UNIVERSITËD'ETAT
DE
LËNINGRAD
DIP1LO
BOUBACAR
Distributions de probabilités
"
dans les espaces des suites
01.01~OS - Théorie des probabilités et
Statistique mathématique
Thèse' en vue de
l'obtention du
grade de candidat es-sciences
nirecteur de Thès~
Docteur ès-sciences
V. N.
Sudakov

---

TABLE
DES
MATIËRES
=.=.=.=.=.:.=.=.=.=.
1
•
•
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•
•
Pages
Introduction
Chapitre 1
Notions
préliminaires
§.l
Sous-espaces hilbertiens d'espaces vectoriels
9
zz+
§.2
Distribution de probabilités dans l'espace
JR
18
§.3
Mesures gaussiennes
26
Chapitre II
Sous espaces hilbertiens de mesure unité dans les espaces
l p
§.l
Position du problème
32
§.2
Cas
1
<
p < 2
33
§.3
Cas
l
40
00
§.4
Cas
2 < p < 00
51
Chapitre III
Equivalence et singularité des distributions
gaussiennes infini dimensi6nnelles sur
la' cr - algèbre engendrée par aes
fonctionnelles homogènes
§.-l
Position du problème sur l'équivalence des mesures
factorisées
61
§.2
Démonstration du principal résultat
64
§.3
Calcul de la densité
74
Bibliographie.
78

---

l N T R 0 Due T ION
=======~===============
La présente thèse est consacrée à l'étude de deux problèmes
liés alŒ distributions de probabilité dans les espaces de~suites.
Primo, on montre que pour
1
~ P ~ 2,
pour chaque mesure de
probabilité dans l'espace
lp' il existe un sous espace hilbertien
He i
de mesure unité. De là en particulier à l'aide du théorème de
p
Minlos - Sazonov on peut immédiatement obtenir un critère pour la véri-
fication de la possibilité du prolongement en une mesure dans les
espaces
1
des distributions faibles. On montre aussi que pour
p > 2
-p
il est impossible de formuler un critère de prolongement d'une distri-
bution faible en une mesure dans l'espace
en termes de continuité
de la fonctionnelle caractéristique dans une certaine topologie. Secun-
do on établit l'alternative équivalence- singularité pour une paire de
mesures gaussiennes dans l'espace vectoriel
E, factorisées au préa-
lable selon une partition de l'espace en rayons (concrêtement les
mesures considérées sont interprêtées comme les distributiŒls relatives
à des suites de variables aléatoires gaussiennes indépendantes).
La nécessité de considérer des mesures dans les espaces vecto-
riels a surgi au départ lors de l'étude des processus aléatoires,
étant donné que tout processus aléatoire peut-être interprété comme
une mesure de probabilité dans l'espace des trajectoires. Les premières

---

- 2 -
constructions de mesures dans les espaces fonctionnels et les premiers
théorèmes sur les processus aléatoires (les travaux de Wiene<r:' en 1923,
[8J,
les théorèmes de Kolmogorov sur les trois séries, les théorèmes
sur la continuité des trajectoires, la loi du logarithme itéré, le théo-
rème de Kolmogorov en 1933 sur le prolongement d!un système de reparti-
tians cohérentes de dimensions finies jusqu'à une mesure,
[25J,
etc ... ) peuvent être interprétés comme des théorèmes sur l'existence
de mesures de probabilité dans tel ou tel espace vectoriel.
Une des branches les plus anciennes et des plus élaborées de
,
",
'
la théorie des probabilités est constituée par le domaine des théorèmes
",
"
limites (loi forte des grands nombres, théorème~centra1 limite,.,.),
"
"
Une formulation précise de cette classe de problèmes et leur résolution
,
complète conduisent inévitablement à l'introduction de mesures de pro-
babilités dans les espaces de suites, Ces espaces,.. généra,lisation natu-
,
,
"
\\
'.
"
relle des espaces de dimension finie.,. furent l'objet de recherches
intenses de Frechet, lusin et Levy dans les années vingt,
Le premier essai de construction sous une forme explicite
d'une mesure dans l'espace des suites apparut en 1909 dans'un travail
de Borel
[1J
dans lequel on étudie à l'aide de méthodes probabilistes
\\
les propriétés de la décomposition dyadique de tout nombre appartena,nt
à l'intervalle
[0,1J. Un peu plus tard en 1923, Steinhauss
[47J
démontra rigoureusement les résultats de Borel et cons'truisit une
\\
\\ '"
'.
mesure de probabilités (isomorphe à la mesure de Lebesgue sur le seg,..
ment
[0,1])
correspondant au shéma de B,emoulli à 2 issues équipro-
bables. A cette fin, Steinhauss utiliser le travail de Daniel1
[15J
sur la construction de mesures un un espace de·dimension infinie, La
,
"
méthode de Daniell fut redecouverte en 1934 par Jessen
[21J,

---

- 3 -
Plusieurs concepts de la théorie de la mesure dans les espaces
fonctionnels, en particulier celui de fonctionnelle caractéristique
furent introduits
[26]
par Kolmogorov et remontent aux années 30.
Cependant le développement systématique de la théorie de la mesure dans
les espaces vectoriels débute son histoire à partir du moment où fut
fondée la théorie des processus aléatoires. A cet effet il est important
de souligner la grande influence qu'à joué le celèbre Chef d'Oeuvre
de Doob "Processus stochastiques"
dans le processus de cristallisation
du concept de théorie de la mesure dans les espaces vectoriels de dimen-
sion infinie. Dans les années
50
fut également fondée la théorie des
'\\
.\\
'\\
espaces localement convexes et en liaison étroite avec cette dernière
celle des distributions de L. Schwartz. Il fùt également 'introduit
le concept stimulant de processus aléatoire généralisé dans un cycle
de travaux de
Gelfand
[11]
et
K. Ho
[22]. Enfin dans ~e~ années
40
fut développé l'appareil de la <::lasse l~ plus usitée d'espaces mu-
nis d'une mesure, appelés fréquemment espaces de Lebesgu~.dont l~- théo-
rie fut élaborée par
Rokhlin
[37].
"
'
Simultanément apparut la nécessité d'une théorie de la mesure
dans les espaces de dimension infinie indépendamme~t d~ la théori~ d~s
probabilités et la statistique mathém~tique dans différe~ts doma,in~s de
la mathématique et de la physique (théori~ des' opérateurs', physiq~e
mathématique, en particulier la théorie des équations aux dérivées par-
"
tielle~), Plusieurs problèmes de la physique :Liés au çomportement de
,
systèmes ayant un nombre infini de degrés de liberté (théorie du champ,
théorie quantique du corps solide, méca~ique statistique) conduisent à
des expressions qui peuvent être interprétées cOITllTle des in,tégrales
selon une certaineme~ure qans tel ou te~ esp~ce fonctionnel. Déjà

---

- 4 -
dans la première édition parue en
1922
de la monographie de
P. Levy
"Problèmes concrets d'analyse fonctionnelle"
[291,
on rencontre un
grand nombre d'exemples de cette sorte, qui constituent un grand inté-
rêt pour un développement ultérieur de l'analyse mathématique dans les
espaces fonctionnels. Un point de une analogue est reflété dans une pu-
blication récente de A.V. Skàrohod "Intégration dans '1'espace de
Hilbèrt"
[39], au sein de laquelle on généralise certains concepts et
certains résultats de l'analyse mathématique classique comme par exemp~e
la formule de Gauss.
Les difficultés qui surgissent lors de l'étude de mesures
dans 'les espaces de dimension infinie sont avant tou'!; liées à l' inexis.,.
"\\
"-
tence de la propriété de compacité locale. Il n'existe aucung mesure
standard semblable à la mesure de Haar sur les grQupes' ~Qca~ements corn.,.
pa,cts', il l'aide de la,que'l1e, on aurai1;: pu donner d' a,utres' mesure pa,r
le:Urs, de~nsi tés.
Le caractère spécifique des mesures dans les espaces de di-
mension infinie réside en particulier dans le fait qu'il est pratique-
ment impossible de mettre en évidence un sous.,.espacevectoriel propre
,
"
de mesure unité.
Dans cette thèse on étudie les mesures de probabilités dans
les espaces des suites
JR 7l +
i. e.
des fonctions d'ensembles non né-
gatives', dénombrablement additives et normées (la mesure de tout -
l'espace est égale à l'unité). Les mesures gaussiennes seront notées
Y', Y0' Yl ' . ,.
; comme d'habitude l'espace hilbertien abstrait sera noté
H. Les' symboles' l, Ip' Co'
et
c = JR 7l +
représenteroI\\t les espaces
,
T
'
.
de suites, JR
désignera If espace-produit de droites réel1es~::numéro.,.
tées à l'aide des éléments de l'ensemble
T;.JR n
représentera

---

- 5 -
l'espace euclidien de dimension
n. Si
M est un sous-ensemble d'un
certain espace vectoriel,~ M désignera l'enveloppe linéaire de M.
Dans le premier chapitre de ce travail, on rappelle certaines
définitions utilisées par la suite ; on précise le sens de certains
concepts et on établit un certain nombre de résultats préliminaires
autour de l'usage desquels il n'existe pas de tradition communément
admise.
Le second chapitre est consacré à l'étude des propriétés des
mesures de probabilités dans les espaces
1 ,
pour
p _> 1,
c'est-à-
p
dire à l'étude des propriétés des trajectoires d'un processus aléatoire.
Le premier théorème relatif à la possib~lité de prolongement d'une dis-
tribution faible jusqu'en une mesure dans un espace vectori~l concret,
l'espace de toutes les fonctions sur un ensemble paramétrique ~ut le
théorème de Kolmogorov
[25]
permettant de parler des trajectoires en
général. Ainsi nous donnons une nouvelle formulation ~ont commode du
théorème de Mip~os - Sazonov et nous demontrons son équivalence avec l~
forme due à Sazonov. Un autre résultat nouveau donné dans ce chapitr~
est le suivant
dans un esp~ce de Banach sépar~blemuni d'une mesure
gaussienne centrée, toute boule de rayon strictement positif est de
mesure positive,
D'autres propositions de ce chapitre permettent
de mi~ux
caractériser les propriétés de's' sous-espace's hilbe\\rtiens d' ~Spqce veC7.
toriels topologiques. La plupart sont nouve~ux.
A la fin des années
50
des efforts furent entrep~is en vue
d'obtenir des critères sur la possibîlité de prolongem~nt q'une

---

- 6 -
distribution faible en une mesure dans un espace localement convexe en
termes de continuité de la fonctionnelle cara~téristique x de la dis-
tribution faible considérée dans telle' ou telle topologie, définie
comme une topologie de
E. Ces efforts aboutirent à un succès dans 2
cas voisins
: lorsque
E est un espace hilbertien (V.V. caz-no - [38] -
utilisant un résultat de Prohorov) et lorsque
E est un espace conju-
gué à un espace dénorr~rablement hilbertien nucléaire QMinlos
[32]
démontrant une hypothèse de Gelfand).
Dans le cas des distributions faibles gaussiennes dans les
espaces
1
fut décrite une topologie sur l'espace conjugué, dans la-
P
quelle la continuité de la fonctionnelle caractérisque est nécessaire
et suffisante pour le prolongement de la distribution faible en une
mesure (Vakhania
[3]). Les résultats du second chapitre précisent les
propriétés des mesures de probabilités dans les espaces
1 . On démontre
p
que pour
1 < P < 2, pour chaque mesure de probabilité dans
1
,
-
-
p
il existe un sous-espace hilbertien
H
1
de mesure unité. Pour le
p
casp > 2,
dans chaque espace 'lp'
P > 2,
on construit une
mesure gaussienne qui n'est concentrée sur aucun sous-espace hilber-
tien
; on donne aussi des exemples de mesures essentiellement non
gaussiennes dotées de propriétés ,analogues. Mieux, pour chaque
,p
>
2,
on montre qu'un'théorème type Minlos-Sazonov n'est pas pos-
sible : il'n'existe pas de topologie sur l'espace conjugué telle que
la continuité de la fonctionnelle caractéristique d'une distribution
faible dans cette topologie soit nécessaire et suffisante pour que
cette fonctionnelle

---

- 7 -
caractéristique soit la transformée de Fourier d'une certaine mesure
dénombrablement additive dans
1p
Le troisième chapitre est consacré à l'étude de l'équivalence
et de la singularité des images de deux mesures gaussiennes quelconques
et
dans l'espace vectoriel
E (que l'on peut considérer comme
coîncidant avec l'espace des suites) selon une application spéciale
non linéaire. Plus précisément, supposons que l'application considérée
fasse correspondre à tout point de l'espace
E un élément d'un certain
espace
~,
de telle sorte qu'à deux éléments distincts
x et y
cor-
respond un même élément de l'espace
~
si et seulement si il existe
un nombre positif
~,
tel que
x
ÀY
et la
cr -
algèbre sur
~
est la plus fine
cr - algèbre par rapport à laquelle l'application con~
sidérée est mesurable~ (Une telle situation se présente par exemple
dans le problème de vérification d'hypothèses statistiques, lorsque
l'oservation' de la trajectoire du processus aléatoire est supposée être
connue à une constante positive multiplicative près). Naturellement
l'équivalence des mesures
Yo
et
impl ique 1 "équivalence de leurs
images; cependant le contraire n'est pas vrai et ainsi se pose la
question de l'établissement d'un critère d'équivalence des mesures
images de
et
ainsi que la question selon laquelle l'alterna~-
tive "équivalence ou singularité"
pour les images des mesures
et
a-t-elle lieu, comme c'est le ,cas pour les mesures gaus-
siennes
([9]
et
[49]) .
Le troisième chapitre donne une réponse complète à ces ques-
tions. On démontre que l'alternative ci-dessus a effectivement lieu
et que les mesures images de
y
et
sont équivalentes si et
o

