UNIVERSITE LOUIS PASTEUR
Département de Mathématique
INSTITUT DE RECHERCHE MATHEMATIQUE AVANCEE
Laboratoire associé au C.N.R.S. nO 1
S T RAS BOU R G
THESE
p~é~ entée
pou~ obteni~ le g~ade de
VOCTEUR VE 3e CYCLE SPECIALITE MATHEMATIQUES PURES
pa~
Aboubaka~y
S E Y N 0 U
Sujet: FILTRATIONS TEMPORELLEMENT COMPATIBLES.
A.M.S. Subjeet ela~~iôieation (1910)
60 - G 01 - G 40
Mot~ eleô~:
Filt~ation, Temp d'a~~êt .
Soutenue le me~e~edi 1 oetob~e 1981, devant la Commi~~ion d'Examen
MM. G. REEB
, P~~~ident
P.A. MEYER
C. VELLACHERIE

---

.
SERIES de MATHEMATIQUES PURES et APPLIQUEES
I.R.M.A.
(STRASBOURG, METZ, MULHOUSE)
C
Cours
'-,
COL
Colloques
, ..
, :
Colloques
P
Preprints
Ci,
S
Sêminaires
TE
Thèses d'Etat
: '1
T3
Thèses de 3ème Cycle
D
Divers
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'./
.
'-"
. . ~.
... ' /
- .", ",-
. ,'",
~;":~ /~

---

A mes Ancêtres,
avec respect.

---

Monsieur Jellacherie C. qui a bien voulu diriger mes pre-
roiers pas dans la r8cherc~e à Stras~ourg ne recula pas devant la
tAche p6nible qu'est la direction d'un travail par correspondance.
~u'il reçoive l'expression de ma profonde gratitude.
Toute ma reconnaissance à ~onsieur Meyer P. A. dont j'ai
bAnéficié des cours et exposés au sémin~ire de pro~abilités de
Strasbourg, et qui a accept: d'@tre le Directeur officiel de cette
thèse.
Je remercie Mo~sieur le Professeur Reeb G. d'avoir accepté
la présidence du jury de ma thèse.
Je ne saurai clore ces remerciements sans mentionner la
Convention qui lie l'Ecole Nornale 3upérieure de Fontenay-aux-Roses
(France) et l'Institut de t'lathé:natiques et de ûciences Physj QueS de
l'Université de Ouagadougou (Hau::e-Volta). C'est grâce à elle que
j'ai pu effectuer des voyages d' ét, :des en France pour le présent
trav<·il. J'exprime ici ma profonde grati tnde aux d;ynamiques promo-
teurs de cette convention que sont Eadame Bonnamour, Directrice de
r-1ademoiselle Delavaut H, ancienne Direc'":rice adjojnte de l'
1 1'3N3,
1 ZNS et i10ns ieur 8yb "1..). H'..H'..., Directeur de l'I7P.
1
Mes félicitations au perso nnel technique de l'Institut de
tî
r'lathématiq'19s de Gtrasbourg pour la présentat; on de ce travail.
l
1
1
]
:i
1
1l,
1
\\

---

Ce travail a pour point de d~oart une ~uestinn posAe p8r
G. Dellacherie et C.:.Jtricker dans leur article "Ch8nr:ements de
temps et inté[':ralr>s stochastiques" (pRp:e 37-;; de séminAire de proha-
bilit~s XI). La question a trouv~ une solution dans les travaux de
M. Yor et T. J~li'n sur le grossis;::ernc·nt des tribus. Abordée sous un
autre angle, elle m'a cO"iduit à la notion de compatibilité tenporel-
le de deux filtrations (F )
et (G )
, c'est-à-dire l'exis-
=t t~E~
=t t6-Ii-l-
tence d'une filtration (~t')tt-r:1- telle que pO'lr tout ter:1ps d'arrêt
T de (~t)t Fes p • (~t)t] il existe un temps d'a~rêt T' de (~t)tavec
H~,= ~T (:esp
(:es • ~TJ·
1-"
Le cas où les filtrations (~t)t et (~t)t sont r0duites à
deux tribus est examinA dans le chapitre 1. Nous y dé~ageons une
1propriété
1
des trihus ~T ' simple mais peu connue (théorème 1.1.5)
L'essentiel de ce chapitre c,:mstitue notre note aux Comptes Rendus
de l' Accadt~mie des :3ciences( [5))
Le chanitre 'lI traite de la compatibilité te~porelle de deux
..
filtrations discrètes. Un retrouve le contenu de notre article
[6J
. dans la premi';re partie de ce chapitre ; il s' a(;it de la compati'1ilit:'
te~porelle d'une tri'IU et d'une filtration discrète. Grâce à quelques
. lemmes on en d~duit le cas ~én~ral de la compati~ilit& temporelle de
dàeux filtrations discrètes.
Dans le chapitre III, nous abordons le problème de la compa-
tibilité temporel~e de deux filtrations en te~ps continu en traitant
le cas d'une tri~u et d'une filtration continl1e à droite. Le cas gb-
n~ral ne se laisse pas d(duire facilement des r~sultats antérie~rs ;
nous espérons pouvoir réso'ldre ent:i~rem~nt le probl,;me un jour pro-
chain.

---

- 1 ~
CHAPITRE l
COMPATIBILITE TEMPORELLE DE DEUX TRIBUS
Ce chapitre comport~ deux parties. Dans la première nous rap-
pelIons succintement les définitions et propriétés relatives aux
filtrations, temps d'arrêt et tribus associ~es dont nous aurons
besoin par la suite. Nous y précisons une propriété des tribus
!T ,simple mais peu connue (théorème 1.1.5). La deuxi8me partie
,
.
traite de la compatibilité temporelle de deux tribus; c'est le
contenu de notre note [51.
Première partie
Quelques rappels sur les temps d'arrêt
Pour les démonstrations des propriétés qui suivent et pour un
exposé étendu sur les filtrations, temps d'arrêt et tribus asso-
ciées, nous renvoyons à Dellacherie C.[2] ou Dellacherie C. et
Meyer F .A. (3J •
t.1.1 Définitions et notations
1
Soient (E,~) un espace mesurable et l une partie non vide de
1
IR+. 1 sera muni ûe la l.'elatioll d'ordre usuelle
~ et on notera
1
sup l ~~. Nous nous int~ressons particulièrement aux cas où
1
f
l = JN, l = 1R+ , 1 dénombrable et nous aurons en général sup 1
Une famille croissante
,
(E.).~I
-1.
1.","
d~ s6us-tribùs Qe E sera
l i .
Une famille croissante
,
(E.).~I
-1.
1.","
d~ s6us-tribùs Qe E
l i .
)
appelée filtration sur (E, i). On notera !o.
li
S
il1
et, si i.a,
,
n
,1 !i+ = j)i ~j • On dira que la filtration (~i)iEl est continue à
)
droite si on a : "Ii El, F.
= F . •
=1.+
=1.
1
1
Un temps d'arrêt (ou variable optionnelle) de la filtration
r
1
1
j
(F.).LI
est une variable alp.atoire T de E vers 1 muni de la tri-
=1.
1. ..
1
i
bu borélienne, telle que: Vi ~ l, {T'i} " !i
(*). Dans le cas
1
où l est dénombrable, la condition (*) est équivalente à :
!
1
,
1
'fi i ~ l, {T = il E ~i
1
!,
1
1.1.2Quel
Q
ques propriétés des temps d'arrêt
f
.
Les temps d'arrêt qui suivent sont d'une même filtration (F.).~I
1
=1.
1...
=1.
1.
1
1
J
,

---

- 2 -
sur (E, ~).
1°) Si S et T sont deux temps d'arrêt, les variables aléatoires
sup(S,T) = SVT et inf(S,T) = SAT sont aussi des temps d'arrêt.
2°) Soit (T )
..."nT
...
une sui te de temps d'arrêt de (F.). '~I • Alors
n n~l
=1
1ç
SHpT
= VT
est un temps d'arrêt de (F.). LI et infT
= "T
est
n
n n
n
n
=1
1~
n
n
n n
un temps d'arrêt de (F. )·'1 • Si la filtration (F.). LI est con-
.
=1+
1""
=1
1~,
tinue à droite, alors i~fTn est un temps d'arrêt de (~i)i~I ; il
en est de même si la filtration est indexée par une partie l de
IR+ discrète pour la topologie droite.
Définitions et notations
Soit T un temps d'arr~td'une filtration (F.).LI • L'ensemble
=1
1~
des éléments A de ~ = iXI E~ tels que, pour tout i~I, l'ensem-
ble An fT .!, i \\ appartient n ~i est une tribu appelée tribu des
événements antérieurs au temps d'arrêt T; on la note ~T • Dans
le cas où l est dénombrable, on a
\\1 i '"1, An {T ~ i ~ E- ~i
~ .~ \\1 i E1, A(\\ fT
f = il E !i
~.1.4 Quelques propriétés des tribus des événements antérieurs à.des
temps d'arrêt
Fixons une filtration (~i)ifI sur (E, ~)
1
1°) Soient S et T deux temps à'arrêt tels que S.f.T. La tribu ~S
1
est incluse dans la tribu !T •
1
2°) Soient S et T deux temps d'arrêt. Pour tout éléTIent A de ~S '
l'ensemble A(\\ {S ~T1 appartient à ~T •
3°) Supposons l discret pour la to~oloRie droite ou (F.).rI con-
=1
10:::
tinue il droite. Si (Tn)nfJN
est une suite décroissante de temps
d'arrêt, alors T = l~m Tn
T
est un temps d'arrêt et ~T = ~ ~T.
,.
n est un temps d'arrêt et ~T =
~ ~T.
.st'a.!IJl.
.st'
u-
n
4°) Si T est un
tempsYde (Ei)iEI et si A est un élément de ~T '
r
c
alors la variable aléatoire TA ,valant T sur A et supI sur A
alors la variable aléatoire TA ,valant T sur A et supI sur
,
est un temps d'arrêt et ~TA = CT([T U {BAc: B E~1) ~

