·UNIVERSITE PARIS VII
.'4
THESE 3ème CYCLE
SPECIALITE;
MATHEMATIQUES
PRESENTEE PAR:
fIONS 1EUR SULEYML\\NE N'DIAYE
SUJET d. la THESE
LA (L,j3)-COrvPACI TE ET LA LOGIQUE 11"i
soutenue le.
devant la commloalon d'examen
JURY;
J,Y, GIRARD
PRÉSIDENT
J, L. KRIVINE
EXAMINATEURS
M,
DICKrWJN
"
J,P, RESSAYRE
"

---

Introduction
i
Deux extensions très remarquables des théorèmes de complétude et de
1
compacité de la logique du premiel~ ordre sont d'une part le théoY'.?me de
r.-compacité de BëlnlÏse, [Ba], portant sur des langages dont les formules
comportent des conjonctions et disjonctions infinies dénombrùbles, et le
théoY'ème de B-compZétu.de de Girard, [GiJ, qui est un théorème de campl étude
pour la IlS-logique", c'est-à-dire quand le sémantique considérée, au lieu
d'être constituée par tOLlS les modèles du premier ordre, est restreinte aux
S-modèZes - on appelle ainsi les modèles dans lesquels un symbole distingué
de relation binaire est interprété par une relation bien fondée.
Le théorème de s-complétude ne l'accompagne d'aucun résultat de compa-
cité. CependantG. Kreisel a fait la remarque que des langages ayant des
propriétés de compacité en S-logique existent nécessairement. Ce travail
fournit une illustration de cette remarque en étudiant le mariage de la
a-logique et de la L-compacité : nous appelons (r.,s)-compacité l'ènalogue
en S-logique du théorème de Barwise, et nous donnons diverses caractél'Ïsatior.s
des ensembles admissibles pour lesquels le théorème de (r,B)-compac~té est
vérifi~ cf.~JIr..
Ces caractérisations sont visiblement analogues à cer-
taines caractérisations classiques des cardinaux faiblement compacts; elles
pennettent de situer précisément les admissibles (r.,s)-compacts parmi tous
les admissibles, c.f § -nr.
Nous avon~ appris récemment que dans un article à para'tre, N. Cutlar~
et M. Kauflllan étudient également la (E,s)-compacité, et que les th.1Iï.4- et
]Œ.11 de cette thèse figurent parmi leurs résultats.
Nous tenons à remercier ~f. J.P. Ressayre qui a dirigé ce travail et
proposé son sujet: sans ses directives précises et son aide constante,
notre travail n'aurait pas vu le jour. Nos remerciements vont également à
Mme S. Force qu i . a assuré l a frappe avec autant de gent i 11 esse que de compé··
tence. Et à l'UER de mathématiques et informatique de Paris VII, pour son
hospitalité ~t son climat favorable à notre travail.

---

P .2...
L'introduction qui précède concerne
les
quatre premiers chapitres
de la thèse., Un cinquième chapitre s'y est finalement ajouté.
Dans
ce
§ y
nous
ap'pJ.iquons
la
(L., fJ) - compaci -
-té
à
la --rit - Logique •
Ceci
évidemment
nous
permet
dtéta-
-blir'
un:
rapport
encore
plus
étroit
avec·
les
travaux
de
GIRARD
GIRARD
et
RESSAYRE
ont
obtenu
entre
autre8
résultats
importants
une
majoration.
for.LCtorielle
vérifiée.
p~~
le
premier
ordinal
stable 6:
ICf
G ~
Ce
résultat
est
à
priori.
tout
à.
fai t
inattendu~
..
La
(L" (5) - compacité nous permet. de démontrer' que cette
propriété
réalf.sée
par
,
est
fausse
pour
le
premier
ordi-
-nal
cL ' (3 ) -- compact. (\\0 , mais reste vraie pour tout
ordinal
stable 0(" <. (\\0"
..

---

- 2 -
Définition 1.4.
(Q est JI-réflexif (ou satisfait la j(réflexion) si pour toute formule
'!J(v) appartenant à :F n J? et pour toute suite a dans &, ,R.=- '!J(a) entraîne:
il existe b E ,Q tel que a appartient à b et b = ljJ(a).
(Par abus de notation on écrit b t= ljJ au lieu de (b,E ~ b)) ~ ljJ).
Défi nition 1. 5.
<9. est ;po-réflexif si (&,R) satisfait la Œ'-réflexion pour toute partie R
,..,
de cQ.
Remarque 1.6.
~-réflexif se dit aussi ~-indescriptible~ mais nous préférons ici la
tenninologie Y-réflexif qui rendra plus apparent le lien entre divers théo-·
.
,..,
rèmes de compacité: celui concernant les cardinaux faiblement compacts
(théorème II.2) le théorème de Barwise et le théorème de (~,8)-compacité
(théorème 111.4).
Définition 1.7.
a est J"-extensible si pour tout énoncé ljJ(v) appartenant à (F n <2 et
pour toute suite finie a appartenant à C2, 61= '!J(a) entraîne: il existe un
ensemble transitif &1 et un ensemble B appartenant à &' tels que &c B et
&1 = '!J{a).
Définition 1.8.
62 est :f-extensible si (a,U) est J'-extensible, pour toute partie U de
&..
Définition 1.9.
EQ~~lg~_i~fi~ig~
Soit~ un langage du premier ordre; on note ~
la collection de
oow
formules de X définie par les classes de récurrence suivantes
(i) si 8 est une formule atomique, 8 appartient à ~oow

---

- 3 -
(ii) si ~ appartient à ~
et v est une variable de~, alors l~,
.
oow
V v~, 3v~ appartiennent à ~
;
oow
(iii) si 't'est un sous-ensemble de ~
,alors ~'l' et ~,'t' appartiennent à
oow
~oow·
Si K est un cardinal, èt
est la restriction de ~oow aux formules dont
Kw
toutes les conjonctions et disjonctions portent sur des ensembles de formules
de cardinalité < K;
Soient K et À deux cardinaux. à6'KÀ est le langage qui admet des conjonc-
tions et disjonctions portant sur des ensembles de formules de cardinalité < K
et des quantifications sur des ensembles de variables de cardinalité < À.
::tra désignera llensemble des formules ~oow n &.
Définition 1.10.
6< est admissible si et seulement si ~ est r-réflexif. Si ~ est admis-
sible, ~& est dit admissible. Un ordinal a est dit admissible si et seule-
ment si La est admissible. Un ordinal admissible a est dit projectible slil
existe une bijection de a dans un ordinal S < a.
Défi nition 1.11.
Nous dirons que c.a est stable si a est un sous-ensemble rI-élémentaire
de
U L(a.)
, ce que nous notons & <r.
U d7 L Ca) •
aECR.
'1 aE ~
Remarquons que ceci entraîne que J2 est admissible et satisfait llaxiome
du bon ordre (noté W0) : II pour tout ensemble a, il existe une bijection de a
sur un ordinal li • Rappelons qu'un ordinal À est dit stabZe si LÀ -< r V.
1
Xotons
également,
que
si ~
est
au
plus
dénombrable ) ,alors
Q est. stable~> Q~ V
Z~

---

- 4 -
§II- Rappels sur les théorèmes de compacité
Ce paragraphe est fait de rappels sur les deux théorèmes de compacité
les plus importants pour des langages infinis: d'une part celui qui concerne
les cardinaux faiblement compacts. d'autre part le théorème de Barwise.
Les résultats que nous rappelons sont ceux dont le §III fournira Uf! ana-
logue en S-logique c'est-à-dire quand les seuls modèles considérés sont les
s-modè1es.
Définition ILL
Soit K un cardinal
H(K) est l'ensemble des éléments de 1'univers dont
la clôture transitive est de cardina1ité < K.
Définition II .2.
Un cardinal K ~ west faiblement compact si la propriété suivante est
vérifiée: pour toute théorie T de ~KK qui est incluse dans H(K). si toute
partie de T de cardina1ité < K a un modèle. alors T a un modèle.
Théorème II.3.
Il Y a équiva1enc~_~~tre
(i) K est ~aib1ement compact.
(ii) VK5!st ni-réfleXif (c'est-à-dire ni-indescriPtible. cf. l'emarque 1.6),
(iii) V est ~oow-extensib1e.
K
Preuve: voir [Dr].
Le théorème de ~-compacité de Barwise et sa reclproque (théorème Il.6)
font apparaître une première série de relations analogues. au niveau dénom-
brable. Nous rappelons c~s résultats ; le paragraphe suivant montrera que la
(~.s)-compacité donne à nouveau une situation semblable, pour des t1langoges"
dont le pouvoir d'expression se situe entre celui des langages admissible et
celui des langages ~ KK'

---

- 5 -
Défi niti on II.4.
,est dit I-compact si la propriété suivante est vérifiée : pour tout
langage ;;t et toute théorie T dans ;;e~ qui est une classe I dans cQ, si T
nia pas de modèle, alors il existe une partie Jt-finie de T qui n'en a pas;
en appelant partie ~-finie de T tout ensemble t inclus dans T et qui appar-
tient à &. Si ..9. est I-compact, alOl~s ?it&J.. est dit I-compact.
Définition 11.5.
Soient A et B deux modèles de théorie des ensembles ; on écrit AcL B
si A est sous-modèle de B et A est une partie transitive pour E(B)
Théorème II.6.
?upposons que ~ est dénombrable
alors il y a équivalence entre
(ii) ~ estI-réflexif,
(iii) pour tout énoncé <p appartenant à ~
n &, à paramètres dans &
- ' - - - - - - - - -
..-.-
~
-
~t vra.L dans &. il exi~~~_~Q."rn.9.~t~l.~ M d~ <p (pas nécessairement
standard), et un élément B.2~ M tel~ <2 cil B cfl. M.
Preuve :
Nous admettons (ii) entraîne (i), qui est le théorème de E-compacité de
Ba rw; se, cf. [B..J.
Nous allons montrer que la I-compacité entraîne la I-réflex;on et nous
verrons clairement comment démontrer le restant.
Soit <p un énoncé I qui est vrai dans cP. Supposons que & ne sati sfait
pas la I-réflexion, et considérons la théorie suivante, dans le lôngage de
théorie des ensembles, augmenté de l'ensemble de constantes distinctes
{B} u {a ; a E &}
T = Vb(7<P(b)) U {VX(XE a~W x = b; a E &J
-
bta
-
. u {B est transitif" a E ~ ; 'a E cA}; où <p(b)

