présentée a
rUniversité Scientifique et Médicale de Grenoble
pour obtenir /<1 yratlt1 do
DOCTEUR
DE
3èm6 CYCLE
.M~thèmati4ulls appliquées»
par
THIAM Sada Sory
A.C.P ET F-A.C.P DE SERIES CHRONOLOGIOUES
MULTIDIMENSIONNELLES STATIONNAIRES.
Thèse soutenue le 9 juillet 1984 devant la commission d'examen.
B.
VAN
CUTSEM
Président
G. DROUET D'AUBIGNY 1
A.
LE
BRETON
Examinateurs
T. PHAM DINH

---

UNIVERSITE SCIENTlflOUE ET MEDICALE DE GRENOBLE
Année universitaire 1982·1983
Président du l'Ilniversité : M. TANCHE
MEMBRES DU CORPS ENSEIGNANT DE L'U.S.M.G.
(RANG Al
SAUFENSEIGNANTS ENMEDECINE ET PIlARMACtE
PROFESSEURS DE 1ère CLASSE
ARNAUD Paul
Chimie organique
ARVI EU Hobart
Physique nucléaire I.S.N.
AUBERT Guy
Physique C.N.R.S.
AYANT Yves
Physique apprulondie
BARBIER Marie·Jeanne
Electrochimie
BARBIER Jean-Ctaude
Physique expérimentale C.N. R.S.
(labode magnétisme)
BARJON Robert
Physique nucléaire I.S.N.
BARNOUD Fernand
Biosynthèse de la cellulose- Biologie
BARRA Jean-René
Statistiques· Mathématiques appliquées
BELDRISKY Elie
Physique
BENZAKEN Claude (M.)
Mathématiqnes pures
BERNARD Alain
Mathématiques pures
BERTRANDIAS françoise
Mathématiques pures
BERTRANDIAS Jean-Paul
Mathématiques pures
BI LLET Jean
Géographie
BDNNIER Jean·Marie
Chimie générale
BOUCHEZ Rohert
Physique nucléaire I.S.N.
BRAVARD Yves
Géugrallhie
CAR LIER Geor~es
Biulogie végétale
CAU OU IS Geor~os
Chimie oruanique
UIIBON Pierre
Biologie animale
COLIN DE VERDIERE Yves
Mathématiques pures
CRABBE Pierre (détaché)
C.E.R.M.O.
CYROT MidJeI
PhYSIque du solide
DAUMAS Max
Géographie
DEIJELMAS Jacques
Géulogie génélale
DEGRANGE Charles
Zoologie
DELOIJEL Claude (M.)
M.I.A.G. MJthémallques appliquées
OEPORTES Charles
Chimie minérale
DESRE Pierre
Electrochimie
DOLIOUE Jean·Michel
Physique des plasmas
DUCROS Pieue
CI istallugraphie
r-ONTAIN EJean-Marc
MJthémallqnes pures
GAGNAIRE Didier
Chimie physi1lue
.../...

---

2
GASTINEL Noel
Analyse numérique - Mathématiques appliquées
GERBER Robert
Mathématiques pures
GERMAIN Jean-Pierre
Mécanique
GIRAUD Pierre
Géologie
IDELMAN Simon
Physiologie animale
JANIN Bernard
Géographie
JOLY Jean-René
Mathématiques pures
JULLIEN Pierre
Mathématiques appliquées
KAHANE André (détaché DAFCO)
Physique
KAHAN EJosette
Physique
KOSZUL Jean-Louis
Mathématiques pures
KRAKOWIAK Sacha
Mathématiques appliquées
KUPTA Yvon
Mathématiques pures
LACAZE Albert
Thermodynamique
LAJZERDWICZ Jeannine
Physique
LAJZERDWICZ Joseph
Physiqne
LAU RENT Pierre
Mathématiques appliquées
DE LEIRIS Joiil
Biologie
LLiBOUTRY Louis
Géophysique
LOISEAUX Jean-Marie
Sciences nucléaires I.S.N.
LOUP Jean
Géographie
MACH E Régis
Physiologie végétale
MAYNARD Ruger
Physique du solide
MICHEL Robert
Minéralogie et pétrographie (géologie)
MOZIERES Philippe
Spectrométrie - Physique
OMONT Alain
Astrophysique
OZENDA Paul
Botanique (biologie végétale)
PAYAN Jean-Jacques (détaché)
Mathématiques pures
PEBAY PEYRllULA Jean-Claude
Physique
PEHRIAUX Jacques
Géologie
PERRIER Guy
Géophysique
PIERRARD Jean-Marie
Mécanique
RASSAT André
Chimie systématique
RENAR D Michel
Thermodynamique
RICHARD Lucien
Biologie végétale
RINAUDO Marguerite
Chimie CERMAV
SENGEL Philippe
Biologie animale
SERGERAERT Francis
Mathématiqlles pures
SOUTI F Michel
Physique
VAlLLANT François
Zoologie
VALENTIN Jacques
Physiqne nucléaire I.S.N.
VAN CUTSEN Bernard
Mathématiques appliquées
VAU OU OIS Bernard
Mathéma tiques- appliquées
VIALON Pierre
Géologie
PROFESSEURS DE 2émeCLASSE
ADI BA Michel
Mathémati ques pures
ARMAND Gilbert
Géographie
...l.:

---

3
AURIAU LT Jean-Louis
Mécanique
BEGUIN Claude (M.)
Chimie organique
BOEHLER Juan-Paul
Mécalllque
BOIlET Christian
Mathématiques a~~lilluées
BORNARElJean
Physi(lUe
BRUN GillJert
Biologie
CASTAING Bernard
Physique
CIIAROON Mil:hel
Géogra~hie
COHENAOOAO Jean Pierre
Physiquu
OENEUVlllE Alain
Physique
DEPASSEL Roger
Mécanique des lluides
DOUCE Rolalld
Physiologie végétale
DU FRESNOY Alain
Mathématiques pures
GASPAR 0 François
Physique
GAUTllON René
Chimie
GlUON Mauril:e
Géologie
GIGNOUX Claude (M.l
Sciences uucléaues I.S.N.
GU IllON Jacques
Chimie
IlACOUES Gérald
Mathématiques appliquées
HERBIN Jacky
Géograllhie
HICTER Pierra
Chimie
JOSELEAU Jean-Paul
Biochimie
KERCKOVE Claude (M.)
Géologie
LE BRETON Alain
Mathématiques appliquées
LONGEOUEUE Nicole
Sciences nucléaires I.S.N.
LUCAS Hobart
Physiques
LUNA Oomingo
Mathématiques pures
MASCLE Georges
Géologie
NEMOZ Alain
Thermodvnemique (CNRS - CRTBTl
OUOET Bruno
Mathématiques appliquées
PELMONT Jean
Biochunie
PERRIN Claude (M.)
Sciences nucléaires I.S.N.
PFlSTER Jean-Claude (détaché)
Physique du solide
Pinou LEMichel
Géologie
PIERRE Jean-Louis
Chimie orgauique
RAYNAUO Herve
Mathématiques appliquées
ROBERT Gilles
Mathématiques pures
ROBE RTJean'Bernard
Chimie ~hyslque
ROSSI André
Physiologie végétale
SAKAROVIlCII Michel
Mathématiques a~pliquées
SARROT REYtJAUO Jean
Géologie
SAX 0 Il Raymolld
Biulogie animale
SOUTIF Jeanne
Physique
SCfI OOL PierreElaude
Mathématiqucs appliquées
STU TZ Pierre
Mécalliqlle
SUBRA Hobart
Chimie
VIDAL Midlel
Chimie urqauique
VIVIAN Rollert
Géographie

---

·1.l1"·hUJ,q
,);) 2p UO/1nf1.1:7V9,1 nl !.I i}d.';l?1.H'd 11(0 rnIJ
ovut , 1 rr C'.71/,iJ',I(.O.ldc',1 fT 2"lo,'''8 np 2d.wb",1 12 27'1lm:'-1U "'1' Tl un , 7
"l' ;>171)./1".71"1,'; 1""IiJ:''l.mrlf'p "1' .f:l·11J·'1"Y·".2UI[JV l'JUuo".wd 21 2.1'),1"111".1
:JI'
"nn }'17 1IOd"!l' tJ" .71lOd
,,,'!J!,If'liil1N .,,"I/I'UV,I' cuI7nl,S', l "l' I7HVlm:wa i'·'ruv .m ô7·mw N P 1;' 8,m/771')II1,"'.lu7
rqll;-'/ll;11!1J.Q
Rt-T UO}-:JVf'.'-7Vr.l"]
Slft,/) f-:J,{()(lrin 1J,1J11!,nb 2f?1-1;J.7::1 f'.l d ,""'T'J7J,7 ,Hl(ld
.(;.(~Nl ;1(7.111fl~, 1 ;1p Il.7''V~~tfNUvfl,tft/U )1(0n,lJ ,o];)')nuoN p -:z.asnn -:Jlloa nl1);lIll;1J-n.l_?IIJ2.1 g;lW
<It.rn]' I1V Jûd}'''71'Wc/ "l' 12 17tJ01Jo1/
;1;' ;-'r U(lJ ':)7-T~-'rl 1)} ,(2111)o11?,UJ;1F
~)1-tl,1;),J1) n fnb azqou;Jtl:) ;J}) PlP;;l/l};l/v 18
;'nll}J11'1:'1;',; ,7"",i""}I/(], 1 l' ,11728,,;·JO.I,/ 'HNIO nvu« unru, .1I1"!'''''JN ,'!CJ.12111;ioI 2{'
·r;,l11! nn 1if-'.''Jf1d,1-.1!1.lnd nr: .inod
1;~ 1}1101'.I1 unu l' {'1,fntl 1" J.J.r!: 'U1J,;nU.l-, J .olod 'RuoJnnnr!~!r eoenrviqmou r,nu
!~,l;J(V-'.T7 r UPli' ,T;Cl.'I/I.",.ul 21 flJJJ1l0r: .J7oanlUJ .inod ?]qoU,Jt1:D Dr' D7f1:)!Pfllv 12 onb
-?-JJ1 U;17 r ,;,
f1/ f :. L -'(/ ,1 Ufi , t !' dl1;1r.~;:JJO",l
'NO,r..'1){(l .17 vtmv J.11'J!--runN R.7'J,lt1/IJ,' ,l :JI'
·;)lqn}:Jf,ulân F'dnlll l(il.~1nfJ!: un f'l,l(lddn 7U(l,1JJ J-nz ;)ôa1) 1'"l2 }n 1 .mb rqdnddn.l
1
r~~?l f1.'71N1/J nI 1;1 p,;)r:n:1J1mipll f;;11J!1,1Vlll(l.( [;;)[; "r;1uDu!--l1ur:J-:J9P f'J~l -iuo f;1uPllI
_;ofinnln;)u.1
1;) R/};;.J87U);") f:;op,
~;:JJu81n)/lj,u'd r17-1.lQ.uIOàRJP vS "llf1an,l') :-J.)
fl/j.r'!7P
.1.J(l(1n,p
~;'l7q()I(;1.ln -;'P r;;ll1J.';}O[~ f:?,-lll;JJ::'[; aop fl1'!R.IVc1:,Un, 1 P 1 111J1 a ! r:r:q l 'J.I1J-nw
f~N{)ln{]V,!) ,r.:'/(U),IjfJ [',TP,lSl:) !' ;-';'IIJ'nn}--nul(()(J;),{ 2pu.oJo,J.â JlI11 J.awJ__uixe p nU;))1 ;)l'
"fi.:in]' 1117 a;Jllgp!,;~~~'1fl
1}2 1111nd?;);Jn
Il''
? .'''.! .nu [:1,"[, .1//.711/1<1'/, l "T' 2l'l0U,7';;) "1' "lVD.ll'f'1V 12 ,1/lf!,7J!1112 } n;;
Çl1-- JP,l(-'(1 PlO, 7 !' .H1;1r~R;1J (I.{f!
~N;.{r,·,/JtJ,') NVil p,Hn~'{;"~fl .lnôJr,uoN ;1;r'l,l,-:>/IJ;1,{ «r

---

ERR A 'f U H
POUR
DES RAISONS DE DACTYLOGRAPHIE, IL A ETE TAPE DANS
TOUTE LA THESE. LE SIGNE \\Il
l'OUR OESIGNEl{ LE PRODUn
TENSORIEL.

---

TABLE DES MATIERES
1 NTROnUCTION
CIlAPlTRE
1 -
ANALYSE EN Cût1POSANTES PRINCIPALES n'UN P\\WCESSIIS
- - - - - - -
OllSEl{VE AUX INSTANTS
10.1 ••..• 'l'-Il ET ilE SES
ollSERVATlONS TRANSLATEES
[.l~ Analyse en compo~antes principales J'un pruc(:s~lIs ûhserv.i
10
oux instants (0.1 ••.•• 'l'-II
1. 1.1. Nota tians
10
1.1.2. Etude par sections
Il
1.1.2.1. Section suivant Ko
1. 1. 2. 2.
Sect ion su ivant J
1.1.2.J. Section suivant Il
1.1.3. Analyse du processus observé aux instants (U,l, .... T-\\ J
20
1. 1. 3.1. Déf In 1t Ion
1.1.3.2. Formule de reconstitution
l.1.J.J. Analyse en composantes p r l nc Lpu Le s normée du
processus observé aux Ln a t an t s
[0.1 ••..• '1'-\\ 1
1.2. Analyse en composantes principales de L' cbs crvut Jou t ra n s l u t
e
ô
d'ordre U (U E Z)
du processus
2B
1.2.1. Définitions
2B
1.2.2. Formule de reconstitution
JI
CHAPITRE
Il -
ANALYSES n'lIll PROCESSUS STATlOllNATI:E ALI lllmXIEflE OIUlRE
Il. L.
Processus s t a t Jonna Ire
"16
II.l.l. Représenlütion spectfille d'un processus statJuIlllaLrc
J6
1 i . 1 • 1 • 1. na In 1t tons
11.1.1.2. Représentation sp cc t r a l e des processus
etat Ionnu ires au Jeux Leiue o rd re
11.1.1."!' Les filtres
linéaires

---

Il.1.2.
Espdce des vdleurs J'un processus statiunnairL; i..lU
42
Il . l • :2 • 1.
Dé [ in Lt ion
II .l.2.2.
Re p r è s en t a t ion spectrale d c s éléments Je Il X
Il.2.
:\\.C.i'.
J'un proc.ess\\ls o b s c rvc aux
instants
lO,I, . . . ,T-ll
et
lie S2S o~servations translat~es
49
jl.~.l. Analyse d'UI1 pTOC~ssus observ~ ALIX instants
lu, l, ... , T-I)
49
1 1 • 2 • 1 . 1. Ec rit UT e Je S 0 Pé rat 12u r s li a n oS 1e J orna in e J es
frl2qucnces
lL.2.1.2. Ar1i..lly~e Cil (:ompusantcs prillcipales du
prÙcL'SSUS o b s e r v é
aux
instants
{O.l, ... , 1'-1}
11.2.2. Aua l.y s e Je 110b~L"f·vation t r an s l a t é e J'ordre U (r)
E Z)
du
p ro ce s su s
54
Il.2.2.1.
JJentité des op~rateurs Je covariance
11.2.2.2. Processlls J~termlné par les compusantes
priI1cipales Jes observatiollS translat~es
d u
processus
II.J.
A.C.P. Jans l'espace JéS fréquences J'un processus stationnaire
57
1 L, '3.1.
l'osit ion Ju problème
57
11.3.2.
Les processus p r f.nc Lpa ux Je la F-A.C.l'. Je X
59
Il.3.2.1.
Nouv e ll c r o rmu l a t i o n du prublème
1l.3.2.2.
Rc so l u t i on du
problème de la F-A.C.P.
11.3.2.3. Le j-~me proc~ssus principal Je la F-A.C.P.
du
processus X
Il.3.3.
Un~ autre présentation Je la F-A.C.P. du prucessus X
66
o
Il.3.3.1. Déc ompo s i r Lon des éléments Je I.-U
)
XX
11 .3.3.2. Déf inition Je la F-A. C.l'.
Il.3.1,.
Out Ll s J'interprétation de la F-A.C.P.
70
Il.3.4.1.
EtuJe Je la cohérence multiple entre le j-ème
processus principal et X
Il.3.4.2. Représentation Je la Jensité spectrale Je X
Il.3.4.3.
lnterpréLation
Il.J.4.4.
Furnlule de rL'constitution
tlO
IT .4.
Compa r a Lao n d e s deux analyses

---

CHAPITRE III - RELATIONS ENTRE ANALYSE EN COIIPOSANTES PRINCIPALES DE
83
PROCESSUS ET F-A.C.P.
111.1. Notations et propriétés des opérateurs
87
JIL2. Relations entre les
Lémenr s propres de V
et de la mat rI c e
é
o
YI
de densité spectral"
111.3. F.A.C.P.
détermination du J-éme processus principal
Y5
111.3.L. Première détermination
111.3.2. Deuxi~n" détermination
CIIAPITRE
IV - DISCRETISATION DE L'ENSEHIlLE DES FREQUEIlCES
105
IV.l. Discrétisation des espaces
1117
IV.2. Analyse d'un processus uu Id Imcns Ionnc I
109
IV. 2.1. Transfo"née de Four Ler d' un vec t eu r
1\\1.2.2. ACP et F-ACP d'un p roc es su s un td üaen s Ionn e I
IV.2.2.l. Propriété de VD
o
D
IV.2.2.2. Etude des vecteurs propres de Vo
IV.2.2.3. Composantes principales des translatés du
processus
IV.2.2.4. Les formules de reconstitution
IV.2.2.5. '-A.C.P. du processus discrétisé
IV.3. Analyaes d'un processus multidimensionnd
125
IV.3.I. Transformée de Fourier des
Lêmen
é
t s de I{o W Ir!

---

lV.3.1.1. Première définition
lV.3.1.2. Expression matricielle: deuxième définition
lV.3.2. A.C.P. et F-A.C.P. d'un processus multidimensionnel
d i scr é t isé
128
lV.3.2.1. Propriétés de VD
o
lV.3.2.2. Les éléments propres de VD
o
lV.3.2.3. Recherche des éléments propres de la densité
spectrale
lV.3.2.4. Composantes principales des observations
translatées
lV.3.2.5. Processus principaux de la F-A.C.P.
lV.3.2.6. Un choix particulier des fonctions propres
de VD
o
CHAPITRE
V - APPLICATIONS DE L'A.C.P. D'UN PROCESSUS UNIDIMENSIONNEL
143
V.I. Etude d'une série unidimensionnelle
146
V.2. Démodulation - remodulation
193
V.2.1. Démodulation
193
V.2.1.1. Présentation
V.2.1.2. Démodulation et processus principaux
V.2.2. Remodulatiùn
196
ANNEXES
199
ANNEXE
- Valeurs extrèmes des matrices complèxes
201
ANNEXE 2 - Matrices circulantes et matrices à blocs circulants
205
ANNEXE 3 - Fonctions orthogonales
209
et V
dans le cas n discret. 211
ANNEXE 4 - Expression des opérateurs U
U'"
o
o
o
BIBLIOGRAP.IlIE
213

---

I N T R O D U C T I O N ]

---

t'analyse Cil composantes principales d'un p r o c e s su s lIntdilllen-
sionnel du second ordre se fonde Bur la décomposition de KAW1UNEN-LOEVE
(en théorie du
signal), appelée encore d éc ompo s Lt Lou en f onc t l on s empi-
riques o r t hogoua l e s
(en sciences géophysiques).
[,lie perll",t de reprê-
seru e r le procestiuti sous forme de somme Je p roc e s su s qua!).l-JéterlHini::itc~:
le p
su
est Jl..!compotié en une
de Louc t
t
Iu
du
t emp s ,
r o c
e
s
s
s o u u u e
I o n
s
c
c
r
a
e
s
pondé r é e s par d e s var Iub l e s a l é ar o I r e s
réel] es non co r r é l é c s ,
L'art te] e
de J.C. DEVILLE [17]
marque le début véritable de l'applicaLlon de la
dc e ompo s Lt ion de KAIUlUNEN-LOEVE dans
une o p t Lque d' an .." yse des douué e s .
POUSSE et DAUXOIS [51)
ont développé la t hc o r Lc ab s t r a i t e de
l ' ana 1yse factor Le I l e d'un processus muI t Id Imeu s ionnel dau s uu cadre
linéaire et non linéaire. Leur travail a été complété sur le p Lun
théo-
rique par BESSE [6 ) et ROMAIN 155\\, el dans le doma In e appliqué par
OBLED [46), HAZEROLLES [41\\ et LE NOUVEL [37 J. SAI'ORTA (58) a dre"".:; une
synthèse d e s apports de l'analyse des données dans le domaine des données
temporelles individuelles observées sur l'intervalle de temps [0,'1'1
l'analyse en composantes principales est alors appliquée i
un processus
continu, supposé stationnaire au deuxième ordre et centré. SAl'UR'l'A [5l.l]
el DEVIl.LE 1171
proposent de. plus des l.l..'thodes no uv e Ll e s d'analyse des
p r oc c s au s qu a Ll r a t Lf s •
Ho In s connue des ana l y st.e s de donné e s ,
l'ilIHjly.'::h~ Cil c ompo sant.e s
principales dans l'espace des fréquences ou
F-ACI', développée par
BIULLINGER l i i l , fourniL un outil a I t e r na t Lf de r ep ré s ent.a t Iou d'un pro-
c e s su s
p-dimensionuel,
stationnaire au deuxième ordre, centré,
qui de
plus admet une f
t
de covariance
t
un écrit
le
o n c
I o n
a b s o
l
u m e n
s o u u u a b
l
e
:
processus sous la forme d'un filtre linéaire d'un processus q-dillH::IH.:iJol~llel
latent
(q < l') non corrélé, appelé processus principal d'ordre q
; 1...
non-corrélation du processus p r f nc Ipu l
d'ordre q est o ht enu e pu r
filtrage
préliminaire du processus initial.
Nous pr~selltons une étude des relations llallt l'aoaly.sc Cll
composantes principales et lu f-ACI'.

---

4
Le c hap Lt r e l
présente l'analyse en composantes p r Lnc i pa Le s
d'un processus multidimensionnel observé d'abord aux illstallts
lu, L, •.. T-1} ; cette u pp r oc hc recherche les éléments propres de }lopé_
r a t eu r de cov a r i anc e Vo' Nous analysons ensuite le processus observé
aux
instants
j(J,U+l, •••
T-l+!::J1
(c'est l'observation translatée d'ordre U
du
processus),
et nous è t ud Io ns les éléments propres de Vu'
Nous mettons
en évidence l'équivalence des analyses du
cube développées d an s un cadre
eue] Ld i en
par H1ZEIŒ 1421, aux analyses développées dans un cadre hilber-
t i c-n par POUSSE ct
DAUXOIS 1511.
Le chapitre Il est consacré à l'étude ct 'un processus X sta-
tionnaire au sens large, centré, de dimension p,
et de fonction de
covariance absolument sommabl.c. Dans une première approche, d~crite au
chapitre 1, la s t a t Lorma r Lt.ê du processus permet de montrer l'identité
des üp~rateur~ V
et par suilC l'identité des factèurs principaux de
ù
] 'analyse en c0nlposaIltes principales des observations trallslatGes du
processus X. La j-el1~ compo sau t e principale du processus observé aux
instants
(U,l, . . . T-l) et c e l l e des observations translatées d'ordre 11
d f Ln i s s en t
un
processus.
La l'-ACp décrite par BRILL1NGER 1131
se
ê
ramène à la r ec he r c he d c s
l cment s propres de la matrice de densité
é
s pcc t r a l e du processus X.
La j-ellk.:
coordonnée du processus principal
d'ordre Cl déf inil un processus un i d imen s Lonn e I appelé j c-em' processus
[ j
p r Iuc i pa I dont la composante à l'instant 0 est not~e
Nous mont rons
> 0
que
j
s'in t e rp r
t e
comme la
è
j-eme composante princIpale de l'observa-
U
ti0n translatée ll'ordre 0 du processus X au
sens de la F-ACr.
[Jous Illontrons alors que la formule de reconstitution associ~e
~ la F-ACP fournit une décomposition de la matrice de densité spectrale
i.d cn t Lqu c ~ celle proposée par GEllEKE (25] dans une analyse factorielle
en termes de fillra~e.
L'analyse en composantes principales lInéaires et l'analyse en
composantes principales non linéaires décrites par POUSSE et DAUXOIS [51]
m.:lximisent les mêmes quantités, mais les contraIntes imposées aux fonc-
tions cherchées sont différentes. Nous montrons de même que l'analyse en
composantes principales et La F-ACP optimisent les mêmes critères sous des
cOlltraintes dlfférel1les.

---

5
Dans le chap Lt r e Lï L, nous décrivuns le passage pr og r e s s If
de l'analyse en composantes principales des observations transiatées
d'ordre 6 du processus à la F-ACP. Po ur ce faire nous suppo son s dans
le cas de l'analyse en composantes principales que le prucessus est
observé sur tout il ce qui pose des problèmes théoriques pu I s qu e les
opérateurs Uo et u~ ne sont plus de IIILBER'l'-SCmnDr. Nous mou t r ons
que les valeurs propres de V0 sont de la forme 21111(À) où \\l(À) est une
valeur propre de fxx(À).
Les vecteurs propres réels associés a 211jJ(À)
définissent le couple de processus principaux à la fréquence À de la
F-ACP. il parth duquel on construit le processus principal de la F-ACl'.
La mise en oeuvre de la F-ACP proposée par BRILLINGER [131
nécessite une étude de l'influence d'une discrétisation. Ceci fait l'ubjet
du chapitre IV.
Dans le cas d'un processus stationnaire unidimensionnel, un
montre que l'opérateur de covariance du
processus discrétisé, noté vD est
o
associé à uqe matrice circulante symétrique. Nous retrouvons ainsi un
résultat obtenu par KOOPMANS 133\\ en supposant le processus périodique
et par W.A.
FULLER 1241
en utilisant des approximations de matrices. Les
processus principaux aux différentes fréquences permettent de d êcompo sur
le processua unidimensionnel fréquence par fréquence.
Nous montrons que
le résultat proposé par BOI-lEN 1101 apparait comme un cas pa r t Lcu Lf e r de
la formule de reconstitution ainsi établie.
Pour un processus multidimen.,ionnel, nous étenduns les résultats
de W.A. '~'ULLER (241 en montrant que VD est une matrice à blocs c r r cu Laut s
o
et symétrique ... Le processus principal d'ordre q est alors décomposé, de
façon analogue au cas unidimensionnel sur toutes le .. fréquences.

