N° d'ordre: 1090
THËSE
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PRËSENTËE A
POUR OBTENIR
LE GRADE DE DOCTEUR DE 3ËME CYCLE
SPËCIALlTË: MATHËMATIOUES APPLlOUËES
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PAR
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SABEKO MARCEL BONKIAN
CONTRIBUTION A L'ËTUDE DES MESURES ALËATOIRES
DU SECOND ORDRE
MEMBRES DU JURY: D. BOSQ, PRËSIDENT
P. JACOB, RAPPORTEUR
J. DELPORTE, EXAMINATEUR
SOUTENUE LE 19 OCTOBRE 1983

---

Mon;.,ieuA le P!LO 6e.6.6euA VenM BOSQ me 6ad. l' honneur: de p!Lé.6ide!L
le juAlj de cerre. :thè.6 e ; je tien;., à le nemenei.e): btè.6 vivemen:t ; en c.efte
oc.c.a.6ion mémo!Lable, je lui :témoigne ma p!Lo6onde !Lec.onnai.6.6anc.e pOuA la
g!Lande c.on:t!Libu;t{.on qu'il a appolLtée à ma 6o!Lma-tion ravu: en Ma..Z.ttU.6e qu'au
V.E.A ..
Mon;.,ieuA le P!L06eMeuA PieMe JACOB a bien voulu. m'initie!L à fa
!Lec.he!Lc.he. Au momen:t où. je me btouvai.6 à des millie!L.6 de Womèbtu d' iu,
il n'a c.u.6é de me donne!L du idéu .6uA le sii] e:t, à m' enc.ouAage!L ; b!Le'6 à
me main:terUlL dans le monde de la !Lec.he!Lc.he. Il u:t c.eJtt.a.inemen:t à l' oftigine
de mon .6éjouA qui abou.ti:t à la .6ou.:tenanc.e de cecte :thè.6e, pM Mn appui
cons.tant, :tan:t au niveau mo!Lal que .6 uenti6ique ; en6in, il m'a 6ad. p!Leuve
d'une g!Lande patienc.e, .6ou.6 tendue. pM un upftd de c.omp!Léhen;.,ion loin de
la c.omplai.6anc.e. POuA :tou.:t c.efa, qu'il me .6oa p~ de lui difLe ma p!Lo6onde
g!Lati:tude.
Mon;.,ieuA le P!L06e.6.6euA Jean VELPORTE a bien voulu ac.c.ep:te!L de
juge/L cc :t!Lavail ; qu'il en .6oa vivemen:t !Leme!LUé.
Qu'il me .6oa pe!Lmi.6 de !Lappele!L i u fa mémoifLe de mon p!L06U.6euA
de V. E. A., Mon;.,ieuA Ch!Li.6tian GUILBART qui malheu.!LeU.6emen:t noU.6 a quJfté
p!Léma:tuJtémen:t.
C'u:t de 6aç.on btè.6 c.on;.,uenueU.6e, avec. diligenc.e e:t beauc.oup de
patienc.e que AfLlefte Lengaigne a dac.:tljlog!Laphié le :tex:te de c.ette :thè.6e ;
qu'il me .6 oa p~ de fa !Leme!Lue!L c.haleuAeU.6 emen:t, ain.6i que :tOM ceux
qui on:t pa!l.tic.ipé à la !Léali.6ation ma:tWeUe de ce btavaa.

---

PLA
N.
Page.-6
INTROVUCTION.
l
NOTATIONS USUELLES.
CHAPITRE
l
-
TOPOLOGIES SUR
M~ ET SUR M+ : RAPPELS.
3
CHAPITRE
II
- TOPOLOGIE FAIBLE A VISTANCE FINIE SUR
M
ET TOPOLOGIE FAIBLE SUR
Mb.
8
CHAPITRE III
-
MESURES SUR L'ESPACE PROVUIT X x X.
18
18
B -
ClaMe.f.J dUeJLrrU.nafU:e.f.J,
C-dUe.JurU.nante.f.J et:
ë-
2
dUvz.rrr.,i.nafU:e.-6 J.J U!1.
M •
20
CHAPITRE
IV
-
CONVERGENCE EN MOYENNE QUAVRATIQUE VE MESURES
ALEATOIRES V'ORDRE VEUX.
40
A -
PJtWminaVz.e6 à l'UMe. de. la c.onveJLge.nc.e. e.n
moye.nne. quadnatique..
40
B
-
Etude. de. la c.onve.Jtge.nc.e. en moye.nne. qua~ue.
de. mesU!1.es alêat:oJJte.f.J d' 0JtdJte. 2.
48
C -
l fU:Jtoduction à l r étude de. me.f.J U!1.e.f.J aféatoJJte.f.J
évolutive.f.J du second ondne..
82
Exemple. 1
migJtation d' UoU!1.ne.aux.
81
Exemple. 2
pJto ce.f.JJ.J Uf.J de. lig ne.s .
88
Exemple. 3
~héoJtème. e.Jtgodique..
89
BIBLIOGRAPHIE.
91

---

A N N
E X
E.
REPRESENTATIONS CONTINUES DE MESURES PAR DES PROCESSUS PONCTUELS DE POISSON.
l
-
PRELIMINAIRES.
11-01
II
-
REPRESENTATIONS CONTINUES DE MESURES.
11-04
BIBLIOGRAPHIE •
11-23

---

l N T R 0 vue T ION.
Le travail présenté dans cette thèse comporte deux parties toutes
deux consacrées aux mesures aléatoires mais différentes quant à leur sujet.
La plus ancienne de ces parties a déjà fait l'objet d'une publica-
tion dans la revue de l'I.R.M.A. de Lille (Vol. 4, Fasc. 1,1982), et est
rejetée en annexe. Indiquons brièvement qu'il s'agit d'une étude qui se situe
dans la lignée des théorèmes de représentati on dûs à A. V. SKOROKHOD ([30J,
[31J ), J. GEFFROY et O. JOUANDET [32J, R. M. DUDLEY [33J, et P. JACOB ([3J,
D~). A une famille donnée
r
de mesures boréliennes positives sur un
espace métrique séparable, nous associons un processus
{f0
; 11 €
M}
tel que,
11
pour tout élément
~ € f, fO est un processus ponctuel de Poisson de mesure
~
moyenne
~. La construction est faite de façon que
{f" ; ~ € M}
présente
u
des propriétés de continuité lorsque
M est muni de la topologie "faible
à distance finie". Une telle représentation est un outil très efficace
lorsqu'il s'agit d'établir certains résultats de convergence (par exemple
[lJ ; [2J ; [37J).
La partie principale, plus récente, expose des résultats obtenus
plus récemment, avec le concours de P. JACOB, sur les mesures aléatoires du
second ordre. Il s'agit là d'objets mathématiques dont l'étude remonte aux
travaux de K. KRICKEBERG [IOJ, D. VERE-JONES [l1J où la notion de moment
d1une mesure aléatoire est notamment introduite.
On conna,t par ailleurs les travaux de J. GEFFROY, H. ZEBOULON,
P. QUIDEL sur les convergences stochastiques de mesures aléatoires et de
processus ponctuels ([lJ ; [2J ; [9J) et leurs développements. Cependant
il manquait jusqu'ici une étude de la convergence en moyenne quadratique

---

- II -
des mesures aléatoires du second ordre; c'est cette lacune que nous avons
essayé de combler ici, en utilisant la notion de moment: la convergence
en moyenne quadratique d'une suite de mesures aléatoires du second ordre
(w~) vers une mesure aléatoire du second ordre west caractérisée par
la convergence faible à distance finie de la suite de moments
E{(w~ - wo) B (w~ - wo)} . Une telle étude a, à notre connaissance été
négligée jusqu'ici par les auteurs travaillant sur les mesures aléatoires
du second ordre. Il s I aqt t en effet, dans leur optique, de généraliser les
processus du second ordre: par voie de conséquence, l'espace où se réalisent
les mesures aléatoires est un espace des temps plus ou moins général (R
ou
un groupe localement compact) permettant des travaux sur la stationnarité
temporelle. Pour nous, les mesures aléatoires du second ordre se réalisent
sur un espace où elles présentent des propriétés spécifiquement spatiales,
et évoluent par ailleurs en fonction du temps: il s'agit donc, à proprement
parler, de processus "ë valeurs mesures Il , que nous appellerons mesures
aléatoires évolutives du second ordre; les exemples intuitifs ne manquent
pas, que l Ion considère les nuages se déformant dans le ciel, les migrations
d'oiseaux ou l'envahissement d'une pelouse par la mousse ...
Mais clest sans doute vers la mécanique statistique qulil faudra
chercher les principales applications.
Pour le moment, il va sans dire que nous sommes loin d'avoir
réalisé ce vaste programme; la simple étude des propriétés de la notion
de convergence en moyenne quadratique des mesures aléatoires nous a en
effet contraint à compléter ce que l Ion sait déjà de la convergence faible
à distance finie des mesures positives et qui fait l lobjet du premier
chapitre.
Dans le second chapitre, nous étendons des résultats de compacité
faible à distance finie aux mesures à signe.

---

- III -
Dans le troisième chapitre, nous étudions les mesures sur les
espaces produits, et plus spécialement les classes fonctionnelles qui
déterminent la convergence faible sur ces espaces.
Dans le quatrième chapitre, nous abordons enfin la convergence en
moyenne quadratique des mesures aléatoires ; les résultats principaux sont
- un théorème de caractérisation de cette convergence pour les
mesures aléatoires positives~
- un théorème de complétude essentiel pour les applications.
Nous généralisons ensuite ces propriétés aux mesures aléatoires
à signe
et nous ternlinons par une introduction à l'étude des mesures aléa-
toires évolutives du second ordre.

---

NOTATIONS USUELLES.
Notre intention n'est pas de consigner ici toutes les notations que
nous serons amenés a utiliser. Nous voulons tout simplement préciser certaines
d'entre elles, qui seront systématiques.
(X,d)
désigne toujours un espace métrique séparable.
Pour toute partie
A de X, on note :
aA
la frontière de A.
AC
le complémentaire de A.
AE
le dilaté de A a E
près,
E c R+~
AE = {x € X : d(x,A) < E}.
A
l'adhérence de A: A= {x € X : d(x,A) = O}
On désigne par
B
la tribu borélienne de X et par
B
l'anneau
b
des boréliens bornés de X.
C désigne l'ensemble des fonctions numériques continues et
bornées sur
X.
C
désigne le sous-ensemble de C, constitué par les éléments
b
de C qui sont a support borné sur
X.
C+ (resp. C~)
désigne le sous-ensemble des éléments positifs
de C (resp. C ) .
b
Mb désigne l'espace vectoriel des mesures a signe bornées sur
(X,B) •
M+
b est le sous-ensemble
t
cons il t ~
ue des elëemen t s
i t if
pOSltl s d
ê
e Mb.

---

- 2 -
M+
désigne l'espace des mesures positives, finies sur
Bb.
M désigne l'espace des "mesures à distance
finie ", appelées
simplement mesures dans ce qui suit; il slagit des fonctions d'ensemble
À
définies sur
B ,
' telles que
b
à valeurs dans R,
a-additives sur
Bb
À(~) = O. D'après [14J, tout élément À de M possède une décomposition
. . 1 ·
1 f
"\\"\\ +
"\\ -
"\\ + c- M+
et
"\\ - c- M+ ;
mlnlma e unlque sous
a orme
A
= A
-
A
avec
A
~
A
~
cette décomposition déduite de la décomposition classique de Hahn Jordan
des mesures bornées, portera simplement dans ce qui suit, le nom de décom-
position de Hahn-Jordan.
2
X
est le produit cartésien
X x X , qu'on munit de la métrique
2
d
= max(d,d).
On adopte, pour simplifier des notations semblables à celles
données pour
X. Ainsi :
2
2
B
désigne la tribu borélienne de X
2
2
B
désigne l'anneau des boréliens bornés de X
b
2
2
M
désigne l'ensemble des mesures sur
X
2
M2
désigne l' ensembl e des mesures bornées sur X
b
2
2
C
désigne 11 ensemble des fonctions numériques continues, bornées sur
X .
2
2
C
désigne le sous-ensemble constitué des éléments à support borné de C .
b

---

- 3 -
CHAPITRE l
TOPOLOGIES SUR
M~ ET SUR M+ : RAPPELS .
Dans cette partie, nous donnons la définition de la convergence
faible sur
M~ et celle de la convergence faible à distance finie sur M+
Nous rappel ons que l ques
-
resu l ta t s somme tout e cl '
asslques sur
M+b et M+
dont le but est de saisir les liens immédiats entre topologie faible et
topologie faible à distance finie; ensuite, ces résultats sont susceptibles
d'être utilisés dans la suite du travail.
Vé6inLtio» 1.1.-
Une suite
converge
( 11
)
d'éléments de M+
"n noN
b
faiblement vers
~
si et seulement si, pour toute fonction
h €
C
lim I h d~
h d~ .
n+t
n
oo
X
Cette convergence est notée :
Théo~ème 1.1 d'Atexan~ov ou théo~ème du po~e-manteau
Soit
(~n) une suite d'éléments de M~ ; les assertions suivantes
sont équivalentes :
i)
~n => u
ii)
Vh
fonction numérique uniformément continue sur
X, bornée
lim J h d~n = Ix h d~ .
n+too X
i i i )
lim ~ (X) = ~(X) , et pour tout fermé
F de X
n-too
n
l i m sup ~n (F) , u(F ) .
n+too

---

- 4 -
iv)
lim ~ (X) = ~(X)
et, pour tout ouvert
0 de X
n-+=
n
l i m i nf u (0) ~ ~ (0) .
n-+=
n
v)
Pour tout borélien
A
tel que ~(dA) = 0
l im ~ (A) = ~(A)
n-+=
n
Cette notion de convergence faible
est en fait la conver-
gence des suites dans l'espace métrique
(M~
où
Pp
est la distance
de Prokhorov définie par:
F
fermé
de X}
La topologie induite par
Pp
+
sur
M
est la topologie faible.
b
Théonème. 1.2.-
L'espace
G
est un espace métrique sépa-
1
Thé onème. 1. 3.-
L'espace
est un espace métrique complet
~seulement si (X,d) est un espace métrique complet.
Théonème. 1.4. (Pnokhonov).-
On suppose que
(X,d)
est polonais.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une partie
M de M~ soit
relativement compacte est que
i )
sup {~( X) ; ~ E r~ } < + 00
i i )
Pour tout
E > 0 , il existe un compact
K ex
tel que
E
s up {~( X - K ) ; ~ E r~} < E •
E
Remarque: Cette condition n'est plus nécessaire quand
(X,d)
n'est pas complet, mais elle reste suffisante.

---

- 5 -
Vé6initio» 1.2.-
On dira qu'une suite
(~
~~I
)
d'éléments de M+
n nUI'
converge faiblement à distance finie vers
~
si et seulement si, pour toute
fonction
h €
C :
b
lim J h d~n = f h d~
n-++oo
X
X
Cette notion de convergence faible à distance finie sur
M+
est en fait la
+
convergence des suites dans l'espace métrique
(M
,p)
,où
p
est la
distance de Geffroy définie ci-dessous :
Vé6initio» 1.3.-
Fixons un point arbitraire
° dans X, pour
tout
r
r ; posons
r
c
R+ ,so,"t
B(O,r)
l a bou l e de
t
cen re
° et de rayon
2
E
ar(~'v) = Inf {t:: > ° ~(A) ~ v(A ) + t::
V(~,v) c M+
A € B
E
A C B(O,r)}
et
V(~,v)
2
c M+
Pr(~'v) = Max {ar(~'v) , ar(v,~)} .
La famille
(p)
+ est une famille croissante de semi-distances induisant
r r â
la topologie faible à distance finie; il existe une métrique uniformément
équivalente à
(Pr)r€R+;
la plus "naturelle" est sans doute
p
s'appelle la métrique de Geffroy ou métrique de la convergence faible à
distance finie, dont l'emploi donne une réelle aisance technique dans l'étude
de certaines questions relatives aux mesures aléatoires et aux processus
ponctuel s. Pour des détail s , on s'adressera à [1] et [2J.
Remarque :
Si on change d'origine
(prenons
O' € X par exemple),
on obtient une métrique
p'
uniformément équivalente à
p : de façon plus
précise :
-k
p
k
2
~ -, ~ 2
p
où
k est le plus petit entier tel que k ~ d(O,O') voir [2J.

---

- 6 -
Théo~ème 1.5.-
Soit
+
(Wn)ndN
une suite d'éléments de M
et
+
WE M
les propositions suivantes sont équivalentes :
i)
lim p(Wn'W) = 0
n-++oo
i i)
Vh E Cb, l im J h dWn = Ix h du
n-++oo
X
iii)
Pour tout
A E B : w(3A) = 0
b
l im W
n(A) = w(A)
n-++oo
iv)
Pour tout borélien fermé borné F de X
lim sup wn(F) ( w(F)
n-++oo
et pour tout ouvert borné 0 de X :
lim inf W(0) ~ w(O) .
n
Pour une reconstitution de la démonstration de ce théorème nous
renvoyons à [2J et [3J.
Le théorème 1.5. est un théorème du II port e- mant eauli sur
+
(M
, p ) ,
assez pratique pour caractériser la convergence faible à distance finie à
l'aide de
p.
Le rapprochement des théorèmes 1.5. et 1.1. met à nu la similitude
entre la topologie faible à distance finie et la topologie faible. On
remarque alors que si
(X,d)
est borné, les deux notions coïncident car
Cb = C et tous les boréliens sont bornés.
ThéMème 1.6.-
[2J. Comme
(X,d)
est un espace métrique
séparable,
+
(M
,p)
est un espace métrique séparable.

---

- 7 -
Thê.oJtème. 7.7.-
[4] .
Si
(X,d)
est complet, alors
+
(M
,p)
est complet.
Les théorèmes 1.2. et 1.6. puis 1.3. et 1.7. montrent que les
topologies faible
sur
M~ et faible à distance finie sur M+ , tiennent
leurs propriétés de la topologie de X.

---

- 8 -
CHAPITRE II
TOPOLOGIE FAIBLE A DISTANCE FINIE SUR M ET TOPOLOGIE
FAIBLE SUR
Mb
Par analogie avec la topologie faible sur
M~, la topologie
faible sur
M est la topologie dont une base de voisinages de tout
b
w E M est donnée par les ensembles de la forme
b
If f. dw - J f. dvl < E.
i = 1, ... .k l
X
l
X
l
l
~
R+ ,
ou
E. E
f. E C
k E ~*
l
l
De même, la topologie de la convergence faible à distance finie
sur
M est la topologie dont une base de voisinages de tout
w E M est
constituée par les ensembles de la forme:
V(
f
f ) = {v E M : 1f f . du - f f. dv 1 < E.
i = 1, ... .k l
w,E 1, · .. ,Ek , 1"'"
k
X
l
X
l
l
Nous allons préciser les liens entre ces deux topologies; la
première étant plus classique que la seconde, il nous sera possible de
déduire des résultats concernant la deuxième de résultats connus pour la
première. Pour ce faire, nous reprenons une idée de K. MATTHES ; J. KERSTAN
J. !'lECKE dans [5J p. 162.
Pour tout élément
f
de C
on définit une application
b,
~f

---

- 9 -
où ,
\\fA c B
+
~
- ~
étant une décomposition analogue à celle de Hahn - Jordan
u+ et
u
appartiennent à
M+ , voi r [6J ou [7].
~f
est ainsi la mesure de densité
f
par rapport à la mesure
~.
Pour toute fonction
f E C
si on pose
b
f+ = f . l{f~O} et
f
= - f
. l{f<O}
on obtient une expression de la variation totale de
~f:
Nous nous intéressons au lien existant entre la topologie de
la convergence faible à distance finie et la topologie induite par les
fonctions
{~f' f E C
quand
M
est muni de la topologie faible. Ceci
b}
b
fait l'objet du résultat suivant qui généralise [5 p. l59J.
Théohème II.1.-
La topologie de la convergence faible à distance
finie sur
M est la topologie initiale définie par
{~f; f € C
.
b}
Démonstration:
Notons
T
cette topologie initiale sur
M.
2
T
la topologie de la convergence faible sur
M .
b
Tl
la topologie de la convergence faible à distance finie sur
M.
Pour
~
fixé dans M, nous montrons que tout
T2-voisinage de ~ est un
Tl-voisinage de ~
et réciproquement.

