N° d'ordre : [Cl 88-04
Année
'988
THESE
preSE'n! ée dev8nt
L'Ecoa CENTRALE DE LYON
pour obtenlr
le litre de DOCTEUR
•
SpéCHll1lé
Méctlnique
per M TCHERE SEKA
Ingénle;jr des Tr8veJux PubllCS
METHODES DE CORRECTION
DES CARACTERISTIgUES RESIDUELLES DE
FRONTIERE EN SYNTHESE MODALE
Soutenue le 29 Avrll
19BB devent le commiSSion d'exemen
Jury
MM,
J, SABOT
(PrésIdent)
J
BRANDON
RJ
GIBERT
(Repporteur)
R. HENRY
(Rôpporteur)
L
JEZEQUEL
F
SI[)OROFF
S
TOUR~,===-------,
CONSEIL AFRICAIN ET MALGACHE
POUR L'ENSEIGNEMENT SUPERIE~R
C, A. M, E. S. -
OUAGADOUGOU
1 A'Tlvée ... p.1..1/ muo.Q!i. ....
! "l:slé sou, 0'#.0.0.7.2.6, '

---

ECOLE CENTRALE DE LYON
DIRECTEUR
A, MOIROUX
DIRECTEUR ADJOINT
R. RICHE
LISTE DES PERSONNES HABILITEES A ENCADRER DES THESES A L'E.C.L.
(Doctorat d'Etat ou Habilitation au sens de l'Arrêté du 5 juillet 1984)
Mathématiques-lDformatique-Systèmes
B. DAVID
ProfesseUl' le Classe
C.M. BRAUNER
Professeur le Classe - Univ.- Bordeaux
J.F. MAITRE
Professeur 1ère Classe
F.CONRAD
Maître Assistant ENSM-St-Etienne
G. THOMAS
Maître de Conférences
F. MUSY
Maitre de Conférences
Cl. SCHMIDT-LAINE
Chargée de Recherche au CNRS
Physicochimie des MatériéUD:
P.CLECHET
ProCesseur 1ère Classe
P, PIC HAT
Directeur de Recherche au CNRS
J,M. HERRMANN
Chargé de Recherche au CNRS
N, JAFFREZlC
Chargée de Recherche au CNRS
G, ESCHALIER
Maître de Conférences
J. JOSEPH
Professeur Ze Classe
A. GAGNAIRE
Maître de Conférences
Cl. MARTELET
Maitre de Conférences
J.R. MARTIN
Maître de Conférences
R. OLIER
Maître de Conférences
A. TAILLAND
Mattre de Conférences
R. PIllLlPPE
Maitre Assistant ruT-St-Etienne
Métallurgie et Physique des MatériadI
P, GUIRALDENQ
Professeur 1ère Classe
D, TREHEUX
Professeur le Classe
B. CO QUILLET
Maître de Conférences
D. JUVE (Mme)
Ingénieur d'Etude - le C.
NGUYEN Du
Assistant Titulaire
Electronique
P. VlKTORO\\tlTCH
Directeur de Recherche au CNRS
R. BLANCHET
Professeur le Classe
S. KRAWCZYK
Chargé de Recherche au CN HS
P. LEYRAL
Maltre Assistant
a.BONNAUD
Professeur - INSA - RelUleS
J. BOREL
Direct. Technique Sté E.F .C.LS.
J.P. CHANTE
Professeur - INSA - Lyon

---

Electrote~que
Ph. AURIOL
ProCesseur le Classe
A. FOGGIA
ProCesseur 1ère Classe -l.N.P.G.
A. NICOLAS
Maître de Conférences
G. ROJAT
Maître de Conférences
Mécanique des Solides
B. CAMBOU
Professeur le Classe
F. SlDOROFF
Professeur Ipre Classe
L. JEZEQUEL
Maître de Conférences
Cl. SURRY
Professeur - E.N.I.S.E.
L. VINCENT
Maître de Conférences
Teclmologie des Surfaces
J .M. GEORGES
ProCesseur 1ère Classe
J. DIMNET
Professeur Lyon r
J. SABOT
Professeur 2e Classe
Ph. KAPSA
Chargé de Recherche au CNRS
T. MATHIA
Directeur de Recherche au CNRS
J.M. MARTIN
Maître de Conférences
H. MONTES
Maitre de Conférences
Mécanique des Fluides
J. MATHIEU
Professeur Classe ExceptionnelIe
J. BATAILLE
Professeur Lyon 1
B.GAY
Professeur Lyon 1
J.N. GENCE
Professeur Lyon 1
D. JEANDEL
Professeur le Classe
J.P. SCHON
Professeur IUT-St- Etienne
E.ALCARAZ
Professeur le Classe
F.LEBOEUF
Maitre de Conférences
R. MOREL
Mattre Assistant INSA
Cl. CAMBON
A ttaché de Recherche au CNRS
G.CHARNAY
Maitre de Recherche au CNRS
J.P. BERTOGLIO .
Chargé- de Reeherche au CNRS
P. FERRAND
Chargé de Recherche au CNRS
Acoustique
(Mlle)
G. COMTE-BELLOT
Professeur Classe Exceptionnelle
M. SUNYACH
Professeur IUT-Lyon
D. JUVE
Maitre de Conférences - LYON 1
Machines Thermiques
M.BRUN
Professeur le Classe
Ph. ARQUES
Professeur le Classe
A. HAUPAIS
Maitre de Conférences (en disponibilitp)

---

v
rrum profeseur de Français
dt'I" c/asseJ de Mathémariques sll(lérieure,ç et Marhbnariques spéciales à Paris,
s/
~..Yf:# s/ya ~
eé
~ ~~z ~d' s/ck{
mes associés et amis de rUNISCEL
(Unité Ivoirienne (Jour la Science. la Culcure et l'Economie à Lyon)

---

VI
REMERCIEMENTS
Ce travail a été réalisé au Laboratoire de Mécanique des Solides de l'Ecole Centrale de
Lyon dirigé par Monsieur le Professeur Bernard CAMBOU. Je riens à le remercier pOUT tout
l'accueil dom j'ai bénéficié pendant la préparation de ma thèse.
Qu'il me soit permis d'adresser mes sincères remerciements à Monsieur le Professeur
François SIDOROFF qw a asslUé la direction sciennJUjUi! de mon travail.
Toute ma profonde gratitude va à l'endroit de Monsieur Louis JEZEQUEL. Martre de Con-
férenJ:es à l'Ecole centraie de Lyon. Il a suscité en moi le goat pour la Mécanique des Vibrations et la
recherche et ne m'a jamais ménagé son soutien total tout le long de mon séjour au Laboratoire de
Mécanique des Solides. Ses conseils et ses encouragements m'onr été fore précieux et parfois déter-
minants depuis l'Ecole Nationale des Travaux Publics de l'Etat de Lyon où j'étais son étudiant.
Je remercie vivement MOfUÎeur R. J. GIBERT Directeur du Département des Etudes Méca-
niques et Thermiques au Centre d'Etudes Nucléaires (CEN) à Saclay d'avoir accepté d'être rappor-
teur de ce travail.
Mes remerciement vont également au DocteUT BRANDON ProfesseUT à University of
Wales IfU(jtute of Science and Technology (UWIST), à Monsieur le Professeur Rémi HENRY du
Département de Mécanique des StructUTes de l'INSA de Lyon Qui ont accepté de juger ce travail, ain-
si Qu'à Monsieur le ProfesseUT Jean SABOT du Laboratoire de Mécanique des Surfaces de l'Ecole
Centrale de Lyon qw a bien voulu présider le jury.
Je tiens aussi à exprimer mes profonds remercieme'lts à Monsieur le Professeur Saliou
TOURE, Directeur de l'Institut de recherche mathématique à l'Université Nationale de la Côte
d1voire qw m'a honoré en acceptant d'être membe de mon jury.
Je MÛS reconnaissant envers Monsieur Noël CHATELUS et Monsieur Jean-Pierre LAINE
de l'Eqwpe Dynamique des structures du Laboratoire de Mécanique des Solides pour roUle leUT aide.
J'aimerais témoigner ma gratitude à l'Equipe du centre de calcul de l'Ecole Centrale de
Lyon, à Monsieur Philippe FALANDRY du Centre National Universitaire Sud de calcul
(CN.V.S.C) de Montpellier, et à Monsieur Daniel F/CHOT de la Société METRAV/B d'Ecully qui
m'ont pe1171is de sW17Wnter divers obstacles numériques tout le long de mon travail.

---

VII
RESUME
Cette étude vise une amélioration des méthodes de synthèse mcxIale par un recalage optimal des cara~
ctéristiques résiduelles de frontière. Une ramifie de mooes de branche est alC'fS intrcxIuite pour per-
mettre une connaissance expérimentale de ces tennes dont nous présentons une détermination géné~
rale. L'introouction d'un mooèle modal basé sur les modes libres s'est avéré particulièrement efficace
à représenter le comportement de sous-structures avec des conditions aux limites quelconques et sa
participation à la dynamique dun assemblage, le long de Ilombreux essais effectués. Le recalage né-
cessaire entre les modèles numériques et expérimentaux induit la correction des caractéristiques de
frontière. Deux nouvelles mélhcxIes sont alors introduites dans le cadre de correction des interfaces à
garnd nombre de degrès de libené. Plusieurs tests ont mis en évidence le recalage parfait de modes
normaux par l'obtention avec précision des fréquences, des réponses temporelles el de déformées
relativement bien approchées de structures conigées ayant des condltillll~ aux limites pouvanr varier
de l'encastrement parfait à 13 libération complète des frontières de ràccordement, dans le cadre de la
synthèse des plaques minces.

---

VIII
ABSTRACT
This study aims al improving mooal synrhesis methods by optimal correction of residuel boundary
tcrms. A family of branch is then inrroduced to a better experimental knowledge of thesc terms of
whitch we are presenting a geneTa! definition. The introduction of a model based on the free mooes
has turned out to he particularly successful in presenting the performance of the behaviour of sub-
structure with aoy boundary conditions and ilS participation to the dynamic of an assemblage,
throught lhs numerous tests we carried out. The necessary adjustement between lhs numerieai and
experimental mode1s induces lhs correction of boundary flexibility lenns. Two new methods are then
presented in the context of correction of the interfaces with large number of boundary degrees of
freedom. Severa! tests have shawn the perfee! correction of normal modes by the precision obtaining
of the frequencies, temporal responses, and the dynarnic deflections relatively weIl approached of
corrected structures with boundary conditions from pcrfecl closed to complet free interface, in the
context of modal synthesÎs of thin plates.

---

SOMMAIRE
\\I\\TRODUCTION
p. J
CHAPITRE 1 : SYNTHESE MOOALE
pA
II'm<ODUcnON
L GENERALITES SUR L'ANALYSE MODALE
Il. PROBLEME SPECfRAL
III. SYNllfESE MODALE POUR LES NŒUDS INTERIEURS
lV.DOUBLE SYNfHESE MODALE
CONCLUSION
CHAPITRE 2: CARACTERISTIQUES RESIDUELLES EN SYNTHESE
MODALE
p.124
II'm<ODUcnON
iMPORTANCE DES CARA(ïERISTH.)UES RESIDUELLES
II. CARACTERISTIQUES RESIDUELLES EN ANALYSE DE SENSlBILITE
CONQUSION
CHAPITRE 3; CORRECTION DES CARACTERISTIQUES DE FRONTlERE
p.\\48
II'm<ODUcnON
1.
METHODES DE CORRECTION
IL APPLICATION AUX FRQNTIEIŒS A FAIBLE NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTI
Ill. APPLICATION AUX FRQNllERES A GRAND NOMBRE DE DEGRES DE LlRERTF.
('O)\\'CL.USJQN
CO:'>CLUSION
r·:nJ
Il 1Il1.l0G RAI'H lE
ANNEXES

---

(
INTRODUCTION)
,
,.< .."~,
•
/_>\\~",à•.-.~> l,

---

1
INTRODUCTION
En Dynamique des structures, les erreurs de modélisation sont souvent localisées
le long des interraces de raccordement, et elles deviennent pénalisames lors de
l'assemblage des organes mécaniques.
Dans le cadre de la Synthèse Modale, on est conduit à introduire des termes
résiduels de rrontière afin d'auenuer l'influence néfaste de la troncature modale. Mais
11identification
expérimentale de ces caractéristiques résiduelles est difficile et
f
imprécise.
l
Cependant. il n'existe pas d'études spécifiques sur le recalage des termes
résiduels afin d'améliorer les méthodes de sous-structure. Ceci est dû certainement à la
difficulté de ooniger ces tennes représentés par des matrices dans le contexle numérique, et qui
impliquent souvent un nombre de degrés de liberté de frontière relativem élevé_
Le but du présent travail est de répondre à ce souci en proposant des méthodes
numériques de correction extensibles au cadre expérimental, afin de recaler les
caractéristiques résiduelles de frontière et améliorer les techniques de synthèse
modale et de sous-structuration.
Les caractéristiques résiduelies sont introduites ( R12 ), ( R22 à R24 ), ( R32 ) au
niveau des maaices de souplesse dynamique en formulation déplacement, ou à leur équivalent
•
( R12 ) lorsqu'on utilise la fonnulation force. Ces tennes résiduels sont adaptés au contexte
- numérique-et deviennent inutilisables 'dans le-cadre-expérimental:
--''-- "...
Les méthodes de synthèse modale sont classiquement basées sur l'utilisation des modes
libres et des modes encastrés, Afin de pennettre une connaissance expérimentale des tennes
résiduels, l'on
introduit
une
troisième famille de modes normaux, dits "modes de
branche", ( R12 ), ( R23 ), ( R25 ) et ( R26 ).
Ces modes de branche sont des m04es nonnaux obtenus à partir d'un chargement de
la structure initiale le long de sa frontière de raccordement, par fixation d'inerties
ou d'organes
élastiques, ou par couplage
avec
une
structure
adjacente
quelconque. Cette nouvelle famille de modes va jouer un rôle privilégié dans les techniques
de synthèse modale que nous utilisons dans ce travail. Son importance sera en effet majeure
dans la mise au point de nos méthodes de correction.
j
l

---

2
Nous proposons dans cette étude un modèle modal, appelé D.M.M. ( Basic Modal
Model ) construit à partir des modes libres, des modes de corps rigides et de la souplesse
résiduelle de frontière, en fonnulation déplacement. Son premier intérêt est son efficacité à
représenter le comportement d'une sous-structure avec des conditions aux limites
quelconques et sa participation à la dynamique d'un assemblage.
Le modèle D.M.M. permet en effet de retrouver les trois principales familles de modes
normaux de la sous-structure considérée : les modes encastrés, les modes branches el
naturellement les modes libres sur lesquels il est consmlit.
Nous introduisons ensuite des méthodes de correction dont le but est de recaler les
modèles numériques représentés par une matrice de masse et de raideur afin que les
caractérisùques des modes mesurés correspondent à celles des modes calculés.
La procédure de recalage du modèle D.M.M. va consister à faire un choix optimal de la
matrice de souplesse résidnelle de frontière et de la panîcipation des modes libres à cette
interface. afin de retrouver les fréquences exactes des modes de branche et d'approcher
au mieux leurs déformées exactes.
Dans le cadre des frontières à grand nombre de degrés de libené, nous avons proposé
deux nouvelles méthodes de correction basées sur la recherche de perturbations de norme
minimale, et qui font l'originalité de cette étude.
Ces procédures de correction appelées T.C.M. (Total Correction Method ) et
•,
S.C.M. (Selectiv'·Correction Mdhod ). correspondent-respectivement à une ·correction
globale et sélective des termes de la matrice de souplesse résiduelle.
De nombreux essais numériques ont été effectués dans le cadre de l'assemblage des
plaques minces en acier pour mettre en évidence la double efficacité du mod.èle D.M.M. et des
méthodes de correction T.C.M. et S.C.M..
On a pu vérifier d'abord le recalage parfait des mode~ de branche corrigés sur trois
caractéristiques dynamiques majeures: les fréquences calculées avec exactitude; les déformées
modales relativement bien approchées; et l'estimation avec préCision des réponses temporelles
de structures obtenues avec des conditions aux limites pouvant varier de l'encastrement à la
libération complète des interfaces de raccordement.

---

3
On a ensuite déterminé avec efficacité les premiers modes nomJaux des modèles modaux
corrigés obtenus lorsqu'on impose des modifications structurales majeures comme des
variations de conditions aux limites ou des raccordements avec d'autres sous-structures.
Ce mémoire de thèse est composé de trois chapitres et de huit anne;a;.es. Nous présentons
au CHAPITRE 1 une fonnulation traditionnelle des problèmes de dynamique des struClUres,
puis une formulation générale de l'équilibre dynamique ( RI2 ), ( R22 à 24 ), à l'aide
d'opérateurs linéaires différentiels et intégraux elliptiques.
Cette présentation permet d'exprimer la réponse dynamique de la structure à l'aide des
résolvantes des équations et de se rattacher aux problèmes intermédiaires de
WEINSTEIN ( RI ) et ( R2 ), dans le cadre des frontières conlinues.
Les deux formulations continue et discrète ont permis de mettre en valeur
l'importance des tennes résiduels de frontière dans les méthodes de synthèse modale.
Nous avons notamment montré que l'emploi des termes résiduels au second ordre n'est
justifié qu'aux hautes fréquences où ils apportent une amélioration fréquencielle par rapport aux
termes calculés au premier ordre . Il est donc nécessaire de proposer des méthodes de correction
des caractéristiques résiduelles de frontière afm d'amélioer la détermination des modes normaux
des structures à basses fréquences où les termes du deuxième ordre n'apportent pas de gain
significatif. C'est l'objet du CHAPITRE 3 qui constitue la partie originale de cette
thèse,dont cenains résultats ont déjà été publiés (R22 J, ( R24 ) et ( R38 ).
Enfin le CHAPITRE 2 est une transition entre les deux autres. 11 établit le calcul
explicite des termes résiduels de frontière et montre leur apport dans d'autres techniques
t1'analyse modale comme la méthode de sensibilité.

---

4
CHAPITRE 1
SYNTHESE MODALE

---

5
CHAPITRE 1
SYNTHESE MODALE
INTRODUCTION
L GENERALITES
SUR
L'ANALYSE
MODALE
l.l EQUILIBRE DYNAMIQUE
1.2 OISCRETISATION DES EQUATIONS D'EQUILIBRE
U ANALYSE MODALE
1.4 INTERET D'UNE FORMULATION GENERALE DE L'EQUILIBRE DYNAMIQUE
IL
PROBLEME SPECTRAL
ILl FORMtn.ATION PRIMALE
[{.l FORMULATION DUALE
lU LIEN ENTRE LES DEUX FORMULATIONS
UA TRONCATURE DES RESOLVANTES
III.
SYNTHE5E MODALE
POUR
LES
NŒUDS
INTERIEURS
IIU PROCEDURE GENERALE
III.2 FORMULATION PRIMALE
IIU FORMULATION DUALE
IlIA APPLICATION EXPERIMENTALE
IV.
DOUBLE SYNTHESE MODALE
IV J INTRODUCTION AUX PROBLEMES INTI:RMEDIAIRES
IV.2 FORMULATION PRIMALE
IV.3 FORMULATION DUALE
IV.4 APPLICAnON EXPERIMENTALE
CONCLUSION
ll

---

6
MfRODUcnON
Ce chapirre est consacré aux équations générales de la synthèse modale. Il est divisé en
quarre panies. Nous faisons d'abord un rappel des équaüons classiques de la dynamique des
structures en première panie. Nous montrons ensuite l'intérêt d'une description plus générale de
l'équilibre dynamique à l'aide de deux types d'opérateurs linéaires: les opérateurs différentiels
elliptiques d'ordre quelconque, auto-adjoints dans les problèmes usuels de Mécanique des
Vibrations, et les opérateurs intégraux, compacts et inverses des premiers, construits dans des
espaces de HILBERT. C'est l'objet de la deuxième partie.
Cerre généralisation qui tire profit de la richesse des propriétés de telle classe d'espaces
topologiques conduit à deux descriptions complémentaires liées au même problème physique: le
raccordement de sous-structures le long d'interfaces continues. La première description.
envisagée dans la troisième panie est une présentation discrète et matricielle des méthodes de
synthèse modale. Elle est adaptée à l'utilisation de la méthode des Elémems Finis el correspond
La deuxième description étudiée dans la quatrième partie est une formulation variationnelle et
continue de l'équilibre dynamique. Elle pennet de mieux rendre compte des interfaces de liaison
cononues.
Des modèles numériques permettent de lester l'efficacité des méthodes proposées dans la
troisième et quatrième parties.
I. GENERALITES SUR L'ANALYSE MODALE
r..
Il (O,t)
®
FlGURE l.l
Considérons une sous-structure ® élastique et conservative, occupant un domaine
$
3
de.IR.
et reliée à une autre sous-structure
® d'un assemblage le long d'une
interface de raccordement
r 0

---

7
La frontière r
de 9J
est composée de crois parnes:
. r. est l'interface de raccordement eoue le~ SOLls-structures @e,@
On lUi associe une disttibution de forces
{- fi}
indépendantes
,. r...
est une frontière supposée fIxe et peut éo-e éventuellement réduite à l'ensemble
vide.
". r.a.
est une frontière libre dans toute cette étude.
\\A,. (i, t):.
ll.ll) 1 i ... t1.,3)
est le déplacemenl d'un poim
du domaine S
à
l'instant
t:
~
v
~ l~,')
( ' ~ r .. 3'"
désigne le tenseur des contraintes de CAUCHY
.".l~,-,~
au point f
Le tenseur des défonnations de GREEN
s'écrit en
c .
_ ,
(U)
c;. 'j
-
.:z; (
+
sous l'hypothèse des petits déplacements. La loi de comportement de HOOKE pennet de
relier d'une façon objective les tenseurs
()
er
~
(1.2)
- '":)'j H
où les
" \\.\\ lt)
oN = (..., ~J [~)
sont fonctions des constantes élastiques du
matériau constituant la sous-structure @ . L'équation (1.2) peur s'écrire matriciel1ement
(1.3)
cr- '"
N
@
~
où
61
est un produit tensoriel
I.1 EQUILIBRE DYNAMIQUE
1) Formulation différentielle
Les forces de surface qui s'exercent sur un volume infmiment petit de
st> sont
équilibrées par les forces extérieures de volume et les forces d'inertie.
_
0
(1.4)
-+

---

8
où
E( ':. f( un
est une fonction scalaire
En utilisantl'équ.tion (1.3), l'équilibre (1.4) devient
(1.5)
= F
S '1
est une matrice de dimension 3 x 6 d'opérateurs différentiels linéaires du 1er
ordre reliant les forces internes aux composantes du tenseur des contraintes.
S Z,
est une maoice de dimension 6 x 3 d'opérateurs différentiels linéaires du 1er
ordre permettant d'exprimer les contraintes en fonction des composantes du champ de "petits
déplacements".
En utilisant la transformation de FOURIER
(1.6)
léqu.tion (1.5) devient
'"
- ç
(1. 7)
5~ N
S~
(ct )
- ew "'-
ou encore
(1.8)
1< lA.
w'"
M- u.. :::
F
L'opérateur matriciel
1< ': S, "" So~ représente les forces internes. L'opérateur ~ ': \\
représente les forces d'inertie.
A cette équation (1.8) sont adjointes les conditions aux limites suivantes:
(1.9 .•)
cr ""- ~ - l':
'1/ 2
~
fo
(1.9.b)
u..~ 0
" f ... l"..
(1.9.c)
'! f
... r...
()"" = Cl
~
où "l"\\. est la normale extérieure à
r;b au point f de r.

---

9
2) FOTmularion variationnelle
Le principe des travaux vinuels exprime l'égalité entre le travail de déformation dans un
déplacement virtuel
~\\A.. (!) au temps t et le travail vinuel des forces d'inerties de liaison et
de volume. Le déplacement virtuel doit être cinématiquement admissible, c'est-à-dire que le
champ de déplacement
d \\A. (2) doit satisfaire les conditions aux limites de type cinématique.
(UO)
où
'"
CO V cl
est l'énergie de déformation
... ae. 1: est le travail des forces d'ineItie
'"
~ E. \\" est le travail des forces de liaison
'"
~ E x est le travail des forces de volume
Explicitons chaque tenne du second membre de l'égalité (UO)
~~l:
-S~ 'Cl"-.... S.... J'V"
(1.11 a)
-
'" ~""
(1. lib)
SEL
J'dlb <r- h .. ols
"
Se. .. " JSh l= li.... .l.N"
(1. lie)
où
ô JB
est ]a surface limitant le domaine
~ . L'énergie cinétique de la
1
structure est défInie par
(1.12)
Le principe de HAMILTON conespond à la stationnarité de l'action mécanique vis-à-vis
d'une variation virtuelJe de la trajectoire conservanlla configuration d'arrivée et de dépan, et
permet de relier l'énergie cinétique E c:.
au travail virtuel des forces d'inertie
S'e. %
par la relation suivante :

---

10
L'existence d'une fonction potentielle Vo! est justifiée par l'hypothèse de l'élasticité
linéaire. On défmit le Lagrangien L par
". e.,,:-l~ ert1.141,,'
"'-
'(~
E
,-
~
(1.14)
L
-
c
-
[.';'; ;>.v.y
z \\ ' ; /
L'équation dynamique de la SOus~trÙètlJ.fe pr
la forme suivante
" ' "
.~- ---
Q,
st.. L .k~:;.(cst.. (JE\\.. + .r~,,)Jk = 0
(1.15)
(
b
)
t.
1.2 DISCRETION DES EOUA TIQNS D'EOUILIBRE
La méthode des Eléments Finis génère des champs de déplacement admissibles. On
discrétise alors l'espace des solutions en considérant le champ de déplacement u...<.f) comme
étant une somme pondérée finie de N
fonctions de base
~ .. le) ne dépendant que des
coordonnées spatJales du point
F
(1.16)
L -= 1
où les Ài. lt'
sont des déplacements généralisés ne dépendant que du temps t
Les fonctions
ci \\. deux fois différentiables qui satisfont à toutes les conditions aux
limites som dites "compatibles".
Les fonctions
~ ~
une fois différentiable ne satisfaîsant qu'aux conditions
cinématiques sont dites "admissibles".
Ce schéma de discrélisation aboutit à deux types de méthodes suivant qu'il est associé à
une fonnulation différentielle ou à une formulation variationnelle.
1) Méthcxle résiduelle associée à la formulation différentielle
Les fonctions
~ ~
vérifient toutes les conditions aux limites et on cherche à
satisfaire au mieux à l'équation d'équilibre (l.8)
" -
-
~
~ ........
- w &
= ....
On cherche une solution approchée discrète sous la forme
...
(1.17)
-.:::. ( r ) "
L ).ë <1',

---

1\\
~
U.
ne pourra vérifier l'équation (1.8) qu'exceptionnellement. On introduü alors une fonction
d'erreur
E. (w 1 f) à minimiser par un choix optimal des
>.. ~
(1.18)
La méthode consiste à annuler l'intégrale sur tout le volume
~
de cette erreur
pondérée par une famille de fonctions {~~ } .
(1.19)
J~ '\\Ji Ê. Lw, e) d'" = 0
Ces.N'
équations induisent l'égalüé matricielle:
où
et (. n1 sont des maniecs N x N indépendantes de W. Àet t'-
sont des
vecteurs N x 1
TI exisle plusieurs variantes à la méthode, chacune correspondant à un choix particulier
des fonctions CfJ~ .
Nous utilisons la méthode de GALERKIN qui identifie les fonctions de pondération 1fJ(
aux fonctions de base f\\"
Les éléments des maniees lI(, J et (M) s'écrivent alors :
(1.21)
Kij
'= f.0~: 1{~; .l'V";
L~, ,I(,'h\\
1
M'l. J9) ~.
J.l!J~ Ci; ~Jdv= lil!:,J1.~j1
(1,22)
M. Cf!j .iv '=
Les forces généralisées s'expriment de manière analogue
f$
(1.23)
l'
é\\:, .Lv
Cette méthode de GALERKIN est la plus utilisée. Mais on peut prendre pour
Y'"
d'au cres fonctions. La méthode de collocation utilise comme
o/~ des diracs.

---

12
Dans ce cas les intégrales se calculenl simplement
(1.24.)
(I.24b)
2) Méthode de RA YLEJGH-RITZ associée à la [annulation variationnelle
C'est une méthode énergétique basée sur le principe de moindre action. Les fonctions
~i.lf) ~admissibles" c'est-à-dire une fois différentiables et ne satisfaisant qu'aux conditions aux
limites cinématiques consüruent les fonctions d'essai
~~ (Pl . On a donc un choix plus large
de ces foncnons que dans le cas des "fonctions compatibles" (deux fois différentiables) dans la
méthode différentielle.
L'énergie cinétique 'Ee. de l~ :·;[ructure s'exprime sous une fonne quadratique des
dérivées des coordonnées généralisées.
Elle ,'écrit:
( ck
_ _ î~ dv
(1.25)
dt
D'après l'expression de
u...
(:r:. 1.") ,on obtient
#'
.k..
'a"-
" >-i
L '<lu..
(1.26)
-
+
~
'llt
b Ài
0'0
t:1
';lu.
où
- - '" 0 . Ii vient donc
'l>t
N
d.u..
•
(1.27)
= 'Z. ~, tfl >-, c.t)
<U
... :1
L'énergie cinétique s'écrit alors
(1.28)
Ec.
~
:0
... L. ( ~ ( p; .pj À, >-j .lV)
en posant
(1.29)
h;j '" Lt ~ , ~. .lv
•

---

13
l'énergie cinétique devient
(1.30)
Ec. "
[tl)
':. l t"1.:~ '1
s'appelle matrice de masse de la structure. Cene matrice est
symétrique, définie positive car l'énergie cinétique est toujours une grandeur positive.
N
Cette fonne paniculière de la solution
\\A...
-= ~ À\\~": peut êrre interprétée
comme une équation holonome. La structure discrète assoè~ée est donc plus raide que la
srructure réelle.
Les fonctions
èp (
peuvem ne vérifier que les conditions de déplacement car il suffit
qu'elles engendrent un champ de déplacement cinématiquement admissible.
Les équations du mouvement s'obtiennent en utilisant les équations de LAGRANGE
déduites de l'expression (1.15)
(1.31 )
où
f-t...: désigne la force généralisée de volume.
(1.32)
Dans l'hypothèse de l'élasticité linéaire, la fonction potentielle ' ld. (>".)
peut être
approchée par son développement de MAC-LAURIN au second ordre.
Si nous choisissons l'origine des coordonnées généralisées
(À\\)
telle que
V.! (0)
est nul, et si nous remarquons que la position d'équilibre en 0 doit être nécessairement un
minimum du potentiel V.,1 ,c'est -à-dire :
ô\\r~ (0) = 0
(1.33)
~ ),.,
alors le développement de MAC-LAURIN devient
(1.34)
V.1 =
~
"Ç'
(?J'" VJ
(0) '\\
:>..
l -
\\
'" >.: ô ').j
)
En posant
(1.35)
qui correspond à la l'Elasricilé Linéaire.

---

14
On défInit une manice l"" 1 -: l ",', j J appelée matrice de raideur. La matrice
est symétrique, défmie positive si la fronrière
l'''I.
n'est pas réduite à l'ensemble vide,
semi-défmie positive si c'est le cas car
YJ.:' 0
correspond à des mouvements de corps
rigides.
Les équations de LAGRANGE peuvent alors s'exprimer sous une fonne malricielle
(1.36)
La transformée de FOURlER de cette équation donne
(1.37)
Dans le cas d'un système isolé, el en utilisant les mêmes fonctions de base, on obtient un
système identique à celui trouvé par la méthode de GALERKIN. Soit :
(1.38)
De cette équivalence découle le caractère auro-adjoint de l'opérateur K
dans la
fonnulation différentielle pour un système isolé.
(1.39)
pour toutes les fonctions
!.: et ~J qui satisfont à toutes les conditions aux limites.
3) L'intérêt d'une base modale
La mesure des déplacements de points à la surface de la structure est nécessaire dans un
contexte d'analyse expérimentale. La dérennination des matrices de masse et de rigidité utilise
les modes de vibration pour deux raisons majeures:
• l'amplification dynamique facilite la mesure des défonnées modales
• les phénomènes de résonance mettent en évidence l'influence des paramètres
dynamiques.
Des difficultés expérimentales induisent des systèmes matriciels souvent mal
conditionnés. On remédie à cet inconvénient en utilisant une fonnulation de type
"RAYLEIGH-RITZ" avec pour fonctions de base les modes de vibration ou des défonnées
e.xpériementales qui s'en approchent.

---

15
Les coordonnées généralisées son! alors les participations des modes à la réponse.Cette
base modale génère la réponse reeHe. Mais l'on doit se limiter à un nombre fini de modes.
Elle reste néanmoins très représentative de la déformabilité de la structure dans un certain
domaine de fréquence.
En vue d'érudier les diverses possibilités permettant d'obtenir les parnmèrres modaux, il
s'avère indispensable d'exprimer la réponse d'une struCture en fonction de ses modes et d'éviter
les erreurs introduites par la prise en compte que d'un nombre fini d'enrre eux.
4) EQuations de changement de base
La méthode de RAYLEIGH-RITZ est D'ès avantageuse car elle permet de raccorder des
sous-structures en imposant des conditions cinématiques sur les variables généralisées. La
sommation des énergies cinétique et élastique de chaque sous-structure donne respectivement les
énergies cinétique et élastique de l'assemblage total.
L'écriture des équations de LAGRANGE exprimant l'équilibre de la strucrure entière ne
nécessite que l'utilisation d'un paramétrage strict, c'est-à-dire qui tient compte de toutes les
conditions cinématiques de liaison.
Soit
~
le vecteur des nouvelles coordonnées, le changement de base est traduit par
l'équation suivante:
(IAO)
où
(2) eslla matrice de passage de la base des Eléments Finis à la base modale.
Comme les énergies cinétiques et élastiques sont invariantes par changement de base, les
nouvelles matrices de masse et de rigidité s'écrivent en fonction des anciennes:
(lA La)
\\ f f (hJ (E'1
(1.4I.b)
(p ) T C~ J \\ f)
I.3 ANALYSE MODALE
1) Définition des modes normaux
Les modes normaux sont solutions du système conservalif
(1.42)
1

---

16
où 'X..
est le vecteur propre ou le mode et w
la pulsation associée à .x. . Le specrre
de l'opérateur K
est de dimension infinie. Toutes les solutions propres
x~· doivent vérifier
les conditions aux limites.
Comme la structure est supposée isolée, les opérateurs K
et M. sont auto-adjoints.
On en déduit les relations d'orthogonalité des solutions propres
(I.43a)
(1.43b)
'1't\\..~
est la masse modale de rang i. Elle est nécessairement positive car tw\\.
est un
opüateur défIni positif.
-l~
est la raidew modale de rang i. Elle est positive ou nulle car
l'opérateur K
est serni~défmi positif.
Afm de simplifier le calcul, on norme les formes propres
~ en imposant à la masse
modale
l'fr\\.(
d'être égale à l'unité.
(1.44)
... Cas des modes normaux discrets
La méthode de RAYLE1GH-RITZ permet d'approcher les modes nonnaux continus par
des modes nannaux discrets. Ces modes nonnaux discrets sont solutions de l'équation aux
valeurs propres
(1.45)
où (M,\\ et \\\\.<.) sont respectivement les matrices de masse et de raideur de dimension
N"'N
'" ~
est le ième mode discret.
~"
Les W~
som solutions de l'équation polynomiale
(1.46)
M
( -

---

17
~~
L'ordre de multiplicité de la solution w~
est]a dimension de l'espace propre qui lui est
associé. Le champ de déplacement peulwêtre ainsi approché grâce aux}J
modes discrets
indépendants.
Si ~
et
W~ sont les approximations du mode continu x..- et la pulsation Q,J.."
propre, on peur écrire :
...
y." '.
(1.47)
L. 1
1"'
,
OÙ)<.A
est la jième coordonnée du mode discret
)( ~ .
La syrnéaie des manices(K). et (H) induit l'onhogonalité des modes discrets
V,.-r r
,
(1.48a)
"
1.
1"\\) Xi
:
(1.48b)
x.7 \\ 1.<. ') 'l' i :
~
Ces relations (1.48a) el (1.48b) confèrent aux défonnées modales approchées oc..; les
mêmes propriétés de norme et d'orthogonalité que celles des solutions exactes
~
(1.49.a)
(x.:, M'Xi):
l;"i
(1.49.b)
(X.\\ , 1<. XJ") :.
"'~
cu .,
2) Ecrirnre du mouvement dans la base des modes nonnaux
Le déplacement U 1.
du point f
s'exprime comme combinaison linéaire de tous les
modes normaux en nombre infini
-L
(1.50)
"Ii lt) :>c.: f
":,
La transfonnée de FOURIER de l'équation d'équilibre (1.8) multipliée scalairement par
donne
(1.51)
<: _ w"'... w .... ) "1 i -
l F , oc< j
On en déduit l'expression du champ de déplacement en fonction des modes normawc
"" [F'... >«)
(1.52)
_ W'" +
....
WI

---

18
• Cas des modes DOnnay)) discrets
L'écriture dans la base modale à partir du cas discret consiste simplement en un
changement de coordonnées généralisées
(1.53)
où (x) est la maoice modale dont les vecteurs colonnes sont constitués des}o1
modes
discrets écrits dans l'ancienne base. L'onhogonalité des modes pennet d'obtenir l'équation
maoicielle
c-
(1.54)
w'" ( :r)
+
La matrice spectrale (.JL.t.) est diagonale:
(1.55)
>.. et ~ sont reliés par :
(1.56)
>,
LX;r, X.)
_ w'" + w,·,L
• Avantage d'une discrétisation à l'aide des modes oonnaux
Les modes normaux mettent en évidence le découplage entre les masses, et sont donc
significatifs du nombre de degré de liberté à prendre en compte. Si l'analyse de la rtponse de la
SlI'Ucture s'effectue à l'intérieur d'une bande de fréquence donnée, les déformées modales dont
les pulsations se situent dans cette intervalle apparaissent comme une base de plus faible
dimension.
Cette qualité jointe à la propriété de fermeture découlant des relations d'onhogonalité
explique tout l'intérêt de l'utilisation de la base modale dans les essais numériques et les
techniques de sous·soucture.
3) Modes particuliers
L'Analyse Modale repose principalement sur les modes normaux. Elle utilise également
des modes particuliers. La tenninologie classiquement adoptée est la suivante.

---

19
a) Modes statiQues
ils sont issus d'un problème statique. Ce sont les déplacements des points d'une
streture, obtenus statiquement en imposant des condirions paniculières aux degrés de libené de
l'interface
ro . On distingue les modes de déformation statique et les modes d'attache.
.. Modes de dfformariQn starique
On impose un dtplacement unitaire à l'un des nœuds de l'interface en bloquant les
auttes. On n'applique des forces que le long de la frontière
ro . On doit donc résoudre le
syst~e suivant:
~.] r
0.57) [ \\ ( U
X~] _ [0 î
1(
l
\\(. <
1( Fr
l
1'" j
1 désigne les degrés de liberté non concernés par la liaison el F désigne les points de
liaison.
La résolution de l'équation matricieUe 0.57) conduit à
0·58)
ou encore
0.59)
X 1:
=
Les modes de défonnation statique sont représentés par la manice
0.60)
il Ya autant de modes de défonnation statique que de degré de libené de frontière.
.. Modes d'attache
Si au lieu d'imposer un déplacement on impose une force unitaire. on obtient des modes
appelés modes d'attache. solutions du sysrème matriciel suivam :
(1.61)
"'FF J[:J (:

---

20
Ce système n'est possible que si la matrice de rigidité
(\\() est inversible. c'est·à-dire
si la structure ne possède pas de mode~ de corps rigides. C'est le cas où on ne peul définir la
matrice de flexibilité statique de la SD1lcture ( Al't"'NEXE 2).
Cette matrice de flexibilité statique n'existe pas dans le cas des structures entièremem
libres, qui possèdent justemenl des modes de corps rigides. Ceux-ci induisent une singularité
d'ordre variant de un 11. six de la matrice
( \\,() . On utilise alors une procédure particulière,
voir ANNEXE 2, qui conduit il àéfinir unI' matrice de pseudo-flexibilité. Celle-ci est obtenue
grâce à une projection dans l'espace onhcgonal des modes de corps rigides au sens du produit
scalaire généré par la matrice de masse
(..,) de la :iIruCture.
b) MM~..I!tiQ!lll,.(I@~
.";-
~.
ils apparaissent 9~~lt~J~ 5 libres ou avec mecanismes. Un structure libre
est une structure qui po~· 'ëdà~~n cell<iil/!'w re (au maximum 3 pour les problèmes plans, 6
"
"..
../~,
pour les problèmes tridime ~onn,èTs}de"fnOdesde mouvement d'ensemble ou modes rigides à
--:....;..c ,-
énergie de défonnation nulle corresJX>ndant à des valeurs propres nulles.
Si
'X. fi.. est un mode de corps rigide, alors .
(1.62)
On en déduit la propriété suivante des modes d'ensemble
(1.63)
Dans les méthodes d'analyse modale, il est souvent intéressant de considérer des
modèles définis par des sous·stl""J:::~<:~~~ libres. Mais l'une des difficultés. surtout numérique~.
esl de s'affranchir des singularités induites par la présence des modes de corps rigides. Tout le
long de cette étude. l'on serd af11ené à envisager des procédures spéciales partout où l'influence
des modes de corps rigides sera prise en compte
c) Modes dynamiques
Les modes dynamique~ ou modes propres d'une structure sont les solutions du système
matriciel
(l.64 )
(11) 'li. = 0

---

21
On distingue plusieurs types de lljl)des propres suivant les conditions imposées sur
l'interface de raccordement
1'(1
.. Modes libres
Ce sont les modes calculés en supposant la sous-structure libre le long de l'interface de
raccordement
ro
II< Modes encastrés
Ce sont les modes obtenus en bloquant les nœuds de la frontière
r.
• Modes chargés
Ils sont obtenus en affectant aux nœuds de l'interface r.
des inpédances connues
pouvant se rapprocher du comportemem des sous-structures adjacemes.
4) Exemple d'un modèle Elémenls Finis de SQUS-structure
Il est intéressant d'illustrer ces différents types de modes sur la base d'un modèle
Elémems Finis que nous avons construit el comparé à celui du logiciel ANSYS.
Le modèle est défmi par une plaque minee en acier, rectangulaire et de caractéristiques
suivantes:
Longueur: 60 cm
Largeur
: 40 cm
Epaisseur: 5 mm
Masse volumique
: l: = 7350 Kg/m
H
...
Module d'Young
: E = 2.05
10
N { _
Coefficient de Poisson: \\) =0.33
r...
r.
FlOURE 1.2

---

22
Commentaire sur le mndèle numérique
- - - c--
Maillage 1
a) Maillage
Pour l'étude de notre plaque mince homogène en flexion, nous avons utilisé le modèle de
LüVE-KIRCHüFF (sans effet de cisaillement transverse).
La plaqut: a été maillée en 32 éiéments rectangulaires ( élément rectangulaire à 4 nœuds.
12 D,D.L., non canfonne), et 45 nœuds.
Le nombre de D.D.L. total est de 135. Chaque nœud a 3 D.D.L. : une rranslation el deux
rotations.
Schéma d'un élément ou
d'une maille
'/----.7::.--"-:-------.
9x.
,
Chaque maille est un rectangle de côté 7.5 cm suivanll'axe des x et 10 cm suivant l'axe
des y_
Cene description en Eléments Finis conduit à une matrice de rigidité
K
et une matrice
de masse
M
de taille 135 X 135_

---

23
Dans toute la suüe de ce rravaii, l("iJ~' les résultats issus de ce code de calcul seront suivis
des sigles M.E.F. ( Méthode des Elémt"Tll~ Finis ), tandis que D.D.L. désignera Dégré De
Liber1é.
Dans une première étape, il a été n{c:('s~aîre de comparer les fréquences propres issues de
ce cours de calcul à celles obtenues par deux logiciels connus: SAP ( Structure Analysis
Program) et ANSYS (Swanson Anal)'~I:> Systems Incorpordtion).
ANSYS el SAP utilisent des élém~n1~ finis quadrilatères de coque.
Dans ces deux logiciels, nous avons rentré des maillages identiques au nôtre afin de
permetrre la comparaison.
b) Tableaux des résultats
Tous les tabeaux ont été obler'l:~ avec des problèmes de raille identique pour les
méthodes que nous comparons.
.. Tableau Al : taille 135 x 135 ( pL1llue entièrement libre)
.. Tableau Al: taille 120 x 120 ( pl(lque encasrrée sur une largeur )
'" Tableau A3: taille 96 x 96 , ( phil..jue bi-encastrée sur deux côtés contigus)
c) Les graphes
Dans les GRAPHES 1 et 2 Les modf";s libres ANSYS sont tracés automatiquement avec
45 nœuds. Lemaillageutiliséestidenllljut:àceluidenotrecodedecalculM.E.F.na135
D.D.L.
Les modes libres obtenus par notre code M.E.F. et dessinés sur le GRAPHE 1 er 2 ont
aussi chacun 135 D.D.L. comme notte maillage. Le tracé de ces modes es[ semi-auwmatique :
transfen du calcul sur l'ordina[eur IBM vers l'ordinateur VAX afin d 'utiliser le traceur de
ANSYS implanté sur le Vl'X.
l1
l

---

24
Comme les
déformations en
chaque
nœud
du
maillage
1 SOnt rentrés
semi-automatiquement sur le traceur ANS YS, on s'est donc contenté de lenir compte d'un
nœud sur deux dans le sens de la longueur de la plaque, à panir du maillage l, ce qui donne le
schéma ci -dessous,
Maillage 2 virtuel
-
-_
--
..
Dans le tracé définitif ANSYS faii. une interpolation linéaire et définit un point
intennédiaire entre deux nœuds donnés.
On obtient donc en définitive 9 nœuds dans le sens de la largeur et 9 nœuds dans le ses
de la longueur.
Les GRAPHES 1 et 2 permettent néanmoins une comparaison des formes car les deux
méthodes de calclliutilisent le même maillage iniriaJ. MAILLAGE 1, pour le calcul des modes.
RECAPITULATIF DES TABLE,WX ET GRAPHES DE LA PARTIE 1
Cene partie 1 est ilustrée par 3 Tableaux de résultats et 7 Graphes
1) Tableau Al: donne les 12 premieres fréquences en HERTZ (HZ) plus les 3 modes de
corps rigides (MeR) de la plaque entièn"ment libre suivant les 3 calculs différents: notre code de
calcul M.E.F.,le logiciel ANSYS et le logiciel SAP.
2) Tableau A2 : donne les 12 premières fréquences de la plaque encasl:Jée sur un de ses
petits côtés (40 cm) par M.E.F. el ANS YS.
3) Tableau A3 : donne \\es 12 pnmières fréquences de la plaque bi-encasl:Jée sur 2 côtés
contigus (60 cm el40 cm) par M.E.F. el ANSYS.

