THE S E
présentée
A
LA
FACULTE
DES
SCIENCES
DE
L'UNIVERSITE
DE
PAR
1 S
pour l'obtention du DOCTORAT 3EME CYCLE
SPEC lA LI TE
1
Mathématiques StatiotiquoB
Option
:
Phy.lque Mathématique
par
Kr
0 V E DRA
0 G 0
Albert
Sujet de
la th~.e l
"PROBLEn
INVERSE
DE LA DIFFUSION
ET GENERALISATION DE L'SQUATION DE MA'lCHENKO Il.
Soutenue le t 19 Juin
1969
devant la Commission
Pré aident •
Jlcnsieur
SOLBILLm'
Professeur
Ixaminateur.
1
J. L. DES'l'OIlClŒS
PrOf81!1Jeur
VIlY DIl CllAB
Docteur es SeienceB
00000

---

PREFACE
AIf!lARTSUId1AlI •
été 1. pr ••J.er à 1ntroduire la notion du
probl~m~ inver.o de di1fu~ion ell 192g e
Lei prémt~re. r~eolutionB math~matique6 d\\l probl~me
inverse appareis8ant ~n 19~7 avec FR0DBERG ~t HYLLERAAS 1 oee
derDiera ré.lisant un developpeoent formel du potentiel V(x)
l
l'aide de III fonc~ion de phaRe S, mels o~ttQ m'thode se
révèle imparfeit~.
En 1949
BAnaMANN eeBBiM
snns succè. dWappliquer 16
1
notion d\\1 problbrne lnv~r8e ~ unu clasDe pnrtlculi~re de poten-
tiE.IE\\ ~
. Les aolution. * co problèmA ont eté établie. aveQ rigueur
en 19~1 par GIU..FAND:
LEVITAN E't JdARCHENXC ..
Les r~8Ultat8 mathéDlAUqUG8 n88 travaux de GELFAND il,
r..sVITAN ont été dé ve l.o ppé e pn r
Ja'::;T~ KaHN et LEVINSON en 1953.
P1UBieure aDpüotv do problèae inverse oat été OOD8id.r'e
et raSoll1B p ar- de e uu t e ur-e comma BARGMANN.
AGRONOVITCH, oœo r
IRE IN,
.. ~ ...
Une liste df~~vrng03 conc~rnant 10 probl~me .1nvoreo Bera
don néo ~ la fin de cet~8 analY~~.
Qu l i l me ~clt p~rmis d'oxprimer mas profond. remorcie.ent8
~ Mon~leur 10 Vroi~seGur Jean Louis DESTOUCHES qui a bien voulu
mla~cueill1r dans 50n l&borntoire et auprès de qui j'ai obtenu
llai.do morule ut leB encoura~ement. n'cee~aire. ~ lB poureuite
dG me! travaux.

---

-
1 -
PROBLBIIE
Inverse
de la
Dittue10n
-:-=-:::-:-=-=-=-
GBNERALISATION DU PROBLEME DB
Al INTRODUCTION.
Equation radiale.
Conald'rona un .y.t~me non relativiste de 2 partioule. en
inter&otlon 1 8yetème dans lequel 1. potentiel aépend leulement
de 1. positiOQ relative 4eB 2 corpe en pré.en~e.
Si noui 8UppoQons qua les particul~• •ont .aal .pin et que
1. PQtenttel .at laotropie,
le 8ystème peut 8tr~ décrit par
l"quation de SCHROD1NOkR.
oxpr ••• tou où x a'.igne 1. distanoe de. a corpe
M = mlma '
,
m +m
1
2
-1 et 8
'tant
3
1 • • • • dI88 dei 2 partiou18.
repré.ente l"ner-
.1e du .Y'.~.B, U le ~ot8ntiel
f
v C,,) =
UC,,)
1
'. . . ,p-
L'équation de. SCHRODINOER devient 1

---

2 -
Conlidéronl pour (12)A u~e sQlution de la torme
, portons cette Iclutlon dans CI2 )A
x
13 A e.t appelée équation d'onde partl&lle ou encore ôquattoD
rRc11.1e •
....e.. 81t un e në a e r- r enr-é ee ne e ne 10 momGnt cinétique
II
POSITION DU PROBLEME.
Rappelon. quo l'amplitude do diffuBion F (kt
COI
) vaut
.-!
~~ (2n+1) [st(kl_l] P (00.' ) = F (k, 00.9)
n
0:::0
t
.
B (k) de'igne la fonction dG phaee.
La .érie étant suppooée convorge~te. on remarque que 1.
oannaia.anee de l'D~pl,J_tud~ de diffusion donne la fonotion
e
cle
phale S
(k).
On uLit détorm1ner e n Mooanlque qu an t f.que
l'amplitude de
dttfulton l
partir du potentiol.
Le problème
inverse de la Dittulton est oelui qui conailte
~ d'duire le ~ot~lltiel ~n partant de Itamplitudo de diftugion.
En 19~1. MARCHENKO et LEVITAN donnent une lolution du pro-
blime POl' en coneid'ran't tous 1e8 deux le oaB
t = 0 (sy_t~.o
san_ .o.ent cirlétiquû)
1 108 deux mtSthodes utilisées ne sont pal
toutofois identiql1e8~

---

KARCIŒNKO Ile aert de 1_ fonction de phasll1 S (k)
LEVITAN utilise pour Ba ré.olution la notion de la tonotion
speotl'a1e.
JOST et KOHM' Ifén6raliae la G!athode de LEVITAN
Bn ~~al.
au oa&
"\\ f 0
r il.
trouvent une formula
aoalo«ue à l"quat1ou
de LEVITAN.
Bn 1933 LEVINSON gén6raliee auas1 plusiours aspeots mathé-
matiqu •• du problèmo
Inver.e.
Ile ba •• ut Bur le. travaux etteotuél par JOST,
KOHN.
LEVINSON
et pRr Ie8 auteura comme NEWTON (IgeO) PADDEYFV (1963)
J ALFARO
et REOGB
(1gee>
J
j'a1 dégaQ'6 une formule qui gé1'l.ér8lio€l
l'équa-
tion de WARCHENKO lorsqu'on Re pl&c8 dans certaines conditions.
Auparavant je vai$ exposQr b~ièvement la méthodG
de
llARCHBNKO.
a)
EQUATION DE llARCHENKO •
l
Cal particu..!.ier
SI e= d, l'équation (I
devient
3'A
g + Q<2 _ v(xii~ (x) = 0 (I,)!!
dx
J
8
est appeloe équation d'ondee 9.
l
Il
Solutions de lléquaticn dllf0rentielle (I1)n
Ou démontre que (1
admet oom~e ~olution le lonotion
1)8
intégrale euivante 1 ,.-x
~
81n
=
kx
+ Jo,·1n k(;'(-y)
~(k.Y)
(k,x)
V(y)
dy
v'rifiant
k
k
f'f(ktc):o
~;(k,O)= l
(11, )B

