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par
Randrianandrasana
BIFURCATION DE POINCARE D'UNE CLASSE D'EQUATIONS
DIFFERENTIELLES NON LINEAIRES A ARGUMENT RETARDE
Soutenue le 6 octobre 1981 devant la Commission d'Examen
MM.
THIBAULT R.
Président
CLERC R.t.
GUMOWSKII.
Examinateurs
HARTMANN C.

---

Ce. :t!La.va..il.. a Ué. 6a..U IIOU4 ta. cLûte.c..:tto YI.
de. MOYl.ll-iewt Ch. HARTMANN; je. f.J.U e.xptti.me. -iu. ma
/
Je. lte.meJtu.e. v-ive.me.nt MOYl.ll-iewr. T. C1UMOWSKI pOWl
lu Yl.omblteu.x. C.OYl.ll'e.il...s bé.Yl.é.6-ique..& qu'il.. a b-ie.n
voulu me. pltoeügueJt e;t poun: l' .i:nté.Jtê-t 'lu'.il. a POIt-
té. à. ce. :tJr.ava..il...
Je. lte.meJtu.e. éga.leme.nt MUll-ieu.Jtll R. L. CLERC e;t
R. THIBAULT pOWl avo-ilt ac.c.epté de. 6a.-iJte. paJt.;Üe.
du jWlIJ.
Je. lte.meJtue. e.n6-iYl. Madame. BROUARV M. ei:
MoYl.-
~-ie.u.Jt LEFRANC J. pOLLlt la. ltéa.lillatioYl. te.c.hnique.
de. ce :tJr.av a.ii .
00000000000000000000000000
..........................

---

.~
\\
. ~

---

INTRODUCTION ....
..........................
06006006606606606000606000

---

BIFURCATION DE POINCARE D'UNE CLASSE
D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES NON
LI-
NEAREs
A ARGUMEf'JT RETARDE ....

---

-1-
Dans ce travail, nous étudions une classe d'équations différentiel-
les non linéaires autonomes avec retard constant, définie par :
a x (.t-T)
x(t)
=
- b x(t)
t ~O
V
J+Ax
Ct-Tl
x(t) a
SCt)
-T ~ t
~ 0
où T est le retard;
,
a, b, A, V les paramètres de l'équation; a, b, A
sont tels que l'équa-
tion admet une solution constante x fixée.
On fait jouer à v un rôle préférentiel en le faisant varier à partir d'une
valeur critique vo. On constate alors la déstabilisation de
la
solution x
et l'apparition de solutions stationnaires non constantes.
L'étude consiste à identifier numériquement ces solutions stationnaires
Dans un premier temps, on s'intéresse aux solutions stationnaires corres-
pondant aux valeurs de v voisines de vo. C'est d'ailleurs l'objet essentiel
du travail. Pour ces valeurs, des difficultés numériques apparaissent quand
on veut identifier les solutions stationnaires, difficultés dues à un
très
mauvais conditionnement numérique du problème au voisinage d'une
bifurca-
tion.
On s'est alors proposé de trouver une méthode d'intégration numériquement
=fficace. Ce sera une méthode analytico-numérique basée sur la recher=he
d'une fonction initiale appropriée pour essayer de résoudre le problème du
mauvais conditionnemen~.
Dans un second temps, on s'intéresse aux valeurs de v "loin" de vo.

---

Pour ce cas, on s'est borné à une étude descriptive de ce qui se passe au
niveau des solutions, à en tracer les portraits de phase asymptotiques.
Ce travail comporte qua tre parties :
§- La première est consacrée à la position du problème.
§- Puisque toute l'étude est faite numériquement, on se base sur les
résultats numériques pour affirmer l'existence des solutions stationnaires.
Un choix d'un schéma numérique d'intégration fiable s'impose alors.Et puis-
qu 1 on sera amené à faire un calcul pour un temps t assez grand, il con-
vient aussi d'étudier les limites de précision de ce schéma pour que les
J
résultats obtenus
soient significatifs. c'est ce 'lUi constitue la secon-
de partie.
§- Dans la troisième partie, on essaiera d'apporter une solution pos-
sible au très mauvais conditionnement numérique du problème en recherchant
une approximation numériquement efficace de la solution stationnaire.
Cette partie comportera la recherche elle-même de l'approximation et le
test d'efficacité numérique de celle-ci.
§-
Enfin en dernière partie, une étude descriptive de ce qui se pas-
se pour 'Y "loin" de \\Jo est faite pour troi's types particuliers d'équation,_
On y trace pour chaque cas les portraits de phase asymptotiques corres-
pondant aux solutions ( courbes (x(t),x(t))
) et aussi les courbes x(t)
correspondantes.
6666666666666666666666666666666
00000000000OOooOOOOOOOOoooooooo

---

PRE MIE R E
PAR T l E
.................... " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
0000000000000000000000000000
POSITION
DU
PROBLEME ....
" " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " . " "
oëëëëëëëaëôëoëëëoëëëàoëëëooëëëoooooo6oo6ôôôë

---

-3-
Ces équations différentielles avec retard 1 non linéaires 1 appa-
~aissent dans différents domaines de mathématiques pures et appliquées .
Ainsi 1 ~ar exemple 1 en ce qui concerne les mathématiques pures 1 l'étu-
:e de le densité asymptotique des nombres premiers 1 en biologie la modé-
::sation de certains phénomènes biologiques [3]
1
en physiologie l'étude
:e phénG~ènes pathologiques concernant la respiration 1 les plaquettes
sanguines [2J . [3J 1 en écologie l'étude de certains modèles de la dyna-
::-:i::;ue de population etc ..••..•••
L'étude mathématique de telles équations présente donc un intérêt
:=~:=in . Cette étude peut être soit théorique pour ceux qui s'intéressent
à la recherche de théorèmes d'existence et d'unicité des solutions 1 soit
~~mérique pour ceux qui veulent exhiber les solutions • Dans ce dernier
:=5 soit parce qu'on a
un théorème qui affirme l'existence 1 soit parce
:~'on n'en a pas et qu'on veut se servir des résultats numériques pour
:~~uver l'existence. Et une des premières préoccupations sera alors la
~5:herche d'une "démarche" è suivre dans les calculs pour que ceux-ci
s::::ient fiables .
L'équation dont il est question dans ce travail provient de l'etu-
:2 je systèmes de contrôles physiologiques 'concernant les globules du
s=~g [3} . C'est une équation différentielle non linéaire 1 autonome avec
retard constant
t
et dont a lb • A 1 V
en sont les paramètres 1 v jou -
ant un rôle préférentiel :
a X(t-T)
>«t)
v
-bx(t)
': ~ 0
1 +Ax
(t -t)
(1.)
xCt) ·8 Ct)
-T ~ t ~ 0

---

T"4-
! .
où
l'
x(t) est la solution à chercher
l
,
~'
..
a , b ,A
des constantes
t:
1
- art)
une fonctton valeur init1àle de l'équation
!
'"
Toutes les quantités présentes dans l'équation sont positives car elles
représentent des quantités physiques positives [3, Cl] .
i
! '
L'état d'équilibre statique de (1) est la fonction constante x solution
de l'équation algébrique:
-\\)
~ • b ( 1 +Ax
)
Par construction et dans le but d'avoir une relation indépendante de \\)
-
entre les coefficients , on prend x • 1 ; sans perdre le caractère géné-
raI de l'étude. On a alors
,..•.'~
a := b ( 1+A )
p
,
On sait qu'il existe une valeur critique
\\)0
telle que pour O<\\)~~O
-
cette solution constante ~ ~ 1
est asymptotiquement stable . On fait aug-
1i
menter le paramètre
\\). Lorsque
v > \\)0
,la solution
x ii 1 se déstabili-
1
1
se pour donner lieu à une autre solution asymptotiquement stable et non
1
1.
1
constante de l'équation (1). Il y a
bifurcation de l'état d'équilibre.
1•
il
Notre but
est l'identification des solutions bifurquées quand
\\)
II
e. ~
augmente en s'intéressant aux solutions asymptotiquement stables.
Bien que la manière de procéder pour les équations différentielles
avec retard soit en principe à peu près la même que celle pour les équa-
tions différentielles ordinaires , dans les détails , 11 y a de très

---

-5-
grandes différences entre les deux • différences qui font la grande
difficul-
té~ de l'étude des équations différentielles fonctionnelles en général. des
équations différentielles avec retard en particulier •
Prenons par exemple les équations linéaires. (ou les équations linéarisées ).
~équation caractéristique associée est telle que les racines caractéristiques
sont en général en nombre infini dénombrable pour les équations avec retard
alors que celles-ci sont en nombre fini pour les équations différentielles or-
dinaires • La solution n'est donc plus une somme finie d'exponentielles ( mul-
tipliées éventuellement par des polynômes ) mais une série •
Il se pose alors le problème de savoir calculer toutes les racines caractéris-
1
tiques et de s'assurer de la convergence de la série correspondante.
Une différence aussi entre les deux classes d'équations est
ce qui concerne
les valeurs initiales : pour une équation différentielle avec retard [ ou fonc-
tionne11e dans le cas général ) on a un vecteur de fonctions intttales et non
plus un vecteur de points initiaux comme pour les équations différentielles or-
dinaires J ce qui rend la dimension de l'espace de travail infinie.
Pour ce qui nous concerne • notre but est de connaitre les solutions
stationneires de (1) après la déstabilisation de la solution constante.
L'équation est non linéaire.
-
L'étude de l'équation linéarisée autour de x(t)aj
nous renseigne -
sur la stabtlité de celle-ci: en effet. bien que l'on ne sache pas encore ca~
culer explicitement toutes les racines caractéristiques de l'équation linéari·
sée. à l'état actuel des connaissances. on sait dire s'il y en a qui
ont laurs
parties réelles non négatives J on satt aussi que quand une valeur propre
a sa partie réelle
qui s'annule. celle-ct est la
"plus peti-
te " ( classement suivant les modules. Is 1 minimum)
et la stabt11té de la so-
lution constante est déterminée par
~
J
lorsque ~ devient pos1ti~ • alors
x(t):1
devient :1:nstable .

