UNIVBRSITE DE DAKAA
FACULTE DES SCIENCES
THESE DE SPECIALITE
présentée à la Faculté des Sciences de l'Université de Dakar
pour obtenir le titre de Docteur de 3° Cycle en Mathél})atique,s
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MECANIQUE ANALYTIQUE DU CORPS SOLIDE
DANS L'ESPACE A n DIMENSIONS
-CO--:·:;.~Il'O"A:"';;~I:~·AC"\\N ET ~AlGACHE \\
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Etienne Gbênoukpo LIGAN
Soutenue le 15 mars 1982
devant la Commission d'Examen
Président
M. E. FBDIDA
Examinateurs
MM. C. BADJI
A. COSTE
S. NIANG
H. SEYDI
S. THI'AM

---

A mon père
MoIse o ••
A mon frère Jacques o ••
.../ ...

---

1 N T R 0 0 U C T ION
1
Dans l'article intitulé IISur la Mécanique Analytique du
corps solide ll Oournal de mécanique, Volume 17 N° 5 1978)M. LANGLOIS
en utilisant le groupe affine d'ordre
n
qu'il représentait par un
sous-groupe
ID
de transformations linéaires du groupe linéaire
d'ordre n-:- 1. GL( n+1 ) (confère
[15J H. FLA NDER S. Di f f ér e nt i a l For ms
§9.3 page 153). établissait un isomorphisme entre ce dernier
ID • et
le groupe des déplacements d'un solide schématisé par le repère mo-
bile\\deE. CARTAN
dans un espace affine à
n
dimensions. Ccci
lui permit alors de mettre en évidence deux matrices fondamentales
l'une étant l'élément infinit~sil'Dal du groupe
ID • c'est-à-dire le
torseur cinématique. l'autre le torseur cinétique
ces deux matrices
....
sont des éléments de l'algèbre de Lie du groupe
ID
qui est un sous-
groupe de Lie de
GL(n+1) ; cette algèbre de Lie étant ellc-m~me
rapportée aux deux bases images de la base naturelle associée au
système de coordonnées locales sur
ID
par les translations à gauche
et à droite. Dans ces deux bases et dans deux bases qui en sont
déduites les, écritures des torseurs cinématique et cinétique ont une
signification remarquable; elles s'interprètent en effet dans la base
image de la base naturelle par la translation à gauche etd'une autre
qui s'en déduit comme les expressions de ces deux éléments définis
en fonction des coordonnées par rapport au repère mobile tandis que
dans la b~?e image de la base naturelle par la translation à droite ct
dans une autre base qui s'en déduit. ils sont définis en fonction des
coordonnées par rapport au repère fixe choisi.
Les deux matrices définissant les torseurs ciném~tique ct
cinétique en fonction des coordonnées par rapport au rèpèrG mobile
lui permirent alors d'exprimer très simplement l'énergie cinétique.
-
les deux invariants intégraux: l'invariant intégral relatif de
Poincaré et l'invariant intégral de Cartan. invariants intégraux à
..
; .:
"'./:.~ ..

---

II
partir desquels il écrivit les équations lagrangiennes, puis les
équations canoniques du mouvement du solide en fonction des coordon-
née spa rra ppo r tau r e père m0 bi l e ma i s se ulem e nt en ab sen ce d cl cha mp
de force.
La simplicité des calculs matriciels utilisés lui permit
de retrouver rapidement les ~quations d'Euler du mouvement.
Cette grande simplicité qu'offre le calcul matriciel beau-
coup plus souple que le calcul vectoriel habituellement utilisé nous
a amené à écrire dans un cadre plus général en partant soit du prin-
cipe de dlAlembert soit des invariants intégraux les équations de
dynamique analytique du mouvement d'un corps solide ~
n
dimensions
soumis à des liaisons holonomes ou à des liaisons non holonomes du
type tzdnoffien ; ce sont: les équations de Lagrange, les équations
tzénoffiennes, les équations générales niangniennes [2]. [8J, [9J les
équ~tions appelliennes. ces équations sont écrites d'une part en fonc-
tion des coordonnées par rapport au repère mobile lié au solide et
d'autre part en fonction des coordonnées par rapport au repère fixe
chois;'
Ensuite comme application des équations matricielles
de dynamique analytique établies nou's nous sommes intéress6
à
l'étude du mouvement d~un système constitué de plusieurs corps solides
à
n
dimensions soumis à des liaisons holonomes ou
aussi à des
liaisons non holonomes du type tzénoffien.
Nous avons voulu illustrer la remarquable souplesse de ces
nouvelles équations du mouvement par l'exemple de l'étude du mouvement
du II chariot-marionnettc ll •.
...
.
;/' ...

---

III
Nous avions présenté ce travail en 5 parties dont la
première (Chapitre
0) est consacré à des rappels sur le calcul
matriciel et à certaines propriétés de llensemble
~(n)
des matrices carrées d'ordre
n
à coefficients réels et de
certains de ses sous-ensembles remarquables.
- La deuxième et la troisième partie (Chapitre l et
Chapitre 2) traitent respectivement de la cinématique et de la
cinétique du corps 50lide à
n
dimensions.
- Les deux dernières parties (Chapitre 3 et Chapitre 4)
traitent respectivement des équations de dynamique anal~tique
du solide puis de llapplication que nous en avons faite.
*
*
*
*
Nos mots de remerciement vont :
- A notre Maître Le Professeur SOULEYMANE NIANG, Doyen de la
Faculté des Sciences de OAKAR, que nous ne saurions remercier
car plus qu1un maître vous êtes pour nous un tuteur.
Vous qui en nous inspirant ce travail nlavez jamais
cessé de nous guider pour sa réalisation malgré vos immenses
préoccupations.
Puissent l'amour du travail bienfait, la modestie et
le sens profond de l Ihumain qui vous caractérisent nous
instruire.
Daignez accepter ce modeste témoignage de notrerecon-
naissance, de notre admiration enthousiasmée et de nos
hommages respectueux.
• • • 1" • • •

---

IV
Au Professeur EDMOND
FEDIDA
qui a beaucoup contribué à
notre formation et n'a jamais cessé de nous encouraJer tout
au long de ce travail.
Qu'il veuille trouver ici l'expression de notre pro-
fonde estime et de nos sincères remerciements.
- Nous exprimons aussi toute notre gratitude à Messieurs SEYDI,
BADJI, COSTE et S. THIAM pour avoir accepté de faire partie
du jury.
Qulil nous soit enfin permis d1adresser nos remercie-
ments
A tout le Personnel Administratif de la Faculté des
Sciences, en particulier à son Chef, le Secrétaire Gén~ral
1. FAYE
pour toute sa sollicitude à notre égard. Veuillez
trouver ici llexpression de notre déférente gratitude;
- Mmes
S. MBAYE
et
M. S. NDIAYE
ainsi qu'à Messieurs SECK
et GUEYE pour leur franche collaboration dans la mise au point
de ce travail '/'
* * * *

---

-v· ..
- PLA N -
Chapitre o.
RAPPELS
A - LA STPJJCTURE D'ESPACE VECTORIEL EUCLIDIEN
des Matrices Carrées d'ordre n à Coefficients réels/tCn)
1) Transposée d'un matrice
2) Matrice sYLlétrique matrice antisymétrique
3) Tracé d'une matrice
4) - Produit Scalaire et Norme de HILBERT-SCHMIDT sur~Cn)
5) - Nonne de HILBERT-SCI-t-Urrr induite par une matrice symétrique
R - LE GROUPE DE LIE 6L Cn) et son ALGEBRE de LIE
Chapitre 1.
CINEMATIOUE DU CORPS SOLIDE DANS L'ESPACE à
n dimensions
A - Déplacements du solide et Groupe matriciel des déplacements du Solide.
B - Vecteur-Vitesse d'un point - Torseur Cinématique des vitesses
B1 ~ Dans la base fixe
B2 - Dans la base mobile liée au solide
B3 - Exemple le cas n=3
B4 - Interprétation dans l'espace des vitesses
Bs - Cas de liaison de tyPe tzénoffien.
C - Vecteur accélération
C1 - Dans la base fixe
.../ .. ·

---

C - Dans la base mobile liée au solide
2
C - Exemple le cas
n=3
3
C - Cas de liaison de type tzénoffien.
4
D - Composition de mouvements
D - Vecteur-Vitesse ; Vitesse d'entraînement et Vitesse relative
1
1) dans le repère fixe
Rf)
2) dans le repère intennédiaire
R1
3) dans le repère lié au solide
RZ
D - Vecteur-accélération: accélération d'entraînement,
2
accélération relative et accélération de Coriolis
1) dans le renère fixe
Ro
2) dans le repère intennédiaire
R1
3) dans le repère lié au solide
RZ
D - Applications
3
1) Mouvements inverses
2) Roulement et Glissement de corps solides
vitesse de Glissement.
E - Constantes de structure de la conne,:tion affine définie par le repère
mobile.
Chapitre 2.
CINETIQUE DU CORPS SOLIDE .Olt n dimensions
A - FORCE VIVE 2T
B - TOT-seur cinétique
.../ ...

---

. - VII-
C - Exemple : le cas
n=3
D - Energie d'APELL. S.
E - Energie de NIANG : R
F - Evolutions - Circulations du solide:fCt)
F - furolutions réelle et virtuelle de JCt)
1
F - Circulations réelle et virtuelle des vecteurs d'inertie de~Ct)
Z
F - Relations ~iatricielles remarquables concernant la Circulation
3
virtuelle.
G - Chamn et Torseur des forces aprliquées au solide.
O1anitre 3 -
EQUATIONS MATRICIELLES DE DYNAMIQUE ANALYTIQUE
du Corps Sol ide à
n dimens ions
A - ENONCE du Principe de d'Alembert
B - EQUATIONS lagrangiennes du mouvement de tfCt)
C - EQUATIONS d'Euler déduites des Eouations lagrangiennes.
D - EQUATIONS Tzénoffiennes du mouvement de ~Ct)
E - EQUATIONS appelliennes
E1 - Cas où le solide est libre
E - Conséquence.
Z
E - Cas de liaisons de type tzénoffien.
3
F - EûlJATIûNS générales niang~iennes.
F1 - Cas où le solide est libre
FZ - Conséquence :
F - Cas de liaisons de tyre tzénoffien.
3
(; - lliEOREME DE L'ENERGIE
.../ ...

---

- VIII -
Chanitre 4.
MOUVR1ENT D'UN SYSTH:ffi t Ct) , CONSTITIJE PAR r
CORPS SOLIDES LIES DANS L'ESPACE à
n dÜTIensions.
A - RAPPELS: Somme directe d'espaces vectoriels
TI - Identification des déplacements deîCt) dans l'espace à n di-
ln
mensions à ceux d'un système J (t) de points dans un espace à nr
dimensions .
C - Cinématique du système~f(t)
D - Cinétique du système ~Ct)
E - Eouations du mouvement de 8i(t)
(ou de -l Ct))
F - ExemT'le : Etude du mouvement du
"Chariot-marionnette"

---

Chapitre
0
~ RAPPELS ~
- 1 -
y
A. - L'Algèbre (jb(n)
des matrices carrées d10rdre
n
à coefficients rée1s.
L'ensemble jYL(n)
des matrices carrées d10rdre
n
à coef-
ficients réels est un espace vectoriel sur
m de dimension
n 2 •
clest aussi une algèbre sur
ffi.
1)
Transgosée d'une matrice
'Yi Etant donné une matrice
A =
(a .. )
(ij = 1,2, ••• n) élément de
cI~(n}. On appelle transposée de A 1~oté8 tA llélément de Ji(n)
défini par
tA = (b ij )
(i,j = 1.2 ••• n)
avec
b ij = aji
V(i, j)
Ivf
L'application
t : J[(n)
>(.J'b(n)
est un automorphisme anti-
involutif de l'algèbre
)i(n) :
• Clest un endomorphisme bijectif d'espace vectoriel
t(A+B)
=
t(XA)
=
À
6 lR
• C'est aussi une anti-involution
2)
Matrice symétrique, matrice antisxmétrigue
• Une matrice
A telle que tA = A
est dite symétrique
t
• Une matrice
A telle que
A = -A
est dite antisymétrique.
Notons 5,n) = {A E Jr[(n), tA = A} ; rlz'(n) ::; {A e J1(n), tA=_A}
S(n)
et
(~(n) sont deux sous-espaces vectoriels de N(n) de
dimensions respectives:
/1
n(n-l)
dim;)(n) =
(n;l)n
dim j{,(n) =
2
nous avons donc la décomposition en somme directe:
u _ ~ 1(
__IV n) = ;J (n )~±J dL \\ n)
et les projecteurs associés à cette décomposition sont
Ji(n)
> S n )
e t c / I i ( n ) -~ JL (n )
Pl
A
P2:
1
t
J-
>~ (A+tA)
P. ~-> 2(A- A)
... / ...

---

•. 2 -
' )
,
t )
les matrices
P1t A = t(A+ A
sont appelées
respectivement la symétrisée et 1 'antisymétrisée de la matrice
A.
~~~~!rg~!:
nous avons les propriétés suivantes
- VA e cA(n)
- Vs € $(n)
3)
Trace d'une matrice
Soit
A
-
(a •• )
( '
. - 12
\\
1,J -
..:.,
••• n;
un élément
.
1 J
de~(n)
n
le réel
tr(A) =i~l a
de la matrice
A .,
ii
est appelé trace
lIa p pli c at ion t r ace ,
t r : J(,( n ) --> IR
A ~ tr{f..\\)
est une forme linéaire:
.. tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
.. tr(ÀA)
= À tr(A)
Nous avons aussi les propriétés suivantes
tr(t A) = tr A
.. tr(AB) = tr(BA)
4)
Produit scalaire et norme de HILBERT-SCHMIDT sur ,)(,{n)
a) - VA = (a .. ) ,
B = (b .. )
(i,j) '" 1,2, ••• ,n)
1 J
. '
1 J
n
n
On définit
<l>(A,B) = tr(t AB ) =
E L a .. b ..
j=l
i=l
lJ
lJ
b) -
L'application
~ ainsi définie sur JfS(n) x !J(6(n) et à
valeurs dans
IR
est bilinéaire symétrique, non dégénérée et positive.
En effet nous avons :
..
~(A, B+B') = tr[A(B+B')J= trŒAB+tABJ = trtAB+ tr(tAB, )= <P(.ll.,B)+ <P(A,B ' )
..
<p(A, ÀB)
=
tr rtA{ÀB)-\\ =
À tr(t AB )
= À <î>{/',B)
..
cp ( B, A )
=
t r [tsA] = -'t' r [t ( tA B)l =
t r [t AB]
= Q( A, B )
n
n
<P (A, A)
= t r [t AA] = r r a ~, > 0
si
A ~ 0 (m atri ce carrée
1=1
j=l
lJ
nulle d'ordre n).
est donc un produit scalaire sur ,U(n)
nous noterons
4>( A,
B)
= A.. B
... / ...

---

- 3 -
La norme aSSOClee à ce produit scalaire est appelée norme de
Hi 1ber-Schmidt sur
,pt(n).
c}
Nous avons les propriétés suivantes
I~
P.
-
'ri ft. 6 Ji.,{ n )
et
B E .s ( n )
;A.8 = a
l
n
!
: /
<lh ( n )
et
.s (n)
son t de ux sou S - e spa ces 0 r t h0 go n aux de
J'&, (n )
ce dernier admet donc une décomposition en deux sous-espaces vecto-
riels supplémentaires et orthogonaux:,
~
jf)n)
=
.5(n)
Cf)Â(n)
l
rF)(n'}
avec
.....- .. "
=.s (n)
•
C;' (n) d _.
1 1
l d
• (
)
ou,--'
es l 9 ne
0r th 09 0na
e"'s Il •
les projecteurs associés
et
sont donc des projecteurs
orthogonaux.
r
P
-
Soit 7{ le sous-ensemble des matrices carrées d10rdre
n+1
2
Téel~
rO
à coefficients~de la forme
U =
G :l
y
.J
où
y
est une matrice colonne d10rdre
n, w une matrice carrée
antisymétrique d'ordre
n .
. 1) est un sous-espace vectoriel de cft (n+1) de dimension
dimU/
=
n + n(n-1)
-, (n+1)n _
c 2
2
-
2
-
n+1
• Pour des raisons qui apparaîtront u1téri8uremen~ déterminons
1 1 0 r t h0 q 0 n a l'V de lie spa c e 'XL pou r 1a n0 r rn e de Hi l ber t - Sc hm i dt
sur I.n,{ ~ +l ) .
Soit
M un élément quelconque de
(/~{.(n+l) dont la décomposition
en bloc est la suivante
~l
oD ~ est un réel, ~
une matrice ligne d10rdre n,
N ..i
c
une matrice colonne d10rdre
n
et
N
une
matrice carrée d'ordre
n.
Nous avons la relation suivante
t
U~M
=
Y c +w.r~
0
où
tyoc
est le produit scalaire usuelle dans
mn
,
w.N
le produit scalaire dans
,M)(n).
• •• 1 • " "

---

-4 -
- Dès lors la matrice
M est orthogonalJ à
U quelque soit
U
dans -'il si et seulement si
t y • c +
w. N = 0
c'est-à-dire si et seulement si :
Ity.c
n
= 0
\\/y 6 IR
Lw.N = 0
VW 6,P(n)
soit
(e - 0
vecteur nul de
]Rn
",
LN 6 S(n)
Ainsi l'orthogonal (rI-- de ru est le sous-espace vectoriel des
t
·
d
H(
1 \\
d
l
J::
ma' r 1 ces
e
v (7 n+ _ J
e
a 1 0 r me
où
a BIR,
À est
une matrice ligne d'orGre
n,
et
e e~(n)
Nous avons donc 1a décümpos i t i on de cfÛ n+1)
en somme directe
de so~s-espaces
orthogonaux
. Ai( n+ l )
=
Il. (t)'U':G-
~ J.!'{i,
l/"f~ \\_-
avec
où
U.l dés i 9ne l'or t h0 go nal de 'li
Les projecteurs orthogonaux associés sont
Pl ': j~( ri+l)
71
- - - $ >
9 -"
, 1-> p (MI)
~l
:
1
'
I~ -
~
Nous noterons par la suite:
Pl ( .~)
l",
M*
=
et
=
d)
-
~~~~rg~~~
- R,
Ainsi la projection orthogonale sur le sous-espace ~{_ d'une
mat r i ce
M de
()i)(n+l ) ,
n0 t é e
~1# s lob t i ent en annul an t t 0 IJ S
les éléments de la première ligne de celle-ci, et en remplaçant la
matrice carrée d'ordre
n située en dehors de la première ligne et
de la première colonne par son antisymétrisé2.
... / ...

---

- 5 -
De même le facteur orthogonai au sOlls-espace 1J d'une matrice
ilif,
)
J'(-;\\n+1
notée
1"1...;..;:..
s'obtient en annulant tous les éléments
-rr-
de la premlere colonne~ sauf le premier élément de celle-ci et en
remplaçant le bioc d'ordre
n situé en dehors de la première ligne
et de la première colonne par son symétrisé.
Remarquons enfin que
Vu e 1/
et
#-
M.U
=
M
t
U
- ~t.U = 0
. ct . t
- t '
'-h'
J '
5)
Norme de Hilbert-Schœidt ln Ul e par une macrlce syme rlqueJ~
IJ
M
L'application
~
définie sur
,jVL(n) x !)'G(n)
par:
'ri A,~ B 6 )t(n)
t1>(A, B) =
<p(A;KB) ':-; tr ftl~YLBl ~A.J(B
.
" - - "
est une forme bilinéaire symétrique sur.)l't(;l)
"'1 '
en particulier si j\\~ est une matrice diagonale positive
~
est
un produit scalaire sur
,.~t(n)
Nous noterons
A.)<.B =' A/B.
B. -
Le GROUPE de LIE
GL(n} et SE_~\\19èbr~.
1) - L'ensemble
r;L(n) des matrices carrées est un espace vectoriel
de dimension
n 2 donc aussi une variété.
On appelle groupe linéaire des permutations de
ffin
noté
GL(n)
le sous-ensemble des éléments inversibles de ,)t(n).
On démontre que
GL(n) est un ouvert
(5J, [71 de la variété
riri(n)
c1est donc une sous-variété de Jrt(n).
Oe plus les applications
GL(n) x GL(n)
> GL(n)
(A,
B) r-·----> AB
et
Go L (n )
- - - > GL(n}
sont des appiications différentiables
1 -
> A- 1
A
GL( n )
est don clin 9r 0 upe deL; e de d i men s ion
n 2 [5J t
[7] •
.../ ...

---

- 6 -
L'alg~bre de Lie d'un groupe de Lie
G
est par définition
l'espace tangent à la vari~té
G au point
e
élément neutre du
groupe.
On montre que l'algèbre de Lie de
GL(n)
est Ji( n)
[5] t [7J.
2} -
Le sous-groupe de Lie
SO(n) de
GL(n)
et son algèbre
ji.(n):
50(n)
désigne le sous-ensemble de
GL(n) des €léments
A tels que
t
A.
,A.
=
l
et
dét A
= +1
.
où
l
est la matrice unité d'brdre
n.
On vérifie que :
- 50(n)
est un sous-groupe de
GL(n) ; il est appelé le groupe
des rotations de
mn •
- 50 ( n )
est une var i été plo n9 ée [5]
III
t
de
i3 L ( n )
ct e d i men si 0 n
n(n-l)
2
=
Cn
2
50(n)
est donc un sous-groupe de Lie de
GL{n}.
On montre que l'algèbre de Lie de
50(n) est llensemble ,lIAn) des
matrices antisymétriques d'ordre
n.
1 ~
1.
IV J (
.
J-!.:.(n)
est une sous-algèbre de Lie de) L nJ.
... / ...

---

- 7 -
Chaeitre
1
C l NE MAT l QUE
-------------.-/
due 0 r p5 5_0_1_'_"d_e à_n_d_'j_m_e_n_~
A• -
l n t rad uc t 'j 0 n à l a r~ é c a n i gue d~a l ide dan s
IR. n
Le Groupe matriciel des déplacements du solide.-
1 )
Soi t
Hn
lie spa c e af fin e e uc l i die n -ra p p0 r t é a ure père
orthonormé
Ra::
(°
,
e~ ..... e~) ; --d'un so"lide de An schématisé
0
par un repère orthonormé
R:: (D, el."'. en)
Considérons la formule de changement de coordonnées en repères de
même critîll1tation. en adoptant les notations suivantes
y
est l a matrice colonne des coordonnées dans
p
.\\ 0
du point 0
A
est l a matrice orthogonale de pass,-?ge c12 1a base
,/j"
....1" ..•.
0
::
e O )
-J-~o
(el······,
à 1a base
~B ::
n
( el' • • . • , en)
x et X sont les matrices colonnes respectivement dans
dans
D
,..
d'un point
M
du solide ~;
On a alors l'équation matricielle du changement de coordonnées
I.A.O.
X
::: y + p.,X
que
M. LANGLOIS
écrit sous la forme matricielle dans
mn+1
r.'. --:
! l 1
Î...._
- '
En notant
0
la matrice carrée d'ordre
n+1
intervenant
dans I.A.l
on remarque qu'elle permet d'exprimer le passage du
repère
Ro au repère R sous la forme matricielle:
l • A. 2
R :: Ro.D
où
R~
et
R
sont respectivement les matrices lignes
()
(° , e~ ...... e~)
et
(O. el ••.•• e )
0
r.
1'-
i
2)
Soit
ID :: 1D .[~ ~]/y
n
6R
•
A 6 50(n) \\
1
-.-'
ID
est un sous-groupe de Lie du Groupe linéaire
GL(n+l)
... / ...

---

- 8 -
ID
contient deux sous-groupes : l e groupe des translations formé
r 1
•
de l'ensemble -des matrices
lI!
: -1 0 ù
l
est la matrice carr~e
;y
,
I l
'"
unité d'ordre
n, et le groupe des rotations autour de
o fermé de
o
( . ,
llensenible des matrices du type 1 ...
t 0
On note que la matrice
U
a pour
-'1
o t
= t, !,l:\\ y
'
La relation matricielle
I.A.2
montre l 'isomorRhisme entre le
groupe
ID
et le groupe des déplacements du solide ,--y
•
Remarquons que~ outre ce groupe
ID
mis e~I év i cl enc e dan s
LIJ '
le groupe des déplacements du solide .~ est aussi isomorphe au groupe
"- ....
fi~ ~J!Y n
€
IR
;
A €
50(n)J ;
en effet la relation
I.A.O
peut aussi s'écrire
y --\\
rX--i
1JL1 J
Notons que le I!point génédque ll
du groupe de Lie
ID
2
2
est déterminé par
n+C
=
C +
paramètres,
n
param~tres définis-
n
n 1
sant la translation y et
paramètres d6finissant la rotation
A.
Dans le cas
n==3 la rotation dans
d'un repère
R = (0 el' e
F~
2, €3)
par rapport à un repère fixe
R
-
(0
cO
est le produit de
a -
, , cl'
trois rotations:
- la rotation d'axe (0, e~) transformant dans le plan (O~ e~~ e~)
o
le vecteur
el
en le vecteur n vecteur unitaire da la ligne des
noeuds, intersection des plans
(0
0
,Cl,
e~'
, el' e 2 ;
-l.,.
- la rotation d'axe (O~ n)
transform~nt dans le plan (0, e~, e
o
-
3 )
le vecteur
e
en le vecteur
e
3
3
- enfin la rotation d'ay.€
(0, e ) transformant dans le plan
3
(O~ el~ e 2) le vecteur" en le vecteur el"
1
• • • 1
• • •

---

- 9 -
A ces 3 rotations sont associées les 3 paramètres de rotation
connus sous le nom d'angles dlEuler
ce sont:
t
l
e
1
~, e et ~ sont appelés respectivement angles de précession, de
nutation et de rotation propre.
Lé'!
matric2 de rotation
A
s'écrit en fonction de ces 3 paramètr~s'
cos <il cos \\jJ -
e"
S i nQ sin '.jJ cos 8. - sin 9cos \\jJ -
cos c) sin \\jJ cos 8. sin \\jJ sin "'"
1 • A • "
A =
coseps i n\\jJ+ si n<îJcos\\jJcos8. -5 i n<îJs i n\\jJ+ COS9COS\\jJcos8. -cos\\jJs i nfli'
sin <P siri 8
sin e cos <Ji
cos e
"
En résumé, lorsque le solide
n-dimensionnel J varie dans
l'espace affine
f-/' associé à mn s sa matrice de déplacement 0
il
dé,crit la sous-variété
C~+l - dimensionnelle 0 de la variété
,)%(n+1) ; dès lors llévolution dans l'espace
'f
d1un point
t~ lié
n
au sol i cl e;Jl est d é fin i e par l a for mu l e I • j\\ • 1
des que l Ion con nait
l'arc décrit par le "point générique ll
D SLir ïa sous-variété
ID.
B. - Vecteur-vitesse d1un point
M du Solide? Torseur
cinématique.
Soit
t\\-~ D(t) l'arc paramétré décrit sur
ID,
le premier membre
n
de
I.,f1..1
donne l'arc de
IR
p3.ramétré par
t
t\\--H~{t)
décrit
dans l'espaceqn
par le point
["1
lie au solide
{X
est fixé}.
En dérivant par rapport à
t
1 • A• l
on obtient
1. B. l
(9\\ =
(1 \\
X)
D
(XJ
81
-
En multipliant à gauche
1.S.1
pùr
ü- 1
on obtient
J.
l'e x pre s s ion ana l y t i que dan s l a bas e ,(b lié eau sol ide J (t )
du
vecteur-vitesse du point
M :
1.
( 1'\\,
8 • 2
=
Sl \\ X)
t
.
n = 0 ~[) = [0,
0J
avec
V ==
P, x
_1·
y
•
V/J,Y
w·
t
.
1
où
w = A J\\
est une matrice antisymétrique d'ordre n.
... / ...