---

- 3 -
La propriété suivante est à rapprocher
de la proposi-
tion 19 de Chung K.L. et Doob J.L. [1] •
1.1.5 Théorème
Si S et T sont deux temps d'arrêt d'une filtration CF.).LI·
•
=1
1--
sur un espace mesurable CE, ~), on a : !SVT = {AUB : A~!S ,B~~T1
Démonstration
Cn a S, T ~SVT; d'où, d'après la propriété 1°) ci-dessus,
!s '~T C. !SVT • On en tire : fAUB
fAUB : Af!S ,B~!'Tl C. ~SVT C*)
Soit Cf~SVT ; d'après la propriété 2°) ci-dessus, C n[SVT ~s1
appartient à !S et C" f~VT
f
!:-T1 appartient à ~T • D'où
C E fAUB : AE~S ,Bf!'T1 et ~SVT c: tAUB : A~~S ,Bf~T1 C**)
c*) et C**) donnent l'égalité cherchée •
•1.6
Corollaire
Si S et T sont deux temps d'arrêt d'une filtration C~i)i~I sur
un esrace mesurable CE, ~), on a : ~SVT = {A nB : AE~S
A
,BE~T1 .
1
1
1
Î
,
1
i
1
1j

---

- 4 -
Deuxième partie
Compatibilité temporelle de deux tribus
Nous introduisons maintenant la notion de compatibilité tempo-
relle par la définition et l'étude de celle de deux tribus.
Désormais, pour si~plifier l'écriture, A.B et A+B désigneront
respectivement l'intersection et la réunion disjointe de deux
ensembles A et B; l'intersection de deux tribus E et ~ sera notée
F.G •
= =
.2.1 Définitions et notations
Dans toute la suite, nous désignons par (E, ~) un espace mesu-
2
rable et par G1
G et G deux sous-tribus de E; nous notons GO la
=
=
=
1
2
1
2
1
2
tribu G .G
et G la tribu G VG • Nous ëirons que G
et G
sont
=
=
=
=
=
=
=
temporellement compatibles s'il existe une filtration (F.). ~ de
= 1.
1. lt.J-
(E, ~) et deux temps d'arrêt S et T de cette filtration tels que
l'on ait ~1 = ~S et ~2 = ET ; on dira alors que ~1 et ~2 sont
simultanément plongeables dans (F')'~I • S'il en est ainsi, il est
=1.
1.'(""
bien connu que l'on a Elors ~o = ~SÂT et ~ = !SVT •
Dans le théorp-me 1.2.3
nous montrerons que l'on peut réduire l
à une paire.
Voici trois conditions nécessaires pour la comp?tibilité tempo-
relle; la fin de ce chapitre traitera de leur suffisance.
1.2.2 Théorème
Supposons ~1 et ~2 temporellement compatibles. Alors :
1
(1) il existe une pa~ion de E en deux éléments B et B2
B
de GO
=
tels que, pour toute variable aléatoire g-mesurable Z, la variable
1
2
ZI B1 soit ~ -mesurable et la variable ZI
B1 soit ~ -mesurable et la variable
B2 soit ~ -mesurable;
B2 soit ~
(2) toute variable aléatoire G-mesurable Z ad~et une décomposition
1
1
Z "" Z
+ Z2 où Z
est ~1-I:lesurablc, Z2 est ~2-mesurable et '
Z1 Z2
Z
"" 0;
(3) pour toute loi de prcbabilité P sur (E, E) et toute variable
F
P
aléatoire Z ~O, on a : E![Z/~1/~2 ] "" E [z/~2/~1] = E [z/~O]

---

- 5 -
Autrement dit, pour toute loi P, les tribus ~1 et ~2 sont condi~
tionnellement indépendantes étant donnée GO.
Démonstration
(2) est une conséql.:'e.flce immédiate ùe (1 r; en effet, il suffit
de poser Z1 = ZI 1
,z2 = ZI 2
B
B
(3), qui est bien connue par ailleurs, est aussi une conséquence
de (1). On sait que EP[./~J = E![.;1!~J si ~ c:.~; il suffit donc
de démontrer les égalités en (3) avec Z ~-mesurable. D'après (1) ,;
1
2
on a Z = ZI B1 + ZI
B1 +
B2 avec ZI
B2 avec
B1
~ -mesurable et ZI 2
~ -mesurable
B1
~ -mesurable et ZIB
1
1
En intégrant sur un élément à~bitraire G de G les deux variables
=
f
aléatoires ~1-mesurables E![ZIB2/~1
E![ZIB2/~ ] et ~[ZIB2/~0], on obtient;
i
1
k ~[ZIB2/~1
2 1
] dP = h
G
~o
<!O
1
k ~[ZIB2/~1
2 1
] dP = h2G1 ZdP = h1 ~[ZIB2/~o]dP car B
2G1 ZdP = h1 ~[ZIB2/~o]dP car
G
l
1
D'où EP[ZIB2/~1J = ~ [ZIB2/~oJ • De même EP[ZIB~,/~2 ] = r![ZIB1/~ôJ.
De ces deux égalités on tire EP[Z/~1/~2] :2. EP[Z/~o]. On démontre
de façon analogue
1
E![z/~2/~1] = ~[z/~oJ •
1
E![z/~2/~1] = ~[z/~oJ
1
î
Démontrons maintenant (1)
1
2
Si on a
1
~
= ~S et ~
= ~T pou~ une filtration ([i)ifI et deux
temps d'arrêt S et T de cette filtration, posons
t
1
2
B
= [S !: T1
T
= [SVT ~ S1
S
, B = LS
L ~ Tl = [SVT ~ Tl· [s L T5·
II
D'après les propriétés élémentaires classiques des temps d'arrêt,
•
1
B
2
.
t
'Go
D
a
F t '
l
'G1
B1
•
l
A
F t '
l
'G1
B1
l
A
et B
appart1ennen
a =.
e merne =SVT es
ega e a =
sur
.
l
2
1
~2
~1-mesurable
~2-mesurable
1
et à ~2 sur B ;d'où ZI
1
B1 est
B1
~1-mesurable et ZIB2 est
B2
~2-mesurable
~j
(raisonnement par classes monotones).
11
1
Des conditions nécessaires pr8cédentes nous allons tirer trois
1
conditions suffisantes.
t1.2.3Théorème
1
2
0
Supposons qu'il existe deux éléments B
et B
de ~ , de réunion
:1
. 1 0
2
égale ÈJ E, tels que A.B
apparti('nne1~à ~
pour tout A f-G
et A.B~
1
appartienne à GO pour tout A fG • Si l'on pose ~C = GO et ~1 = ~,
il existe alors deu
temps d'arrnt S et T de (~i)i=O,1 . tels que

---

- 6 -
1
2
~
= ~S
~
=
et ~
= ~T • (On peut remplacer la filtration à deux
éléments précédente par une filtration en teops continu, con-
tinue à droite; poser, par exemple, ~t = ~o si t ~1 et !t == ~ si
t ') 1)
Démonstration
Un raisonnement par classes monotones montre d'abord que ,pour
1
1
2
2
tout A ~ G, on a A.B (- G et A.B E: G •
==
...
==
2
1
2
1
Posons S = 0 sur B , S = 1 sur B -B
et T == C sur B , T = 1 sur
2 1
1 2 0
1 2 2 1
B
-B. On aB, B 'g
=~O et B -B , B -B (- ~ = !1 ; donc S et T
2
sont des temps d'arrêt de (~i)i=O,1
• On a ~1 == ~o =!O sur B
;
d'où ~1 c !s • Si A f-Es ' alors Af!1 = ~ et A. iS
i = o} ~!o;'-~
2
1
2
1
1
donc A.B l ~o et A.(B _B ) f-~. Or A.(B _B2
_B ) = AB (B2
(B )c, G1
G
; d'où
A .. (A.{S = Cl )U(A.fs = 1}) f~1 et !s
!S C- ~1. On en tire ~1 = ~S.
2
L'égalité G
=!T se démontre de façon analogue.
Remarque
Supposons ~o complète pour une loi P et posons
i
Hi = ess supfB f~o : 'VAtg- , .A.B(~O} pour i = 1,2
Il est clair que la condition de l'énoncé est alors vérifiée si
1
2
et seulement si E = H UH
P-ps.
Corollaire
1
Si les tribus G
et ~2 sont temporellement compat~bles, alors
toute tribu ~ comprise entre GO et G est temporellement compatible
1
2
avec G
et 8vec G •
==
=
Démonstration
Soit A ~Go tel que ~ soit 0gale è g2 sur A et ~ ~1 sur AC;
1
0
1
c
alors, sur A, on a g
= g
et donc ~ V~ == H tandis que, sur A ,
1
1
1
1
on a G
= G et .donc G VH = G • D'où G
et H sont temporellement
=
=
= =
=
=
=
compatibles. De même, ~2 et H sont temporellement compatibles.