---

-6-
Et s'il ne s'agissait que de l'équation linéarisée, l'amplitude de la soluti-
on ne serait pas bornée quand t tend vers l'infini pour
a> a • Une limitation
d'amplitude ne peut donc avoir lieu qu'en présence de non linéarité
Le type de soluttons qui peuvent apparaltre est alors 1 à l'état actuel
des;
connaissances, difficile à prévoir d'avance car il dépend de cette non linéa-
rité •
Notre étude va se borner à l'identification des solutions stationnaires pério-
diques bifurquées de la solution constante x Ct) := 1
quand v
"traverse" Id
valeur
va et a
"traverse" la valeur
a · a Cv> ve
implique que a") 0).
On s'intéresse donc de façon quant!tative à la"première .. b!furcation 1
aux solutions correspondant aux valeurs de v
voisines de
V4
On s'inspire du fait que certaines équations différentielles autonomes avec re-
tard
possèdent des solutions périodiques :
Par exemple :
, .,
l i
j .'
a
,"
xCt) •
- b xCt-T )
[12,a]
nCt-T
1+Ax
)
2
1
Tl' T2
retards constants
., .
a • 30 000
b
1
n • 2
Tl :a 2
T2 = a
xCt) • -k ( 1.+ x(t) ) X(t-T)
'TT
x(t ) .. -x Ct-g )
c ) -
~2, y]
2
.i.7~
Et
f.ttBj
aussi du fait que l'analyse numérique je (~) pour
• été
.
~
~.~
par [3, 0. ] , ayant permis de mettre
en évidence des solutions périodiques a~ymp-"..·.I.'.~
...,:.•..
totiquement stables de "type cycle limite .
~

---

-~
Dans la littérature concernant les équations différentielles avec retard au-
tonomes, des théorèmes d'existence de solutions périodiques existent pour
certains types d'équations (11~B11:~ol mais malheureusement, ils ne sont pas
constructifs ; ou encore ils ne donnent aucune précision sur la dépendance
de la solution péricdique sur les paramètres de l'équation. De plus ils ne
fournissent que rarement d'algorithmes utilisables numériquement.
Ca seront les résultats numériques indépendants de théorèmes d'existence
particuliers qui nous guideront et qui tiendront lieu d'un tel théorème.
Mais pour cela, il faut s'assurer que ces résultats sur lesquels on se ba-
se soient fiables et bien pourvus de signification. Or on sait qu'au voisi-
nage d'une bifurcation ( donc pour les valeurs de v qui no~s intéressent J,
de tels problèmes sont très mal conditionnés numériquement.
L'obtention d'une estimation fiable" de la stationnarité est très difficile
par une intégration numérique directe.
Puisqu'on s'attend à trouver une solution périodique numériquement, un des
tests d'approche de la stationnarité utilisés est par exemple la stabilisa-
tion d'un certain nombre de décimales ( correspondant à la précision que
l'on veut obtenir) pour les extremas de la solution; on constate que ces
extremas évoluent très lentement et le gain d'une décimale nécessita un
temps de calcul très long.
On pourrait penser à une intégration à faible précision pour diminuer ce
temps de calcul mais alors les résultats s'avèrent dépourvus de toute si-
gnification.
Si la fonction valeur initiale est dans le domaine ( fonctionnel) d'in-
fluence de chaque solution, le problème qui se pose serait résolu. Malheu-
reusement, on ne sait pas encore comment déterminer un tel domaine à l'a-
vance malgré qu'il soit possible de l'estimer en principe au moyen d'une
fonction V de Liapounov.

---

~:!.....••...•.~~
-8-
1
f
i ..
,
Il est donc commode
d'utiliser une méthode analytico-numérique : on essaie
t
d'abord de trouver analytiquement une approximation grossière de la solution
et on s'en sert ensuite pour initialiser la solution numérique.
Pour la recherche de l'approximation. on sutt le processus décrit dans ~,,~J
On suppose que le bifurcation est celle de Poincaré et on cherche un dévélo~-
pernent en séries par la méthode des ordres de grandeur indéterminés.
.,,
Cette méthode est une extension du formalisme du petit paramètre de Poincaré.
Pour la démarrer il est commode de connaitre sommairement la nature de la so-
lut ion cherchée. On essaie de construire une approximation de la dépendance
~
de l'amplitude et de la fréquence de la solution périodique sur le petit pa-
:.1:
.
ramètre auquel on fait jouer un rôle. privilégté.
.. ;.,
Le problème qui se pose alors est que l'équation (j) ne possède pas de petit
paramètre explicite. et que le paramètre qui varie ,v ,
est réel et n'est pas
petit.
Ayant initialisé avec une telle approximation l analytique) on doit. si
calle-ci est efficace. réduire considérablement le temps de calcul. ou encore
de manière équivalente. pouvoir améliorer l'approche de l'état stationnaire
en imposant des tests plus restrictifs. En effet si l'initialisation de
la
solution périodique ainsi trouvée était exacte. la durée du calcul serait ré-
duite à une seule période.
Le schéma numérique est celui de Runge Kutta utilisé pour les équations
différentielles ordinaires. adapté aux équations avec retard pour accepter le
stockage des valeurs de la fonction initiale sur l'intervalle [-T • OJ et
dont on a testé les limites de précision en l'appliquant à une équation avec
retard à solution périodique connue explicitement.
On a pris

---

-9-
t)O
xlt) • A coslt)
-T"
+
B stn(t)
t ~ 0
A. B constantes arbitraires.
Pour ce què l~on se propose de faire. le choix de la méthode n'est pas pri-
mordial. On ne cherche pas à avoir la ~9illeure méthode à appliquer à cette
équation particulière mais simplement une méthode fiable. C'est pourquoi on a
pris ce schéma. testé déjà avec succès sur plus~eurs équations avec retard.
Pour
v - VD ~ 1. le processus de calcul est le suivant : on se sert
des
valeurs calculées pour v
comme initialisation du calcul correspondant à
v w ts»,
avec évidemment Av assez petit. On part pour cela d'une valeur de
v
correspondant au
domaine de validité de l'approximation établie anal y-
tiquement.
L'étude d'autres bifurcations ( par exemple régime stationnaire quasi-
-périodique généré par un régime périodique ) ne rentre pas dans le cadre
de ce travail pour des raisons évoquées un
peu plus loin.
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSf

---

1[
t
DEUXIEME
PARTIE
.............................
oooooooooooooooàààoààààooààoo
METHODES NUMERIQUES ....
..........................................
ôààôoàôoàààààààôààààààààààëàëàààààààëëëëàà

---

-10-
Une très vaste littérature existe concernant les méthodes numériques à uti-
liser pour résoudre les équations
différentielles fonctionnelles dont font
partie les équations différentielles avec retard ( voir par exemple [5J[S]
[7] [8] i.
Pour une bibliographie plus abondante. on peut se référer à [4J.
La nature des équations différentielles fonctionnelles suggère que certaines
des méthodes numériques utilisées pour la résolution des équations différen-
tielles ordinaires devraient pouvoir s'adapter à ce type de problème plus gé-
néral. En fait. pour la plupart des équations dtfférentielles avec retard.
ces méthodes peuvent même s'appliquer directement. Et d'ailleurs, presque
toutes les méthodes proposées s'inspirent directement de ces méthodes-là:
par exemple
la méthode générale à un pas danseS] .celles étudiées et propo-
sées dans [8]
Pour un type de problème donné. on pourra donc faire le choix parmi toutes
celles qui sont disponibles.
Le notre est celui de la recherche de solutions stationnaires d'une équa-
tion différentielle avec retard. solutions qui sont périodiques.
Pour les raisons déjà citées. on a choisi les méthodes d'intégration de Runge-
-Kutta.

