ACADt:MIE
DE
M O N T P E L L I E R
UNIVERSITÊ
DES SCIENCES ET TECBNIQUES DU LANGUEDOC
THESE
présentée à l'Université des Sciences et Techniques du Languedoc
pour obtenir le grade de Docteur de 3ème Cycle
MATHËMATIOUES PURES ET APPL/OUËES
..•-~ .'-'.
1
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DIAGRAMMES de
DE FINETTI
_ . l ,_ ,-', ' , " . ',.. ,
, .
,
par
Boubakar Yobi
AMIDQU
Soutenue le 14 Novembre 1983 devant la Commission d'Examen
JURY
MM. A. MICALI
Président
F.
lAPSCHER
M. lEFRANC
ATELIER
OUPLICATION
-
U.5.T.L. -

---

Je tiens à remercier très sincèrement :
- Monsieur le Professeur A. Micali qui a bien voulu me proposer un sujet fort
intéressant et pour toute sa disponibilité durant ce travail.
- Messieurs les Professeurs F. Lapscher et M. Lefranc qui ont consacré leur
temps pour lire ces pages et accepté de faire partie du jury.
- Melle Brun qui, malgré mes écritures pas très lisibles, a su fournir un texte
fort impeccable.
Tous ceux qui, à l'U.S.T.L. n'ont cessé de satisfaire à toutes mes requêtes.
- Tous les amis qui m'ont tout le temps encouragé dans ce travail.

---

TABLE DES MATIERES
page
CHAPITRE 1 : ESPACES PROJECTIFS
1 .1. Déf'Lnd,ti ons . . . . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 .2. Coordonnées homogènes et représentation des points du plan
projectif ••••••.••••••••••••••••••••••.•••••••••••••••••..••
1.3. Variétés projectives et morphismes d'espaces projectifs.....
2
3)
1 .4. Expression -d'une collinéat1on de i'(R
. a _ • • _ . . . • • • • • •
4
CHAPITRE 2 : DIAGRAMMES DE DE FlNETTI
2.1- Diagrammes de De Finetti et s~lection•••••••••••••••••••••••
6
2.2. Diagrammes de De Finetti et coordonnées triangulaires •••••••
7
2.3. Diagrammes de De Finetti et espaces projectifs ••••••••••••••
8
CHAPITRE 3 : LA LOI DE HARDY-WEINBERG
3.1. La parabole de Hardy-Weinberg •••••••••••••••••••••••••••••••
13
3.2. Etude analytique de l'application ~ •••••••••••••••••••••••••
14
3.3. Etude de ~ par les projectivités •••••••••••• ~......,,..••.•.,.~•••••
16
3 .4. Transformée de la parabole de HardY-Wein~,
i;'par ~;.~.-''-''~.''. 18
~
-,
. :
\\
3 5
A
1 "
t"
' 1
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••
pp a ca a ons a
a gene a.que ••••••••••••• .-..;
_.-r ••
19
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~
(
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1",:1
1-
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_.";
3.6. La loi de Hardy-Weinberg et algèbres gén!étiques-;;;-;-••• ~ •.• ~ ••
29
APRE~·~;lt., Y:f..G~o)
CIL\\PITRE 4 : SUR QUELQUES MODELES GENETIQUES D'
•
-
-
. . '
" "
f i , " "
. ?
4.1. Premier modèle ..••,. . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~;-.- .• ~ .... ~ .•.....
32
4.2. Deu.xième modèle •..•......................•....•.•..•....••..
33
BIBLIOGRAPHIE •••••••••••••••••••••••••••••••••• 0 •••••••••••••••••••• Q ••
37

---

1 •
1. Espaces projectifs
1 .1. Défini tion
Soient K un corps commutatif et E un K-espace vectoriel. On considère
sur E ,,{O} la relation d'équivalence notée _. Si x et y sont dans E ~{O} on
dira que x est équivalent à y s'il existe À dans K, À ~ 0 tel que y = Àx et on
note x-y. La relation- est bien une relation d'équivalence sur E __ {O} et
on appelle espace projectif déduit de E ou associé à E l'ensemble quotient
~(E) = E ,,{O}/- et notons la surjection canonique n
E ,,{O} ~ œ(E) = E ,,{O}/-
Si x E E ,{O}, n(x) = {yly E E .......... {O}, tel que y - x} ou encore
n(x) = {y Iy E E ........ {O}, y = Xx , À E K, À ~ O}. Les éléments de IP(E) sont appelés
des pOints. Si di~(E) < =, la dimension de œ(E) que l'on note di~(œ(E)), est
définie comme étant l'entier di~(E) - 1. Si d~~(~(E)) = 1, F(E) s'appelle une
droite projective et si di~(~(E)) = 2, œ(E) est un plan projectif. On sait que
toute variété affine peut être complétée en une variété projective, c'est-à-di-
re, en un espace projectif.
1 .2. Coordonnées homogènes et représentation des points du plan projectif
On considère dans le plan affine un point M de coordonnées (x,y). On lui
associe le triplet (x,y,1). Tout triplet (u,v,w) où w ~ 0, tel que u = xw,
v = yw est dit coordonnées homogènes du point M. Réciproquement à tout triplet
(u,v,w) où w ~ 0, il correspond un et un seul point du plan affine de coordon-
nées cartésiennes (~,~). Les triplets de la forme (u,v,O) sont appelés les
ww
points à l'infini du plan affine.
On considère dans le plan projectif, trois points U,V,W non alignés. On
suppose que la droite UW est la droite à l'infini du plan projectif associé au
plan affine déterminé par VU et VW, dont l'origine est V. On choisit sur VU et
VW deux vecteurs unitaires 1-
e t l . On détermine ainsi le.point A(1 ,1 ,1). Ain-
x
y
si tout point P qui n'est pas surUW sera repéré par ses coordonnées cartésien-
nes (x,y). On notera P(x,y,1). L'intersection de VP avec UW sera notée Q(x,y,O).
L'introduction des coordonnées homogènes supprime les difficultés dûes à la par-
ticularité des points à l'infini et ceux-ci se manient de la même façon que les
points du plan affine. L'usage des déterminants aux coordonnées homogènes se
fait de la m~me manière-que dans un espace vectoriel. On procède de la même ma-
nière quand on cherche la collinéarité de trois points.

---

2.
Exemple 1.2.1.
La condition nécessaire et suffisante pour que trois points
P1(x1 'Y1'Z1)' P2(x2'Y2'Z2)' P
dans le plan projectif soient alignés
3(x3'Y3'Z3)
est que le déterminant de la matrice :
soit nul.
1.3. Variétés projectives et morphismes d'espaces projectifs
Soient E un K-espace vectoriel, W un sous-K-espace vectoriel de E et
n : E ,,{o} ~ ~(E)· la surjection canonique; n(W" {O})est appelée la variété
linéaire projective déduite de W et on pose n(W ,,{O}) = ~(W).
Soit f : V ~ V' une application K-linéaire injective. Si x ~ y dans
V ,,{O}, alors f(x) ~ f(y) dans V' "{O}, donc il existe une unique application
d'ensembles notée ~(f) : W(V) ~ W(V') telle que le diagramme suivant soit com-
mutatif.

---

3.
f
rr
n'
!p(V)
~~~
-# œ(v')
Comme f est injective, alors ~(f) est aussi injective. En effet si
!P(f) 0 n(x) = ~(f) 0 n(y) avec x,y dans V \\{O}, alors n' 0 f(x) = n' 0 f(y),
soit f(y) = ~f(x) avec ~ ~ 0, d'où f(y) = f(~x). Comme f est injective on a
y = ~x, d'où x'" y dans V\\{O} et alors n(x) = '!T(y) dans IP(V). Si f : V ~ V' et
f'
: V' ~ V" sont des applications X-linéaires injectives, on peut définir com-
me précédemment !P(f' 0 f) et il est évident que lP(f' 0 f) = ~(f') 0 lP(f). On en
déduit aussi que ~(idV) = i~(V). La proposition suivante est immédiate:
Proposition 1.3.1.
Si f : V ~ V' est un isomorphisme d'espaces vectoriels sur
un corps K, alors lP(f) : !p(V) ~ ~(V') est une bijection d'ensembles.
Soit f : V ~ VI une application K-linéaire (non nécessairement injective).
Il existe une et une seule application K-linéaire f : V/Ker(f) ~ V' rendant com-
mutatif le diagramme
f
V - -
~) V'
;;r
V/Ker(f)
où la flèche verticale est canonique.
On pose T = Ker(f); f est une application linéaire injective. Comme précé-
demment, il existe- une application d'ensembles ~(f) : IP(V/T) ~ !p(V') telle que
le diagramme suivant soit commutatif:

---

4.
(V/T) ........ {O}
~~ V' ,{O}
TT
TT'
œ(r)
,
IP(V/T)
___ -
_ - - _ - - -> (p(V )
et w(r) est une application injective. Notons que œ(V/T) = œ(v) "W(T) et po-
sons w(r) = lP(f).
