N°
d'ordre
502
THESE
présentée
A LIU.E.R. DES SCIENCES EXACTES ET NATURELLES
à dominante
RECHERCHE
DE L'UNIVERSITE DE CLERMONT-FERRAND
pour l'obtention du
OOCTORAT
DE
3EME CYCLE
Spécialité GEOPHYSIQUE
paJ\\
PAUL ASSAffiI
Maitre en
Physique
. "
Sujet
de
la
Thèse:
ETUDE DE ruHODES D' It'ITERPOLATION ffiUR L'ANALYSE
OBJECTIVE DES CHAMPS rvErEDROLCGIQUES
Soutenue le 8/10/1976 devant la commission
composée de : M.R.G. SOULAGE •.•. Président
M.
J. BAUDET}
M.
R. COMBE
.• Examinateurs
M.
H. ISAKA
M.
J. BLANCHETJ . ...Inv; tés
M.
G. BONTEMPS

---

":'i!!
.'
UIIIVERSI?E DE CLEHJ·1ŒlT
U.E.R. deG Sciences Exactes et naturelles
PRESIDENT DE L'WHVERSITE
DIRECTEUR (Recherche)
H. GUILLAm!E Harccl
PROFESSEU~S
h. RANBAUD René
Chimie OrGanique
Z.I. ROQUES Haurice
Géologie
M. LA~~)U-}L~qGUES Pierre
Hinéraloc;ie
1-1. LUTZ Hubert
Biologie .~,imale
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Optique Physique AtomiQue et Moléculaire
M. CIIAHPAmUI.T Paul
. Physiologie Végétale
M. DUPLESSIS-KlmGOHIÙ'1D. ~.ain
Chimie Orcani'lue
Mme HElElEQUIl1 Françoise
Mathé~atiques Pures
l-lle BERTHET Ginette
Physique Electronique
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Biologie et PhysioloGie Végétales
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Physique du Solide et Cristallographie
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Zoologie
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Physique Nucléaire et Corpusculaire
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Chimie PhJrsique
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Physique iIucléaire te Corpusculaire
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PhysiClue IIucléaire ct Corpusculaire
N. SOULAGE Hené
GéophysiClue
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Chir.lic Ph:rsiCiu.e
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Biologie et PhysioloGie VéGétales
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Physique du Solièe et CristallOGraphie
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l·~nthl>Tmtiq1)es Pures
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Zoo~~gic e~ BiolOGie Cellulaire
A
(1
_ L____
_
_
,'l"

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BiochiF.~e C.U.S.T.
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Géologic'
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Mathcnatiqucs Pures
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Physique Hucléaire ct Corpusculaire
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Infornati'lue C.U.S.T.
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Biochinie 1. U.T. Clermont
M. RODDIER Pierre
~lathénatiqucs Pures C.U.S.T.
r.1. CHEVA.LIER Raynond
Physique
M. HOREL Jean-Pierre
chir:lic Physique
MAITRE:) DE COllFEm~?lcrs t,SSOCIES
M. COFFI-lIKETSIA Barben
Mathématiques Pures
M. NAISOll~ŒUVE Georges
Infor~atique C.U.S.T.
SECP~TAlRE GEîŒRALE DE LrmiI~~RSITE

---

[NOMENCLATURE 1
Variables indépendantes
À
Longitude
'.
lP·
Latitude
t
T~mps
p
Pression
Variables pronostiques
u
Vitesse zonale du vent
v
Vitesse méridienne du vent
T, e
Température, température potentielle
r = tv/ta
Rapport de mélange de la vapeur d'eau
Z
Altitude gébpotentielle
Variables diagnostiques
w = dZ/dt
Vitesse verticale généralisée
cp = g
Z
Géopotentiel à l'altitude Z
ta, a = lita
Densité de l'air sec, volume spécifique de l'air sec
tv
Densité de la vapeur d'eau
Constantes Physiques
R
Rayon de la terre
0
Vitesse angulaire de la terre
f
= 20 sin 1JJ
Paramètre de Coriolis
g
Accélération de la gravité
Autres notations
1;
Vorticité relative
L
Longueur d'onde
Fonction de transmission

---

\\ SOMMAIRE 1
l - INTRODUCTION
. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 1
II - ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE DE L'ANALYSE OBJECTIVE DU
CHAMP METEOROLOGIQUE
· . . . . p. 5
1) Ajustements itérés de CRESSMAN • • • •
• • • • • • • •
p.
9
2) Interpolation optimale de GANDIN • • • • • • • • • • • •
p. 10
III - METHODES D'ANALYSE OBJECTIVE MAXIMALISANT LES
DETAILS DE CHAMPS METEOROLOGIQUES
· . . . . p. 12
1) Méthode de BARR et coll. • • • • • • · • • • • • • • • p. 12
,
1-1) Superposition de triangles et ses consequences
dans l'analyse d'un champ. . • . · • • • • • · • • p. 13
1-2) Interpolation et lissage . . • . · • • • • • · • • p. 17
2) Méthode de BA~rES. . . · · · ·
.
•
• •
•
• · · • • • · p. 18
.
2-1) Interpolation et coefficient d'atténuation
· · p. 18
2-2) Effets de l'itération. .
· · • · · • •
p • 20
IV- ANALYSE OBJECTIVE A L'AIDE DE LA SURFACE QUADRATIQUE
p. 22
1) Principe de la méthode d'interpolation à" l'aide
d'une surface quadratique. · ·
· · · • . . .
p. 23
2) Lissage du champ brut. · · · · ·
· · • • · · · · · p. 29
3) Méthode de "corrections successives". · • · · • • ·
p. 31
V - RESULTATS DE LA RECONSTITUTION DE CHAMPS
• · • · • • • · p. 33
1) Réseau ouest-européen de radiosondages. • · · • · • · · p. 33
1-1) Choix des triangles dans la méthode de BARR
modifiée. .
.
•
. · · • · · . · · · • · · • • · · p• 34
1-2) Choix des triangles dans la méthode polynomiales ••
p • 35
.1. ..
.~

---

2) Tests sur la reconstitution du champ. • • • • • • • •
p. 35
2-1) Reconstitution du champ à l'aide de la méthode
dérivée de celle de BARR • • • • • • • • • • • • •
p. 37
a) Comparaison entre le champ analytique et le
champ restitué. • • • • • • • • • • • • • • •
p. 39
b) Comparaison de nos résultats avec ceux de
BARR et coll • • • • • • • • • • • • • • •
p. 43
• •
2-2) Tests de la méthode d'interpolation quadratique.
p. 43
a) Reconstitution du champ ••
p. 43
• • • • • • • •
•
b) Erreur relative moyenne et résolution • • • •
p. 45
VI - CONCLUSIONS GENERALES ET PERSPECTIVES
• • • • • • • •
p. 47

---

1REMERCIEMENTS 1
Je tiens tout d'abord à assurer de ma profonde et res-
pectueuse gratitude, Monsieur le Professeur SOULAGE qui m'a accueilli
dans son laboratoire. Son appui moral et ses conseils m'ont été d'une
aide précieuse dans la conduite de ce travail.
Je remercie tout particulièrement Monsieur le Professeur
René COMBE de l'Université de Clermont-Ferrand q~i m'a fait l'honneur
de lire ce manuscrit, Monsieur le Professeur BAUDE~de l'Université
d'Abidjan qui m'a mis en contact avec l'équipe de chercheurs du LDMA,
dont l'appui ne m'a jamais fait défaut, Monsieur BONTEMPS, Directeur
de la Station Météorologique de Clermont-Ferrand-Aulnat, qui a si
généreusement mis à notre disposition les documents de travail.
A Monsieur ISAKA, Chargé de Recherches au C.N.R.S.,qui
a dirigé ce travail et qui a su me faire profiter de ses suggestions,
jerne fais un plaisir d'exprimer toute ma gratitude.
Son ardeur à la
tache et la rigueur scientifique dont i l ne départit jamais ont été
pour moi la plus précieuse des leçons.
Je remercie vivement Monsieur GUILLEMET pour ses conseil
tout au long de cette étude.
Enfin, mes remerciements vont à tout le personnel du
L.D.M.A. qui a contribué à la réalisation de ces travaux et en parti-
culier à Mesdames A.M. LANQUETTE et F. BESSERVE qui m'ont apporté
une aide technique inestimable de même qu'à J.L. BARTHOUT
qui a pré-.
paré la plupart des figures.

---

1INTRODUCTION 1
Pendant la seconde guerre mondiale, l'usage intensif des
aéronefs et d'autres moyens techniques sophistiqués dont les conditior.
optimales d'exploitation sont étroitement liées à une connaissance
précise des conditions atmosphériques du moment, amena les états-major
à réunir de très importants moyens en hommes et en matériel pour obsei
ver le temps.
Plus tard, l'intérêt de la chose météorologique fut sou-
tenu par l'expansion de l'aviation civile qui activa les recherches
dans ce domaine. Des services météorologiques nationaux furent mis sur
pied dans la~upart des pays et une veille météorologique mondiale put
s'envisager sous l'égide de l'O.M.M.
Pour montrer l'ampleur du problème qui se pose au physi~
cien rappelons qu'une carte météorologique est le résultat d'un tra-
vail de synthèse qu'effectue un analyste à partir de données d'obser-
vations disponibles.
Il se réfère pour mener ce travail à bien, à ses
connaissances tant théoriques que pratiques du système météorologique.
Ceci explique certainement que ce travail soit confié à des spécia-
listes qui suivent à longueur d'année l'évolution du temps dans ses
moindres variations.
Mais, aujourd'hui,
la masse des informations météorolo-
giques recueillies sur toute la planète est telle que l'on dût envi-
sager,dans les services opérationnels, l'automatisation de leur trai-
tement en vue de l'analyse et de la prévision du temps.
L'une des premières études abordant le problème de
l'analyse des cartes sous l'angle de l'exploitation automatique des
données a été celle entreprise par PANOFSKY
(1949).
Dans les années 50, le développement des calculateurs
électroniques et des moyens d'observation tels que radiosondes ont
permis à des auteurs comme GILCHRIST et CRESSMAN
(1954), BERTHORSSON
et DOOS
(1955), GANDIN, de proposer des méthodes d'analyse objective
plus satisfaisàntes pour traiter le problème à l'échelle synoptique,
en liaison avec des modèles numériques de prévision.
j

---

(2)
Malgré l'établissement de ces méthodes d'analyse objec-
tive et leur utilisation sur le plan opérationnel, des analyses de
sytèmessubsynoptiq~es sont encore effectuées de façon subjective et ma
nuelle aussi bien pour les besoins opérationnels que pour les besoins
de la recherche. El~es sont longues et laborieuses. L'étude des fronts
dans la mqyenne troposphère, effectuée par SHAPIRO
(1970)
en est un
exemple récent.
Le développement technique des avions d'observation, des
. satellites météorologiques, etc., qui s'est opéré ces dernières années
a permis d'ac~uérir des données d'observation sur des phénomènes sy-
noptiques et/ou subsynoptiques qui étaient restés jusqu'alors d'un
accès difficile pour les météorologistes. Nombre d'expériences de
mesures aérologiques nationales ou internationales ont déjà été orga-
nisées pour les études mésosynoptiques. Nous assistons ainsi à une
accumulation très rapide de données expérimentales à ces échelles.
Pendant le même temps,
se développent dans les centres
de recherches des mé~hodes d'analyse objective qui ont pour but de
faire ressortir des détails des champs météorologiques que les analy-
ses développées dans les années 50 avaient essayé d'éliminer
(PENN et
coll., 1963 ; BARNES, 1964, etc •.• ).
En effet, l'emploi de telles méthodes permettrait de
traiter rapidement les données collectées et de connaître avec le
maximum de détails l'environnement météorologique dans lequel s'inscrn
une expérience "in situ" ou bien de préciser le cadre physique de
photographies satellitaires par exemple.
Selon BARNES,
la méthode qu'il a conçue peut maximaliser
les détails contenus dans les données des radiosondages disponibles.
Elle est utilisée couramment dans la pratique opérationnelle aux U.S.A
où elle semble tenir ses promesses.
BARR et ses collaborateurs, en
partant des travaux d'ENDLICH
(1963)
ont essayé à leur tour de déve-
lopper une méthode d'analyse qui leur permettrait d'obtenir une réso-
lution supérieure à celle qu'il est possible d'atteindre avec la métho
de d'analyse de BARNES
(BARR et coll., 1971).
Parallèlement à ces travaux,
i l existait des tentatives
pour rendre aut0matique l'analyse de la section verticale
(DUQUET et
DANIELSEN, 1965 ; HASTING et SHAPIRO, 1972). Il ressort des résultats
publiés par ces auteurs que l'utilisation d'une coordonnée isentropi-
)