---

- 10 -
a) Une base de voisinages de T
est constituée par les ensembles
2
de l a forme :
W2
r»;
-1 (
)
f
. 1 = 1 l 'tif
v.
]J'i,Vi,lE:
id
i
1
où
1
est un ensemble fini d'indices,
fi E C ' vi
un voisinage de
b
'tif.(]J) = ]Jf.
dans Mb au sens de la topologie T, Vi E: 1.
1
1
Etant donné la forme des voisinages
v. , ces ensembles peuvent
1
s'écrire
où
K est un ensemble fini d'indices et, pour tout
k E: K , gk
est un
élément de C; mais alors, pour tout
k E K , gk . f
E: C
donc tout
k
b
T
-voisinage de
]J
est un
Tl - voisinage de
]J.
2
b) Réciproquement, considérons un
Tl ~ v'oisinag~ de
]J
-
.---........
Pour tout
k E: K , soit
gk
un
l ëment de
Cb:'défini ainsi
ë
, ,
qu'il suit :
si
X E: Sf
= {f f O}
k
si
X E: {y E: X
d(y, Sf ) ~ l}
k

---

- 11 -
gk
est une fonction uniformément continue et à valeurs dans
[0,1J. Alors
(1
{y E M
kEK
= ( 1 { y E M
f
dy
}
k
1
< Ek
kEK
gk
Par conséquent, tout
T
voisinage de u est un
T - voisinage de u . •
1-
2
Théo~ème II.2.-
Une partie
A de M est relativement compacte
si et seulement si, pour toute fonction
f E C ' ~f(A)
est relativement
b
compact dans M .
b
Démonstration :
1) ~~~e~~~_~~_~~~~~~~~_~~~I.~ la topologie de la convergence faible
à distance finie sur
M est la topologie la moins fine rendant continues les
Soit
AC M une partie de M relativement compacte au sens de
cette topologie. Pour tout élément
f
de C ' ~f(A)
est l'image continue
b
d'un compact, donc compact. Comme
~f(A)
contient
~f(A) , il en résulte que
~f(A)
est relativement compact dans M
pour la topologie faible.
b
f E Cb ' on pose :
et on plonge M dans
TI
Mb(f)
fEC b
On définit une application
~ à partir des
{~f' f c Cb} par

---

- 12 -
alors
If'(M) C
'TT
Mb(f)
fE:C b
donc
If'
est surjective de M sur l'image de M.
Maintenant~ si
w et
v sont deux éléments distincts de M~ on
peut trouver
f E: C
telle que
b
J
l
f dw t-
f dv
et donc~ il existe
A E: B tel que
En d'autres termes~
If'
est injective.
If'
est donc une bijection de M sur son image.
Notons
T
la topologie induite sur
M par la topologie produit
3
de l'ensemble:
Les
T - voisinages de toute
u E: If'(M)
sont les intersections avec If'(M)
3
des T - voisinages de u dans
3
'TT
Mb(f).
fE:C b
Or , un système fondamental de T - voisinages est de la forme
3
'TT
V(f)
où
V(f)
est un voisinage de wf
dans M
pour la topologie
b
fE:C b
T~ et où les
V(f)~ sauf un nombre fini~ sont égaux à
Mb.
Un système fondamental de voisinages de
w dans
If'(M) ~
pour T
~ est donc de la forme
3
(1
{v E: M
v E: V(f)}
f
fE:F

---

- 13 -
où
F est une partie finie de C
et où, pour tout
f
b,
€
F , V(f)
est
un voisinage de base de
W
pour T.
f
Ce système n'est autre qu1un système fondamental de voisinages
de T
ce qui montre que ~
est un homéomorphisme de M sur son image.
2
Alors, si
AC M est telle que, pour toute fonction
f €
C ' ~f(A)
est
b
relativement compacte, les inclusions
et le théorème de Tychonov montrent que A est relativement compacte. Il
Théo~ème II.3.-
Une partie
M de M est relativement compacte
si et seulement si
sup Iwi (B) < + 00 •
wd~
2) Pour toute suite
(hn)n8N d'éléments de C qui tend vers a
b
en décroissant;
lim sup fhn diwi = a .
n-+= W€M
D~monstration : En vertu des théorèmes 25, 26 et 27 de
VARADARAJAN [8J et du théorème II.2.
M est relativement compacte si et
seulement si, pour toute fonction
f € Cb :
a)
~f(M) = {W
' f
f
€
M}
est borné en norme
sup Iwfl (X) < + 00.
wd1
b)
Pour toute suite
(g )
d'éléments de C qui tend vers
a
n n~l
en dëcro i ssant:
l im sup f gn dlwfl = a .
n
wd1

---

- 14 -
Il nous suffit alors de prouver les équivalences suivantes
1) <=> a)
et
2) <=> b)
a) Démontrons d'abord
1) <===> a).
lf
Soit
8 e B
; il existe une fonction
f , à valeurs dans
[O,lJ,
b
continue, à support borné telle que:
f(x) = 1
\\Ix c B
or
I~fl (X) = Ix f dl~1 ~ I~I (8)
donc
a) => 1 )
lflf
Réciproquement, soit
f €
C ' de support
b
Sf
on a
sup I~I (Sf) < + 00
~€M
Donc, comme
Ifl
est bornée
sup Jlfl d j u] = sup I~fl (X) < + 00
~€M
~€M
c'est-à-dire: 1) ==> a) .
lf
Tout d'abord
b) => 2) : en effet,
Soit
(hn)n~l une suite d'éléments de C
telle que:
h ~ 0 .
b
n
Soient SI
le support de hl
et
f
une fonction continue bornée telle que
f(x) = 1
\\Ix € SI
f(x) = 0
\\Ix € {y
d(y,Sl) ~ 1} .

---

- 15 -
Pour tout
n ~ 1 , on peut écrire :
** Réciproquement, soit f un élément de C et soit (g) 1 une
b
n n~
suite d'éléments de C qui tend vers
0
en décroissant; alors, pour
tout
n ~ 1 , on a
Ifj gn c C
et
b
Ifj 9
+ 0
n n--xJO
ainsi
sup J gn Ifl dlfll = sup f gn dlfll
- 0
lf i
flE:M
fld~
n--xJO
or
"! = Iflfl
1
f 1
Par conséquent 2) => b) .
•
Nous étendons à M tout entier, dans le théorème II.4. ci-dessous,
un résultat connu pour les éléments de M+ [5 p. 162J.
Théo~ème II.4.-
Supposons que
(X,d)
soit, en plus de sa
séparabilité, complet; alors, une partie de M de M est relativement
compactesi et seulement si :
1) 'iB E: B
' sup Ifll (B) < +
b
co
flE:M
B fermé,
'iE > 0,
j KEC B tel que
sup Ifll (B - K ) < E •
(K
compact)
E
flE:M
E
Nous donnons de ce résultat deux démonstrations
la première
s'appuie sur le théorème 11.3. et la deuxième est directe.

---

- 16 -
Première démonstration: Le théorème II.3. montre que
M est
relativement compact si et seulement si :
IMI = {I)JI ; )J E: M}
est relativement compact dans
M+; le théorème II.4. est donc une conséquence
immédiate du théorème 3.2.5. de [5J.
•
Deuxième démonstration (démonstration directe).
a) Supposons que
MC M est relativement compact ; soit
f
une
fonction continue, bornée, à support borné, égale à
1
sur
B
Pour tout élément
)J E: M ,)J
et
)Jf
colncident sur
B qui est
métrique, séparable et complet comme fermé d'un espace polonais
or,
d1après le théorème II.2.,
{)Jf,)J E: M}
est relativement compact dans Mb
pourvu que
M le soit dans M; en appliquant le théorème de Prokhorov,
on obtient immédiatement les conditions 1) et 2).
b) Supposons maintenant que 1) et 2) soient réalisées et
démontrons que: pour toute
f E: C '~f(M)
est relativement compacte. On
b
peut naturellement supposer que
Ifl < 1 ; on désignera par
Sf
le support
de f ,
et, pour tout borélien
B, on posera
Bf = Sf n B ; alors
sup
l)Jfl (B) = sup f [f ] dl)J1 = sup f
Ifl dl)J1 ~ sup I)JI (Bf) < + 00
)JfE:~f(M)
)JE:M
B
)J€M
Bf
)JE:M
d'autre part, pour tout compact
K:
pour tout
E > 0 , on peut choisir
KEC Sf tel que sup I)JI (Sf - K < E
E)
)JE:M
comme
K
est aussi compact de X, et comme
K
= K
E
E,f
E
Le théorème de Prokhorov montre alors que
~f(M)
est relativement faiblement
compact . •

---

- 17 -
Théo~ème II.5.-
k
Supposons que X = R , muni de sa métrique
naturelle; une partie
M de M est relativement compacte si et seulement
si:
sup I]JI (B) < + 00
]J€M
Démonst~ation:
Soit
(hn)n~l une suite d'éléments de Cb,
qui converge vers
a en décroissant; d'après le lemme de Dini, la
convergence de la suite
(hn)n~l
vers
a est uniforme sur le support S
de
hl
qui est un fermé borné de
Rk , donc compact. Dans ce cas, la
condition 2) du théorème 11.3. est automatiquement satisfaite dès que la
condition 1) est remplie.
•
Rema~que:
On retrouve ainsi, enfin de compte, la condition
classique de compacité d'une famille de mesures de Radon pour la topologie
vague.

---

- 18 -
CHAPITRE III
MESURES SUR L' ESPACE PRODUIT
X x X.
o - PRELIMINAIRES.-
2
Dans cette étude, on munit l'espace
X = X x X de la métrique
2
d
= Max(d,d)
,
définie comme suit:
2
\\Ix = (x1,x2) € X
}
V
2
y = (Y1'Y2) € X
2,d 2).
Comme
(X,d)
est séparable, il en est de même de
(X
2
Notons
B B B la tribu produit de X
(tribu engendrée par les
2
rectangles
A x B : A €
B
et
B €
B) ; B
étant la tribu borélienne de X2 ,
on a en général l'inclusion suivante
2
Cependant , comme
(X2 , d )
es t
-
separa bl e,
B2 = B I:l0 B•
Nous donnons d'abord quelques propriétés immédiates concernant
le produit de deux éléments de M.
P~orkiété 111.1.-
Si
w et v sont deux éléments positifs
de M (ce sont deux mesures a-finies) il existe une mesure unique
w
2,B2)
B v sur
(X
vérifiant
VA € B , VB € B w 8 v(A x B) = w(A) . w(B) .
Notons de suite que
wB v est aussi un élément positif de M2.

---

- 19 -
P~op~été 111.2. - [Vé~ompo~~on de HAHN-JORVAN).
Soient
~
et
v
deux éléments de
M, de décompositions de
Hahn et Jordan respectives
- v
on a :
+
= (~ 8 v)
- (~ 8 v)
avec
(
fi
)
+ fi
Q
,,+
~ ~ V
= ~
~ v
+ ~
0
v
Démonstration:
Soient
(V+,V-)
et
(6+,6-)
des décompositions
de
X, associées respectivement à
u et à
v
on a
C
, .
i f i
+ Q
+ est concentr-ée sur
V+ x A+ .
e qUl slgnl le que
~
0
v
D
De même
u
e v
est concentrée sur
V x 6
e +
est concentrée
V
6+
u
v
sur
x
+
u
8 v
est concentrée
V+
sur
x 6
si on pose
D+ = (V+ x 6+) U (V- x 6-)
et
D = (V+ x 6 ) U (V
x 6+)
+
+
+
il est immédiat que
(~ B v)
= u 8 v + ~
8 v
+
+
(~ e v)
= u 8 v + ~
8 v
•
P~op~été 111.3.-
La variation totale de
~ 8 v est égale au
produit des variations totales de
~
et
v; c'est-à-dire

---

- 20 -
Démonstration
Il suffit de le montrer sur les pavés mesurables
A x B.
Or
I~ @vi (A x B) = ~+(A) v+(B) + ~ (A) v-(B) + ~+(A) v-(B) + ~-(A) v+(B)
= [}1+(A) + ~-(B)J [v+(A) + v-(B)]
= (I~I @ Ivl) (A x B)
Ce qui prouve le résultat annoncé.
..
P~opniété 111.4.-
On rappelle qu'une fonction numérique mesurable
définie sur
x2 est (~@ v) - intégrable si, par définition elle est
(~ B v)+ et (~@ v)
intégrable.
D'après la propriété lII.2., pour qu'il en soit ainsi, il est
+
+
-
-
+
-
nécessaire et suffisant que
f
soit
~
@ v
,~
@ v
,~
@ v
-
+
et
~
@ v
- intégrable.
On a alors:
En particulier, le théorème de Fubini est conservé
~
2.
-
CLASSES VETERM1NANTES,
C-VETERM1NANTES ET
C-VETERM1NANTES SUR
M
Les notions de classes déterminantes et
C-déterminantes de
boréliens pour la convergence faible d'une suite de probabilités sont
utilisées par Billings1ey dans [7 p. 15J .
Nous prenons ici une version fonctionnelle de ces notions,
relativement à la convergence faible à distance finie sur
M2. Il s'agit

---

- 21 -
de trouver un sous-ensemble assez simple de
c~ qui suffit a déterminer
2
la convergence d'une suite d'éléments de M
Sauf mention expresse du contraire les topologies envisagées sur
M~
2
et
M
sont respectivement les topologies faible et faible a distance
finie.
2
Vé6inition 111.1.-
Nous appellerons classe déterminante sur
M ,
2
2
toute famill e Fe c2 de fonct i ons te 11 e que : V)l E: M , \\Iv €
M
b
J f d)l = f f dv
Vf E: F =>)l = v .
2
On définit de façon analogue une classe
Fe c2 , déterminante sur
Mb
Vé6inition 111.2.-
On dira qu1une classe
FCC~ de fonctions
2
2
est
C-déterminante sur
M
si, pour toute suite
()l)
dléléments de M
n
l'affirmation
[)l -+)l
faiblement a distance
n
0
finie] .
On définit de façon analogue une classe
Fe c2 , C-déterminante
VéMnition 111.3.-
Soit
Fe C~ ; on dira que F est une
2
classe
(-déterminante sur
M
si, pour toute suite
()ln)
d'éléments
2
de M
l'affirmation
LVf E: F,
(f X f d)ln) ndJ
converge]
implique
il exi ste
et
)l --+)l
faiblement a distance finie.
n
0
On définit de façon analogue une classe
Fe: c2 , (-déterminante

---

- 22 -
Remarques :
1) Il est clair qu1une classe
C-déterminante est une classe
déterminante; la réciproque n'est pas exacte en général.
2
2) La classe
c~ est déterminante sur M , elle est même
C-déterminante par définition de la topologie faible à distance finie.
3) Si une classe est
ë-déterminante, elle est a fortiori
C-déterminante.
Théo~ème 111.1.-
~
La classe
F = {f(x) g(y)
f €
C ,
9 €
C}
est déterminante
sur
M~
2
Démonstration: Soit
A x B un rectangle ouvert non vide de X
à partir de l'ouvert
A, on construit une fonction continue
f
telle que
k
fk(x) = 0
fk(x) =
\\..J
-l/k
c
1
1
vx € A
= {x € A : d(x,A ) ~ I}
De même, à partir de l'ouvert
B, on obtient une fonction
gk
continue
gk(x) = 0
gk(x) = 1
(f k gk)kdN~ est une suite croissante de fonctions positives telle que
fk(x) gk(y)
2
t 1AXB(x,y),'i(x,y) c X •

---

- 23 -
Si
west connue sur
*
F
• le théorème de la convergence monotone
[par exemple 16 p. 111 ] appliqué à
w+
et à
W montre que west connue
sur tout rectangle ouvert
A x B. Or, tout ouvert de X2 est une réunion
dénombrable de rectangles ouverts, et la classe des rectangles ouverts est
stable par intersection finie. On connaît ainsi la mesure
w(O)
de tout
2
ouvert de X ,ce qui détermine
w.
Théo~èm~ 111.2.-
La famille de fonctions
F = {f(x) g(y) ; f E C
' g
}
est
b
E Cb
2.
déterminante sur
M
Démonstration
Supposons que l'on connaisse, pour une mesure
2
w E M ,les intégrales
J h dw, h E F .
Al
.
u E F~
ors, s l
hu E F et on connaît
J hu di, = f u dWh
D1après le théorème III.1.,
F*
est déterminante sur
M~ Wh
est donc connue, Vh E F .
Soient maintenant
f
et
g deux éléments de
C et
h un élément
2
de
C
de support
H; il existe un pavé A x B contenant
H où
A et
B
b,
sont des fermés bornés de X. A partir de
f
et
g, on construit un couple
(f' ,g')
d'éléments de
C
tels que
b
{ f' (xl = f(x)
\\Ix E A
[ g1 (x) = g(x)
\\/x E B
\\:Ix E: (A1)c
\\:Ix E: (B1)c
f' (x) = 0
19'(x) = 0
On rappelle que
Al
et
BI
sont les dilatés respectifs de
A et
B à
l'un i té près.