---

- 10 -
(1'
8
~
D-l(l~ dans la relation I.B.1
2
En remplaçant \\ x)
par
\\ x /
on obtient llexpression analytique du vecteur-vitesse du point
M
dans la base 6~
liée à l'espace de référenc2 :
o
0\\
~ j ,
1. B. 3
?l
/"~ :
. j =
f
i
xl
\\ x/
1
r: 0
0
'"rt
Ô ü-
I
.l-
1
avec
=
= 1 ,
l
1 i
• '"
'" 1
L, y-wy
w J
. t
où
'"w = A A est une matrice antisymétrique d'ardre
n.
(x o\\
B
-
Lorsque
n = 3
soit y = ' yo i!
lé1 matrice colonne des
3
\\ 2 )
0
coordonnée~ du point 0 dans le rep~re de référence (Got e~, e~, e~)
et
A
la matrice de rotation exprimée en fonction des angles
dlEuler
~,e ,C\\J
(1.,/'1,.2)
alors lion obtient:
avec
w =
I. B. 4
•
•
q= \\lis·i n8cosc\\J- es·; n<jl
•
r = \\IJ ·cos e + <jl
'"rt
r0
avec
'"
w
=
"y '- '"wy
w "
1
:11
.
"
Pl =
<jlsinesinliJ + 8 co s \\)i
•
"
ql = - <jl s'i nec 0 s \\jJ + 8s'inIiJ
"
"
rI =
<jlcos8 + \\lJ
.../ ...

---

- 11 -
dès lors en explicitant les relations
1.8.2
et
1.8.3
on retrouve l légalité vectorielle classique du champ des vitesses
.
~~
(\\~
r es pe c t 1 Ve men t
dan s 1e s bas e S_I_"': liée au solide et
-.-l-c5
de 11 espace
de référence
;
+V
V +
o
+
où
W
le vecteur rotation instantanée a pour composantes
(~~ et
\\r)
IP·\\'
i l ,
1 q. !
respectivement dans les bases
est le
\\
l 1
\\r/
vect.eur-vitesse du point
o.
Ain s i l e s mat rie e s
Q
e t
?t 9é né r alis ei1 ·i:. let 0 r seLI r c i né -
matique dans
m3 • En particulier Q contient les coordonnées dans
CF... des ë 1émen t s der éduc t ion e n 0
de ce
1
.~ 0 r s 8 LI r : l a rot at ion
-'10-
t
i Il S tan tan é e
u)
e t
l a vit e s s e d u P0 i nt
0 :
V0 --At •
8
-
Interprétation dans l'espace des vitesses.
4
l )
Nous supposerons désormais que la matrice de déplacement
D
f"'
du solide
~;(t)
est exprimable explicitement en fonction de
t
t
d
C2
~
' t
. , ) '
d-·t
\\)
(
- 12
C2
)
e
es
n+1
parame res 1 n'.Jepen ctn S
q
\\) -
~.
•••
n+1
sous
la forme
\\)
[0
t '1
= D(q
1
1. B. 5
'2
avec
\\)
= 1 ~ 2 •••• C-+ 1 .
n "-
\\)
Les
q
étant des fonctions implicites de
r.
()
De sorte qUE la position
x
de toute particule du solide
1(t)
est-elle aussi
(compte tenu de la relation
I.A.l) exprimable expli-
citement en fonction de
t
et des par am è t r es
( (j'V)
sou s l a for me
X
=
x ( q \\). t)
1 • B• 6
[ avec
\\) = 1,2 .•••
2
Cn+l.
-\\)
Le solide
J(t) sera alors dit défi"l par l'état des positions
des particules •
......
~
~
Les j! s t ème
(q\\).
\\) = 1 •.•.•
C~+l) est un système de cOordonnées
sur la variété
ID; à
t
fixé,
5= 3\\)D ~v (~vec
3\\)D =
... / ...

---

- 12 -
est un vecteur tangent en
1
(matrice carrée unité d'ordre n+1)
à la variété
ID ; notons
TO ID cet espace tangent. Ce dernier est
rapporté à la base naturelle associée au systèse de coordonnées (qv)
(dVO
v ~ 1 ••• C;'+l)
La matrice
n est l limage de
o par l'application linéaire
tangente de la tanslation à gauche
L
'
c'ast donc un vecteur de
O-.1.
l'espace tangent en
1 (matrice carrée unité d10rdre
n+l)
à la
variété
ID
notons 'j) cet espace tangent
Ti ru
~D est aLI Ss i par défin i t i (1 n lia 19è b'r' e de Ll e du :T 0 UPe de Lie ID [5]
J) est une sou s - al 9è br e de Lie de lia l 9€ br e de L i (~ de j~(,(n+1 )
du groupe linéaire
GL(n+l).
De même
n est l'image de ~ par 1'aPRlic~tior. linéaire
tangente de la translation à droite
R -l
~
est aussi un élément
O
de l'algèbre de
Lie.D.
L'algèbre de Lie)) se trouve ::-lors rJppoit:ie aux deux bases
images de la bàse naturelle par les deux applic&tior.s citées ci-dessu~
ru
1
v 0" o-lav 0
;
~ ;.; (av 0) D-
;
v ~ 1, 2•••• C~+l.
3)
Nous signêlons le CeS plus général - que nous n1envlsagerons
pas dans notre étude - oD la matrice de déplacement
0
est définie
par les relations
Ô,: 0* qv
r. B. 7
[ avec vD~ _ *( v,
-0 1
C2
Dv q l , V - ,- ••••
n+1
les relations
1. B. 7
n1étant pas i nt é 9r ab 1es ri c sorte que 1a
vitesse
x
de toute particule du solide est définie à chaque -j nstant
compte tenu de
1. B. 1
par les relations .
.
* ·v
x
= n\\J
q
1. B. 8
[
(/1 \\,
.", (1\\\\
- e
* )
0
v = 0 1
,,2
aV.C
\\\\n / ~
v
X)
, ... ····L.
v
n+ 1
Les relations
I.B.8
n'étant elles aussi pas intégrables.
Le solide
j(t)
est alors dit défini par llétat des vitesses
des
- partic ules. (V0 i r S. NIANG. r2], [8], f.9J )
rtz_
siii::w;.-
Les relations I.B.7 et I.B.8
peuvent slcppliquer GUX solides
les plus généraux définis par l'état des vitesses de leurs particules.
... / ...

---

- 13
B~ - Cas de liaisons de type tzênoffien.-
J
()
1) Lorsque le solide
j(t)
est défini par llét~t des positions des
?
pê:rticLiles, les paramètres
q\\l
(\\l:::
1. 2 •••• C~-:-l)
n'étant pas tous
indépendants, nous les considérons soumis à des contraintes de la
forme :
CI,
• B
::
a
q
e
1 .8.9
avec
CI,
CI.
il
--
a
( q \\l ,
t)
r-
1.
2
C2
\\l
--
,J,".,
••••••
n+-
S
S
j
1
"_.
q
13 -
0:: t
•q 0 :: l
Ci,
l~2 •••• p
CI.:::
p-:-l, •••• C~+l
N,V
f,
- 1 "
sont seulement fonctior.s des
c2
)
\\..1
.
\\ )
-
J. , ~ • • • •
n+ ],
et de
Nous supposerons de plus que les relations
(1.8.9)
, ,
_."
ne sont pas (en g4nêral) intégrables.
....../'(t)
est alo"r"s doit soumis
à des liaisons nor. holonomes.
Si
~~(t) est soumis à des liaisons holonomes, mais non
résolubles. de la forme:
1. B. 10
h :: p+3., ••••
On pourra écrire en d~rivant
1.B.IO
oCt
q
00
1.8.11
avec
Cl
.- t
l hiCl,J e {p+J.,••••• C~+l}; I~-. (,~ 1 P'j
JO-
\\ u )
.~ • • • .,
Dès lors on pourra, en général, tirer d~ système (I.S.li ) les
i
-Ct
• S
q
en fonction des
q
qV
et
de
t
et ramener ainsi les
relations
1.B.lO
aux formes
1.8.9 que nous Jppellerons formes de
.liaisons tzénoffiennes.
.-)
Dans tous les cas compte tenu de 1.8.9
J(t) dépend de
p
paramètres indépendants
qB t mais les positions des particules
---Ptt)
t
" 1 '
bl
l'
"
.
t
t
0~
ne son
pas en genera
exprlma,
es exp lCltement - 2
avan'
toute considération dynamique - en fonction dG
t
et seulement de
r3
ces pa~amètres
q
•
... / .. ,.

---

- 14 -
Les formes de liaisons tz~noffiennes (1.B.9) induisent sur le
fibré tangent
ID
à 1;;;. variété
ID
une sous-vël.i"iété
V, nous note-
rons celle-ci
T ID
et sur l lespace vectorie1 tangent en
D
à la
variété
JI)
un sous-espace vectoriel de dimension
p
noté
Tif
•
sur ce llFi -ci
o a pour expression
• B
:::
6 D q
S
1.8.12
avec
(j
D
+
0'.
a sa i)
f3
ex
Le S{)US-ESpâce TDID
est donc raopcrté à l (~ base
(~D= âSD+a~daD t B:::1, . •••• p) base indu'ite sur la base naturelle
,.,
(3 D
-1
2
c ' - )
par les formes (I.8.~).
v
, v -.'.,
••••• 'n+i
1
_
N.B.
Dorénavant toute quantité surlignée désignera l'expression d'un
v
oS
élément en fonction des paramètres
q
et des seules dérivées
q'
des paramètres indépendants.
Ainsi le vecteur-vitesse d'un point
M du solide s'écrit
l
i 0 \\
1
( ..
1
(
\\
,
1
\\ ::: ~ 1
i 71
,
\\x/
\\'x
1.8.13
~
• 0- 1
O-lqS
avec
:::
D
:::
(j 13 0
( 0\\
'1 \\
1
\\
\\
1
-J :: [2
1
1
(
V,
X)
L
/.
..
0- 1
_ 1
°
avec
[2
:::
0 :::
D -6j3DqS
'\\:
où
n
et
~
sont les torseurs cinétiques induits par les formes
(I.B.9)
sur.J);
ce sont des éléments du sous-espace vectoriel
TlID
soi t;1)
q u -i
s,e t r 0 uver a p p 0 r t ê aux deux bas e s
Cft f3:::
~ 0 0- 1.
e t
TI
::: 0 - 1 6e. D
13 == l, 2 ',' •• p)
S
induites sur les bases
et n :::
~
V
par les formes (I.B.9).
... / ...

---

~ 15 -
2) Lorsque le solide
~~{(t) est défini par 11état des vitesses de
ces particules~ les
qV
étant soumis aux contraintes (I.B.9)
les relations I.S.7 et I.B.8
slécrivent respectivement
-.
-* "B
1
0 =
li
., B q
1.8.14
1
-.fi
avec
D
-
n *
a
+
*
a B0
B
"B
a
1
B _. Os 1, ..... {)
i
i
2
L
a - p+ l. , ••• C 1
n+
<
-*
X
=
"s
na q
1.B.15
_1'"
avec
=
*
aa
n
*
1
r
S
n B +
na
B
!
i
B = o, l. •••• P
1
1
?
!
a - p+ l ~ ••• C~+l
c.
'Jec t e ur - ace é l ér at i 0Il d 1 un po i n_t_._(_'!__
d_u_s_o_l_i_d_e-,,~=-'f.....(_t-,-)
En dérivant (I.B.1) on obtient
/0 \\
;1
1 • C• 1
1 1
.. 1
.-
d,
( •• 1
. x!
{.X
,
.'
c, - ~~e~~~~1~~_~~_~~~!~~~:~~~~~~~~!1~~_~~_!~~~~~~~_~~~_~~~~­
~~~~§~~_e~~_~~ee~~!_~~_~~e~~~_l!~_~~_~~11~~ :
En multipliant
- -1
b gauche les deux membres de
I. C. ].
par
U
•
0 n
1
obtient:
._ /1'\\
1 • C• 2
D 1
1
tx /
r
=
t il. ~
_ 1
Exprimons alors la matrice
D - 0
en fonction des seules dérivées
du torseur cinématique
ri
nous avons
.,
'Cr
/~._
1
. . .
i l vie nt end é r i van tee ee r nie r : (1) ri _.' D-.~ D + 0 -.1. 0
d'autre part de la relation
O-} D = Ï
ŒTIil'~ricc unité d10rdre n+l]
.../ ...

---

- 16 -
/"1"
- 1 ·
Ont ire:
0 -
0 + D-
D
:::
0
scit : (2)/~~1 ::: _0- 1 ~ 0- 1
dès 10 r sen rem pla ç ant
'0=-1 par s a vû 1eur dail S { 1 ,
\\ ... 1
il vient (3)
Sl :::
1
• •
:::
_ Sl2+
0- 1 0
On
déduit alors de (3) la relation
1. C. 3
Ainsi compte tenu de I.C.3 !'expression analytique du champ des
R
accélérations du solide
~;(t) dans le repère
R
lié à celui-ci est
o \\
;' l
.
\\
1 • C• 4
! ::: (Sl + ~7. 2 )
1
r/
x/
Lavee
r ::: t A X
C2 - ~~~~~~~i~~_q~_~~~!~~~:~~~~!~~~~!~~_~~~~_~~!~t __~_~~_~~!!~~
f(t)
en fonction des coordonnées dans le repère fixe. R
--------------------------------------~------------------0
En remplaçant dans
I. C• 1
il \\
par
iXJ
\\-
-
il vient
(0 '.
j
::: 00- 1 (l')
1
I. C. 5
: ~ /
"
\\, x!
/
..
-1
Exprimons aussi la matrice 0 0
en fonction des seules dérivées du
'\\,
torseur cinématique des vitesses
Sl
nous avons
il vient en dérivant ce dernier
(l')
.
" •
1
c
· - J. r\\
i ..... -
0 mpte
t e n u de 1are 1a t ion (2)
/0':1::: - U
l i ; )
établie ci dessus, (l') s'écrit
( 31)
~ - ::: 0 D- 1+ Ô (_ 0- 16 0- l ) ::: DD- 1 _ (0 - 1D)( D- l 0)::: D0- 1_ ?i2
On déduit alors de (3') la relation
o
..
_1
'\\,
-
'\\,2
I.C.6
OD~:::
Sl+Sl
... / ...

---

- 17 -
Ainsi compte tenu de cette dernière relation J'exRression
.j)
analytique du champ des accélérations de
~(t)
dans le repère Ra
lié du solide est:
'0 \\
'\\.,0
'\\.,
l ' J \\
l • C• 7
\\ :: ( n
+ n 2 \\'1'
1
x /
, 31,
36
JI
i
\\, x/
/
On vérifie que
I.C.4
et I.C.7
traduisent respectivement dans
la base liée au solide puis dans celle de l'espace de référence
l légalité vectorielle classique:
o
<
-+f
.~
-+
J\\ --'.,
-+w 1\\ (-+w 1\\ -'1 )
=
fa +
w /
OM +
1\\
OM
C
-
Dans le cas où le solide j(t)
est soumis à des liaisons
4
de type tzéneffiennes, nous aurons les relations suivantes:
/0"
il \\
\\ Î
•
_2
/
\\
I.C.8
=
(~
+ ro ) l
'
\\
-
1
, r /
"X)
0
0
11 \\
=
(?1
+ ?F) 1 - \\
\\
!
r.
l-
X
\\ X j
o. - Cpm~osition de mouvement.-
fI."
\\
S ·
t
R
='0
~1-<)
R
(0
",,"L-
o , e n ,
,
1', J
\\.:;
0
t 0'
'-J...,o
'
.3. = , l' \\J-·l
,,3
re p,è re Sor th 0 n0 r mé s de lie spa ce a f fin e eue 1 i à i en 8n
,-r-,
~-.
,n
Rn
associé à
, les bases ( \\.,
JI
[....
seront supposées de'm~ orienta- ..
\\~~!o ' lVI ' CJ2
Ion le repère
R
est
, le repère
o
1e repère de référence de l'espace
An
o
matérialise un solide; et
est un repère intermédiaire.
i \\ ')
L
Supposons
RI
animé d'un mouvement connu par rapport à Ra
(mouvement d'entra'nement)
et
R
animé d1un mouvement déterminé
2
par rapport à
RI (mouvement relatif).
.../ ...

---

- 18 -
Soient
y
le vecteur colonne des composantes de l ·origine 01
1
CU repère:
fi
"1
dans le repère
Ra,
Y2
celui de
02
origine de
R2
cians 1e repère ['.\\ 1 de même SO'j t
Al
la matrice orthogonale de passage
~
I~l
(CI
;! C
la base
(I ,
à 1a base
J:) , A
la matrice orthogonale de passage
')c'o
1
2
/~\\~J.
de la bôSê ~...u,
à l a b0.se (2
~/ ~.
.1.
Soit
!"!
un point quelconque lié à
R ,
::
(:st donc mobile par
2
r;,'1
et par rapport à
t
dêsignons
par:
X
la matrice colonne des coordonnées de
M dans le
repère
R
"2·
x, la matrice colonne de ses coordonndes ~ans le repère RI
et enfin
x
cette même matrice colonne dans le rcp~re
P..
•
o
Nous avons les relations suivantes qui trRduisent le passage
du repère
R
b R1
puis celui de
R
à R
:
0
.<.
1
2
[x = Y +
J
Al xI
1. D. 1
..
_ xl
Y2 + A
X
2
On e:l déduit :
l .0.2
=
Y,
+ A"
Yr) -1- 11",f1,
X
~
.L
t.
2
&
Les relations 1.0.1 et I.D.2 s'écrivent respectivement
/1\\
( i
o :::
= Dl
avec
J.
\\ X /
. ,.
1,. ..
I. 0.3
/1 '\\
/". \\ = [I.?
;
1
~
~x)
avec
1
1
\\ x- i
!
l'
Y2
et
/ l \\
1.0.4.
=
l
,
1
)
\\x)
... / ...

---

-
19 -
Ainsi la matrice
0
exprimant le déplaceme~t du solide par
rapport au repère fixe est le produit de la matrice
0,
exprimant
.!..
le mouvement d'entratnement
(mouvement du repère intermédiaire RI
par r a pp0 r tau r e pèr é: f i xe
r~ 0) par l a in atri ce!' 2
exp r i in ct nt
1e
mouvement relatif
(mouvement du repère
R
lié au solide par rapport
2
à
RI).
D'une rnanièn:- générale si
les
Ri
= (Oi'
ctJ;) i =0 J l, .••• n sont
n+1
repères de 11 espace
fj n'où R = (00 (Yb) est 1e repère 4-- •
o
J
[ 1 xe
e t
Rn = (0 n' a~)n )
1e r e père 1i é aU sol ide
j' (t )
et si
D.1 =~ ~l
L.
1
i
--'
i~1,2 •••• n
est
la matrice exprimant le déplacement du repère
R.
par
1
rapport au repère
R.
o
l '
la matrice
exprimant le déplacement du
1 -.1.
solide par rapport au repère fixe
R
est le produit des matrices
o
D.
pour
i=1,2 • •• n
1
n
o =
TI D.1
i = 1
0 -
Vecteur-Vitesse d'un point
M de
j(t)
Vitesse d'entrai-
1
nement Vitesse relative.
En dérivant
1 .0.4
par rapport à
t
on obt-jent
(~\\
,)
_
L
('
•
(1,\\
I. 0.5
= Dl 0 r,
+ o "
(
1
)
f'2
j
Xi
1) Expression du vecteur-vitesse dans le rep~re fixe
·1 "
en remplaçant
(
\\ par
f)-l D- 1( 1\\:
dans
1.0.5
-X)
2
1
1
- xl
On obtient l'expression analytique du vecteur-vitasse du point
M
dans la base fixe ûDo /°\\, '\\,
6
:)
'\\,
1
D-.~ ('
~~~
'\\
(d = n
+ D
\\
uO 1
Q2
l
.1 \\
j
1 • f.) 4
·x
'\\,
-1
.
Q.
""
..~
avec
- D.O.
1:::J.,1-
1
1
1
1 ...
• • • 1

---

- 20 -
•
On remarque que la vitesse
V =
o
x
du point
M exprimée
dans la base fixe
Cu
s'écrit
o
V =
o
V
+ V
eo
r o
avec
où
Ve
et
Vr
sont respectivement la vitesse d'entratnement
o
' 0
et la vitesse relative du point
M exprimées dans la base fixe
Cbo
~~j?,,:,--
/c;.'( l'
c (';J/~,
2)
Expression du vecteur-vite'$'se/(ran-s"","')~' base intermê-
ffi
'
'~!h~~
dia ire' "'1
en mu l t i pli an t à 9 au che 1ei(; d~u x,, im e_mbr e~' deI •0 • 5
par 0i 1 puis en remplaçant (1)
par\\\\6~~(1~)~i'
.
X
"
-x 1-
,,0
'" '
"i"\\:
''-., ':0 ~~:..
l'on obtient
1.0.7
'.
'CJ CJ ?t2 C)
=
nI
+
Xl)
avec
VI =.tA1~
QI :; D- 16
?t = 0 0- 1
1
1
2
2 2
On remarque ici aussi que la v1tesse
V - tA ~
du point
M
expri ..
1 -
1
mée dans la base intermédiaire 63
s'écrit:
1
V =
+
l
V
V
e 1
rI
avec
CV'\\.
.~
J
nI
(0
1
e 11
lV =
r1
~2
(:1)
(:1)
où
V
et
V
sont respectivement la vitesse d'entratn~ment
el
rI
et la vitesse' relative du point
M
exprimées dans la base
Lb!
.: • •1•••
. .
...
(

---

- 21 -
3)
Expr~ssion du Vecteur-Vitesse dans la base
liée
au solide en multipliant les deux membres de 1.0.5 par
l'on obtient
(:J·
1. 0.8
1
C)
D2 n1D2
+ n2 ( : )
avec
n. = O:l Ô.
i=1.2
l
1
l
On observe ici aussi que la vitesse V
du point
M exprimée
2
dans la base 05
s'écrit
2
avec
où
V
et
V
sont respectivement la vitessed'entraînement et
e 2
r 2
la vitesse relative du point
~1 expr imées dans l a base (1)2 - 1iée
au solide.
Ainsi les relations I.D.6
1.0.7 et 1.0.8
généralisent successivemen'
t
d
1
b
fi\\)J.i
/):J.
e t (1"l2
l ,..
l' t é
01
l l
l
.
ans
es
ases
LUo ' GJI
VJ
ega l
vectorlQ
e c asslque
dans
m3 : la vitesse absolue
VR d'un point M est la somme de
sa vitesse d'entraînement et de sa vitesse relative
.,.
....
....
V
= V + V .
R
e
r
D - Vecteur-accélération d'un point
M
accélération d'entra'
2
nement, accélération relative et accélération de Coriolis
oé .'r i von s 1. 0 .,5
nous obtenons ;
•
•
'1.0.9
(1\\
.. (1)
x) + 0102 -' X
1)
Expression du vecteljr-accélération dans la base fixe
C50
en remplaçant
(~)
on obtient :
• • . 1. 0 •

---

- 22 ...
(:) .. -1
= °I D
n .• 1 (1~
0 D
+ 2 °1 2 2
xl + 01 ..
(0 2°2 1
) Dilt)
x
l
\\x
mais nous avons compte tenu de I.C.6
D.D~l =
~. + ?t2 .
i = 1. 2
1
1
1
1
dès lors l'expression analytique de l'accélération dans la base fixe
(Bo
s'écrit:
On remarque que l'accélération
r
= x
du point
M
exprimée
0
dans la base fixe (Bo s'écrit ..
r
= f
+ 2f
+ r
0
eo
Co
r o
où
f
f
et
r
sont respectivement les accélérations
eo
Co
r o
,
.
d'entraînement. de Coriolis et l'accélération relative exprimées
(p,
dans la base fixe
W o •
2)
Expression du vecteur-accélération dans la base
' ,.
intermédiaire
CD
\\., 1 0
en multipliant à gauche les deux membres de 1.0.9
par
et en remplaçant
C) par 0-1 (1 ) on obtient
2 (x 1
C\\
..
"
o.
O-.l.
1
1
01
O
1
2
rI)
C)
=
C) + 2(Oi Ôl)(Ô2°i;I) C) -l' 20
avec
fI = tA
)(
1
mais compte tenu de la relation 1 • C.3
nous avons
..
0: 1
Q. + n~
°i
=
1
1
1
. 1 .

---

- 23 -
dès lors l'expression analytique du vecteur-accélération dans
la base intermédiaire
CD s'écrit
1
"1.0.11
avec
f
= tA
x
1
1
On remarque ici aussi que le ve~teur·accélération fI
d'un
point
M exprimé dans la base (],
s 'écrit ~
.1.
fI = f
f
+
f
el
+ 2
cl
" rI
avec
où
sont respectivement les accélé~ations d'entra'·
nement, de Coriolis et l'accélération relative exprimées dans la base
intermédiaire
Qj1
3)
Expression du vecteur-accélération dans la base
~2
liée au solide.
en multipliant les
2 membres de 1.0.9 par
0- 1 0"'1
on obtient
2
1
t)
..
0- 1(0- 1
2
1
Dl) (J + 2 02 (Di °1)°2 C)
=
1
l'
X +
f 2
avec
r
-
tA
- tA tA ...
2 -
fI
2
-
2
lX
d'où l'expression analytique du vecteur-accélération dans la base ~
O
(n +n )02
2(0
0 )
2
1
1
2 n1 2
+ (ni +
I.0.)2 (;J
-1·
2
" 1
G
=
(~) +
2 (~)
•
GN~)
avec
f
= tA
f
::
tA tA··
2
2
1
2
lX
. • . 1 .....

---

- 24 -
On observe aussi que le vecteur-accélération
r
d'un point
M
2
i-'
exprimé dans la base
( l'
. \\
,-u2
liée au solide s'écrit:
avec
où
r
,r
et r
son t. r e s p e c t ive men t les acc ê l é rat ion s die nt rat -
e
c
r
Z
2
2
nement, de Coriolis et l'accélération relative exprimées dans la
base
CD 2 liée au solide.
Ainsi les relations I.D~10, 1.0.11 et 1.'0.12 généralisent
t
successivement dans les bases l'6
et
1
o , cB
03
1 éga 1 i té
vectoriellE
1
2
classique dans
]R3 de la distribution du vecteur champ d1accélération
des points du solide:
rR= r + 2r + f
e
c
r
avec
f = -+ 1\\ V
c
W
r '
où
rR ' re ' f c et f r sont respectivement l'accélération absolue
du point
M, les accélérations d'entraînement, de Coriolis et l'accé-
lération relative.
03 - Applications
1) Mouvements inverses
RI
et
R
étant deux repères,quelconques en mouvement l'un par
Z
rapport à l'autre dans l'espace affine
~n les mouvements de RI par
rapport à R
et celui de R
par rapport
2
2
à RI sont dits i nver S~$
l'un
de l'autre.
-
Considérons deux points Ml~M2
respectjyement lig$ à RI
et Re
et tels qu'à l'instant
t
Ml
et
Me· colncident •
.../ .~ .

