UNIVERSITE DES SCIENCES SOCIALES DE TOULOUSE
THE8E
POUR LE DOCTORAT DE 3ème CYCLE DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A L'ECONOMIE
Présentée et soutenue publiquement en juin 1982
PAR
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CONTRIBUTION A L'ETUDE
fE tA REPARTITION INTRA-URBAINE DES REVEftUS
JURY
oflsieur G. LETINIER, Professeur émérite à l'Université des Sciences Sociales de Toulouse
Président
onsieur G. MOLINS-YSAL, Professeur à l'Université des Sciences Sociales de Toulouse l
Suffragants
onsieur A. GRIMAUD, Maitre-Assistant à l'Université des Sciences Sociales de Toulouse f

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UNIVERSITE des SCIENCES SOCIALES de TOULOUSE
PERSONNEL de l'UNIVERSITE
Année Universitaire 1981-1982
HONORARIAT
MM. VEDEL, G. Of. L.R.
Professeur à l'Université de PARIS II ,
G. Of. O.N.M.
doyen honoraire de la Faculté de Droit
et des Sciences Economiques de Paris
BARRERE A., 0 f. L. H .
Professeur honoraire, doyen honoraire de
Of. O.N.M.
la Faculté de Droit et des Sciences Economiques
de Pa ris
JAMES, Of. L. H.
Professeur honoraire, ~embre de l'Institut
LASSEGUE 1
?rofesseur à l'Université de Paris l
RA YNA ti'D, 0 f.
L. H•
Professeur à l'Université de Paris II
ROUSSIER, Ch. L.H.
Professeur honoraire, an~ien doyen de la
Faculté de Droit d'Alger
HEBRAUD, Ch. L.H.
; Of. O.N.M.
Professeur honoraire
DAUVILLIER, Ch. L.H.
; Of. O.N.M.
Professeur honoraire
VIGREUX, Ch. L.H.
Of. O.N.M.
Professeur honoraire
OURLIAC, Of. L.H.
; Com. O.N.M.
Professeur honoraire - Membre de l'Institut
CLUSEAU, Ch. L.H.
; Ch. O.N.M.
Professeur honoraire
LETINIER, Ch. O.N.M.
Professeur honoraire
PALLARD, Ch. L.H.
; Ch. O.N.M.
Président honoraire
PROFESSEURS
Mtt ŒSPAX, Ch. O.N .M.
Professeur de Droit Privé
Président de l'Université
BOYER,
Professeur de Droit Civil
MERLE, Ch. O.N.M.
Professeur de Droit Criminel
MONTANE de la ROQUE,
Professeur de Droit Constitutionnel
MARTIN de la MOUTTE,
Professeur de Droit Civil
DUPEYROUX, Ch. O.N.M.
Professeur de Droit Adminis tra tif
VELLAS,
Professeur de Droit International Public
VINCENS, Ch. O.N.M.
Professeur de Législation Française des
Finances et de Science Financière
Vice-Président de l'Univ~rsité
VIDAL,
Professeur de Droit Privé
SICARD ,
Professeur de Droit Romain
SIORAT,
Professeur de Science Politique
GILLES,
Professeur d'Histoire du Droit
BARRERE J.
Professeur de Droit Privé
MAZERES,
Professeur de Droit Public
DEVILLEBICHOT,
Professeur de Sciences Economiques
SEMPE,
Professeur de Statistique et Méthodes
d'Observation
ROUJOU de BOU BEE ,
Professeur de L~gislation Comparée
MOURGEON,
Professeur de Droit Public
... / ...

---

- 2 -
MM. GOUR,
Professeur de Droit Public
Vice-Président de l'Université
DAGOT,
Professeur de Droit Privé
ISAAC,
Professeur de Droit Public
SALETTE,
Professeur de Sciences Economiques
MOLINS-YSAL,
Professeur de Sciences Economiques
POUMAREDE,
Professeur d'Histoire du Droit
Me lle BRUGUIERE,
Professeur d'Histoire du Droit
MM. SPI'rERI,
Professeur de Droit Commercial
MOLINIER,
Professeur de Droit d'Outre-Mer
CABANIS,
Professeur d'Histoire du Droit
SERLOOTEN,
Professeur de Droit Civil
BASTIER,
Professeur d'Histoire des Institutions
et des Faits Sociaux
ROUSSILLON,
Professeur de Droit Public
DUPEYRON,
Professeur de Droit Privé
TOMAS IN ,
Professeur de Procédure Civile
BAZERQUE,
Professeur d'Informatique
PISTRE ,
Professeur de Sciences de Gestion
CAPIAN,
Professeur àe Sciences Economiques
BOUYSSOU,
Professeur de Droit Public
PI~S,
Professeur de Mathématiques
~10RI~ ,
P~ofesseu~ de Sciences Economiques
ROZES,
Professeur de Droit Privé
PLA GNE T,
Professeur de Droit Public
LAFFONT,
Professeur de Sciences Economiques
CRAMPES,
Professeur de Sciences Economiques
MESTRE ,
Professeur de Droit Privé
COS'tA
Professeur dl Anglais
MATTEI
Professeur de Mathématiques
CHARGES de CONFERENCES
MM. LABAUV!E,
Chargé de Conférences de Sciences Economiques
Vice-Président de l'Université
LUDWIG,
Chargé de Conférences de Droit Public
ARLANDIS,
Chargé de Conférences de Sciences de Gestion
HERSANT,
Chargé de Conférences de Sciences Economiques
MARICHY,
Chargé de Conférences de Droit Public
LOUBET del BAYLE,
Chargé de Conférences de Science Politique
BAUX,
Chargé de Conférences de Sciences de Gestion
COULET,
Chargé de Conférences de Droit Public
TOURNIE,
Chargé de Conférences de Droit Public
AUBERT,
Chargé de Conférences de Sciences de Gestion
ALBOlfY,
Chargé de Conférences de Science Politique
MANDEVILLE ,
Chargé de Conférences de Droit Public
MlGUET,
Chargé de Conférences de Droit Privé
Me lle GUERRIERO,
Chargé de Conférences de Droit Privé
MM. SABIANI,
Chargé de Conférences de Droit Public
MARTIN P.M.
Chargé de Conférences de Droit Public
. .. / ...

---

- 3 -
MAITRES-ASSISTANTS
Mme SICARD,
aattre-Assistant d'Histoire du Droit
Mme CAMBOULlVES,
Maître-Assistant de Droit Privé
Mme HEUZE,
Ma ître-Assis tant de Ma théma tiques
M. LUG.\\N,
Maître-Assistant de Sociologie
Mme BRUGNES,
Mattre-Assistant de Sciences Economiques
MM. ARAGON,
Maître-Assistant de Mathématiques
DESMOUTIER,
Maître-Assistant de Sciences de Gestion
Melle ROUJOU de BOUBEE,
Maître-Assistant de Droit Privé
MM. BIANCONI,
Mattre-Assistant de Science Politique
ASSARAF,
Maître-Assistant de Sciences de Gestion
Mme ALCOUFFE,
Mattre-Assistant de Sciences de Gestion
M.
BEN,
Mattre-Assistant de Droit Public
Mme ERNST M.C.
Mattre-Ass is tant d'Anglais
MM. DIES,
Mattre-Assistant de Mathématiques
DUPUY ,
Mattre-Assistant de Sciences Economiques
CAMPAN,
MaItre-Assistant de Sciences Economiques
Mme CALMETTE,
Maître-Assistant de Sciences Economiques
Mme BONNES,
Maître-Assistant d'Anglais
MM. VILLEVIEILLE,
Maître-Assistant de Droit Public
COUZINET,
Maître-Assistant de Droit Public
LUNEL l
Maî tre-Assis tan t d'His toire du Dro~t
ER...'{ST C.
Maître-Assistant de Sciences de Gestion
PERAR...'{AU ,
Maître-Assistant de Sciences Economiques
MARIS,
Maître-Assistant de Sciences Economiques
Mme TIGNOL,
Mattre-Assistant d'Informatique
MM. LE POTTIER,
MaItre-Assistant de Sciences Economiques
GRELL lE RE ,
Maître-Assistant de Droit Privé
ALCOUFFE A.
Maître-Assistant de Sciences Economiques
LECHUGA,
Maître-Assistant de Sciences Economiques
Mme ROCA,
Maître-Assistant de Droit Privé
MM. MAZAN,
Maître-Assistant de Mathématiques
PARIENTE,
Maître-Assistant de Sciences de Gestion
Mme THERON M.
Maître-Assistant de Droit Public
MM. CA BANNE,
Maître-Assistant de Droit Public
ARSEGUEL,
Maître-Assistant de Droit Privé
BELLOC,
Maître-Assistant de Sciences Economiques
Mme CABANIS,
Maître-Assistant d'Histoire du Droit
MM. CROUZATIER,
Maître-Assistant de Droit Public
MARTIN M.
Maître-Assistant de Science Politique
LA VIALLE ,
Maître-Assistant de Droit Public
HENG VONG,
Maître-Assistant de Droit Public
MARTI J .P.
Maître-Assistant de Droit Privé
REGOURD ,
Maître-Assistant de Droit Public
FREIXAS,
Maître-Assistant de Sciences Economiques
BARBIERI,
Maître-Assistant de Droit Privé
GRL.'fAUD ,
Maître-Assistant de Sciences Economiques
Me lle o-IZEL,
Maître-Assistant de Sciences de Gestion
M.
PONCEYRI,
Maître-Assistant de Science Politique
Mme BARTHET.
Mattre-Assistant d'Informatique
MM. DEVEZE,
Maître-Assistant de Droit Privé
BOURGET "
Maître-Assistant d'Anglais
... / ...

---

- 4 -
~ERSONNEL RATTACHE
1. LLORENS,
Professeur de Droit Public, en poste à ORAN
~ERSONNEL DETACHE
i. GALAN,
Maître-Assistant de Gestion, détaché à ABIDJAN
o
o
o
fme ROULLAND,
Secrétaire Général de l'Université
o
o
0
PRESIDENT de la THESE
Suffragants :
L'Université n'entend pas approuver, ni désapprouver les opinions parti-
uliè res du cand ida t.

---

,
---
~
AVANT-PROPOS
Le. tJw.vaJ.! de. Jte.c.he/tc.he. pJté6 enté. daM c.ette. thè.~ e. a été. e. 66e.c.,Wé
LETI\\! l ER..
Je. ne. ~ a.uJr..a.i e.xptUme.Jt M ~ e.z to ute. ma Jte.c.o rr.n.a,U, ~ a.n.c.e. à. Mo Mie.uJt
LE POTTIER pouJt ~on aide. e.66ic.ac.e. tout au long de. ma Jte.c.he.Jtc.he. bibl.iogJta-
phique..
Que. ~oie.nt également Jteme.Jtué6 lu a.ubr.u membJtu du Ce.ntJte. de.
,'te.c.helLc.hu é.c.onomlquu et ~:t.et;t,iAtiquu et en paJr.tic.ul.ie.Jt MOMie.uJt ESCAITH
pouJt .~on c.onc.o~ l1JJrA de. la ~~ie. du donné.u.
En6..i.n, je tieM à. Jteme.Jtue.Jt la V.iJte.c.t.ion du Impô.t6 de. la.
Hau-te.-Galtonne. pouJt Mn ac.c.uUl.

---

INTRODUCTION
Dans les villes d'Amérique du Nord, l'espace urbain semble marqué
par la fuite vers la banlieue des ménages à revenus élevés, les localisations
centrales étant laissées aux ménages à revenus faibles et moyens.
Par contre, dans les villes européennes, essentiellement les villes la-
tines, on a plutôt tendance à observer le phénomène inverse : les ménages à
revenus élevés se concentrent davantage au centre, laissant la périphérie à
ceux dont les revenus sont moyens et faibles.
Plusieurs types d'arguments ont été avances pour expliquer ce phéno-
mene qui n'est pas sans conséquences socio-économiques très graves, notamment
la ségrégation en milieu urbain, le déclin des centres-villes (particulièrement en
Amérique du Nord), la nature dégressive des impôts fonciers, .••
Il convient tout d'abord de remarquer que les recherches sur l'organi-
sation urbaine interne sont nombreuses et variées et de multiples méthodes ont
été utilisées afin de représenter la réalité concrète des villes.
En s'inspirant des lois naturelles et de la lutte des espèces pour la sur-
vie et l'espace, l'approche historique montre que la structure urbaine est déter-
minée par certaines acti vi tés qui dominent le développement des villes, activi-
tés liées à la production et au commerce et qui se trouvent généralement au
centre de la ville.
Cependant, il faudra attendre les annees 20 pour voir apparaître les
premières théories morphologiques de la ville qui tirent leur inspiration des mo-
dèles biologiques de Darwin, notamment la théorie des zones concentriques for-
mulée par Burgess ("The growth of a city: an introduction to a research project"
1926) à propos de la ville de Chicago.
A partir d'études empiriques. Burgess dégage des régularités
au cen-

---

· .f
- 2 -
tre de la ville, lieu ou se situe le centre des affaires et vers lequel convergent
les axes de transport, l'on trouve aussi une zone de logements surpeuplés ou VI-
vent les immigrants récents et certaines minorités ethniques. Cette zone que
Burgess appelle "zone de transition" est ceinturée par des zones de plus en plus
aisées en direction de la périphérie (voir schéma 1).
Cette théorie tient compte d'éléments de dynamique économique en
ce sens que l'ascension sociale se traduit par une migration géographique. Les
groupes sociaux favorisés, représentant souvent la bourgeoisie ancienne, se fom:
construire de nouvelles résidences dans le cadre plus agréable de la périphérie
de la ville. Ils sont remplacés par des gens moins aisés dans leurs anciennes mai-
sons qui à leur tour cèdent la place à d'autres plus pauvres.
Celte théorie a essentiellement pour valeur d'avoir suscité depuis plus
d'un demi-siècle des critiques et des contre propositions parfois constructives.
On lui a reproché la rigidité irréaliste des limites de ses zones et leur homogé-
néité tout aussi arbitraire, ainsi que son inadaptation à la situation aussi bien
des villes pré-industrielles (où la classe dirigeante se pressait au centre histo-
rique près des organismes religieux et administratifs) que des cités modernes
(où les facteurs de répartition accumulés sont beaucoup plus complexes). On a
enfin et surtout beaucoup critiqué l'hypothèse selon laquelle chaque zone se dé-
plaçai t périphérique ment à la manière des ondes provoquées par une pierre je-
tée à l'eau.
D'autres auteurs ont essaye d'améliorer certaines imperfections de ce:-
te théorie, en particulier, Hoyt avec le modèle des secteurs (voir schéma 2).
Mais toutes ces théories se contentent de décrire la structure interne des villes,
ce qui leur a valu le qualificatif de modèles descriptifs.
Ce n'est qu'à partir des annees 60 qu'apparaissent les premiers modèles
explicatifs de localisation intra-urbaine, modèles qui pour la plupart, à l'aide de
techniques mathématiques souvent complexes, s'efforcent d'établir des relations
entre le revenu et la répartition des ménages à l'intérieur d'une ville. Et cela,
à partir essentiellement de deux types d'arguments.
Le premier type d'argument est basé sur la presence d'externalités ra-

---

- J -
La MOdale de Surgell dan. le cas de Chic.so
Centre
lone de transition
[
REsidence des travailleurs
lE.idenc. de.cla•••• plu. aiaie.
-----.' .....~
- ............
"- "'.
-- .........
\\
'"
\\
\\
\\
\\
\\.
1
I I
1
IV
1
/
Quartier
Inneubles
District
v
Sec~lon des bungalows

---

- 4
Le modèle de lloyt d.10S le cas de Chic<l[;'o
l - Centre des af fai res
1 - Industrie légère et entrepôts
) - lésidence des classes p;,\\uvres
4 - Usidence des classes moyennes
S - Résidence des classes aisées

---

ciales et sociales. li existe urie littérature très abondante sur ce point de vue
et le lecteur intéressé pourra consulter notre bibliographie, et notamment, no-
tre deuxième chapitre.
Le travail que nous présentons ici a été entrepris sous la direction du
Professeur G. LETINlER et s'inscrit dans le cadre plus vaste d'études menées
par le Centre de Recherches Economiques et Statistiques (c. R. E. S.) de
l'Université des Sciences Sociales de Toulouse sur la répartition intra urbaine
des revenus.
Il tire son inspiration du deuxième type d'arguments basé sur un modè-
le d'équilibre spatial, où le coût de déplacement, plus grand lorsqu'on s'éloigne
du centre de la ville, est compensé par une dépense moindre pour le sol. L'ana-
lyse de cene théorie constituera la première partie de ce travail.
La deuxième partie est le résultat de toute une serre de recherches et
de travaux entrepris par le C. R. E. S. sous la direction du Professeur G. LETINIER
afin d'appréhender la répartition intra-urbaine des revenus à Toulouse.

---

PREM 1 ERE
PART 1 E
REPARTITION
INTRA-URBAINE
DES
REVENUS
APPROCHE
DEDUCTWE
"Suppose that the disutility of a mile of cornrnuting is proportionate
to the wage rate, and that the factor of proportionality is no greater for high
than for low-incorne workers. Then, if the incorne elastieity of dernand for
housing exeeds 1, high-incorne workers live further frorn the city center than
do low-incorne workers. If the incorne elasticity is less than 1, high-incorne
workers neverthess live farther out, provided the dernand for housing is not
tao inelastie with respect to its own priee".
E. Mills
"Urban Economies"
Scott, Foresman, Glenview (1972)

---

S'attachant aux motivations plus qu'aux effets de détails observables,
les économistes se sont efforcés de construire une théorie foncière de portée
générale, inspirée plus ou moins de Von Thünen*(l826) qui, d'après des observa-
tions personnelles sur des situations concrètes, a tenté d'apprécier les valeurs
du sol rural.
Dans un premier chapitre, nous exposerons cette théorie et tenterons
de développer ses consequences en ce qUI concerne la répartition intra-urbaine
des revenus.
Dans un second chapitre, nous nous efforcerons de mettre en relief
les limites de cette théorie quant aux choix de décisions de localisation des
menages.
* VON THUNEN J. H.
1826
Der isolierte staat in Beziehung auf 01ationalokonomie
und Landwirtschaft ; Edition anglaise par Peter Hall
Von Thünen's isolated state, Glasgow, Pergamon
Press, 1966.