---

- j j -
~"f
1I-1
METHODES DE RUNGE - KUTTA
~,
t
Les méthodes de Runge Kutta font partie des méthodes· générales a un pas
r
,
pour la résolution des équations différentielles ordinaires.
lf
1I-1-a METHODES A UN PAS
l;·
Considérons l'équation
•1
x[t ) cf [t. x [t ) )
0(t4T
t
n
t
x(O),.tPe.R
t
t
continue et satisfaisant la
f
f: [o. TJ x
Rn ....
, - - . .
Rn
condition de Lipschitz
t
Notons
h ( constant ) le pas de discrétisation
t
r
{.
{t
1 , i" N
l'ensemble des noeuds de la discrétisation
i}
xi-xCt )
i
1
f
· x
i-f(t1
i)
Alors les méthodes à un pas se présentent sous la forme suivante
i
1
t
xi + - xi
1
+ h ~Lti.h'Xt)
1
t
/' -
X o
= tP E Rn
1
;-
,
•
où
~ : [O.T] x [O. h] x Rn.....---+t Rn continue et satisfaisant la
condition
V
i1
t €
[o. TJ
,
'ri u , u· E R
La méthode est =0i13istanta si on a :
Hm'
~(t.h.u) • f(t.u)
"rJ te[O.T]
• Vu E Rn
h - 0

---

-12-
On montre qu'elle est convergente si et seulement st elle est conststante [9]
II-1-b
METHODES OE
RUNGE KUTT8
Une méthode de Runge Kutta de rang q est une méthode à un pas avec
1 ~ j ~ q
où
l.Il •
sont des constantes.
j
cj' aj 1
,Î.
Elle est
expl1ctte 51
aj l • a 'V!~j
semi-explicite
si
a
a Vl ) j
j l •
implicite
dans les autres cas •
Puis on a la relation
suivante [9.. ] entre le rang q et l'ordre p de la métho-
de
q-'4
q • p
q ) 4
p ~ q
Par exemple
q • 1 on a la méthode d'Euler
q • 2 on a la méthode d'Euler améliorée par exemple
q • 4 on a la méthode " classique " de Runge Kutta
q • 5
on a la méthode de Runge Kutta-Merson par exemple
La méthode que l'on a choisie est la méthode" classique" de Runge Kutta de
rang 4 et d'ordre 4
avec
J

---

-j3-
1
t
rl,
1
.
k.
• ft t
xi )
1
i,
h
h
k.
• f (. t
+ -
xl + -k
2'
2 1
t
2
i
-..
h
h
• f (. t
+ -
k:3
xi + -k
i'
2'
2 2
k.
· f l t
+ h,
+
xi
hk
4
:t
3
_II-1-c ADAPTATION AU PROBLEME AVEC RETARD
r
f
Soit l'équation à résoudre:
xCt) • fCt, x l t l . X(t-T))
O~t
x Ct) • eCt)
-T <. t ( a
Prenons h tel que T = mh, m~ N*
On a alors la méthode en (2)
qui s'écrit
,.
x
x
+ [h/6. ) C k
+ 2k
+ 2k
+ k
)
i+ 1
i
1
2
3
4
avec
k
• f[ t
1
i, xi' x i-m
h
h
k
= f(
t
+ -
X. + 2'k
x
1
2
i
2'
~
1,
i-m+-
2
h
h
f[
+ -
x
1
~ =
t i
xi + 2'k
2'
2,
i-m+-
2
k
= f( t
+ h,
4
Xi + hk3 ' x
i
l-m+1
Les valeurs intermédiaires nécessaires sont calculées à l'aide d'une interpo-
lat ion polynômiale de la solution entre les noeuds i-m et i-m+1. Le calcul se
f ai t de T
en
T.
--'-'.
.",.,.. .
1i..'.

---

-14-
La valeur de h se détermine par un
test au préalable de précision •• cela pour
éviter d'inclure dans le programme un processus de changement de pas automa-
tique.
II-2
LIMITES DE LA METHODE
Rappelons que les solutions que l'on cherche sont les solutions stationnaires
périodiques. On sera amené à faire le calcul pour t assez grand. car la fonc-
tion initiale ne sera pas une partie de la solution stationnaire cherchée.
Pour garder des résultats significatifs. il convient alors da conna!tre. pour
i
un pas h donné. et pour la méthode numérique cheisie. le temps maximal TMAX
aU-delà duquel les résultats peuvent ne plus être significatifs et sont consi-
dérés comme totalement détériorés par l'amplification des erreurs d'arrondis
et de troncature.
Insistons sur le fait que ce que l'on recherche ce sont des solutions pério-
diques.
Pour faire l'étude numérique de cette amplification. on prend une équation
à solution périodique connue. par exemple sinusoidale. Elle peut alors s'in-
terpreter par l'introduction au sein de l'équation discrétisée d'Un facteur
d'amortissement a J si la solution théorique est par exemple
y . cosx
celle
calculée est en fait y • expt-ax) cos(Bx).
La connaissance de la valeur de a et de celle de B pour une solution sinusoi-
dale nous servira alors d'estimation de base ee la valeur de a et B po~ notre
prOblème. s'il admet une solution périodique.
Connaissant atfiJ
et 3·Ch); on pourra estimer le temps maximal permis TMAX au-
-delà duquel tout résultat peut ne plus être signmficat1f et est considéré
comme totalement détérioré.

---

-15-
II-2-a
ESTIMATION DE a ET B
<le
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - ;;".1- -,4 -- N~1- -----
" ,"',,
'\\
l
,
:
:
1
1 ~
l
"
.
1
1
1
1
1
1
~
\\
1
1
,
1
1
\\
\\
\\
\\
1
1
1
"
1
1
\\
,
\\
1
\\.1
V
-1.
-
------ --- - -- - -------- - -- --- ------
r:
i,
F
.l
Si Y et Y
sont deux extremas de même type consécutifs ( deux maximums
n
n+ 2
1
ou deux minimums
on a
L
1· •
posant :
~ .;
t:..
l
rL
a .
(D/2n)
[1 + ( D/2n )2] ~
i
.
r!
•
f
II-2-b
ESTIMATION DE TMAX(h)
L
Posons
E : la marge d'erreur fixée
Y
: la valeur de l'extrema tel que: j-Y
= E
N
N
N : le nombre de périodes jusqu'à YN
On a
N = N(h) ~ - ( 1/2an ) Log(1~E)
TMAX • TMAX(h) ~
( Va ) Log(1-E)

---

-16-
En supposant que les solutions se comportant de mantère semblable au cosinus
on pourra se baser sur ces estimations pour se fi~er le temps maximum per-
mis.
Pour ce qui nous intéresse, il nous a paru logique de calculer
ces diffé-
rentes valeurs à partir d'une équatton avec retard admettant y - cosx com-
me solution exacte.
On a pris
.y - -y
T- 1T
x }O
T
2
1T
yGc) ·cosx
- - . ( X ~ 0
2
On donne Ci-après quelques valeurs concernant la méthode d'intégration choi~
sie :
h
-6
-7
Cl
TMAX (e:=10)
TMAX (e:"10
)
~ •oa
~
2.4 10-8
:= 38
:: 4
~. 04
::. 1 .5 10- 9
=- 700
:=
63
~. 025
~
2.9 10-1 0
::. 3400
- 340
::= • 01 9
::= 9.4 10-1 1
::. 10700
=- 1070
::= .0157
::= 3.8 10- 11
:::: 26000
-.::::::
2600
:1<.0131
::Jr 1 .8
10-11
:::.< 53800
::::= 5380
Remaraues
5- En :tntégrant (E.) jusqu'au temps maximum permis, on a bien véTifté que

---

T ROI SIE M E
PAR T l E
.. ,.
.
0000000000000000000000000000000
1N1TIALI5ATI ON .... .. ..
....................
.
~
000000000000000000000000000

---

;ti
-:3]-
l'erreur commise sur les extremas restent au-dessous de l'erreur fixée.
~- Pour notre équation. il s'est avéré que l'estimetion est plutôt pes-
simiste et que l'on pouvait. pour h donné. aller bien au-delà du temps
,
maximum TMAX sens pour autant alterer la soluti~n.
, ~.
QOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
=••••••• ~~••• =•• ==.~.=•••• ==••
i:
.11
:~ . .

---

-18-
Dans la; première partïe. on a soulïgné qu'une intégratton numéri-
que dïrecte de notre équation était totalement ineffïcace. Le problème est
très mal conditionné numériquement. On ne peut ainsi faire une approche vala-
ble de l'état stationnaire sans une bonne initialisation du schéma d'inté-
gration.
Le but de cette partie est alors la rechercha d'une bonne tnit±a1isatton
pour les sc lut rons correspondant aux ve l aur-s dl:l parqrnètre 'J vo~s·i'nes de la
valeur critique 'Jo à. laquelle la solution constante
1jJ Ct) a.:]
se déstabïltse.
Comme on ne sait pas définir le domaïne d'inf1uenceC fonctïonne1 ) de chaque
solution. on cherche cette initialisation en essayant de construire une ap·"
proximation analytique de la solution.
Les constatations numériques montrent que pour 'J voisin de 'Jo. ces solu-
tions asymptotiques sont pratiquement sinusoida1es.
Il est alors possible que l'on puisse en trouver une approximation en se ser-
vant de la méthode des petïts paramètres de Poincaré'.
Deux problèmes se posent alors :
s- le choi~ du petit paramètre car dans l'équation initiale
il n'en figure pas explicitement.
1- la détermination des deux fonctions de jauge ; la pre-
mière étant celle qui correspond à la correction de la fréquence, la seconda
celle qui concerne l'a~p11t~de.
Et puis s'ajoute à tout cela le fatt
qu'on a intéret à trouver un dévélop-
pernent pratiquement effi~ace au sens que celu~-c~ doït déjà donner une
bonne approximation de la solution dès les premiers termes. Car. comme on

