de classe
COO
dans
[O,T;[x [ël,T;[x X' x X'
bornée ainsi que toutes ses dérivées et nulle
hors de
[0, T; [x [9, T; [x V x V.
Le signe
= signifie l'égalité modulo un opérateur régularisant
à noyau
Coo.
Preuve:
Appelons
W(x,s')
la fonction de phase définie localement par
les équa ti ons
(25)
On cherche
F 1(T)
sous la forme d'un développement asympto-
0,
tique
(26)
Nous voulons que la restriction à
[9,T;[ x X'
de l'opérateur
de Lax-Maslov
3
(l-1)
[.I
(27)
h
F~ l(T)l c 14 - -m-
J<l
'
'J
(i.e.
d'ordre ~ _ (l-1))
4
m ·

---

- 119 -
l
(28)
yoloL
F~l(T)l-E soit d'ordre - - + 1 pour l > m.
m
I)<l
'
J
On a
(29)
~;,l(T)~(X)
1- 1.
1- ~
u E V(U), Y
"'k E S
m homogène à déterminer
o,l,j+1 E S
m homogène,
par la suite.
Pou r ca l cu1er les va leurs des
'" k et de s
Y
1 ° 1 = Y. 1 '
0,
,J+
J+
on part de la formule suivante : (en posant
~ = ",)
comme dans
§ 1 :
o
m-1
n ~ m-1 l
a", k
i
~ '"k
(30)
=
L i L H
l=O
k=O
l J
(x)(ax-) e
k=O
Yo+
+
J 1
m-1
m-1
n
i
L '"
i
L k
k=O
k a
+
l ff(x)e
- y
+ H* (x)e
k=O
aX
j+1
l=O
l
c'est-A-dire
m-1
m-1
~ "'k
k=O
(30 ' )
1. H(x,grad ''''k)e
Y ° 1 +
J+
k=O
x
m-1
m-1
L "'k
i L ' " k
k=O
a
*
k=O
+ H (x)e
Y +
aX
Yj + 1
j 1
l
En posant :
(31)

---

- 120 -
Dans le deuxième membre de (30), la première ligne est de
k .
.
degré
(2 -
;J)
et la deuxième ligne est de degré
(1 - ~).
Comme dans ce cas,
j 3 m,
le terme de plus haut degré dans (30)
a pour degré 1
(k = 0,
j = m).
On écrit alors que la somme des termes de même degré, coefficients
m-l
kI 'fI k
de
e
-0
est nulle. On obtient
Terme de degré 1.
m-l
n
d'fi
i
l 'fIk
(32)
y H.t(x) dX~ e k=O
Ym+l
o
.t=0
c'est-à-dire
(33)
Terme de degré
m
o
c'est-à-dire
(34)
H(x,gradx,Ij))Ym+2 + l a
d'fil
d H(x,gradx'~) ax- Y
0
m+1
a
a
et, pl us généralement:
k
Tenne de degré
(1 ~ k ~ m-1).
m
(34) k

---

- 121 -
Terme de degré O.
(35)
et, plus généralement
Terme de degré
r
(r ~ 0).
m
Résolution des équations.
On va voir que les conditions de compatibilité pour les équations
(33) et (34)k
(1 ~ k ~ m-l)
sont toutes automatiquement vérifiées.
Pour l'équation (33). c'est évident et sa résolution donne
B
B
Al
1
(36 )
Y
-
Y
m+l - AT m+l
1
en utilisant les relations (13) et (14).
Rappelons les identités
(37)
{
le symbole Kronecker)
comme dans § 1, elles permettent d'obtenir

---

- 122 -
B
B
B
A l l a Al
1
Y 2 =..,. y
2+ a (..,.)(a 'l'l)Y
1
m+
AI
m+
AI
a
m+
1
1
qui résout l'équation (34)1 car la condition de compatibilité est satis-
fa i te.
Pour l'équation (34)2'
on a :
La condition de compatibilité (13) est vérifiée car
= 0
Or

---

- 123 -
On a
d'où
(40)
et en utilisant (37), on a
A
F =-

---

- 124-
La condition de compatibilité (13) est vérifiée car en plus
de (39) et (40), on a
AB
(42)
Al(aa H~)(aBY ~)(aa~1)(aB~1)(aY~1)
1
= j aaBY(Al~ :~)(aa~1)(aB~1)(aY~1)
1
puisque
D'où la résolution de (34)3°
car
(44)
et
(45)
Et ainsi par récurrence, on obtient la résolution de (34)k