---

25
4) Graphes 01 et 02 : compart:".l!~ lt".s déformées dynamiques des 6 premiers modes
libres obtenus par M.E.F. et ANSYS.
5) Graphes G3 et 04: montrent les défonnées des 12 premiers modes libres de la plaque
obtenus par ANSYS.
6) Graphes 05 et 06 : montrent les déformées des 12 premiers modes de la plaque
encastrée sur un de ses petits côtés (40 cm, tableau A2) obtenus par ANS YS.
1
7) Graphe 07 : montre 3 modes particuliers utilisés en synthèse modale dans la base de
description de RITZ.
1
... Le premier est un mooe de corps rigide (MeR) : mouvement de translation suivant
l'axe vertical Z.
... Le 2è est un mode de, défomlation statique obtenu lorsqu'on impose un déplacement
nul sur tous les D.D.L. de frontière
'i"o
sauf le D.D.L. de translation au nœud 45 où le
déplacement est unitaire.
... Le 3è est un mode d'attache ohl<:nu en appliquant une force unitaire sur le D.D.L. de
translation au nœud 45, eL zéro sur tous les. autres D.D.L. de la frontière
ro
eL les nœuds
intérieurs. Comme la plaque compone des. modes de corps rigides, on s'est servi de la manice
de pseudo-flexibilité défmie en ANNEXE 2.
Les tableaux de résultats Al, A2 et A3 comparent les fréquences des premiers modes
normaux obtenus par le code Elémenu. Finis mis au point à celles des logiciels connus ANSYS
et SAP. Le logiciel SAP qui utilise une mauice de masse concenlTée donne des fréquences plus
faibles.
Comme l'indiquent les trois tahleaux Al, A2 et A3, il Y a un bon accord entre les
fréquences calculées par notre code numérique et celles issues du logiciel ANS YS. La
comparaison des premières déformées dynamiques obtenues par ces deux méthodes est
également satisfaisante.
La validité de notre mDdèle numérique est donc attestée. POUT des raisons de souplesse
d'utilisation, il est le seul pli!' en compte dans toute la suite de ce travail.

---

26
PLAOUELmRE
IABLEA!JAl
FRE GlUE N CE. (H~)
IlE'S MOllES LI BRES
N'
M.. E. F.
Âl\\lSYS
SA.I?
1'10 &1'5
3
t1..Cl'<.
a l'1CR,
?> MC R.
-
1.
70. 447
70. &55
". ',7.
.
~
75. 950
75. 837
67. 71S
3
1.6~. 9M
1.65. -a 76
'14-7. E. 13
+
'11'.463
"1.19. 015'
'159. 4-a6
s
'Zo +.97+
~o+. "9
'174. 0 1.1-
6
2 :!ol. 613
~~9. 000
~I~. 'Z~2:
'1
30~. 054
309.06'
7.60. 1 71
Il
'1-4-5. ~,2
:!o53.1.11
~a 1.. 707
~
431.. 68;
42.5'.501
~''Z.071.
10
·Ho. U'l.
491.. o~o
'19' . 539
.
1.1
511.. 1.4B
5~5. ',1.
-4-~5'. 95"0
1<'
5'18.od?
5'02.'S~
+40. &'1

---

27
PLAQUE BI-ENCASTREE
PLAQUE ENCASTREE
~
~;.
;-
' - -
~
-V
TABLEAUA2
IABLEAUA3
FREQUENC.E:. (H <.)
FR-E GV "-NeE
( HiC)
1
:IlE.~
MO:IlE.':> ENC."'SïRE.S
IlES
MODES ENCASTRES
w'
N'
.M.. E. F.
M.. E.. F.
A.N~Y;'
Â~s.yS
M.01)E.5
MO:b li. &
~
1.1.. 30 -4-
1.1..?8~
1
1-
". ....
... '0.
'Z.
-4-0. <30'
""'1..~~O
.....
Z
1.05".
100ft. 2.5&
~
1'. ,S~
..". '!l '30
<>
ioU. 4'"
:1rr . • 6q.
...
1.~'B. 5+0
1."",,0. i~'
4-
Î. 41. 1.:z.1
'2. ... :1 . .., '73
,
s
'1."310.2.13
S
'2 i. 7. 5" li.!
l.W".5~9
~ 7Z, ..... 57
,
1
,
~o.;. 1.''2..
41<
,u
•
"2'2." 1.~O
"ZolO .1,,4"
7
2.1:'.053-
1
2U. ï ....tJ
1
449
. " 3
1
444.~'"--<
,
Z ~ 7. 0 '1.0
r
:'Q;. ! 15
5 c1. Ht
S H
n.
i
1
,
~
9
5
7 :;.
+~1.7ac
.9 ..
SlI'o:;..
4'2.'2.. 2.1'
.89
,
,
1
to
+'0. ~ .. Z
~o
,
,
"'r'l!l:.5"t~
10:;
454.
"'
4-!4. "6
4'a1.. 4\\2
,
1
'Z
~ '\\"2..
,
908
.!l1Î. ~87
,
,
1
1
-

---

28
GRAPHE GI
MQDES LIBRES ( ANSYS )
MQDES LIBRES (M.E.F.l
1
2
3
3

---

29
GRAPHE C2
MODES LIBRES (ANSYS )
.MQDES LIBRES ( M.E.F:I
r - - - - - - - - . --..- - - - - , - - - - - - - - - - - . - - . - - - - ,
4
5
6
6

---

30
GRAPHE G3
MQDES LIBRES (ANSYS)
i
1
t
1
r,i
1.
4
5
,
,
i
1
1
6
1

---

31
GRAPHE G4
MODES LIBRES ( ANSYS )
7
10
8
9

---

32
GRAPHE: GS
MODES ENCASTRES (ANSYSl
1.
4-
1
!,,
'5
i
!,,,
1
1
1
1
.,
6

---

33
GRAPHE G6
7
1.0
9

---

34
GRAPHE G7
MODES PARTICULIERS
MO t>E.
COR.P5
RI c,11)E
-'~._.,-
- '. '. -,'
":::-...-
MODE.
DE.
bE.f'ORMATION
-
5TATIG.U'i...
.,'
..... --
.~.-
",-,- "
.-....
", .. ,,-
~
"."
-'.
MOoE
D'A'TAC.HE.

---

35
lA INTERET
D'UNE
FORMULATION
GENERALE
DE
L'EOUlLlBRE
DYNAMIOUE
Les deux formulations différentielles et variationnelles présentées dans cette partie
conduisent à des équations d'équilibre exprimées en variables continues el en variables discrètes
grâce à la méthcxle des Eléments Finis.
Dans cette démarche, l'usage des tenseurs des contraintes, des déformations ou de
l'énergie de déformation, quoique dûment justifié, est de nature à spécifier la géométrie et le
matériau constitutif de la sous·SOllcture. Les résultats atteints deviennent donc particuliers.
Or les équations aux dérivées partielles de la Dynamique des structures, si diverses
soient-elles. peuvent être englobées pour les plus classiques d'entre elles. en une classe unique
de problèmes régis par des opérateurs différentiels linéaires d'ordre supérieur ou égal à 2.
C'est donc l'étude des propriétés des opérateurs linéaires qui régissent les équilibres, qui
définira chaque cadre d'utilisation adapté à un problème particulier de la Dynamique des
structures.
Par conséquent, les conditions aux limites jusqu'alors séparées entre les "conditions
statiques" et les "conditions cinématiques" vont s'unifier afin de pennettre une description plus
générale et plus adaptée à la nature réelle des interfaces de raccordement ou interviennent
souvent des conditions hybrides de force et de déplacement.
Les difficultés liées à l'utilisation des deux méthodes classiques de synthèse modale:
... "modes encastrés" où des essais statiques s'avèrent expérimentalement limités
... "modes libres" qui nécessite un grand nombre de modes vont être levées par
l'introduction des modèles hybrides de synthèse modale basés sur la prise en compœ des modes
de branche obtenus en introduisant des changements le long de la frontière de raccordement. Ces
modes pennettent de définir des coordonnées -généralisées de' frontière bien reprêsen tatives de la
déformabilité des frontières dans le domaine fréquentiel considéré.
Le fonnalisme utilisé devient ainsi général afin d'englober divers problèmes de
Dynamique des solides et divers types de raccordement d'une structure avec son environnement
Il. PROBLEME SPECTRAL
11.1 FORMULATION PRIMALE
r,
r..
FIGURE 13

---

36
1
Isolons de l'assemblage présemé en Figure (LI) la sous-structure
@
supposée
élastique et occupant un domaine
gb
de JRr..~
. Dans le cas des vibrations harmoniques,
en l'absence de forces extérieures de volume. son déplacement
\\..l
vérifie l'équation
d'équilibre suivante:
_ w'"
(1.65)
l<.
est un opérateur.elliptique de degré 2m et
t: une fonction scalaire strictement
positive.
A chaque point de la froncière
['
• où
r 1iI. fll \\J rA v (".t.. sont associés "h"\\..
couples de conditions aux limites représentées par deux familles d'opérateurs de frontière
* les opérateurs {8 ~) ~,l~ """
,d'ordre j,
~ <lO: (0 , ""'" ~'1
. Ils
correspondent aux conditions cinématiques sur
r'
*lesopérareurs
\\c.~ A} ~I.~. If'lo\\.
.d'ordreî
~ E. l"""""", -2. .......... ,)
correspondeem aux conditions naturelles et font intervenir des dérivées normales à la frontière
er le long de la frontière.
Les conditions aux limites suivantes sont ajointes à l'équation (1.65)
..
(1.66 .•)
L
C': A- .....
- f
TI ~
r.
1., "'" J
,
~
'
E-
.
C. 1. , ...... 1
(1.66.b)
= 0
..
, a
8 \\. LA..
\\:If
"-
['
(1.66.c)
v.. = 0
.. r... l E- L1., .....1
~,
A
'V2
Les opérateurs de frontière
{c,' A} -sont adjoints par rapport-à l'opérateur -}{.
et à cette formule de GREEN du système
\\. 8 &: )
.-
(1.67)
~ CC~A ..., e,.N)r
L=1
où
~ [-, • )
est une fonne bilinéaire liée à l'énergie élastique tandis que
(... J r
représente le produit scalaire associé aux fonctions défmies le long de la frontière
r et
de carré intégrable.
On simplifie le second membre de l'équation (1.67) en introduisant le produit scalaire
1
formel
<.
'>
1
•
sur la frontière
r
\\
(1.68)
1
~
!
\\
1
f

---

37
La formule de GREEN devient alors :
(1.69)
L'opérateur A pennel de dérenniner les contraintes à partir des déplacements et vérifie
en particulier l'équation énergétique suivante:
(1.70)
où
C. (. 1 .)
est la forme bilinéaire liée à l'énergie de défonnation exprimée en
fonction des contraintes.
nconvient de s'intéresser d'abord à l'espace des solutions de J'équation spectrale (1.65)
1) Espaces des champs de déplacement
~
Nmons
~ \\.. l'espace des fonctions u... qui vérifienr les conditions cinématiques sur
~
la frontière
r~
,et complété par le produilScalaire
~(. ,.) :
(1.71)
l. t ....,"'J '" ~ ( ...... '\\l') + (e"', "')
où
(~ ., • )
est le produit scalaire associé à l'énergie cinétique.
On définit alors le domaine de l'opérateur K
comme suit :
(l.72)
Pour pouvoir appliquer ces méthodes aux problèmes dynamiques associés à des
opérateurs d'inertie diférentiels. on introduit l'espace
! engendré par le produit scalaire
c.. 1 .. ) • Comme '\\ est une fonction scalaire, l
est identifié à son dual et on obrien[ les
inclusions:
(1.73)
c.
c
~,
~
où
~
est un espace de forces dual de l'espace
~ L

---

38
~
On introduit l'espace
• sous-espace de ~L. et défIni par :
(1.74)
B, lA = 0 }
~
est un sous~espace complet, fermé par le produit scalaire
-i. (., .) .
Si la frontière
ri. est réduite à l'ensemble vide, la sous-structure considérée peut
comporter des modes de corps rigides.
Soit donc
~t'.. l'espace des modes de corps rigides, c'est~à-dire le champ des
déplacements qui n'induisent aucune contrainte. On note
~~ l'espace onhogonal de '!.. au
sens du produit scalaire
( ~ • ,.)
(1.75)
Pour tenir compte de l'influence éventuelle des modes de corps rigides. on introduit les
espaces suivants :
(1.76.a)
(1.76.b)
Dans ces deux nouveaux espaces
'-l.. et 'f ~ l l'énergie de déformation qui était une
forme bilinéaire
~ (. 1 .) dans ~... et i'st devient un produit scalaire. La norme
~
qu'elle y engendre est équivalente à celle liée au produit scalaire
~ (., .) .
Les inégalités de KORN et de POINCARE pennenent d'identifier les espaces 1; '- et
~Eaux espaces de fffi..BERT classiques en Dynamique des structures.
Afin d'appliquer ces formulations conrinues à des modèles expérimentaux réels, il est
intéressant de discrétiser l'espace des solutions.

---

39
2) Schéma de dismtisatian
On considère le déplacement I.L comme étant une somme pondérée de Jrl fonctions de
base
.p,
...
(1.77)
L Ài «) ~; (fI
.... =
où les À,(t) sont des déplacements généralisés ne dépendant que du temps.
Les fonctions
t ~ satisfont toutes les conditions de régularilé (déplacements) sur la
frontière
r
de.!lJ
, où
1"::j; ~ . L'espace des fonctions !,A. solutions est donc
-%...
La discrétisation de l'équation énergétique (1.69) consiste à trouver des fonctions ~ {
pour qu'elle soit vérifiée au mieux.
(1.78)
où
E. est une fonction d'erreur qu'on minimisera par un choix judicieux des À.: ,et
où si
l'\\T
.p ~ :
';If
(1.79)
La méthode consiste à annuler l'intégrale sur tout le volume
.Ih de cette erreur
pondérée par une famille de fanerions \\ 'l'J \\
vérifiant l'équalian (1.19), soit:
...
...
(1.80)
L ~ C~; .~iî 'X; .. L.. w" (~ ~.. , ~i) >'i + d', Yi '>
,.. =1
En posant
(1.81)
(-<i -
.(, ~, 'h>

---

40
la force généralisée de frontière. le système (1.80) peut s'écrire matticiellement
(1.82)
( \\(,)
>. - w" (Mo')>' "" ~
avec
(1.83)
(1.84)
(, t1 ~
et
(\\1() som deux matrices carrées d'ordre N)( N
appelées respectivement
maoice de masse et matrice de rigidité de la sous-srructure. (M) est une matrice symétrique à
cause du produic scalaire (e· 1 .) • et (K ) 1'est aussi car l'opérateur K
est auto-adjoint.
la structure étant isolée.
3) Identification des espaces de fonctions
Par souci de simplification de l'écriture, nous conservons les mêmes notations dans les
deux formulations conÙDue et discrète pour désigner les espaces de fonctions.
LafonnebilinéaiIe l<·.·) ellesdeuxproduitsscalaires il,,')
et
Cf"')
sont également appelés ainsi en formulation discrète.
L'espace ~
est engendré par le produit scalaire
C~ . , . )
~ II. conserve la
même définition qu'en variables continues et vérifie l'équation
-
(1.85)
L'espace -
tl.. est engendré par le produit scalaire te.. J .) • Nous notons
(1.86a)
T
(1.86b)
Pc
....
)
x.y'" x
\\." ... "
~'T
(1.86c)
'i (X. 'f) - ~ Cl'., 'f) + l (' X, 'f)

---

41
On définit l'espace
~li de façon similaire à -
~
~L. dans le cas où l'interface de
r o est bloquée. On ranache naturellement à -
~L et -
raccordement
~!'les sous-espaces
1;L et ~" :
(1.87.)
tl. -
.L
(1.87b)
~ ...
Les espaces fonctionnels identifiés en Eléments Finis sont de dimension finie et
constituent des approximations suffisantes dans le cadre des modèles expérimentaux classiques
de la Dynamique des structures.
4) Définition des modes normaux
Les modes libres sont solmions propres du problème spectral
(1.88.)
'1 \\? "
r.
(1.88b)
'1 2 E.
r ..
(1.88e)
(I.88d)
V 2 ~ r....
Les modes libres sont aussi solutions faibles de l'équation
(1.89)
Ces modes libres vérifient les propriétés d'onhogonalîté
(1.90.)
..
(I.90b)
tu L, ~\\i

---

42
Les modes encasrrés suîvent une définition similaire. Ils sont d'abord solutions du
système:
.a.
- Wc,' -e'X",
V 2 E:
9)
(1.91.)
K. '>( ' "
...
B'
'<1
2 E:. ro
(I.91b)
-.
d XE\\ .. 0
... ,~
d
..
'Id 2 .. f'..
(1.910)
8' ')( e l
=0
~~" "'"
il vérifient ensuite l'équation
-
(1.92)
~ \\.')(.e;, ..... ) _ "}'e,< <e'><e;" .... ) V..... '" é E
elles propriétés d'onhogon.lilé
(1.93.)
(1.93b)
• Cas des modes normaux discrets
Les modes nannaux discrets sont solutions de l'équation matricielle
Ds vérifient l'onhogonalüé par rappon aux manices lI,() el (""'1
(1.95.)
x7 (M) )(,j - \\. ex", "'iJ ' ~ iJ
(1.95b)
"10.:'
( \\0(,) xJ -= i
(Xi, ...{) -=. w,'" S'I
1J.2 fORMULATION DUALE
D'une manière syméaique à la description en déplacement. il convient de formuler le
problème spectral par une présentation en force.

---

43
La décomposition cannonique de J'opérateur K
donne
(1.96)
'K::- A" A
Cene égalité induit l'équation
(1.97)
j{ A
u.. -= w" e.....
Comme la contrainte au point f
s'écrit:
(1.98)
<r::
A lA.
l'équation (1.97) devient alors
(1.99)
ou encore
(1.100)
On multiplie ensuite J'équation (1.100) à gauche par A. .11 vient:
...
~
(1.101)
A
Â.
( )
A- v..
- W
-
e.
Comme
('j=. u. . en posant
L ... ~ ~ A..... J'équation (UOI) devient:
e
...
(1.102)
L
I Ï ' "
w
cr
'if ~ .:lJ
l'équation (1.102) est l'équilibre dynamique en fonnulation duale où
1.... est un
opérateur différentiel d'ordre
.:l" "ri'\\. .

---

44
On adjoint à cette équation spectrale les conditions aux limites suivantes :
(l.lD3a)
A"
cs-:. 0
(I.1D3b)
(l.lD3c)
Si la distribution des forces de frontière \\..fi 1est nulle, on peut montrer que les deux
..
opérateurs A et
Ji\\.
sont adjoints par le produil scalaire c:. (~ 1 ').
(I.1D4)
sous l'hypothèse que\\f" vérifie les conditions de force et les conditions cinématiques aux
limites de
.e
Comme en formulation primaIe. il est intéressant de définir l'espace des solutions de
l'équation spectrale (1.102).
1) Espace des champs de contrainte
On introduü ~ E. ,l'espace des fonctions suffisamment différentiables qui vérifient les
conditions de forces nulles le long de la frontière ra.. .
Comme cette fannulation est basée sur les modes encastrés, il convient d'étudier le
problème associé obtenu en imposant des déplacements généralisés
~ d.~ '\\ le long de
l'interface de raccordement
t'a
On associe à ce problème les conditions aux limîtes (I.103.a) er (1.103.b) auxquelles on
ajoute:

---

45
...
(l.105)
la formule de GREEN (1.69) donne en contrainte
(1.106)
-
~
Si on note formellement ~r l'image de l'espace 1 L. par la famille d'opérateurs _
{.6;). le déplacement gén6'aJ.isé imposé le long de l'interface r. appartient donc à l'espace f; r.
inclu dans les traces de l'espace l L associées aux opérateurs
S,
. La définition (l.74)
montre que l'espace '"'
~..est le noyau de l'opérateur de trace.
En suivant un fonnalisme variationnel comparable à celui utilisé en déplacement, on
introduit la forme bilinéaire suivante:
(l.107)
Soit 'e l'espace des contraintes obtenu par complétion par le produit scalaire
Co C','1
, on peut remarquer que cette forme bilinéaire
~ C· ••) n'est pas définie dans ~- car
les champs de contrainte statiquement équilibrés l'annulent On introduit alors l'espace 'E5's •
(l.IOS)
Cet espace~.. est fermé à l'évidence. C'est l'analogue de l'espace 'te. des modes
de corps rigides en formulation primale. On note 'fi:sJ.. son complémentaire orthogonal au sens
du produit scalaire Co C' , .) dans l'espace
t;' .
(l.109)
...
Dans l'espace
~ ~ {\\ ~ S • l'influence des champs de conttainte statiquement
équilibrés est éliminée. La fonne bilinéaire
.e, (. J .. )
y devient un produit scalaire et on
note ~: le complèté de l'espace
~e " 'fi.,/ par ce produitscalaire.

---

46
On obtient dans ce nouvel espace ~ s. complet une formulation faible du problème
spectral associl! dl!fuù par les conditions aux limires (I.103.a). (I.103.b) er (1.105)
c.
(1.110)
12. CO', 1;)" w4. C Cil"", 1;) ... <"J,
>
'i"t la 'eE
AfIn de permettre une prise en compte des champs de contraintes statiquement équilibrés
~
dans les méthodes de synthèse modale, on inrroduit l'espace ec: .complèté de l'espace q;:E-
par le produirscalaire ê'(' ,.) défini par
(1.111)
Comme les normes liées à .e.(. 1 .)
et e (., .)
sont équivalentes dans ee
,on
obtient alors :
(1.112)
~
On note ~l-
l'espace constitué des fonctions de ~s: qui satisfont les conditions de
bord libre le long de l'interface
r 0 . Soir:
~
(1.113)
eL=
-
\\. ... \\ O' E
e~ ,'tffE. r. , c'''.O)
,...,
~L
~
eSt donc un sous-espace fermé de
ee·
~
~
(1.114)
f(;L
C
~E
2) Schéma de discrétisation
Pour pennettre une utilisation expérimentale de cette description en variables continues. il
convient de discrétiser l'espace des solutions des contraintes
(f"
de manière similaire à la
fonnulation en déplacement.
On considère la contrainte
<î comme une somme pondérée de fl fonctions de base
e E ;;fi

---

47
(1.115)
l '=1
où les !!" ltl
sont des forces généralisées ne dépendant que du temps t.
Les fonctions tyl
satisfont les conditions de force sur la frontière.r
de:;b
Une discrétisation analogue à celle utilisée dans l'équation (L69) donne dans le cas de
l'équation (1.110)
N
(I.l16)
-
W" c
(
L. Q, '\\'i ,1;\\
(.1
r
)
+ <: J. , <:. 1; '> 'Il: E. ~E
En posant
<l"'- UJ.
• on obtient
-
l d
..
...
(1.117)
2:. ~ l'l'"
~,""
If;") ~" =
.. c: c.'t,·,'t'j)~l
{ =1
Ce système peut s'écrire matriciellemem
(1.118)
cn ~ -w" (5 J ~ - ~
( J" J
est une matrice carrée d'ordre N" N symétrique:
:r."ci = " C.'l'; , ~; )
l 5)
est une matrice carrée d'ordre N"N symétrique :
S.:~ ': Co l "t ~ ~J)
1
~
désigne le déplacement généralisé à la frontière de
:ih
3) Identification des espaces de contrainte
Comme en fonnulation primale,les espaces de contrainte décrits en variables continues
et discrètes conservent les mêmes notadons. Chaque espace de IDLBERT élan[ généré par un
produit scalaire, il suffit donc d'identifier ces produits scalaires qui dérivent de l'équilibre
dynamique exprimé en contraintes.
La fonne bilinéaire <l. (" .)
est identifiée en variables continues et discrètes, tout
comme les deux produits scalaires
.ê: (: 1•) et
c.l· 1·) .

---

48
Les deux esp.ces de base
-,&" et -~ sontengendrésrespectivementpar'l~,.) et c (.•.J
Nous notons:
T
(1.119.)
c c.", y) "; >< (5") y
T
(1.119b)
e. c.", y) =X c..1) 'f
(1.1 19c)
e c.",'1)"; e ("','i) + ct>', y)
Tous les espaces introduits en variables continues sont identifiés en variables discrètes
d'une manière similaire à la fannulation primale.
4) Définition des modes nonnaux
On recherche les modes encastrés adaptés à cette méthode des forces.
En fonnulaùon cominue, les modes encasttés SOnt solutions de l'équation suivante
déduite de l'égalité (1.110)
(U20)
e. la-, 1:) = <.<>l1;.
c:. ~ <T', b)
... <r, "l;
" ~o:
Les mooes encastrés , e:, vérifient
(1.121)
e. <-~,,(,
)
1 . .
c:. l '}~, c;)
'f~" ce.,
"li
= t.O 'il
Ces mooes de contrainte
~el
sont reliés aux modes nonnaux introduits dans la
formul.tion primale par :
(1.122)
En variables discrètes. les modes encastrés de contraintes som solutions du système
matriciel
(1.123)
- L
~
où
cu," \\
est la pulsation expérimentale approchée de la pulsatîon continue âJE ( .

---

49
II.3 LIEN ENTRE LES DEUX FORMULATIONS
L'opérateur A
qui intervient dans la décomposition canonique de l'opérateur X
dans l'équation (1.96) permet d'une pan d'obtenir les modes de contrainte à partir des modes
de déplacement (Equation (1.122», et d'autre pan de relier l'énergie de déformation exprimée
en fonction des déplacements à l'énergie de déformation exprimée en fonction des contraintes
(Equation (1.70».
,Cette souplesse de passage d'une formulation à une autre entraine une simplification
dans la mise au point des modèles numériques.
En effel, il ne sera pas nécessaire, dans le cadre des Eléments Finis de disposer de deux
codes de calcul, l'un en force et l'autre en déplacement pour tester les modèles numériques.
La seule formulation en déplacement génère deux familles de modes normaux:
• les modes libres sont associés à la formulation primale
• les modes encastrés vont constituer la base de la fonnulation duale.
Néanmoins, dans le cadre d'un formalisme général, il sera chaque fois nécessaire de
décrire les deux formulations primale et duale respectivement en déplacement et en contrainte.
II.4 TRONCATURE DES RESOLVANTES
1) Fonnulation primale
Afm d'appliquer ces méthodes dans un contexte expérimental. il est intéressant de
chercher les solutions du problème spectral dans l'espace ! L amputé des modes de corps
~
rigides. Une extension à l'espace ~l.
sera envisagée chaque fois que cela sera nécessaire.
L'équation dynamique (1.82) peut être écrite sous la forme intégrale de FREE DOHLM
suivante afin d'obtenir une expression générale des éléments de l'espace 81.'
ft.
(I.124)
X-U"I..(b) li = L.p,t',
où
(1.125)
est la matrice dynamique.
p\\
et
f'.~. sont respectivement les défonnées statiques associées à la distribution
de force
f: elles forces généralisées de frontière.

---

50
La. solution X s'écrit alors :
f..
(1.126)
X = L
{I>.) Pi !:'-i
,=l
où (1).) est la résolvante de l'opérateur matriciel
Cl».
(1.127)
Les modes libres
)<. L~·
forment une base onhogonale complète dans l'espace
~'­
où il convient de chercher l'expression de la résolvante (Pt.).
Il suffit en effet de détenniner
(1).) Pi
pour obtenir la solution X
d'après
l'équation (1.126)
Or les modes libres
XL ~
obtenus expérimentalement sont en faible nombre. Cette
troncature mOOale induit une influence sur la solution cherchée qu'il est nécessaire de prendre
en compte par une étude systématique de l'expression de la résolvante (~) .
D'après la relalion (1.127), le vecteur (t..) f.:
est solution de l'équation suivante:
(1.128)
Soit CT,,) la projection onhogonale au sens du produit scalaire
(~ ...) sur les ""'-
premiers modes libres )<,.L'; détenninés, l'équation (1.128) devient
(1.129)
(O.) - w' (T,,) (Il) (.T...) _ ","(v_) (b)(V~))(R)P,
'"
f.:
avec
(1.130)
La solution t6l.) f~ cherchée s'écrit à l'aide des coordonnées modales 4.
(1.131)
""
(Il.) 9, = L
'" ''j ')( l.i
J-::.1
où
0.< .
(1.132)
4'd
•~I '1.
" Co., ~)
= ... - w Wl~ •

---

51
avec
(1.133)
En étudiant la composante de l'opérateur (1))
sur l'onhogonal de l'espace engendré
par les '1\\. modes libres XL, , c'est -à-dire
(Il.): <.V ~) <. Il) (,,, ~ )
, au sens
du produil scalaire
(~, •• )
, on peul mieux rendre compte de la troncature modale,
A chaque cas paniculier de la fonne de (Do) sera associé une méthode de troncature de
la résolvante.
• Troncature du trpe RAYLEIGH-RITZ
Dans cette troncature. on néglige la composante
(~.). soit:
(1.134)
(Il.) = 0
On obtient donc
(1.135)
CR) p, =
Cette méthode est associée à une description de RA YLEIGH-RITZ liée à une base
modale pour un problème à 1'\\. degrés de liberté.
(1.136)
La matrice spectrale (.J\\.L.J.) est diagonale et constituée des pulsations de résonance des
modes libres et la rnanice x... F
est donnée par l'expression
(1.137)
Les 6quations (I.128) et (1.129) monrrent que les fonctions
2.::
som combinaisons
linéaires des t)\\.. premiers modes libres.
(1.138)
L'annulation de l'opérateur (C,,) rigidifie la strucrure. Mais cel effet est équilibré par la
non prise en compte des liaisons réelles le long de l'interface r•.

---

52
• Ironcamre Par projection
On suppose dans cette m6thode que l'op6rateur (b.) a un spectre r6duit à un seul
616men~ .../ l<l"~""1 .de multiplicil6 6gale à l'ordre de (:1>.).
Cette maniee
(b.)
s'6crit donc simplement
0.139 a)
00 en déduIt:
(1139 b)
Il i > "'-
1. _ w'l.Jw'"L ...
La solution l~) Pl
s'écrit alors:
"'"
_"'--,'1,-'_X-""IL'_
+ _ _"
(f' _~a.i{'J.Lj)
0.140)
1. ~1.IJ~/ÛJti~+1
1.-~ / W'L~+I
J~I
Ces deux troncatures ont une efficacité relative due au fait qu'elles n'utilisent que
partieliemenlles propri616s de l'op6raleur (~)
nconvient donc d'introduire de nouvelles troncatures pouvant am6liorer l'estimation de
la ~solvan!e. C'est le but du d6veloppemenl en CAl'" de
ljl,) .
• Troncature Qar d~velQDpement en
Ct)..r.
Un d6veloppement à l'ordre K
de (fl.)
donne:
0.141)
, l\\(+1)
too<.,
Pour 6valuer le ~sidu
W
(Il) (D)
de ce développement, on
intrcxiuit les fonctions
.,RL
d6finies par :
.....
...
0.142)
.fJ.,... =
W
( RJ (:b)
f,

---

53
Elles doivent induire une diminution de l'influence de la troncature à l'ordre "TL dans
l'expression de la résolvante.
Un calcul dans la base modale donne aisément
eo
(I.l43)
(1., =
L "l'A '/..Li
d'"
où
(1.144)
(
\\of t..
)- ...
1 _ III
W L.J
On obtient alors
..
~ ("~J
1<-.
(1.145)
( )
Il. 2, = 2.: + III lb) 2i + ..• w
(1l)
2. +
2) Fonnularion duale
Co~e en fonnulation primale, on cherche les solutions du problème spectral dual dans
l'espace
eE amputé du champ de contraintes statiquement équilibrées.
L·équilibre dynamique (1.118) peut être exprimé sous la fonne intégrale de
FREEDOHLM
r...
(1.146)
y - w" (E) '( = L
À i ~,.
(c,
où
(1.147)
)., et
sont respectivement des déplacements généralisés et des champs
de eonttainres.

---

54
La solution y
peut s'écrire en fonction de lal'\\!solvante (R.) de l'opérateur
(e).
(I.148)
y = ~.I
où
r"
(l.149)
(~) = l (1:] - 1.0'" le.)
TI est donc nécessaire de déterminer (ll.~ 1;,
afin d'obtenir la solution Y .
La défmition (l.149) induit l'égalité suivante:
-
(1.150)
(<':t) _ W' CEE) lR) 7;, = 7;<
On utilise la base complète des modes de contrainte y€"(
dans l'espace
t;' E'
et la
projection de l'opérateur de base (e) sur l'espace "il 7\\. engendl'\\! par les 'Tl. premiers
mooes de contrainte. Soit:
(l.151)
avec
(1.152)
lT"",l est l'opérateur matticiel de projection sur l'espace "cJ "",_
On envîsage ensuite diverses méthodes de [foncature de façon similaire à la formulation
primale.
• Troncature de we RAYLElGH-RITZ
On approximela matrice (e) par sa composante principale
(T,,) ( E) ( T,,)
• et on obtient:
(1.153)

---

55
nest possible de relier les termes intervenant dans cette expression en fonction des
champs de déplacement
X" d et
2,. En effet:
(1.154)
Or la relation du dualité permettant de passer des conttaintes aux dépLacements donne:
(1.155)
On en déduit
(1.156)
où
(1.157)
• Troncature par prçjecrion
il s'agit de remplacer l'opérateur
(:u~) le) <.v...) par
On obtient une expression du produit
(, llR )1:; 1 1;i )
~ \\~l' 1:i)
(1.158)
1. _ IIJ'L / "01.E "'+,
où les termes
e.l~ l ,ti) s'écrivem
(1.159)

---

56
• Troncature par dévelOPPement en
eu .t.
"-
Un développement en
CO
de la résolvante
(1) peul diminuer l'influence de la
troncaru:re
...
"he·')
><-1
~K
( , ) ' "
(1.160)
( Il)'' (r) + w (e J+ --H"
Ce)
+
"-'
(Il) ,E.
On obtient al=
(1.161)
~ ( (Ill Ci , ~J): c. (1:.,~.) + CJ,J~ c. ("1;,.• (E) 1i,j) ~ _ . _
Les termes intervenant dans ce développement introduisent deux familles de matrices
symétriques:
~N
(
(I.162a)
e ( l;,', Ce)
~J J : e. Ce) H t., le) H1;J )
r
2.""+1
(W
..
(I.162b)
e. L 't;, ,Ce) bJ): C
(e) .,', le) ~J J
Grâce au produit scalaire el- 1 .) • les matrices intervenant dans ce développement
peuvent être calculées dans le cadre de la fonnation primale.

---

57 i
III. SYNTI!ESE MODALE POUR LES NŒUDS INTERIEURS
III. 1 PROCEDURE GENERALE
r.
FIGURE lA
Schéma de raccordemenl de deux sous-struellUes
Les Eléments Finis permettent de générer des points modaux le long de la frontière n
par lesquels les sous-structures @ et
@ vont être raccordées. Cene méthode généralise
la liaison point par point basée sur l'utilisation des fonctions de transfert.
TI est nécessaire de vérifier d'une pan la continuité des déplacements ou des cOnlr3.Îmes le
long de la frontière de raccordement
~ . et d'autre pan assurer l'équilibre des forces et des
couples à l'interface.
Comme les méthodes d'assemblage repose sur le choix de la formulation, il convient
d'introduire les notations suivantes:
(I.l63.à)
(l.163.b)
<r~ ,
où les numéros 1 et 2 désignent respectivement les sous-structures @ et @
. Les
produits scalaires globaux associés aux champs de déplacement u.. et de contrainte r
sont
définis par
~
(I.l64)
~(...,v) .. I.e ...·, ",t')
't ..... ,\\1'

---

58
(1.165)
m. 2 FORMULATION PRIMALE
La fonnulation primaIe repose sur l'utilisation des modes libres comme base de
description. Nous présentons trois méthodes: • utilisation des multiplicateurs de LAGRANGE
• utilisation de la raideur de jonction" utilisation de la souplesse résiduelle de frontière.
1) Utilisation des multiplicateurs de LAGRANGE
.. Choix des coomonnées généraliSées
..
Le déplacement
u.. de la sous-structure @
est recherché sous fonne d'une
combinaison linéaire des "'s.. preITÛers modes libres
"'.
(1.166)
\\4.' = L.
"l i 'XLi
i"'
Les
N ~
coordonnées généralisées
À"; obtenues par discrétisation sont des
combinaisons linéaires des participations modales " l,
d
(1.167)
- ()('LI J
.,.=("
'l" '1••.• ")
où
-
'1 ...
~LF
est la matrice modale de dimension
...... X 'Yl1, .
Les colonnes des sous-matrices
l ')( L~) et ('Xl. Ft. J sont constituées
respectivement des valeurs des modes sur les nœuds intérieurs et sur les nœuds de frontière.
L'équation matricielle
N,)( NI d'équilibre s'écrit:
I«I
a.168) ( I(FI
X
désigne intérieur et F frontière

---

59
Dans la base modale, cette 6luation se contracte en un sysœme matriciel "")l; "'" 1
• Assembla~ des sous-structures ID et
@.
Le raccordement des sous-structures @
et
@
induit une dépendance entre les
coordonnées modales
",' et
.,'" de
@
et ([J. Elle est juslifiée par les conditions
de liaison à la frontière
r. .Les équations de liaison peuvent s'écrire maniciellement :
(l.170)
où
lA'~=l><'i..)
ak'
lA' J" (- ><t F )
, c'est-à-dire les
participations des modes libres respectivement de @
et de
@ sur la frontière.
C. A ..)
est de taille
I! " '1\\ ~ et lA"'), .P ""a si P désigne le nombre de
degré de liberté de frontière.
Le Lagrangien du système total peut s'écrire :
Les maaices spectrales
tSl..~) et (A~) ~ont diagonales et sont constituées des
canés des pulsations des modes libres et des zéros associés aux modes de corps rigides.
Le vecleur "J est constitué des multiplicaleurs de LAGRANGE.
Les équations d'équilibre s'obtiennent aisément en appliquant le principe de moindre
action d'HAMILTON:
(l.I72)
On peUl détenniner l'expression des multiplicateurs de LAGRANGE en fonction des
coordonnées modales.

