UNIVERSITE DE DAKAR
FACULTE DES SCIENCES
THESE DE SPECIALITE
présentée à la Faculté des Sciences de l'Université de Dakar
pour obtenir le titre de Docteur de 3° Cycle en Mathématiques
Spécialité : Mécanique
.
..
MECANIQUE ANALYTIQUE'rilf CORPS SOLIDE
DANS L'ESPACE A n DIMENSIONS
," .
~,;'~,
.' ~
. .
. . . .
.~.
,~ ; .. ..
.
par
Etienne Gbênoukpo LIGAN
Soutenue le 15 mars 1982
devant la Commission d'Examen
Président
M. E. FEDIDA
Examinateurs
MM. C. BADJI
A. COSTE
S. NIANG
H. SEYDI
S. THIAM

---

.../ ...
• •• sanb:>'Bf ''U~~J liOUI V
• •• aSIOW
a~~ uour V

---

l
DUC T ION
llNTRD
Dans l'article intitulé IIS ur la Mécanique Analytique du
corps sol ide Il 00 ur na 1 de méc an i que , Vol ume 1 7 N° 5 1978) 'fvl. LAN GLOI S
en utilisant le groupe affine d10rdre
n
qu'il représentait par un
sous-groupe
ID
de transformations linéaires du groupe linéaire
d'ordre n+1, GL( n+1 ) (confère
[15J H. FLA NOE RS,Di f f é r en t i al For fi1 S
§9.3 pagê 153), établissait un isomorphisme entre ce dernier
ID , et
le groupe des déplacements d'un solide schématisé par le repère mo-
bile'de
E. CARTAN
dans un espace affine ~
n
dimensions. Ccci
lui permit alors de mettre en évidence deux matrices fondamentales
l'une étant 1 'élément infinit~s1~al du groupe
ID , c'est-â"dirc le
torseur cinématique. l'autre le torseur cinétique: ces deux matrices
sont des d16ments de l'algèbre de Lie du groupe
ID
qui est un sous-
groupe de Lie de
GL(n+l) ; cette algèbre de Lie étant elle-m~me
rapportée aux deux bases images de la base naturelle associée au
système de coordonnées locales sur
ID
par les translations à gauche
et à droite. Dans ces deux bases et dans deux bases qui en sont
déduites les écritures des torseurs cinématique et cinétique ont une
signification remarquable; elles s'interprètent en effet dans la base
image de la base naturelle par la translation à gauche et d'une autre
qui s'en déduit comme les expressions de ces deux éléments définis
en fonction des coordonnées par rapport au repère mobile tandis que
dans la b~se image de la base naturelle par la translation à droite ct
,
dans une autre base qui s'en déduit, ils sont définis en fonction des
coordonnées par rapport au repère fixe choisi.
Les deux matrices définiss~nt les torseurs cinématique ct
cinétique en fonction des coordonnées par rapport au repère mobile
lui permirent alors d'exprimer très simplement llénergie cinétique,
les d9UX invariants intégraux: l'invariant intégral relatif de
Poincaré et l'invariant intégral de Cartan. invariants intégraux â
.: • • l • . •

---

II
partir desquels il écrivit les équations lagrangiennes, puis les
équations canoniques du mouvement du solide en fonction des coordon-
nées par rapport au repère mobile mais seulement en absence d~ champ
de force.
La simplicité des calculs matriciels utilisés lui permit
de retrouvcrrapidemcnt les équations d'Euler du mouvement.
Cette grande simplicité qu'offre le calcul matriciel beau-
coup plus souple que le calcul vectoriel habituellement utilisé nous
a amené à écrire dans un cadre plus général en partant soit du prin-
cipe de d'Alembert soit des invariants intégraux les équations de
dynamique analytique du mouvement d'un corps solide à
n
dimensions
soumis à des liaisons holonomes ou à des liaisons non holonomes du
type tzdnoffien ; ce sont : les équations de Lagrange, les équations
t zt n0 f fie nne s , les équa t ion s 9é nér ale sni an9nie nne s [2J , [8J, [9J les
équations appelliennes. ces équations sont écrites d'une part en fonc-
tion des coordonnées par rapport au repère mobile lié au solide et
d'autre part en fonction des coordonnées par rapport au repère fixe
choisi.
Ensuite comme application des équations matricielles
de dynamique analytique établies nous nous sommes int~ress6
à
l'étude du mouvement d'un système constitué de plusieurs corps solides
à
n
dimensions soumis à des liaisons holonomes ou
aussi à des
liaisons non holonomes du type tzénoffien.
Nous avons voulu illustrer la remarquable souplesse de ces
nouvelles équations du mouvement par l'exemple de l'étude du mouvement
du "chariot-marionnettc ll •
. • •1. . ·

---

III
Nous avions présenté ce travail en 5 parties dont la
première (Chapitre
0) est consacré à des rappels sur le calcul
matriciel et à certaines propriétés de l'ensemble
~(n)
des matrices carrées d'ordre
n
à coefficients réels et de
certains de ses sous-ensembles remarquables.
- La deuxième et la troisième partie (Chapitre 1 et
Chapit~e 2) traitent respectivement de la cinématique et de la
cinétique du corps solide à
n
dimensions.
- Les deux dernières parties (Chapitre 3 et Chapitre 4)
traitent respectivement des équations de dynamique anal~'~ique
du solide puis de l'application que nous en avons fait~.
* * * *
Nos mots de remerciement vont :
- A notre Ma1tre Le Professeur SOULEYMANE NIANG, Doyen de la
Faculté des Sciences de DAKAR, que nous ne saurions r8mercier
car plus qu'un mattre vous @tes pour nous un tuteur.
Vous qui en nous inspirant ce travail n'avez ja~ais
cessé de nous guider pour sa réalisation malgré vos immenses
préoccupations.
Puissent l'amour du travail bienfait, la modestie et
le sens profond de l 'humain qui vous caractérisent nous
t ns t r ui r e ,
Daignez accepter ce modeste témoignage de notrerecon-
naissance, de notre admiration enthousiasmée et de nos
hommùses respectueux.
.../ ..·

---

IV
Au ProfussGur EDMOND
FEDIDA
qui a beaucoup contribué à
notro formation et n'a jamais cessé de nous encouraJer tout
au long de ce travail.
qu'il veuille trouver ici llexpression de notre pro-
fonde estime et de nos sincères remerciements.
- Nous exprimons aussi toute notre gratitude à Messieurs SEYDI,
BADJI~ COSTE et S. THIAM pour avoir accepté de faire partie
du j II r j'.
Qu'il nous soit enfin permis d'adresser nos remcrcie-
ments
A tout le Personnel Administratif de la Faculté des
Sciences, en particulier à son Chef, le Secrétaire Gén§ral
1. FAVE
pour toute sa sollicitude à notre égard. Veuillez
trouver ici l'expression de notre déférente gratitude;
- Mmes
S. MBAYE
et
M. S. NDIAYE
ainsi qu'à Messieurs SECK
et GUEYE pour leur franche collaboration dans la mise au point
de ce travail .1.
* * * *

---

- v .
- PLA N -
Chapitre O.
RAPPELS
A - lA STRUcrurœ D'ESPACE VECTORIEL EUCLIDIEN
des Matrices Carrées d'ordre n à Coefficients réels~Cn)
1) Transposée d'un matrice
2) Matrice synlctrique matrice antisymétrique
3) Tracé d'une matrice
4) - Produit Scalaire et Nonne de HILBERT-SCH\\1IDT sur !tCn)
5) - Nonne de HILBERT-SŒMIur induite par une matrice symétrique
R - LE GROUPE DE LIE ~.;l Cn) et son ALGEBTΠde LIE
Chapitre t.
CINBvfATICUE DU CORPS SOLIDE DNJS L'ESPACE à
n dimensions
A - Dêplacements du solide et Groupe matriciel des déplacements du Solide.
A
B - Vecteur-Vitesse d'un ~int - Torseur Cinématique des vitesses
El - Dans la base fixe
E2 - Dans la base mobile liée au solide
B - Exemple le cas
n=3
3
B4 - Interprétation dans l'esrace des vitesses
B - Cas de liaison de tyne tzénoffien.
S
C - Vecteur accélération
C, - Dans la base fixe
.../ ...

---

_V/_
Cz - Da~ la base mobile liée au solide
C3 - Exemple le cas n=3
C4 - Cas de liaison de type tzénoffien.
D - Composition de mouvements
Dl - Vecteur-Vitesse; Vitesse d'entraînement et Vitesse relative
1) dans le rerëre fixe
R0
2) dans le repère intermédiaire
R1
3) dans le renère li€
au solide
RZ
DZ - Vecteur-acc~lération : accélération d'entraînement,
accélération relative et accélération de Coriolis
1) dans le rerëre fixe
R0
2) dans le re~ère intermédiaire
Rl
3) dans le repère lié au solide
RZ
D
- Applications
3
1) Mouvements inverses
Z) Roulement et Glissement de corps solides
vitesse de Glissement.
E - Constantes de structure de la connection affine définie par le repère
mobile.
CharlÏ tre Z.
CINETIQUE DU CORPS SOLIDE ."/t n dimensions
A - FORCE VIVE ZT
B - Torseur cinétique
.../ ...

---

- VII-
C - Exemrle : le cas
n=3
D - Energie d'APELL. S.
E - Ener~ie de NIANG : R
F - Evolutions - Circulations du solide:f(t)
F
- EJ,rolutions réelle et virtuelle de J Ct)
l
FZ - Circulations réelle et virtuelle des vecteurs d'inertie de~(t)
F3 - P.elations ~1atricielles remarquables concernant la Circulation
virtuelle.
G - Chamn et lorseur des forces arrliquées au solide.
Chanitre 3 -
FiliATIONS MATRICIELLES DE DYNAMIQUE ANALYTIQJE
du Corps Solide à
n dimensions
A - ENONCE du Principe de d'Alembert
B - EOUATIONS lagrangiennes du mouvement de t:fCt)
C - F~ATIONS d'Euler déduites des E0Uations lagrangiennes.
D - EQUATIONS Tzénoffiennes du mouvement de'! (t)
E - EOUATIONS apnelliennes
El - Cas où le solide est libre
E - Conséquence.
Z
F
- Cas de liaisons de tyre tzénoffien.
3
F - EûlJATIONS générales niangttiennes.
F
- Cas où le solide est libre
l
F - ConséŒlence :
Z
F
- Cas de liaisons de ture tzénoffien.
3
f3 - THEOlTh"ME DE L'ENERGIE
.../ ...

---

- V!l1 -
Chanitre 4.
MOlNIMENT D'UN SYSTH.1E l (t) , CONSTIlUE PAR r
COP~S SOLIDES LIES DANS L'ESPACE à
n GÜTIensions.
A - RAPPELS : Somme directe d'es~aces vectoriels
TI - Identification des Qé~lacements de GCt) dans l'espace à n di-
mens ions à ceux d'un sys tème ~f (t) de points dans un espace à nr
dimens ions •
C - Cinématique du système~f(t)
D - Cinétique du système ~f(t)
If'
·f
E - Eouations du mouvement de t.. (t)
(ou de e>(t))
F - Exemrle : Etude du mouvement du ,'Chariot-marionnette"
.../ ...

---

- 1 -
Chapitre
0
1 RAPPELS \\
'i
A.
- L'P.ljèbl"e (/1.?(n)
des matrices _carrées d'ordre
n
à coefficients réels.
L'ensemble ~L(n) des matrices carrées d'ordre
n
à coef-
ficients réels est un espace vectoriel sur
m de dimension n 2 •
clest aussi une algèbre sur
ffi.
1)
Transposée d'une matrice
'v/ Etant donné une matrice !-\\::
(4;j)
(iJ s., :: 1.• 2 •••• n) élément de
j i. ( n). 0 n appel let r ans pas e ct e P.
é
ri 0 t é (;
L A l ' é l é merlt
d e
()t(n)
défini par
tA:: (b
)
i j
(i.j :: 1.2 ••• n;
avec
b .. :: a..
\\...·l(i. j)
l J
J l
Y
L'application
t : ,K(n) -
)c.n'(n)
est un automorphisme anti-
involutif de l'algèbre
)«(n) :
• C'est un endomorphisme bijectif d'espace vectoriel
t(A+8)
::
tA+t B
t p.t.,)
::
Àt A
À 6 JR
• C'est aussi une anti-involution
t(t A)
::
A
t(AB)
:: tatA
2)
Matrice symétrique. matrice antisymétri~ue
• Une matrice
A telle que tA :: A est ~ite sym~trique
• Une matrice
A telle que tA :: -A
~st dite antisymétrique.
C'
f)
t
/7
M
t
Not c n Sr!' n)::
{A €
r/ h { n ).
A = A} : tt. (on) :: {A e j'b(n ),
A=-A}
5(n) et (R(n) son t cleux sou s-espaces vect 0rie l s de cft.(n) de
dimensions respectives :
n(n-l)
5(
d i m
n)::
1n+1 ) n
dim (A~(n) :=
.
2
2
noUs avons donc la décomposition en somm2 directe:
_)1( n) :: ;J(n) ~.~) r~ ( n)
et les projecteurs associés à cette décomposition sont :
(J
,--- .
,lG( n )
> -.:)t n )
e t c / T L ( n ) -~JL (n)
p
•
P? :
1
t
1 ·
A 1-'"'
>~ (A+t. A)
f\\ r---> ~(A- A)
L_
.../ ...