---

6
Au chapitre V,
nous illustrons dans la prŒlière partie sur les
données de températures de la ville de VIENNE fournies par BRILLINGER.
les résultats obtenus au chapitre IV caractérisant la forme de la densité
spectrale des processus principaux aux différentes fréquences.
Dans la deuxième partie, nous montrons que la F-ACP consiste,
dans le cas d'un processus unidimensionnel,
à faire une opération de
Modulation-Remodulation dévèloppée par G.IL GRANGER (28),
en utilisant
des filtres qui ne sont plus des filtres bandes mais des filtres écrétés,
c'est-à-dire fréquence par fréquence.

---

CHA PIT R E
ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES D'UN PROCESSUS OBSERVE
AUX INSTANTS lO,I ••• T-Il ET DE SES OBSERVATIONS TRANSLATEES

---

Dans ce c lui p Lt r e , nous présentons l'analyse eu composantes
principales d'un processus p-d tmens tonue l
X d f ini sur \\1,
possédant des
é
moments du second ordre et centr~. observ6 d'abord aux iIlstaIlts L de Ko'
K
(o.}. .. T-I). eu s u l.t e aux Lns t ant s t de K
K
~ [0.0+1 ••.. 'jLI'O)
o
O'
O
«(J E Z).
Dans le cas où
l'ensemble Il des Individus est d Lsc re t ,
le
processus X observé aux instants t de K
con s t Lt ue le cube de douué e s
o
étudié dans un cadre aigébrique par MIZERE 1~~1
Dans un premier lemps,
nous réduisons l'étude du processus X observé aux instants t de K
à
o
celle d'un r ab l eau rectangulaire de données o bt euu de trois façons pos-
sibles : soit en fixant
t dans K
soit en fixant j
dans J
o'
(J esl
l'en-
semLle indiciant les p variables).
soit encore en fixant w
dans
\\l. Un
parle alors d'analyse des sections. L'analyse en composanles principales
appliquées à ces sections permet la mise en oeuvre concrète d'anaiyses
étudiées par POUSSE et DAUXOIS [511 dans un cadre hilLertien. Ainsl la
comparaison des sections suivant K
permet d'éludier le c a r act.e rc évolutif
o
du processus lorsque X est non centré ; cette analyse de la tendance
utilise l'analyse en composantes principales du
tableau f o rmé par les
espérances mut héma t Lqu e s des sections dans la métrique de NAliANALOIliS.
L'analyse en eomposantes principales des sections suivant Il permet de
retrouver le traitement des trajectoires individuelles proposé par LE
NOUVEL [371.
Dans un deuxième temps.
nous montrons que 11 an a l y ue en CUlIlpO-
santes pr Inc Lpa Le s du processus mul t Id Iraen s Iouue I X observé aux instants
de Ka ~st rêalls~e par l'analyse spectrale de son op~rateur de covariallce
V
Il est de 1I1LBEllT-SCmllDT. aussi les résultats obtenus par SAI'Oll'J'A
[SB]
o'
dalls le cas d'un processus continu se transpos~nt au cas discret.
L'observation translatée d'ordre 0(0 E Z) du processus X esl
déf1.nie par les observations de X aux instants t de KU'
L'analyse en
composantes principales de l'observation translatée d'urdre 0 de X est
obtenue par analyse spectrale de son opéraleur de covariance VU'
'lui
diffère de V
Elle permet d'établir une relation eut re Vu et V
pour
o'
o
certains processus caractérisés au chapitre II.
On d êdu Lt, alors les eompo-
sanles principales de l'observat1.on translatée d'ordre 0 du
processus X de
celles du
processus observé aux instants t de Ko'

---

1.1. f,NALYSE EN COf!l'OSANTES PRTNCII'f,LES n'UN PROCESSUS O!lSERVE AliX
INSTA~~ lu, l, ... T-l}
1.1.1. Not u r ions.
Soit J ~ ll,2, ... p] uu ensemble fini indiciant les composantes
d1un
pro~cssus Il dimensionllel.
l)our tout
U E Z, notons
KU
\\11,
IJ+I, ..• ,
T-l+U]
un
ensemble discret de temps cl 'observation du
pr oc e s su s p-dimensionnel
d ~ f in I S li rI' es p <-1<: e ( Ç2, ,/', P)
:
X
j EJ
t
E Z}
(I, 1)
X est suppos6 de carr~ intégrable et centré.
j E J , t E Z }
rerr~sente la lrd.jtctoire Je l'individu w.
w ~ ~l.
Le processus X observé aux instants {O, l, ' . ' , l'-il
est carac-
t~ris6 par l'appllcation :
J ;
1/ x K
x J
o
(I,2)
(u],
c ,
j»
z(UJ,
t ,
j)
Une telle Jonnée,
dans le cas où ~ est discret, est ~tuJiée
dans le cadre alg~brique par MIZERE (42)
qui note;
J l'ensemble des
variables,
K
l'ensemble des juges et "
] 'ensemble des
individus.
o
Dans
le cadre d'une allalyse lin6aire de
l'application z
5 tout
~lément t, 616111~nt de K ' l'indiviulJ w de g est repr~sentê dans d~ par le
o
vecteur

---

11
j
E JI ,
~ est appelé l'espace des individus;
à tout instant t , élément de K
et tout j
appartenant il J est a s so c l é e
o'
la variable X~ définie sur (O,~, l') à valeurs dans 61 . Les Ilypothèses
f a Lt ea sur X conduisent li identifier l'espace des variables il LA(n. <:!'. l')
à tout j, élément de J, et tout individu w, on associe le vecteur:
il représente la trajectoire de l'individu w observée à l'aide de la
j
Ko
~
variable X dana ~
:
~
est l'espace des trajectoires.
1.1.2. Etude par sections.
1.1.2.1. Section suivant K
-----------------0
A chaque instant t de K ' le tableau croisé individus variables
o
eat appelé Bection t. L'analyse en composantes principales de la section t
permet d'étudier la forme du nuage des individus li l'instant t. Elle se
ramène
à l'analyse de l' variablea aléatoires (Xl ••..• Xl') d c r t t e par
è
r
t
POUSSE et DAUXOIS 151). On a les résultats suivants: soit x
l'explicatJon
t
linéaire de L~ W. ~. P) dans .nJ dé! inie par :
(I. J)
, )
H
2
..
Son adjoint, x~, opérateur de (ùï)
dans L~(n. ~. P) vérifie pour tout n
de (~)H et f de L~ W. @!. l') l'égalité
< X~!!H
f
>
<
H
e
x f
l
L~W.<!!!.P)
aH E(Xj
f)
j
t

---

12
Et donc
l'
.. ..
lt
a
L
Xl
x
(1. 4)
t
'!.j
t
j=l
x" a aussi une structure linèaire.
t
L'analyse en composantes principales de la section t e s t
résumée par le schéma de dualité (HlZERE [42]).
2
@.
P)
", j ["'0'
(1. 5)
2 (C'> 'âJ
----~•.L01 H. -. P)
où
(1. 6)
V
est déf ini pour tout a'" de (ot!) '" par
t
l'
V
al<
E [X
L
'"
8.
xj )
(1. 7)
t -
t,
1
t
j=l
Vt est la matrice de c ovartanc e de variables (X~ ••••• X~).
W
est l'opérateur introduit par ESCOUFlER l 22).
t
DH init ion 1 :
On appelle analyse en composantes principales de la section t.
la recherche de l'élément normé ~ 1 de (titI) ... dont l'image par
x" est de no rme maximale et itération sous contraintes d'ortho-
t
gonalité.
POUSSE et DAUXOlS [51)
étudient les conditions ct 'existence de
cette analyse.
L'analyse spectrale de V
et W
conduit aux m~mes valeurs
t
t
propres non nulles.
Les vecteurs propres associés sont respectivement les
facteurs principaux et les composantes principales de la section t.

---

13
I~ moy~nne temporelle des sections suivant t conslruit~ pur
SAPORTA (58]
pour une fonction aléatoire multidimcnsionnelle continuc est
obtenue dans le ca~ discret en prenant la nloyenlle de toules les scctions
su ivant Ko
1
(1. ti)
T
Indépendante du
temps. elle fournit unc
position de r ê t
r euc e à l u qu e Ll e
é
on
peut comparer les sections aux diverses d t
LDanalysc en.
t
a
e
s
,
c o m p o
s u n
e
s
principales de Xli fournit une description moyenne des t r a j ec t o l r c s ,
'lui
pe miet de représenter l'observation de chaque individu à un e d at e t c.cuune
élément supplémentaire.
Admettons que 0.1, ••.• T-I. définissent
T
group~s d'individus.
chaque groupe correspondant à une cb s e rv a t ion différente (w.
t) des mêmes
individus de départ w. Dans le cali d'un processus X non centré, on peul se
demander en qu o I les T groupes diffèrent. Ceci revient à é t ud l er le carac-
tère êv o Lut if du
[HOCessus. c" est-à-d ire à analyser 1 a tendance.
L'analyse factorielle discriminante fournit une méthode de
comparaison des groupes. Elle revient à analyser la d Lupe r s Iou des individus
en discriminant la d Lap e r s Lon "intra" (uu t ou r des centres de chaque g r-oup e}
de la dispersion "inter" (entre centre de g roupe s ) , Un r
su Lt at,
c l u s s Lqu c
é
ramène cette analyse factorielle d Lsc r Im tuun t e â l'analyse en c ompo s au t eu
principales du tableau formé par les moyeuncs sur 1",; Lnd Iv f du s aux divers
instants (G.D. U' AUBIGNY [191)
~
~l
m{t)
E{\\)
Xt{w)dP{w)
(I.9)
Il
En désignant par III la moyenne g
I
des
t
è u é
r
a
e
s
e c
L o
n
s
T-I
1
III
l:
(1. 10)
T
t~O

---

14
Un dcifillit la ~latrice de variance totale V, la matrice de
variance intra-i[l~lants (s(lutiale) W et la matrice Je vari~nce inter-
I n s t an t s
(temporelle)
il, par:
T-I
v
1
T
1'-1
0.11)
1
\\1
(1. II)
T
t=O
T-1
L 1 m(t)-ml
r
t l m t ) - ml
Ï
t=O
On v~[iiie alors que
v
H + Il
(1. 12)
L'analyse factorielle discriminante recherche les processus discriminants
11I ,
t
'=K
J:
t
o
<;
X
il
(T. 13)
t'
ayant une variance inter-instants maximale sous la contrainte d'une
variance totale
f t xc- ,
On maximise
T-l
Î.
t=lJ
SOUS Id ~ontrdjnte
T-I
1
T
Dan~ le sous-espace d Lsc r Im Inan t engendré par les s premiers
axes d Ls c r tm Lnan t s , on étudie la dispersion des sections.
Les moyennes
Jes groupes sont rcpr~sent6es co~ne barycentre des individus observ6s au
Lemps t
le sous-nuage représentatif des
(lo,t)
conduit JOlle a llne repr~­
J
sentation de la section t.

---

15
1.1.2.2. Section suiv~nt J
la section suiv~nt J donne pour tout j de J le t~ble~u
croisant individus et temps, qui permet d'Œtudier les tr~jectoires
j.
marginales ob se rv êe s par la seule va r Lab l e X
L'analyse en composantes
principales de la section j
revient i
analyser l' variables al~atoires
réelles (X~"'"
XLI)
(POUSSE et DAUX01S [51\\).
K
2
Soit Zj l "a pp l.Lc a t Ion I Lnéa i r e de L.n(Il, "i, P) d au s 6t 0
déf in ie par :
Z.f
0.1~)
J
K
2
Son adjoint ZjK, opŒrateur de (61 0 ) K dans 1. ( 11 , ,-). r) vé r If Le , pour tout
61
K
Ko K
2(1l
b
de (61
)
et tout f de L
""
l')
:
61
'
,
< ZK ~K,
>
~tt, Z.l
K
j
LilW, ,'!!, Il)
J
610
1'-1
j
~
bK E( X f)
t
t
t~O
'1'-1
j)
E(f
l: bK X
t
t
t~O
Et donc
1'-1
ZK bK
j
1:
bK X
0.15)
J
t
t
t~O
L'analyse en composantes principales de la section
pa r le se héma de dual ité
K
Z.
MO
1
2
L (SI, t4~. P)
l,(Gl0) l"~
6(
ZK
J
1
(1.16)
II.
1
j
2
,
I. :( II, ,1~.• P)
G

---

K
V
e~l: d c f In I pou r tout "Ji appartenant à (6? 0)* par
j
v. b"
Uv. b") (r )
t E K }
J -
J -
o
uù
(v.
b") (t )
l z . (Z" b") J (t)
J
-
J
J
(LU)
T-l
j
j)
L
h" E(X
X
s
t
s
t=O
V
est
la ma t r Lc e d~ c ov a r Lanc e des variables (X~, .•• ) X;'_l)' c'est-J.-
j
dire la mu t r ice dl autocovar iance du
processus unidimensionnel
j
j
X
=
iX (''',r)
;
t E K ,u] E sd.
o
De plus a tout f appartenant à L~(Q,~. P) correspond une
G,
va r i a b l e a Lc a t o i r e d ct.c r mIn èc
~)tlr
'f-l
lU
L
(1,18)
J
D~finiLiLJn L. :
On appel] e analyse en
composantes p r i.n c i pu l e s de la section r ,
K
la recherche de l'élément
~,H de (é{ 0)* normé dont l'ill\\.aljL' par Z~
-
]
est de norme maximale et
itérations sous contraintes
d'orthogonalit~.
L'analyse cn compusantes principales de la section j
permet de
j
d e c r Lr e les l La i s on s
entre trajectoires du
p r o c e s su s
X
associées aux
individus lu
de Il ;
par dualité ceci équivaut à décrire les individus
observ~s
j
à l'aiJe Je la variable X .
Les composantes principales oLtenuêS
à partir des variables
(X~, •.• , X~_l) sont des variables alGatoires non
corr~lées.
Pour les processus à variallce croissante, analyser les données

---

17
brutes, xev Lent; implicitement à donner plus d e poids aux derniers
inatanta de K puisque ce sont les variables à plus forles variances
o
qui contribuent le plus à la détermination des facteurs ; il est donc
prévisible de trouver une première compo s ant.e principale relativement
triviale liée à la valeur finale du processus X
(SAPDRTA ISBI. Pour
T_ I
les processus à variance décroissante la première composante sera très
liée à X ' La normalisation des données permet d'éliminer ce facteur
o
trivial dû à l'hétérogénéité des variances. Elle consiste à remplacer
la variable Xj par yj défhlie par:
c
t
j
X
yj _
t
(1.19)
t
- aj(t)
ou
(1.20)
On traite l~ sect~n j par l'analyse spectrale de l'opérateur V déf ini
j
o
pour tout b" de (dl
) " par
(V
bit) ~ { (V
~")(t)
t E K }
j
j
0
avec
1-1
E(~ jX )
(V
~")(t) 1:
__~s_ b"
0.21)
j
J ([)et (s) s
B~O
j
En désignant par p(X •
le coefficient de corrélation linéaire des
t
j
j
variables X
et X
on a :
t
s'
T-I
1:
(1.22)
est alors la matrice de corrélation des variables ( j
J
V
X •• ··• XT_I)'
j
o
c'est-à-dire la matrice 4'autocorrélation du processus unidImensionnel
j
X
-
{Xl (w,
t )
;
t E Ka, wEil} • SAfDRTA (SB! démontre 'lue les compo-
santes principalea ë; de la section j
réalisent les extrémas de
l'expression:
T-l
l:
p2 (X~, ~ ).

---

19
1.1.2.3. Section suivant ri
Pour tout individu u'
de fi • on construit le tableau Yw
croisant temps et variables appelé section w • Ce tableau permet d'ana-
lyser la trajectoire multidimensionnelle de l'individu w.
L'analyse en composantes principales de la section west
rêsumêe par le schéma
K
(61 0 ) H
W
j!:w
(1.23)
w
dlo
v
t y
0
N
0
Y
w
Y o M
0
t y
(1.24)
w
w
w
w
w
w
w
w
La description du
nuage des variables utilise généralement la métrique
diagonale des poids (N
=
Op)' mais dans le cas où
il y a des effets
w
de contigulté temporelle, on peut utiliser une autre métrique proposée
par CAUSSINUS-ARAGON [ 3 J •
V
est la matTice de covariance de la section
w.
w
L'évolution dans le temps de l'individu west visualisée dans
Ko
les plans f a c tor iels dans 61
et de plus on peu t posit ionner la t raj ec-
toire d'un individu w'
par rapport à la trajectoire de wen projetant:
j
Yw'
(X (w')
j
E J.
tEK }
t '
0
en élément supplémentaire. On compare ainsi les trajectoires des autres
individus à celle de w.
Cctte analyse en composantes principales mise en oeuvre par
LE NOUVEL [37]
considère les p-courbes non centrées:

---

19
d êc r t vanr la t ra j c c t o Lr e de l'individu hl aux
Iu s t aru s
t
de K • La
u
k-Teme c ompo saut e principale de cette analyse,
notée t"k(IÜ) a puu r
t-leme coordonnée
il
E>
k(hJ,t)
~
):
(
J(
)
EK
~jt w) X w,t ,t
u
(J .25)
j~1
•
La courbe E' (w) est obtenue par La formule de r ecous t Lt.u t l ou des
données
:
j
X (w, L)
l:
1 ;I{w) a
(w)
(k ("', r )
(1.26)
k j
k
Àk(w)
représente ici la k-lime valeur propre de V
associée au
vecteur
w
propre
~k(",)
j
E JI
De plus
Dans le cas d'une analyse centrée par rapport au temps.
les cuurJonn5es
des l'-courbes deviennent
i
j
J{ (W,L)
-
m (or)
où
1'-1
1
1.
xj (w,s)
l'
s~o
j•
est la moyenne t cmpor c l l e de w par r appo r t
à la var-table X
Celte analyse fIxe pour chaque cou["be une orjgine ne dépL:udanr
que de l'lnd lvidu w.
L'ullalyse en composantes principales nOrll\\ée
étudie les courbes
dc coordunnées
:

---

20
~jJ3!'l-=-~~i
sj (uJ)
où
la va r i a nc e t cmpo r e l le emp Lr i<!ue de la j-jème courbe sur UJ est
1'-1
1
i: l xj (Ul,t) _ mf(Lù) ]2
T
t~U
K
j
C12tle a na l y s c permet: de comparer les courbes
X (œ)
de di Ü
du
po Ln t de vue de leur forme.
La p r em Lè r e composante principale rend
cOlllpte Je 1 'allure g~n~ra1e des lormes des courbes 1. Xi (w), j C: J}
de
.Ju.
b
b I b
-
-
ui
,pul~qUL' des cour es assez s cm
a
les seront
t re s proches et
tres
corrélées av ec 1..1 première compo saut e principale.
1.1.J.
AllJ.lyse d~["oces8us observé aux instants {O)l, .•. ~!:.-f.
J.!.l.J. Définition
0(1 ~luJie l'analyse ~n conlposantcs principales du
processus
x
é: J
t co zJ
o b s e rv c au x instants t
dé K •
o
2
L'opérateur lineaire U
défini sur L,/Ii, (a',
P)
à valeurs
r
o · ,
ù
J
d a n s IH"' J;l 8t
:
li f
lx f
t= K }
(1.28)
o
l
u
ou
x f
est Je vecteur de j-ièmc coordonnée E (Xjf).
t
t
H
a
pour opérateur adjoint U ,
qui vérifie pour tout f de
')
..
Ko,J ;;;
L;?W, ". p) et
tout a
dt.' (61 ",6\\)
:

---

21
< f~
')
Li( (Il"",. p)
T-I
l:
< (U}) Ct), ~t!(t);' 1
P
T-l
~
E(!t f ) , ~"(t»
l
p
'f-l
= E(f
l:
< X
~H(t) > 1 )
- t '
P
il' est donc défini par
o
T-l
ut! aH
L
< ! t ' ~HCt) > 1
( 1 . 2~)
o -
[l
On a la proposition snivante
Propus il iOll
U
est un opérateur de Uilbert-Sclullidt.
o
Démonstration
T-l
T-I
[l u fil 2
1: Il (U f) (t) Il
L Il E( X OI12
0
Ko
0
t
dl 'U 6t!
t=O
6t!
1
t=U
6t
T-I
.;;;
L:
1E( Il \\f Il
) 1 2
t=O
dt)

---

Or
'[-1
1'-1
) 1 E(!fl ·11 Xtll
",1
1'-1
1':( II X Il 2
)
t
O~
1-1
2
L.
E( Il X 11
)
e st,
f Iu i
puisque le p ro c e s su s X admet d e s moments du
t~O
t
M.I
secund orure.
Finalement on a
T-l
Il
2)
uofll \\
« E(/f/
)
E( Il X Il 2
t
o
J
oi
~(
L=O
otT
o
K
c'est-à-dire ({U"::
Ua est un upérateur continu de LÔ/SL, t.Ll, p) dun s ~l q..;drI.
Soit
Ir
s
1, ..• + ~J
un système complet défini sur
s
2
Lj!(~L, ~') P) ,
{llk
.
k
0, . . . T-l
; i
=
1. .. pl
un e base o r t houo rmé e Je;
,1
th. U ll!Ôl ,
avec
g 'u
h
e ..
k, i
k
l
Al
f
li
h
. J
.
t
une base
t ho no r mé c
de
o
r
s
'1
e
s
o
r
s
k,l
(S,",I)
Par Sllite, puut tout t
de Ka'
et
tuut w
de Q
a
f
(w)
h"
.(C)
s,k,i
S
,1
s,k,i

---

Et
d'apr~s l'in~galjt~ de PARSEVAL
'1'-1
')
l:' 1 ). < (liofs)(ll, hl . (l 1
1~
\\,1
1
~ t k , 1 t~O
Il
'1'-1
')
,:' 1 L <
1~
HXtf) , ' \\
,(t),
,1
1Il
s,k,l
t~O
'1'-1
1
L
L'
E(f
•
L < X
' \\ i (r ) ~ 1 1
s
t '
•
Il
s~kJl
t~U
L
[' 1E( f
a
f)1
s
s,k.,i
s,k.!
'J
0
L
L'
a"
1 E(f") 1
s,k.l
s
B,k.,,1
1'-1
2
[ '
L' E Il X Il L
a
<
t
ti,k,l
s,k.l
t-e O
lit!
UA est donc un opérateur de lIilbert-Sclunldt.
On a en plus
'1'-1
L
E 1 ,: <
a"(t»
Xt '
J
1
t~O
P
'1'-1
,: 1\\ X Il L
1
t
drJ
t e O
'1'-1
Il a"ll
_
2K
1:'E(llxII L
< t ,...,
g
)
t
6l 0.[, 6f
lit!
L'opérateur adjuint U" de U
est linéaire, continu
i l est ,le lIilbert-
a
a
SCIIHIUT (rOUSSI<: et IJAUXOrS [51]).
On peul '110["::' écrire le sc héma de dua l Lt é
a s so cLé à l'aualY::H.: du
processus observé aux instants t de Ku avec
la 1~létrîqlJe identité.