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CHAPITRE
1
LE
MODELE THEORIQUE
DE
BASE
==== = = ======= == = === ========= ===
Le point de départ de cette étude sera le modèle d'utilisation du sol
urbain présenté par Alonso dans "Localisation and Land use" qui est devenu un
classique en la matière. La démarche suivie est une démarche dite de "prix
d'enchère" et nous montrerons assez rapidement l'indétermination à laquelle
aboutit ce modèle quant à la répartition intra-urbaine des revenus.
Pour lever cette indétermination, des hypothèses supplémentaires, ap-
portees notamment par Muth (Cities and Housing) seront nécessaires. Cela cons-
tituera notre première section.
Dans la seconde, nous verrons un modèle fortement inspiré du premier,
mais dans le quel la fonction d'utilité sera spécifiée. Sous des hypothèses qui
sont celles de la concurrence parfaite, ce modèle donne, pour une ville circulai-
re, la répartition des revenus dans le cas de plusieurs classes de revenus.
Section 1
LE MODELE D'ALONSO ET SES DEVELOPPEMENTS
Le modèle de William Alonso est certainement le plus connu des modè-
les de formation des prix fonciers. Il s'intéresse à ce marché en zone rurale com-
me en zone urbaine, du point de vue du ménage comme de celui de l'entreprise.
Cependant, dans cette étude, nous nous intéresserons au marché foncier
uniquement en zone urbaine et seulement du point de vue des ménages.

---

-
.)
-
Paragraphe 1
Les hypothèses
Nous travaillerons sur une ville implantée dans une plaine isotrope et
monocentrique, c'est-à-dire qu'elle a un seul centre où sont concentrés les em-
plois et le commerce, le C.B.D. (Central Business District).
La distance au C.B.D. est la seule différenciation des sols qui sont prêts
a être utilisés et librement vendus ou achetés.
En outre, les acheteurs et les vendeurs ont une connaissance parfai te du
marché et ne sont pas gênés par des contraintes d'ordre social ou légal.
Enfin, le marché foncier est un marché de concurrence parfaite.
Paragraphe 2
L'équilibre du consommateur
On admet que la satisfaction Sj d'un individu j est déterminée par la
quantlte z d'un bien composite représentatif de l'ensemble de ses consommations
autres que le logement, par la quanti té k de terrain occupé et par la distance r
au C.B.D. de son lieu d'habitation, soit:
Sj = Sj
z, k, r )
(0
Si on appelle
y
= revenu de l'individu
P
= prix du bien z
z
P(r)
= prix unitaire du sol à la distance r du C.B.D.
T(r)
= coûts de transport à la distance r du C.B.D.
l'individu est soumis a la contrainte budgétaire sui vante
y
=
zp
+kP(r)+T(r)
z
Il s'agit pour l'indivldu de trouver la combinaIson de z, k et r qui maXI-

---

- 1U -
mise sa satisfaction compte tenu de son revenu.
Le lagrangien s'écrit
5j (z, k, r) - À [y - z Pz - k P (r) - T (r)]
ou ,\\ désigne le multiplicateur de Lagrange.
Les conditions du premier ordre de la maximisation sont
\\-Î\\P(r)=0
(3)
5
- À (k dP
_ dT)
= 0
r
dr
dr
y
= z P
+
k P (r)
+
T (r)
z
as
as
ou
Sz = az
\\
= ak
Des deux premières équations, on tire
Sz
Sk
( À =)
P
= P"Tr)
z
Finalement, du système d'équations ci-dessus, on tire la solution suivan-
te, qui donne la combinaison optimale de z, k, et r
:
y
= z Pz + k P (r) + T (r)
Sk
P(r)
=
Sz
p;-
( 4)
Sr
k dP
+
= (
dT ; /
Sz
dr
dr,l
Pz

---

- l l -
Cette solution indique d'une part, qu'à l'équilibre, le taux marginal de
substi tution entre k et z doit être égal au rapport de leurs prix qui, en l'occu-
rence, se trouvent être leurs coûts marginaux et, d'autre part, que le taux ma,-
ginal de substitution entre r et z doit être égal au rapport du coût marginal
d'un déplacement spatial vers la périphérie ( k ~~ + ~;) au coût marginal du
bien z.
Paragraphe 3
La courbe de prix d'indifférence
Sur un marché concurrentiel, chaque parcelle de terrain sera attribuée
a l'individu disposé à en offrir le prix le plus élevé. ,~ partir de là, on définit la
courbe de prix d'indifférence de logement de l'individu relative à une satisfaction
50 :
C'est la courbe, qui à chaque localisation r fait correspondre le prix P (r)! s
50 tel que, si l'individu localisé au point r paie ce prix pour une unité de terrain?
la satisfaction maximum qu'il peut obtenir est 50.
Une courbe de priX d'indifférence est donc relative à une satisfaction 50
et il existe un faisceau de courbes de prix d'indifférence pour chaque individu.
Soit Po le prix d'indifférence, qUi a la distance ro procure a l'individu
le ni veau de satisfaction 50.
Les équations (1) et (2) deviennent alors
50 = 5 ( z, k, ro )
(5)
y
= z Pz
+
k Po
+
T (Ro)
(6)
L'individu étant libre arbitre entre les quantités de z et k qui maximise-
ront sa satisfaction, le système d'équations ci-dessous permet de déterminer les
inconnues z, k et Po :

---

- 12 -
50
= 5 (z, k, r0)
y = z Pz
+ k Po
+ T (ro)
(7)
5k
Po
-
=
5z
Pz
Le prix Po est tel que si l'individu localisé à la distance ro pale ce priX,
sa satisfaction sera maximale et se situera au niveau 50.
Dans le système d'équations (7), en remplaçant ro par r, on aura un
système de trois équations à quatre inconnues, système dont on pourra tirer
P (r) définie comme le prix d'indifférence. P (r) est le prix que l'individu est
prêt à offrir à la distance r pour l'uni té de terrain.
Elle aura les propriétés suivantes
-
11 y a une seule courbe de prix d'indifférence, c'est-à-dire que pour une
localisation donnée il n'y aura qu'un seul prix d'indifférence.
En effet, supposons que pour une localisation ro quelconque, on ait un
autre prix d'indifférence
PI (ro) plus petit que Po, cela signifie, entre autres,
qu'il y a deux valeurs de la courbe de prix d'indifférence qui permettent d'at-
teindre le niveau de satisfaction 50.
On sait que:
50
= 5 (zo, ko, ro)
y
= z Pz
+
Po ko
+
T (ro)
Connaissant ro, PI et 50, on peut trouver z 1 et k 1 correspondants. Comme P (
Po
la contrainte de budget
y
=
z 1 Pz
+
PI k 1 + T (ro)
doit contenir au moins un point ou z 1 >-. zo et k 1 ~ ko. Comme 5k et 5z sont tous
les deux positifs et que ro = ete, on aura
5 ( z l' k l, ro)
> 5 (zo,ko,ro)
= 50

---

- 13 -
On en déduit qu'un second prix d'indifférence plus bas pour le même
niveau d'utilité est impossible.
En changeant le sens des inégalités, on montre tout aussi simplement
qu'un second prix plus élevé est également impossible.
De la démonstration ci-dessus, on tire la tres importante propriété sui-
vante: comme les courbes les plus basses signifient des prix plus bas, elles im-
pliquent une satisfaction plus grande.
Bien que la forme de cette courbe de prix d'indifférence ne puisse être
explicitement connue sa!lS Celle de la fonction d'utilité, nous pouvons préciser
sa pente:
50
= 5
(z, k, r )
y
= z Pz
+
k P(r)
+ T(r)
En différenciant, on obtient
(8)
d
=
= Pz d
+ P (r) dk + k
d P(r)
dr + T(r) dT'
(9)
y
0
z
dr
d r
En maintenant k constant et en combinant les équations (8) et (9), on obtient
Sr
5z
(l0)
qu'on peut reecrire comme suit
(lI)

---

- 14 -
Les deux éléments du 2e membre de cette équation sont négatifs, si
bien qu'ils contribuent tous les deux au caractère négatif de la pente de la cour-
be de prix d'indifférence. Le premier est négatif à cause de la désutilité de la
distance, le second représente les coûts de transport.
Rappelons que cette courbe de prix d'indifférence indique le prix qu'un
individu accepte de payer à différentes distances du centre, pour un même niveau
d'utilité.
Etant donné que la pente de la courbe de prix d'indifférence indique la
sensibilité des ménaj2;es par rapport au prix, on notera que si elle est plus forte
pour un individu i que pour un individu j, alors l'individu j se localisera plus loin
du centre, car plus sensible au prix.
Compte tenu de ce fait, analysons maintenant l'effet d'une variation du
revenu sur la pente de cette courbe.
Une augmentation de cette pente, à la suite d'une augmentation de reve-
nu par exemple, signifierait que les ménages à plus forts revenus auront tendance
à se rapporcher du C.B.D. dans la mesure où ils seront prêts à offrir davantage
pour les localisations centrales.
Sr
1
dT
Sz
k
dr
qu'on peut reecrire comme suit
dP
= l
[p Sr _ -.2.l]
dr
k
z Sz
dr
Etudions l'effet d'une variation de revenu sur la pente de cette courbe
=
fp ~ - -Si}1 J d [p ~ _dT] ~
_ z Sz
dr
+
k
z Sz
dr
/ay
= t [Pz d(~~) /dy -:r2~J
1
dk
Sr
_ dT
- k 2dy
Sz
dr _

---

- l5-
2
- l [p d (~~
T ]
dk
Sr
- k
z
) /d Y
a
Pz
-
ar a·y
-
2
k dy
Sz
dk
dT
+
2
k dy
dr
t r
Pz
Sr
z
~~) -a~iyJ- dk .Y..
o
d (
/ dy
dy
k
/y
k
Sz
dk
'i..
dT
+
dy
k
dr
i /y
Appelons el ['élasticité-revenu de la demande de terrain
dk
v
e 1 = dy
k
On obtient alors
1
el
dT
=
Pz
d ~r /dY- ~
+ -
(12)
k
.
z
y
Y
dr
On peut apporter quelques modifications à l'équation (12). Sous les hypo-
thèses retenues, les coûts de transport ne varient pas avec le revenu, d'où
a2T / a r Cl y = 0
Il reste
1
Sr /
e 1
Sr
el
dT
=
+
(3)
k
Pz
d
Sz
dy. -
y
Sz
Y dr
Le signe de l'équation (3) est ambigü : il dépend entre autres du taux
marginal de substitution entre la distance et le bien composite et de la variation
2
par rapport au revenu de ce taux. On ne peut se prononcer sur le signe de a P/Clray
et, par conséquent, sur la répartition intra-urbaine des revenus qui en résulte.
Des hypothèses supplémentaires sont nécessaires.

---

~- 16 -
Paragraphe 4
Les prolongements du modèle
Dans son modèle, Alonso ne discute pas des cas où le revenu affecterait
les coûts de transport. Cela peut se comprendre si on suppose le temps de loisir
uniquement fonction de la localisation et la demande de transport infiniment iné-
lastique par rapport au revenu et aux coûts de transport.
Ce point de vue sera remis en cause par Muth qui va supposer que les
coûts de transport de l'individu j sont non seulement fonction de la distance de
son lieu d'habitation au CB.D., mais aussi de son revenu. En plus, les coûts de
transport comprennent à la fois les coûts monétaires et la valeur du temps passé
en déplacements domicile-travail.
D'où
1
2
T
= T (r) + WT (r)
(14)
1
ou
T (r)
= coûts monétaires de transport
2
T (r)
= temps passé en déplacements
W
= taux de salaire de l'individu
Dès lors
d T
d Tl
dT2
(15)
- - - - - + W - -
d r
-
dr
dr
Cependant, Muth suppose que la distance entre le lieu de résidence et
le CB.D. n'affecte pas le niveau de satisfaction de l'individu, donc Sr = O.
Il faut noter que cette hypothèse qui est à l'inverse de celle d'Alonso
où la distance est source directe de désagrément avait été retenue déjà par
Becker dans un article paru en 1965 (The theory of allocation of time).
Avec ces hypothèses, l'équation (12) devient
=
(l6)
k
<l'r ay
y
ar

---

- , ,
Combinons les équations (15) et (16). Pour ce faire, réécrivons l'équa-
.
tion (16) comme suit:
aT
ar
aT/ar
= - - .
k Y
Intéressons-nous à la 2e partie du 2e membre de cette équation, soit
1
aT/ar
h:
=
k
Dans cette équation, il faut voir que
a2Tlaray
dT Jar
=
(17)
en utilisant l'équation (15)
On peut réécrire l'équation (17) comme suit
2
a T/ara y
1
aT/ar
ay
~
1
way
y 3- \\V
En appelant e2 l'élastici té-revenu du taux de salaire,
e
=
dW
y
2
ay w
a,2TId raiY
. aTI ar
y

---

- 18 -
2
Comme
iT
dT
~r a W
=
ar
2
2
e
aT la r
2
a Tlara y
=
aT l 'dr
I
2
y
aT
"T
- . W2-!-
a r
ar
Dès lors, l'équation (16) peut s'écrire
2
aTla r
WaT /ar
=
(13)
k y
1
2
a T
\\VaT
- - +
- -
a r
~r
L'équation (18) se laisse beaucoup plus facilement interpréter que
l'équation (13).
Trois cas peuvent se presenter
-
Si le revenu est issu entièrement de sources non salariales, en d'autres
termes, SI
\\V= 0, l'équation (18) devient:
aTI(j.;r
=
k Y
(19)
Comme les coûts de transport sont supposés croître avec la distance au
centre, si on suppose
el > 0, ce qui est vraisemblable, on en déduit que
'j-2 p
~ > 0
et que les menages a revenus élevés ont tendance a s'éloigner du
ar êl'Y
centre.
-
Le deuxième cas est à l'opposé du premier
c'est celui ou le revenu pre-
vient uniquement de sources salariales, c'est-à-dire
e2
=
Dans ce cas particulier, un cas limite est d'avoir
el = l : cela est
alors une condition suffisante pour que les ménages à revenus élevés s'éloignent
du centre. En effet, observons l'équation (13) :

---

- 1'::1 -
2
W aT far
.-
On voit que
e2 .< l
aTl
dT 2
- + w - -
ar
dr
Par consequent
l -
W ar 2far
e
> 0
2
et on en dédui t
ïIT l
'aT 2
--+w--
~r
'ar
2
que
a Pfar ay >0
Enfin, reste le cas général où le revenu provient à la fois de sources
salariales et de sources non salariales: on constate alors que le sIgne de l'équa-
tion (18) dépend des valeurs relatives des élasticités-revenus el et e2 et on ne
peut se prononcer.
Section II : SPECIFICATION DE LA FONCTION D'UTILITE
Plusieurs auteurs ont prolongé le modèle précédent en spécifiant la
fonction d'utilité qui a été représentée soit par une fonction monotone du type
soit par une fonction du type
S (z, k, r)
= za kb f(r) où a et b sont des paramètres.
Avec les fonctions choisies et sous les hypothèses faites dans la section
ci-dessus et que des auteurs comme Beckmann, Montesano (fonction du 1er type)

---

-
i. iJ
-
ou Casetti (fonction du 2e type) admettent de façon implicite ou explicite,
l'équation (12) se ramene a
iT
dT]
l
[ _
+
k
'dr ay
dr
Et comme dans les modèles presentes par ces auteurs, les coûts de trans-
port ne sont pas fonction du revenu, a 2T
disparait.
ar 'dy
Finalement, il ne reste que
el et ~ T /a'r qui sont posi tifs.
On en déduit que a,2 p
> 0
et que le revenu augmente avec la distance
ar ay
au centre.
Montesano va plus loin et discute du cas ou ~ T/Jr = 0, c'est-à-dire du
cas ou les coûts de transport ne dépendraient pas de la distance au centre (cette
hypothèse, trop forte à première vue ne l'est pourtant pas tellement. Nous re-
viendrons là-dessus au prochain chapitre). Il arrive à la conclusion qu'on ne peut
se prononcer sur la répartition intra-urbaine des revenus. On retrouve la même
conclusion chez Papageorgion qui a travaillé sur une ville à plusieurs centres et
où le prix du bien composite varierait selon les différents centres.
Dans cette deuxième section, nous discuterons d'un modèle théorique
de Casetti, qui en s'inspirant des modèles de Beckmann et de Montesano traite
de la répartition intra-urbaine des revenus dans le cas de plusieurs classes de
revenus.
Paragraphe
Hypothèses
La ville est monocentrique, isotrope et de forme circulaire. En dehors
du C.B.D., tous les terrains sont disponibles et appartiennent aux propriétaires
fonciers qui s'efforcent d'en tirer les plus hautes rentes possibles.
Les ménages ont des préférences identiques mais des revenus différents.

