... ;,~
:-.JO j'ëlrdre:
THÈSE
DE
DOCTORAT D'ËTAT ÈS SCIENCES MATHËMATIOUES
présentée è
L'UNIVERSIT'Ë PIERRE ET MARIE CURIE
PARIS V1
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
par
Albert OUED~\\OGO
Sujet de lô thèse :
CONTRÔLESPONCTUELSDESYSTÈ~lliS
-
-
-
- -
PARt\\BOLIQUES ET EllIPTIQUES D'ORDRE 2m.
~i
MÉTHOD~ DES ÉLtwlENTS FINIS
APPLIQUÉE A.V CONTROLE D'UNE ÉQUATION PARABOLIQL~
PAR DES ~IASSES DE DIRAC
Sou'tenue le 16 Janvier 1981 devant la Corrmission composée de:
MM.
J. L. LIONS
Président
f.
MIGNOT
C.
SAGUEZ
Examinateurs
P. G. CIARLET
R.
GLOWINSKI
H.
HOGBE·NLEND
Invités
J. F.
BOURGAT
Je dédie cet ouv:':· ~ge b. l"on père, à Iœ. D,ère et ~~ la
L:!émo1re (-e T~''IO: ":;1.1\\.;:00 A:-,,'li.lUIiJ8. Ali,irou dont la vie fut un
bel exeI!';0le pOUT C.es millie::'s c~e cOl1.citoyel\\s.
REMERCIEMENTS
Je tiens à expl'imel' ma pl'ofonde gl'atitude à MonsieUl' Ze Pl'ofesseUl' LIONS
qui m'a pel'mis d'entl'epl'endPe ce tl'avaiZ scientifique et qui me fait Z'honneUl'
de pl'~sidel' Ze JUl'Y de cette thèse.
J'expl'ime aussi mes sinc~l'es l'emel'ciements à :
MessieUl's F. MIGNOT et C. SAGUEZ qui ont bien vouZu examinel' ce tl'avaiZ et me
font Z'honneUl' d 'Otl'e l'appol'teUl's de ce JUl'Y.
MessieUl's P. G. CIARLET et R. GLOWINSKI qui me font Z'honneUl' d 'Otl'e membl'es
du JUl'Y de cette thèse.
MonsieUl' HOGBE-NLEND, Pl'ofesseUl' de Z'Univel'sit~ de Bol'deau:r; qui maZgl'~ ses
occupations a accep~ d'effectuel' Ze ~pZacement pOUl' assistel' à Za soute-
nance de cette th~se.
MonsieUl' J. F. BOURGAT, Ing~nieUl' de Rechel'che à Z' INRIA qui m'a initU à Za
pl'ogl'ammation et qui a beaucoup contl'ibu~ à Z'ol'ganisation de cette soute-
nance de thèse.
MonsieUl' DIALLO, l'epl'~sentant de Z'UNESCO en Haute-VoUa, qui a mis à ma
disposition Ze matél'ieZ pOUl' Za l'epl'oduction de cette thèse.
INTRODUCTION
Le thème général de ce travail est l'étude théorique et numérique de
quelques problèmes de contrôle optimal.
On peut distinguer deux parties dans cette étude.
Une première partie de ce travail examine les contrôles optimaux
relatifs à diverses fonctions coût J(v,w), c'est à dire à la détermination
des valeurs (;,w) qui rendent minimum les fonctions J(v,w).
Dans les problèmes que nous avons considéré J(v,w) est une fonction
intégrale dont le noyau dépend de y, y étant l'état d'un système physique
qui obéit à une équation de type
JU.y) = 8(v,w)
La fonction J se présente elle-même sous la forme
J(v,w) = ~(y~v,w»
Nous nous limitons ici à des opérateurs de type parabolique ou elliptique.
Notons que les problèmes résolus dans cette première partie sont une
extension à l'ordre 2m des problèmes traités par Monsieur SAGUEZ (cf. Thèse
Docteur Ingénieur Paris 1974), problèmes relatifs à des opérateurs
~. *- -/1 ou ~= -/1 •
Nous montrons que sous certaines hypothèses les fonctionnelles consi-
dérées admettent un minimum.
La deuxième partie de ce travail a consisté à appliquer dans un premier
temps une méthode d'approximation numérique, la
méthode des éléments finis,
pour déte~ner la solution faible d'un système parabolique d'ordre 2, sys-
tème contrôlé ici par des masses de Dirac.
La solution faible y est cherchée dans un domaine
n
n
ouvert de:R
si dt est un opérateur elliptique
Q =
nx ]0,T[ , n ouvert de :Rn si dl.- est un opérateur parabolique
La difficulté de cette étude numer1que provient,lorsque n ~ 1, de
l'introduction de la masse de Dirac.
Dans un deuxième temps nous partons de la solution y obtenue par la
méthode des éléments finis et nous avons minimisé J en utilisant la méthode
du gradient.
Cette étude concrétise en fait l'étude théorique faite au Chapitre 1.
RESOLUTION NUl'/ŒJ.l.IQUE D'ON SYSTEME PARABOLIQUE·
Cor.:œORTANT UNE MASSE DE DIRAC PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS
. INTRODUCTION
On sait déterminer par la méthode des éléments finis la solution
faible d'un système parabolique composé d'une équation de type:
et des conditions à l'instant initial et sur la ~ntière du cylindre Q.
2
Notons que pour g ~ L (Q) la méthode des éléments finis ne convient plus
à sa résolution.
Dans ce chapitre nous considérons un système parabolique dont
2
le second membre n'appartient pas forcément à L (Q) J un artifice de
calcul nous a permis néanmoins d'utiliser la méthode des éléments f'inis
pour résoudre n~~riquement ce système.
l
-
P;OSITION El' RESOLUTION DU PROBLEME P
1) Position du Problème P
Soit n. un ouvert borné de \\R n , supposé polyhédral ; rdé Gignant
la frontière de Q. , on se propose d'approcher par la méthode des éléments
finis la solution faible du système d'équations ci-dessous.
1 ,1
~ - É:i u = f(x,t)+h(t) ~ (x-b) dans Q =Q x] O,T[
0t
1,2
u \\:E=
0
avec 1 = r x] O,T l
1,3
u(x,o) = 0
pour tout
x E: .Q..
t représente la variable temps qui décrit] O,T [ avec T{()) ; b E:Q
f(x,t),
h(t) sont données par hypothèseo
2
f ~ L (Q)
1
.../ ...
2
o
1
Posons
V
=
H
Co.) et désignons par V le dual de V
On distingue les deux cas suivants :
1 er cas
n = 1
~
1
(x-b) E. V' =
H-
(..R.)
2
1
Posons g(x,t) = f(x,t)+h(t) ~ (x-b), alors g ?:.L (O,T
V ).
On sait dans ce cas résoudre le problème Po ;
voir par exe~ple P.A. RAVIAHT Li J
P.G. CIARLET
[1.J
2e cas:
n = 2
~(X-b) ~ V'
J.. 2
'
Alors g 't' L (O,T ; V).
On introduit le problème auxiliaire Pt suivont
2)
Problème P"
Déterminer par la méthode des éléments finis la solution faible
du ~stème d'équations.
?i -
2,1
Jj u = f(x,t)+h(t) Xy
2,2
UI
0
lt
2,3
u(x,o) = 0
avec
sur le carré de centre b
et de eSté . j)
)J =_1_ , a >1
Log a
o ailleurs
Remarques
b)
g)J
=
f+h(t)X
tend au sens des mesures vers f+h(t) ~ (x-b)
lorsque ;/'-----3> 0
...1...
3
3)
Résolution partielle du problème Po
-
(approximation à temps continu)
1 -
Pour Y fixé et n~ 3 le système (2,1), (2,2), (2,3) admet dans
2
L (0) une solution unique notée
Uy définie par:
~
), f(x,t)'t'(x,t) dxdt + X,
h(t) "(x,t) dxdt = ( U.fdxdt (L)
Q
0
)Q
où ~ est solution du système :
r' 2
- ~
\\' =
f t:: L (0)
Y,
=
0
;
'T (x,T) = 0
Œ
On vérifie en effet sans difficulté que le premier membre de (L)
1
est une forme linéaire continue sur l'espace X (0) pour ln topologie
induite par
~,1 (0)
.lE-
2
- La méthode des éléments finis permet de déterminer
lt.yh
approcr.ant
la solution exacte
Uy
3
- Considérons ln suit e })Il'. = - - - - , Il'. entier,
>
Il'.
1
Log Il'.
A la suite ( Vu)
on peut associer la suite desproblème (pYm)
admettant la suite (tI)lIl'.) comme solutionso
2
Désignons par Z l'élément de L (0) défini par :
2
( e
) Vrt L (Q)) )QZ 'fdxdt = Lf(X;t) "(x,t) dxdt + Ch(t) '!'(b,t) dt
2A
. Puisque
g)Jm ~f+h(t) ~ (x,..b) au sens des mesures lorsque ')JIl'. -j0 ,
2
on vérifie que Vrf L (Q),
si
m--7(X)
) Qu"m~ dxdt ~ )Qz ~dxdt
."'./.0.
4
Autrement dit la suite
U
converge faiblement vers Z, lequel
Ym
z ~érifie le système 1
z 1"L = °
Z(x,o)
::
o pour x (0 St
4 - Application à l'approximation (à temps continu) de la solution
faible Z du problème Po par la méthode des élémentn finis
Par la méthode des éléments finis on sait construire la suite des
2
solutions u*Y h tendant vers ~y au sens de L (Q) faible quand h,---;?O
Pour approcher par le pro~édé des éléments finis la solution Z du
problème 1")0 i l suffira de considérer la suite double
*
U vh avec h~O
et V----"70
Dans la pratique on se contentera de déterminer la solution y obtenue
pour V et h suffisamment petits.
5
- Extension au cas n :: 3
La résolution du preob1ème Po pourra se faire par le procédé ci-
dessus dans tous les cas où la méthode des éléments finis slapplique
à la résolution du problème Po ; dans le cas présent il existe une
solution unique y pour
n ~ 3
Pour n = 3, on introduira la fonction
1
sur le cube de centre b c·'
-y3
"
X
--
y
de c8té
V
(Log a) 3
a}l
=
,
0
ailleurs.
Le raisonnement fait pour n = 2 reste valable sur cette surfaceo
.../ ...
5
4)
Résolution complète du problème Po
On résoud complètement le problème Po pur la méthode des
éléments finis en associant à llapproximation par r2pport à la variable
d'espace x, la discrétisation classique en t, cette dernière pourra
se faire par exemple suivant la technique de CRr'UŒ-IHCHOLSON.
BIBJ,IOGRAPIDE
Lectures on the fin1te Element Method
GLOWINSKI - JJIONS - TREMOLIERES
Analyse numérique des inéquations variationnelles.
r. A. RA\\}\\ A,,1
T~v U4~ b b
E. ee m (fit
E-1v~J"')l,J 1
1
RESOLUTION Nm:E.J.l.IQUE D fUN SYSTEME PARABOLIQUE
CQr.œORTANT UNE MASSE DE DIRAC PA..B. LA rlFrHODE DES ELEMENTS F'nns
INTRODUCTION
On sait déterminer par la méthode des éléments finis la solution
faible d'un système parabolique composé dfune équation de type:
et des conditions à l'instant initial et sur la frontière àu cylindre Q.
2
Notons que pour g ~ L (Q) la méthode des éléments finis ne convient plus
à sa résolution.
Dans ce chapitre nous considérons un système parabolique dont
2
le second membre n'appartient pas forcément à L (Q) ; un artifice de
calcul nous a permis néanmoins d'utiliser la méthode des éléments i'inis
pour résoudre n~~riquement ce système.
l
-
~SITION ET P~SOLUTION DU PROBLE~ΠP
1) Position du Problème P
Soit n tL"l ouvert borné de \\R n , supposé polyhédral ; r J.(;~;ignant
la frontière der,[
, on se propose d'approcher par la méthode des éléments
finis la solution faible du système d'équations ci-dessous.
1 ,1
1,2
u '2:=
0
avec;- =r x J O,T l
1,3
u(x,o) = 0
pour tout
x E: iL
t représente la variable temps qui décrit] O,T [ avec T,LÙ
b f Q
f(x,t),
h(t) sont données par hypothèseo
2
;f ~ L (Q)
2
o
r
Posons
V = H
ca) et désignons par V le dual de V
On distingue les deux cas suivants :
1 er cas
n =
~ (x-
1
b) E. V f = H-
(iL)
2
f
Posons g(x,t) = f(x,t)+h(t) ~ (x-b), alors g f L (O,T ; V ).
On sait dans cc cas résoudre le problème Po ;
voir par exemple P.A. F.AVIAHT
L1J
P.G. CIARL:E.'T
[1 J
2e cas:
n = 2
~(X-b) 1v'
j
2
')
Alors g If L (O,T ; V
•
On introduit le problème auxiliaire ft ::mivant
2)
Problème P"
Déterminer par la méthode des éléments finis la solution faible
du système d'équationso
~ -iJ. u = f(x,t)+h(t) Xy
"
2,2
ul
°
yt
2,3
u(x,o) = 0
avec
sur le carré de centre b
et de ceté .J}
)J =_1_ , a)1
Log a
o ailleurs
Remarques
a)
2
2
Si
f E. L (Q)
f+h(t)X)/ f
L (Q)
b)
g;.J
= f+h( t)X
tend au sens des mesures vers f-I-h(t) ~ (x-b)
lorsque JI ----..;;:. °
...1...
:5
3)
Résolution partielle du problème Po
- (approximation à temps continu)
Pour ;J fixé et n ~ 3 le système (2,1), (2,2), (2,3) admet dano
2
L (Q) une solution unique notée
U y définie par :
x/
~
( f (x, t) 't' (x, t) dxdt +
h(t) "(x, t) dxdt
( U.t'dxdt (L)
JQ
)Q
)Q
où ~ est solution du système :
-1~ - 'JI
2
= f ' f l:= L (Q)
Yr~ = 0 ;
'T (x,T) = 0
1...
On vérifie en effet s~s difficulté que le premier membre de (l)
1
est une forme linéaire continue sur l'espace X (Q) pour la topologie
induite par
~,1 (Q)
-lE-
2
- La méthode des éléments finis permet de déterminer
l):h
approcr..ant
la solution ~~acte Uy
3
- Considérons ln. suite }Jm = - - - - , m entier,
Log m
A la suite ( V:l )
on peut associer la suite des problème (py )
m
admettant la suite (tJ}lm) cOIlIDle solutionso
2
Désignons par Z l'élément de L (Q) défini par:
-
2
( e
) Vff L (Q)) )QZ'fdxdt ~ far(x;t) l((x,t) dxdt + (h(t) "(b,t) dt
2A
Puisque
gV
-----';>f+h(t) ~ (x-b) au sens des mesures lorsque ')Jm--70 ,
m
2
on vérifie que Vr~ L (Q),
( Uvt ~
m dxdt - 7 \\ z ~ dxdt
si
m-7CO
)Q
)Q
."'./.0.
4
Autrement dit la suite
tIYm converge faiblement vers Z, lequel
Z ~érifie le système 1
~ -/J. Z = f(x,t)+h(t) ~ (x-b)
~t
z )
=
~
°
Z(x,o)
=
° pour x ~ St
4
- Application à l'approximation (à temps cont~nu) de la solution
faible Z du problème Po par la méthode des élémentc finis
Par la méthode des éléments finis on sait construire la suite des
2
solutions Uv h tendant vers tlyau sens de L (Q) faible qw..md
h.->O
Pour approcher par le procédé des éléments finis la solution Z du
problème Po i l suffira de considérer la suite double
*
U
avec h~O
Yh
et V-----70
Dans la pratique on se contentera de déterminer la solution y obtenue
pour Vet h suffisamment petits.
5
- Extension au cas n = 3
La résolution du preoblème Po pourra se faire par le procédé ci-
dessus dans tous les cas où la méthode des éléments finis sl applique
à la résolution du problème Po ; dans le cas pr0sent il existe une
solution unique y pour
n ~ 3
Pour n = 3, on introduira la fonction
sur le cube de centre b c~-.
de c8té
yi
= (Log 0.)-3, a)
1
0
ailleurs.
\\...
Le raisonnement fait pour n = 2 reste valable sur cette surfaceo
...1...
5
4)
Résolution complète du problème Po
On x-ésoud complètement le problème Po par la méthode des
éléments finis en associant à l'approximation par mpport à la vari:1ble
d'espace x, la discrétisation classique en t, cette dernière pOUl'~U
se faire par 8xemple suivant la technique de CRr'Ü'::K-NIC EOLSON.
BI BIJIOGRAPJITE
p. G.
CIARLEr
L1 J
Lectures on the finite Element Method
GLOVlINSKI - JJIONS - TREMOLIERES
Analyse numérique des inéquations variationnelles.
P. A .
L..-iJ
T
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J. "Yl
)
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...
1
E- 11,'«./'·ow ,
· -
CONTROLE ~ONCT~~ D'UN SYS~EME GOUVEl~TE PAR UNE EQUATION
PARABOLIQUE CONŒORTANT DES I;IAJSES DE DIRAC
1 - Notations - Hypothèses - Position du problème
1.1.
Notations - Hypothèses
a) 2m
représente l'ordre d'un opérateur
A(x, t; Dx) que !lOUS prJcir]C;;_'c . .:.:..
b)!2.. est u.n ouvert borné de IR n avec n ~ 4m-1
-1a'f'rontière r est Uc.t' variété infiniment différentiable de dimension n-1 •
- Jl ·est localement d'un seul côté de r
c) t est la variable temps appartenant à J O,T[ avec T ~ CD
d) Qet > sont respectivement définis par
Q = Q xJ 0, T L etl:: rxJo, T [
e)
E est un fermé de {2
b , b , ••• , b~
sont ~ point, de E
1
2
f)
~(X-bj) désigne la mesure de DIRI\\..C en bd
E E ,
X € . Q
r
)A
2
LL (0,T)]
représente l'espace des contrôles
2
( U)
et
H
= L (il)
sont deux espaces vectoriels sur
fR
, pt) /(/1 ~ 7Yl
Les a.
sont supposés suffisamment r~guliers.
pq
v'
j)
] rl '> J
1 E-li\\") V (>,r) EQ 2 Qpq::,rJ fr;'l~« ) 5~P
, 'PI~Cj) =1YI
,pl": rn
k)
Y est donné par la résolution du système d'équations:
ft
(1.1)
~+A(t)y =
~
f(x,t) +
/
vj(t) ®
~ (x-b.)
v
J
-J::: ~
2
2
avec fEL (q),
v.E.L (0,T)
J
J
JJ)= ° pour j = 0,1, ••• , m-1
';) )JJ
~
.'il- représente la dérivée d'ordre j le long de la normale Li r/'
,~
n
normale"que nous supposons dirigée vers l'extérieur de ~~
1
i,l
-
2 -
y(x,O)
= y (X)
Où on suppose y E H
o
o
1.2
Position du problème
c'll~.e.ppelé ensemble des contrôles admissibles étant un sous ensemble
conve..'{e fermé de li, trouver "6 E E fi-
V
E
il
)
...<t
tel que :
o
It
J(v, b) =
Inf J(v, b) pour (v, b) ~ dM X E
v
=
(v1 ' v ' ••• , v~) et b = C
h
2
1 , b2 , ••• , b )
r
)'T .~
i
fi
p.
L
(1.4)
J(v, b)
=
'Y-:~U"llul G{x.cLt- + L NJ
1~1/~)1 uL
Jo..
J -= A
0
Y est do~~é par la résolution de (1.1), (1.2),(1.3).
2
Zd
L ( q) est do~ée par hypothèse.
2
2 - Existence et unicité dans L (Q) de la solution faible y
2
Montrons qufil existe dans L (Q) une solution faible du sytème qui est
unique.
Pour résoudre le sytème (1.1), (1.2), (1.3) nous procédons par trdnsposition.
Désignons par y l'état adjoint de y et A*(t) l'opérateur adjoint de A(t) 1
~ doit 'vérifier le s~~ème :
(2.1 ) -~ i + A~r) lf ~ f
ût
(~.2)
il r \\;. 0 pour j = 0, 1 ... , m-l
- 1
)JrJ
J'E
(2.3 )
ytx,Tl:: il pour tout x f-9-
Si nouS supposons que ~fL2(Q) alors sous les hypothèses du point (1.1)
on déduit que :
-=- Yi: X\\Q) ~jgEH2ml~)
~!.
;
\\L:. = ° pour j = 0,', ... , m-1, g(x,T) = °}
Xf (q)
l'application
IJ :'1'-~.~+ A*(t) ~ tf
est un isomorphisme de
2
sur L (Q). (voir LIONS..lIAGENES L2J )
Pour y solution réGUlière de (1.1) (1.2) (1.3) on doit avoir:
(y(_ ~<r + A*(t)Y)dtJ.. (f(X,t) Y(x,t) d x d t + jYj)() "(U<Jv){ix f
)/
ot
i~
~
0.
y_ r
-t
Vj 1" l' [b"t) cU
li 4 )
1
J"''' 0
- 3 -
Considérons l'application:
î1 :f--> 6('fI~))"o (f(X,t)"{ (x,t)dx dt + (yo(x)l.( (x,O)dx -t
~ T
~
k
+"\\ (Vj(t)L{(bj,t)dt
?)J
2
Observons que ~: Vj(t)~(bj,t)dt a un sens Si~(bj,t) E. L (O,T)
2
2m
2
2m
Commelf ~ L (O,T ; H (.Q) ) alors'\\'(bj,t)E L (O,T) si H (Q )c. C·/e_O..)
cette candition est réalisée puisque n <4m-1 • (voir LIONS-hlA.G.J;li.8:..i [11)
"
D'autre part Lx'(x,o) f. !l"(.Q) donne un sens à I~o(X)'f(X'O)dx'
~~)est donc définie et linéaire
Ecrivons CI sous la forme ~=
j1 + j2 + j3 avec
et
j1 :~.----:> ( f(X,t)~ (x,t)dx dt
io..
'i
J 2
-> SD. yo(x)L1 (~O)dx
,~
(t)~(bj'
J 3
=T tvj
t)dt
1
. ,
2ra,1
Montrons que 'lest continutsur X (Q) munie de la topologie ~ndu~te par H
(Q)
1
(i)
j1
est continue sur X (Q)
1
2
( (~'-70 dans X (Q) ). ~
(~->0 dans L (Q) ) )
Par application d~ l'inégalité de S~hwa,rtz [, f(X,t)L( (x,t)dx dt tend donc
vers 0 lorsque 'itend vers 0 dans X (Q).
0...
1
(ii)
j2 est continu sur X (Q)
On sait que Y': L(
~~(x,O) est linéaire et continue de x1(Q) dans
ffl(SL) • (voir LIONS-MAGENES
(2))
- 4 -
2
l
On en déduit que : ~ (x,O )~O dans L (..Q.. ) et si 't--'l 0 dans X (Q),
alors
[yo(x)G{ (x,O)dx ._~O
.:.0..
1
2m
(iii)
j3 est continue sur X (Q) muni de la topilogie induite par H
,1 (Q)
Introduisons
j
=
~
0, 1
avec
1
2m 1
'-)m 1
Rappelons que X (Q)C: E
'
(Q) et que D(Q) est dense dans El.. , (Q).
(voir LI01TS-MAGENES (2] )
1
j3 étant une distribution s~ Q, on déduit que j3 est continue sur x (Q)
pour la topologie induite par H2m, 1 (Q).
On déduit que l'application:
'11~ f .
2
:;>
Dltr'(!j») est UJle forme linéaire continue sur L (Q) et qu'il
2
existe y unique dans L (Q) tel que (2.4) soit vérifiée.
(IV)
~~~~~
y dépend de v et b ; donc y = y(x, t, v, b), on notera aussi y = y(v, b).
4 - J(v, b) définie par(1.4) admet un contrale optimal
V, b )
- 4.1 Lemme
Lfapplication : (v, b)
>y(x,t, v,b) est une application continue de
11""
2
(faible) x EU dans L (Q) faiblement.
Démonstration
2
Il suffit de montrer que pour tout élément ~ de L (Q) la fonction &:(v, b)
(;)
est continu.: sur 11ad (faible) x EU
-;> "b
N
•••• , b )
)J.
. 2
u
Pour v t
[L (O,T) J
écrivons v
=
N
N
Nous nous proposons de montrer que si vN'~>v
faible et si
- 5 -
"7 b, alors
~N' b -----"7> 6;, b autrement dit:
N
(T
Jl
N (t)~
(
v
(bN)dt
~-
2
)0
J
J
\\:j(t)~ (bj,t)dt
j
= 1
j
= 1
T
'
r
..............
a)
/
l N U N
f.t
(
(.J
''J
vj(t) l (bj,t)dt_--",>') L
\\ v / t ) , (bj,t)dt
j
= 1
o
j = ')0
On a pris v sous la forme
(v"
v '
••• , v~)
2
2
lorsqUe v '
'>V dans ~lad faible PUisqUe~(b~,t)E:. L (O,T)
N
"
--~ t~Vj(t)~(bj,t)dt
D
lorsque
En effet on a :
b~
~ b. dans E
J
J
on a pris b sous la forme
(b , b , •••• , bf.t)
1
2
\\{ E:
2
L ( 0, T ; ~m
(.Q))
2m
H
(.Q) C
CO (Sl)
on déduit que llapplication
x
>Vj(t)~(x,t) est continue PH en t.
Considérone ~ J( b ., t).