---

60 \\.
L'~uation (1.170) dériv<!e deux fois par rapport au temps donne
(1.173)
( A' 1 A"') r1'.1 =- 0
En multipliant (1.172) par
lll' \\ ",..) à droite et en tenant compte de (1.173), il
vient
(1.174)
En posant
(1.175)
, (1.174) devient :
(1.176)
Le repon de cette expression (1.176) dans l'equation (1.172) donne:
[J\\,'" .)
(1.177)
o
...n.~
(~.j-~'" (.~ :J[~~J =
(",Ta,.,
Soit
,,"Ta"~
.~aq&J(~~ "1e'1
"'"Tu"
•
~
~.
(% _A,T
(1.178)
a A'
_ft'Ta ..' )
IT
- Ai e AI
",>T" li
(~., ~ J(~t')
~(~
-to
•
:)l~~) = l:)
La matrice de rigidité intervenant dans la relation (1.178)
(1.179)
n'est pas symétrique. n est possible de rendre l'~uation spectrale (1.178) symétrique. A
cet effe~ on multiplie d'abord l'~uation (1.178) à gauche par la matrice

---

61
(1.180)
c:
soît
(1.181)
[~; ;.J (~~ J
..
-_w (:' :J ~~'.)
Le changement de variable
}' '1 _ ~]L.
î ('1' )
(1.182)
0
( V J l 0 4'" J l '1'-
donne alors
.J\\.'
0
Î
(1.183)
( o
J'l, J
On peut remarquer que cene équation n'introduit pas de réduction dans le nombre de
coordonnées généralisées du système assemblé, sous-struCtures @ et @.
2) Utilisation de la raideur de jonction
- ~"/
~~~~.~-<
~
FIGURE 1.5
Disfriburion de raideur defrolllière

---

"2
>10 La methode
flour améliorer les techniques de synthèse modale, on utilise des matrices de raideur
associées à des déplacements nodaux le long de l'interface de raccordement
ro .Celles~ci
rraduisent la sO\\lplesse des jonctions induites par les SOUS-struclures adjacentes et atténuent les
effets de troncature modale.
Les Eléments Finis qui permettent une description m:micille des frontières par le biais
des nœuds qu'ils y génèrent, f::J.cilitent également l'inrroductÎon de ces raideurs de jonction dans
le calcul numérique.
Comme dans l'équation matricielle (Ll68) on regroupe les nœuds de même nature:
indice l
pour les nœuds intérieurs et indice ç:: pour les nœuds de frontière. Les matrices
de rigHiüé et {K) de masse de la SOIlS-."lructure (t\\) s'écrivent alors
11.184)
>10 Choix des coordo!'"lnées gèlrnlisées
Une description de type RAYLEIGH-RITZ donne en Eléments Finis
1\\'\\.
~
(1.185)
...4. =
Z <i"C à'>- 1:J + )', <1> FJ 'Mi
J:'I
J:::I
et
i\\ f'
correspondent respectivement aux déplacements des nœuds
intérieurs et des nœuds de frontière. Les fonctions
~.
sont des déformées ulÎlisées dans
~
l'interpolation en Eléments finis.
En introduisant les 'Y\\..
premIers modes libres
, on obtient une nouvelle
description
m.
(1.186)
L
+
~
Les mode:-; libres
X L~
sont des formes Jppr0ch~es des modes discrets XL'l
obtenus par Ekmenls Finis :\\ l'aide des marrices (K) ct (t\\)

---

Le changement de coordonnées suivant:
(1.187)
[~: J =
donne deux nouvelles matrices de masse
(~j er de raideur ~ K) par simple
congruence.
(1.188)
avec
r
(1.189)
"
XLI
M<F
+
,.
(1.190)
XL< \\ « F
·Svmhèse d'une sous-srructure
Le modèle que nous venons de définir, et qui es[ illustré par la FIGURE 1.5 pennet
d'approcher les modes d'une nouvelle srructure, Celle-ci est obtenue en introduisam la raideur
addiüonnelle
l
répartie sur les nœuds de la frontière
En effet, l'introduction des nœuds fïctifs de frontière qui dédoublent les nœuds réels
induit des forces généralisées
F
liées à la raideur de jonction et aux déplacemenrs de ces
deux familles de nœuds. Soit:
(1.19])
F =
À ç
représente le déplacement des nœuds fictifs et est associé aux mêmes fonctions
de fonne ~J que ~ F . La matrice de raideur de frontière \\(FF s'écrit simplement
(1.192)

---

64
Les modes normaux discrets de la nouvelle structure sont obtenus d'une pan en
Elérnents Finis en bloquant les nœuds fictifs
~ F el d'aurre pan en synthèse modale par
l'équation specrrale standard suivante:
(1.193 a)
• Assemblage de deux sous-smlctmes
il suffit d'écrire l'équation matricielle ( l . 193 a ) pour deux SOUs-sLructurcs, soit:
..
0
I(L F ,
CI
'l,
...!LL,
>
\\( Lf.L
0
...Jl. L,
0
q,
(I.193b)
1( . l ,
0
\\(FFI+ K çr
a
/-F,
0
\\.(F\\.~
0
\\(FFJ.. ....KFF
/.Fi.
1:
0
t'll.rl
a
q,
0
~
0
l
0
l'LH
_W
~L
0
I1l'l \\
0
tlFFt
0
--
). F,
0
0
~FL ..
0
MFr"
).F,
0
3) Utilisarion de la souplesse résiduelle de frontière
La matrice de flexibilité résiduelle de frontière
S.. peut être calculée maoiciellemem à
un ordre quelconque, mais certe détemlinaüon devient moins aisée quand cet ordre croit

---

65
Dans les lests numériques nous nous intéressons principalement à SR. calculé à l'ordre
zéro, un et deux. Nous estimons ces trois essais significatifs pour rendre compte de l'influence
des tennes résiduels dans les techniques de synthèse modale.
A l'ordre zéro, l'on ne tient pas compte de la souplesse résiduelle de frontière. C'esr le
cas exposé dans la méthode d'utilisation des multiplicateurs de LAGRANGE.
Le caJcul explicite des tennes de souplesse résiduelle est exposé en ANNEXE 4.
Nous présentons la synthèse de deux sousvstructures pour
SfL,. calculé à l'ordre un.
Mais cene démarche peut s'étendre à un ordre quelconque .
.. Choix des coordonnées généralisées
D'une manière générale, l'expression du déplacemem
u...:l
d'un poim de la
sous-structure
@
peut être décomposée en deux termes en accord avec le produit
scalaire (e"-)
(1.194)
\\A.~"" eSlle déplacement projeté dans la base des IY\\. \\. premiers modes libres.
1I.~",
traduit la participation des modes non pris en compte, c'est-à-dire les mooes
résiduels.
La parricipation des mooes résiduels induit des caractéristiques modales essentielles des
modèles dynamiques: la flexibilité et la masse résiduelles, significatives des modes non
retenus.
Le déplacement généralisé de frontière pour la sous-structure ® s'écrit:
(1.195)
~
l'XRf) regroupe les composantes des modes de corps rigides sur les nœuds de
frontière.
(')(tF) regroupe les composames des modes élastiques sur les nœuds de frontière
,,~ et 't ~ désignent respectivement les panicipations modales des modes de corps
rigides et des modes libres.
( C. ' )
..l...
eSlla condensation de la matrice de flexibiliré résiduelle sur la frontière
Il'1.
("'"
est le vecteur des forces généralisées de frontière.

---

66
,
Les coordonnées modales
~ ~ des modes de corps rigides et 9 L des modes
élastiques som solutions de l'équation matricielle suivame :
(1.196)
On pose:
(1.197.')
(1.197.b)
~' = (~t 1
(1.197c)
(x" T) _ lX'o..T)
v. T
" Cf
L'équation (1.196) devient:
(1.198)
.. Assemblage de deux sous-stmctures
Le comporrement dynamique de l'assemblage est obtenu en imposant les condirions de
liaison suivantes:
(1.199 a)
(1.199 b)
Le déplacement généralisé des sous-strucmTes ® et @ s'écrit:
(1.200 a)
et
(1.200 b)

---

67
On en déduit
(1.201)
On nore
(1.202)
il vient
(1.203)
L'équilibre (1.196) de la sous-structure
devient donc
(1.204)
Cette dernière équation induit le système standard suivant:
.. 1T •
..n.+XFk.. X"
(1.205)
l .. T •
-)le" l(jl. XF
Ce couplage des deux sous-strucrures équivaut à un couplage élastique représenté dans la
mauice de raideur par le tenne
_ )(' 'FT ~ )( ~
et sa transposée.

---

6X
ID.3 FORMULATION DUALE
La fomlUlation duale utilise les modes encastrés comme base de description. Nous
présentons trois méthodes pour illustrer des techniques de synthèse modale: ... utilisation des
défonnées statiques'" utilisation de la raideur de jonction" utilisation de la masse résiduelle de
frontière.
1) Utilisation des déformées statiques
... Choix des coordonnées généralisées
Le déplacement
lA..'\\t.
de la soUS-structure
@
est recherché sous la fonne d'une
combinaison linéaire des
l'I\\..'1. premiers modes encastrés
')(.. ~ j
et des.N
défonnées
1.
statiques
~J .
(l206)
Les coordonnées généralisées obtenues par discrétisation ont pour expression:
(1.207)
Les notations sont analogues à celles utilisées dans les parties précédentes. Ce
changement de coordonnées induit l'équilibre dynamique suivant dans la base modale par
congruence
"
,,~)J(:J -w~ ~:,
(l20S)
(: )
~
...ILe "-
est la m;1mce specrrale diagonale composée des carrés des pulsations des
modes encastrés

---

69
~ ( Pli, fil) est une matrice de taille N X N •comme (~f\\.1 ,fi).
b\\ \\b~''') estunematrice IJ>< 'no. où
bl'i=C~f;';l(~d)
• Assemblage des SQUs-snllctures CD et @
Corrune en fannulation primaIe, il suffit de vérifier la condition de liaison en déplacement
(1.209)
On en déduit le système matriciel spectral suivant de l'équilibre de l'assemblage
...
(1.210)
[
0
0
J\\.~ ,
l-
0
0
J\\. ~<
•
0
~ )(;~l
~
-w
(r. 0 br
0
l
6i
où
)[~J -
6,
bJ.
-M
[n
...
(1.211 a)
K = ~1. (Pt', 9/) +
..
{J.
(f, , ')
fj
(1.211 b)
M -- (e,p/ ,'/) + ( f.. e...., ft)
• Commentaire
Cette méthode est équivalente à l'utilisation des masses résiduelles de frontière à l'ordre
zéro et à l'ordre un. L'ordre un eSt le résultat présenté. L'ordre zéro consisre à ne conserver
dans la matrice de masse obtenue en Eléments Finis que la sous-mamee carrée relative aux
nœuds intérieurs, soit:
(1.212)

---

70
2) Utilisation de la raideur de jonction
La proc~dure utilisée dans la fonnulation primale reste valable en fonnulation duale.
Mais on introduit les modes encastrés à la place des modes libres.
• Choix des coordonnées généralisées
On se sen de la même description de RAYLEIGH-RITZ en Eléments Finis et le
déplacement ~ de la sous·structure
@ s'écrit:
"'-
(1.213)
\\t.":
~ 1>:t~ \\Zj
J='
On imn:x:l.uit ensuile les ~ premiers modes encastrés dans cette discrétisation à la place
des fonctions de forme
~ I. ' soit :
(1.214)
+
~
où les modes encastrés
)(EJ sont des approximations des modes normaux discrets XeJ
obtenus par ElémenLS Finis.
Le changement de coordonnées suivant
(1.215)
donne par congurence deux nouvelles matrices t~ 1 de masse et (~) de rigidité.
CM)
:F~ Mu ')
(1.216)
=
(
"In
où
T
(1.217.)
h EF - XE hl:F
(I.217b)
T
I<.EF -
')(.E
1<.11'

---

71
• Synthèse de la sous-structure (i)
La méthode de calcul utilisée dans la fonnulation primaIe conduit pour les modes
encastrés au système spectral suivant:
(1.218 a)
(At
l KFE
• Assembla~e des deux SQUS-sIDIctures
il suffit d'écrire l'équation (1.218 a) maoiciel1e pour deux sous-structures, soit:
~
0
.c'E 'fI
-1\\. E' 1
0
q'
...
0
.!lE'...
"
\\( E-Fl.
"I~
(1.218b)
1( FE'I
0
\\('Ffl +~""
0
},f
0
\\(H...
0
I(~+I(FF
},1.f
~
0
'" l'F,
0
'l'
0
...
0
l
,..
-(.0
0
l\\ lOF...
0
hF E' ,
-
0
I1FF'
0
Ù
0
0
HH.l.
0
}.'j,
h "'...
0
3) Utilisation de la masse résiduelle de frontière
Comme en formulation primaie nous nous intéressons principalement à la masse
résiduelle .tl,.. à l'ordre un et à l'ordre deux. L'ordre zéro est corrélé à la méthode d'utilisation
des déformées statiques exposée dans les panies précédentes.
Le calcul explicite des masses résiduelles
figure en ANNEXE 3.
Nous présentons la synthèse des deux sous-structures pour
Hl au premier ordre.

---

72
• Choix des coordonnées ~néralisées
Pour la sous-structure ®. la force généralisée
~ d. s'écrü:
(1.219)
..
~ r ·
b"
\\~ )
f:l-
=-w \\., s +-
Cl E
+- .1'1. .. , AF
9.si
représente les panicipations des déformées statiques
't'i'
'\\ Ei
représente les coordonnées modales associées aux; modes de contraime ~Ej"
~
est une matrice de composantes
bii = Ce i;, )(f'd)'
L'équilibre de la sous-structure (!)
s'écrit dans la base modale:
t 1("
_w
•
(1.220)
(
o
où
(1.221)
1<, est une matrice carrée dont ['ordre est défIni par le nombre de degré de liberté de
frontière.
• Assemblag:e de deux SQ\\ls-s01Jctures
L'assemblage est réalisé par les conditions de liaison suivantes:
(1.222a)
~: >-: c-),~
(1.222b)
/:{- '" /-<... -= <'< ..
L'égalité (1.219) permel alor.; d'écrire :
(1.223)

---

73
L'équation matricielle (1.220) écrite pour les sous-structures
@ et @
pennet
d'éliminer Àf dans l'équation (1223). On obtient alors le système matriciel spectral suivant:
-1.
K,
0
.._
'l~
0
..
_W
~.
•
-,
'le
= 0
..\\(
'1s
0
0
-,
..ne,
'1\\
0
où
(1.225)
B =
( Mil, + t1 ilL Y"
ID. 4 APPLICATION EXPERIMENTALE
..1) RécqrJÎn4aÔfdes tabieaus de la Darde III
Tous les tableaux de la panie III de A4 à A 10 donnent les modes libres de la plaque
double obtenus soit par synthèse modale (à l'aide des modes libres ou des modes encastrés) soit
par un calcul direct en Elérnents Finis. On y compare les résultats de la synthèse à ceux des
Elémems Finis.
1) Tableau A4 : Synthèse pour une souplesse résiduelle SR nulle avec 6 mooes libres
(6 L), 9 modes libres (9 L) et 12 modes libres ( 12 L).

---

74
2) Tableau AS : Synthèse avec une souplesse résiduelle SR calculée à l'ordre 1 avec 6 mooes libres
(6 L) el9 modes libres (9 L).
3) Tableau A6 : Synthèse avec une souplesse résiduelle SR calculée à l'ordre 2 avec 6 modes libres
(6 L) et 9 modes libres (9 L).
4) Tableau A7 : Comparaison des resullats de synthèse avec une souplesse résiduelle SR calculte à
l'ordere 1 et à l'ordre 2 pour les mOOes élevés
5) Tableau AS : Synthèse avec une masse résiduelle MR nulle avec 6 mooes encastrés ( 6 E ) et 9
modes encastrés ( 9 E ).
6) Tableau A9 : Synthèse avec une masse résiduelle MR à l'ordre 1 avec 6 modes encastrés ( 6 E
) et 9 modes encastrés (9 E ).
Les sigles N.e. désignent Non Calculés tandis que M.C.R. signifient Modes de Corps Rigides
dans tous les tableaux de ce travail.
2) Commentaire des résultats
Nous avons illustré ce paragraphe par plusieurs essais numériques en formulation primale comme
en formulation duale. Nous avons recherché les modes libres de la plaque double en longueur de la
plaque de référence. Ce résultat a été obtenu par assemblage de deux plaques identiques sur
lesquelles nous avons fait la synthèse. Les fréquences des douze premiers modes libres obtenus
sont comparées à ceUes de la plaque double calculée par Eléments Finis.
... Formulation primaJe
Les tests en fonnulation primale utilisent les modes libres dans le schéma suivant:

---

75
Les résultats des tableaux A4 et AS et A6 correspondent respectivement à l'utilisation des
multiplicateurs de LAGRANGE, c'est-à-dire la méthode de RAYLEIGH-RIlZ où la souplesse
résiduelle est nulle, à l'utilisation de la souplesse résiduelle au premier ordre, puis au deuxième
ordre.
Le tableau A4 fait apparaÎtre 3 colonnes de résultats où l'on utilise d'abord 6 modes libres pour
chaque plaque, soil 18 modes au total en tenant compte des 6 modes de corps rigides, ensuÎle 1
paire de 9 modes libres, (soit 24 modes au total) et 12 modes libres par plaque (soit 30 modes au
total) afin de réaliser l'assemblage. Comme nous avons 15 degrés de liberté de frontière, donc 15
inconnues, l'assemblage réalisé avec 18 modes devrait permettre le calcul des 3 premiers modes de
la plaque double et celui obtenu à partir de 24 modes les 9 premiers modes et enfin 30 modes pour
les 15 premiers modes de la plaque.
A partir de 18 modes comme base de description, nous obtenons comme prévu les 3 modes de
corps rigides (M.CR.) de la plaque double, (voir colonne 6L du Tableau A4). Les autres modes
calculés s'écanent très fortement des valeurs exactes (M.E.F.) à l'exeption du premier mode
élastique.
Ces écarts entre les fréquences sont justifiés par la troncature modale d'une part et SUrtout par la
non prise en compte de la souplesse résiduelle SR d'autre part.
L'effet de la troncature modale est corrigé lorsqu'on augmente les modes retenus dans labase è-e
description. Ainsi, en passant de 6 modes libres (6L) à 9 modes libres (9L) et à 12 modes lib~es
(l2L) retenus par plaque, on note une nette convergence des résultats de la synthèse modale vers
les valeurs exactes (M.E.F.).
Mais c'est la prise en compte de la souplesse résiduelle SR (Tableaux AS et A6) qui améliorent
davantage les résultats de la synthèse.

---

76
L
+
L
=
1L....---.--_1..--l[
TABLEAUM
PLA Q.V E.
nOUBLE:
FRE:Q..UE.NC."S (Hi!)
~ES MODES
LIe, F\\ ES
N'
6 L
91..
1.2 L
E XII eTES
toi 0 !:lI!"
3He,,-
3 He ..
~He ..
3Mc."-.
-1.
'24. '24.
2.1.. '78
<'1.• 5"4
~g. 'l!5"
.
'2
'7. '-"
.-'.1'2
3'l. n.;
34·+37
~
75. 478
r;:.1.53
5"6. 6~3
53.034
1
4
'il 9 . '2.5",
';'10.338
B1. 6.7
7Z.'38Z
5
134.337
11.7. B71.
11.7.'3.-
~OS. QQ7
,
184. 1.'0
1.7~.+''2
~+1. ~,
U9.n7
7
<'17. 1:19
1..~7. 4"
1 7 7.1.31
171.84t
8
N.e..
N.C..
133.766
1.76. no
9
•
N. c..
..... c. .
2.14.4Ho
1.78.8H
.
;
'10
N. t.
N. G.
230.377
~ '5". 032.
~1
pt. c..
N. t.
'240. ~1.'
'2'/.3.+4~
1.2
N.c..
"". t..
l'te. 1o,
'24C. "'H

---

77
Dans les Tableaux AS el A61'on tient compte de la souplesse ~sidueUe SR de frontiè"e
dans la synthèse de chaque plaque. Que celle-ci soit faite avec 6 ou 9 modes libres, hous
parvenons à calculer les 10 premiers modes libres au moins de la plaque double. qui concordent
très bien en fréquence avec les valeurs obtenues directement par Eléments Finis.
TABLEAUA5
PLAI>VS
llOVe.\\..E
FFI. E G-V E. NC.E. S (I-II)
DES f10bE5 LI BliES
-
N'
& 1-
~ 1-
ES XACTES
HOD;''S
? Meil..
?oMc ....
?one"-
1-
1."l • • 70
:I.'il .• 6~
"11 . .,15
1
oz.
34.490
34.48",
31.437
,
5 3. ~~'il
'-3.0'2,'-
5'. O~'"
-+
"1~. 00+
7'1.. 'il"7 ,
71. . ~I~
5
'105·1.4"1.
-1.04. ~-:1q
"1.0$,007
,
1.19. 154-
-1.~5.4'5
"1.1.~. "337
7
1.7:1.. '40
1.71. '07
1.71.'44
S
1. 78. S'il4-
"177.
'55
"17,.nO
9
1. 7,. 70 4
1.78.081
1.78. '39
1.0
1. 9 ,. 456
"195. 853
'1 ~ 5'. 03.2
1 1
1."1. 7. 9S5
'2. 27. 305
1.1.3. H '
1.1.
'275. '<\\2
7.4~.S'3
'24'.5"

---

78
TABLEAllA6
PLAQ.Ve:
"DVe,LE.
FR"-G.V\\ONCe:", on.) 1>"-'" MODES LI B '" E.5
N'
6L
9L
ex", C"- 'T 155
"'"
fiES
~ .... CA.
~ ,." C. fl.
3 .... <:.-.
..
1.~. D'~
'1.!l.()o8
"8. 015
2
-a~ .... 85
34,1-<45
"4· 437
3
5:!>. 0'; S
5~.O11.
53. 0 3,/
4-
7'2.. , 70
l'a. '30
7 Z. ~IZ
"
105. 048
"1.°4.100
"1.05.007
,
'1.1~. 48'
"1.11. ~~o
~~'.3'7
7
'172 ....6.-
'1.1~ .'1.6
... 71.848
r
1.17. ~H
>. 7:;. , rz
'1.7~. '''0
.,
'LU.7Z0
'1.71.710
'1.7r . I:!>.,
1.0
""'6. ~n
.... , 5'. '2. 705'
'1.95. "32
.
• Le cas particulier de la souplesse r~l/e au 2t ordre
La compllI1lÏson des Tableaux AS el A6 sur les 10 premières fréquences montren' que la
prise en compte de la souplesse résiduelle SR au 2~ ordre amtliore lIts peu les résultats par
rapport au 1er ordre.
C'est aux modes élevés. ici 12~. 13~. 14~ mode etc ... (voir Tableau A7) que des
différences très significatives apparaissent entre les fréquences calcul~es avec SR au 1er et au 2è
ordre.
En effe~Ja souplesse résiduelle au U ordere correspond à la prise en compte des forces
d'inenie qui r~sulten[ des d~placements du 1er ordre dûs aux forces ext~rieures ( voir
ANNEXE 2).
Les effets d'inatie devienent pIépond~nu1ts lorsque la gamme des füquences cherchées,
ici F> 248 HZ. est nettement au dessus de la gamme des fréquences Fi des modes retenus
pour la synthèse modale. Fi
€
(70.447 HZ • 238. 683 HZ 1
Le Tableau A7 illustre ces résultats

---

79
TABLEAUA7
PLAG.VE:
tlOVBLc.
FRéQ.VENC.ES (Hi:l I>'é.S MO lié S L18RéS
N'
GL
GL
e "''''c.Tes
MOlles
1'" a bR.f.
'2,-
Olllllle.
1.'
7....7.'55
227. 5'&
'2 'Z •• 44'
12
?o75.' .....
2'5. 857
2"'.5"
.,...
3'!6.'75
'27,. ''!I
U,. '2'0
'1'"
3.". S 37
293. '2.73
27&.113
Dans le modtle modal que nous proposons dans le chapilIe 3 el constrUil CD formulation
primale. nous utilisons une gamme de fréquences au dessous de 240 HZ, lorsque les 6
premiers modes libres servent de base description ou 430 HZ si ce sont les 9 premiers. Les
fréquences des modes encastrés rechen:hts ( voir Tableau A3 ) sont infl!rieures à 270 HZ pour
les 5 premiers el compris enlIe 400 et 575 HZ pour les ~. 7~. 8~ et 9~ modes.

---

80
La recherche fréquencielle que nous ferons se situe dans la même gamme que les
fréquences des modes libres qui nous serviront de base de description de notre modèle modal
construit par les techniques de synthèse modale au chapitre 3.
L'utilisation de la souplesse résiduelle SR au 2è ordre ne pourra donc améliorer
sensiblement nos résultats de synthèse modale. d'après la comparaison des Tableaux A5 et A6
qui illustrent en fait la propriété générale selon laquelle SR au 2è ordre n'améliore pas les
résultats de synthèse au 1er ordre dans la plage des basses fréquences.
C'est pourquoi les méthodes de correction proposées au chapitre 3 ne concernent que SR
au 1er ordre, et sont destinées à apponer une amélioration irnponante des résultats de synthèse
modale ( fréquences, réponses temporelles, ou défonnées dynamiques des structures calculées)
dans une ganune de fréquences où il y a peu de différence entre le 1er et le 2è ordre dans la
réponse dynamique de la structure.
* Formuiation duale
Une démarche analogue à celle qui précède a été suivie dans le cas de la formulation
duale. L'assemblage est réalisé à partir des premiers modes encastrés de deux plaques
identiques suivant le schéma :
E
e.
"
L
A partir de 6 modes encastrés pris comme base de description pour chaque plaque, nous
avons calculé les 12 premiers modes libres de la plaque double. Les tableaux AB et A9
correspondent respectivement à l'utilisation des tennes résiduels à l'ordre zéro et à l'ordre un en
fonnulation duale.
TI convient de remarquer le gain de précision en fréquence de 6 à 70 HZ depuis le 4ème
mode libre jusqu'au 12ème lorsque l'on tient compte des termes résiduels. Ces résultats sont
encore améliorés quand on augmente le nombre de modes encastrés retenus pour faire la
synthèse de chaque sous-struCture.

---

81
TABLEAUA8
PLAG.VE
1>0 V I!> L t.
FRE.QUe..NC.t.S (1-11) DES MODES LIBRES
N°
6 1<-
,,",OKS
'aE
EX"cTES
3M(.1l
~ "'" c:. ..
a. .., CI.
..
'40. Z.,
20. 'Z.-+
·U . • 'S
2
34. -+54-
3 .... 454-
"+. +37
3
S3. 07.
S~.o71.
53. 0'1+
+
.., .. ""Z
"'9."1.0'1
'12. '''2.
•
·US.T"6
-1.1.5'. '342
"1.05.00 .,
,
'11.··"133
'11~ .51.1-
1.1."'. 311'
1
~ 72.400
1."12.0"
'171. 1+,1
r
'1"S.361
'1. ..... ""1
'1.'1'.170
~
1.'3'. "67
""1.~ •• 477
'1.7'. 13.
'10
1.1S. '1..
'1.'$. 91$
'1. "s.. 032-
.,
,21. us
2+•. l'u
:l2!>. ~ .. ~
l.Z
:l. +S. '.S
250.0"
7. +1. s"
Les écarts de 7 à 23 HZ du 4ème au 12ème mode libre entre les fréquences obtenues par
synthèse (cas des 9 modes encastrés) et les valeurs exactes calculées par Elémems Finis
s'expliquent par la non prise en compte des termes résiduels de masse dans la synlhèse des
deux SOU5-smJcrure.

---

82
Le tableau A9 suivant où l'on rient compte des tennes du premier ordre fournit des
résultats quasi-identiques par les deux méthodes. L'imponance de la prise en compte des termes
résiduels de frontière en synthèse modale vient encore d'être attestée.
TABLEAUA9
PLAo.uE
DOUe,I-E.
F l'E QUE NC.E.'" (\\-Ir:)
1>E':> MOIlE5
LIBRES
N'
~E:
':lE.
f'o1o CO.$
Ex .... c.Te.S
';M<"Po..
a..,<:. ...
.l ,., c lit.
:1-
1.,. 001
1.'3.0tl'7
t'. ~/5
~
• +. 44oS"
~ +.44S
34. 4H
"3
~ ~. "0
" ~ .•87
"3. 01 ...
+
73. "2.4'
73.0"
7"ot. ~12.
S
"'1.05. 01.5'
'1.04. 'T9+
'105'. C07
,
'il~. S05
1."~.'4 7'
1.1.'!.')~7
7
"'1,7 1.. 7 :11
"1. 7 :l.. 3 4S"
1.71.. 1 '1-1
g
1.10. n.
'1.11. U"J.
1.1,.170
9
"1. t 4. r'l.3
1. ï , . '2.~1
'171. f;a,
1.0
'1<35". B~3
l.~s. 'ljef
-1,s. 032.
H
257. 7. ~o
2.0. :l.7Z
1."2. ,. '1- .. ,
:1.
1.77. "3
1. H. 123
ZH· ....

---

83
N. DOUBLE SYNTHESE MODALE
N. IlNTRODUCIJON AlIX PROBLEMES INIERMEDIAIRES
1) Principe de base
r,
t.
l',
r..
Fj~ure 1.6
A partir des modes libres de la sous-structure @ décrite en figure de gauche (frontière
libre) l'on souhaite déterminer les modes encastrés de la sous-structure ~ décrire en figure
de droite (frontière
ro fixée) et vice-versa,
On considère alors un nouveau problème spectral intermédiaire entre ces deux états et
régi par un nouvel opérateur linéaire. Les valeurs propres de cet opérateur induisent une
estimation des fréquences encasuées à panir d'un état initial de frontière
r" libre et
réciproquement une estimation des fréquences libres à partir d'un état initial de frontière ro
fixée.
La construction de l'opérateur linéaire inlennédiaire est réalisée grâce à une projection
onhogonale de l'opérateur du problème spectral initial sur l'espace des solutions cherchées,
D'
~
c'est-à-dire t'Eclans le cas de la recherche des modes encastrés et ~L.dans le cas de la recherche
des modes libres.

---

84
2) Définition des problèmes jntennédjaires
En formulation basée sur le champ de déplacement on considère l'opérateur -
J)
défini
par:
(1.225)
Sa restriction ~
à l'espace ~L. ampuré des mooes de corps rigides vérifie
(1.226)
Les conditions cinématiques suivantes sont liées à -
1)
(1.227)
8llA. :. 0
Afin de déterminer les pulsations de résonnance
CtJE &: de la sous-structure @
encastrée, c'est-à-dire lorsque celle-ci doit vérifier les conditions cinématiques supplémentaires
à l'équation (1.226), c'est-à-dire
(1.228)
Bl tA =0
\\} 2 €
t'.
~
~
on introduit le complémentaire onhogonal de ~E' • sous-espace fermé de !L,. au sens du
produit scalaire 1.(-,.)
.Ce nouvel espace est noté flL •soit;
(1.229)
Dans l'espace
~ L privé des modes de corps rigides, le produit scalaire l (,. 1 .)
permet également de construire un espace similaire J'fL •soit:
(1.230)
L'espace fiL
est consuuÎt grâce aux fonctions
solutions des problèmes
pseudo-statiques suivants:
~
(1.231)
( (" \\'\\1") T
\\ (f', "') - <~ ,Il "'>
) 'V or E, GL

---

85
Le théorème de LAX-MJLGRAM assure l'unicité de la fonction
t pour chaque
distribution de force f .Cet ensemble de fonction"
est dense dans ffL
Comme l'influence des modes de corps rigides entraine le choix de
-
~ ou ~L
comme espace de description, il est intéressant de considérer la projection de la solution ,.
sur l'espace t ~ des modes de corps rigides, au sens du produit scalaire Cr-,·) .Soit la
décomposition
~
(1.232)
i: ...
~L
""
CI)
'G",
on obtient
,
~
-
~
E.
t ...
....t
f" ~ 'E; ...
(1.233)
l' - l' 0\\- h,
i
~'"
~
où
est la projection de "tic. dans
f;",
~
Soit ILv.. l'espace de dimension finie engendré par l
solutions indépendantes
de l'équatioo (1.231) et
-Tl l'opérateurdeprojection surcetespace au seosduproduit
scalaire
l. (. ,.) de ~~ .
Le problème intermédiaire primai d'ordre
~ désigne la recherche du spectre de
l'opérateur
projeté dans le complémeotaire orthogonal de
Jiiic. :
(1.234.a)
avec
_
r--
(1.234.b)
U " "
I -
Tft..
(l)
/~..2 (r.)
-
Les valeurs spectrales
Y.:
'= 1.
W
lO
de l'opérateur
VA,
donnent des estimations
cul.: (lj
par défaut des pulsations de résonnance
WE ,,'
des
modes encastrés calculés en considérant les conditions cinématiques (1.228)
.)
(
(L .
(~...)
("")
'"
(1.235)
,.,.<
~ , ... ~-t..---- <e.u·P&.J<..w,·
,.~-·~tV.:
:-.,.(
\\,(J..
=:r............
......
...

---

86
et
(1.236)
d'après les principes de monotonie et de MIN-MAX de WEINSTElN,
D'une façon similaire à la formulation en déplacement. la fannulation en force repose sur
l'opérateur
-E défIniparl'équation
(I.237)
~
~
L'opérateur E
a le même spectre que
E ,mais en plus la valeur propre
'rSe '= -1.
de multiplicité infinie en général.
On définit des espaces de projection à panir des solutions faibles des problèmes
suivants:
(1.238)
~ (. 'G , tr) = <. J , c.., a-"7
_
r - '
On introduit le complémentaire onhogonal de l'espace 41L ' sous-espace fermé de ~ E
au sens du produit scalaire
.i: (.. , .. )
. Ce nouvel espace est noté -
.tfE . soit:
(1.239)
Les déplacements généralisés de frontière
J
appartiennent à l'évidence à l'espace
---
~
des traces
-S r:
. Et l'espace engendré par les solutions
1;' t
associées à des
o
~
déplacements~' de Loi. (r. )
est dense dans le sous-espace ,fIf'E
Afin de mettre en évidence l'influence des champs de contrainte statiquement équilibrés.
il convient de considérer la projection de la solution
~. sur l'espace ~.r' au sens du
produit scalaire élastique
cC:,·) . Soit la décomposition
(1.240)
où
~S est la projection de
dans
~S. d'où la décomposition
(I.241)

---

87
~
Soit ..rfe '- l'espace de dimension finie engendré par ~ solutions indépendantes.
~
On considère l'opérateur
V-f,..
de projection sur cet espace au sens du pnxluit scalaire
~(. ,.)
Le problème lntennédiaire d'ordre r.. correspond à la rechen:he du spectre de l'opérateurË
projeté dans le complémentaire orthogonal de
-
.}fe,-:
~
_
~
~ (10.)
(1.242.a)
W", E
W,,- <l"" -
Y
If"
où
(I.242.b)
L'indépendance des fonctions de contraintes 'l;t." assure la convergence des problèmes
intennédiaires vers le problème libre.
(1.243)
où l'opérateur -
EL vérifie l'équation
(1.244)
~ CeL. (1", 'li ') = c. Ccr, 't.)
L'opérateur -
EL
a pour vecteurs propres les champs de contraintes
A 'X.L ,:
associés aux modes libres et pour valeurs propres
YLl':'
('1. + eu1,.u )"'-:
3) Résolution des problèmes intermédiaires
La résolution des problèmes intermédiaires d'ordre l
consiste à détenniner le spectre
des opérateurs projetés
lil. :n û'....
el
Vl.. i. V'-
respectivement dans les
fonnulations primaIe et duale. Les deux équations aux valeurs propres (1.234.a) et (I.242.a)
peuvent en effet être rattachées au problème imennédiaire du premier type de WEINS1EIN et à
l'équation intégrale de FREEDOHLM de première espèce. Il deviem alors possible d'exprimer
la solution u... ou
(J
en fonction de la résolvante de l'équation intégrale en fonnulation
primaIe ou duale.

---

88
IV. 2 FORMULATION PRIMALE
1) Equation iméwJe de FREEDOHLM et détennin.m de WEINSIETN
Le problème spectrnl (1.234. a) peut s'écrire
-
C""
~ (r..J
(1.245)
Uf.. 1) .... :: .... lA-
En tenant compte de la relation (I.234.b), l'égalité (1.245) devient:
(1.246)
~
La multiplication par
Tl. des deux membres de cene équation donne
(1.247.a)
et
(1.247.b)
L'équation (1.245) s'identifie à un problème intermédiaire du premier type de
WETNSTETN que l'on écrit
(1.248)
et
(1.249)
Le déplacement cherché est obtenu par l'équation intégrale de FREEDOHLM (1.248) et
s'exprime en fonction des fOI"Cï généralisées
I:!- L. .
(1.250)
\\A.. =
oz:.. l: ?j I:"J
J=~
est la resolvante de l'équation (1.248). C'est un opérateur compact défini par
(1.251)

---

89
'"
Comme la soJetion u...
doit appanenir au complémentaire orthogonal de 1'tl au sens
de la métrique de
~~ , on peut écrire
(1.252)
, j (. \\.. 1., Il.")
où ces Il. équations de contrainte équivalent aux deux conditions (1247.a) et (I.247.b)
L'écriture de la solution lA.
d'après la relation (1.250) jointe aux i
équations de
contrainle donne
(1.253.a)
avec
(I.253.b)
SiJ .,. '[ l li: ~ . 'ri)
-lI..)
Les pseudo-fréqul?nces
Wi
sont donc les valeurs qui annulent le détenninam
de WEINSTEIN
.k.t -
(1.254)
S laJ) =0
2) Grandeurs ~énéraljsées
~
On détermine les forces généralisées
l:!-l. associées à la j ème solution propre en
utilisant l'équation (1.249) relative au jième mode encastré
:x..e .(U qu'on multiplie
-
d
scalairement par
f.)\\,..
..
(1.255)
w·~
En utilisant l'équation (1.248), le premier membre de l'expression (1255) s'écrit:
car
(1.257)

---

90
Comme l'on a
(1.258)
et si on pose successivement
(1.259.a)
el
(1.259.b)
l'équation (1.255) devient donc
2. (/..) ~
(1.260)
,.. .
b '
~ J
"è - -
L'indépendance des fL rend ce système matriciel inversible et on obtient
.
(1.26I.a)
~a =
où
(1.261.b)
Les déplacements généralisés associés aux forces génél'll1isées
{!t(} sontdéfinis par
(1.262)
Grâce à l'équation de définition (1.231) des foncrions de contrainte
s'écrit
(1.263)
Le déplacement généralisé est donc la projection de la solution u.. dans l'espace fiL

---

91
3) Influence des modes de corps ri~des
Dans un contexte expérimental, il est intéressant de metrre en évidence l'influence
particulière des modes de corps rigides au cas où la sous-structure @ en possède. En effet
~
l'opérateur de base 1> ne traduit pas le comportement réel de la strcture. On inrroduit alors la
résolvante de l'opérateur']) défini dans
~L ' soit:
(1.264)
On définit alors de nouvelles fonctions 2.: , déformées associées aux distributions de
force f et solutions faibles des problèmes statiques:
(1.265)
~ <:.~;, N" J '" <. f, 1'> '">
~
Le lien entre :1)
el
1)
induit
(1.266)
Grâce à l'équation (1.233) e.le produil scalaire f,.. c· ,.) , les coefficients -
fi: ',
du
J
déterminant de WEINSTEIN s'écrivent:
(1.267)
Les projections fh..... des ~. dans l'espace t, '" vérifient
(1.268)
On établit facilement dans l'espace t~ l'équation
(1.269)
d'où
(1.270)
où

---

92
(1.271)
En présence des modes de corps rigides, les pulsations de résonance du problème
inlennédiaire d'ordre t
sont solutions de l'équation
(1.272)
Plusieurs algorithmes penneuent de résoudre numériquement ce problème, relativemem
mal conditionné à cause de la présence des modes de corps rigides. Mais dans certains cas de
forme paniculière de
S~ i.. (1..0)
,cene équation (1.272) pourra se mettre sous une forme
malricielle standard de problème aux valeurs propres
(1.273)
K 'X. = >, tt.:x.
où K
et .M. som deux mamees carrées de même dimension.
Les algorithmes de VASERSTEIN
(t\\. 41i')
• DAWSON
ou
SIMSON
(1l.4S «- 1<46) pourront être utilisés avantageusement.
On peut remarquer que si la structure est entièrement libre et possède donc
modes de
corps rigides, les défonnées statiques 26 sont les projections dans ~L des déformées
statiques obtenues en appliquant la distribution de forces de frontière f!"
et en imposant rt,..
conrraintes.
L'équation (1.272) sépare clairement l'influence des modes élastiques de la
sous-structure@ el la panicipation des modes de corps rigides si elle en possède. Il convient
donc de faire une étude spécifique de la souplesse
SJi(W)
dans l'espace
~.
4) RésQlvante
oR. dans l'espace -8, L..
Cette étude des résolvantes est l'extension en cas continue des résultaIs établis en
formulation discrète dans la deuxième partie de ce chapitre.
On vérifie aisément:
(1.274)

---

93
On en déduit la matrice de souplesse dynamique
S
(1.275)
Dans l'égalité (1.274), l'opérateur 1) A. est la résolvante de FREEDOHLM qui se met
sous la forme intégrale.
(1.276)
1) Il. li.. ln) =
('Lw (n, 1<) J lA. I.e»)
où le noyau résolvant
'l.w (11. , 1< )
se calcule en fonction du déterminant de
FREEDOHLM en utilisant le noyau de GREEN 'd. (t (H,~\\) de D
.
Mais ce noyau de GREEN est difficilement accessible dans le contexte expérimental. il
devient alors nécessaire d'utiliser la base modale des modes libres
"X: L.': , orthogonale et
complète dans l'espace
~L • pour déterminer la résolvante.
D'autre pan, il eSI très utile de disposer d'expressions de la résolvante qui pourraient
compenser l'influence négative de (a troncature modale sur le comportement dynamique de la
structure obtenue par synthèse.
5) TroncaDJre de la résolvante
L'équation (1.270) a permis d'isoler les modes de corps rigides pour étudier
spécîfiquemenc l'expression de la résolvante
Sl de l'opérateur ':D .
Corrune la solution
lA...
s'écrit:
ft.
(1.277)
v.. = L
Jl..e. !:'-'
;, =,
il devient nécessaire d'exprimer A. ~,:
solution de:
(1.278)
Comme en formulation discrèle. et en accord avec la définition des problèmes
intermédiaires, on introduit l'opérareur projection T"", sur les -n. premiers modes libres
déterminés expérimentalement. L'équation (1.278) devient:

---

94
(I.279.a)
où
(1.279.b)
La solution P.Pl· a pour expression dans la base des modes libres
(1.280)
LeS'1'\\. modes libres déterminés induisent les composantes matricielles suivantes:
ct..: .
;
(1.281.a)
où
(I.281.b)
Soit "k. l'espace formé par les "n. modes libres "X-L,j' , i E t "1., "h.)
. Les modes
non pris en compte forment un espace onhogonal à "èlo'\\.. •au sens du produit scalaire ((_/.)
Soit
~~ cet espace, on a la décomposition
(1.282)
Les différentes méthodes de troncatures seront définies par les diverses formes de la
panie secondaire de D
. ç'est-à-dire
:0, ::.1110\\- btr"" , opérant dans l'espace
1;~
• Troncature du oo>e RAYLE1GH-RITl
Comme en formulation discrète, cene troncature correspond à négliger '21
par rappon à
0
.,...'" TI 'T'"
(1.283)
"D.
-= 0
Le spectre de D
se résume donc à celui de sa composante
T"" 1) "",,",

---

95
La résolvante s'écrit alors
(1.284)
En l'absence des modes de corps rigides, le détenmnant (1.274) de WEIN5TEIN
devient:
~ e "'je cole
(1.285)
J=o
,<.i'H _ U)~
Cette méthode est équivalente à un problème à "'J"\\.. degrés de libené lié à une description
de RAYLEIGH-RlTZ dans la base des modes libres
"'-
(1.286)
lA."
~ "id ')<.Cd·
,.,
On en déduit le système maniciel classique suivant:
(1.287)
..,
où Jl.c
est la matrice spectrale constituée des carrés des pulsations de résonance des
modes libres et
~F la maoice modale définie par:
(1.288)
L'équation (I.279a) montre que les fontions de contrainte
2,,'
sont combinaisons
linéaires des 'l'\\. premiers modes libres
""
(1.289)
Z
"",.
.
li
é~'"
En résumé, la méthode de [J'oncature de RA. YLEIGH·RITZ présente les caractéristiques
suivantes:
(l.)
En l'absence de modes de corps rigides et en accord avec les équations de
contrainte (1.252), les 1"1\\. coordonnées modales vérifient les relations de liaison suivante:
(1.290)

---

96
Le degré effectif du système se réduit donc à
'" - ~ .
tU' L'annulation de la projection de l'opérateur 1) sur l'espace des modes non retenus est de
nature à rigidifier le système. Les fréquences propres des problèmes intennédiaires ne sont plus
nécessairement inférieures à celles des mooes encastrés comme prévu par les inégalités dans la