---

- Li -
s = s ( z, k, r) = z a kb f(r)
( 19)
ou a et b sont des paramètres et f (r) une fonction non spécifiée de la distance
au centre indiquant la préférence du ménage pour une localisation centrale ou
périphérique.
f (r) serait en fait une fonction monotone décroissante si on faisait l'hy-
pothèse que les ménages sont influencés par la distance de leur lieu d 'habi tation
à leur lieu de travail et l'agrément du centre.
Cependant, si on tient compte de la congestion du trafic et de la pollu-
tion qUi sont plus grandes au centre, f(r) serait croissante d'abord puis décrois-
sante ensuite.
Les menages de ta ville sont ciassés en n catégories de revenu Yi(i=l, 2, .. ,n)
avec Yi < Yi-'-l .
Pi est le nombre de ménages ayant le revenu Yi"
Chaque ménage de cette classe de revenu est soumis a la contrainte
Yi = Z Pz + P (r) k
+
Tr
(20)
Le ménage cherche a maximiser son utilité sous la contrainte de budget.
Définissons un état d'équilibre spatial tel qu'à cet équilibre, les ménages
ne soient pas incités à changer de localisation s'ils agissent en accord avec les
règles de comportement qui leur sont attribuées.
l - Aucun menage ne peut augmenter son niveau de satisfaction optimal en chan-
geant sa combinaison des biens z et k.
2 - La répartition de la valeur du sol est faite de manière qu'aucun proprietaire
foncier ne puisse augmenter sa rente en obligeant les ménages résidant sur son
sol à se relocaliser i.e qu'aucun ménage n'est
prêt à y payer davantage.
3 - Le marché est équilibré en ce sens que toute la surface disponible a l'inté-
rieur de la ville est occupée et tous les ménages sont logés.

---

- !.l. -
Paragraphe 2
la répartition intra-urbaine des revenus
Soit zf et kf les valeurs de z et de k qui rendent S maximum· pour une
valeur donnée de r pour un ménage de revenu Yi'
z~ et k~ sont les demandes de bien composi te et de quanti té de sol et
1
1
sont fonction de Pz' Yi et r. On les déterminera comme suit:
Yi
= z Pz
...
k P (r)
...
Tr
On forme le Lagrangien
L
;\\ (z Pz
- k P (r)
- Tr )
Les conditions du premier ordre sont
~l
a za-l
=
k b f (r)
- Pz
= 0
3z
al
b kb-l
za f(r)
=
- P{r) = 0
ak
~ = za kb af(r)
(..a..f.id. -i- T )
ar
ar
a r
y.
= z Pz
+
k P{r)
+
Tr
1
Des deux premières conditions, on tire
À =
=
qu'on peut écrire, apres simplifications de la manière suivante
b
k P{r)
=
z Pz
a

---

-
L)-
ou, ce qUI revient au même
z Pz
= ~ k P (r)
b
La dernière candi tian veut que
y.
=zP
+kP(r)+Tr
1
z
soit v.
Tr
= z Pz
+ k P (r)
- l
On en tire
ou
v
= a + b
(21 )
On peut écrire aussi
Yi
-
Tr
= z Pz
+ k P (r)
a
= b k P (r)
+
k P (r)
et on en tire
k?
b (Yi
-
Tr)
1
=
V
._p (r)
(22)
Soit
Sa (P, y., r) le niveau d'utilité optimal atteint par un ménage de
1
revenu y. résidant à la distance r du C.B. D. et confronté à une valeur P du sol.
1
Compte tenu des équations (21) et (22), l'équation (19) devient:
f(r)
(23)
D'après la première candi tian d'équilibre, aucun ménage ne peut augmen-
ter son niveau d'utilité en se relocalisant. Cela veut dire que le niveau d'utilité
optimal atteint par les ménages de revenu Yi est le même dans les endroits de
la ville où ces ménages se localisent.

---

-
Lit -
On peut donc écrire
s ( 0 kO • r)
cte
zi'
( 24)
l '
Dès lors, on peut tirer P de l'équation (23)
~] l/.b
( 25)
S·J
Cette équation (25) signifie que si les ménages de la classe i paient
une rente de niveau po (r)
à l'endroit où ils résident. ils ne seront pas incités
1
à changer de localisation.
En remplaçant P par po dans l'équation (22), on obtient
= b (Y i - Tr)
k i
v p
b (Yi - Tr)
=
[(~./ bb ( Yi - T
lib
v
l l il ]
Pz
v
S?1
v
S~
1-lib
= b ( Yi ~ Tr l [~~)a bb ( .Yi=...l!")v .Ur)
1
a
-1)
=
( YI -
r)
~'1- lIb
(~)
.
T
- ~+ 1r f (
Pz
v
s.
L. 1 J-
f (r)
lib
s?
( 26)
1
La deuxième condition d'équilibre veut que les propriétaires fonciers
ne puissent pas augmenter leurs rentes en obligeant les ménages à se relocali-
ser. Cela implique qu'à l'équilibre toute la terre résidentielle soit attribuée aux
ménages qui sont disposés à en payer le prix maximal.
Donc à l'équilibre, les ménages des classes i et j où j = i + 1 ne peu-
vent être localisés dans une même couronne limitée par des cercles de rayon

---

- 2) -
que SI
o
=
pO ( r)
= p j (r) pour r 1 ~ r ~ r 2
(27)
1
Si l'on se réfère à l'équation (25), cela voudrait dire que
(y. _ Tr )
v
v
(y. - Tr )
1
=
!
S~
(28)
]
0
Comme
SO
v. y .. S.•
sont des constantes. l'équation (28) peut être
, 1·
J.
!
)
résolue pour une valeur de r qu'on appelera ra.
Du reste, l'équation (28) Implique:
[ Yi
Tr S~
v. - Tr
Sol/v
1
= >
' 1
1
y.
Tr
-
y. - Tr
S?
S?l/v
]
J
J
J
ol/v
'V
En notant
S.
= S.
1
1
'V
'V
S. y.
- S. v·
0
1
1
1 ' 1
On obtient
r.
(29)
=
1
1
'V
'V
T ( S.
s. )
]
1
Cependant, l'équation (28) ne peut être satisfaite pour toutes les valeurs
de r comprises entre r 1 et r 2'
Cela signifie qu'à l'équilibre, on ne peut trouver
dans la même couronne des ménages de deux classes de revenu consécuti ves.
En fait, ces ménages résident dans des couronnes distinctes avec, cepen-
dant, une frontière commune dont la distance au centre est r?1
Comme r~ ne peut être négatif, cela amene a faire l'hypothèse sui van-
tes
""'
'V
S. y.
>
S. y.
J
1
1
J
(30)

---

Etant donné que les menages des classes i et j sont dans des couronnes
distinctes la question qui se pose alors est de savoir lesquels sont les plus pro-
ches du centre ?
Afin de répondre à cette question, prenons un tout petit intervalle dr
o
'
au voisinage de r. et voyons a quelle condition
1
o
0
0
0
P. (r.
+ dr)
< P. (r. + dr)
1
1
)
1
en d'autres termes, à quelle condition, les ménages de la classe j seront prêts a
payer plus cher que ceux de la classe i :
comme
(32)
(33)
nous allons admettre que
50
50.
.
>
J
1
Compte tenu de l'équation (25), l'équation (31) devient
[Yi-T(rf+dr)lv
[y i - T (rf + dr) Jv
<
s?
s?
1
)
Or, par définition de rf, on peut écrire
v
o
v
y.
- Tr?
y.
- Tr. )
1
1
)
1
=
(35)
s?
s?
1
)
qu'on peut reecrire
y.
- Tr?
y.
- Tr?
1
1
1
1
=
(36)
S.
S.
1
J
Dès lors, l'inégalité (34) devient
dr
dr
>
(37)
'V
'V
S.
S.
1
)

---

Cette inégalité (37) est vraie quel que soit dr >0. On peut donc dire
que ce sont les ménages de la classe de revenu y., c'est-à-dire les plus riches
J
qui sont dans la couronne la plus éloignée du centre, car ce sont eux qui sont
disposés à payer des rentes plus élevées pour cette zone.
Ce résultat a été obtenu pour deux classes consécutives j il est facile
d'étendre le raisonnement aux n classes de revenu et d'en déduire que la répar-
tition intra-urbaine est telle que ce sont les ménages de la classe de revenu YI
(les plus pauvres) qui sont les plus près du centre j puis viennent ceux de la
classe de revenu y2 et ainsi de sui te jusqu'à yn.
Notre but. dans ce chapitre était essentiellement de montrer les résul-
tats auxquels aboutit le modèle théorique.
11 s'agit maintenant de voir quelle importance on peut accorder à ces
résultats. Ce sera l'objet du prochain chapitre.

---

CHi\\PITRE
II
LES
LIMITES
DU
MODELE
THEORIQUE
=======================================
Au chapitre précédent, nous avons présenté le modèle d':\\lùnso et l'es-
sentiel des conclusions qu'on peut en tirer quant à la répartition intra-urbaine
des revenus.
\\Jous tenons cependant à preClser que nous n'avons pas te;:u compte de
la congestion du trafic dans l'analyse, phénomène dont l'importance est pourtar t
loin d'être négligeable.
En effet, les routes et les autoroutes sont caractérisées
par un seuil
d'encombrement au-delà duquel leur utilisation par un ménage affecte les autres
ménages: des effets pervers apparaissent alors (perte de temps, consommation
supplémentaire d'énergie, ... ).
Dans ce cas, le coût de transport dépendra non seulement de la distan-
ce a parcourir mais aussi de la densité du trafic à toute distance r du centre de
la ville.
Le coût de transport T pourrait s'écrire alors sous la forme sui vante
proposée par Vickrey et reprise par la plupart des auteurs qui se sont penchés
sur ce problème :
ou
T~ = coût de transport en l'absence de congestion
.;-
L (r) = largeur de la route à la distance r
M (r r = le nombre de migrants alternants a la distance r
M (r)
d
. ' d
f " ' 1
"
"'[l'i=) = ensite
u tra IC a a dIstance r
a >
0
....
b = élasticité constante des coûts de congestion par rapport a la densi té
du trafic,
b
~ l

---

~/ :: coût de transport par uni té de distance et uni té de transport
Le coût de transport T du menage localisé a la distance r du centre
est alors:
'2
T ::
I r
(r) dr
Nous n'avons pas tenu compte des effets de la congestion du trafic
dans l'analyse présentée, c'est-à-dire que nous avons supposé a :: 0, car cela
n'aurait fait que compliquer les calculs sans changer les résultats obtenus.
Dans ce chapitre, nous allons poursuivre l'an31yse en ten,ant de menre
en évidence les difficultés qui apparaissent dès qu'on essaie une vérification em-
pirique du modèle: ce sera l'objet de notre première section.
La seconde sera principalement consacrée à l'examen critique des hypo-
thèses admises implicitement ou explicitement dans le modèle et qui, nous le
verrons, s'écartent très souvent de la réalité.
Section 1 -
LA THEORIE ET L'EPREUVE DES FAITS
Le modèle d'Alonso est basé sur un modèle d'équilibre spatial ou le coût
de déplacement plus grand lorsqu'on s'éloigne du centre est compensé par une dé-
pense moindre pour le sol qui y est vu comme un bien acquis par le ménage qui
fai t l'enchère la plus élevée.
En fait, fe modèle repose sur la théorie des choix et propose une expli-
cation générale de la localisation des ménages.
Dans le paragraphe ci-dessous, nous allons mettre en évidence l'arbitra-
ge que fait le ménage entre la dépense consacrée au logement et celle consacree
au transport, arbitrage sur lequel repose en fait la décision de localisation du mé-
nage et, par conséquent, la répartition intra-urbame ces re\\enus.

---

-
)1)
-
Pour ce faire, nous sUivrons une démarche empruntee a Wheaton et re-
prise notamment par LapoInte.
Paragraphe l
Mise en évidence de l'importance des élasticités - revenus de la
demande de logement et des coûts de transport dans la réparti-
tion intra-urbaine des revenus
Il a été établi au chapitre precedent que la localisatJOn des revenus dé-
pendait de la sensibilité de la pente de la courbe de prix d'offre du ménage par
rapport au revenu. Nous rappelons Ici l'équation de la pente de cette courbe:
ap
EL
Sr
l
dr
= k
Sz
k
En prenant le prix du bien z comme numéraire, cette équation peut être
réécrite comme suit:
. dP
l
ar =
Sr
-
Sz
~
dr 1
k
[
_.
(1)
Dans cette équation, la quantité Sr représente le taux marginal de substi-
Sz
tution entre la distance et le bien composite: c'est en fait le coût psychologique
que supporte le ménage pour une unité de distance supplémentaire ..
al"
,
d' l
A '
ar represente le cout monetaire marginal du ep acement.
Wheaton appelle coût marginal total du déplacement (CM rD) la quantité
[~ ar]
Sz
:ilr
dP
l
Nous savons que ar < 0
et comme k > 0, on en déduit que

---

- 31 -
Sr
<
0
( 2)
Sz
Etudions maintenant l'impact d'une variation du revenu sur le coût mar-
ginal total du déplacement
a ( Sr
a..I)
Sz
ar
=
a y
a y
En remarquant que nous avons pose Pz
1
L •
)'équ2i:jon (i2) du c~apitre
précédent devient
d ( Sr )
e
32p
1
a2r
e
Sz
Sr
1
ar
ara y = k
ay
a r a y
y
Sz
y
3r
d(~-1I.)
a 2p
1
el
Sz
ar
Sr
~)
=
a r dY
k
ay
y
Sz
3r
Compte tenu de l'équation (3)
Sr
aT
a (- - -- )
1
Sz
ar
= ky
ô y
Sr
dT
(~ - a...l)
a
Sz
(jr
Sz
or
y
=
el
k y
d Y
Sr
-.aI
Sz
(jr
( Sr
- or )
y
a
Sz
Or
Posons
e3 =
a y
Sr
~2
Sz
ar
e
est l'élasticité-revenu du coût marginal total de déplacement. Rap-
3
pelons que el est l'élasticité-revenu de la demande de logement.
Avec ces notations, on peut enfin écrire:
2
d P
CMTD
=
( e
-
(4)
a
3
r Cly
ky

---

Avec cette dernière équation, les conclusions à tirer sont bien nettes:
SI
l'élasticité-revenu du coût marginal total de déplacement est plus grande que
l'élasticité-revenu de la demande de logement, en d'autres termes, si le ménage
es~ plus sensible à la distance qu'à la surface, o2p sera négatif. signifiant ainsi
d r ay
qu'une augmentation de revenu l'amènera à se rapprocher du centre, car il sera
prêt à offrir davantage pour les localisations de cette zone.
Par contre, si la surface l'emporte sur la distance, nous avons el> e 3
2 l
"
,
et G P dr dY > o. Il faudra s'attendre dans ce cas a trouver les menages a reve-
nus élevés à la périphérie, laissant alors le centre à ceux à revenus faibles et
moyens.
-\\vec cette équation (!.L), le ofoblème de la :éoè.:!ition intra-urbaine des
revenus se ramène à une comparaison des élastlcltés-re\\ enus
el et e 3"
Paragraphe 2
Les élasticités-revenus du coût de déplacement et de la demande
de logement
Wheaton a présenté une étude empirique des élastici tés-revenus el et
e . Pour ce faire, il a choisi un échantillon de quelques milliers de ménages de
3
la baie de San Francisco qu'il a classés d'abord sui vant le revenu, puis l'âge, la
race, la taille et la profession du chef de ménage.
Afin de pouvoir comparer les élasticités-revenus el et e 3' il a supposé
que la fonction d'utilité était de type CES (constant elasticity of substitution).
Ainsi, si SO est le niveau de satisfaction d'équilibre, on peut '
.
ecnre
-a
-a
-a.,
SO
z-a o
8 t(r)
T
8 k
k
L: 8·h.
( 5)
= -
-
-
-
, ,
T
k
;
Ici, t (r) represente le temps passe en déplacement en fonction de r et

---

non les coûts monétaires de transport.
50 dépend aUSSI, non seulement de la surface occupee k, mais aussi, des
attributs du logement hi. Enfin,CL-r' 6 ,
, i\\, o.i' Si'
T
::L k
0.0
représentent les paramètres de la fOnCtlOn d'utilité.
D'autre part, si on appelle R la part du budget affectée au logement
et T ( r ) celle affectée au transport, on a :
y =
R
T ( r )
z
(6)
Des equatlOns (5) et (6), on tiie
l
~, -'J..]
R
l
= y - T(r) - C-- So
.:J.n .
. l
i
Wheaton arrive à estimer alors les coefficients ':):T,I3T,Ctk,3k,CLi,3i'Cto
et le ni veau de satisfaction 50.
De cette étude, on tire les conclusions suivantes
En ce qui concerne le déplacement, on constate que le coût psychologi-
que de la distance (la valeur du temps de transport) est très élastique par rapport
au revenu, variant de 3 à 5 des ménages à bas revenus aux ménages à forts reve-
nus.
Cependant, malgré cette forte élasticité-revenu, la valeur accordée au
temps de transport est faible en termes absolus, de l'ordre de 5 % du taux de
salaire pour les ménages à faibles revenus et de 12 % pour les ménages à reve-
nus élevés.
Ce résultat confirme celui obtenu par Mc Fadden "The measurement of
urban tra vel demand". Mais le résul ta t le plus intéressant est que le coût total
de transport (coûts psychologiques.;. coûts monétaires) n'est pas très élastique
par rapport au revenu, l 'élastici té étant de l'ordre de 0.25 quelle que soit la
classe de revenu du ménage.

---

-
Y+
-
Notons enfin, que pour une classe de revenu donnée, les caractéristiques
sociales semblent jouer un rôle important. .Ainsi, les jeunes et les vieux ont un
coût de déplacement plus important, leur désutiJi té de la distance est plus gran-
de que celle des autres catégories de ménage.
Par contre, assez curieusement, la taille du menage Joue de façon moins
significati ve.
Concernant l'élasticité-revenu de la demande de logement, la littérature
est tres fournie et le moins que l'on puisse dire est que son estImation soulève
un certain nombre de problèmes tant théoriques que pratiqLCes.
En effet. les premieres est~mat!ons remonterl1: à E:>gel et Schwabe et
sont inférieures à 1. Ce résul tat sera confirmé beaucoup plus tard par Houthaker
(1961), Leser (1961) et Lee (1964). Mais dans les études de Grebler (1952), Muth
(1960) et Reid (1962), l'estimation du coefficient était significativement supérieu-
re à 1.
Cependant, dans les études les plus récentes ayant trait à ce problème
et faites par Byatt, Holmans et Laidler (1972), l'élasticité-revenu de la demande
de logement est comprise entre 0.7 et 0.9.
En 1973, Wilkinson obtenait un résultat de l'ordre de 0.7 confirmé par
Vaugh en 1976.
Le débat sur la question a essentiellement été centré sur des problèmes
d'ordre statistiques de définition des va"iables de spécification des équations et
de la technique d'analyse.
Ainsi, fallait-il d'abord se mettre d'accord sur ce qu'on incluait ou non
dans le mot logement : le remboursement des hypothèques, les valeurs du marché,
les différents taux d'intérêt, les rentes (incluant ou non les aménagements) sont
intervenus de façon di verse dans la mesure de la dépense pour le logement.
La définition du revenu a suscité elle-aussi un vif intérêt: fallait-il
le prendre brut ou net d'impôts? Fallait-il tenir compte ou non de ses compo-
santes transitoires? Certains auteurs comme De Leeuw ont songé à inclure dans
le revenu la rente des maisons occupées par leur propriétaire.

