A C A D Ë M I E
DE
M O N T P E L L I E R
UNIVERSITÊ DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DU
LANGUEDOC
THESE
présentée à l'Université des Sciences et Techniques du Languedoc
pour obtenir le grade de Docteur d'Etat
mention
SCI ENCES
CONTRIBUTIONS A LA THEORIE
DES ALGEBRES DE MALCEV
-..,-~'------,---
,>.
"'l""'~l
... - - - - - ...
>1
; \\ , .
~_v~-b~: ... AH~ICAiN ET MAlGACHEI
~J.r"\\un LJr.: ..\\,! .... .".j
J~~., ..
,~l '1.1&:: GNEMENT SUPERlEUN
t.. A NI r.; ;;;
0' 'AG
.
'
. . L:. ~._ -
L,
ôppUGOU
i
par
/\\rri'/ée '.'0. 7. AOUT. .19.~o.
J
~ fnre8isrré sous n# 0
.
"-'-"
~~J·L8··~.·~ 1
Akry KOULIBALy
Soutenue le
12 Décembre 1984 devant la Commission d'Examen
JURY
MM.
M.
LEFRANC
Président
F.
LAPSCHER
A.
MICALI
Rapporteurs
G. RENAULT
H.
SEYDI
ATELIER
DUPLICATION
-
U.S.T.L.
-

---

l N T R 0 DUC T ION
Ce travail sur la théorie des algèbres de Malcev, por-
te sur la classification des algèbres de Malcev en basses dimen-
sions (cf. chapitre 2), la théorie des idéaux premiers dans les
algèbres de Malcev (cf. chapitre 3), la théorie des algèbres
Malcev admissibles (cf. chapitre 4) et l'algèbre enveloppante,
cohomologie des bimàdules de Malcev (cf. chapitre 5),
Rappelons tout d'abord que, bien qu'une algèbre de Mal-
cev soit une généralisation naturelle d'une algèbre de Lie, c'est-
à-dire, dans le sens que toute algèbre de Lie est de Malcev, leurs
origines sont complètement distinctes. L'origine des algèbres de
Lie remonte aux travaux de Sophus Lie (cf. [3], les renvois bi-
bliographiques de l'introduction se réfèrent à la bibliographie
historique). Des considérations de nature géométrique ont conduit
S. Lie à cette notion qui serait appelée à avoir un considérable
développement dans notre siècle. Aujourd'hui la théorie des algè-
bres de Lie s'introduit partout, non seulement en Mathématique
mais encore elle est un puissant instrument de travail en Physi-
que théorique. Ces dernières années ont vu l'apparition des al-
gèbres de Lie dans des questions relevant de la génétique (cf,
[5] ) .
La théorie des algèbres de Malcev, par contre, a ses
origines dans des questions de nature analytique. Le travail fon-
damental de A.l. Malcev en 1955 concernant les boucles analyti-
ques (cf. [4]) doit être considéré comme le point de départ d'une
théorie, celle des algèbres de Malcev, qui a connu un considéra-
ble développement en 30 ans d'existence. Evidemment, ces nouveaux
objets sont encore loin d'avoir la même fortune que ceux cons-
truits par Lie mais il est fort possible que cela puisse se fai-
re, tout au moins en ce qui concerne les applications, dans un
proche avenir. Qu'il nous soit permis de signaler ici que le tra-
vail de A.A. Sagle de 1961 (cf. [6]) constitue la première con-

---

tribution importante en vue de la mise en forme d'une vraie théo-
rie mathématique dans cette direction.
Notre contribution porte donc sur les objets construits
par Malcev. Après avoir rappelé l'essentiel de la théorie (cf..
chapitre 1), nous nous sommes attaqués à la question de la clas-
sification des algèbres de Malcev en basses dimensions dont les
résultats sont résumés dans des tableaux (cf. pages 16 et 66).
Ce sujet avait déjà fait l'objet de notre thèse de 3ème cycle
(cf. [2]) dans laquelle nous avions donné une partie de la clas-
sification en dimension 4 et une amorce de classification en di-
mension 5. Cette classification est désormais complète en dimen-:
sions 4 et 5 et certains résultat~ obtenus sont généraux, c'est-
à-dire, valables en toutes dimensions, Nous n'avons pas pu avoir
accès au papier de Kuz'min concernant la dimension 5 en caracté-
ristique zéro qu'après avoir rédigé notre classification, raison
pour laquelle nous omettons ici de le commenter.
Le chapitre 3 concerne la théorie des idéaux premiers
dans une algèbre de Malcev. Ce chapitre nous a été inspiré par
les travaux de C. Tsai dans le cas des anneaux de Jordan et de
P.S. Rema et P. Dorai dans le cas des algèbres de Lie, Nous avons
étudié les notions ~e modules quadratiques de Malcev, d'idéaux
T-premiers, T-semi-premiers, premiers dans une algèbre de Malcev
et nous avons examiné le cas d'une algèbre de Lie ~ Yamaguti.
Le chapitre 4 traite de la théorie des algèbres Mal-
cev admissibles. Nous avons montré que toute algèbre de Malcev
peut être plongée, en tant qu'idéal bilatère, dans une algèbre
flexible et Malcev-admissible. Certains résultats de Myung con-
cernant les sous-algèbres de Cartan d'une algèbre de Lie ont été
généralisés aux sous-algèbres de Cartan d'une algèbre de Malcev.
Finalement, dans le chapitre 5, nous avons construit
l'algèbre enveloppante associative d'une algèbre de Malcev et
nous avons appliqué cette construction à l'étude de la cohomolo-

---

gie des bimodules de Malcev, notion due à N. Jacobson. L'étude
de la structure algébrique des bimodules de Malcev via les sous-
algèbres de Cartan a été largement développée par R. Carlsson
(cf. [1]), raison pour laquelle nous nlavons pas abordé cette
question.
Nous espérons que notre contribution puisse éclaircir
d'un jour nouveau certaines questions jusqu'à maintenant dans
l'ombre. En particulier, notre contribution concernant la clas-
sification des algèbres de Malcev en basses dimensions (dimen-
sions 4 et 5) nous a conduit à des résultats généraux qui cons-
tituent une amorce de classification en dimension ~ 6, Par ail·
leurs, il nous semble que la construction de l'algèbre envelop-
pante d'une algèbre de Malcev ouvre de nouvelles perspectives
dans l'étude fondamentale de la théorie dei algèbres de Malcev.
Nous remercions tous ceux qui, d'une man1ere ou d'une
autre, ont contribué à la mi.se en forme des recherches condui-
sant à ce texte. En particulier je tiens à exprimer ici ma pro-
fonde reconnaissance, mes vifs remerciements à Monsieur le Pro-
fesseur A. MICALI, qui a guidé ce travail et dont les conseils
et les encouragements me furent une aide précieuse, Que MM, G,
RENAULT et H. SEYDI soient ici vivement remerciés d'avoir bien
voulu se donner la peine de rapporter sur mon travail ainsi que
d'avoir accepté de faire partie du jury. Je remercie également
très sincèrement MM. M. LEFRANC et F. LAPSCHER pour leurs parti-
cipations aux jury, ainsi que Madame EDELMANN pour le soin qu'el-
le a apporté à la dactylographie de ce travail etM, MEYRAN pour
la mise en page de mon texte. Je ne puis oublier le soutien qui
m'a été apporté par la convention E.N.S. Fontenay aux Roses -
I.M.P. en,la personne de la directrice, Madame le Professeur Jac-
queline BONNAMOUR. Qu'elle trouve exprimée ici ma reconnaissance.
Je remercie Madame QUERU pour la sollicitude, la patience témoi-
gnées en mon endroit.

---

B l B LlO G R A P H,I E
HIS TOR l QUE
[lJ R. CARLSON (cf. [4J, [5J, bibl iographie générale)
[2J A. KOULIBALY (cf. [15], bibliographie générale)
[3] S. LIE
[4] A.I. MALCEV, Analytic loops, Mat. Sb"
78 (1955), 569~578
[5] A. MICALI et Ph. REVOY, Sur les algèbres gamétiques. pré-print
Université de Montepllier II, 1984,
[6] A.A. SAGLE, Malcev algebras. Trans. Amer, Math. Soc"
101.
(1961), 426-458.

---

T A BLE
DES
MAT l E RES
CHAPITRE 1
GENERALITES SUR LES ALGEBRES DE MALCEV
1
CHAPITRE 2
ALGEBRES DE MALCEV EN BASSES DIMENSIONS
5
2.1. Dimension 2
: 5
2.2. Dimension 3
6
2.3. Dimension 4
7
2.4. Dimension 5
16
2.5. Notes
64
CHAPITRE 3 : IDEAUX-PREMIERS DANS UNE ALGEBRE DE MALCEV
67
3.1. Espace quadratique de Malcev
67
3.2. Idéaux premiers
69
3.3. Idéaux des algèbres de Lie-Yamaguti
79
CHAPITRE 4
NOTES SUR LES ALGEBRES MALCEV-ADMISSIBLES
86
CHAPITRE 5
ALGEBRE ENVELOPPANTE ET COHOMOLOGIE DES
BIMODULES DE MALCEV
94
5.1. Algèbre enveloppante
94
5.2. Cohomologie des bimodules de Malcev
102
BIBL! OGRAPH l E
108

---

- 1 -
C H.A PIT R E l
GENERALITES SUR LES ALGEBRES DE MALCEV
Dans tout ce qui suit, K désignera un corps commutatif.
Si A est une K-algèbre, c'est-à-dire un K-espace vectoriel muni
d'une application K-bilinéaire A x A + A, notée (x,y) + xy et
appelée "multiplication, le jacobten de A est l'application K-
trilinéaire J : A x A x A + A définie par (x,y,z) + (xy)z + (yz)x
+ (zx)y. Le J-noyau de A est le sous-K-espace vectoriel N(A) de
A défini par N(A) = {tlt 6 A, J(t,A,A) = a}. Notons que
J(t,A,A) = {J(t,x,y) Ix,y 6 A} , J(t,x,A) = {J(t,x,y) Iy 6 A} et
J(A,A,A) = {J(x,y,z) ix,y,z 6 A} sont des sous-K-espaces vecto-
riels de A. Par abus de langage, on dira aussi que le sous-K-es-
pace vectoriel J(A,A,A) de A est le Jacobien de A.
Exemples 1.1.
Si A est une K-algèbre, alors N(A) = A si et seu-
2
lement si le jacobien de A est nul. En particulier, si x = 0
pour tout x dans A, alors N(A) = A si et seulement si A est de
Lie.
1.2. Si A est une K-algèbre commutative (respectivement anticom-
mutative) et associative, on a N(A) = {t/t 6 A, 3txy = O~ V x,y
6 A}. Si K est de caractéristique différente de 3, alors
NCA) "= {t 1 t 6 A, txy = 0, V x,y 6 A}.
Soit A une K-algèbre. On dira que A est une algèbre'de
2
Malcev si x = 0 pour tout x dans A et si (xy)(xz) = ((xy)z)x +
((yz)x)x + ((zx)x)y, (identité de Malcev), quels que soient les
éléments x, y, z dans A.
2
On remarque que la condition x = 0 pour tout x dans A
entraîne que xy = -yx, quels que soient x et y dans A. Ainsi,
toute algèbre de Malcev est anticommutative.

---

- 2 -
Exemples 1.3. Toute algèbre de Lie est une algèbre de Malcev et,
réciproquement, toute algèbre de Malcev de dimension ~ 3 est de
Lie. Nous verrons, au chapitre 2, que le premier exemple d'algè-
bre de Malcev qui n'est pas de Lie se trouve en dimension 4. Ceci
sera le thème du chapitre ci-dessus mentionné, à savoir la clas-
sification des algèbres de Malcev en basses dimensions. Toutefois,
un exemple d'algèbre de Malcev qui n'est pas de Lie est facile à
donner (cf. exemple ci-dessous),
1.4. Soit A une algèbre de dimension 4 sur K dont la table de mul-
tiplication relativement à une base {e ,e ,e ,e } s'écrit
1 2 3 4
e
=
=
=
=
1e2
-e2 ; e1e3
-e3 ; e1e4 e4 et e2e3
2e 4; eiej = -ejei
pour i f j, tous les autres produits étant nuls, Alors A est une
algèbre de Malcev dont le J-noyau s'écrit N(A) = ke 4, Dans ce cas,
N(A) est non seulement un sous-espace vectoriel de A mais aussi
un idéal de A.
1.5. Soit A une K-algèbre et notons A- l'algèbre obtenue, à par.
tir de A, en définissant la multiplication par [x,y] = xy - yx,
pour x et y dans A. En tant que K.espaces vectoriels, A- et A
cOTncident, mais leurs structures d'algèbres sont différentes. Si
A est une algèbre alternative, c'est-à-dire une alqèbre vérifiant
2
x(xy) = x y et (xy)y = xy2, quels que soient les éléments x et y
dans A, alors A- est une algèbre de Malcev et si A est associati-
ve, A- est une algèbre de Lie. Le problème de savoir si toute al-
gébre de Malcev peut être obtenue par cette méthode, est l'un des
objectifs du chapitre 4.
Le lemme suivant est bien connu (cf, [24]) et sa démons-
tration est élémentaire.
2
Lemme 1.6. Soit A une K-algèbre vérifiant x = a pour tou~ x dans
A. Les conditions suivantes sont alors éguivalentes : (i) A est
une algèbre de Malcev; (iit quels que soient les élémèhts x, y, Z
dans A, on a J(x,y,xz) = J(x,y,z)x; (iii) quels que soient les
éléments x,y,z dans A, on a J(x,xy,z) = J(x,y,z)x.

---

- 3 -
Notons que si A est une K-algèbre vérifiant la condition
J(x,xy,z) = J(x,y,xy) quels que soient les éléments x,y,z dans A,
ceci n' entraî ne pas dans A l' i denti té de I~a l cev.
Exemple 1.7. Considérons la R-algèbre A dont la table de multipli-
cation relativement à une base {el,eZ} s'écrit ei = el ; eleZ =
eZe
= ae
l
l + BeZ et e~ = eZ' où a et 6 sont dans R et sont à dé~
z
terminer. On a J(el,el,ele Z) = (3 T (3 + Z6)6) ae l + (1 + Z6)B ez
et J(el,elel,e Z) = J(el,e1,eZ) = ~3 + Z6)ae l + (1 + Z6)6e2, donc
J(el,el,ele Z) = J(el,elel,eZ) entraîne que 6 = 0 et a arbitraire
ou S = 1 et a = 0 ou 6 = - l/Z et a arbitraire. Mais l'identité
de Malcev n'est pas vérifiée, c'est~à-dire (elel)(e1eZ) f ((ele l )
eZ)e l + ((e leZ)e l )e1 + ((eZe1)e1)e1,
La linéarisation des relations contenues dans le lemme
1.6 nous donne le ~corollaire suivant:
Corollaire 1.8. ~ A est une K-alsèbre de Malcev, quels gue soient
.
•
If
.
, ...
. •
les éléments x,y,z,t dans A; on a : J(x,y,tz) + J(t,y,xz) =
J(x,y,z)t + J(t,y,z)x; J(x,ty,z) + J(t,xy,z) = J(x,y,z)t + J(t,y,z)x.
En parti cul i er, pour tout t dans I~ (A) 'et quel s que soi ent x ,yd~ns
A, on a J(x,y,tz) = J(x,y,z)t et J(x,ty,z) = J(x,y,z)t,
Corollaire 1.9. Si A est une K-algèbre de Malcev oùK est tin corps
-
9'<
de Caractéristique différente de Z, alors ,le J"n?ta~, N(fl.) est une
sous-algèbre de A.
En effet, quels que soient t, t' dans N(A) et x,y dans
A on a J(x,y,tt') = J(x,y,t')t = 0 donc tt' est dans N(A).
Z
Proposition 1.10. Soit A tine K-algèbre telle que x
= O'pour tout
x dans A. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) A est
une algèbre de Malcev; (ii) quels que soient x,y,z,t dans A,'~
~ J(x,y,tz) + J(t,y,xz) = J(x,y,z)t + J(t,y,z)x,
En effet, le corollaire 1.9 nous dit que (i) =>(ii);

---

- 4 -
réciproquement si l'on fait t = z dans (ii), on a J(z,y,zx)
J(z,y,x)z pour tous x,y,z dans A. Donc A est de Malcev.
Les pr-opositions qui suivent sont dues à Sagle (cf,
[24]).
Proposition 1.11. Soient K un corps de caractéristique différen- .
te de 2 et A une K-algèbre. Les conditions suivantes sont équi-
valentes : (i) A est une algèbre de Malcev; (iit'quels que soient
...
,.
x,y dans A, on a xy = -yx et quels que soient x,y,z,t ~ A,
on a (xy)(zt) = x((ty)z) + t((yz)x) + y((zx)t) + z((xt)y) (iden-
tité de Malcev généralisée).
Proposition 1.12. Soit A une algèbre de Malcev sur un corps K-
de caractéristique différente de 2 et 3. Alors pour tout x,y
dans A tels que J(x,y,A) = 0 ~~ xy appartient à N(A).
Proposition 1.13: Soit A une algèbrède Malcev sur un corps K
de caractéristique différente de 2. Alors (i) N(A)J(A,A,A) = 0;
(ii) N(A) est un idéal de A.
Proposition 1.14. Soient B et C deux idéaux d'une algèbre de Mal-
cev A sur un corps K de caractéristique différente de 2et 3. A-
lors J(B,C,A) est un idéal de A.
Note 1.15. Le premier exemple montrant que l'identité J(x,xy,z) =
J(x,y,xz) n'entraîne pas celle de Malcev est dû à Malcev lui-même
(cf. [21]). L'exemple que nous donnons ici (cf. exemple 1,7), bien
que élémentaire nous semble bien éclairer cette situation.

---

- 5 -
CHA PIT R E
2
ALGEBRES DE MALCEV EN BASSES DIMENSIONS
Le motif central de ce chapitre est la classification
des algèbres de Malcev en basses dimensions. Dans tout ce qui suit,
K désignera un corps commutatif, le corps de base, Toutes les al-
gèbres considérées sont des K-a1gèbres.
Le lemme suivant, valable en toutes dimensions, sera scu-
vent utilisé par la suite:
Lemme O. Soit A une algèbre de Malcev de dimension finie ~dont
~
~ J-noyau de dimensionp 6 {n-2,n..-l,n}. Alors A est une algèbre
de Lie.
En effet, soit V un supplémentaire de N(A) dans A et
dim
V = 2, par exemple. Alors pour x,y,z parcourant A, il exis-
K
te v ,v
dans V et t ,t
dans N(A) tels que x = vI + t ,
1
2,v 3
1
2,t3
1
y = v2 + t 2, z ~ v3 + t 3, d'où J(x,y,z) = J(v ,v
1
2,v 3), Comme J
est une application trilinéaire alternée et V engendré par deux
éléments, on a J(v ,v ,v ) = 0 et, par suite, A est une algèbre
1
2 3
de Lie. Les autres cas se démontrent de façon analogue,
Remarquons que toute algèbre de Malcev de dimension 4
dont le J-noyau est de dimension 2, 3 ou 4 est de Lie et que tou-
te algèbre de Malcev de dimension 5 dont le J-noyau a dimension
3,4, ou 5 est de Lie. Ces remarques nous seront utiles par la
suite.
2.1. Dimension 2. Il est évident qu'une telle algèbre de Malcev
est de Lie.

---

- 6 -
2.2. Dimension 3
Lemme 2.2.1. 'Soit A une algèbre de dimension finie n et de base
- -
- -
-
" " . . . . . .
{el' ... ,e n}. ~lors A.est une algèbre de Malcev si e: ~eulemen.t
si on a
1) e. = 0 (, = 1, ... ,n); 2) e·e. = -e.e,' (',J = l''''l n);
,
, J
J
3) J(ei,ej,ele k) + J(el,ej,eiek) = J(ei,ej,ek)e l t J(el,ej,ek)ei
(i,j,k,l = 1, ... ,n).
En effet, si A est une algèbre de Malcev, d'après le
corollaire 1.8 on a les relations 1), 2), 3). Réciproquement si
les relations 1), 2) et 3) sont vérifiées, on a 3') J(ei,ej,eie k)
= J(ei,ej,ek)e i (i,j,k = l" .. ,n). Ainsi pour x,y,z dans A,
n
n
n
x = L:
a.e. , y = L:
b.e. , z = L:
cke k où 1es a., b. et ck
i =1 ' ,
j =1 J J
k= 1
'
J
2
sont dans K, on obtient x = 0 et J(x,y,z) =
L:
aibjalc k
i,j,kl
2
J(e,.,eJ.,ele k) = L:
a. b.c k J(e.,e.,ek)e. t
L:
ai,a
.
k ' J
' J
,
l bjC k
, ,j ,
i,j,k,l
i <1
(J(e ,ej,ek)e
) = J(x,y,z)x, donc A est une al-
i
l + J(e l ,ej,ek)e i
gèbre de Malcev.
Il est clair que si A est une algèbre de dimension 4
(respectivement 5) de J-noyau de dimension 1 (respectivement 2)
sur K, alors A est une algèbre de Malcev si et seulement si les
relations 1), 2), 3') ci-dessus sont satisfaites et N(A) est un
idéal de A. On sait que (cf. proposition 1.13) si la caractéris-
tique de K est différente de 2, N(A) est toujours un idéal, si
A est une algèbre de Malcev.
Si A vérifie uniquement les relations 1), 2) et 3'),
A n'est pas toujours une algèbre de Malcev. En effet, soit A
une algèbre de dimension 4 de base {e ,e ,e ,e } et dont la struc-
1 2 3 4
ture est définie par e1e4 = -el' e4e1 = el' e2e3 = e4, e3e2 = -e4,
tous les autres produits étant nuls. Il est immédiat que A véri-
fie 1), 2) et 3'), cependant J(e ,e ,e
2 3 1e4) + J(e 1,e3,e 2e4) = -el

---

- 7 -
et J(e ,e ,e )e
+ J(e ,e ,e )e
= O. Donc A n'est pas une algè-
2
3
4
1
1 3
4
2
bre de Malcev. Dans ce cas, N(A) n'est pas un idéal de A car
N(A) = ke 4.
Lemme 2.2.2. Soit A une algèbre de Màlcev de dimension 3, Les as-
sertions suivantes sont équivalentes: (i) dimkJ(~,A,A) = 1;
(ii) A est une algèbre de Malcev non dé Lie de J-n9yau nul,
(i) =>(ii). Si dimkJ(A,A,A) = l, il existe u,v,w dans
A tels'que J(u,v,w) f 0 et J(u,v,w) est un générateur libre de.
J(A,A,A). Donc A n'est pas de Lie et par suite dimkN(A) = O. D'a-
près le lemme 0, l'assertion (ii) => (i) est éviderite.
Théorème 2.2.3. Toute algèbre de Malcev de dimensto~ 3 est une
algèbre'de'Lie.
En effet, supposons que A soit une algèbre de Malcev
de J-noyau nul, alors A n'est pas de Lie et dimkJ(A,A,A) = 1 d'a-
près le lemme 2.2.2. Désignons par {u,v,w} une base de A et con-
sidérons f : J(A,A,A) -+ K définie par f(x) = À où x = ÀJ(u,v,w);
f est une forme linéaire et on la prolonge en une forme linéaire
g sur A telle que pour tout a dans A, a = x + y avec x dans
J(A,A,A), g(a) = f(x). Il en résulte que {J(u,v,w),u,v,w} est un
système libre dans A car de la relation À J(u,v,w) + À u + À~v
1
2
+ À
=
4w = 0 on a g(À J(u,v,w) + À u + À v + À w) = 0 soitÀ
0
1
2
3
4
1
et par suite À
=
=
=
2u + À3v + À w = 0 soit
0, Ce qui
4
1.. 2
1.. 3
1.. 4
est absurde car dimkA = 3. Donc A est une algèbre de Malcev .de
J-noyau non nul. Par suite dimkN(A) = 1,2 ou 3 et d'après le lem-
me 0, A est une algèbre de Lie.
Il va de soi que, pour démontrer que toute a19èbre de
Malcev de dimension 3 est de Lie, l'on peut procéder de façon cal-
culatoire, mais ces calculs sont longs et fastidieux (cf. [15]).
2.3. Dimension 4. On remarque que si A est une algèbre de Malcev
de dimension 4 de J-noyau de dimension 2, 3 ou 4 alors A est de

---

- 8 -
Lie. Supposons donc que A ne soit pas de Lie. Oans ce cas, on au-
ra dimkN(A) = 0 ou 1.
Lemme 2.3.1. ~ A es~ une algèbre de Malcev_ non de Lie de dimen-
sion 4 et si dimkJ(A,A,A) = 2, 3 ~ 4, alors N(A) = O.
En effet, soit {u,v,w,t} une base de A; alors J(u,v,w),
J(u,v,t), J(u,w,t), J(v,w,t) engendrent J(A,A,A), Ainsi pour
x = À u
w
1 + À2v + À3 + À4t dans N(A) et dimkJ(A,A,A) = 2, par exem-
ple, avec {J(u,v,w), J(u,v,t)} comme base on a x = 0,
Lemme 2.3.2. ~ A est une a19~bre de Ma]7ev non de Lie de dimen-
sion 4, ~ dimkN(A) = 1 si et seulement' si dimkJ(A,ft.,A) = l,
En effet, soit {u,v,w,t} une base de A avec t généra-
teur libre de N(A), il est alors immédiat que 0 F J(u,y,w) engen-
dre J(A,A,A). Réciproquement 'soient {u,v,w,t} une base de A et x
un élément de N(A). Comme dimkJ(A,A,A) = l, nous pouvons choisir
u,v,w,t dans A de façon que J(u,v,w) engendre J(A,A,A) et J(u,v,t)
= J(u,w,t) = J(v,w,t) = O. Il est alors immédiat que x = Àt c'est-
à-dire t est un générateur libre de N(A).
Théorème 2.3.4. Soit A une algèbre de Malcev non de Lie de dimen-
sion 4. Alors N(A) et J(A,A,A) sont -des K.,espaces vectoriels -de
~.
.
. < .
dimension 1.
.
En effet, soit {u,v,w,t} une base de A sur K et suppo-
sons N(A) = 0; alors dimkJ(A,A,A) ~ 2, S = {J(u,v,w), J(u,v,t),
J(u,w,t), J(u,w,t)} est un système de générateurs de J(A,A,A).
1er cas. Si dimkJ(A,A,A) = 4 et S libre, alors pour uv = À1u +
À2v + À w
3 + À4t, la relation J(u,v,uv) = J(u,v,v)u = 0 entraîne
À3 = À4 = 0 et, par suite, uv = À u
v, De façon analogue, on
1 + À2
montre que uw = ~lu + ~3w, vw = 62v + 63w. Ainsi, les relations
J(v,w,vu) = J(v,w,u)v = J(v,vw,u), J(u,v,uw) = J(u,v,w)u = J(u,
uv,w), J(w,v,wu) = J(w,v,u)w = J(w,wv,u) entraînent respective-

---

- 9 -
ment 6 = -À , w = À , 6 = w . Il en résulte donc que 0 f J(u,
3
1
3
2
2
1
v,w) = (uv)w + (vw)u + (wu)v = 2À 1(W1u + À2w)+ 2À2(W1v - À1w)-
2Wl(À1u + À v)
ce qui est absurde.
2
= 0 1
2ème cas. dimkJ(A,A,A) = 2. On suppose ici que {J(u,v,w), J(u,v,
t)} soit une base de J(A,A,A). Pour uv = À1u + À2v + À3w + À4t,
la relation J(u,v,uv) = 0 entraîne À = À
3
4 = 0 et, par suite,
uv = À u + À v. Soit uw = w1u + w2v + w3w + w4t, Comme J(u,w,uw)
1
2
= 0 et J(u,v,uw) = J(u,v,w)u = J(u,uv,w), on a alors w3 = À2,
w4 = 0, w2 = 0 donc uw = W1 u + À2w. Ecrivons maintenant vw = Œ1u
+ Œ2V + ŒW + Œt. Les relations J(v,w,vw) = 0 et J(v,u,vw) =
3
4
J(v,u,w)v = J(v,vu,w) entraînent Œ = -À
3
, Œ
1
4 = 0, Œ1 = O. Comme
J(w,u,wv) = J(w,u,v)w = J(w,wu,v), alors w =
1
Œ2 et,'par suite,
on a vw = w1v - À w, Il résulte donc que J(u,v,w)
1
= 0, ce qui est
absurde. Ainsi {J(u,v,w), J(u,v,t)} est un système lié et, par
suite, les. générateurs de J(A,A,A) sont deux à deux liés, c'est-
à-dire dimkJ(A,A,A) = 1, ce qui contredit l'hypothèse dimkJ(A1A,A)
= 2.
Les absurdités viennent d'avoir supposé N(A) = O. D'oQ
N(A) f 0 et comme A est non de Lie on a dimkN(A) = 1 et dimkJ(A,
A,A) = 1 d'après le lemme 2.3.3.
Proposition 2.3.5. Soient A une algèbre de Malcev et l un idéal
de A. Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) AI l '~st
une algèbre de Lie; (ii) J(A,A,A)CI.
Supposons en effet que J(A,A,A) ~ 1. Il existe alors
u,v,w dans A tels que J(u,v,w) ~ I. Si f désigne la surjection
canonique de A sur Ail, on a alors f(J(u,v,w)) f 0 et, rar sui-
te, car f est un morphisme d'algèbres, J(f(u),f(v),f(w)) 1 0, ou
encore Ail n'est pas de Lie. Réciproquement, pour x,y,z parcou-
rant A on a J(x,y,z) 6 J(A,A,A) Cr. Donc f(J(x,y,z)) = J(f(x),
f(y),f(z)) = 0 et ceci nous dit que A est une algèbre de Lie.
Corollaire 2.3.6. Si K est un corps de caractéristique zéro, ~une
-
--
condition nécessaire et suffisante pour que, étant donné une al-
gèbre de Malcev A, l'algèbre quotient AIN(A) soit de Lie est que
l'on ait J(A,A,A) C I~(A).

---

- 10 -
Corollaire 2.3.7. Soit A une algèbre de Malcev non de Lie de di-
mension 4 de J-noyau de dimension 1 sur un corp2 K de caractéris-
tique zéro. Alors le J-noyau I~(A) et J(A,A,A) sont deux droites
colinéaires.
En effet, A étant une algèbre de Malcev non de Lie de
J-noyau de dimension 1, on a, d'après le lemme 2.3,2"
dimkJ(A,
A,A) = 1. La caractéristique de K étant zéro, N(A) est un idéal
de A. Com~e AIN(A) est une algèbre de Malcev de dimension 3 donc
de Lie, d'après le théorème 2.2,3, il vient que J(A,A,A) C N(A).
Par conséquent N(A) et J(A,A,A) sont deux droites colinéaires,
i.e., dimkJ(A,A,A) = dimkN(A) = 1, J(A,P"A) = N(A),
Note 2.3.8. D'après le théorème 2.3.4"
les relations J(A,A,A)
(jtN(A) et J(A,A,A) CN(A) sont les relations fondamentales de
la classification des algèbres de Malcev non de Lie de dimension
4. Notons également que la caractéristique du corps de base K
joue un rôle très important dans le corollaire 2,3,7 et, par sui-
te, dans la classification des algèbres de Malcev A en basses di-
mensions. En effet si K est de caractéristique deux, N(A) n'est
pas nécessairement un idéal de A. (cf. note 2,3.11),
Théorème 2..3•. 9. Soit A ùne algèbre de Malcev sur K non de Lie'de
dimelJsldn'~~'\\j~~J-noy~ua dimensTon 1, Les' asse~tions suivan.,.
te s/son «p. l ors')'q~<i~@ lentes : (i) J (A i,A) est une droite non co-
liJé~i're \\~N~~A); (i~;~ ra' ~aractéristig.ue de K est 2 et il existe
. \\. 0'
I-~
-
.
-
~.-'--~-,.-
un \\iys1tème l i'n,é~}Je~~nt indépenda,nt {el ,e2,e3}?~~ns A vérifiant
ele}·,'i:,:>6E:l-r_Gte·4,9N(A), ele3 = ete3 ' e2e3 ;:; Be3'~. (e le2)e3 = e3,
' "
f!/).
.
D" ,.;>
où et, 6"'so:nt'!éia,n"s K.
En effet, soit {u,v,w,t} une base de A où t est un gé-
nérateur libre de N(A). Comme A est une algèbre de Malcev non de
Lie, on a dimkJ(A,A,A) = 1 et J(u,v,w) est un générateur libre
de J(A,A,A). Si la droite, J(A,A,A) est non colinéaire a N(A), au-
trement dit, si J(u,v,w) n'est pas dans 1~(A), il existe .e , e
l
2
dans A tels que J(J(u,v,w),e l ,e2) ~ 0 et on peut choisir el et e2

---

',. ;
- 11 -
de telle sorte que l'on ait J(J(u,v,w),e l ,e2) = J(u,v,w):. Il en
résulte que {e ,e ,J(u,v,w),t} est un système libre dan~ A, Posons
l
2
J(u,v,w) = e3 et écrivons ele2 = sel + ae2 + ye3 + Àt. Qes rela-
tions J(e ,e ,e e ) = J(e ,e
= 0, J(e
) ~ J(e ,e ,
l
2
l 2
l
2,e 2)e l
l ,e 3,e l e2
l
3
e2)e et J(e ,e ,e e ) = J(e
,e
on obtient respectivement
l
Z 3 2 l
2,e 3 l )e 2
y = 0, e3el = -ae et e
) =
3
3e2 = ~se3' Alors J(u,v,w) = J(ei,e 2,e 3
e3 = (e l e2)e3 et, par sutte, de la relation J(el,e2,(ele2)e3) +
+ J(ele2,e2,ele3) = J(el,e2,e3)(ele2) + J(ele2,e2,e3)el il résul-
te que 2e
= 0 et ceci entraine que 2 = 0 dans K, Le système li-
3
bre {e ,e ,e } vérifie donc e e
= ae , e e
, (e e )e = e
l
2 3
l 3
3
2 3 = Se 3
l 2 3
3
et ele2 + sel + ae b N(A),
2
Réciproquement si A admet un système libre {e ,e ,e }
l
2 3
vérifiant les relations cf-dessus, il existe À dans K tel qùe
- " - - - " - " - -_ .. _-- - -----~-----_.-~-------------
ele = sel
2
+ ae 2 + Àt où t est un générateur libre de N(A), Par
suite (e e )e
= e
= Àte
avec À f O. Il
en résulte que J(e ,
l 2 3
3
3
l
e ,e ) = (e e )e
= e , Il est alors manifeste que J(A,A,A) est
2 3
l 2 3
3
une droite non colinéaire a N(A).
Corollaire 2.3.10. Soit A une K~algèbre de Malcev non dé Lie de
dimension 4. ~ J(~,A,A) est une droite non colinéaire a N(A),
il existe'sur A la structure suivante; e e
= Sel
,
l 2
+ ae 2 + e4
e1e3 = ae , e
, e
e
e
3
1e4 = el + ae 4
2e3 = se 3, e2 4 = e2 + se 4, e3 4 =
e3 où a, S sont dans K.
En effet d'après le théorème ci-dessus, il existe un
système libre {e ,e ,e } dans A tel que J(e ,e ,e ) = e , e e
=
l
2 3
1 2 3
3
l 2
sel + ae
, e e
= ae
e
= se , (e
)e
= e
et Ja
2 + e4
l 3
3, e
ca~
2 3
3
l e2 3
3
ractéristique de K est 2, où e est un générateur libre de N(A)
4
et a, S sont dans K. Alors e e
= e
= e , On vérifie que
4 3
3e4
3
e1e4 ~ N(A) et e2e4 ~ N(A). Ecrivons donc e e
e
l 4 =Àle l + À2 2 +
+ À3e3 + À4e4 où les Ài sont dans K. Des relations J(e ,e ,e e )
l
2 l 4
= J(e l ,e2,e4)e = 0 et J(e
,e e ) = J(e ,e ,e )e
on a respec-
l
l ,e3 l 4
l
3 4
l
tivement À = 0 et À = O. Comme J(e ,e ,e e )
,e ,e e ) =
3
2
3 2 l 4 + J(e 1 2 3 4
J(e 3,e2,e4)el + J(e l ,e2,e4)e3 = 0, alors À J(e ,e ,e ) + J(e ,e ,
l
3 2 l
l
2
e
=
3) = 0 et, par suite, À
l, Comme J(e ,e ,e ) = 0, on a
1
l
3 4