---

- 6 -
désigne la relativisation à b de la formule cp.
Cette théorie est L et toute partie d(-finie t admet 07 comme modèle,
quand on y interprète ~ par la cloture transitive de {a E eX. : ~ apparaît
dans une formule de t}; par L-compacité, la théorie entière a donc un modèle
M. Soit alors B appartenant à M l 'intcrprêtation de ! dans M ; la théorie T
entraîne que (Q ce. B ce M, ce qui entraîne que B satisfait cp, puisque les
énoncés L sont préservés par extension trarlsitive ; nous aboutissons alors
à une contradiction car Mt= \\db
7<P(b) , or <p(B) est vrai. En prenant <p dans
;c ét (au lieu de <p appartenant à L) dans la preuve ci-dessus, nous.montrons
(i) entraîne (iii) ; et (iii) entraîne (ii) résulte aussi de cette preuve.
Remarque ·11.7.
GV La condition (iii) du théorème II.6 est la condition de ~ -exten-
ocw
sibi1ité (définie au §I) affaiblie en permettant à l'extension M de &. d'être
non standard.
@ Moyennant ® , nous voyons le parallélisme entre le théorème 11.3 et
le théorème II.6 ~ tous deux démontrent l'équivalence entre un théorème de
compacité, une propriété de réflexivité et une propriété d'extensibilité.
.
.
Le paragraphe suivant va établir une série d'équivalences analogues,
quand la propriété de compacité sera la (L,S)-compacité (cf. définition 111.1)
c'est-à-dire l'analogue en S-logique de la L-compacité.

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- 7 -
§III - Caractèrisations de la (L,B)-compacité
En vue de relativiser le théorème de compacité de Barwise à la S-logique,
nous considérons un langage ~E qui comporte un symbole de relation binaire
E -; et nous appelons S-modèle tout modèle Mde ~E tel que l'interprétation
de E dans Mest une relation bien fondée.
Définition 111.1.
Nous dirons que é2 est (L,B)-compact si la propriété suivante est vé-
rifiée : pour toute théorie T dans e:t~ qui est une classe r dans &., si T
n'a pas de
-modèle, alors il existe une partie d?-finie de T qui n'en a pas.
Si & est (r,S)-compact, alors e:t& est dit (r,S)-compact.
Nous allons d'abord montrer l'existence de beaucoup d'ensembles (r,s)-
compacts ; nous nous occupons pour le-moment d' ensemb les & de l a forme LÀ'
pour un ordinal À.
Théorème II l .2.
II LÀ -< 1f L, alors LÀ est (E,s)--compact:
2
Preuve :
t
Soit T une théorie L dans LÀ telle que toute partie LÀ-finie a un B-modèle f
alors pour tout a appartenant à LÀ' L F 3M (M est un B-modèle 1\\ M1= Ta) ; où
1:
Ta est l'ensemble des formules satisfaisant la relativisation à a de la défi-
;
nition L de T. Cet énoncé vrai dans Lest r, donc par stabilité de LÀ'
LÀ /= va 3M (M estun B-modèle 1\\ M1= Ta). Cet énoncé est 1f2 et LÀ < 1f L, donc
2
L 1= Va 3M (M est un S-modèle et M 1= Ta ) ; en particulier il existe un modèle
bien fondé de TL
= T.
À
Corollaire 111.3.
L'ensemble <;les ordin_aux À teJ~_9.~~ LÀ es1. (r,S)-compact contient un
en~emble clos cofinal.

---

- 8 -
Le théorème 111.4 ci-dessous est l'analogue des théorèmes II.3 et II.6.
Par ailleurs da~s le cas ca = LÀ' il montre que la condition suffisante
LÀ <TI2 L de (L,B)-compacité (utile pour montrer le corollaire 111.3) n'est
pas du tout nécessaire:
Théorème 111.4.
(iii) tA est stable et ~ocw-extensib1e.
Preuve : .
Supposons que ~Q est (L,B)-compact. Soient ~(v) une formule appartenant
à cic91, et c appartenant à &, tels que 0(/= ~(c) ; nous allons montrer que cJ{,
est ~
-extensible, ce qui est évidemment plus fort que la TI -extensibi1ité.
octù
2
Soit ~I le langage de la théorie des ensembles ~ auquel nous rajoutons une
constante a pour chaque élément a de l~, et la constante supplémentaire B.
Nous considérons ~' comme le langage .;tE de nos B-llIodè1es, en prenant E-= E.
Alors soit T la théorie suivante dans ~~ :
est l'ensemble des énoncés de la forme \\J x(x E a f+ VI x = E.) quand a par-
bEa
court &. .
T est une théorie L dans éZ et toute partie (Q-finie de T possède un modèle
bien fondé. En effet, si t est inclus dans T et t 'appartient à <Q"
soit C
appartenant à ~ l'ensemble de tous les éléments a de d( tels que la constante
~ apparait dans une formule de t : alors t est inclus dans
{~(~)} u EE(C) u {~ E ~, a E C}
et cette théorie possède ~ comme B-modè1e si nous interprétons chaque ~ par
a et ~ par C.

---

- 9 .;.
Par (L,B)-compacité, T a donc un modèle bien fondé j3 et le collapsé
de JB est un ensemble standard qui satisfait w(~) et possède un ensemble B
,tel que & c B. Ceci montre que ~ est;;t
-extensible. Il reste à prouver
ocw
que ~ est stable, pour avoir montré que (i) entraîne (iii).
Lemme III. 5.
Soit 6l un ensemble admiss'ible vérifiant WO ; ôlors tA. est stable si
et seulement ~i pour tq~~ a ap~~!~llant_Q~, ~~~J ordinal LI(a)-définissable
dans L(a) appartient à ~. (démonstration à la fin de la preuve du théorème
III.4).
D'après ce lemme, si notre ensemble ~ n:est pas stable, il existe a
appartenant à ~ et un ordinal B qui est LI (a)-définissable dans L(a) mais
n'appartient pas à ~. Soit ~ le rang de ~, alors B ~ ~.
En remplaçant éventuellement a par un élément plus grand de ~, on peut
arriver à ce que L(a) satisfasse WO ; alo'"s puisque les ordinaux LI(a)-défi-
nissables dans L(a) forment un segment initial des ordinaux (cf. [Ba] théorème
V.7.B), ~ est LI(a)-définissable dans L(a), par une formule e~(x). Considé-
rons la théorie suivante, dans un langage ~I augmenté de deux nouvelles
constantes, c et d :
Toute partie ~-finie t de T possède V pour modèle bien fondé, en inter-
prétant ~ par ~ et ~ par un ordinal 8 < ~ tel que a < 8, pour tout a tel que
~ apparait'dans t.
Par (L,B)-compacité de ~, T possède un modèle bien fondé; or l'interpréta-
tion de ~ dans ce modèle est un ordinal y > ~ tel que L(a) = e~(y). Et ceci
contredit le choix de e ; donc ~ est stable, et (i) ~ (ii) est prouvé.
~
.
Réciproquement (iii) entraîne (ii) est évident et il reste à montrer que (ii)
entraîne (i).
Supposons que ~ est stable et TI -extensible et soit T une théorie dans ~~
2

---

- 10 -
qui est ,une classe L dans 9" telle que toute partie &-finie de T possède
un 13-modèle ; donc pour tout a appartenant à ~, V 1= :lM (M est un s-modèle
et M~ Ta)' La notation Ta est définie dans la preuve du théorème 111.2.
Cet énoncé réalisé par V slécrit de façon L, or t9t.. est stable donc
~I= va jM (M est un 13-modèle'" t·11= Ta) ; et par II -extensibil ité il existe
2
un ensemble transitif dl' et B appartenant à bt', tels que ~ ~ B et
&1 1= va 3M (M est un 13-modèle 1\\ M 1= T ) ; en particulier il existe un
,
a
13-modèle de TB donc de T puisque T c TB' Ainsi (ii) entra'ne (i) et le
théorème est démontré.
Nous noterons 0o(a) le sup des ordinaux L1(a)-définiss~bles dans L(a).
Preuve du lemme 111.5.
Supposons que ~ est un ensemble admissible tel que ~ 1= WO ; nous
'. . . . . . . .'trer que ca. {L
U L(a) équivaut à :oo(a) est inclus dans c..Q,
.
1
aE d(
.,.;::,:_cQ?·1;t~
'......tat: .a~partenant à &. Supposons qu~,ai_~r----;0:".L (a) ; et soit y
.
/
1
a~(Q::\\
,
\\ ' ,
appartenant à 0o(a) pour un élément a de cA. Il.. e'~{St-e j':J y qui est L (a)-
1
définissable dans L(a) : il existe ,<P qui est L1 et deY/R~lamètres al"'" an
appartenant à a u {a} tels que L(a) 1= 3!y <p(ap ... ,an;y) 1\\ <PCa1, ... ,an,y'J.
Et nous pouvons choisir <p de manière que yi reste le seul élément satisfai-
sant <p(a , ... ,a ,y) dans toute extension transitive de L(a) ; donc
1
n
a?JC9.. L(a) F 3y <p(a
U
1, ... ,a ,y) et
L(a) entra'ne que
n
(Çt ~ L1 aEL!(
<5t1= 3y <p(a , ... ,a ,y). Soit alors ~ appartenant à cQ tel que
1
n
~ 1= <p[a1, ... ,an'~];~ ~ = yi, ce qui entra'ne que y appartient à LQ,
pour tout ordinal y appartenant à 0o(a).
Réciproquement supposons que 0o(a) est inclus dans c.R pour tout a appar-
tenant à &; nous voulons démontrer que t,Çt <L
U L(a). Utilisons ie cri-
.
1
aE~
tère de Tarski: supposons que
U L(a) ~ 3y <p(a , ..• ,a ,y) où a , ... ,a
a n
1
n
1
·
n
Ev.