---

-
j )
-
A cela, Ji faut ajouter que la portée des enquêtes varie des quartiers
et villes aux pays, de groupes homogènes à tous les consommateurs, de données
pour une seule année à des séries longues.
D'un autre côté, Lee insiste sur les variables socio-démographiques dont
la prise en compte réduit les chances de surestimation de l'élasticité-revenu de
la demande de logement.
Il y a aussi plusieurs raisons qui peuvent expliquer les différents résul-
tats obtenus.
Cependant, ce qui nous intéresse en fait, c'est de comparer les élastici-
..
tés-revenus du coût de déplacement et de la demande de logement à l'équilibre.
ou du moins, pour un niveau de satisfaction constant. La seuie étude dont nous
disoosons dans ce sens est celle de Wheaton d'où il ,es sort eue i'élasticité e,
,
.
1
est de l'ordre de 0.25, ce qui signifie en fait que la demanae de logement est
très peu élastique par rapport au revenu.
Ajoutons qu'il ressort aussi de cette étude l'importance des variables
socio-démographiques comme l'âge et la taille du ménage qui jouent de façon
significative, confirmant ainsi les résultats de Lee: les jeunes ont les pentes
les plus fortes, on devrait donc les trouver au centre.
Cela s'expliquerait du fait que le déplacement leur coûte cher et qu'ils
n'accordent pas beaucoup d'importance à la surface.
Les ménages riches, les vieilles familles dont les enfants ont grandi et
sont partis et les grandes familles ont les pentes les plus faibles et devraient se
localiser à la périphérie.
En fin de compte, les conclusions de l'étude de Wheaton sont que les
élasticités
el et
e
ne sont pas significativement différentes, ce qui voudrait
3
dire que le modèle n'explique pas ou du moins très peu la répartition intra-
urbaine des revenus. En d'autres termes, la localisation intra-urbaine des ména-
ges ne serai t pas fonction du revenu des ménages.
Une telle conclusion ne peut être retenue, cependant, car elle ne corres-
pond pas à l'observation de la réalité. Il ne faut pas oublier que pour ses estima-

---

'1.. . .
~.•- ..
-
JU
-
.:...-~\\
tions;Wheaton a suppose que la fonction d'utilité était de type CES, ce qui est
fort discutable.
D'autre part, Vaughn a montré que l'utilisation du revenu courant intro-
duisait un biais vers le bas dans l'estimation de j'élasticité-revenu de la demande
de logement tout en créant un problème d'erreur sur la variable dans l'équation
de la demande. Or, dans l'estimation du niveau d'utilité SO, Wheaton a utilisé
une fonction du revenu courant.
Enfin, on est à même de se demander si l'échantillon choisi est repre-
sentatif de la population, car ne contenant pas certaines catégories raciales.
Section II
REMARQUES CRITIQUES
Dans le modèle de Muth, la distance n'est pas source directe de désagré-
ment
S
=
S ( z, k )
Par contre, Muth avait pris soin de scinder la fonction des coûts de
2
transport T en deux fonctions Tl et T , où seule la fonction ~ intervient dans
la contrainte de budget
T (r)
=
+
--_._----
·-1
ou
T
= coûts monétaires de transport
2
T
= temps passe en déplacement
W
taux de salaire
2
aT
=
+ W - -
dr

---

- 37 -
Le coût marginal de déplacement comprend ainsi deux composantes
- une composante monétaire
- une composante qui représente le coût psychologique du déplacement
2
3T
W -
ar
Cette deuxième composante se retrouve chez Alonso sous la forme
Sr ou elle représente la désutilité marginale du déplacement.
Sz
Ainsi, le coût marginal de transport chez \\Iuth est à comparer avec ce
que Wheaton a appelé le coût marginal total du déplacement et qui a pour ex-
pression
Sr
dT
CMTD
=
Sz
ar
Dès lors, l'équation (4) de la section ci-dessus
s'apparente fort a l'équation (18) du premier chapitre
2
3T
a2
w -
p
ê T/d r
e
ar
e
)
ê r ay =
ky
1
2
2
aTl
aT
ar + w-
ar
2
ou
= élasticité-revenu du taux de salaire et T = Tl + W T
Paragraphe l
Appréciation des résultats
Il ressort des différentes études empiriques portant sur l'estimation de
l'élastici té-revenu du coût total de transport, une faible valeur de celle-ci, no-
tamment dans les études de Mc Fadden et de Wheaton.

---

Or, le coût psychologique de la distance (la valeur du temps perdu en
déplacement) est très élastique par rapport au revenu, de l'ordre de 3 à 5 sui-
vant la richesse du ménage.
On pourrait alors être tenté de croire que les coûts monétaires de trans-
port sont eux aussi très élastiques par rapport au revenu, malS en sens inverse,
de sorte à contrebalancer les premiers.
Mais ce serait s'écarter de la réalité et aussi de l'hypothèse selon laquel-
le les coûts de transports augmentent avec le revenu.
Remarquons d'abord que les échantillons de Wheaton et de 'vic Fadden
ont ete tirés de la Baie de San Francisco, ville où la congestion du trafic est fai-
ble et. par conséquent, les déplacements rapides. Ensuite, on constate que malgré
la forte élasticité-revenu du coût psychologique de la distance, sa valeur relative
est faible (de l'ordre de 5 à 12 % du taux de salaire suivant la classe de revenu
du ménage).
Dès lors qu'on retient cette explication, on peut s'attendre à une forte
élasticité-revenu du coût total de transport dans une ville où la congestion du
trafic serait plus forte et donc le temps perdu en déplacement plus grand. En
effet, dans ce cas, le coût psychologique l'emporterait alors sur le coût monétai-
re. Et cela aurait pour conséquence que la distance l'emporte sur le sol (e > el)
3
et on aurait: a2P/dr ay, les riches préfèreront les localisations centrales. C'est
le cas des villes européennes.
D'autre part, on remarque aussi le rôle non négligeable des caractéristi-
ques sociales dans la décision de localisation des ménages. Ainsi, des facteurs
comme l'âge du chef de ménage, le nombre d'enfants, les discriminations autres
que celles provoquées par le revenu (Rose-Ackerman, Lapointe, .•• ) doivent être
pris en compte et entrer dans l'analyse.
Paragraphe 2
Appréciation des hypothèses
La schématisation de la ville telle que nous la propose le modèle théori-
que appelle certaines remarques et commentaires; elle admet un certain nombre

---

- 39-
d 'hypothèses sur le fonctionnement du marché foncier, le nombre et le compor-
tement des agents en présence, le degré d'information dont ils disposent, les
caractéristiques du bien sol. Nous allons commencer par ces dernieres.
La ville est supposée si tuée dans une plaine isotrope : on ignore ainsi
certaines caractéristiques du sol qui affectent très souvent les décisions de lo-
calisation des ménages.
En effet, ceux-ci ne choisissent pas toujours leur localisation uniquement
en fonction de critères du marché, mais aussi, en réponse à des valeurs sociales:
tel quartier sera choisi, par exemple, parce que répondant mieux à l'appartenan-
ce sociale du ménage. L'importance de certains facteurs psycho-sociologiques a
été mise en évidence par Halbwachs et par Firey selon lequel "la coutume, les
attitudes morales e: les tabous, les valeurs ancrées dans la soetete exercent une
influence directe sur le mode d'utilisation du sol".
Outre ces facteurs sociologiques, la distance au centre n'est pas le seul
facteur de différenciation des sols: les caractéristiques physiques (terrains boi-
sés ou nus, terrains présentant ou non un relief, nature du sol, hydrologie, ... )
sont des facteurs qui jouent parfois de façon déterminante dans le choix du lieu
de résidence du ménage.
On notera aussi que les décisions de localisation sont prises uniquement
en fonction d'un lieu donné, le C.B. O., où sont supposés concentrés tous les em-
plois, ce qui est parfois loin de la réalité.
Signalons enfin que les conditions qui garantissent la réalisation d'un
état de concurrence parfaite ne sont généralement pas vérifiées. L'examen du
marché foncier réel montre en effet que le nombre des agents en présence est
très souvent limité (Renard Vincent).
Sur ce marché, l'information des agents est loin d'être parfaite, surtout
en matière de prix. En fait, un certain nombre de propriétaires sont peu au cou-
Jal"lt des prix pratiqué..s eJ cela 5e comprend dans la mesure où ü n'existe pas a
ce sujet un système de publicité large, clair
et facile à consulter.
Mais plus encore que l'information relative aux prix, c'est la connaissan-
ce des offres et des demandes qui fait le plus largement défaut. En l'absence d'un
marché sur lequel se rencontreraient directement vendeurs et acheteurs, les inter-
médiaires jouent un rôle essentiel.

---

DEUXIEME
PARTIE
REPARTITION
INTRA-URBAINE
DES
REVENUS
APPROCHE
INDUCTIVE

---

La première partie de ce travail a été consacree essentiellement a
l'étude des modèles théoriques de la localisation des ménages.
Sous des hypothèses qui ont été analysées et appréciées, divers résul-
tats ont été obtenus.
La démarche que nous allons sUivre dans cette seconde partie sera a
l'inverse de la première. Il s'agira plus de construire sous des hypothèses plus
ou moins réalistes des modèles, mais d'observer la réalité dans un premier
temps.
Sous la direction du Professeur LETINIER, le CRES a essayé d'appré-
hender la répartition intra-urbaine des revenus à Toulouse. Une fois la réalité
dégagée, il a mis au point un modèle pour expliquer cette réalité que l'on ob-
serve tous les jours. Cela consti tuer a notre pre mier chapi tre.
Le second sera consacré à l'estimation de ce modèle et nous verrons
alors dans quelle mesure il rend plus ou moins compte de la réalité observée.

---

CHAPITRE
1
LE
MODELE
DE
G.
LETIN 1ER
==== = === ============= = ======
Le travail présenté dans les pages suivantes s'insère dans le cadre plus
vaste des études sur la répartition géographique des revenus des ménages dans
la zone de peuplement urbain de Toulouse entreprises pôr le CRE S.
Section 1
L'OBJET DU MODELE
Le document statistique n° 1 507 M, fourni par l' Administration des
Finances, donne pour chaque émission de rôle et par circonscription géographi-
que, le montant total des revenus imposables ainsi que la décomposition de ce
revenu global en revenus de différentes catégories et le nombre de contribuables
imposés au titre de ces différents types de revenus.
Dans un premier temps, le CRES, à l'aide de ce document, a cherché
les facteurs qui motivent les ménages, suivant le niveau et la nature de leurs re-
venus, dans le choix de leur lieu de résidence.
Notons aussi que la Direction des Impôts de la Haute-Garonne a commu-
niqué, pour chaque circonscription, le nombre de contribuables soumis à la taxe
d'habitation, y compris les exonérés.

---

- 43-
Ces renseignements ont permis de calculer pour chacune des circonscrip-
tions
.
,
1 -
Le revenu global moyen par contribuable Impose a l'impôt sur le revenu.
.
,
2 -
Le revenu moyen par contribuable Impose au ti tre des traitements et
salaires.
.
,
3 -
Le revenu moyen par contribuable Impose au titre des
- pensions et rentes vlageres,
- bénéfices agricoles,
- bénéfices industriels et commerciaux (BIC),
- bénéfices non commerciaux (B\\iC),
- capl taux mobiliers,
- capitaux fonCiers.
4 -
Le rapport du nombre de contribuables imposés à l'impôt sur le revenu
au nombre de ménages ainsi que les rapports du nombre de contribuables imposés
a l'impôt sur le revenu au nombre de contribuables suivants:
·
,
contribuables Imposes au ti tre des traitements et salaires,
·
,
contribuables Imposes au ti tre des pensions et rentes viagères,
·
,
contribuables Imposes au ti tre des bénéfices agricoles,
·
,
contribuables Imposes au ti tre des BIC,
·
,
contribuables Imposes au titre des BNC,
·
,
contribuables Imposes au ti tre des capitaux mobiliers,
·
,
contribuables lmposes au ti tre des revenus fonc iers.
Paragraphe T:
Le découpage de Toulouse en circonscriptions géographiques
et les données retenues
La combinaison des découpages par secteur d'assiette et par perception
de Toulouse a permis un découpage en 31 secteurs géographiques correspondant

---

-
44 -
a un ou plusieurs quartiers fonciers suivants
(voir tableau et cartes, pages
45 a 64)
C'est sur ces 31 secteurs que portera tout d'abord la recherche des
facteurs déterminant le choix de leur quartier par les ménages suivant le ni veau
de leur revenu.
Parmi les renseignements fournis par le document statistique 1 507 p.-\\
de l'Administration des Finances, seules certaines rubriques ont été retenues.
Pour chaque secteur géographique, on a considéré le nombre de contribuables
imposés au titre des catégories de revenus suivants:
-
traitements et salaires
-
pensions et rentes viagères
f~rfait
- bénéfices agricoles
{ reel
forfait
-
BIC
r~el simplifié
{ reel normal
évaluation administrative
- BNC
{ déclaration contrôlée
-
revenus des capitaux mobiliers
-
revenus fonciers
ainsi que les montants de ces mêmes catégories de revenus.
A partir des données initiales, seize variables ont été retenues
1 -
Revenu global moyen
2 - Nombre de contribuables/nombre de menages
3 - Traitements et salaires moyens
4
Nombre de contribuables imposés au titre des traitements et salai-
res/nom bre total de con tr ibuables

---

-
'+.J -
5
Pensions et rentés viagères
6 -
Nombre de contribuables imposés au titre des pensions et rentes
viagères/nor:nbre total de contribuables
7 -
Bénéfices agricoles moyens
8 -
Nombre de contribuables imposés au titre de bénéfices agricoles/
nombre total de contribuables
9 -
BIC moyens
10 -
Nombre de contribuables imposés au titre des BIC/nombre total
de contribuables
Il -
B:\\C moyens
12
0:ombre de cOnTribuables imposés au titre des BNC/nombre total
de contribuables
13 -
Montan t moyen des capi taux mobil iers
14
Nombre de contribuables imposés au titre des revenus des capitaux
mobiliers/nombre total de contribuables
15 -
Montant moyen des revenus fonciers
16 -
Nombre de contribuables imposés au titre des revenus fonciers/
nombre total de contribuables.
Les valeurs prises par ces variables ont été regroupées dans le tableau
"Caractéristiques diverses des secteurs urbains" (page suivante).
Le lecteur qui s'intéresse à ces variables, à leur définition ainsi qu'à
la manière dont elles ont été déterminées pourra consulter "Répartition geogra-
phie des revenus de Toulouse" de Melle Trang, CRES, 1979.

