ORSAY
N° d'Ordre:
Université
de
Paris-Sud
CENTRE
D'ORSAY
THE5E
présentée
pour
obtenir
Le
Titre de Docteur 3 ème Cycle
PAR
Tao uf i k
ME GAI})E:~M:I~~ lô,mlCAH--J H MALGACHE
1 POUR l'ENSEiGNEMENT SUPERiEUR
1 C. A. M.E. S. -
OUAGADOUGOU
. Arrivée .. i 0 .t\\/UjJ. .1qQ~
:1
: Enregistr~ sous ·n~:~_.1.?~3.~.. rI
SUJET:
OPTIMISATION DE REFLECTEURS MULTICOUCHES ABSORBANTS
MODELISATION DES INTERFACES RUGUEUX ET APPLICATION
AU DOMAINE x-u.V
[:::~: S.LO\\oJENTHAL
Soutenue le 26 Juin 1984
F.ABELES
devant la Commission d'Examen
B.PARDü
P.DHEZ

---

3
A ZOHRA et DJELIDI.
Ils m'ont patiemment appris que
le savoir est le capital le plus précieux
et qu'il vaut mieux allumer une chandelle
que de maudire l'obscurité.

---

4
RESUME:
Revue des théories existantes pour calculer l'intensité diffractée
par des multicouches,
utilisables en tant que miroirs interférentiels
dans le domaine x-uv. Proposition d'un formalisme matriciel permettant
d'optimiser la réflectivité pour un nombre donné de bicouches. Le cas
des interfaces parfaites est traité, puis celui des interfaces rugueuses
est abordé. Un modéle basé sur des défauts descriptibles à l'aide
de
processus stables additifs non gaussiens est examiné. Les résultats sont
comparés à ceux des théories existantes et à des résultats expérimentaux.
Mots clés
Miroir, Interférentiel, X-UV, Optimisation, Matricielle (th~orie),
Interfaces, Rugosités,Nongaussien (défauts).
ABSTRACT
Survey of existing theories able to predict the x-uv intensity
diffracted by multilayers mirrors is presented. A new matricial
formalism is proposed to optimise the reflectivity for any number
of periods. The introduction of roughness in the interfaces is
treated with the matricial approach using ungaussian additive and
stable process statistical distributions. Predicted reflectivities
obtained by using this theory are compared to the other ones and
also to the experimental results.
~~X_~~!~~_: Mirror, X-UV, Optimization, Matricial (theory), Interfaces,
Roughness, Ungaussian (defects).

---

5
REMERCIEMENTS
-0-0-0-0-0-0-
Je tiens à exprimer mes plus sincères remerciements à Monsieur le
Professeur s. LOWENTHAL qui m'a orienté vers un domaine nouveau
en
pleine expansion et de présider le jury de thèse.
Je suis très honoré de la présence au se~n du jury de cette thèse
de Monsieur le Professeur F. ABELES, Directeur du Laboratoire d'Optique
des Solides et précurseur des études théoriques des couches minces. Je
le remercie pour l'intérêt qu'il a bien voulu porter à ce travail.
J'ai eu la chance d'être accueilli pour ce travail de thèse au
Laboratoire de Spectroscopie Atomique et Ionique et d'avoir eu la
possibi li té de travailler tout à la fois à l'Institut d'Optique et à
L. U.R.E. De ce fait j'ai eu l'avantage de profiter d'une double aide.
D'une part celle de P. DHEZ, qui est à l'origine de cette thèse et apôtre
des miroirs x-uv dont le réalisme et le sens du concret m'ont aidé à
progresser dans mes études sans trop d'embûches.
D'autre part la grande partie de l'étude théorique et pratique a
été réalisée dans le groupe Multicouches de l'Institut d'Optique éfficacement
animé
par Monsieur J.P. CHAUVINEAU. Dans ce Laboratoire, j'ai beaucoup
appris de L. NEVOT, L. VALIERGUE et de J.P. CHAUVINEAU ainsi que
de la
collaboration amicale de toute l'équipe, en particulier de J. CORNO.

---

6
Je su~s profondément reconnaissant à Monsieur B. PRADO sous la
direction scientifique duquel ce travail a été effectué. Il n'a cessé
de me prodiguer ses conseils~ ses critiques et ses encouragements. J'ai
trouvé en lui un pédagogue virtuose dont la science devient un art. Je
le remercie pour son infinie patience et son amical eoutrien sans lesquels
ce travail n'aurait probablement pas abouti aussi tôt. Il m'a fait
découvrir entre autres les possibilités inouies de l'informatique au
service de la Physique conceptuelle.
Je souhaiterais expr-imer aussi ma reconnaissance à Messieurs B. PARDO
et P. DHEZ pour avoir accepté de faire partie de ce jury en prenant une
part de leur temps pour juger mon travail et me faire bénéficier de leur
expérience.
Je su~s hereux de remercier ici tous ceux qui m'on permi e de
résoudre toutes les difficultés matérielles ; en particulier Madame CONSTANCIEL
qui a dactylographié le manuscrit et la direction de l'Institut d'Optique
qui a géré le contrat de la D.R.E.T.
Je tiens à exprimer mes remerciements à tous ceux dont j'ai pu
apprécier le concours matériel tout au long de ce travail~ et plus
particulièrement
le Secrétaire Général de l'A. C. C. T. qui m'a accordé
une aide financière pour encourager les jeunes scientifiques. Ma
profonde reconnaissance va particulièrement à Monsieur A. ~ŒHU qui n'a
jamais cessé de me soutenir depuis notre première rencontre ainsi que
Madame M. SFAR

---

7
INTRODUCTION GENERALE
l, RAPPELS THEORIQUES SUR LES MC ET LES R, X-UV
1. 1. INTRODUCTION
17
=================
1.2. PROPAGATION ET FORMALISME ~~TRICIEL.....
19
========================================
1.3. ETUDE ANALYTIQUE ET OPTIMISATION DE LA REFLECTIVITE
========================================================
D'UNE MC PERIODIQUE ET INFINIE
26
==============================
1.3.1. Rappel du formalisme employé par Zeldovich et Vinagradov
1.3.2. Rappel des principaux résultats
1.3.3. Conclusion
1.4. CAS DU REFLECTOMETRE IN SITU ET OPTIMISATION
38
=================================================
1.4.1. Introduction
1.4.2. Approche théorique
1.4.3. Conclusion
II OPTIMISATION DE LA REFLECTIVITE DES MC PERIODIOUES
II . 1.: INTRODUCTLON
47
=================
II.2. REFLECTIVITE D'UN E~œILEMENT DE N BICOUCHES IDENTIQUES
49
============================================================
II.2.1. But de cette étude
II.2.2. L'expression de la réflectivité
II.2.3. Principe de la détermination de R.

---

8
II. 3. PREMIERE CONDITIONS D'OPTIMISATION ET FüNDEt1ENT DE LA CONDITION
=====================================================================
DE BRAGG APPLIQUEE AUX MULTICOUCHES ABSORBANTES
"55
===============================================
II.3.1. Commentaires sur R : première formulation
II.3.2. Discussion sur les valeurs propres Àl~2 de la matrice
caractêristique d'une bicouche homogene : aeuxième formulation
II.3.3. Comparaison de la preITQere condition d'optimisation avec la
relation de Bragg simplifiêe 2.d.cosS = p.À Cp entier)
dans le cas des matêriaux parfaitement transparents.
II.3.4. Cas du rayonnement X-uv
II.3.5. Conclusion
11.4. LA SECONDE CONDITION D'OPTIMISATION
67
=========================================
II.4.1. But de cette êtude
II.4.2. La multicouche infinie absorbante ou non
II.4.3. La bicouche absorbante ou non d'épaisseur optique totale
égale à À/2
II. 4.4. Les multicouches purement transparentes
II.4.5. Cas de la multicouche finie tenanl compte de l'absorption
II.4.6. La seconde condition d'optimisation dans la cas d'une
multicouche comportant un nombre fini de périodes
II.4.7. Conclusion
111, INFLUENCE DES RUGOSITES SUR LA REFLEXION DES ONDES
ELECTROMAGNETIOUES
III. 1. RAPPELS DES TRAVAUX ANTERIEURS
91
111.1.1. Introduction
111.1.2. Les surfaces générées par un processus gaussien pour
un conducteur parfait
111.1.3. Le critère de Rayleigh
111.1.4. Conclusion

---

9
111.2.
MODELISATION DES INTERFACES RUGUEUSES ET CORRECTION DES
=======================================================
TERMES DE LA MATRICE CARACTERISTIQUE
'"
98
====================================
II.2.1.
Introduction
111.2.2. Propagation des rayons X à travers un système de
couches parallèles
111.2.3. Calcul des termes correctifs des éléments de la
matrice caractéristique
111.2.4. Approche probabiliste des rugosités
111.2.5. Conclusion
CONCLUS 1ON GENERALE
133
Annexe 1 .......•...... 137
Annexe 2
142
Annexe 3
145
Annexe 4
146
Annexe 5
149
Annexe 6
153
Annexe 7", ..•..•. , " •.• 158
BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • . . 159

---

---

1 1
Le comportement collectif de la matière en présence d'un champ
électromagnétique diffère suivant chaque plage de fréquence. Des problèmes
spécifiques, théoriques et expérimentaux, se sont posés pour chacune
d'elles et ont donné lieu à des ê tud e s et à des instruments ou applications
variés. La nature ondulatoireitet électromagnétique
de la lumière rend
possible, sur le plan du principe, la généralisation, à la totalité du
domaine spectral, de tous les systèmes et instruments optiques utilisés
dans le visible. Les radiations actuellement manipulables vont des ondes
hertziennes à l'ultraviolet, sans oublier le rayonnement X dur ( À~ lA)
Dans l'élaboration, la construction et l'utilisation par la physique
des Hautes Energies d'anneaux de stockage d'électrons et de positrons, le
rayonnement synchrotron émis lors des accélérations est un phénomène parasite.
Par contre ce même rayonnement synchrotron s'est révélé très utile aux
autres branches de la sc~ence. La création de L.U.R.E., vers 1974, a permis,
en France, l'accès au rayonnement X-uv (1 Â-300 Â) et son utilisation par
des scientifiques venus de tous les horizons. Ainsi, depuis une dizaine
d'années, on dispose d'une source x-uv continue comblant un vide dans le
domaine compris entre l'UV et les X durs. Malheureusement, pour ces longueurs
d'onde, il n'existe pas de corps à la fois suffisamment transparent et réfringent
(Annexe 5).
Ceci exclu la réalisation de systèmes optiques fonctionnant par
transmission, du type lentille ou prisme; si nous exceptons l'utilisation
des zones de Fresnel. On a donc cherché des systèmes réfléchissants, comme
les miroirs. Malheureusement, dans cette plage du spectre électromagné-
tique, la réflectivité ne devient notable que pour les incidences rasantes,
ce qui la rend très contraignante. Les physiciens ont donc été amenés à
chercher d'autres moyens pour réfléchir le rayonnement X-uv.
~ Les ondes de gravitation prédites par la relativité générale ne sont pas exploi-
tables actuellement comme les ondes électromagnétiques, à cause de la petite~se
des effets de leur interaction avec la matière.

---

1 2
Par ailleurs les cristaux réfléchissent sélectivement les rayons X,
si la relation de Bragg (1862-1942) 2.d.sinS = k.À est satisfaite. Mais
dans les cristaux naturels, les atomes sont répartis sur des plans dont
o
la périodicité n'excède pas 10 à 20 A. En conséquence, seuls les rayon-
nements tel que À < 2.d. peuvent être réfléchis, c'est-à-dire les rayons X
relativement durs. Pour les rayons X plus mous, on tente aussi d'utiliser
d
,
d
h
.
-t
.
.
es cr~staux ou
es couc es organ~ques , ma~s un rayonnement ~ntense les
détruit rapidement en brisant les liaisons moléculaires.
Pour réfléchir le rayonnement du domaine X-uv, on s'est orienté
récemment vers la réalisation d'empilements sur mesure, analogues
aux couches minces,diélectriques pour le visible. Ces multicouches apportent
actuellement une nouvelle solution au problème des optiques X-uv.
Une couche m~nce, prise isolément, a un pouvo~r réflecteur négli-
geable. L'idée directrice est de fabriquer des structures périodiques,
accordées à la longueur d'onde désirée du rayonnement X-uv. Par divers
procédés, certains laboratoires ont réalisé des empilements de plusieurs
couches absorbantes en les séparant par un matériau suffisamment transparent.
Ainsi comme pour les couches diélectriques, les op~es réfléchies partiel-
lement par chaque couche interfèrent constructivement mais ici l'absorption
doit être considérée. De bons empilements ont déjà été réalisés (U.S.A.,
France, U.R.S.S . . . . ) et sont actuellement employés dans de nouveaux types
d'optique X-uv (téléscope, polariseur, Fabry-Perot, .. . ).
Les calculs de réflectivité nécessitent la connaissance des
constantes a et 8 de l'indice complexe n = 1 - a + i 8. Malheureusement à
l'heure actuelle, nous avons à notre disposition, peu de valeurs d'indices
qui soient fiables dans le domaine X-uv. Il faut souligner que l'étude de
la réflectivité des miroirs peut constituer un des moyens de détermination
des constantes optiques. Elle devrait permettre aussi de progresser dans la
(~) Les multicouches moléculaires dite de LANG~ruIR et BLODCETT sont obtenues
par dopage avec un atome lourd d'une substance dont un film monomoléculaire
insoluble se forme sur l'eau.

---

l 3
connaissance des phénomènes connexes tels que les rugosités, les contami-
-nations, les interfaces, la compacité des couches
. Pour l'efficacité
de la multicouche cet ensemble de problèmes est aussi important que l'opti-
misation de la réflectivité. En réalité, la réflectivité et les phénomènes
connexes sont intimement liés et il est très délicat de les atteindre
expérimentalement séparément; la réflectivité résultant de la totalité
des propriétés intrinsèques de la multicouche.
Les miroirs x-uv offrent non seulement de nombreux champs de
recherches mais apportent aussi de nouvelles possibilités technologiques.
Les retombées les plus immédiates sont dans
:
- l'emploi du rayonnement synchrotron: réflecteurs-monochromateurs,
- l'étude de plasmas en vue d'obtenir la fusion,
une contribution aux progrès des cavités lasers X-UV,
- l'imagerie x-UV (biologie, astronomie, plasmas, ... ).
Par ailleurs, les multicouches de semi conducteurs, de sem~
métaux, de métaux, ... sont actuellement employées, sous forme cristalline
(super-réseaux) ou amorphe, pour l'étude du passage de trois dimensions à
deux dimensions, dans les phénomènes aussi fondamentaux que le magnétisme,
la supraconductivité ou l'étude du module d'Young.
Dans tous ces cas il est indispensable d'avoir une caractérisation
aussi précise que possible des matériaux constituants et de l'interface.
De ce point de vue les études de réflectivité peuvent auss~ être considérées
comme un moyen de progresser dans cette connaissance. Le domaine x-UV est
dans ce cas celui qui s'accorde aux périodes étudiées, de même que le
domaine X pour les cristaux.

---

1 4
Présentation du travail
Dans notre étude, nous nous sommes limités à l'optimisation de
la réflectivité des multicouches strictement périodiques
adaptées au domaine
x-uv. Dans ce domaine, nous avons indiqué précédemment, que la valeur
des parties réelle et imaginaire de l'indice conduit à l'exprimer sous
la forme habituelle il = l-a + i S, car a«
1
et
S«
1.
Considérons tout d'abord une lame à faces parallèles. Si l'on se
limite au cas où l'on néglige les effets des rugosités, c'est-à-dire
pour deux interfaces idéalement planes, la réflectivité dépend de quatre
paramètres
- la dispersion
1 - a
(réfraction),
- l'absorption
S (coefficient d'extinction),
- l'angle d'incidence
S,
- l'épaisseur
e .
Dans l'étude d'une multicouche périodique et finie que nous envi-
sageons ensuite, le nombre de périodes est évidemment un paramètre es-
sentiel. Soulignons dès maintenant que les rugosités constituent un handi-
cap sérieux à l'obtention expérimentale de la réflectivité ultime et à sa
comparaison avec celle donnée par le modèle idéal. Au-delà d'un certain
nombre de bicouches, le gain en réflectivité peut être annulé et même inversé
par l'augmentation de la rugosité. En pratique, nous verrons qu'il s'agit
de réaliser le meilleur compromis entre ces deux facteurs.
~~_eE~~1~E~_e~E~i~_~~_~~~E~_~E~y~ilconsiste, à partir des équations
de Maxwell, à exposer le fondement du formalisme matriciel utilisable dans
l'étude de la réflectivité d'un milieu stratifié. Nous rappellerons briè-
vement les études d'optimisation déjà réalisées par différentes méthodes,
et nous les reprendrons à partir du formalisme matriciel.
~~_~~f~~~~_e~E~i~ traitera de l'optimisation de la réflectivité des
multicouches à interfaces parfaites et planes. Nous utiliserons la condi-
tion de Bragg 2d sinS = p.À, tenant compte de la réfraction comme première

---

1 5
condition d'optimisation. Nous rappellerons que la condition de Bragg
habituellement employée ne s'applique en toute rigueur qu'à un ensemble
de plans atomiques, appelé cristal de Bragg idéal, et non à des strates
d'épaisseur finie, comme celles rencontrées dans les multicouches. En
conséquence, nous montrerons qu'il n'y a pas qu'une seule valeur de "d"
permettant d'obtenir des interférences constructives, mais qu'au
contraire pour chaque valeur d'indice, "d" peut varier dans un certain
domaine. Nous démontrerons alors que, dans le cas du rayonnement X-UV,
étant donné les valeurs de l'indice proche de l'unité, la première
condition d'optimisation est pratiquement celle de Bragg. Ensuite, nous
chercherons à expliciter les corrections à apporter afin de tenir compte
de la réfraction et des effets de l'absorption, pour fixer l'épaisseur
totale de la bicouche.
Nous chercherons alors la deuxième condition d'optimisation qui
fixera l'épaisseur de l'un des matériaux à l'intérieur de la période
déterminée précédemment. Nous l'expliciterons dans le cas d'une multi-
couche possèdant un nombre de couches infini, c'est l'équation transcen-
dante de Vinogradov-Zeldovich (1977). Dans ce cas, l'épaisseur relative
des deux corps constituants dépend uniquement des absorptions des maté-
riaux. Alors pour une bicouche unique, la réflectivité max~mum s'obtient
lorsque les deux constituants ont une épaisseur égale. Dans la pratique
le nombre de bicouches déposées est forcément fini. En nous limitant au
cas strictement périodique, nous montrerons comment on doit tenir compte
de ceci pour optimiser l'épaisseur relative des constituants de la bi-
couche. A notre connaissance cet aspect important n'a pas encore été pris
en considération systématiquement.
Ainsi, dans cette partie de notre travail, nous précisons les deux
conditions d'optimisation de la réflectivité à satisfaire, à partir de a,
S fixés pour un nombre donné de périodes N. En résumé, pour un empilement
de N périodes de deux matériaux donnés, la réflectivité est une fonction
de deux variables indépendantes proportionnelles aux épaisseurs des couches
constitutives.

---

l 6
Q~~~_l~_!!~~~~~~~_~!_~~!~~~!~_E~E!i~ nous aborderons l'épineux
problème des rugosités. En partant du modèle
simple
imaginé par
B. Pardo ( 1), nous explicitons les limites de validité de ce modèle et
des calculs analytiques employés actuellement pour prédire et rendre
compte de la réflexion spéculaire. Nous insistons dès maintenant sur le
fait que dans notre approche, la fonction caractéristique de la distri-
bution aléatoire (ou non) des rugosités s'introduit tout naturellement,
et ceci sans aucun artifice. Les éléments de la matrice caractéristique
sont seulement "corrigés" pour prendre en compte la rugosité. Nous appli-
quons ensuite nos résultats aux distributions non analytiques ; la
distribution de Gauss apparaît alors comme un cas limite. Deux paramètres
sont nécessaires pour caractériser une distribution aléatoire de rugo-
sités : une quantité cr ayant la dimension d'une longueur et un nombre
sans dimension a compris entre zéro et deux. L'utili~ation d'un micro-
ordinateur nous permettra sans difficulté majeure des simulations à
l'aide des distributions de rugosités non analytiques.

---

1 7
I, I\\APrJELS TIIEORIQUES SU~ LES 1'1C ET LES R, X-UV
1.1. INTRODUCTION.
Le but de cette partie est de passer en revue les acquis des
études réalisées en vue de fabriquer des miroirs x-uv. Dans le domaine
du spectre électromagnétique qui nous intéresse, nous avons vu que l'indice
de réfraction est très proche de l'unité et que la profondeur de pénétration
est supérieure à la lbngueurd'onde. En conséquence le pouvoir réflecteur de
tout élément chimique de la table de Mendéléev est négligeable pour
l'incidence normale, c'est-à-dire de l'ordre de grandeur de 10-5.
Que faire, dans ces conditions, pour obtenir un pouvoir
réflecteur appréciable ?
Par analogie avec les cristaux on peut penser à une structure
périodique pour créer un système interférentiel d'ondes partiellement
réfléchies. Les multicouches sont une solution. Des études théoriques
ont été réalisées pour évaluer la réflectivité ultime à laquelle les expé-
rimentateurs peuvent, en toute légitimité, espérer (2).
Les équations de Maxwell demeurent la base de toutes les études
réalisées.
Jusqu'ici les études théoriques ont utilisé l'équation différentielle
du second ordre de la propagation des ondes. Dans certaines conditions
particulières divers auteurs ont ainsi obtenu une équation d'optimisation
dont la variable inconnue est l'épaisseur relative de l'un des corps
par rapport à la période, ou éventuellement à la pseudo-période de la
mul t i c ouche ,
Etant donné que nous avons utilisé la méthode matricielle comme
instrument formel d'optimisation, nous avons choisi de rappeler le
bien fondé de la représentation matricielle d'un dioptre. De ce point de
vue, le travail d'Abelès est le formalisme qui s'adapte le mieux à notre
problème(3).C'est auss icelui employé par
Spi 11er (972) ( 4) qui introduit
l'indice complexe et en réalise les calculs à l'aide d'ordinateurs.

---

18
Dans deux articles, Vinogradov-Zeldovich (2, 2Jbis) ont d iscu té
soigneusement, du point de vue analytique, les conditions d'optimisation
d'une multicouche périodique. rIs ont obtenu, dans le cas d'une multi-
couche infinie, une équation transcendante qui précise quantitativement
l'épaisseur relative de l'un des corps en fonction de chacune des
absorptions.
Une fois ces travaux sur les multicouches périodiques résumés,
nous exposerons brièvement le travail de P. Croce (5) concernant les
multicouches apériodiques, et insisterons sur la différence entre ces
deux approches d'optimisation.