Pour toute application K-linéaire f : V ~ V', l'application
œ(f) : œ(V/T) ~ ~(V') est appelée application linéaire projective ou applica-
tion projective déduite de f, avec T = Ker(f). L'espace projectif W(T) est ap-
pelé le centre de f. Si f est injective, son centre est vide. On a :
a) La composée de deux applications projectives bijectives est une appli-
cation projective bijective. Ceci découle de lP(f' 0 f) = œ(f') 0 ~(f).
b) La réciproque d'une application projective bijective est une applica-
tion projective bijective. En effet œ(f 0 f-1) = œ(f) 0 œ(f-1 ) =W(i~), donc
œ(f-1) = lP(f)-1, d'où œ(f)-1 est une application bijective.
Il découle de ces remarques que l'ensemble des applications projectives
bijectives de œ(v) surIP(V) est un groupe si l'on le munit de la loi de compo-
sition définie par la composition d'applications. Ce groupe on l'appelle le
groupe projectif de œ(v) ou groupe des collinéations projectives de IP(V) et est
n,
noté PGL(V). Si V = K
on note PGL (K) ou PGL(n,K) au lieu de PGL(V).
n
3)
1.4. Expression d'une collinéation de IP(R
On considère ici les coordonnées homogènes associées à tout point du plan
projectif et considérons la transformation linéaire suivante
,
x
= a x + a
+ a
1
11 1
12x2
13x3
,
x
a
x
+ a x · + a
2
= 21 1
22 2
23x3
,
x
= a x + a
+ a
3
31 1
3 2x2
33x3

---

5.
Une telle transformation envoie tout point (x
) du plan projectif en un
1,x2,x3
point unique (x t ,x
,x ' ) du plan projectif. RécIproquement, à chaque point
1
2'
3
x' = (x ',x
,x ' ) du plan projectif il correspondra un point unique
1
2'
3
x = (x
) pourvu que le déterminant de la matrice associée:
1,x2,x3
a
a
12
13
a
a
22
23
a
a
3 2
33
soit non nul.
Une collinéation projective dans le plan projectif peut être représentée
en coordonnées homqgènes, par des équations de la forme ci-dessus telles que
le déterminant de la matrice associée soit non nul. Réciproquement, toute trans-
formation du plan projectif de cette forme dans laquelle le déterminant de la
matrice associée est non nul représente une collinéation projective.
Une collinéation perspective dans un plan projectif est une collinéation
projective laissant invariants chaque point d'une droite D et un point donné O.
La droite D et le point 0 sont appelés respectivement l'~ et le centre de la
collinéatian. Si 0 est sur D, la collinéation
est appelée une élation plane.
Si 0 n'est pas sur D, la collinéation est appelée une homologie plane.

---

6 ~
2. Diagrammes de De Finetti
On rappelle tout d'abord la formule de Bayes. Soit une population O. On
suppose que 0 est constituée de sous populations S1 ,S2' ... qui constituent une
partition de O. Soit A un évènement de probabilité non nulle. Supposons, connues
les probabilités P(S.) et les probabilités conditionnelles P(A/S.). Alors les
J
J
probabilités P(S./A) sont données par
J
p(S .) .p(À/S .)
P(S./A)
J
= ~ ptSk)P(A/~k)
2.1. Diagrammes de De Finetti ·et sélection
Dans une population à deux allèles œ et ~ on suppose que les fréquences
de œ et ~ sont respectivement p et q avec p+q = 1. Désignons par u,v,w les fré-
quences des génotypes œœ, œ~, ~~ respectivement. On a alors u ~ 0, v ~ 0, w ~ 0,
u+v+w = 1, P = u + ~' q = w + ;. On dit que la population est en équilibre de
Hardy-Weinberg si l'on a la relation v2 = 4 uw. Supposons que quand des enfants
naissent de cette population leur chance de devenir adultes dépend de leurs ~­
notypes, et est donnée par P(S/aa) = a, P(S/œ~) = h et P(S/~~) = b où S repré-
sente l'évènement d'être adulte. En considérant la population f'adultes issue
de ces enfants les nouvelles fréquences génotypiques seront données par la for-
mule de Bayes et exprimées par u' = P(aœ/S) = a ~' v' = P(œ~/S) = h ~' et
w' = p(~~/S) = b ~ avec f = au + hv + bw. On se p~opose d'étudier la correspon-
f
dance (u,v,w)~ (u',v',w').
Lorsqu'on considère une population en équilibre de Hardy-Weinberg on a
2
2
u = P , v = 2 pq, w = q • A l'aide de l'application ci-dessus on passe des fré-
v'
quences p,q aux fréquences p' ,q', lesquelles sont données par p ' = u ' + - =
2
u
v
v'
w
v
q' = w' +
= a f + h 2f et
;2 = h f + h 2f • En remplaçant u,v,w respectivement par
2
2
2
an
p2, 2pq , ( 1_p )
= q
dans les formules précédentes en a p' =
2
2
--~~----~ +
t .
ap +2hpq+bq
On obtient donc une application ~ : [0,1J ~ [0,1J où [0,1J dési-
2
ap +11n9
L
réel entre ° et 1, définie par ~(p) = p' =?
2-
es
ap-+2hpq+hq
points d' éq,Ülïbre.. de. la parabcle de Hardy-WeinbeI'g sont les points p tels que
~(p) = p soit ap2 + hpq = p( ap2+2hpq+hq2). Si p ~ 0, on obtient ~'équation
b-h
(a-2h-b)p2 + (3h-2b-a)p + b-h = ° dont les solutions sont 1 et a+b-2h. En rem-
2
.
_
ap ~hp(.t--p)
plaçant q par 1-p on a ~(p) -
2
• La dérivée de ~ s'écrit
ap +2hp(1-p)+b(1-p)

---

7
(a~-2ab+bh)p2+2(ab-bh)p+bh
cp' (p) = - - - - - - - - - • Le discriminar.t 6'
de cp'(p) = a s'écrit
[ ap2+2hp(1_p)+b(1_p)2 J2
/
2b2
2
2)
ô' = a
- ab:h.
= ab(ab-h
et on a 6' ~ a si ab ~ h-. Dans ce cas la dérivée
2)
-(ab-bh)+Vab(ab-h
s'annule pour les valeurs de p suivantes : P1 =
ah-2ab+bh'
2)
-(ab-bh)-V;b(ab-h
P2 =
an-2ab+bh
Il faut naturellement considérer les valeurs qui sont dans [0,1J. Nous
ferons, plus loin (cf. chapitre 3) une étude analytique complète de la parabo-
le de Hardy-Weinberg ainsi que les correspondantes interprétations génétiques.
2.2. Diagrammes de De Finetti et coordonnées triangulaires
Soit umv un triangle équilatere de hauteur égale à 1. On cons~dère un re-
père orthonormé qui a pour origine le point U et pour axes UV et DY. Les droites
VW, UV et UW ont poux équations respectives y =-\\[3 x + 2, y = 0, et y ='13 x.
y
.L.------------"""":':~-~x
Si l'on prend un point M(x,y) dans le
les distances algébriques
u = K
v = K
w = K
de M à ces trois droites sont données respectivement
1M,
2M,
3M
-V3 x-y+2
-
VS x-y
par u =
2
, v = y et w =
2
• Les sens positifs de u,v,w sont ceux
2
indiqués s'~ la figure par les fl~ches. On définit une application 0/ :IR ~JR3
(
)
( -\\f3 x-y+2
V3 x-y)
en posant. pour x,y dansJR, ~ x,y
=
2
,y,
2
• Notor~ que ~ est
3
2
une application injective et pour que (u,v,W)dansIR
ait un antécédent dansm
il faut et il suffit que u+v+w = 1. En effet, on doit avoir ~(x,y) = (u,v,w),
-Vi x-v+2
V3 x-v
-2u-v+2
2w+v
d'où y = v et
2
= u,
2
= w. On a x =
V3
et x = "\\)3"' Donc il
.
-2u-v+2
2w+v
,
(
)
faut aV01r
~=~' d'ou u+v+w = 1. Posons A = { u,V,W !u,v,w Emet
2
u+v+w = 1} c JR ; '1J définit donc une bijection de IR
sur A. On a ainsi une par-
2
tition du planIR
en domaines Ai (i = 1, ••• ,7) de la manière i~diquée par la

---

8.
figure sui vante
~+V+W=1
~
u $ 0
v ~ 0
W $
0
U+V"+W=z: 1
A
u~O
2
v ~ 0
{ w $ 0
~+V+W=1
L
u $ 0
5
v ~ 0
W ~ 0
tU+V+W=1
u~O
v ? 0
w~O
u+V+W
=1
A
u ~ 0
6
v $
0
{ w s 0
~+V+W=1
L
u $ 0
\\?
v $
0
W ~ 0
t+V+W=1
A
u ~ 0
4
v $ 0
w~O
Proposition 2.2.1.