---

- 24 -
On pose ensuite
u(x,y) = f(x) g(y)
u'(x,y) = f'(x) gl(y)
Puisque u' €
F
, on connait les intégrales :
f u d]J = f u' d]Jh = f u' h d]J = J h d]Ju'
h
2
Ainsi,
est connue pour toute fonction
qui détermine
]J . •
]Jh
h c Cb ' ce
Nous allons maintenant voir si la famille
Fest
C-déterminante
sur
2
M
nous donnons une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi
dans le
Théo~ème 111.3.-
Une condition suffisante pour que
2
F
{f(x) g(y)
f €
C ' 9
} soit
C-déterminante sur
M
est que
b
€
Cb
F*
= {f(x) g(y)
f €
C , 9 €
C}
soit
C-déterminante sur
M~
2
Démonstration : Supposons que
F*
est
C-déterminante sur
Mb
2
Soit
(]J)
une suite d'éléments de M
tell e que
n
Si
U €
*
F
, alors
hu €
F et donc
J uh d]Jn = Ju d]Jn,h n~oo ) J uh d]Jo = l u d]Jo,h
Ce qui montre que la suite
(]Jn,h)
d'éléments de M~ converge faiblement
vers
]Jo,h
pour toute fonction
h € F.
Soient à présent
(f,g)
un couple dléléments de C et
h un
2
élément de C
de support
H. Il existe un pavé
A
b
x B contenant
H où
A et
B sont des fermés bornés de X. On définit un couple
(fi ,g')
d1éléments de C
exactement comme dans le théorème III.2 ..
b

---

- 25 -
{:: :: sur A
g' = 9
sur
sur
(A1)c
{ gl = 0
sur
et on pose
u(x,y) = f(x) g(y)
u'(x,y) = f'(x) g'(y)
Alors
J u d~n,h = Ju' d~n,h = Jh d~n,u' n~ f h d~o,u' = J ur d~o,h
= J u d~o,h
ce qui prouve que
(~n,h)ndl converge faiblement vers ~o,h
pour toute
2
fonction
h € C ; donc
(~n) converge vers
faiblement à distance
b
~o
fi nie sur
2
M
•
Co~olt~e 111.3.-
Une condition suffisante pour que
2
F+ = {f(x) . g(y) ; f € C~ , 9 € C~} soit C-déterminante sur M+ est
que
F*+ = {f(x) . g(y) ; f €
c+ , 9 € C+}
soit
C-déterminante sur
M~
Il ne semble pas, néanmoins, que
F~ soit C-déterminante sur M~
cependant,
F~+ est C-déterminante sur M~+ , ce qui permet d'énoncer le
résultat sui vant, à rapprocher du théorème 3.1. de Bi 11 i ngs l ey [7 p. 20J .
Théo~ème 111.4.-
La famille
F+ ={f(x) g(y)
f € C~ , 9 € C~}
est
C-déterminante
2+
sur
M
Démonstration
D1après le corollaire 111.3., il suffit de montrer
que la classe
F*+
est
C-déterminante sur
M~+
2
Soit
une suite d'éléments de M +
telle que
b
Le problème est de montrer que
(~n)
converge vers
~
faiblement.
o

---

- 26 -
Remarquons que, comme
(X,d)
est séparable, il existe, d'après
le plongement classique de
(X,d)
dans
[O,lJN, une métrique
d'
équivalente
à d telle que
(X,d')
soit totalement borné. On conserve donc la même
tribu borélienne pour X. Ainsi,
x2 , espace métrique séparable, peut être
2
considéré comme un sous-espace topologique d'un espace compact
K
métrisable.
La tribu borélienne de x2 est alors:
2
B
= {A n x2 , A € B 2}
K
2.
où
B 2
est la tribu borélienne de
K
K
Pour tout
n € ~ , on prolonge la mesure
~n
en une mesure
~n
sur
B 2)
en posant
K
\\lA c B 2
K
2;
Soit
~ une fonction continue sur K sa restriction f à x2 est
continue. D'après une conséquence du théorème de STONE-WEIRSTRASS, il
2
existe, pour tout
E > 0 , une fonction
~E sur K de la forme:
~ (x,y) = l Œ. h.(x) g.(y)
E
.
1
l
l
l
l€
où
1 est un ensemble fini d'indices et
h.
et
g.
des fonctions continues
l
l
positives sur
K, qui approche uniformément
f
à
E près c'est-à-dire:
Il f - ~ Il ~ E
E
Mais alors, en désignant par
k
la restriction de
k
à x2 et par
h.
E
E
l
-
-
et
g.
celles de h.
et
g.
à
X, il vient :
l
l
l
Ilf-kll~E
E

---

- 27 -
Par conséquent :
+ If k (x,y) 0 (dx,dy) - f k (x,y) 0 (dx,dy)/
E
n
E
0
Ce qui donne :
IJ
2)
2)
2 f(x,y) wn(dx,dY) - J 2 f(x,y) 0 (dx,dy)1 ~ E ~ (X
+ E ~ (X
+
K
K
0
n
0
+
l lail x If hi(x) gi(y) ~n(dx,dy) - J hi(x) gi(y) ~(dx,dy)1
icI
Comme
l Xxx ( x ,y ) et hi(x) gi(y) sont des éléments de F;r;, on obtient:
~-: sup 'j:f(X,y) wn(dx,dY) - ff(X,y) WO(dx,dy)1 ~ 2 E~o(X2) , "lE > O.
-
-
2
ce qui montre que
(~n)
converge faiblement vers
~o
dans
K
•
Soit maintenant
C un fermé de x2 ; il existe un fermé F
2
de
K
tel que :
2
C = F n X
or,
lim sup wn(F) ~ W(F)
équivaut à
n
0
lim sup ~n(C) ~ ~o(C)
n
Ce qui permet de conclure que
(~n)
converge faiblement vers
~o
puisque, par ailleurs

---

- 28 -
Remarque:
Comme on le constate, cette démonstration n1est possible
que grâce à cette dernière condition, qui est reliée à la relative compacité
de la suite
(~n) , liaison justifiée par les théorèmes de II .
Clest pourquoi nous ne pensons pas que la même propriété soit vraie
pour des mesures à signe bien que nous n'ayons pas de contre-exemple.
Toutefois, dans
2
M , nous pouvons énoncer le résultat suivant
Théo~ème
2
111.5.-
Soit
(~n)ndN une suite d'éléments de M ,
relativement compacte, telle que
Vf € F
(f f d~n) converge vers un
2
certain nombre
a(f) , alors, il existe une mesure
~o € M telle que (~n)
converge faiblement à distance finie vers
~o'
La démonstration suit un schéma classi~ue dont l largument essentiel
est que
F est déterminante sur M2.
Démonstration du théor'ème III. 5.-
Elle s'inspire de [7 p. 35J.
Rappelons qu'une suite de nombres réels
(xn)ndN
d'un espace
métrique converge vers
x si et seulement si toute suite partielle
(xnl),
on peut extraire une suite partielle
(x
qui converge vers
x.
n")
La suite
{~n; n €~}
étant relativement compacte, de toute
suite partielle
{li
n
I-"n
1 c- ]\\I}
de {
]\\1}
t
t
.
l
~
~
~n ; n €
~
on peu
ex ralre une
sous-suite
{~n"; n" €~}
qui converge faiblement à distance finie vers
une certaine mesure
2
€
M
~o
Ains i
Vf €
F
f f d~n ---+ a(f)
et
\\If
J
€
F
J f d~n" ----t-
f d~o

---

- 29 -
Comme la classe
F = {f(x) g(y) : f €
C ; g
est
b
€
Cb}
déterminante sur
M2 , on conclut immédiatement que la mesure
dépend pas des suites partielles
(W
et
(Wn")
considérées.
n,)
Ainsi, de toute suite partielle
(Wnl)
extraite de
(W
on
n)
peut extraire une sous-suite
(Wn")
qui converge faiblement à distance
finie vers la mesure
W . Par conséquent :
o
W
n --+ W faiblement à distance finie.
o
A propos du théorème 111.5., signalons que Monsieur le
Professeur J. GEFFROY nous a communiqué une jolie démonstration directe
d'un théorème analogue, pour une suite de mesures boréliennes à signe
2k
sur
x2 = R
. Nous tenons à l'en remercier et reprenons le résultat ici
dans un théorème 111.5. bis.
Théonème 111.5. b~.- Soit (Wn) une suite d'éléments de M~
telle que:
*
k
si
f
et
g sont deux applications continues et bornées de
R
dans
R, on a
lim J 2k f(x) g(y) dwn(x,y) = 0
n#oo
R
il existe un élément
totalement borné
vérifiant
k
k
Alors, pour toute fonction
h continue et bornée sur
R x R ,
lim J2k h(x,y) dwn(x,y) = 0
n#oo
R

---

- 30 -
Remarque:
On peut déjà signaler que la condition:
et
Vn € l'l
entraîne la relative compacité de la suite
(~n)nd~' Cette condition
explique donc bien l'analogie entre les deux théorèmes.
Des détails sur cette condition peuvent être trouvés dans
[3 p. 47 Théorème IV.l.] par exemple.
Dans le souci d'alléger les notations, nous faisons
k = 1 dans
la démonstration de ce théorème.
Nous aurons besoin d'un lemme technique qui est le suivant
Le.mme. 111. 1• -
( ~ )
est la suite définie au théorème 111.5. bis,
nnEJ-l
ainsi que la mesure
v. Soit
A = [a,b[ x [a',b'[ une cellule quelconque
2
de R
telle que
v({a} x R) = v({b} x R) = v(R x {al}) = v(R x {b'}) = a
Alors
Démonstration
Tout d'abord, remarquons que l'ensemble
x = {x € R : v({x} x R) > a} est fini ou dénombrable puisque une fonction
de répartition admet au plus une infinité dénombrable de points de disconti-
nuité. Pour les mêmes raisons l'ensemble
Y = {y : v(R x {y}) > a}
est
au plus dénombrable.
Par conséquent, si
a
et
b sont choisis en dehors de X et
si
a est un nombre positif, on a
1i m v ([a - a, aJ x R) = 1i mv ([b , b + a] x R) = a
( 1)
a~
a-+O

---

- 31 -
Soit
E > a arbitraire. D'après (1), on peut choisir
a > a
suffisamment petit pour que :
v( [a - a, b + aJ x [a 1 - a, b 1 + aJ - A) < E •
(2)
Ensuite, on peut choisir une fonction continue
f(x)
telle que
f(x) = 1
si
X E
[a,b [
O~f(x)~1
si
X E
[a - a, a [ U [b, b + a]
f(x) = a
si
X E: ] -
00,
a - a] U [b + a, + oo[
De même, on peut choisir une fonction continue
g(y)
telle que
9 (y) = 1
si
Y E: [a', b'[
a , 9 (y) ~ 1
si
Y E: [a 1 - a, a 1 [ U [b 1 , b 1 + a]
9 (y) = a
si
Y E: J- 00, a' - a] U [b 1 + a, + oo[
Il existe, au vu des hypothèses, un rang
no(E) E: ~
tel que
n ~ n => IJ 2 f(x) g(y) du (x,y)1 < E .
(3 )
o
R
n
Posons
A' = @ - a, b + a] x [a' - a, b' + a]
puisque
f(x) g(y) = 1
sur
A, on peut écrire :
~ (A) = J 2 f(x) g(y) d~ (x,y) - J
f(x) g(y) d~n(x,y)
(4)
n
R n A I_A
Mais il est clair que:
IJ
f(x) g(y) d~n(x,y) 1 ~ I~nl (A'-A) ~ v(A'-A) .
A'-A

---

- 32 -
L'égalité (4) nous donne alors, compte tenu de (2) et (3)
c'est-à-dire
l im u (A) = a
•
n
n-++oo
Démonstration du théorème III. 5. bis.-
2
Soit
h(x,y)
une fonction réelle, continue et bornée sur
R ;
notons
H =
sup 2 1 h(x,y) 1 . E > a étant un nombre arbitraire donné,
(x,y)€R
on choisit une cellule
2
E
D = Cao ' boC x [a~ , b~[
telle que
v(R
- D) ~ "FT
et
v({a
x R) = v({b
o}
o} x R) = v(R x {a~}) = v(R x {b~}) = a
(i)
on a :
IJ 2
h(x,y) dfl (x,y)1 ~ E .
( i i )
R -D
n
La fonction
h(x,y)
étant continue sur
D qui est compact y est
uniformément continue. Par conséquent, on peut fractionner
D en un nombre
fini
m r
de cellules:
, a'. C i = 1,2, ... ,m
et
j
= 1,2, ... ,r
J
(avec a
= b
et
al = b')
telles que l'oscillation de
h sur chacune
m
0
r
0
d'elles soit inférieure à
E
- -
et que les nombres
a.
et
a'.
satisfassent
v(D)
l
J
des relations analogues à (i) .
m
r
on a
= L
L
h(x,y) dfln(X,y) .
i=l j=l ID ..
lJ
On peut aussi écrire:
ID .. h(x,y) dfln(X,y) = ID .. [h(ai_1, aj_1) + T(X,y)] dfln(X,Y)
l J
l J
avec
!T(x ,y)
Ç.
_E_
1
'" v(D)

---

- 33 -
Ainsi
f
m
r
J
h(x,y) d~n(x,y) = L
L h(ai_1, aJ~-l) ~n(OiJ') +
T(X,y) d~ (x,y) (iii)
o
i=l j=l
0
n
D'après le lemme 111.1., il existe
no € ~
tel que
(n ~ n ) => ju (O .. ) 1
V'(i,j) .
o
n
lJ
mrH
L'équation (iii) donne, \\In ~ no: IJo h d~nl ~ 2( .
Et enfin,
\\In ~ no
If 2 h d~nl ~ if 2
h d~ 1 + If h d~ 1 ~ ( + 2( = 3(
. R
R -D
n o n
C' es t-à-d i re
lim f 2 h(x,y) d~n(x,y) = a . •
n+too
R
A propos de classes
ë-déterminantes, donnons d'abord un résultat,
très proche du théorème 111.3.
Théohème 111.6.-
Posons
F = {f(x) g(y) ; f € C 9 c C
et
F* =
b
b}
{f {x ) g(y) ; f €
C , 9 c C}
2
Pour que
F soit
ë-déterminante sur
M , il suffit que F*
le soit
2
sur
Mb
Démonstration:
Supposons donc que
F*
soit
ë-déterminante
2
sur
M;
et que
(~n) soit une suite d1éléments de M telle que
la suite de réels
(f h d~n) converge.
2
Il faut montrer qu'il existe
~o € M et ~n ~ ~o faiblement à distance
finie.

---

- 34 -
Fixons h €
F
soit
u €
F~ : hu € F
et
J hu d~n = J u d~n,h
Donc la suite
(J u d~n,h) est convergente, ce qui montre que (~n,h)ndN
converge faiblement vers une certaine mesure
~u,h
pour h €
F.
2
Soit
(f,g) € C x C et
h € C ; le support de
h étant noté
H,
b
il existe un pavé
A x B (où
A et
B sont des fermés bornés de X)
contenant
H. On définit un couple
(f',g')
d'éléments de C
tels que
b
= f
sur
A
{ f'
r' =g sur B
fi = a
sur
(A1)c
gl = a
sur
(B1)c
On pose
u(x,y) = f(x) g(y)
F~
€
u1 (x ,y) = f'(x) gl(y) € F
Alors, pour tout
n € ~
Comme
{~
I }
_al
converge faiblement vers une certaine mesure
n. u
nu,
~O,UI
J h d~n,u' ~ J h d~o,u' donc (J u d~n,h) converge,
~
pour toute
u €
F .
Cela montre que
(~n,h)ndN
converge faiblement vers une certaine
2
mesure
~o,h
pour toute
h € C .
b
Par conséquent,
Vh € C~ , (~n,h)ndN est relativement compacte
2
dans Mb. Il en résulte, d'après le théorème 111.2. que (~n) est relativement
2
compacte dans
M ; on peut en extraire une sous-suite
(~nl)
qui converge
2
dans M
vers une certaine mesure
~; mais alors pour toute fonction
2
f €
Cb '

---

- 35 -
Il en résulte que:
N
.
F*
d '
ous savons, pUlsque
est
C- étermlnante par hypothèse, que
Fest
C-déterminante ; par conséquent,
~n ~ ~
faiblement à distance finie . •
La classe
F~ étant C-déterminante sur M~+ , on peut, au vu du corollaire
p. 365 de [20J, énoncer.
+
C+
C+}
Co/toilJUJr.e 111.6.-
Pour que
F
= {h(x) . 9 (y)
h E:
, 9 E:
b
b
soit
ë-déterminante sur
M2+ ,il suffit que
+
FH
= {h(x) . 9 (y)
E: C+}
soit
(-déterminante
M2+ .
; hE:C
,g
sur
Théo/tème 111.7.-
Si
(X,d) , en plus de sa séparabilité, est
complet, alors la classe
F~+ =
+
+
{f(x) g(y) ; f E: C ,g E: C}
est
2
ë-déterminante sur
M+
b
2
Démonstration
Soit
une suite d'éléments de M + telle que
b
(J h d~n)
converge.
Il s'agit de montrer qulil existe
~o E: M~+ et (~n) converge
vers
~o
faiblement.
D'après des raisons données au théorème 111.4., on peut considérer
2
2
X
comme sous-espace topologique d'un espace compact
K
métrisable. La
tribu borélienne de x2 est alors
2
où
B 2
est la tribu borélienne de
K .
K

---

- 36 -
-
Pour tout
n € ~ , on prolonge
~n
en une mesure
~n
sur
2
(K
,B 2)
en posant
K
-
n 2
~ (A) = ~ (A
X)
A € B 2
n
n
K
Comme
x2 est complet, c1est un
Go
de
K2
(intersection
2
dénombrable d'ouverts), donc une partie mesurable de
K
2,
De la compacité de
K
on déduit que
(0 ) est relativement
n
compacte car
-
2
sup ~ (K ) < + 00
•
n
n
Une suite partielle
(0 , ) converge donc faiblement vers une
n
-
2
mesure
~o
sur
(K, B 2)
si
f(x) g(y)
est le produit de deux fonctions
K
positives continues sur
K,
f'(x) gl(y)
produit de leurs restrictions
à
X est un élément de F~+: on en tire que:
converge et
I 2 f(x) g(y)
K
Par conséquent :
et puisque la classe des fonctions de la forme
f(x) g(y)
(f
et
g
continues positives sur
K)
est
C-déterminante,
(0 ) converge vers ~o
n
2:
faiblement dans
K
la démonstration se fait comme au théorème 111.4.
-
~o
prolonge une mesure
~o
sur
VA € B 2 ; x2 € B 2
K
K

---

- 37 -
2
Soit
C un fermé de X
il existe un fermé
F de
K2 tel
que
C = F n X2
or
lim sup ~ (F) ~ ~ (F)
équivaut à
n
n
0
lim sup jJ (C) :;; jJo(C)
n
n
Il reste enfin à prouver que
2
Comme
X
est un
Go
' considérons une suite d'ouverts
(Ok)
2
de
K
telle que:
2
2
Donc
jJ (K
- X ) = 0
o
Cono~e d~ théonèm~ 111.6. et 111.7.-
Si
(X,d)
est
séparable complet, alors la classe
F = {f(x)
g(y)
2
est
(-déterminante sur
M+ .
Démonstration:
Clest une conséquence immédiate des
théorèmes 111.6. et 111.7. •

---

- 38 -
Théo~èrne 111.8.-
Soient
(IJ)
deux suites d'éléments
n
de M, qui convergent faiblement a distance finie respectivement vers
IJo
et
vo
Si
X est polonais alors
2
(IJ
8 vn)nd'l
converge faiblement a distance finie vers
IJ
dans M
n
o B '00
Preuve:
La classe
F est déterminante et, pour tout f € F
Il suffit donc de démontrer que
(IJ
B v ) ~~I~
est relativement
n
n nl:.ll'
compacte ; or,
(IJn)nd'l~
et
(v ) _~I~
sont relativement compactes.
n nu,
En vertu du théorème II.4., on a
+ 00
et
< + 00
B fermé,
\\JE > 0 , il exi ste un compact KEC B tel que
sup IIJnl (B - KE:) < E
et
sup Iv 1 (B - KE:) < E
n
n
n
(propriété 111.3.) :
sup IIJ
B vnl (B x B) < + 00.
n
n
D'autre part,
B €
B
B fermé étant fixé, ainsi que
E: > 0 ,
b,
soit
K
un compact tel que
E:
sup IIJnl (B - K ) < E:/2 sup IIJnl (B)
E
n
n
et

---

- 39 -
2
Comme:
B - K~ = [B x (B - K
U [( B - K
s)]
s) x BJ '
on a :
2
l].ln 9 vnl (B
- K~) ~ l].ln l (B) Ivnl (B - Ks) + l].ln l (B - Ks) Ivnl (B) < s.
Ce qui montre que la suite
(].ln 3 v
est relativement compacte . •
n)
Remarque: Dans le cas où
(].ln)
et
(v
sont des lois de
n)
probabilité, on retrouve partiellement un résultat classique:
Il
(].ln S vn)
converge faiblement vers
].l e v
si et seulement si
(].ln)
converge faiblement
vers
].l
et
(v ) converge fa i bl ement vers
v· [7 p.
21J . L' hypothèse
n
de complétude de l'espace
X est surtout destinée a permettre l'utilisation
d'un critère pratique de relative compacité sur
M.
Cependant, contrairement a ce qu'on pourrait attendre au vu
du théorème 3.2. [7 p. 21 ] la réciproque est fausse, comme le montre le
contre-exemple suivant:
Contre-exemple
Soit
( V
)
une suite dans M qui converge vers
0 faiblement
n n~
à distance finie.
Soit
(].l )
une suite relativement compacte par exemple
n ndJ
].ln = 0
si
n
est pair
x0
].ln =
0
si
n
est impair
xo
2
Pour toute fonction
h de C , on a .
b
J h(x,y)].l e v (dx,dy) = J ± h(x ,y) vn(dy) ----+ 0
X2
n
n
X
0
2
Donc
(].ln e v
converge faiblement a distance finie vers
0 dans M
sans
n)
pour autant que
(].ln)nd~
toutes les deux convergent faiblement
a distance finie vers 0
D'ailleurs
(].l )
n'est même pas convergente . •
n n~

---

- 40 -
CHAPITRE
IV
CONVERGENCE EN MOYENNE QUAVRATIQUE VE MESURES ALEATOIRES V'ORVRE VEUX.
La topologie qu'on considère sur
M est toujours la topologie
faible à distance finie.
On note
B
(resp. B
M
+)
la tribu borélienne de M (resp. de M+).
M
J. GEFFROY, P. QU 1DEL et H. ZEBOULON dans [1J, [2J et [9J ont étud i é les
convergences en probabilité, presque sûre et en loi de mesures aléatoires
positives. Ce travail nous suggère d'aborder l'étude de la convergence en
moyenne quadratique. Le moment d'ordre deux d'une mesure aléatoire
~
est
défini, de façon classique dans [10J ou [llJ par exemple, comme une mesure
E(~· e ~.) sur un espace produit. Nous utilisons cette notion pour définir
et étudier la convergence d'une suite de mesures aléatoires à signe. Avant
de passer à la convergence proprement dite, nous abordons quelques propriétés
des mesures aléatoires que nous utiliserons.
A - PRELIMINAIRES A L'ETUVE VE LA CONVERGENCE EN MOYENNE QUAVRATIQUE.-
Pour tout borélien borné B € B
' on note
~B
l'application
b
M ----+ R
R
étant muni de sa tribu borélienne
BR' B
contient la tribu engendrée
M
sur
M par la famille d'applications
{~B
B €
B
[cf. 12J.
B +
est
b}
M
la tribu engendrée par les applications
{~B; B € B
restreintes à
M+
b}
[5J et [9J.