---

19
1.2.
PROPAGATION ET FORW.LlS~Π~lATJUCIEL.
========~====~========~~======~=~~=~====
L'idée essentielle de ce chapitre consiste, à partir des
équations de Maxwell à caractériser un milieu stratifié quelconque
par une matrice à deux lignes et deux colonnes.
- Les équations de Maxwell dans le système de Gauss sont
-+
-+
E:
-+
rot H
E
c
-+
-+
-+
rot E
l:!.
H
c
Supposons les milieux isotropes. Les ondes qui s'y propagent sont
des ondes électromagnétiques
sinusoidales. Supposons, en outre, des plans
illimités de z = constante.
Les ondes peuvent arriver sous une inci-
dence quelconque et être polarisées arbitrairement. Constatons que le
système n'est pas modifié
par l'échange simultané de u et E: ainsi que de
-+
-+
E
et
- H.
En prenant le cas des ondes polarisées linéairement CE
= E
0
Y
z
et H
= 0) on aboutit au système linéaire suivant :
x
dU
- Lku V
dZ
dV
S2
-
ik CE: - - ) U
dZ
u

---

20
avec
E
U (z)
exp(i(wt - k S )
x
y
H
V (z )
exp(i(wt - k S )
y
y
H
W(z)
exp(i(wt - k S ))
z
y
su
101
- -
et S
lE: j.I • sin cjJo
u
0
0
Pour une propagation normale, S
a et
101
a •
• La forme matricielle
On a un système linéaire, on obtient donc une égalité matricielle
d
~
dZ
~
(M)
•
1
1
\\
1
dans le cas de la propagation normale, on a
d
(z)
dZ
- -.
(z)
(1)
La solution la plus générale est :
(g) (z )
•
ai
l
(2)
8
z
z
donne
o
(z )
(g) (z )
•
o
a8 J
o
1

---

2 1
on tire
~ (z )o
1
1
et par suite
~
-1
(z) = g Cz) • g
(z)
(z )
(3)
o
~ o
1
1
1
1
-1
Posons
G(z, z ) := g Cz) • g
(z)
(4)
o
o
On obtient finalement
G(z, z )
(z )
(5)
o
o
Pour expr~mer G(z, z ), la matrice caractéristique de notre
o
milieu, il suffit de reporter l'équation 2 dans 1. Il vient:
d
(z) = -
g(z)
dz
1 :
1
0
1.1
- ik.\\
• g (z )
.
( 6)
1 a
1
8
0
8
d'où
d
dz g(z)
Il est facile de résoudre l'équation (6).
• La matrice caractéristique d'un milieu homogène
1.1 := 1
et
e;(z) = e;
0
(M)
- Lk ,
1
:
1
c
u
0
1
u
d
(z)
- ik
(z)
1
dz 1
1
1
1
1
V
c
0
V

---

22
d
+
+
Formellement, on a :
X
A.X
A étant une matrice carré à
dz
éléments constants,
La solution de cette équation différentielle est
+
+
X
exp(A.z). Xo
+
+
X
= X(z
0)
o
On définit l'exponentielle d'une matrice carrée
A
constante par
co
exp(A) =n~O
Revenons à notre problème. Sa solution est:
o 1
U
exp (- i.k 1 c 0 1· z ) . 1 V 1 (0)
•
La formule de BAKER
La formule donnant ~(a),
a étant une matrice, peut être m~se sous
la forme
D
D
D
n -
1
n-l
n -
2
n-2
Dl
~(a)
o
a
+
a
+ •.• +
a +
D
D
D
D
Dans cette formule, D est le déterminant
1
1
1
D
Àn
n-l
Àn
où
À ,
.. ,'
À
sont les rac~nes de l'équation caractéristique de a
et
l
n
D
t le déterminant dérivé de
D
par remplacement des éléments de la ligne r
r-
par
~(Àl)' ""
<P(À
:
n)

---

23
1
Àn
......................
r-Z
r-2
r-2
À
À
À
l
Z
n
Dr-l
<j>O'l) <j>(À
cp(À )
2)
n
r
r
r
À
À
À
1
2
n
......................
n-l
n-l
n-l
À
À
À
l
Z
n
Nous allons appliquer la formule de Baker à notre exemple simple.
- Le calcul de G(z, 0)
eXp(-ikZI : :
1).
1
Soit à calculer la matrice ea., où a. est la matrice
-ikz.1 :
a
Les valeurs propres de cette matrice sont
À
±
ikz lE
1
1
1
1
D
-Zikz.1E .
ikzlE
-ikzlE
1
1
1
1
D =
-Zis in(klE. z)
1
À
À
l
Z
ikzlE
-ikzlE
e
e
e
e
À
A
l
Z
ikzlE
-ikzlE
e
e
e
e
D =
-ZiklE.z.cos(klEz).
o
À
À
ikzlE
-ikzlE
l
Z
La formule de Baker donne :
Dl
D
ea.
0
Da.
+
[1
D
J
Dl
i
sin(klE. z) .
Da.
la
~
E:
:1
D0 111
cos (klE) .
D
1: :1

---

24
soit
J
o
1
C O S (k/€z)
; ~ . sin(k/€z)
exp(-ikz
E:
0
[
i, /€.
sin (k/€z)
; cos (k/€z)
G (z , 0)
[
••••••••• i.d "
•••••..•••
]
Conclusion
La matrice G(z, 0) est identique aux matrices caractéristiques
calculées par Abelès (3 ). On vérifie que IlG (z, 0) Il =1 et,k = k le. co se
o
</>
étant l'angle d'incidence.
On peut caractériser n'importe quel dioptre homogène par une matrice
G(z, zo) qui exprime le champ électromagnétique sur l'une des interfaces
en fonction du champ règnant sur l'autre interface.
Soient U(z) l'amplitude du champ électrique et Vez) celle du champ
magnétique (la composante suivant y).
Les équations de Maxwell deviennent pour une onde plane
d
dz
~ 1(z)
k
k
/€
l.l
cos A..
o
0
0
't'o
La solution de ce système peut se mettre sous la forme suivante
U
U
(z)
G(z,z ).
(z ) .
0
0
V
V 1
0
II
G(z, z ) étant une matrice 2 x 2, lié
à -ikl
0
E:
0
Dans le cas homogène, on a : E:(z) = E:
et
l.l (z)
l.l
1
pour le rayonnement
X-UV et le visible.
G(z, z ) prend la forme simple suivante
o
o
G(z , z )
exp(-ik(z-z ).
o
o
E:

---

25
La matrice G(z ,z ) aussi appelée "propagateur" n ' est r i en dl autre
o
que la matrice caractéristique calculée pour la première fois par Abelès,
mais ce dernier part des équations de propagation qui sont des équations
différentielles de second ordre.
- 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 -
Dans les deux annexes l et II nous rappelIons d'une part que les
matrices caractéristiques de couches identiques sont égales, quelque soit
leur position dans le milieu, et d'autre part nous donnons les deux
représentations fréquemment utilisées pour la matrice caractéristique du
milieu.
- 0- 0- 0- 0- 0- 0- 0-

---

26
1. 3.
ETUDE ANALYTIQUE ET OPTUlISATlON DE LI'. lŒfl.ECTIVlTC
=====================~================================
= =
D'UNE MC PERIODIQUE ET INFINIE.
===========~==================
1.3.1. Rappel du formalisme employé p~cldovich el Vinagradov
ZELDOVICH et VINOGRADOV (2) ont étudié, à l'aide d'une formule ana-
lytique, le pouvoir réflecteur·de multicouches périodiques, réalisées à l'aide
de matériaux dont la constante diélectrique complexe E est voisine de l'unité
(système C.G.S. ; Gauss).
Pour un couple de substances données, ces auteurs donnent
l'expression littérale de la réflectivité dans le cas où l'épaisseur
relative
des couches est optimisée. Ils montrent que, dans certains cas,
on peut, par cette méthode, multiplier par 500 la réflectivité sous inci-
o
dence normale du corps massif (par exemple: Aulc pour 108 A).
Leur étude, que nous résumons ci-dessous, est fondée sur la théorie
dynamique employée en RX. Cette théorie conduit aux relations sui vantes :
1
dE+
2.Q,-À,
1
cSE+
-
(
- ~ -À- +
cSE 0) E+ - i,
E
0
q
dz
2
2
dE
cSE
1
2.Q,-À,
1
-
- i ( -À,- +
cSE ) E
- i
E+
a
q
dz
2
0
2
E
représente l'amplitude de l'onde incidente, E
celle de l'onde réflé-
+
-
chie, cS€
,cS€
et cSE
sont les trois premiers coefficients de Fourier de
0 + -
E(z) - l, la constante diélectrique moins un ; .Q, est l'épaisseur d'une
bicouche, À la longueur d'onde du rayonnement incident et q est la fré-
quence spatiale de la structure périodique.

---

27
E:(z)
Re (E:(z) ) +
i Im Ce Cz ) )
> 1 + OE
+ OE+ .exp(2iqz) + OE
. exp (-2iqz)
0
1
et
OE
±
0
Q.
J: [ i , exp(+2iqz) ] [ E(z) - 1 ] dz
1T
avec
q
l
Il est commode de représenter l'amplitude complexe du champ
E(z,t) comme une somme de l'onde incidente E+ dans le sens positif de
l'axe des Z et de l'onde réflechie E
dans l'autre sens:
E(z,t)
exp(-iwt)
[E+(Z) .exp(iqz) + E (z ) .exp(-iqz) J.
, Vinogradov et Zeldovich prennent le facteur exponentiel corres-
pondant exactement à la période de l'empilement:
21T = 2Q. •
q
Les conditions aux limites sont
E (z=o)
1
et
E (z=L)
o
+
L étant l'épaisseur totale de la multicouche.
Pour aboutir aux relations ci-dessus, on peut utiliser, soit la
matrice caractéristique, soit les équations différentielles du premier
ordre.
Attirons l'attention sur l'origine de la variable Z quand on calcule
la transformée de Fourier de E(Z).

---

28
Dans l'article de Vinogradov-Zeldovich, on prend €(z)
comme
suit
é(1'1
é1
-
E"
1
l
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
l
•
~ 13 t ~(Af'l ~J
Dans la figure ci-dessus .l'origine de Z se trouve au milieu de la,
couche à haut indice, alors que avec le formalisme matriciel, nous avons
pris l'origine des Z juste sur l'une des interfaces.
On tire de la figure précédente
ô€
sinrrS
n
La propriété
lô€+1
= lo€_1
est une caractéristique spécifique
d'un empilement de deux matériaux indiqué dans la figure précédente.
Les valeurs de
lô€+l
et
lô€_1
sont inégales uniquement dans le cas d'une
structure qui comporte plus que deux matériaux par périodes.
Pour un couple de substances choisies, le problème
consiste à trouver les valeurs optimales
de la période ~ et du paramètre S
qui rendent la réflectivité maximale.
Dans le cas général d'un nombre fini de périodes, le max~mum
du module de la réflectivité peut être calculé par ordinateur, en
variant S de 0 à ~ et ~ aux alentours de À/2.

---

29
Il s'agit donc de
faire var~er S et ~ indépendamment pour
obtenir le maximum de réflectivité de la multicouche.
Faisons remarquer que Vinagradov et Zeldovich (2) ont écarté l'étude
de ce cas réaliste. En revanche, ils abordent en détail l'étude des cas
extrêmes rappelés ci-dessous.
Le maximum de réflexion,. pour une incidence normale es t atteint
quand la période ~ est de l'ordre de À/2, À étant la longueur d'onde de
la radiation incidente dans le vide. C'est, en fait, la condition de
Bragg pour e ~ 90°.
Il reste maintenant à fixer le paramètre B qui donne l'épaisseur
relative de l'un des matériaux par rapport à l'épaisseur totale de la
période.

---

30
1.3.2. Rappel des principaux résultats de Vinogradov et Zeldovich
applicables aux multicouches strictement périodiques sur
tout l'empilement:
a)
Petit nombre de périodes
1
(3
et
R(L -Jo 0, (3
2
Le nombre de périodes nécessaire pour créer des miroirs ayant
une réflectivité importante n'est pas inférieur à 2.
IOE:
- OE: , - 1.
l
2
b) Les deux substances sont idéalement transparentes
Im(E:
= Im(E: ) = 0
l)
2
C'est l'approximation habituelle utilisée pour les diélectriques dans le
1
domaine visible mais aussi pour les y dans certains cas. Alors B
2
optimise la réflectivité quel que soit le nombre de périodes N.
un nombre infini de période, la période
pour L -Jo 00, c'est-à-dire pour
optimale est donnée par :
Q. opt
(OE:
- OE: )
d'où
2
l
R
th
(N.
2 )
max
2
N
étant le nombre de périodes,
N
L
r
- 1
Pour L »
2.Q.. 1OE:
- OE:
'
la réflectivité est très proche de l'unité.
1
l
2

---

31
c) Multicouche périodique et infinie (N
00) constituée de deux substances
idéalement transparentes
L
et
o
La réflectivité idéale est atteinte,
R
l,
pour la bande de
largeur
~À
et centrée sur
À
tel que
o
~À
X-o
'TT
ÔE: + ÔE:
l
2
et
À
=
2t (1 +
- - - - ) .
o
4
ou de façon équivalente, pour toute la bande
M,
de la période de la multi-
couche à une longueur d'onde fixée. Le nombre de périodes doit être plus
important s~ on prend
À ~ À
± ~À au lieu de À
À
0
2
0
cl) Les deux substances sont purement absorbantes
et
o .
Soit une multicouche infinie lN = 00)
La valeur optimale de la période demeure
~ = ~ . L'optimisation
de la réflectivité est, ici, un résultat du compromis entre les deux
tendances suivantes. Etant donné la décroissance de la réflectivité due
à la dissipation d'énergie par l1 absorption,
on doit prendre une épaisseur
minimum de substance la plus absorbante, 4utrement dit S ~ o.
Ce résultat est immédiat dans notre approche de la condition de Bragg.
Il sera démontré page 62 au
ara raphe II.3.4

---

32
Cependant, pour augmenter la réfiexion locale, on doit accroître le
1
module de la composante de Fourier OE ,soit
B~ 2
Le max1mum de R est atteint quand
S = B
vérifie l'équation
opt
transcendante suivante, obtenue pour la première fois par Vinogradov
et Zeldovich ( 2 ) .
tg 'lT 13
t
op
== 1T
[SoPt +
Le coefficient de réflexion, dans ces conditions, R(L ~ 00, B
2
C O S
1T S
t
op
est
R
[
1 + sin 1T B
J
opt
Cette valeur de
R est le max1mum que peut atteindre la réflectivité
d'une multicouche périodique, et infinie, constituée de deux substances
purement absorbantes. Notons que B t et la valeur maximale de la réflecti-
op
vité ne dépendent que du rapport lm E2/1m(El-s 2).
+0
- - -
-----
- -
1
.4/1,
1
1
[
/ '
/
1
/
/
/
1
1
1
1
1

---

33
e) La différence relative de l'absorption des deux substances
es t négligeable.
-_.....::>~
0
1
L'équation transcendante de Vinogradov-Zeldovich donne
S :::: Z
1
et par suite
R ::::
Z1T
« 1 .
Dans ce cas, la radiation pénètre plus profondément dans la structure
que lorsque deux substances très différentes sont employées. La profondeur
de pénétration efficace est alors de l'ordre de :
Z1T lmE
Cette profondeur correspond évidemment à celle obtenue dans un
dioptre.
f)
La différence entre les deux absorptions est importante;
Dans ce cas, on a
lm (El - E )
lm
Z
El
~
»
1
lm(E )
lm E
Z
Z
et
Sopt
et
R
sont
donnés
par
lm E
1/3
1
Z
~
.
Sopt
(31T .
)
«
1
1T
lm El
lm E
1/3
Z
&
R
::::
1 - Z (31T .
)
lm El

---

34
On obtient un résultat paradoxal : une structure matérielle purement
absorbante peut conduire à une réflexion presque parfaite et ceci est d'autant
plus important que l'un des matériaux devient transparent. Dans la théorie
de diffraction du rayonnement X, le cas limite est connu sous le nom
d'effet Bormann (7).
Rappe ions la situation des ondes dans ce c a s ,:
l. ! l, rli ';, ,', ';,: ;;: l ,;',:-' j" , "",1 '\\ i '.' :'. ,','. ',1
r
"'...
. 1 1
.
' .
,
'
"
r
~ substance très absorbante
substance peu absorbante
Si R est proche de l'unité, les amplitudes des onde iE+1 et IE_i
sont donc presque égales en des points semblables de la structure périodique.
C'est à dire que ee champ résultant constitue une onde stationnaire dont
l'amplitude évolue lentement le long de l'axe des Z.
Le cas
a« 1 correspond à la situation où la substance la plus
b
b
h
A
"
~
'
Q
n
À
a sor ante occupe une coue e extremement m1nce d epa1sseur ~optN «
2
On peut vérifier dans les équations que ces couches se trouvent juste
aux nœuds
de l'onde stationnaire où le champ électrique s'annule. C'est
pourquoi l'énergie de l'onde ne sera pas dissipée. Le nombre nécessaire
de périodes
N
est important :
lm E
-1/3
L
2
N
l
:P
)
soit au m1n1mum de l'ordre de
Précisons toutefois que ce cas avantageux pour la réflectivité, ne se rencontre
malheureusement pas en X-uv car le rapport lm EL/lm El n'est jamais supé-
rieur à quelques dizaines.

---

35
g) Le cas général, ou les matériaux considérés sont à la fois absorbants
et réfrar:tants
Vinogradov et Zeldovich explicitent les conditions d'optimisation
suivantes :
a
avec
p
p (S, ,(1,)
et
0,
dans le cas d'une multicouche périodique quelconque ma~s infinie (N = 00). Ils
trouvent que le Sapt est la solution de la même équation transcendante
déjà rencontrée dans le cas où les deux substances sont purement'
absorbantes.
Cependant, par rapport au cas purement absorbant la valeur du coefficient
de réflexion peut encore augmentée par le choix optimum de la période ,(1,
ou, de façon équivalente, du paramètre p. Finalement, ils donnent l'expression
analytique de la réflectivité maximale.
Les valeurs de S
et,(1,
dans le cas d'un m~ro~r
opt
opt
multicouche périodique quelconque et d'épaisseur "infinie", sont donnés
par la résolution du système ci-dessous
•
t g Cn S
t)
)
op
n . ( S
• "
op
J
À
Re OE2
• ,(1,opt
2"
2
.
La valeur optimale de la réflectivité d'un tel miroir est donnée
par
•
Ropt
Re(E
-(
l
2)
avec
t
Im(E
-
(
l
2)
et
a = cos (n 8
t)
.
op

---

36
Le nombre de périodes,
N
nécessaire pour que la réflecti-
vité atteigne un tel ordre de grandeur, est:
2. a.
• N
Les auteurs donnent l'exemple du couple nickel-titanium, pour un
o
rayonnement de longueur d'onde 31.36 A.
2.0E
l'épaisseur relative
optimale
0
Nickel
(60 +
15). 10-4
5.8 A
i.
Titanium
(18.5
4.06) . 10-4
0
+ i.
9.9. A
L'équation de Vinogradov-Zeldovich donne S
0.37
opt
À
On prend
:::
2
d'où
R
:::
57 %
si
N P 400
co
Ceci est à çomparer ave c la réflexion de :?'resnel à l'interface· . d
. t 1
ê
v~
e-rr.e a ,
qui est inférieure à 10-5 .
Remarques:
La période de la structure peut aussi être pr~se égale à un
nombre entier de ~ , ce qui rend possible l'utilisation de couches plus
épaisses. Cette possibilitée est importante pour les longueurs d'ondes les
plus courtes du domaine x-uv où les couches à réaliser seraient de l'ordre
de grandeur d'une seule couche atomique. Ceci est à rapprocher de l'utilisa-
tion des ordres supérieurs à un dans l'équation de Bragg 2.d. Sine = K~.
Dans un article ultérieur (2bis), les auteurs ont généralisé leurs
calculs à une incidence quelconque en empruntant la même démarche théorique.
2
E(Z) est remplacé par E(z) - sin
e dans l'équation de Helmholtz, e étant
l'angle d'incidence. Ensuite, ils développent E(z) en série de Fourier.
La fraction
optimale de période occupée par la substance 2 obéit
à la même équation transcendante de Vinogradov-Zeldovich.

---

37
Soulignons que dans le cas de l'incidence oblique, la valeur du
coefficient de réflexion ne change pas, comparé au cas de l'incidence
normale, mais le nombre de couches nécessaire pour l'atteindre est réduit
2
par un facteur cos e ; de même le coefficient de répartition 8
test
op
identique. Pour calculer les paramètres optimum d'une multicouche et la
réflectivité maximum possible, il suffit donc d'effectuer le calcul dans le
cas le plus simple de l'incidence normale seul le nombre de couche à déposer
sera à revoir pour d'autres incidences.
1.3.3. Conclusion
Même en utilisant des substances faiblement réfléchissantes et absorbantes
(IE
11«
l,
IE - 11«
1), une réflectivité appréciable peut itre
1-
2
obtenue. Pour cela, on doit utiliser une structure périodique avec
t
et 8
optimaux et un nombre suffisant de périodes (bicouches).