"'{
J
g(
On peut trouver un voisinage Ub
du point b
et un réelf>O convenablement
j
j
choisi tel que :
...,
Par suite .! vj(t) ur(x,t)~ Jvj(t) 1 g(t) = h(t) pour tout XEVbj
et pp en t.
2
2
'-((b.,t)€::
L (O,T)et
v.(t)'=::.L (O,T), on en déduit que h(t) est intégrale
DJ]
J fT Y
l'T,
sur 0, T
N
N
Si donc b .._;>b. dans E,
v.(t)
b~.,t)dt_......... v.(t)ul (b.,t)dt
J
J
J
J
/'
J
~
J
o
D
4.2 - J(v
___ b)
L
admet un minimun (vL b)_
..
- 6 -
Considérons une suite lilinimisante
(vl'T' bN' de la fonction coût J,
(vU' bJ:I) E: lL ad x EU.
Alors J(vN,b )
;3>Inf J(v,b)
pour
(v,b) f: ~~ad x EU.
N
De llexpression de J(v,b) on déduit une inégalité de la forme
C
e e
J(v, b):?
li v Il,u
oùYêst une constante positive.
Par suite
Il vll4~ : J(v,b) etÙv ll~~:
N
J(vN, cN).
l'uisque J (v ' b ) --;> Inf J(v, b) on en déduit que la suite (vit) est lli1e
N N
suite bornée. On peut donc extraire de la ~uite (v ) une sous suite (v
N
Nr )
_
ct \\
convergant faiblement vers v dans (;\\.ad.
E éto.nt un ensemble fermé et borné de.Q.. , on peut donc extraire de la suite
(b ) une sous suite (b
) tendant vers b dans EU.
N
Nr
Remarquons que si lim
J(vu' b ) ~ J(v, b) alors J(v, b) = IL1f J (v, b)
N
pour (v,b)~ ltad x EU.
u
On aura donc le résultat cherché si J(v,b) est s.c.i sur [L2(O,T~J x EU
pour la topologie faible.
Du lemme on tire que si v
dans
L~(O,T)~ faible on déduit que 1
N' --7 v
L')
~~
lim (
ri
t
'r
J.l
Y(V
Zd(x,t) 1
dxdt
+
'"",
Nj JI{(t) 1~ dt
N " bN,) -
L -
0..
t
j
= 1
()
f
?
1y(v, 'b) - Zd(x,t) 1 dxdt
+
~~ ~IV. (t) .~1 dt
~
J = 1 Û
il
Par suite
J(v, b) =
Inf
J(v, b)
pour (v, b)
ad x EU
Ji' l
N
Bibliographie
LIONS-IfJ\\.GE:-'TES [1}
Non
Homogenous Boundary value Problems
and applications
Tome 1
LIONS-MAGENES [2J
Non
Homogenous Boundary ~dlue
Problems and applications
Tome 2
LIONS (11 : Contrale optimal des sytèmes gouvernés par des équations aux
dérivées partielles.
PLAN - 1ère PARTIE
l
- CONTROLE D'UNE EQUATION PARABOLIQUE PAR DES MASSES DE DIRAC
Introduction
1. Position du Problème
2
2. Existence et unicité de l'état y dans L (Q)
3. Minimisation de J(v,b)
4. Differentiabilité de J(v,b)
II
- CONTROLE D'UN PROBLEME AUX VALEURS PROPRES
Introduction
1. Position du Problème
2. Existence de l'etat y
3. Existence d'un contrôle optimal
4. Etat adjoint
5. Discrétisation du problème
III - CONTROLE EN VARIABLES MIXTES
Introduction
1. Etude du Problème général
2. Application à un Problème de contrôle
IV
- CONTROLE EN VARIABLES BOOLEENNES
Introduction
1. Position du Problème
2. Existence d'un contrôle optimal
3. Deuxième démonstration de l'existence d'un contrôle optimal
4. Application au cas n=1
5. Conditions nécessaires d'optimalité
PLAN - 2è PARTIE
RESOLUTION NUMERIQUE D'UN SYSTEME PARABOLIQUE COMPORTANT DES MASSES DE
DIRAC PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS.
A) POSITION ET RESOLUTION DU PROBLEME Po
Introduction
1.
Position du problème Po
II.
Prob lème P'V
III.
Résolution partielle du problème Po
IV.
Résolution complète du problème Po
B) ESSAIS NUMERIQUES
1.
Mise en oeuvre de la méthode dans le cas n=1
II.
Exemples (type n=l)
III.
Mise en oeuvre de la méthode dans le cas n=2
IV.
Exemp les (type n=2)
- 0 -
CHAPITRE VI
DETERMINATION DU CONTROLE OPTIMAL PAR LA METHODE DU GRADIENT
A) ETUDE THEORIQUE
1.
Position du problème
II.
Minimisation de la fonctionnelle
III.
Théorème
B) ESSAIS NUMERIQUES
1.
Mise en oeuvre de la méthode dans le cas n=1
II.
Exemple (type n=l)
III.
Mise en oeuvre de la méthode dans le cas n=2
CHAPITRE 1
CONTROLE D'UNE EQUATION PARABOLIQUE PAR DES MASSES DE DIRAC
INTRODUCTION
: Un 'problème de contrOle optimalee préeente d'une manière générale comme
suit 1
étant donné un espace de contrOles 11 et une fonction J définie sur~
et à valeur$ dans R, déterminer, u e: uad
U '7 te 1- 'que :
4.0 l cne ~
ru e:~6d
(p)
LJ(U) < J(v),
Vv €~d
~d représente l'ensemble des solutions possibles pour faire fonctionner
un système p.r exemple ~ apparçenir à~cl se traduit Bouvent par le respect de
certaines contraintes, aussi dit-on que~d est le domaine de contraintes ou
l'ensemh~e4~s contrales àdmissibles.
"
J:r'epr:ësente un critère qui guide le choix d'une solution possible. Dans
la pratique J exp~ime uncoQt, un rendement ou un bénéfice~ J e~t souvent appelé
: fonction coQt' pn PluEI"'fi,mplonent EbnQtioo:lcllc.
. "
Observons que le probUme (p) peut ne pas admettre de solutions ; dans ce
cas, on utilise les méthodes de calcul qui permettent de trouver une valeur de
u telle que J(u) soit assez voisin de Inf J(v)
v E: uad
On étudie dans ce chapitre la minimisation d'une fonctionnelle à deux varia-
bles J(v,b) définie par :
~
,T
2
J(v,b) =
(IY(X,t,v,b)-
dxdt +
'~Nj ) 1
dt
Jq
vj (t) 1
ou'
j=1
o
n x
]
a,TL
.
,
T <
00
.......
;
y • y(x,t,v,b) est l'état donné par la résolution d'un syatème d'équations
paraboliques faisant intervenir des masses de DIPJlC.
On a aussi examiné dans ce chapitre la différentiabilité de J(v,b) par rap-
port aux variables v et b et précisâ dans chaque cas le système d'équations défi-
nissant le contr~le optimal.
1. HOTAtI01'1S - HYPOTHESES - POS ITIO~! DU PROEL3ME
1.1. Uotations ':"Hypothêses
On suppose que
a) ~ est un ouvert borné de Rn, sa frontière est une variété infiniment
différentiable de dimension n-l : de plus n est localement situé,d'un~seul cOté
de f.
b) T < 00 ~ Wa Y3~iablle de tefi,o t éllOlbiie dana 1':>,T[
.~ Q == n x '0, Tt
l -
?
d)
I:
"" rx] 0;1'[ est la frontière latérale de Q
e) 2m représente l'ordre de l'opérateur A (:t~tpD ) qui sera défini ci-dessous.
x
f) n
,
4m - '}
g) E est un fenné borné de Q
: x!' x , ••• Y" sont ~ points de E
2
h)
ô (x-b) désigne la mesure de DIRAC au point b de i'1-
p
i) L'espace des contrôles este\\i ~ [i2(o,T)l p les éléments de~seront souven~
notée v'~ (vI~ v , ••• v~l)
2
2
j) ~l
r
:=
}]
<Q) et H = L (n) sont deux espaces hilbertiens sur
IR
1.2. - Opérateur A d'ordre 2 m
On supposa que :
a),
A(t) = A(x~t,D ) est un opérateur d'ordre 2Q défini par:
x
,
2
Vrp € L (O~T,V), A(t) f - > (: 1)1f'1
\\PI,lql~
ra
où leq ~pq sont suffinamment réguliers ~ on pourra prendre ~pq
b) - Il existe d-- > 0 tel que
. --
1.3. - Etat y
On considère 2 présent v = (VI' v ••• , v~), l'état y étant défini par la solu-
2
tion du systè~e d:équations aux dérivées partielles:
2
(J.l.)....LL.
.... A(t) y "" f(x,t> + -5 v.(t) ~ 6 (Je-b.), ft. L (Q}
a t
--1:' (
J
, J
)4
( 1.2.
1
=
0
pour j = 0, i p ••• p 0 -
: oV, 1I:
(1.3.) y(x~opv) ~ Y (-)
y
est une fonction donnée de la variable x, ap-
n
o
~
2 v
partenant à TI = L
(Q)
~ désigne la dérivée d'ordre j le long de la normale à~ on
pourra connidérer la normale extérieure à n
(1.4.) Position du Problè~e
L'état y du système (l.i.), (1.2.), 1.3.) étant dêterminé, on considère la
fonctionnelle suivante :
11
•
(T
2
1.4.
J(v,b) =
dx dt + -:::::-1,.)
l,v.(tH
dt
~
J
.' :'J
J..t
0
.
2
où Zd ~ L (Q), il s'agit alors de résoudre le problème suivant
1-:0;
~d ét&lt un DOUO ensa~ble convexe, fcrn~ detl, trouvsr b E E~.
v ~ 1lad tels que ~
(I.S.)·JCv))) :.: Inf J(il,b)
(v,b) €
~cl :il: El-!
t,. - EXIS'l'EUCE E':' tnlICI'l'E DS L VETA7 y Dk1S L2(Q'
Pour la résolution du système d'équations 0 ~ 1) ~ (!.2.), (1 •.3.), on va opérer
par transposition.
LVétat adjoint de ce système dVéquationo doit vérifier le système
(2.1.) -
a'{f
+
*
A
r
(t)
'"
a:r
(2.2.)
a~'Y 1
a/a
- 0 pour j ~ O,I~ ••• ,
!E
t.1 -
(2.3.)
'Y(~t,T)'" 0 pour tout ~t de n
*
~.
désigne l'opérateur adjoint de l'o9érateur A.
2
Si on 8u~pODe que l'est un é16rne~t de L (Q), alore la solution du système
\\ '
)
( )
"
~ .,2:-_.! ( " \\
">
(2.1 .... \\2.2.,
2.3.
cPIj.:lrtl.en;: a il
'•..!/.
_osoue :
1 .
2 1 '
X (Q) == { v f. E ro, CG) ; ~
~
m-!, v(x,T) == 0 }
a';-J
1
'L
Alors
D'autre part, l'application L
'Y.~ l i .,. A~(t) 'Y :: (f
est un isoLë;or·~
1
2
phisI:le de X (Q) sur L (Q>. (voir LIOHS 11AG~frs5
[2]
)
Si Y était ~ne solution rég~lière de (1.].), (1.2.), (1.3.), y devrait véri-
fier:
1
(
*
\\'1 {-..l!...
+ A
(t) 'Y) dx dt
.~ /r(:~, t)
({
'0...
at.T
v.(t)
'fi
(bj,t) dt
.t;- \\
+
J
"'
1
.0
"
Considéronc l~application
. .,JI
oü
~ = 'Y (~)
est solution de (2.1.>, (2.2.), (2.3.).
l - 4
a-1jJ
JE (
)
•
L
'il ---- ._--....:)r.. - {)'t'
+ A
t
l\\J '"
est un isomorphisme de XI(Q) sur
<1>
L 2(Q) (voir LIŒTS-l"1AGENES
[ 2 ] ) .
b)
montrons que l'application '\\jJ --_._-~ cr(\\IJ(q,) ) 'i$st une forme linée.i:::-e
1
continue sur X (Q).
Remarquons que
.T
2
iV.(t) 'il (b.~t) dt a un aena si 'il (b.,t~ E L (O,T)
or
)
J
]
J
G
('e
4'
2m
t
2
L (0 s T
en) )
1
( h )
,; T 2 '0' .,,)
• n2m (n)
~ H
~ (!onc 1V '
., t
'-
oU
"
S .!.
S 1
a6
C
··-an
J
condition réalisée puioque n~ 4 m - !.
Notons aussi que W(x,O) ~ nm(n) donne un sana à
Ecrivons cr sous la forme cr = jl + jz + j3 avec
j 1
ljJ - - - - - - --_.~
fQfexst) w (x,t) dx dt
j2
\\li --~_._-~
~Yol\\)() ~) (xsO)dx
n
~
~ ~T v.Ct) ljJ (bjst)dt
j=T
0
J
.
1
cr,W) est définie et linéaire ~ montrons qu'elle est continue sur X (Q)
• d
1
l "
d .
H2m . i r )
mun1
e
a topo og1e 1n u1te par.
.Q.
1
(i) JI est continue sur X (Q).
1
2
«W -_.~ C dans Y. (Q»---;:> (1jJ --).0 dans L (Q»
';
Par application de l'infigalité de Schwarz
} f(x,t) W(x,t)dx dt tend vers
dro lorsque~' ... - - - - -..~ 0 dans XI(Q).
Q
1
JI est donc continue sur X"(Q).
1
(ii) J
est continue xur X (Q)
2
On sait que
Y: W ..-.--------~ l\\J(x,O) est linécire continue de XI(Q) den~
!-fl(n> (voir LIOlJS HAGENES [2 ] •
(
..v
~ q dans X1(Q) ) -===97 (~(xsO) ----> 0 dans Ht!l(Q) ») s
1 .
2
•..~.
_. -,
donc \\f<x,O) ._-----Y 0 dans L (Q) .,.00 en déduit que si 'f ~o dans X'(Q)
~o (x)~, (x,O) dx -
. ) o.
(iii) J
est'continue sur X1(Q)
3
In .roduisons
f
"j
(L 2 10 ...
, v,.<?...!,~
\\ $.1-
l
ai
- 1-.5
-
k
r-
av~,~,~
2
(Q)= lV ; ;.>(~) .~x v EL en),
!~j~k'f'>o'(J~~(ml ..
Rappelons que Xl
2m
(Q) c: Hm, l (Q) C "E
, l (Q) et que f5(Q) est de~se dans E2m ,1(Q)
(~oir LIONS-MAGENES (2))
,
,
"
J
étant une distribution sur Q, on déduit que J
est continue su~ X~(r)
3
3
.'.~ . ,
2m
pour la topologie induite par H
, l (Q). On' enomnIit que l 'application tfJ ~ ~ l", \\
2
;
- 2":-
est une forme linéaire continue sur L (Q) et qu'il existe y unique dans L (Q) tel que
..
(2.4) Boit'vérifiée.
3. Remargue
L'application cr dépend de v et b ; donc y dépend de v et b ;on pourra écrire
y = y(x,t,v,b) ou plus simplement y = y(v,b).
4. Proposition
L'application (~, b) -
,~y (~, b) est une application continue de\\\\ad(faible) x E dans
L2 (Q).···
';"
.'.
Démonstration
2· )
(
)
Il suffit de montrer que pour tout élément
de L\\~ la fonction:
v,b:~
o~,b(~'ftf)] est continue sur 1J (faîble)' X E.
ad
N
Pour b
E.
EIJ , écri~ons b =(b~, b~)' . '. - b}-t )
N
N
N
Pour V
~[L2(0,T)J 1-1, écri~ons ~~l = (V : VN
VN
N
1
. '
l ' ,
2 ' . • • • •
1j)
Nous nous proposons de montrer que ~ si V '-~V"'d~n~ 1J:
faible et si b - - ) b
N
ad
N
da~~'EJJ , alo~s ~N' b '
. ~ ~,b
,- 1
N
.. '
.
··r
IJ
(
autrement
dit:
.-J!--
(~~~
,ljJ (b ,t) dt-,--~~} ~ .(t) , 'Y (b .,t) df
-.~ ) 0 J (t)
J
J- i
J
J
O
jJ
,
"
~T
N
.JL (-N
N
a) L;;
JovJ (t). ljJ (bj , t )dt -'71;r-/0v/ t ) ljJ (bj
J=l
1
t) dt
tlad faible puisque' If (b~, t)E: t 2(O,T)
1-1
/,,7
ljJ (bNJ"
t) dt' -
) L~\\ ~Ia> \\Il (b .,t)dt
j:;l ;' I!J •
J
.
'0
lorsque b
- ~ b d~ns Eloi
N
N
2m
En ef'"rat on .
a: bj - - - '~~
_ bJ' dans E,
,l,
0/
É. L 2 (''O,T ~,
H
(n): ),
2m
H
(n)
C
CO
(n)
on en déduit que l'application x ---+ ~/t).t~ (x,t) est
continue pp en t.
Cir"
Considérons ~~~t) ; on peut trouver
un voisinage tJ de b. et un réel
J
nablement choisi tel que ~
,
fjf
;
} <
'1 x (
. br
1'iI(x,t)-..;
l'il bj,t 1 + E
= g(t)
,
pp en t
donc
lv.(t)
IV{X,t)! .~ \\ vj(t)
g(t}
J
pour tout x
E.
b
et pp en t.
j
2
'!J(bqt)
E
L (O,T), v. c: L2(O~T)~ on en déduit que h(t} est intégrable sur[~f'T]
J
J
Si donc b~ _.'- -~ b. dans E
J
J
,-
1
(b~,t) dt ----.-..} i v.
(b., t) dt
J
Jo J
J
5 - J(v,b) admet
un minimum en (v,b)
On se place dans l'hypothèse n ~ 4m-l.
Pour obtenir le minimum de la fonction coat J, on utilise la méthode des. suites mini-
misantes.
Notons que si vp'~ v dan/USd c l L2(0, T!}J
et si b ,.._----.~ b dans Ell C nll
N
,
.
,
2
.
alors Y(v , b ) ._~ y(v',b) 'dans ~, (Q) faible.
H
N
; : f,
Considérons un2 suite minimisante (vrl~ b ) E 'Uod)(EjJ.,;
N
J(v,b) pour v
~ '-U.ad ct b ~ Ell
; '-
'De l'expression de J(v,b) voir (1.4) on déduit aisément une inégalité de la forme
J(v,b) ~C\\lVIf'lL
soit.\\lv
\\I~j ~~,J(V;b) où C est une constante positil](~.
Par conséquent\\\\v)f \\L~\\ ~ 6, J(~WbN) ; puisqueJ(vN,bn) ten::! vers Inf J(v,b) on en
déduit que la suite (vU) une suite bornée ; on peut donc extraire de ~a suite (v )
rJ
une suite (vi convergeant faiblement vers v dans 'U.ad •
" , l'
E est un sous ensemble' fermé et borné de G~on peut donc extraire de là 8uite(b~T)
l'I
•
-
11
une sous-su~te bu, tendent vers b dans E
Rem:rqUOns que si lim inf J(v , b ) ~ J(v, b) alors J(v ~b) == Inf J(v ~b) pour
N
N
(v,b)~' adxEll ; autrement dit on aura le résult'at cherché "si J(v,b)estsemi contint·,:
2
'
inférieurement sur L (O~T)ll x Ell
pour la topolcg~e faible.
L'2(
,,11
»
2
Puisque vNI _~ v dans
.L
0, T,:
faible et que y (v ' b.. ~ y(v,b
dans L (Q)
r
N
fJ
.
faible, on en déduit que
lin inf
(r~y(VN,bn) - Zd(x~t) 1 2 dx dt
d'où la proposition.
--
l -
7
l\\
6 - DiffErentiabi1ité de J{v,b)
i,
6.1. - Différentiab1ilité de J{v,b) par rapport ~ b
Plaçons nous dans le cas II = 1~ b E E, v (t) fixé
le systême d'équations aux dêrivées partielles (l.l), .(I.Z)~ (1.3) donne
. .
.
ay
+ A{t)
y = f +v{t)o{x-b)
a t
aiy 1
~ 0 pour i = Oj 1, ••• , m -
~ y Ct) E
a~.~ l~
(6~3)
y{x,O) = YO{X)
Posons y = d
y{b... Ac) !
= Y{b).c, autrement dit y représente la dérivée
d~
1·
1 ,\\ = 0
de y en b suivant la direction c = (cI' cz' ••• , cn)
DErivons par rapport ~ b les équations ci-dessus, on obtient
n
,
( 5.5)
y(t)
•... '
(6.6)
y{O)
= 0
l'état adjoint p cië"},- v~rif1.e- le systême d '€quations.
- '.~'~
(s.n -.2.2 + lfr
A
Ct) p = y(b).- zd
at
( 5.8)
~, Ir = 0 pour j = 0.1..... m-l é,-) pet) € ~ (n)
peT) ::1 0
i
eonoidiirons 10 fonction J(b) =
!y(b) - Zd (x.t) ,2 dx dt + tIf: 1v,2 dt
On a
~ J(b + À c) = C Hm ' (J (b +À! J, - J{b») = J,'{b). c
dÀ '
.. 0
"c ~ 0
). t
, 1
.
[t ~
Soit
J' (b).C = 2
IgY(b) - Zd (x.dl y dx dt = 2
+(.f) P Ydx dt
·.1
.= ·2 . (p (.J...+ A) y dx dt
= - 2
(
(p v (t)
;çP-
~ (x-bol dx dt
Je..
at
)Q
~=1
O'){1.
"'.
't
~. ~ .
ou encore
!
J'{b).c
;.:
~ {b:t> v (t) dt ..
"2
Cl x.
!
1
r
1 - 8
Discussion
2 '
' .
2
~ \\
Le second membre de (8'. 10) est défini si 2.! (b,t) a: L (O~T), donc ~J~pE. L (O,Tiq~)J
3x.1,
Nous allons examiner ~iv~rg
cas
1er cas
"
---_._---_.-..~--._...-......._..-_.~;~._~..:-...-
Si Zd E:. L2(Q) ~ alors p E, L~(~~;
U2~(Q) ~
2
On observe alors que p { L
(O~T c1(n» si H2m (n) c:: Cl (ril
.;
2m
or H
<ri) ccl (n) 'si 1
~m - l. L.. 0" autrement dit si n <4 m - 2
ï
n
, ;
. 2à .cas
k
Si Zd EL2(O~T ; H (n») avec O~ k ~ 2m
< ...
2
k . 1\\
'
2
k +2m
on en déduit que y(l»
- Zd (-:'L
(O,T; H (n)/et que ,p C:. L. (O,T
H
an )
1
Pour que p Boit é1émènt de L2(O~:T; cl (Si) ) " il suffit qu~ Hk+2m(~tç, C .m)
Cette condition es.t .réalisée si 1. - 2 il! + k - 1 <: 0 #
n
< 4m + 2 k - 2
\\ "
2'
. .
".
n
, ,~,.
: .
Si on prend k = 1~ on a alors l 'hypothèse usuelle n <4 m ou encore n~' 4m - 1.
Le gradient de J par rapport à b est donné par :
~-------------.....;:r---------~
n
,~
tHl J'(bl If: .L ~::b,tl
s
2
v(tl dt
..
0
==·"::-::':''':-'::';-'':::-=':'-:=-::''':':;';-';;:-:;.;.:;::===::::,;.;==~........,.
+--
.•
---·_ _·-ez~~..·,·..ç=t'·..f· 'zn'
t
.. _· '.,.._v - ~. ·,
_ 0
, . .
...
Remarque 1
(6 .11) donne '1 1expression du gradient associé à ,un contrôle PO,I,\\ctueL
La forma se généralïnc au cas de)4 contrôles v. (t) , j .. 1, .2,:; ...
par
J
..
rie
(".l2l J'(bl--j1.=l
)0
L
= l, 2, •••• 1' \\
..J
6.2 - Etude l'optimalit~ loroque E est supposé convexe
Le contrôle optimal est fourni alors par. la résolution du système suivant
(voir
J. L. LIONS CI} )
(/\\ J3)
.2L- + A (t) y : 'f (x,t) +' v (t) ô (x - b)
3t
U:, 14), - .
+ ~._(t). p _" Y - Z.J
.cœ...aa
t
' .
Q
.•,••.• .,.
" .•. <J,.
l -
9
(6.15)
y(x,O) ~ y (x) pour tout x (~
o .
(6.16)
p(x,T) = 0
(6.17)
_ ajy
li
~ 0
pour j = 0, !:; ••• , u-l
4y1 Ir
(C,.18)
~
•
n.
1
.,.. , 1
1
= 0
,)
: : . , , ' . 1
• . <)
• - .
~~.'Vr !L
n
(6.19)
JV {b) • c )., °~ L
(c. - b.)
(,:
dE
(b,t) ~(t) dt > 0
i=1
1
1
) o ax.1.
n
n
f
E
et pour tout b E. ~
avec b = (b , b , •• ., bn)
1
2
..