---

- 41 -
Vé6i~on IV.I.-
Soit
(~,A,P)
un espace probabilisé fixé. On appelle:
1) mesure aléatoire positive, toute application mesurable ~
de
+
(~,A)
dans
(M
, B
) .
~1+
2) mesure aléatoire à signe toute application mesurable ~
de
(~,A)
dans
(M, BM).
Remarques
1) Compte tenu de la définition des applications
{~B t B E Bb},
une application
~
de ~
dans
+
M
est une mesure aléatoire positive si
et seulement si, pour tout borélien borné B,
~·(B) est une variable
aléatoire réelle positive .
.
2) Si
~
et
v
sont deux mesures aléatoires positives définies
.
sur le même espace probabilisé
(~,A,P) , l'application
8 = ~
- v
est
une mesure aléatoire à signe définie sur
(~,A,P).
3) Réciproquement, soit
~. une mesure aléatoire à signe définie
sur
(~,A,P). Pour tout
w E ~ , appelons
+w
-w
~
et
~
les composantes
de Hahn-Jordan à distance finie de ~w
[14 p. 2J
c'est-à-dire
w
+w
-w
•
~
= ~
- ~
alors les applications
~+
et
~
sont des mesures
aléatoires positives et
~
s'écrit sous la forme:
Ces résultats figurent dans [14 théorème III p. 364J.
2
On munit M
et
M2+
de leurs tribus borél iennes
B 2 et
B 2+
M
M
On défi nit de la même façon les mesures aléatoires à signe
2
sur
X x X , c'est-à-dire, les éléments aléatoires de M
et
M2+ .

---

- 42 -
Dans la suite, l'expression mesure aléatoire sans autre précision
désignera une mesure aléatoire à signe.
P~opniété IV.l.-
Si
~
et
v
sont deux mesures aléatoires
2,
2).
sur
(X,B) , alors
~ 9 v' est une mesure aléatoire sur (X
B
DémonstY'ation :
~
Supposons d'abord que
~
et
v
soient deux mesures aléatoires
positives.
Posons
C est un semi-anneau et l'anneau A~ engendré par C est constitué des
réunions finies d'éléments deux à deux disjoints de C [16 p. 16 par exemple].
. .
~
Il est immédiat que, pour tout élément
BEA
, ~
8 v (B)
est
une variable aléatoire positive.
De plus,
*
2
A engendre le
a-anneau B
soit V la classe des
b:
boréliens bornés
B tels que
~. 9 v·(B) est une variable aléatoire
positive; d'après un théorème voisin du théorème des classes monotones
[5 p. 8 J, pour démontrer que
V = B~ , il suffit de vér i f i er que :
a)
si
(Sn) C V
et
Sn -} B
alors
B € V
b)
alors
B € V
Ce qui est immédiat
par conséquent, comme
B 2+
est la tribu engendrée
2
M
2
par les applications
{~B
S €
Bb}
restreintes à M+ , ~ 8 v
est une
variable aléatoire positive définie sur
(D,A,P)
et à valeur dans
2+
(M
,B 2+)
M

---

- 43 -
** Maintenant, si ~
et
v
sont deux mesures aléatoires,
~. Q v· est une mesure aléatoire, comme différence de deux mesures aléatoires
positives.
Vé6~nLtion IV.2.-
On dit qu1une mesure aléatoire est d'ordre 2 si
elle vérifie l'une des conditions équivalentes suivantes
E{I~· 8~"I (B)} < + 00
E{I~· 2 (B)} < +
1
00
•
Les conditions 1) et 2) sont effectivement équivalentes : la condition 2)
est nécessaire pour la réalisation de 1) ; d'autre part, elle est suffisante
2
puisque tout
B € B
peut être contenu dans un pavé mesurable borné
C x C
b
et que:
1 ~.
3 ~. 1 = 1 u• 1 8 1 u • 1
P~ophiété IV.2.- Notons L~ l'ensemble des mesures aléatoires
2
d'ordre 2.
L
est un espace vectoriel réel.
M
Démonstration: L'ensemble des mesures aléatoires
F(~,M)
est un espace vectoriel réel.
Il suffit de montrer que
est un sous-espace vectoriel
de
F(~, M) .
1) Soient
a E R et
~. E L~ : il est évident que a~· E L~
2) Soient
~
et
v
deux mesures aléatoires d'ordre 2 :
2
2
\\lB E B
E{ ~.
u.
v"l )2
~.
1
+ v"l 2(B)} ~ E{( 1
1
+ 1
(B)} = E{ 1
1
(B)} + E{ 1 -.' 1 (B)
b
+ 2E{ 1 u "1 (B) 1..'. (B) }

---

- 44 -
Or d'après l'inégalité de Schwarz:
°
° 2
On a donc :
E{I\\J
+ v 1 (B)} < + 00.
Par conséquent
P~ophiété IV.3.-
Soient
\\J
et
\\!
deux mesures aléatoires
du 2ème ordre; alors la fonction d'ensemble définie par
\\J\\! = E(\\Jo 9 \\!o)
2.
est un élément de M
En particulier,
\\J2 = E(\\Jo e \\Jo)
est un élément non nécessairement
2•
positif de M
Démonstration
~ Pour tout B € B~ \\J 9 \\!o(B) = \\J+ 9 \\!:(B) + \\J_ 9 \\!~(B)
- \\J: e \\!~(B) - \\J e \\!:(B)
L'inégalité de Schwarz donne, pour tout pavé mesurable borné
C x C contenant
B:
De même,
E{\\J~(C) \\!~(C)},
E{\\J:(C) \\!~(C)},
E{\\J~(C) \\!:(C)} sont finis.
Ce qui montre que:
\\fB c B~
IE{\\Jo 9 \\!o(B)}1 < + 00
Pour montrer que \\J \\!
est
a-additif sur
B~, il suffit
de le vérifier pour \\J+ \\!+ = E{\\J: 9 \\!:}
par exemple. Clest alors une
simple conséquence du théorème de convergence monotone.

---

- 45 -
** Montrons que i::: E()l° 8 )l0) n'est pas toujours un élément
2
positif de M .
Prenons
w
)l
:::)l
où
)l
est une mesure à signe non
dégénérée.
Soit
(0+,0-)
la décomposition de Hahn-Jordan de X associée
à
)l
On a
-
+ -
o ) ::: )l Q )l (0 x 0 ) :::
P~opniété IV.4.-
Soient
)l
et
v
deux mesures aléatoires
du second ordre positives, et
g(x,y)
une fonction
)lv-intégrable (ou
mesurable positive) :
f 2 g(x,y) )lv(dx, dy) ::: E{J 2 g(x,Y))l Q v (dx,dy) }
X
X
Démonstration
*
2
Si
g(x,y)::: I
avec
B c B
B(x,y)
b
par définition.
** Si g(x,y) est une fonction mesurable étagée, la propriété
IV.4. est donc vérifiée, par linéarité de l'espérance mathématique et de
l'intégrale.
*** Supposons que 9 soit mesurable positive et que (g ) _...., soit
n nu,
une suite de fonctions mesurables étagées telle que gn t 9
en appliquant
trois fois le théorême de la convergence monotone, on obtient:
E{J9(X'Y) )l0 Q vO(dx,dy)} ::: E {l~m t J gn(x,y) )l0 Q VO (dx,dy)}
:::
l im t E {Jgn(X,y) )l0 8 VO (dx,dy) }
n
:::
l im t J gn(x,y) )Jv(dx,dy) ::: J g(x,y) )lv(dx,dy) .
n

---

- 46 -
H**
En fin, si
9 est
wv-intégrable, on pose
+
9 = 9
- 9
+
et on raisonne comme en *** avec 9
et
9
•
P~op~été IV.5.-
Soient
w
et
v
deux mesures aléatoires
du second ordre, et
g(x,y)
une fonction intégrable par rapport à la
mesure
ijJvJ = W+ v+ + W_ v + W v + W v
.
+ -
-
+
Alors
E{ Jg(X'Y) w· 8 v·(dx,dy)} = l g(x,y) wv(dx,dy)
RemaY'que :
La mesure
[wvJ = 1/ v+ + w- v- + w+ v- + ]J- v+
est en général
différente de la mesure
i]Jvl , comme le montre l'exemple suivant:
Cons i dérons 11 espace probabi 1i së
([0, 1J, B[0, 1J' À)
où:
est la tribu borélienne de
[O,lJ .
À
est la probabilité uniforme sur
B[O,lJ.
On définit deux mesures aléatoires
w
et
v
sur
([O,lJ,
B[O,lJ' À)
par:
r: 0 si WE: [0,{[
0
=
]J
= - 0
si
WE:
0
c{ 1J
W
v = 0
si
WE: [0
1J
0
où
0
est la mesure de Dirac au point
O.
0
Soit
B un élément de B 2
R
.
.
a)
si
(0,0)
*
t B
E(w
8 v (B)) = a
W
W
si
1
(0,0) E: B
**
)18v(B) = 1
Vw E: [0 , 2[
W
W 8 vW(B)
1
= - 1 Vw E: [2 ' 1J

---

- 47 -
Par conséquent :
E(~O 8 O
V
= 0
donc
~v
)
= 0 .
On en tire
I~vl =
+
0
donc
(uv)
= 0
et
(uv)
= 0 .
b) Calcul de
~+ v+
~+ v-
'"
E(~: 8 v:(B)) = 0
si
(0,0) t B
W
W
Si
(0,0)
1
E
B
1
si
"'*
~+ 8 v+(B) =
W E:
[0, Z[
We vW(B)
1
= 0
si
~+
+
W E:
[Z' 1]
1
On trouve
E(~: 8 V:(B)) = Z-
De même si
(0,0) E: B
on trouve :
E(~~ 8 v~(B)) = E(~: 8 v~(B)) = 0
E(~o 8 vO(B))
1
-
+
- Z
On en déduit que
En réalité, on a
I~vl «
[~vJ ' résultat qui n'est pas en
conflit avec la propriété IV.5.
Démonstration de la propriété IV.S.-
La propriété découle directement de la propriété IV.4.
P~op~été IV.6.-
Si
~
et
v
sont deux mesures aléatoires
d'ordre deux; on a
2 2 2
(~ + v)
= ~ + ~v + v~ + v

---

- 48 -
Démonstration:
Soient
h et
9 deux éléments positifs de Cb;
par des applications successives du théorème de Fubini et de la propriété IV.5. ~
on obtient :
r 2 h(x) g(y) (~+v)2 (dxvdy) =
lX
E{f h(x) g(y) (~"+v") 8 (~"+v")[dx~dyJ} = E{[}1"(h) + v"(h)J [~"(g) + v"(g)J} =
E{~"(h) ~"(g)} + E{~"(h) v"(g)} + E{v"(h) ~"(g)} + E{v"(h) v"(g)} =
E{f h(x) g(y) ~ B~" (dx~dy)} + E{f h(x) g(y) ~" B v"(dx~dy)}
+
E{f h(x) g(y) v
B~" (dx~dy)} + E{f h(x) g(y) v B v"(dx~dy)}
=
fh(X)9(y)~2(dX~dy)+fh(X)9(y)~V(dX~dy)+fh(X)9(y)V~(dX~dy)+fh(X)9(y)V2(dX~dY) =
2
2
f h(x) g(y) [~ + uv + vu + v ] (dx.dy) .
Comme la famille
F = {h(x) . g(y) ; h € C ~ 9
est
b
€
Cb}
déterminante sur
M2
(théorème 111.2.) on en déduit que
2 2 2
(~ + v)
= ~ + ~v + v~ + v
.
•
B - ETUVE DE LA CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE DE MESURES ALEATOIRES
Dr ORDRE
Z.
Nous reprenons ci-dessous la définition classique du moment
d'ordre deux dl une mesure al éatoi re : [5J ~ [10J ~ [l1J.
Dé6inition IV.3.a.-On appellera moment d'ordre deux de
~"€ L~
2
"
"
2
la mesure
~
= E(~
8 ~)
élément de M .
Nous introduisons ensuite la notion de convergence en moyenne
quadratique des mesures aléatoires d'ordre deux:

---

- 49 -
Vé6inition IV.3. b
Une suite
(~~)n8N d'éléments de L~
converge en moyenne quadratique vers une mesure aléatoire
~. d'ordre deux
2
si et seulement si la suite de mesures de M :
converge vers la mesure
a faiblement à distance finie.
Cette définition nous permet d'énoncer immédiatement une condition
suffisante de convergence en moyenne quadratique.
P~op~été IV.J.-
Une condition suffisante pour qu'une suite
(~~)n8N d'éléments de L~ converge en moyenne quadratique vers
est que
(~n ~)n et (~n ~m)n,m convergent faiblement à distance finie
vers
~2 = E(~· B ~.).
Démonstration
2
2
On a :
= ~
- ~
~ - ~ ~
+ ~
[propri été IV. 6J .
n
n
n
On peut énoncer un théorème genre porte-manteau pour la convergence
en moyenne quadratique qui justifie par ailleurs la définition IV.3. b.
Théo~ème IV.1.- Soit (~~)ndN une suite de mesures aléatoires
du second ordre positives ; les assertions suivantes sont équivalentes
2
1)
converge faiblement à distance finie vers
(~n - ~)
a
2
dans M
2)
\\If E C
f(x) u• (dx) m.q
n
~
b
J f(x) ~·(dx)
J
3)
VA E B
tel que ~·(8A) = a p. s. ,
~. (A) m.q r ~. (A)
b
n

---

- 50 -
Démonstration :
~v
Elle se fera selon le schéma suivant
1) = > 2)
> 3)
~
Il
1)
=>
2)
Soit
h une fonction continue, bornée et à support borné sur
X
comme la fonction
h(x) h(y)
est intégrable par rapport à la mesure
[(lln - ll)2J ,\\In E:N ,on peut utiliser la propriété IV.5. ; on obtient
E{Ix2 h(x) h(y) [(ll~ -llo) 8 (ll~ -llo)] (dx,dy) = E{[t h(x) ll~(dx) -
- Ix h(X)llo(dx)]2} = t2 h(x) h(y) (lln - ll)2 (dx,dy)
Par conséquent, si
{(lln - ll)2}
converge faiblement à distance
finie vers
0, {Ix h(x) ll~(dx)} converge en moyenne quadratique vers
Ix h(x) II° (dx)
2)
=>
3) .
On procède comme dans la démonstration du théorème du porte-manteau.
a)
* Soit F un fermé borné :
Pour
k f a posons
F1/ k = {x E X
d(x,F) < t}
On a
Puisque F1 k
/
{-
F, on a :
llo(F 1/ k)
{-
llo(F)
k-++oo
k-++oo
Le théorème de la convergence dominée dans
L2(~,A,P)
montre
que
°
2
II (F) E L (~,A,P)
et

---

- 51 -
en désignant par
Il.11
la norme de la convergence en moyenne quadratique.
2
RH~
E E.:
étant fixé, soit
k E.: ~*
tel que
°
1/ k
°
II~(F
)-~(F)112<E
A ce choix de
k, on associe une fonction continue
f
définie comme suit
k
fk(x) = 1
\\Ix E.: F
fk(x) = 0
1/ k
Le support de la fonction
f
est contenu dans le borélien borné
F
et
k
comme
0 ~ f
~ 1 , il est clair que:
k
o
0
°
l/k
u (F) ~ u (f ) ~ u (F
)
k
ce qui donne:
II~o(fk) - ]J°(F)11 ~ II~o(F) - ~o(F1/k)112 (E
2
et, pour tout
n : Il ~~ (F) 11
~ Il ~~ (fk) 11 ( Il]J~ (fk) - u (fk) 11
(f k) 11
2
2
0
2 + Il u 0
2
~ 1i~~(\\) - ]J°(f
+ II~o(F)112+E
k)11 2
Et, puisque
E
est arbitraire:
** Soit 0 un ouvert borné non vide :
\\-.,I,k
-l/k
c
1
c-
lN*
VI
o
= {x E 0 : d(x,O ) ~ f}
c.,
posons :

---

- 52 -
-l/k
°
-l/k
Comme
0
t
0, la suite de v.a.r.
{u (0
)}kdl~
est positive
k+too
°
-l/k
et croissante et
lJ (0
)
t
lJo(O).
k+too
On a, d'après le théorème de la convergence monotone dans
2
L (rl,A,P)
-l/k
Remarquons que, pour k assez grand,
0
n'est pas vide
E > 0
étant fixé, soit
k E ~~
tel que
°
-l/k
°
IllJ (0
)11
~
2
IllJ (0)11 2 - E:.
A un tel choix de
k, on associe une fonction
f
continue ainsi définie
k
o ~ f k ~ 1
fk(x) = 0
sur
OC
-l/k
fk(x) = 1
sur
0
Le support de f
est contenu dans le borélien borné 0 et comme
0
k
~ f
~ 1 ,
k
il est clair que
Ce qui donne :
On peut donc écrire, pour tout
n E ~~ :
IllJ ° (0) 11
~
2 - E ~ IllJ ° (f k) 11 2
IllJ° (fk) - lJ~ (f k) 11
+
2
1 IlJ~ (f k) 11 2
~ IllJ° (f k) - lJ~ (f k) 11 2 + IllJ~ (0) 1 12

---

- 53 -
Ce qui fournit immédiatement:
*** Si A € Bb est tel que: 11~·(aA)112 = 0, on a donc
b)
* Soit F un fermé borné ; E > 0 étant fixé , il existe
un entier
k tel que
P{I~·(fk) - ~. (F) 1 < ~} > 1 - ~ et
un entier
n tel que
P{I~~(fk) - ~. (f ) 1 < ~} > 1 - ~
k
2
2
La réalisation des deux événements
{I~·(fk) - ~·(F) 1 <~} et
{I~~(fk) - ~·(fk) <~}
1
donne
+~2
ce qui fournit, pour n assez grand
** De même, pour un ouvert borné 0 et n assez grand, on
établit facilement que
*** Soit A un borélien borné tel que: ~·(aA) = 0 p.s.
On choisit un fermé
F
et un ouvert
0
liés au choix de A par:
o
F = A et
0 = A
si les deux événements
{~~(F) ~ ~·(F) + E} et {~~(O) ~ ~·(O) - E}
sont réalisés on a :
u• (A) - E = ~. (0) - E ~ ~~ (0) ~ ~~ (A) ~ ~~ (F) ~ ~. (F) + E = u (A) + E .
Ainsi, pour n assez grand:
P{ I~~(A) - ~·(A)I , E} ~ 1 - 2E