---

38
I.4. CAS DU REFLECTot·lETRE IN SITU ET OPTH1ISXnON
.
========~=============================~===~~=====
1.4.1. Introduction
Afin de contrôler avec précision les épaisseurs successives des
couches évaporées, E. Spiller (I.B.M.) a, le premier, introduit un test de
réflectivité x-uv in situ. On contrôle
ainsi continûment les empilements,
comme dans le visible pour les multicouches diélectriques, mais pour des
périodes de 10 à 100 fois plus petites. De manière pragmatique Spiller (4)a
en 1972, montré que la réflexion optimale d'une multicouche dans le x-uv
requiert un compromis entre la conception d'une multicouche diélectrique et
celle d'un cristal de Bragg. Plus précisément à partir du substrat, la
structure en multicouche évolue du système quart d'onde B = 0,5 à une
épaisseur relative B
. Cette dernière valeur étant la solution de l'équa-
opt
tion de Vinogradov-Zeldovich rappelée précédemment. Le paramètre B est donc
variable le long de l'empilement.
A l'Institut d'Optique, l'équipe J.P. Chauvineau et L. Valiergue (B)a
aussi choisi le contrôle de réflectivité des couches en cours de formation.
A partir de la courbe de réflectivité, ceci permet à chaque période d'opter
pour le critère d'arrêt d'évaporation pour les deux constituants.
Parallèlement B. Pardo a mis au point un programme de simulation de
ces expériences. Le programme permet de calculer la réflectivité qui sera
mesurée in situ pendant le dépôt. On a déjà attiré l'attention sur le fait
que l'épaisseur relative des deux corps varie au sein des pseudo-périodes,
passant progressivement de B = i pour la première bicouche déposée jusqu'à
B= B
. Ce B
est la solution de l'équation de Vinogradov-Zeldovich
opt
opt
.
~.
.
déjà citée. On obtient ainsi automatiquement la mellleure repartltlon pour
chaque strate et la meilleure réflectivité pour un nombre limité de couches
déposées. Ce genre de structure ne se trouve évidemment pas dans la nature.
Nous verrons plus loin son importance pratique.
Le critère d'arrêt d'évaporation est fondé sur le fait qu'en fonction
de l'épaisseur, la variation de réflectivité d'une couche simple présente des
minima et des maxima espacés "régulièrement". C' es t le moyen expérimentale le

---

39
plus precis pour contrôler les épaisseurs des substances en cours d'éva-
poration. Les expériences de J.P. Chauvineau et L. Valiergue confirme
la validité de cette méthode. De plus les courbes de réflectivité obtenue
en cours de dépôt montrent un amortissement dû à l'absorption et un amor-
tissement supplémentaire dû aux phénomènes connexes communément nommés
"rugosi tés". Cette méthode permet en outre de compenser les erreurs
éventuelles d'épaisseur, mais aussi de suivre l'évolution de la qualité
de la multicouche pendant l'évaporation. Ce dernier point est important
car on a de ce fait, une mesure expérimentale de la croissance de défauts
de taille comparable à la longueur d'onde utilisée pour le réflectomètre
o
c'est-à-dire quelques A.
1. 4.2. Approche théorique
Regardons un peu la justification théorique de cette méthode.
Il s'agit de généraliser la méthode de contrôle in situ des multicouches
diélectriques aux multicouches métalliques absorbantes. P. Croce, de
l'Iinstitut d'Optique a, vers 1980 (5)
proposé une approche théorique, exigeant
la résolution numérique d'une équation différentielle du premier ordre
confirmant le point de vue pragmatique de Spiller. Cette méthode, program-
mée par B. Pardo, est résumée dans les pages suivantes.
On considère un empilement composé de deux milieux. On cherche à
maximaliser l'amplitude du faisceau réfléchi r. L'amplitude du faisceau
incident étant prise égale à un. On décompose l'amplitude du champ électrique
en tout point de la couche j en deux parties correspondant à l'onde incidence
et ~ l'onde réflér-hie.
E+,1
\\
milieu 1
milieu 2
E_
/2
~E
,
+,2

---

40
D'après ce que nous avons indiqué en 1.2, on a
E
1
r
E
-,1
l
-,2
1
-
1:
(1)
t l
E
r
1
E
+,1
l
+,2
E_ 1
E_,2 + r l · E+,2
soit
r
= --'- =
E+,1
E+,2 + r l · E_,2
r
est le facteur de Fresnel:
l
On a une relation homographique.
Pour deux milieux non absorbants,
E_ 2
E_ 1
s~
--'-
décrit un cercle,
~ décrit un cercle, dans le plan complexe.
E+,2
+,1
E_ 2
L'amplitude
r
atteint ses extréma quand
- - ' -
est réel. La plus grande
E+ , 2
E_ 2
valeur de Irl correspond au point où
--'-
augmente avec
E +,2
1::,21.
2 Il faut donc faire croître 1:-'21 et par conséquent, traiter le
,
+,2
milieu suivant comme le milieu deux et ainsi de suite. On conclut que
l'épaisseur des différentes couches doit être égale à 1/4 k.
, pour une
Jn
épaisseur minimale non nulle. Cette loi n'est pas applicable pour les
multicouches absorbantes.
Dans le cas général on cherche à maximaliser la réflectivité d'une
multicouche constituée de deux milieux absorbants d'indice complexe
voisin de l'unité. Pour que les ondes restent en phase, l'ensemble de
deux couches succesives garde une épaisseur de l'ordre de 1/2k . On
n
peut négliger les variations de k .
n

---

4 1
Afin d'obtenir les équations de départ des articles de P. Croce, on
assimile une différence finie à une différentielle :
=
+
et
E
E
+
+, 1
+,1
dE
1
+,
A partir de l'équation matricielle (1), on obtient le système
différentiel suivantX
=
dE
dz
2
2
4iTI
k
La
+ 2-a2-
0
L
avec
A
k
L + 2-
n
2
2
4iTI
k0
+
+
sin(2TIk L)
et
B
. (a - aL) • (u .• u ).
n
k
2-
1.
r
n
2TIk . (L+2-)
n
L et ~ sont les épaisseurs succeSS1.ves des couches lourdes et légères
ct
étant la polarisabilité de l'un des milieux et
<PL = 4. TI . k • z .•
n
J
E
d'où, avec
r
1
dr
r • dz
(2)
Remarquons que B est le terme de couplage des deux ondes.
dr
Pour aV01.r une croissance rapide de r, il faut que dZ soit le plus
grand possible, en variant <PL et L. Rendons extrémale la partie réelle de
~
(Voir annexe 7 page 158).

---

42
l'équation (2). Posons
- Agissons sur PL :
Seul le facteur de B dépend de ~L.
On obtient:
or
- ~ )
R
1 ri)
cos~B
Elevons au carré,
additionnons et enfin prenons la racine carrée.
On obtient l'égalité suivante:
sin(q>L - ~R)
- 1
(3)
l
-(Irl-
-
Irl) sin~B
_ Agissons sur L
L + 9.. est l'épaisseur d'une "pseudo-période", aile reste pratiquement
constant. Dérivons par rapport à L la partie réelle de l'équation (2),
d'où:
* cos(2TI. k L)
a
n

---

43
En tenant compte de l'équation (3), on obtient
(4)
La résolution des équations (3) et (4) donne la valeur de ~L et
celle de L en fonction de Irl. On les porte ensuite dans l'équation
différentielle (2). Par intégration numérique, cette dernière donne
la solution optimale cherchée.
On fait donc évoluer l'épaisseur des couches à la fabrication.
• Détermination de la borne supérieure Irl oo •
Soit L
la valeur qui vérifie les équations (3)
et (4). Elle
00
annule la partie réelle de l'équation (2).
Or,d'après l'équation (3), ce qui précède est égal à

---

44
La partie réelle est donc
soit en développant les cos~nus
=
c o sè B
De l'équation (3), on obtient l'égalité avec l'expression précédente
Finalement, on a l'équation (5) suivante
sin(21Tk
L )
-+
-+
co
4 . 1T . k
n
L
+ 2 . 1T •
(u .. u )
n
00
~
r
cos<jJB
et
2.cos<jJB
. cos (21Tk L )
(4)
n 00
Divisons, membre à membre, l'équation (5) par l'équation (4). On obtient le
résultat suivant
tg(21T.k .L )
21T.k.L
+ 1T.
( 6)
n
co
u
co

---

45
Nous avons ainsi retrouvé l'équation transcendante de Vinogradov-
Zeldovich déjà rencontrée dans le cas des multicouches périodiques.
1.4.3. - Conclusion
En conclusion, les multicouches même apériodiques formées de deux
substances données, mais optimisées pour une longueur d'onde tendent,
quand le nombre de strates est important, vers une structure périodique
dont l'épaisseur relative du matériau absorbant obéit à l'équation
transcendante de Vinogradov-Zeldovich. Ceci s'explique aisément par le fait
que la pénétration de l'onde étant limitée, le rôle du support tend à
devenir de plus en plus faible dans la réflectivité.
Remarquons que dans cette étude, on a supposé les interfaces par-
faitement planes. Le coefficient A de l'équation (2) ne dépend pas des
rugosités. Pour corriger le coefficient B (voir page41 ), P. Croce pose
-+-+
2 2 2
-+-+
(u .. u) exp(-8.TI .k .0 ) à la place de (u .. u ). Cette question délicate
~
r
n
~
r
des rugosités sera abordée d'une façon plus approfondie dans un chapitre
spécial. Nous montrerons à ce moment la nature restrictive du coefficient
'l
2
2
d'atténuation exp (-8.TI . k .0 ).
n

---

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

47
II
OPTIMISATION DE LA REFLECTIVITE DES MC PERIODIOUES
II.1. INTRODUCTION.
===========~=====
Dans la première partie nous avons repris à l'aide du formalisme
matriciel, les principaux résultats connus concernant les multicouches X.UV.
Il s'agit de préciser, dans cette partie de notre étude, les deux conditions
auxquelles doit nécessairement satisfaire une multicouche périodique consti-
tuée d'un nombre fini de périodes pour avoir la réflectivité maximale .. En
effet, la réflectivité d'un empilement périodique, fini, est une fonction de
deux variables indépendantes proportionnelles aux épaisseurs des couches
constitutives de la période.
Nous allons chercher une expression analytique exprimant la réflecti-
vité en fonction des paramètres caractéristiques de la bicouche et du
nombre de périodes. Cela nous permettra une discussion relativement aisée.
Les notations employées dans ce paragraphe sont rappellées dans l'annexe.
La première condition portant sur
<P = <P
+ <P · ·
fixe l'ênais-
1
2. ,
seur totale de la période et la seconde nortant sur m ou ~
fixe l'une des
.
, 1
~2-
épaisseurs relatives. On verra que, dans certa~ns cas et en particulier
celui du rayonnement X.UV, la relation dite de Bragg générale est une très
bonne approximation de cette première condition. Elle ne dépend pas du
nombre de bicouches. En revanche, la seconde en dépend fortement et
engendre l'équation transcendante de Vinogradov-Zeldovich dans le cas
des multicouches infinies.
Cette partie vise à pallier aux insuffisances des conditions d'opti-
misation usuelles. Ainsi, on explicite le fondement, et la validité, de la
condition de Bragg générale dans le cas des multicouches métalliques. On
la déduit de la condition, beaucoup plus riche, de non-oscillation de la
réflectivité en fonction du nombre de périodes. En effet, les expérimenta-
teurs cherchent à augmenter uniformément la réflectivité à la suite de dépôt
de chaque bicouche.

---

48
Dans l'étude faite par P. Croce (5); et qui confirme les résultats
obtenus de façon pragmatique par E. Spiller (4), on affecte un numéro d'ordre
à chaque bicouche et on varie les épaisseurs relatives en fonction de ce
numéro. Dans notre étude, le cas d'une multicouche strictement périodique,
la seconde condition tient compte du nombre total et définitif de périodes
de la multicouche à fabriquer. Dans ce dernier cas strictement périodique,
avec deux matériaux donnés, l'épaisseur relative ne varie pas. Cette épais-
seur est choisie avant la fabrication, en fonction du nombre de bicouches.
On obtient ainsi la réflectivité maximum pour un nombre de bicouches
identiques. Ceci correspond en pratique aux méthodes de fabrication sans
contrôle de réflectivité in sit~ tels que les bombardements ioniques qui
peuvent être très aisément automatisés.
Le formalisme matriciel s'adapte parfaitement à cette étude.
Il est bien entendu qu' ici on ne considère que des couches homogènes à
interfaces parfaitement planes. On verra plus loin, dans la dernière
partie, les corrections des termes de la matrice caractéristique d'une
multicouche dues aux rugosités, ainsi que les limites de validité de ces
correc tions .

---

49
II. 2. REFLECTIVITE D'UN EMPILE1"iT::NT DE N B1COUCHES IDENTII~LJES.
====================~=================~~===========~==
= = = = = =
II.2.1. But de cette étude
Il s'agit de trouver une expression de l'intensité réfléchie R
dans laquelle apparaissent les param~tres caractéristiques de la bicouche
et le nombre de périodes; expression qui doit permettre une discussion
relativement aisée *
11.2.2. 1'e;"'1)ressioll de la réflectivité
(Voir aussi annexe
)
ch(2.N.LogIÀI) - cos(2.N.8)
R
N étant le nombre de périodes,
À
étant la valeur propre supérieure à l'unité de la matrice caractéristique
de la bicouche, Pl et P
étant les"réflectances propres".
2
, ,
La signification de Pl' P
8 et de (~2-~1) sera explicitée plus loin
2,
Il. 2.3. Principe cl~ la dê t e rrninat i on de R..
1
/ ' /Il ,/ MiUeu 2
,1
"
,
Bicouche
;' / /
,
Mi Li.eu 1
./
1
.1
/
/
Mi li eu 2 massif
/
/
1
/
* ( .
V01r annexe 5 pap.e 149).

---

50
Rappelons
que dans le traitement mathématique, Cl aprés, une couche
est constituée d'une seule frontière et d'un milieu homogène. En
conséquence ce que nous appellerons bicouche sera constituée d'une
seule frontière externe et une frontière intérieure séparant les milieux
1 et Z.
Symboliquement, notons la matrice de passage d'un milieu j à un
milieu i, G•• par
l
~J
j )
et la matrice de propagation dans un milieu homogène j, G<jJi par
j
1
La matrice de continuité ou de passage d'un milieu Z à un milieu l
sera G
:
Z1
Y
Y
Z
Z
l + -
l - -
l
YI
YI
Gl2
Z
Y
Y
Z
Z
1 -
l +
YI
Yi
YI et Y
étant les impédances successivement des milieux l et Z.
Z
La matrice de propagation dans un milieu homogène' sera G~
~XP(i$)
G<jl
La matrice caractéristique d'une bicouche quelconque sera donc
l
soit
G
= 7;'
Posons
Y

---

51
Le produit donne
Donnons aux éléments de notre matrice une forme plus contractée,
soit
Calcul de
det (G) :
2
. 2 " ,
2
)
6
l . ( cos CPI + s~n
~l. ch
Log Y .
2
sh
Log y).
d'où
donc
det (G)
1.
Le déterminant de la matrice caractéristique d'une bicouche quelconque
est égal à l'unité.
Posons
E;
Log Y.
Appelons 2 S la quantité suivante:i (mIl + m
) . c'est en fait la
2 2

---

52
trace de la matrice bicouche
3b / Comment 0 b t eni
ten~r GN ~a
.
part~r d es ~
e 1 ~ements propres d e G.
-----------------------------------------------------
La multicouche est consitutée de N bicouches identiques. La matrice
à déterminer est bien évidemment G à la puissance N. Il s'agit d'expliciter
les éléments de la matrice d'une multicouche périodique en fonction de G
et de ses valeurs propres.
De la formule d'interpolation de Sylvester, qui permet d'écrire
un polynôme de G, on. tire l'expression de la N-ième itérée:
. i
À
et
À
étant les valeurs propres de G.
l
2
Soit [~J ' le champ à l'entrée de la multicouche (voir la première
partie
[ : : J) .
Soient p la réflectivité en amplitude complexe et R la réflectivité en
intensité.
R
P • p'
On se propose, dans un premier temps, d'exprimer R en fonction des
éléments de G et de ses valeurs propres À
et À .
l
2
Par définition des valeurs propres et des vecteurs propres corres-
pondants, on écrit:
k
1,2

---

53
r k
Posons
Pk = --
, le rapport des composantes du vecteur propre cor-
t k
respondant à la valeur propre À
Appelons ces rapports "les réflecti-
k.
vités propres", car Pl et Pz ont la même dimension que p.
r
Par définition
P
t
avec
[ °1 J étant le champ initial.
L'équation caractéristique de la matrice G est
On en déduit
Posons
Pl
1 Pli.
exp (i<P ~)
~2
1 pzl.
exp (i<P;)
À
=
IÀI
exp (ie) .
et
À
= À ,
1
avec
IÀI = IÀll >
1 .
Pl étant la "réflectivité propre" liée à À
d'où
l,
Ipll < 1.
.JIE-.
Un calcul rapide donne
suite, à par tir de
on dédui t
P et par
p.p ,
l'expression de l'intensité réfléchie
R = p.p*

---

54
3cl L'expression de l'intensité réfléchie par une multicouch~
ch(2.N.LogIÀ!) - cos(2.N.8)
R
.--------------
2N Ip21
1 1-2N lP0
1À 1 •.
+
À
•
-
2.cos(2N.
IPII
IP2 1
Avant de commenter l'expression de R et d'entamer l'étude
d'optimisation, on rappelle succintement, une fois pour toutes, la
signification des notations les plus fréquentes dans cette étude.
(Voi r annexe 5 )
(*)
N.B.
Dans l'expression de R, la quantité réelle e n'est pas l'angle d'inci-
dence. Elle es t l'argument de la valeur propre À de la "matrice bicouche".

---

55
II. 3. PREMIERE CONDITIONS D' OPTHlISATION ET FüNDEHEHT DE LA CONDITlal'1
==========~=~=====~==~=========================~========~~~==========
DE BRAGG APPLIQUEE AUX MULTICOUCHES ABSORBANTES
.
=====~===============================~==~======
II.3.1. Commentaires sur R : premi~re formulation
*
D'après l'expression de R, pour une incidence donnée, la réflectivité
d'une multicouche périodique oscille en fonction du nombre de bicouches.
Or du point de vue de l'expérimentateur, il est souhaitable que la réflecti-
vité augmente au fur et à mesure qu'on dépose des bicouches. Autrement dit,
du point de vue mathématique, on impose à R d'être croissant et monotone en
fonction du nombre de périodes. Pour cela, il suffit que les fonctions circu-
laires intervenant dans l'expression de R ne dépendent plus du paramètre N,
qui est le nombre de bicouches. Ce qui, formellement, se traduit par
:
le · K. n
avec
soient
cos(2.N.K.1T)
1
et
cos (2.N.8
L'expression de la réflectivité devient
ch(2.N.LogIÀI) - l
- 2N rP;:l
1
1
+
À
•
IP;-I
II. 3.2.
J)iscus~i?n ~\\lr l('~ vale:J~s propr..t:.s~-'-1~~2 de .-:3
c a r a c t e r i s t i que
dune lncouchc homog(~ne : dc ux i ême formulation
On rappelle qu'on a posé
À = lÀ 1. exp CiO)
et
À
= À
tel que
IÀI > 1.
l
(*) Les notations utilisées dans ce chapitre sont définies et rappelés dans le
paragraphe précédent et défi~ies dans l'annexe 5.

---

56
À étant l'une des valeurs propres de "la matrice bicouche", on écrit
l'équation caractéristique de la matrice en question, comme suit
1
On a posé
8
2"
L'équation caractéristique prend alors la forme suivante
2
À
-
2.8. À + 1
8
étant la moitié de la trace de la "matrice bicouche". C'est un invariant
À = S ± /
S2 -
1
La condition
8 = K.TI
~mpose à À d'être une quantité réelle, autrement dit
2
8
est réel et
8
- 1
est positif ou nul.
En résumé, la première condition d'optimisation d'une multicouche
périodique finie est donc la suivante: S est une quantité réelle et
2
S
-
l est une quantité positive ou nulle.
Soit
et
(~) voir réf. 3

---

57
Il.3.3. Comparaison de la premlere condition d'optimisation avec la
~elntion de Bragg silnplifi6e 2.d.cus8 = p.~ Cp entier)
dans le cas des ~atériaux partaitelocnt transparents.
RappelIons que dans ce cas l'indice des matériaux transparents est une
quantité purement réelle.
s
s
est une quantité réelle pour toutes les valeurs possibles des
indices nI et n
et des épaisseurs optiques réduites ~l et ~Z·
Z
3a) ~~~:E~~~_3~~_~~~9~iv~~~~~~_~~~E~_~~_EE~~~~E~_5~~~~!~~~_~~~EEim~~~~~~~
~!_l~_~~~~~E~~~_~~_~E~gg_e~~!~~~~~.
~
épaisseur de bicouche donnée, nous
Dans le plan Q>l' ~2 pour une
·
~
~ + ~2 (voir notation en annexe).
avons la re 1at10n ~ = ~l
~
~l
, ,
~z
L'égalité ~ = TI
exprime la condition de Bragg, elle traduit le
fait que l'épaisseur optique de la bicouche est égale à un nombre entier
de demi longueur d'onde.

---

58
RappelIons l'expression employée
~c~ pour les épaisseurs optiques réduites:
'fI
Z.TI
9-
=
À,*.
i
: nI
l
Z.TI
n
. "'z . n Z
À,*
Z
lf
TI
donne
À
"2
qu~ est la condition de Bragg générale.
Par ailleurs l'égalité~= TI implique l'inégalité suivante
Z
S
-
l ~ a
avec
lofl + ~Z
TI.
On remarque, toutefois, que
~ = TI
n'est pas la·seule solution de
la première condition d'optimisation. On présente ici quelques courbes de
réflectivité en fonction du nombre de périodes satisfaisant la première
condition d'optimisation sans remplir pour autant la condition de Bragg.
3 bl Le cas des indices réels proches de l'unité
n
I-et
Z
Z
-
:::
l + (al - aZ)
l-a
nI
l
n Z
-
:::
l + a.
nI
Z
Z
/ n Z
a
sh
Log
:::
"4
nI

---

59
tp = TT + O<.p
otf étant la correction apportée à la condition
2
de Bragg. La quantité 8
- 1 prend la forme suivante :
4
2
.2U)
CL
.4(1)
+ CL • s~n
11 + ~. s~n
11'
. ~
2
1
. .
La quant~te 8
-
est pos~t~ve ou nulle s~
avec
o\\fm - CL • sin trI
et
o~M = + CL • sin Ifl
Pour deux matériaux transparents d'indices proches de l'unité, la première
condition d'optimisation s'écrit de la manière suivante:
avec
olfe: [- CL.sintf l ' + CL.sin<fJ
et
Ifl
Cet exemple illustre le fait que la condition dite de Bragg est un
cas particulier inclus dans la première condition d'optimisation.
Quand CL est négligeable devant l'unité, la première condition d'opti-
misation se confond avec la condition de Bragg.