---

- 1Z -
(e e )e
= 0 soit e e + À e e = ae
e
= 0 donc À = a.
4 1 3
1 3
4 4 3
3 + À4 3
4
Il en résulte ainsi que e e
= el
1 4
+ ae 4, De façon analogue, en
montre que e
=
2e4
e
+ se
Z
4.
Note 2.3.11. La démonstration de ce corollaire nous montre, en
particulier, que si A est une algèbre de Malcev sur un corps K
de caractéristique Z, son J~noyau N(A) nlest pas nécessairement
un idéal de A, sauf si N(A) = 0,
Classifions maintenant les algèbres de Malcev non de
Lie de dimension 4 sur un corps commutatif K de caractéristique
zéro telle que dimkN(A) = 1. Le corollaire Z,3.7 nous dit alors
que N(A) et J(A,A,A) sont deux droites colinéaires de A. Soient
{u,v,w} une base d'un supplémentaire V de N(A) dans A et t un gé-
nérateur .libre de N(A), Alors J(u,v,w) est un générateur libre
de J(A,A,A). Comme N(A) est un idéal de A, on a alors les rela-
tions suivantes: ut ; N(A), vt , N(A), wt ~ N(A). Ainsi pour
toute algèbre de Malcev non de Lie de dimension 4 sur K telle
que dimkN(A) = l, l'une des assertions suivantes est vraie dans
A :
Ml) ut = at, vt = St, wt = yt
où a, S, y sont des scalaires non
nuls dans K.
MZ) ut = 0 , vt = at
wt = St
M3) ut = at , vt = 0 wt = st
M
4) ut = at , vt = st , wt ;:; 0
Où a, S ~ont nuls dans K,
MS) ut ;:; 0 , vt ;:; 0 , wt = at
M
6) ut = at , vt = 0
wt = 0
M7) ut = 0 , vt = at
wt = 0
où a est non nul dans K.
Proposition Z.3.1Z. Soit une ~lgèbre de Malcev non de ti~ A telle
que l'on ait l'assertion 1V11. Alors il existe·surA~l.a<structtire
suivant;:, : e
+~e4' el~4
l eZ ;:; Sel - CieZ + Àe4~' el e3 ;:; ye 1 - ae 3
;:;
ae , e e
+ ve , e e
= se , e e = ye , e. ;:; 0
4
Z 3 ;:; ye z - se
(1 ;:;
3
4
Z 4
4
3 4
.
4
1
1,Z,3,4), e.e. ;:; -e.e. pour i ~ j, tous les autres produits étant
1J
J1-,~
.
',"
nuls, où À, W , v sont des éléments de K vérifiant les relations

---

- 13 -
Sw - av - yÀ f 0 et a, S, y non nuls dans K.
En effet l'assertion Ml étant vraie dans A, on a alors
ut = at, vt = St, wt = yt où a, S, y sont des scalaires non nuls
dans K. Pour uv = À u + À v + À w + À t, les relations J(u,v,uv) =
1
2
3
4
0, J(u,w,uv) = J(u,w,v)u , J(v,w,vu) = J(v,w,u)v entraînent
À = 0 , À = -a, À = a. Ainsi, uv = au ~ aV + Àt où
= À.
3
2
1
À4
Par un procédé analogue, on montre aisément que uw = yU ~ aW +
+ wt, vw = yV - Bw + vt. Ainsi, en posant u = el 1 v = e2 ' w =
e3 ' t = e4 et en remarquant que J(u,v,w) f Of on obtient la ~truc­
ture définissant A.
Exemple Z.3.13. Soit A une algèbre de dimension 4 sur un corps K
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relativement à une
base {e ,e ,e
} est donnée par e e
= el ~ e , e e = el - e
1 2 3,e4
1 2
2
1 3
3+
2
+ 2e4 ' e1e4 = e4 ' e2e3 = e2 ~ e3 ' e2e4 = e4 ' e3e4 = e4; e =
i
o (i = 1,2,3,4), e.e. = ~e.e. (i,j = 1,2,3,4), tous les autres
, J
J ,
produits étant nuls. Il est immédiat que A est une algèbre de
Malcev de J-noyau de dimension 1 c'est-à-dire N(A) = Ke , De plus
4
l'assertion Ml est vraie dans A.
Proposition 2.3.14. Soit A ~ne, algèbre de Malcev non de Lie satjs-
faisant à ] '~ssertion M2, ~lors il 'e~.istesur fi la structure sui-
vànte : e1eZ = ae 1 + Àe4 ' el e3 = Bel +2we4 ' ~le4 = 0 , e2e =
3
se Z - ae3 ' e2e4 = ae4 1 e3e4 = se4 ' e =
i
0 (1 = 1,2,3,4),.' eje j
= -e.e. (i,j = 1, ... ,4), tous les àutres produits étàri"t'n-uls,'Où
J ,.
. .•
...
.' .
. H ·
~
a, B l\\on
nuls dans Ket À, wdes éléments'de K'vérifient la re-
lation aw - BÀ f O.
En effet comme A est une algèbre de Malcev satisfaisant
l'assertion M2, on a alors ut = 0, vt = at, wt = st où a, S sont
non nuls dans K. Pour uv = À u + À v + À w + À t, les relations
1
2
3
4
J(u,v,uv) = 0, J(u,w,uv) = J(u,w,v)u et J(v,w,vu) = J(v,w,u)v
entraînent À =
=
=
3
0 , À2 0 , Àl
a. Ainsi, en posant À = À,
4
on obtient uv = aU + Àt. De façon analogue, on montre aisément
que uw = Bu + wt et vw = Sv - aW. A étant non de Lie, on a

---

- 14 -
a~ - BÀ F O. Ainsi en posant u = el ' v = eZ ' w = e3 :et t = e4,
on obtient la structure définissant A.
Exemple Z.3.15. SDit A une algèbre de dimension 4 sur un corps K
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relative-
ment à une base {e ,e
1 Z,e3,e4} est donnée par e1eZ = el' e1e3 =
et - el ' e1e4 = 0, eZe3 = -eZ - e3 1 eZe4 = e4 ' e3e4 = -e4 '
e. = 0 (i = 1,Z,3,4), e.e. = -e.e. (i,j = 1,Z,3 14)1 tous les au.,.
1
1 J
J 1
tres produits étant nuls. Il est clair que A est une algèbre de
l"1alcev non de Lie de J-noyau N(A) = Ke41 De plus l'assertion MZ
est satisfaite dans A.
Proposition Z.3.16. Soit A une algèbre de Malcev non de Lie sat1s-
.
. •
.
. .
.
•
S : ,
•
•
~.
faisantà'.l<'assertion M3, Al?rs il existe sur A'l~< structure sui-
vante: e
=
1eZ
ae Z + Àe4 ' e1e3 = Be - ae
1z
3 : e1e4 = ae4, eZe3=
BeZ + ~e4 ' eZe4 = 0 , e3e4 = Be4 ' e =
i
0 (1 = 112,3,4), eie j =,
-e.e. (i,j = 1,Z,3,4), où a, S'sontnonnuls dans ~et À,]Jsont,des
J l
. - . . . . . . .
,.,
éléments de K vérifiant la relation a~ + SÀ F 0,
Proposition Z.3.17. Soit A une algèbre de Malcev non de Lie satis-
faisant à l'assertion M4. Alors il existe sur p., la structure sui-
vante: e1eZ = Bel - aeZ ' e1e3 = .,.a~3 + Àe~ , e1e4= ae4 ' eZe3=
-se3 + l-!e4 ' eZe4= Be4 ' e3e4= 0 , ei = 0 (1 = ~,213,~) , ei~j~"
-e.e. (i,j = 1,Z,3,4) où a , B sont non nulS' dans K"et À, ~sont
1 J~'
-
des él éments de K vérHi ant BI.. .., al-! f. 0 \\
Remarque: L'algèbre de Malcev non de Lie A définie dans la pro-
position Z.3.17 contient une sous-algèbre de Lie dont l'algèbre
dérivée de dimension Z, est abélienne. En effet, soit B la sous-
algèbre de Lie de A engendrée par {e ,e ,e } et définie par e e
Z 3 4
Z 3=
Z
-e
=
3 ' eZe4 = e4 ' e3e4 = O. Il est immédiat que dimkB
Z car
sZ est engendrée par {e ,e }, De pl us N(A) C SZ.
3 4
Exemple Z.3.18. Soit A une algèbre de dimension 4 sur un corps K
de caractéristique zéro dont la table de multiplication par rap-
port à une base {e 1,eZ,e
=
3,e4} est ~onnée par e1e Zz = e1+ ~2' e1e3
e3 + Ze4 ' e1e4 = -e4 ' eZe3 = -e3 ' eZe4= e4 ' ei = 0 (1 = 1,Z,

---

- lS -
3,4), e.e.= -e.e.(i,j = 1,2,3,4), tous les autres produits étant
l
J
J l
nuls. Il est clair que A est une algèbre de Malcev non de Lie dont
le J-ncyau est N(A) = Ke . L'assertion M est vraie dans A.
4
4
Proposition 2.3.19. Soit A une algèbre de Malcev non de Lie. Si
l'assertion MS est vraie dans A, il existe alors sur A la struc-
ture ~utvante : e1e2 = \\e4 ' e1e3 = ae1 ' e1e4 = 0 1 e2e3 = ae2,
e2e4 = 0 , e3e4= ae4 ' e~ = 0 (i = 1,2,3,4) , eiej = -e/i (i,j =
1,2,3,4) où a, \\ sont non nuls dan~< K.
En effet, si l'assertion MS est satisfaite dans A, on
a alors ut = 0, vt = 0, wt = at ou encore uJ(u,v,w) = 0, vJ(u,v,
w) = 0, wJ(u,v,w) = aJ(u,v,w) avec a non nul dans Kt Ainsi, pour
uv = \\lU + \\2v + \\3W + \\4t, les relations J(u,v,uv) = 0, J(u,w,
uv) = J(u,w,v)u'= 0 et J(v,w,v u) = J(v,w,u)v = 0 entratnent \\3 =
\\2 = \\1 = 0 et, par suite, uv = \\t où \\4 = \\. De même, on obtient·
uw = au, vw = aV. Il en résulte, en pesant u = el' V = e2, w = e3,
t = e
' la structure définissant A. \\ est nul dans K car A est
4
non de Lie.
Exemple 2.3.20. Soit A une algèbre de dimension 4 sur un corps K
de caractéristique zéro dont la table de multiplication re1ative~
ment à une base {e ,e ,e ,e } est donnée par e e
, e e =
1 2
= -
e
3 4
1 2
4
1 3
el ' e2e3 = e2 ' e3e4 = e4 ' e~ = 0 (i = 1,2,3,4) , eiej = ~ejei
(i,j = 1,2,3,4), teus les autres produtts étant nuls. Il est clair
que A est algèbre de Malcev non de Lie dont le J.,..noyau est N(A) =
Ke . L'assertion MS est satisfaite dans A.
4
Pro.position 2.3.21. Soit A une algèbre de Malcev rion de Lie satis-
faisant à l ~a~~ertion M , Alors il existe 'sur A la structure
6
~ui­
vante: e1e2 = -ae2 ' e1e3 = -ae3 ' e1e4 = ae4 ' e2e3 = \\e4 ' e~ =
o (i = 1,2,3,4) , e.e. = -e.e. (i,j = 1,2,3,4), tous les autres
l J
J l
, - , . . . . . . - - - - -
produits étant nuls, où a , \\ sont non nuls,dans r.,
-
-
.
= - t = ! .
Proposition 2.3.22. Soit A une algèbre de Malcev non de Liesatis-
faisant à l'assertion Ml' Alors il existe sur A la structure sui-

---

- 16
vante: e1e =
2
ae 1 ' e1e3 = l-e4 ' e2e3 = -ae3 ' e2e4 = ae4 '
~O (i = 1,2,3,4) , e.e. =-e.e. (i,j
,
, J
= 1,2,3,4), tous les
J ,
autres produHsétant nuls, où a, X sont non nul s 'dans K~
,
,;;:>r,
Exemple 2.3.23. Soit A une algèbre de dimension 4 sur un corps K
de caractéristique zéro dont la table de multiplication par rap-
port à une base {e ,e ,e ,e } est donnée par e
= el ' e e =
1 2 3
4
1e2
3 1
e4 ' e3e2 = e3 ' e2e4 = e4 ' e~ = 0 (i = 1,2,3,4) , eiej = -e/i
(i,j = 1,2,3,4), tous les autres produits étant nuls, Il est im-
médiat que A est une algèbre de Malcev non de Lie dont le J-noyau
N(A) = Ke
est colinéaire à J(A,A,A), De plus l'assertion M est
4
7
satisfaite dans A.
La classification des algèbres de Malcev de dimension
4 qui vient d'être donnée, peut être résumée dans le tableau sui-
vant :
2,3,4 + A de Lie
N(A) et J(A,A,A) sont co-
Car k = 0 tlinéaires et il y a 7 cas
dimkN(A) = 1
possibles non isomorphes
«=> dimkJ(A,A,
N(A) et J(A,A,A)
car K=2 et il y a
A) = 1)
non colinéaires
un seul cas possi-
ble à isomorphisme
près
J(A,A,A) = 0 + A de Lie
N(A) = 0 <=> dimkJ(A,A,A) ~ 2 + impossible
2.4. DimensiOn 5. Supposons que l'algèbre de Malcev A ne soit pas
de Lie. Dans ce cas, on aura dimk(N(A) = 0, 1 ou 2,
Lemme 2.4.1. Si A est une algèbre de Malcev non de Lie de dimen-
sion 5 et si dimkJ(A,A,A) = 3, 4 ou 5 a1or~ N(A) = O.
En effet soit {u,v,w,t,z} une base de A; alors

---

- 17 -
S = {J(u,v,w) ,J(u,v,t) ,J(u,v,Z) ,J(u,w,t) ,J(u,w,Z) ,J(u,t,Z) ,J(V,w,t),
J(v,w,z),J(v,t,z),J(w,t,z)} engendre J(A,A,A). Ainsi pour x = À1u+
+ À v + À w + À t +
z dans N(A) et dimkJ(A,A,A) = 3 par exemple,
2
À
3
4
5
avec {J(u,v,w),J(u,v,t),J(u,v,z)} comme base on a x = 0,
Lemme 2.4.2. 2i A est une algèbre de Malcev non de Lie de dimen-
sion 5, alors, dimkN(A) = 2 si ,et seulement si dimkJ(A,A,A) = 1,
En effet, soit {u,v,w,t,z} une base de A avec {t,z} ba-
se de N(A), il est alors immédiat que J(u,v,w) engendre J(A,A,A),
Réciproquement soient x un élément de N(A) et {u,v,w,t,z} une ba-
se de A. Comme dimkJ(A,A,A) = 1, nous pouvons choisir u,v,w,t,z
dans A de façon que J(u,v,w) engendre
J(A,A,A) et les autres
éléments de J(A,A1A) nuls. Il est alors immédiat que x = Àt + ~Z
ou encore dimkN(A) = 2.
Lemme 2.4.3. Si A est une algèbre de Malcev non de Lie de dimen-
-
,;:
sion 5, alors dimkN(A) = 1 si et seulement si dimkJ(A,A,A) = 2,
En effet comme dimkN(A) = 1, on a alors dimkJ(A,A,A)
, 2 car sinon on aurait N(A) = 0, ce qui est absurde. Ainsi, d'a-
près le lemme 2.4.2, il résulte que dimkJ(A,A,A) = 2. Récipro.
quement supposons que dimK~(A,A,A) = 2. On a alors dimkN(A) , 2
car sinon on aurait A de Lie, ce qui est contraire a 1 'hy~othèse,
Ainsi, d'après les lemmes 2.4.1 et 2.4,2, il résu1te que dimkN(A)
= 1.
Th,éorème 2.4.4. Si Ae~t une algèbre de Malcev non de Lie de di-
mension 5, alors dimkJ(A.A,A) = l~ 2,
En effet, soit {u,v,w.t,z} une base de A sur K. Sup-
posons que dimkJ(A,A,A) :;il 3 et que {J(u,v,w),J(u,v,t),J(u,v,z)}
est un système libre dans A. Alors pour uv = À u + À v + À w +
1
2
3
+, À4t + À z où les À sont dans K. la relation J(u,v,uv) = 0 en-
5
i
traîne À5 = À =
=
3
À4 0 et, par suite uv = À u + À v , Soit uw =
1
2 2
~lu + ~2v + ~3w + ~4t + ~5z, Comme J(u,w,uw) = 0 et J(u,v,uw) =

---

- 18 -
J(u,v,w)u = J(u,uv,w), on a alor;s ~4 = ~S = 0, ~3 = À2, ~2 = 0
donc uw = ~lu + À2w. De façon analogue, on montre que vw = ~lv -
- Àlw. Il en résulte que J(u,v,~) = 0, ce qui est absurde. Ainsi
le système {J(u,v,w),J(u,v,t), J(u,v,z)} est lié dans J(A,A,A)
et, par suite les générateurs de J(A,A,A) sont tr0is à trois liés
c'est-à-dire dimkJ(A,A,A) , 2, Ce qui est contraire à l'hypothè-
se dimkJ(A,A,A) ) 3. L'absurde vient donc d'avoir supposé dim k
J(A,A,A) ) 3. Il en résulte alors, comme A est une algèbre de
Malcev non de Lie, que dimkJ(A,A,A) = l ou 2.
Théorème 2.4.S. Soit A une algèbre de Malcev sur K ,non de Lie -d~
dimension S, de J-noyau de dimension LAlors l)caractér,istique
de K est 2, 2) N(A) n'est pas un idéal de A, 3) il existe un sys-
-
--
.
.'
..
tème {el,e2,e3,e4;eS} linéairement indépendant vérifiàn:, ele2 =
a.el--+-}3-e2--+--e5--~--e-le3-;-Be3--;--eie4 = Be
' e e
= (Xe ' e e =
4
2 3
3
2 4
a.e4 ' e3eS = e3 ' e4eS = e4 ".~ o., 13 so~t dan,s, K,
En effet, soit {u,v,w,t,z} une base de A sur K avec z
générateur libre de N(A). Alors, d'après le lemme 2,4,3, on a
dimkJ(A,A,A) = 2. Supposons donc que S = {J(u,v,w),J(u,v,t)}
soHune basedeJ(A,A,A) et choisissons u,v,w,t dans A de façon
que J(u,v,w) = w, J(u,v,t) = t. Ainsi, pour uv = a.lu + o.2v + o. w
3 +
+ a.4t + a.Sz 00 les o.i sont dans K, la relation, J(u,v,uv) = J(u,
v,v)u = 0 entraîne 0.
= 0. = 0 et, par suite, uv = o.lu
3
4
+ a.2 v +
+ a.Sz. Les relations J(v,w,vu) = J(v,w,u)v = wv et J(v,t,vu) =
J(v,t,u)v entra1nent respectivement vw = o.lw, vt = o.lt, Les re-
lations J(u,w,uv) = uJ(u,v,w) = uw et J(u,t,uv) = uJ(u,v,t) = ut
entraînent respectivement uw = -o.2w, ut = -a. t. Comme J(u,v,uw) =
2
J(u,v,w)u = wu c'est-à-dire uw = o.2w, on a 2o. w = 0 ou encore
2
20.2 = O. Si caractéristique de K est différente de 2, alors 0.2= 0,
J(A,A,A) est un idéal de A et N(A)J(A,A,A) = 0 (cf, Sagle [24]),
Par suite uv = o.lu + o.Sz, UW = 0, ut = O. Il en résulte donc que
J(u,v,w) = 0, ce qui est absurde car S est un système libre de
J(A,A,A). Il vient alors que car k = 2 et par suite uw = o.2w,
ut = o.2t. Comme J(u,v,w) = w et J(u,v,t) = t on a donc o.Szw = w,
o.Szt = t avec o.S f O. Ainsi, en posant u = el' v = e2, o.Sw = e3,

---

:, .
. ,
- - 19 -
Œst = e4, ŒSZ = eS ' al =a, a2 = B, on obtient les relations é-
noncées dans le théorème.
Remarque: Il résulte du théorème ci-dessus que J(A,A,A) est un
idéal de A si et seulement si e e
3 4 b J(A,A,A). Supposons que
e
=
3e4 ~ J(A,A,A). Comme ele S
el + seS' e2eS = e2 + ŒeS (cf. dé-
monstration du corollaire ci-dessous), alors la relation J(e 31
e ,e ) = (e e )e
= 0 nous dit que e e
4 S
3 4
S
3 4 b N(A) , {a}, c'est-à-
dire e e
= Àe avec À f O. Il en résulte que J(e
,e ) =
3 4
S
l1 e3 4
= Àele et, par suite, J(e ,e
S
l
3,e4) ~ J(A,A,A). Ce qui est absur-
de. Ainsi e e
3 4 b J(A,A,A) ou encore J(A,A,A) est un idéal de A.
Corollaire 2.4.6. Soit A une algèbre de dimension s- sur K,-~
J(A,A,A) esE u~ idéal abélien de A, ~es assertions sUivantes sont
alors équivalentes: 1) A est une algèbre de Malcev non de Lie
-:.
de J-noyau de dimension l, 2) la èaractéristique de K-est 2et
-
......
(
~
~
il existe sur A la'sttUcture suivante: e e
= ae
l 2
l + Se 2 + eS'
e le3 = se3 ' ele4 = se4 ' e1eS = el + SeS 1 e2e3 = ae 3 ' e2e4 =
= ae4 ' e2eS = e2 + aeS ' e3e4 = 0 , e3eS = e3 ' ~4eS = e4"
e; = 0 (i = 1,2,3,4,S) où a, S sont dans K,
En effet si A est une algèbre de Malcev nçn de Lie de
J-noyau de dimension l, alors le théorème 2.4.S nous dit que la
caractéristique de K est 2, N(A) n'est pas un idéal de A et il
existe un système {el,eZ,e3,e4,eS} linéairement indépendant vé~
ri fiant ele Z = ae l + seZ + e
=
S' ele3 = se 3 ' el e4 = Se4 , e2e3
=ae3 ' eZe4 =ae4 ' e3eS = e3 ' e4eS = e4, Ainsi, pour ele =
S
Àle l + ÀZeZ + À3e3 + À4e4 + ÀSeS où les Ai sont dans K, la rela-
tion J(e
=
=
=
l ,e 2,e 1 eS) = J(e1,eZ,eS)e l
0 entraîne À3
À4 0 ~t,
par suite e1e
+
S = Àle l + À2eZ
ÀSe S' Les relations J(e ,e ,e e )=
l
3
l
S
= J(e l ,e3,eS)el = 0 et J(eZ,e31eSel) + J(eS,e3,e2el ) = J(e ,e ,e )
2 3
l
eS + J(e
=
=
S,e3,e l )e 2 entraînent respectivement À
0, À
1. Com-
Z
l
me J(e l ,e
=
3,e S) = (S + ÀS)e3
0, alors AS = S, Il en résulte donc
que eleS = el + seS' Pour eZeS = ~lel + ~ZeZ + ~3e3 + ~4e4 + ~SeS
où les ~isont dars K, la relation J(eZ,el,e
=
Z eS) = J(eZ,el,eS)e Z
= 0 entraîne ~3 = ~4 = 0 et, par suite, eZeS =~lel + ~Ze2 + ~SeS'

---

- zo -
Les relations J(e ,e ,e e ) = J(e ,e ,e
Z 3 Z S
Z 3 S)e Z = 0 et J(e l ,e3,e SeZ)+
+ J(e ,e ,e e ) = J(e ,e ,e )e
+ J(e ,e ,e
S 3
l Z
l
3
Z S
S 3 Z)e l entraînent res-
pectivement ~l = 0,
~Z = 1. Comme J(e Z,e4,eS) = (a + ~S)e4 = 0,
on a ~S = a et, par suite eZeS = eZ + aeS' J(A,A,A) étant un idéal
abélien de A on a donc e3e4 = O.
Réciproquement si A est une algèbre de dimension S sur
K dont la structure, relativement à une base {el,eZ,e3,e41eS} ,
est définie par les relations ci-dessus on a N(A) = Ke S' J(A,A,A)=
= Ke
+ Ke
où e
= J(e ,e ,e ),e
3
4
3
l
Z 3
4 = 0(e l ,eZ,e4) et, par suite
A est non de Lie. Il est clair, d'après la proposition 1.10, que
A est une algèbre de Malcev.
Corollaire Z.4.7. Soit A u~e_algèbre de dimension S' sur K.'Si
J(A,A,A) est un idéal non abélien de A; les assertions suivantes
~
,.
sont alors ~~~j~a~ën~ès~: 1) A est une algèbre de Malcev non de
.4;
...
' / '
.......
-
.'
=<
Lie de J-n'oyau/aecfimens'i'Qn l, Z) la caractéristique 'de K-est Z
et il ext~~t(~~~r~,~a.)~~~~turesuivante ele
+hsez~es~
Z = ae l
ele3 = se 3'; " ele4 ~eJ ';"~leS = el + seS ' eZe3 = ae3 ' eZe4 =
= ae 4 ' ~2:e;.5 '=~Z + a_e~ ~~~3e4 = ye3 + ée4 1 e3eS = e3 ' e4eS =
2 \\,,~
. ~ .• ey.'
_
.
= e4 ' ei =·~0~~~,.::~tSr/3,4,S)OU a, ss?nt dans K!! y, 0 sont
non tous deux nuls dans K.
La démonstration de ce corollaire étant identique à
celle du corollaire Z.4.6, nous l'omettons.
Note 2.4.8. Soit A une algèbre de Malcev non de Lie de J-noyau
de dimension 2. Si N(A) est un idéal de A, alors J(A,A.A) C N(A)
(cf. proposition 2.3.S). Ainsi, étant donné {u,v,w,t,z} une base
de A avec {t,z} base de N(A), les relations J(u,v,zw) + J(z,v,uw)=
= J(u,v,w)z + J(z,v,w)u et J(u,v,tw) + J(t,v,uw) = J(u,v,w)t +
+ J(t,v,w)u entraînent respectivement J(u,v,w)z = 0, J(u,v,w)t =
= 0 et, par suite tz = O. De plus si J(A,A,A) est un idéal de A,
l'une des assertions suivantes est vraie dans A.

---

- 21 -
Ml) uJ(u,v,w) = 0 , vJ(u,v,w) = 0 , wJ(u,v,w) = 0
M2) uJ(u,v,w) = 0
vJ(u,v,w) = 0
wJ(u,v,w) = ŒJ(U,V,w)
M ) uJ(u,v,w) = 0 , vJ(u,v,w) = ŒJ (u,v,w) , wJ(u,v,w) = 0
3
M4) uJ(u,v,w) = ŒJ(U,V,w) , vJ(u,v,w) = 0 , wJ (u,v,w) = 0 oC! Œ
est non nul dans K
MS) uJ(u,v,w) = 0 , vJ(u,v,w) = ŒJ(U,V,w) , wJ(u,v,w) =
= BJ(u,v,w)
M) uJ(u,v,w) = ŒJ(U,V,w) , vJ(u,v,w) = 0 , wJ(u,v,w) =
6
= BJ(u,v,w)
M) uJ(u,v,w) = ŒJ(U,V,w) , vJ(u,v,w) = BJ(u,v,w) , wJ(~,v,w) =
7
= 0 où Œ, P sont non nuls dansK.
MS) uJ(u,v,w) = ŒJ(U,V,w) , vJ(u,v,w) = pJ(u,v,w) , wJ(u,v,w) =
= yJ(u,v,w) où Œ, p, Y sont non nuls dans K.
On dira que A es~< de la c1ass~ Mi (i = l, .•. ,S) et de
type T (respectivement Z) si les conditions suivantes sont satis-
faites: 1) N(A) est un idéal abélien de A de dimension 2, 2) il
existe une base.{u,v,w,t,z} (t,z dqns N(A)) de A telle que l'as.,.
sertion Mi soit vérifiée dans A, 3) r (respectivement z) est un
générateur libre de J(A,A,A).
Lemme 2.4.9. Si A est 'une a1gèbre'dé Malcev non de Lie de dimen-
-
. , - "
• __If
(
sion S de ra C'lasse Ml et de typeT (respectivement Z); 'les as-
,,~.
•
"
•
E ,
.
,
,
serti ons suivantes'sont'vraies dans A : 1) uv ~ N(A). 2) uw b N(A),
.
3) vw b N(A).
Théorème 2.4.10. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
commutatif K de caractéristique zéro. Les assertions suivantes
sont alors équivalentes: 1) A est une aigèbre de Malcev non 'de

---

- Z2 -
Lie de la classe Ml et d~ type T, Z) il existe sur A la stru~­
ture suivante
uv = -vu = Ctt + 5z , uw = -wu = Àt + )JZ , uz =-zu =
= at, vw = -wv = \\)t + nz , vz = -zv = alt , wz = .:Zl'! = azt, tous
les autres produits étant nuls, où les scalaires Ct, 5, À, )J, a,
v, n, al' a vérifient la relation
Z
-sa Z - na + )Jal t 0,
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe Ml et de type T~ il existe alors une base {u,v,w,t,z}
de A avec {t,z} base de N(A) telle que uJ(u,v,w) = 0, vJ(u,v,w)=
= 0 , wJ(u,v,w) = 0 et t est un générateur libre de J(A,A,A). Il
en résulte donc que ut = 0 , vt = 0 , wt = 0, Comme z est dans
N(A), alors (vz)u = v(zu) , (wz)u = w(zu) , (wz)v = w(zv), Ainsi,
pour uz = at + bz , vz = alt + b1z , wz = azt + bZz , on a ab 1 =
= bal' ab Z = ba2 ' bZa1 = b1aZ et J(u,v,w) = (~saZ ~na + )Ja1)t+
+ (-Sb
- nb + )Jb )z, A étant non de Lie et de type T on a alors
Z
1
-sa
- na + )Jal t 0 ,-5b
Z
2 - nb + )Jb 1 = O.. 11 en résulte donc
b = b =
1
b~ = 0 et, par suite uz ~ at , vz = aIt 1 wz = a2t.
Réciproquement supposons qu'il existe une base {u,v,w,
t,z} de A telle que A soit définie par la structure ci~dessus é~
noncée. Il est alors immédiat que 0 f J(u,v,w) = (-sa
- na + lJa )t
Z
1
ou encore dimkJ(A,A,A) = 1, Il en résulte donc que dimkN(A) = Z
(cf. lemme Z.4,Z). On vérifie par le calcul que A est une algèbre
de Malcev non de Lie dont le J-noyau est un idéal abélien ayant
{t,z} pour base. Par suite A est de la classe Ml et de type T.
Exemple Z.4.11. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps K
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relative-
ment à une base {e1,eZ,e3,e4,e5} est donnée par e1eZ = e5 , e3e5 =
= e4 ' e~ = 0 (i = 1,Z,3,4,5) , eiej = -ejei (i,j = 1,2,3,4,5),
tous les autres produits étant nuls. Il est clair que A est une
algèbre de Malcev non de Lie de la classe Ml et de type T.
Théorème Z.4.12. Soit A une algèbre de dimension 5's~r un corps
commutatif K de caractéristique zéro. Les assertions suivantes
sont'équiva1entes : 1) A est une algèbre de Malcev non de Lie de

---

- 23 -
la classe Ml et de type Z, 2) il existe sur A la structure sui-
vante : uv = -vu = at + Sz , uw = ~wu = Àt + ~z , ut = bz ,
vw = -wv = vt + nz , vt = -tv = b z , wt = -tw = b z , tous les
1
2
autres produits étant nuls, où les scalaires a, À, v sont non 't'dus
trois nuls et S, ~, b, n, b , b dans K
1
2
v~rifient la relation
-ab 2 - vb + ~b1 t O.
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe Ml et de type Z, il existe une base {u,v,w,t,z} de A,
(t,z dans N(A)), telle que uJ(u,v,w) = 0 , vJ(u,v,w) = 0 ,
wJ(u,v,w) = 0 et z est un générateur libre de J(A,A,A), Il en
résulte alors que uz = 0 , vz = 0 , wz = O. Comme t est dans N(A),
alors (vt)u = v(tu) , (wt)u = w(tu) , (wt)v = w(tv), Ainsi, pour
ut = at + bz, vt = alt + b1z , wt = a2t + b2z , on a ab 1 = a1b ,
a b = ab
' a b = a b et J(u,v,w) = (~aa2 - va + Àa
2
2
2 1
1 2
1)t + (-ab 2-
- vb + Àb )z. A étant non de Lie et de type Z on a alors -aa
1
2 -
- va + Àa
= 0 , -ab - vb
t O. Il en résulte que a
1
2
+ Àb l
2 = a =
= al = 0 et, par suite ut = bz , vt = b1z , wt = b z,
2
Réciproquement supposons qu'il existe une base {u,v,w,
t,z} de A telle que A soit définie par la structure ci~dessus é-
noncée. Il est ~lors immédiat que 0 f J(u,v,w) = (~ab2 - vb + Àbl)z
ou encore dimkJ(A,A,A) = 1 et, par suite dimkN(A) = 2, On vérifie
que A est une algèbre de Malcev non de Lie dont le J-noyau est
un idéal abélien ayant {t,z} pour base. Par suite A est de la
classe Ml et de type Z.
Exemple 2.4.13. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps K
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relati-
vement à une base {e1,e2,e3,e4,eS} est donnée par e
=
1e2
e4 '
e4e =
3
eS ' e~ = 0 (i = 1,2,3,4,5) , e.e. = -e.e. (i,j = 1,2,3,
,
, J
J ,
4,5), tous les autres produits étant nuls. Il est immédiat que
A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe Ml et de ty-
pe Z.
Lemme 2.4.14. Soit A une algèbre de Malcev non de Lie de dimen-

---

- 24 -
sion 5 de la classe M et de type T (respectivement Z). Les as-
2
sertions suivantes sont vraies dans A : 1) uv 6 N(A) , 2) uw - au
6 N(A) , 3) vw - av 6 N(A) où a est non nul dans K.
Théorème 2.4.15. Soit A u~e algèbre de dimen$ion 5 s~r un corps
commutatif K de caractéristique zéro. L~s assertions suivantes
sont équiva)entes : a) A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type T, b) il existe su; A l'une des, structu-
2
tures suivantes
1) uv = -vu = St , uw = -wu = au + WZ , uz = ~zu = at , vw = -wv =
= av + nz , vZ.= -zv = aIt ,wt =.~tw = at,wz ~·~zw ~ a2t+2az! tous les au-
tres 'pro?<ui.ts étant nuls, où les scalaires a, a1s,6~t non tous
deux nuls et a non nul dans K, S, a , w, ndans Kvérifient'la
2
~
_
relation -3aS ~ na + ~al f 0,
2) uv = -vu = St + yz , uw = -wu = au + ~z , vw = ~wv = av + nz ,
wt = -tw = at , wz = ~zw = a2t - 2az,"t?uS les autres rrodutt~
étant nuls, où les scalaires S, y sont non tous deux nuls -et a
non nul dans K, ~, n, a2 dans Kvérifient la relatton ~3aS - yail
~ o.
3) '""tJv = ;'vu = Bt , uw = ~wu = au + WZ , vw = -wv = av + nz , wt =
= -tw = at , wz = -zw = a2t + b2z ',t.o_us l es autres produits étan,t
nuls, oùl~s~calaires a, 6·~?~t non nuls dans Kt b2~ K,{-2a},
w, n, a dans K vérifient la relation -3aS f
2
0,
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type T, il existe une base {u,v,w,t,z} de A
2
avec {t,z} base de N(A), telle que uJ(u,v,w) = 0 , vJ(u,v,w) = 0,
wJ(u,v,w) = aJ(u,v,w) où a est non nul dans K et t est un généra-
teur libre de J(A,A,A). Il en résulte que ut = 0, vt = 0, wt = at,
Comme z est dans N(A), alors on a (vz)u = v(zu) , aUZ + (wz)u +
+(zu)w = 0 , avZ + (wz)v + (zv)w = O. Ainsi, pour uz = at + bz,
vz = aIt + b1z , wz = a2t + b2z , on a b1a = bal' (2aa - b2a +
+ ba 2)t + abz = 0 , (2aa - b a + b a
z = 0 et, par suite
1
2 1
1 2)t + ab 1

---

- 25 -
b = b =
l
0 et a(2a - b ) = 0 , al (2a - b
2
Z) = O. Il en résulte que
uz = at , vz = aIt. Comme uv est dans N(A) (cf. Lemme Z.4.l4),
il existe B, y dans K tels que uv = st + yz. Nous distinguerons
les deux cas suivants uv = 0 , uv i O.
1er cas. Si uv = 0, alors J(u,v,w) = (-na + wal)t avec -na + wali
i 0 , où uw = au + Àt + wz , vw = av + vt + nz, Supposons donc
Za - b i 0
alors a = al = 0 et, par suite J(u,v,w) = 0 ce qui
Z
est absurde car A est non de Lie. Il en résulte Que b = Za .
2
Comme À, v n'interviennent pas dans les calculs, nous poserons
À = v = O. Ainsi, nous obtenons uv = 0 , uw = au + WZ , ut = 0,
uz = at , vw = aV + nz , vt = 0
vz = aIt, wt = at , wz = azt +
+ Zaz , tz = 0 où -na + wal f O.
Zème cas. Supposons maintenant uv i O. Comme {t,z} est une base
de N(A), alors l'un au moins des ensembles {t,uv}, {z,uv} est li-
bre. Si {t,uv} est libre, on a uv = st + yZ avec y i 0 et, par
suite la relation J(u,v,w) = (-3aS - ya
- na + 0a
z
l )t - y(b Z +
+ Za)Z entraine, puisque A est de type T, b
= -Zao Ainsi les re-
Z
lations a(Za - bZ) = 0 et al(Za - bZ) = 0 entraînent respective-
ment a = 0 , al = O. En posant À = v = 0, nous obtenons donc
uv = st + yZ (y i 0), uw = au + wz, ut = 0 , uz = 0 , VW = av +
+ nz , vt = 0 , vz = 0 , wt = at , wz = a2t - ZaZ , tz = 0 avec
-3aS
- ya
i
z
O. Si {z,uv} est libre, on a uv = Bt + yz (S i 0)
et, les relations a(Za - b )
2 = 0 , al(Za - bZ) = 0 entra1nent
ya = 0 , ya l = O. Comme Za - b et Za
sont non tous deux nuls,
Z
+ bZ
car sinon on aurait 4 = 0 dans K ce qui est absurde, on obtient
alors
l ) uv = St + yz (B,y i 0), uw = au + wz , ut = 0 , uz = 0
vw =
= av + nz , vt = 0
vz = 0 , wt = at , wz = azt - Zaz
tz =
= 0 avec 3aS + ya z i O.
II) uv = St (S i 0) , uw = au + wz , ut = 0 1 UZ = 0 , vw = av +
+ nz , vt = 0 , vz = 0 , wt = at , wz = azt - Zaz , tz = 0
avec.a, al non tous deux nuls et -3aS - na + wal i O.