---

(3) .
que dans l'analyse météorologique peut conférer au champ analysé plus
de~écision que ne le permet l'analyse en coordonnée isobarique. Ceci
résulte du fait que la variation des paramètres tels que la tempéra-
ture, le vent, la stabilité thermique, etc ••• , quand elle se produit
sur une surface isentropique a une amplitude plus grande que celle
que l'on détecte sur une surface isobarique. Quelques années plus tard,
la méthode de HASTING et SHAPIRO a été modifiée pour traiter l'analyse
objective du champ à trois dimensions. Elle a été utilisée sous cette
dernière forme pour initialiser le modèle prévisionnel isentropique
de BLECK (1973).
Il convient de remarquer ici que cette méthode fait ap-
pel à l'interpolation optimale d'EDDY
(1967)
qui est semblable à celle
de GANDIN. L'emploi de ladite méthode devient délicat si on ne s'inté-
resse qu'à l'analyse dans une zone d'extension limitée, car les cal-
culs statistiques .nécessaires à son utilisation ne possèdent plus le
degré de stabilité requise pour être efficaces.
Par conséquent,
i l serait intéressant d'examiner la
possibilité d'adapter une méthode d'analyse objective qui maximalise-
rait les détails du champ météorologique tout en évitant les diffi-
cultés que nous signalions plus haut.
Rappelons que la mise au point d'une analyse objective
tridimensionnelle est l'objectif que nous poursuivons et
cette thèse
qui est consacrée à l'étude de méthodes d'interpolation pour l'analysel
!
objective des champs météorologiques, est une étape essentielle sur
cette voie car avant d'aborder la phase ultime i l nous fallait résou-
dre clairement chacune des difficultés.
Le premier volet de cette démarche est constitué par
l'établissement d'une analyse objective de la section verticale basée
sur l'interpolation des surfaces isentropes au moyen de la méthode
polynomiale d'Hermite
(ASSAMOr, 1975).
Le second fait l'objet de ce mémoire. Le problème qui
se pose à ce niveau est le suivant: l'analyse dans le plan horizontal
qui est aujourd'hui une opération courante, demeure cependant une opé-
ration délicate surtout si le but recherché est de faire apparaître
les détails du champ, alors comment s'assurer qu'une technique définie
soit adaptée à l'étude que l'on se propose de faire? Pour répondre à
cette interrogation, la procédure suivante peut être utilisée:
1°)
mettre au point une méthode;
2°)
comparer les résultats qu'elle donne

---

(4)
sur certains champs connus à ceux que fournissent des méthodes sem-
blables ; 3°) tirer les conclusions de ces tests.
Dans le cadre de cette thèse, c'est ce cheminement que:
nous avons suivi en commençant le développement qui suit par :
- un bref aperçu historique de l'analyse objective en météorologie,
- ensuite, nous examinons dans le second chapitre les principes de deuJ
méthodes d'analyse objective qui sont en l'occurrence celle de BARR
et ses collaborateurs, et celle de BARNES,
- puis, dans une troisième partie, nous traitons de la méthode parti-
culière d'interpolation polynomiale que nous avons mise au point,
- enfin, au quatrième chapitre, nous comparons les résultats que nous
obtenons sur le réseau synoptique ouest-européen avec notre méthode
et ceux que donnent les deux premières,
- en conclusion, nous évoquons les perspectives d'utilisation des
analyses objectives sur le réseau synoptique ouest-européen par les
expériences faites à l'échelle subsynoptique.
/
--

---

l
- ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE DE L'ANALYSE OBJECTIVE DU CHAMP METEO-
ROLOGIQUE
En météorologie, l'étendue des phénomènes dans l'espace et
dans le temps a posé très tôt le problème de l'interprétation des
mesures expérimentales faites en quelques points irrégulièrement
répartis sur la planète. Mais, ces données collectées localement, qui
peuvent à la rigueur être appliquées à l'interprétation des proprié-
tés de la particule d'air, sont,sous leuŒformes primitives, inadap-
tées
à l'étude poussée des phénomènes fondamentaux de l'atmosphère.
Il devint dès lors nécessaire d'obtenir,à un instant donné, une con-
naissance d'ensemble et portant sur un domaine assez vaste de l'état
du fluide atmosphérique.
Pour déterminer la valeur prise par un paramètre aérologi-
que sur une aire expérimentale déterminée, et en dehors des stations
de mesure, l'analys~devait pointer les données sur une carte géogra~
phique appropriée et ensuite tracer différentes lignes sur cette car-
te. Une telle procédure est très délicate à mettre en oeuvre car elle
se fonde sur des interpolations qui sont faites "à vue", avec des
règles plus ou moins bien définies. De plus ce travail qui repose
essentiellement sur le "tour de main" de l'opérateur est difficile-
~ surcroit,...
ment quantifiable ison origine subjective inspirait souvent la mé-
fiance.
Ces défauts de l'analyse manuelle amenèrent très vite les.
météorologues à s'intéresser à des outils dont ils se servent large-
ment aujourd'hui:
je veux parler de l'analyse mathématique et du
calcul automatique.
Avec ces nouveaux moyens,
l'objectif de l'analyse n'a pas
fondamentalement varié. Le but à atteindre demeure la reconstitution
du champ des éléments météorologiques ; pour ce faire,
la nouvelle
méthode comporte deux étapes essentielles qui consistent à formuler
mathématiquement le problème, puis à chdSir une algorithme adaptée
à sa résolution sur les calculateurs électroniques.
PANOFSKY
(1949)
fut,
comme nous l'avons déjà dit, l'un des[
premiers à tenter une mise en oeuvre de cette procédure d'analyse
~effetl
météorologiqu~. PANOFSKY représenta un champ scalaire aux noeuds
./ ...

---

- 6 -
d'une grille régulière par des polynômes cubiques. Il montra que
l'introduction d'erreurs de mesure au hasard dans le champ donné
revenait à minorer les variations dans la représentation polynomiale
Des moyens de calcul de plus en plus puissants mis à la disposition
de la science permirent un peu plus tard d'envisager le traitement
de problèmes plus compliqués tels que ceux de la prévision du temps.'
Ce fut un tournant dans l'analyse objective de variables
aérologiques car désormais dans ce domaine deux voies s'offraient.
La figure 1 est une vue synoptique de cette sit~ation.
Le prétraitement des données initiales et l'analyse objec-,
tive sont les éléments qui forment le tronc commun dans l'analyse de
champs météorologiques. C'est après cette étape du traitement que
deux voies se présentent. La voie
(a)
conduit directement au tracé
des cartes d'analyse météorologique, alors que la voie
(b) passe par
l'initialisation des modèles numériques de prévision avant de débou- )
cher sur les cartes d'analyse et de prévision.
Pendant les années 1950, la plupart des travaux consacrés
à l'analyse objective étaient conçus dans le but d'initialiser des
modèles numériques. GILCHRIST et CRESSMAN
(1954)
développèrent une
technique basée sur l'ajustement d'un polynôme du second degré par la
méthode des moindres carrés aux données sur une aire limitée autour
d'un point de grille. Des valeurs relatives au vent étaient incorpo-.
rées dans le schéma en utilisant l'hypothèse géostrophique pour déter
miner h
(oü h est l'écart de niveau
par rapport à l'atmosphère
standard)
en un point donné. Ainsi,
chaque point de mesure fournit
t
.
. f
t'
h
ah
âh
t ' l '
~
d
l"
t
t
r01S 1n orma 1ons:
,
IX' ay'
u 1 1sees
ans
aJus emen
par
moindres carrés.
Il s'est avéré dans la pratique que cette méthode était
entachée d'erreur dans les régions oü peu de données sont disponi-
bles car six informations initiales au moins étaient nécessaires pour
calculer les coefficients des polynômes du second degré qui définis-
sent le champ. En fait,
GISCHRIST et CRESSMAN trouvèrent qu'avec
moins de dix données,
le résultat des calculs n'était plus fiable.
Par contre, dans les régions à forte densité de mesures, les prévi-
sions numériques basées sur cette analyse objective étaient meilleu-
res que celles issues des analyses subjectives.

---

- 7 -
Données initiales pour l'analyse objective
(aux stations)
1 analyse objective 1
. 1 Prétraitement des données
1
1 Interpolation 1
Valeurs interpolées sur une grille r----
régulière
voie
(b)
voie (a)
Prévision numérique
Valeurs prévues aux
points de grille
'it
1 Tracé des isocontoursl
J,
J,
Carte d'analyse
Carte de prévision
(diagnostiques)
(pronostiques)
Figure l
TABLEAU SYNOPTIQUE DES OPERATIONS DE L'ANALYSE OBJECTIVE

---

-
8 -
Un an après, GILCHRIST et CRESSMAN, BERTHORSSON et DaOS
conçurent une nouvelle technique d'analyse objective. Cette méthode
innovait par rapport aux précédentes en ce sens que la première étape!
de l'analyse consistait à déterminer un champ dit "primaire". Ce
champ était calculé en faisant la moyenne pondérée des valeurs de la
prévision au point de grille au moment où sont faites les nouvelles
observations et des
normes climatologiques de cette période.
Les données disponibles aux stations d'observation étaient;
ensuite utilisées dans une série de trois corrections qui étaient
appliquées au "champ primaire" avec des poids variables , fonctions
de la distance de la station au point de grille.
Les résultats des prev~sions numériques faites à partir de
cette analyse objective étaient équivalents à ceux obtenup en initia-
lisant le modèle par les analyses subjectives.
En 1959, en choisissant comme "champ primaire" le champ
prévu pour l'instant de l'analyse et en adoptant un schéma de correc-
tion qui procède par itération (le rayon du cercle d'influence dont
dépend la fonction de poids se modifie à chaque itération), CRESSMAN
(1959)
améliore les résultats des prévisions numériques.
D'autres versions de cette méthode,qui passa au stade opé-
rationnel, furent présentées par BUSHBY et HUCKLE
(1957)
et CORBY(196
toujours dans l'optique de l'initialisation 4es modèles. Les travaux
de CORBY (1963) débouchèrent plus tard sur une analyse objective à
trois dimensions.
Parallèlement à ces études, quelques chercheurs s'orien-
tèrent vers l'utilisation de fonctions mathématiques dont l'usage ava:
été très fécond dans certaines branches de la physique telle que la
mécanique quantique.
c'est ainsi que SASAKI
(1958)
introduisit la méthode varia·
tionnelle dans l'analyse objective. On peut, dans le même ordre d'idél
citer le recours à l'analyse spectrale ainsi qu'à la fonction spline
bicubique.
GANLIN (1965)
introduisit la théorie statistique dans lIane
lyse des paramètres météorologiques. Sa méthode est connue sous le nor
d'interpolatinr
0lJtimale.

---

-
9 -
Après ce bref aperçu sur le développement de l'analyse
objective, nous examinons ci-dessous, tout particuliêrement, les prinl
cipes des méthodes de CRESSMAN et de GANDIN, car elles sont les plus
utilisées dans les recherches atmosphériques.
1/ AJUSTEMENTS ITERES DE CRESSMAN -
Le principe de cette méthode consiste à corriger une ébau-
che initiale fournie habituellement par deux sources d'information:
la climatologie et la prévision du temps à l'instant où les mesures
expérimentales sont effectuées.
Pour déterminer la valeur corr1gee d'une variable de champ
G en un point de grille A '
on trace d'abord un voisinage de A
que
O
O
l'on désigne par "zone d'influence" de A • Ce domaine est obtenu en
O
traçant un cercle centré sur A
et de rayon n. Tous les points d'ob-
O
servation situés à l'intérieur de ce cercle influ~ncent A
avec cha-
O
cun un poids qui dépends uniquement de la distance de ce point à A •
O
Soi tA.
un point de r.tesure tel que AOA.
= d ~ n. Soit G.
t
la valeur
1
1
1n
de champ initial prise par G en A.
i
la procédure consiste alors à
1
appliquer des corrections de poids sur la différence E entre G.
t et
1n
G ,
la valeur mesurée au même point. Cette fonction de poids ~ basée
i
sur les nouvelles observations est donnée par :
~ =
pour d ~ n
~ = 0
pour d "'7 n
n étant un multiple de la longueur de la maille.
Ce schéma de correction est repris plusieurs fois de suite!
en faisant décroître à chaque étape de l'itération le rayon du cercle
d'influence n.
Cette méthode, par le choix de d, peut être considérée
comme empirique. Par ailleurs, elle conduit dans des zones où peu de
données sont disponibles pour une correction très faible de l'ébauche
initiale en imposant une très forte atténuation aux rares valeurs
disponibles.
./ ...