---

- 8 -
seulement s'il existe une homothétie de l'uneêle ces mesures (supposées
centrées) laquelle transforme cette mesure en une autre mesure équiva-
lente à la deuxième. Autrement dit les images des mesures
Yo
et
Y1
sont équivalentes si et seulement si parmi toutes les mesures gaus-
siennes dont les images par l'application non linéaire considérée ci-
dessus coîncident avec l'image de
Y1 ' on en trouve une équivalente
à
Yo . De ce résultat en particulier, peuvent être facilement déduits
les théorèmes de Kosin sur les mélanges de mesures gaussiennes
[28].
Dans le dernier paragraphe de ce chapitre on trouve des formules pour
la densité des mesures factorisées.
Les résultats de ce travail ont été exposés au séminaire du
laboratoire des méthodes statistiques de
L 0 M l
(Institut de Mathe-.
matiques· de l'Académie des Sciences de l'URSS, section de Leuingrad)
et à une séance de travail de la chaire de théorie des probabilités
et de statistique mathématique de l'Université d'Etat de U;hingrad.
Les résultats des deuxièmes et troisième chapitres ont été pub~iés [18],
[18 bis],

---

Chapitre l
Notions préliminaires
§.l~ Sous-espaces hilbertiens d'espaces vectoriels
1. Définitions fondamentales
Définition 1
Un sous-ensemble
t; ~ H d'un espace hilbertien H est
appelé ellipsoïde, si G. est l'image de la boule unité VH Co H
par une application linéaire (continue)
A: H ---> H
Chaque ellipsoïde est un ensemble faiblement compact.
Si on considère un ellipsoïde comme la boule unité de son
enveloppe linéaire, alors cette enveloppe linéaire se transforme en
espace hilbertien (canoniquement isomorphe à l'espace - quotient de
l'espace selon le noyau de l'application
A).
Définition 2
L' ellipsoïde ~ c. H est appelé ellipsoïde de type Hilbert-
Shmidt;
s'il est l'image de la boule unité de l'espace
H par une
certaine application de
H ~ H de type Hilbert-Shmidt.
Si
est un ellipsoïde compact, alors il existe une suite
orthonorméë {e } K =; 1 ,2, •..
d'éléments de l'espace
H ainsi qu'une
k
suite de nombres
{C
-}
K
0 ,
k = 1,2, ... } telles-que
~
00
(x e ) 2
1 K
= { x 6 H
l
- - -
<
2
K =
C
}
K
est un ellipsoïde de type Hilbert. Schmidt si et seulement si
00

---

- 10 -
Les directions des vecteurs
e
sont appelées:direttions
k
des axes principaux de l'ellipsoïde
(elles sont définies de fa-
çon biunivoque si
Ci f C
pour
i f k), et les nombres
C
sont
K
k
appelés longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde
par analogie
avec le cas. de dimension finie.
Nous allons également considérer les polaires GO rela-
tives aux ellipsoïdes G : ~o
=
{x 6 H
pour tous
(x'Y)H < 1
les ·y 6~} .. La polaire ~o relative à l'ellipsoïde f
peut-être
considérée "comme un ellipsoïde (généralisé) ayant les mêmes direc-
tions des axes principaUx que chez l' ellipsoïde ~ et ayant pour
-1
longueurs des demi-axes les nombres
C k '
Bien entendu l'espace vec-
9.f?°
..e °
toriel normé
(-u:::o, II· 1~i3) avec l'ensemble G
en guise de boule-
unité n'est pas obligatoirement complet (et ne sera certainement pas
complet si l'ensemble ~o n'est pas borné, c'est-à-dire si t; n'est
pas un voisinage de zéro dans
H).
De manière analogue on défini~0nceptd'ellipsoïde dans
'" r>.' ,.
c 19 "~
.
/.<;:;:'~t"..;\\
un espace vectoriel topologlque q~~lôconque
E \\'.:'\\
~~.~)j .
Définition 3
~ .
j!/
Un sous-ensemble 1; d'un~~~15~ۑ~~:~toriel topologique E
est appelé,ellipsoïde si t; est l'image de la boule unité V c: H
H
d'Uri espace hilbertien
H par une certaine application linéaire
(continue)
A:::~ --> E.
Tout comme dans le cas ~ C H, chaque ellipsoïde transforme
son enveloppe linéaire en espace hilbertien. Ainsi à chaque ellipsoïde
~ c: E correspond un sous-espace H hilbertien dans sa propre

---

":" 11 "
nonne de l'espace
E avec une inclusion H~ C E continue.
Définition 4
On appelle sous-espace hilbertien de l'espace vectoriel to-
pologique
E tout sous-espace de
E,
image d'un espace hilbertien
H par une application linéaire continue
A de
H dans
E.
En passant en cas de nécessité à l'espace quotient de l'es-
pace
H selon le noyau de l'application
A,
nous trouvons que
AH C E est un espace hilbertien dans sa topologie propre (le sous-
espace
AH
est isomorphe, compte-tenu du théorème d'isomorphisme, à
1
l'espace hilbertien
H/A- (o)). Cette remarque nous permet de donner
une autre définition du sous-espace hilbertien.
Définition 5
On appelle sous-espace hilbertien d'un espace vectoriel nor-
mé
E un sous-espace v-ëttoriël
H 'de -E; 'enveloppe linéaire d '00
certain sous-ensemble convexe, fenné et équilibré ~ C E qui devient
un espace hilbertien, si on le munit de la nonne suivante
II· IIG
Il x Il
= inf{\\
À > 0
Un sous-enserr~le
possédant la propriété indiquéeest
appelé ellipsoïde.
L'équivalence des définitions précédentes se démontre à
l'aide de la proposition suivante:

---

- 12 -
Proposition 1
Si
H est un sous-espace hilbertien d'un espace de Banach
E,
alors llinclusion de
H dans
E est topologique.
'Démonstràtion
Si
H
E est un sous-espace hilbertien de l'espace de
Banach
E,
alors la sphère unité ~ de l'espace
H est nécessaire-
ment continue à l'intérieur d'Lille certaine sphère de
E. En effet
l'espace de Banach
E et le sous~espace hilbertien
H
admettent un
système total de fonctionnelles continues' (les fonctionnel1es coor-
données), d'où résulte d'après un théorème de Makarov [31] , que l'in~
clusion de
Hdans
E est topologique.
Proposition 2
Soit
H un espace hilbertien ~ cH un ellipsoïde tel
que la s'omme des carrés des longueurs de ses demi'-axes es't égale à
1lunité - Soit
f
une application linéaire continue de
H dans un
\\
certain espace hi'1 bert i'en
Hl'
étant entendu que l'image de la
sphère unité de
H
coi'ncide avec la s'phère unité de
H . Alors llh,
J
mage de 11 ell ipsoi'de a est un ell i psoi"de ~
dans
H
dont la
1
1
somme des carrés des longueurs des demi~axes ne dép~sse pas 1 funtté~
"Dérnons'tration
En effet on peut supposer que l'opérateur
f
est Lill pro':, '
j ecteur orthogonal de
H
sur un certain sous-espace 'H
H, (ortho-
2
,
'
gonal au noyau de l'application
f) ;
après cette remarque ia pro~
,
"
position devient évidente compte-tenu du fait que la somme des ca,rrés

---

- 13 -
,
lir
des longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde
vaut
L d~ , où
k
{e } -
une base orthogonale quelconque dans
H.
k
(x,y) -
le produit scalaire dans
H.
2. Propriétés de certains ellipsoïdes dans l'espàèe" 11
Proposition 3
Soit dans la boule unité
VI
de l'espace
11
un certain
ellipsoïde
(non nécessairement orienté) ; alors:
L
a 2 <
1 ,
où
K :':: 1
K
a
longueurs des demi-axes de llellipsoïde
K
(dans la norme
12),
Démonstration
Soit dans l'espace
:IR n (= 1 (n)) :
2
~(1), ~(2), ... , ~(n) une base orthonorméenecoîncidant pas néces-
sairement avec la base naturelle.
a
,
des nombres strictement positifs.
n
t Cn)
un e11ipsoîde, paramétré sous la forme suivante

---

- 14 -
Dans ces conditions si
:~
2
alors
L
-êL
~ 1.
k
k = 1
En effet considérons un point
x E ~(n) :
(n) = .(d, ... ,0, 1,0, ... 0)
e "
... '" .
l '
(i:- 1) fois
n
(k)
l
k
représente une matrice orthogonale,
c.a. d .
\\
L
~
'f'
•
~i
'f'
= ~l
u
..
1
1
r=
k
.
(01 - le symbole de Kroneker).
En supposant que
x E ~ (n)
(
v.(~)), nous aurons
n
n
Ilxll
1 l
a
c'
<P (~) 1 < 1
l
(n) =. l
1
k = 1
k
k
1
= 1
1
Désignons par
E
l'un quelconque des signes
{-1,+1}
et par
i
T
l'application de
{1 ,2, ... , n} ---~ {-1,+1}
i ---,------'~ T (i) = E·1
Dans ces conditions nous pouvons écrire
n
=. l
1
=
Mais
n
.
l a r-T(i)<p(~) I=! ~
1 k = 1 k-k
1
-~:-
n
n
(k)
=,-,1 l c (
l T (i)<jJ . rI:.
k=1
k
k i =1
l '

---

- 15 -
Etant donné que
{C }
est une suHe quelconque numérique telle que
k
n
l
C~ < 1 , il en résulte que
k = 1
, Ï (T (i)~ (~), Z
i = 1
1 )
Soit :
En considérant toutes les
Zn
applications
T,
nous obte-
nons
Zn
inégalités analogues à.(~)
et après sommation membre à
membre de ces
Zn
inégalités
(~), nous trouvons
n-Z
En supposant
i et j
fixés, nous obtenons
Z
choix des signes
T(00
et nous pouvons ainsi réàl~sé une partition de l'ensemble
S={T}
1
h
Zn-Z
~l~
en quatre c asses, ayant c acune
e ements.
De sorte que pour chaque
kfixé
De cette dernière relation il découle que
n
n
Zn > Zn
l
a Z +
Z
l
a~kZ. 0 ,
k = 1
k
k = 1
n
Z
soit
l
à'k < 1.
c.Q.F.D.
k = 1 .

---

- 16 -
Proposition 4
Soit dans l'espace
11
une suite de points
Ck
{x
)} ;
alors il existe un ellipsoïde t; (non nécessairement orienté), conte-
nu dans la boule unité
VI
de l'espace
11
et une suite de
nombres positifs
{b }
tels que
k
(k)
1.
x
~
b"
€
'"co
2.
l
2p
a_,
< co
où
p
est un nombre dohhé flxé à l'a-
k
k
1
vance vérifiant
0 < p < 1.
a
- longueurs des demi ~'-axes de l' ~~liPsoide !
k
Démonstration
Ck
La suite de points
{x
)} engendre un sous - espace vec-
toriel
l({x })
de l'espace
I l ' On- peut supposer que les points
k
k
{x }
sont linéairement indépendants.
Ck
Ainsi au système
{x
)} on peut appliquer le procédé
d'orthogonalisation de Schmidt et obtenir une base orthonormée dans
l'espace
l({x Ck)})
dans la norme,de
1 , Soit
{q,Ck)}
la base
2
orthonormée ainsi obtenue.
A présent considérons un ellipsoïd~ 1; dont les axes prin-
cipaux coïncident avec les directions définies par les vecteurs"_.·~
q,Ck) , et désignons par .a
les longueurs des demi-axes de cet ellip-
k
soïde dans la norme
1 ,
Choisissons :a
de telle manière que les
2
k
conditions de la proposition 4 soient vérifiées.

---

- 17 -
Soit
x 6 ~ c'est-à-dire
00
x =
l
a C <p (k)
(convergence dans
II· Il ~ )
k k
k =
n
<
l
a C
Il <p (k) Il
k = 1
k k
11
Posons
= 2-k (II <jl(k)II).-1;
alors
k
00
Il:xll
k
IllY1
<
~I (II .;
-
l
1
2-
(k)
.
l~'
k = 1
1
Par ailleurs
00
00
l
2p
I
=
2-2kp( 1/ <p (k) Il
<
l
< 00
k = 1
k
k = 1
1
k = 1
Il reste à démontrer le premier point. Soita ~ = Ht, ;
l'enveloppe linéaire de l'ellipsoïde ~. H~ est un espace hilber-
tien muni de la' norme
Il . II~, avec .
2
00
x:.
IIxll~
~, et x
~,
=
'" (i)
u x .
- i ~ 1 a?
'1'
•
. '
l
l
l
Chaque po~nt x(k)
est une combinaison linéaire de vecteurs
<jl(k)6 H~,
d'où i l résulte que
x (k) 6 HE. .
E~ po~~nt
1
b
=
Il x(k)IIf:-
,
nous trouvons immédiatement que
k
b
(k)
X
p
~ ( V)
k
c;~ ~1'
C.Q.F.D.
"'<-j-"----
-

---

- 18 -
Remarque
On peut montrer que 1 'ellfpsoTde orienté dont les ca~fés
2
( -,)
des longueurs des demi-axes valent
a k = suplx, ~'I es't tel que son
enveloppe linéaire contient la suite de points
{x(f)}
contenus dans
la boule unité de llespace
11
zz+
§.2. Distributions de probabilités dans l'espace
JR
et ses sous-espaces
'll
1. Distributions dans
:IR
+
Soit
{st ,CU, P}
un espace de probabilité et
E;, = {E;,n} nE'll
,
+
une suite aléatoire sur l'ensemble paramétrique
'll+,. ~c.a.d une
suite de variables aléatoires
E;,n = E;,n(w)
de
wEst
Les variables aléatoires
E;,n = E;,n (w) qui sont des fonctions mesurables
sur l'espace mesurable
{st,1t} définissent les valeurs de la suite
aléatoire
E;, = {E;, }. Pour chaque
wEst
fixé, la suite réelle
n
'
E;, (w) = {E;, (w)}
de variable
n
est appelée trajectoire de la fonction
•
n
aléatoire
E;,
{E;,}.
n
'll
DésÎlmons par
:IR
+
l'espace de toutes les uites numériques
définies sur l'ensemble paramétrique
'll
. Ainsi toutes les trajec-
+
'll
toires de la suite aléatoire
E;, = {E;, } appartiennent à l'espace
R
+
n-
Notons b('ll
'
la
cr -
algèbre minimale de sous-ensembles
'll
+
+
de "l'espace
:IR
~
engendree par les ensembles cylindriques
A de
cet espace; l'ensemble
A est constitué de toutes les'~trajectoires
E;,n
pour lesquelles les valeurs
[E;,n ' E;,
, ... , E;,n]
prises aus
1
nZ
r