---

- 26 -
III) uv = St (S f 0), uw = au + ~z , ut = 0 , uz = 0 , vw = av +
+ nz , vt = 0 , vz = 0 , WZ = a t + b
2
2z , tz = 0 avec b2
dans K et -3aS f O.
En conclusion, il existe sur A l'une des structures é-
noncées dans le théorème,
Réciproquement supposons qu'il existe une base {u,v,
w,t,z} de A telle que A soit définie par l'une quelconque des
structures ci-dessus énoncées. Alors t est un générateur libre
de J(A,A,A) et uJ(u,v,w) = 0 , vJ(u,v,w) = 0 , wJ(u,v,w) = aJ
(u,v,w) où a est non nul dans K, Il en résulte que dimkN(A) = 2,
On vérifie que A est une algèbre de Malcev non de Lie dont le
J-noyau N(A) est un idéal abélien ayant {t,z} pour base, Ainsi
A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M
2 et de ty-
pe T.
Exemple 2.4.16. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
K de caractéristique zéro~dont la table de multiplication par
rapport à une base {e1,e2,e3,e4,e5} est donnée par·e1e =
2
~1!3
e4 ' e1e3 = el ' e1e5 = e4 ' e2e3 = e2 ' e3e4 = e4 ' e3e5 = e4 +
+ 2e
=
5 ' e~ = 0 (i = 1,2,3,4,5), eie
.,.eje
(i,j = 1,2,3,4,5),
j
i
tous les autres produits étant nuls. Il est clair que A est une
algèbre de Malcev non de Lie de la classe M et de type T.
2
"
Théorème 2.4.17. Say; {u,v,w,t,z } une base d:une algèbre de di-
mension 5 sur K.'Si l'ensemble {t,uv} est libre et l'un au moins
~
,
__
4!!
des ensembles {z,uz} , {z,vz} est libre~alors ~est une algèbre
•
.
~
,q.,,~
de Malcev non ?e Lie de la class~~2 et de type T'~let seulement
si la caractéristique de K est 2 et'il existe sur A la structure
suivante
uv = vu = st + yz , wu = uw = au + \\t + ~z , uz = zu =
= at , vw = wv = av + vt + nz , vz = zv = a1t , wt = tw = at ,
wz = zw = a t , tous les autres produits étant nuls,
2
où les sca-
laires a, al sont non tous deux nuls dans K et y, eX ',n...o..n, ,nuls dans
K, S, \\, ~, n dans K vérifient la relation aB + ya 2 + na + ~a1 f 0,

---

- Z7 -
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type T, alors N(A) est un idéal abélien de A
Z
ayant {t,z} pour base; uJ(u,v,w) = 0 , vJ(u,v,w) = a , wJ(u,v,w)=
aJ(u,v,w) et t est un générateur libre de J(A,A,A), Il en résulte
donc que ut = a , vt = a , wt = at· 00 a est non nul dans K. Puis-
que z est dans N(A), alors (vz)u = v(zu) , auz + (wz)u + (zu)w =
= 0 , avZ + (wz)v + (zv)w = O. Ainsi, pour uz = at + bz , vz =
= aIt + b z , wz = azt + bZz on a b
1
1a = bal' (Zaa - bZa + baZ)t+
+ abz = 0, (Zaa
- bZa
+ b a
1
l
1 Z)t + ablz = a et, par suite b = b1=
= 0 et a(Za - b ) = 0, al(Za .,. b
Z
Z) = 0, Comme l ~un au moins des
ensembles {z,uz} , {z,vz} est libre, alors a et al sont non tous
deux nuls dans K et, par suite bZ = Za. L'ensemble {t,uv} étant
libre on a uv = st + yZ 00 y est non nul dans K. Ainsi, A étant
une algèbre de Malcev non de Lie de type T, la relation a f J(u,
v,w) = (-3aS - ya
- na + ]Ja )t - 4ayz entra~ne 4 = a dans K c'est-
z
1
a-dire car K = 2. Par suite on obtient la structure définissant A.
Réciproquement supposons que A soit définie par la structure ci-
dessus énoncée, alors t est un générateur libre de J(A,A,A), uJ
(u,v,w) = a , vJ(u,v,w) = 0 , wJ(u,v,w) = aJ(u,v,w) et N(A) = kt +
+ kz est un idéal abélien de A. On vérifie que A est une algèbre
de Malcev non de Lie, Ainsi A est de la classe M2 et de type T.
Exemple Z.4.18. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristique 2 dont la table de multiplication relativement
a une base {el,eZ,e3,e4,eS} est donnée par el e2 = eS ' e1e3 = el'
ele S = e4 ' e2e3 = e2 + eS ' e3e4 = e4 ' eiej = eje i (i ,j = 1,2,
3,4,5), tous les autres produits étant nuls. Il est immédiat que
A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M et de type
2
T.
Note Z.4.19. Le théorème 2.4.17 nous montre, en particulier, que
le J-noyau N(A) d'une algèbre de Malcev non de Lie A sur un corps
de caractéristique Z peut être un idéal.
Théorème 2.4.20. Soit {u,v,w,t,z} une base d'une algèbre A de
dimension S sur un corps K de caractéristique Z. Si l'ensemble
{z,uv} et l'un au moins des ensembles {z,uz}, {z,vz} sont libres,

---

- Z8 -
alors A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M !!
Z
de type T si et seulement si il existe sur A la structure suivan-
te
uv = vu = St + yz , uw = wu = au + Àt + wz , vw = wv = av +
+ vt + nz , uz = zu = at , vz = zv = aIt , wt = tw = at , wz =
= zw = azt , tous les autres produits étant nuls, où les scalai-
res a, al son:.'n?~ tous deux nuls dans K~ a, S ~~0 nuls dans
K, y, À, w, v, n, aZ dan.s K vérifient la relatto~,aS t ya z + na +
+ ]Jal ~ o.
Exemple 2.4.21. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
K de caractéristique 2 dont la table de multiplication relative-
ment à une base {el,eZ,e3,e4,eS} est donnée par e
=
l e2
eZe1 = e4,
ele3 = e3e1 = el ' eZe3 = e3eZ = eZ ' eZeS = e4 ' e3e4 = e4 ' tous
les autres produits étant nuls. Il est immédiat que A est une al-
gèbre de Malcev non de Lie de la classe MZ et de type T,
Théorème Z.4.ZZ. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
commutatif K de'caractéristigue zéro; 'Les assertions suivantes.
' . "
'
. . -.'
"
. ,
.
sont alors équtvarentes : a) A est urie algèbre de Malcev nori'de
4
Z(
t
ç
«.
q
•
C
j
,
,
Xl
Lie de la classe M2 et dé type Z, b},i.l existe sur A'1..' une des
structures suivantes:
1) uv = -YU = yz , uw = -wu = au + Àt , vw = -wv = av + vt, wt =
= -tw = aZt + bZz , wz = -zw = az " tous les autres..produHs,
éta~t nuls, 09.}es sc?}aire~ a, y sont non nuls d~n~ ~.~ aZ
dans K'{-Za}, À, v, bZ ~ K'y~rifient la r~latto.n, ...3ay f. 0,
Z) uv = -vu = yz , uw = -wu = au + Àt , ut = -tu = bz , vw = -wv =
= av + vt , vt = -tv = b z
z , wz = -zw
1
1
wt.= -tw = Zat + b2
=
= az , tous les autres produits étant nuls, où les scalaires
b, bl sont non tous deux nuls dans Ket y, À, v, bz ~ K.
vérifient ~a relation -3ay - vb + Àb 1 ~ 0,
3) uv = -vu = st + yz , uw = -wu = au + Àt , vw = av + vt = -wv,
wt = -tw = -Zat + bZz , wz = -zw = aZ, tous les autres produits
étant nuls, où les scalaires S, y sont nori tous deux nuls dans

---

- 29 -
K et Ci, non nul dans K, À, v, b dans K vérifient la relation
2
-3Ci'(
-
Bb 2 f. O.
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type Z, il existe une base {u,v,w,t,z}de A
2
avec {t,z} base de N(A), telle que uJ(u,v,w) ::: 0 , vJ(u,v,w) ::: 0,
wJ(u,v,w) ::: CiJ(U,V,w) où a est non nul dans K et z est un généra~
teur libre de J(A,A,A). Il en résulte donc que uz ::: 0, VZ ::: 0,
wz ::: CiZ. Comme t est dans N(A), on a alors (vt)u ::: v(tu) , aut +
+ (wt)u + (tu)w ::: 0 , avt + (wt)v + (tv)w ::: 0, Ainsi, pour ut :::
::: at + bz , vt ::: aIt + blz , wt ::: a2t + b2z , on a alb ::: ab1 '
aat + b(2a - a2)z ::: 0 , aa1t + b1(2a - a2)z ::: 0 et, par suite
a::: al::: 0 , b(2a ~ a2) ::: 0 , b1(2a - az) ::: O. Il en résulte que
ut ::: bz, vt ::: b1z. Comme uv est dans N(A), il existe S, '( dans
K tels que uv ::: st + '(Z. Nous distinguons deux cas
1er cas. Si uv = 0 , alors J(u,v,w) = (~vb + \\bl)z avec -vb +
+ \\b
f. 0, où uw = au + \\t + uz , vw = av + vt + nz, Supposons
1
donc Za - a2 f. 0 , alors b = b1 = 0 et, par suite J(u,v,w) = 0,
ce qui est absurde car A est non de Lie, Il en résulte que P2 =
= 2a et b, b sont non tous deux nuls dans K. Comme u, n n'inter-
l
viennent pas dans les calculs, nous poserons u = n = 0, Ainsi,
nous obtenons uv = 0 , uw = au + \\t , ut = bz , uz = 0 , vw =
= av + vt, vt = blz , vz ::: 0 , wt = 2at + b z , wz ::: aZ , tz ::: 0
2
.où -vb + \\b
f.
1
O.
2ème cas. Supposons uv f o. Comme {t,z} est une base de N(A), a-
lors l·un au moins des ensembles {t,UV}, {z,uv} est libre, Si
{t,uv} est libre, on a uv = st + yz avec Y f. 0 et, par suite
J(u,v,w) = -s(a 2 + 2a)t + (-3ay - Sb ~ vb + \\b1)z entraTne, puis-
2
que A est de type Z, s(a
+ 2a) = 0 et -3ay - Sb
f.
2
2 .... vb + \\b
0,
1
Il en résulte les relations b(2a - a ) = 0 , b (2a - a ) = 0 ,
2
1
2
B(2a + aZ) ::: O. Ainsi, en remarquant que Za - a et 2a + a sont
2
Z
non tous deux nuls, on obtient
1) uv =,yz, uw =a.u+\\t, ut = bz, uz = 0
vw = av + vt , vt =
:
b1Z , vz = 0 , wt = Zat + bZz , wz = az
tz = 0 où les sca-

---

- 30 -
laires a, y sont nuls dans K et ~, b, v, b1, bZ dans K véri-
fient la relation -3ay - vb + ~bl f 0,
II) uv ; yz , uw ;:; au + ~t , ut ;:; 0 , uz ;:; 0 , vw ;:; av + ~t ,
vt ; 0 , vz ;:; 0 , wt ;:; azt + bZz , wz ;:; aZ , tz ;:; 0 où les
scalaires a, y sont non nuls dans K et ~, v, aZ' bZ dans K
vérifient la relation -3ay f 0,
II I) uv ;:; St + yz , uw ; Ctu + ~t
ut ;:; 0 , uz ;:; 0 , vw ; Ctv +
+ vt , vt ;:; 0 , vz ;:; 0
wt ;:; -ZCtt + bZz
wZ ;:; CtZ , tz ;:; 0
1
où les scalaires a, S, y sont non nuls dans K et ~, v, bZ
dans K vérifient la relation .,,3ay '" 6bZ f O.
Si [Z,UV} est libre, alors uv ;:; St + yz avec B f 0 et,
par suite on a a
;:; ."Za, b ;:; b ." o. Il en résulte donc qu~ uv ;:;
Z
1
;:; st + yZ , uw ; aU + ~t , ut ;:; 0 , uz ;:; 0 , vw ;:; aV + vt t vt ;:;
;:; 0 , vz ;:; 0 , wt ;:; -Zat + b2Z , wz ;:; aZ , tz ~ 0 où les scalai~
res a, [3 sont non nuls dans K et y, À, v, bz dans K vérifient la
relation -3ay - Sb
f
2
O.
En conclusion, il existe sur A l'une des structures é-
noncées dans le théorème.
....
Réciproquement supposons qu'il existe une base fu,v,w,
t,z} de A telle que A soit définie par l'une des structur~s c;-
dessus énoncées. Alors z est un générateur libre de J(A,A,A) et
uJ(u,v,w);:; 0 , vJ(u,v,w) ;:; 0 ,wJ(u,v,w) ;:; aJ(u,v,w) où a est
non nul dans K. On vérifie que A est une algèbre de Malcev non
de Lie dont le J-noyau de dimension Z est un idéal abélien ayant
{t,z} pour base. Ainsi A est de la classe Mz et de type Z,
Exemple 2.4.23. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relati-
vement a une base {e1,e2,e3,e4,eSJ est donnée par e1e3 ;:; el ~
e4e1 ;:; eS ' e2e3 ;:; e2 + e4 ' e3e4 ;:; 2e4 + eS ' e3e5 ;:; eS ' ei ;:; 0
(i ;:; 1,2,3,4,S) , eiej ;:; -ejei (i,j ;:; 1,2,3,4,5), tous les autres

---

- 31 -
produits étant nuls. Il est clair que A est une algèbre de Malcev
non de Lie de la classe M et de type l.
Z
Théorème Z.4.Z4. SO,it {u,v,w,t,z} une base d'une algèbre de, dimen-
sion 5 sur K. Si l'ensemble {Z,UV} et l'un aU moins des, en;embles
{t,ut}, {t,vt} sont libres,'~ A est une algèbre de Malcev non
de, ,Lie 'de l aC;,as;e Mz et de type l S'i ,et seul ement si l a car~c.,.
téristique de K est Z et il existe sur A la structure suivante
uv = vu = st + ~z , uw = wu
aU + .\\t + WZ , ut = tu = bz , vw =
= wv = av + vt + nz 1 vt = tv = bIz , wt = tw = bZz , wz ~ zw =
= aZ , tous les autres produits étant nuls, où les scalatres b,
< ,::
, . q;
•
b1 sont n?,n, ~?~s. d~ux n~ls dqns K~. a 1 (3 ,n,2.n nuls dans K, ~, À,
W, v, il, bZ ~ K'vérif,ientla 'relatton ay + I3bZ + vb + :\\bl f O.
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type
Z
l, alors N(A) est un idéal abélien de A,
z est un générateur libre de J(A,A,A) et uJ(u,v,w) = 0 , vJ(u,v,
w) = 0 , wJ(u,v,w) = aJ(u,v,w) où a est non nul dans K. Il,en ré-
sulte que uz = 0 , vz = 0 , wz = aZ, Comme t est dans N(A), alors
(vt)u = v(tu) , aut + (wt)u + (tu)w = 0 , ewt + (wt)v + (tv)w = 0,
Ainsi, pour ut = at + bz, vt = aIt + b1z , wt = azt = bZz , on a
alb = ab1 ' aat + b(Za - aZ)z = 0 1 aalt + bl(Za - aZ)z = 0 et,
par suite a = al = 0 et b(Za - aZ) = a , bl(Za .,. a ) = 0, puisque
Z
l'un au moins des ensembles {t,ut}, {t,vt} est libre, alors b et
b
=
1 sont non tous deux nuls dans K et, par suite a
Za. L'ensem-
Z
ble {z,uv} étant libre, on a uv = st + ~z avec B non nul dans K.
Ainsi la relation 0 f. J(u,v,w) = -4aSt + (-3ay -. Sb
- vb + Àbl)z
z
entraîne, puisque A est de type l, 4 = a dans K c'est.,.à-dire car
K = Z. Par suite, on obtient la structure énoncée dans le théorè-
me. Réciproquement supposons que A soit définie par la structure
énoncée dans le théorème, alors z est un générateur libre de J(A,
A,A) , N(A) = kt + kz est un idéal abélien de A et uJ(u,v,w) = 0,
vJ(u,v,w) = 0 , wJ(u,v,w) = aJ(u,V,w) où a est non nul dans K.
On vérifie que A est une algèbre de Malcev non de Lie et, par sui-
te A est de la classe M et de type
Z
l.
Exemple Z.4.Z5. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps K

---

- 32 -
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relati-
vement à une base {e1,e2,e3,e4,eS} est donnée par e1e2 = e4 '
e1e3 = el ' e1e4 = eS ' e2e3 = e2 ' e3e4 = eS ' e3eS = eS '
e.e. = e.e. (i,j = 1,2,3,4,S), tous les autres produits étant
, J
J '
nuls. Il est immédiat que A est une algèbre de Malcev non de Lie
de la classe M et de type l.
2
Théorème 2.4.26. Soit {u,v,w,t,z} une base d'une algèbre de di-
mension S sur un corps K de caractéristique 2; Si l'ensemble
...
,
{t,uv} et l'un a~ mo"ins des ensemble~ {t,ut}, {t,vnsont lib~es,
alors A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M' et
<.
"
2 .--
de type l-s1 et'seulement si il existe sur A la structure suivan-
te uv = vu = Bt + yz , uw = wu = au + Àt + ~z , ut = tu = bz ,
vw = av + vt + nz = wv , vt = tv = b1z , wt = tw = b2z , wz = zw =
= at, tous les autres pr?duits étant nuls, où les scalaires b,
b1 sont non tous deux nul s dans K~ a ,y ~on nul s dan~ K, 13, À,
~, v, n, b
f
2 dans K vérifient la reratto~. ay + Bb 2 + vb + \\b 1
0,
Exemple 2.4.27. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristique 2 dont la table de multiplication relativement
à une base {e1,e2,e3,e4,eS} est donnée par e1e2 = eS ' e1e3 = el'
e1e4 = eS ' e2e3 = e2 ' e3eS = eS ' eie j = e/ i (i,j = 1~2,3,4,S),
tous les autres produits étant nuls. On vérifie que A est une al-
gèbre de Malcev non de Lie de la classe M et de type l.
2
Lemme 2.4.28. Soit A'une algèbre de Malcev non de Lie'de'la clas-
se M et de type T (respectivement l). Les
3
assertion~ suivantes
sont vraies dans A : 1) uv - au ~ N(A) , 2) uw 6 N(A) , 3) vw +
+ aw 6 N(A) où a est non nul dans K.
.
(
Théorème 2.4.29. Soit A une algèbre de dimension S-sur un corps
commutatif K de caractéristique zéro. Les assertions suivantes
sont équivalentes: a) A est une algèbre de Malcev non de Lie de
"
4
la classe M3'e~ de type T, b) ~l eXiste sur A l'une déS structu-
res suivantes :

---

- 33 -
1) uv = -vu = au + ].lZ , uw = -wu = St + yz , VW = -wv =
aW +
+ nz , vt = -vt = at , vz = -zv = alt .,. 2az ,tous 1es autres
produits étant nuls, où les scalaires 13, y sont non tous nuls
dans K et ].l, n, al~ Kvérifient la relation 30.13 + ya l f: O.
Z) uv = -vu = au + ].lZ , uw = -wu = st , uz = -zu = at , vw = -wv =
= -aW + nz , vt = -tv = at , VZ = -Zv = aIt + 2az , wz = -zw =
= azt , tous les autres produits étant nuls, où les scalaites
a,a
sont non tous d~~~_ nuls dans~K_et a _non nul dans K, ].l, n,
Z
al' S dans K vérifient la relaHon 30.13 .,. j.la
.,. na
Z
"f Q~
3) uv = -vu = au + ].lZ , UW = -wu = St , vw = -wv = - aw + nz ,
vt = -tv = at , vz = -zv = aIt + blz , tous les autres produits
étant nuls, où_les scalaires a, S s?nt non nuls dan~s K-~ bl
dans K"-{-Za}, ].l, n, al da~s K'-y~rifient la telation 3aS l' O.
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type T, il existe une base {u,v,w~t,z} de A,
3
avec {t,z} pour base de N(A),telle que t soit un générateur libre
de J(A,A,A), N(A) soit un idéal abélien de A et uJ(u,y,w) = 0,
vJ(u,v;w) = aJ(u,v,w) , wJ(u,v,w) = 0, où a est non nul dans K.
Il en résulte donc que ut = 0 , vt = at , wz = O. Comme z parcourt
. N(A), on a (wz)u = w(zu) , auZ + (vz)u + (zu)v = 0 , ""C/,WZ t (wz)v+
+ (zv)w = O. Ainsi, en posant uz = at + bz t VZ = aIt + b1z , wz =
= azt + bZz car N(A) est un idéal de A, on a ab z = baz 1 abz +
+ (Zaa - ab l + bal)t = 0 , (-Zaaz - bza1 + blaZ)t - abzz = 0 et,
par suite b = bZ = 0 , a(Za - b1) = 0 , aZ(Za .,. b ) = 0, Il en
l
résulte que uz = at , wz = azt. Puisque uw est dans N(A), alors
uw = st + yZ où S, y sont dans K. Nous distinguons les deux cas
suivants :
1er cas. Si uw = a , alors J(u,v,w) = (-~aZ .,. na)t avec ].la +
Z
+ na f: a et où uv = aU + \\t + ].lZ , vw = -~w + vt + nZ. Supposons
Za - bl f: 0 , alors a = a =
Z
0 et, par suite A est une algèbre
de Lie ce qui est absurde. Il en résulte donc que bl = Za et les
scalaires a, aZ sont non tous deux nuls dans K. Puisque \\, v n~in-

---

- 34 -
terviennent pas dans les calculs, nous poserons À = v = O. Ainsi
nous obtenons uv = au + WZ , uw = 0 , ut = 0 , uz = at , vw =
= -,aw + nz , vt = at , vz = aIt + 2az , vit;:: a , wz = a t , tz
2
=
= 0 où les scalaires a, a
sont non tous deux nuls dans K et a
Z
non nul dans K, w, n, al dans K vérifient waZ + na f O.
Zème cas. Supposons maintenant uw f 0, alors l'un au moins des
ensembles {t,uw}, {z,uw: est libre. Si {t,uw} est libre, on a
uw = st + yZ avec y non nul dans K et, par suite la relation
o f J(u,v,w) = (3aS + ya l - waZ)t + Y(Za + bl)z entraîne, puis~
que A est de type T, br = -Za , a = a = O. On obtient alors
Z
uv = au + wz , uw = St + yZ , ut = 0 , uz = 0 , vw = -aw + nz ,
vt = at , vz = aIt ~ Z Z , wt = wz = tz = 0 , où les scalaires
a, y sont non nuls dans K et w, S, n, al dans K vérifient la re-
lation 3aS + ya
f O.
l
Si {z,uw} est libre, alors uw = St + yz avec Bnon nul
dans K et, parl'suite la relation 0 f J(u,y,w) = (3as + ya
-wa -
l
Z
- na)t + y(Za + bl)z entraTne y(Za + bl ) =0 et 3aS + ya ~ ~aZ -
l
- na f O. Il en résulte les relations a(Za ~ bl ) = 0 , aZ(Za ~ bl )=
= 0 et y(Za + bl ) = O. Ainsi, en remarquant que les scalaires
Za - bl et Za + br sont non tous deux nuls dans K, on obtient:
I) uv = au + ~z , uw = St , ut = 0 , uz = 0 , vw = ~~w + nz ~
.
vt = at , vz = aIt ~ 2az , wt ~ o , wz = 0 1 tz = 0 oQ les sca-
laires a,S,y,sont nOIl nuls dans K et w, n, al dans K vérifient
la relation 3aS + ya l f O.
II) uv = au + ~z
uw = st , ut = 0 , uz = at , vw = -aW + nz ,
vt = at , vz = aIt + ZaZ , wt = 0 , wz = azt , tz = 0 où les
scalaires a, aZ sont non tous deux nuls dans Ket a, S non
nuls dans K, ~. n. al dans K vérifient 3aS - waZ - na f o.
III) uv = au + wz , uw = St , ut = 0 , uz = 0 , vw = -aw + nz ,
vt = at , vz = aIt + blZ , wt = U , wz = 0 , tz = 0 où les
scalaires a,SsontnonnulsdansKet]J, n, al'b l dans Kvéri-

---

- 35 -
fient la relation 3aS 1 o.
En conclusion, il existe sur A l'une des structures é-
noncées dans le théorème. La réciproque est immédiate.
Exemple 2.4.30. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
commutatif K de caractéristique zéro et dont la table de multi~,
plication relativement à une base {e1,e2,e3,e4,e5} est donnée
par e1e =
2
el ' e1e3 = eS 1 e2e3 = ~e3 ' e2e4 = e4 • e2e5 = e4 -
- 2e
' e~ = 0 (i = 1,2,3,4,S), e.e. = -e.e. (i,j = 1,2
5
73,4,5),
,
, J
J"
tous les autres produits étant nuls. Il est immédiat que A est
une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M et de type T,
3
Exemple 2.4.31. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
K de caractéristique zéro dont la table de multiplication par
rapport à une base {e1,e2,e3,e4,e5} est donnée par e1e2 = el'
e e = 2e
= e
= -e
= e
= 2e
1 3
4, e1eS
4 , eZe3
3, e2e4
4 ' e2eS
S7
eje S = -e4 ' e~ = 0 (i = 1,2,3,4,S), eiej = -eje (i,j = 1,2,3,
i
4,S), tous les autres produits étant nuls. On vérifie que A est
une algèbre de Malcev non de Lie dela classe M et de type T.
3
Théorème 2.4.32. Soit {u,v,w,t,z}'~~e base d'une algèbre de di-
mension S sur K. Si l'ensemble {t,uw}'et l'un au moins des en-
-
L
~_
,_
sembles {z,uz}, {z,wz} sont libres, alors les assertions suivantes
- - -..........,.
.'
sont ~q~iva,lerites, :,,,1) A ~st une a12èbre de MalceV,.non '9-~ Lie:de
la classe M et de type T, 2) là'caractéristiqliè'de
3
K~ c'et
il existé sur A la structure suivante
uv = vu = au + \\t + ~z ,
uw = wu = st + yz , uz = zu = at , vw = wv = aw t vt t nz • vt =
= tv = at ',vz = zv ~ aIt, wz = zw = a2t :,~0.us l es autres pro~
duits étant nuls, où les scalaires a, aZ's?.nt non t~lis deux ril1'l,s,
dans K et a, y'n,on nlils dans K , ~, \\, S, v, n, al' ~ans K véri-
fient la 'relâ'ttion aS + ya 1 + ~a2 + na ~ O.
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M3 et de type T, alors N(A) est un idéal abélien de A
ayant {t,z} pour base, t est un générateur' libre de J(A,A,A) et

---

- 36 -
uJ(u,v,w) = a , vJ(u,v,w) = aJ(u,v,w) où a est un scalaire non
nul dans K, wJ(u,v,w) = O. Il en résulte donc que ut = a ,vt;::
;:: at , wt ;:: O. Puisque z parcourt N(A), alors J(u,v,z) ;:: J(u,w,z)=
;:: J(u,w,z) = J(v,w,z) = O. Ainsi, pour uz = at + bz 1 VZ = aIt +
+ bIz , wz = azt + bZz car N(A) est un idéal de A, on a ab Z = aZb,
abz + (Zaa - ab 1 + ba1)t = 0 , (..,Zaa Z .., bZa2 + b1a2)t .,. abZz ;:: 0
et, par suite b ;:: b2 ;:: 0 et a(Za - b1) = 0, a2(Za - bI) = 0, Com.,.
me l'un au moins des ensembles {z,uz}, ~Z,WZ} est libre, alors a,
a
sont non tous deux nuls et, par suite b ;:: Za. L'ensemble
Z
1
{t,uw} étant libre on a uw ;:: st + yZ avec y non nul dans K, Ain-
si, puisque A est une algèbre de Malcev non de Lie de type T, la
relation a ~ J(u,v,W) = (3aS + ya l .., ~aZ .., na)t + 4qyz entraîne
4 ;:: a dans K ou encore la caractéristique de K est 2, par suite
on obtient la structure ci-dessus énoncée,
Réciproquement si A est une algèbre de dimension 5 sur
un corps de caractéristique 2 dont la structure est celle énoncée
dans le théorème, alors t est un générateur libre de J(A,A,A) ,
uJ(u,v,w) = a , vJ(u,v,w) ;:: r.:x.J(u,v,w) où r.:x. est non nul dans K,
wJ(u,v,w) ;:: a et N(A) ;:: Kt + Kz est un idéal abélien de A. On vé-
rifie que A est une algèbre de Malcev non de Lie et, par suite
A est de la classe M et de type T.
3
Exemple 2.4.33. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristique Z dont la table de multiplication relativement
à une base {el,eZ,e3,e4,eS} est donnée par e1e2 ;:: el' e1e3 ;:: eS'
e1eS ;:: e , e
;:: e , e e
;:: e
e
4
2e3
3
2 4
4, e2 S ;:: eS' e~ ;:: a (i ;:: 1,Z,3,4,
5), e;e j ;:: eje; (i,j ;:: 1,Z,3,4,5), tous les autres produits étant
nuls. On vérifie que A est une algèbre- de Malcev non de Lie de
la classe M et de type T,
3
Théorème Z.4.34. Soit {u,v,w,t,z} une base d'une algèbre de di-
mension 5 sur un corps K de caractéristique 2.' 'Si l'ensemble
{z,uw} et l'un au moins des'ensembles {z,u~}, {z',wz}:'sànt librè'~'
_
e q
, . . .
alors A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M et
3
de type T si et seulement si il existe sur A la structure sui van-

---

- 37 -
te uv = vu = au + \\t + ~z , uw = wu = St + yz , uz = zu = at ,
vw = wv = aw + vt + nz , vt = tv = at , vz = zv = aIt, wz = zw =
= a t , tous'les
2
~utres produits étant nuls; 00 les scalaires a,
a2 sont non tou~ deux nuls dans K~ a,S non nuls dans K, ~, y,
n, al dans K vérifient la relation aS .+ ya l + ~a2 t na i 0,
Exemple 2.4.35. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
de caractéristique 2 dont la table de multiplication relativement
à une base'{e1,e2,e3,e4,e5} est donnée par e
=
l e2 = el' eI e3
e4,
e
=
1e5 = e4, e2e3 = e3, e2e4 = e4, e~ = 0 (i = 1,2,3,4,5), eie j
= e.e. (i,j = 1,2,3,4,5), tous les autres produits étant nuls,
J 1
.
On vérifie que A est une algèbre de Malcev non de Lie de la clas-
se M et de type T.
3
Théorème 2.4.36. Sait A une algèbre de dimension ~ sur un corps
~
.
-.. -
-=-
','
commutatif K de caractéristique zéro. 'Les assertions suivantes
<.
•
sont équivalentes : a) A est une algèbre de Malcev non de Lie de
,-'
la classe M3. '€,tç'de
type Z, b) il exi~te sur ~ l'une des structu-
res suivantes :
,
1) uv.= au + \\t = -vu, uw = -wu = yz , ut = -tu = bz , vw = -wv =
= -aw + vt , vt = -tv = 2at + blz , vz = ~zv = qz , wt = -tw =
= b2z, tous 'les autres produi.ts étant nul~, ?..ù les scalaire~ b,
b2 sont non tous deu~ n~ls dans K'et a non nul dans K, \\, y, v,
bl dans K vérifient la relation 3ay .,. \\b - vb f
2
0,
2) uv = -vu = au + \\ t , uw = -wu = St + yz , vw = ~wv ~-ÇI,W + vt,
vt,,= -tv = -2at + bl z , vz=-zv = az ,t,OYs 1es autres produits
é-tant nul.s-, où les scalaires S, y~ont rion tous deux nuls dans
K et a 'non nul dans K, \\, v, bldans K'v,é..rifient·la relation
3ay + Sb 1 i O.
3) uv = -vu = au + \\t , uw = -wu = yz , vw - wv = -aw + vt , vt =
= -tv = aIt + bIz , vz = -zv = aZ, tous les autres produits
étant nuls, où les scalaires a, y sont nori nuls dans K, al
dans K"--.{-2a}, \\, v, bl ~ K vérifient la relation 3ay i O.