---

_ 4
~
de m'me
---------------_.- - - - - ,
""
t(k,x)= e i k X + (
81n k(x_~~
}x
Vey) t(k,y) dy
k
et antisfaiBant ~ la cobd~tlon
I1m
-ikx
f(k,xJ
= 1
x _~,\\-ob
"
III
Fonctton7
Aex,y) et Potentiel V(x)
MARCHBNXO introduit la fonction
A détini_par
..·lkY
r:~(k'X)_.1k~
Aex,y) :;
dk
•
avec
A(X,y)=o
.1 x
y
A l'aide dos
tr~nBtorlnatlonG math6matiqueB 11 d'duit que
l
A(x,X)
(00 V( 6)ds
_ 0
2
lx
IV Id69 de MARCBENKO.
Si par un procédé ~nthé~etlque on nrriva1t ~ dét0rminor
11oxprc!88101ll de
la
:':'onctio!.:.
A(x,y):
i l
lIcra.1t
alors aioô de
dériralr A(x,x)
orlee à ItéQuatlon (111 2)8 on d~dulratt la potentiel V(x)
V Equation de MARCUENKOJ
:Poursuivant
Bon r e t e onn aee n t
MARCHENKO mon t r-c
que La
~o;..;c-
t10n
Aex,y) suttefait ù 11~Quatlon intégrale sulvnnte C
r .-,a
F(x+t) +)
F(x+y)A(t,y)dy=A(ttx)
x
)
POUr:-:
t

---

- e -
'quatlon oÙ
1
F(x): -
El Lkx dk
Sa
211"
a
lorsque k Elst complexe J et où
l
F(x):
El Lkx dk
lorsque k est r~ell.
2
Les Sn sont des oonstantes de normalisation.
VI
Remarques.
1·/ L'~quatlon (V1)B Elst une équation de VOLTERRA.
Il a
été
domontré quo F(x+y) est d0 carré intégrable et qua l'équa-
tion bO.IDoR'?fne~
J:
f(x)+
F(x+y)dy: 0 n'admet pas ds solution 1 ou réaultat
permet de d~dufre que (VI)e admQt une ~olutloD ACt,x) en vertu
de l'alternativo do FREDHOLM.
2-/ MARCHENKO r~pond par c~ttD méthode au problème lnver.e
de 1~ diffusion.
Il Buffit on effat do oClnnaitro la fonction de pha •• SCk)
pour doterminer F(x)
; donc pour s~vclr llaxpresslon de A(t,x)
à l'aide de l'équation tnté«rale (V1)e
expression qui permettra
t
en définitive de calculer 10 potentIel.
3°/ LEViTAN procède autrement et aboutit à l'équation
int&«rale 8uivanto •
t
~(t.X)+)o K(t,y)Ç2(y,x) dy + K(t,x = 0
(VI1)a
pour x < t

---

- e _
expr ••• 1on où
iL
(_+~Do
(t,x) =
cP
)
_ ,
(k,t)
'e>(k,X)
'tant la .olut1oQ de lléquation différentielle
o • • atisfaisant à
~
~~o)
(0)
= 0
= 1
(B) étant la fOQDtlon 8peotrale,
faCE) sa valeur pour V(x):o
LEVITAN
·d'duit
la fonotion potenttelle à pertir de llexpresD!on
de K(x,x)
4 0 )
J08T et KOHN "n'raltlent cette méthode et trouvent
l'équation 1ntéwrale suivant. 1
~t
2
e
12 (t,x) +\\: K(t,y)Çl (y,x)dy+K Ct,x)=o
pour x<t
(V 1 )B
2
!.
.ft et
.l- étant ·,les fonotion. ascoo1éoa e u mOJ:3o.,t
cinétique du .,stèlDe pour la valeur e
•

---

- 7 -
GBNERALISATION DE
L'EQUATION DE KARCHENKO
lorsque
o.t)
(
e
o~k
>0 1E)
r •• l
,
ÛV(y)! dyZ... ' 10
l
Préliminatre •
1°/ Pour mon raisonnement.
je vais Buppoaer d'sbord qua
B et k Bont des variables oomplexee liées par la rclfitton
2
k
= B •
~Ol On posera k = B+ lb. en supposant b~ 0 ..
q.O
3 8 /
On suppoeera au •• ~le potentiel V(x) est
-réel
-détint
et continue pour tout x» 0
-hm::DV(x)=o
II Solutions de l'Equation Différentielle (13)A
Déterminons 2 solutions de (I
quo nous ~'sleneronu p~;.'
~t
3)A
.t
(k,x) et
~
(k,x) vérifiant rospoctlvement

---

-
8 _
a
lim
(.eH)11
~t (k,x)::l
x-4 o
x(+l
b
lim
-ikx
0
:t e (k,x)=l eve e
x~oo
(2 t +1) r r = lx3xr!Sx •••
Jl.'~+l
IDe
t
Cherohons
'(k.x)
et
t
Ck,x)
BOUS les
formes
suivantes
,ot
.ot
+ (X
e
J
Ck,x,y)
"'
(k,x)= '"
(k,x)
~ek,y)Vey) dy
o
e
ftek,X)=
[t ek,x) _ [00 / (tk,x,y) f ek,y)Vey)dy
aveo
l
~ ri
.p~~<l~e
of
.7
J
(k,zt-Ci k)
L'a (...k,Y~;-t,~k,y) 60 (-kX~
. f
e
~oek,X) ot t: ek,x) ropré.ontent 10. solutions do l'équa_
tion différentiolle
suivante
J
y
+
exl = 0
y
En posant x
=
k
d
+ •
-
- + l -
y
dy
avec y = kx
(lII
Gst l'équation bien connue de BZBBEL,
admettant
3'AI
l
pour solutionS
le8
fonctions
je (kx) et he(kX) dites reBpootl-
vement
fonotion
sphérique de BESSEL et
fonction
de HANKEL de
première e apèce ,

---

-
9 -
Nous pouvons
prendre comme
solutions ~e (II)a~AI les
fonotions
-
Ift (k,x) .2-~;r, J (kX) et
-
t+l
t
o
k
1+1 r
1
= L
,,); ht (kx)
~l (k,x)
o
1
En vertu des
propriété. des
fonot10ns
j~ (kx) et- hf (kx)
00
dédut t
q1Je
1
.
t
e+3 )
I1m
~o(k.X) = A.-r--- + oCx
1]
Hm
t
.1kX
[1
f
(k,X)
=
+ oCi)
o
Nous remarquons alors que
définies par
réalisant
~
Hm
'f (k,x> = 1 et
.. lkx
t
Um
e-
f
(1I.,x> = 1
x-,l 00

---

-
10 -
1°) Montrons que la série de N~UMANN assooiée à
est uniformément convergente •
.of
E(lrivone
,
(k,x) eous la forme
~t(k.~) =~ ~D (k.~) avec
n
t
~(k'X)= ~o (k,x)
(k. x)
::.:
Montrons que 1
n
bx
•
ni
expres.ion où K est Une conatante poeitive et P(x)
une tOD(ltion
de x que noua préciserons.
ft
La proposition eet vraie pour
n~l
A oaua. de. 21 oonditions au.x li_1t..
1
On démontre en
C\\A'
analyse qulll est posyible de trouver 2 constantes positives
Co et Cl dépendant seulement de l'entier
e tel Que 1
bJl~
•
b~
e

---

-
11 -
11
vient
Que
ft
' - - \\
t
, 1 ll~
1 1 C
"
\\ t. <-k,yl\\ +\\'(
(k,y)l
\\ to(-k,yi;
,
"
\\
\\
0
~'
y
Puisque x ~ y on a
bx
-by
C
u
y
1k\\ r
Par .uite
y
-
dy
1+
\\kl y
Posons eH
("
y
K= C
et P(x)=
J...
dy
o
1+Jk!y
~ 0
Cela permet d'écrlr~
P(x)
C.Q.F.D.
Montrons que sl
la proposition est vraio tl'Ourll;ello ost
vôritiée pour n+l.
Soi t
I\\(
b x
(k'Xl\\' /
K e
\\
n
~