---

- 11 -
appartiennent à 0',- et <j> est une formule /1
;
nous voulons trouver b appal~­
0
tenant àCSÇ.. tel que U
L(a) 1= <j>[a , ... , a ,bJ. Soit lai appartenant à 8v
,
l
n
aEUZ
i
un ensemble transitif et clos par paire, ayant al' ... ' an pour éléments et
.:
tel que L(a) l=3y <j>(a , ... , an,y). Puisque cs\\... satisfait WO, il existe r
l
appartenant à é'L) bon ordre sur laI; alors a = lai u {r} est transitif et
L(a) admet un bon ordre ~(a) qui est /1 dans L(a).
Soit alors Yo = min y (pour LL(a)) tel que L(a) 1= <jl(al,··.,an,y)
Yo est r-définissable dans L(a), donc Yo appartient à Lao(a)' alors puisque
0o(a) est inclus dans'6l, yo appartient à dL; d'où l'existence de Yo appar-
tenant à ~ tel que U L(a) p <Hal' ... ' an,yoJ ; par le critère de' Tarski
.
aE(;l U
cela montre que GL ~l
aE6LL(a) et achève la preuve du lemme III.S.
Rema rque II 1. 6.
,,(
étant le langage de la théorie des ensembles, une conséquence curieuse
du théorème III.4 est que si ~ est stable, alors la n -extensibilité de ûV~
2
entraîne la ...(' -extensibilité de c2... Nous allons encore renforcer ce résultat.
cxw
Définition III.7.
Nous dirons que 6L est n fois T-extensible si pour toute formule 1Ji
appartenant à 0/ n él. à paramètres dans Q et vraie dans Cl, il existe
a c BI Eal c •••c Sn an
€
tels que a i \\= 1Ji et ~i est transitif pour
tout i ~ n.
Lemme II 1. 8 .
Si a est (r,B)-cornpact, alors pour tout entier n & est n fois ~
-ex-
cxw
tensible.
Preuve :
Pour n=l la démonstration résulte de la remarque pl~écédente.
Supposons que la proposition est vraie à l'ordre n.

---

- 12 -
Donc pour toute formule <j>(v) appartenant à ~
n.Q. et tout a appartenant
ocw
à.Q. si Q ~ <j>(a) il existe..a c Bo E ,()o c BI E..Q 1 c •.• c Bn-1 E& n-1 tels
que pour tout i < n ~ . J= <j>(a). Soient A •...• A des prédicats unaires et
.
1
0
~D
B •... , B des constantes d'individus ajoutés à ~ ; et considérons la théorie
1
o
n
1
suivante :
T = (i\\ {VX[Ai(X) -+- X E Bi +1 " Vy EX Ai(y)]
1<n
(A. )
A A + (B + )
i 1
i 1
A <j>(~)
1
A <j>(~)} u {Ao(~)' b E~}
Soit t
une partie Jl-finie de cette théorie r ; soit C appartenant J a
o
l'ensemble de tous les éléments a appartenant à ~ tels que la constante a
apparait dans une formule de t
t
est alors inclus dans
o
o
~ {Vx [Ai(x) -+- X E B
Aily
i +1
E x Ai(y)]
1<n
1
~!
l!
ft
u EE (C). Et cette théori e possède ~ n comme B-modè les i nous interprétons
l
~ par b pour tout b appartenant à .f2, A par & , Al parao~"" A par
l,
o
n- 1
h
J),n-2 et ~ par la clôture transitive de C, BI par Bo"" et Bn par Bn- 1·
r
Par (r,B)-compacité la théorie entière admet un B-modèle a. n+~ Si nous
::
notons-.Qi l'interprétation dans.a.. + du prédicat Ai (i
n 1
:5 n), et Bi celle
~
de la const."ante B: , nous obtenons une chaîne Il c B*l E..R*1
c ••• c
B*+l E. .Q +d
1
n
n .1'"~i
qui montre la proposition à l'ordre n+1.
Comme dans le cas de la compacité faible et celui de la r-cè>mpacité
(cf. §II), nous avons mis en relation la (~.B)-compacité avec une propriété
d'extensibilité. Maintenant nous allons la mettre en relation avec une pro-
priété de réflexivité. Nous le ferons pour les ensembles (~.B)-compacts lt

---

- 13 -
de l a forme L~.
.Théorème 111.9.
( .) S·,
(L)
<
,
,
1\\
Xl
'
n~-réfl exif.
(ii) Le premier ordinal IT~-réflexif est_inférieu0 xi L); donc par (i)
c'est aussi le premie! À!el q~e LÀ est (r,S)-compact.
Remarque II 1.10 ..
Ce résultat avait été obtenu avant nous par N. Cutland, (c1
. De
plus, en utilisant la notion de formule strictement
1
nl/N. CutTand a donné
une version de (i) valable même si À ~. xi L).
Preuve :
(ii) Soit À le premier ordinal tel que LÀ est (r;,s)-compact ; nous avons
montré (théorème IILl) qu'alors À est dénombrabie.
La démonstration a été faite dans Z.F et L F ZF, d'où L ~ À < Xl.
(i) La n~-réflexion s'exprime en disant (pour toute fo~mule L~ de théorie
des ensembles, soit3RVSe, où e est du premier ordre à pùramètres
dans LÀ) : si L F1R'\\1Se pour tout a < À, alors LÀI=3R~se.
a
Nous allons d'abord ramener la condition LÀ 1=3Rv's8 à une condition
,
~e la forme L l=3s CP(À,B), où cp est L Nous appliquons le théorème
d'absolinté de Shoenfield (cf. [BaJ) quand la structure de l'arithmé-
tique <W,+,.> est remplacée par <LÀ,E>
cette extension se justifie
aisément moyennant le fait que À < xiL)
Nous en déduisons que LÀ J=3Rt!Se, c'est-à-dire
V (= @
RtIS <LÀ' R, S> 1= ~ , équivaut à
.~î;,
L ~[3RVS < LÀ' R,S> F 8J .

---

- 14 -
Nous appliquons alors le théorème de complétude de Lopez Escobar
([Ba]) .: Vs t. LA' R,S> 1= e est vréli si et seulement si la formule
"6(L ,R)-:,e" de~ est démontrable, oÜ!:. (L"R) désigne le dia-
00
A
cow .
00
1\\
gramme infini de (LÀ,R) c'est-à-dire EE(L ) u Nx 'JI
x = ~}\\J{dia-
À
gramme de R}. D'où finalement LÀ F 3R vse si et se~~~~ent si
L 1= 3R[ (!:.oo(l.À,R) -+- e) est démontrable].
Prenons alors 4>(À,B) = "LB F~R3une démonstration de !:.oo(LÀ,R) -7 e):1".
Ainsi LÀ 1= 3R tise équivaut à L 1= .:J B 4>(À ,s).
Fait IIL1l.
Si LÀ ~2t (~,8)-<:0~pact, alo!-~ L l= Va < À:JB
4>(a,B) ent.'aine que
L F 3B 4>(À,B) pour tout énoncé 4> appartenant à E.
Preuve :
(Voir théorème 111.12)
Supposons alors que LÀ est (E,e)-compact et soit
3R Vse une formule L~
telle que pour tout a < À L 1== 3R \\'se. Nous avons ramené ceci à un énoncé de
a
la forme L J= 'Va < À"3B 4>(0:,B), où 4> est une formule E ; alors d'après le fait
pré~édent L F 38 4>(À,B), ce qui équivaut à LÀ t= :IR ise. Réciproquement sup-
posons que À est TI~-réflexif et soit T une théorie E ; nous savons qulil
existe une relation à~ au-dessus de la structure LÀ telle que pour tout X
inclus dans LÀ et <jJ appartenant à ~~ n LÀ' [LÀ 1= Sat(4),X)] équivaut à
~LÀ ,X) ~ 4>]. . .
Supposons que J nia pas de B-modèle, alors T nlen a pas de domaine LÀ ; donc
~À t= VX [X bi en fondé =="7 .3 4> E T Sa t (HI,X) J•.
Cette formule vraie dans LÀ se met facilement sous fonne TI~, donc par TI~-ré­
flexivité il existe a < B tel que La F 't/X [X bien fondé ==~ 3<P E T sat(l4>,X)J;
alors T
est une partie LÀ-finie de T qui nia pas de a-modèle, ce qui prouve
La
que LÀ est (E,B)-compact et le théorème est démontré.