---

24
K
di
u
')
0
k-- ":-~-,,o-,--r:" (T•30)
o
------~-----------,
?
K
1:-6iW , ," , I' )
(ù\\ 0
v
u
o
"
U
H
vtt d U
(1.31)
o
o
o
o
o
0
l~'üp~rateur de covuriaIlce Va s'explicite
K
V LI
{(VLI){t)
a E (dl 0,> MJ ) *
0 -
0 -
uù
T-\\
(V LI) (t )
E [!S.r
L'
~s' ~(s) > l 1
0.32)
0 _
p
8=0
oa Ln Lt Lo n 3 :
- - - - - - -
On appelle analyse en composantes
p r Lnc i p a Le s linéaires du
procl.:'~~US X o~ser~~ aux inSlullls t de Ka' la recllerche de a
no rme dans
(M '0". (;~Jr~t dont le transformé pe r U* est de norme
o
itérations sous c ont, r a i nts s ci1 orthogonal ité dans
L'dllalyse en composantes principales du processus observé aux
instants t de Ka est obtenue. par l'analyse spectrale Je son opé r a t eu r
de covariance V .
o
1.1.3.2.
Formule Je r e co n s t Lt u t Lon
Les fLlct~urs principaux cherchés {,i
harmoniques
l i E l' appelés
par DEVILLE [ L7], sont les f o n c t Lo n s propres orthonormées de V
associées
o
â la suite décroissLlfit~ des valeurs propres {kil
E l '
Soit pour tout i
i
de l
i
0" <l.
(1.33)
U
-1
0

---

25
avec
~
k!
La ième cumposante pr Inc tpa Le tnt erv reut, dans la f o rmuI.e de r ec cn s t I>
tut ion :
i
i
r ' a (t ) 1; (w),
(w,tl E Il x
K
(1.34)
o
o
1 E 1
. 1 )
Considérons la
; i -
I ••. q
les q-fonetions propres de Va
associées aux q plus grandes valeurs propres
{k
i = l ••• q} ; alors
i ;
la meilleure approximation en Dloyenne quadratique de X(w,t) par une
somme de q proceasus qua~i-déterlllinistes est donnée par ;
q
!.(w.t)
r' ~i{t)
A
(1.35)
1-1
Posons pour tout t de Ka
(1.36)
matrice d'ordre pxq, et pour tout ~ de n , 1; (w) est le vecteur q
i
0
d Laena Ionne I de ièPle coordonnée
1;
(w). Alors 0.35) s'écrit :
o
!.(w,t) - A(t)
1; (w)
(1.37)
o
et ls covariance entre
1;
et X
vaut
1 :
o
t
Cov ~
, X ) A
E (!.t
1;)
't
1:
0
T-I
r' E(!.r t ~)A(s)
s-o

---

26
i
Les
composantes principales (
réalisent donc les extrêmas
a
de
T-I
L
1Cov (1;, X ) 1 2
(r . J9)
t
t=O
et on sait (ESCOUFIER ~2 J) qu'elles sont fonctions propres de Wo'
1.I.J.J. ~~~Z=~_~~_~~~e~=~~~~=_e~~~~~e~~==_~~~~~_~~_e~~~~==~=_~~=~~~~
~~~_~~=~~~~= {O, l,., " T-I} :
Les résultats de l'analyse en cumpusantes principales sont
indépendants des unités de mesure des p variables, si on
effectue l'ana-
lyse sur les données temporelles normées, c'est-à-dire les données
définies par le processus
y
E J
t
E z)
j
X
(~:~
E J,
t
E z}
oJ (l)
où a-i(t)
est défini par 0,20),
L'analyse en composantes principales normées conduit à l'analyse
Ka
~T It
spectrale de l'opérateur Va définI pour tout a de (d~
$
dl)
par:
T-l
(Va)(l)
E [Y
L <
t
~s· y
>
0_
-s
1
s=O
P
T-l
[.
t
E [y
y
J a
(1. 40)
- t
-s
s
s=O
T-l
L
8=0
où R(t,s)
est la matrice de corrélation des vecteurs X
et X
de terme
t
s

---

27
général
VA est donc l'opérateur d'autocorrélation du
processus observé aux
instants {O.l ••.•• T-ll, Les compo sant e s principales E,
sont les
a
2
fonctions .pr op r es de l'opérateur W
défini pour tout f de L
o
d1Ül,l'JI,P)
par ;
r-i
1:' < y
(J .41)
s'
s~O
2
Les exr r êaas de EU .Wo.f) sur la boule unité de LQ1( Il,~, P)
sont, at t e Iui.s
en ~o fonctions propres de Ho et sont égaux aux valeurs propres Je Ho.
Or
T-!
E lE,
W
E, 1
L t 1E(Y
E,
12
0
a
a
0
0
av O
j
T-!
P
X
2
L
LI E(_s_ _
E, »)
os(s)
li
s~O j~l
T-I
11
2 e
j
X )
.
E'
L P t,
S
0
s~O
j~1
où p désigne le coeffici"nt de corrélation linéaire.
On ~ alors la proposition suivante
Proposition :
Les composantes E, a obtenues dans l'analyse en composantes
principales réduites sont combinaison .. linéaires des variables
Elles rendent extrêmales la quantité
T-l
p
j
L'
L p2(1; ,X )
(I.42)
s~O j~l
0"

---

28
Dans le cas particulier d'une seule variable (p~l). on retrouve
le résultat annoncé dans l'étude de la section j
réduite.
I. 2. ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES DE L'OBSERVATION TRANSLATEE
D'ORDRE 8(8
~ Z) DU PROCESSUS
1.2.1. Définitions.
Dans ce paragraph". nous étudions l'analyse en composantes
principales de l'observation translatée d'ordre 8 (8
~ Z) du
processus X. L'intérêt de cette analyse apparaltra au
chapitre II dans
la description de deux analyses d'une fonction aléatoire particulière.
Définition;
~l appelle observation translatée d'ordre 8 (8
~ Z) du
processus X observé aux instants {a.l ••••• T-ll • le processus X
observé au. Lns t au t s
{8, 8+1 .... , r-i-e) .
L'observation translatée d'ordre Ù est caractérisée par
l'application:
x :
n x Ke x J
(w.
t.j)
x(w,t,j)
(I. 43)
On a la relation suivante
x(w,t.j)
(I. 44)
Par suite l'analyse en composantes principales de l'observation
translatée d'ordre 8 du processus X utilise les mêmes voies que celle du
processus observé dans K
après translation de l'origine ùes temps.
o

---

29
Elle nicessite en
effet d'analyser le processus
x
j
E J.
t
E Z}
observi aux instants t de KO'
K
L'opirateur Ua de L~(rl.~P) dans 6i 0", 6t1. i'luivalent <le Ua
est difini pour tout f et tout t de K
par ;
o
tEKo
où
0.45)
K
J
admet pour adjoint l'opirateur U~. vé r If Iant; pour tout b de (IH Oc> U ) "
T-l
l:' < ~(t). ~Ha> 1
0.46)
p
[=0
De façon identique au cas du processus observi aux instants t
H
de Ka. on dêmont r e que Ua est de Hilbert-Schmidt. L'analyse en compo-
santes principales de l'observation translatie d'ordre ij do processus X
est r sueê e par le ac hêma :
ë
K
6i am 6tI + - - - - - - - - - - - - - L~(I'.~P)
l: 0.47)
"0
\\
(I.48)
L'opirateur Vo s'icrit explicitement
tEK }
a

---

30
où
T-l
E 1\\+8
l:'<
(1.49)
s=O
Ve est l'opérateur de covariance de l'observation translatée d'ordre
8(a
E
Z) du processus X.
Déf inition
On
appelle analyse en composantes principales
linéaires de
l'observation translatée d'ordre a (~ E Z) du processus X la
recherche de l'élément b normé de
(d{ "'" otT) .. dont l'image par
U~ est de norme maximale et itérat ion sous contraintes
d'orthogonalité.
L'analyse en composantes principales de l'observation trans-
latée d'ordre a est obtenue par l'analyse spectrale de son opérateur de
covar iance Ve.
L'analyse en composantes principales du processus observé aux
instants t de K
est différente de celle de son observation translatée.
o
En effet, U
et Ua sont distincts; il en est de même pour les opéra-
o
teurs W et W
o
e définissant les composantes principales.
L'identité des opérateurs Ho et W
(ou V
et Va) ne peut
a
o
résulter que de propriétés particulières du processus X.
Par exemple, si X est périodique de période T, l'analyse en
composantes principales du processus observé aux instants
de K
est
o
dientique à celle de ses observations translatées d'ordre e = kT, k E Z.
Nous étudierons au chapitre II la classe de processus station-
naire pour laquelle V
et Va sont identiques.
o

---

31
1.2.2. Formule de reconstJtution.
Les facteurs principaux (~iJi E l' obtenus dans l'w.alyse en
composantes pr Inc ipales de Uo sont les f onc t ions propres no rmè es et
orthogonales de Vo' a..soctées à la suite décroissante de .. valeur"
i
propres th li E l"
Soit pour tout i de l' :
(I.50)
avec
i
2
Il f,; \\1
e
i
La ième composante principale f,;
intervIent dans la formule
de recons-
titution obtenue en retenant Ica q fonctions propreti a~~oc1é~s dUX
q plus grandes vsleurs propres de Vo ;
q
i
!
!(w,t+O) ~
1:
b (r ) f,;
(w)
(w.t) E fi x K
(1.51)
-
0
o
i~1
Cette meilleure approximation de X(w. t10) par une ..omme de q pruce ....us
quasi-déterministes s'écrit sous forme matricielle:
(1.~2)
ou
i
et €;:O (w) est le vecteur de f ëuie coordunnée
é; 0 (w) .
k
La covariance entre
f,;O et !t+O est donnée par l'opérateur
(l.~J)
C'est dire que pour tout i
1. .. q
i
Cov(sO' X
~ hi bi(t)
(1. 54)
t+O)

---

32
On montre de même que dans le cas du processus observé aux
i
instants {O,I, .•. .r-r) • que les computiantes principales Çe réalisent
les ex t r êma
de
T-l
!t"
p2 U:, ~j
)
r'
r
(1.55)
s+s
,;=0
j=1
Enfin pour un processu,; X tel que V
~ Vs les facteurs principaux de
o
l'analyse en composantes principales du processus observé aux instants
{O,I, .•.• T-Il coIncident avec ceux de son observation translatée
d'ordre
d, ainsi que les norme,; carrées des cumpusantes principales
des
Jeux analyses.
K
Soit b E (01 U'il o:r1)", un facteur principal commun à l'analys"
ÙU
p~ocebsus observé uux instants t de Ka et à ses observations
tran,;latées. La composantes principale associée à b détermine un
processus
:
e E z}
de S -ième composante
T-I
X
>
-t+8
De tels processus font l'objet d'une étude particulière au chapitre II
pour la classe des processus stationnaires au deuxième ordre.

---

-- ))
CHA P I T R E Il
ANALYSES n'UN
PROCESSUS
STATIONèlAIRE AU DEUXIEf1E ORDRE

---

35
Dans ce chapitre, nous présentons deux analyses d'un processus
p-dLnensionnel. centré, stationnaire au deuxinme ordre et de fonction de
covsrLance absolument aommable :
x
j
E J. t E Z}
La première partie étudie l'espace des valeurs du processus X
noté "X' Nous reprenons les travaux de ROZANOV [571 'lui mout r en t que
tout élément
f;, de "X s'écrit comme intégrale stochastique d'une fonction
vectorielle particulière ~ de dimension p appelée caractéristique
spectrale de
E;. On 100ntre que certaines suites d'éléulents de II
dêter-
X
IOment des proc ea su s stationnaires. et nous donnons l'écriture de leur
densité spectrale en fonction de celle de X,
La deuxième psrtie présente l'analyse en composantes principales
du processus X observé aux instants {O.l •••.• T-l}
et de ses observations
translatées. Nous montrons que les opérateurs de covariances V
et Va
o
ont la même représentation dans le domaine des fréquences. Par conséquent.
les facteurs principaux du processus observé aux instants {O,l ••. " T-l}
sont invariants par translation globale. A un facteur principal, on peut
alors associer la suite des composantes principales des observations
translatées du processus X qui sont dea éléments de "X'
La t r o te t êaie partie reformule les travaux de llRILLINGER (131
sur
l'analyae en compoaantes principales de X dans l'espace des fréquences (ou
.....A.C.P.). On cone t ru i.t par cette méthode un processus q d nuun s f.ounc I
(q < p)}
j
E;
j
1 ... q
t E Z}
t
appelé processus principal d'ordre q de la Y-ACP. non corrélé de sorte
que X s'écrive sous la forme d'un filtre réalisable fini de
~
Le pro-
cessus j-èrue
coo rdonné e de t; appelé j-ème
processus principal de la
F-ACP de X a pour composante à l'instant t , E.~, Nous monr ron s 'lue E.~ peut
s'interpréter Comme la j-ème composante principale au sens de la F-ACP Je X.
La F-ACP nécessite la re dre r c he des éléments propres de la mat r Lc e de
densité spectrale de X pour toutes le" fréquences,

---

36
Le chapitre se termine par un tableau résumant l'analyse du
processus X observé aux instants fO,l, ••.
;
T-I}
et de ses observa-
tions translatées d'une part. et la F-ACp d'autre part. L'intérêt de
ce tableau est de montrer que ces deux approches diffèrent non sur le
critère optimisé, mais sur le choix des contraintes de normalisation.
II.1.
PROCESSUS STATIONNAIR~
II.1.1. Représentation spectrale d'un processus stationnaire.
II,1.1.1. Définitions
Considérons le processus l'-dimensionnel centré
X
j
E J
t
E z}
défini sur l'espace probabilisé (n,~,p).
Déf init ion 1
(PHAM DINH [481)
;
Le processus X est dit stationnaire si pour tout ensemble fini
de temps t
•.•• , t , la loi conjointe de {X
•.•• ,
X
l
k
t
t }
est la
l
k
même que celle de {X
l'
••• , X
I}'
t
t 1+
k+
Déf init ion 2
(PHAM DINH [,.81)
;
Le processus X est dit stationnaire au deuxième ordre si les
moments d'ordre 2 existent et vérifient:
E t x, t
(ILl.)
x
1 = C
(h)
t+h
XX
Un processus stationnaire qui possède des moments d'ordre 2 est
stationnaire au deuxième ordre.
C
est la fonction de covariance du
processus X.
C'est une
XX(.)
fonction matricielle définie sur Z telle que :

---

37
(1I.2)
Cxx eat de plus de type poaitif
k
k
L'
r'
Il
;.
u
CXX(ti-tj)(lj
a
(II. 3)
i
i~l
j=l
pour tout ll' ..... t
de Z et tout
ll
al t"· •• (lk de Cp.
(H: désigne la transposée conjuguée d'un vecteur ou d'une matrIce à
éléments complexes),
Elle admet donc une représentation sous forme intégrale
Théorème 1 (PIiAtl DINII 1481) ;
La fonction matricielle C
adm"t la repré""ntation
XX
(II.4)
où F
est une mesure positive sur IO,2n) à valeurti danti 1" cône
XX
des matrices hermitiennes positives uniquement dé t erm Lnêe par CXX'
Déf ini[1on 3
La denaité de F
par rapport à la mesure de LEBESQUE, si e Ll.e
XX
existe s'appelle denaité spectrale du processus.
Lorsqu'un processus stationnaire au deux Lêmc ordre X admet une
densité spectrale f
aa fonction de covariance C
xX(')'
xx a pour valeurs les
coefficients d" FOURIER de f
;
XX(')
~2'j[fXX(,\\)
CXX(u) =
exp1Àu dl.
(II. 5)
u
Inversement, si la fonction de covariance d'un processus sta-
tionnaire X au deuxième ordre est absolument sonunabl e , c'est-à-dire;
(11.6)
u

---

38
où l'on note
lAI la somme des valeurs absolues des 21éments de la
matrice A, le processus X admet alors une densité spectrale qui n'est
autre que la série de FOURIER
1
(II. 7)
2TI
u
II.1.1.2. ~~~:~~~~~~~~~~_~E~~~:~!~_~~~_r:~~~~~~~_~~~~~~~~~!:~~_~~
deuxième ordre
Le théorème de BOCHNER fournit une représentation de la fonc-
tIon de covariance d'un processus stationnaire au deuxième ordre. Cette
représentation induit une représentation du processns lui-même.
Définition 4 (PHAM DINH [48j
:
Soit (A~ un espace mesurable, on appelle mesure stochastique
orthogonale p diJnensionnelle définie sur (t@) basée sur
W,C«!,P)
toute appl1cation Z de @dans L~p (rl,~.P) vérifiant
(1)
Z(\\1) = 0
(il) ü
additivité
pour toute suite
{B
E!!JiJ! n > l lavec Bi n B f 0, i f j
n
'
j
Z(U
B )
n>
n
(iii)orthogonalité : A; li ~~
A nB= \\1
~ E [Z(A) .Z(B)"J
0
La
mesure spectrale associée à une mesure stochastique ortho-
gonale p dimensionnelle Z est la mesure à valeurs dans le cône des
matrices hermitiennes positives:
F
A -+ E [
Z(A)
• Z(A)It]
Théorème 2 (PIIAN DINII !l8 1)
Soit :
j
X = {x
E J,
t E Z)
t

---

39
un processus p-d imensiounel s t.u t Lonnu i re au d eux l cme o r d r e
Je
mesure spuc t r a l e FXX~ alors il existe une me su r e s t o cha s t Iqu e
orthogonale p-Jimensionnelle ZX' Je me su r e spectrale l'XX'
telle 'lue
(f LIl)
11.1.1.3. I.e;; filtres linéaires
Leunalyse des processus manipule un c er t a In nombre de ltan::i-
formations parmi Lc s qu e Ll e a une c l u s s e Impo r t an t e est cun s t Lt ué e par
celles qui sont Ll.né a Lr e s et invariantes.
Une application de l "ans emb Le d e s processus p-dimensionnels
dans l'ensemble d e s processus q-d tmens Ionne I.s ;
"'_' [xl (t ) •
t E Z
01.9)
ou
X
j
1 •• '1'
t
E zl
y
1 ••• '1
t
E Z)
définit une tran;;formation linéaire si
(Il. 10)
Elle est invariante si pour tout u Je Z
(~[ xl (t+u)
(Il.II)
où
Xt+u

---

Definition 'J :
Une op6ratiou (l' d~finic dalls 11ensenlble des proces~us p-
Jilllen~jollnels à valeurs Jans l'ensemble Jes proccssll~ q-
Jilllensionnels qui e g t, linéaire ct invariante est appelée
filtre lin~aire q x p.
Une classe Impo r t a nt e de
filtres linéaires q x p est donnée
pa r
les fil t re s sommab l e s
:
\\
,,'Ix](t)
,,,.
(I 1. 12)
u....:;-'-'-·
où
lA(u)
u E Z} est une suite Je matrices q x p absolumcllt sonunable
1.'
[A(u) l < + c,
appeltie fonctjon de transfert impulsionnelle du filtre. Si pour tout
u
" O.
A(u)
~ 0, alors le filtre (ILl2) s'écrit :
y
::'
A'(u } X _
(ILI3)
L
t
u
u=O
On dit qu Ion a un filtre réalisable q x p.
On dit Je pLus qu'un tel filtre réalisable est fini si pour
tout u "" T,
A(u)
~ O. Alors
']'-1
y
L' A'(u } \\-u
(II. 11.)
t
u=O

---

41
y est uu processus de moyenne mobJle d'ordre y , s' i l admet la
r epr ê s ent a t, ion
y
L'
A(u)
tet-u
u~O
o~ te est un processus de bruit blanc. On dit que Y E M,A (y).
Lorsque X est un
processus stationnaire au deuxième ordre,
de fonction de covariance absolument s onunab l e , sa r ep r è s en t at Lon spectrale
permet d'ecrire (11.12) dans le domaine spectral.
y
L'
A(u)
t
1211+~
~
1 1;' A(u) exp-iÀu!expiÀt dZX(À)
U
U::;;._loV
(II
]~À) expiÀt
(Ii.IS)
Le p roc e s .. us Y e .. t
stationnaire au deuxième ordre. Sa d en s Lt é
. . pe c t r a I.e
est déf inie pour tout .À El 0, 2rr 1 par IWOl'tlAtJS
l:nl
Dé f in ft ion 6
On appelle fonction de t ran .. f e r t du filtre lineaire d èf Ln I par
(11.12) ou caractéristique f r é quent Le l.Le du filtre,
la fonction
l\\Iatricielle~ valeurs complexes définie pour tout À E:: 10,211 1
par la .. éric de FOURIER
+~
çf(À) ~
1;'
A(u) exp-lÀu
(J 1. 17)
u~-......

---

42
ll.1.2.
Espace des valeurs d'un processus stationnaire au
deuxième ordre.
DiJn~ Ce paragraphe, nous présentons quelques résuJtats de
l~üZANüV 1~7J sur l'espace J~s vuJcurs dlUZl processlls statiU[lnaire au
d<':llXi(:m...:: o r d r c et sur la
r cp r è s eu t u t Lon
spectrale d e s éléments de cel
Il.1.2.1. D~finltlûn
j
Suit X = LX
;
j
~ J, t E Z] un proceti~us stationnaire au
t
deuxi~llle ordre, p Jilllcnsionnel, centr~ de fonction de covariance absolu-
tne n t.
s oouau b l.e •
L' espac~ H
engendre par les variables aléatoires x~ éléments
X'
de
L:lSl"~,,P) est fermé pour la topologie de la cunvergence en moyenne
quud r n c Lqn c
(IW:::Al<UV 15 71). L" produ i t
scalaire d';;fini par
(11.]8)
~ l '
num i t, c e t
e s pac e d'une structure d' espace de IJILllEl<T
(IWZANuV [57)).
LJl~L ru Lt ion 7 :
1,' espace
llX e st appelë espace d e s valeurs du processus X.
l.a
repr~sentatioll spectrale du processus X dooLlée par (11.8)
a s s oc Le à tout élf:mcl1t
c' d e Il
un e fonction vectorielle
'{J d
f Ln i e pour
è
,
X
l'
tout ,\\ Cc lu, 2nl
et à va I eur s dans C
telle que
~ soit représentable sous
13 forme d'une intégrale stochastique orthor,onale :
(IL19)

---

43
On note~ 0, 2'111, cP) l'ensemhle des f onc t Lcn s de 10,2111
dans I.l. Cet en s embLe a un e structure d' espace veclor Le I
. Iléf Iu l s son s
par h l'application;
où
'l'héorème J
L'application h définit un produit scalaire noté
~
~
h('I'l''';2)
< 'l'l' 'l'Z ' f
i"'l'lo,)1t fXXO} 'l'2(À) ex
xx
(Il .20)
Démonlltration
1)
<
'f2' 'fl
2)
Soient 'fl' 'f2' 'f'3 E$lo,211 1. CP) et a, t3 deux réels

---

44
))
2
1/ 'fi Il 2f
Il 'fi0) Il f
0) d À
XX
xx
fxx(À) étant une matrice hermitienne positive, on a
2
'fi(,\\) [1 f
(À);;;' 0
XX
et
2
"f
o ~
'PO) = 0
"
'P0)
(À)
XX
Par suite :
Il
o -
o
'P Il
D'où le résultat
Définition 8 :
~l
2(f
appelle L
l'espace des fonctions R appartenant à
xx)
~ 0,211\\, CP) vérifiant
+ co
(II.21)
On identifie les fonctions 'PI et 'P
dont la différence vérifie
2
~ (ROZANOV [57] :
2
L'espace L (f
)
xx muni du produit scalaire défini par (11.20) est
un espace de UilLert.
2
Le produit scalalre 01.20) permet d' identU ier l'espace L (fXX)
à l'intégrale hilbertienne:

---

4
0.1.22)
où
2
1..
1fXX(À)! est Lacmêt r Lque à l'espace (l mun L du produit s cu l a t r e
défini par la matrice fXX(À).
LEI1HE 2
Démonstration ;
2
L'espace L p (O,2nl est l'espace de Hilbert des fonctions
vectorielles op,
l' ~lmenslonnelle8. c oœpLexee , définies SUI"
10.2'1\\1
qui vérifient ;
\\1 op Il \\
~ ttn1
.. =
L pl 0,21[1
c
Pour [out À E 10,2111, fXXO) est une matrice hermitienne positive. Ses
valeurs propres classées par décroissant sont telle" que
;;.
u
0) > 0
l'
et il e"iste K > 0 tel que
u
(À) ;:;. K.
P
De plus. pour tout
op EfnO.211 1. CP). on a :
D'où
Finalement

---

46
~l
2
en déduit que si ~ appartient à L ( f xx) alors ~ appartient
àL2p[O~2fT].
C
D'où le résultat.
Une propriété de base des processus stationnaires au deuxième
ordre est donnée par le théorème suivant.
Théorème 4 (KOOPMANS [33])
:
2
Si ~l et ~2 appartiennent à L ( f
) alors
x x
211
2IT
~ ~l
~ ~2(À)"dZx(À» ~ e1l
E(
(À)"dZx(À)
•
J ~1~(À)fxx(À)~2(À)dÀ
ù
0
o
(11.23)
LEM}lE 3 (ROZANOV [57})
:
L'application:
est une isométrie.
Démons t rat ion
Soient
~l et t:z deux éléments de !IX
\\~r:~(À)dZ/À) • i 1.2
D'après (11.8)
< ~.
(11
E (
)
~2(À)"dZx(À»
o

---

47
On en déduit d ouc du théorème 4
Ce résultat montre que la représentation de tout êlêlllenl (
')
de " x sous la forme (II.19) par un è l èment. v' de L-(f xx) est unique.
Définition 9 :
La fonction v ec t o r Le l Le v' est appelée la c a ra c t é r Ls t f qu e
spectrale de la variable aléaloire ~.
2
Réciproquement, la donnée d'un élément .p E L (f xX) permet d~
construire la "ulte de variables aléatoires réelles
E,
(JI.24)
s
(rappelons que f xx est la densité ~e la mesure spectrale f XXassuciée à
la mesure stochastique orthogonale ZX) et définit ainsi lin
p r oc e s su s
u!"' id Lmeus i onnel
6
E zl
(11.25)
dont les propriétés sont données par le théorème 6uivaut
Théorème 5
1. Pour lout s E Z,
E.
E "X.
s
2. (. est un processus stationnaire au deuxième ordre de d cn s It.é
spectrale définie en tout À E [O.21d
par
Démonstration:
1. FIxons s et désignons par 'f' s la tonc t Iou v cc t.o r Le l I.e à v a l eu r s
complexes d éf In Le pour tuut
À te [O.
2111
par:

---

.\\ 1cl rs
l'sil
~"''''''\\I')''lX:((')'O(\\) expi xs cxp :Is dl
c
o
r:Il ,,"
J ,'( ',) [XX\\i),::(A)C!.\\
o
,
a pp a rt i cn t
dUllL
.J J.~([:.:>:)
ct
d';-Iprès
le LL'l1lmL'
JJ
-e. u pp a r t t cn t
:1 llX'
i onc t Lou
d c
t rans Lc.rt
dc f t n t o pour
r o ut;
A Cl 0,2111
p.Jr .;_();)H:,
et donc
JI dprl'S
t Il.1 (j)
;,;1
d c n s i t~ spectrL11 ê
est d onu e c
pur:
t'ullr
1 on t
.'j
1...::
Z,
cn
LI
:
!I ' ( ' )
Il 'r-
1\\
Il
1
Il
~2i1,Ù
')
1i'" I!-
c
r\\X
Co n s l cle t on s deux lH'uc~SSl1S dont: Lc s co.upo s an t cs s o n L des
S
Le Z
1
(l
.:7)
a v oc-

---

49
1
2
~ et ~
étant des éléments de "x.. le Lemme 3 permet d '"crirc puur tout
s E Z ;
l{J )
2
f
rn , 28)
XX
11.2. A.C.P. D'UN PROCESSUS OBSERVE AUX. INSTANTS
~•.. , 1'-11 ET DE
SES OBSERVATIONS TIUNSIÀTEES
II.2.1. Analyse du processus observé aux instants
(O.I •...• T-II
Nous nous proposons de déduire de la représentation s p ec t r a Le
(11.8) du
process6us X. une représentation des opérateurs U
et U:
o
définis l'sr (1.28) et (1.29) dans le domaine des fréquences.
Ainsi
E(X.tf)
El ~:l1eXPL\\tdZxo.)'fI
f E L~(ll.(;<!.l')"
t E K
(1l.2~)
o
1'-1
K
u"s = ' " <
o~
a
L
~t. !.. ) 1
E (ill 0 Ji
6,.1) *(1l.)0)
~
p
La fonction vectorielle l{J. transformée de Fourier directe d e a
1'-1
l{J <À)
L lit exp-1>.t.
À t:: 10. 211 1
(IL)!)
t=O
vé r Hie
U"a =
(IL32)
o~

---

50
Proposit ion 1 :
2
La relation (11.31) définit un élément de L
Il
p([O,2111.
C
vérifie:
2
Il'1'11
2
(11.33)
L p(1 0,2n])
C
Démonstration :
Rappelons que
T-I
T-I
Il a Il 2
z II~II:~
-
K
(Gl
t=O
0 '"!if')1t
o
Pour tout '1' "E L"p ([ 0,2R/)
c
Il. Il :,;,,1 0, 2" J ~ ;, )::(À)".C')dÀ
Or d'après (11.31), on
peut écrire
-
~lI.pO)".p~À)dÀ
~1I T-I
1
1
t
as expiÀ(u-s)dÀ
=2ïT
a
211
u
o
u\\=O'
~211
1
r ta
1: Il
2
1 ri
T-I
a
expiÀ(u-s)d
=2ïT
a J !if' dÀ+ 211
0
u
s
o
s=O
u'ls
< + =
On en dédu it que
2
Il.p Il
< +
2
\\P([
0;)
0,2111)

---

51
Corollaire 1 :
K
Pour tout a E (61 0 ", 6tl) ..
~
~)(t) ~ ~2:XPiÀttXX(À)~(À)dÀ
(V
(11,34)
o
o
Démonstrat ion
1U (U"(a»} (t )
o
0
~
cn
"
)0 el<piÀt dZX(À). r't'(À)" dZ/À)}
o
On obtient le résultat d'après le théorème 4.
(Va ~)(t) • t E K
représentent donc les coefficients de
o
Fourier de la fonctioq vectorielle
10,2ul -> cP
II.2.1.2. ~~!~~~_~~_~~~f~~~~~~~_c~!~~!e~!~~_~~_e~~~~~~~=_~~~~~~~_~~~
!~~~~~~~_i~L!L:::L!:!l ;
L'analyse en composantes principales du processus obse~v~ aux
o"'d:1)"
instants {O,I, •••• T-II construit le facteur prine1pal
~l de (dl
normé dont l'image par u" est de norme maximale. Les autres facteurs sont
o
obtenus par itérations sous contraintes d'orthogonalité.
K
Rappelon .. que le produit scalaire entre deux éléments ~l et ~2
de (dl °ill atl)" est:

---

52
T-l
< ~ l' ~2 > K
(lil 0 d'litl) "
Dans le cas J'un processus stationnaire X, on doit maximiser
où
T-l
L
~l(u) exp-iÀu
u~D
Le t héo r ême 4 permet d'écrire
Il u: e.!
l.i{(il,,:.<!, P)
(II. 35)
où Il 'Pl (À) Il 2
est la norme carrée de 'l'] (À) dans l'espace c" muni de
la métriquef~~àj?atiquefXX(À).
Cette quantité mesure la variance de la composante principale
due à la fréquence
À. La première composante principale maximise donc
la moyenne des parts de variance associées aux fréquences
À.
Déf init ion 10 :
ün appelle analyge en composantes principales linéaire du
processus muI t Ldtmens Lonn e I stationnaire X observé aux
t ns t an t s {D,l, ••.• T-l} la recherche du tenseur a] norme de
K
~
(6{ o(j)
ôtl) ft qu i réalise le maximum de l'intégrale (II. 35)
et
itérations sous contraintes d'orthogonalité.

---

53
La quantité à maximiser est finie. Les f onc t Lons vec t o r Lel Les
obtenues à partir des facteurs principaux vérifient:
(11
l,
) Il '1' (>.) Il
< + 00
(IL 36)
o
-a 2
2
appartient donc
L (fXX) SOUB e spac e de Hilbert de L pO 0,2111).
c
La proposition 1 permet de poser la définition su tvun t e
Définit ion 1 :
On appelle analyse en composantes principales linéaire du
processus multidimensionnel stationnaire X observé aux
instants! 0.1, ...• T-Il , la recherche de la fonction vecto-
2<f
rielle 'l'de L
xx) vérifiant:
2
=
1
1\\ '1' I~2 <10 2111)
cP
•
qui réalise le maximum de l'expression (II. 35)
puis itérations
2
sous contraintea d'orthogonalité dans L P <10. 2n)
•
C
Le schéma de dualité correspondant à cette dernière définition
de l'analyse en composantes principales sera précisé au chapitre Ill.
Les q fonctions propres de V , !a
; j = 1 ••• ql
assocIées aux
o
-j
q plus grandes valeurs propres k
ont pour transformées de FourIer
j•
respectives 'i' j
données par (II .31). Par suite la j-ème composante
principale
j
~ = u* a
(Il.37)
o _j
o
est une variable aléatoire réelle définie sur (~.~.P). La propriété
(11.36) des 'l'j et la Lemme 3 pe rme t.t eut, donc de dire que:
j
~ E"X
o
Sa caractéristique spectrale est
'l'j'

---

54
La qualité de la représentation de X
est évaluée en remar-
t
quant que pour tout
dans {1.2 •••.• ql
expiÀt dÀ
(11.38)
De plus. le critère d'optimalité des composantes donné au
chapitre l par (1. 39)
se traduit dans le domaine des fréquences par la
proposition suivante.
Propo s it ion 2 ;
Les composantes principales du processus stationnaire X observé
aux instants {O.I •••.• T-l} sont des éléments de llX dont la
caractéristique spectrale rend extrêmale la quantité
T-l
L
expiÀt dÀ)2
(n.39)
t=O
11.2.2. Analyse de l'observation translatée d'ordre 0 (0 E Z) du
processus.
Les opérateurs Ua et U~ définis au chapitre l s'écrivent dans le
domaine des f r qu enc e s ;
é
E(!5.t+Uf)
El rllexPiÀ(t+O)dZxU) .fl
E
L~(rI.Ii!!. P)
o
t E K
(II .40)
o
T-l
L
t=O
2IT
~ ~(À)* expiÀO dZX(À)
(II.41)
o
où
<p(À) est définie par (11.31).

---

55
Théorème 6 :
L1op~rateur de covariullce des observations tralls1al~es
d'ordre e (0
E Z)
du processus stalionnaire X est
indGpendant
de U :
(V o a) (r )
(V
~) (t )
(li .Ill)
0
K
I:l
E Z,
a E(o: 0 J d~J) "
t
le K0'
Démon~trat ion
K
Soit a E (dl 0" d~)H. tE Ka.
U lé Z
(211
1/1
~ El J expL\\(t+I:l)dZ (>.)
} , '!'(À)"expUU
À
o
o
D'après le théorème 4. on a donc
(2 n
)
exp ts t
o
(V
a)(t)
o
Aussi,
bien que les couples d'opérateurs (Uo.I~) el (UU. U:)
soient différents, dans le cas où le processus X est
stationnaire au
deuxième ordre et de fonction de covariance absolument
sonuaab Le ,
Vu et
Vo sont des opérateurs identiques. Ceci ré~llte de i'invariance de la
loi de probabilité d'un processus stationnaire par translation.
Ce
résultat entraIne que les facteurs principaux de l'analyse en composantes
principales du
processus observés aux I n s t an t s
{O.I •.•.• 1'-11 son t,
iJen-
tiques à ceux d
l'analyse en
t
f
f
l
Je ses observations
e
,
c o m p o
s a u
e
s
p
r
n c
p u
e
s
translatées.
La j-ème composante principale de l'obserV'-llion
t ruu s l a t.é e
d'ordre 0 du processus X stationnaire a ppu r t Lcn t
il "
est donc d'al'[0s le
X
chapitre 1 et
(II.41)
:

---

56
L!k .:..J
li
"" j
. i Il
~ "/\\)~ L'Xl'i\\l'dZ,,(.')
(T 1 . If!)
.\\
o
Puu r
11
f l,II
quu
i t
Je
rc p
t
ùe
+
sur
ct)
L J
l
é
I d
r
é s
c u r
a
I o
n
X
l a
c . o m j . o
s
a n t
e
« s
r
t
O
1!lt'.']ll n~l; L'Il
rClll.:Jrquant
qu e
:
(LT.~~)
ll.~.1.2. ~:~~:~~~~_~~~~~~~~~_E~~_~~~_~~~e~~~~~~~_e~~~~~~~!~~_~~~_
~~~~~~~~~~~~_~~~~~!~~~~~_~~_rE~~~~~~~
L~ j-~'ll\\L' CUlllPUSu,I)Le principale du processus observé aux
f n s t •.i nt s
!O,I, . . . ,T-l} et cie ses ub s e rvu t Lo n s
t run s La t
e s ,
l'ordre
U
è
(i!
L
Z))
t ou., ~l cmcn t s dl: "x- d é t e rmLn unt un processus scalaire:
j
L L'
ou
e s t
d ouu c
pi.lr
(il.!fJ).
Ce prüces~us ~sl al)p~l~ le j-DlllC prUCeSSlJS principal Jes
o b s e r v.rr Lon s
t r-u ns l u r é c c du
processus X.
C'est
un
f Ll t.r-e
l t né a Lr e du
y) . (,l,) ~ f 'X (,1).,: . (.\\)
J
X.
J
Puu r
j
of j
o n
su i t
(lue
-j
et
(j
l
,
SlJnt non cürr61~sJ c'~st-5-Jirc qllC
'II
-0
j ,
(""
J ~j(\\)H~XPi.\\OJZX(À)1
IJ
o