---

60
Les trois figures ci-aprés indiquent la variation du logarithme de lai
réflectivité en fonction du nombre de couches déposées. Ceci montre que
la condition dite de Bragg
n'est
qu'un
cas particulier de la
premiére
. condition d'optimisation. Dans le cas du domaine X-UV~ ces deux conditions
se confondent.
Chaque courbe correspond à différentes périodicités et à différents
coefficients de répartition des deux matériaux. Les valeurs indiquées
à coté des courbes sont des
"épaisseurs optiques r édwi tee ", définies dans
le texte (f= ~,~Tr.nl~À étant la Lonqeu» d'onde en t n la partie réelle
a
de l'indice et l l'épaisseur de la couche en A ).
-
La premiére figure correspond au cas des matériaux ayant des indices
avec même partie réelle ( même réfraction) et des absorptions différentes.
- La seconde figure correspond au cas des matériaux idéalement transparents
( partie imaginaire nulle) et dont l'indice est proche de l'unité.
- La troisième figure est un cas plus réaliste correspondant à celui des
rayons X s avec comme rratériaux le carbone
et du tungsténe.
10° - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
Epala •• uro
Optlqu..
R'dult ••
"at.1
"at.2
-2
89
90
10
.~
<,
..(J
CI)
-
....
•CI)
-4
.
a: 10
Cl
o
(' (' (, ,-\\ r. ,.." {'30
120
..J
\\1
\\ 1 \\ ' \\ 1 \\ 1 \\ /
\\,
1
\\ 1
\\ 1
\\ 1
\\,
\\
\\
\\
l
,
'
:1
'1
V
"
~
\\ , , ,
•
60
o
de Pèriodes

---

61
o
10
r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Epel •••ur. Optlqu..
R'dult ••
Met.1
...1.2
-4
10
90
90
10
170
-8
...
~
--
, .... --
,,-
,
10
\\
1
"'
,
\\
1 "
" \\
1
"
1
50
50
\\
1
\\ 1
\\
'
\\ 1
,,
1
1
11
, l
' 1
l
,
\\1
~ 1
l '
11
l'
\\1
1
1
,1
, 1
Il
-12
1:
h
'1
1
10
"
o
20
40
60
80
Nombre de Pèriodes
o
10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -....
Epel •••ure
Optlqu..
R'dult ••
... t.1
"et.2
.en
...•. _....• _...... ..... .•.. ........•..
90
90
.0
60
120
ct
.4)
-2
.... 10
>
.-....o4)
50
100
20
40
60
80
Nombre de Pèriodes

---

62
II.3.4. Cas du rayonnement X-UV
Cherchons maintenant à évaluer l'écart à la condition de Bragg, dans
le cas des matériaux dont l'indice est peu différent de l'unité. RappelIons
encore une fois que ce cas correspond à celui de tous les matériaux dans
le domaine X-UV.
Examinons tout d'abord ce que devient la correction calculée
précédennnent.
La condition de o~ €
[-a.sin~l' asin~lJ définit un intervalle
petit devant TI.
L
d "
( 2
)
a con 1t10n
S - l ~ a
est celle à remplir dans le cas des maté-
r1aux non absorbants. Elle généralise la condition de Bragg. Dans ce cas
elle donne la réflectivité idéale pour la bande 6À qui est centrée sur Ào
Pour deux matériaux donnés et à épaisseurs fixes ,et à partir
de l'égalité
<f= 2.TI
(nI' R.
+
R. ) on a
I
2
sui van t~- 'î- À
T
n 2·
la propriété
constante.
6tf
2. la
a21
On en déduit
6À.
6.À.
, soit
l-
T
À. o
À. o
TI
L'égalité~ = TI traduit la condition de Bragg traditionnelle. Ce résultat
confirme la remarque de Vinogradov et Zeldovich ( 2 ) déjà mentionné dans
notre étude au paragraphe I.3.2.c
Da~~I&o!râ jPproche, pour tout À. interne dans la bande
6À. = À •
l
2
du spectre électromagnétique, la réflectivité
o
Tf
croît uniformément en fonction du nombre des bicouches qu'on dépose.
Dans ce cas, l'épaisseur totale d'une période de l'empilement vérifie
la condition dite de Bragg.

---

63
La condition Im(S) = 0 n'est pas triviale et l'étude détaillée est
délicate. On sépare les problèmes. Pour simplifier, on prend le cas de
l'incidence normale. Il n'y a plus de différence entre le cas de la pola-
risation S et celui de la polarisation P.
Dans ce paragraphe, on appellera la première condition d'optimisa-
tion
condition de Bragg générale et corrigée. La correction calculée ici
tient compte de l'absorption.
Résolvons l'équation Im(S) = O. Pour cela, on pose 'f = TI + é lf '
é'P étant la correction apportée à la condition de Bragg générale.
Dans le cas du rayonnement X-UV, l'expression Im(S) prend la forme
suivante
In trad uisons
TI + élf
d'où
La correction cherchée est donc
sin'fl • sinLf2
<:1. (3.
(l.A.)
81 . lfl + 82 . tf2
~
1 - ~ + j8
k
l , 2.
k ,

---

64
Soulignons que pour remplir la première condition d'optimisation, il
ne suffit pas d'annuler la partie imaginaire de la quantité S, il faut
.
.
2
auss~ avo~r S
-
1 ) O.
Un calcul rapide donne
S2 _ l =: (2
82)
. 2
a
-
. s i n
<..pl
soit
( LB)
On écrit cette seconde partie de la première condition, sous la forme
suivante
(l.B )
Pour le rayonnement x-uv la première condition d'optimisation d'une
multicouche périodique métallique se résume par la condition de Bragg
à laquelle on adjoint la correction (I.A) et l'inégalité (I.B). Ainsi,
la
réflectivité augmente à chaque dépôt d'une bicouche.
Rema r quora toutefois que si seulement la correction l.A est appliquée
alors la réflectivité oscillera en fonction du nombre de bicouches
Mais, en pratique l'absorption des matériaux masque cette oscillation.
Ceci évite donc d'avoir à tenir compte de I.B dans la pratique.

---

65
La correction (I.A) de la condition de Bragg appelle plusieurs
commentaires.
• Le cas de deux matériaux parfaitement transparents a été étudié
plus haut. Rappelons que l'épaisseur optique totale de la bicouche n'a
pas une valeur unique fixe (À/2) mais peut balayer un certain intervalle
continu À/2 (l+%ï) , avec OlfE[- a sin 'fI ' + a sin y\\].
cela est dû au fait que l'égalité Im(S) = a n'apporte aucune nouvelle
restriction ou information sur la bicouche.
• Le cas réaliste: l'absorption n'est pas nulle.
La condition Im(S) = a est, dans ce cas, très pertinente. Elle
~mpose à la bicouche une configuration géométrique particulière qui se
traduit par une épaisseur op t i que totale unique. Cette valeur unique de
la période de la multicouche est donnée par la condition de Bragg générale
corrigée par (l.A).
• 8
Les deux matériaux ont même absorption. La correction
1 = 82
est nulle.
Les deux matériaux ont même dispersion. La correction
• al = a 2
est nulle.
• La généralisation à une incidence quelconque de la correction (l.A)
est immédiate étant donné que les paramètres ~ sont des quantités réduites.
Prenons toutefois garde dans "les zones de réflexion totale".
• La pseudo-période de la réflectivité en fonction du nombre de couche
2n
déposée est
arccos S

---

66
• Détermination de
lf qua optimise 0 t.p.
l
On écrit l'erreur olp sous la forme
a..B
. 2
s i.n
'fI
Pour le même couple de matériaux, l'épaisseur du corps 1 qui demande la
correction maximale de la condition de Bragg annule la dérivée de 0 <f.
Soit
(0 If)
o
et par suite, elle satisfait l'équation transcendante suivante
L'écart maximal à la condition de Bragg (~ = TT) est donc
(0 \\f)
= - œ, sin2 \\f
. max
m
Il.3.5 Conclusion
Pour le rayonnement X-UV, la première condition d'optimisation
Im(S) = 0 est non triviale. En imposant l'épaisseur de la bicouche la
première condition retranche un degré de liberté dans les choix des
épaisseurs
individuelles de la structure matérielle périodique. La
première condition d'optimisation exprime en fait la condition de Bragg
accompagnée de la correction I.A définie précédemment. Cette correction
est due à la présence de l'absorption et elle est proportionnelle au
gradient de la dispersion au sein d'une période.
Il reste maintenant à préciser la deuxième condition d'optimisation
qui fixe l'épaisseur relative des matériaux.

---

67
11.4. LA SECONDE CONDITION D'OPTHIISATION.
-----------------------------------
II.4.1. But de cette étude.
On a démontré précédemment que la première condition d'optimisation,
se résume, pour le rayonnement X-UV, dans l'équation suivante Im(S) = 0,
2.S étant la trace de la matrice caractéristique de la bicouche constituant
l'empilement périodique. On a déduit de cette équation la condition de Bragg
générale et corrigée qui tient compte aussi bien des dispersions que des
absorptions. Elle s' écri t simplement : cp = n + <s cp , 'f étant l'épaisseur
optique totale et réduite de la période de la multicouche et <sep étant la
perturbation due à la présence de l'absorption des matériaux de l'empilement.
Le fait que dans le cas du rayonnement X-UV, on puisse pratiquement écrire
~= 7f, rend la condition de Bragg vraie pour les multicouches ceci justifie
l'analogie entre les cristaux et ces structures périodiques obtenues
artificiellement et pour lesquelles les matériaux déposées peuvent être
amorphes.
Il reste, maintenant, à préciser la seconde condition d'optimisation.
En effet, la relation de Bragg fixe l'épaisseur totale de la période
fI +~2 = 7f. La seconde condition d'optimisation fixera l'épaisseur
relative ~I ou f · Attirons l'attention sur le fait que la première condition
2
d'optimisation est indépendante du nombre N de périodes. Ceci est une
conséquence de notre exigence d'avoir une réflectivité croissante, et
jamais oscillante, en fonction du nombre des bicouches déposées.
En premier lieu, nous allons expliciter la seconde condition
d'optimisation dans le cas d'une multicouche infinie. On obtiendra ainsi
11équation transcendante de Vinogradov-Zeldovich. Puis, on réalisera le
calcul détaillé dans le cas d'une bicouche unique sur un support. Le
résultat sera 'fI + 'f 2 =}-
soit 50 % pour chaque substance.

---

btl
Les deux résultats rappellés précédemment légitiment la générali-
sation de la seconde condition d'optimisation à un nombre quelconque de
périodes. En fait, l'équation de Vinogradov-Zeldovich n'est qu'un cas
bien particulier, contenu dans la limite de notre généralisation à N
très important. Notre travail tient compte de tous les autres cas limites
dans le domaine du rayonnement x-uv.
Nous allons analyser le programme que nous avons réalisé pour
résoudre automatiquement cette équation et obtenir l'épaisseur relative
optimale ainsi que la réflectivité maximale d'une multicouche périodique
finie,
Il.4.2 La multicouche infinie absorbante ou non
On peut aisement montr~que l'amplitude Pl réfléchie oar une structure
périodique infinie obeit à l'équation suivante:
les termes mi,(i,j = 1,2) étant les coefficients de la matrice caracté-
J
ristique de la bicouche.
La résolution de ce trinôme donne
s i n cp
avec
A
La réflectivité est R
= Pl'P~ ~ l, Pl étant la "réflectivité propre"
oo
liée à la valeur propre À tel que IÀ11 > 1.
l
La première condition d'optimisation impose
donc
cp = ~ + j~,
soit
s i.nè
- sin ru
::t
-
j~

---

69
Toutes les approximations sont justifiées par le faible écart à
l'unité de la valeur de l'indice. Autrement dit, ces approximations sont
valables uniquement pour le rayonnement x-uv et y.
Rappe I Lons que l'originalité de [I~lt~e travail est d'examiner le
cas des indices complexes proches de l'un~t~ en tenant compte de l'absorption.
Ceci se différencie des calculs négligeant l'absorption, comme cela est
justifié dans le cas des diélectriques pour le visible.
En X-UV les approximations sUl.·vantes
.
sont JUS tifiées
sh ç; = sh Log Y
Log Y '" Ct + j B +
s in<p 1 '" sin <'f'1 + j·l-!l· cos ~f\\ + ...
La quantité
A
précédente devient
Il
en tenant compte de la condition de Bragg, on obtient l'expression
suivante de Il :
Pour optimiser Roo , il suffit d'annuler sa dérivée par rapport à lf
'
l
soit
d
R
o
d(f\\
00
Re
•
~
marquons que exp C1..<P ) . e xp ( - i . <p )
2
2
à l'unité, d'où:
d
A
o
dlfl
soit
o

---

70
La dérivation donne
Finalement, l'épaisseur optique réduite ~l qu~ optimise la réflectivité
d'une multicouche périodique et infinie est solution de l'équation
suivante :
tg <fl
lf'l + TI •
Remarque : on peut utiliser les permittivités diélectriques à la place
des indices optiques.
_2
. ,
.2
n
E:
E: + J.E:
J
-
l
.
On a posé
n
l
- <l + j.a
Dans le cas du rayonnement X-UV et y. on a les ép.:alités suivélntes
E:
1-2.0.
,
et
E:
= 2.a
On retrouve ainsi l' éauation de Vinoeradov-Zeldo'ric),
,
E: 2
tg 'fI
<fI + 1T •
Le pourcentage du matériau l dans une période est donné par y
y
lf l
100
.
100 --~~ TI
~ IL..-..--
Y
TI
_

---

7 1
Le paramè tre "6" utilisé dans l'article de Vinogradov-Zeldovich
~
est
l '
Ifl
ega
a - -
'TT
~l est l'épaisseur optique réduite de la substance l qui est
indifféremment celle de la "lourde" ou celle de la "légère". En permutant
les indices l et 2 dans l'équation transcendante, on obtient le supplé-
mentaire de
Cf ' soit lf .
l
2
App l i c at i on
:
La résolution de l'équation de Vinogradov-Zeldovich donne
dans les cas suivants :
• Le couple C/W.Re
à
À
44.7 Â
16.33 % de
W.Re
et
83.67 % de
carbone.
R
= 0.425
co
o
• Le couple ClAu (2)
à À = 295.238 A
correspondant à
l'énergie 42 eV.
33.99 % de
Au
66.00 % de
carbone.
R
0.099
co
II. 4. 3. ·La bicouchcabsorbp..nte ou non cl 1 épaisseur optique totaJ.e
égale à ).)2
Bicouche
Milieu 1
On a démontré, qu'à une bicouche quelconque est associée une matrice
G, dont les éléments ont été explicités.
l
G
4

---

]2
Le champ d'entrée est[ ~ J à la sortie, il devient [~J '
l
tel que
7;
La réflectivité en amplitude est pavee
r
p
soit
p
t
explicitement, on a
p
Les valeurs de l'indice optique complexe de la matière en interaction
avec le rayonnement X-UV et y, permettent l'approximation suivante:
chi; ~ l
Ce qui permet d'écrire
La réflectivité, en intensité, est
R
p •
"*
p
En notant les égalités suivantes
2.j. ~l
2. CI.
,fi
,fi*
'1'1 + 'fil
2. <f
2. j . B
l

---

73
Pour une bicouche, on obtient
R
Avec l'approximation suivante exp(-2.~2) ~ l, l'annulation de la_dérivée
de R fournie la condition cherchée :
a
La solution de cette équation est
-1
Arc tgS
-2
S est de l'ordre la
au plus, donc
lfl est de l'ordre de 89°,42 soit de l'ordre de 49,68 %
pour l'élément le plus absorbant.
Un calcul de perturbation est nécessaire pour déterminer le déca-
lage de
lf1 par r appor t , 1T d
a 2"
ans les cas où l'une des absorptions n'est
plus très petite devant l'unité.
De toute manière,
tf
est de l'ordre de
l =
%+ 6 'f\\
et
s lfl
grandeur de l'indice d'absorption de l'élément "lourd".
Pour une bicouche d'épaisseur optique i
déposée sur un support
constitué de l'élément 2 le résultat final est
'f
1T
=
+
l
2
Le pourcentage de l'élément l dans la bicouche est donc
50 + (S
- S ). 100
2
1
1T

---

74
En réalité, il y a une dissymétrie entre l'élément 1 et l'élément 2. Pour
en tenir compte, l'approximation de exp(-2'~2) doit être poussée jusqu'au
premier ordre, soit:
et l'erreur devient
o
Dans le cas du couple
C/W.Re
à
À = 44.7 A, au lieu de
50.3 %
de carbone, on obtient 50,6 % dans la confirguation étudiée, le carbone
étant le matériau 1.
Les matériaux purement transparents ont une réflectivité R qui s'obtient
en annulant les deux indices d'absorption
~l = ~2
~ = 0
R = i. (ch(2.a) - 1).(1 - cos(2·~1»·
soit
2
. 2
R
a . s~n ~l
a étant la différence entre les indices réels des deux milieux.
TI
La réflectivité atteint son max~murn quand ~l = 2 . Notons que la
réflectivité est d'autant plus importante que les indices des deux milieux
sont différents. Pour une bicouche unique le maximum de réflectivité est
obtenu quand il y a 50 % de chaque substance, quels que soient les
éléments constitutifs de la bicouche. Toutefois dans le cas du rayonnement
x-uv et y, une différence de l'ordre du millième s'introduit car les
matériaux ne sont pas transparents.

---

75
II.4.4.Leé multicouches pûrcment transparentes
Avant d'entamer la recherche de la seconde condition d'optimisation
dans le cas général, poursuivons un peu l'étude des empilements périodiques
purement transparents.
On part des faits suivants
8 = a
soit
\\lI
u
a
donc
{k = 1,2} .
<Pk = Cfk '
n 2
Dans le cas de l'incidence normale, on a
y
, les n
étant les
k
nI
indices optiques des deux substances.
Nécessairement, on a
car
a .
et À la valeur de la matrice s'écrit (cf. annexe 5 )
avec
s
cos'Y - sin Lfl' sin <f 2 • ( c hE; - 1)
sin'f
et
p
exp(Llf ) • [A:;: ;j,,2 - 1 ]
avec
A
2
En imposant la condition de Bragg,
Lf = TI
on a
l
cp' - cp'
2
l
2
. 2
et
s
( cos fI + Sln ~l' ch~)

---

76
Comme nous l'avons déjà signalé cette seule condition suffit
à faire disparaitre les oscillations de la réflectivité en fonction
du nombre de périodes. Ici cette disparition est complète car il
s'agit de matériaux idéalement transparents (cf. 111.3).
L'expression de R est donc:
ch(2.N.Log\\ÀI) - l
ch(2.N.LogIÀI) + l
soit finalement
Calculons IÀI
Dans le cas du rayonnement x-uv et y,
~
est égale à la différence des
indices des deux milieux
n2
~ = Log -
soit
~ <::: (CL - CL ) +
I
2
nI
ç;2
développement de ch~ donne
ch~ <::: l +
+ ... ,
Le
2
et par suite
2
(CL
C(
)
I
2
. 2 ) +
S ~ - Cl +
s
2
i n <fI
. 2
s i n If
+ ••• + •••
l
Finalement, on a la réflectivité cherchée
N étant le nombre de périodes.

---

77
Pour N = l, c'est-à-dire une bicouche, on retrouve le résultat du paragraphe
ass~ m·~ lant la fonction thx et l'argument x, pour x petit.
précédent, en
....
2
. 2 co
et
R '" CL • s i.n
'1
L'expression de R obtenue obéit bien à la condition de Bragg.
à fixer l'épaisseur
Pour obtenir le maximum de réflectivité il reste
seconde condition d'optimisation. Il suffit
optique réduite <fl par la
donc
d'annuler la dérivée de R par rapport à ~l :
= 0
, ~
elle donne le minimum de R.
lf
a est une solution a ecarter,
l
a
soit
La condition cherchée est
On a ainsi l'expression du max~mum de la réflectivité
La multicouche optimisée de deux matériaux transparents est un
empilement quart d'onde, quels que soient les indices réels, même très
différents de l'unité.
Pour s'en rendre compte, il suffit d'annuler la dérivée par rapport
à 4>1 de l'expression générale de R.
d
On obtient
a
et par suite
d <f
S = a
l
donc finalement
0,
on garde la solution
Remarquons que la réflectivité atteint l'unité quelle que soit
l'épaisseur relative des couches adjacentes. La réflectivité croît le
plus rapidement possible dans le cas de l'empilement quart d'onde.

---

78
II.4.5. Cas général de la multicouche finie tenant compte de l'absorption
Rappelons l'expression de la réflectivité dans le cas d'une multicouche
périodique et finie, satisfaisant la première condition d'optimisation (cf.11.2).
ch(2.N.Q) - 1
R ~
(E.l)
Les approximations, justifiées pour
d§crire
l'interaction des
rayonnements y et x-uv avec la matière, sont :
•
Ip ll.lp 21 ~ 1
Ip21
• Log
~ - 2.Log Ipll
IPll
Pour simplifier l'écriture des équations introduisons les quantités
suivantes :
IÀ\\ > 1
Nous allons maintenant expliciter les quantités
Q, ZO et (~; - ~~) .
Le détail des calculs suivants ne sont pas indispensables pour
)
de la suite du travail. Le paragraphe suivant utilise
la compréhension
(
seulement les expressions finales.