---

- i5 -
Théorème III. 12.
(i i) Pour toute formul e cP ~p'partenan!.~ }:;, ~ paramètres dan~_ LÀ'
L 1= Va' < À 3(.3 cP(a,8) entraîne que L F 36 cP (1,.,8) .
Preuve :
Supposons que LÀ est (}:;,8)-compact et soit cP un énoncé}:; a paramètres
dans LÀ tel que L F Va < À "38 cP(a,B) ; alors par stabilité'LÀ 1= 'la ~8 cP(a,S)
et par 1f2-extensibili.té il existe un ordinal II > À tel que L = Va :l8 cP(a,B)
ll
en particulier L ~ 38 cP(À,8) ; donc L = 38 cP(À,8).
II
La réciproque est évidente
il suffit de prendre
cP(a,8) = 3M(IMI = 8 A MF TL ) où IMI désigne le rang de la relation bien
fondée E(M).
a
Remarque IILl3.
(ii) se met facilement sous la forme suivante: pour toute fonction
partielle oo-récursive (cf. [HinJ) f, si f(a) est défini pour tout ordinal
a < À, alors f(À) aussi est défini.
Et notons ainsi la forme duale de (ii) qui slavêre être une proposition
de réflexivité de À :. pour toute fonnule 1J! appartenant a 1f a
1
paramètres
dans LÀ ' si L ~ ~(À) alors il existe un ordinal a < À tel que L ~ $(a).

---

- 16 -
§IV - Conséquences de la TI2~èxtensib;lité et de la (L,S)-compacité.
Dans ce paragraphe, pour des admissibles de la forme LÀ' nous étudierons
quelques conséquences de la (L,s)-compacité-autrement dit de la IT -extensi-
2
bilité jointe à la stabilité de À.
Mais pour commencer nous étudions les conséquences de la seule IT2-exten-
sibil ité de LÀ.
Fait IV.I.
Preuve :
Supposons en vue d'une preuve par l'absurde, que LÀ F ~ A ~b1~(b) où ~
est un énoncé r ; par TIl-extensibilité, il existe un ordinal ~ > À tel que
L~ t= ~ A V'bl<»(b) ; ceci est absurde car LÀ appartient à L~ et ~(LÀ) est vrai
donc LÀ F ~ entraîne qu'il existe b appartenant à LÀ tel que ~(b) est vrai,
ce qui est la r-réflexion.
Fait IV.2.
Supposons que LÀ est TI2-extensible ; ~lor~ il existe un ordinal ~ > À
tel que tout énoncé ~ ~ppartenant ~ TI
~_paramètres
2
dans LÀ' vrai dans LÀ
est vrai dans L~ ; en particulier LÀ <r L~.
Preuve :
Par hypothèse toute formule TI
est
2 à paramètres dans LÀ' vraie dans LÀ
vraie dans une extension de fonne L , ~ >À; il sl.agit de trouver L , ~ > À
~
~
qui satisfait simultanément toutes les formules TI
qui
2 à paramètres dans LÀ
sont vraies dans LÀ.
(i) Supposons que À est dénombrable. Soit (,/, )
une énumération des
'l'n
nEW

---

- 17 -
formules IT2 à paramètres dans LÀ~ vraies dans LÀ. Pour tout n~ soit
11
le plus petit ordinal
n
> À tel que L
l= /'(\\ tJ1. (11
existe par
1-I n
i~n'
n
IT -extensibilité de LÀ). Soit 11 = sUPn 11
est la
2
n ; pour tout p~ L11
réunion de la chaîne (L
)
de modèles de tJ1
11
p. Comme tJ1 p est IT2~
n
>p
n-
cette formule est préservée par union de chaîne~ donc 1.
1= tJ1
11
p.
(ii) La preuve de (i) montre que l'énoncé suivant est vrai dans Lwl
11 [a < 11. ~ Y A VtJ1 E TI2(L )(L F tJ1 ==t L ='tJ1)l}
a
a
11
Cet énoncé réalisé par L
est un énoncé IT
or L
~
I
TI
L~ ce qui
wl
Wl
1:1
entraîne que L' réalise le même énoncé et donc le fait est démontré.
Fait IV.3.
Si LÀ est IT2-extensible~ alors LÀ satisfait la L-compréhension donc est
non projectible.
Preuve :
Moyennant le théorème de Lowenhein-Sholem~ il suffit de montrer ceci
pour À dénombrable. Alors soit L~ la IT -extension de LÀ que nous fournit le
2
Fait IV.2 ; si 8(x) est une formule L et a un élément de LÀ~ alors comme
LÀ ~r
L11~ B = {x E a : L F 8(x)} = {x
11
E a : LÀ ~ 8(x)}. Comme LÀ appar-
tient à L ~ B appartient à L par ~ -compréhension.
11
0
Donc L satisfait la formule 3y Vx E a(x E y~~ 8(x)). Comme cette formule
11
est L2~ par choix de L cela entraîne qu'elle est vrai dans LÀ (puisque toute
11
formule IT2 à paramètres ~ans LÀ~ vraie dans LÀ l lest dans L ).
11

---

- 18 -
Théorème IV.4.
Si À est dénombrable et LÀ
rr2-ext~sibJe, alors LÀ ~st L~-~~_flexi~~t
'n~-réflexif .
Preuve :
Par le fait précédent, nous savons que À est non projectible, donc clos
par la fonction: al+ a+, où a+ désigne le premier ordinal admissible >0;.
Cette propriété de clôture de À s'exprime par une formule IT , qui étant vraie
2
dans L, l'est également dans l'extension L fournie par le fait IV.2. Ainsi
A '
~
en particulier, À+ < ~.
Soit alors ~R ~(R) une formule Li à paramètres dans LÀ ; le théorème de
Barwise, Gandy, Moschovakis, [Ba] fournit une formule e qui est TI et telle
que L F 3R ~(R) équivaut à L + ~ e, pour tout ordinal dénombrable a tel que
a
a
L contient les paramètres de 3R ~(R).
a
.
(L +)
(L +)
Supposons que LÀ 1= 3R ~(R) ; alors L~ 1= e À
donc L~ t= .aa(La F e À .
Ceci s'exprime par une formule r . Par le choix de L , cette formule est vraie
2
dans LÀ : il existe a < À tel que L + ~ e. Alors La ~ 3R ~(R), et la ni-réfle-
a
.
xion est montrée. La preuve de la rl-réflexion est similaire.
Remarque IV.5.
(i) La L~~réflexion est évidemment beaucoup plus forte que la L-réflexion
par exemple elle entraîne la<l' -réflexion.
OC'J.)
(ii) Le
lrh.IV.4 possède des versions absolues qui sont vraies pour tout
et lui sont équivalentes dans le cas À dénombrable, ainsi: II si LÀ
est n2-extensible, alors LÀ est strictement rri-réflexifll.
Remarque IV.6.
La méthode de preuve du
~k. rV.4 permet de montrer des résultats plus
forts tels que les suivant-s

---

- 19 -
(i) Si LÀ est 1I -extensible, alors pour toute formule e de
2
al
n L"
L, t.~.~ = e , entraîne qu'il existe un ordinal a < ~
cxw
. 1\\
1\\
À+À
tel que L ~ = e.
a
a+a
1
j- ••• +,
+ ••• +,
(ii) De même quand À ~+À
est remplacé par À À-À, etc ...
Remarque IV.7.
Le premier ordinal IT -extensible est inférieur au premier ordinal stable,eç
2
En effet, l'extence d'un ordinal IT -extensible se traduit par L
2
1= ::I.a ~~ \\fl!J E TI2
à paramètres dans La [Sat(~,La) ==~ Sat(~,L~) A a < ~J ; où Sat(u,V) est la
formule t, exprimant que u est une formule de théorie des ensembles, et v un
ensemble trans itif qu i en est un modè le.
Cet énoncé réalisé par L est un énoncé L à paramètres dans La ; par définition
de ao' cela entraîne que L satisfait le même énoncé, d'où le résultat.
ao
Défin1tion IV.B.
ee,
satisfait la (L,s)-compacité faibZe si la propriété suivante est
vérifiée: pour toute théorie T qui est une classe L dans ~, si toute partie
cQ.-finie de T a un modèle bien fondé dans~, alors T a un modèle bien fondé.
Théorème IV.9 .
.Si LÀ est IT2-extensible, alors LÀ satisfait la (L,s)-compacité faible
et réciproquement.
Preuve
Supposons que LK est IT2-extensible ; soit T une théorie L dans ~cxw n LK
telle que toute partie LK-finie a un modèle bien fondé dans L ; alors
K
LK~ \\fa 3M (M est un s-modèle AM = Ta)' donc par IT2-extensibilitéil existe

---

- 2D -
un ordinal ~ > K tel que L~ ~ va 3M (M est un B-modèle  M= Ta) ; en par-
ticulier il existe un modèle bien fondé de TL
= T. La preuve de la réciproque
.
K
est semblable à celle du théorème III. 4- •
,
Théorème IV.ID.
Supposons que L ~st TI2-extensible__E.!~ dé!1~!TI.~!.:~_~J.e" .~or? L ~.!_i_~!:~_it_~_~
K
K
"lit-lemme de Koenig" : ~("r,,) est un sous-arbre
'
de K <K, lI1 dans
L et tel que
K
(i) Va < K
T =' {s ET: dom s = a} appartient à L
a
K
(ii) Va < K, T~ est différent de vide.
~~rs (T ,.,) a une branche de longueur .K.
Preuve :
Supposons que l'arbre (T,~) nia pas de branche de longueur K ; alors
L F \\lC CC est une chaîne ==:} ~a (C c T,J J, "c est une chaine" étant l'énoncé
K
~,
C ~ T Â VS 1 VS2 (sI E C Â s2 E C ==~ sI < s2 v sI = s2 v s2 ~ sI). Puisque
(T,~) est un arbre lit dans L , alors llénoncé réalisé par L est rrt~ donc par
K
K
le fait IV.4 il existe un o-rdinal 8 < ~tel{jIl-e,.L.8 F VC CC est une'chaine
,
.
(1)
VC CC est une chaine =;=~ 3a < 8 (c-'~ë~+]j---- )
a
1
/ ,
/
"
_ '
/
".,)': Li
Alors T est v,ide (car si
8
5 appartient à"~ff!~:~b' {s a' a < 8} serait une
chaine contredisant (1)). Donc T ne vérifie pas l'hypothèse (ii) du lI -lemme
1
de Koenig et ceci montre le lemme sous forme contraposée.
Nous revenons maintenant à la P'::,8)-compacité de À, autrement dit nous
rajoutons l'hypothèse que À est stable à la TI -extensibilité.
2