---

57
j
j '
On dit alors que les processus E;
et
E;
j
.. j ' "out globa-
lement non corrélés.
De plu .. l'égalité
permet de vérifier la chaIne d'égalité suivante à l'aide de (ll.Lb)
(II.41l)
11.3 .. A.C.P. DANS L'ESPACE DES t"REQUENCES D'UN PROCESSUS STATIONNAIIŒ
Nous présentons ici l'analyse en composantes principale" danti
l'espace des fréquence .. ou F~ACP de llRILLINGER (13).
L'outil principal
étant la t r anuf o rmé e de
Fourier J
la l;'..,.ACP e sr. décrite nou r- Ull p r o c c s au u
observé sur tout Z.
Au chapitre IV, on
travaille sur lü,l. .. '1'-1 J , on
ntilise alors la tran"formée de Fourier discrète.
II.3.1. Position du problème.
Soit
j E J. t E zj
un processus p dimensionnel,
stationnaire au deuxième ordre et centré. On
suppose de l'lus que sa fonction de covariance est absolument s ouuuab Le .

---

58
On se propose d'écrire le processus X sous forme d'un filtre
réalisable p x q dlun proc~ssllS latent ~, q dirnensiunllel (g < p)
non corrél~.
Cette non-corrélation est obtenue en écrivant le processus ~ sous forme
dlun filtre réalisable q x p du processus X.
Munissons
Gf et ~ de bases fixées a priori. Les familles
de matrices
:
fi
(fi(u)
u E
Z
, d'orùre q x p associées aux applications
linéaires.
A
{A(u)
u E
Z)
, d'ordre P x q associées aux applications
linéaires.
A(u)
(II.49)
permettent de déterminer le processus q dimensionnel
t E Z)
d é f Ln L par
):'
B(u) \\ t u
(I1. 50)
uEZ
et tel que le processus q dimensionnel
x
t E Z)
où
):'
A(u) t:t_u
(II.51)
ut.': Z
réalise pour tout t E Z le mJnirnum de

---

59
II.3.2. Les processus principaux de la f-ACP de X.
Apris avoir donné une
formulation du probl~me précédent dans le
domaine des fréquences, nous en proposonti u n e r
so lu t rcu ,
é
La ar a t Lonne r t t
du
pruce .. su s X permet d'écrire pour tout t de
é
Z
X
E'
A(s)
E'
E (u )
X
t
u+t-fj
sE Z
uE2
L' A(s)
L'
(11expf A(u+t-s) dZl/.(A)
s6Z
u€Z
0
ru
t [ E' A(s)e"~-iÀa)( E' E(u) expiAu)expiAt dZX(À)
o
s<-:: Z
uE:/.
• ,.21\\
J~A) expiÂt dZX(A)
(1I.53)
o

---

60
où l'on pose pour tout
 E [0,21T ]
r.
. # Â )
' A(s) exp-il s
sE 7.
.93f~)
L
B(S) expiÂs
(11.54)
sE Z
On a alors une autre formulation du
problème précédent, dans le domaine
des fréquences par le Lernme su iv an t .
LEMME 3
Les deux problèmes suivants sont équivalents
a)
Nin II \\
- X Il
t
A.B
b)
(11.55)
(lr désignant l'op.:§:rateur Htrace").
üémon st r a t Lon
D'aprèb <I1.53)
Alors, on a
?IT
~- -~Â)J
[1
expiÂt dZX(Â)
o

---

61
211
~)leXPiÀtdZX(À».~( r~)
o
Et donc
2n
2
MinI! X
-
Min
~
t
x[ Il 2
t r ([ 1
A,Il
L
(Il lE! P)
(,f
' ,
~ o
Le Lewme 3
permet de poser le problème de la F-ACP couuue
la
recherche de~(;..) (ot;.;6) e@A». On fonstrui[ alors les deux familles
de matrices A et Il dont nous précisons les propriétés.
Théorème 7 :
Les familles de matrices A et Il qui réalisent le mIn Iruum d e
(11.52) sont telles que :
(lI.50)
Les matrices A(u)
sont les matrices de Fourier de la fonction
matricielle définie pour tout A .:: 10. 211 1 par ;
IljIl(A) ••• ljI (A)l
(lI.57)
.
q
où IjIj(À) est le j-ème vecteur propre d.,
fXX(A) associé à la
valeur propre uj(A). Dans ce cas,
le miniu~m atteInt par (li.52)
est
:
(2UI l: u (À») dl.
(1l.58)
Jo j>q j
Démonst rat ion ;
La fonct ion d éf inie pour tout À E 10,211 ) par

---

62
e s t
positive. Son minimum réalise le minimum de l t intégrale
('&hl"
Or le minimum cnCOÀ) de
est atteint lorsque (annexe ( l 1)
q
qaÀ)
~ <;' IjJj(À) IjJj(il)"
j~l
2
où
IjJj (il)
est le j-èrne vecteur propre normé de fXX(il)
et donc de fXX(À).
Le minLnum cherché est donc réalisé par
On en déduit A(u)
et B(u). Posons en
effet
~
~
A(u)
tB(u)
in ~~À) expiÀu dÀ • u E Z
o
En remplaçantVA) dans f!J(À). on obti~nt
q
q
trl [1 -
L:
IjJ/À)ljJj (À)")
fxX(À) [1 -
L: IjJj(À)ljJj (À)"]}
j~l
j~l
q
q
L:
f xx(il)ljJj (iI)ljJj (À)"
L: ~j (iI)ljJj ()...)"fxx(il)
j~l
j~l
q
+
L: IjJj (iI)ljJj o>"f xx(À)ljJj(iI)ljJj (À)"
j~l
IjJj (il)
est vecteur propre no rmê de fXX(À)
associé à la valeur propre l' j (À).

---

63
On a donc :
q
td fXX(A} -
1:' IoI (À)ljJ.I (À) ljIj (À)It)
j
j~1
3
t r ]
E' l'j (A) IjJj(A) ljIj (A)It)
j
q
E'
j>q
Le miniJnum cherc hé est par au it e
La définition auivante va noua permettre de faire le lien
entre la F-ACP et l'analyse en cOlDposantea principales dea observations
translatées du processus X.
Définition 12
Pour tout j E J, on appelle j-ème processua principal de la
F-ACP du proceasus X, le processus scalaire
j
j
(
~ {~
; s E Z }
(II. 59)
a
de s-ièlDe composante l'éléwent de \\IX
ÜI.bO)
Le processus q dimensionnel
j
{~
j
1. .. q, Il E Z }
(II.bl)
s

---

64
est le processus principal d'ordre q de la F-ACP du
processus X.
D'après (11.50),
~j est combinaison lin6aire de l'observation
s
translatée d'ordre s du processus, cette observation translat~e étallt
obtenue à partir du processus initial par un changement d "o r i g i ne du
t cmp s •
On Jit alors que E) est la j-èllle c ompo s an t e principale au
sens Je la
s
F-ACP de l'observation translatée d'ordre s du processus.
Théorème 8 :
Le j-ème processus principal de la F-ACP du processus X est
stationnaire au deuxième ordre de densitê spectrale :
u , (À)
01.62)
J
Démonstration:
Elle résulte de (11.16). ~j est un filtre linéaire de fonction
de transfert définie en tout À E [O,Znl
par 4J. (\\)". Sa densité spectrale
J
est donc donnée par
(À)
L'expression de la fonction de covariance du j-ême processus
principal de la F-ACP du processus X est déduite de ce théor~me et
de (ILS)
On
C
( 8)
(II.63)
,
'>
~~
expHO dÀ
t. j c j
Pj (\\)
et sa variance
~21f
C .
(0)
P (\\)
dÀ
(II.64)
j
i;J ~j
a
On peut donc interpréter le minimum (11.58)
atteint par

---

65
2
Il Xt - \\11 2L (11,(":,1')
611'
COmme la somme des va rI anc e s d e s processus t. j, j>q non retenus, il
l'aide de la proposition suivante.
Propos i l ion)
(211[
)
l:
(IJ .(5)
o
J>q
Les propriétés d'orthogonalité des processus p rLnc Lpuux de la
F-ACP peuvent de plus être précisées par le théor~me suivant
:
Théorème 9 :
Deux processus principaux distincts (j/j') de la f-ACP du
processus X ont une corrélation null e à toutes Je" fréquence".
Démonstration ;
Nuton~ ces Jetlx procetisus
j
j
t,
{i,
s E Z}
s
j 1
j '
E,
lE,
s E z}
s
Alors d'après (Il.18)
j
j ,
j
Cov
(E, ,F,
)
< E,
s
6
IIX
~21\\< ljij0). ljij' 0) >fx/À) expU(t-,,)dA
o
Le résultat ré"ulte donc de la propriété
<
o
Il
À
j
1

---

Corollaire:
Le processus p r i uc Ip a I
d'ordre q de la
F-1\\Cl' du
processus X
j
li,
1. .. '1,tt=z)
~j pour matrice Je Jensit~ spectrale la Inalrice diagoI1ale
d'ordre,! dGfinle pour LOuL À E (0,2~ 1 par:
r Il) (,1)
-]
i
II
J
(LI. 66)
L II
l'
(,1)
'1
11.3.J. Une alJtre pr~selltation de la F-ACP du processlls X.
Soit 4'j (À) le j-~me vecteur propre normé de fX-'{(\\) associé à
la j c-ème vu l cu r propre, \\1.(\\).
J
Il'. (\\) vérifie pou r Lout À E [0,2~j
J
si
k
(II. 67)
si j
"
k
Lé
s y s t i-me
(\\jJ. C\\)
t.= J} constitue une base orthonormée de
p
J
l'espace vectoriel C .
Un élément ~ de
2
L
( f
)
xx associe à tout À E 1o, 2" 1 un élément
~ (À) de cP ; on pout donc trouver des nombres complexes
s , (\\)
c: J
J
.,.; (A)
;:1 gj (\\)(~j L\\)
(IL (,8)
jt=.]

---

L'expression (11.68) est une décomposition des
Lémen t s de
é
L
L (f
sur la base des vecteurs propres de la densité spectrale du
x x)
prÙcetitilis X.
On a donc pour tout À E IO,21il
1
?
li 1. 69)
L
Ig(À)I"
jEJ
)
?
Deux éléments de 1."(f
) ' .p 1 et .p2 non identiquement nuls,déf Ln l suent.
XX
Jeux p ro c e s su s
i
l
(
i
t , L
l'
s E zj
c~
s
avec
i
i.
~ {IT
0 "" i (À)Hd Zx O )
i
i , L
01. 70)
s
Définition 13 :
"" 1 et"" 2 sont dits strictement orthogonaux si pour t ou t
À
El 0, LIT 1
o
(ILlI)
Théor2me 10
Si"" 1 et ""2
sont strictement orthogonaux,
lis sont orthogonaux
L
dans L (f XX) •
DémonstratJull :
Ra ppe Lou s
que
< .p
"". >
l '
L [xx
L'orthogonalIté strIcte de ""1 et ""2 se
traduit par
o

---

68
,
.pj ,
o
D~f Lili t ion il,
:
o
L~s varlubles al~atoireti ~s et~~ d~finjs par (lI.7U) sunt Jits
s r rLc t cmcn t
non corrélés si 'Pl et 'r'Î
sont
strictement orlho-
2
gunulIx.
IC n
c r Lva nt [Juur tout ,\\ E: IO,211]ü'apres
(1I.6fl)
é
,:
' [ (A)
'
On a
lr ' gj(,\\)iJ!j(,\\)ltl1 l:' h
P
iJ!k(,\\)]
k(,\\)
k(,\\)
jtëJ
kCëJ
2:' P(,\\) g.(,\\)
h.CI)
J
J
J
Une situatIon d'orlllogonQlit~ stricte est donnée llar
g. (À)
0
j
1. .. k-I -: P
J
gj (A)
f 0
k •.• l'
li. (,\\)
0
À
j
k ••• 1'
J
10 . (,\\)
t- 0
1 .. • k-l
(II.72)
J

---

69
Le théorème suivant noua permet de donner une autre pr~senta­
tlon de la F-Acp du processua X.
Théorème l (BRILLINGER (13 1)
Le j-ème proceaaua principal de la F-ACP du proceasus X est
le processua de s-ième coordonnée
(IL 73)
qui vérifie les trois contraintes
3.
<..j est st r f c t eiaent; corrélé aux F!', k < j et est de var tance
s
s
maxLwale donnée par
(II. 74)
Remarque
Lea contraintes de la F-ACP réfèrent à chaque fréquence.
Nous déduisons de ce théorème une caractérisation de la F-ACP
du processus X.
Définition 15 ;
On appelle F-ACP du processus p dimensionnel X, stationnaire au
deuxième ordre, centré et de fonction de covariance absolument
sousaab Le , la recherche de la fonction vectorielle p dimension-
2(f
nelle f appartenant à L
xx) vérifiant
À
ID, 2111
telle que t;j déf inie par (II. 73) soit de norme maximale et
s
itérations sous ~a contraInte (~ strictemeQt non corrélé avec t;kIl'
k < j.

---

70
Il,3.4. Outils d'interprétation de la F-ACP.
L'étude de la corrélation des composantes à toutes les fré-
quences du processu s X et
dl j -ème processu s pr inc Lpa I de la F-ACP. et
l'étude d'une décomposition de la matrice de densité spectrale du
processus X à partir de celle du
processus principal d'ordre q,
nous
permettent de donner des outils d'interprétation de la F-ACP de façon
analogue à l'interprétation de l'A.C.P.
par des notions de qualité et
de contribution.
II.3.4.1. ~~~~~_~~_~~_~~~~~=~~=_~~~~~E~=_~~:~~_!=_i:~~~_E~~~=~~~~
p~~~~~p~!_~~-~ :
Soit Y =
{Yt
;
t E Z} un processus unidimensionnel stationnaire
au deuxième ordre, centré, de fonction de covariance absolument sùnunable.
Définition 16 (GEWEKE [25))
:
On appelle cohérence multiple de Y avec X,
la fonction définie
en tout À E [a, 2TTI
par
-1
fYx(À)fxx(À)
fXy(À)
COli (À)
(11.75)
f
(À)
y y
où fyx(À)
(r e sp fxy(À)) désigne le spectre croisé de Y et de X
(resp X et y)
en
À.
La cohérence multiple permet de mesurer la Li a Lso n entre les
composantes à la fréquence A de X et Y.
L'étude de la cohérence multiple du
processus X avec le j-ème
processus principal de la F-ACP de X nécessite la construction du spectre
croisé du
processus X et du processus principal d'ordre q de la F-ACP du
processus X.