---

79
al Calcul de Q
-----------
posons
x == - Re(S)
, ce qui donne
2
(E.2)
Q
Log \\x
+ 1/ - 1) \\
Explicitons la partie réelle de S. Le calcul donne
+ (sin2~1.ch~1.ch~2 + cos2~1·Sh~1.Sh~2) .
(E.3)
cha.cosB + i.sin(2'~1).Sh(~2 - ~l).Sha.sinB.
B
== 0, c'est-à-dire les 2 matériaux ont une absorption nulle,
2
on a :
et par suite
Q
(E.4)
On a vu
:
s i nè
avec
A ==
s i nè l' Sht,:
(B+ja)
Sh~
A
(E.5)
soit
- - 2+B2)
sin <f
(a
l

---

80
On pose
A
chZ
avec
Z = Zo + jZl donc
exp ( :+: 2. Z )
o
avec
(E.6)
En éliminant Zl' on obtient
2
2
6
2
(
CL
+
- - )
• P (Cf )
l
(E.7)
2Z
2Z
l
Sh
ch
0
0
On pose ShZ
A , on a ainsi
0
0
Z
Log (A
+ h 2 + 1)
(E.8)
0
0
0
Calculons Ao
L'équation (E.7) donne
Soient les solutions suivantes
2
(E.9)
A
= 1. • r-(CL2 + a 2) . p 2 _ 1
1
2
2)
2)2
4
2
::;l
~
~
+
(1 - (CL
+ 6 . P
+.CL
.P~
0
2
b .a)
on prend Z
~ 0 ,
d'où
et
o
d R
d A
00
o
O~
o
[ si~ 'fJ = 0
et finalement
tg Cf l = <.pl + 'TT •

---

8 1
On reconnait l'équation de Vinogradov-Zeldovich déjà rencontrée. C'est aussi la
deuxième condition d'optimisation d'une multicouche infinie de deux maté-
riaux quelconques.
Les deux milieux ont donc la même dispersion.
a
et
Cf l = lfl opt
-
l
2
2
donnent
A0 opt
tg <fl opt
l + sin <f
2
l
1A + 1)-2 =
opt)-2
(A
+
0
0
cos 'fl opt
et finalement, on a l'expression cherchée
cos <fl
t
2
R
(
o p )
(E.IO)
<Xl
opt
l + sin Cfl opt
La formule (E.IG) est citée dans l'article de Vinogradov-Zeldovich (1977).
Mais ces derniers l'ont obtenue à l'aide d'une démarche différente.
' l ' o n t donc la meme absorption. L'équation
Dans ce cas les deux rn~ ~eux
de Vinogradov-Zeldovich donne :
TI
<fI opt
"2
13 2
p ( crI opt) = - TI
2
ct
2
2
p2
A
ct
•
0

---

82
Et finalement on obtient
n.S
r n.a
2
2
2
R
( - ------ + 1
(----)
+ 1 )
(E.11)
00
opt
lai
Ct
on peut aussi écrire
n. a2
R
exp (- ar g Sh ---1a-I-)
(E.ll bis)
00
opt
• Si les deux milieux ont une absorption nulle, en particulier on a
13
= 0 et par suite
2
R
= 1
00
opt
résultats déjà rencontré
dans la discussion sur les multicouches purement transparentes .
• Si lai = 0
R
= 0
00
opt
Etant donné la configuration prise au départ
et rappelée
ci-contre, ce résultat est attendu.
1
Comme précédemment dans ce travail, on calcule la
//1//1//
1
réflectivité dans le milieu 2. si le milieu est
//////1/
2
homogène et illimité la structure périodique
1
disparaît et évidemment la réflectivité s'annule.
////1//1
2
Ceci teste la validité de (E. 11 bis) pour ce
cas limite.
Si
n.a « lai,
2
n.a 2
alors
R
~
exp(- ----) •
00
opt
lai
n.a 2
~
1 - - - - -
lai

---

83
De l'équation déjà rencontrée,
et de la condition <f = TI
on tire
cp' + cp'
1
2
,
on rappelle que: Pl =
Ipll
. exp(iCP1)
et
L'idée de départ est d'utiliser l'identité suivante
exp(i.CP~) = exp(i,(CP~ + CP;)/2).exp(- i,(CP; - CP~)/2)
- exp(- i.Gpl)' exp(- i.(CP; - CP~)/2)
d'où
(A)
2. (a + i b )
(B)
De (A) et (B), on tire
2 (a + ib)
- exp(- Zo)' exp(- i.rl).~exp(- i.(ep~ - CP~)/2) +
exp ( 2 . Z0)' exp (L, (CP; - cp ~ ) / 2~
soit
-
(a + ib)

---

84
Le résultat cherché est donc
cp' - cp'
Sh\\.l
cos ( 2
1)
. (- a + 8 . cotg <f )
2
2
l
+ 8 ).chZo
Or nous voulons
cos (CP; - ep~).
A partir de la relation trigonométrique
2
X
cos X = 2. cos
(2)- l
cpl - cp'
Posons
T
( 2
1)
cos
2
,
d'où
( ,/,
,/, ')
cos "'2 - "'1
On voit ainsi que si les deux substances ont une absorption nulle,
8 = 8 = 0, alors 'la quantité T définie précédemment s'annule.
1
2
En conclusion l'expression de la réflectivité d'une multicouche
périodique satisfaisant la condition de Bragg1= TI, dans le cas du
rayonnement y et X-UV est:
ch(2.N.Q) - 1
R =: - - - - - - - -
---;i
ch(2.N.Q + 2.Z
+ l - 2.T
o)
Les quantités Q, Zo et T ont été définies et calculées précédemment.

---

85
Il.4.6.La seconde condition d'optimisation dans le cas d'une multicouche
comportant un nombre fini de périodes
En pratique une multicouche comporte toujours un nombre fini de
périodes, nous verrons aussi qu'il est nécessaire de limiter ce nombre pour
des problèmes pratiques de dépôt et de croissance des défauts. Nous avons
vu que la seconde condition d'optimisation est remplie par l'équation
ci-dessous :
R
o
(F.l)
Une simple dérivation de R donne
(*)
2.N.Q'.
N.Q'.sh(2.N.Q).{ch(2.N.Q + 2.Zo) + l} - 2.T
sh(2.N.Q)
+ N.Q'. sh(2.N.Q) - (N.Q'+ Z').(ch(2.N.Q) - 1)
o
sh(2.N.Q + 2.Zo) + 2.T.T' (ch(2.N.Q) - 1)
0
ch(2.X)- 1
2X
En utilisant
Sh
2
ch(2.X)+ 1
2
= ch X
2
Sh(2.X)
2 ShX. chX
On obtient
,
N.Q:
[cotheN.Q).coth(N.Q + Zo) - lJ
- Z0
r' -
(F.2)
+ 2.T
N.Q:T.CotheN.Q)j
0
Sh(2.N.Q + 2.Zo
Avec pour T, Q, 2
et de leurs dérivées les expressions suivantes
0
shJ.l
•
T
( -
Cl
+ B· cotg4'l) .
1
•
T
. 2
s i n ~l
,
(*) La dérivation d'une fonction A est ici indiquée sous la forme A .

---

86
NB
shu
va r i e très peu au regard de cotg Cfl'
•
Q
Log (x + / x Z - 1)
•
x
(,cosZ~l.ch\\ll.ch\\lZ + sinZ~l.sh\\ll.sh\\lz)
+ (sinZ~l·ch\\ll·ch\\lz + cosZ~l.sh\\ll.sh\\lZ)' cha.cosS
+ i·sinZ~l·Sh(\\lz - Ill)' Sha.sinS .
Log(A
•
Zo
o + 1 A~ + 1)
1
•
et
P =
sin lf 1
L'équation (F.Z) traduit la seconde condition d'optimisation de la
réflectivité d'une multicouche absorbante comportant
N périodes.
Discussion des cas extrêmes :
a)
N
-+-
00
a-l
N. Q'
~oth(N. Q). coth(N.Q + Zo) - ~ N-+-oo
---~>- N. Q' exp (-Z. Zo).
exp(-Z.N.Q).
N -+- 00
et
N.coth(N.Q) ---~> N.
1
2 . exp(Z.N.Q.) exp(Z.Zo)·
Quand le nombre de bicouches est suffisamment grand, l'équation (F.Z)
devient :
N.Q' .exp(-Z.N.Q.)exp(-Z.Zo) - Z~ + 4T. [T'- N.Q'.~. exp-(Z.N.Q + Z Z )
o
o
,
Z'
Z
4.T.T
.
.
exp-(Z.Zo)·Q .
1 - 4.T
+
,
• N.exp-Z.N.Q
(F.3)
o
~
'J
.
N.Q

---

87
a-2
A la limite N = lX) , l'équation (F.3) donne
(F. 4)
(F.4) est l'équation de Vinogradov-Zeldovich déjà rencontrée.
,
1
1
En effet, Z
= 0
implique
A
= 0
et par suite
p = O.
o
o
On a
montré que
p' = 0
n'est autre chose que l'êquation de Vino-
gradov-Zeldovich. Remarquons que ce résultat a
aussi été obtenu autrement par
ces derniers et par P. Croce.
L'équation (F.2) devient
toth Zo
2
N.Q'
+ 2.T .
o
(F.S)
N.Q
)z~o
T'
1
NB
T
• Becs <.f 1
œs i,n 4'1
1
c)
8 = l3
= 0
1
2
Les deux milieux ont une absorption nu}le et donc (F.2) montre qu'alors
P = 0 ~
A
O~ Z
0,
T = 0 ~
o
o
l
,
TI
Q
= 0 ~ x
o et donc
<rI = 2" .
II.4.7. Conclusion
L'équation (F.2) est transcendante et assez compliquée.
Heureusement, elle est relativement aisée à résoudre numériquement à l'aide
d'un micro-ordinateur.
La solution numérique fixe la valeur de l'épaisseur de la substance 1.
L'épaisseur totale est
~ = ~l + ~2 = TI, soit ~, optiquement parlant. Il

---

88
Les deux figupes suivantes montrent le résultat du calcul
d'optimisation, traité à l'aide du formalisme proposé, dans
le cas de multicouches optimisées pour À-= 44.7~.
La premiére figupe indique le poupcentage respectif
de Re.W/C optimisant la réflectivité d'une multicouche dont
on a choisie à priori le nombre de couches à déposer. On
remarquera que ce pourcentage tend vers environ 0.5 pour un
petit nombre de périodes 'ét qu'il tend vers une valeur fixée
par l'équation de Vinogradov- Zeldovitch (2) lorsque que
le nombre de périodes devient trés grand
La seconde figure indique, en fonction du nombre de périodes,
la réflectivité maximum pouvant être atteinte avec ces couches
optimisées. La saturation apparait lorsque la profondeur de péné-
tration du rayonnement atteint l'épaisseup totale de la multicouche
déposée.

---

89
100 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ï
C
- -------=--.::...-::.:-:.:..::'-~'--'-"::";"';-"~~~~
o
A
44. 7 ~
<,
~
Q)
50
,
a::
,,
~
""... .......................
Re.W
-- ... - -~~-~----~---~-~-----~
o o
500
1000
Nombre de Bicouches
10° , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .
10- 1
Q)
Re.W/C
:J
0
11)
.0
-2
ce 10
-Q)
->
A - 44.7 A
-
-CJ -3
-Q)
10
--Q)œ
o
50
100
150
200
Nombre de Bicouches

---

90
suffit donc de mettre 'fi opt trouvé, dans l'expression de R pour aV01r le
maximum de celui-ci avec un N donné. N'oublions pas que l'expression de R
est seulement approximative puisque nous avons pr1s les quantités 8
et
2
8
8
2
2
(~2 '-) « 1
Ceci nous a perm1s d'écrire,
exp (-2 <f . - ) ::: l. Cette
n
2
n
2
2
approximation a été utilisée pour obtenir la valeur de R au paragraphe III.E.
Soulignons qu'étant donné les valeurs des indices rencontrées en X-UV ceci
-2
correspond au maximum à une erreur de l'ordre de (I-exp(-IO
)). L'expression
de R sera d'autant plus valable que la substance 2 sera plus transparente.
C'est le cas par exemple pour les domaines X et y.
La même démarche pourrait être appliquée pour le domaine UV, mais
les équations seront plus compliquées surtout si l'on tient compte de la
correction de la condition de Bragg. Dans ce domaine l'absorption est plus
importante et nous n'aborderons pas 1C1 ce sujet, bien qu'il devienne de
plus en plus important pour les lasers uv.
Remarquons que nous nous sommes ici limité au cas de l'incidence
proche de la normale pour éviter de traiter le cas de la réflexion totale.
Mais il faut souligner que nos résultats sont utilisables pour les angles
inférieurs à l'angle critique.

---

9 J
III. INFLUENCE DES RUGOSITES SUR LA REFLEXION DES ONDES
ELECTROMAGNET 1QUES
III.t.
RAPPELS DES TRAVAUX ANTERIEURS
III; J.].. Introduction.
L'analyse des courbes de réflexion spéculaire obtenues au voisinage de
l'angle limite de réflexion "totale", fournit de nombreuses informations structu-
relles et géométriqu~.Le point de départ étant des modèles théoriques de
multicouches homogènes et idéalement planes. Néanmoins, il y a un désaccord
entre les intensités théoriques et expérimentales, et ce désaccord va en
s'accentuant avec l'angle de rasance. Des observations analogues ont été réa-
lisées lors d'études portant sur la réflexion dans d' autre domaines du spectre
électromagnétique ( 9 ). Pour expliquer ces désaccords, il est nécessaire de
tenir compte des irrégularités àes diverses interfaces de la multicouche réelle.
A priori, deux groupes d'irrégularités peuvent être considérer:
- Les inhomogénéités de composition chimique,
- Les rugosités qui sont d'un caractère purement ~éométrique~:
On pourrait dans une certaine mesure distinguer deux grandes méthodes
pour aborder le problème des rugosités.
L'une d'elles est fondée sur le principe de Huyghens-Fresnel:
c'est la méthode dite de Kirchhoff. Elle consiste à étudier le rayonnement
diffracté dans une direction par la surface réfléchissante soumise au champ
e.m, superposition évidemment du champ incident et des champs réfléchis.
La deuxième méthode, celle de Rayleigh (1907) s'inspire des réseaux.
Elle admet que le champ réfléchi est la superposition d'ondes planes dif-
fractées dont les amplitudes sont, à priori, à déterminer. Pour calculer
ces amplitudes, on exprime les conditions aux limites sur la surface.

---

92
Lord Rayleigh a utilisé cette méthode pour les ondes planes dans le
cas de l'incidence normale, en 1895. Sa méthode a été généralisée par un
certain nombre d'auteurs à l'incidence oblique à partir de 1950, puis aux
surfaces aléatoires (Rice 1951).
S'inspirant de la méthode de Rayleigh, l'équipe de l'Institut d'Optique,
B. Pardo, L. Névot et P. Croce (5-10) ont montré comment on peut retrouver rapi-
dement l'équivalent du facteur Debye-Waller, de la diffraction X, pour
décrire
l'atténuation observée lors de réflexion spéculaire:
-2
2
-2
2
exp (- w
e)
avec
w
< z
> •
Une autre manière d'aborder le problème des rugosités,
est de
considérer ces dernières comme un mélange de matériaux constituant une
couche de passage entre deux milieux homogènes d'indice différents.
Ainsi les rugosités ci-dessus peuvent être considérées comme équivalente
a la variation d'indice ci-dessous.
-- --."' -- -- "._- •• -.'-.-
"
~
&
• •
.. ..
".
/ /
d
.~ •• .' ....
".
,..!'
' / " / /
. ' t / /1.'
-
. ~ '
n.
rl ll
nt
L'approche la plus simple est de considérer la couche de passage
linéaire. Pour une petite épaisseur. Cette approche est la meilleure.

---

93
si les rugosités sont de type gaussien, alors la couche de passage
obéit à une fonction erreur.
n
Pour représenter la dissymétrie des variations de composition, la
fonction exponentielle s'impose naturellement. Elle traduit l'effet de la
diffusion entre deux matériaux.
T
T T
T T T " TT
T
T T
TTT9~'"
","'..,."'",T T
T
T T ' "
T
T
T
T V ' "
T'\\
T
T
T
o
T. '. V.
T .
'T
•
"
'"
• • • •
V 0, Vove e •
• . •
•
~ .Go • • •• ·0'
••••••••••••
En pratique l'un des problèmes soulevé par ces modèles est celui
de l'analyse numérique. Pour une couche homogène, on utilise le calcul
matriciel. Mais la programmation d'intégration numérique s'impose pour les
cas inhomogènes.
Il est apparu que le temps d'intégration numérique de l'équation
différentielle était bien trop grand. Cela a amené les chercheurs de
l'Institut d'Optique à trouver des cas de couches de passage conduisant à
des expressions analytiques rapidement calculables. C'est par exemple le
cas des couches de passage du type fonction erreur et exponentielle. Un
exposé clair et relativement complet de ce sujet est donné par L. Névot
dans sa thèse d'Etat, 1978 (II ).

---

94
111.1.2. Les surfaces générées par un processus
gaussien pour un
conducteur parfait
Rappelons brièvement les travaux antérieurs concernant la réflectivité des
ondes électromagnétiques par une surface rugueuse. Dans le cas des ondes radio
et radar, le problème s'est posé dans les années 1950. P. Beckmann et
A. Spizzichino ( 9 ) ont fait une étude approfondie de ce sujet.
Parmi les différents modèles de rugosités étudiés on peut citer
- Des bosses sur un plan conducteur
(Twersky)
- Des demi-plans espacés aléatoirement
(Ament)
- La méthode de Rayl ei gh "randomisée"
(Rice)
- La surface à facettes générée par une chaîne de Markov (BEC~~N),. Le
processus est décrit par la "matrice stochastique".
A partir d'une approche de 1sakovich (1952), Beckmann et Spizzichino
ont obtenu (9 idem) la solution générale pour un conducteur parfait et rugueux.
z
\\
,1
:':/7/
,~ ~ _.~~ r-riÎ'/>
i ' .
. . .
X
/
/
r
/ /
/
1// ) / r , 1

---

95
+
+
+
soient V
KI - K
et V
o étant l'erreur
2
z
quadratique moyenne de z.
La valeur moyenne de l'amplitude réfléchie est
< r >
X (V ).
r
z
0
avec r
sinc (V). Sinc (V). X. y
o
x
y
sin (a)
A = X.Y est l'aire de la surface réfléchissante, sinc (a)
et
a
X étant la fonction caractéristique de la densité de probabilité des rugosités.
Pour plus de détails sur les fonctions aléatoires, le livre de Blanc-Lapierre
et Fortet (13 ) est une très bonne référence.
Pour X »
À, y »
À, et pour V
= V = 0, c'est-à-dire à la direction
x
y
spéculaire, 8
= 8
r
sera égal à l'unité, mais il tend rapidement vers zéro
2
3;
o
quand 8
s'éloigne de la direction spéculaire.
2
Dans le cas d'un processus Gaussien, la surface est décrite parla distribution
statistique et sa fonction de corrélation.
La
côte
moyenne de la surface est nulle. La densité de probabilité est
Z2
p (z)
exp (- - -
o ./2 .1T
2
2.0
Sa fonction caractéristique est, dans ce cas
1
2
2
X (V ) = exp ( - 2. 0 • V
)
z
z
On en dédui t
:
<r>
r
.
o
r
s'annule partout sauf pour 8
proche de 6
c'est-à-dire, pour la
o
2
1,
direction de réflexion spéculaire (V
V
= 0).
x
y

---

96
<r
1
cr
2]
~ >
exp
-Z. (4.~. l' cos
spec
[
el)
x
<r.. r > = exp
<r.r~~
cr
1
pour l' cosa1~ 0,
Ceci correspond au critère de Rayleigh pour les p a r amè t r e s cr, À et el'
111.1.3. Le critère de Rayleigh.
La différence de marche, entre les rayons 1 et 2 est 6m
2.h.siny. La
différence de phase est 6~ = 2À~t 6m = 4.~. i. siny.
Lorsque 6~ = rr, les deux rayons sont en opposition de phase. Dans ce cas,
il n'y a pas d'énergie dans cette direction, elle est donc rayonnée dans d'autres
directions. On conclut que pour 6~ = ~, la surface est rugueuse. Au contraire,
pour 6~ = 0, la surface réfléchit spéculairement comme une surface parfaitement
lisse. Pour avoir un critère permettant de qualifier une surface comme rugueuse
ou non, on choisit arbitrairement 6~ = I . La surface est donc considérée comme
lisse si h <
À
8. siny
L'idée est d'utiliser pour ce critère la quantité 4.~. i. siny comme
valeur pertinente de mesure de rugosité d'une surface. La surface est lisse S1
elle vérifie l'une des deux conditions suivantes : ~ + a (la taille des rugosités
est négligeable devant la longueur d'onde) ou y + a (à la réflexion rasante).

---

97
111.1.4. Conclusion.
!'
Dans la section (5.3) du livre de Beckmann et Spizzichino (9idem)_les
auteures concluent en écrivant qu'en principe la procédure de calcul est parfai-
tement analogue pour une surface générée par un processus aléatoire continu et
stationnaire, non nécessairement Gaussien.
Le cas Gaussien étant très limitatif, il nous a donc semblé intéressant de
simuler les rugosités d'une surface conductrice par un modèle basé sur les
processus stables additifs non Gaussiens de Paul Lévy. C'est l'étude de ce
modèle non Gaussien
que nous avons réalisé ci-après en nous limitant au cas du
rayonnement x-u.V.
Dans le domaine x-u.V. on ne peut, comme avec les ondes radio-radar,
considérer; le milieu infiniment absorbant, c'est-à-dire parfaitement réfléchissant.
Par contre, dans tous les cas, nous verrons comment la fonction caractéristique
de probabilité des rugosités s'introduit dans le terme correctif. Rappelons que
pour les milieux infiniment conducteurs rugueux, l'amplitude de l'onde réfléchie
spéculairement, est simplement le produit de l'amplitude de l'onde réfléchie par
une surface idéalement plane et de la fonction caractéristique de la densité de
probabilité des rugosités.

---

98
111.2. MODELISATION DES INTERFACES RUGEUSES ET CORRECTION DES
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
TER}IES DE LA MATRICE CARACTERISTIQUE.
111.2.1. Introduction
Jusqu'ici, dans les deux premières parties de ce travail, nous
avons considéré que les interfaces des dioptres étaient parfaitement planes.
En réalité, il n'y a pas de frontière nette entre les deux substances
constituant la bicouche. Pour rappeler les effets de cette indétermination
de la surface de séparation du dioptre, nous passons en revue les études
antérieures.
Pour cette partie de notre travail nous nous sommes inspirés d'un
modèle proposé par B. Pardo
) pour calculer la réflectivité de transmis-
sion et le coefficient de réflexion. Puis nous introduirons tout naturel-
lement la distribution de Gauss qui quantifiera les effets des rugosités.
Finalement, nous proposerons une distribution plus générale sans sous
estimer le fait que cela peut soulever quelques problèmes sinon des polé-
miques !
La correction qui tiendra compte des rugosités affectera différemment
chaque élément de la matrice caractéristique.
Dans un premier temps, nous étudierons la propagation des rayons X
dans un système de couches multiples homogènes à interfaces rug~euses. On peut
.
.
c Iass i.que
définir pour chaque strate un ~nd~ce de réfraction n. La loiYde dispersion a la
.
f
2
2
orme su~vante : n
= 1 - a À forme habituellement utilisée pour les Rayons X,
-5 0_ 2
0
a est de l'ordre de la
A
et À est de l'ordre de 1 A dans le vide. Cette
étude est inspirée des travaux de Bruno Pardo de l'Institut d'Optique,
(12).
Dans une deuxième étape nous exposerons les diverses approches dans l'étude
des rugosités. Nous insisterons plus particulièrement sur le point de vue proba-
biliste et discuterons diverses densités de probabilité auxquelles pourraient
obéir les interfaces rugueuses.