---

-
12 -
00
B
1
\\Y,
1
1 Ml
~X
(k,X)I~
!} (k,x'Y)1 \\1.1 (k.~)l 1Y(yl\\ dy
\\ n
1
D'après ci-des.ua
1
e
\\'f.(k'Yl\\ ~
~
j +1 (p(rD n
K by
Y
et
e
l+lkly
ni
_e,
e+1
\\ t
(e+1
J
C-<
bx
-by
(k,x,y) <l
1
•
•
(l+ikl x)
X
~+l~ ~
e+1 c-tX Lly (xli ,
c
,-
X
0
1
1+ Ikl y
ln
t Y(tJ
dJ dy
l+ k t
.1
(
ni
f+1
b x
l!>(yiJ n
"
Ke
dP(y)
0+lklx)
f0 ni
b X
{»(xlJ n+1
X
o 1
= ke
e+
(i+ik\\X
C,.Q.F.D.
(N+1J 1
Per cona'quent 1
n
G(x>]
ni
y
1y (y) 1 dy <al
Notons que nous
pouvons écrire
------,
CD
1
-~
2-\\~(k.X) \\ < bx
S
e
( x
)f+
1 +/kl x
n=o
",1

---

13 -
QVCC
s = KC +1
o
Conclusion -
ff f(k,x) cat uuito~~é-
ment convergonto.
r
r
D'npr~B ln tbéorie des ~QuatlonB IntéJr&lCS
(k.x)
dofinie par
(111) A' est solution unique de cotto ~ç~atlon
ct c~t per Buita oolution de IléQuBtton dl~f6~Qnt~ollo
pour lB condition
t
'f (k,x) = 1
x _ o
.
e
Par un rr:iElonnament a ne t o t-uo on vo;,;"ii"ie quo i
(t(,x)
d.flnie par (112)A'
est Rucn!
Boltltion de
l'équation diff'-
rentl@lle (1
po~r la condition
3)A
-ikx
t
11m
a
t
Oc,x) = 1
x -? 1XI
2°) Cons'quencee _
- 0) Théor~me de Poincaré _
Considérons lléqufttlon dlfforentlo11o suiv~n~e
r~~port ; ce para~ètre.
Doolenon8 !'Jar
~(x. l'l) une eoLut t on do l'ÔÇ;1,.lc.tlon
<11 f l' 6 r-en t 1 0 Ile
0· réalisant u ne o ond.t t aon do r LcLecn
indépo.nC!ante de
'L en un po Ln t; ordlnt.lro
?\\
2
di ra que
1
lim
(x-c)
'E(x. Il) existe
x ---.-j c

---

-
14 -
i)
Alors It!. solutIon
(x , ~ ) de 11 équetlon
fnnction ontior:! ~e '\\. pour t o u t e v eï.e ur- fIxée (0 sc ..
Posons X.
(x, k) = .2
t<l+l)
-
V (x)
x2
!Jo).n .
on voit ~ussltat ~UB 10 poiltt P (x=o) Got un
,
..
':lro:Hnaire,
rle
ph~s
(..
lf <k.,.) = 1 Br.t vr-o 111::.180n
Incto~Gndanto do k •
(f
1) 1 Q9rô.
10 théoJ"i3l1lc cl-deoBulf
(J;,x) e o e entière
par rapport n ln v~rlable k -
t
b)
E'1.
é c r a vc e e
t
(~,x) soue l~ f~rmo ('~n~ corio
de Heuillann
=t:-
Fn (k,x)
Clvec
n~o
F
Ot,x) ~ t
(Ic,x)
et
0
0
Fn(k,x) = ç
l- (k.Yo,y) 1o""n-1 (k. y) V(F) dy
on montre que
t
@ 1
/
(J(.x)
A ...bx
~ e
t
f t
1.'
1+
1 x
) avec
Ik \\
x

---

le -
A= C;: e x e['li)
On con.tate Bans peine que chaque terme do la série
(Fn)
eet BD.lytique par rapport à k dans
le demi
plan
Imk=b>
o.
Comme la série eonverge anltormément.
t
(kt~) est analY-
tique par rapport ~ ~ dans le demi· plan Bup~rieur.
3°/ La toa~tlon intégrale.
,
t
e
J
(-k,x,y)Vey)f (-k,y)dy
est aussi
Rolution de C!3)A réalt •• nt la condition aux limites
t
lim
t
(-k,x) = 1
t
III
Relations entre le8 fonctions
f
(k,x)et
e
t
L. vronekien des 2 fonctions
t
(k,x)
et
t
(-k,x) vaut 21k
t
~
-t
e
{
e
. ( f
(k,x)
r f
(-k,x)
_
fi
(k,x)f
( - k , x ) - f
(k,X)tt
(-k,x)
::: 2ik
Le vronskien de ces 2
fonotions ost indépondant de la
variable x
1 Il suffit dono de vérifier lB proposition pour
une valeur quelconque de x
•
Considérons
le oas x ~oo
t
dons
co COB on peut prendre
e-
l
t
(k,x)
= Ck X
et
f
(-k,x)
=
-ikx
e

---

-
16 _
on vérifie que
I1m
1 e
~
l
t
)
~ft (k,x)f (-k,x)-f (k,x)f' (-k,x)
x-><X'
+ ut\\. e'~"- ".'~;L =.z.k
2°) Proposition 2. Pour k réelle.
on a
1
l
-~-T-~----t---- t
~
e--i
r---
____
~~k.X)=
X'~}
t
(k,x)M
(-k)-(-1) f
(-k,x)M
(k)
.
21k
\\t" ,
1 avec
1-
..,t
e
1 •
M (,..) =
Cia)
w \\l(s,x), t
-
( I l l
)
2 A'
(
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - -
1
Démonstration
•
~
n'après
le
théorème de POINCARE U(k,X)
est
aussi une
fonction entière de k 2 ,
il
s'ensuit qua
LO~
rD~
,
(k.x) =
"1 (_k,X~
dcnc
~,"-
If~
i
(k,x.)
=
(-k,~.l~
t
11.
Tenant compte de a é g a l i t é . @ et remplaçant 14 CId et
M (_k)
par leurs valeurs dans
le
seoond membre de l'ogBlité
l
-
X ?:ik
21k
3· )
Proposition 3.
Poilons
ft
t
0
(k,x)
= 1IIf
t
(k,x)
et
,t
t
(k,x)
.JL
t t
(k,x)
= Ox