Dans A on ne neut pas trouver deux élérne:'1ts distincts qui
soient éauivalents projectivement.
En effet, si l'on suppose que (u ,v ,W ) et (u
sont équivalents
1
1
1
2,v2'w2)
il existe À dansJR, À f:. 0 tel que l'on ait u
= ÀU
v
= ÀV
W
= ÀW
Donc
2
1,
2
1,
2
1.
, = u
= À(u,+v,+w
= À, soit À = 1. On a alorsu = u
v
= v"
w
= w •
2+v2+w2
1)
2
1,
2
2
1
2.3. Diagrammes de De Finetti et espaces ~ro~ectifs
Soit A = {(u,v,w) lu,v,w E IR et u+v+w = 1} et notons 8
= (1,0,0),
1
3.
e
= (0,1,0), e
= (0,0,1) la base canonique duIR-espace vectorielIR
Comme
2
3
les e. pour i = 1,2,3 sont dans A en P'3Ut cor.c Lur-e que le s ous -e s pace ve ct or i.e L
l
3
de R3 engendré par A est lR . On note [BJ le soua-e apa ce vectoriel de]R3 engen-
dré par B, où B est une partie de JR3 et par [F] l'espace projectif engend~é par
une partie F d'un espace projectifIP(V). On a le résultat bien connu:

---

9 .
Proposition 2.3.1.
Soient V un espace vectoriel et F une partie de l'espace
1
pro,jectifJP(V) associé à V. Alors lP([TT- (F)J) = [F], où TT : V -7JP(V) désigne
l'application canonique de V dansJP(V).
Corollaire 2.3.2.
Si A est la partie de~3 ci-dessus définie, alors [TT(A)] =
=JP(~3),
3)
c'est-à-dire, la variété projective de F(R
engendrée par TT(A) est
JPQR3) elle-même.
1(TT(A))])
En effet, la proposition précédente nous dit que F([TT-
= [n(A)]
1(TT(A))
1(TT(A))]
3,
et comme n-
~A, alors [TT-
= [A] =:R
d'oùFÇlR3) = [n(A)].
Proposition 2.3.3.
Si l'on pose R = {(u,v,w) ju,v,w Eill et u+v+w = O} ~
1
R = {(u,v,w) /u,v,w EJR ~ u+v+w 1: a}, alors TT(R
= TT(A) et R
est un sous-es-
2
2)
1
pace vectoriel de ~3. De plus, JP(R
n TT(R
= ~.
1)
2)
En effet, comme Ac R
alors n(A) c n(R
Montrons que TT(R
c TT(A).
2,
2).
2)
Soit (x' ,y' ,z,) dans R
on cherche (x,y,z) dans A tel que (x,y,z) soit équiva-
2;
lent à (x' ,y',z'), c'est-à-dire, on cherche À dans IR , À ~ 0 vérifiant x' = Àx,
x'
y' = Ày, z' = Àz. La condition x'+y'+z' = À(x+y+z) = À nous donne x =
,
x'+y'+z'
y'
z'
y =
et z =
,
,
l '
On vérifie ainsi que (x,y,z) est dans A, soit
x'+y'+z'
x +y +z
n(R
C
n(A). Finalement, supposons que (x,y,z) soit dansJP(R
= n(R.;'\\O) et
2)
1)
dans n(R
Il existe alors (x 'Y1 ,z1) dans R \\ 0 et (x
dans R
tels que
2).
1
1
2'Y2,z2)
2
(x,y,z) soit équivalent à (x 'Y1 ,z1) et (x,y,z) équivalent aussi à (x
1
2'Y2,z2)'
Il existe alors des éléments À et Q dansIR, non nuls, tels que x = ÀX
y = ÀY1 '
1,
z = ÀZ
et x = QX
y = QY2' z = QZ2' Ceci entraîne que x+y+z = À(x
y
) = 0
1
2,
1+ 1+z1
et x+y+z = Q(x
y
~ 0, ce qui est impossible. Donc F(R
n n(R
= ~.
2+ 2+z2)
1)
2)
Corollaire 2.3.4.
Avec les notations ci-dessus, ~JP(R3) = JP(R ) U TT(A) =
1
= JP(R
U n(R
1)
2).
3)
En effet, comme JR3 = R
U R
en tant qu'ensembles, alorsIP(:R
=JP(R
U
1
2
1)
U n(R
=IP(R
U TT(A}.
2)
1)
3
Proposition 2.3.5.
Tout élément (x' .s' ,z,) dans:rn.
équivalent à un élément
(x,y,z) de R
(resp. R~, est aussi dans R
(resp. R~.
.
1
1
3
En effet, soit (x',y',z') dansE
équivalent à (x,y,z) dans R
Il existe
1•
alors À non nul dans:rn. tel que x' = Àx, y' = Ày, z' = Àz, donc x'+y'+z' =
À(x+y+z) = 0 et ceci nous dit que (x',y',z') est dans R
Démonstration analo-
1•
gue pour R2•

---

10-
Proposition 2.3.6.
L'espace prOjectifF(R
est une droite projective.
1)
En effet, pour tout (u,v,w) danSIP(R
on a u+v+w = ° et ceci est l'équa-
1)
tion homogène d'une droite projective de point à l'infini (1,-1,0) et de points
ordinaires (1,-2,1) et (2,-3,1).
Proposition 2.3.7.
Si B = {( x.'y , z) 1x , y ,z E IR, x?: 0, y?: 0, z?: 0, x+y+z = 1},
3
alors [n(B)] =F(R ) .
~ 1
La démonstration est la même que pour l~ehsemble A. On trouve que le sous-
-espace vectoriel de JR3 engendré par B est ml et d'après la proposition 2.3.1.,
[n(B)] = FOR?).
Proposition 2.3.8.
Si IR~ = {(u,v,w) lu,v,w E JR, u?: 0, v ?: 0, w ?: O} alors
n(IR3 \\
0) = n( B) •
+
3
En effet, comme B est contenu dansIR+ \\
0, alors n(B) est contenu dans
n(lR~ \\ 0). D'autre part n(JR~ \\ 0) est contenu dans n(B), et pour voir cela, il
suffit de montrer que si (u',v' ,w') est dans JR: \\ ° il existe (u,v,w) dans B
tel que (u',v' ,w,) soit équivalent à (u,v,w). Posons u' = Àu, v' = Àv, w' = ÀW,
où À est un nombre réel non nul; on a u'+v'+w' = À(u+v+w) = À, donc À > 0, ce
_
, .
u'
u'
v'
Vi
w'
qui nous permet d'ecrlre u = ~ =
,
,
" v = ~ = ,
,
,et w = ~ =
f\\
U
+v +w
f\\
U
+v +w
f\\
w'
-
On a bien u ?: 0, v?: 0, w?: ° et u+v+w = 1 soit (u,v,w) est dans B.
- u '+v'+w,·
Note 2.3.9.
La dimension de R
est égale à 2.
1
En effet, commeIP(R
est une droite projective on a dimF(R
= 1 donc
1)
1)
di9R(R1) = dimF(R )+1 = 2. Une base de R
en tant queJR-espace vectoriel est
1
1,
alors (f
avec f
= (0,1,-1), f = (-1,0,1). Ces deux vecteurs sont linéai-
1,f2)
1
2
rement indépendants et engendrent R •
1
Proposition 2.3.10.
Le sous-espace vectoriel de:œ? engendré par R \\. JR~ est JR3
2
lui-même.
Soient fi = (1 ,-2,0), f~ = (0,-1 ,2), f~ = (2,0,-1) trois éléments de
R \\IR3• Ces trois vecteurs sont linéairement indépendants donc ils constituent
2
+
- - -
une base deIR3• Ils constituent aussi un système de générateurs du sous-espace
3•
3
vectoriel engendré par R \\JR
Donc le sous-espace vectoriel deIR
engendré par
2
+
3•
R
JR: est de dimension 3. Il est donc égal àIR
Ceci nous donne aussi le ré-
2\\
sultat suivant:
Proposi tion 2.3.11.
La variété [n(R '" JR:)J est égale à il'CIR?).
2

---

11 .
3)
2.3.12.
Représentation de n(B) dansIPOR
Sx ~ 0
lY ~ 0
X
~ 0
{ y~O
/
' /
'
/
1
1
1
!
'
_
/ / /
" ,
(x ~ 0
\\! ~ 0
Soit p(u,v,w) un point du plan projectif tel que P n'est pas sur U'W', où
3
U'W' représente la droite à l'infini du plan prOjectifF(m ) . De plus, x et y
représentent les coordonnées des intersections de la droite W'P et U'P avec
V'U' et V'W'. Réciproquement, si l'on a x et y on peut construire le point P.