---

... 38 ...
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type Z, il existe une base {u,v,w,t,z} de A,
3
où {t,z} est une base de N(A) telle que Z soit un générateur li-
bre de J(A,A,A), N(A) soit un idéal abélien de A et uJ(u,v,w) =
= a , vJ(u,v,w) = aJ(u,v,w) où a est non nul dans K, wJ(u,v,w) =
= O. Il en résulte que uz = 0, vz = aZ , wz = O. Comme t est dans
N(A), on a (wt)u = w(tu), aut + (vt)u + (tu)v = 0, ~awt + (wt)v +
+ (tv)w = O. Ainsi, pour ut = at + bz , vt = aIt + blz , wt = azt+
+ bZz , on a aZb = ab Z ' aat + (Zab ~ alb + abl)z = a 1 ~aazt +
+ (-2ab
=
Z - aZb l + albZ)z = a et, par suite a = aZ
0, b(Za ... al):
= a , b (Za - al) = O. Donc ut : bz , wt = b
2
2z, Comme uw parcourt
N(A), alors uw = st + yz da a, y sont dans K, Nous distinguons
les deux cas suivants :
1er cas. Si uw = a , alors J(u,v,w) = (~ÀbZ -, Vb)z avec -;\\b Z ~
... vb ~ 0, où uv = au + Àt + ~z , Vw = -aW + vt + nz. Supposons
2a - al ~ 0, alors b = b = a
Z
et, par suite Aest une algèbre de
Lie ce qui est absurde. Il en résulte donc que al = Za et les sca-
laires b, b sont non tous deux nuls, Comme
Z
~, n n'interviennent
pas dans l es cal cu l s, nous poserons ~ = n : O. Nous obtenons donc
uv = au + Àt , uw = a , ut = bz , uz = a 1 vw = -aW + vt , vt =
= Zat + blz , vz = aZ , wt = b2z , wz = a , tz = a où les scalai~
res b, b2 sont non tous nul s dans K, v, À, bl dans K vérifi ent -Àb -
Z
... vb ~ O.
Zème cas. Supposons uw F 0, alors l'un au moins des ensembles
{t,uw}, {z,uw} est libre. Si {t,uw} est libre, on a uw = St + yz
avec y non nul dans K et, rar suite J(u,v,w) = S(Za + al)t +
+ (3ay - ;\\b Z ... vb + Sbl)z entraîne S(Za + al) = a et 3ay - Àb ~
Z
... vb + Sbl ~ O. Il en résulte donc les relations o(Za ... al) = 0.oZ(2a-a l )=0
et B(Za + al) = O. Ainsi, en remarquant que 2a + al et 2a - al
sont non tous deux nuls dans K, on obtient:
1) uv = au + Àt , uw = St + yz , ut = a , uz = a • vw = -aw + vt,
vt = -Zat + blz , vz =aZ , wt = 0 , wz = a , tz = o où 1es
scalaires a, S, y sont non nuls dans K et À, v, bl dans Kvé-

---

- 39 -
rifient la relation 3ay + Bb
f
l
0,
II) uv : au + Àt , uw : yz , ut : bz , u~ : 0 , vw : -aw + vt t
vt : Za t + b1z , vZ : az , wt : bZz .' wz = 0
tz: 0 où les
scalaires b, b sont non tous deux nuls dans K et a, y non
Z
nuls dans K, X, v, b dans K vérifient 3ay - Àb
l
Z - vb f O.
II 1) uv = au + Àt , uw = yz , ut = 0 , uz : 0 , vw = ... CM + vt,
vt=alt+blz , vz = az , wt = 0 , wz = 0 , tz = 0 où 1es
scalaires a, y sont non nuls dans K et À, v, al' b dans
l
K
vérifient la relation 3ay f 0,
Si {z,uw} est libre, on a uw'= St + YZ avec B non nul
dans K et, par suite al = ~Za, b = b =
Z
0, Il s'ensuit donc que
uv = au +Àt--;-UW-~-Bt+yz:- ut-;--Ü-,-- uz = 0 , vw= .,aw + vt,
vt = -Zat + blz , vz = aZ , wt = 0 , wz = 0 , tz = 0 où les sca.,
laires a, S sont non nuls dans K et X, y, v, Dl dans K vérifient
la relation 3ay + Sbl f 0,
En conclusion, il existe sur A l lune des structures é...
noncées dans le théorème,
Exemple Z.4.37. Soit A une algèbre de dimension S sur ~n corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relative-
ment à une base {el,eZ,e3,e4,eS} est donnée par ele
= el' ~le3 =
Zz
= eS' el e4 : eS' e3eZ = e3, eZe4 : Ze4,eZe =
S
eS' e
= 0 (1 : l,
i
Z,3,4,S), e.e. = -e.e. (i,j = 1,Z,3,4,S), tous les autres oroduits
1 J
J l
'
étant nuls. On vérifie que A est une algèbre de Malcev non de Lie
de la classe M et de type Z.
3
Exemple Z.4.38. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication par rap-
port à une base {el,eZ,e3,e4,eS} est donnée par eZe l = el' ele3 :
= e4, eZe3 = e3, eZe4 = Ze4, eSeZ = eS' e; = a (i : 1,Z,3,4,5),
eiej = -ejei (i,j = 1,Z,3,4,5), tous les autres produits étant
nuls. On vérifie que A est une algèbre de Malcev non de Lie de

---

- 40 -
la classe M et de type Z.
3
Théorème 2.4.39. Soit A une algèbre de dimension S ~ K.' .~i l'en-
semble {z,uw} et l'un au moins des ensembles {t,ut}, {t,wt} sont
. . .c
(
, Q
t
~
libres, alors res assertipns suivantes sont équivalentes: 1) A
est une al gèbre de Mal cev non de Li e de 1a cl asse 1~3e.t de type
Z, 2) la caractéristique de K'est 2 et il existe sur A'la struc-
i
- .
.
•
ture suivante
uv = vu = au + Àt + ~Z , uw = wu = St + yz , ut =
= tu = bz , vw = wv = aw + vt + nz , vt = tv = b1z , vz = zv = aZ,
wt = tw = b2z, tous les autres produits étant nU)J;'oO les scalai~
res b, b2 sont no,!! tous deux nuls dans K.~. a, 13 n~on nuls dans K,
À, v, y, b1 dans Kv~rifi~.n.t la relation ay t Àb2 + vb t sb1 f O.
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type Z, alors N(A) est un idéal abélien de A,
3
Z est un générateur libre de J(A,A,A) et uJ(u,v,w) = a , vJ (u,v,
w) = aJ(u,v,w) 00 le scalaire a est non nul dans K, wJ(u,v,w) = O.
Il en résulte que uz =0 , VZ = aZ , wz = O. Puisque t parcourt
N(A), on a J(u,v,t) = J(u,w,t) = J(v,w,t) = 0, Ainsi, pour ut =
= at + bz , vt = aIt + blz, wt = a2t t b2z , on a Q2b = b2a 1
aat + (2ab - a1b + abl)z = 0 , -aa2t t (-2ab2 - a2bl + alb2)z = 0
et, par suite a = a2 = 0, b(2a - al) = a , b2(2a - al) = 0, Donc
ut = bz, wt = b2z. Puisque l'un au moins des ensembles {t,ut},
{t,wt} est libre, alors b, b2 sont non tous deux nuls dans K et,
par suite al = 2a. L'ensemble {z,uw} étant libre on a uw = st t
+ yZ avec 13 non nul dans K. Ainsi la relation 0 f J(u,v,w) =
= 4aSt + (3ay - Àb 2 - vb +
2
I3b1)z entraTne 4 = 0 dans K ou enco-·
re caractéristique de K est 2 et, par suite on obtient la struc-
ture énoncée dans le théorème. La réciproque est immédiate,
Exemple 2.4.40. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristiqu~ 2 dont la table de multiplication relativement
à une base est donnée par e
=
l e2 = el' e1e3 = e4, e1e4 = eS' e2e3
= e3, e2e4 = eS' e2eS = eS ' e~ = a (i = 1,2,3,4,S), eie = eje;
j
(;,j = 1,2,3,4,S), tous les autres produits étant nuls. On véri-
fie que A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M3
et de type Z.

---

,
,
- 41 -
Théorème 2.4.41. Soit (u,v,w,t,z} une base d'une algèbre de di-
mension S s,ur un corps de caractéristique 2, Si l'ensemble
{t,uw} et l'un au'moins des ensembles {t,ut}, {t,wt} sont libres,
,
alors A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M et
3
de type Z si et seulement si il existe sur A'la structure suivan-
te uv = vu = au + Àt + ~z , uw = wu = St + yz , ut = tu = bz ,
vw = wv = aw + vt + nz , vt = tz = b1z , vz = zv = az , wt = tw =
= b2z , tous 'l;s ~utres produits étant nuls, op les s~alaires b,
b2 sont 'non, t?US deux nul~ dans K!!., a, y non nuls daf......s K, À, ~,
S, v, n, b dans K vérifient la relation ay
1
+'Àb
+ vb + Bb
f O.
2
1
Exemple 2.4.42. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
de caractéristique 2 dont la table de multiplication relative~
"
ment à une base {el,e2,e3,e4,eS} est donnée par el e2 = el! el e =
3
= eS' e2e3 = e3, e2eS = eS' e3e4 = eS' e~ = a (t = 1,2,3,4,S),
e.e. = e.e. (i,j = 1,2,3,4,5), tous les autres produits étant
l
J
J l
nuls. On vérifie que Aest une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type Z.
3
Le~me 2.4.43. Soit A une algèbre de Malcév non de Lie'de la'clas-
~ M et?e type T (re~pectivemént Z); ~e~ ~ssertions suivante;
4
sont vraies dans A ; a) uv + av 6 N(A) , b) uw + aW 6 N(A), c)
... c
l '
vw 6 N(A).
Théorème 2.4.44. Soit A une algèbre de dimenstonS sur un corps
' , '
~
._.1(
4 4
.
"
.c.<
.
;.
<HW_,
. " < .•.
\\ . . '.<" .. 4'
commutatif Kde'caractéristique 'zéro;' les assertions 'suiVante~
. ".
<.ze; -1(.
4
C
. . "
1(
<
sont équivalertes ~ a) A esE une al~èbre de 'Malcev 00n de lie de
l a cl a~se M4 et, de, typ~ T, b) n, ~x,i.ste sur A.1.' une de: stru~tu:-­
res suivantes; 1) uv = -vu = .,.av + ~z , uw = -wu =-o.w +"nz ,
ut = -tu = at , uz = -zu = at - 2az , VW = -WV = Bt + yz) tous
',<
,.
les autres produits étant nuls, 00 les scalaires S, y'sont non
" .,
... '
tous deux nul s dans K et a non nul dans K, ~, n, a-'dans /('véri-
fient la relation 3aS + ya f 0,
--
2) uv = -vu = -av + ~z
uw = -wu = -aw + nz , ut • -tu = at
uz = -zu = at + 2az
vw = -wv = st , vz = -zv = aIt
wz =

---

- 42 -
= -zw = a t , tous l es autres
2
produ~its étant nul s, où l es sca-
laires al' a2 sont non tous deux nuls dan~ K et a ~on nul dans
K, )1, n, a , S dans K vérifient la relation -3aS .,. )1a
+ nal f. O.
2
3) uv = -vu = -av + )1Z , uw = -wu = -aw + nz , ut = -tu = at ,
uz = -zu = at + bz , vw = -wv = st, tous les autres produits
étant nuls, où l;s scalaires a, S sont non nuls dans K~ b
dans K'{-2a},)1, n, a dans K v~rifient la relation -3aS f. O.
Exemple 2.4.45. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relati-
vement à une base {el,e2,e3,e4,e5} est donnée par e1e2 = e2,
e e
= e , e
1 3
3
1e4 = -e4, e1e5 = e4 + 2e 5, e2e3 = e4, er = 0 (i =
= 1,2,3,4,5), eiej = -eje (i,j = 1,2,3,4,5), tous les autres
i
produits étant nuls. On vérifie que A est une algèbre de Malcev
non de Lie de la classe M et de type T.
4
Exemple 2.4.46. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication par rap-
port à une base {e1,e2,e3,e4,e5} est donnée par e1e
=
2 = e2, e1e3
= e3, e e
, e
-2e
1 4 = -e4
1e5 = e4
5, e2e3 ='e4, e2e5 = e4, et = a
(i = 1,2,3,4,5), e.e. = -e.e. (i,j = 1,2,3,4,5), tous les autres
l
J
J l
produits étant nuls. On vérifie que A est une algèbre de Malcev
non de Lie de la classe M et de type T.
4
"
Théorème 2.4.47. SO,i,t {u,v,w,t,z} une base d'une a19èbre de'di-
mension 5 sur K. St l'ensemble {t,Vw} 'et l'un au moins des en.,.
~
....
:::.
\\
sembles {Z,VZ}, {z,wz} sont libres; alors les a~sertions suivan-
tes sont équivalen~es : 1) A est une algèbre de Malcev non -de ..
Lie de la classe M4 et de type T, 2) la caractéristique de K-e;t
2 et il existe sur A ta structure suivante
uv = vu = aV + \\t +
+ )1Z , uw = wu = aW + vt + nz , ut = tu = at , uz = zu = at ,
vw = wv = st + yZ , vz = zv = a1t , wz = zw = a2t , tous les au-
tres produits étant nuls, 'où les sCalaires al' a2 Sont non tous
deux nuls dans K et a, y 'non nuls dans K, )1, \\, v, n, a,S dans
K vérifient la relation aB + )1a 2 + nal + ya r O.

---

- 43 -
Exemple 2.4.48. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristique 2 dont la table de multiplication relative-
ment à une base {e1,e2,e3,e4,eS} est donnée par e1e2 = e~~
e e
= 0
1 3 = e3, e1e4 = e4, e1eS = e4, e2e3 = eS' e2e5 = e4, ei
(i = 1, 2,3 ,4 , 5), e. e. = e. e. (i, j = 1J 2,3 ,4 ,S) J to us les au t r es
, J
J '
produits étant nuls. On vérifie que A est une algèbre de Malcev
non de Lie de la classe M et de type T,
4
Théorème 2.4.49. Soit {u,v,w,t,z} une base d'une algèbre de di-·
mension 5 sur 'un 'cOtps de caractéristique 2, ~i l'ensemble
•
J
+ C : '
Q
...
{z,vw} et l'un aΠmoin~ des ensembles {z,vz}, {z,wz} sont libtes,
.
-
"
.
(
alors A es t un~ algèbre, de Ma l cev non de Lie de l a.~ l ~ss~< ~1{!!..
de type T si 'er ~eùlemént st il exiSte sur Pt la '~trUcture ~u,<van­
te
uv = vu = av + \\t + ~z , uw = wu = aw + vt + nz , ut = tu =
= at, uz = zu = a~ ,.vw~,= wv = Bt + yZ ,v z = ~v: aIt. wz ="
= zw =a 2t • tClUS ,les.~a~1t!es ptod~its étant nU'l<s,'?ù les scalai-
res al' a2 sont 'non tous deux nUl s dans K et Ch Sn.on nul s dans
K, \\, ~, v, n, a dans Kvérifient la relatto~ aB + ~a2 + n~l +
+ ya F O.
Exemple 2.4.50. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristique 2 dont la table de multiplication par rapport
à une base {e1,e2,e3,e4,e5} est do~née pa~ e1e2 = e2, e1e =
3
e3,
e
=
= a
1e4 = e4, e2e3
e4, e2e5 = e4, e
(1 = 1,2,3,4,5), eie
i
j =
= eje
(i,j = 1,2,3,4,5), tous les autres produits étant nuls,
i
On vérifie que A est une algèbre de Malcev non de Lie de la clas-
se M et de type T,
4
Théorème 2.4.51. Soit A une algèbte de di.menston 5--·'sur un corps
",
..
(
'~'
". .
....
commutatif de 'c~ractér~~tque zéro .-A2.ors l es assertions suivan-
tes sOnt 'équivalentes : a) A est Une algèbre dé MalCev non 'de
Lie de la classe M4 et de type Z, b) il existe sur Al'une des
structures suivantes :
1) uv = -vu = -av + \\t
uw = -aw + vt = -wu, ut = -tu = -2at +
+ bz, uz = -zu = az
vw = st + yZ = -wv, tous les autres

---

- 44 -
produits étant nuls, où les,scalaires S, y sont non tous deux
nuls dans Ket a non nul dans K, A, v, b dans K vérifient la're-
lation +3ay + Sb f O.
2) uv = -vu = ,-av + At, uw = -wu = -aw + vt , ut = -ut = 2qt +
+ bz , uz = -ZU = az , VW = -wv = yz , vt = -tv = b1z , wt =
= -tw = b z, ~?~s(]es autres produits étant nUJs; 09 les sca-
2
lai res b , b sont non. to~s deux nul s dans K et a -non nul dans
l
2
K, A, v, y, b dans K v~:ifient la relati'on -3c:'Y - Âb 2 + vbl f O.
3) uv = -vu = -av + At , uw = -aw + vt = -wu , ut = -tu = at +
+ bz , uz = -zu = az , vw = -WV = yz,t?US lès autr~s produfts
étant nuls, 00 les scalaites a, y'~ont non nuls dans Ket A,
. •
q ;
"
4 "
~
v, b dans K, a dans K......{.,.2a} vérifient la re1ati'on 3œl' ;. O.
Exemple 2.4.52. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relati-
vement à une base {el,e2,e3,e4,e5} est donnée par el e2 = e2,
e
=
=
=
l e3
e3, ele4 2e4 + e57 e1e5 = -e57 e2e3 e4, e~ = 0 (i = 1,
2,3,4,5), e.e. = -e.e. (i,j = 1,2,3,4,5), tous les autres pro-
l
J
J ,
.
duits étant nuls. On vérifie que A est une algèbre de Malcev non
de Lie de type Z.
'Théorème 2.4.53. Soit {u,v,w,t,z} 'une base d'une algèbrè de di.
~
•
q~
mension 5 sur K. Si l'ensemble {z,vw} et l'un au moins des en~
-
; ,
" " ,
~
..
sembles {t,vt}, {t,wt} so~tlibres;alors A est une àlgèbre'de
Ma l cev non de Lie de l a cl asse M et de type Z's1.. et seul ement
4
si la caractéristigue de K est 2et il existe sur A la structu-
re suivante uv = vu = av + At + ~z , uw = wu = aw + vt + nz,
ut = tu = bz , uz = zu = az , vw = wv = st + yZ, vt = tv = blz,
wt = tw = bZz, tous l es autres produits étant nul s, 'o~ lès sta-
laires bl , b sont non tous deux nuls dans Ket a, S non nuls
Z
dans K, A, ~, v, n, b, y dans K vérifient la re1ati'on ay + Ab
+
2
+ Sb + vb l f O.
Lemme 2.4.54. Soit A Une algèbre de Malcev non de Lie de dimen-

---

- 45 -
sion 5 sur K. ~ A est de la classe M5 et de type T (~'espective­
ment Z), alors les assertions suivantes sont vraies dans A : 1)
uv - au 6 N(A), 2) uw - Su 6 N(A), 3) vw - Sv + aw 6 N(A) "00 les
scalaires a, S sont non nuls dans K.
Théorème 2.4.55. Soit A une algèbre anticommutative de dimension
5 sur un corps commutatif de caractéristique zéro. ·~2.ors les as-
sertions 'suivantes sont équivalentes: a) A est une algèbre de
Malcev non de Lie de la classe M et de type T, b) il existe sur
5
A l'une des structures suivantes: 1) uv ;::: au , uw ;::: Bu + vt,
ut ;::: 0 , uz ;::: at , vw ;::: Sv - aw + yz , vt = at , vz ;::: aIt + 2az,
wt ;::: st , wz ;::: a2t + 2Bz , tz ;::: 0 00 les scalaires v~ y:n?n ~ous
deux nuls dans K, a, B non nuls dans K-"et a, al' aid~ns Kvéri-
fient la retatton 3av ~ ya f O.
2) uv ;::: au , UW ;::: Su + vt + nz , ut ;::: 0 , uz ;::: 0 , vw ;::: Sv - aw +
+ yz , vt ;::: at , vz ;::: aIt - 2az , wt ;::: St , wz ;::: a2t - 2]3z ,
tz ;::: 0'00 tes scalaires v, n non tous deux nuls dan! K, a, S
nOn nuls dans K et y, al' a2"~ K yérifient les relations
sal ;::: aa 2 ' 3av + nal F 0,
3) uv ;::: au , uw ;::: Su + vt
ut;::: 0 , uz ;::: 0 , vw = Sv - aw + yz,
vt ;::: at"'; vz ;::: aIt + blz , wt ;::: st , wz ;::: a t + b
2
2z , tz ;::: 0
00 les scalaires a""S, \\! non nuls dan? K, b{d~ns K\\{-2a,2a}
et y, al' a2, b2 ~a~s K vérifient les relati?n~ Sbl ;::: ab2 ,
aa Z ;::: saI ' 3av f O.
4) uv ;::: au + Àt + llZ , uw ;::: Bu + vt + nz , ut ;::: 0 , uz ;::: at
vw ;::: Sv - aw + yz , vt ;::: at , vz ;::: aIt + 2az
wt ;::: St
wz ;:::
,
;:::
a2t + ZBZ , tz ;::: 0 où 1es scalaires À, jl non tous deux nuls
..'
dans K, a, S non nuls dans K et v, a, y, al' a;t",dans K véri-
- -
fient les relations an ;::: Sll , 3av - 3BÀ - lla 2 ," ya + nal f 0,
5) uv ;::: aU + Àt + llZ , uw ;::: Su + vt + nz , ut ;::: uz ;::: 0 , vw =
;::: Sv - aw + yZ , vt ;::: at , vz ;::: aIt - 2az
wt;::: Bt , wz ;:::
;::: azt - 2sz , tz ;::: 0, où les scalaires, À, II non tous deux nuls

---

- 46 -
dans K, a, S non:nüls dans K et v, n, '(, al' aZ dans K vérifient
les relations sai = aa Z' 3av .,. 3S~ ~ uaZ + nal ~ O.
6) uv = au + ~t + UZ , uw = Su + vt + nz , ut = zu = 0 , vw =
= Sv - aw + y.z
vt = at , vz = aIt + b1z , wt ~ St , wz =
= azt + bZz i tz = 0 00 les scalaires ~, u non tous deux nuls
dans K, a, 6 non~nuls dan~K, bl ~ K'[",Za,Za} ~ v, n, '(,
al' aZ' bZ dans K vérifient Bal = aaZ,an = Bu, 3av - 3s~ .,.
- uaZ + nal ~ O.
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe MS et de type T, il existe une base {u,v,w,t,z} de A,
avec [t,z} base de N(A), telle que N(A) soit un idéal abélien de
A, t est un générateur libre de J(A,A,A) et uJ(u,v,w) = 0, vJ(u,
-- ----------------v-;-wf-=-CZJ(u;v;wf,- wJ (u, v, w) = BJ (u, v, w) où les scala ires a, B
sont non nuls dans K. Il en résulte donc que ut = 0, vt = at,
wt = st. Puisque z parcourt N(A), on a auz + (vz)u + (zu)v = 0,
Buz + (wz)u + (zu)w = 0, svz - awz + (wz)v + (zv)w = O. Ainsi,
pour uz = at + bz, vz = aIt + blz , wz = azt + bZz, Qn a Bbl =
ab 2, a(Za - bl ) = 0, a(ZB - bz) = 0, b = 0, al(ZB .,. bz) - az
(Za - bl ) = O. Donc uz = at. Comme uv .,. aU est dans N(A), alors
uv - au = ~t + uz où À, u sont dans K. Nous distinguons les deux
cas suivants
1er cas. Si uv - au = 0, alors J(u,v,w) = n(Za t bl)z + (3av -
- ya + na 1) t où uw = Su + vt t IlZ , VW = Sv .,. CM + Qt + yz.
Puisque A est une algèbre de Malcev non de Lie de type T, on a
n(2a + bl ) = 0 et 3av .,. ya t nal ~ 0 dans K. Ainsi, en remar.,.
quant que Za + bl et Za .,. bl sont non tous deux nuls dans K. on
obtient :
1) uv = au , UW = Su + -V t , ut = 0 , uz = at , vw = Sv - aw +
+ yz , vt = at , vz =- aIt + ZaZ , wt = st , wz = azt + Z~z 1
tz = a où les scalaires v, '( non tous deux nuls dans K, a, B
non nuls dans K et a, al' aZ dans K vérifient la relation
3av - ya # O.

---

- 47 -
2) uv = au , uw = Su + vt + nz , ut = a , uz = a , vw = Sv - aw +
+ yz , vt = at , vz = aIt - 2az, wt = St , wz = a t - 2Bz ,
2
tz = a où les scalaires v, n non tous deux nuls dans K, a, B
non nuls dans K et y, al' a2 dans K vérifient les relations
Bal = aa 2 ' 3av + nal f O.
3) .uv = au , uw = Su + vt , ut = a , uz = a , vw = Sv - aw + yz,
vt = at, vz = aIt + blz , wt = st , wz = a2t + b2z , tz = 0,
où les scalaires a, S, v non nuls dans K, bl dans K'{-2a,2a}
et y, al' a2, b2 dans K vérifient les relations Sb} = ab2 '
aa 2 = saI ' 3av f O.
2ème cas. Supposons maintenant uv - au f 0, Alors l'un au moins
des ensembles {t,uv-au}, {z,uv-ûu} est libre. Il en résulte donc
que uv = au + Àt + ~z avec À, ~ non tous deux nuls dans K et,
par suite J(u,v,w) = (3av - 3SÀ .. ~a2 - ya + nal)t + [n(2a + bl )-
- ~(2B + b2)]z entraîne, puisque A est non de Lie et de type T,
les relations n(2a + bl ) - ~(2B + b2) = a , 3av - 3SÀ - ~a2 .. ya +
+ nal f a dans K. Ainsi, en remarqwant que 2~ + bl et 2~ - b non
I
tous deux nuls dans K entraîne 2S + b2 et 2S - b2 non tous aeux
nuls dans K, on obtient:
4) uv = au + Àt + ~z , uw ~ Bu + vt + nz , ut = a , uz = at ,
vw = Sv - aw + yZ , vt = at , vz = aIt + 2û z , wt = st , wz =
= a t + 2sz , tz = a où les scalaires À,
2
~ non tous deux nuls,
a, S non nuls dans K et v, a, y, al' a2 dans K vérifient les
relations an =S~, 3av - 3s" .,. f.la2 .. ya + na l f 0,
5) uv = au + Àt + f.iZ , uw = Su + vt + nz , ut = a , uz = a , vw =
= Bv - aw + yz , vt = at , vz = aIt .. 2az , wt = st , wZ = a2t -
- 2sz, tz = a où les scalaires À, ~ non tous deux nuls dans K,
a, S non nuls dans K et v, n, y, al' a2 dans Kvérifient les
relations saI = aa 2 ' 3av - 3SÀ - ~a2 + nal f 0,
6) uv = au + H+ ~z , uw = Su + vt + nz , ut = a , uz = a , vw =
= Sv - aw + yZ , vt = at , vz = aIt + b1z , wt = st , WZ = a t +
2
+ b z, tz =
2
0, où les scalaires À, ~ sont non tous deux nuls

---

- 48 -
dans K, a, B non nuls dans K et v, n, y, al' b , a
dans K et b
2
2
l
dans K'{-2a,2a} vérifient les relations Bal = aa
,an =S~, 3av -
2
- 3B\\ - ~a2 + na1 f O.
Réciproquement supposons qu'il existe une base {u,v,w,
t,z} de A telle que A soit définie par l'une quelconque des struc-
tures énoncées dans le théorème. Alors t est un générateur libre
de J(A,A,A) et uJ(u,v,w) = 0 , vJ(u,v,w) = aJ(u,v,w), wJ(u,v,w) =
= BJ(u,v,w) où les scalaires a, B sont non nuls dans K. On véri-
fie que A est une algèbre de Malcev non de Lie dont le J~noyau
est un idéal abélien de A admettant {t,z} comme base, Il en ré-
sulte dcnc que A est de la classe Ms et de type T.
Exemple 2.4.56. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relati-
vement a une base {e1,e2,e3,e4,eS} est donnée par e1e2 = el'
el e3 = el + e4, ~2e3 = e~ =e3, .e~e4 = e4, e2eS = e4_+ 2eS'
e3e4 = e4, e3eS - 2eS' e - 0
i
(1 - 1,2,3,4,5), eie j - -ejet
(i,j = 1,2,3,4,5), tous les autres produits étant nuls. On vé-
rifie qu: A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe MS
et de type T.
Théorème 2.4.57. Soit A une ?19èbre anti~cmmutative d~ dimension,
5 sur ~n corps ~~ caractéristigue zéro. Les assertions sOivantes
sont équivalentes ; a) A est une,alsèbre de Malcev no~ de Lie ~e
la classe Ms et de type Z, b)tl éxi~tésur A'l'urie des structu-
res suivantes ;
1) uv = au , UW = Su + nz , ut = bz , uz = 0 • vw = Sv - aw t ot,
vt = 2at + bIz , vz = az , wt = 2Bt + b z
2
, wz = Bz , tz = 0
où les scalaires n, ô non tous deux nuls dans K, a, B' 'non nuls
..
,-
dans K et b , b , b dans K vérifient la relation
I
2
3an - ob f O.
2) uv = au , uw = Bu + vt + nz , ut = 0 , uz = 0 , vw = Sv - aw +
+ ot , vt = -2at + b z , vz = az , wt = -2Bt
z , wz = sz ,
1
+ b2
tz = 0, où les scalaires v, n non tous deux nuls dans K, a, B
non nuls dans K et 0, bl , b2 ~ K vérifient les relations

---

- 49 -
3) uv :::: au , UW :::: Su + vt + nz , ut :::: 0 , UZ :::: 0 , vw :::: Sv - aw +
+ 6t , vt :::: aIt + blz , vz :::: az , wt :::: azt + bZz , wz :::: Bz ,
tz :::: 0 où les scalaires a, S, n non nuls dan.s K, al '~.
K,{-Za,Za} , bl , bZ' aZ' 6 d?ns K vérifient les relations
saI:::: aa Z ' ab Z :::: Sb l ' 3an i O.
4) uv :::: au +.\\t + }..lz , UW :::: Su + vt + nz , ut :::: bz , uz :::: 0 ,
vw :::: Sv - aw + 6t , vt :::: Zctt + blz , vz :::: ctZ , wt :::: ZBt +
,.
+ bZz , wz :::: SZ , tz :::: 0 où les sCa htres À, j:1non tous deux
(
. . q
nuls dans K, a, 6 'non nuls dans K!!: v, n~ 8, bl' bi d.ans K
vérifient les rel aHons av :::: ÀB, 3an .,. 3Bfl - Àb? - bo + b \\!
l
f O.
5) uv :::: au + Àt + flZ , UW :::: Su + vt + nz , ut :::: 0 , UZ :::: 0 ,
vw = Sv - aw + St , vt = ~.2at + b1z , vz ~ az , wt = ~2St +
+ bZz , wz :::: Bz , tz :::: 0 où les scalaires À, ~'non tous deux
nuls dans K, a, S no~ nuls dans K~ v, n, 8, bl' b{??n,s K
vérifient les relations 6bl :::: ab Z ' a\\! :::: BÀ, 3ctn -,,3Bfl .,. ÀbZ +
+ blv 1- O.
6) uv :::: au + Àt + flZ , uw :::: Bu + \\!t + nz , ut :::: 0 , UZ :::: 0
VW :::: Sv - aw + 8t , vt :::: alt + blz 1 VZ :::: aZ
wt:::: azt +
+ bZZ , wz :::: SZ , tz :::: 0 où les scalaires À, fl non tous deux
nuls dans K, a, 6nQ~" n~ls dans K, al ?a~s K\\{-,Za,Zèd ";!. v,
n, 6, bl' aZ' bZdans K vérifient les 'relations Bal:::: aa Z '
ab Z :::: Sbl ' a\\! :::: ÀS
3an .... 3Sfl .,. .\\b Z t Dl\\! ;. 0,
Exemple Z.4.58. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication par rap-
port à une base {el,eZ,e3,e4,eS} est donnée par ele Z :::: el + e4,
ele3 :::: el + e4, eZe3 ::::, eZ - e3, e e
e
:::: 2e
Z 4 :::: Ze4, eZeS :::: eS' e3 4
4-
- eS' e3eS :::: eS' e? :::: 0 (i :::: 1,2,3,4,5), e.e. :::: -e.e. (i,j :::: 1,
l
l
J
J l
Z,3,4,5), tous les autres produits étant nuls. On vérifie que A
est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe MS et de type
Z.

---

- 50 -
Lemme 2.4.59. Soit A une algèbre de l'~alcev non de Lie de dimen-
sion 5 sur K. ~ A est de la classe M6 .e.t. de type T (respective-
ment Z), alors les assertions suivantes sont vraies dans A : a)
uv f av G N(A), b) uw - Su + aw G N(A), c) vw - Sv G N(A) où les
scalaires a, S sont non nuls dans K.
Théorème 2.4.60. Soit A une a19èbre anticommutative de dimension
5 sur un corps commutatif de catactéristigue zéro. Alors les'~s­
sertions suivantes sont équivalentes; a) A est une algèbre'de
.
'"
•
'.',
==4"
Malcev non ,de Lie de la classe M6~~de type Tt b)"!, existe sur
A l'une des structures suivantes;
1) uv ~ - av + ~t , uw = Bu - aw + nz
ut = at , uz ~ at + 2az,
vw = Bv , vt = 0 , vz = aIt, wt = Bt , wz = azt + 2sz , tz =
= Ooù les scalaires ~, n ITon tous deux nuls dans K, a, Sn?n
nuls dans K!! a, al' a2 dans Kyérifient la relation -3s~ +
+ nal ~ O.
2) uv = -av + ~t + ~z , uw = Bu - aw + nz , ut = at , uz = at -
- Zaz , vw = Sv , vt ~ 0 ~ vz = 0 , wt = St , wz = azt - 2BZ,
tz = 0 où les scalaires ~, ~ n?n tous deu~ nuls dans K, a, B
non nuls dans K!!.n, a, aZ dansK'vérifient les relations
Ba = aa 2 ' 3s~ + ~a2 f O.
3) uv = -av + ~t , uw = Su - aw + nz , ut = at , uz = at + bz
vw = Sv , vt = 0 , vz ~ 0 , wt = st , wz = azt + bZz 1 tz = 0
où'le,s scalaires a, S, X~?n nùls dans K,.b2d~ns K\\{-2S,ZS}
et a, b, aZ clans K vérifient les relations Sb = abz' Sa = aaZ'
3B~ f O.
4) uv = -av + ~t + wz , uw = Bu - aw + nz , ut = at , uz = at +
+ Zaz , vw = Sv + ot + yz , vt ~ 0 , vz = aIt, wt = st , wz =
= azt + 2Bz , tz = 0 où les scalaires y, 0 non tous deux nuls
dans K, a, S non nuls dans K et n, a, al' a dans K vétifient
Z
les relations ay = -~S, 3ao + 3s~ + ~a2 + ya - nal ~ O.
5) uv = -av + ~t + ~z , uw = Su - aw + nz , ut = at , uz = at -

---

· J.
'
- 51 -
- 2az , vw = Sv + ot + yz , vt = 0 , vz = a , wt = St , wz =
= azt - 2Sz , tz = a où les scalaires 0, y non to~s,deux nuls
dans K, a, S non nuls dans K et n, a, a? dans K~vérifient les
-
-
- -
< .......... '
relations Sa = aa Z ' 3ao + 3SÀ + ~aZ + ya f 0,
6) uv = -av + Àt + ~Z , uw = Su - aw + nz , ut = at , uz = at +
bz , vw = Sv + St + yz ,vt = a , vz = a , wt = Bt , wz = a t
2 +
+ bZz , tz = 0 où les scalaires 0, y non tous deux nuls 'dans
K, a, S non nuls dans K~ n, a, b, aZ ~a...ns K, bi'da~s_K '{-Z~,
ZS} vérifient Sb = ab z ' Sa = aa Z ' ay = -~S , 3aô + 3SÀ f 0,
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe M et de type T, il existe une base {u,v,w,t,z} de A,
6
avec {t,z} base de N(A), telle que N(A) soit un idéal abélien de
A, t est un générateur libre de J(A,A,A) et uJ(u,v,w) = qJ(u,v,w),
vJ(u,v,w) = 0 , wJ(u,v,w) = SJ(u,v,w) où les scalaires a, B sont
non nuls dans K. Il en résulte alors que ut = at • vt = a , wt =
= st. Comme z parcourt N(A), on a -aVZ + (vz)u t (zu)v = a •
Suz - awZ + (wz)u + (zu)w = a , Bvz + (wz)v + (zv)w = 0, Ainsi,
pour uz = at + bz , vz = aIt + blz , wz = azt + bzz, on a Dl = 0,
Sb = ab Z ' al(Za - b) = a , al(ZS - bZ) = 0, a(Z6 ~ bz) - az(Za -
- b) = a et, par suite vz = aIt. Comme vw • Sv est d~ns N(A), alors
vw - Sv = 8t + yZ où les scalaires &~ y sont dans K, Nous distin- 4
guons les deux cas suivants :
1er cas. Si vw - Sv = a , alors J(u,v,w) = (-36À - ~aZ + nal)t -
- ~(Z6 + bZ)z 00 uv = -av + Àt + ~z , uw = Su - aw + ut + nz,
Puisque A est une algèbre de Malcev non de Lie de type T, on a
~(Z6 + bZ) = a , -3BÀ - ~aZ + nal f a dans K, Ainsi, en remar-
quant que Zs - b et Z6
Z
+ DZ sont non tous deux nuls dans K, on
obtient
1) uv = -av +H , uw = Su - aw + nz , ut = at , uz = at + Zaz ,
vw = Sv , vt = a , vz = aIt , wt =6t , wz = azt + Z6z , tz = a
où les scalaires À, n non tous deux nuls,dans K, a, 6 non nuls
dans K et a, al' aZ dans K vérifient la relation -3SÀ + nal f O.