---

- 19 -
aux points
n , n , ""
n
de
~+
donnent un vecteur
apparte-
1
2
r
nant à un sous-ensembles borélien
r
de l'espace euclidien de di-
mension' r,
:IR r.
Remarquons qu'un ensemble cylindrique constitué
d'une seule trajectoire est mesurable, ce qùi n'est pas toujours le
cas si l'ensemble paramétrique n'est pas dénombrable.
Ainsi la suite aléatoire
~ = {~}
peut-être considérée
n ~
comme un vecteur aléatoire à valeurs dans
:IR
+
car 1 'application
~ =
{~n}8st une fonction mesurable de
ÜI,'1J.,P}
dans l'espace mesu-
rable
fR~ +,~.} et la cr algèbre bf~
des ensembles cylin-
+
+
driques est engendrée à son tour le vecteur aléatoire
~ = {~n}'
~
U
Dans l'espace
{:IR
+, V'?z } , la variable aléatoire
+
~ = {~n}nE~+
induit une mesure de probabilités,
(1)
P~
= ) l
de la manière suivante
)l (A)
=
P~(A) = P{w: ~(w)
{~ (w)} r77
E
A}
(2)
n
nCLl. +
bf
avec
A E
zz +' •
D'une certaine façon, on peut dire que nous avons ainsi obte-
nu une linéarisation de l'espace fondamental
Q
par passage de
Q
à
~+
l'espace des trajectoires
:IR
C'est un point de vue général, On
confond le point
w E Q
avec la trajectoire
{~ (w)} r77 et on peut
n
nCLl. +
considérer la valeur particulière
~ (w)
comme la nième
coordonnée
n
du point
w (bien entendu le point
west supposé fixé à l'avance).

---

- 20 -
Il est bien connu que la mesure
~ = P; , induite par la
suite aléatoire
; == {; }
est définie de façon biunivoque par
n n8ZZ +
les distributions de dimension finie
P
n
, coaodo
par les
' 0 0 0
n
r
1
fonctions de répartition conjonites des collections de variables
aléatoires
l';
, 0 0 0 '
l';
0
n
n
1
2
Selon le théorème de Kolmogorov tout système cohérent de' dis-
tributions de dimension finie
{P
, .. on},
n. E ZZ
peut-être
" n
r
l
+
1
_. ZZ +
pr~i;~gé (;n une mesUre dM; :IR
de toutes les suites sur les
algèbre é~ZZ .:. des' sous-ensembles cylindriques
+
2. Concept 'de' fonêtiOIin€dle
aléatoire
Considérons à présent le vecteur aléatoire
l'; = {l'; } ~~
à valeurs
.
n nl:lLL. +
71:+
/-;~
ZZ
/ ~ "',..:'~.~:,"::(~
+
dans
JR
et soit
JR ZZ +
1 'e~~}~r;<::eGon:Ju~,v~:\\ JR
, autrement
A.\\?;
........
\\ j
CA
Il
dit son dualo Tout élément
~ E :JR 2Z~p-euit:-etre~~onsldere comme une
~ \\ + ---------) ?? d
fonctionnelle linéaire définie sN:h.l~espace /~-} j,'t,
coaodo la rela-.:..:" .
~<"~~.,,,
'.01'6')
sv'l'
tion
. Rnement
définit une variable aléatoire réelle dépendant de
w 8 Q
sur l'espace
de probabilité
{Q:u.,P}
Ainsi,
l';(w) 'pour èhaque
l';
fixé est une
0
fonction aléatoire définie sur Fespace paramétrique
:IR ZZ
'0
+
La donnée des trajectoires du processus aléatoire
l'; = {l';n}nEZZ
et par conséquent équivalente à la donnée d'une fonc~:
+
tionnelle linéaire sur l'espace fonctionnel paramétrique
JR ZZ +

---

- 21 -
\\f
On peut généraliser ce concept e~considérer à la plac~ de
-" ll·
R
+
n'importe lequel de ses sous-espaces vectoriels
E ainsi que
son conjugué
F
par exemple pour
E
on peut prendre
'll +
E
1pc:: R
et
F = 1 c:. R 'll
' 'avec
q
+
-1
.
-1
p
+ q
=
1 ~ p < 00
Soient
E ~ R 'll + et F deux espaces duaux.
On appelle
(E,F) -
processus aléatoire
(brièvement (E,F) - proces~'
sus) toute appllcation linéaire
~ : F ---> S(~), continue sur chaque
sous-espace de dimension finie.
Ici
S(~)
désigne l'espace de toutes fonctions réelles
mesurables définies sur l'espace mesurable
{~:u,}
Tout processus aléatoire défini sur l'espace paramétrique
~ : 'll+ --->
S(~)
engendre comme nous venons de le voir un cer-
'll+
tain
(R
, R 'll ) - processus
~
et inversement.
+
L'étude des
(E,~ - processus comprend l'étude des proces-
sus aléatoires habituels sur un ensemble paramétrique quelconque.
Nous allons à présent lier au concept de
(E,F) - processus
~
deux objets fondamentaux:
la notion de fonctionnelle caractéris-
tique et celle de distribution faible.
La fonctionnelle caractéristique.
x
sur l'espace
F
correspondant
au
(E,F) - processus aléatoire
~
est définie de la manière suivante:
exp i(l;f) (w) dP(w) = J exp-i (l;f) ex) d~Ç (x). (3)
E

---

- 22 -
xE,
est une fonctionnelle définie positive, continue sur chaque sous-
espace vectoriel de dimension finie
F
et normée par la condition
n
Des fonctionnelles ayant des propriétés analogues, indépendamment de
leur origine sont dites définies positives.
'll
Soient
(E,F)
deux espaces en düalité,
(E clR
+) et soit
CsC E le cr - algèbre engendrée par les sous~ensembles cylindriquesde
E et basés sur les ensembles finis
ff , f , ... f },
où
f
est
1
2
r
k
une fonctionnelle linéaire sur
E.
La dlstribution faible ]lE, engendrée par le (E,F) - processus aléa-
toire
E,
est la mesure normée positive finie additive sur le
cr-
algèbre des ensembles cylindriques de
E de la manière suivante
r
]lE,{x 8 E : {(f.,x)} i
1,2, .. , r8 r c:::.lR } =
-
l
= P{w 8 ri : {(E,fi)(w)} i = 1,2, ... ,r 8 r} , (4)
avec
]l
désignant un sous-ensemble borelièn de
lR r.
Nous allons noter
]lfo-, f
.
f -la mesure dans
lR r, induite
.
1
2"" r
par la projection de la distribution faible à l'aide de l'application
{~}i ~ 1, 2, ..r
d~
E
> lR r.
Le système
{]lf
f
... f } de telles
2
l' 2'
mesures fonne un système cohérent decdistributions de dimensions fi-
nies, que l'on peut prolonger en une mesure dans l'espace
lR F.
Mais
tout distribution faible
]lE,
ne peut pas toujours être prolongé en
une mesure dans l'espace
E(c. lR F). En réalité si les fonctionnelles
f.
sont des combinaisons linéaires des fonctionnelles coordonnées
l

---

- 23 -
formant un ensemble dense (même dans la topologie faible), alors la
distribution faible peut-être prolongée jusqu'à une mesure dans l'es-
pace
E.
3:- Le problème du prolongement
Toute distribution faible sur
E n'est pas nécessairement
engendrée par un certain
(E,F)
processus aléatoire ; cependant on
peut toujours élargir l'espace
E de telle sorte .que sur l'espace
élargi, i l puisse exister une mesùTE~; engendrant la distribution
faible donnée.
Théorème 1
z;>; +
Soit
(E,F)
deux espaces en dualité
(E Co JR
)
et
une distribution faible sur
E. Alors i l existe une mesure
~
dénom-
brablement additive dans l'espace de toutes les formes linéaires sur
F, F~ (,;, E), prolongement
v ·
Démonstration
Il suffit de choisir dans l'espace
F une base algébrique
~.
T
notée
TC t+;
alors
F '" R T et
F '" R .
Dans les conditions,
d'application du théorème classique de Kolmogorov.
Ainsi le théorème de Kolmogorov peut-être interprété comme
une solution au problème du prolongement d'une dtstribution faible en
une mesure dans le cas où
E = R T et
F = R T .
Dans l'espace
R T toute distribution faible se prolonge en une mesure
ou de manière équivalente : pour toute fonctionnelle définie positive.
sur l'espace
R
, continue sur les sous-espaces de dimension finie
T

---

- 24 -
a lieu le théorème de Bochner.
Si
T est un ensemble fini, c'est le théorème classique~
de Bochner.
Le problème sur les conditions de possibilité de prolonge-:-
ment d'une distribution faible en une mesure a été résolu dans deux
cas voisins :
a)
E = H est un espace hilbertien
et
F = H'
(théorème de
Sazonov) .
b)
F est un espace nucléaire dénombrablement hilbertien
et
E son conjugué (théorème de Minlos
Nous aurons besoin du théorème de Minlos-Sazonov sous la
forme suivante
Théorème 2
Pour qu'une distribution' faible puisse être prolongéeen une
mesure dans l'espace Hilbertien
H, i l faut et i l suffit que pour tout
E
> 0, on trouve un ellipsoïde 1: E H
de type Hilbert Schmidt tel que
pour toute fonctionnelle linéaire continue
f, on a i t :
ri
comme répartition de la fonctionnelle
f
et
f(g~ l'image de
f
l'ellipsoïde
~E par l'application f.
Bien que ce théorème ne soit formulé sous cette forme ni dans les tra-
vaux Uinlos, ni dans ceux de Sazonov, en réalité la variante formulée
ci-dessus est équivalente aux variantes habituelles
(par exemple à la
continuité de la fonctionnelle caractéristique dans la topologie J,

---

- 25 -
comme c'est le cas dans les travaux de Sazonov). En effet la condi':';",,:,"
tion fonnulée ci-dessus est équivalente' à la cont±ilUité de la fonc-
tionnelle caractéristique dans la topologie J. Soit
E:
-tO
et soit
n
la suite correspondante d'ellipsoides de type Hilbert - Schmidt.
Montrons que la fonctionnelle caractéristique est continue dans la to-
pologie définie par un système de polaires relatives aux ellipsoides
~ comme système fondamental de voisinages de l'origine.
n
En effet si
f e E: ~
,
alors en appliquant des procédés bien connus
n n
d'estimation nous trouvons.
IX(f)
- x(O) 1
f:~,exp
f
exp i
u dJlf(u)
+
exp i
u dJl f (u)
-
1
1
i
1
-co
-E: n
1u 1> E:
E:
n
n
E: n
-E: n
Le premier terme peut-être rendu aussi petit que l'on veut compte-tenu
de la petitesse de
E:
;
comme pour
u e [-E: ,E: ],
exp i
u
est voisin
n
n
n
E: n
€>
de
1 , et
J dJlf (u) "f~(~n)) car la condition f e
si-
E: n ''E,':E:
n
-E: n
gnifie que
f(x)
e [-E: ,E: ]
pour
n
n
D'où résulte, si les inégalités suivantes sont vérifiées
> À - E: n
la continuité de la fonctionnelle caractéristique dans la topologie
évoquée ci-dessus et par suite dans la topologie
J
plus forte

---

- 26 -
(laquelle est construite à partir de tous les ellipsoides de type
Hilbert Schmidt).
Inversement, si
X(f)
est continue dans la topologie J, alors il
existe une suite d'ellipsoides de type Hilbert. Schidt tels que sur
leurs polaires la~ fonctionnelle:caractéristique diffère de l'unité
d'une quantité non supérieure à
E
+ 0;
par analogie à la démons-
n
tration précédente, nous trouvons
que dans ce cas les ellipsoides
évoqués dans la formulation du théorème existent et vérifient
n
i~ 6;~di"i;~ (V (f(~c) > 1 - E pour tout E > 0 suffisamment petit
f
Remarque
Etant donné que dans le théorème de Minlos
- Sazonov, les
ellipsoïdes formant un système fondamentale de voisinages de la tôpo-
logie critique peuvent être choisis orientés par rapport une base
orthogonale fixée dans
H, la condition nécessaire dans la- formula-
tion du théorème peut-être renforcée par l'exigence de l'orientation
fixée (c.a.d. les direçtions des axes principaux) des ellipsoïdes ~
Cette remarque nous sera utile par la suite.
§;3~.Mesures gaussiennes
1. Une suite devariàbles aléatoires
~ = {~n} nEZZ
sur l'espace de pro-
+
babilité
{Q~,P} est dite gaussienne si toutes ses distributions
finidimens ionne1les
sont gaussiennes. La mesure de probabilité
P dé-
fini finie sur les
(5
-
algèbre CU ~ engendrée par toutes les variables
aléatoires
~n' nE ZZ+
sera dite également gaussienne.
Rappelons qu'une'dlstributi6n de probabilité
P dans

---

- 27 -
l'espace
Rn
sera dite gaussienne si sa fonction caractéristique
f
cp (u) =
exp i (u ,x) dP (x),
uER n
Rn
admet la forme suivante
Hu) = exp { i(u,a) - i (Bu,U)}.,
(5)
n
où
(u,x)
=
l
ukxk représente le produit scalaire des vecteurs
k = 1
U = (u )
et
) ,
k
x = (xk
k = 1,2, ... n
et
(u,a) =
J (li,x) dP (x)
(6)
Rn
(Bu,v)
J [(u,x) - (u,a)][(v,x) - (v,a)] dP(x) (7)
Rn
et
u,v E Rn
La densité de probabilité de la distribution gaussienne
P,
concentrée dans
a
la forme suivante
{-i 1
p(x) = (2.) -i de3 B exp
{H- (x-a), (x-al
(8)
'll+
2. Distributiàns gaussiennes dans R
l
Une distribution
y
dans
R +
est di te gaussienne si les
variables aléatoires
~(f),
f E R'll
admettent une distribution
+
gaussienne sur la
droite
réelle.