---

- 2 -
les matrices
Pl(A) = }(A+tA)
et
P2(A) ~ l(A-tA)
sont appelées
respectivement la symétrisée et 1 'antisymétrisée de la matrice
A.
~~~èrg~~:
nous avons les propriétés suivantes
- VA e cA(n)
A2. e S(n)
- Vs € ,5(n)
B2. e..s(n)
3)
Trace d1une matrice
Soit
A '"
fa .. )
( . .
-
1
2
\\
1 . J - _ , .••• n;
un élément
. lJ
de~(n)
n
le réel
tr(A) =i~l a
de la matrice
A ;
i i
est appelé trace
l'application trace,
t'(': J((n)-> IR
A j---? t r t A)
est une forme linéaire ~
• tr(.A+B) = tr(A) + tr(B)
• tr(ÀA)
= À tr(A)
Nous avons aussi les propriétés suivantes
t
• tr( A) = tr A
• tr(AB) = tr(BA)
4)
Produit scalaire et norme de HILBERT-SCHMIDT sur ,}1(n)
a)
- riA = (a .. ) ,
B = f b .. )
(i,j) "' 1.2 ..... n )
l J
.
l J
n
n
On définit
~(A,B) = tr(t AB) = E
:E
a .. b ..
j=l
;0-:1
lJ
lJ
b) -
L'application
~ ainsi définie sur ~b(n) x '~(n) et à
valeurs dans
IR
est bilinéaire symétrique, non dêgénérée et positive.
En effet nous avons :
•
~(A, 8+B') = tr[A(B+BIU= trŒAR+tAB~ = trtAB+ tr{tAB, )= ep(A.B)+ $(A.B')
•
cjl(A. ÀB)
= tr ItA(ÀB)-\\ = Àtr(t AB)
= À <î>(I\\,B)
•
~(B,A) = tr[t[~AJ = -'tr[t(tAB)] = tr[tABJ = Q(A.B)
n
n
•
<î> ( A • A)
=
t r (.t A A J = L
1:
a ~. > 0
si
A ~ a (matrice carrée
1=1
j=l
lJ
nulle d'ordre n).
ci>
est donc un produit scalaire sur .: ~(n)
nous noterons
$( A. B)
::: A. B
... / ...

---

- 3 -
La norme associée à ce produit scalaire est appelée norme de
li
Hilber-Schmidt sur
'h(n).
c} -
Nous avons les propriétés suivantes
t,
Pl
-
V A 6 Ji( n )
et
8 E 5(n)
A.B = 0
-
1
J{,('il ) et .s (n ) son t de ux sou s - es pace sor t Il0 90 naux li e Jt:. (n)
ce dernier admet donc une décomposition en deux sous-espaces vecto-
riels supplémentaires et orthogonaux
,,~
l
,:i[ (n ) :: S ( n ) rD (flA n )
avec
,,:,(n) ::.s (n)
où
SJ(n) désigne l'orthogonal de
S(n).
les projecteurs associés
Pl
et
P2
sont donc des projecteurs
orthcgonaux.
P2 -
Soit~~ le sous-ensemble des matrices carr~es d'ordre
n+1
'"
l~~'~
à coefficients~de la forme
U = G :l
y
...l
oD
Y
est une matrice colonne d'ordre
n. w
une matrice carrée
antisymétrique d'ordre
n •
• ; / est un sous-espace vectoriel de c!t'n+l) de dimension
"l!
(
1
,,-
:.: (~'
J'
2
dimU/
::
n + nn 2
n -" n ::
C J.
n·,- 1.
• Pour des raisons qui apparaîtront ultêri8uremen~ déterminons
l'orthogonal ' [J" de lie spa ceU! pour la nor .n e de Hi 1ber t - Schmi dt
sut ,.~1A n+1) •
. "
Soit
M
ur. élément quelconque de
,k(,(n-i-J.)
dont la décomposition
en bloc est la suivante
il
oD ~ est un réel,
'!
=
~
"'
['-
1
9,
une matrice ligne d'ordre n,
C
N.!
c
une matrice colonne J'ordre
n
et
N
une
matrice carrée d'ordre
n.
Nous avons la relation suivante
U.M
::
tr ft
l
L U.~,1
t
Il
i
::
y.c +
w.~
oD
t y•c
est le produit scalaire usuelle ~ans rn n
w.N
le produit scalaire dans
,M.(n).
. .. ! ...

---

-4 -
Dès lors la matrice
M est orthogonalQ à
U quelque soit
U
dansÎl si et s0.u1em6nt si
t
r.
y. c +
w.~ = 0
'rjytm n
c;
w e l(n)
c'est-à-dire si et seulement si :
(t y • c ::: 0
' /
y y 6 lR n
.~Lw.N ::: a
\\j' w 6~.r n )
,
..- -."
.
'
soit
'c ::: a
vecteur nul de
m"
\\
IN
65(n)
/':\\ in s i l 1 0r th 0 9 0na 1 (LI-- de 11 (2 st le SGUS-cspt\\ce vectoriel des
(- ct
À
matrices de
vI~(n+l) de la forme
'l
1 (1
L
v
e _;
où
a 6 m,
À est
une matrice ligne d'orJrc
n,
et
e e ~(n)
~\\J0usa vons donc 1a décornpas i t ; 0 n de cf/'{ n+1)
en somme directe
de so~s-espaces orthogonaux
'. Ai{ n+ 1 )
:::
71) (t' / J-
~/'(",
•
1
(J
- Ô :
\\ _ )
avec
7j'-' U.L
=:
où
V./.1 dés i gne l' or t hoqona1 de u.
Les projecteurs orthogonaux associés sont
•
A1 (~ +l ) _~ '7
P
j
1 . r./\\/.., " ~4
~...
r
o .-
u
9, -i
:::fO
ri::
c
1
N j - > Pl U~)
!
C
t(N- t N) l
_J
lA
'1 "J
•. ~i(+·I)
P
,';
2 • v':.,' r. - ----.> \\!
Q,-'
r~ r
=
.. p (~I)
:::
2
<.
r
Q,
1J
~
)J
1 ( ..+t '1'
1
C
NJ
L G
'2'~
1\\ )
-J
Nous noterons par la suite ..
Pl(M) :::
*
M
et
_.
P2(M)
~:*
d)
-
~~'Il~~g~~~
- RI
Ainsi la projection orthogonale sur le sous-espace '1L d'une
mat ri ce
M d(~
"Ji,(.,+1) , noté e
M#
s 'ob t i en t en an nul an t t 0us
les 61éments de la premi~re ligne de ce1l8-ci
et en re~plaçant la
p
matrice carrée d10rdre
n située en dehors Ja la première ligne et
de la première colonne par son antisyméiriséc.
... / ...

---

- 5 -
l'
- R2
Oc même le: facteur orthogonal au sous-espace ~l d'une matrice
1 f
M
Ge J'J(n+l)
notée
Iv'I--.:-;_ s'obtient en annulant tous les éléments
-rr
de la première colonne, sauf le premier é16rent de celle-ci et en
remplaçant le bioc d10rdre
n situé en deho~s de la première ligne
et de la première colonne par son symétrisé.
- R
Remarquons enfin que
\\j Ij e 1/
e-:·
Vi; 6 )1.(n+1)
3
"
#-
M.U
=
M
t
U
- ~4;i:,.U = 0
5)
Norme de Hilbert-Schœidt induite par une matrice SymétrigueJ(
L'application
II>
définie sur
){(n) x .Jlt(n)
par:
\\f At B 6 .hi(n)
4>(A. B) =
4>(A.:r;S;:-: tr fti\\JLBl
.
, - -
A:r~B
<:
est une forme bilinéaire symétrique sur )t(:~)
,'1.'
e n par tic u 1 i ers i
J\\",
est une mat r i ce dia ~! 0 n ale pos i t ive
~
est
V
un produit scalaire sur
','L(n)
Nous noterons
A.)(.B = A/B.
B. -
Le GROUPE de LIE
GL(n) et S2!~~ïgèbr~.
1) - L'ensemble
,.11,(n) des matrices carrées est un espace vectoriel
de dimension
n 2 donc aussi une variété.
On appelle groupe linéaire des permutations de
ffin
noté
GL(n)
le sc us ve ns emb l e des éléments inversibles de ,)1(n).
On démontre que
GL(n) est un ouvert
(5] 1
[71 de la variété
rJr{ (n)
cie s t don c une sou s - var i été de Ji (n ) •
De plus les applications
GL(n) x GL(n)
> GL{n)
(A. B) t ·
> AB
et
GL(n) - - - > GL(n)
sont des appiications différentiables
1
A
> A-1
GL( n )
est don c un gr 0 U Pe de Lie de di men s ion
n2 [5]
• [7].
.../ ...

---

- 6 -
L'algèbre de Lie d'un s:roupe de Lie
(;
est par définition
l'espace tangent à la vari~t€
G
au point
e
élément neutre du
groupe.
an rn 0 nt r e que l 1 à 19è br e de Lie de
GL( n )
est Ji (n)
[5], [7].
2) -
Le sous-groupe de Lie
Sa(n} de
EL(n)
et son algèbre
j{(n)~
S0 ( n )
dés i ? ne les 0 u5 - e nsembl e de:; L( li) des é 1ér.1 en t s
A
tel s que
.
t
A.
A
=:
1
et
dét A
==
+1
.
où
1
est la matrice unité d'ordre
n.
On vérifie que :
- SO(n)
est un sous-groupe de
Gl(n) ; il est appelé le groupe
des rotations de
mn •
- Sa(n)
est une variété plongée ~], 1)] de
CL(n)
de dimension
n(n-l)
2
==
Cn
2
Sa(n)
est donc un sous-groupe de Lie de
~.' L ( " ,
\\..i
. ' i l .
On montre que l'algèbre de Lie de
SO{n) est l t en s emb l e ;ll(n) des
matrices antisymétriques d'ordre
n.
~
l'
!v'l '
)1,(n)
est une sous-algèbre de Lie de)
(n l ,
... / ...

---

- 7 -
Chapitre
1
,
-~""P"".
C 1 NE MAT I QUE
du
Corps solide ~ n dimensions •
._------_ .._-------------
Po..
-
In t rad uc t 'j 0 n à l a flî é c ari i gue d..t.!......?..0l ici e dan s
IR n
Le Groupe matriciel d.es ,;.'>placements du s ol t ce .-
1 )
Soi t
Hn lie spa ce af fin e e uc1i die n -rappor t é au r e père
orthonormé
Ra::
(Oot e~, •••• e~) ; d' un 50" ide de
An schématisé
par un rep~re orthonorm~
R = (D. el' ••• ' en)
Considérons la formule de changement de coordonnées en repères de
même crhmt.ation ..
en adoptant les notations s ui vant e s
y
est la matrice colonne des coordonnées ~ans
r;'
.\\ 0
du point 0
A
est la matrice orthogonale de passage de la base
/~.\\
(Il, _
t' "',
(,"-,0
-.
eC )
à la b,se
J./o
~'-l~·····'
l. -
n
~-
.'
( el' • • • • , en)
x et X sont les matrices colonres respectivement dans
R et
o
dans
~
i'.
d'un point
M
du solide ~
On a alors l'équation matricielle du changement de coordonnées
I.A.O.
x = y + p.,X
que
M. LANGLOIS
écrit sous la forme ma~ricielle dans
mn+1
,- 1-,
i l
0-': i1 -j
\\
- :
! •.
l'~ :
r 1--\\
1.,û,.l 1
=;
,
1
1
x j
~ y
A
'. X _'
En notant
0
la matrice carrée d10rdrc
n+1
intervenant
dans I.A.l
on remarque qu'elle permet d1cxprimer le passage du
repère
Ro au repère R sous la forme ~iltricielle :
1 • A • 2
R = R
0
o •
r(
où
et
R
sont respectivement les matrices lignes
le
o
(0 , el
eO )
e '\\
t
•
,. • • Ii
et
(O. el •••••
0
n 1
n
r
2 )
Soit
ID =.{ 0
o
=\\ 1
1Iy 6]R" • A 6 S,J(n) t1
.Y
A "
~,
ID
est un sous-groupe de Lie du Groupe linéaire
GL(n+l)
... / ...

---

- 8 -
ID
contient deux sous-ç;roupes : 1e gr 0 U Pe ct est r ans 1a t ion s fa r mé
r 1 o 1
de l'ensemble des matrices i,
.! 01. l est la matrice carrée
l
i
l' y
unité d'ordre
n, et le groupe des r ot at i ons autour de
00 fermé de
r ' ,
l t e ns en.b l e des mat ri c e s du type i
,'.
t 0 ~l
() n il {) t e Ci ue 1a mat ri ce
[j
a pou r
i nv ~:~ s '::
0- 1
= r 1
0 1
l t
t
1
_\\ - A Y
1\\,
La relation ffiatrici2lle
I.A.2
mo nt r e l'isomorphisme entre le
groupe
ID
et le groupe des déplacements Ju solide j
.
Remarquons que~ outre ce groupe
ID
mis en évidence dans
[l] ,
y
,
le groupe des déplacements du solide
\\
e sc
~ussi isomorphe au groupe
\\....J
"
"J,f
A e sa ( n)
~]/y E IR" ;
1;
Î, 'l~
en effet la relation
I.A.O
peut aussi s'écrire
'- x-\\
r' A
y -'11
r X"1
[
::: (
;
1
,"
iO
: ,,\\
,',
,IL'l'
.l.J
i
L
.J
J .
,,-
~J0 t 0 r s que 1e I! poi nt 9ériér i qlieIl D = f" li ,1 dl! gr0 upe de Lie 10
_ Y
:1,_'
2
2
est déterminé par
n+C
-
n
-
Cn+1 paramètres, n par~mètres définis-
sant la translation y et
c2 Daramètres d6finissant la rotation
A.
n
'
Dans le CùS
n"'3
la rotation dans
ci '
~
~1 n r e père
R = (0 e l' e 2' e 3)
o
0,
t 1
d
l t
'
par rapport à un repère fixe
R
::;
(0,
e~, :j C)' C')) es,
e pro U l
a e
o
~,
l..
0
trois rotations :
- la rotation d'axe (0, e~) transforman~ da~s le plan (0, e~, c~)
le vecteur
O
el
en
l
e
t
vec eur n t '
veceur "
unl~alre
' 1
ca
a l'10ne des
noeuds, intersection des plans
0
o \\
~.
(
)
( 0, el' ~2j
c~
,0, el' e 2
- la rotation d'axe (0, n)
transform~~t dans le plan (0, e~, e3)
10 vecteur
e~ en le vecteur e 3
~
- enfin la rotation d'ale
(0, e
transformant dans le plan
3)
(0, el'
2
) le v e c t eur n
en le vecteur
2
e l '
1
• • • 1
• • •

---

- 9 -
~ ces 3 rotations sont associées les 3 poramètres de rotation
connus sous le nom d'angles d'Euler, ce son~ :
"",
. , /
"
-
0
-,
--- .,-
-----""""'"--
- c
--.~
..-----
"<,
~
<, ,
'" IGe
On'I
,
_
1 n
')
')
i v
l '
,.
te:: (0 el' 0 e 3 )
Q
-
;"n, ,e 1
.
-~
~, e et ~ sont appelés respectivement angl~s de pr~cession, de
nutation et de rotation propre.
LJ matric2 de rotation
A
s'écrit en fonction de ces 3 paramètr~~
I.A.,
r ccsocosv - stncsi nvcose, -st nccosv- cososlnvcose, sin~sinel'
I~ = 1 coscst nv- s i nccosvco sê, -s t nc st nv- COS9Cos'!Jcose.-cos'!Jsinn\\.
l ~in~ sine
sine cosQ
cos8
.
En r~sumé, lorsque le solid8
n-dimensiJn~el J varie dans
l ,
ft"
f7~
., , 1t'n
. , .
d' 1
t
0
espace a- lne
.
'
aSSOcle ~
~
s
sa ~u~r~ce oe
ep accmen
il
«>
déc rit las 0 us - var i été
C~ +] - d i men s ion ne '1 1e
])
de 1a var i t
é
é
tri
n ..
0
i.,n(n+l) ; d~s lors l'évolution o ans l t e s pac e
rr
d'un point
M
lié
1i
a U sol i cl e des t
dé fin i I~ par 1a for ni U 1e l • .f; • J.
dès q LI e 1 'on con !'l ait
l'a r c déc rit paY' 1e Il po i fi t Si néri q ul~
é
Il
D S li r I,J, sou S - var i été
ID •
B.
-
Vecteur-vitesse d'un point
i·;
"1l.!. Solide, Torseur
cinÉmatique.
Soit
t 1----) D( t)
lia r c param~tré décrit sur
ID,
l,~ premier memare
Ti" n
".
•
de
I.,fi..l
donne 1'arc de
~
p2rameLre par
t
t ~--;" [Ji ( t )
décrit
""-i
I J
dans l
[,Ii
-\\ ( t ) ·
J espace f
par le point
lié au solide
7n
'.'
)
(X
est fixé).
En dérivant par rapport à
t
I.A.l
on obtient
0 \\
'
f j_. \\
1. B. l
il
1
.
( ~) = ~
il X /
81
-
En multipliant a ~a~che
I.B.l
p2r
0- 1
on obtient
1 ' exp;"e s s ion a na 1y t i gue dan s l a bas e
(,1) 1) ((:
J
<lLi
sol i d2
CU
du
vectcur-vitesse du point--.-!i :
. 0 \\
l '
1.. \\
I. 8.2
1
)
= n '\\
!
\\ V,1
X)
t
.
avec
V:::
PIX
n:: 0- 10 ::[~
0]
-c-
•
"/',y
W
t
.
-
'
où
w::
A A
est une matrice antisymétrique d'ordre n.
... / ...

---

- 10
8
- En remplaçant
1)'
par
D-1;1~ dans la relation I.B.1
2
X
lx /
O!1
0 b t i é n t
lie x pre s s -j 0 fi aIl a1y t i gue du v eete ur_- v i tes se d u po i nt
rJI
dans l a base i~
liée il 1 1 e s oece de r
r e nc e :
é
f é
o
.
1. B. 3
10\\
_
?-
/ .1 \\
i
1
-
~l
\\~/
l
,
\\ x '
'\\..
•
1
r,!.
l
0
0
avec
n
= 0 {)-J. =: ,:
1
•
'\\..
-v 1
L \\ Y -w-y
w .J
'\\..
où
W =
A t ,L\\
est une matrice antisymétriqu~ u'ordre
n.
(X \\
B -
Lorsque
n = 3
soit
l ; ma.~ ri ce colonne des
3
~~:)
Y =
d
'
d
.
t
0
d l '
d
- - .
( -,
0
0
0 )
coor onnees
U pOln
ans
e repere Le re~erence
uo ' el' c2, e3
et
ft.
l~ matrice de rotation exprimée en fonction des angles
d'Euler
\\IJ, e ,$
(1.11.• 2)
alors l'on obtient :
r ° °1
0
-r
ql
avec
w =
r
0
-p
n -l t A ; . Wt
-Cj
p
0,j
p= ~s'inesin<1>+ 'c'Os<p
1.8.4 1
•
•
q= \\lJ s·i n8cos <p - e si n<p
•
r = ljJ ·C 0 S e + q~
Lr :
:)
°1
-rI
ql
'\\..
avec
W'"- ,. i~ 1
0
1
-Pl
J.
'\\..
'\\..i
-y- w-y
wl
1
-q,
Pl
0
J
.
c
Pl = <psinBs1nljJ + 8cos\\jJ
•
•
qJ
= - <psinBcosljJ + esin~
•
•
r
= cco s e + ljJ
1
... / ...

---

- 11 -
dès lors en explicitant les r e l at i o ns
I.n.2
et
1. S. 3
on retrouve llé9alitr vectorielle classique Ju champ (.Je s vitesses
respectivement dans les bases
J:.=- li~e au sclid2 et
'1:J.
J-.d
de 11 espace
de r é fé re nc a :
...-
...-
-»
.>
V
V
.,\\.
(;) r. OM
o
...-
où
w
le vecteur rotation instantanée a pour cJ~posantes
(~~ et
(p ...
\\rl
Î
J.:
...-
! q , J;
,
,
respect ive ment dans l es bases
'1- " et -'. 0
Va
est le
"
-
1
\\ r 1;'
vecteur-vitesse du point
O.
/ l '
•
l
t '
î )
t
'l.
, .
1"
. , .
.
•
,\\l ns l e s ma r l ces
o~
e
~2
9 e ne ra l son','.
1 e
1: 0 r s e li r Cl ne -
matique dans
m3 • En particulier D contient les coordonnées dans
~t~·; des éléments de réduction en 0 de CE ;:orS8U~ : la rotation
i Il S t antan e
é
{JI
e t
1a vit e s s e ci L! P0 i n t
0 :
V0 o~'~f!stY •
8
-
Interprétation dans l 'espace des
4
v i t es ses.
--_.-
1)
Nous supposerons désormais que la natric2 rl~ déplacement
0
D
du solide
~(t)
est exprimable explicitement en fonction de
t
t
d '
(2
- .
' t
" . J '
d ,+
v
(
- 12
C2 )
e
es
n + I
par amer e s l n 'J e pen 0 Il '_ S
q
\\l
-
..,
• • •
n .:. l
sou S
la forme
v
t .}
= D(q
~
1
[ 0
L s , 5
?
avec
\\l
= 1 ~ 2 •••• C-+ 1
n .;
v
les
q
étant des fonctions implicites de
l •
n
De sorte que la position
x
de toute p~rticule du solide j(t)
est-elle aussi
(compte tenu de la relation
I.r.l) exprimable expli-
citement en fonction de
t
et des paramètres
((~) sous la forme
v
X
= X (q
• t)
1. P. 6
[ avec
v = 1,2 ..•• c2n+l.
J
Le solide
J(t) sera alors dit définl P0r l 16tat des positions
des particules •
.......
Ob
~
le système
( \\l
\\ q , \\) ::1, ....
['2
est un
J
syst~me de coordonnées
n+ l )
o
•
aD
SUI"
la variété
ID ; à
t
fixé,
o = Cl D aV.
v
(,:. vec
;) D -
1
. \\ )
oqV
... / ...

---

- 12 -
est un vecteur tangent en
1
'matrice carrée unité d'ordre n+I}
à la variété
ID
; notons
Ta ID
cet espace tengent. Ce dernier est
rapporté à la base naturelle
.,
" ] '
d
-
(v)
aSSOClee au sys~e8e ce cocr.onnees
q
2
.
(dVO J
v = 1 ••• C +1)
n ~
•
la matrice
Q
est 1 limage de
o par l'application linéaire
tangente de la tanslation à gauche
LO'
:
C'2St donc un vecteur de
-~
l'espace tangent en
1 (matrice carr~e unité d'o,:,dtt'
n+l)
à la
·-t-
rr-
t : : : l ' , . . .
t
.L
var i e ~
l.U
:
no ons .--J-' cel. espace t enqe n
ri lu
~D est aLI Ss i par d fin i t ion lia 19è br e de Lie du ~'.'
é
t' 0 U Pe dei Lie
ID
[5 J
]) est une sous-algèbre de Lie de l'algèbre de Lie de ;}~(n+l)
du groupe linéaire
GL(n+l).
~
~
De même
n est l'image se D par 1 lap~lic~tion linéaire
tangente de la translation à droite
R
:
O-l
~
est aussi un élément
"i'
de 1'al<]èbre de
lie
'~J .
':..,:...-/
L'Dlgèbre de lie,i) se t r ouve vcl or s r app crt ce aux deux bases
images de 1& bAse naturelle par les deux applicGtions citées ci-dessu~
~ .. r' _1 () D . ?<
.. ("
D' D-1
- J
2
('2
uv"}
v
J
~
--
\\ (Iv
1
;
V -
. J
• • • •
vn+1
3)
Nous signalons le CAS plus général - que nous n'envisagerons
pas dans notre étude - où là matrice de déplJcement
0
est définie
par les relations
•
o .= 0* qv
1. B. 7
[ avec VD~ _ * V
1
~2
Dv(q ) J V ~OJ~ •••• ~n+l
qO = t
les relations
I.B.7
n 1étant pas intégrables sc sorte que la
.
vitesse
x
de toute particule du solide est Jéfinie h chaque instant
compte tenu de
1.8.1
par les relations:
;
=n*qV
v
I. B. 8
1
\\
l
'
[
( 1 ;
* 1 \\
~2
1
avec
~,n*J:;;; Dv lx)
\\J
= o,J·····l.n+l
~I
\\
\\
•
Les relations
I.B.8
nlétant elles aussi ~3S intégrables.
le solide
j(t)
est a l or s dit défini par l'é~àt des vitesses
des par tic uJ es.
( V0 i r
S. NIANG.
'-2] J
L8], f.0J )
. . . . ~
•
C'!~
Les relations I.B.7 et I.B.8
peuvent s'appliquer 5UX solides
les plus gén~raux définis par 1 1 é t at des vit8sses da leurs particules •
.../ ...

---

- 13
B5 - Cas d~ 1i01so"s de type tzénoffien.-
ï
1} Lors~ue le solide
J(t)
est défini par 1 'ét~t des positions des
p er t i cu l e s , l e s paramètres
Cf\\'
(v:: 1. 2 •••• C~.<t)
n'étant pas tous
indépendants, nous les considérons soumis ~ ~es contraintes de la
forme :
- oa
~
q
Ct
.13
:-=
Cl.
q
e
1.8.9
1 avec
a
o.
--
aCt
(qV,
t)
.
-1
2
C2
v
0'
u, .. ,
•••••• n+1.
f3
s
r-
-
')
')
q 0:: t ~ 0q 0:: l
13
'-'
u, .:.,'- •••• 1-
. •
\\~ 2
Ct ::
D';- .:.• • • ••
, '" +1
.
"
OLI
les
aas sont seulement fonctions des
v (
",..,
C2 )
Cl
,v=.i..,c:. •••• n+}
et de
qO~ot.
Nous supposerons de plus que les relations
(I.B.9)
1
,
~
ne sont pas
(en g~n~ral) intégrables.
~~(t)
est alors dit soumis
à des liaisons non holonomes.
Si
j(t)
est soumis à des liaisons holonomes, mais non
résolubles~ de la forme:
1.8.10
fh(qV,
t) = a
h::: p-:-~~, •••• c2
n+1
On pourra écrire ~n d(rivart
1.S.10
oa
él
q
_(3.c
·B
c/ h
Slh q
f ,
r-.
1.8.11
"vec
: :
ê
c;
élÀf
....
'-1
;::
t
h
"aq À
li '~ e
2
- ..
t :
1
P )
1
{p+l, •••••
Cl};
b .-
,,'.',
.~~...,
a)
l
n+
Dès lors on pourra, en général, tirer du sys~èrne (I.8.U. ) les
1
·a
• B
q
en for.ction des
qV
q
,
et
de
t
c '~', r ë:ri] ~ ne rai ns i les
relations
I.B.IO
aux for~es
I.S.9 que nous Jppellerons formes de
liaisons tzénoffiennes.
i )
Lans
tous les cas compte tenu de 1.8.9
~:;(t) dépend de
p
paramètres indépendants
qB, mais les positions des particules
o
:.(t) ne sont pas en gfnéral exprimables expliciteme~t - et avant
toute considération dynamique - en fonction ~s
t
et seulement de
ces pa~dmètres
qB.
• •• 1 ••.

---

- 14 -
Les formes de liaisons tz~noffiennes (1.8.9)
,
. induisent sur le
f i b r é tan 9e nt
TID
à l ,., var i été
ID
une SOL! ~ - V Ô. 1" i 6"~ é
V, n0 U s n0 t e -
rons celle-ci
T ID
et sur
.
l'esnace
~
vectoriel tannent
~
en
D
à la
variétê
li!
un sous-espace vectoriel de d t me r s i on
p
noté
Tif'
•
sur cel Ij 'j - c i D
a pour expression
• S
1.\\3 () q
1.8.12
rD =
1
i
CtC/a
avec
6
-\\-
~~
dSD
1
a IC' ex"
BD
1.-
Les 0 L! S - e spa ceT t:P
est ct o nc r anpor t é à l 2~ 1)21 S Ü
( '13D::: dl3ù'1'a~2Ct0
t
8:..1, ••••• p) base indu i te sur 1a b as e naturelle
"
(3
D ,
v =1,2 •••••
par les formes (I.B.g).
V I
C~+l)
,
_
N.B.
Dorénavant toute quantité surlignée désignGra l'expression d'un
.
.
, v ,
, . . ~
013
élement en fonctlon des parametres
q
et des s8u12s ùerlVees
q
des paramètres indépendants.
Ainsi le vecteur-vitesse d'un point
M du solide s'écrit
'1'
1
0\\
_ (1\\
\\
')",
.
\\ = ~l
1
-: J
.
/
x /
'. x,'
1.8.13
avec
~ = "5' D-1 :: ÔBD O-lqS
/ o,
l
,
! 1 \\.
!
\\
= n'
\\
\\ \\ v)
1
1
\\ X '
\\.
)
1-
_ ,
0
avec
-
··1-
n = 0
0 -
D ·Ô sD q l3
~
-
où
n et
n sont les torseurs cinétiques induits par les formes
(1.B.9)
sur]) ;
ce sont des éléments du sous-espace vectoriel
.
,;-\\
TrIO
SOl t c..-L.J
q u 'j
se trouve rapportê aux deux bases
-
~D
1
-
-1
f?l
-
0-
et
= 0
Ô D
,
f3 = 1,2 •••• p )
\\" f3 -
nS
8
induites sur les bases (~v~ ove
1
0-
e .~ n ;;; il - ~:. () i"" V =1 2
C2
)
v
' - V ' - '
,
•••
n+l
1
,~'
f l
B fi)
par
es 1 0 r mes !. •
. : '
•
... / ...

---

~ 15 -
2) 1. 0 r s q LI e les 0 l ide
~) ( t )
e s f. d fin i
é
p a Y' 1 1 ••H :l .~ des vit e S Se S d<2
ces particules, les
qV
étant soumis aux contr~intes (I.B.9)
les relations I.S.7 et 1.B.8
s'écrivent res;cc~ive~~nt
•
* 15
o ==
r~
..' f;
q
I.B.]4
-*
*
a:
*
avec
o S =; Cs + a 13 °o.
CS
:: 0, 1 , ••••• P
1
,
2
l-
a ::.:: p+ 1. , ••• Cnt!
r--
.
-*
"6
x = na
q
1.B.15
-" = *
a
*
avec nS
n B + a S n CI..
i3 = O,1. •.• p
?
a = pt L, •••
C~+l
c.
.')
Vecteur - açcélération d'un p~int
( :
dLI sol ide
2-((t )
En d~rivant (l.B.l) on obtient
,
'01
1 1
.of'
J..
1 • C• 1
-
D
i
l .. 1
X/
, x/
c,
~~e~~~~~~~_~~_~~~!~u~:~~~~~~~~!i~~_~~_f~~~!!~~_~~~_~~~~-
donnfes par rapport au repère lié au solide:
-------------------------------------------
En multipliant ~ gauche les deux membres de
1.C.l
par
D- 1, on
obtient:
i-(. 0)\\\\
(1 \\
... \\
1 • C• 2
1
::
D- 1 D
\\
1
1
\\ r
l,X /
avec
r
=
t,Ll, 3(
1
~.-
1 ••
Exprimons alors la matrice
D-- D
en fonction des seules dérivées
du torseur cinématique
$',
nous avons
n == 0- 1 0
1
. - - < ,
•
/' _.~, -
_ l ~ ~
i 1 vic: n t end r i van t ce ae r nie r : (1) st
é
~, D "- D + D .. L
d'autre part de la relation
10:=
0-.
Î
G11i:1trice unité d10rdre n+l:J
.../ ...

---

- 16 -
/~.:;'\\
.
O
·
-1
-1
n tlre:
D
0 + 0
. D
::
0
scit : (2)~~~1 :: _0- 1 ~ 0- 1
-
--",
,
l
1
"0 -1
1 "
l \\
des
ors en remp açant
.
par sa v~ eur (ans
l )
.
100
il vient ( 3 )
rl ::
1 ·
1 ·
,
••
't
•
'1
•
-
(D-
0 O-J) 0 + D-- 0
,-; _(O-.t. D) ([1-.1. u)+D- [)
\\
,
:: _ n2 + ü-1D
en d du t t alors de (3) la. relation
é
1. C. 3
U-) 0
::
!il + n2
!.l,insi compte tenu de I.C.3 l'expression ünal},tique du champ des
acc é 1é rat ion s dus 0 l ide
,--f( t) daY)s 1e r c:: pèl~;~ ;~~ l i é ft cel ui - cie st
a \\
l \\
\\
1 • C• 4
j
=
(0. + ç;,2) !
1
1
.
r/
1\\
xl'
L avec
r :: t A X
C2 - ~~e~~~~1~Q_1~_~!~!!~~:!~~~!~~~!!~Q_~~~Q_~~!Q! __~_~~_~~!!~~
~f(t)
en fonction des coordonnées dans le repère fixe. R
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0
_.-1
!-,'
En remplaçant dans
1. C. 1
/1 \\,
par
U
..
1
.
.
1
•.
:
( x)
\\X ,/
il vient
(0 .
••
1 (i l \\
1. C. 5
j
'1
=
0 0-",
1
! ft
1
'1
If.
1
.'
\\, xl
\\.
Exprimons aussi la matrice 0 0- 1 en fonction des seules dérivé.es du
~
torseur cinématique des vite~ses
!il
~
.
]
nous avons
!il:: D 0-'
~
t .
-1
• ~.."
00
il vient en dérivant ce dernier
( 1. 1 )
9
= 0 D
+ D.O ~
•
/'-:1'
- - -~t •
~-\\
r...... -
1
compte tenu de la relation (2)
o
= -
D
Lo
L'
é
t ab l i e ci
dessus, (11) s'écrit
( 3i )
~. = 0 0- 1+ 0 (_ D- 100- 1 ) '" jj 0- 1 _ (û - l ()) (D- l Ô)= 00- 1_ ?t2
On déduit alors de (3') la relation
••
1
•
~
~
1.C.6
D [)- ...
= rl + 0 2
... / ...

---

- 17 -
Ainsi compte tenu de cette derni~re relation l'expression
ônalY!iqu2 du champ des accélérations
~.') r)· )
d8
..., ,, l .
dans le rep~re R
.
0
lié du sclide est:
.0 \\,
. 1
-: + '"
I • C• ?
r-. 2. '
'"
( 0,
\\i
~6
J;\\
X/
\\. x/
C
- Le cas
n = 3
3
-------------
On vérifie que
I.C.4
2t I.C.7
traduisent respectivement dans
la base liée au solide puis dans celle de l'espace de référence
l'égalit6 vectorielle classique:
r
-~
.:.
.
-'"
-s-
-+
-'1
=
r
+
W
./ \\
0 ~1 -t- w1\\ (w /\\ 0 Iii)
o
C
- Dans le cas oD le solide j(t)
est soumis à des liaisons
4
de type tzénaffiennes
nous aurons les relations suivantes:
t
!
/1,
0 \\
i
\\
2.
,
\\
1
1_
o
1 • C• 8
\\
, -
(51
+ IT ) 1
1
\\
-
1
\\, r /
\\ X)
:' 0 .
•
!
\\
l ')
1
1
,
,
($'1
+ ?12.)
1
\\ w !
1
\\ x·
X ,/
o. - Composition de mouvemE:nt.-
<:: 0 i e n t
R
=
(0
(F')
R
= (0
(\\-, \\
e.'-
R
:: { 0
(b ')
~
. 0
0'
~o
'
).
. l' \\...r l'
L
'2
\\ 2 t . 2
.3
r e p.è re Sor t h0 n0 r mé s de lie spa ce af fin ecu c 1i die n ~ n
as soc i é à Rn; les bas e s (~'o' ~j l ~ (E2 se r 0 nt Slip P0 sê es de' m~ ortenta-.
tion le repère
R
est le repère de référence je l'espace
An
r e
o
t
le r-ep è
o
,\\ ?
matérialise un solide ~ et
RI
est un rep~rc intermédiaire.
c,
Supposons
RI
anim6 d'ur mouvement connu par rapport à Ro
(mouvement d'entrainement)
et
R
animé d'un ~ouvement déterminé
2
~ar rapport à
RI (mouvement relatif).
... / ...

---

- 18 -
Soient
')'
lev e c t e ure 0 lori ne des composantes viC; l t or i q i ne 01
J
Q
f)
cu repère:
d arc s le Y'2nèrl:
Y2
;'1
celui de
(;2
origine de
R
" o '
2
::1 a. n s 1e re père !\\ 1
de même s oi t
A
l a mcttri c (~ 0 i' t fi0 qc nale de pas s age
_'i
1
/'1
(0
'C
la base
r:'
à la base
\\1.i
A
la matrice C \\~ -;; ho ~' 0 ri ale de passaÇje
-0
2
/,:1.,
'\\' :
'J'",
, .:... la b a_\\ s a\\... l i
-<"'-1
a~ l ~ ~, ;. se (1'î
a
-~ u. .
.....JL. 2 •
,
Soit
j J
un
point quelconque 1 i { a
R
' '
~st donc ~Gbile par
2,
rapp o r t
;:'l
[;
(,t
' , 1
par rapport à
Po'
rJésiC'i'1ons
par ..
X
la matrice colonne des coordonnées de:
[vj
dans 1e
repère
p'2 •
x,
la matrice colonne de ses coordonndes ~ans le r2père R,
~
e~ enfin
x
