N° d'enregistrement
au C.N.R.S.
THESE de DOCTORAT D'ETAT
ès Sciènces Mathematiques
présentée
à
llUnLversLté Pierre et Marie Curie
-Paris6-
par M
NEZIT PERRE POCOUT
pour obtenir le grade de DOCTEUR ès SCIENCES
Sujet de la thèse:
CONTIBUTION A L1ETUDE DES ECOULEMENTS
AVEC SURFACE ~IBRE ET TENSION
SUPERFICIELLE VARIABLE
sou tenue le
,
devant le jury composé de
H
H.
ROSEAU
Pré sident
H
E. SANCHEZ· PALENCIA
Mme
J. BOUJOT
H
G. lDOS
Examinateurs
H
R. PEYRET
Mme ~ LEVY-BRUHL

---

A la mémoire de mon père et de mon frère Laurent,
A la mémoire de mon oncle Teya N'Coran René,
A ma mère.

---

Dans la vie, le plus grand bonheur
se trouve dans la poursuite cons-
ciente d'un grand but.
ARISTOTE
Qu'il me soit permis d1exprimer ma profonde reconnaissance à
E. SANCHEZ-PALENCIA qui m'a fourni le sujet de ce travail et en a
guidé .le cours.
Ka gratitude va également à Monsieur le Professeur H. CABANNES
qui a bien voulu m'accueillir dans le laboratoire qu'il dirige et
où ce travail a été effectué.
Je tiens encore à remercier Konsieur le ProfeS$eur M. ROSEAU
qui a bien voulu présider ce jury et Monsieur le Professeur Re PEYRET
pour le second sujet qu'il a accepté de me proposer.
Je voudrais remercier également les Professeurs J. BDUJDT et
G. lOOS d'avoir bien voulu s'intéresser à mon travail et accepter
d'examiner cette thèse.
Je remercie enfin tous mes collègues du Département de Mathé-
matiques de la Faculté des Sciences de Reims pour l'amitié qu'ils
n'ont jamais cessé de me témoigner. Je pense en particulier à
Madame P. LEVY-BRUHL qui m'a appris mon métier d'enseignant et a
bien voulu s'intéresser à mon travail de recherche.
Le personnel du Secrétariat du Département de Mathématiques de
la Faculté des Sciences de Reims a apporté beaucoup de soin à la
réaLisation matérielle de ce travail; qu'il en soit remercié.
Je remercie particulièrement Madame BOUDAILLE qui a dactylographié
avec patience le manuscrit.

---

Table des Kat.ières
Pages
Introduc.t.ion
1
lèbapitre 1 : Rappels sur la mécanique des milieux bidimen..
si01mels
5
1. 1
Dérivée particulaire d'une intégrale de
surfa~e
6
1. 2
Les équations du mouvement d'un mili.eu
bOtdUiensionnel .. Notion d'énergie superficielle
8
Chapitre 2 : Les conditions d'interface et les équations du
~nt de la surface libre
12
2. 1.
Les conditions d'interface pour les subs-
tance s pure s
13
2. 2
Cas des substances impures: les équations
du mouvement de la surface libre et l'analogie aVec
la dynamique de s gaz
17
Chapitre 3 : Les équations du mouvement d1un écou1ement avec sur-
face libre et tension superficielle variable
19
3. 1
Cas des substances pures
19
3. 2
Cas des substances impures
22
Çhgdtre 4 r Etude du mouvement pour les substances pures
25
4. 1
Espaces et formes fonctionnels
25
4. 2
Pormulation faible du problème
31
4. 2. 1
Identité intégrale prélirndnaire
31
4. 2. 2
Définition et justification de la
solution faib-le
32

---

4. J
Théorèmes d'existence et d'unicité
34
4. 3. 1
Unicité de la solution faible
34
4. 3. 2
Solutions approchées de Galerkin
36
4. 3. 3
Existence de la solution faible
39
4. J. 4
Problème de perturbation singulière
42
4. 4
Cas où cr ne dépend que des variables d1espace
problème de fréquences et fonctions propres pour le
fluide non visqueux
44
4. 4. 1
La formulation faible du problème (1)
et sa réduction à un problème sur la variété 1:
47
4. 4. 2
Existence et unicité de la solution
faible
51
Chapitre 5 : Etude du mouvement pour les substances impures et
non visqueuses
56
5. 1
Le mouvement de 1. surface libre
56
5. 1. 1
Solutions du type" ondes longitudinales Il 57
5. 1. 2
Solutions du type 11 ondes de Riemann Il _
Codes de choc
59
5. 2· Le mouvement dans la masse du liquide
62
5. 2. 1
Iden~ité int~grale prélDninaire
62
5. 2. 2
Espaces et formes fonctionnels
64
5. 2. 3
Formulation faible du problème
66
5. 2. 4
Théorèmes d'existence 'et d'unicité
de la aolution faible
69
Bib liographie
76

---

INTRODUCTION
Ce travail est consacré à l'étude de l'existence et de 1lunicité, en
!théorie"des petites perturbations, de certains écoulements (avec surface
libre) de fluide incompressible visqueux ou parfait faisant intervenir une
tension superficielle non constante, fonction des variables d'espace et du
~. Dans une première partie nous examinons le cas des substances pures
et, dans une seconde partie, celui des substsnces impures.
Clairaut [16J fut le premier, en 1743, à expliquer les phénomènes de
capillarité sur la base des attractions de particules. Laplace [49J, en 1805,
donna la première fOrmBlation mathématique du problème. Depuis de nombreux
travaux ODt été consacrés au problème gui reste néanmoins mal connu jusqu'à
l'heure actuelle. Une grande variété d'équations ont été proposées pour ex-
pliquer les différents pbénsœêne s qui peuvent se présenter
([3 J, [44 J,
[59J, ••• ). Ces théories reposent généralement sur l'idée gue lion peut
a
li
er à une surface de sé aration les é uations de la mécani ue bidi-
mensionnelle -è t; ne diffèrent les unes des autres que par la loi de comporte-
ment retenue. Certains auteurs ([18J,
[44J, ••• ) représentent les efforts
d~ capillarité à l'aide d1un tenseur des contraintes proportionnel au tenseur
métrique dans le plan tangent à la surface, le coefficient de proportionna-
lité a étant la tension superficielle ou le coefficient de tension superfi-
cielle ; cette représentation correspond physiquement à l'idée que l'action
des efforts de capillarité est équivalente à celle d'une membrane fictive
de 'tension cr qui recouvrirait la surface [lOJ [48J. D'autres auteurs ([3 J,

---

- 2 -
[32]. [34J. [63], ••• ) considèrent une surface de séparation comme douée
d'une certaine viscosité et ajoutent des forces de Viscosité à la repré-
sentation précédente des efforts de capillarité. D'autres auteurs enfin
([31]. [59]. [60]. [61]. [62] •••• ) introduisent en plus des forces tra-
duisant une certaine élasticité de la surface de séparat.ion~_ BUFF propose
dans [11J une 101 qui tend à généraliser le point de vue qui néglige la
Tfscosit.é et l'élast.icité de la surface de séparation. Des auteurs cemme
KCB.TEWEG [76] ont proposé des théorles t.out à fait. dlfUrent.es de celles
que l'on rencontre chez les auteurs précités.
Dans le travail qui est. présent.é Ici ou Be I1m:Lt.e au point de vue qui
réduit des forces de capillarité A celle d'une membrane fictive de tension cr
recotrn'ant la surface de séparation. Si e Içe s on désigne" par y la densité
.. . .
~
.
superf1c1elle de masse. par A l'acceleration et par F la densite des efforts
1.
extuieurs st exerçant sur la surface
principe fondamental fournit ([2].
§ 10.43), pour le mouvement de la surface de séparation, l'équation (1) où
~
1
,n
ft
1& IlOrmale unitaire à la surface.
R
la courbure moyenne de la sur...
DI
face et où VSa désigne le gradient superficiel [7 J de a.
(1)
•
Il est. évident qae_ cette équation ne peut s'appltquer à une surface de sépa ...
ration dépourvue de tngss;e et soumise uniqu~nt. à des effort.s extérieurs
pormaux à la surface, à moins què la tension superficielle ne soit uniforme
sur t.out.e la surface j
c'est le cas pour la surface libre d'un liquide non
visqueU2: en contact; avec l'atmosphère dans le champ de la pesant.eue terrest.re.
en Itabseoce d'impuret.és. ~ généralClent. la tension superficielle dépend de
graaleurs _
la température [1] [38] [40] [48] ou la concent<ation des
impurBté. CS] [21] [70] [77] sur la surface de aéparation. grandeur a dont
la distribution n'est pas nécessairement uniforme. On peut. remédier à une
telle difficulté en int.roduisant. des bermes de viscosit.é et. d'éLast.icit.é
dans La représentation des forces de capillarit.é. Daus le cadre du problème
qa:1 nous pl'éoecupe ('coulements avec surface libre en théorie des petites
pertu:rbation.ll) nOus IIIDDtrons qu'un autre poiut de vue eat possible, basé sur
le '~'Œipe des puissances virtuelles e~o_ par Germaiu [23] [24] et. appli-

---

- 3 -
qué par Cau1 [13] [14J aux phénomènes de capillarité. Ce point de vue, tout
en cODtluuaDt d'assimiler l'action des forces de capillarité à celle d'une
membrane fictive, permet, à partir de la notion d'énersie superficielle
[10] [44], d'obtenu une condition d'interface [67J [68J compatible aVec un
fluide aussi bien visqueux qU'idéal et gui nous semble nouvelle. L'existence
et l'~iclté de la solution du problème aux limites auquel conduit cette con-
d~tlon d'interface montrent que, du point de vue mathématique tout au mg!ns,
cette condition est acceptable.
Le chapitre 1 est consacré au rappel des résultats essentiels de la
Rcaoique des milieux bidimensionnels à partir de [2J et [33J.
Au chapitre 2 on applique les résultats du chapitre 1 pour écrire, dans
le cas des substances pures les conditions d'interface et. dans le cas des
substances impures. les fquations du mouvement de la surface libre. Pour les
.ubataaces pures_ une condition d'interface. COmpatible aussi bien avec un
fluide visqueux qu'avec un fluide parfait, a été obtenue gr~ce au principe
des pIIiSsaDC6S virtuelles [23 J [24 J et à partir de 11énergie superficielle
[10] [44] : l'énergie superficielle permet de définir la puissance réelle
des efforts de capillarité et on en déduit l'expression de la puissance
virtuelle de ces efforts; Itapplication du principe des puissances vir-
tuelles conduit alors à la condition d'interface et à la représentation
des efforts de capillarité comme ayant une action équivalente à celle d'une
membrane f1ct,ive [10J [48]. Pour les sabs eence s impures on décrit le mouve-
ment de la surface libre à Lt a Lde de Lt é quacLon (1) où y est la concentration
des ~mpuretés sur la surface Hbee, Si le liquide situé eu-dë's scus de la
surface libre est non visqueux et slil y a conservation de la masse des impu-
,
retés réparties sur la surface libre (impuretés insolubles). la surface libre
possède. dans l'hypothèse simple où la tension superficielle ne dépend que
de la coacentrat1on des impuretés. un mouvement propre régi par des équations
qui sont formellement identiques à celles qui gouvernent l'écoulement plan
d'un gaz parfait baro~ope en l'absence de forces volumiques. Cette analogLe
montre que tout mauvement plan de ga7 parfait barotrope, en llabscence de
forces volumiques, correspond à un mouvement possible de la surface libre
dans le problème actuel, lorsque le liquide est non visqueUX, les impuretés

---

- 4 -
insolubles et qU'~ la tension superficielle est fonction seulement des
im;PUretése
Au chapitre 3 sont formulés les problèmes aux Itmdtes qui seront
résolus dans les chapitres suivants, et des théorèmes d'énergie sont obtenus.
Le chapitre 4 est consacré à l'étude du problème pour les substances
pures, sous la nouv~lle condition d'interface. L'existence et l'unicité
d'une solution faible du problème sont démontrées. On étudie simultanément
le problème posé par le fluide visqueux et celui posé par le flUide parfait
et on montre que: pour des conditions initiales convenablement choisies et
lorsque le coefficient de viscosité tend vers zéro, la solution du premier
problème converge vers celle du seco~. Les résultats sont appliqués à la
d'term1nation explicite de la solution faible dans le cas particulier du
fluide parfait. ~orsque le mouvement est irrotationne1 et la tension SUper-
ficielle indépendante du temps; on met en évidence les fréquences propres
et le. modes propres d'oscillation grtce à la décomposition spectrale d'un
,
opé~ateur compact. Ces résultats ont fait l'objet de deux publications en
1974 et en 1977 ([67J. [68J).
Le chapitre 5 reprend, dans le cas des substances impures et non vis_
queuses. le problème étudié au chapitre précédent sous l'hypothèse simple
Que la tension superficielle ne dépend que des impuretés que lion suppose
insolubles dans le liquide situé au-dessous'de la surface libre. D'abord
on profite de l'2nalogie soulignée avec la dynamique des gaz pour mettre
en évidence et interpréter des solutions particulières des équations Qui
gouvernent le mouvement de la surface libre; on montre que des phénomènes
de ch0F [17J .[47] [50J sont possibles. On démontre ensuite l'existence et
l'unicité de la solution faible du problème aux limites posé par l'écoule-
ment dans la masse du liquide, à partir d'une solution régulière des équa-
tions r'gissant le mouvement propre de la surface libre.
Signalons pour mémoire que 1. théorie mathématique. dans le cas,d'une
tension superficielle constante, est bien développée, m0me pour des problèmes
DOn'Unéaires de grandes déformations ([18]. [22]. [39]. [64]. [69]. [78).... ).

---

Chapitre 1
RAPPELS SUR LA HECANIqJE OES MILIEUX BIDIMENSIONNELS
Le1I r'sult.ats qui suivent sont tirés essentiell~t de [2J et [33J.
On considire UDe surfsce matérielle en mouvement qui occupe à l'instant t
.
.
1_ position Et. • La surface ~t
est repér~e
par un système de coordonnées
c:urviligœs
ljIa(t), cr = 1, 2 de sorte que, si K est le point courant de 1:
~
0
t
et 0 une origine fixe, le vecteur OH est une fonction des u
et de t. Les
pa~eules matérielles sont individualisées par les valeurs des ua à l'ins-
't8Dt iDiUal, notées ur (t" = r , II), et les ua s'expriment en fonction des
ur par des fonctions inversibles
o
0
r
u
= u (u , e I, a = 1, 2
r = r, II,
1 (1
un
a) =
r
u u "
u ;
1
O(u ,
1
r
0 •
O(u
,
On d'Signe par aa~ (a, e = 1, 2) le s coefficients de la première forme fon..
dament.le de la surface :
...
-
2
= ~.
"11 =
Il
;
"22 =11
:; Il
Ou
et on pose

---

- 6 -
....
...
...
2
001 2
=
-2
ooM
eu1
2
•
bu
1:3
2
Il ~ "
bOM
• =
:111
b}
1
1
11
=
2
8
8
a
11 22
12
•
a
11
22
22
"11
12
21
"12
a
= - -
a
= - -
a
= a
= -
a
a
a
•
....
a
....
WM
~a
a~ -.
Va
du
e
= - -
e
= a
(a.
2 l.
a
e~
;
=
dt
~ = 1.
eua
convention de 11 indice
l'expression de ..
e "
On a utilisé la
répété dans
et il
en sera ainsi dans toute la suite. Les coefficients de la seconde forme fon_
damentale de E
seront notés
t
b,,~ (". ~ = 1, 2) •
-.
...
el 1\\ e 2
•
II~ 1\\ .;"211
...
et tout vecteur v du plan tangent sera repéré soit par ses composantes con-
a
... ~
travariantes v
'Oit par ses composantes covariantes va dans la base (el
• e >
.
2
1
La courbure moyenne de la surface,
J
est définie par la forrrnJ1e [7] [8J
Rm
...
1
a~ b
= -
Os • n=
R
a
a~
•
m
-0
la notation Os • n désignant la divergence superficielle de --n [7].
1. 1
Dérivée particulaire d'une intégrale de surface
Soit r(M,t) une fonction scalaire du temps et de la position sur Et
"
•
da
1
f f '
alors,
si on 'po se éi = dt et si on note
a di
erentiation covariante par
un point-virgule, on démontre la formule (1. 1. 1) ([2J. § 10.12)
d
•
(1. 1. 1)
S r
=
[br + r "-+
"J
dt
dS
bt
2a
dS •
Et
Nous allons mettre cet~e formule sous une forme directement utilisahle
p~ la suite. D'abord on démontre que ([2J, p. 230, ex 10.12.1)

---

- 7 -
d'où l'ou déduit, grtce à un calcul direct, que
•a
= 28 •
ooJ:l
..,
..,
a
et ~ V(T) e
+
a
Ven) n
;
..
a10n la vitesse V sur tt est donnée par la for'DIJle
..
V =
et, en remar~nt que le Iradient superficiel [7J de Ven) • Vs Ven) • est
ua vecteur purement tansentiel, on 8
, ...
n
(OOK)
Va
+ V
n
. .
YS·
OC
=
('T);a
(n)
Vs • n
..,lt
1
2a
•
On peut donc écrire, la virgule désignant la différentiation ordinaire,
r
a
r
,a - V(T)
,a
ou encore,
•
r!...+
=
2a

---

- 8 -
et la formule (1. 1. 1) prend la forme
......
....
ras
rY!E
ta!
= S~
ct)
R
dS
m
t
a
+ S~ [r(v + v~,» J
as .
ôa
t
On utilise alors la formule de Green pour transformer la dernière intégrale
en intégrale curviligne ([2J, § 9.42) :
=
S~
t
... ~
=
S
r V • v dg
~t
...
où ~t est la frontière de ~t J V la normale unitaire extérieure à btt
dans le plan tangent à ~t .. La formule (1. 1. 1) s'écrit donc finalement
.....
d
rit<
(1. 1. 2)
S~ r as = S~ (br r V.n - vsr .. ct) dS
dt
bt
Rm
t
t
......
+ s~ r V.'J ds •
t
En théor-te ~ petites perturbations où on peut confondre la vitesse avec
le vecteur ~ , cette formule prend la forme (1. 1. J). Nous reviendrons
sur la validité d'une telle approximation dans la section 2. 1 •
......
..
d
(1. 1. 3)
S~ ras = S~ (br _ r V.n vsr.V) dS
dt
bt
Rm
t
t,
+
.....
J~ r s,» ds,
t
1. 2
Les équations du mouvement d'un mille~-fh41menslonnel- Notion d'énergie
super Hele lle
S1 y est la densité superficielle de masse l'équation de continuité, d'après
(1.1.1), .'écrit ([2], § 10.31, P' 233)