---

-
17 -
Alors
.t
t
'1
C
(k,x)-f (k,x)f
(k,x)=2k
~t (k.t~ 3 ~t
t
....
1---
t
-"/,;--0
(0<>
e
1"
f
(k,x)
t
(k,x)-f
(k,x)f
(k-:;>=4iab)X
If (tc,t)
dt
L--_ _ - - - - - - - . - - -
.
_
:rtCk,X) vérifie l'équatlon différentielle (I 3'A J dono
t
t
e . t
t
0- fil (k,x-) + V(x) ; (k,x) + {( +J) f (k,x) = k2 t (k,x).
x
Décrivons l'oquatlon
i
par rapport à kt
il vient
0> ,e
t
1(e +l) ,f
1
2 ' e
i l
-t'II
(k,x)+V(x)l
(k,x)
+
f
(k,x)=2k1'
(k,X)+k
::
(kJx)
x"
17\\
f.:"\\
• t
t
Multiplions
U,.J
et~; r e ape e e Lve een t
pDr t
(k,x:) et t
(k,x)
et additionnons membre à membre les équations aln81 obtonu~8 1
on
trouve
1
'II
,t
t
J.
e
r g
(k,x) f t l
(ktx)
-
f
(k.x) f
(k,x)= 2k L:.
J
(k,xh
floit
~~
e
t
, !
2
.s,
f
(ktx)
1/
(ktx)
f (k, x) t (k,x) .. 2k [f t(k.X)]
~k
-
t
-bx
Notons que 81
x _·~oo, f
(k,x) ~ e i a x
o
aveo b> 0
dono pour b'.>o
1 t..€
(k.x)~o.
Do ltéquation ci-dossus je peux donc déduire que
:
,i
l
t
.e
f
(k,x) f
(k,x) -
f
(k,x-) i
(k,x)= 2k
LX
(!e(k,tiJ
2
~t
(III
so démontre on cone!darant loa 2 équations
suivantes
4)At
Q)
f//€(k,X)
+ V(x)
2
:
tl<,X)
+ $
l (k.X)"k f .t (k,x)
®_
x
-i~··
E(e+l) T -
2 7"""---
fllt(k.X) + V(x) f
(k.x)
+
2
f
(k,x)=k f
(k,x)
x
~
e
Olt
multiplie
Co!.) et
respeotivement par f
. (k,x)
at f
(k.x-)
Après
soustraction membre à membre de ces 2
nouvQlles 6quatione
ot remplaoemeut de k
par a+ib,
on obtient
1
I f
--r-
-le
e
f
(k,x) f
(k,x) -
f
(k,x)
f
(k,x) = 4iab

---

_ 18 -
IV
Propriété. de la fonotion .,}
(k)
~
1°) Proposition 1.
'1:-
Si k est réelle, W (k) = e
11
(-k1
Démonlltratlon
on a
1
y - -
e.
"k , f (k,x) = f i-Tê,x)
(h)
V k
• r(k 1 x) = L~ (tr,x)
(h 1 )
En effet .1 x
est
réelle,
la relation
0 sl elle exd ut ë
est indépendante de x,
il suffit donc de vérifier qu'elle est
vraie pour une valour quelconque de x.
Considérons
le cas où
x_~O)
lim
-lax
-bx
(k,x)
;
de
m&m8
•
•
x-l'D
lim
e
f
(-lr,x)=
,
d'où la proposition
(E).
l()~
De
même
on vérifie que
\\ (k,x) lorsqu Ion fait
tendre x vers zéro, ce Qui
e
Rappelons que M (k) =
et que si k est roello
k :::: k.
En Be servant des égalités (fi) et @
et du fait
que
t
l
.
<.1? (k,x) =
~(-k,x), on obtient .ans peine l'égalité
t
e.
M
(k) = M
(-k) lorsque k est réelle.
t
11
(k)
ne peut s'annuler q~e pour un nombre fini de valoura
kn = 1
aveo
~ ft
Sn>o
et (n;:; 1,2, ••• pl.

---

-
19 -
;
"
...
-,
.. ,
Déllllonstra'tion •
t .
Il
(kn )=0
~ kn= ibn '1
-~
Le _ronsklen dos Z fonctions
t
(k,x) et
solutions
d.
(!3)A e8t indépendant de x ; cec! permet d'écrire
~
e
t
r4?t
1:
l
Il
(k)
= (-1)
(H)
Wl!.(k,x)
; 'f
(k''';J
= (-1) e (lk)" Hm
e
''''
f
(k,x)
onYtlra que
x-;o
I1m _
e
t
(k,x)
=:
x~o
Supposons 1I~(o) ~ o •
Cette hypothèse
ne modifie pas Le
généralité
e la pro··
ë
position; elle permet seulement un exposp plus simple
t
1im
t
11
(kn) = 04'~
t
(k n , x) == 0
;
po s on u
x~o
Considérons la relation (III 4)Af
et posons
l
e~---'
-1
-
o (k,x) == f' (k,x)
f
(k,x)
-
fi
(k,x)
t
(k,x)
{
,CX'J
e
2
.41ab
),,+00 1/ (k.t)\\ 2 dt; dono ~~"o G Olô,,)=41ab! \\t(k,t)\\ dt i
o
,
on remarque &ussit&t qlla
si pour k =: kn
:0
o~
/(kn.X) =
::moGe(kn.X)= O=410nb n('\\/(k n,t)! 2 dt
Par oonséquent
2
Il' (k
= 0-'41a b
(00 Itt(.,
t'I-
dt
n
-,.
n n
Jo
-
0
1
"n"
t
Mais
+0 ;
:f
(kn.t)
dono
Mf. (k
=
n )
::;: 0 -=? 8 n=: 0 ou .. j ba.
0
n
U:ontrtlns
quo lit (kn) = 0
ne peut
avoir liou quo
01
On = 0
En effet si b
,
,
n == 0
~'t serait réel~ • on auI t quo dans oc oas
Il
(knl = l ( - k n)

---

-
20 -
D'aprê.
011
on aurait
r
2' A'
~ t .
e
tt<kn,x>= 2~kn X
M
W.18
I1m
= 1
ceci suppose
x--~ 0
(,)t
"\\(kn,x)
+ 0
t(k
donc II
n>=O
Le. valeurs complexel k =1~
réalisant
n
. "
sont en nombre fini. t
Rappelons que U? (k,x> Olt une tQnction entière de k et
quo
-»>
f e (k,x) est analytique dans le demi plan
0
on
0"
oonclut quo
Mt
i
0
(k)=(-1)
(1k ,,-
W
cl
,
~, (k.x) 1 f
(k,x)
o.t
an81yt! que dans
le
demi plan lmk>
0
; donc on particulier
• ur l'axe réal p08itif des imaginaires pure •
e.
De
l'expression de M
(k) on peut déauire que pour 1k 1-;:.. CD
(k)
= 1 + 0 (l)
S 1 h ~ + CD t
f k\\ '--7 co ; par conséquent
Mt Ob) = 1+0(1)
.Loe s que
b -~ ... 00; ce 'résultat signifie
que sur la partie positive Je l'axe des imoBinft!res purI
Il
(k)
~e
Co •• e
eet analytiquo Bur cette partie de llaxc.
on
déduit qu'il ne peut s'Runuler que pour un nombre fini
de tois
~,,<t.
.ur ce~xQ
C.Q.F.D.

---

t - 21 -
v
Relation.s entrl6
Cf (i~nIX) et fi (1~ n'x) . ç é eerrc
, l.) n
un zéro de Y. e. (:ho) •
~
- -
-_._~----,
e+l
t
ç t+1
Ci:i.t
t
(1ç.
,xl:= (-1)
21) n
\\
~ n e c
(V 1 ) A'
Il
(-1", n)
-=-"'-__ ----__--:1
Pour' k complexe
on montrerait
que
(III
o l ' o r i t :
2)AI
lOt .
~
1
e e
e
t
t
-
'"
(..1.)
(k~x) = -
X
!
(k,x)U
(-k)-(·l)
t (-k,x)'M
21k
1k
Pour k = l~nl
= 0 ~ ~1'.(1~n) = 0 1 dono
e.+1
{ r
t
X
0 )
f
(1)
,x) Il ( .• 1
~~1Sn'X) =
n
d,'où
i+1
(e+1
/- (15
(-1>
X 21 ........' n
n'x)
=
Il
(-15 )
n
2·) Proposition 2
•
X
• t
(..'!
Il
US )
n
=0

---

_ 22 -
~
exprB".1on où
f (1S • X)
n
on obtient la relation (V2 )A ' en oe servant de l'~Qu<lt:lon c1-
desBUs de l'égalité
(VIlA' et du résultant fluive.r.t
t
e.
!l.
:t
li
(1 Sn) =Sn
Hm
x
f
<15 .,,)
x
0
'(2E -1) 1"1
n