Pour les points de n(B) on a x ~ 0, y ~ 0, donc on peut représenter ce domaine
3
dans le plan prOjectifF(R ) .
Proposition 2.3.13.
Soient un triangle équilatère de hauteur égale à 1,
T(u,v,w) un point du plan repéré par ses coordonnées triangulaires (projections
orthogonales sur les trois c8tés du triangle) et
p(u,v,w) l'image de T dans
le plan projectif. Alors
Tl (u ,v ,w
T
T3(~,v3,w3) sont ali-
1
1
1),
2(u2,v2,w2),
gnés si et seulement si les points Pl (u ,v ,w
P
P3(~,v3,w3)'
1
1
1),
2(u2,v2,w 2),
pris dans le plan projectif sont alignés.

---

y
w
v
w
U
v
l ' - - - -
...u..
X
~--~
u
w
En effet, uT = (~(2W+V),v), d'où uT = (V~(2W1+v1 ),v
1
1))
.::::t
1
~
1
~
1
U~2 = (V3 (2w +v ) , v ) et UT = (\\7:3 (2w
donc T
= (V3 ((2w - 2w )+
2
2
2
3
3+v3),v3),
1T2
2
1
+(v
)),v
et T1T~ = \\73 ((2w
)+(v
)),v
Considérons la ma-
2-v1
2-v1)
3-2w1
3-v1
3-v1)·
trice :
2
On a det(6
= -V3
1)
(v2w3-v3w2-v1w3+v3w1+v1w2-v2w1). Dans le plan projectif,
le déterminant des trois points P1,P2,P3 est donné par la matrice
u2 ~
~=
v
v
avec u. = 1-v. -w. (i = 1,2,3),
2
3
l
l
l
w
w
2
3
d'où det(À
= v2w3-v3w2-v1w3+v3w1+v1w2-v2w1. Ceci nous dit que det(6
= 0 si
2)
1)
et seulement si det(A ) = 0 ~u ~ncore T '~2,T3 sont alignés dans le plan affi-
2
1
ne si et seulement si les points P
sont alignés dans le plan projectif.
1,P2,P3

---

13·
3. La loi de Hardy-Weinberg
3.1. La parabole de Hardy-Weinberg
Considérons l'équation v2 = 4uw en coordonnées homogènes. On suppose
/
U
v
w ~ ° et l'on pose x = -, y = -. On a alors y2 = 4x et ceci représente l'équa-
w
w
tion d'une parabole.
y
2
4
Si nous considérons que u ~ 0, v ~ 0, w > ° et u+v+w = 1, la relation
2
v
= 4uw se résume en une demi-branche de la parabole puisque x ~ ° et y~ O.
3.1.1. Portion du plan affine correspondant aux points du plan projectif tels gue
u
v
u ~ 0, v ~ 0, w > 0, u+v+w = 1 : En posant x = -, y = - on a
w
w
x E [O,~[, y E [O,~[. Ainsi la portion du plan affine correspondant aux points
du plan projectif tels que u ~ 0, v~ 0, W> 0, U+V+W = 1 est le domaine x 0 y
où x ~ 0, y ~ O.
3.1.2. Caractéristigues de la parabole de Hardy-Weinberg
2
Considérons la relation v
= 4uw avec li ~ 0, V ~ 0, w ~ 0, u+v+w = 1. On a
2-4uv,
2+4u2+4uv-4u
W = 1-u-v, donc v2 = 4u(1-u-v) = 4u-u
soit v
= O. En déri-
dv
-
dv"
vant par rapport à u on-obtient 2v ~ + 4v + 4u ~ + Su-4 = ° soit
d
d
u
u
V
V
(2v+4U)d
= -4v - Su + 4. Donc d = ° pour v = 1-2u. En remplaçant cette valeur
u
2
2
u
1
1
de v dans la relation v- +·4u
+ 4uv - 4u = 0, on-obtient u = 4' donc v = 2 et
W = ~. Ainsi, le point TO(~; ~, ~} est le sommet de la parabole de Hardy-Weinberg
4
..
construite dans le triangle équilatère UVW. Le correspondant de ce point dans le
plan affine est le point de coordonnées cartésiennes non homogènes (1,2). La pen-
te de la tangente au point (1,2) à la demi-parabole y2 = 4x est égale à 1. Donc
11équation de cette tangente est donnée par y = x+1. De la relation
(2
)dv
S
' .
dv
-2v-4u+2
v+4u --d
= -4v -
u + 4, on dedUlt que --d
=
2 ' Les pentes des tangen-
u
u
v+ u
tes en V et U respectivement sont égales à ~ et -1. Or, dans le plan affine la

---

droite de pente infinie est l'axe Oy ~ui est le correspondant de VW. Donc VW
est tangent à la parabole.
w
u - - - - -
~ V
3.2. Etude analytique de l'application W_
v
On considère l'application ~ : JR3 ~~3 définie par ~(u,v,w) =(a ~, h -,
f
b~) où a,h,b sont positifs dansIR et f = au+hv+bw. Cette application est dé-
finie si au+hv+bw ~ O. Donc le domaine de définition de ~ s'écrit
3'{(u,v,w)I,u,v,w
D =m
EJR, au+hv+bw = O} ={(u,v,w) lu,v,wE~, au+hv+bw ~ Or.
~
u
v
w
Si l'on pose u' = a -~ v' = h -, w' = b - on a U'+VI+W' = 1. On a alors:
f
f
f
Im(~) ç;;; {(u',v',w')ju',v',w' EIR, u'+v'+w' = 1} = A. Posons A' = {(u,v,w)1
u,v,w EIR, u+v+w = 1, au+hv+bw ~ O}. Il est évident ~ue A' C A, ~ : D ~ A et
~
A' = AnD •
~
3.2.1. Injectivité de ~_
L'application ~ n'est pas injective car pour tout À dansJR, À ~ 0, on a
~(u,v,w) = ~(Àu,Àv,Àw) pour tout (u,v,w) dans D •
~
Etudions la restriction de ~ à A' soit ~/A' : A' ~ A. Soient (u ,v, ,w )
1
1
et (u
deux éléments de A' tels ~ue ~(u1'v, ,w,) = ~(u2,v2,w2). On a
2,v2,w 2)
w, = l-u
, w = 1-u
Après arrangement, on a :
l-vl
2
2-v2•
((h~b)V1+b)U2 "-(h-b)u
- bU
= 0
1v2
1
(a-b)v
+ ((b-a)u
+ bV
= 0
1u 2
1-b)v2
1
A
= ~h-bh.1 + b
Posons u
(a-b hl
On a d~t (6.) = -b(au
~ 0 si b ~ O. Donc la restriction de ~ à A' est
1+hv,+bW1)
une injection. En posant B = {(u,v,w)lu,v,w EJR, 0::; u,v,w::; 1, u+v+w =,} la

---

restriction de ~ à B devient aussi une injection car Be A'.
3.2.2. Surjectivité de ~_: D~ ~ A
Soit (u' ,v' ,w') dans A. On cherche,s'il existe, (u,v,w) dans D tel que
u
v
w ~
~(u,v,w) = (u',v' ,w' ) • On doit avoir u' = a r' v' = h r' w' = b r avec
f = au + hv + bw. On obtient alors le système suivant
au = (au+hv+bw)u'
hv = (au+hv+bw)v'
bw = (au+hv+bw)w'
ce qui donne encore :
(au'-a)u + hu'v + bu'w = 0
av'u + (hv'-h)v + bv'w = 0
aw'u + hw'v + (bw'-b)w = 0
hu'
hv'-h
hw'
Comme d~t(6') = 0, le système d'équations se réduit à un système de deux
équations à trois inconnues qui est le suivant:
(au'-a)u + hu'v + bu'w = 0
av'u + (hv'-h)v + bv'w = 0
On distingue deux cas
au'-a
hu'
bu'
1er cas : Supposons que
av'
=
= bv' ; les solutions du système sont dans
hv'-h
le plan a(u'-l)u + hu'v + bu'w = O. Il vient que w' = v' = u' = 0, ce qui est
impossible car u'+v'+w' = 1.
; au'-a 1
hu'
au'-a 1 bu'
hu'
1 bu'
S
2ème cas:
~ av' F hv'-h ou av' F bv' ou hv'-h r bv" le système admet des
solutions. Il vient que l-u'-v' ~ 0 ou v' ~ 0 ou u' ~ 0 soit w' ~ 0 ou v' 1= 0
L
L
bu'
ou u' r O. On supposera que w' r O. La résolution du système donne u = ---, W,
bv '
1
aw
v = hw' w, où w F 0 afin que (u,v,w) soit dans D~. On a donc une infinité de so-
lutions. Si nous cherchons la solution w telle que u+v+w = 1, on obtient
ahw'
w = bhu'+abv'+ahw' •

---

Conclusion:
La restriction de l'application ~ à A' est une bijection de A' sur A. On
voit aussi que la restriction de ~ à B est une bijection de B sur B lui-même.