---

- 21 -
Remarque IV.ll.
Nous avons vu (Corollaire 111.3 et théorème II.4) qulil existe beaucoup
d'ensembles (E,s)-compacts.Mais ces ensembles sont cependant beaucoup plus
rares que les ensembles E-compacts, c'est-à-dire les admissibles: soit À un
ordinal tel que LÀ est (E,s)-compact, et notons a : a ~ aa la fonction qui
énumère les ordinaux stables ;'le théorème 111.1 entraîne que À est stable
donc À ~ cr , mais le lemme IV.12 ci-dessous entraîne de plus que À est point
o
,
fixe de la fonction a, donc À > a
,À > a
,etc ... Et le même théorème
, .
ao
aao
entraîne que À est aussi point fixe de la fonction al qui énumère les peints
fixes de la fonction a ; et aussi de a" qui énumère les points fixes de a! ,
al~, etc ...
Enfin le théorème IV.13 (ii), vrai seulement pour À dénombrable, mais
qui a aussi "une version absolue" valable pour tout À, situe À encore beaucoup
plus loin.
Lemme IV.12.
Si LÀ est (E,s)-compact, alors À = aÀ,où a'~ aa est la fonction qui énumère
les ordinaux stables.
Preuve :
Nous savons que À est stable, autrement dit il existe 0 ~ À tel que
À = aô. Dlautre part nous savons que À est non projectib1e (puisque LÀ est
TI2-extensible) • Comme tout ordinal de la forme aa+1 est projectible, cela
entraîne que 0 est un ordinal limite. Nous supposons que 0 < À;
"y est
stable" désignera la formule suivante :
Par récurrence sur a nous définissons la famille (~)
0
de fonnules
a a€
tI
de .('cxw
,
,..
. i
..

---

- 22 -
1jJo(Y) = y est stable" \\lx < y non (x est stable)
~y+l(y) = y est stablef\\31:<y[1jJy(x) " \\lz < y(z > X ==* non (z est stable)J
et si a est limite
1jJ (y) = M :Iz 1jJ (z) " \\lx [x < y ==:} 3z(x < Z Il \\X/ W((z))J
a
y<a
y
o<a
Les clauses de récurrence sont ~, donc la restriction à LÀ de la fonction
al+ 1jJa est ~ définissable dans LÀ·
Fait :
(i) LÀ t=
lI y est
stable ll équivaut à(y est À-stable~ ce qui est équivalent
à(Y est stabl ~ ;
ceci est évident puisque À est stable
(ii) Pour tout a < À et pour tout y < À, y = 0 si et seulement si
a
LÀ = 1jJa (y) .
En effet par récurrence sur a, cela résulte de (i) si a ~ y+1, et de
o = sup 0 si a est limite.
a
y
Alors puisque À = oô' L, ~ \\lx E On ~y VV 1jJ (y) " X < y ; donc par
II.
a<ô
Cl
;t -extensibilité il existe II >.À tel que L 1= \\lx E On 3y W 1jJ (y) " X < y,
œw
II
a<ô
a
ce qui est faux pour x = Oô = À appartenant à L~. En supposant À < 0À nous
avons obtenu une contradiction, d'où À = 0À.
Théorème IV.13.
(i) Si LÀ est (~,B)-compact, ~lors LÀ est admissible relativement à °
(c'est-à-dire que À est clos par 0, et LÀ satisfait la ~(o)-réflexion et la
A~o)-compréhension~
(ii) Si de plus À < xiL), alors LÀ est rr~(O)-réflexif.

---

- 23 -
Preuve :
(ii) Par le théorème 111.9
LÀ est rr~-réflexif. Donc LÀ est rr~(f)-réflexif
pour toute fonction f qui est définissable en premier ordre dans LÀ' en par-
ticulier (cf. preuve du lemme 1V.12) pour la fonction o.
(i) Si À était (L,B)-compact sans être admissible relativement à la
fonction 0, en utilisant le théorème de Lowenhein Skolem et la caractérisation
1t1.4 de la (L,B)-compacité on trouverait À1 < xi L) avec les mêmes propriétés.
ce qui contredit (ii).

---

24
§-sltr- J(>)...:::_Compacité c_t_-_l'_la_;J.;....:o_r_a_t_l_'_on_s__f_o_n_c_t_o_r_i_e_l_J__e_s_
Défini tion --V
1 a
ON
est
la
catégorie
des
ordinaux
munis
des
applica -
-tions
croissantes
et
ON. l' w e s t
sa
restriction
aux or-
,;
-dinaux
finis.
.,
Défini tiom V
1
b
Un dilatateur
est
un
foncteur
F
ON·-->~ON
qui
commute
aux
limites
directes
et
aux
produits
fi brés .
Définition
~
2
La
catégorie
DIL
se
définit
comme
suit
Les
objets
sont
les
dilatateurs
Si
F
et
G
sont
des
dilatateurs
alors
l'ensem--
--;)le des morphismes de F dans G est l'e~lsemble
l
( F
, G )
des - transformations
naturelles
de
F
dans
G
•
Défini tion: Y
3
a)
Soit
F
un
dilatateur ~
Nous
dirons
que
F e s t
primitif
récursif
si
et
seulement
si
(i)
FI' ( ON: l'w ) est primitif
récursïf
(li)
F ( n.)
est
fini
pour
tout
n
appartenant
à
w
b)
Nous
savons
[cf
G]
que
si
F
est
un
fonc-
- teur
continu
de
ON
dans
aL
alors
F
est
complète-
-ment
déterminé
par
F l" (
mr f'w
) .

---

25
f
Aussi
nous
appeler ons
définition
de
F
toute
définition
de
(
)
F
l'
.. Exemple
un
dilatateur
Fest
"w
ON.
primitif
récursi.f·
s'il
a
une
définition
primi ti ve
récuT.' -
--si ve . et
vérifie
"
F ( n
)
est
fini"
pour
tout
n
appar -
-tenant
à
w
Dans
ces
notions
sont
étendues
à
des
foncteurs
d'ordre
supérieur
ainsi , si
p est un foncteur continli. de
DIL
X ON
dans
, la propriété
" q;
est
primitif
.-
récursif
est
définie
dans
cette
défini tic::-....
"
[G .. ~
est
la
généralisation
naturelle
de
y. 3 lorsque la
catégorie
ON.
(
sur
laquelle
opèrent
les
dilatateurs
) est
remplacée
par
la
catégorie
DIL
>\\ ON: (
sur
laquelle
opè-
-re
)
.. Ici
nous
rappelons
seulement
Remarque:;r
4
Il
existe
une
famille
( t ? h )
qui
à
un
'1
isomor-
e
eE.w
-phisme
près
énumère
tous
les
foncteurs
primitifs
récur-
-sifs
de
DIL
X ON
dans
aL
et
pour
tout
ordinal
ol'4 LV
si
-
est
un
-
dilatateuX'
tel
que===
, , (
ON
Î' W
)
,
appartient
a
L
alors
[ ete(
0(,+
0)
e ~-w J
appartient
à
Lo(+
pour
tout
ordinal
j' < o{+
, et la
fonction
i,
est
et+' - récursi.ve ,
/"
Dans
G
~
est
démontré
que
l'ordinal
t>o
a
la
propriété
A ( te )
:::
il
existe
un
dilatateur
,
définissable
dans
L~
(
cf
Définition 7.- 3 .. b
) tel
que

---

26
6..+
.1 , -
= sup
o
{ <:Y
/
~
~.===
00
) ;
) :
est
un
foncteur
primitif
récursif
:
DIL
x ON: --->7 ON }
..
/) -+
(ii)
Pour
toute
fonction
f
l\\
- récursive , il
existe
un
foncteur
~ primitif récursif
DIL
X ON --~:> ON:
tel
,
tout
eX
appartenant
à
f(
f( 6:+[
ot )
- que pour
~ Cf<
, 0{ )
..
Cette
propriété
A «( )
est
remarquable
pour
les
raisons
données
dans
CG • ~I § Y .. A]
I l
est
donc
naturel
•
de
se
demander
pour
quels
autres
ordinaux
~
la
.proprié-
-té
A (ct )
est
vraie
•
Nous
nous
restreignons
a.u
cas
où
OC
est
stable
le
cas
.rx L.. t:
est
déjà
traité
dans
[R]
et
le
cas
~ -<. 0(. <:. '!i-:
s'étudierait
en
combinant
l
les
méthodes
de
[ li]
avec
les
méthodes
employées
ici
pour
stable
la
notion
de
.' Il s' avèr'e que
( 2: , ~ )
compacité
joue
un
"
role
essentiel
dans
l'étude
de
cette
..
question
..
Théorème
V
5
Le
premier
ordinal
( 2: , (3 ) - compact est le premier
ordinal
stable
qui
ne
vérifie
pas
A ( A )
..
Le
reste
du
§'
5
est
consacré
à
la
preuve
de
ce
résultat f
Tout
d'abord
nous
en
prouvons
une
moitié
Théorème
6
Soit
le
premier
ordinal
( 2:._ , (3) - compact·;
alors
est
faux
..