---

-
23 _
e
B') Fonction A
(x,y) et Potent1el V(x).
I)
Introduction d'une fonction A~(x,y).
on peut
é c r-Lr e
f ! (k,x) SOU9 111 forme
~ r
1+lk'"
MCkx) I<C
k'y
)
où C est une constante (voir connect1on bntween the S-matrix
and TenDor Force de Reger Nowton)
FOllona
[ ('
h(x,y,k)::;:
f
(k,x) •.
M(-!{y)
::;:
h(x,y,
a+ib)
puisque k=a+ib
1°/' h(x,y,a+ib)('~(-<:0, +.00) pll.r rll.pport à In variable:! roelle a.
Rappelonll QU(j
\\ V(y) 1 dy
(voir page
)
(voir pa ge
)
fi
\\V(y) \\ dy
V(y)\\ dy
e- b y
< -bx
e
Pour x<.y
"
on ft :
'\\ ,e
J
(k,x,y) \\.r-
' c
.e+l
o
-by
"e
(voir pago)

---

_
24 _
dtDprès ci-dessu8
.1
e.l
-.e- x
( y
1+l
te bx -bx
0
1
(k.X.1>I~C.
Cl
x
/ x
l+\\klx
1~
L+
11
kl1
0
Boi t
1.
-€
< f+l
x
1 J
Ck,X.1> 1
Co
Cl
1+\\.kl x
de- môme
') -;; -b1
-bx
1
( x
:r.e.
11
~Ao
6'1~ ~1+\\k\\X)
0
dono
C-f
o
~~l_.t
-bx
x
l
1
l+\\klx
x TkI~
-f+
-.-f -bx
l
0
C
C
-0-..,...._
o
1
\\ kt
Par suite
\\ fiCk ,x >-f!Ck. x >]
s r je pOSe SI ::

---

do
o
e.vao
2
n =
C
(c1ost donc une constante dépendant soulement
do
f).
Lttntéerale du second membre a8t convergonte,
la
proposition est donc vérifiée.
2'/ S1 \\k\\ -" +00
•
L'intégrale du second membre deslgnae par
®
00
oomporta
-2 bx
comme e
pour
1k 1 assoz ffrand et tond vers zéro.
Ll1n~égrDle du premier mGmbro sera Busai nulla pour
-2bx
{k\\":'+OO, c'est. à dire qur e
e
tend vers
zéro avec
e
ï
â
on peut donc dire
1
. _.
2
-2b"
fjt.e<A+1b. x)_t!<o+1b.,,) \\ M(-a-1b,y) dD~ 0 (0
)
\\
\\
pour
lk \\ Basez B'rand
3·/ Enoncé du théorème'de TITCHMARSH et oonséquenoe.
La
relation •
....!.... ra>
-iay
h(x,a)
0
da;:;o
2IT
.-
pour ":> y
Bst uno condition nécessairo et suffisante pour Que

---

-
28 -
b(x,a)
=
lim
h(x,
a+1b)
nveo h(x,n+1b) analytiqua dnnS le
b...,.. D
dem1 plan correspondant è b» 0
et
I l ''''
2
~:_o'
2 b Y)
.
<,
h(x,s+lb»)
da::= Q(e-

---

_
2? -
D1apràs précedemment
h(~,y, a+1h) r1n11sc leo conditions
du tb60r&me de TichrnarRh.
9i k eRt r&el on aUr~ ~ = c
1
nOUR pouvons CanCl\\lrÜ que
,
h(x,y,k) e- i k y
dk=o
pour
.~ l:OO
x ,
'!l
/
::loit
. +00
-
iky
1
M(-ky) e
dk ::;:: 0
.2h [ -00
(I
)"
• D'
pour x> y
-iky
Il n i El
M(-l<y)
e
(-k,y)
;
on peut donc écri~o
1 (x,y) .if
pour x
y
"10)
Proposition
~linverBion de (1
donne pour k r~el
3)B'
~
1
(OOt
t
f
(k,x)= f o (k,X)+/_ A (x,y) l
~ Y
o(k,y)
x
Démonstration
Gn peut écrire (1
) DI de la lacon nuiv~nt?
4
/(k,x) - r:(k,X)=
f~ l (x,t> lo(lc,t)dt:/.00 A
nu Le que A (x,t) = 0 pour
x > e ,
Pcrtons cetto v~leur ~nnD le socond membro de (1 3 ) DI
et ~ontronD que noua ohtGnono At (x,y) j aoit
_ .!...j+OO ({+OO/
r~(l<,t)
}(x.,y)
.-
(x,t)
dt)
dk
-co
00
=1+ fA (x.,t) dt x - l co
1
f e(k,t)
f e(-k,y)
\\ ' ' ' - , . 0
0
dl~)
-co
' - - - - - - - - -...............y..- -

---

-
28 -
LQO fonotiono
propres de lléqu~tion ~c Schrodi~~cr
sont de la forme
m
V, D (r,1l .if) =
(r) Ye-
( I ) , ' f )
\\',kl..m
J...or13Que Ver) e.t né·~lif'2a.ble, la pr.rtio r e.üf e.ï o ,',ù î'éq\\la-
tian
6)
oot
!
2
e( t
( r ) )
+1»
(9
l
a,
dR re
( r
+e
t
dr
-
R
(r)
r 2
k
r 2
dr
En :':losant
+
Cette derni~re 6quatlon n'est nlltro que 116~\\!~~ion
(11
At
•
trc ua
e cnne e d ana
le
CQ9
k
r6el
3)
J donc: 2'> O.
~CD fonctions propres tnrmollt un Bpeetr~ conttau.
Les fonction::!!
ctt oude e \\ /
vérii'ient
les
c::>nditiol~8
'klm
~:o norme.llté ct d'orthogonnto du .pectrc c<')ntiIliU.

---

-
29 _
los fonctions r~rtiul~e doivent ~tre nor['~li~6eo ,~r ].~
co:ul1tion
00
, ..
f
dr = t(k-k l) = 1. 1
0 "f kt (r) ~ k(r)dr
cette !onction r~dlnle
ocre norl~~li9~0 an posant
Vi <t) ~
1\\1<
Pour
a
convonablo on aura
r
(k, t)
= i al 2 rf~ (k, t) /" (-k,y)dk cor pour II: réel
0
f
e
f
(lc,y)
=
t
(-k,y)(voir IV A')
0
0
DJtarmlnons le co~tticiont ~ a~pro~riô en util!snnt ID
-
,,6thodo tlonn'e par Landau ot
Litohit~ tlnno lour ouvrcrre
da Véc~nique Qennti~ue.
lkx
Poar
fO
(k,x)
:: e
•
0
on
vérifie aUDsit8t,qao dans le cas
o • ID fonction
ratli,nle {lorm~liodo est obtenue en pren~nt
lkt
e
X:<t) = ~rr
C'on a Ldô r-on n la. torme aS8ymptotiquo de t f (l:,t).1'''!v,;p:t: ftl;.,
~:(~,r) ~ e'C.r
0
Il
rooaort da cotte con8t~t~tion que ln coefficiont de
l
-V
•
2 ",

---

-
30 -
1
e
dOncX'k et )
=
f
(k,t)
o
.!ous pouvons donc 'c~l~.
'n- fJ!{ltJt;(-~.y),h
2
= ()(t-y)
Po, conSGquent
f-
e
1 (x,,);::
A
A b,y)
1+00
-00