cette même matrice colonne dans 1~ r'cp~rc
Ro•
Nous avons les relations suivantes qui trilduisent le passage
du r e
.
pè r e
r-,
~
R
.:
a \\ 1
puis celui de
q
à R
F\\1
.
o
._
2
:::
y
+ A
xl.
J
J
T
"
1
[ X
. .
.-.
~)
.....
_ x1.
=:
"1'2 + A
X
2
On 0:1 déduit
L ['.2
x ::: YI + Al (Y 2 + A X)
=
2
Y
+ A " (
+ t \\ A V
1
.. -;
'J
' 1 1
"
2
..10
J....:..
..iI.
Les relations 1.0.1 et ï.D.2 s'écrivent respectivement
/1\\
rI
/
,
0
1
!
o ,..
o ]
i : : :
1
i
.
avec
1
1
",
\\
:
1
\\ X j
'\\, x.il
y~..
I~ 1
. 1 .
ri.
l .0 • 3
1"- \\
_
1 '\\
1
1
i
.:=:
D';1
l
,
c-
i
)
avec
1
o
i
°2 =
\\ x. i
X/
.
l'
1
Y2
/\\2_
et
( 1
l l
\\
1.U.4.
(
=
D,D?
L
--
lx)
\\ x
... / ...

---

~ 19 -
Ainsi la m~trice
0
exprimant le déplac2mc1~ du solide par
\\' a ppor t au repère fixe est 1{~ produit de la m2,~ rie c
01
exprimant
le mouvement dlentr~tne~ent
(mouvement du r~p~rc internédiaire RI
~2r rapport au repèr2 fixe
r'
)
"
par la matrice
e xpr i aant le
'0
:. ""c
mouvement relatif
(mouvement du repère
k
li~ au solide par rapport
2
& RIt
DiU ne m~ ni è r !2 9 n r a
é
é
1c s i l e s P i = (0 i' Cb )
i=O,l, •••• n sont
i
f '
~.
nr l
repères de l'espace
ln' où
\\'(0 = (00,(1.:>0)
est le repère fixe
/~.~
. . . . .
.
)' I, 'i
. . f1
~t
R
~ (0 ~ U~)
le repere llé au so11de
~l~j
n
. ri
n
et s lOi ;;l.~
~l1.-1
i~] ,2 .••• n
est la matrice exprimant le d~placement du r~père
R.
par
l
~apport au repère
R.
l '
la matrice
o
exp r i r.an"; le dép l ê. Cemen t du
1-.'.
s o l i de p er rapport au repère fixe
R
pst le produit d~s ~atrices
o
Di
nour
i=1,2 ••• n
n
o = TT D.
• '
1
l
1=1
D.-
Vecteur-Vitesse d'un pùin~
M de
'v r.· \\
.k!-i. ~
Vitesse d'entrat-
J
l
nc~ent Vitesse relati~.
En dérivant
1. 0.4
par rapport à
t
on 0'. t -j en t
(0)
, ,
/
i: '.
.r \\
.
f
\\
1. 0.5
(
) + D
l .
= D,D,.,
_
t-
1l1 2
\\ x /
lx)
'x
1) Expression du vecteur-vitesse dan~ le repère fixe
Ro
·1
e n remplaçant
(
J'! par
f) - 1.
n~ l( 1 \\; dan s
1. Cl. 5
. X.
2
i :
/
" x·
on 0 bt i E: n t. i 1 exp r E: S S -j0 n a na 1yt i que du vec t eur - vi t css e du poi il t
f~
r-
•
(T.;
Jans la base Y1Xe CLo
;" 0\\
'" '1)
'" ,,:'\\
(
) = Ci
1
-
,. - . ,
\\
vù 0,
1
+ Dl ~L u
f
,1
c.
J.
\\
.
1 \\
I.~)46
~)
..
)
\\,
" x
x
'\\"
. - 1
avec
n . .:: [1. D_
i :-:. , 2
l
l
l

---

- 20 -
On remarque que la vitesse
V = x
o
du point
M
exprimée
dans la base fixe
Ct)o
s'écrit
v = V
+ V
o
e
r
o
o
PlO \\
/1)
1/
avec
Ce)= ?lI ( ); 1 \\= °1?l201-
\\x/
\\Vr~
(x
0 '
où
Ve
et
V
sont respectivement la vitesse d'entratnement
o
r o
et la vitesse relative du point
M exprimées dans la base fixe
CBo
2)
Expression du vecteur-vitesse dans la base intermé-
diaire LEi
en multipliant à gauche les deux membres de 1.0.5
l
par 0i
puis en remplaçant
(~) par oil(~:l
l'on obtient
'CJ C)· ?l (1 \\
1.0.7
=
nI
2
\\X l /
avec
V
- tA ;
1 -
l
-1"
'JI
· - 1
nI = 01 01
H
=
2
0202
On remarque ici aussi que la vitesse
t
•
VI = A
du point
M
expri ..
1X
mée dans la base intermédiaire ~ 1 s'écrit:
VI = V
+ V
el
rI
avec
'0 '\\ = nl
, e 11
(:J . (0 \\ _
~
: V \\-
(v 1
?l2 (:1)
~ rI)
où
V
et
V
sont respectivement la vitesse d'entratnement
el
rI
et la vitesse relative du point
M exprimées dans la base
CB I
••• 1•••

---

- 21 -
3)
Expression du Vecteur-Vitesse dans la base
CB liée
2
au solide en multipliant les deux membres de 1.0.5 par
0i 10i 1
lion obtient:
C) C)
1.0.8
r(:J = 021 n102 + n2
L
_ t
avec
A D - ID.
. 1 2
~6.
= i '
l =~ ,
V
l
l
2 -
A2Y!
On observe ici aussi que la vitesse V
du point
M
exprimée
2
dans la base 05
slécrit
2
V = V
+ V
2
e 2
r 2
avec
10 )._ -1
(
- O
C)
2
Gr~= n2
V
n10 2 (~) ;
e2
où
Ve
et
V
sont respectivement la vitesse 'd'entra1nement et
2
r 2
la vitesse relative du point
M
exprimées dans la base
00 liée
2
au solide.
Ainsi les relations 1.0.6, 1.0.7 et 1.0.8
généralisent successivement
dans les bases
CDo ' Ctl et (IY2 lléga1ité vcctoriQ11e classique
dans
m3 ~ la vitesse absolue
V
dlun point
M
est la somme de
R
sa vitesse d lentra1nement et de sa vitesse relative
-+
-+
-+
VR = Ve + Vr "
O2 - Vecteur-accélération d'un point M accélération d'entra'·
nement, accélération relative et accélération de Coriolis
Oé ..rivons 1.0.5
; nous obtenons;
•
•
1.0.9
fO) ""
(1")
(x =
+ 2 0
010 2
X
102 (1
\\ "" (1)
X) + 010 2
X
1)
Expression du vecteur-accélération dans la base fixe
030
1
\\
en remplaçant
(~) par °210i1(1) on obtient :
,x
•• •1•••

---

• 22 ..
(:) - ..1 Il)
· . . . 1 (1\\
= 0101 (x + 2 °1°2°2
X) + 01(02D21) Oil(~
mais nous avons compte tenu de I.C.6
..
..1
-
~
?t2
DiD i
-
i +
i
i
= l, 2
dès lors l'expression analytique de l'accélération dans la base fixe
(Bo s'écrit:
·1.0.10
0 \\
•
2
(1)
..1 (' 1\\
.f..
'),2
-1 (1)
li)
(
= (fll+fl l )( x + 2 fll(01fl20 1 \\ ) + °1(l'l2 + "2) DI
x
On remarque que l'accélération
r
..
= x du point
M exprimée
0
dans la base fixe CBo s'écrit ..
r
= r
o
+ 2r
+ r
eo
Co
r o
a.-oec.
GJ · -t '),2 Il) ( 0 )
'0 \\
1(1)
(S'2
) i
;
1+ H1
1
=fil (V ) =fll(01f120i x
\\ x
I~Co
r
(;~=
'1 \\
o]lfi
l
i + fi:) 0i (:)
où
r
,r
et
r
sont respectivement les accélérations
eo
Co
r o
d'entratnement, de Coriolis et l'accélération relative exprimées
/1:,
dans la base fixe
W o '
2)
Expression du vecteur .. accélération dans la base
intermédiaire
0.\\ :
en multipliant à gauche les deux membres de 1.0.9
par
0- 1
1
et en remplaçant
C) par 021C) on obtient
1
C\\--Dl Dl (J + 2(01 01)(0202) C)··+O2 °2 C)
-1"
-1'
•
-1
-1
rI)
Xl
Xl
Xl
avec
r
= tA
~
1
1
mais compte tenu de la relation I.C.3
nous avons
0: 1
, o. =
,
Qi + n~
.../ ...

---

- 23 •
dès lors l'expression analytique du vecteur-accélération dans
la base intermédiaire
C6 s'écrit
1
(0 ) .
Z
fI)
'1 \\
• .
z
Il
1.0.11
= (fil + nI) (
+ Z nl?lz
) + (?lz + ?lz) C)
r 1
\\X l
"xl'
xl
avec
f
= t
x
l
AI
On remarque ici aussi que le vecteur-accélération
fI
d'un
,-,
point
M
exprimé dans 1a base (Jj,
s 'écrit ~
.1.
f
= f
+ 2 f
1
el
c
+
f r
1
1
avec
Ce) (~l + ni) il)
(
; (0 \\'
)\\ = n (0 ~
=
1
= nl?l{J
\\X
v,
1,
f c 1
1
(0 J= (~z + ?I~) ( )
\\ r r
xl
"
où
r
, f
et
f
sont respectivement les accélé~ations d'entrat.
el
cl
r 1
nement, de Coriolis et l'accélération relative exprimées dans la base
intermédiaire
Gj1
3)
Expression du vecteur-accélération dans la base
OD2
liée au solide.
en multipliant les
2 membres de 1.0.9 par
0;1 Dïl
on obtient
(0)
-1
-1"
/;)1'
=
O
-1 -1'
(1) -1"O (1)
2 (Dl
Dl) t
+ 2 O2 (Dl 01)0 2
+ O2
2
. f
.
,X
X
2
avec
f
= tA
r
= tA tA •.
2
2
1
2
IX
d'où l'expression analytique du vecteur-accélér~tion dans la base ~
C) = O2 (°1+°1)02 n+ 2(02 °102) n2
x
n·
- 1 '
Z
-1
+ (ni +
zr)
02)
1.0.121 f
X
x
2
_ t
tA tA ..
avec
f 2 -
A2 fI =
2
lX
. • •1••.

---

- 24 -
On observe aussi que le vecteur-accélération
f
d1un point
M
2
r-.
exprimé dans la base
( 1 1
liée au solide s'écrit:
':".J2
r
= r
2
+ 2r
+ f
e
r
2
c 2
2
r 1!11
\\ = 0;;1(Q1 + !1~)D2r\\
avec
(0
\\
10 \\
D
ro
) ôj
(D 2
2 )
J=(Dil~Dë~n
\\ re;!
,X
\\fc
~r
X
2
\\
0r~ (~2 !1~{)
=
+
où
f
•
e
f c
et r
sont respectivement les accélérations d'entrat-
2
2
r 2
nement. de Coriolis et l'accélération relative exprimées dans la
base
(t'2
liée au solide.
Ainsi les relations 1.0.10. 1.0.11 et I.D.12 généralisent
successivement dans les bases C~o .0)1
et 032 l'égalité vectorielle
classique dans
R3 de la distribution du vecteur champ d'accélération
des points du solide:
f
= r + 2f + r
R
e
c
r
~
+
+.
avec
f
= w A V
C
r
où
f R ' f e • f c et fr sont respectivement l'accélération absolue
du point
M. les accélérations d'entraînement. de Coriolis et l'accé-
lération relative.
03 - Applications
1) Mouvements inverses
RI
et
R2 étant deux repères quelconques en mouvement l'un par
rapport à l'autre dans l'espace affine
~n les mouvements de RI par
rapport à R et celui de R par rapport
2
2
à R1 sont dits inverses l'un
de l'autre.
Considérons deux points Ml~2
respectjyement lj~s à Ri
et 8
et tels qu'à llinstant
t
Ml
et
M
2
2
çQlncident •
.../ ...

---

- 25 -
Dans ces conditions nous aurons
= 0
1.0.13
lv1 + ,,1
12
Vi2 + V~l = a
k
otl
V ••
désigne la vitesse du point
Mi • lié à Ri
par rapport à
lJ
R •
vitesse exprimée dans la base de
Rk avec
J} 6 {lt 2} i ~ j.
J
.,
Désignons par
O.. =
[:ij :ij] avec ~} 6 {l, 2} t i '1 j
lJ
la matrice exprimant le déplacement de
R.
par rapport à
R
:
1
j
alors nous aurons :
0
\\
1 \\
n..
\\
)
( v~)
lJ
(
=
X~ /
1
1. D.14
r•) ~ .1:~ "-
=
..
1 J
\\ V~ .
lJ
C~)1
i
avec
j} E u , 2}
i '1 j
•
où
x~
désigne la matrice colonne des coordor.n~es dans le repère
1
Ri
du point
r~ .
lié à ce dernier et
x~ la matrice colonne des
1
1
coordonnées dans le repère
R
du point
Mi.
j
Dès lors les relations
1.0.13
fournissent compte tenu de 1.0.14
et en observant que
x~ = x] (les points Ml et ~2 étant confondus
à chaque instant)
51
= a
12 + ?I 21
1.0.15
[ ~
+ 51
= 0
12
21
Les relations I.D.15 généralisent dans
mn l'égalité vectorielle
classique pour les mouvements inverses :
n + n
12
21
z
Ô
où
~ij est le vecteur rotation-instantanée du repère Ri par
rapport aü repère
Rj
. . •1.••

---

- 26 •
2}
Solides de ~n
en contact: Glissement - Roulement
-~ -
Soient J
deux solides en mouvement par rapport à un
1
et
...J 2
référentiel fixe
R
de
o
llespace affine de dimension ,~
et restant
constamment en contact •
•
Désignons par
l
1 lun des points de contact et supposons Qu'au
,p
point
i. ,f
et
1
J
admettent un :hYPér:-2~~!1- tan-gQ'Îilt-cQmmun (confère
2
.•*", Je;
15 §8.2 page 116).
Le mouvement de
-f
par i"apport
-- ,
à
J résulte à chaque instant
....
2
d'une translation de vecteur-vitesse
V (vitesse de glissement
g
de
~fl
sur
1 ) et d'une rotation de f
par rapport à
J
2
l
2
JJ
définissant le roulement
(de
.J 1
par rapport à
3 )
2
On a de façon classique:
1.0.16
V
=
g
(VIl? )
-( Vil
)
J
1
.... 2
\\
1
l 1
,•
où
(Vi/f;) est la vitesse du point l par rapport au solide .Jj
...
(j = 1.2)
ou ce qui revient au même par rapport au repère
R
lié
j
au sol ide
J
j
ces deux vecteurs
,~ 1,2
étant tangents
j
(v i/:3)
J
•
en 1
aux solides
J. la vitesse de glissement v étant dans-
J
9
<.".;: -
l'hyperplfn tangent commun.
Nous avons les relations
(0 \\ n . 1 \\
I. D.171
) =
O,J
( Xi)
\\ VilS
\\
j
avec
j
= 1, 2
où
n
.
désigne le torseur cinématique d~ déplacement du repère
o.J
k
par rapport au repère
R
(j = 1. 2)
o
j
•
et
{xP
la matrice colonne des coordonnées du point
1 dans le
repère
Ro•
dès lors la relation 1.0.16
s'écrit compte tenu de 1.0.17.
• • •1• • •

---

- 27 -
Il \\
/1 \\
1.0.18
(0 \\ =
Qa,1
Vgl
no 2(1 • ) -
t
xI,
( xi /
1
de plus on déduit de
I.D.15
nO,j
?t. ~.
avec
J,V
j
'" 1, 2
où
(t. 0
est le tC'seur cinématique de déplacement du repère
J ,
R.
.
(j = 1, 2)
par rapport à
Ro
en le notant simplement
i'i.
J
s
J
1.0.18
s t cr t
é
t
'0\\ _ (1 \\
1 1
\\
1
\\
1.0.19
(Vgl -?ll lXi) - ?l2 1 1
\\ X Ï /
la relation
1.0.19
traduit la relation classique connue dans
m3 (2J
V
-lo-
_
~
,")
=
g
VÏ (1 e .:,L ) - V1 (1 e J )
1
2
..
•
où
VI (1 e 3
est la vitesse du point
1
considérée comme
)
j
appartenant au solide
5j
• • •1•••

---

- 28 -
E - Constantes de structure de la connection affine définie
par le repère mobile.
Considérons l'espace des repères affines orthonormés
de même orientation
R = (0, G~)
où
0
pst un point de l'espace
af fin e eue 1 i die n
fI et ~-J = (e 1• • •• e) une bas e 0 r t h0 n0 rmée
n
n
de
Rn;
soi t
R0 = (0 ,
œ;o)
un repère fixe de cet espaee, COtltfd~rons
0
1. relation 'IJA 2
4
qui défi.it une transformation linéaire de cet espace.
(a)
Utilisons la différentiation extérieure.en différentiant les
,
deux membres de
I.A.2. On obtient:
1. LI
dR = R dD
o
puis en remplaçant dans
I.E.l,
Ro par RO- 1 on obtient
dR
=
R Qd
_ t
avec
Qd
= D- 1dD
=
• a =
Ad
• wd -
AdA
1 • E. 2
1
~ oJ t
wd
t
_
lI)d +
w
-
0
d
dR
contient le vecteur
dO = e.o
des I-formes ; différentielles
des composantes de la matrice
y
exprimées dans la base (J) et la
matrice l i cne
de = e w
dûs I-formes
d
avec
e = (el' e 2• ••• en)
des vecteurs
e i
exp rimé e s dan s 1a bas e UJ .
La matrice
des I-formes associée au torseur cinématique
g
Qd
définit une connection affine sur l'espace
An
Os]
les relations I.E.2
sont les équations de structure de celle-ci
-
(b)
Remargue
I.E.2
s'écrit sous la forme finie en dérivant par
rapport au temps t :
.R = Rn

---

- 29 -
•
où
R contient le vecteur vitesse
dO = e.V
du point
0
et la
o
dt
matrice ligne des dérivées par rapport à
t
des vecteurs
e·1
e = e.w
en détaillant les calculs dans le cas
n=3
on observe que cette
dernière traduit la relation vectorielle classique
-+
de.1 = w/\\-+e
; = 1,2,3.
dt
i
où
~ est le vecteur rotation instantané.
(c)
En prenant la différentielle extérieure de
I.E.2~ on a
compte
tenu de la propriété classique de la différentiation extérieure
2R
d
= d(dR) = 0
1. E. 4
dRÂ n
+ R d n
= 0
d
d
où
d R AQd
étant le produit matriciel accompagné du produit
extérieur cntre les l-formes de d R
et les 1-formes de
Qd
la matrice
d nd étant la matrice des différentielles extérieures
des
I-formcs coefficients de
nd
compte tenu de
I.E.2
•
1.E.4
slécrit
1
I.E.5
R(n d A Qd + d Qd) = 0
les vecteurs de la base
O~ étant linéairement indépendant&~ on
observe que
1.E.5 équivaut à la relation
1. E. 6
Qd 1\\ Qd
+ d nd = 0
qui fou r nit les con dit ion s d 1 i nt é9 rab i lit é dus y s t ème
(15) 0:
I.E. 7
[ dO' + crI\\w = 0
d
d wd + WdAWd = 0
Remarque
Dans le cas précédent où la matrice orthogonale
A est
donnée la condition I.E.72est trivialement vérifiée.
.'../'''..

---

- 30 -
(d)
Considérons le cas où la connexion affine, clest-à-dire la
matrice des I-formes
t
W
+
w
= 0
est donnée ; de
d '
avec
Wd
d
sorte que l'équation de structure I.E.2
et la condition d1inté-
1
gr ab1 lit é '1. E• 7r
r est ant val ide s •
Dès lors en observant qu'il nlya ici aucune raison de poser
d 2R = a
on déduit de I.E.2
par différentiation extérieure
1
1. L8
d 2R
= R(dSG
+
Qdl\\Qd)
d
posons
1. E. 9
® = d SG
+
d
Qd 1\\ Qd
en dé ta i 11 ant l es cal cul son obs er ve que
<ED s 1 cri t compte tenu
é
de LL7 1
1. E.10
®
ro
°l
= la
e
avec
e::
dW d + Wd f\\ Wd
la relation I.E.8
s'écrit alors:
I.E.11
d 2R
= R fi)
ou plus simplement
I.E.12
d 2 e
==
cG
la matrice
e est appelée matrice de courbure de la connexion
wd"
Les équations de structure de cette connection se résument comme suit
r
dO
=
e.a
de
=
ew.a
t
I.E.13
1
w
+
w =.: 0
d
cl
o
=
dW
+
w
d
d ÂWd
Nous avons aussi outre la condition I.E.7
: da + al\\w
= 0
1
d
les autres conditions d'intégrabilité du système qui s'obtiennent en
différentiant I.E.9. On a successivement
..
.:
'/ ...

---

- 31 -
J@
=
d(df2
+ d(Q
d}
df\\f2 d}
= 0 + cl ( f2 d ) r. ~lif
-
"d f\\ d nd
(~j)- rldÀQà)A"d - "dl\\ufD- "d"Qd}
Soit
1. E.14
(~6)
= @,-\\f2
- f2 r: tt0
d
d
I.E.14
traduit l'identité de Bianchi
en détaillant les
calculs
I.E.l3 s'écrit
dG
= G/\\ w
Wd 0
d
I.E.l5
[_ e  cr .- 0
Signalons enfin pour terminer avec ce sous paragraphe (d)
que en vertu du Théorème de H. FLANOERS établi dans [15]
(&7.4 page 102)
par application du Théorème de FROBENIUS qu'étant
donné une telle matrice antisymétrique de 1-formes
w
il existe
d
une matrice orthogonale unique au voisinage de
0 e Rn
vérifiant
W
= A-1 dA
avec
A
;: t
(matrice unité d'ordre
n ) si et seu l e-
d
o
ment si
e = dW
+ w
w
est nulle.
d
d
d
(e)
ConsiJérons dans l'espace des repères affines orthonormaux
de m me
(3
ê
0 r i e nt a t ion d eux
r e père sRI = (0 l' O:\\)
et
R2 ;: (0
)
2,
2
l5 =
Soit
0
la matrice
I
(e~ ••••••
..
e~) • û~ = (e~ •••••• e 2).
n
21
déplacement de
R
par rapport
2
à
RI;
Dl
et
D2 les matrices
de déplacement des repères
RI
et
R2 par rapport au repère
Ro = (00' (Bo)
fixe.
On se pose le question de savoir quelle est la loi de trans-
formation entre les connections affines
"d
et
"d
définies par
I
2
les repères mobiles
R
et
R
1
2•
'• • ..1•••

---

- 32 ..
Nous avons les relations suivantes analogues à I.A.2
R1 = RO Dl
1.E.16
1
R
= R O
2
O
2
R
= R D
2
1
21
des relations I.E.16 (1)
et (3). On déduit
R = R 0
=
2
1
21
RO Dl 021
i l vient alors par différentiation extérieure
dR
=
2
Ra
GdD 1) 021 + Dl d 021J
puis en remplaçant
R
=
o par
) - 1
R
R 0- 1 D- 1
2 (Dl 021
2
21
1
On obtient
d R
= R D
avec
2
J
_.)-l
1.E.17
E-1
-1
d O
2
21
~dl °21 + 012 d 012
S1
- II
1
d1
1
mais nous avons aussi
d R
= R
n
avec
n
=
2
2
d
0
ct 02
d
2
2
2
en rapprochant ces deux dernières relations il apparaît que la loi
.
de transformation entr0 ces deux connections est
n
-1
-1
0
=
d
02ï ~dl 021 + 012 d 12
2
... . 1••.

---

- 33
_
Chapitre
2
l
J
CINETIQUE
ECRITURE MATRICIELLE DES FONCTIONS FONDAMENTALES
ATTACHEES AU CORPS SOLIDE A n DIMENSIONS.-
A - Energie cinétique
Remarquons que dans l'article intitulé "Sur la mécanique
analytique du corps solide l' [1]
M. LANGLOIS n'a défini l'énergie
cinétique (et le torseur cinêtiquG) que dans la base de l'algèbre
de Lie 5D
déduite de la base naturelle par la translation à gauche
(voir chap. 1
§B
il serait intéressant comme nous le verrons par
4)
la suite de définir aussi ces éléments dans la deuxième base. celle
déduite de la base naturelll par la translation à droite.
On notera - comme nous l'avions déjà annoncé dans l'intro-
duction - que les écritures de ces éléments dans les deux bases ci-
dessus mentionnées ont une signification particulière car elles
s'interprètent dans l'une et dans l'autre comme étant les expressions
de ces éléments en fonction des coordonnées respectivement par rapport
au repère
R
lié au solide et par rapport au référentiel fixe Ro
choisi.
~
S8it un solide~;
défini par une distribution de masse
attachée au repère
R
lié au solide ~ occupant une région
n-dimen-
sionnelle de
mn•
(a)
M. LANGLOIS
a défini la force vive
2T du solide 3 par
(
II.A.l
2(M)
2T
=) ;fV
drn(M)
MEc:,
ct a remarqué que cette dernière pouvait s'écrire sous une forme
matricielle remarquable
V/ - Q c\\
En effet nous avons
(1.B.2)
0\\ -
x)
d'où
V2 = (0 t V) (0\\ = (l t X)
t Q Q 1 \\
\\ V/
X/'
• .. • 1~ ••

---

- 34 _
Faisons alors la remarque suivante:
Soit
u
et
v
deux vecteurs de
mn
A
une matrica carrée
d'ordre
n
alors le produit scalaire
t
n
•
I~
•
u f\\ v
peut s e cr t re sous
la forme suivante
n
n
tu..'; v
=
1:
1:
A .• u, V.
=
tr [A(Vtu) J
j=l i=l
l J
l
J
où
vtu
est une matrice carrée d'ordre
n.
d\\
En posant
Z
= (
)
il résulte de cette r cmarque que lion
\\ X,'
peut écrire :
V2 =
t Z (t nQ) Z =
t r [( t Qn) ( z t Z )J
où
zt z
est la matrice de GRAM[S], matrice carrée symétrique
dlordre n+1
t x
.1
z z
t
= [
:
Xt x. ]
- Dans
2T
on peut sortir du signe somme la matrice
t Q n
qui
nlintervient pas dans la sommation; On a donc
--i
2T
=
trl(t Q Q )
(
(zt Z )
,
dm(Mj
.'
,
~ MeJ
Tous les calculs effectués on obtient alors
t
Hf
II.A.2
2T
=
t r
( n Q J'L
t
"-
!TI
m X
,~)
i
t
G :
av ec
_}
= j
...'(Z Z) dm (M) =
Me,)
mX s
K
.../ ...

---

_ a6 _
où
K
est la matrice symétrique d'ordre
n
définie par
lx.
K•• ::
X•
dm (f>1 )
Xi
i = L, 2 ••••••• n
désignant les
lJ
M€j
1
J
éléments de la matrice colonne
X des coordonnées du point courant
M
du solide dans le repère 1:; lié à ce dernier •
.. .\\~
La matrice symétrique J~ contient donc toutes les informations
sur la distribution des masses:
m
est la masse du solide
j
;
XG la matrice colonne des coordonnées dans le repère lié au solide
du centre d'inertie de celui-ci
K la matrice carrée d'ordre
n
des
(n+1)n
produits d'inertie
2
de la distribution de masse, par rapport au repère
R lié au solide.
* Il appara1t que la force vive 2T est sauf cas exceptionnel une forme
quedr et I quc dtHh}is p'S1>''JE sLfr1; c'est la norme de
HILBERT-SCHMIDT
induite par la matrice symétrique.:x
sur la sous-algèbre de Lie 9)
v
de
.A(n+1)
[c hap • 0
§f... 2 • 2"l
e ton peu t
cri r e
é
II.A.3
?T :: t r
(-tn Q
)::
n.. Q J< ::
Qin
(b)
Nous pouvons aussi définir la force vive
21 par
II.A.4
2T
::: )
. ~2U1) dm(M)
Me~)
Nous avons
(I.B.3)
(~\\ ::?t (1)
\\ x/
~ x
.
'0 \\
d'où
x 2
= (0 t ;) (;) = (1 t x) t?t?t (11 \\ :: t r rt?t?t (zt Z ) ]
x)
_(1)
(1
x
avec
zt z - l x (1 t x) ::
t
'J'
1~x
xtx
nous avons d'ailleurs
zt z ::
D{Zt Z) t D
.../ ...

---

-31 -
Dans
2T
en faisant sortir du signe somme la matrice
t~ ~
qui nlintervient pas dans la sommation on a
r-
-.,
t '
t
2T
=
tr j
S1?t j , (z z )
dm(M) /
~
'-./ ~~ 6J
-!
Tous ealculs f~its on obtient alors
'V
ILA.5
1
2T = tr (t?t?t:1t)
m
t
.'
Dl x
:1:
r
G
t
avec
)t = J'- (z z ) dm(~1)
;::
ME;
-v
m
K
XI';
"
t,
"-
où
K est la matrice symétrique d'ordre
n
définie par
, - . '1
(, Ki.7
1
_: Me.:;)
•
-
1
2
xi x
l
-
_ • • • • • n
désignant
"t1
j
dm(f'1)
Xi'
les éléments de la matrice colonne
x
des coordonnées du point
courant
M du solide par rapport au repère fix~
Ro•
.,
t1 J
\\ I}
La matrice }~~ contient (comme J"
)
toutes les informations
sur la distribution des masses: en particulier la masse
m du
solide.
xG la matrice colonne des coordonnées dars le repère de
l'espace de référence du centre d'inertie du solide.
la matrice carrée d'ordre
n
des
(n+1)n
produits d'inertie
2
de la distribution des masses par rapport au repère
Ro de llespace
de référence.
Remarquons que lion a :
r ......
..)
1
'\\'
_
II.A.6
~.l -
D J_to
Dès lors il app ar a'î t que si la matrice dlinertie JL est cons-
tante puisque ses coefficients ne sont pas fonction du temps
t
;
-~
la matrice 1. elle est variable car fonction de la matrice
O(t)
exprimant le déplacement du solide par rapport au référentiel fixe
Ra
choisi.
• • •1•••

---

.. 37
..
.",,_.,,: .\\..,.
.
.~.
Nous ~~~·o~.s:a~~~i.~,
II.A.7
~i''''''-'
2T
~1?'
:::
t r ft')., ').,
L H
~l ~~"'J" -
~ \\.
-
?t #.
"
( c )
Remarques.-
sauf cas exceptionnel
i ... L1énergie cinétique
2T d4fi"it donclfûn produit scalaire
sur S)
elle définit aussi une métrique riemannienne sur la variété
D
;
une métrique riemannienne invariante par le translation à
gauche comme le remarque LANGLOIS
. ::.:.-
. Nous avons ~.~
. '.
II.A.8
2T
=
QIn
= DIO
t t , -
Oans le cas où le solide ~' est soumis ~ des liaisons du
type tzénoffien
I.B.5. nous aurons
"-../
- -jJ
II.A.9
2T
=
n'.n'Yu=
?t.rt v
iii. -
Déterminons pour la suite la différentielle de llénergie
cinétique
T
par rapport aux coefficients des torseurs cinématiques
n
et
?t.
* En effet de II.A.2 on déduit:
2 dT
= tr(dto nJ,.+
t
.""
n. n Y.., )
=
t
....·
t
'"V
t r ( d Q n-,,,) + t r ( fi. d ft J'v )
=
t r (t dn _n'~~.) + t r (t dn n y )
=
t
"k
2 t r
( dQ , fI..; (, )
Soit :
II.A.l0
d T
= t r (d n . nJ...) =
cv
n........ d fi.
On notera une fois encore ici le fait que la matrice X.
est constante.
• • •1•••

---

_ 38 _
De même de
II.A.7
on déduit:
t
:>
2 dT
-
t r (d S1 S1 }v +
t S1 d S1y~ + t S1 S1 d;~j~,)
'-.'
-1
....
~_.
1 ....
:::
t r (t d S1 S1.J. ) + t r ( t S1d S1 'Y.) + t r ( t?t ?t dy;. )
t
~.",
t
~'-'
= tr (t dS1 S1 'y) + tr( dS1?tJ~) + tr(?1?i d~K)
'"""'\\.. :
.~'--
::: 2 t r {t d?i ?(~. ) + tr{tS1~ d1~)
or de la relation II.A.6
il vient successivement
"V
dJ{::
d(Dyt D)
::
d D :Kt D +
DIi,'\\~d D
:: (d 0 D-1)
D~K.t0 + ( 0 ;-: t D)t (0 - 1 t dO)
:: (dDO- I ) (Dj~tD)
t
+
(D 1
O) t ( dDD- 1 )
J
Soit
....",)
"'\\J
r - : .
dl::,
::
S1 '}:,
v t S1
+
'\\
d
....
d
II.A.l1
avec
?id::
1
(dD) D-
en reportant dans
2 dT
l'expression de
dY" on a
2 dT :: 2 tr (t dS1 S1t') + tr [t S1 S1 (S1 K+ i t~d)]
d
v
'-· <. 1
:: 2 tr(t dS1 ~J.,) + tr(t~S1S1d 'JL) + tr(t?i?t
t?t }
d
~J
" - . "
- - \\ . j
= 2 tr(td~ ~l) + tr(ttS1~S1d)
+ tr{t~~d t?i?iX)
-. .
' \\ J
rv
t ')" ')" 'r
t')"
t ')" ?t'y'
':li
t ':li ':li rt)
= 2 tr( d~l ~l---) + tr( ~ld
~l ~lJ~) + tr(~l.d
~l ~UiJ)
t ')" ':lI~':
t')"
t')" ')" ~:.J
= 2 tr(
dH ~lj\\) + 2 tr( ~ld
~l ~l Jv)
d10ù
dT
::
tr(td~ ~,K) + tr(t~dtS1 ~ 5~
II.A.12 1 o u .
_
.(
t ' /
dT
::
S1J." dS1
+
~ S1J:). ~d
8
Torseur cinétigue
f t
nX, et?t j~ son t des é l érnent s de lia l 9èbr e de Li e u~ n+1)
de
GL(n+l), et nous avons:
• • •1•••

---

- 39 -
1;
r 0
a
ar = nJ:-'=I~
avec VG :: Vo+wxG
':1$1
! .
m V,..
t
m V X·,+wK
a
,_ ."
'"
o G
.:
IJ.1l.1
1
('_
'-0
t
ar = ?iJ\\ =
o
aS1
"v
.,\\-m Xc;
o
t
"v~J
m{y-wy) X~!+UJK.
Définissons le torseur cinétique par la projection orthogonale
r (respect ivemen t
r:) de l a matri ce nlv (r es p ?t.1{) sur
las 0 us - a l 9ë br e de Lie;) de
Ji-1( n+1 ) •
Nous obtenons compte tenu de la remarque
R-,
(chapitre 0
J.
par a 9 r a ph e A. 4-1 )
.-
1
0
a l
ro
o
1
-..-' :ft
r'V,':1r
1
,
1
11. 8. i
!:: (n _)\\ )
=
!
t
f= (?1:K)
=
1
"v
m VG
0
°0
!m~G
'J
0 o
2
2
oü
V
= tA.y + wX
et
x
sont respectivement les matrices colonnes
G
g
G
des coordonnées dans la base liœ au solide puis dans la base de
référence de la vitesse du centre d'inertie
G.
00
=
m (Votx
-
G
t XG t vo) +
wK + Kw
représente la générali-
sation dans
ffin
du moment cinétique en
0