---

-
10 -
2/ INTERPOLATION OPTIMALE DE GANDIN -
Ce qui suit est un bref rappel des propositions de base
de l'interpolation statistique optimale. Dans son principe, cette
méthode suppose la connaissance statistique préalable des champs à
analyser. Le mode opératoire consiste à se placer en un point de gril
le où on cherche à ajuster un paramètre de champ connu par les donnée
expérimentales relatives aux stations du voisinage.
Soit G.
une grandeur aérologique mesurée à la station S .•
l.
l.
Soi t, en outre, G:
la valeur moyenne de la variable considérée sur un
l.
intervalle de temps T suffisamment grand. G.
s'exprime comme s u i t :
1.
1
G.
=
l.
T
o
Il est commode de considérer que G. est une somme de cette
l.
moyenne G
et d'une fluctuation Gi relevée au même endroit. Ainsi,
i
on peut écrire- :
G. = G
+ G!
1.
i
l.
La fluctuation introduite G! étant aléatoire, on doit obtenir
l.
G~ = 0
l.
L'indice "0" étant rapporté aux valeurs prises par élément:
météorologique en un point de grille donné, le problème que nous avon!
à traiter est celui de la détermination des valeurs de la fluctuation!
en chaque point de grille, le champ moyen étant connu au préalable
en tous les noeuds. Le point de vue adopté ici est celui de l'inter-
polation linéaire qui consiste à dire que GO est une combinaison li-
néaire des Gi '
ce qui s'écrit sous la forme classique suivante:
n
Go
L
=
Pi Gi
(1)
i=1 -
où les Pi sont des fonctions de poids, inconnues de l'interpolation •
•/ ••• i

---

-
11 -
La résolution de l'équation (1)
revient à déterminer au
mieux les facteus Pi et ceci en minimisant la norme de l'incertitude
~ • Le problème de l'interpolation apparaît alors comme un problème
de moindres carrés: i l s'agit de choisir les p. qui rendent minimuml
~
1
~ ,
=
Pi G' of)2
...
En développant les calculs, i l apparaît des termes de
corrélation ; en introduisant ensuite certaines notations telles que
cr .. = G! G!
1J
1
J
tJ.2
Ô
=
crOO
•
cr ..
y
= .2:.l
crOO
nous obtenons l'expression de l'écart quadratique relatif
n
n
n
S = 1 - 2
2=: p. cria + L: L: p.p. cr ..
(2)
1
1 J
1J
i=1
i=1
j=1
les paramètres y ..
sont les coefficients d'autocorrélation estimés
1J
à partir d'un grand nombre d'informations statistiques. En formulant
ensuite l'hypothèse de stationnarité et d'h~mogénéité des champs, on
obtient une fonction universelle B .. qui n'est fonction que de la
1J
distance entre les points M.
et M.•
1
J
Analytiquement, la condition de minimum de tJ.2 revient à
différentier ô
par rapport aux coefficients p. et cela conduit à un
1
système d'équations linéaires dont les p.
en sont les inconnues.
1
La résolution de ce système permet d'accéder aux valeurs
de Pi qui sont les coefficients optimaux de l'interpolation.

---

-
12 -
II - METHODES D'ANALYSE OBJECTIVE MAXIMALISANT LES DETAILS DE
CHAMPS METEOROLOGIQUES
Dans cette partie, nous allons examiner les principes de
deux méthodes, l'une qui est celle de BARNES
(1964)
et l'autre, celll
de BARR et coll., car ces méthodes permettent de traiter les problè-
mes généraux de l'analyse objective. Selon ces auteurs, leurs métho-
des peuvent analyser les champs météorologiques à partir d~données
d~radiosondages, tout en maximalisant les détails des champs conte-
nus dans ces données.
Il est à remarquer que le procédé de BARNES
est un des plus utilisés sur le plan opérationnel aux U.S.A.,et que
le procédé de BARR et coll. a été développé dans un cadre de recher-
che où i l vise l'étude de systèmes sub-synoptiques à l'aide de photo'
graphies satellitaires.
1/ METHODE
DE BARR et coll.
:
Pour l'analyse de systèmes sub-synoptiques à l'aide de
données de radiosondages, i l existe, comme ces auteurs l'ont indiqué
trois contraintes que l'on doit combattre: a)
le réseau de radio-
sondages normal est très lâche et la distance moyenne entre deux
stations est souvent de l'ordre de 400km, ce qui est le cas dans les
zones comme les Etats-Unis ou l'Europe; b)
les données de radioson-
dages intègrent, par leur procédé d'observation, des erreurs; c)
elles peuvent être affectées par aes phénomènes de plus petites éche
les, même locales.
Par conséquent,
la méthode de l'analyse objective doit êtr,
établie sur un compromis entre un désir d'accroître la résolution de
l'analyse en retenant autant de détails que possible
et la nécessit·
de lisser les champs afin d'éliminer l'influence d'erreurs ou de
phénomènes locaux. Mais, dans le cas présent, c'est le désir d'accro
tre la résolution qui prédomine, en donnant un maximum de
signifi-
cation à des données obtenues directement.
Une analyse des champs météDrologiques nécessite en plus
de la connaissance de paramètres directs tels que température, humi-
dité, vent, etc ..• , celle de paramètres dérivés tels que les gradierti
verticaux et horizontaux. Le gradient vertical de la température par

