THSSE
PRESENTEE
A
L ' UNI VER S : T E
dè
PAR l S
V l
POU R l ' 0 B T E N T ION
d u
DOC TOR A T 3 ème
C y C L E
Spéciali té
MATW:::MAnQUES
Mention
Mécanique des Fluides
par M,
Pierre
il E Z l T
Sujet de la ~hèse :
MOUVElvlENTS HOMOGEi'1ES D'UN FLUIDE SDiPlE INCOMPRESSIBLS
Soutenue le
devant la Commission
Composée de
Président:
H. CABAN!',ŒS
Examinateurs :
R. BERKER
(rappcrteur)
R. PEYRET

---

t1
1
,
1
1
1
Je tiens à exprimer ici ma gratitude à l'égard de
,
Monsieur Berker qui m'a fourni le sujet de la présente
étude et m'a guidé tout au long de ce travail.
Je remercie tous les professeurs du groupe de
Mécanique th~ori~ue.
en particulier Monsieur Germain,
qui m'ont fait connattre et apprécier cette discipline.
1
j

---

TABIE
des
M,TIERES
=============
CH'\\PITRE l - INTRODUCT ION • • • • • • e- • • • • • • • • •
11
CH~PITRE II - EQUATIONS DU NDUVEMENT ET EQ~\\T10NS DE
COIvlPhTIB1LITE POUR UN WOUVEMENT HOMO~1ENE
D'UN FLUIDE SIMPIE. • • • • • • •
•• • •
3
11-1 • Cinématique G'un mouvement homogène . • • • • •
3
11-2 • Les équations du mouvement
• • • • • • • • • •
4
11-3 • Les équations de compatibilité - Calcul de la
pression
• • • • • • • • • • •.• • • • • • •
5
CH\\PITRE III - MOUVEiviENTS HOMOGENES PU,NS D'UN FLUIDE
SIrvtPLE
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •
12
111-1. • Gén6ralités
• . • • • •
• • • • • • • •
12
111-2 • Une famille de mouvements homogènes plans
d'un fluide simple • . • • • • • • • • • •
15
111-2.1 • Cas 1 : L'écoul~ment est viscométrique
17
111-2.2 • Cas 2 : Le mouvement est à histoire do
déformation constante mais non
viscométrique. • • • • •.• • • ,.
30
LII-2.3 • Cas 3 : Le mouvement est en général à
histoire de déformation non
constante
• • • • • • • • • • •
43
1II-3 • Etude dans le cas général des lignes de cou-
rant à un instant donné • • • • • • • • • •
53
CHAPITRE IV - UNE FAj\\lILLE DE IviOUVENIENTS HOMOGENES ;\\ HISTOI-
RE DE DEFOHivlt\\TION CONSTANTE D'UN FLUIDE SIMplE.
58
IV-1 •
Généralités
• • • • • • • • • • • • • •
58
IV-2 •
Cas 1 : L'écoulemeQt est viscométrique •
61,
IV-3 •
Etude du cas 2 •
~ •
79
IV-4 •
Etude du cas 3 • • • . • • • • • • • • • •
93
IV-5 •
Etude du cas 4 • • . • • • • • • • • • •
106
CHAPITRE V - UNE FAMILLE DE MOUVEivlENTS HOMOGENES A H1STOLi.E
DE DEFORjv~l.TION OON CONSTI\\NTE D'UN FLUIDE SIMPLE.
110
V-1 • Les équations de compatibilité • • • • • •
111
V-2 • Détermination des mouvements de la famille :
intégration des équations de compatibi-
1i té
• . • . . . e .... •
•
•
•
•
•
•
•
113
V-3 • Equations des trajectoires et des lignes
de courant
•• • • • • • • • • • • • •
121
V-4 • ('~lcul des contraintes • • • • • • • .. ••
122
V-5 • Etude d'une classe de mouvements de la
famille • • • • • •.•
• • • • • • •
123
ANNEXE 1i • 0 . . . • • •
. . • • . .
127
• •
,\\NNEXE 2 ••
. . . . .
. . . . . . .
131
BIBLIOGRAPHIE
. . . . . . . . . . . . . . . 136

---

RESUME
L'objet de ce travail est l'étude des mouvements homogènes d'un
fluide simple incompressible. On appelle mouvements homogènes les mouve-
ments dont le champ des vitesses estœe la forme
(1)
où A (t) est un tenseur du second ordre ne dépendant que du temps t,
..:.
et é (t) un vecteur ne dépendant que de t. J'ai étudié (dans les chapi-
tres III, IV et V) trois familles de mouvements appartenant à la classe
fies mouvements homogènes et j'ai pu déterminer entièrement les mouve-
ments appartenant à ces trois familles.
Après le chapitre l, qui est une introduction, le chapitre II
est consacré aux propriétés générales des mouvements homogènes. Les
conditions de compa~ibilité, c'est-à-dire les conditions nécessaires et
suffisantes pour que le champ des vitesses (1) convienne au mouvement
d'un fluide simple incompressible sont que l'on ait:
-?
rot {5 ="3
div
v
= 0,
(2 )
~
y; étant l'accélération.
Soit A (t) la matrice des composantes cartésiennes du~nseur
A (t). Un cas particulier important est celui où la matrice A (qui est
une matrice carrée d'ordre 3) commute avec sa primitive, c'est-à-dire
celui où elle satisfait à la relation
B ('6 , t) A (t7.1)
= A (6(; ) B (~, t ) ,
(3 )
où on a posé
't
B
t) =j
A (:y )
dO(
('6 ,
t
Dans le chapitre IIlj'étudie les mouvements homogènes qui sont
plans, et je détermine l'ensemble de ces mouvements. On obtient en
particulier trois familles de mouvements dont la première contient une
sous-famille de mouvements viscométriques, les deux autres une sous-
famille de mouvements à histoire de déformation cons~Qnte mais non
viscométriquee. Pour chacune de ces trois familles, les équations des

---

- 2 -
lignes de courant, celles des trajectoires, l'expression de la pression,
sont déterminées et la forme des lignes de courant est étudiée.
Le chapitre IV est consacré aux mouvements homogènes pour les-
quels la matrice A est constante. Dans ce cas la condition (3) est
toujours satisfaite; d'autre part le mouvement du fluide est à histoi-
re de déformation constante. J'ai déterminé tous les mouvements homogè-
nes pour lesquels la matrice A est constante. On obtient quatre famil-
les de mouvements dont la première est viscométrique, les trois autres
n'étant pas viscométriques, tout en étant à histoire de déformatibn
constanie. Ici encore, pour chacune de ces quatre familles, les équa-
tions des lignes de courant, celles des trajectoires, l'expression de
la pression sont obtenues et la forme des lignes de courant est étudiée.
On obtient entre autres un mouvement où les lignes de courant sont, à
chaque instant, dans chaque plan (11 1) parallèle à un plan (lt ) des
droites parallèles, la direction de ces droites variant quand on passe
d'un plan (Tf 1) à un autre; un autre mouvement qu'on obtient est
celui où, à chaque instant, les lignes de courant sont des courbes gau-
ches C tracées sur des cylindres elliptiques ou hyperboliques homothé-
tiques; les courbes C s'enroulent sur ces cylindres à la manière d'une
hélice mais, en général, ce ne sont pas des hélices.
Dans le chapitre V j'étudie une famille de mouvements pour la-
quelle la matrice A (t) satisfait à la condition (3). Les mouvements
appartenant à cette famille sont à histoire de déformation non constan-
te. Dans la famille de mouvements considérée la matrice A (t) s'exprime
à l'aide d'une matrice constante et de deux fonctions scalaires du
temps g (t) et h (t). En écrivant que les conditions de compatibilité
(2) sont satisfaites on obtient les deux cas suivants:
er
1
cas:
les fonctions g (t) et h (t) doivent satisfaire à
un système différentiel de deux équations, du premier ordre, non li-
néaire. Ce système a été intégré:, et les fonctions g (t) et h (t)
obtenues.
. . .1. ..

---

- 3 -
ème
2
cas: Les fonctions g (t) et h (t) doivent satisfaire à
une équation différentielle du premier ordre, non linéaire. L'ensemble
des fonctions g (t) et h (t) qui satisfont à cette équation a été dé-
terminé.
Enfin deux annexes et une bibliographie terminent ce travail.
--=-:-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-:-=-=--

---

1 • 1
CHAPITRE l - INTRODUCTION.
L'objet de ce travail est l'étude, dans le cadre des fluides
simples incompressibles, de certaines familles de mouvements homogènes.
(1)
t
On appelle mouvements homogènes
[8 J ; [18 J , pp.73-76 ; [19] j
les
mouvemente d'finis dans un repère orthonormé fixe (que nous désignerons
par 0 x y z) pour un champ des vitesses de la forme
u= a1 (t) x + b1 (t) Y + Ct: (t) z + e1 (t),
v == a
(t) x + b
(t) y + c
(t) z + e
(t),
(1)
2
2
2
2
w = a3 (t) x+b:3(t) y + c3 (t) z + e3
( t)"
où u, v, w sont les composantes de la vitesse, ai' bit CH ei, (i=1 ,2,3)
1
des fonctions scalaires données de classe c
dans l'intervalle de temps.
J eù l'on étudie le mouvement. Pour la suite nous nous reférerons à ce
système différentiel comme étant le système [rlDJ et A (t) sera sa ma-
trice, c'est-à-dire que A (t) désignera la matrice
a1 (t)
A (t) -
&.2 (t)
•
a
(t)
3
D'autre part, dans toute cette étude, an tenseur sera désigné
par la notation! et sO matrice dans le système d'axes donné par T. Enfin
le point courant de l'espace, M, sera repéré par le vecteur
--7t
~
"(
= 0 M,
et un point particulier Mo par le vecteur
~
---?
X
=
0 Mo'
et on confondra volontiers un point avec le vecteur qui le définit par
4~
rapport à O. Dans ces conditions la vitesse v ( 1f, t) au point M à
l'instant t est donnée par
~
A>o?
+ e (t)
(2)
v ( 'S" ' t) = ~ (t) •
)
.../ ...
--~----------- . . -.....-----..----------,--_.__.._------
(1)
Les chiffres figurant entre crochets indiquent le nO de référence
dans la bibliographie donnée à la fin de ce travail.

---

ce qui s'écrit encore
= A (t) •
(3 )
où on a posé
e.
..-,.~
..:.,
d • ~
- -
/
i
d t
-f.
et où e (t) désigne le vecteur de composantes 8
(t), e
(t), e
(t).
1
2
3
Comme l'ont mentionné COLEN~N et TRUESDELL dans ieur artiele
sur les mouvements homogènes en milieu simple incompressible [aJ , tous
les champs de vitesse de mouvement homogène qui conviennent à un fluide
simple incompressible conviennent également à un fluide visqueux clas-
sique incompressible et à un fluide parfait incompressible. D'autre
part pour le mouvement homogène on a : V 2 -;: _ '0: don c pour ces mou-
1
vements l'équation de Navier-Stokes se réduit à
l!
(4)
t
f
f-
.-t'
~
I
où
F
est la densité des forces volumiques, p
la pression, '6
l'accé-
lération et ~ la masse volumique supposée constante dans tout le fluide.
1
1
Si on suppose que t dérive d'un potentiel t 1 = _
~L/
û"(T
,
f
,)
f
l'équation précédente devient
!
-4
y = _ y (_E_ + 7l )
(5)
\\.
l.J
)
de sorte que l'équation de compatibilité se réduit à
~.
-;,
rot '6 =
O.
Il en résulte que la pression en fluide visqueux classique est
la même que celle du fluide parfait et que les trois théorèmes de
BERNOULLI sont vrais pour ces mouvements de fluide visqueux classique 1
les forces de viscosité ont en effet une contribution nulle daQ8 l'équa-
tian de Navier-Stokes. On montrera même que les équations (4) et (5)
sont celles du mouvement pour un fluide simple incompressible quelcon-
~
que effe~tuant un mouvement homogène de sorte que, pour un
F et uro
champ dœvitesses donnés, la pression est la même pour tous les fluides
simples et les théorèmes de Bernoulli restent vrais dans le cas le plus
général.
.../ ...

---

11~
CAAPITRE II -
EQUATIONS DU MOWEivlENT ET EQUATIONS DE
-
-
-
1
COMPATIBILITE POUR UN WOUVElvlENT HOMOGENE D'UN FLUIDE SIMPLE.
![
II -
t - CINElvlATIQUE D'UN MOUVEMENT HOMOGENE.
if1
II - 1.1 - Equations des trajectoires et calcul du tenseur gradient
de déformation relative.
1f
On sait\\[lJ; [5J; [9J; [lOJ; [11J. pp. 121-126jque la 50-
.1,.•.·
lution de l'équation différentielle [1,(3)] q\\.l vérifie
[
-+
~
~ (to) = X
1
1
est donnée par l'équation
!~.
~
~lt
-+
0(' (t) cr R (t, t ) • X +
R (t, ;)Ç) _ e (ex') d :;(
(1.1.1)
1.
-
0
-
où.-! (t, t o) est la résolvant~t[1J; [5J; [9J; [10]; [11J,
~u le noyau résolvant) de l'équation homogène associée
r==~ (t) • '( ,
c'est-à-dire la solution de l'équation différentielle linéaire
•R (t) = A (t) • R (t)
-
-
-
qui prend la valeur l pour t = to. Dans cette relation remplaçons t o par
t et t par ~ ; on obtient
~
"
~ (~) =~ ('6 ,
1
t) • X +
~ (:e,« ) •:-(0\\) do(. (1•1.2)
t
C'est l'équation vectorielle, en fonction du temps~, de la
~
trajectoire de la particule qui, à l'instant t, occupe la position X.
On posera comme d'habitude
l'
~~
-~
(OC:) = ft (X , cr;; )
c'est-à-dire, à'après (1.1.2),
-7 -..
ft (X, t)
= ~ (% , t)
,o(). *e (ôcC) de<.
(1.1.3 )
Alors le tenseur gradient de déformation relative défini
par
~
F:t ( ot' ) = 'V"\\ (X, ~.)
...1..

---

(1)
prend ici la forme
.l\\ (1. )
(1.1.4)
-?
On voit que i t (~"C ) ne dépend que de t et "6
et non de X ;
c'est là une définition équiv31ente des mouvements homogènes i [8J ;
[18J, pp. 73-76 ; [19J;. Le tenseur histoire du gradient de déforma-
tion relative
~ (s) =!t (t - s)
s' écri t ,:onc ici
H (s) = ~ (t - s, t).
(1.1.5)
II - 1.2 - Equations des lignes de courant.
Le système différentiel des lignes de courant à l'inst~nt t
s'écrit
d x
d Y
d z
--------------
=
--------------
=
------------ ,
u (x, y, z, t)
v (x, y, z, t)
YI (x, y, z, t)
u, v, w étant les composantes de la vitesse. Introduisons un paramètre
auxiliaire ~.~ en posant
d x
d y
d z
==
=
-- d tz: •,
u
v
w
alors les lignes de cour~nt à l'instant t peuvent se définir comme étant
les courbes dont l'équation (vectorielle) est solution de l'équation
différentielle
d?
~.
;
= -: (~ , t)
d ce
ce qui s-écri t
d?
-~
dCS
C'est une équation différentielle linéaire à coefficients cons-
tants (la matrice A ne dépend pas de la variable q;" ) dont la solution
.../ ...
-------------------------------------------~-------------------------------
(1) Le gradient d'un champ de vecteurs-t(X) est défini ici par les
à a.~
~
relations (V -t)tj =
où les ai sont les composantes de a,
à x.
~
J
les x. celles de X.
J

---

i
générnle peut
1
-
1
~ ) A (t)
ï
f
1
L'équation (1.2.2) représente, à l'instnnt t, lQ ligne de cou-
t
rant qui passe
1
ptlr le point ~ tel que
1
- 7
~
----,>
OM
=X=
11
f0' ) .
7
1
o
i
o
II - 2 -
LES EQUATIONS DU MOUVENlEf\\rr.
====================
M~intentlnt nous supposons que le fluide est homogène. Alors la
(
loi de comportement d'un flu ,de si rple, prise sous la forme { [6] , pp.17-
1
i
1~
~
't'" =-p l
+
J
!
- - s=O
où p est la pression et~ une fonctionnelle isotrope de H (s), montre
1
qu'ici le tenseur T + P ! ne dépend pas des coordonnées spatiales puis-
qu'il en est ainsi de ~ (s). Dans ces conditions l'équation du mouvement
d'un milieu continu,
1
--Y
-'"
f '6 == F + div 'l
.~
où
F
est la denSité des forces volumiques, f
la masse volumique et
-?
'6 l'accélération, prend la [orme
--;:ii'
-.:;:-
f 0 = F - V p.
(2.2)
...:,
On fera l'hypothèse que
F
dérive d'un potentieli)l-:
~
F
=
Alors l' équtltion (2-2 ) devient
.-r
'6 = - V q,
(2-3)
avec
9;L') +
q =
7-
(2-3a)
1
,
)
!
( ) est constant dans tout le fluide).
i
f,
[
{-
II - 3 - LES EQUATIONS DE COMPATIBILITE - CALCUL DE L\\ PI1ESSION.
r
La condition d'intéqrabilité de l'équation (2.3) s'écrit
!t
4.
.
1
rot 6'
1
=
6',
(3.1 )
!
1
équation à laquelle il faut ajouter la condition d'imcompressibilité
~
div
v
= 0 •
(3 .2 )
..
1
., / ...
1

---

.....;.
On prendra '0
sous la forme [ 13 ]
-'0
- 4 '
~
-4
-* 2
(3.3,
't ==v
+2 ().) Av + \\l
~-,
t
.-.
~
1
'
où U)
dés igne le tourbillon (CV ==:2 rot v) ;
on a alors(1)
~
--:>-
......,}
~
rot '6 == 2 u..,'
+ 2 ("7 uJ ) • v - 2
(3.4 )
t
(on Il tenu compte de (3.2)).
1
1
La relation
'-
-7
-- ( f'
v
~ J t)
!
donne
~
'\\1 v
==
!:..(t)
1
r
1
et
b
(t ) - c
(t )
3
2
2cU
=
c
(t)
1
1
J')
a3 (,)
- b
Ct)
f
1
!
- f
!
ce qui montre que ()) ne dépend pas de ~ et que
1
~
ysu
_
O.
La formule (3.4) s'écrit donc
...-fIo
-:".
-7
y.,
2 '
1
2 A ( )
/ ! \\
1
rot 0
==
U) t
-
_
t
• VI/
et l'équation (3.1) devient
1
0\\
~
W
=!:.. (t) • Gu
(3.5 )
soit, par projection sur les axes 0 x, 0 y, 0 z,
(3.6 )
1
i
li~
Ces équations constituent la condition nécessaire et suffisan-
1
te pour que le mouvement défini par [l, (1) ]
soit dynamiquenent possible
f
en fluide simple incompressible. Nous les appellerons les équations de
,
compatibilité qui, jointes à la condition d'incompressibilité •. 0/••-.
------------------------------------------------------------------------- 1
r
(1) On a utilisé l'identité
i
1
......,
~
--'!'
~
~
~4
-:).--:r
~
ro t (f Ag) == (\\7 f) • 9 - (\\J g) • f + f div 9 - 9 div f.
i!
1

---

permettent d'int~grer l'~quation du mouvement (2.3).
On peut donner aux ~quo.tions (3.6) une forme tensorielle. En
effet si on pose
1
2
1
L
(t)
= Â (t) + A
(t)
(3.8)
L.
1
un calcul direct montre que, lorsque l'on tient compte de l~ condition
1
(1)
(3.7), les ~quations (3.6) sont ~quivalentes à la rel~tion tensorielle
f
T
~ = ~2
(3.9)
1
T
f
L
d~signant le transpos~ du tenseur~. Le tenseur ~ n'est rien
2
d'autre que le tenseur gr3dient d'acc~l~ration d'ordre un : le tenseur
1
gradient d'acc~l~ration d'orldre n - 1 est d~fini par
n
è
L
= - - -
Ft ("r~ )
n
-n
è
':.t
ct
= t
1
et on sai t~ [18] , pp-. 53-551 que
i
(.
~
~
S
i
==
'l'D'.
Or
1
~
,~
• v
ce qui donne ici
-7
•
•
2
~
~
-+
r5 = [A (t) + A (t)]
(3.10)
• "t
+ A ft).e (t) + e (t)
7
on en d~duit bien que
-7
V' ... (!
2
ri =! (t)
A
(t)
+ -
•
Si on rem<\\rque que
-;
L
==
'vv=~ (t),
la relation (3.8) m'est rien d'autre que la formule connue
•
2
1
L2.-
(3.11 )
= .!: + L
•
i
f
Quant à la relo.tion (3.9), qui est la condition d'int~grabili-
1
!
t~ des ~quations du mouvement pour un milieu simple incornpl'essible ef-
fectuant un mouvement homogène{ [8] ; [18] , pp.73-76 ; [19]} (lorsque
1
f
)
.../ ...
f
(1)~tt:-=:-::~st-'-du-e-à-COLEl AN et TRUESDELL Voir [8~------.f
1
1
1

---

les forces volumiques dérivent d'un potentiel), elle se déduit mainte-
~
nant directement de l'équation (3.1) et de la relation~3·')7);'.
Lorsc,ue le condition (3.9) a lieu la formule (3.10) s'écrit
~
"-
.
~
4
k · f + A (t) • é + e ) ] ;
si alors on revient à l'équation du mouvement (2.3) elle s'écrit mainte-
nant
-4
•
~-->
-..:;. )'
\\l [~ . (;
~. f + A. e + e J
'V q ,
= -
équation qui s'intègre directement pour donner
~
~
-,t5
-+
~
-f
(1 L
- q = , .
Z~
. )
+~.e + e
)
- h tt)
1
où h (t) est une fonction arbitraire du temps. La pression p s'écrit
1
donc
•
-r
1
.....:..
-4-
-""
?'
- p = f [ % • (2'!:. 2' ~ + A • e + e ) +
(3.12 )
v{., -
h (t)] •
~
Désignons par
c
le vecteur
1
t
-t::;: f ~ (t, ,I:{) • -; (cl) ((:i c< ,
./to
-;>
t
étant une valeur particulière de la variable t ;
c
est une solutioru
o
particulière de l'équation différentielle [I,(3~ (formule
~
.
,..
~
()
~
-"
c - .!:.!.. • C
= ~ t
•
e
+
e
--.:..
i ~
(on a posé é
_
---~-) et la pression p peut s'écrire
d l
~)
~
1
• - ; , 4
.-:>,
q1
- P = ~
[~ • (2'.s
'<'" c -.s · c") +k - h (t) J.
(3.13 )
C' est la forme donnée par COLEJV1AN et T;iUESDiLL à la pression
pour un mouvement homogène en milieu simple incompressible [8J •
CAS PARTICULIERS
.....
- 1/
Le mouvement [I, (1)] est irrotationnel (W ~ 0) si et seule-
ment
si A (t) est symétrique; la condition d'intégr~bilité (3.9)
est alors automatiquement satisfaite et la vitesse dérive du potentiel
.-+-
.
(l
-e;
1
:;!.....:>
'-,
=
';;
• (2'
,~. ~ +e).
(3.14)
- 2/
Lorsque la matrice A (t) satisfait, pour tout t ou pour tout
c:~
-G
de l'intervalle J, à la relation fonctionnelle
. . .1. ··
1

---

B ( L~, t) A (cC; ) = A (CC ) B (~ , t)
(3.15)
où on n posé
"7'-'
( '
L")
B (Je, t) =)'
A (,x )
(Le<.
(3.15a)
t
ln résolv:mte f [ 1 J ; [5J; [9J; [10J; [11J, pp. 121-126] de l' équa-
l
tian différentielle
-.>
t =A (t) .lt'
Î
-
(
S 'écrit { [11 J , pp. 126-128j
B fLot:
t)
,,-- ,
~ (:z~
, t)
:;;:
e -
(3.16)
DQns ces conditions ln loi de comportement (2-1) peut s'écrire
&L
t = - p! +
M
(s)}
(3.17)
avec
( t-s
Ivl (s) =:: B (t - s, t):;;: 1
A (c<)
dc.J ,
(3.17a)
...J
\\
t
"~ étant une fonctionnelle isotrope de M (s).
•
En particulier si A (t) est constante, A
o et la relation
(3.9) s'écrit simplement
condition qui est Qutomatiquement satisfaite lorsque ~ est symétrique ou
2
antisymétrique ou lorsque ~ :;;: 0
; le tenseur gradient de déformation
relative prend lQ forme
(ce - t) ~
F
(v(,' ==
e
(3.18)
- t
~
,
et le mouvement est à histoire de déformntion const~nte (Théorème de
t
Noll [15J (1)~
[
t
Ln fonctionnelle
i ~ (s)j devient alors une simple
fonction de A
(()
1
ri! (
l
f
JI- ~ ~ ( s) J' ~ ~ (~)
s~L
et le tenseur des contrnintes s'écrit
T :;;: -
p ! +
(3.19)
~ (~)
1
,
. . 0/•••
,
------------------------------------------------------------------------------- ,
(1)
Une nouvelle démonstrQtion du théorème de Noll a été donnée récem-
~
1
ment pnr JMiEUX [14] •

---

,11.3.10
où ~ est une fonction isotrope de ~. Si de plus ~ est symetrique, la
loi de comportement peut se mettre sous la forme
'1
2
!. = - p 1. -t' J~ ~ + D~
(3.20)
(Théorème de Reiner-Rivlin. [16] ) où ~ et ~ sont des fonctions sca-
laires dy second et du troisième invariant principal de ~ (le premier
invariant principal est nul à cause de l'incompressibilité). Le mouve-
ment de dilatation permanente de OOLL et COLEMAN [7 J
correspond au cas
2
0 .. la matrice A est diagonale et où e
(t)~ O. Lorsque A ::: 0 (A" 0)
(
1
l'écoulement correspondant est viscométrique t [6 J , p. 29 j ; la fonc-
tion K (~) est alors déterminée par les fonctions vi~~ométriques
[6] , pp.22-26
du fluide. Pour ~ antisymétrique le tenseur des taux
de déformation
D = __
1
[ ( V' ~) + ( V -~) T ]
2
est nul et le mouvement correspondant est un mouvement de solide. Le
tenseur histoire du gradient de déformation relative
- s A
.!i. (s) = e
e~t orthogonal et le tenseur des contraintes est sphérique {[6 J , pp.19-
20) ; on peut donc faire ~ (~) = 0 et le tenseur des contraintes s'é-
crit simplement
l = - p l
(3-21 )
3/ -
On obtient le cas de SLATTERY [17J en prenant
G(t)
0
0
A (t) = \\0
b
:t)
I11
l-
o
(t) ,
L9
0
C
_1
e. (t) =
v. f (t)
(i ::: 1,2,3) ,
~
~
avec
,r
!
a (t)
f
= kt
f
(t) 1
f (t) ,
1
t: (t) ::: k2
(t)
= k3
f (t),
1
f
. . .1.. ·
t
1

---

où kt et vi (i = 1,2,3) sont des constantes tel~s que
1
1
r
et f (t) ~e fonction connue du temps non identiquement nulle.
1
i1tl
1
.../ ...

---

III.1 .12
CHAPITRE III -
IviOUVE1,ENTS HOMOGENES PL\\NS DIUN FLUIDE SIJt-:PLE.
=================---==============
III -
1 -
GENERALITES
On suppose que le mouvement défini p-:lr le système [I,(nJ
est
plan, le mouvement sleffectuont parallélement au plan 0 x y;
dans ces
conditions
c
-- 0,
1 = c2
a
=
0,
3 = b3 = c3
e3 "'" 0,
-
et le champ des vitesses prend la forme
u = a
(t) x + b
(t) Y + e
(t) ,
1
1
1
v= ~ (t) x + b
(t)
(t),
(1.1)
2
Y + e2
w = 0,
1
1
1
1
tûndis que la matrice A (t) s'écrit
f
a1 (t)
b1 (t)
0
f
A (t) r.:
~ (t)
t:2 (t.)
0
0
0
0
!
ou, sous forme de matrices-blocs,
( t)
1
r\\ (t) =
l:2 :J
(1.2 )
avec
[ a
(t)
1 (t)
b 1
A
(t) =
2
J.
( 1.2a)
~ (t) b:2 (t)
La condition d' intégnbili té [II, (3.9)J s'écrit ici
2
T
2
•
~ + A = ( A + A )
2
2
2
•
(1.3 )
Mais l'incompressibilité qui s'écrit
tr A
::::. 0
2
(tr A
désigne la trace de la motrice A
2
2 ) montre qJe, d'oprès le théo-
rème de Cayley-Hamilton,
" 2
J1.2
= -
d
où ~ est la matrice-unité d'ordre 2 et
d
le déterminant de A
la
2
1
conditian (1.3) se réduit donc simplement à
1
i

---

III. 1.13
ce qui s'écrit
c'est-à-dire
a
(t) - b
(t) =
te
c
•
(1 .4)
2
1
C'est l'équivalent des équo.tions de comp'1tibilité [II, (3.6) ].
La matrice A
(t) èst donc de 10. forme
2
['1 (t) a2 (t) - c
A
(t) =
a
(t)
_a
(t)
2
2
1
et
2 2 2 . -
1-\\2
(t) = [ a 1 (t) + a2 (t) - c a2 (t)]~,
c étant une consto.nte.
On voit que, ou bien 10. matrice A
4t) est symé-
2
trique pour tout t (cas où c = 0), ou bien elle n'est jo.mais symétrique
(cas OÙ c j 0) ; donc A
(t) ne peut s'annuler à un instant t que si elle
2
est symétrique (pour tout t).
DQns le formule [II, (3.12)] çosons,
rt'étant le vecteur uni-
taire de l'axe 0 Z,
---;,
(1)
~
=
l
+ Z n,
x
~
-...
= x + Zo n,
2
et désignons par ~2 (t) le tenseur d "ordre 2 sur IR
dont la matrice
dans le système d'axes (0 )", o y) est 1\\2 ( t)
'11ors, cm remo.rquo.nt que
-,,:.
- 7 . 2
- )
•
-7
.-r:-
1· (~ + ~ ) • /
le · (~ ~ 2 )
+ _?
• IL '
--">
-':-;.'
• e
-
"Il( • ~ • e
.-.
.
--'"
~
--
(~ • e
(~ (t) ést le vecteur du plan IF- 2 de compOs3ntes e (t), e
(t)
1
2
dans le système d'axes (0 x, 0 y~ cette formule s'écrit
t~. [~ (~2
(t)} ·
- p = )'
+ ~) • '1 + ~ • -;- +,; ] +'U. - f
Mais on a vu que
2
~ = - d ~ (d = dé t ~)
d'où
~
~
p
d
2
(! ~
~
- - - =- - - ~--- + 1_ •
• rz.- +A
• -: +~+îL f (t).
/ '
2
2"L
-2
)
(1.5)
.../ ...