relation (1.235)
(ü.q
Cette méthode présente néanmoins l'avantage de compenser la non prise en compte des
liaisons réelles de frontière.
.. Troncature par projection
Son bUI prinCipal est de remédier à la rigidification du système due à la Ironcature modale
pour que les inégalüés (1.235) soient vérifiées. On réduit pour cela le spectre de "I)
à une
valeur unique
DL YlT'
de multiplicité infmie. On obtient alors
(1.291 )
On détermine Rtt comme dans la troncature précédente. Ses composantes de rang cl •J'> '\\0'\\...
s'écrivent dans la base des modes libres
(1.292)
'l./ ...
~ -
c...J
lAJ L"1-1
La solution Rf\\.' s'exprime donc
"'-
00
"i,r ~'i
(1.293 )
R. fi -
'L
a..'j 'XLj
+
L
-1. _ lI.'?- / W"lLJ
~_lAJ"L/ to'tL 'o'l 1-1
a:l
àoz. "+1
Comme
"'-
(1.294)
Q, =
L::. ......'j '>(~j
t=1
On obtiem
Q.;.i '>l,..,j
(1.295)
'1.- ..Nw~'
La souplesse dynamique SI' du déterminam de WElNSTEIN s'écrit:

---

97
(1.296)
$;"
=- t.. (Pi, Pi) ... w'-f:.., ~e"ie C.. -",\\... jev\\-l..
J
(.._ l»"'I",\\~..)
.e=, (...-.r/w\\e) (w'"lw'a -evt."/"''i.~
Ces deux méthodes de troncature que nous venons de présenter utilisent de nouveaux
opérateurs de base!>'n.
définis par
(I.297.a)
où
(I.297.b)
et U,"- est l'opérateur de projection sur le complémentaire orthogonal du sous-espace
engendré par les -l fonctions de contrainte 2\\" dans
~L- .
On établit aisémenria convergence unifonne des opérateurs "1)"n, vers "D
grâce à la
compacité de G
. On obtient donc:
(1.298)
w, ,"-'
Les modes encastrés recherchés sont alors obtenus grâce au principe de MIN-MAX de
WEINSTEIN
(1.299)
L..".... y, 1t...">I.) -= '6"e" =
n.......,.,,-
w'1. E i:.
'-----
L'efficacüé de ces deux troncatures est néanmoins relative car elles n'utilisent que
partiellement les propriétés de l'opérateur de base"])
. Il est donc nécessaire d'introduire le
développement en CJJ~de la résolvance afin de mieux l'estimer et améliorer sa qualité.
..
.. Troncature par développemen( en
ev .
Comme en formulation discrète. on effectue un développement limité de la résolvame .ft.
(1.300)
R.:
quelle que soit la pulsation et pour {our entier naturel ~.
On introduit les fonctions }: :
(1.301)

---

98
~
s'écrit dans la base modale
(1.302.a)
où
(1.302.b)
La résolvante s'écrit alors:
Les fonctions 3- t doivent auénuer l'influence de la troncature mooale.
Les termes 1( dans le déterminant de WEINSTEIN (1.271) deviennent
(1.304)
avec les maaices symétriques suivantes calculées aisément.
(1.305.a)
-f... (fi , ~"Nh ) = ~ CG'" Pi, G"'p,')
(1.305.b)
t (9.. , b"'+' Pi J -
(( 1,'" Pi, :J"Pi)
On introduit ensuite les déformées résiduelles suivantes pour mettre en évidence les
panicipations des modes nOn retenus:
~
(1.306)
'L,' = 2.. -
L
"",e '><l e
~~,
L'équation (1.303) donnant
A. 2.
devient

---

99
(I.307)
La matrice de souplesse dynamique prend alors cette forme:
~ .2. h
(M)
""-
(1.308)
~
L
(.
../ .... )-
W
wLt
...
,'1..-
t()
Sft-J l
+
«.;~ 'ï'-e W"Le
h= 0
.('e,
Grâce à l'égalité
(1.309)
On émblilles relations suivantes
(1.310.a)
(1.31O.b)
D'une façon générale, J'introduction des déformées statiques induit une bonne estimation
du speccre des problèmes intennédiaires quelle que soit la rroncarure utilisée.
Dans le développement en ()J~ , la série R,\\'\\.' converge unifonnément et absolument
quand 'J\\.. rend vers 00 pour des opérateurs 1) de classe inférieure ou égale à V ~ • le cas
des problèmes classiques de Dynamique des smIcrures.
Néanmoins, on se limitera souvent au premier ordre, c'est-à-dire à K= '1. dans les tests
numériques ou expérirnenmux.
6) Résumé des quarre modèles de base
• Modèle 1 : RAYLEIGH-RITZ
On ne tient pas compte de la flexibilité résiduelle de frontière. D'où
(1.3 II a)
(1.311 b)

---

100
• Modèle 3 : DEVELOPPEMENT A L'ORDRE 1
(1.313 a)
SiJ "
avec
'"
L Cl.<·e aie w'u
(1.313 b)
~=,
• Modèle 4 : DEVELOPPEMENT A L'ORDRE 2
(
'l.J 'l. )-"-
l..-W
wLf.
(1.314 a)
aveç
\\»
(1.314 b)
S... ··
'j
7) Cas particulier du développement à l'ordre 1
La présence des modes de corps rigides induit des perturbations numériques dans le
calcul du détenninat de WErnSTEIN (1.274) qu'il convient donc de traiter avec soin.
Or, dans un souci d'extension des méthodes de synthèse modale à des structures
quelconques, nous avons choisi un modèle qui compone des modes de corps rigides.
Dans le cas du développement à l'ordre l,le détenninam de WEINSTETN est équivalent
au problème spectral standard suivant:
(1.315)

---

101
En effet, l'équation (1.315) donne le système suivant
..
(1.316.a)
(09
el
(1.316.b)
On en déduit ;
(1.317)
LS.. +
où
(1.318)
La recherche des modes encaSlfes unrme un déplacement généralisé des fOIllières nul,
d'où le système homo2:ène :
-
-
(1.319)
Les puls,:ltions W
solutions vérifient donc le déterminant de WEINSTEIN
(1320)
Réciproquement l'expression (J.313.:J.i de Sic' conduit il. l'équation (l.~ J9). En effet,
s'écrit:
4...'~ ''.)"- w~L fc
'i" .
-------
(1.321 )
'd
e.v\\1.. - w>
En posant
. on ohtiem
lU" ,p",J
11.322)
<-
-w
Or ~,
s'écnt
~
"-
~
(1.323)
Ej = 2:>1~ XLI<. - L ai r.. XI!. f.. + L "-a'~ XLi..
t~,
1.. =,
(CI

---

102
en séparant les modes élastiques
'Xl ft.. des modes de corps rigides
X..J. . On en
déduit le produit scalaire :
(1.324)
où
(1.325)
Posons
(1.326)
L'égalité (1.322) devient alors
(1.327)
Cette expression s'écrit fonnellement
(1.328)
~
Cene expression de
S~'j conduIt donc aux deux équations (1.319) et (1.320)
8) Conclusion
Dans cette fonnulation en déplacement, les méthodes de synthèse modale basées sur les
modes libres utilisent des déformées sta(iq~es qui génèrenl des coordonnées généralisées de
frontière et pennenent une utilisation optimale des procédures de troncature.
De même, la formulation en force où l'on construit des méthodes de synthèse modale
basées sur les modes encastrés, utilise des champs de contrainte associés aux solutions
statiques..fL
. Ce lien entre les deux formulations est établi pour la troncature de
RA YLEIGH-RITZ, mais l'est beaucoup moins pour les auues.
IV. 3 FORMULATION DUALE
1) EQuation intégrale de FREE DOHLM et déterminant de WEINSTEIN
L'équation (1.242.a) correspond à un problème intermédiaire du premier type de
WEINSTEIN que l'on écrit sous la forme

---

103
(1.329.0)
où
(1.329.b)
Soit la résolvante en contrainte défmie par
~
(1.330)
R=
..
la solution cs- s'exprime en fonction des déplacements généralisés À, associés aux
champs de contrainte -
b,'.
(1.331)
,,=
On associe à cette équation les t équations de conrrainre qui traduisent la projection de
r-'
~
~
l'opérateur E.
dans l'espace
~ E El Xe r..:
(1.332)
~ \\. "', 'i,) = 0
On introduit les forces généralisées
~
(1.333)
". -
r-'
-
ou encore
(1.334.a)
et
d..,. _
(1.334.b)
La relation (1.331) joinLe allX équations 0.332) donne le système homogène
(1.335.a)
où
(U35.b)

---

104
Les pulsations de résonnance des problèmes inœnnédiaires sont donc les valeurs de
qui annulent le détennrnant de WEINSTEIN
(1.336)
2) Influence des champs de contraintes statiguement éguilibrés
Pour appliquer cette fannulation duale à un contexte expérimental, il convient de
~
détenniner la résolvante.P.o.
de l'opérateur E
. Celle-ci pennel de calculer la matrice i!."j"
dans Je déterminant de \\VElNSTEIN. L'opérateur E vérifie:
(1.337)
Soit :
(1.338)
La relation (1.241) permet de déterminer les tennes d'indépendance généralisée.
(1.339 .•)
où
(1.339.b)
- e
TI convient de préciser
(1.340 a)
(1.340.b)
deux équations d'où sont solutions les champs de contraime 1; l
et
~Î
respectlvemenl.
TI est possible de relier les défonnées statiques flet les contraintes statiques wc' des
deux fannulations hybrides primale et duale.

---

105
On peut en effet interpréter les projeclions {u comme la réponse statique en contrainte
lorsqu'on împose des déplacements _w't~:
le long de l'interface ro . Si l'on suppose
ensuite que les déplacements -k' sont induits par les fonctions de contrainte en déplacement il'
intervenant en formulation primale, on a alors les relations suivantes:
-~. = ..
(1.341..)
w 2;
(1.34I.b)
-
On peut ainsi relier les champs de contrainte c= l'
de ~ E aux champs de contrainte
induits pades solutions slalÎques
~:.
~
.La restriction de la résolvante tl
à l'espace ~.r s'était simplement
(1.342)
La matrice d'impédance généralisée
~
s'écrit alors
(1.343 .•)
où
(1.343.b)
et
(l.343.c)
Les pulsations qui annulent le détenninant de WEINSTEIN (1.336) tendent vers les
pulsations de la strucrure libre
(1.344 )
Les valeurs calculées sonl des estimations par excès des pulsations recherchées bien que
l'on uùlise un principe de MIN-MAX.
(1.345)

---

106
3) Troncature de la résolvanle
L'équation (1.343.a) induil une étude spécifique du terme de rnase généralisée
définie en équation (L343.b). n convient donc de détenniner l'expression .R. "Ci solution de
J'équation:
(1.346)
( 1: _ 1.01. E î Il. 1;0' = "G,j
En suivant une démarche similaire à la formulation primale. on exprime la résolv~e
"'-
dans la base des modes de contrainle
VElo
qui est complète dans l'espace
~ ~ .
L'opérateur de basee est projeté dans l'espace aa J\\. engendré par les"" premiers modes.
(1.347.a)
avec
(1.347.b)
u ""-
= "'I: -
T ~
et Tlo'\\. est l'opérateur de projection sur <l.J 1'\\..
'" Troncature du type RA YLEIGH-RITZ
On réduit l'opérateur E
à sa panie principale
el on obtient:
(1.348)
On peul exprimer la relation (l :'4R) en fcmetion des modes primaux ~e el
~ i . En
effet
(1.349)
or
(1.350)
=
donc
(1.351)

---

\\07
comme
(1.352)
et
(1.353)
il vient
(1.354)
et
(1.355)
La matrice d'impédance générali~ée définie en équation (I.343.a) devient alon.
-
0
, \\ " ' : ; : ; "
'cd bj{
...
(1.356)
~,' =. .... \\.. P.. , ~,. J - u.l
L--
'-
~ tu ee
o
~=\\ Wee-w
Cette lToneature conduit à une estimation par excès des pulsations de résonance des
modes libres cherchés. La troncature par projection ou ;lU contraire tendance à rebaisser les
pulsations ds problèmes inlennédiaires. Elle peut donc atténuer l'influence de la non prise en
compte des conditions réelles de force le long de la frontière
1:"0.
* Troncature par projection
Comme dans la [annulation primale, l'opéra leur E _es[ approximé p:if l'opérateur T,"" ET", +
O'i'l+\\ L. . On obtient alors une expression de la matrice
h \\'~.
de masse généralisée
similaire à celle obtenue pour la souples5e dynamique ç'\\j
en formulation prirnale
...
\\,,1 ~J{ l'-"-'\\...... ,)w..q,)
(1.357)
+w
- - - - - - - - -
t:
~
.t.
(w';;( -<Jo) l.,}jWEI-WE ... ,jwEe)
(1.. _u.Jt... /W~E""'''lî
Les teImes
dans cette relation peuvent être reliés aux défonnées
statiques
.il
el

---

\\08
(1.358)
soit
(1.359)
La convergence de cette ttOncarure est la même que celle de la projection en fonnulation
primaIe car les deux opérateurs de base E
et '1)
sont de la même clase. Les pulsations
OJ~ ll.""J des problèmes intennédiaires d'ordre "ft.. tronqués à l'ordre "'" vérifient
(1.360)
L·
r. , . (f.., ~)
l1"r'l..
'-'V ...
WLl
'Y'o- ...... ~
fL _'> ac)
...
.. Troncature par développement en eu
...
Cene troncature a peu d'influence à cause du développement en puissance de cv
de la
résolvante .R.
(1.361)
On en déduit l'expression de h\\~·
_
( . t .
.z.. U<-I}
H,o' -
e 1. ~" 'Cd) 1-W e. ç"(;; ,E "l;i) -+ .. + (.v
e
(1.362)
+ cJ"'- f
oie bci e
(>.-w'-/u;'-ee ,-0.
.t..
(\\0<,-1)
~e,
wet
Ce développement induit des matrices symétriques
(1.363 a)
~ (e.'\\...
.. .
(1.363 b)
c. ( e'"''C', ,E"t)
TI esl possible de relier ces tennes aux défonnées statiques calculées dans le cadre de la
formulation prirnale

---

109
"-N
(1.364 a)
E
(;,.)_
(1.364 b)
où
DE
est un opérateur compact qui vérifie
(1.365)
Pour mettre en évidence la participation des 1'1'\\.. premiers modes encastrés, on introduit
les défonnées résiduelles
(1.366)
-1:','
TI convien12e remarquer que la série
b\\·e ')(e: e converge dans
L-t. (~)
mais pas dans
~
car elle est associée à un développement en contrainte qui converge
suivant la métricuqe de
~ (', .)
En appliquant l'opérateur A
à la relation (1.366), on obtient:
"'-
(1.367)
A ~. = _ ~Ji - 2.. bi~ ~d
:r:;
Or donnant les tennes intervenant dans l'expression des masses généralisées en équaùon
(1.362), il vient
K-'
_
"'=:;"'"
~L
(LJ
(1.368)
M ..~. = L..., 'Ù
h "-'i
l=o
Les rennes de ce développement s'expriment:
(......)
N
(1.369 a)
1'1."'i
-
(~ 1:>'" S~J .l>e ~J )
-
"
(UJ+IJ
(1.369 b)
~R"
iL( 1>"
-
4-<,'
"
DE -<Ji)
'1
E
}

---

110
Dans la plupan des cas, l'opérateur 1) est de classe V~ . Un développement à l'ordre
un, l\\(,:I) assure alors la convergence uniforme de la série exprimée en équation (1.368). On
utilisera donc que la maoice de masse résiduelle t1~oJ qui peut s'écrire
(I.370)
4) Résumé des quatre modèles de base
• Modèle) : RAYLEIGH-RITZ
On ne tient pas compte de la masse résiduelle de frontière
""
...
~ "-
,L)-'"
(1.37I.a)
11.'d :::
L bit .dt CO E e wEe - W
~:I
et
~
-
w"-
f.. U,',Pi)-
hi!
(1.371.b)
~'i -
• Modèle 2: PROJECTION
(1.372)
• Modèle 3 : DEVELOPPEMENT A L'ORDRE 1
__
(0)
~ ""e I,J.e
(1 373)
M"
hf'.'l
. . a
'd :::
, +
w"-E{
(,<>'-"e - w"-t'"
~=\\
avec
(1.373.b)
H.fl. iJ (0) =

---

111
• Modèle 4: DEVELOPPEMENT A L'ORDRE 2
(1.374.•)
d
"'-
L
\\,.{ ~Je éE~
(I.374.b)
..e~1
5) Cas paniculier du développement il J'ordre 1
Dans cette O'oncature, la ffiaOlce d'Impédance généralisée .s'écrit :
:;. - ~
(1.375)
~'O -
L'équation
(1.376)
o
peut se metrre sou~ la forme standard d'un problème spectral classique:
(1.377.)
..
Une condensation dynamique sur les coordonnées)\\
donne un système homogène
identique à celui de WEINSTEIN
"-
où.ste
est la matrice spectral wosriruée des carrés des pulsarions de résonance des
modes encasrrés.
Ce modèle est interprété par le modèle de RA YLEIGH-Rrrl obtenu suivant le schéma
discret:
(1.377c)
+

---

112
C'est la projection de l'opérateur J)
dans l'espace
~ n. <!> Jf~ '- au sens de ~ (- / .)
On obtient ainsi une estimation par excès des fréquences de résonnances de la structure
libre. Elles sont meilleures que celles obtenues par la troncature de RAYLEIGH-RITZ mais le
modèJe est difficilement accessible par expérience.
IV. 4 APPLICATION EXPERIMENTALE
1) Inrroduclion des modes de branche
.... Les difficultés expérimentales
Dans un Contexle numérique basé sur les Eléments Finis ou les Différences Finies, il est
possible d'approximer les défonnées slatiques..Pi
associées aux changements de frontière et
les modes nonnaux de la structure lihre ou encastrée. Mais sur le plan expérimental, on est
confronté à trois types de difficultés pour détem1iner les défonnées sratiques~' et les termes
.fL \\..f\\' 1 Pi) de la matrice de raideur slatique :
- d'une pan les tennes résiduels en formularion prima le ohlenues par lissage de courbe
d'impédance sont entacbés d\\:neurs
- d'autre part il esl nécessaire de mesurer les forces d'encastrement en fonnulation
hybride duale pour accéder à la matrice de raideur statique.
- enfin dans le cas de raccordement le long des frontières continues, il est indispensable
de mesurer un grand nombre de déplacements de frontière. ce qui allourdit énormément la
procédure expérimemale. sunoU[ dans le cas des mW.tions.
L'introduction des défomlées statiques par l'intermédiaire des modes de branche pennet
de lever ces difficultés.
'" Les modes de branche
Les modes de branche sont les modes nonnaux de la nouvelle structure oblenue en
chargeant la structure initiale le long de sa frontière de raccordement r o .
Ce chargement d'interface s'obtienr en fixant des inerties ou des organes élastiques
connus le long de la frontière
r 0 • ou bien en couplant la sttucrure initiale avec une structure
quelconque.

---

113
Outre les difficultés signalées ci-dessus qu'ils penneuent de lever, les modes de branche
présentent deUJt avantages majeun; :
- le chargement d'une srructure initiale obtenu par couplage avec une autre structure
adjacente conduit à l'inverse à isoler une sous-structure d'un assemblage en utilisant les modes
de la structure totale pris comme modes de branche
- les modes de branche pennettenl de définir des déplacements généralisés ce frontière
qui représentent bien la flexibilité réelle des frontière dans le domaine de fréquence étudié
On construira ainsi les modèles hybrides à panir de l'identification expérimentale des
deUJt familles de modes libres et encastrés.
.. Equations des modes de branche
Les modes de branche induisent des déplacements
de la structure qui
vérifient:
(1.378)
En utilisant la formule de GREEN (1.67) l'équation (1.378) devient
où les forces de liaison ~'
sont induiles par les modes de branche.
En formulation duale, on introduilles champs de conrrainte -
~.\\. générés par les modes
de branche et solutions de :
(1.380)
avec
(1.381)
'::=M-,::'.)~,: ..
-
L':.::-~;.:7,~=::~,':':"':'0 ..........,;.,.,.,,".;" ,

---

114
L'équation de GREEN (1.106) pennet alors d'écrire
(1.382)
e.
C1'e., ,"15 J = uSa; c. (:aB" <îj +w'&( <.s.: ,:"0->
'ri Il"' €. t; lE
où les déplacements ck de frontière som associés aux modes de branche
(1.383)
:: d,'
~
Afin de relier ~(à .2,,"
• on introduit d'abord cette décomposition de l'espace
des solutions
(1.384)
"-
On en tire une décomposition de
:le.. B,,'
~
(1.385)
Xe. ' +
X
'&(
=-"
x" ..:~
Compte tenu de l'équation 0.379), les champs 'X6l vérifient l'équation intégrale
SUIvante.
0,386)
..
La solution statique f\\
est solution faible du problème suivant:
(1.387)
D'une façon symétrique, l'identification des modèles hybrides duaux nécessite la
décomposition:
(1.388)
~
Les champs de conrrainte dei s'écrivent alors
(1.389)
16( '" ~6, + ~"
où
~i E. ~" et 1 U ( e. ~ S
"'-
..
..-."~
'"
,

---

115
Compte tenu de la relation (1.386) les champs de contrai me "118\\' som solutions de
l'équation suivante;
(1.390)
où les champs de contraintes statiques
~\\. sont défmis par la relation
(1.391)
lÇ,
(~i, <l'" J ~ < .l.< 1 Co"'" '>
Les champs
b\\ sont aussi solutions du système d'équations suivant:
(1.392.• )
A" 't"
(1.392.b)
CJ~i:O
'ri f €
r..
(1.392.c)
E. f;" '"
cl.:
..",
La défonnée statique
x-\\
est liée au déplacement de frontière ck . Elle eSt obtenue
par une application de disnibution de force le long de l'interface ['o.
1.
t> ..'--
Il convient de ne pas confondre les deux déformées staüques
~\\.
et
x..
,La
première est liée au déplacement généralisé défini en équation (1.383), tandis que la seconde est
associée aux distributions de forces f
qui vérifient:
(1.393)
On distingue trois types de chargement: le chargement en inertie pure réalisé par des
masses additionnelles, le chargement en raideur pure fait de ressorts le long de la frontière
~
et enfin le chargement quelconque. Ce dernier cas consiste en une liaison entre la S01lcture
connue el unc srructure adjacente quelconque qui génère les modes de branche.

---

116
r,
r.
r~
1"'..
chargement en masse
chmement en rajdew
(1. 394)
.fi =w~, "" Il xei
FIGURE 1,7
Chargement de frontière
Dans le chargement inertiel, lM.. est la distribution de masse ou d'inenie associée au
déplacement généralisé défini par l'opérateur de fronrière e
le long de 1'0 , tandis que la
rigidité l
,dans le chargement en raideur, correspond au blocage de la frontière ro à l'aide
d'organes de liaisons souples.
2) Identification des modèles hvbrides primaux
.. Détermination des matrices de souplesse
~
On utilise les modes de branche ~(
et les modes libres ~. obtenus numériquement
ou expérimentalement.
On détennine ensuite [Ous les tenues qui pennettent de calculer la souplesse statique l (p~~, f,/)
Les coefficients
(1.395)
ne som pas directement accessibles par expérience. On introduit alors des coefficients
intennédiaires
~l
(1.396)
En multipliant ensuite les deux membres de l'équation intégrale 0.386) par X \\..j
au
sens du produit scaJaire
l (. 1 .) • il vient:
(1.397)

---

117
Comme ~ l et
~l 1. som éléments de l'espace ê ,l'équation variationnelle
L
suivante
(1.398)
l r..'><L" 'V )
penne, d'écrire
(1.399.a)
(I.399.b)
L'équation (1.397) prend cene forme simplifiée
(1.400)
soit
(1.401)
l" - W'-I\\, )
(.u"- LJ
Au cas où la matrice de masse 1'1. de la structure est connue, on obtient directement
(1.402)
où
""'")(.B l
el
"X. L.J
sont respectivement les modes de branche et libre mesurés
expérimentalement ou connus numériquement.
Si la structure possède des modes de corps rigides. il est nécessaire de déterminer les
termes
(e P~' 1P'-i) intervenant dans le délerminant de WEIN5TEIN.
On introduit alors des fonctions
f\\J
de l'espace
tR. dans la formule de GREEN
(1.379), soit:
(1.403)
Or on sait que
(1.404)
-",~!_.~.~.''-"-----------

---

118
Donc >4" apparait proponionnel à
~ll.':
(1.405)
On en déduit le résultat
(1.406)
·Ctd.• , h.~)=
~
Grâce à la connaissance expérimentale de la maniee (~) , des amplitudes ~ iet )( Li
respectivement des modes de branche et libres, les deux matrices intervenant dans l'équation
(1.406) sont parfaitement déterminées.
Les modèles 2, 3 et 4 utilisent les matrices de souplesse qui contiennent des souplesses
statiques
S Si6
définies par
l~)
(1.407)
S"i
=
L'équation (1.386) permet de relier cette matrice aux modes de branche
(1.408)
l,><e", "Ka{)-
IL
1-
-+ ev e.i W~J l ~ "1»(1\\( r "K6{)
La série suivante
(1.409)
converge d'après le théorème de IITLBERT-SCHMIDT si "1) appartient à Vi .
Le produir
Cl\\. ')(,6 ~. 1~J) est obrenu aisément.
,...
(1.410)
c.e ')(&" 'X&;) ~ X Il. , Ch) Xe.~
Le produit élastique
-l. (xe. l l 'X.8i)
pouvait être détenniné d'une façon
similaire si l'on disposait expérimentalement d'une matrice de rigidité.
', ... , :~i. '
'-':, ;<~~/ ,;-..ii~},;;~:;~:~~r;~~\\1Ô/;~'~~~E/-,,';> ,

---

119
Mais dans Je cas des chargements simples présentés en FIGURE 1.7 ,l'orthogonalité des
modes permet de calculer précisément le produit
{.. C>l"" 1Xloi)
. On obtient les
expressions suivantes respectivement pour un chargement en masse, en raideur et un
chargement quelconque:
(1.41O.a)
l (XII...:, ""loi) '" w 6 , l.tJ6i S;'i
(1.41I.b)
-l ("l<6" "6j) :: w~ (tOB,i ~i,i - l!> "'ai ft. 8 ")(Bi
(1.41 I.e)
t (~;.~.i) -= ~ W'\\.{ ë"'e '}.lf.
.f.=\\
• Tests de validation
3) Identification des modèles hybrides duaux
.. Détennination des matrices d'impédance
On utilise les modes encastrés el les modes de branche mesurés en nombre fini. La
procédure d'identification est la même qu'en formulation primale.
Mais il convient de remarquer que le produil élastique
C C"'(; oS II ?;J.l) présent dans la
matrice d'impédance en équation (1.343.a), s'exprime aussi en fonction des déformées staüques
~t .soit:
(1.412)
Afm de relier les termes \\(S\\d' aux modes de branche, ")("Sl de la fonnulation primale,
utilise des fonctions de l'espace
€s dans la formule de GREEN (1.382) :
(1.413)
- c. (1a ... , cr- J :: < cl..: 1 c. ,,'>
L'équation variationnelle
(1.414)
c [i"JI , cr") _ < J.' , c. cr->
permet d'obtenir
(l.4IS)
1

---

120
Cene relation et la définition (1412) donnent en définitive
(1416)
On doit aussi remarquer que les termes intervenant dans cette formulation duale sont
approchés par les modes encastrés. Or la série suivante
~
(1.417)
":X. & ~
-
- L.. -k~ ?CE,!
~ ..,
où
(1.418)
~3 = ~ \\ 'Xe., ")(~/J
J
ne converge pas dans ~ L
• mais dans ~
. On est obligé donc d'utiliser des
chargements simples définis en équation (1.411.a) et (l.411.b) pour calculer
\\<S~"
Afin de relier les termes e.,'J
et \\"J ' on multiplie l'équation intégrale (1.390) par le
champ de contrainte ~G"~'
au sens du produit
e (- J .) •
(1.419)
En uùlisant les relations suivantes
([.420 a)
(1.420 li)
et la définition du produit scalaire
e. ~ r .) 1 il vient
(1.421 a)
e. C1~, , ')EJJ '" W~e., ""'-Bi ~ci
(1.421 li)
e 'L c:,; l ')E'J J -= é EJ \\"J
Comme dÇ~
es! un vecteur propre de J'opérateur E. . L'introduction des équations
(1.421) dans l'égalité (1.419) donne:
(1.422)
;
.\\
<

---

121
La similitude entre les expressions (1.401) et (1.422) induit la relation suivante entre les
modes de branche et les déformées statiques
.1:\\~
(1.423)
Comme ~E Jest un vecœur propre de l'opérateur "'J>e • il vient:
~
~
~
~~.
(1.424)
~"i - f.. = c.o Bi?-'
d
~E'
d=' Ù}~i
d
D'après le Théorème de tnLBERT-SCHMIDT, la série de l'égalité (1.424) converge
absolument si l'opérateur ~ eSl de classe 'V':l.-'
Dans le cas des mcx:lèles 2. 3 et 4. il est nécessaire d'identifier les mallices de masses
généralisées où interviennent les termes de masse résiduelle
(1.425)
En utilisant l'expression de 't l dans l'équation (1.390), on obtient
(1.426)
n convient d'expliciter les trois produits scalaires du membre de droite de la relation
(1.426),
Le premier terme s'écrit simplement
(1.427)
~
W Q'd
où le terme
( t 1te.~ 1~6~) est déterminé par les mesures expérimentales.
Pour calculer les deux au~ termes de la relation (1.426), on remarque d'abord que
(1.428)

---

122
(1-1
Les termes t1s'i
vont donc s'écrite
(1.429)
Pour les tennes d'ordre ""
supérieur ou égal à 2, on se sert de la définition de
.h.~,•."ll(l
•
(1.430)
pour aboutir au résultat suivant:
(1.431)
'" Tests de validation
Afin d'éviter la double influence des modes de COlJls rigides de la plaque libre et de la
plaque chargée dans le calcul du délenninant de WEINSTEIN, nous avons réalisé un
4
chargement en raideur de \\0 101 l'''sur les degrés de liberté (DDL) de rotation et 1-o'NI.... sur
les DDL de translation, On s'est servi de ces modes de branche qui fi~nt dans le tableau Al 0
pour rechercher les modes encastrés de la plaque bloquée sur 39 DDL.
A titre d'illustration, nous avons testé les modèles 1 et 2. Les résultats obtenus figurent
dans le tableau Atl L'influence négative des modes de corps rigides sera compensa par les
techniques de correction proposées dans les chapitres ultérieurs.
TABLEAU AIO
MO I)~S
hE
~
'a
3
4-
:;
li
B"~ Ç,. '""''E
·H.35'<4-
'4.3 '4
-:1."'.3::10
~04.3U
?'21. ~s8
~"l.7. '223
("'è)

---

123
TABLEAU Ali
>10
,
MObli.S.
1-
'2
:3
4
5
M 0 b"'~'" 1.
4'.l. ,....9
loO.Sl$'
l'lIl.OI'll
'11 •. \\01
'2. 'li 7• ., l 'li
N. c..
MO be;Lf; 2
4"7. ~73
102.''15'
l'li O, 5"10
'2 '2.,. ''74
N • c:..
~'!l'!l.471
l'-\\OI)&:J
e .. _
c...A- .1 T ..... tés
i~.5'89
• O.!'.'2. '!l5'
116 •"""
'241.1'~7
U 7.5'13
EX~c.-rS
404."~
CONCLUSION
Les R:sultats des tests réalisés dans ce chapitre mettent en valeur l'imponance des termes
résiduels de frontim dans les .ocluùques de synthèse modale, sunoU[ dans le cas des interfaces
à grand nombre de degrés de libené.
Comme l'un des buts principaux de ce travail est d'étudier l'assemblage de
sous-sttuctures le long des frontières de raccordement à grand nombre de degrés de tibené,le
chapitre 2 suivant propose à bon escient une détermination des termes résiduels à cette fm et
leur influence dans différentes techniques d'analyse modale.
lj,,
i

---

---

124
CHAPITRE 2
CARACTERISTIQUES RESIDUELLES
EN SYNTHESE MODALE

---

---

125
CHAPITRE 2
CARACfERISTIQUES RESIDUELLES
EN SYNTHESE MODALE
!N1RODUCTION
1. IMPORTANCE DES CARACTERISTIOUES RESIDUELLES
I.1 EXPRESSION DE LA FLEXIBILITE RESIDUELI.E
1.2 EXTENSION DE LA CONDENSATION DYNAMIQUE DE GUYAN
1.3 REPONSE TEMPORELLE
1.4 EXPRESSION DE LA MASSE RESIDUELLE
. II. CARACTERISTIOUES RESIDUELLES EN ANALYSE DE SENSIBILITE
III PROCEDURE GENERALE
II.2 PRESENTATION DE LA MErnODE
CONCLUSION

---

126
INTRODUCTION
Les caractéristiques résiduelles en Dynamique des structures sont de deux types : la
flexibilité et la masse résiduelle utilisées respectivement en fonnulation primale et en
fonnulation duale développées dans le chapitre précédent. Leur introduction permet de
compenser la pénalisation induite par la troncatun: modale. On peut ainsi améliorer la réponse
dynamique d'une structure obtenue par synthèse.
Dans le contexte expérimental, la détermination des termes résiduels est difficile et
imprécise. L'on se sert en double synthèse modale des modes de branche pour détertDÏner les
déformées statiques afin de calculer les caractéristiques résiduelles. En formulation discrète, un
calcul matriciel est possible et permet de connaître numériquement ces termes. Cest l'objet de la
première partie de ce chapitre.
Nous envisageons ensuite l'influence de la prise en compte des termes résiduels en
analyse de sensibilité. Celle étude est faire dans la deuxième partie.
L IMPORTANCE DES CARACTERISTIQUES RESIDUELLES
En accord avec les procédures proposées par LEUNG. ("'~~il (fl3$J, la souplesse
dynamique d'une structure élastique à une pulsation tA) quelconque s'écrit.à l'ordre N-I
5 (lU) "
(11.1)
où 10.= (><.Y\\
SN" (("')"'(M)"(I<Y'), ci est la matrice modale, JI.~
la matrice spectrale, to<l et (t'\\) les matrice:; respectives de raideur et de masse obtenues par
Eléments Finis.
La relation (11.1) peUl encore s'écrire:
(II.2)
A partir de J'équation de l'équilibre dynamique écrire en formulation duaIe, il est possible
de disposer d'un développement similaire.
Les d~veloppements limités que nous introduisons supposent l'existence de la matrice de
flexibilité statique (\\(r". En la présence des modes de corps rigides,
(\\( )'.... n'est pas
défmie et l'on introduit une matrice de pseudo-flexibiliré par une procédure ~sent6e en
ANNEXE 2

---

117
Soit S""
(w) la flexibilité dynamique approchée obtenue à partir de la connaissance des 'Ir\\.
premiers modes expérimentaux, la flexibilité résiduelle est définie par :
(II.3)
<; It." S tw) -
S ..... (w)
Elle prend en compte les modes non retenus et tend vers zéro lorsque
devient très
grand.
Dans le cadre des problèmes classiques de Dynamique des structures RUBIN a montré,
R. que le terme du 2e ordre de la. souplesse dynamique correspond à une prise en compte de la
fOICe d'inertie lorsque l'on considère une structure élastique.
On peut donc se contemer d'une détermination exacte des seuls premiers tennes de la
souplesse résiduelle.
I.l EXPRESSION DE LA FLEXIBILITE RESIDUELLE
A l'ordre un et deux, la flexibililé résiduelle s'exprime respectivement :
(IIAa)
(II.4b)
(")
S..
"
(o<r' (t'Il (1( r ' -
= i .... .JÏ.4<i~ -
où
(11.5)
(1<- r' = i_ .re... ~ ....'"
i"W'o et
ci. "'" sont Tes mauices modales des "M,. modes retenus pour le calcul et des ~
modes calculés par Eléments Finis.
1.2 EXTENSION DE LA roNDENSATIQN DYNAMIQUE DE GUYAN
1) La condensation dynamique de GUYAN
On souhaite résoudre une équalion spectrale matricielle de tailIe.N
en la réduisant par
condensation des de~s de liberté à une ~uation matricielle de taille '1'\\. • avec If\\. ~<. N
•
Cette II1!Ilsformation doit perturber le moins possible les basses fréquences du système initial.
On effectue pour ccla une partilion de l'ensemble des degrts de liberté de la structure :
• un sous-ensemble de "1. ~ degrts de liberté dits principaux ou dynamiques qui permettront
de ~ tout le componement dynamique de la structure. Ce sont les deglts de liberté de

---

128
frontière dans le cas de raccordement de deux sous·sauCtures.
• un sous-ensemble de ~ degrés de liberté dits secondaires.
Le vecteur déplacement elles maDices de masse et de rigidité peuvent donc s'écrire :
(11.6)
TI convient de choisir les degrés de libené dynamiques de telle sone que les forces
d'inertie
~~
associées aux degrés de liberté secondaires soient négligées.
Cette condition est réalisée si les masses affectées à ces nœuds sont nulles ou
négligeables. On doit donc résoudre l'équation:
(11.7)
( I(-rr
I(F"
On en déduit
_.
(11.8)
X l '" - \\(~ C \\(" F X F
D'où le changement de variable.
(11.9)
( : : ) '"
( - \\(:;." . .)
XF
où la matrice rectangulaire
(II. 10)
représente les modes de déformation statique introduits en (1.60). Ce changement de
variable permet d'obtenir le système condensé
(lU 1)
où
(lI.12a)
(lI.12b)
-. .
,
•....... _.

---

129
avec
(1I.12e)
2. =
La précision de ceue méthode de GUYAN est néanmoins liée au choix des degrés de
liberté dynamiques qui doit se faire avec précaution faute de perdre les basses fréquences.
2) La mélhode de LEUNQ
Afin d'améliorer la procédure de GUYAN, LEUNG a récemment obtenu à partir d'une
formulation continue el discrète, de type RAYLElGH-RITZ (R 31 let (R 33)
,basée sur les
modes encastrés et les modes statiques ( ANNEXE 8 ) une matrice de raideur dynamique
étendue aux rennes du prefiÙer ordre.
(11.13)
où
(II.14a)
.L
où Jl&. est la mamce spectrale, carré des pulsations et
(II.14b)
~ étant la matrice modale des premiers modes encastrés.
Le Théorème de LEUNG permet de déterminer la matrice de masse dynamique pour un
système linéaire,à partir de la matrice de rigidité dynamique.
(1I.15)
M. ("'1
On obtient alors
(11.16)
h (""l ::::
. --.",

---

130
3) Etapes du calcul
• 1· On détennine les mamces ~ et J'L~ en résolvant l'équation spectrale
(n.17)
(n.180)
(il.18b)
• 2- On choisit W. proche de la pulsation cherchée. Si celle-ci eslla plus basse, on
prend W o ~ 0
• 3- On calcule
(n.190)
1> (W.) -
K -
w." M _ W .... G.I\\. G T
(n.19b)
• 4- On résout l'équation suivante
(il.20)
• 5- On détemûne la pu1sation cherchée par le quotient de RAYLEIGH
(il.21)
1.3 REPONSE TEMPORELLE
1) Solution générale
La méthode des Eléments Finis donne pour une structure non amortie l'équation
dynamique suivante:
(il.22)

---

131
où
M et
K
sont respectivement les matrices de masse et de rigidité,
À
le
déplacement généralisé et
F
le vecteur force.
Si (> désigne la matrice modale des 1ft\\. premiers modes normaux. et JL~ la matrice
spectrale qui lui est associée, Jes relations classiques suivantes som vérifiées:
(11.23)
1'\\ i
~"::. \\( ~
J
Le ehangement de variable
(TI.24)
donne l'équation dynamique:
(11.25)
<; + JI." "\\ - l:'-
où
(II.26)
désigne la force généralisée
La solution de l'équation (ll.25) s'éerit :
(TI.27)
où ";'",.s>.(t ••),
"" .Jlt
et"''''.J\\.-I: désignenlSymboliquement des matrices
diagonales respectivement d'éléments diagonaux
et
T
(TI.29)
"1. -= ~ M.).. (0)
•
avec ).,(0) el },l.lles conditions initiales associées à l'équation 1Il.22) don' la solution
générale s'éeri' :
l1
Mt)::.
t A'~ (....: A 't:) i Tt1 >110) T ~ lCfl> .t\\.t'J {TM. ).(.)
!
(TI.30)
.,. !..II:" J." ".il. lt-l') i T 'F ll') J'li
J

---

132
Dans les cas réels. l'on tient compte de l'amortissement et au bout d'une certaine dufte.
seul subsiste le dernier terme de l'équation (n.30) qui correspond à l'intégrale de convolution
de DUHAMEL. Soit;
Au terme de deux intégrations par panies, l'expression (TI.3I) devient
(11.32)
À" ! -K~ ~T ftt) - ~ .l("'tAb./\\.1:' ~.,.F(o)
_ ï .rc"'........M t T folo) - l.i\\.'lL~;" .l\\. H- ~J i T Plt) .ft
2) Influence des termes résiduels
Dans le cas où l'excitation ne conceme que certains nœuds seulement, il est naturel
d'introduire la partion (11.6) des degrés de liberté;
(II.33)
Si la matrice modale ci se partitionne conformément aux degrés de liberté, l'on peut
écrire :
(11.34)
Si la force F(t)
admet des dérivées d'ordre élevé,la relation (11.34) peut s'éerire apres
plusieurs intégrations par parties:
\\
:r
..
-'/-
T
••
(11.35)
1\\1"::
'l~..tL ~F f'{tJ - TF.J'l. ~F 1" t"l
+ ~ .. .ri:s lt ~ .J\\. Lt - -'J !T"F F ((..(~) .Il;
+ <I" <. = -l'l.t) -i\\.-"'l.rra. i 'FT F(o) - ~: 1"(0»)

---

133
Compte tenu des relations:
- -
\\(
..
(11.36.)
(Il. 36b)
où
K
et
M
sont définies respectivement en (11.12.) et (II.12b), il vient:
(11.37)
On peut ainsi comparer les solutions temporelles ebtenues avec les trois expressions
(11.31), (11.34) et (11.37)
Test de validation
On a fait un test numérique simple avec une poutre cantilever de lm de longueur, dom
les caractéristiques principales sont: El = 1 et
~S = 1.
FIGURE II.1
J
On applique 1. force F(t) = [':"
(,+- f)
~l'extrémitélibre. Lesd6grts deliben6
principaux som la translation et la rotation à. cette extrémité.
.1
Les deux courbes obtenues (voîr page suivante) divergent lorsqu'on utilise un mode
dans les formules (11.31) et (11.37). TI f.ut utiliser jusqu'~ 7 modes dans l'expression
• .
(11.31) pour que I.courbe corrrespondanle converge vers ceUe obtenue par l'6qu.tion (11.37)
qui n'utilise qu'un seul mode car elle tient compte des tennes résiduels.
1
1
1
1

---

134
REPONSE TEMPOREllE - METHODE DE LEUNG
COMMENTAIRE
REPONSE TEMPORELLE - LEUNC
.. EHal J'ur une
100
poutre canti lever
encastrée à un
bout et 1ibre li
['Iutre
,,
Q
,,
1. Courbe en poin- ~
z
t j lilfe obtenue par ~
'\\
la formule (fI.J7) '"
~ -50
,
pour un mode.
~
,
2. Courbe en conti
- 1 0 0 + - - - , - - , - - . , - - , - - - , - - - - ,
nue obtenue par
o
2
l
q
5
b
TEMPS D'OBSERVATION
forlllule nL31)
pour un mode.
-
SANS TERNE RES,
-••• AVEC TERME RES 1,
COMMENTAIRE
REPONSE TEMPORELLE - LEUNC
* Il ~'a conver-
genet des 2 cour·
100
bes ci-dessus lors
i;;
~u'on appli~ue la
50
0
a.
formule (11.31)
3
avec au moins 7
Q
0
V>
~
Iftodes.
C'est donc
~
\\
"'
~ -50
Interet de plus
:!l
\\
des termes res j-
-100
duels ,for/fIIJle
0
2
l
q
5
<11.37) <lu on uti-
TEMPS O'OSSERVATION
lise un seul mode.
1- SANS TERME RES, 1..-· AVEC TERME RESI, 1

---

135
1. 4 :;;O:PRESSION DE LA MASSE RESIDUELLE