---

-
31_
II
Etablissement de 2 équations différentlelle~.
Nous supposons Que les conditions de dérivation sous
le stBne somme
sont remplies.
D~~riYon8 les 2 membros de l'équation (1 ' B'
4
deux fols
par rapport à la variable x 1 on obtient lorsque k est réelle :
..2 •
.E-
fil c (k,x)-=
(k,x) -
A (x,x)
t'
(k,x)
o
+
dy
1 k x
En posant
f~k,X) = rd (kx)e
j
on a
Le a éB'alités
suivantes
:t~k,X) lkx
" ' ; (k,x)= lk
+ e
1rS' (kx)
® "R..
f'
(k,x)= _ 1 2
o

---

-
32
~
lky
A (x,y)M(ky)e
dy
deux 10is par parties
1 on obtient en
y=x
dy
co
5.
t
t
+
V(x)
fa
(k,y> A
(x,y)
dy

---

De plus
(k,x) ~tRnt
,,~
vient que
f
(k,x)
o
Cd +1)
-,o t
A
~
(x;y)
o
dy
y2
En 'oomparant
je constate
@ nt @
q~'il y aura 'galit~
si je prenda
- -- -
-------~------
;;:;" T
-- .....2T-
~9 A (xt.:Ù _ ~....i.!"...~..Y1. -:_
Ox'
'0 ~"
et
t
2c!/'.
(x ._ x )
V(x)
= -
"
dy.
L -
- -
- ~ - - - - - - - . . l
Montrons que
(11
est ju~'~ifi'e : ce qui revient au
1)0:
t
IIRme de dire que (IIl'n'
G)ed.l!let une oolution A (x,y) qui
t
vérifie
V(x l = _ 't.~L~~.:iJ_
t
,
III
Expression de A Jx,;t,l
D~terminonD : une sol~tion de (IIl)B1
vérifiant
lim
A (x,y) = 0
x+Y-7l+
00
oherchons là DOU~ Ip. for~o
x+v
l
f'-
A (x,y)= '2 ~'"
l
V(3)(",:::1
+
V<al
2
~.
y
a
l
+ --
•

---

-
34 -
..on t ron. q ue At ex. y' ainsi définie est solution de (11 1)S(
Rn effet
V(s)ds
r
1
dérivation sous le signe somme donpl'i-
~
v(x)
= _ 2dA (x"x)
dx
De plus
I1m
A (x,y) ~ 0
,
x+Y~Q)
Nontron. que la série de NEVMANN D8soclGe à
ost unlfor-
~'ment oonverHente.
.
t
~orlvon8 A (x,y) sous la forme
e .
<00
A
(x,y)
:;;: L_
AraCx,y)
evoe
m=o
(00
1
AoCx,y) = - )x+y V(s)ds ct
2
2
x
,
1
rm(X,y)= - î~ V(s)ds r+s-
·Il,m_l
(a,u)
du
2
x
y+x-s
1
(CO Ves)ds
+
2
)~
2
Montrons que
1
1
-
1
et) 1
2
. .
Verifions que la relation est vraie pour m ;;;: 1
~1 (x,y)= i (X2~V(8)d" (y+::~s,U) du + .:5~(S)dB jy+s-x
B Ao(s,u)du
i
)x
}y+x-s
2
lS..:tL
,
2

---

-
3tS -
,
on a
' ·-X
fr (~t' IV<t)J.,~
du
'Y"'x - s
\\2 ).S;U
1/
En majorant
riV<t)\\dt par COIV<t)\\dt, on oon.tate que
) ....U
)1!:!l.
2
2
.
(,-7-
)~
sr V<$>(d9 et que
œ
œ
'2~ ~ ( 1V<t>! dt ( . ~(.'I d. par oonséquent
),;y
)X+Y
2
\\Al <"Y'\\~~ ('" ~<t)\\ dt C. \\V(,b)! ds
) x"'y
,
2
La proposition est dono vraie pour 3
= l ; Il est a1so do
constater par
reccurence que
IAm<X,Y'[
~ (' (V<t)! dt ((0 \\v<o'l d~ m
)!.!L
llx
2
ml

---

-
36 _
Il résulte que
SJ\\A (x'1>k~ lAm(X,y>\\~ ;)~+l \\V(t>\\ dt
2
00
Le. int'grale.
(CO rV(t>\\dt et
e \\v(s}l d8 étant con ve r-e-
),
. x
)~l.
2
gente on d~duit que le eé r-Le de NEUnANN cc ned dé r-é e est unifor-
mément ~onvet'eente.
,
e
Par consequent A (x,y) définie par (11
est solution
2}8 1
unique de l'~quation différentielle (!1}8' pour la condition
envisagée et vérifie
t
III
Expression de
l'aide de f
(k,x)
t
t
('''
(
e
f
(k,x) = f o (k,x) +)x
A (x,y) f
(k,y}dy
o
D'
~ BI est une équation de VOLTERRA
D'apr'" ~ \\Af(x,y>i~ t r'" !V(t>! dt
• !v(a>( da
D
x+y
<.
--r-
c
A
(x,y) est donc bornée et
cc rrt t nce
;
il a t en eu t e que\\~~ admet
e
une solution f
définie par
o (lc,x)
t
~
P
f
f(k,y) dy
111
e
(k.x) = f
(k,x) + i 00 ".;;---
r
x
A
(x,y)
1 D'
,/t--'
f
expres8ion où A (x,y) d6Rign~ le noyau inverse de A (x. y)

---

-
37 -
Ct) nal~tion entre ln fonction (lG Dirao
et
Ir'. r;oll.~tion
1
Opér".teur L :;;
+ V(x) +
-
E
ct t'tlltction S
(pt
2
Re op ej on e que k
l (k,x) at r (-k,Y) vérifient
(ft
+ V (x)
(!:,~) = 0
1
r
(-le,y)
= 0
+ V (y)
LeD 2 fonctions
Indépcil~nntcs ~e ~otr~ QQuntion rndi~la
r.. 2d + V('Co) +,!(l:1)
=
2
\\::
dr
v
En vertu d'un r'.ultat étahli en nnalyse, on d~rl~lt quo la
fonction ~étinie i une constante près pnr
fOc,x)
t
(-k.y)
si y)x
I!,t
e
l
<
(k,y)
t
(-kty)
81
Y
x
est une tonction de Groen eooociée h l'o9srnteur
2
d
_
+ v (1. )
+
2
e
dr
tloton. quo ~ (-k) oot une constnnte par rr.~?ort ~ x ot n y.
No~a pou von. donc ~ren~re Coume 1'o~ctlQn de Green ~cnociée
le fonction G
t
G CE,x,y)

---

-
38 _
ot
t
~
flk,f)
f
l-k,x)
.1 f
x
.. L l_k )
où
~I
. C

---

-
39 -
Il
Introduction
d1une fonction
auxiliaire
1°) Hypothèses.
Considérons que fonctl0n'--\\ de
la variable
réelle x
;
x>\\.t
Faisons
sur ~ les hypothèses suivantes t
tois
continQment différentiable.
® 4! (x j ee pour x t
aseez petit et positif
®. L{<X);:;;o pour x A 1 A suffisamment grand
Déeiffnons alors
par
el
la
fonction
1
et
L.{
(x) =
_ t\\" (x) + ~(x) +
(x)
d1une
intégrale double.
2 0) E xpre s s i 0 ft de ~--,(~x")wà~~l..;'..!.~1~d~e~~~~~!'-'""""
.....",--",,,,,~~
~
ra> ~
LJ
PORons 1
(E,x)
=
)0
G
(E,x,y)
\\
(y)
dy
t
lJ
' (
)
e.(e+1)
V y of..
2
G
(E,x,y) \\(y)
y
~
(E,x,y)
(y)
J d'où
e
1
G (E,x,y)
...
S(x-y) '(y)
E
D'après ~AI et
~A' nous avons t
l~\\k.X) ~ s.bX