---

III.t.14
C'est l'expression de 11 pression pour les mouvements actuels
(lorsque ln condition (1.4)3 lieu). On voit que la. qU;:1ntité p +)' V~
ne dépend pas de z.
Désignons msintenant pour ~
(t, t ) la résolvnnte
o
{[1J; [5J; [9J; [10J; [11J, pp. 121-126}de l'équ3tion différen-
tielle linéaire ( dans cK- 2 )
...!,.)
,
(t) •
.,
r( = ~2
alors
o
~~ (t, À )
R (t, À ) = \\
1
1_ 0
où R
(t, À ) est la matrice de !!2 (t,)_ ) dans le système d'axes (0 x,
2
o y).
Les trajectoires, pour les mouvements actJols, sont donc les
te
tourbes des plans z = c
(ce qu'on savait déjà) définies par leurs pro-
1
jections orthogonales sur le plan 0 x y, projections dont l'équation, la
t
notation étant la même que dans la formule (1-5) , s'écrit
-+
'\\
(t, t )
-r(" = ~
0
·;:+1 t (t, À)
~
·-t Cf- ) dA
( 1.6)
•
0
Lorsque la matrice A (t) satisfait n la conJition [l, (3.15 J
qui s'é.crit ici
(1.7)
où on a posé
'1.,
B~
=1-'\\
( .g • t)
l (
)..)
d "-
,
(1. 7a)
l'équation (1.6) prend b
formet [11] , pp. 126-128}
,t
~ (t,t )
~ (t, Â )
---7
-}.
0
e(À)d;).
Tl= e
• ?-rJ
e
•
( 1.8)
't0
De m~me les lignes de courant (à l'instant t) se projettent sur
le plan o x y suivant les courbes d'éguation
-+
(~tr - %0 )~ (t) ~ ,!.~ (7f;->() ~ (t) .. )-..
\\2 = e
• x +
e
d.-';\\ • e (t)( 1.9)
'.P
,~ 0
Pour l'étude des trajectoires on ne peut rien dire de plus
dans le cas général: €t
(t) est arbitraire et il n'y a pas de formule
...1...

---

III.2.15
générale pour ~ (t, ~).
Par contre on peut étudier complètement les
lignes de cO'jrant dans le cas général mais, pour mieux voir ce qui se
trois
pass~ dans le cas général, nous allons d'abord étudier~mouvementspar-
ticulbra.
III - 2 - UNE F,\\i\\',ILLE DE l\\'iQUVEliŒNTS HOJViOGENES PU.NS D'UN FLUIDE
SII\\IPLE •
Nous allons maintenant faire deux hypothèses: la matrice (1.2a)
satisfait à l'équation fonctionnelle (1.7) et à la condition
ffZ
2 +(~1
[
d0 +(f
al (0( ) - b..2 (Cl() ]
2
a
«V )d,rJ\\
(0( )dY\\
>~
t
~
J
t
1
10
)
t
(1.1)
J
pour
er:t t,
condition qui veut dire que B
(~, t)est différente d'une matrice acalair
2
dès que ~ /: t. On montre(1) qu'alors la matrice (1.2a) est nécessairement
de la forme
où K2 est une matrice constante non scalaire, f (t) et 9 (t) deux fonctions
scalaires de classe ci telles que
cr: g ( C( ) d. eX /: 0 pour
1
Cf:
t t.
t
L'incompressibilit6 exige que l'on prannê
1
f (t) = - :r- g (t)
tr K2
et ~ (t) s'écrit maintement
avec
1
_
i<2 = IS- (:r- tr ~)
la condition K /: Î\\' l
(g:
différent2 d'une matrice scalaire) devient
f
2
2
2
'S /z (0)
(IS non nulle)
et de plus on a
1
tr K2-
=
O.
.../ ...
(1) cf. Annexe 1.

---

On posera
[~ .I~ .,
~=
- k
le champ des vitesses prend alors la forme
u :;;: ( k x+~ y) g (t) +
e (t),
1
(2.2 )
v ::;:: (cx' x - k y)
g (t) +
e
(t),
2
w=
0,
les constantes r.;( ,
.,0. , k étant liées p3r l'inégalité
2
k
+ ci 2 + ]
2
> 0
traduisant que la matrice K
est non nulle.
2
Pour les mouvements (2.2) la condition (1.~ slécrit
(0< -Jo) g (t) = c te
ce qui montre que :
-
Si q" = fa
(1<...2 est symétrique) g (t) est une forc tion arbi-
traire (de classe c~) ,
- Si 0;' -
fa /:. 0 (JS. est non symétrique) le mouvement n' est pos-
sible que si g (t) est une constante (non nulle).
D'autre part, lorsque 0(
la condition
2
2
+ ~ 2
k
+ 0<
JO
> 0
équivaut à la condition
l+o(J~ > 0
de sorte que, si
2
k
+ o(J~ :::.; 0,
te
on doit avoir nécsssairement g (t) = c
•
Enfin pour les mouvements (2.2), si on pose
ct
:;;:
dét
IS,
o
t
J
h (t, À) ==
g ('-e ) cl~ ,
"-
les formules(1.S), (1.9) et (1.8) s'écrivent respectivement
p
l ct ---?- 2 ~ (g
-+
~ --.:.) q/
_ ~ = _ __2 h
+ t7 •
--.!S.. t + g K • e + e + lA.. - f (t),
,.,
2
L
l ,
2
""'2
(2
)
)
'r~ .
.3
~
(OC - c0) g (t).!S.
~ ()
('t-OK ) g (t) ~
.~ ~
2 = e
0
.. x 4L,
e
ct o<y • e (t) )
,Co 0
(2.4)
... 7..•

---

t
III.:J. 17
e
j h (t, ~ ).!S
.7+
e
• -: (ex) d 0(.
(2.5)
t o
Nl")us nllons maintenant étudier le mouvement (2.2) en distinguant
trois CElS :
2
t
- Cas 1 : k
+ 0< X,
= 0
l'écoulement est viscométrique
[6] , p.29}car
on a
(cr )
,
avec
k
J~
0
.
A = g
0:,
-k
0
(g = cte) ,
1 0
0
0
u-
2
- Cas 2 : k
+ 0/Jâ <.0
le mouvement est à histoire de déformation
constante d'après le théorème de Noll [15J
car
(%-t)~
F
(ozg)
=
e
t
oÙ A est la matrice constante définie comme précédemment ;
2
- Cas 3 : k
"*- 0< )!J
> 0; la fonction g (t) ne se réduit pas en général
à une constante et le mouvement n'est ~as en général à histoire de défor-
mation constClnte [15]
(il l'est si et seulement si 9 (t) est une cons-
tnnte) •
Remarque -
Lorsque 9 (t) Gst constû.nte on fera 9 (t) t:;' 1.
I I I - 2.1 - Cas 1 : L'écoulement est viscométrique.
Lo champ des vitesses s'écrit
u = k X + ~ y
+ et (t),
v=~ x-ky +e
(t),
2
w =
0,
, !: étant trois constantes liées par les relations
~ +c<2+~
2
k
+C<~
:~.o. J
1
(t) deux fonctions scalaires de classe c • On a déjà vu que
. . .1. ..

---

le mouvement est viscométrique{ [6] , 11>.29 jocet éC0uleli1ent est di t de
glissement simple
1 [6J
, pp.21-28\\lorsque
l
j
,y- 1) = 0,
u. ]
On posera dans la suite
,
J(
=
2
1k ~l
C~
-kJ
j\\.
=
r~0 :]
III- 2.1a -
Etude des lignes de courant.
On sait que les lig~es de courant sont des courbes situées
te
d3ns les plans z = c
et qui se projettent sur 0 x y suivQnt les cour-
=
bes d'équation (équation (2.4) avec g (t)
1)
cl).
e
-; +( / " : e (b - «) 1(2 ct
t (t).
',70'
(2.1.1)
'-' 0
Comme
2
2 -•
.!S = ~ (k +l'{ \\)
= 0),
+ ( ..~ _ ,/" ) L
'-
-u 0
.::.:2.'
=-S
et l'équation (2.1.1)s'écrit
cn-
,
:4
é
~
\\ -'
(G-cr:)
~.".
~
~
~
7
JO
~
/'7
= x + CI) - '~_ )(K • x + e) + ------ ~ • e •
L
<1-'2
2
"
----7
Cas où JS • 7: (t) = 0 : les lignes de courant sont des droites
pa"ra""llèles.
L'équation (2.1.2) s'écrit alors
.
~
"-
il = 't + CT - eGo) (.!S • x" +-;)
d'où l'on déduit
t
Appelons D la droite passant par l'orifice et parallèle à la
1
direction propre double de ~ (~ a une vJleur propre dou~le, le nombre
. . .1...

---

III. 2.19
0)
la droite 0 a pour équation
-7
~
~ • x = O.
L'équation
~,
~
~
1S .x+e=O
est celle d'une droite 0
parallèle à 0 : par projection sur les axes
1
°x et °y cette équation donne
(1,
1" y0 + e 1 = 0,
k Yo + 82 = 0,
où on a posé
1
-{ x
->
0
x
f
-c
•
Yo
l
Ce système linéaire en (x , y ) est de rang 1 et les relations
0
o
"
( k e 1 + 10 e
1
2
= 0,
\\
l « e1 - k e2 ::= 0,
1
équivalentes à la condition
--:Y
-t-
1S • 8 == °
montrent que le système est indéterminé
il définit donc une droite et
la dir8ction de cette droite est celle de O. On dédignera par (p) le
plan passant par 0
et par~llèle à ° z.
1
Si la courbe (2.1.3) rencontre la droite 0
c'est à dire si
1
----?
-..:;.
--7
~ • x + e ::= 0,
elle se réduit à un point, le point m défini par
o
-----i
~
°m == x •
o
Si au contraire la courbe (2.1.3) ne rencontre pas la droite
-.j.
-+
"
' 0
0 , le vecteur ~ • x + e est un vecceur non nul purallele a
et la
1
cour~e est une droite : la droite parallèle à 0 m~née ,xlr le point m •
o
,Hnsi dans chaque plan z = cte :
les lignes de courant se réduisent à àes points le long de la
droite d'intersection de ce plan avec le plan (p)
ailleurs les lignes de courant sont des droitos parallèles à 0 :
.../...

---

III.3.20
FIG.
1
On voit qu'à deux inst::mts t
Gt ~ où
1
1
~
-::\\
-~;'
1S • e (t ) = 0,
1
- ' ;
.~
Ils • e (~) = 0,
les lignes de courcmt
~ l'instant t se déduisent des lignes de courant
2
à l'instant t
(et inversement) par une translation dai~ la direction de
1
la perpendiculaire à D dcms le plan 0 x y. En particuliGr dcms un inte:r-
"7
-~
valle de temps où 152. • e (t):--:
0, les lignes de cour:mt effectuen,t un
mouvement de translation rectiligne dans 13 direction de la perpendicu-
laire: à D dans le plan 0 x v.
-7
Cas où ~
(t) /: 0
les lignes de courant sont de:s paraboles
• e
égales.
-7- ,
Désignons PQr i
10 vecteur unitaire
.-:;,.
-" ,
- "
f
• t
::::::
1>
e
i
•
I!S•
~
~
est pErallèle à D)
-r j
• e
--i'I
et soit
j
un vecteur unitaire normal à D dans le p13n 0 x y ; appe-
,
~,
t
Ions 0 x
la droite D orientée dans le sens de i
et 0 y
l~axe de
-7
o x y parJllèle à j' :

---

III.2.21
1
~ \\
t
Les équations de la courbe (2.1.2) dans le système d'axes 0 x ,
o t
Y , si l'on pose
1
)
0
.
1
:li
=
x
'
i .
,
1
-?
/
---,. t
f
1
-_..
,-~
.~
~
<~ ,
I~
• i ,
,(
= x
i e
= e • i
,
1
t ,
,
,
-+
-.'/
- ; .
-..Jo;.~ ,
,
!
j ,
,
Yo
= x •
l
l _...~ -:1
y
= tL • J
e2 = e .. J
'--,.,
-:,
s'écrivent f'!s' • i
0)
=
,
x = xo
X "2 • \\
(2.1.4)
,
,
-y-
)
-}.,
-
"1.:>
y
= y
+ (1,
0
(1S • j est parallèle à il). J
o
,
--f
On peut remarquer que e
/: 0:
.'S • e est non nul donc
2
~,
n'est pas pur311èle à i
dl ailleurs
o .
Si donc l'on tient compte de la seconde équ~tion (2.1.4) la
première s'écrit ,
, ,
,
,
'2
,
DY
-2 e 1 x
+ 2 e
=
'6
'2
1
_2
2
e
1
Y
,
o
2
x
+2 e
0
1
Yo
ce que nous écrirons enO'ore
, ,
'2
r
,.
(2.1.5)
OY
- 2 8 2 x + 2 e1 Y = C
où C est une constante.
Portons l'origine des axes au point S de coordonnées
'2
e
C
, ..~
1
(C est la const~nte qui figure
= 2 IS • èl - 2--;; dans l'équation (2.1.5»)
,
(2.1.6)
-
e
__1_
=
!\\
et appelons S X et S y les ,xes issus de S et respectivement parallèles
.. .1. ..

---

III.2. 22
à
1
0 Xl
et 0 y
:
~i t~
'1'\\
\\
j
\\
j
\\
1
\\
/ '
:>
"J>
. /
. /
---------~..,. 1-
-~ 0
1
1
1
1
[t
t
Les formules de passage du reV:'~t'e S X y au repè"a Ox' y' s'é-
1
f,
~
crivent
i
,
1
X
+X
[
{ = x1,
r
y
:;:
Y1
+ Y •
•
r
Si l'on porte ces expressions de x
et y
dans l' équa ticn.
(2.1.5) on obtient
2.
y
= 2
X •
DI autre part
{:e~
on en déduit que
L'équation (3.1.7) peut donc s'écrire
1 "e~ 1\\ ~ • -~n2
;
=2
-
-
X.
(2.1.8)
",
3
I~.fi 1
Cette 'quation, qui e.t l"quatUm 81g4brique de la cGUrbe
(2.1.2) dans le système d'axes S X , S Y, est celle d'une parabole de
sommet S, d'axe S X et de paramètre
•..1..•

---

III.2.23
p
:::
•
La concavité de la courbe est tournée du c~té des X> 0 et
l'axe de symétrie de la courbe, ainsi que son paeamètre p, ne dépendent
-4
que du vecteur e • Par conséquent, lorsque le vecteur t décrit(k 2 l'é-
quation (2.1.~)définit une famille de paraboles ayant m~lne axe de symé-
trie, m~me paramètre et la concavité tournée du m~me c8té ; elles se
déduisent donc les unes des autres par translation parallèlement à la
directJ.on de leur axe commun.
r
Si on appelle (p ) le plan passant pas S X et parallèle à 0 z
on peut énoncer 1
te
Dans chaque plan z = c
les lignes de courant sont des para-
boles ég~les qui se déduisent les unes des autres par translation paral-
lèlement à D ; leurs sommets sont alignés sur une droite pQr~llèle à D
et qui est la trace du plan (pt) sur le plan de ces courbes (~f. FIG. 2).
FIG. 2
.../ ...

---

III. 2.24
Ln formule (2.1.7) et la relation I~ • ~ 1= '6 e f,.. 0 mom-
2
trent que le paramètre p de ces paraboles peut aussi s'écrire
liS • -; 1
p = ------.
o 2
Comme
8' 2 lit cte ( t 2 = I~ ~f 12 ~,
• j
, j
étant un vecteùr uni-
taire perpendiculaire à D dans le plan 0 x y), on voit que p ne dépend
~-
que de la longueur du vecteur ~ • e • D'autre part l'axe S X est cons-
tant en direction (on direction est celle de D qui est une droite fixe)
r
mais son sens et, par conséquent, l'orientation de ln concavité des para-
-?
boles vnrient avec le sens du vecteur ~ • e
les lignes de courant
1
i
->
!
sont donc entièrement déterminées par la donnée de e (t) (en fait de sa
!
1
projection orthogonale sur D) et du vecteur K
• ~ (t) dont la direc-
-2
tion est d'ailleurs celle de D. Il en résulte qu'à deux instants t
et
1
.~
• e
1 0, les lignes de courant à ces
1
!
deux lnstants se déduisent les unes des autres par :
i
"t
une trans lation dans 13 direction de 0 y f si les vecteurs
..."
~
(~)
.
sont
~ • e (tt) et ~2. e
de m~me sens ,
1
une translation dans la direction de o y
suivie d'une symétrie
1
• -: (t 1) et ~
~
pnr rapport au plan 0 y z lorsque les vecteurs ~
. e (~)
sont de sens contraires.
Par conséquent d ,~s un intervalle 4e temps OÙ le vecteur
-;-
~ • e (t) est non nul et constant, le mouvement des lignes de courant
est un mouvement de translation rectiligne dans la direction de 0 yi.
-4-
Par contre si le vecteur .!S • e (t) varie en grandeur les lignes de cou-
rant se déforment dnns le temps.
Ainsi, d'une façon générale, dans un interv"lle de temps où
-7
le vecteur ~ • e
(t) est constant, le mouvement des lignes de courant
,
est un mouvement de translation rectiligne dans la ~irection de 0 y •
.../ ...

---

III.2.25
Quelques propriétés du mouvement.
Appelons (TI) le plan passant par D, et p3rallèle à 0 z ; le
plan (TI ) a pour équation
~
~
~
ri. •
-: :=
K_
•
ri
= 0
_
?
-.:.:l
'./
où 1-
--+
représente la projection orthogon31e de ~. sur le plan 0 x y.
(
Tout plan parallèle à ( ~ ) a pour équation
-').
~
~t
A •
~ =: .!S • 11
= e
Dans tout plan p:1rallèle à (1\\) on a
~
~t
A.
(::le
;,>
car l'équation d'un tel plan s'écrit
~.2
...,..
- \\
r
:, = X + ~
- 4 '
-+
où
-S décritJ Tf) alors~: X est un vecteur donné. Réciproquement
A • '~1
::: A
.~' 2
si et seulement si
~
= 0 ;
cela veut dire que la solution de l'équation
~t
A •
r;
= e
1.;
s'écrit
~
~
~
Y;.'
..-?'
'op
=
X +
("
,
'~I
?
-:,..
~ --}t
où
X
est un vecteur donnf tel que ~ • X = c tandis que
est un
-.,).
vecteur soumis à la seule condi tion j~
= 0 • C'est la définition
•
.
.
m&1c d'un plan paralrè"1c"â "Tl}.
On voit en m~me temps que toute droite du plan 0 x y parallèle
à D a pour équation
~t
= c •
---4-
vitesse V s'écrit
---:..
~
t) ::: A • b' + é (t)
.1
ce qui entratne
On déduit des remarques qui précèdent les conséquences suivantes
.. .1...

---

III.2.26
- 1/
A chaque instant t la vitesse est uniforme dans chaque plan
~
~t
parallèle à (li) (A • ~ = c
dans un tel plan); en particulier la
7
~
~
vitesse est égale à
e (t) dans le plan (·lT) donc, si fi (t) /: 0, les
lignes de courantsont tangentes à ~~. (t) en les points où elles rencon-
te
trent le plnn (if). Cela revient à dire que dans chaque plan z = c
la
vitesse est uniforme le lo~g d'une droite parallèle à D, cette vitesse
J1
i!
, r
étant égale à è7 (t) le long de la droite qui se projette sur 0 x y
suivant la droite D ;
1
---+
-+ ~
_ 2/
A en instant t Où ~ • e
(t) = 0 (e
est nul ou parallèle à
!!
D), la vitesse d'une particule est nulle ou parallèle à D ; le lieu
1
géométrique des particules de vitesse nulle est le plan (p) (parallèle
1
à (Iï)) d'équation
!
~
- )
I-
A • r:
+ e
(t) ::=:
+ é
(t) = O.
-
?
te
I
Le plan (p) coupe chaque plan z = c
suivant une droite
!
!~
parallèle à D (lq8roite D pour le plan z = 0) le long de laquelle la
j
1
[,
vitesse est nulle à l'instant considéré.
~
~
Si au contraire à l'instant t le vecteur ~ • e
(t) est non
nul la vitesse ne s'annule en aucun point;
3/
La condition
--::;.
• ~ (t) _
0
(~est toujours parallèle à D lorsqu'il n'est pas nul) q~i équivaut à
.......
-~
A . v
:.:..·0
7
(c'est-à-dire que ~
• E.
est constant le long d'une trajectoire) est
J
la condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement s'effectue
paral~àlement à (1T) c'est-à-dire la condition nécessaire et suffi-
sante pour que les trajectoires soient des droites parallèles à D.
Dans un tel mouvement la vitesse est uniforme dans chaque plan
parallèle à (li ) donc chaque plan parallèle à ( n ) glisse sur lui-m~me
dans la direction de D et à chaque instant la vitesse est nulle dans le
plan d'équation
~
.~
A
-.t'
~e (t)
• 2
= o.
+
.../ ...

---

L'accélération qui s'écrit alors
-r
•
--7'
~ ~ e
montre que la vitesse est constante si et seulement si
-t- est constant
la vitesse de glissement de ch3.que plan parallèle à ( \\\\) est alors
constaBte et le plan (p) d'équation
-~
"-
. J
~--='
h . .
'C
+ e- = 0
i
reste fixe au cours du mouvement.
->-
Si le vecteur ~ • e (t) n r est pas identiqueraent nul les tra-
jectoires ne sont pas des droites (à cause des propriétés de la famille
de paraboles de la figure 2). Ainsi la condition
\\
~
.!S. e (t):::: 0
apparatt simplement comme ln condition nécessnire et suffisnnte pour
que les trajectoires soient des droites; ce sont alors des droites pa-
rallèles à D.
41
-'1
Lorsque e
(t) est const0nt le mouvement est un mouvement
-;;
-4
pLlr droites -)arallèles si et seulement si .!S. • e
= 0 et 10. direction
de l'écc~~~ment est alors celle de D
dans le cas contr~ire les tra-
jectoires sont des paraboles égo.les.
III - 2.1b -
Eq.zations des trajectoires.
Comme les lignes de courant les trajectoires sont définies
par leurs projections sur le plan 0 x y, projectionldont l'équation
s'écrit (équntion (2.5) avec
s(t):: 1)
Ct -">;' ) .!S
-;.
• -;-
x + ;t
e
.e(t{)ctX
(2.1.9)
t o
Puisque
On sait que ces courbes sont des droites si et seulement si
~
~
~ • e
(t)
s= O.
.../ ...

---

Ce sont alors des droites parallèles à D•
.....:-..-
Lorsque e
(t) est constant l'8quation (2.1.10) prend la forme
' .
2
'~il - t o )
~
) + --------
K
• e.
(2.1.11)
2
~
Ce n'est rien d'autre que l'équation (2.1.2) et on voit bien
que dans ce cas les trajectoires sont identiqùes aux lignes de courant.
I I I - 2.1c - Calcul des contraintes.
Les controintes sont données par {
formule [n, (3.19) J)
! = - p !
+ L
(~)
(2.1.12)
où L est une fonction isotrope de son argument et p la 9ression qui
s'écrit ici [formule (2.3) ]
p
J
-
- - = x (k e 1 + ~. e
+ y ( ,~X e 1 - k e
)
..
2 )
2
•
•
+ x e
+
y e
+ 1)... - f (t)
1
2
(x , y sont les coordonnées dans le plan 0 x y
).
Pour le c~lcul de L (A) posons
CI
x= \\X - ;a
(2.1.14)
2
ex
eX.
=
=
-T '
~ cX 1
0( - (~
1':)
et
":2
2
jb
)0
19 1. = - ----~-
,.J
_
=
1-
" \\
2
et
f') 2
sont bien des quantités positives ou bulles car
X
. 1:
J 1
2
2
o((X-S})
= k
+ '-A.
,
.fJ (0( - .fr~ )
= -
De plus
d. 2 + )\\)2
1
1
,
i
1
1
'
l
2
2
ci..
e>(2
)~
k
1~
fd· = - ----0.--72"
;
1
1
(:i -)0
)
= (~--=)r? ·
de façon que
On choisira
d, 1 et .9r 1
k
k
)h 1 - - o<-=-J~ = X
et on posera
.../ ...

---

Comme 1::. est isotrope et .s. orthogon::1l,
T
~ (A) = Q
• 1::. (M) • Q •
On montre ~ [6], pp. 22-2.6}
que 1::. (M) peut se mettre sous la
forme
où cr- (X
est une cert:üne fonction de '1- et
v
.-7'"
(X)
~()
(X)
0
t
1
1
L1 (x.) =
,--,<.
(x)
,;- 2 (x'
0
)
6
1
0
0
0
1
,~
:T
et~ét'1nt trois fonctions clr3ctéristiqu2s du ~h'ide appelées
1:'
2
i
ses fonctions viscométriques ) [6], pp.22....26 f et ûy~nc les propriétés
y
l
J
~
1
; T 1 (x)
= () 1 (- X)
,
1
)
D
1
2 (X)
= 02 (- X)
)
1
,
\\. 00( ~ )
= - CC; (- x)
•
1
Le tenseur ~ (~) peut donc s'écrire
i
où
Les c3lculs· donnent
...1...

---

III.2.30
t
t
C(~ o::j + 2. 0(1'.,'"Go +J\\ tr"t.
, ~f1(~-~)+~~-j~)~
, 0
,
~
T (X)=
~'1'1 (~- U1) +t~'-~ -p;yr; )
, 0
1
y:('1 - 2-'~'lp,(r; + ~~"t
o
Q
)
o
:wec
1
r,--
...-~
~-
(X)
(
,) 1,
'-'
"
1:
j (;-2
N.)
.-- ~
"
2
\\
:.cf.;
1
-'~.
\\ ~:-
(-JJ
"-
soit, puisque
(
2
'7
v(
=
,
-X:-/.,
1
1
t
2
J~
J
\\ô
(
= - -- ,
l~1 / 'V ""X..
n
k
) ")
~
=
- -
X
1
= -
x.
o
T=-p.!.+T
('l.-)
(2.1.16)
1
où p est donnée par (~.1.13), T 1 C~-) par (2.1.15) et (2.1.14) (on a
_C-_' ('X-L
Q
~
ajouté
à la quantité indéterminée
M~-f (t)~
.:;..
)
III - 2.2 - CAS 2 : Le mouvement est à histoire de déformation
constante mais non viscométrique.
Comme pour le mouvement précédent le champ des vitesses
s'écrit
u= k x + )~: 7 + e 1 ~t))
v =CY, x - k Y + e
(t),
2
w = 0,
.:~
,
mais les constantes"')', , )<) , k sont liées cette fois-ci pùr la relation
.../...
1
1
1

---

III.2.31
On posera encore
{)
K
=
2
[: - k J
A
=
l~ 00 J'
Le mouvement est encore à histoire de déformation constante ~5]
mais i l n'est pas viscométrique
[6, p.29]:
~2 = ('k~ + C?( fJ ) ~ Ji)..
On posera aussi
2
_ q2 = k
,.. 0( ~
•
,
alors
K 2
2
= - q l
~
~
et
3
2
~
=-q.!S. •
Nous allons montrer, par récurrence, que pour tout entier
2p
P
2p
~
= (-1)
q
12,
2p+t
(
p
2p
1
p
2p+1
!5.2
=
-1)
q .!S. = q (-1) q
mK
on en déduira l'expression de e -2 pour un nombre réel m quelconque.
Considérons la première relation :
2p
p
2p
K = (-1)
q
12
~
ost vra~o
elle
a l'ordre p = 0,1. Supposons-la vraie jusqu1à l'ordre n ~ 0 ;
alors
avec
!22n =
n
(_1)" q2
12 (hypothèse de récurrence)
et
2
2
!Sn
= -q
l
~
-2 '
·../ ...