D'après les équations (1.373b) et (I.374b) les masses résiduelles en formulation
matricielle s'écrivent au premier et au second ordre respectivement
(1I.38a)
(II.38b)
où'\\' ·est la mattice des déformées statiques,
)( la matrice des modes encastrés et
l'inverse de la matrice spectrale.
1
l
II. ÇARACTERISTIQUES RESIDUELLES EN ANALYSE DE SENSIBILITE
II.1 PROCEDURE GENERALE
On se place ici en formulation classique de déplacement. En analyse de sensibilité.
l'influence des perturbations de structure sur les valeurs propres d'un système mécanique est
déterminée par un développement asymptotique à panir des premiers modes Donnanx du
système de base.
La méthode proposée dans cette partie tient à diminuer les effets de troncature modale. TI
s'agit de modifier les perturbations structurales avant l'application des relations de sensibilité.
L'on calcule les variations dans les formes des modes et les fréquences naturelles
induites par la modification des termes dans les matrices de masse et de rigidité, ( R 56) à
( R 57) . Celte approcbe permet de détecter les variations structurales qui induisent un décalage
des fréquences pour mieux estimer le sys~me. Elle ne nécessite pas le calcul complet des
nouvelles fréquences des systèmes perturbés et évite ainsi un temps de calcul excessif. On peut
1
l'utiliser pour estimer le gradient d'une fonction coût, ou dans les procédures d'optimisation,
( R 59 ) et (R 68 ) , ou dans la correction de modèles Eléments Finis basés sur les tests
vibratoires, (R 60) et (R 63 ) .
On considère une structure conservarive el non amome dont les modes normaux discrets
sont solutions de l'équation
(11.39)
1
J

---

136
L'objectif est d'obtenir par un calcul simple les solutions rlu problème spectral penurbé
suivant:
(Il.40)
Les variations A K et
b.. M ont une nonne plus ou moins faible liée aux matrices "'K.
et .M. du problème de base (Il.39)
(Il.4la)
(II.4Ib)
On applique ensuite la méthode des perturbations aux éléments propres
- ..
(Il.42a)
.... -.
Wfo.
::
(Il,42b)
Dans la pratique, on se contente de faibles perturbations et on utilise un développement
limité au deuxième ordre.
Si les modifications concernent seulement un faible nombre de degrés de liberté dans le
modèle Eléments Fmis, il est intéressant d'introduire la matrice de flexibilité correspondante.
L'équation (IlAO) devient alors
(IlA3)
=
-
où les matrices de souplesse S = ( S ij) et
b. K et
à,M correspondent aux
nœuds concernés par la modification. La matrice de souplesse
S
est une sous-matrice de la
matrice
(l<.-c.o~M J~ Ces composantes s'écrivent à l'aide des' modes normaux :
(Il.44)
X .."
y.,j~
-c.>o.+ ",",.
où
Les nouvelles pulsations apparaissent comme les valeurs qui annulent le déterminant du
sys~me homogène (Il.43)

---

137
(1I.45)
-
Les choix de AK et D,. M sont liés aux valeurs imposées de w~
En accord avec les méthodes de synthèse modale, ( R 46, 62, 64 et 65 ) les nouvelles
solutions propres peuvent résulter du système suivant:
(lI.46)
où
(lI.47)
,
X étant la matrice modale des déplacements des N
premiers modes de la strucmre.
P-our obtenir une relation entre les nouvelles solutions et les anciennes, il est nécessaire
de calculer les termes d'ordre élevé dans les développements (lI.42a) et (1l.42b). RYLAND a
proposé, ( R 54) une procédure ~ sur la décomposition de CHOLESKY de la matrice de
masse et une projection dans la base des vecteurs propres.
Les équations (Il39) et (II.42) conduisent aux relations:
(lI.48)
et
(lI.49)
Les letD1es d'ordre zéro sont liés aux conditions d'orthogonalité des modes normaux
(lI.50a)
(Il40b)
On constate qu'à l'ordre un. la correction du k ème mOde n'améliore pas les autres
modes. n devient donc nécessaUe d'utiliser les termes du deuxième ordre pour obtenir une
meilleure estimation
(II.5l)
T
c(a.L: _ox
<'-ld'lhA)(X{'l'-~e.+~ :~~}\\.(-..tr.B1'I\\~"
"
1"to.

---

138
Afin de délenniner les termes 0(;,- el Il;' des développements limilés (II.42a) el
(I1A2b) à l'aide de la malrice de flexibilité introduite dans l'équation (lIA3), on fail varier
l'égalité triviale suivante :
(lI.52)
On obtient
(Il.53a)
c'est~à-dire
(lI.53b)
En introduisant la relation (D.44) dans l'égalité (II.53b) à gauche comme à droite, on
obtient les relations d'ordre un. VAN HONACKER, ( R 55 ) utilise celle procédure pour
obtenir les relations de sensibilité pour une structure amome et les termes du second ordre
(llSl) dans Je cas non amorri. BRANDON, ( R 36 ) a obtenu des résultats similaires en
appliquant la méthode des perrurbations aux modes complexes.
Mais peu d'études ont été faiteS sur l'influence de la ttoncature modale dans le calcul des
dérivées des valeurs propres. Dans le cas de l'utilisation de l'équation (lI.43), ma HlRAI,
( R 64 ) et ( R 65 ) a proposé l'introduction des lermes résiduels pour réduire l'influence de
la troncalltre dans l'expression de la malrice de flexibilité en équation (IL44).
')(.;io. 'll.i "
(D.54)
-"Ji; + "'~c.
En accord avec les travaux de LEUNG, . (R 31) à
(R 35 ) , les lermes résiduels
sont donnés par
(LI
(Il.55)
S ",~.
_
,
où
(Il.56)
G (1.) _

---

139
Plusieurs auteurs ( R 23 ) et ( R 70 ). ont proposé l'utilisation des caractéristiques
résiduelles en synthèse modale. En se limitant aux tennes du premier ordre, les solutions
propres du système perturbé vérifient l'équation standard suivante:
(II.57)
où
-
(11.58)
KR = SR ..
V est le déplacement des nœuds concernés par la perturbation.
XF est la matrice modale réduite sur les nœuds de frontière.
Afm d'améliorer la procédure~ on utilise la relation (TI.54). Les relations de sensibilité
(II.49) et (II.5 J) deviennent:
(II.59)
(II.60)
Quoique ces expressions permettent de réduire l'erreur induite par le calcul des termes
introduits dans les équations (ll.42), il est intéressant de formuler une nouvelle procédure qui
améliore la convergence de ces séries.
La méthode que nous proposons repose sur l'utilisation simplement des expressions
(II.48), (II.49) et (II.5 J) appliquées non au système réel, mais au mod~le modal (II.57) qui
tient compte de lattoncature modale par le biais de la matrl"" ~ueJ]e de rigidité

---

140
ll.2 PRESENTATION DE LA METHODE
1) Théorie
Un important domaine d'application de l'analyse de sensibilité est l'étude de l'influence
d'une modification locale de la raideur d'une structure, Si l'on considère Que les nœuds
concernés par la rncxlification sont associés aux déplacements de frontière dans le modèle
discret (11.57), les coordonnées Ui correspondant au modèle modal (11.46) elles déplacements
Vi vérifient les équations suivantes
(11.61)
CUi) = "Xç Go
(ll.62)
où Q est le vecteur des coordonnées modales apparaissant dans l'équation (ll.46) et
les forces exercées par la structure sur l'organe de rigidification. de manice de rigidité t::. K.
Les vecteurs de déplacements U et
V
vérifient:
(11.63) F=KR (U- V)
La matrice de rigidité résiduelle
KR
prend en compte les modes non retenues. En
accord avec la relation (II.4a), cene matrice s'obtienl à l'aide de la matrice de flexibilité statique
ST sous-matrice de la matrice K-I associée aux nœuds de frontière.
-,
-~
T
5
(11.64)
KI,
= Sr - XF.n.
'X F
= ..
Dans le cas d'une structure libre où on ne peut définir
K-I. une matrice de
pseudo-tlexibilité statique présentée en ANNEXE 2 permet de remplacer
ST
.
En éliminanlle vecteur
V
dans les équations (11.62) el (1153), il vienl
(11.65)
Le modèle modal (11.46) est ainsi lié à une nouvelle matrice de raideur de permrbarion
(11.66)

---

141
La méfhode consiste à appliquer les relations de sensibilité établies précédemment au
modèle modal (II.46) el consttuit av"" N
modes normaux X~
Si la penurbarion
8 K est introduite comme une distribution de raideur additionnelle
de frontière en FIGURE 1.5, on obtient en se contentant des termes du premier ordre
(II.66a)
..
•
(II.66b)
L
Xt.. x'FIl 6i( "Fil
w,'-- W"l
La méthode proposée a été illusrrée par une penurbation de raideur. li est possible de
l'étendre à une modification plus complexe de structure. C'est l'objet de l'ANNEXE 5
2) Exemple de validation
On introduit une perturbation de rigidité de frontière au modèle Eléments Finis de plaque
rectangulaire de référence pour illustrer la méthcxie proposée.
<
1
/
.-
~
1
-
HOURE 1I,2
On analyse les résultats obtenus par un calcul direct en Eléments Finis ou Synth~e.
Modale et ceux de la œthode de sensibilité. La perturbation en raideur est croissante et la
,
rnideur uniforme k sur les 39 DDL de frontière varie de 10 Nim à 10 N/m
1
Les tests ttalisés panent sur les deux premiers modes qui sont en fait les modes de
bnmch. oblœus pIII' ohaIgement en nüdeur et définis dans la partie IV du cbapitrt: 1.
J,

---

142
Pour mettre en évidence l'influence de la prise en compte de la souplesse résiduelle
de frontière SR, on applique deux fois la méthode de sensibilité avec d'une part SR de
bonne qualité et d'autre part SR nulle. SR nulle s'écrit:
s .. = c-- I~'S"' J
••.
Alors que pour la vraie valeur de SR calculée avec 6 modes libres, les termes diagonaux
-,
som de l'ordre de 10 mIN. On compare ensuite ces deux essais aux résultats de la synthèse.
a) Analyse fréquentielle
Les courbes obtenues prouvent que les faibles penurbations Qusqu'à
k = 1000 N/m}
sont peu sensibles à la souplesse résiduelle. Les 3 courbes sont identiques dans cette plage
de perturbation. Au delà de k = 1000 N/m, la méthode de sensibilité donne des résultats qui
convergent vers les valeurs exactes à trouver si l'on tient compte de la souplesse résiduelle
de frontière. Sinon, la divergence est très rapide comme l'indiquent les courbes.
TI convient de noter cependant ~ue la méthode sensibilité devient inapplicable pour les
grandes perturbations (au delà de JO N). C'esl ce que l'analyse de la forme modale met en
valeur.
b) Analyse de la forme modale
On s'est intéressé à la forme du 1er mode libre dont la fréquence initiale est
fo =70.447 HZ. sans aucune perturbation. On a réalisé la synthèse et la sensibilité avec les
6 premiers modes libres
(voir Tableau AI).
Le 6° mode
libre
a pour
fréquence
f6 = 238.683 HZ, soit une pulsation au cam (Jj'-, de l'ordre de 10 6 (rdIs) ':
..
• Pour une perrurbation
6. Kfaible:
Il K = 10 Nlm
-s-
La valeur réelle de SR donne une matrice de l'ordre de
10
mIN pour ses
composantes. Notre matrice SR nulle est diagonale et de coefficients constants sur la diagonale
1O....m/N.
Dans
les deux cas de matrices
SR (SRI = SR bonne et SR2 = SR nulle ),
6K ~ bo\\<; d'après la formule (1l.66 ). Comme XF '- a des composantes de
l'ordre de 10-<' (vecteur propre normé par rappon à la matrice de masse (M)), le produit
.,.
-
.
scalaire
X Fi.
A. K XF"1.
donne une valeur faîble, et de J'ordre de J'uni~. On trouve
naturellement des fréquences très voisines, à partir de la formule (1l.66a) pour la méthode
de sensibilité avec SRI et SR2 :
fi = 74.608 HZ (synthèse avec SRI) ; fi = 74.657 HZ (sensibilité avec SRI) ;
fi = 74.819 HZ (sens ibilité avec SR2).

---

143
A cause de son dénominateur Qui est de l'ordre de 10 , le reliquat:
,.
X
Fo
..
- "" ..
est une quantité faible, voire négligeable devant X ~ dans l'expression (II.66b) qui
-
donne X1.' Nous trouvons donc la même défonnée. en synthèse comme en sensibilité. Le
Graphe
a été réalisé pour la souplesse SR 1.
f
• Pour unefom perrurbaJiD. : AK = JO Nlm
•
La quantité XF",l1 K XF'S. est fone et on obtient les fréquences suivantes
fi = 211.911 HZ
(synthèseavecSRI); fi = 322.481 HZ (sensibilité avec
SRI) et fi = 254.037 HZ (sensibilité avec SR2). Cene divergence des valeurs se traduit
.
.
~
~---
aussI par des défonnées différentes car le tenne:
<::'"
XI Xr:.
6\\( )CFI
L-.
. . . . .
devient important.
i.m..a"
4'.: -
W '1
Pour la souplesse SRI, la sensibilité donne une défonnée quelconque qui est loin de la
déformée exacte obtenue par synthèse ou par Eléments Finis. C'est le Graphe
Remarque :
La bonne valeur de la souplesse résiduelle SRI
pennet d'obtenir des défonnées
semblables aux défonnées exactes obtenues par Eléments Finis. C'est pourquoi il est
intéressant de comparer les défo~es issues de la synthèse et de la sensibililé à paritr de SRI
l""'lue la penurbation de frontière croit.
1
j

---

144
GRAPHE G8
FREQUENCE
F 2
300-
150
N
u... 200
COMMENT AJRE
1. Comparaison
enhe 2 .:Jurbes
50
obtenues par syn-
1
Thès~ ei par la
O~+----'-'-----;----'---TI----r---I
.,L
4
5
b
méthode de sensi-
lOGAR 1TH~IE DE K
bl\\it~.
1- SYNTHESE
1---- SR BONNE
2. LA SOUPLESSE
RESiDUEllE SR .,t\\ ,-----------.~-----~~~~~~~~=_~-------------_,
FREQUENCE
F 1
q,ui e:xpliq,lJ.I~
la
bonte convergence ,
d
?
.
.
1
e~ ~ couYoes meme
., K=100.000 N/11 • 1
300-
O~f---rl--.,----r,---r--j;---"
o
1
'2
.)
4
5
b
W;AR 1THME DE K
1- SYNTHESE
1---- SR BONNE
1

---

145
GRAPHE G9
COMMENTAIRE
SENSIBILITE ALA SOUPLESSE RESIDUELLE SR
1, On compare 2
courbes obtenues
par la méthode de
2.500-
!
sensibilité res-
1
_ 2.000-
1
pectlvement pour
I:J
!
LA SOUPLESSE RES 1 (Îj 1,500-
i
1
DUELLE SR NULLE ET §
_____
0::::
1
pUIS BIEN CALCULEE "-1.000-
/
1
à la courbe de ré-
500-
fé.rence IJbtenue
.".."".."
.~.~' .-~
o-*===r==::::r:=:::;::-::::'~<-~«:'::--:'::---~--~--,===:;,
par s,nthèse.
o
2
3
4
5
b
2. On note la sen-
LOGAR 1THt1E DE K
s;bilité de la con
ver.gente à SR .
-
SnlTHESE
1---- SR BONNE 1- - SR NULLE 1
COMMENTAIRE
SENSIBILITE ALA SOUPLESSE RESIDUELLE SR
1. On compare à
l,iNO-
la courbe de réfé-
rence 2 courbe::s
1
2.500-
1
obtenues par ta
1
N 2.000-
méthode de sensj-
!
I:J
!
b, l, té pour SR NUL C5 1 500
;:<'
1
LE puis SR BIEN
~
1
"- 1.000-
/
CALCULEE ,
/
/
500
2, On no te l' i m-
portance de la bon
01==;===:;=
,=:::;=
,=-:'~,:::::=~:<:-<~-<,
ne connaissance de
o
2
3
4
~
b
LOGAR lTHME DE K
LA SOUPLESSE RESI-
DUELLE pour la con
_
S'INTHESE
1
SR BONNE
1-- SR NULLE 1
11er gence
L _ _L_-=-_-=-_..L
...J
.L._....J

---

146
GRAPHEG10
COMPARAISON DES FORMES POUR LE PREMIER MODE
FAIBLE
PER TUR BAT/ON
l.<=IOON/M
SYNTHE:5E
SENSIBI
-
LITE
(74-. 60 8Hè)
(74.657 HZ)
FORTE
PERTURBATION
K=/Ot">N/M
,
5YNTHE5E.
SENSIBILITE
(OZII. 9/1 Hi!)
(32~. 4-119 Hi!)

---

- - - -----
,
147
CONCLUSION
Les différents tests numériques réalisés dans ce chapitre confirment l'importance des
caractéristiques de frontière qui était déjà mise en valeur au chapitre 1. Leur prise en
compte dans d'autres techniques d'analyse mcxlale telles que l'analyse de sensibilité améliore
les résultats des essais.
Afin d'obtenir une meilleure connaissance de la réponse dynamique des SOUS-structures
par synthèse mcxlale ou par assemblage, l'on introouit des méthooes de correction qui ont pour
but de recaler les caractéristiques des frontières utilisées lors des essais. C'est
l'objet du cbapitre 3.
1
1

---

---

148
1
1
1
l
CHAPITRE 3
CORRECTION DES CARACTERISTIQUES
DE FRONTIERE
1

---

---

149
CHAPITRE 3
CORRECTION DES CARACTERISTIQUES
DE FRONTIERE
INTRODUCTION
1. METHODES DE CORRECTION
1.1 MINIMISATION D'UNE FONCTIONNELLE "ECART"
1.2 CORRECTION DIAGONALE MATRIC1ELLE
1.3 CORRECTION GLOBALE MATRICIELLE
lA CAS DES CARACTERISTIQUES RESIDUELLES DE FRONTIERE
II. AppLICATION AUX FRONIIERES A FAmLE NOMBRE DE DEGRES DE
LmERTE
II.! PROCEDURE GENERALE DE CORRECTION
1
II.2APPLICATION EXPERIMENTALE
III. APPLICATION AUX FRONTIERES A GRAND NOMBRE DE DEGRES DE
LWERTE
m.1 CREATION ET IDENTIF1CATION DES MODELES
m.2 CORRECTION EXPERIMENTALE DES MATRICES MODALE ET DE RAIDEUR
m.3 CADRE D1JTILISATION
CONCLUSION
1
1

---

150
lNfRODUCTION
Les méthodes de correction en Dynamique des structures ont pour but de recaler les
modèles numériques représentés par une matrice de masse et de raideur afin que les
caractéristiques des modes mesurés correspondent à celles des mcxles calculés.
Les corrections concernent les matrices de masse et de raideur. Dans la première partie de
ce chapitre nous présentons en fonnulation primaIe les principales techniques de correction:
-Minimisation d'une fonctionnelle "écart" ... correction matricielle diagonale'" correction
matricielle globale et méthode de sensibilité déjà étudiée dans le chapilre précédent
Nous montrons ensuite comment ces méthodes se développent dans le cadre des matrices
résiduelles utilisées lors des raccordements de sous-structures. Il devient alors nécessaire
d'envisager deux types de fantière adaptés à des techniques de raccordement différentes.
On étudie dans la deuxième partie les frontières avec un faible nombre de degré de libené
où il est intéressant et efficace de corriger les termes diagonaux des matrices résiduelles
localisées aux interfaces. On a adopté pour cette étude la formulation primale et duale.
La troisième partie, essentiellement en formulation primaIe, est consacrée aux frontières
avec un grand nombre de degré de libené. On y applique différentes techniques de correction
afin de réaliser une meilleure synthèse des sous-structures, et donc un assemblage proche de la
réalité.
1. MElliODES DE CORRECIlON
1.1 MlN!M!SAIlON DUNE fQNCf!ONNELLE "ECART'
On recherche un ensemble de paramètres de contrôle qui minimisent une fonctionnelle
représentant l'écart cnrre les caratéristiques modales mesurées et calculées. Les gradients
calculés pour réaliser cet état stationnaire reposent sur les techniques de pénalisation, de la
définition d'un étal adjoint ou bien l'utilisation des dérivées des fréquences de résonance et des
modes de vibration. Nous illustrons cette dernière procédure par la correction d'une matrice de
masse et d'une matrice de raideur.
1) Correction de la matrice de raideur
(K) .
On suppose ici que la matrice de masse
( Ml est exacte et on se contente d'une
correction de 1a seule matrice de raideur. On décompose à cette fm
(Kl en "n. matrices
[l(\\)
telles que:
...
(IlLl )
(K) = L
(K.)
,= 1.

---

151
..
On cherche la matrice corrigée (K) sous la fonne
..
(111.2)
(~) "
~ -= "1.
où les 't) i.
som des paramètres de correction. ').: corrige globalement la manice
du sous-système l. s'il est différent de 1, sinon cette correction n'a lieu.
On recherche ensuite les paramètres :J de correction qui minimisent la fonctionnelle
suivante:
(HU)
~
.~
Où les (U~
désignent le carré des"",. pulsations calculées et w\\
les valeurs
correspondantes du modèle corrigé.
L'intérêt de cette méthode réside dans le fait que les seules données expérimentales
utilisées sont les fréquences propres, données en général exaCles.
La stationnarité de Jt")l s'écrit:
(IlIA)
ou bien
_
0
(111.5)
...
On se sert ensuite de l'onhogonalité des modes X i du modèle corrigé, soit :
....
.. ..
.. T
c. ..., .....1
(1II.6a)
w; - Xl C101.) X,
i. "'
..
,. T
c. ..., -."]
(1I1.6b)
:1-
"'-
Xi
~ M J 'Xi
L E
L'égalité (III.6a) induit les relations suivantes:
(111.70)
T
(1II.7b)
" Xi

---

152
L'équation (llI.5) pennet alo" d'écrire:
/T)\\,.
" ' "
. .
T
'Z l2. "J~Xf.. (1.</) Xf..Xl'T (K,) X'
l", ,=1
"-
(1ll,8)
""
~
~
""'ï
..
::
L...
tIl fo. X '-
(K 1) X f..
l
""
[
.. , 'n.)
".,
Ce système matriciel peul s'écrire encore :
(llI.9)
où
A
est une matrice carrée 'Y\\. ~"'" ,de rennes
Cl LJ
(Ill. 10)
et ~
est un vecteur colonne de dimension "'1'\\.. et de composantes ~ ~ :
(lll,l1)
, e [."1., "'-)
2) Correction de la matrice de masse CM ) .
La procédure utilisée est analogue à celle qui a pennis le recalage de la matrice
(K).
On suppose donc que la matrice de raideur es[ exacte et on divise la struclUre en
SOllS-StruCrores. La matrice de masse du modèle initial s'écrit:
m.
(lll,12)
L. (M,)
où (M,) est la matrice de masse de la sous·smJcture i..
La matrice de masse du système corrigé s'exprime
(lll.13)
où les "'), sont des paramètres de correction

---

153
En posant
(111.14a)
(IIl.14b)
conformément aux nOialions inrroduites dans la relation (111.3) on définit une
fonctionnelle
]' suivante:
"'"
(111.15)
- 'L
t,: 1-
On doit rechercher les paramètres 't)
de correction qui minimisent cene fonctionnelle
Une démarche analogue à celle utilisée dans le cas de la correction de la malri.ce de
...
raideur conduit au même système malri.ciel (l1l.8) où on remplace les vecteurs propres X. de
( Mr 'l K) par les vec'eurs propres V, de (Kr '[;;) .
TI convient de remarquer que la marrice{\\lC.) n'est plus inversible si la structure possède
des modes de corps rigides. Néanmoins. plusieurs procédures numériques permettent même
dans ce cas de calculer les vecteurs propres ~~ et d'appliquer la méthode sur "'17\\. modes
élastiques.
3) Correction simultanée de
(K) et
(.Ml..
Dans les deux recalages précédents. on a chaque fois supposé que l'une des deux
matrices était exacte. La validité du résultat obtenu dépend donc de cette hypothèse. Il apparaît
donc utile d'envisager une correction simultanée des deux matrices de masse et de raideur.
Plusieurs techniques permettent de réaliser cene correction simultanée, dont une méthode
itérative simple, alternant les deux corrections et convergeant rapidement vers la solution exacte.
4) Commentaires
Le rang de la matrice
(A)
en (IIl.9) dépend de la structure et du cboix des
sous-système i de malriees de raideur (Ki)
ou de masse (Mi).
Dans la perspective de pouvoir appliquer cene méthode de correction aux marrices (SR)
de souplesse résiduelle de frontière, on est confronté à un problème de taille du calcul.
En effet pour une frontière de raccordement de P dégrés de libené (DDL), (SR) est
une malrice carrée d'ordre P. Si l'on souhaite corriger les Px P termes de (SR) ,la malrice
(A) a alors pour ordre Px P, ou éventuellement Px (P + 1 ) 12 si (SR) est syrnélrique.
Dans le cas par exemple de notre plaque d'acier avec 39 DDL de frontière. (SR) est
symétrique et la correction de tous ces coefficients conduit à une marrice carrU (A) d'ordre
1365.

---

154
La méthode présentée n'est donc envisageable que pour une frontière à très faible
nombre de dégrés de libené.
1.2 CORRECTION MATRICIELLE DIAGONALE
Cene correction pone sur des matrices de petite taille obtenues lorsque les perturbations
sont localisées. Ce sont des matrices de souplesse dynamique (S) relatives aux nœuds
impliqués dans la correction. Les fréquences de résonance du système perturbé apparaissent
comme les valeurs qui annulent un déterminant de faible dimension associé à la matrice (s) .
La correction (à. S) de cene matrice (S) est recherchée sous la forme d'une matrice
diagonale (f.). Les
k
éléments de (~) sonl calés de façon à obtenir les fréquences de
résonance exactes de
k modes de branche lorsqu'on introduit une matrice de souplesse ( SB)
associée au chargement de frontière.
Cette
méthode
est
développée
dans
le
cadre
des
frontières
de
raccordement à faible nombre de degré de liberté.
1.3 CORRECTION MATRICIELLE GLOBALE
Contrairement aux méthodes précédentes, ces techniques de correction définissent des
. perturbations glo.balesdes maoices de. masse, de raideur ou des modes. Elles sont basées sur la
minimisation de la nonne de ces perturbations en imposant des conditions d'onhogonalité et le
respect de cenaines relations spectrales.
Ces méthodes ont été proposées dans plusieurs anicles par BERMAN (RI7, RI8),
BARUCH (RI9, R20) et récemment par KABE (R 21).
1) Correction de la matrice de masse
On suppose que la matrice de masse expérimentale
(M) compone des erreurs et on
introduit la perturbation lA M) qui pennettrait de vérifier la relation d'orthogonalité
(111.16)
où X est la matrice modale rectangulaire des modes discrets et l la matrice d'identité.
Comme la matrice
X
est non inversible, l'équation (III.16) admet une infmité de
solutions
lA. M). Mais on recherche la solution qui minimise la quantiœ
(1ll.17)

---

155
On introduit al?TS la fonction lagrangienne suivante:
""
~
T
(III.l8)
If = E. ;. L L. À./ X (lM) + (6M)))( - I:~ ij
\\,:1. ~=1.
En différentiant la fonction li' par les composantes
(t. tI\\i de la matrice (Ii tI) .
les équations de stationnarité se menerlt sous la forme:
(III.l9)
d'où
(III.20)
De même, la relation de contrainte (Ill.I6) permet d'écrire:
(1I1.2l)
il vient en définitive
(IIU2)
L'équation (lII.20) permet alors d'obtenir le résultat cherché:
2) Correction de la matrice de raideur
On introduit la penurbation
tà K) pour corriger la matrice de raideur (K) afin de
vérifier l'équation modale suivante :
(IIl.24)
La matrice modale X est supposée exacte, de même que la matrice de masse (M.).
est la matrice spectrale expérimentale.
On impose à la penurbation (IiK)d'être symétrique:
(IIl.2S)
On introduit la fontion lagrangienne
L
suivante

---

156
...
...
(1II.26)
L= ~ + ~ 2:4: ,I.,;((l<)T(C>K))X -(M)X.tl.')"i
"'='1.)=-
'" '"
T
L.~ f.>'i (C>....l-(A ...)) ..J
, . ,
4'=1
qu'on cherche à minimiser afin d'obtenir une penurbation (.0\\(.) qui vérifie les deux
équations (ill.24) et (ill.25) et qui SOil de nonne €
minimale:
(1I1.27)
La matrice de terme général p. 'a des multiplicateurs de LAGRANGE associés à la
condition (I1I.25) est anti-syméoique
(1l1.28)
En différentiant la fonrion
L
par rapport aux éléments de ~ ~ ) , on obtient des
équations de slationnarité qui s'écrivent sous cette fonne condensée:
(ll1.29)
dL
= lM)-~ (AI() ("'Y' + ~ lJ.ii) X" + ~ \\.~ii)= 0
.. b><
d'où la valeur de la perturbation
(1ll.30)
Pour éliminer la mattice
<. ~ lJ). on ajoute à cette équation sa transposée et on utilise
(ill.25) et (ill.28):
(1I1.31 )
En tenant compte de la relation (1l1.24), l'équation (ill.31) multipliée par X donne
(1lI.32)
sous l'hypothèse
(1II.33)
Les multiplicateurs de LAGRANGE c/..'J s'écrivent à partir de l'équation (llI.32) :
(lII.34)

---

157
L'expression de eJ.ij introduite dans la relation (111.31) permet d'obtenir en définitive:
(III.35)
(6. ... ) :
( .... jXX'(M) _ (l''I)XX'(K) + (M)XX'" (K)~~T(M\\
+
(M)X ..n.:",,'(I"I)
3) Correction des modes
On souhaite corriger la matrice modale X
des modes discrets de la structure afin de
vérifier la relation d'onhogonalité suivante:
(III.36)
Comme dans les méthodes précédentes on minimise la fonction lagrangienne suivante:
1
~ =- E. + -
L -
(1Il.37)
L 'h \\)<"'(M)X - T..)
.: ... 1
Jo;;"1,.
avec
"/~
-t.
Clll.38)
~ :: li (1'\\)
( X - )( • ) Il
où
X 0 est la matrice initiale.
On impose à la matrice {'Jill") d'être symétrique à cause de l'équation de contrainte
(III.36), soit :
(1Il.39)
En différentiant
«É
par rapport à chaque composante de
X
. les équations de
stationnarité donnent:
ô~
(IlIAO)
:
...
(M)
(l<- •• )
+ ....
(1"1»)< <"'J',n:. 0
"X
En simplifiant cene égalité par la matrice (t1)qui est inversible, il vien! :
(IlIA 1)
On obtient alors les multiplicateurs de LAGRANGE en reportant la relation (III.41) dans
l'tgalité (1Il.36)

---

158
(llI.42)
En tenant comple de l'équation (IlIA1), il vien! :
(1ll.43)
Plusieurs algorithmes itératifs penneuent de déterminer la matrice modale X corrigée.
Nous avons retenu celui~ci dans nos tests numériques. Il .a l'avantage de n'imposer aucune
condition de nonne sur la matrice
(M)
et converge généralement au bout d'une dizaine
d'jtérations
Il)
[l))_,)
(llI.44)
( X
(M) )(
4) Correction sélective de KABE
Soil
lK) une matrice carrée qu'on penurbe pour qu'elle vérifie cette relation de
contraInte
T
(111.45)
X (1<. ",y) X = e.
X est une matrice rectangulaire
llr) =\\l!\\~) est une matrice carrée dont les coefficients vérifient
(IlI.46)
Le produil symbolique e s'écrit
(m.4?)
Comme la contrainte (111.45) n'est pas vérifiée
T
(111.48)
X
CI<) X = A
on introduit la fonction lagrangienne
~ + -
L. -
(1II.49)
L. "}OJ \\XT(I<;€)Y)x-e.h=o
(tI,
~C\\
où les "J'~
sont des multiplicateurs de LAGRANGE

---

159
(II1.50)
<. = I\\"i - t'l') II'"
où î. est une matrice Î:::; (i'd 1vérit'ianl
-
~
\\,.('i=o
4"\\""'-'0 ......
-
(III.51)
! 'l :
T,'i:'1.
0
En différentiant l'égalité (lll.49) par t '1)
,les équations de stationnarité donnent:
1
1
On multiplie l'équation (ill.52) symboliquement par
K à gauche
On mulriplie symboliquement l'équation (lII.53) par X à droite et par
X T à gauche,
d'où:
(lII.54)
ou encore
(III.55)
- A T
E.+
soit
(II1.56)
X" t 1<." '" t X ") T x" ) ) X -= ... (. A - ~ )
ce qui donne celte relation entre les composantes
(III.57)
L, L
",.,."""
><.~. X;,- ,Tt..! ·lfi"~~: "'lA-~- E..... ~)
Id
"d
On pose
(m.5S)
d'où
•
(ill.59)
,
1
J,

---

160
qui permet de déterminer la matrice
("I i ')'
d
n convient de remarquer que
(I1I.60a)
(1lI.60b)
On se sen ensuite de l'équation (01.52) pour écrire
(llI.61)
'hO
On multiplie cette égalité à gauche par '-<..\\i
>"
__
'\\
\\0(.".
T
(1lI.62)
~
)< ~.
•
En posant
(1lI.63)
il vient
(HI.64)
1.4 CAS DES CARAÇfERISTIOUES RESIDUELLES DE FRON1lERE
1) InrroduetiQn des caractéristique$ résiduelles de frontière
Dans les assemblages de sous-structures, les interfaces de raccordement sont souvent
mal modelisées. Pour atténuer les effets pénalisants de la troncature modale d'autre part, il est
nécessaire d'inrroduire des rennes résiduels aux frontières. Mais dans un contexte expérimental.
ces caractéristiques de frontière sont mal connues. Une procédure d'identification de ces tennes
a été proposée par J.G. GIMENEZ ( R67 ).
Elle consiste à faire un lissage par moindre carré des courbes d'impédance tout en
imposant le caractère défmi-positif à la matrice de souplesse résiduelle. Néanmoins, il n'existe
pas à. notre connaissance, d'études spécifiques sur le recalage des termes résiduels. Ce qui
devrait avoir l'avantage d'améliorer considérablement les procédures d'assemblages.

---

161
Dans un comexte numérique, nous nous proposons d'introduire des caractéristiques de
frontière qui serOnt ensuite recalées pour améliorer le raccordement dynamique de
sous~structures.
La manice de souplesse dynamique s'écril
(III.65)
5 =
où
Xia. est constitué des déplacements de frontière induits par le ft. ~ mode libre de
la sous-structure considérée.
On peut relier les manices résiduelles à la souplesse dynamique:
l'-I
(';>
)L-~
N
_ot.
T
(III.66)
5..
, , -
5
L
w Lr.. )(r.. Xr..
."","
{.. ~
Les rnaoices de raideur et de masse obtenues numériquement permettent de calculer ces
expressions (III.66). Mais elles deviennent inutilisables sur le plan expérimental où l'on ne
dispose que de caractéristiques modales identifiées par des lests vibratoires.
Afin de déterminer avec une meilleure précision ces caractéristiques de frontière, on
introduit des modes de branche obtenus en fixant le long des interfaces de chaque
sous-structure des impédances simples.
Au cas. où on ne dispose d'aucune mauice de raideur, même grossière, ces modes de
branche permettent de définir des coordonnées généralisées de frontière
, bien
représentatives des caractéristiques de fromière dans le domaine fréquemiel des essais
vibratoires.
(III.67)
où v..
est le déplacement de la sous-structure et t'-\\ les forces de frontière induites par
les
\\. • ."....
mode de branche. D'après l'équation (1.400), on peut momrer que les
composames modales apparaissanr en équation Clli.65) s'écrivent:
(III.68)
w.~ est la pulsation de résonance du mode de branche ')..8ci . Le produit scalaire
peut être approché par la rnarrice de masse de la strucrure obtenue par discrétisation.
De même les deux familles de modes libres et de modes de branche permettent
d'approximer les termes de souplesse résiduelle. Les termes. d'ordre 1 om pour expression dans
le cas d'un chargement respectivement en masse et en raideur
1,
.~
)
!

---

162
(IlI.69)
(lII.70)
Les matrices résiduelles de souplesse obtenues ainsi ou par l'équation (III.66) restent
néanmoins imprécises et il eS[ narurel de se limiter aux lermes du 1er ordre S ~1,J.
"-\\~
2) Procédure de correction
l 'l
Afin de remédier aux imprécisions liées à la détermination des matrices
S p..
, on
élabore une stratégie de correction qui consiste à retourner les caractéristiques exactes des
modes de branche à panir de la valeur de
S(l.t~corrigée. On se sert naturellement de l'une ou
l'autre des techniques de correction développées précédemment en fonction du nombre de degré
de libené de frontière en présence.
La procédure de recalage repose sur une stratégie très simple qui peut être ainsi
schématisée :
Co v\\., t..-h"0\\00'I. 6 S A..
<:
L~
~
0< t.....t-~.""-
'V~------~"
L~
~/
-
--...,....-
FlOURE lIU
Cette teehJÙque de recalage est développée sur les deux cas d'interface: faible nombre de
degré de liberté de frontiàe el grand nombre de degré de liberté de frontière.

---

!63
II. APPLICATION AUX FRONTIERES A FAIBLE NOMBRE DE DEGRES DE
LIBERTE
lU PROCEDURE GENERALE DE CORRECflON
Dans le cas d'une distribution de masse le long de la frontière
,les équations (1.263),
(1.334) et (1.390) pennettem de relier les déplacements elles forces de frontière en formulations
primale et duale:
(III.?!a)
À =
. .. .
(IIl.?lb)
\\t = '"
~. À
..n: est une matrice diagonale constituée des carrés des pulsations des modes de
branche.
t1F
est la maoice de ma<;se de chargement sur les nœuds de fronûère concernés.
Les relations (1.311 b) et (1.343) donnant successivement -
SiJ et -
1:.ii deviennent :
1.
..
..
..
(P.o..:
.... ) _ _ ..n... M • ..n....
(III.72a)
-
\\
J
6
:L
","
W
.. -
....
(III.72b)
""
t'"i - W
Dans le cas d'un chargement en m.ideur que nous testerons en fonnulation primale, la
relation (ill.72a) devient
(III.?3)
où ~ est la panicipalion des modes de branche sur les nœuds de frontière et \\(g est la
maoice de raideur de chargement sur les nœuds de frontière concernés.
Dans chacun de ces cas de chargement, on oblÎent les valeurs approchées des fréquences
des modes de branche comme solutions de l'une ou l'autre des deux équations détenninantales
suivantes:
(III.?4a)
(III.?4b)
Dans le but de construire des modèles hybrides qui conduisent à une détennination
exacte des fréquences de résonnance des modes de branche, on ajoute des matrices de contrôle
aux maoices de masse et de souplesse résiduelles, soit:
1
1 --......'. ...,-...

---

164
...
lo)
(111.7 5a)
S Q.=
S Q.
+
~ "c.-"
Con..
(III. 75b)
avec
(III.76)
Ces matrices de contrôle sont prises diagonales car nouS imposons
k
équations de
conrrainte par le choix de
k modes de branche joints à."" modes libres ou encasrrés pour
construire les modèles.
Les équations (III.74) deviennent alors respectivement pour les fonnulations primale et
duale
..
(1Il.77a)
MF..ft.
+
+
lo)
s.. +
(III.77b)
( E. ' . .
'\\
lo
"E'-J
+ CE. \\,~( bi( (1.. w'e_ /W"E( Y' J + C. c. t Tt., • "'))) = 0
D'une façon générale, plusieurs matrices de contrôle peuvent vérifier ces systèmes de
équations. Mais la solution cherchée doit être de norme minimale et est obtenue par la méthode
de NEWTON avec la matrice nulle comme matrice de contrôle d'initialisation.
11.2 APPLICATION EXPERIMENTALE
L'essai numérique envisagé a consisté a rechercher les modes encastrés d'une plaque
rectangulaire à partir d'une synthèse réalisée avec ses 8 premiers modes libres el 3 modes de
branche obtenus par un chargement en raideur \\0""" (WI.. sur les degrés de liberté de translation
4
el
\\ 0 ,." J..,.,...sur les DDL de rotation) sur les 39 DDL de frontière (voir Figure III.2).
Les résolvantes des modèles 1 (modèle de RAYLEIGH-RlTZ, sans terme de souplesse
résiduelle) et 2 (modèle de projection, avec une souplesse résiduelle de frontière au premier
ordre) ont été utilisées pour calculer les fréquences de ces modes encastrés.

---

165
, , , ,
1
1
.-
", , ,
'"
~
-"
~
~
~
~
FlCURE III.2
obtention des modes encastrés
Dans le tableau Cl, on a recalé les 3 premiers modes de branche afin de pennettre la
correction des fréquences encastrées. Le modèle de troncature 1 a servi d'illustration.
TABLEAU Cl
N·
Mo DES
~
2
:3
4-
S
6
MO !lES DE
BRANCHE.
45". "5"
'il 1. 5"71
N· c..
1l)3.!~,
1.1 •. 04'
:3 0 8. ~3\\
,
NON C.oll.R.1 GE.:'
MODES I>E.
B RANCI-IE.
3G.354
'il4. G34
1.S". 6~o
""".878 1.35. 11.1 316.53 ..
,
C.ORRIGES
MODES DE
BRANC.I-IE
36.3"'4
'il 4. 614
IS'. 15~o .04.388
21.1. ., ...8
327. • • 3
EXACTS
Les deux tableaux suivants C2 et C3 montrent les -fréquences des modes encastrés
corrigés et non corrigés respeclivement pour les modèles 1 et 2. La correction améliore
nenement les résultats et la prise en compte de la souplesse résiduelle aussi.

---

166
TABLEAU C2
1= RE. QV EN c. ES (\\-11.). MO ilES E. N ( ASTRES
v~ ... t!:v",s.
VAL.'fVft..S
vP\\'\\,..evfls
NOMODES
•
"1\\'1 ....
cOR ..' 6-éF.s
c..o .. a., Cr E e;.s
ex Ac.'T~S
':\\.
4-S. 5" 4~
31. 423
35. S'1i5
<
i.OO.5"S5"
'lOS. <I-:l:l
1.0S.
"z,~s
3
i.~Z. 01.9
1.92. S3s
186· 486
4
'2.'2.9. ':\\.08
2'1.0. s"z's
241..1.27
5
'Z. 97. 919
'2.88.470
267. sB:!>
TABLEAUC3
I=R l:. QUE. N C. es (t-\\ "Zo) Ile s MObES EN C AS TRES
VA LE vtlS
VALEVRS
VA-L.E U 'RS
wCl MO bEs
,
"'ON
<'0 tt.a., CrEe-.s
c..otlft,.\\ 6Ée..s
eXACTes
1.
47.273
~8. Bos
3tl.5"119
2
:LaZ.3Z5'
1.0".. 0 D ,
1.0s-. ê,<lS
3
'1.%. S'1.0
'lB .......1.$"
1.116. 486
4
'2.1.8. 67</-
1.05'. 0 8
241 . 1<7
..
5'
N. c..
'2. 5"4.' 1"1
<67. S'83

---

167
III APPLICATION AUX FRONTIERES A GRAND NOMBRE DE DEGRES DE