---

Théorème 12
Le p roce s su s
(p+q) dimensionnel s t.a t i onna I r o uu deuxième ordre,
centrê
z
l , .. p+q,
t E::: zl
défini
zj
j
par
1. "'1
t
Ct'
zj
j-q
q+l. •. p+q
t
Xl
'
a pour matrice de densité sp ec t r a l e définie en tout À E (0,
luI
par
:
1
!
IlI(À)
l'I(À)l/JI(À)''
1
1
1
1
1
1
1
l
"
Il (,\\)
1
Il
(,\\)tj"I(,\\.)
q
_______________________ 1
L
q
_
III (À) 'i'1 (À) .•• Il ( À) l/J (À)
.
'j
q
([\\.76)
Démonst rat Ion
Dans le domaine spectral,
le processus Z admet
la représen-
t a t Iou

---

72
Où I
J.isigu€
la matrice JI Id cn t Lt.é
d 'ordre p.
p
l;l e s t 1111 filtre lin~air2 Ju processllS X ùe funclioll Je trans-
fert d ef i n i e en
toul
À el (J,
211)
par 'v (À) •
On déduit 1" densité spectrale de Z de
01.16)
Le t hco retue résulte du
fuit
qUC1f1j CÀ) est le j-Jme vecteur
p r o p r c de fXX(À)
a s soc lé à
la valeur propre )Jj (À).
Ce théor02me montre que le speLtre croisé du proces::ius principal
J'ordre q,
ùe lu f-ACP de X. et du
processus
X est défini pour tout
À
t= 1 O.
2 n] pa r
:
]
Th~urème 1] :
La cohérence multiple du
processus X avec le j-èrne p r oc e s su s
p r Ln c Lpn L Je la
F-'\\CP de X est égale il
l
J. toutes les
fréquences.
lJ~monstratioll
Il'après (J1.75)
et
( r i . 77). la cohérence multiple de X avec
le j-~me proces::ius principal est donn~e pour tout
À E 1 Dt
2n]
par:
..
.-1
IL O)I/dÀ)
flQXC,I)
)J. O)lji. 0)
.1
J
. 1 . 1
COIIO)
P 0)
j
Le théorème résulte du
[ait que:

---

73
Ce théorème prouve 'lue il toutes les fréquencea, le j-ème pro-
cessua principal de ll! F-ACP de X ellt très fortement corrélé avec le
processus X.
soients4et~eux matrices hermitiennes d'ordre p, d'éléments
respectifs~'~k' La nonne euclidienne (ou de HdLbert; SClltIIDT) de ces
matrices s'écrit;
(II. 78)
Par suite. la matrice hermitienne
'1
0'A) ~
1: " 0)1 j ('A)p j ml<
(1I.79)
j
j~l
où IP ('A) E cp.
j
" j 0) E IR et
\\: al. k g
'P/'A) li • 'Pk('A) g
01.80)
ai k " j
qui réalise le minimum de
(II .81)
est donnée par IlRILLINGER (13)
'1
1:
~j('A)ljIj('A)"'j(À)"
(I1.82)
j.,l
caÀ) est une approximation de fXX(À} au liens du critère (11.80). Le
minimum de (11.81) est alors
2
1: ~j (À)
(11.83)
j>q

---

74
La qualité de cette approximation peut être mesurée par
q
L: fl2 (À)
j=l J
(11.84)
p
l: fl~ (À)
j= 1 J
Nous
interprétons cette propriété en disant que les valeurs prollres
1 ... q
apportent la plus grande contribution à la détermination de
f xX(,\\)
sous la forme (Il. 79) d'après le critère (I1.8!).
En utilisant les
processus principaux,
la propriété se traduit par la proposition
suivante.
Proposition 4
Les densités spectrales des q premiers processus principaux,
q < p,
sont celles qui apportent la plus grande contribution
à la détermination de la matrice de densité spectrale de X
sous la forme (11.79)
selon le critère (11.81).
Le processus principal d'ordre q vérifie les propriétés
présentées au Il.3.4.1.
et 11.3.4.2.
:
- d'une part, chacune de ces coordonnées
~, j-ème processus principal
de la F-ACP de X,
possède une corrélation avec X égale à 1 à toutes
les fréquences
_ d'autre part, la densité spectrale du processus principal d'orùre q
apporte la plus grande contribution selon le critère (11.81)
à la déter-
mination de fXX(À)
sous la forme (11.79).
En ce sens, le processus principal d'ordre q de la F-ACP du
processus X, constitue la meilleure app r ox Ima t Lcn q dimensionnelle du
processus p-dimensionnel X.

---

DH 1nil1on 17
On
appelle qualit~ de la représentation du processus X par
le processus principal d'ordre q il la fréquence À E [0, zn] ,
la quantité:
R
(À)
~ . L : - - -
(IJ,8'i)
q,p
L'étude de la fonction R
définie sur t o, 2nl et il valeurs
q,p
dans 10,11 permet de se rendre compte fréquence par fréquence de l'état
de la représentation de X par
le processus principal d'ordre q.
Le spectre croisé f x(À) déterminé par (11,77) permet d'étudier
E;
la cohérence
du j-ème proc e aeua principal de la F-ACP de X avec la r-ème
composante du processus X : en effet la quantité
(1.86)
permet de dé r e rmIn er la composante du processus X la plus corrélée il
toutes les fréquences avec le j-ème processus principal de la F-ACP.
La formule de reconstitution (11.51) fait intervenir le
processus principal d'ordre q de la F-ACP du processus X.
~
A(s) E;
.. Et
.. E Z
t-s
01.87)
où A(s)
s E Z est donné par La it héo r ême 7.

---

76
Le processus
p dimensionnel
j
E
~ {E . j E J, t E Z}
01.88)
t
'
est appelé le processus d'erreur.
Le théorème suivant étudie la cohérence multiple du
processus
d'erreur avec le j-ème processus principal de la f-ACP Je X.
Théorème 14
Le processus dl erreur est centré, sur sa matrice de d en s I t.é
spectrale est définie en tout point A E 10, 2n]
par
(11 .89)
j>q
Son spectre croisé avec le processus principal d'ordre q est
nul.
Démonstration
E
ï' A( s ) t, t r-s
t
s E Z
Le p~ocessus X étant centré ainsi que le
processus principal
d'ordre q,
E
est aussi centr~.
Dans le domaine des fréquences,
on a
rIT
E t
Jo ex p Lvt {I -
(IT
q
t [1- ï' l.ji.(A)l.ji. (A)"] expiAtdZX(A)
J
J
j~l

---

77
Sa matrice de densit~ spectrale est donnée par (Il. lb)
q
'1
f
(À)
[1 -
L 1jJ. (À)IjJ. O)lt l
l: 1jJ. 0)1jJ. (,I)lt)
le
J
J
J
J
j=l
q
q
[1 -
L IjJj (À)I~j (À)"j( fX/À)
L ~.(À)IjJ.(À)IjJ.(À)ltJ
J
J
J
j=l
j=1
q
'1
L IJ
(,I)IjJ. (À)" ,-
2: il (À) 'V. (À) 1jJ. 0)"
j(À)IjJ.J
J
j
J
J
j=l
j=1
+
[
lJ ( À) ljJi ( À) ljJ i ( À) lt ljJ j ( À) ljJj ( À) "
i
j , i
En tenant compte de (11.67). on obtient
q
L IJ.O)IjJ.OH.O)lt
J
j=l
D'après. la formule de dé compo s Lt Lon à·une ma t r Ic e herm i t.Lonne
on a
P
L IJJ'À)'i'j O)'i'j (À)lt
j=1
Et finalement
2:'
IJ (,\\)ljJj O)I~j (À)lt
j
j :-'1
Soit le couple de processus
[
le
t E Z 1
t,
formé par le processus d'erreur et le processus p r Iuc Jpa I d'ordre '1 de
la F-ACP de X.

---

78
La representntion spectrale de
X permet alors d'écrire
c
2 11
t
l
-
1 ~ fo
Le·speccre crois~ de t_ ct ~ vaut donc
q
II -
L IjJj(A)ljJjO,)ItJ f xx( A) [ ljJl (,\\) ' " IjJq(,\\) 1
j~l
q
~
It
[1 -
i
1jJ. (A)4'. (A)
U "1 (A)4'l (,\\) ••• Ii (A)1jJ (,\\)1
J
J
q
q
j~l
q
[Pl (A)IjJ[ (A) . . . \\1 O)1jJ (A)]
L: 1jJ. (,\\)IjJ. (A)It~ll(,\\)4). (A) •••
q
q
J
J
J
j~[
q
L: 1jJ.(A)IjJ.(A)It" (A)1jJ (A)]
J
J
q
q
. J- 1
o
Le spectre croisé entre ~ et i, étant nul, on déduit de (II. 75)
quc2 la cohérence du processus <..l'erreur l
avec les j-ème processus prin-
cipaux de la F-ACP de X est nulle à toutes les fréquences.
Le processus p d Imeus ionnel
~j
X
l. .. t , t E z }
(II. 90)
t
cl
pOllr
densil6 spcctral~
q
i
IJ. (A)IjJ. (A)IjJ. (A)1t
(I1.91)
J
J
J
j~l

---

79
On montre de
la même façon qu'a", théorème 14 que le spectre
croisé de X avec f.. est
(11.92)
Le calcul de la cohérence multiple du, proceasua X avec les
j-èmes processus principaux par (11075) montre comme on doit s'y
attendfe qu'elle vaut 1
à toutes les fréquences. Il en résulte que le
processus d'erreur E • partie du processus X non corrélé à toutes les
fréquences avec les j-èmes processus principaux de la F-ACP de X, est
lion Ieprésentable sous la forwe d'un filtre linéaire du plocessus prin-
cipal d'ordre q.
On a de l' lus la décomposition de la denaité apectrale de X
À
E 10. 2ll 1
(Il.93)
qui est une forme semblable à celledonnée par GEl,EKE 125). L'approxima-
tion du processus X par Xentralne une approximation de sa fonction de
covariance par ;
{ '1~ ~j(À)~j(À)~j(À)HlexpiÀudÀ
(II.94)
j~L
étant d'aprèa la proposition 3
l:
j>q
on peut alors jugal la qualité de l'approximation de CXx(u) par CXX{u)
par la quantité Q(q) E 10,LI
q
L
Ct?t? (0)
j;L
Q(q) -
(II. 95)
l'
l:
Cf..jf..j (0)
j;L

---

80
11.4. COMPARAISON DES DEUX AllALYSES
La comparaison de l'analyse en composances principales du
processus observé aux
instants
{O.l, . . . ,T-i} et de ses observations
translatées, à la F-ACP du processus X présentée par BRILLINGER [13 J
est résumée par le tableau suivant. Le point essentiel de cette compa-
raison, rendue possible par notre présentatloll de
la F-ACP donnée dU
théorème
Il est la constatation, comme dans le cas de
lIA.C.P.
linéaire
et de l'ACP non linéaire décrite par POUSSE et DAUXOIS (51 l, de deux
faits : les quantités maximisées dans les deux analyses sont les mêmes;
la F-ACP impose aux fonctions vectorielles cherchées des contraintes
plus fortes que celles imposées par l'ACP des observations translatées
du processus. En effet, elle fait intervenir chaque fréquence tandis
que l'ACP des observations translatées d'ordre e du processus se ramène
à des moyennes sur
loutes les fréquences.
L'intér~t de cette comparaison reste formel du fait de la difficulté
d'établir l'A.C.P. sur tout;:
([ SAl'ORTA ) [58)
).
Cependant en pratique on observe le processus dans l'intervalle
[ o . . . . T -1
} J cette correspondance présente e Lc r a un intérêl en
t-el-me
d'approximation.

---

1 Ivpes
li Fonctions à
C '
S l '
/1"
, t
1
Composantes prin-
Composantes prin-
-'
orit r aa.nt e s
0
u t a.ons
':.B.Xl.mum ou enu
d 'analyse
maxilniser
cipales du
cipales de
I
processus observé
l'observation
aux instants
d'ordre 6 du
l
1
0,1 ••.. , T-1]
processus
,
27'
1-1 °
T l '
T l '
J - *"\\
~...
.
-
j
J
-..
J
';(A)
f XX( /')
~ ~t = 1 •
~e:herche des
k 1
;-J.
;: < a
X
>
1;.• ;:
<a,Y.
">1
o
t=O
')
elements propres
....
_
':>0
li<
t'
t
~
_
t
t+t'
( ' )
d'
l' ,1-
1
d
l'
-
p r erm e r e va Leur
t
0
t-O
..;
1\\.
/;
=
l 'P 1'1
c:
e
operateur
A.C.P.
~Ioù
L2 [0 211)
de covariance
propre de
271
J2 71
ri»)
1:
'\\
et
C
V
li
i'"
"
<P.O,) dZ/(A)
=
<P. (
j,) "
T-1
P
,
.
, ,=
~exp-~. t
J27T
"
0
0
0
J
'
0
J
t=O
';1 0 ' ) '; 2 ( À) d À= 0
expÀ6dZ, (1.)
o
A
1
,
1
1
1
J27T
JO"
. S27'''
. J2 "
Il
1
';(À)"f:u:(\\)
.;0)"';(1,) =
1
~e:herche des
"1 (nd)
1;; = 11. (À)dZc(» ) :;~= ~'i O.)"
1
C
elements propres
0
0
J
0
-
.;O)d)
et
de f xx(\\ ) pour
où Li10.) est
\\Sd"
C.)
1F-ACP
_
< "1 ().) .Ié, O.) > ·0
. ~ [0 2- l
la première
1.
exp
~\\ /
Ou
T 1
-
('
tout i, '"
,
l
1
-
f A ) '
va eur oropre
1
xx
~
l
,1 cO' 0 ),,;:
.
b
de f XX (J,)
i. E l 0,2 cl
a s so c ae e au
t=O
vecteur propre
exp if,:
VI U).

---

83
CHA P I T R E
III
RELATIONS ENTRE ANALYSES EN COMPOSANTES PRINCIPALES DE
PROCESSUS ET F-ACP

---

B5
Nous supposons dans ce chapitre, que l'analyse eo composantes
principales du processus X stationnaire AU second ordre cst sur tout ~.
Oans ce cas l"analyse spectrale de l'opérateur de covariance Va
pose des problèmes d'existellce. Nous supposerons donc que Vo est défini sur
l'espace des suites bornées. Nous montrons qu'alors Va
est un opérateur
borné.
Noua transposons alors il. ~ le résultat obtenu par ;-P;Al'ORTA) (58)
dans le cas d'un processus a temps continus et mettant en relation les
~!.
l êmenr s propres de V et de f"x (X) pour tout Xe 10,2 ..1 . Nous montrons
ê
o
en particulier que les valeurs propres de V
sont de la forme
2.~ (X) où
o
j.L (À)
est une valeur propre de f",,(X). Les vecteurs propres de V
fonctions
o'
de ceu" de f"x(À) sont éléments de
l'espace des suites bornées et non de
(rl P .
Cette construction. conduisant 1 la définition d'éléments propres
généralisées de Va nous oblige à sortir du cadre des structures hilbertien-
nes privilégiées par Is méthodologie de l'analyse des données. Cependant ces
résultats de parLée théorique
permettent de donner un éclairage suc les
correspondances observées dans un cadre hilbertien dans le traitement d'une
partie finie obaervée des trajectoires, qui est abordé au chapitre IV.

---

87
Ill.I. NqTATlONS ET PROPRIETES DES OPERATEURS.
Pour étudier les relations entre l'analyse en co~poaantes principa~
les
temporelle du processus X et son ans lyse en composantes principales
fréquentielle, nous admettons que X est observé sur tout &.
Notons que cette étude générale se heurte à des probl~mes théoriques
évoqués dans le cadre des proceasus à te~ps continu par (SAPORTA ](581 .
L'analyse en composantes principales dans l'espace des temps fait
intervenir l'opérateur
Ua défini de la même façon qu'au (Il.40), en
supposant que
t e&.
Ua admet alors pour 'adjoint
U * défini par ~
a
> 1P
L t~ exp1Às \\ exp1 À6 dZ (À)
x
sEi!
Cl!
~
(IlLl)
0
op(À) * expH6
La fonction de transfert
op (~)*-
E t~s expi~s
Sfa
est alors définie comme la transformée de Fourier de la suite

---

88
Dans "., cas U
*
e et Ue ne sont pas des opérateurs de lIilbert-
SCHMIDT puisqu!en général
L
+ 00
t E ~
L'analyse en composantes principales consisterait en généralisant les
résultats des chapitres précédents à rechercher les éléments propres
de l'opérateur de covariance V
défini sur l'espace des suites bornées
o
par
V a
(Va)
Ct)
t E Z }
o '\\,
o '\\,
Où
(Va) Ct)
L
C
(t-s)a
o '\\,
xx
-s
s E ~
et C
(t-s) est défini de façon identique au (11.4)
xx
Cette relation s'écrit dans le domaine spectral en utilisant la relation
entre C
et la densité spectrale f
• qui reste valable dans Ce cadre :
xx
x x
ro expiÀ (t-a) f (À) dÀ
xx

---

89
211
(V
a)(s) g
f
(À) expiÀ (t-s) a
dÀ
o '\\,
xx
-s
s E a \\ o
L ~ exp-iÀs 1 explÀt dÀ
a E Z
(III. 2)
PROPOSITION 1 :
V est un opérateur borné.
o
DEMONSTRATION :
Dans l'espace dell aultes bornées. nous devons mOntrer que
Il V a
o'\\,
Il .;; K Il ail
_
où Il ~ Il est défini par
Il! II- Sup II~tll J
t(8
IR
Or pour tout s E 8 On a :
Il (V a)(s) Il J .;;
o'\\,
~
et coume pour tout e e a ,
Il.!!t Il J. S AL;)I. on a
IR

---

90
(V
a)(s) Il J-;;
l:
1 C
(s-it ) 1
o "-
IR
xx
Puisque la fonction de covariance est supposée absolument sommable c'est-à-dire
telle que :
t
E f;
Qn vérifie bien la propriété souhaitée de Vo
V
a
Il E;;
K
Il a Il
o '\\,
'\\,
Cependant, l'espace des suites bornées est muni d'une structure d'espace
vectoriel normé, aussi l'aspect géométrique lié à une hypothèse hilbertienne
sur lequel se fonde l'analyse des données n'est pas conservée dans ce cadre.
Ce point de vue n'est pas gênant ici compte tenu du caractère formel de l'étu-
de menée dans ce chapitre.
REMARQU~.: L'analyse ne peut ~tre menée alors dans l'ensemble des suites!
de carré intégrale car nous ne sommes pas assuré d'obtenir un opérateur Vo
borné. On montre en effet que ceci n'est alors vérifié que si l'opérateur
C
vérifie:
xx
2
1 C
(t_s)1
<+=
xx
t,s
alors que les hypothèses faites sur le processus permettent seulement de
vérifier que
~
2
C
(t-s)
1
< +=
xx
s

---

91
•
III. 2. RELATIONS ENTRE LES ELEHENTS PROPRES DE Vu. ET DE LA HATRICE DE
DENSITE SPECTRALE
[SAPORTA) [58)
met en relation les éléments propres de
l'opérsteur de covariance V d'un processus centré, stationnaire au
o
deuxième ordre, observé en temps continu, avec ceux de la densité
spectrale. Nous transposons ce résultat dans le caa où le processus
est observé sur ~ par le théorèms suivant. Notons que le nombre de valeurs
propres de Vo est infini non dénombrable. Ceci est dO au fait que l'analyse
spectrale V est réalisée dans l'espace des suites bornées.
o
THEOREME
Les fonctions propres de V sont de la forme
o
t E
il}
(III. 3)
où
~(À) est un vecteur propre de fxx(À).
A chaque valeur À correspondent donc p valeurs propres
kj(À) {j - 1••• p) de V qui sont égales à 2u
fois les
o
valeurs propres de fxx(À).
REMARQUE·; Lorsque l'on restreint l'étude de V à l'ensemble des suites
o
de carré intégrable, les éléments propres de V mis en évidence par ce
o
théorème sont des vecteurs propres généralisés de V au sens où ce ne soht
o
pas en général des éléments de (!2)p
mais des vecteurs qui appartiennent
à l'espace des suites bQrnées.

---

92
DENONSTRATlON DU THEOREME.
Posons
a
{.! (t )
1jJ(À) expiÀt
t E ~ }
'\\,
~
Cxx(t-s) .!À(s)
s E ~
~
Cxx(t-s) IjJ(À) expiÀS
sEi!
~
C
(u ) IjJ(À) exp Là (t-u)
xx
.u E ë
~
C
(u) exp-Leu
. 1jJ';À) expiÀt
xx
uE ë
Pour que cette expression soit de la forme kljJ (À) expiÀt • il faut
et il suffit que IjJ(À) soit vecteur propre de fxx(À) associé à la valeur
propre ~(À) : on a alors
fxx(À) qui est hermitienne possède p vecteurs propres orthogonaux.

---

9]
•
Soit ~j(À) le j-ème vecteur propre de fKx(À) aaaocié è la valeur
propre ~j(À). La fonction p~opre de V aasociée à la valeur propre
o
2n~j(À)
est une suite bornée. Cet élément:
j
j
a
~
m
(
a
(t) m
(À) eKpiÀt
t E ti )
'\\,À
-À
j
est tel 'lue
.!1 (r) a (RI! ~j (À) + Um"'j (À») (cosÀt + i Sin Àt)
i ( RI! ~j (À) Sin Àt + lm ~j (À) Cos ÀtI
Les deux fonctions réelles
t
E -il )

---

94
t E l ! }
(III.4)
où
sont des fonctions propres réelles de Va associées à la valeur propre
21TlJ (À) •
j
Puisque les valeurs propres de V
vérifient
o
jJ(2lr-À )
on peut dire que la valeur propre
jJj
(À) est au moins double
en effet
il peut exister d'autres À'
de
[o,2~) pour lesquels

---

95
III. 3. F-ACP
: IlETERHINATION DU J-E1lE PROCESSUS PRINCIPAL
Nous décrivons deux façons de déterwiner le j-eme processus prin-
cipal : la première à partir des éléments propres de fxx(~)' ls deuxième à
partir des éléments propres réels de Vo
111.3.1. fremière déterwination.
Pour tout À E (O,2n 1 • notons ~j(À) le j-ème vecteur propre
de fxx(À) vérifiant les conditions de normalisation
1
si j - j'
(III. 5)
o
si j ~ j'
Il lui correspond une suite de vecteurs de ~ indépendants de À
formée des coefficienta de Fourier de
~j tels que
1:
À E 10. 2n 1
t E Z
REHARQYE : En pratique la connaissance de
!j conduit à une connaissance
approchée de
+j(A). à l'aide de la transforwée de Fourier discrète, res-
treinte aux temps (0, 1 •.• T-I) : c'est ce que nous exposons au chapitre IV.

---

96
La proposition suivante caractérise les processus principaux
de la F-ACP du processus X ; ceux-ci sont définis au chapitre II.
Le j-eme processus principal est obtenu à partir des coefficients de
Fourier de
1jI j •
PROPOSITION 2
Le processus
~t+8
o E Z
(III. 6)
> l p
est le j-ème processus principal de la F-ACP du processus X.
L'étude du j-eme processus principal de la F-ACP est faite au chapitre II.
En particulier on a défini les critères nous permettant de dire que le
processus principal
d'ordre q est la meilleure approxiDlation du processus p
dimensionnel X .p~r un processus
q
dimensionnel (q < p ).
111.3.2. Deuxième détermination.
Normalisons les fonctions propres de V
~i.À et ~{.À
o
de sorte que ~j(À) vérifient les conditions de normalisation (111.5).
o
si
;. j'
j 1
Cette normalisation nous situe dans le cadre de la F-ACP.

---

97
DEFINITION
Le couple de proceaaua
E < ~ A(t), !t+6>; 6 E a }
t E ~
,
E
<!.~ ACt). ~+6 ' 6 E i! } (III. 7)
t E e
'
eat appelé le j-ème couple principal à la fréquence Ade
la F-ACP du proceasus X.
Chaque vecteur propre réel de V défini un processus qui dépend d'une
o
certaine fréquence ~ de 10, 2. )
Ce que nous allons voir dans la deuxième détermination c'est comment
écrire le j-eme processus principal de la F-ACP à partir de ces couples
de processus obtenus pour toutes les fréquences de
(0, 2 •
Pour tout
6 fi!, l'écriture spectrale de X donné par (II .8) permet
d'écrire :.

---

98
r t .L~iÀ(t) expiÀ't) exp1À'edZx(À')
t El!
•
2 1T
J Ij1J CÀ')
R,À
o
L
E~
? 1T
= - Ij1j
(À') expiÀ'B
dZ (À')
)
l,À
x
o
Les processus
sont des filtres linéaires l x p
du
processus X.
de fone t ion de transfert déf inie respec tivement pour tout
À' E (O. 21T ) par :

---

99
..,j
O.')
E
t~~,À (t) expi "'t
g
R,"
t
E a
(HIoB)
.pi
("')
E e aj
(c) expiÀ' t
g
l,À
-l,À
tt=-it
Leura densités spectrales s'écrivent respectivement d'après (11.16)
(HI.9)
Ces densités spectrales n'ont pas une structure particulièrement remarqua-
ble ; elles s'obtiennent à partir de la densité spectrsle du processus X,
et des transfromées de Fourier des fonctions propres réelles de V
Nous
o'
étudions plus précîsement ces densités au chapitre IV dans le cas où
l'ensemble des fréquences est discrétisé.

---

100
La proposition suivante permet de d~terminer le j-ème processus
principal de la F-ACP de X à partir du j-ème couple principal à la
fréquence
À,
À E [0,2n 1.
PROPOSITION 3
Le j-ème processus principal de la F-ACP du processus X
est donné par
12n(t;~.
(III .10)
(À)
o
J
DEMONSTRATION
Pour tout
8 E ~ et tout
À
'" [
0, 2'TT).

---

101
j
E <
a
,(t), X
0>
-
R,1\\
~ ...
1
t E -i!
P
... i
Et donc d'après (111.3)
E
< IjIj(À) expiÀt, ' ; ...0 >1
p
tEll
Par su Lt e
211
211 J0
1
E
tE~

---

102
t E ~
~je
Le résultat découle de la proposition.
Le calcul de l'intégrale (111.10) permet de déduire le
j-ème processus principal de la F-ACP de X du calcul du j-ème
couple principal de la F-ACP de X à toutes les fréquences.
Ce qui nous permet de dire que pour chaque fréquence À €
(0, 21f)
, le
j-eme couple principal de la F-ACP de X est la composante à la fréquence À
du j-eme processus principal de la F-ACP. On étudie ainsi le j-eme proces-
.sus principal à toutes les fréquences de
(0, 21f), en comparant ces trajec-
toires à toutes les fréquences.