---

III.2.32
2(n+11)
n+1
2 (n+1)
K
= (-1)
q
.s
-2
et la relation est vraie à l'ordre n+1. Elle est donc vraie à tous les
ordres. Pour la seconde formule il suffit simplement de multiplier
.!S.2p par .!S..
Soit m un nombre réel quelconque:; on a :
2p
5::;
p
ë2;TtJ
TTl
1S2p
p
l
(m q)2
- - - -
=
L
(- 1.)
-\\.,
(2p) 1
p = 0
p == 0
0:.-'
(Y'>
2p+1,
2p+1
.
(
)
2p+11
}
Z- m.!S.
p
(Inq)..
K
1.
-'[2p+1)1 = -q- t'
~
(- 1)
--
t - _
......,.
(2p + 1) • _
. ~
P = 0
p == 0
Dans les séries des seconds membres on reconnatt respeativement
cos m q et sin m q donc
UO
2p
2p
m
.!S
- -
==
cos m q k '
L
(2 p) 1
2p+1
2p+t
m
K
t
- 2 , .
K
- - - - - == -
Sln m q
•
(2 p+1)
1
q
~
On en déduit que
cJJ
dt>
CO
L mn K r1l """ 2p K 2p
,
(n)
•
+L 2p+1, K 2p+1
-~
m
~
m
-2
= L (;-;)1
(2 p+1)
1
n=O
p::O
p=O
f
== cos m q 22 + q
sin m q .!S
soit
m K_
1
.:.;l
•
K
e
= -q- Sln m q ~ + cos m q.s •
III - 2.2.a -
Etude des lignes de courant.
Les lignes de courant sont encore définies par leurs projec-
tions (sur le plan 0 x y) dont l'équation est toujours donnée par la
mK
formule (2.1.1) à laquelle il faut adjoindre l'expression de e -2 trou-
vée plus haut
on trouve
--"
1
~
l'
~~
= L
.!S. • e (t)
1
+ -q- sin q (CC- ~o) [lS. x + é (t)]
q
->
1
~
+ cos q ((ft - % ) [x - ~ ~ • e (t)]
o
q
.../ ...

---

IIl.2.33
+ cos q (-:('- vt ) [1 -7.!S ;. ~ (t)] • (2.2.1)
o
Dans cette équation faisons le changement de fonctiorn
-7
~
1
4
~ = 'Y- + -~!S · e (t)
et posons
~
l'équation en y
s'écrit
1- +
a
sin q ("G -or: 0) .!S · -;( + cos q (OC; _GG 0) 7
ou encore ( 1)
~
1
~
~
X = -q- sin q (~ - OC'0) A • Y + cos q (ce -CZ60 ) y.
C'est l'équation de la courbe (2.2.1) lorsque l'on transporte
llorigine de l'espace au pointJl~
du plan 0 x y défini par
~
1,
-)
1Î
~
o Jl~ = --z.!s • e (t) ~ --z ~ • e (t) •
q
q
r
,
[
On peut tout de suite remarquer que la condition
7/0
1
équivaut à la condition
1
1
oela résulte du fait que la matrice K est régulière et que ses valeurs
2
1
-4-
( y -A
A
~
..:,
IG--'-";>')
Or l"
.
propres sont inPginaires
n
• Y
:=:. Y 1\\ :.;.:!. • y •
equatlon:
-
(2.2.2a) entratne que
~
~
--"r
~ --}-t
2
->
2"""""
2~)
;-/\\ A.f.-
=- y /\\ A • Y = c
(1\\
• Y =- K
• Y = - q
y .
-
-
- - - 2
Par conséquent si y /: ~ la fonction '"Y- ( """"C) ne s'annule ja-
~
~
mais et la courbe (2.2.2a) ne passe pas par le pointJl- ; pour y = 0 on
~
-1'
a
J:-:=. 0 et la courbe se réduit au point ft •
.../ ...
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , - - - - - - - - - i
(1) On utilisera plus loin cette équation pour l'étude d'un autre
mouvement ( Cf. ~ IV-3).

---

III.2. 34
-T
-~
Dans la suite on supposera y 1 0 et on désignera par)) la
parallèle à 0 z passant par32-. La courbe a alors un centre de symétrie,
le point P ,-
x.
=
(oe ~ ~)
q
~
4-
et el1e ne peut pas ~tre une droite (y et ~ • y sont linéairement indépen-
~
dants) ; de plus elle est fermée : ~ ( ~ ) est périodique. Donc si la
courbe est une conique c'est nécessairement une ellipse.
-1-
---:>
Soient i et j les vecteurs unitaires des axes 0 x et 0 y ;
posons
---i.
r
~
.-+
-r
:;:: y • i
,
{
Xl ~
l- • i ,
m1
~--t ,
f
~
-">'-
Y1 :;::
'X- •
n
J
1
= y • j
Dans le repère [St
(~ 1)] les équations scnlaires de la
courbe s'écrivent
k ml1 + ~ n'V
cf::
x 1i
= - - - - - -
sin q (ce -
(cr -?:
u
0) + mt cos q
0) ,)
q
((2.2.3 )
sin q (~ - "t'c.» + n1 cos q (rra - CÇ,).)
On a là un système linéaire en sin q (G"'C - ,..p ) et co. q (et - r:c
7, 0
C
dont le déterminant Zi s'écrit
t
f
--
q
= -
q
avec
- r~
La quantité f est non nulle car
4
~,
1f 1
)
=
Y I~ ~. il
2
d'ailleurs cette forme quadratique est définie (k
+c(~ ~ 0).
On peut donc résoudre les ~quations (2.2.3) par rapport à
Sin q (ct - ve) et COI q ~ - ~ ) :
o
0
x 1 (<< m1 - k n1) - Y1 .(.k_m_1 + fi n1)
cos G (et - v-c ) = --------------------
,
o
f
sin q (CC _ et) = ~ (m1.21_-=_~x1)
o
f
...1..•

---

rrI.2. ,35
d 'd . t
( 2
(~. ~)
. 2
(--/
cf)
1)
on en
e Ul
que
cos
q
- 0" - '(, 0
+ Sln
q:_"
-
L 0
=
[x
(,:;>( m
- k n ) - y
(k m + J~ n ) j + q2 (m Y1
- n
x )2 = i,
1.
1
1
1
1
1
1
1
1
ce qui s'écrit
2
(::1.,
2
2
f
( r;I. x
- 2 k x
Y1 -
.lu Y
)
= f
1
1
1
2
(on a utilisé la relation _ q2 = k
+ ri \\~ ).
Comme f i 0 cette équation s'écrit encore
/
2
r,;
2
(
)
0< x
- 2 k x
Y -
)J Y1
= f.
2.2.4
1
1
1
C'est l'é~uation algébrique de la courbe qui est donc une
ellipse. On peut d'ailleurs vérifier que la conique (2.2.4) est bien
(,)
une ellipse : son déterminant c-</ Si écri t
0<
- k
o
-,'
~.I
2
=
- k
o
= f (k +0<' Po.),
0.'
fd
0
0
- f
d'où
Comme
Cl f
>0 (f est du signe de Ç{),
{
2
k
+ r>( ~) ~
0,
on a r:< SJ < 0 et la conique (2.2.4) est bien une ellipse réelle de cen-
'"' (
-)
tre ) L ) [12] , p.250 " •
(
J
L'équation (2.2.4) peut oussi s'écrire
te
= c
L'équation (2.2.4a) est celle d'une famille d'ellipses homo-
thétiques centrées en ../t. •
Cas où ~ est antisymétrique
les lignes de courant sont des cer-
cles concentriques.
On a ici
f k = 0,
1
(>
ri +10 = 0,
et l'équation (2.2.4a) prend 10 forme
2
2
t
x1
+ Y1
= c e.
. . .1...

---

III.2.36
C'est l'équation d'une famille de cencles centrés en IL • Les
lignes de courant sont alors, dans chaque plan z = cte , des cercles
concentriques centrés sur Ji :
/~~
/
/ ~
"""
/ /
\\
1 (~.. )
\\
(
FIG. 3
\\\\
\\\\
..w
/ / )
~/
().; est la trace de 6. sur le pl:m z
ClJ = --1"',--
pour z
o.
Cas où ~ Q'est pas antisymétrique
les lignes de courant sont
des ellipses homothétiques.
Les constantes 0( , "~,
k sont liées par la condition supplé-
mentaire
2
, ( " 2
k
+ (c{ + n)
>- o.
Lorsque k = 0 (alors::x,' + /6 ~ 0) l'équation (2.2.4a) devient
2
p
2
~ x 1 - /(j. y1 = cte
et pn obtient une famille d'ellipses ayant-~ x1 et Jl Y1 pour axes de
symétrie ; dans ces condi tj )ns les lignes de courant on t l'nllure sui-
vante :
--+-+--I-~h--I--+----~
:(.1
}::1
1 eX \\
L 1ft \\
FIG. 4
...1..•

---

rrI.2.37
Li)
x
et uJ Y1 sont rospectivement pariJl1èles à 0 x et 0 y.
1
Lorsque k .j 0 les iJxes de xymétrie J\\- X e1 Y"l Y de la fiJmille
d'ellipses (2.2.4::l) se déduisent des ClxesJL x et Ji.. Y1. piJr la rotation
1
d'angle et: défini piJr ) [12] , pp. 231-284 \\
l
2
)
t g 2 'fI
= - ----~ :
0( +;~
,
On pren<dra
o <
<
2
Il
(rn'est déterminé qu'à h
près, h ét3nt un entier rel~tif).
2
Les fo~ules de trLlnsformation qui font passer du repère
Jl X Y GU repère i l x
s'écrivent
1 Y1
X 1 =
X cos Cf
- Y sin ~\\
*
y1 =
X sin
+ Y cos ~
•
Ces formules donnent à l'équation (2.2.4a) la forme
2
R X
+ S ~ = C (C est une constante ar~itraire non nulle)
3vec
2
R = i/ cos tf - 2 k sin lf cos LV' - P . 2
Sln
~ ,
2 .
- )3
2
s =0( sin ~ + 2 k sin !f cos if
cos Lf
,
ou encore
1\\
!:::
+ ~~- ;~- cos 21f - k sin 2 L{ '}
2
(2.2.5)
:xl - '~
s
.::.
LL
=
- _~_;JL cos 2 cf + k sin 2 lf '
2
ce qui montre que les demi-axes a
et b
de l'ellipse (2.2.4a) sont don-
t
1
nés par les formules
2
'\\
C
a
= ---
t
R
~
b 2
C
= ---
t
)
S
(2 S1 n'est pas nécessairement le griJnd axe).
.../ ....

---

III.2.38
Supposons d'nbord que
C>( +)~ .j 0 ;
::llors
\\ o ~ cp \\\\
...(
-;r
et
~ ou
TI < 4! z
1\\
-Lf-
-2-
1
cos 21D = - - - - - - - - - - - - - - ,
'1
2 - -
~ V 1 + tg 2;p
tg
2 P
sin L\\p = -------------------,
" /
2 ,
t Y 1 + tg 2 (~'
)
avec
(
1 si
0
,
<- ' I-~ <: 'r;- ,
C
'r'
-4
= ,(
c
l-
TI
1 si
'f
-TI
---
_.l.-_
~
--<:
•
4
"
2
,... on désigne par K le nombre
"1
2
K
= J4 k + (v\\. + f,) )~
Posons
C\\ +)~ = ~ 1 1G( +)) l,
~ 2 = ~ t 1
les formules (2.2.9) s'écrivent mùintenGnt
cos 2 lf
K
sin 2 Lf
Conune
sin 2lf' ). 0
(0 <- 2 (-V L 1\\ )
on a
c'est-à-dire, si on pose
(2.2.10)
t. 2 et ~ 3 sont liés p:tr 13 relo.tion
- ~2
= f 3
donc
'
ex:' + j;)
cos 2 i-il) =
- t 3 -- K
L
2 k
2 Ikl
--- = - - - -
K
K
)
(2.2.1 1 )
sin 2lf' =
f 3
.../...

---

III.2.39
et
y
)~
.' \\
_ / 1/
K
(3
R
= ----2-- - --2'-, 1
'-r
(2.2.12)
,.(
"
K
-))
~~3
S
\\
= ----2-- + --2- • "'
Les formules (2.2.11) et (2.2.12) sont vr3ies lorsque
cGr dnns ce CQS "
y,-
i
')J = ---
1
1
4
et
~
i
2
l K =/ 4 k
= 2 1 k 1 = 2f.-3 k.
Finc.l1emcnt les formules (2.2.6) s'écrivent
2 C
=
--------~-- ,
'\\
"
K
',' -
-'~ 3
' , '
.7
(2.2.13 )
2
2 C
b
=
--~7---~----- ,
1
'" - ,~) + 2: 3 K
et o~ëiéduit
a 2
1
b2
1
ce qu'on peut encore écrire
1 +
---~~~-~-~-,
k \\ 'v' -!~ )
=
---lkï-~ •
(2.2.14 )
1 -
------ ----
k(,'{_r~))
Cette dernière formule montre que :
Si k ( c>( - J~ ) "-./ a, (\\lors
a1 :> b
,
1 ·
Si k ( r!. _ )) ) < a, ,lors a ~ b
1 "
1 ·
CL'S résul t:lts conduisent, pour les lign2s de cuurcmt, ClUX
courbes
x
OZ([J<ïï
\\
'2
t~ Lf =- -
k(d--ft)<0
FIG. 5
.../ ...

---

40
On voit que seul le centre U) des lignes de cournnt varie
avec le temps. Ce13 veut dire qu 1 au cours du mouvement du fluide les
lignes de courant (et l~ droite 6 ) effectuent un mouvomont de transla-
tion déterminé p3r celui du point J\\ :
_.~
A
Au cours de ce mouvement la droite L engendre un cylindre dont
te
la section par le plan z = c
est 13 trajectoire de LU ; ce cylindre
est le lieu géométrique des centres des lignes de cou:cQnt : à chélque
instant t les centres des lignes de courant sont alignés SUT une généra-
trice de cylindre.
J\\insi la nature et la forme des lignes de couLant ne dépendent
que de A , le vec tour -: (t) déterminant leur mouvement au cours du temps.
Quelques propriétés du mouvement.
1/
L'équation
A
..J-
•
== 0
,~
est celle de la droite 0 z et l'équation de toute droite purélllèle à
o z s'écrit
~t
A •
-{;
= c •
?
/
Celle de ]a droite iJ., lieu géométrique à l'inst<:cnt t des
centres des lignes de courant, peut se mettre sous la forme
1
.
~
-7 ~. e ) = 0,
q
c'est-à-dire
-:.
~
1\\. • ~~ + é (t)
-
= O.
)
La vi tesse qui s'écrit
- - j
--;'"
-+
v ( ..'
, t) :lO J\\
.-,P
• .<' + e (t)
~
")
montre alors qu'à l'instnnt t la vitesse est uniforme le long 'd'un&
droite parallèle à 0 z (du reste on €e
voit directement su; les compo-
santes de la vitesse) ; en particulier elle est égale à7 (t) le long
A
'
-loe' (t) .J. o-? cel-
de 0 z et nulle le long de
•
Par eonsequent lorsque
~
les des lignes de courant qui rencontrent la droite 0 z sont tangentes
.../ ...
à ""t (t) le long de cette droi te.

---

III.2..41'
- 2/
Lorsque ~ est antisymétrique le mouvement est un mouvement de
(1)
-?>
solide
• Si de plus le vecteur e (t) est constant on a un mouvement
de rotation uniforme autour de ~: quand ~ (t) est constant les équa-
tions (2.2.3) sont celles des projections des trajectoires, la varia-
;;-~
,
ble (~ etant e101'8 le temps ; pour
{ k = 0,
«. +fi = 0,
ces équations s'écrivent
-:x: n r
= - - - - sin q (ce - cG) + m cos q (ct - '0'),
q
1
~ m1
(t
~)
= - - sin q ( "0- '·C ) + n1 cos q ' - b
•
q
0
0
Dans ces équations on peut faire q = X (q2 = _ x)3 =cl( 2
et les équations ne changent pas quand on change q en - q) ; si alors
on pose
)
2
2
r=v m
+ n
1
1
~ m1 = r cos Q0'
n1 =
r sin e ,
0
elles prennent la forme
{x = r cos e,
1
Y1 = r sin ~,
avec
e
( v;'" <,--,tJ \\
e
= q
..J -
(~ 0) +
o·
uniforme
Ce sont les équations d'un mouvement circulairefae vitesse
angul<lire q.
Lorsque ~ n'est pas antisymétrique le mouvement n'est pas un
mouvement de solide; dans ce cas si Ët (t) =~t on a un mouvement AU
cours duquel la droite ~ reste fixe, les autres trajectoires étant
les ellipses que nous avons étudiées précédemment.
3/
Lorsque ~ (t) estv~iable les lignes de courant sont des
ellipses centrées sur une droite 0
parallèle à 0 z et dont le mouve-
ment au cours du temps est un mouvement de translation.
.../ ...
--___
----------------4~;_-,--------
(1)
Cf Ch. II,
~ 3 (Cas plrticuliers).

---

III. 2.42
Remarque -
Si on pose
r 1 cos
- - - - - - ,
"-f 1i ::;:
q
{ r 1 sin LV1=
,--x. m - k n
1
1
:::::0
- - - - - - - ,
c~s ~
r2
2
q
{
r2 S1n
2 =
n
)
1
les équations (2.2.3) se mettent sous la forme
xl ~ rl sin [q f ');~ _Zo) + cf 1] •
{
y 1 = r
sin [q ( -(,
- -1;0 ) + <-? 2 J,
2
ce qui montre que la courbe (2.2.3) n'est rien d'autre que l'ellipse de
w.ssaj ous L[3 J ; [4 JJque l'on peut obterlr comme traj ectoire d'un
point mobile attiré par un centre fixe proportionnellement à la distance
du centre au poin~ mobile.
III - 2.2b -
Equations des trajectoires.
L'équation (3.2.1) est encore celle des projections des tra-
jectoires sur le plan 0 x y. Niais ici
(
1
= - sin q (t - \\ ) ~ + cos q (t - t ) ~ ,
q
(t -X) ~
l:
sin q 'E t - e;;( ) .k + cos q (t ->( ) .k '
q
et cette équation prend la forme
i = cos q (t - to) -: + j t cos q (t - X ) -: Li) d 0<
t o
+ ~.!S. •tin q (t - tari f t sin q (t -0() 1: ( 0{ )d ex'l-
'0
('-2.15f
Lorsque i
(t) est constant cette équation s' Jcri t
~
1
-:;.
1
)
\\~ 1
~l
IL = 7 ~ · e + -q- sin q (t - t o ~ • . LX - -;: ~ • e J
[~ 1
.-:>l
+ cos q (t - t o )
x - qz ~ • e' -'
et les trajectoires se confondent aux lignes de courant.
...1..•

---

III - 2.2c -
Calcul des contraintes.
La pression p est donnée par la formule
2
~.
k
+~)j
2
2
) 1 < .
----------- (x
+ y ) + x (k e1 + J e2 + e1)
2
+ y (0( e
- k e
+ ~2) +cu. - f (t)
1
2
et le tenseur des contraintes par 13 formule
l = - p 1. + ~ (~)
Où L est une fonction isotrope de son argument qui ne dépend que du
fluide considéré.
111.2.3 - CAS 3 : Le mouvement est en général § histoire de
déformation non constante.
Le champ des vitesses s'écrit
u = (k x + J~ y) 9 (t) + 81 (t) ,
v = (CX x - k y) 9 (t) + e2 (t),
w =
0,
où 0( , )~ , k sont trois constantes liées par la r ebtion
2
k
+ :/.
B > 0,
~
tandis que 9 (t), e
(t), 8
(t) sont trois fonctions scalaires de classe
1
2
1
c , 9 (t) étant non identiquement nulle.
On posera
IS2 {:
ti
-
k
J
K
0
2
K
:::;;
l )
0
0
i
2
'-- 2
q
:::;;
k
+ «5j
alors
~ (t) = g (t) ~
et
2
~
=
2 l
q
-2
)
3
2 t
K
=
•
q
-2
-"2.
.
On sait que •
Si 'S. est non symétrique, le mouvement n'est possible que si
.•.J•••

---

III.2.44
la fonction 9 (t) est constante
Si ~ est symétrique, 9 (t) est arbitraire.
Dans la suite on supposera ces conditions réalisées.
Le tenseur histoire du gradient de déformation relative peut
s'écrire
h (5) ~
H (s) = e
où
- s
h (s) =/
t
dans ces conditions le tenseur histoire du tenseur relatif droit de
CAUCHY-GREEN
c t (s)
T
= H
(s) • H (s)
t
et le tenseur histoire
~
t
(5) = c
(s) - l
t
prennent la forme
h (s) KT
,
t
h (s) K
(
Ct
(s) = e
• e
ta-
h (5) KT
h (s) !
(5) = e
• e
- l
•
La seconde de ces formules montre, puisque
. ; - ,
0 ,
que le mouvement actuel n'est pas viscométrique.(1)
Lorsque 9 (t) est une constante g,
- s 9 K
= e
• e
= C 0 (s) ;
- 0
le mouvement est alors à histoire de déformation constante [15J.
Si
9 (t) est variable cela n'est plus vrai.
A partir des relations
) ,!S2 = l
..s '
1. .!S3 = l .!S '
on montre facilement par récurrence que pour tout entier p ~
o.
__________
__
.··L...
(1) Pour une définition générale des écoulements viscométriques voir
[18] , pp. 429-432.

---

III.2-45
2p
2
( ~ =qP,k,
2p+T
1
2p+1I
~
=-qq
~)
d'où
1
= q
Sh m q ~ + ch m q ~
m étant un nombre réel quelconque.
III - 2.3a - Etude des lignes de courant.
Les lignes de courant sont définies par l'équation (formula
(2.4) )
("If-OG' 0) g (t)!S
~ {7C «(6 -;() g (t) K ~ ~
ïî = e
• x
~ e
-Q d'~ • é (t)
~o
(2.3.1)
qui est l'équation de leurs projections sur le plan 0 x y.
Cas où g ~t) = 0 : les lignes de courant sont des droites paral-
lèles.
A un instant t où la ~anction g (t) est nulle l'équation
(2.3.1) s 'écrit
- )
'--:'
-..-:;.
YL = x + (ob - et'0)
e (t) •
Le
l ,
d
t
t
d
d
'
"
~ ( )
s
19nes
e couran
son
alors
es
rOltes paralleles a a
t
:
FIG. 6
Ces droites se réduisent à des points si fi (t) =0 à l'instant
considéré.
.../ ...

---

III.2.46
Cas où g (t) 1 0 : les lignes de courant sont des hyperboles
ou des demi-droites.
Lorsque g (t) est non nulle les formules
(:c - 't o ) g (t).!S
1
e
::: --- Sh u) (q; - ç( ) K + ch uJ ("t - "'r; ) l ,
q
o
-2
0
-=2.
(t) ~
1
e
::: - - Sh W
( cz:: - ~ ) .!S + ch 0) ( 'G - ex ) .1'
q
où on a posé
w ~ Ln· (t) ::: q g (t) ,
donnent à l'équation (2.3.1) la forme
~
1
-.:::.
1
(
l~4 1
-7( ) ]
h
::: - ---- K
• e/ (t) + -
Sh (»
oG - cr; )K_ •
x + - - lé.
• e
t
'[
qw ~
q
o~
qW~
+ ch uJ ( rrt - vr: ) [~+ --!- ~ . 'i (t)]
o
ql.Ù
(2.3.3.)
2
2
(on a tenu compte de la relation'!s
::: q 12)·
Dans cette équation nous allons faire le change~eot de fonc-
tion
~
-7.
1
4
~ ::: 1- - q"cv.!S • e (t)
et poser
~
4 · - 7
1
~
l i ( '7: 0) ::: y ::: X + - - K-
• e (t) ;
r
q
\\.J
Lt) :..:.L
l'équation s'écrit maintenant
;y ::: 2.. Shw( r/;-<;t ).!S .1+ Chev (ot - c::z?o) -:
(2.3.4)
/ -
q
0
ou encore ( 1)
~
1
~
...;;.
'"Y::: __ Shw(q: - ~) K • Y + ch w( OC; -:r; ) y.
(2.3.4a)
~
q
0
-
0
C'est l'équation de la courbe (2.3.3) quand on porte l'origine
du plan Oxy au point .1'1_ tel que
----..,.
-1
~
ofL::: - ---
/1
K2
• e (t) -
- - K
q tL) -
q CV
On déduit de cette 'quation que
~
~
-+
..->.
-)ot
2
~
2
-"
2
~
'1-1\\ ~ •f.- c Y 1\\ ~ • i ::: c
(~. Y :::.!S • y ::: q
y) •
Dans tout ce qui va suivre ~ désignera la parallèle à 0 z
.../ ...
______________________________________________________________
ce
. _ ~
(1)
On utilisera plus loin cette équation pour l'étude d'un autre mou-
vement ( Cf. ~ IV-4).

---

III .2.47
passant par JL et on iJ.ppellera Li 1 et 1\\2 les droites passant par .IL et
parallèles aux directions propres de ~ correspondant iJ.UX valeurs pro-
pres q et - q.
r
~
~
~
~
J
Lorsque y = 0 l'équation (2.3.4a) s'écrit
)l~0 et la courbe
~
se réduit au point IL • Désormais on supposera y 4= 0 ; àlors la courbe
ne passe pas par le point)l : en effet on a ou bicro
~
~
/-+
y ;\\
K
• Y
l' 0,
ou bien
~
-7
4
Y1\\ K • Y = 0
~
~
Dans le premier cas le vecteur 1-;\\ K.1-
n'est jamais nul
-+.
et il en est de m~me de )l ; dans le second cas les vecteurs non nuls
~
......+
-4
-.:;
Y et ~ • y ( ~ • y =~ . y) sont parallèles dQnc nécessairement
--..:>.
~
K .
y=±qy
et l'équntion (2.3.4a) s'écrit
-7
:!:w(ot-~o) ~
X = e
y ,
~
ce qui montre encore que )Cne s'annule jamais. On
voit en m~me temps
que si la courbe rencontre l'une des deux droites Li
et ~ (alors
1
~
- j . - ) .
Y-/\\ ~ .y~ :::;0) c'est tine demi-droite située sur cette droite:
Supposons maintenant que la cOùrbe ne rencontre ni
~ 1 ni
6 2 , c'est-à-dire que le vecteur X-/1~ .)tn'est jamJ.is nul et soient
-....
--"if
i
et
j les vecteurs unitaires de 0 x et 0 y. Dé~ignons par (x , Yt)
1
...-7
~
~
les coordonnées du vecteur X- dans la base (i, j) ; la relation vec-
torielle
.../ ...

---

III.2.48
est équivalente à l'équation sCJlaire
= C
(2.3.5)
où C est une constante non nulle. C'est l'équation ~lgébrique de la
~
~
courbe dans le repère [il; (i, j) J. Lo. courbe (2.3.5) est une hyper-
bole de CGi.'I11ii ./'_ ~ [12 J , p. 2503:son déterminant
d
- k
0
1
<~~
-
(:
k
0
=
-
j)
0
0
- C
est non nul et
2
k
> 0 •
L'équation
2
(X
2
x1
- 2 k x 1 y 1
- J) y 1:
= 0
qui équi'llo.ut à
montre que.6,.1 et LJ 2 sont les o.symptotes de cette hyperbole.
Lorsque la constante C est positive elle se déduit de l'hyper-
baIe
pûr une homothétie de centre SL; si nu contraire C < L elle se déduit, ,
toujours p:J.r une homothétie de centre IL , de l'hyperbole
2
r
- 2 .{ x 1 Y1 - I~ Y1
= - 1
co$guée de 1::1 première. Ses axes de symétrie (qui sont les bissectrices
des angles formés p:J.r 1\\ 1 et 6
) se déduisont des 3xes _.r~ x
et iL '1'
2
1
par la rot3tion d' angle ~ tel que i [12 J , pp. 281-284 j
1.
2
k
t g 2 eÇ = -
-::---r:;--.
-X +/J
Les lignes de cournnt sont donc ici des hyperboles ou des
demi-droites.
. . .1..•

---

III.2.49
FIG. 7
Le centre des hyperboles/ost LJ. trJ.ce de .s sur leur plun et
leurs J.symptotes sont pJ.rJ.llèles à L, 1 et [:>2' celles dont le graphe
est si tué dans des :mgles opposés par le sommet étant homothétiques les
unes àes autres. Ces hyperboles sont équi13tères si et seulement si K
est symétrique.
L3 vitesse est ég3le à ~ (t) le long de 0 z et nulle le ~ong
-i'
- ,
de
A donc, ~,e (t) ~ 0, les lignes de courant qui rc:r,contrent 0 z
sont tangentes à ~ (t) le long de cette droite.
Conséquences .J
- 1/ DJ.ns un intcrv~lle de temps où 9 (t) n'est p3S nulle les li-
gnes de courant se déplJ.c~nt sans se déformer : leur mouV0ment est un
mouvement de transl::ltion déterminé par le Gouvernent du point IL:
~
1
-'
O, L
= -
"2---- K. e" (t)
•
q
g (t)
_.•j
- 2/
Lorsque les fonctions g (t) et e Ct) sont const3ntes, les
tr3jectoires se confondent QUX lignes de courant. Dans un tel mouve-
ment la droite
A reste fœxe " le mouvement d:ms le .plan (A., D.)
1
est régi par la loi
q g (t - t o ) ->
e
y
et d3ns le plan ( ~ , P 2) par la loi
~X
- q 9 (t - ta) ~
= e
y •
On peut supposer q >0 (changer q en - q revient à échanger
.../ ...