---

- 4 0 -
e.
~
1/'
<..
(k'Xl\\
A;bX ((k\\
x
' \\-
= A;bX
( 1+ )kl X\\'-
l
' \\ :
J
1+ 1k\\ x- )
\\
1k\\ x
De
plus on
peut majorer
(1
par m
Ik\\t , m étnnt
III (-k III
une constante
appropriée dépendant
seulement
de
e
De plus on a pour :
x
X> y
'> y
•
. et pour
1+lk\\X
l+\\k\\Y
x
" . . (;y
< y
• 1+ \\k\\ x
1+ \\k\\ y
De
l'ensemble
de
ceB
inégalités
on déduit
que
x
b(x+y)
K
e
---------_._----'
K étant une constanto posit!ve
Intégrons
les 2
membres
le long d'un core le do
~
de
rayon R= lB~
S E considérée comme varlablo complex~ •
~(x) (~
(y)dy = -
~r=RC
AE; =R
+
(
dE
(00 e-
l-
G (E,x,y)
e
(y )d~'
)fE\\ =-:r )0
~
Notons que -
(x)
(
-W-
=
2L-TT\\!(x)
)fEI =R
('0 t
dy
et (y)dy ~}o ~ (E,X,y)\\
Par construction
e t CY) aRt continue sur [!.. A] ; il elJt c10nc
possible de
la
majorer
par un
nombre M ;
soit
~
.
\\e (y)\\~ li

---

-
41 -
D'après les hypothèses fat ter ,
et
(y)
r
= 0 pour y 4=:-
;
en
~e
sorvant
de
Lé .~
l' i",Sgal! té ~ on t r-ouve
~
bx
by
x
[ ' Kil
•
•
1+ \\~ x
<: T.
avec
dy
C
bA
Kl4e
la
C
:
;
donc en posant E = Re
on
obtient
b
as
-E
=R
=
x
2lf C
l+x VR
~ ~\\ ~R
Il r'OUlte el
R
<Xl
, De C
Té.
ta t
on AJlI,.tI"d"'U"'~,!~;._..!gLJu!.!eLIL_ _~
__
t)
-1
11'"1>
t~= )~.
, ( X )
:
2iTT
R
R_~CX)

---

-
42 _
III
Singularités de
la fonction
SQit H
+ V(x) +
d
De l'équation I c t on 8 1
G~(E,x,Yl~(Yl
(R -
El
=S(x .• yl'< (yl
1 .oit
G""
l
(E,x,yl \\-,( (yl =
(H -
Bl-
S(X-yl·L..( (y)
Par
suite
t
(X> Gt(E,X,Yl\\"(YldY = LOD (H_E)-l S (X-y)~ (y)dy
(6(">Y)\\~(Y)dY
=<H_E)-l
=
(H - E ) " l L (
(x)
Dé
plus
/
h(:;+y)
~
x
Ke
A cause de l'hypothèse V(x)
tend vers
zéro Quand x
tend vers
l'infini
on
vérifie snns pein~ Que
•
.0''' (E,x,y) f
!L2(0, Q)
•
de
eue-r-e
f30mmable
en x
et en y.
Ln noyau G
(Erx~y) atnnt da csrré sommable il enaendre un
opérateur
G =
-1
(R _ E)
On sait que
llop~rateur résolvant (R _ E)-l
admet pour
singularités
les valeur.
propreR de H.
Rappelons Que H admet un
spoctre continu Qui
est l'axe
réel positif
et
pour
spectre
disc~et cortQines valeurs
négatives qui
e cn t
ici
re e
é nc r-g-f e e
En ~-~: (n:::l, 2, ••• p).
Ce. énergies corres~ondent aux valeurs kn
qui
8nnulent
Mt
(-k)

---

_ 4:'1 -
IV
Relation entra
et
la fonction S'..
Des conDidérations précédontes,
i l résulte quo
l
(CO
~
l
(EIX'y)~
(E 1 x)
= ) 0
Q
(y)dy ont b o Loec epbe dans
tout le plan complexe E exce p ë é
C;:,:ir l'axe réel poni t i f et
aux pSles simpleo do valeur En. = - 5:
.
l
Int6grons
l
(E~x) le, lonC d'UD che~i~ fermé C toroé
d'un oerole
de rayon R = /n\\ ot. d'une c ou r be '( oon.tituée
des segments joignant dans l'ordre 2es points
R _ 1
- €. -
ot R + 1 E
J
lf. J - €.
f -<
.. ."
Le th~orèm~ dec résldu~ pc~mot d'écrira
r:t
dE
(E,x,y) \\ ( y l d ,
+
(E+iE.
iX,Y)
-
= R
0
o (E-it. ,X.~7J '-{(Y)dY
=
2..-
l\\
211\\
fa> t
Rer:
0
11
(E~x,y)
(yldy
soit
B=Bn
i [.00 i (j 2irr ----
dE
oG(EI~ry)\\(y)dY~
~ Res
(E,x,y) t{(y)dY
. lEI =R
E::::I:n

---

-
44 -
("rI
e
Je: L (E+l€.. ,x,y) - 0 CE-if
Sl aOU8 faloona tandra R vara l'lnflnl
: 11 vlont d'apr~a~
L\\(X) =
Jn.fOO dE
!~ <2 000 ~
U ·
t':«:
,).
G '(E,:e,y)
\\ (Y)dY=)o
'() (X';'Y)'\\(Y)dY
_~R.O 50
'«X)
pu
eque
=
(" f)(x-y) L.( (y)dy
â
t
)0
RemplBçons
0
(E,x,)")
par
Ba
valeur et utilisons les
on 'Obtient pour
é.~o
00
(
L\\
k2d:+~
(y)dy= 2TT"
0 Cffk""
dk
[
Ile (Id ;JI:. (-k)
n=1
avec
•
t
"li$a)
r
c
-
11n
t
a -
Cf +1
t
l2~
~.+1
21..>
(2+1)11
0
x
n
D'aprbs
e t(C{,f
l 2
dx
C n = )0 l5 (1 S n,X2J
En
oomparant
les deux membres de
lléf:'a11téMon trouve que
~

---

-~~-----~--------------'
Dt>
Porme de l'Eguation Intégrale.
Q
1-) '.:.ranSformat1on de
l'Equation
lorsque k est
ruelle et
x > t.
Rappelone que nous prenons comme hypothèsee
k réelle
>
entier positif
Put.que E
0
;
11 n'y R pas d'états liés et par oODséquent
t
pas de 8pectre discret
par suite le8 conet.ntes Cn
dispa-
rai •• ent do l'équation
Ill C'
qui se réduit B
ex>
t
'\\
ra 'f
~
( k , t )
(k,x)
dk
(-k)
Dan. le oas ~> o , la fonot1oh de phase B
est détinie par
.t
S
(k)
=
La relation (1112) A'
permet d'écrire
Ct
e
k' (~+l)
• o ~ (k,t) ~ (k,x)
dk
-
'n
e(k e
lI
)lI
(-k)