---

- 7 -
.2.6Théorème
Supposons que tout élément de G soit rp.union d'un élément de
=
1
2
G et d'un élément de G
• Alors la condition (2) du théorème
=
=
1.2.2 est vérifiée. Si, de plus,il existe une tribu séparable
~
1
~ telle que ~ = ~V~o, alors les tribus G et ~2 sont temporelle-
ment compatibles.
Démonstration
Nous commençons par montrer que tout élément A de ~ peut s'é-
.
1 2
1 1 2 2
1
2
crl.re A = A UA
avec A f ~ , A (;- ~
et A • A
= ~. Pour A f G fixé,
=
1
2
la condition de l'énoncé nous permet de choisir B fG
et C {G
tels
=
=
que A = BUC, et de construire, par récurrence, trois suites (An)n'
(Bn)n ' (Cn)n
de sorte que A
= A, B =
=
O
A, B
O
O
B, Co
C et que l'on ait
O
1
2
a) An t~, Bn
B E- ~ , C
n E- ~ ,
n
C E: ~
pour tout n
n E: ~
pour tout
b)An
b)A
= BnUC
n =
n et A
n et
n
A +
n 1 = Bn.C
1 =
n •
n
Les suites (A)
CB)
(C)
sont c8croissantes et ont une limi-
n n '
n n '
n n
te commune D d'après b) ; D appartient à ~o d'après a).
Définissons par récurrence deux r.ouvelles suites (V)
,(W)
par
n n
n n
Vo
V
= Be-D, V
o = Be-D,
n
V +
n 1 = V
1 =
n
V -(B
n
n+
n 1 -D) pour n pair et V
1 -D) pour n pair et
n
V +
n 1 = VnU(Bn~1-D)
1 =
pour n impair~ Wo
W = CC-D, W
o = CC-D,
n
W +
n 1 = W
1 =
n
W -(C
n
n+
n 1-D) pour n Dair et
1-D) pour n Dair
W
= W U(C
n +
n 1
n
n+
n 1-D) pour n impair. Far récurrence, on montre que
1-D) pour n impair. Far récurrence, on montre
l'on a V
' W dans DC
D
~our tout n. Cn montre, par récurrence en-
n
n
core, que les deux sous-suites (V2n+
2n 1 )n et (W
1 )n et
2n+
2n 1 )n sont croissante
1 )n sont
Notons V = l~m V
l~m
~1
2n
V
+
2n 1 et W =
1 et W
l~m W2n
W +
2n 1 • V appartient à
1 • V appartient
et W
appartient ,[! G2 •
appartient , G2
V, W et D sont disjoints deux ~ deux. Cn a
=
V
= A -A
2n+
2n 1 +\\oI
1
2n+
2n 1
2n +
2n 2 .Cn en déduit: A = VUWUD. Si l'on pose
2 .Cn en déduit: A = VUWUD. Si l'on
1
2
1
2
1
1
2
2
A
= V et A =
1
2
1
1
2
= \\·iUD, on R alors A = li. UA
avec A fG , A fG
et
=
=
1
2
A .A
= fl
r.ontrons mainten~nt que toute v~riable aléatoire G-mesurable Z
admet une décomposition Z = Z1 + Z2 od Z1 est g1-mesurable, Z2
2
est G -mesurable et Z1 Z2
Z
= C • D'abord,
il est clair qüe, si Z et
Z' sont deux variables aléatoires admettant une telle décomposition,

---

- 8 -
et ZZ' = 0, alors Z+Z' admet aussi une telle décomposition. PRr
conséquent ,d' un...L.-art, d'après ce qui précède, ·on sait que toute
cyt'
.
1
variable aléatoire q-mesurable etagée admet une telle décomposi-
tion et, d'autre part, il suffit àe traiter le cas d'une variable
aléatoire g-mesurable Z)O pour atteindre le cas général.Or,:appro-
~
chons Z ~O par une suite croi~ (Zn)n de variables aléatoires
1
2
.
.
positives et étagées; écrivons Zn = Z +2
où Z1 est G1
G -mesurable
n
n
n
=
2
(i = 1, 2) et Z1 z2
z = 0, puis posons Z1 = lim sup Z1 et z2 =lim infZ
n n
n
n
n
n
Comme
Z1(~ C si et seulement si Z1(x) = 0 pour n suffisamment grand
1
2
il est facile de voir que Z = Z +Z
et que l'on obtient ainsi la
décomposition désirée de Z.
~herchons
1
2
~herchons un B f ~o, un B , ~o tels que l'on puisse appliquer le
théorème 1.2.3 .Soit (Sn)n une suite engendrant ~. Four n fixé,
considérons l'algèbre de Boole ~n engendr~e par 80' ••• , Sn'
~n a
un nombre fini ci'atomes. D'après ce qui prpcède, chacun des atomes
1
de A
s'écrit comme une réunion disjointe d'un élément oe G
et
=n
d'un élérrlent de ~2; fixons ces éléments et notons B" la réunion
1
c
de ceux qui ~ppartiennent 8 G (B
est la rpunion de ceux qui
=
n
2
0
1
c
2
appartiennent à ~ ). On a Bn
B l: ~
car B
n l: ~
car
n
B f ~
et B
n f ~
et
n
B f ~ • Tout élément
n f ~ • Tout
X de A
étant une réunion finie d'atomes, il est alors clair que
=n1
c
2
1
X.B l-G
et X.B
fG
• Fosons B
= lim sup B
= n U
B
et
n
=
n
=
n
n
n~ m),n
ID
2
1
2
B
= lim inf B C
B
= U n BC
B
•
Cn a B , B
~ ~_o, B1UB2 = E et
n
n
n m~n m
1
2
B .B
= 0 ; soit P fIN
1
1
8 B
= S (Il U B ) = s (n U B) = n
U
8.B
EG
• Cn a
p
P n .. m~/n
m
P n),p m~n
Dl
n>"p m),n
P
m
=
1
2
2
2
de même sC B'·
B f G
et S .B , Sc. B f G • Un raisonnement par classes
p .
=
p
p
=
~onotones rr:c'~ltre oue les ccndi tiens du thporèrne 1.2., sont véri-
fiées; d'où le résultat énoncp. ln trouvera une Autre démonstr~tion
de ce théor~~e dans notre article [5J; elle utilise le fait que
la tribu sé~arable S est en~endrée par une variable aléatoire
=
stricteœent positive Y.

---

- 9 -
.2.7 Remarques
(a) Si E est la complétée d'une tribu séparable pour une loi F
..
et si ~o contient tous les éléments négligeables de E, alors la
condition de sérarabilité de G est svtisfaïte.
=
1
(b) V .
.
l ' G
G2
G
.
t
(2) d
1 2 2
01Cl un exemp e ou =
et =
satlsfon
e . •
01Cl un exemp e ou =
et =
satlsfon
e .
, sans
être temporellement compatibles, (1) n'étant pas satisfaite:
1
prendre E = [0, 1] , ~ = tribu de Lebesgue, G = tribu borélien-
2
ne et G
= tribu engendrée par les ensembles négligeables pour la
mesure de Lebesgue •
• 2.8 Théorème
Supposons que g.0 contienne tous les éléments de ~ néglige.lblcs
pour une loi P sur (E, E) et que, pour toute loi Q sur (E, ~) de
1
2
1
2
la forme Q(.) = IAP(.)/P(A) où A = A UA
avec A E- g1, A
A tf g2, on
ai t EQ [z/g2 ]
= EQ,[Z/gO ] Q-ps pour toute variable alpatoire g1_me_
1
2
surable Z ~O. Alors les tribus G et G sont tewporellernent compa-
=
tibles.
Démonstration
Nous prouvons d'abord que, si Zi = lAi, Ai l: Gi
G
(i = 1, -2),
CZ1_EF[Z1/g0J).(Z2_EP[z2/goJ) = 0
P-pE •
Four cela, nous remarquons que, si Z est une variable aléatoire
positive et si Q est une loi de la forme Q(.) = YP(.), où Y est
1
une variable aléatoire positive, on a
EP[ZY/~J = EQ[Z/illEF[y/~l
f
1
2
P-ps, pour toute sous-tribu H. Fosons A = A UA ; supposons P(A)~O
,
et écrivons cette égalité pour Z = Z1 = I A1 et Y = IA/P(A)' en
A1 et Y = IA/P(A)'
J
P
F
prenant ~ = ~2 puis ~ = gO. Comme E [z1 /g2J = E [z1/go1F_PS'
go1F_PS,
1
on obtient EP~1/~oJ = EQ[:01/~2J.CZP ~1/~oJ + z2. EP[C1-Z
E
)/goJ)P-ps
P
F
Ef
E [Z1/g0J =
g0J
EQ[~1/g0J.CEF[Z1/g0J + E [z2/goJ
g .E [C1_~~1)/go]) P-ps.
Choisissons une même version èes esrérances conditionnelles
EQ
E [Z1/
Q
g2J et EQ[Z1/
g2J et
g 0]
g
, égales Q-P~: il est clair que
P
F
Z2
1'
= E [z2/g0]
g P-ps sur [ 0 1... E [ Z1;gO]
Z
L 1 1 d'où l' rgali tée voulue

---

- 10 -
Ceci rait, posons Hi = ess sup [B t- ~o
VA f- ~i, A.B E- ~o}pour
2
i = 1, 2. Nous allons montrer que E = n1
n UH
F_ps, ce qui nous
permettra de conclure grâce au théorème 1.2.3 et sa remarque. Or,
1
2
1
2
supposons que l'on ait F(H UH ) ~1 • Alor& E_(H UH ) contiendrait
1
un élément A
de ~1 n'appartenant pas à gO. L'élément
H = [ 0 ~EP[l A1/~oJ
A
L11 de g-0, P-ps contenu dans E-(H1UH:2
UH ) serait
alors non npgligeable : cela est impossible car, d'après l'égalité
2
démontrée ci-dessus, H devrait êtr2 F-ps inclus dans H •