3.3. Etude de ~ par les projectivités
Proposition 3.3.1.
L'ap~lication ~ définie ci-dessus induit une application
projective.;p: TT'(A') ~ TT(A) telle que eP(u,v,w) = (au,hv,bw).
En effet ~ est une bijection de A' sur A, et l'on a vu précédemment que
dans A,donc aussi dans A', on ne peut pas trouver deux éléments distincts qui
soient projectivement équivalents. On a alors le diagramme commutatif suivant
~
-------~) A
TT'
TT
cp
TT'(A') ----------7 Tt(A)
On pose ~'(U,V,W) = ~(u,v,w). Ainsi on obtient eP(u,v,w) = (au,hv,bw),
ce qui est une collinéation projective d'après la première partie du travail.
On notera a~~si cp = cp.
3.3.2. Etude de ~_
On montre, dans [3J, que cp = ~1 0 ~2 = ~2 0 CP1' c'est-à-dire, que cp se dé-
compose en un produit de deux perspectivités ~l et e.p2 donc ~ est une collinéa-
tion
• L'application ~ conserve les points U(1 ,0,0), V(0,0,1) et
W(0,1,0). Les droites UV, UW et VW sont conservées globalement. Si un point T
est à l'intérieur du triangle UVW, son.image T' par ~ est aussi un point à l'in-
térieur de UVW. Donc le triangle UVW est invariant) globalement, par ~.
3.3.3. Points invariants, centre et axe de la collinéation ~_
On a cp(u,v,w) = (au,hv,bw) et si l'on suppose que a,h,b sont distincts,
alors (u,v,w) n'est pas équivalent à (au,hv,bw) sauf pour les points U(1 ,0,0),

---

17 .
V(O,O,t), W(O,t ,0). Il n'y a pas de points invariants à l'intérieur du trian-
gle UVW. En effet si un point à l'intérieur du triangle était invariant par ~,
celle-ci se réduirait à l'application identique car une collinéation du plan
qui admet quatre points invariants se réduit à l'application identique. Le cen-
tre d'une collinéation est un point invariant, donc si ~ admet un centre, ce-
lui-ci ne peut être que D,V oU,W. Montrons que ~ n'admet pas de centre. En ef-
fet, si U était le centre de la collinéation ~, on aurait que toute droite qui
passe par U serait invariante. Supposons une droite D qui passe par U et soit
p(u,v,w) un point de cette droite; on a ~(p) = ~(u,v,w) = (au,hv,bw) et si D
est invariante, on doit avoir
u
au
° v
hv
= °
° w
bw
c'est-à-dire) (b-h)vw = 0, donc b = h, absurde car on a supposé que b ~ h.
Si b = h le centre de la collinéation est U. Si a = b le centre de la col-
linéation est W. Si a = h le centre de la collinéation est V et si a = h = b,
~ est l'application identique.
Si h ~ b, ~(p) n'est pas sur la droite UP, donc U ne serait pas le centre
de la collinéation ~. En conclusion si a,h,b sont distincts la collinéation ~
n'admet pas de centre.
Montrons aussi que la collinéation ~ n'admet pas d'axe si a,h,b sont dis-
tincts. En effet l'axe de la collinéation est défini comme étant la droite des
points invariants. Supposons qu'il existe une droite D dont les points sont fi-
xes.
a) Si D ~
UV,UW ou VW
il existe au moins quatre points invariants et ~
est l'application identique.
b) Si D = UV ou D = UW ou D = VW : on prendra D = UW et soit T(Q',~,O) sur
UW. On a qJ(T) = (aa,h~,O) et si a ~ h on voit que T ~qJ(T). Si a = h, ~(T) = T
et tout point de UW serai t invariant et dans ce cas le centre de la colli néa tion
serait V et l'axe serait UW et la collinéation serait une homologie hyperbolique.
Donc si a,h,b sont distincts la collinéation ~ n'admet ni centre, ni axe.
W
UAC-
~

---

3.4. Transforméede la parabole de Hardy-Weinberg par ~_
3.4.1. Méthode des coordonnées non homogènes
On re~arque que le point U(1 ,0,0) de la parabole est le point à l'infini
de.la parabole. En posant x = ~, y = ~, l'application cp est représentée par
w
A(
)
(
)
(a
h
)
r,
2
2
2
4
cp x,y
= x' ,y'
= - x,- y ou cp: JR ~ TIl • Donc la demi-parabole y = x va
b
b
2
4h2
se transformer en
y'
= a b x'.
3.4.2. Méthode des coordonnées triangulaires ou homogènes
La parabole de Hardy-Weinberg est transformée en une cônique d'équation
l 2
V
= 4 ~~ u'w' dont les tangentes en U et V seront encore UW et VW. Désignons
par k* et k l les transformées de la parabole de Hardy-Weinberg k par CP1 et cp
respectivement. Comme CP1 et CP2 sont des collinéations perspectives, lorsqu'on
considère un point T sur k, on a T* = UT n k*, T' = VT* n k' où T* et TI dési-
gnent respectivement les transformées de T par C+J
et cp.
1
W
parabole de Hardy-Weinberg
U ~-------------JI, V

---

3.5. Applications à la génétique
3.5.1. Détermination des points d'équilibre sur la parabole de Hardy-Weinberg
u
v
v
v
Posons p = u + 2' q = w + 2 de sorte que u+v+w = 1. En considérant la per-
pendiculaire à U
à UW on voit que la projection de K sur UL détermine q = UR.
On peut alors dire que les points de même fréquence sont sur la même perpendicu-
laire à UV et réciproquement les points qui se trouvent sur une même droite per-
pendiculaire à UV ont les mêmes fréquences. Un point T est dit point d'équilibre
si la fréquence de T est égale à celle de TI = ~(T). Nous devons alors avoir
A
TT' perpendiculaire à UV. On cherche alors le point T qui est sur la parabole
de Hardy-Weinberg k tel que TT' soit perpendiculaire à UV ou bien encore en
A
A
A A ·
A
désignant par K la projection de T sur UV on doit avoir T,T',K alignés. Cela
se traduit par
A
A
P
u
au
A
0
v
hv
= 0
A
q
w
bw
,,2
avec u = p
h-b
- - et comme. p + q
h-b
=
h-a
1, on a p = 2h-a-b'
h-a
q = 2h-a-b •

---

20.
3.5.2. Calcul de la limite de qP(u,v,w) où u ~ 0, v ~ °
On a ~(u,v,w) = (a ~, h ~, b ~) = (u',v' ,w') avec f = au + hv + bw et
2 ( )
)
(U'
VI
WI)
~ u,v,w = ~(u',v' ,w'
=
a fT' h fT' b fï
avec fI = au' + hv' + bw',
2v
(
)
( a (
U)
h (
v)
b (
W))
(a2u
h
b2W)
.
~ u' ,v' ,w'
=
fT a f 'fT
h f 'fT
b f
=
ff"
ff"
ffI . On VOlt donc que
~(u,v,w) est équivalent à (au,hv,bw,1' Donc ~2(u,v,w) est équivalent à
( 2
2· 2 ) ,
/ . .
n(
)
(n
n
n)
.
a u,h v,b w • Par recurrence on f?tlent ~
u,v,w
=
a u,h v,b w . Sl h = 1,
n(
)
(n
n)
S.
/ 0'·
( n
n ) , .
, ((a)n u
1 v
)
~
u,v,w
=
a u,v, b W.
l W r , ' on a .' a u,v, b."f
équi.vaLen t a
b
w' bn w,1
a) Supposons que a > 1, b > 1. On a lim~~fu,v,w) = (lim(-ba)n w~,0,1).
n~-h>J
w~O' '
i) Supposons a> b. Alors lim ~n(u,v,w) =(+0\\0,1) = (M,0,1) où M est
n~+<»
w~O
très grand. Or (M,0,1 )~(1 ,O,~), Lorsque M est très grand (1 ,O,~) est équivalent
( )
n ( ) -
(
)
à
1,0,0
= U. Donc lim ~
u,v,w
=
1,0,0
= U quand a > b.
n-lOO
w~O
ii) Supposons a < b. Alors lim ~n(u,v,w) = (0,0,1) = V.
n-to"
w~O
iii) Supposons a = b. Alors lim ~n(u,v,w) = (~,0,1) = (u,O,w).
n-t""
w
w~O
Si l'on pose T = (u,v,w), alors le point (u,O,w)
est l'inter-
section de WT avec UV.
iv) Supposons w = O. On a lim ~n(u,v,O) = lim (anu,v,O) =
n-rce
n~
lim (1 ,-Z-,O) = (1,0,0) = U.
n~
n
a u
b) Supposons a < 1, b < 1, h = 1.
i) Si a > b, lim ~n(u,v,w) = ljm ((~)n ~,~ ~,1) = (œ,00,1) = (1 ,1 ,O)~
n ~+oil
n +co
b
w bn w
w~O
w~O
ii) Si a < b, lim ~n(u,v,w) = (0,00,1) = (0,1,0) = W.
n~OI:l
w~O

---

21
iii) Si a = b, lim ~n(u,v,w) = (~,œ,1) = (0,1,0) = W.
n""*OO
w
wJ,O
iv) Si w = 0, lim ~n(u,v,O) = lim (anu,v,O) = lim (1 ,-Y-,O) =
n~
n~
nr-t+OII
n
a u
... (1,011,0) = (0,1,0) = w.
c) Supposons a < 1, b > 1. AlorSnl~fooc+Jn(u,v,w) = (0,0,1) = V.
wJ,O
lim ~n(u,v,O) = lim (anu,v,O) = (O,v,O) = (0,1,0) = W.
n~-t-
n~-+oo
d) Si a> 1, b < 1, Jj~c+Jn(u,v,w) = (00,00,1) = (1,1,0)
wJ,O
lim ~n(u,v,O) = lim (anu,v,O) = (oo,v,O) = (1,0,0) = U.
n ~+o:i
n ~+.,..