---

- 29 -
Donnons sans démonstra~ion la proposition suivante.
L:
Proposition 5 (Soudakov -
[42J).
Soit
y
une gaussienne dans l'espace
E et soit
El
E
un sous-espace vectoriel mesurable de E. Alors soit
y(E ) = 0,
1
soit
y(E ) = 1 .
1
Il est également connu
(Sudakov,
[40J
que les transla-
tions à partir des éléments de l 'ellipsoïde de dispersion et de son
enveloppe linéaire conservent le type de la mesure
y
.
Théorème 3
Soit
Y
une mesure gaussienne centrét quelconque dans l'es-
pace de Banach séparable
E. Alors la
y - mesure de toute boule dans
E
(de rayon non nul)
est strictement positive.
Démonstration
Tout d'abord remarquons que l'on peut supposer la mesure
y
non dégénérée, c'est-à-dire qu'elle n'est concentrée sur aucun sous
espace vectoriel fermé. Dans le cas contraire, on se ramènera à ce
sous-espace.
Par ailleurs l'ensemble des vecteurs pour lesquels la
mesure
y
est-quasi-invariante par translations est dense dans l'es-
pace
E.
'En effet, pour une mesure gaussienne cet ensemble coîncide
avec l'enveloppe linéaire de son ellipsoîde de dispersion
(Sudakov,
[40J). Si cet ensemble n'était pas dense dans
E muni de sa norme,
alors il n'aurait pas été non plus faiblement dense et on aurait ainsi

---

- 30 -
trouvé une fonctionnelle linéaire sur
E dont le noyau contiendrait
l'ellipsoide de dispersion de
y .
Dans ce cas sa distribution serait dégénérée - C'eût été la mesure de
Dirac
0
à l'origine et son noyau aurait été un sous-espace vectoriel
fermé de mesure unité, ce qui contredirait l'hypothèse de non - dégé-
nérescence.
A présent considérons un voisinage
V de zéro admettant par
rapport à
y
une mesure égale à zéro et soit
{xk}k=1 2
un sous-
, , ...
ensemble dénombrable dense dans
E de l'enveloppe linéaire de l'ellip-
00
soide de dispersion. Alors
U
':CV + x ) = E,
et."par quasi-inva-
k
k = 1
riance de la mesure
y
par rapport aux translations
xk ' yCV+xk) =0
00
et par conséquent
y(
U
CV + x ))
doit être égal à zéro,
k
k = 1
c'est-à-dire
"Y (E) = 0,
ce qUl est impossible car
Y (E) =' 1
7Z+
4. Exemples de distributions dans l'espace
:IR
a)
Soit
{~k}k 6 7Z
une suite de variables aléatoires indé-
+
pendantes gaussiennes de moyennes nulles et de dispersion
a~
Cest-à-dire
La donnée d'une telle suite équivaut à la donnée d'une mesure
7Z+
gaussienne
Y
dans l'espace:IR
Y
est une mesure - produit
dont la fonctionnelle caractéristique
x (f)
dans l'espace
:IR 7Z
Y
+
admet la forme suivante
x
1
2
(f)
exp 2:
L a
Y
k
k

---

Chapitre II
Sous-espaces hilbertIens dé mesure un~t~ danS lèS eSpaces
1
-p
§.l. Position du problème
Soit
{lp,Mp'~} un espace de probabilité, où 1 < P et
~1p
les cr - algèbre engendrée par les sous-ensembles cylindriques de
l'espace
1 ,et
~
une mesure de probabilité da-s l'espace mesurable
p
-
{l ,M }. Dans ce chapitre, nous allons étudier les sous-espaces hilber-
p p
..
tiens de mesure unité dans les espaces
1P
On démontrera, que pour
p ~ 2 pour chaque mesure de pro~
babilité
~
il existe un sous-espace hilbertien de mesure-unité
(pour
p = 2 l'affirmation est bien sûr triviale). Par ai~leurs pour
chaque
p, 2 < p ~ ~ , on construira des exemples de mesures de proba-
bilité aussi bien gaussiennes que non gaussiennes telles que la mesure
de chaque sous-espace hilbertien de
lp
soit égale à zéro. En guise
d'application des résultats obtenus on formulera et on démontre~a à
l'aide du théorème de Minlos-Sazonov en termes de continuité de la fonc-
tionnelle caractéristique un critère pour vérifier la possibilité de
prolongement d'une distribution faible en une mesure dans les espaces
,
1 ,
P ~ 2.
Par contre "on démontrera que dans les espaces
1
,
p > 2
P
P
en de tels termes un critère analogue n'existe pas.
Sous une autre forme et par une méthode différente, des
critères de prolongement d'une distribution faible en une mesure dans
l'espace
lp'
P < 2 ont été obtenus par V. N Sudakov
[40J
et
ensuite par Kuelles et Mandrekar
[24].

---

- 33 -
§.2. Cas où l
< p~
Théorème 4
Toute mesure de probabilité
~
dans
~p' (1 < p < 2)
est concentrée sur un sous-espace hilbertien.
Avant tout remarquons, que l'ensemble ~ = {xElp
est un ellipsoïde dans l'espace
l
, si de la convergence de
CG
p
..
x2
la série
découle la convergence de la série
(nous
l
~
k=l a k
verrons que cette condition est équivalente à la condition
~
00
\\'
2 - P < 00
L
a
. En effet, dans ce cas le sous-espace
k
k=l
00
H =
{x E l
< oo}
muni de la norme
p
~
Il xII
=( I
k=l
H
k=l
\\.
est un espace de Hilbert, dont l'inclusion.dans
l
est continue.
p
Tout d'abord, nous allons démontrer quelques lemmes.
Lemme 1
Soit
{a }
une suite de réels positifs et soit
k
2
k
1
00
x k
(1)
x
(x )
l
< 1
- t ( a )
k
2
k=l a
}
=
k
l'ellipsoïde orienté dont les axes principaux coïncident avec les
directions des vecteurs de la base naturelle de
m~+ et dont les
, ï · ' -
longueurs des demi-axes valent
mesurés dans la norme de
00
l
2p
< 00
(2)
k=l
alors l'ellipsoïde
est contenu dans
l p

---

- 34 -
Démonstration
Il suffit d'utiliser l'inégalité de Holder :
0>
avec
-
+
-
= 1 .
r
s
En posant dans l'inégalité
(3)
r
=
2
et
on obtient immédiatement
2 - P
p/2
c?
r
(4)
k=1
De la définition de l'ellipsoîde
G(a ) (1) et de l'inégalité (2),
k
~.
il résulte que dans l'inégalité
(4), nous avons
l [xkfP < 0>
k::::;1
c'est.,..à-dire que 1 'ellipsoîde
~b
est contenu da~s l'espace
l
(a )
k
P
p0ur
1 .i P < 2.
Lemme 2
Soit
V
la boule - unité de l'espace
l
et considérons -
p
p
l'application
~
: l
------~ V (
l
,
ainsi définie
P
P
p
x
TIXTr
si
x f 0
p
~ (x)
o
si
x = 0
.
S
- 1 .
Olt
V = ~~
- l'lmage de la mesure
~
par l'application
~. Si
V
est concentrée dans un sous-espace hilbertien
H, alors
~(H' = 1.

---

- 35 -
Démonstration
En effet, si
v(H)
1 ,
nous aurons
-1
p (<p
<p) CH) =
jl CH) •
Remarque
Compte-tenu du lemme 2, nous supposerons par la suite que
la mesure
p
est concentrée sur la boule-unité
V
de l'espace 1 .
p
.
.
p
Lemme 3
Soit
2.,..p
2p
(5)
~ (I
a k
les longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde orienté ~ (a ). Alors
k
l'ellipsQide
e . est contenu dans la boule unité V de l'espace
~(ak)'
p
l
.
P
Démonstration
'.
D'après' le thêorèIl].~ cl~ Beppo-Levi? nous avq:>ns ~a relation
$uivante
(M·
Ainsi, compte-tenu de la condition
(2)
du lemme 1, on voit
que l'ellipsoïde
est contenu dans la boule unité
V
G(a )
p
k

---

- 36 -
Remarque 2
Soit
Hp = ~~ak) , l'enveloppe linéaire de l'ellipsoïde
..
~(ak) dont les longueurs des demi-axes ont été définis" à partir des
relations du lemme 3. Si on considère ~(ak) comme une boule unité,
aioys l'espace
H
qui est son enveloppe linéaire se transforme en
.
p
espace hilbertien.
Lemme 4
Soit
E: > 0
et posons
1
-
2
-1
a
2-p
E:
=
E:
(7)
k
(E<I"kIJ P -1
b k
les longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde orienté
~E:(bk'. Alors
~ (b ' est un ellipsoïde de. type Hilbert-Shmidt dans l'espace
k
~ (~k))'
Hilbertien
Hp =
Ici
EX
désigne l'espérance mathématique
\\
j
de la variable aléatoire
X
Démonstration
.~ (b ) "de façon nucléaire"
Il est facile de vérifier que
E:
k
est contenu dans l'ellipsoïde l;(a ) ,c'est-à-dire
que la somme
k
des carrés des longueurs des demi-axes de l'ellipso~de
~(bkJ par
rapport à l'ellipsoïde
e ) est finie. En effet
<;(ak
2
,b
00
k
-2
-2
E:
< 00 •
E:
l -2 =
1
k=1 ak
Il est également aisé de vérifier, que si x E ~(hk)' alors
x E ~(ak) . Ainsi ,~c(~) est un eilipsoide de tyne Hilbert-Shffiidt
dans
Hp

---

- 37 -
Enfin nous allons démontrer que
~(H) == 1 .
Pour cela
p
remarqlions, que la donnée d'une mesure de probabilité
li
dans l'espace
1
engendre naturellement une distribution faiblè
{~f
f }
p
1
n
c'est-à-dire un système cohérent de distributions dans
:R n,
où
~
désigne la distribution du vecteur aléatoire
fi' . .. f n
et
f
G lq , l'espàce conjugué de
l (l
k
+ l
== 1). A présent considé-
p p
q
rons
~. comme
une distribution faible dans l'espace hilbertien
H.
P
Pour vérifier que .y(H )
p
== 1, . il nous suffit d'appliquer le théorème
de
Minlos-Sazonov pour des combinaisons linéaires finies de fonction-
nelles coordonnées de la fonne suivante
En utilisant l'inégalité de Markov et compte-tenu de l'iné-
galité
(pour
p > 1)
nous obtenons
"~{~(~~)
-
" "
(x
n
n
·E ! ,', r C Je 1
!CkIP E IxkrP
<
..
k~1
P-1
P
2
€
:::
zP-1 P
1
k:-1 .. k .. k-
<
i(
€
l
n
la[bk'P
1: lc l
k
E IxklP
k==1
ï
k==1
Etant donné que
1 ~ P < 2 et
€
un réel strictement positif arbi-
traire, i l en résulte que
l.l (H) = 1 .

---

- 38 -
Le théorème 4 peut prendre la forme suivante.
Théorème (4 bis)
Soit
une suite de variables aléatoires' sur
l'espace de· probabilité
(Q, A, p).
00
Si la série
L fXk(w) IP converge presque sûrement, alors.
k=l
i l existe une suite de réels positifs
(a )
tels que
k
2
00.
X
00
·2p
k
L
L
< 00.• et la série
- 2 - (w)
converge
2
p
k=l
a
k=l
a-
k
k
presque sûrement.
En effet, la suite. aléa,tqire.
(X )
sur l'espa,ce de probabi..,.
k
lité
m, A, P) définit une. varia,ble aléatoire x à va,le.urs' dans' l P
dont la, distribution dans
l
(1 ~ p < 2.)
est lé\\mesure
f.l
•
P
Autrement dit cela signifie que si les' tra,jectoires· de la
V
suite aléatoire_
X = (X )
appartiennent presque $û:r;-ement
ct..
k
l
(1 < P < 2), alors on peut considérer qu'avec une probabilité
p
-
égale à l'unité, ces trajectoires sont des éléme~ts d'un sOûs-espace
hilbertien.
Le théorème 4 peut-être utilisé pour la déduction d'un cri-
tère
de prolongement en une mesure d'une distribution faible dans
i'espace
l
, 1 < P < 2
en termes semblables à ceux du théorème de
p
-
Minlos ~ Sazonov dans le cas hilbertien.
Théorème 5
Pour qu'une distribution faible puisse être prolongée en