---

- 52 -
2) uv = -av + ~t + ~z • uw = Su - aw + nz • ut = at , uz = at _
-a2 z , vw = Sv , vt = 0 , vz = 0 , wt = st , wz = a t - 2Sz,
2
tz = 0 où les scalaires À, ~ non tous deux nuls dans K, a, 6
non nuls dans K et n, a, a2 dans K vérifient les relations
Sa = aa Z ' 36\\ + ~aZ 1 O..
3) uv = -av + ~t , uw = Bu ~ aw + nz , ut = at , uz = at + bz ,
vw = Sv , vt = 0
vz = 0 , wt = Bt , wz = azt t b z
2
1
tz = 0
où les scalaires a, e, ~ non nuls dans K, b dans K'...{..,2S,2S}
Z
et a,· b, aZ dans Kvérifient les relations Sb = ab ' Sa = aa ,
2
2
3S~ 1 o.
Z~me cas. Supposons vw - Sv 1 O. Alors l'un au moins des ensem-.
bles {t,vw-Bv}, {z,vw-Sv} est libre. Il en rés~_l_!~ __ d.~~_~__~~
_
vw - Sv = ôt + yz où les scalaires 0, y sont non tous deux nuls
dans K et, par suite J(u,v,w) = (-3ao - 3SÀ - ~aZ .., ya + nal)t _
- [y(Za + b) + jJ(2S + b2)]z, Comme A est une algèbre de Malcev
non de Lie de type T, alors y(2a + b) t jJ(Z6 + b ) = 0 et -3aô _
2
- 3SÀ - ~a2 - ya + na l f 0 dans K. Ainsi, en remarquant que
2S + b2 et 26 - b2 non tous deux nuls dans K entratne 2a + b et
2a - b non tous deux nuls dans K, on obtient
4) uv = -av + Àt + ~z , uw = Bu .., aw + nz , ut = at , uz = at +
2az , vw = Sv + ôt + yz , vt = 0 , vz = aIt, wt = Bt , wz =
= azt + 2(3z , tz = 0 00 les scalaires 0, y non tous deux nuls
dans K, a, S non nuls dans K et n, a, al' azdans K vérifient
les relations ay = ..,-8v, 3ao + 3SÀ + ).la
+ ya .., nal f O.
2
5) uv = -av + Àt + l1Z , UW = Su - aW + nz , ut = at , uz = at _
- 2az , vw = Bv + ôt + yz , vt = 0 , vz = 0 , wt = Bt 1 wz =
= a2t - 2sz , tz = 0 00 les scalaires 0, y non tous deux nuls
dans K, a, S non nuls dans K et n, a, a dans K vérifient les
Z
relations sa = aa Z ' 3aô + 3SÀ + ).la + ya # O.
Z
6) uv =-av + Àt + ).lZ , uw = Bu - aw + nz , ut = at , uz = at +
+ bz , vw = sv + ôt + yz , vt = 0 , vz = 0 , wt = st , wz =
= a2t + b2z , tz = 0 où les scalaires Ô, y non tous deux nuls

---

- S3 -
dans K, a, 6 non nuls dans K et n, a, b, a
dans K, b dans
Z
Z
K'd-Z6,Z(3hérifient les relations 6b = ab Z ' Sa = aa ,ay =
Z
= -~S, 30.0 + 36À f O.
Réciproquement s'il existe une base {u,v,w,t,z} de A
telle que A soit définie par l'une quelconque des structures ci-
dessus énoncées, alors t est un générateur libre de J(A,AjA) et
uJ(u,v,w) = aJ(u,v,w) , vJ(u,v,w) = 0 , wJ(u,v,w) = SJ(u,v,w)
où les scalaires a, B sont non nuls dans K. On vérifie que A est
une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M et de type T.
6
Exemple Z.4.61. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication relative-
ment a une base {el,eZ,e3,e4,eS} est donnée par ele
=
Z
~eZ + e4,
e1e =
3
el - e , e
3
1e4 = e4, e1eS = e4 + eS' eZe3 = eZ + eS' e3e4 =
= e , e e = e + eS' e~
4
3 S
=
4
0 (i = 1,Z,3,4,S), e.e. = .,.e.e. (i,j =
l '
1 J
J 1
= 1,Z,3,4,S), tous les autres produits étant nuls. On vérifie que
A est une algèbre de Malcev non de Lie de la classe M6 et de ty-
pe T.
Théorème Z. 4. 6Z. Soit A une algèbre anti commuta ti ve de dimens i'on
S sur un corps commutatif de caractéristique zéro,' Les assertions
'. <
suivantes'Sont équiva1ehtes : a) A est une algèbre de Malcev non
de Lie de'l? classe M6 et de typ~ Z, b) ~: existe sur k-l'une des
structures'sutvantes :
1) uv = -av + ~z , uw = Su - aw + vt , ut = Zat + bz
uz = az
VW = Sv , vt = b1z , vz = 0 , wt = ZSt + bZz
wz = sz
tz =
= 0 où les scalaires ~, v noh tous deux nUls dans K, a, sn?~
nuls dans K et b, bl' bZ d~~~ K vérifient la relation -38~ +
+ vb
f O.
1
Z) uv = -av + Àt + ~z , uw = 6u - aw + vt , ut = -Zat + bz
uz =
= aZ , VW = Sv , vt = 0
vz = 0 , wt = -Zst + bZz , wz = SZ
..
tz = o où les scalaires À, ~ noh tous deux nuls dans Kt a, S
non nuls dans K et v, b, bZ dans K vérifieht les relations
Sb = ab
,
Z
3S~ + Àb Z f O.

---

- 54 -
3) uv = -av + )lZ , UW = PU - Cl,W + vt , ut = at + bz , uz = Cl,Z ,
vw = Sv , vt = 0 , vz = 0 , wt = a2t + b2z , wz = Sz , tz = 0
où les scalaires a, B, )l non nuls dans K~ v, a, b, b2"~
K, a dans K'd -2s, 2S} vérifient les relations sa = aa
2
2
Bb = ab
,
2
3S)l f O.
4) uv = -av + ~t + )lZ , uw = Bu ~ aw + vt , ut = 2at + bz , uz =
=az , vw = Sv , vt = b1z , vz = 0 , wt = 2(3t + b2z , wz = (3z,
tz = 0 où ]es scalaire~ 0, y non tous deux nuls'd~ns K, a, 13
non nuls 'dans K, ~, v, )l, b, b , b
1
2 da~s K vérifient les re-
l.ations 00. = -S~, 3ay + 3S)l + ~b2 + ob .. vb1 f O.
5) uv = -av + ~t + )lZ , uw = Bu .. aw + vt , ut = -2at + bz , uz =
=aZ , VW = Sv + ot + yz , vt =.? ' vz = 0 , wt = ..2i3t + b2z ,
wz = sz , tz = 0 où les scalatres 0, y non tous deux nuls dans
.. "
,.
K, a, S non nuls dans K, À, )l, v, b, b2'~ Ky~ririent les
relations Sb = ab 2 ' 3ay + 3S)l + ~b2 + ob f 0,
6) uv = -a, + ~t + 1.1z , uw = Bu - aw + vt , ut = at + bz , uz =
=az , VW = Bv + ot + yZ , vt = 6 , vz = 0 , wt = a t
2 + b2z '"
wz = Sz , tz = 0 où les scalaires 0, y non tous deux nuls dans
K, b dans K,{ -2S ,2S} ,
2
a, B non nuls dans K et ~, )l, a, b,
.
c
.
......-.
1
a dans K Vérifient les relattons
,
2
sa = aa 2
Sb = ab 2, 0.0 =
= -6~ , 3ay + 361.1 f 0,
La démonstration de ce théorème étant analogue à celle
donnée dans le théorème 2.4.60, nous l'omettons,
Exemple 2.4.63. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
de caractéristique zéro dont la table de multiplication par rap-
port à une base {el,e2,e3,e4,eS} est donnée par e
=
=
1e2
-e 2, e1e3
= el - e3, e1eS = eS' e2e3 = e2 + e5, e3eS = eS' e~ = 0 (i = 1,2,
3,4,5), e.e. = -e.e. (i,j = 1,2,3,4,5), tous les autres produits
, J
J ,
étant nuls. On vérifie que A est une algèbre de Malcev non de Lie
de la classe M et de type Z.
6

---

- 55 -
Théorème 2.4.64. Soit A une algèbre anticommutative de dimension
5 sur un corps commutatif de caractéristique zéro. Les assertions
suivantes sont équivalentes: a) Aest une algèbre de Malcev non
de Lie de la classe M et de type T, b) il existe su~ A ] '~ne des
7
structures suivantes
1) uv ;:; Bu - av + ~z
uw;:; -aw , ut ;:; at , uz ;:; at + 2az , vw ;:;
;:; -Bw + ot , vt ;:; Bt , vz ;:; aIt t 2Bz , wt ;:; a t wz ;:; a t ,
2
tz ;:; a où les scalaires 0, ~ non tous deux nuls dans K, a, B
.
.
non nuls dans K!!. a, al' a2 dan: Kv~!ifient la relation
3w5 + 1-1a2 ~ O.
2) uv ;:; Bu - av + ~z , uw ;:; ·GW , ut ;:; at , uz ;:; at ~ 2qz , vw ;:;
;:; -Bw + ot + yz', vt = Bt , vz = aIt - 2Bz , wt = a , wz = a
tz = a où les scalaires 0, y non tous deux nuls dans K, a, 13
( '
"", .
non.lJuls 'dans K, ~, a, al da'n;>. K v~ifient les relations Ba =
= aa l ' 3ao + ya ~ O.
3) uv = Bu - av + ~z , uw = .aw , ut = at , uz = at + bz , vw =
= -Bw + ct , vt = St , VZ = a1t t blz ,.wt = a , wz ;:; a ,
tz = a où les scalaires a, B, 6 non nuls dans K, b dans
_
•
(
".
<
. " . .
.
4_
'~.
K\\{-2a,2a} et 1-1, a, al' bl?~ns K vérifient les relations
Sb = ab l ' Ba = aal ' 3a& t O.
4) uv = Bu - av + )JZ , uw = -aw + vt + nz , ut = at , uz = at +
+ 2az , vw = -ew t ct + yz ,. vt = Bt , vz = aIt t 26'z
wt =
= a , wz = a t , tz = a où 1es scalaire;; v, Il '. non tous deux
2
nuls dans K, a, 13 non nuls dans K!! ~, a, Ô, y, ai~K
vérifient les relattons Sn = ay, 313v - 3ao - ~a - ya t nal ~ O.
2
5) uv = Bu - av + ~z , uw = -aw + vt + nz
ut = at , uz = at -
- 2az , vw = -Bw + ôt + yz , vt = st , vz = aIt - 2f3z , wt =
= a , wz = a , tz = a où les scalaires v, n non tous deux nuls
dans K, a, 13 non nuls dans K et ~, a, ô, y, al dans K vérifient
- -
les relations Ba = aa
,
l
3Bv - 3aô - ya + nal f O.
6) uv = Bu - av + ~z , uw = -aw + vt + nz , ut = az , uz = at + bz,

---

- 56 -
vw = -Sw + ct + yz , vt = St , vz = aIt + blz , wt = 0 , wz =
= 0 , tz = 0 00 les scalaires v, nen?n tous deux nuls dans K,
a, S non nu1~ d,ans K, bl ?a.ns K,,{-ZS,ZS}~t]J, a, b, Ô, y,
al dans K vérifient les relations Sb = ab l ' Ba = aa l ' Sn =
= ay, 3Bv - 3aô f O.
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe 1\\1
et de type T, il existe une base {u,v,w,t,z} de A,
7
avec {t,z} base de N(A), telle que N(A) soit un idéal abélien de
A, t est un générateur libre de J(A,A,A) et uJ(u,v,w) = aJ(u,v,
w); vJ(u,v,w) = BJ(u,v,w) , wJ(u,y,w) = 0 00 a, 13 sont des sca-
laires non nuls dans K. Il en résulte alors que ut = at , vt =
= st, wt = O. On vérifie que uv - Su + av , uw + aW , vw + Sw
sont respectivement dans N(A). Puisque Z parcourt N(A), alors
suz - aVZ + (vz)u + (zu)v = 0 , ~aWZ + (wz)u + (zu)w = 0 et
-Swz + (wz)v + (zv)w = O. Ainsi, pour uz = at + bz , vz = aIt +
+ blZ , wz = azt + bzz , on obtient b
=
Z
0 , Sb = ab l ' aZ(Za -
- b) = 0 , a2(2S - bl ) = 0 , a(2i3 - bl ) .,. a1(2a '" b) = 0 eL, par
suite wz = a2t. Comme uw + aw est dans N(A), on a uw = "'aw + vt +
+ nz 00 les scalaires v, n sont dans K. Nous distinguons deux cas
1er cas. Si uw = -aw , alors J(u,v,w) = -(30ô + wa Z + ya)t -
- y(Za + b)z 00 uv = Bu - aV + ~t t ]JZ 1 VW = -l3w + &t + yz et,
par suite A étant une algèbre de Malcev non de Lie de type T,
on a y(Za + b) = 0 , 3a& + waZ t ya f 0, Ainsi, en remarquant que
Za + b et Za - b sont non tous deux nuls dans K, on obtient
1) uv = Su - av + ]JZ , uw = -aw , ut = at , uz = at + 2az , vw =
= -Sw + ôt , vt = St , VZ = aIt t Zl3z , wt = 0 , wz = a2t ,
tz = 0 00 les scalaires 0, ~ non tous deux nuls dans K, a, S
non nuls dans K et a, al' a2 dans Kvérifient la relation
3ac + ]JaZ f O.
2) uv = Su - av + ]Jz , uw = -aw , ut = at , uz = at - Zaz , VW =
= -Sw + ôt + yz , vt = st , vz = aIt - Zsz , wt = 0 , wz = 0
tz = 0 00 les scalaires 0, y non tous deux nuls dans K, a, S
non nuls dans K et ]J, a, al dans K vérifient les relations

---

- 57 -
Ba = aa
et 3aè + ya f O.
l
3) uv = Su - av + ~z , uw = -aw , ut = at , uz = at + bz , vw =
= -Bw + ot , vt = St , vz = aIt + b1z , wt = 0 , wz = 0 , tz =
= 0 où les scalaires a, S, 0 non nuls dans K, ~, a, al' Dl dans
K et b dans K'{-2a,2a} vérifient les relations SD = ab l '
Sa = aa l , 3aè f O.
2ème cas. Supposons maintenant uw t
w ~ O. Alors l'un au moins
des ensembles {t,uw+aw}, {z,uw+aw} est libre, c'est-à-dire
uw + aw = vt + ~z où les scalaires v, ~ sont non tous deux nuls
dans K et, par suite J(u,y,w) = (3Bv - 30,0 - ).la 2 - ya t ~al)t +
+ [~(2S + b ) - y(2a
l
t
b)]z. Comme A est non de Lie et de type
T, il en résulte que ~(2B + bl ) - y(2a + b) = 0, 3Sv - 3ao -
- ).la
- ya + ~al f 0 dans K. Ainsi, en remarquant que 2S
2
t
b1 et
2s - b sont non tous deux nuls dans K. On obtient les 4), 5) et
l
6) structures définies dans le théorème.
Réciproquement s'il existe une base {u,v,w,t,z} de A
telle que A soit définie par l'une quelconque des structures énon-
cées dans le théorème, alors t est un générateur libre de J(A,A,
A) et uJ(u,v,w) = aJ(u,v,w) , YJ(u,v,w) = BJ(u,y,w) , wJ(u,v,w) =
= 0 où a, S sont non nuls dans K. On vérifie que A est une algè-
bre de Malcev non de Lie de la classe M et de type T,
7
Exemple 2.4.65. Soit A une algèbre de dimension 5 sur un corps
commutatif de caractéristique zéro dont la table de multiplica-
tion relativement à une base {e1,e2,e3,e4,e5} est donnée par
e1e2 = el - e2 ' e1e3 = -e3 ' e1e4 = e4 ' e1e5 = 2es ' e2e3 =
=-e3 + 1/3 e4 ' e2e4 = e4 ' e2e5 = 2e5 ' e3e5 = e4 ' e~ = 0
(i = 1,2,3,4,5) , eie
= -eje
(i,j = 1,2,3,4,5), tous les au-
j
i
tres produits étant nuls. On vérifie que A est une algèbre de
Malcev non de Lie de la classe M et de type T.
7
Théorème 2.4.66. Soit A une algèbre anticommutative sur un corps
commutatif de caractéristique zéro. Les assertions suivantes sont

---

- 58 -
équivalentes; a) A est une algèbre de Malcev non de Lie de la
classe M et de type Z, b) il existe sur Al:une des structures
7
sui vantes :
1) uv = Su - av +Àt , uw = - aw , ut = 2at + bz , uz = az
vw =
= -,Bw + yz , vt = 2,Bt + b1z , vz = Sz , wt = b z , wz = 0
2
tz = 0 où les scalaires y, À non tous deux nuls dans K, a., S
non nuls dans K et b, b , b dans K vérifient la relation
1
2
.
3ay + Àb
F O.
2
_.
2) uv = Su - av + Àt , uw = -aw , ut = -2at + bz , uz = az ,
vw = -Sw + ct + yz , vt = ~26t + b1z , vz = Bz , wt = 0 ,
wz = 0 , tz = 0 où les scalaires y, ° non tous deux nuls dans
.0(
•
t
'
' . '
K, a, S non nuls dans K et À, b1, bdans K vérJfient les re-
lations Sb = ab
et 3ay
1
+ ob f 0,
3) uv = uS- av + Àt , uw = -aw , ut = at + bz , uz = az , VW =
= -Sw + yz, vt = art + b1z , vz =~z, wt = 0, wz = 0, tz=
= 0 où le~ scalaires a, S, y non nuls d~ns K, a'd~ns K'{~2a,
_,0 . . . .
•
4'"
. . . . .
~
2a} et À, b, al' bl da,n,s KV~!ifient-le~ r~l?tions Bq = aa1 '
Sb = ab 1 ' 3ay F O.
4) uv = Su - av + Àt , uw = - a.w + vt + nz , ut = 2~t + bz , uz =
az , VW = -ew + ct + yz , vt = 213t + b z~, vz -= Bz , wt = b z ,
1
2
wz = 0 , tz = 0 où les scalaires v, n non tous deux nuls dans
0(
(
,~
K, a, S non,nul?,d~ns.K ~~.À, b, 0, y, bl' b2'd~J.... K Yérifient
les relations Sv = ao, 3Sn - 3œy - Àb
f
2 .., ob + vb
0,
1
5) uv = Su - av + Àt , uw = ~a.w + vt + nz , ut = -2a.t + bz , uz =
= az , vw = -Sw + ct + yz , vt = ~2St + blz , vz = ,Bz , wt =.0,
wz = 0 , tz = 0 où les scalaires v, ~ non tous deüx nuls dans
.
K, a, S non nuls dans K et À, b, c, y, bi~ K'v,érifient les
relations
Sb. ab 1 ' 3Sn - 3ay - ôb + vb f O.
1
6) uv = Su - av ~ ,Àt , uw = -aw + vt + nz , ut = at + bz , uz =
= az , vw = -Sw + ct + yz , vt = aIt + b1z , vz = Sz, wt = 0
wz = a , tz = 0 où les scalaires v, n non tous .deu* nuls dans

---

- S9 -
K, a, S non nuls dans K et a dans K'{-2a,2a} , À, b, 0, y,
al' bl dans K vérifient les relation~ Sa ~ aa l ' Sb ~ ab '
l
Sv ~ ao, 3Sn - 3ay f O.
La démonstration de ce théorème étant analogue à celle
du théorème 2.4.64., nous l'omettons.
Exemple 2.4.67. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
d~ caractéristique zéro dont la table de multiplication relative~
ment à une base {el,eZ,e3,e4,eS} est donnée par eIe2 ~ el ~ e2,
ele3 ~ -e3 + e4 ' eleS ~ eS ' e2e3 ~ -e3 + e4 + 1/3 eS' e2eS ~
~ eS ' e~ ~ 0 (i ~ 1,2,3,4,S) , e.e. ~ .,.e.e. (i,j ~ 1,2,3,4,S),
1
1 J
J 1
tous les autres produits étant nuls. On vérifie que A est une
algèbre de Malcev non de Lie de la classe M et de type Z,
7
Théorème 2.4.68. Soit {u,v,w,t,z}'une base d'une algèbre de di-
~
«
mension S sur K. Si l'ensemble {t,WZ} est libre,'alors les con-
"
.
. :yua
ditions suivantes 'sont équivalentes: a) A'e,:t une algèbre de
Ma)cev'ncn de ~ie de l~, tl'asseMSet ?e,tYP~,T, bY~1..,a caracté-
ristique de K est 2'et il existe sur A l'lune des structures sui-
,
,
vantes :
•
t
1) uv ~ Su + av , UW ~ yU + aw + vt + nz , ut ~ ext , UZ ~ at t
~ bz , vw ~ yV + Sw + ot + EZ , vt ~ st , vz ~ aIt + bIz~,~
wt ~ yt , WZ ~ a2t + bzz , tz ~ 0 où le~ scalaires 0, \\j~
tous deux nuls dans K, ex, S, y non nuls dans K'et n, a, b, 0,
,
, • • . • . .
( .
C.-
.~-
l'
E,
al' b
a
l ,
2, b2 'da~s K'vérifient les relat;(/ns Sb = ab l 1
yb = exb 2 yb l = sb2 ' bla = alb
ba 2 = b2a , b2al = bla2 '
Eb + nbl = a , Ea + nal = 0 , ao t vS f 0,
2) uv = Su + aV + Àt + WZ
UW = yu + exW + vt + nz , ut ~ at ,
uz ~ at + bz
vw = yv + Sw + ot + EZ
vt = st , vz = aIt +
+ blz , wt ~ yt , wz = a2t + b2z
tz = 0 où les scalaires
À, w non tous deux nuls dans K, 0, v non tous deux nuls dans
..
"
K, ex, S, y non nuls dans K~ n, a, b, E, al' b , a , b2'~
l
2
K vérifient les relations Sb = ab
' yb
., yb
~ Sb
'
l
= ab 2
l
2
bla = alb , ba 2 = b2a , b2al = blaZ ' wb2 + Eb + nbl = a ,

---

- 60 -
0a
+ Ea + nal = 0 et \\y + ac + vb t O.
z
En effet si A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe MS et de type T, il existe une base {u,v,w,t,z} de A,
avec {t,z} base de N(A), telle que N(A) soit un idéal abélien de
A, t est un générateur libre de J(A,A,A) et uJ(u,v,w) = aJ(u,v,
w) , vJ(u,v,w) = SJ(u,v,w) , wJ(u,v,w) = yJ(u,v,w) où les scalai-
res a, B, y sont non nuls dans K. On vérifie que uv - Su - av ,
uw .,. yU + aw , VW - yV + Bw sont respectivement dans N(A). Comme
z parcourt N(A), on a alors Suz + avZ + (vz)u + (zu)v = 0 , yuZ -
- aWZ + (wz)u + (zu)w = 0 , yVZ - BWZ + (wz)v + (zv)w = 0, Ainsi,
pour uz = at + bz , vz = alt + blz J wz = ~zt + bZz , on a Bb =
= -ab l ' yb = abZ ' yb l = BbZ ' Zsa - bla + bal = 0 , a(Zy - bZ)-
- aZ(Za - b) = 0 , al (Zy - bZ) - aZ(Zs .,. bl) = 0 et, par suite
Zb
= O. Si l'ensemble {t,wz} est libre, alors wz = azt + bZz
Z
avec b non nul dans K. Il en résulte donc que Z = 0 dans K ou
Z
encore la caractéristique de K est Z. Par suite Sb = ab l ' yb =
= ab Z ' yb l = SbZ ' bla = bal' baZ = bZa , bZa l = bl\\- Puisque .,
uv - Su - av est dans N(A), on a uv = Bu t av t ~t t Ul où \\, U
sont dans K. Nous distinguerons deux cas :
1er cas
Si uv = Su + av , alors J(u,v,w) = (ao + Ea t vS + nal)t+
+ (Eb + nbl)z où uw = yu - aw + vt + Dl , VW = yv ~ Sw + ct + El,
Il en résulte, puisque A est une algèbre de Malcev non de Lie de
type T, que Eb + nbl = 0, ao + Ea t vS + na l f 0 dans K. Ainsi, ,
en remarquant que la relation Eb + nbl = 0 entraîne Ea + nal = 0,
on a ao + vS f 0 et, par suite on obtient la première structure
définie dans le théorème.
Zéme'cas. Supposons maintenant que uv - Su • av f O. Alors l'un
au moins des ensembles {t,uv-Su-av}, {z,uV-Su-av} est libre c'est-
à-dire que uv = Su + aV + \\t + UZ avec \\, u non tous deux nuls
dans K. Il en rësulte que J(u,v,w) = (\\y + uaZ + ao + Ea + vS +
+ nal)t + (ubZ + Eb + nbl)z et, par suite ubZ + Eb + nb l = 0 et
\\y + ua Z + ao + Ea + vS + na f 0 dans K. Ainsi, en remarquant
l
que la relation 0b
=
=
Z + Eb + nb l
0 entraîne uaZ + Ea + na l
0,

---

- 61 -
on a Ày + ao + vB ~ O. Il s'ensuit alors la deuxième structure
définie dans le théorème.
Exemple 2.4.69. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristique 2 dont la table de multiplication rel~tivement
à une base {e1,eZ,e3,e4)eS} est donnée par e1e2 = el + e2 1 e1e3=
= el + e3 ) e1e4 = e4 ' e1eS = eS ' e2e3 = e~ + e3 ~ e4 ! e2e4 =
= e
e e
= eS
e e
= e
' e
4
2 S
3 4
4
3e5 = e5 ' ei = 0 (1 = 1,2,3,4,5),
e.e. = e.e. (i,j =,1,2,3)4,5), tQUS les autres produits étant
1 J
J 1
nuls. On vérifie que A est une algèbre de Malcev non de Lie de
la classe MS et de type T.
Note 2.4.70. Il ressort de la démonstration du théorème ci~des­
sus que si A est une algèbre anticommutative de dimension 5 sur
un corps de caractéristique différente de 2, alors il n'existe
pas de structure d'algèbre de Malcev non de Lie de 'la classe MS
et de type T sur A. En effet supposons que A soit une algèbre
de Malcev non de Lie de la classe MS et de type T, alors on a
b = 0 et, par suite b = b = 0 , a = 0 , a
2
l
2 = 0 , al = 0, Il
en résulte donc que uz = 0 , vz = 0 , wz = 0, Par suite, les
scalaires a, B, y étant non nuls dans K, on a J(u,v,w) ~ J(A,A)
A) ce qui est absurde.
Théorème 2.4.71. Soit {u,v,w,t,Z} 'une 'base d'une algèbre de di-
~
.~<
,
mension 5 sur K. Si' l'ènsemble {z,wt} 'est libre,' alors les as~·
< . • '
- , - , ......
•
_II,
''4.
<
~
..
sèrtioriS'sutvantes 'sont équl'vàlentes : a) A'est unè 'àlgèbrède
. c .
. «(
<
•
Malcev non de Li'e de. la cla,sse MS et de, type Z, b) 'la caracté~
ristiq~e. de K est 2 èt il existe sur A"l'une des structures su~ ...
vantes :
1) uv = 8u + av ,
= az , vw = yv
wt = azt + b2Z
tous deux nuls
ô, al' b ,
1 a ,
2
ya =aa 2 ' ya 1
ôa + val = 0 ,

---

- 62 -
2) uv ~ Su + av + Àt + ~z , uw ~ yu + aw + vt + nz , ut ~ at +
+ bz , uz ~ az , vw ~ yv + Bw + ot + EZ , vt ~ aIt + blz ,
vz ~ Sz , wt ~ a t + b z , wz
2
~ yz , tz ~
2
0 o~ les scalaires
À, ~ non tous deux nuls dans K, a, 5, y non nuls dans K et
v, n, a, b, Ô, E, al' bl , a2, b2 'd~~~ K yétifient les rela-,
tians Ba = aa 1 ' ya = aa Z ' ya! = Ba Z baZ = abZ • bla Z =
~ b2al ' alb = ab l ' Àa2 + Sa + val = a , Àb2 + ôb t vb l = 0,
y~ + as + nS f O.
La démonstration étant analogue à celle du théorème
2.4.6S, nous l'omettons.
'Exemple 2.4.72. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
de caractéristique 2 dont la table de multiplication relative-
ment à une base {el,e2,e3,e4,eS} est donnée par el e2 = el + e2 t
e4 ' ele3 = el+ e3+ e4+ eS,el e4 = e4 t e1eS = eS ' e2e3 ~ e2 +
-
2
+ e3 ' e2e4 = e4 ' e2eS = eS ' e3e4 = e4 ' e3eS = eS ' ei ~ a
(i = 1,2,3,4,S) , e.e. ~ e.e. (i,j = 1,2,3,4,S), tous les autres
l
J
J l
produits étant nuls. On vérifie que Aest une algèbre de Malcev
non de Lie de la classe MS et de type Z.
On notera qu'il n'existe pas sur une algèbre anticom~
mutative A de dimension S sur un corps de caractéristique diffé~
rente de 2 une structure d'algèbre de Malcev non de Lie de la
classe Ms et de type Z.
Théorème 2.4.73. Soit A une algèbre de dimension ~sur K véri-
~
-.-.-
-.-'.,
fiant la propr~été J(A,A,A) cj:..N(A) .~lors les assertions suivan...
tes sont équivalentes: a) A est une algèbre de Malcev non de
Lie de J-noyau dé dimension 'deux, b) la caractéristique 'de K'èst
2 et il existe sur A l '~né des structures suivantes :
(i) ele2 ~ Sel + ae2 + eS ' el e
=
3 ~ ae3 ' el e4
Àe l + ~ve4 +
+ À(a + \\v)eS ' eleS = el + ve4 + (a t \\v)eS ' e2e3 = se3 '
e2e4 ~ Àe2 + Àne4 + À(S + \\n)eS ' e2e~ ~ e2 ~ ne4 + (S + Àn)eS'
e
=
=
= a ,
3e4
\\e 3 ' e3eS e3 ' e4eS
ei ~ a (1 = 1,2,3,4,S),
e.e. ~ e.e. pour i f j,où les scal~ires a, S, \\, v, n sont
l J
J l - -
~
dans K.

---

- 63 -
(ii) e
=
l e2
Sel + ae 2 + e4 ' el e3 = ae3 ' el e4:= el +(a + ~v)e4 +
+ ve S ' eleS = ~el + ~(a + ~v)e4 + ~veS ' e2e3 = Se3 ' e2e4=
= e2 + (S + ~n)e4 + neS ' e2eS = ~e2 + ~(S + ~n)e4 + ~neS '
e e
= e
= ~e3 ' e
3 4
3 ' e3eS
4eS = 0 , e~ = 0 (i = 1,2,3,4,S),
e.e. = e.e. pour i f j, où les scalaires a, 6, ~, v, n sont
l J
J l - -
'
dans K.
En effet soient A une K-algèbre de MaJcev non de Lie
de J-noyau de dimension 2 et {u,V,w,t,l} une base de A avec {t,z}
base de N(A). Alors J(u,v,w) i 0 et, puisque J(A,A,A) çtN(A), il
existe el' e
dans K tels que J(J(u,v,w),e
) soit non nul dans
2
l ,e 2
K.et J(u,v,w) = J(J(u,v,w),e ,e ). Il en résulte que le système
l
2
{e ,e ,J(u,v,W),t,l} est libre dans A. Posons donc J(u,v,w)
l
2
= e3
et écrivons ele2 = Bel + ae + ye + dt + El, Comme J(e ,e ,e e
2
3
l
2
l 2)=
= J(e
=
l ,e ,e )e
0 , alors y = 0 et, par suite les relations
2 2
l
J(e l ,e3,el e2) = J(el,e3,e2)el,J(e2,e3,eZel)=J(2Z,ê3,el)eZ entrninent res~
pectivement e
=
=
l e
-ae
se
3
3 ' e2e3
3,. Ainsi, on a J(e l ,e 2,e 3) =
= e =
3
(e le2)e3. Par suite la relation J(el,e2,(ele2)e3) +
+ J(ele2,e2,ele3) = J(el,e2,e3)(ele2) + J(ele2,e2,e3)el nous dit
que 2e 3 = 0, c'est-a:dire la caractéristique de K est 2, Les sca-
laires 0, E étant non tous deux nuls dans K, nous distinguerons
les deux cas suivants :
1er cas. °= 0 , E f 0, Dans ce cas, posons t = e4 ' El = eS' Il
en résulte donc que {el,e2,e3,e4,eS} est un système libre de A
et, par suite on montre que e
=
3e4
\\e 3 ' e3e = e , Ecrivons
S
3
4
ele4 = i~l aiei · Puisque J(e1,e2,e le4) = J(e l ,e2,e4)e1 = 0 ,
J(e ,e ,e e
,e ,e )e
= 0 , J(e ,e ,e e ) + J(e ,e ,e e )=
l
3 l 4) = J(e1 3 4 l
3 2 l 4
l
2 3 4
= J(e 3,e2,e4)el + J(e ,e ,e )e = 0 et J(e ,e ,e ) = 0, alors on
l
2 4 3
l
3 4
a ele4 = \\e l + a4e4 + \\(a + a4)eS' De façon analogue, on montre
que eleS = el + b4e4 + (a + \\b4)eS ' e2e4 = \\e2 + c e
4 4 + À(S +
+ c4)eS ' e2eS = e2 + d4e4 + (S + \\d~)eS et, par suite les re~
lations J(e ,e
) = 0, J(e ,e ,e ) = 0 , J(e ,e ,e ) = 0 ,
3 4,e S
l
2 4
l
2 S
J(e l ,e4,eS) = 0 , J(e2,e4,e ) = 0 entraînent e e
=
S
= 0 , a
4 S
4
= \\b 4 et c4=\\d4. Ainsi, en·posant b = v et d = n, on obtient
4
4

---

- 64 -
la structure définie dans (i).
2ème ·cas. Si c f 0, s = 0 , alors nous poserons ct = e4 ' z = eS'
La démonstration dans ce cas étant semblable à celle donnée dans
1e 1er cas, nous l'omettons.
Réciproquement, si une algèbre A sur un corps commuta-
tif de caractéristique 2 est définie par l'une des structures
ci-dessus mentionnées, on montre aisément que A est une algèbre
de Malcev non de Lie de J-noyau de dimension 2,
Exemple 2.4.74. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
commutatif de caractéristique 2 dont la table de multiplication
relativement à une base {e1,e2,e3,e4,eS} est donnée par e1e2 = es'
e1e4 ::; e~ , e1e~ ::; el ' e2e4 ::; e2 ' e2eS ::; e2 ' e~e4 ~ e3 ' e3eS ::;
::; e
' e. ::; 0
3
(1
= 1,2,3,4,S) , e.e. ::; e.e. pour 1 ~ J, tous les
1
1 J
J 1
autres produits étant nuls. On vérifie que A est une algèbre de
Malcev non de Lie de J-noyau de dimension 2.
Exemple 2.4.7S. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
commutatif de caractéristique 2 dont la table de multiplication
par rapport à une base {el,e2,e3,e4,e~} est ~onnée par e1e2 ::; e4,
e e
::; el
e
::; a (1 ::; 1,2,3,4,S), eiet
1 4
2e4 ::; e2 ' e3e4 ::; ,e3 ' ei
e.e. pour i ~ j, tous les autres produits étant nuls, On vérifie
J 1
que A est une algèbre de Malcev non de Lie de J~noyau de dimen-
sion 2.
Note 2.4.76. La démonstration du théorème ci~dessus, nous montre
que N(A) n'est pas un idéal.
2.S. Notes. Compte-tenu des calculs développés dans la classifi-
cation des algèbres de Malcev non de Lie de dimensions 4 et 5,
on peut énoncer le résultat général que voici.
Théorème 2.5.1. Soient K"uri corps commtitatifet A'une algèbre de
Malcev non de Lie sur K de dimension finiB n. Les conditionS sui-

---

, ':
- 65 -
vantes sont équivalentes: (i) N(A) = 0
(ii) dimkJ(A,A,A) ~ n-2.
Nous avons vu que si n = 4 ou 5 on a toujours N(A) 1 0,
c'est-à-dire n-3 ~ dimkJ(A,A,A).~Néanmoins
si n ~ 6, il existe
de~ algèbres de Malcev A non de Lie vérifiant N(A) = 0,
Exemple 2.5.2. Soient K un corps commutatif de caractéristique
différente de 2 et A l'algèbre de Malcev non de Lie de dimension
7 dont la tabie de multiplication relativement à sa base canoni-
que s' écrit :
el
e
e
e
e
e
2
3
4
6
e
"
,S
' 7,
,el
0
,2e
2e
-2e
-2e
2
3
' 2e4
6
~2ez",
. S
e
-2e
0
2e
-2e
2
2
7
6
el
0
0
e
-2e
-2e
0
2e
0
3
7
S
el
0
3
e4
~2e4
2e 6 ~-2eS
0
0
0
eL
eS
2e
,
S
el
0
0
0
-2e
2e
.
4
3 "
,
.""
e
')
Le
0
0
6
-el
0
2e
6
4
.~2e2,
1
e
2e
0
0
0
7
7
-el
~2e3
2e 2
/
Dans ce cas, A est une algèbre simple dont le J-noyau N(A) = O.
D'autre part, J(A,A,A) = A.
La classification des algèbres de Malcev de dimension
S qui vient d'être donnée peut être résumée dans le tableau su;-
vant

---

- 66 -
l)'dimkN(A) = 3,4,5 + A de Lie
2) dimkl~(A) = 2
car K = 0 =.~J(A,A,A) C N(A) + ••.
«=> dimkJ(A,A,A) = 1)
.
\\CÇlr K = 2
\\ J(A,A,A)q:'N(A)~>
+
,
N(A) non idéal
3) dimkl~(A) = 1
J(A,A,A) non
~J(A,A,A) idéal
J(A,A,A) idéal
abéllen + \\1\\ '
de A
J(AIA,A) idéal
,
«=> dim kJ(A,A A) = 2)
7
non abélien + '1'
(=> N(A) non idéal de A)
idéal de A+ impossible
4) J(A,A.A) = 0 + A de Lie