---

-
11 -
CHAPITRE II
COMPATIBILITB TEMPORELLE DE DEUX FILTRATIONS DISCRETES
Nous traitons ici de la compatibilité temporelle de ?eux filtrations dis-
crètes; la première partie de ce chapitre concerne le cas narticulier de la
compatibilité te~norelle d'une tribu et d'une filtration discrète.
Première partie
Compatibilité temporellp. d'une tribu et d'une filtration discrète
Les résultats de cette partie sont contenus dans notre article~]: les d~mons­
traiions sont allégées RrAce au lemme 2.1.2
• 1 Définition~
Si (~n)ntlN est une filtration sur un esnace me!'lurable (E, ~) et ~ une sous-
tribu de ~. on dira Qu'elles ~ont temnorellement comnatible~ s'il existe une
filtration (H.). LI ' avec l e m
,satisfllisI'lnt à :
=1
1~
+
a) il existe un temps d'~rrêt S de (~i)i~I
avec ~ = ~S
-~ sera dite plongeable dans (~i) i H
b) pOur tout temps d'arrêt T de (~n)n~W' il existe un temns d'arrêt T' de
(~i\\d avec ~T = ~T' - (~n)nfIN sera dite plonp;eable dans (~i)iE:I
On dira alors que (~i)i~I réalise la compatibilité temporelle de ~ et (~n)nfm
Ou que ~ et (~n)n(msont simultanément plongeables dans (~i)i~I .
Nous donnons maintenant un lemme que nous renforcerons au chapitre III et
qui nous simplifie dpj~ les dnmonstrations •
•2 Lemme
et (H.). J
deux filtr3tions sur un esnp.ce mesurable (R, ~),
=.1 .1~·
p
On s~ose oue chaoue F. et 'IF. -= F sont nlon,,,;,nables ,chns (H·)· J' AlorR
=1
1=1
=
-J JE
(P.). l ~~t plon~eFlhle d~ns (H.). T ni l'une o~ l'a 1
l'a 1tre
1
~PS con~itio~s suivp.n-
=1
1,"
=.1 Jf ..
tes sont vérifiée~ :
a) l rlénombrRble et J ~i,;~ret pour 1 fj tODoloP'ie (1 roi te
b) l dpnombrpble et (H .). T continue ~ ~roite
=.1 .1 ("

---

- 12 -
Démonstration
Soit T un ternp~ d'arrêt de (1".). l . Po~ons Ti = T rm
' L ;
on
rm
' L ;
~ donc
=1 1 f
\\'- = 1 J
T = i~f Ti . ~omme on
1
5 fi :.
1
Il {T
~ k1= i2k {Ti ~ k 5et fi :. i ~ k est dpnombrllble,
bt ·
t 1"
_fl F'
S'
h
1" .
on 0
1en
=T -i
=T 1 .• 1
on 0
1en
=T -i
=T 1 .•
C aaue =T 1
est nloTLP,'eAble dJ'lml (H.). J Avec,
=J J {.
par exemple, ~Ti = ~Si , alors S = iu f Si ~erA un temns d'arrêt de (H.). J et
1
=.1 JE-.
on aura !!s = (' !! "i, tout cela ~tant dB au fait oue J est discret pour III
ù
topologie droite ou que (H.). J est continue à droite. Fixons i arbitraire dan~
.
=.1 Ji-
T et montrons que FTi est plongeable dans (H.). J . Fixon~ S et U des temps
=
=J Jf
d'arrêt de (!!j)jfJ tels que ~i = ~S et ~e< = ~U . Comme on Il
!!S~U = ~S ' on peut sunposer S fU, quitte à remplacer S nar SAU. On a
Ti = T (T = i \\ = i {T = il
et A = {T = i1 f-~i
= ~s : on en tire
~Ti =<T(~iU ~.A.C : Bfl" = YFi'\\) =<7"(~S U{BAc : Bf~U1) = ~SA
2.1.~ Théorème
Sur un espace mesurllble (~, F,) considpron~ lme filtrlltion (1")
lN
et une
=
=n nf
sous-tribu G de li'
• Si, pour tOllt nf/W,
nf'W, G et li'
~ont temnorellement compati-
=00
=
=n
bles, alors ~ et (~n)n flN ~ont simult'lnpl!1ent nlon~eHbles d'ms l~ filtrRtio!,,!
discrète (!!n)n~IN dpfinie p<lr
!!n = r:n'(~V~n_1) = (~n'~)V~n_1 où l'on convient
aue ~-1 = {0, 8}. On a ~oo = ~oo
Dpmom:;tration
On ne suppo~e pas pour le !!loment ~ incluse dans ~oo . Si ~n = ~n'(~V~n_1) pour
n hO, avec la convention ~-1 = {~, 1';}, alors (~n)nfl1'T est une suite crois~l1nte
de sous-tribufl de F, • On ~ 1" c= F
1(GVF ) = H
1 ~ F
1
,'d n '7,0; d'oit
d' oil H
= 1"
=
=n
=n+
= =n
=n+
=n+
=00
=00
Pour n fixé d'lns IN, montrons l'~g!1litp ~n'(S1[~n_1) = (r:n'~)V~n_1' On '1 immé-
diatement (~n.g)V~n_l c= ~n'(~V~n_1)' Soit K un él~~8nt de ~n'(~V~n_l); on A
donc
K = F
= G + F
.qvec 1" l1"
,Gf__G, fi'
1fF'
(cf 1.2.2 (2)). On en
n
n-1
n =n
n-
=n-1
tire G = Fn.F~_1 ; or Gf~ et ~n.F~_1f!n . D'où GF2'!n et Kf(!n'S)V~n_1' Il ~'en

---

-
13 -
La partie (1) du théorème 1.2.2 permet de trouver, pour tOl1t n, un élément
A
de G.F
tel que l'on ait
n
= =n
(*) ~KtGVF
c
~KtGVF , K.A fG et K.A fF
= =n
n
=
n =n
et, quitte à remplacer nour chqque nI' ensemble A
Dar 'B
= ('\\ A
,
on peut
n '
n
m~n '~
supposer la suite (A )
décroissante car, pour K~GVF
, .
n n
on a LB
= (K. B ). A
E- ~
n
= =n
n
'
n
n
=<
et K.Bc
K.B
= U (K.AC)fF . ~nfin, l'intersection A
des A
anpartient à G.F
et
n
m~'
m =n
00
n '
= =00
l'on a aussi (*) Dour n = 00 : nour KtGVF
, on montre aisément que l'on A
= =(1)
c
K.A
f G et K.A
'F
en suppos1:mt d'abord Kf"' VG nour un entier m, et en raison-
(0
=
00
=(0
='T1 =
nant ensuite par classes monotones. On a (*) pour n = -1, en po~ant A
= ~
_1
On suppose maintenant G c: F
. D&finissons une variable aléatoire S par S = n
=
=00
c
c
sur An
A _ .A
_ .A
f g'~n
n_
~n ,le veril'\\ble aléatoire
1
n et S = 00 sur \\D
Comme A
n et S = 00 sur \\D
Comme
n
C
~n ,le veril'\\ble
n 1
n
S est un temps d'arrêt de (H)
IN • Montrons maintenant Que l'on a G = F .
=n n f,
=s
D'qbord, il résulte immédiatement de (*) que ~ est incluse dans ~~ . Soit KEH~;
-',
=,~
on a, pour n fini, K.fs = n1 = K.A
1.ACEH
~V~n_1
~œ
n-
n =n c..
=n
~V~n_1 et K·fS = 001 = K.ArnE:
.
Comme on
Ac
AC
on Il K.A
Ac
K.A
1.
= (LA
1·
).A
l' il résulte de (*) que K.{S = n1 appar-
n-
n
n-
n
n-
tient à g pour 0)0, et c'est aussi vrai pour n ~ 0; par ailleur3, on a aussi
K.A
K
oo = (K. A ) .A et donc K. fs = oo1f~ d'après (*) étendu à n =
oo = (K. A
D'où,
oo
00.
oo
oo
finalement, on Il bien Rf g et l'~~alité g = H~ est ~~montrée.
=.)
Comnte tenu du lemme 2.1.2, pour montror que (F)
"T1\\j
est plongeable dans
=n nf.u
(H )
,il suffit de montrer ~ue F
est plongeable dgns (H)
ThT
Dour ID arbi-
=n n flli
'1
=m
=n n '-m
'-ln
.
traire dans iN . Pour m = CQ ,on a trivialement F
= H
. Pour m'fini, définis-
=00
=00
c
§ont une variable aléatoire T par: T = m sur Am ' T = 'TI+1 sur Am. D'abord, nous
montrons que, pour K€~m ,on Il f~.['1' = '1l1f~m et K.{'1' = m+1Jf.U +1,ce qui imnliauerA
m
que T est un temns d'qrrêt de fUn)nfm
(nrendre v = s) et que F
est incluse
=m
dans ~S. 80i t K f~m' Il r,!;sul tp rie (*) 'lue : fT. [1'
"lJ = Y.A EG. JO' CH
et
'TI = =m
=m
K. fT = m+1} = LA CfT<'
C H
1
•
Nous tt>yminons 11'1 dpmonstrl'l.tion du thporème en
m =rn
=m+
montrant que H
ef't incluse dRns F'
Soit Kf~'l' et écrivons :
='1'
=rn
Kf~'l' et écrivons
='1'
=rn
K = K.A
+ LAC = K. [T = mJ +
mJ
K.rT= '11+1
'11+ ~
r:o'11me
~
K. fT = mJ RDp!'! rtient ~ H , il
m
m
mJ RDp!'! rtient ~ H
, i
m
m
=m