---

-
39 -
une mesure dans l'espace
l
p < 2 ,
i l faut et i l suffit que pour
p
tout
E:
,.
0, i l existe un ellipsoïde ~ E:
de la forme
fi
~~
2
co
x k
x e l
= {
1:
<
p
2
1 }
k=l
a k
co
où
l b= < co , et que pour toute fonctionnelle linéaire f e l q
k=l
la condition suivante puisse être vérifiée
E:
•
(Ici
~f
représente la distribution de la fonctionnelle
f).
Démonstration
La condition est nécessaire. D'après le théorème 4, il
existe un espace de Hilbert orienté H 1
de mesure égale à l'unité,
p
c'est-à-dire qu'il existe des réels
a
tels que
k
2
co
co
x
~ < co et "{x
k
l a
1
<
1 .
k
E
l -2- < m }
k=1
2 - P
P
k=1 ak
D'après le théorème de Minlos - Sazonov, pour chaque
E:
> 0,
i l existe un ellipsoïde de type Hilbert - Schmidt ~
et d'axes
•
E:
2
co
bk
tel que
l 2
< co •
k=1 ak
Mais étant donné que
I bi ~( I b~)P/2..f I a 22~ p) 2;p
k
k=1
k=1 a
~ k=1
~..
k.
'
et compte-tenu de l'inclusion de
He: lp , il en résulte que
l P 00 •
b
<:
k=1 k

---

- 40 -
La condition est suffisante
Soit
E:
+ 0
et
~ la suite correspondante d'ellip-
n
Ë n
soïdes d'axes
{b (n:)}. Pour chaque ellipsoïde 'on peut associer un sous-
k
espace de Hilbert "orienté" Hel
dans lequel cet ellipsoïde est
n
p
de type Hilbert-Schmidt. Comme on le montre (cf 45) on peut trouver
un sous-espace Hilbertien
H de
lp
contenant chaque sous-espace
H .
n
Chaque ellipsoïde ~
dans
H sera également de type Hilbert -
En
Schmidt, de sorte que nous' nous trouvons dans les conditions d'applica-
tion du théorème de Minlos-Sazonov dans l'espace
Hel . Ainsi la
p
distribution faible selon ce théorème peut-être prolongé en une mesure
dans l'espace
H et par conséquent dans l'espace l p
Ce théorème peut-être reformulé sous la forme suivante
Théorème 6
Une distribution faible peut-être prolongée en me's,ure dans
l'espace
l
1 ~ p < 2
s-i et seulement si, sa fonctionnelle
ca-
p
ractéristique est continue dans, la topologie de convergence uniforme
sur les ellipsoïdes de la forme
2
{
""
x k
x e l
L -<
p
2 -
1 }
k=l a k
00
pour tous
tels que
I
k=l
§" 3
Cas
- - - -
de
- _ - - l'espace
- - - " ' -
1 '00
Considérons dans l'espace
l
des suites bornées la mesure
00
suivante
11 =
où
est une mesure sur la droite réelle
ainsi définie
1
L

---

- 41 -
Désignons par
ô
l'ensemble de tous les sommets du cube
unité de l'espace
1
muni de sa norme usuelle d'espace de Banach.
00
Il est connu que la mesure
~
est définie seulement sur le
cr-
algèbre engendrée par les fonctionnelles coordonnées et qu'elle est
concentrée sur l'ensemble
ô ·
Remarquons que la donnée de la mesure
~
dans l'espace
100
est équivalente à la donnée d'une suite de variables aléatoires indé-
pendantes
{~k}k E ~
indentiquement distribuées selon le schéma
+
de Bernoulli c'est-à-dire qu'elles sont telles sur l'espace de proba-
bilité
{~,u,P}
que nous ayons:
1
P{w : ~ (w) = 1}
P{w : ~ (w)
-1}
2"
Comme l'a si justement remarqué Doob dans son livre celèbre
sur les processus aléatoires, même pour un schéma aussi simple cer-
tains problèmes ne peuvent être résolus sans l'introduction d'échan-
tillons formés d'une suite infinie d'épreuves. La démonstration du
théorème suivant confirme cette affirmation.
Théorème 7
Pour tout sous-espace hilbertien
H
contenu dans l'espace
1
,l' ~ (H) = 0
00
Pour démontrer ce théorème il nous faut d'abord examiner
quelques lemmes.
Lemme 1
Dans l'espace
1 ,
relativement à la mesure
~
" i l
00

---

- 42 -
n'existe pas de sous-espace hilbertien de mesure -
unité.
Démonstration
Supposons qu'il existe un sous-espace hilbertien
H de
mesure unité. Soit t
la boule unité de
H muni de sa nonn~" hilber-
tienne correspondante. La boule
t; est un ellipsoïde dont l'enve-
loppe linéaire coîncide avec
H c'est-à-dire ~~ = H. Alors selon
le théorème de Uinlos
Sazonov (dans la forme de Sazonov) il existe
un ellipsoïde ~ 1 dont l'inclusion dans
t est de type Hilbert.
Schmidt et ayant la forme suivante
00
L
(1 )
k = 1
En effet la fonctionnelle caractéristique de la mesure
~
peut-être
calculée de la manière suivante
x (f)
J exp i(f,x) d~(u) =
~
100
00
TI
cos f
avec (f ) = f = (1 )
k
k
00
k =
Au voisinage de zéro, nous avons
00
f2
X (f)
1 -
+ ()
L
(I f~)
(2)
"Il
k
k = 1
k
Du théorème de Minlos - Sazonov, il découle que
X~
est .
continu par rapport à une norme (pré) hilbertienne, telle que la sphère

---

"': 43 '
conjuguée soit incluse dans
H de façon nucléaire
mais
x~
,
dans notre cas est continue par rapport à la topologie définie par
la norme de
1
, mais non par rapport à une topologie plus faible
2
[7J.
Par conséquent l'inclusion de l'ellipsoîde &1) dans H est
de type Hilbert - Schmidt. On pourra également supposer que l!ellip-
soîde t; est contenu dans la boule V
de rayon
R de L'espace
oo,R
1
c"oo
(proposition 1 du '"'.§.I)
et que
C'
-
00
l
(3)
k = 1
Nous avons ainsi supposé
~ =
dans l'équation
(1J
Supposons en outre que la somme des carrés des longueurs
des demi-axes de l'ellipsoîde ~ 1 par rapport à la métrique' de
l'ellipsoîde ~ inférieure à 1.
Dans ces conditions considérons
l'espace euclidien
Rn
basé sur les
n
premières coordonnées vecto-
72
rielles de l'espace
R
+
espace de toutes les suites numériques.
'G(n)
Soient t (n)
ven)
les proj~ctions selon la projection
,
l '
oo,R
,
72+
canonique de
R
sur
des ensembl~s ~ '~1
rèspectivement. Si nous notons
~(~) les longu~urs des demi-:axes de
, '
l'ellipsoîde
t;(n)
dans la métrique euclidienne usuelle, alors l'i~
négalité suivante a lieu (voir proposition 2 du chapitre 1)
00
~ (n)"':2
L
<
1
(4)
k =
k
démontrons à présent que
I t (n)2 < n R2 (5J
k ::::; 1
k

---

- 44 -
En effet soit
'en)
(0, ... ,0 1,0, ... , .0)
e .l
(i - 1) fois
n
les vecteurs de base dans l'espace
R
Désignons par
n
2
une suite de nombres réels telle que
I
Ck~ 1 , Vn,
k = 1
.(n) = (.(~~i)
une matrice orthogonale de dimension
n'x n .
Alors quelque soit le point
x(n) = ~~(~~ i = 1,2, ... n appartenant
à-:'l'ellipsoïde :- G (n):-' la-relation
suivante est vérifiée
x(n) =
l x(n)e(n)
l b(n)C • (n)= L b(n)C ( l .(n) e(~il
l = 1
l
l
k = 1
k
k
k
k = 1
k
~i = 1 ki ~
l (' l ben) c •(n)\\ e(n)
i = 1
k = 1
k
k
~~ )
l
avec
cp(~) comme vecteurs de base unité dirigés selon les axes prin-
cipaux de l'ellipsoïde
~(n) et formant une base orthogonale.
De là il résulte aisément que
n
I
ben) C
cp (i)
pour tout
i
k
k
k.
= 1,2, ... , n .
k = 1
l
Par conséquent, compte tenu de l'inclusion G(n) c::. v(~) R nous avons
,
n
I
< R
pour tout
l=1,2, ... , n .
k = 1
Etant donné que
{Ck}
est une suite quelconque de nombres réels tels
n
2
que
I
C
~ 1, alors l'inégalité suivante est vérifiée
k
k = 1
n
2
2
I
(n)
b
A- (n)
k
(6)
pour ·tout
l
'1'
k.
~
k = 1
l

---

- 46 -
Lemme 2
Dans l'espace
1
i l n'existe pas de sous~espace hilber-
00
tien de mesure
j:l
positîve.
Démonstration
Supposons' qu'il existe un ellipsoïde ~ contenu dans une
certaine boule
~ R de 1
(R
0)
de mesure
j:l
positive. SQit
00
,
H = ~~ son enveloppe linéaire, Considérons le group;c;. des trans~
formations constituées par l~s pe~utations de signes d'un nombre fï-
ni de coordonnées d'éléments de l'espace
l
Par définition la
00
,
mesure
j:l
invariante par rapport aux transfoTIl}ations du groupe'~.
Le groupe(;t
est un ensemble discret qui opère ergodique~ent
c'est~à-dire que tout ensemble invariant admet une 'mesure égale à 0
ou à
(la paire
(j:l ,G()
est isomorphe comme on le sait à la paire
(À,~), où 'À est la mesure de Lebesque sur la circo~férence d~ ra-
yon unité et <j) le groupe de rotations sur l'arc de longueur dyado-
rationnelle: le changement de sIgne de la
k.,
coordonnée signi-
Ieme
fïè une translation égale à
Z-k).
,Considérons à présent l'ensemble
M=
U
g(H) ,
où
g 6 a
g(H)
est l'image du sous-espace hilbertien
H selon la permutation
g.
Ainsi
g(H)
est un sous-espace hilbertien muni de la norme
Il xiii
= " g(x) Il
x 6 H
H
g(H)
et du produit scalaire
(x,h)H
= (g(x) ,g(Y))g(H)
, x , y 6 H .

---

.,. 45 .,.
Enfin on peut ajouter membre ~ membre les
n
inégalités
(6)
selon
l'indice
1
== 1,2, ... , n
et obtenir
2
soit
ï Cï b(~)2 .(~~2)
i
1
1
<
nR
n
2
cjJ Cn) 2 )'
==
Rn>
Ï
b CI!) 2
l
k
k == 1
i
k == 1
1
1
(utilisant le fait que
.(n) ~ ~"(~~') est une matrice orthogonale).
Ainsi l'inégalité
(5)
est démontrée .
Pour acheter la démonstration de lemme 1 il suffit de mon-
trer qu'il n'existe pas une suite de collections de nombres
{ben)}
avec les propriétés suivantes
k
k==1,2, .. ,n==1,2, ...
(4)
(5)
n
2
n
b(n)-2
En effet en supposant que
l
ben)
== C == const,
L
k == 1
k
k == 1 k
devient minimal pour
ben) == ben) ==
==
ben) .
Partant si
1
2
n
n
l
b (n)-2
n b(n)-2
< 1
k
k
k == 1
n
,2
alors
b (n) > /TI
.
2
k
-
,
d'où i l résulte que
L b (~~ ~ n
k == 1
c'est-à-dire que la condition
(5)
n'est déjà plus vérifiée pour des
valeurs de
n
assez grandes et pour
R fixé (par exemple pour
R ~'1).
Le lemme 1 est démontré .

---

- 47 -
Il est clair
que
M est un ensemble invariant et en ver-
tu de l'ergodicité du groupe~
admet une mesure égale à
car
M contient le sous-espace H = e(H) - lequel par définition admet
une mesure positive
(Ici
e
représente l'élément neutre du groupe
A présent construisons le sous-espace hilbertien contenant
l'ensemble
M
et contenu dans l'espace
1
A cette fin on peut
()()
utiliser la méthode de construction d'espace hilbertien a'un travail
de
1 . Schwartz
(voir
[45]).
En effet soit
v
une mesure discrète sur le groupe(;4
et
posons
H =
f g(H) dv(g) =
l
Pg
g(H) ,
avec
& g ' 8 H
et
Pg
>
O.
avec
x
8 g(H) .
g
.
.
Comme on le montre dans l'article
([45]) ,
l'espace
H
muni de
la norme
A
Il'X Il
= inf
l
II x
où l'infimum est
g " 2
H
g 8 ~
g(H)
relatif à toutes représentations possibles de l'élément X de l'es-
A
pace
H,
est un espace hilbertien,
c'est-à-dire un sous-espace
A
hilbertien de l'espace
1
Etant donné que
H::> M et que
M est
()()
A
un ensemble invariant de mesure
l,
il en résulte que l'espace
H,

---

- 48 -
admet la mesure unité. De cette façon il existe un sous-espace hil-
bertien
H de mesure unité, ce qui est impossible car cela contre-
dit le lemme 1.
Ainsi le lemme 2 est démontré et par suite le théo-
rème 7.
Maintenant nous allons donner l'exemple d'une mesure
gaussienne
y
dans l'espace
l
montrant que l'on ne peut pas tou-
00
jours trouver un sous-espace hilbertien de mesure unité (on aurait
pu sans changer le raisonnement prendre l'espace
Co
des suites ten-
dant vers zéro).
Théorème 8
Soit
y
le produit infini des mesures gaussiennes
Y
sur
k
2
-1
la droite de dispersions
ok = lu
(k+1)
et de moyennes nulles,
c'est-à-dire que
00
y
x
k
alors
Y (1 )
=
1
et pour tout sous-espace hilbertien
H
1
00
00
on a
'Y (H)
= 0
Démonstration
Dans le but de simplifier l'exposé, nous allons changer
l'échelle "nous allons changer l'échelle sur les axes de coordonnées.
22+
Pour cela nous allons considérer l'espace
E
m
constitué des
-1/2
suites
u = {~k}
telles' que
sup lu
(k + 1) I~k' < 00 •
Alors la mesure
Y
devient un produit de mesures identiques sur les
axes de coordonnées.