---

99
NOlis prendrons en compte uniquement la réflexion spéculaire, une étude
plus approfondie serait nécessaire dans le cas général.
111.2.2. Propagation des rayons X à travers un systéme de couches paralléles.
Considérons un ensemble de dioptres "plans" et parallèles.
LI' L
••• sont les surfaces de ces dioptres. La surface L sépare les
2,
j
milieux d'indices n
et "j-i:
j
Lorsqu'une onde incidente plane arr~ve sur le premier dioptre, il
s'établit dans chaque couche un ensemble de deux ondes planes. L'une est
une onde transmise et l'autre est une onde réfléchie. Toutes ces ondes obéis-
sent à la loi de Descartes et Snell
: La composante tangentielle de leur
vecteur d'onde est invariante.
A partir de l'équation de Helmholtz,
dans la j-ème
couche nous avons
n.
2
( ~ + 4n
k~ )
J
u = 0
et
k.
J
J
À
u
est la valeur algébrique du champ électrique, ou du champ magnétique, suivant
que le champ électrique, ou le champ magnétique,est normal au plan d'incidence.
u Çxj z ) =
L A .exp(ik(s x + W z». +
L B
exp(ik(s x - w z».
n
n
n
n
n
n
n
n
Nous aurons la solution exacte en connaissant A
B
Al' BI' ...
o'
o'
z
Miîieu j+l
X
Milieu j

---

100
Nous partons des hypothéses suivantes:
- Le spectre des rugosités est discret
- La rétrodiffusion est considérée comme "physiquement impossible":
la composante sur x du vecteur d'onde
résultant ne peut pas être
de signe contraire de celui du vecteur incident.
i
- -- ""1-_
Milieu 1
- -+-
Milieu 2
impossible
Nous prenons, après raccordement, la solution loin du dioptre,
d'où = k = k(x,z).
Les termes B
représentent les ondes sortantes. A partir du champ
n
électrique, u, nous tirons les composantes du champ magnétique.
.
~
~
~
La dérivation spat~ale rot E donne les composantes de H,
~
aB
c'est-à-dire
- at .
Nous considérons une interface périodique à très grande distance devant À.
Les défauts sont donc "périodiques". Nous avons ainsi
n
s n
X
avec
6.»À.
À étant la longueur d'onde incidente.

---

101
Pour alléger l'écriture, considérons le schéma suivant
z
Milieu 1
- - - - - - - - - - - - - - - t - - - - - - - - - - - - - - . 1è re inte rface.
Milieu 2
Imposons la continuité des composantes tangentielles de E et H au
n1veau de l'interface
l(zl = fl(x»
séparent le milieu
du milieu 2.
Introduisons r et t dans les équations de continuité au lieu de An
et B , pour garder les mêmes notations que dans le 1er chapitre.
n
La continuité du champ électrique donne l'équation 1
[
t
exp(2iTIn~) exp (2iTIk W
+
[
r
exp(2iTIn~) exp (-2iTIk W
n
l n
l l nz)
n
l n
l l nz)
[
t
exp(2iTIn~)
exp(2iTIk W
+
[
r
exp(2iTIn~) exp(-2iTIk W
.
n
2n
2 2nz)
n
2n
2 2nz)
La continuité du champ magnétique donne l'équation 2
Il s'agit maintenant d'expliciter le système linéaire qU1 lie le
couple (r,t) du milieu 1 en fonction du couple (r,t) du milieu 2, dans le
cas de la réflexion spéculaire.

---

10 Z
Multiplions l'équation l par klw
' ainsi elle devient homogène
l O
(même dimension c'est-à-dire même unité de mesure) à l'équation 2. Puis
additionnons les, d'où
L tIn . (klw
n
l O + kl·w
exp(ZiTIn~)exp(2iTIkIWlnz)
l n)·
+
L r
(k w
n
l n
exp(ZiTIn~)exp(-ZiTIkIWlnz)
l I O- klw l n)
L t
(k w
+
n
exp(ZiTIn~)exp(ZiTIk2W2nz)
Zn
l l O
kZw Zn)
+
L r
n
2n (klw lO- kZw
exp(2iTIn~)exP(-2iTIkZ·WZn·z)
Zn)
La première approximation que nous faisons
es t
k .. w. 0
~
k . • w.
J
J,
J
j s n
J
1,2 .,.
Cette approximation peut être interprétée physiquement de différentes
facons, par exemple en
admettant
que la fréquence spatiale des défauts
est élevèe.
d'où
Zklw
exp(2irrk
' z )
~ tIn exp(ZiTI~)
l O
lwI O
(klw
+ k w
exp(ZiTIk W
~ t
exp(2iTIn~)
l O
2 ZO)
2 20.z)
Zn
+
(klw
- k
exp(-2iTIk
~ r
exp(2iTIn~) •
l O
Zw 20)
2w 20.z)
2n
Introduisons les coefficients r et t, l'indice F rappelant qu'il s'agit du coef-
ficient de Fresnel. Les nombres d'ondes
k
et k
étant proportionnels aux
1
Z
indices des milieux :
klw lO - k2W20
klW
+ k
lO
2W 20
et isolons

---

103
La deuxième approximation consiste à négliger ce qu~ est petit,
c'est-à-dire d'ordre deux dans le second membre:
+
(3 )
Une démonstration analogue donne
+
(4)
La question est alors d'expliciter tIn
et rnl en fonction du second
membre des équations (3) et (4).
Les équations 3 et 4 sont de la forme
~ an' exp(2irrn~) = f(x)
(5)
n
étant une variable discrète et muette,et an le terme à expliciter
en fonction de f(x).

---

104
En multipliant les deux membres par exp(-Zi'TT~x) et en intégrant de 0 à Is
l'équation (5) donne
tJ.
tJ.
J f(x). exp(-Zi n;) dx
( L a .
(Z ' mx))
( ' nx
exp
~rr-X
. exp -Z~rr~) dn
m
m
J
o
o
t (Zirr(m-n)).
exp
~ dx
~ am·
La. ô
• tJ.
a . tJ.
tJ.
m
m
nm
n
o
soit
an = iu JotJ. f(x). exp(-ZiTIn~) dx.
(6)
En utilisant (6), les équations (3) et (4) donnent pour la réflexion spécu-
laire (n = 0) (*)
+ r
•
1 ItJ.
6
zo
ZO
0 exp(-Zirr(k Z
+ k
lO)z) dx.
(7)
l
et
(8)
Les équations (7) et (8) constituent le système linéaire cherché.
Ct·) n
peut être considéré ici comme l'équivalent des ordres d'interférences
d'un réseau où l'on emploi la formule habituelle des réseaux cosGf+~'

---

105
-
ar l'uti-
a- travers une strate homogene P
o
En tenant compte de la propagaU on
-i~ 0 .~)
obtenons la relation matricielle
(e
+~~
nouS
lisation de la matrice
o
e
suivante
F
r
l
l Z
-i~
. 1(-,-)
. 1(+,+)
e
Z
a
r
F
F
ZO
t
t
l Z
l Z
( 9)
F
r l Z
l
. 1(-,+)
-F- . 1(+,-)
a
e+i<P Z
t
F
zo
t
t
l Z
l Z
dans laquelle nous avons posé
d
étant l'épaisseur de la strate numéro Z.
Z
et
pour contracter les formules
l
JI::.
posons: I( ± ; ±)=t;
a exp(±Zi1r(k zwzo ±
(10)
L'équation (9) est une relation de récurrence qui permet de traiter complè-
tement le problème de la propagation des ondes dans un système de couches à
interfaces rugueuses.
En remplaçant les coefficients de Fresnel par leur expression en
fonction des k
et k
nous retrouvons
l Z
ZZ'
k
k Z
2 2
Z
-icj>
r
(1 + k ) ' 1(-, -)
(1 - - ) 1(+,+)
e
a
r
lO
zo
l
1 2
k l z
Z
(l
k z
k Z
Z
Z
+i<j>
t
(1 - k).I(-,+)
l O
(1 + ~).I(+,-)
a
e
t
l 2
zo
l
Les quantités I(~;~) sont les termes correctifs qui rendent compte
des rugosités.
Si l'on fait abstraction de ces termes correctifs, on retrouve des matrices
identiques à celles rencontrées avec les dioptres non rugeux (Voir annexe
6 )

---

106
111.2.3.
Calcul des termes correctifs des élements de la matrice
caractéristique.
En tenant compte des égalités suivantes dues à la symétrie des
expressions sous intégrales dans la relation (10) obtenues précédemment
en III.2.2.
D
1(+,-)
1(-,-)
et en posant
W
1(-,+)
I(+,+)
La relation (11) devient
k z
k z
2
-i<p
Cl + "kZ).D
(1 - _2_) W
r l O
k z .
e
2
0
r 20
1
1
1
=
(12)
"2
k Z
k Z
2
2
(1
ei<P2
t l O
- "k""Z).W
(1 + i.<Z).D
a
t 20
1
1
Ce qui intervient finalement dans la correction de la réflectivité
.~
1
W
C
W
~
.
~~
par 1es rugos~tes est
e rapport
D
e rapport 0 peut etre ~nterprete
de deux façons différentes :
111.2.3.1) Estimation de ~ PAR développement en série:
------------------------------------------
1 J8.
I(g) = X a exp(2ingz) dx
avec
g
Développons
l'exponentielle
2
2....2 g2
exp(2ingz}~ 1 + 2ingz - "
z
+ ••.
1
J:
1
2
2
2
2ingz dx
g
z
d):. +...
I(g) ~ X'
+
dx
X· J:
1
8. t 2n
2
2
~
1 + 2ing. <z> - 2n
g . <l->-
2
2
2rr
g . <z> +...

---

107
si l'on choisit comme d'habitude une côte moyenne nulle, c'est-à-dire
<z> = 0, nous obtenons finalement
( )
l - 2 2
2-2
l
g
=:
1T
g
z
+ ...
2 2-2
2 2-2 2
et si on admet que 21T g Z «(2n g Z )
alor s . 1(g)
2
2-2
=: exp(-
21T
g
z).
tJ.
est le terme habituellement appelé de Debye-\\~aller, il tient compte de
réfraction et de la hauteur quadratique moyenne des rugosités.
La matrice des impédances devient
+ k
- k
[1
2Z J
[1
2Z J
•
tJ.
k
k
1z
1z
k
[1 - k2z J 6.
k
[1 + k:: ]
l z
et
l
(g)
1:. J6.
tJ.
0 exp(2ingz) dx.
g
k w
±
k w
.
2 20
1 10
z = z(x)