(origine du repère lié
au solide) défini par le 2-vecteur suivant dans la base lié au solide.
(
i
X(r.i)
1\\ V(M)
dm(~1)
avec
X(M):: OM
...J Mei'
-v
•
"v
t
t
"v"v
"'",
0
"v
=
m (y
wy)
x G - X G (y - wy)
+
wK + Kw'
°0 o
représente la généralisation dans
n
IR
du moment cinétique en
00
(origine de l'espace de référence) défini par le 2-vecteur suivant
dans la base de référence:
.
avec
J
x(M) /\\ x(M) dm(~1)
x(M) = 0 M
o
..J Me j
.../ ...

---

_4' _
Notons que nous avons la relation:
IL s.a
'"
.
t
0'0
= m(x G y
yt;G) + A 0'0 tA
o
qui généralise dans
mn la relation vectorielle classique
---:.:.. ,--}
-~
-7
=
m OGi'.V
+ 0"0
0"0
G
o
Re nl aV'cw~s :
1
(i)
nous avons la relation
II.'0.4
2T
= n
l = ~ •l
0
(ii)
compte tenu des relations II.A.IO et II.A.12 lion a
11. fi ..'
( dT = l .dn
r,--'
dT
= l .. d~ + t?l ?lX .. ?ld
(i i 1)
On peut simplifier l'expression de l'énergie cinétique
end i a90 na1i san t 1a mat r i ce 'j)~
; pour cela on procède en deux étapes:
On prend pour origine du repère lié au solide son centre
d'inertie
G
alors
X = a
et
G
'.LI m0 : J
On choisit ensuite un repère tel que la matrice
K
soit diagonale.
Un tel repère est principal d'inertie.
c - Le cas n=3
En explicitant la matrice
l
,on note qu'e.11e contient
les éléments de réduction en
G du torseur cinétique :
- le moment linéaire
m VG = m{V o +wXG)
qui cor r e sponc à la
rel at ion ve ct 0 rie 11 e c 1as s i que
m ...:v G =
m(v: -:- ~ ad )
le moment angulaire
;:JO = m(v~xG - X~Vo) + wK + Kw
•
.
- )
-4
, _ - }
qU , cor r e S pond au vect e ur
.. ~ = aGt· mV0
+
J 0 w
où le vecteur
]o.v.~ correspond à la matrice antisymétrique
d'ordre
3:
wK + Kw
.../ ...

---

_ 41 _
Jo
étant le tenseur d1inertie classique dans
m3•
·
·
On a :
III
-1 21 -1 31
.
·
- 1
·
l
=
12
1
-1
22
32
-'0
.
-1
·
·1
13
-1 23
33
•
•
h',
~ 2 3
.
avec
IhR. = IR.h
= j MeJ X X~
h
dm(M)
R.j= 1 ••
h ~ R.
•
-
(
hi
.
1
= J
X2
dmp~ )
+
/ { X2 R. dm( M)
R.j = 1.2.3 ; h~l~r
rr
Me'" h
J
""'Me .....
r
•
où les
IhR.
(h;R.)
sont les produits d1inertie de ~(t) par rapport
aux plans
(0, eh' eR.)
du repère
(O. el' e 2, e3)
.
les I
sont les moments d1inertie de 5(t) p~r rapport aux axes
r r
(O. er) de ce repère.
Par contre la matrice
K figurant dans
slécrit
0'0
.,
K
K
K
11
21
3l
K
=
IK
K
K
12
22
32
K
K
K
13
23
33
KhR.
= KR.h
=
j
hî
avec
.Jl XhXR. dm(M)
~J = 1.2.3
t~e )
T1
On remarque alors que les matrices
et
K
sont liées ,er les
"""0
relations :
•1
= Khh + KR.R.
rr
h"
et
•
~ = 1,2,3
h ;R.
IhR.
=
KhR.
~,
ru
En explicitant aussi la matrice
~ on note qu1elle contient les élé-
ments de réduction en
0
(origine de llespace de référence) du tor-
0
seur cinétique :
le moment linéaire
m xG
~
t
t·
t
- le moment angulaire en
°0
0'0
= m( xG y -
y x(,) J,- A
o
0'0
A
,J
qui reçoit llécriture vectorielle classique dans
m3
+
+
~
+
0'
=
0
p /\\ 0 U + 0'0
o
0
0
où
-+-
-
p
- m v
est le moment linéaire.
o
G
.../ ...

---

- 42 -
D - Energie d'Appell
5.-
(a)
Définissons l'énergie d'Appell du solide .1 par
r
2.
Il.0.1
2 S
=
. i r (M) dln ( M)
-.JM€.·~
/
\\ '
.
'.
nous avons (I.C.4)
:
(~) = (n +p,') I~)
,0)
'1\\
donc
r'=
r
(0 t
)(r = (1 t X) t (n +p,')(n -1-p,') lx)
/1 t x \\
• or[t(Q +n2.)(Q H22.)\\zt )J
Z
avec
zt z =lx Xt x)
en sortant du signe somme la matrice
t(Q +n2.)(~ ~n~)
qui nlinter-
vient pas dans la sommation
on a :
2 S
= tr rt(n +11')(1'1 +I1'} r
(ztl) dm(H) ]
-
)M8)
Soit
11.0.2
2 S
=
[ln
tr[ t(R +11')(1'1 +11')]]= (1'1 +11')-
-!-!l')'X]
en développant cette expression on obtient aussi
•
• 11/
•
'1./
'.v
11.0.3
2 S
= n... Q~r"
+
2 n ... n2...;,\\_
+
n2.. n 2 j L
(b)
On peut aussi définir de façon analogue
2 S
par
,
2-
II.O.4
2 S
= )
,x (M) dm (M)
~Me ,;
alors on obtient tous calculs faits
"'''--'
.
r'J
2
I1.D.5
2 S
t r [t (~+?t2. ) (~ +?/)1J = (~ +St
G~
) .
.+ ?l~) X ]
ou encore . . .',-'
,.-..J
" J
II.O.6
2 S
=
?t. ~J;-,
+
2 ~ • ~J, + 'li 2. 0 'li 2.
. '-~
~l
~l . lk'
../ \\~
(c) • Remarque
L'expression
2$ dans le cas de lia1s1)ns du type
tzénoffien s'écrit:
r
r. • [2- L-
2 S
= K. !)( + 2 n. n2. Jt, + -2. -"1
-. .
II.D.l
- -;;- -
- 2
-2 "J
1
•
-2~~
?t .. ?tJ~
L. 2 $ = ?1 ~ ?Lif. + 2~~?t.K+
• • •1• • •

---

_ 4·3
_
.. ,
•
( '.J
E - Energle de Niang : ,:;..
(a)
définissons l'énergie de !\\Jiang ([2J
t
[8'J t [9] du solide j
par:
2 ;k
~ J ;.
=
(t~(M).V(M) dm(M)
~
I1.E.1
\\
.
..JM6}
(iJ "
tA:'
t
•
.ave c
. x
V =
A x
t
1-
où l'on a ;
'0)
. (1.
(~ = 5 :
\\ XJ
en nultipliant à gauche les deux membres de cette dernière égalité
-1
par
0
t
on a :
(:)
/1 \\.
1
/0 =
= 0-
a ( 1
avec
tA ~
X)
_ 1 ...
Exprimons la matrice
o "'0
en fonction des dérivées du torseur
cinématique
n ;
de la relation
1 • C. 3
0- 10 = Q :!- n2
.
/ 1 "
1'"
u.
'-
il vi eJl t par dé ri vat ion
0 -
0 + 0 -
0 = Q + Q ~H n ~.~ .
k
...----.
- 1\\ ..
_
- 1"·
- 1
.. _
- 1 ·
_ 1
••
_
. Q 2_
•
3
o r O
0
- -
(0
DO) 0 - -
(0
D) ( 0
0) - - n( .':-{2 ) - - 51 n--n
d'oLll1.E.2
1
0-
0 =n+nn+2nn-+n 3
On a alors :
t7D
/!.)
• V = (O
tri] ) (0) = (1 t X)t ( n+ n51 + 251 n+ œ)51
\\ V
\\X
= tr[t(Q+nn+ 2519. +51 3 ) 51 . ( ztZ)J
Les calculs s'achèvent comme àans le cas de
2 S
et lion obtient
2 C~ = t r Ct (Q + Q51 + 2 51 Q-+ n3 ) n]{. J
• • •
0
3
~ ..,
=
(51 + Q 51 + 2 51 51 + 51 ) . 51 _.~.
..
,
= 51 .. 51 ft +
n.
2 51.
51 51.·L +
St "
51 'Y
511 t n +
•
t
'},
3
'l,
o
''1} t
On vérifie alors par le calcul que
51 '" 51 IL-
51
:.: 0
dloù l'expression de
2~.
.../ ...

---

- 44 -
~,
••
·i..
" t
\\-! 1
3
~-v
l'I.E.3
2tt.. = r2 ... r2.\\. + 2 r2 r;
Sl ~î /~... + r2 .. r2 J '--
( ~ \\
...J
J
Remarque.
Nous avons les relations suivantes
.
t ... . -1:
2Ü)t = 1.D / 0
=
t r
D D JL.
.. .
o S = D/ D
=
trtDOJt
.
t . . ','.'
2 ï = 0/0
=
tr
DD:J
En dérivant deux fois la force vive
2 T
nous obtenons successivement .
•
.. •
..
.. .
2 T
=
o / D
+
o / D
=
2 D / D
•
.. .
o.
.t. ' •
00
00
soit
T
=
o / D
ensuite
T
= o / :)
-:- D / 0
E'1; 0 n r et r 0 U ve 1are 1at ion
T
= 2Cf{ +
2 S
indiquée dans
[2J,
lB] et 1)] par
S. N1ANG
o.
d'où
I1.E. 4
2·j'J
= T - 2 S
•
.
En exprimant
i
puis
T en fonction des dérivées du torseur
cinématique
r2
il vient
.T = n'. r2'fi
puis
T =
';,'
•
0 ~'
n e r2 J,-
+
Q",
r2 d.J
Ainsi
2m~
s'écrit aussi tous calculs faits:
r.
• ,
0
2' l ,
2
2 .-//
11.E.5
2 (f-l =
Q .
r2 Jo. -
2 n • r2 X -
n ... r2 Jl..."
(c)
On peut aussi définir l'énergie de NIANG en fonction des coor-
données dans le repère fixe par
.
.',
1
t •
l'I.E.6
2iJL =
:
" X(~1)
x(M)
dm{M)
...J 1;1 e l'
, . )
(0\\
1 1
' !
\\
avec
=
tl i
\\
1 . )
:
!
\\, ~
1
X/
'.
.
"

---

- 45 -
1 \\
, 1 "
en remplaçant
par
( X)
O-l( -)
dans cette de r n
r e on obtient:
î
è
,
,
\\ x 1
(
•
f1 '\\
•
1 0') ::
..
-1 (
..
-1
1 •
D O , ! ; exprimons alors la matrice
D 0
\\ 3(
•
x "
en fonction des dérivêes du torseur cinématique
~ •
•
De la relation
(1.C.6)
D0- 1 :: ?t ., ?t2
il vient par dérivation
--:r
..
•
1
0
•
t5 D-.l.
+ 0 0--
::?t +?t?t +?t?t'
•
----
or
D0- 1
::
0(_0- 1 0 0- 1) :: - (0 0- 1)(0 0- 1) :: _ .
(~+?t2) ?t
d'où
•
••
0
•
H • E• 7
li 0-1
::
?t + 2?t?t+ ?t ?t + ?t 3
Nous avons alûrs :
' 0 '
~....
'1-
•
.
\\. 3(
X
:: (0, t ~)
.):: (1
tx)Lt(?t + 2?t?t+ ?t?t+ ~'l ~(~)
(
,
x/
3
"'.-T::
( /1)
:: tr~(~ + 2~?t +?t~ + ?t ) ?t ( >tt )J
avec - -
\\.x
,~ ..
dè s 10 r s
2[n~ peu t s 1 é cri r e t 0 Us cal cul s f ait s
2{M_
::
t r Lt (~ + 2~ ?t +?t ~ +?t 3) ~?t J::. J
• •
•
•
- .',J'
= (?t + 2?t?1. +?t?J '+ ?t J) " ?1)t
_
"..
- " , " v
~v
)1
• •
•
,',-
•
3
\\1/
= ?t. ?t.n + 2?t ?t ~ht?t +?t t?t
6'
i,
+ ?t9 ~ >1..1
•
j
',.'. t
en remarquant que
?t ?t >..;?t
r
= 0
ainsi
2fL
s'écrit en fonction des coordonnées àans le repère fixe
••
" . . 1 .
,.,'
/'"'-'
re
')..
').. 'l!.
')..
t'li ').." ,
'li 3
'li.1;
ILE .8
2U!
:: ~l .. ~l -~. +~~l. ~l ~L)L + ~l .• H JL,
( d )
Con s i dé r 0 ns 1are 1at ion (I LE. 24 )
201~:: i - 2 S
. '-.'
de la relation (II.A.12) on déduit
f:: ?t"~J( + t?t ?tA. ~
" . ) . - v
•
t':li 'li'"
')..
')..' ,t':li ':Ii
t
':Ii. ')..'"iJ
puis en remarquant que
~l ~lJ" ~l :: ~d': ~l ~l :: 0 on a
= ~l_ ~l..ll
il vient en dérivant cette dernière et compte tenu de II.A.II
.. .. ~ .~:
. :{ ..
:r
•• ,t
·
~
'1/ t
T =?t.?t_t-+ ?1.Q-,e. + ~,?t"'J:: ?t .. ?t~~.J + ?t.?tJ'" + ?t,,?t (?tJI. + ,li ?t)
.../ ...

---

~
46-
"'..J
'I)
t
')..
en observant une foi s encore que
?t)u?t. ~l
= 0
on obtient
••
....\\,,?
•
0
,. v
'->
II • E• '3
ï = ?t,?t Jt + ?t.. ?t J:_ + ?t" ?t ~:h/
dès lors
II.E.24
slécrit compte tenu de II.E.28 et de II.E.6
••
,..,..1
, .
•
"v
1"'"
n.E
fj:!
').. ').. 'cL
.10
21~. ~/ = ~l. ~l .r
1
_
2 .,
~"
u
-
~?t 2 . ~l.?t .~'J
•
'
'p'
#
1
V
n
F -
Evolutions - Circulations du solide
l(t)
FI - Evolutions du solide ~)(t)
1)
Déplacement élémentaire réel
Soit
M(t)
et
M(t+dt)
les positions respectives d'un point
M du solide
J(t)
au cours dlun mouvement réel de cc dernier;
pendant le temps
dt
M
décrit sur sa trajectoire un arc é1émen-
.-~..~
taire orienté
M(t)M(t+dt)
qui correspond à un arc élémentaire
. " -
---.,,\\
D(t) O(t+dt) sur la variété
ID
cet arc correspond au second ordre
près à la différentielle première de la matrice
D exprimant le
déplacement du solide
5(t)
soit
dO.
- A la différentielle
dO
da ln matrice
0
sont associées
les matrices
n
=
0- 1 dD
et
?t = (dO) 0- 1
images de
dO
d
d
par la translation à gauche et la translation à droite.
n
= 0- 1 dD
et
=
dO 0- 1
sont les matrices des
I-formes
d
?td
attachées respectivement au torseur cinématique
~~ et
?t
- Le déplacement 'lémentaire r~e1
dx
du point
M est défini par
0\\
(1.
II.F.l
(
)1 = dO /
)'
\\ d x , X
~
.
,
Notons aussi que ce déplacement élémentaire réel du point
M s'écrit
en fonction des coordonnées par rapport au repère fixe et par rapport
à celui lié au solide:
.../ ...

---

- 47 -
( 0 \\
/1 \\ ,
/
) = ?t
1
1
1
d
\\ dx /
x ./
I1.F.2\\ et
i 0
\\
! 1 \\
l
'
1
1
(
\\ = Qd
avec
d :~ = tA dx
c . )
1
i
\\'-\\ '1)
d.v
\\ x)
y;
où
t
cf·
= A dx
est le déplacement élémentaire r6el exprimé dans
la base liée au solide.
r;
Au cours du temps
dt
le solide }i~subit une évolution élémentaire
réelle qui
l'emmène de la position
.1(t}
à la position
~(t+dt).
2)
Déplacement élémentaire virtuel
Considérons la matrice
6D
différentielle ~
t
fixé de la
matrice
O.
Rappelons que nous avons
2
D :: D(q'J t t)
'J = 1,2 ••• Cn+1
il vient alors
.
6D = Cl D éq'J
.
V
où
les
ôq 'J
2
('J = 1,2 ••••• c
sont les variations à l'instant
n+1 )
t
des
q'J •
p, la matrice
6D
sont aussi associées les matrices
Qo = 0- 1 6D
=
Cl'J6q'J et ~6 = (6D)0-1 = ?t 6q'J des
I-formes
'J
( à
t
fixé) attachées respectivement aux torseurs cinématiques
Q
et ?t •
(0 \\) _.
, 1 \\
l
,
11.F .3
6D'
)
x
! X,'
\\
ô
\\
il s'écrit en fonction des coordonnées par rapport aux repères fixe
et mobile:
• • •1•••

---

- 48 -
,/ 0 \\
l'
i
)'
_
1
-
\\OX,
~ô (.J
ILF.4
/0 '.
1
1
no
l
,
l
"=
j
\\
"
;
avec
i
(
(>';
oc-X: =~ /1 s:
/
~. ~
r i
vX
\\ 0((;;
\\
X
\\.
'\\!>
où 0].) =
tA ox
est le déplacement élémentaire virtuel exprimé dans
la base liée au solide.
Notons que la différentielle
dO
et la différ2n~ielle l
t fixé
éD
de la matrice
0
seront en général distinctes sauf si la matrice
o ne dépend pas explicitement du temps.
Lorsque le point générique
~ii du solide ,f(t) subit un déplacement
virtuel,
J(t)
lui-même subit un déplacement virtuel - ou évolution
<-
virtuelle.
Il Y a lieu de remarquer que si
00
est compldtement arbitraire
les
ô~
(comme les
dqv) ne le sont que si les paramètres
qV
sont indépendantl.
3)
Cas de Liaisons du type tzénoffien :
.
•
·v
'
=
Nous avons
0 Dqv +
o = 0vO q
+ 0tD
o Duo
v
o .
soit compte tenu de I.B.9
avec
qO = t
-.
·0
0
6 0 ql3
=
+
~ 0 qO
q
= 1
S
0
On en déduit alors
=
6
dqS
+
6
dqo
II.F.&
[ d1J S0
0D
avec
dqo = dt
ID =
6
ôqS
S0
Nous avons aussi les relations
_
1
-
S -
~
- - 1
Q
= O-.l.d1i
= QSdq rS2jf;
d = dD.D
=
?1Sdq8+Ao1°
d
11I.F.6
1
Q = 0- 160 = Q ôqS .
~ =!rr D- 1 = ~ oq~
ô
S
'
0
S
avec
TI'
=
0- 16 D
.
,
~ = (b-' \\ n- 1
13
S
S
Bt, 1 •
Les déplacements réel
d'X
et virtuel
6X
d'un point
ril
du solide
j(t)
s'écrivent dans les deux repères:
.~ • ..1••.

---

- 49 -
( 0'
1 \\
1
1
\\ = ?t
1
\\
d
II .r . 7 1 \\ d X) ,
(
1
i
\\ x /
\\
'
C\\
/1 \\,
,
-
(
\\ = n
avec
d',À,>'
-
tA : -
~1J
-
,~x
i
d
j
1
i~j
\\.x)
" 1\\
-
!
\\
:: ?ta
1
1
IIoFOSle)
\\ xl
/ 1 \\
!
\\
(6:) :: no (
~'
t _
,
avec
Ô(1,
= A ex
~ x !
\\
/
F2 - Circulation réelle et virtuelle des v~cteurs
r.
d ' i ne r t i e de J (t )
1)
Nous définironi
la circulation élémentaire réelle
de
des
forces d'inertie du solide
r (t11) dm p.'I)
[0 u
xun dm(r~ )] - cor r es-
pendant au déplacement réel
dx(M) - et appliquées a~ point générique
M du solide ,j(t)
par:
-
..c
d
ri
i.:
= j
~ (r~)
d~i
,
(M) dm (M)
avec
d~ U~) = t Adx (M)
Me. i (t )
II.f.9
1
ou
'.
d r<
=
1
'x(M) dx(M) dm(M)
-
,
"-/MSJ(t)
2)
Nous définirons de même la circulation élémentaire virtuelle
r:
oG
des vecteurs d'inertie au cours d'une évolution virtuelle du
solide
}(t) par
0"'"
= .j" ': f( M) o,r" (M) dm (M)
Cy:?
t
,
,)
avec o~(M) =
A ôx(M)
ME]'(t)
II.f.I0
ou
['
t
ô ' :;
=
'-~
~X(M) ôx(M) dm(M)
," M€ .!. ( t )
.../ ...

---

_ BU -
F3 - Relations matricielles remarquables concernant
la circulation virtuelle.
la circulation élémentaire virtuelle des vecteurs d'inertie au
cours d'une évolution virtuelle du sOlide:r(t), s'écrit lorsque les
paramètres
qV
(v = 1.2 •••. C~+l)
sont indépendants.
6 t~~
=
0v éqv
avec
(
t
Q
= 1
r{M)
av
(M) dm(f\\lI)
v
,) M€.f
II .F .11
\\ ~
: t
ou
Qv
= ! xU1}
av x(M) dm(M)
'-'M
41
e.)
av ~(M) = t Aô x(M)
v
Dans le cas oD le solide
j(t)
est soumis à des liaisons du
type tzénoffien compatible avec son évolution virtuelle, celle-ci
s'écrit:
p
-
13
Of_'
= OB ôq
1I.F .12
1
B
= 1.2 •••• p
avec
tr = OB + a~ OCt
2
B
Ct
= p+1••••• Cn+1
Les
Qv
(v = 112 •••• C~+l)
sont les composantes de la circulation
virtuelle dans la base des
( éqv)
Les
QS
sont les compQsantes tzénoffiennes de la cir~u1ation
virtuelle dans la base des
(oqB).
En observant compte tenu de I.B.l. et I.C.1
que lion a
t~(M).avX(M) = (1 t X) t oa 0(1\\) = tr [toôvD (Z tz ~I
avec
t
v
\\X
G)
=
les
Qv
(11.F.l1· )
s'écrivent en sortant du signe somme
3
la matrice
t5a
qui n'intervient pas dans la sommation
vD
(
Qv
= tr[t oô 0
! ,(lt Z) dm(Ml]
v
...... Me~)
_
.J
Soit
Il .F .13
Qv
jj"
= tr eoavoX] =
av0y\\.,
=
Dia 0
·v
.../ ...

---

- Jl .
1) Relations générales niangniennes des composantes de la circulation
L2], [81, [9J
a)
Dans 1~ cas oD les paramètres
qV = (v= 1,2 •••• c~+1) sont
indépendants. Transformons la relation II.F.13 : en nous plaçant dans
le cas général oD
jet)
est défini par 1 1 é t at des vitesses des
particules (relations 1.B.7 et 1.8.8).
En remarquant que
.
II.F.14
0*
:;:
a·D
v .
v .
aD
avec
a·D =
i ,
,
v
aqV
.
\\
.... .
Q
= D/a 0
= l?/ato
v
v
. v .
Il vient alors de façon classique
.
.
d
•
d
•
II.F.15
Q
= -
(D/a·D)
DI -(a·o)
v
dt
v
dt
v
Considérons le premier terme de cette différence
nous avons compte
tenu de (II.E.3 1)•.
1
o/a.o
= ~ a·(D/D
=
a·T
v
c
'J
v
d10ù
_
d
(
II.F.16
d
(0·1
.[»
-
- av
- dt
a~T)
dt
Transformons aussi le deuxième terme de cette différence.
Nous avons successivement les relations suivantes
•
* .
. .
D
=
o qv =
a-0 q v
..
v
V·
v
D
= .L ( a. 0) qV, + a.~ ~v = avl(a
dt
v '
v
v ~)qV qV+ a~: ,éi
~ :;: a...
1+
(a.o) qV qV'+ a (a.o) qVqV
~(a-~) qV + termes indépendants
v
v
v
v a L
V·
•• v
des
q
d
~
··v
~ ··V 1
d
~
··V
=
-( a. u)· q
+ a
u q
+ -
( a. u)· q
+
Il
Il
dt
v
v
dt
v
- G L ( a-~). + a ~l qV
+
Il
Il
Li dt
v .
v
1
On déduit alors
a·· 5 = 2 L ( a.~) + a ~
v
dt
v .
v
•
.
d l · ·
1
•
s o t t
II.F.17
-
( a.~) = -
a-o
-
aD
dt
\\\\
2
v
2
v
... / ...

---

- 52 -
il vient alors
.
..
D/-i (a·ô) = l ô/a'oo
1.
1
•
D/dvC
A
1
1 · ·
= a·o
DIO)
- - a (- 0/0)
dt
~
2
(
.::.
v
2
v 2
2
v 2
d'où la relation
II.F.la
ô/L (a D)
D
1
= a'o~'L_ -
a T
dt
v
v
2
v
dès lors en se reférant aux relations II.f.16 et II.F.18.
II.F.15
s'écrit :
II.F.19
r
L (a.r)
+ laT - a.• ~
Q" =
dt
v
2
v
V
J
_
2
1
,
V - l ,
2....• C +
L....
n 1
ce sont les relations niangnienres des composantes de la circulation
( [21. [a], I.9] )
Remarques :
1) Ce .ont les expressions les plus générales des Qv' i
elles s'établissent dans le cas où la matrice
0
est ,~par les
relations
I.B.7
c1est à dire dans le cas où le solide est défini
par l'état des vitesses des particules, et ceci sans faire appel aux
relations
I.B.5.
2) Dans ce qui
suit nous nous placerons dans le cas restrictif où
le solide
~(t) est défini par l'état des positions de ses vitesses
par les relations I.S.5.
i)
Considérons alors les expressions de
dT (ll.A.l0) et de
6~(II.E.25) exprimons alors les termes
~t(avT), 3vT et a~~
en fonction des dérivés du torseur cinématique
n
de la relation
dT =
nl't. cJ'l on déduit successivement
a•T
= n'y,· a- n
= n Y • n
avee n : : : 0-1 a 0
v
v
J
V
V
V
L (a·T) = nX·n + n:Y: • n
d t
V · V
./
v..
.
---
/.,..--....."
.
où lion a successivement:
n = (0- 1 a 6) = 0- 1 a' 0 -1- 0- 1 -aD'
v
v v
v
( 0 - 1 Ô0 - 1) a 0 .:. D-1 a ô·
v
v
( D-1 Ô) ( 0-la 0) -1- a
( 0-1 Ô).. (a 0-1)Ô
\\t
v
v
nQ + a n - [: D- J. (a 0) 0-11 Cl
v
v
, - v
J
.../ ...

---

- sa -
soit
II.F.20
fn.= -nn +a n + Q Q
v
v
v
v
2
!
v = 1,2 ••••• Cn+1
i.-.
On a alors
d
• "1. '
·1 i
~.1
'L
II.F.21
-dt (a-T) -Q,I.-Q
-
Q_tl-. QQ
+ QJt. a Q
+ Q_l.Q Q
v·
v
v
v
\\)
- Ensuite nous déduirons aussi de la relation (II.A.lü) dT = Q~.dQ
la relation
II.F • 22
a T
= QX.. a Q
v
v
Exprimons enfin a~~~ en fonction du torseur cinématique
Q •
Del are 1at ion
( ILE. 25)
2!-' = Q, Q'J"'l. + 2Q
QJ{
/1
t n r~ X -}- Q3 •
On déduit
lM
1
..
'il
-
t
1/
II. F• 23
a~' . = 2" ( a~Q). Q.J:) + Cl v Q.. Q Q~ '''>
(les autres termes étant indépendants des
~v)
•
Transformons alors
Cl" Q ,
v
de la relation ..
•
11.F.24
a.. D =
a-
v
D
= a D
v
v
-
il vient en multipliant les 3 membres de cette dernière à gauche par
0- 1
et en tenant compte de la relation I.C.3
.--
II.F.25
-
l a~ Q =a· Q = Q
v
v
- v
avec
a- Q
an
a-Q
=
= 2.fL
Q
:: D..I Cl
D
v
"v
'
v·
-v'
v
v
aq
aq .
..
Transformons aussi
a·· n
v
•
_
3
-1 .o.
En effet de (II.F.1)
D
D = Q+nn +2nn+n
,
-1 ~
-
-
3
On déduit
: Q =
D
D - n n - 2 n n- n
puis
•
II F 26
a..n = D-1 a..0
• •
v
v
(a..n)n- z o a.. Q
v
v
en observant que
:.
3
~
-v
o = Cl
q
qÀ qll + 3a~'ÀOqVqÀ + avD ~v
\\l,
,ll
.../ ...

---

- 54 -
on obtient
•
••
2 . . À
•
II F 27
a·· 0
=:
3d
D q.::
33
0
• •
v '
v,À<
v
ainsi compte tenu de II.f.27 et de II.f.25. II.F.26 s'écrit
..
- ,
.
a··n
=3D-a
0
-Q
S"2-2S1n
v
v
v
v
en remarquant de plus que :
- 1 ·
-'.
-1
.
r.;
ô 0 . :: Cl
\\' D ,.D).
-
(ô
D
) D
:c. a (0 - 10) -r..D-1 (a ~) ,[J] 0 ;: a 5' .:. n Q
·v
v
.
v
v
L V '
v
v
on obtient finalement
lI.F • 28
a·· Q = 3 a Q
+
2S1Q-2QQ
v
v
v
v
ainsi compte tenu de cette dernière relation et de 1~ relation
ILF.25, II..F.23
s'écrit:
,_
f,)
3 "1
U
t
'11
l'1• 1- • 29
a·· CI
~
(n
j
: :
Ô
Il. n ~" .L.
st - ,Q n ).. n J1.
+
n. SI, St JL
v-
c
V
V
V
Les formes niangniennes des composantes
o
'TI F "19'
"v
~ .....
/
s'6crivent alurs compte tenu des relations (II.F.21}6 (II.F.22) et
(11.;:.29)
après simplification:
st Q "'\\ J
II.r.30
:: [n \\) - t -il
Qv
~
nv
r
2
v
= 1,2 ••••. C '1
n-.-
Les relations (II.F.30) sont l'écriture des formes niangniennes
des
Qv
(II.F.19) en fonction des coordonnées par rapport au repère
mobile lié au solide.
ii)
Considérons ensuite les expression de
dT (II.A.12 2) et de
(li (II.E.S)
données en fonction des coordonnées par rapport au
réf é r e nt i e l f i xe. ete xpr i mon s suc ces s ive men t les qua nt "j .': é s
~ t (a~T) ,
av'"
et 3vûJ~ en f 0 net ion des dé ri vées dut 0 r s e ur ci n mat i que
é
Q •
.....\\....;
'-v
De la relation (ILA.12 )
dT
=
?t~ .. d?1 + t?t ?t)t',.. ?t.
2 <»
'-v
Q
Or. déduit
3:,T
=
?t ~\\, ~ a.?t
= ?t ~h~ " ?1
v
.
•
v
v
avec?t (3 0)0-1
v v
puis II.F.31
~(d. T) =
( J \\ . ' V -
---~:f ?t + ?t'1r"
.. v .
V
.... ",
~.V
.../ ...

---

_ 55 _
où l'on a successivement:
.
.---- _...;.. ~.'
?t
= '(d 0)0- 1
\\1
Y
_
= --a-·ô 0-1 + (a CI)
0-1
\\1
\\1
= a 0 0- 1 + a 0(_0-1 0 0- 1)
\\1
\\1
=
•
•
0\\1(0 0-1) - 0 °\\10-1 - (d\\lO)O-1
(D 0- 1 )
= d (0 0-1)
+
0(0-1(d 0)0- 1)
\\1-
\\1
(a}J)ü- 1 (~_0- 1)
Soit
•
II.F.32
?t- =a?t+?t?t -?t?t
\\1
\\1
\\1
\\1
compte tenu de cette dernière relations la relation II.f.31
s'écrit
."'~<
"\\i;-;
?t
-~
II .F • 33 L( a- T) = ?t JiU" ?t + ?tJ L .. a ?t + (?t?t -
\\1 ?t) e ?t y\\.
dt
\\1
.
\\1
\\1
\\1
Oe la relation (II.A.12 2) on déduit aussi,- '-../
.' \\~.
,.
-'-1-
t
;
ILF.34
d\\lT
= ?t ..}V
a ?t +
?t ?t.
ê
\\1
J:./
"
?t\\1
Exprimons enfin avf~, en fonction des dérivées de
?t
•
, ..
"'V
'\\.J
Il}
••
':li \\i
oit
t').. ')..'
Oe la relation (II.E.
1
.'.
').. 3
').. "i!
8)
2{rc. = n
~l J
~l
~l·.. ~l.J\\.,
r
li +
CI
5l ~lJ\\J 1
On déduit
ILF.35
a.. (Lt, = .l. a- ~ 'li' [,:-- + 1 '\\ .;, t 'li 'li ~_
~
\\ )
...
1..
\\ )
.-
i4 .., .
-
a··
~l •
~l ~l c../l-
2
\\1
.
-
Proposons nous de transformer les termes
av?t
et
ai ~
En multipliant les trois membres de la relation (11.F.24)
~
•
-1
av
= avo
= a\\lo
à droite par
0
et en tenant compte
de la relation I.C.6
on obtient
•
Il.F.36
a·· ?t - = a·?t
=
?t
\\1
\\1
\\1
Pour transformer
dV?t
,considérons la relation (II.E.27)
•
• • •
•
3
00- 1 = ?t+2?t~+?t?t+?t
o
•
3
On peut en déduire
?t = Ô 0- 1 - 2?t?t
~?t
?t
..
•
•
•
puis
d"
':li
-
\\1 ~l -
av 0 0- 1 - 2(a··?t) ?t
?t a·· ?t
\\1
\\1
.../ ...
'

---

- 56
-
soit en tenant compte de
II.F.27
et de II.F.36
.
,
a.."" -
3( a 0) 0-"
'" u -
- 251 51
- 51 ~
v
v
v
en remarquant alors que
ra D){)-l) = a (00- 1 ) - ô(a 0- 1) =a (00- 1) _ ~[-o-l(aD) 0-1l
''''
v
'"
v
" , . J
= a ?l -:- ~ ?i
v
v
On a finalement : ..
ILF.37
a·· '?t =
3 a ?t +
2 ~ 51
2 ?t", ft
v
'"
'"
Ainsi compte tenu des relations II.F.36 et II.F.37, la relation
II.f.35
s'écrit
,-
;~
~..'
V
3
'),.
'),.~'
'),. '),.
'),. '),.
'),.l
1 '),.
t'),. '),.
II.F.38
a·· 1.: !
='lIr aH. ~l- .•+ (~l ~l - ~l ~l). H.t +- H·
H ~l
"".
z :»
v
v
.
2'"
dès lors les formes générales niangniennes des
° (II.F.19) s'écrivent
'"
compt~ tenu des relations
(lI.F.33), (II.F.34) et (11.F.38) après simpli-
fication
Q",
ILF.39
= ~~~?,?2",
2
2 •••••
'" = 1,
Cn+1
r
ces dernières relations sont les écritures des formes niangnien-
nes (ILF.19)
des composantes
0",
de la circulation en fonc-
tion des coordonnées par rapport au référentiel fixe.
r ,
b)
Dans le cas où le solide
.:(t)
est soumis à des liaisons
de type tzénoffien (1.B.9) les composantes
Qa
de la circula-
tion s'écrivent en fonction des coordonnées par rapport au repère
lié au solide, compte tenu des relations (Il.F.12 2) et (II.F.30)
ILF./!.ü
= r' 7\\1"
5? __ IJ
TI S'J;, l
t
- ' ,
.,.. S'a
OB
-
(3 = l,2 ••••• p
0.
avec
S'e = S'(3 + aB S'a
2
0.
= p+l, •••• Cn+1
.../ ...

---

- 57 -
De même les composantes
QB
de la circulation s'écrivent
en fonction des coordonnées par rapport au référentiel fixe.
compt2 tenu de (II.F.12 2) et_~~ (II.F.39)
1 I.F • ~,1
r
Cis
='~);,. rts
avec
?ta
=
n
+ aCt. Q
a
a Ct.
a = 1, 2• • • .• p
2
Ct.
= p+l •••••••
Cn+1
2)
Relations appelliennes des composantes de la circulation
a)
Lorsque les paramètres
qV
(v ~ 1.2 ••..• c~+1)
sont
indépendants les relations
II.f.3
s'écrivent compte tenu de
ILF.24
1
....
Qv
= [) la 0 = [) 1 a··jj
= a- (-
DIO)
\\)
v
v
2
Soit
II.F.42
Q~ = a·· s
v
2
[ v -
1.2 •••• Cn+ ]
où
S
est l'énergie d'Appell.
Ces dernières relations sont les formes appelliennes des compo-
santes de la circulation.
i)
Considérons l'expression de
S
en fonction du torseur
cinématique
n
(1.0.3), dérivons celle-ci par rapport aux
•
coefficients de
n
il vient compte tenu de
II.F.25
=
as
G
= ll~ a·· n
-;"
",
a· n.. -:: .21 .. (51 ) ..
v
an .. v i j
v
1 J
an
an. . v 1J
1J
i j
1 J
as• =
avec
[(n + n2\\~1
(51 ) .. = (o-la 0) •.
an..
) ~ ..
v 1J
V
lJ
1 J
... i J
On obtient par conséquent
1 I. F• '!·3
Q = t r tr
. --. .. n
=
- • • n
=
(n + 51 lJi']
L aS\\
-J
as
l· 2 tJL..• 51
v
. \\ an;
v
an
v
_
v
[_ v = 1,2•••• C~+l
.../ ...

---

- 58 -
Les relations II.F.43
sont l'écriture des formes appclliennes
des composantes
Qv
en fonction des coordonnées pa~ rapport au
repère lié au solide.
ii)
Oe même considérons l'expression de
S
en fonction
du torseur ciné~atique ~
(1.D.6) et dérivons celle-ci par
.~
rap~ort aux coeffients de
Q
il vient compte tenu de (1l.F.36)
•
=
as ..
Qv
-24 ~ a·· (~ . .) = if .. a· ~..
(?t ) ..
'.)".
V
lJ
~
V
lJ
-:-
v lJ
au. .
aH ..
a?t ..
lJ
lJ
lJ
2 .....
1
avec
~
+
"-'\\
= [{~
\\',
•
~ / J'v .. j (?t
= (avD U-")ij
- l J
v ) i j
3ft ..
l J
On obtient par conséquent
t
\\
·i
Qv
(~+ â2 )J{} ?l~
• tr
V I
• •
v
[_
:~) ~ -1 =!ll ~
1 1 .'F .44
\\,a~ ;
L
_ J
v = 1.2 ••.•. c2
n+1
b)
Dans le cas où le sol'ide~f(t) est soumis à dc s liai-
-
sons du type tzénoffien