3.5.3.
Calcul de la limite de wn(u,v,w) dans le cas où l'une au moins des va-
leurs u ~ v est nulle
a) Supposons u = 0, v J, O. On a ~n(O,v,w) = (O,v,bnw).
i) Si b < 1, n-U:tg. cpn( 0, v, w) = (0, v, 0) "" (0,1 ,0) = W.
wJ,O
ii) Si b > 1, n-H~ ~n(O,v,w) = (°,v ,+e<.» rv (0, °,1 ) = V.
wJ,O
iii) Si b = 1, rJim cpn(O,v,w) = (O,v,w).
+OIJ
wJ,O
iv) Si w = 0, ~n(O,v,O) = ~n(0,1 ,0) = (0,1,0) = W.
b) Supposons u J, 0, v = O. On a ~n(u,O,w) = (anu,O,bnw) ~ ((Ê)n ~,0,1) si
w J, O.
i) Si a < b, rJ~ cpn(u,O,w) = (0,0,1) = v.
wJ,O
ii) Si a > b, n#~ ~n(u,O,w) = (+~,0,1) ~ (1,0,0) = Uo
wJ,O
iii) Si a = b,
lim cpn(u,O,w) = (~,0,1) = (u,O,w).
!rH-<1>
W
wJ,O
iv) Si w = 0, (u,v,w) = (u,O,O) '"V (1,0,0) = U.

---

22.
c) Supposons u = 0, v = 0, w ~ O. Alors (u,v,w) = (O,O,w) = (0,0,1) = V,
alors on a nli~ ~n(0,0,1) = (0,0,1) = V.
3.5.4. Positions relatives de k,k*,k'
Pour déterminer laquelle des deux cbniques k et kt est au-dessus il faut
•
2
calculer les hauteurs des somme t s d
~
2
,2
4h
"
L
0
es conlques v
= 4uw et v
= --- u w.
es
.
ab
sommets des deux côniqùes sont situés sur l'axe de symétrie. Donc si l'on dési-
2
2
gne par (uO,vo,w
le sommet de k on a : v
= 4u
O)
o
O
et va = 1 - 2u
~ 2u
= 1 - 2u
Donc 4u
= 1, soit ua =
O
O
O.
O
même, si (u'O,v'O,w'O) désigne le sommet de k ' on a
v'
=
~= ~ = ~ si h = 1. Pour k* on obtient v*O = l' ~a' Donc on
° h+' a
1. a
1+ ab
~,
+ h
do i t
1 ,
1
v*
1_
Ol
comparer vo = 2' v °= 1+~'
°- 1+Ja'
r.::"i:
1
1
· Si b > 1, alors Ja <;ab, donc 1+Ja < 1+tab, soit - - - ~
et k* est au-
1+/a »< '1 +.j'à5
dessus de k' .
· Si b < 1, k* est au-dessous de k '.
1
Si a> 1 ,
1
a 1+Ja > 2, donc
soit k est au-dessus
·
on
- - - < 2'
de k*.
1+Ja
· Si a< 1, k est au-dessous de k*.
· Si ab > 1, kt est au-dessous de k.
· Si ab < 1, k' est au-dessus de k.
Quelques exemples
1) a < 1, b < 1, h = 1; on a alors ab < 1, donc 1+;a:b < 2. Alors
~ > ~ et
1+ ab
2
k' et k* sont donc au-dessus de k.
2) a>1, b>1, h= 1; ona donc ab>2, 1+;ab> 2, soit 1+~<; et k' est
au-dessous de k. De même, k* est au-dessous de k, donc k' et k* sont toutes au-
dessous de k.
3) a > 1, b < 1, h = 1 ou a < 1, b > 1, h =
a) Supposons a > 1, b <
k est au-dessus de k* et k* est au-dessous de kt.

---

23.
• Si ab < 1, k' est au-dessus de k. Alors k* au-dessus de k et k au-dessous de k'.
• Si ab > 1, k'
est au-dessous de k. Donc k* est au-dessous de k' et k' en-
dessous de k, soit k* < k' < k.
b) Supposons a < 1 , b > 1 , h = 1-
Comme a< 1 , alors k < k*. De même on a k* > k' car b > 1 .
Si ab < 1 , alors k' > k, donc k < k' < k*.
· Si ab > 1, alors k' < k , donc k'<k<k*.
3.5.5. Convergence de (e 0 ~)n
Ici, e représente la projection sur k perpendiculairement à uv.
u"'------.......m.
Le but de cette opération est de voir s'il y a une limite quand on répète
l'opération (e 0 ~). Pour cela on s'intéresse à la variation de fréquence
6q = q'-q. Si 6q > 0, le point T' va du côté de V. Si 6q < 0, le point T' va du
côté de U. On prend le point T = (u,v,w) sur la parabole de Hardy-Weinberg k.
v
v
2
2
On rappelle que p = u + 2' q = w + 2 et que sur k on a u = p , v = 2pq, w = q
On a ~(u,v,w) = (a ~, h !, b !) avec f = au+hv+bw et 6q = q'_q = b; + hv - q =
2
f
f 2
f
2
2
2f 2
3
_ ~
~
bg
+
2hpg
bg +hpg-ap g-2hpg -bg
-
f
+
2f
- q =
2
2
- q =
2
2
=
ap +2hpq+bq
2 ( a p2+2hpq+bq2)
ap +2hpq+bq
2)
__ g(bg+hp_a p2_2hpg_bg
(
2
2)
2
2
Donc 6q est du même signe que
bq+hp-ap -2hpq-bq
. Or
ap + 2hpq+bq
9 (( 2h-a-b)g 2+( -3h+2a+b)q+(h-a))
p+q = 1, donc p = 1-q, ce qui donne 6q =
2
2 -- -
-- et 6q
ap +2hpq+bq
sera du signe de (2h_a_b)q2 + (-3h+2a+b)q + (h-a). Le discriminant 6 de ce poly-
nôme en q est (2h-a_b)q2 + (-3h+2a+b)q + (h-a). On obtient' 6 = (-3h+2a+b)2 -
2
2
- 4(h-a)(2h-a-b) = h
+ b
- 2bh = (h_b)2. Donc 6q = 0 pour q1 = 0, q2 = 1 et
A
h-a
q = q3 = 2h-a-b •

---

24.
Etude dans le cas où
On pose A = 2h-a-b.
ry) k' > k c'est-à-dire k' au-dessus de k
q
o
6q = q'-q
+
o
+
o
o
+
Â>O
6q = q'-q
o
o
+
o
A<O
uL------V
A
Si A > 0, pour T compris entre U et ~ il Y a convergence vers T. Pour T
compris entre T et V il Y a convergence vers T.
A
Si A < 0, pour T compris entre U et T il Y a convergence vers U et pour
A
T compris entre T et V il Y a convergence vers V. Il y a stabilité pour les
points T,U,V.
~) k' < k, c'est-à-dire, k' au-dessous de k.
q
o
~q pour
o
A>O
+
o
+
o
+
M pour
o
o
o
A<O
+

---

25.
Dans le cas où A > 0, il Y a convergence vers T pour les points compris
"-
"-
entre U et T. Il Y a convergence vers T pour les points compris entre T et V.
Dans le cas où A < 0, i l y a convergence vers U pour les points compris
,.
entre U et T et vers V pour ceux compris entre T et V.
Cas où A> 0
u
v
Etude dans le cas où q =
h-a
avec q < 0
2h-a-b
On suppose toujours A = 2h-a-b.
a) k' au-dessus de k.
q
o
M pour
+
o
o
o
+
A> 0
~q pour
o
+
o
+
o
A<O

---

26.