6.3. - Différentiabilité de J(v?b) par rapport il V
Plaçons nous dans le cas 11 = ), b fixé, v ~ L2(O,T)
Le systèue dVéquations (1.1) (1.2), (1.3), donne
(6.20)
+ A (t) y = f + v (t) Ô
(x-b)
*-
(6.2)
= 0 pour j = C, 1, •••• ~r:l-I
4-
av
(6.22)
y (x,O) = yo(x), yO indépendant de v
On a :
T
/
J
. 2
J(v) =
\\
y(v) - Zd 1
dx dt + H r 1v(t) t 2 dt
10
IQ
JV(v) w = cl
J (v+ ~W)\\
dJ\\
\\,~ = 0
Posons
d
J(v + }.\\1) l
'" Y (w)
d"
1)..:0
y vérifie le systè~e d'équations
(6.23)
~ + A (t) Y = w Ct) ô. (x-b)
dt
(6.24) aJ~_
= 0 pour j
~ 0, 1, ••• , m-1
aV·
?--
(6.25)
Y (0) = 0
L'état adjoint p vérifiant toujours le systèLle dVêquations (6.7> ~8)(6:9), on peut
acrire :
l -
10
T
(
J
J ' (v). w = w Hm (J (v +À w) - J (v) )
) y
'2
'2
---).
dx dt + \\ N
v w dt
IN
--".
,\\ w-.~o
\\ 0
T
/
( - a
+ A~) P y dx dt + n (0 v W dt :~ \\
p (a
-1- À) Ydx dt
at
)
IQ
at
ET
T
(
, (
+ N \\
v
6 (x-b)
W dt
--
)
w( t) (
p dx ) dt + n (T
v
J'
w dt = (T (p(b,t) + Nv)
o
1 0
10
Jo
·n
w dt , soit
------------~ll-----------
(6.26)
1
( P (h~t) + Uv) w dt
la
.T' (v). w -
'2
DISCUSSION
2
Pour que le de~~iène mc~bre de (6.26) Boit défini, il faut que p(b,t)t L (O,T), ce
2
°
qui est le cas si pEL (O,T ; C
(n)
Examinons les cas suivants :
1er cas
2 '
2
2m
Zd E L (Q), alors pEL (O~T ; H
(Q»
2
2m
Pour que p soit élément de L (0,T ; CO(n) ) il suffit que H
(n) c
CO en)
Cette condition est réalisée si l
- 21:1
~ o.~ n ~ 4m - 1
'2
n
2è cas
2
k
Zd
E L (O,T ) H (,Q) avec O~k~2 0
alors
k
il 4:. L2(0,'1' ; H
+ 2m (,Q) )
°
f"'I') ?') )
P
. . . L2 (0 T ~ r. «("1) ) ~l suff~t que Hk+2L1J',0) c. ,-. ('.,-
our que p appart~ennc a
"
,_
~~
~
~
.~~
Condition réalisée si n « k + 2m
"2
Pour le cas usuel lt '" l , cette co~dition. se traduit pa~ n <Au +
Le gradient de J par rapport â v est alors
i
1
i
!.
~6 .2n
J V ('''1'',
2 1- ( t)
v
""
p ,
+ t! v(t)]
!
L
l -
11
Recarque 2
Dans le cas de ~ contrôles ponctuels~ on obtient pour gradient llexpression
suivante
!(6.28) J:(v)
i
6.4. Etude de l'optimalité
Le contrôle cptimal est fourni par la résolution du système suivant
(6.29)
~ + A(t) y = f + v (t) a (x - b)
é)t
~
(6.30)
È..E.
+ A (t) p = y (v) - Zd
é)t
Y ( •• 0'. - Y
(x'
.-" ~
1
-
0
;
~
(6.32)
p<x~T) = 0
(6.33)
ajy
= 0 pour j = O~ 1~ ••• ~ ID -
T~
(6.34)
aJo
= 0 pour j = O~ l~ ••• , fi - 1
7
(6.35)
J 9 (v). (\\,l-V) ~ 0~ } (T CP (b , t •v) + n v ( t) }
(w-v) dt> 0
,
~
pour tout v €
l#ad.
CHAPITRE
II
CONTROLE D'UN PROBLEME AUX VALEURS PROPRES
Introduction
;
On se propose de ll1.inimiser la fonction coût
,-
J(b)
1 (v
2
r
=
- y )xdx
y ::: 2
yxdx
1 .-
où.Q
est un ouvert
~
.R 2
j
de
@.
j:J~
J..n.
R
est une constante.
y
= y(x,b) est l'état donne par la résolution d'un système d'équation(
composé d'une équation elliptique de type:
DA (x) + Ey (b)
( x-b) + y
= p ~ (x) y
et de 2m conditions aux bords.
D,E sont des constantes positives, ~ est un paramètre reel.
Si on prend pour
rj (x) une fonction réelle, constante par morceaux surj1
et pour A(x) l'o~érateur A(x) = -~
, l'équation ci~dessus traduit le pro-
pagation d'un flux de neutrons à travers un réacteur nucléaire.
C'est en partant de ces
consid~rations que SAGUEZ a déterminé l'em-
placement optimal des barres absorbantes rendant uniforme un flux de neu-
trons a travers un réacteu~ nucléaire ~ sysmétrie circulaire (Voir SAGUEZ
[1] ).
,. -
NOTATIONS -
HYPOTHESES -
POSITION DU PROBLEPE
'.1. Notations-Hypothèses
a) Sont donnes
:
--
t".
1
-
i ) ..iL est un ouvert de
tR,~!.. = -,0 ,FL
R réel positif
ii) E un ferme borné deJ~
, b l:
E
iii) ~~ et'" deux constantes réelles, A positif
iv) .)J. un paramètre réel
v) R,>
0,
R2 ')-
0
et
0< F, <:: 7?2<
'R
vi) ~(x) une fonction positive, définiè surQ ~ constante par morceaux,
déterminée par
~(x) = k
L.J
i ,
i
= " 2~ 3 respectivement sur ]0, TI,[ .J ]R"
R2
b)
On cDnsidère y
l'état 'dorné par la résolution du système
.: ( , " 1 .)
!\\~2f\\ ( x )y + 2 M~ :)r( b ) r) (x- b ) + y ::: jJ '/J (x )y
.A
(1.2.) y(o) ::: "
iJJ 0)= 0, pour j ::: ',2)
,. m -
,
() )(.t
(1.3.)
'dy(R) = 0 pour j
= 0)', .... , m - ,
>.)(6
.'
II-2
où A(x)
est un opérateur elliptique d'ordre 2m, défini par
(
:.lr~
"'---- -,-
q
'(iu~, 'ï , A(x)u =
\\\\
(-1)P Dp
(~pq (x) D u)
x
x
"
/". ---,." ---
p ,q~ m
est un sous espace de Hm (Jl) défini ci-dessous.
c) On suppose d'autre part que la forme bilinéaire m(u,v) définie par m(u.v
= (A(x) u,v) est coercive surV ; autremènt dit il existe J>O tel que
Vu t if
(A(x) u, u) ~ ~ // u 1/ 2
1.2.
-
Position du Problème
L'état y est le vecteur propre solution de
(1.1),
(1.2),
(1.3)
associé à la plus petite valeur propre positive ).1.•
y étarit'déierminé, on cherche alors i
résoUdre le problème suivan'
Déterminer b E E tel que
J
(b) = Min
J (b ) ,
bG:E avec
( 1 .4)
J
(b) =L<Y - y) xdx et
y =
2
2
;: yxdx
,n.
R
Remarques
a)
on prendra fuQ = xdx comme mesure sur ~L
b) Four simplifier l'exposé on posera ~ (x) = k' ,k , k , k3~
1
2
2.
- EXISTENCE DE L'ETAT y DU SYSTEME
2.1.
-
Espace
Hm ~) désignant l'espace de SOBOLEV d'ordre m, espace vectoriel
sur
JJ?, introduisons l'ensemble
suivant:
U =
m
yéH
(
) ;
~j;r(R) = 0 pour j = 0,1, ... , m -,l,
dx j
~j~ (0) = 0 pour j = 1, 2, .... , m -
:.Jx J
m
est un espace de Hilbert pour la topologie induite par H
(G).. ). .
~~
2.2.
-
Isomorphisme S de
sur
Désignons par a(u,v) la forme bilinéaire définie sur
v: Vpar
2
2
a(u,v) = ~Vdil
+ ~. M
(~pq(x) D~ u Dp vdfl.-. + 2 M u(b)
/ l
~
~<m).Q
x
a(u,v)
~st une forme bilinéaire, symétrique et cohtinue.
Grâce i
l'hypothèse de' coercivité de la forme m (u,v) on peut
crire
11-3
ar
a(u,v) est donc bilineaire, continue et coercive sur .,'); on deduit que l'cpé··
2
2 (
teur S tel que Sy = M A(x) y + 2 M .o(x -b) y(b) + y est un isomorphisme de
al"
a rI
r'
\\
-U
,j
>r /
sur li (dual de 11 ) et caracterise
....
par; Vif G. (1 ,1 <, Sy, v>
= a(y,v)
L'état y cherché est alors solution du système d'équations
f
Ir
e 1 ) Sy
pky
IL est la plus petite valeur
=
; y t. .,
;
( 2.2)
J
propre positive de l'opérateur
1
S
1
K
\\L~2) y (0 ) = 1
et verifie l'equation variationnelle.
".
9(
a(y.y)
= ft f kyvdll
pour tout
v r.:..
\\.;
1_1..
2.3.
-
Existence de y
-1
. .
"r/
9{'
S
est un operateur hermitien, pos1t1f, compact de 1,"
dans l.
•
La theorie spectrale des operateurs hermitiens compacts dans les espaces hil-
bertiens permet de conclure que S admet une plus petite valeur propre positive
le vecteur propre y associé à cette valeur propre verifie
:
Sy = ~ky
d'autre part y ainsi definie vérifie y(O) ,
0, sinon
on aurait y _ O .
On deduit qu'il existe y solution de
(2.2) et unique.
2.4.
-
Théorème
1
L'application de E dans 7f, qui à b associe Yb soluti~n de (,2.2)
avec
IIYbtl~2 (Q..)
= 1 est une application continue de E dans U faible.
Demonstration
Considéro,ns
(b
) une suite qui converge vers b, et designons par
n
Yn la solution de
(2.2)
associée à b n et vérifiant IlYnlj
L2.(R)
= 1.
Le théorème du Minimax permet de caractériser le vecteur propre
par
où S est déduit de S en remplaçant b par b n
soit
\\
1 /' 2
!y da...
+
y
(b~ )
)
p ,q ~
/J1..
ID
~
Min
'.- '-
.·r
?~l
2
yf: 1)
i ky d32
1
Ir~
,-"i..-
1
"
\\ ,
la suite
( ~n) est bornée.
II··4
c(~ puisque n = 1 (n = dimension deQ )
Hm
çfL} __.-::}y borne, par suite les integrales qui e~priment
l ' ·1
convergent;
on deduit qu'il existe M
> 0 tel que, l'n, iii ~ M •
1
1
""n ----
La' suite Y
est bornee dans (1)
n
Y
~tant
n
le vecteur propre associ~ ~ ~n' on a
/.
"-.
2
....... SnY
Yn /
=
n
'~n
kyndjL
et
)J2
2
2
/S"",y
1
Yn '>
M
d.t\\Y n
"
n
il
2
2
donc
)'-0 ; :kY~ d$l,q M J- i! Y : !
;
comme ,1
Il
n
Y
;1
n Il 2
= 1 ,
L
(rU
,2
on dedui t
que \\';
est borne, autrement dit
y n 1; LIT
:
1c:>0 ; . 'ri n, Il Yn 1.1 v_· ~ c
Consequences
i)
On peut extraire des 2 suites
(~
)
et
(y ) deux sous
n
n
'
suites.notees encore
(P
) et
(Y
) convergeant repectivement versjJ
dansD<
n
n
et vers y dans~faiblement.
ii}
La suite (y
(b
)
} converge vers y(b}
n
n
En effet
,
I y
(bn)
- Y(b}\\ {....
\\Y (bn)
- y
(b) \\ +\\Y (b)
-. y
(b)\\
l n
'"
l n
n i
, n
L'application y_.,_~y(b) est une forme linéaire continue sur"?!:"
Yn-->Y dans
ft faible, par suite Y (b}---·,·)y(b).
n
D'autre part:
i
\\
1 1 /2
l,
l ' t '
/ 1 /2
,..
( )
(
}
,Yn bn
-
Yn b ~ ~
bn - bj
~ \\i Y \\19/,'1bn
n
-
b
)(\\...
1
Si donc bn tend vers b, y
(bn:
tend aussi vers y(b).
n
La limite faible y de la suite Y
est solution du
n
problème (2.2).
Par hypothèse Y
verifie l'equation variationnelle.'
n
1
q
2
D
Y
(bn)'}
x, U d" + 2 M
= Il
1 ky
ff d.:'
1
~
n
1
. n)
' n '
<-
IL?
pour tout If! ~
II - 5
ct;
1
IIf (fi.)C- lf'L..) puisque n = 1 (n::: dimension de fl )
y ~If c
rfll(.Q )~y borné, par suite les intégrales qui expriment P-.t convergent
on déduit qu'il existe L~1 '> a tel que : .;n, Pf, ~. I:I1
La suite y
est bornée dans
1----
n
»
y
==
.
./-1- (k;y:2d.Q
et
n
i
l'
/!.l..
i l ·
il
= 1, on déduit
yn Il L2 (iL. )
Conséquences
-----
.i)
On peut extraire des 2 suites (~n) et (y ) deux sous suites notéea
n
encore (~f:p,.) et (y ) convergeant respectivement vers J.1 dans if.{ et vers y dans V
n
faiblement.
La suite (y (b )) converge vers y(b)
n
n
En effet
faible; par suite y (b)---}y(b)
n
'
D'autre part
1
2
yn(bn) - Yn(b)l~ Ibn - b 11/
Il Yn l'tn - b /1/2( r
Si donc b
tend vers b, y (b ) tend aussi vers y(b)
n
n
n
La limite faible y de la suite y
est solution du problème (2.2)
- - - - -
n
Par hypothèse y
vérifie l'équation variationnelle.
n
2
2M
r
+ -
y (b ) la :::
Î\\
)ln / kyn
d
n
n
1
J.L.
I I
-
6
!'lIt
q..l-!..
Comme: Y
tenù vr.rs y (bns 'V faible, YJtlf"(b. ) tend vers
r.p (b) et que
n
,
,
L1
1
Y
(b ) tend vers y(b)
lorsque b
tend vers b ;
on déduit par passage à la
n
n
n
limite l'équation intézrule
i '
",._-'"
2
i
{', d ~
+
')
k
( a
(_.)
i y '(
,1-
+
pq .l\\.
J. ---.-,- .-
;:~
p,q
ln
i
1
,r;
"Ir
;.J;.<-
pour tout !_p L
L
2
De plus \\ \\ y l'; 2
== ,1
car y
converge fortement vers y dans IJ (n, ),
1:
"1 (r.)
n
1i
' J
,> r:
2
l'injection de ~.' dans 11 (Q)
eDt en effet compacte.
2.5. - Corollaire
+
l'application de t
chns ti'
qtli à b associe Yb (0) est continue.
2.6. - Corollaire 2
I,'application qui ù b associe Yb avec yb(O) = 1 est une appli-
cation continue de
[dans [J'faible.
3.
-
EXISTENCE D 'UN COWl'nOIJ~ OITIlAI,
3.1. - Théorème 2
1,'application qui ù b associe la fonction cofit J(b) est continue
de E dans t~:
Démonstration
li ---
2
L'injection de lj dans IJ (0.) est compacte; du corollaire 2 on déduit
que l'application qui à b fait correspondre Yb avec yb(O) = 1 est continue de
E
2
dans L ( Q) fort.
Si (b ) est une suite ten~ant vers b dans E, on déduit que la suite
n
2
associée (Yb) solutions de (2.2) tend vers Yb dans L (f2 ) fortement; de plus
n
-Yb;-'--·). -Yb lorsque b ,--;.b.
n
l
, E n effet
r'
1
-
-
\\ /
1
'1
l
"'\\
l'
; Ybn -
Yb\\~ m(.Q.) }~ Ybn - Yb i dD..~ \\/bn - Yb!\\ L2 (.rI..)
m (!2)
représente la'~èsure de l'ouvert bornéii • '
Considérons ~ présent
1 J Cb ) - J (b Y \\
1
n
:
1
l
'
2
l'
\\J(b
d.fi.
n ) -J(b)l
==
'(Yb
Yb)
t
, !
n
n
,',
. ii'L
~
m( ~'L) il Yb + Yb - Yb";" 1 2 (l-' )
xii Yb - Yb -
1j
n
,~
/;, ,IJ
~ "
! 1
n
La continuité de E dans I? (D.) fort implique que
IjYb
+
Yb -
Yb
-
Yb
1112 (.Œ.) est bornée
: 1
n
.
n
1
J
Par la suite
\\ J (bn ) - J (b)\\ .. _., >ù
. . .1...
I I -
7
3.2. - Théorème 3
Il existe au ;;'oins une solution du problème de contrôle (1.4).
J)fmonstration
D~5ignons par Cb",) une sui te :l"inir'isante de: J 1 on a
(3.1 J(bri
~Inf
JCb),
b ~ E,
j.
bn
f.
li,;
é!ssocions les Véùcurs ,J.L. n, ln,
zn ; Jl n d~sienant ID plus petite·
valeur propre posi ti ve de l ' opérc.tc:ux:",",:"_,,:,~~,_,,,_'yn la solution du système
2
d'équntions (2.2.),
zn la fonction pro~rë vérifiant (2.21 ) etll zn Il L ((lJ = 1
Comme cU théorème 1, on montrs qu i l existe deux constûntes~f1
ct C tc)lles que
Jln'
. 1\\ z Il
<::. (î
1';1
et
n lzr -
'-'
.~
quelque· soit n.
lontrons que: la suite (y ) est Dussi bornée duns "lr.
(.,
n
Les fonctions
propres éhnt non nùlies en
>
zéro,
considérons les
zn récliscnt zn (0)
o.
D'E',près le corolaire 1,
l ' npplicc,tion b ----.:;;> zb (0) est bornée
+
Z
(lans IR
, notons bo (0) sa borno ipférieure ; alors
ri bE E,
~b (0)
=7 zbo (c)
d'autre part Yn peut s'écrire y = Ln
on déduit que
n z-rcT
n
= ~1lJ12 2
L
( ;CZ J.
~
1
=
" \\zn (07/2
jz,n(O) \\ 2
~.
La sui te (y ) cs t bornée d<.:.ns L
(Sl.), d'une menièrc ~n~loguc i
Cl
n
('lui [l été fai t é:U théorème 1 on déduit que (fi y n Il
)
ost &ussi bornée.
De: cer considérations on tire: quo l'on peut
extraire: ~cs sous
sUit ûs 1J. n ,
b
,
Yn
tGlles quc:
n
dans E ;;..tn~p
dan~ IR +
CJr
drms ~. faible
En T"rocédc.nt COI-;iW
cu théorème: 1,
on démontre quo (y,pJ
est une solutien c~u
problème (2.2) ,.!vec y(C) = 1
luisque b ~t
J(b )~J(bl
voir théorème 2)
n
n
•.vec (3.1)
on déduit que :
J (b ) = Min J (b )
b l::. E
. 1
b est donc la solution du problène (1.4), y est l'état du système relativencnt à b •
. . .1. ..
II
-
8
4 -
DISCHETISATION.DU PROBLEIIŒ
Au point 3 nous avons dégagé une solution du système continu, ici nous
examinons le cas du système discr~tisé.
4.1. - Discrétisation du système direct
:Pour ce faire :
On approxime' 5:=2~$n le recouvrant par une famille finie d-e segments de
loTIgueu.r
h.
rJ ,.'
.
7r'
On approxime ;1 par une famille d'espaces vectoriels
t} h
; de dimensions
1
f "
lnles et ·lncl us dans
cm- ('-")
~~
On effectue alors une dicrétisationdu système avec des éléments finis de
classe
m-
,';Î
Si
w ' w ' •••.. ,w
est une base ele l'espace vectoriel Li h
,tout
1
2
n
élément y de
9J peut s'écrire sous la forme r
h
.... ....11..-
i
Y
- \\
Y
- 1
'-1=1 -,
Dans '!,~l' équation a (y, Wj) = (t-ùCY, w,) donne :
J
( .
n
(
"
,
/ - - - -
!/
\\
_L_ _. Yi
DPw.Dqw.
W.
: " \\
r'l' a
l "J":
P(J~')
(b) VI. (b)
" ,
x
1
x
J
1
J
i=1
l " ' .
q . 1
1 \\ - '-~rii'·
J. p,q ......
/.t~.
(
i
\\ kw. W.
Y
dl
pour
j:::::: 1, 2, •••• , m
!
;1..
J
/CJ.
Introduisons les matrices S = (S. )
et :B ==
(Bi J
avec
lj
.
J
!
1 /~_._--
a
(x)
d.p..
==
1\\L
._.,lf
Pq .
/
.
p,q~ m
/-:-L
~
))i
Lkw
On.
j
i wj
I,e problème discrétisé se forr::ule comme suit :
.-IL._
~rouver
y
sous la forme
1
Y - \\
- /
Y wi '
solution
1 . _ -
1=1
,
(-
-
)
Sy:::::: uBy
du système
fi
-1
plus petite valeur propre positive de
B
1
S
...1...
I I
9
TIemarques
ne la dGfinition des éléments
B.
du choix des fonctions w., i = 1, ID
J.j
~
On déduit que
et
-B sont deux ~ntrices tridiagonales, symétriques, dofD1ies positives.
;0;
-1
Il
existe
Pour la résolution de (4.1)
VAN DE \\'!TETE
4.2.
- Convergence de la solution d~ Problème 4.1
Désignons par h le pas de discrétisation et par (lln'
Yh) la solution
du problème (4.1) avec Y vérifiant:
h
dn. ==
1
-.IL-
\\
i
Ecrivant que
Y ::: "
y
w
' i l vient dfaprès le théorème du U ..ni - max
h
i
==
T-'lin
(4.2 )
c etr
/ -
Y~ Uh
i
:Dy
"-- .
. ObseI'"'/ons que
(SY' Y)
==
a(y,y)
.r-'
Si
Y .~ V , a(y,y) dépend à priori de h
mais si on prend pour Y le vectCQ
h
, ,-
,./
unité de
iJ ,
c-à-d
\\.
x, y (x) == 1 )
a (y, y) == a (1 , 1 ) est· indépendant de h ;
h
V <Sy, y>
on en déduit que pour y vecteur tlnité de
== K (indépendant de h
h'
/ -
............
'"By, Y/
et positif)
Par conséquent
J1I'1:(': I~
pour tout h.
(U )
est donc une suite bol~ée.
h
, Yh) == J.1n Ik
2
Rappelons que
a(yh
1Yh'
d)'l.
a(y, , y h)
n.
~ ~.?-..J, J.~. Yh 1{2
,îf
~\\ Yh
==
1 ,,~jy 1\\ _ borné par C quand
h
varie.
2
l'
. h\\~1
.\\
\\ L (~)
:.
ont peut donc extraire deux sous suites
(Ph)
et
(Yh)
telles que :
dans
IR +
.,,/
lorsque
h--7>0
Y
dansi) fai bl e
h ---,) Y
Par hypothèse on a :
~jv ~:)h' a(yh, v) == Jln. l kyh v d
...1...
II
-
10
+
'"1/"'-
h-- 10
J.1J.----.::, Jl dans U~
et
dans ~. faible
donc par passage à l,
limite on a
,"
)
a (y, v) = } l
k,'{vd.;!"
pour tout v ',- {j h
J.:.:'
. .-
En particulier si
w.
est ~~ élément de la base de
f.! h considérée
. ~
plus haut, on a
a (y, w.) = Jl
\\ kyw. ds-,
pour tout
w.
~
.
~
~
Les combinaisons linuaii~sfinies des éléments w ' w ' •••
w
qui enge
l~
1
2
1i
-
c.1rent les espaces
f/}
sont denses dans 1/. al: déduit alors de (4.4) la relation
-
1
'
r--
,.
:' "
(4.5)
a(y, v) = p-
~ kyvd
pour tout v :: v~
i·-
~.-
.!.
1/
,.., ( )
Il 'I
Llinjection compacte de ./ dans
I,":~:
donne.1 YI{ 2
=
L (.Q..)
Lontrons maint enant que :
Le réel
M limite de la suite
Pn est la plus petite valeur propre
positive
·~e12.tivement à
(~, la valeur propre Jl lnininum est atteinte pour Yh et est
h
donnée par :
Min
a(y,y)
1-1h
=
;ij-
Min
~-L2.. Considérons à présent u* =,Y Ge 1 ;·lcld;;.
'jÉ 1{ [.~/ d.':-
j'-'.-
(
l
)
*
li * (1
Ce minimum existe
voir jJ 2
pour
y
avec 1\\ y
Il
=
; J} Ü'l)
*
rr
] r
Il est immédiat que
Jl
:S' Jl
puisque
:,,1 h
~:_
h
v
U ~
T) 1 autre part
est dense dans
!r; on peut donc extr. re une suite (y:)
h
l
ï
*.
*
telle que;! y
li
-
1 qui converge vers y
dans 11 espace // avec y-)~ Ë t<
h
.c.
1
h
1/ L2 (n..) -
]Jar suite
*
*
a(Yh
Yh)
.:
2
Pc:Y
dy.
h
(1
si
h-_>O,
*
et
= Jl
On en déduit que
p. = Jl*
II - 1 l
Montrons que
En effet -r et y sont deux fonctions propres associées à la m3me
valeur propre p.. pour le problème (2.2 ; de plus
\\1 YI\\:;-1~\\\\~*H
l'urùcité
Jt
de la solution implique y
= y
On peut alors énoncer le résultat suivant
Théorème 3. La solution (~, y~) du problème discrêtisé (4.1) telle que
1~
yh H1;2 (Q)
= 1 .
converge vers la solution (~, y) du problème continu avec y vérifiant
=
cette convergence se faisant au sens suivant :
1)-....