---

108
Soit P(z) dz la probabilité d'avoir z à dz près; dz étant l'erreur. Nous
pouvons donc écrire, en considérant que z grand annule P(z)
:
+co
Hg)
exp (2ingz) • P (z ) dz •
J-eco
x (g) • T.F étant la transformée
de Fourier.
Les termes correctifs sont
D et
W avec
D = J::eXP(2inq_z). P(z).dz
(2)
En conclusion, dans le cas de la réflexion spéculaire, les éléments des matrices
caractéristiques des différentes couches sont corrigés par un facteur
multiplicatif x(q±) , ce facteur est la fonction caractéristique de la densité
de probabilité à laquelle obéissent les rugosités des différentes interfaces.
La réflexion non spéculaire exige bien évidemment la connaissance de la
fonction d'autocorrélation des interfaces considérées.
111.2.4.
Approche probabiliste des rugosités.
111.2.4. 1) ~~EE~1~~_~EE1~~2E~~E_È~_1~_1~!_E~E~~1~_i_9~~~~_l_~E
~~~~E~!~~E_~~~~_!~~_~§~~l~EE~~~EE~_l!~!E~~'
Rappelons que Pr(A) désigne la probabilité d'un évènement A. La loi de
probabilité d'une variable aléatoire
réelle X est définie par sa
fonction de répartition
Pr(X<x), ou, si cette fonction est absolument
continue, par sa dérivée, qui est la densité de probabilité P(x). On appelle
valeur probable de X, et on désigne par E(x)
la moyenne pondérée
+co
E(x)
J x dF(x)
~
F(x-o) = Pr(X<x).
Une variable X est dite semi-réduite si E(x)
0, et réduite s~ on a de plus
2)
E(x
= 1.

---

109
~ La loi de GAUSS
En physique le rôle important joué par la loi de Gauss s'explique par le fait
que la somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes, et très
petites, obéit à cette loi.
~ Définition de la loi de GAUSS
Une variable aléatoire
S obéit à la loi de Gauss réduite S1 la probabilité de
l'inégalité
(1)
est, quels que soient a et S, égale à l'intégrale
2
1
exp(- L) dS
l21T
2
c'est-à-dire à l'aire hachurée de la figure ci-dessous, où l'on a tracé la
courbe de Gauss :
2
1
x
y = - -
exp(- - )
n:rr
2
..-,>"
x
o
a
S
La valeur probable de ~ est alors zéro, et sa valeur quadratique est 1.
(propriétés caractéristiques des lois réduites).

---

l la
La loi de Gauss générale est celle à laquelle obéit la variable x = a~,
"a" étant une constante. La loi de Gauss a une propriété importante, facile
à démontrer: elle est STABLE. On entend par là que, si plusieurs variables
indépendantes xl' x
... , x
obéissent à la loi de Gauss, il en est de même
2'
n
de leur somme
Plus remarquable encore,
si les lois aux-
quelles obéissent xl' x
... ,x
sont quelconqu~, la loi résultante à laquelle
2,
n
obéit X ressemble plus à la loi de Gauss que les lois
composantes. Pour n
infini elle tend vers celle de Gauss, du moins si chacun des x. est très petit.
i.
En d'autres termes
La somme de n erreurs indépendantes,et très petites, dont les valeurs
probables sont nulles, obéit à une loi
tendant
pour n infini
vers celle
de Gauss.
~ La fonction caractéristique
La fonction caractéristique X(q) est la valeur probable de
exp(iqx), autrement dit c'est la transformée de Fourier de la densité de
probabilité. L'application de cette notion simplifie singulièrement l'étude
de la composition des lois de probabilités. si en effet les lois de proba-
bilité de n erreurs indépendantes ont pour fonctions caractéristiques
respectives
Xl (q), X
•. ~(q),
la loi de probabilité à laquelle
2(q),·
obéit leur somme a pour caractéristique
X(q) = Xl (q).X
... ~(q).
2(q)
Cauchy a appliqué cette méthode dès 1853.

---

1 1 1
~ Application de la loi normale (LAPLACE-cAUSS)
.
(*)
d'
"
1 "
1
La l o i, de Lap l.ac e-Gau s s èst
i t e
rior ma e
non pas parce que
es
autres sont "anormales" mais plutôt parce qu'elle est la plus répandue.
Si la variable utilisée est l'écart z, et non l'écart réduit, la loi de
Laplace-causs prend la forme :
2
1
z
p(z) dz
exp (- --2). dz
a~
2a
Comme la loi de Laplace-causs est symétrique,
z
a
L'écart quadratique moyen se confond alors avec le moment d'ordre 2
-2
2
z
= a.
D'une façon générale, nouS avons
z2p
1.3 ...
(2p - 1) a 2p
/p+l=
0
~ La fonction caractéristique de la loi de Laplace-Gauss
Par définition, cette fonction X(q) est égale à
2
1
z
x(q)
exp(iqz). exp(--2). dz
al2ïT
2a
1 2 2
soit
x(q)
exp(- I.q
a).
qui a la même forme analytique que la densité de probabilité.
Si
a + 0
alors
P(z) + o(z)
et
X(g)
1.
(~) On reviendra plus tard sur l'importance de la valeur de l'exposant de la
variable Z. Pour la loi de Gauss z est au carré. Ceci est par d âf i.ni t i.on
les lois dites en L
nous verrons plus loin des lois en L .
2,
CI.

---

112
Si maintenant on applique ces définitions à notre problème alors
d'après les équations
0
n
( 1 ) et (2), nous avons
D
';' exp G
- ~\\. (2'TTq_) 2J
J
W
exp [( - ~\\ (2'TTq+) 2
W
soit
D
Finalement
W
D
Nous retrouvons de nouveau le classique facteur dit de Debye-Waller, avec
a2 = z2 qui est le défaut quadratique moyen. Le terme k
k
est le produit
l z'
2z
des composantes normales du vecteur d'onde dans le milieu l et 2.
* En conclusion et au terme de cette comparaison entre les deux façons
.............
d'aborder ce problème du terme correctif, on peut conclure en disant que
notre approche Gaussienne proposée ci-dessus et l'approche par les dévelop-
pements limités présenté au paragraphe 111.2.3.1 donnent exactement
le même résultat. Cela est dû au fait que z-2 est une quantité finie pour
une densité de probabilité
gaussienne. Le développement limité de la
-
-2
première approche garde un sens tant que z et z
restent finis. Mais rien
ne nous interdit de prendre des distributions autres que gaussiennes, du moins
au niveau du principe, continuons la méthode probabiliste mais en considérant
des distributions non gaussiennes. Rappelons de nouveau quelques définitions.

---

1 1 3
111.2.4.2) Modéle d'interfaces rugueuses basé sur les processus stables
additifs non gaussiens de Faul LEVY
~ Les variables et fonctions aléatoires stables de Lévy (14).
Nous appelIons type de lois l'ensemble des lois qu~ se déduisent de
l'une d'elles par le changement de X en ÀX, À étant un nombre positif
quelconque. Deux variables aléatoires du même type peuvent alors être repré-
sentées par ÀI Xl et À X
Xl et X
dépendent d'une même loi.
Le type
2
2,
2
est STABLE
(par rapport à l'addition) si, quels que soient À
et À
l
2
positifs, Xl et
X
étant supposés indépendants l'un de l'autre, la somme
2
À
Xl + À
X
appartient encore au même type ; elle est donc de la forme
I
2
2
À X,
X dépendant de la même loi que Xl et X2.
~ Les lois exceptionnelles
L'objet de cette partie est de proposer des lois "exceptionnelles"
comme modèles de rugosités. Par opposition aux lois gaussiennes, ici l'écart
quadratique moyen est nécessairement infini.
Lévy a m~s en évidence l'existence de certaines lois de probabilité
qu~ jouent, pour un ensemble convenable de lois, le même rôle que la loi de Gauss
pour l'ensemble des lois L~~11 est évidemment nécessaire pour cela qu'une
telle loi soit STABLE.
Si l'on cherche à définir une telle loi par le logarithme ~(q) de
sa fonction caractéristique, la propriété de stabilité s'exprime par la
relation :
~(alq) + ~(a2q) = ~(Aq) .
d'où l'on dédui t que ~(q) a nécessairement la forme
~(q)
klqlO.
O
œ
0
et
A
al
+
a 2
(*) vo~r le commentaire fait précédemment page III à propos des lois de Gauss.

---

1 1 4
OU,
S1
n est quelconque,
a.
+
+ ••. +
a n
Ces lois L
sont évidemment des lois continues, dont les densités de proba-
a.
bilité f
sont données par la formule de Fourier :
a.
(*~)
Mais leur existence n'est pas évidente. Cela n'est évident que pour a.
l,
au cas où la fonction fl(x), facile à calculer, a la valeur:
1
1
f 1 (x)
- - 2
lT
1 + x
M.G. POlya a démontré que f
existe pour 0 <a. < 1. Lévy a démontré
a.
leur existence pour a. quelconque entre a et 2, mais
elles
n'existent pas pour a. > 2
Lévy a préféré la méthode de la fonction caractéristique à la
méthode des moments, non seulement à cause de sa plus grande simplicité,
mais aussi parce qu'elle a un champ d'application plus étendu. Dans tous
les cas, une loi de probabilité est bien définie par sa fonction caracté-
ristique ; elle ne peut l'être par les moments que si ceux-ci sont tous finis.
Citons Lévy" ... Aussi une méthode basée sur la représentation d'une loi par
sa fonction caractéristique peut-elle ne comporter que des restrictions qui
soient dans la nature des choses ; une méthode basée sur les moments comporte
des restrictions résultant du mode de représentation adopté".
(~.) seulement S1 fa.(x) est ~ a et sommable.

---

1 1 5
1
Après avoir brièvement présenté la démarche de P.
Levy, et tenté
d'en exposer la richesse, nous allons montrer comment les "lois exceptionnelles"
généralisent celles de Gauss et Gauchy.
~ Variables aléatoires de Gauss
Soient 2
et 2
deux variables
1
Z'
aléatoires gaussiennes indépendantes avec
<2 >
o
l
leur somme satisfait
o
&
Le plus important est que 2
+ 2
est elle même une variable gaussienne. Donc
1
Z
la propriété "gaussienne" est invariante sous l'addition de variables indé-
pendantes.
En d'autres termes, l'équation fonctionnelle:
sX
dans laquelle le facteur S satisfait la
relation suivante :
Z
(L)
s
a la gaussienne comme solution possible.
En fait,
la gauss~enne est la seule distribution
satisfaisant ensemble (S) et (L).
Plus encore, Sl (S) est combinée avec la relation auxiliaire suivante
(alternative) <XZ>
< ~ , la gaussienne est encore la solution unique.
L'équation (S) a été l'objet d'étude approfondie par Lévy en 1925, étude
qui traduit la stabilité.

---

116
.
La pr emi.ere figure de la série suivante~ montre les densités de
probabilité
f{x) =~XP (-u Ct). cos ( u.x). du.
Ct
On rappelle que le cas Ct =2 correspond à la distribution
normale (Gauss)~ alors que Ct = 1~ correspond à celle de Cauchy.
Les trois figures suivantes montrent les courbes représen-
tatives des fonctions caractéristiques de différentes densités
de probabilités~ rappellées dans la premiére figure de cette
série.
Ces densités de probabilités ne sont pas représentables par
des fonctions simples et elles ont été calculées numériquement
par ordinateur. Les valeurs de Ct sont indiquées à l'extrémité
de chaque courbe.
Rappelons auss~ ~c~~ que dans toutes ces distributions le
moment d'ordre 2 est infini~ sauf pour la distribution normale
( Gauss ~Ct = 2 ). Le moment d'ordre 1 est infini pour toutes
les distributions dont le param~tre Ct est compris entre 0 et 1.

---

l 17
1. 20 , . . . - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - - _
1. 00
.80
.60
. 40
.20
1.00
1. 25
1.50
2.00
0.00U"'l
CT)
CT)
1I1
1
1
a
Courbes représentatives des densités de probabilité fa(x) = foo exp(-u ). cos(u.x). du
o
pour différentes valeurs du paramètre a.

---

118
1. 20 .------------~---------_____,
a ~ Cl ~ 1
1. 00
.80
.60
.40
0·1
0.5
.20
0.8
1.0
0.00 L-
..........
----l.
-'--
--J
ru
o
1
Courbes représentatives de Xa(U) = exp(-IUI Cl)
pour différentes valeurs du paramètre Cl.

---

119
1. 20 . . . - - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - - - ,
1. 00
.80
.60
.40
.20
_ 2
0.00 L.....-
----"-
--L.-
........-.
----'
ru
CJ
1
Courbes représentatives de Xa,(U) = exp(-lulCl.)
pour différentes valeurs du paramètre Cl..

---

120
1. 20 r - - - - - - - - - - - - - , . . - - - - - - - - - - - - - ,
1. 00
· aD
.60
· 40
· 20
----- 1.0
---- 1. 1
- 1 . 5
0.00 L-
" ' - -
. . . J . - -
- - ' -
----J
2.0
N
a
N
1
a)
Courbes représentatives de Xa(U) = exp(-IUl
pour différentes valeurs du paramètre a.

---

1 2 1
~ La variable aléatoire de Cauchy.
2>
Les scientifiques tendent à prendre <X
< 00
pour une garantie.
La gaussienne est considérée comme la seule distribution stable. Ceci ne
définit pas le cas reconnu par Cauchy pour la première fois en 1853. Cette
variable aléatoire de Cauchy a été le premier exemple de variable aléatoire
non gaussienne considérée pour la première fois par Poisson. Elle satisfait
l
l
Pr(X> - x) = Pr(X x)
arctgx.
2
If
Sa densité de probabilité est par suite
l
l
- - 2
1T
l + x
Cauchy a montré que cette loi est la solution de (S) combinée avec la relation
auxiliaire alternative :
+
s.
2>
Pour la variable de Cauchy (Poisson), nous avons
<X
00
,
en fait
<x>
= 00
~ Les variables des lois exceptionnelles
Enfin, tout en préservant la condition de stabilité
il est possible de généraliser la condition auxiliaire sous la forme
Ct
(L )
s
Ct
Lévy a démontré qu'il est nécessaire et suffisant d'avoir
0 < Ct~ 2 (15).
Dans le cas symétrique, la densité de probabilité correspondante prend la
forme :
; .Jooexp(_u~. cos(u. x, ) du .
o

---

122
En dehors des cas des lois de Laplace-Gauss et de Cauchy, les lois
stables, qui sont toujours des lois absolument continues, ont des densités
de probabilité qui ne sont en général pas des fonctions élémentaires. Il
y a toutefois exception dans le cas a = 1/2 • Dans ce cas la densité de proba-
bilité, pour x)O, est égale à
1
- 3/2
1
x
exp (- - )
l21T
2x
De plus, s~ a < 2, le moment <XP> n'est fini que lorsque p < a •
Conclusion
Dans le cas où 0 ~ a ~ 2, la fonction exp(-Iuja) est une fonction
carac téristique.
Applications aux interfaces rugueuses non-gauss~ennes
Soit
Xa(q)
la fonction caractéristique d'une telle interface. Nous
en déduisons les expressions des termes correctifs de la matrice rendant compte
de l'effet des rugosités.
D = Xa(q-)
&
W = Xa(q+) •
avec
x (q) = exp I_!
a
l 2
Le cr n'est l'écart quadratique moyen que dans le cas particulier où a
2.
Il est introduit pour des raisons d'analyse dimensionnelle:
q
a la dimension de l'inverse d'une longueur,
cr
a donc la dimension d'une longueur.

---

123
Avec ce formalisme on aboutit à :
W
1
exp(- 2
D
CI.
exp(- (2TTO)
2
W
CI.-l
CI.
CI.
CI.
CI.))
exp (- 2
• TT
• 0
(q+ -
q_
•
D
avec
0
~ CI. ~ 2 •
a)
Le cas CI.
2
redonne le terme dit de Debye-Waller, déjà rencontré.
b)
Le cas CI. = 1
élimine k w
du terme atténuateur d'où:
,
2 20
W
D
c) Dans le cas de la réflexion loin de l'angle critique, la réfraction
devient négligeable soit
k2'~~ k .w
= k.w
1
10
on estime
et
Le terme correctif devient donc
W
1
Ct
~ exp (-2' (4.TT.o-:k.w) )
D
d) Dans les articles américains consacrés à ce problème (15), on voit
apparaître une formule simple permettant d'estimer la réflectivité obtenue
avec des interfaces rugueuses et corrigeant la réflectivité d'une multi-
couche identique mais à interfaces parfaites.
L'expression proposée est de la forme
avec Ct
2

---

124
D'après les auteurs ceci peut s'appliquer si l'on suppose que
toutes les interfaces sont identiques et que les défauts sont une distri-
bution gaussienne de l'ordre de À/20. Cette formule permet d'avoir un
bon ordre de grandeur de l'effet des rugosités mais semble insuffisante
pour décrire correctement le phénomène. On peut penser que des valeurs
différentes de a comprises entre a et 2 permettront de mieux modéliser
le cas des interfaces identiques mais pas forcément gaussiennes. En par-
ticulier, il devrait être possible, grâce à ce paramètre supplémentaire,
de tester expérimentalement différentes classes de rugosités. Notons,
toutefois que cette manière de corriger la réflectivité est très grossière
puisqu'elle ne tient pas compte des deux milieux constituants la multi-
couche. C'est donc une formule simpliste
e) Il Y a une différence de nature profonde entre le cas où le paramètre a
est supérieur à l'unité et le cas où il est inférieur à l'unité. Les courbes
de simulation montrent très bien cette différence surtout dans la zone de
l'angle critique. Dans le premier cas, le moment d'ordre un des rugosités
est fini alors que dans le second cas il est infini.
f) Le paramètre cr qui a la dimension d'une longueur ne coïncide avec
l'écart quadratique moyen des rugosités que si celles-ci sont décrites
par une densité de probabilité gaussienne.
f) Le contenu physique des paramètres aet V- reste à préciser.

---

125
10
Si
a (A)
a
0
.
_0_'-
1/3
II)
.Q
-2
-----
1 (Cauchy)
<C
10
3
...............
1.5
.Q)
i •• , , i
2 (Gaula)
-
.-
>
-0Q) -4
-
.... 10
•Q)
CC.C)
0
...J
-6
10
o
1
2 3 4
5
Angle
de rasance. (degrè)
Réj1ectivité spéculaireJd'un support nu de siliciL~J
o
en fonction de l'angle d'attaque pour À = 1.5401 A
La rugosité est de cr = 3~ . Différentes valeurs du
paramêtre a sont utilisées.
Le cas a = 2 correspond à la distribution normale (Gauss).
Pour les autre Valeurs de a voir les figures pages 116
à 120. La courbe cr = 0 correspond au cas d'une interface
parfaite.

---

126
Q)
A=1.54X
.c:
---
0
.Q)
Experlmontal.
-.Q)CI:
- - - - - - -
Simule •
•Q)
-eneQ)-e
en
0
~
o
"
5000
10000
Seconde d'Arc
o
L'équipe Chauvineau - Valiergue a déposé une couche de Re. ri d'environ 68A
sur du Bore massif. Les calculs de simulatim1 entrepris grace à l'aide de
L. Nevot ont montré qu'une bonne simulation pouvait être obtenue en supposant
o
l'existence d'une couche de B5W2
de 8A ~entre le Bore et le Re.W ainsi qu'une
couche superficielle de W03 de 8.5~ .
Dans la série de figures suivantes nous aVons gardé constant
toutes ces
épaisseurs~ afin d'illustrer les effets de l'introduction de différentes lois
de probabilités
Les valeurs des indices employées pour ces simulations sont indiquées ci-dessous
Matériau
Indice réel
Absorption
Epaisseur
Rugosité gaussienne
0
Bore
1- 6.8 10-6
6.
10-9
infinie
2.7 A
B5W5
1- 26.9
"
2.
10-6
8 A
5.0 A
Re f/
1-42.5
"
4. 10 -6
51 ~
6.9 A
W03
1-18.25
"
1.2 10- 6
8.5 A
4.0 A

---

127
La premiére figure de La série de courbes présentées ici) compare la réflec-
tivité spéculaire mesurée pour une couche de Re.W)d'environ 60~ déposée sur du
Bore) avec celle calculée en considérant des défauts gaussiens) comme indiqué
sur cette figure.
Les courbes suivantes sont des comparaisons des réflectivités prévues par
La distribution gaussienneJutilisée précédemment po~œ la comparaison avec
l'expérience) et celles calculées pour différentes loisde distributions excep-
tionnelles repérées par des valeurs de a
indiquées ( voir définition page 116
à 120 ) .
Pour les deux premùér es comparaisons on a conservé La même loi de pr obabi li té
de distribution de rugosités dans les interfaces. Pour les deux derni~res on a
au contraire introduit des valeurs de a différentes pour chaque interface
Il
3
..
Alpha-l (Cauchy)
!7
Alpha-2 (Gau••)
....... Il
..
!s
4
3
Z
........
..
.
..
,.
Angl • . , _ _ d'ara
0
§
...
1 ~ ~ ~ 1 ~ 1 1 ~ §...
...
...
~...

---

128
.,.....,.-...
Alpha-l. 5
Alpha-2 (Gau••>
4
3
1
,
..!
• • •
Cl
• • •
Alpha-O.02
7
_
Alpha-2 CCca.a)
..,
-
Il
..!!
4
3
Z
1
""91 • . , lICl_ _ d"are
a
~ 1 ~ 1 § i
- - -

---

129
8,........_~.
Alpha-0.5 (Suppart)
-1
(CouchQ 1)
-1. 5 (CouchQ 2)
-2
(CouchQ 3)
Alpha-2 (Gau. .)
4
3
z
Angl. en _ _ leM d' cre
8 P-'_
_..
Alpha-2
(Suppart )
-1.5 (CouchQI )
(CouchQ2 )
-0.5 (Couch..3 )
Alpha-2
(Gau_)
3
2
". .
.....
....
"
. .
",'..

---

130
111.2.5. Conclusion
- Limitation de notre modèle final dans la région de la réflexion totale
On s'intéresse au rapport des composantes du vecteur 1 r i . Seule
t
la rotation des composantes des vecteurs 1 ~ 1 entre en compte et non pas la
dilatation. Ce vecteur est normalisé à chaque étape du calcul.
Reprenons l'expression suivante, obtenue au paragraphe (111.2.3)
W
1
R
D. r
W
D. r
1
1
exigeons que la réflectivité soit inférieure ou égale à un
W
w*
+ R
* + R~
j)' r
~. r
~
1
W r . R + l
w·
j)'
"* R*+ 1
-~ . r
D
on déduit l'inégalité suivante
x
W
x
r)-I~O
x
D
W
Posons
R = IRI. exp(i.8) et
r = 1*1.lrl. exp(i.Cf) d'où
D
2
w* .- W
R.R*
2
=
IRI
et
-
r
. r
1~12 . Irl
D"*
D
~
R-R
= !RI·2.i. sine
w • r - !!.:. r..-
D
D
2.
2)
soit
\\RI
(1-
1512. Ir1
+ 4.
IRI .
I~I . [r ] . sine. sin'f'- l~ O.
A la réflexion totale, on a IRI ~ l, d'où l'on tire finalement l'inégalité
suivante :
I~I . Ir 1 ~ 4 . sine . s incp
D

---

l 31
On voit qu'il n'y a pas de raisons apparentes pour qu'une telle inégalité
soit toujours vérifiée. Remarquons toutefois que celle-ci est toujours
respectée dans le cas des rugosités de faible
amplitude.
Notre modèle est donc excellent quand le paramètre a prend des
valeurs réalistes.
_ Limitatation de notre modéle pour la diffusion multiple.
Dans notre travail nous avons négligé la diffusion multiple
des
ondes e.m. à la traversé d'une interface. Etant donné leur amortissement
par le milieu, cette approximation est validée par la très faible ampli-
tude des ondes X-UV diffusées. Ceci nous a permis d'expliciter un système
linéaire liant le champ à l'entrée et à la sortie de la couche. Mais le
résultat final fait jouer au vecteur d'onde dans deux milieux adjacents des
rôles symétriques dans les termes correctifs.
- Pour conclure, remarquons que notre modèle est basé sur deux concepts.
Le premier tient compte des valeurs des indices dans le domaine X-UV.
Le second reflète la nature aléatoire de l'interface séparant deux milieux
matériels. L'intervention de la nature aléatoire de l'interface, par l'inter-
médiaire de la fonction caractéristique de la densité de probabilité, suggère
qu'une étude approfondie reste à réaliser: celle de la diffraction d'un
rayonnement e.m. par un obstacle engendré par un processus aléatoire, stable
au sens de Lévy.
Ceci nous amène à nous poser des questions plus pertinentes qu'au
début de notre travail, sur le lien entre les processus physiques engendrant
l'interface et le concept de processus aléatoires stables au sens de Lévy.
A l'heure actuelle, à partir des courbes expérimentales de réflectivité
spéculaire, il est impossible de déduire les lois de probabilité rendant compte
de la physique de l'interface. Quant à leurs effets sur la réflectivité spécu-
laire, nous avons montré que les interfaces non-gaussiennes sont aussi valables
que les interfaces gaussiennes. Le cadre de l'interprétation probabiliste
des rugosités devient ainsi plus riche en possibilités.

---

132
A l'issue de notre travail il nous semble important de m~eux uti-
liser des études de P. Lévy sur les processus stochastiques. Cette
recherche fondamentale et conceptuelle peut s'avérer fructueuse pour tenter
de rendre compte de certains résultats expérimentaux en physique et plus
particulièrement en optique.

---

133
------------------------1
1 CONCLUSION GENERALE
-------------------------
Le travail réalisé au cours de cette thèse de 3ème cycle s'inscrit
dans le cadre des efforts mis en oeuvre par plusieurs laboratoires
Français pour maîtriser la réalisation de multicouches d'épaisseur
quasiatomique.· Le test des structures de tels milieux périodiques peut
être effectué à l'aide de rayonnement x-uv de longueurs d'ondes adaptées.
Ceci est a rapprocher de l'utilisation bien connues des rayons X pour les
cristaux ou les édifices atomiques de faible taille (diffraction, diffusion).
La réalisation de multicouches x-uv n'est, Je pense, que la
première application de ces nouvelles structures. Le calcul de la réflec-
tivité de ces dernières soulève des problèmes nouveaux dont la solution
doit permettre de progresser vers une meilleure connaissance àe telles
structures.
Pour les calculs de réflectivité, plusieurs approches théoriques
ont été proposées depuis l'origine (1972) de cette nouvelle technique de
préparation de matériaux quasibidimensionnels.
Après étude des avantages et inconvénients des différentes options
mathématiques, j'ai retenu la technique de calcul matriciel qui permet
d'obtenir la réflectivité depuis la réflexion totale jusqu'aux grands
angles, quelque soit la polarisation.
Au cours de mon travail, j'ai veillé à retrouver tous les résultats
connus jusqu'ici; résultats qui n'étaient généralement valables que dans
les cas limites (nombre de couches infini ou multicouches idéalements
transparentes par exemple).
Ceci m'a conduit à utiliser la puissance et l'élégance du calcul
matriciel pour relier de façon adéquate les divers phénomènes rencontrés
dans les tests par réflectivité des multicouches. J'ai pu ainsi montrer

---

134
que l'équation de Vinogradov-Zeldovich et la "condition de Bragg" sont
deux aspects du même problème: obtenir la meilleure réflectivité. En
pa4ticulier je me suis attaché à traiter le cas de la réflectivité d'un
nombre de couches périodiques limité, cas rencontré le plus souvent dans
la fabrication des miroirs x-uv.
Bien entendu, j'ai tiré parti des valeurs particulières des