---

CA1ACTll18TIQU1S ~lVll8tl DII IICflUll U.IAIH'
fOULOUII 1975
~II
6
7
• 9 10 Il 12 Il 14 l' 16 17 Il 19' 20' 11 22 21 Z4 1S 26 21 28 29 10 JI
2
3
4
S
tv.riobh
- -
1
n,o 1,2,4 lS.S S6.6 JS,4 lS,4 lS,4 )7 .J 11,7 11,4 )S.6 1l, ' )),V )S,J J7.6 41,9 40,0 )4.S 41,4 19,J J6,S 12,9 11.4 41,2 H,8 11,1 )2 ,1 SO,2 42,2 19,1 40,1
2
C,H( 0,61 0,12 0,76 0,15 0,17 O.IS 0,74 0,82 0,75 0,84 0,61 0,14 0,91 0.78 0,81 0,89 0,91 0,98 0,84 O,6~ O,7S 0,11 0,74 0,81 0,76 O,l~ 0,71 0,73 0,59 0,"
1
42.0 4',9 44,6 51,9 44,1 45,2 46.1 47,0 SI.4 40,S U.6 40,!! 41,9 46,0 46,1 )l,Cl SO,2 4S,5 S4,~ 48,9 41,8 41,8 44,2 51,1 46,1 42,9 41,S 50,2 49,4 4l ,4 45,5
4
. 0,74 0,66 0.77 0,60 0.76 0.7S O,71 O.H 0,14 0,79 0,76 0,68 0.11 0.8) 0,7) 0,71 0,14 0,85 0,112 O,H. o,n 0.71 0.81 U.14 0,78 0,88 0,91 0.69 0,12 0,70 O,61!
5
21,6 24.8 ZI.4 19.5 20.5 Z2,O 20.0 23.7 22,1 19,8 22,5 22,1 17.0 20.8 21,5 25,5 '26,1 19,6 26,0 2:\\,1 21,6 19,8 19,9 21,0 22,2 Il,4 17,S 24,2 24,9 21,6 2),1
6
0,11 0,15 0,21 0,16 0,26 0.10 0,29 0.10 O,Z4 0,27 0.10 O.l~ 0,22 0,25 0, )] 0, lI, O,li) 0,22 0,24 0,211 0,12 0,26 o,n O.ZI 0,21 0,19 0,16 0.)2 0,11 0,29 0, ))
7
S,I
9.7
1.7
7.6
7.2
7.9 10.0
7.4 10.4
1,7 Il,I 12,1 Il,6 10,8 12,0 15,7 21,1 12,1
1,8 12,6 15,0 Il ,6 10.1
6,8
6,1
8,0
7,J 14,4
9,9 26,5 15,3
1
D,DI 0,02 0,02 0,01 0,02 0,01 D,al 0,01 D,DI D,DI 0,01 0,01 D,DI, D,al 0,01 0,02 0,01 0,00 0,01 0,01 D,DI D,DO D,DO 0,02 0,01 0,00 D,DO D,a) 0,02 0,02 0,02
9
11,6 16,6 44,6 47.6 17,9 17,1 4Z.9 16,8 )).4 16,0 41.4 29,2 46,0 40,~ 17,6 18,4 17 ,5 18,9 47,1 38,6 H,5 17,6 19,1 44,0 16,6 16,2 1,2,1 40,4 ",) 10,b 14,1
10
0,09 0,11 0,09 0.181),12 0,09 0.11 0,08 O,OS 0,07 0,08 0,01 0,11 0,06 0,09 0,08 0,07 0,01 0,07 0,08 D,ID 0,09 0,06 D,Il D,Dl D,al, 0,04 0, Il 0,08 0,11 0,12
Il
49,6 79.4 50.2 77,4Iso.2 59,0 41.7 48,5 45,8 52,7 47.2 S9.,8 0.0 46,4 77,4 64,9 69,7 49,5 59, S 64,S 73,) SI.7 50,1 87.1 51,5 43,2 41,4 79, ) 64,4 81,8 16,4
12
D,DI 0,06 0,02 O,IS 0,01 0,02 D,DI 0,04 D,Dl <>,02 0,02 0,03 0,00 0,02 0.01 D,OS 0,01 0,02 0,04 0,04 0,04 0,0) 0,02 0,04 0,0) 0,02 0,02 D,II D,Cil 0,08 0,06
Il
1.1
6.5
2.'
'.8
2.0
3,2
3,2
2.t 2,4 ~.I 2.5 1,4 6.1 2.2 3.0 6,4 1,2 1,8 l,8 2,9 1,8 2,1 2.1 5.5 2,2 2,1 1,9 I,S S,l 1,4 6,S
,4
0.14 0.Z4 O,Il &,34 0'.11 0.12 0.11 0.17 0.1l D,ID D,II, 0.16 0,15 0,11 0,18 0,23 0,19 0.09 0.17 0,15 0.19 D,II 0,09 0,11 0,14 0,07 0.06 0.28 0,22 0,22 0,22
.
IS
',0 Il.7
9,2 14.4
'.5
1,7
9.1
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9.0
7.6 10,5
6.9
6.9
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7,6
9.S
9,0
6,8 10.2
9,2
9,6
Il,0
7.7 12,2
7,8
6,1
6,7 14. 1 Il,1 10,1 Il,7
•
16
0.10 0.20 0.11 0,2' 0,14 0.11 O,IS 0.13 0,10 0,08 0,11 0,11 0, Il 0,09' O,IS 0.19 0.15 0,07 O,Il D,II, 0,14 0.10 0,011 0.16 0.11 0,05 0,04 0,20 0,17 0,15 0.11

---

LE
DECOUPAGE
DE TOULOUSE
EN
31
CIRCONSCRIPTIONS GEOGRAPHIQUES
Secteurs
Quartiers
fonciers
Secteur
Per-ception
d'assiette l---1
1
Raynal
027
15
1
1
2
Bayard, Châlets-Concorde, St Sernin
027
1
12
1
3
1
Lalande, Minimes, Raisin
027
13
4
Victor Hugo
027
14
1
5
Croix Daurade
027
!
14 bis
6
i
Ponts jumeaux, Minimes-Bourbaki, Ginestous
027
Est
1
9
,
7
Ginestous ouest
027
i
Il bis
8
St Agne
028
3 bis
9
Lespinet, RangueiI, Pech David
028
4
10
Empalot, Port St Sauveur
028
4 bis
Il
Bonnefoy, La Roseraie
028
15
12
Marengo sud
028
16
13
Montredon
028
17
14
Soupetard, Marengo nord
028
17 bis
15
Guïlhéméry
029
18
16
Côte Pavée
028
19
17
Pont des Demoiselles
028
20
18
Château de l'Hers
028
21
19
Montaudran
028
21 bis
20
Amidonniers
029
9
21
-_."
La Bourse, Lascrosses
029
10
22
St Cyprien Nord
029
5
23
Cépière-Polygone, St Martin du Touch,
029
6
Casselardit
24
Lardenne, St Simon
029
7
25
St Cyprien sud, Le Mirail Est
029
22
26
Le Mirail ouest
029
23
1

---

}
27
Lafourguette
029
24
28
Alsace, Tounis, St Etienne
030
1
29
St Michel, Le Busca
030
2
30
Les Carmes
030
3
31
St Aubin, St Georges
030
16

---

.
TOULOUSE
- LES QUARTIERS FONCIERS
====---_:=-====

---

RF.VENU GLOBAL MOYEN PAR CONTRIBUAB!:-~
= .:: ===== = .:: = = ==~ =.:: = ====-= ==~ = .:: .:: = === = = .:: --
TOULOUSE
1976
-------------
0
0
0
0
5
0
Q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
•
0
0
0
o
0
0
o
o
o
o
23
o
o
o
o
27
tlUI en mill iers de
francs
~ 49,S ::. R < 57,0
~ 35,55: R < 38,0
- 42,0~R( 49,5
~ 33,0 ~ R < 35,5
§
38,0 ~R< 42,0
c=J 31,O~ R<33.0

---

RAPPORT
NOMBRE DE CONTRIBUABLES
en %
NOMBRE DE MENAGES
TOULOUSE 1976
13
p :> 90%
~ 751 (p~ao%
aSt <p ~ 90%
~ 70' (P.5:'7Si
ao% ( p.5:. 85%
o
P .5:70%

---

~ ur; o..Nl'RIBl1ABLES IMPOSES TAAlTEMENl'S El' SAIAIRES
RAPPORT
en %
NOMBRE TOTAL
DE CONTRffiUABLES
imposés sur le revenu
'IO.lI!XJSE 1976
1···J
••
P2 84%
~ 74%~P (75%
79\\ s: P ~ 83%
~ 7l%~ P ç: 73%
76% ~ p Ç" 78%
c:J EiO% ~ P ç: 70%

---

REVENU MOYEN, TRAITEMENTS ET SALAIRES PAR CONTRIBUABLE
a
0
0
0
0
0
0
0
0
2.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
27
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Revenus en milliers de francs
\\1::;
51,-5 -~ R (54,S
~ 44,5~R<46,0
s:
mIIlIIJ
48,5 ~ R (51,S
l§§J
42,0
R <44,5
1
46,0 ~ R (48,5
0
40,5~R<42,0

---

REVENU MOYEN, PENSIONS ET.RENTES VIAGERES PAR CONTRIBUABLE
~1976
0
5
0
0
0
p
0
,,
~
0
en milliers de francs
\\:••~:I
R~ 25,0
W
21,0 ~ R (22,0
illIIIIIll 23,0 ~R (25,0
~ 20 ~R( 21,0
0 0
~
<
CJ 17, J ~R ( 20
22,0 ~ R
23,0

---

\\.'f"'''~
rot:lRE DE ~ IMPOSES PmsICNS E.'T REN1'ES ~
en OL
RAPPORT
' . .
70
~ CE <X:Nl'RIBUABŒS
imposés sur le revenu
rolUXJSE 1976
o
5
0
o
I---~
o
o
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
27
0
0
0
0
0
1)
0
0
P234%
27% ~P <30%
32% (p( 34%
24% ~P (27%
30% ç::p (32%
p) 24%

---

REVENU MOYEN - BENE FICES AGRICOLES PAR CONTRIBUABLE
TatrOOSE 1976
!5
3
tl
,
Il.t---tI
14
!Venus eu milliers de francs
~ R2lS
~ 9,0 ~R (10,5
- 12,5CR(15
&§l
7,ss:,R (9,0
~ 10,5 s: R( 12,5
c=J
5,5 (R (7,5

---

\\1 ( d
0
%f) d:5 %Z
I55J
\\Z ) d ~ \\t
[§§I
il' ) d:5 \\E
El
0
0
0
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0
0\\
LI
0
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0
6
o 0
0
A
o 0
0
Q
0
t l
o
9L61~
nUaAaJ al Jns s?Sodw!
~ a a ~
% u~ s:n:onfJ\\f s:DIntœ S39JdWI ~ 3rI ~
l.?JOddV?J
.,~,

---

: '.
'/'
..
REVENU MOYEN BNC PAR CONTRIBUABLE.
==== ::== = = ===== ==== === ===. = === =. = =. =::.
'ltXJIDS 1976
'teIenUS en mUllers de francs
~
R~44,5
37,0 S::R (38,0
UIIIIIlIII 41,0 ~ R( 44,S
34,O(R(37,0
g
29 , 0 ~ R (34,0
38,0 ~R (41,0

---

!D!BRE tE CXNl'RIBUABLES :n-1POSES BIC
RAPPORT
en %
t-D!BRE OB mma:BllABLES
imposés sur le revenu
'lOOIfXJSE 1976
P 212%
8% ~ p( 9%
10% CP (11%
7% ~ p( 8%
9% (p (10%
D
P (7%

---

REVENU MOYEN BNC PAR CONTRIBUABLE
::: ====== ======::: ==== =.:== == = = === ::: = ===
roWlSE 1976
Revenus en m:flliers de francs
~
R ~78,O'
~ 50,0 ~R (59,0-
- 7010~R(78!,0
~ 47,0 ~R (50,0
§
59,0 ~ R (70,0
0
R (47,0

---

',:...-.,,,,. .
~ te ~ IMPC5ES IN:
RAPPORT
en%
~OE~
imposés sur le revenu
pn:roSE 1976
o 0
o
o
7
o
0
0
0
0
13
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c
.,
",.
0
~
o
o
o
o 17
o o
lS·~
p)
~
P .. 3\\
10\\
(§§1
P .. 2\\
~ 5\\(ps:10\\
CJ
P ( 2 ~
P .. 4\\

---

REVmJ ~ DES CAPITAUX t-œ:rr..I:EaS
par contribuable
rolIOJSE 1976
19
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0
27
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Revenus en mi J 11 ers de francs
R )6,5
2,6 (R ~3,2
5,3 CR (. 6,5
2,2 (R (2,6
3,2 (R S:3,8
1,8 (R (2,2

---

, ~ ... ~.
Na1BRE DE <XNl'RIBUABLES ~ CAPlTJWX MJBU.JERS
RAPPORT
===-=..=.:-""--------------- en %
N::Io1BRE DE ~
imposés sur le revenu
'lUTTaE 1976
23.
•
0
4
215
oo .
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~~;::===~
1)
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27
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0
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o
o
14' (p {,16'
mJ 20\\ (.P ~ 24\\
u, (p ~13\\
~
17\\ ( P ( 1 9 '
o
P (la'

---

:~.~,., .
~1976
tevemJS en ml]] j ers de franCS
em
~ 8,0 '-R' 9,0
12,0 (. R <15,0
-
edE
Î,O (R.( 8,0
10,0 (. R <12,0
0
6,0(R(7,0
§§
9,0 ( R ( 10,0

---

RAPPORT
en %
lOImEœ~
imposés sur le revenu
TaJIalSE 1916
'P
18'
(28'
10' (p <12'
15' ~P (18'
P (10'
12' (p (15\\

---

- 66 -
Paragraphe 2
Liaisons entre les revenus et leurs localisations intra-urbaines
L'analyse en composantes principales a été appliquée aux données ci-
dessus. C'est une méthode d'analyse bien connue et nous n'avons pas jugé utile
de la présenter ici.
Cependant, en annexe, on pourra trouver une présentation de cette me-
thode, tirée du séminaire d'économétrie du Professeur Létinier.
Cette méthode consiste à remplacer les variables corrélées entre elles
par des variables non corrélées qui sont leur combinaison linaire et qui conservent
la variation totale d'une part et, d'autre part, à décomposer la variation totale
des observations en variations dues aux nouvelles variables.
L'application de cette méthode sur les revenus à Toulouse montre clai-
rement une concentration des revenus élevés dans le centre et sur un axe sud-
est partant du centre, la seule exception étant le secteur Lardenne, St Simon
qui se trouve à la limite ouest de la ville, ce qui confirme l'observation des
cartes.
Compte tenu de ce fai t, on a pensé que le lien entre les revenus et
leurs localisations pouvait être la distance séparant les secteurs en question du
centre de Toulouse, considéré comme étant la place du Capitole.
Les valeurs obtenues varient de 0.2 km à 6.1 km pour la distance au
centre et de 3° à 179° 3 pour l'angle à ce qui a été considéré comme une direc-
tion privilégiée, c'est-à-dire la direction sud-est (voir tableau).
En outre, des régressions, on tire les résultats suivants
Si on appelle:
r
= distance du secteur au centre
Z l = la richesse du secteur (première composante principale)
<P
= angle à la direction privilégiée
=
1,10183 r
+
2,91808

---

-
() 1
-
La liaison (li' r) explique 32,061 % de la variation et est significative
a un seuil de 0.0898970 %.
La régression est donc hautement significative.
On a aussI:
=
0.01688 ~
... 1.45757
La liaison (li' ~) n'explique que 8.241 % de la variation et a un seuil
de signification de 11.739296 %.
On en déduit que la régressIOn n'est pas slgnltlcatlve.
Cependant, on voit déjà que la richesse diminue lorsque raugmente
d'une part, et d'autre part, qu'elle diminue aussi au fur et à mesure qu'on s'éloi-
gne de l'axe privilégié.
On a ainsi pense à définir une variable U
1..:
=
S\\ r Q
<
70
U
= 0 si r ~
>
70
En appliquant la régression a cette variable U , on obtient les résultats
suivants
"::1
= 4.34229 U
-
1.26067
La liaison (li' U) explique 44.310 % de la variation et est significative
a un seuil de 0.004379 %.
Cette dernière régression est nettement meilleure que les précédentes
et hautement significative.
On retiendra enfin le résultat suivant
"::1
=
- 0.68375 r
+
3.39645 U
+
0.82476
La part de variation expliquée par la liaison [li' (r, U)j est de
54.554 % et est signigicative à un seuil de 0.00160313 %.

---

- biS -
L'addition de U à r dans la régression est très significative. Elle a un
seuil de 0.0879377 %.
Les conclusions de cette étude empirique peuvent se resumer
a
Toulouse, les revenus élevés préfèrent le centre et ou une direction privilégiée.
L'hypothèse d'isotropie de la ville du modèle théorique de base est ainsi forte-
ment remise en cause.
Dans la section suivante, il s'agira, compte tenu des résultats ci-dessus,
de bâtir un modèle théorique qui explique pourquoi à Toulouse les riches préfè-
rent le centre.
Section Il
LE MODELE DE G. LETINIER
Le modèle présenté ci-dessous s'inspire fortement du modèle théorique
de base présenté dans la première partie et de ce fait, une parcelle donnée du
sol sera occupée par le ménage qui en offrira le prix le plus élevé.
Cependant, étant donné qu'il est avant tout le fruit d'études empiriques,
. plusieurs hypothèses du modèle théorique seront remises en cause.
Paragraphe l
Hypothèses
Ainsi, au lieu de considérer une plaine isotrope, la ville est di visée en
n secteurs
i = l, 2, ... , n et un secteur peut être préféré à un autre pour des
raisons autres que la distance au centre.
Pour illustrer ce fai t, on pourra supposer que les ménages ont une pré-
férence pour les secteurs situés dans une direction d donnée.

---

D'autre part, d'après le montant de leurs revenus, les menages sont
divisés en deux classes Cl et C
correspondant respectivement aux revenus éle-
2
vés et aux revenus faibles.
On admet, en outre, que tous les ménages de la classe Cl ont la même
fonction de satisfaction S l et tous les ménages de la classe C
la même fonction
2
de satisfaction S2.
Sj
= SI
si
lvtj E.
Cl
(1)
Sj
= S2 si lvl-j E
C
(2)
2
_\\Lj étant un menage quelconque de la ville.
Cette hypothèse diffère de celle du modèle théorique où les menages
n'étaient différenciés que par le montant de leurs revenus. Elle n'est pas incom-
patible avec le fait que tous les ménages d'une même classe ne choisissent le
même secteur de localisation; les différences de revenu à l'intérieur d'un même
classe peuvent entraîner des choix de localisation différents.
On admet enfin que la satisfaction Sj d'un ménage .Mj est déterminée
par la quantité z d'un bien composite qu'il consomme, par le nombre k de m 2 de
logement qu'il habite et par la distance r de son secteur d'habitation au centre
de la ville.
Sj
= Sj ( Z, k, r )
(3)
Paragraphe 2 ;
Construction du modèle microéconomique
Le ménage Mi est soumis à la contrainte de revenu
y
= z Pz
+
k P{r)
(4)
ou
y
= revenu du ménage Mj

---

- 70 -
pz
=
priX du bien z
P(r) = prix du m 2 de logement a la distance r du centre de la ville
Notons la disparition dans la contrainte budgétaire des coûts monétaires
de transport. Cela se conçoit si on les considère comme institutionnelle ment fi-
xés et donc très peu variables avec le revenu ou comme c'est probablement le
cas, s 'i~s sont négligeables par rapport au coût psychologique de la distance.
Il s'agit donc pour le ménage Alj de maximiser sa satisfaction sous la
contrainte de revenu :
~lax Sj (z, k, r )
z Pz
+
k P (r )
y
=
0
De ce problème simple de maximisation sous contrainte que nous avons
déjà rencontré, on tire la solution suivante:
Sz
Sk
Sr
Pz
= P(r) = k P'(r)
avec P'(r)
= aP(r)
(jr
Comme Sz, Pz et k sont positifs et Sr négatif, on en conclut que
P'(r)
<
0
(6)
signifiant ainsi que plus on s'éloignera du centre de la ville, plus le prix du m 2
de logement diminuera.
Notons toutefois que si les ménages ..\\!lj ont une préférence pour les sec-
teurs localisés dans une direction donnée, à distance égale du centre, P (r) sera
plus élevé dans cette direction qu'ailleurs.
Construisons le faisceau de courbes de prix d'indifférence suivant qui, pour
un niveau de satisfaction 50, à chaque localisation r, fait correspondre le prix
Po (r)
50, c'est-à-dire qu'à la distance r du centre, le ménage atteindra le ni-
veau de satisfaction maximale 50 si P (r)
=
Po (r).