---

-
13 -
exemple sert à l'examen de la stabilité de l'atmosphère, les gra-
dients horizontaux, comme ceux de la température, du vent, etc ••• ,
servant dans le calcul de l'advection thermique, du champ de vortic:
té, de la divergence, de la vitesse verticale, etc •.• Ce sont des
informations indispensables pour l'étude diagnostique d'une situa-
tion météorologique, et par suite pour la prévision à très court
terme.
Le procédé de calcul le plus simple qui est utilisé pour
obtenir les gradients horizontaux dans l'analyse subjective, est
celui propo9é par BELLAMY (1949). Selon ce procédé, les gradients
horizontaux sont calculés à partir des données de trois stations
qui ne se situent pas sur une droite. ENDLICH et CLARK ont rendu
automatique le calcul de ces paramètres dérivés suivant les principE
de BELLAMY, dans le but de les rendre rapidement accessibles aux prÉ
visionistes. BARR et ses collègues ont suivi la voie d'ENDLICH et
CLARK, ·tout en permettant l'emploi de triangles superposés dans le
calcul des gradients horizontaux. Par conséquent, i l nous semble
intéressant de reproduire leur conclusion sur l'utilisation de la
méthode de BELLAMY
car une analyse subjective intensive à l'aide de
cette méthode a été effectuée avant d'établir leur méthode objective
1-1/ §~E~EE~ê!i!~~_~~_~E!~~g!~ê_~~_ê~ê_~Q~ê~g~~~~~ê_~~~ê_!~~~~!Yê~
~~~~_~h~~E :
Pour l'application de la méthode de BELLAMY, on doit jispc
ser des données d'observation de trois stations formant un triangle.
Le champ d'un paramètre
(u)
dans ce triangle est rapproché d'un plar
défini par (xl' YI'
u l ), (x 2 ' Y2' u 2 ) et (x3 ' Y3' u 3 ). En dévelop-
pant u(x,y)
en série de Taylor autour du centre de gravité de ce
triangle, on a
u
=
- x ) +
2
ua + (~~ )0 (x2
a
on (Y2 - Ya)
o
u
=
-
x ) +
3
ua + (~~ )0 (x3
a
(~~ ) (Y3 - Ya)

---

-
14 -
OÜ ua'
x
et Ya désignent la valeur de u au centre de gravité du
a
triangle et les coordonnées du centre. Celles-ci étant données par
x
=
a
et
on peut résoudre le système ci-dessus pour obtenir ua' (au)
et(aU)
ax a
ay a
BARR et coll. ont utilisé tout d'abord cette méthode pour
calculer les paramètres dérivés dans le cas du réseau nord-américain
en formant un ensemble de triangles raisonnables. Les triangles rai-
sonnables ont été choisis en tenant compte de la distance entre les
stations et la forme du triangle. D'après les résultats de leur exa-
men,
la superposition de plusieurs triangles dans une zone pourrait
fournir les avantages suivants
"1) Although the resolution of a triangle inherently iimited
by the distances between the stations forming it, overlapping
enhances the use of the available resolution to determine the
small-scale features in a variable field. This is analogous
to the increased detail often made avaRable if analog data are
digitized at intervals more frequent than the resolution of
the sensor.
Another illustration of expected benefits from the overlapping
procedure for spatial derivatives may be obtained from the use
of a simple three-dimensional surface with a curvature reaso-
nably weIl defined by data from a given grid spacing. Consider
an octant of a sphere set upon a grid in the x, y plane as
shown in the fig.
2. Data on the height of the spherical sur-
face are available at each of four points
(1,2,3,4) and these
can be used to define four planar surfaces.
If triads of points
were selected with no overlapping then w~ would be forced to
choose between the configurations of fig.
2-a or 2-b. Fig. 2-a
shows good resolution of the slope in the "y" direction but
gives a single oversmoothed slope in the "x" direction. Simi-
larly,
fig.
2-b gives two estimates of the slope in the "x"
direction but fails to resolve the " y " dependence. The combi-
nation of aIl four estimates leads to a far better descrip-
tion of the variable slope of the surface within the area of
the grid.
2}
Because of the multiple values so provided for a given,
relatively small, area,
sufficient values are produced to per-
mit smooth±ng without excessive loss of resolution. Such smoo-
thing is required to minimize whatever noise, due to both ac-
tuaI errors and still smaller scale variations there may be
in the data."
./ ...

---

2
2
\\x
( a)
( b),
FIGURE 2
DIAGRAMME SCHEMATIQUE DE REPRESENTATION EN DIFFERENCES FINIES D"UNE SURFACE SPHERIQUE
LA FIGURE 2-A MONTRE UNE BONNE RESOLUTION DE LA PENTE DANS LA DIRECTION X', TANDIS
..' . .
. ' .
.
QUE POUR LA FIGURE 2-B, C'EST DANS LA DIRECTION YQUE CETTE RESOLUTION EST EXCEL~
LENTE.

---

- 15 -
Bien que l'extrait du texte soit quelque peu long, nous
reproduisons également les conclusions que ces auteurs ont retiré
des essais de l'analyse subjective effectués à l'aide de la méthode
de BELLAMY, avec la superposition de triangles, car leur méthode
est basée sur ces conclusions.
"1) For parameters not involving horizontal gradients
(i.e., tem-
perature, height, vertical temperature gradient, etc.), the ad-
ditional point are provided at triangle centers by the objecti-
ve interpolations. Sorne small scale noise was produced by the
interpolation procedure but was readily reduced by smoothing.
Results are improved if the direct observations are given more
weight than the interpolated values. In general, objective in-
terpolations in conjunction with subjective analysis procedure
did not lead to improved resolution over the standard subjecti-
ve analysis. The case for objective procedures in subsynoptic
analysis must rest on reproducibility.
2)
Similarly, the augmentation of the temperature field by the
interpolated temperatures and also the thermal wind vectors at
triangle centers produced no improvement in the subjective ana-
lyses. The same was true of the geopotential height analyses
based on radiosonde height and wind data augmented by both in-
terpolated heights and vector winds at the triangle centers.
3) While independent duplicate analysis by skilled synopti-
cians led to basically similar small-scale patterns, with SSP's
appearing at approximately the same locations, there were ine-
vitably small differences in the exact position, orientation
and/or intensity of an SSP. Further,
the analyst would usually
agree that the other interpretation might be as valid as their
O~ln. Because of the consequent uncertainties in the small-
scale aspects of the analyses, use of subjective analyses to
der ive higher or der parameters
(such as geostrophic vorticity)
at a scale appropriate to the SSP's would be difficult to
jus-
tify.
4) The vorticity fields as analyzed from the triangle center
values included vorticity centers which generally corresponded
to the SSP's subjectively analyzed from w~nd and height obser-
vations. The validity of these centers was further substan-
tiated by the fact that they could usually be followed from
one map to the next, and often for several successive maps. At
each pressure level, a very large proportion of the evolution
of the vorticity pattern over periods between maps
(12hr) ap-
peared to be explained by advection due to winds at that level.
As a result of the normally present vertical and horizontal
wind shears, however,
the vorticity patterns pertinent to the
scales of the SSP's underwent continual distortions, with split-
ting and/or joining of vorticity features
(in both the horizon-
tal and the vertical)
not uncornrnon.
.1···

---

-
16 -
5)
The vorticity isopleths evidenced significant small-scale
noise,
to a degree prohibiting their direct use for deriving
qradients and advections. Error studies were made using
(i)the
average decrease in the absolute values of vorticity differences
vs' decreasing distance,extrapolated to zero separation distance,
and
(ii)
the variation in vorticity at a triangle center resul-
ting from the introduction of a typical error in one or more
compone nt radiosonde wind observations
(5° and/or 2m.sec- 1 ).
These studies suggested the error in a single vorticity value
was about 10% of the typical range of the vorticity, a result
comparable to the errors found by ENDLICH and CLARK (1963).
6)
The time continuity of temperature advection features sup-
ported the general validity of these patterns, but again the
isopleths evidenced significant noise.
7)
The divergence fields were characterized by many small-scale
centers, raising considerable doubts as to their reality. Stu-
dies suggested typical errors of the same order of magnitude
as the divergence, even larger than those found by ENDLICH and
CLARK (1963). These findings stressed the avoidance of directly
calculated divergences whenever possible."
Dans les figures 3 nous avons reproduit les résultats d'unf
analyse que nous avions effectuée à l'aide de la méthode d'ENDLICH
et CLARK. Les figures 3-a, 3-b et 3-c représentent respectivement
les champs de la vorticité, de la divergence et de la vitesse verti-
cale, calculés pour une couche
(750 -
650mb)
à llh, le 8 septembre
1974 à partir des données de radiosondages.
)
Les valeurs négatives de la vorticité sur la majeure partiE
du réseau ouest-européen montrent une situation anticyclonique très
marquée comme l'indique la figure 4. La figure 3-b montre, qu'exceptÉ:
la zone étroite allant de la Belgique au sud de la France, l'écoule-
ment dans cette couche est divergente. Ce qui correspond à la situa-
tion anticyclonique du moment. Quant à la zone de convergence, celle
située en Belgique aurait une relation avec la présence d'un front
occlus, alors que celle située au sud de la France ne correspond à
rien de marqué ni dans le champ de température, ni dans le champ
d'humidité. Le champ de la vitesse verticale montre plusieurs irré-
gularités à petites échelles et sa crédibilité n'est pas certaine.
La figure 5 montre les variations en fonction de l'altitud~
de la divergence et de la vitesse verticale calculée à partir de
plusieurs triangles couvrant le centre de la France. Ces courbes
montrent également une importante dispersion des valeurs calculées.

---

Champ
de
la
Vorticité
Niveau
3
(?SO - 650mb)
8 JUILLET
197~
\\,.,,,
~,
, •
.6
t,
•
1
1
,,,
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.-8
""
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•
•
' . . .
~ .. ; ... 1_~
"'''''''''~ 1 -8
.. .!
•
_ ........~', a ~---
.-3~
.
~
•
FIGURE
3 a
CHAMP DE VORTICIT: (10-~s-1) AU NIVEAU 3

---

Champ
de
la
Divc'rgence
Niveau
3
[ 750 - 650mb)
1\\ H _TU
le
8
JUILLET
1974
2.
•
•T
FIGURE
3 b
CHAMP DE DIVERGENCE (lO-?s-l) AU NIVEAU 3

---

Champ
de
la
Vitesse
VerticallZ
Niveau
3
( 750 - 6~àmb]
"1l H TU
IlZ
8 JUILLET
1974
•-0.7
·-11
,
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r7.J
1
,,
.4]
\\
•
" _-
.....
FIGURE
3 c
CHAMP DE VITESSE VERTICALE W(CM.s-1) AU NIVEAU 3

---

- 17 -
Ces exemples noUs montrent que l'on doit effectivement
lisser les valeurs obtenues par la méthode d'ENDLICH et CLARK, afin
d'arriver à une analyse plus acceptable.
Une fois que l'on a obtenu les valeurs des paramètres et
leurs gradients aux stations d'observation et/ou aux centres de gra-
vité des triangles, i l est nécessaire d'une 'part de calculer les
valeurs de ces paramètres aux points d'une grille régulière et, d'au!
tre part, de procéder à un lissage des valeurs interpolées à ces
points. Dans le cas présent, l'interpolation et le lissage sont ef-
fectués simultanément tout en respectant les renseignements acquis
par les essais de l'analyse subjective ci-dessus.
Pour cette interpolation et ce lissage, une valeur moyenne
pondérée est calculée au point de la grille à partir des valeurs
obtenues pour les stations et/ou les centres de gravité des triangle:
situés à une distance inférieure à la distance d'influence
(R). Ains.,
la valeur d'un paramètre U à un point de la grille
(I,J)
est calculé~
par la formule:
U(I,J}
= L
(Pl (rk}U k + P2 (rl}u~g)/ L
(Pl (rk }+P2 (ri
~,~<R
~,~<R
oùU(I,J), U
et U~ sont respectivement les valeurs de U au point de
k
la grille, à la station k et au centre de gravité ~. r
et r~ dési-
k
gnent respectivement les distances du point
(I,J)
au point k et au
point ~ i
Pl et P2 étant respectivement les poids de pondération af-
fectés à ces valeurs. BARR et coll. ont choisi un poids de pondératbl
différent pour les valeurs directement obtenues aux stations et pour
celles calculées aux centres de gravité d~triangles. Le premier est
donné par :
2
Pl (r)
= (R
_ r 2 }/(R2 + r 2 )
r
~ R
Pl (r)
= 0
r
> R
et le second par
P2 (r)
= C
Pl (r)
r
~ R
P2(r}
= 0
r
> R
./ ...

---

-
18 -
où C est une constante à choisir pour différencier l'influence de la
contribution des valeurs interpolées au centre de gravité par rappor
aux valeurs issues de l'observation. D'après ces auteurs, une valeur
appropriée de C serait de 0,1.
BARR et coll. considèrent le champ interpolé ci-dessus
comme un champ objectivement déterminé et analysé à partir des donné
utilisées.
Ils n'entreprennent pas la correction des ces valeurs
interpolées aux points de la grille, en appliquant à nouveau le cal-
cul des moyennes pondérées à un champ de l'erreur d'analyse. Ce
champ de l'erreur d'analyse est défini aux stations d'observation
par les valeurs de la différence que l'on peut calculer entre les
valeurs directement observées et celles déterminées ci-dessus par
l'interpolation. Cette absence d'itération a un effet sur la recons-
titution du champ. En effet, on a un lissage du champ aux grandes
longueurs d'ondes plus marqué avec le procédé de BARR et coll. qu'
avec le procédé de BARNES. Nous allons examiner ci-dessous la méthod
de BARNES.
2/ METHODE DE BARNES -
La méthode de BARNES a également recours au calcul des
moyennes pondérées, comme celle de BARR et coll. Mais, BARNES utilis
seulement les données issues de l'observation et opère plusieurs ité
rations, en calculant chaque fois la différence entre les valeurs
observées aux stations et les valeurs du champ lissées ré-interpolée
à ces itérations.
2-1)
!~~~EE~!~~!9~_~~_~9~~~!~!~~~_9~~~~g~~~~!9~
Lorsqu'un champ f(x,y)
est donné, BARNES définit sa moyen-
ne pondérée
à un point
(xO'YO)
par :
où Pb est la fonction de pondération définie par

---

•
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1
1
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1
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1
'-, '-...,
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FIGURE 5-A - SCHEMA MONTRANT LES TRIANGLES ET LES CENTRES DE GRAVITE OU SONT CALCULES LES PROFILS