---

- j 9.-
le sait. s'il n'en éta~t pas ai~st. vue la vttesse à laquelle les calculs se
compliquent. le dévéloppement serait tnuttle. même st celu~-ct était absolument
et uniformement convergent.
l'efftcacité pratique d'un dévéloppement s'obtient par la comparaison avec
les résultats numériques.
Si on arrive à déterminer un dévéloppement efficace. le temps de calcul con-
cernant l'intégration de l'équat1on doit être court. et en même temps on a ré-
solu le problème de la dépendance de la solutton sur les paramètres amplitude
et fréquence. donc celut da la régularité globale de l'équation par rapport
à
ses paramètres au voisinage de la solution périodique.
III-1
DETERMINATION DE
v~, !.Llo
Rappelons l'équation à résoudre
L, ,'.,'
~-;I "
,~' f
of,.::o
'" -
=-
ax Ct-Tl
XCt) •
.,. bx Ct)
v
j +Ax
Ct-T)
avec a • bl1+A), en:' tenant compte de ce que IjJCt) ~ 1
est une solution évi-
dente de l'équation.
On réecr1t cette équation de telle manière que ce soit une équation dont l'in-
connue est
zCt). xCt)-IjJCt). la déviation par rapport à une solution IjJCt)
donnée. et de telle sorte qU'apparaissent explicitement la partie linéaire
et la partte non linéaire.
i
e{

---

_
L
'.
,
r
- ,
.
,..
. -
-20-
. --- \\
--
_..
Soit donc ~Ct) une solution donnée de (1)
La déviation est z(t) • x(t)-~(t)
L'équation linéarisée s'écrit alors
v
:l +A~ Cl-v)
T
(4)
Autour de la solution constante ~(t) ~ 1, (4) s'écrit
;Ht) .,
-Sz
- bz
z = z(t-T). z = z Ctl
. T
T
S
:l +A (j -v)
~ -a
• b • al C:l +A)
(j+A) 2
Une autre écriture de l'équation (1) est alors la suivante
zCt) + bz(t) + Bz (t-T) .. F(Z(t-T))
avec
a(z+1)
F (z l
+ 8z - b
(5)
v
~'
1+A(z+1 )
F (0)
F' (0) ., 0
Au voisinage de va tout revient alors à déterminer la fonction périodique
z(t) solution de (5)
et telle que
j+z(t) sort une banne approxîmation de la
solution stationnaire périodique correspondante.
Pour v =vu. la partie linéaire admet deux valeurs propres :1:magînaires pures
et dès que v )Vo. ces valeurs propres admettent une partie réelle positive.
Il s'en suit alors. s'il ne s'agissait que de la partre linéaire. une crois-
sance non bornée de l'amplitude de la fonction propre correspondante.
Une lîmîtation de l'amplitude pour v > va ne peut donc être due qu'à la par-
tie non linéaire.

---

-2j -
La détenntnation de vo.. atnsi' que cella da
w~ pu Lse't fon propre correspon-
dante. proviennent alors de l'étude da la stabi:lité da la solution z Ct) • a
de l'équation linéarisée en z.
Remarque
L' équation linéartsée (Lt') el toutes ses racines caractéristrques simples si ['1]
8T exp
t 1 + cr ) of 1
III-1-a
DETERMINATION DE Vo
Vo
est tel que pour
v <. VOl toute partie réelle de toute racine caractéris-
tique de l'équatton linéarisée est négative.
Il s'agit donc de pouvoir localiser ces racines.
Théorème [1. ]
St l'équation caractéristique de(41se met sous la forme
p exp[s)+q-s expCs)·O
les conditions nécessaires et suffisantes pour que les parties réelles de
toutes les racines caractéristiques soient négatives sont :
p (
1
(6)
p , - q
(:t)
-q <:J a~ + p2
(9)
avec 00
solution de l'équation
a = p tg e
si p:j: a
o c e < TI
TI
00 :s -
si p.O
2
-

---

-22-
Pour notre cas. l'équatton caractéTtst1~ue est
s
j+AC1-v)
aT
s e
- aT
+
(1+A)2
j+A
d'où
-aT
p - 1+A
- -bT
J
p *0
1+AC1-v)
q :a aT ----=--
(1 +A) 2
Les condit1ons('),(1)sont ïmmédiates. toutes les quantités présentes étant po-
sitives.
La condition (g)aboutit à la condition suivante portant sur
v
v<C1+A) [ 1
- + 1
-
A
aAT V
a 2T2
2
+ (ôo(1+A))
]
(~)
-aT
ôasolut1on de
8= _ _
tg8
1+A
-b
COSÔa --
aa.
WQ.
sin 6a. :1-
aa valeur de
8 pour
V-Va..
8Q.
d'où la valeur de
va
Remargue
Un calcul direct permet aussi d' about1'r à cette valeur de
va
Wo' Sa..

---

-23-
III-1-b
DETERMINATION DE w~
D'après l'équation caractéristtque, on a
~~ =w~T
D'où d'après (9) la valeur je w~ est
<So
wo"-
T
Pour \\1 > \\10' la racine caractéristtque qui était égale à
i'Wo.
dev:tent
a + Hw. + 6wl
Cl ) a
III-2 CONSTRUCTION DE L 1 APPROXIMATION
La procédure formelle à suivre est ~asée sur le formalisme de Poincaré
V. , wa sont respectivement la valeur de déstabilisation de la solution
constante x(tl • 1 et la pulsation correspondante.
Introduisons les nouvelles variables suivantes :
v -va
(1.0)
(H)
t
• w t
(12)

---

-24-
+
-
a ..+ia3
-
(13)
Z (t)
" .!=. E
zi ( t )
z(t-T) ~
~ a i Il3
E ..+
z (t ô)· 6-WT
(14)
.~o
i
-
,
(16)
OÙ les ai sont à déterminer.
On suppose donc que la bifurcation est de Poincaré. ce qui justifie la pré-
sence de a ... On pense que z(t) s'annule quand E tend vers O.
L'exp~ession (11) traduit la correction de la pulsation à apporter. Les
coefficients h. sont à déterminer.
~
L'expression (12) est un changement de variable introduit par Bougolioubov
qui permet de passer d'une fonction périodique de période T = 2~/'W incon-
nue à une autre de période 2~.
Les coefficients a .. et a3 de (13) et (14) sont à déterminer et les fonc- .
tions zi(t) seront celles à c3lcu1er dans le dévéloppement.
La condition (15)
traduit l'invariance de ( 1 ) par rapport à la transfor
mation t -
t-t O•
Le coefficient al est un coefficient qu'il est commode de fixer.
Les exposants ai' i=1,2.3,4 • ét3nt déterminés. on suit le processus habi-
tuel de regroupement des termes suivant les puissances de E.
Des essais au préalable ont montré que les exposants concernant z(t) ne
peuvent être égaux à 1 ( ce qui traduirait l'analyticité par rapport à 2).
Il Y en a donc qui sont non entiers.
Une fois le regroupement fait. on obtient des équations récursives à ré-
soudre comme on le fait dans le cas d'un dévéloppement' usuel : pour qu'on
puisse avoir une solutiJn périodique. il faut éliminer à chaque fois les
termes séculairesi

---

1
-2S~
t1!1
Ces équati~ns récur~ives sont les suivante~
!
1
1
Uv,) zoCtl - a
~
L(vol ziCt1 - fiC zoCt), ...•. ,
r
Zt_j Ct)
1
t • j,2
.
1
J
l
La fonction non linéaire F (z l est développée en séries- suivant le.s puf-saencas
de E • Ce dévélappement s'est imposé car l'exposant que l'on a dans Fez) est
•;
un exposant
v
q~i est réel.
l
IIl-2-a
DETERMINATION DES
l
ai' i-1, 2,3,4
Il s'avère que dans le cas de l'équation considérée
§- la valeur de a
peut être fixée d'avance: al = 1 et Vo·E:V
j
§- a~ se détermine soit analytiquement, soit numériquement. Dans
le dernier cas, on utilise une estimation à partir de l'analyse de Fourier de
la solution présumée périodique déjà calculée numérique~ent, ou plutôt d'une
approximation de la solution car les résultats numériques que l'on obtient en
n'ayant pas cherché une bonne initiàlisation sont sûrement des résultats cor-
respondant encore à un état transitoire.
Dans cette étude et pour vérifier que l'on peut obtenir un dévéloppement effi-
cace, on essaie de voir numériquement que l'harmonique fondamental
est pré-
pondérant' par rapport aux autres ~armoniques. a
caractérise d'ailleurs la
4
dépendance de l'amplitude du fondamental sur E.
~- a2 se détermine de manière. analogue à a4.
{- a] est un paramètre libre. dans la création du dévéloppement
mais de sa valeur dépend fortement celui-ci. En effet un mauvais
choix de
a] peut aboutiT à une incompatibilité dans les équations récurstves. En fait

---

-26.-
tout le dévéloppemant dépend du ch~îx libre de 0.3.
f- Le dévéloppement de F Cz) suivant c peut ne pes ê-tre valable
sauf si E «1. St on veut que €
ne sort pas forcément petit. ce qu~ est le
cas dans B2 ,a] . tl faut âtre en mesure de tri-er dans le dévélo~pesne.nt les
termes qut sont domtnants afrn de les mettre en début de dévéloppement J ce
qui nous amènerait à i-ntrodu±re un autre exposant as . et une fonction f (z l
a s
tels que fez) • E
fez) comme dans 02. a] .
Pour la non linéarité présente tci. ce trr n'es~ pas facile à faire. On a
donc gardé Fez) telle quelle et on s'est borné à prendre E «1.
III-2-b
DEVELOPPEMENT
On a alors les dévéloppements fprmels suivants
...............]
a,.
a 3
f- z Lt ) •
2a 3
E
[zoE"tt + E
z Ct) + E
z ( t ) + ....."•••••]
1
2
c
·C)
a,.
[. ,-)
a .
-
0.2'
-
2 0 . 3 ' -
,- z t
• WoE
zoLt
+
E 3z1 Ct)
+
E
z
+
E
z2 Ct) +
oCt)1"I1