---

-
1 J.
-
P (r)
o
o"-------------------------:r::-'=:v:;:.
Plus la courbe est éloignée de l'origine, moins la satisfaction sera élevée.
Soit donc une localisation donnée. Le ménage maximisera
5 ( z, k, r )
en jouant sur z et k compte tenu de son revenu y.
La résolution de ce problème donne le système de deux équations qui
détermine z et k a une localisation donnée en fonction de Po (r) :
Sz
Sk
Pz
= Po(r)
(7)
z Pz
+
k Po (r)
-
y
= 0
Comme il existe, d'autre part, une courbe de prix du marché, montrons
que le ménage se fixera au point où sa courbe de prix d'indifférence sera tangen-
--------, -, ,---.-- - te à- la courbe de prix du marché et pas "ailleurs.
L'ensemble des relations suivantes déterminent Po (r)
5 (z, k, r)
= 50
z Pz
+
k Po (r)
=
y

---

Sz
Sk
Pz
= Po(r)
. Or
Sz
dz
+
Sk
dk
+
Sr
= 0
dr
dr
dz
dk
et
dr Pz + dr Po (r) + k Pb (r) = 0
on peut écrire:
Sz
dz
Sk
dk
Pz
Pz~ + Po(r)po(r) dr
=
- Sr
5z
5k
comme
Pz
= Po(r)
Sz
dz
dk
On a
Pz
+
Po(r)
=
- Sr
Pz
dr
dr
d'où
Sz
- k Po (r)
= - Sr
Pz
car
dz
dk
Po (r)
dr
Pz
+
dr
= - k Po (r)
Finalement
Sr
k Po (r) =
Pz
Sz
Soit
Sr
Sz
=
k Po (r)
Pz
_.comme dans la solution (5), on tirait:
On en déduit qu'au point où le ménage se fixe
Pb (r)
=
P' (r)
(8)

---

-
1)
-
Allons plus loin et montrons que les ménages se fixent d'autant plus
pres du centre que la pente de leur courbe de prix d'indifférence est plus forte.
Nous venons de montrer que chaque ménage se localisait en un point où
sa courbe de prix d'indifférence Po (r) était tangente à la courbe de prix du
marché
P (r ).
Par ailleurs, à l'équilibre, aucun ménage n'est motivé à changer de loca-
lisation, ce qui implique qu'aucune courbe de prix d'indifférence ne soit au-dessus
de la courbe de prix de marché.
En effet, si on avait Po (x)
> P (x) en un point x donné, le ménage
pourrait changer de localisation et aller en x où il paierait P (x) et accroître
ainsi sa satisfaction.
Soit donc deux ménages Ml et M
localisés respectivement en rI et r 2
2
(r l
< r 2) dont les courbes de prix d'indifférence sont Pl (r) et P 2( r).
On a :
et
Pl ( rI)
et
P 2 (r 2)
On en tire
Pl (r ) -
(r ) - P (rI)
2
Pl (rI)
P 2 2
2
<
r
-
-
2
rI
r 2
rI
Soit
1 plII
>
IP'2 1
---------~e-_eju-i-ffiQntre bien que le- ménage localisé près du centre est .celui dont la pen-
te de la courbe d'indifférence est la plus forte.
Déjà, on peut tirer la conclusion suivante qui est celle du premier cha-
pi tre
si les ménages de la classe de revenu Cl ont une pente P' l (r) plus forte
que celle des ménages C , ils seront plus près du centre.
2

---

· -; ...... -
- 74 -
Dans le cas contraire, ce sont les menages de la classe de revenu C 2
qu'on trouvera près du centre.
Paragraphe 3
Le modèle économétrique
Soi t pour le secteur
Pi
prix du m 2 de logement (prix de location)
q li
nombre de logements occupés par les menages de la classe Cl
q2i
nombre de logements occupés par les menages de la classe C 2
s.
nombre total de logements disponibles
1
r·
distance du secteur au centre de la ville
1
uli, u2i
: valeurs prises par des écarts aléatoires et
U li
et U
d'espérance
2i
mathématique nulle.
Les
3 n ~quations suivantes, qui expriment les conditions de l'équilibre de
courte période du marché de logement dans le secteur i, déterminent les valeurs
des variables endogènes, le prix du m 2 de logement et les nombres de logements
occupés par les ménages des deux classes, en fonction de la variable exogène ri
et des écarts :
Gli
= fl(Pi,ri}
q2i
= f (Pi, ri)
2
= l,2, .••,n
(9)
qli
+
q2i
= s.1
Cela-étant, pour un vecteur
P = ( Pl'P ' •.• , Pi' .•• , P
) des prix du m 2
2
n
de logement dans les différents secteurs de la ville, chaque ménage choisit de
s'installer dans le secteur, où compte tenu de sa distance du centre et du prix
du m 2 qu'il doit payer, il peut obtenir la satisfaction maximale.
La demande de logement dans le secteur i provenant des ménages de la

---

":~.
- 75 -
classe CI (resp. C ) est donc déterminée par le vecteur P et la distance au cen-
2
tre ri.
On a ainsi
q 1i = <Pli (P, ri)
q2i = <P
(P, ri)
2i
=
l, 2, ... , n
(10)
q 1i
+
q2i
= s.1
Une telle formulation en permet cependant aucune détermination nume-
rique des fonctions de demande, vu qu'on ne dispose que de n observations pour
déTerminer les paramèTres de 2 n foncTions, chacune de n + 1 variables.
Une première simplification consistera donc à substituer aux fonctions
~ 1i et
t 2i les applications partielles f li et f
obtenues en donnant dans le
2i
vecteur P aux prix PI' P2' ... , p. l' p. l' ..., P
autres que
"leurs valeurs à
.
1-
1+
n
1
l ,'
'IOb
d
h ' , ' d'
0
0
0
0
l
'
d
equll re
u marc e, c est-a- Ire PI' P2' ... , pOl' p. l' ... , P
so utlOn
u sys-
1-
1+
n
tème (10).
On obtient alors :
q 1i
= fi' ( p., r 0 )
1
1
1
q2i
= f 2' ( p., r, )
(ll)
1
1
1
qJj
+
q2i
= s'1
D'un autre côté, on remarquera que les fonctions fi i et f 2i ont quali ta-
tivement les mêmes propriétés quel que soit i : elles sont décroissantes par rap-
---- ----- - -"-. --pô-rt-a.-- p. et r.. Cela amène à considérer les fonctions mo-yennes
1
1
=
E
(12)
n
i
L
( 13)
n
1

---

,
.
- 76 -
. qUI auront qualitativement les mêmes propriétés que f li et f 2ï
Supposons enfin qu'une spécification linéaire convienne pour les fonctions
f li et f
' bien qu'une spécification log linéaire soit en général mieux adaptée
2i
à la réali té.
Notons du reste que les raisonnements et les résultats, pour l'essentiel,
seraient les mêmes.
f 1i (Pi' ri)
:::
CL li
Pi
+
S li ri
+
y li
:::
Posons alors
CL
= E
1
CL 1i
i
(15)
3
= L
1
S1i
i
Y1 = E Y1i
i
,
.
On peut ecnre
q li::: f l ( Pi' ri) + f l i ( Pi' ri) - f l ( Pi' ri
soit
1
Considérons alors la moyenne ari thmétique
-
b (CL ' -
CL )0.
n;
1~
1 . ~
~
du terme ( CL i -
p. sur l'ensemble des secteurs, que l'on désignera par
1
CL 1
l
!vi
• en peut écrire
CL
:::
L
p.
n
l
E p.
;
,

---

~ ~,.l ~
• 1
.
.
•.
- 77 -
soit en posant
l
p.
= p
n
1
i
l
(a 1i - a 1 )
i
M
= P
a
l
p.l
i
l
(a 1i - a 1 ) p.l
i
est une moyenne pondérée des termes
a li -
al; comme
l
Pi
la moyenne arithmétique simple de ces termes est nulle, la
moyenne pondérée doit être voisine de zéro et doit prendre des valeurs positi-
ves sui vant que le poids Pi les plus forts s'appliqueront aux
al i - al
posi tifs
ou négatifs, éventuali tés que l'on peut considérer comme résultant du hasard.
On peut alors assimiler le terme ( Cl.
-
al) Pi à la valeur prise par une
li
variable aléatoire d'espérance mathématique nulle. Il en est de même du terme
( Sli - 13 l)ri et du terme y li -
y l
qui a une moyenne toujours nulle sur l'ensem-
ble des secteurs.
Posons alors
(16)
Dès lors
q li =
0. l
Pi
+ 13 l ri
+
y li
+
V li
(17)
Si l'on tient compte en outre de l'existence de variables autres que le
prix et la distance au centre qui agissent sur la demande et dont on admet que
l'influence est en moyenne nulle, il faut ajouter au 2e membre de l'équation (17)
un terme Wli ' représentant la valeur d'une variable aléatoire d'espérance mathé-
matique nulle et en posant
(18)

---

..' . .2
il vient
=
(J 9)
On a de même
=
Dès lors, le modèle économétrique s'écrira sous la forme sui vante
=
= l, 2, ... , n
=
( 20)
=
5·1
Paragraphe 4
Signification des paramètres économétriques
Considérons deux variations d p? et d r? du prix et de la distance telles
1
1
que la demande dans le secteur reste inchangée. Deux telles variations seront
dites compensatoires.
Ainsi donc, deux variations d p;o et
d r?
seront compensatoires si
1
1

---

c'est-à-dire
a f li
0
af l i
0
d p.
+
d r.
= 0
a ~
1
a ri
1
Soit
o
d p .
. 1
=
d r.o1
et compte tenu de la spécification linéaire de la fonction f l i
0
d p
3
1
li
=
(21)
d r.1
~i
Supposons maintenant que pour tous les ménages, on ait des variations
o
0
d q et d ri compensatoires, soit:
o
d p.1
=
plo (r.) / Mj
(22)
1
d r'?1
ou Mj représente un menage vérifiant cette relation.
Sr
Pz
Vu que
Po (r ) =
Sz
k
la relation (21) devient
1
_. - -
BU
5
(")
r
J
Pz
=
Po (ri) / .1\\tj
=
(23)
Cl li
51 C)
kj
z J
pour tous les ménages de la classe Cl' en particulier, pour ceux qui sont effecti-
vement installés dans le secteur i. Dans cette relation kj désigne le nombre de

---

.. "... ~ .' _._ _
_.:J
-
,Je)
-
..
. '"'!
: 1
5 l C)-
r
J
km ~ effecti vement occupés p~r le ménage dans le secteur
et - - est son
Sl C)
taUx marginal de"substi!'ution de r à z en son point de
z J
. satisfaction maximale qu'il trouve en- i.
L'équation (23) peut se mettre sous la forme suivante
B
S; (j)
li
kj
=
- Pz - - -
(lli
S;(j)
Si l'on considère maintenant l'ensemble El i des ménages de la classe
CI tels que Mj localisés dans le secteur i, il vient en sommant les égalités (23)
et en divisant par le nombre n li de ces ménages:
l
L
5
(")
r
1
kj
= - Pz
Mj
E li
5 l (")
z )
relation qui est valable pour tous les ménages de la classe Cl installés dans le
secteur i et qui peut s'écrire en posant:
1
L
(24)
k l i
=
kj
n
Mj
E li
li
5 l ( ")
51
l
L
r
J
et
- - -
=
(-+) .
(25)
nli
Mj
E li
5 l (')
5
1
Z
J
z
B
51
1i
=
(~1 ).
(26)
'1i
5
1
Z
Dans la relation (26), k li est la surface moyenne des logements occupés
par les ménages de la classe C
localisés dans le secteur i.
51r
( - 1 ).
est le taux marginal de substitution moyen de raz des menages
5
1
Z
de la classe CI localisés dans le secteur i.

---

-
.J1
-
En sommant les égalités (26) pour tous les secteurs et en divisant par
n le nombre de secteurs, il vient:
6
51
=
1i
I:
k 1i
= - Pz
( + ) .
( 27)
n
al i
n
5
1
Z
Posons
=
( 28)
n
k 1 est la moyenne des surfaces moyennes occupees par les ménages de
la classe Cl
dans la ville.
La relation (27) devient
I: k 1.
.
1
1
= -
I:
Pz
(29)
n
1
, ,
Sli
est une moyenne ponderee des rapports - - ; elle n'est en général
ali
pas égale à
mais pas très éloignée non plus.
Approximativement, on doit avoir
51
=
I:
r )
. ( - 1 .
(30)
n
1
S
1
Z
Pour les ménages de la classe C
' par le même cheminement, on abou-
2
tit aussi à la relation:

---

S2
=
-
P
l:
(-----i...-
) .
(31 )
Z
n
1
2
S
1
Z
Dans les relations (30) et (31), il est important de voir que
•
Si
S2
(_r_ ). et (----s- ).
représentent les taux marginaux de substitution moyens de
1
S
1
S
1
Z
Z
r à z, en leur point de satisfaction maximale des ménages
des classes Clet C
localisés en 1.
2
En d'autres termes, ils représentent le coût psychologique de la distan-
ce. Plus ces rapports seront forts, plus le coût psychologique de la distance sera
élevé : la désutili té du temps de déplacement sera grande.
Posons
et
(32)
Les nombres Clet C
sont calculables à partir des observations et il
2
ressort des équations (30) et (31) que si Cl est supérieur à C
' le taux marginal
2
de substitution de r à z, au point de satisfaction maximale, est en moyenne plus
fort en valeur absolue pour les ménages Cl que pour les ménages C
et l'hypo-
2
thèse d'une plus forte désutilité du temps de déplacement pour les ménages à
revenus élevés est confirmée ; elle est infirmée dans le cas contraire.
Nous pensons que dans une ville comme Toulouse où il y a une forte
congestion du trafic, on devrait avoir CI > C
' ce qui expliquerait alors la con-
2
centra tion des revenus élevés au centre.
Par contre, dans une ville où la congestion du trafic serait faible, il
faudra s'attendre à avoir CI < C
' donc à trouver les revenus élevés à la péri-
2
phérie.
L'estimation de ce modèle constituera notre prochain chapitre.

---

CHAP ITRE
II
ESTIMATION
DU
MODELE
===== = ========== = = == ==
Ce dernier chapitre est consacré à l'estimation du modèle présenté
dans la section précédente avec des données relatives à la ville de Toulouse et
son agglomération.
La présentation de ces données ccnstituera la première section et dans
une seconde section, nous estimerons le modèle.
Section 1
PRESENTATION DES DONNEES
Paragraphe 1
Cadre géographique et définitions
La Zone d'Attraction de Main d'Oeuvre (2. A. M. O.) réunit, outre la
ville de Toulouse et les 62 communes de la zone déterminée par le projet de
modernisation et d'équipement de Toulouse, 53 communes supplémentaires choi-
sies pour l'importance de leur croissance démographique entre 1968 et 1975.
(Voir cartes et tableaux pages suivantes)
L'unité géographique de base est la commune, seule la ville de Toulouse
a été divisée en 54- quartiers (ou secteurs) selon le découpage de l'Institut Na-

---

Quartiers
de
Toulouse
/968 _ 197;

---

COMMUNES DE LA
Z. A. M. O.
1975 -

---

DECOUPAGE
DE
TOULOUSE
Nbre de mé-
Loyer annuel
Population
Distance au
Distance au
Secteurs
Code INSEE
N° ordre
nages riches
(en mill iers
(S.)
centre (km)
centre (km)
1
(q. )
de Fr s)
-
VILLE DE TOULOUSE
Il
1
2 815
0,269
135
3,39
12
2
2 170
0,376
270
4,71
13
3
3 550
0,8~8
260
3,37
14
4
2 200
1,349
135
2,48
15
5
3 085
1,601
195
2,53
16
6
2 715
1,475
120
2,44
17
7
2 285
2,196
110
3,09
18
8
2 245
1,849
180
2,56
19
9
3 280
2,658
195
0,78
2,89
84
54
1 920
3,298
190
20
10
3 155
2,502
255
2,53
21
Il
1 785
4,191
95
23
13
1 205
4,659
75
0,91
3,92
1
1
24
14
1 285
2,847
225
22
12
2 785
4,104
440
0,68
4,28
1
42
26
1 240
4,660
75
31
15
1 975
0,583
130
5,90
1
16
2 575
3,228
210
3,94
1
32
1
1
33
1
17
2 295
0,709
125
3,82
1
34
18
2 695
0,827
195
3,12
35
19
2 975
1,040
230
3,05
36
20
2 770
1,331
240
3,99
! .