constantes optiques du domaine x-uv qui sont très différentes de celles
du visible ou des rayons-X plus durs. Ceci permet en particulier de
décider des phénomènes importants à prendre en compte dans le domaine
x-uv utilisé. Grâce aux méthodes matricielles nous avons pu en collabo-
ration avec B. PARDO rédiger des programmes exploitables sur un micro-
ordinateur (HP 85). Les calculs plus importants peuvent être traités,
si nécessaire, par un centre de calcul extérieur grâce à une liaison
modem existant.
La nucléation ou la diffusion des couches étant l'une des limitatiors
importantes pour obtenir une bonne réflectivité, j'ai commencé à aborder
ce problème. En partant des équations de propagation et des conditions de
continuité je me suis replacé dans le cadre du formalisme matriciel, cadre
choisi pour les raisons explicitées auparavant dans cette conclusion. La
non prise en compte des ondes secondaires diffusées au niveau de l'inter-
face a permis d'obtenir facilement un système linéaire liant les champs
à l'entrœet à la sortie d'une strate. Les coefficients de la matrice
caractéristique d'une couche (un milieu fini avec une frontière) sont
ainsi corrigés par deux termes contenant les composantes normales du'
vecteur
d'onde dans les deux milieux adjacents. Ces termes correctifs
peuvent être interprétés comme la fonction caractéristique de la loi de
probabilité décrivant l'interface. J'ai préféré la méthode de la fonction
caractéristique à celle des moments, non seulement à cause de sa plus
grande simplicité, mais aussi parce qu'elle a un champ d'application plus
étendu. En particulier, j'ai rappelé que dans tous les cas, une loi de
probabilité est définie par sa fonction caractéristique. Elle ne peut

---

135
l'être par les moments, que si ceux-ci sont tOI~ finis. Dans notre cas
les interfaces rugueuses ne sont plus restreintes à des classes de
surfaces à moments finis.
Sans préjuger d'avoir résolu les nombreux problèmes en suspend
nous pensons que cette nouvelle approche mérite d'être exploitée. En
effet après la "mathématisation" d'un prob lème, la comparaison avec les
résultats expérimentaux nous semble le critère pertinent. A l'étape
actuelle de notre travail nos ~mulations avec des distributions gaussiennes
donnent des résultats identiques à ceux obtenus grâce aux programmes de
l'Institut d'Optique et utiliséspar L. NEvüT.
Dans une prochaine étape nous proposons de travailler sur
l'hypothèse des couches de passage équivalentes à des interfaces rugueuses
plus général~en s'inspirant de la stabilité additive de la distribution
gaussienne.

---

---

1 37
ANNEXE 1
1)
Rappel de la solution générale
-+
d u
-+
-+
u
M u
avec
U
dz
V
• L
ou, en utilisant la notation de sommation d'Einstein
u
La solution générale est de la forme :
i
cr
i
i
u (z) = a • u (z )
où
u (z) est une solution particulière.
cr
cr
On peut l'écrire so~s la forme suivante
-+
=
-+
-+
u(z) = u(z) • a
a est un vecteur indépendant de z.
-+
=-1'
-+
On peut donc écrire
a = u
(z). u(z)
soit
~(z') = u(z') i ~-l(z). ~(z)
Posons
~(z') • ~-l(z) = G (z',z)
et par vs ui t;e
~(z')
-+
1
G (z',z).
u I z )
Résumé
G (z',z) = ~(z') .O-l(z)
G
étant la matrice caractéristique et
Ü(z)
U
et
U
étant deux solutions particulières de l'équation.
l
2
2) Les milieux stratifiés périodiques
Un cas intéressant à étudier est celui des milieu~stratifiés pério-
diques, c'est-à-dire, des milieux dont les paramètres c arac t r i s t i.que s e
ê

---

138
et
~
sont des fonctions périodiques z.
Ils obéissent à l'équation
de Hill (astronome) :
+
3(z). y
o
3(z) est une fonction périodique de z de période d. Montrons que ce
n,
milieu est représenté par une matricè G
l'exposant n étant le nombre
\\
de périodes contenues dans le milieu.
Soit
Gl(z',z) la matrice qui donne le champ en zr connaissant le champ en z.
Au bout d'une période spatiale d, on retrouve le même milieu quelconque 62
identique à 61,
. Démontrons que les matrices des deux milieux sont identiques
Partons de l'équation différentielle suivante
d
-+
-+
-+
U
- U
M.U
avec
U
dz
V
z
e:[a,S]
Par hypothèse, on a
-+
M (z + d)
M(z)
,
U
étant une solution, on a
-+
d U(z+d)
-+
M(z+d). u Cz ed)
dz
-+
M(z)
. u(z+d)

---

139
-+
Ce qui montre que si u(z) est solution de l'équation dans le domaine
[a , SJ,
-+
U(z+d) est encore solution dans le même domaine.
-+
-+
-+
On prend pour
u , u
et
U
l
z
-+
a -+
u (z+d)
l
al u (z)
a
l, 2
a
-+
a -+
Uz(z+~)
a
Ua(z)
i.
l, z.
z
-+
a -+
Soit
u. (z+d)
1
==
a~
u (z )
~
i.
a
a
Soit
S
la matrice qui permet de diagonaliser
A
(a.)
i.
Considérons les solutions
-+
V.
ou bien
~
alors
-+
-+
V. (z+d)
u (z+d). S~
~
u
~
-+
a
-+
V. (z+d) == a . ua(z). si~
i.
u
-+
a
-+
-lv
V. (z+d)
a
V (z). Sa
• S~
~
u
v
~
Finalement
-+
V. (z+d)
i.
-1
Par construction, S.A.S
est une matrice diagonale que l'on écrit sous la
forme :
-+
-+
d'où
V. (z+d)
V. (z )
i.
i.

---

140
ikld
-+
-+
Soit
Vi (z+d) = e
Vi (z)
ik
-+
2d
-+
V
e
V
2(z+d)
2(z)
-+
-ë-
ikz
-+
dans ce cas, on cherche à mettre
u
sous la forme
u(z)
e
f(z)
-+
ikz
ikd
alors
u(z+d) - e
e
t (z+d)
ikz
-+
ikd
e
f(z). e
-+
-+
ce qu~ implique
f(z)
f(z+d).
-+
La fonction f(z) est invariante dans la translation d, à condition que
z e : [ a , S ] .
Cherchons à calculer
G(z'+d , z+d)
G(z'+d,z+d) = U(z'+d) • U-l(z+d)
or
u(z'+d)
[~l(z'+d) , Û2(Z+d~
ikld -+
ik2~ -+
l
=
[ e
ul(z').e
u2(z'~
(~l(z') ~2(z')). ik1d i~ J
,
(e° . e 2 )
e ik2d .0
) .
U(z'+d)
U(z').
~k d
'
( o
e
l
de même on obtient
i k l d
e-
o.
)
5-1(z+d) = ~-l(z). ( o
e -ù2d
d'où
G(z'+d,z+d) = 5(z') • U-l(z) = G(z',z)
G(z'+d,z+d) = G(z',z)
1

---

1 41
Conclusion
si l'équation différentielle décrit un milieu à deux régions
identiques, alors il correspond à ces deux régions des matrices caracté-
ristiques
G
identiques.
si le milieu est périodique, à chaque période correspond des
matrices égales
Gd'
telle que
-+
U(z+n.d)
-+
U(z )
U 1 est le champ électromagnétique en z.
V
Ce résultat, qui est immédiat dans le cas des lames homogènes
à faces parallèles, l'est beaucoup moins dans le cas où le milieu est
inhomogène.

---

J 42
ANNEXE 2
1)
Représentations et matrice de passage
La notation d'Abèlès
~
1
1
représente le champ électrique total
et le champ magnétique total. Prenons le cas de la polarisation S :
E. + E
~
r
II . (E. - E )
Il
i.
r
i pour incident et r pour réfléchi.
Appelons représentation PARDO, celle qui utilise comme vecteur champ,
le champ électrique incident t et le champ électrique réfléchi r.
t + r
(t -
r ) .
Posons Y
d'où
1
:) .(: )
( -y
Concludon :
La matrice
(1
yl) permet le passage de la représentation (r
à la
E
-y
t)
représentation ( HI I ) .
Il
2)
Le coefficient de réflexion
• La représentation ( E,,)
(Abelès).
HU
E
Le coefficient de réflexion est égal
r
à
E,~

---

J 43
1
2
p
dernier milieu
E+
\\
p+l
Par définition, le coefficient de réflexion est
Pour le prem~er milieu, on aura
U
E+
+
E
0
0
0
V
= .fi
(E+ - E )
0
0
0
).10
Pour le dernier milieu, on aura

---

144
) (::: :::) (
On tire le coefficient de réflexion
• La représentation
(Pardo) .
r
Le coefficient de réflexion est par définition égal à
t

---

145
.~N~IEXE
3
On affirme souvent qu'il est impossible d'avoir pour le domaine X des
optiques semblables à celles du visible.
Ceci est dQ d'une part à la trés faible réfraction des matériaux dans
ce domaine. Par exemple, une lentille biconcave convergente de rayon R a
une distance focale:
I i f = (I-n) .2/R
Une application numérique
pour une distance focale de 10 cm par exemple
indique que le rayon de courbure R devrait être de 2rnm pour le tungsténe
et de de O,2mm pour du carbone à 44,7Â . De telles lentilles sont impossibles
à réaliser avec la précision de >..18. généralement admise.
Il faut ajouter à ceciqu'étant donné la profondeur de pénétration dans ce
domaine,l'épaisseur de la lentille devrait être de l'ordre de O. l micron
pour présenter une transmission suffisante.
Une telle lentille est impossible à.réaliser dans le cadre des techniques
actuelles.
C'est pour ces raisons que des lentilles basées sur le principe
des zones de Fresnel sont en cours de développement. Remarquons que dans cette
solution, comme pour les multicouches qui nous intéressent ici, on doit
développer des techniques de microfabrication .

---

146
ANf.lEXE
4
Démontrons, en utilisant un modèle simple, que E(W) est proche de 1 en· expli-
citant sa loi de variation en fonction de w .
~
~
~
~
D
E E
E + 4TTP
0)
~
La polarisation P de la substance est le moment dipolaire par unité de
volume.
~
~
P
= L e.r
N
e étant la charge de l'électron
(2)
N est le nombre d'électrons dans tous les atomes par unité de volume de
la substance considérée.
~
~
r
est le déplacement de l'électron sous l'influence du champ E
L'équation du mouvement es t
~
dV
~
~
-iwt
m
e E
= e E
e
dt
o
(3)
w
es t la
pulsation de l'onde e s m, qui traverse le milieu.
-+-
Nous considérons que le champ E est uniforme étant donné que les distances
v/w
parcourues par les électrons durant la période de l'onde sont petites
c
devant la longueur d'onde
-
car
v « c .
w '
En plus on considère, comme habituellement dans le domaine des X que les
électrons sont libres parce que la fréquence du champ est grande par
rapport aux "fréquences" du mouvement de la majorité des électrons.
~
le
~
Ai.ns i de (3) , nous tirons
V
E
mw
~
e
~
soit
r
- - - 2 -
E
(4)
mw
Avec (4), (2) et 0), nous obtenons
2
ECw)
1 _ 4TTN e
2
mw

---

147
Il faut attirer l'attention sur le fait que ce résultat n'est valable
que pour les éléments légers dans l'UV lointain et pour les éléments
lourds dans les X.
Dans le cas déjà étudié nous démontrons maintenant que ~, où l'effet du
champ
magnétique
sur l'électron est petit
devant celui du champ élec~
trique, est strictement ~gal à 1.
-+
-+
-+
-+
B
~ H
H + 41TM
(5)
-+
1
-+
-+
M
( 6)
2c
~ r "ev
-+
-+
-+
-e
-+
-+
-+
m • ~~ = e E~ ~
E~ r
- 2
E =9 M
o
rnw
donc
~
1
= 1 1·
Pour préciser en plus l'effet du champ magnétique de l'onde, cherchons à
VOl.r le terme suivant dans le d~veloppernent de u , L'équation (6) donne
dM
e
d
-+
-+
(r 1\\ mv )
dt
2mc
dt
-+
-+~
-+
-+
-+
r et v dependent de H, il s'ensuit que M ne varie pas linéairement avec H
et qu'on ne peut pas, en toute rigueur, écrire B = H. Pour évaluer l'ordre
-+
2 ,
-+
-1-+
de grandeur de M on prend une valeur moyenne pour v
d'ou; avec r
v :
iw

---

148
Z
Z
-)-
-e
<v >
-)-
M
--Z
-Z-
H
Zmc
w
Z
Z
41T Ne
<v >
soit
u
i -
et finalement
Z
Z
Zmw
c
Z
OE:
<v >
u
1 -
Z
-Z-
c
Nous voyons que l'écart de ).l à 1 est dû à un effet relativiste de second
d
'
v
or re par rapport a -
v
étant la vitesse des électrons dans les
c
atomes, dans une substance non ferromagnétique. En revanche, pour les
substances para et ferromagnétique, ).l est aussi égale à l'unité mais cette
fois parce que les temps de relaxation des processus magnétiques sont bien
supérieurs aux périodes optiques.
Z
,.
•
_Z
1 <v >
L ~ndice opt~que est n
soit
1 - ÔE: (1 + - - - )
Z
Z
c
Négliger l'effet diamagnétique, lors du passage d'un rayonnement X-UV,
revient à négliger :
Z
1
<v >
-Z-
devant 1.
Z
c
Cette approximation est beaucoup plus valable que celle dite des électrons li-
bres utilisée précédemment pour calculer E:.

---

149
ANt!EXE 5
4/ Rappel des notations fréquemment usitées
4a/ Le cas général
l ,/,/~// 1/ / IÎ
t
IIIli / / I/IA 2
2
'P
21 !
nI
1 ! <Pl
IlIlIlIl/// ///
L'indice optique complexe d'un milieu
k
est ~
La phase complexe est
~k
avec
2.rr
t
À"
•
k ' n k
k
Dans l'expression de la phase, À
est la longueur d'onde dans le milieu k
k
et e l'angle d'incidence.
e 1
1
-/1
Exp l ici tons
<Pk
tf,
2.lT
n
2.lT
n
Q
rf'J
't'k =
À*'"'
"'k • n k + J. À~
•
"'k . "'k = T k + J. ~k'
k
k
Appelons ~k l'épaisseur optique réduite de la couche k. Cette épaisseur,
mesurée en radian, sera la variable par rapport à laquelle il faudra
o
optimiser la multicouche. Elle est proportionnelle à l'épaisse~r en A.

---

15 a
Les impédances et les aàmitt2nces
dans le cas S
dans le cas P.
y =
et
= Log Y.
Le cas de l'incidence normale
-n
+ j
S2
Z
. n Z
y
soit
y -
j
nI
nI +
SI
• Z
.2
Indifféremment, on écrit
~
]
- 1 .
4b/ Le cas du rayonnement X-UV
Formellement, ce cas se traduit.par le système suivant
ak
« 1
et
avec
Les conséquences
Pour simplifier, prenons l'incidende normale. La généralisation à
l'incidence oblique ne présente aucune difficulté. Dans ces conditions,
on a
1 - a
+ j. S2
Z
y =
1 - Ct l + J- SI
1 y, l + " + j S

---

15 1
avec
CL
et
s = s -
2
De
i;
Log Y on déduit
2
et par suite
ch i; ~ 1 + i (CL - 62 + j.2.CL S) + ...
et
sh
i; ~ CL + j. 6 + .. ,
On utilisera souvent les sommes suivantes
et
~ = ~l + ~2 .
La quantité
2.S
(cos~l' cos~2 - sin~l' sin~2' chi;) est très
importante. Elle est en fait la trace de la matrice caractéristique d'une
bicouche, d'épaisseur optique réduite complexe
~
Parfois, on utilisera S sous la forme suivante
Faisons un développement limité qui est valable dans le cas du rayonnement
x-uv.
2 2 2
i;
= CL
- S
+ j.2.CL.S.
c osé ~ cos lf - j. u, s in Cf'
sinljll' sin~2 ~ sinl.f\\· sin'"f2 - ~1'~2' cos «'f\\'
cos If 2 + j . (~l' cos 'fi' sin '1'2 + ~2' cos\\.f2· sinl.fl) ;
_ f,;2
S ~ (cos lf - j .jr, sin If)
sin ~ . s~n
2
1
~2

---

152
j
[2(0..S).( Si n lf · sintr
- J-1
J-1Z' cos<'~\\' cos lfz)
l
z
l·
+
(a. Z - 13 Z) . (\\.Il' cos lf l' s in I.f Z + \\.IZ· cos If Z· sin If1)J
Notons la partie réelle de S par Re(S) et la partie imaginaire
de S par rm(S).
La partie imaginaire de S est donc
rm(S)~-J-1.sinf -(0..13)· (sin ~l' sin lfz- \\.Il J-1Z'cos i'1'cOS Cf Z)
(o.Z _ BZ)
Z
. (J-1 l· cos\\fl' sinlfZ + \\.IZ· coslfz' sin'fl)'
Dans le cas purement transparent, les 13 sont nuls et par suite
les \\.1 • On en déduit :
rm(S)
a
On aura besoin auss~ de la quantité suivante
- Z.i.(cos~l· s~n ~Z + s~n ~l' cos ~Z· chs)
Z
- Z.i. sin~ - 4.i sin~l' cos~Z' sh ~
Rappelons que la matrice d'une bicouche e~t
1
G
4'
Les valeurs propres de la matrice G sont À
et À '
l
Z
On démontrera l'égalité suivante: À . À
= 1.
l
Z
On notera À,
la valeur propre dont le module est supérieur à l, son argument
sera noté e.
N.B.
Dans nos calculs, l'angle d'incidence a~ns~ que la longueur d'onde, seront des
paramètres implicites.

---

153
ANNEXE 6
Considérons un milieu stratifié constitué d'un empilement de
lames à faces parallèles parfaites. Le premier milieu est le milieu
incident, le dernier supposé indéfini, étant le support. Supposons une
onde plane monochromatique incidente E.. Dans le milieu incident apparaît
i.
une onde réfléchie Er et dans le support une onde transmise Et' Notre
problème est de déterminer le coefficient de.réflexion
Er
Et
p
et le coefficient de transmission T
de l'empilement.
E.
E.
i.
i.
Dans chaque lame à faces parallèles, le champ électromagnétique
résulte de la superposition de deux ondes planes, l'une transmise et
provenant de la couche précédente, l'autre réfléchie. Les amplitudes de
ces ondes peuvent être calculées de proche en proche par différentes
méthodes. Nous nous proposons d'exposer l'une d'elles:
la méthode matri-
c i e r Le ,
Commençons par considérer un dioptre plan. Soit ~ la surface du
-+
-+
dioptre, soient E+ et E_ les champs électriques des ondes incidentes et
réfléchies dans un milieu. Les ondes dans l'autr.e milieu seront notées
+,
-r,
""
•
1
•
E+ et E
Il appara~t qu un couple d ondes E+ _peut s expr~mer linéai-
,
rement en fonction de l'autre E'
• Ceci résulte d'une part de la linéarité
+,
des équations de Maxwell et des conditions de passage ainsi que de la liné-
arité de la réponse des différents milieux. Cette dernière condition de
-+
linéarité suppose des champs E relativement faibles ce qu~ sera toujours
le cas dans la suite de l'exposé. En définitive, on peut écrire
où M est une matrice caractérisant le milieu dont nous
allons expliciter les éléments.
En fait dans la suite, les E représentent les composantes
tangentielles des champs électriques ; qui sont par définition compo-
santes parallèles aux surfaces des dioptres. De façon analogue nous
,
,
introduisons H+, H_, H+, H_, les composantes tangentielles des champs
magné tiques.
La continuité des composantes tangentielles des champs électriques
et magnétiques nous permet d'écrire
(1)
et
H
+ H
(2) .
+

---

154
En fait, dans un milieu donné, les champs magnétiques sont proportion-
nels aux champs électriques. C'est-à-dire
H'
y' E'
+
•
+
H
- Y.E
H'
-Y~.E'
Ce qu~ nous permet de remplacer (2) par
Y.E+ - Y.E
y!. E' - y'. E'
(3) .
+
Y est, par définition, l'admittance itérative. Son express~on dépend de
l'indice du milieu et de la polarisation des ondes planes. Les relations (1)
et (2) peuvent s'écrire sous forme matricielle. Après des calculs élémentaires,
on trouve
Cherchons à exprimer la matrice M précédente, en utilisant les facteurs de
réflexion et de transmission d'un simple dioptre.
Dans ces conditions
E'
= 0,
il apparaît donc
l
y'
E
1 + )
E'
+
2
y
+
l
y'
E
( l - Y
E'
2
+
l
y'
l
d'où
l +
-
2
Y.
t
l
y'
r
( l -
"2
-
Y
t
t
étant le coefficient de transmission du dioptre et
r
le coefficient de
réflexion. Les relations ci-dessus une fois
y
et
y' explicités, consti-
tuent les relations de Fresnel.
La relation matricielle s'exprime donc sous la forme suivante

---

155
1
t
Jusqu'à présent nous avons étudié le problème de passage à travers
la surface d'un dioptre; E
,E
(E+' , E'
) représentaient l'amplitude
+
-
complexe des composantes tangentielles des ondes planes transmise et réfléchie
dans un milieu (et dans l'autre). Cependant, dans un milieu donné, E
et E
+
-
( E: ' E~ ) dépendent de la côte considérée
z .
En considérant la propa-
gation des champs nous pouvons écrire :
j
E+
(z 1)
e lf . 0
,
E
( Z2)
+
;j<f
E
0
E
(Z 2)
( Zl)
] .2
où
J
-
1
i étant, donné par : ~. = 2TI.kN . ( z2 - zl ) ; k étant la composante
N
normale complexe du vecteur d'onde. Rappelons que la composante tangentielle
kT du vecteur d'onde est invariante ( loi de Snell-Descartes) et que le module
n
du vecteur d'onde est proportionnel à l'indice complexe:
k = l
La méthode matricielle consiste à calculer directemen~ ou de proche
en proche, les produits des matrices
représentant soit le passage à travers
les surfaces, soit la propagation dans un milieu homogène. Cette méthode
permet d'exploiter avec profit les théorèmes du calcul matriciel.
Jusqu'à maintenant, nous n'avons pas explicité l'impédance, la
réflexion et la transmission qui interviennent dans l'expression'des éléments
de matrice. Nous nous proposons dans ce qui suit d'étudier les choses plus en
détail.
Quel que soit la polarisation de l'onde incidente, on peut se ramener
à deux cas:
la polarisationS
où le vecteur champ électrique est perpendiculaire

---

156
au plan d'incidence (S
vient de
senkrecht qui veut dire
perpendiculaire en langue allemande), la polarisation P
où le vecteur champ électrique est parallèle au plan d'incidence
(P
vient de
paralell).
Nous allons successivement considérer les
deux cas :
Cas de la polarisation S
A partir des relations bien connues concernant une onde plane mono-
+
chromatique
li = n.E
et
k = n.k
, e t en tenant compte du fait que
k,
o
+
+
E
et
H forment un trièdre rectangle direct, on montre que l'admittance
k z
itérative est
y s
k o
H représente l'amplitude du champ magnétique,
E
celle du champ électrique
et
n
est l'indice du milieu de propagation ( n2
E ). Les modules, dans
le vide et dans la matière et la composante normale du vecteur d'onde sont
respectivement notés par
k
k ,
k
Nous utilisons le système d'unités
o
z
de Gauss.
Ainsi, en exprimant les coefficients de réflexion et de transmission
d'un dioptre, on trouve les relations de Fresnel
k
2 k
z
z
r
= k
et
t
+ k'
k
+ k'
z
z
z
z
Cas de la polarisation P
En utilisant les mêmes notations et la même démarche, nous aboutissons
k
_2
o
à la relation
y
= n
p
kz
d'où les relations de Fresnel
_2
_,2
k'
n
- k
n
z
z
r =
_2
_,2
k'
n
+ k
n
z
z

---

157
A partir de ces relations, on peut montrer que le coefficient de
-'
réflexion s'annule pour l'angle dit de Brewster (1781-1868) donné par tge
n
n
Pour les rayons X, l'indice étant très voisin de l'unité, l'angle de
Brewster est toujours très proche de i radians.
Conclusion
Le calcul de la réf1ectance d'une multicouche, par la méthode matri-
cie11e, n'exige finalement que la connaissance du coefficient de réflexion
d'un dioptre.

---

1 5 S
M!~!E'yE 7
LA THEORIE DE CROCE ET DE VINOGRADOV ZELDOVICH A PARTIR DU
FORMALIS~lli ~TRICIEL
L'onde transmise est
-2iTfk Z
t
a ( )
z .e
n
L'onde réfléchie est
2iTfk Z
r = b()
z.e
n
Le changement de base entre les deux représentations est donc
2iTfk Z
e
n
[:]
[ o
et
-2iTfk Z
o
b (Z)]
e
n
[
[
2iTfk Z
a(z)
o
e
n
D'après la représentation (r,t), la matrice bicouche est
-icP
.
- 2 .
Sh
y
~.e
s~ncPl.
Log

---

159
e i ( cP +cP )
.
I
2
,
Sh LogY
J [:]
-icP
-i(dJ.+dl )
[::J
[ ,
2 .
'1
'2
+~e
.s~n1JI' Sh LogY
e
Remplaçons (r , t) par b, a)
il vient alors
:
-2ink Z
-2iTIk (lI +1
a
n
n
2)
b'
e
a
e
2ink Z
2inkn(lI+12)
al
a
n
e
a
e
i (cP +cP
icP
2ink Z
I
2)
2
n
e
-ie
.sincP
Sh LogY
e
0
b
I
.-icP
-i(cP
-2ink Z
2
I+cP 2)
sincP 1. Sh LogY
a
n
~e
e
e
a
i (cP 1+ cP
-z in k Cl +1
-4ink Z-2ink (l1+12)+cP2
2)
n
l
2)
b'
e
e
n
n
.sin<P
LogY
a
2,Sh
2i'rr ~ n +1 ) -4in k Z-i cP
-i (cP +1J
+2in k (lI +1
.
n : l
2
n
2
I
2)
n
2)
a'
' , j ,
Sh
i.e
. s~n'i'l .
LogY
e
b
En uti lisant
2
k
.2 k2
2.
ln
nI
a
kIl
et
2
k
k 2 _ . 2
n
a
kil
et en faisant les approximations perm~ses dans le domaine x-uv
les indices
complexes sont très proches de l'unité;

---

160
On obtient
k 2
_ k 2
zn . [ ln
n
1
+
(k
+ k )
1
ln
n
4rr.
E -·1
avec
4TI
= a
a étant la polarisabilité
d'où
i(~1+~2) - 2irr.k
12)
n·(11+
e
On étudie le cas de la polarisation S
2
2
2
k
2
k
k
2n
Y
y2
. 2n
n2 a - kIl
= -
k
-~
2
2
2
1n
k
ln
nI
0 - kIl
2
2
2
(n
-
1) • k
+ k
2
0
n
2
2
2
(n
-
1) . k
+ k
2
0
n

---

161
et
1
2
"2 Lof.Y
d'où
i<P 2
.
• s ~n<P2' Sh LogY
2
ka
- - 2
2TT. k
,
n
. s~n
d'où
2
k
'4 2
a
b '
] + ~ TT
k
b
n
a'
-
a
Divisons par 1] +
1
et assimilous une diff~rence finie à une
2
diff~rentielle :

---

162
Finalement, on obtient:
(Ct 11
-i<P
. 4 2
1+0: 212 )
2
2
b
~.
'Tf .
-i.e
4'Tf
b
1
+ 1 '
!
2
-d
dZ
a
a
Pour traiter le cas p, il suffit de poser
2
n
k
y
2
-nI
k
-2-
2n
nI

---

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\\i"_~\\)'~~
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. l l
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Printed in Great~~iit~Diff{'actalsare waves that have encountered fractals-
They
are geometric objects with;\\\\h'eif--integral Hausdorff-Besicovich dimension D ;
.
. '
..y
they have structure~down tô arbitrarily fine scales. DiffractaIs are a new
wave limit in which ever finer levels of structure are explored and geometrical
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geometry of nature.
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---

- r , ':"-
'".
"
RESUME:
Revue des théories existantes pour calculer l'intensité diffractée
par des multicouches,
utilisables en tant que miroirs interférentiels
dans le domaine x-uv. Proposition d'un formalisme matriciel permettant
d'optimiser' la réflectivité pour un nombre donné de bicouches. Le cas
des interfaces parfaites est traité, puis celui des interfaces rugueuses
est abordé. Un modéle basé sur des défauts descriptibles à l'aide
de
processus stables additifs non gaussiens est examiné. Les résultats sont
comparés à ceux des théories existantes et à des résultats expérimentaQ~.
'- -
Hots clés
Miroir, Interférentiel, X-UV, Optimisation, Matricielle (th~orie),
Interfaces, Rugosités,Nongaussien (défauts) .
.~'
ABSTRACT ;
,
.;:.
~ ~~~.Surve~ of existing 'theories able to predict the x-uv intensity
~~ffracted by rnultilayers rnirrars is presented. A new rnatricial
forrnalismris proposed to optimise the reflectivity for any number
8~~p-S~iods. The introduction of roughness in the interfaces, is
::::.eated with the matricial ap p ro ach using ungaussian additive and
}t~~l~~~rocess statistical distributions. Predicted reflectivities
~I/,- :iin~d'1:lY' using this theory are compared to the other ones and
also ta "the" experimental results.
!s~;c~~!~:!_: Mirror,'X-UV,'Optimization, Matricial (theory), Interfaces,
,Roughness, Ungaussian (defects).
.: -::.
t:[,-~-

---