---

CHA PIT R E
IV
DISCRETISATION DE L'ENSEMBLE DES FREQUENCES

---

107
La discrétisation de l'ensemble des fréquences A
[ 0,211)
conduit i ne retenir que les T fréquences:
, j
O••• T-l
L'opérateur de covariance du processus est alors not& VD.
o
Dans le cas d'un processus unidtmensionnel stationnaire au
deuxième ordre, nous mOlltrons que VD est une matrice symétrique circu-
o
lante. Ce résultat est celui obtenu par KOOPHANS (33) qui suppose que
le processus est périodique et par FULLER (24) qui utilise des approxi-
mations de matrices. Nous construisons alors les processus principaux
de l'A.C.P. des translatés du processus i
toutes les fréquences À • Ceci
j
nous permet de présenter une étude fréquence par fréquence du processus
un id imens ionne 1.
üan s le cas d'un processus multidimensionnel, nous montrons
U
que Vo est une matrice à blocs c Lrcu Lant s- et symétriques. Ce résultat
généralise ceux de FULLER [24) obtenus par approximation de matrices
dans le cas l'
2. De plus, la relation entre les éléments propres de Vo
et ceux de la densité spectrale décrite au chapitre précédent et transposée
dans le cas de l'ensemble des fréquences discrétisé, nous permet de montrer
que lorsque les contraintes de la F-ACP sont vérifiées, le j-ème couple
de composantes principales des translatés du processus n'est autre que le
j-ème couple principal aux fréquences À
de la F-ACP. Ce dernier permet
k
d'obtenir le j-ème processus principal de la F-ACP.
Nous éludions pour terminer un choix particulier de fonctions
propres de VU, qui est tel que les
couples de composantes principales des
o
observations translatées sont identiques à ceux de la F-ACP.
IV.l DISCRETrSATION DES ESPACES
Nous considérons ull processus
x
{ j
\\
j
1. .. l'
t
E z}

---

108
p-dimensionnel, stationnaire au deuxième ordre, centré, et de fonction
de covariance absolument sommable.
En pratique, nous travaillons sur l'ensemble des fréquences
discrétisé.
L'objet de ce chapitre est d'étudier les analyses décrites
aux chapitres Il et III dans le cas où seules sont prises en compte
les
T fréquences,
~
o... T-I
(1'1.1)
T
La représentation spectrale (11.8) du processus X s'écrit formellement
(BRILLINGER [13 1)
T-l
1:
(1'1.2)
j=O
2(f
L'espace L
)
xx devient alors l'ensemble des applications ~ à valeurs
dans cP définies sur :
{a, À, •••
,
À _ }
T 1
telles que
T-l
1:
~(;I.j)"fxx(\\)~(;I.j) <
+ =
(1'1.3)
j=O
Clnnote
2
ce qui nous permet d'identifier L (f
dans le cas où l'en-
XX)
semble des fréquences a été discrétisé.
K
L'image paE~I de tout élément ~ de C 0 $ Cl est d'après
(111.20)
la variable aléatoire:

---

109
_a:-l
(0:J
(If')
T-l
1: If' (), . ) " d Z (Àj)
(IV.")
J
x
j~O
Cette image permet de définir le processus ,unidimensionnel
E,
o E Z l
T-l
(IV.5)
où
L:
1f'('l,j)" exp rx OdZ 0j)
j
x
j~O
dont la densité spectrale est définie en tout À
par
j
f(E,0j) ~ If'(Àj)lt fXXOj)If'(À
(IV.6)
j)
K
J
L' image par a;:l de C 0 ID C
est l'espace noté IID
U
x' homologue de II
dont
x
Les éléments sont de la forme (IV.").
IV.2 AtIAI.YSES D' liN PROCESSUS UNIDUIENSIONNEL
La définition de la transformée de Fourier d'un vecteur T-
D
dimensionnel permet d'obtenir une diagonalisation de Vot
à partir de
laquelle nous décrivons l'A.C.P. et la F-ACP d'un processus unidimensionnel.
IV.2.1. Transformée de Fourier d'un vecteur.
On. considère l'application linéaire
nT
'1\\
(IV.7)

---

110
telle que ~j' j-ème coordonnée de ~ soit déterminée à partir de celle
de ~ par :
~O")
J T-l
L
a
exp -i
~
O..• T-I
(IV.8)
k
T
k
k=O
a donc pour matrice
- -2
l
1
W W ••••
liT-
F
-T-I
y(T-I)(T-I)J
W
•••
Zn
où
exp L T
Dêf mit ion 1 :
La transformationlinéaire~st appelée transformation de
Fourier discrète directe.
La matrice F est appelée la matrice de Fourier. L'image par
T
F de 6I est un sous-ensemble de CT dont les éléments ont pour coordonnées
des nombres complexes à parties réelles paires ct à partIes imaginaires
impaires (BRIGHAM [II J).
Théorème 1
Fest unita ire
-1
I.
ou F
(IV.IU)
Démonstrat ion :
L'élément de la j-ème ligne et de la k-ème colonne de FF" et
de F"F est donné par
T-I
1
L
T

---

Or
1'-1
_ \\11'(j -k)
Ur{j -k)
l:
j-k
- Il
r=O
\\1'
si j
k
lo
si j 1- k
D'où le résultat.
IV.2.2. A.C.P.",], F-ACP discrétisées d'un processus unidimensionnel.
Dans le cas où l'ensemble des fréquences est continu, la
transformation de Fourier F
définit une isométrie entre 4f et un sous-
2
r 1'
espace de L (fXX) lorsque (01 )11 est muni de la métrique V • De même,
l'
0
l'
danti le cas discret 0
est rendu isom~trique i un sous-espace de C
l' Il
0
lorsque l'on munit (C<)
de la métrique V
'
o
Posons
F
(IV.II)
XX
Théorème 2
D'
V
e st; une matrice c Lr cu Lan t e symétrique. Elle s'écrit
o
(IV.12)
el a pour (k+l)-cme élément de la première ligne
1'-1
211
L
, k ~ O•••
1'-1
(IV. 13)
l'
j=O

---

112
Démonstration
La ùéfinition de la fonction ~ donnée par (IV.3) en tout
point \\ . ùétermine le vecteur
Fa =
De même
211f XX (À . )~(À.)
j
O...
1'-1
J
J
détermine le vecteur
211 l',,(0)"0)
:
fXX°1'_I)~Or_l) J
Celui-ci s'écrit sous la forme:
fXX(O)
~(O)
~(O)
211
FXX
f XX (À r _ 1) ~<Ar_l)
Ces coefficients de Fourier sont donnés en tout point t de K
par
o
H
F .F
F a
XX

---

D'O~ d'Hpr~s (11.J4)
Fa
Ceci permet donc de poser
Fit
F'
F
•
XX·
VD est donc une matrice circulante (rulnexe [2). Ses éléments s'obtiennent
o
à partir de (IV.12)
1'-1
kj
211i
1:
W-
f
/
k ~ O••• 1'-1
X
T -)
j;O
V~ est sym~lrique puisque
o
D'apr~s (lV.lJ)
en effet, on peut écrire:
1'-1
211
v
r. W-j(1'-k) fxx(~)
r _ ;
r
k
j;O
-
Le (T-j)-ème élément de la somme ci-dessus vaut:
-W(T- j) (1'-k) ç·xx
j k
; W-
f
(~)
XX
l'
f
21!.1
Pu isque f
(211 - 21!.1)
XX
l'
xx( l' ) dans le css d'un processus unidimension-
..el.
ïJjk f
(2!!1) représente le j -ème élément de la somme donnant
XX
l'
v
D'où le résultat.
k.
On déduit de
(IV.12) une factorisation de V~
~.'"
FXX

---

114
D
c'est dire que y
a pour valeurs propres les quantités
o
les vecteurs propres associés étant à la fois facteurs et axes principaux.
j
Le j-ème vecteur propre a
de toute matrice circulante a
pour k-ème coordonnée (WAYNE A.
FULLER
[24 1)
/ 2
. 211jk
/2 (
2njk
T exp-u, -T-- = T Cos
T
- i
Sin 2nj k)
(IY.14)
T
Et peut être décomposé sous la forme
ont respectivement pour k-ème coordonnée
~
tI'
Cos
2n;k
s '
2nj k
"T
(IY.15)
l n
T
D
Lorsque y
est une matrice réelle,
le chapitre III décrit les
o
vecteurs propres réels qui lui sont associés. Dans le cas général, on
distingue deux situations selon la parité de T (FULLER [24]).
La densité spectrale du processus stationnaire X est réelle et
vérifie
(IY.16)
D
Dans ce cas, Y
admet 2nf
( O) pour valeur propre simple correspondant
o
XX
T_l
~
T-I
.
à j
= 0 et -2- valeurs propres, 2nf( T ), pour j = 1... ~, de multipl~-
cité 2.

---

115
A la valeur propre 2nf
est associée le vecteur propre
XX(O)
normé
..
o
a
(IV. 17)
où ~ désigne le vecteur de dimension T dont tous les éléments sont
égaux li 1.
T-1
0
Aux ~aleurs propres doubles restantes de V sont associés
o
deux vecteurs propres réels et orthonormés. ~ et ~{ déterminant un sous-
espac e de dimension 2 de ,(T.
o
Dans ce cas. V admet 2nf
et 2nf
pour valeurs propres
o
XX(O)
XX(n)
simples correspondant respectivement
t.
à j
-
0 et j •
ainsi que t - 1
valeurs propres de multiplicité 2
T/2
Le vecteur propre ~
associé à la valeur propre,2ufXX<n) a pour k-ème
coordonnée
(IV. 18)
Les vecteurs propres associés aux valeurs propres 2uf
et
XX(O)
21!fXX(~) sont identiques au cas précédent.
Le vecteur propre normé de V~ associé à la valeur propre
2nfXX(O) est donné par (IV.17). Le processus principal déterminé par la
composante principale du processus observé aux instsnts {O.l ••••• T-l}
et celles de ses observations translatées; à la fréquence A - O. est
o

---

116
déterminé par (11.45). Il a pour expression
~o ={~8,o ;8 E Z }
Où
T-I
~
E
8,0
(IV.19)
If t=O
c'est un filtre réalisable pour 1 x 1. Sa fonction de transfert déter-
minée par (11.17) s'écrit pour tout Àj E
{O,À ; ... ; À _ }
1
T 1
T-l
1
i ZTfjk
'P( À
E
j) ="T
exp
T
k=O
(IV.ZO)
si j " 0
si j
= 0
Sa densité spectrale est déterminée par (11.16) et donnée pour tout Àj
par :
'P(À )fXX CÀ ) '" CÀ )
j
j
j
(IV.Zl)
~ 0
si j
"
0
fXX(O)si j = 0
Le résultat (1.54) déterminant la covariance entre la composante
principale à la fréquence 0 de l'observation translatée d'ordre 8 et la
variable X
8' en fonction du facteur principal correspondant et de la
t+
D
valeur propre correspondante de V
s'écrit :
o
(IV.2Z)
Cette quantité mesure la qualité de la représentation de X +
dans
t 8
l'espace engendré par ~o.

---

117
f E;oE;o
Cov(E;O,o'X t +O)
•
2vf XX(O)
1
Ir.
1
fXX(O)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 -1
0
211
,\\
0
211
x
0
2 3 4
T-l
Le vecteur propre de VD aasocié à la valeur propre
o
eat donné par (IV.IB). Le proceasus principal à la fréquence
observations translatéee est donné par (11"45)
E;
-
(E;
iO E z )
(IV.23)
11
0,11
où
T-l
•
....!..
E;O,lI
L
( _ l ) t Xt+O
c'est aussi un filtre linéaire réalisable fini 1 x l, de fonction de
transfert donné en tout À
par
j
T-l
'P(~) _l L (-1) k exp-i 211jk
T
:r
(IV.24)
k-O
aij p!
):
2
T
aij - ï

---

118
Sa densité spectrale s'écrit en toute fréquence Àj
(IV.25)
si j
'f T
L
T
si j ="2
Aussi la quantité
2TIf"X(TI) (_l)t
Cov(SB
• X
) = ---":::'''-----
,TI
t+B
IT
(lV.26)
obtenue à partir de (1.54) permet-elle de mesurer le degré de liaison
entre la composante principale SB,TI
et l'élément X +
de l'observation
t B
translatée d'ordre B du processus X et ainsi de juger de la qualité de
T/2
la représentation de X +
dans l'espace engendré par a
t B
fXx(n);
21[fXX( TI)
1
1
IT
1
1
1
1
1
----r---I----r+-t
0
TI
21T
À
0
n
2n
À
0 l 1 2 3
4
1
51
6
21Tf
1
Xx(TI)
1
1
IT
c. ~~~e!~_~~_~~~e~~~~~~~_e~~~!e~!~~_~_!~_~~~S~~~~~
Àj
(j f o. j .; T/2)
:
La valeur propre double 2TIf
( À
de V~ est associée au couple
x x
j)
de processus principaux à la fréquence À
des observations translatées du
j
processus X donné par'
(11.45) :

---

119
R
U~R
o~E Z )
E;Àj
O,Àj
(IV.27)
1
1
(À.
{E;O À
0 EZ
J
' j
où
1'-1
R
21rj t
t.
= / I
1:
X
Cos
l'
'0' Àj
l'
t+O
t=O
(IV.2B)
1'-1
1
1:
Si
2nj t X
€'O À
n
l'
t+O
, j
t=O
La fonction de transfert du processus E;R
est définie en toute fré-
Àj
quence ' \\ par :
1'-1
2Jlr
1
2Jlkr
II. C 211jk
1:
exp-i -1'-
" ' R ( r )
l'
os
l'
li t=o
(1V.29)
si r = j ou r a 1'-j
~\\: sinon
Sa densité spectrale en toute fréquence À
s'écrit
r
E;R (Àr) = "'R(Àr)fXx(Àr)"'R(Àr)
Àj
1'-j
(IV.30)
o
sinon
Au s s i la quant ité
If
(IV.31)
obtenue i
partir de (1.54) mesure le degré de liaison entre la composante
pr Luc ipale ç:~, À et l'élément X
de l'observation translatée du pro-
t+ O
cessus X. Elle ~st d'autant plus élevée que le produit jt est proche de 0
ou proche de 1'. Elle permet de mesurer la qualité de la représentation de
\\+0 dans l'espace engendré par ~i.

---

120
De la même façon, on définit la fonction de transfert du
processus ~~. en toute fréquence À
par:
r
J
T-l
2l1r )
211rk
(
1:;1 Sin 21Tjk
<PI
T
exp-i - T -
r:
T
T
rT
k=O
o
si r "
et r " T-j
li
-i
2
si r
(IV.32)
l i
i
si_ r
r-j
2
On en déduit sa densité spectrale en toute fréquence Àr
si r
j
ou r
i-j
(IV.33)
o
sinon
r
On mesure également le degré-de liaison entre ~O À
et X +
par
t O
, j
Cov C R )
ï
,
t
EK
" 6 À ' Xt +6
, j
o
(IV.34)
±
Il est d'autant plus élevé que le rapport ~ ~st voisin de
1
- - - - - - + -
I(T_j)
211
o
2l1(T-j)
~
li
À
o
11
T
T
T

---

121
[m 'Pl
li
2
! f
(~)
2
XX
T
o
2nrr-J) À
11
'f
o
2n(T-j)
n
T
IV.2.2.4.
Les formules de reconstitution
La détermination des composantes principales des observations
trauslalées d'ordre e aux différentes fréquences permet d'écrire la
formule de reconstitution selon la parité de T.
Pour tout 0 E Z, les relations (1.34) et (1.51) permettent
d'écrire X +
sous la forme
t H
T-I
-2-
.J... (,
+
I: (Il Cos 2nj t
If 0,0
T
T
j~I
EK
(IV.35)
o
Dans le cos où 6
0, remplaçons
(,
par son expression donnée par
0,0
(IV.I')
: on a

---

122
T-l
2
l
X
+
L
1";0 À )
JI
, j
j=O
(IV.36)
T-l
où
1
~
L
=
T
t=O
Nous retrouvons alors le résultat de Ba~EN [10], qu'il applique
à des données climatologiques, mais sans tenir compte de la parité de T.
Il faut dans ce cas tenir compte de la fonction propre de VD
o
associée à la valeur propre de 2nf
et donnée par (IV.IB). Pour
XX(n)
tout 6 E Z , les relations (1.34) et (1.51) permettent alors d'écrire
X +
sous la forme
t 6
.! -1
2
l
-L
'2
2Trj t
1";
+
I";R
L
(1 T Cos
+/1 S'
2rrj t 1";6, À )
\\+6
If
an
T
6,0
T
j
j;O
T
6,À j
+ -L (_l)t 1";6,11
(IV.37)
If
t E Ko
Lorsque 6
0, remplaçons 1";0,0 par son expression
.! -1
2
~+
L
j;O
(IV.38)
t E Ko
Cette dernière expression permet de mieux préciser le résultat de
BWEN [10) quand T est pair.

---

123
Dans la mesure où elle s'intéresse aux plus grandes valeurs
D
propres de Va' donc aux plus erandea valeurs de fxx(À ) , l'analyse en
j
compusantes principales du processus unidimensionnel X, réorganise les
abscisses sur le graphique de la densité spectrale en ignorant des
fréquences à ordonnée faible, c'est-à-dire de densité spectrale faible,
et contribuant ainsi faiblement à la variance de X donnée par (11.5).
Observer l'effet d'une bande de fréquences lÀ ,À') sur le
processus X, c'est en fait rechercher parmi les éléments propres de VD
a
ceux pour lesquels À appartient à 1À,À') et ensuite étudier les proces-
j
sus principaux correspondants et l'une des formules de reconstitution
(IV.35) ou (IV.37) (selon la parité de T), ne faisant intervenir que
les fréquences À de
lÀ, À'). En particulier, l'observation de la
j
fréquence À
revient à l'étude du couple de processus princIpal à la
j
fréquence À .
j
Les formules de reconstitution (IV.35) et (IV.37) permettent
d' étud Ler le processus X fréquence par fréquence. On peut de plus
,;liminer une fréquence particulière afin de mieux étudier l'effet des
autres sur le processus. Ainsi ne retenir que les cinq fréquences
donnant les cinq plus grandes valeurs de la densité spectrale dans les
formules de reconstitution, revient en fait à approcher la densité
spectrale (1) par la densité speclrale (2) •
.'1
JI
1". jl:l
l~
JU
Il). H:t
...
~-,-_._--~~-,--~- -,. -----~--~._--_ _-------.--_.
'"
_'0
'0
50
60
JO
"0
o

---

124
':'), JI
li
l~. J]
j.
Il
lb J8
,1
Il
,1
14.38
'1
'I
Il
l~. 39
:
1
Il
10. JI:! .
,1
l,
'1
cL 3~
I[
'I
1
C, J9
l '
Il
1. )9
"
:
1
",1
s, 39
Il
"
,
0.40
h - ~-- ~-~---~~-----,---
10
20
30
40
60
JO
tlO
"'
La F-ACP du processus X revient à la recherche des éléments
propres de fxx(À )
; j
= O••. T-l. Le processus X étant unidimensionnel,
j
fxx(À ) est un réel et admet donc pour fonction propre normée triviale
j
la quantité
0 . . . T-l
(IV.39)
Le processus principal de la F-ACP de X s'écrit dans le cas de l'ensemble
des fréquences discrétisé sous la forme
e E Z

---

125
où
1'-1
~
l:
expu)tl)Ij?(Àj)dZx(Àj)
J-O
1'-1
l:
exp(iÀjtl)dZx(À )
j
j-O
Et donc d'après (IV.12)
tl E Z
L'interprétation de la F-ACP donnée au chapitre II couane
recherche de la meilleure approximation unidimensionnelle du processus X.
rend prévisible un tel résultat. Ainsi la meilleure approximation
unidimensionnelle au sens de la F-ACP d'un processus unidimensionnel
est le processus lui-même.
IV. J. ANALYSES D'UN PROCESSUS l1ULTIDIMENSIONNEL
L'~criture matricielle de la transformée de Fourier d'un
tenseur de al°",
6~ nous permet d'étudier l'analyse en composantes
prulcipales et la F-ACP d'un processus p-dimensionnel X stationnaire
au second ordre et de fonction d'autocovariance absolument sor.~able.
K
IV" 3.1. Transformée de Fourier des éléments de t! 0 <il dtl.
IV.3.I.l. Première définition
Considérons l' vecteurs p dimensionnels a
de dtl. tEK •
a
r
- t
0
pour r-ème coordonnée a "
t
K
Le tenseur de dl 0$ d:-3

---

126
a = {a
E K }
(IV.40)
- t
o
r
permet de définir pour tout r de J le vecteur T dimensionnel a
de
-
d
-
r
t-eme coor onnee at-
Ko
J
On construit de façon identique le tenseur ~ de C $ C
(IV.41)
et le vecteur T dimensionnel ~r pour tout r de J.
Déf iuit ion 2 :
On appelle transformation de Fo~rier discrète directe
o
_1
Ko
J
vectorielle, l'application de ~
$
~l dans C
\\Il
C , qui à
J
tout élément a de 6{0
~t'
\\1)
associe ~ de cKo <Il C tel que
pour tout r de J on ait
r
F a
(IV.42)
où F est la matrice associée à la transformation de Fourier
discrète directe définie par (IV.9).
Notons par vec~(.) (resp Vec
K
c( ' » l'application définie sur
Ko
6~ 0 \\Il
6t' (resp c
<Il CJ)
à valeurs dans ofT (resp CPT) par :
K
K
J
Pour tout a de Gt 0 iD 6t' d êf ini par (IV.40) (resp ~ de C 0 \\1) C
défini par (IV.41»
vec~ ~ (resp Vec
est le vecteur de dimension -pT
c ~)
obtenu par la superposition des vecteurs a r
(resp ~r) en conunençant par
r = l, puis r = 2 ••• etc,jusqu'à r =
p.
Qn déduit de (IV.42) que
I):V • 43)

---

IZI
(1
~ fo) est la matrice de l'application
l'
dans la base canonique <le ~T.
T
L'image par (I
<iJ F)
de 6f
est un sous-ensemble de CPT
p
formG de vecteurs
à partie réelle paire et à partie imaginaire
impaire.
L'application est bijective et la matrice <le sa réciproque
est obtenue en remarquant que :
Elle s'écrit
(IV.44)
On pose donc la définition suivante
Déf init ion) :
~) appelle transformation de F~urier discrète vectorielle,
l'application quià tout ~ de G1
4r
0
QI
associe l{I de C 0 EIl cJ ,
tel que :
(IV.45)
Son Inve r se est appelée transformation de Fourier d Lsc r ê t e inverse
vectorielle.

---

128
IY.3.2. ACP et F-ACr d'un processus multidimensionnel discrétisé.
On montre que l'écriture matricielle (IY.45) de la transfor-
mée de Fourier discrète directe vectorielle permet d'obtenir une facto-
D
risation de y
à partir de laquelle on trouve ses éléments propres.
o
Suivant les conditions imposées aux vecteurs propres de yD. on décrit
o
soit l'A.C.P. des observations translatées, soit la F-ACP du processus X.
Le théorème suivant donne une factorisation de yD suivant une
o
démarche analogue à celle que nous avons utilisée dans le cas d'un pro-
cessus unidimensionnel.
Théorème 3
yD est une matrice à blocs circulants et symétriques d'expres-
o
sion :
(Iy.46)
où F
est une matrice à blocs diagonaux.
XX
Démonstration
Il nous suffit de décrire les différentes étapes permettant
d'obtenir l'image d'une suite de vecteurs:
par yD.
o
D'après (11.34), on effectue d'abord la transformation de
Fourier discrète directe de ~ pour obtenir "'1 :

---

129
j • O... T-l
Cette opération a'écrit sous forme matérielle à l'aide dea
vecteurs YecC~1 et YecC~2' Notons par F
la matrice à blocs diagonaux
XX
avec
On peut alors écrire
On calcule alora la transformée de Fourier discrète inverse de la suite
de vecteura ~2'
La relation (IY.44) permet d'écrire
Y
b
(1
$
~.) y
~
ec~ ~ -
p
~
ec C T2
Finalement, l'image par v~ de Yec~ ~ s'écrit
Yec61 ~
Cette égalité est vérifiée pour tout ~ si
D
y
~ (I III F,\\I? (I III F)
o
P
AX
P
D
D'après l'annexe ( 21, y
ear une matrice à bloca circulanta
o

---

130
F
Les éléments de la matrice yij sont obtenus en suivant les mêmes voies
qu'en (IV.13) :
T-I
211
, k
O••• T-l
T
s=O
i j
c'est dire que pour tout (i,j), les V
identifient au yD Ju cas unidi-
o
mensionnel et partagent donc sa propriété de symétrie.
Le schéma de dualita associé à une telle représentation de VD
o
s'écrit
(I
lifT
p EIl F")
(CPT )..
j VD
F
(IV.47)
0
XX
1
r,
1 r
(Ip EIl F)
"'
pl'
(61PT) ..
(c
)
où CPT est muni de la métrique définie par FXX'
La relation (IY.46) permet de proposer une diagonalisation
généralisée de yD
o
(I
ID F)
• yD
P
0
Puisque toutes les matrices fxx(Àj) sont inversibles, 11 existe une
I
matrice G-
dont les colonnes sont formées par les vecteurs propres de
F
diagonalisant F
c'est-à-dire:
XX'
XX'

---

III
-1
l'xx
G
• D.
G
(IV.4B)
où D est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les
valeurs propres de l'XX.
On a alors d'après (IV.46) et (IV.4B)
c'est dIre que G(I
ID l')
diagonalIse VD et que VD a même valeurs propres
p o o
Théorème 4
Les valeurs propres de F}Gt (donc de V~) sont égales à
j
1. .. p
i
O ••• T-I
où IJ C\\) est la j-ème valeur propre de la mat-rice hermitienne
j
fxXO i) •
Démonstration
La démonstration de ce théorème est purement technique. Les
valeurs propres d'une matrice ne changent pas si on permute les colonnes
i et j
à condItIon de permuter après les lignes i et j.
En effectuant ces permutations plusieurs fois, on écrit l'XX
sous la forme d'une matrIce bloc diagonale
211
Cette dernière a pour valeurs propres 211 IJ 0i)' j ~ J. .. p,
j
i ; O ••• T-I ; où IJ C\\) est la j -ème valeur propre de f XXOi). D'où le
j
résultat annoncé.