---

_ 46 _
Œ
lX>
r-
e
l
Il,
P
" (-k)
• iir
t
l-
.l
-;-1
f
(k , t I f (k,x)
l
-
(-1)
f
(k,Of
(-k'XJ
Ok
{ o
-
Il
(k)
+ ;n (ft
"t(k)
f-
l
_~1 )
t
0
e
l
(-k,t)t
(-k,x)
t (-k.t)tt (k,x)
01,
t
0
Il
( _ k )
Boit
l
-
1 =
aIT r tt (k,t>[t
L
~
t
(k,x) 6
(k)
-
(-lI
ft (-I<,XJ
dIt
0co
l.
r
t
+
f
(k.t) l f t (k,x)
e
e t
B (k) -
(-1)
f
(-k,Xl]
01:
'TI )0
o. qui .'4crlt Boua la torme auivante 1
,.----~------------\\
l
t
, , '
-
(-1)
f
(->.,xj dl<= ô «-:c)
Dtaprl-!I ~III~BI
on a
:
(.
e
I.co~f
e
t
(k.~) = fo(k,x) - x
A
(x,y)
f
(k,y)dy
et
f~(-k,X)
t (-l<,~)dy
ft(_k,X)=
_ (00 --}
(X,Y)f
L
f.. ) x
Remplaçons t
(k,x) et t
(-k,x)
dana
~DI ,par c e n nouvelles
valeurs.
Il' vient ~
lX>
t
- (
it" (x,y)dy
J"

---

- 47 -
La 2 ••• int'_ral. du .eoond ••• br. Yaut
"",.J.
c
~e.
-
), A (x,y)O lt-y)dy .. - A (x,t)
ft
x
A (s,t) = 0
~ 4li. (x.t)=o et
Pour x >
t
S (t,x) = a oa' x::F t
pour
x> t .
.\\..
En ~emplaçant t
(k,t)
.®
pa' •• valau, donnée au~
donne
t.
•
lk)dk
e.
3·) Relation entre t
(k,x)
a
-
Rappelon. que
l
j , ( h ) =(.!Tlkx) 2
T
(kx)
"
\\2
')
Vt+j
h~lh)=-l
flll ~_
(..!.lTkx)f
1 (kx)
r
a
+ 1
1
l k x j
_~
-
t+-
2
2

---

-
48 -
J
fonotion ordinaire d. BBSSEL défini. par
u (t) ~tant la
b (t)'b
(-1)
r
J V <t) = (t))I ~
r(b+1) r~~--+b-+-1-)--------
Par .uite
(-t)"0
JjI (-t) = (-î)Û f
(_l)b
f (0+1 r<V +0+11
= (-11' J~ (t)
De oette égalité je dédui. Que 1
t
J.
1
(-kx) = (-11 V-l'
(k" )
, et
.. + -
J tA- J.
•
•
(k" )
.![e
1
(_nkx
•
).
(-11
Je 1 (kx )+U.> 1 <k:'.
- -a
.....1'
- J
dono
l
t
f
(-kx )=1
o
J .
1
(_k") + U-c.
1
(-k,,-;1
Mt.. l'
+ '2
::J
l
= <-1)
(k,,)
+ 1 J.
1
'"+ -•

---

-
49 _
t,.
= (-1)
e; (k,x) _ 2(-lf /+1 Ct TT k~î Jt+ ~ (kx) 1 soit
2
~
e e
t
(-k.~) = (-1)
to(k,x)
+ L (kx) aveo
o
t
(kx)
= _2 (-lJ e i e+1(t 17kX] ~ Jt + 2. (kx)
2
dans
OD obtient
OD .R.!...ut ISe"1re l"
uat10D auivante f
t
(""
~
F
(t,x)
+
)t
A
(t,y) Ft.. (y,x) dy :;; 0

---

-
00 -
4°) Ca. partioulier
t = o •
Montrons que
~
vérifie l'équation de KARCHBNXO pour
1
+
lkx
(kx) avec ho
(kX) = _iho
(hx) = - le
dono
Pour ~ = 0
,
L (kx) = - 2 1 (îTIkX) i JI (kX)
r
liaiS
1
1
J,!(kx)= ~:xY •
~:"y lkx -!kx
Ba" kx =
•
-.
2
21
L
lkx
lkx)
( k x ) = - ( .
- .
peut encore .'écrire
1
t
2lT
(t,x) +...L (00
p
= 0
21T
}t
pour x>
t
Pour {
= 0
~\\_.
,
+
L
..!..f. al
p" (t,x)=
.1k(t+x)
C!!(l')-~J,Ç+ ~TTJ+':1k(t+,,) dk
aTt
2~ -00
-00
-
al
/.+al.1k ( t _x ) JI__
C c : - '
-
"'"
P (t+x) + c,) (t+x) -
cJ (t-x)
fT'
-0$
de ••••
...!... p" (y,x) = P (y+x) + S (y+x) - '2)(y-x)
arr
dono
~oo A" (t,y) p"
1.00 0
1
(y,x)9~' ACt,y) p (x+y) dy
-a11'
.
t
[a>
+
A" (t,y)S'(Y+X)dp-
~oo A" (*.y) S'(y-X) dy
"

---

51 -
o
0
= h""A O (t,y) F (x+y)dy + A Ct, -x) _ A <t,x)
Pour x > t -, on •
x :t= t
,dt où
~(t-x) = 0 , ~(t+x) = 0 oar
AO
<t.·x) = 0
aar -x{ t
danc
( 0
)
1 f.CD AO <t,v). FO (u,x) du
" x
+
arr t
'
,
,
=
( " "
0
0
F(yox)
+
ft
A
(t,y) F
(x+y) dy -
A
(t,x)
= 0
Kou. retl'OUVOD8
ainsi l'équation de MARCHBMKC
= 0
..

---

-
Ga _
E'
COMMBNTAIRBS
•
1 0 ) MARCftlNKO • établi une équation inté.rale non homo•• ne •
L'équattoD wén'ral1a'. que j l a l
obtenu .at une 'quatioh
.t
2·)~r
(t,x> eat blen ~étlale lor.que la fonotion de ph•••
1.
,
S - Or) •• t
eeeeue ,
Si dono 8 ~kl eat donaée.
~.e préaente Domm.
~
t
une 4quatlon lnt'gral. où l'inoonnue .at A
(t,x>
ne peux pa. conclure que ~a4met une
aolution.
(t,x)
J mai. ceci ne t . i t pas l'objet cle
mo~ expo.' qui • aon.laté à établir une équation
intégrale .énéralt.é. de MARCHBNkO et à t.lre uno extentlon
-t
admet une 801utlon A
Ct,x> J le potentiol Vez)
v (xl = - 2
,
•.

---

-
03 -
REPERENCES
1
FRtIOBERO
CB (1941)
Phya Rev.
72,
819.
2
LEVINSON (1949)
Kgl Danak Viden.kab. Belakab Mat.Fye.
lIedd 2 a
ft 0
9.
3
JOST et KOHN
(1983) Kgl DBbilk Videnakab. Se18kab
Mat.
Fye, Medd, 21 nO 29.
4
NEWTON
a ,o , (1900) Phys. Rey. 100, 412.
FADDEYLO
L.D (1909) USPEKI. lIatem.
NBUk
14;11;:51
1
Engl1sh TrBnalatlon J. IIBt-Pbys 4,72(1983),
5
POTENTIAL 5CATTERING PAR ALFARO et REGGE (1955)
7
AGRONOVITCH et YARCKBNKO - The lavera. Problem (1968>,
8
BIB8R-MAOY _ Analya. - Ponotionnelle.
9
VALIRON _ Théorie de. Fonction ••
00000
.'

---