---

- 25 -
Dans ces conditions nous aurons
1
1
V
'1.0.13
12 + VJ.1
= 0
[
2
2 _
V
+ V
~ 0
12
21
k
où
V
M.
ij
désigne la vitesse du point
1
• lié à R.
par rapport à
1
vitesse exprimée dans la base de
avec
~} 6 {l. 2} i ~ j.
; }
Désignons par
o.. =
avec
6' {l, 2}
lJ
• i ~ j
3
[:..1J :.J1J
la matrice exprimant le déplacement de
R.
pat rapport à
R.
1
J
alors nous aurons :
(:~.) =n..lJ C.\\}
X~ /
1 J
1
1. 0 .14
c~ =?l..
.J
lJ
lJ
CJ1
avec
~} e {l, 2}
i 1 j
J
où
x~
désigne la matrice colonne des coordonnées dans le repère
1
du point
lié à ce dernier et
x~ la matrice colonne des
1
coordonnées dans le repère
R
du point
MiO
j
Dès lors les relations
I.O.13
fournissent compte tenu de 1.0.14
et en observant que
x~ = xj (les points Ml et M2 étant confondus
à chaque instant)
Q12 + ?t21
= 0
'1.0.15
[ ':li
(;
0
~l12 + ~G21
=
Les relations 1.0.15 généralisent dans
mn l légalité vectorielle
classique pour les mouvements inverses
Q12 + Q21
= Ô
où
nij est le vecteur rotation-instantanée du repère Ri par
rapport a~ repère
R.J
••• J.• ••

---

- 26 -
2)
Solides de 8n en contact: Glissement - Roulement
(~\\
Soient 51
et
j~
deux solides en mouvement par rapport à un
référentiel fixe
R0
de lie spa ce af fin e de di men s ion ..~
et r est an t
constamment en contact •
.
Désignons par
1
l lun des points de contact et supposons qu'au
•
...0
point
1 ..
-..J
et
J admettent un
1
2
~hY-Peri.~.,~p t â n·9 è'ht .Cgmmün (confère
n
15 §B.2 page 116).
Le mouvement de
-r
par rapport à
vI
52 résulte à chaque instant
d'une translation· de vecteur-vitesse
v (vitesse de glissement
"
9
de
et d1une rotation de
par rapport à
définissant le roulement
(de 3
par rapport à
jP2)
1
On a de façon classique :
'1.0.16
=
-( Vi/y )
.
1 (
,
•
où
èst la vitesse du point
l
(vi/~)
par rapport au solide :Jj
( .
. J = 1,2)
ou ce qui revient au même par rapport au repère
R.
lié
J
au solide
J
ces deux vecteurs
j
=.:
1,2
étant tangents
j
(v ifj)
J
•
en 1
aux solides
la vitesse de glissement
Vi
étant dans'
1.J
9
l'hl~etplan tangent commun.
Nous avons les relations
n
,1.0.17 (:iIJ~ o,j CJ
=
J
avec
j
= L 2
Q
•
où
désigne le torseur cinématique de déplacement du repère
O,J
par rapport au repère
R.
( j = i , 2 )
J
•
.la matrice colonne des coordonnées du point
1 dans le
repère
Ro•
dès lors la relation 1.0.16
slécrit compte tenu de 1.0.17.
• • •1•• ~

---

- 27 -
-
(\\
CJ
(1 \\
I.:D.18
QO.2 . Xi) - QO,l r x· )
\\
1
de plus on déduit de
1.0.15
QO .
- - ?t. 0
avec
j
:: l,
2
.J
J ,
où
?l. 0
est le torseur cinématique de déplacement du repère
J J
R • (j = 1, 2)
par rapport à
Ra
en le notant simplement
~j
J
1.D.18
s'écrit
la relation
1.0.19
traduit la relation classique connue dans
]}l3
(2)
v = V·
~
e JI) - vI ( 1
9
1 ( 1
e 1 )
2
~
•
où
VI ( 1
.J?
est la vitesse du point
1
considérée comme
e '.)
-..IJ
appartenant au solide
S·J
...
:
/:." ..
\\

---

-
28 -
E - Constantes de structure de la connection affine définie
.
par le repère mobile.
Considérons llespace des repères affines orthonormés
de même orientation
R = (O. GS)
où
0
~st un point de l'espace
af fin e eue 1i die n
ft net f"-J = (e1• • •• en) une base 0 rt h0 normée
de
1R n
soi t
R0 = (0 ,
CPJ
0
o ) un repàre fixe de cet Espace. Ç~d~rons
la relation ~I~A4! qui défimit une transformation linéaire de cet espace.
(a)
Utilisons la différentiation extérieure.en différentiant les
,
deux membres de
I.A.2. On obtient:
1. E.1
dR = Ro dO
pUis en remplaçant dans
I.E.1.
par
on obtient
dR
=
R Dd
J t
avec
Dd = 0-l dO =
t
~ o a = Ad , wd =tAdA
l • E. 2
wd
·CIl
w = 0
d +
d
dR
contient le vecteur
dO= e.o
des I-formes ; différentielles
des composantes de la matrice
y
exprimées dans la base 6:> et la
matrice ligne
de = e w
avec
e = (el' e •••• en)
des l-formes
d
2
des vect e urs
e i
exp r i mé e s dan s 1a bas e (f).
La matrice
des I-formes associée au torseur cinématique
g
définit une conne X ion affine sur llespace
[is]
les relations I.E.2
sont les équations de structure de celle-ci
(b)
Remarque
I.E.2
slécrit sous la forme finie en dérivant par
rapport au temps t :
.R = RD
t
1.
0
t
E. 3
avec
g = 0- 16 = [:0 :] V = Ay
W ::
AA
o
t
W +
w
= 0

---

.. 29 -
•
où
R
contient le vecteur vitesse
dO =
du P9int
o et 1a
dt
matrice ligne des dérivées par rapport à
t
des vecteurs
e·l
e = e.lJJ
en détaillant les calculs dans le cas
n=3
on observe que cette
dernière traduit la relation vectorielle classique
-+
dei
-+
= w "e
i
= 1,2,3.
.
.
dt
l
-+
où
lJJ est le vecteur rotation instantané.
(c)
En prenant la différentielle extérieure de
I.E.2( on acompte
tenu de la propriété classique de la différentiation extérieure
d 2 R = d(dR) = 0
l • E• 4
étant le produit matriciel accompagné du produit
extérieur cntre les I-formes de d R
et les l-formes de
Qd
la matrice
d nd étant la matrice des différentielles extérieures
des
I-formes coefficients de
nd
compte tonu de
I.E.2
,
I.E.4
slécrit
1
1. E. 5
+
d Qd) = 0
les vecteurs de la base
(b étant linéairement indépendant!l_ on
observe que
I.E.5 équivaut à la relation
1. E.6
qui fournit les conditions d'intégrabilité du système
(UO':
da
+ a I\\lJJ d = 0
1. E. 7
r d lJJd + lJJdÎ\\lJJd = 0
Remargue
Dans le cas précédent où 1a matrice orthogonale
A est
donnée la condition I.E.7 est trivialement vérifiée.
2
.'..'/".....
;
~

---

- 30 -
(d)
Considérons le cas où la connexion affine, c'est-à-dire la
t
matrice des l-formes
w
=
d
0
est donnée ; de
sorte que l'équation de structure I.E.2
et la condition 'dJinté-
1
9rab 11i t é 11. E• 7t
r est ant val ide s •
Dès lors en observant qu 1 i 1 niya ici aucune raison de poser
d 2 R = 0
on d~duit de I.E.2
par différentiation extérieure
1
1. E.8
posons
1.E.9
en détaillant les calculs on observe que
Qj) s'écrit compte tenu
lfIJ
LE .10
= ra '
aJ.
lo
e
. avec
la relation I.E.8
s'écrit alors:
I.E.ll
ou plus simplement
1.E.12
la matrice
0
est appelée matrice de courbure de 1a connexion
wd e
Les équations de structure de cette connection se résument comme suit
dO
= e.(1
de
= eWd
t
LE.13
w
+
- 0
d
wd
e
=
dWd +
wd !' wd
Nous avons aussi outre la condition I.E.7
: da
= 0
1
+ (1Àwd
les autres conditions d'intégrabilité du système qui s'obtiennent en
différentiant I.E.9. On a successivement
.
,
'l'·'
1
; ,
:

---

.. 31 -
= 0 + cl ( nd ) 1\\ n<il
fldf\\ d fl d
<ŒD - Sld/\\fld)Afl
n , 1\\ ({El) -
d
d
Soit
I.E .14
I~E.14
traduit l'identité de Bianchi
en détaillant les
calcu1sI.E.13 s'écrit
dG
= Gl\\w
w f\\ 0
d
d
1. L 15
[ eAo .- 0
Signalons enfin pour terminer avec ce sous paragraphe (d)
que en vertu du Théorème de H. FLANOERS établi dans [15J
(&7.4 page 102)
par application du Théorème de FROBENIUS qu'étant
donn~ une telle matrice antisymétrique de 1-formes
wd il existe
une matrice orthogonale unigue au voisinage de
0 e Rn
vérifiant
avec
A :: t
(matrice unité d'ordre
n) si et seu1e-
o
ment si
est nulle.
(e)
Considérons dans l'espace des repères affines orthonormaux
de même orientation deux repères
R
=
1
(0 1, U)l) et R2 = (° 2- 632)
Ôj -
2 -
( e ~ • • • • • •
Soit
la matrice
déplacement de
R
par rapport
2
à
R1 ; Dl et O2 les matrices
de déplacement des repères
R1 et R
par rapport au repère
2
Ro = (° - (1\\) fixe.
0
On se pose la question de savoir quelle est la loi de trans-
formation cntre les connections affines
nd et fld
définies par
1
2
les, repères mobiles
R
et
R
1
2.
of' . ,
."..
o
• •
..- ..

---

- 32 -
Nous avons les relations suivantes analogues à I.A.2
R
= R .
1
Dl
0
LE.16
R
= R
D
2
O
2
R
= R
2
1 °21
des relations LE.16 (1)
et ( 3 ) • On déduit
R
=
R D
=
R
2
1
21
O Dl D21
il vient alors par différentiation extérieure
dR
= R0 U
+
2
dOl) D21
Dl d D;l]
puis en remplaçant
= R
D- 1 D- 1
2
21
1
On obtient
LE.17
-1
d R
= R E-1
+ D
d
=
avec
0- 1 d
2
gd
2021
°21
12
1
1
°121
"d
Dl
1
mais nous avons aussi
d R = R
n .
avec
= 0- 1 d 0
2
2
d
"d
2
2
. 2
2
en rapprochant ces deux dernières relations il apparaît que la loi
de transformation entre ces deux conneXions est:
=
."' •• J: • ••

---

- 33
_
Chapitre
2
· C I N E T I Q U : ]
ECRITURE MATRICIELLE DES FONCTioNS FONDAMENTALES
ATTAC~EES AU CORPS SOLID~ A,n DIMENSIONS~-
A - Energie cinétique
Remarquons que dans l'article intitulé "Sur la mécanique
analytique du corps solide" [1)
M. LANGLOIS n'a défini
l'énergie
cinétique (et le torseur cinétique) que dans la base de l'algèbre
de Lie 5D déduite de la base naturelle par la translation à gauche
-
(voir chap. l ,§B )
il serait intéressant comme nous le verrons par
4
la suite de définir aussi ces éléments dans la de~xième base, celle
déduite de la base naturelle par la translation à droite.
On notera - comme nous 1 lavions déjà annoncé dans l'intro-
duction - que les écritures de ces éléments dans les deux bases ci-
dessus mentionnées ont une signification particulière car elles
s'interprètent dans l 'une et dans 1 1 autre comme étant les expressions
-
de ces éléments en fonction des coordonnées res~ectivement par rapport
au repère
R
lié au solide et par rapport au référentiel fi~e Ro
choisi.
!)
Ssit un solide J
défini par une distribution de masse
attachée au repère
R
lié au solide 5 occupant une région
n-dimen-
sionne1le de
mn•
(a)
M. LANGLOIS
a défini la force vive
2T du soliàe 3 par
r
II.A.l
2T
=
:'
V2 ( M) dm (M)
JMe~f'
et a remarqué que cette dernière pouvait s'écrire sous une forme
matricielle remarquable
:'0\\
(1\\
En effet nous avons
(I.B.2)
!\\V)=n
x)
d'où
V2 = (0 t V) (0\\ = (1 t X)
t Qn (1\\
,
1
1
"v/
,x/

---

- 34
_
Faisons alors la remarque suivante :
Soit
u
et
v
deux vecteurs de
ffin
A
une matric2 carrée
d'ordre
n
alors le produit scalaire
tu. A v
peut s'écrire sous
la forme suivante
n
n
t u... q v =
E
E
A.. u. v.
=
j==l i=l
lJ
l
J
où
vtu
est une matrice carrée d'ordre
n.
En posant
Z = (1 "'J' il résulte de cette remarque que l'on
\\ X,
peut écrire :
V2 =
t Z (t nn) Z =
t r [( t Œl) ( Z t Z )]
est la matrice de GRAM [5] t matrice carrée symétrique
d'ordre n+1
- Dans
2T
on peut sortir du signe somme la matrice
n'intervient pas dans la sommation ~.On a donc
"1
2T
=
dm(Mj
Tous les calculs effectués on obtient alors
.
t
HI
II.A.2
2T
:;
tr ( n Q ·JL )
m
t x ".
m
G
\\-{j
(
t
1
av ec
_J
•
1.. =
J
,,( Z Z) dm(M) =
MeJ'
mX,-.
K
~
.../'...
'

---

_ 3S _
où
K
est la matrice symétrique d'ordre
n
définie par
l
K.. ::
x.x.
dm(M)
Xi
i:: 1. 2•••,•••• n
désignant les
l J
r~€j
l
J
éléments de la matrice colonne
X des coordonnées du point courant
M du solide dans le repère LE) lié à ce dernier.
';-! 1
La matrice symétrique ~r~ contient donc toutes les informations
sur la distribution des masses:
m est la masse du sOlidej
;
XG la matrice colonne des coordonnées dans le repère lié au solide
du centre d'inertie de celui-ci
K la matrice carrée d'ordre
n
des
(n+1)n
produits. d'inertie
2
de la distribution de masse, par rapport au repère
R
lié au solide.
* Il appara'it que la force vive 2T est sauf cas exceptionnel une forme
"quiJdr~tiql!c; définie pes1tive s'Jrl; c'est la norme de H1LBERT-SCHMIDl
induite par la matrice symétrique~v sur la sous-algèbre de Lie ~
).j
r
-l
de
d,&(n+1)
Lchap.O
§A
et on peut écrire
2 • 2J
II.A.3
(b)
Nous pouvons aussi définir la force vive
2ï par :"
lLA.4
2T
=J ,~2(M) dm(M)
MeS
Nous avons
(1.8.3)
d'où
=
(0 t
avec
=
t
nous avons d'ailleurs
z z
::
. •.1. . •

---

-31 -
Dans
2T
en faisant sortir d~ signe somme la matrice
t~ ~
qui n1intervient pas dans la sommation on a
Tous ealculs faits on obtient alors
II.A.5
m
'ù
K
L
aD
~ est la matrice symétrique dlordre n définie par
les éléments de la matrice colonne
x
des coordonnées du point
courant
M du solide par rapport au repère fixe
Ro'
"\\ "
t'V
La matrice .Jt
co nt i ent (comme \\Y ) toutes les informations
sur la distribution des masses: en particulier la masse
m du
solide.
x
la matrice colonne des coordonnées dans le repère de
G
llespace de référence du centre dlinertie du solide.
la matrice carrée d10rdre
n
des
(n+1)n
produits dlinertie
2
de la distribution des masses par rapport au repère
Ro de l'espace
de référence.
Remarquons que 'Ion a :
II. A. 6
Dès lors il apparaît que si la matrice dlinertie Je est cons-
tante puisque ses coefficients ne sont pas fonction du temps
t
.,
" ' v
la matrice~:t elle est variable car fonction de la matrice
D(t)
exprimant le déplacement du solide par rapport au référentiel fixe
Ro choisi.
.../:...

---

- 37
-
.
ll.A.?
r
,,'\\. 'J""
~~ .,..".
2T
=
lt
'V-
tr; ?l ?t ---,
-
....:
......
::','
L
-
(cl
Remarques.-
sauf cas exceptibnnel
î. - L'énergie cinétique
2T d~f1f1it donc~n produit scalaire
LTl
sur d.J
elle définit aussi une métrique riemannienne sur la variété
ID
une métrique riemannienne invariante par l~ translation à
gauche comme le remarque LANGLOIS
. Nous avons;~',
•
•
H .A.8
2T
=
Qin
= DIO
;'")
ii. -
Dans le cas oD le solide J'est soumis ~ des liaisons du
type tzénoffien
I.B.5, nous aurons
~J
- -jJ
rI.A.9
2T
=
~.~ li
iii. -
Déterminons pour la suite la différentielle de l'énergie
cinétique
T
par rapport aux coefficients des torseurs cinématiques
ri.
'et
?t.
,* En effet de II.A.2 on déduit
t
'r\\
t
",,~
2 dT'
= t r (d n fL':\\. +
Q f
ri. --' '-' )
=
t r ( t d Q Q~Y,) + t r ( t n dQ }'\\.. )
=
( t
"K)+tr(td<"\\
'1))
tr
d Q .
Q~\\,
\\
~G n"r_
=
t
'1{
2 t r
( dQ , Q. • (" )
Soit
H.A.lO
dT
= tr (dQ , Qr~) =
QX .. d Q
ru
On notera une fois encore ici le fait que la matrice
JL
est constante.
. ~.' .. /' .'..

---

_ 38
De même de
.
II.A.?
on déduit .
F·....
t?t ?! ç>
2 dT
tr
t~ d ?tX + t?t ?t d"V )
=
(d
J'v +
~.!..'
",-...'
t r ( t ?td ?t i )
" J
= tr ( t d?! ?tJ'L. ) +
+ tr(t?t?1dY,-)
' v
'~""J
~
=
tr ( t ?!?!"V.
d , , )
+ tr(td~~~K ) + tr(t?1?i dY~) .
'~.• 1
"-'
= 2 tr(td?t?tYL) + tr ft?!?! d 1~ )
or de 1a relation II.A.6
i 1 vient successivement
~
t
t
d J{ =
d ( 0 y.t 0 )
= d 0 1... 0
+
0 1\\.. d 0
= (d 0 0 - 1 )
DJ:""t 0 " +
( Dyt 0 ) t ( 0 -1 t dO)
= (dDO- 1) (O)~tO) + (0 JJtO)t(dDO- 1)
Soit
=
').,d'}~ + :~< t ').,
~l
,J ,,'
~ld
ILA.ll
avec
?td
= (dO)
1
0-
,""..
en reportant dans
2 dT
l'expression de
dY.....
on a
'\\..,
2 dT = 2 tr (td~ ~i) + tr [t?t?t (?tdK+ i
t?1 )]
d
'v
t
.:~
.iL) + tr(t?i ?i
t?t )
= 2 tr(td?t ?!J<,) + tr( ?t?t?td
.d
....--.....
.~
t?1?1X)
= 2 tr(td?t ?(J() + tr (3':", t~?t?td)
+ tr(t~d
..•..,.~
' \\ J
IV
2
t ~ ?tt
tr(t?t
t?t ?t '\\':
+ tr (?1.
t?l ?lX)
=
t r ( dJi~) +
J~)
d
d
"1""
(t ?! ?t:'Y )
2
2 tr(t~d t?t ?1 j{ )
=
tr
d
)\\.r
+
d'où
ou
II.A.12
dT
=
B
Torseur cinétigue
f t
~
jl
nX, et?t1L sont' des éléments de l'algèbre de Lie O'II''6(n+l)
de
GL(n+l). et nous avons:

---

- 39 -
aT
j
=
n
_.
i
=
J
r(
0
0
i_ rn
m
0,;:
V~XG+J avec VG Vo+wXG
an
Vr
l'I.8..1
-1
~'\\.-'
r 0
cH
?i 'l'
=
J\\.,
=
a?t
o
'"
t
",""
m x
.L
G
m(y-wy) x G+t>!/( .'
Définissons le torseur cinétique par la projection orthogonale
1: (respectivement
f) de la matrice nJ'L (resp ?t3{) sur
1a sou s - al 9è br e de Lie:D de
jvt,( n+1) •
Nous obtenons compte tenu de la remarque
R
(chapitre 0
1
paragraphe A.~l)
r 0
0
l
-'0
o
!\\,:tr
,..,
e-,.J :#'
n. '8. ~
~ :: ( n.J.)
=
~= (?i J{)
::
1
•
m VG
Co 'J
m xG
-
i
2
2
t
0
où
V ,=
A Y + wX
et
x
sont respectivement les matrices colonne!
G
g
G
des coordonnées dans la base liœau solide puis dans la base de
référence de la vitesse du centre d1inertie
G.
00
::
m (Votx G - t XG t vo ) +
wK + Kw
représente la générali-
sation dans
mn du moment cinétique en 0
(origine du repère lié
au solide) défini par le 2-vecteur suivant dans la base lié au solide
r
1
X(N)
' " V(M)
dm{M)
avec
X(M):: OM
...J Mej'
"-
::
•
'"
t
t
0
' "
m (y -
wy)
xG - x G (y- wy) +
°0 o
représente la généralisation dans
ffin
du moment cinétique en
0 0
'.
(origine de llespace de référence) défini par le 2-vecteur suivant
dans la base de référence :
(
x(M) /\\ ~(M) dm(M)
avec
x(~1) = a M
o
-l MSj
.../ ...

---

_ 49 _
Notons que nous avons la relation:
qui généralise dans
mn la relation vectorielle classique
=
Re m aY911e~:
(i)
nous avons la relation
II. '0.4
2T
= Q
l
0
= ?t ·l
(ii)
compte tenu des relations II.A.I0 et II.J~.12 l'on a
II. 8 ..5
[ dT = l ..dQ
r-...-I
dT
=
2pd~ + t?l ?lX .. ?ld
( i ; i )
On peut simplifier l'expression de 1 1 énergi e cinétique
\\1]
en diagonalisant 1a matrice _~ 1_.
pour cela on procède en deux étapes
On prend pour origine du repère lié au solide son centre
d'inertie
G
alors
X =
G
0
et .i L., = l m 0
0/
0
K ]
On choisit ensuite un repère tel que 1a matrice
K
soit diagonale
Un tel repère est principal d'inertie.
c - Le cas n=3
En explicitant la matrice
l
t
on note qu'elle contient
les éléments de réduction en
0 du torseur cinétique:
- le moment linéaire
m V = m(V
)
qui cot'respond à la
G
o + w XG
.~
-~
--4->-
relation vectorielle classique
m V
=
G
m(V o + w/\\o6)
t
. t
lemoinent angulaire
,-::rO = m(VoX
-
XGV
G
o ) + wK + Kw
~
---:,
qui correspond au vecteur
,-~O)
OG 1\\ mV
",,'
=
o
où le vecteur
\\-1
-"')
jo.~· correspond à la matrice antisymétrique
d'ordre
3:
wK + Kw
.... / ...

---

_ 41 _
Jo
étant le tenseur d'inertie classique dans
lp,:3.
·
On a :
III
-1
-1
21
31
·
.
-1
1
12
-1
22
32
.
·
.
-1 13 -1
1
23
33
avec
= j Me r x~ x9., dm(M)
.
~
(
.
l
=
,
rr
J x2 dm(M) + 1 2
!
c,
X JI. dm (M)
Me f ' h
'r
~
1
~~ ~ 1,2,3 h~11r
-'
.... Me....
,
•
ou les
I h9.,
(h~9.,)
sont les produits d'inertie de J (t) par rapport
aux plans
(0, eh' e9.,)
du repère
(0, el' e 2, e )
3
•
les I
sont les moments d'inertie de 5(t) p~r rapport aux axes
rr
(0, er ) de ce repère.
Par contre la matrice
K
figurant dans
slécrit
0'0
KIl
K
K
21
3l
K =
K
K
K
12
22
32
K
K
K
13
23
33
avec
Kh9.,
= K9.,h
= j
X X
dm(M)
~} = 1,2,3
t~e l
h 9.,
T1
On remarque alors que les matrices
~o
et
K sont liées par les
relations :
=
et
=
En exp lie i tan tau s sil a ma trie e r 0 n no t e qu' e11 e co nt i en t 1es é lé-
ments de réduction en
00 (origine de l'espace de référence) .du tor-
seur cinétique:
le moment· linéaire
m xG
~
t
t·
- le moment angulaire en
00
GO
= m(x Gy - y x ) ;-
G
o
qui reçoit llécriture vectorielle classique dans
]R3
-+-
GO
= P /\\ ad + (;0
o
o
0
où
est le moment linéaire.