---

- 54 -
c) Les résultats obtenus en a) et b) prouvent que
l i m Il jJ~ (A) - u (A) 11
= 0 •
0
2
n-++ro
pour tout borélien borné A tel que jJo(oA) = 0 p.s.
3)
=>
2)
Soit
h une fonction continue. bornée et à support borné.
k
fixons
E > 0 ; il existe une fonction simple
9 = L a. lA
te 11 e que
E
•
1
1
•
1=
1
k
sup Ih(x) - gE(x)1 < E.
h et
9
étant nulles en dehors de
B = U
A.
E
. 1
1
XE:X
1=
Dans li écriture de
9 • l es
a.
sont des réels et les
E
1
A. (i = 1•...• k)
sont des boréliens bornés. disjoints deux à deux et dont
1
la frontière vérifie:
Pour la construction effective d'une telle fonction on peut se reporter
par exemple à [21J.
On peut alors écrire
Il jJ~ (h) - jJ (h)
0
11 2 =
= Il r h(x) jJo(dx) - J h(x) jJo(dx)11 2
lX
n
X
= IIIx (h(x)-9E(x))jJ~(dx) + Ix gE(x)(jJ~-jJo)(dx) + Ix (gE(x)-h(X))jJo(dx)11 2
k
~ E IljJ~ (B) 11 2 + .Liai 1 Il jJ~ (Ai) - u (Ai)
(B ) 1
0
1/ 2 + E 1 1u0
12
1=1
Donc. pour n assez grand on a :

---

- 55 -
En plus, comme
Il).l·(B)11 2 < + 00 et que E: est arbitraire,
il vient
l i m Il).l~ (h) - ).l. (h) 1 12 = 0 .
n~
2)
=>
1)
Soient
f
et
9 deux éléments de c~
On a :
1 fx2
f(x) g(y) ().ln _).l)2 (dx,dy) 1 = 1 E{ [).l~(f(x)) - ).l. (f(x))J [).l~(g(y)) - ).l. (g)J} 1
~ Il).l~ (f) - ).l. (f) 11 2 1 l).l~ (y) - ).l. (g) 1 12
Or, d'après le théorème 111.4., la classe
F+= {f(x) g(y) ; f €
c~ ' 9 € C~}
2+
est
C-déterminante sur
M
; par conséquent, la propriété 2) implique
la propriété 1).
Remarques sur le théorème IV.l.
1) La démonstration de 1) => 2) n'utilise aucunement le fait que
les mesures aléatoires sont positives; aussi est on en droit de s'attendre
à un résultat similaire pour les mesures aléatoires à signes.
2) Compte tenu de l'importance de ce théorème, nous proposons
une démonstration directe de 3) => 1) ; nous signalons qu'une démonstration
directe peut aussi être obtenue en généralisant le résultat [7 p. 20J de
Billingsley.
Ilv
~
Le schéma est alors le suivant
1) ==> 2) ==> 3)
~
~

---

- 56 -
3)
=>
1)
Si la condition 3) est réalisée, pour deux éléments
A et
B
de B
tels que:
b
on a
2
Par conséquent, d'après un résultat classique de convergence dans
L (O,A,P)
lim E{]J" 8 ]J"(A x B)} = lim E{]J" 8 ]J"(A x B)} = E{]J" 8 ]J"(A x B)}
n
n
m
n~
n,~
Nous montrons que la classe
A 2 des pavés mesurables bornés
A x B tels que
]J
]J"(aA) = ]J"(aB) = 0 p.s.
détermine la convergence faible à distance finie de
(]Jn]J) et de
(]Jn ]Jm)
vers
]J2 ; pour conclure il suffit alors d'appliquer la propriété IV.?.
Remarquons que si
A, B € B
et
]J"(aA) = ]J"(aB) = 0
p.s. ,
b
2
alors
]J [a(A x B)] = 0
à cause de l'inclusion
a(A x B) c [aA x BJ U [A x aB]
La classe
A 2 est manifestement stable par intersection finie.
]J
* Soit G un ouvert borné et soit E € R+~ .
Comme
]J2(G) < +
il existe une suite
00
,
(A. x B.) .~~I , de
1
1 1 Ul
rectangles ouverts bornés ]J2-continus et un entier
K(E)
tel que:
2
K(E)
]J [G -
U
(A. x B.)J < E
. 1
1
1
1=

---

- 57 -
Le lemme de Poincaré donne :
K( E)
KlE)
[u
(A. x B.)] =
L (_I)k+l SKk(E)
i=1
'
,
k=1
où
SkK(E) =.
I . IJ
[(A.
n IJm
x B.
) n
n (A.
x B.
)J
' 1 ' 1
'k
'k
'1"""k
et où la sommation s'étend à toutes les combinaisons des
K(E)
premiers
entiers pris
k à
k.
Comme la famille
A 2
est stable par intersection finie
IJ
K(E)
2 K(E)
n-++oo )
IJn IJm [U (A. x B.)J --+ IJ [U (A. x B.)]
m-++oo
i=1
"
i = I "
si bien que l'on peut écrire:
K(E)
2
2 K(E)
]J (G) - E < IJ [u
(A. x B,.)] = lim IJ IJm [U (A. x B,.)] ~ lim inf]J IJ
.,= 1
'
m(G)
n,m
n
i = l '
n,m
n
et, puisque
E est arbitraire
2
lim inf IJn IJm(G) ~ IJ (G)
( i )
n,m
** Soit a un point arbitraire de X et {B(O,rn)} = (Bn)
une suite croissante de boules ouvertes de centre
a et de rayon (rn)
telle que:
- X = U
Bn
.
naI
2
2
Pour la distance
d
introduite sur
X ,
est la boule de
centre
(0,0)
et de rayon r n

---

- 58 -
2
Si
F est un fermé borné de X , il existe une boule
qui le contient
comme
2
lim )ln )lm [B
= u (B
x B
)
n x Bn ]
n,m
o
no
no
0
et
l im inf )l )lm [B
x B
- FJ ~ i[B
x B
- FJ
n
no
no
no
no
n,m
On a
lim sup )ln )lm(F) , )l2(F)
( i i )
n,m
De (i) et (ii) on déduit aisément que
\\JC E: B~
De même,
2
converge faiblement à distance vers
)J
•
Nous avons déjà remarqué que, dans le théorème IV.I.,
l'implication 1) => 2)
est vraie pour des mesures aléatoires à signe. Par
contre, pour passer de 2) à 1) nous avons utilisé le fait que la classe
+
+
+
2+
F = {f(x) g(y) ; f €
C ' g
est
C-déterminante sur
M
; cette
b
E: Cb}
2
classe, semble-t-il n'est pas C-déterminante sur
M
tout entier.
S'agissant donc de mesures aléatoires à signes, nous pouvons
seulement énoncer le résultat suivant:
Théonème IV.2.-
Soit
()l~) une suite de mesures aléatoires
du second ordre qui converge en moyenne quadratique vers
)l
; alors, pour
toute fonction
f
continue, bornée et à support borné
Ix f(x) )l~(dx) m.q ~ Ix f(x) )l"(dx) quand n ~ + 00 •

---

- 59 -
La propriété IV.8. nous permet de répondre à la question naturelle
suivante: étant données deux suites de mesures aléatoires
(~o)
et
n ndl
(v~)md'l d'ordre deux qui convergent en moyenne quadratique vers ~
et
v
respectivement, que peut-on dire de la suite double
(~
v )
en
n m n,m'
termes de convergence de mesures?
On a le résultat suivant:
O
P~ophiété IV.8.-
Soient
(~o)
et
)
deux suites de
n nd'J
( V mmd'l
mesures aléatoires positives du second ordre telles que
en moyenne quadratique
en moyenne quadratique
o)
alors
~n v = E(~~ Q v~)
faiblement à distance finie.
m
- - + E(~o 8 v
Preuve
D'après le théorème 111.4., la classe
2
F+= {f(x) g(y) ; f ( C~ , 9 € C~} est C-déterminante sur M + .
Il suffit de démontrer que:
J
I
2 f(x) g(y) ~n vm(dx,dy) ---+
2 f(x) g(y) ~v(dx,dy)
X
x
où
f
et
9
sont des éléments positifs de Cb
On a
l f(x) g(y) ~ v (dx,dy) = E(I f(x) ~o(dx) l g(y) vO(dy))
2
X
n m
X
n
X
m
d'après la propriété IV.5. et le théorème de Fubini.
Le théorème IV.I. du porte-manteau permet d'écrire
f f(x) ~o(dx) ---+ J f(x) ~o(dx)
en moyenne quadratique
X
n
X
J g(y) v~(dy)
Ix
en moyenne quadratique
- - - +
g(y) vO(dy)
x

---

- 60 -
Ce qui implique:
E{Jr f{x) ~'(dx) J g{y) v~{dY)) ~ E{J f{x) ~o{dx) l g{y) vO{dy))
X
n
X
X
X
C'est-à-dire, d'après Fubini:
C1est-à-dire encore d'après la propriété IV.5.
I 2 f(x) g{y) ~n vm(dx,dy)
f
-----+)
2 f{x) g(y) ~v(dx,dy)
x
x
ce qui est le résultat cherché . •
La propriété IV.B. peut être étendue aux mesures aléatoires à
signe, moyennant une condition supplémentaire; nous obtenons alors la
PJtop!U..Ué IV.B. b-iA.-
Soient
( ~ O )
et
(vo)
deux suites
n ndl
m md-l
de mesures aléatoires du second ordre, telles que
°
~n - - + ) u
en moyenne quadratique
en moyenne quadratique
2
si la suite
(~n vm) = {E(~~ e vl~)} est relativement compacte dans M
muni de la topologie faible à distance finie alors :
faiblement à distance finie.
Démonstration
Le théorème IV.2. montre que pour deux éléments
quelconques
f
et
9 de Cb
Ix f(x) ~~(dx) m.q + J f(x) ~O(dx)
Ix g(y) v~(dY) ~ Ix g(y) vO{dy)

---

- 61 -
Par conséquent :
c'est-a-dire, en appliquant Fubini:
c'est-a-dire encore, d'après la propriété IV.5.
f 2 f(x) g(y) ~n vm(dx,dy) -----------+) f 2 f(x) g(y) ~v(dx,dy) .
X
x
Le théorème 111.5. permet alors de conclure.
Si une suite
(X ) de v.a. du second ordre est telle que la
n
suite double
E(X
. X ) ait une limite
CI.,
i l existe une v.a.
X du
n
m
second ordre telle que
(X ) converge en moyenne quadratique vers
X.
n
Il est donc naturel de poser la question :
la convergence faible a distance finie de la suite
(~n ~m)
vers
2
une certaine mesure
CI. E M
, quand
n et
m tendent simultanément vers
+ 00 , signifie-t-elle que
CI.
est nécessairement de la forme
CI. = E(~O a ~O)
,
0
où
u
est la limite en moyenne quadratique de la suite
( 11
)
d'éléments
"n ndN
2
de
L
?
M
Moyennant une hypothèse de positivité sur la suite
(~~) et
de complétude pour l'espace métrique
(X,d) , la réponse a cette question
est affirmative et fait l 'objet du :

---

- 62 -
Th~o~ème IV.3.-
Supposons que l'espace métrique
(X,d)
soit
séparable et complet; soit
(]J O)
une suite de mesures aléatoires du second
n
ordre positives telle que:
(E{]J ° 9 ]Jo}) - (]J
]J)
converge faiblement à distance finie
n
m
-
n m
2+
vers
a €
M
,quand
n et
m tendent vers
+ 00.
Alors, il existe une mesure aléatoire du second ordre positive
telle que
et
(]J~) converge en moyenne quadratique vers ]J
quand
n ~ + 00.
Avant d'entamer la démonstration de ce théorème, nous établissons
d'abord quatre lemmes utiles.
Lemme IV.7.-
La mesure
a
définie au théorème IV.3. est une
mesure symétrique.
Preuve:
Il est clair que ]J
]J
= E(]J° 9 ]Jo)
converge vers
a
n n
n
n
faiblement à distance finie d'après 1'hypothèse.
Pour tout
n € ~ , E(]J~ 9 ]J~)
est une mesure symétrique en ce
sens que pour tout borélien
C , on a la propriété
" S 11
E{]J ° 8 ]J°(C)} - E{]Jn° 0 ]Jno(C
n
n
-
\\:1
S)}
avec
Cs = {(x,y) : (y,x) c C}
En effet, si
C = A x B est un pavé mesurable, la propriété
"s" est vérifiée puisque

---

- 63 -
~~ 9 ~~(A x B) = ~~(A) ~~(B) = ~n Q ~~ (B x A)
Or, tout ouvert
0 de x2 est une réunion dénombrable de rectangles
ouverts.
00
o = u O.
i=1
'
Pour tout
k € ~* , la formule de Poincaré permet d'écrire
k
k
E{~. Q ~.( U O.)} = l (_I)j+l s~
n
n i=l'
j=1
J
où
E{~. Q ~. (O. n ... n o. )} et où la sommation s'étend
n
n ' l
'j
à toutes les combinaisons des
k
premiers entiers pris
j à
j.
Comme la classe des rectangles ouverts est stable par intersection
k
finie, cette formule montre que
U
O,
vérifie la propriété
Il
Sil,
i=1
'
pour k fixé.
Il en résulte, d'après la propriété de continuité monotone
croissante des mesures,
que tout ouvert vérifie la propriété
Il
S "
La régularité des mesures bornées sur les espaces métriques montre
alors que tout borélien borné vérifie la propriété
Il
S Il
et il en résulte
que
"s"
est vraie pour tout borélien.
Comme la suite ~{~~ Q ~~}) converge vers
a
faiblement à distance
finie, il est clair que pour tout borélien borné C tel que
a(aC ) = 0
S
on a :
si
F est un fermé borné, il existe une suite
(0 ) ~~I
de réels positifs
n nt,l~
telle que:

---

- 64 -
Il en résulte que, pour tout fermé borné F,
a(F) = a(FS) .
Cette propriété s'étend, par régularité, à tout borélien borné, puis à tout
borél ien . •
Lemme rV.2.-
Notons
B(x,t)
la boule ouverte de X, de centre
x
et de rayon
t > 0 ,et
3B(x,t)
sa frontière dans X
étant donné une
mesure positive
a
sur
X x X et un point quelconque
x EX, l'ensemble
des nombres réels positifs
t
tels que
a[a(B(x,t)) x x] > 0 est au plus
dénombrable.
Démonstration
Remarquons que
aB(x,t)
est inclus dans la
sphère
S(x,t) = {y EX, d(x,y) = t}
et que les frontières des boules
B(x,t)
sont disjointes quand
t
varie et
x reste fixe.
Soient
m et
n deux entiers positifs fixés ; pour tout
~
a[B(x,n) x B(x,m)] < + 00
**
a(B(x, t)) x B(x,m) C S(x, t ) x B(x,m)
***
et les ensembles
{S(x,t) x B(x,m) : t ~ nl . sont disjoints
Par conséquent, l'ensemble
I t ~ n : a[a(B(x,t)) x B(x,m)] > O}
est au plus dénombrable.

---

- 65 -
Il en est de même par conséquent des ensembles :
En = {t ~ n : jm E: ~il' : ex[a(B(x,t)) x B(x,m)] > a}
00
et
U
E
n=l
n
00
Cependant, si
t E: n
EC
, on a
n=l
n
ex [a(B(x, t )) x XJ = l im ex [a(B(x, t)) x B(x,m)] = a
•
m-++oo
Lemme IV.3.-
Etant donné une mesure positive
ex
sur
X x X ,
un point quelconque
x de X, un nombre réel positif
t
tel que
ex[a(B(x,t)) x x] = a , il existe, pour tout
E
> a , une partition finie
ou dénombrable
(6. ; i E: 1)
de la boule ouverte
B(x,t)
,
telle que:
1)
ViE:l
2)
Vi E: 1
diam 6. < E
,
Démonstration:
Quand
E ~ t
, le lemme devient trivial.
Supposons donc que
E < t
pour tout
y E: X , il existe une
boule
B(Y,sy)
de rayon inférieur à
E/2
telle que:
ex [a (B(y, sy)) x XJ = a .
Du recouvrement ouvert de
B(x,t)
par les boules
{B(y,sy), y E: B(x,t)}
on peut extraire un recouvrement fini ou dénombrable puisque
X est
séparable:
B(x,t)C ~ B(Yi'Sy.)
, E:I
,

---

- 66 -
On pose alors
61 = B(x,t) n B(Yl,SYl)
62 = B(x,t) n B(Y2, SY2) - B(yl,SYl)
Il est clair que
(1'1
i
i;
E: I)
forme une partition de
B(x,t)
en boréliens
de diamètre inférieur à
E
et l'inclusion:
Vi E: I
,
él(6.) C él(B(x,t)) U él(B(yl,s
)) U
U él(B(y.,s
))
l
YI
'
Yi
montre que
Vi E: I
a[él(1'1.) x XJ = 0
.
,
Le.mme. IV.4.-
Soit
A un borélien borné tel que
: a[él(A) x XJ = 0
sous l'hypothèse du théorème IV.3., la suite de v.a.r.
Cauchy en probabilité.
Démonstration:
D'après le lemme IV.I., la mesure
a
est symétrique;
compte tenu de l'inclusion
él(A x A) C (él(A) x X) U (X x él(A))
on a donc:
a(él(A x A)) = 0
Par conséquent
lim ~
~ (A x A) = a(A x A)
n-H-oo n m
m-H-oo
Compte tenu de l'égalité
2
+ 2
= ~n - ~n ~m - ~m ~n
~m

---

- 67 -
on obtient
2
lim (~n - ~m)
(A x A) = 0
n-++oo
rn-++oo
c'est-à-dire
lim E{(~~ - ~;) 8 (~~ - ~;) (A x A)} = 0
n,m
soit encore
lim E{ I~·(A)
2
- ~·(A) 1 } = 0
n-++oo
n
m
m-++oo
Dlaprès l linégalité de Markov, pour tout
E > 0 , on a
et par conséquent il existe
K E:}J * te l que :
E
Vn ~ K
Vm ~ K
E
E
•
Cet "arsenal" de lemmes étant constitué, on peut maintenant passer
à la démonstration du théorème IV.3. qui se déroulera en 3 étapes.
Démonstration du théorème IV.3.-
a) Soit
0
un point arbitrairement choisi dans
X et
00
r
p = l
p
r(1+p
r=l
2
)
r
la distance de GEFFROY sur
M+
associée à ce choix ; p est évidemment
continue sur
M2+ , muni de la topologie faible à distance finie. Comme
(X,d)
est séparable,
+
(M
,p)
est séparable d'après le théorème 1.6.,
et on en déduit que
p(~~,~;) est une variable aléatoire réelle.
Nous allons montrer que la suite de v.a.r.
(p(~~'~;))n,m
converge vers
0 en probabilité; il suffit naturellement de prouver qu'il
. .
*
en est de même de toute suite
(p (~ ,~ ))
pour
r
fixé dans ~
.
r
n m n,m

---

- 68 -
Fixons donc
r € ~* , El > 0 , n > 0
d1après le lemme IV.2.,
il existe
te l que
a(d(B(O, r+l - E)) x X) = 0 .
D'après le lemme IV.3., il existe une partition finie ou
dénombrable
(LI. ; i €
1)
,
de la boule ouverte
B(O, r+l
te lle que
~
Vi €
l , d i am (LI.) < E
,
Il est alors clair que
j
j
[B ( 0, r+1 - E) -
U
lI ]
i
x [B( 0, r+1 - E) -
U
LI .J
-1-
<P
i =1
i =1
'
j ++-00
Il existe un borélien
LI
qui s'écrit
LI = B(O, r+l - E) -
U
LI.,
hj
te l que :
o
2 n
a(lI x LI) < E
24
De plus, on a:
a(d(lI x LI)) = 0
à cause de la symétrie de
a
et
des "inclusions:
d( LI) C d( B( 0, r+1 - E)) U a(lI ) U
U
l
d( LI. )
Jo
d(lI x LI) C (d(lI) x X) U (X x d(lI))
L'hypothèse du théorème implique en particulier que
(1,2)
* - (E("· Q l'·))
*
"n nd~
-
"n
"n
nd'l
converge faiblement à distance finie vers
a ; ainsi, il existe un entier
no
tel que, pour tout
n ~ no :
2
2
f-i
( lI x LI)
n
< E
n/12
ou encore