(1.8.9) compatibles avec son évolution
virtuelle les composantes
G
de la circulation slécrivent :
S
as\\
"
Ct Q
as)
(aSl
~
I"'l
a
Qv
= li
+ a
=
- : "u + a
_.1 .. Q
= I--;)'Q ~'l3
B
B
Ct
anl
a
s arJ
Ct
\\an
a
avec
Qa
= Qa
+ aS Qa
dès lors en observant que
as
as
T
-2
.
=
= (Q . +Q )1
aQ
an'
1 Ion obtient l'écriture des formes appelliennes des composantes
OB
en fonction des coordonnées par rapport au repère li~ au
solide.
= 35)
-
"" -
II.F.l!·5
QB
n
= \\ (~ +s? )M!.n
aa s
t
". {
a
~--'
B = 1.2 •••• P
.../ ...

---

- 59 -
De la même façon les composantes
Qs
de la circulation
s'écrivent en fonction des coordonnées par rapport au référentiel
fixe :
r-;»
-2
iJ
11
'li
Qs
= f~\\.?t =
s
+ ?t
) Jl
· He
\\
0 ,
[-(~
II.F.46
\\,a?t )
B
= 1.2 .••.•. p
3)
Relations lagrangiennes
a)
Uans le cas oô les paramètres
qV
sont indépendonts. le
solide
j(t)
étant défini par l'état des positions de ses
particules
la relation II~F.13
s'écrit de façon classique compte tenu de
II.F.24
..
= d ~
~
·
(u/a·D) ·- d
0/-- (a D) = d[
-- ao
- ~ ra ~ .
( ll#:A~
Qv
= DIC\\D
_
u/u)
al.
V
dt
v
dt _ v2
v
=
%r[av(~ D/Ô)J
av r~ 0/0]
Soit
ILF.47
Qv
=
d
( .
dt avT)
dVT
v = 1.2 •.•• c2
n+1
Les relations II.f.47
sont les formes lagrangiennes des
composantes
Qv
i)
Considérons alors la relation (II.A.l?!)
dT = g-dn
On en déduit
a-r
=
L· n
v
v
.
'i'
•
puis
.L (a.T) = I. n + L
n
0
soit compte tenu
dt
v
v
v
de
(II.F.20)
II.f.48
L (a-T) =I·n +t· a n + (I
dt
t n - t n L)- ~v
V ·
v
v
de
(II.A.17 1) on déduit aussi
..../ ...

---

-
SI) -
II.F.'!·9
'\\, T
= r·. <\\, n
Ainsi compte tenu des relations II.F.48 et II.F.49 les formes
lagrangiennes des composantes
de la circulation s'écrivent
Q'J
II.F.SO
= [i +
Itn - tnIJ • n
[ Qv
'J
2
'J
= 1. 2 •... C +
n 1
Les relations II.F.SO
sont l'écriture des formes lagrangiennes
des composantes
O'J
en fonction des coordonnées par rapport
au repère lié au solide.
ii)
Considérons ensuite la relation (11.F.17 2)
' V
""V
dT = ·r.d?t + t~ ?1. ]{ • ?td '"
On en déduit:
-c
a~T
= L • ~
'"
•
'J
puis
.L(a.T) = L .?t + L
?t
0
soit compte tenu de (11.F.32)
dt..,
''J
'J
t\\,
'ù
'"
'"
II.F.51
L(a.T) = Lo?t + L.a?t - (L t?t - tnl).?t
dt
'J'
'J
V
..,
de
(11.F.17 2) on déduit aussi
'"
-..,'
II. F.52
ô T
= L • a ?t + t~ ?t X
· ?t
'J
'J
'J
de plus un calcul direct permet de vérifier que
'"
'"''''
'ù
t
t
~
t~ ~ ':';] ~
2
II.F.53
L ?t - ?t
[
L
+ -"- ~l -" l' • U...,= 0
\\1.., = 1.2 •••••• C
•
'V
n+1
"
i o n t f i
l
. "
ce QUl slgnl le que
a matrlce
~t').
L
~l -
t').~
~lL + t~ ?t ~t
2
est ortho90nale à la base (?t
• 'J = 1.2 •••• c + )
de la sous-
. ,
'J
n 1
.
t
0".
a l 9è br e de lie V
de
/1(> ( n+1 )
doncor t ho90 nale à .I)
Dès lors compte tenu des relations
II.F.5!. II.F.52 et de
II.F.53. les formes lagrangiennes des composantes
Q'J
(11.r-.47) s'écrivent après simplification
'"
11. F • 54
[ O'J =L• ?t'J
'J
= 1.2 •••• C~+l
..,.1 • . .

---

- 61 -
ces dernières
relations sont 1 '~criture des formes lagrangien-
nes des composantes
Qv
en fonction des coordonnées par rapport
au référentiel fixe.
b)
Dans le cas où le solide 3(t) est soumis à des liaisons
du type tzénoffien (1.8.9) compatibles avec son évolution vir-
tuelle,
~(t) étant défini par l'état des positions de ses
particules, les composantes
QB
de la circulation slécrivent
en fonction des coordonnées par rapport au repère lié au solide,
com~te tenu des relations
(II.F.12
et
( l 1. F • 50 )
1)
II.F.55
[ [ î rt
+
-
t-f]
-
st -
Q
•
QB
B = 1,2 •••.• p,
Les
QB s'écrivent aussi en fonction des coordonnées par
rapport au référentiel fixe
~
-
1LF.56
[ QB = l • ~f3
l3
= 1,2 •••• P
G - Champ et Torseur des forces appliquées au solide
~(t)
ilous supposerons le solide
:3(t)
soumis à un système de
forces et nous désignerons par
f(~n
A
=
<I>(M)
dw un
....
[
F(M) =
<P(M)
d ( c" )
W,.i'i
~es matrices colonnes des composantes respectivement dans la
/L~
~
base fixe
~o
et dans la base
.~
liée au solide du système
des vecteurs-forces s'exerçant au point
M sur l'élément de
volur:1€
d:(M)
du solide
j:(t);
ainsi
<I>(M)
et
Qun sont
""'
,r.)
respectivement les matrices colonnes dans les bases (tJ
et J..'.
o
des composantes du vecteur-densité du système de forces au point
,
--{'
M courant du solide
,,)(t) •
Avec les notations du chapitre l paragraphe A, soit l\\ la ma-
trice orthogonale de passage de la base
iP'
à la base X
'.~ '1
'
0
• •• •••

---

- 62 -
et
0
la matrice de déplacement du solide par rapport au réfé-
rentiel fixe
R
alors nous avons les relations suivantes:
O
rf(M} = AF(M)
1 I.G. 0
L
A
'1> un
=
<Il (M)
On remarquera quP. ces dernières sont équivalentes aux
rel a-Ci 0 ns :
~:MlJ =0 !••
II.G.1
[$:M) = D ..
G! - Travail élémentaire réel. -
Le travail élémentaire réel
dw
du système matriciel des
.V
forces appliquées au solide
~(t)
est défini par:
~
r'
i
t
!
.....
11.0.2
d\\'1 =
1
f (M)
d x ( i~) =
j
t <1> ( M).
dx (M) .d w( M)
l
"
"
L/ ME :,
v
Me '\\'
v
~
où
dx(M} est de déplacement élémentaire réel (chapitre II
paragraphe
FI).
On remarquera que le travail élémentaire réel dw
s'écrit aussi
~
C'"
•
II.G.3
dw = 1
F(M} dtf;(M}
=
\\ ~<IJ(M}. d ;('(IiI). dÏj) (r~ )
. )
,
~ ~1€ J
<"MeJ
avec
d~{ (~1) = tA dx(f'll}
où
" 'jr"
CcP
= tA dx(!VJ)
est le déplacement élémentaire réel exprimé
dans la base ft li~e au solide.
On remarque que l'on peut écrire compte tenu de (II.F.4,)
lO\\
11 \\
(0\\
t un • ~
<1>
x ( M) = ( 0
t <I>) (
1= (0 t 4» ?td ; / = (1 t x) ?id \\ ./
.dx,
,XI
',th/
"
/
.
\\'l',
.
... ...
/

---

- 63 -
Soit
<:>
; - J
\\ ..,i:;
t cp ( M) .. dx ( M) = t r [ t?1d '1'-(<1> (M)J =
?td • t) Ul)
II .G.4
~
'0'
o j,
b '
_
\\
(1
t
) =A0
avec
~.?CP(M) -
J'-
x
1
t'
",t
!
cp/
\\, cp
'l'
Xl
"-
_i
dès lors en sortant dans (II.G.2) du signe somme la matrice
~d
qui n1intervient pas dans la sommation,
dw
slécrit sous
la forme remarquable
, - - J i
r t~ ri., i
"-"'-'
dw = tri
~ld
.- f J
= ~d ~ ~(;~
L
,.--..1
------:-
o"r\\
'7
=
,
i
\\ r:
,
.....
II.G.5
avec
-t.:..ry f
,
'
Me
.>
. J ' - cp (M)
dli) ( M)
'\\"
=(:
]\\1 ;
.
~
/
\\
f
=
)
'JCP ( M) dw(M)
~ = \\CP(M)tx(M) d(i)(M)
.' r~e'~
J
ue m8me on remarque compte tenu de
(ILF4
que
2)
.
/0)
1
'.
'0 \\
/1 "',
t ~ (1.;)
d"(f~ un
t~)
l:n
#
= (0
(
--';' ':
= (0 t~) fldj Ji = (l t X)
r,
d \\ cp
\\ d'~i
X
-,
1
\\
\\
1
Soit :
r
" ,
"')
'7'
, t
1 /
-
t.,
t~(M) .. dy?:(M) = tr;_ n
~ ~(N)
d .. -r.:.J~(M)._~
-
fl d
II.G.~
"0 -,
1""0
0
1.,
~'
l
"~
t
avec
f5 cp (M )
=
l '1 (1 X) =.
t !
\\ ~ !
C~
<Il Xj
dès lors en sortant du signe somme dans II.G.3 la matrice
fl d
qui n'intervient pas dans la sommation,
dw
s t écr t t
i t
\\ ,0' '-'\\
~F
d w
= tri.. nd· i::. F ,J
=
:dF' ~
F 0
..,
avec
';f~'F = ~'(cflU!j) dw(M)
II.G.I
l
'--'ME
"1 F
~ 1_
r'
,
F
= !
*(M) d(i)(M)
Ji1 =)
''J~(r.l)tX(I~l)cJG)(M)
~Me '''\\
'Me')
.
.../ ...

---

- 64-
G2 - Travail él~mentaire virtue1.-
Le travail élémentaire virtuel
~w du système matriciel
o
des forces appliquées au solide
J (t) est défini par:
r)
II.G.8
oW =
1
t
(' t
J f (M) • ôx(M) =
cp ( M) • sx ( 1'·1) dli)( M)
r4e_~( t )
J MEf( t)
on
ôx(M)
est le déplacement élémentaire virtuel (II.§F 1.2)
On remarquera aussi que le travail élémentaire virtuel
ôw
s'écrit en fonction des coordonnées par rapport au repère lié
au solide:
ôw
= \\' t F( M) • ,ô:1; (M) = )t ~ (M) • (~y; un dli)(M)
l
"
v'r~E j'( t)
'-'Me :'(t)
U .G.9
avec
ô ~y_:) (M)
= tAôx(M)
où
>R)
Ô<. .::-( M
est le déplacement élémentaire virtuel exprimé
dans la base liée au solide. (II.F.4 2).
Il apparaît alors par analogie au travail élémentaire réel
dw
et compte tenu des relations
II.F.4. que le travail é1é-
mentaire virtuel peut s'écrire sous les deux formes re~larqua.
b1es suivantes :
, - J
- ,
I~
ôw
= t r !t?!~ \\:t-~'f \\ = 'li
':t:
Hô-
~f
II.-G .10
ou
rt
, : : 4
::t;
~w
=
t r \\
st' t.,
\\ - n • ..;)
L
s
F....i-
d
. F
G
- Composantes du travail élémentaire virtue1.-
3
i)
D~ns le cas où les C~+l paramètres
qV
sont indépendants
le travail élémentaire virtuel s'écrit dans la base des
v
2
)
(ôq
t
V = 1,2 •••• Cn+1
II .G.11
~w
= 2
~qV
v
Les 2
C~+l
v
v = 1.2 ••••
seront appelés les composantes
..
du trôvai1.
• • •1•••

---

- 56 -
Ainsi compte tenu des relations II.G.IO.
Les composantes
2 v
du travail peuvent s'écrire sous les
deux formes remarquables suivantes :
~--,'
,r--'
vr.
=
t r
â '~-" f l
2
t
........c-.
=?t."Q
v
[
v
.
f
II.C.!2
1
ou
2
[t
.'- J
= 0
• ~.(,.
v
=
tr L 0v '=tF
v
F
ii)
Dans le cas où les paramètres
qV
sont soumis à des liai-
sons de type tzénoffien
(I.B.9)
Le travail élémentaire ré~l s'écrit
(l'''W
=
t r rtâd :r
"f l
/~J
-
~
-1-,
--
?td • ~f
II.G .13
1
ou
aw
-
\\1:
=
tr [ nd ' ;tt J =
0d
• oF
De la même façon le travail élémentaire virtuel
s'écrit
tr ~ô
. " J
<:»
!W
=
ïf:_. f l = ~ô · 1:
- f
II.G.14
ou
\\,.,
15W
= tr [nô
L F = nô • ~
-
~i
J
.
F
Le travail élémentaire virtuel s'écrit aussi dans la bnse des
( êq8
, 8 = 1,2 ••••• p )
II,G.15
[ 6W = 2" ôqB
S
avec
!B
= 2 + aCl 2
B
f3
Cl
compte tenu de II.G~14 les composantes
7
du t r ava t l é1é-
8
mentaire virtuel s'écrivent:
Î
..../
~
I f
!S
=
B' -Y-'f
II,G.16
ou
1
= -
Q
• ':t'
\\ -
'2"B
....,
B
F
.. ~ ./ ...

---

_66 -
6
~f
4 - Torseur des forces appliquées au solide
{J)
r \\..J
~.
( a)
Observons dl abord que les matrices
-t:'f
et
~ défi.
nies par
t"-!
Ir"
t
-Of = [0
0J = '. ":(t~»)(J x) dw(M)
f
~. ~:Me :~(t)
et
t
1)
\\
v-('
0 0]
(
{t
[
=
l
<.J(M))(l t X) dWU1)
= F
14
'-"~1€ ~.' (t )
sont liées par la relation suivante
ILG.17
i/:Jf =
"'1""
t
D ~·
0
,') F
"-/"
, ','
(b)
Ces matrices
-.f:')f
et
+--F
sont des éléments de l'algèbre
de Lie
J(,'(n+l).
Nous appe1erons torseurs des forces appliquées au solide
S(t)
\\__"::tf
""-FF
la projection orthogonale
\\~f
et
''+'0
sur la sous-al~èbre
. F
" . )
r~
de Lie;.b des rn atri ces
i{;f
e t
.-b
•
F
Ainsi compte tenu de la remarque
RI (chapitre 0
para0raphe
A.41).
nous avons
,-
~::tt
o
o
.:;f; =
v
-f
( ..
,"v
avec
fiL
=N - 1JJr
f
~Loo
Oa
o
o
11.6,18 , -#
/_..
·i".J
=
F
(fIL·
avec
li i;
O
o = J.1 - t,.,
F
"2
où
f
et
F
sont respectivement la matrice colonne dùns
....0
la base fixe et dans la base liée 3U solide
~; (t)
de 1a
résultante des forces appliquées à celui-ci.
• .".1 •• ~

---

- 57 ..
,t-
)mo et (mo sont les matrices antisymétriques dlci~dre n
o
qui re~résentent respectivement la généralisation dans
mn
des moments résultants des forces appliquées au solide~{t)
parrapport à l'origine
0
du repère fixe et par rapport
0
à l'origine
0
du repère lié au solide; moments résultants
définis par les 2 - vecteurs
(
r
J
x(M) 1\\ ~(M)
dw(M) et
)
X(M)!'~(I\\1) d6)(M)
,_1
-.CI
~ii€ __, (t)
-; M6 S(t )
----1
- ' t
avec
xU4)
::: ~oM
X(M) ::: 0~1
(c)
Remarque
On vérifie par le calcul que l'on a la
relation
,v: -fi
-1-t
#
IIJ:.19
't~f ::: ~ ~':-:F t DJ
En outre les travaux réel et virtuel slécrivent compte tenu
de ln remarque
R
(chapitre 0
paragraphe
A-4J)
3
"".1 ::tI~
,_.:--.... #-
\\'/~
dw
:::
~d • +:'f ::: Qd • 'f:, F
II.G.20
':li
,~;.Xf
.n
ow
-1--
:::
~l ô .- {:;
Q
•
f
s
) F
•• •,1 •••

---

- 68 -
Chal'ïtre 3 -
EQUATIONS ANALYTIQUES
Formes matricielles des éouations de dynamique
du corps solide à
TI
dimensions
A - Rappel du Princine de d'Alembert :
Pour un système de points matériels quelconque en mouvement, la circula-
tion virtuelle des vecteurs d'inertie est à chaoue instant épale au travail virtue
des forces arpliouées au système quels QUe soient les déplacements virtuels consi-
d~r~s à cet instant.
Il en résuh~e que pour le solide ~)(t),
- dans le cas où les paramètres
q"("=1,2 ••• C~+1) sont indépendants,
l'on a :
(0
-
2 )60" = 0
."
"
où
6~ Q" 6q" est la circulation virtuelle
et
6W = 2 6q" le travail virtuel des forces appliquées à ~(t)
v
Les êquations du mouvement de ~r Ct)
sont alors :
II I.A. 1
Q -
2
= 0
"
" 2
,,=1,2...• Cn+1
- dans le cas où le solide est soimi.s à des liaisons du type tzénoffien
(I.B.9) camratibles avec l'évolution virtuelle deJP(t) , l'on a :
(0 - ï
) 6qe = 0
'8
B
.
avec
ôt= 5
ôn B
S
-8
ôw = 2" ôo
c
13'
-0
- 0
+
a Q
-2
-2
+
a 2
~B - 'S
aS
a'
13 - 13
af3
a
2
e=1,2••••n
a=D+1, •.••Cn+1
.../ ...

---

- 69 -
T
Seit
IILA.2
\\ 08 - 2
= 0
8
lB~1,2.... t't
')
Ces p
équations jointes aux C~+1-r
relations de liaisons
(I.B.9) détenni-
nent en principe le mouvement du solide
~(t)
B - Eauations lagrangiennes.
Lorsque les paramètres
Ov (v=1,2 ..• C~+1)
sont indépendants, le solide
&t)
étant dëfirri 'Par l'état des nositions de ces particules (Chapitre r, para-
graphe B4, 11) les équations Iacranciennes s'écrivent :
(a)
En fonction des coordonnées nar rapport au référentiel fixe.
Des formes Iagrangiermes des canoosantes
0v (ILF.54) de la circula-
tion et des formes des composantes
2v ( II. B. 12 )
i l résu1 te en vertu du prin-
1
cine de d'Alembert que les éouatmions analytiques du solide <-g(t)
s'écrivent en .
fonction des coordonnéés par ranport au référentiel fixe choisi
IlLB.l
[I-~1.~v=
C~+1
0
v =1,2 •••
\\
j
(b)
En fonction des coordonnées nar rapport au repère lié au solide.
Ces équations du mouvement s'écrivent compte tenu des relations (II.F.SC)
et (Ir. G. 12fl,)
et en vertu du principe de cl'Alembert:
[f
l
III .B. 2
+ Ita - taI -t"~~av= 0
v=1 ,2 ••••• c2
n+l
Les éauations
III.B.l
et
III.B.Z
seront appelées équations lagrangiennes
du rnouvanent du solide ~(t).
.../ ...

---

~ 70 -
Cc)
Remarque : Equations la,rr,rangiennes et invariant relatif de Poincaré
Cons idérons la
l-fonne a =
dT
f, v
aonel êe irwariant relatif de Poincaré
.v
(J
dQ
,
fV
celle-ci peut s'écrire
en +onction des torseurs cinétiaues
L et l et des
matrices des
IV
...,
v
l-formes
nô = Qv 00
et
QÔ =
P-" ôqv
attachées aux torseurs
. ~.
'"
O n · Ff
.
cmëmataoues
n et
n.-. a en etret .
dT
a?st·
.
CL
= -
~
~v =t~ ~C:~)
d~'
!lv ~v ] '=-
3T
3tr" la ?l ôq~
y
.
30"
1)
avec
1\\-
3T
-,
'"V
aT
= CnCjl)ij
=
~
( aêf
'(dt
1j )
&~ ••
1,1
= (-L_~) ..
= (
'1-
) ..
·v
;;
\\. Il
1)
aq"
, aq
.
v
1J
ainsi l'on a
......,.
v
III.B.3
a =,rSL
'"
v
• Q 00
L.1i oq"
v
=
(l
v
De mÊme en considi"rart liexpression de l'énergie cinétique en fonction
, du torseur c inënatioue sI, on obti.ent :
_
,_if'
V
III. B. 4
CL
-
!0i, .. n ~Cl
v
.
=
I. n octV
v
La
l-fonne
CL
vérifie la relation fondamentale d'invariance
151, 161 qui
devient une nouvelle façon d'pcrire les équations lagrangiennes du mouvement.
IlLE.S
L (X =
oT +
5W
x
où X représente le chamn de VGcteurs des équations du mouvement dans l'espace
---
des vitesses soit
X = 0v __3__
, aov

---

- 71 -
L
est la dérivée de Lie dans la direction
x
x
~T
la différentielle de l'énerp-ie cinétiQUe
T
(~. t fixé)
~~
le travail f16mcntaire virnlel.
F~licitons cette relation fondamentale
(III.B.S)
en fonction des
COOrdOJ1Il(';es par rapoort au rpféreJ:.tj el fixe.
Nous avons :
'V
'V
L Cl = Lx ( r" ~ êq\\1 ) = (L Il.?1 sqv + l (L ~ &J.\\1 )
X
'V
~'I)
x '
'1)
x
'1)
mais
Lx r ~ r
et
L (
n ~v) = (L ~) ôq'J + ~ L Ôq\\l
fi'
z:
ôQ\\1+ fi ô q\\1
X
\\1
x
'1)
'1)
x
.
\\1
-
'1)
canpte tenu de la relation
(II.F.32) ~
=3 ~ + ~ ~ - ~ ~
.
'1)
\\1
\\1
'1)
On a :
.:,
" , , '
'V
L Cl = r,,?2 ô(j\\l + r •(a ~ + ~ ~ - ~)?) oq
x
+ l .?l'I) fci\\l
'1)
'1)
'1)
Soit
~
.~
'V
.
'V
' "
III.B.6
= r.21 ~~+(t~I-tlt?2).?2 o~
LxCl
+ r. a?2
éq\\l+ r .. ~ oq
'1)
v
'1)
\\1
En outre de la relation
(II.A.17 )
on déduit
Z
'V
'V
'V
v
III.B.7
ôT='.321 00\\1 +'.\\1 oQ\\I+t~?f0.C.?i' êq"
L.
'1)
, L . ' I )
v
ainsi compte tenu des relations
(JII.B.6), (III.B.7)
et de la relation
(II.F.53)
on retrouve en expl ici.tant cette relation d'invariance les équations
lagrangiennes du mouvement du solide ~3(t) (III.B.l).
Une méthode analogue D celle oui précède permet en explicitant
la relation d'invariance en fonction des coordonnées par rapport au repère lié au
solide, autrement dit en considérant les expressions de l'invariant
(III.B.4),
.../ ...

---

',", 72 -
de
ôT (II.A.1?1)
et de
ôW CII.G.10)
de retrouver les 1 équations lagran-
giennes
(III.B.Z).
e - Equations d'Euler déduites des ~ations lagrangiennes
Ca)
Les éouations Jagrang i.ermes
(!JI. B. 1) - écrites en fonction des coor-
données par rapport au réfrrentielfixe - signifient que la matrice [t -cff]
élément de l'algèbre de Li8cJfCn+1) est orthogonale à la sous-algèbr~ de Lie ~
de LJt{n+1)
puisou'elle est or-hozonate ?! la base C~v ,v =1,2 ••• C +
de cette
n 1
dernière: i l en résulte alors que sa projection orthogonale sur ~
est rolle;
Dès lors en remarquant que
•
•
'Vif' 'V
r = 1:
les équations
III.B.l
sont alors équivalentes ~
. ,-..J
III .C. 1
M
l
=':ri cD
o
A
III. C. 1
sera appelée l'équation cl' Euler dans le repère fixe du mouvement
du solide ':B(t)
"'-'
Elle signifie que la df'rivée du torseur cinétique
r est égale au
""
'7)
torseur des forces appl iouêes au solide ''-Gf"
III.C.1
p,énéralise dans RD , l'équation d'Euler class i.que , c'est-à-dire les
théorèmes ~énéraux.
En effet exnlicitons
11IoC.1
Nous avons compte tenu de
CII1.A.14 Z)
fa.. 9 -'1
-t
,.".
,
o 1
""
co
'V)t
r =
avec
°
tx~y_~y)+ ~ + ~
lmxG
0
= m y -wy XG
o
-TJ
"'V
'"
nous avons aussi
(II.G.17)
~~= l:
,
1
~~ 1
1YJ.
-:..:c....
avec
j
o=f"V - t M
2
1
~
(j) ~1. LANGLOIS CI) a établi cette relation dans le cas trivial OÙ le solide
v;Jo
J
n'est soimis il l'action d'aucune ~rce ['-e
5
0
en appliquant le théorème
f
de Noether ; il ohtenait alors
~ = ete
.. ./ ...

---

- 73 -
""
Dès lors en séparant dans "~:l: et dans
.....
re;-1fle vecteur de Rn du bloc anti-
symétrisé d'ordre
,, III.r.l s i6crit :
"
J!lX
= f
G
III.C.2
·v
'"(!JO - ryn
o
l.c,
Dans le cas
n=3
L'é ouat ion
(III.C.2 )
traduit le théorème du centre
1
2 - /
dOG
de masse
G du solide
'jet) :
+
ID
o
.
-......--=f·
dt 2
'
tandis Que l'équation
(III.C.2 )
traduit le théorème du moment angulaire par
Z
rapport à l'origine
0
du r~f8rcntiel fixe.
"
.
0
-+
°
''Y~
o =
o
V Uv
-+
......::.>
où
00
et !)'Y) osont les 2-vectetlrS dôf in'is par
o
(. 0
=1
--~
r
- >
'Î~()J= ~8 aj1 /\\ ~(M) d:(M) (voir chapitre II§G
~
4)
..t"' ~Am.f
°0
drn(M)
o
0
0
,"l~
~
(b) De même
les équations la~an.~ienncs (IILB.2)
écrites en fonction des coor-
données par rapport " l repère lié au sol ide - signifient aue la matrice
~t:'" l:t" - t,,2:.- G] élément de l'algèhre de Lie Jt(n+1) est orthogonale
F
à la sous algèbre de LiecPde v.ï Cn+l ) car elle est orthogonale à la base
(ov ,v =1,2 ..••• C~+1) de cette dernière; ainsi sa projection orthogonale sur
est nulle; les éauations
(III.B.2)
sont donc équivalentes à :
f ..
t
t
#='
nLC.3
\\i~+Cro -
nt)
= cr:!. ir \\
VF
1
cette dernière équation sera appelée l'équation d'Euler dans le repère lié au
solide du mouvenent de ce solide.

---

-74 -
III.C.3
p'énéralise dans mn l'équation d'Puler classique du mouvement d'un
solide par rapport à un revère lié 1 ce dernier.
Explicitons en effet
1II.C.3
les calculs fournissent :
I-tn - nI r""
t
=,
~ WEQ - croW + mV ty0l
G
\\
L\\.ffiwVG
1.
2
avec
VI"" = V
,
V
+ wXr.
= t , •
o
IJ
0
..1
''''Y
00 = wK + Kt&!
+ m(V 'Sc
- X 'v
o G
G 0
où les points
-
réprésentent les termes non explicités
On a alors d'après la remarque
R
(ChaP. 0 paragraphe A.4.:l)
1
O
( l t n- tnIJ~[O
~
V~G)J]
mwV
[f.
G
no _ nr:f'J + m(VG\\ro-
avec
:'cf ':G + wVG
ainsi en séparant dans chacune des matrices l + ~ 1:n - t n 'I )tf'
et~'#-[
o
0
F -
s..Jle vecteur de Rn du hloc ant.i.symëtrlsë d'ordre
n,
F
2
on observe que
III.C.3
équivaut il
- m r z F
G
III.C.4
.".6.
Ôo + 1000 - 0~fJ} + mCV?lo - vjH) = 7Y'vo
Ces dernières relations généralisent dans R
les théorèmes f,énéraux classiques.
En effet dans le cas
n=3
• (I1I.C.4 )
traduit le théorème du centre
1
de masse G ; tandis oue
(III.C.4
traduit le thêorème du moment angulaire
2)
par ranvort à l'origine 0 du repère lié au solide.

---

;.' 75· -
.!
::::--:>
-+
-+
cr
+ W
=
1\\
cr
o
a
~ \\ .
li)
avec
~o =,Jrn 1\\ V(H)dm(M
avec
V(M) = ât 0;/1.
ME
- ?
((;Lo= (0:) (\\ t (lU d::C'f)
(veir chapitre II, paragraphe G
Io.jHE
4)
D - Equations tzénoffiennes de
J (t)
Nous supposons le solide défini rar l'état des positions de ces particules
et par les liaisons non holonomes du type tzénoffien (I.B.9) compatibles avec son
évolution virtuelle; des relations
(II.P.55),
(II.P.56)
et des formes des
composantes du travail ILG.16, nous déduisons en vertu du principe de d'Alembert
(III.A.2)
les équations tzénoffiennes
....
r ~ -- .......
~
rv
J
III.D.l
I! -Cff J·~B =a
13=1,2 ...• p
l
III .D. 2
1 [fJ.: fn - tn-~l: -r
- -". 1
F j 1> Qa :1 0
B=1,2 •••• p
L.
L.
J
2
Les
p
équations
nr.n.t
(ou
III.D.2)
jointes aux
C
ëqaa tions de
n+1-p
liaisons
(LB.9)
déterminent en nrincipe le mouvement du solide
'-3 (t) •
Remarque: Les équations tzénoffiennes du mouvement de c.5 (t)
IILD.1
et III.D.2
vérifient la relation d'invariance fondamentale
III.D.33
L a
= !ST + !Sw
X
où les termes surlignés sont exprimés en fonction des
q", des seules dérivées
q6
des paramètres indépendants
qB
et de leur différentielle
~q6 (à t fixé)
.../ ...

---

.. ,.;; 76 -
E - Equations appe11iennes.
E - Cas où le soliàe
:fCt)
est libre.
1
Ca)
En fonction des coordonrêes par rapport au référentiel fixe.
Des relations
(II.F.44)
et
(I1.G.12 ) . On déduit en vertu du principe de
2
d'Alembert les êouat ions atmel l i.ennes de jet)
en fonction des coordonnées
par rapport au référentiel fixe choisi
~ -1
0 'V -v-,
f
5 - ) ,
.
- /
C"
2
IlLE.l
lJ -~ '!V :" +lt2~_ trj Dlt. =0 '1. =1,2.....Cn+l
(b)
En fonction des coordonnées dans le reoëre lié au solide =
De même de
eII.F.43)
ct
eII.G.122)
On déduit les équations appel 1ien-
nes en fonction des coordonnées dans Je
repêre lié au solide =
IILE.2
a~ -~ ~
2)1-
Z
1
n\\) = fc6. + 0
tr l ~n\\) = 0 \\)=1,2 •.••.Cn+1
L. an
J
L
.,
E
E -
Z
Conséquence
Les équation~
III.E.l
et
III.E.2
traduisent l'orthogonalité des
~
matrices
[
:~ -'tJ et [;11 -'(;.] par rapport à la sous-algèbre de Lie ~
de Jt (n-I)
Ces équations sont donc équivalentes à
j
2· r~~-JTtô:'
IILE.3
l lC~ + ?2 J'-~-1 i= Gf
...) ~J
1··-(0
"'2 \\'(, r ~,r
IILE.4
1 n+
n )--/~J-"tF
[ 1'-
en explicitant les relations
1II.E.3
et
1II.E.1
on retrouve les théorèmes
généraux
III.C.2
et
II1.C.4
.../ .. ·

---

E
- Cas 00 ',:3 (t)
est soumis .] des liaisons du tyPe tzénoffien.
3
Cl
Lorsque le solide ~~ Ct)
est so~is 2 des liaisons non holonomes du
type tzénoffien
(I.B.9)
compatibles avec toute évolution virtuelle de '~(t)
on déduit des relations arpe11iennes
(II.F.4S)
et
(II.F.46)
et des formes
des composantes du travail
CII.G.12)~ les équations anpe1liennes
respectivement
dans le repère fixe et le repêre Li.é au solide.
S=1 ,2 •••• P
III.E.6 [
2
Ces p
équations appelliennes
II1.E•5
(ou
II 1. E.6)
J"oi nt es aux
C
-p
n+1 "
2
€ouations
de liaisons
(I.B.9)
détenninent les
C
paramètres
QV
du
n+1
'1
nouvenent de -::; Ct).
F - Fguations niangUiennes.
F - Cas où le solide
tJ Ct) est libre
1
Dans le cas où les paramètres
du mouvement (le l:j (t)
sont
indépendants, les équations générales niangniennes
fiJ,
L8], [9J
qui
s'établissent dans le cas général où '.:YCt)
est défini par l'état des vitesses
des particules, - ce que nous n'envisa,l!.eons pas ici
- s'écrivent dans le
,,-;
cas particulier où ':) Ct)
est défini rar l'état des positions des particules
compte tenu des relations
II.F.30
et
II.F.39, des composantes du travail
II.G.12, et en vertu du nrincipe de d'Alembert
III.F.1
2
v=1,2 ••••• C +
n 1
.../ ....

---

et dans le repère lié au solide
et
Z
IILF. Z
v=1 ,2 ••• ,C +
n 1
F - Remaraue : Observons aussi
Z
que les équations
III.F.1
et
}II.F.2
conduisent respectivement aux théorèmes gÊ'néraux
1II .C. Z et nnc.
F3 - Cas de liaisons du type tzénoffien
Dans le cas où le solide
est soumis à des liaisons du type tzénoffien
(I.B.9), les équations niangnicnnes du mouvement s'écrivent respectivement en
fonction des coordonnées par rapport au repère fixe et celui lié au solide:
" r
/--::;
III.F.3
r ?i)[
/3:::1,Z ••••p
L
"
'(- -j
t - - ' j i
, -
III.F .4
nn JJ_ , ; ~n
6=1,2 ••• p
J
~:
/3
Les équations
III.F.3 ou III.F.4
jointes aux équations de liaisons
(I.B.9)
Z
déterminent les
C
naramètres
IV
n+1
a •
G - Théorème de l'Energie
Nous nous p1açarons dans le cas où la position du solide ~(} ne dépend
pas explicitement du temps
t .
(On a alors '?id :::!t
et
0d::: (15)
ô
G - Dans le cas où lr~s param~tTes
qv
sont indépendants
1
Ca)
Considérons les équations
III.F.Z,
multiplions les deux membres de
III.F.2 par
qV (v=1JZ •••••c~+1) etsommons; nous obtenons
l-.l..J'r - t., J
n
'v
~1'? A o·'V
"
" l 6
II
rtv q
1:1
CF "v .

---

Soit
m.c.i
[ ;,ii.- t nn.'K] •n=~. n
en remarquant aue
t n ~J{·n = nj{t Q • Q = 0
III.G.l
s'écrit:
en se référant à
II.A.10
et 8
II.G.?.l
on observe que la relation