---

- 14 -
appartient aussi à ~m ' et comme K. (T = '11+1) ~nn~rtient à ~~+1' donc à gV~m ,il
r~~ulte de (*) que K. ~ = '11+1\\ ~npRrtient à !m' D'o~ finalement, K anpartient à
F
et c'est fini.
"''''''
Nous montrons maintenant que le théorème 2.1.) neut être mi~ en dAfaut si on
ne sunpose pas G incluse n~ns F
nou~ verrons ensuite que l'on a ceDend~nt
=
=(11)
un r~sultat un peu plus faible dans ce cas.
1.4
Un contre-exemple
Nous prenons E = INU fa, bl o~ Il, b sont deux points ajoutés à m, et g = ~ = la
l o~ Il, b sont deux points ajoutés à m, et g = ~ =
tribu des partie de E. Pour [n ' nous prenons la tribu engendr~e par {a), (1) ,
~n\\
~+1,
g
• • • f
~n\\
• • • f
et par 1 'atome ~+1, n+2, •.. ,a, b). Comme [n est incluse dans
pour
tout n, G est évidemment temporellement compatible avec chaque F . Nous suppo-
=
=n
sons que G et (F)
IN sont simultanément nlongeables dans une filtration dis-
=n nf
crète (H)
IN ' et nous montrons aue l'on aboutit à une contradiction.
=n nf
.
=n nf
D'abord, on a évide'l1ment ~(I) = g = ~. Soit, nour chl'iaue n, Sn un temps d'ar-
rêt de (~n)nfIN
tel aue ~n = B_s
Quitte à remplacer S
nar ~un S
,on peut ~up-
s
Quitte à remplacer S
nar ~un S
,on peut
n
rnfn
m
n
poser que la suite (8)
ru er'.t croissante; puis, COlllrne {O , ... , nI HUPArtien-
n n f
nent à [n ' on peut ~UDPoser Sn = 00 sur {O,
, n1, 'quitte à remplacer Sn par
le temps d'Rrrêt de (~n)nf1N valant oosur fa,
, n) et S" sur
(n+ 1, n+2, ... , ~, b1. Soit T un temps d'arrêt de (H)
w
tel Que ~
= H
'1.
=n nfol.'
=(1)
=T
,
quitte a remplacer T par T~a..,l?1 ' on Il T = 00 sur TIL On n'3 peut pas Fl.voir T = CD
' on
T
00 sur TIL On
peut pas Fl.voir T
,
partout, sinon F
= VH
serRit égale Il H
ce qui est imnossible, les
=00
n=S
=(1)
n
,
points a, b apparb:mp.nt
.-
apparb:mp.nt Il un meme atome de F
Les égalités H
=
=00
=TAS
~T'~S =
~T'~S
n
'1
F
.F
= F
montrent que l'on peut prendre 3.., ~T, quitte à remplacer Sn par
=00
=n
=n
TI\\S
Soit S = lin S
: on ~ S ~T et on en tire He
. Or, de
n
C~T = F
- . , l
C~T =
. Or,
n
n
n
- . , l
=00
F
= ~S c= H~ , on déduit : F
= H..... D'où H
= F
=
~S c= H~ , on déduit : F
= H..... D'où H
= F
=.~
==s
=00
~T et on ne'lt nrendre 'T'=S
=n
=L)
=00
~T et on ne'lt nrendre
=n
=L)
=00
=.~
==s
=00
n
Par ailleurs comme, nour n fixé, [n+1, n+2.
... , a. b1 est un atome de F
et aue
b1 est un atome de F
et
=n
S
est F -mesurable, ~
est pp'~l à une con~tFl.nte s
,finie, sur cet Fl.tome. Et,
n
=n
n
n
comme l'ensemble {Sn = S
1 ~oo1RDPartient à F
,on voit 'lue la suite (~)
IrT
n+
. -
=n
n nt •
n+
. -
=n
n nt

---

- 15 -
ne peut être que strictement croissante, ce qui contredit le fait que T (=3) ne
peut ~tre ég-al à 00.
Voici le résultat annoncé plus haut et qui concerne fA compatibilité tem~o­
relIe d'une tribu G et d'une filtration (F)
~T telles que G ne soit oas néces-
=n n lu'
=
'
sairement une sous-tribu de- F.
=00
.1.5 Théorème
Sur un espace mesurable (S, E), considérons une filtration (F)
lN et une
=
=n nE::
sous-tribu G de ~'
~. S"lO~ supoos~r ~ incluse dJl.ns ~ro
'
~i, pour tout nflli , le~
tribus G et F
sont tempor~llement comnatibles, alors la tribu G et la filtr~-
=
=n
tion (~n)nt-IN
le Mnt aussi; plus nrécisem~nt, !l et (~n)nHN
ueuvent être
simul hnément plong'ée~ dans la filtrAtion indexée pAr l = {1_n:1
{1_
: n ~,rnlU {l, 2)
et définie par
~1 __1_
__
= ~n' (~<~oo )~n-l
'~1 ::: ~m = X~1 __1_,
__
~2 = GVF
= = =00
n+ 1
n+ 1
Démonstration
L'égalité ~oo = X~1
X
1_ vient du fait que ~n'(~V~n_l) = (~n'!l)V~n_l
(voir
n+1
théorème 2.1.3). Le début de la démonstration de 2.1.3 permet de dire que ~ et
F
sont temporellement compatibles. Posons G' = G.F
. On a G.F ~ G' ~GVF
=00
= =00
= =n
=
= =n
(~n); le corollaire 1.2.5 permet de dire' que G' est temporellement comnat~ble
avec les F
(et F
). Le théorème 2.1.3 dit que G=' et (F)
lN sont simultané-
=n
;::00
=n nf
ment plongeables dans la filtration discrète (~n)nf]l définie par
~n =-_~n·(~'V~n_l)· Tl est clair que chaque ~n et ~oo = ~oo Mnt plonp,'e'lbles dp.ns
(H.). l . l est discret pour lA topolo~ie droite: d'Aurès l~ lemme 2. 1.2, (K )
=1
lE-
=n n
est plon~eAble d'lns (H.). l . On ~n déduit 011f'> (F)
lN
' qui est ulon~eable
=1
lE-
=n n li-
dans (~n)nfJN
,est ~ussi olon~eable dans (~i)ifI . Il reste à montrer Que ~ est
plongeable dp.ns (H,). l . Le~ ensp.~ble8 A
ét~nt définis comme dAns la démons-
=1
lE
n
t
. C" -
1 _1_
A
AC
t
A
TT
trI'! t ion de 2.1.""i, 0080ns . . ) -
-n+
sur
n-1' n pour nf-1Ne
3 = oosur
00' ln
trI'! ion de 2.1.""i, 0080ns . . ) -
-n+ 1
r~isonnement l'ln~lo~ue à celui fp.it dans la démonstr~tion du thpor~me 2. 1
2. .3 mon-
tre oue l'on R. G = H~
=
:="

---

- 16 -
Deuxième partie
Compatibilité temporelle de deux filtrations discrètes
Le~ deux théorèmes sur la compatibilité temporelle de deux filtrations dis-
crètes de cette partie découlent facilement d'une ~érie de petits lemmes.
Définition
Si (~n)nIIN et (gn)n~ sont deux filtrations sur un espace.mesurable (E,~),
on dira qu'elles sont temoorellement compatibles s'il existe une filtration
(H.). l,avec l c= m ,dans laquelle elles sont simultanément p.longeables.
=1 1f
+
Nous énonçons maintenant le théorème orincipal de cette partie et nous le dé-
montrerons aprè~ quelques lemmes.
2 Théorème
Soient (~n)nflN et (gn)nflN deux filtrations sur un espace me~urable (E,~)
,
satisfaisant a :
8) pour tout couple (m, n) lm 2, les tri buf' li'
et G
sont temporellement com-
=11
=n
patibles
b) F
= G
=00
=00
Alors 1eR filtrRtions (F )
et (G ) ~nT sont r.imultan(ment plongeables dans
=11 Il flN
=n li or ~
la filtration discrète (H)
IN rlpfinie par:
=n nf
~n=~n'(::n-1V~O) ... (~n_k_1Vgk) ... ~~O'T~n_1).gn=
= (~n '~6v(g;n_1 '~1 )V ... V(~n_k·gk)V'" V(~1 '~n-1 )V(~O'gn)
On a
F
= G
= H
=00
=00
=00
,3 Lemme
Sur un espace mesurable (E, ~) on considère deux sous-tribus g et ~' de ~
telles que ~ soit incluse dans g', (~n)nfIN une filtration telle que ~' soit
incluse dans A
et telle que _g, __G' soient temporellement compatibles avec cha-
=00,
oue ~n • Si l'on pose: nfIN , ~~ = ~n·(gV~n_1) = (~n·g)V~n -1' alors G' est tem-
porellement compatible avec chaque ~~
et on R g'V~~ = ~'V~n_1 . :
Démonstration
Pour la définition et les propriétés de la filtration (~~)nF~ , voir le théo-