---

- 69 -
Ce qui implique, compte tenu de l'inégalité de Markov
D1autre part, d'après le lemme IV.4., il existe un entier
nI
qu'on choisit
supérieur à
no
tel que, pour n ~ nI
et
m ~ nI
ce qui implique:
Si on note
E
E
= {jJn" (li) < -
jJ~(lI) < ~
i = I,2, ... ,j } .
n,m
2
2
o
On obtient, pour n ~ nI
et
m ~ nI :
c
P(E
) < n
ce qui équivaut
n,m
à
P(E
) > 1 - n
n,m
Considérons un borélien
A
tel que AEC B(O,r)
Si
x appartient à
A: d(x,O) < r < r+I - E
donc:
AC B(O, r+I - E)
Posons
i ~ j
; li. n A # <p};
pour i E Jo
li. C AE
o
,
,
Par conséquent
Si on suppose l'événement
E
réalisé, on a alors
n,Ill
jJ~(AE)
l
jJ"(lI.) ~
n ,
l
jJo(lI.)
E
~
m ,
- 2"
ü:J
iEJ
o
o
Or
AClI U (U
li. )
,
iEJo

---

- 70 -
Par conséquent
fl~(A) ~ fl~(6) + l
°
fl
~ ~ +
m(6
l
i)
2
fl~(6i)
ÏE:J o
ÏE:J o
Au total, on a donc
°
°
E
u (A) ~ fln(A ) + E •
m
Comme dans cette démonstration
m et
n jouent des rôles indiscernables,
on peut aussi écrire :
Ains i :
Finalement, pour
et
m ~
b) Cette partie de la démonstration est sans doute classique
[16 p. 221 par exemple]. On choisit une suite croissante
(nk)kdl~ telle
que
pour
m, n ~ nI
pour
m, n ~ nI
o
P{P(fl
pour
m, n
n°'flm) > -~k} , -~k
~ n
2
2
k
oo
On pose, pour tout
k E: ]~~
E
n { (0 0)
1 }
k =
P fln,flm
< --2
i
i =k

---

- 71 -
Comme
00
on a
Si
W E: Ek
et si
i
et
j
sont des ent i ers te l s que
i > j > k
i-1
i -1 1
1
on a
( w
w)
'\\
(w
w)
l - , -.-
p ~n.' ~n.
'
L
P ~n
' ~n
~
1
J
l=j
l+l
l
l=j Zl
ZJ-1
Ainsi,
(~~.) est une suite de Cauchy dans (M+, p) ; on sait, d'après
J
le théorème 1.7. dû à GENSBITTEL que cet espace métrique est complet
puisque
(X,d)
est complet. On note alors
~w la limite de (~~. )
00
J
posons par ailleurs
W -
0
~
=
si
W
r,
E:
EC
k=l
k
On a donc obtenu
00
V
E ç {w E: ~
l .
W
lm ~
= ~w} =
k
.
n.
~o
k=l
J+too
J
00
Puisque:
P( U
E ) = 1 on a
k
P(~o) = 1 .
k=l
~
est donc une mesure aléatoire telle que:
l im ~.
== ~
P • p.s.
.
n.
J-++OO
J
c) Il reste à vérifier que
~
est d'ordre deux, que
.
converge en moyenne quadratique vers
~
.
~
Il existe une suite croissante
(B ) _'1,,* = {B(O,r )} _...,* de
m mu,
m mu,
boules concentriques ouvertes telles que:
00
- X == U
Bm
m=l
- \\1" E: ]~~
~. (aB
= 0
P
p.s.
m)
\\lm E: lN*
ex [a(B
x
B )J = 0
m
m

---

- 72 -
D'après le paragraphe b) de la démonstration:
\\im E: ]N~ ,
p. s.
D'après le lemme IV.4., (~~(Bm))
est une suite de Cauchy dans
2
L (Sl, A, P) ; don c ,
Vm E: ~~ : lim inf E(~·2(B )) = lim E(~·2(B )) < + 00 •
.
n.
m
n
m
J
J
n
Or, d'après le lemme de FATOU
lim inf E(~·2(B )) ~ E(lim inf ~.2(B ))
j
nj
m
j
nj
m
par conséquent
\\im E: ~~
E{~·2(B )} < + 00 •
m
Ce qui montre que ~
est une mesure aléatoire du second ordre.
2
2
+
2
~~ Compte tenu de l'égalité:
(~n-~m) = ~n - ~n ~m - ~m ~n
~1l1
et de l'hypothèse du théorème, on a, pour toute fonction
f E: Cb :
lim J f(x) f(y) (~n - ~m)2 (dx,dy) = 0
n-H-oo
m-H-oo
Ce qui peut s'écrire:
lim E{If(X) f(y) (~~ - ~~) e (~~ - ~~) (dx,dy)} = 0
n-H-oo
m-H-oo
ou encore
lim [(IJ f(x) ~·(dx) - l f(x) ~·(dx)12} = 0 .
n-H-oo
n
m
m-H-oo
2(Sl,A,P)
La suite
(J f(x) ~~(dx))n8N est de Cauchy dans L
.
Cependant, il existe
Sloe Sl , de probabilité 1, tel que,
Vw € Slo ' Vf € Cb
J f d w
~n .J

---

- 73 -
Ainsi, pour toute fonction
f
de C
J f d~· est un représentant
b'
de la limite en moyenne quadratique de
(J f d~~)n8N*
Le théorème IV.I. montre alors que la suite de mesures aléatoires
positi ves
(~.) ~Thl* converge en moyenne quadratique vers ~.
n nun
***
Enfin, la propriété IV.B. montre que la suite
(~n ~m)n,m
2
converge faiblement à distance finie vers
~
par conséquent:
ex = ~2 = E(~. B ~.)
•
Le corollaire des théorèmes III.6. et III.7 peut se combiner
de façon intéressante avec le théorème IV.3. pour donner un critère assez
maniable de convergence en moyenne quadratique d'une suite de mesures aléatoires
du second ordre.
Nous énonçons le résultat dans le théorème suivant
Théo~ème IV.4.-
Supposons que l'espace métrique
(X,d)
soit
séparable et complet; soit
(~~)ndN~ une suite de mesures aléatoires
positives du second ordre telle que
\\J
C+
,
vg c
b
lim
f(x) g(y) ~
~ (dx,dy)
ou
n m
n,m
lim E{~~(f) ~;(g)}
existe.
n,m
Alors, il existe une mesure aléatoire positive
~
du second ordre telle
que :
en moyenne quadratique.

---

- 74 -
Démonstration:
Puisque l'espace
(X,d)
est séparable et complet,
on sait, d'après le corollaire des théorèmes 111.6. et 111.7. que la classe:
F+ = {f(x) g(y)
f c C~ , 9 c C~}
2+
est
E-déterminante sur
M
; par conséquent, l'existence de
lim J 2 f(x) g(y) ~n ~m(dx,dy) ou lim E{~~(f) ~~(g)}
pour tout
f €
C~
n,m
X
n,m
+
2+
et tout
9 € C
implique 1 'existence d'une mesure
Œ €
M
et
b
Iu ~f={E(~o 8 ~o)} converge faiblement a distance finie vers Œ.
n
nT
n
m
Le théorème IV.3. montre alors que Œ est de la forme:
et que
(110)
converge en moyenne quadratique vers
~: •
....n
Nous arrivons a la fin des résultats concernant les mesures aléatoires
positives avec l'énoncé d1un résultat qui découle directement du théorème IV.4 ..
Co~olt~e du théo~ème IV.4.-
Supposons que
(X,d)
soit
0
séparable et complet; soit
(11 )
une suite de mesures aléatoires
....n ndJ
positives d'ordre 2 telle que:
Vf €
C : ~~(f)
converge en moyenne quadratique vers une
b
certaine variable aléatoire réelle
X(f).
Alors
{~~}ndJ*
converge en moyenne quadratique vers une
certaine mesure aléatoire positive
~
du second ordre.

---

- 75 -
Démonstration
Soient
f
et
g deux éléments de C
tels que
b
~/ (f) --+1 X(f)
m.q
n
n-++oo
w~(g) --+-+ X(g)
m.q
m-++oo
alors
W~(f) w~(g) est une v.a.r
P-intégrable et on a
n-++oo
E{ w~ (f) WI~l (g)} -----t--+ E{X (f) X(g)}
m-++oo
Le théorème IV.4 permet alors de conclure . •
Les théorèmes intéressants pour les applications sont manifestement
les théorèmes IV.I., IV.3., et IV.4. ; malheureusement, comme nous l lavons
déjà remarqué, il ne semble pas possible de les appliquer en toute généralité
aux mesures aléatoires à signe: ici encore, comme dans le chapitre III.,
ce sont des questions de relative compacité dans llespace
M2 muni de la
topologie faible à distance finie qui interviennent. Pour pallier ces
difficultés, nous introduisons, dans le cas des mesures aléatoires à signe
une hypothèse rappelant curieusement, mais de façon formelle, celle du
théorème de la convergence dominée de Lebesgue. Cette hypothèse non triviale,
inspirée du théorème 111.5. bis, permet de tirer quelque bénéfice des
résultats acquis pour les mesures aléatoires à signe.
Le théorème IV.5. donne une condition suffisante de convergence
en moyenne quadratique dlune suite de mesures aléatoires du second ordre et
constitue une sorte de réciproque au théorème IV.2..

---

- 76 -
ThéolLème IV.S.-
Soit
(,,")
une suite de mesures aléatoires
"n ndN
du second ordre et
~
une mesure aléatoire du second ordre telles que
i)
'in E: lN
I~~I ~ v· et I~"I' v
où v
est une mesure
aléatoire du second ordre positive fixée.
ii)
tif E: C ' (J f d~~)ndN converge en moyenne quadratique
b
vers
f f d~·
Alors
(~~)nE:]~
converge en moyenne quadratique vers
~
. .
Démonstration :
Posons
Y =
n
~n + v
et
y
= ~
+ v
pour
tout
n € lN. En vertu de l'hypothèse 1) et de la propriété IV.2., (Y~)ndN
est une suite de mesures aléatoires du second ordre positives. L'hypothèse 2)
implique:
f f dY~ m.q.~ l f dy'
Le théorème IV.I., valable pour des mesures aléatoires du second ordre
positives, montre que:
y~ m.q. ~ y'
2
2
Autrement dit:
(Yn
y)
= (~n - u)
converge faiblement à distance
finie vers l'élément
2
nul de M
quand
n -+ + 00• •
La propriété IV.9., ci-dessous, qui prolonge la propriété IV.B. bis
montre que l'hypothèse retenue est bien plus qu'un simple tour de passe-
passe.
PILop!Liê~ê IV.9.-
Soient
(v~)ndN deux suites de
aléatoires du second ordre,
deux mesures aléatoires

---

- 77 -
du second ordre;
y
et
e
étant deux mesures aléatoires positives du
second ordre fixées, si on suppose que
et
2){~~ m. g. ~ ~
vom·g·~v
m
Alors
(~n vm)(n,m)dNXN converge faiblement à distance finie vers
~v
2.
dans
M
Démonstration:
En vertu de la propriété IV.B. bis, il suffit
de démontrer que la suite
(~n vm)(n,m)dNx~ est relativement compacte dans
M2. D'après le théorème II.3., il nous faut donc montrer que:
a)
\\lB E: B~ :
sup 1 u v 1 (B) < + 00
n m
n,m
b)
Pour toute suite
(hk)kdN
d'éléments de
c~ qui tend
vers
0 en décroissant:
a) Soit
B un borélien borné de X x X et
(PÀ)ÀE:A
l'ensemble
des partitions mesurables de
B , finies ou dénombrables. A chaque parti-
tion
P
est donc associé un ensemble d'indices
lÀ
fini ou dénombrable.
À
Pour tout
(n,m) E: ~ x J'l ,
I~n vml (B) = sup l
I~ v (B·)I
n m ,
ÀE:A id À
Pour tout
À E: A ,
on a :
o)
l
(B.)}I ~
m
,
l
E{I~O a vO(B.)I}
1 E{ (~~ 9 v
n
m,
iE:l
id À
À

---

- 78 -
Et, d'après la propriété de Beppo Lévi:
l
E{ 1)ln· B \\J.(B. ) I} = E{ l
. 1
m l . 1
re À
l€
À
~ Hsup
l
Àd\\.
i€I
À
et ainsi :
D'après la propriété 111.3. et l'hypothèse 1) on a
Par conséquent,
sup l)ln \\Jml(B) < + 00 •
n,m
b) Soit maintenant
(hk)kdN
une suite d'éléments de
c~
telle que
A l'aide de l'inégalité:
on remarque facilement que:
o ~ lim sup J hk d/)l \\Jmi ~ lkim J hk dy e = 0
k
n,m
n
ce qui achève la démonstration . •

---

- 79 -
Les théorèmes IV.6. et IV.7. ci-dessous étendent les théorèmes
IV.3. et IV.4. ; comme dans ces deux derniers, nous supposons que l'espace
métrique
(X,d)
jouit, en plus de sa séparabilité de la complétude.
Théo~ème IV.6.-
Soient
( ,, 0)
une suite de mesures aléatoires
fAn ndN
du second ordre et
v
une mesure aléatoire du second ordre positive ;
on fait les deux hypothèses suivantes
1)
\\In € lN
2)
converge faiblement à distance finie vers
une mesure
ex
Alors, il existe une mesure aléatoire du second ordre
fl
telle
que
et
(,, 0)
converge en moyenne quadratique vers
quand
n
"n ndN
-+ + 00.
Démonstration
1) Pour tout
n € lN , posons
Yn = fln + v
Nous allons démontrer que {E(y; 9 y~)}(m,n)dN~ = (ym Yn)(m,n)dN~
converge faiblement à distance finie vers une certaine mesure positive
S € M2+ .
Comme
(X,d)
est complet et que
(YmYn)(m,n)d~~ est une suite
de mesures positives il suffit, en vertu des théorèmes 111.6. et 111.7. de
démontrer que, pour tout
f €
c~ et pour tout g € c~ ' la suite
{ ff(X) g(y) Y yn(dx,dy)}
est convergente.
m

---

- 80 -
Un calcul s'appuyant sur les propriétés IV.4. et IV.5. donne
V(m,n) c l'l x l'l
r f(x) g(y) y y (dx,dy) = J f(x) g(y) W W(dx,dy) + r f(x) g(y) Wv (dx,dy)
J
m n
m n
J
m
2(dx,dy)
+ f f(x) g(y) vwn(dx,dy) + I f(x) g(y) v
.
Compte tenu de l'hypothèse et du caractère symétrique des deux termes centraux
dans le dernier membre de l'égalité ci-dessus, il reste à démontrer que
l a suite
{J f(x) g(y) wnv(dx,dY)}ndN
est convergente
Cependant, l'hypothèse 2) du théorème et l'égalité
(
)2
2
+ 2
wn - wm = wn - wn wm - Will wn
wm
montrent que, pour toute fonction
f €
Cb ' la suite {w~(f)}ndN est
de Cauchy dans
L2(~,A,P) ; comme {w~(f)} converge en moyenne quadratique,
{W~(f) v'(g)}n~ converge dans Ll(~,A,P): ce qui entraîne en particulier
la convergence de la suite
{E(W~(f) v'(g)} = {J f(x) g(y) wnv(dx,dy)}
L'égalité ci-dessus résulte de la propriété IV.5 ..
2) Ainsi, d'après le théorème IV.3., il existe une mesure
2
•
•
aléatoire du second ordre positive
y'
telle que S = y = E(y 8 y )
et
(y~)n8N converge en moyenne quadratique vers y
Posons alors
W = y
- v
2
2
(y
- y)
= (W
- W)
converge faiblement à distance finie
n
n
vers
a donc (W~)ndN converge en moyenne quadratique vers w' .

---

- 81 -
D'après la propriété IV.9., (~
~)
converge faiblement à
m n m,n
distance finie vers ~2 donc:
2
a
u
. •
Théo/tème. IV. 7.-
Soit
( ~ O )
une suite de mesures aléatoires
n ndl
du second ordre telle que
1)
\\In E: b"l,
I~~I ~ v
où
v
est une mesure aléatoire positive
du second ordre.
2)
'If E: C~
lim J
n,m
existe. Alors il existe une mesure aléatoire
~
du second ordre telle que
( 11 ° )
converge en moyenne quadratique vers
11
....n n~
....
Démonstration: D'après le théorème IV.5., il suffit de démontrer
que
(~m ~n)m,n
converge faiblement à distance finie vers une certaine
mesure
a
de
M2.
Comme dans la démonstration de la propriété IV.9., l'hypothèse 1)
2.
imp li que que la suite
est relativement compacte dans
M
(~m ~n)(m,n)dl~
+
+
+
Or la classe
F
= {f(x) g(y) ; f E: C
' g
est déterminante
b
E: Cb}
2
sur
M
on applique alors le théorème 111.5. pour conclure . •
Du théorème IV.7., on tire facilement le résultat suivant, à
rapprocher du corollaire IV.4 ..
Co!to~e. IV.7.-
Soit
(11 ° )
une suite de mesures aléatoires
....n ndl
du second ordre telle que
1)
Vn
I~~I ,\\!
où \\!
est une mesure aléatoire du second
ordre positive.

---

- 82 -
2) \\ff ~ C : {~~(f)}ndN
converge en moyenne quadratique vers
b
une certaine variable aléatoire réelle
X(f).
Alors
( 11 °)
converge m.q. vers une certaine mesure aléatoire
"n nd'l
du second ordre
~.
C - INTRODUCTION A L'ETUDE DES MESURES ALEATOIRES EVOLUTIVES DU SECOND ORDRE.-
Ce paragraphe est consacré à des applications à llétude des
processus à "valeurs mesures" des résul tats obtenus précédemment; nous
supposerons, dans tout ce qui suit que l lespace métrique séparable
(X,d)
jouit de la propriété de complétude.
T désignant un intervalle de la droite réelle, on appellera mesure
aléatoire évolutive du second ordre toute famille
{~~; t ~ T} de mesures
aléatoires du second ordre définies sur un même espace probabilisé
(Ç2,A,P).
Pour toute fonction
f ~ C ' {~~(f)
t
b
E T}
est donc un
processus réel du second ordre.
Compte tenu de la notion de convergence en moyenne quadratique
introduite au paragraphe précédent, nous dirons que la mesure aléatoire
évolutive
{~~; t € T} est continue en moyenne quadratique en un point
t o € T si et seulement si pour tout voisinage faible à distance finie V
2
de O, dans M , il existe un nombre réel positif
E
tel que:
\\ft € T n] t 0 - E, t 0 + E [ ,
E[( ~~ - ~~ ) 8 (~~ - ~~ )J = [~t - ~t ] 2 c V
0 0 0
Nous supposerons dans tout ce qui suit que
{~~
t €
T}
est continue en
moyenne quadratique sur
T, c'est-à-dire en tout point
t €
T.