---

III.2.50
les rÔles de A 1 et ,6 2) ; o.lors si 9 ,/ 0 les particules du plan
( L\\ , j;, 1) s'éloignent indéfiniment de il dam la direction de L1 1
t::1i,dis que celles si tU8es dans le plan (/\\ , D
) se r:J.p;.>rochent indé-
2
finiment de
LI dans 10. direction de i\\ 2 •
Si 9 <: 0 on Cl 10 contraire.
Donc dans ce mouvement l'un des delilx pLms (fj , ll- 1) et
( IJ. , il 2) se di late tandis que l'élutre se comprime, la d:coi te L\\ res-
tant fixe au cours du mouvement. Les autres trajectoires sont des hyper-
boles centrées sur la droite
t .
Co.S particulier où
K est sym2trique.
Le mouvement est irrotationnel et la vitesse dérive du po-
tentiel
~
_.'-
1
->-
:;
l
-7-
Lf = -r 9
• K • :: +
• e
~
(
>
~I
Les droites j1 et 6
sont perpendiculaires; soient i
un vecteur uni-
2
r
taire p,}rallèle à !J. l'
un vecteur uni taire p3rallèle à
l'. 2 et ap-
pelons fi.
Xl
et
IL /
les droites L\\ 1 etÔ
orientées d;::ms le sens de
2
~I
~t
1 et j .
L'équation (2.3.4::1), si l'on pose
,
_ \\
(
, - j
'-'1
)
X
= x
i
+ y
j
,
, ...,;.
,
l
-- ,
"
y
= x
i
+ Yo j
0
est équivctlente aux deux équations scqlaires
I-V ( or - ·r )
(
1
v 0
x
e
~
=
Xo
-u)( c,::- _ 9';' 0)
t
L y = y e
)
0
d'où l'on déduit que
,
' t e
x
y
= Xo Yo
= c
•
C'est l'équo.tion de la courbe (2.3.4a) dans le repère
,
r
J"'- X y; on voit bien que c' est une demi-droi te située sur l1
ou
6
ou bien une branche d'hyperbole équilat2re ayant pour asymptJ-
2
l,
tes /;;. 1 et i-J.. 2 •
On obtient un cas particulier du mouvement de dilatation per-
]
(
t.
~(
.-:.
manente de Noll et Coleman [7
en f élisant g
t) = c
et c t) = 0
( on réduit K à la forme diagonale par une simple rotation des axes) ;
1
.../ ...

---

III.2.51
le potentiel des vitesses peut alors s'écrire (~l se confond avec 0)
.
1
'2
'2
U( = -2- 9 q (x
- y
)
et les surfaces équipotentielles sont les cylindres hyperboliques
'2
'2
te
z
- y
= c
•
III - 2.3b
-
Equations des trajectoires.
La projection des trajectoires sur le plan 0 x y est fournie
par l'équntion (2.5) :
t
-'
e(t, ta) 1S
(
~(t,D)K
'i:=
- + ,
.
• x; + )
e
"L.
e
e (c< ) d.C<
"ta
avec
~ (t, t ) = (t 9 (cx' ) d c< •
o
/
ta
ivlais on a vu que
'\\ K
(-2
1
il
.
e
= -ëj- S h v_ q !S + Ch
~. q ~
l'équation (2.3.5) s' écri t donc
t
~ = Ch w(t, ta) x? +J Chu) (t, lX ) -; (D-;' )
t o
Sh [) , (t. lX ) c' (:J( ) ct </ J
(2.3.6)
où on a posé
cv (t, t )
o
f.)
(t, ()l. )
Lorsque ln fonction 9 (t) est constante. si l'on pose
W
:=
q g,
l'équation (2.3.6) devient
)it
-.:,
-1
ti
- - ? '
(
:=
Ch W (t - teJ x +
Ch cu (t-C<)e(O()dO(
t o
+ -1_ K
q
-2
'4
Si de plus 18 vecteur e (t) est constant l'équation (2.3.7)
s'écrit
...1...

---

III.2.52
~~
• e ')
-:!,
• e
(2.3.7a)
J
/
et les trajectoires se confondent aux lignes de courant.
III - 2.3c
-
Calcul des contraintes.
~ loi de comportement [II, (3.17) ] prend ici let forme
l = - P _1 + ~K ( h (s) K ~
(2.3.8)
s;o 1
- j
où
,t-s
h (s)::
t (t - s, t) ==)
9 (~ ) do{ •
~t
Lorsque ~ est symétrique on peut appliquer à la formule
(2.3.8) le théorème de Reiner-Rivlin [16J (;ft est une fonctionnelle
isotrope) :
T
=-p.!.
+ CXK+~ ~
(2,3.9)
où Gtet 6~ sont des fonctionnelles (à valeurs scalaires) de h (s) et
f
'
l
q2:;;k2
I\\/K.
.
d'
des
onctions de la quantite sca aire
+'~
0
,
qul ne
epen-
dent que du fluide considéré. Dans le cas particulier où 9 (t) est
une constante (![. et (fd deviennent de simples fonctions de 9 et q2 •..
{SL (- s g, q2 )
a (g, q2) ,
Cf) (- s g, cf)
b (g, cf)
et 13 rolotion (2.3.9) devient
2
T=-p.!.
+ a K + b K
(2.3. 9a)
Lorsque K n'est pas symétrique (alors g est une constante)
la formule (2.3.8) peut s'écrire
.I = - p.!. + L (A)
(2.3.10)
où L est une fonction isotrope de
A -
9 K
qui ne dépend que du fluide considéré.
La pression p enfin est donnée par la formule (2.3) :
.../ ...

---

III.2.53
•"1 +t) + tL - f (t) .
(2.3.11)
Si ~ est symétrique et si on fuit
i ~ (t) ~ c~: '
1
\\
e (t):::
,_
0 ,
ln formule (2.3.11)peut s'écrire
-~ ~ _1.. ~l +~L - f (t)
(2.3.11a)
l'
2
. - 4 )
4
-ô>
où
v
est la vi tasse (v
~ g s. . JL ca qui donne~ ~ g2 cfh 2).
(
III - 3 -
ETUDE DANS LE C\\S GENERAL DES LIGN:S DE CLU;tINT
A UN II'lST.\\NT DONNE.
Nous ùvons vu que pour le mouvement homogène p13n général la
matrice '\\2 (t) ~tait de la forme
Cl
a
(t)
2 (t) -
,\\
(t) c:
2
a2. (t)
-a
(t)
1
J
et que
2 2 2
/\\2
( t) ~ [ a 1
( t ) + a2
( t ) - c a2 (t) ]
1:2
où c est une constante. Les résultats du
~ 1II-2 nous incitent, pour
l'étude des lignes de courant, à distingu8r trois cas suivùnt que la
c~ (t) est nulle, négCltivc ou positive.
III.- 3.1 - Cas ~ : les lignes de courant sont des droites
par"llèles ou des paraboles égales.
On suppose que, à l'instant considéré, on a
2
2
a
( t) + a2
( t) - c 12 (t) ~ 0 ;
1
alors
51
~ -2. (t) == 0
et l'équntion (1.9) s'écrit simplement
2
~
-7
-"
_,
("7:'
0")
~
'T
,2 -
(- 0
~
1~ = x + (CC; - 0"6 0) [~ (t) • x + e (t) ] + --Z---- ~ (t ) • e (t ) •
(3.1.1)
Si ln ffi3trice Â~~)est nulle à l'instant t, cns qui ne peut
se produire que si la matrice A2 (t) est symétrique ( pour tout.../...

---

III.3.54
t : c = ~,l' équcltion (3.1. 1) se réduit à
-~
-?-
. '
li = x + (cr, - Ç"t 0) fi (t)
et les lignes de courant sont des droites parallèles à -~(t)
(FIG.6)
-~
qui se réduisent à des points si e (t) = 0 à l'instant considéré.
Si ln matrice A
(t) est non nulle à l'instant t (alors
2
c ~
0 et elle n'est jamais symétrique), l'équation (3.1.1) n'est rien
d'autre que l'équation (2.1.2), la matrice À
(t) jouant le r81e de la
2
m:::trice lS ; les lignes de couro.nt son c donc des droi tes pû:;.'allèles à
la direction propre (double)de~ (t) (FIG.1) quand~(t). t(t) =c5,
des paraboles ugales dont l'axe de symétrie (dans chlque plan z = ete)
._1.
- ;..
est parallèle à la direction propre de ~ (t) quand ~ (t) • 'é (t) 10
(FIG.2). Mais an général la direction des lignes de cournnt dnns le
premier cas, de leurs axes de symétrie d:ns le second c')s, vClrie d'un
~
~
instant à l'autre. Lorsque ~ (t) • e (t) f 0 les lign2s de courant
~
sont encore déterminGes par la donnée du vecteur ~ (t) • e (t) et de
\\
la projection orthogonale de ~ (t) sur la direction de ce vecteur (qui
est un vecteur propre de ~ Ct)) mais leur p:uamètre p dl~pend non seule-
,
ment de la longueur du vecteur ~ (t) • ;
(t), mais aussi de sa direc-
tion.
III - 3.2 -
Cas 2 : Les lignes de courant sont des ellipses
homothétiques ou des cercles concentriques.
Cette fois-ci on a
2
2
.
a
(t) + a
(t)
- c a
,
1
2
2 (t)
< 0
00 Cl Cllors
. 2
2
1\\
(t)
(t)
= - q
~
k
où
La m3trice A2 (t) n'est jaffiClis symétrique CClr on n nécessaire-
ment c f o. Comme on l'a montré lors de l'étude du mOUVOLlent 1II-2,2,
pour tout nombre réel m,
m ~ (t)
e
= q-ftj sin m q (t) ~ (t) + cos m q (t) 12 ; .../...

---

1II-3.55
ceci donne à l'équ<:ltion (1.9) 10, forme ( cf.équation (2.2.1))
T(
t
== ~ ~ (t) • i
(t) +
sin q ('6 - 1>' 0) ~ (t) {t - ~ ~(t) • ~(t}
+ cos q (v;:: - 'Go) r
, --"'"
1
• -:>-e- ( t
x - L!22 (t )
)J (3.2.1)
L-
q
où on Cl posé
q (t)
q •
Les lignes de courant sont donc (Cf. mouWment 1II-2.2) des
ellipses homothétiques ou des cercles concentriques centrés sur la
perpendiculaire au plùn 0 x y en le point J\\.. tel que
olt ==
(t) • ~; (t)
(FIG.3-5). Les directions des axes de symétrie de C2S ellipses fo~t avec
o x et
\\T )
,
0 t un angle ~ (O~
\\..y .c -2- donne pur
2 nt (t)
t
g 2 ~
==
- 2-;;lt):' "c-
et variable avec le temps mais ne d{~endant que de la wntrice A (t).
2
D'autre part le rnpport de leurs axes est variable îvec le temps mais
ne dépend encore que de la matrice A
(t) (voir FIG.4 et formule
2
(2.2.14)). Le mouvement des lignes de courant (dans un intervûlle de
2
2
temps où Q1
(t) + 3
(t) - c a
(t) < 0) n'est donc pas un mouvement
2
2
de translation en général et les lignes de courant se déforment dans le
temps.
III - 3.3. - C'lS 3 : Les lignes de courant sont. de.s hyperboles
deux à deux conj uguées ou des derili-droi te.se
La matrice 1-\\2 (t) satisfait maintenant à la condition
2
2
a1
(t) + a2
(t) - c a2 (t)
> o.
Ici les dedx cas c == 0 et c 1= 0 sont possibles. Si on pose
on a
A 2 (t)
==
q2 (t)
l
~
L
on en déduit que pour tout nombre réel m (cf. III - 2.3),
m ~ (t)
e
== q-ftj Sh m q (t) A 2(t) + ch m q (t) ~
... / ...

---

III.3.56
et l'équation (1.9) devient (cf. ~quation (2.3.3))
il
r
= - ~ ~ ( t ) • -; (t) + ~
(",~
Sh q
- et 0) ~ (t)·
+~ At(t) .ê~
r'
--;; l
+ Ch q ('t: - 'G' )
x+.t,. i\\,.., (t) • e (t) (
a L
L--::.
( -
q
3.3.1 )
avec
q
q (t).
Dans chaque plan z = c te les lignes de courant sont ici
(cf. III-2.3), soit dGS hyperboles c8ntrGeS sur la perpendiculaire au
plan 0 x y en le point il défini par
--;>
1 .
'
L---- A
°JL = -
~ ( t) • ê (t),
q
(t)-
soit des demi-droites parallèles aux directions proprf:s de ~ (t) ot
porté8s par les asymptotes de ces hyperboles (FIG. 7).
Les
di~cctions
~ asymptotes de ces hyperboles, ainsi que celles des bis-
sectTices des angles qu'elles forment (ces bissectrices sont les axes
dos hyperboles), ne dupendent que de la matrice A
(t) m~is varient
2
avec le temps de sorte que, en général, 18 mouv8rnent des ligœs de
2
2
courant (dans un intervalle de temps où a
(t) + a
(t) - c a (t) > 0)
1
2
2
n'est pas un mouvement de translation et les lignes de courant se dé-
forment dans le temps.
Finalement pOUl' lc~ mouvement homogène plan g6né.Jt.iü les lignes
de courant se déforment uJns le temps mnis si on pose d (t) = dét ~ (t)
on a le résultat suivant.
Proposi tion
- 1,/ Si d (t) = 0 à l'instant t, les lignes de courant
sont ou bien des droites parallèles (Gventucllement ré-
duites à des points), ou bien des paraboles Jgales telles
d
h
l
te l
1"
ct
d'
que
ans caque p an z = c
es
19nes
c courant se
e-
duisent les unes des autres par translation dans une di-
rec tion (;ui est la direction propre (do~ole) de_ la matrice
j~....w..
-
2/ Si d (t) .> 0 à l'instant consid6ré, les lignes
de courant sont des ellipses hO~Jthétiques ou des cercles
.../ ...

---

III.3~7
concentriques centr~s sur une m~me droite pQrall~le à
l'axe 0 z
3/
Si d (t) ~ 0 à l'instant t, loy l~g~s de cou-
te
rant dans chaque plan z = c
sont des hyp~bo1~~d~ux à
deux conjugu~es ou des demi-droites portées p~~r les asymp-
totes de ces hyperboles ; de plus le lieu gé~~étrique
(dans l'espace) des centres de ces hyperbol?~ey_~u~e droi-
te parallèle à 0 Z. et les directions de leurs asymptotes
sont les directions propres de la rnatrice A2 (t) •
...1..•

---

- - - - --------.....,
IV.1.58
CHAPITRE
IV -
UNE FAMILLE DE MJUVEMENTS HOMOGENES A HISTOIHE DE
DEFOEI'MTION CONSTANTE D'UN FWIDE SIMPIJ!.
IV - 1
GENERALITES.
On se propose d'étudier ici tous les mouvements homogènes
pour lesquels la matrice A (t) est une matrice constante non nulle
K=
( 1.1)
Le champ des vitesses s'écrit done
u =IX
x +» 1 y + a'1 z + e
(t) ,
1
1
v =c(2 x +)~ 2 Y +~ 2 z + e
( 1.2)
2 (t) ,
W=rX x +)b3 y +~3 z + e (t),
3
3
avec les conditions
rX 1 + -~ 2 + C3 = o,}
(1.3 )
_2
2 T
l '
== (K ) •
Si K est diagonale et si .on pose
. 1
o
o
K ...
:l
°
o
le champ des vitesses prend la forme
u = a 1 x + e1 (t) ,
v == &:2 y + e2 (t) ,
W = 83 z .. 93 (t) •
On obtient un mouvement dont le mouvement de dilatation per-
manente de COLENiEN et NOLL [7 J est un cad particulier (le cns particu-
lier où 9
(t) == e
(t) = e
(t)::= 0). Lorsque K est non symétrique on
1
2
3
obtient des mouvements nouveaux.
On posera dans toute la suite
.../...

---

IV.1.59
b=
0<1
12J 2 + 0<'10 3 + /~ 2 0'3-o('2~1- ')( 3'~ 1 - ~ 3 '6 2'
0(1'
f11
($ 11
c =
A
,
15
•
(1.4 )
0(2
2
2
1
0(3
JD
c5
3
3
)
b et c sont le second et le troisième invariants principaux de K, le
premier,
étant nul.
Ces mouvements sont à histoire de déformation constante [15] ::
la trajectoire de la particule qui, à l'instant t , se trouve au p05~~
o
~
Mo tel que -
0 Mo = X a pour équation
~
(t-t ) K
f =
~X ft
(t-o()K
~(/)
e
0 -
•
+
e
- . e
01.
do(.
(1.5)
,
t o
De m~me, à l'instant t, la ligne de courant qui passe par le
point M a pour équation
o
~
(trG-~) K
--e
0 _ - 4
~
~
~ = e
e ('G - d. )
ct 0( ) - "1 (t) • (",
ft
X
+ ( {
Le tenseur des contraintes s'écrit
T = - p l + L (K)
(1.7)
-
- - -
où L est une fonction isotrope de K et p la pression donnée par la for-
mule
p
12
~
, .
- 7- =
(- K- ."f:
+K. -:
+
ë"") +U - h (t).
( 1.8)
2 -
')
-
J
L'équation caractéristique de la matrice K s'Gcrit
v3 + b v - c = 0
ce qui donne (théorème de Cayley-Hamilton).
I2 = - b K + C I,
d'où l'on déduit
4
1
K
= - b K
+ C K.
Cette dernière équation
montre que si c # a la matrice K
est nécessairement symétrique car il en est ainsi de K2- par hypothèse.
D'autre part lorsque K est symétrique on a b ~O : l'équation caracté-
ristique a alors trois racines réelles, ce qui se traduit par l'inéga-
l i té.
. ..1...

---

IV.1.60
~
2
4 b
+ 27 c
.:$
0,
l'égalité n'ayant lieu que s'il y a une racine multiple; PQr ailleurs
ces racines ne doivent pas ~tre toutes nulles (K est non nulle par hy-
thèse) ce qui exige
2
2
b
+ c
> O.
De ces deux inégalités on d~duit que
b < O.
Par conséquent i l y a quatre cas à distin}uer
- 1er cas :
on a alors
4
K = (0)
et, comme K2 est symétrique, nécessairement
~ = (0).
L'écoulement est donc viscométrique ~ [6] , p.29} •
_ 2 ème cas:
la matrice K est encore non symétrique mais le mouvement n'est pas visco-
J
métrique{ [6] , p.29
car ~ 1 2..
(
b
< 0,
ème
~
- 3
cas s
t._
c
= 0;
ici la matrice K peut ~tre symétrique ou non symétrique mais dans tous
les cas le mouvement n'est pas viscométrique{[6], p. 29 y: !2 1 2.._
b
<. 0,
_ 4 ème cas :
[
c
"
0;
dans ce CaS la matrice K est nécessairement symétrique et le mouvement
n'est pas viscométrique ç [6J , p.291 (K -1 0).
f
J
-
-
Nous allons maintenant étudier chacun de ces quatre mouve-
ments.
. ..1...

---

IV-2
- CAS 1 - LtECOULEMENT EST VISCOMETHIQUE
La matrice K vérifie
~ = (0)
et ses valeurs propres sont toutes nulles. Le mouvement est viscomé-
trique) [6J, p.29/'
<.
)
IV -2.1 - Quelques propriétés du tenseur K.
-
Appelon.
D et (~)
l'image et le noyau de l'application
linéaire
~
X--~)K.X
3
3
de If-.
dars [~.
.
D= [ ! . t / t ~ [R3} t
f~
3
-4--+}
Ur) = lX f IR / ! . x = 0
•
D est une droite passant par l'origine et (1\\ ) un plan passant par
l'origine c'est-à-dire que D et (11 ) sont respectivement de dimensions
1 et 2 ; de plus D C
(TI) 1
2
En effet
D
C. (ï\\) puisque K
= a ; donc
dimD< dim
(TI).
-
Mais
3
dim D + dim ( \\t )
= dim IR
= 3 ;
comme! # 2 D est au moins de dimension 1 par soncéquent
( dim
D
1,
=
1. dim (1\\ ) = 2.
Par définition même (ïï ) est le plan propre de ! correspon-
dant à la valeur propre triple O.
On déduit du résultat précédent la propriété suivante pour
le tenseur K ,
.. .1...

---

~
-:1
1- 3
1/ Pour tous vecteurs X et d de ~
on a
~
....;..
4
(~ • X) f\\ (~. d) = 0 :
--'
~,
Si aucun des deux vecteurs K • X et K • d n'est nul ils sont linéaire-
ment dépend1nts comme étant deux vecteurs de D.
Deux autres propriétés de ~ que nous utiliserons dans la
suite sont celles-ci 1
3
_ 2/ Pour un vecteur cl de IK ,
' - "
4
-7
,~
~.d~ 6~-=:;." dA K.d#O;
- ~I Tout plan parallèle à (î\\) a pour équation
-
->-t
K • X
= c.
La propriété 2/ résulte directement du fait que les valeurs
propres de K sont toutes nulles. Pour la propriété 3/ il est immédiat
~
~
que! • X = c
d3ns un plan parallèle à (1\\) puisqu'un tel plan a pour
équation
~
~
M"
X
= Y + X
~
~,
où Yc est un vecteur donné alors que X
parcourt ( l\\ ). Ruciproquement
~
K
•
X1
si et seulement si
......:::.
~
~
~ • (X1 - X:2) = 0 ;
cela veut dire que ln solution de l'équation
-'>t
K
•
=
c
s'écrit
--}
--4-
-
t
X
= Y + X
~
~
4t
.......
où Y est un vecteur donné tel que ! . y = c
tandis que X est un
~
~
vecteur soumis à la condition K • X' = O. C'est la dafinition m~me
d'un plan parallèle à (TI ).
Dans toute la suite D et (Tf ) désigneront la droite et le
plan que nous venons de définir.
IV - 2.2 - Etude des lignes de courant.
Comme f = Q l'équation (1.6) s'écrit
l
",~ _ct')2
~
(~C - or;0) [ ~. X+'1(t)1 + --2\\-'0r'!Se • e (t).

---

IV.2.63
C'est, à l'instant t, l'équation de la ligne de courant qui
passe par le point Mo tel que o-Mo = X.
-?
~
Cas où ~ • e (t) = 0 : les lignes de courant sont des droites
parallèles à eTr).
L'équation (2.2.1) prend alors la forme
~ = t + ('t -'~'o) l.!S. . -; +~ (t)] •
On en déduit que
-4
K • r;'{
ce qui veut dire que la courbe (2.2.2) est située dans le plan parallè-
le à ( IT ) passant par Mo. D'ailleurs c'est une droite parallèle à
...:;.
~
~
-:>()
~ • X + e (t)
si ce vecteur est non nul; si ~ • X + e
t
est nul
~
-;1-
elle se réduit au point Mo. D'autre part le vecteur ~ • X + e (t)
reste constant quand Ma parcourt un plan parallèle à (1\\) ; donc dans
chaque plan parallèle à (TI ) les lignes de courant sont des droites
parallèles lorsqu'elles ne se réduisent pas à des points:
FIG. 8
Si le vecteurlt (t) est nul oa parallèle à D la direction de
ces droites est celle de D dam tous les plans parallèles à (~) diffé-
rents du plan (p) d'équation
.-:.
K
• X + e" (t) = 6
où les lignes de courant se réduisent à des points.
Si -: (t) est non nul et non paœallèle à D le vecteur
~
--}
\\
~
IR
K • X + e (t) n'est j amclis nul lorsque X parcourt
(~ • X est nul
( '
--
3
ou parallèle a D) et les lignes de courant sont partout des droites pa-
rallèles à en). J\\<bis leur direction n'est pas const3nte dans tout
l'espace : cette direction est celle de -; (t) d3ns le plem (1\\ ) et
-'1
différente de celle de e (t) en dehors du plan (1f' ). De plus cette
...1...

---

direction n'est j::lmais celle de la droite D.
-4
On voit que dans un intervalle de temps où ~ • ë" (t) a 0
mais où fi (t) n'est ni nul ni parallèle à D, la direction des ligœs
de co~rant dans un m~me plan parallèle à (1\\) v~rie d'un instant à
l'autre (en général) ; dans c" s condi tions le mouvement des lignes de
courant au cours du temps engendre dans chaque plan parallèle à ( ï\\ )
un mouvement de rotation autour du point où la normale à (1\\) au
point 0 coupe ce plan. W~is il n'y 3. pas de mouvement en bloc des
lignes de courant: la rotation n'est pas la m~me dam tous les plans
parallèles à (11 ). Au contraire lorsque e!(t) est constamment nul ou
parallèle à D le mouvement des lignes de courant est la translation
dans la direction de la normale à (lï ) déterminée p1r le mouvement
du plan (p) où les lignes de courant à l'instant t se réduisent à des
points.
A
Cas où ~ • -t (t) /: b: les lignes de courant sont des
paraboles égales situées dans des plans parallèles.
~
Pour tout X on a
-.:l
--"
--4>
~
->,
1 ~
(~ • X + e)!\\ ~.e = e /\\ ~ • e '" 0,
-+
~
-+
c'est-à-dire que ~ • X + e et K • e sont deux vecteurs lin0airement
indépendants parallèles au plan ('Ir') passant par l'origine et per-
~
-7
pendiculaire au vecteur e 1\\ ~. e ; par conséquent la courbe (2.2.1)
,
est toujours située dans le plan parallèle à (1\\ ) paàsant par le
~
Les deux plans (\\1) et (11') sont distincts : e est paral-
~
~
lèle à (lT') mais non à (-n) car ~ • e /: 0 ; leur droite d'intersec-
_ \\ ,
tion est la droite D car (Tf') est parallèle à K • e donc à la droite
D.
•
(~. -71 -7,
3
So~t alors 1, j , k ) la base orthonorm8e de lf\\
ainsi
définie 1
~
le vecteur i
est parallèle à K • -t et de m~me sens que ~ • ~ r
~
~,
K • e
i
=
;
•.. 1...

---

IV.2.65
-~,
(
,
le vecteur J
est perpendiculaire à D dans le plan
TI);
~
,
-->'
le vecteur k
est normal au plan (1\\ ) : k
est parallèle
~
~
à
e /\\
K. e.
DGns cette base la matrice K' de K est de la forme
K
'=
l~ ,0(
,
fi'
0
0
,
0
0
L
ce qui résulte directement de la relation
.....,
-}
K
i
= 0
et du fait que.!S. .1' et K .1' sont parallèles à 1'. DisilJnons par
-.;,
~
(x', y', z') les coordonnées de;G dans la base (i', i' , l' ), par
\\
(, '
,
' )
(>'
' )
~--;.
"Xo' '10 , Zo
et e1' e2' 0
celles de X et e dans la m~me base et pro-
jetons l'équation vectorielle (2.2.1) sur cette base ; on obtient •.
,
,
,
,
,
Cr, _«'0)2
1
1
x
'=
X
('& -
o
+
<"'-
)
(,0
(e1
l'
+ ù
Zo
+0(
)
Yo
+ - - - 0 (
e
,
2
2
,
1
,
y
'=
Yo
+ ( .'"
(,
,
,
- '7 ) e
,po
2
)
Z
= Z0
Ce sont les équations paramétriques, dans le repère
~'-T' ... ,
[ O ; ( i , j , k ) ] , de la ligne de courant qui passe par le point Mo
,
1)
,fii+uée
de coordonnées (x
Y
o ',
o ' Zo
; on voit bien qu'elle es~
dans le
,
plan z
= Z •
o
,
On peut remarquer que e
# 0
2
1
rY"
,~,
~
1 -41
LJ\\
e2 '= i
• ~ • e
'=
~. e > o.
La seconde équation (2.2.3) peut donc s'écrire
,
,
y
- y
, ; . -
'7d
:::::
--~
.C'
~o
e '
2
,
,
"
et la première devient, en posant e1
'=
e1
+~ , Zo ,
, ,
,
,
,
1
'2
01.
y
-2 e2
x
+2 e1 " y
=0('
'2
1
+2 e1 "
,
Yo
- 2 e2
Xo
Yo
soit
, 12
• 1
,
- 2 e2
+2
"
= C
(2.2.4 )
r{
y
x
e1
y
où C est une constante.
L'équation (2.2.4) est celle de la projection orthogonale
...1...

---

IV.2.66
de la courbe (2.2.3) sur le plan (1\\'). Portons l'origine du plan (7\\')
-*, ~,
au point S dont les coordonnées dans le repère [0 ; (i , j
) ] sont
données pnr les formules
"2
e 1
c
5C est la constante qui figUre}
x 1 = - 2jK-: ~ï - ;-:; , ( dans l'équation (2.2.4)
(2.2.5)
"
"
e l'
e 1
e2
-
-
- ~ ,- = - lï<-:-ff- ,
et appelons SX et SY les axes issus de S et respectivement parallèles
.....p
~,
à i
et j
./
~
\\
Les formules de passage du repère S X y au
,
repere ex' y' s'é .•
crivent
,
,
X
= x
1- X ,
1
{
Y
=Y1
+Y
de sorte que dans le repère S X y la courbe (2.2.4) a pour équation
,
.:;
e2
y-
= 2. --:-7
X •
eX.
Mais on a
f
{ 1~ • èj= 0(
/7/\\ K • ~I =
d'où
~
-+2
/eJ\\~. el
=
I~ .11 3
et l'équation (2.2.6) s'écrit aussi
1 ~ 1\\ ~ • ~12
..[2 = 2 -------3-
x.
I~. tl
.../...