---

- 17 -
rème 2.1. '3 • Fixons nE-IN et soit A un él~mp-nt de g"~n-1 tel qUf! g'V~n_1 ~oit
~g81e à g' SUT ~ et à ~n-1 sur AC. On a : g'V~~ = g'V((~n·g)V~n_1) = g'V~n_1
et g'.~~ ~ g'.~n-1; A Appartient donc à g'.~~ et g'V~~
est ~gale à g' sur A et
à ~n-1 sur AC. Les inclusions ~n-1 c:.~~ C:G'V~~ se conservent sur AC. On en
d~duit que G'vA' est ~gale à A'
sur AC et c'e~t la fin de la d~monstration.
=
=n
=n
. 2 .~
Corollaire
Avec les conditions et notations du théorème, posons ~~ = ~n.(gO~n-1) =
=(~n.gO)V~n_1Pour
k 1
k
=(~n.gO)V~n_1Pour nfINet définü;sons, par r~currence, H + = Hk.(G VH
) =
=n
=n
=k+1 =n-1
= (!!~ .gk+1 )V~~_1
pour k, n fIN . Alors on A
k
k
a) pour tout k
(H )
est unP. filtration telle que H
= F
,
=n n
,
=n
(lN
-
=co
=00
J
•
=co
J
•
b) pour m ~k, gm est plongeAble dans (~~)n ,"JN
c) pour m )k, gm est temporellement compatible avec chaque ~ •
-1
On rem~rquerR que, si l'on pose H
::: F
Dour tout n, l'énoncé est encore va-
=n
:::n
lable pour k = -1 .
n~mon~tration
C'est une coupfquence immédiatp. du lemme 2.2.3 et àu théorp.me 2.1.3 •
1.2.5 Lemme
ftvec les conditions et notations du corollaire ?2.~, on a
A) ~~ est incluse dans gn et ~
~
:=
pour k>,n et nHN
b) pour n ~k, ~~ ::: ~n.(~n_1VgO) ..• (~r_k_1Vg~
cette formule reste valable
pour k)n, si on convient que ~i ,gi sont ~gales à la tribu triviale {~, El
pour i (o.
c) .~::: ~n·(~n_1VgO) ... (~n_k_1Vgk) = (~n·gO)V(~n_1 ·g1 )V .•. V(~n_K·gk)~n_k_1
D~monstration
n
n-1 (
n-1 )
0
~ go ,on a, en raisonnant par
On a ~n = ~n' . gnV~n_1 ; comme on a ~O ::: ~O·go
récurrence,
C. gn puis
:::
pour k), n a ) est ainsi démontré. Démontrons
~~ C. gn puis !!~ ::: ~~ pour k), na)
b). Si nous appliquons le lemme 2.2.3 en prenant g' = gm pour m~k, g ::: gk et
k-1
k
k-1
~n = ~n
~n =
' nous obtenons : gmV~n
~mV~n_1· On reprend le procédé avec tou-
k-2
k 1
k 2
.i ours G' = 9:_ ~, ma i s G := G ~
et A
= H
; on ob tien t : G VH -
::: G VH -
....
:
= 1{--1
='"
= '"
=m =n-1
=m =n-2

---

-
18 -
k
0
De proche en proche, on obtient finalement G VH
= G VA
= G VF
; en appli-
=m =n
=m =n-k
=m =n-k-1
k 1
k+1
_Jc(
k )
quant ce résultat à la définition de A + ,
=n
on a
=n
Bn
B ,
n
= ~~ ~k+1VEn-1
=
=~k(~k+1V~n_k_2)' D'où, par r€currence immédiate sur k, la forme explicite des
k
H . Maintenant nous allons démontrer c). On remarque, d'aurès b), que
=n
k 1
k
H +
= Ff.(G
VF
) et F
~ H . Une ~imple récurrence sur k donne
=n
=n
=k+1 =n-k-2
=n-k-2
=n
B~ = ~n'(~n_1vgO)"" '(~n_k_1Vgk)' Les tribuR ~~ , gk~1' ~n-k-1 étant deux à
deux tem~orpllement comnRtibles, le raisonnement fait dans 2. 1 .3 donne
Hk
H + 1
+
~'(~k+1V~n_k_2)
(B~'~k+1 )V~n_k_2
=n
=
=n
~'(~k+1V~n_k_2) = (B~'~k+1
. De là, une récurrence sur k donne
~ = (~n·gO)V(~n_1·g1 )V",V(~n_k'~k)Vrn_k_1 .
. 2.6 Lemme
Sur un espace me!';url3ble (E, ~), on considère une filtration (~n)nt:rn et une
~ous-tribu G de ~ telles que g soit temuorellement compatible avec chaque ~n'
Alors on a G.F
= V G.F . En particulier, si l'on a G c:. F
, on aura G = V G.F
= =00
n = =n
=
=00
=
n = =n
Démonstration
Dans la démonstration de ?1.S on a montré que G' = G.F
est temporellement
-
=
= =00
compatible avec chacune des tribus F . Soit (A ) L,U une suite décroissante
=n
n n "'.111
d'ensembles tels que, pour tout n, A appartienne à G.F
,G.F soit égale à F sur
n
'
= =n
= =n
=in
An et à G sur A~. De l'é~ali~~ (~'~oo)~n = g;~n ' on déduit que An est uri élément
de (G.F
).F
et que, sur A
,(G.F
).F
est ép'ale à F
• De l'inclusion G.F c::.G,
'= =00
=n
n
= =00
=n
=n
= =n
=
on déduit que G.F
et (G.F
).F
sont é~ales sur AC , Comme, pour tout n, G.F
= =00
= =00
=n
n
= =00
et (G.F
).F
sont é~ales sur AC, G.F
et V(G.F
).F
seront égales sur
= =00
=n
n
= =(D
n = =00
=n
A~ qui est un élément de X(g.yoo ) '~n
Pour tout n, ~n et (g'~(D) .f;n sont égales
sur An; on en déduit d'abord, du fRit de A
C
Pn,que ~net (g'~oo).f;n sont égales
oo
sur A
pui~. ~ue G.F
et V(G.F
).F
Ront égales sur A
. De leur égalité sur
00
.
= =00
n = =(1)
=n
00
A
et AC
, on conclut oue G.F
et VG.F
[= V(G.F
).Flsont égales. En rem-
00
00
= =(D
n= =n
n = =00
=nJ
-
placant ~ par ~.~oo ' on obtient le cas particulier où G est incluse dans ~oo
2.7 Corollaire
Soient, sur un espace mesurable (E, ~), deux fil trations (~n)n F-lli et (gn)n ETIl

---

- 19 =
1
telles que, nour tout couple (m, n) ~nl, les tribus F et G ~oient temporelle-
=m
=n
ment compatibles. Si on suppose de plus oue F
et G
sont égales, alors on
,
=00
=<D
aura : F
= G
=
V F.G
=00
=00
m, n =m =n
Démonstration
Il suffit d'~nnliquer deux fois le lemme précédent; d'abord on aura
G.F
= G = V G.F
nour tout n, ensuite F
= G
= G
.F
= V G.F
=
=n =00
=n
m
=n =m -
;::00
=00
=- =<1>
=00
m =n =00
=
y
G.F.
min =n =m
.2.8 Lemme
Avec les conditions des lemmes et corollaires précédents, si on pose, pour
tout nfm, ~n = ~~ ,alors on Bura ~n = ~n'(~n_1VgO) .•. (~OVgn_l).gn =
= (~n·gO)V(~n_l·~1)V ..• V(~0·gn) . On a de plus : ~oo = I;;oo = goo •
n~mon~tration
Les deux premières é~alités découlent du lemme 2.2~3 où l'on prend k = n.
L'é~alité entre le~ tribu~ H
et F
= G
découle de l'égalité
=00
=00
=00
~n = (~n·~0)V(~n_1 ·gî )v ... V~~O·gn) et du corollaire 2.2.7 ; elle ~e déduit aussi
de l'Égalité ~n = ~n'(~n_1V~0) ... i~OV~n_î)·gn et du corollaire 2.2.7
de lA
feçon suivante : si n = 2m+l, alors H :::>F .G ; d'où H
:::> V F .G =
=n
=rn =m
=00
m =m =m
=
V F.G
= F
= G
• Or H
Cri'
("in) implique H
C.F
et on conclut.
m, n =m =n
-=00
=00
=n
=n
=00
=00
~monstrp.tion du th~orème 2.2.2
Etant données la forme symétrique deR H et IR s~métrie deR hypothèses faites
=n
sur (~n)n et (gn)n' il nous suffit de prouver que (~n)n est nlongeable dans (~n)n
et, étant donné le lemme 2.1.2, il suffit de montrer que G est plon~eable dans
=m
(H)
,pour tout mfU. Pour m = 00 , on aH
= G
• Fixom~ mflN. Dans la démons-
=n n
=00
=00
trBtion du théorème 2.1.3 on fi une méthode pour construire un temps d'8rr~t T de
(~~)n tel que ~m =~; .On rappelle oue ~~ = ~~-1(~mV~~=~). On fixe une ~uite d~-
m-1
m-l
croissante ( A )
IN ~vec A fG.H'
tel que G VH
soit égale à G
sur A
et à
n n f
n =m =n
=!ll ~n
=m
n
rn- 1
rn-
c (
H
sur A
ces formules valent ~us"i no ur n = OORvee A
= n A )
ces formules valent ~us"i no ur n = OORvee A
= n A
nuis on pose
=n
n
00
n
n
.
T = n sur AC.A
1 et T = oosur A
. Noup achevon" p.lors ln démonstration de
n
n-
00