---

- 83 -
Les théorèmes IV.I. et le corollaire IV.?
montrent que cette
hypothèse est vérifiée quand, pour toute fonction
f €
C ' le processus
b
du second ordre
{~~(f) , t € T} est continu en moyenne quadratique sur T,
et
* ~~) a , Vt € T
ou
* I~~I ( v· , Vt € T , où v
est une mesure aléatoire du
second ordre positive.
Rappelons brièvement les conséquences bien connues de la continuité
en moyenne quadratique du processus réel du second ordre
{~~(f) ; t € T}
\\if €
C
Tout d'abord, pour tout
f
b
€
Cb ' la covariance
ff(s,t) = E{~~(f) ~~(f)}
est continue sur
T x T et il existe une version
mesurable et séparable de
{~~(f) ; t € T}.
Si l'intervalle
T est compact,
ff(t,t)
est intégrable Riemann,
donc intégrable Lebesgue sur
T; d'après le théorème de Fubini,
fT [~~(f)J2 dt < + co p,s .
et
E{r [~~(f)J2 dt} = f ff(t,t) dt
JT
T
De plus, comme la mesure de Lebesgue sur
T est finie
fT ~~(f) dt < + a:> p.s.
et
E{ef ~~(f) dtJ2} = E{f fT ~~(f) ~~(f) dt ds} = fT fT ff(s,t) ds dt < + oo
T
T
D'après l'inégalité de Schwarz, pour tous
f €
Cb ' g € Cb
Donc
= J r ~~(f) ~~(g) dt ds < + oo p.s.
T J T

---

- 84 -
Ceci étant dit, nous nous proposons, étant donnéeune mesure aléatoire évolutive
du second ordre
{~~, t € T} de montrer l'existence d'une mesure aléatoire
du second ordre
MO
telle que:
Cette mesure aléatoire vérifiera en outre la propriété
Pour cela, remarquons tout d'abord que, pour tout
f €
Cb ' fT ~~(f) dt
peut être obtenu à une équivalence près pour l'égalité presque sûre, comme
l 'intégrale en moyenne quadratique du processus
{~~(f) ; t € T} puisque
la covariance
ff(s,t)
est intégrable Riemann sur le pavé
T x T.
Nous allons résoudre le problème posé en considérant deux cas
a) Cas d'une mesure aléatoire évolutive du second ordre
positive
{~~; t € T} . Considérons une suite quelconque de partitions
(Pn)nd~~ de l'intervalle T = [a,bJ.
Pn : a = tn,o < t n,l <
< tn,k(n) = b
k(n)
tell e que
IVlax (t
,- t
'1) --+ 0
quand
n --+ + 00
j=l
n,J
n,J-
k(n)
On forme
Sn,f =
L (tn,J' - t n,J'-l) ~~ ,(f)
j=l
n,J
On sait que :
lim m.q. S f = J ~to(f) dt p.s.
n-+-too
n ,
T
Remarquons alors que
k~n)
{
(t
,- t
'1) 1 'tO
}
nJ
nJ
~
,
'*'
J' --1
'
, -
~~I ....
n ,J nt:.ll~

---

- 85 -
est une suite de mesures aléatoires positives du second ordre; d'après le
corollaire du théorème IV.4., dire que pour tout
f € C ' le processus
b
{~~(f) ; t € T} est intégrable en moyenne quadratique revient à dire que
la suite
(Mo) _~I~
converge en moyenne quadratique vers une certaine
n nUl
mesure aléatoire
MO
et on a
\\if c Cb
b) Cas d'une mesure aléatoire évolutive du second ordre
quelconque
{~~; t € T}. Nous supposons, en plus de l 1 hypothèse d'inté-
grabilité en moyenne quadratique du processus réel
{~~(f); t € T} pour
tout
f € C ' qulil existe une mesure aléatoire positive
v
du second
b
ordre telle que:
I~~I < v
\\ft c T
Considérons toujours la suite quelconque de partitions de l'intervalle
T = [a,bJ
définie ci-dessus, ainsi que la somme
S f
associée; on
n,
sait que :
lim m.q. Sn,f = fT ~~(f) p.s.
n-tro
Dans le cas qui nous occupe maintenant
kl n )
{ L (t
. - t
. 1) ~t
}
~ =
est une suite de mesures
j=l
n,J
n,J-
n,j n€N
aléatoires du second ordre à signe.
Nous avons alors :
~,~
1
1
< (D- a) v

---

- 86 -
D'après le corollaire IV.?, dire que pour tout
f c C
{]J~(f) ; tE:
b
T}
est intégrable en moyenne quadratique revient à dire que
(M~)n8N~ converge
en moyenne quadratique vers une certaine mesure aléatoire
M
et on a :
p.s.
L'intégrale en moyenne quadratique d'une mesure aléatoire évolutive du
second ordre
{]J~; t (T} peut donc être toujours définie.
Ce résultat d'apparence naturelle, n'est acquis sans peine que
grâce aux méthodes développées dans le paragraphe B.
Il faut remarquer, en outre, que ce résultat est bien plus qu'une
simple mise en forme du fait que les processus
{]J~(f) ; t f.: T} sont tous
intégrables en moyenne quadratique; il permet de donner un sens à
fT ]J~(A) dt
pour tout
A € Bb ' même si {]J~(A); t € T} n'est pas a
priori intégrable en moyenne quadratique, en posant:
Ayant défini
MO = fT ]J~ dt en tant que mesure aléatoire du second ordre,
nous pouvons remarquer que
fT]J~ dt e fT ]J~ ds est une mesure aléatoire
2
sur
M
et nous préoccuper de donner un sens à l'écriture fT fT ]J~ 9 ]J; dt ds
à l'aide de cette remarque.
Supposons que
f
et
g soient des éléments de C ; appliquons
b
le produit
f . g à la mesure aléatoire
MO 9 MO ; on obtient:
et
d'après la représentation obtenue plus haut
ainsi on a :

---

- 87 -
Nous allons illustrer l'intérêt de l'intégrale en moyenne quadratique par
les trois exemples suivants qui ouvrent, pour les deux derniers, de nouveaux
thèmes de recherche.
Exemple 1
Migration d'étourneaux dans l'intervalle de temps
[O,lJ. Appelons:
C l'ensemble des migrations ou des chemins.
S la sphère terrestre.
Un élément de C est donc une application continue de
[O,lJ
dans
S.
Une variable aléatoire à valeurs dans
C définit un processus
{X
t
t ;
E:
[O,lJ}
à trajectoires continues.
Soit
d
la métrique associée à la norme de la convergence
uniforme
(C,d)
est un espace métrique séparable et complet qu'on munit
de sa tribu borélienne
BC'
On représente les habitudes des étourneaux par une loi de
probabilité
Q sur
(C, BC)'
* A un instant t E: [O,lJ ' la position des étourneaux est une
répartition ponctuelle aléatoire:
N
]J.
=
l °x (t)
t
n=l
n
où
N est le nombre d1étourneaux.
X
est un échantillon de la loi
Q.
1"",XN
** Dans le cas où les étourneaux se promènent par familles, leur
position à un instant
t E: [O,lJ
est aussi une répartition ponctuelle
aléatoire qui s'écrit

---

- 88 -
où
N est le nombre total de familles.
X
est un échantillon de la loi
Q .
1"",XN
K
est un échantillon de la loi du nombre d'oiseaux
1,···,KN
dans une famill e.
.
On vérifie trivialement que
{]Jt ; t €
[O,lJ}
est une mesure
aléatoire évolutive du second ordre positive.
Soit
A un borélien borné (un champ par exemple) : si on observe
I
J ]J~(A) dt , il s'agit du peuplement aléatoire moyen du champ A entre
O
les instants
t = a et
t = 1
Exemple 2 : Processus de lignes.
Les méthodes développées jusqu'ici devraient permettre d'étudier
ces problèmes sous un nouvel aspect: soient
X et
Y deux variables
aléatoires indépendantes, définies sur l'espace probabilisé
(st,A,P)
et
2
à valeurs dans
R
, muni de sa tribu borélienne
B 2 . On considère un
R
échantillon aléatoire de taille
N du couple
(X,Y):
(XI,Y
... ;
I);
et les segments aléatoires
{t X + (l-t) y
t e [O,lJ}.
n
n
N
Posons
]Jt
n~l ÔtXn+(l- t )Yn
On constate facilement que {]J~
t €
T}
est une mesure aléatoire évolutive
du second ordre positive.
l
Soit
A une zone du plan: on interprète
]J~(A)
Ja
dt
comme
le nombre aléatoire moyen de segments qui coupent la zone
A entre les
instants
t = a et t = 1 .

---

- 89 -
Exemple 3 : Théorème ergodique.
Soit
{~~
t c R+}
une mesure aléatoire évolutive du second
ordre.
On suppose que cette mesure aléatoire évolutive est intégrable
en moyenne quadratique, et que
E{~·(t)} = ~ , \\ft c R+.
L'objet de cette étude est de voir sous quelles conditions la "moyenne
•
1 IT •
temporelle ll
ST = T 0 ~t dt
converge suivant
T en moyenne quadratique
vers
~,ce qui constituerait une sorte de loi des grands nombres et une
première approche de problèmes relevant de la mécanique statistique.
T
•
1 I
•
Posons
AT = S;
~ = T 0 ~t dt - ~ .
Pour que
A; m.g. ~ 0 quand
T + + 00, il suffit, en vertu du
corollaire IV.?
que
1)
\\lt C R+
~~ ~ 0
ou
\\lt C R+
I~~I < v
où
v
est une
mesure ~léatoire positive du second ordre.
2) \\If €
C : {A;(f)}TdN~ converge en moyenne quadratique vers
0
b
au sens usuel.
On peut ainsi énoncer le résultat suivant, conséquence de [20J
p. 222.
•
+
P~opniété.-
Soit
Iu, ; t c:IR }
une mesure aléatoire évolutive
du second ordre, intégrable en moyenne quadratique sur
[O,TJ, pour tout
+
T c lR .
On suppose en outre que
E ~~ = ~ \\ft C R+ .

---

- 90 -
T
l I .
P
dt m. q.
our que -
W
+ W il est suffisant que:
T o t
T-++oo
1) Vt E R+
w~ ~ 0 , ou \\ft E R+ Iw~1 < v
,
v
positive
du second ordre.
2" IT IT
2) \\ff E: Cb: lim 1
Rf(t,s) dt ds = 0
T-++oo T
0
0
où

---

- 91 -
B 1 B LLO G R A PHI E.
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Thèse de 3ème cycle. Université Pierre et Marie
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P. JACOB
-
1) Représentations convergentes de mesures et de
processus ponctuels.
2) Notion de convergence d'une suite de probabilités
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Thèse d'Etat présentée à l'Université Pierre et
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Valenciennes, 1978.
[4J
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---

A N N E X E,

---

PUB. IRMA - Lille
Vol. 4 - Fasc. 1 - 1982.
REPRESENTATIONS CONTINUES VE MESURES PAR
VES PROCESSUS PONCTUELS VE POISSON.
paIL
Sab~ko MaIL~el BONKIAN
I.S.P.
OUAGAVOUGOU - (HAUTE - VOLTA).
boJté.li~n6 boJtné..6 d' un Npa~~ mé:t.Ju:.qu~ .6é.paILab.e.~
X; .6oU M un .60U.6-
~n6~b.e.~ dominé. d~
M. On munU M d~.e.a topo.e.ogi~ 6aib.e.~ à di.6tan~~
(X , ].J €
M)
pJtNqu~ .6ÛJt~~nt
].J
~ontinu.6uJt
M, tel qu~, pouJt tout
].J €
M,
X
.6oU un pJto~N.6U.6 de.
].J
PoiMon de moy~nn~
].J
.6~ Jtéali.6ant dans
X.
C.e.a.6.6i6i~ation AMS (MOS)
60 G 55 - 57 •
mNuJt~ a.e.e.atoiJt~ ; pJtO~~MU.6 ponctuel de. Po.cssov: ;
~onv~g~n~~ 6aib.e.~ à di.6tan~~ 6ini~ ; thé.oJtèm~ d~ SkoJtokhod.

---

11-01
l - PRELIMINAIRES.-
Soit
(X,d)
un espace métrique séparable, complet
Cb
l'ensemble des fonctions numériques continues et bornées, à support
borné sur
X.
B est la tribu borélienne de
X
et
B
est l'anneau des
b
boréliens bornés de
X.
M désigne l'ensemble des mesures positives,
a-additives
sur
B, finies sur
Bb.
On note
E
l'ensemble des répartitions ponctuelles c'est-à-dire
l'ensemble des éléments
f
de
M tels que:
f(A) = N(f,A) E N
ou
mesures discrètes à masses entières.
Vé6inition.-
On appelle topologie de la convergence faible à
distance finie sur
M, la topologie dont une base de voisinages est
donnée par les ensembles de la forme :
0. E M ,
h
dÀ
-t h dÀI < E:
r
o
r
r = l, ... .n}
+
où
À
décrit
M,
n E IN-
et
E: E
IR
o
Une suite
(Àn)m::N
d'éléments de
M converge faiblement à
distance finie vers
À
si et seulement si
0
\\fh E C
lim th dÀn th dÀ
b
0
n-++oo

---

II-OZ
J. Geffroy avec P. Quidel [I] pu i s avec M. Zéboulon [ZJ ont défini une
métrique
p
induisant la topologie de la convergence faible à distance
finie sur
M.
p
se définit comme suit
on fixe une or~g~ne
0
de façon quelconque
~
dans
X. Pour tout
rEIN
on pose
a
a (u ,»)
lnf {a > 0 , \\fA €
B
tel que
A C B(o,r)
r
v(
Z
u ,») €
M
Pr(~'\\))
Max {a (~,\\)) ,
a (\\),~)}
r
r
00
Pr(~'\\))
V(
Z
u ,») €
M
p(~,\\))
L 1
-
r=\\ Zr
+ P (u ,»)
r
d(x,A) < a}
est le dilaté de
A
à
a près.
B(o,r)
est la boule ouverte de centre
0
et de rayon
r.
Le théorème suivant est utile pour caractériser la convergence faible
à distance finie.
Thé..oJtème. [2J.- Soit O·n) n€/N
une suite dans
M
les deux
affirmations suivantes sont équivalentes
a)
1 im pO. , À ) = 0
n
0
n-++oo
b)
VA c B
tel que
À
(aA)
0
lim À (A)
À
(A)
où
b
0
n
0
n-++oo
aA
désigne la frontière de
A.
On note
B
M
, et on note
M la tribu borélienne de
la trace de
BM sur E.

---

11-03
D I O n appellera mesure aléatoire toute variable aléatoire à valeurs
dans
(M, BM), et processus ponctuel toute variable aléatoire à
valeurs dans
(E, BE).
D
Un processus ponctuel
f·
est dit de Poisson (ce qu'on notera
2
désormais p.p.p) si et seulement si il vérifie :
i)
Vk € ~.
VAl ;
, ~ €
B
deux à deux disjoints; les variables
b
aléatoires réelles
N(f" ,AI) ;
; N(f" ,~)
sont indépendantes (on dit alors
que le processus est à accroissements indépendants).
N(f· ,A)
suit une loi de Poisson.
D
On appelle mesure moyenne (ou intensité) du processus ponctuel
3
de Poisson
f·
la mesure
~ E M définie par:
~(A)
E {N(f· ,A)}
La loi de probabilité de
f·
est une mesure de probabilité
sur
(E, BE)
entièrement déterminée par la mesure moyenne de
f·
[IOJ p. 16,
Théorème 3-1 ; soit
PM
l'ensemble des probabilités sur
(M, B
; on
M)
définit ainsi une application :
(loi du p.p.p. d'intensité
~)
Si
PM est muni de la topologie faible classique, il est facile de
vérifier que cette application est continue.

---

11-04
La construction d'un p.p.p.
d'intensité
~
fixée est
classique voir [3J ; [8J ; [9J .
Nous nous proposons de définir un procédé de construction suffi-
samment régulier pour que le processus stochastique
{f'
;
~ E M}
u
possède de bonnes propriétés de continuité. Nos résultats généralisent
ceux obtenus par P. Jacob dans [4J .
II - REPRESENTATION CONTINUE OE MESURES.-
La représentation que nous allons construire est basée essentiel-
lement sur une généralisation du théorème bien connu de A.V. Skorokhod
dont on pourra trouver la démonstration dans [SJ et [4J.
Théo~ème 1.-
Soit
P l'ensemble des probabilités boréliennes
définies sur un espace métrique séparable et complet
Y; on munit
P
de la topologie faible. Soit
M le sous-ensemble d'éléments de
P
dominés par une probabilité fixée
cr ; enfin, soit
(rI,A,À) = ([O,IJ, B[o,1] , À)
où
À
est la mesure uniforme sur
B[o,IJ'
Il existe une fonction aléatoire
X(.,.)
définie sur
P x ri
et à valeurs dans
X telle que :
i)
y~ € P,
X(~,.) est de loi u,
ii)
y~ E M
il existe
n~ €
A
tel que
À(rI~) = 1 et
tel que, pour tout
W E rI~
, la trajectoire
X(.,w)
est continue au
point
~.
D'autre part, nous utiliserons en cours de démonstration
plusieurs lemmes techniques.

---

II-OS
Lemme 1.-
Soit
(IJ )
une suite d'éléments de
M.
n ndN
Il existe une famille
dénombrable , de boréliens bornés
IJ -continus telle que
s~
o
IJ (A) - IJ (A)
alors
faiblement à distance finie.
n
o
n-++oo
VémoM.tJr..aüon
Soit
m E
•
~
quelconque ; pour tout
X EX,
on
peut choisir une boule ouverte de centre
x , de diamètre inférieur
à
qui est
IJ -continue. La possibilité d'un tel choix est claire.
o
m
On la note
B (x).
m
X étant séparable, il existe, pour tout
mEN·
un recouvrement
m
dénombrable de
X par certaines de ces boules soit
{B (X')}'-Al-
ce
m
~
~t:J..
recouvrement;
m = 1,2, ...
Posons
n-I
m)
m
= B (x
- U
Bm(Xk)
m n
k= 1
Les boréliens de la suite
(Am)
~
sont
.
•
IJ -cont~nus
, forment pour
n nEIN
0
tout
m E "".
~,
une partition dénombrable de
X, et sont tous de diamètre
inférieur à
m
Posons
VI = {A:
... }

---

II-06
On obtient
V
en formant les intersections
2
Al n 2
2
A
......
AI n A
......
1
1
1
P
AI n 2
A
......
AI n 2
A
......
n
1
n
p
\\.....1
.2
1
2
On pourra noter
v(n,p) €
~
A
n A = A
l'élément générique de
n
p
n,p
la partition
V
et par généralisation
2
.k
A
(nl, ... ,nk) € ~
nl,···,nk
l'élément générique de la partition
Vk.
Par construction,
V
est un raffinement de
V _
•
k
k
1
Pour récapituler, la suite
(Vk)k€~* de partitions de
X
ainsi
construites, emboitées les unes dans les autres est telle que
i)
Vk E Ir'l
VA c V
II
(Cl A)
a
k
0
ii)
\\ik E IN*
VA c V
/:, (A) <
où
/:, (A)
désigne le
k
k
diamètre de
A.
On appellera
AI
la famille de tous les boréliens des partitions
(Vk)k~1
à laquelle on ajoute éventuellement
~.
Comme ces partitions sont raffinement les unes des autres,
AI
est fermé pour l'intersection finie. En outre, tout ouvert de
X
est réunion dénombrable d' éléments de
AI
[? p. 28-29J.
Soit
a un point arbitraire de
X
et
{B(o,r )} _~.
une
n
nt.ll'
suite de boules ouvertes de centre
a et de rayon {r}
•
II -continues
n n€~
0
telle que
lim r
+ 00
n
n-++oo

---

II-07
Posons
A\\lo
soit
G un ouvert borné et soit
E: E: IR+- ; comme
\\l (G) < + "",
il
o
existe une suite
(A.). IN-
d'éléments de
AI
et un nombre entier
1
lE:
mf e )
tel que
m(E:)
u (G -
U
A.) < E:
o
i=1
1
D'après le lemme de Poincaré on a
m(E:)
\\l (U
A. )
n i=1
1
Sm(E:)
avec
=
L
\\ln (A.
n
n A. )
et où la sommation s'étend
k
il' ... , i
11
l k
k
à toutes les combinaisons des
m(E:)
premiers entiers pris
k
à
k.
Les
A.
n ... n A.
sont des intersections finies d'éléments
11
l k
de
AI
et appartiennent donc à
AI. On a par conséquent:
mf e )
m(E:)
lim u (U
A. )
u (U
A. )
n-++""
n i=1
1
o i=1
1
Sl bien que
l'on peut écrire
mï e )
m(E:)
u (G) - E: < \\lo (U
A. )
lim \\l (U
A. )
~
lim inf \\l (G)
0
1
i=1
n i=1
1
n
n-++""
n-++""
et, puisque
E:
est arbitraire on a
lim inf \\l (G) ~ \\l (G)
n
n-++
0
co
D'autre part, Sl
F
est un fermé borné il existe un élément
B(o,rf)
de
A
qui le contient.
Z

---

11-08
Comme
lim ~n(B(o,rt»
= ~o(B(o,rt»
n++oo
et
lim inf ~n
n-+<lo
on a
lim sup ~ (F) ~ ~ (F)
n
0
n-++ oo
De (*) et (**) on déduit aisément
a
lim u (A)
u (A)
n
o
n++oo
Ce qui est la convergence faible à distance finie.
Le.mme. 2.-
Soit
(X.). 1
une suite de variables aléatoires définies sur
1
1~
(~,A,p)
et à valeurs dans
(X,B), indépendantes et de même loi
Q.
Z
une variable aléatoire indépendante des
(X.).
1
définie
1
1~
sur
(~,A,p)
et à valeurs dans
(N, P(N».
Z
On pose
f ' =
L ôX.
i=1
1
1)
Si, pour une seule partition donnée
...
AI
Ar
Z
Z
de
X
les v.a.r.
L Ô . (AI) ; ...
L
X
ÔX . (Ar)
sont indépendantes
i=1
1
i=1
1
alors
Z
suit une loi de Poisson.
2)
Si
Z
suit une loi de Poisson alors, pour toute partition
Z
Z
... ; A
de
X
les v.a.r.
L
L
r
ôx . (AI)
ÔX. (Ar)
i=1
1
i=1
1
sont indépendantes.