---

- 42 -
D - Energie d'Appell
S.-
(a')
Définissons l'énergie d'Appell du solide j' pal'
2 S = f T 2 (M) dm (M )
JM€~t
.J
(n
nous avons
e)
(I.C.4)
= (Ô +0.')
donc
r'= (0 t r ) C) = (1 t X) t (fi +Q')(Ô +Q')
=:
ttr[t(Q +n 2 )(Q +n 2 ) tztzlJ
avec
en sortant du signe somme la matrice
.-
vient pas dans la sommation
on a :
2 S
= tr [t(fI +Q') (Ô +Q')
r (ztZ) dm(i'1) ]
JM€j
Soit
II.D.2
2 S
= tr[ t(Ô +Q2)(fI +Q')]J = (fi +Q'). [(si+Q')'X]
en développant cette expression on obtient aussi
11.0.3
o
2 "k'
+
2 n. SG ..J't,
+
(b)
On peut aussi définir de façon analogue
2 S
par
.
2
lI.D.4
2 S
=
J
. x(M)
dm(I\\1)
~Mej
alors on obtient tous calculs faits
II. 0.5
ou encore
•
r-J
A..J
l'I.O.6
+
2 ~ • ~ .JL. + ?F
~~ J{
0
(c:) - Remarque
L'expression
25 dans le cas de liahrons du type
tzénoffien s'écrit:
......
r s • ~J<+ o -2"1'1 -2 -~J:.
2
=
no
2 n .. Q~L.+
n '" n- L-
-
II.O.7
. .
2
- -~
•
-2~~
1
?t
~i
•
2 S
=
~~~:K.+ 2~~?tX+
L
.' • • 1•••

---

_ 4·3
_
(Î),
E - Energie de Niang : ,-;l.
( a )
dé fin i s son s l ' é nerg i e deN i a n9 ([2]
p
[8J. [9] dus 0 1ide f
par:
J
2 ih
=
t!"~M)
dm(tvl)
..' l",
• V(M)
I·I.E.1
.
Me.J
t
•
.avec
fJ = t p. ~
v =
A x
où lIon a
en multipliant à gauche les deux membres de cette dernière égalité
par
1
D-
, on a :
1
TO
( : )
=
D-
B (:)
avec
1 = t
•
A ~
..
_ 1 :.
Exprimons la matrice
0-0
en fonction des dérivées du torseur
cinématique
n ., de la relation 1• C• 3
..
-
~.
0
il vient par dérivation
[)'~rD + 0- 1 Ô = n + n n+ U Q •
..
"'---'"
or
0- 1' 0
-- (0- 1 0 0- 1) 0 - _ (0- 1 0)(0- 1 0) = _ Q(Q+~2) = _ UQ_-n 3
d'où
II.E.2
D- 1 'a
= U + ns:2+ 2 un.-/- u3
On a alors :
'0
tIr'
r
tla ) ( )\\
LJ •
v = (O
=
\\ V
Les calculs s'achèvent comme dans le cas de
2 S
etPon obtient
2C1. = tr[t(Q +ns:2 + 2UQ ..ru 3 uXl
)
••
0
0
3
':~. ,
= (U + Q n + 2 U Q -+ U ) 9 U J"l..
= n'" Q 'iL + n
ul tu
4)
+
2 n• tu U JL...
Q 3 ..
U J~
-,
On vérifie alors par le calcul que
d'où l'expression de
2(JL.
.../-....
,
'.'

---

- 44 -
(b)
Remarque
Nous avons les relations suivantes
.. .
l'.
t
2UJ-
"1/
=
0 / 0
=
tr
D D j,
L
~' L,
.. ..
t ..
0 s =
0 / D
=
tr
D oJL
.
. ..,
t
...
2 ï
=
0 / 0
=
tr
D o,~y:'J
En dérivant deux fois la force vive
2 T
nous obtenons successivement
.
•
..
..
2 T
= D /0
+
0/0
=
2 D / 0
.. .
..
soit
T
= 0/0
ensuite
T
Et on retrouve la relation
T
= 2CT-t +
2 S
i nd i q uée dan s
[2J , [8] et [9J par
S. NIA NG
d'où
ILE. 4
2/1"
:.1..,
=
T - 2 S
•
En exprimant
T
puis
T en fonction des dérivées du torseur
-
cinématique
n il vient
.
•
n )(,
T
= n '0
'.\\;
0
of
puis
T = Q., nA
+
n 'C r.u-,
Ainsi
2{?,~
s'écrit aussi tous calculs faits ..
n .E. 5
(c)
On peut aussi définir l'énergie de NIANG en fonction des coor-
données dans le repère fixe par
.
.-;",
i
t •
I:I ..E.6
2JL =
l
"un x(~1 ) dm(M)
..J
f x
rl16J
(0\\
. ;' 1 \\
avec
=
t5 l
"
r . )
1
.
,
l x
l"~ x/
'\\
... .....
,. ..
;
'/"
'

---

- 45 _
1
en remplaçant
(;)
par
0- (:)
dans cette dernière on obtient :
'0)
•
1 Cl;
•
..
(
=
0 0-
exprimons alors 1a matrice •
0- 1
0
\\ .
\\ 5<
x /
en fonction des dérivées du torseur cinématique
~ •
••
1
De la relation
(I.C.6)
o 0-'"
.-
il vient par dérivation
. 1
.. -:T
0
•
t) 0-.1
+ 00-
= ?t +?t?t + ?t ?t -
•
,---
..
.
..
•
2
0- 1
or
0
0(_0- 1
0- 1 )
O-l)(Ô 0- 1)
=
0
= - (0
=
?1
- (?t "+?t )
d'où
•
..
0
0
.. 0-1
3
H ;E. 7
0
?t
=
+ 2 ?t ?t+ ?t ?t + ?t
Nous avons alors :
t ·
.
, 3(
x
= (0, t~)t)= (1 tx{t(~+
\\ x /
3
= tr~(~ + 2~?t +?t~ + ?t )?t
avec
.!= G)
d-ès lors
faits
=
en remarquant que
ainsi
2rG
slécrit en fonction des coordonnées dans le repère fixe
II.LB
( d )
Con s i dé r 0 ns 1are 1at ion (I l • E• 24 )
201..- = i - 2 S
de la relation (I l •A•12 ) on déduit
f= ~ ,?t 5{ + t?t ?1'K. ?t
""'.J
r...,J
0
pu i sen rem ar qua nt que
t?t?t l ,,?t = ?t}'jt?t?t = 0
0 na· f .: ~,; ?1}'L
il vient en dérivant cette dernière et compte tenu de II.A.ll
.. 1< • '1:
• {
..
~
o . ;'~J
•
il ,r t
T =?t.?Lv+ â.nJ.. + ?t,?t~-,= ?t .. ?t.JL + ?t.?tY(, + ?t.. ?t (?t,i~ + i-L ?t)
• • • 1..•

---

-
46-
"'V
en observant une fois encore que
~~L t~.~ = 0 on obtient
...
"V
0
0
, " , -
..\\ ....
I:I.E.'3
r = ~ ..~:h. + ~,.. ~Ji_ + ~" ~2_fij
dès lors
II.E.24
s'écrit compte tenu de II.E.28 et de II.E.6
'1
F -
Evolutions - Circulations du solide 1(t)
')
Fi - Evolutions du solide j (t)
1)
Oéplacement élémentaire réel
Soit
M(t)
et
M(t+dt)
les positions respectives d'un point
M du solide
j(t)
au cours d'un mouvement réel de ce dernier;
pendant le temps
dt
M
décrit sur sa trajectoire un arc élémen-
-- ~
taire orienté
M(t)M(t+dt)
qui correspond à un arc élémentaire
.".----
--~
.
D(t) D(t+dt) sur la variété
ID
cet arc correspond au second ordre
près à la différentielle première de la matrice
0
exprimant le
déplacement du solide
J(t)
soit
dO.
- A la différentielle
dD
da la matrice
0
sont associées
les 'matrices
et
~d
1
= (dD) 0-
images de
dO
par la translation à gauche et la translation à droite.
et
').,
-
dO 0- 1
~ld
-
sont les matrices des
I-formes
attachées respectivement au torseur cinématique
Q
et
~
- Le déplacement élémentaire réel
dx
du point
M est défini par
0\\
(lI.
II.F.l
(
1= dD (,)"
\\.dx)
\\x
Notons aussi que ce déplacement élémentaire réel du point
M s'écrit
en fonction des coordonnées par rapport au repère fixe et par rapport
à celui lié au solide:
... /"...

---

- 47 -
t\\
/1 \\
1
!
?td
\\d.} = 1 1
1 x J
\\
l:I.f.2
et
l~) 11)
= Qd
(
avec
\\ x)
où
cf:b = tA dx
est le déplacement élémentaire réel exprimé dans
1a base liée au solide.
Au cou r s dut emps
dt
1e sol ide Jitl s ubit une évol ut ion é 1émen t air e
.,Y,:, (t )
~p(' t +dt) •
réelle qui l'emmène de la position"
à la position
~
2)
Déplacement élémentaire virtuel
Considérons la matrice
00
différentielle à
t
fixé de la
matrice
D.
Rappelons que nous avons
o ;: O(q\\l , t)
il vient alors
ôD = a D
\\1
où
les
ôq\\l
(\\1
= 1,2 ..•.• C~+l) 'sont les variations à l'instant
t
des
q\\l •
A la matrice
00
sont aussi associées les matrices
= 0- 1 60
=
a oq\\l et ~ = (ôO)O-l = ~ ôq\\l des
I-formes
\\1
O ·
\\1
t
fixé) attachées respectivement aux torseurs cinématiques
et ?t •
.::,L,;:,e....,;:;.,d,:.épl:;.·..:.,.1a::..c::..:e:;.;.m;.;.;e;;..:n..:..t;.....;é:-:l_é~m;.=:e~n~t..::;a...;.i ..;..r.;:;.e--:.,v~i.;.-r..:.,.tu.::..e.::..l~_ô;..;x~(o....::à;;.....;t---.:..f~i~x~é .....) d li po i nt
Mes t
défini par:
II. F• 3
il s'écrit en fonction des coordonnées par rapport aux repères fixe
et mobile:
.../ ...

---

l'
- 48
-
1
0 \\
/1 \\
i
\\ = ~ô
tôx)
(J
II .'f • 4
C\\\\
/1\\
,
\\ =
.
\\
~\\~
\\
~)
i
\\
ôC;f;' = ,'-
1
avec
l-A ôx
ô_"'/
\\ X )
\\.
où it =
tA ôx
est le déplacement élémentaire virtuel exprimé dans
la base liée au solide.
Notons que la différentielle
dO
et la différen~ielle à
t fixé
ôD
de la matrice
0
seront en général distinctes sauf si la matrice
o ne dépend pas explicitement du temps.
Lorsque le point générique
~'1 du solide j(t) subit un déplacement
virtuel,
j(t)
lui-même subit un déplacement virtuel - ou évolution
.virtuelle.
Il Y a lieu de remarquer que si
ôO
est complétement ar~itraire
les
(comme les
dqV) ne le sont que si les paramètres
qV
sont indépendants.
3)
Cas de Liaisons du type tzénoffien :
•
·v
. .
O
::
3
Nous avons
0
DqV +
= 3
3 Dao
vO q
+ 3t
v
o .
soit compte, tenu de 1. B. 9
avec
qO = t
-•
·13
·0
·0
0
= 6 0 q
+
/:i 0 q
q
= 1
13
o
On en déduit alors
/:iSO dqS
+
6 0
dqO
U.f.6
[ ëiTI"::
0
avec
dqo:: dt
ôO
=
6 0
ôqS
S
Nous avons aussi les relations
1 _
-
S-
::
O-.LdO
::
°d
=
QS dq ~ .Ç2;tf; ~d = dO.D-1
?îSdq 8+ fio4°
-
0- 1
l I:I .F • 6
60
n ôqS
nô =
=
S
~ô
1
= 'Mf D-.t =
?i ôqB
S
avec
QS =
0- 16 0
~S =(A D) n-1
L,
S
S
Les déplacements réel
<IX
et virtuel
ox
d'un point
~1
du solide
j(t)
s'écrivent dans les deux repères:

---

.'
• SQ -
f 3 - Relations matricielles remarguables concernant
la circulation virtuelle.
La circulation élémentaire virtuelle ·des vecteurs d'inertie au
cours d'une évolution virtuelle du solide
.jP(t) , s'écrit lorsque les
paramètres
sont indépendants.
=
avec
Qv = r tr(M)
av
(M) dm(M)
,)Me,f
II.f .11
i t
ou
=
! x(M) a x(M) dm(M)
v
.../
f
Me .'
av jG(M) = tAôvX(M)
Dans le cas où le solide
J(t)
est soumis à des liaisons du
type tzénoffien compatible avec son évolution virtuelle. celle-ci
s'écrit:
II.f.12
S
::
1.'2 •••• p
Cl
avec
1J =
2
S
QS + aS .QCl
CI.
:::
p+l ••••• Cn+l
.
2
(v
sont les composantes de 1a circulation
Les
Qv
= 1.2 •••• Cn+1)
virtuelle dans 1a base des
( êq v)
Les
Us
sont les composantes tzénoffiennes de la cirvulation
virtuelle dans la base des
(êqS).
En observant compte tenu de I.B.l. et I.C.l
que l'on a
t~(M).ôvX(M) = (1 t X) tua 0(1\\ = tr [toavD (Z tz ~I
avec
l
G)
=
v \\ X )
Les
Qv
(II.F.I1· )
s'écrivent en sortant du signe somme
3
la matrice
t oa D qui n'intervient p~s dans la sommation
v
(
= tr[toa"o
J
r)'~ t Z)
_
v
'-"Me)
..
II ..F.13
iL a DY\\.,
= DI a D
v
·v

---

-.61
-
1) Relations générales niangniennes des .~omposantes de la circulatton
[2J. [81. [9J
v
.
2
a)
Dans le cas oD les paramètres
q
:: (v= l,l •••• C +
n 1) sont
indépendants. Transformons la relation II.F.13 : en nous plaçant dans
le cas général oD
J(t)
est défini par l'état des vitesses des
particules (relations I.B.7 et I.B.8).
En remarquant que
.
II.F.14
0*
::
aoD
v
. v
.
.
aD
avec
a-D ::
.-
v
aqv
.~ .
\\
~..
.
Qv = 01<\\0
= f) l~vO.
Il vient alors de façon classique
.
.
d .
•
d
•
II.F.15
(D;aoO)
DI -(aoO)
dt
v
dt
V·
Considérons le premier terme de cette différence
nous avons compte
tenu de (11.E.3 )
1
Ô/a~o :: ~ a~(D/O ::
d'où
d
•
•
H.F .16
-
(DI oD)
= d
-
( a.,o,T)
dt
av
dt
v
Transformons aussi le deuxième terme de cette d~fférence.
Nous avons successivement les relations suivantes
•
.
* ~v ::
qV
D
::
Dv
a·o
v·
..
d
.. v :: a (a • ) •v
::
0
qV
•
+ ao
"V
0
( a· 0) °V + a·ô
-
q .
il
Oq
.q
dt
v·
v
v '
v
v
d
Ô
··v
~ ••V '
d
a
•• V
oÔ).
Il
Il
::
-( a° ). q
+ a
q
+ -
q
+
dt
v
v
dt
v·
-r; d
1
( a· ~).
+
a Ô 1 .. v
+
/1
Il
-
-
q
dt
v·
v
1
'--
•
..
d
On déduit alors
a·· 0
= 2
a00). +
Ô
v
- (
av
dt
v-
.
d
a.o)
1
••
1
•
soit
II.F.17
-
::
a··o
'J.
av0
dt
2
v
2
.. '. / ...

---

- 52 -
"il vient alors
.
D/..i «~o6) = l ô/a··o
1 Dia D::
1 • ,.
a··(- %
)
dt
v·
2
v
2
v
v 2
d'où la relation
" J
()
H.'F.l8
D/~ (a D)
:: o··fè- laT
dt
. v
v
2
v
dès lors en se reférant aux relations II.F.16 et II.F.18,
II.F.l5
s'écrit:
II .'F .19
r h-
Qv"
(avT) + ~ a T - a··R
v
v
L v = 1, 2••••• c~+1
ce sont les relations niangniennes des composantes de la circulation
Remargues :
1) Ce Sont les expressions les plus générales des Q~. ;
e 11es s' é t ab 1 i s sen t dan s 1e cas 0 ù 1a mat rie e
0
e s t.~P ar 1e s
relations
I.B.7
c'est à dire dans le cas où le solide est défini
par l'état des vitesses des particules, et ceci sans faire appel aux
relations
I.B.5.
2) Dans ce qui suit nous nous placerons dans le cas restrictif où
le solide
~(t) est défini par l'état des positions de ses vitesses
par les relations I.B.5.
i)
Co~sidérons alors les expressions de
dT (IJ~A.I0) et de
Ot(II.E.25) exprimons alors les termes
%t(avT),
~vT et dvdt
en fonction des dérivés du torseur cinématique
n.
de 1a relation
dT =
Dlt. dg on déduit successivement
\\.; ,
aoT
= n J:}.
don
::: nJt
v·
v
° nv
avec
nv ::: o-ldvO
d
( dvTJ :: ft); on
dt
" v
où l'on a successivement
... / ...

---

- sa -
soit
20
r•
!'I .F
n·
0
= - nn
+ av n
+ n
n
v
v
v
2
v = 1 9 2• . • • • C
1
n+l
'--
On a alors
d
0',1
w·
'
i
,./
I:I.F
+ Q~
o 21
- n'Y" .. nn
dt (a·T)-~UL.n
+ n-'L. avn
.. n n
V·
v
v
\\)
Ensuite nous déduirons aussi de la relation (Ilo'A.lG) dT = n~ .. dn
la relation
l'I .'F • 22
Exprimons enfin av(\\ en fonction du torseur cinématique n 0
..
"'\\.1
0
t
rI;
3
Del are 1at ion
( II. E• 25)
2f!_ = nI n~ l. + 2n Il n rl j L.. + n ..
On déduit
Ü .F
n:X~ + dVfl. ~ t n nle,
0
23
ôv(h, = i( dvn) 0
(les autres termes étant indépendants des
~v)
Transformons alors
°
d" n
v
de la relation ..
•
n.F.24
a·· 0 =
dO D
=
a D
v
v
v
-
il vient en multipliant les 3 membres de cette dernière à gauche par
0- 1
et en tenant compte de la re1ati6n I~Co3
.-
-0
H.F.25
l d•• -n =a. n = n
v
v
° v
avec
a·· Q
an .
aon = an
n
D.. 1 a 0
= -
-
-
v
•• \\1
v'
aqv, t
v
·v
ôq
..
Transformons aussi
a.. n
v
.
°
°
3
En effet de (II.F.l)
0- 1 0 - n+nn
+2nn+n
.
On déduit
:.n' = 0-1 0 .;, fi. n _ 2 n n- n3
puis
d·· -n = 0- 1 auo
v
v
en observant que
o
3
• V
0 À
2
··v À · ·
o = a\\).qt~ q . q . ~~ + 3dV,ÀOq q + avo ~v

---

- 54 .-
on obtient
..
2
0).
II.F.27
él·· 0
•
v
33,Dq·=
3 él
O.'
V,I\\
v
ainsi compte tenu de II.f.27 et de II.F.25. II.f.26 s'écrit
..
ô·· Q
v
en remarquant de plus que :
1
1
-t
0-l ô)) . = (\\)(D- 0)
( av D- ) Ô =-a)D-lO)
1
O- 1(él
]o
Ü)Û-
= élvQ+ 0.J>.
v
on obtient finalement
1I.f.28
+
2 Q Q - 2 Q Q
v
v
ainsi compte tenu de cette dernière relation et de la relation
1 l .-F • 25 1 II J . 23
s 1 é cri t :
h'
3
"V
'·u
II of • 29
a·· u1 :: ~ an. Q, 'J + (Q Q - n Q ) ... n~n. +
v '
c.
v
v
v
les formes niangniennes des composantes
Q
(II.F.19)
v
s'~crivent alors compte tenu des relations (II.F.21), (I·I.·F.22) et
(lI.r.29)
après simplification:
!'I..F.30
= [nk - t0. n}(Jq. 0.v
2
= 1, 2••••• C +
n 1
les relations (II.F.30) sont l'écriture des formes niangniennes
des
Qv
(II.F.19) en fonction des coordonnées par rapport au repère
~
mobile lié au solide.
ii)
Considérons ensuite les expression de
dT (II.,i\\.12 2) et de
Ol (II .E.S) données en fonction des coordonnées par rapport au
référentiel fixe. et exprimons successivement les q~anti':~és 2.... f él.T\\
dt'.v.J'
a~l'
e tél\\) 011. e n f 0 nc t ion des dé r i v é e s dut 0 r s eur c i né mat i que. 0. •
De la relation
On déduit
puis IIeF.3I
...
-;
/:.: ..

---

_ 55
_
où lion a successivement:
.
----'~' , ~,--
~V
::
- ( av 0 }D - 1
r
.
~
=
r"â-ô 0- 1 + (a D) ,- D- 1
v
v
= a Ô D- 1 + a D(_D- 1 Ô D- 1}
v
v
:: a (0 D~l) - Ô a D- 1 - (a D)D- 1
v
v
v
= av(ô D- 1) + ô(o-l(a D}O-l)
v
Soit
•
II.F~32
~
=a~+?t:?t -?l?l
v
v
v
v
compte tenu de cette dernière relation, la relation II.F.31
s'écri-i;
Oe la relation (II~A.122) on déduit aussi
,..............
- - , - "
II of. 34
av T
= ?l.)~, <.
av?l
+
t:?t ?l.'.h/ ~ :?tv
Exprimons enfin a··f'i)
v
en fonction des dérivées de
:?t
j
l'
•
•
"'--'
-"\\.J
Oe la relation (II.E. 8)
2(}~ = ~ • ?l)1J + ~. co t:?t :?tJv .:- :?t 3.. ~ X
On déduit
II.F~35
.
..
Proposons nous de transformer l es termes
a:·:?t
et
a'-,'~
v
"
En multipliant les trois membres de la relation (II.F.24)
a··o'::
a·ô
:: a 0
à droite par
0- 1
et en tenant compte
v
v
v
de la relation I.C.6
on obtient
o
IIJ.36
a··?l- = ao?l
=
v
v
Pour transformer
a··?l
, considérons la relation (11.E.27)
..
•
v
0
Ô D- 1 ::
?l + 2?t ~ + ~ ?l + ?l3
..
o
On peut en déduire
S1 = Ô 0- 1 - 2~S1
..
o
!.
- ,
puis
a·· S1 =
a.. 0 0 ~ - 2 ( a.~~) ?t
v
v
v
'• • . 1 ~ • ~

---

- 56
-
soit Cl1 tenant compte de
II F
• • 27
e t de II F
• • 36
-2rtrt
v
en remarquant alors que
1
1
(av O)D- ) = av (00- ) -' ô(avo- 1 ) =<\\(1) 0- 1 ) - ~[.o-l(é)vO) D-~
=
av?i -:- ~ ?1v
On a finalement : ..
ILF.37
a·· .?1 = 3a ?1 + 2?1 ?1
v
v
v
Ainsi compte tenu des relations II.F.36 et II.F.37, la relation
lLF.35
s'écrit
-'\\...
~
1'-'
3
')"
')" '~'
')" ')"
')" ')"
'),,-1;-
1 ')"
t')" ')"
II.F.3B
a"lh ="i a ~l • ~l 'J+ (~l ~l - ~l ~l). ~l r+- ~l·
~l ~l
J
v "
c . V
V
v
'.
2v
dès lors les formes générales niangniennes des
Q
(II.F.19) s'écrivent
v
compt~ tenu des relations
(II.F.33), (II.F.34) et (II.F.38) après simpli-
fication
II.F.39
r Qvv == 1, 2•••••
ces dernières relations sont les écritures des formes niangnien-
nes (II.F.19)
des composantes
Qv
de la circulation en fonc-
tian des coordonnées par 'rapport au référentiel fixe •
.D
b)
Dans le cas où le solide
_} (t )
est sou mis à des 1i ais 0 ns
de type tzénoffien (I.B.9) les composantes
OB
de la circula-
tion s'écrivent en fonction des coordonnées par rapport au repère
lié au solide, compte tenu des relations (II.F.12 2) et (II.F.30)
ILF.I!.Q
t-
n - r';"'l
n,:.
,,, na
B = 1, 2• • • • •p
avec
~
c2
().
:<
p+l,.' ••• n+1
...
.
/ ...
'

---

- 57 -
De même les composantes
QS
de la circulation s'écrivent
en fonction des coordonnées par rapport au référentiel yixe,
compte tenu de (II.F.12 2) et ~: (II.F.39)
II.f.41
= '~.j~.... ?t
QB
S
avec
fts = n + ex n
B
aB
ex
B = 1 ,2 .•••• P
2
ex = p+l, ...•.. Cn+1
2)
Relations appelliennes des composantes de la circulation
a)
Lorsque les paramètres
qV
(v = 1,2,.· •.• C~+1)
sont
indépendants les relations
II.F.3
s'écrivent compte tenu de
II.F .2t'!·
D/ a,,[)
=
d"
(1 0/0),
v
v '2
II.F .42
= a"
S
v
2
1,2 .... Cn+1
où
S
est l'énergie d'Appel1-
Ces dernières relations sont les formes appelliennes des compo-
santes de la circulation.
i)
Considérons l'expression de
S
en fonction du torseur
cinématique
(I.D.3), dérivons celle-ci par rapport aux
Il
coefficients de
n . ; il vient compte tenu de
II.F.25
a s ·
as
= -
~ a·, n,. = II
Il
'" dO n.. = -
o(n ) ..
v
lJ
an ,., v l J
an ..
an,.
v lJ
l J
l J
l J
as
r Il
2' t1Jl
avec
= 1(1"2 + n )j~ ~.
(n }., = (D-1a D) ..
..
~
.~ IJ
v lJ
V
lJ
an ,..
l J

---

- 58 -
LeS relations II~F.43
sont l'écriture des formes appclliennes
des composantes.
Qv
en fonction des éoordonnées pa~ rapport au
repère lié au solide.
ii)
De même considérons 11 expression de
S
en fonction
du torseur cinématique
~
(I.D.6) et dérivons celle-ci par
.
rapport aux coeffients de
.~
il vient compte tenu de (II.F~36)
o
as
').,
= ,li e> Cl" (~. .) = II '" a ~.
0
•
-
",(H ) ..
e
V
lJ
0
V
lJ
•
V
lJ
art:.
a?t ..
a~ ..
l J
l J
l J
r' -1)
avec
ô~ =G~ + ~jX) .. ; (~ ),. = (Cl D u
•.
- l J
v l J
v
l J
()~,' .
.
lJ
On obtient par conséquent
.[t /as \\ ')., -
= tr
{ - o 1
~~
\\ ').,)
v
II J . 44
,a~~ ,
2
v = 1,2~ •••. Cn+ 1
b)
Dans le cas où le solide
'~f(t) est soumis à des liai-
sons du type tzénoffien
(I.B~9) compatibles avec son évolution
virtuelle les composantes
Q(3
de la circulation s~écrivent :
::.,
+
a. Q
= ra s\\ r. + aa.
t} Q
a (3
, - , ft a o
S
fJ
Ct
\\an!
IJ
avec
n
= n
s
+ ~a. n
a
"(3
a.
dès lors en observant que
as
as
=
an
an
lion obtient l'écriture des formes app~11iennes des composantes
Qa
en fonction des coordonnées par rapport au repère lié au
solide.
. ."' •• 1•••-

---

- 59
..
De la même façon les composantes
Qs
de la circulation
s'écrivent en fonction des coordonnées par rapport au référentiel
fixe:
= (4\\
?i
0
II .F .46
s = [( ~
\\,a?t 1
= 1, 2 • • • , ••
p
3)
Relations lagranqiennes
a)
Vans le cas o~ les param~tres qV