---

_ 9 _
•
(1. 2. 1)
•
+Y2a=0.
Les efforts ext'rieurs agissant sur la surface matérielle sont définis
...
par une densité superficielle de forces F sur Et et par une densité linéique
...
de forces f
sur bt
• Le tenseur des contraintes T,
symétrique, a pour com-
t
a~
~
'-t
posantes contravariantes T
dans la base (el ' e
et l'accélération est
2)
...
Dode ~ Le principe fondamental fournit alors l'équation (1. 2. 2) ([2J,
§ 10.43, p. 238) :
~
(1. 2. 2)
y A
=
Ta~ ...
n
•
A ces équations il faut ajouter la condition aux limites (1. 2. 3) le long
de btt '
..,
Soit u un champ de vecteurs régulier sur Et et sa frontière. Multiplions
scalairement les deux membres de (1. 2. 2) par 1tet intégrons sur Et ;
on obtient (1. 2. 5), la quantité
&> (~) définie par (1. 2. 4) s'interpré-
tant comme 1. puissance virtuelle des efforts intérieurs dans le mouvement
...
virtuel défini par le champ de vitesses virtuelles u :
..
(1. 2. 4)
(j)(;t)
- S 1.
+S
a~ ~
a~'"
~
~
u ds
(T ~ e
+ ba~ T
n).u dS
j
a
•
OE
t
t
t
...
(1. 2. 5)
Y A • u dS =
...
~
~
~
F • u d S +
f • u ds + ea, .
St
St
SOE
t
t
t
LI'quatiOD (1. 2. ,5.), qui est équivalente à (1. 2. 2). traduit le principe
~
des puissances virtuelles [2J] [24]. En particulier si on prend pour u le
...
champ des vi~esses réelles V on obtient le théorème de l'énergie cinétique
(1.
2. 7) où 'tP
est la puissance des efforts extérieurs,
(?i celle des
e
efforts intérieurs 1
... ..,
6' = - S
S (T~ ... + b
Ta~ "")
~
(1. 2. 6)
f • V ds +
• V ds ,
i
OE
1:
j ~ e a
a~
n
t
t
(1. 2. 7)
d
1
~
dt St 2 y
as =
Ii'.+f\\.
t

---

- 10 -
Consid6rons maintenant le cas particulier où le tengeur des contraintes
est purement sphérique c'est~à-d1re proportionnel au tenseur métrique dans
le plan tangent : T~ = cr aae ; (1. 2. 2) et (1. 2. 3) deviennent respecti-
vement (1. 2. e) et (1. 2. 9) tend Le que (1. 2. 4) prend la forme (1. 2. i o)
.. F
cr ;t
(1. 2. 8)
yA =
+ 'YsO" + R
m
.. ..
(1. 2. 9)
f = o v
,
~
cr ....
\\) .. u ds + J
(1. 2. 10)
=
- J
.. u dS ..
!lEt
Et
La relation (1. 2. 9) montre que l'action des efforts intérieurs est équi-
valente à celle d'une membrane fictive de tension cr qui recouvrirait la
surface t pour cette raison cr s'appelle la tension superficielle ou le
coefficient de tension superficielle. La puissance réelle des efforts
intérieurs s'écrit ici
...
..
cr ..
(1. 2. 11)
(Pl =
v • V ds +
V dS ..
Posons
(1. 2. 12)
=
cr dS
JE
t
1. formule (1. 1. 2) permet d'écrire (1. 2. '13) qui nlest rien d'autre que
1. formule de ([18], formule (4), p. 365)
..
dES
ba
(1. 2. 13)
- + JE
dS
=
cr v • V ds
dt
Ot
- J
~
!lEt
t
....
OOH
v.;)
+J (v 0
dS •
•
Ot + cr--
S
R
E
m
t
En dbéorie des petites perturbations cette formule peut s'écrire sous la
forme (1. 2. 14) et le théorème de l'énergie cinétique prend la forme
(1. 2. 15) :
dES
~
(1.
2. 14)
If'i
=
- - - +
dS
dt
Ot

---

- 11 -
...
d
1<1
(1. 2. 15)
<J !.2 y V2 d5 + ES} = (? + J bt dS •
dt
E
e
E
t
t
En particulier s1 cr ne dépend pas explicitement du temps, la formule
(1. 2. 14) montre que la variation de ES • au. signe près, représente le
travail des efforts intérieurs. Pour cette raison ES s'appelle l'énergie
superft~1elle de la surface et la tension su.perficielle apparatt également
COIIIDE! la densité de lIénergie superficielle [44J [48J.

---

Chapit.re 2 - LES CONDITIONS Dr INTERFACE ET LES EQUATIONS
DU ltJWEKENT DE LA SURFACE LIBRE.
r. ·théorie de le. capillarité utilisée par de nombreux auteurs. [1]. [18J.
[44J.
[75] entre autres. repose sur l'idée que lion peut appliquer à une
surface de séparation la théorie des milieux bidimensionnels aVec un tenseur
des contraintes sphérique. BUFF envisage une généralisation de cette théorie
dans [11]. Il est évident que l'équation (1. 2. 8) ne peut s'appliquer à
une surface de séparation dépourvue de masse et soumise uniquement à des
efforts extérieurs normaux à la surface, à moins que la tension superfi-
cielle ne soit uniforme sur toute la surface; c'est le cas pour la surface
libre d'un liquide non visqueux en contact avec l'atmosphère dans le champ
de La pesanteur terrestre, en l'absence d'impuretés. Or généralement la
tension superficielle dépend de grandeurs côeee la température [1] [38]
[40] [Ita] ou la concentration des impuretés [5] [21] [70] [77] sur la surface
de séparation, grandeurs dont la distribution n'est pas nécessairement uni-
forme. Un moyen de remédier à une telle difficulté est d'introduire des ter-
mes de viscosité <[3 J. [32 J. [34J. [63], ••• ) et d' él.stici té ([31]. [59 J.
[60], [61], [62], ••• ) dans la représentation des forces de capillarité.
Nous montrons que, dans le cadre du problème qui nous préoccupe (écoulements
avec surface libre en théorie des petites perturbations), un autre point
de vue est possible, basé sur le principe des puissances virtuelles [23J [24].
Ce point de vue, tout en continuant de négliger la viscosité et l'élasticité
de la surface libre, permet, gxâce à la notion d'énergie superficielle [10]
[44J. d'aboutir à une condition d'interface qui nous semble nouvelle et qui
convient autant à un fluide viaqueux qu'à un fluide parfait.

---

- 13 -
Lorsque la masse de la surface libre n'est plus négligeable (cas où
il y a des impuretés sur la surface libre), la prise en compte des forces
d'inertie fait que l'équation (1. 2. 8) nlest plus inadaptée au cas d'un
liquide non visqueux et on peut supposer que le mouvement de la surface
libre est régi par Les équations (1. 2. 8) et (1. 2. 9).
2. 1
Les conditions cl1 interface pour le 5 substances pures
Considérons un liquide pesant et incompressible, visqueux ou parfait,
8U repos dans un repère terrestre orthonormé 0 , x2~ supposé galiléen,
l'axe Ox) étant; vertical et ascendant de vecteur unitaire ;;. Le fluide
occupe un dOlIlBine 0, borné. connexe, situé dans la région ~ 50. 0 de l'espace.
le:
D.ans le plan ~ = 0 le fluide présen:e
Et
__L__
~
Fig. 1
une surface libre E en contact avec l'atmosphère de pression constante Po ;
par ailleurs le contour de n est une surface solide .I;l fixe. On rompt l'équi-
libre initial du fluide en y produisant une petite perturbation et On étudie
le mouvement du flUide dG à cette perturbation.
On notera par bO la front1~re de n supposée régu1 ière et on désignera
par <~ • x
' ~) les coordonnées des particules fluides dans l'état non
2
perturbé. par 1<, • x
' ~ • t> le déplacement à l'instant e, à partir
2
de l'état non perturbé. de la particule qui occupait la position ( , , x
• ~)
2
dans l'état initial. On supposera la perturbation assez faible pour pouvoir
confondre v.ri.b1es de Lagrange et variables d'Euler. Dans ces conditions
si t
est la surface libre à l'instant t l'~quation de .I;t ' dans le repère
-t;
~x2~
• peut s'écrire ~ = r <
"t • x
3
2 • o. t ) sa S<, • x 2 J t )

---

- 14 -
et on pourra, en première approximation, confondre Et avec E. De même
on pourra confondre nt ' domaine occupé par le fluide à l'instant t J
avec n. On notera pfx, t ) la pression, à l'instant t , en le point
x ... (~ ' :1[2 ' ~) du
fluide et on négligera la masse de la surface
libre (le liquide est une substance pure). Les efforts extérieurs s'exer-
çant sur la surface libre se réduisent à l'action de l'atmosphère et du
fluide situé au-dessous de cette surface libre.
Lorsque le fluide est visqueux les phénomènes de capillarité peuvent
ltre d'crits par les équations (1. 2. 8) et (1. 2. 9) [44J ; 51 D est le
tenseur des taux de déformation [26J dans l'écoulement (tridimensionnel)
du liquide et lJo le coefficient de viscosité dynamique [28] du liquide,
It'quation (1. 2. 8) s'écrit explicitement sous la forme (2. 1. 1) où t
est la normale unitaire extérieure à la surface libre :
-.
(2. 1. 1)
(p - p
<J cr - 2~D.n = o •
o
5
a
Si on prend coume coordormées curvilignes u
sur la surface libre les
coordonnée s cartésierme s ~ et X
et si <J S désigne le gradient de S par
2
2
rapport aux variables, et x
(gradient bidimensiormel de S)J l'équation
2
,
....
(2.1. 1) se linéarise sous la forme (2. 1. 2) , la normale exterieure n
->
pouvant @tre confondue avec e) :
(2. 1. 2)
•
On notera qu'ici on a [9J
(2. 1. 3)
=
â2~ d'signant le laplacien bidimensionnel de S •
Cœme nous l'avons d'jà signalé l'équation (2. 1. 1)J ~me sous S8
forme linéarisée (2. 1. 2)J est inadaptée au cas du liqUide non visqueux,
à moins d'admettre que la tension superficielle est indépendante des variables
d'espace, ce qui n'est généralement pas le cas, la tension superficielle

---

- 15 _
dépendant de la température [1 J [38J [40J [48J dont la distribution sur la
surface libre nta pas de raison à priori dl~tre uniforme. Or on peut remar-
quer le fait suivant. Dans le cadre des petites perturbations les équations
(t ,
2. 8) et (1. 2. 9) se déduisent de la seule existence de l'énergie
superficielle (1. 2. 12). L'énergie superficielle permet de calculer la puis-
seece eée ï Ie des efforts intérieurs par la formule (1. 2. 14) qui s'explicite
sous la forme (1. 2. Il) gcâce à (1. 1. 3) ; de là on d'duit l'expression
(1. 2. 10) pour la puissance virtuelle des efforts intérieurs et, par appli-
cation du principe des puissances virtuelles (équation (1. 2. 5}), les
équations (1. 2. 8) et (1. 2. 9). On voit donc qu'en théorie des petites
perturbations, lorsqu'on n'glige la viscosité et l'élasticité de la surface
de séparation, on peut décrire les phénomènes de capillarité à ltaide de la
seule notion dténergie superficielle. Les équations à écrire, pour le mou-
vement de la surface libre, dépendent de l'approximation retenue pour le
calcul de la dérivée particulaire de l'énergie superficielle. En particulier
les équations (1. 2. 8) et (1. 2. 9) correspondent au cas où on utilise
l'approximation (1. 1. 3) qui consiste simplement à confondre les vitesses,
en variables d'Euler, aVec les dérivées partielles par rapport au temps.
Dtautres approxtmations sOnt possibles, à partir de l'expression exacte
(1. 1. 1), qui conduisent à des équations différentes. par exemple, prenons
a
encore pour coordonnées curvilignes u
les coordonnées cartésiennes ~ et
a
x
se confondant alors avec les composantes VI et V de la vitesse
2 '
les V
2
suivant les axes Ox
et Ox
' et partons de (1. 1. 1) pour écrire (2. 1. 4) :
1
2
,
dES
(2. 1. 4)
- +
[cr ;a + (cr ya);aJ es,
0'=1,2.
dt
J bcr dS = - J
E
bt
E
t
t
On a ici
a = 1 + ~~1 + ~~2 et on utilise l'approximation (2. 1. 5) qui
per,metd1écrite (2. 1. 6) et (2. 1. 7) ; dans (2. 1. 7) on transforme la
dernière intégrale en intégrale curviligne ([2J, § 9-42) en négligeant le terme
a
(cr Y3~
)
qui est un infiniment petit devant le terme (0 V ).~ et on obtient
,a ,a
1
2
-t
,'"
la fonalle finale (2. 1. 8) (V"" VI + y- v
-V.V) ;
2
(2. 1. 5)
•e
(2. 1. 6)
cr
=
0'=1,2
20
J

---

- 16 •
dE
~
(2. 1. 7)
-2.+S
OOdS
=
n dS
dt
r:
oe
t
a=1. 2 J
dES
~
(2. 1. 8)
- +
-+
n • V dS
dt
.. ..
- S a V • V dS •
tlEt
La forDIJle
(1. 2. 14)
51 écrit donc
ici sous la forme (2. 1. 9) ;
on en d'duit l'expression (2. 1. 10) pour la puissance virtuelle des efforts
de capillarité
.. ..
..
a
~
(2. 1. 9)
6'1 = SE (if"" + 9 a •
a V • V d. ,
2
"2~) n • V dS
m
StlE
t
t
..
a
.<
...
...
G'(u) =
..
(2. 1. 10)
SE (j( + "2 a • "2D n • u dS - S
a V • u d. •
m
tlE
t
t
Le principe des puissances virtuelles (équation (1. 2. 5»
conduit alors à
la condition d'interface (2. 1. 11) et encore à la formule (1. 2. 9) pour
la représentation des efforts de capillarité :
a
(2. 1. 11)
(p - p
+-+
o
Rm
La condition (2. 1. 11) est la condition utilisée dans [67J [68J.
On voit que, contrairement à la condition (2. 1. 2), la condition (2. 1. Il)
est valable pour un fluide auss! bien visqueux qui idéal. Pour un fluide
parfait les deux équations, lorsque la tension superficielle est uniforme,
se réduisent à l'équation de Laplace [44J (2. 1. 12) :
(2. 1. 12)

---

- 17 _
2. 2
Cas des substances impures: les équations du mouvement de la surface
libre et llanalogie avec la dynamique des gaz
La masse de la surface libre n'est plus négligeable j
physiquement
cela correspond à la présence d'impuretés sur la surface libre,
la densité
de masse y étant tout s~lement la concentration de ces impuretés. Comme
l'on tient compte cette fOis-ci des forces d'inertie, l'équation (1. 2. 8)
n'est plus inadaptée pour le fluide parfait et on peut supposer que le
mouvement de la surface libre ohért aux équations (1. 2. 8) et (1. 2. 9).
Si alors on désigne par g l'intensité de la pesanteur terrestre l'équation
(1. 2. 8), sous sa forme linéarisée, peut s'écrire (~~ .... -: ) :
•
d V
(2.2.1)
y - =
dt
•
Lorsque les :(mpuretés réparties sur la surface libre sont insolubles dans
le liquide situé au-dessous de cette surface, 11 y a conservation de la
ma&se des impuretés et on doit écrire en outre l'équation de continuité
(1. 2. 1) dont la forme linéarisée s'écrit:
(2. 2. 2)
=
o •
Supposons le liquide non visqueux et dê s tgncns par ~(~ , x
'
t )
2
la vitesse horizontale de la surface libre; l'équation (2. 2. 1) se
déeompose alors en les deux équations (2. 2. 3) et (2. 2. 4)
~
..
(2. 2. 3)
y 5!!:
=
dt
d2~
(2. 2. 4)
Y
2 =
dt
Les équations (2. 2. 2) et (2. 2. 3) déterminent le mouvement propre de la
surface libre en pojection sur le plan horizontal; quant à l'équation
(2. 2. 4) elle constitue une condition aux limites pour le mouvement du
liquide puisque, si r
est le déplacement vertical dans l'écoulement du
3
liquide à partir de 11 état non perturbé, on a la condition cinématique

---

- 18 _
(2. 2. 5) •
(2. 2. 5)
On sait que pour les substances impures la tension superficielle
dépend. entre autres choses, de la concentration des impuretés sur la
surface libre [5] [21J [70] [77J
on fera l'hypothèse simplificatrice
que a est une fonction régulière donnée de y seul. Dans ces conditions
a reste borné et l'équation (2. 2. 3) peut ~tre remplacée par (2. 2. 6),
la fonction F étant donnée par (2. 2. 7) où K est une constante choisie
pour que P soit po si t1ve :
~
dv
(2. 2. 6)
dt
(2. 2. 7)
F
=
-a+K.
Les équations (2. 2. 2) et (2. 2. 6) qui régissent le mouvement propre
de la surface libre sont formellement identiQUes à celles qui gouvernent
le mouvement d'un gaz parfait barotrope ~ en écoulement plan parallè-
lement au plan horizontal en l'absence de forces volumiques ~ y joue le
rale de la masse volumique et F celui de la pression. Cette analogie sera
ccmplète si en outre on a les inégalités d'Herman Weyl [28J
dF
da
'>
o ,
(2. 2. 8)
=
dy
dy
2F
2
d
d
(2.
0
2. 9)
=
;>
o •
dl
dl
En termes de dynamique des gaz la première inégalité exprime que la vitesse
du son [28J est une quantité réelle, et la seconde inégalité signifie que
la vitesse du son est une fonction non décroissante de la densité. Les con-
ditions (2. 2. 8) et (2. 2. 9) sont conformes aux hypothèses de [1 J. Cette
analogie avec la dynamdque des gaz montre donc que tout mouvement plan de
gaz parfait barotrope, en l'absence de forces volumiques, correspond à un
mouvement possible de la surface libre dans le problème actuel, pour le
fluide parfait. Nous profiterons plus loin de cette analogie pour mettre
en ~vidence des solutions simples des équations (2. 2. 2) et (2. 2. 3).
Dans les prochains chapitres nous reprenons en détail les problèmes d'écou-
lement avec surface libre qui viennent d t êt.r-e évoqués.