---

21
Preuve
Soit
un
dilatateur
définissable
dans
L
•
nous
voulons
montrer
que
est
r\\+ >
t
sup
1. (=-, ~ ) ; d>
un
foncteur
primitif
récursif
..
J..J.•
DIL y.. ON. ---?>7> ON
L
Nous
="'-
noterons
le
. foncteur
continu
de
ON:
dans
aL
qui
est
définissable
dans
Le(.
comme
l'est
dans
( cf
Définition y
3 .. b
)
LA
..
Soit
B
=
primitif
ré-
t e f:U)
te est un foncteur
-cursif
de
DIL X. ON
dans
ON}
et
' soit
D
=
~ e
~
est
un
foncteur
primitif
récursif
DIL X ON
et
[l3oC.crl ( -= L~
f:.
DIL' 1\\ cl, (== l..l
..Le \\--- I.;L
est
mal
fondé
..
0]
Il
est
évident
que
B
est
inclus
dans
D
..
D'autre
part
r\\
est
stable
car
est
-pact,
donc
" -== ~ appartient à DIL Il équivaut à
appartient
à
ON: ,
pour
tout
ordinal
«L. c4 " •, donc D
.,.
est
- définissable
dans
ce
qui
entralne
que
D
appartient
à
..
,
Nous
allons
maintenant
montrer
que
si
e
appartient
a
D ,
alors
Pe. (
, r\\) est bien fondé
en
effet
suppo
,
-sons
que
~e (,
, r\\)
n'appartient
pas
a
ON'
.. Posons
,
)
n'appartient
.~. (
, A )
pas
<
a
~ D <}e, ('-':: , r\\
ON ) 1\\
C_ :
ON-->ON
)
..
11~
est
un
énoncé
~
sur
, qui
est
yrai
dans
or
est
le
premier
ordinal
(/_
, (3 ) -
i
.
compact
ce
qui
entra'Îne
que
~st 11~ - réflexif ( cf §

---

28
donc
i l
existe
un
ordinal
cX.L.. A
tel
que
~ est réfléchi
(j?~
_Lot
C-=== Lei
0<- )
n'appartient
pas
à
ON
1\\
O~'--7
- - ,
-
:
"
l'
ON ;
ceci
contredit
l'hypothèse
e
appartient
à
D
•
Alors
puisque
~
appartient
à
'LA~
la
remarque 'Si 4
entra1ne
que
sup
[et C_ , r\\ ). ; ~ est un foncteur primitif récursif
J
t
-1
de
DIL X ON:
dan.s
ON
= sup
4:C-, A) ; e <;:'RJ
~
t.
sup
~..( .A)
e
~ D.J ~ AT
ce
qui
ach~ve
la
démonstration
du
théor~me
Défini tion
V 7f
Un
ordinal
limite
est
di t
C ~ Cç(J)
f.J )-compact si.
et
seulement
si
pour
toute
théorie
T
dans
~~UJ n LA
qui
est
L Cf?) -définissable dans
si
toute
partie
-finie
de
T
a
un
(3 -mod~le , alors
T
a
un (:J -modèle
Notation
~
8
Dans
toute
la
suite
~o désignera le premier ordinal
( L C </» ,(J) -compact •
Lemme
:;z
9
'!
(i)
~o est
stable
•
1111l, (ii) AD est CL, (:;) -compact , donc c'est 1'3 premier
1
1
ordinal
, P) -compact •
Preuve
••
11i
\\
(i)
En
vue
d'une
preuve
par
l'absurde,
supposons
que
00
n'est
pas
stable;
alors
i l
existe
un
ordinal
~
tel
que

---

29
; donc
2
-définissable
dans
L ,.
6"'+1
avec
un
paramètre
ce
qui
entraine
qu. 1 i l
exis _
-te
une
cr
formule.
( u v ) appartenant
à
L
telle
que
est
l'unique
ordinal
e
qui
vérifie
CO(
+ )
c\\o
T
e, ;:J
dans
L r-
.'
{)ott1.
3<:
entraine
qu'il
existe
une
théorie
t,o dans
Ao
~
qui
est
> ( ,f,. )-définissable dans
L
telle
que
pour
yY
( L )
~
tout
ordinal
ot. <"5,
z.,"
admet
un
tJ -modèle
(L '
0
Le
mais
=
.t'o
"3),n'a
pas
de
(5 -modèle
...
Considérons
la
théorie
suivante
KP
=
+
.3 1'1 (
M
est
un (3 -modèle
Â
p (P
est
une
o -démonstration
de
+
<.. e
+
d
c
)
t
o(Loo)
Cette
théorie
est L
dans
L
Si
•
r
;\\0
L (L,r..! _
est
une
partie
L~o
-finie
de U
alors
KP
+
ER
+
c E. On
+ .v-0<,.. <. c
:3 1'1 (1'1 est un ~-
r (LoG)
Li v -
-y
modèle
1'1
t=
u
)
+
V
0
.::1 p (p
est
une
v
-dé-
o
-monstration
de
,(,~ Le) ~_y_
J.-.) + te> Cl( ; of ~ 0'0 J
,
+
+
'.[ d
>
cp ( C ,d)
•
XJ(L~)
eJ
admet
L
.
comme
(3 -modèle
en
interprétant
c
pa~
60('+i
3,
e
par
et
d
par
la
formule
>if 0( L.'S
{,(Lo()
.3 M (
1'1
est
un
-modèle
1\\
M
)
(1
est
vraie
dans
Tt
donc
stabilité
elle
reste
vraie
dans
d'autre
part
=
Go
n'a
pas
de
(3 -modèle
dans
L /
( par
hypothèse
sur
L o
)
Cependant
~
00(+1

---

30
n'a
pas de
(:)
-modèle
en
effet
f1upposon,s que
roOlv
COG\\J
-..r
est un
fJ -modèle de
d'après
cette
théorie
C
'
~
~
,.J
car
tfQ
F >rf',oG .:( c
M ( M est un
(3 -modèle
1\\
~
F
M
L:Lc(,)
) ; si
c
=
() <"3 ~ (0(,
" alors
~
pour
tout
ordinal
appart ('mant
à
am
, il
exiGte
dans
f
une
-démonstration:
de
G~ L~)~_ -.1_.,
f
en
particu~ier
peur
tout
qui
que
f ~ (
, ce
v
~ :G ( L7f) t--.
o
~,- ( car ~ est
f.:> -ïllodè'le ) ,
donc
pas
de
(3 -modèle ( car
~(Ly) <~
n'a
o
~
est
un or-
-dinal
stable
>()
) •
Ceci
contredit
l! hypothèse
't <. :) 1
1
dOITe
, ce qui
t
h
enra..lne
que
l'in-
-terprétation
de
e
. dans
ce
modècle est un.. ord.inal
4A~ et
celle
de
d
est
un
ordi'nal
0<. > ~Q
tel
que
cp CS, 0<-. )
est
vrai"
ce
qui
contredit
le
choix
de
la.
formule
CfJ
...
Cec.i
entraine
que
Ac
n;' est
pas
(L (cP)j (3 ) -compact ,
ce
qui.
est
une
contradiction:. r
donc
r-\\ 0
est
stabJ.:e
f'o
Supposons
ru' est
pas (~ r (~ ) -compact;
y
(LA ,,)
,Çq
11
exïste
une
théorie
=
.Je..)
dans
<~u.J1-UJ
qui
est
~
-définissable
dans
L c4
avec un.
paramètre
3 < Ac,
0
telle
que
pour
tout
ordinal
eX <.. À
(J (
0
Lo<.)
a
un
(5
-dèle
mais
'CJ
n'a
pas de
(5 -modèle
0'
D'autre
pa.rt '"
3'
<... ~e-"
entraine
que
5'
n'est
pas (z= Ul»
, (5) -compact
(par
définition
de
r\\o
) ,donc
i l
existe
~ne théorie ~~~
?' (LB)
~
,
=
ut>
qui
est
~ (~) -définissable dans
L::s
telle
v
- - - - ' 1 ' " (L·;()
que
pour
tout
o .L :s-
, ~~,
a
un (3 -modèle , mais
n'a
pas
de
p -modèle'. Considérons la théorie

---

31.
suivante
7 /
,
d '>
.lU
=
KP
+
ER (A.,)
+
~
+
L
. -
;h ( c )
où
~ ( c) est la formule
c
~ On 1\\
:t'
'T
.., (L~)
1\\ '>1 C'{ ~ c
.:3 M (M est un
()
-modèle
1\\
roi
F -Vo
1\\
J
u
<J ( Lc. ) 1
-_L ) A
/\\ V D ~ p ( P est
démonstration
de
-tJ
l '
•
..:::J
"0
0
j
i
~ 0(, 3 M ( M est un (:> -modèle
I1
F
{Cf: e ( c J 9-J ) (L:li_
où
e (5", v) est la formule 2.
qui
définit:()
dans
•
~/
est une
théorie
2...
-définissable
dans
L ,40
Si
{,/ (L:ro)
est
une
partie
LI
-finie
de
L A~
•
(donc
~ L. Ac ) alors
L(Lo;,)
=KP
+
EE.
(0',,)
+ . [
d
>oe
)
..
r
+
lt)< c admet
comme
(3 -modèle
, qU3.nd
on
interprète
LAo
c
par
,
d
par
en
effet
i l
suffit
de:
mcm:trer'
que
(:5 ) • or
L
LAO)
"1\\
3 M ( M..
est
un
- mndèle
M
/\\ V 0' 3 p ( P est une démonstration
de
1\\
V 0(' < r4., 3 M ( M est
un
(3 -modèle 1\\ M
e (:5 ,CP)(LO(.) J ;. et d'aprè.s
9 (i)
donc
cette-.
formule
vraie
dans
L e s t
vraie
dans
1
7
, autrement dit
Ainsi
,J(J
..
-finiment
satiafaisable
par
des
-modèles
cyl
cependant
Je>
n'a
pas
de
(5 -mo_dèle
•
En
effet
floit
7"
-modèle
de
u
•t
par
un
raisonnement
analogue
raoL,
--
~
à
celui
de
V 9 (i) on a C
-J
..
D'autre
part
si
Onrm.,
=
~
, alors
cS'~ ~: et
COOl...;
satisfait
la
um
fbrmwle:
~eX.- :3 roi ( M est
(3 - modèle  1-1. t= 5. cf),
.
l j 1
e(3/ f)
particulier
(L~1 ; en