2
Yh--7'Y dans
\\
faible et dans L (Q ) fort
,.~. - uiscrGtis~~ioD de Id fon~t~onD~11~ J et du contrSle optimal
a)
désignons par J
la f'onctionnelle discrêtisee correspondant au pE~~
h
1.
On a
:
2
(
1
.
y.
xdx
avec
2
, w. (
,Xl1.
~
- - !
,
Y
J
2'
. L . ,
R /
If?.
Remarques
i) En remplaçant vi(x) par sa valeur dans l'intégrale ci~deasu6"
on
~rouve
2
y.
xdx
-
y
)
xdx
~
h
1
1
ii) Si on pose a ..
~J
t yay
b) Theorème 4
n
n
L'appJi~ation de E dans
R t qui à b associe
IR
(composantes
___ ..tl.-
lu vecteur Yh
=
Y'
w.
)
est continue.
..>_--
~ h
~
i=,
Demonstration
80it
(b
) une suite qui converge vers b dansE, et soit
(P
N
n ,
zn)
la
'r'\\lllt;ionat1pro'bl~me (4.') as'sociée à b N où la fonction propre zn réalise
\\ zn II 2 L'"2.)
= 1.
L
Notons
8
la matrice
(8 .. ) associée à b,t"
n
~J
(z~J
Z
=
est borneedans
Rn
~:
1
D "ati'tre part la sui te
= Min
est bornée dans
R+
By
,
'"
"
.:...
"
"
Y/
On peu~ donc extra~re deux sous eui~~s notees encore (;/~) et (zNl~telles
+
tue: f-l.
-=.
),Lldans
fR
et zN--- ,> z dans
N
L'application bN,-~~zN(O) est continue, E est un compact de
~,par
:onséquent i l existe b
fE tel que
O
(H,)
zb
(0)
~
zN
(0)
pour tout élément b
de la suite.
N
o
La solution Y
du problème
(4.1) peut s'écrire Y
=
N
N
11-1 "3
((li
n\\·
.'
) et
(ZN) born€e
dans
l1:' /_....:..A(y ) bor'née da.ns
Rn \\
1
:
-~
n
'J
par sui te y
-_.. ~ y dans
/Rn.
N
= 1) .=> (Y (0)
{ .--~ ) l,~ ....
Observons que SN
= PN
Par passage à la limite on obtient
:
Sy
=~By,
Y f-
et
Y est solution du problème (4.1) relativement à S
puisque
~ est la plus pe~ite valeur propre positive de S. On le verifie en cbnsi-
dérant
.«
j,l
= Min
~y,
/~ x
y>
= ..... Sy
y *>
et en notant que
(Il.
)
qUl
N
,', (
/ -
/ -
x
\\By,
Y)
x>
Y ~ '.J
~;Sy
h
Y .
cp~verge vers
réalise
f.t
/
.
('8 yX,
y*~ et ce dernier réel converge vers F x
N ~
N
--,<;...--='-x--y-x->
By
./
c) Corolla'" re 3
L'application
b ---. '>J (b)
=t yay
est une application continue de
h
E
dans
f{
d) Théorème 5
Le problème de contrôle di sc ret i s e admet u.ne sol ut iO.n
Demonstration
Considerons
(b
)
une suite minimisante de J
;
alors Jh(bN)~Inf Jh(b)
N
h
b r:::E
notons
( ~N' Y ) la solution du problème (4.1) associee à b
•
N
N
On p~ut extraire (voir theorème .4) une sous suite (b
,
P
, YN)
conver-
N
N
geant vers le triplet
Ct;", Il , y) tel que (p., y) soit solution du pro-
blè~.c (4.1) r"~';"~veF'cnt à SeS).
Du
rollaire précédent on deduit que Jh(bN)---iJhCb),
on peut conclure
II - 14
autrement dit le problème de contrôle discrétisé admet une
solution 13
Le contrôle optimal 13 relatif à J
sera noté par la suite b
h
h
5.4. - Convergence de la suite (b )
h
Considérons (b ) tel que J, ( b )
= Min Jh(b). A b on peut associer (~, Y )
h
n
h
1
h
h
I,J~_ E
"
Y
la solution du problème ( 4.1 ). Posons zh =
h
alors il Zl 1;
=
~ i
~ l~
Yh L2 (.r:..)
En procédant comme au Théorème 3 on déduit les résultats suivants:
(~ est bornée daM f'~'"
::\\
;
Zh
est bornée dans ir
)
( )
• On >eut alors extraire une
suite «b , Ph' Zh)) telle que bh-'~ 13
dans
E,
J.b-~u daM
et Zh-----:; Z
h
......
2
dans
\\1
faiblement et dans L (.G.) fort.
(
J
") "
"; \\
espace vectoriel associé au
On a : a(zh' v)
= ~ lkzhvd~;,
~ v~ ~'h
'h
(:' r
·t
(~rl.q..
',' '\\
.. f
pas h , l a S1ll e
t,.' h)
approxJ.IDa. "I\\'.
Par passage à la limite, on obtient :
vi
a (z, v) = Jl ( k z v d
v C
kl..
L 'hypothèse de densité permet d'écrire:
.,..
,
l
'1:;1'
J
a(z, v) =
vdÇL
t7
~
\\ k z
v <=. i
)[1.
Par un raisonnement analogue à celui utilisé pour la démonstration du théorème
(3'), on vérifie que ~ est l
plus petite valeur propre de S(13) et que (~, z) est
la solution du problème continu avec
D'autre part: Z (0)- .__.~ z(O)
1: a
._
h
(voir Corollaire 1). Par conséquent Yh--~Y
dans V faible avec y (0)
= 1
on déduit que ~i~,-' ,~, Y solutio~ du problème
13 est le contrôle optimal du problème continu.
- - - -
II - 15
Bn effet :
Remarquons que :
."
-
i 2
Y
=1-
YhXdx---)~ f. yxdx = y
h
i R2
RfL
in..
2
puisque Yh~=;>Y dans
L
(.9.)
fort
2
y - .... _-> y dans L
(n..)
-
-
fort,
y ..._ .. ~ y , donc
h
h
f
(
.\\
(
- )2
i (
-)2
y,
- Y
d.Q.. -~ \\ Y - Y d.lZ.. =
J(t)
1·
ü
li
\\
1
•
JrL
l'l
(ii)
(iii)
De l'inégalité
J
(61) ~
J
(1)')
..j b& E , on déùuit
h
h
J(t) ~ J(t)
db'~ E
On peut énoncer le résultat suivant
Théorème 6
La solution b , ~, Yh du problème discrétisé (problème(4.1) et problème
h
de contrale discrétisé) converge vers t , ~ , y solution du problème continu
(problèmes (1.4) et (2.2))
La convergence se faisant au sens suivant
bh'''''-''; b
dans E
'1î .-._.... ~ u dans iR
2
yh----·.7 ':( dans il faible et dans L (ll-) fort.
C H 'A P I T H .lJ:., I n
PROBLT~.t-""
lL
CONT:<OLJE EN
VA,hIA3k';;:; FIXT:';S
INTF,O:DUCTION
Les problèmes de contrôle en varie' 'ole '3 enti8res GU mixtes ont
été étudiés par des auteurs com;,'e :SALA'.) et B;~-:r:J}.~s.
S'inspirant des méth0des utilisées par C~B auteurs pou~ résoudre
des probl~mes de ce type (Méthode de lliArCrr and BOUND, décomposition de
B.L:.I(1i.i:>~S, '1l1gori thme addi tif d~ BA.LAi, ••••.•••• )
. . .... ~- :
SAGUJtZ conçoit deux algorithmes deréselution qui ;..;uoique ne cen-
vergoant pa8 vers l'optimum absolu fournissent ,une bonne approximation te
cet optimu .. ::voir SAGUeZ (1} ) ; ces alg'ori thmes ont l'avb.ntage de rédui re
considérablement le temps de c~lcul des probl~mes de contrale en variables
mixtea faisant intervenir un grand nomtTe 'de vari8.bLes.
Nous présenton~ ci-fessous les algorithmes de résolution établis
par SAGU1:Z et des résul t;-J.t.s illédhématic,ues rel::;,tifs à un pl'obleme de contrôle
<"'e t;yp~: quelëonque.
Au paragraphe 2 nous nous servons de o,-:,s resul tate 'llEtthém"tiques
2
pOur minimiser une fonctionnelle J (v:À) nù v est un éleji1ent de L
(0, T) \\t~
'lUl
élement de \\ 0,1
tJ).., jJ. f~
\\
1- J<:TFD)-' DU P}WELt:IG G/,~'~;·;'A1
-------_.-
1.1. Position du Problème
Soit ~
il un espac8 de Ril vert ,.~ = {o, 1rp-.
1\\
, J( u) ~) une. fonctionnelle définie sur U1- 1\\
On .consè.dère alcrs le probléme suivé~nt ~
'''.
. (p) Trouver (ü, J l ) E. u. A ·tel ~ue, J(Ü./~) = l':,in i(u. ,1"\\ ); (u.)Â )"Û.l\\
A la place du probLome (p) on étudie les deux sous problèmes
suivants
(:v r.Prouver ü (: 11 tel que J(li, 1 ) = Min
.Eau}' À
fixé
tel que
J:u,,,)
= Min
J(u,;. )
.../ ...
III· - 2
2.1
1.2. Définitions et thBorèmes
a) On appelle chemin "lm élement ..\\ €" 1\\.,
b) On dira qne deux cheminsÀ+'et~'i- sont équivalents pour le problèmes P si
Min.
J (u, ~)
= Min
J( iLs{ )~)
u~ ~
u tfît
Remarque
;
Si on note C la rela tian binaire dans /\\ définie par
Min
J (u
~)
1
=
Min
J
(u )' "1.)
'. u. r:-1 L
A
.
J
alors C est une relation d'équivalence danSf\\et C défi~it un ensemble de clas-
ses dl équivalence que nous noterons I\\.lc'·
"f!J
c)
Théorème 1
<~ 1
Le problème (pu) admet au ,!!loins une solution ppur tout u ~ ~'-
1\\
À~ -==> ~décri t un ens~mble fini' dl éléments ; désignons par" N ce ~~~~~~~rati
.. '.lt
Par suité Inf ~
J(u,"L~
.:(u'\\al)
••••••••• ,
J(u,..>.... \\..'.}
existe
..
.'
Àf. 1't'f~,
.'N
:J
d) Autres .~éfinitions
; . 1
i) on dit que dl3.ux chemins
X~ 'et À .. sont u-équivalents s'il
existe
u~.~l tel que
~
;.( u, ~)
= J,u, ~~.)
==
Min
J (u, li )
) ~ t:-!\\
...
',.,
Ce tte définitiOn introduit dans 1'1 ense~ble t\\ une relation bi-
naire C
qui est aussi une relation d'équivalence, l'ensemble des classes u-
équi val~n(s sera noté
./\\1 Cu.
e)Théorème 2
1\\
Le problème (Pl.l) admet sur i \\/e
u..ne solution unique.
(Ce ré-
sultat se déduit du théorème précédent).
f) Théorème 3
Sur
l'yc le problème (p) admet une solution unique si (~..)
admet une solution unique piDur tout;'" (.. /\\ /
-' Yc-
Démonstration
Si \\
CAi, on identifiera ~
et
P:>..,t.
• Puisque /\\/i
a
1.....-
un nombre fini d'elements, les problèmes (p~ ) distincts sont en nombre fini.
Si (p", ) admet ..ur:e solution ~ique, les couples (u)o7~ ), solu-
'tions ~des pl.'oblèmes (p~ ) sont en nombre fini.
Aux couples (u" / À
) correspondent les valeurs J
(u,>.) >.)
ces valeurs sont évidemment distinctes,
sinon l'égalité
.
.
J(u~ 1-\\) ,=
J(uAt1.À'2):,:;;:~MinJ (u~;,)~ ~ Nin J (u, À~.J autre-
ment dit
Îq =À
dans "/c.
u. Cf,- 11
tA. ~<tt
,co~idérons alors ~'ensembl~ fini des valeurs distinctes J (u, ~
Àé' "le . Cet ensemble admet un plus petit élément qui est solution du problème
"-
(p) sur· :'/C.
. .. 1...
III
-
3
1.3.
Algorithme 1 de résolution (voir SAGTIEZ
[1J)
a)
Description de l'algorithme
Partant de (
~t "0) on utilise le procédé itératif suivant
(D n == n + 1 - Détermination de v 1
solution du problème (p',)
,
n+
'
lin
autrement dit trouver le V
-
tel que J
(v + '
>'n) == l'!Iin J
(u,
),n)
ni 1
n 1
® Déterminer ensuite À 1 tél que J (V 1'''\\ 1) J (V l' ~ ) par un début de
,
n+
n-j-
'n+
n+
n
Branch and BOmTD par
À = 0
~ n =. n + 1-Détern"Ii.nation de y n+1 solution du problème (p~ n)
A.
Détermination de. ~n+1_":t.el_que J (Vn+1, Àn+1 )"'J (Vn-:.1' ~n) par un début de
Branch and BOmm par
" = 1
5 Test final sur les variations ùe la fonctionnelle-si vérifié fin de la convergence
"
/
,
sinon retour en (!)
.
b) Convergenc~ de l'algorithme dans le cas où il n'y a pas de
chemins équivalents.
A
- -
Posons
J
= J (y ,'\\
1)
et
J == J (v ,). ) et plaçons-nous dans les
n
n
'" n+
'
n
n · n
hypothèses(H0 et @ suivantes :
® Le problème l'admet une solution unique
® Il n'y a pas de chemins équivalents
,.
En notant que·:
J
<.
J
..:::::.. J
n+1 --.
n -
n
quelque soit n; on peut distinguer les deux cas ci-dessous
1 er cas
...
J n+1 < J n ~ J n-1
Ce cas implique À
f. ~
1
n
An_
En effet : "
= À 1
-??I:Iin
J (u ,~ )' ';;~.1in J (u, À
1);
n
~
n
,
~
autrement dit
J
1 == J
•
ceci est contradictoire avec l'lJiypotbèse.
n+
n '
2e Cas
"
J
== J
L. J
Ce cas implique y
1 ==
V
et
n+1
n _
~1
n+
'
n
~n == ~n-1
En effet
J(v
l ' ~ ) == J(v ,')\\
1)~ Min J(u, ~ ) == Ein J (u, ~n-1 )
n+
n
n
n-
n
u~ l\\.
u~~
Or
tŒin J(u, ~' ) ==
rïn
J(u, ~
'1) -~\\
L> 1
n
n-
-----t,An
'\\ n-
D'après @ i l vient que À n =='~11,1faprès
@
J(VIl+1' "n) ==
J(VtJ.'~n)~Vn+1
== V n
Notons que J (V
1 t)l ) ==
J
(V t,1
)
car
n+
n
n
n
En résumé dans ce deuxième cas et sous les r.wpothèses CS), @
La suite (~, )'m) obtenue par l'algorithme Q) converge vers le point (V ,
n
solution du problèmeP quise traduit par:
(~) Trouver le couple (v ,\\ ) tel que J (y ,À ) ==
n
n
n
n
ReIIlaI'$lue 2
(V , ~ ) trouvé ici n'est pas forcément solution du problème (1').
n
n
on peut seule~ent dire que l'ensemble des solutions de (1') est inclus dans
l'ensemble des s61utions du problème (p)
c) Cas où il y a des chemins équivalents
•.. 1•••
III - 4
Dans cette si tuati.9.n, l' algorithme (1) ci-dessus n'est pas tou-
jours convergent, on peut en effet avoir un'phénomène de bouclage, ctest à
dire une égalité du genre.
ÀP..t.tk =A
ik"
p
~O
si on a deux .chemins équivalents avec la même valeur. de v.
L'algorithme (1) dans ce cas doit être complété comme suit
Lorsqu'on détecte un bouclage, on cherche à obtenir~l'itération
suivante un 'X; te.l. que J
('VI; "X)
soit strictement inférieur à la valeur
de la fonctionnelle obtenue précédemment.
On reprend l'algorithme avec la nouvelle valeur de la fonctionnel-
le. Si par contre on ne peut pas trouver un ....;. satisfaisant à. la condi tion
c'herchée on déduira que 1 1 on a une solution mul tip].
du problème (p ).
1-4. Algori thme 2 (voir SAGUEZ f1j )
- -
-_.-
~.-
•.
a) Description de l'algorithme
~: Données initiales À = 1,
n
= 0
C?)n
= n+1
Détermination de v
tel que
J( v", ,..\\1'\\fi
n
1= Min J (y) t\\ 1'\\-1) ! v' t:-:U
G~'Détermination de.Àn tel que
J( Vri; A'\\"l. ) = Min J), ( 'In 1 À ) 1 À fi; /\\
Cî';Test final sur les variations de la fonctionnelle
si vérifié, fin de la convergence
sinon retour en (?)
b) Convergence de l'algorith~e ~
Posons J n =
J( '{'n
~-'1)' et J n =
J (.;,
\\)
(
·n.
:
n, "''1''1
On se place dans les hypothèses suivantes
I~ Le problème(P,) admet une solution unique pour tout À ~/\\
~)ChaqUe classe de chemins u-équivalents se réduit à un élement •
..Gn note que
..
'fj
/ ......
n ,
J
/
J
J
et on distingue aussi deux cas.
n+1
~
n + 1 /
n ;
"
~
1er cas
2è
cas
J n+.f
= J n _ .._~ lv'~ ,À
i
ll ') ::::
V'\\"\\:fd j .A 11-fi j
En effet
soIt
".y'."
,
ii;'
=
V
..-'l..
n
J, V'
A
'\\
1)
~'--T
" n·n 1 1\\ n,
=
J (\\1\\
) = J
""'? 1\\t<j"')'
n
donc
J
(v
=
Min J
(v
~ ) d'après 1)
n
(~\\
n
D'après~ on a :
.,?.. f: J\\
... / ...
:1[-5
'An f 1 = :~
Un déduit que l~~;sUitc (v~ 1 À ) converGe vers le point (V. IÀ )
p
U
solution du pro •.>1eme G) qui se t:i:deiui t par :
(;:j
: 'l'rouver (v
'
À )
tel que:
n
n
-r (v ~) = 11ia ! (v ~) := l'lin 1" (v,À", )
rl
n
n
~,A
'
Vt't(
1-.') • .i{é.~.?:Lut}.~_~.__~.o.m'p"l.e..~~ (voir ..u-.uLJ ....Li (4] )
.L~ô c:l.1o ori tümes ('1) et (c) dOlll~ent une valeur de j assez pro":.1e
de l ' 0J?timum ; on J?0tlrsui t
la· resolut~on aUmérH{Ue avec le .ciJ.~••j".Jli allU JJ\\".U1Ù)
classiqu.e 4ui a l ' ùVd.ntaoG dQ, ;restreineiri:: considerablement 13 temps de calcul.
L.1 ~ositioa du ~rorilume
a) lIU consi<iere la Ionctioill10J!:.:....
J (v, À) =(ty - Zd \\e dxdt + L.-:-
,~
1=1
où
i
= 1
un edtier n~~urel,
une constante positive
t:
••
p)
À = (~1, >t~ ,.•. À
l
u·) E,
A= {v,'1 Il
y est l'etat ùouné J?~~ la r~solution du systeme d'equations
c;.. "
.c:..~.
, = 1
è1 1 ,
. ra -
Î
tùut x t.Cl i
~ f.. L<:~'1~
)
cUmraê au ~napitre
ri
(t) est un o~erateur difini
i
iD)Q,r ) 1. }-r sont
définis cumme au 0hA~Lr~~ 1.
0= (0."
bJ'
•• ~ •• ; bJl )
.t.i :Lerme
bùnie de (t{
b) .(.'rouver (V~, A) " '11 If).'
tel lj,uo
d.\\.l l \\
j
(v, ~)
= Nin"
(v,
)
(v,"'" )"
-JUaJx
~st un C0nV0Ae terme ûe l'espace
ù~~ad
tl
.... oit ~ 10 prublém.:: suivdat :
.......
,.,..,
(~) l'ruuv;;r ~ad tel que : J (~ )
=
Jx où .~ fi:.c\\:
.--•. _
' llad
un cunvexe fermé de ~
a) ~_~_ùy..~_s.i_t..~~~\\
Le prooléme P
admet une solution uniqu0
Gett.:: 'propoôitiul1 (J..,t un0 c01l3equënce du théorE::m.·, suivant i l
'Ùl:."i'Y:(~~""". (Vùir .Llvdù rI)
PUSU:lS J À (u)
=! (u, >t) pvurÀfixe. ;,JuPPOSOl1S quù
al)
j ~ (u)---+ +
~
si
H,-4+ r$)
u €.
11i;J.d; li t l1ad CO:.lV ~_.l: f urmé dv t..
-17 _r
. "~
,_.'~..
~.
t
b1)
J.~ c.:~;t unù appli ca ti on s. c. i
c'I)
Ji\\oot strictC:lnc:nt conV'3XC
Alorc il existe U ulliquc,ü C~d tel que J...\\ (u) = l'Ün J~ (u)
u..~~,'
b) §olution du problemu (P)
~~~aut un anGeoblc ~ 2~ ~le~ontG, il y a ZU probliucG P auxqu~lG correspondent
')u
l
d
J
.
.
l
~
va ours
c
mlnlma CG.
Il oxiste donc une plua petito valour J qui on g~n6ral n'ost EUS uniquo.
Le: problet.lc (p) adl;i'.)t au LlviüG UllO Golution.
'. '~\\
",
, \\
CHA P I T R E
l
V
CONTROLES
EN
VARIABLES
BOOLEENNES
INTRODUCTION
Les probl~mes de minimisation o~ la variable de contrale v d~pend
du temps et prend ses valeurs dans un ensemble fini discret sont courants ;
c'est le cas par exàmple de l'action exercée sur les pompes d'un r~seau de
transport d'eau.
Ces contrôles v apparaissent souvent comme
des fonctions cons-
r
tantes par morceaux sur une partition finie de l'intervalle de temps
f 0,
T,
•
Ici nous étudions la minimisation d'une fonction coût J(v) o~\\lest
une fonction constante par morceaux sur l'intervalle: a, T'1 et prenant seulement
o et 1 comme valeurs, ~utrement dit·nous traitons d'un problème de contrôle en
variables booléennes.
1. Position du Problème - Etat y
1.1. - Notations - Position du Probl~me
On considère
a) J2. , Q, r ' ~_ ~
T
définis comme au Chapitre l
avec n (dimension de.:_)
quelconque.
2
b) tl un sous-ensemble de L
(O,T) tel que
@ si u f9.t alors u est une fonction constante par morceaux sur une
partition
finie de
[0, T]
quelque soit
~ u (t)f' ~Of~ r
c) la fon~tio~ coût
.
2
J
(u) = r~1("hlil)-Zi(~It-J
; dl ~
pour tout u
V,-
S (u) = N est le nombre d'éléments de la partition associé à u.
K
II
et
sont deux cons,tan ces positives
2
Zd
est un élément donn~ de L
(Q)
Y = y(x,t,u) est l'état donné par la résolution du système d'équations
suivant :
(1 • 1) J1l.
+ A( t ) Y = f + Bu
at
(1~2)_91
=Opourj=O,1, ••• , m -
(1.3)
~(x,\\o~ =~" (x) pour tout x deÇ~
cll
B est un opérateur défini sur
("
A (~) = A (x,t, D ) est un opérateur d'ordre 2m, défini
x
.
d) le probl~me de contrôle (1.4) défini comme suit
fTrouver u <.- ~L
tel que
(1.4)~
1
iJ ( u) = Min J ( u) ,
u E..
l
L
1 .2.
Etat y
.IV--.2
On suppose que
a)
[(12('6. ~T;
~.-~ (fL»
b)
B~ ,k( LL ;V) '.~
c)
l J.:i ° ~ V~., E--11\\ ~_. -''---
,
\\
,~
. '
c~tP
,
tlp'f0t: ~ Ir)
ipl~~
~r~Fil'~m
d)
y
(x,O) = y,.. (x) est une fonction donnée dans H = 1 2en.. )
Iv:oyennant ces hypothèses (voir LIONS : 1.
) le système dl équations (1,1)
(1,2),
(1,3) é?-dmet une solution unique dans W (O,T) 0~,J-4 ''2.-~
2
'\\>T '( 0, T)
=
J:, g ~ ev = 1
(0, T
H~ lrr)
\\ J_~ t -1) ~ t (:0 'IT j W(~n r'
l
J ditr
. . : : 1
2. Exis~ence d'un contrôle optimal
T
!L
Ecrivons J
( u) sous la forme
[
0 : 1
(
'1
l f
où J
(u) -
J
(u) = J
(u) + K
s(u)
911-~) 'J~~i-+llol~(8~ cl
1
1
Soit (u
) une suite minimisante de J
(u)
; donc,
n
J
(u)
-------.-:)
Inf
J
(u) , tl ~ 1.(,
n
Puisque K S (u) ~ J( u), il vient que poùt tout ~
de la suite
""\\
n
minimisante K3 (u,.)~~(Un)
soit S (u )
J(u )
n
~
n
K
Comme J
(u ) tend vers
Inf J( u), .r:1{, i l est possi ble dl extrair·
n
de la suite (u ) une sous-suite que nous notons encore (~ ) tel que (S (u ) )
n
,n
n
soit bornée.