---

Chapitre .3 - LES EQUATIONS DU M01JVEMENT D'UN ECOULEHENl' AVEC
SURFACE LIBRE ET TENSION SUPERFICIELLE VARIABLE
La masse volumique du liquide sera désignée par
p et nous supposerons
qu'elle est constante dans tout le fluide. Les inconnues du problème dans
Itécoulement tridimensionnel du liquide seront la pression p et le dép la-
. . ,
1 •
~
cement r a partir de l etat non perturbe•
.3. 1
Cas des substances pures
Les équations du mouvement du liquide s'écrivent
2
b
i
-t
p - -
.. grad p
M:
(3.1.1)
= - Pl! "3
+~
2
"5t
Ot
0
~
~
(3. 1. 2)
(div d
=
div W =
0
Ot
~ est le coefficient de viscosité dynamdque du fluide, nul pour un fluide
-t
or'
parfait, et W= bt est la vitesse du fluide. La première équation est
lléquation de Navier .. Stokes [28J, le seconde traduit l'incompressibilité
du mdlieu [28). A ces équations il convient d'ajouter les conditions d1adhé-
~
renee (3. 1. 3) [29J ou de glissement (3. 1. 4) [29) où V est la vitesse de
...
la surface libre et n la normale unitaire extérieure à la surface limdtant
le doms1ne occupé par le fluide
(3.1.3)
;
=
o
(1Jo > 0) ,

---

- 20 •
.. . • •
(3. 1. 4)
=
V.n
W.n
=
a
(" ~ 0).
On peut remarquer que la première relation (3. 1. 4) est équivalente à
la condition cinématique (2. 2. 5) et que la première condition (3. 1. 3)
est r~811sée en partie gr3ce à cette condition cinématique. Pour une
substance pure la tension superficielle est une fonction de la température
(1] [38J [40J [48J. Dans les problèmes envisagés ici la distribution de la
température est, à priori, inconnue. Mais, dans le cadre des petites pertur-
bations où nous nous sommes placés on peut, moyennant des conditions aux
limdtes appropriées, négliger les termes contenant la vitesse dans Itéqua_
tion de li énergie ([42J, équation (2) j
[30J) qui se réduit alors à celle
de la chaleur ([42J, équation (4) ; [52J>. La détermination de la tempéra_
ture relève donc d'un problème connu [4J [4JJ [52J et on peut considérer
la température et le coefficient de tension superficielle comme des fonc-
tions connues des variables d'espace et du temps; lorsque la distribution
de la,température est stationnaire, la tension superficielle n'est plus
fonction que des seules variables d'espace (cf [67) Dans ces conditions
l'équation d'interface devient une condition aux limites pour le problème
posé par l'écoulement du liquide. Les problèmes aux limites auxquels
conduit la condition d'interface (2. 1. 1) ont fait l'objet de nombreux
travaux, mime en déformations finies [1 J [18J. C'est pourquoi nous ne
retiendrons ici que la condition (2. 1. 11). Les inconnues du problème
devront enfin satisfaire à des conditions initiales appropriées. Nous
supposerons ici que le déplacement initial it est donné ainsi que la vitesse
o
...
initiale W satisfaisant à (J. 1. 5) et à (J. 1. 6)
o
..
..
-1
...
(3. 1. 5)
div r
= a
r II: = 0 ;
div W ~ a
o
;
wol
= a
(" > O)J
0
o
1
El
...
-1
-1,
...
(3. 1. 6)
div r
=0
;
r .n E
~
a
div W = a
;
... -11
Wo·n El =
~
0).
0
o
1
0
a '"
Moyennant ces conditions initiales l'équation d'incompressibilité (3. 1. 2)
équivaut à (J. 1.7) et (J. 1. 4) se réduit à (3. 1. 8) gd.ce à (2. 2. 5)
et la deuxième relation (J. 1. 3) s'écrit sous la forme (3. 1. 9) :
..
(3.1.7)
div r
~
a
-1 -11
(3. 1. B)
r , n El
~
a •

---

- 21 -
o. 1. 9)
=
O.
Quant à la première relation (3. 1. 3), elle donne la vitesse sur la surface
libre UDe fois déterminé le DIiOUVE!ment dans le liquide. Le problème aux
limites et aux valeurs initiales à résoudre s'énonce donc LcL sous la forme
o. 1. 10) .. (3. 1. 14) ; l'équation (3. 1. 13) est la condition d'inter..
face (2. 1. Il) que l'on a écrite en tenant compte de la condition clné-
_tique (2. 2. 5) et de (2. 1. 3), et où D(i!) désigne la partie symétrique
~
du tenseur grad r :
b2;
~
bor'
(3. 1. la)
p - =
2
- pg e .. grad p + lJo
,
3
"Et
bt
~
(3. 1. 11)
dlv r = 0 ,
..
(3. 1. a)
''lE,.
;
r
• ;/E,.
(_ = 0) •
= a
Û' > 0)
= 0
..
-+
bD(r)
...
(3. 1. 13)
-pn+21Jo
• n •
bt
(3. 1. 14)
Le probll..... (3. 1. la) -
(3. 1. 14) est le problème étudlé dans [67] [68]
...
avec la condition initiale r
=
O.
o
Le th60rème de l'énergie cinétique l23'J [24J [25J pour le mouvement du
liquide, si l'on tient compte de (3. 1.3) et (3. 1. 4),
s'écrit sous la
e
forme (3. 1. 16) où le et E
désignent respectivement son énergie potentielle
p
c
et· son énérgie cinétique et Où les D
sont les composantes du tenseur des
i j
tauz de déformation D :
e
e
1
(3. 1. 15)
E
= S
Il! x
dO ; E
= -
p 12 dCl
,
p
3
c
2 SCl
Clt
t
L
e
e
-+
(3. 1. 16)
(E
+ E ) = - SI; pt.ïidS+~ SI; (0.10 • WdS
dt
c
P
t
t;
-~ S D D dCl •
Cl
l j
1 j
t

---

- 22 _
Pour la surface libre le théorème de l'énergie cinétique (équation (1. 2.15»,
grlce à (3. 1. 2) et à (3. 1. 3) .. (3. 1. 4), conduit à l'équation (3. 1. 17)
~
où f est la densité linéique des efforts exercés par la paroi rigide El
sur
la surface libre j
en additionnant membre à membre (3. 1. 16) et (3. 1. 17)
on obtient (3. 1. 18)
(3.1.17)
=
pri .. WdS .. 2~ S (D.~) .. iJ dS
Et
~
~
S 00
f .. V ds +
-;:- dS ,
E ut
t
~
(3. 1.18)
- 2~ S D
D
ao
i J
i J
°t
+S
~
~
+S ba dS
f • V d s
•
bt
bEt
Et
Cette équation, qui est également vraie sous la condition (2. 1. 1), s'appli_
que aussi en déformations finies lorsque cr ne dépend pas des variables d'es_
pace [18] (cf (1. 2. 11) et (1. 2. 13)).
3. 2- Cas des substances impures
Les équations du mouvement sont ici les équations (2. 2. 1), (2. 2. 2).
(3. 1. 1) et o. 1. 2). On devra en outre préciser dans chaque cas les con..
ditions initiales et aux limites dont les conditions (3. 1.3) .. (3. 1. 4).
Lorsque le liquide est non visqueux le mouvement propre de la surface
libre en projection horizontale, nous l'avons vu en 2. 2, est déterminé par
les équations (2. 2. 2) et (2. 2. 3) moyennant des conditions initiales et
~
aux Itmites appropriées pour y et v. Le mouvement du liquide est alors régi
par les équations (3. 1. 1) et (3. 1. 2) avec les conditions aux limites
(2. 2. 4) et (3. 1. 4) ainsi que des conditions initiales à préciser. Si
L'on chois.1t les mÊ!1lles conditions initiales qu'en 3. 1, les équations du
mouvement du liquide s'écrivent sous la forme O. 2. 1) - (3. 2. 5) ;
L'équatiOD (3. 2. 4) est l'équation (2. 2. 4) que l'on a écrite en tenant
encore compte de (2. 2. 5) et (2. 1. 3) et en négligeant les quantités du
second ordre :

---

- 23 -
2
.. "0 /
=
..,
(3. 2. 1)
... bt
-
pg e
.. grad p = - grad(Pg ~ + p)
2
3
J
div ..
(3. 2. 2)
r = 0 ,
(3. 2. 3)
~
a ,
(3. 2. 4)
(3. 2. 5)
•
Le théorème de l'énergie cinétique pour la surface libre (équation
(1. 2. 15» prend cette fo I s ..cl la forme (3. 2. 7) où ES et ES désignent
p
c
respectivement son énergie potentielle et son énergie cinétique ; en
additionnant membre à membre (3. 1. 16) et (3. 2. 7) on obtient (3. 2.
9)
où E et B désLgnent llénergie potentielle et l'énergie cinétique du
p
c
Sfstème total (surface libre-liquide)
,
(3. 2. 6)
é = I
Vg S dS
;
ES = !. I
V~ dS ,
P
1:
c
2
1:
e
e
=
p ..
..
(3. 2. 7l
d
(ES+ES+E)
I1:
n • W dS
d'
c
p
S
e
~
- j
- 2~ I
(D.n) • W dS
1:t
00
+ I
1 . ?
t1:
ds +
Ot dS
t
(3. 2. g)
;
E
= Et + é
c c c
.. ~
(3. 2. 9)
~ I
D
f • V ds
OJ
Ot
'
0" dS
0'
•

---

---

Chapitre 4
ETUDE DU HOUVEHENT POUR LES S1..IBSTANCES PURES
On se propose ici d'étudier l'existence et llunicité de la solution
du probllme (3. 1. 10) .. (3. 1. 14). On supposera que la tension superfi-
cielle cr est non négative j
cette hypothèse est généralement vérifiée par
l'expérience [10J [44J. On supposera aussi que cr est une fonction régulière
des variables d'aapace et du temps. On étudiera simultanément le problème
posé par un fluide visqueux et celui posé par un fluide parfait et on montre-
ra'que, lorsque le coefficient de viscosité tend vers zéro, la solution du
premier problème converge vers la solution du secctd problème. On appliquera
enfin ces résultats à la détermination des- caractéristiques vibratoires
d'un liquide non visqueux contenu dans un réservoir de forme quelconque j
on mettre en évidence les fréquences propres et les modes propres d'oscil-
lation.
4. 1, Espaces et formes fonctionnels
Outre les espsces fonctionnels habituels [51] [57] [66] [73 ] nous
utilisons, pour la formulation faible du problème, des espaces non classiques
que nous allons maintenant définir. Nous allons également introduire une
forme bilinéaire fondamentale pour toute la suite. Les espaces de fonctions
vectorielles seront désignés par une lettre soulignée.
Rappelons, pour cceeencer , deux résultats dus à [41 J

---

•
26 -
Lemme 4. 1 : L'espace de Hilbert ~2(O) se décompose en deux sous-espaces
orthogonaux dont
l'un est l'ensemble des éléments de la forme gr ad cp,
où ~ est une fonction uniforme, localement à carré sommable avec des
dérivées premières à carré sommable, et l'autre la fermeture dans
~2(O) de l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables, à divergence
nulle et support compact dans 0.
..
Lenme 4 • 2 : Etant donné le champ de vecteurs a sur bO v~rifiant
(2)
• .0
ou n est
un champ de vecteurs ..
la normale unitaire à bO, il existe
a,
~
à divergence nulle dans 0, prenant la valeur ~ sur bO; le champ 1
est régulier
."
S~ 0' est régulier.
. .. ..
(2 )
Ct
•
n
dS
'=
O.
Jbo
4
2
Soit
~ (0) l'ensemble des éléments w de b (0) tels que dtv
~(O) est un eSpace de Hilbert pour la norme ([51J, ch. 2, § 2) :
...
.
...,. 2
1/2
(4. 1. 1)
Il wn:;r
+ ll d Lv w ,f 2)
L
et On B
algébriquement et topologiquement,
J
...
_
1
Pour w E ~(O) et * E H (0) on a (4. 1. 2) i la relation s'établit facilement
o
1(0).
pour ~ E,f) (0) et s'étend ensuite par continuité à H
On en déduit que,
o
pour * E ~ (0), le premier membre de (4. 1. 2) ne dépend que de la trace
[57J [66J [73J de *. Ceci permet, étant donné;;: dans '.i (0), de définir un
,
,
-1/2 ( ' )
, ... ..
1
f
1
(4
1
3)
'1"
1
'
1"
element de H
...,0 , note 'W'.O, par
a
ormu e
• •
ou
'ntegra e
au premier membre est à prendre au sens du produit de dualité [57] entre
H-/1 2 ( bO) et ;/2(bO)
.,
(4. 1. 2)
s ~ div J dO
r
vI dO
0
+
w
=
0
0
,
4
->
c
~
~
(4. 1. 3)
(w
n) q> d S
=
.1
9 div w dO +
w • V'~ dO ,
J eo
0
Jo
1/2(bO),
1(0),
"' E H
t E H
q>~'Ib(l •

---

_ 27 -
Lor.que ~e8t une fonction régulière, la formule habituelle d'intégration
par parties montre que w • ..
~
n est tout simplement la composante normale de
:
en tant qu'Uémeut de H,,"1/2(bO>, if ènant; la normale unitaire excérieure
.l t(} ; ceci justifie la nout.ion ;J. it dans le cas général. Il est. facile
1/2(bO)
de mcmtrer que llapplication (linéaire) :
----7 ;i. ri de 'J'CO) dans H"
est continue pour la norme (4. 1.1). Pour: E ~(n) on diftnit. de façon
.
.... ....
-
'. -,~)
,
éVidente" • rtl1: et w • nIE
appart.enant respectivement a H
(....
et a
.1/2
)
1 . . . . .
~
or.
1/2
R
(1:
,
las applications l1neaires w ---+ w • nl1: de _J" (0) dans H-
(E)
1
1/2
et ;: --+
li. :11: de 3' (0) dans H-
( 1::
éunt également continues pour
1)
la norme (4. 1. 1~. On poaera J pour ~ E !if (0),
(4. 1. 4)
et 011 d'dgnera par fji (0) l'ensemble des éléments J de 9'""(0) pour lesquels
---0
-
u,h: E io:::> ; 11 est alors iEllDé~1at que .2a(0) e st; un espace de Hilbert
pour la norme (4. 1. 5) ec, 51 1'(0) est le complété de ~(O) pour la norme
2(t»2,
(4.1.6) où IV
~I 1: désigne la norme dans (L
la conUnuicé de
2
..
1 " "
-1/2
)
l'application
u ---+
~ t de _J' (0) dans H
(t
montre qu'on a les tnc Iu-
sions (4. 1. 7)
..
i " 2
1" 2
M \\2
= [u e :.E(O) 1 u 1E e !r(E)] ; 'uu", = lu'~ + IU
3
3
i
,
-Lo
ir (1:)
(4. 1. 6)
• ..
2
,--
2
1
12
ullp-= ull 2 + 92u3 E •
...
(4. 1. 7)
.:E «(l) C .:E.«()) C .:f. (0) •
o
N
La définition- de 'V
u)ft t peut ~tre étendue par continuité à ~(O) tout
2
N
~
entier de façon que la norme de tout ilément de 1i(0) soit donnée par (4. 1. 6)
.,
~
j ..
.. v e '"
~
u
.-..L.:.o '
\\1=1,2, •••
u
~
u dans 2. ,

---

• 28 -
L'espace des fonctions vectorielles sur 0 dont chaque composante est dans
~(O) sera noté ~(O) et muni de la topologie produit. Si ~ E ~l(O) la
continuité de la treee [57] [66) [73 J et de l'application : ~ u 1t: de
3
r.r ~,
-112 "
L(~u dans H
(...) montre que ~h: cotncide avec la trace de ~ sur E.
On en déduit les inclusions (4. 1. 10) où tCO) et 2 (0) sont les e spece a
de Hilbert définis respectivement par (4. 1. 8) et (4. 1. 9) :
(4. 1. 8)
•
(4. 1. 9)
~ 12
+'u N
•
..
~
(4. 1. 10)
~(m c ~o(O) C Â(O)
AppelOP& ~(Cù l'ensemble des fonctions vectorielles ..
u qui sont de classe
2
c
dene '0(0:::::1 0 U 00). à divergence nulle dans 0 et qui s'annulent sur Et ;
2(O>
sur e(O) la norme de L
cotncide avec la Dorme (4. 1. 1). Donc le complé~
té d: ~(O> pour la n~me de ~2(O). ~(O), nlest rien d'autre que la fermeture
de ~(O) dans j[(O> pour la Dorme (4. 1. 1). On a donc
..
et ou en cI~u1t le 1..emIœ 4. ) où u •
doit ~tre entendtl au sens généraa
ou
.
,
Usé déHD.i précédemment et
(e) ,
désigne le prodtlit scalaire dans
!,2(0).
..
~
~
u E R(O) on a div u = 0,
.. -
U •
= 0 et
• U)q =0.
Le soua-espace fermé de ~(O) formé des éléments dont la trace est nulle
sur El sera dés1&né par ..rem ; on démontre. à l'aide des inégalités de
Korn [20J, que la forme biUrtéaire (4. 1. 11) est un produit scalaire sur
"'(0) pour leqJel la norme associée,
Lü]. est équivalente à celle de '!J} (0) :

---

- 29 -
(4.1. Il)
La fermeture de ~(O) dans ~l(O) sera notée yeO) j on a donc
y(O) c: y(O)
Y(n) c !!(O) •
~
~
~(Cù sera 1. fermeture de ~(O) dans ~(O) ; l'inclusion
est éVidente et "'
!(O) est le complété de ~(O) pour le produit scalaire (4. 1. 12) :
.. ..
J....
J
(4. 1.12)
(u •
V
v)1'II
=
U • v dO +
'V
u
•
2
2
3
H
0
E
""
~
Ca notera ]!(O) le lOus-espace fermé de ~(O) défini par (4. 1. 13) j sur
~ (O)·la topologie de g; (0) est définie par le produit scalaire (4. 1. 14)
-
..,
- 0
~
et ceUe de .1..(0) par
les Dormes équivalentes (4. 1. 15). 51..Y.(0) désigne
la fermeture de ~(O) dans ~(O)J yeo) est le complété de fCO) pour les pro-
duit. scaLLtre (4. 1. 16) associés aux normes équivalentes (4. 1. 15) ; on
• dooc également le8 inclusions (4. 1. 17)
..
(4. 1. 13)
!r (0) = !!(O) n Y(O) •
.. ..
..
(4. 1. 14)
(u • v)
= J u.
dS +
o
0
..,2
lui",
so + J
dS •
!r (0)
o
(4. 1. 15)
1"S1~
dS •
(..;i • ..t>-y =
(4. 1. 16) [ (Cu, y»"" :iliI
V

---

- 30 -
(4. 1. 17)
On notera que pour il Ev J u 1I: E JÇ(I:>. Soit maintenant ,E2 en> Lt e space des
3
2
fooc.tlon8 vectorielles sur Cl dont chaque composante est dans H cn>, muni de
2(O>.
la topologie produit, et veo) la fermeture de f(O) dans H
L'injection
..,
-
-
de ~(n) dans yen> ~tant continue pour la topologie de ~(n), les inclusions
'"! C! et ~c V entra1nent l'inclusion
'"
!!(O)
c: y<n) •
'"
..,
d10ù lion d~dult que V et H sont séparables (~ est séparable et dense dans
'"V et '"!p.
La ·fouction cr étant régulière les deux formes billnéaires et symétriques,
dépendant du temps, définies sur ..1. (0) par (4. 1. 18) et (4. 1. 19) sont
o
continues: pour T > 0 donné, 11 existe des constantes positives ka • ~
et k
' dépendant de T seulement, telles que pour tout tE [O,TJ on ait,
2
~
~
~
~
sur E, (4. 1. 20) qui entra1ne (4. 1. 21) pour u et v donnes dans ~ (0)
o
..
(4. 1. 18)
b(t ; u, ~)
= J cr'
dS ,
2 "3 • 'V2 v 3
t
.. ~
(4. 1. 19)
bl(t
u, v)
= J ~ '2 u 3 • 'V v) dS ,
t
2
t
(4. 1. 20)
k
~ cr ~ ~
0
; 1 ~ 1 ~ k2 •
~
~ 1
1b(t;u,v)
(4. 1. 20
k. ~'2 "311~
•
Ib~(t ; ~, t> 1S k2
•
..,
..,
.... ~
De plus, pour u et v donnés dans ~o(O), les applications t ~
b(t; u, v)
et t -t b' (t.
1t, "t> sont régulières; en particulier la dérivée de b est
t
~,
-.
donnée par (4. 1. 19). D'autre part, 51 u est reguller et v appartient à
-. "
~(O)J une simple intégration par parties montre que b(t ; u, v) peut se
mettre sous la forme équivalente (4. 1. 22) :