---

IV.2.67
La courbe (2.2.4) est donc une parabole de somnet S, d'axe
S X et de paramètre
l..-Ir
~12
eA .!S..e
p
=
,
la concavité étant tournée du cOté des X ) O. On peut remarquer que
•
l'axe S X dépend de Zo
donc varie d'un plan z' = c te
à un autre en
restant paPallèle à .!S. • et . Il est le m~me pour tous les plans z' = ete
Jl' 0
4
K
4
,
si et seulement si
d =
le vecteur e A _ • e est à&ors parallele
à (11 ) et les de.ux plans. (il ) et en') sont perpendiculaires.
Les lignes de courant sont donc ici des p3raboles égales
,
situées dans des plans parallèles à (11 ) et dont l'axe de symétrie
est parallèle à la droite D, la concavité étant orientée dans le sens
-4
dU vecteur ~ • e ; celles qui sont situées dans un m~me plan ont m~me
axe de symétrie et se déduisent les unes des autres p~
translation
parallèlement à la direction de la droite D :
x
1
)(
-11
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
' / !"êr~)
/ 0
/
5
/
FIG. 9
...1..•

---

IV.2.68
On voit maintenant que la condition nécessaire et suffisante
pour que, à l'instant t, les lignes de courant soient des droites tou-
tes parallèles (éventuellement ~duites à des points) est que le vec-
teur ~ (t) soit nul ou parallèle à la droite D ; ce sont Cllors des
droites parallèles à D.
LEI ret:J.tion ,
e
p<
e
1K • -;'1
2
p=
-;~T ==-~/ï2 == ---:-:-:-12 .
v\\
V\\
v\\
montre qu'en général le paramètre p des paraboles de la figure 9, donc
~
leur grandeur, dépend non seulement de la longueur du vecteur ~ • e
,
mais aussi du plan (Tf ), c'est-à-dire de la directi~n du vecteur
.~
~
'2
1
-7' 12
.~/,
e l' ~ • e ({')(
==
K. J
, jetant un vecteur uni taire perpendicu-
,
laire à D dans le plan (1\\ )). Ces courbes sont donc déterminées non
~
seulement par la donnée du vecteur K • e et de la projection orthogo-
~
~
nale de e sur la direction de ce vecteur (~ • e est parallèle à D)
---"
-----
mais aussi par la direction du vecteur e'/~ ~. e.
->
Lorsque la direction du vecteur ê,~ K • e reste constante
..........
dans le temps, p ne dépend plus que de la longueur du vecteur ~ • e ;
,
te
d'autre part l'axe S X varie d'un plan z
== c
à un autre. Par consé-
-;,
quent
dans un intervalle de temps où le vecteur ~. e est Gonstant et
~
~
non nul et où le vecteur ê A~ • e garde une direction constante, le
mouvement des lignes de courant dans chaque plan parallèle à (Ir') est
un mouvement de trabslation dans la direction de la perpendiculaire à
D dans le plan (~') ; mais il n'y a pas de ttouvement d'ensemble des
~
~
lignes de courant sauf si la direction du vecteur e ~ K • e est paral-
lèle au plan (TI) (sinon l'axe S X dépend du plan z' = c te que l'on
\\
considère). Lorsque le vecteur ~ • e varie seulement en sens (sa lon-
~
~
gueur reste constante) de façon que la direction du vecteur e~ ~ • e
reste constante, dans chaque plan parallèle à (~') on a la chose sui-
vante : à deux instants ~1 et ~ les lignes de courant se déàuisent
les unes des autres par une translation dans la direction de 0 y' si
~
-7
K • e (t ) et ~ • e (t ) ont m~me sens, par la translation précédente
1
2
suivie d'une symétrie par rapport à la trace du plan üy' .::/:~~ ce plan

---

IV.2.69
lorsq~ K • i (t ) et K • e:(t ) sont de sens contraires.
-
1
-
2
Cas particulier.
Si on prend pour K la matrice
?à
-k
~J
o
_
~
et si on fait e
(t)
0, on retrouve le premier mouvement étudié au
3
chapitre précédent.
Conséquences pour le mouvement
La vitesse s'écrit
~
~
-7
v" ( { , t)
=
~.' ~ + ~(t)
On en déduit que
~
~
K • v
= K. e (t) •
- -
Il en rés~lte immédiatement pour le mouvement les propriétés
suivantes :
-1/'
A chaque instant t la vitesse est uniforme dans chaque
--;).
plan parallèle à (1\\) : K • ~ est constant dans un tel plan ; en
particulier -: est égal à ~ (t) dans le plan (11) donc, si l' (t) 1 0:
les lignes de courant sc,t tangentes à ~(t) en les points où elles
rencontrent le plan (1\\) •
/
~'(, / ~
...2
j\\
un instant t où K • e \\ t) 1= 0 la vitesse ne s'annule en
aucun point •
~
..:3/
A un instant t où K • (} (t) = 0 la vitesse d'une pa...
ticule est nulle ou parallèle à CTI ). Si "? (t) est nul ou po.rallèle
à D, le lieu géométrique des particules de vitesse nulle est le plan
(p) parallèle à (ïT) d'équation
~
-;,
~
K • 1i
+ e (t) = 0 ,
1
la vitesse étant ailleurs parallèle à D
dans le cas c0nt~aire
l'équation
~
-4
~
K • of;
+ e (t)
o
=
{'
n'a pas de solution et la vitesse ne s'annule en aucun point •
. . 0/•••

---

IV.2.70
,\\insi la condition nécessaire et suffisante pour que la
vi tesse s'annule à ul) instc:mt test qu 1 à cet instant le vecteur t (t)
soit nul ou par311èle à D ; la vitesse est alors nulle dans tout un
plan, le plan (p) d'équation
=e
4
--7
K.
'> + e (t) :::: 0
et parallèle à on ..
-4/ LJ condition
-»
~
K
(t)
• e
0
-
qui équivaut à
~
~
K . v
0
~t
)
(c'est-à-dire que K .r :::: C le long d'une trajectoire est la condi-
1
tion nécessaire et suffisante pour que le mouvement s'effectue paral-
lèlement à (~). Dans un tel mouvement la vitesse est unIforme dans
chaque plan parallèle à (n ) donc chaque plan parallèle à (1\\) effectue
un mouvement de translation.
~
L'accélération 0 ..'iicri t dans ce cas
~
---:1
'6 :::: e •
Si le vecteur --: (t) est constant le mouv?ment de chaque par-
ticule est rectiligne et uniforme; chaque plan paral121e à (1\\) glisse
sur lui-m~me avec une vitesse consta~te et le mouvement d8ns un tel
plan est un mouvement par droites parallèles. La dir2~tion de l'écou-
lement dans le plan
.--10'
--7'
K • ç
:::: C
Î
~
--?
est celle du vecteur C + e. Cette direction est la m~me dans tous les
~
plans parallèles à (In si et seulement si e est nul ou parallèle à D
(si -ë /: (j la direction de l'écoulement dans (TI) est celle de 1)
la direction de l'écoulement est alors celle de D et le plan (p) d'é-
quation
-:7 ~
~
K.;
+e
=0
reste fixe au cours du mouvement.
Si le vecteur Er (t) n'est pas constant mais reste parallèle
à D quand t varie, la vitesse est constamment p~rallèle à D et la
...1...

---

trajectoire de toute particule est une droite parallèle à D ; on a
encore un mouvement plan par droites parallèles dans tout l'espace:
chaque plan parallèle à (11) glisse sur lui-m~me dans la direction de
D avec une vitesse qu~ n'est plus constante. De plus, à chaque instant,
la vitesse est nulle dans le plan d'équation
'~~
-4
K.-f
+e(t)=O.
-
\\
/
~
-5
Lorsque le vecteur e (t) est constant le mouvement est plan
(les trajectoires se confondent aux lignes de courant) : si K • Ëi = ct
les trajt-ctoires sont des droi tes parallèles à (~) ; si le vecteur
f
K • "t est non nul le mouvement se fai t parallélement au plan (11),
perpendiculaire au vecteur ft1\\ ~ • 1, mené par l'origine et les traj ec-
toires sont les parabol, , que nous avons étudiées antérieurement.
On voit en m~me temps que la condition
K • Et (t) == et
est une condition suffisante mais non nécessaire pour que le mouvement
soit plan.
IV -2.3 - Equations des trajectoires.
La relation
2
K
= 0
(1.5) la forme
.l(
... ( 0<.) do( + K
t - ta) Y:\\ ft (t -0<)-; (d) dO<}
o
(2.3.1)
C'est l'équation de la trajectoire de la p~rticule qUi,à
l'instant to)se trouve au point Mo défini par ~ =~. On voit bien
-4
~ f'"':::'!;
que lorsque ~ • e (t) :: 0 ,e (t) est constamment parallèle au plan
(11)) cette courbe est située dans un plan parallèle à (11). Lorsque
le vecteur e7(t) est constant l'équation (2.3.1) s'écrit
2.
4
[
~
~
(t - t o )
.4-
= x + ( t - t )
~.x+'1j+
6
(2.3.2)
o
2 - - K . e )
ce qui n'est rien d'autre que l'équation (2.2.1).
.../ ...

---

IV.2.72
IV - 2.4 - Calcul des contraintes.
La pression pest donn6e par la formule
.L = (
• (K • "t +~ + u.. -h (t)
)
-
et le tenseur des contraintes s'écrit
T= - p 1. + L (~)
où ~ est une fonction isotrope de K déterminée par les fonctions vis-
cométriques{ [6] , pp.22-26} du fluide.
Pour le calcul de ~ (~) désignons par dt, ~t) une base
~,
->
orthonormée de (ïT) telle que j
soit parallèle à D et soit i t
un
vecteur uni taire normal à (1\\) ; posons
--+,t
J[ ~
~,
~
~ • i =
.
j
(~-1 /i 0).
Les relations
-}
-+,
~ • j
= 0,
-:)
4 '
{
K.k
= 0,
-
~, ~t 4 t
montrent que la matrice de K dans la base (i , j
, k )
stécrit
o
o
o
M=
x o o
o
o
o
,
l
~-:t-}
. .
d
QX
Oy
nppe ons 1, j, k les vecteurs unlta1res
es axes
,
,
~
~t ~t
o z et désignons par Q la matrice de passage de la base (i , j , k )
,
l
b
(-7 -:+ "*'k'
a
a
ase
1, J, K) ; on a
T
K
= Q M Q
donc
/
T
K = Q • M • Q
et
T
• Q •
A partir des relations (2.4.3) et (2.4.4) on montre
{ [6] , pp.22-26} que 'I se met sous la forme
!.=-p1.+T
(7 )
(2.4.5)
1
où
= Q L1 (J') QT,
(J )
0-1
0"6 (X')
~ ( X)
02 (X)
(2.4.6)
0
0
.../...

---

IV.3.73
I~ ) (Ji et 02 étant les fonctions viscométriques ~[61, pp.22-26) du
fluide.
Remarque
Ln formule (2.4.3) démontre en fait la r~sultat sui-
vant : K étant un tenseur d'ordre 2 sur lR 3, on a K2 = 0 si et seu-
-
-
lement s'il existe une base orthonormée de
~3 dans laquelle la ma-
(1)
trice de ~ est de la forme (2.4.3). On peut
démontrer do la m~
3
façon cet autre résultat selon lequel ~ = ~ si et seulement si ~
possède une base orthonormée dans laquelle la matrice de K est de la
forme
o
o
o
Ni:
o
o
'V
o
IV - 3 -
E"PJDE DU C;\\S 2.
La matrice K s~tisfait aux conditions
(.
)
c
= 0,
~ b > 0 •
On posera
2
q
= b ;
alors l'équation caractéristique de K prend la forme
v (l + q2) = 0
et le théorème de Cayley-Hamilton devient
La matrice K a donc une valeur propre réelle, 0, et deux
valeurs propres imaginaires conjuguées, i q et - i q ; cela montre
bien que K est non symétrique et que le mouvement n'est pas viscomé-
triqUet [6] • p. 293 car on a ~.J O.
-
-
IV - 3. 1 - ...;Qu:.;;.;.;.e_l":o9,;"u.;..e,;,,s...pl,;"r~o....!p"-r_i_e_'t~é...;s~d..;;u~t..;;e.;..n...;s...;.e.;..u.;;;.r .......
-=K.,;.,.
Appelons 0 le noyau de l'application linéaire
.4
~
X
:> ~ • X
de ~~ dans i~~ ; D est une droite passant par l'origine c'est-à-dire
. . .1...
-------------------------------------------
(1) Cf ANNEXE 2

---

un sous-espace de dimension , : tout vecteur non nul de D est vecteur
propre de ~ pour la valeur propre a ; comme 0 est une valeur propre
simple il lui correspond une seule direction propre et deux vecteurs
propres de ~ pour la valeur propre 0 sont parallèles. Ainsi deux vec-
teurs non nuls de D son~ parallèles et D est de dimension 1.
Soit (\\\\ ) le plan passant par l'origine et perpendiculaire
à D :
~_ r
_
o _ _
\\
J~ux va l eurs propres +.
- 1 q de K correspond l a va l eur propre
double - q2 pour K2 et (TI) est le plan propre de K2 pour cette valeur
propre double ( K2 est symétrique):
(11) = l? é IR 3 / K' •7 = - 2~}
q
X
•
Le plan (\\T) est l'image de l'application linéaire
-..
-4-
X
> K • X
en effet la relation
K3 = _ q2 ~
montre que l'image de cette application est contenue dans (1\\) et,
comme elle est de dimension 2 (le noyau D est de dimension 1), elle
se confond avec (lT).
Les observations qui précèdent conduisent aux propriétés
suivantes pour le tenseur K :
-?
1
2
~
1/ Pour tout vecteur d le vecteur - ~ K • d est la projec-
2 -
q
tion orthogonale de ~sur (11) : on a
--4
1 2
-7
-?
1
3
-t
--"
3
2
~ • (d + ""Z.!5. • d) = K • d + ""'2!5 • d = 0
(K
= - q K)
q
q -4
1 2 -?
ce qui veut dire que le vecteur d + "2 .!i. • d appartient à D donc est
q
1
_2
~
orthogonal à (lï) ; comme le vecteur - qz ~ • d est dans(T\\) c'est
bien la projection orthogonale de cl sur (l\\).
- 4
- 2/
Pour un vecteur Y,
-+
~
_2
~
~
~ . 't = 0 #.!5.
• Y = O.
.../...

---

IV .3. 75
Cette propriété résulte directement de la précédente 1
-7
--?
...;.
~ • y = 0 revient à dire que Y appartient à D c'est-à-dire que la
"-
----:r
projection orthogonale de Y sur (TI) est nulle.
-:1
3/
Pour un vecteur X,
-+.-.,
~
-1
~
~ • X 1 0 0\\ X f\\ K • X 1 0,
propriété qui tient au fait que les valeurs propres non nulles de K
sont imaginaires •
. J .
\\
- :
_2
~
4/
Si K • Y1o, K • Y et ~. Y forment une base de (~) et
K. [(~.~)!\\ cl .1)1 = 6 1
.
-;.
2 "
d'après les propriétés 2/ et 3/, (~ • y) A (K
• y) est un vecteur
non nul perpendiculaire à (TI).
~
Il résulte de cette proposition que lorsque Y ~rie dans
3
~
--)
-.}
\\R
2
~
de façon que ~ • y 1 0, le vecteur (~ • y) 1\\
(K
• Y) garde
une direction constante.
5/
Toute droite parallèle à D a pour équation
~
~t
~.X =c
•
Cette proposition est immédiate.
6/
Dire que ~ est antisymétrique revient à dire qu'il existe
---+
un vecteur Y tel que
->
~
~.Y 1= 0)
~,
-->.
~
y" • K • Y= 0,
2
~2
_2
-.4- 2
q
1K • yi = I~ • yi·
~
Alors, pour tout X, on a
t~ ~ -'-1
X • K • X
= 0,
. l IK .1"12 = I~ .12 •
En effet, pour tout vecteur X, on a
~
~
-4
T
~
X • K • X =
x·. K • X ,
I~.
~
-;;
~
T
~
112 = (~ • x) • (~ • x) = X • K •K • X ,
~
4
->-
-4
1J<2. 112 =
2
(K2 :l) . (K .X) = t. K • X = -<l'l.? eX
2
(.!5. est symétrique) '.
T
Si K est antisymétrique (K = - K)
ces relations
-
-
s'écrivent:
.../ ...

---

-4
~
IV.3.76
X • K • 1
-
=
~. K • X ,
-
-
2
-X*.J2 ->
I~ . Xi
==
• X ,
2
IK
• xl 2
2'--+
~ 4
= - q X
• X,
et on en déduit que-+
~
4
f X • K • X = °
1 2 l~. '112 I~ -4 2
q
=
• X1
•
Réciproquement supposons qu'on puisse trouver un vecteur
~
y tel que
-4
~
" K • Y -1 0,
f 4
~-4­
Y • ~ • y = 0,
l 2 ~2 2-4:2
q
I~. YI = 1K • yi.
:7
-'j.-
~
D'f'
.
, ( . ,
.'
k l )
e 1n1ssons une oase
1 , J ,
par
les formules
-+
i*
Î-:I
>~ ,
=
41
? .'t
lj == ~ .11 '
-4-'
4 ,
~
k
=
i
I\\.j
on a
4
-*
-+
._~
-+
2 ~
.....;..
-~
• y) • (~ • y) = y • K- • Y = - q
Y. K • Y = O.
~'4-'-,,).'
La base(i , j
, k ) est donc orthonormée. D'autre part on a
~
~,~
K • k = 0,
.:::,
4-,
i
• K. i = 0,
-J-, - ~,
k • K • 1 = 0,
. ; '
- ~,
2
J . K . J = O
= - q
~),
~,
-
4;,
k • K • J = O.
mais par hypothèse
2
q2
~2 1
""'-+1 2
I~ • xI = ~ • y
donc
2
~
-t't
-+,
[K. yI
- 1
~t
1
i
• ~ • j
=-1-; . 11" = - j • K
~~-40
Finalement la matrice de K dans la base ~i/, j/, k') est
de la forme
. . .1. ..

---

IV.3.77
_CX
0
K' { ;
0
0
0
0
]
et ~ est bien antisymétrique, ce qui achève la démoQstrûtion.
~
~
~
7/ Si (i', j') est une ta se orthonormée de (-n) et k' un vec-
teur uni taire normal à (n), la matrice K' de K dans la base
7'
--:t.
~I)
( ~ , J , k
est de la forme
~
o
-k
o
o
o
avec
En effet les relations
4,
~
(
K • k
=:
0,
-+,
~.
k
• K • i
\\
=:
0,
...,..),
....... ,
K • K • j
=:
0,
t T
~
=:
0,
,
l
2
montrent que K est bien de la forme indiquée et la relation q
=:
b
s'écrit
2
(l
2
k
+ 0( )0 =: - q •
~
3
~
-?
8/
Lorsque y décritG(
de façon que ~ • yI 0, le vecteur
-+
_2-4
(~ • y) j\\ (~ • y) garde également un sens constant ; par conséquent
le vecteur
reste constant (en grandeur, direction et sens).
En effet si (f\\ y', "k') est une base orthonormée de LR 3
définie comme préaédemment et si
\\k
\\}
b /
K' =:
-k
0
~ -+-
est la matrice de K dans cette base, pour le vecteur Y de composantes
,
. ,
(x o ' Yo ' Zo ) on a
~
2 - t
2
'2
(~ • y) A (~ • y) =: q
(c{x
- 2 k
o
~ _1'
--t
La relation K • Y ~
0 qui se traduit par
...1..•f

---

IV.3.78
montre que
,
'2
0( Xo - 2 k x
Yo
- /'0
'2
Y
li a
o
0
dès que
'2
'2
x
+
Y
:>
0,
0
o
c'est+dire que la forme quadratique
f (x', y') ~ o(x'2
_2 k x' y'-j
'2
Y
est définie; d'ailleurs cela ~ésulte directement de l'inégalité
2
,ri
2
k
+ o<)a
= - q <" O.
Soit ~
un autre vecteur de composantes (x1"
Y1"
z1')
~.
ettel que
> a
on a
puisque f a un signe constant • Cela veut dire que les deux vecteurs
4
.~
~
~
2--t-
(~ • y) A (~ • y) et (~ • Y ) /\\ (~ • Y1) de m~me direction (celle
t
de la normale à (fT») sont aussi de m~me sens, c'est ce qu'on voulait
prouver ..
Dans la suite on désignera toujours par ( TI ) le plan pro-
pre de ~ pour la valeur propre double - q2, par D la droite passant
par l'origine et perpendic,ulaire à (TI) et on appellera sens posi-
~
2
~
tif de la normale à (ID celui du produi t vectoriel (K • y) /\\ (~ • V)
-';<
-7
pour ~ • y
-# O.
IV - 3.2 - Calcul de l'exponentielle de K.
A partir des relations
- 2
:::
q
K,
- 2;2
:::
q
-
'
il est facile de voir, par récurrence, que pout tout entier p ~1,
~p ::: - ..; ( -t)P 2p 2
q
K
q
et que pour tout entier p :::r 0,
~p+1=:; 1
2p+1!
( - 1)P
K •
-
q
q
.../ ...

---

IV.3.l9
Par conséquent, si m est un nombre réel,
lX)
-c
2p2p
0\\}
(m
p
q)2
f
m
~
1
_2"
(
)p
L..J
7 - - ' \\ 0
== - ......,. ~ L
-1
----- .
,2 Pl 1
L
-
j
p=:1
(2 p) 1
q
p=1
Dans la série du second membre on reconnatt cos m q - 1,
donc
rJV
2p
2p
'"
m
K
1
2:-=-c~s m 9.-
i
~
•
t2PJT'
==
2
p==1
q
De m~me
co
2p+1
K2p+1
'"(1
m
sin m q
6
----.....- = ------ K •
q
p:O
(2 P + 1) 1
On en déduit que
ml<
e - = 1 + .l. K 2 + ~in m q K
2 -
q
q
IV - 3.3.- Etude des lignes de courant.
Si l'on tient compte de la formule (3.2.1) et de la rel~tion
12 == _ q2 ~ ,
l'équation (1.6) s'écrit
-.."
1
~
--7
1
2
~
) [-j ()
1
2.
-7 (
\\l
~
== -qr ~ • e (t) + X + qt K- • X + (<7(; - ~ 0
e
t
+";(.!S • e t~
1
.
+ -.. s~n q
L>
\\Jo
-
[~ 1
~)
(c~ - "l:' ) K. X' - ? K • e (t )
cr -
q
1.
- - cos q ('r' - b ) ~ [ X- t~ K.;' (t) ]
2
">0
-
•
4 , -
q
q
C'est l'équation de la ligne de courant qui passe par le
~
~
point Mo tel que
0 Mo == X.
Soit~ le point du plan (ïT) défini par
OÂ
==
12~ •-;: (t)
q
et posons
~
= X,
- }
y
•,
on a
- j
-7
--->-
r
\\ 0 !vi ==
011 -il-- i l M ,
)-)-
- 4
oIt + f'L M ,
L0 Mo ==
o
ce qui s'écrit
.../ ...

---

IV.3.80
1
~
= ~~. e
q
~
4
= -1- K • e (t) + Y.
q2-
Si on porte ces relations dans l'é~uation (3.3.1) elle
devient
X =1
2
+ - ; K
• Y+ (c~ - et) [ i (t) + - ; ~ • i (t)]
q
q
1
-f
1
2
~
+ ~ sin q (st - cr;~) ~. y -7 cos q ('7{; - t'o) ~ • Y. (3.3.3)
C'est l'équation de la courbe (3.3.2) lorsque l'on porte
l~origine de l'espace au point.JI~.
L'équation (3.3~) entraîne que
,
~
K .X = ! sin q (c- - CZ; ) I2. -; + cos q (C(; - d' ) K • t
-
q
0
-
\\
; 0
--7-~
4
2
~
de sorte que, si ~ • y ~ 0 (alors K. Y et ~ • y sont linéairement
~
indépendants), la fo~ctiorr K _.)( ne s'annule jamais qunnd q;' varie.
Par conséquent si on appelle li là. perpendiculaire à (If)
au point i l on peut déjà dire que si la courbe (3.3.3) rencontre la
--;;.
-t
droi te /\\ ( L"::, a pour équation ~ • X = 0) elle se confond nvec
fj
ou se réduit à un point de l\\. On peut aussi remarquer que la cou~
~
~
(3.3.3) n'est fermée que si ft (t) + .1... ~ • e (t) = 0, c'est-à-dire
2 -
-7 (
)
(-~)q
si e
t
est nul ou parallèle à
1\\.
--7
1
1
.
Le vec t eur - - Sl.n q(CZ;-~)K.Y-­ cos q (et - cr: 'i .1
q
0 - 2
o
~
q
représente la projection orthogonale de J- sur Cl') ; donc si on pose
--}.
-)
1:.2
Ir
l( = - 2" ~ • ../~ ,
q
on a
-4
1
- 1 - . ?
---1'
~- = q sin q (b - 9: ) K • Y - 1_ cos q ( "0 - ce ) ~ • y •
o
2
0
-
q
(3.3.4)
Cette équation s'écrit aussi, si on pose
~
1
2
4
y = - - K
.Y,
2 -
~
q
~
~
-n = 1 sin q (<Tt: - cr:: ) K • Y + cos q ("'0 - ct ) y •
L
q
0
-
0
La courbe du Plan(rr) décrite par le point m défini par
~
~
~
~ m = ~ et qui passe par le point m tel que ~~mo =)test la
o
.../ ....

---

IV.3.81
projection orthogonale de la courbe (3.3.3) sur le I:l:m (TI). Or
l'équation (3.3.5) n'est rien d'autre que l'é~ation [III, (2.2.2a)J ,
le plan 0 x y étant remplacé par le plan (11) ; donc la courbe
(3.3.5) est une ellipse de centre ft lorsque -; # ci. Ainsi 1;) courbe
- '
~
(3.3.3), lorsque ~ • y # 0, est tracée sur un cylindre elliptique
d'axe.6 et dont l'ellipse (3.3.5) est la section par le plan (Tt) ;
-4
--?
lorsque K • Y = 0 la courbe est portée pen li} droite il et Sél projcc·,;;,·
tian sur le plan (1\\) se f'li t au point Jt • On voi t en m~me temps que
],Qscourbes(3.3.4)
sont des ellipses de Li!8"jOU.t~ [3]; [4J J.
CilS où t2 • -: (t) = - ci2 1 (of) C: est nul ou parallèle à (TT»:
les lignes de courant sont des ellipses situées dans des
plans parallèles à (1\\).
Dans ce cas ( -; + ..;. t2 . -; = (3) la courbe (3.3.3) se
déduit de la courbe (3.3.5) pa~ la translation de vecteur
-}
1)'
2
~
~
y + -:2 ~
• y ; c'est donc, suiv1nt que! • y est nul ou non, un
q
point de l'axe.6. ou une ellipse centrée sur b. et si tu6e dClnS le plan
parallèle à Cff') passant par le point Mo.
Les lignes de courant sont
:11 ors , délns ch:lque plan parallèle à (TI), des ellipses homothétiques(1)
centrées sur ~ :
(U) est la trace de b. sur le plan des courbes). Ces ellipses sont des
cercles si et seulement si K est antisymétrique.
.../ ...
,-------- -----------------------------
.
j
,
"

---

.2....,)
2 _-'
-1-
IV .3. œ
Gns où A
• e (t) + q
e' (t) /:. 0 : les lignes de courant sont
des courbes gauches non ferm6es trac~es sur des cylindres el-
liptiques.
2
----"
2->
J--;>
(
Lorsque!
• e (t) + q
é (t) ~ 0
la courbe
3.3.3) ren.
contre le plan (TT) en le point A pour lequel 13 v3ri3ble G6 a la va-
leur at 1 te 11e que
~
1
2
-~
Y+2~ .Y+
q
1 sin
q
1
-4
cos q (GG 1 - ac
• y •
2
o ) I2
q
Si on prend le point Mo en A l'équûtion (3.3.3) s'~crit
simplement
J)(
1
= (c>G - ot 1 ) [t (t) + 2., I2 · ft (t)
q
1
~
~
+ q sin q ([)G - cG 1) K • Y1 + cos q (oy; - ce 1) Y1
•
-7
.-"
Lorsque ~ • Y
= 0 (le point A se confond alors avec JL 6~~
1
2
4-
2 ::::;
l ' • Y1 = - q
y 1) la courbe rencontre ln droite fj donc EUe
est
portée par cette droite; d'nilleurs son ~quation sl~crit alors
~
,./1( = (sr - C( ) [ ; (t) + ~ I2 " -; (t)J
1
et elle se confond avec la droite il toute entière.
~
~
Désormais on supposera ~ • Y 10; la courbe ne rencon-
1
-J-' --+, ~,
tre plus la droite tl. Définissons une bûse (i , j , k ) par
les for-
mules
--,)
~ --.>, Y1
i
= V-'
r i ,
1
4
A
-
~
Y
{'
K • Y
1
k'
= W~-X-K-:-~ 1'
: '
4 ,
/\\
-1'
\\
J
= k
1
•
\\.
,
Le sens de'k
est le sens positif de la normale à (ïT)
2---
= - q
Y )·
1
.../ ...