VERTICAUX DE VORTICITE, DE DIVERGENCE ET DE V1TESSE VERTICALE, LE 8 JUILLET 1974 A
12H T.U.

---

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VORTICITE (10-5,s-1)
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FIGURE 5-B - PROFILS VERTICAUX DE VORTICITE AUX
DIFFERENTS CENTRES DE IRIANGLE.

---

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DIVERGENCE (10-5,s-1)
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8 JUILLET 1974 - 11H TU
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FIGURE 5-c - PROFILS VERTICAUX·DE DIVERGENCE AUX
DIFFERENTS CENTRES DE TRIANGLE.

---

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VITESSE VERTICALE W(cM,s-l)
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8 JUILLET 1974 - I1H TU
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- 20
-lO
o
lO
20
FIGURE 5-D - PROFILS VERTICAUX DE VITESSE
VERTICALE AUX DIFFERENTS CENTRES DE TRIANGLE

---

_ 19 -'
Le paramètre k détermine la forme de la fonction de pondé-
ration.
En pratique, la valeur de g(xo'YO)
est calculée par:
où M est le nombre de stations se situant dans un cercle d'influence'
de rayon R.
Afin d'examiner l'effet de ce calcul des moyennes pondérée:!
sur le champ f(x,y),
BARNES introduit une quantité E définie par:
E = - R.n e:
1
avec :
e: = l
r
Pb dr da
41Tk
R
Le terme e: , et par suite le terme E, indique l'influence des va-
leurs du champ à l'extérieur du cercle d'influence.
Afin d'examiner de quelle façon la reconstitution du champ
est affectée par les paramètres tels que la longueur d'onde, la den-
sité de stations dans le réseau et le rayo~ du cercle, BARNES a pris
une onde sinusoïdale à une seule dimension :
f(x)
= A sin (1Tx/L)
où A et L sont respectivement l'amplitude et la demi-longueur d'onde.
Il résulte de la substitution de f(x)
dans l'intégrale"pré·
cédente, la relation
où D est donné par
BARNES appelle D l'indice de précision. En effet, le terme
D indique la part de l'amplitude originelle A retenue au cours du

---

-
20 -'
calcul de la moyenne pondéré. En reécrivant cette relation, on ob-
tient :
où d représente la distance moyenne entre deux stations dans le
réseau en question.
Cette expression montre que pour une valeur fixe de E, la
valeur de l'indice de précision D varie en fonction d'une part du
rapport entre le rayon d'influence R et la distance moyenne entre
les stations d et, d'autre part, du rapport entre la longueur d'onder
L et la distance moyenne d.
La figure 6, reprise dans l'article de BARNES,. représente
cette relation pour E = 4. Nous y voyons que D croît avec L/d, mais
décroît avec R/d. La première relation montre que si la longueur
d'onde augmente par rapport à la distance moyenne d, la reconstitu-
tion devient meilleure, par contre la seconde relation indique que
si le rayon d'influence R croît dans le calcul de la moyenne pondé-
rée,
la reconstitution du champ sera moins bonne du fait d'un lissag(
prononcé.
2-2) Effets de l'itération:
Afin de récupérer une part de l'amplitude perdue dans le
calcul de la moyenne pondérée ci-dessus, BARNES propose de corriger
le champ gl(xO'YO)
ci-dessus déterminé par le procédé suivant:
a)
choisir une valeur appropriée pour le facteur k en tenant
compte de la densité de stations d'observation et de l'échelle
de perturbation à étudier, et, ensuite, calculer le champ interpolé;
b)
à chacune des stations d'observation, calculer l'écart entre
la valeur obtenue par l'observation et celle du champ calculée
ci-dessus ;
c) déterminer le champ de correction à partir de ces valeurs de lé
différence entre le premier champ interpolé et les valeurs is-
sues de l'observation;
d)
ajouter ce champ de correction lissé au premier champ interpol~
afin d'obtenir le second champ interpolé;
./ ...

---

-
21 -
e) répéter à nouveau les étapes b)
à d), en partant du champ
dernièrement interpolé.
On peut examiner l'effet de cette opération d'itération
sur la reconstitution du champ en utilisant comme dans le paragraphe
précédent le cas simple d'une seule dimension.
La première reconstitution détermine le champ donné par
où f(x)
est une fonction quelconque que l'on peut représenter en
intégrale de Fourier.
Après le première itération des opération b), c)
et- d), on
obtient le second champ interpolé :
gl(x)
= gO(x)
+ 0 (gO(x)-f(x»
= 0 f (x) [1 + (1-0>]
où le second terme est le champ de correction.
Après N itérations, on obtient le N-ième champ interpolé
N
gN(x)
= 0 f(x)
~
n=O
Ce- qui montre qu'après la N-ième itération, le rapport entre l'ampli
tude reconstituée et l'amplitude d'origine 'est calculé
par:
N
L
D'
= 0
(l-O)n
N = 0, 1,
~
0
n=O
où le terme D'est l'indice de précision finale après N-itérations.
Le fait que D'
soit supérieur à 0 montre que l'on a réussi à récupé-
rer une part de l'amplitude perdue.
D'après l'essai effectué par BARNES, le champ interpolé
après 3 itérations serait acceptable en tant que champ reconstitué.
Un nombre d'itérations plus élevé pourrait reconstituer le champ
avec plus de détails, mais un tel champ comprendrait également plus
de perturbations à petite échelle, introduites par le ,procédé de
calcul.

---

-
22 -
III - ANALY5E OBJECTIVE A L'AIDE DE LA 5URFACE QUADRATIQUE
Dans les paragraphes précédents, nous avons examiné les
deux méthodes d'analyse objective dans lesquelles le calcul de la
moyenne pondérée est utilisé pour l'interpolation du champ aux
points d'une grille régulière. Du fait que le procédé utilisé est le
calcul de la moyenne pondérée, i l résulte de ceci que l'interpolatic
n'utilise pas toutes les informations contenues dans les données
d'observation. L'exemple schématique ci-dessous montre cette situa-
tion. La figure 7 représente le champ schématique d'un paramètre
f(x,y). Le point "pU est un point de la grille rectangulaire pour
lequel ont doit calculer la va-
55
leur interpolée. Les points 51 ~
56 sont les stations
d'observa-
tion.
5i nous appliquons le calcul de
56
la moyenne pondérée, exposé dan~
les paragraphes précédents, à
cette situation, i l est évident
que la valeur interpolée sera
nettement inférieure à la vraie
valeur qui est supérieure à 10.
figure 7
Ainsi, nous ne réussirons pas
à reconstituer le maximum du
champ. Il est souhaitable qu'une méthode d'interpolation utilisée
dans l'analyse objective à l'échelle sub-synoptique puisse reconsti-
tuer un tel maximum du champ, si les donnée~ disponibles contiennent
les informations nécessaires pour cette reconstitution. Nous penson~
en effet, que de telles informations nécessaires à cette reconstitu-
tion existent dans les valeurs des gradients horizontaux calculés
pour les triangles 515652, 525453, 515355 et 515253, à l'aide de la
méthode de BELLAMY. Ces gradients horizontaux doivent indiquer qu'il
existe un maximum relatif dans le triangle 515253. L'interpolation
à l'aide de la surface quadratique nous permettrait d'intégrer ces
informations sur les gràdients horizontaux dans la reconstitution
du champ.
_ L _
_

---

-
23 -
L'interpolation à l'aide de la surface quadratique est,
comme nous l'avons vu, un procédé qui a
été employé dans le schéma
de l'analyse objective dès l'avènement de cette analyse
(cf. DOOS,
1957). Mais, dans ces méthodes, la surface quadratique a été déter-
minée au moyen du moindre carré de telle façon qu'elle s'accorde
mieux avec les données issues de l'observation de 8 à 10 stations.
Ce qui introduit un lissage important du champ à analyser. PENN et
coll. ont essayé d'améliorer la méthode en introduisant le poids de
pondération en fonction de la distance entre le point de la grille
et les stations dans le calcul du moindre carré. 'Ce qui permet d'at-
tribuer plus de poids aux données des stations proches du point de
la grille, afin d'éviter un lissage excessif du champ. Mais, le fait
que nous devions disposer de plusieurs stations, de 6 à 10 en prati-
que, est un inconvénient majeur de la méthode, car un nombre aussi
élevé de stations recouvre obligatoirement une zone très large, même
dans le cas du réseau ouest-européen. Par ailleurs, le choix de la
grille mobile nécessite un temps de calcul relativement long pour
compléter l'analyse.
De ce fait,
nous avons mis au point une méthode d'interpo-
lation, différente de celle de PENN et coll., dont nous exposons le~
principes dans le paragraphe suivant.
1/ PRINCIPE DE LA METHODE D'INTERPOLATION A L'AIDE D'UNE SURFACE
QUADRATIQUE
Le procédé d'interpolation que nous avons établi diffère
de ceux qui ont été proposés jusqu'ici par la façon dont la surface
quadratique est ajustée aux données issues oe l'observation. Ce pro-
cédé comporte quatre étapes
a)
constitution d'un ensemble de triangles raisonnables à partir dIt
réseau de stations, en l'occurrence le réseau ouest-européen de
radiosondages i
b)
calcul des valeurs interpolées aux noeuds de la grille régulière
situés à l'intérieur de chaque triangle i
c)
lissage des valeurs interpolées sur l'ensemble du réseau, afin
d'éliminer une éventuelle discontinuité sur la frontière commune
des triangles adjacents i en effet, l'interpolation est effectuéE
en b)
ne u~pendant strictement que du triangle considéré, une
discontinuité marquée peut donc se produire au passage d'un trial:
gle à son proche voisin i

---

-
2':1 -
d)
correction de ce champ lissé à partir d'un champ d'erreur déter-
miné à l'aide d'une méthode similaire à
celle de BARNES.
Nous allons examiner tout d'abord les étapes b), c) et dl:
l'interpolation à l'intérieur d'un triangle, le lissage et la carree
tion du champ in~polé. Quant à l'étape a}, constitution d'un ensem-
ble de triangles raisonnables, nous la discuterons plus tard, lors
de la présentation des résultats obtenus par les tests.
Le principe d'interpolation au moyen de la surface quadra-
tique s'explique par le fait que l'on peut approcher la valeur d'un
champ météorologique au voisinage d'un point par développement en
série de Taylor, limité au second ordre, de la fonction représentant
ce champ
2
2
2..9:
~
~ 2
d
2
g(X+x,Y+y} 'V g(X,Y) +
x + dY y +
x
+ 2~ xy + !!.-3. y
dX
2
dXdY
dX
dy2
=
2
Ax
+ Bxy + cy2 + Dx + Ey + F = S(x,y}
où X et Y représentent les coordonnées du centre de gravité.
Le développement en série est limité au second ordre, car
si on utilise l'ordre supérieur, le nombre des inconnues à détermi-
ner augmente très rapidement. Par ailleurs, si nous limitons au
pre
mier ordre, nous ne pouvons retenir l'information sur la non-
linéarité du champ.
Les coefficients A, B, C, D, E et F sont à déterminer à
partir des informations dont nous disposons. Une méthode logique
serait de prendre un nombre de stations suffisant et supérieur à 6,
et de résoudre un système d'équations à 6 inconnues, comme cela se
fait dans la méthode de PENN et coll. Mais, nous n'avons pas voulu
adopter cette méthode car elle ne semble pas tenir compte du fait
que les coefficients A, B et C sont là essentiellement pour corrigeI
le champ linéaire déterminé par les coefficients D, E et F d'une
part, et pour retenir la partie non-linéaire du champ d'autre part.
Par conséquent, nous avons choisi une méthode dans laquelle le pre-
mier groupe de coefficients A, B, C,et le second groupe D, E, F,
sont calculés par deux méthodes différentes. Les premiers coeffi-
cients seront estimés essentiellement à partir d'informations sur le
gradient horizontal du champ, les seconds à partir d'informations
sur la valeur du champ. Pour exposer le principe de notre méthode,

---

-
~5 -
nous choisissons tout d'abord un réseau de 6 stations
(cf. figure 7:
Nous effectuons une interpola tic
56
__
51
sur les noeuds de grille situés
r
- -
-
.., 55
,
1
à l'intérieur du triangle 51-52'
,
1
53, lui-même inscrit sur le ré-
,
1
,
1
seau. Le point indiqué par c.g.
,
1
est le centre de gravité de ce
52 't-------V 53
\\
,
triangle qui est utilisé comme
\\
/
,
"
l'origine des coordonnées x et
\\.
, "
Nous désignons les valeurs du
V
54
champ à ces six stations par
Ul
Figure 8
indice de 1 à 6.
De la fonction quadratique nous obtenons :
DX
+
1
EY1 + F = f
-
(Axi + BX
1
1Y1 + cy2)
-
E
= G
1
1
1
DX
- (Ax2 + BX
2 + EY2 + F = f 2
2
2Y2 + Cy 2
-
E
= G
2
2
2
DX 3 + EY3 + F = f
-
(Ax 2 + BX
3
3
3Y3 + Cy 2
-
E
= G
3
3
3
où El' E
et E
représentent la somme d'une part de l'écart entre II
2
3
champ vrai-et la surface quadratique, et d'autre part l'erreur de
mesure présente dans les données.
En résolvant ce système d'une façon formelle, nous obte-
nons
D = ((G
- G )
-
G
)
2
(Y3 -
Y ) - (G3
(Y2 - Y ) } / M
1
1
1
1
E = t(G
- G )
(x
- x ) - (G
- G )
(x
3
2
2
3 - xl) } /
M
1
1
1
F =
(G
+ G
+ G ) /3
l
2
3
avec :
M =
(x 2 - xl) (Y3 - Y1 ) - (x3 - xl) (Y2 - y )
1
Les expressions ci-dessus sont bien sûr invariantes par
rapport à une permutation circulaire des indices 1, 2 et 3.
En admettant que les termes de correction soient négligea'
b1es, nous pouvons déterminer les coefficients D, E et F, si les
trois autres coefficients A, B et C sont connus.

---

-
26 -
Pour déterminer ces derniers coefficients, nous calculons
tout d'abord les gradients horizontaux de S(x,y)
as = 2 Ax + By + D
ax
as =
Bx + 2Cy + E
ay
Nous pouvons substituer à D et E dans les équations ci-dessus leurs
expressions précédentes et obtenir :
as
P(x,y ; A,B,C) = ax
= A(2x -
X
)
+ B(y - Y ) + C Z
+ W
x
x
x
x
as
Q(x,y ; A,B,C) = ay
= A X
+ B(x - Y ) +
y
y
C(2y -
Zy) + Wy
où
x , x , y , y , Z , Z ,W
et W
sont les fonctions des coor-
x
y
x
y
x
y
x
y
données xl' x 2 ' x 3 ' YI' Y2' Y3 et des valeurs fI' f 2 et f 3 • Le terml
X
est donné, par exemple, sous la forme :
x
,'
• r
1
le terme M conservant son sens
précédent.
Les quantités P et Q représentent les gradients horizon-
1\\
"
taux du champ f
à un point (x,y)
lorsque ce champ est ajusté par un
surface quadratique. Nous pouvons utiliser maintenant ces relations
pour déterminer
les coefficients A, B et C. Pour cela, nous
disposer d'au moins trois estimations du gradient horizontal pour a
'"
ax ou pour
as/ay, déterminées directement par la mesure ou calcu~
lées à partir des données issues de l'observation.
Si, par exemple, le champ à interpoler est celui de l'aIt
tude géopotentielle, on peut utiliser les mesures du vent horizonta
pour en tirer les informations sur les gradients horizontaux de ce
champ, en admettant toutefois que le vent est géostrophique. C'est
ce qui a été fait dans le procéde de CRESSMAN que nous avons vu pré