Rappelons que u
(t) b-
J 0,11 ; par conséquent~t:lA. lt J':,
eet
n '
~ .1 L-' -)
b
'
D
l
' t
(
)
' d
t
' t '
t
"
[0,'
' t
orne.
e
a SUl e
u
Cl- essus on peu' par SUl e ex ralre une sOUS-SUl e no
n
2
encore (u
) qui converge vers u
dans L
(o,rr) faiblement.
n
La suite (S(un)
) étant bornée,
on peut extraire de la suite (u )
n
ci-dessus la sous-suite notée encore (u
) qui réalise S (Un) = N,
N fixé
n
En résumé i l est possible d'extraire de la $uite minimisante (Un,)
une sous-suite notée enoore (Un) telle que:
2 • 1.
S (Un) = N
(N fixé)
2
2.2. u
_ _~ u
dans L
(O,T) faible.
n
r '
Dl après (2.1.) on pourra écrire'
' s o u s la forme"
\\
.
uyt
,Lb~X~a~, a~+tJ .X~~~JdéS~'gne la fonct~on caractéris
,t~l.~N
J ,
tique de l'intervalle rdi~1 J 6.. 'f{O,1 r
1es deux suites (b~ ) et (a~) sont bornées
on peut donc extrair
n
*
deux sous-sui tes notées encore (b~)' et (a~) telles que. :
al(. .
---7'
a,
dans
\\ O,T
et b~
= b~
' t
} b n X · n
n
'1
conyerg~d'onc faiblement ver
La SOUS-SUl e L...-,.
.. .la~, a '1...,.-:$')1
.../ .
N
IV - 3
D 1~t,,,t~danS 2L (O,T);
L:::1
D l ' t
. . .
t
(
)
" d ' f :.. . t .
t '
. e
a SUl e mlnlmlsan e
u
nous avons pu en: e lnl lve ex ralre une
.
n
sous-suite notée en~ore(~ ) vérifiant.
.....'
"
n
1) S (u )
N
=
n
2
2) un ...:....._-;>.... Ü dans 1
(O,T) .faible e0traîne
,...
•
c.
U _},'t1I y
"
,,.,.
- ~C:t- 1\\. '[il, 'f a tt1 ]
Cette sui tei.. ~
) cr-nverge donc vers un élement u de ît. faiblement.
n
S (Un) = N ~ ..-:~ S (u)
~
N
Rappelons que J
('\\:J. ) = J ('9- ) + K
S( un) = J
eu n)~' KN
n
1
n
1
J
étant faible~ent continue, ~n en déduit
1
lim J(u »);
J
(u) + KN ~
J
(û) + KS (u:)
= J (û)
n
1
1
(il
) étant une sui te minimisante i l vient que :
n
J (il) = Inf J(u), autrement dit u est un contrôle optimal.
u t- eu.
1e problème (1,3) admet au moins une solution sous les hypothèses
du point (1,2)
3. - Deuxième démonstration de l'existence d'un contrôle optimal
3.1 Proposition 1
S'il existe un contrôle optimal u~ alors S (u) est fini.
Démonstration
u = of'\\...; li étant un. contrIDle optimal on a J
(il)
~ J (0).
'pll."rt
.
J(o) est f i n i ;
d'autreY"K S (û) ~ J (u) ~ J (0) donne S (Û)~E{J (0»)
où E (x) représente la partie entière du réel x.
K
On peut donc écrire S (u) ~ N~ = E(JK(O»)
3.2. Position du problème
1a recherche dlun contrôle optimal du problème (1,4) peut se
ramener à l 1 examen des sous-problèmes définis par S( u) = N avec 1 ~ N ~ Nl'
Cette remarque nous conduit ~ l'étude des sous-problèmes suivants.
N éta.nt fixé,
1 ~N.sNo
soit
Atal.,':bt-J
la fonction carc.c-
téri~tique de llintervalle[~/b,J • Prer,ant alors u sous la forme ci-dessous.
u = IN
.,. Xtat> lb. !
où J (aiF.I~d
i
= 1,2; ••. N} sont les nouvelles varia-
1.= 1
..1.
"1
bles de
l
con~ro e.
On considère alors .Y défini par
~
N
(3.2) ~t. +
A (t)
}T
= f
+
B
>;~~-·tcaL., tt)
"
.,
t.
(3.3)
(x,o)
(x)
où
'j
=
Y"
Y
f.-:'.
1 (n.)
D
(moyennant les hypothèses du point (1 .2)
.../ ...
IV - 4
On introduit l'ensemble des variables admissibles noté K(N) sous
2N
'}
ensemble de 1R
défini par les élements (a, b) =) (a
b,)
i
= 1,
N '~ avec
l
'
J
f~"~ T
O~ bl~T
(3.4),
. al < b, < a ... __
1 ,
2,
N -1
l
< bl ,,1 1
~=
0 0 0 0
• •
(R2N
Notons que K (N) est un convexe borné de
Posons
\\
2
~J. ( N) =.~ IJ(- '" L (0 , T) ; u
1
Considérons la fonctionnelle ,·T
1
( 3 .5.) J
(a;" b) =
1 y -=d! 2 d x dt +
rt
On prend alors le probl~me de contrôle P (N) sui~ant
Trouver u' E lJ,ft-d
(N) tel que
J (~, b) = l'lin J(~a, b), (a, bh 'K (N)
Nous n'allons pas traiter directement le problème P (N)
; on va
lui substituer l~. ~Noblème P (N) obtenu en remplaçant K (N) par K (N) adhéren-
ce de K(N) dans ~\\.
et caractérisé par
a " al ~ T
0;;' 'b
sT
.......
toi
'"
(3.7. ) {
..
a, ~ b ~
.$
a
,
t
H
:
b
-f
11.= 1,2
N-1
\\ '
1. f .
Proposition 2 P (N) admet au moins une solutionc
Démonstration
On note que
N
"';-._---- \\,
'"
J'
r
'"'1
2N
a) l'application J
(a,b) -----7)
u = '"[';-1' \\..ô, ,l), J est continue
2
de
IR
dans L
(O,T) fort.
b) l'application f
u
~) y solution du syst~me (3.2.), (3.3.
2
est continue de
L 0,T) dans W (O,T)
La continuité des applications j
et f implique que J (a,b) est con-
tinue sur K(N), J a±teint donc sa borne inférieure (~,t) dans ~ (N)
, J
=
est un contrôle optimal pour la fonc-
tionnelle J.
Lemme.
Si ~
~d (N), alors il existe N' < N tel que 'UN l:. ~à. (N')
Démonstration
Notons que Sl --
E..
~
\\d (N) alors (a, 'b) 4 K (N)
1
-,
(a-, li) ::, K(N)
===:) .~
t
'b
i
o
a~
té
.....
Supposons al = b
alors ( a
fl
l,
b~ -1
IV - 5
la suite ci-dessus définit une partition associée à~UN
Par conséquent '~ E: LLJ. (N') j NI< !,,:
Remarque
S (~ ),< tV
PROPOSITION 3
Si ûN et \\d (N)~ alors il existe N' tel que l'on ait
(3.8)
J(~/
<
)
J(u)
pour u
,E "Ua&{N')
Démonstration
D'après le lemme ci-dessus,
il existe N'<N te:!.. queu;;. ~~.,.d(N').
~, est le contrele optimal associé à ~ (N') ; par conséquent J( ~, ) ~ J(lIN)
Comme J(üN)
~ J(u) pour toutu ~ ~~J, (N).
--------------
PROPOSITION 4
Il existe au moins N 6[O,No1tel que la solution ~ de FéN) appar-
tienne à~..A (N)
D'après la proposition l
on a une solution au moins pour N = °
rll.sque K(O)
= 'K"là"), autrement dit l'existence d fun contrele optimal.
'û:! 6- ~ (0) solution du problème~Fï(O).
Théorème
Le problème de contrôle (1.4) admet au moins une solution.
Démonstration
Considérons les solutions des problèmes P
(N), N =0,1, ••• No
D'après la proposition 4, il en existe au~oins une.
Le contrôle optimal s ' i l existe est parmi ces solutions qui sont en nombre fini;
par conséquent la solution du problème 1.4 est la valeur u donnant la plus pe-
tite valeur de J parmi les solutions retenues.
4
Application au cas
n = 1
).
=
j 0,"1
......
..
_
..
.• _
-
_
•••• _6._. ,.
...•" 0
•__
~~.
;~.&__._.
Considérons l'état y d'un 8 stème physique gouverné par le système
d'équations.
,
i
1..... ..1L
+
A (t)y =
f(x,t)
+ U
J,
b',
.
' I a ,
)
~t
#\\.....
4. 1
-(
0
pour:l = 0,1, ..... , m-1
,
. ~
\\
.
.
(
y (x,O,v)
= Yo (x)
La fonctiion coût associée est
...-
[r
J (a,b) =
y
dx
dt
~ 4\\2
Le ptoblème de contrôle est 'le suivant
Trouver
(a,
b) ~ K tel que
. '
. "
IV - 6
On observe que ~Ù:t= K, le problème ci-dessus admet alors au moins une solution.
5- Conditions Nécessaires d'optimalité
RéconDidérons l'état y solution du système d'équations
1..1.r + A (t) Y = f + Bu
(5.1)
.
(), t
i
!
Y{x,f)J = yo (x)
La fonction coût associée
2
lu (t)'
dt
avec
On se 'propose d'établir les condi tions nécessaires d' optimali té
J(u) peut s'écrire
J(u)
dx
dt
L~:
=
Introduisons l'état adjoint p par
*
A
(t) p
=
j-*+
t p(T)
= o
*
A
représente l'opérateur adjoint
PoU:r (a,b)E; K(N) on ,peut écrire (a,b) = (alf'~ ,a~ biJ ••••• aN'
bN)
On a
J = J(a,b). Déterminons le gradient de J par rapport à la variable a,
ou plus précisement par rapport à chaque a~
Notons h~ l'accroissement correspondnnt subi par a~ • On notera formellement
l'accroissement correspondant de J par J(a~ +
h~,
b~) - J ( a~,
b~ ).
Il vient que
1
h
2
l
J ( a.. +
he.- ,
b",) -
J ( a .s:
)~) dx dt - - ~
=
(y( u( a,. + Il,)
hL
(
hc. 2
~
) Q (y (u (~ ) - Z d'
dx
dt
f-
T
.
T
~c
+
[ } 0 1u (a,+ h,)f dt -
( 1
(
u( a,. )1 2 dt )
= f(Y (u(a.. + hlf)-y(u(a.. ».
} 0 .
k~,
hl.
. JT
.{y(u(a,+h) + ;)T(u(a, » - 2 Z d)
dx
dt
+
~
hj. '
!u(~+bJI2dt -f:/u(a.>f dt)
'0
\\:
2
·T
n
'
2
't b.., 2
2
n
Or
\\ u (~) ( dt = \\ ~ Ü~-1~ta.., b;\\
d t ';-~_)
\\ u \\
dt =
1 ii\\
S(
.0
'
,= l
a ..
L.= l
fT
2
\\
n
..
1_,2
De meme
\\
=,u;
Il:
!
(u (a~ + hJ t dt
\\z:- (bt.- at. )
'0
~J
! (.= l
~T
T
~
2
,
d' où
1\\ u( aL + hJ J 2
~Jo
dt-loj u(ad
1
dt
= '1 1u
Considérons à présent
IV - 7
/ '
) dx dt
f
y,Cu Ca,+ bJ) - y (u(a)) ( y (u(a\\.+ h) + y(u(aJ)
-2~G(
/Q
h,.
y est une fonction affine de u
on peut donc écrire
y
(u (a + ~)) - y (u( a. ))
h~
Mais
u(a~+ h~,) - u (aJ
= u
D'autre part
-
y (t -
X:-lat-
al + 1'\\: =
x(t-Bt)
a.. - hJ presque partout',.
y désigne ici la fonction de Heaviside ; donc
r-
u
{'(.a
,
,all.+(;tt.]
l
=
ül-y (t-a(- h ) + y (t-~
sens de.
1.
L2 (O,T)
Par suite
y
(u,._-:Ly (t - aJ
-
y
(t -
ho..
Si
y
t( t-a.)
- y( t-a. - h" )
"'" .~ ( t- a.)
- - - : Y /
hL
y (u(as-+ h,,,)) - y (u(aIJ )) _._> y
(ü ~(t-a~)) au sens de W (O,T), donc au
ht.
2
sens de L
(Q)
2N
2
De même puisque u est une fonction continue de
0\\
dans L
(0, T)
2
y (u(a.. + h, ) + y (u(a
au sens de L (Q).
l
)
-
2 ~ _ _.....
2
donc si h~ ,
~ 0
(
y
(u(a,,+ h,.») - y (u(a,)
~ ( y (u(al, + hJ ) + y (u(aj )
dx
dt
j Q
h"
\\
--)2At ·(li S( t-a,)) !". (y(u(a.)) - Zd) <lx dt ~ 21~X
y~ (ü ~(t-a.) "
x
(y(u(a~) - Zd) dt
,
/'1
"
=
2~_ dx j~
'y: (il ~'\\( t-a.J)
(y( u( aj )
- Zd) dt
où
y"
(fi ~ (t-aJ) est solution du système d ' équations
( .l.L + A (t)·y = B'û ~ ( t-a.)
'/
3t
? (0) = y' (x,O)
'.-
On a
~. ): Cy (u:(t-a)) (y (u (av)) - ZJ ) dx dt =
l
f~x
.../ ...
IV - 8
,
,T
T
i
1
2
( dx
,
\\
(..n- + A y)
1
p( aJ dt =
2 ldx
B li P ( al- ) 2>( t - a.., ) dt =
1
JO
Ô t
/, -
)0
//'
, ~. t.,.
_ ~L
(
2
(a.. )
(B ü)
( a.)
J, p
dt.
o',J..
Finalement on obtient que
lim
JJ Ca,,+ h.. ) - J (a,)
=
2
hl -------? 0
h,
2
lim
J (b.+ h~) - J(b)
= -
2 \\
p
(bJ (B ü)
dx - n/ u 1
1
hl..
h~--:"O
i~
Les conditions nécessaires d'optimaL;té sont alors obtenues pour
. _
2
l
Tl ru \\
p (a.)
dx
1
1
pour i
= 1,2, .... ,n
2
(B ü)
(bJ
dx
\\
it t~:t
= -
./
-=-~-=-=-=-=-=-=-=-
C P A P I T R E
V
---------------------
---------------------
RESOLUTION NUMERIQUE D'UN SYSTEME PARABOLIQUE
COMPORTANT UNE MASSE DE DIRAC PAR LA ME'J'HODE DES ELEMENTS FINIS
INTRODUCTION
On sait d~terminer par la m~thode des .l~ments finis
la solu-
tion faible d'un système parabolique composé d'une .quation de type:
~
2
-
I::.u = g 0 ù g :f. L (Q )
at
et des conditions à k/instant initial et sur la frontière du cylindre Q.
Notons que pour g ~L .(Q) la m.thode des .l~ments finis ne convient plus à
sa r~solution.
. ~.
Dans cechap~tre nous consid~ro~s ~n système pa~a~olique dont
le ~econd membre n'appart~ent pas forcément a L (Q) ;
un art~f~ce de caZ-
cul nous a permis néanmoins d'utiliser la m&thode des .Z.ments fini~ pour
r~soudre numériquement ce système.
AI - POSITION ET RESOLUTION DU PROBLEME ~
I)
- Position du Problème ~
Soit 0 un ouvert born~ de Rn, 8UppOS~ polyh.dral ;
d.signant
la fron tière de
0,
on se propose d'approcher par la m.thode des • l.ments
finis
la s~Zution faible du système d'.quations ci-dessous.
au -
I::.U = f(x,t)
+ h(t)
~(x-b) dans Q =0 x]O,T[
---at
Uî
= 0 avec L = !)I. ]O,TC
ir
1,3
u(x,O) = 0 pOUl" tout x
€:
n
A
t
représente lavariab le temps qui. décrit )0, T ~ avec
T-<.-c.e?·
b é: n; f(x,t), h(t) sont données par hypothèse.
f
é
2
D (Q)
Posons
V= HO (al et désignon.g par V'" le dual
de y
On distingue les deux cas suivants :
.1er cas : n = 1
VI
-1
ô (x- b) é
..
= H
(n)
f
2
t
Posons g(x,t) = f(x,t)
+ h(t)~ V (x-b), alors g ~ L (O,T ;VJ
On sait dans ce cas r~soudre le problème ~.
Voir par exemple P.A.
RAVIART
2è cas
n = 2
•
1
ô (x - b.: 4; V
Alors
2
gt. L (OIT ; V'). On introduit le problème auxi lia1:re
Fy
suivant
:
- v - 2 -
TI)
-
ProbZ~me P
D4terminer pa~ la m4thode des 4l~ments finis la solution faible du ay
t~me d ' ~quation8.
= f(x.lt) +h(t) X
2.1 1 A
~
. '
V
at
ub
°
2.1 3A
u(X.l0) = ° avec
sur le carr4 de centre b et
de côté
X 'J =r~
.
2
i" J= 1
. a
'7 1
L
' a ~f' t loga '")
Remarques:
. ( ·2 t J..J....'1.
2
a) si ff: L (Q)
1
f+h(t)
X
~. L (Q)
'b) g
= f+h(t) X
tend au sens "
des mesures vers f+h(t) IS (x-b)
"
lorsque
, , - - 4 °
P. - (approximation à temps continu
2
.
. ''1' -
Pour "fixe et n ~3 le système (2.1 1A).1
(2.1 2 A) admet dans L (Q) une
so lution unique notée L4.v
définie par :
i
+ X" G
hlt)
f é'L2 (Q) 3 '.' Jrf(X.l t) • «(X:I t) dx dt
y lx, t) dx dt =/:" dx d
où ~ est s09ution du syst~me :
r.
e4A
âX
= f
' "~L2IQ) .
.~ ~ =
~voir
0 ;
'«x, Ti ='. 0
chapitre Ii
.
.
O~· vér1.-f1.-e en effet sans d1.-ff1.-cU lté ~ue le prem1.-er membre
,de (L)
es
une forme
lin~aire continue sur l'œpace
X (Q)
(voir chapi~re 1) pout' la to
logie induite par H2 .1 1 (Q).
2 -
La méthode des éléments finis permet de déterminer u#
approchan
la solution exacte de u
"h
"
3 -
Considérons la suite v m =
1
.1 m entier.l m > 1
logm
A la suite (v
) on peut associer la suite du problème
(P~
) admettan
la suite (u).} )
comme solutions.
""
.
m
Désignons par Z l '~lément. de L2 (Q) d4fùti par:
.J
2
(
(
V<fE L (Q).
IrJ Z<fdx dt = J f(x.l t))-l(X.l tl dx dt
(e
)
Q,
L1
.
2 A
.
J
J.
•
Puisque g --). f+h (t) ~ IS
(x-b)
au sens des mesures lorsque
v -->-0
on
~
~
.
m
.1
2
vérifie que '1 l' E..
L (Q).1
r
.
J Uv
_.+)
m fdx dt
Zflx dt
.
Q
. '
.
Q
Autrement dit la suite u
converge faiblement vers Z.I
lequel Z v~rifie (vo
v m
chapitre Il
\\ ~- b. Z =f(x.l t) + h(t). ô (x-b)
,
at
= ° .
Z(x.l0l = ° pour x ~ .Q.
v - 3
4 - ~.p1-i~i~;.n._~._.~~_..?Jl..r!..?xima_t~!::..~ Cà tcmr:;;~_c_c_nti_n~)_ de la si2.1uti0I~
faible de problè..E!.~!.r_oJ.a mét1"ode des_ élément..s__ finis
Par la méthode 'des ~léments -finiS on·sait construire la suite des
SOlutionsuY&
tendant vèrs Uv
au sens de L2~Q) faible quand h--o
~
POUT ~pprocher par-le procédé des élsments' fi~i~ la solution Z du
problème Fo il suffira de consid~rer la suite doublp ~ avec h~ ct
>'danp la pre.tiq"..;.~ on 38 can-;entcra de ,'éléter!)i:Lner la solution ,y obtenu pour JI et
h
'suffisamment petits.
'
5 - Extension au ca~ n'.3
. .
La résolution du ~roblème Fo pourra se taif~ par le procédé ci-
dessus dans tous les cas o~ la méthode des éléments finis s'applique à la
résolution du problème pO.
2
Pour l'approximation à l'ordre h· par-exemplc,la·méthode des élp.-
ments finis et.l'existence de la sol'utiot;-y est justifiée pour n-'3.
P0'1 n -:. 3, o~ ~ntroduira la' fonction
X 11 sur le éube de centr': b et'
1
V
de côté)} = (-Loga) : 3, a >1
o ailleurs.
Le raisonnement fuit pour n = 2 reste valable sur cette ·surface •.
IV - Résolution complète du pr~blème p••
On résoud comp~ètement le problème f
par la méthode des éléments
o
finis en élssociant à l' approximction· pal' rapport à la variable d'espace x,
le. discrétisation class.i;quc, ,~.~ t,~.cette·dernière pourra' se faire pur exemple
...:-,
suivont la technique de CRANK-NICHOLSON (- se re:érer à M.O. BRISTEJ.U [,11 ),
"
.... ~.... "!'-... ,. "." 4
....
v - 4
BI - ESSAIS NUhERIQUES
,.
Rappelon~. qu'il s'agit de déterminer par ls.~~thode des éléments
filiis 'la solution faible u du système d'équations suivant ;
..k _6. u =. • h(t) ~(x~b) dans Q =Clxl"o,T [;
. . . .,1) t
'
, , ' : ! J . ouvert de trin; n" 3
° pour toutx é,. n
Les résultats numériques ci-dessous sont faits pour des ouvcrtsll
~imension 1 et tOfl dimension 2.. ··
Il ~ Mise en oeuvre de.~a m~thodc dans 10 cas n = 1
1•. Frnctions de bose
Wj
Données :S2::) 0,1 L, T = 1
On di vise [.q 1Jen N segments égaux s·t [0-,:,] en K segments égaux
h = 1 désigne le pus d'espa~e, /), t=1 est le pas de 'temps.
N
La triangulation de
est ~~ali~ée par des segments de longueur h.
,.
Lea f~Il~tio~s de :base Wj
au n~mbre de N+1 permettnnt dt approximer l t espace
V = Ho (Q) sont définies comme suit :
1.vi
••• , N+1 où a. = (j-1)h
j
(a j ) = 1 po~~j.~:ch:.2,
2. Pour j
= 1, 2~ ••• 1 N+1
'''v/ j/1aj_~,' ';j~1I est affine
3.·W. (x) = 0 pour x .d:Ja.. 1
65+1 [ pour. J =1, 2, ••• t· N+1
J .
lf
J- t
Les fonctio'ris de bose peuvent etre représentés par la figure ci-
, lIl;"
t'ft,
tLG.~
... ---
a?
a~
a,~,
a; :
a:r
~
~~\\
.
A l'instant (n+1 )
t, on peut écrire .
(,.~'(x,
=c n+1 '.~
(n+1)
t)
u
w
j
J'x)
j=1
v - 5
n+1
~1
-it. U(Q·,t·) = u(1,t) autrement dit, U'1
= ~+1 = 0 pour n Q 0J 1, •••• N - 1•
• J
(0)
0
·t
0
.
YK, U x,
=
, S01
U. = pour J = 1, 2, •••• N + 1
J
2°/ - ~lcul des élénents matrici~
Le schéma,de CRjù{K-NICHOLSON conùuit ànt,résolution de l'équation matricielle AI = B où
A = ~ aij ~\\
B =11 b
f
i Il'
X = ff U j
avec E'
aij =
1
(w.. w.
dx + 1 [
d w.
aw. ..\\ ,: ..
.
t:. t
L 1
J
2
_--2:.. -:.-..J. c. lt
1-
Q
n
:n. ax
n
a~
bi
=
~ i..J!j-
Wi
Wj
dx -
Uj-
\\
aW1 vS J)(
J=1
!..... t:.t
2
1 nax
'0-
of. (fl-ti
'lii
d
+
hn+-t
11. (b)
où
gn-H-
= t (gn + gil+1), .
}n.
x
1
/ ' iésif;nant la valeur de g(x,t) à l'instant kt:. t, on note Clue
a) si L est une fonction linéaire sur un segaent S, d1extrémités i, j
(
)sL(X}dX =
.Lt (1(1) + L(j) )
b) si q est une fonction quadratique sur un seQilent~de mi~i~u k d'extr~mités i i alors
(
q(x)ax
= ~ (q(i) + '~q (k) + q(j))
Js
6
e)
~ =(1 sur ](i-2)h, '(i-1)h~.
x
li
a
sur J(i- )h, ih L
](i-2)h, (i-1)h [
aWi_1 =J~ sur
.,..-
a:x L~ sur l (i-' )h,
L
.J
aw·+
J(i-1)h,
1= .1.
sur
1
h
l
o sur \\ (i-2)h,
ax
On en déduit que
( aW
aW • 1
dx =
i
1-
~w. aW":1 dx
, L~ 1
~- .
=
1- ax
ax
j
\\a x
2x
.L'l
) supp i"I'i (1 supp wi-1
de m~L1e :
r aW ~~+.1.
J~
i
dx = -
t et (al':!. aWi = ~h
'n
ax
a x .