---

IV.3.83
Posons
-)
-----+
---?-
b 1 ::: Y1 1\\ K • Y1
~
~ 2
-
(y 1 • ~ • y 1)
•
On a aussi
~
- )
~
(y 1 f\\
K • Y1) 1\\ y 1
:::
et lesformules précédentes s'écrivent
~
-+r
Y1
i
:::
--::;---
1
y 1 J
~
~
----*
Y
~
1
y 1 1
~
1 • K
• Y 1,
j '
:::
--..=:;.--- K • Y
J 41
_.
1
J
- -ïs~~
-+.
11 /\\ ~ • 1
t1
1
k
:::
--16~-r---; ------ ,
1 E 1 1
~
où
.1
est donné par la formule (3 .3i."?).
1
1 1
-i>
1
1
1
Si on appelle (x , y , z ) les coordonnées de X dans la
~,
~r
~,
1
.....j
- - ) .
base (i , j
, k ) et si on désigne par e
la compos3nte de e sur k
•.
3
•
~
1
2
--1
4
1
~~.
e
::: (e + -- K
• e) • k
~ e • k ,
3
2 -
q
l'équation (3.3.6) est équivalente aux trois équations scalaires
~
....+
•
Y1 • ~ • Y1
1-7
x
:::
q-T~T- sin q ('?; - qt ) + Y 1
1
1
cos q ("G -"b1) t
~
('~" ~)
y':::
161 sin q
-
•
q IY 1,1
•
r
z
:::
e3
(c& - "0'1)
qui sont les équations par3métriques de la courbe (3.3.6) dans le
N'
[
--1-'
~');1
,
repère
SL..; ~i , j
, k
!.J
• Ces equations ne changent pas quand on y
remplace q par - q de sorte qu'on peut supposer q > ü. Si alors on
pose
•
4
1
1
2-7
I:Ll
e+-Z~ .el
h
:::
:::
- - - - q - - - - - , l
q
q
q (o~ _
ct' 1)
J
~ :::
(3.3.10)
les équations (3.3.9) peuvent se mettre sous la forme
.../ ...

---

IV.3.84
~
~
1
:.t..:..; ·
X
==
~
~
~
sin \\S(.
+ IY11 cos i-f
q IY 1/
2i
1
11
sin V(
,
'1
1
Y
==
q~
1
~ h LÇJ
,
j
Z
==
(3.3.11)
où la variable ~ prend toutes les valeurs comprises entre _ ~
et +(/) et où
r
1
+ 1
0,
t si e3 >
E ==
si e " < ü.
3
La seconde équation (3.3.11), si l'on tient compte de la
troisième, s'écrit
~
. 1
j Li t l
y..
E. -.:+--
sin
q IY 1: 1
Cette sinusoïde représente la projection orthogonale de 11
courbe (3.3.11) sur le planJ"ll,.. yi Zl ; son graphe:
z'
1.'
li"l'
T
1
1
1
1
1-:-=:~-----7)y'
-----,.'-=Z1-1 -~- EL
1
'\\'~11
9111 1
i
(-::-1
t :: 1
montre que les lignes de cour2nt, lorsqu'elles ne renGon-
trent pas la droite .6 , s'enroulent au tour de cette droite à la ma-
nière d'une hélice circulaire (Cf. Fig. 10)
...1...

---

IV.3.85
.... ,!,
,.-
....
1
J::/
1
'- '- ,t, -<'
,
.
....
1
,
/
1
'-
,.-
/
l'~,-,
\\
k ' / 1
/
, '-
~
1
2
~
/
\\
\\
e + -- f( • e
\\V
1
1
1
_---1--- ......
rq2 - ,
.---!-- ....
/
'-,
i ~/
i
.fiL
0
li" r
t
, ,
-..,>
1
2
....
e + -- K • ~
e
............
1
cj2-
I~..... /'
'1'- ......
1
....
~
E.=1
t=--1
--7 SENS DE PARCOURS DE U\\ COURBE LORS OU' ON DECR 11 U\\ SECT ION Z· = 0
~
DU CYLINDRE DANS LE SENS POSITIF DES ROTATIONS i\\UTOUR DE 1:::,. •
.-j
lJ DROITE AORIENTEJi DAN; LE SENS POS ITIF DE U\\ NOFü.lli.LE A (\\\\).
. ..1...

---

IV.3.86
La courbe (3.3.11) fait avec ln droite ,b. l'o.ngle
g tel
que
h
cos
Q
jëj- ,
où
2
2 ::: td x')2 (d y ')2
(d Z ,)2
1
'['
2
K
_., 1
C
1
j-f ~
1
1
- - -
+ - -
+
-
::: h
+ -
-
2: - - +
Y1
d~
d~o
d,C)
-:r 2
~
q
-...+ '2 '\\
'-1'
Y
1< ''/
+! II~ -l~ 121 cos 2t.p - 1- _. 1 sin 2~
2
q
J
q
(on a utilisé la formule (3.3.7») •
Cet angle est indépendant de la vo.rio.ble ~ si et seulement
2
2
1
!S • 1 1
::: q2 [1 1
1
1
-+
~
{
y1 • ~ - y; ::: 0,
~
-J
ce qui s'écrit encore (K2 • Y ::: - qf y J
1 • K. t 1= 0.
1
}
1
1
2
~.2
2 ~ 2
(3.3.13 )
q
l! - y 11
::: I! · y 1\\
•
Les équations (3.3.11) s'écrivent alors
,
x :::
r cos ~,
,
i
y
=
r sin ~
,
~J
~ h LÇ
• :::
où on a p<:Isé
.,
la courbe (3.3.1~ est donc dans ce cas une hélice circul~ire de pas
égal à 2 TTh et la,kariable ~ n'est rien ct 1 autre que l'angle polaire
n
,
,
dans le plan ~~ x
y: :
M
1
f t : - - - - - t - - - - - 4 '1
...1...

---

IV.3.87
~
J--+
(1)
Comme K • Y1 ~ 0
on sait
que les relations (3.3.13)
n'ont lieu que si le tenseur ~ est antisymétI'ique. Ainsi lorsque ~
est antisymétrique les lignes de courant, lorsqu'elles ne rencontrent
PdS la droite ~ , sont des hélices circulaires de m~me ~as tracées
sur des cylindres d'axe A •
Lorsque ~ n'est pas antisymétrique ce sont des courbes tra-
cées sur des cylindres elliptiques d'axe LJ dont les sections droites
sont des ellipses hémothétiques et qui s'enroulent sur ces cylindres'
à la manière d'une hélice circulaire.
-}
1
2.
-+
RENu\\RQUE -
On voit que quand le vecteur e + "2 ~
• en' est
q
pas nul la forme des lignes de courant dépend à
la fois de K et de
ce vecteur (h en dépend) de sorte que, à moins que ce vecteur soit
constant, ~ lignesde courant se déforment dans le temps: dans un
intervalle de temps OÙ ce vecteur est constant le mouvement des li-
gnes de courant est le mouvement de translation déterminé par le
mouvement du point ~ •
Conséquences pour le mouvement.
L'expression de la vi tesse ,
->.
~
-..;.
~
V (~ , t)
= ~ • i + e (t)
et les propriétés des lignes de courant que nous venons d'établir en-
tratnent les résultats suivants:
1/
A un instant t la vitesse est uniforme le long d'une droite
parallèle à D ; en particulier la vitesse est égale à ~ (t) le long de
~
J-+
la droite D elle-m~me donc, si e (t) ~ 0, les lignes de courant qui
rencontrent D sont tangentes à ~ (t) le long de cette droite.
2..;>
_2
~
- 2/
Si à l'instant t le vecteur q
e + ~-
• e est nul l'équa-
tion
-7
-+ ( )
-+
K.'~ +e
t
:;;:: 0
s'écrit
r -~ ~ ·-:
K • [
(t>] = r; l
.../ ...
----------
------------------------
(1)
(U. ~ IV-3.1.

---

IV.3.88
c'est celle de la droite ~et les particules de vitesse nulle à cet
instant sont si tuées sur cette droite.
2 ~
_2
...-j.
j - 7
Si, au contraire, à l'instant t
q
e
+ K- • e ~ 0
l'équation
-7
~
+ e (t) :: 0
n'a pas de solution et la vitesse ne s'annule en aucun point (la vi-
,
l
,~
1
_.-?
~
A
)
tesse est ega e a e + ~ ~ • e le long de
~
•
q
2.4
2-
• 3/'
Lorsque le vecteur q
e + ~ • 1 est identiquement nul,
2
K
• 1 (t) + q2 1 (t) =: "3,
-
le vecteur Et (t) est constamment pnrallèle au plan (1\\) et le mouve-
ment se fait parallèlement au plan (If). Si ce n'est pas le cas le
mouvement n'est pas plan, les lignes de courant n'étant pas toujours
des courbes planes. L3 condition
i . i (t) + q2 ~ (t)
-0
est donc une condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement
soit plan et, quand cette condition a lieu, on retrou~ le second mouve-
ment étudié au chapitre III, le plan (Tf) remplaçant le plan 0 x y •
En pnrticulier si le vecteur -? (t) est constant le mouve-
r .;
ment n'est plan que si
+ q2 -; :: "3' ; les trajectoires sont alors,
dans le plan du mouvement, des ellipses homothétiques et la droite ~
~
reste fixe au cours du mouvement. Lorsque e (t) est constant et que
2
-t
2
-1
~- • a + q ~ J 0 on obtient un mouvement dans lequel il existe une
droite, la droite Ll , qui glisse sur elle-m~me avec la vitesse cons-
--1
1
2
-4
tante é + ~ ~
• é ; les autres trajectoires sont des courbes gauches
q
tracées sur des cylindres elliptiques d'axe .6.. et qui s'enroulent au-
tour de !::l à la manière d' une hélice circulaire.
4/
Lorsque! est antisymétrique le mouvement est un mouvement
de solide
les lignes de courant
à l'instant t sont des cercles
centrés sur ~ si q2 -: (t) + ~ • -t (t) :: b, des hélices circulaires
2 ~
_2
-7
1 -:;
d'axe
~ sl q è (t) + ~
• e (t) ~ 0 (la droite ~ est elle-m~me
-;
une ligne de courant). Si
de plus
e ezt constant, le mouvement est
...../. ~.

---

(1)
IV.3.89
un mouvement de rotation uniforme autour de
~
si
2 _
_ ! / '
uniforme
q
e + E"
• t' = 0, un md>uvement hélicoidaVautour de .4 si
2. ....
2.
~ ,->t(
( )
)
q
e + ~
• e r 0
les équations
3.3.14
sont celles des trajectoires.
IV - 3.4 - Equations des trajectoires
Avec la formule (3.2.1) l'équation (1.5) des trajectoires
prend ici la forme
f
2
= X+ (t -: (r;( )
[x
d cf + !2" K
•
+ j t -: (c< ) ct ri l
i,
q
t
-
0
+ ~ ~ : Lsin q (t - t o);( + ft sin q (t - c( ) -: (ri, ) do(]
t
~ 2
-
K
• Lcos q (t _ t o) 1 ~t .os q (t - 0( ) Et (<:() do(]
•
t
(5.4.1)
o
Lorsque ~ (t) est constant cette équation s 'écri t
~
1
-4
-;
1 2
--4
~
1 2 - 4
f
="""L!. e + X + ~ ~ • X + (t - t o) (e + L ~ ~ e)
t
q
q
q
+ _qt sin q (t - t ) K •
o
-
_!- cos q (t - t
(3.4.2 )
o ) ~
2
q
On voit ,biou que si ~ (t) est constamment parallèle à (1\\)
(12
~
2
~
• e + qe~ 0)
les trajectoires sont situées dans des plans paral-
lèles à (îT).
IV - 3.5 - Calcul des contraintes.
Les contraintes sont données par les formules (1.7) et (1.8) ;
'1 = - p l
+ .!: (~),
r
p
1
2
-:;1
-) ~
0\\
- T
(t), )
=
• (2' ~ • '( + ~ • e + e) + (,Av - h
.!: étant une fonction isotrope de ~ qui ne dépend que du fluide consi-
déré. Lorsque ~ est antisymétrique le mouvement est un mouvement de
t
solide et
[6] , pp. 19-20 }
.!: (~) = 0
.../ ...
_ _ _ _ _,
-
_ _'-1

---

IV.4.90
IV - 4
ETUDE DU CAS 3.
Cette fois-ci la matrice K vérifie
== 0,
< 0 •
Si on pose
2
q
== - b
l'équation caractéristique de K s'écrit
v ( v2 _ q2)
== 0,
ce qui montre que K a trois valeurs propres réelles dictinctes : 0, q,
-g.
Pour l'équation de Cayley-Hamilton on a
K3 == cf K ;
ceci montre bien que le mouvement n'est jamais viscométriquelC6] , p.29}
car ~ 1= O.
-
IV - 4.1 - Quelques propriétés du tenseur ~
Appelons D, D , D 1es droites passant par lIorigine et res-
1
2
pectivement parallèles aux directions propres de ~ pour les valeurs
propres 0, q et - q :
( -).
..;. ~ l,
D =) X / K • X == 0
,
\\.
-
.)
ç~
~
-)(
D1 =1,. X / ~ • X :;;: q X J '
D
==fx/ ~ • -; = - q X}.
2
D est le noyau de l'application linéaire
~X
K
-4
x
---7-> _ .
•
Le plan (n) déterminé par les deux droites D et D est
1
2
perpendiculaire à D car c'est le plan propre de ~ pour la valeur
propre double q2
(K2 est symétrique) 1
])1
Â
0
D~
2
( Tf)
= ft / K
. - [
")
c?~}.
=
l
-
.. .1...

---

IV.4.91-
Les droites D et D sont lX:.:pcndi.cubires. si et seule-
1
2
ment si K est symétriques
Le plan (11)
est aussi l'image de l' applica~ion linéaire
~
~
X
)
K..X;
cela résulte de la relation
=
et du fait que cette application linéaire est de rang 2 (le noyau D
est de dimension 1).
Désignons par (D, D ) le plan déterminé par les droites D
1
et D et par (D, D ) cell:::'déterminé par D et D
; alors on a les pro~~
1
2
2
priétés suivantes :
~
1
2
~
- 1/
Pour tout vecteur
cl le vecteur 2 ~ • d est la pro-
q
--j
-
jection orthogonale de d sur (1\\).
"'--+
- 2/
Pour un vecteur
Y,
~
-4-
2
-4
-4
K • Y = 0
~
K
• Y = o )
-4
) # ~
-+
~
Y E. (D, D1
• Y =
q ~ • Y )
-
-4
) ~
~ -+-
-1
Y r; (D, D2
• Y =
"- q~.'t.
La propriété 1/ et la première partie de la propriété 2/
se démontrent exactement comme les propriétés analogues énoncées au
paragraphe précédent. Pour la seconde et la troisième parties de la
proposition 2/ considérons par exemple la relation
-+r
2.
~
~
Y 1::. (D, D ) # ~
.
1
Y = q ~ • Y ;
~
-.
~1 est invariant par l'application linéaire X ~ K • X donc, d'a_
près la relation
J2 = q2 ~
dire que K?- • "1 est èart~:: D1 revient à écrire K2 .~Y = q K • ~
Y :
~ .tc:-
2
D R
K
.1 = q K.1-
1
~
Or dire que Y appartient à (D, D ) équiva~t à dire que la
1
~
projection orthogonale de Y sur (Ir) se fait suivant la droite Dr
1.
-7
c'est-à-dire, d'après la propriété 1/, que K
• Y appartient à Dt
d'où l'équivalence
.../ ...

---

IV.4,92
~
2
-*
-4
Y t
(D, D1) #
~- . y :;: q ~ • Y.
On démontre de m~me l'équivalence
1'~(D,D2)#- I2.~!!-q~.1.
Deux
autres propriétés que nous utiliserons dans la suite
sont les suivantes :
3/
Toute droite parallèle à D a pour équation
.
-.,
4t
K • X:;:
c .
41-7. 1)
(
-+-,
-
4/
Si ( i , j
est une base orthonormée de
1\\) et k
un
.
,
vecteur unitaire normal à (1\\))la matrlce K
de K dans 13 base
,1 ~t ~I
(i ,j , k ) est de la forme
,
k
J}
o
,
K =
rA
- k
o
o
o
o
avec
2
:;: q
•
La démonstration de la proposition 3/ ne présente aucune
difficulté; quant à la proposition 4/ elle se démontre elCactement
comme la proposition analogue énoncée au paragraphe précédant.
Dans la suite D, D~, D~, (11) désigneront toujours les
droites et le plan que nous venons de définir.
IV - 4.2 - Calcul de l'exponentielle de K.
Des relations
2 K
q
-
1
2
{~:;:K4-:;: q ~-J
on déduit fuilement par récurrence que pour tout entier p 11 t,
1
2~
~P :;: -2 ~
~
q
et que pour tout entier E
.:;::.- 0,
~p+1
.1
2p+1
'= -
q
K •
.q
Il en résulte que, si m est un nombre réel quelconque,
.../ ...

---

cF-J
IV.4.93
00
2p I2 p
p
(m q)2
'"/
>
2
:._-=-- :: 2..- 12
1
L-.r
- - = - ( Ch m q - 1) ~1
L..-,
(2 p) L
2 -
(2 p) l
p::1
q
p::1
cf
00
2p+1
2p+1
00
(m q)2 p+1
"" m K
-ç-
1
L
~2-p"i)1--- :: *.!5.
(2p~1Ti :: - Sh ID q
q
.!5..
"---
p::::O
p::o
d'où mI<
::: I-1.. K2. + Sh m q K + Ch m g J2 •
e-
- 2 -
q
-
2 -
q
q
IV - 4.3 -
Etude des lignes Ge courant.
La formule (1.6), qui donne l'équation de la ligne de cou-
rant passant par un point M , s'écrit, lorsque l'on tient compte de
o
de (4.2.1) et de la relation ~ ::: q2 .!5. '
-+
1
4
- i
1
2
~
_
cr=-
r~
1
2
~ 1
~ ::: - 2'.!5. • e (t) + X - -2.!5. • X + (et - Go) L (t) - -~ ~ • e(t) j
~
q
q
q
1
+ - Sh q
q
1
... ""'2' Ch q
q
Si l'on porte l'origine de l'espace au point JÎLdu plan
(11) tel
que
~
1
--*
o.fl ::: - - - K • e (t)
2 -
q
et si l'on pose
~
AM :::
~
J'LM :::
~
y ,
o
l'équation de la courbe (4.3.1) s'écrit
~-4 11 2 -4-
~
r~
r _2 -4
l
:e = y - ;j 15. • y +('G - '7: 0) le (t) - ? ~ . e (t)j
1
---'>
1
2
~
+ q Sh q (G - 't 0) .!5. • y + 2' Ch q (CC - 't 0) ~
• y •
q
(4.3.2)
Dnns tout ce qui va suivre 6, Ll et b..
désigœ ront les pa-
1
2
rallèles à D, D et D menées par le point ~:
1
2
.../...

---

,,
IV.4.94
L'équation (4.3.2) entraîne
~
1
2
--4-
~
K • Y = _
Sh q ("t - cr. ) ~ .. T + Ch q (1;-~ )K.Y,
j\\.
q
"'0
-
"0
-
-+
)
• Y,
~·.X =qShq (ec-~o)!S.. 1+Chq (9;-ct ~
o
_2
~
-4
-q ( "0- cC 0)
~ -4
~
~ ·X - q !S. "X = e
(~ • y - q ! . y) ,
1
~
(4.3.3)
Ces relations montrent que si la courbe (4.3.2) rencontre
l'un des deux p13ns ( ~, 1)1) et (~, ~ ) elle est toute entiÈr2
2
(1)
située dans ce plan: l'équation du plan (~ , ~1) s'écrit
~
~-t
~.J\\-q~. X = 0)
celle du plan (Jj , 6
)s'écrit
2
2
-+
-)
~
K
.X+q!S.·)C=O.
En particulier si la courbe coupe la droi te ~ elle est
entièrement portée par cette droite (la droite 1)a pour équation
-?
~
K • Je = 0). D'autre part lorsque la courbe se trouV2 dans le plan
-7
• Y.
De m~me quand olle est dans le plan ( ~, ~),
~
-q (""C - CC)
2
~
K2 • fi = e
°0
K
• Y.
Cela montre que si la courbe
est dans le plan (D, .D. )
1
ou dans le plan ( ..6, .6 ) J à moins qu' e lIe ne rencontre la droite 6.
2
...1...
----------------------,-----
(1)
Cf. ~ IV-4.1.

---

IV.4.95
elle se projette sur le plan (11) suivant une demi-droite portée par
~1 dans le premier cas et par 6
dans le second cas; par consé-
2
quent )si elle n'est pas portée pâr la droite L\\elle7t~ute er.tière
d:ms l'un des demi-plans délimités par la droite !J •
Si on désigne par m la projection orthogonale sur le
plan (Il) du point courant M de l'espace et par mo celle de Mo et si
on pose
~
==
ft m ,
~
==
-5'\\..
m,
o
la projection orthogonale de la courbe (4.3.2) sur le plan (11) a
pour équation
~
1
~
~
te == 9' Sh q (00 - cbo ) ~ • y + Ch q (cl) - "to) y.
Cette équation n'est rien d'autre que l'équation [III,
(2.3 .4~)l' où on a fait LA) = q, le plan (1T) remplaçant le plan 0 x y
-}
donc la courbe (4.3.4), lorsque y est non nul, est ou bien une demi-
droite portée par L1
eu LJ
ou bien une hyperbole ayant pour asymp-
1
2
totes L\\ et Ll2..
_2.At
2 ~
~
Cas où ~ • e (t) = q
e (t) (e est nul ou paraùlèlo à ( 11)) :
les lignes de courant sont des courbes planes.
Dans ce cas la courbe (4.3.2) se déduit de la courbe
l q . .
--+
1
2
~
(4.3.4) parjtranslat10n de vecteur Y - ~ ~ • y ; c'est donc uno
court. située dans le plan parallèle à (li) passant par M ct oui est,
o
.
suivant le cas, un point de la droite D, une demi-droite p3Tallèle
à 6
ou b'A ' une 9'fperbole centrée sur b. et dont les asymptotes
1
sont parallèles à il
et ~ • Les lignes de courant sont donc des
courbes situées dan~ des pians
1parallèles à (TT) et, dans chaque plan parallèle à ("n), elles ont
l'allure suiv~nte :
.../ ...

---

IV .4.96
FIG. 11
Le centre des hyperboles est la trace de
L sur leur plan
sur le plan des courbes, sont des droites parallèles à
D 1 et b 2.
Les courbes dont le graphe est situé dans des angles oppo-
sés par le sommet sont homothétiques les unes des 3utres 8t ces hy-
perboles sont équilatères si et seulement si ~ est symétrique •
. 2
--;
2 ---t-
/ ~
Cas où ~ • e ~) - q
e (tf r 0 : les lignes de courant
ne sont pas toutes des courbes planes.
Ici la courbe (4.3.2) coupe le plan (1\\) en le point A
correspondant à la valeur "C
de la \\l3riable cr; telle que
1
~
1
2
~
- b0 [~
1
2
~
y - ~~
• y + ( 0'
"'"
)
e (t) - L!
• -: (t)]
= o.
°1
q
q
Posons
-::-4
-4
~
.flA = Y1 = Je (~1) = ~ Sh q (ot - ce ) K • 7
q
1
0
-
. 2
~
+ ·4 Ch q (Cl, - "6 ) K • Y,"
1
0 -
q
alors l'équation (4.3.2) s'écrit aussi
~
'[-4
1 2
4 l 1
~
_/\\ = (~- % 1) e (t) - l K • e (t)J + q Sh q ( 't - et1) ~ • y 1
-'Jo
+ ch q (% -
( 4.3.5)
~1) y1 •
Lorsque A est un point de A ·ol..l ~2cette équation peut encorê
1
~
~
s'écrire (~ • Y = : q Y
1
1)
--'JI.
4
~
! q( CC - ce ) Y
X= C~ - ce1) [t (t) - 1 ri • e (t~ + e
1
t
2
q
(4.3.5a)
. ..1..•

---

IV.4.97
(on a le signe -#- si A est sur 6.
le signe - si A est sur .6 ).
1
2
On voit bien que dans ce cas la courbe est dans celui des
deux plans (.6, A 1) et (D ,Li ) qui contient A. Si A est en )lIa
2
courbe se
confond avec la droite ~ toute entière. Si ce n'est pas
le CiJS plaçons-nous dans le plan ( L , /J. 1) ou dans le plan
..........
( 6, ~) suivemt le C) s et appelons l::.. la droite ~ orientée dans
--+
1~-~
le sens de e (t) - -Z _
• e (t), la dro i te b 1 ou b 2 étnnt orien-
q-.
--)
tée dans le sens de Y1 :;::
j\\- A
:
~
b.
A
Ll 1
.-C"L
'(,
0<)
.:';,2
-"1 ,
--).
Désignons par i
le vecteur unitaire de l'axe Sl A, par
~/I
---'1'
k
celui de
t6. et pOsons
1
-}~,
(
x
:;::
X • ~
)
1
--,;,.
~ 1
î z = j( • k
1
-4
1
2
-4
.-:),
~ ~,
\\
e1 :;:: (e - ~ ~ • e) • k :;:: e • k >' 0;
q
4 ,
-+'
dans le repère [~'~; (i , k )J les équations scalaires de la courbe
(4.3.5a) s'écrivent
{:: -4 ~q kG-cs )1
:;:: IY11 e
1
:;::
e~ ( 0"(', - eïb1) )
d'où l'on déduit
,
x
:;::
•
,
On voit que la courbe est située dans le demi-plan
x
~ o. On peut supposer q ;> 0 : changer q en -q revient simplement
à écr.élnger les rôles de 6
et 1:::.
; alors dans le plan (jj., 6
) et
1
2
1
d:ms le plan (.6 , .6 t.) les lignes de courant sont les courbes
.../ ...

---

IV.4.98
~
L::,
t
1
1
FIG. 12
Ces courbes se déduisent les unes des autres par ~ffinité
4
d'axe
~ lorsqu'elles sont situées dans un m~me plan.
Supposons maintenant que An' appartient ni à ~ 1 ni à ~2 ;
alors la courbe (4.3.5) est une courbe gauche car
~
~
~
1
_2 ~
= (y1!\\ !. y1 ) • (e - ~ ~. e) /: 0
q
et elle est inscrite sur le cylindre hyperbolique d'axe ~et dont la
section par le plan (7\\) est l'hyperbole
-+-1
~
4
Q= - Sh q (et - ~ 1) ! · y 1 + Ch q (~ - C(; 1) Y1 •
q
Comme la courb~
n'est pas plane elle ne rencontre ni le
plan(.6, 6
) ni le plan (~,62).
1
Soi t ct', l' , t') la base orthonormée définie par les for-
mules
~
~.
Y1
i
:;::
ln
1
....
-?I
I"t
-+
-'>-
1
1
~
Y-1 • K • Y1
j
:;::
12t r!5. • Y1 - -"-IZ~- i
1
--4
-4,
D'1
k
:!.
,
-~--
1 D.
j
1
...1...

---

~
IV.4.99
où Lj
désigne le produit vectoriel
1
-.;.
~
-4-
~1= Y1/\\~ • Y1 ;
on a
~2
--42
4
4 2 -
== IY 11
I~. y 1/
- (y 1 • ~ • y 1)
•
4-,
-",
-'l>,) ]
Dans le repère
[ 5L; ( i , j
, k
'
1
Z
t
~I~'/
k
5'
.
/
n
i' A
&_-----_--:_-) :)( ,
les équations de la courbe (4.3.~ s'écrivent
,
~
-4
Y~ • K • Y1
-1
x
=
q I~ 1
Sh q (ci - <=(, 1) + 1
y 11 Ch
~1
1~11
y
=
=4
Sh q ( % - CS 1)'
,
9!Y1 1
z
=
e ' (G - ct 1)
3
,
'
....
-~u e
désigne ln troisième composante de e 1
3
,
4~'
(
~
1
2
,.+' \\
~,
e3
= e • k =
":J
Q
-
~ • e ) • k •
On peut encore supposer q ~ ° car les équations
(4.3.7) ne changent pas quand on change q en - q. Posons alors
~
1;
2
4
le --2 K
• el
')
=
_ _9..-=-
_
k =
q
q
\\/
les équations (4.3.7) s'écrivent m': intenant
,
7 .~.Y;
~
1
x
=
-~-- Sh ~ + IY11 Ch i.~ ,
q IY 11
~
,
1Dtl
y
=
--.....~-
Sh
cf,
,
q JY l
1
z:
=
~ k c-? ,
où
0,
,
1 si e
L:.-
3
0,
la variable ~ variant de - 00 à + Co •
.~ ./...