sont indépendants, le
solide
j(t)
étant défini par l'état des positions'de ses
particules
la relation II.F.13
slécrit de façon classique compte tenu de
II.f.24
= d- [ ao
-
(1"
-
~
~/f})
~ ra a.
dt _ v2
v
=
Soit
ILF.47
=
a T
v
v = 1,2 ....
Les relations II,F.47
sont les formes lagrangiennes des
composantes
Qv
i)
Considérons alors la relation (II.A.17 l ) dT = Z·dn
On en déduit
aoT
=
LO n
v
v
.
d
puis
( a·T)
L
\\'
0
soit compte tenu
-
=
• n +
1.. 0
nv
dt
v
·V
de
(ILF.20)
de
(II.A.17 )
on déduit aussi
1
~ ... / ...

---

- BD -
II.F.11·9
avT - r· 0 av st
Ainsi compte tenu des relations II.F.48 et ILF.49 les formes
lagrangiennes des composantes
Qv
de la circulation slécrivent
II oF. 50
o
stv
~es relations II.F.SO
sont l'écriture des formes lagrangiennes
des composantes
Qv
en fonction des coordonnées par rapport
au repère lié au solide.
"-'
+ t~ ~ ]{.; ~d
'"
On en déduit
o
= L
~
o
V
'"
puis
L( aoT)
+ L 0
soit compte tenu de (I~.F.32)
dt
v
~v
r\\,
'"
'"
'V
ILF.51
.2....(a o T) =Lo?t + L' a ?t _ (L t ~ _ t n L). ~
0
dt
v·
v
v
v
de
(II.F.17 ) on déduit aussi
2
'"
.......
IIeF.52
dvT
= L
av~ +t~ ?lX·
~v
0
0
de plus un calcul direct permet de vérifier que
2
II .F • 53
'rIv = 1.2 .••·••• Cn+1_
..-....J
.
.
. f .
1
. '
~ t?oi _ t 'li ~ + .t'li ':\\, n~v
ce qUl slgnl le que
a ma~rlce
l
H
Hl
H ~l J
est orthogonale à la base (~
, v = 1,2 .••• c2+ )
de 1a sous-
1
1:/
v
.
n
CI".
...l----
fr· (
)
1
'
a 19è b r e de 1 i e ;J..)
de" i, n+ 1
don cor t ho 90 na e a J-.-J
Oès lors compte tenu des relations
II.F.Sl, II.f.52 et de
II.F.53, les formes lagrangiennes des composantes
Qv
(II.F.47) s'écrivent après simplification
'"
II.F.54
= L
?l
0
v
v
=
J.,2 .. . '.
.../ ...
,

---

.. '61 -
ces dernières
relations sont l'écriture des formes lagrangien-
nes des composantes
Qv
en fonct1on des coordonnéés par rapport
au référentiel fixe.
b)
Dans le cas 00 le solide
j(t) est soumis à des liaisons
du typ~ tzénoffien (I.B.9) compatibles avec son évolution vir-
tuelle,
3(t) étant défini par l'état des positions de ses
particules, les tomposantes
de la circulation slécrivent
en fonction des coordonnées par rapport au repère lié au solide,
com[)te tenu des relations
(Q;F.12 )
et
(11.F.50)
1
II.F.55
[ [ .l + rt-n - tnfJ o"nB
B = 1 , 2 ~ • . • i P ,
Les
QB s'écrivent aussi en fonction des coordonnées par
rapport au référentiel fixe
~
ILF.56
= l
0
~B
B = 1 ,2. • • • p
G - Champ et Torseur des forces appliquées au solide
j(t)
Nous supposerons le solide
,3(t)
soumis à un système de
forces et nous désignerons par'
r fUn = ep(M) d~J~(r/J)
L F(M) = <P (M) dwnl )
~es matrices colonnes des composantes respectivement dans la
" ,
base fixe
et dans la base
:t~ liée au solide du système
des vecteurs-forces s'exerçant au point
M sur l'élément de
l}
volume
d~(M)
du solide
.
'.-<
(
t)
.
,.,)
ainsi
ep(M) et
sont
respectivement les matrices colonnes dans les bases [:)0 et C?~
des composantes du vecteur-densité du système de forces au point
~/
M courant du solide
~)(t).
Avec les notations du chapitre 1 paragraphe A, so i'c l\\ 1a ma-
trice orthogonale de passage de la
IE
base
(
1..:
'
J
à la
. a
base 1
',.:
'l
... ...
'
.'

---

- 62 -
et
0
la matrice de déplacement du solide par rapport au réfé-
.
.
rentiel fixe
Ro alors nous avons les relations suivantes:
r
II .G.• 0
f( M) =
A F ( M)
LcjJon = A <ll(r''1)
On remarquera que ces dernières sont équivalentes aux
rel a'c ion s :
II. G.l
G - Travail élémentaire réel.
1
Le travail élémentaire réel
dw
du système matriciel des
·V
forces appliquées au solide
~(t)
est défini par:
~'
r'
II.G.2
d\\10/ =
1
t f ( M)
d x ( i~) = j
t <1> ( M).
dx un. 'd w(M)
)
' ,
{
'1
( j Me 'y
'", Me .~
v
-
aD
dx(M) est de déplacement élémentaire réel (chapitre II
paragraphe
FI).
On remarquera que le travail élémentaire réel dw
s'écrit aussi
II.G.3
i
t
r-"
\\
l:
" p .
dW = ,J
r F ( M)
d c.:S( M) =
:'
,<Il ( M).
d:x) ( li] ) .. dli! (r~ )
~1 € ;:)
<,jl"1 eJ~
avec
dcl(M) = tA dx(M)
où
d'~ = t A dx(l'~ ) est l e dép lac emen tél émen t air e rée l (;: xpr i mé
/p.
dans la base !u liée au solide.'
On remarque que l'on peut écrire compte tenu de (II.-F.4 1 )
""
t
) 'li
11\\ _ (1 t
)
'li
(0\\
cjJ
~ld!
i -
x
Hd \\
,:
[x/
'
\\4>,/
. ,
... .
/
'.:.
'

---

- 63
-
Soit
~
t$(M) • dx{M) = tr [t?ld \\-t~(M)] =
?ld • ~(i'1)
II .G. 4
~~
l'
avec
( M) = ,( 0'\\/ (1 t x) = A0
0
'1'
1
j
t
!
\\ <P/
1,(. <P
<P Xj
dès lors en sortant dans (II.G.2) du signe somme la matrice
Sfd
qui n1intervlent pas dans la sommation
dw
s'écï'it sous
t
la forme remarquable
dw = r rt'JJ
;',2" I
t
1
~l
_.-
=
i
d
f J
.
L.
''-./
II.C:.5
avec
gr =JMé.:'i'!;${M) dGl{M) =(:
r
f
=
= j<P(M) t xuo dGl(r~)
Jr~el(M) dGl(M)
De même on remarque compte tenu de
(ILF4 ) que
2
/1 'i
t
(0)\\
t ~ un 1 det. (N) = (0
t il»
(0 "'i'
= (0 t il> )
Gd l,x ) =.(l t X)
Qd (
\\ d,:I)
\\ il>
\\
"
i
Soit :
II .G. G
.'.-
, J 0
avec
(1 t X) = ' A
Lil>
J
dès lors en sortant du signe somme dans II.G.3 la matrice
qui n'intervient pas dans la sommation,
'dw
s'écrit
dw
=
tr[t Qdli \\(~J
=
n " ~ F
d
~_0
avec
!l-;F = ('(4{M) dGl{M) = [0
II .'G. 7
·.)M€
LF
JI'I!
,r
F
=
)
.') il> ( l,nt x(i") dGJ (M)
ME,J
.
v

---

,
-
64-
G2 - Travail él~mentaire virtue1.-
Le travail élémentaire virtuel
0\\'1
du système matriciel
des forces appliquées au solide
3(t)
est défini par:
r-
11.G. 8
=
I t f (M) • .0 x(M) :::
rt~(M).oX(M) d~(M)
~eS( t)
JMEf( t)
.
oQ
ôx(M)
est le déplacement élémentaire virtuel (11.§F!~2)
On remarquera aussi que le travail élémentaire virtuel
ôw
s'écrit en fonction des coordonnées par rapport au repère lié
au solide:
ôw
=
= ()t 41 (M). f~~(['~) dw(M)
J)
l'I.G.9
vM€
v~(t)
avec
= t Aôx (r4)
oQ
est le déplacement é1éme~taire virtuel exprimé
dans la base liée au solider (II.F.4 2).
Il apparaît alors par analogie au travai1é1émcntaire réel
dw
et compte tenu des relations
II.F~4, que le travail élé-
.
.
mentafre virtuel peut s'écrire sous les deux forme~ rernarqUa~
.
.
~les suivantes :
A..J . -,
,--..J
ÔW
= tr rt~ v:-
\\ = ~
':f:
,
<5
-f
ÔC!
~f
II ..G.1O
ou
-,
1 t
, ':(~.
~;
ôw
=
tr \\
Q
FJ
=
fld • .oF
L
0
G
- Composantes du travail élémentaire virtueT~-
3
i)
Dans le cas oD les
C~+l paramètres
qV
sont indépendants
le travail élémentaire virtuel s'écrit dans la base des
( 6q v,
v = l,2~ ••• C~+1)
II.G .11
ôw
= 2
oqV
v
Les 2v v = 1,2 •••• C~+l seront appelés les composantes
du trûvai 1.

---

- ·56 -
AinSi com~te tenu des re~ationS II.G.10.
les compo~antes
2
du travail peuvent S'écrire sous les
v
deux formes remarquables suivantes:
,r--'
\\,-:
=
Et
tr, ~v :.t.::,.' f l
..--c-'
= (r-· '1Q
,
f
II.C.12
ou
=
ii)
Dans le cas oD les paramètres
qV
sont soumis à des liai-
sons de type tzénoffien
{1.B.9}
Le travail élémentaire réel slécrit
=
tr
:Yl
/~-'
[t~d -J2:'f
=
~d '.1Sf
II.. G,.13
ou
\\:f.
d"W
=
tr end ~
• oF
<
J = °d
De la même façon le travail élémentaire virtuel
s'écrit
6W
=
tr ~ê
, ' J
,"'.-J
1~"fJ
-
=
~ô 0 :f;f
II.G.14
ou
6W
=
tr [ITô
'{;
.- -) J
F
=
'ITô • ~
, -""'F
Le travail élémentaire virtuel slécrit aussi dans la base des
(ôq 13
B = l"t 2 ~ ..... p)
t
-
II.·G.lS
6W
ÔqS
[
= 2 .
13
avec
'Z'B
=
2
+ ao. 2
13
B
0.
compte tenu de II.G.14 les composantes
'Z'S
du travé'.il élé-
mentaire virtuel s'écrivent:
,,·......i
~S
~S t-f-:-:
=
• +, f
rl..8.16
ou
'2"B
= n
• ~
B
"F

---

.66 -
G4 - Torseur des forces appliquées au solid~
!r\\~
(a)
Observons d'abord que les matric~s "-.:f;'f
et
défi":'
nies par
et
= [OF
~] = ) ,
J'I
'-"~le ~: (t )
sont liées par la relation suivante
~
t
1 LG .17
= O ,-r;:.,
0
\\.-' F
(b)
Ces matrices
1-'::'
e t '
sont des éléments de l'algèbre
F
de Lie
j((n+l)~
Nous appe1erons torseurs des forces appliquées au solide
-j}(t)
la projection
(\\-:-;lF
et
:J"-..A*F'
sur l'a sou S ":' a 1Ç;. è br e
orthogona 1e~l;f'
_
r J
\\.~>
f+'
,de Lie:;b des matri ces
~f et
'-0 F•
Ainsi compte tenu de la remarque
RI (chapitre 0
paragraphe
A.41).
nous avons
o
o
/""".......
f
(')" .
~.f.'O
2
0
o
o
1I.G.18
avec
/IlL
= t1
o
- \\1
F
00
f
et
F
sont respectivement la matrice colonne dans
la base fixe et dans la base liée au solide
~(t) de la
résultante des fDrces appliquées à celui-ci.

---

-
f>-]
-
f'-'
_frr:.'.
1'r71
00
et
'/ 'a
sont les matrices antisymétriques dJcrdre
n
qui représentent respectivement la généralisation dans
mn
des moments résultants des forces appliquées au solide
j(t}
par r app0 r t à 1 1 0 r i gin e
0
du repère fixe et par rapport
0
à lJorigine
a du repère lié au solide; moments résultants
définis par les 2 - vecteurs
r
,.,
j
x(M} A ~(M)
dw(M) et
)
X(M LI' ~ un d{j) U·1)
L....
l~)
~'i€ J (t)
I.'M6 ~(t)
- )
avec
X(M} = 0~'1
(c)
Remarque
On vérifie par le calcul que l'on a la
relation
____ :ft
-t±
#-
II.C:.19
~~ = ~ ~;2Ç'- t o]"
En outre les travaux réel et virtuel s'écrivent compte tenu
de la remarque
R
(chapitre a
paragraphe
A-4J)
3
dw
=
II .G.20
ow
=
'•• el' • ••

---

- 68 -
Chapitre 3 -
~ATIONS ANALYTIQUES
Formes matricielles des éauations de dynamique
du corps solide à
n
dimensions
A - Rappel du Princine de d'Alembert :
Pour un système de points matériels quelconque en mouvement, la circula-
tion virtuelle des vecteurs d'inertie est à chaoue instant égale au travail virtue
des forces appliauées au système quels que soient les déplacements virtuels consi-
dérés à cet instant.
Il en résuht.e que pour le solide :F(t),
v
2
- dans le cas où les paramètres
q (v=1,2 ...C + ) soilt indépendants,
n 1
l'on a
(0
-
2 )~av = 0
'v
v··
où
~~ Q ~qV est la circulation virtuelle
v
..
et
ôw:: 2
~qv le travail virtuel des forces appliquées à ~(t)
v
Les équations du mouvement de y~ (t)
sont alors :
II I.A. 1
Q -
2
= 0
v
v
2
v=l ,2 ••• ,C +
n 1
- dans le cas où le solide est soumis à des liaisons du type tzénoffien
(I.B.9) cornnatibles avec l'évolution virtuelle de2f(t) , l'on a :
(0
-Z')ôq6=0
"13
e
'
avec
6=1 ,2 •• .n
0
.../ ...

---

- 69 -
....
T
Seit
III.A.2
Ces
p.
~quations jointes aux
relations de liaisons
(I.B.9) dét~i-
nent en principe le mouvement du solide
~(t)
B - Equations lagrangiennes.
Lorsque les paramètres
aV (v=1,2 ... C~+1)
sont indépendants, le solide
ékt)
étant défini par l'état des positions de ces particules (Chapitre l, para-
graphe B4,11) les équations lagrangiennes s'écrivent:
(a)
En fonction des coordonnées par rapport au référentiel fixe.
Des formes lagra~giennes des composantes
o
(II.F.54) de la circula-
v
tion et des formes des composantes
2
(II.B.12 )
il résulte en vertu du prin-
v
1
cipe de d'Alembert que les éouatmions analytiques du solide <-&(t)
s'écrivent en.
fonction des coordonnéés par rapport au référentiel fixe choisi
III. B. 1
C~+l
".=1,2 .••
\\
(b)
En fonction des coordonnées par rapport au repère lié au solide.
Ces équations du mouvement s'écrivent compte tenu des relations (II.F.SQ)
et (II.G.12,.,)
et en vertu du principe de d'Alembert:
III .B. 2
v=l ,2 •••••
Les éauations
III.B.l
et
III.B.Z
seront appelées équations lagrangiennes
c..Ç:>
du mouvement du solide
---.J (t).
.../ ...

---

~ 70 -
(c)
Remarque : Equations lagrangier~e5 et invariant relatif de Poincaré
Considérons la
l-fonne Cl = ~ é v
appelée invariant relatif de Poincaré"
,,·V
q
oQ
.
IV'
celle-ci peut s'écrire
en fonction des torseurs cinétiaues
l et l et des
matrices des
'"
l-fonnes
fi
;: fi
âC'"
/ \\ ;
et
fi = Q
ô v
attachées aux torseurs
t5
v
Ô ' " "
q
cinÉmatiques ?î
et
f i . On a en effet :
aT
a = _.-
an ..
1J
avec
1\\..
' \\ /
(a~:j ') = (Q'CSl)· .
aT
= ~
1J
dû'
"'V
eo· .
1J
= (~-~
= (
?1
) ..
\\. agV
ij
\\
'
aq"
v
1)
ainsi l'on a
'fr
"
rrLB.3
Cl
= ?("j.i
'V
V
• n ôo
"
l .n ôq"
. o
\\)
De même en considérant liexpression de l'énergie cinétique en fonction
du torseur cinématicue rI, on o"btient :
IILB.4
=
l · n Mt"
v
La
l-forme
a
vérifie la relation fondamentale d'invariance
151, 161 qui
devient une nouvelle façon d'écrire les équations lagrangiennes du mouvement.
!ILB.S
ôT +
ôW
où X représente le chamn de vecteurs des équations du mouvement dans l'espace
-"'-
des vitesses soit
x ;: ô" _3_"-
,
agV

---

- 71 -
Lx
est la dérivée de Lie dans la direction x
~T
1 d'1-f~
. Il
d 1'~
.
. ~ .
T
a
1..:. erentle
e
e
energle ClnetlOue
(à t fixé)
15lt, le ·travail élémentaire virtuel.
Explicitons cette relation fondamentale
(III.B.S)
en fonction des
coordonnées rar rapport au r0férentiel fixe.
Nous avons :
LCt=L(r_~ êq\\) )
'"
'"
= (Lx l ) • ~ êqv + l (L ?i &:J.v )
x
,
X
,v
\\1
X
V
,.
'"
'\\J
mais
Lx l
~
l
L (
n ~v)
(L
\\1
.•
?l)
..:,
"""
'v
et
=
= n
x
ôqV + ~v Lx ôqV
ôQv+ n ô
X
V
V
.
V
~
compte tenu de la relation
(II.F.32) ~
=a ~ + ~ ~ -?i ?i
v
\\1
\\1
V
On a :
L Ct = t ~ ~ ôèj\\J + f •(d ~ + ?i ?i - ?1 ?n
x
v
v
v
v '
Soit
En outre de la relation
(II.A.17 )
on déduit
2
III.B.7
'"
ôT = L • d ~
"
ainsi camptetenu des relations
(III.B.6), (III.B.7)
et de la relation
(H.F.53)
on retrouve en explicitant cette relation d'invariance les équations
lagrangiennes du mouvement du solide ~3(t) (III.B.1).
Une méthode analogue 8 celle oui précède permet en explicitant
la relation d'invariance en fonction des coordonnées par rapport au repère lié au
solide, autrement dit en considérant les expressions de l'invariant
(III.B.4),
.../ ...

---

de
ôT (II.A.17 )
et de
oW (II.G.10) de retrouvpr les
1
1 équations
lagran-
giennes
(III.B.2).
c - Equations d'Euler déduites des équations lagrangiennes
(a)
Les équations lagrangiennes
(IlLB.1) - écrites en fonctiond;es coor-
données par rapport au référentiel :fixe - signifient que la matrice [r -cff]
V
~
élément de l'algèbre de Li:é: J6(n+1) est orthogonale à la sous-algèbre de Lie
èY
de ~n+1) puisqu'elle est or~1ogonale ~ la base (~v ,v =1,2 ••• C +
de cette
n 1
dernière ; il en résulte alors que sa projection orthogonale sur ~
est nulle;
Dès lors .en remarquant que
•
r
"'"If- '"
L = L
les équations
III.B.1
sont alors équivalentes ~
~
IlLe. 1
r
'.j
=lt
. e CD
-0
1:1
III.C.1
sera appelée l'équation d'Euler dans le repère fixe du mouvement
du solide ~(t)
f)"J
Elle signifie que la dérivée du torseur cinétique
L est égale au
........
.' torseur des forces appliauées au solide c...~.
III.C.l
généralise dans RD , l'équation d'BJler classi~ue , c'est-à-dire les
théorèmes généraux.
En effet explicitons
III .C. 1
Nous avons compte tenu de
(III.A.14Z)
avec '"
cr",
('
"')t
= m
t
'"
y -wy
x
'Y.l,.
')IV
X~y-wy)+ œl\\. + Klll
V
G
o
.J
1
o
j
nous avons aussi
(II .G. 17)
~,-J avec
trivial où le solide
(1'. M. LANGLOIS CI) a étahli cette relation dans le cas
!A
'\\I~
]
n'est soumis à l'action d' auctme force [-ef
...
0
en appliquant le théorème
h
'1
b
' 1
~ cte
de Noet er ; l
0
tenaIt a ors
4
=
•
1 __ .

---

- 73 ..
.. '"
Dès lors en séparant dans
;''i:
-1.
..... et dans ~ .:rf1e vecteur de Rn du bloc anti-
symétrisé d'ordre
,, III.C.' s'écrit :
IlLe.2
'1"
~O -
o
Dans le cas
n=3
l'êouation
(III.C.2,)
traduit le théorème du centre
2-->
de masse
G du solide
'j Ct) : m d GoG
+
df2
= f ;
tandis que l'équation
traduit le théorème du moment angulaire par
rapport à l'origine
00
du référentiel fixe.
-+
00
=
·0
~.~
où
et tJYL(Jsont l~s 2-vecteurs définis par
1)
c1rn(M)
(h) De même
les équations lagrangiennes
(III.B.2)
écrites en fonction des coor-
données par rapport· . repèrp. lié au sol ide - signifient qu.~ la matrice
~r;+- Ltn - tnz:. - ce ] élément de l'algèbre de Lie JiCn+1) est orthogonale
F
à la sous algèbre de Liej) de ct Cn+l) cer elle est orthogonale à la base
2
(n
,v =1,2 •.••• C + )
de cette dernière; ainsi sa projection orthogonale sur
v
n 1
est nulle ; les éauations
(III .B. 2)
sont donc équivalentes à :
III.C.3
cette dernière équation sera appelée l'équation d'Euler dans le repère lié au
solide du mouvenent de ce solide.
"
.../ ...

---

111.C.3
généralise dans mn l'équation d'Euler classique du mouvement d'un
solide par rapport à un repère lié n ce dernier.
Explicitons en effet
111.C.3
les calculs fournissent :
l
rlJ~l w~
- t n L=
- (JOw 2+ mvGtvo
.
j mwv
1.
G
-'\\.
avec
V
= tL\\.
o
. y
0:) les points
•
réprésentent les tennes non expliCités
On a alors dt après la remarque
R
(ChaP. 0 paragraphe A. 4,3)
1
-
(J
w)
·0
avec
...;= V + wV
' - . G
G
.J
ainsi en séparant dans chacune des matric~s r· + ~ 'tn - t n '1 )"Ft
CL'#" [0
o
et S
=
'ty'n lIe vecteur de Rn du bloc antisymétrisé d'ordre n,
F
F
2
on observe que
1II.C.3
éauivaut 8
'.
- m r
:=:
F
G
IlLe.4
0-0 + 000 - ~tfjOJ+ m(V~lo - v~rH) = '/Yvo
Ces dernières relations généralisent dans R
les théorèmes eénéraux classiques.
En effet dans le cas
n=3
~ (111.C.4 )
traduit le théorème du centre
1
de masse
G ; tandis Que
crII.C. 4 ) traduit ·le théorème
2
du moment angulaire
par rapport à l'origine
0
du repère lié au solide.

---

~·'S· -
fi
...
... ...
0'0 + W /\\ 0'0
avec
;0 =)(œ/\\ V(}11dm(M
avec
,
ME;f
-
- ?
rfL il = ((J) l' (J (!'.1) (~C"1)
(veir chapitre II) paragraphe G )
\\-j~1E f
4
D - Equations tzénoffiènnes de
;f' (t)
Nous supposons le solide défini par l'état des positions de ces partitùles
et par les liaisons non holonomes du type tzénoffien (LB.9) compatibles avec son
évolution virtuelle; des relations
(II.F.55),
(II.F.56)
et des formes des
composantes du travail ILG.16, nous déduisons en vertu du principe de d'Alanbert
(III.A.2)
les équations tzénoffiennes
r
III.D.l
13=1,2 •••• p
l
~
r~ . 4-
t
r.-;' ,
IILD.2
1 ll":~ L-~-Q - Q~r --~'.F1 v Qe = 0 a=1,2••••p
L
L.
!
J
2
Les p équations
IILD.1
(ou
IILD.2)
jointes aux
Cn+,-p
équations de
liaisons
(LB.9)
détenninent en principe le mOlNement du solide
~ Ct).
"
REmarque : Les équations tzénoffiennes du mowement de ~ Ct) . IILD.1
et III .D. 2
vérifient la relation d'invariance fondâmentale
IILD.33
où les termes surlignés sont exprimés en fonction des
qV, des seules dérivées
·B
S
q
des paramètres indépendants
q
et de leur différentielle ~qB Cà t fixé)
. . .1. ..

---

·, ' ..: 76 -
E - Eauations appe11iennes.
E, - Cas où le solide
~(t) est libre.
(a)
En fonction des coordonnées par rapport au référentiel fixe.
Des relations
(II.F.44)
et
(II.G.12 ). On dédtlit en vertu du principe de
2
d'Alembert les équations appelliennes de jCt)
en fonctirm des coordonnées
par rapport au référentiel fixe choisi
IlLE.1
(b)
En fonction des coordonnées dans le repère lié au solide =
De même de
(II.F.43)
et
(II.G.12Z) On déduit les équations appellien-
nes en fonction des coordonnées dans Je
repère lié au solide
l
IILE.2
[F