cédemment. Mais, i l existe deux raisons d'éviter l'emploi du vent
mesuré dans notre cas. Premièrement, les mesures du vent ne sont pa

---

-
27 -
suffisamment précises pour que l;on pU1sse escompter tirer de leur
usage le surcroit de détails que l'on recherche. Deuxièmement, l'hy-
pothèse du géostrophisme n'est pas très appropriée dans ce type
d'analyse ayant pour but le calcul du champ de divergence et du chan
de la vitesse verticale, car l'écoulement géostrophique est essentiE
lement non-divergent, excepté la divergence créée par le déplacement
d'une particule d'air dans le plan méridien. Par conséquent, nous
devons trouver d'autres méthodes pour estimer les gradients horizon-
taux du champ.
Nous avons vu précédemment que la méthode de BELLAMY per-
mettait une estimation très approchée des gradients horizontaux des
divers paramètres à partir des données d'au moins trois stations
non-alignées. Nous examinons ci-dessous si l'emploi de ces estima-
tions est compatible avec notre procédé de détermination des coeffi-
cients D, E et F.
Considérons maintenant le triangle "1" formés par les sta-
tions 81, 84 et 83. Nous pouvons calculer les gradients fi
et fi
x
y
pour le centre de gravité
(Xl' YI)
de ce triangle
à l'aide de la
méthode de BELLAMY :
A,
B, C)
+ Elx
A,
B,
C)
+ Ely
oü
flb et flb représentent les valeurs du gradient estimées par
x
y
b
b
la méthode de BELLAMY,
El
et
El
étant l'écart entre la vraie
x
y
valeur du gradient et son estimation. P et Q représentent, comme nou
l'avons vu, les gradients horizontaux lorsque le champ est rapproché
d'une surface quadratique, El et
El désignant l'écart entre la vrai
x
y
valeur du gradient et la valeur ajustée par une surface quadratique.
Nous pouvons calculer, d'une manière analogue,
les valeurs
du gradient horizontal pour les centres de gravité des triangles "2"
et "3" formés respectivement par les stations 81, 83, 85, et 8~, 86,
82. Ce qui nous permet de disposer des six relations suivantes:
./ ...

---

-
28 -
f1b = P(X ,
., A, B, C) + (E: l - E: lb)
X
l
YI
X
X
f1b = Q(X ,
l
YI
A, B, C) +
(E: l
_ E: 1 b)
Y
Y
Y
f2 b = P(X , Y ; A, B, C) + (e: 2 _ E:~b)
X
2
2
X
f2 b = Q(X ,
.
Y
, A, B, C) + (E: 2
2b)
-
E:
Y
2
2
Y
Y
f3b = P(X , Y
A, B, C) +
(E: 3 _ E: 3b)
X
3
3
X
X
f3b = Q(X , Y ; A, B, C) + (E: 3 _ E: 3b)
Y
3
3
Y
Y
Ces six relations constituent un système linéaire à trois
inconnues que l'on peut résoudre facilement au moyen de la méthode
des moindres carrés. Mais, avant de conclure définitivement sur ce
procédé, i l nous reste à examiner un problème, à savoir celui qui a
trait aux estimations du gradient que nous pouvons faire pour le
centre de gravité du triangle "0" formé par les points SI, S2 ct S3.
Un examen des expressions données pour
as/ax et pour as/ay montre
que les gradients estimés au centre de gravité
(Xo ' Yo ) sont égaux
numériquement à D et E, car le centre de gravité est choisi comme
l'origine des coordonnées x et y. Par conséquent, i l n'est pas besoi
en principe, d'inclure ces estimations dans le systè~e linéaire ci-
dessus.
Mais, pour examiner de près ce problème, i l nous faut te ni
compte du fait que ces estimations sont entachées
d'une incertitude
due à l'erreur de mesure. Ainsi, nous avons:
D + E:~
oü l'indice supérieur
"0" indique que les termes sont relatifs au
triangle
" o" •
1

---

-
29 -
Ces relations montrent que nous ne sommes pas obligés de
respecter l'identité entre fob et D, ni celle entre fob et E. Par
x
y
conséquent, nous pouvons inclure ces deux équations supplémentaires
dans le système ci-dessus
fib
p (X. ,
ib)
=
Yi
A, B, C)
+ (E; - EX
X
l.
fib = Q (X. , Y. ; A, B, C) + (E~ - E~b )
Y
l.
l.
i
= 0, l, 2, 3
N'ayant pas d'autres contraintes
nous obligeant à faire Il
choix d'une méthode particulière de résolution, nous déterminons les
coefficients A, B et C à l'aide d'une méthode de moindres carrés, de
telle façon que la somme
soit minimale.
Lorsque les coefficients A, B et C sont calculés, nous les
introduisons dans les expressions donnant D, E et F, afin d'estimer
ces derniers à leur tour. Ainsi, nous pouvons déterminer tous les
six coefficients du polynôme quadratique nécessaires à l'interpola-
tion du champ à l'intérieur du triangle "0"'.
Il est à remarquer que'
le système ci-dessus ayant trois inconnues,
i l n'est pas besoin de
toujours disposer de huit équations comme c'est le cas ci-dessus.
Nous pouvons employer le procédé ainsi établi même si nous disposons
seulement de quatre stations. Mais, dans la pratique, nous avons
toujours disposé d'au moins cinq stations avant d'utiliser la techni-
que qui précède.
En appliquant la méthode ci-dessus établie à un ensemble
de triangles formés sur un réseau d'observation,
nous pouvons calcu-
ler la valeur du champ interpolé pour tous les points de la grille
situés sur le réseau. Mais, comme nous l'avons déjà signalé, i l peut
exister des discontinuités en valeur du champ interpolé à la fron-
tière de deux triangles adjacents car l'interpolation est effectuée
de façon tout-à-fait indépendante sur ces deux triangles. Ce qui nou~
oblige à procéder à un lissage du champ interpolé brut afin d'élimi-

---

-
30 -
ner ces discontinuités. Mais, nous devons prendre garde d'appliquer
un lissage trop fort, car i l peut effacer les détails du champ que
nous avons essayé de sauvegarder par notre méthode d'interpolation.
C'est pour tenir compte de cette exigence que nous avons choisi une
solution simple qui consiste à appliquer le calcul de la moyenne
pondérée au champ brut (non lissé). Cette moyenne pondérée est cal-
culée à l'aide de la formule suivante:
oü f
désigne la valeur lissée, f
étant la valeur du champ inter-
c
c
polé non lissé
(cf. figure 9).
Afin de tester le degré du lis-
I+1
sage en fonction du nombre d'itÉ
rations, nous avons appliqué ce
calcul de la moyenne pondérée
J
sur un champ non lissé ayant de~
discontinuités. L'examen des
J-1
résultats du lissage nous a mon-
I-1
l
I+1
tré qu'après trois itérations,le
champ dont nous disposions était
figure 9
suffisamment lissé pour ne plus
laisser subsister de traces des discontinuités initiales. Nous avon~
donc adopté ce nombre de trois itérations pour lisser le champ brut
issu de l'interpolation.
Nous venons d'examiner dès à présent les procédés de cal-
cul que nous avons employés dans les étapes b) et cl. Ainsi, à la
fin de l'étape cl, nous avons constitué le champ lissé d'un paramè-
tre météorologique à partir de ses valeurs issues de points d'obser-
vat~on. Mais, l'opération du lissage,intervenant au cours de cette
même étape c), peut atténuer l'amplitude du champ, tout en éliminant
aes irrégularités de petites échelles. Par oonséquent, i l est néces-
saire de prévoir le calcul d'un champ de correction que l'on ajoute-
ra au premier champ lissé.
./ ...

---

- 31 -
Pour le calcul de ce champ de correction, nous avons adop'
té les mêmes principes que ceux définis par BARNES pour traiter du
même type de problème. Nous déterminons tout d'abord l'écart entre
la valeur fournie par les mesures et celle issue de l'interpolation
du champ lissé. BARNES a déterminé cette dernière valeur par le cal·
cul Àe la moyenne arithmétique des valeurs du champ lissé obtenues
aux quatre sommets de la maille contenant la station. Pour notre
part, nous avons calculé cette valeur en utilisant à nouveau le dé-
veloppement en série de Taylor limité au second ordre
f
(x, y) =
c
où f
désigne ledhamp interpolé lissé. Les coordonnées
(x,y)
sont
c
mesurées à partir du point de la grille le plus proche de la statior
Les dérivées de premier et second ordres sont calculées à partir de~
valeurs du champ lissé obtenues aux points de la grille par la méthc
de de la différence finie .
. Après discrétisation sur notre grille, l'équation ci-
dessus devient :
f
(1,J+I) - f
(1 J-I) i
c
x +
1
2
c
'
+ ~ (fc(1+I,J+I) - fc(1+I,J-I) - fc(1-I,J+I) + fc(1-~J-l~X
+ 1:. (f (1,J+2) - 2 fc(1,J) +
(1,J-2»)y2
c
f c
4
où fc(x,y)
est la valeur prise par le champ lissé à la station, f c
étant la valeur au noeud du champ corrigé
(cf. figure 9bis).
Ainsi, on peut déterminer la valeur du champ lissé aux
points de station. Les valeurs de l'écart calculées pour toutes les
stations du réseau sont utilisées comme données initiales et le pro
cédé d'interpclation en deux étapes b)
et c)
est répété à nouveau
afin de déterminer le champ de correction qui sera ajouté au premie
champ lissé.

---

(l, J+2)
(H, J+ 1)
(l,J+1)
(1+1 i t 1)
j
-
ôX M
'---'1
1
/
!Sy
(1-2,J)
(1-, ,~)
(l, J )
(I +1, J)
(1+2,J)
.'
,
y
(1-1 J-1)
( I,J-1)
(1+1,J-1)
,
..
~
a
x
1
(l, J-2)
.. FI GURE
9 bis
NOEUDS DE.LA GRILLE PRIS EN COMPTE POUR LtlNTERPO~ "
LAT ION ALA STATION","

---

- 32 -
A chaque itération, l'écart à la station diminue et nous
pouvons visualiser cette évolution grâce aux figures IO-a et IO-b
sur lesquelles
est portée en abscisse la valeur réelle à la statior
et en ordonnée la valeur issue de l'interpolation du champ corrigé.
La pente de la droite moyenne passant par ces pointés donne une idéE
de la correction locale.
Au-delà d'un certain nombre d'itérations, trois en l'occu!
rence, on ne note plus d'améliorations dans le champ corrigé; au
contraire, on remarque une détérioration des résultats.
)
.1···

---

-
33 -
IV - RESULTATS SUR LA RECONSTITUTION DE CHAMPS
Dans ce chapitre, nous présentons des résultats de tests
que nous avonsclfectués avec les deux méthodes d'interpolation afin
d'examiner leur performance en ce qui concerne la reconstitution d'u
champ.
La prem1ere méthode est basée sur le calcul de la moyenne
pondérée et issue de la méthode de BARR et coll. et de' celle de BAR-
NES. Dans cette méthode, la moyenne pondérée est calculée comme dans
la méthode de BARR et coll., mais nous y avons repris et intégré le
calcul du champ de correction proposé par BARNES, alors que BARR et
coll.
l'avait éliminé.
La seconde méthode d'interpolation est celle que nous avon
établie ci-dessu~. Elle est basée sur l'ajustement d'une surface qua
dratique aux valeurs issues de l'observation.
Nous allons présenter tout d'abord le réseau ouest-euro~r
de radiosondages et les domaines pour lesquels nous avons testé les
deux méthodes. Nous examinerons ensuite des résultats obtenus pour l
reconstitution de champs à l'aide de ces deux méthodes, avant de les
comparer. Nous comparerons également nos résultats avec ceux obtenus
par BARR et coll.,ce qui nous amènera à discuter des avantages et de
inconvénients de chacune des méthodes et à mettre en parallèle le
réseau ouest-européen et le réseau nord-américain.
1/ RESEAU OUEST-EUROPEEN DE RADIOSONDAGES -
Les stations comprises dans ce que nous appelons le réseau
ouest-européen sont essentiellement celles dont les résultats du
radïosondage sont transmis en code sur le télétype des stations mété
rologiques en France. Le nombre total de stations varie autour de 38
stations, si l'on tient compte de la disponibilité des données quoti
diennes. Les pays suivants sont couverts par ce réseau : France, An-
gleterre, Irlande, Belgique, Pays-Bas, Suède, Norvège, Allemagne Fé-
dérale, Suisse, Italie, Espagne et Portugal
(cf.
figure lOlo Parmi
ces stations, la majeure partie transmettent TTAA et TTBB, c'est-à-

---

FIGURE
10
RESEAU OUEST-éUROPEEN DE RADIOSONDAGES

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GRILLE HORIZONTALE UTILISEE POUR LES INTERPOLATIONS

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-
34 -
dire
pression,
température, point de rosée, vitesse et direction
du vent pour les niveaux standard et pour les niveaux significatifs.
Les stations en Espagne et au Portugal ne transmettent que TTAA,
c'est-à-dire les données auxniveaux standard.
Sur ce réseau, nous avons constitué une grille régulière
dont la longueur de la maille est d'environ 75km de cOté. Cette mai]
le est nettement plus petite que celle utilisée par BARR et coll.
par exemple. Ces derniers ont utilisé une maille de 170km de côté.
Pour l'opération d'interpolation, nous utilisons toutes les station~
disponibles dans ce réseau ouest-européen, mais nous retenons seule-
ment le domaine rectangulaire plus petit (indiqué sur la figure 10)
pour la représentation finale du champ analysé. Dans ce domaine, la
densité de stations d'observation est élevée dans la partie est et
nord, mais elle est particulièrement faible dans la zone recouvrant
le sud-ouest de la France et l'Espagne. Cette différence de densité
des stations, et par suite de distance moyenne entre les stations,
affectera comme nous le verrons plus tard la reconstitution du cham~
Pour l'utilisation de la première méthode, i l nous faut
préparer un ensemble de triangles approprié. De même, nous devons
constituer un réseau de triangles pour l'utilisation de la seconde
méthode.
1-1) çhQ!~_~~_~~!~~~~~~_EQ~~_!~_E~~~!~~~_~~~hQ9~:
Le nombre de triangles que l'on peut former à partir de la
totalité des stations du réseau ouest-européen est extrêmement élevé
Il n'est pas justifié de former des triangles avec les stations qui
sont très éloignées les unes des autres, ce qui nous amène à limiter
tout d'abord le nombre de triangles de telle façon que les stations
formant un triangle ne soient pas situées au-delà d'une certaine
distance limite. Cette distance reste à déterminer. Nous avons chois
une distance de 300km comme étant la distance limite entre les sta-
tions. MaE, dans des cas particuliers,où une station n'a aucune sta-
tion voisine à une distance inférieure à cette valeur par exemple,
nous augmentons cette distance limite de 50% pour que toutes les
stations du réseau puissent participer à l'opération d'interpolation
./ .._-

---

-
35 -
Dans la méthode de BARR et coll., le calcul des gradients
est effectué à l'aide de la méthode de BELLAMY. Ce qui nous amène à
imposer une seconde condition dans le choix des triangles. En effet,
l'estimation du gradient serait meilleure pour un triangle proche
du triangle équilatéral que pour un triangles yant un ou deux de se~
trois angles très petits.
Nous nous sommes donc limités à des triangles pour les-
quels le minimum du rapport entre sa hauteur et sa base est supé-
rieur à 0,2. Même en limitant les trianges à considérer
par ces
deux conditions, le nombre total de triangles formés sur le réseau
ouest-européen s'élève à 329.
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Pour préparer un réseau de triangles adéquat ~ l'applica-