---

-27-
J
+
e:.~2.+C13t12ZjC.t) + E:3.C12l1:3Z0Lt) + e:4~3i:4(t' + E:C12"'3Ct31't~Ï:3(tJ
J
+ •••••••••••••••••••••••••••••••••••
Posant Qo. =WoT
u .. 't-ÔlL
6'.~lZOu,l''''·
i- z Lt-rr l • ,""
{
zou,l -
• zl(U)''''''
[-6'hZZo(Ul
2C1 3
+ t~t1.;ZOCu12C12. - 1"11i:jLUlôoe:C12+C13 + z2(uJE:
+
2 · ·
1
3 -
.3 J 3C12..
-~i:OLulô~
[
+
ool'\\1 h2 z0 Cu ) - 6' 1'\\1 zO(uloo
E:
+
+ [
1 ê2.1>.2 •• ( l ]
C13+2C12.
( ) 3C13
+
-ô o1"1 i:1 Cul
2
+ 2"
0 1\\1
z1 u
E:
+ z3 u E:
+
" ô, h1Zz Cu J ,Z'" ,+'"2
' . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••
}
Introduisant ces quantités dans l'équation en z du début. on obtient les regroupe-
ments formels suivants
C1
C1 2
E: ..+
[WOh1Z0(tl - 8oÔoh i: ( u ) ]
1 O
C1
C1
E: "+ 3
[woz1Ct) + bz (t ) + 8
1
oZ1Lul]

---

-28-
et..+ 3<12
e:
[WOh1Z2(tl - BOÔOh
(U)]
1Z2
<0.,+,0.,+0., [ w,h z, Li:) - B, ô, h Z, Cu) + ; B'Ô~h~ " Cu) ]
2
2
. .... .......
...
....................................................
• F Cz Ct-l') )
Remarques
5- Le9 coeff1'ctents qu f
sont devant L (vo)
Zt (t)
sont de la forme Ea. .. + ~3

---

-29-
Pour qu~ il n'y ait pas tncompatibfltté dans la formation des équattons ré-
cursives. fI faut que tous las coefftcients présents dans ce dévéloppement
so fant compat±tlles avec l'ensemble {dit ~ ~ a" J i..o, ... '2.3•.••••
2«...
La f onct fon F Cz) a son dévéloppement qut- conmenca par é. St on veut fatre
intervenir F Iz l le plus tôt PO$Si'l:lla. 1'1 faut qu ' on art la relati't'ln sutvante
Ce qui donne une poss:1:bilité de choi:.x de C(3'
supposant que 0<... est bien déterminé
~- Ayant un jeu de valeur9 pesstblas peer C ~,a2,a3,alt J. on fa:1:t le cal-
.'
.~ cul et l' efftcactté du dévé10ppanent se teste par la confrontattCln avec le
calcul numértque.
III-3
RESOLUTION
III-3-a
APPROXIMATION OU 1e r ORDRE
Ayant déterminé al. a3. Cllt. Cls. on peut par exemple prendre
1
j
1
Cll ; j
a2:r-
Cl3 :0-
a ....-
as:lO
2
2
2
Posons
-b.?A
2
6.t
el
e A( a-2b)
2 A
2
2a

---

-30-
2
"2
2 ~
b A ( 6eb - 6~
_
J
~3 •
e
3
6e
:1+A(j-Vg)
avec
....a -........-....:.;.
(:1 +A)2
C
•
o
2 Cb+f3o)
Y2
1. 1
.E. cc~{2ôCl;) - C sin (26 0)
" ' - -
1
2
2
c'" + è2
1
2
1.
;2
1
CA sin (26 0) + C
2 Ôo)
2cos(
-
J
- - -
2
2
2
C
+ C
1
2
Alor9 on a
.......................
. et
[ÀIZ~(t-ég) J
F(ZT)
a
E
+
• E-t {Àl [2Z n:-.0) Z1 (t-ô,) - 2ô,h
"O(t-ô,~.
0
1Z0Ct-Ô,)
• mz:(t-ô'J } •
• E' { Àl [ -2ô,h2z0Ct-Ô,J "oCt-Ô,) • Ôîh~ZO(t-Ô,J 'OCt-ô,1
-
-
2 -
-
2Ô gh Z Ct-Ôg) zoCt-Ôo) + 2zoCt-ÔO)
Z2(t-l5 g)
+ Z1 (t-ôo)+
1 1

---

-3j -
+
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
La regroupement des termes sutvant las putssances ~e ~ donne
En notant
u • 't-O a
1
On a alor!!
L(vo' z
::z
0
a
L'examen de ces premières équations permet de dire que h
=
1
0 ( absence
de termes séculaires )
Les équation récursives à résoudre sont alors
UVa) z1
3
+ mz.
LU)
O

---

-32-
LCva) Z4"
..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ..
..
..
La prem~ère écuat ren donna la .. ao Iu t fcn génératrtce ":
A
à détarmtner
O
,/ La seconde est à résoudre complètement. On obttent
avec A
à détermtner.
1
L'élimination des termes séculaÏTas dans la troi's±ème équat±on permet de dé-
terminer
A
et h
O
2•
A~ et h sont solutions de l'équation suivante
2
A h2 + B
C
A~
{ A'h
+ B'A2 = c'
2
0
Avec
A
A'
'" 130ôo sinÔo
3m
8 =--
sinÔo
Yz
+
2/\\1
4
[ Co sino o +
sinÔQ + ~; COSÔo ]
2
et",
3m
COSôo
"12
+
2À1 [ Co COSôo
COSôo - c.
--;- sinÔo ]
+
4
2
C '" 131sinéi o

---

-33-
Ainsi la première approxtmati~n de la solution est
x ft) • 1. + 1Ë AlJ cos(wt)
Remarques
{- Il est connu que dans au moi-ns un cas [13J, où la non li'néBri,té
est polynômi~le et le terme dominant de degré paiT, le dévéloppement pour
l'approximation de la solutton commence par un exp~sant de la forme:
'_1
21
E 21 ( si le terme de plus bas degré du polynôme est x
"
A
•
ll
On a ainsi
x (t) - E
[M cost + Ili]. Pour 1-1, cela donne
Pour ce que l'on a ici, en ayant dévéloppé fez), il se trouve que l'on ait
1
2
aussi a .... '2 et que le terme de plus bas degré du polynôme approximant Fest ·Z
C~la tendrait à montrer que dans notre cas, ce sont les termes pairs qui domi-
nent, supposant que le comportement d'un polynôme en zT est le même que celui
d'un polynôme en z.
1
j
'1
i- Le jeu de valeurs [al>Cl2"a3,al.. as ) .. (j, - , - , - ,0)) a été
2
2
2
"
déterminé pour ( a, b, A, T ) - ( 2, 1, 1, 2 ).
Il reste
à vérifier numériquement que ce premier dévéloppement est auss± va-
lable pour d'autres quadruplets ( a, b, A, T ) satisfaisant les conditions
implicites dans les calculs. C'est une vérification numér1~ue et on en par-
lera dans la partie ft résultats ft

---

-34-
III-3-b
APPROXIMATION AU SECOND ORDRE
On peut chercher une meilleure approximation en poussant un peu plus loin
le dévéloppement. On détermine les coefficients suivants A
et ~3.
1
Mais auparavant on doit résoudre complètement la troisième équation pour
avoir l'expression de zZ(t).
51
3
Pz .. ZÀ 1 AO~2 sin ZÔo
° ..
3
- ZÀ1 AO~2 cos ZcSo
Z
C::tz - CZO
R
..
Z
R
=
1
Z
Z
C
+ r Z
1
-Z
C 0
+ CZP
H ..
H ..
1 Z
Z
1
Z
Z
Z
C
+
C
1
Z
On a
8 3 et Ô3
solutions de :
(3Wo -Bosin3ô 0) Ô3 + (b+ Boco?ôo) 8 3 • A~ [ Â..! (Y2cos3ô 0.-.~2si'n.38o.) + ~ (cosô 0 cosZôa
Z
.- 3Sin Ôo)]
(b+60cos3ôo) Q3+(-3WO 6osin3ô~)e3 .. A~[Â1(Y25in3ôO+~2coS3Ôa) + ~ sincSo(-s1nZôu
+3 cosZô o)]
Et
Z2 Ct ) • e~ + AZ cosCt) + 8Z sinCt' + 82cos Ci t ) + Ô'2sinCZtl + e3~osC3t)
+ Ô'3sinC3t)