~nv =0 v=1 .2.•.. ,C~+1
-..i
E
EZ - Conséquence
Les équation~
III.E.1
et
III.E.Z
traduisent l'orthogonalité des
matrices
[
a~ _c-~J 1et [~~-1;; ..J- pal' rapport à la sous-algèbre de Lie ~
JI
rln
tU
an
F
de V v(n+1)
Ces équations sont donc équivalentes à
r
l
III.E.3
l (~ 1i2jcxt
+
if
r
III.E.4
L
en explicitant les relations
III.E.3
et
III.E.4
on retrouve les théorèmes
généraux
III.C.2
et
III.C.4
.../ ...

---

.. 77 -
r,
E - Cas oÙ "::J (t)
est SOUFlis .] des liaisons du tyPe tzénoffien.
3
Lorsque le solide !~ (t)
est soumis;:; des liaisons non holonomes du
type tzénoffien
(I.B.9)
cornnatibles avec trnlte évolution virtuelle de i~ (t)
on déduit des relations appelliennes
(II.F.45)
et
(II.F.46)
et des formes
des composantes du travail
(II .G.12), les équations a-ppelliennes .respectivanent
dans le renère
~.
fixe et le renère
:.
lié au solide.
nLE.S
8=1,2 ••••p
nLE.6[
't~l
-
Qe =
"
- ?.;'fr .i-
(Q+
n-~-tt "Q = 0 13=1 ,2 ••••p
,0
"
'-
J (3
_1
Ces
p
équations appellie~~es III .B.S
(ou
III.,.E.6)
J'ointes aux
C2 -p
n+l
~quations de liaisons
(I.B.9)
déterminent les
paramètres
qV
du
C~+l
."
mouvement de '-:J (t).
F - Equations niangniennes.
F
- Cas où le solide
tf (t) est libre
1
Dans le cas où les paramètres
aV
du mouvement de t.j (t)
sont
indépendants, les équations générales niangniennes
Iz],
(8], [9J
qui
s'établissent dans le cas général où :~(t) est défini par l'état des vitesses
des particules, - ce que nous n'envisageons pas ici
- s'écrivent dans le
,
(~l
cas particulier où ':J (t)
est défini par l'état des positions des particules
compte tenu des relations
II.F.30 et
II.F.39, des composantes du travail
II ..G. 12, et en vertu du principe de cl' Alembert
2
III.F.l
\\1=1,2 •••• 'Cn+1

---

-;';18 -
et dans le repère lié au solide
FZ - Remarque: Observons aussi que les équations III.F.l et III.F.Z
conduisent respectivement aux théorèmes généraux
IlLC.2
et IIrr.c~
F
- Cas de liaisons du tYI,e tzénoffien
3
Dans le cas où le solide
est sOlnnis à des liaisons du type tzénoffien
(LB. 9), les équations niangnienncs du mOlNement SI écrivent respectivement en
fonction des coordonnées par rapport au repère fixe et celui lié au solide :
IILF .3
13=1,2 ••••p
nI.F .4
S=1,2 ••• p
Los équations
III.F.3 ou
III.F.4
jointes aux équations de liaisons
(I.B.9)
2
...
IV
détenninent les
C +
narametres
q.
n 1
G - Théorème de l'Energie
Nous nous plaçerons dans le cas où la position du solide j (J ne dépend
pas explicitement du temps
t.
(On a alors ~d = Î1
et
0d = ~\\~)
ô
G - Dans le cas où les param~tres
qV
sortt indépendants
1
Ca)
Considérons les équations
III~F.2, multiplions les deux membres de
III,F.Z par
qV CV=1,2 .....L~+1) etsammons; nous obtenons
.../ ...

---

Soit
IlLG .1
en remarquant Olle
III.G.1
s'écrit:
II 1 •G•2
nJ{ • SI = Z~. ri =
en se référant à
II.A.10
et à
II.G.7.1
on observe que la relation
III.G.2
traduit le théorème de l'énergie
III.G.3
•
dW
T
=
ut
Ainsi
III.G.2
exprime le thf'Orème de l'énergie écrite en fonction des coordon-
nées par rapport au repère lié au solide.
observons que
III.G.Z
s'écrit aussi
t.a
III.G.4
= tGp • n
(b)
Considérons aussi les équations
IILF.l
i l vient en les multipliant par
2
(
'J =1,2 ••• ,C +
et en S('1""IT1',ut
n 1
•
--....
' " ' - / .
III.G.S
~X. ~ =~.~
l'on observe aussi que
III.G.5
traduit
le théorème de l'énergie
cinétique en fonction des coordonnées da~ le repère fixe.
notons que
III.G.S
équivm;t aussi à
III.G.6
Ii> •
•
/
• • •

---

- 49 -
,'. \\
(0\\ = ?id (,
II .:f • 7
\\ dx /
l
,
\\
X)
/
/0'
/1\\
(
\\
-
t -
avec
d15 =
A dx
(d~) = Qd i 1
\\X)
-
/1'\\
!
,
= ~ô
~j
!"!.F .8
t
__
avec
=
A ox
F2 - Circulation réelle et virtuelle des vecteurs
d'inertie de
j(t)
1)
Nous définirQn~
la circulation élémentaire réelle
d(5
de s
forces d'inertie du solide
r{ 1'1) dm ( \\YI )
[0 u
x(M) dm ( M)] - cor r es-
pendant au déplacement réel
dx(M) - et appliquées au point générique
M du solide J(t)
par:
..c
~ 1 ·~1
dl.::'
= j'
~r(r~) d& (M) dm (M)
avec
dèb (M) = tAdx(M)
Mej (t)
II. F .9
ou
d6
= 1
tx(M) dx(M) dm(M)
'-/ 1\\1 b J (t)
-
2) Nous définirons de même la circulation élémentaire virtuelle
"
,
des vecteurs d'inertie au cours d'une évolution virtuelle du
avec ô~jj(M) = tA ôx(M)
II .F .10
ou
ô,~ = r tx(M) ôx(M) dm(M)
.) M€.P( t)
.../...

---

- 80 -
Gz - Cas de liaisons sans frottem.ent
Intégrale de Poinlevé
Dans le cas où le solide est soumis ~ des liaisons holonomes sans frotte-
ment les paramètres
q"
étant indépendants
(la position du solide ne dépen-
dant pas explicitanent du temps), les matrices
't ,'G
p
ne
f
contiennent pas les expressions des forces de liaisons.
Supposons alors que l'on ait
"-'
-"~
t;.
dU
=
.. ~d = - {1 • '"Gd
f
-f
III.G.?
ou
'7'
.
;1
..
0
=
* ,>
dU
= - \\.)F
Qd
d
.JF
dU
étant une di~férentielle totale exacte. Dans ces conditions
IILG.2
et
III.G.S
fournissent respectivement
rI{
ete
[(Il :r,
\\1.,·.,,1 + 2U
=
IILG.8
-v
?t Jr '"
cte
(2)
l.·n + 2U =
ou encore
fIl {f. + 2U cte
!..,,,fl
=
IILG.9
---
(2)
Z·?t +2U
= cte
III.G.8
ou
III.6.G
traduisent l'intégrale prerrière de Poinlevé
T + U = cte
1
G - Cas de li~ons tzénoffiennes
3
Dans le cas où le solide
sr Ct) est soumis à des liaisons du type
tzénoffien de la forme
.../ ...

---

......
,:"",
- 81 -
. ;,,,,,.
1
IILG.10
~a
q
= aa ql3
8
'
8=1,2 •.••• P
2
L a = ::.0 (q\\l t) a=p+1 ••••• C
13
13' 1
n+1
-a
q
est une fonction linéaire des
(sans constante
b
)
a
le théorème de l'énergie s'écrit
III.G.11
ou
Soit aussi
IILG.12
ou
.../ ...

---

"Chapitre 4
APPLICATION
Mouvement .d'un système de solides
dans l'espace à
n d.imensionS.
Nous envisageons Ici d'étendre la théorie précédente à urt système de
solide~; il s'agit de plonger un système de s6lides daris un système de particules
"rigidifiant"
de manière D pouvoir écrire ses équations de dynamiqUe analytique
sous des formes analogues a celles du chapitre précédent.
A - Rappels. SOmme directe d'espaces vectotielset d'espaces affines
Soient
E , i=1,2 ••. r~
r
espaces vectoriels réels de même d~ension
n
i
~i ' i=1,2 ••• r, r espaces affines associés?ux espaces vectoriels Ei •
Désignons par
E = ~! E
la samme directe des eSI8ees vectoriels
E ;
i
i
~"
i=1
Soitfl-; '1 'ewpaee~i~l,ensembliste) des espaces il i ; nous posons par analop:c
l r
"
R = Ci>c1. i
E
" . l d
d·
.
- On ~alt que
est un. espace vector1e
e
nnenS10n
nr.
- Mais on peut aussi mtu1ir
r
E
d'urie structUre de module sur R
(ce dernier
c'est-à-dire ]Rr pouvant êtr~ muni d'une structure d'anneau unitaire).
r -
"
r
En effet, soit
ÀE:li( • Nous noterons
À = ë:) À·
avec
).. € R •
. 1 1
l
1=
(a)
Jéfinissons dans
r
R
l' addition et la J1Ull tiplication de la façon suivante
pour
À
et
1.1" éléments de
'f:JRr
r
r
"c"
"
+
C ~~j
=
(+j
C" L+ .\\1.)
i=1
~~. 1
1
1
1=
'c'est l'addition usuelle dans ]Rr
et
r
r
r
IV.A.2 [ 1; ~. (
® À.). C (:!) ji.) = 6
r". li.)
l.ll. ElR
. 1 1
.
1 1
1=
1=
i=l
1
1
1 1
C'est la multiplication entre elles des coordonnées de même rang.
.
.
Rr
rnunide ces deux lois ~ une structure d'anneau commutatif unitaire.

---

... 83.-
r
,
dêfinissons sur l'anneau
lt
la. relation
de
la mzmi~re suivante
r
r
pour
>.,= e
>.,.
et
\\.1 =
®
lJ·
éléments de ~r
L
, ll. e R
i~
1
. 1
1
1
1
1"
i ·1,2 ••• r.
r
On vérifie que
(R
, +
, • 1 ~
)
est tm anneau partiellement ordonné.
r
(h)
Munissons alors
E = G Bi d'une addit.ion et d'une multiplication par
..
i=1
r
(un scalaire étant ici un élément de R
) de la ma-
r
r
nière suivante
pour
X = ® '{
,
y = ® Y.
avec Xi ' Y. €
E. , et
r
1=1
i=1 1
1
1
>. = (il >.,. , >".ER
. 1 1
1
1=
posons
r
r
r
IV.A.3
X+Y = ( (fix:)
+
(
(±) Y.
(fi
:;0
(X. +Y . )
avec
X.+Y. E E.
. 11
1
1
1
1=
'1 1
'1 1 1
1=
1=
nr
Cette addition ainsi définie dans
E
s'identifie à l'addition usuelle dans. R
et posons aussi :
r
r
r
IV.A.4
).. X = ( 0) ".) . ( ri) Xl')
= (+/ (>., .x. )
avec
LX. E E.
i=1
'-;'
' I l
1 1
1
1
i=l-
1=1
• Pour le produit
>.,.X
on multIPlie dans
X, le vecteur
X.
de
E.
par le
-
1
1
r
réel
).•• On vérifie que
E rm.mi de ces deux opérations a une structure de :R _
1
module •
• Si les
E
i=1,2 •.. r
sont euclidiens, on peut définir sur
E un
i
"produit scalaire' de la manière suivante :
r
r
r
IV.A.S
< X,Y > = X· Y
= ( :-.t) X.) • (
(+~ y )
=
r+)
(X .• Y.)
i=1 l i = 1 i
l=1
1
1
où
x.· Y. est le produit scalaire des él€ments
X.
et
Y.
de
E.•
1
l ,
1
1
1
On observe alors oue
,
E possède
.
une structure de module "euclidien"
sur
r
:R
de dimension
n
; et que l'espace 60.; = tB I~.
associé à
E a une struc-
rr
• 1 1.1
1=
ture d'espace affine "euclidien".
. .. /7 ..

---

- 84 -
(c) ,
Soit ,Jt.~n) l'espace vectoriel réel des matrices càrrées d'ordre n à coef-
e
ficients réels sur l'espace vectoriel
E.. Désignons par M Cn) =
;ticn)
1
~'rUr.
,
1-
la'somme directe des/~.l. (n) ,jlr(n) est un R - espace vectoriel de dimension
2
, . ,
.
m r
ad 1
d
d'
.
2
1
l ' l'
.
n r ; malS c est ausSl un .II:'-
-
ID
li e
e
lJl1enslOn n
;
a l1UJ tlp lcatlon externe
}ft
,
r
M
r
-
sur:/ dnJétant défii1ie par : pour
A = @
A;
élément de..J li Cn) etÀ :: (±) À.
'"
'1
1
r
'1 1
•
1=
1=
r
élément de R
r
r
r
(.;...'"\\
'
À.A. G
À.A
=
( 8 À.)
( Œ~,· A.)
Mi
= \\!J (:LA~)
cn)
1 1
1
. 1 1
" 1
1 1
.
v'L
1=
i=1
1=
)
r
r
On définit dans
le produit TIk~triciel
par: pour A =(f)A. et B = (t) B.
. 11
. . 1 1
r
r
r
1=
MI.
1=
élément de
• A.B = (8 A.). C@ B.)'± (3-) CA.B.);
A.B. GJ c.. (n);
1 1
:t~
i=1 1
i=1 l,
i=1
1 1
'7 A..
On remarque aussi que si les E. sont euclidiens, J c: J,~ Cn) étant muni du
1
produit scalaire de HILBERT-8CHMIDT Cvoir chap. 0 § A.4) alorsf'lrCn) peut être
aussi numi du "produit scalaire" de HILBERT -8ŒMIUf. Ce dernier étant défini sur
.l1tCn) par :
r
r
l
pour A = a)A.
et B = (±)
.Bi
des matrices de f4Cn) , Ai' Bi G~(n),
': 11
1=
i=1
posons
r
r
IV.A.6
< A,B >= A.B = tr rAB ]
= (:-8
~, CA. B.)
i=1
. 1
1
1
1=
!4(n)
est alors un ]Rr - module 'euclidien .
On remarquera aussi que d'une manière générale, toute structure ou soUS
jQL
~
structure sur les - ':) Cn) peut ~tre transférée sur) 'ur Cn) via l'opération somme di-
recte.
Notation : Un vecteur
X =
de E, X.o:. e.'
pourra être noté sous la fonne
1
;.
d'une matrice colonne
X
de même une matrice
M = Gi
~i de)'1tcn), Mi G)\\tên) pourra être notée sous
i=1
la forme d'une matrice "diagonale .
'.4./.•.

---

- 85 -
B - Identification des déplacements d'un systène Ë'(t) = ~ 5. Ct)
i=l- l
de solides dans llespace à
n dimensions à ceux d'un système :PCt)
de points dans l'espace Fi
nr
dimensions
_ r.i?
Considérons un système
'2; Ct) - U L" Ct) constitué par r solides
i=1 1
..J)
J·Ct) i=1,2 •.• r
dans l'espace affine euclidien 8
n
dimensions,
qui s' articu-
1
lent entre eux selon des liaison.c:; holonomes. Le système
(~(t) lui-même pourra
être soumis ou~ ces liaisons, à des liaisons non holonomes du type tzénoffien
compatibles avec toute évolution virtuelle de ;~Ct).
Lorsque
/§: (t)
est seulement soumis aux liaisons holonomes le nombre
N de paramètres indéper~ants
qV
définissant la position du système~(t)
est inférieur au nombre
r C~+1 [ car chacun de ces solides est repéré de
façon individuel par
C~+1 paramètres (voir chap. l § A).J • Si ['Ct) est
en outre soumis aux liaisons
non holonomes du type tzénoffien définies par
IV.B. 1
a=O ~ 1, 2•• ? •• p
C1=p+1 , •••... N
alors la position de tCt)
dépend des
p
paramètres qa
Ca=l, 2••• p)
indépendants.
~,
Nous supposerons dans tout ce qui suit que C (t)
est une rétmion disjointe
V
des ,) i Ct) ; de sorte que toute particule de t Ct)
appartienne à un et à tm
seul des solides
'-r
vi(t).
.../ ...

---

~ 86 -
Considérons alors dans l'espace affine "somme directe. (défini au para-
lITaphe précédent), le système J(t) de points matériels (dm .M,v, t) de "masse"
r
r
.
r
dm = $
dmi ' de position M =: (fj M. et de vitesse v = Cf) V; à l'instant t
i -l
. 1 l
•
1-
-
1=
1=
où (droi' Mi' vi: ,t)
est une particule "courante" du solide 3 (t) de masse droi'
i
de position M. et de vitesse v.
à l'instant
t.
l
l
Dans ces conditions il est clair que les déplacements :du système de
solides ~(t) = ~ ,l.(t) dans l'espace affin~~à n dimensions s'identifient
. 1
l
1=
à ceux du système jet) dans
l'espace affine à nr dimensionsl-l'
Q
r
f'l
~us noterons ,J (t) = (±)'J. (t)
. ,
l
1=
Soient
R = (00' e~~ e~ ...•. e~) un repère orthonormé de l'espace affi-
ne euclidien à
n dimensions considéré, et
R.
=
(O., el,', e1z'..•...ei )
l
l
n
i =: 1,2 •••• r des repères orthonormés schématisant les solides ~(~) alors
l
,:",
r
Ote
= (±J Ro est un repère orthonormé de l'espace affine sorrme directe (ci-
i=l
tP
r
dessus défini) et'":~:: 6)
R.
est un repère orthonormé schématisant le système
l
j (t).
i=l
Soient
:.D.
=
° , i=1,2 ....r les matrices de
.
l
A
YI,".
de déplacement des solides
j(. Ct) par rapport au référentiel fixe
l
choisi
Ra alors
r
r
IV. B. ,
~ ~l avec y :: ~ y. A = G A... 1
D
=
. 1 l
. 1
1=
l '
1=
..:(
est la matrice de déplacement de
u Ct)
par rapport à Ol .
Si
X.
et
X.
sont respectivement les matrices colonnes
l
l
des coordonnées par rapport au repère fixe
R
et au repère R. lié
o
r
r1.
"
à J.Ct) d'un point courant M. de ce dernier, x = c±)X;
et.X Cl ~X." sont res-
l
l
i=l
i='
1
pectivement les matrices colonnes des coordonnées par rapport au
(H~,
..
{1~{
1"
repè re
"~
et au repere
~ ~
le ..SCt)
.I.o~ point M=t1,M. de' Jfij)
a
. . . . uu
'1 1
1='
Les formules de chan~ement de coordonnées en repères or-
thenormés de même sens
... / ...

---

- 87 -
IV.B.2
s'écrivent compte tenu de
la relation
I.A.l
sous les formes
o
l
1
l
IV.B.3
=
x.
y.
1\\.
, X.
1
1
1
L 1
et peuvent aussi s'écrire S0115 la forme de somme directe
x=y+AX
r
r
r
IV.B.4
avec
X=+1
~
x .,
X = (j) X.
A = .~ A.
i=l
. 1
1
1
. 1 1
1'"
1=
r
AX= G) (A.X .
. 1
1
1
1=
cette dernière relation s'écrit elle aussi sous la forme
IV.B.S
En outre on note que les formules de passage du repère R
aux repères
Ri
o
<")
liés aux solides
:j.(t)
qui s'écrivent compte tenu de
(I.A.2) :
1
IV.R.6
R.
= R D.
1
0
1
i"'l ,2 •.••. r
al)
Ra
et
Ri
sont respectivEment les matrices lignes
o
0
i
i
(0 , el······ . en)
et
(Oi' el'···· . en)
0
Sont équivalentes. à la fonnule de passage du repère O~L au
o
... ,'.- ... / ...

---

- 88 -
repère (]1j
lié au système
qui s'exprime à l'aide de la matrice
D sous
o
la fonne
IV.B.?
;{)
et U '..; sont respectivement les matrices lignes
r
.
"
o
e, ,..... ,
· 1 1
et
Ct)
(O., el •••••• e
. l i n
1=
C:l
~e7t
1
On remarQUe
que
D =
est '"'ré1
de Jt'CIT +1) ; et
A est une
T-
.pi.
matrice orthogonale;
"A 6 ~(n.) =+: ,) 0 (h) ; A. b '" 0 Cn)
.
1
r
1<
; ] l
,~i=l
r
-:;,':"
}
~
n
~.
-
Soit D· t D = [
, y" 6 IR
; .A. = '....+J A., A. €
j 0 en)
~
AI':.:. =1.:; Yi
1
"-1 1
1
or
i==l
1-
l GR
D
est lUl sous-groupe de Lie èu groupe
On note que la matrice
D a
pour inverse
-1
D
r
r
r
tA
te
t
avec
=
('!) A.)
= .<1-1 t p
_.C;;
-.
Ay = (5 (tA.y.)
1 GR~
. 1 1
i=1 1
-
1 l
,
1=
r=1
où
1
étant
r
l'élément unité de l'anneau R
Ainsi la relation
IV. B. 7
rr.ontre l'isomorphisme entre
le groupe des dép1a..
;.
Ii'
cements du système
J (t) et le ?Toure !}j •
.../ ...

---

- 89 -
,)
c - Cinématique de .j(t)
Cl
Vecteur vitesse d'un point
M de ~f(t)
Les expressions du vecteur vitesse d'un point
M de~(t) dans le re-
père fixe et le repère mobile lié au solideSCt)
sont donnés par les relations
0\\
! 1\\
i = ?J
et
• 1
( x)
x/
\\
1
"'-.,
IV.C.l
avec
o
0
r
r
.
r
x = ~"'+'i x
/~
,--"
i
Y""'l~/ y.
'"
w u'
-=.c!:J '"
w·
i=l
. 1 1
''V
'"
1=
i=l '"
y-wy
W
r
;:, 't
.-....
V = d:;
A.x.-
w= -.
tu.
. 1
'.:).
1
1 1
1=
i=l
où
~ et Q sont les torseurs cinÉmatiques du solide J(t).
Cz Vecteur accéléréltion clTun point M de ~~ (t)
C\\ . Il \\
" -
'0\\
(1 \\
1f) 1 \\
(
\\
•
i
;
rf)
t .,
IV.C.Z
'" (Q+
'
,
et
i
1
= (n+
# .
)
) avec
r = tue
x/
(x)
\\ r )
\\, X
\\
/
sont les expressions du vecteur accélération du point
M de
j'Ct) dans le re-
père fixe et le repère mobile lié au solide
Dl - Force vive
21:
On peut définir la force vive
21
par
.../ ...

---

....," .. - 90 -
rj
r
Z
I}
-:11
2T = J'
VZ CH) dm (M")
= 1'+;
V
""1) dm ru )
,_'
.
\\ . ' · . · c . ' \\)'1 •
= 0:. Q. "n.J\\..
MEj'(t)
. l'
l
l
1
1
i=1 1
1
1
1= "M €
·'f r.... )
i
~i ,,"
,-
r
r
<'-'
1 2
r
[\\T.D. 1
2T = J x ~) dm Ct',J) = (+) L\\ x~V1.) dm. (M) = f+) ~.. ft J{.
'1=1 . 1
1,,9
1
'-
i=1
1 1 1
MEr!" (t)
M. bu.(t)
1
1
t
'"\\....
m.
m. X
m. 'tx
G
1
G
l{
1
1
.
>;1,
K.
.
l
[::~. ].
avec
=
J. ;-..XJ. =
1
JI.;1
"V
1
m,x
lt.
1 G
1
1
).
R~rquons que la force vive
ZT peut s'écrire en fonction deltorseurj
Je Jtt)
cinérnatique~ Q
et
~ \\lsous las fonne~".
'<-1'
2T
=
Q
~ n Jt;
ou
m
mScG
r
r
r
avec %= .
ID =(±j m.
= (±) X
K= ('ii
K.
. 1 1
G
1
IV.D.Z
K
1=
i=1 li
i=1
t
m
ID Xc
' V
r
r
j{ =
X = (~) xr::
K
= @ K.
mx
K
G
J .
i=1 1
G
1
D - Torseur cinétique
nous avons les rr.atrices
Z
o
o
.'V
QJL=
mVe
. wK + mVo~
et
.../ ...

---

-' 91 -
v
t
= P~. y ..
O.
1
1.
1.
r
.D.3
mYe = ':+) m. V"
X_
=tf}fw.K. + rn.Y
]
: 1
,
t
r
\\ ;
wK + mV
1 t.l.
C -1.)
• --lI 1
1 O,
•
p=
1
1=
1.
1
r
= (:±J
mCy-wy) Xc + wK =l:!:) r
_m. c·y. '"
-w . y .) Xc + w. K.1
Ill. X"
. '"
t
'" v
r ,
t
-- 'V
rrDCe
. 1 1 \\..J.
1
1
•
1
1
1 1
}.
1. 1.
1=
1
1=
1
()
définissons alors le torseur cinétique de
'0 Ct)
comme étant la.projection orthogo
IV
nale sur l'algèbre de Lie 1) du groupe de Lie» des matrices n~( et ~. Soit
o
Yi/$-
0
ï = ( n}ù =
r
r
=d:i (m. C\\r Xc -Xc!v
)+ Il.K.+K.w ~"-.O
. i=l 1.
0
i
i Qi
1
1
1
:il i=l i
.D.4
et
avec
f-
•
' "
t
•
'"
. 1 1 1t
r
[
" ' .
""
= _-8 ID. (y.-w.y.) xG-x
(y.-w.y.) w.~.+~.w.
' 1 1
I I I
G
1 1 1 1
1=
1
r
=(~
RemarQUe : On a :
IV.D .5

---

- 92 -
D
- Les énergies
S
et X.
3
On peut définir l'énergie
5
d' J\\.ppell du système3(t)
par
('
2
.
2 ~l
•
2
25 = J' r (M) dm(}1)~ ~ JrZCMo) dm. (M.) = ~
(n.+n.)Jv. • (n.+o. )
. MEjo
.~ .
1"61 1.'
1
1
1 1 1 1 1
1"
l'.
' i
i=1
IV.D.6 ou
"
1
;
r
;
r
;,
.
r J
..
'" _'Y2 IV
25 =) i 2(M) dm (M) =
'),t
'),.2
(7)
1x"i CM) dm O'~
°
0) = :i)
(no+H.) Llir"(fl.+flo)
( ME:3
O=11M E -(
1
1
1
1
1
1
1
i=1
1
j
. i, '-"i
On remarque que
25
s' écrit en fonctions des torseurs cinénatiques 0 et
de J(t)
sous les fonnes
. 2.-( ,
. 2
25
= ( n+ n LK, 6' (n + Q )
IV .~. 7'
ou
" V
(~ 2 '1)
25
=
~ )')i.,
(~ + ~2)
•
Par analogie l'énergieX
de tüang du système
,jet)
est donnée par les
formules
r
r
-0
• • .
;
3
JI
2C = + 2' ~
=(.~> (6. ~Al' + "'2n...n
")' ·n.l-j'J.·
j
'.
i=1;'i
~i=1
.r-
1'·
"1 t ,·l". r1i
.
IV.D.8 ou
r
2f!= ~)
2 LI
. 1
1""