---

• 31 •
(4. 1. 22)
b (t j :, ~)
=
Les f~s bilinéaires (4. 1. 18) et (4. 1. 19) sont également continues
N
pour la topc Iog Ie de 31(0) d teprè e les inégalités (4. 1. 21) ; on peut
-
N
N
donc, ~(O) étant dense dans ~(O), les prolonger à ~(O) tout entier
en des formes bilinéaires symétriques et continues enccre notées
...
...
..
-t
b(t j u, v) et b~(t j u, v), régulières, satisfaisant à (4. 1. 21) et
à ( 4 . 1 . 2 J ) :
d
...
-#
~
...,
(4.1.23)
dt b(t j
u, v) =0 b f( t
j
u, v)
t
4. 2
Formulation faible du prOblèœe
4. 2. 1
Identité intégrale préliminaire
Soit
..(r,p) une solution du problème (3. 1. 10) _ (3. 1. 14) que nous
~posons suffisamment régalière. Multiplions scalairement les deux membres
~
de (3. 1. 10) par un élément w de f(O) et intégrons sur 0 ; grlce au le~
..
4. 3 et a~s avoir intégré par parties, en tenant compte de wl~ = 0 et
cUv -: = 0, les termes en grad p et (b!bt) tJt, on obtient (4. 2. i). Si Lt cn
tient alors compte de (3. 1. 13) Lt équat Ioa (4. 2.1) se met sous la forme
(4. 2. 2) ou sous la forme (4.
2. 3) d t epeê s (4. 1. 18) et (4. 1. 22) :
..
OD
« )
e
(4. 2. 1)
~~
Dij(W') dO
....
ODcr"J
pn
+
+
J t-
z... bt
E
(4. 2. 2)
• 21> J
dO
o
dS
•
(4. 2. 3)
dO

---

• 32 -
4. 2. 2
Définition et justification de la solution faible
Nous supposons que les données initiales rt et ;: du problème (3. 1. 10) -
o
0
(3. 1. 14) sont suffisamment régulières pour vérifier (4. 2. 4) et (4. 2. 5) :
.. .. ....
(4. 2. 4)
r
E V ;
W
E H
(jJ. > 0) ;
o
o
(4. 2. 5)
Le produit scalaire et la norme dans ~2(O) aeront désormais, sauf indication
~...,.,
l'tI
...
~
contraire, notés respectivement (u J v) et lu' et ceux de ~(O), «u • v»
et ItU. Nous donnons alors à priori la définition suivante :
Nous appellerons solution faible du problème proposé une fonction
ict}, définie sur ~, telle gue pour tout T > 0 et fini on ait:
t
V)
;
..
2(O,T
N
,
2(o,T
(4. 2. 6)
E L
r
E L
; yl •
..
...
r(o) =r
..
;
rf(o)
..
(4. 2. 7)
=v
0
0
..
.. ..
(4. 2. 8)
P - ( r
v) +
..
d 2
..
d
:)
'<1 ;J E ~(O)
2
2~ dt [r,vJ+b(t
r ,
= D,
•
dt
si IJ. > 0 et
iE
2(o,T
2(o,T
(4.
2. 9)
L
'"
....
H)
r' E L
; lP,
..
•
..
..
(4.
2. 10)
r(o) =r
ri (0) =v
0
0
•
d 2
-1
-1
.... ....
(4. 2. 11)
p 2 ( r J w) + b(t
r, w) = 0,
~ ;: E ~(O)
dt
si ~ = O. On peut remarquer que les comitions (4. 2. 7) [r e sp, (4. 2. 10)]
ont bien un sens: d'après (4. 2. 6) [resp.
(4. 2. 9)J ;
est presque par-
tout égale à une fonction continue de
[0, TJ dans y (re sp, dans!p [56] ;
......
d'après (4. 2. 6) et (4.
2. 8) [resp.
(4. 2. 9) et (4.
2. 11) J, (ri • w)
appartient à ~(o,T) ce qui permet de définir 1'(0) au sens des traces
1([o,TJ)
(c<p. 41). Mu1tiplion. (4. 2. 8) [r esp. (4. 2. l1)J par '" E c

---

- 33 -
telle que ~(o) = ~(T) = 0 et intégrons entre 0 et T ; après avoir intégré
2 2 - - i " ' "
[ ]
par parties le terme en (d Idt ) (r J w), ce qui est loisible ( 73 • p. 337),
nou.s obtenons (4. 2. 12) pour jJo > 0 et (4. 2. 13) pour jJo ,:; O. En fait
-+
~
...
(4. 2. 12) est enocre valable pour w E y car tout élément de ~ peut ~tre
...
~
approché dans y (donc dans .!!, y et !p par des éléments de ~(O) ; pour une
... ...
raison analogUe (4. 2. 13) reste vrai pour w E !!- En prenant alors cp dans
1) (]o,T[J on en déduit (4. 2. 14) pour ~ > 0 et (4. 2. 15) pour ~ = O.
Les équations (4. 2. 14) et (4. 2. 15) sont équivalentes à (4. 2. 8) et
(4. 2. 11) respective.mt :
T . . . .
T ...
..
T
...
(4. 2. 12)
pJ<rl,w) cp' dt +~ J [r', w]'l' dt + J b(t ; r, ..
w)cpdt=O,
0
0
0
T ...
T
... ...
(4. 2. 13 )
;f)
-
p J (r " ,
'4"
dt
+ J b(t
r, w)'l' dt =
o ,
0
0
(4. 2.
1) 2 ( r ,
w)
..
d2
..,
~
....
14)
d e " ]
+ ~ dt r , w + b(t
r , w) = 0, ":ey ,
dt
d 2
'"'1
~
... ..
15)
V'"
~
(4. 2.
l' 2 ( r , w) + b(t l r, w) = 0 ,
w EH.
dt
... ..
S1 (r • p) est une solution classique, c'est-à-dire suffisamment réauUère.
du problèllE aux limites proposé, la fonction t(t) définie par 't(t)(x) = 1(-. • e)
est, d'après l'identité intégrale (4. 2. J), une solution faible du problème •
..
Réciproquement si r(t) est une solution faible suffisamment régulière du
problèllE la fonction t(x , d, définie par 1(x , t ) = 1(t)(x), vérifie les
cordit1ons (J. 1. 14), la ccrd Ltdon (3. 1. 12), l'équation (3. 1.11) ainsi
que l'identité intégrale (4. 2. 2) ; mais alors une intégration par parties
montre que lion a aussi (div r = 0, ..
~
w E ~(n»
eo + 2 J [o(;,').~].;t dS ,
E
ce qmi donne à (4. 2. 2) la forme (4. 2. 16)
o ..
~
(4. 2. 16)
Ot âr)
)] ..
1lll(r) ~J ~
•
(0 V'2 r 3 n - ~ I:lt .n.w es,
En prenant ;J il support compact dans 0,
(4. 2. 16) se réduit à

---

- 34 -
2
-0 ;'
b
( P - 2 - " ' t ii>
ao
a
:.:
=
o
Ot
v
le lemme 4. 1 montre alors qU'il existe une fonction scalaire p (définie
à une fonction additive près du temps) régulière, satisfaisant à l'équa-
tion (3 .. 1. 10), ce qui permet d'écrire (4.
2. 16) sous
la forme (4. 2. 17)
4
(4. 2. 171
S
..
OD(r)
~
[9
. ) J""
...
J: \\- pn + ~ ---st .. n -
2"
(cr v
r
2
3
n j
..
1,J
dS = 0 ..
- f
On peut maintenant remarquer que toute fonction w de f«(J) vérifie (4. 2. 18)
qui résulte des conditions div ~ = 0 et ~IE = 0 :
1
......
(4. 2. 18)
S w .. n dS
o •
E
Grace au lemme 4. 2 les relations (4. 2. 17) et (4. 2. 18) montrent que,
dans ~2(E), le premier membre de (4. 2. 19) et la fonction égale à ri sont
orthogonaux aux ~mes éléments; ces deux fonctions sont donc proportionnel-
les, d'où la relation (4. 2. 19) Où f(t) est une fonction scalaire arbitraire
du temps seul:
(4. 2. 19)
La donnée de la fonction f(t) détermine la fonction p de façon unique; en
particulier pour f(t) = - Po la fonctiOn p satisfait à l'équation (3. 1. 13)
et le couple (~, p) déterminé comme il vient df~tre dit à partir d1une
solution faible régulière est bien une solution classique du problè~. La
formulation faible du problème est ainsi justifiée.
4. 3
Théorèmes d'existence et d'unicité
4. 3. 1
Unicité "de la sollttion faible
La démonstration du théorème 4. 1 repose sur un résultat dO à LIONS [53].
Théorème 4. 1
Dans sa Ecr mu Lat.Lon faible (définie au paragraphe 4. 2)
le problème aux l imi te s admet une sc lu tion au plus.

---

- 35 -
Dcnncne-ncus T > 0 ; les inégalités (4. 1. 21) entra'lnent les inéga-
lités (4. 3. 1) et (4. 3. 2) où v est une constante au moins égale à 1 et
a
= Lnf (i , ko)
0
..
(4. 3. 1)
b(t
..
Itv 2
v. v) + v 1 ~
;. a
1I~ II~
iei •
J'
0
2
..
b(t 1 v. "t)
N
(4. 3. 2)
+ v[V'J2 ;. ao I~ U2
~eH'
•
•
i-
.....
]
]
On peut prolonger la fonction b(t ; u, v) sur
- œ, T
de façon que. 51 on
.. ~
,
)
désigne encore par b(t ; u, v) cette fonction prolongee, on ait (4. 3. 1
et (4. 3. 2) sur J.. œ, T], v et 0'0 ~t8nt des constantes (0'0 > 0) dépendant
de T seul; b(t ; ~J ~) et sa dérivée restent continues et bornées sur
). CIl, t]. b(t ; if, ~) demeurant une forme bilinéaire et symétrique en ~
~. CClDt!nue. 't t e J- ~. T J.
Le théorème 4. 1 peut encore s'énoncer en disant que le problème homo-
gène associé au problème faible, à savoir le problème faible avec conditions
initiales nulles, ne possède que la solution nulle. Soit donc ..
r'(e ) une sa lu-
tion faible du problème pour les conditions initiales ....
r
= -
w = O. Pour
o
0
T > 0 dcnnê désignons par i(t> la fonction définie sur J. œ, t[, à valeurs
dans '"
y(resp. '"
~), par :
...
..
1
pour
0 -s: t < T,
ro(t)
s(t)
=
pour
t < O .
Un simple calcul conduit à partir de (4. 2. 14) et (4. 2. 15) montre, la
~
...
fonction b(t ; u, v) ayant été prolongée comme il vient dl~tre dit, que
let) esÇ solution, pour ~ > 0, du pr ob Iêee
. . . . . .
d "
~
~
~
oJ
b(t 1 u(c). v) + 21' dt[u(t).
(u(t). v) = 0 • 'V v e ':!. •
~
2
u E L (_ œ, T
..u nulle pour t < O. et pour /Jo = 0 du problème

---

- 36 -
-t
~
2
d
-t
-.
bf t ; u (t), v) + p 2(u(t). tl = a • " ""
v E !!.
dt
-.
2
~
u E L (. ~. T 1 !!)
",u E L2(o ~. T Hl •
-.u nulle pour t < O. Or on montre [53J, grice à la régularité de la fonction
..
~
bf t j u, v) et aux inégalités (4• .3. 1) et (4. 3. 2), que ces deux problèmes
ne pc ssèdent que la solution nu l La, Il en résulte que t(t) est nulle sur
[o,T[.
'IT (T > 0 et finO, donc i(t) est nulle partout.
4. 3. 2
Solutions approchées de Galerkin
La méthode que nous suiVons pour établir Itexistence d'une solution
faible du problème consiste à définir une suite de solutions approchées
par la méthode de Galerkin [54J et à obtenir des estimations à priori
permettànt d'appliquer des théor~mes de compecité pour montrer qu'elles
possèdent une l~te satisfaisant à la définition de solution faible.
On peùt toutefois noter que pour ;t = 0 l'existence de la solution faible
a
est as eurêe par [53 J.
...
...
..
Soit W'i (1 s i S <1:1) une base de V (donc de "i. H et !!) constituée
d'éléments de ~(O) et
...
m
..
...
...
, i ~
~
r
=t Q1m
CIII
".
r
dans V (ee sp, !!) fort
m-7
~
J
am
a
•
1
m
-.
.
r
.. -.
...
=t.a
w .
r
----t
dans
fort
1
im
1 m
m l '
"
H
a
• m--> ~
Nous définissons alors i
J
solution approchée d'ordre m du problème faible J
m
comme une fonction de t de la forme (4. 3. 3) satisfaisant (au sens clas-
sique) à (4. 3. 4)
[forme approchée de (4. 2. 8) ] pour !Jo > OJ à «4. 3. 5)
[forme approchée de (4.
2. l1)J pour !Jo = 0 et à (4. 3. 6) [forme approchée
de (4. 2. 7) et (4. 2. la) J :
...
m
..
(4.3.3)
rm(t)
=
t
8 1m(t) "1 •
1
...
...
.. ...
... ...
(4. 3. 4)
p(r"
w. ) +21' [r'
"jJ + b(t
r
"j) = o.
1 s j
s mJ
m
m'
m •
J

---

- 37 -
.. ..
...
-l
(4. 3. 5)
p(rll , v. ) + bIt
r
, VJ) =0, 1 s; j s; m,
m
l
m
...
...
r
(0)
..
..
(4. 3. 6)
= r
;
rl(o) =r
•
m
om
m
lm
Le s équations (4. 3. 4)- (4. 3. 6) ) s'explicitent sous 1. forme
m
m
....
m
...
(4. 3. ))
..
n
...
....
1
[ ..
P
t
8i m(W'!
v. ) + 2"
t
8 i m W'1 • vJ J + t
Sim b(t ; v 1 • VJ) = 0 •
1=1
l
1=1
1=1
1 < J s m •
m
...
...
m
...
...
(4. 3. 8)
t
P
g" (w
, V. ) + t 8
b It;
v
lm
1
1 m
1
VJ) ~ o • 1 ~ J !li: m ..._
1=1
l
1=1
(4. 3. 9)
8
( O) = a
;
,
1m
1m
Sim(o) = ~lm
1 s; 1 s m
•
...
...
...
Comme lea vi sont lin~airement ind~pend8nts, la matrice des (w
' Wj)l~i~
1
est r6gu.lUre et le système (4. 3. 7) .. (4. 3. 9) [ee sp,
(4. 3. a) .. 1 !!i:js:m
(4.3. 9}J est un systèrae de Cauchy .. Kowaleska en les g. (t), linéaire,
3
Lm
qui admet une solution unique de classe c
au moins sur [0, -l (la fonction
..
...
1
t --+
b(t; W'i J W'j) est de classe c
au moins).
Pour obtenir des estimations de la solution approchée multiplions
(4. 3. 4) [resp. (4. 3. 5»J par g~ (t; ) et scnmons en j ; nous obtenons
lm
(4. 3. 10), valable aussi bien pour IJ. > 0 que pour !Jo = 0, et qu'on peut
écrire, compte tenu de (4. 3. 11)), sous la forme (4. 3. 12). Intégrons
....
(4. 3. 12-) entre 0 et t ~ 0 ; nous obtenons (4. 3. 13). Comme r
converge
1m
..,
- t
-t
~
forteme~ vers w dans H et r
vers r
dans H, la forme bilinéaire
o
-
cra
0
- l ' V
0 j
u, ..
~
) ,
,
b (
v
etant continue pour la topologie de ~, nous pouvons ecrire
(4. 3. 14) où -K est une constante indépendante de m :
... ...
~
2
...
....
(4. 3. 10)
p(rfl , r ") + ~ [r']
+ b Ct; ; r m • r' ) = o •
m
m
m
m
...
b(t
= 2b(t ; r
..
...
d
....
r
;')
.~
(4.3.11)
,
dt
m
m
m • r') + b~(t ; r
m
m '
r m)
...
,
(4. 3. 12)
s LI;' 12
~[~ J2 + 1 d
r
;:')
+
- -
b I t;
2 dt
m
m
2 dt
m •
m
1
....
....
bl{t
r m
rm) = o ,
2
t
•

---

- 38 •
~2
....
-r
I t - 1 2
(4. 3. 13)
plr"
+b(t l r
• r ) +,..
[r'(T)J
d-r
m
m
m
0
m
t;
....
12
-l
+
;' ) + S
::::a;
p
r
b(O ; rom 1
bl cr ;
1
1 m
0lII
0
T
-1 12
-1
-i
t
(4. 3. 14)
P 1r~
+ b(t ; r
+
m 1 rm)
lijJ. S
o
t
~K+I b' (T •
ë-r •
T
•
o
Soit maintenant T > 0 donné; les inégalités (4. 1. 21), jointes à
(4. 3. 14), permettent d'écrire.
pour tout t E [O,T],
(4. 3. 15) d'où lion
déduit (4. 3. 16), les constantes c
et c ne dépendant que de T. En vertu
o
du leume de Gronwall [12J nous pouvons écrire la pr entê re relation (4. 3. 17)
en revenant alors à (4. 3. 15) on déduit la seconde relation (4. 3. 17) et
la première relation (4. 3. 18). La dernière relation (4. 3. 18) résulte
de (4. 1. 21) et (4. 3. 17), les constantes Ci (1 = l, 2, 3, 4) ne dépendant
encore que de T. L'inégalité (4. 3. 20) résulte de (4. 3. 17) et (4. 3. 19)
et on en déduit la première inégalité (4. 3. 21) à l'aide du théorème des
accroissements finis [15] et; du lemme de Gronwall [12). c
étant à nouveau
5
une constante fonction de T seulement ; par addition de cette dernière iné~
Sa11té et de la première. relation (4. 3. 17) on obtient la seconde inéga-
l1té (4. 3. 21)
li. ,
t
2
-l
2
(4. 3. 15)
p
+ k
Il"2 rm) n2 +
"" I [r':'(T) J dT
m
0
E
0
t
2
:s: K + k
I 1"2 rm)(T) ft
dT
2
•
o
E
t;
2
,2
(4. 3. 16)
1"2 rm)1I
~ C
+
I
C
1"2 rm) ( T)
d-r •
0
E
0
E
(4. 3. 17)
1~12
i"2 rm) 12 ~
~
c
Cl
2
E
t
->
(4. 3. 18)
[ri (T) J2
b (t ; r m • ~)
"" I
d-r :s: c
:s: c
•
m
3
4
0
....
d
-> 12
-e
(4. 3. 19)
Ir
=
2(r
r' )
dt
m
m
m
•