---

- 125 -
B
B
Al
1
(46) Y
-
y
m+k+l - AT m+k+l
1
yl
+
m+k-l
j-l 1
0.10.2" .a.f. A~ )
~ 1
L - a
(...,.)
(a
'l'.
) ••• (a
'l'.
) Y k 1 .
0-1
l A. 1 · . _.
0.1 '1
0. 0 '0
m+ +-J
.{.-
.
1
l 1+ ••• +, - J
.{.
.{.
pour tout
k = 3, •.. ,m-l,
car la condition de compatibilité (13) est
toujours satisfaite.
Résolution de l'équation (35)
La condition de compatibilité (13) s'écrit:
B
B
LA B
m-1
1
A
{ A l l a Al
1
AA~BY2m+l + L AA(aaHB)(aa'l'.f.) ~ Y2m+l-.f. + (a ~)(aa'l'1)Y2m-t+ ••• +
.f.= 1
A1
Al
B - -
Im~.f...L (aal· ..aV~) :( .
(a
'l'i )... (aa 'l'i )lY~+l}
Lv= 1 v!
A1 l 1+..• +, V =m -.f.
o., 1
v v 'J
Tous les termes sont nuls sauf ceux de la dernière ligne et
ceux de la forme:
correspondant à la plus grande dérivation
v = m-.f.
et .f.; 1 c'est-à-dire

---

- 126-
Or
1=.
1(aa1'1' il) ... (aa
1'1' i l )
(aa1'1' 1) ••• (aa _1'1' 1)
'l+"'+'m-l=m-
m-
m-
m
et
puisque
~ est de degré et que
comme
B
A
al+···+a A Al
al
a
01
a
mHB :T = m! (a H') ..• (a nH,) :T •
Al
Al
la condition de compatibilité s'écrit donc:
al
a
. Al(aaH~)(aaA~) + A1H~AA~
(a
H') ... (a mH')(aal'l'1)···(aam'l'1) = ,
A'
1
c'est-à-dire
(47)

---

- 127 -
on pose
(48)
L~(ljI)
On trouve alors la solution de (35) à l'aide de l'expression (14)
c'est-à-dire:
(49 )
m
1 ~
al··· al
B;
{
Al
+
~
-
L - (a
-:T ,-
(a
'l'.
) ••• (a
'l'.
)
'l=2 l! al ••• al
Ali 1+••• +; l=m
al '1
al ' l
car

---

- 128 -
B
m-l
a
Al
1
- l (él ft ) (él '!'.)
-.- Y
2 . +
·-2
B
a J
{
2
A
.1
m+-J
J-
1
La condition de compatibilité (13)
AlFA = 0 se simplifie dans
la mesure où tous termes non coefficients de
Y~+l ou de Y~+2 sont
identiquement nuls en vertu des relations du type (39), (40), (42) avec
des dérivées d'ordre
~ m-l.
1
Pour les coefficients de
Y~+2 et de Y
interviennent
m+1
les plus hautes dérivées (d'ordre
m).

---

- 129 -
et il reste seulement
AB
AB
'A 1(CtHA)(
1)
"A 1H*A
1_ 0
+ l
A Cl
B
ClCt AT
+ l
A B -.:T-
1
Al
car c'est justement la condition de compatibilité (47) de (35).
Coefficient du terme en
Y~+l dans (13)

---

- 130 -
Rema rq uon s que
et que la première + la quatrième ligne de ce coefficient est égal à
d'où l'équation en
~2
:
B
1
1 a A
al·· .am Al
- -- AA(a HB)(a ~l)(a
-,)(a
~l)···(a ~1)
m!
a
Al
al
am
qui est résoluble en prenant
~2(T,x',~') = 0 car (aaH')(aa~1) F O.
On peut alors résoudre l'équation (35)2 à l'aide de la formule
( 14) •
On résout ensuite (35)3
la condition de compatibilité (13)
donne une équation du type :
(51)
et toutes les conditions de compatibilité sont de ce type