J; oX ax
Des propriétés des fonctions de base[Wjr dn trouve en appliquant la résultat b) ;(w. w.
1
,
étant une forme quadrati~uc)
(
....J-...
) l'Ti
W
dx = -l.....
(w.
w. 1
dx
=
h
et
i _1
\\
l '
1 -
t:.t
1 .
b,t
66. t
/sI.
r supp w·nsupp w. 1
1
1-
v - 6
1
(l'li H.l .f- dx
Ùt
1
):~ ,
" 6 ü t '
W.l
Elément~: o ..
lJ
On note quepol.ll" i fixé .les élémentsO
non nuls sont· :
f
ij
a . .
2h
1
2,1 = 3~~~t"""·-
+ ---s-
2.i , i
- 1 " ai,
i + '1
Pour i' ~ 2,3, ••..•• N, on trouve
(
n
n
1
l
,n
n
n
)
Ui ~ 1 + 4ui + ui + 1) + 2h
\\L.
1 - u. + U.
l
-
l
l
+ n
t, 1
fn + -
1
+ W.
-
2
d
(b)hn +-"!'\\'"
l
X+~'l.
\\ .
'-'
l
17-
Hemar:que:
w (b) ~; °pour b n lappartcr.<.I!t ))'":S au su~port de't't{
i
,
n -1- 1
'
3°) DE;tenyünation des u.
.• t-1ethode de GAUSS.,sEIDEL
J
L , '
t'
t . . Il
flOT
B '
t '
]
l
le.s un. + 1
Gqua ':lon ffil'i M.Cle
c lU. = ~ nous perI:îG v œ~ ca çu er
_
J
par la formule i remti ve de GAUSS....sEIDEL, à savoir :
n + 1, q + 1
1
(~'-=-l
n + 1, q --;.. 1
u.
:::
a~ .
u.
l
a ..
lJ
J
11
1._--
N+
1
-
1
-\\
j :-: 1
n -:- 1, q
/
a.
u-
l
J
+b0
j - i +
q é~u1t liindice d'itér2tion que lion fait cl~ître vers l'infini
.
n + 1, q -:. 1
q :: 0, 1, 2, •.
U
:::
lm u.
0
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
• •
;
l
i
J.
He.marguc:s :
:: 0,' on utilisera la fonmle ci-dess\\ls
a) Puisque et
n + 1
_. UN + 1
pour i ;" 2, 3 , ......•. , N.
ù) la fOrY;lJ].e d('" GAÛSS-SEIDEL si.~ rédui t ici à :
n + 1 Cl + 1
n + 1,
n ~ 1, q + 1 :: ..!..- r-- a
u
.
u
i1 - 1
i .:._. 1
- aH + 1 ui + 1
i
n11 '-
··f'-"
v - 7
1
v- m"
'"
.. - ~'!:!! ~.i..e 1
1" 1.. D::>!li-:étls
f(x;~) = ° ; h(t) = 1 ; b=0,,5
T=1
'-c1
1.2. - Choix du pas d'espace h ct d~ pas de temps K
Dans la pratique on obtient une approximation correcte de l'état
-1
U(x~t) pour des pas d g espace h et de temps K
suffisamment petits ; il faut
-1
par conséquent déterminor des ordres de grandeur des pas h et K
qui soient
satisfaisants 0
-1
Sur la base des cssais numériques~ h et K
seront choisis de tcl'~
sorto que 20. valeur ~(xvt) au point x ct à leinsta~~oit sensiblement la
m~me
1
quand on ccnôid~rc des valeurs h et K-
plus petites que los T<:ilours
choisies.,
-1
N~us o.vo~s c'no'lct 'h = 1
~ en note en effet quo à K
fixé,
'20
h -
"f
- .
20
Ô;
x
0005 ;,(::~~i=o:~'5i~~2 ~ 0,,25 ~ 0,,3 ;-;:3;-~'- 0,,4 0..45: 005 l
_ _ _ _ _ _~_~-__.;...---.-..-,----•.-,--;---_:_-.......-----~---~ _ _-:-_ _--.;~__-1
:~1=1
! !
J
1 1 !
26'
! !
! !
' 1
U(x ; 0.1)
° 0,,01.:5; OcC??; OcC)+·~: Oc055~ 0,,071; 0..(-.: 00109; 0.131~ 0.153: 0.. 165;
-U-(-x-;-O-o-'i-)-;'-~-"""'-·!-r-·~1
y---
! !
! h=1
0
O~Oi~~ OoO~7: 0.0~O!2 00055,.' 00071.2 0~089', 0.~68:. 00 130!, 0.152 ,1 00164: 1
' _!7_·0
o.-.....
..,.__~;~_i....__l
"""
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.0.3 1 0.35 1
0.4 '1 0~45 1
0 .. 5
• 1
1
1
1
1
•
•
1
!
•
1
1
1
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1
1
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J
1
1
1
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1 0 • 0.025: 0.0491 0.0741 0.099 0.124: 0.'1"91 0.11,1 O.. -:~81 002251 0.2461
20
1
1
1
r
'1
';i···· 1
1
..,
1
.
1
i
u(x; 0.5) 1
1
1
1
1
1
1
!
1
1
1
1
,
1
j
i
1
i
1
1
1
1
i
1
h = 1
1 0 1 0.025' 0.049' 0.0741 0.098 0.123 1 0.1481 0.1721 0.197 0.223 1 0.243~
1f:O
1
r
1
1
1
'1
1
1
1
'1
1
!
u(x ; 05)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
!
1
1
t
1
1
1
1
1
0.55
0.6
1
0.65
1
0.7
1
0.75
1
0.8
1
0.85
1
0.9
1
0.95
1
1
,
!
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0.225 1
0'198 1 0.173 1 0.149 1 0.124 1 0.099 1 0.074 1 0.049 1 0.oa5 1 0
1
r
1
!
1
1
1
!
1
•A
!
1
i
1
!
1
1
1
1
.' 1':
0.223 1
0.197 1
0.112 1
0.148 1
0.123 1
0.098 1
0.014 1
0.049 1
0.025 1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
Divers eesais numériques relatifs à h = 1
et à h = 1
D'ont pas donné à K
= .'
20
T;ë
'!,C
los écarts do u(x,t) supérieurs à 3
on yalcur absolue.
-1000
o-~/f.
CI
v - 9
Pour 10 pns de temps nous avons choisi K- 1= 1
à h =' 1
on a
bO
20
.
-1
.
relevé quo pour Je
l1
,u(xtt) accuse on tout point x et à tout instant i
.
bO
considéré dos écarts en valeur absolue inférieure à 2
1'OOë
1.3. Courbes représentatives de u(O,"25 ; 0,'3),
U(o,!t i 0.5),
U(o.? ;0.8) e~ fonction du pasK-1
n) Tabloau
1
i
f
1
i
'1(
1
10
20
1
30
1
40
1
50
1
60
.0
100
1
1
1
1
1
!
1
1
1
1
f
1
1 U(0~25 ;0.3)
0.114
0.117 1 . 0.118 1.
0.11e 1 ·0.117 1
0.117
0.117
. 0.117
!
1
1
1
1
1
1
f
1
1
1
1
.
! U(0.4 t 0.5)
0.195
0.200 1 : 0.198 1 . 0.199 1
0.198 1
0.198
. 0.198
0.198
. . , "1
!
1
1
1
1
!
1
f
1
1
1
.
! U(C.7
0.8)
t
0.151
0.149 1
0.150 1
0.150 1
0.150 1
0.150
0.150
0.150
1
1
1
1
1
b) Courses représentativos (voir fig. nO 2)
.
.. . ..... . ..
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V-:-/O
~,
: ~ "•• ~ "1'
S)
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~
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;C"
,
v .. 11
1.4. Evolution de u(x,t) en fonction de l'qbcisse x et du temps t
u) Observations sur les résultats numériques obtenus.
i) u(x ; t) est une fonction croissante du tomps.
ii) à t fixé, u(x,t) croit de x = 0 à x • 0.5 puis décroit de x =
0.5. à x = 1 i à t fixé u(x ; t) est sye.Strique on x par rapport à x = b =
0 .. 50
iii) à t fixé u(x,t) varie d'une façon quasi linéairo do x = 0 à x
0"5 et do x • 005 à x = 1.
iv) U(Xi t) à x fixé croit avoc t puis reste constant pour t)- 0.5.
b) Tabloaux a'évolution de u(O.25 i t) u(O.~
t)a u(0.7
t)
Courbes (voir fig. nO 3)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
t
!() 1
0.1
002
0.3 1
004 1
0.5 1
0.6 1
0.7 1
0.8 1
0.9 1
1
_
...... ...-
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-
1
1
1
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1
1
!
1
1
1
i t: (0,,25, t)
1 0 1 0.0721 0 .. 1051 0 01171 001221 001241 0.1241 0.1251 0.1251 0.1251 0.12~
1
1
!
!
1
1
1
1
1
1
1
j
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1
1
1
1
!
1
1
1
1
!
, U(09 4 ; t) ! 0 1 0.1291 0.1731 00189! 0.1961 0.1981 0.1991 0.1991 0.2001 0.2001 0.2C<
!
1
1
!
1
!
1
1
1
!
1
f
!
1
1
!
1
1
1
1
1
. u ~O"7
t) 1 0 ! 0.089 1 0.127! 0.1411 00147 1 0.149 1 0.149 1 0.1501 0.150 1 C.150 1 C.15'
1
!
1
1
1
1
1
1
1
1
1
c) Tableaux d'évolution de u(x
0.3), u(x i 0.5), u(x i 0.8)
(i) u(x ; 0.3)
1
1
J
. 1
1
1
1
x
0 1 0.05 1
0 .. 1 1 0015 ! . 0.2 1 0.25 !
0.3 1 0.35
0.4 1 0.45 1
C.5
! .
!
!
1
1
1
1
i
!
r
!
!
1
1
n(x ; 03)
0
C.023! 0.047! 0.07
C.094! 0.1171 0.1411 0.16510.189 ! 0.2161 C.23
1
!
1
1
1
1
1
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V·ll,
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o
...
o
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v - 15
~. !Xomile 2
•
2.1. Donnéoa
Jl .:;' JO.1[ ; T = 1 ; h(t) =t; f(xtt) ~ C ; b 1fO.5
-1
.
2.2. Choix du ~ns d'cspace h ot du pns de temps K
-
-1
Noua prenons h = 1
ct K
= 1
on fonction de6-réBUl~.donn~(
20
'SO
Pftrloe canais numériques effectués.
L'étnt u(x ; t) au point x ct à l'instant t accuse en générolu"p]
... 1
grand écart pour doux valeura distinctos de K
en b = 0.5.
-1
Toutefois pour des po.s do t041pS K '" 1
l' orreur fai te ~ur u(x j
'SC
ne d&pnaoe pna 1
en valeur absolue quand on prend pour valeur de u(Xtt~
1000
1
cello qui correspond à K-· = 1
'SC
D'autre part pour des valeurs de pna d'espace h( 1
leB osso.is
20
numériquos offoctués donnant dos résultats qui diffèrent de moine de 2
1'ëëë
de ceux correspondant à h = 1
20
2.3. Courbes représenta.tives de u(c.l., i C.5~, u{O·Z i 0.82·
0.5) cn fonction du pos de tecps At = 1
~
-K
n) - Tablenu d'évolution (h = 1 )
-20
r
i
1
1
1
1
K
1
10
20
1
30
1
40
1
50
r
60
1
80
1
'100
r
1
1
1
1
1
1
1
r
1
1
i
!
J
1
\\1-((,.4 J;C.,)1 0.1CC· 1 0.090
1
0.087 1 0.08' 1 0.084 1 c.084 J
0.083 J
0.082
,
1
J
J
.
J
r
1
1
1
1
1
f
1
i
1
1
u(C.7 •, 0.8)1 0.118 1 0.111
r
0.108 J
0.107 r
0.106 1 0.106 J
0.105 1 O.,1~5
r
1
J
1
1
1
J
1
1
!
1
1
1
1
1
1
J
1
u(C.25; 0.3)1 0.024 1
0.03
r 0.028 1 C.027 r
0.026 1
0.c26 1
0.025 1
0.625
1
1
1
1
J
r
1
J
4
. . . . .
b) Courbes représentatives (voir fig. nO 5)
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V..:.16
o
c:::-
O
.:a.
~
Or------~-----....;..:---;..;.-.------
v - 17
2.4. - Evolution de u(x, t) cn fonction de l' t'.beiGse X ct du tODJ'~.tt
a) OBSERVI.TICNB 'el1r les ofwais effectués
(i) A x fix~, u(x ; t) est uno fonction croissnnto du temps.
(ii) u(x ; t) croit do x = C à x = 0,5 où elle prend sa voleur
mnximum à t fixé elle décroit onsuite de X = 0.5 à x = 1.
Elle prend des vnleurs symétriques (pour t fixé) par rapport à
(iii) Â
t fixé, u(x ; t) est quasi linéaire cn X dans )O,C.5[
d'uno part ct dc.ns)C.5, 1 ( d' nutre po.rt.
b) Tabloaux d'évolution de u(C.25 ; t). u(C.5
t), u(C.7 ; t)
(Courbes voir fig. nO 6)
1
t
1
1
1
1
1
1
1
1
t·
.o.
1 e· 1 0.1 1 (:.2 1 C.3 1 c.4
e.5 1
c.6 1
0.7 1
0.8 1
0.9 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
!
1
1
1
1
!
!
1
!
!
1
u(r.25 •, t)1 0
c.oe4! ('.0141 C.025 1 C.037 1 C.05C! c.e62! C.075 1 0.c87! C.100! ü.112i
1
1
1
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1
1
!
u(C.4 •, t) 1 C
O.C}('91 C."25J (.('441 c.("631 c.c831 0.1031 C.1231 C.1431 0.1631 0.183!
1
1
1
1
1
1
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i
1
1
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1
1
1
1
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!
u(C.7 •, t) 1 (i
c.c:c61 C.C17 1 C.e31 1 0.c461 c.c6cl C.e75 1 C.C9C! (;.105 1 C.12e! (.135!
1
1
!
1
!
!
!
1
1
1
e) To.blecux d'évolution dos états u(x , 6.3) , u(x , 0.5), u(x, (.
- '
•
•
: J.
i) u(x, 0.3)
t
1
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1
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1
x
1 0 1 0.(;5 1
(,.1 ! (.15 !
C.2
C.25
C.3 ! 0.35 J
(.4 J c.45 J
(.5
J
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1
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i
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1
1
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1
1
u(x
C.3) f c J 0.OC5 1 (-.010 1 (.015 1 C.02(! (.C25 1 C,.031 ! C.037 1 C.c441 0.051 1 C.C58 1
1
1
1
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1
1
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J
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J
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1
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(,.9 1
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J
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1
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! C.051 1 0.044 J C.C37
(.('31
C.C25
O.G2 ! e-.C15 ! C.C1C 1 C.CC5
c
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v - 19
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li) Evolution de u(x ! C.5)
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X
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C.1 1 C.15 1
(.2 1 C.25 !
(.3 1 ('.35 1
c.4 1 c.45 1
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u(x
C.5)
c
C.C1C I 0.019 1 (".C29 1 C.('39 1 (>.C5C I (:.('6e! (-.071! (.(;83 1 0.C95 1
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1
1
1
c.6
0.65
(.8
(0.85
1 0.55
1
C.7
0.75
1
1 (.9
C.95
1
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1(·[95
I c•c83
0.071
o.c6c
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1 C.C17
(
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1
1
1
1
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1
ct) Courbee rcprécentativco dû (voir fig. nO 7)
u(x ; 0.3) et u(x ; C.5)
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v - 21
,. Exottplc nO'
,.1. ·Données :n=1 ; h(t) 1: ~
b = t.5
f(x
t) = t
x(1-x)
'2'
11 :: JO,1 t;
T = 1
'.2. Choix du pas d'espace het du pas do tornps I~
-1
Nous prenons h =1- et K = 1
en fonction des résultats donnés p
20
bë
les essais numériques effectuée. L'état u(x ; t) accuse le plus grand écar
entre deux essais nuoériqu8s en b lit 0.5.
-1
Toutefois pour des pas de temps K < 1 l'erreur faite our u(x ;
br
no dépasso pus ~ en valeur absolue quand on prend pour valeur approchée
1000
de u(x ; t) colle qui correspond à K- 1= 1
•
,
te
,
(n a note que pour des pas d'espace h <.L. les essais nUt:1eriqucs
20
effectués donnent des résultats qui diffèrent de moins de 2
do coux corr
1CCC
pondant à h = 1 •
2ë
3.3. Courbes représentativeô de : u(El .1:4r
0.5), u(o.? i c.8),.u(C,Z5 ; (
en fonction du paô de temps K-1
a) Tableau d'évolution (h=1 )
20
1
1
1
1
1
1
!
K
1
10
20
30
1
40
5C
6c
1
8e
1
1(('
!
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 .
lu« •.V- i . c.,} 0.124 1 (;.114
C~.111 1 0.11C
0.1C8
(.1c8 1 C.107 1 ('.1c6
!
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
!u(C.25;.C.,' 0.°53 1 (.047
(i.04, 1 (".c44
(.044
c.043 1 ( .[43 1 c.043
1
t
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
'u(C.7;~·.(8) 1 C'.14(' 1 0.132
0.129 1 ('.128
0.127
0.127 1 (.126 1 ('.126
1
1
1
1
1
1
b) Courbes représentatives (voir fig. nO 8)
l ..-
~.
.':..
"._!Ii.
e
.-.
.. 11
•
..
,"
"
v - 23
3.4. - DvolutiC'n de: u(x.t) en fe,nction do l'nbacissc x ct du temps t
,,) Les résultnts étnblis Montrent que:
~) u(x;t)ost une fonction croissnnte du tûnps t
ii) U(Xit) croit dnns le o~n~ sons que x de x = e à x = (.5
En x = (.5 il prend sn. v"lour :"):,xir'lUlj à t fixû.
u(x;t) décroit ensuite do x = (.5 à x = 1 ; à t fixé cette fe
tion est sYD6triquc pnr rapport à x = (.5
iii) j, t fixé u(x ; t) est linénirc en
x dnns Je,C-5[ ct dé.ms
b) Tableaux d'&volution de u(C.25 i t~. u(l.k·; t), u(~.?
t)
(Courbes rcpréscnt[ltiveB voir figo ne 9)
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c) Tableaux d'évolution de u(~~t?;1)~(~~.5), u(x je.8)
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27
4.1. - Données
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n.. = 1 1l '
h(t) = t
Ct
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4.2. Choix du pas d' cspncc h ct du pna do tcm.J2ê..!
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en
relève sur les easnis numériques correspondants a h =2~t a
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K-1
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que pour
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"tu
les
"lj:'ë'"- duns
d~ux cns u(x,t) accuse en tout peint x et
...
à tout instant t un écart nu plus égr'l à-L quand on passe de h = 1
a
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"2"C'
h = 1 •
'liC
en peut donc retenir h = 1
comma pua d 'espace pour notre étude •.
2C
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Pour pas de temps nous avons choisi K ..- 1
; peur mes essais
mr
numériques consid6rGs u(x ;t) ne subit pas un écart supérieur à
2
quand or.
1'ëë'C
_A1
opère uvee des valeurs K'
1 .
~.~~
4.3.Courbcs rώscntntivcs de : u(c.L; C.5).'~~C".7 je.8). u(C.25j
(.3) en f~ncti2n du pas de tcmvs ~
n) Tableau d'évclution (h =
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44. - ivolution de u(x ; t) en fonction de l'abscisse x et 'du temps t ..
a) Les résultats obtenus montrent que :
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c~t une fonctien croissante de t qurend on fixe l'E'_bcissç,
x.
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valeurs symétriques for rél.ppcrt à b = ('.5 quand on fixe ··t.
b) Tableau d'évelution de u(C .25,t)
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(courbes veir fig. nO 12)
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d) Courbes représentatives
(voir fig. N- 13 )
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... :
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)3
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5.1 - Données .,
.
'r = 1
,
h(t) = t
'.2 --Choix du pns d'csp~ce h ct du pns de tenps K~1
Sur les résultats fournis pur les deux essais nunériques relatifs
,a
,
IC
=
,
.
h
1
et à h
1
(à K-1 1C 1 ), u(x
t) ne présente en aucun point (x,t
2f
'li0
'IK
un écart supérieur à 1
• Nous retenons pour notre étude h • 1
comme pas
~
F
d'espace.
Les e68ais numériques établis à h =.1... ct X-1= 1
n'ont fourni un
2C
'Bi'
écart de u(x ; t) supérieur à 2
lorsque nous considérons des pas de tcnps
~,;;:;
-1
1
K (~t aussi choisissons nous un pns temps r- = 1
pour notre étude.
Ol!'
-l3O
5.3 - Courbes représentatives de u(~.~ i 0.5)" u(0.Z
( .8),
u(ft.25 i. t~3) en fonctton du pas de tenpa X.
/
/
a) Tableau d'évolution
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lue i". 25, r .3) 1~·.(:-43 l ,~. rt37 1\\. (35 1\\.• 034 1''' ••3 4 1~.~33 1{'t'. i33 l'·. ;33 f
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lue, .7,' .8)
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5.4 - iveluticn de u(x, t) en fc-nction de l ' l~bscisse x ct du tCl"lpS t
a) Lea divers cflsnis nUr.JériquC's nous o..prrcnnont que :
i) A x fix6, u(x ; t) cat une fonction crcissnntc du temps
ii). A t
fixô, u(x ; t) croit da.ns
) :.".5 t et décrc·it dans
iil) A t
fixé u(x ; t) est lllûxiour.t en b = (.5
b) Tablcnu d'évolution de up.25 i t) ; u(eJe i t) ; ut•• ? ; t).-,:;-·-··-·-
Courbes rcpréscntctiv0s voir fig. nO 15)
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11
1
1
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1
1
c) 'rab lco.ux d'évolution des étcts u(x
f;03) , u(x ; \\ .5) , u(x; ( .8)
i) Avclutic.n de u(x ; ... 3)
1
1
t
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v ... 37
i1) ~vclution de u(x i~.2)
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1
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1
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' J
d) Courbes repr8sentntivûs (voir fig. nO 16)
o.
.....:::.,. '.
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..
,
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-•z.• •
....
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••
• '1'
~
\\
,
v - 39
III - MISX RN ~EUVR~ DE LA MBTHQD~ DANS LB CAS n~2
1. - J'onctions de base
\\vj }
Dt~é~s la' ::Jü,1( x ]f,1(
;
Il le 1
III
<
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1
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q,""'tI~
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.
;
4'
,.
...
."':~
IlfH.~
•
,''''"
"-
.tl,
Ln trinngulntion de ltouverti.L pourra Be faira en considérant:
N Subdivisiono de
[et 1] sur l'axe des x
N Subdivisions de
LO,1] sur l'nxe dos y
N Subdivisions do
[C',T]
h le 1
le pus d'espace
N
.jt = 1
10 pus do temps
r
V' -
40
est recouvert par des triangles K. (voir triangle hachuré fig (17)
J
8..
HU
... ~---'-'------"-
l '
!
,
'
i
o . "
...
1
1
·
1.
1\\-1-
K
1
2
,
\\
' "
a. 1
l-l-
a i-1
----~
P-·-·--
1
,
1
,,
....
Po.
(T ~ )
l - 1;-:-,
Fig. 18
Polygone Ti
Les sommets A1' A2' •••••• , Ai'
des éléments de la triangulation sont
numérotés (voir fig. 17) de gauche vers la droite et du bas vers le haut.
Les fonctions de base w. au nombre de M = (lJ + 1)2 sont définies
1.
comme suit 1
a) w est une fonction continue, affine sur chaque triangle de sommet de sommet ac,
1
par conséquent wi est affine sur la surface délimitée par le pOlygone Ti
(voir fig_ 1,8)
~
b)
wi (a )
=
pour a ~
intérieur au CE':rré
0,1
0,1"
c) w·
(a )
=
°pour j -:/= i
1-
d) w.
( x)
=
oz..
°pour x intérieur au polygone ~
,
notons que si ai est intérieur au carre 0,1 x 0,1 , les sommets du polygone
Ti sont 81· +
ai + N'
ai + N,
ai
-
1 ,
ai - 1,
..
(N + 1)'
ai -.:. N-
-
'v
l, Î
-
2.
-
Etat u discrétisé
.. .
A l'instant
(n+1)
Jj, t, on peut ecrlre
jvl
n+1
u(x,
(n+1) ~\\ t)
=
>
u.
W • (x)
avec
J
J
J=1
H =
(N + 1)2
," ,..
Y/t,
u(x,t)
= o pour tout x .f. i
(f'= frontière
de n )
Y/x,
o
u(x,O)
= o ; autrement dit u. = 0 pour j = 1,2, .... , M
J
3. -
Calcul des
élements matriciels
Le sch~ma de CRANK NICHOLSON conduit ~ la résolution de l'equation matr
i·
:.
cielle
:
AX _.. B OÙ
11
A =
B =
.: u. n+ 1
'lb.
1
1
".
x =
'1
aye
1
Il
J I '
......
"
P
1.
r-
l'
a ..
=
1
w.
W.
dxdy +
i .
aw.
()W.
+
(f,T •
,"?:J W
'1 d
lJ
, i_---=l=__ _ _
1_
j
_--=-1_
_ )
bt
1
1
.)
J
2
/r"J
-- '-
/\\.