---

- 39 -
(4. 3. 20)
(4. 3. 21)
•
On peut écrire (4. 3. 22) en tant qu'application à valeurs dans y. j on en
~
déduit <4. 3. 23) et, si j.J. > 0, (4. 3. 24) d'après (4. 3. 18). Caume r
~
om
converge fortement vers ra dans y. lorsque I.lo > 0, on peut écrire dans ce
cas la première relation (4. 3. 25) d'après (4. 3. 24») la constante ~
dépendant de I.lo et de T mais non de m; la seconde inégalité (4. 3. 25)
r'aulte de la première et de (4. 3. 17),
la constante ca ne dépendant,
tout COQlDe e., , que de I.lo et de T
(4. 3. 22)
(4.
3. 23)
[<:'(t)] ~
(4. 3. 24)
...
(4. 3. 25)
~rm(t) Il :: ~ ca •
-
4. 3. 3
Existence de la solution faible
Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème 4. 2.
L'ensemble des théorèmes 4. 1 et 4. 2 peut atre énoncé comme un théorème
d'existence et d'unicité de la solution faible plus une propriété de régu~
latit'.
'Ibéorème' 4. 2
Le problème aux limites, dans sa
formulation faible (définie au paragraphe 4. 2») admet au moins une
..,
solution r. De plus pour tout T > 0 donné
..,
~
N'"
2
~
rEL (O,! ; y) ; ri E L (O,! ; y)
ri E L~(O,T
~)
si 1-1. > 0 et) pour 1-1. :::1 0)
~
~
-v"
w
rEL (O,T ; ~) j ri E L (0, T

---

• 40 •
Pour T > 0 donné tDUltiplions (4. 3. 4) [resp. (4.3. 5)J par cp E cIelO,!])
telle que (j'CT) = a et intégrons entre 0 et T. Après avoir intégré par par-
~
~
[
t Ie e le terme en (rit, w.) nOUS obtenons (4. 3. 26)
r e sp,
(4. 3. 2nJ
m
J
valable pour m ~
j
:
T ...
T ~
(4. 3. 26)
-
rJ S (ri, :.) cp'
o
dt + 2" S Cr'
'1' dt
m
J
o m
T
...
....
+ S0 b(t
,
W )
cp dt = p (r
'1'(0) ,
j
1m
T ..
T
(4. 3. 27)
•
p
({l'
dt +
'1' dt
'1'(0).
S (r'm '
So b(t
o
Les inégalités (4. 3. 21) et (4. 3. 25) montrent que la solution approchée
....
m
~
r
e6t, indépendemment de m, bornée dans L (O,T ; y) pour ~ > 0 et dans
m
.~
..
L (O,T j !P pour j.l. "" 0 tandis que, d'après (4. 3. 17) et (4. 3. 18), r'm
m
est borné (toujours indépendemment de m) dans L (O,T ; ~) et dan6
L2(0, T .J V)
_
51 j.l. > O. On peut donc extraire de la sUite;;'m une sous-suite,
....
r
,telle que lion ait (4. 3. 28) pour j.l. > 0 et (4. 3. 29) pour)Jo = 0
mi
....
..
...
~
m
~
m
r
-> r dans L (O,T
Y)faible*
r
---;
r dans L (O,T ; V) fa Ib Iee, ,
mi
m.l
..
~
~
~
...
..
~
(4. 3. 28)
r
---;
r dans L (O,T
.!!)faible*
r
--+ r dans L (O,T
H)
fe tb Iee , :
mi
m.l
...
...
..
.,
2
m
r'
L
-t r' dans
(o, T ; y>faible
r'
--. r' dans L (O,T;!!> faible*, ;
mi
mi
..
•
..
~
~
-f
m
r
......,. r dans L (O,T
H)
faib le*
r
-t r dans L (O,T ; ~) faible*, i
mi
mi
(4. 3. 29)
..
~
~
r'
--+
r' dans L (O,T
H)
faible* •
mi
.. ..,
Grace à la régularité de la forme bilinéaire b(t ; u, v) on peut, à partir
de (4. 3. 26) et (4. 3. 27) écrits pour mi ~ j , passer à la limite pour
obtenir (4. 3. 30) et (4. 3. 31) va Ieb Ie s pour tout j
; on en déduit (4. 3. 32)
~
~
et (4. 3. 33) car tout élément de y
[resp. !!J peut êtr e approché, dans la
..,
~
~
topologie de y (resp. li), par des combinaisons linéaires finies des wj

---

- 41 -
T -t
,T
-t
...
~
(4. 3. 30)
- P J (c r, loij) <p' dt + 2j.J. J [ri, w.J ç d t
a
a
J
T
... ..,
....
+ J b(t
r, ..,.)ep dt = P("'o
-:. ) '1'(0) •
a
J
J
T
(4. 3. 31)
•
T
...
-t
....
b(t
.. ....
- P J (rt, w. ) <p' dt + f
r, w ) <p dt = Q(w
j
o
wJ) '1'(0)
•
J
a
a
T..,
T ..
(4. 3. 32)
:j)
: ] '1' dt
- P f (r 1 ,
cp' dt + 2" r lr'
"
a
a
.
T
....
-t
....
....
... ..
+ f b(t j r , ..,) cp dt = P(w
w)
cp(O)
,
'r/wE~ ,
a
0
T -t
...
T
..,
...
(4. 3. 33)
-
p S (r', w) cp' dt + f b(t
r, loi) G' dt
a
a
4. 3. 32) et
En prenant cp dans iJ<]o,r[>, (4.3.33) conduLsent respectivement il (4. 2.14)
...
et (4~ 2. 15) qui ecnt.r ent que r vérifie (4. 2. 6) et (4. 2. 8) pour jJ. > 0,
~...
...
.v
(4.
2. 9) et (4.
2. 11) pour fJo = D. COmDe (ri, w),
pour W' donné dans y.
(r-esp, ,tl>, appartient à JCO,T) d'après (4. 2.14) [r e sp, (4. 2. 15}J, on
peut intégrer par parties ([73 J, p. 337) le terme en (;, J ;;) (f' dans
(4. 3. 32) et (4. 3. 33) j ce faisant on obtient (4. 3. 34) compte tenu de
(4. 2. 14) et (4. 2. 15) et on en déduit (4. 3. 35) en choisissant cp tel
que '1'(0) ~ a :
~
-t
-t
(4.
3. 34)
'1'(0)
p(r l, ;i) 1
=
·P(..,
, w) cp(O)
0
•
t=O
(r l,
w)
=
.. ..
-t
~
(4. 3. 35)
(w
v)
1
o
t=O
..
.. ..
La relat.1on (4. 3. 35) montre que w -r-t
(rI) w) 1 ~
est une forme linéaire
. .
N
N
~
sur V (ce ep, H) continue pour la topo log Le de ~ j comme V et H sont denses
-
-
..
dans H il existe un élément unique de~, rl(O), tel que (4. 3. 36) ait lieu
et (4. J. 37) en résulte d t aprè s (4. 3. 35)
~
(4. 3. 36)
(r 1 J
~)I
•
=
(r'(O), ~) •
t=O
..,
~
(4.
3. 37)
rI (0)
=
W
•
0

---

• 42 -
..
..
.. ~
D'autre part comme r
et ri
convergent respectivement vers r et r' dans
œ
m .
mi
..
L (O,T ; ~) faible*, ~
(0) =
converge vers r(O) dans H faible, d'où
m.l
..
~
(4. 3. 38)
r(O) = r o
La fonction i définie sur JO,T[ par (4. 3. 28) [respo (4.3. 29}J vérifie
donc les équations (4.
2.6) -
(4. 2. 8)
[r esp,
(4. 2. 9) _ (4.
2. 11)] ;
d'après le théorème d'unicité 4. 1 la fonction t est unique et toute la
..
suite r
satisfait à (4. 3. 28)
[ee sp,
(4. 3. 29)]. Les relations (4. 3. 28>[respo
m
4. 3. 29) ] définissent donc sur JO, m[ une fonction t
solution faible du
problème aux limites.
Nous terminons la section par trois inégalités qui nous sont nécessaires
..
~
pour le "paragraphe suivant. Comme la suite r
converge faiblement Vers r
2
~
m
dans L (O,T j H) on peut écrire (4. 3.39) j on en déduit (4. 3. 40) grice
à (4. 3. 21) et à l'inégalité de Schwarz. De la m~me façon on établit
(4. 3. 41) à partir de (4. 3. 17) et (4. 3. -'12), valable seulement pour
/Jo > 0, à partir de (4. 3. 18)
T
T
(4. 3. 39)
J «r~ ~r)) dt = lim J
~
«r
"'
m • ri) dt ,
0
-~
0
T
(4. 3. 40)
J Il;12 dt ~ c T ,
6
0
T
•
2
(4. 3. 41)
Jo \\r'l dt s c !2
T
1/2
(4. 3. 42)
2"(J [1" i dt)1/2 s (c ")
•
3
0
4. 3. 4
Problème de perturbation singulière
Les techniques de perturbation singulière mises au point dans [37]
""'
N
. .
permettent de démontrer, si pour les données initiales r
dans V et w
o
-
0
~
...
dans H nous appelons r
la solution faible pour /Jo > 0 et r
la solution
faible pour ~ = 0, le "
résultat suivant:
Théorème 4. 3 : Pour tout T > 0 et pour /Jo tendant vers zéro, r' tend
...
2
~
2(O,T ,
et dans L
H) , "'r'
"
vers ..,
faib lement ver s r dans L (O,T
!!)
r
2(O,T
dans L
; !!) fa Lble.
"

---

- 43 -
Les inégalités (4. 3.
40) et (4. 3. 41) montrent que,
pour T > a donné,
..
2
N
2(O,T
r
est borné dans L (O,T
H) et dans L
; ~) indépendernrnent de "
)Jo
of
2
-
.,
ainsi que r'
dans L (O,T
H). On peut donc extraire de la famille r
0,.. > 0) une"suite, ..
r
telle que
l'on ait (4. 3. 43) d'où l'on
"
déduit
".
(4. 3. 44). Dt a pr-è s
1.(4. 3. 32) on a (4. 3. 45) pour tout i et pour tout
'l'E c
tel que 'l'CT) = O. L'inégalité de Schwarz,
jointe à (4. 3. 42),
'([O,TJ)
montre que l'on a (4. 3. 46).
On obtient e t cr s, par passage à la limite.
(4. 3. 47) qui conduit à (4. 3. 48) et (4. 3. 49)
:
lim
=
0 ,
"i
i .... OC
..
•
2
•
r
-----t
s dans L (0, T
H) faible ,
"i
..
..
2
(4. 3. 43)
x
-----'J
s dans L (0, T
lU faible ,
"i
•
•
2
r'
---<
L
s ' dans
( O, T ; ~) f a Lb Le ,
"i
-0
~
(4. 3. 44)
,(0) = r 0
T
0
..
T
-;
.
(4. 3. 45)
;:1)
0 1
(r'
'l"
dt + 2" .
•
f [r'
~J 'l' dt
,
0
".
i,
0
"i
T
•
+
b(t
,
,
j
;
r
~) cp dt
(;J
;1)
= 0
'l'CO)
" ;: E ~«(l)
•• •
0
a
,
T
,
•
(4. 3. 46)
lim
O).1i
[r'
;;J 'l'dt) = a ,
i
-~
a
"i
T
T
..
.,
;:1)
"
..
(4. 3. 47)
- 0
(s '
•
'l"
dt +
b(t
Jo
'. w) 'l' dt
0
..
•
= O(w
w)
'l'CO)
V;: E ~(O)
0
2
..
...
d
-;
-0
(4.
3. 48)
0 - (, , w) + b(t
y;: E ~«(l)
2
" w) = 0,
•
d t
...
...
(4.
3. 49)
s' (0) = w •
0
...,
La
fonction s est donc solution des équations (4.
2.
9) -
(4.
2. 11)
r:
on en déduit t = i et toute la famille
vérifie
(4.
3. 43)
lorsque )Jo
tend vers zéro.

---

- 44 -
4. 4
Cas où " ne dépend gue des variables d'espace: problème de fré-
quence6 et fonctions propres pour le fluide non visqueux
On considère ici seu Ieaent
le cas où ~ == 0 (fluide parfait) et on
"Or"
prend pour inconnues la vitesse ..
~
v Cv == bt) et la pre ssion p ; le prob Lème
aux 11ndtes, en fonction des variables choisies, est alors Le problème
~
(4.4.1) .. (4. 4. ) ,
la vitesse initiale v
étant donnée satisfaisant
o
à (4. 4. 4) et S désignant le déplacement vertical de La surface libre
(~ = r31E)
..
tN'
(4. 4. 1)
.. grad(p g
P bt =
":J + p) ; div v= o •
-+
..,
(4. 4. 2)
v •
=
n IE
0
- P + P
= "2 • (0 " ~). x3 = S •
0
2
l
(4.
..
-+
4. 3)
v(x
0)
= v (x)
•
0
.. ..,
v
..
..,
(4. 4. 4)
• n1
= O j div v
= 0
rot v
= o •
0
E1
0
0
..
Le mouvement est donc irrotationnel et v est de la forme (4. 4. 5) où ~
est une fonction scalaire déterminée à une fonction additive près du
temps et satisfaisant à (4. 4. 6), qui exprime llincoropressibilité,
et à (4. 4. 7) qui traduit la condition initiale (4. 4. 3). La première
équation (4. 4. 1) s'intègre sous la forme (4. 4. 8) où f(t} est une
fonction arbitraire du temps, ce ~Ui permet d'écrire les conditions
(4. 4. 2) sous la forme (4. 4. 9) où ~ est la dérivée normale de tp.
bn
Le déplacement ~ s'exprime en fonction de ~ par la formule (4. 4. 10)
où ~
représente le déplacement à l'instant initial:
o
-+
(4. 4. 5)
v = grad ~
(4. 4.
6)
,,~ = 0
~
(4. 4. 7)
v (x) = gr ad ~(x , 0) ,
o
(4.4. 8)
p g ":J + P = P f(t)

---

- 45 -
(4. 4. 9)
(4. 4. la)
Les formules (4. 4. 5) et (4. 4. 8), où ~ est une solution donnée de
(4. 4. 6),
(4. 4. 7).
(4. 4. 9) et (4. 4. 10), déterminent le champ
des vitesses du mouvement et. la pression dans le fluide,
la surface
libre ayant pour équation x
= S. Faisons le changement de fonction
3
défini par (4.
4. 11) j
les formules
(4.
4.
5) -
(4. 4. 10) prennent
la forme (4. 4. 12) -
(4. 4. 18). Ccmne ~ nt e st; déterminé qu'à une
constante additive près on peut imposer la condition (4. 4. 19) :
(4. 4. 1"1)
Po
S
1 = ~ +.- t -
f(t) dt •
~
(4. 4. 12)
v = gract ~ J
(4. 4. 13)
M = a •
...
(4. 4. 14)
v
(x) = gred Hx , 0) ,
o
(4. 4. 15)
p bI +
bt
;l g "3 + P -
Po = 0 J
(4. 4. 16)
~I = a •
E,
(4. 4. 17)
pgSH~:1 ":l = a
t
bl
(4. 4. 18)
S ~ S
•
o~
(4. 4. 19)
1 dO =
S
a •
o
Nou, supposerons que S
est une quantité négligeable et qu'à l'instant
o
initial la pression à la surface Ubre, supposée connue, ne diffère de
la pression atmosphérique que par une quantité négligeable j
dans ces
condit1ons on peut remplacer la condition (4. 4. 17) par la condition

---

- 46 -
(4. 4. 20) ou, d'après (4. 4. 15), par la condition équivalente (4. 4. 22)
qui, compte tenu de (4. 4. 18), s'écrit sous la forme (4. 4. 23), la nor-
male extérieure à t étant ~. Si '1'0 est la solution de (4. 4. 24) la con-
dition (4. 4. 14), à cause de (4.
4. 19), est équivalente à (4. 4. 25)
(4. 4. 20)
b~ \\
P g(S - sol + p bt
":l"'" - P '1\\. = "2 •
(4. 4. 21)
'1\\. ("1 ' "2) = ~ [Po - p("1 ' '2 ' 0, 0)]
(4. 4. 22)
(
•
cr "2 ~)
bt
(4. 4. 23)
M)
t
bn
sur
,
...
(4.
4.
24)
grad ~
= v
o ,
o
0
(4. 4. 25)
Finalement le problème se ramène à la recherche de Hx, t ) solution du
problème (1) ; la vitesse et la pression s'expriment en fonction de t
par
(4. 4. 12) et (4. 4. 15),
(4. 4. lB) fournissant l'équation de la
surface libre.
Problème (1)
(4. 4.
26)
M = o dans 0
Jo t dO = 0 J
(4. 4. 27)
MI
0
bn
t
~
l
b~
b2~
(4. 4.
28)
P g - + P - =
2
"2
(0 "
M) sur t
,
•
bn
2 bn
bt
(4. 4. 29)
(4. 4. 30)

---

- 47 -
Le cas où cr serait identiquement nul a été étudié par J. BOUJOT [6 J.
Nous supposerons donc cr non nul dans toute la suite.
En outre nous impo-
serons un déplacement vertical nul sur la frontière de E, d'abord pour
des besoins de symétrie qui appara'ttront dans les calcul SJ ensuite pour
éliminer les problèmes posés par l'angle de contact ([48J,
§ 149) entre
le fluide et la paroi rigide El" Ce problème de Lt ang Le de raccordement
est très contreversé dans les problèmes de dynamique et i l existe une
grande variété de conditions pour rendre compte du phénomène [19] [35]
[36J. Cette bypothê se entratne la condition mathématique (4. 4. 31) car,
sur t,
~ représente la composante verticale de la vitesse et la vitesse
initiale ..
v
devra satisfaire en outre à la condition (4. 4. 32) :
o
(4. 4. 31)
E HI (E)
o
(4.
4. 32)
Dans le cas particulier où tout le déplacement est nul sur la frontière
de t
le système est conserva t t f
[cf équation (3.1. 18}).
J
4. 4. 1
La formulation faible du problème (1) et sa réduction à un
problème sur la variété E
1(0)
Soit ~O) l'espace des fonctions de R
dont le laplacien est nul
dans 0 et la dérivée normale (au sens généralisé défini en 4. 1) nuLLe
1(0).
sur El. lt(O) est fermé dans H
On démontre [6J que l'application
~ ~ th: de Hl (0) dans R~(I) est bijective et continue et le théorème du
graphe fermé [58J montre qu'il s'agit d'un isomorphi~e topologique. Le sous~
espace
~ (0) de Hl (0) formè des éléments ~ dont la valeur moyenne est nulle
(Jo t an = 0) est fermé et sur "t.(0) le produit scalaire (4. 4. 33) définit
une norm.e équivalente à celle de Hl (0) ([n)J p. 342) :
(4.
4. 33)
(u, v)df,
= Jo 'Vu. \\lv dO= (% J l'v) 2 •
L
L'intersection l(O) de
Je(O) et de~(O) est donc fermée dans HI(O),
dana
t:1" (0) et dans H (0). Le
sous-espace fermé de
,
~
~
H (t) formé des traces
~
N
des éléments de X<O) sera noté H(E) j on a alors le résultat:

---

- 48 -
Le1llDe 4. 4 : L'application ~ ~
fiE est un isomorphisme topo logique
~
r.
de
~(O) sur H(E) muni de la topologie de H:Z(E).
L'isomorphisme réciproque de celui défini par le lemme 4. 4 sera désigné
dans toute la suite sous le nom de relèvement. Il résulte du lemme 4. 4
-v
et de (4. 4. 33) que sur H(E) le produit scalaire (4. 4. 34), où ~ et-r
relevés de ql et "
définit une norme équivalente à celle de
(4. 4. 34)
(~ , ,)
= F
,~
J
7t • "'l" dO ~ (t • 1r)lI: •
H
0
Pour la suite nous poserons la définition (4. 4. 35) qui coincide avec
la définition classique lorsque t est régulier:
(4. 4. 35)
•
~
~
Désignons par veEl le ~us-espace de R(E) formé des éléments ql pour
lesquels (4.
4. 36) a lieu,
~ étant le relevé de cp. La fermeture de V(E) dans H"(l:)
sera notée R(E) et munie du produit scalaire (4. 4. 34) qu'on notera sim-
pLement (u , v), la norme associée étant désignée par lui. On mQntre, à
partir du lemme 4 4 4, de (4. 4. 34) et des propriétés de continuité de
...
--t~"
4
1
d
l'application
w ~
w. niE enoncees en
• l, que
e sous-espace E
e
H(E) const1t.ué des éléments ql tels que T'31:E E Hl (E) est un espace de
Hilbert pour le produit. scalaire (4. 4.37). D'après (44 4.34) et (4. 1.3)
on a (4. 4. 38) [e est. une constante indépendante de ql E EJ d'où lion
déduit. que la norme associée au produit scalaire (4. 44 37) est équivalente
à celle définie par (4. 4. 39)
(4. 4. 36)
E H' (E)
) E (H ( E) 2 •
l, 31 E
0
;
'7 2 ° ' 311:
'
(4. 4. 37)
['1' • ,l
~
(<j> ,
of) + (~'3 '-+-3) 1
•
E
'
H (E)
(4. 4. 38)
1'1' 1 < C II t ' 3 11 2
L (E)
(4. 4. 39)
('1' , 1)
~
(~, 3 ,'1J';3) 1
E
H (E)

---

- 49 -
On appellera V(E) la fermeture de ""
V(E) dans E et Ver:) sera muni de la
topologie induite par celle de E j V(E) est donc contenu (algébriquement
et topologiquement) dans RCE) et le résultat est immédiat :
Le.orae 4. 5 : Pour tout t..p appartenant
~ étant le relevé de ~
Comme V(E) est dense dans RCE) on a. en identifiant RCE) à son dual, les
inclusions algébriques et topologiques (4. 4. 40) Où V'CE) est le dual de
veEl :
v c jt c; He HlCl:) J
(4. 4. 40)
v CHe VI
•
L'injection de V dans H est complètement continue ~ cela repose sur
1
l'inégalité (4. 4. 38) et sur la fait que 11 injection de H (E) dans
2
L (E) e oC ccepact;e [66 J.
Définissons maintenant sur ver:) la forme bilinéaire et symétrique
(4.
4. 41) Où ~ et "Tf sont les relevés de ip et ,. Cotml.e cr est compris entre
deux constantes positives (0 est non nul et régulier sur E) on a
(4.. 4 .. 42)
et (4. 4. 43) pour ~ et of que Iconquegdans V et pour l'une quelconque des
normes de V, lS et ~ étant deux constantes' strictement positives ..
(4. 4. 41)
(4. 4. 42)
la('I'. w) 1 s; K., h Iv Uwl v '
(4. 4. 43)
SiA-
e st; l'application linéaire continue et symétrique de V dans VI
définie par (4. 4. 44) où la notation (A U v)VI,v désigne le produit
J
de dualité entre VI et VJ
on sait [65J [66J que vf, possède une infinité
d_nombrable de valeurs propres positives qu'on peut ranger en une suite

---

• 50 -
croissante À
tendant vers l'infini avec i auxquelles correspondent des
i
fonctions propres w. formant, dans V une base orthonormée pour le produit
,
scalaire (4. 4. 45), dans H un système orthogonal et total.
(4.
4. 44)
a ( u J v ) = ( A u
(4. 4. 45)
< u , v > = a (u J v)
lul=o(u, u)~
•
2(I)
Appelons A l'application linéaire de V dans L
définie par (4. 4. 46).
Si • est un élément de V de relevé -r satisfaisant à (4. 4. 47), les formules
(4. 1.3) et (4. 4. 34) montrent qu'on a
(4. 4. 48) pour tout cp de V de
relevé 1 ; si de plus , appartient à '"
V(~) une intégration par parties (qui
est alors loisible) du
t.erme en Y'2 •
(cr 'V Hr.
» dans l'intégrale de
2
3
(4,.
4. 48) conduit à (4. 4. 49) dloù l'on déduit (4. 4.
50) pour * appar_
tenant au sous-espace WeI) de '"
V(I) formé des éléments" tels que A* soit
dans R(t). La relation (4. 4a 51) en résulte qui montre que ~ est un prolon-
gement de &.
(4. 4. ~)
.!.P "2
(4.
4. 47)
'"
AIEH(E),
(4. 4. 48)
(Al ,
~) ~ f .'3 Al dS ~ (~'3
Al)
,
2(E)
E
L
(4. 4. 49)
(Al ,
~) ~ 0(1
~) = (Jt l , ~)
,
V'V
,
(4. 4. 50)
(Al, <p)y.,y
= (.i 1
~)V'V
,
(4.
4. 51)
, E W(E) •
Considérons le problème suivant j
étant donnés <Po dans Y et ~ dans H,
trouver une fonction cp(t) de Jo,"'[ dans Y telle que,
pour tout T > 0 et
fini,
on ait le

---

- 51 -
Système (Il)
(4. 4. 52)
~
2(O,T
E L
v)
2
~. E L (0, T ; H)
2
!!..JI! + JÎ ~ ~ a
(4. 4. 53)
"
t E JO,TC
2
•
dt
(4. 4. 54)
~(o) ~ ~
q>'(o) = ~1 •
0
Si w est la base spéciale de fonctions propres définies par le problème
i
spectral précédent, l'équation (4. 4. 53) peut s'écrire sous la forme
(4. 4. 56) d'où i l résulte que le système (Il) est équivalent au
Système (III)
(4. 4. 55)
V)
(4. 4. 56)
(4. 4. 57>
c;(o) = G'o
;
cp' (0) = C9:l •
Le problème (II) [ou le problème équivalent (Ill) ] peut s'interpréter conme
la forDlllat1on faible du problème (1). En effet
si cp
= J 1
et co.
sont les
o
0
E
'1
données initiales du problème (1) et si ~ en est une solution régulière ce
qui suppose, outre les propriétés de continuité requises, que la trace ~
de t sur E soit dans W(E). alors cp est solution de (II) d'après (4. 4. 28)
et (4. 4. 51),
(4. 4. 29) et (4. 4. 30). Réciproquement si cp est une solu-
tion de (II) pour les donnéesinitiales tt1
et ~ du problème (1), prenant ses
0
valeurs dans W(I:), et si le relevé ~ de q:l est suffisaament régulier, ~ est
solution de (1)
[la condition (4. 4. 29) est satisfaite geâce à ~(x,o)JI: = q:lo
et au lemme 4. 4J.
4. 4. 2
Existence et unicité de la solution faible
Nous allons d'abord démontrer l'existence et l'unicité de la solution
du problème (II) ; on en déduira par relèvement la solution faible du
problème (1) au sens où nous venons de la définir.

---

- 52 -
Théorème 4. 4 : Pour tpo donné dans V et ctl:l donné dans H,
i l existe
une fonction tp unique solutiOn de (II). La fonction tp est une fonction
continue de [a,m[ à valeurs dans V, de classe cl à valeurs dans H et
2
de classe c
à valeurs dans V'. Si de plus
;i '1'0 EH et Cfl.t. E V, alors
If
2
est de classe cl à valeurs dans v, de classe c
à valeurs dans H et
3
de classe c
à valeurs dans v t ,
On cherche ~ par son développement en série de Fourier relativement à la
ba se or thonorméc. w. cleV:
1
~
q>(t) = i~
fi Ct) w
> •
i
1
fi (c ) = < q>Ct) , wi
On trouve que les fonctions fi(t) sont 901utions du système différentiel (IV).
Système (IV)
f'.' +
o ,
1
2
fi(o)
,
~
<cp
, w >
flCo) =
w )
i
"'i ('1\\.
0
i
'" = ),1
(i = 1,
2, ..... J n, • .o. ) •
i
1
•
On pourra remarquer que les w
w
forment une base orthonormée dans
i
i
1
Le système (IV) se résout sous la forme (4. 4. 58) d'où l'on déduit
l'inégalité (4. 4. 59) qui montre que (4. 4. 60) définit bien une fonction
à valeurs dans V satisfaisant à (4. 4. 61) qui montre que cp est dans
L2(0,T ; V). Si ~m(t) désigne la fonction ~(t) tronquée au rang m, on a
(4. 4. 62) qui prouve la continuité de ~ en tant qu'application à valeurs
dans V.
(4. 4. 58)

---

- 51 -
Système (II)
(4. 4. 52)
v)
2
~I E L (O,T ; H) ,
(4. 4. 53)
"
t
E JO.T[
•
(4. 4. 54)
'1'(0) = '1'o
Si "'i est la base spéciale de fonctions propres définies par le problème
spectral précédent,
l'équation (4. 4. 53) peut s'écrire sous la forme
(4. 4. ~) d'où i l résulte que le système (II) est équivalent au
Système (III)
(4. 4. 55)
V)
(4. 4. 56)
\\lt E JO.T[.
(4. 4. 57)
Le problème (II) [ou le problème équivalent (Ill)] peut s'interpréter comme
la fo:rtalJlation faible du problème (1). En effet 51 cp
= t 1 et (0. sont les
o
QI;
Tl
données initiales du problème (1) et 51 t en est une solution régulière ce
qui suppose, outre les propriétés de continuité requises, que la trace tp
de t sur I: soit dans W(E), alors ~ est solution de (II) d'après (4. 4. 28)
et (4. 4. 51), (4. 4. 29) et (4. 4. 30). Réciproqueœent 51 ~ est une solu_
tion de (II) pour les donnéesinitiales (j'a et ~ du problème (1), prenant ses
valeurs dans W(E), et si le relevé ~ de tp est suffisamnent régulier, 1 est
solution de (1) [la condition (4. 4. 29) est satisfaite grâce à Hx,o)IE = CPo
etau leame 4. 4 J.
4. 4. 2
Existence et unicité de la solution faible
Nous allons d'abord démontrer llexistence et l'unicité de la solution
du problème (II) ; on en déduira par relèvement la solution faible du
problème (1) au sens où nous venons de la définir.

---

- 52 -
Théorème 4. 4 : Pour ~o donné dans V et G\\ donné dans Hf il existe
une fonction ql unique solution de (II). La fonction cp est une fonction
continue de [o,c:c{ à valeurs dans V, de c Ia s se ct à valeurs dans H et
2
de classe c
à valeurs dans VI. Si de plus
.;i 'fla E H et tIl E V, alors
cp
2
est de classe ct à valeurs dans V, de classe c
à valeurs dans H et
3
de classe c
à valeurs dans VI.
On cherche ep par son développement en série de Fourier relativement à la
base orthonormé& Wi de V
~
m(t) =
E
f
(t)
T
1=1
i
""i
On trouve que les fonctions f. Ct) sont solutions du système différentiel (IV).
.i,
Système (IV)
fil +
o •
i
(1 = 1, 2, ••• J
n, ••• ) •
On pcurea remarquer que les w "'1 forment une base orthonormée dans
i
1
Le système (IV) se résout sous la forme
(4. 4. 5B) d'où l'on déduit
l'inégalité (4. 4. 59) qui montre que (4. 4. 60) définit bien une fonction
à valeurs dans V satisfaisant à (4. 4. 61) qui montre que cp est dans
L2(O,T j V). Si CPm(t) désigne la fonction ~t) tronquée au rang m, on a
(4.
4. 62) qui prouve la continuité de cp en tant qu'application à valeurs
dans V.
(4. 4. 58)
(4.4. 59)

---

- 53 -
~
(4. 4. 60)
",(t) =
r: [< cp , w. > cos
i~
0
~
(4. 4. 61)
(4.,
4., 62)
L'inégalité (4. 4. 63) montre que (4. 4. 64) définit une fonction à
valeurs dans H vérifiant (4. 4.
65) et (4. 4. 4. 66), d'où il résulte
que ql est une fonction de classe cl à valeurs dans H ayant pour dérivée
Ht).
(4.,
4. 63)
(4.,
4. 65)
2
~
2
~
(4. 4. 66)
1• .
s 2 [t
«!>.w. > + ~
m+l
a
1.
m+-!
De (4. 4. 67) on déduit (4. 4. 68) qui montre. 8r~ce à (4. 4. 62), que
~'(t), en tant qu1application à valeurs dans Y', a une dérivée donnée par
(4. 4. 69).
(4. 4., 67)
(4. 4. 68)
t <v.'(t) + If'l'(t) Il = I~'I' - 'l! ) Il
s \\1 ~II
~ '" - "'m ~ •
m
V'
m
VI
(4.,
4. 69)
qI'(t) = - A ",(t) •
Si UBintenant
A<Po E H et ~ E VJ on peut écrire (4. 4. 70) et (4. 4. 4. 72)
qui montrent que cp' Ct) E V et
...4 qX;t) E H j on en déduit (4. 4. 71) et (4. 4. 73)
qui montrent, d'une part que CIl'Ct) est la dérivée de <pCt) en tant qulappli~
cation à valeurs dans V et ep"(t} celle de cp' Ct) en tant qui application à

---

- 54 -
valeurs dans H, d'autre part que ~l(t) est continue pour la topologie de
V et ~I(t) pour celle de H. On peut donc dériver (4. 4. 69) et <p est bien
3
de classe c
à valeurs dans VI.
(4. 4. 70)
~'(t)~ E[-w.(A'I' J Wi) sin wit + <'1\\. ' w., > cos w tl
i
wi '
"=1
1.
a
,-
(4. 4. 71)
J~' _ 'l'~ 1/ 2
2
s; 2
[ E
w~<.Jt% ' w ) + f <'1\\. ' Wi >2] ,
i
noH
noH
œ
(4. 4. 72)
~h(t) ~ E [wi (1/ ~o 1 w ) cos W t +
w
i
~1
i
' wi >sin wit] wi
i
J
i=1
(4. 4. 73)
l
œ
2
2
œ
'li' - "'';' 1 s; 2 [ E w~ (,,{ Cf'
,
w )
,w
+ E <'1\\.
> 2J .
i
i
noH
'
0
m+l
Soit 'i le relevé de wi J im't) celui de <pm(t) et ~(t) celui de <pCt)
les ~i forment, dans
~(O), un système orthogonal pour le produit scalaire
(4.4.33). Grace à l'inclusion V C H, à (4. 4. 62) et à (4. 4. 34), ~ (t)
m
tend vers ~(t) dans
~(O) uniformément en t j il en résulte que tet) est
1
continue pour la topologie de R (O) et donnée par (4. 4. 74). Un raisonne_
ment analogue, conduit à partir de (4. 4. 66), montre que ~(t) est une fonc-
tion de classe cl pour la norme de Rl(O) dont la dérivée s'écrit sous la
forme (4. 4. 75). Si de plus Jl;qlo E H et qll E V, (4. 4. 73) montre que
tl(t) est. elle ..~me une fonction de classe é (pour la norme de J(O)
de
dérivée jll(t) donnée par (4. 4. 76).
(4. 4. 74)
(4. 4. 75)
il! , (t; ) =
J
w
> sin
i
(4. 4. 76)
= _ Ë [w2 <'1'
i=1
~
o
Nous pouvons maintenant énoncer le théorème d'existence et d'unicité
de la solution faible du problème (1).
Théorème 4. 5 _ Etant donnés ql
dans V et CI\\ dans H, la fonction Ht)
o
,.
définie par (4. 4. 74) est la seule fonction de
Jf. (0) dont la trace

---

- 55 -
~(t) sur E est solution du problème (Il). La fonction ~(t) est, pour
1(0),
la topologie de H
de classe cl et même de classe c2 lorsqueKcpo
est dans H et CPl
dans V.
Les dérivées de Ht) sont données par
(4. 4. 75) et (4. 4. 76).
Remargues : On peut énoncer le théorème 4. 5 en disant que ~(t) est la
1CO)
seule fonction de H
qui vérifie, au sens des distributions et des tra.ces,
(4. 4. 26), (4. 4.
27),
(4. 4.
29), (4. 4. 30) et (4. 4. 31) et, au sens
généralisé défini par le problème (~I), (4. 4. 28).
Ou point de vue physique le, résultats précédents ca.ractérisent
1t état vibra.toire du fluide ; le, w sont le, fréquences propre s et le'
1
~1 le, fonctions propres. On voit donc que le, résultats obtenus par
J. BOUJoT [6 ] pour le c., cr = 0 s'étendent au cas 0 >0 • ~me lorsque 0
est une quantité variable,
pourvu qui elle ne dépende pas du temps.

---

Chapitre 5
ETUDE DU MOUVEMENT POOR LES SlffiSTANCES
IMPURES ET HON VISQUEUSES.
On reprend, dans le cadre des substances impures et non visqueuses,
le prob lime dl écoulement avec sur face libre qu t on vient dt étud ier pour
les substances pures. La tension superficielle cr sera encore une quantité
positive fonction, cette fois-cil de la concentration y des impuretés à la
surface libre que lion suppose insolubles dans le liquide situé au-dessous
de cette surface. Le mouvement horizontal de la surface libre est régi par
les équations (2. 2. 2) - (2. 2. 3) dont on a déjà souligné l'analogie avec
les équations qui gouvernent le mouvement plan dlun gaz parfait barotrope.
Dans une première partie on mettra à profit cette analogie pour mettre en
évidence des solutions simples des équations du mouvement horizontal de la
surface libre. Dans une deuxième partie on étudiera l'existence et l'unicité
du ~oblème aux limites posé par l'écoulement dans la masse du liquide, à
partir d1une solution régulière des équations (2. 2. 2) - (2. 2. 3). On sup-
posera que le mouvement dans la masse du liquide est gouverné par les
équations (3. 2. 1) - (3. 2. 5).
5. 1
Le mouvement de la surface libre
On se propose ici de profiter de l'analogie soulignée avec la dynamique
des gaz pour mettre en évidence et interpréter des solutions particulières
des équations (2. 2. 2) - (2. 2. 3). Pour cela on n'hésitera pas à employer
la terminologie de la dynamique des gaz.