LffiERTE
Nous nous inléressons dans celte partie essentiellement à la/ormulation principale. En effet,
la formulation duale est basée. sur l'utilisation des modes encastrés dont l'identification
expérimentale est difficile. et induir surtout des erreurs sur les matrices de masses résiduelles que
nous avons introduites précédemment dans un contexte numérique.
Or les modèles modaux que nous nous proposons d'identifier dans cette panie ont une
vocation expérimentale, même si leur construction demeure numérique. En effet, grâce à
l'introd.uction des modes de branches lrès accessibles expérimenmllemenr, les modèles numériques
envisagés pourront se prêter à des contextes réels.
III.! CREATION ET IDENTIFICATION DU MODELE MODAL DE BASE
Dans le but de meltre au point des procédures de correction efficaces et adaptées aux
fratières de raccordement à grand nombre de degrés de liberté, nous proposons le modèle modal de
base suivant. appelé BMM (Basic Modal Model ) dans toute la suite de ce travail, construit
à partir des. modes libres, des mooes de corps rigides et des coordonnés généralisées de frontière.
Ce modèle BMM doit pouvoir nous donner les trois principales familles de modes nonnaux
de la structure: les modes encastrés, les modes de branche et naturellement les modes libres
sur lesquels il est bati.
r.
-r.
r.
~
r.
r. 1
r•
•
Modes libres
Modes de branche
Modes encastrés
(A)( r.libre)
(B ) (1; chargée)
( C) (r. Fixe)
FIGURE (111.3)

---

168
Si tel était le cas, on peut admettre son efficacité pour représenter le compone ment de la
sous-structure avec des conditions aux limites quelconques et sa participation à la
dynamique de l'assemblage des systèmes mécaniques. Les tests numériques réalisés au cours de
ce travail mettent en évidence ceUe imponante propriété. Ils seront exposés dans les paragraphes
ultérieurs.
Dans le cadre de la formulation primale, les déplacements
)..
de frontière définis en
équation (1.26) s'écrivent pour une sous structure :
(llI.n)
À = XLF 'h
+ XIl.F
9", ... Sil. f<. '" XF "1 + S .. \\'-
XLF et XRF sont les participations respectives des modes libres el des modes de corps
rigides SUI les nœuds de la frontière ~
SR est la matrice de souplesse résiduelle de frontière (SUI ro )
ft est la force généralisée de frontière
XLF ;:: (XRF. XLF) matrice modale des participations des modes de corps rigides et des
modes libres.
"1", "IL
et
" désignent les coordonnées modales relatives à
XRF. XLF el XF
respectivement, avec
9 ~ [~~J
On associe à l'égalité ( 111.78) les deux équations modales suivantes liées respectivement
aux modes libres et aux modes de corps rigides.
( llI.79 )
et
( 1lI.8ü )
La conjugaison des équaüons (111.78), ( III.79 ) et (111.80) donne l'équation spectrale de
basedu modèle DMM

---

169
T
- X LF 1<.. " " ,
T
-
)(. -.. F
K.A... XL F
(ill.81 )
r:~] ·U]
Cette équation peut encore se mettre sous la Fanne condensée
,,2..
T
v
~"
l'F ~
9
AF
+
( ill.82 )
•
où n..~ est la maoice speciale diagonale du c.:llTé des pulsations
-..
1<.. = S li..
a) Modes encasrrés par le moclèle BMM
Les modes encastrés correspondent à une interface r:. fixe. donc le déplacement À de
frontière est nul ( cas B, Figure ll1.3 ). L'équation ( 111.82 ) devient :
( llL83 )
C'est l'équation specrrale d'obtention des modes encastrés par le modèle BMM. Ils peuvent
être comparés à ceux de la même structure obtenus direcœment par·Eléments Finis.
Les procédures de correction que nous proposons dans la suite de ce travail devront
pennectre de mieux calculer les modes encastrés que la résolution directe de l'équation (III. 83).
b) Les modes libres par le modèle BMM
La recherche des modes libres ne présente pas d'intérêt puisqu'ils sont à la base du modèle
BMM. On peut néanmoins les retrouver comme solutions triviales du problème spectrale suivant ;

---

no
...IL.... ...;
\\c.. )(r
( ill.84)
[
-
\\(tt" x. ..
c) Les modes de branche par le modèle BMM
Les modes de branche correspondent à un chargement en inertie ou en raideur à l'interface
( cas B de la Figure UL3 ), ou encore à un couplage avec une structure adjacente.
Si K 0 et M Il représentent respectivemet les Ulanices de raideur et de masse de frontière
induites par une disniburion de raideur et de masse le long de cette frontière ro .le déplacement
À et la force /J. à l'interface ro vérifient:
( ill.85 )
où ~ est la matrice spectrale du carré des prestations des modes de branche.
On déduit de l'équation (llI.82)
.tt..... )( / ll... Xç
( ill.86 )
[
_ll.~ )Cr
où
XR, XL et XB sont respectivement les marrices modales des modes discrets de corps
rigides, libres et de branche. M est la marrice de masse discrète obtenue par Eléments Finis.
La procédure de recalage du modèle BMM va consister à faire un choix optimal de la
matrice de raideur résiduelle KR et de la participation des modes libres XLF sur la frontière
ro ,
afIn de retrouver par l'équation ( 111.86 ), les fréquences exactes et d'approcher au mieux
les déformées exactes des premiers modes de branche,
L'équation spectrale maoicielle ( 111.86 ) des modes de branches va jouer un rôle majeur
dans la suite de ce travail car les méthodes de cOITe<:tion que nous allons Întroduire sont construites
à panir d'elles pour pouvoir recaler les modes de branche.

---

171
IlI.2 CORRECTION EXPERIMENTALE DES MATRICES MODALES ET DE
SOUPLESSE RESIDUELLE
1) Equations de base
li s'agit de construire une procédure de correction qui donne des valeurs intéressantes de
~I '='
S...
et de
XL corrigées afin de vérifier au mieux l'équation ( ID.86).
Les modes [~) solutions de ( 111.86 ) doivent satisfaire les relations d'orthogonalité par
rappon aux deux mattices suivantes de raideur et de masse.
....n.-+ ...')(.F'<A.,)(.ç
( 1ll.87 )
r
11=
_Il-.. "F
Soit :
( 1ll.88 )
+
:r r
el
( 1ll.89 )
QT.Jt"o.
+
a.T"ll<")cFGl.
_
Q.T)(~ 1<.. >-
- >.T ..... l<._ 0.. + >,T 1<"'>' + 1. Ko À -= ~
Le changement de repère
( 1ll.90)
donne
(llI.91 )
[ >."
)<.p Go + ~ 1
et permet de simplifier l'exp"'ssion ( Ill.89 )

---

172
( 1ll.92 )
De même, le développement de la deuxième ligne de l'équation matricielle (nI.86) donne
en accord avec le changement de variable (m.91 ) l'expression suivante:
( llI.93 )
Afin de d'exprimer les équations ( III.n ) et ( 11193 ) en fonction de la souplesse résiduelle
SR, l'on effectue le changement de variable:
( I11.94 )
On obtient:
(IIJ.95)
avec
( lII.96)
Autant les mesures expérimentales des déplacements généralisés de frontière À
et des
modes de corps rigides XRF som faciles, autant la participation XLF des modes libres à la frontière
ro
est quasiment inaccessible compte tenue de la nécessité de mesurer des rotations de
J'interface.
Il convient donc d'évaluer XLF à panir des autres caractéristiques modales mesurées. La
dernière ligne de l'équation matricielle ( 111.86 ) donne à cet effet:
( I11.97 )
1
= L
")(.L
>- - $0. H. >. At - K. >- - lCo.Go.) aL'"
En défmitive. on vérifie les relations (IIJ.88) et (III.95). On peut alors déterminer la maoice
modale des modes libres X L par l'expression (1II.97).

---

173
Le problème posé est ainsi résolu car ceue nouvelle valeur de XL, donc la valeur corrigée
(équation (m.97 »), et l'expression corrigée de la souplesse résiduelle SR (équaLion (IIL95»,
pennettem de calculer successivement les modes de branche corrigés, équation ( llL86 ), et les
modes encastrés corrigés, équation ( 111.83 ).
2) Intérêt de la correction du modèle BMM
A cause de la troncature modale, le modèle B M M perd de l'énergie cinétique. Les
équations principales ( 111.88 J, ( III.95 ) et ( III.96 J ne som pas vérifiées a priori.
1
1
II n'est donc pas cenain de retrouver exaCtemenl les modes de branche cherchés par
l'équation spectrale (IlI.86). Cest la preuve qu'apporteront les essais numériques ultérieurs.
Afin de remedier à cene difficulté, nous introduisons deux nouvelles procédures de
correction dont le prem.ier critère de validiré est le recalage exact des modes de branche
(équation (IlI.86) J.
3) Méthodes de correction reM et SeM
Les sIgles TCM et SCM sont déftnis comme suit :
TCM =Total Correction Method
SCM =Selective Correction Method
(ou Méthode de Correction Tora.le et Méthode de Correction Séléctive).
La procédure TCM corrige globalement une matrice alors que SCM n'opère qu'une
correction partielle comme son nom l'indique.
Il convient de signaler que le système fonné par les équations ( 111.88 ), ( 111.91 ),
( 111.95 ) et (111.96) est rigoureusement équivalent à l'équation spectrale de définition
des modes de branche (111.86) fi. laquelle on adjoint le changemenl de variable (111.91). Cene
équivalence esr établie en ANNEXE 6.
En définitive. si les équations (III.88 ), ( I11.95 ), ( IlI.96 ) sont
vérifiées
principalement, et l'équation ( 111.97 ) par voie de conséquence. nous sommes certains de
•
retrouver les modes de branche exacts par l'équation spectrale de base ( 111.86 ).

---

174
C'est pourqoui noS deux méthodes de correction TCM et SeM sont basées essentiellement
sur ces 3 équations:
• ( 1[L88 ) orthogonalité par rapport fi la matrice de masse M
• ( 111.95 ) orthogonalité par rapport à la matrice de raideur K
• ( [[\\.96 ) 2è ligne de l'équation matricielle speclrale ( III.83 )
a) Etape 1 commune aux deux méthodes reM el SeM
Celle étape concerne la correction des manices modales Q et ).. . Il s'agit de réaliser la
relation d'onhogonalité par rappon à la manice de masseM. ( III.88 )
( llI.98 )
On introduit les termes de correction J1 Q et A,À. pour obœnir l'égalité:
( 1ll.99 )
"'''AG. JT [T
0 J (lll.+ AQ. '\\ _ "I.
( À+AÀ
0
n..
À+A>.J
.-
..
Nous appelions
Q
~ (l. ... A ~
et
À -;:. À + 6. X les valeurs corr~gées
cherchées. il faut donc réaliser:
( IlU 00 )
l
La procédure de correction des modes envisagés au paragraphe L3 peut conduire à
..
"
l'obtention des valeurs
Go
et
À
. Mais pour cenain~ types de chargement à la froncière ro
( par exemple les chargements en Înertie ), voir Figure IlL3, ( cas B ), les modes de branche
calculés comportent des modes de corps rigides. Afin d'éviter l'influence de cette nouvelle famille
de modes de corps rigides, on cherche [~1 dans l'espace orthogonal à ceux-ci. Les
définirions de QR et QL introduites dans l'équation ( m.86 ypeuvent donc être conservées :

---

175
(II1.lOla)
et
(III.10Ib)
où XB est la macrice modale des modes de branche ( sans leurs modes de corps rigides au
cas où ils en auraient ).
Si la sttucture libre possède R modes de corps rigides XR, nous appellons YR la matrice de
ces modes rigides dans la base de description introduite en (III.78). YR s'exprime donc:
(III. 102 )
où YR est une matrice à R colonnes.
• La matrice! a R lignes ( à cause des R MeR)
.. La mat"'Îce nulle 0
a N lignes si on a retenu N modes libres
.. La matrice XRF a P lignes si ~o
a P
DDL de frontière.
La matrice YR a en définitive N+P+R lignes.
~oit YR l'expression dans la base de description ( III.7B ) des modes de corps rigides .issus
des modes de branche.
YR est une matrice à
N+P+R lignes et R colonnes.
'"
A l'équation ( 111.100 ) que doit vérifier la matrice [t] s'ajoure la contrainte
d'orthogonalité:
( III.I03 )
D convient donc de disposer de l'expression exacte de la matrice YR.
-

---

176
Expression de la matrice YR
Le choix de R vecteurs indépendants dans un espace de dimension Rest infmie dans ce cas
précis des MeR ( mcxles de corps rigides ). il convient de les choisir onhogonaux deux à deux et
qu'ils expriment aussi des mouvements d'ensemble par rappon aux DDL principaux retenus pour
l'érude parmis les 6 possibles: 3 rotations et 3 translations.
Dans le cas de plaque d'érude, où nOUS
avons retenu 3 mouvements principaux:
rotation 9':K. autour de l'axe x, rotation ~
autour de l'axe y et translation W le long
de l'axe z, il y a 3 mouvements de corps
rigides indépendants correspondant' à ces
trois mouvements d'ensemble.
FIGURE mA
La matrice YR est oblenue grâce à une transformation algébrique explicité en ANNEXE 7 :
(Ill.l04 )
où A est une matrice de dimension R x R.
Nous sommes maitenant en mesure de formuler la procédure de correction à partir des deux
équations ( III.l 00 ) et ( JTl.1 03 )
o ) 'f",.':: 0
n.
On cherche donc à mobiliser la fonctionnelle lagran~enne suivante:
( III. 105 )

---

177
où
(rn.106 )
et (~1 est la matrice initiale et n = R + P + N
(~;i) et (~iJ) sont les matrices des multiplicateur.; de LAGRANGE.
On impose à la matrice { , ii) d'être syméoique à cause de syrnénie de la relation
( I1I.100).
En différentiant i
par rapport aux composantes de la matrice (~J. les équations de
stationnarité donnent:
(111.107 )
.
-'-
En multipliant l'équation (111.107) par YR. il vient:
( I1I.lOS )
En substituant ensuite l'e~j)ression de (tii) dans l'équation ( III. 107 ), l'on obtienc :
(III.l09 )
où
(IlI.llO)

---

178
En introduisant l'expression ( \\lU 09 ) dans l'équation ( m.IOO J, on détermine les
multiplieale"" de LAGRANGE
11:._
o '1 ï1.
(llI.lll)
0;.)
)
..l}-),
L'égalité ( 1II.I09 ) induit alors la valeur de
soit :
(llI.112)
L'algorithme suivant. lesté dans nos essais numériques pennet d'obtenir une convergence
très rapide au bout de quelques itérations. '
(1lI.l13)
où
(1II.1l4)
'X (.) = Z
matrice d'initialisation.
b) Etape 2 : correction de fa souplesse résiduelle de frontière SR - Méthode l'CM
TI s'agit de corriger la souplesse SR par addition du terme correctif mauiciel A SR
afin
que la presqu'égalité:
(lll.l15 )
devierme une égalité
(1lI.116)

---

179
..
+"
où
SR =SR
SR
et
E:
vérifie:
(ill.117 )
E.' =
TI convient de souligner que les matrices À et Q intervenant dans cette Etape 2 sont déja
corrigés à l'Etape 1.
L'équation (III.l16) est une extension de l'égalité ( III. 16 ), la contrainte à réaliser dans le
paragraphe 1.3.
Un formalisme similaire à celui exposé au paragraphe 1.3,
1) permet d'obtenir A SR:
A Sfl.. '"
Sil, C"'. À .nt - 1<.. l.. J
(III. 118)
~ \\.CM.)" .n.~_\\<,.),,)TS.. (N'>'~_"".À")}"
... ((-n:-Q."'J1."'G._ >,T\\(.!I) _ (MoÀ.n;_I<..),)TS" (...l>J\\~_ICo!l)
~ ((M.À .tt.':-_'4l>lT S.. (t1.>'4-'4!1)r"(I1.~.JI.~_",,~)TS"
ou sous une fonne plus condensée
(III.l19)
où
(III.120a)
(ill.120b)
(III.120c)
8=
~'T'sc..a'
(III.12Od)
C.=A-B
.. Inversibilité de la matrice B
~' représente en fait la force généralisée à l'interface r. .C'est une matrice rectangulaire
• ' C '
.
à P lignes el
Nr. colonnes (P DDL de frondùc et N.modes de brnnche retenus).

---

180
,
z: est formé de Ne. vecteurs indépendants si ~est inférieur au nombre P de dégrés de
libeI1é de frontière.
,.,.
8 = f
s.. f..
désigne l'énergie de défonnation de frontière exprimée en force et à l'aide
de
N
modes de branche.
La mamce de souplesse résiduelle
SR est définie positive. Seuls les modes de corps
rigides de branche peuvent induirem la nullité d'une colonne du vecteur ~' . Or nous travaillons
dans l'espace onhogonal à ces vec[eurs, cas envisagé à l'Etape J. Donc l'unique condition à
vérifier pour que B soit inversible est:
(ill.121 )
où N désigne le nombre de modes de branche retenus ( sans les MeR) et P le nombre
de DDL de frontière ou bien la taille de la matrice carrée SR .
Dans les tests numériques que nous présenterons. Na varie de 3 à 9 au maximum et P
varie de 13 à 39 . La mamce B est donc inversible dans ce cadre et
6. SR parfaitement
définîe.
.. Difficultés liées à la connaissance de SR
La mattice de souplesse résiduelle SR est une maci.ce syméttique. défmie positive lors
qu'on la calcule numériquemem par Eléments Finis. Dans le contexte expérimental, SR est mal
connue et peut être une matrice quelconque, même non inversible. On peut la supposer syméoique -
sans pour autant restreindre la généralité des pnx:édures.de correction envisagées.
Or, comme une estimation grossière de SR conduit souvent à une matrice non définie
positive)1a matrice B = ~.,.SI.. i.'
dont le rang est nécessairement inférieur à celui de SR
devient aussi non définie positive.
Dans cenains cas la matrice de souplesse résiduelle initiale SR est estimée à l'aide de
quelques modes libres d'ordre supérieur à ceu~ retenus pour construire le modèle modal par
l'éq"
"L+L
T
uarron sUivante :
~
')(~. ')( ~
':.w
lJJ~"
L
L est la plupan du temps bien plus faible que le nombre de dégrés libeI1é P de frontière. La
mattice de souplesse résiduelle devient non inversible et l'e~pression
(Ill. 119 ) de la mattice _
6. SR devienl incalculable.
Dans ces conditions la méthode TCM n'''''1 plus applicable.

---

181
Ces difficultés sont levées grâce à la seconde méthode de correction, SeM que nous
proposons.
c) Etape 2: Correction de la souplesse résiduelle defrontière SR . Méthode SeM
Comme l'équation (Ill.115) n'est pas vérifiée, on pose
or
' B
(111.122)
ii
s", E. =
..
Si SR est la valeur de la souplesse corrigée, l'on doit réaliser:
(III.123 )
La méthode de correçlion sélective ou proportionnelle SeM définit une matrice carrée
'6 = (1l''i)
telle que:
..
(III. 124)
S... =
S... 0"l(
où le produit symbolique
0
s'écrit
(111.125)
et la matrice '6
est telle que:
(111.126)
"lf'~ = 0
SI
SA. t~ = 0
... Un fonnalisme analogue àcelui exposé au 4) du paragraphe 1.3 conduit àune souplesse
SR corrigée dont l'expression est:
..
,r
(111.127)
~.,~
E.~ .
1
ou de façon condensée
(111.128)
[
Sl. - SA.. - i Cs.. <!> s..) 0 Ce.' (")J e.'T)

---

182
l"1 ] est la matrice des multiplicaleurs de LAGRANGE solutions d'une équation analogue à
l'équation (lII.59)
N.
(1I1.129)
L.. C "" Y\\. f..~ ., TU : -l., (ll",,, - A"'''J
~,t
et
C est un tenseur d'ordre
4 défini par
(1I1.l30)
C" , ' ' '
•
c. "'"
On vérifie sans difficulté la symétrie du Lenseur C.
"
~
En r~résentant C par une matrice carrée ti x NB' la matrice ('1')) par un vecteur
unicolonne à Ne composantes et la matrice 2 (B
-
A) par un vecteur unicolonne à N:
composantes ,l'équation (III. 129) pe4-t se mettre sous la fomle
(IlI.131)
ex = Y
•
où les vecteurs X et Y (unicolonnes.
•
N~ composantes) représentent respectivement les
mamees ("J)
et 2 (B . A) .
La détermination de X ,donc de ("'1] induill'inver,sion de la matrice C.
Le rang de la malrice
C dépend de la structure et des contraimes liéees à l'équation
(111.45) . On peut remarquer d'après l'équation (IJI.127) que les coefficients nuls' de
SR
. demeurent nuls après 1<1. correction .- D'aUire part. le rang -de la matrice C, en accord avec la
procédure envisagée en (R 21 ), est i~férieurau nombre de c~ffic.ien(s non nuls de la matrice SR.
Lors que la matrice SR est diagonale, iLa au maximum P coefficients non nuls. où P
..
désigne le nombre de DDL de frontière. La matrice C .est carrée Ne. x
.
Ne où f'\\ est le
nombre de modes de branche retenus pour la correction. Là procédure SeM ne pourra donc
s'appliquer aux matrices SR diagonales que si :
( llI.132 )
p > N~ l
La plupart du temps cette condition n'est pas réalisée dans la pratique comme nous le
verrons dans les tests numériques. Il convient alors d'envisager la méthode TCM pour la
correction de ces matrices SR diagonales',

---

183
Par conlIe la méthode SeM ne nécessite pas J'inversibilité de la matrice SR à l'opposé de la
méthode TCM.
d) Etape 3 : Correctionfirll1le des modes libres X LF
Après les corrections des deux. Etapes t et 2. on peut calculer une nouvelle matrice tLF
des participations des modes libres sur la frontière grâce à l'équation ( 111.93 ) où on intègre les
valeurs corrigées de SR
Q et À
.. ..
..
•
.. -...
Gt
( 111.133 )
"
-s.. Mo). Jl..èo - \\(0 >. - "XI'. o... )
L
JI'-....
*
.j'
. . .."1-
Les valeurs corrigées SR
XLF et .À • et par voie de conséquence KR = SR sont
enfan introduite après celle étape ultime successivement dans l'équation (111.86) pour obtenir les
modes de branche corrigées ( les fréquences elles formes ), puis dans l'équation ( 111.83 ), pour
avoir les fréquences et les formes des modes encaslrés afin de tesler l'efficacité du modèle.
'ft
e)
Conservation du caractère dtfilli positif de la souplesse résiduelle corrigée SR
Dans le cas où la souplesse résiduelle de frontière SR est définie positive, il n'est pas
..
certain que sa valeur corrigée SR le soit aussi. La correcLÎou des caractéristiques de frontière est
en effet dangereuse car on peut y perdre facilement le caractère défmi posiLif initial de SR "
L'intérêt des méthodes de correclion proposées, TCM et SeM ,réside dans le fait qll'on
défInit un guide parl'introduction des modes de branche qui pemleUent de garder ce caractère dans
la très,grande majorité des tests effectués; on a efectivement constaté cette propriété intéressante..
Si le caractère se perd, il est tOlljours possible de le sauvegarder en rajoulant des modes de
branche fictifs correspondant à un calcul direct avec SR non corrigée. Les modes de branche
fictifs sont par exemple les modes de branche nOIl corrigés, de rang supérieur à ceux retenus pour
réaliser la correction. Ces modes de branche fiClifs sont introdui!s seulement aux élapes l et 2, sous
la seule condition que Je nombre total de modes de branche n'excède pas P , nombre de DDL
de frontière comme l'indique l'inéquation ( I1I.121 ).
>, "
~.... ,:~:..~~;:<."/ ,F "i, ,; ~: .' -

---

184
f)
Organigramme de correction du modèle HM M
1) Obtenlon des matrices de masse CM) el de raideur ( K) par ElémeHls finis
2) Calcul des NL premiers modes libres XL et des NB premiers modes de brancne
XB par Elérncnts Finis.
3) Calcul de la souplesse résiduelle de rrontÎère SR
4) Calcul des matrices modales QR el QL
.. ..
5) Correction des participaLions modales QR
QL et
>f
6) Correction de la matrice de souplesse résiduelle SR
..
7) Calcul de la nouvelle matrice mooale XLF à partir des valeurs corrigées
....
8) Calcul des modes de branche ex.acts ( recalage) grâce aux valeurs corrigées (KR et
'*XLF) par l'équation (111.86)
et '"'
9) Calcul des modes encastrés corrigés grâce aux valeurs corrigées ""KR
XLF par
l'équation ( lI1.83)
IIl- 3 CADRE D'UTILISATION DU MODELE BMM
A- LES DEFINITIONS
1) Définition du modèle modal UMM
Le modèle modal DMM est comilruil sur la base de R modes de corps rigides, NL
modes libres et P coordonnées gélléralisée."i de frontière au maxÎmum. On en déduit donc:
(Dl )
1 Np,.""
N L
+ f
~ IV\\. l
où n est le nombre de dégrés de libené (DDL) du système total et P le nombre de DDL
de fromière à corriger.

---

185
2) DéfinitiQn de la souolesse résidueHe SR de frontière
( 1 )
S ... :
S 0
-
~=I
où S est la souplesse statique ou pseudo-statique si la structure compone des mooes de
corps rigides. SR est définie dans un espace de dimension n - NL • donc sa Laille P doit
vérifier
(D2 )
[ ~
B) STRATEOIE DE CORREcrlON
On doit corriger P DDL de frolllière à l'aide de NL modes libres, NL «
P afin
d'améliorer les caractérisLÎques dynamiques de l'assemblage.
L'ensemble des solutions est a priori quelconque. On élabore une stratégie de correction qui
consiste à retrouver les caractéristiques exactes des modes de branche à panic de la valeur de SR
corrrigée. Celle conlraime supplémentaire est de nature à nous rapprocher des caractéristiques des
modes de la structure finale recherchée.
C. LA CORRECTION
La matrice de souplesse résiduelle
SR de frontière est symétrique et définÎe posiLive
lorsqu'elle résulte du calcul analYLique
(1)
où l'on a respeclé les conditions
(Dl) et (D2).
Mais dans le contexLe expérimental, SR est assez mal connue el peut être une matrice quelconque.
Sans pour autant Jimiteer la généralité des méLhodes inlroduites,
TCM
eL SeM, nom
considérons
SR symétrique dans toule la suile de celte analyse des conditions d'ulilisation du
modèle UMM.
Il convient en effet de spécifier les cunditions forles (c'est à dire nécessaires ou bien
suffisanLes) et les conditions faibles (c'est à dire liées à des cas parLiculiers de matrice SR ou à
l'expérience) qui interviennenl à chaque élape de la correction.
Les conditions fones som d'ordre mathématique ou physique. Elles sont notées par la Jeure
D suivie d'un numéro en indice
(Di).

---

186
Les conditions faibles permenem en général de mieux conduire le calcul ou d'améliorer les
résulLats. Elles sont notées par la lettre C suivie d'un numéro en indice (Ci).
1) Conditions liées d la Méthode J'CM
Pour que la matrice
fi définie en équation (Ill. 120 c) soit inversible. deux conditions
sont nécessaires:
(D3)
1 SR inversible
(D4)
1 NB ~ P r
..
Les matrices intervenant dans le calcul de SR = SR + A SR doivent être d'ordre inférieur
ou égal à P. Dans l'expression (lII.12üb) de la matrice A intervient la mauice rectangulaire Q
à
NR + NL
lignes el
ND colonnes. On doir donc satisfaire la condition suivante pour
que
~R garde son caractère défini initial:
(D5)
1 NR + NL '"
P 1
Ceue propriété intéressante a été conslll.lée dans la grande majorité des essais effecrués. Son
non respect conduit à une matrice
*
SR
corrigée pouvant perdre son caractère défini
posHir.
2) Conditions liées cl la Méthode SCM
..
Pour conserver le caractère défini de la matrice
SR dans l'expression
(Ill. 128), ilest
nécessaire que l'ordre de la matrice fo' soil inférieur ou égal à P :
(D4)
[Nil:;:
P
1
Les conditions
(D3) eL (D5)
ne sont pas nécessaires dans ceue méthode
SeM.
L'inversibilité de la matrice C (équation (III. 131)) est nécessaire. Mais les condilions qui lui sont
liécs n'apparaissent pas explicilement dans l'expression tensorieJie (111.130).

---

187
(D6) 1 C Matrice inversible 1
Le seul cas dont on est certain que la méthode SeM ne s'applique pas est exprimé par
l'inégalité (111.132) concernant les matrices SR diagonales.
(Cl)
Dans les lests effeClUés, on a constaté que la méthode SeM est relativement mal adaptée à
la correction des matrices SR diagonales d'une façon générale. Mais elle corrige mieux les
matrices pleines. Des matrices SR singulières peuvent non seulement être corrigées, mais
deviennent surtout inversibles après la correction.
La méthode SeM à tendance à redresser les matrices SR quelconques en leur confiant un
caractère défini positif après correelion.
3) Conditions liées au cakul des modes libres Xl f'
L'expression (III.133) permet d'obtenir la matrice modale des modes libres corrigés
Elle nécessiLe l'inversion de la matrice QL = X:- rM) X S
. Q doit donc être une malrice
carrée:
(C2)
On peut avoir
N
<
L
Ne
pourvu que
Ne vérifie les condiLions (D4). C'est par
exemple le cas où on introduit une matrice Y6 de modes de branche fictifs. On obtienL alors :
ou
(3)
La matrice (Q L Qy) intervient dans la procédure de corret:Lioll aux <.Ieux premières Etapes
1 et 2. On peut se contenter seulement de Q L
à l'Etape 3. 11 n'est en effet pos!;ible de calculer
plus de modes libres que ceux que l'on introduit par le biais de <4..
-

---

188
4) Guide de correction
Nous classons les matrices de souplesse résiduelle SR symétriques en 3 lypes en fonction
de leur adéquation aux deux mélhooes de correction TCM el SeM.
Type 1
SR est définie positive el pleine.
Type Il
SR est définie positive el diagonale.
Type I1I
SR est pleine el faiblement singulière.
Nous proposons le guide suivant pour la conduite des tests numériques.
r """ c:...-tA i t.t. S..
1
S~
SR
. ,
T'n' 'J:
.......J
.ut\\Me~
~
~
Co ""'" c.l\\"'-
S ..
S ..
TC.H
-.t;
T11'L1l:
Til''' ']1['
S.C.M
., .--
~~"'"
~""'-..
TC. M
5
GH
VA~\\bPrT\\ON
Ç,x, PEtlt..\\MENTA-L€

---

189
D. TESTS NUMERIQUES
Dl - Analyse qualitative
Plusieurs types d'essais ont été effectués pour valider les deux méthodes de correction
TCM et SCM introduites.
Il a été d'abord nécessaire de s'assurer du parfait recalage des modes de branche
corrigés. C'est le premier critère pennettant de vérifier le bon fonctionnement du modèle modal
BMM et des nouvelles procédures de correction TCM et SeM construites. Ce recalage a
porté sur
3 caractéristiques dynamiques majeures : les fréquences, les défonnées
modales et les réponses temporelles sous diverses excitations.
Lladéquation entre les caractéristiques issues du modèle
BMM corrigé et les valeurs exactes
M.E.F. (fournies par la Méthode des Eléments Finis) a chaque fois été attestée. De nombreux
exemples ont mis en évidence l'efficacité des procédures de correction utilisées.
Ces essais portant sur le recalage des modes de branche qui est à la base des
procédures de correction utilisées pour améliorer le modèle modal de base BMM tiennent lieu de
première preuve de la qualité des méthodes. L'on obtient des modes de branche exacts par le
modèle moda1 corrigé.
L'on a ensuite envisagé d'autres essais pour attester des modèles modaux ainsi obtenus
lorsqu'on impose des modiflcations structurales majeures comme des variations de conditions aux
limites ou des raccordements avec d'autres sous-structures.
On a-pu alors déleiminer les premiers mod.es encastrés de nouvelles strucrnres obtenues par
ces modifications structurales, les modes de structures assemblées, et ceux de structures munies
d'organes élastiques tels que des joints aux interfaces de raccordement.
A chaque fois. la double efficacité du modèle modal BMM et des méthodes de correction
TCM et
SCM
a été mise en évidence en comparant les fréquences des modes des
corrigés et non corrigés à celles issues du calcul des Eléments Finis que nous
considérons comme des valeurs exactes (par opposition aux valeurs approchées provenant de la
synthèse modale).

---

190
D2 . Qualité de la correclioll el efficacité du modèle
BMM
1) L'exemple de base
11,.,;...
..,11,;"'
.. ~S
1-----+------1 114
'--
-'--
... 11~
FIGURE III 3
A partir des modes libres de la plaque d'acier de référence finemenl maillée (voir FIGURE
1
) en 135 DDL, on essaie de déLenniner ses modes encastrés en 5 points (M l, M2, M4,
M5 ).
Les modes de branche sonl obtenus par deux chargements successifs en masse et en raideur
en ces 5 points.
Soient
M,Ix
el 1 y la masse totale, le moment d'inertie par rapport à l'axe x et le
moment d'inertie par rapport à l'axe y respectivement de la plaque d'acier. On répartit
t1 , ~
1 0
1 CI
et ~ équitablement en ces 5 points M.I_' '" E. (1., s). La matrice de chargement en inenie en
..
..
Mk s'écrit donc :
("/~. 00 ;~/~ ~ :
) <,
(2)
Mok
=
•
r"M. /5"0
:r,.. _
-.... -
0
"::1:
...
où celle malrice 3x3 est en rapport avec les DDL en un noeud des Eléments Finis inrriduits
au ehapiLre 1. à savoir translation suivant
• rotation suivant ?t et rotation suivant y.
Un assemblage élémentaire pennet d'obtenir la matrice de chargement en inerLie en ces 5
points Mk
soit M
cene matrice. Elle intervient dans l'équation (III.86) où la matrice
est donc nulle.

---

191
Le chargemem en raideur est obtenu plus simplement par une distribution de raideur
uniforme sur les 5 points Mk
el sur chacune des 3 DOL d'un poinl, soit
o,
,
(3)
[:'"
Kok =
"
(10 N/m
sur chaque DDL)
o
Un assemblage élémentaire sur les 5 points Mk conduit à la matrice Ko de chargement en
raideur. Pour éviter des singularités numériques dans les ilécalions relalives aux équations (III.
112)
et
(IlL l 13), l'on introduit une masse quasi-nulle de chargement. Au point
Mk, le
chargement en masse donne la matrice.
-s-
o
'0
-.
(4)
Mok
o
[
"
~'0 J
~
o
Les matrices
K 0
et
Ml)
.1insÎ obtenues et introduites dans l'équation (1lI.86)
conduisent à la détennination des modes de branche en raideur.
Les amplitudes des modes nomulux calculés (libres et branche) sont relevées sur le maillage
grossier montréen Figure 111.3, d'où est également issue la souplesse résiduelle
SR
dom
l'expression est rappelée en
(l).
La correction pone surles 15 DDL de frontière
(définie par
Ml, M2, M3, M4 et)
M5).L'on se sert de·6 modes libres,-6 modes de br-anche.et 3 modes de corps rigides.. Noys avons··
utilisé la méthode TCM.
L'équation
(111.83) permeura ainsi d'approcher les modes encastrés d'une plaque
rivetée en 5 points.
2) Recalaee fréquentiel des nwdes de branche
Les notations
(E),
(8) et '"
(fi)
désignent respectivement modes encastrés, modes de
branches non corrigés et modes de branche corrigés, tandis que
N. CORRIGE signifie NON
CORRIGES dans les tableaux
C4 et CS.
...
D.1ns les tableau
C4
et
C5,
les colonnes 2, (8) et 4,
(8)
montrent que l'on
retrouve par la correction les valeurs exactes des fréquences des 6 premiers modes de branche. La
validité du recalage fréquenciel est donc attesté.

---

TABLEAU C4
FR(QV ~Nc e.s. (H~)
nES
MObE S
NOR MAUX.
DE
LA
PLAG.U'E.
RI.E"TÉ.E
,.
N'
( B)
(6)
( e )
CE)
,
MOb~
CO"''''\\ GE5 N. CORllIGI!S
E.XACT.,5
EXAC.TS
a MeL'.
3 he. ~
~HC.'"
~
",. s.ttZ
"'\\-~.'z.~
48.542
3 o. ~+'31
,.
53.0"
5'4.3 .....
5~. 0':;'
~4. O~I
3
1~. '$+
B2.1~~
13. ~S4
1..4.,.177
'\\
7'3.95""\\-
9~.448
l!l.'3s",
20'4. '2.0
5
r~. '01
~5'.39S
I!J. 6o,
"11.,. 3~"
•
1.0'.111
""127.430
-10'.1'11
),04.2."
,
1.1.0, ~<'7
1.~o. 74'?l
'111. ·"..H
"!l"l.s. "'s
•
"u~''''~4
-1.+9.5'~,
'1.1.3. ,~+
409.0~2.
TABLEAU CS
FP.EQUENC.ES
(\\-Il.)
)lE';'
MODES
,
NOP-MAUX
DE.
LA
PL AQ\\JE.
f\\\\ve.. "T~e.
•
N'
(6)
(e)
( 6)
( E)
,
MonE5
COP,I\\IGE.5 N. CORRIGé'
E)(AC.T5
EXACTS
"
'2.~. " ...
Z." l~D
OZ). 'H4
30. 3~
Z
s'Z. ~1.)
S'S". 31<4-
SZ.·;2?3
~4· ose
,
' .... 7{0
73.154
1:4·7'0
"14'3.177
'\\
·U S. j,1S'
"1~7.0"4
l.1.s.1.1d"'
Z04.12.0
•
"1.1.5. hl.
1.4'1. 04'
1. '2.5. ~o2.
?.2.1.39....
•
,"07. '713
'2,'l6. a/o
'2.17,"2
30..,..2'7
1
'2.54.59'
'2.51· H,
'Z.1.'. i l l
'3'25. ~7..5
r
305'. 4J!
!OO1..4 a,
Z'1..'4J,
+0'.0'2

---

193
La comparaison des colol1nes 3. (B)
et 4, (B)
monlre au conuaire l'écart entre les
valeurs non corrigées el les valeurs exactes des fréquences des modes de branche. Cel écan
fréquencie1 varie de 10 à 20 Hl (en passant du Je au 6e mode) pour le chargement en masse
(tableau C4), et de 10 à 30 H1(en passam du 3e au 6e mode) pour Je chargement en raideur
(lableau CS).
Enfin, avec 6 modes de br.mche en Illase 1'011 couvre un domaine fréquenciel inférieur à 110
H~. Celle plage correspond à celle des 2 premien; modes encasu"és de la plaque rivetée. L'oll peut
s'attendre à coniger les 2 premières fréquences de ces modes encastrés, el au mieux les 3
premières.
De même, les 6 premiers modes de branche en raideur couvrent un domaine fréquentiel
inférieur à 210 HZ
• ce qui correspond à la plage des 4 premièress fréquences des modes
encastrés de la plaque rivetée. On peul s'attendre à les calculer.
Les résultats qui figurent dans les tableaux C6
(chargement en raideur) sur l'élude des
modes encastrés de la plaque rivetée confirment ces prévisions dans la suite de cette
analyse.
3) Réposes temporelles des modes de branche
r M_'
711_..
: -
.., fis
,.
j
FIGURE JJlA
L'on reconsidère la plaque de la Figure 111.3, avec son chargment en raideur initial. On
applique une force variable F(I) au lIoeud 1 dans la direction de } afîn de pouvoir comparer la
réponse temporelle obtenue en ce point par la synthèse (corrigée et non comgée), Equation
(1lI.86), el par les Eléments rinis dont l'équation temporelle s'écrit :

---

194
(5)
(M)X' +
(K)X
'"
F Ct)
où (M) et (K) sonl\\es matriees de masse cl de rigidité obtenues par Elémelll5 Finis de la
plaque echangéc en raîdeur en 5 points sur le maillage fin.
CM) el (K) sont des matrices canées 135x 135.
Les équations de synthèse modale
(111.86) el (111.87) illl.1uisclll l'équation dynamiql1e
suivante dans ce cas particulier.
T
(6)
n 'l tt) + ~ 'lc~) _ X FCt)
où X est la malrice modale des 3 modes de corps rigides et des 6 modes libres.
M
et
K sont des malrice::; carrées 24x24.
L'inlégralion temporelle Je ces 2 équation (5) et (6) est faile avec la méthooe de
NEWMARK (Avec des valeurs des pararnèlres la rcnJanl inconditionnellement stable).
a) On a d'abord appliqué une force sinusoïdale
F = 100 sin CI 80 t} où
"". .(
i30 <w,t.}
(w.:
élillllla pulsation de mng i des modes de branche). Sur un
temps J'obs(.:rvation de 400 milliscconJcs, soit environ 10 fois la période fondamentale, les
EJéments finis eL le mcxJèle
UMM corrigé donnelll Jes réponses temporelles idenLiques (voir
Graphe G 15 ). OMM non corrigé donlle une réponse loin de la réalité.
b) On a ensuite appliqué successivement une rorce échelon de 100 el
1000 N pendant
respectivement un 100' et un 1000~ de seconde.
F
10"'" f - - - - ,
--t.(==~.-:-----,~
-'"
bt '" ••
FIGURE lIL 5
La même propriété observée en a) a encore été vérilïée. (voir Graphe "el
17).
Donc à l'aide de 6 modes libres. le mcxJèle modal BMM roumit une réponse temporelle
identique à la courbe ex.acte calculée par lin maillage lïn ElémenLs Finis. ilMM non corrigé donne
des courbes qui sonl ditTércntes des courbes réelles.

---

195
GRAPHE GIS
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE NON CORRIGEE
80
~ ~
"
40
::i
~ ~ I~ Î\\ {\\ A
i:'
- V
V v
z -20
'1:'
tJ -40
~
~ -b0
-80 +--,--,-.-,--,----,---r-,-------,
o
50
100
150
200
250
300
350
400
TEMPS EN MILLISECONDES
1- FORCE D'EXCITATION SINUSOIDALE 1
REPONSE TEMPORELLE
15 -
,
•
~
"
"
t.
"
..
I!
"
1 1
"
.!
1 \\
.1
"
Il
, l
l '
I ,
"
10