---

132
Illustrons la
procédure décrite sur un exemple
p
2,
T
2
If~~(\\)
0
,1: 0 )
0
··XX
0
11
0
f12(À )
fXX(1)
0
XX
1
F
2rr
XX
f21(À )
0
f22 0 )
0
XX
0
XX
0
0
f21(À )
0
f22 0 )
XX
1
XX
1
Les valeurs propres de F
restent inchangées si nous permutons les
XX
colonnes 4 et 2 puis les lignes 4 et 2. On obtient la matrice :
fll 0 ) fl2 0 )
XX
0
XX
0
0
f21(À ) f22 0 )
XX
0
XX
0
211
11
12
0
f XXO'l)
ExxO'l)
21
f22(
f XX( 1)
1)
XX
qui a pour valeurs les valeurs propres des matrices
211
Pu isque IJ Ok) = IJ/ À
; j = i . .. p
j
T_k)
k = O••• T-I
D
on déduit que la valeur propre 2111J.(À
de V
est double (sauf pour k = 0
J
k)
0
et pour k = f dans le cas T pair). Soit IjJj (À
le j-ème vecteur propre de
k)
fXX(À
associée à la valeur propre IJj(À
~l déduit alors de la
k)
k).

---

3
construction (111.3) que les vecteurs propres de VD associées à la
o
•
j
Veca al \\
- ,Ak
où
j
J
a
= Re a
ei , \\
- \\
= { Re ~ ~ (À ) expiÀkt
t a O ... T-l }
IT j
k
Q
{lm ~ ~ (À ) expiÀkt
t • O••• T-1 }
(IV.49)
IT J k
Propos1:t ion l :
a J
et aJ
sont orthogonales
~l.Àk
2,À k
(IV. 50)
Démonstration :
Pour tout t E K ' on peut écrire d'après (111.4)
o

---

/
134
Et alors
T-1
E
taj
(s)
j
(s)
1 À ~
~2 À s
-
, k
' k
s~o
T-1
1 t
T R~~j(Àk)Re~j(Àk) ECos Àks Sin Àks
s~o
1-1
1 t
+ T Re~j(Àk)Im~j(Àk)
ï
CosÀks SinÀks
s~o
1'-1
l
t
T
Im~j (À) Re,ljJj (Àk) ï sin\\s Sin\\s
s=o
T-1
ï
Sin\\s CosÀks
s=o
Le premier et le deuxième terme de droite de cette dernière
égalité sont tous deux nuls tandis que le deuxième et le troisième terme
sont égaux et opposés (annexe [3 ) . D'où le résultat.
Pour tout j = 1 •.. T-1, fXXO
est une matrice hermitienne
j)
d'ordre p x p. Nous avons montré comment les éléments propres de VD
a
étaient liés â ceux de fXX(À
Ceci nous permet de proposer une procédure
j).
de recherche des éléments propres de fXX(À ) . Pour ce faire, nous utilisons
j
la remarque suivante :
Pour toute matrice complexe A, d'ordre p x p
la recherche des éléments propres de A se ramène à la recherche des
éléments propres de la matr Lce réelle d'ordre (2p) x (2p)
(BRILLINGER [13 )

---

135
j
j
Si v
= )
+ iv
est un vecteur propre de A associ~ à la valeur
1
2
propre k j
et
sont deux vecteurs propres orthogonaux (pour la métrique identité) de
associé à la valour propre double k •
j
Les vecteurs propres de VD déduits de ceux de la matrice de
o
densitê ~pectrale à toutes ~es fréquences permettent d'obtenir les
composantes principales du processus observé aux instants de K
et de
o
ses observations translatées après normalisation.
D
A la valeur propre 2TI~j(Àk) de V sont associés les vecteurs
o
propres orthogonaux
j
j
Vcc1n al À
et Vec61 a
- • k
2 À
l
-
t
k
définis par. (IV.49) et déterminant un sous-espace de dimension 2 de
lo "' Q~.
Ils doivent vérifier
Il
j
2
~I.À Il K
J
k
41 0 (j) ln
(IV. 51)
Il
j
;1 K
~2 •.l.kli 111
IÎ~
0",
~l représentera les individus dans les plans principaux associés
aux valeurs propres 2TI~j (À
chaque individu ayant pour coordonnées ses
k),
composantes principales déterminées dans le cas de l'observation translatée
j
j
d'ordre 0 par les facteu~s principaux a
et a
ct donnés par:
_I,À
_2,À
k
k

---

136
T-l
ER
l: < )
(t)
, ~t+B >
'B,[Jj C\\)
-1 ,À
l
k
P
t=O
(IV. 52)
T-l
~I
l:
< )
O,[Jj (À
-2, \\ (t )
k)
, ~t+O' > l
t=O
P
Ce couple de composantes principales détermine le couple de processus
principaux de l'analyse en composantes principales des observations
translatées du processus X associé à la valeur propre 2IT[Jj(À ) et donné
k
par (!ILIO)
:
o E Z )
(IV. 53)
11 E Z )
Ce sont des filtres linéaires du processus X.
La meilleure représentation des individus est obtenue dans
le plan principal associé à la. valeur propre 2'IT[J (À
) où :
1
sup
O. •• T-l
)
On pourra ainsi juger l'importance de chacune des fréquences au sein du
processus.
Proposition 2
La condition (IV.51) est équivalente à
j
2
.
2
Il ~l,À Il
2
K
+11 a~ À Il K
k
61 0 Ùl 6r
'
k
dl 0 iO dr
(IV.54)

---

137
Démonstration :
D'une part
T-l
•
2
Il a~À Il
,~ t~lj!j
K
J
<\\)Relj!j <\\)
l:
Cos\\t Cos\\t
- • k
dl 0 0> 6,
t=O
T-I
1 t
- T 1~.ljJj<\\)ImljJj<\\)
l:
Cos\\t Sin\\t
t=O
T-l
1 t
1'i!ljJj Ok)
l:
SinÀ t
CosÀ t
- T ImljJj <\\>
u
u
t=O
T-l
1 t
l:
Sin\\t CosÀkt
+ T Imli'/\\)ImljJj <\\>
t=O
D'après l'annexe [ 31. on a
D'autr~ part. on démontre de la même manIère que
j
2
11~2.À Il K
k dl 0 0) 4:-1
D'où
Et si <IV.51) est vérifié, on a
:
Ce r êsu Lt a t montre conunent les contraintes de l ' ACI' se t r adu Lsent; sur les
élément~ propre~ de la densité spectrale.

---

138
Dans le cadre de la F-ACP, les vecteurs propres de la
matrice de densité spectrale doivent vérifier à toutes les fréquences
les conditions ù'orthonormalitê (11.67), Celles-ci
s' éc r Iv en t dans le
cas discret pour tout À
k = O•.. T-l
k
si j = j'
(IV.55)
sinon
Alors d'après (IV.54), on a
1
2
, k
0,1, ... T-l
(lV.56)
lt
Dans ce cas le couple définit par (lV.53) constitue le j-ème couple
principal de la F-ACP à la fréquence À
Posons:
k,
I;~.
{
s E Z }
(lV,57)
I;s, ~j
J
où
T-l
R
1;
l~
(1;
+ i
[1
s, ~j
S~j(Àk)
's,)Jj(À k)
k=O
On
a la proposition suivante
Proposition 3
Le processus 1;
est le j-ème processus principal de la F-ACP
)Jj
de X.
Sa densité spectrale est défUlie en toute fréquence À
par
k
k
0 . . . T-l
(IV.58)

---

139
Déroonst rat ion :
L'é~al1té
X
>
t+s
per~et de vérifier
T-l
T-l
T-l
E
E <...!...
E
k=O
t=O
If k=O
Les ter~es
T-l
E
If k=O
sont les coefficients de Fourier a~ de ~j donnés dans le cas continu.
D'où
T-l
j
E;
E
< a
X
t'
t +6 >
s.lJj
taO
On retrouve le résultat (111.6 ) dans le cas discret. La
densité spectrale de E;lJj est d6finie en tout point À
par (11.62). Elle
k
est dans le cas discret
fE;IJ
E;lJj Ok) = ~j 0k)KfxxOk)~j (Àk)
j
= IJj Ok)
Le pre~ier processus principal de la F-ACP permet de représenter
la trajectoire p d~ensionnel de chaque individu par une trajectoire
unid~ensionnel et ainsi de c~parer ses trajectoires. On peut aussi se
représenter la trajectoire p d~ensionnel par une trajectoire bi ou

---

140
tridimensionnel. Ceci veut dire qu'à chaque instant les processus
principaux de la F-ACP représentent les individus dans un espace de
dimension plus petite que p.
deux vecteurs propres de VD
o
sont tels que
j
b
12 a{ À
-1.À k
- , k
(IV.59)
j
b
12 ~~ À
-2,\\
' k
j
j
~l À et ~2 À
sont alors orthogonaux et de plus si ~j vérifient les
co~tfaintes'(tv.55), la proposition Z implique les égalités suivantes
(IV.60)
Les relations (IV.59) et (IV.60) impliquent que pour ce choix de
j
b
,
, les contraintes de l'ACP et de la F-ACP sont vérifiées.
-Z,l\\k
Par conséquent. le j-ème couple de composantes principales
des observations translatées à la fréquence À
donne par
k
8 E Z }
~I
{~I
8 E Z }
(IV.61)
\\lj (ÀI<)
8,Il/À)
avec
T-l
~R
j
L < b
À Ct), X
>
8.
)
l
t+IJ
llj(Àk
' k
t=O
T-I
~I
j
L <
À
X
>
b
(t).
8,IJ
)
Z
t+ e
j(À k
' k
t=O
est le j-ème couple principal à la f~équence À
de la F-ACP;
k

---

''i'
La proposition suivante détermine la densité spectrale du
j-ème couple principal à la fréquence À
de la F-ACP du processus X
k
donné par(IV.61).
Propos 1t 10n 4
sont
égales à toutes les fréquences À
et
s
ont pour valeur
1
2 ~j(Àk) si s = k
0)
ou
s
s = T-k
o
sinon
(IV.62)
Démonstration :
D'après (IV.59). on peut écrire
.d À (t) =
• k
Le conjugué de sa transformée de Fourier discrète directe
détermine la fonction de transfert du processus ~R (À )0 Sa transformée
~j
k
de l'our 1er est donnée en toute fréquence À
par :
s
T-l
'f-l
,1'[
'" . (À )
[
= 'rRelj!j (À
[
CosÀkt CosÀ t -
i
[
CosÀkt SinÀ ri
J
s
k)
s
s
t=O
t=O
T-I
T-I
IL
[
- T Iml/J.0 )
z SinÀkt CosÀ t - i [
SinÀkt SinÀ ri
J
u
S
S
t=O
t=O
On en déduit d'après l'annexe 13 1
,1'[
,1'[
,1'[
'""2 Rel/J Ok) + i T Iml/J Ok) = '""2 l/J (À
s = k
j
j
j
k)·
"'j C\\)
\\ '7 ".J"k'
,1'[
/2-
-
i -
Iml/J CÀ ) = '""2 l/J/À
s = T-k
2
j
1t
k)·

---

142
Et
I{J. ( \\
)
o
s 1- k et s 1- T-k
J
s
La densité spectrale de
~R
est donc en toute fréquence À
Il j (À )
s
k
s ~ k
s
T-k
s ;;:; k ou s
T-k
sinon
En tenant compte du fait que
on trouve le résultat annoncé en procédant de la même façon que pour
~R
Il ( \\ )
j
Cette proposition généralise les résultats (IV.30)
et
(IV.33)
obtenus dans le cas d'un processus unidimensionnel.
Elle montre aussi que le j -ème processus pr inc ipal de la F-ACP
se décompose sur toutes les fréquences,
permettant ainsi de l'étudier
fréquence par fréquence.

---

143
,CHAPITRE V
APPLICATIONS DE L A.C.P. D UN PROCESSUS
UNIDIMENSIONNEL

---

Nous illustrons sur des données fournies par BRILLINGER
[13) les
résultats dicrivant la forme de la densité spectrale des processus principaux
aux différentes fréquences obtenus au chapitre précédent.
Cette étude se limite au cas d'un processus unidimeusionnel.
Nous montrons à titre d'exemple que la densité spectrale du processus
principal à la fréquence 0 possède un pic remarquable à la fréquence 0 et décroît
vers 0 pour les autres fréquences. D'autre part les densités spectrales des proces-
sus formant le couple de processus principaux à la fréquence annuelle possèdent
un pic an voisinage de cette fréquence et sont proches de 0 pour les autres
fréquences. Au phénomène de pleurage près, la densité spectrale d'un processus
principal à une fréquence lj possède un pic au voisinage de cette fréquence
nous Iut e rp rê rons ce résultat en disant que les processus principaux à une
fréquence
1. caractérisent la variance au sein du processus initial expliquée
J
par cette fréquence. Nous interprètons de plus ces densités spectrales ,en tenant
compte des travaux de 1BLO~1E1 [8) , 1ROSENBLATT) [56) et [IlERLOVE) [43) sur la
caractérisation de la densité spectrale des composantes classiquement recherchées
pour décrire une série chronologique. De plus pour Une fréquence lj
donnée,
. .
~R
~I
1es processus prinCipaux
~ 1.
et ~l.
ont la même allure générale, ce qui
1 ·
"1
1 J .
.
J
.
exp ique qu 1 s apportent
a meme information dans la description du processus
étudié. On remarque que ces processus principaux sont totalement différents
nour une seule fréquence voisine de U. La comparaison des processus principaux
à des fréquences où la densité spectrale du processus étudié possède des
maximas relatifs (r esp des maximas relatifs) ne donne pas de résultats
particuliers.
Le filtrage linéaire dêterminant le processus principal à la frêquen-
ce 0 Se traduit
sur la forme de sa densité spectrale décrite plus haut. Nous
utilisons cette information pour décrire les liens entre les processus prin-
cipaux aux différentes fréquences et la technique de Démodulation-Remodulation
développée par
[GRANGER) [281
. Cette méthode consiste à observer les modi-
fications réelles subies par la composante à la fréquence 1. d'uue série. Nous
J
montrons qu'elle Se ramène à l'étude du processus principal
~ ~.
J

---

146
V. 1. ETUDE D'UNE SERIE.
Nous étudions la série
desaisonnalisée des moyennes mensuelles
de température de la ville de VIENNE de 1780 à 1947.
Les données nous ont été fournies par D.R. BRILLINGER de l'université
de BERKELEY.
Pour les calculs des processus principaux, nous prenons T
257.
Dans les chapitres précédents, nous avons noté une fréquence par
2 1f j
À.
T -
2 1f k.
J
J
j
d'où
k.
---y-
J
Par abus de langage nous parlerons encore de la fréquence k .
j
La densité spectrale de la série desaisonnalisée prend
des valeurs
élevées aux basses fréquences et admet des maximas locaux (pics) au voisi -
nage des fréquences
22
46
63
257
257
257
etc ...
ce qui semblent indiquer des effets de 12 mois, 6 mois, 3 mois ...• etc ...
Selon
[NERLOVE) [431, [ROSENBLATT] [56]
et [BLOMMEl [31, une
procédure de desaisonnalisation effective devrait éliminer de tels pics. On
en conclut que la procédure utilisée n'élimine pas complètement la ou les
composantes saisonnières.
Dans ce qui suit nous présentons et analysons des couples de pro-
cessus principaux à certaines fréquences
décrits au chapitre IV.

---

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~. des fréquences.
Fig. 2
- Densité spectrale du processus étudié.

---

149
a)
Processus principal à la fréquence o.
La densité spectrale du processus principal ~ la fréquence 0
se caractérise par un pic au voisinage de la fréquence 0 étalé
du fait du phénomène de pleurage (leskage). Ce voisinage corres-
pond à des mouvements longs.
Une telle forme caractérise une série ayant une forte tendance
et se caractérise par l'absence de période détectable à l'échelle
des observations; on dit alors qu'il a une longue période.
~o a des valeurs élevées au début des observations, puis décroît
rapidement.

---

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---

152
1
b) Processus principal à la fréquence
257
La caractéristique de cette fréquence est d'être au voisinage
de la fréquence O.
La densité spectrale du
processus principal
1
> ~R
à la fréquence
possède les caractéristiques de la
257
1
ID
densité spectrale du
processus principal à la fréquence O.
~ R
se caractérise par des mouvements moins longs que ceux de ~
1
ID
L'étude de l'existence ou de l'importance d'une tendance au sein
d'une série utilise l'analyse des processus principaux aux fré-
quences voisines de 0 ainsi que les formules de reconstitution
(V.35) et (VJ6)dans
lesquelles on ne tient compte que des basses
fréquences.

---

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500
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700
900
900
1000
l\\OÙ
1200
',300
\\40
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Fig. 5 - P~ocessus p~incipal à la f~équence --1-
• ~ 1
257
257

---

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~ ~
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20
Je
'0
5·J
GO
Ir:.
H'
N° des fréquences.
Fig. 6 - Densité spectrale de ~ ~
ID

---

155
c) Couple de processus' principaux à la fréquence
Cette fréquence qui semble indiquer des ef f e t s de 12 mois est la
fréquence annuelle.
R
1
Les densités spectrales des processus ~22
ont
et
~ 22
257
ID
la même allure:
Elles possédent un pic à la fréquence
~;7
lissé autour de cette fréquence du fait du pleurage. Toutes deux
sont proches de 0 aux autres fréquences.
On vérifie ainsi que les filtres utilisés ici ont pour effet d'élimi-
ner toutes les fréquences extérieures au voisinage de la fréquence
.
• _
22
salsonnlere
~i'
1
Aussi les processus ~~2
et
de ~ 22
permettent-ils d'étudier la
257
257
22
contribution de a fréquence
257
aux variations sur le processus
étudié X.
Ces deux processus ont la même allure et se caractérisent par une
suite de mouvements presque périodiques dont les amplitudes sont
très différentes. Ceci permet de dire que la variance expliquée par
cette fréquence au sein du processus étudié est très importante.
L'étude des processus principaux au voisinagè des fréquences
saisonnières ([ DLOMME ) [8 )
permet d'obteniI' la composante
saisonnière restante en ne tenant compte dans les formules de reconstitu-
tion (IV.J5) et (IV.J6)
donnés au chapitre IV que de ces fréquences.

---

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Fig. ID - Densité spectrale de
~ 22
257

---

IbO
Cett~ fréquence se caractérise par le fait qu'elle est au
voisinage de
la fréquence saisonnière
t}7
. Ceci explique le
fait que les densit6s sp~ctra]es (les processus prillcipaux à la
fréquence
;;7
ont la même a l l ure que celle des densités s pe c-:
l
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. .
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R
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Les processus
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et
~
o u t
des mouvements
23
257
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assez r~guliers.
De cette allure, on conclut Qlle la variance eXI)liqu~e lli!r la
23
fréquence
257
au sein du processus X êtudîé eHt muills impor-
22
.
tante que celle expliquée par la f r ôquc nce
~i5J

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KO des fréquences.
Fig.
14 - Densité spectrale de E ~3
257

---

165
113
e) Couple de processus principaux à la fréquence
ID
Cette fréquence se caractérise par le fait que f xx y atteint son
minimum.
R
1
Les densités spectrales de processus principal ~ 113
et ~ 112
possé-
257
dent chacun un pic au voisinage de la fréquence 257
113 •
257 et ces pics sont parmi les plus bas dans l'ensemble des densités
spectrales étudiées ici.
Les processus principaux ont des mouvements d'amplitudes faibles au dé-
b~des observations, et qui deviennent ensuite plus fortes; elles
sont en tout cas plus faibles que celles des processus principaux
22
113
à la fréquence
ID' La part de variance expliquée par la fréquence ID
est par conséquent plus faible.

---

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Fig. 16 - Densité spectrale de t 113
257

---

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FREQ
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Fig. 18 - Densité spectrale de
C113
ID

---

170
128
fI Couple de processus principaux à la frêquence
ID
Cette frêquence se caractêrise par le fait qu'elle est très proche
de la frêquence 0,5.
R
1
Les processus principaux
~
et
contrairement à ceux
128
~ 126
ID
ID
des autres fréquences êtudiêes sont très différents
ils ont des
mouvements irréguliers.
Les densités spectrales possèdent Un pic inlportant au vOIslnage de
f
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128
.
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1
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Il
-
-
1
la
requence
257' malS n ont pas non plus
a merne a
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Ceci pourrait expliquer la grande diffêrence entre les deux processus
principaux.

---

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Fig. 19 - Processus principal t~28
TI7

---

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Fig. 22 - Densité spectrale de ~~28
257