---

- 57 -
5. 1. 1 Solutions du type Il ondes longitudinales Il
Nous supposons réalisée la condition (2. 2.
8) qui entratne qu 1 à
l'équilibre y et Cl' sont des constantes
on désignera par Yo et 00 leurs
valeurs dans l'état non perturbé
0'0 = o(v ) .
et on écrira y et Cl' sous
o
la forme (5. 1. 1) avec yi « y
et a' «cr
Au second ordre près on
o
0
peut écrire (5. 1. 2). Les équations (2.
2.
2) et (2.
2. 3). dans lesquelles
on a substitué (5. 1. 1) en négligeant les quantités du second ordre, pren~
nent la forme (5. 1. 3) et (5. 1. 4) Où 9
• ~ désigne la divergence bidi-
2
..
mensionnelle de v· ; en combinant (5. 1.
2) et (5. 1. 3) on obtient (5. 1. 5)
(5. 1. 1)
y = y
+ "('
o
(5. 1. 2)
0'
= y' (do)
dy y = y o
(5. 1.3)
(5. 1. 4)
00'
(5. 1. 5)
- + y
ot
0
..
Nous cherchons les solutions de (2.
2. 2) -
(2.
2. 3) où v est de la
forme (5. 1. 6), <;l étant une fonction scalaire de '1. ' x
et t
; c'est le
2
cas par exemple si rot
..v est nul à l'instant initial. Pour ces solutions
CS.-. 1. 4) s'intègre sous la forme (5. 1. 7), cp n'étant déterminée qu'à
une fonction additive près du temps
(5. 1. 5) devient alors (5. 1. 8)
où· c est donné par (5. 1. 9) :
...
(5. 1. 6)
v = "2 <p
(5. 1.
.2P
7)
0' = Yo et '
~
2
(5. 1. 8)
<p= 0
,
et2 - c 62
(5. 1. 9)
c =
~dO)
•
dy Y ~ Y0

---

- 58 -
On notera que la quantité c a les dimensions d'une vitesse; par analogie
on pourra llappeler la vitesse du son [28] dans l'état nOn perturbé.
Lorsque cp ne dépend que d'une seule variable d'espace que nous désignons
par x, on dit que le mouvement se fait par ondes planes [27] [46J j
Lt qua-.
ê
Hon (5. 1. B)
s'écrit alors tout simplement sous la forme
(5. 1. 10) et
on montre que la solution générale de (5. 1. 10) est donnée par (5. 1.11)
où ft (y) et f
( z ) sont deux fonctions arbitraires de y et z, régulières
2
[27] [4Q J :
_
-"--.!L
(5. 1. 10)
~
2
1
0
= o •
0><2
2 0 2
c
t
(5. 1. 11)
q> = f
(x - ct) + f
( x + ct)
l
2
•
Pour f
= 0 on obtient une onde longitudinale simple se propageant dans la
2
direction des x po sU i f s avec la vi te s se c [27] [46 J
la vi tes se (a 19é-
briqu~) v du mouvement horizontal des particules de la surface libre est
alors liée à la tension superficielle cr' et à la densité yi par la relation
(5. 1. 12) qui montre que cette vitesse. dans les conditions d'application
des équations (5. 1. 3) et (5. 1. 4). est petite devant la vitesse du son
(v « c )
:
(5. 1. 12)
v = -
•
De ~me la fonction f (x + ct) représente une onde longitudinale simple se
2
propageant dans la direction des x négatifs avec la vitesse c [27J [46].
Un cas très important en dynamique des gaz est celui où ~ est de la forme
(5. 1. 13),
la notation Re désignant la partie réelle d'une quantité com-
plex~ ; on parle alors d'ondes monochromatiques et la constante réelle w
est la fréquence de l'onde. La fonction qlo vérifie l'équation (5. 1. 14)
déduite ~n substitusnt (5. 1. 13) dans (5. 1. B) :
(5. 1. 13)
{
(
)
-iwtj
~ = Re
qlo' J x2 e
J
w2
(5. 1. 14)
= 0 •
2
c

---

_ 59 -
En particulier pour une onde monochromatique plane simple se propageant
dans la direction des x positifs la fonction ~ s'écrit sous la forme
(5. 1. 15) ; a et ~ sont des constantes réelles, a étant llamplitude de
l'orde :
(5. 1. 15)
cp=acos (!!!
)
x-wt+O'
•
c
5. 1. '2
Solutions du type II ondes de Riemann" - Ondes de choc
Un autre cas important d'ondes planes en dynamique des gaz est celui
des ordes de Riemann [71]. On a toujours la condition (2.
2. 8) et on
cherche la solution sous la forme (5. 1. 16), x désignant encore l'une
->
des deux variables ~ ou x
et e le vecteur unitaire de l'axe correspon-
2
clant j en dynamique des gaz ces solutions sont appelées solutions de
Riemann et les mouvements correspordants ondes de Rt.eœann [71 ] :
.. .
(5. 1. 16)
y = y(x, c)
v = ve ; v = vey) •
On peut remarquer que la relation v = vey) est une généralisation de .(5 .. 1. 12) ..
Les éqUAtions du mouvement s'écrivent ici
(5. 1. In
~
Ot + ( V + y dv) ~ = 0
dv
àx
(5. 1. 18)
i! !2:I + (v dv
1. da) ~ = 0
dy bt.
dy
y dy
àx
•
La seconde équation,
si l'on tient compte de la première,
s'écrit sous la
forme (5. 1. 19) d'où lion déduit (5. 1. 20) qui montre bien que la solution
d a .
dv
actuell.e nia de sens que si dy s:: O. Diapres (2 .. 2. 8) et (5. 1. 20) dy est
de signe constant et (5 .. 1. 20) s'intègre sous la forme (5 .. 1. 21) où a est
la vitesse du son [28J ;
le syecèeie (5. 1.17) -
(5. 1. 18) se réduit alors
à l'équation unique (5. 1. 22) dont l.a solution est donnée implicitement
par (5. 1. 23)
[71 ] où G(y) est une fonction arbitraire de y :
(5. 1. 19)
[y(dv)2 + 1. da] ~ = 0
dy
Y dy
~
,
dv 2
1 da
(5. 1. 20)
Y(dY)
y dy

---

• 60 _
(5. 1. 21)
vey) ~ e S a~y) dy ; a(y) ~ v- do • E:=±l,
dy
•
(5. 1. 22)
~+
~ ~
bt
0
C
c Cv) = vey) + t: a(y) ,
tJx
(5. 1. 23)
x ~ ec Cv) + G(y) •
En dynamique des gaz la solution de Riemann est une solution exacte des
équations non linéaires du mouvement. Il est évident que, pour le problème
actuel, une telle solution n'est acceptable que si v et y sont petits ..
A l'instant t
les points de la surface libre où la denat té y a une
valeur donnée Yi sont situés sur une courbe,
l'intersection de la surface
libre avec le plan vertical d'équation x = tc(y
+ G(Yl) ; au cours du
1)
mouvemenè le déplacement de cette courbe, dans la direction de l'axe des
x, se fait aVec la vitesse constante cCY!) et le mouvement de la surface
libre peut ~tre engendré par le déplacement de toutes les courbes corres-
pondant aux différentes valeurs de v, En d'autres termes le mouvement de
la surface libre résulte de la propagation d'une onde que nous appellerons,
par analogie,
l'onde de Riemann;
sa vitesse le long de l'axe des x est
égale à c(y). Dans la direction de l'axe des x la vitesse de l'onde de
Riemann par rapport aux particules est e.a(y)
e est égal à 1 si par rapport
aux particules llonde se propage dans la direction des x positifs,
e est
égal à - 1 dans le cas contraire.
Une onde de Riemann peut donner naissance à une onde de choc [17] [47]
[5OJ. Considérons par exemple une onde de Riemann se propageant à droite,
c = v + a, et supposons qu'à un certain instant t donné la distribution
de la densité Y en fonction de x ait la forme représentée sur la figure 2.
A gauche du point H la densité Y cro!t avec x, ce qui correspond à une onde
de détente (~ < 0 d'après (5. 1. 22»); à droite du point H au contraire y
déc.ro!t quand x augmente et l'on a une onde de compression (~ > 0). La
vitesse de propagation de
l'onde n'étant pas uniforme,
l'onde va se défor-
mer en se propageant. Supposons que lion ait ~~ > 0, condition automatique_
ment réalisée si on a (2.
2.
9)
alors l'onde de compression, c'est .. â-d fr e
la partie de l'onde de Riemann Où la densité y cro1t lors de la propagation, devient

---

y
y
•
Fig. 2. DISTRIBUTION DE
Fig. 3. DISTRIBUTION DE Y(x)
y(x) A L'INSTANT t
A L'INSTANT Cl
> t
y
y
1
Fig. 4. PERTE DE L'UNIVOCITE
Fig. 5. fORMATION DE L'ONDE DE CHOC
De y
y
Fig. 6. L'ONDE DE CHOC
de plus en plus cOurte car les points N
et N se rapprochent et son front
1
Z
devient plU5 abrupt. Quant à l'onde de détence, qui est la partie de l'onde
de Riemann Où la densité décro1t pendant la propagation, elle s'allonge
puisque les points Ni et N2 s'éloignent llun de l'autre et son front devient
plus doux (Fig 3). Mathématiquement il est possible qu'à un certain instant
c
il y ait,
en un point x,
plusieurs valeurs de la densité y (Fig 4). ce
2
qui est impossible du point de vue physique. Du point de vue physique la
solution régulière correspondant à une onde de Riemann ne peut exister que

---

- 62 -
jusqu'à l'instant t Où le graphique de la distribution de la densité y
en fonction de x admet une tangente verticale (Fig 5). A partir de ce
maœent la solution régulière de Riemann dolt ~tre remplacée par une solu-
tion discontinue, plus générale) avec un saut de compression (Fig 6).
L'abscisse x
correspond à une courbe r de la surface libre qui est le
o
lieu des points de discontinuité des grandeurs caractérisant le mouvement
(y, 11, v); la courbe rest l'onde de choc [17J [47J [50J. 11 est évi-
dent qu'il n'y • pas dE: choc si, avee les mames hypothèses que peécédenseent ,
1. densité dans l'onde de Riemann crott de façon monotone avec x sur toute
son étendue; c'est le résultat bien connu qu'il n'existe pas de choc de
détente L17 ] L47] [50 J. De mê"" Ior sque la vitesse de propagation c de
~.
-'
..t
o~
(de
0)
5-
8 8
~ewann est COn$taD;~
dy =
,
il nI, a pas de choc (la courbe
de densité se déplace sans se défor:raer) ;
la fonction cr est alors nécessaire-
ment de 1 .. forme (5. 1. 24) et y est donnée par la formule (5. 1. 25) qui
est de la forme (5. 1.11)1
)" étant une ccnatence positive et)Jo une"""OlMls-
tanterÎualle .....t.raire ,
f une fonction arbitraire :
o, i , U)
y
= f (I
ct) •
M
5. 2. Le mouvement dans la masse du liquide
L'écoulement dans le liquide est gouverné par les équations (3. 2w 1) -
(3. 2. 5). Le coefficient de tension superficielle cr est une fonction régu-
lière donnée de y que l'on suppose connu ccnme solution régulière des
équations (2. 2. 2) - (2w 2. 3). La tension superficlelle cr et la concentra-
tion ~ sont donc des fonctions régulières données des variables d'espace et
du temps, poaitives, et on se propose d'étudier llexistence et l'unicité de
la solutlon du problème (3. 2. 1) -
(3.
2.
5).
5. 2. 1
Identité inl;égrale préliminaire
S1
..(r,p) est une solution régulière de (3. 2. 1) - (3. 2. 5), multi-
pliQN scalairement les deux membres de (3. 2. 1) par un champ de vecteurs
...
-
u, réguli.ar dans n, vérifiant (5. 2. 1) et intégrons sur 0 j
après avoir

---

_ 63 -
int.égré par parties,
en tenant compte de ~ == 0 sur E, le t.erme en
Srad(p + Pg '1), on obtient (5. 2. 2) qu'on peut mettre sous la forme
(5. 2. 3) geâce à (3. 2. 4) ou sous la forme (5.
2. 5) g râce à la
formule
(5.
2. 4). Si en outre it satisfait à la condition (5. 2. 6),
OD
a en plus la formule (5.
2. 7) •
div •
.. ~
(5. 2. 1)
u = o dans 0
u • "lE = o •
1
2 ,
..
..
..
(5. 2. 2)
pS br • u dO = ..
.
2
St P"
~ dS = - J (p .. po) ri . u dS •
o bt
t
2"
2
..
e r
(5. 2. 3)
pS b r
--2 • u dO = ft r
3
dS J
0 bt
'°2
(002 r3)' y(g + --2)J u3
bt
2
b r
b2
2
3
(5. 2. 4)
_ 2 ~(Zt r )
Y - - = - ( y r )
+.Q...:t r
2
3 •
bt 2
bt2
3
bt bt
:3
bt
(5. 2. 5)
-- g f y u dS
3
t
(.5.
2. 6)
(5. 2. 7)
r)
•
'9
u) dS
•
2
Nous imposerons un déplacement vertical mil sur
bE pour les solutions
du problème (3.
2. 1) .. (3.
2. 5)
:
(5. 2. 8)
ceci pour pouvoir utiliser la symétrie de (5.
2. 7) et aussi pour éliminer
les problèmes posés par l'angle de contact ([4S], § 149).

---

- 64 •
s, 2. 2
Espaces et formes fonctionnels
Nous prenons cCR1III.e espace de fonctions-test l'espace
'_(0) des
..
-
champs de vecteurs u ,
réguliers dans 0,
vérifiant (5. 2. 1) et (5. 2. 6).
lA fermeture de
~ (0) dans 1 (0) [cf § 4. 1], qui co înc tde avec sa ferme-
ture dans ~2(O), sera notée ~(O), sa fermeture dans
~o(O) sera V (0) et
-0
on désignera par Y1 (0) sa fermeture dans ~ (0). Le produit scalire de
!o(n) est donné par (4. 1. 14) et celui de Yi (0) par (5. 2. 9)
~
(5. 2. 9)
v dO +
lA norme dens Yo et Yi
sera désignée respectivement par
Les inelusions (4. 1. 10) entralnent les inclusions
(5. 2. 10)
d'où L'on déduit immédiatement le lemme 5. 1.
.,
~
~
u E.Y1 on a div u = 0, u
o et, si "t E .Y.o
2
Si !(O) désigne la fermeture de ~(O) dans ~ (0), on a l'inclusion!~ Yo
qui montre que Yo et 1
sont séparables (K est séparable et dense dans V
1
-
-r-o
et Y ) .
l
Sur V on définit la forme bilinéaire, symétrique et continue
- 0
~
•
2
(5. 2. 11)
a (t
u, v) ~ f~ u v dS + S cr 'iJ u • 'iJ v dS
0
2
3
3
2
3
2
3
1:: bt
E
2
0
-> -,
~
S ~ u v dS + b(t
u, v) ,
3
3
t
Ot
où b est la forme bilinéaire (4. 1. 18) ; de r:n~rœ ~r Yl on définit les
del.Cl: formes bilinéaires,
symétriques et continues
•
•
(5. 2. 12)
U
v)
J

---

- 65 -
•
,
(5. 2. 13)
a
( t
; u, -
v) =
r •u
,
;f dO
•
+
2
St y u v dS .
3
3
0
Les appLications t ---+
•
ai Ct
u, ~) , i = 0, 1 , 2, sont régulières, de
dérivée. a~(t ;
•u, •v).
L~ 5. 2 - Pour T > 0 donné il existe des constantes positives Cl '
À., .... ,
al et 0'0 ne dépendant que de T telles que l'on ait,
pour tout
tE [O,T],
( t
•
,
~
•
~
-.
8
v, v) ;'0
a
( t
v, v) ~ Cl a' (t
v, Vi,
2
2
v E Yi
2
• ~)
( t
• -r
v, v) ~ al I;~
~
al Ct
v,
+ l. a
, v
2
E !:1 ,
• •
• 2
a
v, v)+ul v1
i1~12 , ;JE
o('
1 ;'0
V
•
0
0
- 0
Pour T > 0 donné i l existe des constantes ID
ID..
ml
ml
m"
lOCI
0 ' 1 ' 0 ' 1 ' 0 ' 1 '
ka et \\c,! telles que, pour tout tE [O,T] et pour tout x E 1:, on a i t :
La dernière inégalité du Ierane est vérifiée 51 on prend pour j.I. une constante
(positive) telle que m~ + j.I. > a et si on pose 00 = 1nf(JJ., ka ' m~ + j.J.).
Si JJJ.{ ~ 0 les autres inégalités sont satisfaites avec À = 1 J
crI = Lofe p,
et pour Cl une constante positive quelconque j
51 JD{ > 0 on peut choisir
mo
2rof.
et À telles que
Cl :=:: ID.!. t
À > m
et prendre a 1 = infO·P
Xm
- 2m').
,
o
o
.~
On peut prolonger les fonctions
e ~
a.(t ; u,
v) sur J- "", r ] de
,
façon que,
si on désigne encore par ai(t j
~t ~) ces fonctions prolongées,
le lemme 5.2 soit vrai SI,[['
J.o;I, t ], les dérivées dlordre,:S: î + 1 de
(
. . ) '
bcr cé
]
T]
( .
~)
ai e ; u,
v
etant continues et
ornees sur
- 0;1,
et ai e
v, v
restant
f
b l
'
,
i"'"
U~]]
une
orme
i
rnèe t re et symetrique en u, v, continue
v e ç
-
"",
r •
Nous utiliserons plus loin un tel prolongement.