III.G.Z
traduit le théorème de l'énergie
nI.G.3
•
dW
T = dt
Ainsi
I1I.G.2
exprime le thêcrême de l'énergie écrite en fonction des coordon-
nées par rapport au repère lip. au solide.
observons que
III.G.2
s'écrit aussi
nI.G.4
(b)
Considérons aussi les éouat ions
III.F.l
i l vient en les multipliant par
( v =1,2 •••• C~+1
et en sorsr.a.rt
I1LG.S
l'on observe aussi que
III.G.S
traduit
le théorème de l'énergie
cinétique en fonction des coordonnées dans le repère fixe.
notons que
I1LG.S
équivaut aussi, à
III.G.6
... ./...

---

- 80 -
Gz - Cas de liaisons sans frottement
Intégrale de P<\\inlevé
Dans le cas où le solide est soumis 1 des liaisons holonomes sans frotte-
ment les paramètres
qv
étant indénendants
(la position du solide ne dêpen-
JI
if
dant pas explici tanent du temps}, les matrices
up ,Uf
'
ne
contiennent pas les expressions des forces de liaisons.
Supposons alors que l'on ait
""
~t ~.
dU
= - ft • ?!d :::: - "\\-f
'"
nd
III.G.7
ou
'7'
}1
dU :::: - 1 J
"
::::
*
- F
~d
•
'"n
../F
d
dU étant me di:férentielle totale exacte. Dans ces conditions
III.G.Z
et
III.G.S
fournissent respectivanent
" 'J{ .-
:::: ete
(1 ) n'." .:~)_ + 2U
III.G.8
--.,
(2) ~J[.~ + 2U
:::: cte
ou encore
(1)
t·~ +2TJ = cte
III.G.9
•
(2)
[.?t +2U
:::: cte
III.G.8
ou
III.6.G
traduisent l'intép,ra1e prerr.i~re de Bqin1evé
T + U
:::: cte
l
G - cas de liaeons tz€noffiennes
3
Dans le cas où le solide
lf (t) est soumis à des liaisons du type
tzénoffien de la forme
.../ ...

---

... "
,.:",,~
.'
:'
- 81 -
"
..:
III .G. 10
13=1,2 ••••• P
2
a=p+1 ••••• Cn+ 1
qa est une fonction linéaire des
(sans constante
b
)
a
le théorème de l'énergie s'écrit
IILG.l1
ou
Soit aussi
IILG.12
ou
.../ ...

---

-, ;~<:' ., 82 -
Oiapitre 4
APPLICATION
Mouvanent d'lm système de solides
dans l'espace il
n dimens ions •
Nous envisageons ici d'étendre la théorie précédente il un système de
solide~; il s'agit de rlonger un système de solides dans un système de particules
"rigidifiant"
de manière 0 pouvoir écrire ses équations de dynamique analytique
sous des formes analo~es à celles du chapitre précédent.
A -Rappels. Somme directe d'espaces vectoriels et d'espaces affines
Soient
Ei, i=1,2 ••• r, r espaces vectoriels réels de même dDnension n
~i ' i zl,2 ••• r, r espaces affines associés aux espaces vectoriels Ei•
Désignons par
E = 11 E
la somme directe des esj.aces vectoriels
E ;
i
i
i=l
SoitA
. 1 '~ee~it (~embliste) des espaces 'i i ; nous posons par analogu
r
R Cf
=On " 1. t i
E
. l d
d'
.
-
5al
que
est un espace vectorle
e
EnenSl0n
nr.
- Mais on peut aussi munir E d'une structure de module sur Rr
(ce dernier
r
c'est-à-dire R
pouvant être muni d'une structure d'anneau unitaire).
En effet, soit
À€
~r. Nous noterons À = Jfl À
avec
"i ERr.
i
1=1
Ca)
,)€finissons
dans ~r l'addition et la null tinlication de la façon suivante
pour
À
et
u éléments de
~I Rr
r
r
IV .A. 1 [À"'1I'= (:B À.) + ( :~)
1l• )
= (+i ( À.+ u.)
À.+ lJ. €:R
i=l
'-;
1
tA
1
i=l
1
1
1=1
1
1
'c'est l'addition usuelle dans Rr
et
r
r
r
IV.A. 2
l·~" ( ® À.). ( (~) li,) = CS (A. p.)
~.lJ. ER
1 1
[
'1 1
1=
'1 1
1=
'1
1=
I l
C'est la multiplication entre elles des coordonnées de même rang.
r
R
nnmi de ces deux lois a une structure d'anneau canmutatif unitaire. .../ ...

---

- 83·-
d~finissons
r
sur l'anneau
R
la relation
,
la manière suivante
r
r
pour
).=
0
x.
et
Il = 0
\\J •
éléments de
x. , p. SR
.
1-1 ·1
• 1
1
1
1
1=
.
i -1,2 ••• r.
r
Ql vérifie que
(R
, +
, • 1 ~
)
est lUl anneau partiellanent ordonné.
r
(b)
Munissons alors
E = Œ) E
d'une addition et d'une multiplication par
i
i=l
•
(un scalaire étant ici un élément de nr ) de la ma-
r
r
nière suivante
pour
X = @ '(
,
y = ® Y.
avec X. , Y. 6 E. , et
't
1
1
1 1 1
i-
i=l
x = @ x. , L6R
. 1 1
1
1=
posons
r
r
r
IV.A.3
X+Y = ( (±)X.)
+
(
c±) Y.
= (±J (X. +Y.)
avec
X.+Y. 6 E.
. 11
. 1 1
1
1 1 1
1=
i=l 1
1=
Cette addition ainsi définie dans
E
s'identifie ~ l'addition usuelle dans. ]Rnr
et posons aussi :
r
r
r
IV.A.4
LX = ( CV À.) • ( :i)x · )
=:~! (LX. )
avec
LX. 6 E.
1
. 1 1
.
1
. 1
1 1 1
1=
1= -
1 1
1=
• Pour le produit
)..X
on multiplie dans
X, le vecteur
Xi
de
E
par le
i
réel
x•• On vérifie Olle E muni de ces deux opêrations a une structure de ]Rr_
1
module •
• Si les
E
i=1,2 •.. r
sont euclidiens, on peut définir sur
E un
i
''f>roduit scalaire' de la manière suivante :
r
r
r
IV.A.S
< X,Y > = X· Y
= ( !~tJ X.) • ( tt~ YI')
= (i) (X.• Y.)
i=l
. 1 1
1
1
i=l
1=
ail
X.· Y.
est le produit scalaire des ~lânents X.
et
Y.
de
E.•
1
1
1 1 1
On observe alors que
E
possêde une structure de module "euclidien"
sur
]Rr de dimension
n
; et que l'espace (-d = tB A.
associ.ê ~ Ea une struc-
11
i =1 1
ture d'espace affine "euclidien".
. .• /? .•

---

- 84 -
lM L
(c)
Soit/ u(n) l'espace vectoriel réel des matrices carrées d'ordre n à coef-
,
r
'
ficients réels sur l'espace vectoriel
E
Désignons parA r (n) = ~ /f\\n)
i.
.
1=f
la sœme directe des/A1: (n) ,)lr(n) est un R - espace vectoriel de dimension
2r
r
2
n
; mais c'est aussi un R
- module de dimension n
; la multiplication externe
M
r
Wl
r -
sur z G(lt)étant définie par : peur
A = @
A.
élément de J L.. (n) et>- = <±) x.
,
"
. 1
1
r
. 1 1
,
1=
1=
élément de
r
R
r
r
r
"A.A
=
( €)
L)
( Œ~, A.) = (±) (LAi)
. 1 1
1=
i=1
1
.
1
1
.
1=
)
r
r
On définit dans
le produit matriciel
par : pour A =~)A. et B = (t) B.
r
r
. 11
.
1 1
n
r
1'"'
p.
élément de
• A.B = (8 A.) • (0 B.) ± (+) (A.B.) " A.B. G
. (n},
. 1 1
.
1 1
'.'
1 1
1 1
1=
1=
1=1
'1 Â.
On remarque aussi que si les E. sont euclidiens, J": J,~ (n) étant nnmi du
1
.
produit scalaire de HILBERT-sœMIUT (voir chap, 0 § A.4) alors J'Lr(n) peut être
aussi J1I.JIli du "produit scalaire" de HILBERT -6ŒMIUT. Ce dernier étant défini sur
.l1t(n) par:
r
r
pour A = (+) A.
et B = (it
(n),
'-: 11
1=
i=1
posons
r
IV,A.6
< A,B >= A.B = tr ~AB]
2' (A. B.)
. 1
1
1
1=
..J'4(n)
est alors un ~r - module 'euclidien.
On remarquera. auss i que d'une manière générale, toute structure ou sous
f/f J..
'v!
structure sur les - ',) (n) peut-être t ransfêrêe sur) 'Ur(n) via l'opération sœme di-
recte.
Notation : Un vecteur
X = (+: X. de E, X.! G'
pourra être noté sous la forme
....-
1
1
:.
d'une matrice colonne
X = (~~)
\\Xr
de même une matrice
M = G'i
Mi de j1f (n), Mi G/VG(n) pourra être notée sous
i=1
la forme d'une matrice "diagonale.
.../ ...

---

- 85 -
M =
B - Identification des déplacements d'un systène t'Ct) = ~ 5. Ct)
.
, - 1
1=
de solides dans l'espace à
TI
dimensions à ceux d'un système ~(t)
de points dans l'espace à
nr
dimensions
Considérons un systèmeZ Ct)
= ~ :y. (t) constitué par r solides
. 1 1
-"
1=
J. Ct) i=',2 ••• r
dans l'espace affine euclidien R n dnnensions,
qui s'articu-
1
lent entre eux selon des liaisons holonomes. Le systàne
i Ct) lui-même pourra
être somis outTe ces liaisons, à des liaisons non holonanes du type tzénoffien
compatibles avec toute évolution virtuelle de ~(t).
Lorsque
est seulement soumis aux liaisons holonomes le nombre
N de paramètres indépendants
qV
définissant la position du systèmetCt)
est inférieur au nombre r C~+l [car chacun Ge ces solides est repéré de
façon individuel par
C~+l paramètres (voir chap.T § A).l . Si t'Ct) est
en outre soumis aux liaisons
non holonomes du type tzénoffien définies par
...--.
0
IV .B. 1
qCl = aCf. qP
8
8=0, 1 , 2•• ? •• P
a=p+l , •••••• N
alors la position de tCt)
dépend des
p
paramètres qB
C6=1,2 ••• p)
Indêperdants ,
s:
Nous supposerons dans tout ce qui suit que C Ct)
est une rêuruon disjointe
.v
des ,j i (t) ; de sorte que toute particule de t (t)
appartienne à un et à tm
il
seul des solides <.1. Ct).
1
-
.../ ...

---

.- 86 -
Considérons alors dans l'espace affine "somme directe; (défini au para-
oraphe précédent), le système J(t) de points matériels (dm .H,v, t) de "masse"
r
r
r
dm = <1) dmi ' de position M = EB Mi et de vitesse v = Et) v!· ft l'instant t
i=l
i=l
1=1
où (dmi , Mi' vi: ,t) est une particule "courante" du solide ~i (t) de masse dmp
de position Mi et de vitesse vi
à l'instant
t.
Dans ces conditions il est clair que les dêplacements .du système de
,::,.
-E
_ r
l'
solides C;.(t)
-
U
', , . (t)
dans l'espace affineY3
n dimensions s'identifient
. 1
1
1=
à ceux du système jet) dans
l'espace affine à nr dimensionsrf.'
r ,
~s noterons 3(t) = Œ'.). (t)
. 1
1
1=
Soient
R = (00' e~, e~ ...•. e~) un repère orthonormé de l'espace affi-
ne euclidien à
n dimensions considéré, et
Ri = (Oi' e~, e~ •.••.•e;)
i = 1,2 •..• r des repères orthonormés schématisant les solides ~(t) alors
r
1
CR = -:±J
o
R
est un repère orthonormê de l'espace affine somne directe (ci-
. 1
0
1=
r
if)
dessus défini) et-:;,= Œ)
R.
est un repère orthonormé schématisant le système
i=l
j
1
- (t).
Sc ient
:; Di
=
° , i=1,2 ..••r les matrices de
A
Yi
de déplacement des solides
~i(t) par rapport au rêférentiel fixe
choisi
Ro alors
r
r
IV. B. 1
D = ~ o~ avec y = ~ y. A = 0 A. 1
Y
.
1 1 Î
fi
1=1 1
1=
.;(
est la matrice de déplacement de
u (t)
par rapport à al .
Si
X.
et
X.
sont respectivement les matrices colonnes
1
1
des coordonnées par rapport aù repère fixe
Ra et au repère R. lié
.,
r
r l
à Ji(t) d'un point courant Mi de ce dernier, x = ~;xi
è.t,X. ~X.' sont res -
i=l
i=l
1
pectivement les matrices colonnes des coordonnées par rapport au
.
r
r : .
"r8
..
et au repere
r1~ 1 . àS
ê
rept;;re",/
.
(t) . dU point M ='~lMi de' ~~(tJJ
o
v
1.
1-
Les formules de chan~ement de coordonnées en repères or-
thonorrnés de même sens
.. ./ ...

---

- 87 -
IV.B.2
s'écrivent compte tenu de
la relation
I.A.1
sous les formes
1·
1
1
0
1
IV.B.3
=
x.
y.
/\\.
1
1
1
lXi
et peuvent aussi s'écrire srnlS la forme de somme directe
x = y+ AX
r
r
r
IV.B.4
avec
x= @ x. ,
X '" rJ} x.
A=
':±J A.
i=1
. 1
. 1
1
1
1
1=
1=
r
AX= (±.) (A.X .
. 1
1 1
1'"
cette derniêre relation s'8crit elle aussi sous la fonne
IV.B.S
En outre on note que les fonnules de passage du rer-pre
R
aux repères
Ri
o
r)
liés aux solides
~;;.(t) qui s'écrivent compte tenu de (I.A.2) :
1
IV.R.6
R.
=
R D.
1
° 1
i rz l , 2••••. r
01)
R
et
Ri
sont respectivenent les matrices lignes
o
(0 , e0 •••.••. eo)
et
(O., e1i., ..... ei)
1
°
n
1
n
Sont équivalentes à la fonnule de passage du repère Û~~ au
. . .1. . .

---

- 88 -
repère ~i·',o·
_
Li _ au systëme
·-I:.J':'(t)
.
~U1
,
5
.
exnrnne 'a l " d
al e d
ê
....
e 1a matr-ice
1
D
sous
la forme
IV.B.7
(1)
/n
où
UV
et \\~) U sont respectivement les matrices lignes
o
r
r
.
.
o
-
1
1
(±)
(°0' el ' .....
et
J
(i;)
(O., "t
e
i=l
. 1
l
n
1=
J
tl
On remarque
que D= [1
est un élément de )ll'Cn +1) ; et A est une
x:
r
l\\.
r
.c i.
.p t
matrice orthogonale;
1\\ 6 .J Jn.)
=.' +:
,) 0 (n)
; 1\\ b v.. 0 (n)
i=l
o ] 1
r
n
Soit D· J
LD = [1"
/ T =r+; y .
y. 6 F
n
.A. = k A., A.t Jolen)}
1\\
;
-. 1 1
1
-: 1 1
1
"r
1=
1=
l &R
D est un sous-groupe de Lie èu groupe
On note que la matrice D a
pour inverse
-1
D
r
r
r
tA
t(
t
avec
=
r·D Ai)
= +~i tA
~ JI
....
Ay = (±; etA. y.)
1 GIl
i=l 1
.
1
1
,
i=l
r=l
où
r
1
étant liélément unité de l'anneau R
Ainsi la relation
IV.B.7 montre l'isomorphisme entre
le groupe des dépla-
cements du système
J Ct) et le p-Toure !D .
.../ ...

---

- 89 -
C - Cinématique de ,jCt)
r.
C
Vecteur vitesse d'un point
M de Set)
1
Les expressions du vecteur vitesse d'un point
M de:5Ct)
dans le re-
père fixe et le repère mobile lié au solide
~Ct) sont donnés par les relations
,
10\\
f 1 \\
,
t
'Y
1 • i =
(: et (0J=
S/
0
\\
.
V/
lx)
\\ XI
\\
'
-,
\\
avec
IV.C.1
0
0
r
r
r
.
r'-
--
X = ,+,
X
?i =
y=(:!;/ y.
'"
w-:,Œl
+."
'"w.
~-'
i
i=1
. 1 1
-;- 1 J-
' ' ù
'ù
1=
1=
y-wy
w
r
v
," t
= d:..
A.x. =
:]
r
0
'"
w="""
. 1
Ill·
l
1
-
1
1=
=lt:y
i=1
où
?i et 0
sont les torseurs cinématiques du solide j'ft,.
Cz Vecteur accélér~tion d'un point M de .3 Ct)
Cl • /1 \\
{ 0 \\
(Q+ tf) !
\\
•
l
,
1
rt)
1
(:)avec t .'
IV.C.Z
=
et
1
\\
= (0+
r = Ax
(X)
1
i r 1
Xj
1
\\
/
sont les expressions du vecteur accélération du point
M de
jet) dans le re-
père fixe et le repère mobile lié au solide
-\\!) Ct) .
D - Force vive
2T:
1
On peut définir la force vive
ZT
par
.../ ...

---

- .. -90-
r
r
-:-il
2T = J'
V2~1) dm CM)
= Cf! n. ~ a. J\\,.
MEj'(t)
i=1 1
1
1
1-
~-'-"
f
r
r
\\.
2
IV.D.l
2T =j "h}.l) dm(M) = (+)
rx.(N.) dm.(M)
= Cf] ?1.• ?1. :R.
1 1 1
1=11...,'
1
1,p
1
i=1
M€(,7
(t)
M. Eu· (t)
1
1
t
1 " " - ,
m.
In.
x
m.
m.Sc
G
l{
1
1
. ;YJ.=
K.
).
1
[
G
m:~i 1 .
avec
=
1
1
')'1
-v
1
m,x
lC
1 G
1
1
Remarquons que la force vive
2T peut s'écrire en fonction da torseur.
J( 3(t)
cinématiques
n
et
?1 Vsous las formes;
ou
ID
r
r
r
avec Yu =
fi =Œ; m.
Xc
K•
. 1
= ~1XG. K = c:ti
1
1
IV.D. 2
K
1=
1=
1
i=l
t
m
m Xc;
"V
r
j{
r
:::
X =/+',
G ',J xG.
K = 0 K.
tllX
l<.
1
i=l 1
G
D
- Torseur cinéti0.u~
nous avons les ~~trices
2
o
o
et
.../ ...

---

..' 91 -
v
t
=
lA. y.
O.
1 1
1
r
lV.D.3
mVe = :+) m,V
,
t
r
\\ ;
ooK + mV
J
~' 1 1 G
3 .
G X:
=t~rw.K. + m.V
-lJ
.1-111
10.
J'"
1=
1
1=
1
1
r
= (1:l 11. Xl,
mCy-ooy) t
IDX
XG + wK =8:) [m. Cr. -w. y.) t XG + w.K.]
G
i=1 1Ji
1
•
1
1
1
1 1
J .
1 1
1=
1
o
dêflni.ssons alors le torseur cinétiaue d e J Ct)
coume étant Iaproject ion orthogo
'
fV
nale sur l'algèbre de Lie 1) du groupe de Lie 1> des matrices m[, et ?tX. Soit
a
avec
0
= m(tv X_ - 'L \\7
+ ooI(
+ Kw
0,
O-l.:i
-13
0
r
r
= .±i (m. (\\7 Xr, -xG\\r
)+ ,..K.+K.w "}=fe'0
. 1 1
O J .
J.O.
1
1
1
:1}~. 1 .
.
1=
1
1
1
1=
1
IV .D.4
et
avec
= ;r;
,of) m. [
'"
Cy·-oo.y.) t xG-x
'"
T'"
Cy·-w.y.)
'"
w.~.+Î<'oo.
' 1 1 1 1 1
G. 1 1 1 1 1 1 1
1=
1
r
= {~ '"
(10
...
O,
r;::1
1
Ranarque : On a :
'"
IV.D .5
2T = I.. n=
I.?i
.../ ...

---

- 92 -
D - Les énergies
S
et Yv_
3
On peut définir l' énergie
S
d' J\\ppell du système
"8(t)
par
r
o
•
2"(1,)
•
2
(Q.+n.)Jv. • (Q.+O. )
1 1 1 1 1
i=1
N.D.6 ou
r
!.±J
i=l
On remarque que
25
s'écrit en fonctions des torseurs cinénatiques ft et
ft
de J(t)
sous les formes
2
25
= ( Ô+ ~lL~{, , (n + Q )
IV.D. 7·
ou
r v
..
~
2 'V
25
= ( Q+ ~ Lh, • (~ + ~2)
Par analogie l' énergielL
de Niang du système
J(t)
est donnée par les
fomules
r
r
2~:.= + 2it =Ct' ;6," .,n.;n. + 'zô-n -+ ( 3). ~.J:"-
•
i=1.l
i=1 \\,., t--
1'-1
"1 i
' i
1
J
N.D.8 ou
et on remarque aussi Que
28
s'écrit en fonction des torseurs cinématiques
n
et
~ de S(t) sous les formes :
.../ ...

---

0- 93 -.;.
IV.D.9
ou
"
D - Circulations des vecteurs d'inertie de ~(t)
4
Les circulations élémentaires réelle. et virtuelle des vecteurs d'inertie
du système
J (t). ~
~,
défi
.
ct f;0
sont
er irues par :
r
lé,
IV.D.10
(±) dl.'.
'1
l
1=
r
,±) s ~:.
'1
J-
1=
où ~ et ~ sont les circulations élémentaires réelle et virtuelle
~.
des vecteurs d'inerties des .solides ,~!,(t) , i=1,2 •••• r
au cours de leurs
1
évolutions réelles et virtuelles.
1'k>tons que les dépl.acements êl ëmenta Ires réel et virtuel d'un point cou-
:J
r
r
rant H du système
J(t)
sont définis par . dM = 0
dM. et
~M= GJ .sM,
i=l
1
i=1
1
où dM.
et
.sM,
i=1,2 •••• r
sont les déplacements élémentaires réels et virtuels
1
1
o'
des points M.
des solides .J (t) •
1
1
Par analogie la circulation élémentaire virtuelle .s~ s'écrit dans le
cas où les
N paramètres
v
2
q
(N ~TCn+1)
sont indépendants :
IV.D.11
.s~ =
tSa"
Q"
r
avec
Q" = (~
<lv.
i=1
1
.../ ...

---

où les
Qv sont les composantes de la circulation élémentaire virtuelle des
vecteurs d'inerties du système
j Ct), les Q
étant celles des vecteurs d'i-
'J.
V
l
nerties des solides 'J·Ct).
1
Ainsi , on peut établir
par ana10fie pour le système SCt)
les formes
niangniennes, les formes anne11iennes et les formes 1ap,rangiennes des composantes
Q de la circulation.
'\\)
Dans le cas de liaisons de type
tzénoffien CIV .B. 1)
ccmpatibles avec toute
o
évolution virtuelle de
'; Ct)
les composantes Q~ de la circulation s'écrivent :
'-./
fJiW -
~ ~a.f3
IV.D.12
avec
- TI = $
0 .
[
B
1=1
el
DS - Travaux élémentaires ré81 et virtuel - Torseur des forces
.~~
s'exerçant sur
, j Ct)
1)
Ca)
Deux catégories de forces entrent en jeu au cours du mOlNanent du système J(t)
D'une part, les forces int0rieurs au système
ê'ct)
qui comprennent les
forces d'interaction intérieures .1 chacun des solides
R
Vi Ct)
et qu'exercent
l'un sur l'autre deux particu1cs distinctes d'un même solide
J (;) ; la sOOIIle
1
des travaux de ces forces est compte tenu du principe de
l'action et de la réac-
tion nulle.
Il Y a aussi dans cette prenièrc catégorie l'action du solide
sur
~,
.v
V
le solide
,_j i Ct)
et la réaction de '-' i Ct)
sur Jj Ct) •
n'" .
fj
t
FJ
Les matrices colonnes dans la base
es ignons par
-i,int
e
i , i n t )
CR fixe et dans la bascb liée au solide Ji Ct) des composantes de l'action
~
1
R
du solide
J j Ct)
sur le solide ,--,' i Ct) •
.../ ...

---

-.95 -
Nous avons la relation
IV.D.13
f~ .
= r, Fj
l,lnt
j
i, int
où Ai
est la matrice orthogonal~ de passage de la base
~o à la base ~i.
Nous avons aussi en vertu du principe de l'action et de la réaction et compte
tenu de
rv.D.13, les relations
f~.
+
f~.
=
0
1, tnt
-], mt
IV.D.14
j
~ Fi
-
A. F""
+ il"
•
•
t-
0
1
l,lnt
J J~ln
Désignons par
dw1 . t le travail élânentaire réel de l'action du solide ~) J"
l,ln
sur le solide SV.
nous avons alors compte tenu de
IV.D.14
1
dw1 . + dw~ = 0
IV.D.1S
I,Int
] int
En outre en se référant au paragraphe
G du chapitre
II, les
d~ . t stécri-
l,ln
vent sous les fonnes matricie11e.s.
IV.D.16
dw~ -t-·
l,ln
Posons
r
IV .D.17
dw . . t
=
r rl~ .
l,ln
l,lnt
j=1
dw. .
est le travail élémentaire réel des forces dues aux actions des
l,lnt
li
solides i.. j
j-l
- , 2... r
sur le solide JI'
On notera que dans la sorrrnation ci-dessus 1taction du solide Ji
sur lui-
.../ ...

---

- 96 -
i
i
aime
f . . t
(ou F. . t)
est considérée corrnne nul l e ainsi
dw . . t
est nul
l,ln
l,ln
l,ln
il en est de même de
:.b j
et de
~ i
f. .
F.
.
l,lnt
l,lnt
En posant aussi
,
/
\\
r -v
r
N.D.18
(;'
=
f~ .
t. .
~ l? f~ .
avec
f . .
=
l,lnt
t
l,lnt
l,lnt
)=1
l,lnt
J=l
7*'
=
~ ..
! ~ j
r
F. .
avec
•
l,lnt
J=l
l,lnt
"C
I F~ . t
l,In
, L,int
)-1
N.D.17
s'écrit cOffinte tenu de
IV.D.16
et de IV.D.18
N .D. 19
dw. . t
l,ln
notons qu'en se référant 8 IV.D.1S l'on a
r
r
~
:;
0
N .D. 20
~
dw. .
r=l
\\
-::>F . • #t nid
1, mt
~ 1
1, ln
1""
Il Y a ensuite les autres forces s' éxercent sur 10 solide
J. (t) et ~i
1
,.;
sont des forces extérieures au système (~(t) ; notons
f.
xt
et
F.
les
l,e
l,ext
composantes respectivement dans la base Œ
fixe et la base Œ liée au solide
o
i
3(t) de la résultante de ces forces ; notons aussi dw. t le travail êl.ê-
i
.
l,ex
mentaire réel de celles-ci.
En se référant au parap;raphe
G. Chapitre II, on a
A~
If:
N.D.21
dw.
=
\\.-?
,.
l,ext
f.l,ext
Le travail élémentaire réel
dwi des forces appliquées au solide ~i(t)
est alors
:;

---

- 97 -
/ )
dw.
.. dw..
+
dw.
=·t • ~
"f
ui
1
1,lnt
l,ext
i
d
IV.D. 22
'T""
=\\~
avec
'..:;>
=
.' f . .
r:
+b
F.
F . . t
F.
xt
l,lnt
1
l,ln
l,e
f.
=
1
f . .
+
=
. 1, mt
f.
F.
l,ext
1
Fi int +
F .
,
l,ext
(b)
Dès lors le travail élrmentaire réel
dw
des forces appliQU~es au
système
2? Ct)
s'écrit:
r
r
'-../
IV.D. 23
dw=~
dw.
= 11)
Ct"f" 71. )
1
i=l
i=l
i
Id
ou encore
IV.D. 24
r 'x?
('f)
\\.::)
-. 1
F.
1=
1
r
f.
F
...
@
F.
1
1
i=l
où
~d et
n
sont les matrices des l-formes associées respectivrnent aux
d
torseurs cinématiques
S1'
et
n du système J'Ct) .
(c)
Le travail élémentaire virtuel des forces appl iouêes au système SCt)
st êcrf.t :
r
r
IV.D. 2S
~ = G) ~.
= (+) Cz:: ., nl·~)
. 1
1
1=
i=l
Fi
..
ou encore
r./
t:.
IV.D.26
'{
-v
6W =
-)
•
:::
nô
- nô
' f
'F
.../ ...

---

.- 98 -
d) Les composantes
2
du travail élémentaire vjrtuel des forces appliquées au
\\1
systême J Ct) , dans le cas où les N CN ~C~+l)
paramètres
q
sont indé-
pendants, s'écrivent
4
r
"'-'.J
1:
IV.D. 27
2
?1
'+)
'V
=
•
=
:)f' n.
\\1
\\1
i=1
•
1\\1
1
r
2
= t
'6
F '" n
= ''±J
• n.
\\1
\\1
F.
i=1
1\\1
1
o
Cc) Lorsque le système
.J Ct)
est soumis à des liaisons non holonanes de type
tzénoffien compatibles avec toute évolution virtuelle de ce dernier, les composan-
tes
2
du travail s'écrivent
B
{--J
r
-'-
= f
---';::.~
IV.D. 28
2
'V
(±.)
?f ., n =
DI. -.
B
niB
B
i=l
1
T;
r
'(;
2 =
#l.
n = Ct>
<J
B
F
B
niB
i=l
')
E - Equations analytiques du mouvem8nt du système
jCt)
Lorsque
,...J Ct)
n'est soumis qu'à des liaisons holonomes, les Npara-
œtns q'J ëtant Indëpendants , les êqeations analytiques du mouvanent de jCt)
s ' écrivent en wrtu du principe-de dt AJ.anbert :
Q - 2 = 0
\\1=1 ,2.
N
0
•
0
\\1
\\1
Si de plus
~v Ct) est soumis à des liaisons non holonomes du type
tzénoffien compatibles avec toute évolution virtuelle de JPct).
Les équations analytiques du mouvement de
jCt)
s'écrivent
0: - 2" = 0
B=l, 2. o. .N
-B
B
ces
p
éauations jointes aux N-p équations de liaisons détenninent le mouve -
ment de jCt) [ cnn.:le 6Ct)J
.../ ...

---

- 99 -
1) Equations la~anQiennes de ,~Ct)
Le système LtCt)
étant défini par l'état des positions des particules
et les
N paramètres
aV
étant supposés indénendants, les équations lagrangien-
(1
nes du mouvement de
J Ct) s'écrivent:
'1
I:n. = 0
1
Iv
i I.+ L·tn_ - \\1.-1
1
I I I
I
-t:FJ•... n. =
IV
0
" = J,. ,t .•.• N .
On notera que celles-ci sont éouivalentes respect ivement aux équations
\\ J. -1 ?
\\/1 - ,t... ••••• r
ou
v=l ,2 ••••• N
En faisant la sœmat ion sur
i
de ces dernières et en faisant appel à
,JJ
IV.D.20
on observe que les êouat ions lagrangiennes de c)Ct)
s'écrivent aussi
= 0
IV.E.Z
ou
r, •
t
t
(~
r- + I· n. -
~1,2"
ri. - I·- ft;f;
-O'" 0
•• N
I I I
I
1~.
V
[
j
1"=1
l;eX'l
)
2
Eouat i
ahons
...
tzenoff
__ .
~
lCTIne." l(e
'~C)
..J t
Le système
JCt)
étant toujours supposé défini par l'état des posi-
tions des particules, mais 8l"lUIDis ~ des liaisons non holoncmes du type tzénoffien
.../ ...

---

:"': 100 -
tcmpatibles avec toute évolution virtuelle de ~\\; (t)
dans ces conditions les
Il
équations du mouvement de J Ct)
SI i"crivent :
, IV.E.3
S=1,2 •••• p
Soit aussi
~-
r,- .•~'
r
,
~1=1 [ f",.!I·
cC
1.
"f.
1
--?f =Cl
II'
i a
1;8Xt_
IV.E.4
ou r
.
[
- t
t-
- - .~-~j
] -
~
Ii
+
I. n.
- Q. Ii
~
Ois = 0
B =1,2 ••• p
1
1
1.
F.
1=1
l,ext
Les p
équations
IV.E.4- (1)
ml
(2)
jointes aux
N-p
relations de liaisons
déterminent en principe le mouvement dej Ct)
[ou de ('Ct) J .
3) Equations appelliennes de ':rCt)
Ca)
Lorsque les
N paramètres
qV
sont indApendants les équations appel-
,,'
liennes du mouvemtnt de
.) Ct)
s'écrivent
[ :~ _-9;f ]. IV
IV.E.S
ou
.v: ]_1"\\=
"p
"v
v=1,2 ••• N
.../ ...

---

•
. - 101 -
elles s'~crivent aussi
r
.
2
~
(~. + ~.
- .~
. : '
J., '"Q. =0
I
1
i=l
[
fi,ext
IV
N.E.6
ou
v =1,2 ••• N
-V
(b)
Lorsque le système
,) Ct)
est soumis à des liaisons non holonanes
..0
du type tzénoffien compatibles avec toute évolutoon virtuelle de J(t). les
équations appelliennes de jCt)
s'écrivent
r
fi,ext
~
1:
]
'?riS = 0
j
J
"$4-
IV.E.7
ou
r
1
r
.. nit := 0
8 =1,2 •••p
1=1
\\
lA -2 ,~,
(~l. +n.) ,..Jt .
1.
1.
1
,
4) Equations générales nianp.Uiennes de .S (t)
(a)
Les équations générales rriangu iennes qui s'établissent dans le cas gê-
JI
néral où 0(t)
est défini par l'état des vitesses des particules s'écrivent dans
le cas où
jet)
est défini par l'état des positions des
part.icules et n'est
soumis qu'à des liaisons holonomes
.
r
rii~.
:+)
.----
i=1
L'i~ 1
IV.B.S
ou
;"\\,.:- r.:
i l r
n .~ -,'
[}.' -
J
r
[
. .
- t".
1\\/.
'1:-"
'l:'>F
• n 1
Q. f.
u
o' .L·. -.:J,... J~ • O.
.. 0
[
v
i =1
1 v
1.
1
1
l.
r-i
1. V
. . .1. . .

---

- 102 -
elles s'écrivent aussi
.
rr ['~""
?f. }'.J. - :-~r'.
]-
..
Q.
i=l
1
1
'!\\1
~l,ext.
IV.E.9 ou
r
[..,
~
t
\\~._.
]
{li5'i
-
n.n. '~". - t.F
.. n.
= 0 ;
\\1 =1 ,Z ••• N
1 1
1
'.
t
1\\1
1=1
l,ex
(b)
Lorsque
5(t) est en outre soumis à des liaisons non holonanes du type
tzénoffien compatibles avec trnlte ~volution virtuelle de
~/(t) les équatio~~
rriangaiennes de
jet)
s'écrivent:
-
If
-Tf. ]4 ~ii= a
\\1=1
1,ext
IV.E.10 \\OU
t-
'.'
i
n.
U
;;.j{.}
~G
f"'lie
"'
=' a
,
8 -1
- ; 2
p
C
• • "
1
l
1.~
F - Exemple
ETIIDE DU MUNEMENT DU "mARIOI-HARIONNE'ITE"
.0
Soit
(; (t)
un système fonné par deux essieux
eS (t)
et
e (t)
6
constitués par deux tiges homogènes de Longueur
21
et
21
de masse
5
6
mS
et
rn • eS(t)
porte à chacune de ses extrémités
G
et
G2 deux disques ho-
6
1
mogènes et identiques
D,(t)
et
DZ(t)
de rayon
a
et de masse
ml • m = m
Z
e
porte à ses extrémités
G
et
G
deux disques homogènes et identiques
6(t)
3
4
D3et)
et
D
de rayon
a
et de masse
~ = m = m'. Ces deux essieux sont
4(t)
4
reliés en leurs milieux
G
et
G
par une tige homogène
e7et)
de longueur
S
6
21
et de masse
m
le sorte qu'ils 'Puissent se 1IIOuvoir indépendernrnent l'un
7
7,·