---

-35-
Puis l'élimi-nati'on des t armas sécu Le fr-as dans la quatri'èma équet ron donne
~ et A solutions du système d'équations algébriques:
j
A' h
+ B' A
• C'
3
1
où si on tient compte de ce que :
(",-6,~, cosô,) ~2 + A~ [~m sin~, + 21.1(Co sin~, + ~2sin~ ,.~2 cos~')J­
81sinoO.: = 0
1
provenant de la résolution du système ayant donné A
et h
O
2
'.
pùis de CB que
cos 300 - C
sin 3ô~)
2
Y2 cOS ôo -
Ç;2 si:nôo.=
_
2(C~+C~ )

---

Y2 sinôo ~ ;2.
avec
Cz • 2wo. - ~o. s:1:n 215 0
On a
A' .. Wa.
60.00. cosô 0.
:J-
..
B
~ A COsôa + 4COAOÀl cosôa. + AOÀ l
[c cos 30 0-C2 sin 3ô oJ
Z
0
·2
Z
1
C
+ C
1
z
AOÀl
B' .lmA
sinôo + 4COAOÀl sinôo +
[C
sin 30a+C2 cos 3Ô O]
Z
0
1
Z
Z
C
+ C
1
2
C
a
I l
C' .. 0
On a aussi un système de Cramer homogène et h
.. O. A
• 0
3
1
L'approximatîon au second ordre est:
Si
2A~2. sin ct)
t -= wt
x Ct) .. 1. + ft. A coswt + e: [CaA~-2A~2.~i'f1wt +'(2..A~cos2wt + ~2.A~stnZwt J
O
On peut ains:1: poursuivre la détermination des coefficients jusqu'à ce que

---

-3.]-
'on ait ontanu la précision désirée.
Dans le cas général. le processus de calcul est le suivant
f-
hO. j
par constructi~n
,. a
et h
se détermtnent par une résolutton de systèmes d'é-
i-z
ions algébri'ques issues de l'élimination des termes sécula:tres à la
îème
( i+3 )
équati~n du processus récursîf.
fffffffffffffffffffffifffffffiiff
000000000000000000000000000000000
.,!

---

-38-
III-4
CONFRONTATION NUMERIQUE
On s'assure de l'efficacité pratiqua du dévéloppement en confrontant~
les valeurs estimées des différentes quantités ( extemas, périodes ) avec
leurs valeurs quand on initialise avec la solution estimée.
Les différents coefficients du dévéloppement ont été déterminés à partir
de l'étude faite pour ( a,b,A,T ) • (2,1,1,2 )
.f<
Rappelons que ces coeffictents sont
{a 1 i-1 ,2,3,4 •••.•••.
i
t'\\) i·0.1.2.3 ••••••••
'hi]
i·0.1.2.3 •••••••.
h -1
. h ·0
o
• 1
La première confrontation est donc faite pour C a.b.A.T l • [2.1.j.2 )
Prenant les mêmes exposants {al~a2,a~,a~} et calculant par la même formu-
le que pour ( a.b.A.T ) • L 2.1.1.2
les valeurs des autres coefficients
Ai
et
hi
et cela pour L a.b.A.T
~ [ 2,1,1.2 l. on essaie de vo~r le
comportement numérique du dévéloppement.
Le dévéloppement sera pratiquement effi-cace si le temps de calcul se ..
réduit considérablement ou encore. et c'est équivalent. si l'on peut ap-
pliquer à l'intégration numérique des tests plus restrictifs pour amélio-
rer l'approche de la stationnarité et donc pour mieux identifier la so-
lution stationnnaire.
,
Les résultats sont donnés dans des tableaux
(pages 44-45-46
ou :
f
~ dénote l'excédent de v sur la valeur de v~
f
T la pér1'ode

---

-39-
S MAX le maximum
f MIN le minimum
5 EPS
le calcul numéri~ua est arrêté si les extremas su~ces-
sffs diffèrent entre eux de EPS et s'il en est de même
pour les passages au zéro.
f Toute quantité indexée par "est" représente une quantité esti-
mée
f Les valeurs correspondant à EPS 2 5 jO-7
sant prtses comme
étant ft les valeurs exactes "
et alors on apprécie las dtf-
férèntes:-approximations des solutions en foncti'on de ces va;'
leurs exactes.
III-4-a
CAS OU (a. b..A. "( ) 1'" ( 2.j.j .2 )
L'équation à intégrer est la suivante
' Ct )
2.xCt-"()
X
'"
v
- x tt )
j+x
Ct-Tl
avec
Vo
•
5. 039605j 2
Wo
..
j ,j4446482
2rr
Ta . - = 5,490065
Wo

---

-40-
Le pas de discrétisati~n pris est h ~ .025
Dans cette partîe, la confrontation a été faite en deux temps.
APPROXIMATION D'ORDRE j
Cecî concerne la • soluti~n génératrice" des équations récursives. On a
xoCtl· 1. + IË .3'.l23884 cos[wa.(j.-.00~579S99 E:) tJ
Les résultats sont sur le tableau N· 1.
On constate une bonne approximation de la péri~de, ce qut e9t normal car
h
• 0 et h
• O. donc l'approximation de la période est en fait d'ordre 2
1
3
Pour les extremas. on a un gain d'au moins deux décimales· pour presque
toutes les valeurs de E,
e: " • 05
Pour
e: •• '.l, donc pas • très petit ", on a quand même une approximation
acceptable.
Et ces gains de décimales se traduisent évidemment par une réduction du
temps de calcul pour un même test donné.
APPROXIMATION AU SECOND ORDRE
On a
où
xoltl l'approximation d'ordre un

---

-41-
2
H
• -1.493 91 86 1 0-
2
3
F
•
5.30676863 10-
2
t
• 1.14446482 (1.-.001579599*e:) t
Les résultats numériques sont sur le tableau N·2.
Il sufftt de comparer las valeurs estimées au second ordre de ce tableau
avec les valeurs obtenues en ayant initialîsé avec la • solution génératri-
ce • du tableau N·1 d'une part, les valeurs estimées du tableau N°2 avec
les valeurs estimées du tableau N·1 d'autre part pour se convatncre de l'ef-
ficac1té pratique du dévéloppement.
Comparées avec les valeurs • exactes ft
on a un gain de 3 déctmales.
En ce qui concerne la pértode, rien n'a évidemment changé car la premiè-
re approximation est en fait d'ordre 2.
Initialisant donc avec la solutton estimée à l'ordre 2, on peut mettre des
tests d'arrêts plus restrictifs pour mieux estimer la stationnarité.
III-4-b
AUTRES VALEURS DE ( a,b,A,T
CAS OU l a,b,A,T 1 • C. 4,2,j,2 )
L'équation à intégrer est la suivante
4 x tt-on
Xe.t' :z
~ 2xLt)
'V
1+x lt-Tl
avec
'Va
= 4.37734718

---

-42-
WQ •
1.28521578
T0 • 4.888177
h
•
.025
L'approx1mati.on d'ordre deux cor-r-aspnnderrt e est
avec
A
•
.3847565
O
2
H
•
-1.850469 10-
n
2
H
• -2.8682589 10-
2
3
F
a
3.8849152 10-
2
t
•
Wll ( 1 • -. 00118225*'E:.) t
Les résultats sont sur le tableau N°3
1
7T
CASQU Ca,b,A,T)· C1.
, j ,Z )
Z
L'équation est
xCt-'t)
1
xc.t) •
-
-xc.t)
vt, -
2
1 +x
Ct-'t)
avec
va a 7.3609344
Wo
•
1.2434734
T0 s
S.05293j
7T
h
s _ ' \\ , . 0262
120

---

-43-
L'approx1mattpn de la solution est
avec
A
•
.:18319B:I
O
2
H .. -1. 6.7B0773 :l 0-
o
H ..
3
-3.5109B 10-
2
F
..
3
2.762626 :10-
2
Les résultats numériques sont sur le tableau N·4.
Pour ces derniers tableaux. on constate :
i- pour les valeurs sur le tableau N°4 que l'on a un gatn de 3 décimales
en initialisant avec la solution estnnée au second ordre, et toujours en pre-
-7
nant les valeurs calculées avec EPS" 5 10
comme étant des valeurs exactes.
i- pour les valeurs sur le tableau N°3. que les résultats paraissent moins
bons que pour les deux précédents. bien qu' tci. le gain soit de deux
décima-
les. Mais n'oublions pas qua ce que l'on cherche ici c'est une approximation
grossière. parce
que l'on n'est pas capable de trier dans les dévéloppement
de la partie non linéaire les termes dominants.
Et puis. puisque le~ exposants ont été déterminés à parttr de Ca.b.A,T)
égal à [ 2.1.:1.2 J, il ne faut pas s'étonner que cela puisse W morcher moins
bien W pour d'autres valeurs. les modes de convergence des séries correspon-
dantes n'étant pas forcément les mêmes que ceux pour ( a.b.A.T ) .. (2.1.1.2)

---

-44-
TABLEAU N91
2x tt-l')
EquatÏ'on
x(t~.
-x Lt l
. \\ )
~ +'X Ct-l'l
e:
T
MIN
t
MAX
est
es
est
• 01
5.490151
.968]62.
j • O3j 239
• 02
5.49023]
.955822.
1.044178
.03
5.49032.4
.945893
j.054107
.05
5.490498
• 930j 48
j .069852
.10
S.49U9.3j
• 9[112.j 4
j .098.784
e:
T
MIN
MAX
.01
5.49015
.9684419
1.030770
.02
5.49024
.9552769
1 .043146
.03
5.49032
.9451596
1.052472
.05
5.49045
. 92.9j38
1 • Q66908
.10
5.49093
.89.99326
1.092126
T t : Période e~ttmée au prem~er ordre ; MIN
t
MAX
t
es
es.
es
mtntmum et maxi-
mum estimés au premier ordre ; e: : excédent de \\) sur \\)~
T. MIN. MAX
valeurs ·calculées en ayant ±n±tialisé avec l'approXimation au
er
.0-5
1
ordre. On arrete le calcul quand les externas successifs diffèrent de ~

---

-45-
Même équation que pour le tableau N-j
e
T
MIN
MAX
est
est
est
• 01
S. 49(lj 5j
.968367j
1.0308455
.02
5.49023.7
.955033j
. 1 .0433 9j.7
.03
5.490324
.944.709:1
1.0529272
• 05
5.490498
.928~J35
1.0678853
E:
T
MIN
MAX
.01
5.490149
.9684501
1.030762
.02
5.490230
.9552.784
1.043145
.03
5.490308
.9451606
1.052471
.05
5.490453
.9291384
1.066908
Les notations sont les mêmes que celles du tableau N°1
Les quantités estimées
le sont ici au second ordre.
T. MIN. MAX sont calculés en ayant tntttalfsé avec l'approximation au se-
cond ordre, le calcul étant arrêté quand les extremas successifs diffèrent
7
7
de 5 10-
CEPS:z 5 10-
~.