---

- 66 -
La forme linéaire if ----i' - g S "u dS es t continue sur .Y j on peut
3
l
~
dcec La mettre SOUs la forme d'un produit scalaire sur Yi :
(5. 2. 14)
- g S y
~
l'application t ~ t(t) de [o. ID[ dans .Yi étant régulière•
..s. 2. J ~aUO'tl bibl. du. problème.
Rous supposons que les données initiales i
et ~ du problème (3. 2. 1) -
o
(3. 2. 5) sont suffisamment régulièreSpour vérifier (5. 2. 15) :
(5. 2. 15)
»oua donDons alors à priori la définition suivante ;
Nous appellerons solution faible du problème proposé une fonction ""tCd-.
dé.fiDie sur ~[, te lle Que pour tout T > 0 et fini on ai t :
~
2
(5.
2. lt»
• V )
,
- 0
r i E L (O. T ; .Yi) J
..
2
...
d
4
d
-of
(5. 2. 17)
- , a
( t. ; r, v) +
al
2
(t
dt
j
r. v)
dt
~
~)
of
of
-of
+ a (t; ; r,
= (g(t), v)1
'<Iv E 1 (Cl)
0
•
•
•
..
- ..
~
(5. 2. 18)
r(o) = r
;
r i (0)
v
o
o •
i(o) et. il(O) sont définis au sens des traces [57] [66J [73J. Il est en
effet facile de montrer que, sous les conditions (5. 2. 16), on a les formu-
.. ""*
.....
les (5. 2. 19)
qui montrent que 8
( t. j
r , v) et al (e j
r, v)
2
apparCiennent à Il (O. t) pour tout i de .Yi
d
-of
. .
-of
. .
(5. 2. 19)
a, (e
; ri, v) + ai(t j r , v ) , i " " ' l , 2 .
dt
L
. .
-of
Si ~ E :1 (0) l'équation (5. 2. 17) montre que (d' dt) a
j
r , v) appar ..
2 ( t
tieDt également à It (0, T) ce qui permet de définir (d 1dt) a ( t ; -:. ~)Jt=O
2

---

• 67 •
au sens des traces [57J [66J [73J4 CellUle i est presque partout égale à
une fonction continue de
[o,r] dans V, [56J, on sait aussi définir 1(0)
~
?
-
et a~(t ; r , v) 1 t=() par la fonnule (5. 2. 20) :
...
(5.
2. 20)
a t (t
r, v>lt=O
2
= 8 2(0
~
~
La fortllUle
(5. 2. 19) permet donc de définir 8
( t
r' • v)\\
pour
2
:Je 1(0)
t=()
->
(5.
2. 21)
r' •
=~
dt
Comme la trace est continue (57] (66J [73 J, (5. 2. 21) entraîne (5. 2. 22)
d'où l'on déduit (5.
2.
23) d'après
(5.
2. 17) et (5.
2. 19), ~ étant une
..
c cnscenee indépendante de v E 1(0).
~
(5.
2.
22)
r(o),
(5.
2. 23)
.,
( t
;
.. v~)1
L'application v ---t
a
r ",
t=() est donc une
forme linéaire continue
2
sur ~ (0) pour la topologie de :Y
et on peut
la prolonger à ~1 tout entier
1
( ~ est dense dans Yt>. Par ailleurs les inégalités (5. 2. 24), ma et "1
étant les constantes intervenant dans la démonstration du lemme 5.
2, mon-
trent que (5.
2.
26) définit sur Y
un produit scalaire dont la norme associée
1
e~t équivalente à la norme initiale de Y ; il existe donc un élément unique
1
...
noté ri (0),
tel que l'on ait (5.
2. 27) et la formule
(5.
2.
21)
de Y
1 '
peut se mettre sous la forme
(5. 2. 28). La condition 1, (0) = -;r équivaut
o
alors à (5. 2. 29).
(5. 2. 24)
, .... 112
~ ..,
1,.,.u2
-+
K
v ct 1 s a (0 ; v, v) s K
Vllt
• v E ~1 •
4
2
5
(5. 2. 25)
..
(5. 2. 26)
<u

---

- 68 •
(5. 2. 27)
..
d
~
~
(5. 2. 28)
,v E.Y
dt
'l'(o), v)
I '
.. ..
(5. 2. 29)
r 0 •
v)I~=a2(O
lA formule (5. 2. 28) définit (d ldc ) 8
( t
;
;0, ;) l t=() au sens des traces
2
lorsque (d 1dt) 8
( t
;
:lJ -;) E ~(O,T). Maintenant multiplions les deux
2
1([O.T])
membres de lléquation (5.
2.17) par cp E c
tel que q>(T) = 0 et
intégrons entre 0 et T j
après une intégration par parties ([73], p. )37)
on obtient, si on tient compte de (5. 2.
28), la formule (5. 2. 3D) qut est
en fait valable pour ~ E V car tout élément de V
peut être approché dans
-<>
-r-o
Y.o (donc dans Y ) par des éléments de ..!.. . En prenant cp dans f) (JO, Tl> on
l
obtient '(5. 2.31) qui équivaut .à (5. 2.17) et qui montre que
(d \\ dt> 82 (e
i,:t) appartient à .r (0, T) pour tout -,.de Yo •
T
.. ..
(5. 2. 30)
r, v) + al (t
So ~t "2(t
~.
d
(5. 2. 31)
r ,
v) + dt 8
(t;
1
..
Soit (r,p) une solution classique du problème aux limites proposé; la
fonction t(t) définie par i(t)(x) = f(x,t) est, dlaprès l'identité intégrale
(5. 2. 5) et la formule (5. 2. 7)J une solution faible du problème. Récipro-
..
quement si r(t) est une solution f&.ible régulière du problème la fonction
l(x,d. définie par t!(x,t> = t(d(x), vérifie (3. 2. 2), (3. 2. 3), (3. 2. 5~
et (5. 2. 8) ainsi que l'équation intégrale (5. 2. 3) dlaprès (5. 2. 17),
(5. 2. 7) et (5. 2. 4) j
en prenant. alors li à support compact. dans ~ (5. 2. 3)
se rédUit à (5. 2. 32) qui montre, grace au lemme 4. l, qu 1 i l exist.e une
fonct.ion scalaire p (définie à une fonction additive près du temps) vérifiant
(3 •. 2.1) ce qui permet d t êcr Lr e (5. 2.3) sous la forme
(5. 2.. 33).

---

- 69 -
La formule (5. 1. 34). où t(t) est une fonction de t
seul. résulte alors
du lemme 4. 2 et de l'équation (4. 2. 18) vérifiée par les éléments de
~«(J).
•
(5. 2. 32)
u dO = 0
(5. 2. 33)
(5. 2. 34)
La donnée de la fonction fCt) détermine univoquement la fonction p ; err
particulier pour tCt) = Po elle satisfait à l'équation (3. 1. 4) et le
couple (i,p) déterminé comme
il vient dl~tre dit à partir d'une solution
faible régulière est bien ûne solution classique du problème. La formu-
lation faible du problème est ainsi justifiée.
5. 2. 4
Théorèmes d'existence et d'unicité de la
solution faible
L'unicité de la solution faible repose encore sur [53J.
Théorème 5. 1 ~ Dans sa formulation faible (définie en 5. 2. 3) le
problème aux Itmites admet une solution au plus.
Il suffit de montrer que le problème homogène associé au problème faible,
à savoir le problème faible avec données initiales et second membre nuls,
ne possède que la solution nulle. Soit donc ..
r(t) une solution faible du
.
~
~
)
,
problème avec r
= w = 0 et g(t == 0 et posons, pour T > 0 donne,
o
0
~
set) =
ii~t) pour 0 s t ST,
pour
t < 0
un calcul direct montre, à partir de C5. 2. 31) J
que 1'(t) est solution du
problème suivant,
les fonctions aiCt
~~)
v, w
ayant "
ete
1
pro
"
ongees ]
8
_
... ,
T]
comme il a été précisé précédemment :

---

- 70 -
.. 2(.
L
,
"
L 2(_
U
E
~
T
V )
u
E
00,
T
":1 ) ,
-0
\\1 (t). ;;)
d
+
al (t; ; J(t.), ~)
•
;;)
~
+ a (t;
u(t) J
~
0,
V
E V
dt
0
- 0
•
..,u nulle pour t < O. Or on démontre [53]J grê ce au lemme 5. 2. et à la
régularité des fonctions a,
,
que
ce
prob Ième ne possède que la solution
i,
,
nulle.
Il en résulte que
la fonction dt) est nulle sur [0, TL,
VI CT > 0
et f Ln L}, donc
•rï t ) est nulle partout.
Nous suivrons encore la méthode de Galerkin l54] pour établir l'existence
de la solution faible en remarquant,
encore une fois)
que pour ~ = 0 cette
o
existence est assurée par [53 J. Soit ::. (1 s; L s; 00) une base de V 4Jonc de
,
--0
~1) formée d'éléments de -'!;L(O) et
v
..
m
..
,
r
~
l: o.
~.
r
---.
t dans V fort,
om
,m
i,
om
o
-0
1
m
..
-l
-r
r
~
~
dans ~1 fort.
l m
" Sim ~.i,
o
1
La solution approchée d'ordre m du problème faible,
~ , est définie comme
m
une fonction de t de
La forme
(5.
2. 35)
satisfaisant (au sens classique)
à (5.
2. 36)
[forme approchée de (5.
2. 17) J et à (5. 2. 37) lfonne approchée
de (5.
2. 18)J.
m
7
(5.
2. 35)
[ g . ( t ) w .
1
lm
l
,
(5. 2. 36)
+ a (t;
m
o
•
-t
~
(g(t),
~.)
, 1 c j -c m ,
J 1
,r (0) ~
..
~
•
(5.2.37)
r
r ' (0) ~ r
m
om
m
l m
Les équations (5w 2w 36) -l5w
2. 37) s'explicitent sous la forme
(5. 2w 38)-
(5.
2. 39)
let équation (5.
2. 3)~. Si, pour T > 0 donné, K
et K
sont
4
5
les constantes définies par (5.
2. 25), on a
(5.
2. 40) qui montre que
a
j
~, 't) est une forme bilinéaire définie positive pour tout t et la
2(t

---

_ 71
_
~
...
...
matrice des a
( t
est inversible, les
2
"'. , "'J) lS;i~
"'. étant linéairement
,
,
1 Sjsrn
indépendants, et régulière en t. Le système (S. 2. 38) - (S. 2. 39) est
donc un système le Cauchy-Kowaleska en les 8tmet),
linéaire.
qui admet
3
une solution unt qc e de classe c
au moins sur [D, CIl[.
m
m
1
...
...
;
(S.
2. 38)
E gll
a
Ct
,
lm
2
"'.
W ) +
, w , )
j
E Sim b(t
"'1
1
J
1
...
...
~
(g (t; )
"'J\\ ' 1 5 j 5 m,
(S. 2. 39)
gim eo) = •
glm (0) = 13
1 5 1 5 m ,
lm
Lm
...
~
(S. 2. 40)
K
R~U; s
,
3
( t
;
v,
v) 5 K
v E.Y
S
I;~
i
t E [O,T].
4
2
I
Pour estimer la solution approchée multiplions (5. 2. 38) par gjm et
sommons en j
; nous obtenons (5.
2. 41) qUi, compte tenu de (4. 3. 11) et
(5. 2. 42), s'écrit sous la forme (5.
2. 43).
En intégrant cette dernière
~
relation entre 0 et t ~O on obtient (5. 2. 44) ; comme
..
r
converge for-
1 m
tement dans VI et r
dans V
on peut écrire (5.
2. 45) où K
est une
-
om
- 0
6
constante indépendante de m.
...
...
...
(S. 2. 41)
"2 Ct i ri
rI') + b Lt;
r' )
m '
m
m 1
...
d
...
...
...
...
(s. 2. 42)
2
( t
; r'
r' ) ~ al (t
r' , 1:0) + 2a
; r'
r" )
dt
2
m
m
2
m
2(t
m
m
d
•
~
d
...
..
~
(S. 2. 43) dt a
r'
r' ) +
r
r
r )
m
m
dt b(t
r
r
) ~ al(t
+ bl(t'r
-
...., 1
...,. 1 )
2(t
m'
m
2
m,
m
t
•
m'
m
->
+ 2(g(t),
~
...r ,
om
-
(S. 2.
44)
r !
,i~)+b(t
+ b(o
r
)
m
am
t
...
...
+ j
al ('T
r~('T), ri ('f»
dT
2
m
0
t
~
...
+ j
b 1 ('T
rm('f),
rm('T)
d-r ,
T
0

---

- 72 -
1
~
~
4
(5. 2. 45)
1
r
rI} + bet j r
, r )
m,
m
m
m
t
t
< K
+ S Ill«) nt
6
d-r + S 11,;,« )nt d-r
o
0
t
-t
-.
+ S a 1 (,.
r~(1")
r i (,-» d-r
2
m
0
t
..,
..,
+ J biC,.
r
r
m(,-)
C,.» d-r •
r
m
0
Soit maintenant T > 0 donné ; alors pour t E [0, Tl on peut écrire
(5. 2. 46) et (5. 2. 47) d'après le lemme 5. 2, les inégalités (5. 2. 45) •
(5. 2. 40) et (4. 1 • 21 ). L'inégalité (5. 2. 48) J où A et B sont deux
constsntes dépendant de T seul, résulte de (5.
2. 47) et on en déduit
(5.
2. 49) grlce au Ierœne de Gronwall [12 J, c
étant une constante fonction
9
de T seul.
• ..
~
(5. 2. 46)
r'
r l } + b ( t j
r
)
m
m
m
(5. 2. 47)
K4 F,;,llt +
k o 1\\"2 r." II~
T
s K
+ S 1;«) 'IIi d-r + (1
6
o
t
+k
S ~"2r.,,«)II~d<,
2
o
(5. 2. 48)
\\\\~,;,lit + ~"2 r."l1~ s A + B h Rt,;,«) IIi +11"2 r.,,«l !~l d<,
o
(5. 2. 49)
•
On peut écrire (5. 2. 50) en tant qu'application à valeurs dans ~1 et on
en déduit (5. 2.
51) où H est un majorant de
la suite
li Il ; en parU..
om
0
cul1er pour t
€
[0, T] on a (5.
2.
52) d'après (5. 2.
49) et
(5.
2. 53)
résulte de (5. 2.
52) et (5.
2. 49).

---

- 73 -
..
,
t
(5. 2. 50)
r
Ct}
•
=
rIe,.) d-r ,
t~OJ
m
r
+
om
J m
o
t
(5. 2. 51)
li r' Il s; M +
m
J 111"';'(T) Il, dT • t ~ 0
1
•
0
(5. 2. 52)
Il;',,,11,
li
<
M+ c
T ~
9
c,o
(5. 2. 53)
Il i", ll~ = '1: 2
2
2
11
+
~
+ c
l, m i
Il"2 r m3 11
0,0
= c
9
l l
E
Multiplions l'équation (5.
2. 36) par ql E cl ([0, r j) telle que tp(T) = 0
et intégrons entre 0 et T
après une intégration par parties nous obtenons
(5. 2. 54) valable pour m ~ j
T
-+
-i
~
- J
-0
[a 2(t
) + a Ct ; r'
2
W
) + al Ct
r
dt
j
--
-0]
,
(5. 2. 54)
r
Wj
a
m
m
m )
toij
ql
.
T
...
...
+ J a (t
r
w ) 'l' dt
j
a 0
m
T •
.,
= J (g(t), w. )
l' dt + <;(0)
•
a
J i
....
Les inégalités (5. 2. 49) et (5. 2. 53) montrent que r~(t) appartient
=
...
•
=
à un borné de L (a, T ; Y ) et rm(t) à un borne de L (0, T ; V ) ; on peut
l
- 0
donc extraire de la suite ~
une sous-suite,
•r
, telle que l'on ait
m
"'i
(5. 2. 55) et (5. 2. 56) d'où l'on déduit (5. 2. 57). La relation (5. 2. 54)
écrite pour mi ~ j pe~t. gr~ce à la régularité des formes bilinéaires a
'
k
de passer à la limite pour obtenir (5.
2.
58) valable pour tout j
;
(5.
2. 59),
...
valable pour v E v , en résulte grftce à un raisonnement de densité. D'après
""Q
(5.
2. 19) la formule (5.
2. 59) peut s'écrire sous la forme (5.
2. 60)
en prenant alors ~ dans J) (JOIT[) on voit que ; vérifie (5. 2. 31) et, par
conséquent,
(5.
2. 30). En comparant (5.
2. 30) et (5.
2. 60) on obtient,
geâ ce à (5.
2. 57),
la relation (5. 2. 61) qui équivaut à (5. 2. 62).
~
•
=
(5. 2. 55)
r
----1 r dans L
(a, T
m,
v ) faible*j
~1) faible*,i
- 0
~
=
(5. 2. 56)
r '
dans L (0, T
~1) fa ib le* 1

---

- 74 _
o. 2. 57)
~(o )
,
.,
~
•
(5. 2. 58)
r ,
w ) + B ( t
r' ,
j
2
T
... .,
a (t
+ JO
r, w.) r.p dt
o
J
~
...
a f (0
r
J )
2
0
j
T
J ~
-j
)1
~
•
~
~
(g'{t ) , w
dt + q>(o)
+ a ( 0
w
w )
j
2
0
j
0
.. ~
+ al (0
r
w. )
0
J
T
.,
r,
B
( t
..
(5. 2. 59)
J
•
[a;(t
"0+
r
, ~) + al (t;
r, ;1) ] 'l"
dt
2
0
T
.,
+ J a (t
r,
~) ~ dt
0
0
~
al (0 .
r
;)
T
2
'
0
= J •
.,
(g(t),
...
v\\ ~ dt + 'l'Co)
+ a ( 0
w
, ~)
2
0
•
0
~
+
r
;)
al (0
0
T
.. ..
~
(5. 2. 60)
J [~t a
r,
v) + al {t
r, ;) ] ~' dt
2(t
0
T
a
(t
• ..
+ Jo
r,
v) 'l' dt
0
..
al (0
r
~)
2
0
T
..
J
•
..
•
=
(g(t) J v\\ r.p dt + 11'(0)
+ a ( 0
w
, v)
,
2
0
..
0
•
+ al (0
r
v)
0
...
... ... ...
(5. 2. 61)
8
( 0
1(0), v) = a (0
W
E
2
o J v),
v
V
2
-r-c
..
~
(5. 2. 62)
ri (0) = W0
...
La fonction dt) définie sur [o,r[ par (5. 2. 55) et (5. 2. 57) est
donc solution des équations (5.
2. 16) -
(5.
2. 18)
j
d'après le théorème
.5. 1 cette fonction est unique et la suite ~ (t ) toute entière satisfait
rn
à (,5. 2. 63) et (5. 2. 64)
lorsque m tend vers l'infini.

---

- 75 -
......
~
...
~
~
(.5. 2. 63)
r
~ r dans L (O,T
v ) faible*
m
r
- 7 r
dans L CD,T
~1) re tb tee,
- 0
rn
ee
(5.
2.
64)
dans L CO,T
Yt) faible* ..
Finalement la fonction tCe) définie sur chaque intervalle [aJT[ par
(5.
2.
63) et (5.
2. 57) est une
solution faible du problème et on peut
énoncer le théorème 5.
2. L'ensemble des théorèmes 5. 1
et 5. 2 peut ~tre
énoncé comme un théorème d'existence et d'untcité de la solution faible
plus une propriété de régularité ; ~ théorème justifie, du point de vue
mathématique, le découplage du mouvement de la surface libre et du mouve-
ment du liquide.
Théorème 5.
2 : Le problème aux lLmites, dans sa formulation faible
(définie en 5.
2. 3), possède une solution 1 telle que, pour tout
T > 0 donné, on ait
-lr E
~
L (O,T
v )
-<>
Remarques : La condition aux limites (3. 2. 4) montre que dans l'état non
perturbé y et 0 sont des constantes et que la perturbation peut résulter
d'une simple modification de la répartition des impuretés sur la surface
libre. On peut également noter qu'en général le mouvement de la surface
libre ne se fait pas dans le plan ~ = O. En effet les équations (3. 2. 1)
et (3. 2. 2) constituent, avec les conditions initiales (3. 2. 5) et la
-> •
condition aux limites r.n 1 bO = 0, un problème dont les solutions ne peuvent
en général satisfaire à la condition supplémentaire (3. 2. 4). Toutefois
si on néglige la masse des impuretés par rapport à la masse du liquide,
la surface libre peut se déplacer (dans le plan ~ = 0) sans que la masse
du liquide soit en mouvement: le problème (3. 2. 1) - (3. 2. 5) et (5. 2. 8),
~
->
~
pour r
= w = 0 et y = 0, ne possède que la solution nulle en r comme le
o
0
montre le théorème d'unicité S. 1 ; 0 est alors une constante et les é qua-,
..
tions (2. 2. 2) et (2. 2. 3) sont identiquement satisfaites en v.

---

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