---

II-09
Partie
On procède par récurrence sur
r.
s~
r
= 2
on pose
et
Les variables aléatoires
X.
prennent leurs valeurs dans
A
i.
ou dans son complémentaire
AC, avec les probabilités respectives
c
Q(A) = p
et
Q(A ) = q = 1 - p.
Z
Z
On va montrer que s~
l 0x. (A) et
Z -
l 0X. (A)
i= 1
i.
i=l
L
sont indépendantes, alors
Z
suit une loi de Poisson.
Z
Si
l 0X. (A) et
sont indépendantes,
i=l
1
on peut écrire
D'autre part
y
y
= Ez[}:(s 1 t
2)/2J
Z
.l 0x. (A)
Ez[E[S~=1 ~
Z
0X. (A)
EZ[E( TI
s
i.
i=l
Compte tenu du fait que
0X. (A)
est une bernoulli de paramètre
p
et
~
0X. (Ac)
est une bernoulli de paramètre
q, on a
~
y
y
E(s 1 t
2)

---

II-la
En calculant de même, on obtient
y
E( SI)
E
{(sp + q)Z}
Z
y
E(t 2)
Z
E
{(p + qt) }
Z
On a donc, en retenant l'hypothèse d'indépendance de
YI
et
Y
l'égalité
2
Ce qu~ est équivalent à
~(ps + q) ~(p + qt)
~(sp + qt)
où
~(s)
est la fonction génératrice de
Z
c'est-à-dire
00
k
~(s)
p(Z = k) s
.
Cormne
est analytique dans le domaine
L
k=O
{s E Risi < I},
~ y est dérivable.
~(ps + q) ~(p + qt) = ~(ps + qt) <===>
~(u) ~(v) = ~(u + v - 1)
a ~ s <
u = ps + q
q ~ u <
a ~ t < 1
v = p + qt
p ~ v < 1
Dérivons par rapport à
v
~(u) $' (v)
~'(u + v - 1)
Faisons
v =
$(u) $'(1) = ~'(u)
Àu
Ce qu~ donne
~(u) = CL e
avec
~'(I) > a
-À
Cormne
$(1) = 1
on a
CL
= e
Finalement on obtient
À(u-I)
$(u)
e
Y
Àp(s-I)
et alors
E(s 1)
~(s)
e
Y
Àq(t-I)
E(t 2)
$(t)
e

---

II-Il
En conclusion,
YI
et
Y
suivent donc des lois de Poisson
2
de paramètres respectifs
Àp
et
Àq
Or
Y
= Z - Y
<===> Z = Y
+ Y
2
1
1
2
Ainsi,
Z , somme de deux v.a. de Poisson indépendantes de
paramètres
Àp
et
Àq
est une v.a. de Poisson de paramètres
Àp + Àq = À.
Le lemme est démontré dans le cas
r = 2 .
Supposons le résultat établi jusqu'à l'ordre
r-l
et prouvons
le à l'ordre
r.
z
En supposant que
l eX. (A1) ; ••• ;
sont
i=1
~
indépendantes, nous en tirons l'indépendance de
Z
Z
Z
Z
r-l
l eX. (Ar) et
l eX. (AI) + ... + l
(U
eX. (Ar-I)
l eX.
A.)
i=l
i.
i=l
~
i=1
~
i=l
~
j=l
J
r-l
Posons
A = A
et
AC = U A. . On se ramène au cas r = 2
r
j=1
J
et cela permet de conclure que
Z
suit une loi de Poisson.
Partie 2
si
Z
suit une loi de Poisson de paramètre
À alors pour
n'importe quelle partition finie
Al
A
de
X
les variables
r
aléatoires :
Z
l eX. (Ar) sont indépendantes .
i= 1
~
En effet si
Z
suit une loi de Poisson de paramètre
À, sa
fonction génératrice est

---

II-12
D'autre part la fonction génératrice de
0x (A.)
est pour
i
J
tout
~
0x (A.)
i
J
f(s.)
E(s.
)
s. p. +
L
où
p.
Q(A. ) •
J
J
J
J
Pk
k;ofj
J
J
D'où, d'après [!>
théorème 3 p.
129J
la fonction génératrice de
Z
L 0x (A.)
i= 1
i
J
z
0x (A.)
L
.
J
Àp.(s. 1)
g(f(s.))
E(s~=1
~
)
e
J
r
j
1,2, ... ,r
J
J
Y.
z
E(s.J)
où
Y.
X (A.)
L
J
J
i
J
i=1
Mais, on sait que :
EZ{[PI sI + P2 s2 + .•. + Pr srJZ}
ÀlPI sI + P2 "z + .•• + Pr sr-Il
e
Àp (s -1)
r
r
. . . . .. e
Àp.(s.-l)
d'où en tenant compte de
e
J
J
J
1,2, ... , r .
y
E(s r)
r
ce qui montre l'indépendance des v.a.
Z
Z
YI
L 0X. (AI)
......
Y
L 0X. (Ar)
i=l
r
~
i=1
~
Re.maJtque. :
Nous avons maintenant la preuve que s~
f'
est processus
Z
ponctuel à accroissements indépendants représenté par
f'
L 0X.
i=1
L
où •

---

II-13
- (x.). 1
sont des variables aléatoires indépendantes et
1
1~
équidistribuées de loi
Q sur
(X,B).
- Z est une v.a. à valeurs dans
(~P(N)), indépendante
des
(x.).
1
alors
Z
suit une loi de Poisson ; ce qui à son tour
1
1~
implique que
f'
est un p.p.p.
En effet, pour tout
A €
B ' en notant
p = Q(A)
b
Z
.L eX. (A)
Àp(s-l)
E(s1=1
1
)
e
Autrement dit,
N(f' ,A)
suit une loi de Poisson de paramètre
Àp.
Soit
r
une famille dans
M dominée par une mesure
cr
fixée
de
M.
Il existe un espace probabilisé
(n,A,À)
et une fonction
aléatoire
{f' , ~ €
Ml
dont l'espace des temps est
M et l'espace
u
des états celui des répartitions ponctuelles
E telle que :
1)
V~ € M ,
est un processus ponctuel de Poisson de
mesure moyenne
~
2)
V~ e r
et
Vw € n~, fW est une
trajectoire continue au point
~.
VémOn6:t!tation
La preuve de ce théorème se fera en plusieurs
étapes.
GY
Nous supposons que le diamètre de
X
est infini, ce qui est le
cas le plus général.

---

II-14
Soit
a €
X
l'origine arbitraire choisie pour la construction
de la métrique
p
de Geffroy.
On fait un découpage judicieux de
X en construisant une suite
(B)
IN = {B(o,r)}
IN
de boules ouvertes de centre
a et de rayon
s sc
s
sc
r s
telle que
1)
lim r
+ 00
S
s-++oo
2)
Vs €
IN ,
B
est
a-continue L • e .
a( aB )
a
où
a
s
s
est la mesure qui domine
r.
Ainsi, les éléments de la suite
(B ) ~1
sont
r-continus.
s SttL,
av
On fixe maintenant
s
et on pose
E
E
si
S
€
*
N
s
E
B
s~
s = a
o
On note
M*
l'ensemble des éléments
u
de
M tels que
~(E) > a .
*
On pose
r
r n M*
On peut a~ns~ définir pour tout
*
~ €
r
une probabilité
p
~/~(E)
sur
(E,T)
où
T = {A n E , A e B}. On note
P
l'ensemble
u
des probabilités sur
(E,T).
La famille
A' = (P)
*
est dominée par
a
car
r*
est
~ ~€r
elle même dominée par
a. Alors, en remarquant que l'application
r* - - A'
~--Pu
où
A'
est muni de la topologie faible, est continue, et en appliquant
le théorème J, on obtient :

---

II-15
Il existe une fonction aléatoire
X(.,.)
telle que
i) V~ c ~t
X(~,.)
est de loi
~/~(E) .
ii) V~ e r* , jr2~ : À(r2~) = 1
et
Vw e r2~ ,
X(. ,w)
est
continue en
~.
Regardons à présent la famille de nombres positifs ou nuls
Chaque élément de la famille peut être considéré comme le para-
mètre d'une loi de Poisson, éventuellement dégénérée.
On applique à nouveau le théorème 1 et il vient
Il existe une fonction aléatoire
Z(.,.)
M x r2 ------+ lN
telle que
i) Vy e M
la v.a.
Z(y,.)
suit la loi de Poisson de
paramètre
y(E). Cette variable est dégénérée si
y(E)
o .
ii) Vy €
M
À(r2 ) =
et
\\fw € r2
Z(. .to)
y
Y
est continue au point
y.
Posons
Vi €
lN
(r2, A. , L)
(r2,A,À)
1
1
où
r2 = [o,IJ ,
A
; À
mesure
B[0, IJ
uniforme sur
[O,IJ
oo
oc
cc
et
(r2"', A'"
oc
, À )
( TI
r2.
~
A.
~
L)
1
i=O
1
i=O
1
i=o

---

II-16
TI.
i.
. .
. ème
est 1a proJect~on ~
coordonnée, pour tout
~ €
~.
Posons, pour tout
Y co
~ M*
X~
i.
X (y,.)
X(y,.) 0
TI.
y
i.
i.
a ,
o
X (y,.)
Z(y,.) 0
TIo
i.
Ainsi,
Vy € M* la suite
(X ). ~
est formée de variables
y ~€l"
aléatoires indépendantes.
Xo(w)
y
fW
()()
On pose alors
Vw €
I
ri
y
°Xi(w)
i=1
y
(avec la convention
fW - a s~ XO(w)
0) .
y
y
@
Il est clair, d'après le lemme 2, que
f '
est un p.p.p.
y
L'intensité de ce processus est bien
y
puisque
y(A)
N(f" ,A)
y (E) (Ë)(s-I)
E{ s
y (A) [s- 1]
y
}
e
y
e
donc
E{N(f" ,A)}
y(A)
•
Y
~
Dans le cas où
y €
M\\M
, on construit un processus de
Poisson dégénéré
f '
sur
(E,T)
en posant
f ' - a .
y
y
G0
Nous allons donner la preuve de la continuité presque sûre
de
f·
Autrement dit,
\\fy
e
r
,
y
o
est continue au point
y
•
o
i)
On suppose d'abord que
Yo €
r*
i.
Par construction,
Vi e lN
X (y,.) o TI.
est presque
i.
sûrement continue au point
y
.
o

---

II-17
Ainsi, il existe
tel que
et tel que, pour
00
~
tout
w €
~
et pour tout
i e lN
X (y,w)
est continue en
ce
Yo
qui est équivalent à - puisque
x est un espace métrique -
Vw € Qoo , \\fi € N et pour toute suite (y )
convergeant faiblement
n nEN
Yo
~
~
à distance finie vers
Yo
lim X (y , w)
X (y ,w).
n
o
n-++oo
w
a )
L'ensemble
{A €
T
N(f
dA) = O}
n'est pas dénombrable
2
y ,
o
en général.
Pour cette raison, on se ramène à la famille dénombrable
du lemme l ,
On a, pour tout
A c A
: y (dA)
EN(f·
, dA) = 0 .
Yo
0
Yo
00
Ce qui implique
N(f· , dA) = 0
À
p. s.
Yo
L'hypothèse que
A
est dénombrable entraîne l'existence
Yo
d'un ensemble
mesurable, vérifiant
et tel que
on a
w
A
un borélien borné tel que
N(f
,
dA) = 0
Yo
00
pour tout
W e
ri
n
et une suite
qui converge faiblement
Yo
à distance finie vers
comme
y (E) > 0 , on peut supposer,
o
sans perte de généralité, que
'tn €
m.
Y
€
M-; il nous faut montrer que
n
w
w
lim N(f
A)
y
,
N(f
A)
Y ,
n-++OO
n
o
o
les points
XJ(y
w)
pour
j
1 , ••• , X (y ,w)
0 '
o
sont dans l'intérieur de
A
ou dans l'intérieur de
AC
ils sont même
o
en nombre fini dans
A.

---

II-18
o
X (y ,w)
o
Posons
r = m~n
d(XJ (y ,w),
ClA)
r
est strictement
o
j=1
positif.
o
La fonction
X (-,w)
étant continue en
Yo ' à valeurs entières
positives, il existe
K(w)
tel que :
'in ~
o
o
K(w)
X (y , w)
X (y , w)
n
o
On peut supposer
K(w)
assez grand pour avoir de plus
Vn ~
j
o
K(w)
, d(X (y ,w), XJ (y
w))
< r
pour
J = I, ... ,X (y ,w)
n o '
o
Cette inégalité signifie qu'à partir du rang
K(w) ,
XJ(y
,w)
et
n
o
XJ(y
,w)
sont soit tous les deux dans
A, soit tous les deux dans
AC
o
ce qui évite la situation où les 2 points seraient de part et d'autre
de la frontière de
A.
On en déduit que
\\in ~
w
K(w)
N(f
A)
y
,
o
Y E: r - r •
ii) Si maintenant
il existe
o
o
et
X (y,w)
est continue
au point
y 0
donc pour
n
assez grand,
o
o
X (y ,w)
X (y ,w)
o
n
o
o
X (y
,w)
o
et donc
l
o .
- 0
car c'est une somme qui ne contient pas
i.
i=1
X (y ,w)
n
d'élément.

---

11-19
Dans tous les cas, la fonction
fW
construite est telle que
y
00
Pour tout
W €
fi
n 00'
fi
pour toute sui te
(Yn)n€N
qUI converge
Yo
Yo
faiblement à distance finie vers
Y
(fw)
converge faiblement
o '
Yn nE:N
à distance finie vers
fW
; ce qui signifie (puisque
M est munI de
Yo
W
•
•
la métrique
p)
que
f
est contInue au pOInt
pour tout
y
C!)
En somme, nous avons construit, pour tout
s €
~ un espace
p rob ab i Usé
et une fonction aléatoire
telle que
\\/y c M,
est un processus ponctuel de Poisson de
mesure moyenne
y.
' s
~
.
f
est presque surement contInue sur
r ,
00
00
00
00
00
Si on pose
( TI
fi
~
~
À )
s
s
s=O
s=O
s=O
alors
est une suite de p.p.p. indépendants
00
La superposition
f'
est encore un p.p.p . .
y
L
s=O
En effet SI
(g')
est une suite de processus ponctuels indépendants,
n n€/N
pour que la superposition infinie des
(g~)
soit un processus ponctuel
il faut et il suffit que
00
l P{N(g' ,A) # O} < + 00
[8 p. 264J
.
n
n=O
Dans la situation qui nous occupe, ce résultat s'applique
puisque, si
A €
B ' il n'y a qu'un nombre fini de
f~
qUI se
b
réalisent dans
A.

---

II-20
Pour tout
A €
B '
Vy
N(f· ,A)
b
€
M,
suit la loi de Poisson
Y
de paramètre
00
E N(f· ,A)
L E(f·s A n r)
Y
Y ,
s
s=O
00
L y(A nE)
y(A)
s
s=o
c'est-à-dire que la superposition
f '
a pour mesure moyenne
y. I l
y
reste à montrer la continuité presque sûre de
f·
Soit
un élément de
r
On sait que pour tout
est continue en
On pose
et,
Vs ,
fW,s
est continue en
Yo
y
Soit
A
un borélien borné tel que
y0 (yA) = 0
soit
S
un entier
S
tel que
AC
U E
pour tout
s = O, ... ,S
yo(aA nE ) = 0 .
s
s=O
s
Alors, pour toute suite
(y n)
d'éléments de
M, qui, converge faiblement
00
à distance finie vers
Yo , et pour tout
W €
SI
Yo
S
S
fW (A)
L fw,s(A n E ) - L fw,s(A n E )
fW (A)
Yn
Yn
s
Yo
s
Yo
s=o
s=O
\\Jw
00
fW
ce qu~ montre que
c SI
est continue en
,
Yo
et achève la
Yo
démonstration.

---

II-2J
Remanque:
Nous avons pu, grâce au théorème 2, obtenir une
représentation d'une famille de mesures par une fonction aléatoire
{f·
,~€ M}
presque sûrement continue. Il semble alors naturel de
u
v01r sous quelles conditions
{f· ; ~ €
M}
présente une propriété de
u
continuité uniforme. Le théorème que nous allons démontrer est le
suivant :
Théo~ème 3.-
Soit
f
une famille dominée et faiblement
compacte à distance finie de mesures dans
M.
Il existe un espace probabilisé
(n,A,p) = ([0,1], B[o, 1J' À)
et une fonction aléatoire
HO; u €
M}
dont l'espace des temps est
M et
u
l'espace des états celui des répartitions ponctuelles
E
telle que
1) V~ €
M
est un p.p.p. d'intensité
l.I
2)
f·
est uniformément continue en probabilité sur
f.
u
1)
Nous ne revenons pas sur la construction de la fonction
aléatoire car c'est exactement ce qui a été fait au théorème 2.
2) Pour démontrer la continuité uniforme en probabilité, nous
nous appuyons aussi sur le théorème 2.
En effet, corrnne la famille
f
est dominée, il existe un
espace probabilisé
(n,A,À)
et une fonction aléatoire
telle que

---

II-22
1)
V).I €
M ,
C
est un p.p.p. de mesure moyenne
).1 •
).1
2)
V).I €
f
, j rl
À(rl ) = 1
et
Vw e rl
fW
est continue
).1
).1
).1
au point
Il •
Notons
F(rl,M)
l'ensemble des mesures aléatoires définies
sur
(rl,A,À). On munit
F(rl,M)
de la topologie de la convergence en
probabilité métrisable par la distance en probabilité
d
définie par
À
Vil· €
F(rl,M)
,
\\Iv· €
F(rl,M)
[Comme
M est un espace métrique séparable,
P(ll· ,v·)
est une variable
aléatoire réelle sur
(rl,A,À)
[11 p. 225J ou [12 p. nJ].
Considérons l'application:
Cette application est continue
en effet, nous savons que s~
().I)
•
tend vers
Il
faiblement à distance finie alors
n n€1N
f·
~ f·
À p.s.
lln
).1
ce qu~ à son tour implique
La conclusion est que
~
est continue
comme nous avons choisi
f
faiblement compact à distance finie,
~
est uniformément continue sur
f.

---

II-23
B l B LlO G R A PHI E.
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D. REVUZ et
M. SCHREIBER

---

J
,:
~
,
,
,
~.
RES UME
On utilise la notion de moment d'ordre 2 d'une mesure aléatoire
pour définir la convergence en moyenne quadratique d'une suite de mesures
aléatoires se réalisant dans un espace métrique séparable par la convergence
faible à distance finie de la suite de moments associée.
Un théorème de caractérisation de cette convergence, ainsi qu'un
théorème de complétude sont établis, permettant d'introduire l'intégration
m.q.
de mesures aléatoires évolutives du second ordre. Cette étude a nécessité
l'examen préalable des mesures à signe sur les espaces métriques produits
(faible relative compacité - classes déterminantes).
En annexe on construit un processus
{f" . ~ E M+}
presque
~
,
sûrement continu sur un sous-ensemble dominé
+
M d'un espace
M
de mesures
boréliennes positives, muni de la topologie faible, tel que V~ € M+ , f"~
soit un processus ponctuel de Poisson d'intensité
~.
1
MOT S
C LES
Convergence faible.
Mesure aléatoire.
Convergence
moyenne quadratique.
Processus ponctuel.
Processus Poisson.
Théorème Skorokhod.

---