---

-46-
4x Ct-'r)
E.auation
)
V
j+x
tt-"[')
e::
T
MIN
MAX
est
est
est
.02
4.888933
.9446426
1.0534689
.03
4.88899:1
.93:1941::1
1.0652266
• OS
4.889::106
• 9.:lj 5035
1.0836748
e::
T
) "MIN
MAX
.• 02
4.888899
.94685o.:l
::1 • o5D7j 2
.03
4.888921
.9348::129
j .061 526
.05
4.888926
.9:157742
::].078.:l::1o
Equation
e::
T
MIN
MAX
est
est
est
.02
5.053305
.9736851
1.0255022
• 03
5.053347
.9.6.7658.7
j • o3j ::122
.05
5.05343.::1
.958(]j74
1.0399497
e::
T
MIN
MAX
.02
5.0.53309
.97.30848
::1 .026407
.03
5.053354
.9.67 00.91
::1 .032229
• OS
5.05344.3
.9.5.73846
j .04D4j

---

-4]-
e: dénote touj ours l'excédent de
\\1 sur 'JQ...
T t' MIN
t' MAX
t :
péri~de, maximum, minimum est~és au second ordre
es
es
es
T, MIN, MAX
pértoda, minimum, maximum calculés en ayant tn±t±a11sé avec
l'approx±mation au second ordre, le calcul étant arrêté quand
-7
-7
les extremas successîfs dtffèrent de 5 10
(EPS· 5 10
)
ffffSffffSf[[iifiiffiflflfffiiifif
0000000000000000000000000000000000
1·
..

---

QUA TRI E M E
PAR T l E
00000000000000000000000000000000
ETUDE DESCR 1PTIV E ... • Il •.
........................... ..........
ooooooôooooooooooooooooooooooooooooo

---

-48-
S1' on vaut s' intéressar aux solut:1:ons de l'équatton (1) pour les
valeurs de y -101n- de la valeur cr1't±que Va. c-a-d lorsque v.v~1. on con-
state d'aprés les résultats numértques que d'autres btfurcat1'ons des solu-
tions peuvent avo:1:r lieu.
Une étude quant:1:tative de telles b:1:furcations nécessttera1t la mtse en
place d'une théor1'e de Floquet pour les équations dtfférentielles avec re.
tard à coefficients périodiques. Car l'équation aux variations écrite au
voisinage d'une solut±on péri~dique ~Ct) est une équation différenttelle
linéaire avec retard et à coefficients périodtques. Elle s'écrit:
zCt) • a 1+A~~(t-T) ~1-\\J) zC.t-T~ - b zCtl
[1 +A~ Ct-T)J
z(t) la déviation par rapport à ~(t)
b ,. a 1 (j +A) ; a. A. T les constantes de l' équa-
tion du départ.
De plus les coefficients périodiques sont connus numériquement.
Une telle étude déborderait le cadre de ce travail.
Dans cette partie on se borne à une étude qualitative des solutions s t e ;
tionnaires de l'équation pour les valeurs de \\J loin de \\Jo·
L'étude a été fite pour quelques valeurs de ( a. b. A. T )
10
.
)
( a, b. A. T
~
( 2. ~
j .
2
2°)
C. a, O. A, T ) • ( 4. 2, j , 2
3°)
::J
C. a, b, A, T
• l
j.5.7079
::J, 2' .i.
L'intégration numérique a été fatte comme sutt

---

; .
-49-
Le calcul de la solution pour une valeur v se fait en initialis~nt a par-
tir des valeurs obtenues pour
v-av, avec ~ assez petit.
Pour chaque solution, on a tracé la courbe ( x , x ) et la cour-
be ( x , t l .
1
i,
j
IV-1
CAS DE la, b, A, T ) •
L j'2' 1, 1.5.7079 )
Dans ce cas, à part la première bifurcation, aucune autre n'a pu être
observée. Les solutions stationnaires périodiques sont de période croissan
te en fonction de V.
Les portraits de phase asymptotiques correspondant à quelques valeurs de v
sont donnés
sur la figure N°j.
IV-2
CAS DE la, b, A,
T )
"
C. 2, j, j, 2 )
Une suite de bifurcations des solutions a été observée, bifurcations
qui consistent en un changement brusque des périodes, des portr~1ts -de'

---

-50-
phase asymptotiques.
f- la péri~de passe de T • S.44j4 pour v • 7.125 a T • jO.8830
pour v • 7.5
(Figures N°2 et N°3 l. ~urs elle croit de manière continue.
f- elle passe de T • 1j.8275 pour v • 8.6 à T • 23.6940
pour
v • B.7 ( Ftgures N°4 et N°S ), puis décroit.
f- ensutte ella passe de T • 23.6940 pour v = B.7 a un~
valeur
T voi's±ne de 47.3 pour v = B.B2 ( Ftgures N~5 et N°S).
f -
.
Il se forma atnsi une sui'ta de dédoublements des périodes.'
5- Puis à v • 9.6975 la valeur de la période tombe à T ~ 1B.6B39
( Figure N°B
pour suivre le même processus qu'avant; à v = 9.76
T a une
valeur voisine da 37.5 ( Figure N°9 l.
5- Puis à v • 11.25 la période tombe à nouveau à
T = 7.2296
( Figure N°10 l et croit de manière continue.
S-
Il
..
Après on n'a pas pu observer d'autres tli'furcations.
Dans le Tableau N°S on a mis quelques valeurs des périodes pour v:> 5.5
les valeurs pour v voisin de Vo étant déjà données auparavant.
IV-3
CAS DE C. a, b , A,
'T )
•
(
4 ,
2. 1. 2 )
Pour ce cas. on a pu observer une suite de bifurcations
qui consiste
aussi en une suite de dédoublements de périodes ( Figures N°'12. i~. H. i5' l ,

---

PORTRAITS OE PHASE ASYMPTOTIQUES
POUR L'EQUATION
x(t-1')
1
x(t) .. -;,.;..:..~;..:..- - - x (t)
2
v
1 +x (t-1')
l'
= 1.57079
\\) = 8.
, 11 • • 15. , 25.
.......................................
000000000000000000000000000000000000000

---

-5'.1-
Valeur de v
Période
5.625
5.4894
6.625
5.4649
7.125
" " " " " " " " " " " " " " " " " " "
5.4414
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
7.500
10.8829
" " " " " " " " " " " " " " " " " " "
7.600
" " "
10.9'.1 BD
" " " " " " " " " " " " " " " "
7.700
" " " " " " " " " " " " " " " " " " "
10.9586
8.125
" " " " " " " " " " " " " " " " " " "
'.11.2555
8.550
jj.8002
" " " " " " " " " " " " " " " " " " "
8.600
" " " " " " " " " " " " " " " " " " "
j j .8275
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
8.700
23.6940
" " " " " " " " " " " " " " " " " " "
8.]50
" "
23.6494
" " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " , " " " " " " " " " " " " " " " " " "
9.6975
j8.6839
" " " " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
1'.1.250
" " " " " " " " " " " " " " " " " " "
J.2296
2 x Ct-2)
Equation
x(t) •
x Ct)
v
1+x
Ct-2)

---

1
00000000000000000000000000000000
................................
................................
PORTRAITS DE PHASE ASYMPTOTIQUES
ET COURBES x[t) POUR L'EQUATION
X
2 X Ct-Z)
Ct) a
- x(t)
v
.1+x t e-z)
................................
................................
00000000000000000000000000000000

---

-52-
1
1
\\
\\
\\ ...... ,....
'"
"'.
.........
--
........ ~- --.._-
r
.""
1
-----
......................•"._...., .-
. .-.
~.
' ..
-" ~!,
-------------..
:-
:
-------_--
...
v = 8 -
Equation
\\) • 11 - - - - - - - -
v • 15 •••.. .......
T •
1. 57079
v • 2 5 - - - -

---

. .. ~ ..~
..
: :
\\) • 7.2
.J'
----=-~. J~
. '
".
f
_.6
-.3 t_
~
. -:
.•.' . :
, : : .
.
.
-
.-:.
~
V : ' : : ~ \\. ,
,;."..
''''J
...
.
." ;
:
~
.,
"'
Figure N°3
~~
..
\\)
7.5
0
~.4
-.3
-.0
i-a
~
_.; ..
1-'
1
T
e)
----------------------------.._--------~.
o

---

1"
,
v • 8.625
_.~
-----
_.6
----- --
-·s
1
J
lei
__ :a
_ . C
~ . _
~
. •_ .
- '
_ . _ ~ ~
. _ .......
_.....,-
•
a ..........
i
1
·3
1
Figure N°S
1
_.....
0
~'~
'J:
1
v .. 8.700
-.;
-·6
-!! t
- - - - -_ _ T

---

-55-
\\) • 8.82
ol--f.-I.....-+--li--l'"*-+---1f-f1-fffH1f1--+-tt+---lf---+--~:z:
.';l:
Figure N°7
v = 8.860
~
.~
.1-
':l:
0
.20
-1.410
_-i,
""
...
-.2-
-~
--1,
-os
--,

---

\\1 ..
9.6975
,
i
oC-
- - - - - - - - - - - - ~
\\1 •
9.760
I l
....