---

...
'
'
.
- 67 -
CHA PIT R E
3
IDEAUX PREMIERS DANS UNE ALGEBRE DE MALCEV
Le but de ce chapitre est d'étudier les notions d'idéal
premier, T-premier dans le cadre des algèbres de Malcev. Ces no-
tions ont été étudiées par C. Tsai (cf, [23]) dans le cas des
algèbres de Jordan et par N. Kawamoto (cf. [Il]) et P. Dorai et
P.S. Rema (cf. [6]) dans celui des algèbres de Lie,
3.1. Espace quadratique de Malcev. Dans la suite de ce chapitre,
,
<
. <
... , ','
K désignera toujours un corps .commutatif. Un ·espace quadratique
". <
sur K est un couple (A,u) où A est un K-espace vectoriel et u :
A + Endk(A) est une application quadratique non dégénérée. Cela
veut dire que u(\\x) = \\2 u(x) quels que soient \\ dans K et x dans
A et que l'application ~ : AxA + Endk(A) définie par
~
(x,y) + u(x+y) - u(x) - u(y)
est K-bilinéaire, nécessai-
rement symétrique. De plus la non dégénérescence de u : A + End k
(A) signifie, par définition, que l'application K..,.·linéaire
A + Endk(A) définie par x + (y + ~(x,y)) est injective, Notons
que cette application n'est un isomorphisme de K-espaces vecto..,.
riels que si la dimension de A est zéro ou l,
Nous dirons qu'un espace quadratique (A,u) est u~ es-
pace quadratique de Malcev si, de plus, le K..,.espace vectoriel
'A est muni d'une structure d'algèbre de Malcev.
Lemme 3.1.2. Soient K ùn corps commutatif de caractéristique
différente de 2 et A une K-algèbre de Malcev. Si zéro est l'uni-
..-
- . . -
l .
+"=.
c ,
.
que idéal abélien de A,'alors A~peùt être mùni d'une structùre
,
-.--".
"
-("
d'espace quadratique de Malcev.
En effet, soit J : AxAxA + A le jacobien de A et con-

---

- 68 -
sidérons l'application K-bilinéaire 4> : AxA + End,,(A) définie
1
r,
par ~(x,y)(z) = ~ (J(x,y,z) - 2(Zy)x - (yx)z) , quels que soient
1
x, y, z dans A. puisque 4>(x,y)(z) = 4 (xz)y + (yz)x), quels que
soient x, y, z dans A, il résulte que l'application <jJ est symé-
trique. L'application u : A
i 4>(x~x)
+
Endk(A) définie par x +
est quadratique et son application K-bilinéaire symétrique associée
est
<p, c'est-à-dire ~(x,y) = u(x + y) - u(x) - u(y), quels
que soient ~, y dans A. Montrons que, en fait, u : A + Endk(A)
est non dégénérée. En effet, si l'on suppose que <jJ(x,y) = 0 pour
tout y dans A, où x est dans A, on a (xz)y = (zy)x pour tous y,
z dans A, ce qui nous montre que le sous-K~espace vectoriel de
A défini par Ax = {zx ) z ~ A} est, effectivement, un tdéal de
A. Or, on sait que quels que soient x, y, z dans A, on a (xz)
(xy) = ((xz)x)y + ((zy)x)x + ((yx)z)x (identité de Malcev) et
comme (xz)y = (zy)x quels que soient y, z dans A, alors (xz)
(xy) = ((xz)x)y + ((zy)x)x + (xz)(xy), SQit ((xz)x)y + ((zy)x)x =
= O. En prenant z = x dans l'identité (xz)y = (zy)x, on a (xy)x=
= 0 pour tout y dans A, donc ((zy)x)x = 0, quels que soient y,
z dans A. Finalement, l'identité ci-dessus nous dit que ((yx)z)x=
= (x(yx))z = 0 quels que soient y, z dans A, On a ainsi démontré
que (Ax)2 = 0, soit Ax est un idéai abélien de A et l'hypothèse
faite nous dit que Ax = O. Donc x b Z(A) = {y 1 y b A, yz = 0 ,
y z b A} (= centre de l'algèbre de Malcev A) et comme Z(A) est
un idéal abélien de A, alors Z(A) = 0, d'où x = O.
Notons que la structure d'espace quadratique de Malcev
sur une algèbre de Malcev A n'entra1ne pas que l'unique idéal
abélien de A soit zéro ou, en d'autres termes, il existe des al~
gèbres de Malcev contenant des idéaux abéliens distincts de zéro
sur lesquels il existe une structure d'espace quadratique de Mal-
cev.
Exemple 3.1.3. Soient K un corps commutatif de caractéristique
différente de 2 et A la K-algèbre de Malcev de dimension 4 dont
la table de multiplication relativement à une base {e ,e ,e
}
1 2 3,e 4
est donnée par e
=
=
1e2
el ' e1e3 e4 ' e3e2 = e3 ~ eZe4 = e4,
L
e. = 0 (i = 1,2,3,4
) , e.e. = -e.e. (i,j = 1,2,3,4),
tous les
,
, J
J ,

---

- 69 -
autres produits étant nuls. Si J : AxAxA + A est le jacobien de
A, on sait que le J-noyau de A est l'idéal de A engendré par e ,
4
à savoir {z
z E A , J(x,y,z) = 0 V x,y b A} = Ae
= Ke et, de
1
4
4
plus, cet idéal est abélien. L'application K-bilinéaire symétri-
que ~ : AxA + Endk(A) définie par ~(x,y)(z) ={ ((xz)y + (yz)x)
pour x, y, Z parcourant A, définit une application quadratique
u : A
i
+
Endk(A) donnée par x +
~(x,x). On montre, sans peine,
que u est non dégénérée, donc que (A,u) est un espace quadrati-
que de Malcev (cf. [6] , pour un exemple en dimension Z dans le
cas des algèbres de Lie).
3.Z. Idéaux IJrerrn'ers. Si (A,u) est un espace quadratique de Mal-
cev et si ~ : AxA + End (A) est l' appHcati on K.,.bil inéai re symé-
k
trique associée à u, on note u
= ~(x,y) pour x, y dans A et
x,y
si 1 et J sont deux idéaux de A,'notons UJ(I) = {u
,(x) IxEI,
y,y
y, y' E J} . Il est clair que UJ(I) est un sous-K.,.espace vecto-
riel de A quels que soient 1 et J idéaux de A.
Lemme 3.Z.1. Sàient K un càrps commutatif de caractéristique dif-
- -
1.'
. '
.
férente de 2 et (A,u) un espaCe quadrat1'qu~ de l~alCeV.~Quels que
soient 1 et J idéaux de A, UJ(I) est encore un'idéal de A.
En effet, si l'on pose u = u
pour tout x dans A,
1
-
x
x,x
alors u
= -Z (u
.,. u - u ) quels que soient x, y dans A,
x,y
x+y
x
y
donc il suffira de démontrer que quels que soient x dans l, y
dans J et Z dans A, on a encore u (x)z SUJ(I). Or on sait que
1
y
1
uy(x) = u(y)(x) = 2 (yx)y donc uy(x)z = 2 ((yx)y)z. D'autre part,
l'identité J(y,yx,z) = J(y,x,z)x entra1ne que 2u (x)z = (zy)(yx)+
y
+ ((zx)y)y + ((yz)x)y et l'identité J(y,x,yz) = J(y,x,z)y nous
dira que 4u
(x) = J(y,x,yz) - 2(x(yz))y .,. ((yz)y)x = Zu (x)z-
y,yz
y
- 2u (xz). Ceci nous dit que u (x)z = Zu
(x) + U (xz) appar-
y
y
y,yz
y
tient à UJ(I), donc UJ(I) est un idéal de A.
.
Soient Aune algèbre de Malcev sur un corps commutatif
K de caractéristique différente de Z et P un idéal de A. On dira
que P est un idéal T-premier de A si, quels que soient 1 et J

---

- 70 -
idéaux de A, la relation UJ(I) c.. P entraîne lep ou Je P et on
dira que P est un idéal T-semi-premier si pour tout idéal l de
A tel que U1(I) CP on a l e P. Notons que tout idéal T-prel1lier
est T-semi-premier.
Soit P un idéal d'une algèbre de Malcev sur-un corps
commutatif de caractéristique différente de 2. On dira que Pest
irréductible si la relation P = In J, avec l et J des idéaux de
A, entraîne P = l ou P = J et on dira que Pest premier si la
relation IJ CP, avec let J des idéaux de A, entra1ne le P ou
Je P.
Lemme 3.Z.2.Soi~nt A une algèbre de Malcev sur un corps commu-
tatif K de 'caractértstique différente de 2 et P un idéal-de A,
- -
t C
( .
- .
~. •
"
.
Les conditions suivantes 'sont équivalentes; (1) P-est un idéal
<:
.
,
*"':*""t"
T- premi er; (i i) P es tun '-i'déa1 T-'semi - premier-et i'rréducti ble,
•
•
q
,
(
En effet, comme tout idéal T-premier P de Aest T-semi-
premier, il nous suffira de démontrer que P est irréductible.
Soient l et J des idéaux de A tels que P = l ~ J, Puisque UJ(I)
C l (\\J, alors UJ(I)C P et, par suite, lep ou Je P car Pest
un idéal T-premier de A. Il en résulte que P = l ou P = J,
Réciproquement soient P un idéal T-semi-premier et ir-
réductible, l et J des idéaux de A tels que UJ(I)C: PI Posons
N = (1 + P) n (J + Pl; alors UN(N) C UJ+p(I + P) C UJ(I) + P =
= P. Comme P est un idéal T-semi-premier on a NC:P, D'autre
part PC(l + p)n (J + P), d'où P = 0 t p)n (J+ P) et P é-
tant un idéal irréductible on a P = l + P ou P = J + P, c'est-à-
di re lep ou J c. P.
Exemp~3.2.3. Soit A une algèbre de Malcev de dimension 4 sur
un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 dont
la table de multiplication relativement à une base {e ,e ,e ,e }
l
2 3 4
- est donnée par ele
=
=
Z
el + eZ ' e1e3 e3 + 2e4 ' ele4 = -e4,
e2e3 = -e3 ' e2e4 = e4 ' e~ = a (i = 1,2,3,4) , eiej = -e/i pour

---

- 71 -
i ~ j, tous les autres produits étant nuls. Les idéaux de A sont
CO} , Ke , Ke + Ke
et A. Posons P = Ke + Ke4i P est un idéal T-
4
3
4
3
premier de A et maximal.
Exemple 3.2.4. Soit A une algèbre de Malcev de dimension 5 sur
un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 dont la
table de multiplication relativement à une base {el,e2,e3,e4,e5}
est donnée par e1e2 = e ' e
' e
2
1e3 = e3
4e1 = e4 ' e1e5 = 2e 5 '
e e
= e
, e~ =0 (i = 1,2,3,4,5) , e.e. = -e.e. Dour if j,
2 3
4
l
1 J
J l
.
tous les autres produits étant nuls. L'idéal P = Ke
+ Ke + Ke
2
3
4
de A n'est pas T-semi.,.premier car U
(Ke ) cP et Ke et p et
Ke
5
5
il est maximal,
5
Lenime 3.2.5. S'oît P Uri îdé'alma:ximald'une'al~èbrede'Malc:evsur
~, . . .~ .
. . . . . . . . . . - - . . - r l . l ,
0
<
.
\\ '
,
Uri: forps, ~olTimu'ta'tif- Kd~'c:a:a~t~ri'sti9~edi'ffé'r~rite''d? 2.\\'~
Pest irréductible.
En effet soient 1 et J des idéaux d'une K-algèbre de
Ma l cev A tels que P = 1 () J, Alors pel et pC J. Comme P est ma.,.
ximal, on a P = 1 ou P = J.
Corollaire 3,2.6~ S'oient K"lin 'corps'comrnutati'f 'dec:arac:téristi-
•
1
i
t .
•
;: q
e ,
•
Ci
ç .
\\ '
"
ç
..
~i'fférentede 2'et A' Une K-'algèbredeMalc'ev " Si p' 'est un
_
•
<
~
;
-
.',
~..--.-
•.
r -
.....
,
~
f
.
idé'al'niaxînia'l' de A,"a'l ors P"e's t T-'prelTiiersi'ets'elilement 's i P
t.
E
r -
~
-.-..--
.. q
•
est T-se~i -p~~~'er,
Coronaire 3.2,7. Soi'ent K'un cOrps c:ommutatifdecaractéristi-
.
. (
.
~r----
< ,
','
que ?iffê'r~'rit'ede 2 et Aline , K-~'lg~br'edeMalc:ev ,"S,i UA (A) = A,
alors' touti'déalrnaXimal P.'de A'est T-premi'er.
(
.
-=---
~
t -
En effet, supposons pour un idéal 1 de A, que UI(I)C: P
et Icj;P. Alors A = 1 + P et, par suite, UI+p(I + P) = UA(A)C
C.UI(I)+ P = P soit AC P ce qui est absurde. D'où P est un idéal
T-semi-premier et d'après le corollaire 3,2.6, Pest T-premier.
RemarqUes 3.2.8. Notons que la condition UA(A) = A joue un rôle

---

- 72 -
très important dans le corollaire 3.2,7. Considérons en effet
.
une algèbre de Malcev A de dimension 5 sur un corps commutatif
K de caractéristique zéro dont la table de multiplication rela-
tivement à une base {e1,e2,e3,e4,e5} est définie par e1e2 = eS'
e e
= e ' e~ =0 (i = 1,2,3,4,5), e.e. = .,.e.e. pour i ~ j,
3 5
4
l
l
J
J l
.
tous les autres produits étant nuls. Alors P = Ke 1+ Ke2+ Ke4+
+ Ke
est un idéal maximal de A. UA(A) C.N(A) c.p mais Aef:. P, et
5
ceci nous dit que P n'est pas T-premier.
3.2.9. Il existe des K-algèbres de Malcev qui possèdent des idéaux
maximaux non premiers. En effet soit A une algèbre de Malcev non
de Lie de dimension 5 sur un corps commutatif K de caractéristi-.
que zéro dont la table de multiplication relativement à une base
{e1,e2,e3,e4,e5} est donnée par e1e2 = el ; e2 ' el e3 = e4 -,e3,
ele4 = e4 ' e3e2 = e3 + e4 ' e2e4 = e4 ' ei = a (i = 1,2,3,4,5),
e.e. = -e.e. pour i f j, tous les autres produits étant nuls.
l
J
J l
Alors P = Ke
est un idéal de A T-premier et maximal
3+ Ke 4+ Ke 5
et Pl = Ke l+ Ke2+ Ke3+ Ke4 est un idéal de A non premier. De plus
l'on vérifie sans peine que llidéal P est premier.
Lemme 3.2.JD . Tolitidéal T-premierd'line algèbre de MalCev sur
un corps Commutatif Kdecaractér'i"stiglie différented~ 2'e'stpre-
mfer.
..q;
En effet soient P un idéal T.,.premier d'une algèbre de
Malcev A sur un corps commutatif K de caractéristique différen-
te de 2, l et J deux idéaux de A tels que IJ CP, Comme UJ(I)C
C IJ cP, alors l CP ou J c. P et, par suite, P est un idéal pre-
mier.
Théorème 3.2. n. S?i ent Aune algèbre de ,rv,alcevdediniensi on fi -
riiesur un corps commutatif.K '~aractéristique différente de
2'~ Punidéal premier 'de A tel 'que Alp 'soit résoluble.' A'lors
..
..
~.~-~ - ,
'
Pes·tunidéal T-prehii'er.
Comme tout idéal premier est irréductible car la re-

---

- 73 -
1ation IJCI n J = P où l et J sont des idéaux de A, entraîne
= P ou J = P il suffira, d'après le lemme 3.2.2, de montrer que
P est aussi T-semi-premier. Or, si l est un idéal de A tel que
UI(I) C P et si q : A -+ AI P est la surjection canonique, alors
q(UI(I)) = Uq(I)(q(I)) = J. En particulier, pour tout x dans
Alp, 0 = u- = - ~ R- 0 R- soit R- 0 R- =Q. Ceci nous dit que
x
L X
X
X
X
l'idéal q(I) vérifie la condition E d'Enge1 (cf, [17]) et d'a-
2
près un théorème de Kuz'min (cf. [17]), q(I) est localement nil-
potent car Alp est résoluble, c'est-à-dire, il existe un entier
-
m
m
m ~ 1 suffisamment grand tel que q(I)
=0, La relation q(I ) =0
entraînera alors que ImC Ker q = P, d'où l e P. Ceci nous dit
que P est un idéal T-semi-premier, donc T-premier,
Soit M un sous-ensemble non vide de A, On dira que M
est un Q-sy~tème de Asi, quels q~e soient l et J idéaux de A,
la relation l () Mf 0 et J () t1 f 0 entra1ne UJ(I) n M f 0.
Exemple 3.2.12.
Soit M un sous-ensemble non vide de A. Si 0 6 M,
alors Mest un Q-système de A.
Soit l un idéal de A. On appelle Q..':radica1 de r, l'en-
Q
semble I
= {xix 6 A et tout Q-système de Aco~tenant x intersec-
te I}. Désormais, nous noterons c(I) le complémentaire du sous-
ensemble l de A dans A.
,
,
Lemme 3.2.13. S'oi'ent Puri idéal 'd'Une' 'algèbre 'de Malcev A"suY'un
~.
-
.
.
- , . . . - - -
corp'scommutatîf Kde caractéristiqUe différerite 'de 2,' Lesass'er-
•
•
< oc
1
\\.'
. . ,
tioris"süiVantes'sontécjUiValentes : (i) P'esturii'déa1 T-premier;
.
,
t
'
. '. (
_
(
~,
.
(ii) Si r et Jsont de's fd'éa'ux 'de P\\tels que l fi c(P) t o'et
- - .
C c .
~
J n c(P) f 0;a'lors UJ(I) (\\ c(P) F 0;alitremeritdit, c(P)':st 'un
Q";s'ystème de A.
En effet soient l et J des idéaux de A tels que l () c(P)f
f 0 et J() c(P) f 0. Si UJ(I)CP, alors lep ou JC-P car Pest
un idéal T-premier et ceci est absurde car l n c(P) f 0 ~t
J n c(P) f 0. Il en résulte alors que UJ(I) n c(P) f 0.

---

- 74 -
Réciproquement soient l et J des idéaux de A tels que
UJ(I)C P. Si In c(P) f ~ et J(\\c(P) f 0 alors d'après l'as-
1
sertion (ii) on a UJ(I) n c(P) f 0 et ceci est absurde car
UJ(I)CP, d'où 11\\ c(P) = ~ ou J(\\ c(P) = 0 et, par suite
lep ou Je P, c'est-à-dire P est un idéal T-premier,
Propositi on 3.2.14. S?it l '~~' idé'a l' d :une a1'gèbre de Ma lc~'!. A
SUI' un corr's commu~atif K 'd;. cara~téri stiq~e ?iffére,nt~' 9;' 2,
Alors IQestl"iht'ersect'ibn de'sidéaux T-premiers dè A' conte-
- -
~r--:--~""""""'"
* . .
~
f
rw'\\
nant 1.
En effet soient x 6'IQ et P un idéal T~premier de A
contenant 1. Alors c(P) est un Q-système qui n'intersecte pas
1, par suite x ~ c(P), c'est-à-dire x 6 P. Ain~i IQ est contenu
dans tout idéal T-premier contenant I~ donc dans leur intersec-
Q
tion. Réciproquement supposons que x ~ I , Il existe alors un
Q-système Mde A contenant x tel que Mn l = 0. Désignons par
cjf la famille des idéaux Pde A tels que lep et Fin M = 0i
gr est non vide car l 6 St. D'après le. lemme de Zorn, il existe
dans :f un élément maximal. S oit donc P cet élément maximal de-
~ et montrons que Pest T-premi er. Soi ent R et S des idéaux de
A tels que R(\\c(P) t- 0 etSfÎ c(P) ~ 0; R + PetS t P sont
deux idéaux de A contenant 1. De la maxima1ité de P il vient que
(R+p)nM t- 0 et (S+p)nM t- 0 et comme M est un Q-système de A,
alors UR+P(S+P)rlM f 0. Il, en résulte que UR(S)nM t- ~ car
UR+P(s+P) C UR(S) + P. Ainsi la relation pn r'1 = 0, c'est.,.à-di're
MC c(P) nous dit que UR(S)(\\ c(P) t- ~ et, d'après le lemme 3,2,
13, P est un idéal T-premier.
Exe'mp~ 3.2.15. Soit A une algèbre de Malcev de dimension 5 sur
un corps commutatif K de caractéristique zéro dont la table de
multiplication relativement à une base {e1,e2,e3,e4,e5} est don-
née par e1e2 = el - e2 ' e1e3 = e4 - e3 ' e1e4 = e4 ' e3e2 = e3 +
+ e4 , e2e4 = e , e~
4
=Q
(i = 1,2,3,4,5), e.e. = -e.e. pour
1
1 J
J 1
i ~ j, tous les autres produits étant nuls. Posons l = Ke . On
4
montre aisément que IQ = Ke + Ke + Ke .
3
4
5

---

- 75 -
Soit M un sous-ensemble non vide d'une algèbre de Mal-
cev A sur un corps commutatif K de caractéristique différente de
2. On dira que Mest un S Q.,;;système si pour tout idéal l de A, la
relation In Mf 0 entraîne UI(I)n Mf 0. Soit l un idéal d'une
algèbre de Malcev A sur un corps commutatif K de caractéristique
distincte de 2. On appelle SQ-radical de l l'ensemble I
= {xIx
Q
b A et tout S Q-système de A contenant x intersecte I},
Le lemme suivant dont l'analogue dans le cas des algè-
bres de Jordan a été établi par C. Tsai (cf. [23], lemme 2) et
dans le cas des algèbres de Lie par P. Dorai et p,S. Rema (cf.
[6], démonstration du théorème ~, est ici proposé sans démons-
tration.
Lemme 3.2.16. Soient A' 'u~ea19èbre de Malcev sur Un corps'conim~~
tatif K'de' caractéristique' différe'ntede 2. x'Un 'élénierit'de A' 'et
- -
~
S ~ S Q":systèniede Acorit'en'ant x . Il existe alo'rs~~ Q..'système
Mde Ate l 'que x appa'rtierine à M'et Mes.
,
~
Néanmoins, l'exemple suivant est suffisamment éclairant
de cette situation.
Exemp~e 3.2.17. Soit A une algèbre de Malcev non de Lie de dimen-
sion 4 sur un corps commutatif K de caractéristique zéro dont la
table de multiplication relativement à une base {e ,e ,e ,e } ~st
1
2
3
4
donnée par e e
= e
= e
= e
e~ =
1 2
2 ' e1e3
3 ' e4e1
4 1
Q (i = 1,2,
3,4), e.e. = -e.e. pour i f j, tous les autres produits étant
l
J
J 1
nul s. Il est cl air que tout S Q-système de A contenant e
est de
2
la forme {O ,e 2,ae1+Be3+ye4}a,B,y G K~ Il suffira alors d'écrire
M = {O,e } et de vérifier que M rempl it les conditions du lemme.
2
Proposition 3.2.18. Soit Bunesous'..:algèbre d'Une algèbre de Mal-
Cev A sur un Corpscomniutatif K'de caractéristiqUe différente de
- - -
< .
,
2. Si tout 'i'déalde Best 'un idéa'lde A, alors poUr tout i'déal
l ~ A, l Qn B est l e Q- fa dieal da nsB' deI n B.

---

- 76 -
En effet soit P un i déa l T-premi er de A; pour R et S
idéaux de B, posons UR(S)CpnB, Alors Rep ou'Sep, Il en
résul te que Re pnB ou sep n B et ceci nous di t que P n 8
0
est un idéal T-premier dans B. Désignons toujours par 1
le Q-
q
radical de l'idéal l de A. D'après la proposition 3,2.14, I
est l'intersection des idéaux T-premiers de A contenant 1, c'est-
Q
à-dire I
=~ Pi où pour tout;, Pi est un idéal T... premier de
A contenant I. Donc, IOn B = ((\\P.)t1B =(1 (p.n B) et comme
l
l
l '
P.f\\ B est un idéal T-premier de B contenant In B (idéal de B),
,
"
alors pour tout x élément du O-radical de r n B on a, pour tout
i, x G P. n B. Donc le Q-radi ca1 de l IÎ B est contenu dans IQn B,
RéCiproq~ement, soient x 6 IQn B, Mun Q-système dans B conte...
nant x et R, S des idéaux de A tels que Rn Mt- 0 ,Sn M"f 0.
Comme Rn Met S () M sont des sous-ensembles non vides de B on
a (R () B)IÎ M"f 0, (S fi B)I\\ Mt- ~ et, par suite uR()B(Sn B)nM "f 0.
D'où UR(S){\\M"f 0 car URt"IB(Sn B)flMCU (S)Î1M. Il s'e8suit alors
R
que Mest un O-système de A contenant x. Puisque x 6 l \\, alors
M intersecte 1. Ainsi (I n B)n M"f 0 et ceci nous dit que x ap-
partient au Q-radical de l'idéal l (l B de B.
Exemple 3.2.19. Soit A une algèbre de Malcev non de Lie de dimen-
sion 5 sur un corps commutatif K de caractéristique zéro dont la
table de multiplication relativement à une base {el,e2,e3,e4,e5}
est donnée par el e =
=
=
=
2
el - e2 ' el e3
e4 - e3 ' el e4
e4 ' e3e2
= ê
=
3 + e4 ' e2e4
e4 ' e? =0 (; = 1,2,3,4,5) , e.e. = -e.e.
l
1 J
J l
pour i "f j, tous les autres produits étant nuls, Désignons par B
la sous-K-algèbre de A engendrée par {e ,e ,e ,e }, On vérifie
l
2
3
4
aisément que tout idéal de B est aussi un idéal de A, Soit l l'i-
déal Ke
de A, alors IO = Ke + Ke + Ke
et IQIÎ B = Ke + Ke ,-
4
3
4
5
3
4
Comme Ke + Ke
est l'unique idéal maximal T-premier de B conte-
3
4
nant l ~ B = Ke , il vient que le Q-radical de l n B"est Ke + Ke .
4
3
4
Notons maintenant J l 'id~al Ke
de A. On montre facilement que
5
JO = Ke + Ke + Ke ' JQ (\\ B = Ke + Ke
et J (\\ B = {Cl J. Donc le
3
4
S
3
4
O-radical de {D} est le radical de B et d'après la proposition
3.2.22, le radical de B est la somme des idéaux résolubles de B,
c'est-à-dire la somme des idéaux {Cl}, Ke , Ke + Ke . A1nsi le
4
3
4

---

- 77 -
radical de B est " idéal Ke + Ke , soit JQn B.
3
4
Lemme 3.2.ZJ.S'oit P un idéal d'Une algèbre de Malcev A sur un
- - - - - -
- - r -
..
_
corps commLitatif Kdecaractéri sti gue différente 2,"Les asser-
~
.'
. .
t ,
~":"
'i
t'ions suivantesscint équivalentes: (i) Pest Lin idéal T.,.semi-
.
--
~
premier; (ii) si r est Lin idéal de A'tel ~ue 1 n c(P) ~ 0alcirs
~
- . - . - - ~
UI(I)n c(P) ~ 0.
En effet soit 1 un idéal de A vérifiant 1 n c(P) f 0.
Si UI(I)CP, alors lep car Pest T...semi-premier et ceci est
absurde car 1(\\ c(P) ~~, Donc (i) <=> (ii), Réciproquement soit
1 un idéal de A tel que UI(I)C P. Sil (l c(P) ~ 0, d'après l'as-
sertion (ii) on a UI(I) (\\ c(P) t- 0 , absurde car UI(I) C P, Par
suite I{\\c(P) = 0, c'est-à.,.dire lep,
Proposition 3.2.21.' Soit fun idéal' d'üne algèbre de Malcev A
- . -
•
Il
. •
sur 'Lin 'corps 'c'oniniutatif K de 'caract'éri stique' di'fférente 'de 2,
( 1
•
~
~
Il
~
;
Les'ass 7rtion:,' 'suiVantes' '70ritvraies' 'dàn~, A; (1) 16':;;~ l"in-
tersectiondesïdé'~~T-'S;:ni-~'r7niiersde,,~;?rit~nant 1; (2) 1Q
est Lin idéal T...;senii-p'remierde A; (3) l''est r-"senii":preniie'r' si
ètsM~si'I :' I ; (4) I = rQ
.-.--
...
c
<
Q
Q
En effet soient x b I
et P un idéal T.,.semi-premier de
Q
A contenant I. D'après le lemme 3.2.2), c(P) est un SQ ... système
de A vérifiant In C(P) = 0 car .I (\\ c(P)C P n c(P) = ~, Par sui-
te x ~ c(P) soit x 6 P. Ainsi I
est contenu dans tout idéal T-
Q
semi-premier contenant l, donc dans leur intersection. Récipro-
. quement supposons que x ~ I ; il existe alors un S Q-système M
Q
contenant x tel que In M=~. Soit :fla famille non vide des i.,.
déaux de A contenant 1 et n'intersectant pas M. D'après le lemme
de Zorn,~contient un élément maximal p. Montrons que P est un
idéal T-semi-premier. Soit donc J un idéal de A tel que Jcf-P.
Alors de la maximalité de P on (J + p)nM ~ 0 et, par suite
UJ+p(J + p)nM ~ 0. Il en résulte que UJ(J){\\M ~ 0 car UJ+p(J+P)
~UJ(J) + P. De plus la relation P n M= 0 nous dit que x b c(P).
D'où l'assertion (1).

---

- 78 -
(2). D'après l'assertion (1), 1
=0p. où pour tout i, P. est
0
1
1
1
un idéal T-semi-premier de A contenant 1, Soit donc J un
idéal de A tel que UJ(J) C I , Alors pour tout i, UJ(J)
Q
CP. et, par suite pour tout i, Je p .. Ceci nous dit que
1
1
J CI o'
(3). Si l est un idéal T-semi-premier de A, on a IOC Ii et com-
me 1 est l'intersection des idéaux T-semi~premiers de A
0
contenant l on a I e 1 , Donc l ;: I , Réci proquement si
0
Q
1= 1 , alors d'après l'assertion (2), l est un idéal T-
0
semi-premier.
Q
(4). Il est évident que IOC 10, Réciproquement soient x G I
et M un SO-système de A contenant x, alors d'après le lem-
me 3.2.16, il existe un Q-système N tel que x G N et NC M.
Comme InN t- Q, on a aussi In Mf. ~. Il en résulte que
x G I '
O
Soit l un idéal d'une algèbre de Malcev A sur un corps
l " , '
...
commutatif K de caractéristique différente de 2, On appelle"radi-
cal T~pr~~ier de l et on note O(I), l :idéal T-semi-premier IQ~ I~.
On appelle radical T-premier de At le radical T~premier de l'idéal
zéro. On appelleradica'lpr'eniier de A et on note R(A), l'inter~
i(
\\
,.........,.....
section de tous les idéaux premiers de A,
','
Théorè'me 3.2.22. S'oît A Uneal'gèb're 'de MaTcevde dillierisibn'Hri'Ïe
~.-
~.
sur Un corps commUtatif K"decaractéristique différente"de 2," A.,.
- - - - -
"..
-Q"'<
,
(
Tors R(A) est' 'lasonime 'des fdéo;ux résol uble's' 'de A,
--
,
'
En effet, désignons par~ la somme de tous les idéaux
résolubles de A et soit l un idéal résoluble de A. Il existe a-
lors un entier n tel que I(n) ;: {O}; ainsi pour tout idéal pre~
mier P de A on a I(n)cp et, par suite l CP. Il en résulte que
l est contenu dans l'intersection des tdéau~ premiers de A. D'où
~ C:R(A). Comme la dimension de la K~algèbre de Malcev A est
finie, alors ':5 est l'unique idéal maximal résoluble de A. Soit

---

- 79 -
11a famille des idéaux J de A tel que (R(A)) (n) q:J pour tout
entier naturel n. Si R(A) n~est pas résoluble on a ~ f:. ~ car
l'idéal zéro est élément de~. Ainsi, d'après le lemme de Zorn,
~possède un élément maximal P. Montrons donc que P est un idéal
premier de A. Si P n'est pas un idéal premier de A, il existe R
et S idéaux de A tels que R ct P, S ct: P et RS C P. De la maxima~
lité de P, il vient que R+P et S+P ne sont pas des éléments de
~. Ainsi, il existe p, q, en.tiers naturels tels que (R(A))(P)
CR+P, (R(A))(q)CS+P. Posqns k:; max(p,q); alors (R(A))(k+l)
C (R+P) (5 +p) C P et ceci est absurde car P 6 ~. Il en résulte donc
que P est un idéal premier de A, et, par suite la relation R(A)
ctp est aussi absurde, d'où R(A) est résoluble, Ainsi on a R(A)C:~
3.3. Idéaux des algèbres, de'Ue-Yamagut.i.
Dans ce paragraphe, nous établissons des relations en-
tre les idéaux T-premiers et premiers d'une K-algèbre de Malcev
et de l'algèbre de Lie construite sur A par Yamaguti (cf. [24J).
Les deux résultats suivantssontdus à Yamai]uti (cf, [24], [25J)
.'
Théo'rème 3.3. L Soient KUri'corpsconimutati fde ca ractéristi"q1Je
(
•
•
G(
(
•
t
....
<
'diffé'rent'e de 2 et Aune K-'a-lgèbrede Malcev ,\\'Hexiste Une K-
q .
•
~
- ,
~ .
'."
p....
~.
(,
(
.
algèbre 'de lie L"telleque L :; A@ D;' 'soniniedi'rec:te'-de K-espaces
'.
~ \\ . . . 4(
( . . . . -
, , ' .
"
u:
, < . \\.
ôi'
•
ve'ct'oriels, 'et Véri'fiarit les,cQn'd-itions [0,0] C ~et [A,D] C A
· C
l i
"
~
<
~
p'''-''-'
\\,.~
où 0 :; D(A) 'est 1 a' 'sous-K-a\\lgèbre'de L'i-e--de L-.erigeridrêepaY' les
-
~
"
"!"*""t
't'*'\\"
,
sbrnme'sfi"riies
L: d(x.,y.) ..... où les d(x.,y.)-sontdes K,:dérÏVa'ti'ons
e ' .
' .
l
l
' ' , . .
l
l
", , <
~ .. l
,
•
l
de A.
Considérons, en effet, l'application K-trilinéaire
AxAxA + A définie par (x,y,z) + [x,y,zJ :; y(zx) - z(xy) + x(yz);
l'application K-linéaire
~ d(xi'Yi) : A + A définie par z + L:
l
i
[xi 'Yi ,z] '(somme finie) est une K-dérivation de A.
Théorème 3.3.2. Soient K un corps commutatif de caractéri stique

---

- ffi -
différente de 2, A'une K~&èbrede Malcev et l ~idéal ~ A.
Alors l'algèbre ~e Lie 1@ D(1) est un idéal de l'algèbre de
Lie l (D D(1,A) et l'algèbre de Lie l (±)D(I,A) est un idéal de
~lgèbrè de Li;A(j)D(A).
.
Pou~l~s démonstrations de ces deux résultats et les
notations ici utilisées, on renvoie à [24]. Nous dirons que
A(I)D(A) est l'algèbre de Lie-Yamaguti associée à l'algèbre de
Malcev A.
ThéOrème 3.3.3. S~ient K~n corps co~mutatif d~caractéri~tique
•
. • <
~,(
différentede 2, A'Une K-'a'l gèbre de Malcev et 1, un i déa'lde A•
. . i t .
~
<..
t''''\\
<
'Alors: (i) l e'st Uri idéal maximal de A si et s'euleme'ntsi
- - - - . - - -
( .
, -
•
.
t '
,
i .
10D(I,A)
,'est Un id'éal ma>dma'l "de AG)D(A);ii)' Tout idéal ma..,
xtmo:l:'dè ACD D(A)'es{d'e l a forme l (±)~,A')dù l, 'e~:tun -idé'al~;'l'de A,
•
.
i
. . .
-
,
;--.....
;
F
' .
- - - . - - - - . - : . - . . . . - _ _ .
En effet, soit donclun idéal maximal de A; alors
I@D(I,A) est un idéal de A(±)D(A) et I(f)D(I,A) 7 A(i) D(A)
car si l'on avait l'égal ité on aurait l = A ce qui est absurde
puisque i est maximal dans A. Soit J un idéal de A(1)(A) tel
que IG)D(I,A)C J CA(i)D(I,A). D'après Yamaguti (cf. [24])~ il
existe un idéal P de A tel que J = P(±)D(P,A) donc IcPC.A et
d'après la maximalité de l on a l = P ou P = A. Ceci nous montre
que l G D( l ,A) est maximal dans AG D(A) où il est évi dent que
D(A,A) = D(A). Réciproquement si P est un idéal de A tel que
ICPCA alors I(±)D(I,A)C PŒ>D(P,A)CA(±)D(A) et la maxima-
lité de l (Î) D(I ,A) nous dit que l = P ou P = A, Donc l est max;'"
mal dans A.
Soit maintenant (démonstration de (ii)) J un idéal ma-
ximal de A@D(A). D'aprèsYamqguti (cf. [24]), il existe un i-
déal l de A tel que J = l G> DO ,A) et comme J est maximal, il en
est de même de I.
Exemp'le 3.3.4. Soient K un corps commutatif de caractéristique
zéro, A une K-algèbre de Malcev de dimension 4 dont la table de
multiplication relativement à une base {e ,e ,e ,e } est donnée
1
2
3
4
2
par e2e1 = e2 ' e3e =
=
=
=
1
e3 ' e1e4
e4 ' e2e3
2e4 ' ei
0 (i =