/
dX
3 x
dY
d y
l'
... n
jvl
i
,
)
n
bi =
u.
w.
w.
dx dy -
1
\\
'\\
J
1
1.
.1
u~j dW. dl•. +
J
_ _
1
.-sL
Lt
2
1
d x
d x
j=1
in
\\
n
Ô\\f.
CM. ) dx
dy
+
(f n+1/2 + h n + 1 / 2
)
)
Xv
W
1
i
dx dy avec Xv =)
~2
~
dY
d y
1
pour x intérieur au carre de centre b et de côté v,O ailleurs.1
./
-,'
On utilise les
formules
d'intégration numériques
suivantes
:
a) Si
q est une
forme auadratique sur un triangle K de sommets 1, J, k
les
côtés
i j ,
jk, ik ont respectivement pour milieux 4, 5, 6 ; alors
/
q
ds
= ~lre K (q(4)
3
(
b) Pour une fonction
affine L,
on a
"
Lds
= aire K
(LU)
+ L(
)
3
'K
+ L(~))
/'
;
l
c )
1 w
w. dx dy
i
J
!n
:r:~:p~7F~~~ l: w. dx dy
=
J
W j
i
Si K désigne le triangle de sommets
i, J, k
(
"
lw. w. dx dy = Aire K (w.
( 4 ) w. ( 4 ) + w. ( 5 ) w . (5 ) + w. (6) w.(6):
Jk
J
1
J
1
J
1
J
/
1
3
D'autre part
w. ( 4 ) W • ( 4) =
1
x
= 1
1
J
2
'"e:
"4
Wi(5)
= w.
( 6 ) = 0
ri J
2
donc
w.
dx
dy
=
h
J
24
K
...
f
Î
1
1
a
r
1
Pour
fixé,
situé
l'intérieur du carré
L0, 1.J x l O , 1J
,.01 ••
supp W. ( , supp W.
;
~
pour J :.:. i
- 1 , i - N, 1 - (N+1), i, i +1 , i+N.
1
J
i
i + (N+1)J
r
2
Pour
(
J
"1: i •
W.
w.
1
dx dy = h
lorp.nue v'-
.
supp
w.
supp W.
1
1
i
1
,tJ
K
24
,.
2
Pour j
= 1
;
W.
w.
dx dy
•
= aire K x 2 x
1
h
=
1
1
1
"4
/K
12
3
Ainsi on trouve
Pour j
= i
- (N+ 1 )
(voir fig 1, :1. )
:'
i, w.
w.
dx dy
.7 i. ( N 1- l' )
dx dy =l,W.
W.
)
wi,(I4,. '1 ~
= \\ 1
1
' . 1 1 (n+ 1) dx dy
1
in
)supp w. (\\ s upp w. ..'.1' 1)'
1
1 '\\ ,', ~
=
2
2
2
x
h
= h
24
12
Il en est de même pour J = i ... 1, i-rT, i+1, i+N, i+(N+1)
Pour j
= i
(
(w.
2
w.
dx dy
1
. 1
= i W.
w.
dx
dy
h
=
1
1
1 '-:
1
Jo
/*'k~
2
'. "
d) Calcul de
~aw.
aw.
+
aw.
a w.
) dx dy.
i
1.....-L
1
J
,'.,1
%x
ac
~t
ay
Pour i
fixé, on co sidère l'inté
ale pou!" les valeurs de J = i -1 , i-N,
1 -
(N+1), i, i+1, i+N, i+(N+1)
Considérons j
= i
+ N
On note que supp w (--\\ SUup 'v +
= K
U
K
i
i N
2
3
Pour calculer
___
dW.
+
~
\\
+
aw.
dx dy on pourra
lf aw i
_ _
1 _
oW
1
i
+ Il ;
:\\ ax
ax
ClY
considérer d'une part
aw.
aW';+l\\T~
et
"\\ W.
1
o
1+N
.L
. ,
\\
a x
a y
d'autre part
aw.
et
aw.
x
1
1
ax
ay
On observe que W.
ou W.
sont affines dans K
l*'N
1
2
d'autre part
aw
1
i +N
= w. N ( i -1 )
w
( i )
= 0, donc
aw.
i +N
a
i+N
- h
a x
x
2
l,".-
1+
1
ax
- -
a
!K
J..
aWi
= w.(i+N) - w.(i-1) = 0, donc a w.
aW
1
i +
1
1
1
N
= 0
1
-
h
1\\_-
':li(
ay
'K",
v - 43 -
De la. même façon ort vérifie que
1
1
aw. 1
1.
1
=
aW • N
aW.
l. +.
l.
=
o
""Ti !K
ay
ay
3
On en deduit que
:
l'
! ( awi
a Wi +N
+
aw i
aW'+N ) dx dy = 0
1.
.
)n
a x
a x
d y
ay
Une etude analogue montre que
1 (
aw.
__
l.
a w
) dx dy = -1
i -(N+1)
/n
ax
a y
êlw.
+
aw.
aWi_N ) dx dy = 0
aw.
dW,
1 + a w·a w.
1) dxt"
__
l._
l.
l.
l.-
l.
l.-
a x
dY
ay
a x
a x
é)y
ay
in
-,... .".,Ir
) dx dy
( ( a w.
a w.
+ a w.
aw.
= 4 ; 1 aw
dW.
1
aw.
aw + ) dxdy=-
--L. --!-
l.
l.
i
J.+
.... _ _
1
i
1
i
1
a x
a x
--"-a-=y--::-a-=y-'
---a;
a x ' a y
ay
n
ln '
-
1
! ( aW
a w
i
a wi +(N+1)
+ aW i
i +(N+1) \\ dx dy =
/~
, a x
a x
a y
ay
J
e) Elements a ..
l.J
Des considerations precédentes, on deduit
2
2
=
1
h
- 1
au.. (N+1)
a ..
N =
1
h
6 t
12
11-
L~ t
12
2
2
a ..
=
h
1
a. "
= h
+
2
11 -1
-
12f::,. t
11
2
2~ t
?
2
a ..
=
h ,-
1
a ..
h
=
11 +1
-
12,6.t
11 +N
2
12i\\ t
'--.:.
2
a..
(
)
=
h
1
l.1+ N+1
2
12 L:. t
f) Element
b.
=
n
n
l.
+
n
n
u.
+ u.
+ 6u~
+ u.
+ un
+
n
1
126. t
u i -(N+1 )
l.-N
l.-1
l.
l.+
i+N··
u i +N+ 1
1'-
(
n+1/2
+ li 1( n
+
n
4 n +
n
n
) + J fn + 1/ 2
d
d
\\-2 u
+;
h
X~i w. dx
i -(N+1)
u i - 1 -
u i
u i + 1 + u i +N+ 1
!
wi x y
,
./ n
.
l
l' n
(
h n + 1 / 2
4) Calcul de
! X.l)
w.
dx dy
l.
.~-1.
Notons que h(t) ne dépend pas de x, y
; donc
1
1
h n + 1 / 2 Xii "ri dx dy
=
i XI·' W. dx dy
,
.
l.
l.
"
.
,
-
J
Desl.gnons par l
le centre du carre
i
il
' 0 1 1
1..9 ,1.,
x
l
sera l'indice cor
;~_ ' J
respondant-au point b = (0.5, 0.5) (voir fig.
nO
19).
v - 44
,
lc,tf'{
i~
~
,
;
(fig. nO 19)
•
,
,
""t.i
--.............+----:~"7""':""_+~-;.-:' ~_~~1_c.._+~"..1 - - - - 9
f
.}
..
1
f
•1• '1-
lc.""+1)
(.h'~~
L'approximation est satisfaisante pour
assez petit, le carré de
ceté
est centré en b. On prendra le carré de côté
,intérieur au support
de la fonction affine W
; HK représente la perpendiculaire au segment
1c
~, .
1
•
l I N et passant par l
• Le carré considéré est choisi de manière à ce
c+N
c-
c
que ses sommets A, h.' t i-l.", Ail' soient sur les droites : l
N l
et HK
'.
. '
c+
c-N
On obtient 8 triang1es~isocèles égaux admettant l pour l'~n des
sommets et que nous notons k 1, k2, k , k~~k5' k , k , ka- (voir fig. nO
3
6
7
W
L8
1 . dxdy = 1
W
.L.. (
c
~
I
dxdy =
c
. J) 2 .
W
dxdy
l
L = 1
c
suppx nsupp W ·
/ k
1
i
]J\\ ,
c
..
'
~.',
,.--,
"
..-
..
. J.
.... '
..•1,' ..
.:".
_.t
v '..
, ~ " ..
45 .
\\.",
puisque supp X~ (\\supp wI =U Ki
c
i=1
dxdy "" aire K1
(w
(le}'"
I
wI
" "',,3
c
c
On note que w
{le} =
....
l
,
c
"Par rapport au système d'axés (l'u, t'v), B a pour coa~dannéee (0, - .iL- ) et
c
ç
2
j)
A = A ( -,:--,
' i
,~
.'
Wt
est une fonction affine; le long du ,egmen le le _ (N.,) en peut~:e~rése~teJ
e
~ar R le _ (N+1) • c'est-à-dire par Sa coupe le long de le le _ (N+1}(voi~ fig 1~
(t )
A
C
r',---
::(fig N° 19)
(B)
1--- ,-- ~~. ·
T
,
.
,~
,
"
,
' .
~_
'1:-
~---. ~ (+i··..~
Seeha.t que w
(le) '7,1, i l s'agit
(B)
detr~uver w
I
1
c
c
.La·"si'd.litude des triangles pérmet
d'éëd-fe:
W
(B)
1
JI
.c.-
I
(N+1)
B
=
(B) ., 1 .. ~
c "
1
1
c
c - (N+1)
h
E" représentant wr par Sa coupe sur le seg~ent 1 . ,1
01"1' trouve également
c
c - N
w
(A) =
1 - ~
1c
2h
On en déduit que :
dx dy =
(
dx dy =1
dx dy
! KB
(A') + wIc
E~ procédant comrye ci-dessus on trouve
wI (A') =
-
~ , considérer pour ce faire la coupe de wI
e
w
(B') = 1 - -d/;- (cfer fig N0 19)
e
I c
v - 46
On en déduit:
2
L'W dxdy = }) (1 _ 1/ )
I
b
2h
c
3
Il est immédiat que :
( 'W dxdy =( w
dxdy
dxdy
I
Jk I
3
e
4
c
En regroupant ces' valeurs on obtient :
2
dxdy = 4 x( 1 -11.) .v)
3e,
'8
n + 1
~
n + 1
et h
2
2"
VI
dxdy = h
(1-5)1)
»2
12h
:n..
e
De même on trouve pour :
. - I
I I I
~ - ...c+1'
c-1'
c+(N+1),
c-(N+1)
r
·n+1
h
-2
\\
Xv
11
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= I
I
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c" N
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V n+1
Xy wi dxdy:::
h
2
-- 24h
/.!l..
n+1
5-/ - Détermination des Uj
par l'algorithme de GAUSS-SEIDEL
n+1
Comme dans le cas à une dimension, on déterminera les u.
(V~-
J
leurs des coefficients u. à l'instant (n+1) ~t) par la formule itérative de
J
GAUSS-SEIDEL, à savoir.
n+1,q+1
n+1,q+1
n+1,q+1
n+1,q+1
u
u
-
a .. N
U.
N
i
::: ~ .. (-aU _(N+1) u t·(N't1)
~~-
1-
i-1
~~
n+1,q
n+1,q
n+1., q
+ b )
- aii+1 u
- a .. N u1+N
- a
u i +N+1
i
i+1
~~+
ii1'(N1'1)
q est l'indice d'itération et q = 0, 1, 2, ...
n1'1
.n1'1, q+1
u
::: lim
i
1.4.~
q~OO
n1'1
Notons que li.
r-
~
::: 0 pour i tel que ai~t (frontière de!l) pour n = 0
D'autre part:
x, y~, Jo, 1 [ x J 0,1 [ ,
u(x,y,O)::: 0, autrement lit
u°
j
::: ° pour j ::: 1, 2, ••• , M.
6-/'- Expression· de b.J
Posons
••.•'je
v - 47
n
1
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n
n
n
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n
n
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LI
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0-(N+1)
12 h
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b
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o-N
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l
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o-N
l 1
1
v - 48
VI - EXEMPLES
1. Exemple n· 1
1.1. Données
.Do = JO. 1[ x JO, 1[ ;
T = 1
i f(x.Yit) = 0
b = (0,5. 0.5)
1
JI= 0.0001 ; h(t) =
t si t ~ 0.5
o si t ~ 0.5
-1
1.2. Choix du pas d'espace h et du pas de temps K
=At
Sur la base des essais numériques nous avons choisi h = 1
.t K- 1 =
20
~ • On relève que les plus grands écarts observés pour l'état u à h = 1 ont
-1
20
lieu au centre b =(0~5 ; 0.5) quand on fait varier K • Toutefois pour des
1
pae de temps K- < 1 , u(x.y. t) accuse des écarts inférieurs à 1
en tout
bO
'100"0
point (x,,) et à tout instant t.
J
Nous avons aussi relevé que u(x.y ; t) est une fonction décrOissante
.04
.Vmais que u(x,y.t) prend les m~mes valeurs pour 1= 0.001 etJ/= 0.OC01
pour les essais retenus nous considérons ceux qui correspondent à
jJ = 0.0001
1.3. Courbes représentatives de u(0.25, 0.25 ; 0.3), u(O."
0.5 ;
u(0.7, 0:7 i 0.8) en fonction du pas de temps K-1 (voirfig. 20
a) Tableau d'évolution (à h = 1 )
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K
t
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; 0.5)
J
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0.000 .. 005! 0.000.005! 0 .. 000.001! 0.000.001! 0.,000. 002 ! 0.OCO.001!
0.8)
100
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).000.141 'i
).000.672 1
_ _ _ _ _1
).000.001 !J
b) Courbes représentatives de u(0.5, 0.5 ; 0.5), u(0.25, C.2' ; 0.3)
(voir fig. n· 20)
1.4. Evolution de U(X,l j t) en fonction des variables x, la t.
a) Los résultats obtenus nous montrent que:
r i ) à (x,y) fixé, u(x:y ;t) est une fonction croissante du temps dans
] O,0.5.Let décroissante dans
J 005. 1 [
,
1
ii) à (x,t) fixé, t
0.5, u est une fonction croissante de y dans
1
0,0.5
,puis dé croit en fonction de y dans] 0.5, 1 [ ; de plus les valeurl
de l'état u à (x,t) fixé sont symétriques par rapport à y = 0.5.
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CuC;o.ü)
:(0~85;O.85):(C.9;C.9)
:(C.95iC.95):
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0.000.126 jO.000.093
jO.000.062
;0.000.031
0
c) - <1.2..urbe.§_r~résentatives de u(x,x
0.,2), u(x,x
0.5) - (voir fig. nO 2-
..
.
t·
d) - Courbe 'représ'entative de u(0.2, y i 0.4) - (;~i'r figure n 6 23)
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2.1. Données:
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1
~.2. ~ du pas d'espe~c h et dU-Eas de temps K
--~
Sur la bas.des cssais numériques nous avons retenu ~ ~ d'cs
.
20
.
pace ct ~
1
comme pas de temps
bC
,Nous avons aunsi relevé que (à h = 1
,
t) garde la
2 r
m~mc valeur pour lca valeurs JI=C.CC< et
L~s plus gran~B écarts de l'état u sont aussi obscrv6s en b = (O.5,C.5).
,
•
, .. ..é1:a.tt'! ~~~I"l J
(
2.3.Courbee rcpre_sentet1vcS des
..::,~._ >'. \\ -~l':'
•..u C.25, O.~.22 i C.
u(r.?, C.? ; c.E) cn fonction du pee de temps X
" .:
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C.3)
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0.C234 .! (..<:227 f C.L223
l.(22C r
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:~7:··~:7;·~··.8)
C.1(,51
(,.C988 r=(:C967~.C957:
C.(951:' C.<'946 ;
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_ · _ - _
_ - - - - : ; - - - - . ; ; . - . - - _
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- - - . . ; . 1
b) - Courbee rcpr6scntatives (voir fig. N° 24)
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V-58
2.4. - Evolution du u(x,y ; t) en fonction vnrinblcB x,y;t
a) Les résultats obtenus par les divers essais nUr.1ériques montrent quo
i) â (x,y) fixé l'étet u(t)
est Ulle fonction croissante du ter.1ps t
ii) à (x,t) fixé l'état u(y) ost une fonction croiss&nto de ln varia-
ble y dnnc
JC,C.5:
et décroissante de y danE::
jC!5; 1 [
; de plus
cette fonction prend des voleurs symétriques pur rapport à y = [.5
iii) a (y,t) fixé on obscrv8 les môoos propriétés pour la fonction
u(x)
b) Tableau d'évolution doc 6tats : u«(.25, C.25
t)
u(C.7,C.7 ; t)
(Courbe voir fig. N° 25)
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le.3
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r !C.CC78!c.0197!l.C321!C.c446!().C571!C.r696!c.c821!O.O9461C.10721C.1197
!
1
!
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!
1
!
!
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c) Tableau d'évolution des états u(x,x;C".3),
u(x,C.2;C'.4)
il Evolution de u(x, x.J \\. .3)
____!
~:1~2!~~:~21~:~22l~~:_21~:22!~~:221~:222!~~:~1~~2 __ l_~~:~21~:~22 __ !
1
1
:X;C.3)
C
!C.C'lC:C
lC.CC37
1(i.cc81
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I l !
:-.3,(.3)
! (0.35,0035)! (c.4,(.4)
! (c.45,r.45)!
(C.5,C.5)! «.55,C.55) 1 ([.6,l.6)
~---------!-------------!------------1-------------!--
---------1-------------1----------
,
,
,
,
,
,
.
.
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.
.
.
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c.C455
c.('647
('.C976
C.1968
C.C976
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111
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v - 6('
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(C.65, 0.65) ! (l~.7,C.7) ! ((.75,( .75) ! (c.8,c .8) ! ce .85,l.85) ! (C.9,( 09)
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l ., 321
C .c22
(.('('81
! ~;. C037
(~.c5,o.r95)
(1,1)
!--------------I----------!
!
!
!
(1.OCC9
C'
Courbo nO 26
ii) Evolution do u(x,C.2
(.4)
x
! c' ! C:. (5
! (;.1
! C.25
1 (.3
!
C.35 ! O.t,." ! i.4
!
!
J
. ,
(x,e .2; ('.4)
.
(.(198
\\
! C'. C149
C.C245
C.C291!C.C332!(.(367!\\'0C'3-
! !
!
!
!
!
',-".5
1'.55
c.6
c.65
C.7
, ; 75 ;. ~ 8
. \\...
\\ .
('.85
[.95
1
1
!
• \\398 ! coC39 !CoC367!C.C332!c.(;291 !('.c245! C.C'198l(~.C149
C.C1
(:
!
!
!
!
!
!
!
!
!
d) Courbes rcpr~ncntativcs de u(x,x,C.3) et de u(x,C.2
[.4)
( voir Fig. N° 27)
o
or--~--~-.-- :.a.
.......-----~-
....
...
..
..•
•
ô
cs
I~
,
v - 63
3 - Exemple 3
3.1 Données
f(x,y; t) =! (x(1-x) + y(1-y») ; h(t)=1
.n =]O,1C x 10,11.;
2
"
~
b = (0.5, 0.5) ; T=1;
d =00001.
4
Nous avons relevé qu' en prenant \\/ = 10-
les résultats numériques
obtenus sont sensiblement identiques à ceux correspondant à )/ =10-3 ; ceci
justifie la valeur ~!= 10-3 retenue.
-1
3.2 Choix du pas d'espace h et du pas de temps dit = K
Des vérifications similaires à celles déjà utilisées nous ont
autorisé à choisir h = 1
et
L~ t = 1
20
b5
3.3 Courbe, représentatives de u(0.4, 0.4
u(0.25, 0.25 ; 03L
0(0,7,0.7 ; 008) en fonction d~~_
a) Tableau d'évolution de u(0.25, 0.25
u(0.4, 0.4
u(0.7, 0.7
0.8) en fonction de K
K
10
20
30
40
50
60
80
u(0.25, 0025
0.3~ 000286 0.0248 0.0234 0.0227
0.0223
0.0220
0.0217
u(0.4, 0.4
0·5)
0.1317
0.1208
0.1166
0.1146
0.1134
0.1126
0.1120
u(0.7, 0.7
0.8)
0.1472
0.1379
0.1351
001337
0.1328
0.1322
0.1316
b) Courbes représentatives (voir fig. nO 28)
3 04 Evolution de u(x, y ; t)
a) Les résultats obtenus montrent que :
i) à (x,y) fixé, u est une fonction croissante du temps t
ii) à (x,t) fixé, u(y) est une fonction croissante de y dans
0,005
et décroissante de y dans
0.5, 1
; de plus u prend des valeurs
symétriques par rapport à y = 0.5
iii) a
(y, t) fixé on observe des propriétés analogues pour IR
fonction u(x)
b) Tableau d'évolution de u(0.25, 0.25 ; t) ; u(0.4, 0.4
t)
u(O.7, 0.7 ~~ Courbes représentatives (voir fig. nO 29)
V-G 4
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n
v
v - 66
c) Tableau d'évolution de u(x,x ; 0.3)
l.L(X,
x ; (03). Courbe :..'eprésentative (voir fig. nO 30)
,
X
i'O.C) i«(:C5,CO~
!
x ; 0.3)
0
!0.0009
~ (1 .45,O.45~ 0.5. C.5}(0.55;C.55~ (0.6,(:..6) i(C.65,C.65~ (0.7, 0.7~(0.75,C.75)i
, -
,
,
. 0.0976
. 0.1962
i 0.0976
[.0647
0.0455
(.0321
0.0220
'!
(0.8, c.8) ! (L.85, c.85)
0.0142
0.0081
0.0037
0.0009
o
V-61
o
~
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1
-2'&'"'-
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..
... le
..~Jl
....
1.:....
v - 65
4 - Exemple 4
4.1 - Données
f
= 0; h(t) = 1,9- = )0,1 [
x Jü,1L
b = (0.5, 0.5)
T = 1 ; )) = 0.0001
-1
4.2 - Choix du pas d'espace h et du temps K
1
Nous avons considéré ici h = 1
et
K- = 1
40
TOëi
4.3 - Evolution de l'état u en un point à t constant
a) Coupe de l'état u suivant la diagonale à l'instant t = 0.1
1
1
1
1
1
X
(0.0)i(0.005, 0.005)i(0.1, 0.1)i'(C.15, 0.15) i(0.2, 0.2);(0.25,0.25)
! u
°
0.002
0.008
0.019
0.034
0.056
0.085
,
,
1 .
1
i
1
;((.35,0.35)
!(0.4, 0.4)!(0.45;,0.45 ) i(0.5, C.5)! (0.55,ll.55 )
,(.6,0.6)1(0.65,0.
-
1
!
!
-
0.126
0.186
0.297
0.552
!
0.297
0.186
0.126
!
!
l
,
1
1
r(0.75,0.75 1 (0.8,e.8)
i(C.85,0.85i (0.9,0.9)
i(C.95,0. 95 r
!
!
0.085
C.('34
c.008
0.002
C'
b)Coupe de l'6tat u suivant la diagonale à l'instait t=O.5,
=r.
,
x
{o.o)
(0.2,0.2) i (0.25,0.
1
u
o
0.003
0.011
0.025
0.04,.
r
0.07C
1
1
.
i(0.55,O.55i(0.6,0.E
1
r
!
0.J03
0.148
0.213
0.322
0.619
0.322
0.21;
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\\
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....
c) Courbee repréoentativeo (voir M, nO 31)
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...
~X
f
v - 70
c) Evolution de 1.1 en fonction du teupe au point x :::: (0.25, 0.25)
!!
!
!
!
!
! !
t
0
!
0.1
!
0.2
0.:5
!
0.4
0.6
!
0.5
O.rt
!
0.8
0.9
!
!
!
1
.
1
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!
1
!
!
!
1
!
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1
!
1
1
1.1
0
1 0.0571 1 O.OnO! 0.0729 ! 0.07321 0.07321 0.0733 ! 0.0733 ! 0.0733 ! 0.0733 ! 0.0
!
1
!
1
!
!
!
!
!
!
3.4. - Remarques
1. - LeD ré::mlta tG numériqueG obtenu.., .montrent que 1.1 est une fonction croissa:
du temps.
2. - LeD divers esoais ont montré que l'on obtient sensiblement les m&nes
1
1
valeurs quand on prend pour pas d'espace h :::: -
ou
h::::
- , le pas de temps
restant égal à À t::::
1
20
40
100
1
h::::
20
est donc un pas d'espace satisfaisant
3. - Les divers essais ont montré qU'il existe une différence notable entre
1
1
1
les résultats obtenus pour /J. t
::::
20 et At:::: 100.
Toutefois ,At
::::
T05
3
est un pas satisfaisant, en effet des essais établis avec ~t
::::
10-
et
4
6t
::::
10-
n'ont pas apporté des changements notables dans les résultats
1
recueillis pour un pas d'espace
h
::::
40.
v-1i
o
0'
Ct
::....
"":
- - - - - - - - - - -
-------
()
,.
~
~
....oë-
\\
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~
\\
1-
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".fT
'-'
0
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Tf
-.
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t
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~
!
1
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1
1
•
~t
l:J
~
r
-,.c
~
-
1
:1
1
~
v - 72
v - CALCUL DE L'ETAT u PAR .'CP" V JO: - '. --,:::' -;LJ :J:~:;:Ir: TIE FOURIER
Les données sont celles de l'exemple 2.