et on remarque aussi que
25
s'écrit en fonction des torseurs cinématiques
Q
et
?1 de S(t)
sous les fonnes :
.../ ...

---

0- 9:s .~
IV.D. 9
ou
,,-
D - Circulations des vecteurs d'inertie de j'Ct)
4
Les circulations élémentaires réelle. et virtuelle des vecteurs d'inertie
du système
w
d~f' .
et ÔO v
sont
e mIes par :
r
IV .D. 10
~-
d-·t::·
c.±l
L, •
. 1
1
1=
r
~= ~:
.t.~
!f)
Ô ('"
. 1
J-
1=
-0
où
à'''i
et
~ sont les circulations élémentaires réelle et virtuelle
-"1
des vecteurs d'inerties des _.solides ...f.Ct) , i=1,2 .... r
au cours de leurs
l
~volutions réelles et virtuelles.
Notons que les déplaCEments éH.mentaires réel et virtuel d '\\Dl point cou-
2
r
r
rant
M du système
J(t)
sont définis par . dM == q.; dH. et
I5M== GJ 6M.
i==l
1
. 1
1
1=
où
dM.
et
6M.
i=1,2 ..•. r
sont les déplacements élémentaires réels et virtuels
1
1
des points
M.
des solides j~ Ct) .
-.
1
1
Par analogie la circulation êl€mentaire
virtuelle ôl: s'écrit dans le
cas où les
N paramètres
q'"
(N ~TC Z+1)
sont indépendants
n
,
IV.D.ll
ô'ê == Q", ôq'"
r
avec
Q",
= G)
~.
i=l
1
.../ ...

---

où les
Qv sont les composantes de la circulation élémentaire virtuelle des
vecteurs d'inerties du système
J Ct), les Q
étant celles des vecteurs d' i-
('
\\)i
\\
nerties des solides 'J.Ct).
l
Ainsi , on peut établir
par analopie pour le système ~Ct) les fonnes
niangniennes, les formes appelliennes et les formes lagrangiennes des composantes
Q de la circulation.
v
Dans le cas de liaisons de typ~
tzénoffien CIV.B.1)
compatibles avec toute
o
~volution virtuelle de
.
les composantes Q~ de la circulation s'écrivent:
- . \\
/
Ct)
[av~ &w '" ~ oqSr
IV.D.12
~ = ~ 0"
i=1
S·l
DS - Travaux élémentaires réel et virtuel - Torseur des forces
~1
s'exerçant sur
,/ Ct)
..0
(a)
Deux catégories de forces entrent en j eu au cours du mouvement du système J(t)
D'une part, les forc~s intérieurs au systèmec'Ct)
qui comprennent les
..~
forces d'interaction intérieures à chacl..1n des sol ides
....' i Ct)
et qu'exercent
Il
l'un sur l'autre deux particules distinctes d'un même solide
J.Ct) ; la somme
l
des travaux de ces forces est compte tenu du principe de
l'action et de la réac-
tion nulle.
.v
Il Y a aussi dans cette prffilièrc catégorie l'action du solide Ly(t)
sur
le solide
.s i Ct) et la réaction de SiCt) sur Jj Ct) •
Désignons par
fi int et Ft,int les matrices colonnes dans la base
,
1
cR fixe et dans la basee liée au solide j i Ct) des composantes de l'action
~
I R
du solide
Jj(t)
sur le solide ,li Ct).
.../ ...

---

-,.95 -
Nous avons la relation
i
IV.D.13
f~ .
l,lnt
= A/i,int
où Ai
est la matrice orthogonale de passage de la base
~o à la base ~i.
Nous avons aussi en vertu du principe de l'action et de la réaction et compte
tenu de
IV.D.13, les relations:
f~ . t + f~ . t = 0
'l,ln
J,ln
IV.D.14
A Fj
" p i . : . .
0
. ' . .
+ h.
.
.
t-
1
1,lnt
J J, ln
tD .
D~signons par dw~ . t le travail élémentaire r~el de l'action du solide J
'
l , ln
]
LO
sur le solide J i
nous avons alors compte tenu de
IV.D.14
d~ . t+ dw~ = 0
IV.D.15
1, ln
J int
En outre en se réffirant au paragraphe
G du chapitre
II, les
d~ . t s'écri-
l,ln
vent sous les fonnes matricieHes.
-LI
IV.D.16
dw~ . t
=C:;>j
• n.
l,ln
F..
Id
l,lnt
Posons
r
IV.D.17
dw . . t
=
<1~
l,ln
l
. t
l,ln
j=1
dw. .
est le travail élémentaire réel des forces dues aux actions des ,
l,lnt
(!
solides 5.
j=1 ,2 ••• r
sur le solide ~i
J
On notera que dans la sommation ci-dessus l'action du solide ~i sur lui-
.../ ...

---

- 96 -
~
aime
f~.
(ou
est considérée comme nulle ainsi dw. .
l,lnt
est nul
l,lnt
il en est de même de
et de
~i
F. .
l,lnt
En posant aussi
, " \\ /
r -v
r
N.D.1B
t~
=
'/f. .
~ l) f~
avec
f. .
.
=
l,lnt
~ f~ . t
l,ID
l,lnt
J=l
l,lnt
)=1
.~
=
~ ..
! b j
r
F . . t
avec
l,lnt
J=l
l,ln
r;
= ~
F~ . t
l,ID
• i, int
J 1II1
IV.D.17
s'écrit comnte tenu de
IV.D.16
et de IV.D.1B
/,.,J
IV.D.19
= :e
dw. . t
':;f
(,
=.:g'
e
l,ln
F. . t ff
i,int
id
l,ID
notons qu'en se référant R IV.D.1S l'on a
r
r
.':>:-'
r
-
".
Q.
=
:=:
a
IV.D.ZO
'"
dw. .
r
'\\.0
r-
f,'
st.
=
.... J::
î ~F
b
r=l
l,lut
Id
Id
1
i,int
1=1
1-i,int
1=
Il Y a ensuite les autres forces s'éxercent sur le solide
J. (t) et ~i
1
,-;;
sont des forces extérieures au système6Ct) ; notons
f.
xt
et
F.
t
les
l,e
l,ex
composantes respectivement dans la base lB
fixe et la base Œ liée au solide
o
i
J. Ct) de la résultante de ces forces ; notons aussi dw. t le travail élé-
1
l,ex
mentaire réel de celles-ci.
En se référant au parap,raphe G. Chapitre II, on a
N.D.21
dw.l,ext
Le travail élémentaire réel
dw
des forces appliquées au solide ~iCt)
i
est alors
=

---

-97 -
dw .
.. dw. . t
+
dw.
l
l,ln
l,ext
0 . '
IV .D. 22
,(
=\\~
avec
Y}f.
=t:
+~
f. .
P. .
P.
l
l,lnt
l,lnt
l,ext
f-
=
.r
I
l ·
•
.,....
=
, l , Int
+
f.l,ext
t'.
F..
+
F
l
l,lnt
.
xt
l,e
(b)
Dès lors le travail élémentaire réel
dw
des forces appliquêes au
système
~ Ct) s'écrit:
r
r
.'-'
r
IV .D. 23
dw = GJ
dw.
= (+j
ct ,,'n. ) = '+\\
' ..
,
/
Cr;
f
F. • o. )
1
i
Id
Id
i=l
i=l
i=l
l
ou encore
IV.D.24
r J
r
~~
~G
avec 'tf
= (il 'G
F =
. 1
f.
let
l
..,
r
f
.. , ~
f.
P
ID
@
F.
i-1
l
i=l
l
où
~d et
0d
sont les matrices des l-formes associées respectivment aux
f"'
torseurs cinématiques
~ et Q du système J Ct).
(c)
Le travail élémentaire ·virtuel des forces appliquées au système JCt)
s'€crit
:
r
r
't/.
IV .D. 25
~ = G) ~.
(+)
CG p' ., Q ...)
i=l
-; 1
· 1 , .
l
1=
l
ou encore
r·/
.
IV.D.26
ISw
= \\t~f .. '"
'f.:
nô
=
"p
nô
.../ ...

---

.'
'.~ 98 -
d) Les composantes
2
du travail élémentaire virtuel des forces appliquées au
v
systène JCt) , dans le cas 011 les N CN ~C~+l)
paramètres
q
sont indé-
pendants, s'écrivent
IV .D. 27
2
= t
~ n = ,1 b . n.
v
F
v
. 1
F.
Iv
1=.
1
o
Cc) Lorsque le système
.,) Ct)
C'3t sotnnis à des liaisons non holonanes de type
tzénoffi.en compatibles avec toute évolution virtuelle de ce dernier, les composan-
tes
2
du travail s'écrivent
8
r-J
-
r
-.""'--:-.::,~
IV .D. 28
2 = t 6 '"
G)
0
B
f
na =
f. .: nia
i=1
1
r
-:
2"li = ~'... Il n = (±J b
"n·
p r a
i=l
lB
')
E - Equations analytiques du mouvement du système
jCt)
Lorsque
:)Ct)
n'est soumis qu'à des liaisons holonomes, les
N para-
œtres q'V ~tant ind~ndants, les ~.qœtions analytiques du mOW6Tlent de JCt)
s'écrivent en wrtu du principe-de dt Alembert :
Q - 2 = 0
v=l ,2. • •• N
v
v
D
Si de plus
J Ct)
est sotnnis à des liaisons non holonomes du type
tzéncffien compatibles avec toute évolution virtuelle de JPct).
Les équations analytiaues du mouvement de
jCt)
's'écrivent
ces
p
éauations jointes aux
N-p érruations de liaisons déterminent le mouve -
ment de JCt) [.eu\\. ie GCt) ]
.../ ...

---

.- 99 -
1) Equations lap.:ranQiennes de .s Ct)
Le système l)Ct)
étant défini par l'état des positions des particules
et les
N paramètres
qV
étant supposés indépendants, les équations lagrangien-
-y
nes du mouvement de
LJ Ct)
s'écrivent:
[
"
r
t\\, ,.
.-',..1
c±.!
L. -l;
!:n. = 0
f.
i=1 \\
!
Iv
l
l
-'
IV.!. 1
I·+ I· n· - n·r -t: J
.
t
t
F "n. = 0
1
1
1
I I .
Iv
v=
-1.,.!.
•••• H·
"
On notera que celles-ci sont éouivalentes respectivement aux équations
Vi =1,2•••••r
ou
En faisant la sœnn2.tion sur
i
de ces dernières et en faisant appel à
,JJ
IV.D. 20
on observe que les équntions lagrangiennes de c)Ct)
s'écrivent aussi
r
,-v
r [Ii "'-;1;:-
- T..
A
c":ç
-ri. = 0
Iv
1=1
-'-i, ext
IV.B.Z
ou
r
r
•
t
t
r-r
'i' •
+ \\'. Q. -
ri. \\'.-
ft..
. 0 ' " 0
1'=1
LI
LI
1
1
L 1
-r.
,
V
l;exl
[
j
·.v
2) t::~.'
".
f.J: .
..1
)
.l.A4uatl0ns tzeno -J:J.cnnes \\le..) Ct
Le système
:JCt) étant toujours supposé défini par l'état des posi-
tions des partiœles, mais ~s ~ des liaisons non holonomes du type tzénoffien
.../ ...

---

t--: 100 -
n
Compatibles avec toute 6volution virtuelle de JCt)
dans ces conditions les
équations du mouvement de 3Ct)
s'écrivent:
I-r '~f' 1.?t [I. -
= Œ)
'fT l,~. = 0
L
J
B
i=1
1
fi -'
lS
- IV.E.3
rr'ftiï ti)l-'i'q .Q~=L [fi+Ii\\ii
13=1 ,2 •••• P
Soit aussi
..
r
.r'\\.,.-'
r [ (":., ~G
L·
~. = 0
/1:
1
f.
t
113
1=1
]-1 ex _
IV.E.4
ou
r~1=1 [ ~ -t- t- - ~-
-
. .c
]
Li + Li-ni - Q.
-
1 Li
, )
..
P.
°ia = 0
e =1 ,2 •••p
- 1,ext
Les
p équations
rv.E.~_ (1)
Oll
(2)
jointes aux
N-p
relations de liaisons
détenninent en principe le motNcment de -S Ct)
rou de (-Ct)] •
l_
3) Equations appelliennes de ':fCt)
Ca)
Lorsque les
N paramètres
v
q
sont indépendants les équations appel-
liennes du mouverntnt de
..5 Ct)
s'écrivent
:~ ~
[
- -
f 1- 11v=
IV.E.S
ou
\\-~
_t
J. n =
"p
H V
\\)=1,2 ••• N
.../ ...

---

•
,;. 101 -
elles s'~crivent aussi
r
'V
t
.
2
(~.
r)!
+ ~.
)
~-
]
'Y
... ', .
-":'f
., \\l.
= 0
1
1
'1
i=l
[
i,ext
1\\1
IV.E.6
ou
1 r
. r
v=1,2 ••• N
1 1=1
1
.ç
(b)
Lorsque le système
,) Ct)
est soumis à des liaisons non holonanes
..0
du type tzfutoffien compatibles avec toute évolutoon virtuelle de J(t), les
équations appelliennes de SCt)
s'écrivent
r
[-
"'-'
•
::;2 'V
en·
1-'
-' f
1
+n.) ...,; .
'J.
.,. 'Q.
= 0
1
1
JI
i,ext
1(3
IV.E.7
ou
rr
1
e =1,2 ••• p
\\
1=1
l 2 ,J,
(!I. +0.) ,'i'l; .
1
1
,-
1
,
4) Equations générales niangniennes de .-3 (t)
Ca)
Les équations générales niangniennes qui s'établissent dans le cas gé-
néral où iJ(t)
est défini par l'état des vitesses des particules s'éc~ivent dans
le cas où
j (t) est défini par l'état des positions des particules et n'est
soumis qu'à des liaisons holonomes
r .
[~
,-h 11 _ "J
':L'"
' ] ''l-
= r
(+)
n..,
- 7!'
....f.J. -
1;
1.;) f
.... Sl
__.
ni = a
\\1
i=1
, 1
"
lV.E.8
ou
..../ ...

---

- 102 -
elles s'écrivent aussi
r
~ -
L
n.
i=l
!,V
IV.E.9
ou
r
t
\\-1
l
[.
' 0 _
]
'"('
-
n. n..
ai~"'i
~:..." - 6
• n.
= ü ;
V
=1,2 ••• N
1
1
1
F .
t
IV
i=l
l,ex
(b)
Lorsque
~
,-,' (t)
est en outre soumis à des liaisons non holonqnes du type
tzénoffien compatibles avec toute évolution virtuelle de !Ct) les équatio~~
niangnienne~ de 3et) , s'écrivent:
N.E.lü
ou
ri',
".1
i
Çl"'"
i·· ,
n.] .
t-- - K !
n. n. - .'
l3 =1; 2 ••• p ,
c
nI", 0 = ü
i=l
[ 1 1
1
l
~j
IJ
F - Exemole
ElUDE DU MCUVBv1ENT DU "CPJ\\RIOT-MARIüN1'm'ITE"
-P
Soit
(; Ct)
un .système fomé par deux essieux
eS (t)
et
e Ct)
6
constitués par deux tiges homogènes de longueur
21
et
21
de masse
5
6
mS
et m • eS(t)
porte ~ chacune de ses extrémités
G
6
,
et
GZ deux disques ho-
mogènes et identiques
Dl Ct)
et
DZ(t)
de rayon
a
et de masse m, m m =
Z
ID
e6(t) porte à ses extrémités G et G
3
4 deux disques hamo~es et identiques
D3(t) et D4Ct) de rayon a et de masse ~ =m4 = m'. Ces deux essieux sont
reliés en leurs milieux
G
et
G
Ct)
de longueur
S
6 par une tige homogène
e7
2R.
et de masse m
7
7,· le sorte qu'ils puissent se lZlOuvoir indépendemment 1 'tm
de l'autre et aussi de
e Ct).
7
On suppose en outre que les 4 roues ainsi réunies pelNent tourner indépen-
.../ ...

---

- 103 -
da,mnent les unes des autres
; D1Ct) et D Ct) tournant autour de
Z
de
G G '
D (t)
et
D Ct)
autour de
G G ,
1 Z
3
4
3 4
Le chariot ainsi constitué repose
sur tm plan
(li) incliné d'tm
angle
a
constant sur l'horizontal. (voir figure I)
Proposons nous d'étudier le mouvernent de j (t)
F
- Généralités ,
1
o étant tm point fixe du plan (n), considérons le référentiel
...
-+
~
(O,~, v0' K )
O
orthcnoTnal direct OÙOÛG~
est 1 'horizont;l1 de
( n)
passant Par
0
et
Ol<:o
la nonnale à
(n )
passant par
0
tel que ,.
r-
. ~
IV.f.1
(â'k
1
o' Ot)
= a
\\i\\,
avec Ci, E [~2 %J
'.
où t
est le vecteur tmitaire de la verticale ascendante en 0;
Nous considérons que les points matériels de positions
G , G ' G
(voir
1
Z
S
figure 1) appartiennent 8 la tige
eS(t)
et à cette tige seulement et que
celLX de positions
G , G , G
appartiennent à
e (t)
et à
e (t)
seulement
3
4
6
6
6
de sorte que les systènes
D·Ct)
,j=1,2,3,4
et
el' Ct)
, i =S,6,7
sont dis:_
J
joints ; nous notons alors :
4
,~,
f.l D
(t) '"
(t)
+
j
-+
-+
-+
Soient
k
et
k
resnectivrnent les vecteurs unitaires des vecteur
S' kô
7
G è
1 z ' (;04
et GSè6
désip.:ons par
R = (G) .û
, 1t ), j=1,2,3,4
j
j
i j
j
+
+
~
et R. = (G., ui' v., K.) ,i=5,6,7
des repères orthononnaux directs liés
1
1
1
1
respectiverrent aux diSQUes
Dj(t)
et aux tiges
Giet)
.../ ...

---

- ~104 -
....
svec
U'
= k
pour
i=5,6~7
(voir figure I)
i
0
-+
-+
k. = k.
pour
j=1,2,3,4
i=5,6 et (i,j)E
{(S,l),
]
l
( 5,2), (6,3), (6,4) } •
Nous acbnettTOls que
~ (t) se meut de telle façon que les plans des disques
restent constamment parallèles. Dès lors
DjCt)
j=1,2,3,4
touchant le plan
(TI )
respectivement en
.-.~,----....................
- i >
-
-:>
+ TI
°314 ' 13116) =
"Z
IV.F.Z
.~~
'-,'
-:>
=
(U ,
I
=
~6'
J
3T16 )
~
- i >
oil
1
sont respectivement les intersf ctions du plan
(TI)
avec
111S
et
I3T16
Dl (t)
et
D (t).
3
Soit
G le centre d'inertie
de ,~Ct)
G est alors le point de
G G
défini par la relation
S 6
On déduit de celle-ci
2 (tn.... +InJI +rr ,J +m
- ; >
j ' i O
7
'
N.F.3
GG
=-
.
5
M '
7
avec
M = r ID
r-=1 r
.../ ...

---

5~.~".J;', .. _ lOS _
Posons aussi
IV.F.4
avec
r;=a
ti' i=l ,2~3,4 désignant les rotations propres des disques
Di Ct) (ou des repères
. .....
qui leurs sont liés)
par rapnort au repère fixe
(OJ\\f ' v ' ka)
la position
ù
o
du chariot21t)
par rapport au réfÉrentiel fixe est définie par les neuf
paramètres:
2
3
4
_....
Nous poserons alors
r 1q =ljll' Cl = ~'J , q =93' q =~4 qS ="1'
q6
,-
·S
-
6
1
1
IV.F.S
7
8
9
1
q
=
,
'4J 7
q
= ~, q =n
L
Soit
1'.' le champ de la pesanteur
nous poserons
IV.F.6
[~vec g •it • -+
=
~k
- SIrI a Jo + casa
0
g:lJ 0
Nous adopterons enfin les ensemples d'indices suivants :
1
J-
={
2
4}
lorsQUe
j=1,2,3,4
1
. J
= {::6::' }
lorsque
i=5,6,7
1
-If
(r~ =t (5,1),(S,2)~(~~3),(6,4)}
1
1f~ ={(i,j)/(i,j) BdC} pour i fixé
L '
Ainsi les déplacements de -C, Ct)
dans l'espace
affine de dimension
3
.
7
./
.'
s'identifient aux déplacements du système J (t) = (±)
~ (t)
dans l'espace
r=1
r
"samne directe" de dimension
21
défini au paragraphe B.
.../ ...

---

-106 -
"'1
La matrice de dép12cement
D de
\\(t)
est alors
t
7
1-
D =
avec
y = (j)
Y
A :c (i) A
-t ~ IR
r
r,
r=1
r=1
..
où
/
Di- =
est la matrice de déplàce""''"'1'fit: duc solide J (t)
r=l ,2 ••• 7
.
r
Y
désigne la matrice colonne des coordonn6es du centre d'inertie
Gr
r
dans le repère fixe
Ro = (O/}o)'
Ar
la matrice orthogon~le de n~ssage de la base 62b à la base CEt.
Nous définirons les matrices
i\\ au mCiyen des angles d'Euler '1/Jr'~r' er
(voir chap. l § A.S)
- pour
r = i € j = {S,6 s7}
nous avons
avec les notations précédentes
=
/"
C....
::'-k)_II
ni' 0
-"2
, 8. =
1
....n· étant le vecteur unitClire de la ligne des r.oeuds.
1
- pour
r = j 6 d' = {1, 2, 3 , 4}
(i,j) 6 dt
On a alors en se référant à
(I.A.2)
o
- cos~.
lOScll .cos",.
-sin~.cos•.
1
1::
J
1
J
1
A = 0
- sin$.
cos,.
A.= cosç, .sin~.
-sin<)J.sin•.
i
t
1
1
J
, J
J
1
1
N.F.R
1
o
o i
Sille?
cOS 9
J
j
En outre compte tenu de
IV.F.3
et
IV.f.4
et compte tenu des matrices
Ar (N. F. 8) dont les colonnes représentent les composantes cbns la base ['::'0
.../ ...

---

- 107 -
"l,
des vecteurs des bases u,~~
l'on obtient l'expression des matrices colonnes 'fr
des coordonnées dans le repère fixe
R
des centres d'inertie
Gr
des solides
o
J!
.Jr(t)
(~+ (À+e:
i~+(À+e:·)9.7
i ) 9.
sin W7+E.R,.sin "'. ",
7 sin W7
:
1
J ~
1
1
J
y. ~- (He: . ) 9.7 cos W7
y.
=1 n-(À+e: ·)9.
l
,
1
J
1
7 cos "'7-E.R.. cos",.
)
\\
J 1
1
1
\\
"
/
\\.
a
a
/
avec· e:r = (_1)r
pour
r=1,2,3,4,S,6
J
E
=
a
,
r
,,-
F
- Cin€rnatique
de
5'(t)
Z
1) Le torseur cinématiaue du solide cY(t)
en f01ction des coordon-
nêes par rapport au repère mobile et au repère fixe sont
ra
a
a
0
g
et
rs.
:::
t
'\\,
'\\,
W
y -WY
W
lvo
7
7
7
avec V = (±)
V
W =
::'-',
w
'"
(t)
W =
w
o
r
r
r:::1
or
r=1
r=1
.,
a
a
0
0
et
~r =
.
'\\,
V
yr-wY
o
W'
r
wr
r
'C'
J
~r sont les torseurs cinématiques des solides J~(t) en fonction
respectivement des coordonnées nar rapport aux repères mobiles liés aux solides
.
3 (t) et au repère fixe.
r
Les matrices
wr et ~r sont données compte tenu des angles d'Euler dé-
finis au IV.F.8, par
,
I.B.4
a
a
pour
r = i €:j
nous avons
n. =
1
V
W·
O.
1
1
.../ ...

---

""
.
:.:, 108 -
!
.' 0
avec
V = A
t
.y . :~t:{·ti cosljl.+ risin1/l1·+(À+€1·)t7~7 cos (1/17 -l/!:...l]\\,
O.
1 1 l'"~
1
..
l
! .
1
1
. \\ . - [iSin<Pi - ;;COS<Pi+(À+€i) t7>Ï7 sin(<Pf <Pi)
""
0
0
0
(j).
=
0
0
-1/1.
1
l
Q
1/1.
0
1
•
0
-1/11
0
0
.
et
~.=
IV
avec
w· = t1J.
0
0
1
l
1
•
...
IV
Yi-WiYi'" "
w.1
0
0
0
pour
r=j€,f
nous avons
....,
r~
•
.
1
0
0
-~.
,p.cosç,.
J
1
J
III
g. ::0
=
avec
w. =
1
~.
0
-1/1. sinQ.
J
J
i
J
1
J
V
W·
1
O,
J
f -.jCOSJ)j i· siu~.. 0
1
J
1
J
L
J
.' cos~. ri cos 1J.'.+ rÏ sin1J.'.+().+e:.) Lili.. cos (1/I.-ili...)+e:. 1. ~l '\\
] ~
l
l
1 7 Tl
1 r/,
J
1
li
V
~1'
::t
- sin~. ~Os 1/1.+ ~in 1J.'.+( À+ e:.) L th.. cos (1/1. - ili..)+ e:. 4
O.
J~'
1
J.
1 ' 1 Tl
1
Tl
J
1
J
\\ \\
b;in 1/li -ri COS1/Ii +o.+e:i ) ~ ~ sin(1/Ic1l7)
\\.
.../ ...

---

.,. 109 -
0
1
0-
~
-!JJ .
- 9.cos!JJ.
'"
1
J
1
et
". .-
lvec
...
J
;J.= ;p.
0
-l!>.sin!lJ.
.
bl
'"
... '
J
•
J
l
y.-w. y.
Cl
1
$._~ cos ·!011 ~sin"'i
0
J
J
J
.J
J ' ~
+;7(A+E
COSW~
i )17CCOS W7 + ~i I;-CA+Ei )17
+ a$j COSWi
,
'"
y.-w.y. =
J
J J
+~7 P,+E:i) 9-7 cos !JJ7 - ~i ~+ (À+E:i ) 17 sin!JJ] + a~ sin!JJi
$j[~ COSWi +n sinWi + (A+E )1
i
7 sinC"7 - - W~
,
./
2) CalCUl dés vitesses de 7lissements en 1.
j=1,2,3,4
-
J
Plaçons nous dans le cas où
;-:, Ct)
roule et glisse sur le plan n.
En vertu de
LD.18
et en remarquant que le plan
TI
est fixe, les vitesses
de glissement aux points
I.
s'6crivent dans le repère de l'espace de référence
,J
-=
'"n.J
où les
x.
sont les mat rices colonn85 des coordonnées des points
1j par rapport
J
au repère fixe
Ir. +(;\\+e:')~7 sin!JJ7+€"C SinllJ.)
1
1
J 1
1
i
x. = i n -(À+e.) R,7 cOS1/J7-€jl},i cos~i
J
1
1
\\\\ 0
..
En explicitant <llors les relations ci-dessus, l'on a
.
.
/Oi
/
+~7 P.+Ei) 1},7 cos!JJ + e· 1},.1/J. cos1/J. + a
7
4> .
cos1/J
J 1 1
1
i
).
IV.F.l0
r
•
=
n +~7 (;\\+Ej )'~7
•
sin1/J7 + e:.)1,.1/J. sin1jl. + a9; sin1/J.
gj
J 1 1
1
.1
1
0
r
F
- Etude du moUvement de (~(t)
dans le cas où il selmeut sans frottement
3
SUr ln)
Nous supposons ici que f(t)
est seulement assujetti à se mouvoir sans
.../ ...

---

- 110 -
r-
frottement sur (m. Dès lors les réactions de
CII)
sur L~ Ct)
sont nonnales à
v
( TI ). L'état de:€
(t)
d~pend des 9 paramètres indépendants
q
•
Détenninons le mOUVer:lent de c; Ct}
en utilisant les équations appellien-
nes
(IV.E.7 z) ces dernières s'écrivent:
7
z,,·V
IV.F.ll
l
(n +0).,' .'
r
r -' r