---

00000000000000000000000000000000
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
PORTRAITS DE PHASE ASYMPTOTIQUES
ET COURBES x tt ) POUR L'EQUATION
4 xrt-2)
XCt) •
- 2 x I t )
v
1 -x Ct-2)
5.5 <v < 6.5
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
66666666666666666666666666666666

---

-5]-
v .. 11.30
v .. 15.30
o
2

---

-58-
±
.&
,
·4
Figure N°12
.1
0
• S.b
o\\.~
v
.{
.6
-.2
-Jo
0 ....- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,ut
. .
~
.:J.
.~
.~
Figure N°'.l3
.,(
6.2
0
.,
v =
-.~
-!li
_.,

---

-59-
•
'X.
·f
.~
./0
Figure N°14
.Z
v • 6.3
0
-1,
4.!l
x:
-.a
_ol,
/
~--------------------------~t2Z
_.'1
-.6

---

-60-
On s'est proposé de faire l'étude numérique d'une classe d'é-
quations différentielles non linéaires autonomes avec retard
constant.
On a fait jouer à un des paramètres de l'équation, v, un rôle privilé-
gié. On s'est intéressé aux sOlutions
stationnaires asymptotiquement
stables que peuvent avoir ces équations quand une solution constante x
de celles-ci se déstabilise, ou encore ( condition équivalente J quand
la valeur de v a dépassé une valeur critique vo. Cette déstabilisation
de x est" la première bifurcation".
Des difficultés numériques sont apparues quand on a voulu identi-
fier ces solutions stationnaires par une intégration numérique directe
pour v "voisin" de Vo ( temps de calcul trop important, très mauvais
conditionnement numérique du problème au voisinage de toute bifurcation
donc perte de précision J.
Pour cette première bifurcation, une démarche possible est fournie
par l'augmentation de la précision numérique, ce qui s'avère être pro-
hibitif. On adopte alors une méthode d'intégration analgtico-numérique
isidépenâentz e de tout schéma numérique d'intégration, qui consiste
à
rechercher une bonne initialisation de l'intégration i
cela afin de ré
duire le temps de calcul avant d'atteindre le régiJDe stationnaire avec
une erreur fixée. Si l'initialisation est une partie de la solution
stationnaire, la durée du calcul' " transitoire " est nulle. Les premi-
ères constatations numériques ont montré que pour v - ve petit les so-
lutions stationnaires sont pratiquement sinusoidales. Ce qui nous a
amené à rechercher l'initialisation en formant une approximation ana-
lytique grossière de la solution.
L
_

---

-61-
On s'est basé
sur le formalisme du petit para~ètre de Poincaré.
Cette méthode permet non seulement de trouver un dévéloppement efficace
pratiquement mais aussi de résoudre en mëme temps les problèmes de la
dépendance de la solution sur les paramètres, implicites ou explicites
de l'équation. On a eu ici une dépendance non analytique sur E~V-Vo·
Les confrontations numériques montrent que le ~é'VêJ~~~ement trou-
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vé est efficace numériquement.
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Les résultats obtenus ne sont évidemment pas gén~~x)~gce qui
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concerne les équations différenti'élles avec xetierâ; f,,~I?f~~'P~ on a trai-
--':"1..i-.loioI".&:;.'-" .~
té un type particulier d'équations. C'est plutôt la manière de procé-
der qui possède un caractère général.
D'autres bifurcations peuvent avoir lieu après cette première. Le
problème de leurs études ne se pose pas de la mëme façon. Pour la pre-
mière, l'équation linéarisée autour de la solution constante x est une
équation différentielle linéaire avec retard et à coefficients cons-
tants. Pour les autres, les solutions qui se déstabilisent sont des so-
lutions périodiques, et donc l'équation linéarisée autour de celles-ci
est une équation différentielle linéaire à coefficients variables. Ces
équations ne possèdent pas en général de solutions connues explicite-
ment. On s'est borné à une étude qualitative de ce qui' peut se
passer
pour quelques équations particulières.
Les bifurcations consistent, pour celles qu'on a pu observer, en une
suite de dédoublements des périodes à mesure que v croi.t: ; et aussi' à
l'apparition de régime similaire ci un régime " chaotique "
Des courbes et des portrai ts de phase asymptoti'ques sont présentés
pour mieux visualiser ces différentes bifurcations.

---

B l B LlO G R PHI E
00000000000000000000000
(11
BELLMAN R. et
COOKE K.
Differential Difference Equations.
ACADEMIC PRESS 1963
NEW YORK and LONDON.
[2)
GUMOVSKI 1. et SOURIAC P.
[a1
Analysis of The Blood Platelet Control Mecha-
nism. SIMULATIONS Of SYSTEMS '79
1980.
[B 1
Computer Analysi:s of The Platelet Control
Mechanism.
[3]
MACKEY C.M. et GLASS L.
(Department of Phystology Mc G1'll Uni-
versity Montreal. Quebec. Canada H3G jY6 )
(a]
Pathological Conditions Resulting From Insta-
b~lities in Physiologi~al Control Systems.
BIfURCATIONS THEORY AND APPLICATIONS IN SCIEN-
TIFIC DISCIPLINES ( ee 0 GUREL and O.E.ROSSL~~
Annals of The NEW YORK ACADEMY Of SCIENCES.
[BJ
Osctllation And Chaos in Physiological Control
Systems.
TIRE A PART
19J7.
[4]
SCHMITT K.
Delay and Functional Differential Equations and
Their Applications.
ACADEMIe PRESS
NEW YORK
and LONDON. j9J2.
[5]
COLIN W. CRYER
Highly Stable Multtstep
~ethods for Retarded
Differential Equations.
SIAM J. NUME~ICAL ANALYSIS Vol 11 N°"4 Septe~ber
1974

---

[6 ]
TAVERNINI L.
One step Methods for the Numerical Solution of Volterra
Functionnal DifferentiaI Equations.
1971
sIAM
J. NUMERICAL ANALYSIS Vol.B. N°4. December 1971
[7J
BLEYER A. l Budapest ~
On Global Methods ta Solve Difference-DifferentiaI Equa-
tions with Retarded Argument.
paru dans EQUA DIFF 78 : CDNVEGNO INTERNAZIONALE SU EQUA_
ZIDNI DIFFERENZIALI DEDINARIE EO EQUAZIDNI FUNZIDNALI
pages 165 - 175.
Edité par R. CONTI. G. SESTINI. G. VILLARI.
[8 ]
REVERDY J.
Sur une méthode de Runge-Kutta avec interpolation pour
des équations différentielles du jer ordre avec retard.
C.R. Académie Sciences Paris t.290
1980.
HENRICI P.
Discrete Variable Methods înJDrdinary DifferentiaI Equa-
tions.
JOHN WILEY • NEW YORK
1962
NUSSBAUM
R.D.
Periodic Solutions of Sorne Nonlinear,Autonomous Func-
tional Differential Equations II.
Pages 360-394
JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS
N°4
19U3
HALE J.
Theory of functional Differential Equations.
SPRING IJERLAG
APPLIED
MA THEi'1Ar :::C,l\\L SC IE~:CES
'Jol Cl
NEW YORK HEIDf.~BERG
BERLIN
1977.

---

~2J
GUMOVSKI I.
[al Periodic Solutions of a system of Oifferetial Equations with
Pure Delay arising in a 8iological Problem.
SIMULATION OF SYSTEMS. L. DEKKER. EDTOR
1 a76
[a] Critical Parameter values, 8ifurcations and Periodic Solutions
of a particular first order Differential Equation with delay.
t h
PROCEEDINGS OF THE Vlrr
INTERNATIONAL CONFERENCE ON LINEAR
OSCILLATIDNS.
PRAGUE
1978.
[y] Sensitivity of Certain Dynam1c Systems w1th Respect to a
Small Delay.
AUTOMATICA,· "Vol j O.
ja74
Pages 6SE -6~·3
83]
GRATELOUP G.
Sur l'1dentificat~on de la Dynamique Des Processus en Auto-
matique. THESE DE DOCTORAT N°253
1965 Faculté èes Sciences
Toulouse.

---