Si A > 0, il Y a convergence vers U. Si A < 0, il Y a. convergence vers V.
w
u
V
U
V
~ ) kt au-dessous de k.
q
q
0
t1q pour
+
0
0
0
+
A>O
t1q pour
0
+
0
+
0
A<O
Si A> 0, il Y a convergence vers U. Si A < 0, il Y a convergence vers V.
A>O
u
V
U
V
Etude dans le cas où q > 1
cr) k' au-dessus de k.
,.
q
0
q
t1q pour
+
0
+
0
0
+
A>O
t1q pour
0
0
+
0
A<O

---

27.
Si A> 0, il Y a convergence vers V. Si A < 0, il Y a convergence vers U.
li
V
U
V
~) k' au-dessous de k.
0
A
q
q
tlq pour
+
0
+
0
0
+
A>O
~q pour
0
0
+
0
A<O
Si A > 0, il Y a convergence vers V. Si A < 0, il Y a convergence vers U.
U-----_---.::~V
u
~v
3.5.6. Applications génétiques
h-a
1-a
1er cas : a<1, b<1, h==1. On a q == ------- ==
Donc q E JO,1[ et kt et
2h-a-b
2-a-b·
1
1
1<_1_
1
k* sont au-dessus de k car 2 < 1+j"à5 et 2
1-h/a- Comme b <
,alors k* est au-

---

28.
dessous de kt. Nous avons A = 2h-a-b = 2-a-b > O. Donc il y a convergence vers
,.
T de
fréquences p et ~ avec p = 1-~.
uL-------v
2ème cas : a > 1, b > 1, h = 1. On a A = 2h-a-b = 2-a-b < 0; h-a = 1-a < O.
h-a
h-a
Donc ~ = 2h-a-b = (h-a)+(h-bY > 0,
soit ° < q < 1 et k' et k* sont au-des-
sous de k. Il Y a convergence vers U et V. Le point T est fixe par 8 0 ~.
u-------~V
3ème cas : a < 1, b > 1, h = 1 ou a > 1, b < 1, h = 1 •
h-a
1-a
1-a
Supposons que a < 1, b > 1, h = 1. On a q = 2h-a-b = 2-a-b = (1-a)+(1-b) =
1
1-b
1
1-b et 1-b < 0, 1-a > 0, donc 1-a < 0, soit q =
1-b> 1. Il Y a alors con-
1 + -
1-1-":--
1-a
1-a
vergence vers U ou V.
u'------~v

---

29.
3.6. La loi de Hardy-Weinbe"g et algèbres génétigues
On se bornera ici à des algèbres génétiques particulières que nous appe-
lerons algèbres gamétiques. Soient~[XO,X1, ... ,XnJ laIR-algèbre des polynômes
en les indéterminées XO"."X
à coefficients dansill et A = G(n+1,2m) le sous-
n
-~-es~ace v~ctoriel deTI{X
, ..• ,xnJ ayant une base formée par les monômes
O,X1
1 0
1 1
ln
n
X
=
o X ".X
tels que ~O i
m. La structure d'algèbre de A est donnée par
1
n
k
la table de multiplication suivante:
i +j
1
1
1
0
1
( n
n)
n
• • .
1
Xo X .••X
1
n
n
On obtient ainsi sur A = G(n+1,2m) une structure deIR-algèbre commutative
non associative et sans élément unité. On dira que A = G(n+1,2m) est l'algèbre
gamétigue d'une population 2m-ploïde avec n+1 allèles.
3.6.1. Cas particulier
Si n = 1, A = G(2,2m) est une algèbre gamétique d'une population 2m-ploïde
,
,
m-i
i
avec deux alleles, la base naturelle de A surIR est donnee par e
= X
i
o
X1
(i= O, ••• ,m) et la table de multiplication de A relativement à cette base s'é-
crit
e. e.
1
J
e.e.
0, .•• ,m).
1
J
m
En posant y.
(2m)-1(i+ j)(2m-i_ j) on a alors
ijk =
m
k
m-k
eie j = k~O ~ijkek avec
m
0$ Yljk $ 1 quels que soient i,j,ket k~O Y
= 1 quels que soient i,j.
i j k

---

30 ..
3.6.2. Théorème
Une condition nécessaire est suffisante pour qu'un vecteur x = ae
+
O
~e1 + ye de A = G(2,4) soit un idempotent, où a + e + y = 1 est que la loi de
2
2
Hardy-Weinberg soit vérifiée, c'est-à-dire, ~
= 4ay.
Donnons d'abord la table de multiplication de A = G(2,4) relativement à
sa base naturelle :
eo
e
e
1
2
1
1
2
1
e
e
(e
)
e
O
o
2
O+e1
b e +- e
o 3 1+6' 2
1
1
2
1
1
e
- (e +e )
e +- e +- e
(e
1
2
0
1
6'
o 3 1 6 2
2
1+e 2)
1
2
1
1
e
e +- e +- e
(e
2
6'
o 3 1 6 2
2
e
1+e)
2
Montrons que la condition ~2
2
(ae o + ~e1 + ye
= ae +
ye
soit
2)
O
2
2
+ y2e1 + 2a~.~ (e
+ 2ay
O+e 1)
:3
+ ye
ce qui donne les relations :
2,
2 1 2
1
a
+ 6 ~ . + a~ + 3 ay = a
2 2 4
3 ~. + a~ + 3 ay + ~y = ~
1
2
2
1
- ~
+ y
+ - ay + ~y = y
3 .
3
1
2
.
)
La première relation nous donne a(a+~
+ 6 ~. + 3 av = a, soit a(1-v) +
+ ~ ~2 + ~ ay ='a, donc ~2 = 4ay. La démonstration est analogue pour les deux
autres relations.
Montrons que la condition ~2 = 4œv est suffisante. Soit x = ae
+ ~e1 +
O
2
+ ye
un vecteur de A = G(2,4) avec ~
= 4ay et a + ~ + y = 1. Alors x est un
1
2
idempotent de G(2,4), c'est-à-dire, x
= x.

---

31.
3.6.3. Interprétation géométrique de la loi de Hardy-Weinberg
On se place dans le cas où le repère (e
est orthonormé. L'ensem-
O,e 1,e2)
ble des points de l'espace tels que a + ~ + y = 1 est un plan passant par les
points (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) et l'équation ~2 = 4ay définit une parabole,
dans ce plan, contenant les points (1,0,0), (0,0,1).
y
v( 0,0,1 )
W(0,1,0)
Tout vecteur x de G(2,4) qui part de l'origine et qui a son extrêmité sur
2
la parabole de Hardy-Weinberg est un idempotent, c'est-à-dire, x
= x.

---

32.
4. Sur quelques modèles génétiques d'après r.M. YAGLOM
4.1. Premier modèle
3
Considérons l'application ~
R
~ m3 définie par ~(d,h,r) = (d',h' ,r') =
=((d~)2, 2(d+~)(r+~),(~)2),
3.
pour tout élément (d,h,r) delli
Proposition 4.1.1.
1) L'application m est une forme quadratique dégénérée.
3
2) En posant W(x,y) = ~(x+y) - cp(x) - cp(y), l'élément X
de:œ.
tel que
o
3
3
Hxo'Y) = 0 pour tout y dans:œ.
appartient à R
= {(d,h,dl(d,h,r) E JR , d+h+r= o L
1
3) L'application ~ est une projection orthogonale à UV ~ ~ transforme le
triangle équilatère UVW en la parabole de Hardy-Weinberg h,2 = 4d'r'.
2
1) On vérifie facilement que ~(~x) = ~ ~(x) pour tout ~ dans:œ., et pour
3
3
3
tout x dans:JR
et que l'application W ::JR x:JR
~:œ.3 telle que W(x,y) =cp(x+y)-
-~(x)
3
- ~(y) quels que soient x,y danslli
est:œ.-bilinéaire. On cherche, s'il
3
3
existe, X
E:JR
tel que w(xo'y) = 0 pour tout y dans:œ. . Or, w(xo'y) =~(xo+y )-
o
- ~(xO) - ~(y). Posons X = (dO,hO,rO)'y = (d,h,r). Alors w(xo'y) = (((dO+d)'
o
- dO'-d'),((hO+h)1 - hO'-h'),((rO+r)' - rO'-r')) = (X,Y,Z) et w(xo'y) = 0 est
équivalent à X = 0, y = 0, Z = 0 avec:
hO+h 2
hO 2
h 2
X = (d
- (dOS)
- (d~)
O+d+-
2-)
( (
hO) (
h) )2
(
hO )2 _ (d-'-~) 2
=
dO~ + d~
-
dO+;2
'2
2
h
- Cl'
= 0 avec Cl' = d~, Cl'O
= 0 pour tou t Cl'.
= 20'Cl'0
h o
h 0
+ - = 0, ce qui -donne -2- = - dO ou hO = - 2d . Pour Z = 0, on ob-
2
20
tient 2~0~ = 0 pour tout ~ avec ~ = r + ~, d' où ~ 0 = r O + 2 = 0, soit dO = "o
Pour Y = 0, on obtient y = 2(ao~+a~0) = 0 quels que soient a et ~, donc
hO
h O .