---

- 49 -
Etant donné que
2
x
2
exp - "2
/ 2" 1/2
1
f+
1
exp - -
dt
1 -
Il,!
/2TI
2
u
la mesure de l'ensemble
(boule de
E de rayon
R)
est calculée de la manière suivante
00
Le produit infini placé à droite converge si 'R> 12,
et c'est pour-
quoi pour de telles valeurs de
R,
y (SR]
> ° et par conséquent
y(E) > 0,
c'est-à-dire
y(E) = 1
en vertu de la loi du zéro ~ un ,
soit
y (1 ) = 1 .
00
Pour démontrer qu'aucun sous-espace hilbertien
H de
100
n'admet la mesure unité (et en général de mesure positive), il nous
suffit de démontrer que l'ellipsoïde de dispersion
..
2
I i;k .::.. 1} de la mesure y n'est contenu de façon nu-
k
cléaire dans aucun ellipsoïde ~ contenu dans une certaine sphère
SR . En réalité, si
Hel
est un sous-espace hilbertien, alors la
00
sphère unité de
H est nécessairement contenue à l'intérieur d'une
certaine sphère de
1
en vertu de la proposition
du chapitre 1.
00
Supposons à présent qu'il existe un ellipsoïde ~
, conte-
nu dans la sphère
SR
et contenant de manière nucléaire l'ellipsoïde
de dispersion de la mesure
y , c'est-à-dire l'ensemble

---

- 50 -
~
z
{u
L u ~ 1 }. On peut supposer d'ailleurs que la somme
1
k
k
des carrés des longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde ~
par rap-
port à t
est inférieure à
1 .
Considérons l'espace
:IR n
basé sur les
n
premièrs vec-
teurs-coordonnées de l'espace
:IR ?2 + . Soient
S(n)
't(n)
-e (n)
R
,
G:::J 1
les projections de
SR' t , -e 1 selon la projection canonique de
?2
:IR
+
:IR n
S .
d~ .
sur
.
l nous
eSlgnons par .~ (~)
les longueurs des
.Q (n)
demi-axes de
~ (n) par rapport à
c'est-à-dire les lon-
lb
1
'
A(n)
gueurs des demi-axes de
~
dans la métrique euclidienne ;
n
alors
L b(~)-Z < 1. De la même manière, étant donné que
k = 1
~(n) C. S(~)
nous avons
n
Cn)Z
n
Z
Z
Z
L
b
<
L R lu(k+1) = R lu(n+1)
= R nlnn +
(1) .
k = 1
k
k = 1
Tout comme dans la démonstration du théorème
7, on peut prouver
qu'il n'exlste pas une suite de collections de nombres
{ben)}
telle que les
Z conditions sui-
k
k = 1, Z, ... ,n ; n = 1, Z, ...
vantes soient simultanément vérifiées :
n
1.
L
b(n)-2
<
k
k = 1
n
2
2.
L
ben) 2
<
:IR
n lu n
+
(1 )
k
k
(b(~) > 0, R fixé).

---

-
51
-
§.4 Cas de
l
,
2
<
p
<
00
p
Considérons dans l'espace
l
(2 < p < 00)
une
P
mesure
~
définie de la manière suivante.
il
00
li
x
~k' avec
k = 1
1
~k{ak} , = ~k{-ak}
(8)
"2
._~ (1+E)
= k p.
k
et
1,2, ... , ak > 0
0 < E < E. - 1
2
00
00
2
Il est évident que
L
aP < 00
et
l
a
00
•
k
k
k =
k = 1
Moyennant les conditions ci-dessus, le résultat suivant a lieu
Théorème 9
Quel que soit le sous-espace hilbertien
H
de l'espace
1 ,
P
Avant de démontrer ce théorème nous allons examiner quelques lemmes.
Lemme 3
Dans l'espace
1
(2 < p < 00), i l n'existe pas de sous-
P
espace hilbertien de mesure unité.
Démonstration
Nous allons considérer la mesure
~
dans l'espace
de toutes les suites numériques. Pour des raisons de simplicité nous
changerons l'échelle sur les axes et nous considérons à la place de
?l
l'espace
lp' l'espace
E C:fi{
+
des éléments
x = (x )
k

---

- 52 -
pour lesquels
I
ak < <Xl •
k =
Ainsi la mesure
~
se transforme en produit de mesures identiques
<Xl
sur les axes. Soit
S
=
R
I
k =
Pour
R > 1
il est évident que
Sk
admet la mesure unité. Montrons
qu'il n'existe pas d'ellipsoïde ~ contenu dans l'espace
1
,c'est-
p
à-dire contenu dans une certaine sphère
SR
et contenant un ellip-
soïde ~
de type Hilbert - Schmidt relativement à la mesure
~
dans les conditions du théorème de Minlos - Sazonov (sous la forme de
Sazonov), c'est-à-dire que pour tout espace hilbertien
H~ 1
,nous
p
avons
~ (H) < 1.
Supposons qu'il n'en soit pas ainsi, c'est-à-dire qu'il
existe un ellipsoïde ~ contenu dans SR et contenant l'ellipsoïde
~ de type Hilbert-Schmidt relativement à la mesure ~. Alors tout
comme précedemment nous pouvons calculer la fonctionnelle caractéris-
tique de la mesure
~ , c'est-à-dire
<Xl
x (f)
JI
~
k
-1
-1
et
p
+ q
= 1 .,
et trouver la forme générale de l'ellipsoïde t
=
1
{x = (xk),Ix~ ~ S}.
k
Pour des raisons de simplicité, on peut prendre
s = 1 . Supposons que
la somme des carrés des longueurs des demi-axes de l' ellipsoïde ~
relativement à ~ est inférieure à l'unité.
Introduisons l'espace
lR n
basé sur les
n
premières

---

- 54 -
n
2
l
en)
~ k.
1
= 1,2, ... , n,
(11) .
1
k = 1
Maintenant on peut sommer les
n
unégalités
(11)
selon l'indice i
et obtenir
n
n
n
(n~
2
n
2 ~ n
)
n
2
R2
l a-? > l l b . 2 ~ (n) = I b(n)
t ~ (n) . = l b(n)
J
1 -
k
k.
K ,
k.
1
k
".
: 1=1"
.1=1k 1
=
1
k 1
=
k-"1
=
1
k 1
=
2
'.
2
.-p (1 +E:)
Si à présent nous posons
a.
l '
i = 1,2, ... , n,
alors
1
nous obtenons
~
n
()2
2 n
2
n
(1 +E)
2
Ibn
<
R
l i- (1+E)
<
R
uP
dx <
k
-
P
f
k=1
i=1
1
2
2
-
(1+E:)+1
O(;p (1 + a) ,
avec la condition
< R
C 'nP
p
Ainsi l'inégalité
(10)
est démontrée.
Pour terminer la démonstration il suffit de remarquer comme
auparavant qu'il n'existe pas de suite de collections de nombres
{b(~)}:k = 1,2, ...n, n = 1,2, ... avec les propriétés suivantes
n
(n)_2
1.
(9)
l b k
<
k=1
n
(n)2
2.
l b'
<
(10)
.k
k=1
Ainsi le lemme 3 se trouve démontré .
Lemme 4
Dans l'espace
1
2 < p < 00 ,
i l n'existe pas de Wc""
p

---

- 53 -
?Z-:'
coordonnées de l'espace
:IR
+
Tout comme auparavant soient
~(n) e (n) et S(n)
, fo 1
les projections de ~ , ~ 1 et SR respec-
R
?Z
tivement selon la projection canonique de
:IR
+
sur
:IR n.
Si les
b(~) représentent les longueurs des demi-axes de 1;(n) par rapport
à
~ (~), . c'est.,.à.,.dire l~'s longueurs des demi-axes' de ~(n) dans la
métrique euclidienne
on aura
n
b(n)-2
r
k
~
1
(9)
k .. 1
Mon;trons que
2
n
2
-
(1 + E) + 1
l
ben)
:L R?
p
n
(JO)
k
k
1
n
Sort x(n) == (X(~))J 5 é, (n) (c.:IR ). Tout comme avant on peut repré-
(n)
senter
x
.
sous la forme suivante
(n)
e .1
et par conséquent on trouve aisément
n
(n)
x .
l
b en) C ,j, (n)
pour tout
i == 1,2,.,., n .
1
k
k 'j' k.
k
1
== 1
Mais étant donné que l' inclusion ~ (n) C-S (~) est vra}e, novs aurons
n
l
ben) C <p(n)
P
D
~a~.. <
k
k
k.
l ' -
1
1
==
et par suite
pl ~
(n)
(n) IP
p
. -
ai k ~ 1 b k Ck <p k
~ R
pour tout
1
-
1,2, .. ,n
i
Mais étant donné que
{C } -est une suite quelconque de nombres réels
k
n
2
tels que
l
C ~ 1
de là i l résulte qùe
k
k == 1

---

- 56 -
Alors d'après le théorème 3 du chapitre l il est clair que
la mesure par
y
de la boule
51
est positive strictement. Pour
montrer qu'aucun espace hilbertien
H
contenu dans
E n'admet la
mesure unité (et en général une mesure positive) il nous suffit de
montrer que son ellipsoïde de dispersion
t;1 = {x : l u~ ~ 1}
k
n'est contenu de façon nucléaire dans aucun ellipsoïde contenu dans
la-boule
51 .
La démonstration est analogue à celle des lemmes précédentes.
Nous l'effectuerons - Remarquons seulement qu'il suffit de remarquer
qu'il n'existe pas une suite de collections de nombres
n
(1).) _2
l
b k
et
(12)
k = 1
n
2
2 (1+1::)+1
l
ben)
k-
<
C nP
(13)
avec
0 < E < ~ - 1 .
p
k = 1
Ainsi le théorème 10 est démontré.
A présent nous allons revenir aux critères sur la possibili-
té de prolongement d'une distribution faible en une mesure dénombrable-
ment additive dans les espace
1
(2 ~ P ~ 00).
P
Nous allons montrer qu'il n'existe pas de topologie
"critique"
dans
les espaces
1
(q
< 2)
c'est-à-dire qu'il n'existe pas de topologie
q
dans laquelle la contiilUi té de la fonctionnelle caractéristique rela-
tive à la distribution faible donnée soit une condition nécessaire
et suffisante pour que cette distribution faible puisse être prolon-
gée en une mesure
cr - additive dans l'espace
lp'
p-1+q-1 = 1 .

---

- 55 -
sous-espaces hilbertiens de mesure unité.
Démonstration
Remarquons tout d'abord que la mesure
~
dans l'espace
1P
est invariante par rapport au groupe G des transformations consti-
tuées par les permutations de signes d'un nombre fini de coordonnées
d'éléments de l'espace
1
(on de l'espace
E). Le groupe
G opère
p
ergodiquement. Par suite la démonstration du lemme 4 s'effectue de ma-
nière analogue à celle du lemme 2. Ainsi le théorème 9 est démontré.
Théorème 10
LZ+
Soit
y
une mesure gaussienne dans
JR
,
produit infini
des mesures gaussiennes indépendantes définies sur la droite de dis~
2
pertions
et de
nulles,
c'est-à-dire
ok
moyennes
que
2
(1+e:)
00
y
x
,
Yk
avec
Y
e N(O,kP
et
k
k=l
o < e: < p/2 - 1
Alors la mesure
y
est concentrée dans
1
(p > 2)
et pour tout sous-
p
espace hilbertien
H( Li)
,
y(H)
= 0
.
p
Démonstration
00
Etant donné que
L
< 00
il est évident
(voir
[3])
k=1
que la mesure gaussienne
y
est concentrée dans
lp
pour
p > 2
Maintenant montrons que pour tout sous-espace hilbertien
H
lp'
nous avons
y(H) = 0 . Nous allons changer d'échelle sur les axes et
?Z
introduire le nouvel espace
E
JR
+
constitué des suites
x = (x )
k
00
telles que
l oP Ixkl P < 00
k
k=1
,~
'.
, - , - . , . - ' 0
.~
•.:

---

- 57 -
A cette fin, dans chacun des espaces
lp' (2 < p ~
seront dé,,;'"''
00)
crites deux distributions faibles parmi lesquelles, seulement une
pouvant engendrer une mesure dans
lp
et simultanément les ensembles
de Lebesgue
{x E 19 : Ix(x) - x(O)1 < E}
constituent les bases
d'un même filtre, c'est-à-dire que pour chaque
E > 0,
il existe
un certain
E'
> 0
tel que l'ensemble de Lebesgue ci-dessus rela-
"-
tif à la première mesure et correspondant à
E"
est contenu dans
l'ensemble de Lebesgue relatif à la seconde mesure correspondant à
E
et inversement. Si cette condition est remplie il en résulte que
SI l'une des fonctionnelles caractéristiques est continue à l'ori-
glne dans une certaine topologie, la seconde sera également continue
dans la mê~e topologie. En effet la continuité signifie que le
filtre du voisinage de l'origine dans la topologie considérée est plus
fine que le filtre des ensembles de Lebesgue de la forme indiquée
plus haut, et par conséquent la continuité a lieu on n'a pas lieu si-
multanément pour-'les deux fonctionnelles caractéristiques, car les
filtres ayant pour base les ensembles de Lebesgue coîncident.
Dans le cas de l'espace
1
,nous allons introduire les
00
2 distributions faibles suivantes. La première sera le processus
gaussien
y
d'ellipsoïde de dispersion
=
I x~ <' 1}'
k
Il est aisé de vérifier que
y(l ) = 0
et que la fonction-
00
nelle caractéristique
xy(f) ,
f E 1
est continue de façon précise
1
sur la topologie
1
. Ainsi
y
n'est pas une mesure dans
2
100
Pour seconde distribution faible nous allons cons'idérer la mesure
II
donnée au théorème f du
§ . 3
du chapitre II. Nous avons déj à vu que