---

- 81 -
= 1,2,3,4) , e.e. = -e.e. pour if j, tous les autres produits
, J
J '
étant nuls. Sil ~on pose Y1 = D(e ,e )
,e ) et Y3 = D
1
2 1 Y2 = D(e 1
3
(e 1,e4), la K-algèbre de Lie L = A@D(A) est définie par la
structure suivante
YI
Y2
e
o
, 1
o
2e4-Y3
o
Q
Q
o
a
o
0)
Q
o
o.
o
o
Q
4Y
o
3
Y2
o
-4Y 3
0
Q
" . \\
o
o
o
Cl
o
'J
LI)déal P = Ke + Ke + Ke
est maximal dans A et on montre sans
2
3
4
p~ine que pŒ) D(P,A) = Ke + Ke + Ke + KY l + KY 2+ K'(3 est un idéal
2
3
4
maximal de A + D(A). De plus on vérifie que P est le radical pre-
mier de A.
Théorèine 3.3.5. Sbi'ent K\\~ corps commLitatifde 'caractéri'sti'que
"différente,de 2, A U'ne K'-algèbre de'Mal'cevet P'~ri îdé'a~'?e A.
lescondi Hans sUivaritessant équiValentes : (i) p'. 'est Uri idé'a l
r .
~
premier de A; (ii) P(±)D(P,A)'estidéalpremie'r d~.AG)D(A).
En effet, soi ent Q et R des idéaux de lia l gèbre de Lî e
A<±)D(A) tels que lion ait lQ,RjC P(±)D(P,A), où P est un idéal

---

- 82 -
premier de A. Il existe alors des idéaux l et J de A tels que
Q = 10D(I,A) et R = J(±)D(J,A) et d'après la multiplication de
AG> D(A), on déduit que IJc P d'où le P ou Je P soit Qc pŒ
Œ)D(P,A) ou Re PG)D(P,A). Ceci-nous dit que PG/D(P,A) est un
idéal premier de A$ D(A).
Réciproquement soient 1 et J des idéaux de A tels que
IJcP. D'après Yamaguti (cf. [24]), IGO(I,A) et J(±)O(J,A)
sont des idéaux de A®O(A) tels que [1 00(I,A), J<±)O(J,A)]
C P(±)O(P,A) d'où I<t)O(I,A) CP<±)O(P,A) ou J(±)O(J,A)C PŒ
@O(P,A) car P@O(P,A) est un idéal premier dans A<±)O(A). Ceci
nous dit que lep ou J c: P et, par suite P est un idéal premier
de A.
Exemple 3.3.6. Soit A une algèbre de Malcev non de lie de dimen-
sion 5 sur un corps commutatif K de caractéristique zéro dont la
table de multiplication relativement à une base {el,e2,e3,e4,e5}
est donnée par e
~
=
1e2 = el ~ e2 ' e1e
e
' e e
e
' e e
3 = e4
3
=
1 4
4
3 2
= e
=
3 + e4 ' e2e4 = e4 ' e~ = 0 (i = 1,2,3,4,5) , eie
-e/
j
i
pour i ~ j, tous les autres produits étant nuls. Si l'on pose
y 1 = 0(el' e2) , y 2 = 0(el' e 3) , Y =
3
0(el' e4) (= 0 (e 2 e4)) ,
'
Y
,e) , la K~algèbre de lie-Yamaguti A@O(A) est une
4 = O(e2
algèbre de lie de dimension 9 et est définie par la structure sui-
vante :

---

el
e
e
e
e
Y
Y
Z
3
4
5
YI
YZ
3
4
el
0
el-eZ+Y 1
e
Ze
Z(e +e )
4-e
)
Ze
3+Y Z
e4+Y 3
0
2(e Z-e l
3
4
3
4
eZ
eZ-el-Y 1
0
Y4-e
2e
3-e4
e4+Y 3
0
Z(eZ-e
-e
l )
Z(e 3 4)
2e4
3
e3
e3-e4-'( Z
e3+e4-Y 4
0
0
0
Ze4
0
0
a
e4
-e -y 3
-e4-Y 3
0
0
0
0
0
0
a
e5
0
0
0
0
0
0
')
0
a
YI
Z(el-e Z)
Z(el-e Z)
-Ze 4
0
0
a
2Y z-Zi 4
0
2Y z-2Y 4
..
Y
-Ze
Z(e -e )
0
0
0
2Y -2Y
z
4
3
4
Z
0
0
0
3
Cf)
w
Y
-Ze
3
4
-Ze4
0
0
0
0
0
0
0
Y
-Z(e +e )
-Ze
-Zi
0
0
0
4
3
4
3
0
0
0
2Y 4
z

---

- 84 -
L'idéal P = Ke + Ke + Ke
est maximal et premier dans A et l'idéal
3
4
S
P El D( P,A) = Ke + Ke + Ke + 1« Z+ KY 3+ KY 4 de 1a K-a 1gèbre de Lie
3
4
S
A@D(A) est aussi maximal et premier. Comme A@D.(A)
P@D(P,A) =
1
= Ke 1+ KeZ + KYi. est une alqèbre de Lie résoluble, rllnr<:: P@D(P"A)
est un idéal T-premier de A$ D(A).
Corollaire 3.3.7. Tou~ idéa} premier de A@D(A)estd~ la form;..
PŒD(P,A)~ Pe~t un idéal preniierd~ A,
Coronaire 3.3.8. S'oient A Une algèbre de Mëilcev sur Liri Corps
commutatif Kde caractéristique différente de Z~ p' uri idéal ma-
.'
. <
-
c.
'
.
.
;r- ...
xinta'lde A. Le'Sëissertiohs sUlvahtessontéqui'Yalerit'es ; (i) P
,
r
. ' . 1....
( +
estvrii~a'lpre~'fer; (ii) dimk(A@ D(A) 1 PŒ;l D(P,A)) > 1.
En effet soit P un idéal premier de A, d'a~rès le théo-
rème 3.3.5, P Q D(P,A) est un idéal premier de A@D(P,A). Ainsi
si dimk(A(f)D(A) 1 P<DD(P,A)) = l , alors la K-algèbre de Lie
AG)D(A) 1 P(t)D(P,A) est abélienne et [A<±)D(A) ,A(±)D(A)J
C P@D(P,A). Il en résulte que AZe p soit AC P, ceci est ab-
surde, car P est un idéal maximal de A. Donc dimk(A(±) D(A)
pŒ
1
(f)D(P,A)) > 1. D'où (i) =0> (ii).
Réciproquement supposons que P ne soit pas un idéal pre-
mier de A. Alors P<±)D(P,A) est un idéal non premier de AŒ)D(A).
Ainsi, il existe l et J des idéaux de A tels que IŒD(I,A)ct:P®
<±)D(P,A) ,J0D(J,A)<;tPQD(P,A) et Cl (±)D(I,A) ~. J(±)D(J~A)J
C P@D(P,A). D'après la maximalité de P(±)D(P,A) et la multi-
plication de A(tJD(A) on a: [AŒ)D(A) ,A<±)D(A)J = [(I(±)D(I,A))+
+ (PG)D(P,A)) , (J(±)D(J,A)) + (PG)D{P,A))]CP(±)D(P,A). Il
en résulte que A(±)D{A) 1 P(±)D(P,A) est une algèbre de Lie abé-
lienne. De la maximalité de PŒ)D(P,A), il vient que A<±)D(A) !
1
P (±) D( P,A) ne conti ent aucun i déa 1 propre, Ceci nous dit que
la dimension de l'algèbre de Lie A(±)D(A) 1 P0D(P,A) doit être
éga 1e à 1.
~hébrème 3.3.9. Sbient K tincbrps Commutatif decarëictéristi~~e.

---

- 85 -
différente de 2 et A Une K-algèbre de Malcev. Si p'est un idé'al
- -
~
.
~
. ' f
T-premier de A, a'l?rs P@D(P,A)'~st un idéal T-premier de l'al-
gèb'rede tie-yantaguti.A 0 D(A).
En effet soient L = A0D(A) la K-algèbre de Lie-Yama-
guti et v : L -)- Endk(L) l'application K-quadratique définie par
v
(z) = ~((xz)y + (yz)~) quels que soient x,y,z dans L. Si Q,
x , y , .
R sont des idéaux de L tels que VR(Q)CPŒ>D(P,A), il existe a-
lors des idéaux l et J de A tels que Q = l \\t) D(I,A) , R = J Œ)D
(J,A) donc si u : A -)- Endk(A) est l'application K-quadratique a-
na l ogue à v, on a UJ (1) CV R(Q) n ACP, d~ où J C P ou l C. P car
Pest T-premier. Donc, QCP<±>D(P,A) ou RCPl±)D(P1A)1 c'est-
à-dire, P(t)D(P,A) est un idéal T-premier de L.

---

- 86 -
C HA P l TR E
4
NOTES S UR LES ALGEBRES MALCEV-ADMJSS l BLES
Il a été établi par A.I. Malcev (cf, [21]) que si l'on
munit' une algèbre alternative A de la multiplication définie par
[x,y] = xy - yx ~our x, y parcourant A, cette nouvelle algèbre
est de Malcev. Dans ce chapitre, nous montrons que toute algèbre
de Malcev peut être plongée dans une algèbre Malcev~admissible
et flexible et établissons quelques propriétés relatives à la
structure d'une algèbre Malcev-admissible,
Soit A une algèbre sur un corps commutatif K et notons
A la K-algèbre obtenue à partir de A en définissant la multipli-
cation par [x,y] = xy - yx pour x, y parcQurant A. On dit que A
est une K-algèbre Ma'lcev-admissible si A- est une algèbre de Mal-
t
.
.
. .
cev sur K. On dit que A est flexible si quels que soient x et y
,
"
4
dans A, on a (xy)x = x(yx).
Exeniples4.1. Si A est une algèbre standard généralisée sur un
corps commutatif K de caractéristique zéro, (cf, [2]), l'algèbre
A- est de Malcev. Il suffit pour cela de remarquer que, si l'on
désigne par et(x,y,z) = (xy)z .,. x(yz) et cx.... (x,y,z) ;= [[x,yJ ,z] -
- [x,[y,z]] les associateurs de A et A- respectivement on a :
et-(x,y,z) = 2h(x,y,z) + [y,[z,xJJ dans toute algèbre flexible 00
3
h est l'application K-trilinéaire de A dans A définie par
h(x,y,z) = cx(x,y,z) + et(y,z,x) + et(z,x,y). Ainsi, la K-algèbre
A- est de Malcev si et seulement si l'identité [h(x,y,z),x) =
h(y,x,[z,x)) est satisfaite pour tous x, y, z dans A. Or, d'a-
près le lemme 1 de [2], [h(x,y,z),x] - h(y,x,[z,x]) = 3[et(x,y,
z) , x) - 3et (y, x , [z , x)) =0 .
4.2. Si A est une K-algèbre associative, A est de Lie donc de
Malcev.

---

- 87 -
4.3. Soit A une algèbre de dimension 4 sur un corps; commutatif
K de caractéristique zéro dont la table de multiplication rela-
,
tivement à une base {e l ,eZ,e3,e4} est donnée par eiez = el '
1
Z
ele3 = -e3el = Ze4 ' eZe4 = eZ ' e3eZ = e3 ' eZ = ,eZ , tous les
autres produits étant nuls. On vérifie aisément que A est une
algèbre flexible, Malcev-admissible.
Théorème 4.4. Tolite 'algèbre 'de Malc'evsur un,corpscommutat'if. K
de càractéristi qLie différente' de 2'peut être plongée,. 'en tant
.
.
t
..
..
( '
gu 'idéa'l,bïl atère"daris 'Une K.~lgèbrefl exibleetMalcev.cadmi s-
sible.
En effet soient A une algèbre de Malcev 'sur K, B une
K-algèbre Malcev-admissible et f ; B+ K une forme linéaire sur
B. Sur le K-espace vectorielC= A@--B orldêfinit l-~ multiplica-
tion (x + b)(y + c) = xy + f(b)y + f(c)x + bc, quels que soient
x, y dans A et b, c dans B. Il est clair que C est une K~algèbre
et la multiplication de C· est donnée par [x + ~, y + c] = Zxy +
+ [b,c] pour x, y dans A et b, c dans B, Si J désigne le jacobien
de C-, on a J(x+b,y+c,z+d') = 4((xy)z + (yz)x + (zx)y) + [[b,c],
d] + [[c,d],b] + [[d,b],c] quels que soient x, y, z dans A et b,
c, d dans ~ d'oO J(x+b,y+c,z+d) = 4J(x,~z) + J(b,c,d) 00 J(x,y,
z) est le jacobien calculé dans A et J(b,c,d) celui calculé dans
f. Comme A et B- sont des algèbres de Malcev, on déduit que
J(x+b,y+c,[x+b,z+d]) = 8J(x,y,z)x + [J(b,c,d),bJ quels que soient
x, y, z dans A et b, c, d dans B. Finalement, J(x+b,y+c,[x+b,z+d])=
= Z(4J(x,y,z)x) + [J(b,c,d) ,b] = [4J(x,y,z) + J(b,c,d) ,x+bJ =
= [J(x+b,y+c,z+d),x+bJ avec x, y, z dans A et b, c, d dans B, ce
qui nous montre que C~ est une algèbre de Malcev donc C est Mal·
cev-admissible. Si, de plus, B est une K-algèbre flexible et si
f([b,cJ) = 0 quels que soient b, c dans B, alors l'algèbre C est
elle-même flexible. En effet, ((x+b) (y+c)) (x+b) = (xy)x + f(bc)x+
Z
+ f(b) y + f(b)f(c)x + (bc)b et (x+b)((y+c)(x+b)) = x(yx) + f(cb)
Z
x + f(b) y + f(b)f(c)x + b(cb), pour tous x, y dans A et b, c dans
B, d'où le résultat voulu.

---

- 88 -
Finalement, quels que soient x, y dans A et b dans S,
on a (x+b)y = xy + f(b)y et y(x+b) = yx + f(b)y, donc A se plon-
ge dans C en tant qu'idéal bilatère.
Théorème 4.5. Soient Bun~< algèbre Lie-admissible sur un corps
tommutatif Kde caractéristtquediffé~ente de 2 f : B-+ K~he
1
<;
-......-.
forme l'inéa'ire s~r S telle g'ue f([b,c]) ::; 0 ,quels qUe soient
2
b, cdâ~s' Set À~ne K-~'lgèD~~ telle que x =QpOUftdut x' dans
- ,_ . _
-
_
~""
Q
t
.,
T'""-..,.-..
A.Considéroris sur'l e K-esp'acevectortel C = ACD B' la: 'strUctUre
~----~-'-',
.
r ·
,
d'a:lgèbredéfiriie 'par (x+b)(y+c) = xy + f(b)y + f(c)x + Dc"pour
~.,-
tous x, y da'ns Set b, c dans S'.S i (est une algèbre Malc:ev-'ad-
- -
-- ~
----~.
-
~
. '
'"
missible'sur K, alors A est' ùne K-algèbre de Malèev~l'algèbre
••
. ~
(OC
'.~'.'.
,t
, i
t".'.".'!.<
"
. "
A 's"e 'plo'ri'gè 'dans Cen' taritqu 1 i déa l Dîlatère'et C' 'estfTexibl e
( c :
~ _
si et seulement si S'l'est aUssi.
En effet on remarque tout d'abord que xy ::; -yx quels
que soient x, y dans A, donc [x+b,y+xJ = 2xy + [b,c] pour tous
x, y dans A et b, c dans S. Or S- est une algèbre de Lie sur K,
d'où J(x+b,y+c,z+d) = 4J(x,y,z) et, par suite J(x+b,y+c~[x+b,
z+dJ) = [J(x+b,y+c,z+d) ,x+b] ou encore J(x+b,y+c,[x+b,z+d]) =
= 8J(x,y,z)x, quels que soient x, y, z dans A et b, c, d dans
B. Par ailleurs, J(x+b,y+c,[x+b,z+d]) = 8J(x,y,xz) + J(b,c,[b,
d]) = 8J(,x,xz) soit finalement J(x,y,xz) = J(x,y,z)x pour tous
x, y, z dans A. Donc, A est une algèbre de Malcev sur K.
4.6. Etud-ect'unèx'em'p'l e. Nous donnons ici un exemple d'une for-·
..
me linéaire non nulle qui s'annule sur les commutateurs et nQUS
procédons à la construction donnée au théorème 4,4.
En effet, soit S la K-algèbre dont la table de multi-
plicati~n sur u~e base {bl~b2,b3,b4} est ~o~née par b1b2 = bi'
b1b3 =2 b4
b2 = bZ ' b2b4,= b4 ' b3b1 = ~ b4 ' b3bZ = b3 '
tous les autres produits étant nuls, où K est un corps commuta-
tif de caractéristique zéro. On sait (cf. exemple 4,3) que S
est une algèbre flexible, Malcev-admissible et il est évident
que Bn'est pas une algèbre de Malcev. Soit f: S-+ K la forme
linéaire sur S définie par f(b ) = 0 , f(b ) = l , f(b ) = 0 et
l
Z
3

---

- 89 -
f(b 4) = O. On vérifie aisément que quels que soient b, c dans B
on a f([b,c]) = O. Par ailleurs, considérons l'algèbre de Malcev
A de dimension 4 sur K dont la table de multiplication sur une
base {e 1,eZ,e3,e4} es~ donné~ par e1eZ = el ' e1e3 = e4 ' eZe3 =
= -e
, e e
= e , e.
3
Z 4
4
=0
(1 = 1,Z,3,4) ,e.e. = ... e.e. pour
1
1 J
J 1
i f. j, tous l es autres produi ts étant nul s. Sil'on défi ni t sur
le K-espace vectoriel C = A® B la structure d'algèbre donnée
par (x+b)(y+c) = xy + f(b)y + f(c)x + bc, pour tous x, y dans A
et b, c dans B, la table de multiplication de C relativement a
la base {e1,eZ,e3,e4,b1,bz,b3,b4} s'obtient en réunissani celle
de A relativement a la base {e ,e ,e ,e }, celle de B par rap-
1 Z 3 4
port a {b ,b
,b
= e
1 z ,b3 4} ainsi que les relations eib z = bze i
i
(i = 1,Z,3,4) et e.b. =0 (i,j = 1,Z,3,4 , j f. Z). L'algèbre C
l
J
..
est, d'après le théorème 4.4, flexible, Ma1cev~admissib1e et A
se plonge dans C en tant qu'idéal bilatère. Il est clair que C
n'est pas une algèbre de Malcev.
4.7.Sb~s-algèbre dè Ca~tan d'Une'a1gèbre de Ma1tev
< ~ <. ,
q .
..
i
(
.
"
Dans' ce paragraphe, K désignera ~oujours un corps com-·
mutatif de caractéristique zéro. Soient V un K-espace vectoriel
de dimension finie et f un endomorphisme de V. On note V
le
of
ni1 espace de f, c'est-a-dire l'espace
U Ker fn et VIf l'inter-
n.
n~O
section des images de f , On sait que V = Vof(±)V
(somme di-
lf
recte d'espaces vectoriels); cette décomposition s'appelle la
décomposition du K-espace vectoriel V définie par f, De plus,
Vof et VIf sont stables par f. On montre aisément que les res-
trictions de f a V
et VIf sont respectivement nilpotente et
of
bijective (cf. Jacobson [lZJ).
Soient A une K-a1gèbre associative, a un élément de
A. Considérons alors la dérivation intérieure D' : x ~ x' =
[x,a] = xa - ax et posons x(k) = (x(k-1))',x(0)a= x, On montre
par récurrence sur k les formules suivantes: xa k :: akx + C~
k-1,
(k)
k
k
1 ,
k-1
(k)
a
x +... + x
, a x = xa
C x a
+...
k
± x
(cf. Ja-
cobson [lZ], page 38).

---

- 90 -
Lemme 4.8.1. Soient f, 9 deux endomorphismes d'uri K~espace vecto-
, n
riel V.S'il existe un entier n ~ l"tel que [".[[g,f],f]."f] = 0
.
alors V
et VIf ~on~ stables,par g.
of
En effet supposons fT1(x) = 0; alors, pour k = n+m-1,
k
( k
1
k-1
n-1
(n.,.1) m) ( )
.
on a f (g(x)) = gf
+ C g~ f
+. ,,+ C
9
f
x
= O. A,n-
k
k
si, on obtient g(x) b V ' Soit maintenant x 6 Vlf' Si t :;: 1 est
of
t
t-1
_ .
t+n-1( )
tel que f (V) = f
(V) =..• ~ V'f' on peut ecr,re x = f
Y .
D, -
() = (ft +n- 1()) = (ft +n- 1_ Cl
ft+n..,.Z, +
+ Cn- 1
ou g x
9
y
t+n-1
g , • ,-
t+n-1
ft 9(n-1))(y) appartient à ft(V) ='Vlf' Ainsi, on a g(V
) C.V
'
lf
lf
.
Proposition 4.8.2: Soient H' Lirie so't.is":algèbrem'lpoterite'd"'Une K-
~.'
"
'"
.
'.'
.
. ; ; > + .
a19èb:e ,'deMal~ev. A ~!- A =A <VAll'~ .d~comp6sj
o
ti on de Fittin9 ,
de Are'latiVemenl à {R
1
x 6 H.} " '.Alors A·'estune sous';a1gèb're
- .
'..
C " . ·
X
k~o-,"""
. . .
~A et A A
o 1 C Al' ·~.Ao = {x 1 Rh(x) = 0, h b·f{ , k ~ a}.
La démonstration étant analogue à celle des algèbres
de Lie (cf. Jacobson [12J), nous l'omettons.
SoitH une sous-algèbre d'une algèbre de Malcev sur K.
On dira queH est unesQlis'-algèb're de Cartan de.A si: Ci) H est
t"4
•
nilpotente; (ii) H = A '
o
Proposi'tion 4.8.3. Sd'ient H'unèsous-algèbre de Cartan d'une
a'l~èbre':~MaTcev A'~Ur:.~tt.'A~·.~ {x lx b 'A, (Rh-' o;i (h)) n(x) = 0,
pour tout h dans H.} . Alors ~ (lJ A =<DA
j
(2).A
A
CA
~
a.
0;.
0;.
0;.+0;.
si i ~ j ,enparticU~ H.Aa . c Aa.·~ur ~Q~t i; (3) A~~ c: A2~. 4
1
,
l '
(f) A
; (4) J 01 ,A
,A
) = 0 'p'ou r i f j; (5) J 01 ,A
?A
) C A ;
-a .
a.
a ..............--
a.
a .
.,.a.
,
1
J .
.
,
l
,
(6) J (A
, A ,A
) = Opo'u r i f j f k fi; (7) J (A
,A
,A
) = 0
a·
a .
a
...---.-
a.
a.
a .
1
J
k
1
,
J
pour a. ~ O,a.,a ..
J
1 - 1
Pour la démonstration, voir S agle [25].
Si A est une algèbre sur K, l'algèbre A+ est celle obtenue à par-
tir de A en définissant la multiplication xoy ~ ~ (xy + yx). Il

---

- 91 -
a été établi par Anderson (cf. [lJ) que A est flexible si et seu-
+
lement si D = R
x
x
Lx est une dérivation de A pour tout x dans
A.
Soient maintenant A une algèbre flexible, Malcev-ad-
missible de dimension finie sur K, K une sous-algèbre de Cartan
de A- où le corps commutatif K est algébriquement clos. Alors,
A- =H (DA ®'" Œ)A
où A = {xix b A,(D h .,. a(h)I)k(x) = 0
a
y
a
pour tout h dans H}. D'après la proposition 4,8.3 on a [AG,ABJ
CA
S si a f 13 et [A ,A ] C A2 \\DA . Comme Oh est une déri-
a+.
+
a
a
a
.,.a
vation de A , alors Aa(h)o A(3(h) CAG(ht+S(h) si a(h)+S(h) est
une valeur propre et Aa(h)o AS(h) = 0 Sl G(h) t S(b) n'est pas
une valeur propre. Il est clair que A = (\\ A (h) et, par sui.,.
a
h~!{ a
te A 0 A13C A B si a+S est une racine et A 0 A = 0 si a+13
Q
a
~_.
a
~
n'est pas une racine.
Théorème 4.8.4. Soi'ent A' une algèbreflexible,"Malcev-adrTiiss'i-
<
•
«
, ..
• < . •
•
C
il' (
"
. • .
-
.
ï-
blededimeriS'iorr Hnie\\Stir Li ri corps 'commutatif K'decaractér;s-
ti que zéro ',"s ' ~ri'è scus -~ l ~èbrè d~ A'-'·et· H" '·une' so~~ -a l gèbre d~
.
.(.~
. '
_
J '
~
, _
.
Cartan' de S . Alors les assertions suivantes sbnt équivalerites
(i) S est une sbus"-algèbre'de A; (ii) H11CS.
.
.
En effet, remarquons tout d'abord que pour tous x, y
dans A, (x,y,y)+(y,y,x) = 0 car A est flexible et, par suite
y(yx) = (xy)y - [x,/]. Il en résulte donc que [[x,y] ,y] = 2(xy)
2
2
Y - (yx)y - y(xy) - [x,y ] = 2[x,y]y .,. [x~y ] car y(xy) = (yx)y.
Soi ent donc Hune sous-algèbre de Cartan de S , Sa = {x 1x 6 S ,
(Dh-a(h)I)n= 0 pour tout h dans ~}. D'après la proposition '4,8.3
due à Sagl e, on sa it que S = Qs
où H =S
et [H., S ] CS.
\\V a ·
0
a
a
Pour tout a non nul, choisissons un h dans K tel que a(h) f O.
Alors Oh : Sa +Sa est une application surjective car sinon les
relations Dh(X) = 0 pour un x non nul dans Sa et (D - a(h)I)n(x)=
h
= 0 nous disent que a(h)n x = 0 et ceci est absurde. Il en résul-
te que IH ,sa]CS a pour a f 0 et a(h) f O. Soit maintenant x dans
S . D'après la remarque ci-dessus on a [x,h]h = ~ ([[x,h],h] +
2
+a[x,h ]) 6 S + [S,HH]. Ainsi, si HH eSt on a [x,h]h 6 Set,

---

- 92 -
par suite S h cS . Soit k un élément quelconque deH; l'algèbre
a
A étant flexible, alors 0
est une dérivation de A+ (cf. [1]).
xl
' 1
Ainsi, [x,hk] = 0x(hok) + 2 [x,[~,k]] = 0x(h)ok + hoOx(k) +~
[x,[h,k]] = [x,h]ok + ho[x,k] + r [x,[h,k]] = [x,h]k + h[x,k] ..
-i ([[h,k],x] + [[k,x],h] + [[x,h],kJ). D'où [x,h]k = [x,hk] ..
1
1
l I t -
-[x,k]h - 2" [[k,x],h] + Z [[h,kJ,x] + r [[x,h] ,k]6 S, c es -a-
direS HcS poura~ °et commeS H =HHcS, alorsSHc:::S. Pour
a
0
x dans S
y dans S, a ~ 0, a(h) ~ 0, on a y[x,h] = [x,yh] -
.
a'
- [x,y]h + ~ ([[y,h],x]+ [[h,x],y] + [[x,y],hJ) b (Sa,s'-J] +,
+ CS
l-J] h + [CS,H],S ] + [l.H,s ],s] + [(S
,H], h] c: S. Donc
a
a
a
a
SS c::::. S pour a ~ O. Pui sque SS CS car S 0 = H , on a SS CS.
a
0
Ceci nous dit que (ii)=> (i). Il est clair que (i) => (ii),
Exe~ple 4.S.5. Soit A une algèbre de dimension S sur un corps
commutatif K de caracféristique zéro dont la table de multipli-
cation relativement à une base {el,e2,e3,e4,e5,e6,e7,eS} est
donnée par e e
= e - e
' e e
= e
1 2
l
2
l 3 = -e 3+2e 4 s e l e 4
4 ' e 1e 6 =
= el ' eZe3 = -e3 ' eZe4 =le4 ' eZ~6 = e2 1 e3e6 = e3 ' e4e6 =
= e4 ' e5e6 = eS ' eSe7 = 2 eS ~ e6 = e6 ' e6eS = es ' e7eS ~
= -i e
=
8 ' e7e6
e7 ' eie = ...eje (;,j) = 1~2,3,4
j
i
1 i f j),
e e
= e e
= e
pour i = 1,2,3~4, tous les autres produits é-
6 i
i 6
i
tant nuls. On vérifie que A est flexible, Malcev-admissible;
S = Ke + Ke + Ke~+ Ke
est une sous-algèbre de A"'; H = Ke
est
1
2
4
2
une sous-algèbre de Cartan de S et HH Co S. Ainsi, d1après le
théorème 4.S.4, S est une sous-algèbre de A.
Proposition 4.S.6 .. Soient A' unea12èbre, fleXfble,'~,aTcev-admis­
~ible de di~erision finie sur un corps COMmutatif K\\a19ébfi~ue",
•
,
'li'"
meilt clos de caractéristique zéro, S'-Une ~ous:"algèb-re'de A":'et
.
' . .
.
,
r
- .
\\
'
.
_ .
H Ùile sous-algèbre de Cartari'~e S ;"Albrs poUf uri idéa,l .Rde A-
les assert1onssuivantessont éqUivalentes: (i) [S ,R] = 0;
(ii)[ H,R] = O.
En effet soi t S = QS a la décompas i ti on de Cartan de
S relativement à H. Pour chaque racine a ~ 0, choisissons un h
dans H tel que a(h) ~ 0; alors Oh : S +
S
est une application
a
a

---

...
- 93 -
surjective. Ainsi, on a [Sa,hJ = Sa pour a .,. 0 et a(h) .,. O.
Il en résulte que [Sa,hJ = [[Sa,hJ,hJ et, par suite, si D-I ,RJ =
= 0 et a.,. 0, on a [Sa,RJ = [[[Sa,hJ,hJ,RJ C[[h,RJ,[h,·SaJ]
+
+ [[[h,RJ;5 J,hJ + [[[R;5 J,hJ,hJ = 0 car R est un idéal de A-
a
a
D'où [S ,RJ = a et, par suite (ii) => (i). Il est immédiat que
( i) => (i i ) .

---

- 94 -
C K A P '1 TR E
5
ALGEBRE ENVELOPPANTE ET CO~OMOLOG1E
DES B1MOD·ULES DE MALCEV
Ce chapitre comporte deux parties. Dans la premlere,
nous construisons l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Malcev
sur un corps de caractéristique différente de 2 en suivant les
idées de N. Jacobson développées dans [13] (cf. chapitre II).
Nous démontrons entre autres résultats que l'algèbre enveloppan-
te de la somme directe de d'eux algèbres de M~lcev est isomorphe
au produit tensoriel des._~lg~bres enveloppantes de ces deux al-
-
-. --_. :-.-----------------_._.~
gèbres. Dans la deuxième partie, nous étudions la cohomologie des
bimodules de Malcev en nous servant de résultats de la première
partie. Le corps K étant fixe et supposé de caractéristique dif-
férente de 2, toutes les algèbres et espaces vectoriels considé-
rés par la suite sont pris sur K et les produits tensoriels con-
sidérés sont aussi pris sur K.
5.l.Algè~reenveToppa:nt<e • Soient V un K-espace vectoriel, A une
algèbre de Malcev sur K et supposons qu'il existe deux applica-
tions K-bilinéaires AxV + V, (x,v) + xv et VxA + v., (v,x) + vx
vérifiant les conditions suivantes: (i) xv = -vx , quels que
soient x dans A et v dans V; (ii) (xy)(vz) = ((xv)y)z +
+ ((vy)z)x + ((yz)x)v + ((zx)v)y, quels que soient x, y, z
dans A, v dans V. On dira alors que V est un A.. bintodlile de Mal-
cev.
Soient A une algèbre de Malcev et C une algèbre asso-
ciative a élément unité. On appelle~pétialisation de Mal~ev de
A dans C, toute application K-linéaire f : A + C vérifiant pour
x, y, z parcourant A, f((yz)x) = [f(x),f(z)f(y)] + f(y)f(zx) -
- f(xy)f(z) 00 l'on note [f(x) ,f(z)f(y)] = f(x)f(z)f(y) - f(z)

---

- 95 -
f(y)f(x) le crochet dans C. Si C'est une autre algèbre asso-
ciative à élément unité et g : C 7 C' un morphisme d'algèbres transformant
l'élément unité de C en élément unité de C', alors gof est une
spécialisation de Malcev de A dans C'.
Soient Y un espace vectoriel et A une algèbre de Mal-
cev. On appelle rèprésentation de A dans Y une spécialisation
<
de Malcev p de A dans Endk(Y). On dit que Y est l~espace de p;
on pose p(x) = xy et p(x)(v) = xyv = xv pour x dans A, v dans Y
et on dit que Y est un A-module ou A-bimodule.
Soient A une algèbre de Malcev, T(A) l'algèbre tenso-
rielle du K-espace vectoriel A et J l'idéal bilatère de T(A) en-
gendré par les tenseurs de la forme y <9 zx - xy ® z + x 0 z 0 y -
- z ~ y ®x - (yz)x. où x, y, z parcourent A, L'algèbre associa-
tive E(A) = T(A)/J est appelée l~al'gèBreenveloppante de A, L'ap-
plication K-linéaire composée a des applications A + T(A) et
T(A) + E(A) s'appelle l"applî'catiOri'canonique de A dans E(A).
_.
- "
, .
.
Pour x, y, z dans A, les éléments Y®zx - xygŒ)z + x0 z Œ)y -
- z ® y ® x et (yz)x sont congrus dans T(A) modulo J, donc
a( (yz)x) = a(y)a(zx) - a(xy)a(z) + a(x)a(z)a(y) - a(z)a(y)a(x)
dans E(A). Il en résulte alors que a est une spécialisqtion de
Malcev de A dans E(A).
Proposition S,LI. (propriété universelle de l'algèbre E(A)).
------",
'
\\
Soient A Uriealgèb'red'è Malcev ,dl'applica'tîoncanonique 'de A
•
.
.
c
"
,
dans l'algèbre enveloppan'te E(A), Cune algèbre as'sbc'iative à
".
.
, (
.
élément Unité et T ünespéciaHsatiOri de Malcev 'de A-ctans C.
~
Il existe al ofsUn morphi sllied 'algèbres et Liri seul T,de E(A)
.
.
~
dans C tel que T(1) = l'et T 0 a = T.
En effet comme E(A) est engendré en tant qu'algèbre,
par 1 et a(A), alors T est unique, s'il existe. D'autre part,
soit ~ l'unique morphisme d'algèbres de T(A) dans C qui prolon-
ge T et tel que ~(1) = 1. Pour x, y, z dans A on a ~(y ® zx -
- xyGS)z + xQPzŒ)y - z®y@x - (yz)x) = T(Y)T(ZX) - T(XY)

---

- % -
1(Z) + 1(X)1(Z)1(Y) - 1(Z)1(Y)1(X) - 1((YZ)X) ::: 0 donc 1>(J) ::: 0
et 1> définit, par passage au quotient, un morphisme d'algèbres
T de E(A) dans C tel que T(l) ::: 1 et T 00::: T.
Coronaire 5.1.2. Soient E(A) et E' (A)'deux algèbresenveloppan-
-
,
tes del' algèbre de Malcev A. Il existe alors un isomorphisme de
E(A) ~ E' (A) (unicité de l'algèbre enveloppante à ïsomorphi'sme
près) .
Corollaire 5.1.3. Soie'nt A et A' deux algèbres de Malcev'et
-
~
, .
ç
,
1> ; A + A' une applitâtion K~liné~ire,Il ~xiste unu~i9uemor-
~
c.
~
Q .
_ ,
t
.
,
<; •
phisme d'a'lgèbres assotiâtiVes E(cP) : E(A) + E(A' )"'rendant 'com ...
•
.•
t
•
.4;$,,",
;:u
i
t
mu tatifl'ed,' ag'ranime
1>
A
'>A'
01
0'
E(1)))E(A' )
E(A)
.,
Soient A yne algèbre de Malcev et C une algèbre asso~
ciative à élément unité. On appelle'~péciali'satioride lie de A
dans C, toute application K-linéaire f : A + C vérifiant f(xy):::
::: [f(x),f(y)J quels que soient x, y dans A.
.
,
Théorème 5.1.4.Sbit G urie sous",a:lgèbre de Lie'd'une'algèbre de
-~
•..•
.
"\\.'
.1IF"""i
. . .
p . "
f i
Malcev A: Al'ors Tarestri'cti'on' à G'deT "appHcat,'Ori cariortlq'ue a
•
•
C
4
_
•
de A~ans E(A) ~st injecti~e,
-
--,.---
, .
.
En effet, soit T une spécialisation de Lie de A dans
E(G) où E(G) désigne l'algèbre enveloppante de G, Alors T/G est
encore une spécialisation de Lie de G dans E(G) et d'après la
proposition 2.1.9 de [8l i T/G est injective. D'autre part T(y)
T(ZX) - 1(XY)T(Z) + T(X)T(Z)T(y) - T(Z)T(y)T(x) - T((YZ)X) :::
::: T(y)(T(Z)T(X) - T(X)T(Z)) - (T(X)T(y) - T(y)T(X))T(Z) + T(X)
1(Z)T(Y) ... T(Z)T(y)T(X) - T(y)T(Z)T(X) + T(Z)1(y)1(X) - T(X)T(Z)
T(Y) + T(X)T(Y)T(Z) ::: 0 quels que soient x, y, Z dans G, ou en-