---

37
21
1 605
2,971
65
1,25
2,41
39
23
1 720
4,659
110
38
22
1 405
1,981
110
3,67
40
24
1 990
2,292
95
2,03
41
25
2 645
2,947
205
3,44
51
27
3 380
1,137
205
2,58
52
28
1 880
1,660
95
2,92
53
29
3 165
2,770
190
2,85
54
30
1 840
1,762
90
1,10
1,87
55
31
1 215
2,024
130
56
32
3 480
3,228
300
2,58
57
33
2 105
2,724
85
1,87
58
34
2 370
3,427
95
2,87
59
35
2 615
3,618
75
3,02
60
36
2 295
4,121
110
1,90
61
37
1 560
3,748
145
1,14
4,73
63
39
2 240
5,410
170
62
38
6 795
5,388
285
2,51
64
40
1 185
6,225
60
1,89
71
41
2 750
0,918
165
2,76
72
42
1 955
0,823
265
3,63
73
43
1 605
2,336
95
3,24
74
44
3 290
1,995
455
3,32
75
45
3 070
1,824
220
4, Il
76
46
1 970
2,525
70
2,87
77
47
3 845
2,199
405
2,83
78
48
3 515
2,330
375
3,58
79
49
3 759
3,326
255
3,12
80
50
2 910
2,809
85
5,52
1

---

81
51
3 095
3,336
270
2,35
82
52
1 565
5,163
200
1,99
4,95
83
53
3 440
4,852
360
DECOUPAGE
DE
LA
Z .
A •
M.
O.
Nbre de mé-
Loyer annuel
Population
Distance au
Distance au
Secteurs
Code INSEE
N° ordre
nages riches
(en mi Il i ers
( S. )
centre (km)
centre (km)
1
( q. )
de R-s)
Toulouse, Banlieue Est 1
Aureville
25
56
55
13,723
0
Clermont-le-fort
148
74
75
16,320
10
Goyrans
227
96
60
13,624
15
Lacroi x-falgarde
259
103
165
12,062
30
Mervilla
340
113
20
Il,109
0
Pechbusque
411
J 29
70
8,485
5
l, 20
15,43
Rebigue
448
139
50
13,170
10
VieiIJe Toulouse
575
162
130
8,502
50
Vigoulet-Auzile
578
163
125
Il,104
40
Venerque
572
160
460
18,900
50
Vernet
574
161
390
18,546
25

---

Toulouse, Banlieue Est Il
Balma
44
61
1 995
4,177
220
Beaupuy
53
63
60
10,296
5
Castelmourou
117
72
345
10,771
10
Dremil-Lafage
163
81
315
12,819
0
Flourens
184
86
150
9,663
10
Mons
355
116
115
10,458
15
Montrabe
389
124
210
7,808
15
1,46
8,29
Pin Balma
418
131
85
7,596
5
Quint
445
137
585
9,205
75
Rouffiac- Tolosan
462
142
180
9,445
5
Garidech
212
95
85
15,149
0
Gragnague
228
97
135
14,743
0
Montastruc la Conseillère
358
118
445
17,726
35
Toulouse, Banlieue Nord 1
Fonbeauzard
186
87
170
8,301
10
Lapeyrousse-Fossat
273
106
245
11 ,251
10
Launaguet
282
107
730
7,752
75
Montberon
364
119
160
12,886
15
Pechbonnieu
410
128
365
Il,208
25
l,54
8,01
St Genies-Bellevue
484
145
295
9,552
35
St Jean de l'Union
488
147
1 245
7,940
90
St Loup Cammas
497
149
120
10,455
15
L'Union
561
158
2 135
6,488
305
,i

---

-1
Toulouse, Banlieue Nord 11
1
Bruguière
91
69
410
Capet
136
73
165
Gargas
211
94
75
Gratentour
230
98
245
1,20
15,28
Labastide St Sernin
252
100
140
Lespinasse
293
110
205
Montjoire
383
122
155
Vacquières
563
159
90
Toulouse, Banlieue Ouest 1
Blagnac
69
66
3 605
5,326
395
2,26
5,33
Toulouse, Banlieue Ouest 11
~
Aucamville
22
55
755
7,185
65
Beauzelle
56
64
690
8,720
65
Castelginest
116
71
1 095
10,084
135
Cornebarrieu
150
76
690
10,824
55
1,20
9,71
Fenouillet
182
85
215
8,810
50
Gagnac s/Garonne
205
93
220
Il,718
15
Mondonville
351
115
290
14,463
5
St Alban
467
143
605
10,211
70
Toulouse. Banlieue Ouest III
Cugnaux
157
77
2 355
10,898
170
Portet s/Garonne
433
136
1 865
9,936
140
1,20
9,75
Tournefeuille
557
157
1 575
8,448
280

---

Colomiers
Colomiers
149
75
5 900
8,968
580
Brax
88
68
230
16,636
10
Leguevin
291
109
895
17,014
35
Pibrac
417
130
645
12,701
90
1,20
10,96
Plaisance du Touch
424
134
1 205
12,945
70
La Salvetat St Gilles
526
154
445
14,286
45
Baziège
Ayguevives
4
60
280
22,744
45
Baziège
48
62
355
21,411
40
Belberaud
57
65
80
14,639
10
Escalquens
169
83
520
13,436
50
Fourquevaux
192
90
115
17,860
0
1,20
17,76
Montlaur
384
123
140
17,658
5
Deyme
161
79
50
15,518
5
Donneville
162
80
110
16,996
15
Montgiscard
381
121
365
19,276
30
Pompertuzat
429
135
150
14,094
30
Castanet
Auzeville- Tolosane
35
58
300
9,434
65
Auzielle
36
59
95
12,149
25
Castanet-Tolosane
113
70
865
10,925
95
Pechabou
409
127
110
12,705
0
1,35
8,70
Ramonville
446
138
2 585
6,871
360
St Orens de Gameville
506
151
1 220
9,590
95

---

Labège
254
102
360
10,781
25
Fronton
Aussone
,
32
57
525
13,255
20
,
\\
Bouloc
i
79
67
285
20,436
20
,
Fronton
202
91
650
27,739
35
,
St Jory
490
148
625
16,378
30
St Sauveur
516
153
205
14,796
10
Villaudric
581
165
185
26,219
10
1,20
20,3'8
1
Villeneuve les Bouloc
587
166
135
19,080
10
Merville
341
114
340
17,121
10
f
1
Daux
160
78
210
17,310
,
10
1
Montaigut s/Save
356
117
170
19,553
10
1
.,,'.
St Paul s/Save
507
152
95
20,083
°
:
•
"',
Muret 1
Eaunes
165
82
400
21,473
10
Le Faugas
181
84
185
25,850
0
Muret
395
125
4 110
18,557
355
Pins Justaret
421
132
275
14,517
15
,
Pinsaguel
420
133
475
Il,439
50
1,20
17,72
Roques
458
140
385
12,077
25
Roquette
460
141
140
13,327
20
Villate
580
164
110
15,875
5
Saubens
533
155
180
15,706
30
Labarthe s/Lèze
248
99
435
17,219
25
,
Lagarde Ile s/Lèze
263
104
235
21,9CJb
10
1
....-..

---

Muret II
i
Frouzins
203
92
545
13,649
30
~1
Labastidette
253
101
150
22,840
J5
Lavernose-Lacasse
287
108
320
27,699
10
1
Lherm
299
111
285
26,999
25
St CJar de Rivière
475
144
145
24,449
0
1
St Hilaire
486
146
85
23,769
5
r~
Lamasquière
269
105
125
20,999
0
1,20
J 9,76
f~
ViIJeneuve- Tolosane
588
167
1 440
J 2,465
90
~;, ~
Longages
303
112
345
32,466
5
Fonsorbes
187
88
545
18,927
20
Fontenilles
188
89
280
21,1 110
30
St Lys
499
150
775
23,973
40
Seysses
547
168
3 060
16,078
50

---

- 94 -
tional de la Statistique et des Etudes Economiques O. N. S. E. E.}.
La
Z. A. lVI. O.
comprend 169 secteurs d'étude (115 communes + 54
quartiers de Toulouse).
Notons cependant que notre étude ne porte que sur 168 secteurs, la
commune de Pu j audran ne faisant pas partie de la Haute-Garonne mais du
Gers. Nous n'avons pas pu obtenir les loyers de cette commune.
La commune de Longages, distante de 32,5 kilomètres du centre-ville
est le secteur le plus éloigné de Toulouse.
La
Z. A. M. O., ainSI définie. coïncide à peu près avec la Zone de
Peuplement Industriel de Toulouse (Z. P. I. u.), définie en 1975 par l 'I.:'-J.S.E.E.
Elle réunissait à cette époque une population totale de 608 800 personnes ré-
parties en 194 769 ménages, dont 137 335 pour la ville de Toulouse (371 300
résidents).
La définition du ménage retenue est celle adoptée par l'I.N.S.E.E.,
c'est-à-dire celle du ménage-logement: un ménage ordinaire est constitué par
l'ensemble des occupants d'un même logement (ou, plus exactement, d'une mê-
me unité d'habitation privée occupée comme résidence principale) quels que
soient les liens qui les unissent.
Paragraphe 2
Les données
Les ménages ainsi définis ont été divisés en deux classes Clet C
à
2
partir de la catégorie socio-professionnelle à laquelle ils appartiennent.
Ont été classés Cl' c'est-à-dire riches, les ménages appartenant a
l'une quelconque des cat~gories socio-professionnelles suivantes:
- industriels
- gros commerçants
J

---

:'-.
......
- 95 -
- professions Îibérales
- ingénieurs
- cadres administratifs et superieurs *
Les menages n'appartenant à aucune de ces catégories ont été c1as-
Le prix du m 2 dans les différents secteurs n'ayant pas été disponibles,
il lui a été substitué le loyer moyen par pièce obtenu par un sondage au 1/20
sur l'ensemble des logements de la ville. Les chiffres obtenus par sondage dans
les déclarations relatives au droit de bail nous ont été rournis par l'Adminis-
tration des Impôts de la Haute-Garonne.
Par la sui te, P., k 1· et k ·
désigneront respecti vement le loyer moyen
1
1
21
par pièce, le nombre moyen de pièces occupées par les ménages des classes CI
et C
dans le secteur i.
2
Notons enfin que pour la zone considérée, le nombre moyen de pièces
occupées par les ménages de la classe CI est
k 1 = 4,33
et
k
= 3,35
pour
2
les ménages de la classe C .
2
Les chiffres relatifs aux ménages Clet C
ont été fournis par
2
l' I. N.5. E. E.
et ont été obtenus par un sondage au 1/5 sur le recensement de
la population de 1975.
*
Nous utilisons ici la terminologie de l 'I.N.S.E.E.
Les cadres administratifs
compris dans cette catégorie sont seulement les cadres administratifs su-
, .
perleurs.

---

- 96 -
Section II
ESTIMA TION OU MODELE
Paragraphe 1 : Correction au modèle économétrique de répartition spatiale
des revenus
L'estimation du modèle de G. LETINIER, tel qu'il est présenté dans
le précédent chapitre, peut donner des résultats étroitement liés au découpa-
ge de la ville. Pour remédier à ce fait, le Professeur LETINIER 'f ajoute les
modifications suivantes, indispensables, si on veut des résultats cohérents quels
que soient la taille et le nombre des secteurs de la ville.
Ainsi, considerons que
q 1i
désigne dans le secteur i, non la deman-
de de logement des ménages
Cl' mais la demande par unité de distance au
centre à la distance
r., définie comme
1
lim
f::,r~o
Û r
ou
g l (ri' f::, r)
= demande des menages Cl dans la couronne délimitée par
les cercles de rayon
r.
et
r.
+
f::, r.
1
1
q2i
a une signification analogue.
Dans ces conditions, on n'a plus
= S.1
L 'égali té de la demande totale (des menages Clet C
) et de l'offre
2
s'exprime par l'égalité
L
t
ô (r.)
1
ou
ô(r ) est la densité radiale de logement a la distance
ri du centre, défi-
i
nie comme:
S (r
1'> r )
6(r)
lim
l
'
1
1:0
r

---

- 97 -
ou
S (r. , 6 r)
= nombre de logements dans la couronne délimitée par les
1
cercles de rayon ri
et
ri
+
M.
Il reste a expr i mer
0( r )
au moyen des données dont on dispose.
1
Soi t
0 (r)
la densi té superficielle de logements a la distance
r
du
centre,
6w
ou
l (r, ~:.:)
represente le nombre de logements dans un domaine d'aire
contenam un pOint situé à la distance
r
du centre (cette limite est supposée
ne dépendre que de
r
: la densi té est la même pour tous les points si tués à
la même distance du centre).
Entre les densités radiale
o (r)
et superficielle (] (r), on a la rela-
tion
5 (r)
= 2 "TT r 0 (r) -é<==> 0 (r) = ~
2 "TT r
Soi t maintenant S. le domaine plan recouvert par le secteur
et 0
1
sa surface.
On a
=j o(r) dw
2 "TT r
1
et d'après le théorème de la moyenne:
1
"1 o(r)
o'1
dw
o (ra)
5·
=
2
r
"TT
2 "TT r~
1
1
o
o
ou
r.
et
o(r.)
sont la distance et la densité radiale
point M. du domaine S,.
1
1
1
1
o
On admet a
titre d'approximation, que le point
M. se confond avec
1

---

--: ".;-
- 98 -
le point choisi comme centre. du secteur l,.qUI se trouve a la distance r. du
L
centre. Il vient alors pour c~aque' secteur 1 :
C.
1
s.
.0 (r. )
=
1
2 1T r .
1
1
soit
2
1T r.
S
o(r. )
1
1
=
1
a.
1
On a donc finalement:
2 TI r.
5
1
l
Et le modèle s'écrit
q 1i
=
al
p.
+
13 1 r.
+
y j
+
1
1
1i
q2i
=
a
p.
+
13
r.
+
+
2
1
2
Y
1
2
2i
2 1T r.
S.
1
1
q 1i
+
q2i
=
a.
Malgré la présence du produit
r. S.
le modèle reste linéaire
il
1
1
a.1
suffi t de considérer que les deux
variables exogènes sont
r.
et
1
2 or. S.
o(r.) =
1
1
que l'on posera pour abréger égal à 0 ï
1
a.1
1.
1
!:
1 •
!
Il

---

- ';1'1 -
..
Paragraphe 2 : Méthode d'estimation et présentation des résiJltats
q 1i
::
0.
p.
+
1
S 1 r.
+
1
1
YI
+
U 1i
~ Pi ~ B2 r. + Y2 + u2i
q2i
::
l
q 1i
+
q2i
::
En combinant :es deux dernières équations, le modèle se reecrit com-
me suit
::
O'
-
q l'
::
1
1
Soit
+
(1)
q 1i
:: - Cl 2 Pi
- B2 ri
+
0 i
- y 2 -
u 2i
Ecrit sous cette forme, on voit que le modèle structurel est un modè-
le de deux équations à deux variables endogènes ql' et p. et deux variables
1
1
exogènes r. et ê.. Dans la première équation, il manque O. et dans la deuxième
1
1
1
le coefficient de s. est fixé à 1.
1
On en déduit que le modèle est juste identifié. Nous savons que dans
ce cas, il est indifférent de l'estimer par la méthode des moindres carrés indi-
rects ou par les doubles moindres carrés.
Si on multiplie la première équation par 0.
et la deuxième par
0.
2
1
et qu'on les additionne ensuite, on tire:
r.
+
O.
1
0.
+0.
1
1
2

---

- 100 -
a 2
+
+
( 2)
U 11'
a l + a 2
D'autre part, si on additionne la première équation et la deuxième
mul tipI iée par (- 1), on tire
6.
P.
1
=
r.
+
1
1
Comme le modèle réduit s'écrit
q l i
= al r.
+
b
s.
+
1
C 1
+
U l i
1
1
P.
= a
r.
+
b
s.
+
c
+
U
1
2
1
2
1
2
2i
On en déduit que:
0. 2 SI
a l S 2
al
=
al
+
0. 2
0. 1
b l =
0.
+ 0.
1
2
~ YI
~
Y2
Cl
=
0.
+
0.
1
2
( 5)
SI
+
S2
a 2 =
'1 + 0. 2
b 2 =
Cl
+
0.
i
2
+
1
2
c2 :: Ct l + a2

---

- 101 -
De ce système, on tire la solution unique suivante qui donne les coef-
ficients structurels en fonction des coeffiCients réduits:
(6)
b
b
l
l
CL
B
l
=
b
= al - a
l
2
b
2
2
- b
(j
-
l
bJ)
CL 2 =
b
6 2
= al - a 2
b
2
2
=
y
2
- c
-
1
Dès lors, on peut estimer le modèle réduit par les moindres carrés or-
dina!res et obtenir ensuite les coefficients structurels
Cll' 61 ' '{j , 0.2 ' 6:2 '
:t
Y
en se servant du système (6) (moindres carrés indirects) ou calculer les
2
P.
à partir du système (4) et s'en servir comme variables exogènes dans le
1
système (1) (doubles moindres carrés).
Dans les deux cas, on obtient
CL l = - 284,21873
~ = - 2 485,27605
6
-
51,32857
1
6z =
513,60767
YI
=
090,48844
Y2
=
10 349,56765
Comme k 1 =
4,33
et
k
=
3,35,
on peut alors calculer les taux
2
marginaux de substitution de r à z pour les ménages Clet
C
:
2
61
k
0,78
=
l
CLl
62
k
- - -
::.
0,69
2
Cl2

---

..« ,
Paragraphe 3
Appréciation d'es résultats
= - 284,21873 p.
51,32857 r.
+
1 090,48844
1
1
= - 2 485,27605 p.
-
513,60767 r.
+
10 349,56765
1
1
Rappelons que la premlere équation est relative à la demande de lo-
gement des ménages à revenus élevés et la deuxième, à celle des ménages con-
sidérés comme à revenus faibles et moyens.
La corrélation entre q l'
et
p.
est de 55 % et de 69 % entre q2'
1
1
1
et Pj On n'est pas, du reste, surpris de constater que les ménages pauvres
soient plus sensibles aux prix que les ménages riches.
Notons que la premlere équation est significative a un seuil de
- 1 4 ,
,
9,124 x la
pres, le F etant de
39,144.
-21
Le seuil de signification est de 1,015 x la
, le F de Fisher
Snedecor étant égal à 74,867 pour la deuxième équation.
s
S
Finalement, il ressort que
k 1 __
1 /
k _ _
2,
signifiant ainsi que
al
2
0.2
le taux marginal de substitution de r à z, au point de satisfaction maximale
est en moyenne plus fort pour les ménages à revenus élevés que pour les mé-
nages à revenus plus faibles, confirmant ainSI une plus forte désutili té du
temps de déplacement pour les ménages riches.
Cette étude confirme donc le fait que les préférence des ménages
européens en matière de localisation intra-urbaine sont à l'opposé de celles
"
des ménages nord-américains; encore que nous aurions aimé estimer ce mo-
1i
dèle avec des données relatives à une ville d'Amérique du Nord, afin de com-
parer les résultats.