---

-,)
1i
_2 IV~4.100
Orientons la droite~ dans le sens de e
~ • e
- L _
et désignons par ~ son vecteur unitaire:
q
--,>
1
2
~
~
e--;!5... e
S = _
_
_
11- ~ ~ . -;1
q
alors
~,
• k
•
La valeur de E ne dépend que de la position de la courbe
(4.3.6) par rapport à ~
etb
• En effet le long de la courbe
1
2
..... t
= c
•
Lorsque A décrit le plan (n) amputé des droitos ~ 1 et~2
les courbes (4.3.6)couvrent toute cette partie du plan. Si on consi-
dère les quatre angles déterminés par les deux droites -~---~ concou-
rantes ~ et~ et si on les numérote comme suit
1
2
JI
l
on sait que uelles de ces courbes dont le graph~est situé dans les an-
gles l et III ou II et IV sont homothétiques ; par conséquent le vec-
teur unitaire
-..+
~
-.),
-of
Y1 A K • Y1
k = f (A)
=::$
---:::r7
IY1Â ~. Y11
est constant (en grandeur, direction et sens) dans les régions l et
~,
III et dans les régions II et IV. De plus k
change de sens quand on
t~verse la droi te LJ.
nu la droi te il 2. Il en résulte que, pour.-.>
1
\\"
...;:."
:; donné (non nul) et normal à (lï), la quanti té scalaire ~ = 0 • k
a la m~me valeur dans l et III au dans II et IV et change de signe
quand on traverse la droite~1 ou la droite ~2.
Si maintenant on revient aux courbes (4.3.9) on voit
que ~ a la m~me valeur pour toutes celles dont la projection sur
.../ ...

---

IV.4.101
(Ir) se fait dans l et III ou dans II et IV; en d'autres termes, le
-+, ~, ....>
repère (i ,.j ,S-) est direct ou non suivant que la courbe (4.3.9)
se projette sur (TT) dans les angles l et III ou dans les angles II
et IV. On peut maintenant remplacer les équations (4.3.9) par les
équations
~
4
,
Y1. K • Y
4
1
X
= -----....----- Sh \\R + 1y 11
Ch (-fl
'
q 1Y 1
,
1
y
=~~ ShLÇ,
~/
z
;;
k \\.? ,
;..-}
J
ri'
~, ~')
en identifbnt -rI à S-
mais alors le repère ~1 , J ,k
n'est
toujours
pasj&ïrect : son sens dépend de la projection de la courbe sur le
plelO (n). La courbe (4.3.9a) est \\oujours située dans les dièdres
, ,
"
y z > 0 ; sa proj action sur le
(.
plan.J l Y z a pour équCltion
-..,)
6
,
,
1
1 1
z
y
= ---- Sh
k
q
1
1
1 1
et pour graphe la couroe
1
t Z
1
ou 13. courbe
.../ ...

---

- 1
/~ L
1
1
-----
1
1
,
....;
...:;.
-+-
L3 première correspond ~u C2S Où le repère (il, jl, kt) est
direct, la seconde au cas où il ne l'est p3S.
Finalement les lignes de courant, lorsqJ~ilGs ne rencon-
trent Po.s les pllns (6,.6 ) et (b. , 6 ), sont des c ourb\\J s de la
1
2
forne
1
!
i
,
I~
+5'
/ "'Y
1
/"'
"
'
/
/ '
_f1
'---'~/
,
,
;
/ '
...
!
TI\\
/ " 1 /1
1
/'~ {J~
--------;~-r---
1
l
"'-
------.--------r----------
/
/
FIG. 13
.. 0/•••

---

IV.4.103
ou de la forme 1
\\
\\
FIG. 14
L'angle e de la courbe (4.3.93) avec la génératrice du
cylindre sur lequel elle est tracée est donné par la formule
+
k
Cos el
TëT
=:
-
où
On voit qu'ici l'angle e dépend toujours de la variable il
et la courbe n'est jamais une hélice.
encore
Remarque -
On peut noter/ici qu'en général les lignes de courant
se déforment dans le temps: leur mouvement n'est un mouvement de
2
translation que quand le vecteur ~ - ~ K • -: reste constant.
q
Cas particulier ou ~ est symétrique.
Le mouv8ment est irrototionnel et la vitesse dérive du
potentiel
.. ,,/...

---

1
:1
~~
~
\\R == 2:
K .. ~
+ ',r: • e (t) •
~
Les droi tesLl
et .6 2 sont perpendicuL1ires ; soient i'
1
4-,
un vecteur unitaire parallèle à il l' j
un vect~ur unitûire paral-
,
' / \\
D l '
[r
(~I -!, ) ]
,
lele a L.J 2.
élns
e repere
J'...;
~,J
' les equations de la cour-
be (4.3.6) s'écrivent
,
q ( c.:' -
(:;
""'1 )
{x == X e
,
0
,
- q (or, -'{ 1)
J
Y == Yo e
ce qui entratne
"
te
x
y
== c
•
C'est l'équation d'une branche d'hyperbole équilctère
ayant pour asymptotes Ll
et
.4 •
1
2
--()
~(,
Pour e
t
= 0 l'ecoulement se fait alors )arallelement
( '-)
~
-7)
1·
d"
au plan
;1
car v == K • J;
on retrouve le cas parti cu 1er
eja
-
~
Signalé(1) du mouvement de dilatation permanente de Noll et Cole-
man [7 ]
le potentiel des vitesses peut s'écrire
cf "1
('2
'2
== -
q
x
- y
)
2
et les surfaces équipotentielles sont les cylindres hyperboliques
'2
'2
te
x
-
y
= c
Coneéquences pour le mouvement.
Comme pour le mouvement précédent on peut tirer de l'étu-
de des lignes de courant les conséquences suivantes:
1/
A tout instant t la vitesse est uniforme le long d'une
~
droite parallèle à D
en particulier la vitesse est jgale à e (t)
le long de la droite D elle-m~me ;
2
---)
2 -1
- 2/
A un instant t mù le vecteur ~ • e (t) - q
e (t)
est nul 13 vitesse est nulle le long de la droi te 6 ; cbns le cas
contrûire la vitesse ne s'annule en aucun point (la vitesse est
,
, 4
1
2 4
A
egaIe a e (t) - qz ~
• ê (t) le long de p) ;
. . .1...
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _
.._._-----

---

IV.4.105
- 3/
Une condition nécess~ire et suffisante p~ que le
mouvc:ment soit plnn est que l'on 3it
I2 4
2~
-+
• e (t) - q
e (t) - O.
,
Si cette condition a lieu le mouvement se Lü t pnrnlle-
lement à (IT ) et on obtient un cas p.:uticulier du troisième mouve-
ment étudié au ch~pitre III.
-j.
EQ particulier si e (t) est oonst3nt le mouv8ment n'est
l
. l
t
_2
~\\
2...,.
t
l I t
.
, .
t
P an que Sl
e vec eur ~ • e - q
e es
nu
;
es raJec~olres son
nlors, d3ns le plan du mouvement, des hyperboles ou des demi-droi-
-}
2
--T
2~
tes. Si e étant constant le vecteur K • é - q
e
n'est pns nul
on a un mouvement dnns lequel la droite ~ glisse sur elle-m~me
avec la vitesse constû.nte -; - ~. I2 •i
; les autres traj ectoires
q
sont, soit des courbes situées dans les plans (~ , ~1) et
(~'~2)' soit des courbes gauches inscrites sur des cylindres
hyperboliques d r nxe lJ. •
IV - 4.4 - Equntions des trajectoires.
La formule (4.2.1) donne à l'équation des trajectoires
+~ ~ •
q
4
Lorsque le vecteur e est constant cette équation s'é-
crit."
::-"
1
~
1
2
~
~? =
"'"!"i"_K •
(e - 2: ~ • e)
.('~
L
q
q
... ! Sh q
q
+- L Ch q
2
q
· ..1...

---

IV.~.106
IV - 4.5 - Calcul des contraintes.
Pour les contraintes on a la formule
! == - p !.. + L (~)
(4.5.1)
où L est une fonction isotrope de ~ (qui ne dépend que du fluide
considéré) et p la pression qui s'écrit
p
1 ..?·~
...,#
~
OU
- -~- =
(- K- •
-;
+ K • e + e) + l -' - h (t).
(4.5.2)
/-'
2 -
"1
-
.>
Lorsque ~ est symétrique la formule (4.5.1) peut se met-
tre sous la forme (Théorème de Reiœr-Rivlin [16J )
!==-p!+rx~ +~K2
(4.5.3)'
où 6( et ~ sont deux fonctions acalClires de la quanti té b = q2 ;
' d
l
-4()
' d '
-:le)
-'\\0'
.
s~
e p us e
t e s t 1 ent~quement nul : e t = :
,13 press10n
p prend la forme
1
-,>2
-P==-r p v
+ ('
'1J, + f (t)
(4.5.4)
..J
)
,~
ou V est la vitesse et f (t) une autre fonction arbitraire du temps.
IV - 5 -
ETUDE DU C,lS 4.
La mo.trice K est ici symétrique :
1
(
c
=1:
0,
)
1
( b <-
0 •
On peut supposer, sans perdre l a généra li té, que K est
diagonale et on posera
a
0
0
1
K::::
0
a
0
2
C'
0
0.3
Le champ des vitesses prend la forme
u == 0.
x + e
(t) ,
1
1
v :::: 0.
y + e
(t),
2
2
(5.1)
w== a3 !. + e3 (t),
avec
1
+ a
== 0,
2
ta + a
1
3
0. 1
~
a
+° ;
3
)
le mouvement n'est pas
.
' t ·
( [6 .,
Vlscome r1quei
J , p. 29( et le potentiel
/
...1..•

---

IV.5.107
des vitesses ~écrit
2 2 2
UJ = 1 (é1
X
+ a
y
+ a
z
) + e
x + e
y + e
z .
(5.2)
f
2 1
2
3
1
2
3
Si on prend fi (t) consté1nt on obtient un cas particulier
~
-7
de celui de Sl,ütEll'y [17 ] ; en particulier pour e (t) ==
0 on a le
-( 1)
mouvement de di13tution permanente de Coleman et Noll [7 j
: le
potentiel des vitesses s'écrit alors
J)
1
( 2
2
z2)
l
="2 2 x + a
1
2 y
+ a3
et les surfaces équipotentielles sont les hyperboloïdes
te
c
ayant 0 pour centre et pour axes 0 x, 0 y, 0 z.
Les relations (5.1)qui s'éc~ivent aussi
( •x
+
(t)
= a1 x
e 1:
)l •y
(t)
= a2 '1 + e2
•
(t)
• = a, z + e3
s'intègrent directement pour donner
a
(t-t )
1
/t
i1
(t- 1X.)
0
e 1
(t>() do(
x = x
e
+,
e 1
0
1
i0
2 2 (t-\\)
(t- o()
+ r t
32
Y
(5.3 )
= Y e
e
~ ((){) dO(
0
1
/
t o
(t- 0( )
i
+
t
t o
Ce sont les équations paramétriques de la trajectoire de
la pé1rticule qui, à l'instant t o' se trouve au point Mo de coordon-
nées (x , y , z ).
0 0 0
Les équations paramétriques des lignes de courant pren-
nent la forme simple
. . .1. ..
(1)
Le Cé1S particulier où Q1 a
=
2 a
0 a été envisagé dans le
3
mouvement précédent.

---

IV.5.10S
e 1 (t)
x
+
â''"--
=
[x
8
("t- '-?:')
o +
1
~a~t~ 1
e
0
,
a
(--' r;)
uf~ -'
0
2
e
(i!;)
2
y
+ ------
=
3
Iyo + ~:j e
,
(5.4 )
8
2
L
2
("{;_c:r > '
8
'°.0
3
0
e
(t)
3
z
+ - - - - -
j
=
8
~a~t~ e
3
G+
•
On voit que la ligne de courant passant par le point
M de coordonnées
o
e
(t)
2
x
=
,
Y
=
- - - - -
o
o
8 2
se réduit ùu point Ma et N~ est le seul point où, à l'instùnt t, la
vitesse est nulle. Les 3utres lignes de cour3nt sont situees S~
r
Jr
les surf3ces
-,
[x \\~:2 j
\\~
+
L +
t)
L
•
Le tenseur des contr~intes s'écrit (théor~me de Reiner-
Rivlin [ 16] )
2
l = - p 1. + ç\\ 15 +?ù K
(5.5.)
pù 13 pression p est donnée par lù formule
2 2 2
-
p
Y
+ '13 z)
•
•
•
+ ~ (3 e 1 x + 3
e
e
z + e
x + e
y + e
z)
1
2
2 y + 33
3
1
2
3
cu,
+ (J
+ n (t) ,
(5.6)
j
,
t;J,1dis que ~
et Ir sont deux fonctions scalaires de
et de
c =
.../ ...

---

IV.5.109
On a
1 ['
.2
( 2
2
2 ]
3
+ ::\\2 a
+ 3
3. 1 == 2
(a 1. + .a · + a )
-
3
'" a
+ 3
)
,
2
3
3
2
3
1
2
3
3
3 3 3
6 a 1 3.
3
== (a 1 + a
+ a
)
-
(3
+ a
+ 3
)
2
3
2
3
1
2
3
2
2
2
~
- 3 [a 1
(a2 + "3 ) + a2
( a 1 -1- a3 ) + "3
( a 1 + 02
,
soit, puisque 3.
+ a
+ a
= 0,
1
2
3
1
ê
2
2
b == - -2'-
(a 1
+ a
+ a
2
) ,
3
3
3
3
c == + -~-
(a 1
+ a 1.
+ a
)
•
3
Posons
3
2
TI
~
= 4- ai
3
liT
3
= ' )
a·
L,
l.
alors
1 -
b =-- 1\\
,
2
1 - -
« == -
1\\\\
•
3
Définissons deux fonctions h et E de 11 et mpar les
formules
( cy (b, c) = t< ( - -} lT, -J-Til) - h (lî, 111).,
)
"\\
1 ~
"-
(b, c) =
(- _L
)()
Ir, _1_ T!T)
f(l'f,Tif) ;
\\
2
3
le tenseur des contraintes prend la forme
,
2
!=-p.!.+h~+ ~~~
(5.7)
les fonctions h et t, tout comme les fonctions ex: et f!r ' ne dé-
pendant que du fl~ide consid~ré.
. ·1...

---

v - 1Ao
CHAPITRE V - UNE FAMILLE DE MOUVEMENTS HOMOGE~
HISTOIRE DE DEFORN~TION NON CONSTANTE D'UN FLUIDE, SIN~LE.
Au chapitre III nous avons vu que, moyennant la condition
(2.1), l '~quation fonctionnelle [l, (3.15)]1 s'intégrait compUtte-.
menj dans le cas des matrices carrées d'ordre 2. Mais on ne sait
pas si un résultat analogue existe pour les matrices d'ordre 3.
Ce qui est évident par contre, c'est que dans ce C3S le polynOme
n
A (t) = f
(t) l + f
(t) K + f
(t) ~ +•••. + f
(t) K ,
o
1
2
n
où K est une matrice constante et les fi (1 = 0, 1,2, •• ,n) des
fonctions scalaires de classe C1, est une solution de l'équation
[l, (3.15.;] qui peut se mettre sous la forme réduite (théorème
de Cayley-Hamilton)
A (t) = f (t) l + 9 (t) K + h (t) K2,
f (t), h (t),et 9 (t) étant encore des fonctions scalaires de
1
classe C.
L'objet essentiel de ce chapitre est de déterminer, la
matrice K étant donnée, tous les mouvements homogènes pour lesquels
la matrice A (t) est de la forme précédente. On va obtenir des
m~.vements à histoire de déformation non constante en général.
Dans toute la sui te on désignera respectivement par a,
b, c le premier, le second et le troisième invariant principal de
K (Cf. 9IV-1) ; on sait qu'alors
t r
K= a,
t
2
2
t r K
= a - 2 b. J
Dans ces conditions l'incompressibilité s'écrit
1
2
f (t) =-3'[ a 9 (t) + (a
_2 b) h (t)]
et la matrice A (t) s'écrit en fait
2
A (t) = 9 (t) [K _ ; al] + h (t) [K
+ ! (2 b _ a2 ) 1] •
.•.1.••

---

V.1.111
v - 1 - lES EQUATIONS DE COMP.~TIBILIT~ 8
Lorsque la matrice A (t) est donnée par la formule
a
A (t) = 9 (t) [K-!a IJ
+h (t) [~+! (2 b_a
) 1] (1.1)
3
3
et que l'on tient compte de l'équation de Cayley-Hamilton
3
2
K = a K - b K + c l
qui entra!ne
K4 = (a2 _ b) ~ + (c _ ab) K + a cl,
un calcul direct montre que l'on a
2
1.Q (t): A2 (t) + Â (t)
( 1.2)
C2
: 1 _
K + )) K + À- l
avec
2
f- = - [- g + ~ a g2 + ~ (} + b) 9 h + (a b - c) h J ,
•
2
4
1
2
2
~ = h + 9 + - a 9 h + - (a + b) h :
3
1 {
3.
( 2
) .
2
2
)..=9
- 3 a g - 3
a
-2b
h+a
9
2
+ 2 (a3 _ 2 a b + 9 c) 9 h + [( a2 -2. b)
achl
+ 9
1
(1.2a)
;.}
La condi tion -ci; iil <;~;-':"âbiÜtéTIl, .(3.91 s' écri t donc
ici, sous forme matricielle,
P-
2
(K _ KT) + y [K
_ (12)T) = (0).
(4,3)
Lorsque la matrice K est s~étrique, l'équation (1.3)
est satisfaite par des fonctions 9 (t) et
h (t) arbitraires; en
particulier si K est une matrice scalaire (K = D( l où ()( est une
constante), on a A (t) ~ (0) quelles que soient les fonctions
9 (t) et h (t) et le mouvement correspondant du fluide est le
mouvement de translation
u
c:
e
(t)
1
v
::::
~ (t) '1
w =
e
(t)
3
:J
cas qui ne présente pas d'intér~t. Pour ces raisons nous suppose-
rons, dans la recherche des fonctions 9 (t) et h (t), que la matrice
K est non symétrique. Par ailleurs l'équation (1.3) admet toujours
la solution
. . .1..•

---

V.1.112
g (t)
='!
o ,1
h (t)
~
0,
j
qui donne A (t) - (0) et à laquelle correspond le mouvement de
translation dont nous venons de parler. C'est pourquoi, dans la
résolution de l'é~ation (1.3), nous excluerons cette solution que
nous appellerons la solution nulle ; toute
autre solution sera
di te non nulle.
Cela dit posons
o
- p
- P
1
2
0
,
- P3
P3
0
o
- q1
-~
=
0
- q3
•
,
q3
0
alors l'équation matricielle (1.2) est équivalente au système de
trois équations algébriques aux inconnues ~ et ))
P1 f-
+ q1 -V
= 0,
+ q y
P2f'
= 0,
(1.4 )
2
y
P /u
3
+ q3
= O.
La résolution du système (1.4) se ramène toujours à
celle de ses équations principales (il est homogèce)~ Or sa
matrice
N=
(1.4.a)
P3
q3
est de rang 1 au moins (les p. ne sont pas tous nuls car K est non
~
symétrique) et de rang 2 au plus. Si la matrice N est de rang 2
2
(alors les qi ne sont pas tous nuls et K est non symétrique), il
y a deux équations principales qui forment un système de Cramer ;
dans ces conditions la solution du système (1.4) s'écrit
. . .1...

---

V.1.113
fI, = 0 , }
)J
= 0 •
Si au contraire la matrice N est de rang 1, il Y a une
seule équation principale et le système (1.4) est équivalent à
l'équation unique
jJv+m))
=0
où m est la constante définie par
q. = m P.
(i = 1r2 ,3 )
l.
l.
(les p. ne sont pas tous nuls et q.
est nul dès que Pl.. est nul car
l.
l.
N est de rang 1).
Nous venons de montrer le résultat suivant:
Si la matrice N définie par (1.4a) est de rang 2 les équa-
tions de compatibilité, pour les mouvements actuels, s'écrivent
2
1
3 9= 2 a l
+ 2 ( } + b) 9 h + 3 ( a b - c) h
,
•
2
2
2
3 h = - 3 9
- 4 a 9 h -
(a
+ b) h
;
(1.5)
Si la matrice N est de rang 1, les équations de compatibili-
té se réduisent à l'équation unique
•
2
2
2
3 9 - [2 a 9
+ 2 (a
+ b) 9 h + 3 ( a b - c) h ]
2
2
+ m [3 h + 3 g2 + 4 a 9 h + (a
+ b) h J
= 0
(1 .6)
où m est la constante définie par
q. = m p.
(i = 1,2,3)
( 1.6a)
•
l.
l.
On peut remarquer que toute solution du système diffé-
rentiel (1.5) est aussi solution de l'équation différentielle (1.6).
v - 2 - DElm'RMINATION DES IvlOUVEMENTS DE IJ\\ FAMILLE r
INTEGRATION DES EQUATIONS DE COMPATIBILITE.
v - 2.1 - Cas où N est de rang 2.
Les équations de compatibilité s'écrivent
2
2
2
3 g=2 a 9
+2 (a
+ b) 9 h + 3 (a b _ cl h
.}
•
2
2
2
3 h = - 3 9 - 4 a 9 h - (a
+ b) h
,
(2.1.1)
a, b, c étant les invariants principaux de la matrice K.
Posons
...1...

---

V.2.114
f
2
2
)
H (g, h) :
2 a g
+ 2 (a
+ b) g h + 3 (a b
h2 ..
-
C
r
lG
2
_ 3
2
2
g
(g, h) ==
- 4 a g h -
(a
+ b) h
•,
on en tire
r
r
Hg + G
= 0 ,
h
où on a posé
à H
H
=
g
-à g
r
à G
G
-
h
•
à h
Cette ~lation montre qu'il existe une fonction ~ (g, h)
telle que
( H= ~h: .
1G=-~ •
'-
g
La fonction ~ se détermine aisément
elle est donnée
par la formule
~ =
2
g3 + 2 a g2 h + (a2 + b) g h
+ (a b _ c) h3 •
Reprenons la système (2.1.1) qui s'écrit maintenant
3 ; =
~h' ,
.
f
,
3 h =-~
•
g
Multiplions les deux membres de la première équation de
~e système par ~, ceux de la seconde équation par - g et ajoutons
membre à membre les deux équations obtenues
i l vient
•
f
•
1
•
g ~g
+ h ~h ::: ~
e
0 ,
c'est-à-dire
3 2 2 2 3
~
=
(g, h)
g
+ 2 a g
h + (a
+ b) g h
+ (a b - c) h
= C
(2.1.2)
où C est une constante. On peut remarquer que h n'est pas identique-
ment nulle sinon on aurait aussi, d'après la deuxième équation
(2.1.1), g --
0, cas que nous avons exclu. Définissons une nou-
velle fonction v en posant
v - a = î
•
(2.1.3)
h
La ro lat ion (2.1.2) s'écrit maintenant
3
h
b. (v) = C
où
6 (v)~ = v~ - a v2 + b v - c
-
(2.1.5)
...1...

---

V.2.115
n'est rien d'autre que le polyn~me caractéristique de la matrice K.
Ona
•
•
•
h 9 - 9 h
v
=
•
2
h
Comme ~ est Domogène et de degré 3 en 9 et h,
,
,
h ~h
+ 9 ~g = 3 ~
ce qui s'écrit encore
d'où l'on déduit
•
v
•
(2.1.6)
Deux cas sont à distinguer suiv~nt que la constdnte C
est nulle ou non.
Lorsque la constante C est non nulle : cio, les
fonctions h (t) et Ï\\. (t)
~ A (v) ne s'annulent jamais et on
peut éliminer h entre les équations (2.1.4) et (2.1.6) ; on
trouve
2/
•
3
v
= k [ ~(v)]
(2.1.7)
où on a posé
1/3
k
= C
•
Cette équation (qui est une équation différentielle à
variables séparables) s'intègre immédiatement pour donner
t
= 4> (v)
avec
4J
1-
(v)
1<
(2.1.8a)
=1<
•
v'-=-: :-2: b
~---yt3 2/3
•
La fonction v est du signe de k : [ ~ (v)]
est
une quantité strictement positive; donc si k:> O,v (t) est une
fonction croissante,
si k < O,v (t) est une fonction décroissante
et, dans tous les cds, v (t) est une fonction inversible. Si donc
on pose
v=ry (t),
(2.1.9)
la fonction uP définie par (2.1.8a) n'est rien d'autre que
.../ ...

---

V.2.116
(()
-1
l'inverse de ~: \\
= ~
•
Ainsi les relations (2.1.8) expriment v en fonction de
t. Quant aux fonctions h et g elles sont données respectivement
par (2.1.4) et (2.1.3) à savoir
k
h =
,
---3------2-------~~
(v
- a v
+ b v - c)
k (v - a)
g =
---------
--------il--- ,
(v3 _ a v2 + b v _ c)
3
(2.1.10)
expressions dans lesquelles v est donnée par (2.1.9).
Si m~intenant la constante C est nulle : C = 0, la
relation (2.1.6) montre que v est une constante v
(v = v ) et la
o
0
relation (2.1.4) que vo est une valeur propre de la matrice K :
~ (vo) = O. Portons alors (2.1.3) dans (2.1.1) ; on obtient
•
2
2
2
3 (v0 - a) h = [2 a (v
+ 2 (a
+ b) ( v0 - a) + 3 (a b -c) ] h ,
o - a)
•
2
2
2
3 h = _ [3 (v
- a)
+ 4 a (v
- a) + a
+ b]
h
~
o
o
(2.111)
Pour v
= ~ (alors a b - c = 0) 13 première équation
o
(2.1.11) est identiquement vérifiée et le système se réduit à la
seconde équation. Si v
~ a les équations (2.1.11) sont compati-
o
bles si et seulement si
2
2
2;
a (v
- a)
+ 2 (a
+ b)(v
- a) + 3 (a b - c)
o
0
2
= - (v
2
o - a) [3 (v~ - a) + 4 a (v - a) + a + b] ,
o
ce qui s'écrit
3
t::. (v)
= 0,
o
relntion qui est satisfaite puisque v
est une valeur propre de K.
o
Finalement le système (2.1.11) se réduit à l'équation
•
2
2
3 h = -
(3 v
- 2 a v
+ b) h
o
0
qu'on peut écrire
,
3 h = _
h2
.6
(v),
(2.1.11a)
o
où on a posé
v = v
•
o
. ..1. ..

---

V.2.117
Lorsque v
est une racine ~ultiple de l'équntion cnrac-
o
téristique de K, ~I (v ) =0 et h est une constante ~rbitrQire
o
ho (non null~ : h = ho et la relation (2.1.3) donne g = go nvec
go = ho (vo - a).
Dans ces conditions A (t) est une matrice constante K1
avec
[
1
(
2 b
K = ho
(K ~ 3 a r) + K
K - a r) + -~ IJ ,
1
Vo
= 0
K 2
= (K 2)T
t r K1
1
1
Le mouvement correspondant à cette solution des équa-
tions de compatibilité est donc à histoire de déformltion constan-
te et a été étudié au chapitre IV.
Considérons maintenant le cas où va est une racine
simple de l'équation carnctéristique :
L} 1 (v ) # 0 ; l'équation
o
(2.1'11a) s'intègre immédiatement pour donner
h (t)
3
= L 6 ' 0 : ) ] ( t - : - t )
o
où t o est une constante d'intégration et la relation (2.1.3)
s'écrit
3 (v
- a)
g (t) = -ï---"';o~-,
•
[6. (v 0) ]
(t - t o)
Finalement les fonctions h (t) et g (t) s'écrivent ici
D
h (t) = -----
t - t o
(2.1.12)
g (t)
avec
3
D =
(2.1. 12a)
•
... / ...

---

v - 2.2 - Cas Où N est de rang 1.
On sait qu'ici les équations de comp3tibilité se rédui-
sent à l'équation unique
3 ; - [2 a if + 2 (a2 + b) 9 h + 3 (a b - c) h2 J
•
2
2
2
+ m [3 h + 3 9
+ 4 a 9 h + (a
+ b) h J = 0,
o~ a, b, c sont les invariants principaux de la matrice K et m
la constante définie par
q. = m p.
(i=1,2,3)
1.
1.
(par hypothèse les p. ne sont pas tous nuls).
l
On connaît déjà des solutions à l'équation (2.2.1),
celles du système différentiel (2.1.1). Désignons par cf (t) la
fonction définie par
~ =g+mh
et éliminons 9 entre (2.2.1) et (2.2.2) ; on obtient
3
L
2
2
3 [ - m + 2 a m - (a
+ b) m + a b - cJ
h
2
2
2
•
+ 2 (3 m - 4 a m + a
+ b) 1 () h + (2 a - 3 m) lf
- 3 (tJ = O.
'1"
1 (2.2.3)
Supposons d'abord que
S
2
2
m - 2 a m + (a
+ b) m + c - a b = 0 ;
en particulier cette équation est satisfaite lorsque m = 0 c'est-
2
à-dire lorsque la matrice K est symétrique car d3ns ces conditions
l'équation de Cayley-Hamilton qui entrarne
4 2 2
(a b - c) K =
-
K + (a
- b)
K + a c l
montre que l'on a a b - c = 0 (K est non symétrique et non nulle).
L'équation (2.2.3) est alors une équation de Bernoulli en YO qui
slécrit
2
m + a
+ b) h i
3
Lf = (2 a - 3 m) lf 2 + 2 (3 m - 4 a .2
•
2.2.5)
Cette équation admet la solution banale\\f :if 0 qui donne,
pour l'équation (2.2.1), la solution
9 = - m h
(2.2.6)
1
où h est une fonction arbitraire de classe C • Ce cas particulier
mis de cÔté l'équation (2.2.5) s'intègre en faisant le changement
.../ ...