Cl'O = f
= 0, c'est-à-dire, dO + :2 = 0 = r
+~. Flnalement on a X = (do,ho,r ) =
O
O
o
o
= ~dO,-2dO,dO)' Dés lors ~ est une forme quadratique dégénérée.

---

33.
2) Il est évident que Xo est dans R car la somme des éléments dO' -2d
1
O
et dO est nulle.
3) Pour la démonstration, onrenvoie, à [ 8 ] .
Proposition 4.1.2.Si un point T = (d,h,r) est au-dessus (respectivement au-des-
sous) de la parabole de Hardy-Weinberg on a hl < h (respectivement h' > h).
2
h
En effet h'-h = 2(d+~)(r~)-h = 2dr + dh + rh + 2'" - h
2-2h
4dr+2dh+2rh+h
h2+4dr+2h(d+r-1)
=
2
=
4
2+4dr_2h2
2
h
-h +4dr
=
4
=
4
2
donc h' < h si et seulement si h
> 4dr ou encore, si et seulement si Test au-
dessus de la parabole de Hardy-Weinberg. La démonstration est analogue pour
h ' > h ,
4.2. Deuxième modèle
3
On considère l'application ~ : IR ~E3 définie par f(d,h,r) =
= (d',h',r ') avec:
(d~)2
1~(1-1 )(2d+h)(2r+h)
21 (d+~)( r+~)
h' = ----=----=----
1+;(1-1)(2d+h)(2r+h)
(r+!:)2
2
r' = ----~=------
1+;(1-1 ) (2d+h)(2r+h)
+
et on suppose que d ~ 0, h ~ 0, r ~ 0, d+h+r = 1 et lE IR • On vérifie que
, 2
d'+h'+r' = 1 et on a aussi h
= 41d 'r'. Donc l'image du triangle DHR est la pa-
2
rabole d'équation h
= 41dr.
w
UL-
~ v

---

34.
Remarque 4.2.1 .Si l'on pose D = 1 + 1;1 (2d+h) (2r+h) on aD> 0 quelque soit
l Em+. En effe~, si l'on pose p = d + ~ et q = r + ~ on a D = 1+2(1-1 )(d+~)(r+~
= 1+2(1-1 )p(1-p) = -2(1-1 )p2 + 2(1-1)p + 1. Posons f(p) = D et calculons le
discriminant ~, de f(p) : 6' = (1_1)2 + 2(1-1) = (1-1 )(1-1+2) = (1-1 )(1+1).
Si 0 ~ l < 1, alors 6' < 0, donc D est du même signe que -(1-1), c'est-à-dire,
D > O. Si l ~ 1, i l est évident que D > O.
Proposition 4.2.2.Pour tout élément l dansIR+ ~ d > r (respect. d < r) si et
seulement si d' > r' (respect. d' < rI), ou encore, d-r et d'-r' sont de même
signe.
En effet, d'-r'
(d+h+r) (d-r)
h
h
1+2(1-1 )( d+ )(r+ )
2
2
=
d '-r'
1
où D est définie précédemment donc D > O. Alors
= D- > 0, donc d-r et d'-r'
d-r
sont de même signe.
4.2.3, Calcul de p '-p
h
h'
h'
( h
On a p = d + 2' p' = d' + 2' avec d+h+r = 1, donc p'_p = (d'+2"') -
d+2) =
= (d,+1-d~-rl) _ (d+1-~-r) = (d'-r');(d-r), soit le signe de p'-p est le même
que celui de (d'-r') - (d-r).
Remarque
4.2.4. Supposons deux points T et T' de fréquences respectives p et p'.
Si p' < p cela veut dire que le point T' se -trouve à droite de la perpendiculai-
re à UV passant par T. Si p' > P il se trouve à gauche de la perpendiculaire à
UV passant par T.

---

35.
p'
h
h
d '-r'
1
Remargue
4.2.5.Si 1 > 1 on a D = 1+2(1-1 )(d~)(~) > 1, donc
d-r
= fi et
1
1 d' -r' 1 = fi
1d-r 1 < d-r.
Si 1 < 1 on a Id'-rll > Id-ri et si 1 = 1, Idl-r'i =
= Id-ri·
n
4.2.&Convergence de ~
A) Supposons 1 > 1, donc rdl-rll < Id-ri.
Q) Si p> ;, alors T se trouve dans la moitié gauche du triangle
UVW, donc d-r > ° et d'-rI> O. L'inégalité Id'-rll < Id-rI s'écrit d'-rI < d-r,
ou p'-p < 0, c'est-à-dire, p' < P et le point T' va vers la droite et va conver-
ger vers Pl où Pl = (2(~+1 ), 1~1' 2(~+1 )) est un point invariant par~.
w
U ~---L_..l.-
3 V
u""--
.l-~_--3.V
S) Supposons p < ~, donc T se trouve dans la moitié droite du trian-
gle UVW, soi t d-r < ° et d' _ri. < O. L' inégali té 1d' -r' 1 < 1d-r 1 va SI écrire
d'-rI > d-r, donc p'-p > ° ou p' > p. Ainsi le point T' va converger vers le
point Pl'
B) Supposons 1 < 1, donc Id'-r'l > Id-rI.
Q) Si P > ~, dI_rI > 0, d-r> 0, donc d'-r' > d-r, ce qui entraîne
p'.> p. Le point T est dans la moitié gauche de UVW, T' va du côté de U et con-
verge vers U.

---

36.
c)
f'
Sl' P < 2
1 , en ope'rant comme 1es cas .
Cl-dessus, on
t
mon re que TI
converge vers V.
w
U e---_....!.J..-_ _..J..L_ _~ V
4.2,1.Variation de pl en fonction de p
hl
(d~)2 1(d~)(r+~)
h
h
On a pl = dl + 2 = .
D
+
D
avec D = 1+2(1-1 )(d+2)(r+2), soit
(d~)((d+~)+l(r+~)) p(P+1(1-p))
pl =
D
=
D
2
En dérivant par rapport à p on a ~pl = 2(1-1)p -~(1-1 )p±l
p
D
On pose N = 2(1-1 )p2 _ 2(1-1 )p+1 et étudiOliS le signe de N. On distingue
deux cas
1) 1 > 1 : 1e discriminant ~I de N est ~I = (1_1)2 - 1(1-1) = 1-1, donc
!!IL
~I < O. Alors N est du signe de 1-1, soit N> O. Donc dp
> ° et pl est une
fonction croissante, pl
: [0,1J ~ [0,1J. On voit que si p = 0, pl = 0, que si
1
1 1
t ·
1
1 1
P = 2' p
= 2 e Sl p = , p = .
(1-1 )+~
.
2 ) 1 < 1
On a ~I = 1-1 > O. On pose N =
1-1
et on VOlt que
1
-(1-1)+~
2
est positif car x_x
est positif sur l'intervalle JO,1[. Donc N < O.
1
°n pose aUSSl' N -- ~-- + \\[1:l>
----1-1
1 . 1e t ab1eau d
e a
v
'
rlat·lon de N don-
2
1-1
ne
p
°
N
O'
+
1
+
1
+
°
pl
Donc pl est une fonction croissante de p s~ [0,1J pour tout 1 ~ O.

---

_ .
, . _ . _ .
4 . _
_
_ ' _ _ ' ' -
,
1
'37.
BIBLIOGRAPHIE
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Press Inc, Publishers-New-York, N.Y.
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nal of Math., 19, 1967, 1233-1242.
[8J
J.W. YOUNG, Projective Geometry, Chicago, The open Court publishing Co,
1930,185 pages.

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Titre
Diagrammes de DE FlNETTl
Résumé : Le travail que nous présentons ici comprend quatre parties. Dans la
première, nous rappelons des définitions et des propriétés concernant les espa-
ces projectifs, le groupe projectif et le groupe des collinéations. Dans la
deuxième partie, nous introduisons la notion de diagramme de DE FlNETTl, ses
propriétés et rapports avec les espaces projectifs. De plus, on montre comment
les diagrammes de DE FlNETTl interviennent en Génétique. La troisième partie
concerne la loi de Hardy-Weinberg, une des lois fondamentales de la Génétique,
l'étude d'une sélection particulière qui n'est autre qu'une transformation pro-
jective ainsi que les liens existant entre la loi de Hardy-Weinberg et les dia-
grammes de DE FlNETTl. Encore dans cette troisième partie, nous faisons le lien
entre la loi de Hardy-Weinberg et les algèbres génétiques. Finalement, dans la
quatrième partie, nous exploitons certaines idées de l.M. YAGLOM.
Mots clés: Diagrammes de DE FINETTl, espaces projectifs, loi de Hardy-Weinberg,
algèbres génétiques.

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