",'
, \\
1 1
..
,
"
,
,
i '
l '
,
! 1
ri
l '
1;
"
..
"
l '
1
1
-'
..
"
'1
: :
,
-'
5
,
•
l '
j
1
,
"
"
,
"
"
"
, ,
"
"
"
1
1
: !
, \\
l
'
, , "
, '
,
..
, ,
, ,
"
, '
i , '
,
l
,
,
i
,
,
,
, 1 ! 1
, , ",,
, ,
, , '
"
, ' ,
, , ,
, ,
,
, ' ,
, , ,
•
,
,
1
o '
, , , , ,
"
, ' ,
, , , ,
, , ,
\\
1
l
,
, , ' , , ' ,
, , ,
, , , , "
, 1 ! 1
,
'
, ,
'"
1: 1 ,!
, ,
, ' ,
, , ,
~
:
,1
, ,
\\/
\\
"
l ,
, ' ,
,
,
,
, ,
, I i
,
,
-5
\\:
'i'
,
, ,
I, "
,
g
, ,
~'
,J
, ,
"
1
, , ,
.. ,,
,
"
""
'Il
","
,,
"'..
a. -10
"
" ",,
"
..
,
"
"
.. ",'
i'\\
','
"',i
""
-15+--,---.-,--,----,---r-,-------,
o
~ 100 150 200 250 300 350 400
TEMPS EN MILLISECONDES
ELEMENTS FINIS
1---- SYNTHESE CORRIGEE 1

---

196
GRAPHE G16
REPONSE TEMPORELLE
b-
~
w
()
10 4
n
",
"
"
c,
,
,
(i:v\\
"
"
' ,
l!
"
, ,
,
, ,
,
,
, ,
,
, ,
, ,
,
,
,
, ,
,
, ,
, ,
,
,
,
,
,
-'
,
,
, ,
, ,
,
,
-' 2
,
,
,
,
, ,
,
,
,
,
,
,
, ,
, 'ri
,
,
"
,
,
, ,
,
, ,
,
,
,
, ,
z
,
,
,
, ,
,
,
,
, ,
.
w
,
,
,
,
0
,
,
,
,
,
,.
,
,
",
,
,
,
,
,
,
,
,
,
V>
,
,
....
,
,
,
,
,
,
,
,
'"
,
,
z
, ,
,
. ,
,
,
,
,
,
, ,
,
';J ·2
,
,
"
,
'"
\\
,
, ,
w
,
,
....'
"
W,,:
u
,
,
""
5
':
~ ,4
V
·b
0
50
100
150
200
TEMPS Et! HILL 1SECONDES
1- ELEHENTS FINIS
.... SYNTHESE Nml CORRIGEE'
REPONSE TEMPORELLE
b
V>
II.! 4
l!
::J 2
-
"
al 0-
V>
....z
1" ,2-
Ij
5
0. ,4
w
V
Q
V
'b
,
0
50
100
150
200
TEHPS EN HILLISECONDES
1- ELEHENTS FItIIS
1 . . . . SYNTHESE CORRIGEE 1

---

197
GRAPHE Gl7
REPONSE TEMPORELLE
15
V>
~ 10
\\'!
'.
--'
..
'.
,
•
--'
",
' ,
.
"
"
,
:'..~
·,•.
"
"
,,' ,
• ,
,
, ,
, ,
,
,
.~
" 5
z
•
, ,
, '.
,
,
, ,
,
,
• .,
,
..
,
,
, ,
,
, ,
'"V>~
.
"
.. ,
,
, "
,
, ,
, , ,
0
' ,
,
•
, , , ,
,
,
,
,
'"
•
, , , ,
,
" , ,
'. , ,
, , •
,
~
" , ,
,
" ',.. '
, .
,
,
', ,
,
,
, :
,,'
' "
" '
,
l
"•
~ -5
0-
~
-10
0
50
100
150
200
TEMPS El! MILLISECONOES
-
ELEMENTS FHIIS
.--- SYNTHE SE NON CORRIGEE
REPONSE TEMPORELLE
15
V>
~ 10
\\'!
:;
--'
" 5
i:'i
V>
~
0
§
~ -5
III
Q
-, 0
1
1
0
50
100
150
200
TEMPS EN MILLISECONDES
-
ELEMENTS FINIS
---- SYNTHESE CORRIGEE

---

198
Comme le recalage en fréquence, le recalage des réponses temporelles csl donc
vérifié pour les 6 modes de branche dont on se sert dans la correction.
4) Comoat4iSQfl de la (orme des modes de branche
On s'intéresse ici à la plaque de la rigure I1L3, mais avec un chargement en masse.
La méthode des Eléments finis pennet d'obtenir la romle de ceS modes de branche.
L'équation de synthèse (111.86) conduit aussi à la forme des modes de branche corrigés et
non corrigés.
On compare ces défonnées dynamiques exactes (M.E.F.), corrigées et non corrigées sur les
6 premiers modes de branche, les Graphes 18 à 23.
La correcùon améliore la Comle des modes, surtout quand l'écart fréquenciel entre les modes
de branche corrigés el non conigés est significalif : 14 HZ
au 4 e mode el
21 HZ au 6e
mode. L'amélioration apportée par la correction n'est pas sensible aux 4 autres modes ear les
fréquences sont aussi assez voisines.
5) Recherche des uU2des el/castrés de la plaque riveté
Gr:lce à l'équalion (11.83) on a pu déterminer les modes encastrés de la plaque rivetée par
synthèse modale avec et sans correction. Les fréquences ainsi obtenues ont éLé comparées aux
valeurs exacles des Elémel1td Finis des tableaux C6 el Cl ci-dessous donnent les fréquences des
modes encastrés respectivement avec Ull chargement en masse et en raideur.
TABLEAU
C6
..
....
lE l
(1;)
(E)
.
N ....
(,0 lUt., Go ES
E )C. A c. TS
.
1-
:n. g74
39. oS4
:; o . ~ 4'
._ - - - - , ,
- - - - - - - -
Z
~ ';l . 750
1.0 7.
4<4
94. os 8
, - - - - - f---
.
:>
'1' B. ~18
'1 B7. 17Z
1.4~. 177

---

199
GRAPHE GIS
MODE N°l
llEFOllMEE NOII COIUUGEE
----------------
49.724 HZ
DEFOIlMEE
EUCTE
DEFOBl'ŒE CORRIGEE
--------------~--
48.542 HZ

---

200
\\,
GRAPHE GI9
MODEW2
54.}44 HZ
\\,,

---

201
GRAPHE G20
MODE N°)
DEFOIil!lEE BOB COBB.IGEE
---------------------
82.399 Hl.

---

202
GRAPHEG21
MODEN"4
DEFORMEE NOH CORRIGEE
---------------------
93.448 HZ
DEFOBJ.ŒE CORRIGEE
-----------------
79.954 liZ

---

203
GRAPHEG22
MODEW5
DEFOIlMEE 11011 COIl.RIGEE
---------------------
/
DEFORl'IEE EXACTE
---------------
-1
89.602. HZ
"
"
,/.'
..,;.-;
,
.-.-

---

204
GRAPHEG23
WODE N'6
....,----,
<,.....- -
\\
\\
/ " ' . \\
\\
.)(
DE-"'ORM.EE 11011 COB.lUGID:
/::
/);,,-~ "\\
...; ' /
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
; ' . . . . ..
,,~-- .
I~' ) 1
,,: /'" /?t'-li .-<,1> " /.:., "
./<: " " / ':-..r /->',
~,;,U / / /
,..-'~~:s:/_~.......'::.< 7",/ \\ ?"-JU",!/ /
127.430 ll.Z.
"""'--<::
'
. XX /"'... r~~
/ ' ;
.
.
,~.-:--......
)" .." ' / : '
"'
'l"""--~'\\ ... .'Y..~ -' ;
.~.
'.
\\,
' \\ . /
'
..... ·i
1
,,\\,'}'\\.-_\\:_C'\\..,/ l'.....,.
' ' \\ ' \\
.....
~_'"
1
/
~.\\~' -"d' \\/ /
j'\\,.J:'"
\\
".
,
,
.,'\\
'\\. / '
i
.)!
, -
\\ /
" A
'.'
\\ ',\\;-" \\
"..'
,
, /
'"\\ \\
)-
. , \\
, /
..'\\,./
DEFORi'!EE CORRIGEE
106.611 HZ

---

205
TABLEAU
C7
.,.
•
CE)
(i:)
tE)
N'~
co ~ fl,.,1 e-És
E )(. AC.TS
~
~o. '10
3'3. 054
,0. ~4~
.. -----
2
'3 , . 1%
'07.424
'!~. 058
---
3
'53. 82'
\\B7. B72
'1.4~. "1'17
4
230. ~15
'2;5~L 0300
<04. 820
La correction fait gllgller 6 HZ sur le premier mooe, 8 sur le second et une vingraine sur
le 3e mode, dans le cas du chargement ell masse (Tableau C6).
Dans le cas du chargement en raiùeur (Tableau C7), la correcLion est encore meilleure à
cause du domaine fréquentiel des mode:i de branche utilisés.
Le g:1Ïn est de 9 HZ <~ur le 1er mode, 11 sur le second, 34 sur le 3e el 30 sur le 4e.
C'est une preuve de l'efficacité du modèle moùal BMM et de la méthode de correclion
proposée.
6) Autre intérêt du modèle modal BMM
On souhaite comparer notre modèle modal
BMM
au modèle modal direct sur les
modes de branche.
Celte comparaisun porte sur la répunse tempurelle d'une pari du modèle
DMM
corrigé CI de la sYlllhèse modale des m()(Jes de branche d'aulre parI.
Le tesL d'illustration choisi porte sur les moùcs ùe branche obtenus par un chargement eJ]
raideur, soit :
/~.
,/ \\'.,
,rI..,
~':"
..,.H,:;.
,r''''-
L _ _--L_ _~~,- ~1.
FIGURE III, 6 A
FIGURE Ill. 6 B

---

206
Le but Je celle comparaison est Je tester l'erf1ea<:Îté du modèle UMM lorsqu'on impose des
modifications structurales majeures comme des vari(tuons des çondiliollS aux limites des raccorde-
ments avec d'autres sous-structures.
La synthèse modale directe basée sur le,.; modes de branche perme(~il de prendre ne compte
ces moclificaLions struclUrales ?
Si la Figure III. 6 A
est considérée comme un éwt de référence Dll l'on cherche les modes
de branche de la plaque chargée en raideur en 5 points Mi,
k 0 =
10 ~ N/m, ceux-ci sont
obtenus d'une part par le moclèle
BMM d'après l'équalion (111.86) el d'aulre part par la SYlllhèse
des modes de branche à partir de cette équation finale.
(7)
( ~)..
"T. \\FJ
4
"1. = "
où ~]est la matrice spectrale diagonale du carré des pulsations des modes de branche
,
obtenus pour k 1:) ="
10
N/Ill.
X &,
est la matrice modale de cees modes de branche. ~t> est le vecteur des coordonnées
modales.
F eslla force appliquée au noeud 1
Pour une force sinusoïdale
F (t)
=
10""sin
180 l, le Graphe G24 montre que DMM
corrigé et le moclèle modal des modes de branche donnent exactement la même réponse temporelle,
ce qui était prévisible par défHJition même de l'équation (7). II n'est pas nécessaire ùe faire une
comparaison à la courbe exacte foumie par le calcul direct des Elémenls Finis car elle identique à
celle de BMM corrigé. Noe lests numérique.s valid4nl chaque fois ceUe propriété.
Nous avons ensuite proposé deux variations de la raideur k de jonction à l'inlerface ro
4
(voir Figure 111.68) : on porte ktlà une valeur k'1. =
10' N/m,
pUIS
k
= JO N/m.
Pour un chargement Je raideur k T ~,I'él1ergie Je déformaI ion de la plaque s'éeriL :
On en déduit l'ét]ualion malriçjclle suivante
o
(9)

---

207
où À eslJa participation des m(xles de branche SUr les noeuds de frontière.
,
..
Les Graphes G 25
(k = 10 N/m) et G26 (k.:. 10) montrent que la réponse temporelle
,
obtenue par le modèle modal des modes de branche (Equation (9»
est chaque fois très différente
de la réponse temporelle donnée par le modèle BMM corrigé (qui est la courbe exacte).
Le modèle DMM corrigé s'avère donc eflïcace pour représenter le componemenL de la
sous-structure de référence avec des conditions aux limites variables, tandis que le modèle
classique des modes de branche, (Equations (7) et (9) devient applicable lorsque les conditions
aux limites qui ont pemus de définir les modes de branche de référence (7) et (9) changent.
Le modèle modal des modes de hranche ne peut non plus penneHre d'accéder aux deux cas
limiles des modes encaslTés et des modes libres.
Dans les modes encastrés, il faut faire tendre k vers l'infini dans l'équation (9). Ce modèle
n'est pas applicable aux faibles variations de la raideur de jonction. II le sera donc encore moins
pour de fanes raideu~. D'ailleurs COIlHllt' le nombre de degrés es! inférieur au nombre de liaisons à
satisfaire, il est incapable de donner des résullals dans le cas d'un encastrement parfait.
L'inadéquation du modèle des modes de branche à la recherche des modes libres a été lestée
par le calcul des valeurs propres de la Illalriœ A :
(10)
A
~! "lT .nt" -
.z,
8
18
où A est la partie correspondant à la plaque libre dans l'expression de Wd, On devrait
trouver 3 valeurs propres nulles associées aux 3 modes de corps rigides. Or la matrice A de taille
6 x 6 (6 modes de branche) a les 6 valeurs propres suivantes:
,
,
S
5
7
0.3605 la-; 0.39437 10
0.7909
10; 0.42076 10 ; 0.46314 10 el 0.1495 IO
Le. modèle modal basé sur les modes de branche est donc inutilisable pour simuler les
variations des conditions aux limites à la frontière de raccordement
A l'inverse, nous avons pu tester l'efficacité du modèle
UMM
corrigé à traduire
correctement les modifications structurales à J'interface de raccordement.
-
.., -

---

GRAPHE G24
208
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE NON CORRIGEE
'"
~ bO
~ 4IJ
::1
i: 20
i5 • MJ\\
1-'·-40-bO
-~O , 50 H~O '" 200 ", 300 '" 400
. TEMPS EN IUU ISECONDES
1
FœŒ D'EXCITATlOH SIMJSOIOAlE,
1
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE CORRIGEE
~
"
i' 10
~
::1
~
51/1
~
~ 0
~
~
~
V
i-;:
1
-15
,.. '5G ~
-~-
250
300
~O
• 50
"0
TEMPS EN t1ILLlSECONOES
1- FORCE O'EXCITATlOH SINUSOIOOLE. 1
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE BRANCHE
I~
v
-15 j
I i i
i
1
i
j
1
o
50
100' 15Q
200
25e
:%le
350
400
TEI'tPS EN l'IILLlSECONDES
1- FIllCE ••EXCll'11'" SIHUS"OIlLE. 1

---

209
GRAPHE G25
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE NON CORRIGEE
~ '"
~j '"
i: \\0
iS •
~:::
~-30.40~~---"-,,-"----",-,'-,'-,'----"
a
se
'00
150
200
250
JOO
350
<\\00
TmlS EN H[LLISECONDES
-
FORCE D'EXCITATION SINUSOIOALE.
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE CORRIGEE
"
f\\
!
w
\\
-10 +-....,...----,,-,---,--,----,----,--,
13
se
lee
1se
200
250
JOO
35(1
400
'f'EKPS EN "ILLISECCJtDES
1- FûRCE "EXCITATION S1NUSlllOOLE. 1
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE BRANCHE
b
i '
j 2
r
~I
)
iS 0
Ir' "
~:: V
-b +---,---,-,---,--,--.----,---,
13
se
\\00
156
200 25El ~ J5e 4Qtl
TEJIPS EH I1ILLlSEOJHDES
l,
FCRCE 1)'D.CITATI()t SIIIJSOIM..E.

---

GRAPHE (;26
210
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE NON CORRIGEE
b
-b
I i i
i
o
50
100
150
200
250
JGO
350
400
TEHPS EN I1ILL[SECONDES
-
FORCE D'EXCIT~T10N SINUSOIDALE.
REPONSE TEJlPORELLE-SYNTHESE CDRRICEE
,
~
i" b
l' 4
~ ,
"
r'
i5 ,
ri
~
~
\\j\\
~
~::
f'J
~
i!/ -b
-, --,- , 1 1 1 1 1 1
.,
0
100
150
100
250
" .
350
TEMPS EN I1ILLlSECONOES
"""
1- FORCE D'OC!TAlIOt! SlN..lSOIDA'S. 1
REPONSE TEJlPDRELLE-SYNTHESE BRANCHE
'"
~l' 10
~
"
z
1/\\
w
0
~
~
~
If
~ -10
-2e
.,
,..
,..
0
,0> '50
'"
J50
."
TO'IPS EN "'ILL ISECONŒS
1- FCflC[ D'EXCITATI~ SI~J[W.E.

---

211
7) AUIres essais nl/lnérialles
a) Cas d'une matrice de souo/esse résitiueJIe mal CQnnue
Nous avons considéré la plaque définie en Figure III. 4 avec le même chargement uniforme
en raideur de 10 5 N/m par dégré de liberté sur les 5 noeuds Mi.l ~
L ~ 5 ,dont la
souplesse Sr de frontière est estimée tIès grossièrement. Soit:
-'+
10
(11)
SR =
" ,
_~)
(
,0
o
10
SR
est une malrice diagonale de Type II, quasiment nulle. Le modèle modal llMM
conigé à l'aide de la procédure TCM a permis d'obtenir les mocles de branche recalés (fableau C8)
et les uns des encastrés (Tableau C9) de la structure.
La comparaison des fréquem.:es çorrigées el non corrigées aux valeurs exactes dans ces deux
Tableaux CS et C9 indique un gain considérable en HZ
induit par la correction TCM.
Les fréquences des modes encastrés non corrigés som grossières, voires absurdes. Très
écartées des valeurs exactes, 252.565
HZ
au lieu de
30.349 HZ
au 1er mode ou
3133.070 HZ au lieu de 204.820
HZ au 4e mooe, les fréquences montrent que la mauvaise
connaissance de la souplesse de frontière rend le calcul des mooes de la structure pratiquement
impossible. Le mooèle mooal BMM
corrîgé se révèle alors très efficace pour donner des
fréquences encascrées proches des valeurs exactes.
•
N'
(8 )
(8)
( a)
•
""' • ...,
Co Rll.t"6".S
e ')( A (. TS
1-
••. H~
3s. 5'13
'Z>. " 4
TABLEAU CS
"
s •. :n.'
77. 80&
,. • . • • 3
•
64."'0
1.02,.0"1,9
'4.760
1-
'1. 1. S', 14s
-1..&"4 •• 2,4
1\\5. 145
.<
-1.. <'5". 602-
~'1... 578
1. <'5. 601-
6
2.7.782,
5" '1.5'. S" Il
~0'7. 78?
..
'2. 1&. 970
II 0 ,. '2.4'2.
'2.1&. '713
, ,
, .. '
..
-
':

---

212
GRAPHE G27
REPONSE TEMPORELLE
b
V>
~ 4
!!
~
"
'
2
,
l'
1 \\ ,
,
l
' "
"
1
r"
'
.,
,
, .
'",
1 " ,
' , 1
' :
: :
: ~.'
l ' "
G5 0
.. ' , " , ,'~.J : , ,"
" A
l
,
,
'
' . ' :
,"
,
-
, . , .
" , , " ,
,
"
"
' I
, , \\ . .
'
,
\\
J
' . '
1
. '
, . '
, 1
"
,
. '
'r
~.:.:
~:
~:
\\'
1: I, " "
, l ' "
\\'
':
'.'
':
..'
· b + - - - , - - - ! . . - r - - - - - r - - - - - ,
o
50
100
150
200
TEHPS ni HILLISECONDES
-
ELEHENTS FINIS
•••• SYNTHESE NON CORRIGEE
REPONSE TEMPORELLE
b
~ 4 '
!!
:i 2
"G5 0
1:
\\J
v
200
1- ELEHENTS FINIS
SYNTHESE CORRIGEE 1
1
. . . .

---

213
TABLEAU C9
•
""
( E:. )
(E.)
(10)
,
...... C.(l1lt..1..1G-e5 E. "X AC.TS
-1.
"Z.9. O~1-
1.5" o!.. S', S
~O. 3~~
G
t/4.1.1.~
1-SS. 1-30
91-. OSI
3
'111. ""9
1.S' S-. 'S;>
'11-9. 1. ...
~
-1.SD.321
313'1.010
a04 .620
5
1.0? 5"99
~IIS'. 91'
2.~ 7. H'I
(;
308. 941
"11/92. "39
1oD4.1.'7
La mise en parallèle des Tableaux
C7 et C9 monLre que le modèle BMM
corrigé est
d'une utilisé majeure pour les souplesse résiduelles très mal estimées. Le gain fréquentiel induit par
la correction est d'autant plus grand que la souplesse SR est mauvaise.
L'on a ensuile comparé les réponses temporelles issues du modèle BMM et des ElémenLs
Finis lorsqu'on applique une force échelon de
looN/m pendant un temps de
au noeud 1 (Figure ilIA). Le graphe G27 montre d'une part l'écart entre 2 courbes, l'une exacte
(en trait canlÎnu) issue des ElémenlS Finis et l'autre en pointillés cOl1"C'Spondant à BMM non
corrigé, et d'autre pan 2 courbes confondues (0 27 B) : BMM corrigé et Eléments Finis.
C'est intéressanl d'obtenir cette similitude de réponse temporelle à partir du modèle de
synthèse modale corrigé basé sur 6 mcxIes libres seulement.
b) variation du char~ement en raideur
L'influence du chargemem sur les modes cherchés a été testée sur la plaque en rigure II 1.3
avec une souplesse résiduelle estimée par l'équation (1) à l'aide de 6 modes libres. 011 a choisi
successivement une raideur unifonne forle (k = lO'N/m ) mais faible (k = I(f N/m) sur les
noeuds M~. 1 <
< 5.

---

214
•
4
La correction est meilleure pour k =
10 N(m
que k = 10 N/m car le chargement en
forle raideur est déjà proche des modes encastrés cherchés.
Ces résultats figurent dans les tableaux CIO et CIl.
TABLEAU
C JO
TAIlLEAU C Il
•
w'
lE)
(E)
~
t.
....
)0;. A c."TS
tE)
œ;J
E><An5
•
..
30.3"4
1~. DS4
~O. 34~
30.'312
39.054-
3 o. 3'1-9
2
~S. "3
~07. 424
'3'1-.058
1.
'39. .1'47
~07. 42+ '4.05,9
3
·UO.506
~87. 872
~ +~. 177
3
~8S. Do,
~17. 87l. 149. 177
'1-
216.033
259.030
204.lZo
5
1. 80.495"
ô1.'I-.o63
217.394
D3 - Modifications structurales d l'i/lCeiface de jonctiQn
7
\\
)
~
/
r
~
o
@
""'"
'-</'
FIGURE IlL7
La lechnique d'utilisalion des Illlllières des mnlrîœs d,c raideur IJ K
associées à des
déplacements modaux. le long de l'interface de r.H.:ordelllt'1l!
permet de traduire la souplesse
de jonction
(A K
)'".t. induite par l'assemblage avec ùes sous-struL'lures adjacentes.

---

215
@
5",
FIGURE 111.8
La détennination numérique de la souplesse résiduelle SR de frontière par l'équation
(1) conduit à une valeur de SR définie positive.
Or la connaissance de SR dans le contexte expérimental reste difficile. Sur le plan
numérique, on a la possibilité de simuler ce cas expérimental en introduisant une valeur grossière
de SR . Celle-ci est obtenue à l'aide de quelques modes d'ordre supérieurt: au}'; modes relcllus.
"'...
(12)
SR
= L
N"
Celle possibilité constitue un intérêt majeur de la méthooe numérique proposée.
La souplesse résiduelle SR ainsi calculée est non inversible et la méthode de correction
(TCM) est inapplicable.
Il est apparu alors nécessaire, soit de construire une nouvelle mélhode de correction adaptée
'aux matrices singulières (SeM), soit d'introduire une faible perturbation
(A K ) ~ l.
à SR,
(d'où une nouvelle valeur SR + (A K -.
) de souplesse de frontière), afin de pouvoir appliquer III
méthode TCM.
-..
la souplesse de jonction
(à\\( } pennel numériquemnt une initialisation de la mélhode de
correction TCM.
Cene tec:hnique n'est pas possible expérimentalement car elle nécessile l'inlroduction d'une
raîdeur de frontière irréalisable pratiquement.

---

216
('K) -..
L'introouction de la souplesse de jonction
\\.0
COllduit à la résolution de 3
principaux problèmes aux rronlières chargées.
(i)
(Â K ) - 'li
permet d1inilialiser les mélhodes de correctioll. La
tcchnique utilisée consiste à choisir (A K lr·pour que
S =
SR + (A K) -&. soii définie positive.
La souplesse S peut alors être corrigée soit par la méthode TCM • sail par SeM.
..
Soit S la valeur de S corrigée.On cherche alors les modes ellc<lsLrés de la sous-slruelUre
<D à la frontière ro à panir de la souplesse corrigée ~ - (d Kr~ Cene opéraLÎon de soustraction
est dangeureuse car la matrice S-(b.Kr 1 peut perdre son caractère délini positif. Il apparaît
donc intéressant d'intnxIuire des souplesse ~K) -'1. de jonction faibles ou négligeables dans
certains cas pour évÏLer la souslfaction S -là K)-~
Celte technique est numérique et ne peut s'appliquer dans le cadre expérimenLal.
Ci i) lli K) -<1. permet de déterminer le souplesse associée à la troncature modale
sans initialisation.
(i i i)
(AK)-1.
permet enfin de simuler l'introduction d'une raideur de
jonction mal connue.
1) Injtialisation des mérlwdes de correction
on souhaite calculer les mooes encastrés de la sous-structure <D (Figure III. 7 ou Figure
III.8) bloquée à l'interface ro ,eL dont la souplesse résiduelle de frontière SR est mal connue.
C'est à dire que SR est une matrice de Lype II (matrice SR diagonale, définie positive), ou de
type 1II (malrice SR estimée par l'équaüon (12)).
On améliore les résuiLals des procédures de correction proposées en ajoutant une souplesse
de jonction fic live (à Kr à SR. Soil:
r. K)-cl.
(13)
S
SR
+ \\~
-,
"
•
r
)-'
Il convicnt ensuite de retirer (t:. K] à
S, la valeur corrigée de S
( S -lO K
).
Les modes de branchc servarH à la correction sonL obtenus à partir d'ull chargemcnt inertiel
(III 0 de l'incrtie tOLale de la plaque en acier de référence, répartie sur les 13 noeuds fictifs de la
frontière ro ,f'igure 111.7).

---

217
Nous avons considéré deux Iypes de frontière dans les essais numériques :
d'abord
r. avec ses 39 DDL ( 3x 13) puis f" avec seulement les 13 DDL de translation.
Ces deux nombres (13 el 39) 0111 permis de lester l'itlOuence du nombre de dégrés de liberté de
frontière sur les résultats de ces procédures de correction.
Les matrices de souplesse de jonclions
(à K) - '2. utilisées som diagonales. L'opération
....
-..
de soustraction
S - (.6'4 rend celte matrice singulière lorsque ..
S
est obtenue par la correction
TCM dans la majorité des essais effectués.
C'est pourquoi la méthode SeM a servi en général à illustrer celte technique d'utilisation
d'une souplesse de jonction et d'une frolltière fietive
ri. à des fins essentiellement numériques.
Tous les essais ont été effeetués avec 9 modes libres.
a) Correction d'une frontière avec 39 DDL
Dans les tableaux
Ci 2 il C 16, .6. K esL une matrice 3d diagonale de ehargemen{ en
raideur sur chacun des 13 noeuds de l'interface
ro . SR est estimée grossièrement par
l'expression (12).
Le calcul des modes encastrés de la sous~structure <D est impossible S;\\IIS la correclion. La
souplesse résiduelle SR est en effet non inversible.
La méthode TCM est non plus inaplicable car l'opération
"S - (.6. Klw1rend ceUe matrice
non inversible après la correction.
C'est la méthode SCM qui permet d'estimer efficacemenlles premiers modes encastrés de
la sous-structure (D. Les résullals sont en général d'autant meilleurs que la souplesse (.6. K) -.1. de
jonction est faible el
SR
estiméc avcc plus de mooes.
C'est une correction difficile à cause du nombre élevé
(39) de
DDL de frontière, avec
seulement 9 modes libres.

---

218
TABLEAU CI2
~~
'Xi 'Je!
l ·10 ~
~fl." L
A'o<."
'0 ,1 ]
w· ..
t: 10
•
...
Flte. guE:.~C.E~
SCh.
MODes
E x " C.T"~
t "'~)
t"''l.'
1-
3~. 880
a~. S8~
'2.
~O'l-.4&2
"ios.~es
3
180.a~3
~ lIG. "l-8G
4-
'a 4'.36"8
'2. 41.. 11.7
TABLEAU CIJ
T
s ... : XH, )(.10
[,.'
â.~=
lo~
..
w,.
,:- l
1
...
F'" EQ.\\IENC."$
Mo II~S
Sc. M.
E.XAC.T1E~
(H ~)
tH ~)
1.
3'3.31"1-
39. 58~
'2
·B.311
~05. 2'35
'3
1.76.836
oj. B'. 4B&
<1-
OZ 07. 3 '1-8
2'1-1..12.7

---

219
TABLEAU C\\4
T
~~ID fi'
So.: 'X'6')tl.
6.K-
'0 If
w.:
J
N'
s. c: l'\\.
'F Ile QU S,N(.E,!I
1I0.li!>
l H i.)
li~~";.1'ES
"1.
3'. ~74
~'3. 5'~
Z
'101..4.3
~'5. 4t5
:!>
'171.924
"1.11'.4"
4
Z'l. 7.174
Z41..1.7.7
TABLEAU C\\5
""
~,)(7
S .. :: L
.:,
A\\(= l'o- "lit,: J
~.'O WC
...
~"Ci.QVCN'CS
Sc. 1"1.
.... Ob.. S
E.)(A r-;,v. 5
..
( l I è)
(
~
1.
37. &'74
3'3.s'~
2
1.00. '!l'"
'1. 05. '2. 95
3
"1.11. '2.'2.$
"1.".4"
"1-
7. 73.952
2.41. n7

---

220
TABLEAU C16
.., 'l'i 'J.<T
s ..~L.
A\\(c ~Il
~
'.~l.f
c.. 10
",,"
N'
F .. ~Qu C.NC.'liS
Sc. M
&lIL A
"" 0 .IIi:S
~1€S
( ~~,
( ' "
"1
40. /;43
3~. 58'
'2.
"2.05.740
"105. ~95
')
1. 79. /;19
"2.". 4"
4-
25'3. '3'2
-a 41. 1.'1'1
b) Correction d'une "oDlUre avec
13 DDL
La diminution du nombre de DDL de frontière de 39 à 13 a pour effet d'augmelHer la
qualité des résultats et de permeLtre le calcule avec pré<:ision des 6 premiers modes encastrés de la
soUS-structure 1 (simplemem appuyée).
La correction
SeM demeure toujours efficace, même si la mélhooe TCM permet une
eSlimation relativement grossière des 4 premiers modes encastrés.
TABLEAU C 17
la
'KT
s ...
L. "'>1.,
=
!
à~= r·· 1l..J
Ca,.
W • ..
F .... QUiE",q-,S
N·
'F "'Ea.u 0/(.0
set'\\,
TC. t1.
.. 0 ..
""OD~S
( "'1.)
Co .....".e.s
E)If"A<.TIIi:,s
( ~ë)
1.
~7. 0'4
25'.1.94-
') S". s 117.
.1:7. 594
2
7'.52....
1.1.2.747
N. c..
75. 'IS
3
"1~1.'00
"'0.1..5'
N. c..
"31.347
4-
"".3OA
~09. 334-
"". c..
1.9'. aOS
1
5'
20?. 603
N. c.
...... (;,.
2.11..377
,
,
,
.
'.<'
~.;",
'
2. 91. 000
N. G.
N. G.'
341.9J4
-<;_<,i~ "~''''';'.
.... '

---

221
2) Modes normaux d'une srructllre avec Ut! jailli d l'interface
Ce modèle est représenté par la hg ure
111.7. Il est valable dans les deux contextes
numérique el expérimental.
La nouvelle structure est formée par la sous-structure CD munie d'un joint élasüquc de
raideur(6K)
par noeud à l'interface r.. Celte structure a pour frontière de raccordement r'l. .
On y effectue un chargement incniel ( 1/10 "ue l'inertie totale de la plaque) unifomlc Sur ses 13
noeuds. Sa souplesse de frontière S est donnée par l'expression (13).
La correction est réalisée avec 9 modes libres et 9 modes de branche par les deux méthodes
des TeM et SeM.
-..
La souplesse lOlale de frontière
S =
SR
+ [.6. K J est inversible. Mais selon la
prépondérance d'un des icones
SR ou (6 Kr !l.sur l'autre, cette matrice S sera à diagonale
dominante (Type II, donc adaptée;\\ TeM) ou faiblement singulière (Type III, adaptée à
SeM).
Ainsi, bien que les deux. mélhodes de correelÎon s'appliquent dans ce contexte, et donnent
des résullats meilleurs au modèle llMM non corrigé, des différences VOnt apparaître entre elles
allant de quelques Hertz à des dizaines de llenz pour des raisons liées au type de matrice S.
Les tableaux e18, e20, e2l el en où le choix de la méthode SeM est préférable son'
obtenus pour des matrices S de lype
III alors que les Tableaux C19 et C23 où la méthode
TCM donne de meilleurs résultats proviennent d'une ulilisalion de S de type II.
Il convient de remarquer que la méthode
TCM est inapplicable dans ces essais sans
..
,
l'addition de la souplesse de jonction lA K1 fi la souplesse résiduelle
SR.
Malgré cette introduction de
(A KJ-l, c'cst la méthode SCM quÎ apparail plus efficace
dans la correction des fromières li grand nombre de D.D.L.
a) Correction d'une frontière avec 39 VD,L,
Les résultats ftgurent dans les Tahleaux CI8 à C22,

---

222
TABLEAU
C 18
~ ~'XT
S .... " L, '~
.6"- :: t' 1 ~••/
l::IO
W,
)
.....
to·
"
A, t.. e.V flS
Sc..,
"'CM
•
K' .Ci~
..• ..... (,11:115
tiix.A C.ï~
1-
~::l. 39'
5'2.77S"
!r9. 5''''
~~. 1f,0
2
"o~.~$o
'1~. sor
~46. "-'7-
'1.0a. '!l~0
)
'1."73. 9'9
219. '73
2>3$• • 39
'1.12.. 7iJ~
1-
<la,. 436
S, ... ~U
41.0. '2.41
1.1'. 50'
TABLEAU
C 19
T
"')C.IO)(.,.
Sll."
A I ( :
t
J
1.' ,.4 \\ :
Gu,;
No ..
N°
VAI.Eu ....."
SC.M
Tc.
•
1"\\
C'o ..... 'fO:S
"0":5
I!)C" A c.Trs 1
'1.
104. ,~,
31. H"
+7. 10+
106. a5'+
Z
76. 442-
':10'. "oN
...,. 2. '4If
9+. G34
~
'1t7..018
"'$'. ~S1
'1'0. "1"13
-156. '''0
+
oH 4-. n3
1.",.)9$ '2. 1.1. '3S~
'2.04. U,
~
'1."'. ,~,
<l"10. S'llO
251.74'2.
21.1..;151'

---

223
TABLEAU
C 20
"T
')(,10 XI D
[ ,.;T
.I!> \\( ..
5-. =
J
1.$ •
...
..
"'..
",.
NO"
V.- L 1!VltS
SCM
TCM
c..Oa."I~
&,,, A-c.Tf'5
HObC.S
~
3B. '17
5'4. su
"'!l. DII
a(..JS"
Z
5!l. ~OZ
~7'1.0U
'15.,.4'70
!l''. '3"
')
'1." .'1'"
27 ,. 'S'l.'
3 ( ' - ':137
'1."". '''0
4
'2.'2.0.5IZ
33S.IlU
'1-'3'. OU
20 ... 311
S
4"1..117
os. 418
s70.lrl"
21.1.. ~s.r
TABLEAU
C 21
. "
10~
S-. -=
'.
,
)(. ')( T
Il.~= ~ 10
L.
)
4
CIJ." t.
1.
te. le
....
NON
VA l.4iu ....S
,
Sc.t1
"T c. 11.
Ho~ES
co .. a., G-1! 1'.1
E)I, A eTES
'1.
35. S"2
'31.'1'4
44. '14
3'.354
Z
'90.'315
'11.0.35.
'109. '2.3'
"4. 634
:;
'14'1.0':1'
'1.87.':Ilrl
"-7'.3',,-
'15'.8'3.
+
204.03'
1.0'.''17
'2 '15'• ." ..
204.311
S
24-.s.094
1. 7'1.571
1. ..,. 37..
21.'1."53

---

224
TABLEAU
C 22
~.
L y..,' 'X,:T'
.0."" .,.
t,.' ,l
s'" "
",.--
J
<
l::: 10
1
'0
"0
NO ..
VA LEv~
SeM
Tc. t1
•
c.o ...., ""ES
Iij)( Ac. TES
Mo bitS
...
3'3.\\17'
45'.7S3
53.444
3'" 'lo05'
'2.
... 0+.1.7
'111. 'l.'4
·H7.00 •
...-a.1l'!0
3
'113.''!3
342.9Si.
'2.73. 13S
"'f~·734
4
2 4'7 .1~3
444.'72
37.•. 7"
2.'. SOI
5'
35'4.7'4
57"1.124-
31'. 'l.4'
'lo 'o . .. 13
b) CorrectÎon d'une frontière avec 13 D.DL.
TABLEAU
C 23
..~ 'Xi x.T
'3 .. "
L
.0. \\(, =
.. ",."
l'" ,J-_J
•
....
.... ON
VA LiE'Uft.S
~et1
T e h
<. 0 ,.... \\ ~f'U
e: 'X. A- c.TES
Mo billS
-1.
H. '24-
11. 9\\13
'18.75 ..
1.7.5'4-7
'2.
15'.957
7S.7\\1~
'9. ·n.7
75'. 3 "
"3
1.3i.,0'3
1.32.070
'11.'·'2.24-
'13 •. 62\\1
.
"1-
1.85'. 25'0
'188.5"",
1.01.. 625'
'19+.51'
S
'19\\1. 133
1.\\1\\1.311
'2.25'.°23
205.969
6
OZ '4. 814
30o..oa+
+'2.3.733
336.327
"7
293.1.2 ,
398.730
451.5' '''t
:382. 'looo

---

225
Les résultats du Tableau C23 montre que la correction est encore plus efficace lorsque le
nombre de D.D.L. de frontière diminue (de .39 à 13). On parvient à corriger les 7 premiers m<X.les
encaslrés de la structure alors que ce nombre était de 4 pOUf une frotHière avec 39 D.D.L..
Le gain en fréquence induit par la correclion varie de l'unité de HZ sur les premiers modes
jusqu'à la centaine de HZ sur les 6ème et 7ème modes.
c) Autre intlrft d'wUiser des modes ElémenlJ Finis [Jour construire la matrice de sO/lf1lesJe
dans Wl contexte expérimental.
TABLEAU
C 24
b "" -=
Sil," t
")Ci 'Xl
Sil = 0
i.·i
w·•'"
["11.. J
fol·
NO"
VAt..euG.s
Sc.1'1
"Tc. ....
•
HObCi.S
(".<1 a ..., c;.Ei' ES
E)( A eTeS
...
17. S'II
\\S. na
1.9.13'
1."7. ~47
1-
7s-. -1001
71. 691
r1.. S39
7S'. 3 "
3
-1.)~. 2'2
... 3~.34a
1.31. s 71
1.37.. ,~,
~
7.00.372
7.01.'24"
1.07. 4U
""4. 91C
S'
?~7. 334
al '-1."
ao,.
23".7"
'!If,
La souplesse résiduelle SR est dirricilement accessible par expérience. Par contre l'on peut
connaître la souplesse de jonction (6,K) -1.. Ce cas est illuSlfé par les 5 premières fréquences de la
4ème colonne (valeurs non corrigées) du Tableau C 24. Elles approchent les fréquences des
modes encastrés de la slruCture (demière colonne du Tableau C 24).
Ce calcul a été errectué avec les 9 premiers modes libres de la Sous~Slfucture Q) (Figure
111.7)
Sur le plan numérique. la sonple~se résiduelle SR est estimée avec les 7è. 8è el 9è modes
libres (de la sous-structure Q), par J'expression (12). Le modèle modal BMM est construit
avec 6 modes libre~. Les corrections SCM et TCM donnent des résultaIS (Tableau C 24) qui
sont meilleurs à c. t.V~ du mooèle expérimental.

---

226
3) Introduction d'une raideur de JONction mal connue
La raideur de jonction n'est pas déterminée el on eslime seulemenl la souplesse résiduelle tle
frontière SR
(sur f.) à J'ai<1e des rmx.les non retenus (7è, 8è el 9è mO<.Je) par l'expression
(12).
Seule la méthode de SeM penllet de calculer les modes encastrés de la nouvelle struclure
(sous-structure Œ) plus joint de liaison). Le Tableau C 25 donne les résultats de cet ess.li.
TABLEAU C 25
~
S-. " L- X,' x"l
(4'o<Y';, 0
~''l
W· ...
,
N'
VAl.Cu"S
&c::.n..
MG»es
s.)C. A 'TVS
( ~"i)
t .. ~)
'1
11. ~41
17. S47
2
'S.~47
7S. aH
3
132. :ns
.t3~. 629
1-
201..'",'3
"1.'34. '3H
S
'2'2.'.436
2o '3. '36-'
D4 - Assemblaee de 4 DlaQues
®
@
r.
r.
@
<D
1
flOURE I119

---

227
La condensation dynamique de GUYAN donne pour les 3 plaques (2), (3) et (4) la masse
Mo el la rigidité K Cl sur la frolHière
fo
.
On applique le modèle modal BMM à ln plaque Q) avec 6 modes libres el une sOllple.çse
résiduelle SR calculée (avec 6 modes libres aussi) par l'expression (12),
L'assemblage de la plaque Q) .1YCC les 3 autres plaques se fair le long de la frontière
commune r; .
TABLEAU C26
MO\\)'C.'S
NORMAUX
E.N
~1.
1>E.
4
P\\..Ao.V'C..S
N'
... 0 ...
v A L~U"'S
\\; c.l'\\.
Tc t\\.
•
HObCZS,
CO "'tl\\ Go 1t 5
Ei '" A c."es
?I "c fl.
3ncA.
~t1c. ...
3 MC Il
1.
1.1.0151
1.7. ~3~
11. 633
1.'7. ~3~
"2
"1.1.7'7?1
"1.~.0.7
1.'. 00'
'1",001
~
40. 631
40. 113
40. n1
4 0 . / H
4
4-4."0
44. OS,
44.67'
44. 'H'
~
50.'75
S1.1.<"1.
S1.. 1.~~
51. 1.47
,
S9·""4
st. a sa
5'. a'?s
S'3.~04
7
75".171.
7s. " 1
7 S . ' . '
7S. .1"4
a
84. "183
14.7~7
84. '"
1'4. 7, 0
~
1..06·470
101.4-17
"1..'. ~ ••
"'101. ~~
1.0
1..07. 016
1.·h. Ho
"1."l."1.. "1" 0
"1'1..~4s"
"11
"1.7-4-.3s7-
-1~6." IS
1.7.6.39.
"1" .7<4
"1,
"1.'2.7. '2. 45
1.'f.U7
."1.'2.1.47s
"1'2./. ,tG

---

228
Le Tableau C26 montre que la correction apporte peu d'amélioration aux valeurs non
conigées déjà bonnes. La méthode TCM donne de meilleurs résultaIs que SeM.
Ce peu de gain en fréquence par la correclÎon s'explique par le calcul initial d'une bonne
valeur de la souplesse résiduelle SR. La correction dans ce cas peuL induire la perte de quelques
HZ (par rapport aux valeurs exactes) commune l'indique la colonne SeM dans le Tableau C26.
Mais J'efficacité de la coneclioll a été lestée sur deux matrices SR grossières
[ , , .R
(14)
SR =
10 , ,.]
el
12-
T
L
)(( X~·
(15)
SR =
~\\&.
i:, 7
adaptées respectivement aux méthodes l'CM eL SeM
Le Tableau C2? où l'on utilise l'expression (14) pour SR (méthode TCM) monlre un
gain en fréquence allant de 1 à 5 HZ (à panic du 3e mode) entre les valeurs corrigées el non
corrigées.
Dans les Tableau C28, l'on a calculé SR par l'expression (15). Seule la méthode SeM
pennel de calculer les modes encastrés de la structure.

---

229
TABLEAU C27
1101>10.':>
NORMAUX
E.N
HL
1)<-
4-
f' L A QVE.S
N'
~,u
vA '- Q Vit!»
TC ....
c....o lt ... 1 c;.tÉ~
"'" 0 &E' S
EXAc..TIiS
'?hCR,
!. h c. ....
~ "C.lt,.
1-
,,~. 61'l.
1.1. "7
11. U ~
~
1.~. 00"
"1~.".3
"1..'.006
•
",,"O. "2
41. ~,.,
-40. a 1"
..
4q. II,S,
""". S!I'
..... 'CS
•
.'1..2.1'
'5'Z..Jlo
S"1... ~<4-1
,
5'_. '311
' 3 . 1 ) )
".3'...
7
U. '2.1. '2.
77. ,'3'
7~. a, ...
a
Il. 6~,
Ill.73'
8io."
0
TABLEAU C28
M01>IéS
NOR""A.UX
IéN
>...
blé
4-
PLA Il.Vé."
N'
V",,-~y...~
sc ....
.XAc.Te~
MO • • "
~ '1'1(.. P..
~ ne. ...
...
"\\"1.'14'
'4'7. ,..~~
2
1. •. uS"
"\\..,. 001
,
40·$".57
"".6'1"
..
..
44.5"9'
«
~
•
S1l • "4
S>
'41
,
~.3'~
r,.1 c..
,,.....,,,,,
1
74-. '!l''
•
''''''. o'?,.,
&''1. 1'0
,
-:1.0'. 32~
"108.5'0'
'1,
"\\1.". '4'
-m. 'H".
"
1.~4. 31.1
'1,'4'. OH '2.
~.
-:1.17. '1'e11.
"'2.'. 1"

---

---

231
(
CONCLUSION)

---

---

232
1 PROBLEME INITIAL
Les méthodes de synthèse modale dom le fondement repose sur l'utilisation des modes
normaux d'organes mécaniques simples issus du calcul ou de l'expérience, permettent de
prévoir le componement dynamique d'assemblage de structures complexes.
Cette réduction du nombre de degrès de libené caractérisant le système rend la synthèse
modale efficace panni les techniques utilisées en dynamique des structures.
Cependant, le problème délicat lié à l'inévitable troncature modale induit une pénalisation
de la qualité de la réponse vibratoire cherchée. Il s'avère alors nécessaire d'étudier finement les
interfaces de liaison entre sous-structures pour contourner cette difficulté. On a donc introduit
les caractéristiques résiduelles de frontière qui apportent un assouplissement du système
rigidifié par la troncature modale. Mais la connaissance de ces termes est imprécise par le calcul
et difficile par expérience. on est en effet conduit sur le plan expérimental à une délennination
très imprecise de la fléxibilité résiduelle par lissage de courbe en fonnulation déplacement (ou
modes libres), et à des mesures impossibles de rotations et de couples pennettant d'accéder à la
matrice de raideur statique lorsqu'on se trouve en fonnulation force (ou modes encastrés).
Cene difficuhé a été levée grâce aux modes dits de branche introduits par
JEZEQUEL il y a une dizaine d'années, el rapportés en référence (RI2). Ces modes de
branche sont des modes nonnaux d'une structure lorsqu'on lui impose un chargement
d'impédance connue le long de ses frontières. Ils présentent l'avantage de pennettre des
mesures expérimentales se simant entre les deux états limites de frontière encastrée et de
frontière libre. Les caractérisliques résiduelles de frontière deviennent ainsi accessibles par
expérience.
Les modes de branche se rauachent en fail aux problèmes intermédiaires de
WEINSTEIN introduits en mathématiques au début de ce siècle, référence (RI) et (R2).
Grâce à une fonnulation intégrale des' problèmes de dynamique, les pulsations des structures
cherchées apparaissent comme des solutions des détenninants de WEINSTEIN qui intégrent
l'expression matricielle des caracléristiques résiduelles de frontière dans les contextes
numérique et expérimental.
Mais c'esl LEUNG qui a d'abord fourni, référence (R32), un calcul explicite de la
flexibilité résiduelle à un ordre quelconque.
La prise en compte des caractéristiques de frontière a effectivement pennis d'améliorer
les résultats de la synthèse modale et ceux d'autres techniques de la dynamique des structures
comme la condensation dynamique de GUYAN ou l'analyse de sensibilité. Ce sont nos
conclusions des chapitres un et deux.
Néanmoins, il n'existe pas d'études spécifiques sur le recalage des termes
résiduels
de
frontière
afin
d'améliorer
l'efficacité
des
méthodes
de
sous-structuration. Celte absence repose sans doute Sur la difficulté de corriger des
caractéristiques représentées par des matrices dans le contexte numérique, et qui impliquent
1
souvent un nombre de degrès de li1Jer'œ relativement 6lev6.
1J

---

233
Le but princiapl recherché dans ce travail consiste à proposer une
procédure générale de recalage des caractéristiques résiduelles de frontière
pour améliorer très nettement les résultats de dynamique des structures.
II CORRECTION DES INTERFACES
DE LIAISON
1) Généralités
fi a d'abord été nécessaire d'introduire un modèle modal capable de prévoir la réponse
dynamique d'une structure avec des conditions aux limites quelconques dans le contexte
numérique ou expérimental: S.M.M. Basic Modal Model. Celui-ci est ensuite corrigé et
amélioré.
Ce modèle modal est construit à panir des modes libres et de la souplesse
résiduelle de frontière au premier ordre. On a en effet montré au chapitre un qu'il y a
peu de différences dans les résultats de synthèse modale lorsqu'on utilise les tennes résiduels