de l'autre et aussi de
e (t ) .
7
On suppose en outre que les 1 roues ainsi réunies peuvent tourner mdëpen-
.../ ...

---

- 103 -
dg,mnent les unes des autres
; D (t )
et
DZ(t)
tournant autour de
1
de
G1GZ' D3(t ) ct D4(t) autour de G3G4o
Le chariot ainsi constitué repose
sur un plan
(I) incliné d'un
angle
a
constant sur l'horizontal. (voir figure 1)
Proposons nous d'étudier le mouvement de ,~~ (t)
F
G ~ ~
l' ~
1 -
enera 1tes °
o étant un point fixe du plan (n), considérons le référentiel
.....
-+
~
( O,~, vo' KO)
-+ "
orthcnornal direct où CU
est 1 'horizontal de
( n)
passant par
0
û
et
Ok
la normale à
(n)
nassant par
0
tel que :
o
......---....
I-
N.F.1
l
(Oko' 010 = ct
\\
1
\\
r ~ ~
avec
J
0
G
.
où ~ est le vecteur unitaire de la verticale ascendante en 0;
Nous considérons que les points matériels de positions
G
G ' G
(voir
1,
Z
5
figure 1) a~partiennent R la tige
e
et à cette tige seulement et que
5(t)
ceux de positions
G
G
G
anpartiennent à
c (t )
et à
e
seulement
3,
4,
6
6
6(t)
de sorte que les systèncs
D.(t)
et
c.(t) , i =5,6,7
sont dis;" _
J
1
joints ; nous notons alors
4
~:.,
7
(t) _
D. Ct)
+
r eiCt).
.J
1=5
-
-+
-+
-+
Soient
k
resnectivment les vecteurs unitaires des vecteur
S' k6 et
k7
G e
~4
e
1 Z ' G3
et GS 6
dês izons par
R
),
j = U\\ Ûj
~j' t
j=1 ,2,3,~
j
-+
-+
~
et R. = (G., uO, v., K.) ,i=5,0,7
des repères orthonormaux directs liés
1
1
1
1
1
respectiverrent aux disques
D. Ct)
ct aux tiges
J
.../ ...

---

- ,104 -
~
B:V'eC
= k
Ut
pour
i=5,6~7
(voir figure 1)
a
+
+
k. = k.
pour
j=1,2,3,4
i=S,6 et (i,j)€
{CS,1),
J
1
( S, 2), (fi, 3), Cfi, t1) } •
Nous admet.tro is que
~) (t) se meut de telle façon que les plans des disques
restent constamment parallèles. Dès lors
Djet)
j=1,2,3,1
touchant le plan
(n )
respectivement en
L, posons
J
. -,.~
. i
> : _ .._ - .......................
.-/.
.
--!>
'.
-:>
II
:-'>
(I ,ï
,
(1
+ n
, I
1
2
11' T1S) = + T
314
3T16) =
"2"
N.F.2
.-'-'
.-
,~~
--'
..........
rû
-:>
-:>
I
(U
l T1S)
=
-',·,pS'
I
~6
J '
3T16 )
=
-0
01'1
Il T1~5
et
I T1 '>
sont
•
respectIvement l
es '
.
lntersfctlons clu plan
(II )
avec
3 6
D (t )
et
D (t ) .
1
3
Soit
G le centre d'inertie
de ,~(t)
G est alors le point de
G
défini par la relation :
SG6
On déduit de celle-ci
2(m +JTl +m
+ ID
1
Z
S)
7
M
N.F.3
7
avec
H
r
=
ID
:r=1 r
M
.../ ...

---

Posons aussi
->
. ._;'7
IV.F.4
= f:W;. + nV +
avec
r,;=a
...•.
0
..,'-
t., i=1,2,3,1 dési~ant les rotations propres des disques D.(t) (ou des repères
1
.
.
1
•
-+
qui leurs sont liés)
par rappor-t au repère fixe
((}sl{:o' v
ka)
la position
o'
du chariot
i{t)
par rapport au référentiel fixe est définie par les neuf
paramètres:
1
Nous poserons alors
r
6
't'
0.
=lfl
qs =\\f
1 ,
'5
q
=
6 '
7 8 9
IV.F.S
q
=~ 7 ' q = ~, q =n
l
Soit
~
le champ de la pesanteur
nouS poserons
., -+ ~
~
= -~f
IV.F.6
~
-+
:do
k
= - SIn a Jo + cosa ko
g~ 0
Nous adopterons enfin les ensemb'les cl' indices suivants :
r- d' = {1,2,3,4 }
lorsque
j=l ,2,3,4
J
1
= {S,6,7 }
lorsque
i=S,6,7
W·F.1
l '~f =((5,1),(5,2L(6,3),(6,4))
(10
1~ = {(i ,j) / (i, j ) sd{} pour i fixé
Ainsi les déplacements de L Ct)
dans l'espace
affine de dimension
3
.1
7
s'identifient aux déplacements du système jet) = @
.Jr(t)
dans l'espace
r=l
"sonne directe" de dimension
21
défini au paragraphe B.
.../ ...

---

-106 -
La matrice de dép12cement
D de ~(t)
est alors
+
r
tR
D =
avec
y = (B
Yr
r=l
...
où D' =
est 1~ m~trice de dép1ac~ du solide ~rCt) r=1,2 ••• 7
r
Y
désigne la matrice colonne dDS coordonn8cs
r
du centre d'inertie
Gr
dans le repère fixe
R = (0, S~o) •
o
Ar la matrice orthogon~le de p~ssage de la base Ctb à la base
Cbr.
Nous définirons les matrices
t'r
au moyen des angl.es d'Euler1/lr'~r' er
(voir chap. l § A.S)
- pour r = i 6 j = {S,6,7}
nous avons
avec les notations précédentes
-"r~~
~~
/~
-+:.-
_ II
1
'" = (u , Tl·) , Ç>. = (n· lU') = Cn.,k)--z
, 0. =
l
0
1
1
I l
1
0
1
-+
Tl-
étant le vecteur unit1.ire de la ligne des noeuds,
1
- pour
r = j 6 d" = {l, 2,3,4 }
nous avons : nj = Tli pour (i,j) 6 dt
-+
-+
~
TI
donc 1/1. =1jJ.
Q. = (n·,u.). El. = (k ,k.) =-Z
J
1
J
I J i J
oJ
en a alors en se référant à (LA.2)
0
- cos'O'i
s in- .
Ic0S$ .cos•.
-sin9jcos'i
sin'i
'1
J
1
A.= 0
- s ine,
cos,.
A.='cosQ.sinlf1.
-sinÇ>.sint· - cOS·
1
1
1
J
1
i
• ]
~ ]
1
IV.F.R
1
0
o /
SIDQ.
cos 9
0
j
J
En outre compte tenu de
IV.F.3
et
rv.F.~
et compte tenu des matrices
Ar (IV.F.S) dont les colonnes représentent les composantes dans la base [:)0
.../ ...

---

- 107 -
des vecteurs des bases 0jr
l'on obtient l'expression des matrices colonnes Yr
des coordonnées dans le repère fixe
R
des centres d'inertie
Gr des solides
o
~
.JrCt)
sin 1JJ7
y.J
fr.F.
\\
a
e
avec
Er = (_1)T
pour
r=1,2,3,4,S,6
pOUl'
1
e:
= 0
r::. f
\\
r
F
- Cinématioue de
~J (t)
2
1) Le torseur c inénat icue du solide CO'(t)
en foact ion des coordon-
n~es par rapport au repère mobile et au repère fixe sont
o
0
0
o
et
~.
::r
•
'1"
'1"
W
Y -wy
W
7
7
7
'1"
avec V = C±)
:f)
o
V
W =
+.
w
W =
w
O
r
r=l
r
r
r=1
r=1
"l
o
0
0
0
et
~ =
r
.
'1"
yr-wYr
wr
'1"
i'
où Or
et
Qr
sont les torseurs cin6matiques des solides')rCt) en fonction
respectivement des coordonnées nar rapport aux repères mobiles liés aux solides
3 Ct) et au renëre fixe.
r
les matrices
'1"
w
et
sont données compte tenu des angles d'Euler dé-
r
wr
finis au IV.F.8, par
~
I.B.4
o
o
pour
r = i 6 :1
nous avons
n. =
'"'
1
v
w·
O.
1
1
.../ ...

---

.:. 108 -
1
0
avec
V = tA.y . ~~:{';~i cose,» nSinl/J1·+().+e;1·).t7~7cos (111 -t.1]\\
7
0i
1 1 f"~
1
..
~Sin~c iicOS"i+(~+<i)t7~7 sin(~7-~i)1
\\ . -
'''~.
0
0
0
..
00·
0
0
-lli·
1
1
0
!p.
0
1
•
0
-1/11
0
0
.
~
et
..
avec
'"00. =
0
0
••
i
1
1
.. '" ,.
....
Yi-OOiYi"
CIl·
1
0
0
0
..y. -Cil.y...
1 1 1
pour
r=j€ t nous avons
r~
•
.
-..,,
0
0
-9·
l/J. cos «t>.
J
1
J
Il
•
O, ..
=
avec
w. =
0
-l/J.sme,
J
J
[
$.
o.J
-~COSl>j
1
]
V
Wj
1/1. sin4· .
0
1
1 )
J
cos t· ri cos lli· + ri sin lli· + ( À+ e;.) L..1.. cos ( l/J. -1h... ) + E.
J ~
l
1
1-1 T i l T
J
V
...
o.
- sin é, [fcosl/J.+
J ~.
1
~inl/J'+(À+€') Lili.. COS(l/J.-tlJ..)+e;.
).
1
--1 TI
1
TI
J "1 ~1'
J
.../ ...

---

- 109 -
-$ .
- ~.COS $.
1
J
1
et
'"n.•
..
J
-ct>.sinlfl·
J
1
o
. ; +~7(A+Ei)t
+ act>.
7CCOS $7 + ~i ~-(A+Ei)i7 cosw~
.. COS$i-.
J
•
'"
y.-w.y. =
..
J
J J
( n+~7
•
(A+E
tP
- $.
s ine,
i ) '7 cos
7
l
~+CÀ+Ei) t 7 Sin$J +~ 1
,
- $.[ t COSw· +0 s ine,
+ p·+E:i)Ri sin(tP -
7
1/J )
\\
J
1
1
i
1
/
'""
2) Calcul dés vitesses de vlissements en I
j=1,2,3,4
j
Plaçons nous dans le cas où
f": Ct)
roule et glisse sur le plan n.
En vertu de
LD.18
et en remarquant que le plan
n
est fixe, les vitesses
de p,lissement aux noints
I.
s';o;crivent dans le repère de l'espace de référence
J
' 0\\
V 1
( gr
sont les matrices colonnes des coordonnées des points
l j par rapport
En explicitant ~lors les relations ci-dessus, l'on a
.
.
/i +$7 P'+E.) R. costP + e.L1/J. cosv, + ae,
7
7
cos1/!i
1
1
1
J 1 1
1
J
. ..
..
.
TIf.F.l0
l
=
n +tP
sintP7 + e·R.·tP· s ine, + a<f;. s ine ,
Q".
7 (>..+ Ej )17
J 1 1
1
J
1
J
0
F
- Etude du motiv~ent de ,6:, Ct)
dans le cas où i l se;-meut sans frottement
3
sur ln)
Nous supposons ici eue
"s(t)
est seulement assujetti à se mouvoir sans
.../ ...

---

- ua -
,...
frottement sur (IT). Dès lors les réactions de
CTI)
sur GCt)
sont normales à
(n ). L'état de t Ct)
dépend des 9 r-aramêrres indépendants
qv
Dêterminons le mouvement de (~Ct)
en utilisant les équations appellien-
nes
(IV.E.7 2)
ces dernières s'0crivent :
7
IV.F.ll
f
= r
···:.J
~ n
F
r=l
- r,ext
vr
Dêtenninons les éléments figurant dans ces sœmations
- les matrices d'inertie
i; ,
<r-:
sont données p.ar
r
2
ffi.J
avec
K.= lomr~
0
0
2
pour
r=j EJ'
a
0
J
mj4
()
K.
La
0
o.
J
ffi.
0
0
0
0
r=i €
j
j{.
l
pour
=
avec
K.=
0
0
0
i
l
2
m. R,.
0
K.
0
1 1
0
l
3
o
,.{i
•
2. . l·
- 1lOUS avens alors
Cn +n ) J"
!::
r
r
~
r
t "
7
m Ar~r (W:Ctp Kr
avec pour
r=j € 1;(
..y. =
J
iO
.../ ...

---

.-111 -
•
a2
.,
'2
ffi. ï 1 (-cp. +1jJ. cos, .. sin•.)
0
J •
J
1
J
]
2
(w.+~)K.
a
.
·2
=
m.
sin~j)
"4 (9·+1jJ. cos~.
]
J
J
]
J
l
J
•
0
2
?
a
.,
.
1
a"
...
.
• fi
m. ~ (-1jJ. cosQ.+ 21jJ.11>.
1
s ino , )
ID. ~ ( 1jJiS1n'j~. 2~j~i COS+
J r
1
J
I
J
J
J
•
j
oü
les points
• reprr'sentent les termes non explicités
pour r=i
.,y. =
1
0
0
0
(w.+w~) K. =
1
2 ..
1 1 1
0
0
-"ym.L~.
-'
1 1 . 1
0
0
..
où le point _ représente le terme non explicité
- Déterminons les
Q
,,=1,2 ••.•• 9
"r
r=1 ,2 ••• 7
o
o
nous avons
Q
=
"r
avec
pour v=1,2,3,4
Cl y. =
Cl y. = 0
v J
v 1
pour \\FS,6
, si \\FI
é\\ y. = 0 et
(l y.
v 1
" J
.../ ...

---

~11Z -
et shlv# i
a y. = 3 y. = 0
v :t
v J
_i (À+Ei ) 27 cos1/!7 \\
pour v=7
a y.
= d Y.
v J
V
l
- 1
)
\\ (À+Ei) 9,'7 s ine., /
o
,
1 \\
')')OUr v=8
3
y .
= a y. =
0 1
v ' J..
v l
0/
\\
o \\
pour v=9
(l y.
= a y. =
1 1
v J
v l
0/
rais pour
v = j = 1, 2',3 s4
0
-1
0
a.Ci). :z
1
0
0
ô· w· = 0
i=5,6,7
VJ
VI
0
0
0
et
si v r j
::)lJl.
= 0
V
)
pour" =i = 56-
,
0
0
0
0
0
cos.j
peur
a.w. =
0
0
_1
d.ll). =
0
0
-sin•.
v l
v J
)
(li11G~
0 1
0J
-=,COSQj
sin~j 0
ct si v # i
;'J. w.
=
(Lw. =0
v J
v l
o
o
o
pour
v=7
o
o
-1
et
a.~. = a.w· =0 si ir7
v J
v 1
o
1
o
Enfin on a pour
v=8,9
ô.w.
= éJ.w. = 0
v J
v l
.../ ...

---

.; t 13 -
Nous pouvons alors dfterminer exnlicitement les expressions
7
•
"'"\\r.
n .. r
(nr+nr)· :'..r r
v
r=1
Nous obtenons tous ca lculs fa.its
a 2 00
pour
v=j- 1,2,3,1
C'
= m. -.r- <fi].
:..
J t..
pour
v=i= 5,6
IV.f.12
pour
v=i=7
pour v= 8
pour
v:z 9
o =MT{
'v
Détenninons ensui te les crmposantes
2
du travail virtuel
v
7
~ .= I "'i:p
• nr~
r=1
r ,ext
7 .-p
IV.F.13
2
="-0
,n
v
[.
F
rv
r=l
... r ,ext
où F
t
sont les résultantes des forc~ extérieures s'exerçClt sur les solides
r,ex
j r(t) exprimées dans les bases "liées ~.' ces derniers •
- pour
r = l :z 5,6,7
f..
se réduisent aux forces de pesanteur
P.
l,ext
l
s'exerçant sur les tires
ei(t)
- pour
T· j = 1,2,3,4
F.
sont les résultantes des forces de pesan-
],ext
teur
P
et des rt'actions
/\\ j (du plan
TI)
aux points
I
sur les disques
j
j
D.J
.../ ...

---

·. ;":114 -
*- Le mouvement étant sans Frot.tement les réactions en I
sont normales au plan
j
(n )
dès lors on peut observer que le travail élémentaire réel de chacune dl elle
est nul.
En effet nous aurons
I\\ j
= ÀjAj ka
IV.F.14
[ x.
t
--a A ka
J
j
où les
Àjk
sont les exnressions des réactions en
I
exprimées dans la base
o
j
fixe
Œ'o(iio'~o,to) les Xi sont les matrices colcnnes des composantes des
vecteurs
G:T~ = aI< dans' les bases e.
J J
0
J
Dès lors les travaux élémentaires réels àes
1\\. sont:
J
tt\\.J ~Vo. J [x.t;.J
+ w· •
J IJ
~C--'
+-
IV.F.1S
avee!-"~ .
!
J
••
J
'jJ
L.·
où les matrices
sont des matrices symétriques
en effet compte tenu
de
IV.F.14 nous
t
X. fI'
= -8". tA. k t k A.
J
J
J
1
0
0
J
On peut alors observer - les matrices
w.
étant antisymétriques -
J
que les produits scalaires des
par les w.
sont nuls
(voir chapitre 0,
J
§ A.4)
IV.F.16
w· ,
~.'l\\~ = 0
J
[J.JJ
en outre on peut aussi remarouer (compte tenu de l'E'1C;'ression de-:.;.
IV.F.9) que
•... J
.../ ...

---

~ 1.15 -
t
t .
IV.F.17
= ~. k ~A . • A.y.
= 0
J
0
J
J J
ainsi compte tenu des deux relations pr~c(;dentes les traVmL< réels des rGactions
en
I.
sur D.
sont nuls (ce qui du reste était prévisihle)
J
J
IV.F.1S
On peut donc observer compte tenu de tout ce qui précède que les composantes du
trav~il
2
(IV.F.13
s'~crivent
v
1)
avec
IV.F.19
P
=-mJ!Ak
J r
:M
=
..,..~ CM) t.x (r'JJdm CM)
r
r~
r
r
r
r-'
r
1"tJr
où les
~
sont les matrices colonnes des coordonnées dans les repères liés aux
solides ~ du point Mcourant de ces derniers.
~r(M) = -e lé est le vecteur densité. des forces de pesanteur au point M.
ce vectear-densité de force de oesanteur 6tant constant~),
On observe alors que
M
= (_g t k) ~
JM6JT dm CH) =0
-r
r
r
car les Gr sont les centres d'inerties des
5'r(t)
et l'on a
r SX dm CM) - 0
J M6 · r r
. . r
.../ ...

---

. -'11') -
ainsi
(IV.F.191) s'écrit
.,
7
IV.F.lO
2
= - r m
t
g t k •ô y = -Ml? k , Cl Y
v
L
r-
v v
..
\\)
r"'1
où y
est la matrice colonne des coordonnées par rapport au référentiel R du
o
, ' ;
centre d'inertie
G de
-é(t)
en observant conpte tenu de
IV. p .1-
et
IV. F. 5 que
(\\ y
= 0
pour
\\) =1,2••••• 7
\\l
a y
=/1 \\
mur
\\) =8
\\)
O!J
IV.F. 21
1. 0,'
a y
pour
\\) =9
.
\\)
(~I
=
0/
~ obtient compte tenu de
(IV.F.6 2)
2
= 0
pour
\\)
=1 ,2 .••.. 8
IV.F.22
\\l
2
= Mp: sin Cl
oour
\\l
= 9
\\)
Remarque: Les forces de ~esanteur ayant une r0sultante
p
appliqu6e en G 6 e7(t)
on peut écrire directement :
IV.F.23
t
avec P = -Hg t k
7
Ballat ions dumouvanent de
>J (t)
Canpte tenu des relations
IV.F.12
et
IV.F.22 les équations- du
.:»
mouvanent dans le cas où G(t)
évolue sans frottanent sur (n) (IV.F.11)
.../ ...

---

- 117 -
10
pour
\\) =1,2,3 ••. 8
J.' \\ )
1
q
-
.
IV.F.24
[
1 g sin Cl
,-
pour
\\) =9
ces équations fournissent
$. = (j).t + $oj
j =1,2,3,4
J
J
1jJ. = (j).t + 1jJ .
i =5,6,7
IV.F.25
1
1
01
~
= at + b
l 1 . 2 + ~vt+ Tl
Tl
= l g smat
-0
0
, 1jJO]·.
a
b v.
,
,
'0
rJosont des constantes arbitraires.
Ainsi lorSQue Cl ~O, le centre d'inertie G du chariot décrit dans le plan
(na)
--+
parallèle à
( n )
et passant par le point de l'axe
0.\\1 de côte a. un arc
de parabolr;candis que ses
roues et ses essieux tournent librement â des
vitesses angulaires'Il.l
, (j)i constantes.
j
Lorsque 0=0
G décrit de façon unifonne une droite de
F4 - Etude du mouvement dans le cas où
/~(t) roule sans glisser en 1.J
j=1,2,3,4
Les équations de roulement sans glissement en J.
j=1,2,3.4
se tradui-
J
sent d'après
IV.F.1D nar les relations:
t +~7 (~-1)27cos1jJ7
~
~
- t51jJ5cos1jJS+a~lcos1jJ5
= 0
n+~7 (À-1)i7sin1jJ7 - 25~Ssin1jJS+a~lsin1jJs = 0
. ~
IV.F.26
~ +1jJ7 (~-1)27cos1jJ7
.../ ...

---

- 118 -
,
.
~ +W7 (À+1)~7cos~7
n ~7 (À+1)~7sin~7
r
..
'"
..
~
~ +$7 (~~1)~7cos~7
+ ~6~6cos~6+a~4cos~6
=
0
.
.
n ~7 (À+1)~7sin~7 + ~6~6sin~6+a~4sin~6 = 0
Nous avons alors un sytème de
8 équations lin~aires à
9
inconnufl
qV ;dès
•
lors on peut déterminer en fonctions de ~7
les 8 autres inconnues le détermi-
nant principal du système s'écrit alors
1
0
acos~S
0
0
0
-~Scos~5
0
0
1
asin~5
0
0
0
-~Ssin1/lS
0
1
0
0
acos~S
0
0
~5cos~S
0
0
1
0
asin1/l5
0
0
~Ssin1/lS
0
1
D
0
0
0
acos~6
0
0
-iéosljl6
=
0
1
0
0
asin~6
0
0
-R,6s i n1/l6
1
0
0
0
0
acos~6
0
R,6cOS1/l6
0
1
0
0
0
asin1/l6
0
i. s i
6 n1/l6
ce déterminant
D est nul on peut en effet remarquer que l'avant dernière co-
lonne est combinaison linéaire de la 3~ et de la 4~ colonne et que de même la
dernière colonne est combinaison linéaire de la S~ et ùe la 4~ colonne. Il ré·
sulte de ceci que le système
IV .F . 26
est au plus de rang 6
Cette situation a du point de vue cin€matique
une signification remarquable •
En effet, ce système étant de rang 6 au plus, 2 des 8 équations du système sont
combinaisons linéaires des 6 autres.Ce qui si~ifie que le non glissement
__ .. _ en 3 points de contact
1j
du chariot avec le plan (JI) implique néces-
sairement le non glissement au 4~ point.
.../ ...

---

- 119 -
Revenons au déterminant
D on ~eut vérifier que tous ses mineurs d'or-
dre
6 qui sont non identiquement nuls
(au total 4) fournissent soit
soit D = 4cos ~6 cos~5
-a
1
-a
sin(~ç~6)
soit
D =
4 sin~6 sin~S sin(~S -~6)
2
soit
4cos
D
~6 sin~5 sin(~5-~6) soit
3 = -a
D =
4
-a
sin~6 cas",S sin(~5 -~6)
4
Il apparaît dès lors que l'on peut distinpuer 2 cas:
Le cas de singularité où les angles de précession ~s
et ~6
sont identiques.
Et le cas où ils ne le sont pas.
Nous examinerons tour à tour ces deux cas
mais remarquons d'abord que le sytème
(IV.F.26)
est équivalent au système des
équations suivantes obtenues en combinant linéairement celles de
(fV.F.26)
~5 = 2t (~1 -~2)
s
~6 = 2t (;3 -~4)
6
IV.f.27
~7 = 2~7COSW7 [(~1+~2) cos.; - (~3+~4) cosW6]
..
~+1
• •
À - 1 . "
(
= - ~ a (~1+92) cos~5
+ --4-- a (~3+94) cos~6
1) Cas où les angles de précession ~S
et W6
sont identiques
(WS=W6)
Les angles W5 et W6 1":tant identiques le chariot évolue de sorte que
les essieux
eS(t)
et
e6(t) restent constamment parallèles au cours du rnou-
vement ,
.../ ...

---

-120 -
.
(a)
les équations
IV.F. 27
se ~lvent-~ fonction de ~1
et ~2
sous
la forme de liaisons du type tz~offien :
.
.
=
avec
u =
v =
<1>3
u~1 + v<l>2
.~4 = v~1 + u<!>2
IV.F.28
a
t , '
1JJ
=
"2I:" (~1-cIJ2)
S
•
1JJ
= 0
7
i
=
- 1- cos 1JJ
(~1+~2)
n
=
- ~
sin ~I
(~1+;Z)
Soit
B =1,2
a =3,4,S,6,7,8,9
7
a3
4
!
4
avec
= a
= u
a
= a
Z
= v
1
Z
)
1
S
6
a
5
6
a
a
= a
= a
=
1
- 2î
"
a
1
Z
2
- Us
S
7
7
0
al
= a
=
Z
8
8
a
al
= a
=
2
- ""2 cos 1JJ
9
9
a
.
a
= a
=
1
- '2 SIn 1JJ
2
Ainsi le mouvement de
C(t)
dépend des 2 paramètres indépendants
<l>1
et ~2 ; dès lors les équations arnelliennes du motnrement de ((t)
s'écri-
vent :
7 , /
IV.F.29
B =1,2
=
l "F ext
r=1
'
. . .1. . .

---

- 12'1 -
c'est à dire
B =1,2
IV.F.3Ü
avec
compte tenu de
IV.F.12
et de
TV.F.22
ces équations s'écrivent
2
.-
2
+
m'a UV92
+
B(~'1~~'2) + ~ M(~'1+~2) = -~g sin Cl sinljl
2
..
' 2 · ·
AtPZ
+
li! a UV91
+
B(;P1-~2) + ~ M($1 +~'2~ = -~ sin Cl sine
avec
2
m' a2
2
2
IV.F.31
A
= ma
+
- 2 - (u +v )
2
B = a: { fcm+m')+ }~t2+p.' t' 2) +
t
2mt2 + 2m't'J
m=m
~=m5t~'
1
=
m
, m' =m
=m
2
3 =m4,
6,t=ts et
ce dernier système fournit
.,
Mg sin Cl
IV.F.32
= t!>
= - C sin 1JI
avec
C = - - - - -
2
'aE+m+mJ
Il résulte de
TV.F.32 que
IV.F.33
4>1
- ~2 = T = ete
dès lors
(TV.F.2R
fournit compte tenu de
TV.F.33
3)
.../ ...

---

- 122 -
IV.F.34
[ ~ = wt +1J;o
avec
où 1J;o
est une constante arbitraire.
Ainsi compte tenu de IV.F.34
on déduit ~ar intégration de
(IV.F.32)
les ex-
pressions en fonction du temps de CPl
et epZ
C
.
<1>1 = ---wz sm ( wt+1/Jo)
+ a t +ô
1
1
C
.
IV.F.3S
QZ =
( wt+1J; )
---wz 9In
+ azt "6'CS
0
Z
où
a
, a
' ô
et Ô
sont aussi des constantes arbitraires.
1
Z
1
z
On déduit ensuite de
IV.F.2S
(S)
et
(6)
l'exnression de t
et
Tl
en fonc-
tion du tanus : On a
•
aC
a
t = - 1W (1+cosZ1J;) - 2 acos1J;
IV.F.36
avec
a =a +a
1
2
,
~.C.
2
a
.
Tl =
-"!W SIn 1J; - "Z a SIr.,
d'où par intégration il vient
~
- .c
aa
.
- - ". (21J1+sinZ1J;)
+
- z;:; sIn1J;
f;o
4w""
- e
aa
IV.f.37
Tl =
~! (1-cos21J;)
+ 2w ':os1J;
+ Tl0
4w
où
~
et Tl
sont deux constantes arbitraires.
o
0

---

.. 123 -
Soit
(0*, e TI *.>
le repère déduit de
(Oo,xo'Yo)
par la translation
IV.F.38
i) si
€[- ~ ,o[ ,
ex
sin Cl
est négatif et la courbe
*
dans
.J.
(0", ~ , TI *
par:
IV.F.39
F.*
= R(21/J - sin
21/J )
1
*
= R(l
21/J )
Til
- cos
Mg sin
-ac
Cl
avec
R =
2 = -
4w
M+m+m'
est une cycloïde lieu du point
P du cercle C de centre L et de rayon R
-~
roulant sans glisser en
l
sur O*F. *
(voir figure 2.)
Le symétrique
Q da
P par rapport à
IJ~ (où j est le point diamé-
,
tralement opposé à
1)
décrit la cycloïde
d'équation.
IV.F.40
çz = R(21/J + sin 21/J)
* =
T12
R(l
-
cos 21/J)
.
lepo;rlt
,~
La droite
(QI)
est normale en
Q à
(>'2)
soit G* ~défini par ;
ël*
aa
-+
=
s
2w
IV.F.41
/ .....
avec
(rj,~ = 1/J
.../ ...

---

- 124 -
~
....
':t
•
ou
s
est le vecteur unItaire de
""*.
~
Dès lors
G* décrit la courbe
(r; *) parallèle à (e ) d'équation:
2
*
aa
.
~ = R(2~ + sin 2~) -
2
sln~
w
IV.F.42
*
Tl= R(l
- cos 2~) + ~:
cos~
ill/.F.3n
En rapprochant
(IV.F .42)
et
-'/'-
i l apparaît que
â* est la
projection orthogonale de
Gdans
* * *
(0 , E:, , Tl ).
Il en résulte que
G décrit dans le plan
parallèle ~
(n )
de côt~
," *
Zo = a
la courhe ~)
déduite de '-{, par la translation de vecteur
ak.
o
ii) si
Cl E ]
0, ~ [ 'et 0: désigne l'image du point 0*
par la trans-
latian de vecteur
aIt
, G décrit dans le plan
(II)
la courbe
( -f;:')
o
.
a
0:
symétriaue de
(C')
par rapport à
iii) si
°
Cl =
le plan
( m est horizontal et G décrit un cercle dans
On remarnuera aussi qu'en vertu de
IV.F.9 les points G. i=5,6,7 dé-
I
crivent dans le même plan Iescourbes Gi déduitesde celle de G par Iavtrans-
-+
Lat ionsde vecteurs t .
= (À+€i)î
sin ~7 (Û
I
7
o - V
o)
, notons que
~7 est cons-
tante. Les noints
G.
centres d'inertie des roues
D.(t)
d&crivent des cour-
J
J
--1-"-'
bes
,~.
déduites de
-~.:;. par les translationsde vecteurs W. = -e:. 2.. S
'-J
I
J
J 1
ainsi les noints
G.
décrivent dans le plan
ma)
des courbes toutes paral-
.
J
lèles à celle décrite nar
G.
.../ ...

---

- 125 -
(b)
Examinons le cas particulier où les essieux
esCt)
sont parallêles leurs
liaisons en G et G avec l'essieu
e Ct)
étant rigides de sorte qu'lIs ne
S
6
7
~uissent plus se mouvoir indépendamment de ce dernier.
Soit alors
S l'anple que f0rme avec l'essieu c7(t) ,l'essieu e (t )
5
J;
[ ou "e Ct)
ê est un angle constant.
nous aurons alors
$5 z: $6
= 1/1
N.F. 43
,..
1IJ
::
7
$
+
n
.-
dès lors
IV.F.28
fournit
.
•
= ete
$
= 1IJ
= 0
soit
7
W = Wo
.
.
.
lj)1
= <Pz = <P3 = 9"ct
,.
N.F. 44
•
~
= - 3</J1 cos W
,;
e
Tl
= - a<!J
sin
1
t/J
Fn considérant
<h cœme étant le seul naraTTlêtre indépendant l'équation du
mouvement de
(~{t) s'écrit:
7
",_
N.F. liS
l
f F
• Q
avec
B =1
r=1
r,ext
(3
Soit
IV.F. 46
.../ ...

---

- 126 -
canpte tenu de
IV.F.12
et de IV.F.22 , l'équation
IV.F.4.6s'écrit
2"
CM + m + m') a <1> 1 = - aMp: sin a sin 1jJ
On a alors
Mg sin a
= -
sin W =w' = ete
(M+m+ml)a
qui fournit par intégration
~1 = w' t + u où,u. est une constante arbitraire
dès lors les
~j , j = 1,2,3,4
ont pour exnressiori en fonction du temps
2
4l
= iw' t
j
+
ut
+ 9 j
où cl>oj
est une constante arbitrai-
0
re de
IV.F.47
(3)
et
(4)
on tire aussi par intégration:
~ = - a~l cos W+ ~o
Il anparaît alors que nour
a fOIe centre d'inertie
G du chariot
ne décTit pas canme dans le cas Drécédent une cycloïde dans le plan
Zo = a
.
..
mais i l y dêcri.t me droite.
2) Cas où les deux anples de
lrécession
Ws
et w6
ne sont pas identiques •
(a)
Les 6 relations de liaisons
IV.F.27
reuvent dans ce cas s'exprimer
en fonction des
3
naramètres indépendants
w·
i = 5,6,7
.
1
sous les formes suivantes
.
22.
sin
7
(w7 -w6)
2.5 •
91 =
w7
+ -
W
a
s
a
sin (wS -w6)
22.
sin
7
(w7 -w6)
1
~
5
•
IV.f.48
ttJ
- -
2 =
1Ji7
W
a
s
a
sin (wS -w6)
.../ ...

---

-127 -
•
29..
sin
7
(ljJ7 -ljJS)
9..
"'
6 ..
~
" " -
ljJ7 + -
a
$6
-'
a
SIn ('~
_~')
5
6
..
29..
sin
7
(ljJ7 -ljJ6)
9..6 ~
4J
= -
ljJ7 - -
ljJ6
4
a
a
sin (ljJS -ljJ6)
.
1
-(À+1) sin(ljJ7-ljJ6) cosljJS + (X-1) sin{~7-ljJS) cosW6
f; = 9..7
11'7
sin (wS -W6)
, . -(À+1) sin(w7 -ljJ6) sinwS +(X-1) sin(w -ljJ )~in'-$6
~
9..
7
S
,
7
sin (wS -w6)
,;;. \\J "c
l.f' - 'f. f 0
5
(,
On a donc
avec
13=5,6,7
.
CY,
=1,2,3,4,8, 9
}
sin(ljJ7 -w6)
IV.F.49
sin(wS -w6)
7
- (À+1) sin(ljJ7-ljJ6) cosljJS + (À-1) sin (ljJ7 -$S) COS$6
a
=9..
8
7
sin (ljJçw6)
7
-(X+1) sin(ljJ7 -w6) sinljJS + (À-1) si1'C.7- ;fiS) sinfl/6
a
"".2-
g
7
sin(/J ÇljJ6)
ta s les ~efficieD.ts putres a<!< 6tantnuls.
"
13
("
Les équations (lu mouvement de (,Ct)
s'écrivent dès lors
7
..
-2 '1/
-
N.F. sa
L
(n +n ) Uv
"Q.
r
r
r
6=5,6,7
r=1
~,r
.../ ...

---

- 128 -
Q = 2
t3 =5,6,7
B
13
IV.F.S1
avec
o = Q
a
+
n =1,2,3,4,B,9
"s Qcc
B
s
"2 =
a
2
+
B
B
aB ~a
compte tenu de
IV.F.12
et de
IV.F.22 les équations du mouvement s'écrivent
tous calculs faits
.'
AI/I
= 0
S
2
A' =m' a
+ 1. Il' ~,2 + 3m' R,' 2
2
3
par intépration de
IV.F. 51.1 l'on obtient
.../ ...

---

•. . . ' - 129 -
IV.F.53
= ~lgsin ar~7 -(À+l)sin(~7-~6)sin~S+(À-l)sin(~7-~S)dt + p
J
sin(~ç~6)
où Ws ,w6 ,aS ,a6 p
sont des constantes arbitraires •
Remarquons que l'équation
IV.F. S3 (3) peut-s~'Jbtenir directement par appli-
cation du théoTème· de l'êneTgie.
(cl
Examinons le cas particulier où les essieux
eS(t)
et
e
ne sont
6(t)
pas parallèles mais leurs liaisons en
G
et
Go avec l'essieu e
est
S
7(t)
rigide de sorte qu'ils ne puissent plus se mouvoir indf.pendamment de ce dernier.
A
....
Dési~ons alors par
~
8
86 7 respectivement les ang
5,6
5,7
,
gles formés pal les essieux
eS(t)
cn(t)
par
eS(t)
e7(t) et enfin
par
e
e
Nous avons alors les relations
6(t)
7(t).
IV.F.54
Les équations de liaisons IV.F .48 s'écrivent alors uniquement en fonc-
1
tion de
~7 nous avons donc un seul paramètre indépendant
~7.
On peut alors remarquer compte tenu de
IV.F. S 4- que l'équation du
-P
mouvernmt de G(t)
s'obtient en sommant les 3 équations
IV.F .53 .
.../ ...

---

- 130 -
soit
r
5S
(-r;'
• 2
\\ -
...
...
...
...
IV.F.
~~~_A' +_.~_+:;1 )1JJ7.. _~~ 2MgS.inJ1JJ7 -(À+1)sinS6,7Sin(1JJ7+BS,7't(À-1)Sin13S,7Sin(1JJ7+136,7àt
sinS
6
S
Cette dernière fournit par i n t é g r a t i o n '
+ (J
-2
J.
D1JJ 7
N.F.56
. -
SIn BS 6
,
avec
D = A + A' + R + ::r
oilp est une' constante arbitraire.
Fn
cbservant que
IV.f.S6 s'écrit:
IV.F.57
avec
U+~
sinÎ3S 6
,
v = ~g
CA-llSinBS.7SinB6.7]
u
V
sine -
cos 0 =
.-'''--
- - - -
lu\\v2
cu encore
-2
1JJ
= 2 0 sin ct C09" 1JJ r + p
N.F.S8
avec
1JJ = ~ - e
IU2+~
0=