tion de la seconde méthode,
nous avons deux possibilités. La premièr:
est d'utiliser tous les triangles que nous avons utilisés dans la
première méthode. Mais, elle introduit une complication au niveau
de l'écriture des programmes. La seconde possibilité est de choisir
subjectivement un certain nombre de triangles et de figer le réseau
de triangles. C'est la seconde solution que nous avons choisie, car
notre étude porte essentiellement sur la performance des méthodes
d'interpolation à l'aide d'une fonction connue,prise
comme champ de
paramètre.
Ce réseau de triangles est représenté sur la figure 10.
Nous avons choisi ce réseau de telle façon que les triangles soient
~ussi proches que possible du triangle équilatéral. Mais, il ne faut
pas négliger les aspects négatifs du réseau jigé ; nous devons recon
tituer à nouveau ce réseau chaque fois que des données manquent à un
des stations. Nous ne pouvons pas programmer l'adaptation de ce ré-
seau aux différentes figures pour lesquelles certaines stations peu-
vent faire défaut,
sans encombrer les mémoires du calculateur.
2/ TESTS SUR LA RECONSTITUTION DU CHAMP -
Les méthodes d'interpolation pour lesquelles nous avons
écrit des programmes d'exploitation doivent être testées tout d'abor'
afin de préciser leumperformancesen ce qui concerne la reconstitu-
tion du champ. Mais, nous devons baser l'appréciation de leurs perfo
mances sur des caractéristiques
auxquelles nous pourrons attribuer

---

- Jo -
une signification physique. Pour cela, une des façons de poser le
problème est de considérer tout d'abord la relation existant entre
le champ réel et le champ analysé par le procédé d'interpolation
dans son ensemble, et de ne pas examiner seulement la relation entrE
les données et le champ analysé.
Dans ce cas, nous pouvons assimiler la relation entre le
champ vrai et le champ analysé à une sorte d'opération de filtrage
appliquée au champ vrai. Par conséquent, i l est important de tenir
compte de ce qui se produit dans la phase d'observation, si nous
voulons apprécier correctement les performances de la méthode d'ana·
lyse objective.
L'observation faite à chacune des stations correspond à
un échantillonnage des données appliqués à ce champ. A partir de
cette constatation on espère que les données échantillonnées seront
suffisantes pour reconstituer les caractéristiques principales de
ce champ. Par conséquent, on doit admettre déjà que le réseau chois
ne sera approprié que pour observer des phénomènes à certaines
échelles
(à l'exclusion des autres échelles). Dans le cas général
d'acquisition et de traitement des données expérimentales, on peut
choisir librement une cadence d'échantillonnage appropriée pour les
phénomènes envisagés. Mais, une des particularités du réseau métêo-
rologique réside dans le fait qu'il est déjà installé d'une façon
figée, au moins en ce qui concerne le réseau synoptique ouest-
européen. La répartition des stations sur le réseau n'est pas ratio j
nelle • Ainsi, nous ne pouvons étudier qu'~pproximativement l'effet
du réseau sur la reconstitution du champ. Ceci est particulièrement
vrai pour les échelles qui nous intéressent.
Quant au traitement de ces données d'observation, tout
serait simple si le réseau était régulier. Nous pouvons considérer
qu'un grand nombre de problèmes que soulève l'analyse objective se
posent du fait de cette irrégularité même du réseau existant. C'est
pour cette raison que nous ne pouvons discuter de méthodes d'analys
objective en faisant abstraction du réseau d'expérimentation.
Si nous assimilons, comme nous l'avons fait,
l'opération
d'analyse objective à une opération de filtrage appliquée au champ
vrai d'un paramètre météorologique quelconque, nous devons examiner
·1· ...

---

- 37 -
essentiellement trois facteurs afin de connaître les performances
de la méthode d'interpolation donnée. Ces trois facteurs sont, com-
me dans le cas des filtres électriques, l'atténuation d'amplitude
de la variation du champ, la modification de la phase, la génératio
de perturbations ou de bruits.
Ce sont les deux derniers facteurs
qui entrent en jeu dans la déformation du champ.
Afin d'examiner ces trois aspects de la reconstitution du
champ, nous allons procéder, comme l'ont fait BARR et coll., à la
reconstitution d'un champ connu, et ensuite nous comparerons le
champ interpolé avec celui donné initialement. Nous utilisons pour
ce test un champ défini par :
f(x,y)
= A cos (2 'IT x + 1jJx) cos (2 'IT y + 1jJy)
L
L
où A et L sont respectivement l'amplitude et la longueur d'onde de
la perturbation, 1jJ
et 1jJ
~ant respectivement la phase dans la dire
x
y
tion x et dans la direction y. Nous avons pris comme valeur de A
l'amplitude 100.
Le champ à analyser étant donné analytiquement, le test
de la reconstitution consiste
à
:
a) calculer la valeur de cette fonction à chacune des stations si-
tuées
sur le réseau ; nous pouvons le faire car les coordonnées
de chacune des stations sont connues ;
b) reconstituer le champ à l'aide de chacune des deux méthodes, en
utilisant seulement les valeurs du champ calculées aux points de
stations représentés sur la figure 10.
Nous pouvons donc examiner, en fonction de la longueur
d'onde L et des phases 1jJ
et 1jJ , en quoi le champ reconstitué dif-
x
y
fère de celui calculé analytiquement.
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de BARR :
Nous avons essayé de reconstituer le champ donné par la
fonction ci-dessus, pour différentes valeurs de la longueur d'onde.
Nous avons choisi 8 longueurs d'ondes. Elles sont, en unité de la
longueur de ~a maille, de 30, 25, 20, 18, 16, 14, 12 et 10 ; en dis
tance géodésique, elles varient de 2450 à 750km.

---

- 38 -
a} Comparaison entre le champ analytique et le champ restitué : :
Les figures Il et 12 représentent respectivement le champ
analytique et le champ reconstitué, après trois itérations par la
méthode de calcul de la moyenne pondérée. Sur ces figures, les iso-
contours sont tracés au moyen de chiffres, après avoir réparti les
valeurs du champ en un certain nombre de classes i
dans le cas de
la figure Il, la zone représentée par le chiffre "3" correspond à
un domaine où la valeur du champ est entre 50 et 60. Rappelons que
l'amplitude A est de 100.
La comparaison de ces deux figures montre que le champ
reconstitué possède les minima et les maxima localisés à peu près
aux mêmes endroits que le champ vrai. Mais, les résultats sont déjà
médiocres dans la partie ouest du domaine où nous ne disposons pas
de beaucoup de stations.
Quant à la valeur absolue de ces maxima et de ces minima
reconstituée dans le champ interpolé, elle correspond assez bien à
celle obtenue pour le champ vrai. Toutefois, cette amplitude semble
très atténuée dans la zone centrale du domaine. En effet, la valeur
restituée de ce maximum est inférieure à 50, alors que la valeur
vraie est de 100 comme nous le rappelions plus haut. Ceci résulte
du fait que les stations situées dans cette zone, notamment TRAPPES
BORDEAUX, LYON, sont très mal placées par rapport à ce maximum du
champ en ce sens qu'elles sont toutes les trois situées sur la même
couronne pour une perturbation à axe de symétrie vertical comme cel
le que nous manipulons. Nous avons évoqué cette éventualité dans le
paragraphes précédents.
Pour apprécier globalement l'accord entre ces deux champs
nous pouvons utiliser le coefficient de corrélation calculé entre
eux. Dans le cas présent, nous avons obtenu une valeur de 0,76 pour
ce coefficient. Nous pouvons donc admettre l'existence d'un accord
relatif entre les deux champs. Mais, si nous examinons les détails
du champ, nousrous apercevons qu'ils sont assez différents dans les
deux cas.
Nous avons examiné si ces résultats ne se modifiaient pas
d'une façon sensible lorsque
ces ondes sont placées différemment
par rapport ~u réseau de stations. Pour cela, nous avons effectué
une restitution du champ pour trois cas différents correspondant

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11
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A= 100, AMPLITUDE
L = 20,
LONGUEUR D'ONDE
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(MÊMt LÉGENDE QUE POUR LA FIGURE Il)

---

- 39 -
aux valeurs de la phase
(ljJ
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= 45°), (1jJ
= 45°, 1jJ
= 0) et
x
y
x
y
(ljJ
= 45°, ljJ
= 45°). Nous constatons effectivement que la reconsti-
x
y
tution du maximum central est meilleure dans ces cas que dans le
cas précédent. Mais, le coefficient de corrélation, indicatif de
l'accord global, ne se modifie pas sensiblement.
Il est respective-
ment de 0,73, 0,84 et 0,79. Ce qui semble montrer qu'une améliora-
tion de la reconstitution dans une zone est compensée par une dété-
rioration dans d'autres secteurs.
Examinons maintenant les résultats obtenus pour une lon-
gueur d'onde de L = 16. Le champ vrai est présenté sur la figure 13
et le champ reconstitué sur la figure 14.
Nous remarquons tout d'abord que du point de vue de la
localisation, les maxima et les minima
sont restitués d'une façon
approchée, excepté dans la zone centrale du domaine. Le maximum du
champ analytique situé dans cette zone disparaît complètement qans
le champ restitué, en y laissant seulement u~e zone de valeurs posi-
tives connectée au maximum du champ situé sur l'Espagne. Quant aux
valeurs du maximum et du minimum, elles sont très atténuées par
rapport à leurs valeurs initiales.
Nous avons aussi calculé le coefficient de corrélation
entre ces deux champs afin de préciser leur accord global. Il est
d'environ 0,5, ce qui est faible pour que nous puissions dire qu'il
y a effectivement un accord global entre les deux champs.
b)
Comparaison de nos résultats avec ceux de BARR et coll.
:
Dans ce paragraphe, nous comparons les résultats que nous
avons obtenus pour le réseau ouest-européen, avec ceux que BARR et
coll. ont obtenus pour le réseau nord-américain.
La figure 15 représente la variation de l'erreur relative
du ·champ restitué par rapport au champ vrai, en fonction de la lon-
gueur d'onde. L'erreur relative y est
portée en ordonnée et la Ion
gueur d'onde en abscisse.
BARR et coll. ont défini l'erreur relativ
par :
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14
CHAMP ANALYSE
METHODE DE "BARR MODIFIEE"
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(MËME ~ÉGENDE QUE POUR LA FIGURE Il)

---

où f
et f
sont respectivement le champ analytique et le champ res-
a
titué, A étant l'amplitude de l'onde. La somme est prise sur l'en-
semble des points de la grille. Nous y avons porté en plus l'erreur
relative pour les deux méthodes en question, la valeur de l'erreur
relative calculée pour la méthode d'interpolation utilisant l'ajus-
tement de la surface quadratique. Mais, nous n'examinerons cette
dernière erreur relative que dans le paragraphe suivant.
La figure 15 montre que dans le cas de BARR et coll., et
également dans notre cas,
l'écart moyen entre le champ restitué et
le champ vrai est de l'ordre de 20 à 30% de l'amplitude de l'onde,
même si la longueur d'onde se situe entre 2.000 et 3.000km. L'erreu
relative augmente au fur et à mesure que la longueur d'onde diminue
Elle atteint une valeur de 0,6 pour la longueur d'onde d'environ
850km.
Il est à remarquer que notre courbe et celle de BARR et coll
se superposent pratiquement dans toute la gamme des longueurs d'ond
Pour les méthodes d'analyse ayant pour but de maximaliser
les détails du/champ contenus dans les données disponi~les, le plus
important est certainement de préciser la résolution que chacune
des méthodes peut atteindre. Pour apprécier quantitativement la ré-
solution d'une méthode donnée,
nous devons déterminer la plus petit
longueur d'onde que la méthode peut restituer d'une façon acceptabl
L'erreur relative que nous avons calculée précédemment ne semble
pas être un bon indicateur de ce point de vue, car sa variation en
fonction de la longueur d'onde est trop g~adue11e pour que nous
puissions fixer une limite pour la restitution du champ.
Dans ce but, BARR et coll. ont calculé un paramètre qu'il
ont appelé coefficient de transmission, mais qui n'est autre que la
pente d'une droite de régression calculée à partir du champ resti-
tué et au champ vrai. Bien que le terme "coefficient de transmis-
sion" puisse prêter à confusion, i l est vrai
que la pente de la
droite de régression fournit une indication moyenne sur le taux
d'amplitude initiale reconstituée, donc la part moyenne de l'ampli-
tude transmise.
La figure 16 représente la variation du "coefficient de
transmission"
(t)
portée en ordonnée,en fonction de la longueur
d'onde,
elle-même
portée en abscisse. Les courbes sont données
pour trois m"thodes d'interpolation, méthode de BARR et coll., mé-
thode de BARNES et méthode de BARR modifiée par nous-mêmes.
. / ...

---

Examinons tout d'abord la courbe de BARR et coll. Cette
courbe montre une augmentation du coefficient de 0 à 0,7 en fonc-
tion de la longueur d'onde, lorsque cette dernière croit de 1.000
à 2.000km. La valeur du coefficient se stabilise ensuite autour de
0,75. La pente de cette augmentation du coefficient est plus raide
que celle que nous avons pu constater dans le cas de l'erreur rela-
tive sur la figure 15. BARR et coll. ont considéré que la longueur
d'onde correspondant à cette augmentation pourrait indiquer la lon-
gueur d'onde de la perturbation que l'on peut résoudre raisonnable-
ment avec leur méthode; ce qui situe la longueur d'onde résolvable
par leur méthode autour d'une valeur de 1.700km. Pour cette lon-
gueur d'onde,
l'erreur relative de la reconstitution est de l'ordre
de 0~3.
La courbe de BARNES que nous avons reproduite a été prise
dans l'article de BARR et coll. Avec cette courbe, le coefficient
de transmission croît très rapidement d'une valeur inférieure à
0,1 à une valeur supérieure à 0,8
, lorsque la longueur d'onde passl
de 1.300 à 2.000km environ. Le coefficient de transmission de 0,5
est obtenu pour une longueur d'onde de 1.700km, identique à celle
obtenue par BARR et coll.
La comparaison entre ces courbes montre que la reconsti-
tution du champ serait très bonne pour des perturbations ayant une
longueur d'onde supérieure
à 2.000km avec la méthode de BARNES,
alors que la méthode de BARR et coll. a encore une atténuation sen-
sible.
Quant à notre courbe, elle présente une croissance rapid~