---

32
.
\\
'l5CL 1=
3 M ( M es+; un
(!.) -mod èle /\\ 1>1
~.( cp ;
l
;
ce
qui
est
absurde
car
par
e (5 , r )(LAD) }
,
r; (LA p~
hypothèse
' .
=
L
n'a
pas
de
(3 -modèle; en
supposant
que
Ao
n'est
pas
(:z=, p ) -compact
j
nous
avons
démontré
que
n'est
pas
( 2 (cP) ,(3)~.
compact
, ce qui
contredit
la
définition
de
2\\0 , donc
est
( ?
,
' -
16 ) -c omptlc t
•
~
NOUS
aurons
besoin
d'une
réduction;
des
langa.ges
oc..· W 1.LV
à
l' VJ
-logique
dans
un
~,1.
lang8.ge
étendant
& ;
voici
cette
réduction
Proposition
-:sr~ 1C!IJ
Pour
tout
ensemble
admissible
dénombrable
, et
pour
tout
langage
& de C~ ,
existe
lm
langage
&: contenant & et une application qui à toute
-mule
lV appartenant à &OOUJ r\\ Q, fait correspor.!.dr~ une l
formule
\\foi appartenant à es2tJ
tels
que
pour
-jection
f
: w
:>Q il existe un
ensemble
et
vérifiant
(i)
Pour
toute & -structure
M
et
pour
toute
formule
ty
appartenant
à .2f2
n0,
oow
" M.
F
\\fJ "équivaut à "
11
\\J"d.
s'enrichit
en
un
W
-modèle
M1.
de.
(
1
+
A~
) "
(ii)
L'ensemble
définissable
dans
(~': f )
uniformément
en
f
.'
Preuve
(i)
Nious
allons
ajouter
symboles
de

---

33
relations
pour
remplacer
leD
conjonctions
infinies:
pour
toute
formule /'10..~ ( "V' ) o~ vest; une 5uite. cie vèl.r;ables libre5 10
considère
. RlJ:'
( u . v
)
nouveau
symbole
d.
relation 1 u e>io U
variable
d'une
nouvelle
sorte
(
qui
variera
sur
UJ
)
..
On
pose
6:21- = 8L
+
01
U
"
+
~ n
n
CS
w}
M
est
une
+
~:p ; M\\f f: g)oow0 -9}
et
si
dZ1.
&
-structure", on
note
M l ' extension
de
M
à
0.G
(
avec
w
comme
domaine
de
u
)
telle
que
( u,v)
) 1
=
~y!
l( , a ) .
n
M
1=
LV (a) j où LV
·lt..., ~
M
"""-
est
la
n
Iormule
de
dans
l'énumération
f }
~
..
On
définit
l'application
:
~ ----7 ~1. de
(~
(:1
1
W
~DO\\..l) (\\ ~
dans
par
récurrence
sur
1 :
.
~~w
Si
'f
est
une
formule
atomique
alors
~ 1. = ~
Si
'V =l'o/
alors
~v cp
~A- = l cp'1 )
V v cp~
~ v Cf1.
.."
-,
Si
lj.J = !)<\\ cf (v ) alors
\\ru
(
u, V) ,
I l
est
clair
que
M
équivaut
à
"
"
"
\\=
D'autre
part
un
enrichissement de
M
qui
vérifie
- \\
( IX\\î( V 1
( u , v
~----)Vu Rf
) )
+Vu\\XI u=V\\.,
't\\.~W
,
&1.
pour
tout
appartenant
a
Posons
R'f
•
=
A}
l'ensemble
des
formules
V-v (
R \\1' ( n , v ) <
) \\JI~( v ))
\\.1)
" ,
où
est
la
formule
de
~
dans
lenumeration
f
4
(i)
et
(ii)
s'en
déduisent
immédiatement
..
Lemme -q
11
Soi t
0(,
un
ordinal
stable
tel
que
d.L ç\\o
.'
(i)
Tout
ordinal
est
:L (eX ) -définissable dans J~+,
(ii) Il
existe
une
bijection
de
oé sur
VJ
qui
est
défi-
-ntssable
dans
..

---

34
.
Preuve
-------------.
(i)
Soit
il)
un
ordinal
limite
L.X
alors
0: n'est
/\\
pas . ( L
(~) , p ) -compact , ce qui entraine qu'il existe
une
théorieb.o
dans
qui
est
~u.J1.tAJ
(~) -définissa-
-ble
dans
telle
que
toute
partie
L~
-finie
de
a
un
-modèle
mais
Lo n'a pas
de
15
modèle
.
Alors
L
F ~L-3 .(0:::1 M ( H est
6 -modèle A
L
.
o (LLl
(L:s
) 1\\
M
1=
~ j M (M est un (:J -modèle À M \\= 'C )
o
Cette
formule
'réalisée
par
L
e8t
la
conjonction
à'une
formule
et
d'une
formule
-n1. , toutes deux à para-
-mètres;
dans
donc
par
stabilité
L,
satisfait
Lei
~
la
même
formule
qui
caractérise
donc
0:
est
-définissable
dans
or
L;x
est
~,
Z
(cL )-dé-
/.'
-finissable
dans
ce
qui
ent ra1.ne
que
00
est
'2- (o()-
définissable
dans
•
(ii)
Soit
un
ordinal
L.. eX
; nous
avons
montré
que
est
6:<, -définissable
dans
Alors
considérons
l'in-
LoG.
-jection
f
qui
à
un
ordinal
, fait
correspondre
où
e
est
la
plus
petite
formule -
/"'--,,-
qui
définit
dans
..
De
cette
injection --
L 3
-définissable
dans
de
dans
L(X
lU
on
tire
facilement
une
bijection
:> 4-
de
ex:
sur
LA)
..
Défini tion
~ 12
Soit
&
un
langage
comportant
les
constantes çy et
C
pour
tout
foncteur
F
appartenant
à
DIL
et

---

35
pour
tout
ordinal
un
(
F
, Dt )-modèle si et
t'ffi;
eX,
seulement
si
et
C
Fl'w
=
est
un
(
DIL
ON.
) -modèle
si
et
seulement
si
est
un
(
F
0{, ')-modèle
où
F
appartient
à
DIL
et
appartient
à
ON:
..
Théorème
) l
13
--
Soit
r\\~ le premier ordinal ( Z , (~ )-compact
si
~/
l./I...e>
est
une
ordinal
stable
./_ c\\ c , alors il existe une théo-
-rie
T
( <J' ,
c
)
G &u.JW telle que
~
(i)
Tout
(
DIL
, ON
)-modèle ~
de
T
vérifie
C
=
01....0
•
(ii) Il
existe
un
fondeur ====
appartenant
à
DIL
qui
est
définissable
dans
et
tel
que
T
-modèle
•
Rappelons
le
théorème
6
•
5"
ter
[G .' ~ 1\\. dans le
cas
particulier
où
11
= a , donc
PT'\\'\\.
=
ON
)
Pour
toute
théorie
T
C. <@LUUJ
il
existe
un
fonc-
-teur
continu
F
ON· -
> aL.
tel
que
T
(i)
F
est
primitif
r-écursif
en
T
..
T
1
-l_
(ii)
(
T
+
V- u W u =
n
)
\\-' ( 5 -
si
et
niW
,
seulement
si
F
appartient
a
DlL
.'
T
Preuve
du
thé crème
~ 13
(i)
/.'
ent ralne
que
n'est
pas

---

36
compact
(
d'après
le
lemme '\\1
9
)
alors
i l
existe
-
une
théorie
?'c
k..;
da.ns &w1. w
qui
est
:2: (~)-définissable
dans
et
telle
que
toute
L,cX.o
··.finie
de
Ua
un
(~ -modèle
mais
pas
de
(5
>
?
modèle
,
.. D'autre part par v
1 1
i l
existe
une
formule
-
e ( x
y
)
qui
interprétée
dans
Lo(o définit
une
bijec-
-tion
de
w
sur.
Lolo
nous
désignerons
par
l'ensemble
considéré
en
~ 10 ,lorsque
f
bijeci
Ar
-tiam
définie
par
8
()
un
ordinal
posons
(Ly)
A
où
est
la
= { ri ~ lfl E
e
formule
de
~\\À) w
correspondant
à
la
formule
dans
la
réduction
des
formules
cf
de
Propositionl
&aow Cl La (
)
~ 10
..
Considérons
la.
théorie
suivante
•
•
Il'
T
(~, C)
=
KP
+
i l
existe
une
transformation
natu -l
-relIe
de
dans
C2Y
+"><f
Il
"'6 ~ c.3 Iii1.( M-1 est ) ~j...
un
M-1-
t=
(
t
( Le )
li) 1.
\\.LJ
cT , (L 0' rI.
A
+
1 ;
1
E.. "l-"
J'
e
(Le'
0
;
Il
+
w u = n ) ) +
9
1
définit
une
bij ec-
Il
-tion
de
sur
( où
FT.c
est
la
formule
obtenue
par
applicatfon
de
[G .. R6. ...S.te:J avec T
_.- ....~---. <---- -- - - - - - - - - ~--_._.._---..;~ ....-
Soit
un
( DIL ,ce)-modèle
de
T ;
alors
i l
existe
une
tran.sformation
naturelle de
F
, . j
Ofm\\.
da.ns
'-"
,
ce
qui
€:;}-
T~~
~
-tralne
que
F T1.o(,
app_.rtient
à
DIL
..
D'après
le
l
,
tn.eoreme
6. .. 5- ter
[G .RJ
-ceci équivaut à
"T Ott
+
V· u
~ u = n l-(-> ~; par conséquent J-...1 ~
o
1·
(
d'après
la
proposi tion
;J 10)
..
LI ordinal
eX
est
alors
~ rX~
car
pour
tout
ordinal
i l
existe
un
~ -mod~le de
1 (L'() - C'
-
u"
.. ûupposons
que
DI"/ 0(0 .. Il
exi ste
alors
un
(3 -modèle
de
(
A (Let]
_) W
i , L(
'7 (la,,]'
V .
W
,
.t'·e
+ l 1 J
é.. kJ o
-{-"V il
ü.
--
11 t
- ,
M"tv