---

175
g) Comparaison de processus principaux à des fr~quences on f xx a des
maximas relatifs ~~aux (resp des minimas relatifs ~gaux).
63
Aux fr~quences
257 et
relatifs êg aux ,
~~~ • fxXposs~de des maxi;as
1
Les densit~s spectrales des processus principaux ~63
.: ~ 63
R
1
. . 257
TIl
(r e sp ~
~117
63
) possèdent un pic au vOisinage de la fri!quence
127
et
257
ru
ru
117
R
R
(resp
) • Les pics des densit~s spectrales des processus ~63
et
ru
~ 117
257
ID
1
1
(resp ~ 63
et
~ 117 ) n'ont pas la même valeur.
257
ru
Les processus principaux à ces deux fr~quences sont ~galement diff~rents.
44
89
Les mêmes conclusions se d~gagent pour les fréquences
257
et
257 ou f xx
possède des minimas relatifs égaux.

---

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1300
1400
R
Fig. 23 - Processus principal
~ 63
ID

---

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Fig. 24 - Densité spectrale de
3
ID

---

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Fig. 26 - Densité spectrale de t~3
257

---

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Fig. 27 - Processus principal
~~17
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---

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Fig. 28 - Densitl!! spectrale det R
117
257

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34 - Densité spectrale det ~4
257

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Fig. 36 - Densité spectrale de
~ ~9
ID

---

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---

192
h) Conclusion.
Pour une fréquence À
donnée, on remarque que
j
.
_
. . . R .1
- la densite spectrale du processus principal ~
et celle de ~À'
Àj
J
ont la mime allure: elles possident un pic qUi s'étend par le
phénomine de pleurage autour de la fréquence À
et sont proches de
j
zéro pour les autres fréquences. Si le processus étudié est station-
naire, nous avons montré au chapitre IV que ces pics ont théoriquement
la même hauteur. Ce qui n'est pas le cas ici.
- 15 processus
principaux
~~. et ~~. ont la même allure générale
sauf pour la fréquence
128 J. tris Jproche de 0,5, où ils sont tota-
297différence
lement différents. Cette
semble se produire brutalement
puisque ce phénomine n'apparaît pas pour les fréquences 113
et
117
128
257
257
voisines de
ru
De plus
~R
et
~I
ne prennent pas les mêmes valeurs et ne sont don,
Àj
À.
J
qu'imparfaitement redondants. Ceci pourrait être dû à un mauvais choix
de T.
La structure de
covariance du processus étudie X se traduit sur celle
des processus principaux. En effet :
T-I
T-l
Er! ~ ~
2 IIj t
1~
211j ,
L
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T
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T
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---

V.2 DEMODULATION - REMODULATION
V.2.1. DEMODULATION
V.2.1.1. Présentation.
Pour l'analyse d'une série temporelle unidimensionnelle station-
naire ou non qui s'écrit sous la forme:
X
expiÀt a (t,À)
d ~X
(À)
(V. 1)
t
1 GRANGER) 1281 définit l'amplitude (resp la phase) d'une fréquence particu-
lière À comme le module (resp l'argument) du nombre complexe
a (r , À) d~X ()
(V.2)
Ces deux quantités permettent selon (GRANGER) [28] de différencier l'amplitude
des hautes et basses fréquences, d'étudier la stabilité de la phase des
compo-
j
santes correspondantes aux fréquences saisonnières
(2
, j ~ 1 .,. 6) ••• etc.
T-
Il suggère une méthode pour observer l'amplitu~e eL la phaBe d'une fréquence
Celle-ci consiste à multiplier la série par une fonction trigonométrique et a
appliquer ensuite un filtre pass-bas (c'est-a-dire un filtre qui ne conserve
que les basses fréquences) au processus ainsi eonstruit.
Soit
..... n
une réalisation du processus unidemensionnel X. Plus précisement, on détermine
les séries chronologiques
x'
fx'
x. Sin ). t
t =
... n
t
t
J
À.
~~
(V.3)
.]
T
x" = {x"
x
Cos À,t
t = 1 -... n 1
t
t
]
auxquelles on appli que un fil t r e bass-bas
I l vient
y'
y't
@
(x')(t)
t =
n }
y"
y"
@
(x")(t)
t
n }
(V.4)
t

---

194
Par suite ( 1GRANGER Il 281
(V.5)
constitue une estimation de l'amplitude de la fréquence
~. à l'instant t et
J
y'
Arctg
t
).
Y7
(V.6)
donne une estimation de la phase à l'instant t de la fréquence À .
j
V.2.1.2. Démodulation et processus principaux.
L'utilisateur de la méthode de démodulation à toute liberté de choisir
le filtre qui satisfait au mieux
à
ses besoins.
Les résultats pratiques présentés au V.I. montrent que le filtre dé-
terminant le processus principal à la fréquence 0 conSerVe toutes fréquences
au voisinage de la fréquence 0 et atténue fortement les autres fréquences :
c'est un filtre pass-bas.
Appliquons Ce filtre aux deux séries chronologiques définies par
(V.4). il vient alors
T-l
1
Sin À. (t+s)
y'
1:
x
F
s+t
J
t
s=o
T-l
1
x
(Sin
~.t Cos
~.S + Sin ~ . S Cos ~/)
1:
~
s+t
J
J
J
s=:o
T-l
T-I
Cos~jt
Sin ~jS
Sin .\\.j~
Cos À. S +
:E
x s+t
1:
x
"7r
s+t
J
s=-o
IT
s=o
1
D'DÛ y't
12 (Sin À
+ Cos ~"t
j
J
(V. 7)

---

195
De même
1'-1
1
y"
l'f-
I:
x
Cos
s~o
s+t
~j (t+s)
t
1'-1
1
I;
TT
x
(Cos ~.t Cos ~.S - Sin ~ . t Sin À.5)
s=o
s+t
J
J
J
J
1'-1
1'-1
Cos ~ . t
~
Sin Àjt
- - J -
x
Cos ~.S ---rT-
I:
x
Sin ÀjS
/1'
s=o
s+t
J
s·o
s+t
D'où
1
y"
~R
(V.8)
t
72 (Cos x.t
J
t, À j
La proposition suivante donne une estimation de l'amplitude et de la phase
de la fréquence
À. il tout instant en fonçtion des processus principaux.
J
Proposition
Une estimation de l'amplitude de la fréquence ~. il l'instant t
J
est donnée par
/2
( ~ R
) 2 + ( ~ lÀ.)
2 J 1/2
r , À j
e,
J
(V.9)
Une estimation de la phase de la fréquence ~j il l'instant t
est donnée par
. ,
R
Sln~.t ~
Arctg
( J t À.
-------R---J
(V. 10)
COS
• t
~
J
t,À
némonstration
L'amplitude de la fréquence À
il l'instant
t
est donnée par
j
1/2
(y" ) 2
t

---

196
D'apris (V.l) et (V.B) on a
(y'
)2 + (y" )2
t
t
2R
2
2 R
2
R I
+(CosÀ.t)
(~
À)
+ (SinLt)
(~
)
- 2 SinÀ.t CosÀ.t ~
~
J
t, J'
J
t,À •
J
J
t À
À
J
• j
t ,
j
1
"2
+
On en déduit le résultat annoncé.
Pour l'estimation de la phase de la fréquence
À
à l'instant
t . il suffit
j
y'
d'écrire le rapport
t
en tenant compte de
(V.]) et (V.B).
~
V.2.2. Remodulation.
Plutôt que de chercher l'ampli tude de la phase séparement pour l'étude
graphique des modifications subies par la composante à la fréquence À d'une
j
série, [GRANGER] [2B) propose de remoduler les données
Cette opération consiste à déterminer la série
1/
= { 1/ ;
t é il
}
t
définie par
sin À.t
(V. Il)
J
après avoir formé les séries y' et y".

---

191
Selon ( CRANCER] (28) la série q est le résultat qu'on aurait
obtenu par application aux données initiales d'un fimtre éliminant toutes les
fréquences qui ne sont pas dans le voisinage de À '
j
L'étude de la série q permet donc de se rendre compte de l'effet de
la fréquence
À. au sein du processus init~al.
J
Nous allons montrer que l'étude du processus q est équivalente à
celle du processus principal à la fréquence À• , ER
J
À j
Propos i tion 2 :
Le processus q est tel que pour tout
(V.12)
Démonstration :
En r emp.laçanr y' t et y"t
par leur expression donnée par (V.7) et
(V.S)
dans (V.II) on a
1
21
R
1
1
2
R
72
(Sin Lt)2
E
À
+ 72 Sin À• t Cos À• t Et À + (CosÀ . t)
E
À
J
J
J
t ' j
' j
J
t ' j
1
72 Sin Lt Cos Lt
J
J
/2
D'où le résultat.
R
Comme le montre 100 résultats du V.I, le processus E À'
possède une
J
densité spectrale oÙ sont atténuées toutes les fréquences hors du VOiSinage
de
À ' Ainsi, analyser en terme de fréquence, l'analyse en composantes princi-
j
pales dcs observations translatées du processus X s'interprète comme une étude
des modifications subies au sein du processus X par chaque fréquence de l'espace
des fréquences discrétisé.

---

199
A
N
N
E
X
E
S

---

201
A N N E X E
1
VALEURS EXTREMES DES MATRICES COMPLEXES
Nous rappelons sans démonstration quelques propriétés des
matrices complexes. Pour plus de détails, voir BRILLINGER (l:!) •
Une matrice complexe d'ordre r x s
est une matrice
Z
[Zjk' dont les éléments Zjk sont des nombres complexes.
NOLIs noterons par :
Z
la matrice conjuguée de Z
t z
la matr Lee transposée de Z ;
ZIt
-la mat; r ice transposée conjugée de Z
fREZ
ImZ]
t
, il est d'ordre (2r)x(2s).
1mZ
REZ
Déf init ions
-On appelle matrice hermitienne une matrice complexe Z,
telle que
z" = Z
Ses valeurs propres sont réelles.
-Si Z d'ordre r x r est hermitienne, Z sera dit définie non
négative si
r
1:
a
E C, j
•
1. .. x
j
j ,k=l

---

202
-Une matrice complexe Z sera dite unitaire si z-l
qui est équivalent à :
ZZ* = 1
LEMME
-Si Z est une matrice h~rmitienne, ZR est symétrique.
-Si Z est une matrice unitaire, ZR est orthogonal.
-Si les valeurs propres et les vecteurs propres de Z sont
respectivement, ~j' V ; j = 1 •.• r, alors ceux de ZR sont
j
respect ivement
RE V.
]
[
<
1. .. r
lm
Théorème l
Si Z est une matriée hermitienne d'ordre r x r
r
z
L
~j V V;
j
j=l
où V
est la j-ème valeur propre de Z et V
le vecteur propre
j
j
correspondant.
Corollaire
Si Z est une matrice hermitienne d'ordre r x r, alors il peut
s'écrire
Z = V M Vil
oÙ
M =
V
1 est unitaire.
r
De plus, si Z est définie non négative, alors
"
;;. 0
1. .. r
"j
,

---

203
Théorème 2
Soit Z une matrice hermitienne d'ordre r x r , Parmi toutes
les matrices A d'ordre r x r de rang q ~ r, celle qui
mIn ImLse la j-iime valeur propre de
1Z - Al [Z - A 1H
est donnée par
q
A
l:
liJj V v;
j
j~l
où ~j est la j-ème valeur propre de Z2 et V est le vecteur
j
propre associé, étant.entendu que ~j ~ O.
Le minimum atteint est IJ
•
j+q

---

205
A N N E X E 2
MATRICES CIRCULANTES ET MATRICES A BLOCS CIRCULANTS
l'our une étude
détaillée des propriétés résumées ici et de
leurs démonstrations, se reporter à PllILIP [491.
A. MATRICCS CIRCULANTES
1. Définition
----------
On appelle matrice circulante d'ordre n, toute matrice
carrée d'ordre n de la forme
C
~I C2•••••
Cl···· •
[
C:_
11
C
l ]
(1)
C2 C3··••• .
Cl
Les éléments de toutes les lignes (ou de toutes les
colonnes) sont identiques.
Propriété
Les matrices circulantes d'ordre n forment un sous-espace
vectoriel de l'espace vectoriel des matrices d'ordre n.
Soit n la matrice circulante, telle que Cl ~ r, C
'" O. j
'" 2.
j

---

206
Théorème 1
Soit A une matrice carrée d'ordre n, A est une matrice
circu1ante si et seulement si :
An
nA
( 2)
On en déduit le corollaire suivant
Corollaire
A est une matrice circulante si et seulement si AH est une
matrice circulante.
(K désigne la transposée conjuguée).
Soit D la matrice diagonale
(3)
et F
la matrice de transformée de Fourier discrète directe d'ordre n
n
{1........ 1n-l
w ............ W
Fn
(4)
2
n-l
w(n-l)
w ............
J
2in
où
W
exp f i
Th'>orème 2
n
F li D F
(5)
n
n
On en déduit le théorème fondamental.

---

207
Th50rème )
Si C est
une matrice circulante. il est dIagonalisable par
Fil' plus prée isément
C
F 1If fi F
( 6)
n
n
fi est une matrice diagonale. Ses éléments diagonaux sont alors les valeurs
propres de C.
Théorème 4
Soit fi une matrice diagonale d'éléments diagonaux À • À ••••
I
2
À • alors
n
C
(7)
est une matrice circulante.
B. MATRICES A BLOCS CIRCULANTS
1. Définition
On appelle matrice à blocs circulants. une matrice de
la
forme
A
[~m" '"
(8)
AmI ••••
dont les blocs A
sont des matrices circulantes d'ordre n. Notons cette
i j
cl asse de mat r ices par
/lJJ
~m,n·
Théorème 5
A E ~
sI et seulement si A commute avec 1 ~ fi
G::~ lIl,n
m
n
c "e sr -ü-d Lr e
A(I -o fi )
(I ,~ fi )A
(9)
m
n
m
n

---

208
Soit A E
~
,alors d'après (6) pour un~ certaine
(;? m,n
matrice diagonale d'ordre n, Aj k,
de telle sorte que
A
( F H A
F)
n
jk
n j,k
1 ••• n
H
=
n.
0 ~ m
[ F
[A'"
o "Fn
AmI'"
(1
"'F )"(A
)(1 W F )
(10)
m
n
jk
m
n
E(Q)
Toute matrice A
est semblable à une matrice à blocs
m,n
diagonaux, ce qui se traduit d'une façon équivalente par le théorème
su ivant :
Théorème 6
A E ~
si et seulement si il est de la forme
(~m,n
A = (F
'"
F )" (Bi,)(F
",F )
(II)
m
n
]
m
n
où les matrices B
sont diagonales d'ordre n.
i j

---

2Q9
A N N E X E 3
fONCTIONS ORTHOGONALES
On trouvera une démonstration des résultats énoncés ci-dessous
dans W.A.
~ULLER [ 24J •
Soit r un entier positif, on note Û TJ le plus grand entier
l
f '
.
-
l
- T
n er~eur ou eea
a"2
Pour tout IR
r
O••• rJ TI, on a les résultats suivants
t
r
T
m = r
0
ou 2
T-1
211mt C
211rt
T
T
l:
Cos r-
as - T -
m
r ; 0
ou
2
"2
t=O
0
m l- r
'f-1
z Sin 211mt Cos 2'lIrt = 0 y
m, r
T
-;:
t=O
T
T
1'-1
1- o ou
"2
m = r
2"
l:
Sin 2'lImt
i
211rt
S n --
=
T
T
t=O
0
m; r

---

211
A N N E X E
4
EXPRESSION DES OPERATEURS U
U
0 1
"
o ET Vo DANS LE CAS fiDISCRET
Dans le cas où l'espace n. des individus sont discrets, les
H
opérateurs Ua' U
et V
s'écrivent sous forme matricielle. Soit
o
0
K
{O,l.2}
o
J
= 1l.2}
L'espace L2 ( rl ,(oI!. p ) s'identifie à 62 et est muni de la métrique des
po Id s :
D
P
L'opérateur U devient alors la matrice
û
X~ (Ul
Xl (Ul )
X' (Ul )
l)
a
2
o
)
2
Xo(Ull)
X~(Ul2)
2(Ul
X
)
° )
U
x~ (Ul
X: (Ul )
x~
l)
2
(Ul)
0
2
2
2
Xl (w )
Xl (Ul
l
2)
Xl (Ul)
X~(ü't)
1
Xl ('" )
X ("'2)
2
2
)
X~
2(Ul
(w )
2(Ul
X
)
l
X
2)
2
2
)

---

212
et est tel que
3
[
Pi X~(wl)
0
t E K0
i= l
j
E J
,
L
-
operateuR
"
U devient alors la matrice transposée de Uo. En munissant
o
l'espace O( 0 w Q~ de la métrique déf inie par la matrice ~ <Il li • le
J
o
schéma de dualité devient
K
dl
U
0 el 6~
o
~\\.<j) H
l
J
lV0
0
K
(dl 0 el 6~)"
La matrice de covariance
V
U
0
D
0
tu
o
0
P
0
a pour éléments
j
Cov (Xt
La métrique (~ $ M ) peut être choisie pour éliminer les autocorréla-
J
tions temporelles ou spatiales.

---

LIJ
B 1 B L l O G R A PHI E
1. ANDERSON T.u.
(1963)
The Use of factor analysis in the sta-
tisticai analysis of nwltiple time
series,
PSYCIIOMETRICA, Vol. 28, n" i, pp. 1-25.
2. ANDERSON T.W.
(1971)
TIIE STATlSTlCAL ANALYSIS OF TlME SERIES,
John Wiley and Suns, New York.
3. ARAGON Y.,
(1980)
Une analyse en composantes principales
CAUSIlIUS Il.
pour des unités statistiques corrélées,
in DIDAY E., LEBART L., PACES J. P. ,
TOHASSONE R., pp. 121-131.
4. BARTLETT M.S.
Correlation or spectral analysis
TUE STATISTlCIAN, Vol. 27, nO 3,4,
pp. 147-158.
5. BASILEVSKY A.
(1979)
Kar hunen
Loeve analysis of historical
IIUN D.P.J.
time series with an application to
plantation births of Jamaica,
~.A.S.A., Vol. 74, nO 366, pp. 284-290.
6. BESSE P.
(1979)
ETUDE DESCRIPTIVE D'UN PROCESSUS,
Thèse Toulouse.
7. BlANC-LAPIERRE A.
(1981)
FONCTIONS ALETAOIRES,
PICINBONO B.
Masson, Paris.
8. BLOMME R.
(1972)
Analyse spectrale des chroniques: appli-
cations à l'étude des procédés d'ajustement
saisonnier,
RECHERCHES ECONOI1IQUES DU LOUVAIN, n" 3,
pp. 275-305.
9. BLOOMFIElD P.
(1973)
FOURIER ANALYSIS Of TIME SERIES
AN
INTRODUCTION,
John Wiley and Sons, New-York.
10. BOIJEN E.G.
(197)
Computation of climatologieal power spectra
SCIIICKEDANZ P.T.
us Ing variable record Lengt hs , in AlŒRICAIl
llETEOROLOGICAL SOCIETY. Proceeding Fourth
Conference on weather 1l0d1fieation, pp.l02-107.

---

214
11. BRIGHAM E.O.
(1974)
THE FAST FOURIER TRANSFORM,
Printiee lIall Ine, Englewood Cliffs,
New-Jersey.
12. BRILLINGER D.R.
(1973)
The analysis of time series eollected
in an experimental design,
in KRISHNAIAH P.R., Academie Press,
pp. 241-256.
13. BRILLINGER D.R.
(1973)
TIME SERIES: DATA ANALYSIS AND THEORY,
Holt, Rinehart and Winston, Inc, New-York.
14. BRILLINGER D.R.
(1980)
Analysis of variance and problems under
time series models,
in KRISIINAIAH, North-Holland Publishing
Company, pp. 237-278.
15. CAILLEZ F.
(1976)
INTRODUCTION A L'ANALYSE DES DONNEES,
PAGES J.P.
Smash, Paris.
16. COOLEY J.W.
(1967)
THE FAST FOURIER TRANSFORM ALGORITHM
LEWIS P.A.W.
AND ITS APPLICATION,
WELCH P.D.
Research Paper RC-1743, IBH Research
Center, New-York.
17. DEVILLE J.C.
(1974)'
Méthodes statistiques et numériques de
l'analyse harmonique,
ANNALES DE L'INSEE, nO 15, pp. 3-97.
18. DlDAY E.
(1980)
DATA ANALYSIS AND INFORMATICS,
LEBART L.,
North-Holland Publishing Company.
PAGES J.P.
TOMAS SONE R.
19. DROUET D'AUBIGNY G.
(1984)
ANALYSE DES DONNEES,
Cours de DEA, Grenoble.
20. DUNFORD N.
(1967)
LINEAR OPERATORS,
SCHWARTZ J.T.
Interscience Publishers,Inc, New-York.
21. ENGLE R.
(1974)
Interpreting spectral analysis in tmer
of time domaine mode.ls ,
NATIONAL BUREAU OF ECONOMIC RESEARCH,
Working Paper Series.
22. ESCOUFlER Y.
(1970)
Echantillonnage dans une population de
variables aléatoires,
PUBLICATION DE L'ISUP, Vol. 19, Fasci-
cule 4, pp. 1-47.

---

215
23. ESCOUFIER Y.
(1973)
Le traitement des variables vectorielles,
BIOMETRICS 29, pp. 751-760.
24.
FULLER W.A.
(1976)
INTRODUCTION TO STATISTICAL TIME SERIES,
John Wiley and Sons, New-York.
25. GElIEKE J.
The dynamic factor ana Ly s Ls of economic
time series models, in AIGNER.D.J., GOLDBERGER A.S .•
Latent Variables in Socio-economic models,
North-1I01alnd, pp. 365-3_3.
26. GOT11tAN J.M.
(1981)
TIME SERIES AUALYSIS : COMPREHENSIVE
INTRODUCTION FOR SOCIAL SCIENTISTS,
Cambridge University Press, Cambridge.
27. GOURIEROUX C.
(1982)
COURS DE SERIES TEMPORELLES,
MONFORT A.
Economica, Paris.
28. GRANGER C.W.
(1969)
ANALYSES SPECTRALES DES SERIES TEHPo-
RELLES EN ECONOHIE,
Dunod, Paris.
29. GUEGi\\N D.
(1981)
PROCESSUS ARMA MULTIDIMENSIONNELS,
Conférence faite au séminaire de séries
chronologiques à l'Ecole Normale Supé-
rieure de la rue d'Ulm.
30. JEllKINS G.N.
(1976)
TIME SERIES ANALYSIS : FORECASTING AND
IlOX. G.E.R.
CONTROL, Holdenday, San Francisco.
31. JENKINS G.N.
(1968)
SPECTRAL A1IALYSIS AND ITS APPLICATIONS,
WATTS D.G.
1I01den-day, San Francisco.
32. KENNY P.B.
(1982)
Local trend estimation and seasonal
DURBIN J.
adjustrnent of economic and social time
series, J.R.S.S. A, 145, pp. 1-41.
33. KOOPMANS L.II.
(1974)
TIIE SPECTRAL ANALYSIS OF TIME SERIES,
Academic Press, New-York.
34. KOIMLSKI C. J.
(1974)
Inngitidunal data analysis,
KENNETII E.G.
GROIlTII, Vol. 38, pp. 131-169.
35. KRJSIINAIAII P.R.
(1973)
MULTIVARIATE ANALYSIS III,
Acad~nic
Press, New-York.
36. KRISlIlli\\JAlI P. R.
(1980)
IIANDIlOOK 01' STATISnCS,
Vol. l, North-Holland Publishing Company.

---

216
37. LE NOUVEL J.
(1981)
ETUDE D'UNE FMIILLE DE COURBES PAR LES
METHODES D'ANALYSE DES DONNEES.
APPLICATION A L'ANALYSE MORPHOLOGIQUE
DE COURBES PROVENANT DE DONNEES
MEDICALES,
Thèse 3ème Cycle, Rennes.
38. LOVELL M.C.
(1963)
Seasonal adjustment of economic time
series and multiple regression analysls,
J.A.S.A., vol. 58, pp. 993-1010.
39. MALINVAUD E.
(1978)
METHODES STATISTIQUES DE L'ECONOMETRIE,
Dunod 3ème Edition, Paris.
40. MALINVAUD E.
(1971)
Analyse spectrale des données économiques
FOUQUET D.
un essai sur l'activité de l'industrie
française,
ANNALES DE L'INSEE, n° 6, pp.
41-75.
41. MAZEROLLES-
(1979)
PROBLEMES NUMERIQUES ET STATISTIQUES
MONDOT A.M.
RELATIFS A L'ACP DE VARIABLES A VALEURS
DANS UN ESPACE DE HILBERT,
Thèse 3ème Cycle, Toulouse.
42. !lIZERE D.
(1981) . ANALYSE D'UN CUBE DE DONNEES DECOMPOSI-
TION TENSORIELLE ET LIENS ENTRE PROCEDURES
DE COMPARAISON DE TABLEAUX RECTANGULAIRES
DE DONNEES,
Thèse 3ème Cycle,
Grenoble.
43. NERLOVE M.
(1964)
Spectral analysis of seasonal adjustment
pr oc edu res,
ECONOMETRICA, Vol. 32,
nO 3, pp. 241-286.
44. NERLOVE M.
(1965)
A comparaison of a modLf Led "Hannan" and
the BLS seasonal adjustment filters,
JASA, vol. 60, nO 310, pp. 442-491.
45. NETTHEIM N.F.
(1965)
Fourier Methods for evolving reasonal
patterns,
JASA, pp. 492-502.
46.
OBLED C.
(1979)
CONTRIBUTION AL' ANALYSE DES DONNEES Ell HYDROME-
'raOROLOG re,
Thèse Grenoble.

---

~ 7. PERRY R.J •
(1981)
TIllE SERIES IN N DHlENSlONS AUTORECRESSIVE,
H=1,
Ph.D Union College, New-York.
~8. PHAM DINH T.
(1983)
INTRODUCTION AL' ANALYSE STATISTIQUE
DES SERIES TEMPORELLES,
Cours DEA, Grenoble.
~9. PHILIP J.U.
(1979)
CIRCULANT MATRICES,
John Wiley and Sons, New-York.
50. PIIUPS L.
(1973)
ANALYSE CIlRONOLOCIQUE,
llLONNE R.
Vander Louvain.
51. POUSSE A.
(1976)
LES ANALYSES FACTORIELLES EN CALCUL DES
DAUXOIS J.
PROBABILITES ET EN STATISTIQUE : ESSAI
D'ETUDE SYNTIIETlQUE,
Thèse d'Etat, Toulouse.
52. PRIESTLEY
M.B.
(1981)
SPECTRAL ANALYSIS AND TIME SERIES,
Vol. l, Academie Press, New-York.
53. PRIESTLEY M.B.
(1981)
MULTIVARIATE SERIES i PREDICTION AND
CONTROL,
Vol. Il, Academie Press, New-York.
54. ROlliNSON P.N.
(1973)
Ceneralized canonical analysie for time
series.
JOURNAL OF I1ULTIVARIATE ANALYSIS. nO 3,
pp. 141-160.
55. ROHAIN Y.
(1979)
ETUDE ASY~œTOTIQUE DES APPROXIMATIONS
PAR ECHANTILLONNAGE DE L'ANALYSE EN
COMPOSANTES PRINCIPALES D'UNE FONCTION
ALEATOIRE. QUELQUES APPLICATIONS,
Thèse 3ème Cycle, Toulouse.
56. ROSENIll_ATT N.H.
(1968)
Spectral evaluation of BLS and census
revised Beasonal adjustment procedures.
JASA, vol. 68, pp. 472-501.
57. ROZANOV Y.A.
(1967)
STATlONlIARY RANDOM PROCESS,
Ilo Id en -d.ay , San Francisco.
58. SAPORTA G.
(1981)
METHODES EXPLORATOIRES D'ANALYSES DES
DONNEES TEMPORELLES,
Thèse d'Etat, Paris.

---

218
59. SIIUMWAY R.II.
(1970)
Applied regression and analysis of
variance for stationnary time series,
JASA, vol. 65, nO 332, pp. 1527-1546.
60. SIIUMWAY R.H.
(1982)
Discriminant analysis of time series,
in KRISIINAIAII P.R. and L.N. KANAL,
IIANDBOOK OF STATISTICS, Vol. Il, North-
lIolland Publishing Company.
61. SURBA RAO.T.
(1976)
Canonical factor analysis and station-
nary time series models,
SANKIIYA,TIIE INDIAN JOURNAL OF STATISTICS,
Vol. 38, Série B, pp. 256-271.
62. TUKEY J. W•
(1961)
Discussion Emphasing the connection bet-
ween analysis 'of variance and spectrum
analysis,
TEClIllOtŒTJU1:S. Vol. 3, n° 2, pp. 19l-219.
63. WEGMAN E.J.
(1981 )
Vector splines and the est imat ion of
filter functions,
TECIINOMETRICS, Vol. 23, n° l , pp. 83-89.

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DEmIEJ1E P~E D'lM: mESE
Vu les dispositions de l'arrêté du 16 avril 1974,
Vu les rapports de M• .&. .1?:~t. ,~IÂ1~~.•.........•
M. •'?>; .y~~. ~ti (-~\\.. ...rr ••••••••••••
M.• ::T.l;IJA0
SnA,~.SQ\\-:r
est autorisé
11 présenter une thèse en vue de l'obte.ntion du grade de DOCTEUR •• ~~.ç~~ .....
.1':\\.l-vlh~'>"ll,,!.\\'~I4--1. Arre..~'~~
" .
o
Grenoble, le JI'
III''''
d,
le Président de l'Université Scientifique
et Médicale
H. TANCHE'
-.0' ,

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RESUHE
On étudie les relations entre deux techniques d'analyse d'une série
chronologique multidimensionnelle stationnaire: l'analyse en compo-
santes principales de processus et l'analyse en composantes princi-
pales dans l'espace des fréquences ou F-ACP qui utilise des techniques
de transformation de Fourier.
Nous montrons que les deux allalyses optimisent les m~mes critêres sous
des contraintes différentes.
La mise en oeuvre pratique de la F-ACP nécessité la discrétisation de
l'espace des fréquences
i nous montrons dans le cas d'une série unidi-
mensionnelle que la F-ACP consiste à faire une opération de Dêrnodul a t i o n-
Remodulation.
HO'fS CLEFS.
Processus stationnaire
A.C.P.
F-A.C.P.
Transformée de Fourier
Démodulation
Remodulation.
1
l

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