---

de fonction
1
1y=-'f ·
L'équation en~s'écrit
avec
2
2
2
= - 3'- (3 m - 4 a m + a
'"""
+ b) h (t) '~
(2.2.8a)
~
1
= -
(2 a - 3 m).
J
3
La solution de l'équation différentielle linéaire
(2.2.8) peut se mettre sous la forme
.
t
ft O«(~) d~
.t. ~O( ("5' ) ct ~
1;
o
+)0
1
e .
d'\\..
(2.2.9)
où /\\ est une constante
une valeur particulière
de la variable t. La relation (2.2.7), où on â tenu compte des
formules (2.2.2) , (2.2.8a)
et
(2.2.9) s'écrit
t
f
2
2
2 + b)
h (ce) d Cf:
- -
(3 m
- 4 a m + a
3
t
- - -
=
) e
o
9 + m h
t
t
2
2 + b') j
h (~) d go'
m -4am+a
'j
~
_ ~ (2 a
I _~ (3
- 3 m)
e
d 7'
t o
formule dans laquelle h (t) est encore une fonction arbitraire de
1
classe C • Ainsi, lorsque la condition (2.2.4) a lieu, l'équation
(2.2.1) a deux
'~milles de solutions: la f3~ille de solutions
(2.2.6) et la famille de solutions (2.2.10).
Maintenant
nous supposons que
2
2
m; - 2 a m + (a
+ b) m + c - a b
,J O.
L'équation (2.2.3) est alors une équation algébri~ue du
decond4egré en h qui doit avoir des solutions réelles; son discri-
minant doit donc ~tre positif ou nul, ce gui s'écrit
E'c()2 + 9C cf ~ 0
(2.2.12)
avec
. ..1.. ·

---

2 2 3
B = (a
- 3 b) m - (2 a
- 7 a b + 9 c) m
4
2 2
+ a
- 4 a
b + 6 a c + b
(2.2.12a)
c
3
2
= - m + 2 a m - (} + b) m + a b - c •
Sous les conditions (2.2.11) et (2.2.12) on peut ~ésoudre
l'équation (2.2.3) par rapport à h :
h =
A~~_~j_B :r.2 _:~_ ~t _.( ~ == 2: 1)
3
C
où
A == _ 3 m 2+ 4 a m - l .. - b.
On voit qu'ici encore l'équation (2.2.1) possède deux
familles de solutions (éventuellement confondues) 1
AtR+ t VBtf2 + 9C l..{>
h ::::
,
3
C
A lJ( + E) B U(2 + 9 C lf>
9 =~-m - - - - - - - - - - - - - ,
3
C
+ 1
t == - ,
2
lfétant une fonction de classe C
(d'après (2.2.3) puisque 9 et
1
.
h doivent être de classe C ) soumlse à la seule condition (2.2.12).
En conclusion nous venons de montrer le résultat suivant.
Propos i ti on •
Si K est une matrice constante dont a, b, c sont les
invi)ri~nts principaux et si on pose
KT _
r - P1 - P2
K -
:1
0
- p
,
l
3
P2
P3
0
0
- q1
- .q;1
2-
2
1
K
(K )T
-
q1
0
-~ ,
~
q3
P1
q1
N =
l ,
P2
q2
P3
q3 J
et si l'on considère en fluide simple incompressible les
. . .1. ..

---

V.2.121
mouvements homog~nes pour lesquels la m3trice A (t) est
de la forme
2
A (t) = f (t) l + 9 (t) K + h (t) K ,
alors,
Si K est symétrique, ces mouvements sont possibles
1
pour toutes fonctions 9 (t) et h (t) de classe C
;
Si K est non symétrique et si N est de rang 2, les
seuls mouvements possibles sont ceux pour lesguels 9 (t)
et h (t) sont solutions du syst~me différentiel (2.1.1).;
Si K est non symétrique et si N est de rang 1, ces
mouvements ne sont possibles que si 9 (t) et h (t) sont
solutions de l'équation diff~rentielle (2.2.1).
v - 3 "- EQUATIONS DES TR,\\JECTOIRES ET DES LIGNES DE COUrlANT
Lorsque Il (t) est donnée p3r la formJle (1-1) l'équntion
[II, (1.1.1) ] s'écrit (on a tenu compte de [II, (3.16)]
r ~ en(t,t) em(t,t).!:.. e ~(t,to) ~ •t
it
2
+
en(t,«) em(t,ad.!:.. ee.(t,o< )K
-.
• e(c<) do<
o
où les fonctions e (t, Î\\ ), m (t, /1..) et n (t, 1\\ ) sont définies par
(t, ;...)
=
r4 h (0( ) do( ,
m
(t, Il ,=
ft 9 (cf.. ) do<'
À
t
n
-;-1
2
(t. À.) ~ -
[a 9 (0< ) + (a
- 2 b) h (00] d'"
= __1_ [a m (t,À) + (i- - 2 b) t(t,)..)J.
(3.1a)
3
.J
Dans les m~mes conditions l'équation [II, (1.2.2.I!prend
la forme
2
-::t
n (t, ~',?:)
m(t, et,') K
t (t, cG, et'o)K ~
= e
0
e
0
-.e
-
• X
~ ~rt n(t,~,
~(t,o(,<x)l 1
0<)
m(t,et,CX)K
-+
+
e
e
-
• e
-
d C(
•
e (t),
"t
(3.2)
o
. . .1. ..

---

V.4.122
où on a posé
"\\
€
(t, ~
:" )
= ( ,--"...'
-:1
Ut? -
) h (t),
1
r
m
(t, -t,
Il )
= (-1'~'" - \\) 9 (t).
1
n
(c;, -,:{)
[a 9 (t) + (a'~ _2 b) h (t)]
Î
)
= - -
1
3
1
= - - (a m (t. cr; .il) + (}- 2 b) e(t.q;.Îl)])
3
(3.2a)
Les équations (3.1) et (3.2) sont, pour les mouvements ac-
tuels, celles de la trajectoire et de la ligne de courùnt (à l'instant
->
t) passant par le point Mo défini par 0 Mo = X.
v - 4 -
CALCUL DES CONTRAINTS&.
On a vu que (formules (1.2) - (1.2a)
~=A2
2
2
+ ft. = [h + g2 + ~ a 9 h + 5- (2
+ b) h J 12
. 2
';;'
2 2
) 2
_ [ _ 9 + - a 9
+ -
(a
+ b) 9 h + (a b - c
h
J K
~
3(}~
3
+
-3 a39 _
b) h +}l +2(a
-2<1 b + 9C)9h}
9
r( 2 ) 2
2
1.
; ~ t é1 -2 b
+ 9a c J h
La formule [rr, (3.12) prend donc ici la forme
4
2
_ ..E.. = ~ [h + g2
1 ( 2
)
2 J -,::;
.
+ - a gh+:r
a
+b
h
~
K .)"
P
2
3
)
..
•
2
2
2 ( 2 )
(
2
-:t
-.;>
- ~ E- -g + 3' a 9 + 3' a + b 9 h + a b - c) h ] ~ • K. '~
-:Y (
2 "
-:"
1
2
- 4
~ jl
+ .' •\\ h K • e + 9 K • e - - [a 9 + (a -2 b) hl e + e
" l -
-
3
1 (
•
(2
) .
2 2 ?
+ _ ) _ 3a 9 - 3 a -2b
h + a 9
+ 2 (a" -2a b + 9 c) 9 h "1
18)
-y2
2
2
2
/ ~
+ [ (a
- 2 b)
+ 9a c ] h
J I
l
, /
G1 .fJ
+
(/ - f (t) •
C'est l'expression de la pression pour les mouvements
actuels : 11 est toujours le potentiel des forces volumiques et f
une fonction arbitraire du temps. Lorsque les fonctions 9 (t) et h (t)
sont solutions du système (2.1.1) on a
.../ ...

---

V.5.123
2
_ 3 a g - 3 (a2. _ 2 b) h =(} - 6 b) l
+ 2 a (a
- 5 b) 9 h
2 2 2
-li- [(a
+ b) (a
- 2 b) - 3 a ( a b - c) ] h
et la formule précédente peut s'écrire
p
7' t 2 -?l
~ 1 [
--_= ~. hK.e+gK .e-- a
)'
L
-
-
3
1 [
2
2
3
+ 9
(a
- 3 b) 9
+ (2 3
-
7 a b + 9 c) 9 h
-4
4
2
2
~ 2
+ (a
- 4 a
b + b
+ 6 a c)
s
T
Lt - f (t)
(4.2)
Le tenseur des contraintes enfin est donné par L1 formule
[II, (3.17)J.
v - 5 - ETUDE D'UNE CLASSE DE lVD\\JJEiviENTS DE lA FA,ilILLE.
Nous savons que lorsque la matrice K est symétrique les
mouvements actuels sont possibles pour toutes fonctions 9 (t) et
1
h (t) de classe C • Nous 2110ns étudier ici ae cas particulier.
On peut supposer, sans perdre la g~néralité, que K est
diagonale (mais non scalaire) et on posera
o
o
K =
a
o
2
o
o
On a alors
a = a
+ a
+ a
1
2
3
b = a
a
+ a
a
,
1
2 +~ a3
3
1
c = a
a
a
1
2
3'
et le champ des vitesses prend la forme
u = b
(t) x + e
(t) ,
1
1
v = ~ (t) y + e2 (t'
w= b
(t) z + e
(t) ,
3
3
avec
. . "j. ••

---

V.5.124
b.
(t)
= k. 9 (t) + e.. h (t) ,
l
l
l
1
k.
a.
a
=
- -:5-
,
l
l
(5.1a)
2
1
2
i\\
fi
= a
- 3'- (a
- 2 b) ,
i
i
= 1, 2, 3
9 (t) et h (t) étant deux fonctions scalaires arbitraires de classe
1
C
non identiquement nulles toutes les deux.
Le cas de Slattery [17J
correspond au cas particulier où
h (t) ~ ° et où on prend e. (t) = v. 9 (t) (i = 1,2,3), les v. étant
1
1
1
des constantes. Le mouvement (IV-5) est aussi un cas particulier du
mouvement actuel, le cas où
h (t)
~ 0,
9 (t)
1,
a = a 1 + a2 + a3
= 0,
c = a
a
a
i O.
1
2
3
De m~me le mouvement (III-2~3)pour ~ symétrique ainsi que
le mouvement (IV-4) lorsque K est symétrique, sont des cas particu-
liers du mouv~ment présent ( on a alors h (t) == 0, a = 0, c = 0,
et 9 (t) ~ 1 pour le second cas).
La vitesse, pour le mouvement actuel, dérive du poten-
tiel
1 2 2
2
Cf = 2 [b1 (t) x + b (t ) Y + b (t) z ],
2
3
+e
(t) x +e
(t) y +e
(t) z .
(5.2 )
1
2
3
La solution du système différentiel (5.1) peut se mettre
t
t
t
sous la
Ft
forme /
b1(et) d"t'
b1("C) d~
0
x = x
e
+
ê
e
(0<.) d c;:/, ,
0
1
0
t
1
f t b
( oz:) dot'
f\\ (-el d~
o
2
6(
2
Y = Yo e
+
e
e
(o()do(,
2
0
~t
t
t
b
j L (IT()
3 ( "6) d.:r;
b
d ~
3
0
j
z = z
e
+
e
(0( )
e3
do(;
)
/
0
t
(5.3 )
0
· ..7...

---

V-5.125
ce sont les équations paramétriques de la tr3jectoire de la parti-
cule qui se trouve à l'instant t
au point (x , y , z ).
0 0 0
0
Ceci montre que le mouvement actuel n'est à histoire de déformation
constante [15J
que si et seulement si les fonctions g (t) et h (t)
sont constantes.
Quant aux lignes de co~rant,
leurs équations pGrGmétriques
(5.4 )
Si à l'instant t on a b. (t) = ° (i = 1,2,3), ces éqlJ.a_
1.
tions slécrivent simplement
x = x
+ ("'10-'-+) e
( t)
' \\
,
"
w
0
0
1
1
y = y
+ (c:- CC) e
(t) ,
0
2
z = z
+ (ce-ct,o) e
(t)
0
3
J
et les lignes de courant sont des droites parallèles à ~(t)
~
~
(réduites à des points si e (t) = 0). Si à l'instant considéré on
3
a
1\\ b. (t) # 0, les équations (5.4) slécrivent
i=1.
1.
'\\
r e1 (t)] ( ~ - c~) b1 (t) \\
= LXo + ï)"lt')
e
0
,
r 1 ( ) ] ( :c~ ~
-
)
b
(t)
L:0 + ~: t:j
e
0
2
,
r
l
e
(t)
(%-et) b3 (t)
1 z
+ -l-T~
e
,
L 0
b3
t; j
et on retrouve les résultats du paragraphe IV.5 :
- la ligne de courant passant par le point M de vitesse
o
nulle et de coordonnées
...1...

---

V.5.126
03 (t)
x
y
z
:=
-
: = -
:=
-
o
o
o
b3W
'
se réduit au point Mo
•
(3.17)J,
peut ici s'écrire
~
J
I=-p.!.+ i!a·f X(s), À (s) ; K
(5.5)
est une fonction isotrope de K et une fonct~onnelle de
Jt-s
X (s) :=
9 (D( ) d 0(
t
1
et de
(5.5a)
j t-s
À (s) =
h ( t( ) d (X •
J
t
Le théorème de Reiner-Rivlin [16J s'applique à l'équa-
tion (5.5) qui s'écrit donc aussi
T :=
-
p1. + .f?; K + œ- ~ ,
(5.6)
r'
où .,i;; et U6 sont des fonctionnel.}.es (à valeurs scalaires) de .Y (s)
et Îl (s) et des fonctions de a, b, c, qui ne dépendent que du flui-
de considéré. Lo:-sque 9 et h sont des quanti tés constantes, % et
~ deviennent de simples fonctions de a, b, c, 9 et h. Quant à la
pression p, elle est donnée par les formules (4.1) et (4.2) •
.../ ...

---

A. t • 127
ANNEXE
========
:ï,.ci
Toutes les matrices considérées/~ont des m3trices cnr-
rées réelles d'ordre 2.
A (t) étant û.lors une matrice continue sur un intervalle
J de (f on pose, pour cr; et t appartenant à J,
r~>O
S(Of.·',t)
=)" A(C<)drX
t
et on veut résoudre sur J l'équation fonctionnelle
B (-G', t) A ( ~0)
=
A ( ~) B (C;;~', t),
( 1)
c'est-à-dire chercher toutes les matrices A (t) continues sur J qui
satisfont à la relation (1).
Y'
BOGDANOV et CEBOTAREV ont établi [2J
la proposition sui-
vante.
Proposi tion
Soit Nt (t) une matrice dérivable dans un intervalle
J de [R •
Si
- i! M (t) satisfait à l'équation
-
•
•
MM=MM
(M (t) permute avec sa dérivée) ,
- iil M (t) pe se rédui t à J.~ l ( f'l-- est un scalaire)
en aucun point de J,
alors M (t) est nécessairement de la forme
Iv! (t) = f (t) l + 9 (t) K,
où f (t) et 9 (t) sont deux fonctions scalaires dérivar les
dans J avec
2 (t) > 0
9
dans J, et K une matrice constante différente d'une ma
trice scalaire (K -# À- I, À
étant un scalaire).
Remûrque
-
Si on pose
l
(t)
[: (t) b
M (t) =
(t)
d (t)
,
--!
et
a
K =
[:
D l
. . .1..•
- l

---

A. 1. 128
la condition que M (t) ne se réduit à )~I en aucun point de J
se traduit par
2 2 2
(a - d)
+ b +c
> 0 dans J,
et celle que K est différente d'une matrice scalaire par la rela-
tion
2 2 2
(A _ D)
+ B
+ C
> 0 •
Nous allons utiliser ce résultat pour la résolution de
l'équation fonctionnelle (1) :
B ( %"
t) A '(:::-s)
= A ('::S) B (q;
, t)
•
Pour cela nous allons fJire l'hypothèse que
\\~
....
- dt")) ~+(/~ (0()
o (2)
dès que
où on a posé
a (t)
b (t)
A (t) =
•
c (t)
d (t)
Alors, d'après la proposition précédente, pour t donné
dans J et pour toute solution de (1), B ( cG , t) est, sur c~acun
des sous-intervalles de J ne contenant pas t, de la forme
B ( 0<(;, t) = f 1 ( c-c, t) l + g 1 ( cif , t) K
l')Ù K est une matrice constante non scalaire tandis que f 1.( '7;, t)
et g1 (CZ', t) sont deux fonctions scalaires déri vables en % telles
que
g 2.
(
"Y, t)
>
1
-
0
•
On en déduit par dérivation que sur chacun de ces sous-
intervalles A (ce ) s' écri t
a f 1 (~ , t)
a g 1( "6, t)
A (çG)= -------------
l +
-------------K.
à ct;
a
cG
Mais A (7(;) ne dépend pas de t, d'où
...
l--af_1_< t_c;_,_t)J à [a g1 (C7,~, t
1 + -
- - - 1
- K ~(O)
a~
at
0"0
.../...

---

A. 1.129
où (0) désigne la matrice nulle .. ; comme K n'est pas une matrice
scalaire on a nécessairement
à
à f 1 (,'t", t)
__
0 ,
à t
à ~
-
à
~":L~ y;:_~~ = 0,
à t
à ~ à f
( ,:;."
t)
1
'. ,
à g1
(c~ , t)
ce qui veut dire que
----------- et --~----- son, fonctions
àCC
à
~
seulement de SG :
à~
à g1. ( .~, t)
- - - - - - -
= g ( y) ,
àce
et A ( 9f) s'écrit
A (Cf' )
=f(?:)I+g(~)K.
(3 )
:/
Par intégration,
K •
La comparaison de cette formule avec la formule
B (CZ; , t) = f 1 (OC', t) l + g1 (cr;, t) K
montre, puisque K est non sC3laire, que
f 1 ( ~( , t)
= /~ (~ ) dv( ,
t
;:
g1 (
:::t, t) =
t
Donc sur chaque sous-intervalle de J ne contenant pas t
A (J~) a la forme (3) où K est une matrice constante non scalaire,
f et g deux fonctions scalaires continues telles que
J'"e'g (IX ) do( i o.
-t
Comme le point t est arbitraire, ce résultat est VTai
dans J tout entier.
Ainsi, sous réserve de la condition (2), toute solution
.../ ...

---

A. 1.130
de (1) est de la forme
A (t) = f (t) l + 9 (t) K,
où K est une matrice constante non scalaire, f (t) et 9 (t) deux
fonctions sc~lQires continues telles que
dès que
.../ ...

---

A. 2. 131
ANNEXE
2
- - - - - - -
Nous nous proposons de donner dans cette annexe une dé-
monstration du théorème s'Ji va nt :
3
THEOREME. K étant un tenseur d'ordre 2 sur i~ , la condition né-
cessaire et suffisante pour que
= o
est qu'il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice
de K soit de l'une des formes
o
o
o
0
0".:-.j1
o
Xv o
x
:l
K =
o
'V r'
o
0
o
.)
"Y
oJ
0
~
/\\
o
'1
ou de l'une des formes transposées.
Si de plus
2
K
= o
on peut choisir cette base de façon que la matrice de K soit
de l'une des formes
0
0
0
0
0
0
0
0
0
K=
)f
0
0
, 0
0
0
, 0
0
0
0
0
0
y
0
O,
0
.1
0
.' ......
ou de l'une des formes transposées.
Nous allons démontrer le théorème en deux propositions.
PROPOS II ION 1.
2
K
= 0
si et seulement s'il existe une base orthonormée dans laquelle
la matrice de K est de l'une des formes
0
0
0
0
0
0
0
0
0
K ...
i\\
0
0
,
0
0
0
,
0
0
0
0
0
0
X
0
0...
0
:x 0
ou de l'une des formes transposées.
.
La proposition est triviale si K = 0
, d~ms la suite on
.../...

---

A,. 2. 132
supposera K 1 ~.
Appelons D et (ï\\) l'image et le noyau de l'application
linéaire
4
K
•
X
3
3
de 1R
dans
IR
:
D = {~ • i" / -t t re 3 ]
,
t...}
, 3
~-olt}
(n) = ~ X E IR / ~ • X = 0
•
.
2
Supposons que K = 0
; alors D C (TI) et
- -
dim D
~ dim (TI) •
Mais on sait que
3
dim D + dim en)
= dim lR
Comme K 1 0, D est au moins de dimension 1 ; par consé-
quent :
Jdim D = ,
l dim (1\\ )
Donc D est une droite passant par l'origine et (11) un
plan passant par l'origine.
-,),4
Soient alors (j, k) une base orthonormée de (TT) telle
~
~
que j soit dans D et i un vecteur unitaire normal à (lt) ; posons
-.)
, 4
...,}.
. ' ,
K • i =
X j ( ~ • i .j 0 ~ Â 1 0) •
Les relations
/
-*
~
j ~ . :
o ,
=
l
cI ,
K
•
k
=
~.-)-;j
montrent que la matrice de K dans la base (i, j, k) s'écrit
--,
o
o
K=
o
o
•
o
o
Réciproquement si la matrice de K est de cette forme dans
une base orthonormée la relation K2 = (0) entr~rne Ki =~ ; ceci
achève la démonstration de la proposition 1 , les autres formes pos-
sibles de K s'obtenant·
par permutation sur les vecteurs de base
-+ -+
~
i.
j,
k .
• •• / •••

---

·\\. 2. 133
Pour que le théorème énencé soit vrai il ne reste plus
qu'à démontrer la
P::tOPOSITION 2.
On a
3
(K
== 0
,
l 2K /:!}..
si et seulement sUl existe une base orthonormée dans lélquelle
la méltrice de K est de l'une des formes
0
0
0
.~ 0 0 0 Ji 0
K=
-:r
0
0
0
'\\)
, 0
0
0
A ))
0
IX
0
0
)}
À
0
'--
-.J
ou èe l'une des formes transposées, avec la condition
.x -)) -/: O.
On peut tout de suite remarquer que si on pose Kt
::: K2
on peut appliquer au tenseur ~1 les résultats de la proposition 1
lorsque
{; ::: 0 )
Appelons Dt et (W 1) l'image et le noyau de l'application linéaire
~
4
Y!
)
K
• Y
:
1
Dt ::: ~ ~2-. t / t f (K31 '
~
3
2
~ ..
.-+;
(n1)= l y t (R / ~ • y == 0 J '
et désignons €ncore
par D et (TI) l'image et le noyau de l'élpplica-
tion linéaire
~
~
X---?-\\
K • X :
-
/ (
-4
-).
rR3~
D
==
1!. X / X G ,K
l '
. - j ,
3/
-+
~ J
,
J
( )
\\T
1
<=
X ~ 1/\\
~ • X ::: 0
•
Ona
(Tr)
C (TT).
1
.. .1...

---

1\\. 2. 134
3
Lorsque
K =
0,
c.
D
C
(1\\1).
Si de plus i
/: 0 ,
rdim D~ = 1 ,
't dim (Tf1) = 2 •
3 2
~ ~
Dans ces conditions (! =~, ~- /:~) soit (j, k) une
~
~
b~se orthonormée de (Tf ) telle que k appartienne à D ; i étant un
1
1
vecteur unitaire normal à (Tl ) on a :
1
~
~
15. • k =
0
,
,
~
K • i
=
0
-;.
K • j
= O.
Posons
(
-+
r -:>
.....
K • i
=
j
+ .Î1 k,
~
-.>
!L, j + 'Yt
1K
•,
• J =
~~-#
alors la matrice de K dans la base (i, j, k) s'écrit
0
0
K=
X r ~ ,
IL
"Y
d'où
0
0
0
~= ~Xr ;;2 b
•
.xv fA,Y 0
Ma is corrnne
4
~
~
r
K
1
• j
= 0 ,
(
-2
....}
~
lK =
• k
0 ,
~
~
~
~
)) ,
• i
/:0
(i
~. (Tf1
on a
et la matrice K prend ~a forme
.../...

---

1\\. 2/ 135
o
o
o
K::::
X
o
o
•
o
LÀ
Réciproquement si la matrice de K est de cette forme
3
3
d3ns une bnse orthonormée la relation K = (0) entratne K = ~ ;
2
si de plus )[)J
1 0 on a K J ~. Ceci achève la démonstrûtion
de la proposition 2 et du théorème, les autres formes possibles
-1-~-}
pour K s'obtenant encore par permutation sur i, j, k.
COROLL/-I. IRE.
3
~
K
= 0 ,
alors
est symétrique si et seulement si
o •

---

- 136 -
B l B LlO G R A PHI E
Les nombres qui figurent entre parenthèses à la fin de chaque
référence indiquent les pages du texte où cette référence a été
utilisée.
e
[ 1]
ANGOT, A.
COl'.PLElVENTS DE iVlATHEiviATIQUES, 5
EDIT., PARIS,
REVUE d'OPTIQUE, 1965, PP.191-193 (3,9,14).
--!
[2 J
lPlDANOV, J.S. AND G.N. CEBOTAREV : SUR LES JAATRICES QUI CONIMUTENT
AVEC LEURS DERIVEES (EN RUSSE),
....
y
IZV. VYSS. UCEBN. ZAVED. IviATENiATlKA (KAZAN),
1959, N° 4
(11), PP. 27-37 (127).
[31
BROUSSE, P.
: flJIECANIQUE, PARIS, ARMAND COLIN, 1968, PP. 62-65
(42,81).
[4J
BRUHAT, G.
: COURS DE PHYSIQUE GENERALE. MECANIQUE, PARIS,
MASSON ET Cie,
1961, PP.
139-145 (42,81).
[5J
CARTAN, H.
CALCUL DIFFERENTIEL, PARIS, HERjviANN, 1967,
PP. 127-129 (3,9,14).
[6J
COLEMAN, B.D.
; H. MARKOVITZ and W. NOLL : VISCONiETRIC FLG'lIS
OF NON-NEWTONIAN FLUIDS, NEW-YORK, SPRINGER-VERLAG,
1966, PP.
17-19 (5) ; PP.
19-20 (10,89)
; PP. 21-28 (18);
PP. 22-26 (10,29,72,73)
; P. 29 (10,17,18,31,60,61,73,
90,106) ..
[7 J
COLEMAN, B. D. and W. NOhL : STEADY EXTENSION OF INCOMPRESSIBLE
SIMPLE FLUID6, THE PHYSICS OF FLUIDS, 1962, Volume 5,
N° 7 (10,50,58,104,107).
[ 8 J
COLE MIl. N, B. D. and C. TRUESDELL : HOMOGENEOUS MOTIONS OF INCOM-
PRESSIBLE ~iATERIALS, ZANM, 45, 1965, PP. 547-55! (1,2,
4,7,8).
[9 J
FAVARD, J.
: COURS D'ANALYSE DE L'ECOLE POLYTECHNIQUE, TOME III,
FASC. l, PARIS, GAUTHIER-VILLARS,
1962, PP. 30-34
(3,9,14).
[10J FRAZER, R.A.
; W.J. DUNCAN and A.R. COLLAR : ELEMENTARY MATRICES,
CA/lJœRIDGE, UNIVERSITY PRESS,
1965, PP. 217-219 (3,9,14).
[11 J GANTMACHER, F.R.
: THEORIE DES MATRICES, TONiE 2, PARIS, DUNOD
1966, PP.
121-126 (3,9,14).; PP. 126-128 (9,14).
[ 12 J GAUDIOT, P.
: COURS DE GEOMETRIE ANALYTIQUE, TONIE l, PARIS,
EYROLLES, 1960, P. 250 (35,48)
; PP. 281-284 (37,48) •
.../ ...

---

- 137-
[13J
GERMAIN, P.
:
NiECANIQUE DES iV1ILIEUX CONTINUS, PARIS, MASSON
ET Cie, 1962, PP. 35-36 (6).
[ 14 J
JAMEUX, M.
:
SUR LE TBEOREJViE FONDAlviENTAL DE NOLL,
COiViPTES-RENDUS de l'ACADEMIE DES SCIENCES DE PARIS,
1970, TONiE 271, SERIE A, PP. 1188-1189, (9,NOTE).
[ 15 J
NOLL, W.
:
NIOnONS WITH CONSTANT STRETCH HISTORY, AROHIVE
FOR RATIONAL MECHANICS AND ANALYSIS, 1962, VOL. 11,
PP. 97-105 (9,17,31,44,59,125).
[ 16 J
SERRIN, J.
MATHEMA TICAL PRINCIPLES eF CLASSICAL FLUID
NiECHANICS, HANDBUCH DER PHYSIK, BD VIII/1, BERLIN,
SPRINGER-VERLA~, 1959, PP. 231-234 (10,52,106,108,
126) •
[17J
SLATTERY, J.C.
:
UNSTEADY RELAT'IVE EXTENSION OF INCOMPRESSIBLE
SIlvlPLE FLUIDS, THE PNYSICS OF FLUIDS, 1964, VOL. 7
N° 12 (10,107,124).
[ 18 J
TRUESDELL, C. and W. NOLL : THE NON-LINEAR FIELD THEOR lES OF
MECHANICS, HANDBUCH DER PHYSIK, BD 111/3, BERLIN,
SPRINGER-VERLAG, 1965, PP. 53-55 (7) ; PP.73-76
(1,4,7) ; PP. 429-432 (44,NOTE).
[19J
TRUESDELL, C. and R.A. TOUPIN: THE CLASSICAL FIELD THEORIES,
HANDBUCH DER PHYSIK, BD 111/1, BERLIN, SPRINGER-
VERLAG, 1960, PP. 434-437 (j,4,7).
--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--

---