---

· .,.
.f
Nous soulignons, pour terminer, que la différence fondamentale entre
le modèle du Professeur LETINIER et ceux présentés dans la première partie
est la très relative facilité avec laquelle il se prête à l'estimation"; en plus com-
me le revenu n'intervient pas directement dans l'estimation, le l1)odèle échappe
aux problèmes de définition que crée l'utilisation de celui-ci.

---

",
CONCLUS ION
====================
Au terme de cette étude, on peut tirer les ·enseignements suivants
D'abord, d'un point de vue théorique, on constate que les principales
hypothèses admises sur le fonctionnement du marché foncier peuvent s'avérer
trop restrictives pour que les modèles correspondants aient une grande valeur
explicative, particulièrement en ce qui concerne les comportements des agents,
cont la di"ersi~é est telle qu'il peut paraître illusoire de vouloir les formaliser.
Or, ['introduction d'hypothèses plus réalistes a pour effet d'accroître
rapidement la complexi té des modèles mathématiques considérés. Il serai t in-
téressant dans des développements ultérieurs de recourir à des modèles dis-
crets, auxquels on pourrait appliquer des techniques de simulation.
Quoi qu'il en soit, les modèles développés ici ont permis de présenter
des éléments d'une théorie rigoureuse de l'espace urbain qui faisait encore dé-
faut, il n'y a pas si longtemps.
Le phénomène de suburbanisation (qui résulte directement de la re-
partition intra-urbaine des revenus) avec ses conséquences mérite d'être l'objet
d'un examen plus rigoureux, prenant en compte les variables socio-démographi-
ques et socio-culturelles. Il en est de même du problème de congestion du tra-
fic qui peut prendre souvent l'allure d'un cauchemar.
D'un point de vue pratique, la plupart des modèles sont tels qu'il est
impossible de les vérifier empiriquement. Pour ceux pour qui cela est possible,
la difficulté majeure réside dans l'obtention de données fiables pouvant leur
servir de support. La plupart du temps, soit ces données n'existent pas, soit il
est impossible de les obtenir.

---

:
.~ .i"
_:~""
-
1ü) -
Quoi qu'il en soit, comme le dit si bien BEAUJEU-GARNIER: "la
division sociale de l'espace est une réalité aussi vieille que l'origine même
des villes, mais elle s'est faite longtemps au profit des plus puissants politi-
quement, souvent en même tèmps les maîtres du sol, sans pour cela être les
plus riches.
Cependant, cette diversification, héritage des siècles parfois lointains,
pese encore de différentes manières sur le zonage d'une partie des villes ac-
tuelles".
.
i

---

ANNEXE
==========
*
L'ANAL YSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES
=== =========== ====== ====== === === ====
Paragraphe 1
Principe de l'analyse
On dispose de n observations relatives a p variables (par exemple n
secteurs et p re\\'enus) :
~ll"""""""""'" ~ln
,
x
=
pn
xpl ··········•··········· xpn
L'ensemble des n observations sur les p variables constitue une matri-
ce X
qui fournit deux ordres d'information:
pn
- valeur moyenne des différentes variables dans la population,
- les caractères spécifiques de chaque secteur.
Soi t deux secteurs
et k
s'ils étaient identiques, on aurait
'1j
= 0
soit
= 0
*
Cette annexe est extraite du séminaire d'économétrie du Professeur LETINIER
de l'année 1980.

---

. .~
-
107 ct
. .
I.i
Comme ce n'èst en général pas le. cas, caractérisons ladifférenciat·ion
entre deux secteurs par:
Soit
qui est la distance euclidienne
c'est la variation entre deux observations.
Soit \\V la variation totale des observations
I-
\\V
::
F
r
(x .
)2J
=
1
r.
XI-.:
1
"
"
JI
J .
2
~
=
[~
J
1
~ (x..
x
)
J
jk
JI
2
~
W.
=
avec
w. = l:
]
]
]
1
~ (S..
x
)
jk
JI
La différence x .. - x'
ne change pas si
Vi
et k, nous faisions
] 1
] k
(x..
- c.)
-
(x'
- C. ), C. étant choisi arbitrairement.
JI
]
]k
J
J
On choisira C.
= x.
=
~
x..
)
J
n
]
) 1
-
Ainsi
x ..
- x
=
x..
x. ) - (x
- x.
) 1
jk
] 1
)
jk
J
Posons
x..
- x. = r .. , cela donne
) 1
]
JI
x ..
- x
= r ..
- r
)1
jk
) 1
jk
L'intérêt de cette opération est que la variable r .. est centree
) 1
n
~
x..
= n x.
i = 1
JI
J
cfi
1,1'1i,1

---

- 1O~ -
d'où
~ r.. = ~ x ..
n x.
= 0
1 JI
1 JI
J
Substituons à la matrice XIa matrice R:
2
...
~
2
1: (
d
(x'i' x.k)
=
x ..
- x
)
jk
J
JI
= ~ ( r ..
-
)2
r ik
J
JI
,
2
= d
(1 , r
1
k
2
\\V.
~
~
r ..
- r
)
=
k
jk
J
1
JI
= ~
~
2
~
~
2
~
~
1
k
r ..
+
r
2
r ..
r
jk
jk
JI
i
k
1
k
JI
,
,/
:
1)
~
~ ( /
2
=
+
r
i
JI
jk
Or
~
~
2
~
2
r ..
=
n
r ..
1
k
JI
1
JI
=
n ~
2
( x..
- x .. )
1
JI
JI
2
Var
( x. )
=
n
J
2
d'où
\\V.
=
2 n
Var ( x.
J
J
et
W
= ~
W.
J
J
2
=
2 n
~ Var ( x. )
J
J

---

" "> -~-.:_-
-
L0'1 -
"
La variation totaLe a ainsi été décomposée en variations dues a chacu-
ne des variables. Mais du fait de La corréLation existant entre les différentes
variabLes xl' ... , x
'
il nous faut trouver de nouvelles variables z, compinai-
p
sons linéaires des x et qui vér ifien t Les condi tions sui vantes :
- elles sont sans corrélation,
- elles conservent la variation totale,
elles sont choisies de façon hiérarchisée, i. e. la part de variation
imputable a la première variable z 1 est la plus forte possible, celle
imputable a La seconde z2 est la plus forte possible sur la variation
restante
\\'1/
\\V ( z l ) ' ...
Paragraphe 2
Détermination des composantes principales
'3~~~~9'!~ : Utilisation de variables normees
2
W.
=
2 n
Var
x.
)
J
avec
S.
1:
2
~ (
) 2
=
r ..
=
x ..
- x.
)
1
JI
1
JI
J
La comparaison entre la part de variation imputable aux différentes
variables dépend de l'unité choisie. De sorte qu'on peut être amené à limiter
cette influence de l'unité de mesure en normant les variables
x..
-
x.
JI
)
cr ( x. )
J
Nous aurons alors
W.
=
n
et
W
=
1:
W.
= nP
)
J
J

---

- 110 -
Soit
=pn
la matrice des composantes principales.
~
=
C
R
pn
pp
pn
C
:
matrice de la transformation
Proposi tion :
Pour que les composantes principales respectent les conditions de con-
servation de la variation totale, de hiérarchisation et de non corrélation, la ma-
trice
C
doit être orthogonale et composée des vecteurs propres associés aux
pp
\\ô:eL;rs propres de la matrice
R R'.
Démonstration:
l - Soit
Wx
la variation totale expliquée par les variables
xl
L
2
E
2
W
r ..
r ..
x
=
2 n
=
2 n
)
JI
1
JI
Les variables
z
conservent la variation totale si
2
2
V.
~ z ..
= 1; r ..
1
)
11
)
JI
Or
L
2
z ..
(
=
Z·i)
z.
)
JI
1
1
= ( R·i )
C
C
Roi
(
C orthogonale ==~
C' C
=
l,
matrice unité
=
R. i)' R. i
L
2
=
r ..
J
JI
j,
i l'
l,::
,,
!
~'

---

- III -
L'orthogonalité de
C
est une condition suffisante. Mais c'est aussi
une condition nécessaire. En effet, si
C
n'est pas orthogonale, il est toujours
possible de trouver des vecteurs tels qu'il n'y ait pas conservation de la varia-
tion totale.
En effet, soit
C
non orthogonale
C' C
=
,-\\
t
1
=
x' :\\x
en posant
R.
=
x
1
...,
1,
r!.
= (R. i) 1 R. i = x
x
J
JI
Supposons que la matrice A soit telle qu'un élément diagonal soit dif-
férent de l, soit:
AlI
=
Cl.
f.
R·i
=
x
= [~]
2
x' Ax
~
E
Cl:
=
a ..
x.
x.
=
ail
Xl
=
1
J
II
1
1
Or
X 1 X =
On voit que la vonservation n'a pas lieu pour ce vecteur. La variation
totale n'a pas lieu non plus. Que se passe-t-il si tous les éléments diagonaux de
la matrice
A sont égaux à 1 et il existe des éléments extra-diagonaux non
nuls?
Soit
R·i
=
x
= [~ ] al2 = a2 1 = Cl. 1: 0
1:

---

-Cl
- 112 -
1
[
[
On aura
x' Ax
=
a.·
x.
x.
J
IJ
1
J
2
2
=
al 1
xl
+
a
2 al 2
22
x2· +
xl
x2
=
2
+
2a
Or
x ' x
=
2
On voit qu'il n'y a pas conservation de la variation totale. La condi-
tion est donc nécessaire.
2 - La part de variation expliquée par la première composante princi-
pale doit être la plus grande possible.
W' ( II )
[
2
=
z 1i
max
Z
=
C R (avec
Z l • = Cl' R )
,
l.:
2
W' ( Z
)
=
lU
= ::. 1• ( ~ 1")
1
= Cl" R R' ( Cl.)'
1
= u ' R R' u
avec
u
= ( Cl,)
11 s'agit de trouver
Max
u'
R R' u /
u' u
=
Soit
Max
u' R R' u
À ( u' u
-
1)
qui donne la solution

---

-11.>-
2
R R' u
-
2
À u
= 0
soi t
R R' u
= À u
On en dédui t que
À
~
est valeur propre de la matrice R R' et
u
le
vecteur propre assOCie.
Mais comme u 'u
=
l, il faut aUSSi que
ut R R' u
= u' À u
= À u' u
=
À
Comme on veut maximiser. on cholsira la plus grande des valeurs pro-
pres.
Cherchons maintenant la deuxième composante principale.
W1 ( 12 )
= E
~2i )2 = 22, ( .=:2')
1
,
= C2 • R R' ( C ·)
2
=
v'
R R' v
(avec
.:.
= C R
Il s'agit donc maintenant de
Max v'
R R' v /
v' v
=
u ' V
= v' u
-
a
soit
Max
v'
R R' v
-
À ( v' v
-
1)
-
2 u v' u
ce qui donne la solution

---

114
2
R R' v
-
2
À v
2
lJU
= 0
D'où en prémultipliant par u', on a
2 u' R R' v
-
2
Àu' v
-
2 lJ U' U
= 0
comme
R R' u
=
À
u
==:>
u' R R'
= À
u '
1
1
et donc
u' R R' v
= À
u' v
= 0
L
on en dédui t que
).!
= 0
Par sui te, on obtient
R R' V
=
À v
===>
v' R R' v
=,\\
...".
V
vecteur propre de R R'
On prend pour Z2
le vecteur propre associé a À 2'
la plus grande
valeur propre après À l
et la variation expliquée est
W ( 2
)
=
2 n À 2
2
Pour la troisième composante principale, le problème s'énonce de la
. '
mamere suivante:
Max
W' R R' W /
w' W =
W' u
= 0
W' V
= 0
1
avec
W -
C 3

---

- 115 -
Le lagrangien s'écr i t
Max W 1 R R 'W -
,\\ ( W' W - l ) -
2
~ W1 U -
2 v W' v_
On obtient en dérivant par W :
R R' W -
'\\W
-
~u
-
vv
= a
On prémul tiplie par u 1
u' R R' W
-
,\\ u' W -
~ u' u
V u' v
=
a
~
'"---v-----'
'-v---'
~--'
=
u'
= a
a
l
' - - . . , - '
==:;>
u = 0
On prémul tiplie par v'
v' R R' W -
,\\ v' W -
I.J v' U
-
v v' v
=
o
~-----'
~
......----
= ,\\ 2 v'
= 0
= 0
'----y----'
= 0
==2>
v =
0
==:? R R' \\V
= ,\\ W
-W: vecteur propre de R R'
W' R R' W =
,\\
On prend pour z 3 le vecteur propre associé a ,\\ 3'
la plus grande va-
leur propre après
,\\ 2 et la variation expliquée est:
1
: l'
,
: , .

---

- lib -
On détermine ainsi les comp?santes prIncipales les unes après les au-
tres et la variation expliquée par la je me composante principale est:
w (z.
=
2 n
À·
J
J
La variation totale peut donc s'écrire
W ( z)
= 2 n î
À
J
)
La part de variation expliquée par z. est donc
J
À'
~
3 - Comme les composantes principales ont été entièrement détermi-
nées par les deux conditions précédentes, il suffit de montrer que la covarian-
ce est nulle. Considérons le numérateur de la covariance:
L z .. zli
=
;ë .• ( li.)'
J
JI
)
=
c.. R R' Cï
)
=
Àl
C.
(Cr)'
= 0
J'
~
= 0
La covariance est nulle. Il n'y a donc pas de corrélation entre les com-
posantes principales.
Paragraphe 3: Coefficient de corrélation

---

xji
- xl
r li
:::
( xj )
L:
z ..
p ( z. , r
:::
r li
j )
JI
J
2
2
L:
z ..
L: r ji
JI
Or
L:
Z.O
r ji
:::
7
R: j :::
C
R R:
:::
(
Cj'
R R' t
JI
-j'
r
l
:::
( C. R R').
J
l
:::
( À.
C .1
j
j
:::
À. c jl
J
J
2
et
L:
Zoo
:::
À
JI
1
2
2
(Sionn'apasnormé::::ncr
(x
) )
L:
j
r li
:::
n
À·
C j
donc
J
J
:::
:::

---

~-,
'
VU
Le Président de la thèse.
VU et permis d'imprimer
Toulouse le
LE PRESIDENT
de l'UNIVERSITE DES SCIENCES SOCIALES
de TOULOUSE.
M. DESPAX
i
. /

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---

TABLE.
DES
MATIERES
======~================================
ROOUCTION
.••.....••.....•..........••...•...••.••.•..•.....•...•....•..•"
.
~MIERE PARTIE: REPARmlON lNTRA-URBAlNE DES REVENUS:
6
APPROCHE
DEDUCTIVE
Chapitre 1: LE MODELE THEORIQUE DE BASE
8
Section 1 : Le modèle d'ALONSO et ses développements
8
1 - Les hypothèses
....•••..•••.••••• .••..
9
2 - L'équilibre du consommateur
9
3 - La courbe de prix d'indifférence
Il
4 - Les prolongements du modèle ••.••.•
16
Sec t ·Ion l',: ~"f"
'"'1"",-1 Icat"Ion de 1a f onet"Ion d' t"l"
U lite
..
19
1
1 - Les hypothèses ••••.••.•••.
.•.•••••••
20
, - La répartition intra-urbaine des revenus
22
Chapitre Il : LES LIMITES DU MODELE THEORIQUE
28
Section 1 : La tJlé,orie et l'épretlve c:ies faits
29
- Mise en évidence des élasticités-revenus de la demande
de logement et des coûts de transport dans la réparti-
tion intra-urbaine des revenus
30
2 - Les élasticités-revenus du coût de déplacement et
de la demande de logement ....•..•.................••••..•..••.•.•••.•..•.•.•..•.•.••.•••.•
32
Se-ction II : Renmr~ aiti~
36
l - Appréciation des résultats ...••.•.••...••••!................................................
.37
2 - Appréciation des hypothèses
38

---

DEUXIEME PARTIE: REPARTITION INTRA-URBAINE DES REVENUS:
APPROCHE INDUCTIVE
Chapitre 1 : LE MODELE DE G. LETINIER
42
Section 1 : L'objet du modèle
..
42
- Le découpage de Toulouse en circonscriptions géogra-
phiques et les données retenues
.
43
2 - Liaisons entre les revenus et leurs localisations intra-
urbai nes
66
Section Il : Le modèle de G. LETINIER
68
1 - Les hypothèses ..
....•........•.• .•............•..
....•.. .....•....
68
2 - Construction du modèle microéconomique
6')
3 - Le modèle économétrique
74
4 - Signification des paramètres économétriques •...............•... :...........
78
Chapitre Il : ESTIMATION DU MODELE
83
Section 1 : Présentation des données
83
1 - Cadre géogr aphique et défini tion .......••...•...•..•••••••..•••
83
2 - Les données.........
••••..•.•.• •.•..
..• •••
94
Section Il : Estill\\atioo c:I\\J RIOCièle
96
- Correction au modèle économétrique de répartition
spatiale des revenus ..••••••••.•••••.••...•.••••.•••••••.•..••.••...••.••.•.......•...
96
2 - Méthodes d'estimation et présentation des résultats •.•...•••.•••••••...
99
3 - Appréciation des résultats •.••••....••••.•..•..••••...•••••.••••••.•••.••••.•••.
102
lolo.

---

CONCLUSION
...........................................................................................................
104
ANNEXE
106
BlBLI~RAPHIE .•.••..••.•••••••••...•••.••.•.•.••..•.••.••.•.•••••.•••••..•.••••••.•.•.•••.•••••..
118
TABLE DES MATIERES
.
125

---

RESUME
Examen de la théorie de la répartition intra-urbaine
des revenus, appréciation des hypothèses. Localisation
intra-urbaine des revenus à Toulouse, présentation et estimation
d'un modèle économétrique.
MOTS eLES
Economie urbaine
Menages, localisation
Ménages, revenus
Prix du sol
-------_._-_..,_._-_._------,----------------------

---