de 0 à 0,9, de la valeur du coefficient de transmission lorsque la '
longueur d'onde des perturbations croît de 850 à 1.700km. Le coef-
ficient de transmission de 0,5 est atteint pour une longueur d'onde
d'environ 1.200km. Cette valeur de la longueur d'onde limite
est
nettement plus petite que la valeur de 1.700km obtenue pour les mé-
thodes de BARR et coll. et de BARNES.
Nous sommes tentés d'attribuer cette amélioration de la
résolution au fait que la densité de stations est plus élevée dans
le réseau ouest-européen que dans le réseau nord-américain, car
notre méthode n'est pas fondamentalement différente de celle de
BARNES, bien que notre méthode utilise des valeurs interpolées au

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FIGURE-15 :.. COURBES DES ERREURS RELATIVES EN FONCTION DE LA LONGUEUR
D'ONDE POUR LES DIFFERENTES METHODES DI INTERPOLATION,'

---

centre de gravité de plusieurs triangles. A ce propos, nous remar-
quons que la variation du coefficient de transmission en fonction de
la longueur d'onde est analogue pour les deux courbes, par la rai-
deur de la pente et aussi par la valeur ; notre courbe se situe dans
les longueurs d'onde plus petites. Ceci pourrait s'expliquer par le
fait que dans ces deux méthodes le champ initialement interpolé est
corrigé par addition d'un champ de correction et que cette opération
est répétée trois fois. Cette itération peut effectivement améliorer
le coefficient de transmission pour une longueur d'onde suffisamment
longue par rapport à la distance moyenne entre les stations.
Nous avons f~ remarquer antérieurement que la variation
de l'erreur relative en fonction de la longueur d'onde n'était pas
très différente avec notre méthode et avec celle de BARR. De ce fait
l'erreur relative pour la longueur d'onde limite atteint une valeur
de 0,5 dans notre cas, tandis qu'elle restait autour de 0,3 dans le
cas de BARR pour le réseau nord-américain. Ceci semble résulter du
fait que le réseau nord-américain est plus régulier en répartition
de stations que le réseau ouest-européen avec lequel notre test a
été effectué. En effet, il n'est pas exclu que dans le réseau nord-
américain la résolution
soit limitée essentiellement par la densité
de stations légèrement plus faible, mais son uniformité créerait
une déformation moindre du champ. Alors que dans le cas du réseau
ouest-européen, on pourrait obtenir une meilleure restitution du
champ du fait d'une distance moyenne faible entre les stations. Mais
la non-conformité de la répartition des stations que nous avons déjà
signalée introduit une plus grande déformation du champ, tendant
ainsi à accroître l'écart moyen entre le champ vrai et le champ
restitué.
Cependant, l'examen du champ restitué après chaque itéra-
tion semble indiquer que cette itération introduit un certain nombre
d'irrégularités dans le champ. Il est possible que la technique adop
tée pour le calcul du champ de correction ne soit pas tout-à-fait
fait adaptée à la méthode, bien qu'elle soit identique à celle de
BARNES.
Les résultats des tests réalisés pour la méthode d'inter-
polation quadratique semblent confirmer, comme nous le verrons plus
tard, que la majeure partie de l'amélioration constatée résulte
du réseau d'observation. Ceci ne signifie pas pour autant que le
réseau ouest- ;uropéen soit supérieur à celui du continent nord-
américain, car la variation de l'erreur relative du champ n'est pas

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D'ONDE L/POUR L/ANALYSE DE (3A/dX) ET (dA/dx) DIAPRES
BARR ET COLL. (1971)

---

-
43 -
très différente dans les deux cas.
Avant de terminer cet examen du champ reconstitué au
moyen des méthodes d'interpolation basées sur le calcul de la moyenr
pondérée, nous reproduisons un des résultats obtenus par BARR et cdJ
qu'il nous paraît utile de connaître.
Ce résultat concerne l'interpolation du champ du gradient
horizontal d'un paramètre. Le champ du gradient peut être interpolé
de deux façons différentes. La première consiste à calculer d'abord
les valeurs du gradient à l'aide de la méthode de BELLAMY et ensuite
à interpoler les valeurs aux points de la grille au moyen des métho-
des ci-dessus. La seconde procède d'abord par interpolation des
valeurs du paamètre aux points de grille et ensuite calcule les
valeurs du gradient en ces points à l'aide de la méthode analytique
des différences finies.
Le résultat de BARR et coll.,reproduit sur la figure 17,
montre qu'il n'y a pas de différence majeure entre ces deux méthodes
du point de vue de la reconstitution globale. Le calcul de la
moyenne pondérée, utilisé ci-dessus, étant pratiquement linéaire, or.
pouvait s'attendre à ce résultat.
2-2)
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Dans ce paragraphe, nous présentons les résultats de tesœ
que nous avons réalisés pour la méthode d'~nterpolation quadratique.
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Reconstitution du champ
La figure 18 représente le champ restitué à l'aide de la
méthode d'interpolation quadratique pour une perturbation pure ayant
une longueur d'onde de L = 20
(20 unités de maille). Le champ analy-
tique correspondant a été déjà reproduit sur la figure Il.
La figure 18 montre que dans ce cas la localisation des
maxima et des minima est assez correctement restituée dans l'ensem-
ble. Cette reconstitution semble être meilleure que celle obtenue
par la méthode précédente
(cf.
figure 12). Quant aux valeurs abso-
lues de ce~ maxima et de ces minima, elles sont également mieux
estimées que celles examinées précédemment. Nous remarquons, par
exemple, que .~ 'amplitude du maximum situé autour du centre du domai-
ne est de l'ordre de 70, nettement meilleure que la valeur de 40

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FIGURE
18
CHM1P ANALYSE AU MOYEN DE L'HlTERPoLATIoN PoLYNDr1IALE
L = 20
(MtME LÉGENDE QUE POUR LA FIGURE Il),

---

que nous avons obtenue dans le cas précédent.
Il est à remarquer qU(
l'intervalle entre les isocontours n'est pas exactement de 10 comme
avant, mais de 12. Ceci nous empêche de faire une comparaison direc-
te des valeurs reproduites. Nous pensons que cette amélioration dan:
la restitution des valeurs du maximum et du minimum résulte de l'in-
tégration des informations sur les gradients du champ dans le procé-
dé d'interpolation.
Quant aux détails du champ restitués,
la forme des iso-
contours est généralement satisfaisante, excepté près des bords du
domaine et dans le quatrième quadran sur l'Espagne où le densité de
stations est moins élevée qu'ailleurs.
Il nous semble que la forme
des isocontours est également mieux restituée ici que dans le cas
examiné précédemment. La valeur obtenue pour le coefficient de cor-
rélation semble confirmer cette appréciation subjective basée sur
une comparaison visuelle de ces deux figures.
Afin de visualiser la restitution en valeur du champ,
nous avons représenté la variation du champ vrai et du champ resti-
tûé ~e long de l'axe X sur la figure 19. Elle montre que l'amplitud(
de la perturbation est très atténuée sur le Golfe de Gascogne où
i l n'y a pas d'observations. La valeur du champ à cet endroit est
donc totalement reconstituée à partir des informations sur le gra-
dient obtenues aux alentours. La figure 20 représente également la
même variation du champ, mais calculée cette fois pour la longueur
d'onde L = 30. Nous voyons que l'atténuation de l'amplitude est plu:
faible que dans le cas où L = 20.
La figure 21 reproduit le champ restitué pour une pertur·
bation de L = 16. Le champ vrai correspondant a été déjà présenté
sur la figure 14.
La comparaison de ces deux champs montre que les maxima
et les minima sont correctement restitués du point de vue de leur
localisation. Leur valeur est aussi satisfaisante pour cette
lon-
gueur d'onde. Nous pouvons remarquer que pour cette même longueur
d'onde,
la méthode précédente n'a pas réussi à restituer le maximum
central, alors qu'ici ce même maximum,bien qu'atténué,est correcte-
ment reconstitué.
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FIGURE
21
CHAMP ANALYSE AU MOYEN DE L'INTERPOLATION POLYNOMIALE
L = 16
(MÊME LËGENDE QUE POUR LA FIGURE Il),

---

La forme des isocontours est également assez semblable
à celle du champ vrai, excepté dans le quatrième quadran. La zone
relative à la valeur positive sur llEspagne est trop étendue dans le
champ reconstitué, ce qui déforme, de façon non négligeable, les iso
contours dans cette zone. Mais,
l'accord global entre ces deux
champs,
symbolisé par le coefficient de corrélation, est assez bon,
du moins meilleur que celui issu de la méthode dlinterpolation par
le calcul de la moyenne pondérée, car nous avons obtenu une valeur
de 0,54 supérieure à la valeur de 0,32 que nous avions pour la pre-
mière méthode.
Nous allons examiner maintenant llerreur relative moyenne
du champ restitué par rapport au champ vrai, et la résolution que
lIon peut atteindre avec la méthode d'interpolation quadratique.
Nous avons calculé la variation
de llerreur relative
moyenne en fonction de la longueur dlonde • Les résultats ont été
reproduits au chapitre précédent sur la figure 15. Cette figure
montre que llerreur relative moyenne est autour de 0,15 pour une
longueur dlonde dlenviron 2.000km et croît ensuite jusqulà 0,6 pour
une longueur dlonde dlenviron 850km. Cette erreur varie dlune façon
analogue à celle constatée pour llautre méthode, mais sa valeur pour
une longueur dlonde donnée est plus faible pour la méthode dlinter-
polation quadratique que celle du calcul de la moyenne pondérée.
Sur la figure 22, nous présentons la variation du coeffi-
cEnt de transmission en fonction de la longueur d'onde, obtenue pour
cette méthode d'interpolation. En prévision· de la comparaison que
nous
allons faire,
nous avons reproduit sur le graphique cette va-
riation obtenue pour la méthode dlinterpolation par la moyenn~ pon-
dérée.
La figure 22 montre que le coefficient de transmission
croît très rapidement de près de ° à 0,9 lorsque la longueur dlonde
augmente de 600 à 1.300km. Le coefficient de transmission est supé-
rieur à 0,5 pour les longueurs dlondessupérieures à i.oOOkm, alors
que dans le cas précédent i l nlatteignait cette valeur que pour une
longueur dlonde de 1.300km. La présente méthode d'interpolation gard
une valeur de 0,8 pour cette longueur dlonde de 1.300km •
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FIGURE
22
COURBES DES FONCTIONS DE TRANSMISSION 'QUAND LA LONGUEUR
D'ONDE VARIE DANS LES CAS DE L'APELICATION DE NOTRE
METHODE ET CELLE DE BARR t10D 1FIEE PAR NOUS, t'1H1ES

---

Quant à la valeur de l'erreur relative à cette longueur
d'onde limite de 1.000km, elle est de 0.,48
;
la valeur est donc
également plus faible que celle obtenue en mettant en oeuvre la pre'
mière méthode.
Ainsi,
i l nous semble possible de conclure que la méthode
d'interpolation quadratique permet de restituer le champ avec une
meilleure résolution et en générant moins de bruits que la méthode
d'interpolation basée sur le calcul de la moyenne pondérée.
Nous estimons que l'échelle la plus petite de perturba-
tions que l'on peut restituer avec la présente méthode se situe
autour de 1.000km.
.1 · · ·

---

-
47 -
v - CONCLUSIONS GENERALES ET PERSPECTIVES
Dans le présent manuscrit nous avons présenté les résul-
tats de nos travaux sur la méthode d'interpolation utilisée dans
l'analyse objective des champs météorologiques. Ces travaux ont été
conçus en tant que première étape nécessaire à l'établissement fina]
d'une méthode d'analyse objective qui permettrait une restitution
d'autant de détails que possible du champ à partir du réseau synop-
tique ouest-européen.
Ceci nous aamenés dans un premier temps à examiner quel-
ques méthodes d'analyse objective conçues par leurs initiateurs POU!
maximaliser la restitution des détails,et ensuite à proposer une
méthode d'interpolation basée sur l'ajustement de la surface quadra-
tique.
Pour cela, nous avons testé ces méthodes d'interpolation
en reconstituant les champs analytiques connus.
Nos résultats ont montré que l'on pouvait espérer une
meilleure restitution du champ avec le réseau synoptique ouest-
européen qu'avec le réseau nord-américain, malgré une non-uniformitÉ
dans la répartition des stations sur le réseau ouest-européen. La
reconstitution du champ est particulièrement médiocre dans la zone
recouvrant le sud-ouest de la France et l'Espagne, à cause du nombre
relativement faible de stations disponibles.
La comparaison des champs restitués a montré que la méthc
de d'interpolation quadratique a une meilleure résolution que la
méthode basée sur le calcul de la moyenne pondérée. Les plus petites
échelles de perturbations que nous pouvons raisonnablement restituer
sont de l'ordre de 1.000km de longueur d'onde, ce qui pensons-nous
pourrait être une limite imposée par le réseau synoptique. L'erreur
relative moyenne dans ce cas étant inférieure à 0,48.
Ces résultats sont instructifs en ce sens qu'ils indi-
quent que si l'on veut maximaliser la restitution des détails au-
delà de cette limite, on doit aborder le problème de l'analyse objec
tive autremen: que par l'amélioration de la méthode d'interpolation •
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__

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.-
':1 ci
-
qui, d'après la série de tests que nous avons réalisés en reconsti-
tuant des champs théoriques, parfaitement connus,
semble s'inscrire
dans des limites.
De ce point de vue, une méthode d'analyse objective qui
n'a pas été pleinement testée est celle qui utilise la coordonnée
isentropique. En effet, comme SHAPIRO
(1970), l'a fait remarquer,
la variation de divers paramètres sur une surface isentropique ne
fait pas apparaître les perturbations de petites échelles qui exis-
tent fréquemment sur la surface isobarique. Par exemple, le front
n'~pparaît pas sur la surface isentropique même s'il existe. Ce qui
signifie qu'une restitution limitée à des longueurs d'ondes supé-
\\
rieures à 1.000km pourrait être déjà suffisante sur la surface isen'
tropique pour faire ressortir plus de détails du champ. Ainsi, notrl
travail sera d'intégrer la méthode d'interpolation que nous avons
établie dans un programme global d'analyse objective isentropique.

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