---

- 131-
Il annaraît alors que le mouvement de 3{t)
n'est possible que si
cr s inc + 0 ~ 0
si
Cl €
@,~]
n
IV.F59
-cr s inc + p ~ 0
si
Cl €
Lz ,~
.i>
moyennant ces conditions, le mouvement de G(t)
est déterminé rar la quadrature
e l.l ir-t ique :
11/1
t
- t
= 1
o
;) ljJo
IV.F.60
avec
e:1/I>O
e:
= +1
où
$0
est la valeur de
ljJ
à l'instant
t=to'
ljJ(t)
étant déterminé nar IV.F. 60
IV.F. S8z
et
IV.F 54 déterminent lfJ1fJ ( }:) , ljJS (t)
et
1/1 (t)
7
6
IV.F. 48 détenninent alors en fonct ion du temr-s les <l>j Ct) j = 1,2,3,4
nuis aus-
si
~(t)
et
nCt).
Précisons T'our terminer la trajectoire du noint
G.
En effet de
IV.FA8
(5)
et
(6)
et de IV.F.s~on déduit
A
A
. .
A
i =2,7~7 - p.+1) sinS6, 7cos (1jI7+ i\\,7) + p.-1) sinJS,7cOS (1/17+136,7)
...
sinB
IV.~&l
S,6
...
....
-(À+1)si ,ê~,7cos(ljJ7+S5,7) + (À-1)sin6S 7s in(ljJ7+ 66 7)
,
,
sinSS 6
,
.../ ...

---

- 132 -
d'oÙ par intépration l'on a
~ -(À+1) sinê6 7cOS($7SS 7) - (À-1)sinBS 7cOS($7+â6 7)
7
"
,
, + r , o
sinBs,6
où t
et no sont deux constantes arbitraires •
o
Dès lors il apnaraît aue la nroject.ion orthogonale de G dans le plan(n) dê-
crit le cercle
C de centre
( t"
n.)
et de ravon R tel que:
<'0'
0
1
./ .

---

- 133 -
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