au premier et au second ordre. Cependant, l'ordre deux apporte une nette amélioration par
rappon à l'ordre un aux fréquences élevées.
Nous avons donc envisagé une correction au premier ordre et à basses
fréquences afin de compenser l'inéfficacité de l'ordre deux dans cette plage fréquenrielle.
2) La cOrrection
Dans le cadre du recalage de modèle numérique par rapport aux résultats expérimentaux,
_ deux méthodes de correction de la flexibilité résiduelle de fromière ont été proposées. La
technique utilisée consiste à définir une perturbation de la matrice de souplesse résiduelle. La
nonne de celle-ci est ensuite minimisée en imposant des conditions d'orthogonalité elle respect
de certaines règles spectrales.
Celle correction repose sur les idées fondamentales 'suivanles :
a) L'~quiva1ence alg~brique des systèmes d'~qUfllions matricielles
L'équation matricielle de définition du modèle BMM penneltant d'obtenir le spectre de la
structure avec des conditions aux limites quelconques n'est pas directement utilisée dans la
procédure de correction.
A ce système (A), l'on préfère un autre système (C), voir ANNEXE 6, adaplé aux
équations énergétiques.
biLe crilüeénergérique
La troncature modale induit en effet une perte d'énerg!e cinétique au système. Les
équations énergétiques (C) ne sont donc pas vérifiées. L'un des objectifs de la correction est de
faire retrouver cette propriété. Ce critère énergétique sera en fait un guide dans la procédure de
correction.

---

234
c) Les modes de branche
'" L'idée fondamentale de la correction consiste à retrouver exactement les fréquences de
résonnance et d'approcher au mieux la forme des modes de branche de la s[fUcture chargée sur
ses interfaces,
'" Ce passage par les modes de branche constitue une voie originale que nous avons
choisie pour calculer avec précision les modes encastrés de la structure lorsqu'on est en
fonnulation déplacemem ou bien les modes libres dans le cas de la fonnulation force. En effet,
la correction des frontière avec plusieurs degrès de libené par seulement quelques modes est un
problème indelerminé. L'utilisation de l'étape intermédiaire défini par les modes de branche a
pour intérêt majeur de faire converger les réuIlats vers les fréquences exactes des modes
normaux de la structure finale.
>III Il est possible de perdre le caractère défini positif de la maoice de flexiblité résiduelle
SR en cours de correction, car celle-ci conslÎtue une opération dangereuse. Si le caratère se
perd, il est possible de le sauvegarder en rajoutant des modes de branches fictifs
correspondant à un calcul direct avec SR non corrigée. Les modes de branche fictifs sont des
vecteurs quelconques mais orthogonaux à ceux retenus pour réaliser la correction. Ils sont
inrroduits lors des premières étapes dt la correction. Dans la pratique, les modes de branche
fictifs choisis sont les merles de branche non conigés de rang supérieur à ceux qui interviennent
dans la correction.
d) La méthode de correction reM
La méthode de correction TCM (Total Correction Method) corrige la marrice de
souplesse résiduelle SR globalement. La procédure utilisée nécessite l'inversion de cette matrice
SR. Comme celle-ci est généralement singulière, surtout dans le contexte expérimental, il s'est
avéré nécessaire d'introduire une seconde méthode de correction pour contourner cette délicate
difficulté.
e) La méthode de correction SeM
La méthode de correction SCM (SeleclÎv Correction Method) opère une correction
sélective des composantes de la matrice SR. Elle présente l'avantage majeur de ne pas nécessiter
l'inversion de SR. En ce sens, elle est complémentaire à la méthode TCM précédente.
fJ Les matrÎces de souplesse résiduelle SR
On a regroupé les matrices SR susceptibles de représenter le contexte réel en trois types:
* Type l : SR définie positive et pleine (issue du calcul numérique)
* Type li: SR définie positive el diagonale (pour initialiser la méthode TCM)
... Type III : SR est pleine et faiblemem singulière (estimalÎon de SR dans un contexte
expérimental)
Ces matrices permettent de simuler une estimation grossière de SR ou au contarire sa
oonne connaissance par calcul ou par expérience.
1

---

235
3) Utilisation du modèle modal UMM et des méthodes de correction reM el SeM
a) Conditions liées cl la procédure de correcrion
Le respect de conditions liées au nombre des différents modes normaux utilisés est
nécessaire pour appliquer efficacement les méthodes de correction TCM et SeM
b) Qualité des modes de branche
U est intéressant de réaliser la correction avec des modes de branche qui se situent dans la
même zone fréquencielle que celle des modes normaux cherchés.
c) Influence du nombre P de DDL de/roncière
La synthèse modale est réalisée avec 6 à 12 modes généralement lorsque l'on rient
compte compte des caractéristiques résiduelles de frontière. Une interface de raccordement est
dite alors à faible nombre de DDL si P est aux environs de 12. Dans le cas où P dépasse la
vingtaine, la frontière considérée est à grand nombre de DOL.
Même si les procédures de correction se sont révélées très efficaces en général, eUes sont
d'autant meilleures que P n'est pas trop élevé.
III
RESULTATS
OBTENUS
1) Qualité des méthodes de synthèse modale TCM et SeM
Le modèle modal BMM proposé a débouché sur deux méthodes de synthèse modale
TCM et SCM. Elles se sont avérées très efficaces dans le recalage des modes de branche,
premier lest de la qualité des procédures de correction. Celle-ci a pennis en effet de retrouver
exactement les fréquences des modes de branches introduits, d'approcher au mieux leurs
déformées modales el de recaler parfaitement les réponses temporelles des structures étudiées.
2) EfficaCÎté du modèle
BMM
pour des variations de conditions aux limites
quelconques
Le modèle modal BMM donne des réponses temporelles avec exactitude lorsque les
conditions aux limiles sur les interfaces de raccordement varienr de l'encastrement parfait à la
libération totale des frontières. Mais la synthèse modale directe basée sur les modes de branche
ne permet pas du tout de prendre en compte ces modifications structurales majeures. C'est un
întérêt de plus du modèle BMM et des mélhodes de correction TCM et SCM.
3) Structures avec joints aux interfaces de liaison
La technique d'utilisation des matrices de raideur 6K associées à des déplacements
nodaux le long de la frontière de raccordement
pennet de traduire la souplesse de jonction
6K induite par les sous- structures adjacentes. Il est également intéressant d'introduire la
souplesse résiduelle SR à l'interface
, d'où la souplesse résultante S = SR + 6.K

---

236
Selon la qualité de la connaissance de chacun des telmes SR et .1K, on a pu simuler
plusieurs cas réels de structures munies d'organes élastiques détenninés ou mal connus aux
interfaces de liaison. De nombreux rests ont mis en valeur l'efficacité des méthodes de synlhèse
modale TCM et SCM.
4) Supériorité du modèle BMM corrigé au modèle exoérimental
Dans le cas de sous-structures liées par des raideurs de jonction
,1K
connues
expérimentalement, il est possible de réaliser l
- à~e
e à l'aide des fi modes dont on
~ /
dispose. C'est la configuration expériment _"
l'on ign
t
souplesse résiduelle SR de
~
"
frontière.
l'~ I~!.......- ~
nest néanmoins judicieux de se servikautrement de ce ... odes: fi = N + L où L« N.
'., Q(.
'
i:;"
En effet. l'on peut estimer SR confonnémen(ll.tpc:
corrections (matrice de type
.<~
e(\\\\
TIl). Le modèle BMM est al<m construit avec
.
,ulement. La correction du modèle
BMM donne alors des résultats meilleurs à ceux de la configuration eJ\\:périmentale.
5) Assemblage de SQUs-strucrures
Les assemblages de sous-structures conformément aUJ\\: techniques de BENFIELD et
HRUDA sont améliorés par le modèle BMM corrigé même si l'on itroduit des matrices de
flexibilité de frontière SR estimées grossièrement par le calcul ou par l'expérience.
IV
CONCLUSION
La contribution la plus originale de ce lravail repose sur la procédure générale de recalage
des caractéristiques résiduelles de frontière qui a été proposée. Elle a permis d'améliorer
considérablemnt les résultats de synthèse modale et est applicable dans le contexte numérique
cu eJ\\:périmental.
Même si les méthodes proposées ont été construites dans le cadre élastique et
conservalif des extensions à des strucrures complexes, amonies ou componant des frontières
non linéaires som parfaitement envisageables.

---

---

(
BIBLIOGRAPHIE
)

---

RI
llIllLIOGRAPIllE
1 - REFERENCES PRINCIPALES
(RI)
A. WEINSTEIN et W. STENGER
Intermediate problems for eingenvalues. Theof)'
and ramifications. 1972,
Academie Press- New- York and London
(R2)
S.H. GOULD
Variational Methods for eingenvalues problems. An Introduction lO the
WEINSTEIN method of intennediate problems. 1966, London, Oxford University
press.
(R3)
M. KRASNOV, A. KISSELV el G. MAKARENKO
Equations intégrales. Ediüons MIR-Moscou
(R4)
K. MAURIN
'Methods of HILBERT Space. 1967, Polish scientific publishers. Warzanva
(R5)
M.G. KREJN el I.e. GOHBERG
Opérateurs linéaires non auto~adjoinls. 1971, Dunexi, Paris
(R6)
H. REINHARD
Equations différentielles. 1982, Gauthier- Villars, Paris
(R7)
O. PIRONNEAU
Optimal shape design for elliptic systems. EdüÎon Springer-Verlag
(R8)
J. NECAS
Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques. Masson, 1967
(R9)
LADYZENSKAYA et N.N. URAL'CEVA
Equations aux dérivées partielles de type ellipLique. Dunod, 1968
(RIO)
J. UONS el E. MAGENES
Problèmes aux limites non homogènes et applications. Tome J, Dunod. J968

---

B.2
(RII)
1.M. GUELFAND et G.E. CHILOV
Les distributions. Tome 3, théorie des équations différentielles, Dunod, 1965
(RI2)
L. JEZEQUEL
Synthèse modale: Théorie et extension. Thèse de Doctorat d'Etal ès Science.
Université Claude Bernard. Lyon, 1985
(RB)
1.. KANTOROVITCH, G. AKlLOV
Analyse Fonctionnelle. Editions MIR-Moscou
(RI4)
1. GOHBERG et S. GOLDBERG
Basic Operalor Theory. 1981, Birkhausen, Boslon-Basel-Stuttgart
(RIS)
M. ROSEAU
Vibrations des systèmes mécaniques. Méthodes analytiques et applications. 1984,
Masson
(RI6)
1.. MEIROVITCH
Analytical methods in vibrations. 1967. The Macmillan company, New-York,
Collier-Macmillan, Canada
2 - REFERENCES GENERALES
(RI7)
A. BERMAN et W.G. FLANNELY
Theory of complete rnodels of dynamic structures. 1971, AIAA Journal, vol. 9,
pp. 1481·1486
(RI8)
A. BERMAN
Mass matrix correction using an incomplete set of measured modes. 1979, AIAA
Journal, vol. 17. pp. 1147-1148
(RI9)
M. BARUCH
Optimisation procedure 10 correct sliffness and flexibility maoices using vibrarion
tests. 1978, AIAA Journal, vol. 16, pp. 1208-1210
(R20)
M. BARUCH
Porportional optimal onhogonalizalÎon of measured modes. AIAA Journal. vol.
18. pp. 859·861

---

B.3
(R21)
A.M.KABE
Stiffness rnatrix adjust meni uSing mcx:Je data. 1985, AIAA JoufIlal, vol. 29, pp.
1431-1436
(R22)
L. JEZEQUEL et S. TCHERE
Contrôle optimal des l:flf<lctéristiques résiduelles utilisées en synthèse modale.
8ème Congrès Françnis de Mécanique. Nallleli, septembre 1987. pp. 160-161
(R23)
L. JEZEQUEL
A hybrid rnelhcx:J of modal synthesis using vibration lests. 1985, Journal of Sound
and Vibration, voL 100. pp. ]91-210
(R24)
L. JEZEQUEL et S. TCHERE
Correction of residual flexibility from vibration tests
International Modal Analysis Seminar. LEUVEN, Louvain Septernber 1987
(R25)
S.TCHERE
Couplage dynamique des structures le long d'interfaces continues. Mémoire
d'Ingénieur, Ecole Nalionale des Tmvaux Publics de l'Etat. Lyon, 1983
(R26)
S. TCHERE
Méthodes hybrides de synthèse modale. Mémoire de Diplôme d'Elude
Approfondies. Université Claude Bernard, Lyon, 1984
(R27)
L. MElROVITCH et A.L. HALE
On the substructure synthesis method. 1981, AIAA Journal, vol. 19, pp. 940-947
(R28)
L. MEIROVITCH et A.L. HALE
A procedure for improving discrete subsLructure representation in dynamic
synthesis. 1982. AIAA Journal, vol. 20, pp. 1123-1136
(R29)
L. MEIROVITCH et AL HALE
A general procedure for irnproving subStruclures represenllllion in dynarnic
synthesis. 1982, Journal of Sound and Vibration, vol. 84, pp. 269-287
(R30)
S. RUBIN
Improved cornponem-mode represemalion for structural dynamic analysis. 1975,
AIAA Journal, vol. 13, pp. 995-1006

---

BA
(R31)
Y.T. LEUNG
An aeçurate method of dynamjç condensation In structural analysis. 1978,
International Journal for Numerical MeLhods in Engineering, vol. 12, pp.
1705-1715
(R32)
Y. T. LEUNG
Accelerated convergence of dynamic flexibility -in series ·Conn. 1979, Engineering
'!rUelu"", vol. l, pp. 203-206
(R33)
Y. T. LEUNG
An accurale rnethod of dynamic 5ubslI1lCluring with simplified computation. 1979.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 14, pp.
1241-1256
(R34)
Y.T. LEUNG
Accelerated converging melhods in structural response analysis. 1980,
Proceedings Conference on Advanced Structural Dynamics. University of
Southampton, pp. 101-108
(R35)
Y.T. LEUNG
Fast convergence modal analysis for continuous systems. 1983. Journal of Sound
and Vibration, vol. 87, pp. 449-467
(R36)
J.A. BRANDON
Derivation of significance of second order nxxial sensivities. 1984, AIAA Journal,
vol. 22, pp. 723-724
(R37)
L. JEZEQUEL
Synthèse de l'amortissement pllT sous·structuration e,.;périmentale. 1978, Thèse de
Docteur Ingénieur, Université Claude Bernard, Lyon
(R38)
L. JEZEQUEL et S. TCHERE
Nouvelles méthodes de correction des caractéristiques résiduelles de fronlière en
,synthèse modale. Journées "choc et vibrations", Ecole Centrale de Lyon, 1988
(R39)
T.CHERRADl
Une méthode de sous-structuration dynamique avec interface de frottement. Thèse
de Docteur Ingénieur, 1985. Institut National des Sciences et Techniques
Nucll!aires

---

8.5
(R40)
N. KARCANlAS, C. GlANNAKO POULOS et M. HUBBARD
Almos! zeros of a sel of polynomials of
• 1983, InternaLÎonal Journal of
Control, vol. 38, pp. 1213-1238
(R41)
R.W. DANIEL et B. KOUVARITAKIS
Analysis and design of linear multivariable [eed back syslems in lhe presence of
additive perturbations. 1984, International Journal of Control, vol. 39, pp.
551-580
(R42)
W.L. EASTMAN et JA BOSSI
Design of linear quadratic regulators with assigned eingenstructure. 1984,
International Journal of Control, vol 39, pp. 731-742
(R43)
K. REINSCHJ<E
Graph-theoretic characlerization of fixed modes in cenlfalized and decentralized
conlroI. 1984, International Journal of Control, vol. 39, pp. 715-729
(R44)
A. ARBEL et o. RATH
An Iterative pole-plaœlllent algorithm. 1985. Inlernational Journal of Control, vol.
41, pp. 929939
(R45)
A. SIMPSON
A newtonian procedure for the solutions of
E 'X. ':' ),Ax.. 1982, Journal of Sound
an Vibration, vol. B2, pp. 161-)70
(R46)
A. SIMPSO!'i
On the solution of
SÙAJ) x. -= 0
by 8 newtonian procedure. ]9B4, Jour.nal of,
Sound and Vibration, vol. 97, pp. 153-164
(R47)
N.S. SEHMI
A newtonian procedure for the solution of the KRON characrerisric value problem.
1985, Journal of Sound and Vibralion, v~l. 100, pp. 409-421
(R48)
T.J. BRJDGES et L.N. VASERSTElN
The local evatuation of the derivalive of a detenninant. ]986, Journal of
computatlonal physics, vol. 65. pp. 107-119

---

B.6
(R49)
B. DAWSON el M. DA VIES
The idenlily belween Ihe RA YLEIGH-KOHN and NEWTON-RAPHSON
procedures and ilS application 10 the vibraLion analysis of single-junction branched
systems. 1979. Journal of Sound and Vibration, vol. 67 , pp. 151-162
(R50)
J. ONODA el R.T. HAFrKA
An approach 10 structure/conlrol simultaneous opLimizalion for large flexible
spacecraft. 1987, AIAA Journal, vol. 25, pp. 1133-1138
(R51)
X.Y. HUANG
Active Control of aecorail flutter. 1987. AIAA Journal, vol. 25, pp. 1126-1132
(R52)
J.K. BENNIGHOF
Component Mode Iteration for frequency calculalions. 1987. AIAA Journal, vol.
25, pp. 996-1002
(R53)
1. GLADWELL el R. THOMAS
Slabilily properlies of Ihe NEWMARK, HOUBOLT and WILSON
Melhods.
1980, International Journal
for Numerical and
analyLical melhods in
-Géomechanics, vol. 4, pp. 143-158
(R54)
G. RYLAND el 1.. MEIROVITCH
Response of Vibraling systems with perturbed paramelers. ]980, Journal of
guidance and control, vol. 3, pp. 298-303
(R55)
P. VANHONACKER
DifferentiaI and difference sensilivities of natuml frequencies and modes shapes of
mechanical structures. 1980, vol. 18, pp. 1511·1514
(R56)
H.F. ADELMAN el R.T. HAFrKA
,Sensivity analysis of discrete Structural systems. 1986, AIAA Journal, vol. 24,
pp. 823-832
(R57)
R. REISS
Design derivatives of eingenvalues and eingenfunctÎons for self-adjoint distributed
parameter systems. 1986, AIAA Journal, vol. 24, pp. 1169-1172

---

B.7
(R58)
B.P. WANG el W.D. PILKEY
Eingenvalue reanalysis of locally modified structures using a generalized
RAYLEIGH'S Method. 1986, AJAA Journal, vol. 24, pp. 983-990
(R59)
M.P.KAMAT
Optimisation with frequency constrainls-limitaLions. 1983, Journal of Sound and
Vibration, vol. 91, pp. 1310-1316
(R60)
K. KIM, W.J. ANDERSON el R.E. SANDSTROM
Nonlinear inverse penurbalion method in Dynamic analysis. 1983, AIAA Journal,
vol. 21, pp. 1310-1316
(R6I)
L. JEZEQUEL
Modal Synthesis of large struclures wiLh nonlinear joints {rom vibration tests.
1984, Proceedings of the 2nd International Conference on Recent Advances in
Structural Dynamics, vol. 2, pp. 281-295
(R62)
J.O. HALLQUIST el W.W. FENG
On the specification of eingenvalues in vibration systems. 1976, ASME Journal of
Applied Mechanics, vol. 98, pp. 359-360
(R63)
C.J. HOFF, M.M. BERNITSASS, R.E. SANDSTROM el W.J. ANDERSON
Inverse perturbation method for structural redesign with frequency and InOOe
shape conSlrainlS. 1984, AIAA Journal, vol. 22, pp. 1304-1309
(R64)
1. HIRAI et M. HASHIWAKI
Derivatives of eingenveclOfs of locally modified structures. 1977, International
JoumaJ for numerical merhods in engineering. vol. Il, pp. 1769-1773
(R65)
1. HJRAI et T. YOSHIMURA
On a direct eingenvalue analysis for loçally modifit:d structures. 1973,
International Journal of numericai melhods jn engineering, vol. 6, pp. 441-456
(R66)
P. PEDERSEN
Sensivity analysis for prohlems of dynamic sLabilily. 1983, International Journal
of Solids and Structures, vol. 19, pp. 315-335

---

8.8
(R67)
J.G. GIMENEZ et LI. CARRASCOSA
An efficient methCKI of experimemal mooal analysis of Mechanical syslems. 1982,
Proceeding 1, International Modal Analysis Conference, Orlands, florida, pp.
528-533
(R68)
J.c. CHEN et J.A. GARBA
Analytical model improvelnenl using rncxlallesl results. 1980, AIAA Journal, vol.
18, pp. 684-690
(R69)
R.R. CRAIG et C.J. CHANG
Substructure coupling for Dynamic analysis and testing. NASA CR, 2781,
February 1977
(R70)
R.R. CRAIG et C.l. CHANG
free-Interface Melhods of substructure coupling for dynamic analysis, 1976,
AIAA Journal, vol. 14, pp. 1133-1135
(R71)
S. GOLDENBERG et M. SHAPIRO
A slUdy of modal coupling procedures for the space simule. NASA CR - 2252
(Rn)
T.K. HASSELMAN
Sludy of modal coupling procedure for the shuttle : a matrix melhod for damping
synthesls. NASA CR - 112-253
(R73)
A. WEINSTEIN
Bounds for eingenvalues and the method of intennediale problems. International
Conference on partial differeJJlial equations and contimum Mechanics, Madison,
Wisconsin, 1961
(R74)
lan GLADWELL and Ruth THOMAS
Stability Propenis of <he NEWMARK, HOUBOLT and WILSON
Methods
International Journal for numcrical and analylical Methods in Geomechanics,Vol4,
pp 143-158.
(R75)
L. JEZEQUEL
A melhoo of damping synthesis [rom substruclure test. Journal of Mechanical
Design
ASME, VoU 02, 1980 pp. 286-294.

---

( ANNEXES
)
J

---

1.1
ANNEXE 1
AUTRES RESULTATS

---

2.1
ANNEXE 2
MATRICE DE PSEUDO-FLEXIBILITE
SOUPLESSE RESIDVELLE

---

2.2
On ne peut pas définir une matrice de souplesse statique dans le cas d'une S01lcture libre
qui possède des mooes de corps rigides. On utilise alors une procédure particulière pour
déterminer une matrice de pseudo~nexibilité.
Soit 0
le vecteur déplacement dans la base des mooes libres et rigides.
(1)
U
= [XL J QL + (XR) QR
avec
(2)
UL = (XL) QL • UR
= (XR) QR
Où * [XLl
et (QR)
désignent respecrivemenlla mamce modale des modes libres
et le vecteur de coordonnées modales leur correspondant
•
[X R) et [QR)
désignent respectivemenlla matrice mooale des modes de
corps rigides et le vecteur de coordonnées mooales leur correspondant
L'on suppose que les modes élastiques et rigides sont normés par rappon à la matrice
discrète
(M) de la structure.
Le mouvement des modes rigides s'écrit donc:
(3)
où
F
est la force d'excitation appliquée à la structure,
On en déduit l'expression des forces d'inenie :
(4)
La sttucture est donc soumise au système des forces en équilibre
où
permet de filtrer les modes de corps rigides.
Si la structure possède
R mcxles rigides, on bloque R
de~s de libent pour la
rendre isostatique, On définit alors une matrice CG) à partir de la matrice de flexibilitt
isostatique à. laquelle on ajoute R colonnes et R
lignes nunes, correspondant aux degrés
de libent bloqul!s.

---

2.3
Le vecteur déplacement isostatique Ur s'écrit:
Le mouvement élastique de la strucrnre libre s'exprime donc:
(8)
VL=V,,+lXRJ'l'j ..
Le vecteur des coefficients inconnus ,?...
est détennîné à panir de l'équation
d'onhogonalité
T
(9)
VL (M)(XR) = 0
On en déduit:
.,..
T
(10)
UL
~
V,,- (XR)rXR)(M) Vr = (A") V:t
D'où
.,..
(lI)
VL
= CA) [0) (A.) F
La matrice
T
(12)
[a). = (Al (0) (A)
est la matrice de pseudo-flexibililé cherchée.
Cene matrice
(G} ~
de pseudo-flexibilité dans le cas d'une strucrure libre est
l'équivalente de la matrice classique
(K 1- '1. dans le cas d'une strucrure fixe.
Si [XLJ désigne la matrice modale des N modes élastiques retenus. on définit la
souplesse résiduelle correspondant aux modes non pris en compte par :
••
(13)
(Ollt.
(xLî ~KJ(XLJ
"
T
où [K)'" est replacée par (0 l cdans le cas d'une structure libre , (K) ~ =(XL) •
lKJ (XL) el
(0)
= (XL) (KY'(XL)
Cette matrice d~ souplesse résiduelle
CG 1A. est celle correspondant au 1er
ordre. On l'a appelée
(SR) lorsqu'elle a été projettée sur les DDL de frontière de
rac<:ardemonL

---

2.4
L'approximation
au 2e ordre qui conduit à définir une souplesse résiduelle à
l'ordre 2 consiste à intégrer à J'équation (7) écrite à l'ordre 2. les forces d'inertie qui
résultent des déplacements du 1er ordre dûs aux forces extérieures, en J'absence
d'amortissement
L'analogue de l'équation \\Il s'écri< alors :
..
(14)
U:t
= (G) (A) (F - CM) Ü", )
La supression de la conniburion des modes de coprs rigides conduit à ;
,
ou
La contribuôon des modes des résiduels s'écrit alors
•
(17)
U,,-
=
tG1", F - {H)1l. F
ou
avec
(19)
Grâce aux conditions d'orthogonalité, On obtient une expressÎon simple de la matrice
de flexibilité résiduelle
(H) '"
d'ordre
2 :
Dans le cadre des techniques de synthèse modale, cette malrice (H1:st condensée sur
les
DDL de frontière de raccordement

---

3.1
ANNEXE 3
SOUPLESSE RESIDUELLE

---

3.2
Les matrices de souplesse résiduelles sont obtenues de deux façons différentes en
fannulations continue et discrète. Les résultats sont rigoureusement identiques dans les deux
cas même si les expressions analytiques changent.
Fonnulation continue
Les fonnules (1.310 a) et (1.310 b) donnent à l'ordre 2N et 2N + l, les souplesses
résiduelles suivantes:
t.J
(1)
J)
(2)
N
D ft"
Dans le contexte numérique où l'on dispose de matrices de masses et de raideur, il est
possible de s'implifier l'écriture des expression (1) et (2) pour retrouver celles fournies par la
fannulation discrète ci-après.
Fonnulation discrète
Le calcul par Eléments Finis permee de diposer d'une maoice K de rigidité el d'une
matrice M de masse.
Les vibrations libres d'une structure sont alors régies par l'équation dynamique classique
...
(3)
-
tA)
MX -= 0
On appelle alors S(w) matrice de souplesse dynamique définie par :
(4)
~ (<.0) =
En écrivant S(w) sous la fonne
on utilise l'identité remarquable
pour obtenir le tenne d'ordre N de S(w)

---

3.3
L'ANNEXE 2 permet de lever les difficultés liées à l'éventuelle singularité de la matrice
K.
On établit aisément
(8)
.t,
où ..st est la matrice spectrale et f
la matrice modale.
Si l'on n'a accès qu'à m modes par le calcul ou par l'expérience. on appelle
~ IW\\..
la matrice de ces m modes et
S fIT\\.
N
(9)
s""
N
La souplesse résiduelle SR à l'ordre N est alors définie par
(10)
- '5N-
-

---

4.1
ANNEXE 4
MASSE RESIDUELLE

---

4.2
Le calcul des matrices de masse résiduelle est similaire à celui des matrices de souplesse
résiduelle. On y distingue aussi dcux formulations continue et discrèle.
La fonnulalion discrète pan de l'équation dynamique écrite en force. La technique
d'identité remarquable utilisée en ANNEXE 3 eSI enCDre nrce-ssaire ici. La démarche suivie est
identique.
Les expressions (1.369 rl) el (1.369 b) donnent à l'ordre 2 N et 2N + 1 les lennes de
masse résiduelle en fonnularion continue.
N
(1 )
Ce De: -<1.
(2)
C

---

5.1
ANNEXE 5
EXTENSION DE LA METHODE DE SENSIBILITE
1

---

5.2
La méthode de sensibililé proposée peut être étendue à une modification structurale plus
complexe où interviennent des perturbations en masse el en rigidité à la fois .
...
...
(1)
ÀK
=
À K
- W
6.M
•
La correction de cette matrice A K introduite pour atténuer les effets de la troncature modale
vérifie J'équation (11.66) :
(2)
( r
-
La matrice de flexibilité résiduelle SR correspond à un développement au premier ordre de
la participation des modes non retenus, ( Equation (11.64) ), mais doit être prise en compte dans
l'influence des basses fréquences.
Comme la norme de la matrice ( li. \\(. ...w'" A t1 ) SR est petite devant l, ./:) K peut être
approximée par la relation suivante :
(3.a)
6K:
p, _ w~ ' ... +w1 l!
où
p ... =
AK-A>«
.. AK
(3.b)
p.. =
AM
_
(AH Sil AI" + AK r ... AM)
Les modes du système perrurbé sont solutions d'un problème spectral d'un ordre plus élevé
que celui du système de base donné en équation (II.46).
Ce problème peut être ramené à la forme standard suivante:
(5)
(H
+ AH)
Y
=
w'" ( R + A R) Y
avec
(6)
H =
R =
r
T
XF PI )(~
rXOF f, XF
(7) AH =
0
J
lx~
T
AR =
l
f,XF
- y.l PoLl(F
Les valeurs propres du système non penurbé correspondent aux pulsations Wl et les
vecteurs propres associés ont la forme:
(8)
1
,
,

---

5.3
La méthode proposée consiste à employer l'analyse de sensibilité au système en utilisant
dans le calcul seuls les N modes retenus.
Un développement au premier ordre conduit à une équation spectrale où les valeurs propres
du système penurbé vérifient :
Cene équation tient compte du fait que les vecteurs Yk
ne sont pas nonnés à l'unité. En
utilisant les relations (3.b)
et.
(6)
et
(7), on obtient en définitive:
(10)
ë;)"t"'= ~ + x;.. (lI><- A><S.. ;l><-W"t (Atl- (AI-1S.. 6/(
+ AI<. S.. M1) + CAl').. li,.., s.. AM)") 'XFIl

---

6.1
ANNEXE 6
EQUIVALENCE ALGEBRIQUE DES EQUATIONS
DE CORRECTION
1
1
1
J

---

6.2
Les nOlations adoptées dans cene annexe som celles de la 3ème partie: CORRECTION
DES CARACTERISTIQUES DE rRONTIERE.
L'on souhaite établi l'équivalence enlre 3 systèmes d'éyuations algébriques.
SYSTEME (A)
.. Equation d'obtention des modes de branche
(Al)
IJ[: o
li< Changement de variable
(A2)
SYSTEME(B}
(B 1)
_ .t1. >. ~ - 1<0 À
~
(B2)
= Cl.-"a
rB3)
On montre de façon rriviaJe l'équivalence entre les deux systèmes (A) et (8)
Comme la procédure de correction utilisée dans la 3ème panie n'utilise pas explicitement
le système (A) m':lls pllllÔt le système (e), il convient d'ét.ablir l'équivalence entre celui-ci et les
deux premiers cirés.
SYSTE\\IE <Cl
~
ICI)
G
ex
+
>-" M. \\
'-
(Cl)
E~ 1<'.. E
~
a.T SL!l..
>,T><. >.
= A. _
Q
-
(U)
~.. E
~
1":1, À ..f\\~ - K..À
IC4)
À - )<." Cl. + E.

---

6.3
(C 1) el (C2) sont déduites des relations d'orthogonalité par rapport aux deux matrices de
masse et de rigidité liées à l'équation (A 1). On monlTC donc aisémelll ;
(Pt)
='3» (c)
Montrons que
Cc.) ==}>
CA)
En tenant compte de (C3), il vient :
Q.T.Jt.LQ.. +
E"lo(fl.(
..: QT Q ~ + À,T\\lCfl.,. ~
En urilisant (C4), on obtient:
(jl:TA.LQ.
Q'TXI-Kp."E,:::
Q"Q.JL~
Comme Q. est inversible (résullal établi dans l'ANNEXE 7), il vient:
.1.
..
"r
Gl. A"
= ..ll. G - X" K .. ~
D'où le résultar :
CONCLUSION
CA)
<';
» (e)
~)~
Donc:
Les 3 systèmes (A), (B) et (C) sont équivalents.

---

7.1
ANNEXE 7
INVERSIBILITE DE LA MATRICE Q
MODES DE CORPS RIGIDES CHARGES

---

7.2
Les notations de cene ANNEXE sont identiques à celles de l'ANNEXE 6.
On souhaite établir l'inversibilité de Q el déterminer les mooes de corps rigides chargés.
Comme la matrice
Q= [~:)
est rectangulaire, on la rend carrée en lui adjoignant
une sous-matrice A telle que la malriee Q suivante soit inversible.
(1)
Q::
•
Cette sous·matrice
A
n'est pas quelconque; elle est liée à la définition des modes
rigides chargés. Mais il convient de vérifier que la généralisation de
Gt
à Qo conserve
toujours ces 4 équations de l'ANNEXE 6.
(Cl)
).,'H o >-' -::. 1.
..
Q.:T .n../L Q. _
)..,T loCCI )..
(C2)
- ...ft.-
(C3)
_
t'lv >-. .J\\.;- - \\(.0 )..
(C4)
X. GI. + lô.
1) Qénéralisation de (C4)
En posant
(2)
on obtient
(3)
d'où le système de relalions
(4)
Les relarions (4) indlli~enl donc l'égalité (C4).
Explicilons l'expression
Elle est équivalente à l'égalité suivante
(6)
'i~ :: Y" A
où
Y", est l'expression de la matrice des modes de corps rigides dans la base de
descriplion formée des modes de eorps rigides, des modes libres el les déplacemenls
généralisés de frontière.

---

7.3
Dans le cas de notre étude, la plaque utilisée compone 3 modes de corps rigides. On peul
donc écrire :
..
(7)
'If.. = [Yu
' ( ~.
'ft) J
La matrice
(8)
A= l
0..'-
"'. l
«"
oc"
o. ....
~.3
.."' ...,.. -J) J
est fonnée des 3 vecteurs propres de la matrice
..,. -
(9)
)'..
t\\
'1..
L'égaliré (6) définît donc parfaitement les 3 modes de corps rigides chargés.
(10)
'tu.. :. ~.t. Y.., + q~t.. 'tR:J.. ... G\\'l..z. 'Ill. ~
9tt ) '::. c:-... 10 '1..., T c;ll ~ i '1~ or G\\ 11. 'tA.!
La relation (C4) se généralise donc au système (4)
2) Généralisation de lC3)
Montrons que (C3) est équÎvalente à la relation suivante:
(11)
><..
(0 ~) = n. ( À~
un calcul matriciel à partir de l'égalité (11) conduit à:
(12)
3) Généralisation de (C2)
(C2) est équivalente à l'égalité ci-dessous:
o '1 (.
• 1 [A "i\\
(13)
Gr J lo
..J'lI- J
ù
ISlL J
-
En effet la relation (13) induit l'expression matricielle
[~~~ \\<. (À.. À)
(14)
(~ ~~,,"À)

---

7.4
On en déduit donc l'équivalence cherchée.
4) Généralisation de (Cl)
On généralise aussi la relation (Cl) à l'égalité
Un calcul algébrique conduit à:
(16)
On en déduit
(l)
p,TA + >.I 11. À .. ~ 1:
(17)
CI."T Ul.
+ >,T 11, À ~ 1:
{
tl., ).
a::: A .... >T t\\0 >'A., -r= 0-:'
est l'expression (Cl)
Comme le vecteur '1~ est nonnalisé par rapport à la matrice;:; ,on peut écrire :
(18)
'Cf..'" i1 9« r 'I
Of
(19)
y~ -= y... Pt = U.. A)
et
-
(20)
[~ :,..)
'" =
d'où
- T
T
(21 )
Y... Fi '1... = 'I
~
ATA + >'. 11. À.. -= 1:
( ')
De même, on doit réaliser l'onhogonalilé
- T _
(22)
y.. n
~t~ -= 0
comme
1...= (t) , on obtient:
(23)
AT &1'- +
).T.. tl. '>. = 0
( ~d. )
CONCLUSION:
Gt
se généralise à une matrice (1, inversible qui induit un nouveau système matriciel
spectral équivalent au premier défini dans l'ANNEXE 6.

---

:u
ANNEXE 8
CXTE:'\\SION Il!è LA CONDENSATION DYNA\\IIQUE
DE GUYAN

---

8.2
On considère le problème dynamique suivant :
1
r~)
'-
'1 f
" .2J
.... = u) lM] ....
(1)
lB] ... - À F
li P lê
rd
•
1
où ~ est un domaine de A: de frontière de raccordement r:.. (K') el (M)
respectivement les opérateurs linéaires de rigidité et de masse. (Bl l'opérateur linéaire de
frontière et À, le déplacement frontière.
On associe à ce problème (1) deux problèmes particuliers:
(2.a)
...
où
t .Jl"-} = ( W(. ] matrice :-;pectraie diagonale du carré de N premières pulsations
de N modes f considérés et
L[cldT(")(~) .Iv- =- l-r)
(2.b)
(1<.) ['f) - [ 0)
'rj t E. .9
(3 )
! ([l,J li) " ["t1 'tPlOr,
Les ~()ILllions [~) de
(2)
sonl les Il1lxlcs encastrés Cl celles de (3), ('f] sont les modes
s\\,Hiques introduits au chapilre 1.
Le but de la méthode est de résolll!rc le proull.'me (1) ù l'aide dé; modes encastrés [cf1 ef
des mcxlcs staLiques [If).

---

8.3
1) Solution iénérafe
On recherche la solution "'- du problème (l) eomme une combinaison linéaire des modes
encastrés li 1et des modes d'attache ['f l ,soit :
(4)
l.l'O
[c{) "1 + [i];"F
où
"l" l:~) est le vecteur de coordonnées modales à déterminer pour que le système
(1) soit vérifié.
En introduisant (4) dans (1) et en tenant compte de (2.a) et (3), il vient :
En multipliant (5) par
l~ 1Tet après une intégration sur 9 ,on obtient
où
(7)
La solution u... du problème (1) s'écrit donc
(8)
IA.'O
(OC t l (A 1 \\ G)T + \\ If) ) À F
Il convient de remarquer que si
cv::, wl.
,le déplacement ùe [roll[il:rc ÀF doit être
nul pour que LA.. soil une quanlité finlc.
2) Marriee de rir:idité ÛWW/IlÎ(//(f' ('/1 fi!TIfllllatirm ((lllfilllfC
On souhaile établir l'expres~i(ln tic la matrice dynamique (D (w) l à l';.üde du théorème de
réciproci lé.
Pour une structure vibrant il ulle pulsatioll w. (D (w)) est délïnie par :
(9)
(
]) (wJ) J'O
~

---

8.4
où
~ -':>t'h wr.a..t- Q 41.'".. w f:"
sont respectivement les vecteurs déplacement et
force généralisés.
Pour (.(J = 0 J
(8)
devient :
(10)
\\1.. =
[,{J ÀFo
où ~ Fo
est associé au vecteur force Qg appliquée aux. DDL de frontière. On considère
les deux étals d'équilibre suivants de la structure :
• Un premier étal statique avec la fon:c &111 et le déplacement résultant !.t.g qui vaut ),..sur
la fronùère n .
• Un second état de vibrations hannoniques avec la force
Q~ ~j.wl-et la réponse l&. ":",C..Jt'
d'expression ).F' ..,.'" 41t sur la frontière rI!.
Le travail de la force statique pendant le déplacement hannonique est ~T)..F' .u.w~ tandis
que le travail de la force harmonique pendant le déplacement statique s'écrit
(QI' >."" +
k
w"
lA.T lM 1 Ll.
d"J -<h'" wt
car il faut inclure la force d'inertie par unité de volume
w .... [h 1 u. (fl'""w t aux forces
à l'étal de vibrations harmoniques. Le théorème de la réciprocité donne alors
En tenant comple des équaLions (8), (9) et (10), (11) devient:
(12)
Comme Àr=. et
). F'
sont quelconques, il vient:
(13)
On déd>it de la définition (7) de tG)
1([~)
j
CA") C<;lT + t'\\l»)T(t\\)['f) -
CG) (11.)
c<t l \\") ['f) J.v
1
.L
;.a
C\\fl
((;) \\"..1\\.1
1
-1-
T
(M) ('1'1 d.v =
CG) r+
\\".n.)
1

---

8.5
où la matrice de masse consistante est :
(14)
L'équation (13) devient donc:
(15)
(0\\= (10(.0) _ wo.. (Mo) - w~(G) CA) CG)T
Les matrices (0J
((~.1'" (.1).)) el (H.) sonlassociéesaux
DOL de frontière.
3) Matrice de rigidité dvnwnjque en EMments Finis
Soient (AJ:l el
lA,)deux matnices de fonctions de [onnes indépendantes associées aux
déplacement XI et
~F' des noeuds intérieurs et de frontière respectivement. La solulion lA- du
problème (1) est recherchée conune suit :
Si on applique une force QFseulemenl aux noeuds de frontière, l'équation dynamique
s'écrit :
br te
(17)
( !) ~ te
(17)
sc <.'omJense en :
(18)
lD") À F -
QF
par la transfomlatÎol1
où

---

8.6
Si la matrice
Cp 'Ir) est singulière à une certaine fréquence iIJ, il convient d'annuler ÀF"
pour que ~I garde une valeur finie d'après (19).
On obtient donc :
-.
(21)
v--
(P.~- "'r hr JlrFJ>-F
Si
GUz 0
(21)
devient
(22)
u.. = [A~
Comme, d'aprè< (10)
Ondéduü
Soit ll.f Jla matrice modale des modes encastrés discrets el pour un choix identique des
[onctions de [onnes, il vient :
Cl CJ'l:t) la maLrice specLrale diagonale du carré des
pulsations des N modes encaslrés.
Les relations d'onhogonaliré s'éL'rivl'lll
(27)

---

8.7
En multipliant (25) successivement par
LKt:J-Iet (ALr' il vient
D'après les relations (7), (23) el (28), la matrice
G s'écri' :
(<:OJ = 1 ['t''.lT[hJ [~1d."
:.s
-l [AF- II< I(~~ 1(rFl\\nllAr1 d.v [tt'1
(29)
- l t'\\u)l't1- ll(H)ll.<nY'll1<rJ c.'i')
- (tin J l "l') - l\\(Fr') llf') l.l1.~Y1.
En se référant à l'équation (15), on obtient:
où
(31)
avec
1
(h.') =:
['1'] T [Ml ['f] .L..r
(32)
= (l'1F1'J- (Mn] ll(~rT'(>(cF) - (I<F%)(llrcT'CMcF)
+ (l{FrJ (<<Xrj-1. (I1rr) (I<a:r' (<<Hl
et

---

8.8
Le troisième tenne. (G) CA) (G)T a été négligé par GUYAN
et plusieurs auteurs,
dans l'expression '(30). C'est Je tenne correctif apporté par LEUNG pour améliorer la précision
des résultaLs.

---

dernière page de la thèse
AUTORISATION DE SOUTENANCE
Vu
les dispositions de l'arrêté du 5 juillet 1984,
Vu
la demande du Directeur de Thèse
M. F. SroOROFF - Professeur - E.C.L.
et les rapports de
R.J. GIBERT - Directeur de Labo. - CEA SACLAY
L. JEZEQUEL - Maltre de Conférences - E.C.L.
Monsieur TCHERE ~ka
est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du titre de DOCTEUR
5po!cialité MECANIQUE
Fait à. Ecully, le 30 mars 1988
L'Adminîstrate
rovisoire,
del'IJt'
~Jyliroux
'_f .........

---