---

37
de tu
sur
L~
Il
car
pour
+
11
e{4-t)
définit
une
bijection
1
'O\\v
particulier
en
t
= Xc , ca~t t= 3 I.:· f
tout
ordinal
"'t ~ C = ot.-
[L'
{.
1.
T(Lif]
\\J.; \\\\/1
f
1
11
( AS c.
+ t
( M-i est
un f .- modèle
/\\
~ i Lfl
+ '\\J
J
E. U D
U !!wll =q
Il
D
'1
de
0J
sur
Le
.'
onc
:L
+
11
e(Lc ) définit
une
bijection
"7 (L toi..)
'7
( d'après
la
proposition1E 10 )
existe· un
~
f' -modèle de kJo = ~o
entra1ne
finalement
contredit
le
choix
de L.. et
Ceci
.-----------
~ _ _ •
. _ • • _
<_ _ ".~_-,-_"'.'_~'_._._.~.' _~ • •~~._.~_ _
~
•
' .
" " · A .. ", __ ._"""-~_ _ ·~""'-~-"'"
, - ' .
---"--.....
.
''''"-- ~.,--.......---_.
,
d
V
alors
V
est un
( - , r:)"
)t
(ii.)
Si nous posons - - =
F C{O
ans
.
•
effetÇf est"'~interprété pa~c
F,.d.o C1ui est un. clilatateul~ •
modèle de
T ,en
.
....
Ij.
1
1
y -_._- qTL;:f·-·----' -- -~-_._---.-.-
d'autre
part
pour
tout
ordinal
0 .c. D(./t.J"
admet
un ()
-modèle
M
appartenant
à
V'
(par
choix
de
L.,
).. Soit fe. la
bi-
-jection
définie
par
la
formule
e
dans
L.D("
(
cf
Lemme
§ .
'Cf J ( L"() .
11
)
M
satisfait
kJ o
équivaut
alors
à
~
M
s'en
1-
+Lf~ ;l/lE.t;Ll'lJ
-richit
en
un
Lv
-modèle
M de
AOdl)
ceci
entra1ne
que
·T
a
un
(J -modèle
et
a,chève
la.
démonstration
de
(ii)
•
Théorème
.
14,
Soit
le
premier
ordinal
( L , f> )-compact • Si cio est
un
ordinal
stable
<.. À<. ' alors
{)(D
a
la
propriété
A (C>!.. );
(i)
= sup { Cf ( = • ()( )
T est un foncteur primiti..f
DTL
X· ON.-
~ ON;
récursif
J ,
. ou --_.- est le fonc-
1
-teur
fourni
par
le
théorème
y 13 , qui est définissable
dans
•
Et
(ii)
Pour
toute
fonction
01 + -récursive
f
, i l
existe eb
0
.J-
foncteur
primitif
récursif
DIL
X ON· -->::". ON:
tel
que
f
(0 )
~ p(-==., t) pour tout
a.ppartenant
[~
ï
à
0(-+ i
)
" Le>

---

38.
Preuve
.-
(i)
Nous
utilisons
quelques
notation5 ct
résultats
de
~
R-'\\ ,.,
.-'
que
pour
tout
CF f d. )-modèle <01\\"
T I~o<, -cp
signifie
,.
~J F
T
entraine
que
~ ~ Cf
#
,
T
~l~-Ol~~ signi.fie que
T
~-----r pour
tout
foncteu r
-FjDl
,
F
appartenant
a
DIL.
et
pour
tout
ordinal' eX
appart enant
à
ON' ..
T
1..(., F
(f signifie
-
que
T
J G-~'f
pour
tout
)
~~
foncteur
G
C
F
et
pour
tout
ordinal
y ~ ~ __
_T_h_é_o_r_è_m_e
6_.
.. 5
bi s
[G
•_ ~
,
A
tout
énoncé
yJ
appartenant
a
~
on
peut
as-
-Bocier
un
foncteur
continu
t<ji de DILX aL dans aL de
façon
que
,
(1)
Pour
tout
foncteur
F
appartenant
a
DIL
et
pour
tout
ordinal
0
appartenant
à
aN~
,
" 0/'1' ( F ,0') est un·
bon
ordre
"équivaut
à
T ~~-
y lf ..
,,+ ) ~
(2)
L'application
>f'fl
est
codable
de
façon
primitive
récursive
en
T
..
équivaut
à
(3) T 1 .D 1L . ON
CP'
ch est
un
dilatateur
1
If
primitif
récurs~f
..
Soit
vu
Y
un
ordinal
-y 11 (i) il s'écrit
c:
,
f (ot<; )
f
est
unH
fonction
=
, ou
~ (y6)-définissable
dans
..
Lo(o
Nous
cherchons
un
foncteur
primitif
f
récursif

---

39
DIL
X
ON,
7 ON
tel
que
eb (=--=., cJ.
>
<J)
1
Soit.
T
=
T ( 0
cr)
la.
IIr DIL. -défiiut.i.<m
"
fournie
par.
le
théorème
..
Par
la
méthode,
de
Godel
on:
peut
construire
une
formule
aU'l;oréféren -
)
~
-te.
(
cp
, C»
telLe
que
.'
•
~
équiv.au.'t.
à
a >/1 (.~ f' ( a)
r
l '1 ~ <0' ·
c:
où
désigne
le
foncteur
primitiff
récursif
de'
tIf
DIL X ONr
dans
OL
associé
à
T
par
le
théorème
6
.5 bis
et
pour
tout
ordre
R
, Il R 1/ désigne le
type
d'ordre
de
R
)
•
FAIT \\ j
15
m-
:.L:
J
- - -
1) 1 LION
Cf
Preuve
du
FAIT
•.'
Soit
!f
un
ordina.l
et Oô\\.;
un
(
F , 0 )-modèle
de
T
(où
F
appartient
à
DIL
)
alors ~
est:
un
(
DIL
,y )--modèJ.e
de
ce
qu~
entraine
qu~ "'6 :::. 0(0
(
par
-go 13) .. D'après le lemme de troncature ~J
lé'6\\;
est
une
extension
transitive
de
:f ( C)
=
L~()-t-
et
f(~) 1
Supposons
que ~v 1= l cp
alors
Il -1. ( F 'O!ù ) Il
C1?f
< :f ( oC ) j
donc
appartient
à
On
; par
le
choix
Il 0/</ F • 0<'. ) 1/
de
cR
ceci
entra1ne
que 'T 1
_
- cp
, or cD'ùl" (-F:
- rr ,
IrX,,)
/
~t j ~ 0("
donc tf Q6\\., F cp,
ce
qui
est
contradictoire
car
en
suppo-
-sant
que
COOL F 1 r nous· avons démontré
que 'OOL ~ Cf
Ainsi
T 1
cp; ce qui
t
P.-
en ralns
-----
+01..
-'_J__ .~- ...-...
q~_~ ,__ ..~ ~~_'~J ~N ..- Cf '
est
un
foncteur
de
DIL. X ON
dans
..
'Donc
't'Cf'
Considéro!1s
enfin
VJ
qui
est
(===
- -
0(0 )-modèle
de
\\j--
(
où === est
le
dilatateur
fourni.
par
13
)
•
.---

---

40
A
,
T
~ équivaut
a
l
' 1
1
(, 9\\0 C'~r , C )11 Z f ( C ) ) ,
donc
V
t=
/1 ~
(-_.
"/
) /1 ~
f ( 0(0)
.
f
===- , G\\."
•
7+
!tous
avons
ainsi
montré
que
c(o~ sup Lt (-= , X.,)
.<p
est
un
foncteur
primitif
récursif
DIL X Olt
;
-\\}~
i
3> om
l'inégalité
inverse
résulte
de
4·
.-
ce
qui
achève
la
preuve
de
( i ) .
Celle
de
(ii)
est
tout
semblable
..

---

REFEfŒl\\fCES
: .J .. BARWISE_
, Admissible
Sets
and
Structures ( Sprirr
-ger - Verlag )
1:91'5
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The
next
[Ba ~
admissible
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36~)
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2:1. -Compactness
in
Languages
stronger
Ca] - : ID .. CUTLAND
than a5Q,
( J
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Vol.
43
Sept
1978
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Nf.. CŒCLAND ,
M .. KAUFI1AN:
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fonctionnelle:
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functions
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ordinals
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p ..r
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H~rbrand
colloquium
J
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Editor
Noxth
E~lland
(1981
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---