r=l
Détenninons les éléments figurant dans ces sOITi!lations
,~ )
- les matrices d'inertie
J... r sont données par
2
a
ID.J
Z
avec
K.= lomn
0
0
pour
r=j € J'
,.1, :
-...~"-). =
a
J
J
m
0
j 4
()
K.
La
0
o.
1
re.
o -,
a
0
0
r=i E j
j{.
l
pour
=
Jvec K- a
0
0
l
i-
2
m. t.
a
K.
0
0
1
1
1
3
o
o
•
2
1/
~.~ avens alors
(n +n . ) i;,
:=
r
r
~
r
avec pour
r=j €
\\1
..y.J
o
.../ ...

---

- 111 -
o
(w.+w~)K.
a 2
,
·2
=
m. ~ (~.+~. cosQ. sin<t>j)
•
o
J
J
J
J '+
J
1
J
2
?
a
.•
a.~
.,.
.
• '"
m. ~ (-~. COSQ.+ 2$.;. sinQ.)
m. .- ( ~.sm'j-. 2~.q,. cos•.
•
J 'l
1
J
1 J
)
J q
1-
)
1
J
où
les points • représentent les ternes non exp! icités
:1
pour r=i
6J
'\\
..
, 2 .
\\
( ~+(À+Ei)~7 $7 cos~7
(HEi) ~7:~ smo/7 )
.
..
,
y.
1 "
=
TI (À+€i)2
l
1
7*7 sin~7
+ (À+Ei)2 o/ cOSo/
7 7
7
\\,,0
0
0
0
(w.+w?-) K. =
1
2 ..
I I I
0
0
-"'rm.L~.
.,
1
1
1
0
0
-.
où le point • représente le terme non explicité
- Déterminons les
Q
"r
" =1,2 ••••• 9
r=1 ,2 ••• 7
o
o
nous avons
Q
=
"r
a. !.'I
" r
avec
pour \\F1,2,3,4
3 y. = a y. = 0
v J
" 1
'"
\\
.' +e:. 2. cos~. '\\
pour v=5,6
, si
_ 1
J 1
1
\\FI
ô y. = 0 et
d y.
v 1
" J -;
'\\' (t,j)6
, .
X.l
\\. +ej.Qi sln~ï'
\\,
0
.../ ...

---

~'112 -
et siy\\,l~ i
a y. =
a y. = 0
V
l
V
J
! (HEi ) 27 COS$7 ~
pour \\,1=7
a y.
= ô y.
=1
v J
v 1
\\ (A+Ei) 27 sin$7 )
0
\\
pour \\,1=8
a y.
= ô y.
=
\\,1 , J,.
V
1
6)
0
,...
\\
/0\\
,poür \\,1=9
ô y.
= a y.
=
/ 1!
v J
v 1
" 0/
ruis pour
v = j = 1,2',3 s 4
0
-1
0
a. fil· =
1
0
0
ô. b.). = 0
i=5,6,7
v'J
v'l
0
0
0
et
si v ~ j
::\\(ll.
= 0
-v 'j
pour'" =i = 5,6 -
0
0
0
0
0
COS'j
~
a.w· =
0
0
_1
ô .Ill· =
0
0
-sin,-
\\,1 1
v J
J
(i;11G X
0
1
-cosç.
sinQ. 0
0 J
_
J
J
"'1f
(i,j) 6 J.-=,
~.w·
=
Ô.w- = 0
v J
v 1
o
o
o
pour
v=7
o
o
-1
et
a.~. = Ô.w· =0 si if7
\\,1 J
v 1
o
1
o
Enfin on a pour
\\,1=8,9
ô.w. = a.w. = 0
v J
v 1
.../ ...

---

,;;; 113 -
Nous pouvons alors dfterminer explicitement les expressions
7
o := r
-v
r=1
Nous obtenons tous calculs faits
a 2 .,
pour
~=j= 1,2,3,4
(' = m. .",.- '".J'
' .
J f.,
'fi
a
1
2
2
,.
pour
v=i= 5,6
Q. =
1:
m. r- + -3 m.t. +
Q
2
m.R,.
$.
v
( " )
G'\\W Lf
1
1
J 1
l
[
l , J
!J;.-i
IV.F.12
nour
v=i=7
~
L (À+e:.)
(i,j)€"t
] 1'~1
2(m.+m.) 7='" TI1 R.
+
7 2
7
)
.)
2
~ ..
M(1-À ) R.
$7
pour
j
\\)=
8
pour
\\)=
9
o = Mfj
v
Détenninons ensui te les cŒmosantes
2\\)
du travail virtuel
7
<Sw
.=
1: ~F
• Qn5
/.t
r=l
r,ext
7
IV.F.13
2
= }: 'CF
Qr\\)
'J
r=l
.- r ,ext
où
F
sont les résultantes des forces extérieures s'exerçant sur les solides
r,ext
j ret) exprimées dans le~bases "liées R·ces~detniers •
- pour
r = i = 5,6,7
f.
se réduisent aux forces de pesanteur
P.
l,ext
l
s'exerçant sur les tiRes
e.(t)
-
l
- pour
r = j = 1,2,3,4
F.
sont les résultantes des forces de pesan-
J ,ext
teur
P
et des ré\\actions
/1 j (du plan
JI)
aux points
I
sur les disques
j
j
D.J
.../ ...

---

.. ~:114 -
~. Le mouvanent étant sans frottement les. réactions en
1.
sont nonnales au plan
J
(n)
dès lors on peut observer que le travail élémentaire réel de chacune d'elle
est nu].
En effet nous aurons
TV.F.14
où les
Àjk
sont les exnressions des réactions en
I
exprimées dans la base
o
j
fixe
Œ'oclto,voJo) les Xi sont les matrices colcnnes des composantes des
.
/ '
vecteurs
a~ = a~ dans les bases 0':.
J J
0
J
Dès lors les travaux Hémentaircs r6els des
j\\.
sont:
J
tl\\ . .. v
+ 00. • [X.tA. ]
J
O,
J
J 'J
~;
'4-
IV.F.1S
avecü~ •
x.~!\\~
J
1
J
,~
L.,
où les matrices
sont des matrices symétriques
en effet compte tenu
de
TV.f.14 nous
t
X. ft.
=
-sA.
J
J
J
On peut alors observer - les matrices
00.
étant antisymétriques -
J
que les produits scalaires des
par les 00.
sont nuls
(voir chapitre 0,
J
~ A.4)
IV.F.16
en outre on peut aussi remarauer (compte term de l'oc;)ression de"f~+.
IV.F.9) que
~. J
.../ ...

---

~ 1,15 -
t
t .
N.F.17
~ .• v =
= À.1< ,-y. = 0
]
o.
À.
k,·A."
A.y.
]
0
J
J J
]
0
J
J
ainsi compte tenu des deux relations précédentes les travaUlC réels des réactions
en
J.
sur
D.
sont nuls (ce qui du reste était prévisible)
J
J
IV.F.18
On peut donc observer compte tenu de tout ce qui précède que les composantes du
travail
2
(N.F.13 )
s'ncrivent
v
1
7
7
t
2
:. r
~
L
51
ri
=
P
rv
P.,Ady+:Itl"li)
"
r=l
v
~1 : r
r v r
: r
r
avec
IV.F.19
:M
=
P = -m
r
Q A k
r
r-'
r
où les
~
sont les matrices colonnes des coordonnées dans les repères liés aux
solides :f; du point M cournnt de ces derniers.
~r CM) = -g K est le vecteur densité des forces de pesanteur au point M.
ce vectear-densit6 de force de pesanteur €tant
constant_),
On observe alors que
IV!
=
-r
dm(M)
=0
r
car les
Gr
sont les centres d'inerties des
Jr(t)
et l'on a
(
"X
dm CM)
_.
0
J M€ -\\' r
r
.
·Jr
.../ ...

---

. ~. 11 ~ -
ainsi
CIV.F.191)
s'écrit
7
t
IV.F.20
2 = -I m~tk.avYv = -Ml! k ,3 Y
v
.
v
r=1
où y
est la matrice colonne des coordonnées par rapport au référentiel R du
o
centre d'inertie
G de
~;2:'(t)
en observant compte tenu de
IV.F. 4
et
N.F. 5 que
3 Y
= 0
pour
v =1,2 ••••• 7
v
a y
=/1\\
pOur
v =8
v
0)
N.F.21
" 0/
d y
pour
v =9
. v
=(V
On obtient compte tenu de
(TV.F.6 2)
2
= a
pour
v =1 ,2 ..•.. 8
v
N.F.22
2
= Mg sin 0-
Dour
v = 9
v
Remarque : Les forces de pesanteur ayant une rpsultante
p
appliquée en G E e (t)
7
an peut écrire directement :
IV.F.23
Ecniàtiorts ch.Imouvanent de
.S (t)
Compte tenu des relations
IV.F .12
et
N.F. 22
les équatians- du
-"
mouvement dans le cas où G Ct)
évolue sans frottement sur (n) (IV.F .11)
.. .. / ...

---

iO
pour
v =1,2,3 •.. 8
[<-v 1
q
= ;
IV.F.24
l.g sin
pour
v =9
Cl
ces équations fournissent
<1>.
= w.t + ~oj
j =1,2,3,4
J
J
IV.F.25
w· = w.t + ljJ .
i =5,6,7
1
1
01
;
= at + b
l 1 . 2
Tl
= 2' g sm a t
+ 'vt+
-0
no
00
Wj , wi ' et>oj
, ljJoi
a,
b,-Y~
11
sont des constantes arbitraires.
0
Ainsi lorsQue Cl :1-0 1 le centre d'inertie
G du chariot décrit dans le plan
(na)
--+-
parallèle à
(n)
et passant par le point de l'axe
O,k
de côt~E
a, un arc
_ 0
de parabolr~ tandis que ses
roues et ses essieux tŒlment librement à des
vitesses angulaires
-u).
,
w. constantes.
J
1
Lorsque
Cl=O
G décrit de façon uniforme une droite de
F4 - Etude du mouvement dans le cas où
roule sans plisser en J. ,
J
j=1,2,3,4
Les équations de roulement sans glissement en J.
j:',2,3,4
se tradui-
]
sent d'après
IV.F.10 par les relations:
. .
~ +~7 0,-1) Q,7cosW7 - ~5w5cosIjJS+a91cosw5 = 0
ri +~7 (À-1) 2.7sinw7 - Q,5~5sinIjJ5+a~1sinIjJ5 = 0
. .
.
.
(À-1) Q,7cos
IV.F.26
; +W7
w7 + Q,5WScosw5+a~2cosw5
=
0
.Tl +w7 (À-1) Q,7sinw7 + Q,5~5sinIjJ5+a$2sinf5 = 0
• • • /
a
_ •

---

- 118 -
1
•
~ +$7 (À+l)27COS~7
26~6cos~6+a~3cos~6 = 0
n ~7 (À+l)27sin~7
26;6cos~6+a~3sin~6 = 0
N'
"
~ +$7 (À~1)27cos~7
.
n
.'
+~7 (À+l)27sin~7 + 26~6sin~6+a4)4sin~6 = 0
Nous avons alors un sytème de
8 équations linéaires à
9
inconnufS
q\\>; dès
.
lors on peut détenniner en fonctions de ~7
les 8 autres inconnues le détenni-
nant principal du système s'écrit alors
1
0
acos~S
0
0
0
-2Scos~5
0
0
asin~S
0
0
0
-Q,SsinljJS
0
0
0
acos~5
0
0
Q,ScosljJS
0
0
1
0
asin~5
0
0
Q,Ssin~S
0
D
1
0
0
0
=
acos~6
0
0
-2.6COS$6
0
1
0
0
asin~6
0
0
-Q,6sin~6
0
0
0
0
acos~6
0
Q,6cos~6
0
1
0
0
0
asirl1P6
0
R.6sin~6
ce détenninant
D est nul on peut en effet remaI:quer que l'avant dernière co-
lonne est combinaison linéaire de la 3~ et de la 4~ colonne et que de même la
dernière colonne est combinaison linéaire de la S~ et: de la 4~ colonne. Il ré...
sulte de ceci que le système
IV.F. 26
est au plus de rang 6
Cette situation a du point de vue cin€matique
une signification remarquable •
En effet, ce système étant de rang 6 au plus, 2 des 8 équations du système sont
combinaisons linéa~res des 6 autres.Ce qui signifie que le non glissement
_._.~._~
en 3 peints de contact
I
du chariot avec le plan (fi) implique néces-
j
sairement le non glissement au 4~ point.
.../ ...

---

- 119 -
~venons au déterminant D on reut vérifier que tous ses mineurs d'or-
dre
6 qui sont non identiquement nuls
(au total 4) fournissent soit
4
soit
4
D =
= -a
1
-a cos 1/J6 cos1/JS sin (1/JÇ1/J6)
soit
D2
sin1/J6 sin1/JS sin(1/JS -1/J6)
4
soit
D =
4
= -a
3
-a cos 1/J6 sinl/iS sin(I/IÇI/l6) soit D4
sinl/l6 COS1/JS sin(1/JS -1/16)
Il apparaît dès lors que l'on peut distinguer 2 cas:
Le cas de singularité où les angles de précession 1/1
et 1/16
sont identiques.
5
Et le cas où ils ne le sont pas.
Nous examinerons tour à tour ces deux cas
mais remarquons d'abord que le sytème
(IV.F.26)
est équivalent au système des
équations suivantes obtenues en combinant linéairement celles de
(IV.F.26)
..
a
. . "
1/15
= 2I5 (91 -~2)
1/16
-
~26 (~3 -~4)
IV.F.27
~7 • 2~7COS$7 [(~1+~2) cos•.; - (~3+~4) COS$6 ]
~ = - À;1 a (;1+;2) cosl/iS + À~1 a (~3+~4) cos1/J6
1) Cas où les angles de précession ~S
et 1/J6 sont identiques (1/J5=1/J6)
Les angles 1/1
et 1/J
étant identiques le chariot évolue de sorte que
5
6
les essieux
eS(t)
et
e6(t) restent constamment parallèles au cours du mou-
vement.
.../ ...

---

-120 -
.
Ca)
les équations
IV.F. 27
se ~lvent--m fonction de <P1
et <PZ
sous
la forme de liaisons du type tz~offien :
·
.
•
<P
=
3
u<P1 + v<P Z
avec
v =
·$4 = v<P1 + u<I>Z
IV.F.Z8
'"
a
W
=
avec
ljJ
= ljJ
=,1.
Zi
C~1-~Z)
s
5
"'6
•
0
ljJ7
=
i = - ~ cos W C~1+~Z)
n
=
- ~
sin ~
(~1+;Z)
Soit
f3 =1,Z
a =3,4,5,6,7,8,9
l
avec
a~ = ai = u )
=
v
5
6
a
5
6
a
a
= a
= a
=
1
1
- Us
:, a Z
Z
- U'S
7
7
a
= a
= 0
1
Z
8
8
a
a
= - 2" cos ljJ
1 = aZ
9 = 9
a
.
a
a
=
1
- "2 SIn 1/1
Z
Ainsi le mouvement de
tCt)
dépend des Z paramètres indépendants
~1 et <PZ j dès lors les équations apnelliennes du mou,re.ment de CCt) s'écri-
vent :
7 ;7
IV.F.29
= L 'c'
4'
l3 =1,Z
r=1 -P,ext
•
0
•
/
• • •

---

- 12-1 -
c'est à dire
B =',2
N.F.30
avec
compte tenu de
IV.F.12
et de
IV.F.22
ces équations s'écrivent
2
A4>', ,
2
--
+
m'a uv4>2
+ BC~1~~2) + l-MC$1+~2) = -~g sin a sin~
2
+ BCi1-;P'2) +: MC~, +~'2~ = -~ sin a sin~
avec
2
2
ma
+
m'a
C 2
2)
IV.F.31
A = Z
- 2 - u +v
ce dernier système fournit
..,.
Mg sin a
IV.F.32
[..•.~.1 = ~ = - Csin ~ avec C=-------
2
'aE~~]
Il résulte de
rv.F.32 que
IV.F.33
~, - ~2 = T = ete
dès lors
CIV.F.283) fournit compte tenu de IV.F.33
.../ ...

---

- 122 -
IV.F.34
où 1/1
est une constante arbitraire.
0
Ainsi compte tenu de IV.F.34
on déduit par intégration de
(IV.F.3Z)
les ex-
pressions en fonction du temps de (jl1
et 4>2
IV.f.3S
où'
01 , Oz '~1 et Ôz sont aussi des constantes arbitraires.
On déduit ensuite de
IV.F.28
(S)
et. (6)
l'exnression'de ~
et
n en fonc-
tion du temus : On a ..
i = -~ (1 +cos21/J) - Î ocos1/J
IV.F.36
avec
° =01+oZ
~ = - ~ sin 21/J - Î °sir.~
d'où par intégration il vient
~
- .·.C
ao
.
- - 'o' (21J1+sin21/J) - - sIn1/J + ~o
4w'"
Zw
- C
IV.F.37
n =
.:..... 1" (1-cosZ1/J)
+ ~~ ~OS1/J + no
4w
où
~o
et no
sont deux constantes arbitraires.

---

- 123 -
Soit
(0*, ç n*)
le repère déduit de
(Oo,xo'Yo)
par 1;:1 .!ranslation
IV.F.38
est négatif et la courbe
Cel)
définie
dans
IV.F.39
[,*
= R(2$ - sin
2$ )
1
* = R(l
2$ )
nl
- cos
~1g sin
-ac
a
avec
R =
~ = -
4w
M+m+m'
est une cycloïde lieu du point
P du cercle C de centre
L et de rayon R
roulant sans glisser en
G
Le symétrique
Q da
P par rapport à
1J:> (où J
est le point diamé-
,
tralement opposé
à
1)
décrit la cycloïde
d'équation.
IV.F.40
~2 = R(2\\jJ + sin 2\\jJ)
* =
nZ
R(l
-
cos 21/J)
.
lepo~nt
*
.
La droite
(CID
est normale en
Q à
soit
G v défini par :
~*
aa
-+
=
s
2w
IV.F.41
/~
avec
(rJ,S) = $
.../ ...

---

- 124 -
-:>
où
S est le vecteur unitaire de ~*. Dès lors G* décrit la courbe
parallèle à
d'équation:
*
aa
.
~ = R(2~ + sin 2~) -
2
slnw
w
IV.F.42
*
n = R(1
- cos 2tP)+
aa
coslli
2w
(/V-F.3 7 1
En rapprochant
(IV.F .42)
et
-v"-
il apparaît que
*
G est la
projection orthogonale de
Gdans
* *
*
(0 , ç , n ).
Il en résulte que
G décrit dans le plan
(na)
parallèle à
(n)
de côt~
Zo = a
la courbe 'r;; déduite de <5J'*par la translation de vecteur ak •
o
ii) SI
a E] 0, ~ [ 'ét 0: désirme l'image du point 0*
par la trans-
lation de vecteur
aIt
,G
décrit dans le plan
(II)
la courbe
( {;')
o
.
a
..'",
*
symétrique de
( C·)
T'ar rapport à
0a'
iii) si
a = ° le plan (n)
est horizontal et
G décrit un cercle dans
On remarquera aussi qu'en vertu de
IV.f.9
les points
G. i=S,6,7 dé-
1
crivent dans le même nlan les ;ccurbès ,t/.
déduiteSde celle de
G par la~trans-
.
()1
tante. Les noints
G
centres d'inertie des roues
D.(t)
d&crivent des cour-
j
J
bes
{;'.
déduites de
·t~: par les translationsde vecteurs W. = -e:'~' S
1
J
J
J 1
ainsi les noints
G.
décrivent dans le plan
(Da)
des courbes toutes paral-
.
J
lèles à celle décrite par
G.
.../ ...

---

- 125 -
(b)
Examinons le cas J"1articulier où les essielLx
eS(t)
sont parallèles leurs
liaisons en G et G avec l'essieu
e (t)
étant rigides de sorte qu'.Us ne
S
6
7
puissent plus se mouvoir indépendamment de ce dernier.
Soit alors
€
l'angle que forme avec l'essieu
e (t)
,l'essieu
eS(t)
7
J;
[ ou e (t)
ê est un angle constant.
6
nous aurons alors
N.P.43
...
1/17::: 1/1
+
(3
dès lors
N.P.28
fournit
.
~
1/1
= 0
soit
= ete
1/1
= 1/1
1/1 =
7
0
.
.
•
<fil
= 4>2 =
=
cl>3
<1>4
IV.P.44
•<t
•
F,;
= - a<jll cos 1/1
..
"
Tl
= - a4J sin 1/i
1
En considérant
cl>1
comme étant le seul naramètre indépendant l'équation du
.;:-'
mouvement de
C(t)
SI écrit :
7
N.P.4S
= I=l "?-p
avec
13 =1
r ,ext" QS
N.F. 46
.../ ...

---

.. 126 -
c(JIlpte tenu de
IV.F.12
et de IV.F.22 , l'équation
IV.F.4-6s'écrit
2"
(M + m + m') a 41
aMg sin
1
Ct
sin ljJ
..
On a alors
Mg sin Ct
·4>1
= -
sin ljJ
= w' = ete
(M+m+m')a
qui fournit par intégratian
~ 1 :: w' t + 11 OÙ}L est une constante arbitraire
dès lors les
çj , j = 1,2,3,4
ont pour exnression en fonction du temps
</>.
:: .!.w' 2
t
+
11t
+ 9·
où
ç.
est une constante arbitrai-
]
2
0)
0)
re de
IV.F.47
(3)
et
(4)
on tire aussi par intégration
~ - - a~, cos ljJ + ~o
n :: - a4>, sin ljJ + no
Il apparaît alors que Dour
Ct
t 0 le centre d'inertie G du chariot
ne déc~it pas comme dans le cas précédent une cycloïde dans le plan
z = a
o
.
. '
mais i l y è~crit une droite.
2) Cas où les deux angles de
'récession
ljJS
et ljJ6
ne sont pas identiques •
(a)
Les
6
relations de liaisons
IV.F.27
peuvent dans ce cas s'exprbner
en fonction des
3
naramètres indépendants
ljJ.
i = 5,6,7
..
1
sous les fonnes suivantes
.
29..
sin
7
(ljJ7 -ljJ6)
.Q.S
•
~, =
ljJ7
+ -
ljJS
a
a
sin (ljJS -ljJ6)
29'7
sin (ljJ7 -ljJ6)
.
15 ,
IV.F.48
::
11>2
ljJ7
- - ljJS
a
a
sin (ljJS -ljJ6)
... / ...

---

- 1127 -
•
2t7 sin (tjJ7 -tjJS)
.
t 6 .
~
= -
.;
a
tjJ7 + -
tjJ6
sin
a
('r
- V' )
5
'6
...
2t
sin
7
(tjJ7 -tjJ6)
t 6
4J
= -
tjJ7 - - tjJ6
4
a
a
sin (tjJS -tjJ6)
~ = t
-(À+1) sin(tjJ7-tjJ6) costjJS + (À-1) sin{~7~tjJ~) costjJ6
$7
7
sin (tjJS -1/16)
~ • t
-(À+1) sin(tjJ7 -tjJ6) sintjJS +(À-1) sin(tjJ7-tjJS)~in.~~
.
7
1/1;
sin (tjJS -tjJ6)
,ç, \\l ... C.
Lu
- '-fi
of C
T 5
6
On a donc
'CX
aCX
q
=
qS
avec
G=5,6,7
cY. =1,2,3,4,8,9
B .
,
1
2
t s
3
4
t 6
aS
= - aS = -
a
= - a
- -
a
6
6
a
1
2
217
sin(tjJ7 -tjJ )
3
4 = 2t7 sin(tjJ7-tjJS)
6
a
=
a
=
-
a
= a
IV.F.49
7
7
a
7
7
a
sin(tjJS -tjJ6)
sin(~ -tjJ6)
a~ =t
-(À+1) sin(tjJ7-tjJ6) costjJS + (À-1) sin (tjJ7 -tjJS) costjJ6
7
sin(tjJçtjJ6)
t~ s les ~efficients ?utres a~ étant nuls.
.
.
tJ
(. ,
Les équations du mouvemen~ de (~(t)
s'écrivent dès lors
7
,....~
N.F. 50
=
L /lp
6=S,6,7
r=1
r
.../ ...

---

- 128 -
Q = 2
13 =5,6,7
13
13
IV.F.S1
avec
o = Q
a
+
a =1,2,3,4,8,9
-13
.
aB
B
~
2" = 2
a
+
B
B
aB ~a
compte teml de
IV.F.12
et de
IV.F.22 les équations du mouvement s'écrivent
tous calculs faits
.'
A1/I
=
0
S
.'
',<10\\ + lilitJi - M
.
-().+1)sin(1/I7-1/I6)sin1/ls+p,-1)sin(1/I7-1/IS)sin1/l6
B1/I \\.
l / i
ci - p, Slna _ ..
-'-.
_
7
sin (1/15 -1/16)
2
2
avec
A=~
1
2·
2
+
3" \\.IR,
+ 1. \\.l' R, ,2 + 3m' ~, 2
2
+ 3mR,
A' = m'a
2
3
par intépration de
IV.F.S~ l'on obtient
.../ ...

---

•. . .' - 129 -
IV.F.53
r'i7"
.2
(B+ f ) ~7
= ~1gsin a (~7 -(À+1)sin($7-$6)sin$5+(),-1)sin($7-$S)dt + p
1
J
sin($ç$6)
où
Ws ,w6 ,aS ,a6 p sont des constantes arbitraires .
Remarquons que l'équation
IV. F. S3 (3) peut .:s~'Jbtenir directement par appli-
cation du théorème· de l'ênergie.
(~)
Examinons le cas particulier où les essieux
eS(t)
et
e (t)
ne sont
6
pas parallèles mais leurs liaisons en
G
et
GA
avec l'essieu
e (t)
est
S
7
rigide de sorte qu'ils ne pui~sent plus se mouvoir indppendamment de ce dernier.
A
.....
Désignons alors par
~S 6
respectivement les ang
,
85,7
gles formés pal les essieux
eS(t)
e (t)
par
6
e (t). Nous avons alors les relations
7
IV.F.54
Les équations de liaisons IV.F.48 s'écrivent alors uniquement en fonc-
tion qe
$7
nous avons donc un seul paramètre indépendant
$7 .
On peut alors remarquer compte tenu de
IV. F. S 4- que l'équation du
f l
mouvernrnt de è(t)
s'obtient en S0111JT1.ant les 3 équations
IV.F.53 .
.../ ...

---

- 130 -
soit
Cette dernière fournit par intégration
+(>
-2
(À+l)sin ê6,7cos(~7+BS,7)-(À })sinBs,7sin(~7+B6,7)
~7
= 2Mgsina
_
'.F.56
.
...
sm BS 6
,
avec
D = A + A' + B + Sf
où ,pest une constante arbitraire.
En cbseyv-ant que IV.f.S6 s'écrit:
IV.F.57
avec
U+~
sin13s,6
V - 2Mg
- 1 )
(À-l l SinBS•7SinB6,7]
u
sine ._ _V
_
cos e = IU~+v2
cu encore
·2
~
= 2 0' sin a cog- ~ ~ + P
IV.F.S8
avec
~ = ~ - 0
/u2+0
0' =

---

- 131-
-e
Il annaraît alors que le mouvement de ;_~t)
n'est possible que si
Cf sina + p ~ 0
si
a €
@';]
n
IV.F 59
-Cf sina + p ~ 0
si
Ct
€
Lz .~
-0
moyemant ces conditions, le mouveJ11.eJ1"t de G(t)
est déterminé rar la quadrature
ellintique :
( tP
t - t
=
J
o
v tPo
IV.F.60
avec
€\\jJ > 0
€
= +1
où
./.
est la valeur de
tP
à l'instant
t=t
~o
o·
tP(t)
étant déterminé nar IV.F. 60
N.F.58z
et
IV.F54 déterminent 1/J~70:) , tPS(t)
et
tP6(t)
IV.F. 48 déte11llinent alors en fonctio:l du temns les lj>. (t) j = 1,2,3,4
puis aus-
J
si
~(t)
et
net) .
Précisons nour terminer la trajectoire du DOint
G.
En effet de
IV.FA8
(5)
et
(6)
et de IV.F.s1t-0n déduit
A
A
A
A
i =i7~7 -(À+1)sinS6,7cos(1!J7-+'8s,7) + P-1)sirlJS,7cos(tP7+f36,7)
....
sin aS,6
- (À+ 1) si ',â , 7cOS (tP7+~S, 7)
J
sinss 6
,
.../ ...

---

.~ 132 -
d'oÙ nar intégration l'on a
IV.F.62
= ~
-(À+1) sinS 7cos(~785
7cos(~7+S6
6
7) - (À-1) sinsS
7)
n
7
"
,
'+"""0
sinês 6
,
où
~
et n
sont deux constantes arbitraires •
o
0
Dès lors il apparaît que la projection orthogonale de
G dans le plan(n) dé-
crit le cercle
C de centre
(F;o,n )
et de rayon
R tel QUe:
o
./.

---

- 133 -
B l B L l 0 G R A PHI E -
-:-:-:-:-:-:-;-:-:-:-:-:-:-
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