= JO,1C
XJ 0,1 [;
Tc1;
h(t)=1;
b = (0.5, 0.5)
f = ° ;
Le système d'équatiOl1J3 se présente BOUS la fonne
'-,
,-
ç
u~ - Lu == ?:>(x-b)
~t
!
ub.==O
U(x,O)=0
\\~ X:-.D._; X=(x,y)
,._.
Les fonctions IV
(x,y)
= 1'2 sinqrjx
. l i 2 sinl'Jfx
(pti::U,
q-sN.
pq
forment un système orthonorrùal complet de fonctions propres dans l'espace
t! (:0_). (n peut chercher u(x,y,t) sous la forme
\\
(t)
,--
,..-
u(x,y,t)
= L - - apq
V 2 sinpl1 X
'J 2 sinqT1y (V .2)
p,q
on a :
<aU
',--
<
- b.u,
=
ô (x - b), w "')
( V.3)
wpq /
w
at
pq 1
pq
en notant que :
\\
ô(x - b)
/
o(x - b),
w' VI , on déduit de ( V.3)
=1
"
pq/
pq
'-p,-q--
l'équation
p,q
= ~ w (2 sint JI- sinq""'-"'-)
da
/
pq
2
2
avec a'
=
- Ptif (t )
~i',-/1--'
pq
dt
L'unicité du développemeut en série de FOURIER nous permet décrire que apq(t)
est une solution du système d'équation suivant:
2
+
( a'
+
a
(p2 + q2) 7T
=
2sinp
sinq
~
( V.5) ~. pq
pq
Lapq (0)
=
°
De ( V.5) on déterminera les coefficients a
cherchés
pq
on observe que a
= ° pour p pair ou q paire
pq
on trouve en particulier
~1
rrP
-2
':;t)
a 11 = ;2' - e
2
-107T t)
an = ~1 = - ....1- (1 - e
..
- T
,
v -
_261/;b t
a
= a
= .1--(1 - e
)
51
15
13
2
2
-34r; t
a
(1
= a
= - 1
- e
)
53
35
17 2
2
-5011" t
~ 1
a
= - 1
(1
71 = a 17
- e
)
2
2
26
_
!f t
58
a 73 = a
= 1
(1 - e
)
37
2
29
2
-821'1 t
â
'= a . = 1
(1 -
e
)
91
19
---.....21'"""
Remarque
Les coefficients apq écrits ci-dessus sont ceux réalisant p + q 10
On a :
2
2
-101'i t
u(x,v,t) = ~ \\sin T1x sin.ny(1 _ e-2 it t) _ .1.- e
) sin TT x sin3"'" y +
•
• TI" 2 .
-18'" 2
2
t
,
-26 -rï t
s~n3rrx s~n TTy + l( 1 - e
) sin3rrx sin3rr y + 1 (1 - e
) sin5T1 x
9
13
x sin n"y + sin 5""-x sinrr y + ........}
presque partout
En se limitant à la somme des termes dont les coefficients a pq
vérifient p + q~10, cet essai numérique nous donne comme coupe le long de
la diagonale et à l'instant t = 0.5 le tableau suivant:
f
!
, . !
!
1
0.05)1(0.1,0.1)1(0.15, 0.15)!(0.2, 0.2),(0.25, 0.25)!(0.3, 0.3)!
' 1
"
0.009
;
0.018
0.020
0.038;
0.078
.
0.109
.35, 0.35);(0.4, 0.4);(0.45, 0.45);(0.5, 0.5);(0.55, 0.55)i(0.6, 0.6)~(0.65, 0.65);
l
'
,
!
0.134
1
0.214
0.342
0.409
0.342·
0.214·
0.134
1
,
,
,
,
1
1
.7, 0.7);(0.75, 0.75);(0.8, 0.8);(0.85, 0.85);(0.9, 0.9)!(0.95, 0.95)!(1, 1)
1
1
0.1C$
0.078!
0.038
0.020
0.018
0.09
0
La comparaison avec le tableau analogue obtenu dans le cadre de la
méthode des éléments finis (cfer parage 3.3b)
Opporte les commentaires
suivants.
v - 74
Les valeurs obtenues par le déve~oppement en série de FOURI8R
diffèrent peu de celles obtenues par la Dléthode des éléments finis sauf au
centre b = (0.5, 0.5) où l'écart entre les valeurs données par .les deux
méthodes est important.
Au point b = (0.5, 0.5) nous avons noté que u(0.5, 0.5 ; 0.5) do~~é
par le calcul direct croit avec le nombre de t0rmes de la série partielle,
ce qui nous a permis d'avancer que u ne converge pas en b = (0.5, 0.5).
+++++++++++++++++
++++++1-++++
+++++
.. ,~-. '.
,
' . ' ' -
\\
VI
-
1
CHAPITRE
VI
------------
DETERJJ:NATIGn !lU co:Wrn.OLE OPTEAL :PAR LA IvlETHODE
DU m:J\\.DIEUT
INTRODUCTION
Au Chapitre V nous avons utilisé la méthode des éléments finis pour
déterminer numériquement la solution y d'un système parabolique. Connaissant la
solution y nous nous proposons ici de déterminer le contr81e optimal ùtune
fonctionnelle J(v) qui s'exprime sous forme d'une intégrale dont le noyau
contient y.
A)
BrunE THEORIQUE
l
- Position du problème
On considère le ~Tstème d'équations suivant:
1, 1
~~ - ll y == f(x,t)+ f.t{t)"ù (x-b)
A
1, 2
.
A
1\\1.== °
y(O) ==
0
Déterminer par la T:!.8thüde du. gradient /
Inf (J(v) où J(v) est la fonction coût: J(v) ==
lrr(x,t,v) -~(x,t)12 d"J,t,
J
/ ( '
2
v {: 'i.L= L (O,T)
\\
où y est solution faible du système
2
Zd est un élément de L (Q)
» est une constante positive
2
D. est un ouvert de ~n, n ::;. :3
f = f(x,t) est donnée, le contr81e v(t)f-:L (0,T)
== U:
est un fermé borné de D. ; b E:E et b est fixé. Q ==-Q>dO,T[ JL=rx]O,TC
où lest la frontière de Si.
Remarque 1
l'dT
-, !'"
,
,
,
,
y
,
Le probleme considere oatisiait les hypotheses du chapitre 1).oonse~uent
il admet une solution
v i...~L
II - r,~ini!!É:.s_~tio~_E?? ~_d~~a fonction coût J par la méthode du gradient.
Il s'agit en fait de déte~~ûner v ~ (itel que
V~, r=. 7f: J (v) ~ J (v)
2.1. Description de la méthode
Pour obtenir v, on considère Va initial dans [{et on construit
une suite
V 1 \\-;;. ==
1,2,.....
telle que
m
i}11 , J (Vm+1)~ J (Vm)
.../ ...
VI
-
2
Pour obtenir
V
1 R paxtir de V , on se donne une direction ~
et on
m~
m
m
cherche à rninimiser
J (v) sur l'ensemble des points V -;-W
; pour ce faire
m 1 m
on posera
V
1 =
V -
(;! rr
m+
m
m
111
Les choix de
f
et de
W font intervenir le gradient de la fonctionnell
m
nI..
J (v)
Sous des hypothèses conveTh~bles de la fonctionnelle J, la suite
considérée converge vers v qui est un minimum de cette fonction co~t.
2.2. Choix conver:a..ent s
a)
Choix convergents de la direction w.
On dira que le choix de west conver.gent, si étant donné V , il est
In
Possible de choisir W
tel que S
ID
J' (V,
W) '> 0
,m
·m
lim J t (V
W) == 0
:~ lim J ' (V
m'
==
0 pour ,toute suite (v )
ID.
.'
'
m'
m
I j
l'
t el que
i· V li = 1
. m ~L
b)
Choix converg~nt de f'
On dira que le choix de pest convergent si on peut trouver une suite
telle que
(i)
rm>- 0, J (Vm)- J (~1H1 ) '/ 0 (V 1 = V - f V-T )
ID-!-
m
m
ID
'1
(ii)
e
O.;.:...~ fim
:::
0
im
[J (Vm) -
J (Vm+1~!
==
J' (Vm' Wm)
m,~CO
m'-~CO
2.3.
Applications
a)
J (v) admet VI
== ~G:-(.....,V~m...,):--_ comme choix convergent, où G(v) représeni
m
11 G (vm) \\t~
lé gradient de J (v)'.
Cette propriété résulte de l'existence du gradient de J(v) qui est
,..T
J' (v,w) == 2 \\ (p(b,t) .:- Ydt) vr dt
.
J
,0
et du théorème suivant (voir J. cr~'\\;
[1J )
Théorème
Toute fonctionnelle J sur un espace de Hilbert, G.. différentiable et
telle que JI (v, cr) est linéaire et continue en f,
admet W
==
G(vm)
comme
m
choix convergent de la direction F.
\\\\G (vm) \\L,1f'
\\\\ G(Vm) fI-* est la norL:~ de l'a.pplication G(Vn )
b) lJa fonction coût J(v) admet r
comme choix convergent si ~1}.~2 ,~.r~ -f::
m
C1
'
' C <
1
et '
1
)
Jo
où
0..( C
J
==
J
(v , w
1
2))
2
0
m
m
Cette propriété résulte du Théorème suivant (cf
J. CE~
VI
3
Théorème
r)
Si
J' (u,
est uniformément continue en U. pour tout i ~<'U. tèl qua r ft(::::
{ /
, (
)
, (
)
1
l''1f"(
q"
{,
et si J vérifie:
J V , 'f
- J "',cf
Ll 1f V""~ 1 pour tout 'ft: d,; / Il [f ii= 1
Alors tout choix de
E tel que:
1
1
m
J
:::: J
(v, 17 )
est un choix convergent de
•
o
ln
ID
III -
Théorème (Cf J. CEA [1'\\)
On suppose que les suites 0: ) et (E) définissent respectiveBent des choix
ru
ID
"-'
convergents de la direction ':1 et du paramètre f ,
a) Si J est bornée irrférieurement et si J
(v, f';) est faiblement continue
(
en v pour tout f f:~, alors tout point v adhérent faible de la suite 0~ )
vérifie
J' (v,tf)
=
a
pour tout 'f (. 11
b)
Si J
est bornée ini\\~rieurement et si li.m J (v) = -:- fi, si J est convexe
-1
~ \\If'~ co
et admet un gradient, si d est réflexif, alors J est minimum en tout point adhérent
faible de la suite (v ) et il e:;:iste au moins un tel point.
m
c) Si outre les hyp~tlJèses a) et b), J est strictement convexe, alirs
il existe un seul point
v en IGquel J est minimum ; de plus
C1'J1 (V
~T
::::
dans ?~. faible
rl
m~CO
Remarque
On vérifie que la fonction coût donnée
/
2
fT
2
J(v,b) ::::
J ly(x.,t,V,:i) - Z,(x,t) 1
dx dt + 1;\\
, v(t) 1 (~t
I~ .
Q .
) a
satisfait les hypothè8es du Théorème de convergence si on considère
les suites
G( V )
I'
_
m
V
et
lm - il G(V ):/
li
ID!,~
En particulier
J
est bornée inférieurement d'après Hemarque 1
J
est strictement conv~~e
lim J (v) =: + 00
,r V 1i.4X)
:
1~
J3
-
ESSA:I: llIDŒRIQUE - ~.lethode du G"r~r)F;rJT
nappelons qu'il s'agit de déterli'.iner le contrale optimal de la fonctionnelle.
(T
2
J(v, b)
r i
=:
y(x,t,v,b) - Z,(x,t)12 dx dt + 1/
dt
II
!q
10
1v(t) 1
1
où y
y (x,t,v,b) est une solution du système d'équations
...1...
VI
4
~. - Dy =f(x,t} + y(t) ~ (x-b) dans Q =Q x] O,T [
c.t
il,,:;;
r
0) l~ -;. rx ! O,T L;". ,
froni;ibre de fL ouvert de [R n
,~"_,,
.J
..;(0) 3:
0
l
-
Vise en oeuyrE!:.. de la ~'létho..de .cl~G.J:'.o:~..i.e.pt
Cas n = 1,
T = 1,
.Q = ]
0,1 [
1°/ PriEoipe de la méthode
D'après l'étude théorique il suffit de construire une suite
y
1
m+
définie par
Ym+1 = Ym -
~ w
laquelle suite doit converger vers la valeur
m
optimale Y
si on prend
G(Y )
,
m
et
J o
où c
et c
sont des constantes positives et inférieures à
1,
0«02' 01<:1
2
1
et r: la
constante de IŒPSBITZ, ici N: = 2».
Rappelons que G(y ) = P (b,t) -1- y.
m
m
p (b,t) désigne l'état adjoint de y
solution de (1) pour y = y
• pest
m
m
m,Jm
solution du système d;équations (2)
y
- Z
m
d
Observons que
sous la forme
on déduit que
:~: emple.çant
G(v ) ra:: p (b,t) -:. y
, i l vient que:
m
m
ID
y
y
=
(1 - ~ )
m+1
m
l'our
Ym(t) cormu, on obtj.endra
Y ':'
en l~()terminant l'état adjoint
P (b,t)
m 1
m
2°/
Calcul de
P (b,t)
m
._---
2.1. -
roux calculer , p
il fo.ut préalable définir ,y
______ ..•. _ _..._ _ID_.__
.
ID
('Ym est nolution du système d'équ3tions
1 .. \\ )
~y _!J y ..,. -f' .j.. Y
~ (x - b)
\\JJ' : ~I)V
.
1
"jT '5
.-.
o
L'f(0),- = o
On déterminera
Y
par la méthode des éléments finis.
( cfer CHAPITRE
V)
n
. . .1. ..
\\
VI
;
Dé-:_~er!dnation de p (b, t) par la méthode <les El,Suents finis
ln
a)
On recouvre.!l par (~es n -simplexe, seSments dans le C,',8 n :0-.: 1 , trianges dans 'le
cas n ==?,
cubes dans le cas n :0-.: 3, etc.
l,es fonctions d€
bas~ sont celles ~â.éfiriies dans CT1<J:'ITRE V
cas
n == 1
1
+
On choisit le pas d'espace
h - -
-
N
et le.,pas de, temps
lit ==
A 11 înst:'llt :
k ,~\\ t, on pourra représenter ,y
par
M
k
,--
Y
==
;)T j
VI,
L_
J
j==1
,
pc,r
r-
F
k
I>': == N+1
Pm ==
/~ p.
w.
avec
ID
J
J
j:=1
La con<Utioll initiale donnée est
p(T) == a ,
par conséquent
k
c,
p.
==
0
pOUl'
j :::;
1, 2, ••••• ,
J .•
J
,.
On donne:cp.. donc ;\\ le successivemqp:t, les val~rs
O_,pour déterr:iner
...".
p de p~oche Pè1~:·,t'oche•
._,
:1',e ,'ocb,ér'2, de CJ7AlTK - HICHOLSŒJ :pé:i~I.1et de ((~i'inir p à l'inst8.Ilt n
6. t
à partir de Set valeur à l'instant (n+1) 4 t, par l'Ofll.l2tion.
r--
: r
.....
ni
\\' ';;w.
;'v.'.
(4 )
p.~
~
-~
,
l
dx
:::;
'ex'
"{'x
J \\
/;J
I.~:.-
(i;W.' .";) VIj
1
n'1/2
1 _:1:.
tL'X
/ab
+ f(y - Z ) T
Yi. dx
x
:: \\) X
1
ID
d
~
I.~
'" ~~
Nous sOL~,œs con~uits à resoudre l'équation nntriciellc Ar == G
l'!·.
;.,
n
',où
A
p =",1
Il
G
Pj .1
==
1
~. \\
flein
== '\\ a.
'\\
.
J 1
li
"
; \\
\\
1
( 0 W '
~'N. ,
1
'aveo
a.
(w.
1
dx
1
~
---1;'~: dx
~"
=
w.
+ - -
l "'S'X
6 t
)
~
J
2
'ox
,
J
ln
~~
:~
• \\
Il.
VI - 6
M
)
g =I n+1
p.
1
w. w. dx
1
+
J
1 "Xt in ~ J - 2""
j=l
n~
~ dx j
Q.
+
Em Zd)n+1/2 w. dx
~
.1.1.
Eléments a ..
~J
Des propriétés des fonctions de base ~ w. ~ on déduit comme au chapitre V
que pour i fixé, les éléments a
non nuls sbnt J :
ij
a ..
~~
=
h
1
6 L\\t
2h
a ..
=
2 h +
1
~1.
31St
h
Elément·g.~
On trouve
'.
:.:. "
'- 0
P
fy -
( n+l + 4P~+1 + pn+1 )
1 ( n+1
2
n+1 +
n+1)
)m+1/:
Pi - 1
~+1
+ ----
Pi - 1
Pi
i +1
+
m zd
2 h
n.
n
Eléments Pi
n
Pi
sera défini par la formule iterative de GAUSS
SEIDEL, à savoir
P iL = 0
:} P ,n = 0
= P~
Par suite on utilisera· la formule (5) pour i = 2,3, •• , M-1=N
L'indice détération q croit de 0 à l'infini.
n,q+1
n
Pour q suffisamment grand, on posera Pi
= Pi pour i = 2,3, •.• , N
Calcul de vm+1
Pm est défini par (p~ , P~ , ••• P~+1 ) à l'instant n
b t
on en d~duit
v~+1 = (1- S) v~ - ~P~ pour n = K, K-1, ••• ,1,0
. . .1. · .
VI - 7
Rappelons ~ue pour n = K,
= 0
J
Ym+1 est alors défini par ses K + 1 composantes (v~+1 ' v; + l' ••• , V~~1)
Calcul de v
2
1
m+
Remplaçant v
par v
1 dans l'équation (3) on calculeJr
1 puis
m
m+
m+ ,
de la m~me manière comme ci dessus.
On déduit ensui te v
= ·(vO
1
, ... , v K )
ainsi de suite.
m+2'
.. m+2 ' vm+2
m+2
'
Détermination du contra'le v
..-' .:;...-
.' .:~ el!lt E~iI; dêfin·i·tion~a.limitede la suite vm.
On ar!'~tèra"lé~ itérations de la méthode du gradient avec le test d'arr~t
'K
,1
m+1
Q
l
vJi
v j . -..
m·
j . '1"0- 3
....
j,.".=................-------~--_.~~
.
ï{>
~
1
~
Z· .·.}·v.~+1.l-
. ·.j=1
.. II ESSAI Numérique
les données.sont
..rI.. =10 ;1 [
T = 1; f =0' ;. Zd = 1 , b = 0.5) v0 (t) = 10
(contrale initial)
Pas d'espace h =...1-, pas de temps~ 4 t = 1
20
20
On se donne
V; 0.5, c2 = 0.5, c1 =0.5
('
On dé'duil 0.25 '- ~'., 0.5.
Prenons
s= 0.25
..... '
... - ,"
_.-
On obtient v
(b,t)
=0.75 v
0.25 Pm
m+1
m
2 - Test d'arret
a) Pour GAUSS - SEIDEL on a pris pour tests d'arret
) i n 1
y
+ • q+1 - l~·"q
\\
j
j=1
./
10-4 pour l'Etat
----------------~
M
D :f~+1, q+1'
j=1
~p~.q+1- p~.ql
E .... ~j=;;;.1.:..._.
_
10-4 pour l'état adjoint
~ ntfl+11
' - Pj
1
j=1
....../ ....
VI - 8
b) Pour le contrôle on a pris pour test d'arret
KI
~- v J
_ v j
~
m+l
m
Lj=o'
t.. 10-,3
- ' " - - - - - - - - ,
K
.'
.
L v~+1
j=O
3
Tableau représentant l'évolution du contrôle optimal en fonction du temE
,
t
!
!
..
t
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 .. 3
0~35
0.4
0.45
!
!
1
!
!
!
!
'!
v
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
O.• t'?.5
0.125
o.12.~
O~1?5
0.12
!
!
.
..··1
1
)
0.5
!
!
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.90
0.95
1
!
1
!
,
,
,
!
".
,
0. 124 i
0.124
0.123
0.121
0.115
C.1 08 i 0.108
0.097
0.079 i'
!
0 ~-C)46' i
0
,.
Remarques
a) Le contrôle reste pratiquement constant jusqu'a.u temps t = 0.5
puis décroit et s'annule.
b) Cet exemple a été traité par': Monsieur SAGU}i;~ dans sa thèse de
Docteur Ingénieur PARIS 1974~
Les résultats que nous avons qbtenu en utilisant la méthode des éléments fin
con cide à 10-
près avec ceux de Monsieur SAGUEZ déduits de la méthode des
différences finies.
t: . f
4 - Tracé de la courbe :;Z:t) (voir fig 30)
....
,i
~
o
o.,r-r---r-,---j--,--,--,--,--";:"'-r--.Qa-.,--,...JL
C)
..l\\J
!~
$)
01
[J
'"......
...-
G'\\
ii1
:2:
~t
0
,,
..0
~
""
f
1i!
..0
t
0\\
..0
\\C)
V[ - 10
III - Mise en oeuvre de la méthode dans le cas n ::: 2
Données :!~:p, 1 L xl.), 1Cr T ::: 1
1 0/ Principe
Comme dans le cas n = 1, nous construisons la suite (Vm+1 ::: Vm(1~~)-
.p (b,t)
.m
avec
C C:
,.
C , Pm
étant l'état adjoint de l'état y
donné par la
1
1
_---'r'""'._ ~ 5~-
:
m
M M " '
résolution du système d'équations 1,1 ,
1,2 ,
1,3
où on donne au contr81e v(t)
A
A
A
la valeur V {t)
m...
2°/ Détermination de pm
("
:
2.1 -'. -k..-+ t ~r..gle CHAIJK-NICHOLSON
-
[{est recouvert par des triangles (voir fig. 4, chapitre~V). Les~onctions de
base 1w. rau nombre de M sont celles définies au Chapitre V.
1
.
1
( ) 2
Pour pas d'espace
r
h
::: l i et pas de tempe t1t
a
K' on a M = N+1
A l'instant k. ht
(k(l~) on pourra. représenter y par
.,-.'
1'1
k
k
.
wj
et p
~
y
:::
i
y ..
par
p
:::
"-J~ Pj wJ
! . - -
J
<J..
.
. ..
La condition initiale donnée est peT) = 0,
T :::
K 6t
J
donc
k
Pj ::: 0
pour j ::: 1, 2, •••• , IvI
En donnant à k successivement les valeurs K-1, K-2, ••• ,1,0
on V.curra déterminer p de proche en proche.
A l t instant (n+1 ) t. t l'e schéma de CRANK-NICHOLSQ!lT donne l ' équation
t=~. p~ J1.- (W w.
i
j :: 1
J l /).t li'!
J
.
~
= [(Ym - ld)nt ;; '1i dx dy + t:,
/:"L.
Ceci nous conduit à l'équation matricielle
d
d
+ t 1"( i\\wi ôwj
'in ~wj)d x dy t"
X
Y
-
+
_
....
:.Q.
-..~
';)11
C) Y
(:; Y
( ..__
.
dy. - i J( .~wi·
J;:j
.
+~~r~!i')dx'
/':L.. :-:,.x
'
:< y
~y
dy +
Les considérctions du chapitre V donnent pour éléments a.' 1: a
. J
2
h
.. ',.
a ii_1 = 12Li t -.~ = aii+1 = a ii+(H+1) = aii_(li+l)
2
2
a.. -T
h a . . >.T
a,.
h
2'
11-11 =12 4 t
= 11+~
11 = '2}3 t
+
Eléuents g.1
On trouve (voir chapitre V)
2
h
n+1
n+1
n+1
'n+1'
n+1
' .. ,n+1
n.+1
gi =
-12A t
Pi-(N+.1) +Pi - N +
Pi-1 +
6Pi
+ Pi+N
+ Pi+N'+ Pi+(N+1 )
n+1
n+1
n+1
11+1
+ , 5
Pi-(N+1) + Pi +1 + 4Pi +1 ,+ Pi +(U+1 )
id 11+ .!.
+
(y - z.)
2
w. d x dy
m
J
1
..Jt
.
n
Elcnent p,1
p~ sera défini par la fOrLlule itérative de GAUSS-SEIDEL, à savoir
1
"
n,q+1
1
{
.
n,q+1
n,q+1
Pi
= -
- a"
(u 1)
n,q+1
a .. H p. ,,.
-~,. 1
P-l_
au
11- J.~+
Pi-(U+1) -
11-J.l
1-J:~
11-
~ 1
n,q
n,q
n,q
n , q }
(2)
- a ii+1 Pi +1 - a ii+N Pi +N - a ii+D+1 Pi +N + gi _
n
l'
n,q+1
avec q = 0, 1, 2, ••••• ; p.
=
l.Ll p.
pour i = 2, 3, •• •• M-1
1
1
q -4-<0
n
n
p. = a et P-:'![ = 0
1
r.
DétenJ1nation de'v
p
étant défini à l'instant nt:>. t
par sesM composantes
ID
n
n
a
1
(p , P , •••• Qn),' 'v»"~~1 est alors défini par ses k composantes (v
, v
1
2
I1
·r
"",.
m+1
Ill+1, •••
k
vm+1)
obtenu en faisant successivement n = K-1, ••• , 1, o.
On détermine comme au cas n = 1,. v par un test d'arrêt.
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