---

- 97 -
core' T/G est une spécialisation de Malc~v de G dans E(G). La res-
triction à G de l'application canonique'a de A dans E(G) étant
,
une spécialisation de Malcev. il exist~ donc un morphisme d'algè-
bres et un seul ~ de E(A) dans E(G) tel que ~ 0 a/G = T/G, Il en
résulte que a/G est une injection.
Soient A une algèbre de Malcev. T(A) l'algèbre tenso-
rielle de l'espace vectoriel A et 1 l'idéal bilatère de T(A) en-
gendré par 1es tenseurs x ® y - y ® x - xy où x et ~ parcourent
A. L'algèbre associati,ve S (A) = T(A)/r s'appelle l"algèbreenve-
:;
'4
lopparites'péciale de A. L'application composée '"tdes applications
.
~
. -
. canoniques A-")T(A) et T(A)~S(A) s'appelle l'application cano ...
"
. . '
.
'rti~ue de A dans S (A). Comme pour x. y'dans A. x ® y ... y ® x et
xy sont congrus dans T(A) modulo I. alors l'application canoni-
'-- - -----_.----------~~---_._-~-_.-
que T de A dans S (A) est une spécialisation de Lie, Soit f une
spécialisation de Lie de A dans une algèbre associative C à élé-
ment unité. Si c'est une autre algèbre associative à élément uni-
té et g : C + C'. alors g 0 f est une spécialisation de Lie de
A dans C'.
Proposition 5.1.5. (propriété universelle de l'algèbre S (A)).
Soi~nt A~ne algèbredè Malcev. ~l'application canoniqUède A
_.
' . " 1 ,
darisl'algèbre enveloppante spéCiale S (A). (une algèbre asso-
.
.
. .
~
ciative à élément unité et T' Une spéCialisatiOri de Lie de A
.
,..
(
da'ns C. Tl exi'ste' a:l'ors'~n' morphismè d'algèbres èt Lin' seul T'
.
. . . . " .
' .
.
' .
. "
.
deS(A) dans Ctèlque T'(1) = let T' 0 T = T',
-
- -
----r-~
.
- ,
Coronaire 5.1.6. Soient S (A)' et S '(A) deux algèbres enVèlo,p-
parites spéciales de l'algèbre de Malcev A. Il existe alors un
••
<
isomorphiSmè de S (A) dans S 1 (A) (uniaité de l'algèbre envelop-
pante spéciale à isomorphisme près).
Cora 11 ai re 5.1. 7. Soi ent A et A' deux algèbres dè Ma 1Ce\\!. et
cp : A + A'~neapplicati"onK-liné'aire.'Ilexisteun UniqUèm'or--
",
-
' ' ' '
\\
ph"islTie d'algèbrèsassociatives S (CP) : S (A) + S (A')' 'rèridantcom-
mutatiflediagralTime

---

- 98 -
Soi ent Al et A deux algèbres de Malcev; l'espace vec-
2
toriel Al ~A2 muni de la multiplication définie par (x l ,x2)(Yl'
Y2) = (x lYl,x2Y2) pour xi' Yi parcourant Ai (i = 1,2) est une
algèbre de Malcev. En effet, désignons par JI et J
les jacobiens
2
de Al et A respectivement et par J le jacobien de l'algèbre
2
Al <±)A2· Pour (xl ,x2), (YI'Y2)' (zl,z2) dans AI (±)A2 on a
J:((x l ,x2)'(Yl'Y2),(zl,z2))= (Jl(xl'Yl,zl),J2(x2'Y2,z2)) e~, par
suite J((xl,x2)'(Yl'Y2),(xl,x2)(zi'z~))::; (Jl(xl'Yl~xlzl),J2(x2'
Y#2 z2)) = (Jl(xl'Yl,zl)xl,J2(x2'Y2,z2)x2) ::; (Jl(xl'Yl'zl),J2(x2'
Y2 ,z2)) (xl ,x 2) .
S oient Ti 1.' appl icati on canonique de A" dans S (Ai)
(i ::; 1,2), ai l'application canonique de Ai dans"E(A ) (i ::; 1,2)
i
et a l'application canonique de Al <±)A
dans E(AlG:J~2)' Si l'on
2
identifie Xl dans Al à (xl,O) et x
dans A
), Al et A
2
à (0,x
2
2
2
deviennent les sous-algèbres de A CDA
et x x
::; 0, quel que
1
2
1 2
soit x. dans A. (i ::; 1,2). Les spécialisations de Lie (donc de
,
,
Malcev) Tl : Al + 5 (Al) et T
: A
) définissent des mor-
2
2 + 5 (A2
phismes d' algèbres Tl : E(AI ) + 5 (Al) tel que Tl 0 al ::; Tl et
T2 : E(A2) +5 (A2) tel que 1-
, Il en résulte alors une
2 0 02 ::; T2
application K-linéaire e::; Tl®T
; E(A )®E(A ) +$(A )0
).
2
l
S (A
2
I
2
Les i njecti ons canoniques A
et A
défi nis-
l + Al (±) A2
2 + Al ŒA2
sent des morphismes d'algèbres <Pl : E(A ) + E(A @A ) et <P2 :
l
I
2
E(A 2) + E(A (±)
I
A2)· Les images de <Pl et <P commutent dans l'algè-
2
bre E(A <D
I
A2). En effet, pour tous y, z dans Al et X dans A ,
2
on a o(O,x)o(z,O)o(y,O)- o(z,O)o(y,O)o(O,x) ::; o((yz,O)(O,x)) -
- a(y,0)a((z,0)(8,x)) + a((O,x)(y,O))a(z,o) ::; O. Il en résulte alors que,
quels que soient y, z dans Al' X dans A , <P (a2(x))<Pl(a (z))<Pl(01
2
2
l
(y)) ::; <Pl(a l (z))<P (a
(x)). On peut commencer par choisir
l
l (Y))<P2(a2
un z dans A tel que 0l(z) ::; 1; si cela n'existe pas, on fixe un

---

- 99 -
Z dans A et l'ensemble {ol (7.)01 (y) Iy b A} url} est encore un sys-
tème de générateurs de E(A ). Donc, mutatis mutantis on peut tou-
l
jours supposer qu'il existe z dans Al tel que 0l(z) = 1 et, par
suite les images de '1l
et tP
commutent dans E(A <±)A ) , Ainsi,
l
2
1
2
l'application <p: E(A ) ~ E(A ) + E(A Œ>A ) définit par rjJ(u ® v)=
l
2
I
2
= '1l (u)tP (v) pour u et v parcourant E(A ) et E(A ) respectivement,
l
2
l
2
est un morphisme d'algèbres associatives. Soit maintenant l'appli-
cation K-linéaire composée 'JI: Al c±)A
) Œ)T(Jl )
)@
2 + T(A l
+
E(A
2
l
@E(A ,,(x ,x )
) ®l t 1@02(x ) .
2
+
xl@l + 1®x
l
2
2 + 0l(x l
2
.
\\jI
Théorème 5.1.8. Considérons l~diagram~~ Al <±) A -+ E(A ) (8)E(A )
2
l
2
1 S (Al) @S (A ) 'êt. supposons gue Ker(8) (\\ J(A ,A ) = {O}"~ll..
2
1
2
J(Al'A )dés'i'gne l"idéalbHatèrede E(A ) (19 E(A )' 'engendré"par
2
1
2
Im('JI). Alors' 'lenior'phïsnié d 'a 19èb-r~~<jJ e'st un i somorphi sme.
En effet, rappelons que e = Tl ®T
et, par suite
2
8('JI(x ,x )) = ll(x ) (&)1 + lC&)l2(x2) quels que soient xl dans
l
2
l
Al et x
dans A
2
2 , Alors, pour (xl'x 2) '(Yl'Y2) ,(zl' z2) dans Al (±)
ŒA 2, on a 'JI(Yl'Y2)'JI((zl,z2)(x1 ,x2)) - 'JI((x1 ,x2) (Yl'Y2))'JI(zl' z2)+
+''JI(xl'x 2)'JI(zl,z2)'JI(Yl'Y2) - 'JI.(zl,z2)'JI(Yl'Y2)'JI(xl'x 2) ::; (ol(YI) ®
® 1 + 1 <&') 02(Y2)) (01 (z lx1) Ci) 1 + 10 02(z2x2)) - (01 (xlYl) ® 1 +
+ 1 ® 02 (x2Y2) ) (0 1(z 1) 0 1 + 1 CR) ° 2 (z2)) + (° 1(x 1) ® 1 + 1 ® ° 2
(x 2))(01(zl) ® 1 + 1 ®02(z2))(01(Yl) 01 + 1®02(Y2)) ." (ol(zl::0
G 1 + 1®02(z2))(01(Y1) ((91 + 1~02(Y2))(01(x1) ® 1 + 1002
(x 2)) = 01 ((YI ,zl)x l ) ® 1 + 1 ® 02( (Y2z2)x2) + 01 (YI) ® (o2(z2x2)+
+ 02(x 2) 0'2(z2) - 02(z2) 02(x 2)) + (ol(z l xl ) + 01(x1 )01(zl) -
01(zl)01(x 1)) 002(Y2) + 0l(zl) ® ("'02(x2y2) + 02(x2)02(Y2) '"
- ° 2 (y2)° 2(x2)) + (-01 (x1YI) + ° l (x 1)cr 1(y1) .,. ° 1(y 1)° 1(x 1)) @
~ 02(z2) car 01 et 02 sont deux spécialisations de Malcev. Com-
me, d'une part, on a manifestement 01 (YI) ® (02(z2x2) + 02(x )
2
°2(z2) - °2(z2)0'2(x 2)) + (ol(zlxl) + 01(x
))®
1)01(zl) - 01(zl)01(x 1
G)°2(Y 2) + °l(zl) ~ (-02(x 2Y2) + °2(x 2)02(Y2) - 02(Y2)02(x )) +
2
+ (-01(x 1y l ) + 01(x l )01(Y1) - 01(y )01(x )) 002(z2) dans J(A ,
1
1
l
A2) et d'autre part 8(01(Yl) Q9 (02(z2x2) + 02(x )02(z2) .,. 02(z2)
2
°2(x 2)) + (01(z l x1) + °l(x l )ol(zl) - °l(zl)ol(x l )) ®02(Y2) +
+ °l(zl) ®(-02(x 2Y2) + °2(x 2)02(Y2) .,. 02(Y2)02(x 2)) + (-ol(xlYl)+

---

- 100 -
+ ° 1(X 1)° 1(y 1) - ° 1(y 1) ° 1(x 1) ) cg) ° z ( 2:Z)) ::; II (y1) ® (l Z(ZZx2) +
+ lZ(XZ)lZ(ZZ) - lZ(ZZ) lZ(X Z)) + ('1(zlx1) + '1(x 1)'1(zl) - II
(Zlh1(X1)) ~ lZ(YZ) + 'l(zl) 0 (-lZ(XZYZ) + 'Z(X Z)'Z(Y2) - lZ
'(YZ)lZ(X Z)) + (-'1(x1Y1) + '1(x 1)'1(Y1) - '1(Y1)'1(X1)) (ihz(z2)::;
::; 0 car Tl et T sont des morphismes d'algèbres et lI' lZ des
z
spécialisations de Lie; il résulte que 01(Y1) ~ (OZ(ZZX Z) + Oz
(XZ)OZ(ZZ) - 0Z(~Z)OZ(Xz)) + (01(Zl X1) + °1(X 1)Ol(Zl) - °l(Zl)
01(X 1)) 0 02(YZ) + °l(zl) 0 (-<Jz(xzYz) + oz(xz)oz(Yz) - oz(Yz)
oz(x z)) + (-01(x1y 1) + 01(x 1)01(Y1) - 01(Y1)a1(x 1)) 0 a2(zz)
appartient à Ker(6) (l,J(Al'A ) ::; {O}~ donc 'l'(Y1'Y )'l'((Zl' ZZ) (x
z
Z
1,x Z))-
- 'l'((x 1,xZ)(Y1'YZ))'l'(zl'zZ) + 'l'(xl.xZ)'l'(zl~zZ)'l'(Y1'YZ) - 'l'(zltZZ)
'l'(Y1'YZ)'l'(x 1,xZ) ::; 'l'((Y1zl)xl'(YZzz)xZ)' L'application 'l'étant,
de façon évidente, une application linéaire, il en résulte que
'l'est une spécialisation de Malcev, donc i'l existe un unique mor-
phisme d'algèbres \\ji ; E(A10AZ) -+ E(A ) ® E(A ) rendant commu-
1
z
tatif le diagramme
'l'
Al <±>A - - - - - - + ) E(A ) CE) E(A )
z
l
z
--?
- - - -
-
.....
c'est-à-dire W0 a ::; 'l'. Des relations ~ 0 W(a(x1,x )) ::; ~(al(x1)®
Z
(2) 1 + 1 ®aZ(x2)) ::; ~(al(x1) Œ)1) + ~(l ®oz(xz)) ::; ~l(al(x1)~z(1)+~1
(1) ~Z(a2(xZ)) ::;'a(x 1,O) + a(O,x ) ::; a(x ,x ) soit ~
z
1
Z
0 ~ 0 a ::; ° et
\\ji 0 ~ 0 'l'(x1 ,x )::; \\ji(~(a1(x1) ® 1)) + Iji(~(l ®aZ(x )) ::; ip(~l(al
2
Z
(x1))~Z(1)) + \\ji(~l(l)~Z(aZ(xZ))) ::; \\ji(a(xl,O) + a(O,x )) ::; f(a
Z
(x 'x )) ::; 'l'(x ,x ) soit \\ji
1
Z
1
Z
0 ~ 0 'l' ::; 'l', on obtient que ~ 0 \\ji et
\\ji 0 ~ sont les applications identiques de E(A10AZ) et E(A )@
1
0E(AZ) respectivement. D'où le théorème.
Désormais, on identifiera E(A ) (8)E(A ) à E(A Œ>A )
1
Z
1
Z
par l'isomorphisme~. L'application canonique a de A19AZ dans

---

- 101 -
E(A C±)A ) s'identifie alors à l'application (x ,x )
(x )
l
2
l
2 -+ 0
cg)
l
1
(&)1 + l0a2(x2).
Note 5.1.9. Lorsque les algèbres de Malcev Al et A2 sont des al-
gèbres de Lie, la condition Ker(6) nJ(Al'A 2) = {O} est toujours
vérifiée car Tl et T2 sont des isomorrhismes et, par suite
Ker(6) = Ker(Tl x T2) = Ker Tl ®E(Al ) + E(Al)@Ker T2 = fOl.
Lemme 5.1.ID. Soient Aline algèbre de Malcev, K'unidéalde A
_ _ _ _ _
t
4
(~
,
~ cr llapplicatlOricanànique'de A,d~ns, E(A) ",~: (1)' '~~'idéâl
à droite Rde E(A) engendré p'ar a(H)'co'i'ncideavec l'idéal àgau-
- ,
.-
.
,
che de ECA) 'engen'd'répar a(H. ). (2) la' composée 'desapplicatidns
-,,-,--
a---~~
"
linéaites,A -+ E(A) -+ E(A) I~ définit canorii~uemeritun!~pécia9i.
, 'sëftionde, Ma lceVde A K'~'ans E(A) R.
1
1
En effet soient y, z dans A et x dans ~ , Dans E(A) on
a -a(xy)a(z) + o(x)o(z)a(y) = a((yz)x) + o(z)o(y)a(x) • Q(y)a(zx),
d'où l'assertion (1).
(2) Comme q 0 a est une spécialisation de Malcev de A dans E(A) IR
(car q est un morphisme d'algèbres) telle que q(o(H )) = 0,
alors H. c: Ker(qoo). Il existe donc une unique aprlication
linéaire a : AIH -+ E(A) IR telle que a 0 p = q 0 a où p dési·
gne la surjection canonique de A sur AIK. D'autre part, pour
y, z, x dans AIK , il existe des éléments YI' zl' xl dans A
tels que Y = P(Yl) , z = P(zl) , x = p(x l ). Donc a((yZ)x) -
- a(y)a(zx) + a(xy)a(z) - a(x)a(z)a(y) + a(z)a(y)~(x) = q(o
((ylzl)x l ) - o(Yl)o(zlx l ) + o(xlYl)o(zl) • a(xl)o(zl)o(Yl) +
+ o(zl)o(Yl)o(x l )) = O. Ainsi, a est une spécialisation de
Malcev de AIH dans E(A) IR.
Proposition 5.1.11. S'oie'nt Hunidéal d'Une algèbre de Malcev
A et P la slirjecti on canonique"de A'sUr AI K .' 'Alors le rrtorph-i s-
me' d'algèbres p : E(A) -+ E(AIH) 'défi~par P'~~tsUrjectif ,~t'
son noyau est l'idéal bilatèr~ R'~E(A)'engendrép'ara(H).

---

- 102 -
En effet soit 0' l'application canonique de AIH dans
E(AJH). Alors a' 0 p est une spécialisation de Malcev de A dans
E(Aln); il existe donc un unique morphisme d'algèbres p : E(A)
+
E(AIH) tel que poo = 0'0 p, où a désigne l'application ca-
nonique de A 9ans E(A). Donc, p(O(H)) = a et, par suite o(M)
c.Ker(p) soit RCKer(p). Il existe alors un unique morphisme
d'algèbres y : E(A)IR + E(AiH) tel que y 0 q = p, q désignant
le morphisme canonique de E(A) sur E(A)IR. D'après le lemme S,l,
7, (2), q 0 a définit canoniquement une spécia1~sation de Malcev
a : AIH + E(A)iR. Il en résulte alors l'existence d'un et d'un
seul morphisme d'algèbres 8 de E(AIH) dans E(A)IR tel que
Boo' = a. Des relations y 0 Boo' = y 0 a = a' et Boy 0 a =
= Boo' =a , il résulte que y 0 S et Boy sont les app1ica~
tions identiques de E(AIR) et E(A)IR respectivement, Donc, y est
un isomorphisme et, par suite ~ est surjectif et Ker(p) = R,
--
5.2. CohOmologie des biniodules de Malcev. Soient A une algèbre
'-
+,
de Malcev et V un espace vectoriel sur K. D'après [11J (cf, page
90), V est un A-bimodule de Malcev si et seulement si V est un
E(A)-modu1e a droite. Désignons par AO 1lalgèbre de Malcev oppo-
sée de A, a l'application canonique de A dans E(A) et 0
l'ap-
0
p1icption canonique de AO dans E(AO). Alors, a est une spéciali-
sation de Malcev de AO dans l'algèbre associative E(A)O, oppo-
sée de E(A). Il existe donc un et un seul morphisme d'algèbres
~ de E(AO) dans E(A)O tel que ~(1) = 1 et ~ 0 0
= 0, On a :
0
Proposition 5.2.1. Le morphiSme d'algèbre~, cp" ~st un isomorphis-
niede E(AO), 5!.~ E(A)o.
La démonstration de cette proposition est analogue à
celle correspondant
aux algèbres de Lie (voir [3], page 26, pour
la démonstration).
On identifie alors E(AO) a E(A)O par l'isomorphisme
~. Ainsi 0
s'identifie à a et il en résulte que V est un A-bi-
0

---

- 103 -
module de Malcev si et seulement si V est un E(AO)-module à 'gau-
che. Dans la suite de ce paragraphe, tous les A-bimodules de Mal-
cev seront considérés comme des E(AO)-modules à gauche,
Soient M et N deux A-bimodules de Malcev et n un en-
tier positif. On appelle espace des n.:cochaÎ'J'ies de r~ dans N à
coefficients dans E(AO), le K-espace vectoriel QHomk(E(AO)n ® M,
I~) où E(AO)n = E(AO) ® ... 0E(AO), n fois. Le lemme suivant est, En
général, bien connu :
Lemme 5.2.2. Quels que ~oie~t l~s A~bimodules de Malcev M et N,
,
.
~
et pour tout entier n ~ 0," il existe unisomorphi'sme cp., de K-
.:....:-....!.....:-~----,.-.~---.;.... ~.
i
' . ,
n ~
espaces Vect?rïelsentre. Hom (E (A 0) n ® MsN)' ~t f{ om (E (A 0) n, Hom
k
k
k
(M,N)) .
,
Prcrp?siti on 5.2.3. ~~ M"~ N'deux A-bimodules de Malcev ,"Pour
tout e'nti er n ~ 0, Hex fs te' une app l ica Hon li néaiTe d ' de
Homk(E(AO)n ® M,N) dans HOmk(Ê(AO)n+I®M,N) tel'lequ~ ~n+lo d =
n
= O.
Notons, tout d'abord, queHomk(M,I~) est muni d'une struc-
ture de E(AO)-bimodule en posant (xf)(y) = xf(y) et (fx)(y) =
= f(xy) pcrtJr x et y dans E(AO), f dans Homk(M,N). Définissons a-
lors do(f) par la relation do(f)(x ~ y) = (xf .,. fX)(y) = xf(y) -
- f(xy) quels que soient x, y dans E(AO) et posons d
= o/n+lb d~o
n
o cjJn où o/n est l'isomorphisme réciproque de cjJn et où d~ est l'ap-
plication linéaire de Homk(E(AO)n,Homk(M,N)) dans Homk(E(AO)n+l
Homk(M,N)) définie dans la cohomologie deHochschild pour les al..-
gèbres associatives. Ceci revient à définir d
par la commutat;'"
n
vité du diagramme

---

- 104 -
On rappelle que d' est définie par d'(g)(x ($)x ®,·,®x +1) =
n
n
i
n
l
2
n
= x
® ". ®
l g(x ri) •.. ® x
xix +
2
n+l ) +.2:
(-1)' g(x l
i l ® , .. ®
+1
1 =1
.
0xn+l) + (-l)~
g(x ®'"
l
®xn)x n+l ' quels que soient les é-
l éments xl"" ,x
dans E(AO) et pour tout 9 dans Hom (E(AO) n,
n
k
Homk(M,N)). Pour n = 1 , on obtient dl = 1'2 0 di oq>l' Ainsi,
pour f dans Homk(E(AO) ® M,N) ,xl'x
dans E(AO) et y dans M, on
2
a dl(f)(x 0
®
l
x2 (ZIy.) = ((12 0 di 0 cPl)(f))(x
x ®y) =
l
2
1fi 2(di
-------------~--(~~rfnrCx~-®x;-0y) = (di (<Pl (f)) (xl ® x )) (y). = (xl<P (f) (x ) _.
2
l
2
- <P (f)(x x ) + (<P (f)(x ))x )(y) = x f(x ®y) ... f(x x ®y) +
l
l 2
l
l
2
l
2
l 2
+ (q>l (f) (x 1) ) (x 2Y)' soit dl (f) (x 1 ® x2 (i) y) = x/ (x 2 ~ y) - f (x 1
x ~ y) + f(X ~ x y). Vérifions que dl
2
l
2
0 do = O. En effet, si
9 appartient à Homk(M,N), xl' x
dans E(AO) et y dans M, on a
2
((dl 0 d )(g))(x ®x
(g))(x ®x
o
l
2 ®y) = dl (do
l
2 ®y) = xldo(g)
(x2 ~ y) - do (g) (x 1x2 0 y) + do (9) (x 1 ® x2Y) = x1(x 29(y ) - 9 (x2Y) ) -
- (x x g(y) - g((x x )y) + x g(x y) - g(x (x y)) = 0,. Explicitons
l 2
l 2
1
2
l
2
ma i ntenant d
et véri fi ons que d
1 0 d
= a pour n ~ l, Soi ent
n
n
.
nt
n
f un élément de Hom~ii(AO)
®M,N) et xl ~ x2~'"
~xn+10Y un
générateur de E(AO)
0 M, On a dn(f) (xl ® .• , ® x + ® y) =
n 1
"" ((lfi n 0 d~ 0 <Pn)(f))(x l ® ... ®x n+l ®y) ~ (d~(<P~(f))(xl® ".
®xn+l))(y) = (xl<P n(f)(x2 ® ". ~xn+l) +.2: (-1) c!>n(f) (xl ®
1=1
®x 2 ... ®xixi +l (il
~xn+l) + (-l)n~<Pn(f)(~l ® .,. 0 xn))
xn+l)(y) = xl f(x 2 ®
®x n+l ®y) + i~l (-l)'f(x l ® .. , ®x i
x + ~ ... G9 x + ~ y) + (-l)nf(x ® ... ® x ®
+ y). Finale-
i l
n l
l
n
X n l
ment, dn+l 0 dn = Ifin+2 0 d~+l 0 <Pn+l 0 lfin+l 0 d~ 0 <Pn = Ifin+2 0
o d' 1 0 d' 0 <P
= a car d'après Hochschild (cf. [11] pour plus
n+
n
n
de détails), on a d~+l 0 d~ = 0, pour tout entier n ~ 1.
Quels que soient les A-bimodules de Malcev M et N, nous
sommes en présence de deux complexes de cochaines d'espaces vec-

---

·... -
- 105 -
toriels (cf. page~oT).
Soient M et N deux A-bimodules de Malaev et considérons
le complexe d'espaces vectoriels 0 -+Hom (I"1,N)
-9 Homk(E(AO) @M,
k
dl
dn_1
n
dn
N)
-+
...
-+
Homk(E(AO)
0 M,N) -+ • Nous savons que pour tout
entier n ~ 1 , d
0 d _
= 0, donc Im(d .,.l) C Ker(d ), inclusion
n
n 1
n
n
de K-espaces vectoriels. Nous poserons pour n ~ 1 ,Im(d
1) =
n-
=
n
Bn(M,N;E(AO)), Ker(d ) = Cn(M,N;E(AO)) et Hn(M,N;E(AO)) = C
n
"
(M,N;E(AO))/Bn(M,N;E(AO)). On appellera n-cocydes les éléments
de Cn(M,N;E(AO)) et rt~Cdbotds ceux de Bn(M~N;E(A~~). De plus,
l'espace vectoriel Hn(M',N;E(AO)) sera appelé le n~'iême~ddulè'de
Cohomologied~ M dans N Cà 'coe'fficientdans E(AO).
\\ , '
~ ,
\\ .
Propbsitïon 5.2.4.' Soient Met N 'deux A-bimodules 'de' Malcev.' A-
lors les ',K-espaces vec~oriel;/1n(M,I~;E(A~))-' ~_ Rr\\E~~O) ,H~~lk(M,
<
N)) sbntisd~o~phes''2-9..Hn(E(AO) ,H,omk(M,N) )désigrie~'l~ n-f~me
.
-
module,'de. Cohomoldgîed'e Ho'chschildde E(A O)' à coefficieritdans
En effet, du diagramme commutatif,
n - 1 ,
<P n.,.l
n - 1 :
H::::r) M
l
0 ,N)
, Homk(E(AO)
:;:~k(M'N))
Kom (E(A O) n G) M,N) ~(
'fin_ _ H om (E(AO) n ,Hom (M,'N) )
k
k
k
il résulte, puisque <p
1 est une surjection, que d1~omk(E(AO)n-1
n-
n-l
n-
o M,N)) = 'fin 0 d~_l (Homk(E(AO)
, t-fomk(M,N)) et, par suite
lm ( dn-1) = 'fin ( lm ( d~ -1 )) soit BJ (M, N; E( A0)) = 'fin ( Bn( E( A° )n-1 ,H omk
(M,N)). Comme 'fin est un isomorphisme d'espaces vectoriels, alors
Bn(M,N;E(AO)) est isomorphe à 1f(E(AO)n-1,Hom (M,N)), en tant qu'es-
k
1
pace vectoriel. De même, on a Ker(d ) = d-
(0) = ('fi
1 0 d' 0
1
1
l I n
nI
1
n+
n
o ~n)-
(0) = (~~
0 d~-
0 ~~+1)(0) = (<p~
0 d~- )(0) car 'fI +
n 1
est une injection. Donc, Ker(d ) = ~~l(Ker(d~)) = 'fIn(Cn(E(AO)n,
n

---

- 106 -
Homk(M,N)) et, par suite Cn(M,N;E(AO)) est isomorphe en tant qu'es-
pace vectoriel à en(E(AO)n, Hom~(I~,N)), Il en résulte donc que
Hn(M,N;E(AO)) est isomorphe à R (E(AO),Hom ("1,N)),
k
Proposition 5.Z.5. Soient M'et N'deux A""bîmodules de Malèev~Albrs
l es espaces vectori;ls CI(M,~E(A~'~ D(E (AO) ,Hom (M IN) )~So'~! .
k
isomorphes,~D(E(AO),Homk(M,N)) ?ésigne l'espace vectoriel des
dérivations de E(AO)dan~' le E(AO)-bimodule Homk(M,N).
i
-1
En effet, C (M,N;E(AO)) = Ker(d ) = (~Z
1
0 di 0 ~1)
-1
,-1
-1)()
(",1
,,,,1)()
-1 (
( ' )
(0) = (~1
0 dl
0 ~Z
0
= ~1 0 dl
0
= ~1
Ker dl ) =
= ~l(Ker(di)) et comme ~1 est un isomorphisme d'espaces vectoriels,
1
C (M,N;E(AO)) est isomorphe à Ker(di). D'autre part, pour tout 9
dans Ker(di)' on a di(g)(x Œ)X
g(x ) - g(x
)x
1
Z) = x1
Z
1xZ) + g(x 1
Z =
= 0 soit g(x x ) = x g(x ) - g(x1)x quels que soient les éléments
1 Z
1
Z
Z
Xl et Xz dans E(AO). Il en résulte alors que Ker(di) est l'espace
vectoriel des dérivations de E(AO) dans le E(AO)-bimodule Homk(M ,
N). On le note Ker(di) = D(E(AO) ,H.omk(M,N)),
,
"
Proposition 5.Z.6.'Soit A'Lineal9èbr'e de'Malcev.'Alors'l"al'gèb're
envèloppa~te E(A)es~ simple' sy:et seulement-sJ','-'9~elS9ues'oient,
les A-bimodul'e~'?eMa~cev M"~ N,'?~' a fll(M,N ;E(AO)) = O.
En effet, d'après Kochschild [11], E(AO) est sépara-
ble si et seulement si R1(E(AO),Hom (M,N)) = 0, d'où le résultat
k
d'après la proposition 5.Z.4.

---

- 107 -
Ji
z
L
..><:
-
E
a
z
::I:
~
L
,....;
0
~ +
1::
......
0
+
<
<::(
1::
w
0
<::(
..:.::
E
w
a
:I:
..><:
E
a
~I::T
;r
'Jl::j
~
z
~
L
Z
..><:
~
E
::E
a
:l:
e~
~
1::
1::
-
0
0
)
<::(
<::(
~
~
..><:
..><:
E
E
a
a
:c
::c
'Jd:,
JI
~i
..-::::::::
z
~
L
~
..><:
L
E
a
é5> ~<-------
:r.
N
N
o
<::(
~ 0<::(
w
w
..><:
..><:
E
E
a
;§
:r
~i
~j
z
)'
L
..><:
E
0
a
<::(
z:~
w
o
<::(
..><:
"
E
"
a
w
:::t:
..><:
E
'Jar
a
~
z
~
L
..><:
E
~
1

---

- 108 -
BI ELIOGRAPH.I,E
[1J T. AN 0E!<.50N, A note on derivations of commutative algebras,
Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1%6), 1199-1202.
[2J H. ASANO, On a class of non associative algebras, the Yokohama
Mathematical journal, 20, n02 (1972)
[3]
N. BOURPAKI, Groupes et algèbres de Lie, Chapitre l, Herman
Paris, 193J.
[4] R. CARLSSON, Malcev-Moduln, J. Reine Angew. Math. 281 (1976),
199-210.
[5] R. CARLSSON, On the exceptional central simple non-LI~ 11alcev
algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 144, (1978),173-184.
[6] H. CARTAN and S. EILENBERG, Homological algebra, Princeton Uni-
versity Press, Princeton 1956.
[7] J. DIEUDONNE, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, ~ol~
l ecti on ensei gnement des Sciences, 8, Hermann,
[8] J. DIXMIER, Algèbres enveloppantes, Cahiers scientifiques, fas-
cicule 37, Gauthier-Villars, Paris 1974,
[9] P. DORAI and P.S. REMA, On prime ideals of Lie algebras, J. of
algebra, 66, (198))',492.,.504.
[10] C. GERLEIN and A. MICALI, Sur la nilpotence dans les algèbres
de Malcev, C.R.ACSc., Paris 286 (1978),1091-1094,
[111 G. HOCHSCHILD, On the cohomologie theory for associative al-
gebras, Ann. of Math. 47 (1946), 568-579.

---

- 109 -
[12J N. JACOBSON, Lie algebras, Tracts in Mathematics number, 10,
John Wiley (1962).
[13] N. JACOBSON, Structure and Representation of Jordan algebras,
Amer. Math. Soc. colloquium publication, vol. 39, Pro-
vi dence 1968.
[14] N. KA l-AMOTO , On prime ideals of Lie algebras, Hiroshima Math.
J. 4? (1974), 679-684.
[15] A. KOULIBnoLY, Algèbres de Malcev en basses dimensions, thèse
de spécialité en Mathématiques, Université de Montpel~
lier II, Montpellier Juin 1976,
[16] A. KOULI BA.LY, Note sur les algèbres de Malcev (à paraître).
[17] A. KOULIBALY, Idéaux premiers dans une algèbre de IVlalcev (à
paraître) .
[18J A. KOULIBALY, Algèbre enveloppante et cohomologie des bimodu-
les (à pa ra ître) .
[19] E.N. KUZ'MIN, Malcev algebras and their representations, alg.
1. logika, 4, (1968),48-69,
[20] E.N. KUZ'MIN, The locally nilpotent radical of an Malcev al~
gebra satisfying the n-th Engel condition, Ookl. Akad.
Nauk.SSSR 117, n03 (1967), 5)8-5rJ.
[2].] A. MALCEV, Analytic l 00 Ps, Ma t. Sb, , 78 (1955), 569-578,
[22] N. MAKALINGES:HARA, A note on Malcev and quadi-Lie algebras,
the Yokohama Mathematical journal, 22, noi-2 (1974),
25-29.
[23] H.C. MYUNG, A subalgebras condition in Lie-admissible alge-
bras, Amer. Math. Soc., 167, (1972), 79~82.

---

- 110 -
[24J A.A. SAGLE, Malcev algebras, Trans. Amer. Math. Soc" 101,
(1961), 426-458.
[25J A.A.SAGLE, Simple Malcev algebras over a field of characteris-
tic zero, Pacific Journal of Math., 12, (1962),1057-1078.
[26J C. TSAI, The prime radical in a Jordan ring, Proc, Amer. Math,
Soc., 19, (1968), 1171-1175.
[27] K. YAMAGUTI, Note on Malcev algebras, Kumamoto J: Sci. Ser. A,
5, n04 (1962), 203-207.
[28J K. YAMAGUTI, On the theory of Malcev algebras, Kumamoto J,
Sci. Ser. A, 6, n01 (1963), g.,.45.

---

1984/1985
KOULIBALY Akry
UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC (MONTPELLIER II)
RESUME: Il s'agit d'une étude concernant la théorie des algèbres de Malcev,
théorie dont le point de départ est le travail fondamental de A.I. Malcev de
1955 au sujet des boucles analytiques. Les algèbres de Malcev constituent une
généralisation naturelle des algèbres de Lie et l'Auteur donne une classifica-
tion complète des algèbres de Malcev en dimension 4 et 5 sachant qu'en dimen-
sion~ 3, toute algèbre de Malcev est de Lie. Par la suite il s'attaque à l'é-
tude des idéaux premiers d'une algèbre de Malcev via la notion d'espace quadra-
tique de Malcev. Les techniques utilisées sont très différentes de celles em-
ployées en Algèbre Commutative. Après une brève incursion du côté des algèbres
de Malcev admissibles, l'Auteur étùdie les algèbres enveloppantes des algèbres
4e Malcev et la cohomologie des bimodules de Malcev. Les résultats classiques
concernant les algèbres de Lie sont étendus au cas des algèbres de Malcev.
MOTS CLES :
Algèbres de Lie
Algèbres de Malcev
Espaces quadratiques de Malcev
Idéaux premiers, T premiers
Algèbres enveloppantes
Cohomologie des bimodules de Malcev
Algèbres de Malcev admissibles

---