---

- 131 -
en prenant le coefficient de
Y~+l dans AlFA (les autres coefficients
étant identiquement nuls), on peut résoudre alors toutes les équations
(35)k
k = 0, .•• ,m-2.
dont les conditions de compatibiJité donnent
'l'l, ... ,'I'm_l
et obtenir les
Y~m+r+l Cr = 0, ••• ,m-2) en fonction de
1
1
Y2m+r+l""'Ym+l'
La condition de compatibilité de (35)m_l
donne une équation
différentielle d'inconnue
Y~+l du 1er ordre le long de la bicaracté-
ristique homogène; la résolution de (35)m_l
donne
Y~m en fonction
1
1
de
Y3m •.•. 'Ym+l ' et ainsi de suite.
Réalisation de la condition de trace.
Notons les traces par les mêmes notations pour ne pas surchar-
ger l'écriture, on prend sur
x
= T
o
1
(1,0, .•. ,0)
Ym+l =
1ère ligne de
Ym+l
yl
1
(0.1,0, ..•• 0).
m+2
1F,;' 1'7m
.
yl
(0, •.• ,0,1)
1
.
2m
1
l,.F,; 'I l -iii
D'où
AB1
Ym+l
(-:;-r ,0 •..• ,0)
matrice
m x m
Al
y
2 =
m+
y .
=
m+3

---

- 132 -
y
=
2m
l m-l/ois B m-l fois
,
' A
~
___
1 __ (a o•.. o
l)(a ~ ) ... (a ~ ) +
(m-1) !
AT 0 1
0
1
m-2
i fois
B
B ]
1
~ Al
Al
1
m-l
)L
(ao~·)
+
2 -(a
.....
... (a~.),... , ..... (-----.)
•
i=l
°1
AI • • -
1
'1
0 ' 0
A
.1
1
-l-.
1 '1+' .. +,o-m-
-l-
1
-
-l-
1~' lm
l
m(m-1)
fm- fois B
B~
!!1.:l
1
1
1
2
~ Al
Al
1
2
- - ... -
-
(a ~ 1)
det a
:T ""':T ( - )
(m-1) ! 2 ! l!
0
Al
Al
1 ~ 1 1
-
-
de degré = - (m-l).
En prenant
Y~m+l = Y~m+k+l
(0, ... ,0)
Vk 30,
on aura
y F ,l(T) = E
elliptique pourvu que
o O
m-l fois B
k fois
B
Bl
~A
~
A
A
0 ... 0
1
0 ••• 0
1
1
det
a
:T, ... ,a
:T""':T f 0 aux points (o;~o = À(O,~'),~')
[
.
Al
Al
Al.
ce qLri est vrai par hypothèse.

---

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---

.: '; ~
1
,
,
RESUME
Dans cette thèse, nous étudions des conditions sUffisant~s'd'hy-~
perbolicité faible pour les systèmes à caractéristiques de multipljcité
variable et des conditions suffisantes d'un.icité de Cauchy
c'" pour des
systèmes nonhyperbol iques de multipl icité constante.
Plus précisément, d'une part, nous généralisons ici les travaux
de 1. Nishitani sur' l' hyperbol icité faible. Et, d'autre part, nous montrons
que la non nullité du sous-caractéristique sur l'ensemble caractéristique
k
00
•
multiple est une condition suffisante d'unicité de Cauchy
C
pour des
systèmes d'ordre
t
quelconque dont le déterminant caractéristique admet
a facteurs multiples de multiplicité, constante
mi
quelconque. Ce ré-
sultat n'était jusqu'à présent démontré que lorsque
t = a = 1
(cf. thèse
de Kadri).
Dans ce dernier cas, nous construisons des paramétrix locales
généralisées en nous inspirant de développements asymptotiques établis
,par~. Berzin et J. Vaillant lorsque la multiplicité était inférie~re
ou égal eà tro i s.
MOTS CLES
Problème de Cauchy matriciel
Unicité
No~ ca~actéristique
Caractéristique d~ multiplicité constante
l '
car.a'ctérist;ique de mul tipl icité var.iable·
.1
Polynôme sous-caractéristique
Développement asymptotique
1 l
..,'"~,:j , ~
.,')
"
.....
. . . .
_.' C 0
,.t.
, . '
Opérateurs intégraux de Fourier
, ~'r-
-_.,"..~~.'~ 0
.L.",' \\_

---

---