---

- 20 -
notre théorème en nrouvant que T est un temp~ d'arrêt de (~n)n et que l'on a
k+1
k (
1
k
)
k+1
k
~m = ~T • Comme on B ~n
= ~n' gk+1 ~n-1 ' on ",ura, pour k ~m-1, gm·~n
=~m·~n
k
(l1our k = m- 1, avec m = O. lire H
="\\;1
). D'oll G .H!'!1-1 = G .H . On en déduit que
=n
=n
=m =n
~m =n
A ennBrtient ~ G.H
et nue T ept un temnn d'arr~t de (H)
• Pour montrer oue
n
-
=m =n
=n n
'
,
~
=
="1
~T .il nuffit de montrer oue G est pf.'Rle a H pur AC.ft . 1 ( 't né rn ) et À
~T .il nuffit de montrer
G
est pf.'Rle
=1'{)
=n
n
n-
H
.Rur A
Dire que G = Hm
=
, c'ept dire oue G e~t ppele À Hm ~ur AC.A
1(Vn)
=00
00
=1'1
=T
=111
=n
n
n-
et à Hm
sur A
romme H
= HM
, on A bien G
H
sur A
. On R aURRi
=a>
CD
ro
=00
=CD
=ro
=m
=CD
=ro
00
c
m 1
G = H sur A.A
1 car, ~ur cet ~n8emble, on a
Hm = G = G .H -
=G .H
= H
=m
=n
n
n-
=n
=m
=m =n
=m =n
=n
2.9 Remarque
Dans la démonstration précédentp., nous nvons vu au TlR1'1~Rge que, pour mfIN
m
, il
existe un temps d'arrêt T de (Hm)
oui est pussi un temns d'Rrrêt de (H)
et on
=n n
.
=n n
A :
gm = ~; = ~T . Plus prpciRement, si (An)n est une suite décroissante d'ensem-
m-1
m-1
m-1
m-1
c
bles tels que A éG.H
avec G VH
= G
sur A
et G VH
= H
sur A
,
n =m =n
=m =n
=m
n
=m =n
=n
n
alors on peut prendre T = n sur AC.A
1
(\\1nflli) et T = 00 sur A
n
n-
(JI)
Nous achevons ce chnpitre sur un théorème où nous abnndonnons l'hypothèse'
F
= G
et nou:" obti.non!'1 une filtration (H.). l
avec l discret seulement pour
~ .tCl(~~ec~·/l.. ~'u..
=1 lE-
.
'
2. 10
1
Théorème
Sur un esup.ce mesureble (E, F), on considère deux filtrations (F ) LJN et
=
=n n~
telles que, pour tout COllnle (m, n)~lN2, le~ tribus ~
et G
soient
=m
=n
temporellement compBtibles. Dans ces conditions, les filtrRtions (F)
JN et
=n n f:
i~n)nEm sont temporellement compatibles.
Démonstration
2
Fixons (m, n)fIN
. Montrons oue F.G
et G.F
sont temnorellement compa-
=m =a>
=n =00
d'où G.F
et F
sont temnorellement comnatibles d'Après le corollaire 1.2.5.
=n =00
=m
On a (G . F
). F
= G . F
c::: G . F c.. (G . F )Vl"
compte tenu de ce qui pré-
=n =00
=m
=n =m
=CD
=ro =m
=n =CD
=ro
=m
cède et du corol18ire 1 .2.~ , G
.F
et G.F
sont temnorellement compatibles.
=CD
=ro =m
=n =CD
=ro
En utilisent encore le corollaire 1.2.5 (comme précédemment), on montre aisé-
ment que F VG
et G VF
sont temnorellement comn"tibles . Le lemme:.2.2.6 donne
=m =00
=n =00

---

- 21 -
V(F.. G
) = V(G.F
) et on El directement
V(F vr,
) = V(G VF
) . Les filtra-
n =n =00
n =n =00
n =n =(1)
n =n =00
tions (F.G
)
et (a.F
) sAtisfont 8UX conditions du théorème 2.2.2 qui
=n =00 n
=n =([)
n
donne alors une filtration discrète (~n)nfE réalisant l~ compatibilité temporel-
le des deux filtrations. De même les filtrations (~nV2oo)n et (~nv~ooJ sont simul-
tanérnent 'Plongeables dans une filtration discrète (L ) '-lN
. Posons
=n nI:"
~1--'- = ~n ' ~, = ~oo ·gco • ~n+2 = gn (nflN). Nous avons un index
l =n;~ U {'-n:, : n~TI~} discret pour la topolo~ie droite. Il est Bisé de montrer
que les quatre filtrations (~n·~oo)n '(~n·~co)n '(~nV~oo )net
)n
(gn~oo)n sont
simultanément plong~8bles dAns (~i)ifI . Montrons, par exemple, que ~n est plon-
geable dans (~i)ifI. On choisit S et T deux temps d'arrêt de (~i)ifI tels que
~n· ~oo = ~S et ~nVgoo
V
=
goo
~T· On J)eut supposer S ~T • ~n et ~oo étant temporelle-
ment compatibles. choisisson~ AfF.G
avec F VG
= F
sur A et F VG
= G
=n =00
=n =00
=n
=n =00
=00
c
sur AC. Poson'" U = T sur A et U = S sur A. . U = TAI\\SAc e!'lt un temp!'l d'arrêt de
(~i)if-I" Les propriétés de A nt l'ép"alité {U~i1 = (BA{T~i1)u(BAClS~i1)·
permettent d'avoir : ~nc..~U • ~U = ~n sur A et sur AC. D'où :'-~n = ~U •

---

-
22 -
CHAPITRF III
COMPATIBILITF TF.MPORELLB EN TEMPS CONTINU
Nous abordons dans ce chapitre l'étude de la compatibilité temporelle en temns
continu. Nous en donnons IR définition générale. Nos résujtats portent sur le cas
de la compatibilité temporelle d'une filtration discrète et d'Une filtration con-
tinue à droite.~~
d'
t
d' b
d d
'
é
~110US
emon rerons
a or
eux lemmes qui reduiront nos r
~110US
emon rerons
a or
eux lemmes qui reduiront nos
sultats
nrésents à des corollaires des précédents.
Définition
Sur un espace mesurable (E, ~), deux filtrations (~t)tflR+ et (~t)tHR+ ~eront
dites temporellement compatibles, s'il existe une filtration (H.). '1 ' avec l in-
=1
1"-
clUB dans IR + et telle que, pour tout temps d'arrêt T de (~t) tfIR+ [res p • (gt \\ ,~~ ,
il existe un temns d'arrêt T' de (~i)ifI tel que ~T' = ~T [res p . ~~. On dira alors
aue (~t)t et (~t)t sont simultanément nlongeables dans (~i)i'I .
La définition de la. comro:üibilitp teMporelle d'une tribu et d'une filtration
(~t)t~IR+ se déduit de la nrécédente en prenant pour (~t)tfIR+ la filtration telle
aue : ~t = ~' Vtf.IR+
Le lemme suivant rp.nforce le lemme 2.1.2
2
Lem'lie
Soient (~t)tf]R+ et (~t)UIR+ deux filtrations continues à droite sur le même
esnace mesurable (E, ~). Si chaque ~tet ~ro sont plongeables dRns (~t)t ' alors
la filtration (~t)t est plongeable dans (~t)t .
Démonstration
Soit T un temps d'arrêt de (~t)tfm+ . On fixe une suite croissante (T)
de temps
n n
d'arrêt étagés de (~t)t ayant pour limite T
(Voir, par exemple
2
,page ~9 )

---

- 23 -
~ompte tenu de la continuité à droite de (~t)t ' o~ aura
...,
=11 F
:Ji, ;lour chacun des ~T ' il existe un te;nps d'arrêt T~ de (~t\\
=1'
n
=1'n
n
tel 0l e
0l
~T'
F'
alors T' = A T'
~T'
=T '
n
n
n
n
~-n, =
du :ait de la continuité à droite de (~t)t ; d'où : ~T = ~1"
•
=1
n ~T'n
A.
ront""ons don~ que, Dour tout n f:rn, !T
est plongeable dans (~t)t • Soit l
Tl
l'ensemble dénombr~hle des valeurs prises :nr T
• T
est un te:::ps d'arrêt de
-
n '
Tl
(~i\\f-I et!T est la même qu'elle soit calculée par rapport à (~t)tf:m+ ou
n
à (F.).
l • Les oonditions du le~me 2.1.2 sont satis~aites et on
=1
1f
conclut que !r. est ploneeable dans (~t)tEm+·
n
Le lemme suivant est le dual du lemme 2.2.6 • Contrairement à nos notations
précérlentes où (~n)nf:rn désitp1e une filtration, c'est-à-dire une suite crois-
sante de tribus, nous utiliserons,ici, cette notation ~our une suite décrois-
sante de tribus •
.1 Lemme
3ur un espél~e mesuruble (E, ~), on considère une sous-tribu 9 de E et une
suite d,'3croissante (F)
....1
....
de sous-tribus de _:"_-' telles que G et"'''
soient tem-
=n nt-.l.'
;"n
~orelle~ent cO~J~tibles, Dour tout n. Dans ces conditions, on a •
Q(~nV~) = ( Q ~n )V~ • [~v,t- l~fcfl.~ p---" J.'~~ ...\\M-'-
...
(.0 't) V ~
~ C (0. ~ \\ v11
.lJ-1:nonstration
30it ',t)
llTune suite décroissar.te d'ense~Dles tels aue, Dour tout n, ~
n n f •
• .
n
C
a;:>p.:.rtienne à GIF
, (f 'J~) soit n..gale à (; sur j~
et à. f'
sur h
;
on (.lose
=
=r..
=n -=
'
=
n
=n
=T1
nA. ~ tr~ce sur [
de
n (F V~) est égale à l'intersection des tra-
n
n
00
n
=n =
ces sur"
des F "JO • On a
Jo' VCJ = G sur A
, Tf nid"ù,
comme A
co
=n =
=n =
n
00
F '1-:'
G sur h.
,:)our tout n. On en déduit: {\\ (F va) == G sur 1;
=!1
00
n
=n =
=
CD
A
,.c
r.
U;;.C
A
,.c
r. :J. ~
o~ (A~) est croiss[~nte. Soit Kun ·5l-:S:nent de 1\\ (F' va). Pour
ex:>
n n
n n
n
=n =
~ fix~ dans ]'J, on
ft'·~
H(UA~)
él.
ft'·~
él.
=
KI
U
AC) =
U
(Wic
(Wi ) f:F'
car, pour
'00
n n
\\ n ~ m
n
n ), m
n
=-n
toutr'
E!n et (!n)nf]l est décroissante; on en déduit que
est un élé-
1tA~ E!n et (!n)nf]l est décroissante; on en déduit que Wt~
"F
ment de
ment
et crue l'on a: sur AC
"
(F VG)
;) F
(2)
m = m ·
00
'
n
=n =
n =n