---

.,. 58 .,.
~(l ) = 1 et que sa fonctionnelle caractéristique ne peut pas être
00
continue dans une topologie plus faible que celle de l'espace
1
.
2
A présent nous allons donner des exemples relatifs à tous
les espaces
lp'
2 «p < 00 •
En guise de distribution faible engendrée par une mesure
nous allons considérer une distribution faible gaussienne correspon-
dant à une suite de variables aléatoires indépendantes gaussiennes de
2
dispersions
avec
Ok
k~P . Comme on peut aisément le vé-
rifier à partir du théorème général d~ N.N. Vakhania sur les condi-
tians de prolongement d'une distribution faible gaussienne en une
mesure dans l'espace
1 , la mesure gaussienne correspondante dans
p
l'espace des suites est concentrée dans l'espace
lp
Considérons à présent
2
2 + p
(8 2J
si
lui <
+
i
8 + 2
.2 + p')
p
peu)
2
lui
2 + p
> . ,
.'
2~
' 8 +
Sl
P
( \\2 + P !
On vérifie aisément que
p(~)
est une densité de probabilité et que
par ailleurs
oo
2
oo
1+P/2
J u peu) du <
00
•
00
et
J lui
peu) du =
-00
-00
~1aintenant, nous allons montrer à l'aide du théorème de

---

- 59 -
Kolmogorov relatif aux trois séries
[30]
que les variables aléa-
toires
~k indépendantes de densité de probabilité Pk(u)=p(l u)
00
ok
sont telles que la série
l
l~klP diverge presque sûrement. En
k = 1
effet pour que cette dernière série converge, il faut et il suffit
que les séries suivantes convergent
l
f ~kl2p
1
dP
Ir~klP
.k
{ 1~kl < C
"{I~kl <C
où
C est Une certaine constante positive. Dans notre cas la première
série diverge car
P {I ~kl > C} = foo p (u) du =
c
r
C' o~+P/2
=
et
l p{l~kr > C} = LP{'~k'P > CP}
k
k
00
ZZ+
Par conséquent l'espace
lp(: R
admet la probabilité égale à
0
et la distribution faible indiquée n'est pas engendrée par une mesure
dans
1
. Comme on l'indique dans l'article de
A.~1. Vershik
et V.N.
p
Soudakov
(voir
[7])
dans le cas de variables aléatoires indépen-
dantes de dispersions
o~ le filtre de base formée des ensembles de
Lebesgue définis par la fonctionnelle caractéristique engendre une
topologie de la convergence uniforme sur l'ellipsoïde
2
l xk
k -Z <
1 ,
c'est-à-dire que les topologies construites pour les
ok
deux distributions faibles coïncident, ce qui termine la démonstration

---

-' 60 -
sur l'impossibilité d'existence d'un critère de prolongement d'une
distribution faible jusqu'à une mesure dans l'espace
lp
2 < P < 00
en termes de continuité de la fonctionnelle caractéris-
tique.
Résumons ce qUI vient d'être démontré sous la forme du théo-
rème suivant
Théorème 11
Il est impossible de formuler un critère de prolongément
jusqu'à une mesuré-d'une distribution faible dans
l
p > 2
en
P
termes de continuité de la fonctionnelle caractéristique dans une
certaine topologie: i l n'existe pas de topologie dans l'espace
-1
-1
lq ,
p
+ q
= 1
telle que la fonctionnelle caractéristique d'une
distribution faible soit continue dans cette topologie si et seulement
si la distribution faible est engendrée par une mesure dans l'espace
l P

---

Chapitre 1II
Equivalence et stngularité des distributions
gaussiennes infinidimensionnelles sur la
cr-
algèbre engendrée par des fonctionnelles homogènes.
§.l. Position du problème sur l'équivalence des mesures
factorisées
Considérons le problème suivant de vérification d'hypo~
thèses statistiques. Nous sommes en présence de deux hypothèses
concurrentielles, chacune d'elles consistant au fait que la distri-
bution de probabilités inconnue d'un processus aléatoire en observa-
tion
est gaussienne de moyenne nulle et d'opérateur de conrrélation
donné. Cependant on suppose qu'une trajectoire du processus aléa'- -"-.
toire donné ne peut-être appréhendé par l'observateur qu'à une cons-
tante multiplicative près.
Nous nous intéressons à la question fondamentale suivante
pour quelle paire de mesures gaussiennes la distinction des hypothèses
est-elle possible avec une probabilité égale à l'unité à partir d'un
échantillon de taille unité (singularité). Pour une paire de mesures
gausslennes dans les espaces vectoriels l'alternative ci~dessous est
bien connue: ces mesures sont soit singulières, soit équivalentes.
(Hajek J.
[9]).
,
Notre problème se ramène aisément à celui habituel d~ véri-
fication d'hypothèses statistiques si nous examinons certains nouveaux
espaces. En effet l'espace vectoriel considéré des trajectoires muni
de chacune des mesures gaussiennes données
y 6 ' y 1
se transforme en
espace de Lebesgue. Cette condition ne limite pas notre problème car

---

- 62 -
car personne n'a imaginé un seul exemple concret d'espace muni d'une
mesure sur une
cr - algèbre dénombrablement engendrée qui ne fut pas
un espace de Lebesgue.
La condition d'être un espace de Lebesgue a été introduite
afin que nous puissions librement parler du système de mesures con-
ditionnelles sur les éléments de toutes les partitions mesurables pos-
sibles (voir article de V.A. Rokhlin
[37]). Considérons la partition
(mesurable)
À de l'espace
(E'Yk) ,
k = 0,1
en rayons. Cette par-
tition est engendrée par l'ensemble de toutes les fonctionnelles
mesurables, homogènes de degré nul, et c'est pourquoi elle est mesu-
rable.
A présent on peut considérer l'espace quotient
E/À
muni
des deux mesures factorisées (les images des mesures
et
par
l'application canonique
E ----
E/À)
que nous noterons
Yo/À et Y1/À • L'espace
(E/\\, Yk/À)
ne possède plus déjà une struc~
ture linéaire. Néanmoins la classe des paires de mesure
y /;À , k=0,1
k/
est suffisamment étroite. Pour une telle paire de mesures, l'étude du
rapport de vraisemblance (la dérivée de Radon~Nilodym) présente un inté-
rêt certain. Dans le paragraphe suivant en utilisant un schéma de
raisonnements appliqué dans une autre situation (pour des mesures non
factoriées) par
A.V. Skoroklod (cf [12])
nous démontrons l'alterna....:'
tive "équivalence ou singularité" pour de telles mesures gaussiennes
factorisées. Nous démontrons ainsi qu'une certaine condition suffisante
(évidente) pour l'équivalence de telles mesures s'avère nécessaire
également, c'est-à~dire que nous donnons un critère simple pour véri~
fier l'équivalence ou la singularité des mesures considérées,

---

- 63 -
Remarquons tout de suite que la forme concrète de l'espace
E dans le problème touchant "l'équivalence ou la singularité des
mesures
Yo/À
et
Y1/À
ne joue aucun
rôle, tout comme d'ailleurs
dans le cas des mesures gaussiennes. La continuité absolue (équiva-
lence, singularité) est en réalité une propriété susceptible d'être
vérifiée à partir des distributions faibles des mesures
Y et Y1
o
et c'est précisément en termes de distributions faibles que nous
allons chercher la réponse à la question posée.
On pe~t aussi étudier le problème posé en d'autres termes,
en parlant non pas de mesures factorisées sur l'espace quotient
E/À ,
mais de mesures sur les
cr - algèbre des sous-ensembles de
E,
engendrés par des fonctionnelles mesurables homogènes de degré nul.
Par la suite, pour des raisons de simplicité de l'écriture,
nous noterons l'espace quotient
E/À
par
E
et les mesures quotients
À
Yk/ À par
Yk À·
On pourra également supposer que l'une des mesures
,
gaussiennes considérées est réduite (standardisée) ; autrement dit on
pourra supposer que sa fonctionnelle caractéristique à la forme
exp(-j(f,f)), où (f,f)
représente une certaine forme quadratique ré-
duite définie non-négative sur
E et que l'autre mesure et donnée par
sa fonctionnelle caractéristique
exp(-j B(f,f)), où B(f,f) = (Bf,f)
est une forme quadratique sur l'espace des formes linéaires et l'opé-
rateur
Best appelé opérateur de corrélation de la distribution
faible engendrée par la mesure
Y1 . Ainsi notre problème se ramène à
la recherche de tous les opérateurs
B pour lesquels la mesure
y
,
O,A
est équivalente à la mesure
Y1,À
et à la démonstration que pour tous

---

- 64 -
les autres opérateurs
B possibles ces mesures sont singulières.
\\ ...
Pour démontrer la singularîté de ces mesur~s, i l eut été
---
"
suffisant de construire un sous~ensemble
M
E, mesurable positivo~
homogène tel que
y0 (M) = 0,
yJ (M) = 1
\\
\\
'
\\
Remarquons encon~ que les' m~SUI'E;S' gaussienn~s' y
~t
'(1
o
sont singulières si l'opérateur
B est proportionnel à ~'opérateuI'
unité avec un coefficient d~ pI'oportionnable difféI'E;'TIt dE;' l'unité et
,
les' mesures:, y
"
que dans ce cas
, 'À et '(1
coîncddent ~ w:;temE;nt "
.
0
'À
~ ,"
En général, si parmi les opérateurs de la forme
a B i l existe un
certain opérateur (c'est-à-dire il existe un certain
a > 0)
tel que
o
la mesure correspondant:à l'opérateur
aoB
soit équivalente à la
mesure
Yo ' les mesures YO'À et Y1 À sont équivalentes, car
,
,
toute cette famille d'opérateurs engendre une et une seule mesure fac-
torisée
Plus bas nous montrerons que la condition d'existence
d'une constantea
possédant la propriété indiquée est suffisante
o
comme on l'a déjà dit pour l'équivalence des mesures factorisées et
elle s'avère être en outre nécessaire et si un tel nombre
a
n'existe
o
pas, alors les mesures quotients sont singulières,
§.2.
Démonstration du résultat fondamental
Théorème 12
Les mesures
et
sont équivalentes si et seulement
a
si i l existe un nom-re positif
a
tel que les mesures
y 0 et y 1
soient équivalentes. On note
a
(Ici
y 1 (A)
"Y
(a A)
pour tout sous-ensemble mesurable
A
E)
1

---

- 65 -
Si pour tout
a > 0, la condition
(1)
n'est pas vérifiée, alors les
mesures
"Y
et
sont singulières.
o,À
Lemme 1
Si le spectre de l'opérateur
B
contient zéro on n'est pas
borné, alors les mesures
Yo,À
et, ,Y
,À
sont singulières.
1
Démonstration
Pour fixer les idées supposons que le spectre de l'opérateur
B
contienne
O. Pour démontrer la singularité des mesures
Y
et
o ,À
nous allons construire un ensemble
M
mesurable par rapport à
Y1 À
,
la partition
À
tel que
et
Tout d'abord si
0
est une valeur propre de l'opérateur
B,
alors on peut trouver une fonctionnelle linéaire qui est le vecteur
propre correspondant à la valeur propre
o. Cette fonctionnelle li- -_."
néaire admet une distribution dégénérée par rapport à la mesure
Y1
(mais non dégénérée par rapport à la mesure
Y ). Le noyau de cette
o
fonctionnelle constitue justement l'ensemble cherché
M.
Si à présent,
0
est un point limite du spectre de l'opéra-
teur
B
alors pour une suite quelconque
E:
+ 0,
pour chaque
n
n >
on peut trouver des vecteurs
i = 1,2, ... , n
pour les-
quels les conditions suivantes sont vérifiées
fer:)
f(n)
= ô~
(Bf(n)
f(n)) =
(n) 2
ô~ i, k = 1,2, ... , n,
1
k
1
i '
k
0
i
1
2
avec
o(r:)
< E:
1
-
n
n
2
1
Alors en posant
tn(x)
l
f(~)
nous trouvons que
t (x)
n
n
k

---

- 66 -
tèrtd vers
0
presque sûrement par rapport à la mesure
En
posant
M = {x:
lim t (x) = 0}
nous voyons que l'ensemble
M
n
n
est
À - mesurable car
tn(x)
est une fonctionnelle homogène (de
degré 2)
et
Yl(M) = 1
En plus
lim
tn(x) =
presque sûrement
n
par rapport à la mesure
Y
et par conséquent
yo(M) = 0
o
Si l'opérateur
B est non borné, c'est-à-dire qu'il admet
un spectre non borné, la démonstration s'effectue de manière analogue.
Le lemme
1
est ainsi démontré.
Lemme 2
Si le spectre de l'opérateur
B
admet plus d'un point li-
mite, alors les mesures factorisées
et
sont singulières.
Démonstration
Soient
ot f 2
0
deux points limites du spectre de l'opé-
l'
2
rateur
B. Considérons deux suites appartenant respectivement à deux
sous-espaces orthogonaux de l'espace hilbertien
F
de toutes les fonc-
tionnelles linéaires mesurables définies sur l'espace
(E,yo)
muni
du produit scalaire standardisé (c'est-à-dire défini à l'aide de la
mesure
Yo)' invariants par rapport à l'opérateur
B et tels que ces
sous-espaces soient aussi orthogonaux selon le produit scalaire
(Bf,f)
et les spectres de l'opérateur
B supposé borné convergent sur
eux respectivement vers les points
~2 et 0 2 (l'existence de tels
1
,.,2
sous-espaces découle de la décomposition spectrale de l'opérateur
B).
En fixant dans chacun de ces sous-espaces un élément , nous obtenons
une suite d'éléments
f
pour laquelle
k