---

- 24 -
(1) et (2) donnentn(F VG)CGV((\\F) • Or on a trivialement l'inclusion de
n
=n =
=
n =n
cr'( (\\ F ) dans (\\ (F VG) • "9' oC! l' égali té cherchée.
=
n =n
n
=n =
3. J+
Théorème
Sur un eSDn~e mesurable (E, ~), on considère une sous-tribu ~ de E et une
filtration (~t)tfm+ continue à droite. Si G est temJorellement ~0mpatible avec
ch<.:.que ~t et si ? est une sous-tribu de ~oo ' alors 2 et (r ) t~lR + sont simul-
t
tanément plongeables d:::.ns la filtration,..:ontinue
filtration,.;ontinue à droite, (~t)ttmt définie
par ~t =
~t
~t(?V!t-1 ) où l'on convient que F est égale à la tribu triviale
) où l'on convient que F
est égale à la tribu
=s
{ 2, 0' J si s est ctrictg:'lent négil tif. On il : H
li'
si s est ctrictg:'lent négil tif. On il : H
=00
;'00
=00
llé:::onstratio:1 .
Il est clair que (~t)tfIR
,
est une filtration; sa continuité à droite décou-
(~t)tfIR +
,
le du lemme 3.1.3 car : ~t+ =f\\ H
1:il F;IIn
II (GV!"
1)J = F .( GVF(
)
) =
n =t+ ~f·=t+~JLn = =t-1+~
=t+ = = t-1 +
~t' On a ~oo
V H
V
F.(GVF
)
~
,d'il~rès le théo-
~oo
n =n
n
=n = =n-1
;00
r;~"'e 2.1.3 • G est i"llongeable dans (~t)t~lR+ ~J.r G est ~longeable dans (~n)nf~
i'aor3s le théor3~e 2.1.3 • ComMe nous avor:.s F
H
et co~?te tenu du lemme
=00
=00
3.Î .2, il nous reste à :.:ontrer 0le chaque ~s (sfID+) est plongeable dans·(~'t)t
?our s entier, cel~ résulte du th60r~Qe 2.1.3 ; le cas gén~ral s'y ram~ne par
~s
un ~:-,ilngement de notation. Notons [s] la partie enti~re de s et;'n = ~S-\\j31+n
en s::>rte que F
= ~2
•
:9'a~r~s le théorèï.le 2.1.3, (~-"-~..
(~-"-~ )n'IN est ;>longeable
=s
= [:::;)
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..1_
s
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('-1
)
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D"
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H's
t
l
hl..1
l
r"l
:.l..:.ns '~n n ~JN 0 ..... ;;n - ~~ ~"~n-1·
0.1 ;s = ;(s1 es
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a
1 -
S
... .
(Tl
) ' "
HS
H
l;'s ((11rT.lS
((11rT.l
)
travlon
1
•
Jo~::;e on il.
" ' . '
>xvl'
1
travlon
1
•
Jo~::;e on il.
" ' . '
>xvl'
F
.,(-:;\\0'
), on voit
=n n
=n
=11 = =n-
=s-[s]+n
= =s-[sJ+n-1
-. o( GVTi'
\\
;t '" ;t-1)·
Nous ab<.:.ndcnnons l 'hYt>oth8se "G C F " : nous avons p,ncore la ~o"'pé1tibilité
~o"'pé1tibili
'"
=00
~
te~~orelle, ~ elle est réalisée -Jar une filtration P1eR JU~geBB&if'8""H.~ conti-
nue j, droite.
3. ç
Tnéorème
Sur un es~ace mesurable (E, ~), nous considérons une sous-tribu G de E et une

---

-
25 -
filtration (~t)tfffi+ continue à droite. Si, pour chaque t~IR+ , ~ et ~t sont
/ temporellement compatibles, alors la tribu G et la filtration (~t)t~~~ sont tem-
1
temporellement compatibles, alors la tribu G et la filtration (~t)t~~~ sont
1
~ porellement comPAtibles.
némonstration
On considère G' = G.F'
• r.omme dAns la démonstration du théorème 2.1.5, on mon-
= =00
tre Aisément oue r,' et chaoue ~t sont temnorellement compatibles.D'après le théo-
rème nrfcpdent, g' et (~t)ttm+ sont simultp.npment nlon~eAble~ dAns (~t)ttIR+
Avec ~t
t
=:-
~t·(~'V~t_1) . On post" : ~1 __1_
__
= ~t ' tf:ffi+ , ~t =
~t = ~ro si
t+1
1 ~t (.2 et ~t = gV~oo si ? !;t. Il est clair oue (~t)t est plongeable dAns (~t)t'
Il reste à prouver que ~ e~t plon~eable dans (~t)t . Pour cela, il suffit de montrer
Que G est plongeable dAns (~n)nf~
; c'est dp~à fait au théorème 2.1.5 .
Nous allons énoncer un théorème sur la comnatibili té temporelle d'une filtrA-
tion discrète et d'une filtration continue à droite; nous le démontrerons après· en
Avoir donné une con~équence immédiate.
Théorème
On considère 2ur un espace mesurable (E, ~) une filtration (~t)tEm+continue à
droite et (gn)n fIN une filtration discrète. On suppose ~oo = ~oo
et que chaque ~t
est temporellement compatible avec chaque ~n . Alors les deux filtrations sont simul-
tanément plongeables dans la filtration (~t)t~m+ définie par
~t = ~t'(~t_1vgO)'(~t_2Vg1)'
'(~t_kVgk_1)' ... ,en convenant que ~t-k est la
tribu triviale {0, F,}1'1i k '> t .
Théorème
On considère ~ur un eRPBce mesurAble (~, ~) une filtration (~t)tf-1R+ continue à
droite et (~n)nfIN une filtration di~crète. On suppose que chAque ~t est temporelle-
ment co~patible avec cha~ue G
.(On n'a pas nécessairement F'
= G
.) Alors les
.
~
=00
=00
deux filtrations sont temnorellement compatibles.
Démonstration de 3.7.
COMidPronR lef' filtrations (~t '~oo )tfJR + et (~n '!:oo )n ~JN' (~t '~oo),I; est continue
à droite. Un raisonnement an~logue à celui fait dans la démonstration du théorème
??10 montre que cha~ue (~t'~oo) est temporellement compatible avec chaque (~n'~oo

---

-
26 -
~t oue V (Ft.G
)::: V (G.F
) . Les conditions du théorèmp. pr~cpdent sont satis-
t
=
=00
n
=n =00
faites: les iiltrationn sont donc simultRném~nt plon~PRbles dpn~ une filtration
(~t)t f:IR + continue à droi te . DR même (FtVr.
) ID
et (G VF'
) ;IN sont simultA-
=
=00 t l-
+
=n =00 n"
n~ment nlon~eAbles d8ns une filtr~tion continue ft droite (~t)t,"m+ • On A même
, si on définit (~t)t et (~t)t comme dans le thporème }.6 .Posons
~1 __1_
__
= ~t
(t~IR+), ~t ::: ~ ~t = ~oo ·;;00 si 1 f,-t L.2 et ~t = ~t-2 si 2 ~t . (!h\\
t+l
est une filtration continue à droite. En raisonnant comme dans la démonstration du
thporème 2.2.10, on montre que les filtrations (~t)t et (;;n)n sont simultanément
plongeables dans (~t)t .
tonstration du théorème 3.6
Soient a et t deux réels tels que 1'1 t
: on a ~s_kV~k_1 c:..~t_kV~k_1
\\fk~lN
On en tire ~s = Q(!s-k
Q
V~k_1 ) c Q(~t-k
Q
V~k_l) = Et .La continuiV à. droite de
:1!t): ?t:on:re}Wn l;~lemm~ :~3; ~ :?t~t(\\F 1VG )1_
=t+
n)1
=t-+;
n)1 Lk~1+1
=-=t-k-+;
=k-1:.1
k,ltJ +1lli~1 =t-k-+; =k-1 ' j
n +1 n)1 =t-k ~ =k-1 "1
= n1 ' [(n F
1 )VG
]
=
=
1 ' [(n F
1 )VG
]
(F
VG
) = H
k~(t +1
n)1 =t-k ~
=k-1
k!{t +1
=t-k =k-l
=t
Montrons l"1aint,~nant que (gt) t et (gn)n sont simul tRnérnent plongeables dans (~t \\
.
(~n )nt-IN et (~n)n frN°!'1t nimultBn~ment l)long~ables dans (~n)n ,"lN • Pour montrer, que
(~s)~ est plongeable dt'!ns (~t \\
,il suffit de montrer oue chaque ~s (0 ~s Y:o) est
ulongeBble dans (~t)t' d'Aurès le lemm~ 3.2
Prenons s non entier et posons
FR = 1"
en sorte q\\l~ F
= F
__ 8
•
n' anrès le thporème 2.2.2 , <-_pnS)n
C_PnS)n #.IN est plon-
=n
=s-s+n
=8
S
~
S
S
p;eeble dAns (gR)
.....
=
T
.....
où H
= fR.(E
1vQ
1
oL .. (ES
(E k 1VQk)···(EosVQ 1).Q
-n n ~I~
=n
-n
-n-
-
-n- -
-
-
-n-
-n
= ~s- s+n
·(~s- s +n-1 V~O)···(~s_ s +n-k-1 Vgk)···(~s_ s V~n_1)·gn = ~s- s +n
Comme (~~)n est une filtration extr"l.ite de (~t)t et ~~ = ~oo • on conclut que ~s
est ulongeable dans (~t)t .

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REFERENCE3
[1] Chung X.L. et Doob J.L.
"Fields, . optionali ty and measurabili ty"
Amer. J. of ~~th., 87, pp397-424 (1965)
(2] Dellacherie C.
Capacités et Processus Stoohastiques
Springer-Verl~g (1972)
(31 Dellacherie c. et Meyer ?A.
Probabilités et Potentiel
Volwne 1 (Chapitres 1 à 4)
Hermann (1975)
J HalmoB Paul R.
f.1easure 'lheory
Springer-Verlag (1974)
[5] Seynou A.
"Sur les oouples de tribus temporellement
compatibles"
C.R.Acad.Sc., t.287, oct.1918, pp 659-661
[6J Seynou A.
"Sur la compatibilité temporelle d'une
tribu et d'une filtration discrète"
Séminaire de Probabilités (Strasbourg)
XIV, pp205-208
.{

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