---

- 67 -
(f. , f. )
ô: .
1
J
lJ
(Bf. , f. )
Z ô ..
° .
1
J
1
lJ
Z
-Z
Z
-Z
0'
:>
et
° 1
°ZK
:>
Oz
ZK~1
Considérons à présent la suite suivante de fonctionnelle homogènes -
degré 0
I;n (x)
avec
t
(x)
n
n (x)
n
n
n
1
Z
, Z
I;(X) = -
l
f
n
-Z-
f~(x)
n ex)
=
il
l
. (x)
n
1
i =
0 i
l,
i =
A l'aide de la loi forte des grands nombres, nous obtenons
les- relations suivantes
.,
n
l'
1
fZ
lirn n
=
lm -
presque sûrement selon
y
•
(x)
l
=
n
: (x)
n
n
n
i
o
1
n
l'
1
1
Z
lirn 1;
=
presque sûrement selon Y1 .
(x)
lm -
l
-
f.: (x)
=
n
Z
n
n
n
i =
o.
1
1
De là il découle en particulier que
lirn t
=
(x)
lirn I;~ (x)
(Z)
presque sûrement selon
Yo
n
n
n
n
-1
lirn t (x) =
lirn n
(x)
(3)
presque sûrement selon
Y1 .
n
n
n
Etant donné que
f?1
I;Zn = zn
2 -
1
:n~ Z
Z
1
n
n
f
n
ZK- 1
f ZK
L
L
Z
+
l
-Z-
i =
0,
k = 1
°ZK-1
°ZK

---

.,. 68 -
On peut écrire
I;Zn - Z~
n
( ~Z n Z
1
l
f
+
ZK- 1
-=-Z
l
f Z)
ZK
<
0"1
k = 1
O"z k = 1
N((
1
"
1
E:
1
~Z) Z
1
l ' •
J
+ {-Z -CCz f )
Z
<
Zn
l
~ -Z
f ZK- 1
ZK
- '+
k=1 '\\,' O"ZK-1
0"1
;,0" ZK
0" Z "
n
1
+
l
-
-
+
Zn
Z
~Z) Z
Z
N+1((
f ZK- 1
(!z - ~Z) f )
ZK
k =
'O"ZK-1
0"1
' 0" ZK
0" Z .
E:
'
Pour
E:
fixé, nous allons à présent augmenter
n . Ainsi
fZ
+ l
l f~).:
i'(~z ~Z\\ presque
ZK-1
-z
in ('"~z Ï
- ! >
+
~,0"1k=
O"z
7
k = 1
al
a Z J
sûrement selon la mesure
y
.
o
D'autre part le premler terme du premier membre de l'inéga-
lité tend de façon évidente vers zéro et le second terme ne dépasse
par la grandeur .
1
n
Zn
l
l
"
;~ ainsi, sa limite supé~~~~re est i~férieure à E:
De là i l découle,
\\
qu~ pOUF les valeurs de n assez grande .
<
ZE:
presque sûrement

---

- 69 -
selon
Yo .et-corrnne
E:
est un nombre arbitraire, nous obtenons
que presque sûrement par rapport à la mesure
Yo
>
1(1
1)
Ç;2n
grand.
"2 -=-2 + -=-2
pour
n
assez
(j1
0"2.
Par conséquent la suite
ç;
tend vers la même limite selon
y
n
.l(.l +.l).
o
lim ç;
=
(4)
n
2
-2
-2;
presque sûrement selon
Yo'
n . 0" 1
0" 2 ..
Un raisonnement parfaitement analogue nous conduit à la conclusion
.,.
que
.
-1
(S)
1lITIn
presque sûrement selon
Y1 ..
n
n
-2
-2
0"'1 + 0"2
A présent nous allons considérer l'ensemble
M défini de
la manière suivante
.
1(1
>1) }.
{x : llITI t (x) ="2 1 -=-2 + -=-2 .
n
n : , 0" 1
0" 2 ';i
Des relations
(2)
et
(4)
il découle irrnnédiatement que
et
Y1 (lM) = 0
car des relations
(3)
et
(S)
il résulte
que
2
lim t (x)
sur un ensemble
n
n
de mesure égale à l'unité par rapport à la mesure
Y1 .
Etant donné que les fonctionnelles
tn(x)
sont homogènes
de degré
0, l'ensemble
M est mesurable par rapport à la partition
À
et lelerrnne
2
se trouve ainsi démontré.
Ainsi nous constatons qu'une condition nécessaire d'équiva-
lence des mesures
et
est que le spectre de l'opérateur

---

- 70 -
de corrélation
B soit discret et admette un seul point limite.
A partir de maintenant, nous pouvons pour des raisons de
ZZ+
conunodité supposer que
E
est l'espace:IR
de toutes suites
x = (x ,x •••. ), qu'à la mesure
Yo'
correspondant une suite de
1
Z
variables aléatoires gaussiennes indépendantes normées et qu'à la
mesure
correspond une suite de fonctionnelles
X
cartésiennes
k
distribuées selon la loi gaussienne de moyenne
0
et de dispersion
z
tendant vers
o
pour
k
assez grand.
Lemme 3
Soit
B
l'opérateur de corrélation de spectre discret et
2
de valeurs propres
tendant vers la limite
o
2
o < o·
<
(02
_ (2) 2
00
•
Si
l
00
0,
alors les mesures
k
k
1
et
sont singulières).
(Autrement di~si l'opérateur (02 r - B)
n'est pas de type Hilbert-Schmidt,
les mesures
et
sont
singulières,
r
étant l'opérateur unité correspondant à la mesure
y ).
o
Démonstration
Pour des raisons de simplicité nous supposons que
0
= 1
Dans ce cas nous allons considérer la variable aléatoire suivante
-1
teX) = s n
n
les variables aléatoires
x
sont supposées être distribuées selon
k
la loi gaussienne
N(O,1 )
par rapport à la mesure
Yo
et selon la
n
Z Z
loi
par rapport à la mesure
et
sn = L (1-ok)
k = 1

---

- 71 -
Introduisons aussi la variable aléatoire suivante
l'V
-1
Ï (l_-a~) (_x~ -1)__
n
2
t
(x) = s
avec
n
1/J (x) = lim
l x
n
t
k
n
k=l
= 1
.,1/J (x)
Il est aisé de vérifier que
l'V
t
= tex)
presque sûrement
. (x)
n
tant par rapport à la mesure
Yo
que par rapport à
Y1 .
l'Vn
Remarquons enfin
t
(x)
converge en moyenne quadratique vers zéro
selon la mesure
'Yo
et vers
selon la mesure
En effet
l'V
E
t
E
t
= 0 ,
Y
n
n
o
Yo
2
1 ,
E
(t _1)2
-1
O(s
)
•
y
n
n
1
Ici
E
i = 0,1
désigne l'espérance mathématîque par
Yi
rapport à la mesure
y.l
Ainsi pour
n
tendant vers l'infini,
tend vers l'infi-
l'V
ni et des relations ci~dessus il résulte que
t
tend 'vers
0
selon
n
l'V
la mesure
Y
et
t
tend vers l'unité selon la mesure
Y'1 .-Comm~
o
n
t
est une fonctionnelle homogène de degré nul, alors l'ensemble
M
n
À - mesurable sur lequel la limite de la suite
l'V
t
(x)
vaut zéro sé~
n
pare les mesures
y o et Y'1 ' ce qui démontre la singularité des

---

- 72 -
Remarque
2
2
< ()()
l im ok
alors
= °
k
n
L
lim
k=I
presque sûrement tant selon
Y
n
n
2
o
que selon
YI.
l uk
k=I
En résumant ce qui a été dit dans les lemmes 1,2, et 3, formulons le
critère de continuité absolue des distributions gaussiennes infinidi-
mensionnelles factorisées par partition de l'espace en rayons.
Soient
Yo et YI deux mesures gaussiennes dans l'espace
vectoriel
E,
données sur une même
° - algèbre dénombrablement
engendrée
YQ,À
et
YI,À
son~ 'les'me'sures sur l' espace'-quoti'ent
E
de l'espace
E par une partition
À en rayons, canoniquement
À
images des mesures
Y
et
YI
par l 'applic~tton naturelle de
o
E - - > E
•
À
Pour que les~esures
Yo,À
et
YI,À
ne soient pas singu-
lières il faut et il suffit qu'on puisse trouver une suite de formes
li'néaires
f~
définies presque sQrement tant selDn
Y
que selon
YI
o
sur l'espace, telles qu'elles soient indépendantes tant selon
Y
que
a
selon
YI
et que la condition suivante soit vérifiée
. ~Ifk
2
l,m
------ = °
existe, différent de zéro et de l'infini
et
k""" f
JJY o k
2
cr i
< 00
)

---

- 73 -
et la suite
f
sépare les éléments de l'espace
E (engendrer la
k
cr - algèbre cherchée). (Cette dernière condition peut-être vérifiée
car on a déja démontré la nécessité que le spectre ~e l'opérateur de
corrélation soit discret et par conséquent il existe une suite ortho-
gonale complète de ses fonctions propres).
Il est pratiquement évi~ent que cette condttton nécessaire
démontrée de non singularité est en outre suffisante pour l'équiva-
lence des mesures
Y
et Yl,X·
Supposons que nous ayons trouvé
OiX
des fonctionnelles
f
satisfaisant a la condition demandée. Alors
k
lI.
l'application de
E -->
lR
+
Eix
est un isomorphisme d'espaces vectoriels munis de mesures
(E,yo)
et
?l:r
(E'Yl)
avec l'espace
lR -'-
muni des images des mesures
Yo
et
YI
par l 'appl icati on ci -dessus (i ci il est es senti el qùe l a suite
{fk}
sépare les points de l'espace
E).
Dans l'espace des suites apparaissent ainsi deux mesures
gaussiennes
)lo
et
)lI
La mesure
)lo
correspond a une suite de va~
riables aléatoires gaussiennes indépendantes et normées alors que la
mesure
)lI
correspond a une suite de variables aléatoires indépen~"
dantes gaussiennes et centrées de dispersions
Des hypothèses faites ci-des-
..... ' ....
n
sus il en résulte que
L
2
2
(cr
- cr ) 2
<
Considérons
k
<Xl
•
k = 1
.

---

- 74 -
maintenant une troisième mesure
P2
correspondant à une suite de va-
2
riables aléatoires indépendantes gaus~iennes de dispersions 0
et
de moyenne
O.
Il est évident que la factorisée de cette mesure coïn-
cide avec celle de
Po
par ailleurs, de la condition
< 00
résulte l'équivalence des mesures
Pl
et
~'
P2'
par suite celle des mesures factorisées
PI,\\
et P2,\\
et
par conséquent l'équivalence de
P ,\\
et
PI,À •
O
Ainsi, pour que deux mesures gaussiennes centrées
Yo
et
YI
dans l'espace vectoriel
E soient équivalentes sur la
0
-
algèbre
engendrée par les fonctionnelles homogènes de degré nul, il faut et il
suffit qu'ilexiste un nombre
a,
0 < a < 00
tel que les mesures
a
a
Yo
et YI (avec
YI(A) = YI(aA))
soient équivalentes. Dans le cas
contraire les mesures
sont singulières.
Le théorème est démontré.
§.3. Calcul de la densité
}1aintenant-nous allons nous intéresser au calcul de la densi-
té
dans le cas où les mesures
et
Y1 \\
,
sont équi-
dy
,
0, /\\
valentes.
Nous allons obtenir une expression pour cette densité sous la forme
d'une fonction définie presque partout dans l'espace
(E,y )
et mesu-
o
rable par rapport à la
0
-
algèbre engendrée par les fonctionnelles
de degré nul, c'est-à-dire en fait une expression pour
dY1 À
,
où
Y
peuvent être considérées comme les --
et
Y1 À
o À
,
,
dy
,
0, /\\

---

- 75 -
restrictions des mesures
et
à la
° - algèbre indiquée.
Il suffit en principe de trouver une expression de la den~
sité dans le cas de dimension
n. En effet, il est connu que si
P et
Q sont deux mesures équivalentes quelconques sur l'espace {n,u}
transformé en l'occurence en espaces de Lebesgue, et
t"
t E:
sn
une
~lJtte'- d~ parttÙon1m~surab~es"'tendant 'vers la partition
dP
E:
,
alors
dQ
lim
où
la dérivée dans le second membre
n
est calculée à partir des restrictions
P Q
des mesures
P
et
Q
n' n
sur la
° - algèbre engendrée par la partition À •
Théorème 13
Si les mesures factorisées
et
sont: équiva.,..-
-
lentes, alors leur densité de probabilité admet la forme suivante
dy l,À
À
(
)
(u)
p
(u)
lim p
(u)
,
avec
dy
,
n
n
0,1\\
n
2
p (À) (u)
k II 1
-1)'
n
n
(
Ok"
i
Si en outre la condition suivante est vérifiée
n
_ o21
I 1 1
< 00
alors
k
n
k
1
-2
,
n
,
~
u
- 1 1
L
2
= i'
II
I-
k
p (À) (u)
( .
li: "k 1
k = 1 Ok ) ,
n
2
L uk
L
2
k
10 k

---

- 76 -
Démonstration
Soit
{u}
une base biorthogonale dans l'es-
kk=1,2, ... ,n
pace
F
et soit
F
le sous-espace de
n
Désignons par
P
l'opérateur de projection sur
F
et soient
n
n
(n)
(n)
y a
et
y 1
les projections des mesures
et
respect ive-
ment.
Pour des raisons de simplicité on peut confondre
F
avec l'es-
n
pace euclidien
Rn.
En guise d'espace quotient on prendra alors la
sphère uni té de l'espace
Rn
que nous noterons
Sn
(n)
Soit
P1 n (u)
,
la densité de la mesure
y 1
par rapport
à la mesure de Lebesgue
Introduisons dans l'espace
Rn
les coordonnées sphériques
r cos ~1
=
r sin ~1 cos.'.,~2
un_1 = r sin ~1 sin ~2
un . -
r sin ~1 sin ~2
sin ,j,'f'n-1
r
> a
6 ~ ~i < n
(i = 1,2, ... , n-2),
0 ~ ~n-1 ~ 2n.
On sait que la jacobien de cette transformation est égal
n-1
à
r
8
avec
Introduisons aussi la notation

---